[next] [prev] [prev-tail] [tail] [up]

3.24.16 \(\int \frac {-1+x^3}{(1+x^3) \sqrt {a+b x+c x^2+b x^3+a x^4}} \, dx\)

Optimal. Leaf size=179 \[ \frac {4 \tan ^{-1}\left (\frac {x \sqrt {a-b-c}}{-\sqrt {a x^4+a+b x^3+b x+c x^2}+\sqrt {a} x^2-\sqrt {a} x+\sqrt {a}}\right )}{3 \sqrt {a-b-c}}-\frac {2 \sqrt {-2 a+2 b-c} \tan ^{-1}\left (\frac {x \sqrt {-2 a+2 b-c}}{-\sqrt {a x^4+a+b x^3+b x+c x^2}+\sqrt {a} x^2+2 \sqrt {a} x+\sqrt {a}}\right )}{3 (2 a-2 b+c)} \]

________________________________________________________________________________________

Rubi [F]  time = 1.52, antiderivative size = 0, normalized size of antiderivative = 0.00, number of steps used = 0, number of rules used = 0, integrand size = 0, \(\frac {\text {number of rules}}{\text {integrand size}}\) = 0.000, Rules used = {} \begin {gather*} \int \frac {-1+x^3}{\left (1+x^3\right ) \sqrt {a+b x+c x^2+b x^3+a x^4}} \, dx \end {gather*}

Verification is not applicable to the result.

[In]

Int[(-1 + x^3)/((1 + x^3)*Sqrt[a + b*x + c*x^2 + b*x^3 + a*x^4]),x]

[Out]

Defer[Int][1/Sqrt[a + b*x + c*x^2 + b*x^3 + a*x^4], x] - (2*Defer[Int][1/((1 + x)*Sqrt[a + b*x + c*x^2 + b*x^3
 + a*x^4]), x])/3 + (2*(1 + I*Sqrt[3])*Defer[Int][1/((-1 - I*Sqrt[3] + 2*x)*Sqrt[a + b*x + c*x^2 + b*x^3 + a*x
^4]), x])/3 + (2*(1 - I*Sqrt[3])*Defer[Int][1/((-1 + I*Sqrt[3] + 2*x)*Sqrt[a + b*x + c*x^2 + b*x^3 + a*x^4]),
x])/3

Rubi steps

\begin {align*} \int \frac {-1+x^3}{\left (1+x^3\right ) \sqrt {a+b x+c x^2+b x^3+a x^4}} \, dx &=\int \left (\frac {1}{\sqrt {a+b x+c x^2+b x^3+a x^4}}-\frac {2}{\left (1+x^3\right ) \sqrt {a+b x+c x^2+b x^3+a x^4}}\right ) \, dx\\ &=-\left (2 \int \frac {1}{\left (1+x^3\right ) \sqrt {a+b x+c x^2+b x^3+a x^4}} \, dx\right )+\int \frac {1}{\sqrt {a+b x+c x^2+b x^3+a x^4}} \, dx\\ &=-\left (2 \int \left (\frac {1}{3 (1+x) \sqrt {a+b x+c x^2+b x^3+a x^4}}+\frac {2-x}{3 \left (1-x+x^2\right ) \sqrt {a+b x+c x^2+b x^3+a x^4}}\right ) \, dx\right )+\int \frac {1}{\sqrt {a+b x+c x^2+b x^3+a x^4}} \, dx\\ &=-\left (\frac {2}{3} \int \frac {1}{(1+x) \sqrt {a+b x+c x^2+b x^3+a x^4}} \, dx\right )-\frac {2}{3} \int \frac {2-x}{\left (1-x+x^2\right ) \sqrt {a+b x+c x^2+b x^3+a x^4}} \, dx+\int \frac {1}{\sqrt {a+b x+c x^2+b x^3+a x^4}} \, dx\\ &=-\left (\frac {2}{3} \int \frac {1}{(1+x) \sqrt {a+b x+c x^2+b x^3+a x^4}} \, dx\right )-\frac {2}{3} \int \left (\frac {-1-i \sqrt {3}}{\left (-1-i \sqrt {3}+2 x\right ) \sqrt {a+b x+c x^2+b x^3+a x^4}}+\frac {-1+i \sqrt {3}}{\left (-1+i \sqrt {3}+2 x\right ) \sqrt {a+b x+c x^2+b x^3+a x^4}}\right ) \, dx+\int \frac {1}{\sqrt {a+b x+c x^2+b x^3+a x^4}} \, dx\\ &=-\left (\frac {2}{3} \int \frac {1}{(1+x) \sqrt {a+b x+c x^2+b x^3+a x^4}} \, dx\right )+\frac {1}{3} \left (2 \left (1-i \sqrt {3}\right )\right ) \int \frac {1}{\left (-1+i \sqrt {3}+2 x\right ) \sqrt {a+b x+c x^2+b x^3+a x^4}} \, dx+\frac {1}{3} \left (2 \left (1+i \sqrt {3}\right )\right ) \int \frac {1}{\left (-1-i \sqrt {3}+2 x\right ) \sqrt {a+b x+c x^2+b x^3+a x^4}} \, dx+\int \frac {1}{\sqrt {a+b x+c x^2+b x^3+a x^4}} \, dx\\ \end {align*}

________________________________________________________________________________________

Mathematica [C]  time = 3.44, size = 4912, normalized size = 27.44 \begin {gather*} \text {Result too large to show} \end {gather*}

Warning: Unable to verify antiderivative.

[In]

Integrate[(-1 + x^3)/((1 + x^3)*Sqrt[a + b*x + c*x^2 + b*x^3 + a*x^4]),x]

[Out]

(2*(x - Root[a + b*#1 + c*#1^2 + b*#1^3 + a*#1^4 & , 2])^2*Sqrt[((Root[a + b*#1 + c*#1^2 + b*#1^3 + a*#1^4 & ,
 1] - Root[a + b*#1 + c*#1^2 + b*#1^3 + a*#1^4 & , 2])*(x - Root[a + b*#1 + c*#1^2 + b*#1^3 + a*#1^4 & , 3]))/
((x - Root[a + b*#1 + c*#1^2 + b*#1^3 + a*#1^4 & , 2])*(Root[a + b*#1 + c*#1^2 + b*#1^3 + a*#1^4 & , 1] - Root
[a + b*#1 + c*#1^2 + b*#1^3 + a*#1^4 & , 3]))]*(Root[a + b*#1 + c*#1^2 + b*#1^3 + a*#1^4 & , 1] - Root[a + b*#
1 + c*#1^2 + b*#1^3 + a*#1^4 & , 4])*Sqrt[((x - Root[a + b*#1 + c*#1^2 + b*#1^3 + a*#1^4 & , 1])*(Root[a + b*#
1 + c*#1^2 + b*#1^3 + a*#1^4 & , 1] - Root[a + b*#1 + c*#1^2 + b*#1^3 + a*#1^4 & , 2])*(x - Root[a + b*#1 + c*
#1^2 + b*#1^3 + a*#1^4 & , 4])*(Root[a + b*#1 + c*#1^2 + b*#1^3 + a*#1^4 & , 2] - Root[a + b*#1 + c*#1^2 + b*#
1^3 + a*#1^4 & , 4]))/((x - Root[a + b*#1 + c*#1^2 + b*#1^3 + a*#1^4 & , 2])^2*(Root[a + b*#1 + c*#1^2 + b*#1^
3 + a*#1^4 & , 1] - Root[a + b*#1 + c*#1^2 + b*#1^3 + a*#1^4 & , 4])^2)]*((2*(-1)^(2/3)*(EllipticF[ArcSin[Sqrt
[((x - Root[a + b*#1 + c*#1^2 + b*#1^3 + a*#1^4 & , 1])*(Root[a + b*#1 + c*#1^2 + b*#1^3 + a*#1^4 & , 2] - Roo
t[a + b*#1 + c*#1^2 + b*#1^3 + a*#1^4 & , 4]))/((x - Root[a + b*#1 + c*#1^2 + b*#1^3 + a*#1^4 & , 2])*(Root[a
+ b*#1 + c*#1^2 + b*#1^3 + a*#1^4 & , 1] - Root[a + b*#1 + c*#1^2 + b*#1^3 + a*#1^4 & , 4]))]], -(((Root[a + b
*#1 + c*#1^2 + b*#1^3 + a*#1^4 & , 2] - Root[a + b*#1 + c*#1^2 + b*#1^3 + a*#1^4 & , 3])*(Root[a + b*#1 + c*#1
^2 + b*#1^3 + a*#1^4 & , 1] - Root[a + b*#1 + c*#1^2 + b*#1^3 + a*#1^4 & , 4]))/((-Root[a + b*#1 + c*#1^2 + b*
#1^3 + a*#1^4 & , 1] + Root[a + b*#1 + c*#1^2 + b*#1^3 + a*#1^4 & , 3])*(Root[a + b*#1 + c*#1^2 + b*#1^3 + a*#
1^4 & , 2] - Root[a + b*#1 + c*#1^2 + b*#1^3 + a*#1^4 & , 4])))]*((-1)^(1/3) - Root[a + b*#1 + c*#1^2 + b*#1^3
 + a*#1^4 & , 1]) + EllipticPi[(((-1)^(1/3) - Root[a + b*#1 + c*#1^2 + b*#1^3 + a*#1^4 & , 2])*(Root[a + b*#1
+ c*#1^2 + b*#1^3 + a*#1^4 & , 1] - Root[a + b*#1 + c*#1^2 + b*#1^3 + a*#1^4 & , 4]))/(((-1)^(1/3) - Root[a +
b*#1 + c*#1^2 + b*#1^3 + a*#1^4 & , 1])*(Root[a + b*#1 + c*#1^2 + b*#1^3 + a*#1^4 & , 2] - Root[a + b*#1 + c*#
1^2 + b*#1^3 + a*#1^4 & , 4])), ArcSin[Sqrt[((x - Root[a + b*#1 + c*#1^2 + b*#1^3 + a*#1^4 & , 1])*(Root[a + b
*#1 + c*#1^2 + b*#1^3 + a*#1^4 & , 2] - Root[a + b*#1 + c*#1^2 + b*#1^3 + a*#1^4 & , 4]))/((x - Root[a + b*#1
+ c*#1^2 + b*#1^3 + a*#1^4 & , 2])*(Root[a + b*#1 + c*#1^2 + b*#1^3 + a*#1^4 & , 1] - Root[a + b*#1 + c*#1^2 +
 b*#1^3 + a*#1^4 & , 4]))]], -(((Root[a + b*#1 + c*#1^2 + b*#1^3 + a*#1^4 & , 2] - Root[a + b*#1 + c*#1^2 + b*
#1^3 + a*#1^4 & , 3])*(Root[a + b*#1 + c*#1^2 + b*#1^3 + a*#1^4 & , 1] - Root[a + b*#1 + c*#1^2 + b*#1^3 + a*#
1^4 & , 4]))/((-Root[a + b*#1 + c*#1^2 + b*#1^3 + a*#1^4 & , 1] + Root[a + b*#1 + c*#1^2 + b*#1^3 + a*#1^4 & ,
 3])*(Root[a + b*#1 + c*#1^2 + b*#1^3 + a*#1^4 & , 2] - Root[a + b*#1 + c*#1^2 + b*#1^3 + a*#1^4 & , 4])))]*(R
oot[a + b*#1 + c*#1^2 + b*#1^3 + a*#1^4 & , 1] - Root[a + b*#1 + c*#1^2 + b*#1^3 + a*#1^4 & , 2])))/((1 + (-1)
^(1/3))^2*((-1)^(1/3) - Root[a + b*#1 + c*#1^2 + b*#1^3 + a*#1^4 & , 1])*((-1)^(1/3) - Root[a + b*#1 + c*#1^2
+ b*#1^3 + a*#1^4 & , 2])*(Root[a + b*#1 + c*#1^2 + b*#1^3 + a*#1^4 & , 2] - Root[a + b*#1 + c*#1^2 + b*#1^3 +
 a*#1^4 & , 4])) - (2*(EllipticF[ArcSin[Sqrt[((x - Root[a + b*#1 + c*#1^2 + b*#1^3 + a*#1^4 & , 1])*(Root[a +
b*#1 + c*#1^2 + b*#1^3 + a*#1^4 & , 2] - Root[a + b*#1 + c*#1^2 + b*#1^3 + a*#1^4 & , 4]))/((x - Root[a + b*#1
 + c*#1^2 + b*#1^3 + a*#1^4 & , 2])*(Root[a + b*#1 + c*#1^2 + b*#1^3 + a*#1^4 & , 1] - Root[a + b*#1 + c*#1^2
+ b*#1^3 + a*#1^4 & , 4]))]], -(((Root[a + b*#1 + c*#1^2 + b*#1^3 + a*#1^4 & , 2] - Root[a + b*#1 + c*#1^2 + b
*#1^3 + a*#1^4 & , 3])*(Root[a + b*#1 + c*#1^2 + b*#1^3 + a*#1^4 & , 1] - Root[a + b*#1 + c*#1^2 + b*#1^3 + a*
#1^4 & , 4]))/((-Root[a + b*#1 + c*#1^2 + b*#1^3 + a*#1^4 & , 1] + Root[a + b*#1 + c*#1^2 + b*#1^3 + a*#1^4 &
, 3])*(Root[a + b*#1 + c*#1^2 + b*#1^3 + a*#1^4 & , 2] - Root[a + b*#1 + c*#1^2 + b*#1^3 + a*#1^4 & , 4])))]*(
1 + Root[a + b*#1 + c*#1^2 + b*#1^3 + a*#1^4 & , 1]) + EllipticPi[((1 + Root[a + b*#1 + c*#1^2 + b*#1^3 + a*#1
^4 & , 2])*(Root[a + b*#1 + c*#1^2 + b*#1^3 + a*#1^4 & , 1] - Root[a + b*#1 + c*#1^2 + b*#1^3 + a*#1^4 & , 4])
)/((1 + Root[a + b*#1 + c*#1^2 + b*#1^3 + a*#1^4 & , 1])*(Root[a + b*#1 + c*#1^2 + b*#1^3 + a*#1^4 & , 2] - Ro
ot[a + b*#1 + c*#1^2 + b*#1^3 + a*#1^4 & , 4])), ArcSin[Sqrt[((x - Root[a + b*#1 + c*#1^2 + b*#1^3 + a*#1^4 &
, 1])*(Root[a + b*#1 + c*#1^2 + b*#1^3 + a*#1^4 & , 2] - Root[a + b*#1 + c*#1^2 + b*#1^3 + a*#1^4 & , 4]))/((x
 - Root[a + b*#1 + c*#1^2 + b*#1^3 + a*#1^4 & , 2])*(Root[a + b*#1 + c*#1^2 + b*#1^3 + a*#1^4 & , 1] - Root[a
+ b*#1 + c*#1^2 + b*#1^3 + a*#1^4 & , 4]))]], -(((Root[a + b*#1 + c*#1^2 + b*#1^3 + a*#1^4 & , 2] - Root[a + b
*#1 + c*#1^2 + b*#1^3 + a*#1^4 & , 3])*(Root[a + b*#1 + c*#1^2 + b*#1^3 + a*#1^4 & , 1] - Root[a + b*#1 + c*#1
^2 + b*#1^3 + a*#1^4 & , 4]))/((-Root[a + b*#1 + c*#1^2 + b*#1^3 + a*#1^4 & , 1] + Root[a + b*#1 + c*#1^2 + b*
#1^3 + a*#1^4 & , 3])*(Root[a + b*#1 + c*#1^2 + b*#1^3 + a*#1^4 & , 2] - Root[a + b*#1 + c*#1^2 + b*#1^3 + a*#
1^4 & , 4])))]*(-Root[a + b*#1 + c*#1^2 + b*#1^3 + a*#1^4 & , 1] + Root[a + b*#1 + c*#1^2 + b*#1^3 + a*#1^4 &
, 2])))/((-1 + (-1)^(1/3))*(1 + (-1)^(1/3))^2*(1 + Root[a + b*#1 + c*#1^2 + b*#1^3 + a*#1^4 & , 1])*(1 + Root[
a + b*#1 + c*#1^2 + b*#1^3 + a*#1^4 & , 2])*(Root[a + b*#1 + c*#1^2 + b*#1^3 + a*#1^4 & , 2] - Root[a + b*#1 +
 c*#1^2 + b*#1^3 + a*#1^4 & , 4])) - (2*(-1)^(2/3)*(EllipticF[ArcSin[Sqrt[((x - Root[a + b*#1 + c*#1^2 + b*#1^
3 + a*#1^4 & , 1])*(Root[a + b*#1 + c*#1^2 + b*#1^3 + a*#1^4 & , 2] - Root[a + b*#1 + c*#1^2 + b*#1^3 + a*#1^4
 & , 4]))/((x - Root[a + b*#1 + c*#1^2 + b*#1^3 + a*#1^4 & , 2])*(Root[a + b*#1 + c*#1^2 + b*#1^3 + a*#1^4 & ,
 1] - Root[a + b*#1 + c*#1^2 + b*#1^3 + a*#1^4 & , 4]))]], -(((Root[a + b*#1 + c*#1^2 + b*#1^3 + a*#1^4 & , 2]
 - Root[a + b*#1 + c*#1^2 + b*#1^3 + a*#1^4 & , 3])*(Root[a + b*#1 + c*#1^2 + b*#1^3 + a*#1^4 & , 1] - Root[a
+ b*#1 + c*#1^2 + b*#1^3 + a*#1^4 & , 4]))/((-Root[a + b*#1 + c*#1^2 + b*#1^3 + a*#1^4 & , 1] + Root[a + b*#1
+ c*#1^2 + b*#1^3 + a*#1^4 & , 3])*(Root[a + b*#1 + c*#1^2 + b*#1^3 + a*#1^4 & , 2] - Root[a + b*#1 + c*#1^2 +
 b*#1^3 + a*#1^4 & , 4])))]*((-1)^(2/3) + Root[a + b*#1 + c*#1^2 + b*#1^3 + a*#1^4 & , 1]) + EllipticPi[(((-1)
^(2/3) + Root[a + b*#1 + c*#1^2 + b*#1^3 + a*#1^4 & , 2])*(Root[a + b*#1 + c*#1^2 + b*#1^3 + a*#1^4 & , 1] - R
oot[a + b*#1 + c*#1^2 + b*#1^3 + a*#1^4 & , 4]))/(((-1)^(2/3) + Root[a + b*#1 + c*#1^2 + b*#1^3 + a*#1^4 & , 1
])*(Root[a + b*#1 + c*#1^2 + b*#1^3 + a*#1^4 & , 2] - Root[a + b*#1 + c*#1^2 + b*#1^3 + a*#1^4 & , 4])), ArcSi
n[Sqrt[((x - Root[a + b*#1 + c*#1^2 + b*#1^3 + a*#1^4 & , 1])*(Root[a + b*#1 + c*#1^2 + b*#1^3 + a*#1^4 & , 2]
 - Root[a + b*#1 + c*#1^2 + b*#1^3 + a*#1^4 & , 4]))/((x - Root[a + b*#1 + c*#1^2 + b*#1^3 + a*#1^4 & , 2])*(R
oot[a + b*#1 + c*#1^2 + b*#1^3 + a*#1^4 & , 1] - Root[a + b*#1 + c*#1^2 + b*#1^3 + a*#1^4 & , 4]))]], -(((Root
[a + b*#1 + c*#1^2 + b*#1^3 + a*#1^4 & , 2] - Root[a + b*#1 + c*#1^2 + b*#1^3 + a*#1^4 & , 3])*(Root[a + b*#1
+ c*#1^2 + b*#1^3 + a*#1^4 & , 1] - Root[a + b*#1 + c*#1^2 + b*#1^3 + a*#1^4 & , 4]))/((-Root[a + b*#1 + c*#1^
2 + b*#1^3 + a*#1^4 & , 1] + Root[a + b*#1 + c*#1^2 + b*#1^3 + a*#1^4 & , 3])*(Root[a + b*#1 + c*#1^2 + b*#1^3
 + a*#1^4 & , 2] - Root[a + b*#1 + c*#1^2 + b*#1^3 + a*#1^4 & , 4])))]*(-Root[a + b*#1 + c*#1^2 + b*#1^3 + a*#
1^4 & , 1] + Root[a + b*#1 + c*#1^2 + b*#1^3 + a*#1^4 & , 2])))/((-1 + (-1)^(1/3))*(1 + (-1)^(1/3))^2*((-1)^(2
/3) + Root[a + b*#1 + c*#1^2 + b*#1^3 + a*#1^4 & , 1])*((-1)^(2/3) + Root[a + b*#1 + c*#1^2 + b*#1^3 + a*#1^4
& , 2])*(Root[a + b*#1 + c*#1^2 + b*#1^3 + a*#1^4 & , 2] - Root[a + b*#1 + c*#1^2 + b*#1^3 + a*#1^4 & , 4])) +
 EllipticF[ArcSin[Sqrt[((x - Root[a + b*#1 + c*#1^2 + b*#1^3 + a*#1^4 & , 1])*(Root[a + b*#1 + c*#1^2 + b*#1^3
 + a*#1^4 & , 2] - Root[a + b*#1 + c*#1^2 + b*#1^3 + a*#1^4 & , 4]))/((x - Root[a + b*#1 + c*#1^2 + b*#1^3 + a
*#1^4 & , 2])*(Root[a + b*#1 + c*#1^2 + b*#1^3 + a*#1^4 & , 1] - Root[a + b*#1 + c*#1^2 + b*#1^3 + a*#1^4 & ,
4]))]], ((Root[a + b*#1 + c*#1^2 + b*#1^3 + a*#1^4 & , 2] - Root[a + b*#1 + c*#1^2 + b*#1^3 + a*#1^4 & , 3])*(
Root[a + b*#1 + c*#1^2 + b*#1^3 + a*#1^4 & , 1] - Root[a + b*#1 + c*#1^2 + b*#1^3 + a*#1^4 & , 4]))/((Root[a +
 b*#1 + c*#1^2 + b*#1^3 + a*#1^4 & , 1] - Root[a + b*#1 + c*#1^2 + b*#1^3 + a*#1^4 & , 3])*(Root[a + b*#1 + c*
#1^2 + b*#1^3 + a*#1^4 & , 2] - Root[a + b*#1 + c*#1^2 + b*#1^3 + a*#1^4 & , 4]))]/(-Root[a + b*#1 + c*#1^2 +
b*#1^3 + a*#1^4 & , 2] + Root[a + b*#1 + c*#1^2 + b*#1^3 + a*#1^4 & , 4])))/(Sqrt[x*(b + c*x + b*x^2) + a*(1 +
 x^4)]*(-Root[a + b*#1 + c*#1^2 + b*#1^3 + a*#1^4 & , 1] + Root[a + b*#1 + c*#1^2 + b*#1^3 + a*#1^4 & , 2]))

________________________________________________________________________________________

IntegrateAlgebraic [A]  time = 1.28, size = 179, normalized size = 1.00 \begin {gather*} \frac {4 \tan ^{-1}\left (\frac {\sqrt {a-b-c} x}{\sqrt {a}-\sqrt {a} x+\sqrt {a} x^2-\sqrt {a+b x+c x^2+b x^3+a x^4}}\right )}{3 \sqrt {a-b-c}}-\frac {2 \sqrt {-2 a+2 b-c} \tan ^{-1}\left (\frac {\sqrt {-2 a+2 b-c} x}{\sqrt {a}+2 \sqrt {a} x+\sqrt {a} x^2-\sqrt {a+b x+c x^2+b x^3+a x^4}}\right )}{3 (2 a-2 b+c)} \end {gather*}

Antiderivative was successfully verified.

[In]

IntegrateAlgebraic[(-1 + x^3)/((1 + x^3)*Sqrt[a + b*x + c*x^2 + b*x^3 + a*x^4]),x]

[Out]

(4*ArcTan[(Sqrt[a - b - c]*x)/(Sqrt[a] - Sqrt[a]*x + Sqrt[a]*x^2 - Sqrt[a + b*x + c*x^2 + b*x^3 + a*x^4])])/(3
*Sqrt[a - b - c]) - (2*Sqrt[-2*a + 2*b - c]*ArcTan[(Sqrt[-2*a + 2*b - c]*x)/(Sqrt[a] + 2*Sqrt[a]*x + Sqrt[a]*x
^2 - Sqrt[a + b*x + c*x^2 + b*x^3 + a*x^4])])/(3*(2*a - 2*b + c))

________________________________________________________________________________________

fricas [A]  time = 3.35, size = 1508, normalized size = 8.42

result too large to display

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((x^3-1)/(x^3+1)/(a*x^4+b*x^3+c*x^2+b*x+a)^(1/2),x, algorithm="fricas")

[Out]

[1/6*(sqrt(2*a - 2*b + c)*(a - b - c)*log(((24*a^2 - 16*a*b + b^2 + 4*a*c)*x^4 + 4*(8*a^2 + 4*a*b - 3*b^2 - 2*
(2*a - b)*c)*x^3 + 2*(24*a^2 + 3*b^2 - 4*(a + 2*b)*c + 4*c^2)*x^2 + 4*sqrt(a*x^4 + b*x^3 + c*x^2 + b*x + a)*((
4*a - b)*x^2 + 2*(2*a + b - c)*x + 4*a - b)*sqrt(2*a - 2*b + c) + 24*a^2 - 16*a*b + b^2 + 4*a*c + 4*(8*a^2 + 4
*a*b - 3*b^2 - 2*(2*a - b)*c)*x)/(x^4 + 4*x^3 + 6*x^2 + 4*x + 1)) - 2*(2*a - 2*b + c)*sqrt(-a + b + c)*log(((8
*a*b + b^2 + 4*a*c)*x^4 - 2*(8*a^2 + 4*a*b - 3*b^2 - 4*(a + b)*c)*x^3 + (24*a^2 + 3*b^2 - 4*(5*a - 2*b)*c + 8*
c^2)*x^2 - 4*sqrt(a*x^4 + b*x^3 + c*x^2 + b*x + a)*((2*a + b)*x^2 - (4*a - b - 2*c)*x + 2*a + b)*sqrt(-a + b +
 c) + 8*a*b + b^2 + 4*a*c - 2*(8*a^2 + 4*a*b - 3*b^2 - 4*(a + b)*c)*x)/(x^4 - 2*x^3 + 3*x^2 - 2*x + 1)))/(2*a^
2 - 4*a*b + 2*b^2 - (a - b)*c - c^2), -1/6*(4*(2*a - 2*b + c)*sqrt(a - b - c)*arctan(2*sqrt(a*x^4 + b*x^3 + c*
x^2 + b*x + a)*sqrt(a - b - c)/((2*a + b)*x^2 - (4*a - b - 2*c)*x + 2*a + b)) - sqrt(2*a - 2*b + c)*(a - b - c
)*log(((24*a^2 - 16*a*b + b^2 + 4*a*c)*x^4 + 4*(8*a^2 + 4*a*b - 3*b^2 - 2*(2*a - b)*c)*x^3 + 2*(24*a^2 + 3*b^2
 - 4*(a + 2*b)*c + 4*c^2)*x^2 + 4*sqrt(a*x^4 + b*x^3 + c*x^2 + b*x + a)*((4*a - b)*x^2 + 2*(2*a + b - c)*x + 4
*a - b)*sqrt(2*a - 2*b + c) + 24*a^2 - 16*a*b + b^2 + 4*a*c + 4*(8*a^2 + 4*a*b - 3*b^2 - 2*(2*a - b)*c)*x)/(x^
4 + 4*x^3 + 6*x^2 + 4*x + 1)))/(2*a^2 - 4*a*b + 2*b^2 - (a - b)*c - c^2), 1/3*((a - b - c)*sqrt(-2*a + 2*b - c
)*arctan(-1/2*sqrt(a*x^4 + b*x^3 + c*x^2 + b*x + a)*((4*a - b)*x^2 + 2*(2*a + b - c)*x + 4*a - b)*sqrt(-2*a +
2*b - c)/((2*a^2 - 2*a*b + a*c)*x^4 + (2*a*b - 2*b^2 + b*c)*x^3 + (2*(a - b)*c + c^2)*x^2 + 2*a^2 - 2*a*b + a*
c + (2*a*b - 2*b^2 + b*c)*x)) - (2*a - 2*b + c)*sqrt(-a + b + c)*log(((8*a*b + b^2 + 4*a*c)*x^4 - 2*(8*a^2 + 4
*a*b - 3*b^2 - 4*(a + b)*c)*x^3 + (24*a^2 + 3*b^2 - 4*(5*a - 2*b)*c + 8*c^2)*x^2 - 4*sqrt(a*x^4 + b*x^3 + c*x^
2 + b*x + a)*((2*a + b)*x^2 - (4*a - b - 2*c)*x + 2*a + b)*sqrt(-a + b + c) + 8*a*b + b^2 + 4*a*c - 2*(8*a^2 +
 4*a*b - 3*b^2 - 4*(a + b)*c)*x)/(x^4 - 2*x^3 + 3*x^2 - 2*x + 1)))/(2*a^2 - 4*a*b + 2*b^2 - (a - b)*c - c^2),
1/3*((a - b - c)*sqrt(-2*a + 2*b - c)*arctan(-1/2*sqrt(a*x^4 + b*x^3 + c*x^2 + b*x + a)*((4*a - b)*x^2 + 2*(2*
a + b - c)*x + 4*a - b)*sqrt(-2*a + 2*b - c)/((2*a^2 - 2*a*b + a*c)*x^4 + (2*a*b - 2*b^2 + b*c)*x^3 + (2*(a -
b)*c + c^2)*x^2 + 2*a^2 - 2*a*b + a*c + (2*a*b - 2*b^2 + b*c)*x)) - 2*(2*a - 2*b + c)*sqrt(a - b - c)*arctan(2
*sqrt(a*x^4 + b*x^3 + c*x^2 + b*x + a)*sqrt(a - b - c)/((2*a + b)*x^2 - (4*a - b - 2*c)*x + 2*a + b)))/(2*a^2
- 4*a*b + 2*b^2 - (a - b)*c - c^2)]

________________________________________________________________________________________

giac [F(-1)]  time = 0.00, size = 0, normalized size = 0.00 \begin {gather*} \text {Timed out} \end {gather*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((x^3-1)/(x^3+1)/(a*x^4+b*x^3+c*x^2+b*x+a)^(1/2),x, algorithm="giac")

[Out]

Timed out

________________________________________________________________________________________

maple [F]  time = 0.11, size = 0, normalized size = 0.00 \[\int \frac {x^{3}-1}{\left (x^{3}+1\right ) \sqrt {a \,x^{4}+b \,x^{3}+c \,x^{2}+b x +a}}\, dx\]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int((x^3-1)/(x^3+1)/(a*x^4+b*x^3+c*x^2+b*x+a)^(1/2),x)

[Out]

int((x^3-1)/(x^3+1)/(a*x^4+b*x^3+c*x^2+b*x+a)^(1/2),x)

________________________________________________________________________________________

maxima [F]  time = 0.00, size = 0, normalized size = 0.00 \begin {gather*} \int \frac {x^{3} - 1}{\sqrt {a x^{4} + b x^{3} + c x^{2} + b x + a} {\left (x^{3} + 1\right )}}\,{d x} \end {gather*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((x^3-1)/(x^3+1)/(a*x^4+b*x^3+c*x^2+b*x+a)^(1/2),x, algorithm="maxima")

[Out]

integrate((x^3 - 1)/(sqrt(a*x^4 + b*x^3 + c*x^2 + b*x + a)*(x^3 + 1)), x)

________________________________________________________________________________________

mupad [F]  time = 0.00, size = -1, normalized size = -0.01 \begin {gather*} \int \frac {x^3-1}{\left (x^3+1\right )\,\sqrt {a\,x^4+b\,x^3+c\,x^2+b\,x+a}} \,d x \end {gather*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int((x^3 - 1)/((x^3 + 1)*(a + b*x + a*x^4 + b*x^3 + c*x^2)^(1/2)),x)

[Out]

int((x^3 - 1)/((x^3 + 1)*(a + b*x + a*x^4 + b*x^3 + c*x^2)^(1/2)), x)

________________________________________________________________________________________

sympy [F]  time = 0.00, size = 0, normalized size = 0.00 \begin {gather*} \int \frac {\left (x - 1\right ) \left (x^{2} + x + 1\right )}{\left (x + 1\right ) \left (x^{2} - x + 1\right ) \sqrt {a x^{4} + a + b x^{3} + b x + c x^{2}}}\, dx \end {gather*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((x**3-1)/(x**3+1)/(a*x**4+b*x**3+c*x**2+b*x+a)**(1/2),x)

[Out]

Integral((x - 1)*(x**2 + x + 1)/((x + 1)*(x**2 - x + 1)*sqrt(a*x**4 + a + b*x**3 + b*x + c*x**2)), x)

________________________________________________________________________________________

[next] [prev] [prev-tail] [front] [up]