3.509 \(\int \frac {d+e \cos (x)}{a+b \cos (x)+c \cos ^2(x)} \, dx\)

Optimal. Leaf size=246 \[ \frac {2 \left (\frac {2 c d-b e}{\sqrt {b^2-4 a c}}+e\right ) \tan ^{-1}\left (\frac {\tan \left (\frac {x}{2}\right ) \sqrt {-\sqrt {b^2-4 a c}+b-2 c}}{\sqrt {-\sqrt {b^2-4 a c}+b+2 c}}\right )}{\sqrt {-\sqrt {b^2-4 a c}+b-2 c} \sqrt {-\sqrt {b^2-4 a c}+b+2 c}}+\frac {2 \left (e-\frac {2 c d-b e}{\sqrt {b^2-4 a c}}\right ) \tan ^{-1}\left (\frac {\tan \left (\frac {x}{2}\right ) \sqrt {\sqrt {b^2-4 a c}+b-2 c}}{\sqrt {\sqrt {b^2-4 a c}+b+2 c}}\right )}{\sqrt {\sqrt {b^2-4 a c}+b-2 c} \sqrt {\sqrt {b^2-4 a c}+b+2 c}} \]

[Out]

2*arctan((b-2*c-(-4*a*c+b^2)^(1/2))^(1/2)*tan(1/2*x)/(b+2*c-(-4*a*c+b^2)^(1/2))^(1/2))*(e+(-b*e+2*c*d)/(-4*a*c
+b^2)^(1/2))/(b-2*c-(-4*a*c+b^2)^(1/2))^(1/2)/(b+2*c-(-4*a*c+b^2)^(1/2))^(1/2)+2*arctan((b-2*c+(-4*a*c+b^2)^(1
/2))^(1/2)*tan(1/2*x)/(b+2*c+(-4*a*c+b^2)^(1/2))^(1/2))*(e+(b*e-2*c*d)/(-4*a*c+b^2)^(1/2))/(b-2*c+(-4*a*c+b^2)
^(1/2))^(1/2)/(b+2*c+(-4*a*c+b^2)^(1/2))^(1/2)

________________________________________________________________________________________

Rubi [A]  time = 0.79, antiderivative size = 246, normalized size of antiderivative = 1.00, number of steps used = 5, number of rules used = 3, integrand size = 21, \(\frac {\text {number of rules}}{\text {integrand size}}\) = 0.143, Rules used = {3293, 2659, 205} \[ \frac {2 \left (\frac {2 c d-b e}{\sqrt {b^2-4 a c}}+e\right ) \tan ^{-1}\left (\frac {\tan \left (\frac {x}{2}\right ) \sqrt {-\sqrt {b^2-4 a c}+b-2 c}}{\sqrt {-\sqrt {b^2-4 a c}+b+2 c}}\right )}{\sqrt {-\sqrt {b^2-4 a c}+b-2 c} \sqrt {-\sqrt {b^2-4 a c}+b+2 c}}+\frac {2 \left (e-\frac {2 c d-b e}{\sqrt {b^2-4 a c}}\right ) \tan ^{-1}\left (\frac {\tan \left (\frac {x}{2}\right ) \sqrt {\sqrt {b^2-4 a c}+b-2 c}}{\sqrt {\sqrt {b^2-4 a c}+b+2 c}}\right )}{\sqrt {\sqrt {b^2-4 a c}+b-2 c} \sqrt {\sqrt {b^2-4 a c}+b+2 c}} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Int[(d + e*Cos[x])/(a + b*Cos[x] + c*Cos[x]^2),x]

[Out]

(2*(e + (2*c*d - b*e)/Sqrt[b^2 - 4*a*c])*ArcTan[(Sqrt[b - 2*c - Sqrt[b^2 - 4*a*c]]*Tan[x/2])/Sqrt[b + 2*c - Sq
rt[b^2 - 4*a*c]]])/(Sqrt[b - 2*c - Sqrt[b^2 - 4*a*c]]*Sqrt[b + 2*c - Sqrt[b^2 - 4*a*c]]) + (2*(e - (2*c*d - b*
e)/Sqrt[b^2 - 4*a*c])*ArcTan[(Sqrt[b - 2*c + Sqrt[b^2 - 4*a*c]]*Tan[x/2])/Sqrt[b + 2*c + Sqrt[b^2 - 4*a*c]]])/
(Sqrt[b - 2*c + Sqrt[b^2 - 4*a*c]]*Sqrt[b + 2*c + Sqrt[b^2 - 4*a*c]])

Rule 205

Int[((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(-1), x_Symbol] :> Simp[(Rt[a/b, 2]*ArcTan[x/Rt[a/b, 2]])/a, x] /; FreeQ[{a, b}, x]
&& PosQ[a/b]

Rule 2659

Int[((a_) + (b_.)*sin[Pi/2 + (c_.) + (d_.)*(x_)])^(-1), x_Symbol] :> With[{e = FreeFactors[Tan[(c + d*x)/2], x
]}, Dist[(2*e)/d, Subst[Int[1/(a + b + (a - b)*e^2*x^2), x], x, Tan[(c + d*x)/2]/e], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d}
, x] && NeQ[a^2 - b^2, 0]

Rule 3293

Int[(cos[(d_.) + (e_.)*(x_)]*(B_.) + (A_))/((a_.) + cos[(d_.) + (e_.)*(x_)]*(b_.) + cos[(d_.) + (e_.)*(x_)]^2*
(c_.)), x_Symbol] :> Module[{q = Rt[b^2 - 4*a*c, 2]}, Dist[B + (b*B - 2*A*c)/q, Int[1/(b + q + 2*c*Cos[d + e*x
]), x], x] + Dist[B - (b*B - 2*A*c)/q, Int[1/(b - q + 2*c*Cos[d + e*x]), x], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, A, B
}, x] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0]

Rubi steps

\begin {align*} \int \frac {d+e \cos (x)}{a+b \cos (x)+c \cos ^2(x)} \, dx &=\left (e-\frac {2 c d-b e}{\sqrt {b^2-4 a c}}\right ) \int \frac {1}{b+\sqrt {b^2-4 a c}+2 c \cos (x)} \, dx+\left (e+\frac {2 c d-b e}{\sqrt {b^2-4 a c}}\right ) \int \frac {1}{b-\sqrt {b^2-4 a c}+2 c \cos (x)} \, dx\\ &=\left (2 \left (e-\frac {2 c d-b e}{\sqrt {b^2-4 a c}}\right )\right ) \operatorname {Subst}\left (\int \frac {1}{b+2 c+\sqrt {b^2-4 a c}+\left (b-2 c+\sqrt {b^2-4 a c}\right ) x^2} \, dx,x,\tan \left (\frac {x}{2}\right )\right )+\left (2 \left (e+\frac {2 c d-b e}{\sqrt {b^2-4 a c}}\right )\right ) \operatorname {Subst}\left (\int \frac {1}{b+2 c-\sqrt {b^2-4 a c}+\left (b-2 c-\sqrt {b^2-4 a c}\right ) x^2} \, dx,x,\tan \left (\frac {x}{2}\right )\right )\\ &=\frac {2 \left (e+\frac {2 c d-b e}{\sqrt {b^2-4 a c}}\right ) \tan ^{-1}\left (\frac {\sqrt {b-2 c-\sqrt {b^2-4 a c}} \tan \left (\frac {x}{2}\right )}{\sqrt {b+2 c-\sqrt {b^2-4 a c}}}\right )}{\sqrt {b-2 c-\sqrt {b^2-4 a c}} \sqrt {b+2 c-\sqrt {b^2-4 a c}}}+\frac {2 \left (e-\frac {2 c d-b e}{\sqrt {b^2-4 a c}}\right ) \tan ^{-1}\left (\frac {\sqrt {b-2 c+\sqrt {b^2-4 a c}} \tan \left (\frac {x}{2}\right )}{\sqrt {b+2 c+\sqrt {b^2-4 a c}}}\right )}{\sqrt {b-2 c+\sqrt {b^2-4 a c}} \sqrt {b+2 c+\sqrt {b^2-4 a c}}}\\ \end {align*}

________________________________________________________________________________________

Mathematica [A]  time = 0.56, size = 241, normalized size = 0.98 \[ \frac {\sqrt {2} \left (\frac {\left (e \left (\sqrt {b^2-4 a c}-b\right )+2 c d\right ) \tanh ^{-1}\left (\frac {\tan \left (\frac {x}{2}\right ) \left (\sqrt {b^2-4 a c}-b+2 c\right )}{\sqrt {2 b \sqrt {b^2-4 a c}+4 c (a+c)-2 b^2}}\right )}{\sqrt {b \sqrt {b^2-4 a c}+2 c (a+c)-b^2}}-\frac {\left (e \left (\sqrt {b^2-4 a c}+b\right )-2 c d\right ) \tanh ^{-1}\left (\frac {\tan \left (\frac {x}{2}\right ) \left (\sqrt {b^2-4 a c}+b-2 c\right )}{\sqrt {-2 b \sqrt {b^2-4 a c}+4 c (a+c)-2 b^2}}\right )}{\sqrt {-b \sqrt {b^2-4 a c}+2 c (a+c)-b^2}}\right )}{\sqrt {b^2-4 a c}} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Integrate[(d + e*Cos[x])/(a + b*Cos[x] + c*Cos[x]^2),x]

[Out]

(Sqrt[2]*(-(((-2*c*d + (b + Sqrt[b^2 - 4*a*c])*e)*ArcTanh[((b - 2*c + Sqrt[b^2 - 4*a*c])*Tan[x/2])/Sqrt[-2*b^2
+ 4*c*(a + c) - 2*b*Sqrt[b^2 - 4*a*c]]])/Sqrt[-b^2 + 2*c*(a + c) - b*Sqrt[b^2 - 4*a*c]]) + ((2*c*d + (-b + Sq
rt[b^2 - 4*a*c])*e)*ArcTanh[((-b + 2*c + Sqrt[b^2 - 4*a*c])*Tan[x/2])/Sqrt[-2*b^2 + 4*c*(a + c) + 2*b*Sqrt[b^2
- 4*a*c]]])/Sqrt[-b^2 + 2*c*(a + c) + b*Sqrt[b^2 - 4*a*c]]))/Sqrt[b^2 - 4*a*c]

________________________________________________________________________________________

fricas [B]  time = 16.18, size = 6697, normalized size = 27.22 \[ \text {result too large to display} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((d+e*cos(x))/(a+b*cos(x)+c*cos(x)^2),x, algorithm="fricas")

[Out]

1/4*sqrt(2)*sqrt(-((b^2 - 2*a*c - 2*c^2)*d^2 - 2*(a*b - b*c)*d*e + (2*a^2 - b^2 + 2*a*c)*e^2 - (a^2*b^2 - b^4
- 4*a*c^3 - (8*a^2 - b^2)*c^2 - 2*(2*a^3 - 3*a*b^2)*c)*sqrt((b^2*d^4 + b^2*e^4 - 4*(a*b + b*c)*d^3*e + 2*(2*a^
2 + b^2 + 4*a*c + 2*c^2)*d^2*e^2 - 4*(a*b + b*c)*d*e^3)/(a^4*b^2 - 2*a^2*b^4 + b^6 - 4*a*c^5 - (16*a^2 - b^2)*
c^4 - 12*(2*a^3 - a*b^2)*c^3 - 2*(8*a^4 - 11*a^2*b^2 + b^4)*c^2 - 4*(a^5 - 3*a^3*b^2 + 2*a*b^4)*c)))/(a^2*b^2
- b^4 - 4*a*c^3 - (8*a^2 - b^2)*c^2 - 2*(2*a^3 - 3*a*b^2)*c))*log(2*b*c^2*d^4 + 2*a*b*c*e^4 - 2*(b^2*c + 2*a*c
^2 + 2*c^3)*d^3*e + 6*(a*b*c + b*c^2)*d^2*e^2 - 2*(2*a*c^2 + (2*a^2 + b^2)*c)*d*e^3 - ((4*a*c^4 + (8*a^2 - b^2
)*c^3 + 2*(2*a^3 - 3*a*b^2)*c^2 - (a^2*b^2 - b^4)*c)*d^2 + (a^2*b^3 - b^5 - 4*a*b*c^3 - (8*a^2*b - b^3)*c^2 -
2*(2*a^3*b - 3*a*b^3)*c)*d*e - (a^3*b^2 - a*b^4 - 4*a^2*c^3 - (8*a^3 - a*b^2)*c^2 - 2*(2*a^4 - 3*a^2*b^2)*c)*e
^2)*sqrt((b^2*d^4 + b^2*e^4 - 4*(a*b + b*c)*d^3*e + 2*(2*a^2 + b^2 + 4*a*c + 2*c^2)*d^2*e^2 - 4*(a*b + b*c)*d*
e^3)/(a^4*b^2 - 2*a^2*b^4 + b^6 - 4*a*c^5 - (16*a^2 - b^2)*c^4 - 12*(2*a^3 - a*b^2)*c^3 - 2*(8*a^4 - 11*a^2*b^
2 + b^4)*c^2 - 4*(a^5 - 3*a^3*b^2 + 2*a*b^4)*c))*cos(x) + 1/2*sqrt(2)*(((a^2*b^4 - b^6 + 8*a*c^5 + 2*(12*a^2 -
b^2)*c^4 + 6*(4*a^3 - 3*a*b^2)*c^3 + (8*a^4 - 22*a^2*b^2 + 3*b^4)*c^2 - 2*(3*a^3*b^2 - 4*a*b^4)*c)*d - (a^3*b
^3 - a*b^5 + 4*a*b*c^4 + (4*a^2*b - b^3)*c^3 - (4*a^3*b + 5*a*b^3)*c^2 - (4*a^4*b - 5*a^2*b^3 - b^5)*c)*e)*sqr
t((b^2*d^4 + b^2*e^4 - 4*(a*b + b*c)*d^3*e + 2*(2*a^2 + b^2 + 4*a*c + 2*c^2)*d^2*e^2 - 4*(a*b + b*c)*d*e^3)/(a
^4*b^2 - 2*a^2*b^4 + b^6 - 4*a*c^5 - (16*a^2 - b^2)*c^4 - 12*(2*a^3 - a*b^2)*c^3 - 2*(8*a^4 - 11*a^2*b^2 + b^4
)*c^2 - 4*(a^5 - 3*a^3*b^2 + 2*a*b^4)*c))*sin(x) + ((b^4 - 4*a*b^2*c)*d^3 - 3*(a*b^3 - 4*a*b*c^2 - (4*a^2*b -
b^3)*c)*d^2*e + (2*a^2*b^2 + b^4 - 8*a^3*c - 8*a*c^3 - 2*(8*a^2 - b^2)*c^2)*d*e^2 - (a*b^3 - 4*a*b*c^2 - (4*a^
2*b - b^3)*c)*e^3)*sin(x))*sqrt(-((b^2 - 2*a*c - 2*c^2)*d^2 - 2*(a*b - b*c)*d*e + (2*a^2 - b^2 + 2*a*c)*e^2 -
(a^2*b^2 - b^4 - 4*a*c^3 - (8*a^2 - b^2)*c^2 - 2*(2*a^3 - 3*a*b^2)*c)*sqrt((b^2*d^4 + b^2*e^4 - 4*(a*b + b*c)*
d^3*e + 2*(2*a^2 + b^2 + 4*a*c + 2*c^2)*d^2*e^2 - 4*(a*b + b*c)*d*e^3)/(a^4*b^2 - 2*a^2*b^4 + b^6 - 4*a*c^5 -
(16*a^2 - b^2)*c^4 - 12*(2*a^3 - a*b^2)*c^3 - 2*(8*a^4 - 11*a^2*b^2 + b^4)*c^2 - 4*(a^5 - 3*a^3*b^2 + 2*a*b^4)
*c)))/(a^2*b^2 - b^4 - 4*a*c^3 - (8*a^2 - b^2)*c^2 - 2*(2*a^3 - 3*a*b^2)*c)) + (b^2*c*d^4 + a*b^2*e^4 - (b^3 +
2*a*b*c + 2*b*c^2)*d^3*e + 3*(a*b^2 + b^2*c)*d^2*e^2 - (2*a^2*b + b^3 + 2*a*b*c)*d*e^3)*cos(x)) - 1/4*sqrt(2)
*sqrt(-((b^2 - 2*a*c - 2*c^2)*d^2 - 2*(a*b - b*c)*d*e + (2*a^2 - b^2 + 2*a*c)*e^2 - (a^2*b^2 - b^4 - 4*a*c^3 -
(8*a^2 - b^2)*c^2 - 2*(2*a^3 - 3*a*b^2)*c)*sqrt((b^2*d^4 + b^2*e^4 - 4*(a*b + b*c)*d^3*e + 2*(2*a^2 + b^2 + 4
*a*c + 2*c^2)*d^2*e^2 - 4*(a*b + b*c)*d*e^3)/(a^4*b^2 - 2*a^2*b^4 + b^6 - 4*a*c^5 - (16*a^2 - b^2)*c^4 - 12*(2
*a^3 - a*b^2)*c^3 - 2*(8*a^4 - 11*a^2*b^2 + b^4)*c^2 - 4*(a^5 - 3*a^3*b^2 + 2*a*b^4)*c)))/(a^2*b^2 - b^4 - 4*a
*c^3 - (8*a^2 - b^2)*c^2 - 2*(2*a^3 - 3*a*b^2)*c))*log(2*b*c^2*d^4 + 2*a*b*c*e^4 - 2*(b^2*c + 2*a*c^2 + 2*c^3)
*d^3*e + 6*(a*b*c + b*c^2)*d^2*e^2 - 2*(2*a*c^2 + (2*a^2 + b^2)*c)*d*e^3 - ((4*a*c^4 + (8*a^2 - b^2)*c^3 + 2*(
2*a^3 - 3*a*b^2)*c^2 - (a^2*b^2 - b^4)*c)*d^2 + (a^2*b^3 - b^5 - 4*a*b*c^3 - (8*a^2*b - b^3)*c^2 - 2*(2*a^3*b
- 3*a*b^3)*c)*d*e - (a^3*b^2 - a*b^4 - 4*a^2*c^3 - (8*a^3 - a*b^2)*c^2 - 2*(2*a^4 - 3*a^2*b^2)*c)*e^2)*sqrt((b
^2*d^4 + b^2*e^4 - 4*(a*b + b*c)*d^3*e + 2*(2*a^2 + b^2 + 4*a*c + 2*c^2)*d^2*e^2 - 4*(a*b + b*c)*d*e^3)/(a^4*b
^2 - 2*a^2*b^4 + b^6 - 4*a*c^5 - (16*a^2 - b^2)*c^4 - 12*(2*a^3 - a*b^2)*c^3 - 2*(8*a^4 - 11*a^2*b^2 + b^4)*c^
2 - 4*(a^5 - 3*a^3*b^2 + 2*a*b^4)*c))*cos(x) - 1/2*sqrt(2)*(((a^2*b^4 - b^6 + 8*a*c^5 + 2*(12*a^2 - b^2)*c^4 +
6*(4*a^3 - 3*a*b^2)*c^3 + (8*a^4 - 22*a^2*b^2 + 3*b^4)*c^2 - 2*(3*a^3*b^2 - 4*a*b^4)*c)*d - (a^3*b^3 - a*b^5
+ 4*a*b*c^4 + (4*a^2*b - b^3)*c^3 - (4*a^3*b + 5*a*b^3)*c^2 - (4*a^4*b - 5*a^2*b^3 - b^5)*c)*e)*sqrt((b^2*d^4
+ b^2*e^4 - 4*(a*b + b*c)*d^3*e + 2*(2*a^2 + b^2 + 4*a*c + 2*c^2)*d^2*e^2 - 4*(a*b + b*c)*d*e^3)/(a^4*b^2 - 2*
a^2*b^4 + b^6 - 4*a*c^5 - (16*a^2 - b^2)*c^4 - 12*(2*a^3 - a*b^2)*c^3 - 2*(8*a^4 - 11*a^2*b^2 + b^4)*c^2 - 4*(
a^5 - 3*a^3*b^2 + 2*a*b^4)*c))*sin(x) + ((b^4 - 4*a*b^2*c)*d^3 - 3*(a*b^3 - 4*a*b*c^2 - (4*a^2*b - b^3)*c)*d^2
*e + (2*a^2*b^2 + b^4 - 8*a^3*c - 8*a*c^3 - 2*(8*a^2 - b^2)*c^2)*d*e^2 - (a*b^3 - 4*a*b*c^2 - (4*a^2*b - b^3)*
c)*e^3)*sin(x))*sqrt(-((b^2 - 2*a*c - 2*c^2)*d^2 - 2*(a*b - b*c)*d*e + (2*a^2 - b^2 + 2*a*c)*e^2 - (a^2*b^2 -
b^4 - 4*a*c^3 - (8*a^2 - b^2)*c^2 - 2*(2*a^3 - 3*a*b^2)*c)*sqrt((b^2*d^4 + b^2*e^4 - 4*(a*b + b*c)*d^3*e + 2*(
2*a^2 + b^2 + 4*a*c + 2*c^2)*d^2*e^2 - 4*(a*b + b*c)*d*e^3)/(a^4*b^2 - 2*a^2*b^4 + b^6 - 4*a*c^5 - (16*a^2 - b
^2)*c^4 - 12*(2*a^3 - a*b^2)*c^3 - 2*(8*a^4 - 11*a^2*b^2 + b^4)*c^2 - 4*(a^5 - 3*a^3*b^2 + 2*a*b^4)*c)))/(a^2*
b^2 - b^4 - 4*a*c^3 - (8*a^2 - b^2)*c^2 - 2*(2*a^3 - 3*a*b^2)*c)) + (b^2*c*d^4 + a*b^2*e^4 - (b^3 + 2*a*b*c +
2*b*c^2)*d^3*e + 3*(a*b^2 + b^2*c)*d^2*e^2 - (2*a^2*b + b^3 + 2*a*b*c)*d*e^3)*cos(x)) + 1/4*sqrt(2)*sqrt(-((b^
2 - 2*a*c - 2*c^2)*d^2 - 2*(a*b - b*c)*d*e + (2*a^2 - b^2 + 2*a*c)*e^2 + (a^2*b^2 - b^4 - 4*a*c^3 - (8*a^2 - b
^2)*c^2 - 2*(2*a^3 - 3*a*b^2)*c)*sqrt((b^2*d^4 + b^2*e^4 - 4*(a*b + b*c)*d^3*e + 2*(2*a^2 + b^2 + 4*a*c + 2*c^
2)*d^2*e^2 - 4*(a*b + b*c)*d*e^3)/(a^4*b^2 - 2*a^2*b^4 + b^6 - 4*a*c^5 - (16*a^2 - b^2)*c^4 - 12*(2*a^3 - a*b^
2)*c^3 - 2*(8*a^4 - 11*a^2*b^2 + b^4)*c^2 - 4*(a^5 - 3*a^3*b^2 + 2*a*b^4)*c)))/(a^2*b^2 - b^4 - 4*a*c^3 - (8*a
^2 - b^2)*c^2 - 2*(2*a^3 - 3*a*b^2)*c))*log(-2*b*c^2*d^4 - 2*a*b*c*e^4 + 2*(b^2*c + 2*a*c^2 + 2*c^3)*d^3*e - 6
*(a*b*c + b*c^2)*d^2*e^2 + 2*(2*a*c^2 + (2*a^2 + b^2)*c)*d*e^3 - ((4*a*c^4 + (8*a^2 - b^2)*c^3 + 2*(2*a^3 - 3*
a*b^2)*c^2 - (a^2*b^2 - b^4)*c)*d^2 + (a^2*b^3 - b^5 - 4*a*b*c^3 - (8*a^2*b - b^3)*c^2 - 2*(2*a^3*b - 3*a*b^3)
*c)*d*e - (a^3*b^2 - a*b^4 - 4*a^2*c^3 - (8*a^3 - a*b^2)*c^2 - 2*(2*a^4 - 3*a^2*b^2)*c)*e^2)*sqrt((b^2*d^4 + b
^2*e^4 - 4*(a*b + b*c)*d^3*e + 2*(2*a^2 + b^2 + 4*a*c + 2*c^2)*d^2*e^2 - 4*(a*b + b*c)*d*e^3)/(a^4*b^2 - 2*a^2
*b^4 + b^6 - 4*a*c^5 - (16*a^2 - b^2)*c^4 - 12*(2*a^3 - a*b^2)*c^3 - 2*(8*a^4 - 11*a^2*b^2 + b^4)*c^2 - 4*(a^5
- 3*a^3*b^2 + 2*a*b^4)*c))*cos(x) + 1/2*sqrt(2)*(((a^2*b^4 - b^6 + 8*a*c^5 + 2*(12*a^2 - b^2)*c^4 + 6*(4*a^3
- 3*a*b^2)*c^3 + (8*a^4 - 22*a^2*b^2 + 3*b^4)*c^2 - 2*(3*a^3*b^2 - 4*a*b^4)*c)*d - (a^3*b^3 - a*b^5 + 4*a*b*c^
4 + (4*a^2*b - b^3)*c^3 - (4*a^3*b + 5*a*b^3)*c^2 - (4*a^4*b - 5*a^2*b^3 - b^5)*c)*e)*sqrt((b^2*d^4 + b^2*e^4
- 4*(a*b + b*c)*d^3*e + 2*(2*a^2 + b^2 + 4*a*c + 2*c^2)*d^2*e^2 - 4*(a*b + b*c)*d*e^3)/(a^4*b^2 - 2*a^2*b^4 +
b^6 - 4*a*c^5 - (16*a^2 - b^2)*c^4 - 12*(2*a^3 - a*b^2)*c^3 - 2*(8*a^4 - 11*a^2*b^2 + b^4)*c^2 - 4*(a^5 - 3*a^
3*b^2 + 2*a*b^4)*c))*sin(x) - ((b^4 - 4*a*b^2*c)*d^3 - 3*(a*b^3 - 4*a*b*c^2 - (4*a^2*b - b^3)*c)*d^2*e + (2*a^
2*b^2 + b^4 - 8*a^3*c - 8*a*c^3 - 2*(8*a^2 - b^2)*c^2)*d*e^2 - (a*b^3 - 4*a*b*c^2 - (4*a^2*b - b^3)*c)*e^3)*si
n(x))*sqrt(-((b^2 - 2*a*c - 2*c^2)*d^2 - 2*(a*b - b*c)*d*e + (2*a^2 - b^2 + 2*a*c)*e^2 + (a^2*b^2 - b^4 - 4*a*
c^3 - (8*a^2 - b^2)*c^2 - 2*(2*a^3 - 3*a*b^2)*c)*sqrt((b^2*d^4 + b^2*e^4 - 4*(a*b + b*c)*d^3*e + 2*(2*a^2 + b^
2 + 4*a*c + 2*c^2)*d^2*e^2 - 4*(a*b + b*c)*d*e^3)/(a^4*b^2 - 2*a^2*b^4 + b^6 - 4*a*c^5 - (16*a^2 - b^2)*c^4 -
12*(2*a^3 - a*b^2)*c^3 - 2*(8*a^4 - 11*a^2*b^2 + b^4)*c^2 - 4*(a^5 - 3*a^3*b^2 + 2*a*b^4)*c)))/(a^2*b^2 - b^4
- 4*a*c^3 - (8*a^2 - b^2)*c^2 - 2*(2*a^3 - 3*a*b^2)*c)) - (b^2*c*d^4 + a*b^2*e^4 - (b^3 + 2*a*b*c + 2*b*c^2)*d
^3*e + 3*(a*b^2 + b^2*c)*d^2*e^2 - (2*a^2*b + b^3 + 2*a*b*c)*d*e^3)*cos(x)) - 1/4*sqrt(2)*sqrt(-((b^2 - 2*a*c
- 2*c^2)*d^2 - 2*(a*b - b*c)*d*e + (2*a^2 - b^2 + 2*a*c)*e^2 + (a^2*b^2 - b^4 - 4*a*c^3 - (8*a^2 - b^2)*c^2 -
2*(2*a^3 - 3*a*b^2)*c)*sqrt((b^2*d^4 + b^2*e^4 - 4*(a*b + b*c)*d^3*e + 2*(2*a^2 + b^2 + 4*a*c + 2*c^2)*d^2*e^2
- 4*(a*b + b*c)*d*e^3)/(a^4*b^2 - 2*a^2*b^4 + b^6 - 4*a*c^5 - (16*a^2 - b^2)*c^4 - 12*(2*a^3 - a*b^2)*c^3 - 2
*(8*a^4 - 11*a^2*b^2 + b^4)*c^2 - 4*(a^5 - 3*a^3*b^2 + 2*a*b^4)*c)))/(a^2*b^2 - b^4 - 4*a*c^3 - (8*a^2 - b^2)*
c^2 - 2*(2*a^3 - 3*a*b^2)*c))*log(-2*b*c^2*d^4 - 2*a*b*c*e^4 + 2*(b^2*c + 2*a*c^2 + 2*c^3)*d^3*e - 6*(a*b*c +
b*c^2)*d^2*e^2 + 2*(2*a*c^2 + (2*a^2 + b^2)*c)*d*e^3 - ((4*a*c^4 + (8*a^2 - b^2)*c^3 + 2*(2*a^3 - 3*a*b^2)*c^2
- (a^2*b^2 - b^4)*c)*d^2 + (a^2*b^3 - b^5 - 4*a*b*c^3 - (8*a^2*b - b^3)*c^2 - 2*(2*a^3*b - 3*a*b^3)*c)*d*e -
(a^3*b^2 - a*b^4 - 4*a^2*c^3 - (8*a^3 - a*b^2)*c^2 - 2*(2*a^4 - 3*a^2*b^2)*c)*e^2)*sqrt((b^2*d^4 + b^2*e^4 - 4
*(a*b + b*c)*d^3*e + 2*(2*a^2 + b^2 + 4*a*c + 2*c^2)*d^2*e^2 - 4*(a*b + b*c)*d*e^3)/(a^4*b^2 - 2*a^2*b^4 + b^6
- 4*a*c^5 - (16*a^2 - b^2)*c^4 - 12*(2*a^3 - a*b^2)*c^3 - 2*(8*a^4 - 11*a^2*b^2 + b^4)*c^2 - 4*(a^5 - 3*a^3*b
^2 + 2*a*b^4)*c))*cos(x) - 1/2*sqrt(2)*(((a^2*b^4 - b^6 + 8*a*c^5 + 2*(12*a^2 - b^2)*c^4 + 6*(4*a^3 - 3*a*b^2)
*c^3 + (8*a^4 - 22*a^2*b^2 + 3*b^4)*c^2 - 2*(3*a^3*b^2 - 4*a*b^4)*c)*d - (a^3*b^3 - a*b^5 + 4*a*b*c^4 + (4*a^2
*b - b^3)*c^3 - (4*a^3*b + 5*a*b^3)*c^2 - (4*a^4*b - 5*a^2*b^3 - b^5)*c)*e)*sqrt((b^2*d^4 + b^2*e^4 - 4*(a*b +
b*c)*d^3*e + 2*(2*a^2 + b^2 + 4*a*c + 2*c^2)*d^2*e^2 - 4*(a*b + b*c)*d*e^3)/(a^4*b^2 - 2*a^2*b^4 + b^6 - 4*a*
c^5 - (16*a^2 - b^2)*c^4 - 12*(2*a^3 - a*b^2)*c^3 - 2*(8*a^4 - 11*a^2*b^2 + b^4)*c^2 - 4*(a^5 - 3*a^3*b^2 + 2*
a*b^4)*c))*sin(x) - ((b^4 - 4*a*b^2*c)*d^3 - 3*(a*b^3 - 4*a*b*c^2 - (4*a^2*b - b^3)*c)*d^2*e + (2*a^2*b^2 + b^
4 - 8*a^3*c - 8*a*c^3 - 2*(8*a^2 - b^2)*c^2)*d*e^2 - (a*b^3 - 4*a*b*c^2 - (4*a^2*b - b^3)*c)*e^3)*sin(x))*sqrt
(-((b^2 - 2*a*c - 2*c^2)*d^2 - 2*(a*b - b*c)*d*e + (2*a^2 - b^2 + 2*a*c)*e^2 + (a^2*b^2 - b^4 - 4*a*c^3 - (8*a
^2 - b^2)*c^2 - 2*(2*a^3 - 3*a*b^2)*c)*sqrt((b^2*d^4 + b^2*e^4 - 4*(a*b + b*c)*d^3*e + 2*(2*a^2 + b^2 + 4*a*c
+ 2*c^2)*d^2*e^2 - 4*(a*b + b*c)*d*e^3)/(a^4*b^2 - 2*a^2*b^4 + b^6 - 4*a*c^5 - (16*a^2 - b^2)*c^4 - 12*(2*a^3
- a*b^2)*c^3 - 2*(8*a^4 - 11*a^2*b^2 + b^4)*c^2 - 4*(a^5 - 3*a^3*b^2 + 2*a*b^4)*c)))/(a^2*b^2 - b^4 - 4*a*c^3
- (8*a^2 - b^2)*c^2 - 2*(2*a^3 - 3*a*b^2)*c)) - (b^2*c*d^4 + a*b^2*e^4 - (b^3 + 2*a*b*c + 2*b*c^2)*d^3*e + 3*(
a*b^2 + b^2*c)*d^2*e^2 - (2*a^2*b + b^3 + 2*a*b*c)*d*e^3)*cos(x))

________________________________________________________________________________________

giac [B]  time = 8.40, size = 5302, normalized size = 21.55 \[ \text {result too large to display} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((d+e*cos(x))/(a+b*cos(x)+c*cos(x)^2),x, algorithm="giac")

[Out]

((2*a^2*b^3 - 2*b^5 - 8*a^3*b*c - 12*a^2*b^2*c + 20*a*b^3*c + 4*b^4*c + 48*a^3*c^2 - 48*a^2*b*c^2 - 24*a*b^2*c
^2 - 6*b^3*c^2 + 32*a^2*c^3 + 24*a*b*c^3 + 4*b^2*c^3 - 16*a*c^4 + 3*sqrt(a^2 - a*b + b*c - c^2 + sqrt(b^2 - 4*
a*c)*(a - b + c))*a^2*b^2 - 2*sqrt(a^2 - a*b + b*c - c^2 + sqrt(b^2 - 4*a*c)*(a - b + c))*a*b^3 - 5*sqrt(a^2 -
a*b + b*c - c^2 + sqrt(b^2 - 4*a*c)*(a - b + c))*b^4 - 12*sqrt(a^2 - a*b + b*c - c^2 + sqrt(b^2 - 4*a*c)*(a -
b + c))*a^3*c + 8*sqrt(a^2 - a*b + b*c - c^2 + sqrt(b^2 - 4*a*c)*(a - b + c))*a^2*b*c + 34*sqrt(a^2 - a*b + b
*c - c^2 + sqrt(b^2 - 4*a*c)*(a - b + c))*a*b^2*c + 6*sqrt(a^2 - a*b + b*c - c^2 + sqrt(b^2 - 4*a*c)*(a - b +
c))*b^3*c - 56*sqrt(a^2 - a*b + b*c - c^2 + sqrt(b^2 - 4*a*c)*(a - b + c))*a^2*c^2 - 24*sqrt(a^2 - a*b + b*c -
c^2 + sqrt(b^2 - 4*a*c)*(a - b + c))*a*b*c^2 - 5*sqrt(a^2 - a*b + b*c - c^2 + sqrt(b^2 - 4*a*c)*(a - b + c))*
b^2*c^2 + 20*sqrt(a^2 - a*b + b*c - c^2 + sqrt(b^2 - 4*a*c)*(a - b + c))*a*c^3 + 3*sqrt(a^2 - a*b + b*c - c^2
+ sqrt(b^2 - 4*a*c)*(a - b + c))*sqrt(b^2 - 4*a*c)*a^2*b - 2*(b^2 - 4*a*c)*a^2*b - 2*sqrt(a^2 - a*b + b*c - c^
2 + sqrt(b^2 - 4*a*c)*(a - b + c))*sqrt(b^2 - 4*a*c)*a*b^2 - 5*sqrt(a^2 - a*b + b*c - c^2 + sqrt(b^2 - 4*a*c)*
(a - b + c))*sqrt(b^2 - 4*a*c)*b^3 + 2*(b^2 - 4*a*c)*b^3 + 6*sqrt(a^2 - a*b + b*c - c^2 + sqrt(b^2 - 4*a*c)*(a
- b + c))*sqrt(b^2 - 4*a*c)*a^2*c + 12*(b^2 - 4*a*c)*a^2*c + 10*sqrt(a^2 - a*b + b*c - c^2 + sqrt(b^2 - 4*a*c
)*(a - b + c))*sqrt(b^2 - 4*a*c)*a*b*c - 12*(b^2 - 4*a*c)*a*b*c - 4*sqrt(a^2 - a*b + b*c - c^2 + sqrt(b^2 - 4*
a*c)*(a - b + c))*sqrt(b^2 - 4*a*c)*b^2*c - 4*(b^2 - 4*a*c)*b^2*c + 28*sqrt(a^2 - a*b + b*c - c^2 + sqrt(b^2 -
4*a*c)*(a - b + c))*sqrt(b^2 - 4*a*c)*a*c^2 + 8*(b^2 - 4*a*c)*a*c^2 + 7*sqrt(a^2 - a*b + b*c - c^2 + sqrt(b^2
- 4*a*c)*(a - b + c))*sqrt(b^2 - 4*a*c)*b*c^2 + 6*(b^2 - 4*a*c)*b*c^2 - 10*sqrt(a^2 - a*b + b*c - c^2 + sqrt(
b^2 - 4*a*c)*(a - b + c))*sqrt(b^2 - 4*a*c)*c^3 - 4*(b^2 - 4*a*c)*c^3)*d*abs(a - b + c) - (4*a^3*b^2 - 6*a^2*b
^3 - 4*a*b^4 + 6*b^5 - 16*a^4*c + 24*a^3*b*c + 40*a^2*b^2*c - 44*a*b^3*c - 8*b^4*c - 96*a^3*c^2 + 80*a^2*b*c^2
+ 52*a*b^2*c^2 + 2*b^3*c^2 - 80*a^2*c^3 - 8*a*b*c^3 - 3*sqrt(a^2 - a*b + b*c - c^2 + sqrt(b^2 - 4*a*c)*(a - b
+ c))*a^2*b^2 + 2*sqrt(a^2 - a*b + b*c - c^2 + sqrt(b^2 - 4*a*c)*(a - b + c))*a*b^3 + 5*sqrt(a^2 - a*b + b*c
- c^2 + sqrt(b^2 - 4*a*c)*(a - b + c))*b^4 + 12*sqrt(a^2 - a*b + b*c - c^2 + sqrt(b^2 - 4*a*c)*(a - b + c))*a^
3*c - 8*sqrt(a^2 - a*b + b*c - c^2 + sqrt(b^2 - 4*a*c)*(a - b + c))*a^2*b*c - 34*sqrt(a^2 - a*b + b*c - c^2 +
sqrt(b^2 - 4*a*c)*(a - b + c))*a*b^2*c - 6*sqrt(a^2 - a*b + b*c - c^2 + sqrt(b^2 - 4*a*c)*(a - b + c))*b^3*c +
56*sqrt(a^2 - a*b + b*c - c^2 + sqrt(b^2 - 4*a*c)*(a - b + c))*a^2*c^2 + 24*sqrt(a^2 - a*b + b*c - c^2 + sqrt
(b^2 - 4*a*c)*(a - b + c))*a*b*c^2 + 5*sqrt(a^2 - a*b + b*c - c^2 + sqrt(b^2 - 4*a*c)*(a - b + c))*b^2*c^2 - 2
0*sqrt(a^2 - a*b + b*c - c^2 + sqrt(b^2 - 4*a*c)*(a - b + c))*a*c^3 + 6*sqrt(a^2 - a*b + b*c - c^2 + sqrt(b^2
- 4*a*c)*(a - b + c))*sqrt(b^2 - 4*a*c)*a^3 - 4*(b^2 - 4*a*c)*a^3 - sqrt(a^2 - a*b + b*c - c^2 + sqrt(b^2 - 4*
a*c)*(a - b + c))*sqrt(b^2 - 4*a*c)*a^2*b + 6*(b^2 - 4*a*c)*a^2*b - 12*sqrt(a^2 - a*b + b*c - c^2 + sqrt(b^2 -
4*a*c)*(a - b + c))*sqrt(b^2 - 4*a*c)*a*b^2 + 4*(b^2 - 4*a*c)*a*b^2 - 5*sqrt(a^2 - a*b + b*c - c^2 + sqrt(b^2
- 4*a*c)*(a - b + c))*sqrt(b^2 - 4*a*c)*b^3 - 6*(b^2 - 4*a*c)*b^3 + 28*sqrt(a^2 - a*b + b*c - c^2 + sqrt(b^2
- 4*a*c)*(a - b + c))*sqrt(b^2 - 4*a*c)*a^2*c - 24*(b^2 - 4*a*c)*a^2*c + 26*sqrt(a^2 - a*b + b*c - c^2 + sqrt(
b^2 - 4*a*c)*(a - b + c))*sqrt(b^2 - 4*a*c)*a*b*c + 20*(b^2 - 4*a*c)*a*b*c + 6*sqrt(a^2 - a*b + b*c - c^2 + sq
rt(b^2 - 4*a*c)*(a - b + c))*sqrt(b^2 - 4*a*c)*b^2*c + 8*(b^2 - 4*a*c)*b^2*c - 10*sqrt(a^2 - a*b + b*c - c^2 +
sqrt(b^2 - 4*a*c)*(a - b + c))*sqrt(b^2 - 4*a*c)*a*c^2 - 20*(b^2 - 4*a*c)*a*c^2 - 5*sqrt(a^2 - a*b + b*c - c^
2 + sqrt(b^2 - 4*a*c)*(a - b + c))*sqrt(b^2 - 4*a*c)*b*c^2 - 2*(b^2 - 4*a*c)*b*c^2)*abs(a - b + c)*e)*(pi*floo
r(1/2*x/pi + 1/2) + arctan(2*sqrt(1/2)*tan(1/2*x)/sqrt((2*a - 2*c + sqrt(-4*(a + b + c)*(a - b + c) + 4*(a - c
)^2))/(a - b + c))))/(3*a^5*b^2 - 5*a^4*b^3 - 6*a^3*b^4 + 10*a^2*b^5 + 3*a*b^6 - 5*b^7 - 12*a^6*c + 20*a^5*b*c
+ 47*a^4*b^2*c - 60*a^3*b^3*c - 46*a^2*b^4*c + 40*a*b^5*c + 11*b^6*c - 92*a^5*c^2 + 80*a^4*b*c^2 + 182*a^3*b^
2*c^2 - 94*a^2*b^3*c^2 - 78*a*b^4*c^2 - 6*b^5*c^2 - 184*a^4*c^3 + 56*a^3*b*c^3 + 166*a^2*b^2*c^3 + 36*a*b^3*c^
3 - 6*b^4*c^3 - 120*a^3*c^4 - 48*a^2*b*c^4 + 23*a*b^2*c^4 + 11*b^3*c^4 + 4*a^2*c^5 - 44*a*b*c^5 - 5*b^2*c^5 +
20*a*c^6) - ((2*a^2*b^3 - 2*b^5 - 8*a^3*b*c - 12*a^2*b^2*c + 20*a*b^3*c + 4*b^4*c + 48*a^3*c^2 - 48*a^2*b*c^2
- 24*a*b^2*c^2 - 6*b^3*c^2 + 32*a^2*c^3 + 24*a*b*c^3 + 4*b^2*c^3 - 16*a*c^4 - 3*sqrt(a^2 - a*b + b*c - c^2 - s
qrt(b^2 - 4*a*c)*(a - b + c))*a^2*b^2 + 2*sqrt(a^2 - a*b + b*c - c^2 - sqrt(b^2 - 4*a*c)*(a - b + c))*a*b^3 +
5*sqrt(a^2 - a*b + b*c - c^2 - sqrt(b^2 - 4*a*c)*(a - b + c))*b^4 + 12*sqrt(a^2 - a*b + b*c - c^2 - sqrt(b^2 -
4*a*c)*(a - b + c))*a^3*c - 8*sqrt(a^2 - a*b + b*c - c^2 - sqrt(b^2 - 4*a*c)*(a - b + c))*a^2*b*c - 34*sqrt(a
^2 - a*b + b*c - c^2 - sqrt(b^2 - 4*a*c)*(a - b + c))*a*b^2*c - 6*sqrt(a^2 - a*b + b*c - c^2 - sqrt(b^2 - 4*a*
c)*(a - b + c))*b^3*c + 56*sqrt(a^2 - a*b + b*c - c^2 - sqrt(b^2 - 4*a*c)*(a - b + c))*a^2*c^2 + 24*sqrt(a^2 -
a*b + b*c - c^2 - sqrt(b^2 - 4*a*c)*(a - b + c))*a*b*c^2 + 5*sqrt(a^2 - a*b + b*c - c^2 - sqrt(b^2 - 4*a*c)*(
a - b + c))*b^2*c^2 - 20*sqrt(a^2 - a*b + b*c - c^2 - sqrt(b^2 - 4*a*c)*(a - b + c))*a*c^3 + 3*sqrt(a^2 - a*b
+ b*c - c^2 - sqrt(b^2 - 4*a*c)*(a - b + c))*sqrt(b^2 - 4*a*c)*a^2*b - 2*(b^2 - 4*a*c)*a^2*b - 2*sqrt(a^2 - a*
b + b*c - c^2 - sqrt(b^2 - 4*a*c)*(a - b + c))*sqrt(b^2 - 4*a*c)*a*b^2 - 5*sqrt(a^2 - a*b + b*c - c^2 - sqrt(b
^2 - 4*a*c)*(a - b + c))*sqrt(b^2 - 4*a*c)*b^3 + 2*(b^2 - 4*a*c)*b^3 + 6*sqrt(a^2 - a*b + b*c - c^2 - sqrt(b^2
- 4*a*c)*(a - b + c))*sqrt(b^2 - 4*a*c)*a^2*c + 12*(b^2 - 4*a*c)*a^2*c + 10*sqrt(a^2 - a*b + b*c - c^2 - sqrt
(b^2 - 4*a*c)*(a - b + c))*sqrt(b^2 - 4*a*c)*a*b*c - 12*(b^2 - 4*a*c)*a*b*c - 4*sqrt(a^2 - a*b + b*c - c^2 - s
qrt(b^2 - 4*a*c)*(a - b + c))*sqrt(b^2 - 4*a*c)*b^2*c - 4*(b^2 - 4*a*c)*b^2*c + 28*sqrt(a^2 - a*b + b*c - c^2
- sqrt(b^2 - 4*a*c)*(a - b + c))*sqrt(b^2 - 4*a*c)*a*c^2 + 8*(b^2 - 4*a*c)*a*c^2 + 7*sqrt(a^2 - a*b + b*c - c^
2 - sqrt(b^2 - 4*a*c)*(a - b + c))*sqrt(b^2 - 4*a*c)*b*c^2 + 6*(b^2 - 4*a*c)*b*c^2 - 10*sqrt(a^2 - a*b + b*c -
c^2 - sqrt(b^2 - 4*a*c)*(a - b + c))*sqrt(b^2 - 4*a*c)*c^3 - 4*(b^2 - 4*a*c)*c^3)*d*abs(a - b + c) - (4*a^3*b
^2 - 6*a^2*b^3 - 4*a*b^4 + 6*b^5 - 16*a^4*c + 24*a^3*b*c + 40*a^2*b^2*c - 44*a*b^3*c - 8*b^4*c - 96*a^3*c^2 +
80*a^2*b*c^2 + 52*a*b^2*c^2 + 2*b^3*c^2 - 80*a^2*c^3 - 8*a*b*c^3 + 3*sqrt(a^2 - a*b + b*c - c^2 - sqrt(b^2 - 4
*a*c)*(a - b + c))*a^2*b^2 - 2*sqrt(a^2 - a*b + b*c - c^2 - sqrt(b^2 - 4*a*c)*(a - b + c))*a*b^3 - 5*sqrt(a^2
- a*b + b*c - c^2 - sqrt(b^2 - 4*a*c)*(a - b + c))*b^4 - 12*sqrt(a^2 - a*b + b*c - c^2 - sqrt(b^2 - 4*a*c)*(a
- b + c))*a^3*c + 8*sqrt(a^2 - a*b + b*c - c^2 - sqrt(b^2 - 4*a*c)*(a - b + c))*a^2*b*c + 34*sqrt(a^2 - a*b +
b*c - c^2 - sqrt(b^2 - 4*a*c)*(a - b + c))*a*b^2*c + 6*sqrt(a^2 - a*b + b*c - c^2 - sqrt(b^2 - 4*a*c)*(a - b +
c))*b^3*c - 56*sqrt(a^2 - a*b + b*c - c^2 - sqrt(b^2 - 4*a*c)*(a - b + c))*a^2*c^2 - 24*sqrt(a^2 - a*b + b*c
- c^2 - sqrt(b^2 - 4*a*c)*(a - b + c))*a*b*c^2 - 5*sqrt(a^2 - a*b + b*c - c^2 - sqrt(b^2 - 4*a*c)*(a - b + c))
*b^2*c^2 + 20*sqrt(a^2 - a*b + b*c - c^2 - sqrt(b^2 - 4*a*c)*(a - b + c))*a*c^3 + 6*sqrt(a^2 - a*b + b*c - c^2
- sqrt(b^2 - 4*a*c)*(a - b + c))*sqrt(b^2 - 4*a*c)*a^3 - 4*(b^2 - 4*a*c)*a^3 - sqrt(a^2 - a*b + b*c - c^2 - s
qrt(b^2 - 4*a*c)*(a - b + c))*sqrt(b^2 - 4*a*c)*a^2*b + 6*(b^2 - 4*a*c)*a^2*b - 12*sqrt(a^2 - a*b + b*c - c^2
- sqrt(b^2 - 4*a*c)*(a - b + c))*sqrt(b^2 - 4*a*c)*a*b^2 + 4*(b^2 - 4*a*c)*a*b^2 - 5*sqrt(a^2 - a*b + b*c - c^
2 - sqrt(b^2 - 4*a*c)*(a - b + c))*sqrt(b^2 - 4*a*c)*b^3 - 6*(b^2 - 4*a*c)*b^3 + 28*sqrt(a^2 - a*b + b*c - c^2
- sqrt(b^2 - 4*a*c)*(a - b + c))*sqrt(b^2 - 4*a*c)*a^2*c - 24*(b^2 - 4*a*c)*a^2*c + 26*sqrt(a^2 - a*b + b*c -
c^2 - sqrt(b^2 - 4*a*c)*(a - b + c))*sqrt(b^2 - 4*a*c)*a*b*c + 20*(b^2 - 4*a*c)*a*b*c + 6*sqrt(a^2 - a*b + b*
c - c^2 - sqrt(b^2 - 4*a*c)*(a - b + c))*sqrt(b^2 - 4*a*c)*b^2*c + 8*(b^2 - 4*a*c)*b^2*c - 10*sqrt(a^2 - a*b +
b*c - c^2 - sqrt(b^2 - 4*a*c)*(a - b + c))*sqrt(b^2 - 4*a*c)*a*c^2 - 20*(b^2 - 4*a*c)*a*c^2 - 5*sqrt(a^2 - a*
b + b*c - c^2 - sqrt(b^2 - 4*a*c)*(a - b + c))*sqrt(b^2 - 4*a*c)*b*c^2 - 2*(b^2 - 4*a*c)*b*c^2)*abs(a - b + c)
*e)*(pi*floor(1/2*x/pi + 1/2) + arctan(2*sqrt(1/2)*tan(1/2*x)/sqrt((2*a - 2*c - sqrt(-4*(a + b + c)*(a - b + c
) + 4*(a - c)^2))/(a - b + c))))/(3*a^5*b^2 - 5*a^4*b^3 - 6*a^3*b^4 + 10*a^2*b^5 + 3*a*b^6 - 5*b^7 - 12*a^6*c
+ 20*a^5*b*c + 47*a^4*b^2*c - 60*a^3*b^3*c - 46*a^2*b^4*c + 40*a*b^5*c + 11*b^6*c - 92*a^5*c^2 + 80*a^4*b*c^2
+ 182*a^3*b^2*c^2 - 94*a^2*b^3*c^2 - 78*a*b^4*c^2 - 6*b^5*c^2 - 184*a^4*c^3 + 56*a^3*b*c^3 + 166*a^2*b^2*c^3 +
36*a*b^3*c^3 - 6*b^4*c^3 - 120*a^3*c^4 - 48*a^2*b*c^4 + 23*a*b^2*c^4 + 11*b^3*c^4 + 4*a^2*c^5 - 44*a*b*c^5 -
5*b^2*c^5 + 20*a*c^6)

________________________________________________________________________________________

maple [B]  time = 0.12, size = 2556, normalized size = 10.39 \[ \text {Expression too large to display} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int((d+e*cos(x))/(a+b*cos(x)+c*cos(x)^2),x)

[Out]

-2/(-4*a*c+b^2)^(1/2)/(a-b+c)/(((-4*a*c+b^2)^(1/2)+a-c)*(a-b+c))^(1/2)*arctan((a-b+c)*tan(1/2*x)/(((-4*a*c+b^2
)^(1/2)+a-c)*(a-b+c))^(1/2))*a^2*e+2/(-4*a*c+b^2)^(1/2)/(a-b+c)/(((-4*a*c+b^2)^(1/2)-a+c)*(a-b+c))^(1/2)*arcta
nh((-a+b-c)*tan(1/2*x)/(((-4*a*c+b^2)^(1/2)-a+c)*(a-b+c))^(1/2))*a^2*e-1/(-4*a*c+b^2)^(1/2)/(a-b+c)/(((-4*a*c+
b^2)^(1/2)+a-c)*(a-b+c))^(1/2)*arctan((a-b+c)*tan(1/2*x)/(((-4*a*c+b^2)^(1/2)+a-c)*(a-b+c))^(1/2))*d*b^2-1/(-4
*a*c+b^2)^(1/2)/(a-b+c)/(((-4*a*c+b^2)^(1/2)+a-c)*(a-b+c))^(1/2)*arctan((a-b+c)*tan(1/2*x)/(((-4*a*c+b^2)^(1/2
)+a-c)*(a-b+c))^(1/2))*b^2*e+1/(-4*a*c+b^2)^(1/2)/(a-b+c)/(((-4*a*c+b^2)^(1/2)-a+c)*(a-b+c))^(1/2)*arctanh((-a
+b-c)*tan(1/2*x)/(((-4*a*c+b^2)^(1/2)-a+c)*(a-b+c))^(1/2))*d*b^2+1/(-4*a*c+b^2)^(1/2)/(a-b+c)/(((-4*a*c+b^2)^(
1/2)-a+c)*(a-b+c))^(1/2)*arctanh((-a+b-c)*tan(1/2*x)/(((-4*a*c+b^2)^(1/2)-a+c)*(a-b+c))^(1/2))*b^2*e-2/(-4*a*c
+b^2)^(1/2)/(a-b+c)/(((-4*a*c+b^2)^(1/2)+a-c)*(a-b+c))^(1/2)*arctan((a-b+c)*tan(1/2*x)/(((-4*a*c+b^2)^(1/2)+a-
c)*(a-b+c))^(1/2))*c^2*d+2/(-4*a*c+b^2)^(1/2)/(a-b+c)/(((-4*a*c+b^2)^(1/2)-a+c)*(a-b+c))^(1/2)*arctanh((-a+b-c
)*tan(1/2*x)/(((-4*a*c+b^2)^(1/2)-a+c)*(a-b+c))^(1/2))*c^2*d-b/(a-b+c)/(((-4*a*c+b^2)^(1/2)-a+c)*(a-b+c))^(1/2
)*arctanh((-a+b-c)*tan(1/2*x)/(((-4*a*c+b^2)^(1/2)-a+c)*(a-b+c))^(1/2))*d+b/(a-b+c)/(((-4*a*c+b^2)^(1/2)-a+c)*
(a-b+c))^(1/2)*arctanh((-a+b-c)*tan(1/2*x)/(((-4*a*c+b^2)^(1/2)-a+c)*(a-b+c))^(1/2))*e+c/(a-b+c)/(((-4*a*c+b^2
)^(1/2)+a-c)*(a-b+c))^(1/2)*arctan((a-b+c)*tan(1/2*x)/(((-4*a*c+b^2)^(1/2)+a-c)*(a-b+c))^(1/2))*d-c/(a-b+c)/((
(-4*a*c+b^2)^(1/2)+a-c)*(a-b+c))^(1/2)*arctan((a-b+c)*tan(1/2*x)/(((-4*a*c+b^2)^(1/2)+a-c)*(a-b+c))^(1/2))*e+c
/(a-b+c)/(((-4*a*c+b^2)^(1/2)-a+c)*(a-b+c))^(1/2)*arctanh((-a+b-c)*tan(1/2*x)/(((-4*a*c+b^2)^(1/2)-a+c)*(a-b+c
))^(1/2))*d-c/(a-b+c)/(((-4*a*c+b^2)^(1/2)-a+c)*(a-b+c))^(1/2)*arctanh((-a+b-c)*tan(1/2*x)/(((-4*a*c+b^2)^(1/2
)-a+c)*(a-b+c))^(1/2))*e-a/(a-b+c)/(((-4*a*c+b^2)^(1/2)+a-c)*(a-b+c))^(1/2)*arctan((a-b+c)*tan(1/2*x)/(((-4*a*
c+b^2)^(1/2)+a-c)*(a-b+c))^(1/2))*e+a/(a-b+c)/(((-4*a*c+b^2)^(1/2)+a-c)*(a-b+c))^(1/2)*arctan((a-b+c)*tan(1/2*
x)/(((-4*a*c+b^2)^(1/2)+a-c)*(a-b+c))^(1/2))*d+a/(a-b+c)/(((-4*a*c+b^2)^(1/2)-a+c)*(a-b+c))^(1/2)*arctanh((-a+
b-c)*tan(1/2*x)/(((-4*a*c+b^2)^(1/2)-a+c)*(a-b+c))^(1/2))*d-a/(a-b+c)/(((-4*a*c+b^2)^(1/2)-a+c)*(a-b+c))^(1/2)
*arctanh((-a+b-c)*tan(1/2*x)/(((-4*a*c+b^2)^(1/2)-a+c)*(a-b+c))^(1/2))*e-b/(a-b+c)/(((-4*a*c+b^2)^(1/2)+a-c)*(
a-b+c))^(1/2)*arctan((a-b+c)*tan(1/2*x)/(((-4*a*c+b^2)^(1/2)+a-c)*(a-b+c))^(1/2))*d+b/(a-b+c)/(((-4*a*c+b^2)^(
1/2)+a-c)*(a-b+c))^(1/2)*arctan((a-b+c)*tan(1/2*x)/(((-4*a*c+b^2)^(1/2)+a-c)*(a-b+c))^(1/2))*e-a/(-4*a*c+b^2)^
(1/2)/(a-b+c)/(((-4*a*c+b^2)^(1/2)-a+c)*(a-b+c))^(1/2)*arctanh((-a+b-c)*tan(1/2*x)/(((-4*a*c+b^2)^(1/2)-a+c)*(
a-b+c))^(1/2))*d*b-3*a/(-4*a*c+b^2)^(1/2)/(a-b+c)/(((-4*a*c+b^2)^(1/2)-a+c)*(a-b+c))^(1/2)*arctanh((-a+b-c)*ta
n(1/2*x)/(((-4*a*c+b^2)^(1/2)-a+c)*(a-b+c))^(1/2))*b*e+2*a/(-4*a*c+b^2)^(1/2)/(a-b+c)/(((-4*a*c+b^2)^(1/2)-a+c
)*(a-b+c))^(1/2)*arctanh((-a+b-c)*tan(1/2*x)/(((-4*a*c+b^2)^(1/2)-a+c)*(a-b+c))^(1/2))*c*d+3*b/(-4*a*c+b^2)^(1
/2)/(a-b+c)/(((-4*a*c+b^2)^(1/2)+a-c)*(a-b+c))^(1/2)*arctan((a-b+c)*tan(1/2*x)/(((-4*a*c+b^2)^(1/2)+a-c)*(a-b+
c))^(1/2))*c*d-3*b/(-4*a*c+b^2)^(1/2)/(a-b+c)/(((-4*a*c+b^2)^(1/2)-a+c)*(a-b+c))^(1/2)*arctanh((-a+b-c)*tan(1/
2*x)/(((-4*a*c+b^2)^(1/2)-a+c)*(a-b+c))^(1/2))*c*d-2*c/(-4*a*c+b^2)^(1/2)/(a-b+c)/(((-4*a*c+b^2)^(1/2)+a-c)*(a
-b+c))^(1/2)*arctan((a-b+c)*tan(1/2*x)/(((-4*a*c+b^2)^(1/2)+a-c)*(a-b+c))^(1/2))*a*e+c/(-4*a*c+b^2)^(1/2)/(a-b
+c)/(((-4*a*c+b^2)^(1/2)+a-c)*(a-b+c))^(1/2)*arctan((a-b+c)*tan(1/2*x)/(((-4*a*c+b^2)^(1/2)+a-c)*(a-b+c))^(1/2
))*b*e+2*c/(-4*a*c+b^2)^(1/2)/(a-b+c)/(((-4*a*c+b^2)^(1/2)-a+c)*(a-b+c))^(1/2)*arctanh((-a+b-c)*tan(1/2*x)/(((
-4*a*c+b^2)^(1/2)-a+c)*(a-b+c))^(1/2))*a*e-c/(-4*a*c+b^2)^(1/2)/(a-b+c)/(((-4*a*c+b^2)^(1/2)-a+c)*(a-b+c))^(1/
2)*arctanh((-a+b-c)*tan(1/2*x)/(((-4*a*c+b^2)^(1/2)-a+c)*(a-b+c))^(1/2))*b*e+a/(-4*a*c+b^2)^(1/2)/(a-b+c)/(((-
4*a*c+b^2)^(1/2)+a-c)*(a-b+c))^(1/2)*arctan((a-b+c)*tan(1/2*x)/(((-4*a*c+b^2)^(1/2)+a-c)*(a-b+c))^(1/2))*d*b+3
*a/(-4*a*c+b^2)^(1/2)/(a-b+c)/(((-4*a*c+b^2)^(1/2)+a-c)*(a-b+c))^(1/2)*arctan((a-b+c)*tan(1/2*x)/(((-4*a*c+b^2
)^(1/2)+a-c)*(a-b+c))^(1/2))*b*e-2*a/(-4*a*c+b^2)^(1/2)/(a-b+c)/(((-4*a*c+b^2)^(1/2)+a-c)*(a-b+c))^(1/2)*arcta
n((a-b+c)*tan(1/2*x)/(((-4*a*c+b^2)^(1/2)+a-c)*(a-b+c))^(1/2))*c*d

________________________________________________________________________________________

maxima [F]  time = 0.00, size = 0, normalized size = 0.00 \[ \int \frac {e \cos \relax (x) + d}{c \cos \relax (x)^{2} + b \cos \relax (x) + a}\,{d x} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((d+e*cos(x))/(a+b*cos(x)+c*cos(x)^2),x, algorithm="maxima")

[Out]

integrate((e*cos(x) + d)/(c*cos(x)^2 + b*cos(x) + a), x)

________________________________________________________________________________________

mupad [B]  time = 16.77, size = 11781, normalized size = 47.89 \[ \text {result too large to display} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int((d + e*cos(x))/(a + b*cos(x) + c*cos(x)^2),x)

[Out]

- atan((((-(b^4*d^2 - b^4*e^2 + 8*a*c^3*d^2 + b*d^2*(-(4*a*c - b^2)^3)^(1/2) - 8*a^3*c*e^2 + b*e^2*(-(4*a*c -
b^2)^3)^(1/2) + 2*a^2*b^2*e^2 + 8*a^2*c^2*d^2 - 8*a^2*c^2*e^2 - 2*b^2*c^2*d^2 - 2*a*b^3*d*e - 2*a*d*e*(-(4*a*c
- b^2)^3)^(1/2) + 2*b^3*c*d*e - 2*c*d*e*(-(4*a*c - b^2)^3)^(1/2) - 6*a*b^2*c*d^2 + 6*a*b^2*c*e^2 - 8*a*b*c^2*
d*e + 8*a^2*b*c*d*e)/(2*(a^2*b^4 - b^6 + 16*a^2*c^4 + 32*a^3*c^3 + 16*a^4*c^2 + b^4*c^2 - 8*a*b^2*c^3 - 8*a^3*
b^2*c - 32*a^2*b^2*c^2 + 10*a*b^4*c)))^(1/2)*(256*a^2*c^2*d - 32*b^4*e - 32*a^2*b^2*d - 32*a^2*b^2*e - 32*b^4*
d + 256*a^2*c^2*e - 32*b^2*c^2*d - 32*b^2*c^2*e + tan(x/2)*(-(b^4*d^2 - b^4*e^2 + 8*a*c^3*d^2 + b*d^2*(-(4*a*c
- b^2)^3)^(1/2) - 8*a^3*c*e^2 + b*e^2*(-(4*a*c - b^2)^3)^(1/2) + 2*a^2*b^2*e^2 + 8*a^2*c^2*d^2 - 8*a^2*c^2*e^
2 - 2*b^2*c^2*d^2 - 2*a*b^3*d*e - 2*a*d*e*(-(4*a*c - b^2)^3)^(1/2) + 2*b^3*c*d*e - 2*c*d*e*(-(4*a*c - b^2)^3)^
(1/2) - 6*a*b^2*c*d^2 + 6*a*b^2*c*e^2 - 8*a*b*c^2*d*e + 8*a^2*b*c*d*e)/(2*(a^2*b^4 - b^6 + 16*a^2*c^4 + 32*a^3
*c^3 + 16*a^4*c^2 + b^4*c^2 - 8*a*b^2*c^3 - 8*a^3*b^2*c - 32*a^2*b^2*c^2 + 10*a*b^4*c)))^(1/2)*(64*a*b^4 + 256
*a*c^4 - 256*a^4*c - 64*b^4*c - 128*a^2*b^3 + 64*a^3*b^2 + 256*a^2*c^3 - 256*a^3*c^2 - 64*b^2*c^3 + 128*b^3*c^
2 + 192*a*b^2*c^2 - 192*a^2*b^2*c - 512*a*b*c^3 + 512*a^3*b*c) + 64*a*b^3*d + 64*a*b^3*e + 128*a*c^3*d + 128*a
^3*c*d + 128*a*c^3*e + 128*a^3*c*e + 64*b^3*c*d + 64*b^3*c*e - 256*a*b*c^2*d + 64*a*b^2*c*d - 256*a^2*b*c*d -
256*a*b*c^2*e + 64*a*b^2*c*e - 256*a^2*b*c*e) + tan(x/2)*(64*a^3*e^2 - 32*b^3*d^2 - 32*b^3*e^2 + 64*c^3*d^2 +
32*a*b^2*d^2 + 96*a*b^2*e^2 - 128*a^2*b*e^2 - 64*a^2*c*d^2 - 64*a*c^2*e^2 - 128*b*c^2*d^2 + 96*b^2*c*d^2 + 32*
b^2*c*e^2 + 64*a*b^2*d*e - 64*a^2*b*d*e + 256*a*c^2*d*e + 256*a^2*c*d*e - 64*b*c^2*d*e + 64*b^2*c*d*e - 384*a*
b*c*d*e))*(-(b^4*d^2 - b^4*e^2 + 8*a*c^3*d^2 + b*d^2*(-(4*a*c - b^2)^3)^(1/2) - 8*a^3*c*e^2 + b*e^2*(-(4*a*c -
b^2)^3)^(1/2) + 2*a^2*b^2*e^2 + 8*a^2*c^2*d^2 - 8*a^2*c^2*e^2 - 2*b^2*c^2*d^2 - 2*a*b^3*d*e - 2*a*d*e*(-(4*a*
c - b^2)^3)^(1/2) + 2*b^3*c*d*e - 2*c*d*e*(-(4*a*c - b^2)^3)^(1/2) - 6*a*b^2*c*d^2 + 6*a*b^2*c*e^2 - 8*a*b*c^2
*d*e + 8*a^2*b*c*d*e)/(2*(a^2*b^4 - b^6 + 16*a^2*c^4 + 32*a^3*c^3 + 16*a^4*c^2 + b^4*c^2 - 8*a*b^2*c^3 - 8*a^3
*b^2*c - 32*a^2*b^2*c^2 + 10*a*b^4*c)))^(1/2)*1i - ((-(b^4*d^2 - b^4*e^2 + 8*a*c^3*d^2 + b*d^2*(-(4*a*c - b^2)
^3)^(1/2) - 8*a^3*c*e^2 + b*e^2*(-(4*a*c - b^2)^3)^(1/2) + 2*a^2*b^2*e^2 + 8*a^2*c^2*d^2 - 8*a^2*c^2*e^2 - 2*b
^2*c^2*d^2 - 2*a*b^3*d*e - 2*a*d*e*(-(4*a*c - b^2)^3)^(1/2) + 2*b^3*c*d*e - 2*c*d*e*(-(4*a*c - b^2)^3)^(1/2) -
6*a*b^2*c*d^2 + 6*a*b^2*c*e^2 - 8*a*b*c^2*d*e + 8*a^2*b*c*d*e)/(2*(a^2*b^4 - b^6 + 16*a^2*c^4 + 32*a^3*c^3 +
16*a^4*c^2 + b^4*c^2 - 8*a*b^2*c^3 - 8*a^3*b^2*c - 32*a^2*b^2*c^2 + 10*a*b^4*c)))^(1/2)*(256*a^2*c^2*d - 32*b^
4*e - 32*a^2*b^2*d - 32*a^2*b^2*e - 32*b^4*d + 256*a^2*c^2*e - 32*b^2*c^2*d - 32*b^2*c^2*e - tan(x/2)*(-(b^4*d
^2 - b^4*e^2 + 8*a*c^3*d^2 + b*d^2*(-(4*a*c - b^2)^3)^(1/2) - 8*a^3*c*e^2 + b*e^2*(-(4*a*c - b^2)^3)^(1/2) + 2
*a^2*b^2*e^2 + 8*a^2*c^2*d^2 - 8*a^2*c^2*e^2 - 2*b^2*c^2*d^2 - 2*a*b^3*d*e - 2*a*d*e*(-(4*a*c - b^2)^3)^(1/2)
+ 2*b^3*c*d*e - 2*c*d*e*(-(4*a*c - b^2)^3)^(1/2) - 6*a*b^2*c*d^2 + 6*a*b^2*c*e^2 - 8*a*b*c^2*d*e + 8*a^2*b*c*d
*e)/(2*(a^2*b^4 - b^6 + 16*a^2*c^4 + 32*a^3*c^3 + 16*a^4*c^2 + b^4*c^2 - 8*a*b^2*c^3 - 8*a^3*b^2*c - 32*a^2*b^
2*c^2 + 10*a*b^4*c)))^(1/2)*(64*a*b^4 + 256*a*c^4 - 256*a^4*c - 64*b^4*c - 128*a^2*b^3 + 64*a^3*b^2 + 256*a^2*
c^3 - 256*a^3*c^2 - 64*b^2*c^3 + 128*b^3*c^2 + 192*a*b^2*c^2 - 192*a^2*b^2*c - 512*a*b*c^3 + 512*a^3*b*c) + 64
*a*b^3*d + 64*a*b^3*e + 128*a*c^3*d + 128*a^3*c*d + 128*a*c^3*e + 128*a^3*c*e + 64*b^3*c*d + 64*b^3*c*e - 256*
a*b*c^2*d + 64*a*b^2*c*d - 256*a^2*b*c*d - 256*a*b*c^2*e + 64*a*b^2*c*e - 256*a^2*b*c*e) - tan(x/2)*(64*a^3*e^
2 - 32*b^3*d^2 - 32*b^3*e^2 + 64*c^3*d^2 + 32*a*b^2*d^2 + 96*a*b^2*e^2 - 128*a^2*b*e^2 - 64*a^2*c*d^2 - 64*a*c
^2*e^2 - 128*b*c^2*d^2 + 96*b^2*c*d^2 + 32*b^2*c*e^2 + 64*a*b^2*d*e - 64*a^2*b*d*e + 256*a*c^2*d*e + 256*a^2*c
*d*e - 64*b*c^2*d*e + 64*b^2*c*d*e - 384*a*b*c*d*e))*(-(b^4*d^2 - b^4*e^2 + 8*a*c^3*d^2 + b*d^2*(-(4*a*c - b^2
)^3)^(1/2) - 8*a^3*c*e^2 + b*e^2*(-(4*a*c - b^2)^3)^(1/2) + 2*a^2*b^2*e^2 + 8*a^2*c^2*d^2 - 8*a^2*c^2*e^2 - 2*
b^2*c^2*d^2 - 2*a*b^3*d*e - 2*a*d*e*(-(4*a*c - b^2)^3)^(1/2) + 2*b^3*c*d*e - 2*c*d*e*(-(4*a*c - b^2)^3)^(1/2)
- 6*a*b^2*c*d^2 + 6*a*b^2*c*e^2 - 8*a*b*c^2*d*e + 8*a^2*b*c*d*e)/(2*(a^2*b^4 - b^6 + 16*a^2*c^4 + 32*a^3*c^3 +
16*a^4*c^2 + b^4*c^2 - 8*a*b^2*c^3 - 8*a^3*b^2*c - 32*a^2*b^2*c^2 + 10*a*b^4*c)))^(1/2)*1i)/(((-(b^4*d^2 - b^
4*e^2 + 8*a*c^3*d^2 + b*d^2*(-(4*a*c - b^2)^3)^(1/2) - 8*a^3*c*e^2 + b*e^2*(-(4*a*c - b^2)^3)^(1/2) + 2*a^2*b^
2*e^2 + 8*a^2*c^2*d^2 - 8*a^2*c^2*e^2 - 2*b^2*c^2*d^2 - 2*a*b^3*d*e - 2*a*d*e*(-(4*a*c - b^2)^3)^(1/2) + 2*b^3
*c*d*e - 2*c*d*e*(-(4*a*c - b^2)^3)^(1/2) - 6*a*b^2*c*d^2 + 6*a*b^2*c*e^2 - 8*a*b*c^2*d*e + 8*a^2*b*c*d*e)/(2*
(a^2*b^4 - b^6 + 16*a^2*c^4 + 32*a^3*c^3 + 16*a^4*c^2 + b^4*c^2 - 8*a*b^2*c^3 - 8*a^3*b^2*c - 32*a^2*b^2*c^2 +
10*a*b^4*c)))^(1/2)*(256*a^2*c^2*d - 32*b^4*e - 32*a^2*b^2*d - 32*a^2*b^2*e - 32*b^4*d + 256*a^2*c^2*e - 32*b
^2*c^2*d - 32*b^2*c^2*e + tan(x/2)*(-(b^4*d^2 - b^4*e^2 + 8*a*c^3*d^2 + b*d^2*(-(4*a*c - b^2)^3)^(1/2) - 8*a^3
*c*e^2 + b*e^2*(-(4*a*c - b^2)^3)^(1/2) + 2*a^2*b^2*e^2 + 8*a^2*c^2*d^2 - 8*a^2*c^2*e^2 - 2*b^2*c^2*d^2 - 2*a*
b^3*d*e - 2*a*d*e*(-(4*a*c - b^2)^3)^(1/2) + 2*b^3*c*d*e - 2*c*d*e*(-(4*a*c - b^2)^3)^(1/2) - 6*a*b^2*c*d^2 +
6*a*b^2*c*e^2 - 8*a*b*c^2*d*e + 8*a^2*b*c*d*e)/(2*(a^2*b^4 - b^6 + 16*a^2*c^4 + 32*a^3*c^3 + 16*a^4*c^2 + b^4*
c^2 - 8*a*b^2*c^3 - 8*a^3*b^2*c - 32*a^2*b^2*c^2 + 10*a*b^4*c)))^(1/2)*(64*a*b^4 + 256*a*c^4 - 256*a^4*c - 64*
b^4*c - 128*a^2*b^3 + 64*a^3*b^2 + 256*a^2*c^3 - 256*a^3*c^2 - 64*b^2*c^3 + 128*b^3*c^2 + 192*a*b^2*c^2 - 192*
a^2*b^2*c - 512*a*b*c^3 + 512*a^3*b*c) + 64*a*b^3*d + 64*a*b^3*e + 128*a*c^3*d + 128*a^3*c*d + 128*a*c^3*e + 1
28*a^3*c*e + 64*b^3*c*d + 64*b^3*c*e - 256*a*b*c^2*d + 64*a*b^2*c*d - 256*a^2*b*c*d - 256*a*b*c^2*e + 64*a*b^2
*c*e - 256*a^2*b*c*e) + tan(x/2)*(64*a^3*e^2 - 32*b^3*d^2 - 32*b^3*e^2 + 64*c^3*d^2 + 32*a*b^2*d^2 + 96*a*b^2*
e^2 - 128*a^2*b*e^2 - 64*a^2*c*d^2 - 64*a*c^2*e^2 - 128*b*c^2*d^2 + 96*b^2*c*d^2 + 32*b^2*c*e^2 + 64*a*b^2*d*e
- 64*a^2*b*d*e + 256*a*c^2*d*e + 256*a^2*c*d*e - 64*b*c^2*d*e + 64*b^2*c*d*e - 384*a*b*c*d*e))*(-(b^4*d^2 - b
^4*e^2 + 8*a*c^3*d^2 + b*d^2*(-(4*a*c - b^2)^3)^(1/2) - 8*a^3*c*e^2 + b*e^2*(-(4*a*c - b^2)^3)^(1/2) + 2*a^2*b
^2*e^2 + 8*a^2*c^2*d^2 - 8*a^2*c^2*e^2 - 2*b^2*c^2*d^2 - 2*a*b^3*d*e - 2*a*d*e*(-(4*a*c - b^2)^3)^(1/2) + 2*b^
3*c*d*e - 2*c*d*e*(-(4*a*c - b^2)^3)^(1/2) - 6*a*b^2*c*d^2 + 6*a*b^2*c*e^2 - 8*a*b*c^2*d*e + 8*a^2*b*c*d*e)/(2
*(a^2*b^4 - b^6 + 16*a^2*c^4 + 32*a^3*c^3 + 16*a^4*c^2 + b^4*c^2 - 8*a*b^2*c^3 - 8*a^3*b^2*c - 32*a^2*b^2*c^2
+ 10*a*b^4*c)))^(1/2) + ((-(b^4*d^2 - b^4*e^2 + 8*a*c^3*d^2 + b*d^2*(-(4*a*c - b^2)^3)^(1/2) - 8*a^3*c*e^2 + b
*e^2*(-(4*a*c - b^2)^3)^(1/2) + 2*a^2*b^2*e^2 + 8*a^2*c^2*d^2 - 8*a^2*c^2*e^2 - 2*b^2*c^2*d^2 - 2*a*b^3*d*e -
2*a*d*e*(-(4*a*c - b^2)^3)^(1/2) + 2*b^3*c*d*e - 2*c*d*e*(-(4*a*c - b^2)^3)^(1/2) - 6*a*b^2*c*d^2 + 6*a*b^2*c*
e^2 - 8*a*b*c^2*d*e + 8*a^2*b*c*d*e)/(2*(a^2*b^4 - b^6 + 16*a^2*c^4 + 32*a^3*c^3 + 16*a^4*c^2 + b^4*c^2 - 8*a*
b^2*c^3 - 8*a^3*b^2*c - 32*a^2*b^2*c^2 + 10*a*b^4*c)))^(1/2)*(256*a^2*c^2*d - 32*b^4*e - 32*a^2*b^2*d - 32*a^2
*b^2*e - 32*b^4*d + 256*a^2*c^2*e - 32*b^2*c^2*d - 32*b^2*c^2*e - tan(x/2)*(-(b^4*d^2 - b^4*e^2 + 8*a*c^3*d^2
+ b*d^2*(-(4*a*c - b^2)^3)^(1/2) - 8*a^3*c*e^2 + b*e^2*(-(4*a*c - b^2)^3)^(1/2) + 2*a^2*b^2*e^2 + 8*a^2*c^2*d^
2 - 8*a^2*c^2*e^2 - 2*b^2*c^2*d^2 - 2*a*b^3*d*e - 2*a*d*e*(-(4*a*c - b^2)^3)^(1/2) + 2*b^3*c*d*e - 2*c*d*e*(-(
4*a*c - b^2)^3)^(1/2) - 6*a*b^2*c*d^2 + 6*a*b^2*c*e^2 - 8*a*b*c^2*d*e + 8*a^2*b*c*d*e)/(2*(a^2*b^4 - b^6 + 16*
a^2*c^4 + 32*a^3*c^3 + 16*a^4*c^2 + b^4*c^2 - 8*a*b^2*c^3 - 8*a^3*b^2*c - 32*a^2*b^2*c^2 + 10*a*b^4*c)))^(1/2)
*(64*a*b^4 + 256*a*c^4 - 256*a^4*c - 64*b^4*c - 128*a^2*b^3 + 64*a^3*b^2 + 256*a^2*c^3 - 256*a^3*c^2 - 64*b^2*
c^3 + 128*b^3*c^2 + 192*a*b^2*c^2 - 192*a^2*b^2*c - 512*a*b*c^3 + 512*a^3*b*c) + 64*a*b^3*d + 64*a*b^3*e + 128
*a*c^3*d + 128*a^3*c*d + 128*a*c^3*e + 128*a^3*c*e + 64*b^3*c*d + 64*b^3*c*e - 256*a*b*c^2*d + 64*a*b^2*c*d -
256*a^2*b*c*d - 256*a*b*c^2*e + 64*a*b^2*c*e - 256*a^2*b*c*e) - tan(x/2)*(64*a^3*e^2 - 32*b^3*d^2 - 32*b^3*e^2
+ 64*c^3*d^2 + 32*a*b^2*d^2 + 96*a*b^2*e^2 - 128*a^2*b*e^2 - 64*a^2*c*d^2 - 64*a*c^2*e^2 - 128*b*c^2*d^2 + 96
*b^2*c*d^2 + 32*b^2*c*e^2 + 64*a*b^2*d*e - 64*a^2*b*d*e + 256*a*c^2*d*e + 256*a^2*c*d*e - 64*b*c^2*d*e + 64*b^
2*c*d*e - 384*a*b*c*d*e))*(-(b^4*d^2 - b^4*e^2 + 8*a*c^3*d^2 + b*d^2*(-(4*a*c - b^2)^3)^(1/2) - 8*a^3*c*e^2 +
b*e^2*(-(4*a*c - b^2)^3)^(1/2) + 2*a^2*b^2*e^2 + 8*a^2*c^2*d^2 - 8*a^2*c^2*e^2 - 2*b^2*c^2*d^2 - 2*a*b^3*d*e -
2*a*d*e*(-(4*a*c - b^2)^3)^(1/2) + 2*b^3*c*d*e - 2*c*d*e*(-(4*a*c - b^2)^3)^(1/2) - 6*a*b^2*c*d^2 + 6*a*b^2*c
*e^2 - 8*a*b*c^2*d*e + 8*a^2*b*c*d*e)/(2*(a^2*b^4 - b^6 + 16*a^2*c^4 + 32*a^3*c^3 + 16*a^4*c^2 + b^4*c^2 - 8*a
*b^2*c^3 - 8*a^3*b^2*c - 32*a^2*b^2*c^2 + 10*a*b^4*c)))^(1/2) - 64*a^2*e^3 + 64*c^2*d^3 + 64*a^2*d*e^2 - 64*b^
2*d*e^2 + 64*b^2*d^2*e - 64*c^2*d^2*e + 64*a*b*e^3 + 64*a*c*d^3 - 64*a*c*e^3 - 64*b*c*d^3 - 64*a*b*d^2*e + 64*
a*c*d*e^2 - 64*a*c*d^2*e + 64*b*c*d*e^2))*(-(b^4*d^2 - b^4*e^2 + 8*a*c^3*d^2 + b*d^2*(-(4*a*c - b^2)^3)^(1/2)
- 8*a^3*c*e^2 + b*e^2*(-(4*a*c - b^2)^3)^(1/2) + 2*a^2*b^2*e^2 + 8*a^2*c^2*d^2 - 8*a^2*c^2*e^2 - 2*b^2*c^2*d^2
- 2*a*b^3*d*e - 2*a*d*e*(-(4*a*c - b^2)^3)^(1/2) + 2*b^3*c*d*e - 2*c*d*e*(-(4*a*c - b^2)^3)^(1/2) - 6*a*b^2*c
*d^2 + 6*a*b^2*c*e^2 - 8*a*b*c^2*d*e + 8*a^2*b*c*d*e)/(2*(a^2*b^4 - b^6 + 16*a^2*c^4 + 32*a^3*c^3 + 16*a^4*c^2
+ b^4*c^2 - 8*a*b^2*c^3 - 8*a^3*b^2*c - 32*a^2*b^2*c^2 + 10*a*b^4*c)))^(1/2)*2i - atan((((-(b^4*d^2 - b^4*e^2
+ 8*a*c^3*d^2 - b*d^2*(-(4*a*c - b^2)^3)^(1/2) - 8*a^3*c*e^2 - b*e^2*(-(4*a*c - b^2)^3)^(1/2) + 2*a^2*b^2*e^2
+ 8*a^2*c^2*d^2 - 8*a^2*c^2*e^2 - 2*b^2*c^2*d^2 - 2*a*b^3*d*e + 2*a*d*e*(-(4*a*c - b^2)^3)^(1/2) + 2*b^3*c*d*
e + 2*c*d*e*(-(4*a*c - b^2)^3)^(1/2) - 6*a*b^2*c*d^2 + 6*a*b^2*c*e^2 - 8*a*b*c^2*d*e + 8*a^2*b*c*d*e)/(2*(a^2*
b^4 - b^6 + 16*a^2*c^4 + 32*a^3*c^3 + 16*a^4*c^2 + b^4*c^2 - 8*a*b^2*c^3 - 8*a^3*b^2*c - 32*a^2*b^2*c^2 + 10*a
*b^4*c)))^(1/2)*(256*a^2*c^2*d - 32*b^4*e - 32*a^2*b^2*d - 32*a^2*b^2*e - 32*b^4*d + 256*a^2*c^2*e - 32*b^2*c^
2*d - 32*b^2*c^2*e + tan(x/2)*(-(b^4*d^2 - b^4*e^2 + 8*a*c^3*d^2 - b*d^2*(-(4*a*c - b^2)^3)^(1/2) - 8*a^3*c*e^
2 - b*e^2*(-(4*a*c - b^2)^3)^(1/2) + 2*a^2*b^2*e^2 + 8*a^2*c^2*d^2 - 8*a^2*c^2*e^2 - 2*b^2*c^2*d^2 - 2*a*b^3*d
*e + 2*a*d*e*(-(4*a*c - b^2)^3)^(1/2) + 2*b^3*c*d*e + 2*c*d*e*(-(4*a*c - b^2)^3)^(1/2) - 6*a*b^2*c*d^2 + 6*a*b
^2*c*e^2 - 8*a*b*c^2*d*e + 8*a^2*b*c*d*e)/(2*(a^2*b^4 - b^6 + 16*a^2*c^4 + 32*a^3*c^3 + 16*a^4*c^2 + b^4*c^2 -
8*a*b^2*c^3 - 8*a^3*b^2*c - 32*a^2*b^2*c^2 + 10*a*b^4*c)))^(1/2)*(64*a*b^4 + 256*a*c^4 - 256*a^4*c - 64*b^4*c
- 128*a^2*b^3 + 64*a^3*b^2 + 256*a^2*c^3 - 256*a^3*c^2 - 64*b^2*c^3 + 128*b^3*c^2 + 192*a*b^2*c^2 - 192*a^2*b
^2*c - 512*a*b*c^3 + 512*a^3*b*c) + 64*a*b^3*d + 64*a*b^3*e + 128*a*c^3*d + 128*a^3*c*d + 128*a*c^3*e + 128*a^
3*c*e + 64*b^3*c*d + 64*b^3*c*e - 256*a*b*c^2*d + 64*a*b^2*c*d - 256*a^2*b*c*d - 256*a*b*c^2*e + 64*a*b^2*c*e
- 256*a^2*b*c*e) + tan(x/2)*(64*a^3*e^2 - 32*b^3*d^2 - 32*b^3*e^2 + 64*c^3*d^2 + 32*a*b^2*d^2 + 96*a*b^2*e^2 -
128*a^2*b*e^2 - 64*a^2*c*d^2 - 64*a*c^2*e^2 - 128*b*c^2*d^2 + 96*b^2*c*d^2 + 32*b^2*c*e^2 + 64*a*b^2*d*e - 64
*a^2*b*d*e + 256*a*c^2*d*e + 256*a^2*c*d*e - 64*b*c^2*d*e + 64*b^2*c*d*e - 384*a*b*c*d*e))*(-(b^4*d^2 - b^4*e^
2 + 8*a*c^3*d^2 - b*d^2*(-(4*a*c - b^2)^3)^(1/2) - 8*a^3*c*e^2 - b*e^2*(-(4*a*c - b^2)^3)^(1/2) + 2*a^2*b^2*e^
2 + 8*a^2*c^2*d^2 - 8*a^2*c^2*e^2 - 2*b^2*c^2*d^2 - 2*a*b^3*d*e + 2*a*d*e*(-(4*a*c - b^2)^3)^(1/2) + 2*b^3*c*d
*e + 2*c*d*e*(-(4*a*c - b^2)^3)^(1/2) - 6*a*b^2*c*d^2 + 6*a*b^2*c*e^2 - 8*a*b*c^2*d*e + 8*a^2*b*c*d*e)/(2*(a^2
*b^4 - b^6 + 16*a^2*c^4 + 32*a^3*c^3 + 16*a^4*c^2 + b^4*c^2 - 8*a*b^2*c^3 - 8*a^3*b^2*c - 32*a^2*b^2*c^2 + 10*
a*b^4*c)))^(1/2)*1i - ((-(b^4*d^2 - b^4*e^2 + 8*a*c^3*d^2 - b*d^2*(-(4*a*c - b^2)^3)^(1/2) - 8*a^3*c*e^2 - b*e
^2*(-(4*a*c - b^2)^3)^(1/2) + 2*a^2*b^2*e^2 + 8*a^2*c^2*d^2 - 8*a^2*c^2*e^2 - 2*b^2*c^2*d^2 - 2*a*b^3*d*e + 2*
a*d*e*(-(4*a*c - b^2)^3)^(1/2) + 2*b^3*c*d*e + 2*c*d*e*(-(4*a*c - b^2)^3)^(1/2) - 6*a*b^2*c*d^2 + 6*a*b^2*c*e^
2 - 8*a*b*c^2*d*e + 8*a^2*b*c*d*e)/(2*(a^2*b^4 - b^6 + 16*a^2*c^4 + 32*a^3*c^3 + 16*a^4*c^2 + b^4*c^2 - 8*a*b^
2*c^3 - 8*a^3*b^2*c - 32*a^2*b^2*c^2 + 10*a*b^4*c)))^(1/2)*(256*a^2*c^2*d - 32*b^4*e - 32*a^2*b^2*d - 32*a^2*b
^2*e - 32*b^4*d + 256*a^2*c^2*e - 32*b^2*c^2*d - 32*b^2*c^2*e - tan(x/2)*(-(b^4*d^2 - b^4*e^2 + 8*a*c^3*d^2 -
b*d^2*(-(4*a*c - b^2)^3)^(1/2) - 8*a^3*c*e^2 - b*e^2*(-(4*a*c - b^2)^3)^(1/2) + 2*a^2*b^2*e^2 + 8*a^2*c^2*d^2
- 8*a^2*c^2*e^2 - 2*b^2*c^2*d^2 - 2*a*b^3*d*e + 2*a*d*e*(-(4*a*c - b^2)^3)^(1/2) + 2*b^3*c*d*e + 2*c*d*e*(-(4*
a*c - b^2)^3)^(1/2) - 6*a*b^2*c*d^2 + 6*a*b^2*c*e^2 - 8*a*b*c^2*d*e + 8*a^2*b*c*d*e)/(2*(a^2*b^4 - b^6 + 16*a^
2*c^4 + 32*a^3*c^3 + 16*a^4*c^2 + b^4*c^2 - 8*a*b^2*c^3 - 8*a^3*b^2*c - 32*a^2*b^2*c^2 + 10*a*b^4*c)))^(1/2)*(
64*a*b^4 + 256*a*c^4 - 256*a^4*c - 64*b^4*c - 128*a^2*b^3 + 64*a^3*b^2 + 256*a^2*c^3 - 256*a^3*c^2 - 64*b^2*c^
3 + 128*b^3*c^2 + 192*a*b^2*c^2 - 192*a^2*b^2*c - 512*a*b*c^3 + 512*a^3*b*c) + 64*a*b^3*d + 64*a*b^3*e + 128*a
*c^3*d + 128*a^3*c*d + 128*a*c^3*e + 128*a^3*c*e + 64*b^3*c*d + 64*b^3*c*e - 256*a*b*c^2*d + 64*a*b^2*c*d - 25
6*a^2*b*c*d - 256*a*b*c^2*e + 64*a*b^2*c*e - 256*a^2*b*c*e) - tan(x/2)*(64*a^3*e^2 - 32*b^3*d^2 - 32*b^3*e^2 +
64*c^3*d^2 + 32*a*b^2*d^2 + 96*a*b^2*e^2 - 128*a^2*b*e^2 - 64*a^2*c*d^2 - 64*a*c^2*e^2 - 128*b*c^2*d^2 + 96*b
^2*c*d^2 + 32*b^2*c*e^2 + 64*a*b^2*d*e - 64*a^2*b*d*e + 256*a*c^2*d*e + 256*a^2*c*d*e - 64*b*c^2*d*e + 64*b^2*
c*d*e - 384*a*b*c*d*e))*(-(b^4*d^2 - b^4*e^2 + 8*a*c^3*d^2 - b*d^2*(-(4*a*c - b^2)^3)^(1/2) - 8*a^3*c*e^2 - b*
e^2*(-(4*a*c - b^2)^3)^(1/2) + 2*a^2*b^2*e^2 + 8*a^2*c^2*d^2 - 8*a^2*c^2*e^2 - 2*b^2*c^2*d^2 - 2*a*b^3*d*e + 2
*a*d*e*(-(4*a*c - b^2)^3)^(1/2) + 2*b^3*c*d*e + 2*c*d*e*(-(4*a*c - b^2)^3)^(1/2) - 6*a*b^2*c*d^2 + 6*a*b^2*c*e
^2 - 8*a*b*c^2*d*e + 8*a^2*b*c*d*e)/(2*(a^2*b^4 - b^6 + 16*a^2*c^4 + 32*a^3*c^3 + 16*a^4*c^2 + b^4*c^2 - 8*a*b
^2*c^3 - 8*a^3*b^2*c - 32*a^2*b^2*c^2 + 10*a*b^4*c)))^(1/2)*1i)/(((-(b^4*d^2 - b^4*e^2 + 8*a*c^3*d^2 - b*d^2*(
-(4*a*c - b^2)^3)^(1/2) - 8*a^3*c*e^2 - b*e^2*(-(4*a*c - b^2)^3)^(1/2) + 2*a^2*b^2*e^2 + 8*a^2*c^2*d^2 - 8*a^2
*c^2*e^2 - 2*b^2*c^2*d^2 - 2*a*b^3*d*e + 2*a*d*e*(-(4*a*c - b^2)^3)^(1/2) + 2*b^3*c*d*e + 2*c*d*e*(-(4*a*c - b
^2)^3)^(1/2) - 6*a*b^2*c*d^2 + 6*a*b^2*c*e^2 - 8*a*b*c^2*d*e + 8*a^2*b*c*d*e)/(2*(a^2*b^4 - b^6 + 16*a^2*c^4 +
32*a^3*c^3 + 16*a^4*c^2 + b^4*c^2 - 8*a*b^2*c^3 - 8*a^3*b^2*c - 32*a^2*b^2*c^2 + 10*a*b^4*c)))^(1/2)*(256*a^2
*c^2*d - 32*b^4*e - 32*a^2*b^2*d - 32*a^2*b^2*e - 32*b^4*d + 256*a^2*c^2*e - 32*b^2*c^2*d - 32*b^2*c^2*e + tan
(x/2)*(-(b^4*d^2 - b^4*e^2 + 8*a*c^3*d^2 - b*d^2*(-(4*a*c - b^2)^3)^(1/2) - 8*a^3*c*e^2 - b*e^2*(-(4*a*c - b^2
)^3)^(1/2) + 2*a^2*b^2*e^2 + 8*a^2*c^2*d^2 - 8*a^2*c^2*e^2 - 2*b^2*c^2*d^2 - 2*a*b^3*d*e + 2*a*d*e*(-(4*a*c -
b^2)^3)^(1/2) + 2*b^3*c*d*e + 2*c*d*e*(-(4*a*c - b^2)^3)^(1/2) - 6*a*b^2*c*d^2 + 6*a*b^2*c*e^2 - 8*a*b*c^2*d*e
+ 8*a^2*b*c*d*e)/(2*(a^2*b^4 - b^6 + 16*a^2*c^4 + 32*a^3*c^3 + 16*a^4*c^2 + b^4*c^2 - 8*a*b^2*c^3 - 8*a^3*b^2
*c - 32*a^2*b^2*c^2 + 10*a*b^4*c)))^(1/2)*(64*a*b^4 + 256*a*c^4 - 256*a^4*c - 64*b^4*c - 128*a^2*b^3 + 64*a^3*
b^2 + 256*a^2*c^3 - 256*a^3*c^2 - 64*b^2*c^3 + 128*b^3*c^2 + 192*a*b^2*c^2 - 192*a^2*b^2*c - 512*a*b*c^3 + 512
*a^3*b*c) + 64*a*b^3*d + 64*a*b^3*e + 128*a*c^3*d + 128*a^3*c*d + 128*a*c^3*e + 128*a^3*c*e + 64*b^3*c*d + 64*
b^3*c*e - 256*a*b*c^2*d + 64*a*b^2*c*d - 256*a^2*b*c*d - 256*a*b*c^2*e + 64*a*b^2*c*e - 256*a^2*b*c*e) + tan(x
/2)*(64*a^3*e^2 - 32*b^3*d^2 - 32*b^3*e^2 + 64*c^3*d^2 + 32*a*b^2*d^2 + 96*a*b^2*e^2 - 128*a^2*b*e^2 - 64*a^2*
c*d^2 - 64*a*c^2*e^2 - 128*b*c^2*d^2 + 96*b^2*c*d^2 + 32*b^2*c*e^2 + 64*a*b^2*d*e - 64*a^2*b*d*e + 256*a*c^2*d
*e + 256*a^2*c*d*e - 64*b*c^2*d*e + 64*b^2*c*d*e - 384*a*b*c*d*e))*(-(b^4*d^2 - b^4*e^2 + 8*a*c^3*d^2 - b*d^2*
(-(4*a*c - b^2)^3)^(1/2) - 8*a^3*c*e^2 - b*e^2*(-(4*a*c - b^2)^3)^(1/2) + 2*a^2*b^2*e^2 + 8*a^2*c^2*d^2 - 8*a^
2*c^2*e^2 - 2*b^2*c^2*d^2 - 2*a*b^3*d*e + 2*a*d*e*(-(4*a*c - b^2)^3)^(1/2) + 2*b^3*c*d*e + 2*c*d*e*(-(4*a*c -
b^2)^3)^(1/2) - 6*a*b^2*c*d^2 + 6*a*b^2*c*e^2 - 8*a*b*c^2*d*e + 8*a^2*b*c*d*e)/(2*(a^2*b^4 - b^6 + 16*a^2*c^4
+ 32*a^3*c^3 + 16*a^4*c^2 + b^4*c^2 - 8*a*b^2*c^3 - 8*a^3*b^2*c - 32*a^2*b^2*c^2 + 10*a*b^4*c)))^(1/2) + ((-(b
^4*d^2 - b^4*e^2 + 8*a*c^3*d^2 - b*d^2*(-(4*a*c - b^2)^3)^(1/2) - 8*a^3*c*e^2 - b*e^2*(-(4*a*c - b^2)^3)^(1/2)
+ 2*a^2*b^2*e^2 + 8*a^2*c^2*d^2 - 8*a^2*c^2*e^2 - 2*b^2*c^2*d^2 - 2*a*b^3*d*e + 2*a*d*e*(-(4*a*c - b^2)^3)^(1
/2) + 2*b^3*c*d*e + 2*c*d*e*(-(4*a*c - b^2)^3)^(1/2) - 6*a*b^2*c*d^2 + 6*a*b^2*c*e^2 - 8*a*b*c^2*d*e + 8*a^2*b
*c*d*e)/(2*(a^2*b^4 - b^6 + 16*a^2*c^4 + 32*a^3*c^3 + 16*a^4*c^2 + b^4*c^2 - 8*a*b^2*c^3 - 8*a^3*b^2*c - 32*a^
2*b^2*c^2 + 10*a*b^4*c)))^(1/2)*(256*a^2*c^2*d - 32*b^4*e - 32*a^2*b^2*d - 32*a^2*b^2*e - 32*b^4*d + 256*a^2*c
^2*e - 32*b^2*c^2*d - 32*b^2*c^2*e - tan(x/2)*(-(b^4*d^2 - b^4*e^2 + 8*a*c^3*d^2 - b*d^2*(-(4*a*c - b^2)^3)^(1
/2) - 8*a^3*c*e^2 - b*e^2*(-(4*a*c - b^2)^3)^(1/2) + 2*a^2*b^2*e^2 + 8*a^2*c^2*d^2 - 8*a^2*c^2*e^2 - 2*b^2*c^2
*d^2 - 2*a*b^3*d*e + 2*a*d*e*(-(4*a*c - b^2)^3)^(1/2) + 2*b^3*c*d*e + 2*c*d*e*(-(4*a*c - b^2)^3)^(1/2) - 6*a*b
^2*c*d^2 + 6*a*b^2*c*e^2 - 8*a*b*c^2*d*e + 8*a^2*b*c*d*e)/(2*(a^2*b^4 - b^6 + 16*a^2*c^4 + 32*a^3*c^3 + 16*a^4
*c^2 + b^4*c^2 - 8*a*b^2*c^3 - 8*a^3*b^2*c - 32*a^2*b^2*c^2 + 10*a*b^4*c)))^(1/2)*(64*a*b^4 + 256*a*c^4 - 256*
a^4*c - 64*b^4*c - 128*a^2*b^3 + 64*a^3*b^2 + 256*a^2*c^3 - 256*a^3*c^2 - 64*b^2*c^3 + 128*b^3*c^2 + 192*a*b^2
*c^2 - 192*a^2*b^2*c - 512*a*b*c^3 + 512*a^3*b*c) + 64*a*b^3*d + 64*a*b^3*e + 128*a*c^3*d + 128*a^3*c*d + 128*
a*c^3*e + 128*a^3*c*e + 64*b^3*c*d + 64*b^3*c*e - 256*a*b*c^2*d + 64*a*b^2*c*d - 256*a^2*b*c*d - 256*a*b*c^2*e
+ 64*a*b^2*c*e - 256*a^2*b*c*e) - tan(x/2)*(64*a^3*e^2 - 32*b^3*d^2 - 32*b^3*e^2 + 64*c^3*d^2 + 32*a*b^2*d^2
+ 96*a*b^2*e^2 - 128*a^2*b*e^2 - 64*a^2*c*d^2 - 64*a*c^2*e^2 - 128*b*c^2*d^2 + 96*b^2*c*d^2 + 32*b^2*c*e^2 + 6
4*a*b^2*d*e - 64*a^2*b*d*e + 256*a*c^2*d*e + 256*a^2*c*d*e - 64*b*c^2*d*e + 64*b^2*c*d*e - 384*a*b*c*d*e))*(-(
b^4*d^2 - b^4*e^2 + 8*a*c^3*d^2 - b*d^2*(-(4*a*c - b^2)^3)^(1/2) - 8*a^3*c*e^2 - b*e^2*(-(4*a*c - b^2)^3)^(1/2
) + 2*a^2*b^2*e^2 + 8*a^2*c^2*d^2 - 8*a^2*c^2*e^2 - 2*b^2*c^2*d^2 - 2*a*b^3*d*e + 2*a*d*e*(-(4*a*c - b^2)^3)^(
1/2) + 2*b^3*c*d*e + 2*c*d*e*(-(4*a*c - b^2)^3)^(1/2) - 6*a*b^2*c*d^2 + 6*a*b^2*c*e^2 - 8*a*b*c^2*d*e + 8*a^2*
b*c*d*e)/(2*(a^2*b^4 - b^6 + 16*a^2*c^4 + 32*a^3*c^3 + 16*a^4*c^2 + b^4*c^2 - 8*a*b^2*c^3 - 8*a^3*b^2*c - 32*a
^2*b^2*c^2 + 10*a*b^4*c)))^(1/2) - 64*a^2*e^3 + 64*c^2*d^3 + 64*a^2*d*e^2 - 64*b^2*d*e^2 + 64*b^2*d^2*e - 64*c
^2*d^2*e + 64*a*b*e^3 + 64*a*c*d^3 - 64*a*c*e^3 - 64*b*c*d^3 - 64*a*b*d^2*e + 64*a*c*d*e^2 - 64*a*c*d^2*e + 64
*b*c*d*e^2))*(-(b^4*d^2 - b^4*e^2 + 8*a*c^3*d^2 - b*d^2*(-(4*a*c - b^2)^3)^(1/2) - 8*a^3*c*e^2 - b*e^2*(-(4*a*
c - b^2)^3)^(1/2) + 2*a^2*b^2*e^2 + 8*a^2*c^2*d^2 - 8*a^2*c^2*e^2 - 2*b^2*c^2*d^2 - 2*a*b^3*d*e + 2*a*d*e*(-(4
*a*c - b^2)^3)^(1/2) + 2*b^3*c*d*e + 2*c*d*e*(-(4*a*c - b^2)^3)^(1/2) - 6*a*b^2*c*d^2 + 6*a*b^2*c*e^2 - 8*a*b*
c^2*d*e + 8*a^2*b*c*d*e)/(2*(a^2*b^4 - b^6 + 16*a^2*c^4 + 32*a^3*c^3 + 16*a^4*c^2 + b^4*c^2 - 8*a*b^2*c^3 - 8*
a^3*b^2*c - 32*a^2*b^2*c^2 + 10*a*b^4*c)))^(1/2)*2i

________________________________________________________________________________________

sympy [F(-1)]  time = 0.00, size = 0, normalized size = 0.00 \[ \text {Timed out} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((d+e*cos(x))/(a+b*cos(x)+c*cos(x)**2),x)

[Out]

Timed out

________________________________________________________________________________________