3.141 \(\int \frac {\cos ^4(c+d x)}{(a \cos (c+d x)+b \sin (c+d x))^4} \, dx\)

Optimal. Leaf size=165 \[ -\frac {b \left (3 a^2-b^2\right )}{d \left (a^2+b^2\right )^3 (a+b \tan (c+d x))}-\frac {a b}{d \left (a^2+b^2\right )^2 (a+b \tan (c+d x))^2}-\frac {b}{3 d \left (a^2+b^2\right ) (a+b \tan (c+d x))^3}+\frac {4 a b \left (a^2-b^2\right ) \log (a \cos (c+d x)+b \sin (c+d x))}{d \left (a^2+b^2\right )^4}+\frac {x \left (a^4-6 a^2 b^2+b^4\right )}{\left (a^2+b^2\right )^4} \]

[Out]

(a^4-6*a^2*b^2+b^4)*x/(a^2+b^2)^4+4*a*b*(a^2-b^2)*ln(a*cos(d*x+c)+b*sin(d*x+c))/(a^2+b^2)^4/d-1/3*b/(a^2+b^2)/
d/(a+b*tan(d*x+c))^3-a*b/(a^2+b^2)^2/d/(a+b*tan(d*x+c))^2-b*(3*a^2-b^2)/(a^2+b^2)^3/d/(a+b*tan(d*x+c))

________________________________________________________________________________________

Rubi [A]  time = 0.30, antiderivative size = 165, normalized size of antiderivative = 1.00, number of steps used = 6, number of rules used = 5, integrand size = 28, \(\frac {\text {number of rules}}{\text {integrand size}}\) = 0.179, Rules used = {3086, 3483, 3529, 3531, 3530} \[ -\frac {b \left (3 a^2-b^2\right )}{d \left (a^2+b^2\right )^3 (a+b \tan (c+d x))}-\frac {a b}{d \left (a^2+b^2\right )^2 (a+b \tan (c+d x))^2}-\frac {b}{3 d \left (a^2+b^2\right ) (a+b \tan (c+d x))^3}+\frac {4 a b \left (a^2-b^2\right ) \log (a \cos (c+d x)+b \sin (c+d x))}{d \left (a^2+b^2\right )^4}+\frac {x \left (-6 a^2 b^2+a^4+b^4\right )}{\left (a^2+b^2\right )^4} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Int[Cos[c + d*x]^4/(a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x])^4,x]

[Out]

((a^4 - 6*a^2*b^2 + b^4)*x)/(a^2 + b^2)^4 + (4*a*b*(a^2 - b^2)*Log[a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x]])/((a^2 + b
^2)^4*d) - b/(3*(a^2 + b^2)*d*(a + b*Tan[c + d*x])^3) - (a*b)/((a^2 + b^2)^2*d*(a + b*Tan[c + d*x])^2) - (b*(3
*a^2 - b^2))/((a^2 + b^2)^3*d*(a + b*Tan[c + d*x]))

Rule 3086

Int[cos[(c_.) + (d_.)*(x_)]^(m_)*(cos[(c_.) + (d_.)*(x_)]*(a_.) + (b_.)*sin[(c_.) + (d_.)*(x_)])^(n_.), x_Symb
ol] :> Int[(a + b*Tan[c + d*x])^n, x] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && EqQ[m + n, 0] && IntegerQ[n] && NeQ[a^2 + b
^2, 0]

Rule 3483

Int[((a_) + (b_.)*tan[(c_.) + (d_.)*(x_)])^(n_), x_Symbol] :> Simp[(b*(a + b*Tan[c + d*x])^(n + 1))/(d*(n + 1)
*(a^2 + b^2)), x] + Dist[1/(a^2 + b^2), Int[(a - b*Tan[c + d*x])*(a + b*Tan[c + d*x])^(n + 1), x], x] /; FreeQ
[{a, b, c, d}, x] && NeQ[a^2 + b^2, 0] && LtQ[n, -1]

Rule 3529

Int[((a_.) + (b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_)*((c_.) + (d_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)]), x_Symbol] :> Simp[((
b*c - a*d)*(a + b*Tan[e + f*x])^(m + 1))/(f*(m + 1)*(a^2 + b^2)), x] + Dist[1/(a^2 + b^2), Int[(a + b*Tan[e +
f*x])^(m + 1)*Simp[a*c + b*d - (b*c - a*d)*Tan[e + f*x], x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && NeQ[b*c
- a*d, 0] && NeQ[a^2 + b^2, 0] && LtQ[m, -1]

Rule 3530

Int[((c_) + (d_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])/((a_) + (b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)]), x_Symbol] :> Simp[(c*Log[Re
moveContent[a*Cos[e + f*x] + b*Sin[e + f*x], x]])/(b*f), x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && NeQ[b*c - a*d,
0] && NeQ[a^2 + b^2, 0] && EqQ[a*c + b*d, 0]

Rule 3531

Int[((c_.) + (d_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])/((a_.) + (b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)]), x_Symbol] :> Simp[((a*c +
b*d)*x)/(a^2 + b^2), x] + Dist[(b*c - a*d)/(a^2 + b^2), Int[(b - a*Tan[e + f*x])/(a + b*Tan[e + f*x]), x], x]
/; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && NeQ[a^2 + b^2, 0] && NeQ[a*c + b*d, 0]

Rubi steps

\begin {align*} \int \frac {\cos ^4(c+d x)}{(a \cos (c+d x)+b \sin (c+d x))^4} \, dx &=\int \frac {1}{(a+b \tan (c+d x))^4} \, dx\\ &=-\frac {b}{3 \left (a^2+b^2\right ) d (a+b \tan (c+d x))^3}+\frac {\int \frac {a-b \tan (c+d x)}{(a+b \tan (c+d x))^3} \, dx}{a^2+b^2}\\ &=-\frac {b}{3 \left (a^2+b^2\right ) d (a+b \tan (c+d x))^3}-\frac {a b}{\left (a^2+b^2\right )^2 d (a+b \tan (c+d x))^2}+\frac {\int \frac {a^2-b^2-2 a b \tan (c+d x)}{(a+b \tan (c+d x))^2} \, dx}{\left (a^2+b^2\right )^2}\\ &=-\frac {b}{3 \left (a^2+b^2\right ) d (a+b \tan (c+d x))^3}-\frac {a b}{\left (a^2+b^2\right )^2 d (a+b \tan (c+d x))^2}-\frac {b \left (3 a^2-b^2\right )}{\left (a^2+b^2\right )^3 d (a+b \tan (c+d x))}+\frac {\int \frac {a \left (a^2-3 b^2\right )-b \left (3 a^2-b^2\right ) \tan (c+d x)}{a+b \tan (c+d x)} \, dx}{\left (a^2+b^2\right )^3}\\ &=\frac {\left (a^4-6 a^2 b^2+b^4\right ) x}{\left (a^2+b^2\right )^4}-\frac {b}{3 \left (a^2+b^2\right ) d (a+b \tan (c+d x))^3}-\frac {a b}{\left (a^2+b^2\right )^2 d (a+b \tan (c+d x))^2}-\frac {b \left (3 a^2-b^2\right )}{\left (a^2+b^2\right )^3 d (a+b \tan (c+d x))}+\frac {\left (4 a b \left (a^2-b^2\right )\right ) \int \frac {b-a \tan (c+d x)}{a+b \tan (c+d x)} \, dx}{\left (a^2+b^2\right )^4}\\ &=\frac {\left (a^4-6 a^2 b^2+b^4\right ) x}{\left (a^2+b^2\right )^4}+\frac {4 a b \left (a^2-b^2\right ) \log (a \cos (c+d x)+b \sin (c+d x))}{\left (a^2+b^2\right )^4 d}-\frac {b}{3 \left (a^2+b^2\right ) d (a+b \tan (c+d x))^3}-\frac {a b}{\left (a^2+b^2\right )^2 d (a+b \tan (c+d x))^2}-\frac {b \left (3 a^2-b^2\right )}{\left (a^2+b^2\right )^3 d (a+b \tan (c+d x))}\\ \end {align*}

________________________________________________________________________________________

Mathematica [C]  time = 6.24, size = 419, normalized size = 2.54 \[ \frac {\left (a^2-2 a b-b^2\right ) \left (a^2+2 a b-b^2\right ) (c+d x)}{d (a-i b)^4 (a+i b)^4}+\frac {2 \left (9 a^2 b^2 \sin (c+d x)-2 b^4 \sin (c+d x)\right )}{3 a d (a-i b)^3 (a+i b)^3 (a \cos (c+d x)+b \sin (c+d x))}-\frac {b^3 \left (6 a^2+b^2\right )}{3 a d (a-i b)^3 (a+i b)^3 (a \cos (c+d x)+b \sin (c+d x))^2}-\frac {4 i \left (a^3 b-a b^3\right ) \tan ^{-1}(\tan (c+d x))}{d \left (a^2+b^2\right )^4}+\frac {2 \left (a^3 b-a b^3\right ) \log \left ((a \cos (c+d x)+b \sin (c+d x))^2\right )}{d \left (a^2+b^2\right )^4}+\frac {4 \left (i a^{10} b+a^9 b^2+2 i a^8 b^3+2 a^7 b^4-2 i a^4 b^7-2 a^3 b^8-i a^2 b^9-a b^{10}\right ) (c+d x)}{d (a-i b)^8 (a+i b)^7}+\frac {b^4 \sin (c+d x)}{3 a d (a-i b)^2 (a+i b)^2 (a \cos (c+d x)+b \sin (c+d x))^3} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Integrate[Cos[c + d*x]^4/(a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x])^4,x]

[Out]

((a^2 - 2*a*b - b^2)*(a^2 + 2*a*b - b^2)*(c + d*x))/((a - I*b)^4*(a + I*b)^4*d) + (4*(I*a^10*b + a^9*b^2 + (2*
I)*a^8*b^3 + 2*a^7*b^4 - (2*I)*a^4*b^7 - 2*a^3*b^8 - I*a^2*b^9 - a*b^10)*(c + d*x))/((a - I*b)^8*(a + I*b)^7*d
) - ((4*I)*(a^3*b - a*b^3)*ArcTan[Tan[c + d*x]])/((a^2 + b^2)^4*d) + (2*(a^3*b - a*b^3)*Log[(a*Cos[c + d*x] +
b*Sin[c + d*x])^2])/((a^2 + b^2)^4*d) + (b^4*Sin[c + d*x])/(3*a*(a - I*b)^2*(a + I*b)^2*d*(a*Cos[c + d*x] + b*
Sin[c + d*x])^3) - (b^3*(6*a^2 + b^2))/(3*a*(a - I*b)^3*(a + I*b)^3*d*(a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x])^2) + (
2*(9*a^2*b^2*Sin[c + d*x] - 2*b^4*Sin[c + d*x]))/(3*a*(a - I*b)^3*(a + I*b)^3*d*(a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*
x]))

________________________________________________________________________________________

fricas [B]  time = 0.58, size = 575, normalized size = 3.48 \[ -\frac {{\left (54 \, a^{4} b^{3} - 30 \, a^{2} b^{5} + 4 \, b^{7} - 3 \, {\left (a^{7} - 9 \, a^{5} b^{2} + 19 \, a^{3} b^{4} - 3 \, a b^{6}\right )} d x\right )} \cos \left (d x + c\right )^{3} - 3 \, {\left (10 \, a^{4} b^{3} - 11 \, a^{2} b^{5} + b^{7} + 3 \, {\left (a^{5} b^{2} - 6 \, a^{3} b^{4} + a b^{6}\right )} d x\right )} \cos \left (d x + c\right ) - 6 \, {\left ({\left (a^{6} b - 4 \, a^{4} b^{3} + 3 \, a^{2} b^{5}\right )} \cos \left (d x + c\right )^{3} + 3 \, {\left (a^{4} b^{3} - a^{2} b^{5}\right )} \cos \left (d x + c\right ) + {\left (a^{3} b^{4} - a b^{6} + {\left (3 \, a^{5} b^{2} - 4 \, a^{3} b^{4} + a b^{6}\right )} \cos \left (d x + c\right )^{2}\right )} \sin \left (d x + c\right )\right )} \log \left (2 \, a b \cos \left (d x + c\right ) \sin \left (d x + c\right ) + {\left (a^{2} - b^{2}\right )} \cos \left (d x + c\right )^{2} + b^{2}\right ) - {\left (13 \, a^{3} b^{4} - 9 \, a b^{6} + 3 \, {\left (a^{4} b^{3} - 6 \, a^{2} b^{5} + b^{7}\right )} d x + {\left (18 \, a^{5} b^{2} - 58 \, a^{3} b^{4} + 12 \, a b^{6} + 3 \, {\left (3 \, a^{6} b - 19 \, a^{4} b^{3} + 9 \, a^{2} b^{5} - b^{7}\right )} d x\right )} \cos \left (d x + c\right )^{2}\right )} \sin \left (d x + c\right )}{3 \, {\left ({\left (a^{11} + a^{9} b^{2} - 6 \, a^{7} b^{4} - 14 \, a^{5} b^{6} - 11 \, a^{3} b^{8} - 3 \, a b^{10}\right )} d \cos \left (d x + c\right )^{3} + 3 \, {\left (a^{9} b^{2} + 4 \, a^{7} b^{4} + 6 \, a^{5} b^{6} + 4 \, a^{3} b^{8} + a b^{10}\right )} d \cos \left (d x + c\right ) + {\left ({\left (3 \, a^{10} b + 11 \, a^{8} b^{3} + 14 \, a^{6} b^{5} + 6 \, a^{4} b^{7} - a^{2} b^{9} - b^{11}\right )} d \cos \left (d x + c\right )^{2} + {\left (a^{8} b^{3} + 4 \, a^{6} b^{5} + 6 \, a^{4} b^{7} + 4 \, a^{2} b^{9} + b^{11}\right )} d\right )} \sin \left (d x + c\right )\right )}} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(cos(d*x+c)^4/(a*cos(d*x+c)+b*sin(d*x+c))^4,x, algorithm="fricas")

[Out]

-1/3*((54*a^4*b^3 - 30*a^2*b^5 + 4*b^7 - 3*(a^7 - 9*a^5*b^2 + 19*a^3*b^4 - 3*a*b^6)*d*x)*cos(d*x + c)^3 - 3*(1
0*a^4*b^3 - 11*a^2*b^5 + b^7 + 3*(a^5*b^2 - 6*a^3*b^4 + a*b^6)*d*x)*cos(d*x + c) - 6*((a^6*b - 4*a^4*b^3 + 3*a
^2*b^5)*cos(d*x + c)^3 + 3*(a^4*b^3 - a^2*b^5)*cos(d*x + c) + (a^3*b^4 - a*b^6 + (3*a^5*b^2 - 4*a^3*b^4 + a*b^
6)*cos(d*x + c)^2)*sin(d*x + c))*log(2*a*b*cos(d*x + c)*sin(d*x + c) + (a^2 - b^2)*cos(d*x + c)^2 + b^2) - (13
*a^3*b^4 - 9*a*b^6 + 3*(a^4*b^3 - 6*a^2*b^5 + b^7)*d*x + (18*a^5*b^2 - 58*a^3*b^4 + 12*a*b^6 + 3*(3*a^6*b - 19
*a^4*b^3 + 9*a^2*b^5 - b^7)*d*x)*cos(d*x + c)^2)*sin(d*x + c))/((a^11 + a^9*b^2 - 6*a^7*b^4 - 14*a^5*b^6 - 11*
a^3*b^8 - 3*a*b^10)*d*cos(d*x + c)^3 + 3*(a^9*b^2 + 4*a^7*b^4 + 6*a^5*b^6 + 4*a^3*b^8 + a*b^10)*d*cos(d*x + c)
+ ((3*a^10*b + 11*a^8*b^3 + 14*a^6*b^5 + 6*a^4*b^7 - a^2*b^9 - b^11)*d*cos(d*x + c)^2 + (a^8*b^3 + 4*a^6*b^5
+ 6*a^4*b^7 + 4*a^2*b^9 + b^11)*d)*sin(d*x + c))

________________________________________________________________________________________

giac [B]  time = 1.82, size = 370, normalized size = 2.24 \[ \frac {\frac {3 \, {\left (a^{4} - 6 \, a^{2} b^{2} + b^{4}\right )} {\left (d x + c\right )}}{a^{8} + 4 \, a^{6} b^{2} + 6 \, a^{4} b^{4} + 4 \, a^{2} b^{6} + b^{8}} - \frac {6 \, {\left (a^{3} b - a b^{3}\right )} \log \left (\tan \left (d x + c\right )^{2} + 1\right )}{a^{8} + 4 \, a^{6} b^{2} + 6 \, a^{4} b^{4} + 4 \, a^{2} b^{6} + b^{8}} + \frac {12 \, {\left (a^{3} b^{2} - a b^{4}\right )} \log \left ({\left | b \tan \left (d x + c\right ) + a \right |}\right )}{a^{8} b + 4 \, a^{6} b^{3} + 6 \, a^{4} b^{5} + 4 \, a^{2} b^{7} + b^{9}} - \frac {22 \, a^{3} b^{4} \tan \left (d x + c\right )^{3} - 22 \, a b^{6} \tan \left (d x + c\right )^{3} + 75 \, a^{4} b^{3} \tan \left (d x + c\right )^{2} - 60 \, a^{2} b^{5} \tan \left (d x + c\right )^{2} - 3 \, b^{7} \tan \left (d x + c\right )^{2} + 87 \, a^{5} b^{2} \tan \left (d x + c\right ) - 48 \, a^{3} b^{4} \tan \left (d x + c\right ) - 3 \, a b^{6} \tan \left (d x + c\right ) + 35 \, a^{6} b - 7 \, a^{4} b^{3} + 3 \, a^{2} b^{5} + b^{7}}{{\left (a^{8} + 4 \, a^{6} b^{2} + 6 \, a^{4} b^{4} + 4 \, a^{2} b^{6} + b^{8}\right )} {\left (b \tan \left (d x + c\right ) + a\right )}^{3}}}{3 \, d} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(cos(d*x+c)^4/(a*cos(d*x+c)+b*sin(d*x+c))^4,x, algorithm="giac")

[Out]

1/3*(3*(a^4 - 6*a^2*b^2 + b^4)*(d*x + c)/(a^8 + 4*a^6*b^2 + 6*a^4*b^4 + 4*a^2*b^6 + b^8) - 6*(a^3*b - a*b^3)*l
og(tan(d*x + c)^2 + 1)/(a^8 + 4*a^6*b^2 + 6*a^4*b^4 + 4*a^2*b^6 + b^8) + 12*(a^3*b^2 - a*b^4)*log(abs(b*tan(d*
x + c) + a))/(a^8*b + 4*a^6*b^3 + 6*a^4*b^5 + 4*a^2*b^7 + b^9) - (22*a^3*b^4*tan(d*x + c)^3 - 22*a*b^6*tan(d*x
+ c)^3 + 75*a^4*b^3*tan(d*x + c)^2 - 60*a^2*b^5*tan(d*x + c)^2 - 3*b^7*tan(d*x + c)^2 + 87*a^5*b^2*tan(d*x +
c) - 48*a^3*b^4*tan(d*x + c) - 3*a*b^6*tan(d*x + c) + 35*a^6*b - 7*a^4*b^3 + 3*a^2*b^5 + b^7)/((a^8 + 4*a^6*b^
2 + 6*a^4*b^4 + 4*a^2*b^6 + b^8)*(b*tan(d*x + c) + a)^3))/d

________________________________________________________________________________________

maple [A]  time = 0.30, size = 304, normalized size = 1.84 \[ -\frac {b}{3 \left (a^{2}+b^{2}\right ) d \left (a +b \tan \left (d x +c \right )\right )^{3}}-\frac {3 b \,a^{2}}{d \left (a^{2}+b^{2}\right )^{3} \left (a +b \tan \left (d x +c \right )\right )}+\frac {b^{3}}{d \left (a^{2}+b^{2}\right )^{3} \left (a +b \tan \left (d x +c \right )\right )}-\frac {a b}{\left (a^{2}+b^{2}\right )^{2} d \left (a +b \tan \left (d x +c \right )\right )^{2}}+\frac {4 b \,a^{3} \ln \left (a +b \tan \left (d x +c \right )\right )}{d \left (a^{2}+b^{2}\right )^{4}}-\frac {4 b^{3} a \ln \left (a +b \tan \left (d x +c \right )\right )}{d \left (a^{2}+b^{2}\right )^{4}}-\frac {2 \ln \left (\tan ^{2}\left (d x +c \right )+1\right ) a^{3} b}{d \left (a^{2}+b^{2}\right )^{4}}+\frac {2 \ln \left (\tan ^{2}\left (d x +c \right )+1\right ) a \,b^{3}}{d \left (a^{2}+b^{2}\right )^{4}}+\frac {\arctan \left (\tan \left (d x +c \right )\right ) a^{4}}{d \left (a^{2}+b^{2}\right )^{4}}-\frac {6 \arctan \left (\tan \left (d x +c \right )\right ) a^{2} b^{2}}{d \left (a^{2}+b^{2}\right )^{4}}+\frac {\arctan \left (\tan \left (d x +c \right )\right ) b^{4}}{d \left (a^{2}+b^{2}\right )^{4}} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int(cos(d*x+c)^4/(a*cos(d*x+c)+b*sin(d*x+c))^4,x)

[Out]

-1/3*b/(a^2+b^2)/d/(a+b*tan(d*x+c))^3-3/d*b/(a^2+b^2)^3/(a+b*tan(d*x+c))*a^2+1/d*b^3/(a^2+b^2)^3/(a+b*tan(d*x+
c))-a*b/(a^2+b^2)^2/d/(a+b*tan(d*x+c))^2+4/d*b*a^3/(a^2+b^2)^4*ln(a+b*tan(d*x+c))-4/d*b^3*a/(a^2+b^2)^4*ln(a+b
*tan(d*x+c))-2/d/(a^2+b^2)^4*ln(tan(d*x+c)^2+1)*a^3*b+2/d/(a^2+b^2)^4*ln(tan(d*x+c)^2+1)*a*b^3+1/d/(a^2+b^2)^4
*arctan(tan(d*x+c))*a^4-6/d/(a^2+b^2)^4*arctan(tan(d*x+c))*a^2*b^2+1/d/(a^2+b^2)^4*arctan(tan(d*x+c))*b^4

________________________________________________________________________________________

maxima [B]  time = 0.43, size = 385, normalized size = 2.33 \[ \frac {\frac {3 \, {\left (a^{4} - 6 \, a^{2} b^{2} + b^{4}\right )} {\left (d x + c\right )}}{a^{8} + 4 \, a^{6} b^{2} + 6 \, a^{4} b^{4} + 4 \, a^{2} b^{6} + b^{8}} + \frac {12 \, {\left (a^{3} b - a b^{3}\right )} \log \left (b \tan \left (d x + c\right ) + a\right )}{a^{8} + 4 \, a^{6} b^{2} + 6 \, a^{4} b^{4} + 4 \, a^{2} b^{6} + b^{8}} - \frac {6 \, {\left (a^{3} b - a b^{3}\right )} \log \left (\tan \left (d x + c\right )^{2} + 1\right )}{a^{8} + 4 \, a^{6} b^{2} + 6 \, a^{4} b^{4} + 4 \, a^{2} b^{6} + b^{8}} - \frac {13 \, a^{4} b + 2 \, a^{2} b^{3} + b^{5} + 3 \, {\left (3 \, a^{2} b^{3} - b^{5}\right )} \tan \left (d x + c\right )^{2} + 3 \, {\left (7 \, a^{3} b^{2} - a b^{4}\right )} \tan \left (d x + c\right )}{a^{9} + 3 \, a^{7} b^{2} + 3 \, a^{5} b^{4} + a^{3} b^{6} + {\left (a^{6} b^{3} + 3 \, a^{4} b^{5} + 3 \, a^{2} b^{7} + b^{9}\right )} \tan \left (d x + c\right )^{3} + 3 \, {\left (a^{7} b^{2} + 3 \, a^{5} b^{4} + 3 \, a^{3} b^{6} + a b^{8}\right )} \tan \left (d x + c\right )^{2} + 3 \, {\left (a^{8} b + 3 \, a^{6} b^{3} + 3 \, a^{4} b^{5} + a^{2} b^{7}\right )} \tan \left (d x + c\right )}}{3 \, d} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(cos(d*x+c)^4/(a*cos(d*x+c)+b*sin(d*x+c))^4,x, algorithm="maxima")

[Out]

1/3*(3*(a^4 - 6*a^2*b^2 + b^4)*(d*x + c)/(a^8 + 4*a^6*b^2 + 6*a^4*b^4 + 4*a^2*b^6 + b^8) + 12*(a^3*b - a*b^3)*
log(b*tan(d*x + c) + a)/(a^8 + 4*a^6*b^2 + 6*a^4*b^4 + 4*a^2*b^6 + b^8) - 6*(a^3*b - a*b^3)*log(tan(d*x + c)^2
+ 1)/(a^8 + 4*a^6*b^2 + 6*a^4*b^4 + 4*a^2*b^6 + b^8) - (13*a^4*b + 2*a^2*b^3 + b^5 + 3*(3*a^2*b^3 - b^5)*tan(
d*x + c)^2 + 3*(7*a^3*b^2 - a*b^4)*tan(d*x + c))/(a^9 + 3*a^7*b^2 + 3*a^5*b^4 + a^3*b^6 + (a^6*b^3 + 3*a^4*b^5
+ 3*a^2*b^7 + b^9)*tan(d*x + c)^3 + 3*(a^7*b^2 + 3*a^5*b^4 + 3*a^3*b^6 + a*b^8)*tan(d*x + c)^2 + 3*(a^8*b + 3
*a^6*b^3 + 3*a^4*b^5 + a^2*b^7)*tan(d*x + c)))/d

________________________________________________________________________________________

mupad [B]  time = 12.55, size = 8586, normalized size = 52.04 \[ \text {result too large to display} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int(cos(c + d*x)^4/(a*cos(c + d*x) + b*sin(c + d*x))^4,x)

[Out]

((4*tan(c/2 + (d*x)/2)^2*(b^7 + 3*a^2*b^5 + 10*a^4*b^3))/(a^2*(a^6 + b^6 + 3*a^2*b^4 + 3*a^4*b^2)) - (4*tan(c/
2 + (d*x)/2)^4*(b^7 + 3*a^2*b^5 + 10*a^4*b^3))/(a^2*(a^6 + b^6 + 3*a^2*b^4 + 3*a^4*b^2)) + (2*b*tan(c/2 + (d*x
)/2)^5*(6*a^4*b + b^5 + 3*a^2*b^3))/(a*(a^6 + b^6 + 3*a^2*b^4 + 3*a^4*b^2)) + (4*b*tan(c/2 + (d*x)/2)^3*(2*b^7
- 18*a^6*b + a^2*b^5 + 17*a^4*b^3))/(3*a^3*(a^6 + b^6 + 3*a^2*b^4 + 3*a^4*b^2)) + (2*b*tan(c/2 + (d*x)/2)*(6*
a^4*b + b^5 + 3*a^2*b^3))/(a*(a^6 + b^6 + 3*a^2*b^4 + 3*a^4*b^2)))/(d*(tan(c/2 + (d*x)/2)^2*(12*a*b^2 - 3*a^3)
- a^3*tan(c/2 + (d*x)/2)^6 - tan(c/2 + (d*x)/2)^4*(12*a*b^2 - 3*a^3) - tan(c/2 + (d*x)/2)^3*(12*a^2*b - 8*b^3
) + a^3 + 6*a^2*b*tan(c/2 + (d*x)/2) + 6*a^2*b*tan(c/2 + (d*x)/2)^5)) - (log(a + 2*b*tan(c/2 + (d*x)/2) - a*ta
n(c/2 + (d*x)/2)^2)*(4*a*b^3 - 4*a^3*b))/(d*(a^8 + b^8 + 4*a^2*b^6 + 6*a^4*b^4 + 4*a^6*b^2)) + (log((((-(a^4 +
b^4 - 6*a^2*b^2)^2/(a^2 + b^2)^8)^(1/2) - (4*a*b*(a^2 - b^2))/(a^2 + b^2)^4)*(((-(a^4 + b^4 - 6*a^2*b^2)^2/(a
^2 + b^2)^8)^(1/2) - (4*a*b*(a^2 - b^2))/(a^2 + b^2)^4)*((32*a*(a^6 - b^6 + 11*a^2*b^4 - 11*a^4*b^2))/(a^2 + b
^2)^3 + 96*a*b*((-(a^4 + b^4 - 6*a^2*b^2)^2/(a^2 + b^2)^8)^(1/2) - (4*a*b*(a^2 - b^2))/(a^2 + b^2)^4)*(a + b*t
an(c/2 + (d*x)/2))*(a^2 + b^2) - (64*a^2*b*tan(c/2 + (d*x)/2)*(b^4 - 5*a^4 + 8*a^2*b^2))/(a^2 + b^2)^3) - (32*
a^2*b*(7*a^4 + 7*b^4 - 18*a^2*b^2))/(a^2 + b^2)^5 + (32*a*tan(c/2 + (d*x)/2)*(a^8 + 2*b^8 - 57*a^2*b^6 + 105*a
^4*b^4 - 27*a^6*b^2))/(a^2 + b^2)^6) + (128*a^3*b^2*(3*a^6 - 3*b^6 + 13*a^2*b^4 - 13*a^4*b^2))/(a^2 + b^2)^9 -
(128*a^2*b*tan(c/2 + (d*x)/2)*(a^8 - 2*b^8 + 5*a^2*b^6 - 15*a^4*b^4 + 11*a^6*b^2))/(a^2 + b^2)^9)*(((-(a^4 +
b^4 - 6*a^2*b^2)^2/(a^2 + b^2)^8)^(1/2) + (4*a*b*(a^2 - b^2))/(a^2 + b^2)^4)*(((-(a^4 + b^4 - 6*a^2*b^2)^2/(a^
2 + b^2)^8)^(1/2) + (4*a*b*(a^2 - b^2))/(a^2 + b^2)^4)*(96*a*b*((-(a^4 + b^4 - 6*a^2*b^2)^2/(a^2 + b^2)^8)^(1/
2) + (4*a*b*(a^2 - b^2))/(a^2 + b^2)^4)*(a + b*tan(c/2 + (d*x)/2))*(a^2 + b^2) - (32*a*(a^6 - b^6 + 11*a^2*b^4
- 11*a^4*b^2))/(a^2 + b^2)^3 + (64*a^2*b*tan(c/2 + (d*x)/2)*(b^4 - 5*a^4 + 8*a^2*b^2))/(a^2 + b^2)^3) - (32*a
^2*b*(7*a^4 + 7*b^4 - 18*a^2*b^2))/(a^2 + b^2)^5 + (32*a*tan(c/2 + (d*x)/2)*(a^8 + 2*b^8 - 57*a^2*b^6 + 105*a^
4*b^4 - 27*a^6*b^2))/(a^2 + b^2)^6) - (128*a^3*b^2*(3*a^6 - 3*b^6 + 13*a^2*b^4 - 13*a^4*b^2))/(a^2 + b^2)^9 +
(128*a^2*b*tan(c/2 + (d*x)/2)*(a^8 - 2*b^8 + 5*a^2*b^6 - 15*a^4*b^4 + 11*a^6*b^2))/(a^2 + b^2)^9))*(8*a*b^3 -
8*a^3*b))/(2*d*(a^8 + b^8 + 4*a^2*b^6 + 6*a^4*b^4 + 4*a^6*b^2)) - (2*atan((tan(c/2 + (d*x)/2)*((((32*(4*a^10*b
- 8*a^2*b^9 + 20*a^4*b^7 - 60*a^6*b^5 + 44*a^8*b^3))/(a^18 + b^18 + 9*a^2*b^16 + 36*a^4*b^14 + 84*a^6*b^12 +
126*a^8*b^10 + 126*a^10*b^8 + 84*a^12*b^6 + 36*a^14*b^4 + 9*a^16*b^2) - (((32*(2*a*b^14 + a^15 - 51*a^3*b^12 -
60*a^5*b^10 + 119*a^7*b^8 + 178*a^9*b^6 + 27*a^11*b^4 - 24*a^13*b^2))/(a^18 + b^18 + 9*a^2*b^16 + 36*a^4*b^14
+ 84*a^6*b^12 + 126*a^8*b^10 + 126*a^10*b^8 + 84*a^12*b^6 + 36*a^14*b^4 + 9*a^16*b^2) - ((8*a*b^3 - 8*a^3*b)*
((32*(2*a^2*b^17 - 10*a^18*b + 28*a^4*b^15 + 116*a^6*b^13 + 220*a^8*b^11 + 200*a^10*b^9 + 52*a^12*b^7 - 52*a^1
4*b^5 - 44*a^16*b^3))/(a^18 + b^18 + 9*a^2*b^16 + 36*a^4*b^14 + 84*a^6*b^12 + 126*a^8*b^10 + 126*a^10*b^8 + 84
*a^12*b^6 + 36*a^14*b^4 + 9*a^16*b^2) - (16*(8*a*b^3 - 8*a^3*b)*(3*a*b^22 + 30*a^3*b^20 + 135*a^5*b^18 + 360*a
^7*b^16 + 630*a^9*b^14 + 756*a^11*b^12 + 630*a^13*b^10 + 360*a^15*b^8 + 135*a^17*b^6 + 30*a^19*b^4 + 3*a^21*b^
2))/((a^8 + b^8 + 4*a^2*b^6 + 6*a^4*b^4 + 4*a^6*b^2)*(a^18 + b^18 + 9*a^2*b^16 + 36*a^4*b^14 + 84*a^6*b^12 + 1
26*a^8*b^10 + 126*a^10*b^8 + 84*a^12*b^6 + 36*a^14*b^4 + 9*a^16*b^2))))/(2*(a^8 + b^8 + 4*a^2*b^6 + 6*a^4*b^4
+ 4*a^6*b^2)))*(8*a*b^3 - 8*a^3*b))/(2*(a^8 + b^8 + 4*a^2*b^6 + 6*a^4*b^4 + 4*a^6*b^2)) - (((((32*(2*a^2*b^17
- 10*a^18*b + 28*a^4*b^15 + 116*a^6*b^13 + 220*a^8*b^11 + 200*a^10*b^9 + 52*a^12*b^7 - 52*a^14*b^5 - 44*a^16*b
^3))/(a^18 + b^18 + 9*a^2*b^16 + 36*a^4*b^14 + 84*a^6*b^12 + 126*a^8*b^10 + 126*a^10*b^8 + 84*a^12*b^6 + 36*a^
14*b^4 + 9*a^16*b^2) - (16*(8*a*b^3 - 8*a^3*b)*(3*a*b^22 + 30*a^3*b^20 + 135*a^5*b^18 + 360*a^7*b^16 + 630*a^9
*b^14 + 756*a^11*b^12 + 630*a^13*b^10 + 360*a^15*b^8 + 135*a^17*b^6 + 30*a^19*b^4 + 3*a^21*b^2))/((a^8 + b^8 +
4*a^2*b^6 + 6*a^4*b^4 + 4*a^6*b^2)*(a^18 + b^18 + 9*a^2*b^16 + 36*a^4*b^14 + 84*a^6*b^12 + 126*a^8*b^10 + 126
*a^10*b^8 + 84*a^12*b^6 + 36*a^14*b^4 + 9*a^16*b^2)))*(2*a*b - a^2 + b^2)*(2*a*b + a^2 - b^2))/(a^8 + b^8 + 4*
a^2*b^6 + 6*a^4*b^4 + 4*a^6*b^2) - (16*(8*a*b^3 - 8*a^3*b)*(2*a*b - a^2 + b^2)*(2*a*b + a^2 - b^2)*(3*a*b^22 +
30*a^3*b^20 + 135*a^5*b^18 + 360*a^7*b^16 + 630*a^9*b^14 + 756*a^11*b^12 + 630*a^13*b^10 + 360*a^15*b^8 + 135
*a^17*b^6 + 30*a^19*b^4 + 3*a^21*b^2))/((a^8 + b^8 + 4*a^2*b^6 + 6*a^4*b^4 + 4*a^6*b^2)^2*(a^18 + b^18 + 9*a^2
*b^16 + 36*a^4*b^14 + 84*a^6*b^12 + 126*a^8*b^10 + 126*a^10*b^8 + 84*a^12*b^6 + 36*a^14*b^4 + 9*a^16*b^2)))*(2
*a*b - a^2 + b^2)*(2*a*b + a^2 - b^2))/(a^8 + b^8 + 4*a^2*b^6 + 6*a^4*b^4 + 4*a^6*b^2) + (16*(8*a*b^3 - 8*a^3*
b)*(2*a*b - a^2 + b^2)^2*(2*a*b + a^2 - b^2)^2*(3*a*b^22 + 30*a^3*b^20 + 135*a^5*b^18 + 360*a^7*b^16 + 630*a^9
*b^14 + 756*a^11*b^12 + 630*a^13*b^10 + 360*a^15*b^8 + 135*a^17*b^6 + 30*a^19*b^4 + 3*a^21*b^2))/((a^8 + b^8 +
4*a^2*b^6 + 6*a^4*b^4 + 4*a^6*b^2)^3*(a^18 + b^18 + 9*a^2*b^16 + 36*a^4*b^14 + 84*a^6*b^12 + 126*a^8*b^10 + 1
26*a^10*b^8 + 84*a^12*b^6 + 36*a^14*b^4 + 9*a^16*b^2)))*(18*a*b^9 + 18*a^9*b - 280*a^3*b^7 + 556*a^5*b^5 - 280
*a^7*b^3))/(a^10 + b^10 + 53*a^2*b^8 - 38*a^4*b^6 - 38*a^6*b^4 + 53*a^8*b^2)^2 + ((((8*a*b^3 - 8*a^3*b)*((((32
*(2*a^2*b^17 - 10*a^18*b + 28*a^4*b^15 + 116*a^6*b^13 + 220*a^8*b^11 + 200*a^10*b^9 + 52*a^12*b^7 - 52*a^14*b^
5 - 44*a^16*b^3))/(a^18 + b^18 + 9*a^2*b^16 + 36*a^4*b^14 + 84*a^6*b^12 + 126*a^8*b^10 + 126*a^10*b^8 + 84*a^1
2*b^6 + 36*a^14*b^4 + 9*a^16*b^2) - (16*(8*a*b^3 - 8*a^3*b)*(3*a*b^22 + 30*a^3*b^20 + 135*a^5*b^18 + 360*a^7*b
^16 + 630*a^9*b^14 + 756*a^11*b^12 + 630*a^13*b^10 + 360*a^15*b^8 + 135*a^17*b^6 + 30*a^19*b^4 + 3*a^21*b^2))/
((a^8 + b^8 + 4*a^2*b^6 + 6*a^4*b^4 + 4*a^6*b^2)*(a^18 + b^18 + 9*a^2*b^16 + 36*a^4*b^14 + 84*a^6*b^12 + 126*a
^8*b^10 + 126*a^10*b^8 + 84*a^12*b^6 + 36*a^14*b^4 + 9*a^16*b^2)))*(2*a*b - a^2 + b^2)*(2*a*b + a^2 - b^2))/(a
^8 + b^8 + 4*a^2*b^6 + 6*a^4*b^4 + 4*a^6*b^2) - (16*(8*a*b^3 - 8*a^3*b)*(2*a*b - a^2 + b^2)*(2*a*b + a^2 - b^2
)*(3*a*b^22 + 30*a^3*b^20 + 135*a^5*b^18 + 360*a^7*b^16 + 630*a^9*b^14 + 756*a^11*b^12 + 630*a^13*b^10 + 360*a
^15*b^8 + 135*a^17*b^6 + 30*a^19*b^4 + 3*a^21*b^2))/((a^8 + b^8 + 4*a^2*b^6 + 6*a^4*b^4 + 4*a^6*b^2)^2*(a^18 +
b^18 + 9*a^2*b^16 + 36*a^4*b^14 + 84*a^6*b^12 + 126*a^8*b^10 + 126*a^10*b^8 + 84*a^12*b^6 + 36*a^14*b^4 + 9*a
^16*b^2))))/(2*(a^8 + b^8 + 4*a^2*b^6 + 6*a^4*b^4 + 4*a^6*b^2)) - (((32*(2*a*b^14 + a^15 - 51*a^3*b^12 - 60*a^
5*b^10 + 119*a^7*b^8 + 178*a^9*b^6 + 27*a^11*b^4 - 24*a^13*b^2))/(a^18 + b^18 + 9*a^2*b^16 + 36*a^4*b^14 + 84*
a^6*b^12 + 126*a^8*b^10 + 126*a^10*b^8 + 84*a^12*b^6 + 36*a^14*b^4 + 9*a^16*b^2) - ((8*a*b^3 - 8*a^3*b)*((32*(
2*a^2*b^17 - 10*a^18*b + 28*a^4*b^15 + 116*a^6*b^13 + 220*a^8*b^11 + 200*a^10*b^9 + 52*a^12*b^7 - 52*a^14*b^5
- 44*a^16*b^3))/(a^18 + b^18 + 9*a^2*b^16 + 36*a^4*b^14 + 84*a^6*b^12 + 126*a^8*b^10 + 126*a^10*b^8 + 84*a^12*
b^6 + 36*a^14*b^4 + 9*a^16*b^2) - (16*(8*a*b^3 - 8*a^3*b)*(3*a*b^22 + 30*a^3*b^20 + 135*a^5*b^18 + 360*a^7*b^1
6 + 630*a^9*b^14 + 756*a^11*b^12 + 630*a^13*b^10 + 360*a^15*b^8 + 135*a^17*b^6 + 30*a^19*b^4 + 3*a^21*b^2))/((
a^8 + b^8 + 4*a^2*b^6 + 6*a^4*b^4 + 4*a^6*b^2)*(a^18 + b^18 + 9*a^2*b^16 + 36*a^4*b^14 + 84*a^6*b^12 + 126*a^8
*b^10 + 126*a^10*b^8 + 84*a^12*b^6 + 36*a^14*b^4 + 9*a^16*b^2))))/(2*(a^8 + b^8 + 4*a^2*b^6 + 6*a^4*b^4 + 4*a^
6*b^2)))*(2*a*b - a^2 + b^2)*(2*a*b + a^2 - b^2))/(a^8 + b^8 + 4*a^2*b^6 + 6*a^4*b^4 + 4*a^6*b^2) + (32*(2*a*b
- a^2 + b^2)^3*(2*a*b + a^2 - b^2)^3*(3*a*b^22 + 30*a^3*b^20 + 135*a^5*b^18 + 360*a^7*b^16 + 630*a^9*b^14 + 7
56*a^11*b^12 + 630*a^13*b^10 + 360*a^15*b^8 + 135*a^17*b^6 + 30*a^19*b^4 + 3*a^21*b^2))/((a^8 + b^8 + 4*a^2*b^
6 + 6*a^4*b^4 + 4*a^6*b^2)^3*(a^18 + b^18 + 9*a^2*b^16 + 36*a^4*b^14 + 84*a^6*b^12 + 126*a^8*b^10 + 126*a^10*b
^8 + 84*a^12*b^6 + 36*a^14*b^4 + 9*a^16*b^2)))*(a^10 - b^10 + 109*a^2*b^8 - 466*a^4*b^6 + 466*a^6*b^4 - 109*a^
8*b^2))/(a^10 + b^10 + 53*a^2*b^8 - 38*a^4*b^6 - 38*a^6*b^4 + 53*a^8*b^2)^2)*(a^22 + b^22 + 11*a^2*b^20 + 55*a
^4*b^18 + 165*a^6*b^16 + 330*a^8*b^14 + 462*a^10*b^12 + 462*a^12*b^10 + 330*a^14*b^8 + 165*a^16*b^6 + 55*a^18*
b^4 + 11*a^20*b^2))/(32*a*b^4 + 32*a^5 - 192*a^3*b^2) + ((((8*a*b^3 - 8*a^3*b)*((((32*(a*b^18 - a^19 - 5*a^3*b
^16 - 40*a^5*b^14 - 80*a^7*b^12 - 46*a^9*b^10 + 46*a^11*b^8 + 80*a^13*b^6 + 40*a^15*b^4 + 5*a^17*b^2))/(a^18 +
b^18 + 9*a^2*b^16 + 36*a^4*b^14 + 84*a^6*b^12 + 126*a^8*b^10 + 126*a^10*b^8 + 84*a^12*b^6 + 36*a^14*b^4 + 9*a
^16*b^2) - (16*(8*a*b^3 - 8*a^3*b)*(3*a^22*b + 3*a^2*b^21 + 30*a^4*b^19 + 135*a^6*b^17 + 360*a^8*b^15 + 630*a^
10*b^13 + 756*a^12*b^11 + 630*a^14*b^9 + 360*a^16*b^7 + 135*a^18*b^5 + 30*a^20*b^3))/((a^8 + b^8 + 4*a^2*b^6 +
6*a^4*b^4 + 4*a^6*b^2)*(a^18 + b^18 + 9*a^2*b^16 + 36*a^4*b^14 + 84*a^6*b^12 + 126*a^8*b^10 + 126*a^10*b^8 +
84*a^12*b^6 + 36*a^14*b^4 + 9*a^16*b^2)))*(2*a*b - a^2 + b^2)*(2*a*b + a^2 - b^2))/(a^8 + b^8 + 4*a^2*b^6 + 6*
a^4*b^4 + 4*a^6*b^2) - (16*(8*a*b^3 - 8*a^3*b)*(2*a*b - a^2 + b^2)*(2*a*b + a^2 - b^2)*(3*a^22*b + 3*a^2*b^21
+ 30*a^4*b^19 + 135*a^6*b^17 + 360*a^8*b^15 + 630*a^10*b^13 + 756*a^12*b^11 + 630*a^14*b^9 + 360*a^16*b^7 + 13
5*a^18*b^5 + 30*a^20*b^3))/((a^8 + b^8 + 4*a^2*b^6 + 6*a^4*b^4 + 4*a^6*b^2)^2*(a^18 + b^18 + 9*a^2*b^16 + 36*a
^4*b^14 + 84*a^6*b^12 + 126*a^8*b^10 + 126*a^10*b^8 + 84*a^12*b^6 + 36*a^14*b^4 + 9*a^16*b^2))))/(2*(a^8 + b^8
+ 4*a^2*b^6 + 6*a^4*b^4 + 4*a^6*b^2)) + (((32*(7*a^14*b + 7*a^2*b^13 + 10*a^4*b^11 - 23*a^6*b^9 - 52*a^8*b^7
- 23*a^10*b^5 + 10*a^12*b^3))/(a^18 + b^18 + 9*a^2*b^16 + 36*a^4*b^14 + 84*a^6*b^12 + 126*a^8*b^10 + 126*a^10*
b^8 + 84*a^12*b^6 + 36*a^14*b^4 + 9*a^16*b^2) + ((8*a*b^3 - 8*a^3*b)*((32*(a*b^18 - a^19 - 5*a^3*b^16 - 40*a^5
*b^14 - 80*a^7*b^12 - 46*a^9*b^10 + 46*a^11*b^8 + 80*a^13*b^6 + 40*a^15*b^4 + 5*a^17*b^2))/(a^18 + b^18 + 9*a^
2*b^16 + 36*a^4*b^14 + 84*a^6*b^12 + 126*a^8*b^10 + 126*a^10*b^8 + 84*a^12*b^6 + 36*a^14*b^4 + 9*a^16*b^2) - (
16*(8*a*b^3 - 8*a^3*b)*(3*a^22*b + 3*a^2*b^21 + 30*a^4*b^19 + 135*a^6*b^17 + 360*a^8*b^15 + 630*a^10*b^13 + 75
6*a^12*b^11 + 630*a^14*b^9 + 360*a^16*b^7 + 135*a^18*b^5 + 30*a^20*b^3))/((a^8 + b^8 + 4*a^2*b^6 + 6*a^4*b^4 +
4*a^6*b^2)*(a^18 + b^18 + 9*a^2*b^16 + 36*a^4*b^14 + 84*a^6*b^12 + 126*a^8*b^10 + 126*a^10*b^8 + 84*a^12*b^6
+ 36*a^14*b^4 + 9*a^16*b^2))))/(2*(a^8 + b^8 + 4*a^2*b^6 + 6*a^4*b^4 + 4*a^6*b^2)))*(2*a*b - a^2 + b^2)*(2*a*b
+ a^2 - b^2))/(a^8 + b^8 + 4*a^2*b^6 + 6*a^4*b^4 + 4*a^6*b^2) + (32*(2*a*b - a^2 + b^2)^3*(2*a*b + a^2 - b^2)
^3*(3*a^22*b + 3*a^2*b^21 + 30*a^4*b^19 + 135*a^6*b^17 + 360*a^8*b^15 + 630*a^10*b^13 + 756*a^12*b^11 + 630*a^
14*b^9 + 360*a^16*b^7 + 135*a^18*b^5 + 30*a^20*b^3))/((a^8 + b^8 + 4*a^2*b^6 + 6*a^4*b^4 + 4*a^6*b^2)^3*(a^18
+ b^18 + 9*a^2*b^16 + 36*a^4*b^14 + 84*a^6*b^12 + 126*a^8*b^10 + 126*a^10*b^8 + 84*a^12*b^6 + 36*a^14*b^4 + 9*
a^16*b^2)))*(a^10 - b^10 + 109*a^2*b^8 - 466*a^4*b^6 + 466*a^6*b^4 - 109*a^8*b^2)*(a^22 + b^22 + 11*a^2*b^20 +
55*a^4*b^18 + 165*a^6*b^16 + 330*a^8*b^14 + 462*a^10*b^12 + 462*a^12*b^10 + 330*a^14*b^8 + 165*a^16*b^6 + 55*
a^18*b^4 + 11*a^20*b^2))/((32*a*b^4 + 32*a^5 - 192*a^3*b^2)*(a^10 + b^10 + 53*a^2*b^8 - 38*a^4*b^6 - 38*a^6*b^
4 + 53*a^8*b^2)^2) + (((32*(12*a^3*b^8 - 52*a^5*b^6 + 52*a^7*b^4 - 12*a^9*b^2))/(a^18 + b^18 + 9*a^2*b^16 + 36
*a^4*b^14 + 84*a^6*b^12 + 126*a^8*b^10 + 126*a^10*b^8 + 84*a^12*b^6 + 36*a^14*b^4 + 9*a^16*b^2) + ((8*a*b^3 -
8*a^3*b)*((32*(7*a^14*b + 7*a^2*b^13 + 10*a^4*b^11 - 23*a^6*b^9 - 52*a^8*b^7 - 23*a^10*b^5 + 10*a^12*b^3))/(a^
18 + b^18 + 9*a^2*b^16 + 36*a^4*b^14 + 84*a^6*b^12 + 126*a^8*b^10 + 126*a^10*b^8 + 84*a^12*b^6 + 36*a^14*b^4 +
9*a^16*b^2) + ((8*a*b^3 - 8*a^3*b)*((32*(a*b^18 - a^19 - 5*a^3*b^16 - 40*a^5*b^14 - 80*a^7*b^12 - 46*a^9*b^10
+ 46*a^11*b^8 + 80*a^13*b^6 + 40*a^15*b^4 + 5*a^17*b^2))/(a^18 + b^18 + 9*a^2*b^16 + 36*a^4*b^14 + 84*a^6*b^1
2 + 126*a^8*b^10 + 126*a^10*b^8 + 84*a^12*b^6 + 36*a^14*b^4 + 9*a^16*b^2) - (16*(8*a*b^3 - 8*a^3*b)*(3*a^22*b
+ 3*a^2*b^21 + 30*a^4*b^19 + 135*a^6*b^17 + 360*a^8*b^15 + 630*a^10*b^13 + 756*a^12*b^11 + 630*a^14*b^9 + 360*
a^16*b^7 + 135*a^18*b^5 + 30*a^20*b^3))/((a^8 + b^8 + 4*a^2*b^6 + 6*a^4*b^4 + 4*a^6*b^2)*(a^18 + b^18 + 9*a^2*
b^16 + 36*a^4*b^14 + 84*a^6*b^12 + 126*a^8*b^10 + 126*a^10*b^8 + 84*a^12*b^6 + 36*a^14*b^4 + 9*a^16*b^2))))/(2
*(a^8 + b^8 + 4*a^2*b^6 + 6*a^4*b^4 + 4*a^6*b^2))))/(2*(a^8 + b^8 + 4*a^2*b^6 + 6*a^4*b^4 + 4*a^6*b^2)) - ((((
(32*(a*b^18 - a^19 - 5*a^3*b^16 - 40*a^5*b^14 - 80*a^7*b^12 - 46*a^9*b^10 + 46*a^11*b^8 + 80*a^13*b^6 + 40*a^1
5*b^4 + 5*a^17*b^2))/(a^18 + b^18 + 9*a^2*b^16 + 36*a^4*b^14 + 84*a^6*b^12 + 126*a^8*b^10 + 126*a^10*b^8 + 84*
a^12*b^6 + 36*a^14*b^4 + 9*a^16*b^2) - (16*(8*a*b^3 - 8*a^3*b)*(3*a^22*b + 3*a^2*b^21 + 30*a^4*b^19 + 135*a^6*
b^17 + 360*a^8*b^15 + 630*a^10*b^13 + 756*a^12*b^11 + 630*a^14*b^9 + 360*a^16*b^7 + 135*a^18*b^5 + 30*a^20*b^3
))/((a^8 + b^8 + 4*a^2*b^6 + 6*a^4*b^4 + 4*a^6*b^2)*(a^18 + b^18 + 9*a^2*b^16 + 36*a^4*b^14 + 84*a^6*b^12 + 12
6*a^8*b^10 + 126*a^10*b^8 + 84*a^12*b^6 + 36*a^14*b^4 + 9*a^16*b^2)))*(2*a*b - a^2 + b^2)*(2*a*b + a^2 - b^2))
/(a^8 + b^8 + 4*a^2*b^6 + 6*a^4*b^4 + 4*a^6*b^2) - (16*(8*a*b^3 - 8*a^3*b)*(2*a*b - a^2 + b^2)*(2*a*b + a^2 -
b^2)*(3*a^22*b + 3*a^2*b^21 + 30*a^4*b^19 + 135*a^6*b^17 + 360*a^8*b^15 + 630*a^10*b^13 + 756*a^12*b^11 + 630*
a^14*b^9 + 360*a^16*b^7 + 135*a^18*b^5 + 30*a^20*b^3))/((a^8 + b^8 + 4*a^2*b^6 + 6*a^4*b^4 + 4*a^6*b^2)^2*(a^1
8 + b^18 + 9*a^2*b^16 + 36*a^4*b^14 + 84*a^6*b^12 + 126*a^8*b^10 + 126*a^10*b^8 + 84*a^12*b^6 + 36*a^14*b^4 +
9*a^16*b^2)))*(2*a*b - a^2 + b^2)*(2*a*b + a^2 - b^2))/(a^8 + b^8 + 4*a^2*b^6 + 6*a^4*b^4 + 4*a^6*b^2) + (16*(
8*a*b^3 - 8*a^3*b)*(2*a*b - a^2 + b^2)^2*(2*a*b + a^2 - b^2)^2*(3*a^22*b + 3*a^2*b^21 + 30*a^4*b^19 + 135*a^6*
b^17 + 360*a^8*b^15 + 630*a^10*b^13 + 756*a^12*b^11 + 630*a^14*b^9 + 360*a^16*b^7 + 135*a^18*b^5 + 30*a^20*b^3
))/((a^8 + b^8 + 4*a^2*b^6 + 6*a^4*b^4 + 4*a^6*b^2)^3*(a^18 + b^18 + 9*a^2*b^16 + 36*a^4*b^14 + 84*a^6*b^12 +
126*a^8*b^10 + 126*a^10*b^8 + 84*a^12*b^6 + 36*a^14*b^4 + 9*a^16*b^2)))*(18*a*b^9 + 18*a^9*b - 280*a^3*b^7 + 5
56*a^5*b^5 - 280*a^7*b^3)*(a^22 + b^22 + 11*a^2*b^20 + 55*a^4*b^18 + 165*a^6*b^16 + 330*a^8*b^14 + 462*a^10*b^
12 + 462*a^12*b^10 + 330*a^14*b^8 + 165*a^16*b^6 + 55*a^18*b^4 + 11*a^20*b^2))/((32*a*b^4 + 32*a^5 - 192*a^3*b
^2)*(a^10 + b^10 + 53*a^2*b^8 - 38*a^4*b^6 - 38*a^6*b^4 + 53*a^8*b^2)^2))*(2*a*b - a^2 + b^2)*(2*a*b + a^2 - b
^2))/(d*(a^8 + b^8 + 4*a^2*b^6 + 6*a^4*b^4 + 4*a^6*b^2))

________________________________________________________________________________________

sympy [F(-2)]  time = 0.00, size = 0, normalized size = 0.00 \[ \text {Exception raised: AttributeError} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(cos(d*x+c)**4/(a*cos(d*x+c)+b*sin(d*x+c))**4,x)

[Out]

Exception raised: AttributeError

________________________________________________________________________________________