[next] [prev] [prev-tail] [tail] [up]

3.281 \(\int \frac {(e+f x)^3 \sec ^3(c+d x)}{a+a \sin (c+d x)} \, dx\)

Optimal. Leaf size=698 \[ \frac {5 i f^3 \text {Li}_2\left (-i e^{i (c+d x)}\right )}{2 a d^4}-\frac {5 i f^3 \text {Li}_2\left (i e^{i (c+d x)}\right )}{2 a d^4}-\frac {i f^3 \text {Li}_2\left (-e^{2 i (c+d x)}\right )}{2 a d^4}-\frac {9 i f^3 \text {Li}_4\left (-i e^{i (c+d x)}\right )}{4 a d^4}+\frac {9 i f^3 \text {Li}_4\left (i e^{i (c+d x)}\right )}{4 a d^4}+\frac {f^3 \tan (c+d x)}{4 a d^4}-\frac {f^3 \sec (c+d x)}{4 a d^4}-\frac {9 f^2 (e+f x) \text {Li}_3\left (-i e^{i (c+d x)}\right )}{4 a d^3}+\frac {9 f^2 (e+f x) \text {Li}_3\left (i e^{i (c+d x)}\right )}{4 a d^3}+\frac {f^2 (e+f x) \log \left (1+e^{2 i (c+d x)}\right )}{a d^3}-\frac {5 i f^2 (e+f x) \tan ^{-1}\left (e^{i (c+d x)}\right )}{a d^3}-\frac {f^2 (e+f x) \sec ^2(c+d x)}{4 a d^3}+\frac {f^2 (e+f x) \tan (c+d x) \sec (c+d x)}{4 a d^3}+\frac {9 i f (e+f x)^2 \text {Li}_2\left (-i e^{i (c+d x)}\right )}{8 a d^2}-\frac {9 i f (e+f x)^2 \text {Li}_2\left (i e^{i (c+d x)}\right )}{8 a d^2}+\frac {f (e+f x)^2 \tan (c+d x)}{2 a d^2}-\frac {f (e+f x)^2 \sec ^3(c+d x)}{4 a d^2}-\frac {9 f (e+f x)^2 \sec (c+d x)}{8 a d^2}+\frac {f (e+f x)^2 \tan (c+d x) \sec ^2(c+d x)}{4 a d^2}-\frac {3 i (e+f x)^3 \tan ^{-1}\left (e^{i (c+d x)}\right )}{4 a d}-\frac {(e+f x)^3 \sec ^4(c+d x)}{4 a d}+\frac {(e+f x)^3 \tan (c+d x) \sec ^3(c+d x)}{4 a d}+\frac {3 (e+f x)^3 \tan (c+d x) \sec (c+d x)}{8 a d}-\frac {i f (e+f x)^2}{2 a d^2} \]

[Out]

-1/2*I*f*(f*x+e)^2/a/d^2+5/2*I*f^3*polylog(2,-I*exp(I*(d*x+c)))/a/d^4+9/8*I*f*(f*x+e)^2*polylog(2,-I*exp(I*(d*
x+c)))/a/d^2+f^2*(f*x+e)*ln(1+exp(2*I*(d*x+c)))/a/d^3-1/2*I*f^3*polylog(2,-exp(2*I*(d*x+c)))/a/d^4-5*I*f^2*(f*
x+e)*arctan(exp(I*(d*x+c)))/a/d^3-9/8*I*f*(f*x+e)^2*polylog(2,I*exp(I*(d*x+c)))/a/d^2-3/4*I*(f*x+e)^3*arctan(e
xp(I*(d*x+c)))/a/d+9/4*I*f^3*polylog(4,I*exp(I*(d*x+c)))/a/d^4-9/4*f^2*(f*x+e)*polylog(3,-I*exp(I*(d*x+c)))/a/
d^3+9/4*f^2*(f*x+e)*polylog(3,I*exp(I*(d*x+c)))/a/d^3-5/2*I*f^3*polylog(2,I*exp(I*(d*x+c)))/a/d^4-9/4*I*f^3*po
lylog(4,-I*exp(I*(d*x+c)))/a/d^4-1/4*f^3*sec(d*x+c)/a/d^4-9/8*f*(f*x+e)^2*sec(d*x+c)/a/d^2-1/4*f^2*(f*x+e)*sec
(d*x+c)^2/a/d^3-1/4*f*(f*x+e)^2*sec(d*x+c)^3/a/d^2-1/4*(f*x+e)^3*sec(d*x+c)^4/a/d+1/4*f^3*tan(d*x+c)/a/d^4+1/2
*f*(f*x+e)^2*tan(d*x+c)/a/d^2+1/4*f^2*(f*x+e)*sec(d*x+c)*tan(d*x+c)/a/d^3+3/8*(f*x+e)^3*sec(d*x+c)*tan(d*x+c)/
a/d+1/4*f*(f*x+e)^2*sec(d*x+c)^2*tan(d*x+c)/a/d^2+1/4*(f*x+e)^3*sec(d*x+c)^3*tan(d*x+c)/a/d

________________________________________________________________________________________

Rubi [A]  time = 0.74, antiderivative size = 698, normalized size of antiderivative = 1.00, number of steps used = 32, number of rules used = 16, integrand size = 28, \(\frac {\text {number of rules}}{\text {integrand size}}\) = 0.571, Rules used = {4531, 4186, 4185, 4181, 2279, 2391, 2531, 6609, 2282, 6589, 4409, 3767, 8, 4184, 3719, 2190} \[ -\frac {9 f^2 (e+f x) \text {PolyLog}\left (3,-i e^{i (c+d x)}\right )}{4 a d^3}+\frac {9 f^2 (e+f x) \text {PolyLog}\left (3,i e^{i (c+d x)}\right )}{4 a d^3}+\frac {9 i f (e+f x)^2 \text {PolyLog}\left (2,-i e^{i (c+d x)}\right )}{8 a d^2}-\frac {9 i f (e+f x)^2 \text {PolyLog}\left (2,i e^{i (c+d x)}\right )}{8 a d^2}+\frac {5 i f^3 \text {PolyLog}\left (2,-i e^{i (c+d x)}\right )}{2 a d^4}-\frac {5 i f^3 \text {PolyLog}\left (2,i e^{i (c+d x)}\right )}{2 a d^4}-\frac {i f^3 \text {PolyLog}\left (2,-e^{2 i (c+d x)}\right )}{2 a d^4}-\frac {9 i f^3 \text {PolyLog}\left (4,-i e^{i (c+d x)}\right )}{4 a d^4}+\frac {9 i f^3 \text {PolyLog}\left (4,i e^{i (c+d x)}\right )}{4 a d^4}+\frac {f^2 (e+f x) \log \left (1+e^{2 i (c+d x)}\right )}{a d^3}-\frac {5 i f^2 (e+f x) \tan ^{-1}\left (e^{i (c+d x)}\right )}{a d^3}-\frac {f^2 (e+f x) \sec ^2(c+d x)}{4 a d^3}+\frac {f^2 (e+f x) \tan (c+d x) \sec (c+d x)}{4 a d^3}+\frac {f (e+f x)^2 \tan (c+d x)}{2 a d^2}-\frac {f (e+f x)^2 \sec ^3(c+d x)}{4 a d^2}-\frac {9 f (e+f x)^2 \sec (c+d x)}{8 a d^2}+\frac {f (e+f x)^2 \tan (c+d x) \sec ^2(c+d x)}{4 a d^2}+\frac {f^3 \tan (c+d x)}{4 a d^4}-\frac {f^3 \sec (c+d x)}{4 a d^4}-\frac {3 i (e+f x)^3 \tan ^{-1}\left (e^{i (c+d x)}\right )}{4 a d}-\frac {(e+f x)^3 \sec ^4(c+d x)}{4 a d}+\frac {(e+f x)^3 \tan (c+d x) \sec ^3(c+d x)}{4 a d}+\frac {3 (e+f x)^3 \tan (c+d x) \sec (c+d x)}{8 a d}-\frac {i f (e+f x)^2}{2 a d^2} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Int[((e + f*x)^3*Sec[c + d*x]^3)/(a + a*Sin[c + d*x]),x]

[Out]

((-I/2)*f*(e + f*x)^2)/(a*d^2) - ((5*I)*f^2*(e + f*x)*ArcTan[E^(I*(c + d*x))])/(a*d^3) - (((3*I)/4)*(e + f*x)^
3*ArcTan[E^(I*(c + d*x))])/(a*d) + (f^2*(e + f*x)*Log[1 + E^((2*I)*(c + d*x))])/(a*d^3) + (((5*I)/2)*f^3*PolyL
og[2, (-I)*E^(I*(c + d*x))])/(a*d^4) + (((9*I)/8)*f*(e + f*x)^2*PolyLog[2, (-I)*E^(I*(c + d*x))])/(a*d^2) - ((
(5*I)/2)*f^3*PolyLog[2, I*E^(I*(c + d*x))])/(a*d^4) - (((9*I)/8)*f*(e + f*x)^2*PolyLog[2, I*E^(I*(c + d*x))])/
(a*d^2) - ((I/2)*f^3*PolyLog[2, -E^((2*I)*(c + d*x))])/(a*d^4) - (9*f^2*(e + f*x)*PolyLog[3, (-I)*E^(I*(c + d*
x))])/(4*a*d^3) + (9*f^2*(e + f*x)*PolyLog[3, I*E^(I*(c + d*x))])/(4*a*d^3) - (((9*I)/4)*f^3*PolyLog[4, (-I)*E
^(I*(c + d*x))])/(a*d^4) + (((9*I)/4)*f^3*PolyLog[4, I*E^(I*(c + d*x))])/(a*d^4) - (f^3*Sec[c + d*x])/(4*a*d^4
) - (9*f*(e + f*x)^2*Sec[c + d*x])/(8*a*d^2) - (f^2*(e + f*x)*Sec[c + d*x]^2)/(4*a*d^3) - (f*(e + f*x)^2*Sec[c
 + d*x]^3)/(4*a*d^2) - ((e + f*x)^3*Sec[c + d*x]^4)/(4*a*d) + (f^3*Tan[c + d*x])/(4*a*d^4) + (f*(e + f*x)^2*Ta
n[c + d*x])/(2*a*d^2) + (f^2*(e + f*x)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(4*a*d^3) + (3*(e + f*x)^3*Sec[c + d*x]*Tan[
c + d*x])/(8*a*d) + (f*(e + f*x)^2*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(4*a*d^2) + ((e + f*x)^3*Sec[c + d*x]^3*Tan[c
+ d*x])/(4*a*d)

Rule 8

Int[a_, x_Symbol] :> Simp[a*x, x] /; FreeQ[a, x]

Rule 2190

Int[(((F_)^((g_.)*((e_.) + (f_.)*(x_))))^(n_.)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.))/((a_) + (b_.)*((F_)^((g_.)*((e_.) +
 (f_.)*(x_))))^(n_.)), x_Symbol] :> Simp[((c + d*x)^m*Log[1 + (b*(F^(g*(e + f*x)))^n)/a])/(b*f*g*n*Log[F]), x]
 - Dist[(d*m)/(b*f*g*n*Log[F]), Int[(c + d*x)^(m - 1)*Log[1 + (b*(F^(g*(e + f*x)))^n)/a], x], x] /; FreeQ[{F,
a, b, c, d, e, f, g, n}, x] && IGtQ[m, 0]

Rule 2279

Int[Log[(a_) + (b_.)*((F_)^((e_.)*((c_.) + (d_.)*(x_))))^(n_.)], x_Symbol] :> Dist[1/(d*e*n*Log[F]), Subst[Int
[Log[a + b*x]/x, x], x, (F^(e*(c + d*x)))^n], x] /; FreeQ[{F, a, b, c, d, e, n}, x] && GtQ[a, 0]

Rule 2282

Int[u_, x_Symbol] :> With[{v = FunctionOfExponential[u, x]}, Dist[v/D[v, x], Subst[Int[FunctionOfExponentialFu
nction[u, x]/x, x], x, v], x]] /; FunctionOfExponentialQ[u, x] &&  !MatchQ[u, (w_)*((a_.)*(v_)^(n_))^(m_) /; F
reeQ[{a, m, n}, x] && IntegerQ[m*n]] &&  !MatchQ[u, E^((c_.)*((a_.) + (b_.)*x))*(F_)[v_] /; FreeQ[{a, b, c}, x
] && InverseFunctionQ[F[x]]]

Rule 2391

Int[Log[(c_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^(n_.))]/(x_), x_Symbol] :> -Simp[PolyLog[2, -(c*e*x^n)]/n, x] /; FreeQ[{c, d,
 e, n}, x] && EqQ[c*d, 1]

Rule 2531

Int[Log[1 + (e_.)*((F_)^((c_.)*((a_.) + (b_.)*(x_))))^(n_.)]*((f_.) + (g_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> -Simp[((
f + g*x)^m*PolyLog[2, -(e*(F^(c*(a + b*x)))^n)])/(b*c*n*Log[F]), x] + Dist[(g*m)/(b*c*n*Log[F]), Int[(f + g*x)
^(m - 1)*PolyLog[2, -(e*(F^(c*(a + b*x)))^n)], x], x] /; FreeQ[{F, a, b, c, e, f, g, n}, x] && GtQ[m, 0]

Rule 3719

Int[((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)], x_Symbol] :> Simp[(I*(c + d*x)^(m + 1))/(d*(m + 1)), x
] - Dist[2*I, Int[((c + d*x)^m*E^(2*I*(e + f*x)))/(1 + E^(2*I*(e + f*x))), x], x] /; FreeQ[{c, d, e, f}, x] &&
 IGtQ[m, 0]

Rule 3767

Int[csc[(c_.) + (d_.)*(x_)]^(n_), x_Symbol] :> -Dist[d^(-1), Subst[Int[ExpandIntegrand[(1 + x^2)^(n/2 - 1), x]
, x], x, Cot[c + d*x]], x] /; FreeQ[{c, d}, x] && IGtQ[n/2, 0]

Rule 4181

Int[csc[(e_.) + Pi*(k_.) + (f_.)*(x_)]*((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Simp[(-2*(c + d*x)^m*ArcTanh[E
^(I*k*Pi)*E^(I*(e + f*x))])/f, x] + (-Dist[(d*m)/f, Int[(c + d*x)^(m - 1)*Log[1 - E^(I*k*Pi)*E^(I*(e + f*x))],
 x], x] + Dist[(d*m)/f, Int[(c + d*x)^(m - 1)*Log[1 + E^(I*k*Pi)*E^(I*(e + f*x))], x], x]) /; FreeQ[{c, d, e,
f}, x] && IntegerQ[2*k] && IGtQ[m, 0]

Rule 4184

Int[csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2*((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> -Simp[((c + d*x)^m*Cot[e + f*x])/f, x]
+ Dist[(d*m)/f, Int[(c + d*x)^(m - 1)*Cot[e + f*x], x], x] /; FreeQ[{c, d, e, f}, x] && GtQ[m, 0]

Rule 4185

Int[(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.))^(n_)*((c_.) + (d_.)*(x_)), x_Symbol] :> -Simp[(b^2*(c + d*x)*Cot[e + f*x]*
(b*Csc[e + f*x])^(n - 2))/(f*(n - 1)), x] + (Dist[(b^2*(n - 2))/(n - 1), Int[(c + d*x)*(b*Csc[e + f*x])^(n - 2
), x], x] - Simp[(b^2*d*(b*Csc[e + f*x])^(n - 2))/(f^2*(n - 1)*(n - 2)), x]) /; FreeQ[{b, c, d, e, f}, x] && G
tQ[n, 1] && NeQ[n, 2]

Rule 4186

Int[(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.))^(n_)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_), x_Symbol] :> -Simp[(b^2*(c + d*x)^m*Cot[e
+ f*x]*(b*Csc[e + f*x])^(n - 2))/(f*(n - 1)), x] + (Dist[(b^2*d^2*m*(m - 1))/(f^2*(n - 1)*(n - 2)), Int[(c + d
*x)^(m - 2)*(b*Csc[e + f*x])^(n - 2), x], x] + Dist[(b^2*(n - 2))/(n - 1), Int[(c + d*x)^m*(b*Csc[e + f*x])^(n
 - 2), x], x] - Simp[(b^2*d*m*(c + d*x)^(m - 1)*(b*Csc[e + f*x])^(n - 2))/(f^2*(n - 1)*(n - 2)), x]) /; FreeQ[
{b, c, d, e, f}, x] && GtQ[n, 1] && NeQ[n, 2] && GtQ[m, 1]

Rule 4409

Int[((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.)*Sec[(a_.) + (b_.)*(x_)]^(n_.)*Tan[(a_.) + (b_.)*(x_)]^(p_.), x_Symbol] :> Simp[
((c + d*x)^m*Sec[a + b*x]^n)/(b*n), x] - Dist[(d*m)/(b*n), Int[(c + d*x)^(m - 1)*Sec[a + b*x]^n, x], x] /; Fre
eQ[{a, b, c, d, n}, x] && EqQ[p, 1] && GtQ[m, 0]

Rule 4531

Int[(((e_.) + (f_.)*(x_))^(m_.)*Sec[(c_.) + (d_.)*(x_)]^(n_.))/((a_) + (b_.)*Sin[(c_.) + (d_.)*(x_)]), x_Symbo
l] :> Dist[1/a, Int[(e + f*x)^m*Sec[c + d*x]^(n + 2), x], x] - Dist[1/b, Int[(e + f*x)^m*Sec[c + d*x]^(n + 1)*
Tan[c + d*x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, n}, x] && IGtQ[m, 0] && EqQ[a^2 - b^2, 0]

Rule 6589

Int[PolyLog[n_, (c_.)*((a_.) + (b_.)*(x_))^(p_.)]/((d_.) + (e_.)*(x_)), x_Symbol] :> Simp[PolyLog[n + 1, c*(a
+ b*x)^p]/(e*p), x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, n, p}, x] && EqQ[b*d, a*e]

Rule 6609

Int[((e_.) + (f_.)*(x_))^(m_.)*PolyLog[n_, (d_.)*((F_)^((c_.)*((a_.) + (b_.)*(x_))))^(p_.)], x_Symbol] :> Simp
[((e + f*x)^m*PolyLog[n + 1, d*(F^(c*(a + b*x)))^p])/(b*c*p*Log[F]), x] - Dist[(f*m)/(b*c*p*Log[F]), Int[(e +
f*x)^(m - 1)*PolyLog[n + 1, d*(F^(c*(a + b*x)))^p], x], x] /; FreeQ[{F, a, b, c, d, e, f, n, p}, x] && GtQ[m,
0]

Rubi steps

\begin {align*} \int \frac {(e+f x)^3 \sec ^3(c+d x)}{a+a \sin (c+d x)} \, dx &=\frac {\int (e+f x)^3 \sec ^5(c+d x) \, dx}{a}-\frac {\int (e+f x)^3 \sec ^4(c+d x) \tan (c+d x) \, dx}{a}\\ &=-\frac {f (e+f x)^2 \sec ^3(c+d x)}{4 a d^2}-\frac {(e+f x)^3 \sec ^4(c+d x)}{4 a d}+\frac {(e+f x)^3 \sec ^3(c+d x) \tan (c+d x)}{4 a d}+\frac {3 \int (e+f x)^3 \sec ^3(c+d x) \, dx}{4 a}+\frac {(3 f) \int (e+f x)^2 \sec ^4(c+d x) \, dx}{4 a d}+\frac {f^2 \int (e+f x) \sec ^3(c+d x) \, dx}{2 a d^2}\\ &=-\frac {f^3 \sec (c+d x)}{4 a d^4}-\frac {9 f (e+f x)^2 \sec (c+d x)}{8 a d^2}-\frac {f^2 (e+f x) \sec ^2(c+d x)}{4 a d^3}-\frac {f (e+f x)^2 \sec ^3(c+d x)}{4 a d^2}-\frac {(e+f x)^3 \sec ^4(c+d x)}{4 a d}+\frac {f^2 (e+f x) \sec (c+d x) \tan (c+d x)}{4 a d^3}+\frac {3 (e+f x)^3 \sec (c+d x) \tan (c+d x)}{8 a d}+\frac {f (e+f x)^2 \sec ^2(c+d x) \tan (c+d x)}{4 a d^2}+\frac {(e+f x)^3 \sec ^3(c+d x) \tan (c+d x)}{4 a d}+\frac {3 \int (e+f x)^3 \sec (c+d x) \, dx}{8 a}+\frac {f \int (e+f x)^2 \sec ^2(c+d x) \, dx}{2 a d}+\frac {f^2 \int (e+f x) \sec (c+d x) \, dx}{4 a d^2}+\frac {\left (9 f^2\right ) \int (e+f x) \sec (c+d x) \, dx}{4 a d^2}+\frac {f^3 \int \sec ^2(c+d x) \, dx}{4 a d^3}\\ &=-\frac {5 i f^2 (e+f x) \tan ^{-1}\left (e^{i (c+d x)}\right )}{a d^3}-\frac {3 i (e+f x)^3 \tan ^{-1}\left (e^{i (c+d x)}\right )}{4 a d}-\frac {f^3 \sec (c+d x)}{4 a d^4}-\frac {9 f (e+f x)^2 \sec (c+d x)}{8 a d^2}-\frac {f^2 (e+f x) \sec ^2(c+d x)}{4 a d^3}-\frac {f (e+f x)^2 \sec ^3(c+d x)}{4 a d^2}-\frac {(e+f x)^3 \sec ^4(c+d x)}{4 a d}+\frac {f (e+f x)^2 \tan (c+d x)}{2 a d^2}+\frac {f^2 (e+f x) \sec (c+d x) \tan (c+d x)}{4 a d^3}+\frac {3 (e+f x)^3 \sec (c+d x) \tan (c+d x)}{8 a d}+\frac {f (e+f x)^2 \sec ^2(c+d x) \tan (c+d x)}{4 a d^2}+\frac {(e+f x)^3 \sec ^3(c+d x) \tan (c+d x)}{4 a d}-\frac {(9 f) \int (e+f x)^2 \log \left (1-i e^{i (c+d x)}\right ) \, dx}{8 a d}+\frac {(9 f) \int (e+f x)^2 \log \left (1+i e^{i (c+d x)}\right ) \, dx}{8 a d}-\frac {f^2 \int (e+f x) \tan (c+d x) \, dx}{a d^2}-\frac {f^3 \operatorname {Subst}(\int 1 \, dx,x,-\tan (c+d x))}{4 a d^4}-\frac {f^3 \int \log \left (1-i e^{i (c+d x)}\right ) \, dx}{4 a d^3}+\frac {f^3 \int \log \left (1+i e^{i (c+d x)}\right ) \, dx}{4 a d^3}-\frac {\left (9 f^3\right ) \int \log \left (1-i e^{i (c+d x)}\right ) \, dx}{4 a d^3}+\frac {\left (9 f^3\right ) \int \log \left (1+i e^{i (c+d x)}\right ) \, dx}{4 a d^3}\\ &=-\frac {i f (e+f x)^2}{2 a d^2}-\frac {5 i f^2 (e+f x) \tan ^{-1}\left (e^{i (c+d x)}\right )}{a d^3}-\frac {3 i (e+f x)^3 \tan ^{-1}\left (e^{i (c+d x)}\right )}{4 a d}+\frac {9 i f (e+f x)^2 \text {Li}_2\left (-i e^{i (c+d x)}\right )}{8 a d^2}-\frac {9 i f (e+f x)^2 \text {Li}_2\left (i e^{i (c+d x)}\right )}{8 a d^2}-\frac {f^3 \sec (c+d x)}{4 a d^4}-\frac {9 f (e+f x)^2 \sec (c+d x)}{8 a d^2}-\frac {f^2 (e+f x) \sec ^2(c+d x)}{4 a d^3}-\frac {f (e+f x)^2 \sec ^3(c+d x)}{4 a d^2}-\frac {(e+f x)^3 \sec ^4(c+d x)}{4 a d}+\frac {f^3 \tan (c+d x)}{4 a d^4}+\frac {f (e+f x)^2 \tan (c+d x)}{2 a d^2}+\frac {f^2 (e+f x) \sec (c+d x) \tan (c+d x)}{4 a d^3}+\frac {3 (e+f x)^3 \sec (c+d x) \tan (c+d x)}{8 a d}+\frac {f (e+f x)^2 \sec ^2(c+d x) \tan (c+d x)}{4 a d^2}+\frac {(e+f x)^3 \sec ^3(c+d x) \tan (c+d x)}{4 a d}+\frac {\left (2 i f^2\right ) \int \frac {e^{2 i (c+d x)} (e+f x)}{1+e^{2 i (c+d x)}} \, dx}{a d^2}-\frac {\left (9 i f^2\right ) \int (e+f x) \text {Li}_2\left (-i e^{i (c+d x)}\right ) \, dx}{4 a d^2}+\frac {\left (9 i f^2\right ) \int (e+f x) \text {Li}_2\left (i e^{i (c+d x)}\right ) \, dx}{4 a d^2}+\frac {\left (i f^3\right ) \operatorname {Subst}\left (\int \frac {\log (1-i x)}{x} \, dx,x,e^{i (c+d x)}\right )}{4 a d^4}-\frac {\left (i f^3\right ) \operatorname {Subst}\left (\int \frac {\log (1+i x)}{x} \, dx,x,e^{i (c+d x)}\right )}{4 a d^4}+\frac {\left (9 i f^3\right ) \operatorname {Subst}\left (\int \frac {\log (1-i x)}{x} \, dx,x,e^{i (c+d x)}\right )}{4 a d^4}-\frac {\left (9 i f^3\right ) \operatorname {Subst}\left (\int \frac {\log (1+i x)}{x} \, dx,x,e^{i (c+d x)}\right )}{4 a d^4}\\ &=-\frac {i f (e+f x)^2}{2 a d^2}-\frac {5 i f^2 (e+f x) \tan ^{-1}\left (e^{i (c+d x)}\right )}{a d^3}-\frac {3 i (e+f x)^3 \tan ^{-1}\left (e^{i (c+d x)}\right )}{4 a d}+\frac {f^2 (e+f x) \log \left (1+e^{2 i (c+d x)}\right )}{a d^3}+\frac {5 i f^3 \text {Li}_2\left (-i e^{i (c+d x)}\right )}{2 a d^4}+\frac {9 i f (e+f x)^2 \text {Li}_2\left (-i e^{i (c+d x)}\right )}{8 a d^2}-\frac {5 i f^3 \text {Li}_2\left (i e^{i (c+d x)}\right )}{2 a d^4}-\frac {9 i f (e+f x)^2 \text {Li}_2\left (i e^{i (c+d x)}\right )}{8 a d^2}-\frac {9 f^2 (e+f x) \text {Li}_3\left (-i e^{i (c+d x)}\right )}{4 a d^3}+\frac {9 f^2 (e+f x) \text {Li}_3\left (i e^{i (c+d x)}\right )}{4 a d^3}-\frac {f^3 \sec (c+d x)}{4 a d^4}-\frac {9 f (e+f x)^2 \sec (c+d x)}{8 a d^2}-\frac {f^2 (e+f x) \sec ^2(c+d x)}{4 a d^3}-\frac {f (e+f x)^2 \sec ^3(c+d x)}{4 a d^2}-\frac {(e+f x)^3 \sec ^4(c+d x)}{4 a d}+\frac {f^3 \tan (c+d x)}{4 a d^4}+\frac {f (e+f x)^2 \tan (c+d x)}{2 a d^2}+\frac {f^2 (e+f x) \sec (c+d x) \tan (c+d x)}{4 a d^3}+\frac {3 (e+f x)^3 \sec (c+d x) \tan (c+d x)}{8 a d}+\frac {f (e+f x)^2 \sec ^2(c+d x) \tan (c+d x)}{4 a d^2}+\frac {(e+f x)^3 \sec ^3(c+d x) \tan (c+d x)}{4 a d}-\frac {f^3 \int \log \left (1+e^{2 i (c+d x)}\right ) \, dx}{a d^3}+\frac {\left (9 f^3\right ) \int \text {Li}_3\left (-i e^{i (c+d x)}\right ) \, dx}{4 a d^3}-\frac {\left (9 f^3\right ) \int \text {Li}_3\left (i e^{i (c+d x)}\right ) \, dx}{4 a d^3}\\ &=-\frac {i f (e+f x)^2}{2 a d^2}-\frac {5 i f^2 (e+f x) \tan ^{-1}\left (e^{i (c+d x)}\right )}{a d^3}-\frac {3 i (e+f x)^3 \tan ^{-1}\left (e^{i (c+d x)}\right )}{4 a d}+\frac {f^2 (e+f x) \log \left (1+e^{2 i (c+d x)}\right )}{a d^3}+\frac {5 i f^3 \text {Li}_2\left (-i e^{i (c+d x)}\right )}{2 a d^4}+\frac {9 i f (e+f x)^2 \text {Li}_2\left (-i e^{i (c+d x)}\right )}{8 a d^2}-\frac {5 i f^3 \text {Li}_2\left (i e^{i (c+d x)}\right )}{2 a d^4}-\frac {9 i f (e+f x)^2 \text {Li}_2\left (i e^{i (c+d x)}\right )}{8 a d^2}-\frac {9 f^2 (e+f x) \text {Li}_3\left (-i e^{i (c+d x)}\right )}{4 a d^3}+\frac {9 f^2 (e+f x) \text {Li}_3\left (i e^{i (c+d x)}\right )}{4 a d^3}-\frac {f^3 \sec (c+d x)}{4 a d^4}-\frac {9 f (e+f x)^2 \sec (c+d x)}{8 a d^2}-\frac {f^2 (e+f x) \sec ^2(c+d x)}{4 a d^3}-\frac {f (e+f x)^2 \sec ^3(c+d x)}{4 a d^2}-\frac {(e+f x)^3 \sec ^4(c+d x)}{4 a d}+\frac {f^3 \tan (c+d x)}{4 a d^4}+\frac {f (e+f x)^2 \tan (c+d x)}{2 a d^2}+\frac {f^2 (e+f x) \sec (c+d x) \tan (c+d x)}{4 a d^3}+\frac {3 (e+f x)^3 \sec (c+d x) \tan (c+d x)}{8 a d}+\frac {f (e+f x)^2 \sec ^2(c+d x) \tan (c+d x)}{4 a d^2}+\frac {(e+f x)^3 \sec ^3(c+d x) \tan (c+d x)}{4 a d}+\frac {\left (i f^3\right ) \operatorname {Subst}\left (\int \frac {\log (1+x)}{x} \, dx,x,e^{2 i (c+d x)}\right )}{2 a d^4}-\frac {\left (9 i f^3\right ) \operatorname {Subst}\left (\int \frac {\text {Li}_3(-i x)}{x} \, dx,x,e^{i (c+d x)}\right )}{4 a d^4}+\frac {\left (9 i f^3\right ) \operatorname {Subst}\left (\int \frac {\text {Li}_3(i x)}{x} \, dx,x,e^{i (c+d x)}\right )}{4 a d^4}\\ &=-\frac {i f (e+f x)^2}{2 a d^2}-\frac {5 i f^2 (e+f x) \tan ^{-1}\left (e^{i (c+d x)}\right )}{a d^3}-\frac {3 i (e+f x)^3 \tan ^{-1}\left (e^{i (c+d x)}\right )}{4 a d}+\frac {f^2 (e+f x) \log \left (1+e^{2 i (c+d x)}\right )}{a d^3}+\frac {5 i f^3 \text {Li}_2\left (-i e^{i (c+d x)}\right )}{2 a d^4}+\frac {9 i f (e+f x)^2 \text {Li}_2\left (-i e^{i (c+d x)}\right )}{8 a d^2}-\frac {5 i f^3 \text {Li}_2\left (i e^{i (c+d x)}\right )}{2 a d^4}-\frac {9 i f (e+f x)^2 \text {Li}_2\left (i e^{i (c+d x)}\right )}{8 a d^2}-\frac {i f^3 \text {Li}_2\left (-e^{2 i (c+d x)}\right )}{2 a d^4}-\frac {9 f^2 (e+f x) \text {Li}_3\left (-i e^{i (c+d x)}\right )}{4 a d^3}+\frac {9 f^2 (e+f x) \text {Li}_3\left (i e^{i (c+d x)}\right )}{4 a d^3}-\frac {9 i f^3 \text {Li}_4\left (-i e^{i (c+d x)}\right )}{4 a d^4}+\frac {9 i f^3 \text {Li}_4\left (i e^{i (c+d x)}\right )}{4 a d^4}-\frac {f^3 \sec (c+d x)}{4 a d^4}-\frac {9 f (e+f x)^2 \sec (c+d x)}{8 a d^2}-\frac {f^2 (e+f x) \sec ^2(c+d x)}{4 a d^3}-\frac {f (e+f x)^2 \sec ^3(c+d x)}{4 a d^2}-\frac {(e+f x)^3 \sec ^4(c+d x)}{4 a d}+\frac {f^3 \tan (c+d x)}{4 a d^4}+\frac {f (e+f x)^2 \tan (c+d x)}{2 a d^2}+\frac {f^2 (e+f x) \sec (c+d x) \tan (c+d x)}{4 a d^3}+\frac {3 (e+f x)^3 \sec (c+d x) \tan (c+d x)}{8 a d}+\frac {f (e+f x)^2 \sec ^2(c+d x) \tan (c+d x)}{4 a d^2}+\frac {(e+f x)^3 \sec ^3(c+d x) \tan (c+d x)}{4 a d}\\ \end {align*}

________________________________________________________________________________________

Mathematica [B]  time = 10.36, size = 1901, normalized size = 2.72 \[ \text {result too large to display} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Integrate[((e + f*x)^3*Sec[c + d*x]^3)/(a + a*Sin[c + d*x]),x]

[Out]

(-3*(4*d^2*e^3*x + 16*e*f^2*x + 6*d^2*e^2*f*x^2 + 8*f^3*x^2 + 4*d^2*e*f^2*x^3 + d^2*f^3*x^4 + (4*e*(d^2*e^2 +
4*f^2)*((-I)*d*x + Log[-Cos[c + d*x] - I*(-1 + Sin[c + d*x])])*(Cos[c] + I*(-1 + Sin[c])))/d + (4*f*(3*d^2*e^2
 + 4*f^2)*x*Log[1 - I*Cos[c + d*x] - Sin[c + d*x]]*(Cos[c] + I*(-1 + Sin[c])))/d + 12*d*e*f^2*x^2*Log[1 - I*Co
s[c + d*x] - Sin[c + d*x]]*(Cos[c] + I*(-1 + Sin[c])) + 4*d*f^3*x^3*Log[1 - I*Cos[c + d*x] - Sin[c + d*x]]*(Co
s[c] + I*(-1 + Sin[c])) + (24*e*f^2*(I*d*x*PolyLog[2, I*Cos[c + d*x] + Sin[c + d*x]] + PolyLog[3, I*Cos[c + d*
x] + Sin[c + d*x]])*(Cos[c] + I*(-1 + Sin[c])))/d + (12*f^3*(I*d^2*x^2*PolyLog[2, I*Cos[c + d*x] + Sin[c + d*x
]] + 2*d*x*PolyLog[3, I*Cos[c + d*x] + Sin[c + d*x]] - (2*I)*PolyLog[4, I*Cos[c + d*x] + Sin[c + d*x]])*(Cos[c
] + I*(-1 + Sin[c])))/d^2 + (4*f*(3*d^2*e^2 + 4*f^2)*PolyLog[2, I*Cos[c + d*x] + Sin[c + d*x]]*(1 + I*Cos[c] -
 Sin[c]))/d^2))/(32*a*d^2*(Cos[c] + I*(-1 + Sin[c]))) - ((28*f^2 + 3*d^2*(e + f*x)^2)^2/f + 12*f*(9*d^2*e^2 +
28*f^2)*PolyLog[2, (-I)*Cos[c + d*x] - Sin[c + d*x]]*(1 - I*Cos[c] + Sin[c]) + 216*d*e*f^2*(d*x*PolyLog[2, (-I
)*Cos[c + d*x] - Sin[c + d*x]] - I*PolyLog[3, (-I)*Cos[c + d*x] - Sin[c + d*x]])*(1 - I*Cos[c] + Sin[c]) + 108
*f^3*(d^2*x^2*PolyLog[2, (-I)*Cos[c + d*x] - Sin[c + d*x]] - (2*I)*d*x*PolyLog[3, (-I)*Cos[c + d*x] - Sin[c +
d*x]] - 2*PolyLog[4, (-I)*Cos[c + d*x] - Sin[c + d*x]])*(1 - I*Cos[c] + Sin[c]) - 12*d*f*(9*d^2*e^2 + 28*f^2)*
x*Log[1 + I*Cos[c + d*x] + Sin[c + d*x]]*(Cos[c] + I*(1 + Sin[c])) - 108*d^3*e*f^2*x^2*Log[1 + I*Cos[c + d*x]
+ Sin[c + d*x]]*(Cos[c] + I*(1 + Sin[c])) - 36*d^3*f^3*x^3*Log[1 + I*Cos[c + d*x] + Sin[c + d*x]]*(Cos[c] + I*
(1 + Sin[c])) + (12*I)*d*e*(3*d^2*e^2 + 28*f^2)*(d*x + I*Log[Cos[c + d*x] + I*(1 + Sin[c + d*x])])*(Cos[c] + I
*(1 + Sin[c])))/(96*a*d^4*(Cos[c] + I*(1 + Sin[c]))) + ((3*e^3*x*Cos[c])/(4*a) + (((3*I)/4)*e^3*x*Sin[c])/a)/(
1 + Cos[2*c] + I*Sin[2*c]) + ((9*e^2*f*x^2*Cos[c])/(8*a) + (((9*I)/8)*e^2*f*x^2*Sin[c])/a)/(1 + Cos[2*c] + I*S
in[2*c]) + ((3*e*f^2*x^3*Cos[c])/(4*a) + (((3*I)/4)*e*f^2*x^3*Sin[c])/a)/(1 + Cos[2*c] + I*Sin[2*c]) + ((3*f^3
*x^4*Cos[c])/(16*a) + (((3*I)/16)*f^3*x^4*Sin[c])/a)/(1 + Cos[2*c] + I*Sin[2*c]) + (e^3 + 3*e^2*f*x + 3*e*f^2*
x^2 + f^3*x^3)/(8*a*d*(Cos[c/2 + (d*x)/2] - Sin[c/2 + (d*x)/2])^2) - (3*(e^2*f*Sin[(d*x)/2] + 2*e*f^2*x*Sin[(d
*x)/2] + f^3*x^2*Sin[(d*x)/2]))/(4*a*d^2*(Cos[c/2] - Sin[c/2])*(Cos[c/2 + (d*x)/2] - Sin[c/2 + (d*x)/2])) + (-
e^3 - 3*e^2*f*x - 3*e*f^2*x^2 - f^3*x^3)/(8*a*d*(Cos[c/2 + (d*x)/2] + Sin[c/2 + (d*x)/2])^4) + (e^2*f*Sin[(d*x
)/2] + 2*e*f^2*x*Sin[(d*x)/2] + f^3*x^2*Sin[(d*x)/2])/(4*a*d^2*(Cos[c/2] + Sin[c/2])*(Cos[c/2 + (d*x)/2] + Sin
[c/2 + (d*x)/2])^3) + (-2*d^2*e^3*Cos[c/2] - d*e^2*f*Cos[c/2] - 2*e*f^2*Cos[c/2] - 6*d^2*e^2*f*x*Cos[c/2] - 2*
d*e*f^2*x*Cos[c/2] - 2*f^3*x*Cos[c/2] - 6*d^2*e*f^2*x^2*Cos[c/2] - d*f^3*x^2*Cos[c/2] - 2*d^2*f^3*x^3*Cos[c/2]
 - 2*d^2*e^3*Sin[c/2] + d*e^2*f*Sin[c/2] - 2*e*f^2*Sin[c/2] - 6*d^2*e^2*f*x*Sin[c/2] + 2*d*e*f^2*x*Sin[c/2] -
2*f^3*x*Sin[c/2] - 6*d^2*e*f^2*x^2*Sin[c/2] + d*f^3*x^2*Sin[c/2] - 2*d^2*f^3*x^3*Sin[c/2])/(8*a*d^3*(Cos[c/2]
+ Sin[c/2])*(Cos[c/2 + (d*x)/2] + Sin[c/2 + (d*x)/2])^2) + (7*d^2*e^2*f*Sin[(d*x)/2] + 2*f^3*Sin[(d*x)/2] + 14
*d^2*e*f^2*x*Sin[(d*x)/2] + 7*d^2*f^3*x^2*Sin[(d*x)/2])/(4*a*d^4*(Cos[c/2] + Sin[c/2])*(Cos[c/2 + (d*x)/2] + S
in[c/2 + (d*x)/2]))

________________________________________________________________________________________

fricas [C]  time = 0.82, size = 2566, normalized size = 3.68 \[ \text {result too large to display} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((f*x+e)^3*sec(d*x+c)^3/(a+a*sin(d*x+c)),x, algorithm="fricas")

[Out]

1/16*(2*d^3*f^3*x^3 + 6*d^3*e*f^2*x^2 + 6*d^3*e^2*f*x + 2*d^3*e^3 - 4*(2*d^2*f^3*x^2 + 4*d^2*e*f^2*x + 2*d^2*e
^2*f + f^3)*cos(d*x + c)^3 - 2*(3*d^3*f^3*x^3 + 9*d^3*e*f^2*x^2 + 3*d^3*e^3 + 2*d*e*f^2 + (9*d^3*e^2*f + 2*d*f
^3)*x)*cos(d*x + c)^2 - 14*(d^2*f^3*x^2 + 2*d^2*e*f^2*x + d^2*e^2*f)*cos(d*x + c) + ((-9*I*d^2*f^3*x^2 - 18*I*
d^2*e*f^2*x - 9*I*d^2*e^2*f - 12*I*f^3)*cos(d*x + c)^2*sin(d*x + c) + (-9*I*d^2*f^3*x^2 - 18*I*d^2*e*f^2*x - 9
*I*d^2*e^2*f - 12*I*f^3)*cos(d*x + c)^2)*dilog(I*cos(d*x + c) + sin(d*x + c)) + ((-9*I*d^2*f^3*x^2 - 18*I*d^2*
e*f^2*x - 9*I*d^2*e^2*f - 28*I*f^3)*cos(d*x + c)^2*sin(d*x + c) + (-9*I*d^2*f^3*x^2 - 18*I*d^2*e*f^2*x - 9*I*d
^2*e^2*f - 28*I*f^3)*cos(d*x + c)^2)*dilog(I*cos(d*x + c) - sin(d*x + c)) + ((9*I*d^2*f^3*x^2 + 18*I*d^2*e*f^2
*x + 9*I*d^2*e^2*f + 12*I*f^3)*cos(d*x + c)^2*sin(d*x + c) + (9*I*d^2*f^3*x^2 + 18*I*d^2*e*f^2*x + 9*I*d^2*e^2
*f + 12*I*f^3)*cos(d*x + c)^2)*dilog(-I*cos(d*x + c) + sin(d*x + c)) + ((9*I*d^2*f^3*x^2 + 18*I*d^2*e*f^2*x +
9*I*d^2*e^2*f + 28*I*f^3)*cos(d*x + c)^2*sin(d*x + c) + (9*I*d^2*f^3*x^2 + 18*I*d^2*e*f^2*x + 9*I*d^2*e^2*f +
28*I*f^3)*cos(d*x + c)^2)*dilog(-I*cos(d*x + c) - sin(d*x + c)) + ((3*d^3*e^3 - 9*c*d^2*e^2*f + (9*c^2 + 28)*d
*e*f^2 - (3*c^3 + 28*c)*f^3)*cos(d*x + c)^2*sin(d*x + c) + (3*d^3*e^3 - 9*c*d^2*e^2*f + (9*c^2 + 28)*d*e*f^2 -
 (3*c^3 + 28*c)*f^3)*cos(d*x + c)^2)*log(cos(d*x + c) + I*sin(d*x + c) + I) - 3*((d^3*e^3 - 3*c*d^2*e^2*f + (3
*c^2 + 4)*d*e*f^2 - (c^3 + 4*c)*f^3)*cos(d*x + c)^2*sin(d*x + c) + (d^3*e^3 - 3*c*d^2*e^2*f + (3*c^2 + 4)*d*e*
f^2 - (c^3 + 4*c)*f^3)*cos(d*x + c)^2)*log(cos(d*x + c) - I*sin(d*x + c) + I) + ((3*d^3*f^3*x^3 + 9*d^3*e*f^2*
x^2 + 9*c*d^2*e^2*f - 9*c^2*d*e*f^2 + (3*c^3 + 28*c)*f^3 + (9*d^3*e^2*f + 28*d*f^3)*x)*cos(d*x + c)^2*sin(d*x
+ c) + (3*d^3*f^3*x^3 + 9*d^3*e*f^2*x^2 + 9*c*d^2*e^2*f - 9*c^2*d*e*f^2 + (3*c^3 + 28*c)*f^3 + (9*d^3*e^2*f +
28*d*f^3)*x)*cos(d*x + c)^2)*log(I*cos(d*x + c) + sin(d*x + c) + 1) - 3*((d^3*f^3*x^3 + 3*d^3*e*f^2*x^2 + 3*c*
d^2*e^2*f - 3*c^2*d*e*f^2 + (c^3 + 4*c)*f^3 + (3*d^3*e^2*f + 4*d*f^3)*x)*cos(d*x + c)^2*sin(d*x + c) + (d^3*f^
3*x^3 + 3*d^3*e*f^2*x^2 + 3*c*d^2*e^2*f - 3*c^2*d*e*f^2 + (c^3 + 4*c)*f^3 + (3*d^3*e^2*f + 4*d*f^3)*x)*cos(d*x
 + c)^2)*log(I*cos(d*x + c) - sin(d*x + c) + 1) + ((3*d^3*f^3*x^3 + 9*d^3*e*f^2*x^2 + 9*c*d^2*e^2*f - 9*c^2*d*
e*f^2 + (3*c^3 + 28*c)*f^3 + (9*d^3*e^2*f + 28*d*f^3)*x)*cos(d*x + c)^2*sin(d*x + c) + (3*d^3*f^3*x^3 + 9*d^3*
e*f^2*x^2 + 9*c*d^2*e^2*f - 9*c^2*d*e*f^2 + (3*c^3 + 28*c)*f^3 + (9*d^3*e^2*f + 28*d*f^3)*x)*cos(d*x + c)^2)*l
og(-I*cos(d*x + c) + sin(d*x + c) + 1) - 3*((d^3*f^3*x^3 + 3*d^3*e*f^2*x^2 + 3*c*d^2*e^2*f - 3*c^2*d*e*f^2 + (
c^3 + 4*c)*f^3 + (3*d^3*e^2*f + 4*d*f^3)*x)*cos(d*x + c)^2*sin(d*x + c) + (d^3*f^3*x^3 + 3*d^3*e*f^2*x^2 + 3*c
*d^2*e^2*f - 3*c^2*d*e*f^2 + (c^3 + 4*c)*f^3 + (3*d^3*e^2*f + 4*d*f^3)*x)*cos(d*x + c)^2)*log(-I*cos(d*x + c)
- sin(d*x + c) + 1) + ((3*d^3*e^3 - 9*c*d^2*e^2*f + (9*c^2 + 28)*d*e*f^2 - (3*c^3 + 28*c)*f^3)*cos(d*x + c)^2*
sin(d*x + c) + (3*d^3*e^3 - 9*c*d^2*e^2*f + (9*c^2 + 28)*d*e*f^2 - (3*c^3 + 28*c)*f^3)*cos(d*x + c)^2)*log(-co
s(d*x + c) + I*sin(d*x + c) + I) - 3*((d^3*e^3 - 3*c*d^2*e^2*f + (3*c^2 + 4)*d*e*f^2 - (c^3 + 4*c)*f^3)*cos(d*
x + c)^2*sin(d*x + c) + (d^3*e^3 - 3*c*d^2*e^2*f + (3*c^2 + 4)*d*e*f^2 - (c^3 + 4*c)*f^3)*cos(d*x + c)^2)*log(
-cos(d*x + c) - I*sin(d*x + c) + I) + (18*I*f^3*cos(d*x + c)^2*sin(d*x + c) + 18*I*f^3*cos(d*x + c)^2)*polylog
(4, I*cos(d*x + c) + sin(d*x + c)) + (18*I*f^3*cos(d*x + c)^2*sin(d*x + c) + 18*I*f^3*cos(d*x + c)^2)*polylog(
4, I*cos(d*x + c) - sin(d*x + c)) + (-18*I*f^3*cos(d*x + c)^2*sin(d*x + c) - 18*I*f^3*cos(d*x + c)^2)*polylog(
4, -I*cos(d*x + c) + sin(d*x + c)) + (-18*I*f^3*cos(d*x + c)^2*sin(d*x + c) - 18*I*f^3*cos(d*x + c)^2)*polylog
(4, -I*cos(d*x + c) - sin(d*x + c)) - 18*((d*f^3*x + d*e*f^2)*cos(d*x + c)^2*sin(d*x + c) + (d*f^3*x + d*e*f^2
)*cos(d*x + c)^2)*polylog(3, I*cos(d*x + c) + sin(d*x + c)) + 18*((d*f^3*x + d*e*f^2)*cos(d*x + c)^2*sin(d*x +
 c) + (d*f^3*x + d*e*f^2)*cos(d*x + c)^2)*polylog(3, I*cos(d*x + c) - sin(d*x + c)) - 18*((d*f^3*x + d*e*f^2)*
cos(d*x + c)^2*sin(d*x + c) + (d*f^3*x + d*e*f^2)*cos(d*x + c)^2)*polylog(3, -I*cos(d*x + c) + sin(d*x + c)) +
 18*((d*f^3*x + d*e*f^2)*cos(d*x + c)^2*sin(d*x + c) + (d*f^3*x + d*e*f^2)*cos(d*x + c)^2)*polylog(3, -I*cos(d
*x + c) - sin(d*x + c)) + 2*(3*d^3*f^3*x^3 + 9*d^3*e*f^2*x^2 + 9*d^3*e^2*f*x + 3*d^3*e^3 - 5*(d^2*f^3*x^2 + 2*
d^2*e*f^2*x + d^2*e^2*f)*cos(d*x + c))*sin(d*x + c))/(a*d^4*cos(d*x + c)^2*sin(d*x + c) + a*d^4*cos(d*x + c)^2
)

________________________________________________________________________________________

giac [F]  time = 0.00, size = 0, normalized size = 0.00 \[ \int \frac {{\left (f x + e\right )}^{3} \sec \left (d x + c\right )^{3}}{a \sin \left (d x + c\right ) + a}\,{d x} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((f*x+e)^3*sec(d*x+c)^3/(a+a*sin(d*x+c)),x, algorithm="giac")

[Out]

integrate((f*x + e)^3*sec(d*x + c)^3/(a*sin(d*x + c) + a), x)

________________________________________________________________________________________

maple [B]  time = 0.65, size = 2161, normalized size = 3.10 \[ \text {result too large to display} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int((f*x+e)^3*sec(d*x+c)^3/(a+a*sin(d*x+c)),x)

[Out]

9/4*I/a/d^2*polylog(2,-I*exp(I*(d*x+c)))*e*f^2*x-9/4*I/a/d^2*polylog(2,I*exp(I*(d*x+c)))*e*f^2*x-3/2/a/d^3*f^3
*ln(1+I*exp(I*(d*x+c)))*x-3/2/a/d^4*f^3*ln(1+I*exp(I*(d*x+c)))*c-3/2/a/d^3*e*f^2*ln(exp(I*(d*x+c))-I)+9/8/a/d^
3*ln(1+I*exp(I*(d*x+c)))*c^2*e*f^2-9/8/a/d*ln(1+I*exp(I*(d*x+c)))*e*f^2*x^2-1/4*I*(-4*I*f^3*exp(3*I*(d*x+c))+2
*d^3*e^3*exp(3*I*(d*x+c))-2*I*f^3*exp(5*I*(d*x+c))+3*d^3*e^3*exp(I*(d*x+c))-2*I*f^3*exp(I*(d*x+c))+2*f^3+4*d^2
*e^2*f+3*d^3*e^3*exp(5*I*(d*x+c))+4*d^2*f^3*x^2+2*f^3*exp(4*I*(d*x+c))+2*I*d^2*e*f^2*x*exp(I*(d*x+c))-18*I*d^3
*e*f^2*x^2*exp(2*I*(d*x+c))-18*I*d^3*e^2*f*x*exp(2*I*(d*x+c))+4*f^3*exp(2*I*(d*x+c))+I*d^2*f^3*x^2*exp(I*(d*x+
c))+I*d^2*e^2*f*exp(I*(d*x+c))+9*d^3*e*f^2*x^2*exp(I*(d*x+c))+9*d^3*e^2*f*x*exp(I*(d*x+c))+8*d^2*e*f^2*x+36*d^
2*e*f^2*x*exp(4*I*(d*x+c))-6*I*d^3*f^3*x^3*exp(2*I*(d*x+c))-8*I*d^2*f^3*x^2*exp(3*I*(d*x+c))-8*I*d^2*e^2*f*exp
(3*I*(d*x+c))+6*I*d^3*f^3*x^3*exp(4*I*(d*x+c))-16*I*d^2*e*f^2*x*exp(3*I*(d*x+c))+18*I*d^3*e*f^2*x^2*exp(4*I*(d
*x+c))+18*I*d^3*e^2*f*x*exp(4*I*(d*x+c))-18*I*d^2*e*f^2*x*exp(5*I*(d*x+c))+9*d^3*e*f^2*x^2*exp(5*I*(d*x+c))+22
*d^2*e^2*f*exp(2*I*(d*x+c))+22*d^2*f^3*x^2*exp(2*I*(d*x+c))+4*d*f^3*x*exp(3*I*(d*x+c))+4*d*e*f^2*exp(3*I*(d*x+
c))+6*I*d^3*e^3*exp(4*I*(d*x+c))-6*I*d^3*e^3*exp(2*I*(d*x+c))+3*d^3*f^3*x^3*exp(5*I*(d*x+c))+2*d*f^3*x*exp(5*I
*(d*x+c))+2*d*e*f^2*exp(5*I*(d*x+c))+18*d^2*e^2*f*exp(4*I*(d*x+c))+18*d^2*f^3*x^2*exp(4*I*(d*x+c))+2*d^3*f^3*x
^3*exp(3*I*(d*x+c))-9*I*d^2*f^3*x^2*exp(5*I*(d*x+c))-9*I*d^2*e^2*f*exp(5*I*(d*x+c))+3*d^3*f^3*x^3*exp(I*(d*x+c
))+2*d*f^3*x*exp(I*(d*x+c))+2*d*e*f^2*exp(I*(d*x+c))+9*d^3*e^2*f*x*exp(5*I*(d*x+c))+6*d^3*e*f^2*x^2*exp(3*I*(d
*x+c))+6*d^3*e^2*f*x*exp(3*I*(d*x+c))+44*d^2*e*f^2*x*exp(2*I*(d*x+c)))/(exp(I*(d*x+c))+I)^4/d^4/(exp(I*(d*x+c)
)-I)^2/a+3/2/a/d^4*f^3*c*ln(exp(I*(d*x+c))-I)-I/a/d^2*f^3*x^2-I/a/d^4*c^2*f^3+3/2*I/a/d^4*f^3*polylog(2,-I*exp
(I*(d*x+c)))-7/2*I/a/d^4*f^3*polylog(2,I*exp(I*(d*x+c)))+3/8/d/a*f^3*ln(1-I*exp(I*(d*x+c)))*x^3-9/8/d^3/a*e*f^
2*c^2*ln(1-I*exp(I*(d*x+c)))-9/8/d^2/a*e^2*f*c*ln(exp(I*(d*x+c))+I)+9/8/d^3/a*e*f^2*c^2*ln(exp(I*(d*x+c))+I)+9
/8/d/a*e^2*f*ln(1-I*exp(I*(d*x+c)))*x+9/8/d^2/a*e^2*f*ln(1-I*exp(I*(d*x+c)))*c+3/8/d/a*ln(exp(I*(d*x+c))+I)*e^
3+9/8/d/a*e*f^2*ln(1-I*exp(I*(d*x+c)))*x^2+9/8/a/d^2*e^2*f*c*ln(exp(I*(d*x+c))-I)-9/8/a/d*ln(1+I*exp(I*(d*x+c)
))*e^2*f*x-9/8/a/d^2*ln(1+I*exp(I*(d*x+c)))*c*e^2*f-3/8/a/d*e^3*ln(exp(I*(d*x+c))-I)+3/8/d^4/a*f^3*c^3*ln(1-I*
exp(I*(d*x+c)))+9/4/d^3/a*f^3*polylog(3,I*exp(I*(d*x+c)))*x-3/8/d^4/a*f^3*c^3*ln(exp(I*(d*x+c))+I)+9/4/d^3/a*e
*f^2*polylog(3,I*exp(I*(d*x+c)))-9/8/a/d^3*e*f^2*c^2*ln(exp(I*(d*x+c))-I)-3/8/a/d*f^3*ln(1+I*exp(I*(d*x+c)))*x
^3-3/8/a/d^4*f^3*ln(1+I*exp(I*(d*x+c)))*c^3-9/4/a/d^3*f^3*polylog(3,-I*exp(I*(d*x+c)))*x+9/4*I*f^3*polylog(4,I
*exp(I*(d*x+c)))/a/d^4-9/4*I*f^3*polylog(4,-I*exp(I*(d*x+c)))/a/d^4+9/8*I/a/d^2*e^2*f*polylog(2,-I*exp(I*(d*x+
c)))-9/8*I/a/d^2*e^2*f*polylog(2,I*exp(I*(d*x+c)))-2*I/a/d^3*f^3*c*x-9/8*I/a/d^2*f^3*polylog(2,I*exp(I*(d*x+c)
))*x^2+9/8*I/a/d^2*f^3*polylog(2,-I*exp(I*(d*x+c)))*x^2-2/a/d^3*e*f^2*ln(exp(I*(d*x+c)))+7/2/a/d^3*e*f^2*ln(ex
p(I*(d*x+c))+I)-9/4/a/d^3*e*f^2*polylog(3,-I*exp(I*(d*x+c)))+2/a/d^4*f^3*c*ln(exp(I*(d*x+c)))-7/2/a/d^4*f^3*c*
ln(exp(I*(d*x+c))+I)+3/8/a/d^4*f^3*c^3*ln(exp(I*(d*x+c))-I)+7/2/a/d^3*f^3*ln(1-I*exp(I*(d*x+c)))*x+7/2/a/d^4*f
^3*ln(1-I*exp(I*(d*x+c)))*c

________________________________________________________________________________________

maxima [B]  time = 79.66, size = 10800, normalized size = 15.47 \[ \text {result too large to display} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((f*x+e)^3*sec(d*x+c)^3/(a+a*sin(d*x+c)),x, algorithm="maxima")

[Out]

1/16*(3*c*e^2*f*(2*(3*sin(d*x + c)^2 + 3*sin(d*x + c) - 2)/(a*d*sin(d*x + c)^3 + a*d*sin(d*x + c)^2 - a*d*sin(
d*x + c) - a*d) - 3*log(sin(d*x + c) + 1)/(a*d) + 3*log(sin(d*x + c) - 1)/(a*d)) - e^3*(2*(3*sin(d*x + c)^2 +
3*sin(d*x + c) - 2)/(a*sin(d*x + c)^3 + a*sin(d*x + c)^2 - a*sin(d*x + c) - a) - 3*log(sin(d*x + c) + 1)/a + 3
*log(sin(d*x + c) - 1)/a) - 16*(16*d^2*e^2*f - 32*c*d*e*f^2 + 8*(2*c^2 + 1)*f^3 + (2*(9*c^2 + 28)*d*e*f^2 - 2*
(3*c^3 + 28*c)*f^3 - 2*((9*c^2 + 28)*d*e*f^2 - (3*c^3 + 28*c)*f^3)*cos(6*d*x + 6*c) - ((36*I*c^2 + 112*I)*d*e*
f^2 + (-12*I*c^3 - 112*I*c)*f^3)*cos(5*d*x + 5*c) - 2*((9*c^2 + 28)*d*e*f^2 - (3*c^3 + 28*c)*f^3)*cos(4*d*x +
4*c) - ((72*I*c^2 + 224*I)*d*e*f^2 + (-24*I*c^3 - 224*I*c)*f^3)*cos(3*d*x + 3*c) + 2*((9*c^2 + 28)*d*e*f^2 - (
3*c^3 + 28*c)*f^3)*cos(2*d*x + 2*c) - ((36*I*c^2 + 112*I)*d*e*f^2 + (-12*I*c^3 - 112*I*c)*f^3)*cos(d*x + c) -
((18*I*c^2 + 56*I)*d*e*f^2 + (-6*I*c^3 - 56*I*c)*f^3)*sin(6*d*x + 6*c) + 4*((9*c^2 + 28)*d*e*f^2 - (3*c^3 + 28
*c)*f^3)*sin(5*d*x + 5*c) - ((18*I*c^2 + 56*I)*d*e*f^2 + (-6*I*c^3 - 56*I*c)*f^3)*sin(4*d*x + 4*c) + 8*((9*c^2
 + 28)*d*e*f^2 - (3*c^3 + 28*c)*f^3)*sin(3*d*x + 3*c) - ((-18*I*c^2 - 56*I)*d*e*f^2 + (6*I*c^3 + 56*I*c)*f^3)*
sin(2*d*x + 2*c) + 4*((9*c^2 + 28)*d*e*f^2 - (3*c^3 + 28*c)*f^3)*sin(d*x + c))*arctan2(sin(d*x + c) + 1, cos(d
*x + c)) - (6*(3*c^2 + 4)*d*e*f^2 - 6*(c^3 + 4*c)*f^3 - 6*((3*c^2 + 4)*d*e*f^2 - (c^3 + 4*c)*f^3)*cos(6*d*x +
6*c) + ((-36*I*c^2 - 48*I)*d*e*f^2 + (12*I*c^3 + 48*I*c)*f^3)*cos(5*d*x + 5*c) - 6*((3*c^2 + 4)*d*e*f^2 - (c^3
 + 4*c)*f^3)*cos(4*d*x + 4*c) + ((-72*I*c^2 - 96*I)*d*e*f^2 + (24*I*c^3 + 96*I*c)*f^3)*cos(3*d*x + 3*c) + 6*((
3*c^2 + 4)*d*e*f^2 - (c^3 + 4*c)*f^3)*cos(2*d*x + 2*c) + ((-36*I*c^2 - 48*I)*d*e*f^2 + (12*I*c^3 + 48*I*c)*f^3
)*cos(d*x + c) + ((-18*I*c^2 - 24*I)*d*e*f^2 + (6*I*c^3 + 24*I*c)*f^3)*sin(6*d*x + 6*c) + 12*((3*c^2 + 4)*d*e*
f^2 - (c^3 + 4*c)*f^3)*sin(5*d*x + 5*c) + ((-18*I*c^2 - 24*I)*d*e*f^2 + (6*I*c^3 + 24*I*c)*f^3)*sin(4*d*x + 4*
c) + 24*((3*c^2 + 4)*d*e*f^2 - (c^3 + 4*c)*f^3)*sin(3*d*x + 3*c) + ((18*I*c^2 + 24*I)*d*e*f^2 + (-6*I*c^3 - 24
*I*c)*f^3)*sin(2*d*x + 2*c) + 12*((3*c^2 + 4)*d*e*f^2 - (c^3 + 4*c)*f^3)*sin(d*x + c))*arctan2(sin(d*x + c) -
1, cos(d*x + c)) - (6*(d*x + c)^3*f^3 + 18*(d*e*f^2 - c*f^3)*(d*x + c)^2 + 2*(9*d^2*e^2*f - 18*c*d*e*f^2 + (9*
c^2 + 28)*f^3)*(d*x + c) - 2*(3*(d*x + c)^3*f^3 + 9*(d*e*f^2 - c*f^3)*(d*x + c)^2 + (9*d^2*e^2*f - 18*c*d*e*f^
2 + (9*c^2 + 28)*f^3)*(d*x + c))*cos(6*d*x + 6*c) + (-12*I*(d*x + c)^3*f^3 + (-36*I*d*e*f^2 + 36*I*c*f^3)*(d*x
 + c)^2 + (-36*I*d^2*e^2*f + 72*I*c*d*e*f^2 + (-36*I*c^2 - 112*I)*f^3)*(d*x + c))*cos(5*d*x + 5*c) - 2*(3*(d*x
 + c)^3*f^3 + 9*(d*e*f^2 - c*f^3)*(d*x + c)^2 + (9*d^2*e^2*f - 18*c*d*e*f^2 + (9*c^2 + 28)*f^3)*(d*x + c))*cos
(4*d*x + 4*c) + (-24*I*(d*x + c)^3*f^3 + (-72*I*d*e*f^2 + 72*I*c*f^3)*(d*x + c)^2 + (-72*I*d^2*e^2*f + 144*I*c
*d*e*f^2 + (-72*I*c^2 - 224*I)*f^3)*(d*x + c))*cos(3*d*x + 3*c) + 2*(3*(d*x + c)^3*f^3 + 9*(d*e*f^2 - c*f^3)*(
d*x + c)^2 + (9*d^2*e^2*f - 18*c*d*e*f^2 + (9*c^2 + 28)*f^3)*(d*x + c))*cos(2*d*x + 2*c) + (-12*I*(d*x + c)^3*
f^3 + (-36*I*d*e*f^2 + 36*I*c*f^3)*(d*x + c)^2 + (-36*I*d^2*e^2*f + 72*I*c*d*e*f^2 + (-36*I*c^2 - 112*I)*f^3)*
(d*x + c))*cos(d*x + c) + (-6*I*(d*x + c)^3*f^3 + (-18*I*d*e*f^2 + 18*I*c*f^3)*(d*x + c)^2 + (-18*I*d^2*e^2*f
+ 36*I*c*d*e*f^2 + (-18*I*c^2 - 56*I)*f^3)*(d*x + c))*sin(6*d*x + 6*c) + 4*(3*(d*x + c)^3*f^3 + 9*(d*e*f^2 - c
*f^3)*(d*x + c)^2 + (9*d^2*e^2*f - 18*c*d*e*f^2 + (9*c^2 + 28)*f^3)*(d*x + c))*sin(5*d*x + 5*c) + (-6*I*(d*x +
 c)^3*f^3 + (-18*I*d*e*f^2 + 18*I*c*f^3)*(d*x + c)^2 + (-18*I*d^2*e^2*f + 36*I*c*d*e*f^2 + (-18*I*c^2 - 56*I)*
f^3)*(d*x + c))*sin(4*d*x + 4*c) + 8*(3*(d*x + c)^3*f^3 + 9*(d*e*f^2 - c*f^3)*(d*x + c)^2 + (9*d^2*e^2*f - 18*
c*d*e*f^2 + (9*c^2 + 28)*f^3)*(d*x + c))*sin(3*d*x + 3*c) + (6*I*(d*x + c)^3*f^3 + (18*I*d*e*f^2 - 18*I*c*f^3)
*(d*x + c)^2 + (18*I*d^2*e^2*f - 36*I*c*d*e*f^2 + (18*I*c^2 + 56*I)*f^3)*(d*x + c))*sin(2*d*x + 2*c) + 4*(3*(d
*x + c)^3*f^3 + 9*(d*e*f^2 - c*f^3)*(d*x + c)^2 + (9*d^2*e^2*f - 18*c*d*e*f^2 + (9*c^2 + 28)*f^3)*(d*x + c))*s
in(d*x + c))*arctan2(cos(d*x + c), sin(d*x + c) + 1) - (6*(d*x + c)^3*f^3 + 18*(d*e*f^2 - c*f^3)*(d*x + c)^2 +
 6*(3*d^2*e^2*f - 6*c*d*e*f^2 + (3*c^2 + 4)*f^3)*(d*x + c) - 6*((d*x + c)^3*f^3 + 3*(d*e*f^2 - c*f^3)*(d*x + c
)^2 + (3*d^2*e^2*f - 6*c*d*e*f^2 + (3*c^2 + 4)*f^3)*(d*x + c))*cos(6*d*x + 6*c) + (-12*I*(d*x + c)^3*f^3 + (-3
6*I*d*e*f^2 + 36*I*c*f^3)*(d*x + c)^2 + (-36*I*d^2*e^2*f + 72*I*c*d*e*f^2 + (-36*I*c^2 - 48*I)*f^3)*(d*x + c))
*cos(5*d*x + 5*c) - 6*((d*x + c)^3*f^3 + 3*(d*e*f^2 - c*f^3)*(d*x + c)^2 + (3*d^2*e^2*f - 6*c*d*e*f^2 + (3*c^2
 + 4)*f^3)*(d*x + c))*cos(4*d*x + 4*c) + (-24*I*(d*x + c)^3*f^3 + (-72*I*d*e*f^2 + 72*I*c*f^3)*(d*x + c)^2 + (
-72*I*d^2*e^2*f + 144*I*c*d*e*f^2 + (-72*I*c^2 - 96*I)*f^3)*(d*x + c))*cos(3*d*x + 3*c) + 6*((d*x + c)^3*f^3 +
 3*(d*e*f^2 - c*f^3)*(d*x + c)^2 + (3*d^2*e^2*f - 6*c*d*e*f^2 + (3*c^2 + 4)*f^3)*(d*x + c))*cos(2*d*x + 2*c) +
 (-12*I*(d*x + c)^3*f^3 + (-36*I*d*e*f^2 + 36*I*c*f^3)*(d*x + c)^2 + (-36*I*d^2*e^2*f + 72*I*c*d*e*f^2 + (-36*
I*c^2 - 48*I)*f^3)*(d*x + c))*cos(d*x + c) + (-6*I*(d*x + c)^3*f^3 + (-18*I*d*e*f^2 + 18*I*c*f^3)*(d*x + c)^2
+ (-18*I*d^2*e^2*f + 36*I*c*d*e*f^2 + (-18*I*c^2 - 24*I)*f^3)*(d*x + c))*sin(6*d*x + 6*c) + 12*((d*x + c)^3*f^
3 + 3*(d*e*f^2 - c*f^3)*(d*x + c)^2 + (3*d^2*e^2*f - 6*c*d*e*f^2 + (3*c^2 + 4)*f^3)*(d*x + c))*sin(5*d*x + 5*c
) + (-6*I*(d*x + c)^3*f^3 + (-18*I*d*e*f^2 + 18*I*c*f^3)*(d*x + c)^2 + (-18*I*d^2*e^2*f + 36*I*c*d*e*f^2 + (-1
8*I*c^2 - 24*I)*f^3)*(d*x + c))*sin(4*d*x + 4*c) + 24*((d*x + c)^3*f^3 + 3*(d*e*f^2 - c*f^3)*(d*x + c)^2 + (3*
d^2*e^2*f - 6*c*d*e*f^2 + (3*c^2 + 4)*f^3)*(d*x + c))*sin(3*d*x + 3*c) + (6*I*(d*x + c)^3*f^3 + (18*I*d*e*f^2
- 18*I*c*f^3)*(d*x + c)^2 + (18*I*d^2*e^2*f - 36*I*c*d*e*f^2 + (18*I*c^2 + 24*I)*f^3)*(d*x + c))*sin(2*d*x + 2
*c) + 12*((d*x + c)^3*f^3 + 3*(d*e*f^2 - c*f^3)*(d*x + c)^2 + (3*d^2*e^2*f - 6*c*d*e*f^2 + (3*c^2 + 4)*f^3)*(d
*x + c))*sin(d*x + c))*arctan2(cos(d*x + c), -sin(d*x + c) + 1) + 16*((d*x + c)^2*f^3 + 2*(d*e*f^2 - c*f^3)*(d
*x + c))*cos(6*d*x + 6*c) + (12*(d*x + c)^3*f^3 - 36*I*d^2*e^2*f + 4*(9*c^2 + 18*I*c + 2)*d*e*f^2 - (12*c^3 +
36*I*c^2 + 8*c + 8*I)*f^3 + (36*d*e*f^2 - (36*c + 4*I)*f^3)*(d*x + c)^2 + (36*d^2*e^2*f - (72*c + 8*I)*d*e*f^2
 + 4*(9*c^2 + 2*I*c + 2)*f^3)*(d*x + c))*cos(5*d*x + 5*c) - (-24*I*(d*x + c)^3*f^3 - 72*d^2*e^2*f + (-72*I*c^2
 + 144*c)*d*e*f^2 + (24*I*c^3 - 72*c^2 - 8)*f^3 - 8*(9*I*d*e*f^2 + (-9*I*c + 11)*f^3)*(d*x + c)^2 + (-72*I*d^2
*e^2*f - 16*(-9*I*c + 11)*d*e*f^2 + (-72*I*c^2 + 176*c)*f^3)*(d*x + c))*cos(4*d*x + 4*c) + (8*(d*x + c)^3*f^3
- 32*I*d^2*e^2*f + 8*(3*c^2 + 8*I*c + 2)*d*e*f^2 - (8*c^3 + 32*I*c^2 + 16*c + 16*I)*f^3 + (24*d*e*f^2 - (24*c
- 32*I)*f^3)*(d*x + c)^2 + (24*d^2*e^2*f - (48*c - 64*I)*d*e*f^2 + 8*(3*c^2 - 8*I*c + 2)*f^3)*(d*x + c))*cos(3
*d*x + 3*c) - (24*I*(d*x + c)^3*f^3 - 88*d^2*e^2*f + (72*I*c^2 + 176*c)*d*e*f^2 + (-24*I*c^3 - 88*c^2 - 16)*f^
3 + (72*I*d*e*f^2 - 72*(I*c + 1)*f^3)*(d*x + c)^2 + (72*I*d^2*e^2*f - 144*(I*c + 1)*d*e*f^2 + (72*I*c^2 + 144*
c)*f^3)*(d*x + c))*cos(2*d*x + 2*c) + (12*(d*x + c)^3*f^3 + 4*I*d^2*e^2*f + 4*(9*c^2 - 2*I*c + 2)*d*e*f^2 - (1
2*c^3 - 4*I*c^2 + 8*c + 8*I)*f^3 + (36*d*e*f^2 - (36*c - 36*I)*f^3)*(d*x + c)^2 + (36*d^2*e^2*f - (72*c - 72*I
)*d*e*f^2 + 4*(9*c^2 - 18*I*c + 2)*f^3)*(d*x + c))*cos(d*x + c) - (18*d^2*e^2*f - 36*c*d*e*f^2 + 18*(d*x + c)^
2*f^3 + 2*(9*c^2 + 28)*f^3 + 36*(d*e*f^2 - c*f^3)*(d*x + c) - 2*(9*d^2*e^2*f - 18*c*d*e*f^2 + 9*(d*x + c)^2*f^
3 + (9*c^2 + 28)*f^3 + 18*(d*e*f^2 - c*f^3)*(d*x + c))*cos(6*d*x + 6*c) + (-36*I*d^2*e^2*f + 72*I*c*d*e*f^2 -
36*I*(d*x + c)^2*f^3 + (-36*I*c^2 - 112*I)*f^3 + (-72*I*d*e*f^2 + 72*I*c*f^3)*(d*x + c))*cos(5*d*x + 5*c) - 2*
(9*d^2*e^2*f - 18*c*d*e*f^2 + 9*(d*x + c)^2*f^3 + (9*c^2 + 28)*f^3 + 18*(d*e*f^2 - c*f^3)*(d*x + c))*cos(4*d*x
 + 4*c) + (-72*I*d^2*e^2*f + 144*I*c*d*e*f^2 - 72*I*(d*x + c)^2*f^3 + (-72*I*c^2 - 224*I)*f^3 + (-144*I*d*e*f^
2 + 144*I*c*f^3)*(d*x + c))*cos(3*d*x + 3*c) + 2*(9*d^2*e^2*f - 18*c*d*e*f^2 + 9*(d*x + c)^2*f^3 + (9*c^2 + 28
)*f^3 + 18*(d*e*f^2 - c*f^3)*(d*x + c))*cos(2*d*x + 2*c) + (-36*I*d^2*e^2*f + 72*I*c*d*e*f^2 - 36*I*(d*x + c)^
2*f^3 + (-36*I*c^2 - 112*I)*f^3 + (-72*I*d*e*f^2 + 72*I*c*f^3)*(d*x + c))*cos(d*x + c) + (-18*I*d^2*e^2*f + 36
*I*c*d*e*f^2 - 18*I*(d*x + c)^2*f^3 + (-18*I*c^2 - 56*I)*f^3 + (-36*I*d*e*f^2 + 36*I*c*f^3)*(d*x + c))*sin(6*d
*x + 6*c) + 4*(9*d^2*e^2*f - 18*c*d*e*f^2 + 9*(d*x + c)^2*f^3 + (9*c^2 + 28)*f^3 + 18*(d*e*f^2 - c*f^3)*(d*x +
 c))*sin(5*d*x + 5*c) + (-18*I*d^2*e^2*f + 36*I*c*d*e*f^2 - 18*I*(d*x + c)^2*f^3 + (-18*I*c^2 - 56*I)*f^3 + (-
36*I*d*e*f^2 + 36*I*c*f^3)*(d*x + c))*sin(4*d*x + 4*c) + 8*(9*d^2*e^2*f - 18*c*d*e*f^2 + 9*(d*x + c)^2*f^3 + (
9*c^2 + 28)*f^3 + 18*(d*e*f^2 - c*f^3)*(d*x + c))*sin(3*d*x + 3*c) + (18*I*d^2*e^2*f - 36*I*c*d*e*f^2 + 18*I*(
d*x + c)^2*f^3 + (18*I*c^2 + 56*I)*f^3 + (36*I*d*e*f^2 - 36*I*c*f^3)*(d*x + c))*sin(2*d*x + 2*c) + 4*(9*d^2*e^
2*f - 18*c*d*e*f^2 + 9*(d*x + c)^2*f^3 + (9*c^2 + 28)*f^3 + 18*(d*e*f^2 - c*f^3)*(d*x + c))*sin(d*x + c))*dilo
g(I*e^(I*d*x + I*c)) + (18*d^2*e^2*f - 36*c*d*e*f^2 + 18*(d*x + c)^2*f^3 + 6*(3*c^2 + 4)*f^3 + 36*(d*e*f^2 - c
*f^3)*(d*x + c) - 6*(3*d^2*e^2*f - 6*c*d*e*f^2 + 3*(d*x + c)^2*f^3 + (3*c^2 + 4)*f^3 + 6*(d*e*f^2 - c*f^3)*(d*
x + c))*cos(6*d*x + 6*c) - (36*I*d^2*e^2*f - 72*I*c*d*e*f^2 + 36*I*(d*x + c)^2*f^3 + (36*I*c^2 + 48*I)*f^3 + (
72*I*d*e*f^2 - 72*I*c*f^3)*(d*x + c))*cos(5*d*x + 5*c) - 6*(3*d^2*e^2*f - 6*c*d*e*f^2 + 3*(d*x + c)^2*f^3 + (3
*c^2 + 4)*f^3 + 6*(d*e*f^2 - c*f^3)*(d*x + c))*cos(4*d*x + 4*c) - (72*I*d^2*e^2*f - 144*I*c*d*e*f^2 + 72*I*(d*
x + c)^2*f^3 + (72*I*c^2 + 96*I)*f^3 + (144*I*d*e*f^2 - 144*I*c*f^3)*(d*x + c))*cos(3*d*x + 3*c) + 6*(3*d^2*e^
2*f - 6*c*d*e*f^2 + 3*(d*x + c)^2*f^3 + (3*c^2 + 4)*f^3 + 6*(d*e*f^2 - c*f^3)*(d*x + c))*cos(2*d*x + 2*c) - (3
6*I*d^2*e^2*f - 72*I*c*d*e*f^2 + 36*I*(d*x + c)^2*f^3 + (36*I*c^2 + 48*I)*f^3 + (72*I*d*e*f^2 - 72*I*c*f^3)*(d
*x + c))*cos(d*x + c) - (18*I*d^2*e^2*f - 36*I*c*d*e*f^2 + 18*I*(d*x + c)^2*f^3 + (18*I*c^2 + 24*I)*f^3 + (36*
I*d*e*f^2 - 36*I*c*f^3)*(d*x + c))*sin(6*d*x + 6*c) + 12*(3*d^2*e^2*f - 6*c*d*e*f^2 + 3*(d*x + c)^2*f^3 + (3*c
^2 + 4)*f^3 + 6*(d*e*f^2 - c*f^3)*(d*x + c))*sin(5*d*x + 5*c) - (18*I*d^2*e^2*f - 36*I*c*d*e*f^2 + 18*I*(d*x +
 c)^2*f^3 + (18*I*c^2 + 24*I)*f^3 + (36*I*d*e*f^2 - 36*I*c*f^3)*(d*x + c))*sin(4*d*x + 4*c) + 24*(3*d^2*e^2*f
- 6*c*d*e*f^2 + 3*(d*x + c)^2*f^3 + (3*c^2 + 4)*f^3 + 6*(d*e*f^2 - c*f^3)*(d*x + c))*sin(3*d*x + 3*c) - (-18*I
*d^2*e^2*f + 36*I*c*d*e*f^2 - 18*I*(d*x + c)^2*f^3 + (-18*I*c^2 - 24*I)*f^3 + (-36*I*d*e*f^2 + 36*I*c*f^3)*(d*
x + c))*sin(2*d*x + 2*c) + 12*(3*d^2*e^2*f - 6*c*d*e*f^2 + 3*(d*x + c)^2*f^3 + (3*c^2 + 4)*f^3 + 6*(d*e*f^2 -
c*f^3)*(d*x + c))*sin(d*x + c))*dilog(-I*e^(I*d*x + I*c)) - (3*I*(d*x + c)^3*f^3 + (9*I*c^2 + 28*I)*d*e*f^2 +
(-3*I*c^3 - 28*I*c)*f^3 + (9*I*d*e*f^2 - 9*I*c*f^3)*(d*x + c)^2 + (9*I*d^2*e^2*f - 18*I*c*d*e*f^2 + (9*I*c^2 +
 28*I)*f^3)*(d*x + c) + (-3*I*(d*x + c)^3*f^3 + (-9*I*c^2 - 28*I)*d*e*f^2 + (3*I*c^3 + 28*I*c)*f^3 + (-9*I*d*e
*f^2 + 9*I*c*f^3)*(d*x + c)^2 + (-9*I*d^2*e^2*f + 18*I*c*d*e*f^2 + (-9*I*c^2 - 28*I)*f^3)*(d*x + c))*cos(6*d*x
 + 6*c) + 2*(3*(d*x + c)^3*f^3 + (9*c^2 + 28)*d*e*f^2 - (3*c^3 + 28*c)*f^3 + 9*(d*e*f^2 - c*f^3)*(d*x + c)^2 +
 (9*d^2*e^2*f - 18*c*d*e*f^2 + (9*c^2 + 28)*f^3)*(d*x + c))*cos(5*d*x + 5*c) + (-3*I*(d*x + c)^3*f^3 + (-9*I*c
^2 - 28*I)*d*e*f^2 + (3*I*c^3 + 28*I*c)*f^3 + (-9*I*d*e*f^2 + 9*I*c*f^3)*(d*x + c)^2 + (-9*I*d^2*e^2*f + 18*I*
c*d*e*f^2 + (-9*I*c^2 - 28*I)*f^3)*(d*x + c))*cos(4*d*x + 4*c) + 4*(3*(d*x + c)^3*f^3 + (9*c^2 + 28)*d*e*f^2 -
 (3*c^3 + 28*c)*f^3 + 9*(d*e*f^2 - c*f^3)*(d*x + c)^2 + (9*d^2*e^2*f - 18*c*d*e*f^2 + (9*c^2 + 28)*f^3)*(d*x +
 c))*cos(3*d*x + 3*c) + (3*I*(d*x + c)^3*f^3 + (9*I*c^2 + 28*I)*d*e*f^2 + (-3*I*c^3 - 28*I*c)*f^3 + (9*I*d*e*f
^2 - 9*I*c*f^3)*(d*x + c)^2 + (9*I*d^2*e^2*f - 18*I*c*d*e*f^2 + (9*I*c^2 + 28*I)*f^3)*(d*x + c))*cos(2*d*x + 2
*c) + 2*(3*(d*x + c)^3*f^3 + (9*c^2 + 28)*d*e*f^2 - (3*c^3 + 28*c)*f^3 + 9*(d*e*f^2 - c*f^3)*(d*x + c)^2 + (9*
d^2*e^2*f - 18*c*d*e*f^2 + (9*c^2 + 28)*f^3)*(d*x + c))*cos(d*x + c) + (3*(d*x + c)^3*f^3 + (9*c^2 + 28)*d*e*f
^2 - (3*c^3 + 28*c)*f^3 + 9*(d*e*f^2 - c*f^3)*(d*x + c)^2 + (9*d^2*e^2*f - 18*c*d*e*f^2 + (9*c^2 + 28)*f^3)*(d
*x + c))*sin(6*d*x + 6*c) + (6*I*(d*x + c)^3*f^3 + (18*I*c^2 + 56*I)*d*e*f^2 + (-6*I*c^3 - 56*I*c)*f^3 + (18*I
*d*e*f^2 - 18*I*c*f^3)*(d*x + c)^2 + (18*I*d^2*e^2*f - 36*I*c*d*e*f^2 + (18*I*c^2 + 56*I)*f^3)*(d*x + c))*sin(
5*d*x + 5*c) + (3*(d*x + c)^3*f^3 + (9*c^2 + 28)*d*e*f^2 - (3*c^3 + 28*c)*f^3 + 9*(d*e*f^2 - c*f^3)*(d*x + c)^
2 + (9*d^2*e^2*f - 18*c*d*e*f^2 + (9*c^2 + 28)*f^3)*(d*x + c))*sin(4*d*x + 4*c) + (12*I*(d*x + c)^3*f^3 + (36*
I*c^2 + 112*I)*d*e*f^2 + (-12*I*c^3 - 112*I*c)*f^3 + (36*I*d*e*f^2 - 36*I*c*f^3)*(d*x + c)^2 + (36*I*d^2*e^2*f
 - 72*I*c*d*e*f^2 + (36*I*c^2 + 112*I)*f^3)*(d*x + c))*sin(3*d*x + 3*c) - (3*(d*x + c)^3*f^3 + (9*c^2 + 28)*d*
e*f^2 - (3*c^3 + 28*c)*f^3 + 9*(d*e*f^2 - c*f^3)*(d*x + c)^2 + (9*d^2*e^2*f - 18*c*d*e*f^2 + (9*c^2 + 28)*f^3)
*(d*x + c))*sin(2*d*x + 2*c) + (6*I*(d*x + c)^3*f^3 + (18*I*c^2 + 56*I)*d*e*f^2 + (-6*I*c^3 - 56*I*c)*f^3 + (1
8*I*d*e*f^2 - 18*I*c*f^3)*(d*x + c)^2 + (18*I*d^2*e^2*f - 36*I*c*d*e*f^2 + (18*I*c^2 + 56*I)*f^3)*(d*x + c))*s
in(d*x + c))*log(cos(d*x + c)^2 + sin(d*x + c)^2 + 2*sin(d*x + c) + 1) - (-3*I*(d*x + c)^3*f^3 + (-9*I*c^2 - 1
2*I)*d*e*f^2 + (3*I*c^3 + 12*I*c)*f^3 + (-9*I*d*e*f^2 + 9*I*c*f^3)*(d*x + c)^2 + (-9*I*d^2*e^2*f + 18*I*c*d*e*
f^2 + (-9*I*c^2 - 12*I)*f^3)*(d*x + c) + (3*I*(d*x + c)^3*f^3 + (9*I*c^2 + 12*I)*d*e*f^2 + (-3*I*c^3 - 12*I*c)
*f^3 + (9*I*d*e*f^2 - 9*I*c*f^3)*(d*x + c)^2 + (9*I*d^2*e^2*f - 18*I*c*d*e*f^2 + (9*I*c^2 + 12*I)*f^3)*(d*x +
c))*cos(6*d*x + 6*c) - 6*((d*x + c)^3*f^3 + (3*c^2 + 4)*d*e*f^2 - (c^3 + 4*c)*f^3 + 3*(d*e*f^2 - c*f^3)*(d*x +
 c)^2 + (3*d^2*e^2*f - 6*c*d*e*f^2 + (3*c^2 + 4)*f^3)*(d*x + c))*cos(5*d*x + 5*c) + (3*I*(d*x + c)^3*f^3 + (9*
I*c^2 + 12*I)*d*e*f^2 + (-3*I*c^3 - 12*I*c)*f^3 + (9*I*d*e*f^2 - 9*I*c*f^3)*(d*x + c)^2 + (9*I*d^2*e^2*f - 18*
I*c*d*e*f^2 + (9*I*c^2 + 12*I)*f^3)*(d*x + c))*cos(4*d*x + 4*c) - 12*((d*x + c)^3*f^3 + (3*c^2 + 4)*d*e*f^2 -
(c^3 + 4*c)*f^3 + 3*(d*e*f^2 - c*f^3)*(d*x + c)^2 + (3*d^2*e^2*f - 6*c*d*e*f^2 + (3*c^2 + 4)*f^3)*(d*x + c))*c
os(3*d*x + 3*c) + (-3*I*(d*x + c)^3*f^3 + (-9*I*c^2 - 12*I)*d*e*f^2 + (3*I*c^3 + 12*I*c)*f^3 + (-9*I*d*e*f^2 +
 9*I*c*f^3)*(d*x + c)^2 + (-9*I*d^2*e^2*f + 18*I*c*d*e*f^2 + (-9*I*c^2 - 12*I)*f^3)*(d*x + c))*cos(2*d*x + 2*c
) - 6*((d*x + c)^3*f^3 + (3*c^2 + 4)*d*e*f^2 - (c^3 + 4*c)*f^3 + 3*(d*e*f^2 - c*f^3)*(d*x + c)^2 + (3*d^2*e^2*
f - 6*c*d*e*f^2 + (3*c^2 + 4)*f^3)*(d*x + c))*cos(d*x + c) - 3*((d*x + c)^3*f^3 + (3*c^2 + 4)*d*e*f^2 - (c^3 +
 4*c)*f^3 + 3*(d*e*f^2 - c*f^3)*(d*x + c)^2 + (3*d^2*e^2*f - 6*c*d*e*f^2 + (3*c^2 + 4)*f^3)*(d*x + c))*sin(6*d
*x + 6*c) + (-6*I*(d*x + c)^3*f^3 + (-18*I*c^2 - 24*I)*d*e*f^2 + (6*I*c^3 + 24*I*c)*f^3 + (-18*I*d*e*f^2 + 18*
I*c*f^3)*(d*x + c)^2 + (-18*I*d^2*e^2*f + 36*I*c*d*e*f^2 + (-18*I*c^2 - 24*I)*f^3)*(d*x + c))*sin(5*d*x + 5*c)
 - 3*((d*x + c)^3*f^3 + (3*c^2 + 4)*d*e*f^2 - (c^3 + 4*c)*f^3 + 3*(d*e*f^2 - c*f^3)*(d*x + c)^2 + (3*d^2*e^2*f
 - 6*c*d*e*f^2 + (3*c^2 + 4)*f^3)*(d*x + c))*sin(4*d*x + 4*c) + (-12*I*(d*x + c)^3*f^3 + (-36*I*c^2 - 48*I)*d*
e*f^2 + (12*I*c^3 + 48*I*c)*f^3 + (-36*I*d*e*f^2 + 36*I*c*f^3)*(d*x + c)^2 + (-36*I*d^2*e^2*f + 72*I*c*d*e*f^2
 + (-36*I*c^2 - 48*I)*f^3)*(d*x + c))*sin(3*d*x + 3*c) + 3*((d*x + c)^3*f^3 + (3*c^2 + 4)*d*e*f^2 - (c^3 + 4*c
)*f^3 + 3*(d*e*f^2 - c*f^3)*(d*x + c)^2 + (3*d^2*e^2*f - 6*c*d*e*f^2 + (3*c^2 + 4)*f^3)*(d*x + c))*sin(2*d*x +
 2*c) + (-6*I*(d*x + c)^3*f^3 + (-18*I*c^2 - 24*I)*d*e*f^2 + (6*I*c^3 + 24*I*c)*f^3 + (-18*I*d*e*f^2 + 18*I*c*
f^3)*(d*x + c)^2 + (-18*I*d^2*e^2*f + 36*I*c*d*e*f^2 + (-18*I*c^2 - 24*I)*f^3)*(d*x + c))*sin(d*x + c))*log(co
s(d*x + c)^2 + sin(d*x + c)^2 - 2*sin(d*x + c) + 1) - (36*f^3*cos(6*d*x + 6*c) + 72*I*f^3*cos(5*d*x + 5*c) + 3
6*f^3*cos(4*d*x + 4*c) + 144*I*f^3*cos(3*d*x + 3*c) - 36*f^3*cos(2*d*x + 2*c) + 72*I*f^3*cos(d*x + c) + 36*I*f
^3*sin(6*d*x + 6*c) - 72*f^3*sin(5*d*x + 5*c) + 36*I*f^3*sin(4*d*x + 4*c) - 144*f^3*sin(3*d*x + 3*c) - 36*I*f^
3*sin(2*d*x + 2*c) - 72*f^3*sin(d*x + c) - 36*f^3)*polylog(4, I*e^(I*d*x + I*c)) + (36*f^3*cos(6*d*x + 6*c) +
72*I*f^3*cos(5*d*x + 5*c) + 36*f^3*cos(4*d*x + 4*c) + 144*I*f^3*cos(3*d*x + 3*c) - 36*f^3*cos(2*d*x + 2*c) + 7
2*I*f^3*cos(d*x + c) + 36*I*f^3*sin(6*d*x + 6*c) - 72*f^3*sin(5*d*x + 5*c) + 36*I*f^3*sin(4*d*x + 4*c) - 144*f
^3*sin(3*d*x + 3*c) - 36*I*f^3*sin(2*d*x + 2*c) - 72*f^3*sin(d*x + c) - 36*f^3)*polylog(4, -I*e^(I*d*x + I*c))
 - (36*I*d*e*f^2 + 36*I*(d*x + c)*f^3 - 36*I*c*f^3 + (-36*I*d*e*f^2 - 36*I*(d*x + c)*f^3 + 36*I*c*f^3)*cos(6*d
*x + 6*c) + 72*(d*e*f^2 + (d*x + c)*f^3 - c*f^3)*cos(5*d*x + 5*c) + (-36*I*d*e*f^2 - 36*I*(d*x + c)*f^3 + 36*I
*c*f^3)*cos(4*d*x + 4*c) + 144*(d*e*f^2 + (d*x + c)*f^3 - c*f^3)*cos(3*d*x + 3*c) + (36*I*d*e*f^2 + 36*I*(d*x
+ c)*f^3 - 36*I*c*f^3)*cos(2*d*x + 2*c) + 72*(d*e*f^2 + (d*x + c)*f^3 - c*f^3)*cos(d*x + c) + 36*(d*e*f^2 + (d
*x + c)*f^3 - c*f^3)*sin(6*d*x + 6*c) + (72*I*d*e*f^2 + 72*I*(d*x + c)*f^3 - 72*I*c*f^3)*sin(5*d*x + 5*c) + 36
*(d*e*f^2 + (d*x + c)*f^3 - c*f^3)*sin(4*d*x + 4*c) + (144*I*d*e*f^2 + 144*I*(d*x + c)*f^3 - 144*I*c*f^3)*sin(
3*d*x + 3*c) - 36*(d*e*f^2 + (d*x + c)*f^3 - c*f^3)*sin(2*d*x + 2*c) + (72*I*d*e*f^2 + 72*I*(d*x + c)*f^3 - 72
*I*c*f^3)*sin(d*x + c))*polylog(3, I*e^(I*d*x + I*c)) - (-36*I*d*e*f^2 - 36*I*(d*x + c)*f^3 + 36*I*c*f^3 + (36
*I*d*e*f^2 + 36*I*(d*x + c)*f^3 - 36*I*c*f^3)*cos(6*d*x + 6*c) - 72*(d*e*f^2 + (d*x + c)*f^3 - c*f^3)*cos(5*d*
x + 5*c) + (36*I*d*e*f^2 + 36*I*(d*x + c)*f^3 - 36*I*c*f^3)*cos(4*d*x + 4*c) - 144*(d*e*f^2 + (d*x + c)*f^3 -
c*f^3)*cos(3*d*x + 3*c) + (-36*I*d*e*f^2 - 36*I*(d*x + c)*f^3 + 36*I*c*f^3)*cos(2*d*x + 2*c) - 72*(d*e*f^2 + (
d*x + c)*f^3 - c*f^3)*cos(d*x + c) - 36*(d*e*f^2 + (d*x + c)*f^3 - c*f^3)*sin(6*d*x + 6*c) + (-72*I*d*e*f^2 -
72*I*(d*x + c)*f^3 + 72*I*c*f^3)*sin(5*d*x + 5*c) - 36*(d*e*f^2 + (d*x + c)*f^3 - c*f^3)*sin(4*d*x + 4*c) + (-
144*I*d*e*f^2 - 144*I*(d*x + c)*f^3 + 144*I*c*f^3)*sin(3*d*x + 3*c) + 36*(d*e*f^2 + (d*x + c)*f^3 - c*f^3)*sin
(2*d*x + 2*c) + (-72*I*d*e*f^2 - 72*I*(d*x + c)*f^3 + 72*I*c*f^3)*sin(d*x + c))*polylog(3, -I*e^(I*d*x + I*c))
 - (-16*I*(d*x + c)^2*f^3 + (-32*I*d*e*f^2 + 32*I*c*f^3)*(d*x + c))*sin(6*d*x + 6*c) - (-12*I*(d*x + c)^3*f^3
- 36*d^2*e^2*f + (-36*I*c^2 + 72*c - 8*I)*d*e*f^2 + (12*I*c^3 - 36*c^2 + 8*I*c - 8)*f^3 - 4*(9*I*d*e*f^2 + (-9
*I*c + 1)*f^3)*(d*x + c)^2 + (-36*I*d^2*e^2*f - 8*(-9*I*c + 1)*d*e*f^2 + (-36*I*c^2 + 8*c - 8*I)*f^3)*(d*x + c
))*sin(5*d*x + 5*c) - (24*(d*x + c)^3*f^3 - 72*I*d^2*e^2*f + 72*(c^2 + 2*I*c)*d*e*f^2 - (24*c^3 + 72*I*c^2 + 8
*I)*f^3 + (72*d*e*f^2 - (72*c + 88*I)*f^3)*(d*x + c)^2 + (72*d^2*e^2*f - (144*c + 176*I)*d*e*f^2 + 8*(9*c^2 +
22*I*c)*f^3)*(d*x + c))*sin(4*d*x + 4*c) - (-8*I*(d*x + c)^3*f^3 - 32*d^2*e^2*f + (-24*I*c^2 + 64*c - 16*I)*d*
e*f^2 + (8*I*c^3 - 32*c^2 + 16*I*c - 16)*f^3 - 8*(3*I*d*e*f^2 + (-3*I*c - 4)*f^3)*(d*x + c)^2 + (-24*I*d^2*e^2
*f - 16*(-3*I*c - 4)*d*e*f^2 + (-24*I*c^2 - 64*c - 16*I)*f^3)*(d*x + c))*sin(3*d*x + 3*c) + (24*(d*x + c)^3*f^
3 + 88*I*d^2*e^2*f + 8*(9*c^2 - 22*I*c)*d*e*f^2 - (24*c^3 - 88*I*c^2 - 16*I)*f^3 + (72*d*e*f^2 - (72*c - 72*I)
*f^3)*(d*x + c)^2 + (72*d^2*e^2*f - (144*c - 144*I)*d*e*f^2 + 72*(c^2 - 2*I*c)*f^3)*(d*x + c))*sin(2*d*x + 2*c
) - (-12*I*(d*x + c)^3*f^3 + 4*d^2*e^2*f + (-36*I*c^2 - 8*c - 8*I)*d*e*f^2 + (12*I*c^3 + 4*c^2 + 8*I*c - 8)*f^
3 + (-36*I*d*e*f^2 - 36*(-I*c - 1)*f^3)*(d*x + c)^2 + (-36*I*d^2*e^2*f - 72*(-I*c - 1)*d*e*f^2 + (-36*I*c^2 -
72*c - 8*I)*f^3)*(d*x + c))*sin(d*x + c))/(-16*I*a*d^3*cos(6*d*x + 6*c) + 32*a*d^3*cos(5*d*x + 5*c) - 16*I*a*d
^3*cos(4*d*x + 4*c) + 64*a*d^3*cos(3*d*x + 3*c) + 16*I*a*d^3*cos(2*d*x + 2*c) + 32*a*d^3*cos(d*x + c) + 16*a*d
^3*sin(6*d*x + 6*c) + 32*I*a*d^3*sin(5*d*x + 5*c) + 16*a*d^3*sin(4*d*x + 4*c) + 64*I*a*d^3*sin(3*d*x + 3*c) -
16*a*d^3*sin(2*d*x + 2*c) + 32*I*a*d^3*sin(d*x + c) + 16*I*a*d^3))/d

________________________________________________________________________________________

mupad [F(-1)]  time = 0.00, size = -1, normalized size = -0.00 \[ \text {Hanged} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int((e + f*x)^3/(cos(c + d*x)^3*(a + a*sin(c + d*x))),x)

[Out]

\text{Hanged}

________________________________________________________________________________________

sympy [F]  time = 0.00, size = 0, normalized size = 0.00 \[ \frac {\int \frac {e^{3} \sec ^{3}{\left (c + d x \right )}}{\sin {\left (c + d x \right )} + 1}\, dx + \int \frac {f^{3} x^{3} \sec ^{3}{\left (c + d x \right )}}{\sin {\left (c + d x \right )} + 1}\, dx + \int \frac {3 e f^{2} x^{2} \sec ^{3}{\left (c + d x \right )}}{\sin {\left (c + d x \right )} + 1}\, dx + \int \frac {3 e^{2} f x \sec ^{3}{\left (c + d x \right )}}{\sin {\left (c + d x \right )} + 1}\, dx}{a} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((f*x+e)**3*sec(d*x+c)**3/(a+a*sin(d*x+c)),x)

[Out]

(Integral(e**3*sec(c + d*x)**3/(sin(c + d*x) + 1), x) + Integral(f**3*x**3*sec(c + d*x)**3/(sin(c + d*x) + 1),
 x) + Integral(3*e*f**2*x**2*sec(c + d*x)**3/(sin(c + d*x) + 1), x) + Integral(3*e**2*f*x*sec(c + d*x)**3/(sin
(c + d*x) + 1), x))/a

________________________________________________________________________________________

[next] [prev] [prev-tail] [front] [up]