3.452 \(\int \frac{\sec ^{\frac{5}{2}}(d+e x)}{(a+b \sec (d+e x)+c \tan (d+e x))^{5/2}} \, dx\)

Optimal. Leaf size=492 \[ \frac{2 \sec ^{\frac{5}{2}}(d+e x) \sqrt{\frac{a \cos (d+e x)+b+c \sin (d+e x)}{\sqrt{a^2+c^2}+b}} (a \cos (d+e x)+b+c \sin (d+e x))^2 \text{EllipticF}\left (\frac{1}{2} \left (-\tan ^{-1}(a,c)+d+e x\right ),\frac{2 \sqrt{a^2+c^2}}{\sqrt{a^2+c^2}+b}\right )}{3 e \left (a^2-b^2+c^2\right ) (a+b \sec (d+e x)+c \tan (d+e x))^{5/2}}+\frac{8 b \sec ^{\frac{5}{2}}(d+e x) (a \cos (d+e x)+b+c \sin (d+e x))^3 E\left (\frac{1}{2} \left (d+e x-\tan ^{-1}(a,c)\right )|\frac{2 \sqrt{a^2+c^2}}{b+\sqrt{a^2+c^2}}\right )}{3 e \left (a^2-b^2+c^2\right )^2 \sqrt{\frac{a \cos (d+e x)+b+c \sin (d+e x)}{\sqrt{a^2+c^2}+b}} (a+b \sec (d+e x)+c \tan (d+e x))^{5/2}}+\frac{8 \sec ^{\frac{5}{2}}(d+e x) (b c \cos (d+e x)-a b \sin (d+e x)) (a \cos (d+e x)+b+c \sin (d+e x))^2}{3 e \left (a^2-b^2+c^2\right )^2 (a+b \sec (d+e x)+c \tan (d+e x))^{5/2}}-\frac{2 \sec ^{\frac{5}{2}}(d+e x) (c \cos (d+e x)-a \sin (d+e x)) (a \cos (d+e x)+b+c \sin (d+e x))}{3 e \left (a^2-b^2+c^2\right ) (a+b \sec (d+e x)+c \tan (d+e x))^{5/2}} \]

[Out]

(-2*Sec[d + e*x]^(5/2)*(c*Cos[d + e*x] - a*Sin[d + e*x])*(b + a*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x]))/(3*(a^2 - b^2
+ c^2)*e*(a + b*Sec[d + e*x] + c*Tan[d + e*x])^(5/2)) + (8*Sec[d + e*x]^(5/2)*(b*c*Cos[d + e*x] - a*b*Sin[d +
e*x])*(b + a*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x])^2)/(3*(a^2 - b^2 + c^2)^2*e*(a + b*Sec[d + e*x] + c*Tan[d + e*x])^
(5/2)) + (8*b*EllipticE[(d + e*x - ArcTan[a, c])/2, (2*Sqrt[a^2 + c^2])/(b + Sqrt[a^2 + c^2])]*Sec[d + e*x]^(5
/2)*(b + a*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x])^3)/(3*(a^2 - b^2 + c^2)^2*e*Sqrt[(b + a*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x
])/(b + Sqrt[a^2 + c^2])]*(a + b*Sec[d + e*x] + c*Tan[d + e*x])^(5/2)) + (2*EllipticF[(d + e*x - ArcTan[a, c])
/2, (2*Sqrt[a^2 + c^2])/(b + Sqrt[a^2 + c^2])]*Sec[d + e*x]^(5/2)*(b + a*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x])^2*Sqrt
[(b + a*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x])/(b + Sqrt[a^2 + c^2])])/(3*(a^2 - b^2 + c^2)*e*(a + b*Sec[d + e*x] + c*
Tan[d + e*x])^(5/2))

________________________________________________________________________________________

Rubi [A]  time = 0.519064, antiderivative size = 492, normalized size of antiderivative = 1., number of steps used = 8, number of rules used = 8, integrand size = 33, \(\frac{\text{number of rules}}{\text{integrand size}}\) = 0.242, Rules used = {3167, 3129, 3156, 3149, 3119, 2653, 3127, 2661} \[ \frac{2 \sec ^{\frac{5}{2}}(d+e x) \sqrt{\frac{a \cos (d+e x)+b+c \sin (d+e x)}{\sqrt{a^2+c^2}+b}} (a \cos (d+e x)+b+c \sin (d+e x))^2 F\left (\frac{1}{2} \left (d+e x-\tan ^{-1}(a,c)\right )|\frac{2 \sqrt{a^2+c^2}}{b+\sqrt{a^2+c^2}}\right )}{3 e \left (a^2-b^2+c^2\right ) (a+b \sec (d+e x)+c \tan (d+e x))^{5/2}}+\frac{8 b \sec ^{\frac{5}{2}}(d+e x) (a \cos (d+e x)+b+c \sin (d+e x))^3 E\left (\frac{1}{2} \left (d+e x-\tan ^{-1}(a,c)\right )|\frac{2 \sqrt{a^2+c^2}}{b+\sqrt{a^2+c^2}}\right )}{3 e \left (a^2-b^2+c^2\right )^2 \sqrt{\frac{a \cos (d+e x)+b+c \sin (d+e x)}{\sqrt{a^2+c^2}+b}} (a+b \sec (d+e x)+c \tan (d+e x))^{5/2}}+\frac{8 \sec ^{\frac{5}{2}}(d+e x) (b c \cos (d+e x)-a b \sin (d+e x)) (a \cos (d+e x)+b+c \sin (d+e x))^2}{3 e \left (a^2-b^2+c^2\right )^2 (a+b \sec (d+e x)+c \tan (d+e x))^{5/2}}-\frac{2 \sec ^{\frac{5}{2}}(d+e x) (c \cos (d+e x)-a \sin (d+e x)) (a \cos (d+e x)+b+c \sin (d+e x))}{3 e \left (a^2-b^2+c^2\right ) (a+b \sec (d+e x)+c \tan (d+e x))^{5/2}} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Int[Sec[d + e*x]^(5/2)/(a + b*Sec[d + e*x] + c*Tan[d + e*x])^(5/2),x]

[Out]

(-2*Sec[d + e*x]^(5/2)*(c*Cos[d + e*x] - a*Sin[d + e*x])*(b + a*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x]))/(3*(a^2 - b^2
+ c^2)*e*(a + b*Sec[d + e*x] + c*Tan[d + e*x])^(5/2)) + (8*Sec[d + e*x]^(5/2)*(b*c*Cos[d + e*x] - a*b*Sin[d +
e*x])*(b + a*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x])^2)/(3*(a^2 - b^2 + c^2)^2*e*(a + b*Sec[d + e*x] + c*Tan[d + e*x])^
(5/2)) + (8*b*EllipticE[(d + e*x - ArcTan[a, c])/2, (2*Sqrt[a^2 + c^2])/(b + Sqrt[a^2 + c^2])]*Sec[d + e*x]^(5
/2)*(b + a*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x])^3)/(3*(a^2 - b^2 + c^2)^2*e*Sqrt[(b + a*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x
])/(b + Sqrt[a^2 + c^2])]*(a + b*Sec[d + e*x] + c*Tan[d + e*x])^(5/2)) + (2*EllipticF[(d + e*x - ArcTan[a, c])
/2, (2*Sqrt[a^2 + c^2])/(b + Sqrt[a^2 + c^2])]*Sec[d + e*x]^(5/2)*(b + a*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x])^2*Sqrt
[(b + a*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x])/(b + Sqrt[a^2 + c^2])])/(3*(a^2 - b^2 + c^2)*e*(a + b*Sec[d + e*x] + c*
Tan[d + e*x])^(5/2))

Rule 3167

Int[sec[(d_.) + (e_.)*(x_)]^(n_.)*((a_.) + (b_.)*sec[(d_.) + (e_.)*(x_)] + (c_.)*tan[(d_.) + (e_.)*(x_)])^(m_)
, x_Symbol] :> Dist[(Sec[d + e*x]^n*(b + a*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x])^n)/(a + b*Sec[d + e*x] + c*Tan[d + e
*x])^n, Int[1/(b + a*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x])^n, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && EqQ[m + n, 0] &&
!IntegerQ[n]

Rule 3129

Int[(cos[(d_.) + (e_.)*(x_)]*(b_.) + (a_) + (c_.)*sin[(d_.) + (e_.)*(x_)])^(n_), x_Symbol] :> Simp[((-(c*Cos[d
+ e*x]) + b*Sin[d + e*x])*(a + b*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x])^(n + 1))/(e*(n + 1)*(a^2 - b^2 - c^2)), x] +
Dist[1/((n + 1)*(a^2 - b^2 - c^2)), Int[(a*(n + 1) - b*(n + 2)*Cos[d + e*x] - c*(n + 2)*Sin[d + e*x])*(a + b*C
os[d + e*x] + c*Sin[d + e*x])^(n + 1), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && NeQ[a^2 - b^2 - c^2, 0] && LtQ[n
, -1] && NeQ[n, -3/2]

Rule 3156

Int[((a_.) + cos[(d_.) + (e_.)*(x_)]*(b_.) + (c_.)*sin[(d_.) + (e_.)*(x_)])^(n_)*((A_.) + cos[(d_.) + (e_.)*(x
_)]*(B_.) + (C_.)*sin[(d_.) + (e_.)*(x_)]), x_Symbol] :> -Simp[((c*B - b*C - (a*C - c*A)*Cos[d + e*x] + (a*B -
b*A)*Sin[d + e*x])*(a + b*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x])^(n + 1))/(e*(n + 1)*(a^2 - b^2 - c^2)), x] + Dist[1/
((n + 1)*(a^2 - b^2 - c^2)), Int[(a + b*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x])^(n + 1)*Simp[(n + 1)*(a*A - b*B - c*C)
+ (n + 2)*(a*B - b*A)*Cos[d + e*x] + (n + 2)*(a*C - c*A)*Sin[d + e*x], x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, A,
B, C}, x] && LtQ[n, -1] && NeQ[a^2 - b^2 - c^2, 0] && NeQ[n, -2]

Rule 3149

Int[((A_.) + cos[(d_.) + (e_.)*(x_)]*(B_.) + (C_.)*sin[(d_.) + (e_.)*(x_)])/Sqrt[cos[(d_.) + (e_.)*(x_)]*(b_.)
+ (a_) + (c_.)*sin[(d_.) + (e_.)*(x_)]], x_Symbol] :> Dist[B/b, Int[Sqrt[a + b*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x]]
, x], x] + Dist[(A*b - a*B)/b, Int[1/Sqrt[a + b*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x]], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e
, A, B, C}, x] && EqQ[B*c - b*C, 0] && NeQ[A*b - a*B, 0]

Rule 3119

Int[Sqrt[cos[(d_.) + (e_.)*(x_)]*(b_.) + (a_) + (c_.)*sin[(d_.) + (e_.)*(x_)]], x_Symbol] :> Dist[Sqrt[a + b*C
os[d + e*x] + c*Sin[d + e*x]]/Sqrt[(a + b*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x])/(a + Sqrt[b^2 + c^2])], Int[Sqrt[a/(a
+ Sqrt[b^2 + c^2]) + (Sqrt[b^2 + c^2]*Cos[d + e*x - ArcTan[b, c]])/(a + Sqrt[b^2 + c^2])], x], x] /; FreeQ[{a
, b, c, d, e}, x] && NeQ[a^2 - b^2 - c^2, 0] && NeQ[b^2 + c^2, 0] &&  !GtQ[a + Sqrt[b^2 + c^2], 0]

Rule 2653

Int[Sqrt[(a_) + (b_.)*sin[(c_.) + (d_.)*(x_)]], x_Symbol] :> Simp[(2*Sqrt[a + b]*EllipticE[(1*(c - Pi/2 + d*x)
)/2, (2*b)/(a + b)])/d, x] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && NeQ[a^2 - b^2, 0] && GtQ[a + b, 0]

Rule 3127

Int[1/Sqrt[cos[(d_.) + (e_.)*(x_)]*(b_.) + (a_) + (c_.)*sin[(d_.) + (e_.)*(x_)]], x_Symbol] :> Dist[Sqrt[(a +
b*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x])/(a + Sqrt[b^2 + c^2])]/Sqrt[a + b*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x]], Int[1/Sqrt[
a/(a + Sqrt[b^2 + c^2]) + (Sqrt[b^2 + c^2]*Cos[d + e*x - ArcTan[b, c]])/(a + Sqrt[b^2 + c^2])], x], x] /; Free
Q[{a, b, c, d, e}, x] && NeQ[a^2 - b^2 - c^2, 0] && NeQ[b^2 + c^2, 0] &&  !GtQ[a + Sqrt[b^2 + c^2], 0]

Rule 2661

Int[1/Sqrt[(a_) + (b_.)*sin[(c_.) + (d_.)*(x_)]], x_Symbol] :> Simp[(2*EllipticF[(1*(c - Pi/2 + d*x))/2, (2*b)
/(a + b)])/(d*Sqrt[a + b]), x] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && NeQ[a^2 - b^2, 0] && GtQ[a + b, 0]

Rubi steps

\begin{align*} \int \frac{\sec ^{\frac{5}{2}}(d+e x)}{(a+b \sec (d+e x)+c \tan (d+e x))^{5/2}} \, dx &=\frac{\left (\sec ^{\frac{5}{2}}(d+e x) (b+a \cos (d+e x)+c \sin (d+e x))^{5/2}\right ) \int \frac{1}{(b+a \cos (d+e x)+c \sin (d+e x))^{5/2}} \, dx}{(a+b \sec (d+e x)+c \tan (d+e x))^{5/2}}\\ &=-\frac{2 \sec ^{\frac{5}{2}}(d+e x) (c \cos (d+e x)-a \sin (d+e x)) (b+a \cos (d+e x)+c \sin (d+e x))}{3 \left (a^2-b^2+c^2\right ) e (a+b \sec (d+e x)+c \tan (d+e x))^{5/2}}+\frac{\left (2 \sec ^{\frac{5}{2}}(d+e x) (b+a \cos (d+e x)+c \sin (d+e x))^{5/2}\right ) \int \frac{-\frac{3 b}{2}+\frac{1}{2} a \cos (d+e x)+\frac{1}{2} c \sin (d+e x)}{(b+a \cos (d+e x)+c \sin (d+e x))^{3/2}} \, dx}{3 \left (a^2-b^2+c^2\right ) (a+b \sec (d+e x)+c \tan (d+e x))^{5/2}}\\ &=-\frac{2 \sec ^{\frac{5}{2}}(d+e x) (c \cos (d+e x)-a \sin (d+e x)) (b+a \cos (d+e x)+c \sin (d+e x))}{3 \left (a^2-b^2+c^2\right ) e (a+b \sec (d+e x)+c \tan (d+e x))^{5/2}}+\frac{8 \sec ^{\frac{5}{2}}(d+e x) (b c \cos (d+e x)-a b \sin (d+e x)) (b+a \cos (d+e x)+c \sin (d+e x))^2}{3 \left (a^2-b^2+c^2\right )^2 e (a+b \sec (d+e x)+c \tan (d+e x))^{5/2}}+\frac{\left (4 \sec ^{\frac{5}{2}}(d+e x) (b+a \cos (d+e x)+c \sin (d+e x))^{5/2}\right ) \int \frac{\frac{1}{4} \left (a^2+3 b^2+c^2\right )+a b \cos (d+e x)+b c \sin (d+e x)}{\sqrt{b+a \cos (d+e x)+c \sin (d+e x)}} \, dx}{3 \left (a^2-b^2+c^2\right )^2 (a+b \sec (d+e x)+c \tan (d+e x))^{5/2}}\\ &=-\frac{2 \sec ^{\frac{5}{2}}(d+e x) (c \cos (d+e x)-a \sin (d+e x)) (b+a \cos (d+e x)+c \sin (d+e x))}{3 \left (a^2-b^2+c^2\right ) e (a+b \sec (d+e x)+c \tan (d+e x))^{5/2}}+\frac{8 \sec ^{\frac{5}{2}}(d+e x) (b c \cos (d+e x)-a b \sin (d+e x)) (b+a \cos (d+e x)+c \sin (d+e x))^2}{3 \left (a^2-b^2+c^2\right )^2 e (a+b \sec (d+e x)+c \tan (d+e x))^{5/2}}+\frac{\left (4 b \sec ^{\frac{5}{2}}(d+e x) (b+a \cos (d+e x)+c \sin (d+e x))^{5/2}\right ) \int \sqrt{b+a \cos (d+e x)+c \sin (d+e x)} \, dx}{3 \left (a^2-b^2+c^2\right )^2 (a+b \sec (d+e x)+c \tan (d+e x))^{5/2}}+\frac{\left (\sec ^{\frac{5}{2}}(d+e x) (b+a \cos (d+e x)+c \sin (d+e x))^{5/2}\right ) \int \frac{1}{\sqrt{b+a \cos (d+e x)+c \sin (d+e x)}} \, dx}{3 \left (a^2-b^2+c^2\right ) (a+b \sec (d+e x)+c \tan (d+e x))^{5/2}}\\ &=-\frac{2 \sec ^{\frac{5}{2}}(d+e x) (c \cos (d+e x)-a \sin (d+e x)) (b+a \cos (d+e x)+c \sin (d+e x))}{3 \left (a^2-b^2+c^2\right ) e (a+b \sec (d+e x)+c \tan (d+e x))^{5/2}}+\frac{8 \sec ^{\frac{5}{2}}(d+e x) (b c \cos (d+e x)-a b \sin (d+e x)) (b+a \cos (d+e x)+c \sin (d+e x))^2}{3 \left (a^2-b^2+c^2\right )^2 e (a+b \sec (d+e x)+c \tan (d+e x))^{5/2}}+\frac{\left (4 b \sec ^{\frac{5}{2}}(d+e x) (b+a \cos (d+e x)+c \sin (d+e x))^3\right ) \int \sqrt{\frac{b}{b+\sqrt{a^2+c^2}}+\frac{\sqrt{a^2+c^2} \cos \left (d+e x-\tan ^{-1}(a,c)\right )}{b+\sqrt{a^2+c^2}}} \, dx}{3 \left (a^2-b^2+c^2\right )^2 \sqrt{\frac{b+a \cos (d+e x)+c \sin (d+e x)}{b+\sqrt{a^2+c^2}}} (a+b \sec (d+e x)+c \tan (d+e x))^{5/2}}+\frac{\left (\sec ^{\frac{5}{2}}(d+e x) (b+a \cos (d+e x)+c \sin (d+e x))^2 \sqrt{\frac{b+a \cos (d+e x)+c \sin (d+e x)}{b+\sqrt{a^2+c^2}}}\right ) \int \frac{1}{\sqrt{\frac{b}{b+\sqrt{a^2+c^2}}+\frac{\sqrt{a^2+c^2} \cos \left (d+e x-\tan ^{-1}(a,c)\right )}{b+\sqrt{a^2+c^2}}}} \, dx}{3 \left (a^2-b^2+c^2\right ) (a+b \sec (d+e x)+c \tan (d+e x))^{5/2}}\\ &=-\frac{2 \sec ^{\frac{5}{2}}(d+e x) (c \cos (d+e x)-a \sin (d+e x)) (b+a \cos (d+e x)+c \sin (d+e x))}{3 \left (a^2-b^2+c^2\right ) e (a+b \sec (d+e x)+c \tan (d+e x))^{5/2}}+\frac{8 \sec ^{\frac{5}{2}}(d+e x) (b c \cos (d+e x)-a b \sin (d+e x)) (b+a \cos (d+e x)+c \sin (d+e x))^2}{3 \left (a^2-b^2+c^2\right )^2 e (a+b \sec (d+e x)+c \tan (d+e x))^{5/2}}+\frac{8 b E\left (\frac{1}{2} \left (d+e x-\tan ^{-1}(a,c)\right )|\frac{2 \sqrt{a^2+c^2}}{b+\sqrt{a^2+c^2}}\right ) \sec ^{\frac{5}{2}}(d+e x) (b+a \cos (d+e x)+c \sin (d+e x))^3}{3 \left (a^2-b^2+c^2\right )^2 e \sqrt{\frac{b+a \cos (d+e x)+c \sin (d+e x)}{b+\sqrt{a^2+c^2}}} (a+b \sec (d+e x)+c \tan (d+e x))^{5/2}}+\frac{2 F\left (\frac{1}{2} \left (d+e x-\tan ^{-1}(a,c)\right )|\frac{2 \sqrt{a^2+c^2}}{b+\sqrt{a^2+c^2}}\right ) \sec ^{\frac{5}{2}}(d+e x) (b+a \cos (d+e x)+c \sin (d+e x))^2 \sqrt{\frac{b+a \cos (d+e x)+c \sin (d+e x)}{b+\sqrt{a^2+c^2}}}}{3 \left (a^2-b^2+c^2\right ) e (a+b \sec (d+e x)+c \tan (d+e x))^{5/2}}\\ \end{align*}

Mathematica [C]  time = 6.51367, size = 2708, normalized size = 5.5 \[ \text{Result too large to show} \]

Warning: Unable to verify antiderivative.

[In]

Integrate[Sec[d + e*x]^(5/2)/(a + b*Sec[d + e*x] + c*Tan[d + e*x])^(5/2),x]

[Out]

(Sec[d + e*x]^(5/2)*(b + a*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x])^3*((8*b*(a^2 + c^2))/(3*a*c*(-a^2 + b^2 - c^2)^2) +
(2*(b*c + a^2*Sin[d + e*x] + c^2*Sin[d + e*x]))/(3*a*(a^2 - b^2 + c^2)*(b + a*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x])^2
) - (2*(a^2*c + 3*b^2*c + c^3 + 4*a^2*b*Sin[d + e*x] + 4*b*c^2*Sin[d + e*x]))/(3*a*(a^2 - b^2 + c^2)^2*(b + a*
Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x]))))/(e*(a + b*Sec[d + e*x] + c*Tan[d + e*x])^(5/2)) + (2*a^2*AppellF1[1/2, 1/2,
1/2, 3/2, -((b + Sqrt[1 + a^2/c^2]*c*Sin[d + e*x + ArcTan[a/c]])/(Sqrt[1 + a^2/c^2]*(1 - b/(Sqrt[1 + a^2/c^2]*
c))*c)), -((b + Sqrt[1 + a^2/c^2]*c*Sin[d + e*x + ArcTan[a/c]])/(Sqrt[1 + a^2/c^2]*(-1 - b/(Sqrt[1 + a^2/c^2]*
c))*c))]*Sec[d + e*x]^(5/2)*Sec[d + e*x + ArcTan[a/c]]*(b + a*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x])^(5/2)*Sqrt[(c*Sqr
t[(a^2 + c^2)/c^2] - c*Sqrt[(a^2 + c^2)/c^2]*Sin[d + e*x + ArcTan[a/c]])/(b + c*Sqrt[(a^2 + c^2)/c^2])]*Sqrt[b
+ c*Sqrt[(a^2 + c^2)/c^2]*Sin[d + e*x + ArcTan[a/c]]]*Sqrt[(c*Sqrt[(a^2 + c^2)/c^2] + c*Sqrt[(a^2 + c^2)/c^2]
*Sin[d + e*x + ArcTan[a/c]])/(-b + c*Sqrt[(a^2 + c^2)/c^2])])/(3*Sqrt[1 + a^2/c^2]*c*(a^2 - b^2 + c^2)^2*e*(a
+ b*Sec[d + e*x] + c*Tan[d + e*x])^(5/2)) + (2*b^2*AppellF1[1/2, 1/2, 1/2, 3/2, -((b + Sqrt[1 + a^2/c^2]*c*Sin
[d + e*x + ArcTan[a/c]])/(Sqrt[1 + a^2/c^2]*(1 - b/(Sqrt[1 + a^2/c^2]*c))*c)), -((b + Sqrt[1 + a^2/c^2]*c*Sin[
d + e*x + ArcTan[a/c]])/(Sqrt[1 + a^2/c^2]*(-1 - b/(Sqrt[1 + a^2/c^2]*c))*c))]*Sec[d + e*x]^(5/2)*Sec[d + e*x
+ ArcTan[a/c]]*(b + a*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x])^(5/2)*Sqrt[(c*Sqrt[(a^2 + c^2)/c^2] - c*Sqrt[(a^2 + c^2)/
c^2]*Sin[d + e*x + ArcTan[a/c]])/(b + c*Sqrt[(a^2 + c^2)/c^2])]*Sqrt[b + c*Sqrt[(a^2 + c^2)/c^2]*Sin[d + e*x +
ArcTan[a/c]]]*Sqrt[(c*Sqrt[(a^2 + c^2)/c^2] + c*Sqrt[(a^2 + c^2)/c^2]*Sin[d + e*x + ArcTan[a/c]])/(-b + c*Sqr
t[(a^2 + c^2)/c^2])])/(Sqrt[1 + a^2/c^2]*c*(a^2 - b^2 + c^2)^2*e*(a + b*Sec[d + e*x] + c*Tan[d + e*x])^(5/2))
+ (2*c*AppellF1[1/2, 1/2, 1/2, 3/2, -((b + Sqrt[1 + a^2/c^2]*c*Sin[d + e*x + ArcTan[a/c]])/(Sqrt[1 + a^2/c^2]*
(1 - b/(Sqrt[1 + a^2/c^2]*c))*c)), -((b + Sqrt[1 + a^2/c^2]*c*Sin[d + e*x + ArcTan[a/c]])/(Sqrt[1 + a^2/c^2]*(
-1 - b/(Sqrt[1 + a^2/c^2]*c))*c))]*Sec[d + e*x]^(5/2)*Sec[d + e*x + ArcTan[a/c]]*(b + a*Cos[d + e*x] + c*Sin[d
+ e*x])^(5/2)*Sqrt[(c*Sqrt[(a^2 + c^2)/c^2] - c*Sqrt[(a^2 + c^2)/c^2]*Sin[d + e*x + ArcTan[a/c]])/(b + c*Sqrt
[(a^2 + c^2)/c^2])]*Sqrt[b + c*Sqrt[(a^2 + c^2)/c^2]*Sin[d + e*x + ArcTan[a/c]]]*Sqrt[(c*Sqrt[(a^2 + c^2)/c^2]
+ c*Sqrt[(a^2 + c^2)/c^2]*Sin[d + e*x + ArcTan[a/c]])/(-b + c*Sqrt[(a^2 + c^2)/c^2])])/(3*Sqrt[1 + a^2/c^2]*(
a^2 - b^2 + c^2)^2*e*(a + b*Sec[d + e*x] + c*Tan[d + e*x])^(5/2)) + (4*a^2*b*Sec[d + e*x]^(5/2)*(b + a*Cos[d +
e*x] + c*Sin[d + e*x])^(5/2)*(-((c*AppellF1[-1/2, -1/2, -1/2, 1/2, -((b + a*Sqrt[1 + c^2/a^2]*Cos[d + e*x - A
rcTan[c/a]])/(a*Sqrt[1 + c^2/a^2]*(1 - b/(a*Sqrt[1 + c^2/a^2])))), -((b + a*Sqrt[1 + c^2/a^2]*Cos[d + e*x - Ar
cTan[c/a]])/(a*Sqrt[1 + c^2/a^2]*(-1 - b/(a*Sqrt[1 + c^2/a^2]))))]*Sin[d + e*x - ArcTan[c/a]])/(a*Sqrt[1 + c^2
/a^2]*Sqrt[(a*Sqrt[(a^2 + c^2)/a^2] - a*Sqrt[(a^2 + c^2)/a^2]*Cos[d + e*x - ArcTan[c/a]])/(b + a*Sqrt[(a^2 + c
^2)/a^2])]*Sqrt[b + a*Sqrt[(a^2 + c^2)/a^2]*Cos[d + e*x - ArcTan[c/a]]]*Sqrt[(a*Sqrt[(a^2 + c^2)/a^2] + a*Sqrt
[(a^2 + c^2)/a^2]*Cos[d + e*x - ArcTan[c/a]])/(-b + a*Sqrt[(a^2 + c^2)/a^2])])) - ((2*a*(b + a*Sqrt[1 + c^2/a^
2]*Cos[d + e*x - ArcTan[c/a]]))/(a^2 + c^2) - (c*Sin[d + e*x - ArcTan[c/a]])/(a*Sqrt[1 + c^2/a^2]))/Sqrt[b + a
*Sqrt[1 + c^2/a^2]*Cos[d + e*x - ArcTan[c/a]]]))/(3*c*(a^2 - b^2 + c^2)^2*e*(a + b*Sec[d + e*x] + c*Tan[d + e*
x])^(5/2)) + (4*b*c*Sec[d + e*x]^(5/2)*(b + a*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x])^(5/2)*(-((c*AppellF1[-1/2, -1/2,
-1/2, 1/2, -((b + a*Sqrt[1 + c^2/a^2]*Cos[d + e*x - ArcTan[c/a]])/(a*Sqrt[1 + c^2/a^2]*(1 - b/(a*Sqrt[1 + c^2/
a^2])))), -((b + a*Sqrt[1 + c^2/a^2]*Cos[d + e*x - ArcTan[c/a]])/(a*Sqrt[1 + c^2/a^2]*(-1 - b/(a*Sqrt[1 + c^2/
a^2]))))]*Sin[d + e*x - ArcTan[c/a]])/(a*Sqrt[1 + c^2/a^2]*Sqrt[(a*Sqrt[(a^2 + c^2)/a^2] - a*Sqrt[(a^2 + c^2)/
a^2]*Cos[d + e*x - ArcTan[c/a]])/(b + a*Sqrt[(a^2 + c^2)/a^2])]*Sqrt[b + a*Sqrt[(a^2 + c^2)/a^2]*Cos[d + e*x -
ArcTan[c/a]]]*Sqrt[(a*Sqrt[(a^2 + c^2)/a^2] + a*Sqrt[(a^2 + c^2)/a^2]*Cos[d + e*x - ArcTan[c/a]])/(-b + a*Sqr
t[(a^2 + c^2)/a^2])])) - ((2*a*(b + a*Sqrt[1 + c^2/a^2]*Cos[d + e*x - ArcTan[c/a]]))/(a^2 + c^2) - (c*Sin[d +
e*x - ArcTan[c/a]])/(a*Sqrt[1 + c^2/a^2]))/Sqrt[b + a*Sqrt[1 + c^2/a^2]*Cos[d + e*x - ArcTan[c/a]]]))/(3*(a^2
- b^2 + c^2)^2*e*(a + b*Sec[d + e*x] + c*Tan[d + e*x])^(5/2))

________________________________________________________________________________________

Maple [C]  time = 1.75, size = 63949, normalized size = 130. \begin{align*} \text{output too large to display} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int(sec(e*x+d)^(5/2)/(a+b*sec(e*x+d)+c*tan(e*x+d))^(5/2),x)

[Out]

result too large to display

________________________________________________________________________________________

Maxima [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \int \frac{\sec \left (e x + d\right )^{\frac{5}{2}}}{{\left (b \sec \left (e x + d\right ) + c \tan \left (e x + d\right ) + a\right )}^{\frac{5}{2}}}\,{d x} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(sec(e*x+d)^(5/2)/(a+b*sec(e*x+d)+c*tan(e*x+d))^(5/2),x, algorithm="maxima")

[Out]

integrate(sec(e*x + d)^(5/2)/(b*sec(e*x + d) + c*tan(e*x + d) + a)^(5/2), x)

________________________________________________________________________________________

Fricas [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*}{\rm integral}\left (\frac{\sqrt{b \sec \left (e x + d\right ) + c \tan \left (e x + d\right ) + a} \sec \left (e x + d\right )^{\frac{5}{2}}}{b^{3} \sec \left (e x + d\right )^{3} + c^{3} \tan \left (e x + d\right )^{3} + 3 \, a b^{2} \sec \left (e x + d\right )^{2} + 3 \, a^{2} b \sec \left (e x + d\right ) + a^{3} + 3 \,{\left (b c^{2} \sec \left (e x + d\right ) + a c^{2}\right )} \tan \left (e x + d\right )^{2} + 3 \,{\left (b^{2} c \sec \left (e x + d\right )^{2} + 2 \, a b c \sec \left (e x + d\right ) + a^{2} c\right )} \tan \left (e x + d\right )}, x\right ) \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(sec(e*x+d)^(5/2)/(a+b*sec(e*x+d)+c*tan(e*x+d))^(5/2),x, algorithm="fricas")

[Out]

integral(sqrt(b*sec(e*x + d) + c*tan(e*x + d) + a)*sec(e*x + d)^(5/2)/(b^3*sec(e*x + d)^3 + c^3*tan(e*x + d)^3
+ 3*a*b^2*sec(e*x + d)^2 + 3*a^2*b*sec(e*x + d) + a^3 + 3*(b*c^2*sec(e*x + d) + a*c^2)*tan(e*x + d)^2 + 3*(b^
2*c*sec(e*x + d)^2 + 2*a*b*c*sec(e*x + d) + a^2*c)*tan(e*x + d)), x)

________________________________________________________________________________________

Sympy [F(-1)]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \text{Timed out} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(sec(e*x+d)**(5/2)/(a+b*sec(e*x+d)+c*tan(e*x+d))**(5/2),x)

[Out]

Timed out

________________________________________________________________________________________

Giac [F(-1)]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \text{Timed out} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(sec(e*x+d)^(5/2)/(a+b*sec(e*x+d)+c*tan(e*x+d))^(5/2),x, algorithm="giac")

[Out]

Timed out