3.288 \(\int \frac {\cos ^2(x) \sin ^2(x)}{(a \cos (x)+b \sin (x))^2} \, dx\)

Optimal. Leaf size=131 \[ \frac {a b \sin ^2(x)}{\left (a^2+b^2\right )^2}+\frac {a b^2 \sin (x)}{\left (a^2+b^2\right )^2 (a \cos (x)+b \sin (x))}+\frac {\left (b^2-a^2\right ) \sin (x) \cos (x)}{2 \left (a^2+b^2\right )^2}+\frac {2 a b \left (a^2-b^2\right ) \log (a \cos (x)+b \sin (x))}{\left (a^2+b^2\right )^3}+\frac {x \left (a^4-6 a^2 b^2+b^4\right )}{2 \left (a^2+b^2\right )^3} \]

[Out]

1/2*(a^4-6*a^2*b^2+b^4)*x/(a^2+b^2)^3+2*a*b*(a^2-b^2)*ln(a*cos(x)+b*sin(x))/(a^2+b^2)^3+1/2*(-a^2+b^2)*cos(x)*
sin(x)/(a^2+b^2)^2+a*b*sin(x)^2/(a^2+b^2)^2+a*b^2*sin(x)/(a^2+b^2)^2/(a*cos(x)+b*sin(x))

________________________________________________________________________________________

Rubi [A]  time = 0.54, antiderivative size = 186, normalized size of antiderivative = 1.42, number of steps used = 21, number of rules used = 10, integrand size = 20, \(\frac {\text {number of rules}}{\text {integrand size}}\) = 0.500, Rules used = {3111, 3109, 2635, 8, 2564, 30, 3098, 3133, 3097, 3075} \[ \frac {a^2 x}{2 \left (a^2+b^2\right )^2}-\frac {4 a^2 b^2 x}{\left (a^2+b^2\right )^3}+\frac {b^2 x}{2 \left (a^2+b^2\right )^2}+\frac {a b \sin ^2(x)}{\left (a^2+b^2\right )^2}-\frac {a^2 \sin (x) \cos (x)}{2 \left (a^2+b^2\right )^2}+\frac {a b^2 \sin (x)}{\left (a^2+b^2\right )^2 (a \cos (x)+b \sin (x))}+\frac {b^2 \sin (x) \cos (x)}{2 \left (a^2+b^2\right )^2}+\frac {2 a^3 b \log (a \cos (x)+b \sin (x))}{\left (a^2+b^2\right )^3}-\frac {2 a b^3 \log (a \cos (x)+b \sin (x))}{\left (a^2+b^2\right )^3} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Int[(Cos[x]^2*Sin[x]^2)/(a*Cos[x] + b*Sin[x])^2,x]

[Out]

(-4*a^2*b^2*x)/(a^2 + b^2)^3 + (a^2*x)/(2*(a^2 + b^2)^2) + (b^2*x)/(2*(a^2 + b^2)^2) + (2*a^3*b*Log[a*Cos[x] +
b*Sin[x]])/(a^2 + b^2)^3 - (2*a*b^3*Log[a*Cos[x] + b*Sin[x]])/(a^2 + b^2)^3 - (a^2*Cos[x]*Sin[x])/(2*(a^2 + b
^2)^2) + (b^2*Cos[x]*Sin[x])/(2*(a^2 + b^2)^2) + (a*b*Sin[x]^2)/(a^2 + b^2)^2 + (a*b^2*Sin[x])/((a^2 + b^2)^2*
(a*Cos[x] + b*Sin[x]))

Rule 8

Int[a_, x_Symbol] :> Simp[a*x, x] /; FreeQ[a, x]

Rule 30

Int[(x_)^(m_.), x_Symbol] :> Simp[x^(m + 1)/(m + 1), x] /; FreeQ[m, x] && NeQ[m, -1]

Rule 2564

Int[cos[(e_.) + (f_.)*(x_)]^(n_.)*((a_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_.), x_Symbol] :> Dist[1/(a*f), Subst[Int[
x^m*(1 - x^2/a^2)^((n - 1)/2), x], x, a*Sin[e + f*x]], x] /; FreeQ[{a, e, f, m}, x] && IntegerQ[(n - 1)/2] &&
!(IntegerQ[(m - 1)/2] && LtQ[0, m, n])

Rule 2635

Int[((b_.)*sin[(c_.) + (d_.)*(x_)])^(n_), x_Symbol] :> -Simp[(b*Cos[c + d*x]*(b*Sin[c + d*x])^(n - 1))/(d*n),
x] + Dist[(b^2*(n - 1))/n, Int[(b*Sin[c + d*x])^(n - 2), x], x] /; FreeQ[{b, c, d}, x] && GtQ[n, 1] && Integer
Q[2*n]

Rule 3075

Int[(cos[(c_.) + (d_.)*(x_)]*(a_.) + (b_.)*sin[(c_.) + (d_.)*(x_)])^(-2), x_Symbol] :> Simp[Sin[c + d*x]/(a*d*
(a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x])), x] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && NeQ[a^2 + b^2, 0]

Rule 3097

Int[sin[(c_.) + (d_.)*(x_)]/(cos[(c_.) + (d_.)*(x_)]*(a_.) + (b_.)*sin[(c_.) + (d_.)*(x_)]), x_Symbol] :> Simp
[(b*x)/(a^2 + b^2), x] - Dist[a/(a^2 + b^2), Int[(b*Cos[c + d*x] - a*Sin[c + d*x])/(a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c +
d*x]), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && NeQ[a^2 + b^2, 0]

Rule 3098

Int[cos[(c_.) + (d_.)*(x_)]/(cos[(c_.) + (d_.)*(x_)]*(a_.) + (b_.)*sin[(c_.) + (d_.)*(x_)]), x_Symbol] :> Simp
[(a*x)/(a^2 + b^2), x] + Dist[b/(a^2 + b^2), Int[(b*Cos[c + d*x] - a*Sin[c + d*x])/(a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c +
d*x]), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && NeQ[a^2 + b^2, 0]

Rule 3109

Int[(cos[(c_.) + (d_.)*(x_)]^(m_.)*sin[(c_.) + (d_.)*(x_)]^(n_.))/(cos[(c_.) + (d_.)*(x_)]*(a_.) + (b_.)*sin[(
c_.) + (d_.)*(x_)]), x_Symbol] :> Dist[b/(a^2 + b^2), Int[Cos[c + d*x]^m*Sin[c + d*x]^(n - 1), x], x] + (Dist[
a/(a^2 + b^2), Int[Cos[c + d*x]^(m - 1)*Sin[c + d*x]^n, x], x] - Dist[(a*b)/(a^2 + b^2), Int[(Cos[c + d*x]^(m
- 1)*Sin[c + d*x]^(n - 1))/(a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x]), x], x]) /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && NeQ[a^2 + b
^2, 0] && IGtQ[m, 0] && IGtQ[n, 0]

Rule 3111

Int[cos[(c_.) + (d_.)*(x_)]^(m_.)*sin[(c_.) + (d_.)*(x_)]^(n_.)*(cos[(c_.) + (d_.)*(x_)]*(a_.) + (b_.)*sin[(c_
.) + (d_.)*(x_)])^(p_), x_Symbol] :> Dist[b/(a^2 + b^2), Int[Cos[c + d*x]^m*Sin[c + d*x]^(n - 1)*(a*Cos[c + d*
x] + b*Sin[c + d*x])^(p + 1), x], x] + (Dist[a/(a^2 + b^2), Int[Cos[c + d*x]^(m - 1)*Sin[c + d*x]^n*(a*Cos[c +
d*x] + b*Sin[c + d*x])^(p + 1), x], x] - Dist[(a*b)/(a^2 + b^2), Int[Cos[c + d*x]^(m - 1)*Sin[c + d*x]^(n - 1
)*(a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x])^p, x], x]) /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && NeQ[a^2 + b^2, 0] && IGtQ[m, 0] &&
IGtQ[n, 0] && ILtQ[p, 0]

Rule 3133

Int[((A_.) + cos[(d_.) + (e_.)*(x_)]*(B_.) + (C_.)*sin[(d_.) + (e_.)*(x_)])/((a_.) + cos[(d_.) + (e_.)*(x_)]*(
b_.) + (c_.)*sin[(d_.) + (e_.)*(x_)]), x_Symbol] :> Simp[((b*B + c*C)*x)/(b^2 + c^2), x] + Simp[((c*B - b*C)*L
og[a + b*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x]])/(e*(b^2 + c^2)), x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, A, B, C}, x] && NeQ[b^2
+ c^2, 0] && EqQ[A*(b^2 + c^2) - a*(b*B + c*C), 0]

Rubi steps

\begin {align*} \int \frac {\cos ^2(x) \sin ^2(x)}{(a \cos (x)+b \sin (x))^2} \, dx &=\frac {a \int \frac {\cos (x) \sin ^2(x)}{a \cos (x)+b \sin (x)} \, dx}{a^2+b^2}+\frac {b \int \frac {\cos ^2(x) \sin (x)}{a \cos (x)+b \sin (x)} \, dx}{a^2+b^2}-\frac {(a b) \int \frac {\cos (x) \sin (x)}{(a \cos (x)+b \sin (x))^2} \, dx}{a^2+b^2}\\ &=\frac {a^2 \int \sin ^2(x) \, dx}{\left (a^2+b^2\right )^2}+2 \frac {(a b) \int \cos (x) \sin (x) \, dx}{\left (a^2+b^2\right )^2}-2 \frac {\left (a^2 b\right ) \int \frac {\sin (x)}{a \cos (x)+b \sin (x)} \, dx}{\left (a^2+b^2\right )^2}+\frac {b^2 \int \cos ^2(x) \, dx}{\left (a^2+b^2\right )^2}-2 \frac {\left (a b^2\right ) \int \frac {\cos (x)}{a \cos (x)+b \sin (x)} \, dx}{\left (a^2+b^2\right )^2}+\frac {\left (a^2 b^2\right ) \int \frac {1}{(a \cos (x)+b \sin (x))^2} \, dx}{\left (a^2+b^2\right )^2}\\ &=-\frac {a^2 \cos (x) \sin (x)}{2 \left (a^2+b^2\right )^2}+\frac {b^2 \cos (x) \sin (x)}{2 \left (a^2+b^2\right )^2}+\frac {a b^2 \sin (x)}{\left (a^2+b^2\right )^2 (a \cos (x)+b \sin (x))}-2 \left (\frac {a^2 b^2 x}{\left (a^2+b^2\right )^3}-\frac {\left (a^3 b\right ) \int \frac {b \cos (x)-a \sin (x)}{a \cos (x)+b \sin (x)} \, dx}{\left (a^2+b^2\right )^3}\right )-2 \left (\frac {a^2 b^2 x}{\left (a^2+b^2\right )^3}+\frac {\left (a b^3\right ) \int \frac {b \cos (x)-a \sin (x)}{a \cos (x)+b \sin (x)} \, dx}{\left (a^2+b^2\right )^3}\right )+\frac {a^2 \int 1 \, dx}{2 \left (a^2+b^2\right )^2}+2 \frac {(a b) \operatorname {Subst}(\int x \, dx,x,\sin (x))}{\left (a^2+b^2\right )^2}+\frac {b^2 \int 1 \, dx}{2 \left (a^2+b^2\right )^2}\\ &=\frac {a^2 x}{2 \left (a^2+b^2\right )^2}+\frac {b^2 x}{2 \left (a^2+b^2\right )^2}-2 \left (\frac {a^2 b^2 x}{\left (a^2+b^2\right )^3}-\frac {a^3 b \log (a \cos (x)+b \sin (x))}{\left (a^2+b^2\right )^3}\right )-2 \left (\frac {a^2 b^2 x}{\left (a^2+b^2\right )^3}+\frac {a b^3 \log (a \cos (x)+b \sin (x))}{\left (a^2+b^2\right )^3}\right )-\frac {a^2 \cos (x) \sin (x)}{2 \left (a^2+b^2\right )^2}+\frac {b^2 \cos (x) \sin (x)}{2 \left (a^2+b^2\right )^2}+\frac {a b \sin ^2(x)}{\left (a^2+b^2\right )^2}+\frac {a b^2 \sin (x)}{\left (a^2+b^2\right )^2 (a \cos (x)+b \sin (x))}\\ \end {align*}

________________________________________________________________________________________

Mathematica [A]  time = 1.66, size = 145, normalized size = 1.11 \[ \frac {\sin (x)}{8 a (a \cos (x)+b \sin (x))}-\frac {2 \left (a^4-b^4\right ) \sin (2 x)+4 a b \left (a^2+b^2\right ) \cos (2 x)-16 a b \left (a^2-b^2\right ) \log (a \cos (x)+b \sin (x))-4 x \left (a^4-6 a^2 b^2+b^4\right )+\frac {\left (a^2+b^2\right ) \left (a^4-6 a^2 b^2+b^4\right ) \sin (x)}{a (a \cos (x)+b \sin (x))}}{8 \left (a^2+b^2\right )^3} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Integrate[(Cos[x]^2*Sin[x]^2)/(a*Cos[x] + b*Sin[x])^2,x]

[Out]

Sin[x]/(8*a*(a*Cos[x] + b*Sin[x])) - (-4*(a^4 - 6*a^2*b^2 + b^4)*x + 4*a*b*(a^2 + b^2)*Cos[2*x] - 16*a*b*(a^2
- b^2)*Log[a*Cos[x] + b*Sin[x]] + ((a^2 + b^2)*(a^4 - 6*a^2*b^2 + b^4)*Sin[x])/(a*(a*Cos[x] + b*Sin[x])) + 2*(
a^4 - b^4)*Sin[2*x])/(8*(a^2 + b^2)^3)

________________________________________________________________________________________

fricas [A]  time = 0.65, size = 244, normalized size = 1.86 \[ -\frac {{\left (a^{4} b + 2 \, a^{2} b^{3} + b^{5}\right )} \cos \relax (x)^{3} + {\left (a^{2} b^{3} - b^{5} - {\left (a^{5} - 6 \, a^{3} b^{2} + a b^{4}\right )} x\right )} \cos \relax (x) - 2 \, {\left ({\left (a^{4} b - a^{2} b^{3}\right )} \cos \relax (x) + {\left (a^{3} b^{2} - a b^{4}\right )} \sin \relax (x)\right )} \log \left (2 \, a b \cos \relax (x) \sin \relax (x) + {\left (a^{2} - b^{2}\right )} \cos \relax (x)^{2} + b^{2}\right ) - {\left (3 \, a^{3} b^{2} + a b^{4} - {\left (a^{5} + 2 \, a^{3} b^{2} + a b^{4}\right )} \cos \relax (x)^{2} + {\left (a^{4} b - 6 \, a^{2} b^{3} + b^{5}\right )} x\right )} \sin \relax (x)}{2 \, {\left ({\left (a^{7} + 3 \, a^{5} b^{2} + 3 \, a^{3} b^{4} + a b^{6}\right )} \cos \relax (x) + {\left (a^{6} b + 3 \, a^{4} b^{3} + 3 \, a^{2} b^{5} + b^{7}\right )} \sin \relax (x)\right )}} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(cos(x)^2*sin(x)^2/(a*cos(x)+b*sin(x))^2,x, algorithm="fricas")

[Out]

-1/2*((a^4*b + 2*a^2*b^3 + b^5)*cos(x)^3 + (a^2*b^3 - b^5 - (a^5 - 6*a^3*b^2 + a*b^4)*x)*cos(x) - 2*((a^4*b -
a^2*b^3)*cos(x) + (a^3*b^2 - a*b^4)*sin(x))*log(2*a*b*cos(x)*sin(x) + (a^2 - b^2)*cos(x)^2 + b^2) - (3*a^3*b^2
+ a*b^4 - (a^5 + 2*a^3*b^2 + a*b^4)*cos(x)^2 + (a^4*b - 6*a^2*b^3 + b^5)*x)*sin(x))/((a^7 + 3*a^5*b^2 + 3*a^3
*b^4 + a*b^6)*cos(x) + (a^6*b + 3*a^4*b^3 + 3*a^2*b^5 + b^7)*sin(x))

________________________________________________________________________________________

giac [A]  time = 0.15, size = 219, normalized size = 1.67 \[ \frac {{\left (a^{4} - 6 \, a^{2} b^{2} + b^{4}\right )} x}{2 \, {\left (a^{6} + 3 \, a^{4} b^{2} + 3 \, a^{2} b^{4} + b^{6}\right )}} - \frac {{\left (a^{3} b - a b^{3}\right )} \log \left (\tan \relax (x)^{2} + 1\right )}{a^{6} + 3 \, a^{4} b^{2} + 3 \, a^{2} b^{4} + b^{6}} + \frac {2 \, {\left (a^{3} b^{2} - a b^{4}\right )} \log \left ({\left | b \tan \relax (x) + a \right |}\right )}{a^{6} b + 3 \, a^{4} b^{3} + 3 \, a^{2} b^{5} + b^{7}} - \frac {3 \, a^{2} b \tan \relax (x)^{2} - b^{3} \tan \relax (x)^{2} + a^{3} \tan \relax (x) + a b^{2} \tan \relax (x) + 4 \, a^{2} b}{2 \, {\left (a^{4} + 2 \, a^{2} b^{2} + b^{4}\right )} {\left (b \tan \relax (x)^{3} + a \tan \relax (x)^{2} + b \tan \relax (x) + a\right )}} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(cos(x)^2*sin(x)^2/(a*cos(x)+b*sin(x))^2,x, algorithm="giac")

[Out]

1/2*(a^4 - 6*a^2*b^2 + b^4)*x/(a^6 + 3*a^4*b^2 + 3*a^2*b^4 + b^6) - (a^3*b - a*b^3)*log(tan(x)^2 + 1)/(a^6 + 3
*a^4*b^2 + 3*a^2*b^4 + b^6) + 2*(a^3*b^2 - a*b^4)*log(abs(b*tan(x) + a))/(a^6*b + 3*a^4*b^3 + 3*a^2*b^5 + b^7)
- 1/2*(3*a^2*b*tan(x)^2 - b^3*tan(x)^2 + a^3*tan(x) + a*b^2*tan(x) + 4*a^2*b)/((a^4 + 2*a^2*b^2 + b^4)*(b*tan
(x)^3 + a*tan(x)^2 + b*tan(x) + a))

________________________________________________________________________________________

maple [B]  time = 0.12, size = 260, normalized size = 1.98 \[ -\frac {\tan \relax (x ) a^{4}}{2 \left (a^{2}+b^{2}\right )^{3} \left (\tan ^{2}\relax (x )+1\right )}+\frac {\tan \relax (x ) b^{4}}{2 \left (a^{2}+b^{2}\right )^{3} \left (\tan ^{2}\relax (x )+1\right )}-\frac {a^{3} b}{\left (a^{2}+b^{2}\right )^{3} \left (\tan ^{2}\relax (x )+1\right )}-\frac {b^{3} a}{\left (a^{2}+b^{2}\right )^{3} \left (\tan ^{2}\relax (x )+1\right )}-\frac {\ln \left (\tan ^{2}\relax (x )+1\right ) a^{3} b}{\left (a^{2}+b^{2}\right )^{3}}+\frac {\ln \left (\tan ^{2}\relax (x )+1\right ) a \,b^{3}}{\left (a^{2}+b^{2}\right )^{3}}-\frac {3 \arctan \left (\tan \relax (x )\right ) a^{2} b^{2}}{\left (a^{2}+b^{2}\right )^{3}}+\frac {\arctan \left (\tan \relax (x )\right ) b^{4}}{2 \left (a^{2}+b^{2}\right )^{3}}+\frac {\arctan \left (\tan \relax (x )\right ) a^{4}}{2 \left (a^{2}+b^{2}\right )^{3}}-\frac {b \,a^{2}}{\left (a^{2}+b^{2}\right )^{2} \left (a +b \tan \relax (x )\right )}+\frac {2 b \,a^{3} \ln \left (a +b \tan \relax (x )\right )}{\left (a^{2}+b^{2}\right )^{3}}-\frac {2 b^{3} a \ln \left (a +b \tan \relax (x )\right )}{\left (a^{2}+b^{2}\right )^{3}} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int(cos(x)^2*sin(x)^2/(a*cos(x)+b*sin(x))^2,x)

[Out]

-1/2/(a^2+b^2)^3/(tan(x)^2+1)*tan(x)*a^4+1/2/(a^2+b^2)^3/(tan(x)^2+1)*tan(x)*b^4-1/(a^2+b^2)^3/(tan(x)^2+1)*a^
3*b-1/(a^2+b^2)^3/(tan(x)^2+1)*b^3*a-1/(a^2+b^2)^3*ln(tan(x)^2+1)*a^3*b+1/(a^2+b^2)^3*ln(tan(x)^2+1)*a*b^3-3/(
a^2+b^2)^3*arctan(tan(x))*a^2*b^2+1/2/(a^2+b^2)^3*arctan(tan(x))*b^4+1/2/(a^2+b^2)^3*arctan(tan(x))*a^4-b*a^2/
(a^2+b^2)^2/(a+b*tan(x))+2*b*a^3/(a^2+b^2)^3*ln(a+b*tan(x))-2*b^3*a/(a^2+b^2)^3*ln(a+b*tan(x))

________________________________________________________________________________________

maxima [B]  time = 0.46, size = 257, normalized size = 1.96 \[ \frac {{\left (a^{4} - 6 \, a^{2} b^{2} + b^{4}\right )} x}{2 \, {\left (a^{6} + 3 \, a^{4} b^{2} + 3 \, a^{2} b^{4} + b^{6}\right )}} + \frac {2 \, {\left (a^{3} b - a b^{3}\right )} \log \left (b \tan \relax (x) + a\right )}{a^{6} + 3 \, a^{4} b^{2} + 3 \, a^{2} b^{4} + b^{6}} - \frac {{\left (a^{3} b - a b^{3}\right )} \log \left (\tan \relax (x)^{2} + 1\right )}{a^{6} + 3 \, a^{4} b^{2} + 3 \, a^{2} b^{4} + b^{6}} - \frac {4 \, a^{2} b + {\left (3 \, a^{2} b - b^{3}\right )} \tan \relax (x)^{2} + {\left (a^{3} + a b^{2}\right )} \tan \relax (x)}{2 \, {\left (a^{5} + 2 \, a^{3} b^{2} + a b^{4} + {\left (a^{4} b + 2 \, a^{2} b^{3} + b^{5}\right )} \tan \relax (x)^{3} + {\left (a^{5} + 2 \, a^{3} b^{2} + a b^{4}\right )} \tan \relax (x)^{2} + {\left (a^{4} b + 2 \, a^{2} b^{3} + b^{5}\right )} \tan \relax (x)\right )}} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(cos(x)^2*sin(x)^2/(a*cos(x)+b*sin(x))^2,x, algorithm="maxima")

[Out]

1/2*(a^4 - 6*a^2*b^2 + b^4)*x/(a^6 + 3*a^4*b^2 + 3*a^2*b^4 + b^6) + 2*(a^3*b - a*b^3)*log(b*tan(x) + a)/(a^6 +
3*a^4*b^2 + 3*a^2*b^4 + b^6) - (a^3*b - a*b^3)*log(tan(x)^2 + 1)/(a^6 + 3*a^4*b^2 + 3*a^2*b^4 + b^6) - 1/2*(4
*a^2*b + (3*a^2*b - b^3)*tan(x)^2 + (a^3 + a*b^2)*tan(x))/(a^5 + 2*a^3*b^2 + a*b^4 + (a^4*b + 2*a^2*b^3 + b^5)
*tan(x)^3 + (a^5 + 2*a^3*b^2 + a*b^4)*tan(x)^2 + (a^4*b + 2*a^2*b^3 + b^5)*tan(x))

________________________________________________________________________________________

mupad [B]  time = 12.13, size = 6012, normalized size = 45.89 \[ \text {result too large to display} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int((cos(x)^2*sin(x)^2)/(a*cos(x) + b*sin(x))^2,x)

[Out]

((tan(x/2)^5*(3*a*b^2 - a^3))/(a^4 + b^4 + 2*a^2*b^2) + (2*b*tan(x/2)^2)/(a^2 + b^2) - (2*b*tan(x/2)^4)/(a^2 +
b^2) + (tan(x/2)*(3*a*b^2 - a^3))/(a^2 + b^2)^2 + (2*tan(x/2)^3*(5*a*b^2 + a^3))/(a^2 + b^2)^2)/(a + 2*b*tan(
x/2) + a*tan(x/2)^2 - a*tan(x/2)^4 - a*tan(x/2)^6 + 4*b*tan(x/2)^3 + 2*b*tan(x/2)^5) - (log(a + 2*b*tan(x/2) -
a*tan(x/2)^2)*(2*a*b^3 - 2*a^3*b))/(a^6 + b^6 + 3*a^2*b^4 + 3*a^4*b^2) + (log(1/(cos(x) + 1))*(16*a*b^3 - 16*
a^3*b))/(2*(4*a^6 + 4*b^6 + 12*a^2*b^4 + 12*a^4*b^2)) - (atan((tan(x/2)*((((((((8*(4*a^2*b^13 - 20*a^14*b + 48
*a^4*b^11 + 132*a^6*b^9 + 128*a^8*b^7 + 12*a^10*b^5 - 48*a^12*b^3))/(a^12 + b^12 + 6*a^2*b^10 + 15*a^4*b^8 + 2
0*a^6*b^6 + 15*a^8*b^4 + 6*a^10*b^2) - (4*(16*a*b^3 - 16*a^3*b)*(12*a*b^16 + 84*a^3*b^14 + 252*a^5*b^12 + 420*
a^7*b^10 + 420*a^9*b^8 + 252*a^11*b^6 + 84*a^13*b^4 + 12*a^15*b^2))/((4*a^6 + 4*b^6 + 12*a^2*b^4 + 12*a^4*b^2)
*(a^12 + b^12 + 6*a^2*b^10 + 15*a^4*b^8 + 20*a^6*b^6 + 15*a^8*b^4 + 6*a^10*b^2)))*(2*a*b - a^2 + b^2)*(2*a*b +
a^2 - b^2))/(2*(a^2 + b^2)*(a^4 + b^4 + 2*a^2*b^2)) - (2*(16*a*b^3 - 16*a^3*b)*(2*a*b - a^2 + b^2)*(2*a*b + a
^2 - b^2)*(12*a*b^16 + 84*a^3*b^14 + 252*a^5*b^12 + 420*a^7*b^10 + 420*a^9*b^8 + 252*a^11*b^6 + 84*a^13*b^4 +
12*a^15*b^2))/((a^2 + b^2)*(a^4 + b^4 + 2*a^2*b^2)*(4*a^6 + 4*b^6 + 12*a^2*b^4 + 12*a^4*b^2)*(a^12 + b^12 + 6*
a^2*b^10 + 15*a^4*b^8 + 20*a^6*b^6 + 15*a^8*b^4 + 6*a^10*b^2)))*(16*a*b^3 - 16*a^3*b))/(2*(4*a^6 + 4*b^6 + 12*
a^2*b^4 + 12*a^4*b^2)) - (((8*(2*a*b^12 + a^13 - 53*a^3*b^10 - 7*a^5*b^8 + 126*a^7*b^6 + 52*a^9*b^4 - 25*a^11*
b^2))/(a^12 + b^12 + 6*a^2*b^10 + 15*a^4*b^8 + 20*a^6*b^6 + 15*a^8*b^4 + 6*a^10*b^2) - ((16*a*b^3 - 16*a^3*b)*
((8*(4*a^2*b^13 - 20*a^14*b + 48*a^4*b^11 + 132*a^6*b^9 + 128*a^8*b^7 + 12*a^10*b^5 - 48*a^12*b^3))/(a^12 + b^
12 + 6*a^2*b^10 + 15*a^4*b^8 + 20*a^6*b^6 + 15*a^8*b^4 + 6*a^10*b^2) - (4*(16*a*b^3 - 16*a^3*b)*(12*a*b^16 + 8
4*a^3*b^14 + 252*a^5*b^12 + 420*a^7*b^10 + 420*a^9*b^8 + 252*a^11*b^6 + 84*a^13*b^4 + 12*a^15*b^2))/((4*a^6 +
4*b^6 + 12*a^2*b^4 + 12*a^4*b^2)*(a^12 + b^12 + 6*a^2*b^10 + 15*a^4*b^8 + 20*a^6*b^6 + 15*a^8*b^4 + 6*a^10*b^2
))))/(2*(4*a^6 + 4*b^6 + 12*a^2*b^4 + 12*a^4*b^2)))*(2*a*b - a^2 + b^2)*(2*a*b + a^2 - b^2))/(2*(a^2 + b^2)*(a
^4 + b^4 + 2*a^2*b^2)) + ((2*a*b - a^2 + b^2)^3*(2*a*b + a^2 - b^2)^3*(12*a*b^16 + 84*a^3*b^14 + 252*a^5*b^12
+ 420*a^7*b^10 + 420*a^9*b^8 + 252*a^11*b^6 + 84*a^13*b^4 + 12*a^15*b^2))/((a^2 + b^2)^3*(a^4 + b^4 + 2*a^2*b^
2)^3*(a^12 + b^12 + 6*a^2*b^10 + 15*a^4*b^8 + 20*a^6*b^6 + 15*a^8*b^4 + 6*a^10*b^2)))*(a^10 - b^10 + 109*a^2*b
^8 - 466*a^4*b^6 + 466*a^6*b^4 - 109*a^8*b^2))/(a^10 + b^10 + 53*a^2*b^8 - 38*a^4*b^6 - 38*a^6*b^4 + 53*a^8*b^
2)^2 + (((8*(2*a^10*b - 4*a^2*b^9 + 10*a^4*b^7 - 30*a^6*b^5 + 22*a^8*b^3))/(a^12 + b^12 + 6*a^2*b^10 + 15*a^4*
b^8 + 20*a^6*b^6 + 15*a^8*b^4 + 6*a^10*b^2) - ((16*a*b^3 - 16*a^3*b)*((8*(2*a*b^12 + a^13 - 53*a^3*b^10 - 7*a^
5*b^8 + 126*a^7*b^6 + 52*a^9*b^4 - 25*a^11*b^2))/(a^12 + b^12 + 6*a^2*b^10 + 15*a^4*b^8 + 20*a^6*b^6 + 15*a^8*
b^4 + 6*a^10*b^2) - ((16*a*b^3 - 16*a^3*b)*((8*(4*a^2*b^13 - 20*a^14*b + 48*a^4*b^11 + 132*a^6*b^9 + 128*a^8*b
^7 + 12*a^10*b^5 - 48*a^12*b^3))/(a^12 + b^12 + 6*a^2*b^10 + 15*a^4*b^8 + 20*a^6*b^6 + 15*a^8*b^4 + 6*a^10*b^2
) - (4*(16*a*b^3 - 16*a^3*b)*(12*a*b^16 + 84*a^3*b^14 + 252*a^5*b^12 + 420*a^7*b^10 + 420*a^9*b^8 + 252*a^11*b
^6 + 84*a^13*b^4 + 12*a^15*b^2))/((4*a^6 + 4*b^6 + 12*a^2*b^4 + 12*a^4*b^2)*(a^12 + b^12 + 6*a^2*b^10 + 15*a^4
*b^8 + 20*a^6*b^6 + 15*a^8*b^4 + 6*a^10*b^2))))/(2*(4*a^6 + 4*b^6 + 12*a^2*b^4 + 12*a^4*b^2))))/(2*(4*a^6 + 4*
b^6 + 12*a^2*b^4 + 12*a^4*b^2)) - (((((8*(4*a^2*b^13 - 20*a^14*b + 48*a^4*b^11 + 132*a^6*b^9 + 128*a^8*b^7 + 1
2*a^10*b^5 - 48*a^12*b^3))/(a^12 + b^12 + 6*a^2*b^10 + 15*a^4*b^8 + 20*a^6*b^6 + 15*a^8*b^4 + 6*a^10*b^2) - (4
*(16*a*b^3 - 16*a^3*b)*(12*a*b^16 + 84*a^3*b^14 + 252*a^5*b^12 + 420*a^7*b^10 + 420*a^9*b^8 + 252*a^11*b^6 + 8
4*a^13*b^4 + 12*a^15*b^2))/((4*a^6 + 4*b^6 + 12*a^2*b^4 + 12*a^4*b^2)*(a^12 + b^12 + 6*a^2*b^10 + 15*a^4*b^8 +
20*a^6*b^6 + 15*a^8*b^4 + 6*a^10*b^2)))*(2*a*b - a^2 + b^2)*(2*a*b + a^2 - b^2))/(2*(a^2 + b^2)*(a^4 + b^4 +
2*a^2*b^2)) - (2*(16*a*b^3 - 16*a^3*b)*(2*a*b - a^2 + b^2)*(2*a*b + a^2 - b^2)*(12*a*b^16 + 84*a^3*b^14 + 252*
a^5*b^12 + 420*a^7*b^10 + 420*a^9*b^8 + 252*a^11*b^6 + 84*a^13*b^4 + 12*a^15*b^2))/((a^2 + b^2)*(a^4 + b^4 + 2
*a^2*b^2)*(4*a^6 + 4*b^6 + 12*a^2*b^4 + 12*a^4*b^2)*(a^12 + b^12 + 6*a^2*b^10 + 15*a^4*b^8 + 20*a^6*b^6 + 15*a
^8*b^4 + 6*a^10*b^2)))*(2*a*b - a^2 + b^2)*(2*a*b + a^2 - b^2))/(2*(a^2 + b^2)*(a^4 + b^4 + 2*a^2*b^2)) + ((16
*a*b^3 - 16*a^3*b)*(2*a*b - a^2 + b^2)^2*(2*a*b + a^2 - b^2)^2*(12*a*b^16 + 84*a^3*b^14 + 252*a^5*b^12 + 420*a
^7*b^10 + 420*a^9*b^8 + 252*a^11*b^6 + 84*a^13*b^4 + 12*a^15*b^2))/((a^2 + b^2)^2*(a^4 + b^4 + 2*a^2*b^2)^2*(4
*a^6 + 4*b^6 + 12*a^2*b^4 + 12*a^4*b^2)*(a^12 + b^12 + 6*a^2*b^10 + 15*a^4*b^8 + 20*a^6*b^6 + 15*a^8*b^4 + 6*a
^10*b^2)))*(18*a*b^9 + 18*a^9*b - 280*a^3*b^7 + 556*a^5*b^5 - 280*a^7*b^3))/(a^10 + b^10 + 53*a^2*b^8 - 38*a^4
*b^6 - 38*a^6*b^4 + 53*a^8*b^2)^2)*(a^16 + b^16 + 8*a^2*b^14 + 28*a^4*b^12 + 56*a^6*b^10 + 70*a^8*b^8 + 56*a^1
0*b^6 + 28*a^12*b^4 + 8*a^14*b^2))/(4*a*b^4 + 4*a^5 - 24*a^3*b^2) + (((8*(6*a^3*b^8 - 26*a^5*b^6 + 26*a^7*b^4
- 6*a^9*b^2))/(a^12 + b^12 + 6*a^2*b^10 + 15*a^4*b^8 + 20*a^6*b^6 + 15*a^8*b^4 + 6*a^10*b^2) + (((8*(7*a^12*b
+ 7*a^2*b^11 + 3*a^4*b^9 - 26*a^6*b^7 - 26*a^8*b^5 + 3*a^10*b^3))/(a^12 + b^12 + 6*a^2*b^10 + 15*a^4*b^8 + 20*
a^6*b^6 + 15*a^8*b^4 + 6*a^10*b^2) + ((16*a*b^3 - 16*a^3*b)*((8*(2*a*b^14 - 2*a^15 - 14*a^3*b^12 - 54*a^5*b^10
- 38*a^7*b^8 + 38*a^9*b^6 + 54*a^11*b^4 + 14*a^13*b^2))/(a^12 + b^12 + 6*a^2*b^10 + 15*a^4*b^8 + 20*a^6*b^6 +
15*a^8*b^4 + 6*a^10*b^2) - (4*(16*a*b^3 - 16*a^3*b)*(12*a^16*b + 12*a^2*b^15 + 84*a^4*b^13 + 252*a^6*b^11 + 4
20*a^8*b^9 + 420*a^10*b^7 + 252*a^12*b^5 + 84*a^14*b^3))/((4*a^6 + 4*b^6 + 12*a^2*b^4 + 12*a^4*b^2)*(a^12 + b^
12 + 6*a^2*b^10 + 15*a^4*b^8 + 20*a^6*b^6 + 15*a^8*b^4 + 6*a^10*b^2))))/(2*(4*a^6 + 4*b^6 + 12*a^2*b^4 + 12*a^
4*b^2)))*(16*a*b^3 - 16*a^3*b))/(2*(4*a^6 + 4*b^6 + 12*a^2*b^4 + 12*a^4*b^2)) - (((((8*(2*a*b^14 - 2*a^15 - 14
*a^3*b^12 - 54*a^5*b^10 - 38*a^7*b^8 + 38*a^9*b^6 + 54*a^11*b^4 + 14*a^13*b^2))/(a^12 + b^12 + 6*a^2*b^10 + 15
*a^4*b^8 + 20*a^6*b^6 + 15*a^8*b^4 + 6*a^10*b^2) - (4*(16*a*b^3 - 16*a^3*b)*(12*a^16*b + 12*a^2*b^15 + 84*a^4*
b^13 + 252*a^6*b^11 + 420*a^8*b^9 + 420*a^10*b^7 + 252*a^12*b^5 + 84*a^14*b^3))/((4*a^6 + 4*b^6 + 12*a^2*b^4 +
12*a^4*b^2)*(a^12 + b^12 + 6*a^2*b^10 + 15*a^4*b^8 + 20*a^6*b^6 + 15*a^8*b^4 + 6*a^10*b^2)))*(2*a*b - a^2 + b
^2)*(2*a*b + a^2 - b^2))/(2*(a^2 + b^2)*(a^4 + b^4 + 2*a^2*b^2)) - (2*(16*a*b^3 - 16*a^3*b)*(2*a*b - a^2 + b^2
)*(2*a*b + a^2 - b^2)*(12*a^16*b + 12*a^2*b^15 + 84*a^4*b^13 + 252*a^6*b^11 + 420*a^8*b^9 + 420*a^10*b^7 + 252
*a^12*b^5 + 84*a^14*b^3))/((a^2 + b^2)*(a^4 + b^4 + 2*a^2*b^2)*(4*a^6 + 4*b^6 + 12*a^2*b^4 + 12*a^4*b^2)*(a^12
+ b^12 + 6*a^2*b^10 + 15*a^4*b^8 + 20*a^6*b^6 + 15*a^8*b^4 + 6*a^10*b^2)))*(2*a*b - a^2 + b^2)*(2*a*b + a^2 -
b^2))/(2*(a^2 + b^2)*(a^4 + b^4 + 2*a^2*b^2)) + ((16*a*b^3 - 16*a^3*b)*(2*a*b - a^2 + b^2)^2*(2*a*b + a^2 - b
^2)^2*(12*a^16*b + 12*a^2*b^15 + 84*a^4*b^13 + 252*a^6*b^11 + 420*a^8*b^9 + 420*a^10*b^7 + 252*a^12*b^5 + 84*a
^14*b^3))/((a^2 + b^2)^2*(a^4 + b^4 + 2*a^2*b^2)^2*(4*a^6 + 4*b^6 + 12*a^2*b^4 + 12*a^4*b^2)*(a^12 + b^12 + 6*
a^2*b^10 + 15*a^4*b^8 + 20*a^6*b^6 + 15*a^8*b^4 + 6*a^10*b^2)))*(18*a*b^9 + 18*a^9*b - 280*a^3*b^7 + 556*a^5*b
^5 - 280*a^7*b^3)*(a^16 + b^16 + 8*a^2*b^14 + 28*a^4*b^12 + 56*a^6*b^10 + 70*a^8*b^8 + 56*a^10*b^6 + 28*a^12*b
^4 + 8*a^14*b^2))/((4*a*b^4 + 4*a^5 - 24*a^3*b^2)*(a^10 + b^10 + 53*a^2*b^8 - 38*a^4*b^6 - 38*a^6*b^4 + 53*a^8
*b^2)^2) + (((((((8*(2*a*b^14 - 2*a^15 - 14*a^3*b^12 - 54*a^5*b^10 - 38*a^7*b^8 + 38*a^9*b^6 + 54*a^11*b^4 + 1
4*a^13*b^2))/(a^12 + b^12 + 6*a^2*b^10 + 15*a^4*b^8 + 20*a^6*b^6 + 15*a^8*b^4 + 6*a^10*b^2) - (4*(16*a*b^3 - 1
6*a^3*b)*(12*a^16*b + 12*a^2*b^15 + 84*a^4*b^13 + 252*a^6*b^11 + 420*a^8*b^9 + 420*a^10*b^7 + 252*a^12*b^5 + 8
4*a^14*b^3))/((4*a^6 + 4*b^6 + 12*a^2*b^4 + 12*a^4*b^2)*(a^12 + b^12 + 6*a^2*b^10 + 15*a^4*b^8 + 20*a^6*b^6 +
15*a^8*b^4 + 6*a^10*b^2)))*(2*a*b - a^2 + b^2)*(2*a*b + a^2 - b^2))/(2*(a^2 + b^2)*(a^4 + b^4 + 2*a^2*b^2)) -
(2*(16*a*b^3 - 16*a^3*b)*(2*a*b - a^2 + b^2)*(2*a*b + a^2 - b^2)*(12*a^16*b + 12*a^2*b^15 + 84*a^4*b^13 + 252*
a^6*b^11 + 420*a^8*b^9 + 420*a^10*b^7 + 252*a^12*b^5 + 84*a^14*b^3))/((a^2 + b^2)*(a^4 + b^4 + 2*a^2*b^2)*(4*a
^6 + 4*b^6 + 12*a^2*b^4 + 12*a^4*b^2)*(a^12 + b^12 + 6*a^2*b^10 + 15*a^4*b^8 + 20*a^6*b^6 + 15*a^8*b^4 + 6*a^1
0*b^2)))*(16*a*b^3 - 16*a^3*b))/(2*(4*a^6 + 4*b^6 + 12*a^2*b^4 + 12*a^4*b^2)) + (((8*(7*a^12*b + 7*a^2*b^11 +
3*a^4*b^9 - 26*a^6*b^7 - 26*a^8*b^5 + 3*a^10*b^3))/(a^12 + b^12 + 6*a^2*b^10 + 15*a^4*b^8 + 20*a^6*b^6 + 15*a^
8*b^4 + 6*a^10*b^2) + ((16*a*b^3 - 16*a^3*b)*((8*(2*a*b^14 - 2*a^15 - 14*a^3*b^12 - 54*a^5*b^10 - 38*a^7*b^8 +
38*a^9*b^6 + 54*a^11*b^4 + 14*a^13*b^2))/(a^12 + b^12 + 6*a^2*b^10 + 15*a^4*b^8 + 20*a^6*b^6 + 15*a^8*b^4 + 6
*a^10*b^2) - (4*(16*a*b^3 - 16*a^3*b)*(12*a^16*b + 12*a^2*b^15 + 84*a^4*b^13 + 252*a^6*b^11 + 420*a^8*b^9 + 42
0*a^10*b^7 + 252*a^12*b^5 + 84*a^14*b^3))/((4*a^6 + 4*b^6 + 12*a^2*b^4 + 12*a^4*b^2)*(a^12 + b^12 + 6*a^2*b^10
+ 15*a^4*b^8 + 20*a^6*b^6 + 15*a^8*b^4 + 6*a^10*b^2))))/(2*(4*a^6 + 4*b^6 + 12*a^2*b^4 + 12*a^4*b^2)))*(2*a*b
- a^2 + b^2)*(2*a*b + a^2 - b^2))/(2*(a^2 + b^2)*(a^4 + b^4 + 2*a^2*b^2)) + ((2*a*b - a^2 + b^2)^3*(2*a*b + a
^2 - b^2)^3*(12*a^16*b + 12*a^2*b^15 + 84*a^4*b^13 + 252*a^6*b^11 + 420*a^8*b^9 + 420*a^10*b^7 + 252*a^12*b^5
+ 84*a^14*b^3))/((a^2 + b^2)^3*(a^4 + b^4 + 2*a^2*b^2)^3*(a^12 + b^12 + 6*a^2*b^10 + 15*a^4*b^8 + 20*a^6*b^6 +
15*a^8*b^4 + 6*a^10*b^2)))*(a^10 - b^10 + 109*a^2*b^8 - 466*a^4*b^6 + 466*a^6*b^4 - 109*a^8*b^2)*(a^16 + b^16
+ 8*a^2*b^14 + 28*a^4*b^12 + 56*a^6*b^10 + 70*a^8*b^8 + 56*a^10*b^6 + 28*a^12*b^4 + 8*a^14*b^2))/((4*a*b^4 +
4*a^5 - 24*a^3*b^2)*(a^10 + b^10 + 53*a^2*b^8 - 38*a^4*b^6 - 38*a^6*b^4 + 53*a^8*b^2)^2))*(2*a*b - a^2 + b^2)*
(2*a*b + a^2 - b^2))/((a^2 + b^2)*(a^4 + b^4 + 2*a^2*b^2))

________________________________________________________________________________________

sympy [F(-1)]  time = 0.00, size = 0, normalized size = 0.00 \[ \text {Timed out} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(cos(x)**2*sin(x)**2/(a*cos(x)+b*sin(x))**2,x)

[Out]

Timed out

________________________________________________________________________________________