3.22.8 \(\int \frac {1+x^4}{(-1+x^4) \sqrt {1-x-x^2+x^3+x^4}} \, dx\)

Optimal. Leaf size=153 \[ \frac {1}{4} \text {RootSum}\left [\text {$\#$1}^4+14 \text {$\#$1}^2-16 \text {$\#$1}+5\& ,\frac {\text {$\#$1}^2 \log \left (-\text {$\#$1} x-x^2+\sqrt {x^4+x^3-x^2-x+1}+1\right )+\text {$\#$1}^2 (-\log (x))-\log \left (-\text {$\#$1} x-x^2+\sqrt {x^4+x^3-x^2-x+1}+1\right )+\log (x)}{\text {$\#$1}^3+7 \text {$\#$1}-4}\& \right ]+\tanh ^{-1}\left (\frac {x}{x^2-\sqrt {x^4+x^3-x^2-x+1}-1}\right ) \]

________________________________________________________________________________________

Rubi [F]  time = 0.78, antiderivative size = 0, normalized size of antiderivative = 0.00, number of steps used = 0, number of rules used = 0, integrand size = 0, \(\frac {\text {number of rules}}{\text {integrand size}}\) = 0.000, Rules used = {} \begin {gather*} \int \frac {1+x^4}{\left (-1+x^4\right ) \sqrt {1-x-x^2+x^3+x^4}} \, dx \end {gather*}

Verification is not applicable to the result.

[In]

Int[(1 + x^4)/((-1 + x^4)*Sqrt[1 - x - x^2 + x^3 + x^4]),x]

[Out]

Defer[Int][1/Sqrt[1 - x - x^2 + x^3 + x^4], x] - (I/2)*Defer[Int][1/((I - x)*Sqrt[1 - x - x^2 + x^3 + x^4]), x
] + Defer[Int][1/((-1 + x)*Sqrt[1 - x - x^2 + x^3 + x^4]), x]/2 - (I/2)*Defer[Int][1/((I + x)*Sqrt[1 - x - x^2
+ x^3 + x^4]), x] - Defer[Int][1/((1 + x)*Sqrt[1 - x - x^2 + x^3 + x^4]), x]/2

Rubi steps

\begin {align*} \int \frac {1+x^4}{\left (-1+x^4\right ) \sqrt {1-x-x^2+x^3+x^4}} \, dx &=\int \left (\frac {1}{\sqrt {1-x-x^2+x^3+x^4}}+\frac {2}{\left (-1+x^4\right ) \sqrt {1-x-x^2+x^3+x^4}}\right ) \, dx\\ &=2 \int \frac {1}{\left (-1+x^4\right ) \sqrt {1-x-x^2+x^3+x^4}} \, dx+\int \frac {1}{\sqrt {1-x-x^2+x^3+x^4}} \, dx\\ &=2 \int \left (\frac {1}{2 \left (-1+x^2\right ) \sqrt {1-x-x^2+x^3+x^4}}-\frac {1}{2 \left (1+x^2\right ) \sqrt {1-x-x^2+x^3+x^4}}\right ) \, dx+\int \frac {1}{\sqrt {1-x-x^2+x^3+x^4}} \, dx\\ &=\int \frac {1}{\sqrt {1-x-x^2+x^3+x^4}} \, dx+\int \frac {1}{\left (-1+x^2\right ) \sqrt {1-x-x^2+x^3+x^4}} \, dx-\int \frac {1}{\left (1+x^2\right ) \sqrt {1-x-x^2+x^3+x^4}} \, dx\\ &=\int \frac {1}{\sqrt {1-x-x^2+x^3+x^4}} \, dx-\int \left (\frac {i}{2 (i-x) \sqrt {1-x-x^2+x^3+x^4}}+\frac {i}{2 (i+x) \sqrt {1-x-x^2+x^3+x^4}}\right ) \, dx+\int \left (\frac {1}{2 (-1+x) \sqrt {1-x-x^2+x^3+x^4}}-\frac {1}{2 (1+x) \sqrt {1-x-x^2+x^3+x^4}}\right ) \, dx\\ &=-\left (\frac {1}{2} i \int \frac {1}{(i-x) \sqrt {1-x-x^2+x^3+x^4}} \, dx\right )-\frac {1}{2} i \int \frac {1}{(i+x) \sqrt {1-x-x^2+x^3+x^4}} \, dx+\frac {1}{2} \int \frac {1}{(-1+x) \sqrt {1-x-x^2+x^3+x^4}} \, dx-\frac {1}{2} \int \frac {1}{(1+x) \sqrt {1-x-x^2+x^3+x^4}} \, dx+\int \frac {1}{\sqrt {1-x-x^2+x^3+x^4}} \, dx\\ \end {align*}

________________________________________________________________________________________

Mathematica [C]  time = 2.37, size = 5457, normalized size = 35.67 \begin {gather*} \text {Result too large to show} \end {gather*}

Warning: Unable to verify antiderivative.

[In]

Integrate[(1 + x^4)/((-1 + x^4)*Sqrt[1 - x - x^2 + x^3 + x^4]),x]

[Out]

Result too large to show

________________________________________________________________________________________

IntegrateAlgebraic [A]  time = 0.37, size = 153, normalized size = 1.00 \begin {gather*} \tanh ^{-1}\left (\frac {x}{-1+x^2-\sqrt {1-x-x^2+x^3+x^4}}\right )+\frac {1}{4} \text {RootSum}\left [5-16 \text {$\#$1}+14 \text {$\#$1}^2+\text {$\#$1}^4\&,\frac {\log (x)-\log \left (1-x^2+\sqrt {1-x-x^2+x^3+x^4}-x \text {$\#$1}\right )-\log (x) \text {$\#$1}^2+\log \left (1-x^2+\sqrt {1-x-x^2+x^3+x^4}-x \text {$\#$1}\right ) \text {$\#$1}^2}{-4+7 \text {$\#$1}+\text {$\#$1}^3}\&\right ] \end {gather*}

Antiderivative was successfully verified.

[In]

IntegrateAlgebraic[(1 + x^4)/((-1 + x^4)*Sqrt[1 - x - x^2 + x^3 + x^4]),x]

[Out]

ArcTanh[x/(-1 + x^2 - Sqrt[1 - x - x^2 + x^3 + x^4])] + RootSum[5 - 16*#1 + 14*#1^2 + #1^4 & , (Log[x] - Log[1
- x^2 + Sqrt[1 - x - x^2 + x^3 + x^4] - x*#1] - Log[x]*#1^2 + Log[1 - x^2 + Sqrt[1 - x - x^2 + x^3 + x^4] - x
*#1]*#1^2)/(-4 + 7*#1 + #1^3) & ]/4

________________________________________________________________________________________

fricas [B]  time = 6.62, size = 4868, normalized size = 31.82

result too large to display

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((x^4+1)/(x^4-1)/(x^4+x^3-x^2-x+1)^(1/2),x, algorithm="fricas")

[Out]

-1/416*13^(1/4)*(sqrt(13)*sqrt(2) - 3*sqrt(2))*sqrt(3*sqrt(13) + 13)*log(634933*(52*x^4 + 52*x^3 + 13^(1/4)*sq
rt(x^4 + x^3 - x^2 - x + 1)*(sqrt(13)*sqrt(2)*(x^2 + 2*x - 1) + sqrt(2)*(5*x^2 - 2*x - 5))*sqrt(3*sqrt(13) + 1
3) - 52*x^2 + sqrt(13)*(17*x^4 + 20*x^3 - 26*x^2 - 20*x + 17) - 52*x + 52)/(x^4 + 2*x^2 + 1)) + 1/416*13^(1/4)
*(sqrt(13)*sqrt(2) - 3*sqrt(2))*sqrt(3*sqrt(13) + 13)*log(634933*(52*x^4 + 52*x^3 - 13^(1/4)*sqrt(x^4 + x^3 -
x^2 - x + 1)*(sqrt(13)*sqrt(2)*(x^2 + 2*x - 1) + sqrt(2)*(5*x^2 - 2*x - 5))*sqrt(3*sqrt(13) + 13) - 52*x^2 + s
qrt(13)*(17*x^4 + 20*x^3 - 26*x^2 - 20*x + 17) - 52*x + 52)/(x^4 + 2*x^2 + 1)) - 1/52*13^(1/4)*sqrt(2)*sqrt(3*
sqrt(13) + 13)*arctan(-1/156*(303466516831856398098*x^24 + 4743900311019108485688*x^23 + 282333514786704025089
12*x^22 - 72199824668983318237944*x^21 - 549945030052979141285484*x^20 + 203866718260552713998424*x^19 + 35382
87727177039762376880*x^18 + 1160844709036705056427752*x^17 - 10483458261909001046283762*x^16 - 588432321679067
3562757200*x^15 + 18321648976655814996172512*x^14 + 10935511024932688162387536*x^13 - 218151298879421144082527
76*x^12 - 10935511024932688162387536*x^11 + 18321648976655814996172512*x^10 + 5884323216790673562757200*x^9 -
10483458261909001046283762*x^8 - 1160844709036705056427752*x^7 + 3538287727177039762376880*x^6 - 2038667182605
52713998424*x^5 - 549945030052979141285484*x^4 + 72199824668983318237944*x^3 + 28233351478670402508912*x^2 + 2
2542*sqrt(x^4 + x^3 - x^2 - x + 1)*(13^(3/4)*(sqrt(13)*sqrt(2)*(438032817640345*x^22 + 4766023804643608*x^21 -
22651687495355451*x^20 - 73226949981951792*x^19 + 201895053539000295*x^18 + 581246457201440152*x^17 - 6883237
19968941789*x^16 - 2375828481503141120*x^15 + 835564914755102394*x^14 + 4875744719966576976*x^13 - 51895538378
5839278*x^12 - 6081767361973499808*x^11 + 518955383785839278*x^10 + 4875744719966576976*x^9 - 8355649147551023
94*x^8 - 2375828481503141120*x^7 + 688323719968941789*x^6 + 581246457201440152*x^5 - 201895053539000295*x^4 -
73226949981951792*x^3 + 22651687495355451*x^2 + 4766023804643608*x - 438032817640345) - 13*sqrt(2)*(7061329121
0443*x^22 + 1163654076309028*x^21 - 1583310499286865*x^20 - 22882269559286984*x^19 + 6676964780514997*x^18 + 1
74966322381689396*x^17 + 44249933486799049*x^16 - 651769703746318880*x^15 - 361386944352761330*x^14 + 12579832
37200889768*x^13 + 764225260716326422*x^12 - 1534892168387514928*x^11 - 764225260716326422*x^10 + 125798323720
0889768*x^9 + 361386944352761330*x^8 - 651769703746318880*x^7 - 44249933486799049*x^6 + 174966322381689396*x^5
- 6676964780514997*x^4 - 22882269559286984*x^3 + 1583310499286865*x^2 + 1163654076309028*x - 70613291210443))
+ 208*13^(1/4)*(sqrt(13)*sqrt(2)*(4692636395300*x^22 + 21025698352120*x^21 - 509873403724003*x^20 + 119806653
6193627*x^19 + 3315357795152678*x^18 - 10114246161224222*x^17 - 11088440456053169*x^16 + 37159592182761664*x^1
5 + 22839711859751903*x^14 - 80081392708755290*x^13 - 34837626972977603*x^12 + 102461865113616074*x^11 + 34837
626972977603*x^10 - 80081392708755290*x^9 - 22839711859751903*x^8 + 37159592182761664*x^7 + 11088440456053169*
x^6 - 10114246161224222*x^5 - 3315357795152678*x^4 + 1198066536193627*x^3 + 509873403724003*x^2 + 210256983521
20*x - 4692636395300) - sqrt(2)*(5887397593700*x^22 + 48235726154280*x^21 - 789276041251667*x^20 + 32190734450
78935*x^19 + 987154599751170*x^18 - 30671562330634130*x^17 + 14799842775240331*x^16 + 133701026987497176*x^15
- 52507544684949429*x^14 - 312813206043385494*x^13 + 76214230101024249*x^12 + 408248773019680034*x^11 - 762142
30101024249*x^10 - 312813206043385494*x^9 + 52507544684949429*x^8 + 133701026987497176*x^7 - 14799842775240331
*x^6 - 30671562330634130*x^5 - 987154599751170*x^4 + 3219073445078935*x^3 + 789276041251667*x^2 + 482357261542
80*x - 5887397593700)))*sqrt(3*sqrt(13) + 13) - 17*sqrt(13)*(8*(1176400871054864000*x^22 + 7687548786224798400
*x^21 - 69832722125408817120*x^20 - 23339220413812524208*x^19 + 562761972310677711728*x^18 + 21524702442450107
4096*x^17 - 2257653963476425070128*x^16 - 1386968938773226680352*x^15 + 4790605753830493069200*x^14 + 35190456
80546393583248*x^13 - 6554503840828816558192*x^12 - 4586127059160220899936*x^11 + 6554503840828816558192*x^10
+ 3519045680546393583248*x^9 - 4790605753830493069200*x^8 - 1386968938773226680352*x^7 + 225765396347642507012
8*x^6 + 215247024424501074096*x^5 - 562761972310677711728*x^4 - 23339220413812524208*x^3 + 6983272212540881712
0*x^2 + sqrt(13)*(347413063094905990*x^22 + 2574804143274222093*x^21 - 18530451609856137822*x^20 - 22081688459
241438170*x^19 + 171845528497503708406*x^18 + 132215393354867446377*x^17 - 750514342534298363294*x^16 - 551029
809556392223928*x^15 + 1817527644069021398748*x^14 + 1300271146740319620490*x^13 - 2716824871550408597420*x^12
- 1710848117433555567324*x^11 + 2716824871550408597420*x^10 + 1300271146740319620490*x^9 - 181752764406902139
8748*x^8 - 551029809556392223928*x^7 + 750514342534298363294*x^6 + 132215393354867446377*x^5 - 171845528497503
708406*x^4 - 22081688459241438170*x^3 + 18530451609856137822*x^2 + sqrt(13)*(86119890640762790*x^22 + 61289539
0416267933*x^21 - 4335535920387511086*x^20 - 5302468667138334250*x^19 + 38587660384357338854*x^18 + 3093097949
8708755225*x^17 - 158845749790110352222*x^16 - 119769067733058532408*x^15 + 361880375640229546236*x^14 + 25402
2661898659193930*x^13 - 531382608639111111148*x^12 - 324162614012386926396*x^11 + 531382608639111111148*x^10 +
254022661898659193930*x^9 - 361880375640229546236*x^8 - 119769067733058532408*x^7 + 158845749790110352222*x^6
+ 30930979498708755225*x^5 - 38587660384357338854*x^4 - 5302468667138334250*x^3 + 4335535920387511086*x^2 + 6
12895390416267933*x - 86119890640762790) + 2574804143274222093*x - 347413063094905990) + 781456*sqrt(13)*(3926
42047000*x^22 + 2668947743700*x^21 - 21551606454210*x^20 - 25391634979349*x^19 + 216431774913673*x^18 + 165124
287185685*x^17 - 975636855722909*x^16 - 730292496271070*x^15 + 2323352136214791*x^14 + 1661364413033911*x^13 -
3469542924856697*x^12 - 2159192030142810*x^11 + 3469542924856697*x^10 + 1661364413033911*x^9 - 23233521362147
91*x^8 - 730292496271070*x^7 + 975636855722909*x^6 + 165124287185685*x^5 - 216431774913673*x^4 - 2539163497934
9*x^3 + 21551606454210*x^2 + 2668947743700*x - 392642047000) + 7687548786224798400*x - 1176400871054864000)*sq
rt(x^4 + x^3 - x^2 - x + 1) + (13^(3/4)*(sqrt(13)*sqrt(2)*(42561667757632535*x^24 + 257611512435675958*x^23 -
2247750745977714788*x^22 - 1814256247738761970*x^21 + 24442437067776376590*x^20 + 7434104308599750458*x^19 - 1
33732529802419891028*x^18 - 40377788940700833486*x^17 + 424853244996735057401*x^16 + 169970966197279445148*x^1
5 - 792994393765633385544*x^14 - 324292611472025875252*x^13 + 965410860226389212612*x^12 + 3242926114720258752
52*x^11 - 792994393765633385544*x^10 - 169970966197279445148*x^9 + 424853244996735057401*x^8 + 403777889407008
33486*x^7 - 133732529802419891028*x^6 - 7434104308599750458*x^5 + 24442437067776376590*x^4 + 18142562477387619
70*x^3 - 2247750745977714788*x^2 - 257611512435675958*x + 42561667757632535) + sqrt(2)*(255964917914376199*x^2
4 + 2378265999782735342*x^23 - 10723699406875401436*x^22 - 34884403219165654778*x^21 + 93953387409611786046*x^
20 + 253421004867879632674*x^19 - 344419433727703157868*x^18 - 1002660055585799007654*x^17 + 59809199372634228
9097*x^16 + 2206109898157584293772*x^15 - 695096131692662787768*x^14 - 3171896094005833352900*x^13 + 694108138
803077006308*x^12 + 3171896094005833352900*x^11 - 695096131692662787768*x^10 - 2206109898157584293772*x^9 + 59
8091993726342289097*x^8 + 1002660055585799007654*x^7 - 344419433727703157868*x^6 - 253421004867879632674*x^5 +
93953387409611786046*x^4 + 34884403219165654778*x^3 - 10723699406875401436*x^2 - 2378265999782735342*x + 2559
64917914376199)) + 16*13^(1/4)*(sqrt(13)*sqrt(2)*(10624231800639100*x^24 + 80728789199165240*x^23 - 4534376655
52960801*x^22 - 1361343207830720927*x^21 + 4509496134229422087*x^20 + 11529111171725879005*x^19 - 192386469139
42275477*x^18 - 53837830579514157270*x^17 + 39389350688620333912*x^16 + 138078999987416412018*x^15 - 451529996
55828310218*x^14 - 212071343879066457860*x^13 + 43690224455383154506*x^12 + 212071343879066457860*x^11 - 45152
999655828310218*x^10 - 138078999987416412018*x^9 + 39389350688620333912*x^8 + 53837830579514157270*x^7 - 19238
646913942275477*x^6 - 11529111171725879005*x^5 + 4509496134229422087*x^4 + 1361343207830720927*x^3 - 453437665
552960801*x^2 - 80728789199165240*x + 10624231800639100) + 13*sqrt(2)*(3882779405827700*x^24 + 286064444358926
80*x^23 - 227641579389617987*x^22 - 198956183337105013*x^21 + 2168414620505808021*x^20 + 1093374150915552911*x
^19 - 10049115354907453191*x^18 - 4545138448499822946*x^17 + 26948863273874260376*x^16 + 10958614328214418326*
x^15 - 47994628464112587318*x^14 - 17184519112020979516*x^13 + 57842201375545723838*x^12 + 1718451911202097951
6*x^11 - 47994628464112587318*x^10 - 10958614328214418326*x^9 + 26948863273874260376*x^8 + 4545138448499822946
*x^7 - 10049115354907453191*x^6 - 1093374150915552911*x^5 + 2168414620505808021*x^4 + 198956183337105013*x^3 -
227641579389617987*x^2 - 28606444435892680*x + 3882779405827700)))*sqrt(3*sqrt(13) + 13))*sqrt((52*x^4 + 52*x
^3 - 13^(1/4)*sqrt(x^4 + x^3 - x^2 - x + 1)*(sqrt(13)*sqrt(2)*(x^2 + 2*x - 1) + sqrt(2)*(5*x^2 - 2*x - 5))*sqr
t(3*sqrt(13) + 13) - 52*x^2 + sqrt(13)*(17*x^4 + 20*x^3 - 26*x^2 - 20*x + 17) - 52*x + 52)/(x^4 + 2*x^2 + 1))
+ 293046*sqrt(13)*(864908224669831*x^24 + 10355522400887124*x^23 - 17384091301118312*x^22 - 126742456591014836
*x^21 + 22231314006511958*x^20 + 520289532650388676*x^19 + 298321626941299512*x^18 - 528293883094391716*x^17 -
389743086866628119*x^16 - 210204858921706104*x^15 - 266798576314259920*x^14 + 975476535814976248*x^13 + 76157
1647922735220*x^12 - 975476535814976248*x^11 - 266798576314259920*x^10 + 210204858921706104*x^9 - 389743086866
628119*x^8 + 528293883094391716*x^7 + 298321626941299512*x^6 - 520289532650388676*x^5 + 22231314006511958*x^4
+ 126742456591014836*x^3 - 17384091301118312*x^2 - 10355522400887124*x + 864908224669831) + 2344368*sqrt(13)*(
6297682684370*x^24 - 199950327117651*x^23 - 995766583461953*x^22 + 3494940283605122*x^21 + 11259696068148532*x
^20 - 11251123247802050*x^19 - 43365133169916061*x^18 - 7137738820792145*x^17 + 29711549278992846*x^16 + 14458
141654548170*x^15 + 42344219995051230*x^14 + 6649866616815492*x^13 - 85988445576305064*x^12 - 6649866616815492
*x^11 + 42344219995051230*x^10 - 14458141654548170*x^9 + 29711549278992846*x^8 + 7137738820792145*x^7 - 433651
33169916061*x^6 + 11251123247802050*x^5 + 11259696068148532*x^4 - 3494940283605122*x^3 - 995766583461953*x^2 +
sqrt(13)*(20927774353570*x^24 + 130384064414589*x^23 - 1832539639466373*x^22 - 378588130924562*x^21 + 2138059
0264585528*x^20 + 4744891377887298*x^19 - 116038978593664721*x^18 - 50745796110773153*x^17 + 33887208518662257
4*x^16 + 188797691491908298*x^15 - 600518166018256810*x^14 - 335968273816529348*x^13 + 718884696204352368*x^12
+ 335968273816529348*x^11 - 600518166018256810*x^10 - 188797691491908298*x^9 + 338872085186622574*x^8 + 50745
796110773153*x^7 - 116038978593664721*x^6 - 4744891377887298*x^5 + 21380590264585528*x^4 + 378588130924562*x^3
- 1832539639466373*x^2 - 130384064414589*x + 20927774353570) + 199950327117651*x + 6297682684370) - 474390031
1019108485688*x + 303466516831856398098)/(2619839878947519387*x^24 + 56875992053837531104*x^23 + 1319593712377
47999396*x^22 - 2182804951517679993984*x^21 - 834435940279923178058*x^20 + 19080490944149866629376*x^19 + 7572
391123444752820884*x^18 - 80627449581147817109984*x^17 - 42572148062363848355915*x^16 + 1865468315759765273746
56*x^15 + 105848256468770974999240*x^14 - 273413685733714921314176*x^13 - 139929639991653442404876*x^12 + 2734
13685733714921314176*x^11 + 105848256468770974999240*x^10 - 186546831575976527374656*x^9 - 4257214806236384835
5915*x^8 + 80627449581147817109984*x^7 + 7572391123444752820884*x^6 - 19080490944149866629376*x^5 - 8344359402
79923178058*x^4 + 2182804951517679993984*x^3 + 131959371237747999396*x^2 - 56875992053837531104*x + 2619839878
947519387)) - 1/52*13^(1/4)*sqrt(2)*sqrt(3*sqrt(13) + 13)*arctan(1/156*(303466516831856398098*x^24 + 474390031
1019108485688*x^23 + 28233351478670402508912*x^22 - 72199824668983318237944*x^21 - 549945030052979141285484*x^
20 + 203866718260552713998424*x^19 + 3538287727177039762376880*x^18 + 1160844709036705056427752*x^17 - 1048345
8261909001046283762*x^16 - 5884323216790673562757200*x^15 + 18321648976655814996172512*x^14 + 1093551102493268
8162387536*x^13 - 21815129887942114408252776*x^12 - 10935511024932688162387536*x^11 + 183216489766558149961725
12*x^10 + 5884323216790673562757200*x^9 - 10483458261909001046283762*x^8 - 1160844709036705056427752*x^7 + 353
8287727177039762376880*x^6 - 203866718260552713998424*x^5 - 549945030052979141285484*x^4 + 7219982466898331823
7944*x^3 + 28233351478670402508912*x^2 - 22542*sqrt(x^4 + x^3 - x^2 - x + 1)*(13^(3/4)*(sqrt(13)*sqrt(2)*(4380
32817640345*x^22 + 4766023804643608*x^21 - 22651687495355451*x^20 - 73226949981951792*x^19 + 20189505353900029
5*x^18 + 581246457201440152*x^17 - 688323719968941789*x^16 - 2375828481503141120*x^15 + 835564914755102394*x^1
4 + 4875744719966576976*x^13 - 518955383785839278*x^12 - 6081767361973499808*x^11 + 518955383785839278*x^10 +
4875744719966576976*x^9 - 835564914755102394*x^8 - 2375828481503141120*x^7 + 688323719968941789*x^6 + 58124645
7201440152*x^5 - 201895053539000295*x^4 - 73226949981951792*x^3 + 22651687495355451*x^2 + 4766023804643608*x -
438032817640345) - 13*sqrt(2)*(70613291210443*x^22 + 1163654076309028*x^21 - 1583310499286865*x^20 - 22882269
559286984*x^19 + 6676964780514997*x^18 + 174966322381689396*x^17 + 44249933486799049*x^16 - 651769703746318880
*x^15 - 361386944352761330*x^14 + 1257983237200889768*x^13 + 764225260716326422*x^12 - 1534892168387514928*x^1
1 - 764225260716326422*x^10 + 1257983237200889768*x^9 + 361386944352761330*x^8 - 651769703746318880*x^7 - 4424
9933486799049*x^6 + 174966322381689396*x^5 - 6676964780514997*x^4 - 22882269559286984*x^3 + 1583310499286865*x
^2 + 1163654076309028*x - 70613291210443)) + 208*13^(1/4)*(sqrt(13)*sqrt(2)*(4692636395300*x^22 + 210256983521
20*x^21 - 509873403724003*x^20 + 1198066536193627*x^19 + 3315357795152678*x^18 - 10114246161224222*x^17 - 1108
8440456053169*x^16 + 37159592182761664*x^15 + 22839711859751903*x^14 - 80081392708755290*x^13 - 34837626972977
603*x^12 + 102461865113616074*x^11 + 34837626972977603*x^10 - 80081392708755290*x^9 - 22839711859751903*x^8 +
37159592182761664*x^7 + 11088440456053169*x^6 - 10114246161224222*x^5 - 3315357795152678*x^4 + 119806653619362
7*x^3 + 509873403724003*x^2 + 21025698352120*x - 4692636395300) - sqrt(2)*(5887397593700*x^22 + 48235726154280
*x^21 - 789276041251667*x^20 + 3219073445078935*x^19 + 987154599751170*x^18 - 30671562330634130*x^17 + 1479984
2775240331*x^16 + 133701026987497176*x^15 - 52507544684949429*x^14 - 312813206043385494*x^13 + 762142301010242
49*x^12 + 408248773019680034*x^11 - 76214230101024249*x^10 - 312813206043385494*x^9 + 52507544684949429*x^8 +
133701026987497176*x^7 - 14799842775240331*x^6 - 30671562330634130*x^5 - 987154599751170*x^4 + 321907344507893
5*x^3 + 789276041251667*x^2 + 48235726154280*x - 5887397593700)))*sqrt(3*sqrt(13) + 13) - 17*sqrt(13)*(8*(1176
400871054864000*x^22 + 7687548786224798400*x^21 - 69832722125408817120*x^20 - 23339220413812524208*x^19 + 5627
61972310677711728*x^18 + 215247024424501074096*x^17 - 2257653963476425070128*x^16 - 1386968938773226680352*x^1
5 + 4790605753830493069200*x^14 + 3519045680546393583248*x^13 - 6554503840828816558192*x^12 - 4586127059160220
899936*x^11 + 6554503840828816558192*x^10 + 3519045680546393583248*x^9 - 4790605753830493069200*x^8 - 13869689
38773226680352*x^7 + 2257653963476425070128*x^6 + 215247024424501074096*x^5 - 562761972310677711728*x^4 - 2333
9220413812524208*x^3 + 69832722125408817120*x^2 + sqrt(13)*(347413063094905990*x^22 + 2574804143274222093*x^21
- 18530451609856137822*x^20 - 22081688459241438170*x^19 + 171845528497503708406*x^18 + 132215393354867446377*
x^17 - 750514342534298363294*x^16 - 551029809556392223928*x^15 + 1817527644069021398748*x^14 + 130027114674031
9620490*x^13 - 2716824871550408597420*x^12 - 1710848117433555567324*x^11 + 2716824871550408597420*x^10 + 13002
71146740319620490*x^9 - 1817527644069021398748*x^8 - 551029809556392223928*x^7 + 750514342534298363294*x^6 + 1
32215393354867446377*x^5 - 171845528497503708406*x^4 - 22081688459241438170*x^3 + 18530451609856137822*x^2 + s
qrt(13)*(86119890640762790*x^22 + 612895390416267933*x^21 - 4335535920387511086*x^20 - 5302468667138334250*x^1
9 + 38587660384357338854*x^18 + 30930979498708755225*x^17 - 158845749790110352222*x^16 - 119769067733058532408
*x^15 + 361880375640229546236*x^14 + 254022661898659193930*x^13 - 531382608639111111148*x^12 - 324162614012386
926396*x^11 + 531382608639111111148*x^10 + 254022661898659193930*x^9 - 361880375640229546236*x^8 - 11976906773
3058532408*x^7 + 158845749790110352222*x^6 + 30930979498708755225*x^5 - 38587660384357338854*x^4 - 53024686671
38334250*x^3 + 4335535920387511086*x^2 + 612895390416267933*x - 86119890640762790) + 2574804143274222093*x - 3
47413063094905990) + 781456*sqrt(13)*(392642047000*x^22 + 2668947743700*x^21 - 21551606454210*x^20 - 253916349
79349*x^19 + 216431774913673*x^18 + 165124287185685*x^17 - 975636855722909*x^16 - 730292496271070*x^15 + 23233
52136214791*x^14 + 1661364413033911*x^13 - 3469542924856697*x^12 - 2159192030142810*x^11 + 3469542924856697*x^
10 + 1661364413033911*x^9 - 2323352136214791*x^8 - 730292496271070*x^7 + 975636855722909*x^6 + 165124287185685
*x^5 - 216431774913673*x^4 - 25391634979349*x^3 + 21551606454210*x^2 + 2668947743700*x - 392642047000) + 76875
48786224798400*x - 1176400871054864000)*sqrt(x^4 + x^3 - x^2 - x + 1) - (13^(3/4)*(sqrt(13)*sqrt(2)*(425616677
57632535*x^24 + 257611512435675958*x^23 - 2247750745977714788*x^22 - 1814256247738761970*x^21 + 24442437067776
376590*x^20 + 7434104308599750458*x^19 - 133732529802419891028*x^18 - 40377788940700833486*x^17 + 424853244996
735057401*x^16 + 169970966197279445148*x^15 - 792994393765633385544*x^14 - 324292611472025875252*x^13 + 965410
860226389212612*x^12 + 324292611472025875252*x^11 - 792994393765633385544*x^10 - 169970966197279445148*x^9 + 4
24853244996735057401*x^8 + 40377788940700833486*x^7 - 133732529802419891028*x^6 - 7434104308599750458*x^5 + 24
442437067776376590*x^4 + 1814256247738761970*x^3 - 2247750745977714788*x^2 - 257611512435675958*x + 4256166775
7632535) + sqrt(2)*(255964917914376199*x^24 + 2378265999782735342*x^23 - 10723699406875401436*x^22 - 348844032
19165654778*x^21 + 93953387409611786046*x^20 + 253421004867879632674*x^19 - 344419433727703157868*x^18 - 10026
60055585799007654*x^17 + 598091993726342289097*x^16 + 2206109898157584293772*x^15 - 695096131692662787768*x^14
- 3171896094005833352900*x^13 + 694108138803077006308*x^12 + 3171896094005833352900*x^11 - 695096131692662787
768*x^10 - 2206109898157584293772*x^9 + 598091993726342289097*x^8 + 1002660055585799007654*x^7 - 3444194337277
03157868*x^6 - 253421004867879632674*x^5 + 93953387409611786046*x^4 + 34884403219165654778*x^3 - 1072369940687
5401436*x^2 - 2378265999782735342*x + 255964917914376199)) + 16*13^(1/4)*(sqrt(13)*sqrt(2)*(10624231800639100*
x^24 + 80728789199165240*x^23 - 453437665552960801*x^22 - 1361343207830720927*x^21 + 4509496134229422087*x^20
+ 11529111171725879005*x^19 - 19238646913942275477*x^18 - 53837830579514157270*x^17 + 39389350688620333912*x^1
6 + 138078999987416412018*x^15 - 45152999655828310218*x^14 - 212071343879066457860*x^13 + 43690224455383154506
*x^12 + 212071343879066457860*x^11 - 45152999655828310218*x^10 - 138078999987416412018*x^9 + 39389350688620333
912*x^8 + 53837830579514157270*x^7 - 19238646913942275477*x^6 - 11529111171725879005*x^5 + 4509496134229422087
*x^4 + 1361343207830720927*x^3 - 453437665552960801*x^2 - 80728789199165240*x + 10624231800639100) + 13*sqrt(2
)*(3882779405827700*x^24 + 28606444435892680*x^23 - 227641579389617987*x^22 - 198956183337105013*x^21 + 216841
4620505808021*x^20 + 1093374150915552911*x^19 - 10049115354907453191*x^18 - 4545138448499822946*x^17 + 2694886
3273874260376*x^16 + 10958614328214418326*x^15 - 47994628464112587318*x^14 - 17184519112020979516*x^13 + 57842
201375545723838*x^12 + 17184519112020979516*x^11 - 47994628464112587318*x^10 - 10958614328214418326*x^9 + 2694
8863273874260376*x^8 + 4545138448499822946*x^7 - 10049115354907453191*x^6 - 1093374150915552911*x^5 + 21684146
20505808021*x^4 + 198956183337105013*x^3 - 227641579389617987*x^2 - 28606444435892680*x + 3882779405827700)))*
sqrt(3*sqrt(13) + 13))*sqrt((52*x^4 + 52*x^3 + 13^(1/4)*sqrt(x^4 + x^3 - x^2 - x + 1)*(sqrt(13)*sqrt(2)*(x^2 +
2*x - 1) + sqrt(2)*(5*x^2 - 2*x - 5))*sqrt(3*sqrt(13) + 13) - 52*x^2 + sqrt(13)*(17*x^4 + 20*x^3 - 26*x^2 - 2
0*x + 17) - 52*x + 52)/(x^4 + 2*x^2 + 1)) + 293046*sqrt(13)*(864908224669831*x^24 + 10355522400887124*x^23 - 1
7384091301118312*x^22 - 126742456591014836*x^21 + 22231314006511958*x^20 + 520289532650388676*x^19 + 298321626
941299512*x^18 - 528293883094391716*x^17 - 389743086866628119*x^16 - 210204858921706104*x^15 - 266798576314259
920*x^14 + 975476535814976248*x^13 + 761571647922735220*x^12 - 975476535814976248*x^11 - 266798576314259920*x^
10 + 210204858921706104*x^9 - 389743086866628119*x^8 + 528293883094391716*x^7 + 298321626941299512*x^6 - 52028
9532650388676*x^5 + 22231314006511958*x^4 + 126742456591014836*x^3 - 17384091301118312*x^2 - 10355522400887124
*x + 864908224669831) + 2344368*sqrt(13)*(6297682684370*x^24 - 199950327117651*x^23 - 995766583461953*x^22 + 3
494940283605122*x^21 + 11259696068148532*x^20 - 11251123247802050*x^19 - 43365133169916061*x^18 - 713773882079
2145*x^17 + 29711549278992846*x^16 + 14458141654548170*x^15 + 42344219995051230*x^14 + 6649866616815492*x^13 -
85988445576305064*x^12 - 6649866616815492*x^11 + 42344219995051230*x^10 - 14458141654548170*x^9 + 29711549278
992846*x^8 + 7137738820792145*x^7 - 43365133169916061*x^6 + 11251123247802050*x^5 + 11259696068148532*x^4 - 34
94940283605122*x^3 - 995766583461953*x^2 + sqrt(13)*(20927774353570*x^24 + 130384064414589*x^23 - 183253963946
6373*x^22 - 378588130924562*x^21 + 21380590264585528*x^20 + 4744891377887298*x^19 - 116038978593664721*x^18 -
50745796110773153*x^17 + 338872085186622574*x^16 + 188797691491908298*x^15 - 600518166018256810*x^14 - 3359682
73816529348*x^13 + 718884696204352368*x^12 + 335968273816529348*x^11 - 600518166018256810*x^10 - 1887976914919
08298*x^9 + 338872085186622574*x^8 + 50745796110773153*x^7 - 116038978593664721*x^6 - 4744891377887298*x^5 + 2
1380590264585528*x^4 + 378588130924562*x^3 - 1832539639466373*x^2 - 130384064414589*x + 20927774353570) + 1999
50327117651*x + 6297682684370) - 4743900311019108485688*x + 303466516831856398098)/(2619839878947519387*x^24 +
56875992053837531104*x^23 + 131959371237747999396*x^22 - 2182804951517679993984*x^21 - 834435940279923178058*
x^20 + 19080490944149866629376*x^19 + 7572391123444752820884*x^18 - 80627449581147817109984*x^17 - 42572148062
363848355915*x^16 + 186546831575976527374656*x^15 + 105848256468770974999240*x^14 - 273413685733714921314176*x
^13 - 139929639991653442404876*x^12 + 273413685733714921314176*x^11 + 105848256468770974999240*x^10 - 18654683
1575976527374656*x^9 - 42572148062363848355915*x^8 + 80627449581147817109984*x^7 + 7572391123444752820884*x^6
- 19080490944149866629376*x^5 - 834435940279923178058*x^4 + 2182804951517679993984*x^3 + 131959371237747999396
*x^2 - 56875992053837531104*x + 2619839878947519387)) + 1/2*log(-(x^2 + 2*x - 2*sqrt(x^4 + x^3 - x^2 - x + 1)
- 1)/(x^2 - 1))

________________________________________________________________________________________

giac [F]  time = 0.00, size = 0, normalized size = 0.00 \begin {gather*} \int \frac {x^{4} + 1}{\sqrt {x^{4} + x^{3} - x^{2} - x + 1} {\left (x^{4} - 1\right )}}\,{d x} \end {gather*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((x^4+1)/(x^4-1)/(x^4+x^3-x^2-x+1)^(1/2),x, algorithm="giac")

[Out]

integrate((x^4 + 1)/(sqrt(x^4 + x^3 - x^2 - x + 1)*(x^4 - 1)), x)

________________________________________________________________________________________

maple [B]  time = 3.37, size = 620, normalized size = 4.05

method	result	size
trager	\(\frac {\RootOf \left (\textit {\_Z}^{2}+676 \RootOf \left (208 \textit {\_Z}^{4}+24 \textit {\_Z}^{2}+1\right )^{2}+78\right ) \ln \left (\frac {-9984 \RootOf \left (\textit {\_Z}^{2}+676 \RootOf \left (208 \textit {\_Z}^{4}+24 \textit {\_Z}^{2}+1\right )^{2}+78\right ) \RootOf \left (208 \textit {\_Z}^{4}+24 \textit {\_Z}^{2}+1\right )^{4} x +1088 \RootOf \left (208 \textit {\_Z}^{4}+24 \textit {\_Z}^{2}+1\right )^{2} \RootOf \left (\textit {\_Z}^{2}+676 \RootOf \left (208 \textit {\_Z}^{4}+24 \textit {\_Z}^{2}+1\right )^{2}+78\right ) x^{2}-1028 \RootOf \left (208 \textit {\_Z}^{4}+24 \textit {\_Z}^{2}+1\right )^{2} \RootOf \left (\textit {\_Z}^{2}+676 \RootOf \left (208 \textit {\_Z}^{4}+24 \textit {\_Z}^{2}+1\right )^{2}+78\right ) x +7280 \sqrt {x^{4}+x^{3}-x^{2}-x +1}\, \RootOf \left (208 \textit {\_Z}^{4}+24 \textit {\_Z}^{2}+1\right )^{2}-1088 \RootOf \left (208 \textit {\_Z}^{4}+24 \textit {\_Z}^{2}+1\right )^{2} \RootOf \left (\textit {\_Z}^{2}+676 \RootOf \left (208 \textit {\_Z}^{4}+24 \textit {\_Z}^{2}+1\right )^{2}+78\right )+119 \RootOf \left (\textit {\_Z}^{2}+676 \RootOf \left (208 \textit {\_Z}^{4}+24 \textit {\_Z}^{2}+1\right )^{2}+78\right ) x^{2}+7 \RootOf \left (\textit {\_Z}^{2}+676 \RootOf \left (208 \textit {\_Z}^{4}+24 \textit {\_Z}^{2}+1\right )^{2}+78\right ) x +78 \sqrt {x^{4}+x^{3}-x^{2}-x +1}-119 \RootOf \left (\textit {\_Z}^{2}+676 \RootOf \left (208 \textit {\_Z}^{4}+24 \textit {\_Z}^{2}+1\right )^{2}+78\right )}{\left (52 x \RootOf \left (208 \textit {\_Z}^{4}+24 \textit {\_Z}^{2}+1\right )^{2}+3 x +2\right )^{2}}\right )}{52}-\frac {\RootOf \left (208 \textit {\_Z}^{4}+24 \textit {\_Z}^{2}+1\right ) \ln \left (-\frac {-129792 \RootOf \left (208 \textit {\_Z}^{4}+24 \textit {\_Z}^{2}+1\right )^{5} x -14144 \RootOf \left (208 \textit {\_Z}^{4}+24 \textit {\_Z}^{2}+1\right )^{3} x^{2}-16588 \RootOf \left (208 \textit {\_Z}^{4}+24 \textit {\_Z}^{2}+1\right )^{3} x +3640 \sqrt {x^{4}+x^{3}-x^{2}-x +1}\, \RootOf \left (208 \textit {\_Z}^{4}+24 \textit {\_Z}^{2}+1\right )^{2}+14144 \RootOf \left (208 \textit {\_Z}^{4}+24 \textit {\_Z}^{2}+1\right )^{3}-85 \RootOf \left (208 \textit {\_Z}^{4}+24 \textit {\_Z}^{2}+1\right ) x^{2}-95 \RootOf \left (208 \textit {\_Z}^{4}+24 \textit {\_Z}^{2}+1\right ) x +381 \sqrt {x^{4}+x^{3}-x^{2}-x +1}+85 \RootOf \left (208 \textit {\_Z}^{4}+24 \textit {\_Z}^{2}+1\right )}{\left (52 x \RootOf \left (208 \textit {\_Z}^{4}+24 \textit {\_Z}^{2}+1\right )^{2}+3 x -2\right )^{2}}\right )}{2}+\frac {\ln \left (-\frac {-x^{2}+2 \sqrt {x^{4}+x^{3}-x^{2}-x +1}-2 x +1}{\left (-1+x \right ) \left (1+x \right )}\right )}{2}\)	\(620\)
default	\(\text {Expression too large to display}\)	\(95423\)
elliptic	\(\text {Expression too large to display}\)	\(1418170\)

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int((x^4+1)/(x^4-1)/(x^4+x^3-x^2-x+1)^(1/2),x,method=_RETURNVERBOSE)

[Out]

1/52*RootOf(_Z^2+676*RootOf(208*_Z^4+24*_Z^2+1)^2+78)*ln((-9984*RootOf(_Z^2+676*RootOf(208*_Z^4+24*_Z^2+1)^2+7
8)*RootOf(208*_Z^4+24*_Z^2+1)^4*x+1088*RootOf(208*_Z^4+24*_Z^2+1)^2*RootOf(_Z^2+676*RootOf(208*_Z^4+24*_Z^2+1)
^2+78)*x^2-1028*RootOf(208*_Z^4+24*_Z^2+1)^2*RootOf(_Z^2+676*RootOf(208*_Z^4+24*_Z^2+1)^2+78)*x+7280*(x^4+x^3-
x^2-x+1)^(1/2)*RootOf(208*_Z^4+24*_Z^2+1)^2-1088*RootOf(208*_Z^4+24*_Z^2+1)^2*RootOf(_Z^2+676*RootOf(208*_Z^4+
24*_Z^2+1)^2+78)+119*RootOf(_Z^2+676*RootOf(208*_Z^4+24*_Z^2+1)^2+78)*x^2+7*RootOf(_Z^2+676*RootOf(208*_Z^4+24
*_Z^2+1)^2+78)*x+78*(x^4+x^3-x^2-x+1)^(1/2)-119*RootOf(_Z^2+676*RootOf(208*_Z^4+24*_Z^2+1)^2+78))/(52*x*RootOf
(208*_Z^4+24*_Z^2+1)^2+3*x+2)^2)-1/2*RootOf(208*_Z^4+24*_Z^2+1)*ln(-(-129792*RootOf(208*_Z^4+24*_Z^2+1)^5*x-14
144*RootOf(208*_Z^4+24*_Z^2+1)^3*x^2-16588*RootOf(208*_Z^4+24*_Z^2+1)^3*x+3640*(x^4+x^3-x^2-x+1)^(1/2)*RootOf(
208*_Z^4+24*_Z^2+1)^2+14144*RootOf(208*_Z^4+24*_Z^2+1)^3-85*RootOf(208*_Z^4+24*_Z^2+1)*x^2-95*RootOf(208*_Z^4+
24*_Z^2+1)*x+381*(x^4+x^3-x^2-x+1)^(1/2)+85*RootOf(208*_Z^4+24*_Z^2+1))/(52*x*RootOf(208*_Z^4+24*_Z^2+1)^2+3*x
-2)^2)+1/2*ln(-(-x^2+2*(x^4+x^3-x^2-x+1)^(1/2)-2*x+1)/(-1+x)/(1+x))

________________________________________________________________________________________

maxima [F]  time = 0.00, size = 0, normalized size = 0.00 \begin {gather*} \int \frac {x^{4} + 1}{\sqrt {x^{4} + x^{3} - x^{2} - x + 1} {\left (x^{4} - 1\right )}}\,{d x} \end {gather*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((x^4+1)/(x^4-1)/(x^4+x^3-x^2-x+1)^(1/2),x, algorithm="maxima")

[Out]

integrate((x^4 + 1)/(sqrt(x^4 + x^3 - x^2 - x + 1)*(x^4 - 1)), x)

________________________________________________________________________________________

mupad [F]  time = 0.00, size = -1, normalized size = -0.01 \begin {gather*} \int \frac {x^4+1}{\left (x^4-1\right )\,\sqrt {x^4+x^3-x^2-x+1}} \,d x \end {gather*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int((x^4 + 1)/((x^4 - 1)*(x^3 - x^2 - x + x^4 + 1)^(1/2)),x)

[Out]

int((x^4 + 1)/((x^4 - 1)*(x^3 - x^2 - x + x^4 + 1)^(1/2)), x)

________________________________________________________________________________________

sympy [F]  time = 0.00, size = 0, normalized size = 0.00 \begin {gather*} \int \frac {x^{4} + 1}{\left (x - 1\right ) \left (x + 1\right ) \left (x^{2} + 1\right ) \sqrt {x^{4} + x^{3} - x^{2} - x + 1}}\, dx \end {gather*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((x**4+1)/(x**4-1)/(x**4+x**3-x**2-x+1)**(1/2),x)

[Out]

Integral((x**4 + 1)/((x - 1)*(x + 1)*(x**2 + 1)*sqrt(x**4 + x**3 - x**2 - x + 1)), x)

________________________________________________________________________________________