3.30.40 \(\int \frac {(1+x^2) \sqrt {x^2+\sqrt {1+x^4}}}{\sqrt {1+x^4} (-1+x^2+x^4)} \, dx\)

Optimal. Leaf size=349 \[ -\frac {\text {RootSum}\left [\text {$\#$1}^8-2 \text {$\#$1}^6-6 \text {$\#$1}^4+2 \text {$\#$1}^2+1\& ,\frac {\text {$\#$1}^6 \left (-\log \left (\sqrt {x^4+1}+x^2-1\right )\right )+\text {$\#$1}^6 \log \left (\text {$\#$1} \sqrt {x^4+1}+\text {$\#$1} x^2-\text {$\#$1}+\sqrt {2} \sqrt {\sqrt {x^4+1}+x^2} x\right )-3 \text {$\#$1}^4 \log \left (\sqrt {x^4+1}+x^2-1\right )+3 \text {$\#$1}^4 \log \left (\text {$\#$1} \sqrt {x^4+1}+\text {$\#$1} x^2-\text {$\#$1}+\sqrt {2} \sqrt {\sqrt {x^4+1}+x^2} x\right )-\text {$\#$1}^2 \log \left (\sqrt {x^4+1}+x^2-1\right )+\text {$\#$1}^2 \log \left (\text {$\#$1} \sqrt {x^4+1}+\text {$\#$1} x^2-\text {$\#$1}+\sqrt {2} \sqrt {\sqrt {x^4+1}+x^2} x\right )-\log \left (\text {$\#$1} \sqrt {x^4+1}+\text {$\#$1} x^2-\text {$\#$1}+\sqrt {2} \sqrt {\sqrt {x^4+1}+x^2} x\right )+\log \left (\sqrt {x^4+1}+x^2-1\right )}{2 \text {$\#$1}^7-3 \text {$\#$1}^5-6 \text {$\#$1}^3+\text {$\#$1}}\& \right ]}{2 \sqrt {2}} \]

________________________________________________________________________________________

Rubi [C]  time = 2.69, antiderivative size = 679, normalized size of antiderivative = 1.95, number of steps used = 26, number of rules used = 5, integrand size = 42, \(\frac {\text {number of rules}}{\text {integrand size}}\) = 0.119, Rules used = {6728, 6725, 2133, 725, 206} \begin {gather*} -\frac {i \left (1+\sqrt {5}\right ) \tan ^{-1}\left (\frac {(1+i) \left (\sqrt {2}-i \sqrt {\sqrt {5}-1} x\right )}{\sqrt {2 \left (\sqrt {5}+(-1-2 i)\right )} \sqrt {1+i x^2}}\right )}{4 \sqrt {(-5-5 i) \left (\sqrt {5}+(-2+i)\right )}}+\frac {i \left (1+\sqrt {5}\right ) \tan ^{-1}\left (\frac {(1+i) \left (\sqrt {2}+i \sqrt {\sqrt {5}-1} x\right )}{\sqrt {2 \left (\sqrt {5}+(-1-2 i)\right )} \sqrt {1+i x^2}}\right )}{4 \sqrt {(-5-5 i) \left (\sqrt {5}+(-2+i)\right )}}-\frac {\left (1-\sqrt {5}\right ) \tan ^{-1}\left (\frac {(1+i) \left (\sqrt {2}-\sqrt {1+\sqrt {5}} x\right )}{\sqrt {-2 \sqrt {5}+(-2-4 i)} \sqrt {1+i x^2}}\right )}{4 \sqrt {(-5-5 i) \left (\sqrt {5}+(2-i)\right )}}+\frac {\left (1-\sqrt {5}\right ) \tan ^{-1}\left (\frac {(1+i) \left (\sqrt {1+\sqrt {5}} x+\sqrt {2}\right )}{\sqrt {-2 \sqrt {5}+(-2-4 i)} \sqrt {1+i x^2}}\right )}{4 \sqrt {(-5-5 i) \left (\sqrt {5}+(2-i)\right )}}-\frac {\left (\frac {1}{4}-\frac {i}{4}\right ) \left (1+\sqrt {5}\right ) \tanh ^{-1}\left (\frac {\sqrt {2}-i \sqrt {\sqrt {5}-1} x}{\sqrt {(2+i)-i \sqrt {5}} \sqrt {1-i x^2}}\right )}{\sqrt {(10+10 i) \left (\sqrt {5}+(-2-i)\right )}}+\frac {\left (\frac {1}{4}-\frac {i}{4}\right ) \left (1+\sqrt {5}\right ) \tanh ^{-1}\left (\frac {\sqrt {2}+i \sqrt {\sqrt {5}-1} x}{\sqrt {(2+i)-i \sqrt {5}} \sqrt {1-i x^2}}\right )}{\sqrt {(10+10 i) \left (\sqrt {5}+(-2-i)\right )}}+\frac {\left (\frac {1}{4}+\frac {i}{4}\right ) \left (1-\sqrt {5}\right ) \tanh ^{-1}\left (\frac {\sqrt {2}-\sqrt {1+\sqrt {5}} x}{\sqrt {(2+i)+i \sqrt {5}} \sqrt {1-i x^2}}\right )}{\sqrt {(10+10 i) \left (\sqrt {5}+(2+i)\right )}}-\frac {\left (\frac {1}{4}+\frac {i}{4}\right ) \left (1-\sqrt {5}\right ) \tanh ^{-1}\left (\frac {\sqrt {1+\sqrt {5}} x+\sqrt {2}}{\sqrt {(2+i)+i \sqrt {5}} \sqrt {1-i x^2}}\right )}{\sqrt {(10+10 i) \left (\sqrt {5}+(2+i)\right )}} \end {gather*}

Warning: Unable to verify antiderivative.

[In]

Int[((1 + x^2)*Sqrt[x^2 + Sqrt[1 + x^4]])/(Sqrt[1 + x^4]*(-1 + x^2 + x^4)),x]

[Out]

((-1/4*I)*(1 + Sqrt[5])*ArcTan[((1 + I)*(Sqrt[2] - I*Sqrt[-1 + Sqrt[5]]*x))/(Sqrt[2*((-1 - 2*I) + Sqrt[5])]*Sq
rt[1 + I*x^2])])/Sqrt[(-5 - 5*I)*((-2 + I) + Sqrt[5])] + ((I/4)*(1 + Sqrt[5])*ArcTan[((1 + I)*(Sqrt[2] + I*Sqr
t[-1 + Sqrt[5]]*x))/(Sqrt[2*((-1 - 2*I) + Sqrt[5])]*Sqrt[1 + I*x^2])])/Sqrt[(-5 - 5*I)*((-2 + I) + Sqrt[5])] -
((1 - Sqrt[5])*ArcTan[((1 + I)*(Sqrt[2] - Sqrt[1 + Sqrt[5]]*x))/(Sqrt[(-2 - 4*I) - 2*Sqrt[5]]*Sqrt[1 + I*x^2]
)])/(4*Sqrt[(-5 - 5*I)*((2 - I) + Sqrt[5])]) + ((1 - Sqrt[5])*ArcTan[((1 + I)*(Sqrt[2] + Sqrt[1 + Sqrt[5]]*x))
/(Sqrt[(-2 - 4*I) - 2*Sqrt[5]]*Sqrt[1 + I*x^2])])/(4*Sqrt[(-5 - 5*I)*((2 - I) + Sqrt[5])]) - ((1/4 - I/4)*(1 +
Sqrt[5])*ArcTanh[(Sqrt[2] - I*Sqrt[-1 + Sqrt[5]]*x)/(Sqrt[(2 + I) - I*Sqrt[5]]*Sqrt[1 - I*x^2])])/Sqrt[(10 +
10*I)*((-2 - I) + Sqrt[5])] + ((1/4 - I/4)*(1 + Sqrt[5])*ArcTanh[(Sqrt[2] + I*Sqrt[-1 + Sqrt[5]]*x)/(Sqrt[(2 +
I) - I*Sqrt[5]]*Sqrt[1 - I*x^2])])/Sqrt[(10 + 10*I)*((-2 - I) + Sqrt[5])] + ((1/4 + I/4)*(1 - Sqrt[5])*ArcTan
h[(Sqrt[2] - Sqrt[1 + Sqrt[5]]*x)/(Sqrt[(2 + I) + I*Sqrt[5]]*Sqrt[1 - I*x^2])])/Sqrt[(10 + 10*I)*((2 + I) + Sq
rt[5])] - ((1/4 + I/4)*(1 - Sqrt[5])*ArcTanh[(Sqrt[2] + Sqrt[1 + Sqrt[5]]*x)/(Sqrt[(2 + I) + I*Sqrt[5]]*Sqrt[1
- I*x^2])])/Sqrt[(10 + 10*I)*((2 + I) + Sqrt[5])]

Rule 206

Int[((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(-1), x_Symbol] :> Simp[(1*ArcTanh[(Rt[-b, 2]*x)/Rt[a, 2]])/(Rt[a, 2]*Rt[-b, 2]), x]
/; FreeQ[{a, b}, x] && NegQ[a/b] && (GtQ[a, 0] || LtQ[b, 0])

Rule 725

Int[1/(((d_) + (e_.)*(x_))*Sqrt[(a_) + (c_.)*(x_)^2]), x_Symbol] :> -Subst[Int[1/(c*d^2 + a*e^2 - x^2), x], x,
(a*e - c*d*x)/Sqrt[a + c*x^2]] /; FreeQ[{a, c, d, e}, x]

Rule 2133

Int[(((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.)*Sqrt[(b_.)*(x_)^2 + Sqrt[(a_) + (e_.)*(x_)^4]])/Sqrt[(a_) + (e_.)*(x_)^4], x_S
ymbol] :> Dist[(1 - I)/2, Int[(c + d*x)^m/Sqrt[Sqrt[a] - I*b*x^2], x], x] + Dist[(1 + I)/2, Int[(c + d*x)^m/Sq
rt[Sqrt[a] + I*b*x^2], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, m}, x] && EqQ[e, b^2] && GtQ[a, 0]

Rule 6725

Int[(u_)/((a_) + (b_.)*(x_)^(n_)), x_Symbol] :> With[{v = RationalFunctionExpand[u/(a + b*x^n), x]}, Int[v, x]
/; SumQ[v]] /; FreeQ[{a, b}, x] && IGtQ[n, 0]

Rule 6728

Int[(u_)/((a_.) + (b_.)*(x_)^(n_.) + (c_.)*(x_)^(n2_.)), x_Symbol] :> With[{v = RationalFunctionExpand[u/(a +
b*x^n + c*x^(2*n)), x]}, Int[v, x] /; SumQ[v]] /; FreeQ[{a, b, c}, x] && EqQ[n2, 2*n] && IGtQ[n, 0]

Rubi steps

\begin {align*} \int \frac {\left (1+x^2\right ) \sqrt {x^2+\sqrt {1+x^4}}}{\sqrt {1+x^4} \left (-1+x^2+x^4\right )} \, dx &=\int \left (\frac {\left (1+\frac {1}{\sqrt {5}}\right ) \sqrt {x^2+\sqrt {1+x^4}}}{\left (1-\sqrt {5}+2 x^2\right ) \sqrt {1+x^4}}+\frac {\left (1-\frac {1}{\sqrt {5}}\right ) \sqrt {x^2+\sqrt {1+x^4}}}{\left (1+\sqrt {5}+2 x^2\right ) \sqrt {1+x^4}}\right ) \, dx\\ &=\frac {1}{5} \left (5-\sqrt {5}\right ) \int \frac {\sqrt {x^2+\sqrt {1+x^4}}}{\left (1+\sqrt {5}+2 x^2\right ) \sqrt {1+x^4}} \, dx+\frac {1}{5} \left (5+\sqrt {5}\right ) \int \frac {\sqrt {x^2+\sqrt {1+x^4}}}{\left (1-\sqrt {5}+2 x^2\right ) \sqrt {1+x^4}} \, dx\\ &=\frac {1}{5} \left (5-\sqrt {5}\right ) \int \left (\frac {i \sqrt {x^2+\sqrt {1+x^4}}}{2 \sqrt {1+\sqrt {5}} \left (i \sqrt {1+\sqrt {5}}-\sqrt {2} x\right ) \sqrt {1+x^4}}+\frac {i \sqrt {x^2+\sqrt {1+x^4}}}{2 \sqrt {1+\sqrt {5}} \left (i \sqrt {1+\sqrt {5}}+\sqrt {2} x\right ) \sqrt {1+x^4}}\right ) \, dx+\frac {1}{5} \left (5+\sqrt {5}\right ) \int \left (\frac {\sqrt {-1+\sqrt {5}} \sqrt {x^2+\sqrt {1+x^4}}}{2 \left (1-\sqrt {5}\right ) \left (\sqrt {-1+\sqrt {5}}-\sqrt {2} x\right ) \sqrt {1+x^4}}+\frac {\sqrt {-1+\sqrt {5}} \sqrt {x^2+\sqrt {1+x^4}}}{2 \left (1-\sqrt {5}\right ) \left (\sqrt {-1+\sqrt {5}}+\sqrt {2} x\right ) \sqrt {1+x^4}}\right ) \, dx\\ &=\left (i \sqrt {\frac {1}{10} \left (-2+\sqrt {5}\right )}\right ) \int \frac {\sqrt {x^2+\sqrt {1+x^4}}}{\left (i \sqrt {1+\sqrt {5}}-\sqrt {2} x\right ) \sqrt {1+x^4}} \, dx+\left (i \sqrt {\frac {1}{10} \left (-2+\sqrt {5}\right )}\right ) \int \frac {\sqrt {x^2+\sqrt {1+x^4}}}{\left (i \sqrt {1+\sqrt {5}}+\sqrt {2} x\right ) \sqrt {1+x^4}} \, dx-\sqrt {\frac {1}{10} \left (2+\sqrt {5}\right )} \int \frac {\sqrt {x^2+\sqrt {1+x^4}}}{\left (\sqrt {-1+\sqrt {5}}-\sqrt {2} x\right ) \sqrt {1+x^4}} \, dx-\sqrt {\frac {1}{10} \left (2+\sqrt {5}\right )} \int \frac {\sqrt {x^2+\sqrt {1+x^4}}}{\left (\sqrt {-1+\sqrt {5}}+\sqrt {2} x\right ) \sqrt {1+x^4}} \, dx\\ &=\left (\left (-\frac {1}{2}+\frac {i}{2}\right ) \sqrt {\frac {1}{10} \left (-2+\sqrt {5}\right )}\right ) \int \frac {1}{\left (i \sqrt {1+\sqrt {5}}-\sqrt {2} x\right ) \sqrt {1+i x^2}} \, dx+\left (\left (-\frac {1}{2}+\frac {i}{2}\right ) \sqrt {\frac {1}{10} \left (-2+\sqrt {5}\right )}\right ) \int \frac {1}{\left (i \sqrt {1+\sqrt {5}}+\sqrt {2} x\right ) \sqrt {1+i x^2}} \, dx+\left (\left (\frac {1}{2}+\frac {i}{2}\right ) \sqrt {\frac {1}{10} \left (-2+\sqrt {5}\right )}\right ) \int \frac {1}{\left (i \sqrt {1+\sqrt {5}}-\sqrt {2} x\right ) \sqrt {1-i x^2}} \, dx+\left (\left (\frac {1}{2}+\frac {i}{2}\right ) \sqrt {\frac {1}{10} \left (-2+\sqrt {5}\right )}\right ) \int \frac {1}{\left (i \sqrt {1+\sqrt {5}}+\sqrt {2} x\right ) \sqrt {1-i x^2}} \, dx-\left (\left (\frac {1}{2}-\frac {i}{2}\right ) \sqrt {\frac {1}{10} \left (2+\sqrt {5}\right )}\right ) \int \frac {1}{\left (\sqrt {-1+\sqrt {5}}-\sqrt {2} x\right ) \sqrt {1-i x^2}} \, dx-\left (\left (\frac {1}{2}-\frac {i}{2}\right ) \sqrt {\frac {1}{10} \left (2+\sqrt {5}\right )}\right ) \int \frac {1}{\left (\sqrt {-1+\sqrt {5}}+\sqrt {2} x\right ) \sqrt {1-i x^2}} \, dx-\left (\left (\frac {1}{2}+\frac {i}{2}\right ) \sqrt {\frac {1}{10} \left (2+\sqrt {5}\right )}\right ) \int \frac {1}{\left (\sqrt {-1+\sqrt {5}}-\sqrt {2} x\right ) \sqrt {1+i x^2}} \, dx-\left (\left (\frac {1}{2}+\frac {i}{2}\right ) \sqrt {\frac {1}{10} \left (2+\sqrt {5}\right )}\right ) \int \frac {1}{\left (\sqrt {-1+\sqrt {5}}+\sqrt {2} x\right ) \sqrt {1+i x^2}} \, dx\\ &=\left (\left (-\frac {1}{2}-\frac {i}{2}\right ) \sqrt {\frac {1}{10} \left (-2+\sqrt {5}\right )}\right ) \operatorname {Subst}\left (\int \frac {1}{2-i \left (-1-\sqrt {5}\right )-x^2} \, dx,x,\frac {-\sqrt {2}-\sqrt {1+\sqrt {5}} x}{\sqrt {1-i x^2}}\right )+\left (\left (-\frac {1}{2}-\frac {i}{2}\right ) \sqrt {\frac {1}{10} \left (-2+\sqrt {5}\right )}\right ) \operatorname {Subst}\left (\int \frac {1}{2-i \left (-1-\sqrt {5}\right )-x^2} \, dx,x,\frac {\sqrt {2}-\sqrt {1+\sqrt {5}} x}{\sqrt {1-i x^2}}\right )+\left (\left (\frac {1}{2}-\frac {i}{2}\right ) \sqrt {\frac {1}{10} \left (-2+\sqrt {5}\right )}\right ) \operatorname {Subst}\left (\int \frac {1}{2+i \left (-1-\sqrt {5}\right )-x^2} \, dx,x,\frac {-\sqrt {2}+\sqrt {1+\sqrt {5}} x}{\sqrt {1+i x^2}}\right )+\left (\left (\frac {1}{2}-\frac {i}{2}\right ) \sqrt {\frac {1}{10} \left (-2+\sqrt {5}\right )}\right ) \operatorname {Subst}\left (\int \frac {1}{2+i \left (-1-\sqrt {5}\right )-x^2} \, dx,x,\frac {\sqrt {2}+\sqrt {1+\sqrt {5}} x}{\sqrt {1+i x^2}}\right )-\left (\left (-\frac {1}{2}-\frac {i}{2}\right ) \sqrt {\frac {1}{10} \left (2+\sqrt {5}\right )}\right ) \operatorname {Subst}\left (\int \frac {1}{2+i \left (-1+\sqrt {5}\right )-x^2} \, dx,x,\frac {-\sqrt {2}-i \sqrt {-1+\sqrt {5}} x}{\sqrt {1+i x^2}}\right )-\left (\left (-\frac {1}{2}-\frac {i}{2}\right ) \sqrt {\frac {1}{10} \left (2+\sqrt {5}\right )}\right ) \operatorname {Subst}\left (\int \frac {1}{2+i \left (-1+\sqrt {5}\right )-x^2} \, dx,x,\frac {\sqrt {2}-i \sqrt {-1+\sqrt {5}} x}{\sqrt {1+i x^2}}\right )-\left (\left (-\frac {1}{2}+\frac {i}{2}\right ) \sqrt {\frac {1}{10} \left (2+\sqrt {5}\right )}\right ) \operatorname {Subst}\left (\int \frac {1}{2-i \left (-1+\sqrt {5}\right )-x^2} \, dx,x,\frac {-\sqrt {2}+i \sqrt {-1+\sqrt {5}} x}{\sqrt {1-i x^2}}\right )-\left (\left (-\frac {1}{2}+\frac {i}{2}\right ) \sqrt {\frac {1}{10} \left (2+\sqrt {5}\right )}\right ) \operatorname {Subst}\left (\int \frac {1}{2-i \left (-1+\sqrt {5}\right )-x^2} \, dx,x,\frac {\sqrt {2}+i \sqrt {-1+\sqrt {5}} x}{\sqrt {1-i x^2}}\right )\\ &=-\frac {i \tan ^{-1}\left (\frac {(1+i) \left (\sqrt {2}-i \sqrt {-1+\sqrt {5}} x\right )}{\sqrt {2 \left ((-1-2 i)+\sqrt {5}\right )} \sqrt {1+i x^2}}\right )}{2 \sqrt {5 \left ((7+4 i)-(3+2 i) \sqrt {5}\right )}}+\frac {i \tan ^{-1}\left (\frac {(1+i) \left (\sqrt {2}+i \sqrt {-1+\sqrt {5}} x\right )}{\sqrt {2 \left ((-1-2 i)+\sqrt {5}\right )} \sqrt {1+i x^2}}\right )}{2 \sqrt {5 \left ((7+4 i)-(3+2 i) \sqrt {5}\right )}}+\frac {\tan ^{-1}\left (\frac {(1+i) \left (\sqrt {2}-\sqrt {1+\sqrt {5}} x\right )}{\sqrt {(-2-4 i)-2 \sqrt {5}} \sqrt {1+i x^2}}\right )}{2 \sqrt {5 \left ((-7-4 i)-(3+2 i) \sqrt {5}\right )}}-\frac {\tan ^{-1}\left (\frac {(1+i) \left (\sqrt {2}+\sqrt {1+\sqrt {5}} x\right )}{\sqrt {(-2-4 i)-2 \sqrt {5}} \sqrt {1+i x^2}}\right )}{2 \sqrt {5 \left ((-7-4 i)-(3+2 i) \sqrt {5}\right )}}-\frac {\left (\frac {1}{2}-\frac {i}{2}\right ) \tanh ^{-1}\left (\frac {\sqrt {2}-i \sqrt {-1+\sqrt {5}} x}{\sqrt {(2+i)-i \sqrt {5}} \sqrt {1-i x^2}}\right )}{\sqrt {10 \left ((-4-7 i)+(2+3 i) \sqrt {5}\right )}}+\frac {\left (\frac {1}{2}-\frac {i}{2}\right ) \tanh ^{-1}\left (\frac {\sqrt {2}+i \sqrt {-1+\sqrt {5}} x}{\sqrt {(2+i)-i \sqrt {5}} \sqrt {1-i x^2}}\right )}{\sqrt {10 \left ((-4-7 i)+(2+3 i) \sqrt {5}\right )}}-\frac {\left (\frac {1}{2}+\frac {i}{2}\right ) \tanh ^{-1}\left (\frac {\sqrt {2}-\sqrt {1+\sqrt {5}} x}{\sqrt {(2+i)+i \sqrt {5}} \sqrt {1-i x^2}}\right )}{\sqrt {10 \left ((4+7 i)+(2+3 i) \sqrt {5}\right )}}+\frac {\left (\frac {1}{2}+\frac {i}{2}\right ) \tanh ^{-1}\left (\frac {\sqrt {2}+\sqrt {1+\sqrt {5}} x}{\sqrt {(2+i)+i \sqrt {5}} \sqrt {1-i x^2}}\right )}{\sqrt {10 \left ((4+7 i)+(2+3 i) \sqrt {5}\right )}}\\ \end {align*}

________________________________________________________________________________________

Mathematica [F]  time = 0.75, size = 0, normalized size = 0.00 \begin {gather*} \int \frac {\left (1+x^2\right ) \sqrt {x^2+\sqrt {1+x^4}}}{\sqrt {1+x^4} \left (-1+x^2+x^4\right )} \, dx \end {gather*}

Verification is not applicable to the result.

[In]

Integrate[((1 + x^2)*Sqrt[x^2 + Sqrt[1 + x^4]])/(Sqrt[1 + x^4]*(-1 + x^2 + x^4)),x]

[Out]

Integrate[((1 + x^2)*Sqrt[x^2 + Sqrt[1 + x^4]])/(Sqrt[1 + x^4]*(-1 + x^2 + x^4)), x]

________________________________________________________________________________________

IntegrateAlgebraic [A]  time = 0.61, size = 359, normalized size = 1.03 \begin {gather*} \frac {\text {RootSum}\left [1-2 \text {$\#$1}^2-6 \text {$\#$1}^4+2 \text {$\#$1}^6+\text {$\#$1}^8\&,\frac {\log \left (1+x^2+\sqrt {1+x^4}\right )-\log \left (\sqrt {2} x \sqrt {x^2+\sqrt {1+x^4}}-\text {$\#$1}-x^2 \text {$\#$1}-\sqrt {1+x^4} \text {$\#$1}\right )+3 \log \left (1+x^2+\sqrt {1+x^4}\right ) \text {$\#$1}^2-3 \log \left (\sqrt {2} x \sqrt {x^2+\sqrt {1+x^4}}-\text {$\#$1}-x^2 \text {$\#$1}-\sqrt {1+x^4} \text {$\#$1}\right ) \text {$\#$1}^2+\log \left (1+x^2+\sqrt {1+x^4}\right ) \text {$\#$1}^4-\log \left (\sqrt {2} x \sqrt {x^2+\sqrt {1+x^4}}-\text {$\#$1}-x^2 \text {$\#$1}-\sqrt {1+x^4} \text {$\#$1}\right ) \text {$\#$1}^4-\log \left (1+x^2+\sqrt {1+x^4}\right ) \text {$\#$1}^6+\log \left (\sqrt {2} x \sqrt {x^2+\sqrt {1+x^4}}-\text {$\#$1}-x^2 \text {$\#$1}-\sqrt {1+x^4} \text {$\#$1}\right ) \text {$\#$1}^6}{-\text {$\#$1}-6 \text {$\#$1}^3+3 \text {$\#$1}^5+2 \text {$\#$1}^7}\&\right ]}{2 \sqrt {2}} \end {gather*}

Antiderivative was successfully verified.

[In]

IntegrateAlgebraic[((1 + x^2)*Sqrt[x^2 + Sqrt[1 + x^4]])/(Sqrt[1 + x^4]*(-1 + x^2 + x^4)),x]

[Out]

RootSum[1 - 2*#1^2 - 6*#1^4 + 2*#1^6 + #1^8 & , (Log[1 + x^2 + Sqrt[1 + x^4]] - Log[Sqrt[2]*x*Sqrt[x^2 + Sqrt[
1 + x^4]] - #1 - x^2*#1 - Sqrt[1 + x^4]*#1] + 3*Log[1 + x^2 + Sqrt[1 + x^4]]*#1^2 - 3*Log[Sqrt[2]*x*Sqrt[x^2 +
Sqrt[1 + x^4]] - #1 - x^2*#1 - Sqrt[1 + x^4]*#1]*#1^2 + Log[1 + x^2 + Sqrt[1 + x^4]]*#1^4 - Log[Sqrt[2]*x*Sqr
t[x^2 + Sqrt[1 + x^4]] - #1 - x^2*#1 - Sqrt[1 + x^4]*#1]*#1^4 - Log[1 + x^2 + Sqrt[1 + x^4]]*#1^6 + Log[Sqrt[2
]*x*Sqrt[x^2 + Sqrt[1 + x^4]] - #1 - x^2*#1 - Sqrt[1 + x^4]*#1]*#1^6)/(-#1 - 6*#1^3 + 3*#1^5 + 2*#1^7) & ]/(2*
Sqrt[2])

________________________________________________________________________________________

fricas [B]  time = 25.62, size = 10165, normalized size = 29.13

result too large to display

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((x^2+1)*(x^2+(x^4+1)^(1/2))^(1/2)/(x^4+1)^(1/2)/(x^4+x^2-1),x, algorithm="fricas")

[Out]

-1/2*sqrt(-1/50*sqrt(5) - 1/2*sqrt(-29/1000*sqrt(5) + 13/200) + 1/20)*log(1/5*(111070*x^4 - (370*x^4 - 231*x^2
+ 21*sqrt(x^4 + 1)*(18*x^2 - 11))*(5*sqrt(1/10)*sqrt(29*sqrt(5) + 65) - 2*sqrt(5) - 5)^3 - 20*(370*x^4 - 231*
x^2 + 21*sqrt(x^4 + 1)*(18*x^2 - 11))*(5*sqrt(1/10)*sqrt(29*sqrt(5) + 65) - 2*sqrt(5) - 5)^2 - (501*x^4 - 242*
x^2 + (370*x^4 - 231*x^2 + 21*sqrt(x^4 + 1)*(18*x^2 - 11))*(5*sqrt(1/10)*sqrt(29*sqrt(5) + 65) - 2*sqrt(5) - 5
) + 22*sqrt(x^4 + 1)*(18*x^2 - 11))*(2*sqrt(5) + 50*sqrt(-29/1000*sqrt(5) + 13/200) - 5)^2 - 69215*x^2 + 215*(
370*x^4 - 231*x^2 + 21*sqrt(x^4 + 1)*(18*x^2 - 11))*(5*sqrt(1/10)*sqrt(29*sqrt(5) + 65) - 2*sqrt(5) - 5) - (91
55*x^4 + (370*x^4 - 231*x^2 + 21*sqrt(x^4 + 1)*(18*x^2 - 11))*(5*sqrt(1/10)*sqrt(29*sqrt(5) + 65) - 2*sqrt(5)
- 5)^2 - 5040*x^2 + 20*(370*x^4 - 231*x^2 + 21*sqrt(x^4 + 1)*(18*x^2 - 11))*(5*sqrt(1/10)*sqrt(29*sqrt(5) + 65
) - 2*sqrt(5) - 5) + 5*sqrt(x^4 + 1)*(1433*x^2 - 1008))*(2*sqrt(5) + 50*sqrt(-29/1000*sqrt(5) + 13/200) - 5) +
5210*sqrt(x^4 + 1)*(18*x^2 - 11) + 2*((695*x^5 + 2270*x^3 + (1421*x^5 + 1301*x^3 - sqrt(x^4 + 1)*(1421*x^3 -
872*x) - 1341*x)*(5*sqrt(1/10)*sqrt(29*sqrt(5) + 65) - 2*sqrt(5) - 5) - 5*sqrt(x^4 + 1)*(139*x^3 - 92*x) - 174
5*x)*sqrt(x^2 + sqrt(x^4 + 1))*(2*sqrt(5) + 50*sqrt(-29/1000*sqrt(5) + 13/200) - 5)^2 + (12605*x^5 + 42455*x^3
+ (1421*x^5 + 1301*x^3 - sqrt(x^4 + 1)*(1421*x^3 - 872*x) - 1341*x)*(5*sqrt(1/10)*sqrt(29*sqrt(5) + 65) - 2*s
qrt(5) - 5)^2 + 20*(1421*x^5 + 1301*x^3 - sqrt(x^4 + 1)*(1421*x^3 - 872*x) - 1341*x)*(5*sqrt(1/10)*sqrt(29*sqr
t(5) + 65) - 2*sqrt(5) - 5) - 5*sqrt(x^4 + 1)*(2521*x^3 - 1857*x) - 32505*x)*sqrt(x^2 + sqrt(x^4 + 1))*(2*sqrt
(5) + 50*sqrt(-29/1000*sqrt(5) + 13/200) - 5) - (170000*x^5 - (1421*x^5 + 1301*x^3 - sqrt(x^4 + 1)*(1421*x^3 -
872*x) - 1341*x)*(5*sqrt(1/10)*sqrt(29*sqrt(5) + 65) - 2*sqrt(5) - 5)^3 + 548400*x^3 - 20*(1421*x^5 + 1301*x^
3 - sqrt(x^4 + 1)*(1421*x^3 - 872*x) - 1341*x)*(5*sqrt(1/10)*sqrt(29*sqrt(5) + 65) - 2*sqrt(5) - 5)^2 + 215*(1
421*x^5 + 1301*x^3 - sqrt(x^4 + 1)*(1421*x^3 - 872*x) - 1341*x)*(5*sqrt(1/10)*sqrt(29*sqrt(5) + 65) - 2*sqrt(5
) - 5) - 25*sqrt(x^4 + 1)*(6800*x^3 - 4141*x) - 402425*x)*sqrt(x^2 + sqrt(x^4 + 1)))*sqrt(-1/50*sqrt(5) - 1/2*
sqrt(-29/1000*sqrt(5) + 13/200) + 1/20))/(x^4 + x^2 - 1)) + 1/2*sqrt(-1/50*sqrt(5) - 1/2*sqrt(-29/1000*sqrt(5)
+ 13/200) + 1/20)*log(1/5*(111070*x^4 - (370*x^4 - 231*x^2 + 21*sqrt(x^4 + 1)*(18*x^2 - 11))*(5*sqrt(1/10)*sq
rt(29*sqrt(5) + 65) - 2*sqrt(5) - 5)^3 - 20*(370*x^4 - 231*x^2 + 21*sqrt(x^4 + 1)*(18*x^2 - 11))*(5*sqrt(1/10)
*sqrt(29*sqrt(5) + 65) - 2*sqrt(5) - 5)^2 - (501*x^4 - 242*x^2 + (370*x^4 - 231*x^2 + 21*sqrt(x^4 + 1)*(18*x^2
- 11))*(5*sqrt(1/10)*sqrt(29*sqrt(5) + 65) - 2*sqrt(5) - 5) + 22*sqrt(x^4 + 1)*(18*x^2 - 11))*(2*sqrt(5) + 50
*sqrt(-29/1000*sqrt(5) + 13/200) - 5)^2 - 69215*x^2 + 215*(370*x^4 - 231*x^2 + 21*sqrt(x^4 + 1)*(18*x^2 - 11))
*(5*sqrt(1/10)*sqrt(29*sqrt(5) + 65) - 2*sqrt(5) - 5) - (9155*x^4 + (370*x^4 - 231*x^2 + 21*sqrt(x^4 + 1)*(18*
x^2 - 11))*(5*sqrt(1/10)*sqrt(29*sqrt(5) + 65) - 2*sqrt(5) - 5)^2 - 5040*x^2 + 20*(370*x^4 - 231*x^2 + 21*sqrt
(x^4 + 1)*(18*x^2 - 11))*(5*sqrt(1/10)*sqrt(29*sqrt(5) + 65) - 2*sqrt(5) - 5) + 5*sqrt(x^4 + 1)*(1433*x^2 - 10
08))*(2*sqrt(5) + 50*sqrt(-29/1000*sqrt(5) + 13/200) - 5) + 5210*sqrt(x^4 + 1)*(18*x^2 - 11) - 2*((695*x^5 + 2
270*x^3 + (1421*x^5 + 1301*x^3 - sqrt(x^4 + 1)*(1421*x^3 - 872*x) - 1341*x)*(5*sqrt(1/10)*sqrt(29*sqrt(5) + 65
) - 2*sqrt(5) - 5) - 5*sqrt(x^4 + 1)*(139*x^3 - 92*x) - 1745*x)*sqrt(x^2 + sqrt(x^4 + 1))*(2*sqrt(5) + 50*sqrt
(-29/1000*sqrt(5) + 13/200) - 5)^2 + (12605*x^5 + 42455*x^3 + (1421*x^5 + 1301*x^3 - sqrt(x^4 + 1)*(1421*x^3 -
872*x) - 1341*x)*(5*sqrt(1/10)*sqrt(29*sqrt(5) + 65) - 2*sqrt(5) - 5)^2 + 20*(1421*x^5 + 1301*x^3 - sqrt(x^4
+ 1)*(1421*x^3 - 872*x) - 1341*x)*(5*sqrt(1/10)*sqrt(29*sqrt(5) + 65) - 2*sqrt(5) - 5) - 5*sqrt(x^4 + 1)*(2521
*x^3 - 1857*x) - 32505*x)*sqrt(x^2 + sqrt(x^4 + 1))*(2*sqrt(5) + 50*sqrt(-29/1000*sqrt(5) + 13/200) - 5) - (17
0000*x^5 - (1421*x^5 + 1301*x^3 - sqrt(x^4 + 1)*(1421*x^3 - 872*x) - 1341*x)*(5*sqrt(1/10)*sqrt(29*sqrt(5) + 6
5) - 2*sqrt(5) - 5)^3 + 548400*x^3 - 20*(1421*x^5 + 1301*x^3 - sqrt(x^4 + 1)*(1421*x^3 - 872*x) - 1341*x)*(5*s
qrt(1/10)*sqrt(29*sqrt(5) + 65) - 2*sqrt(5) - 5)^2 + 215*(1421*x^5 + 1301*x^3 - sqrt(x^4 + 1)*(1421*x^3 - 872*
x) - 1341*x)*(5*sqrt(1/10)*sqrt(29*sqrt(5) + 65) - 2*sqrt(5) - 5) - 25*sqrt(x^4 + 1)*(6800*x^3 - 4141*x) - 402
425*x)*sqrt(x^2 + sqrt(x^4 + 1)))*sqrt(-1/50*sqrt(5) - 1/2*sqrt(-29/1000*sqrt(5) + 13/200) + 1/20))/(x^4 + x^2
- 1)) - 1/20*sqrt(sqrt(5)*sqrt(-3/20*(5*sqrt(1/10)*sqrt(29*sqrt(5) + 65) - 2*sqrt(5) - 5)^2 - 1/10*(5*sqrt(1/
10)*sqrt(29*sqrt(5) + 65) - 2*sqrt(5) + 15)*(2*sqrt(5) + 50*sqrt(-29/1000*sqrt(5) + 13/200) - 5) - 3/20*(2*sqr
t(5) + 50*sqrt(-29/1000*sqrt(5) + 13/200) - 5)^2 - 10*sqrt(1/10)*sqrt(29*sqrt(5) + 65) + 4*sqrt(5) + 73) + 5/2
*sqrt(1/10)*sqrt(29*sqrt(5) + 65) + 25*sqrt(-29/1000*sqrt(5) + 13/200) + 5)*log(-1/10*(52950*x^4 - 5*(501*x^4
- 242*x^2 + 22*sqrt(x^4 + 1)*(18*x^2 - 11))*(5*sqrt(1/10)*sqrt(29*sqrt(5) + 65) - 2*sqrt(5) - 5)^2 - 5*(501*x^
4 - 242*x^2 + (370*x^4 - 231*x^2 + 21*sqrt(x^4 + 1)*(18*x^2 - 11))*(5*sqrt(1/10)*sqrt(29*sqrt(5) + 65) - 2*sqr
t(5) - 5) + 22*sqrt(x^4 + 1)*(18*x^2 - 11))*(2*sqrt(5) + 50*sqrt(-29/1000*sqrt(5) + 13/200) - 5)^2 + 191850*x^
2 - 25*(1831*x^4 - 1008*x^2 + sqrt(x^4 + 1)*(1433*x^2 - 1008))*(5*sqrt(1/10)*sqrt(29*sqrt(5) + 65) - 2*sqrt(5)
- 5) - 5*(9155*x^4 + (370*x^4 - 231*x^2 + 21*sqrt(x^4 + 1)*(18*x^2 - 11))*(5*sqrt(1/10)*sqrt(29*sqrt(5) + 65)
- 2*sqrt(5) - 5)^2 - 5040*x^2 + 20*(370*x^4 - 231*x^2 + 21*sqrt(x^4 + 1)*(18*x^2 - 11))*(5*sqrt(1/10)*sqrt(29
*sqrt(5) + 65) - 2*sqrt(5) - 5) + 5*sqrt(x^4 + 1)*(1433*x^2 - 1008))*(2*sqrt(5) + 50*sqrt(-29/1000*sqrt(5) + 1
3/200) - 5) - 100*sqrt(x^4 + 1)*(109*x^2 - 728) + 10*(5*sqrt(5)*sqrt(x^4 + 1)*(151*x^2 + 40) + (22*sqrt(5)*sqr
t(x^4 + 1)*(18*x^2 - 11) + sqrt(5)*(501*x^4 - 242*x^2))*(5*sqrt(1/10)*sqrt(29*sqrt(5) + 65) - 2*sqrt(5) - 5) +
(22*sqrt(5)*sqrt(x^4 + 1)*(18*x^2 - 11) + (21*sqrt(5)*sqrt(x^4 + 1)*(18*x^2 - 11) + sqrt(5)*(370*x^4 - 231*x^
2))*(5*sqrt(1/10)*sqrt(29*sqrt(5) + 65) - 2*sqrt(5) - 5) + sqrt(5)*(501*x^4 - 242*x^2))*(2*sqrt(5) + 50*sqrt(-
29/1000*sqrt(5) + 13/200) - 5) + 5*sqrt(5)*(173*x^4 + 40*x^2))*sqrt(-3/20*(5*sqrt(1/10)*sqrt(29*sqrt(5) + 65)
- 2*sqrt(5) - 5)^2 - 1/10*(5*sqrt(1/10)*sqrt(29*sqrt(5) + 65) - 2*sqrt(5) + 15)*(2*sqrt(5) + 50*sqrt(-29/1000*
sqrt(5) + 13/200) - 5) - 3/20*(2*sqrt(5) + 50*sqrt(-29/1000*sqrt(5) + 13/200) - 5)^2 - 10*sqrt(1/10)*sqrt(29*s
qrt(5) + 65) + 4*sqrt(5) + 73) + ((695*x^5 + 2270*x^3 + (1421*x^5 + 1301*x^3 - sqrt(x^4 + 1)*(1421*x^3 - 872*x
) - 1341*x)*(5*sqrt(1/10)*sqrt(29*sqrt(5) + 65) - 2*sqrt(5) - 5) - 5*sqrt(x^4 + 1)*(139*x^3 - 92*x) - 1745*x)*
sqrt(x^2 + sqrt(x^4 + 1))*(2*sqrt(5) + 50*sqrt(-29/1000*sqrt(5) + 13/200) - 5)^2 + (12605*x^5 + 42455*x^3 + (1
421*x^5 + 1301*x^3 - sqrt(x^4 + 1)*(1421*x^3 - 872*x) - 1341*x)*(5*sqrt(1/10)*sqrt(29*sqrt(5) + 65) - 2*sqrt(5
) - 5)^2 + 20*(1421*x^5 + 1301*x^3 - sqrt(x^4 + 1)*(1421*x^3 - 872*x) - 1341*x)*(5*sqrt(1/10)*sqrt(29*sqrt(5)
+ 65) - 2*sqrt(5) - 5) - 5*sqrt(x^4 + 1)*(2521*x^3 - 1857*x) - 32505*x)*sqrt(x^2 + sqrt(x^4 + 1))*(2*sqrt(5) +
50*sqrt(-29/1000*sqrt(5) + 13/200) - 5) + 5*(3050*x^5 + 12360*x^3 + (139*x^5 + 454*x^3 - sqrt(x^4 + 1)*(139*x
^3 - 92*x) - 349*x)*(5*sqrt(1/10)*sqrt(29*sqrt(5) + 65) - 2*sqrt(5) - 5)^2 + (2521*x^5 + 8491*x^3 - sqrt(x^4 +
1)*(2521*x^3 - 1857*x) - 6501*x)*(5*sqrt(1/10)*sqrt(29*sqrt(5) + 65) - 2*sqrt(5) - 5) - 10*sqrt(x^4 + 1)*(305
*x^3 - 219*x) - 1320*x)*sqrt(x^2 + sqrt(x^4 + 1)) + 2*((5*sqrt(5)*sqrt(x^4 + 1)*(139*x^3 - 92*x) + (sqrt(5)*sq
rt(x^4 + 1)*(1421*x^3 - 872*x) - sqrt(5)*(1421*x^5 + 1301*x^3 - 1341*x))*(5*sqrt(1/10)*sqrt(29*sqrt(5) + 65) -
2*sqrt(5) - 5) - 5*sqrt(5)*(139*x^5 + 454*x^3 - 349*x))*sqrt(x^2 + sqrt(x^4 + 1))*(2*sqrt(5) + 50*sqrt(-29/10
00*sqrt(5) + 13/200) - 5) + 5*(sqrt(5)*sqrt(x^4 + 1)*(259*x^3 + 17*x) + (sqrt(5)*sqrt(x^4 + 1)*(139*x^3 - 92*x
) - sqrt(5)*(139*x^5 + 454*x^3 - 349*x))*(5*sqrt(1/10)*sqrt(29*sqrt(5) + 65) - 2*sqrt(5) - 5) - sqrt(5)*(259*x
^5 + 589*x^3 - 479*x))*sqrt(x^2 + sqrt(x^4 + 1)))*sqrt(-3/20*(5*sqrt(1/10)*sqrt(29*sqrt(5) + 65) - 2*sqrt(5) -
5)^2 - 1/10*(5*sqrt(1/10)*sqrt(29*sqrt(5) + 65) - 2*sqrt(5) + 15)*(2*sqrt(5) + 50*sqrt(-29/1000*sqrt(5) + 13/
200) - 5) - 3/20*(2*sqrt(5) + 50*sqrt(-29/1000*sqrt(5) + 13/200) - 5)^2 - 10*sqrt(1/10)*sqrt(29*sqrt(5) + 65)
+ 4*sqrt(5) + 73))*sqrt(sqrt(5)*sqrt(-3/20*(5*sqrt(1/10)*sqrt(29*sqrt(5) + 65) - 2*sqrt(5) - 5)^2 - 1/10*(5*sq
rt(1/10)*sqrt(29*sqrt(5) + 65) - 2*sqrt(5) + 15)*(2*sqrt(5) + 50*sqrt(-29/1000*sqrt(5) + 13/200) - 5) - 3/20*(
2*sqrt(5) + 50*sqrt(-29/1000*sqrt(5) + 13/200) - 5)^2 - 10*sqrt(1/10)*sqrt(29*sqrt(5) + 65) + 4*sqrt(5) + 73)
+ 5/2*sqrt(1/10)*sqrt(29*sqrt(5) + 65) + 25*sqrt(-29/1000*sqrt(5) + 13/200) + 5))/(x^4 + x^2 - 1)) + 1/20*sqrt
(sqrt(5)*sqrt(-3/20*(5*sqrt(1/10)*sqrt(29*sqrt(5) + 65) - 2*sqrt(5) - 5)^2 - 1/10*(5*sqrt(1/10)*sqrt(29*sqrt(5
) + 65) - 2*sqrt(5) + 15)*(2*sqrt(5) + 50*sqrt(-29/1000*sqrt(5) + 13/200) - 5) - 3/20*(2*sqrt(5) + 50*sqrt(-29
/1000*sqrt(5) + 13/200) - 5)^2 - 10*sqrt(1/10)*sqrt(29*sqrt(5) + 65) + 4*sqrt(5) + 73) + 5/2*sqrt(1/10)*sqrt(2
9*sqrt(5) + 65) + 25*sqrt(-29/1000*sqrt(5) + 13/200) + 5)*log(-1/10*(52950*x^4 - 5*(501*x^4 - 242*x^2 + 22*sqr
t(x^4 + 1)*(18*x^2 - 11))*(5*sqrt(1/10)*sqrt(29*sqrt(5) + 65) - 2*sqrt(5) - 5)^2 - 5*(501*x^4 - 242*x^2 + (370
*x^4 - 231*x^2 + 21*sqrt(x^4 + 1)*(18*x^2 - 11))*(5*sqrt(1/10)*sqrt(29*sqrt(5) + 65) - 2*sqrt(5) - 5) + 22*sqr
t(x^4 + 1)*(18*x^2 - 11))*(2*sqrt(5) + 50*sqrt(-29/1000*sqrt(5) + 13/200) - 5)^2 + 191850*x^2 - 25*(1831*x^4 -
1008*x^2 + sqrt(x^4 + 1)*(1433*x^2 - 1008))*(5*sqrt(1/10)*sqrt(29*sqrt(5) + 65) - 2*sqrt(5) - 5) - 5*(9155*x^
4 + (370*x^4 - 231*x^2 + 21*sqrt(x^4 + 1)*(18*x^2 - 11))*(5*sqrt(1/10)*sqrt(29*sqrt(5) + 65) - 2*sqrt(5) - 5)^
2 - 5040*x^2 + 20*(370*x^4 - 231*x^2 + 21*sqrt(x^4 + 1)*(18*x^2 - 11))*(5*sqrt(1/10)*sqrt(29*sqrt(5) + 65) - 2
*sqrt(5) - 5) + 5*sqrt(x^4 + 1)*(1433*x^2 - 1008))*(2*sqrt(5) + 50*sqrt(-29/1000*sqrt(5) + 13/200) - 5) - 100*
sqrt(x^4 + 1)*(109*x^2 - 728) + 10*(5*sqrt(5)*sqrt(x^4 + 1)*(151*x^2 + 40) + (22*sqrt(5)*sqrt(x^4 + 1)*(18*x^2
- 11) + sqrt(5)*(501*x^4 - 242*x^2))*(5*sqrt(1/10)*sqrt(29*sqrt(5) + 65) - 2*sqrt(5) - 5) + (22*sqrt(5)*sqrt(
x^4 + 1)*(18*x^2 - 11) + (21*sqrt(5)*sqrt(x^4 + 1)*(18*x^2 - 11) + sqrt(5)*(370*x^4 - 231*x^2))*(5*sqrt(1/10)*
sqrt(29*sqrt(5) + 65) - 2*sqrt(5) - 5) + sqrt(5)*(501*x^4 - 242*x^2))*(2*sqrt(5) + 50*sqrt(-29/1000*sqrt(5) +
13/200) - 5) + 5*sqrt(5)*(173*x^4 + 40*x^2))*sqrt(-3/20*(5*sqrt(1/10)*sqrt(29*sqrt(5) + 65) - 2*sqrt(5) - 5)^2
- 1/10*(5*sqrt(1/10)*sqrt(29*sqrt(5) + 65) - 2*sqrt(5) + 15)*(2*sqrt(5) + 50*sqrt(-29/1000*sqrt(5) + 13/200)
- 5) - 3/20*(2*sqrt(5) + 50*sqrt(-29/1000*sqrt(5) + 13/200) - 5)^2 - 10*sqrt(1/10)*sqrt(29*sqrt(5) + 65) + 4*s
qrt(5) + 73) - ((695*x^5 + 2270*x^3 + (1421*x^5 + 1301*x^3 - sqrt(x^4 + 1)*(1421*x^3 - 872*x) - 1341*x)*(5*sqr
t(1/10)*sqrt(29*sqrt(5) + 65) - 2*sqrt(5) - 5) - 5*sqrt(x^4 + 1)*(139*x^3 - 92*x) - 1745*x)*sqrt(x^2 + sqrt(x^
4 + 1))*(2*sqrt(5) + 50*sqrt(-29/1000*sqrt(5) + 13/200) - 5)^2 + (12605*x^5 + 42455*x^3 + (1421*x^5 + 1301*x^3
- sqrt(x^4 + 1)*(1421*x^3 - 872*x) - 1341*x)*(5*sqrt(1/10)*sqrt(29*sqrt(5) + 65) - 2*sqrt(5) - 5)^2 + 20*(142
1*x^5 + 1301*x^3 - sqrt(x^4 + 1)*(1421*x^3 - 872*x) - 1341*x)*(5*sqrt(1/10)*sqrt(29*sqrt(5) + 65) - 2*sqrt(5)
- 5) - 5*sqrt(x^4 + 1)*(2521*x^3 - 1857*x) - 32505*x)*sqrt(x^2 + sqrt(x^4 + 1))*(2*sqrt(5) + 50*sqrt(-29/1000*
sqrt(5) + 13/200) - 5) + 5*(3050*x^5 + 12360*x^3 + (139*x^5 + 454*x^3 - sqrt(x^4 + 1)*(139*x^3 - 92*x) - 349*x
)*(5*sqrt(1/10)*sqrt(29*sqrt(5) + 65) - 2*sqrt(5) - 5)^2 + (2521*x^5 + 8491*x^3 - sqrt(x^4 + 1)*(2521*x^3 - 18
57*x) - 6501*x)*(5*sqrt(1/10)*sqrt(29*sqrt(5) + 65) - 2*sqrt(5) - 5) - 10*sqrt(x^4 + 1)*(305*x^3 - 219*x) - 13
20*x)*sqrt(x^2 + sqrt(x^4 + 1)) + 2*((5*sqrt(5)*sqrt(x^4 + 1)*(139*x^3 - 92*x) + (sqrt(5)*sqrt(x^4 + 1)*(1421*
x^3 - 872*x) - sqrt(5)*(1421*x^5 + 1301*x^3 - 1341*x))*(5*sqrt(1/10)*sqrt(29*sqrt(5) + 65) - 2*sqrt(5) - 5) -
5*sqrt(5)*(139*x^5 + 454*x^3 - 349*x))*sqrt(x^2 + sqrt(x^4 + 1))*(2*sqrt(5) + 50*sqrt(-29/1000*sqrt(5) + 13/20
0) - 5) + 5*(sqrt(5)*sqrt(x^4 + 1)*(259*x^3 + 17*x) + (sqrt(5)*sqrt(x^4 + 1)*(139*x^3 - 92*x) - sqrt(5)*(139*x
^5 + 454*x^3 - 349*x))*(5*sqrt(1/10)*sqrt(29*sqrt(5) + 65) - 2*sqrt(5) - 5) - sqrt(5)*(259*x^5 + 589*x^3 - 479
*x))*sqrt(x^2 + sqrt(x^4 + 1)))*sqrt(-3/20*(5*sqrt(1/10)*sqrt(29*sqrt(5) + 65) - 2*sqrt(5) - 5)^2 - 1/10*(5*sq
rt(1/10)*sqrt(29*sqrt(5) + 65) - 2*sqrt(5) + 15)*(2*sqrt(5) + 50*sqrt(-29/1000*sqrt(5) + 13/200) - 5) - 3/20*(
2*sqrt(5) + 50*sqrt(-29/1000*sqrt(5) + 13/200) - 5)^2 - 10*sqrt(1/10)*sqrt(29*sqrt(5) + 65) + 4*sqrt(5) + 73))
*sqrt(sqrt(5)*sqrt(-3/20*(5*sqrt(1/10)*sqrt(29*sqrt(5) + 65) - 2*sqrt(5) - 5)^2 - 1/10*(5*sqrt(1/10)*sqrt(29*s
qrt(5) + 65) - 2*sqrt(5) + 15)*(2*sqrt(5) + 50*sqrt(-29/1000*sqrt(5) + 13/200) - 5) - 3/20*(2*sqrt(5) + 50*sqr
t(-29/1000*sqrt(5) + 13/200) - 5)^2 - 10*sqrt(1/10)*sqrt(29*sqrt(5) + 65) + 4*sqrt(5) + 73) + 5/2*sqrt(1/10)*s
qrt(29*sqrt(5) + 65) + 25*sqrt(-29/1000*sqrt(5) + 13/200) + 5))/(x^4 + x^2 - 1)) - 1/20*sqrt(-sqrt(5)*sqrt(-3/
20*(5*sqrt(1/10)*sqrt(29*sqrt(5) + 65) - 2*sqrt(5) - 5)^2 - 1/10*(5*sqrt(1/10)*sqrt(29*sqrt(5) + 65) - 2*sqrt(
5) + 15)*(2*sqrt(5) + 50*sqrt(-29/1000*sqrt(5) + 13/200) - 5) - 3/20*(2*sqrt(5) + 50*sqrt(-29/1000*sqrt(5) + 1
3/200) - 5)^2 - 10*sqrt(1/10)*sqrt(29*sqrt(5) + 65) + 4*sqrt(5) + 73) + 5/2*sqrt(1/10)*sqrt(29*sqrt(5) + 65) +
25*sqrt(-29/1000*sqrt(5) + 13/200) + 5)*log(-1/10*(52950*x^4 - 5*(501*x^4 - 242*x^2 + 22*sqrt(x^4 + 1)*(18*x^
2 - 11))*(5*sqrt(1/10)*sqrt(29*sqrt(5) + 65) - 2*sqrt(5) - 5)^2 - 5*(501*x^4 - 242*x^2 + (370*x^4 - 231*x^2 +
21*sqrt(x^4 + 1)*(18*x^2 - 11))*(5*sqrt(1/10)*sqrt(29*sqrt(5) + 65) - 2*sqrt(5) - 5) + 22*sqrt(x^4 + 1)*(18*x^
2 - 11))*(2*sqrt(5) + 50*sqrt(-29/1000*sqrt(5) + 13/200) - 5)^2 + 191850*x^2 - 25*(1831*x^4 - 1008*x^2 + sqrt(
x^4 + 1)*(1433*x^2 - 1008))*(5*sqrt(1/10)*sqrt(29*sqrt(5) + 65) - 2*sqrt(5) - 5) - 5*(9155*x^4 + (370*x^4 - 23
1*x^2 + 21*sqrt(x^4 + 1)*(18*x^2 - 11))*(5*sqrt(1/10)*sqrt(29*sqrt(5) + 65) - 2*sqrt(5) - 5)^2 - 5040*x^2 + 20
*(370*x^4 - 231*x^2 + 21*sqrt(x^4 + 1)*(18*x^2 - 11))*(5*sqrt(1/10)*sqrt(29*sqrt(5) + 65) - 2*sqrt(5) - 5) + 5
*sqrt(x^4 + 1)*(1433*x^2 - 1008))*(2*sqrt(5) + 50*sqrt(-29/1000*sqrt(5) + 13/200) - 5) - 100*sqrt(x^4 + 1)*(10
9*x^2 - 728) - 10*(5*sqrt(5)*sqrt(x^4 + 1)*(151*x^2 + 40) + (22*sqrt(5)*sqrt(x^4 + 1)*(18*x^2 - 11) + sqrt(5)*
(501*x^4 - 242*x^2))*(5*sqrt(1/10)*sqrt(29*sqrt(5) + 65) - 2*sqrt(5) - 5) + (22*sqrt(5)*sqrt(x^4 + 1)*(18*x^2
- 11) + (21*sqrt(5)*sqrt(x^4 + 1)*(18*x^2 - 11) + sqrt(5)*(370*x^4 - 231*x^2))*(5*sqrt(1/10)*sqrt(29*sqrt(5) +
65) - 2*sqrt(5) - 5) + sqrt(5)*(501*x^4 - 242*x^2))*(2*sqrt(5) + 50*sqrt(-29/1000*sqrt(5) + 13/200) - 5) + 5*
sqrt(5)*(173*x^4 + 40*x^2))*sqrt(-3/20*(5*sqrt(1/10)*sqrt(29*sqrt(5) + 65) - 2*sqrt(5) - 5)^2 - 1/10*(5*sqrt(1
/10)*sqrt(29*sqrt(5) + 65) - 2*sqrt(5) + 15)*(2*sqrt(5) + 50*sqrt(-29/1000*sqrt(5) + 13/200) - 5) - 3/20*(2*sq
rt(5) + 50*sqrt(-29/1000*sqrt(5) + 13/200) - 5)^2 - 10*sqrt(1/10)*sqrt(29*sqrt(5) + 65) + 4*sqrt(5) + 73) + ((
695*x^5 + 2270*x^3 + (1421*x^5 + 1301*x^3 - sqrt(x^4 + 1)*(1421*x^3 - 872*x) - 1341*x)*(5*sqrt(1/10)*sqrt(29*s
qrt(5) + 65) - 2*sqrt(5) - 5) - 5*sqrt(x^4 + 1)*(139*x^3 - 92*x) - 1745*x)*sqrt(x^2 + sqrt(x^4 + 1))*(2*sqrt(5
) + 50*sqrt(-29/1000*sqrt(5) + 13/200) - 5)^2 + (12605*x^5 + 42455*x^3 + (1421*x^5 + 1301*x^3 - sqrt(x^4 + 1)*
(1421*x^3 - 872*x) - 1341*x)*(5*sqrt(1/10)*sqrt(29*sqrt(5) + 65) - 2*sqrt(5) - 5)^2 + 20*(1421*x^5 + 1301*x^3
- sqrt(x^4 + 1)*(1421*x^3 - 872*x) - 1341*x)*(5*sqrt(1/10)*sqrt(29*sqrt(5) + 65) - 2*sqrt(5) - 5) - 5*sqrt(x^4
+ 1)*(2521*x^3 - 1857*x) - 32505*x)*sqrt(x^2 + sqrt(x^4 + 1))*(2*sqrt(5) + 50*sqrt(-29/1000*sqrt(5) + 13/200)
- 5) + 5*(3050*x^5 + 12360*x^3 + (139*x^5 + 454*x^3 - sqrt(x^4 + 1)*(139*x^3 - 92*x) - 349*x)*(5*sqrt(1/10)*s
qrt(29*sqrt(5) + 65) - 2*sqrt(5) - 5)^2 + (2521*x^5 + 8491*x^3 - sqrt(x^4 + 1)*(2521*x^3 - 1857*x) - 6501*x)*(
5*sqrt(1/10)*sqrt(29*sqrt(5) + 65) - 2*sqrt(5) - 5) - 10*sqrt(x^4 + 1)*(305*x^3 - 219*x) - 1320*x)*sqrt(x^2 +
sqrt(x^4 + 1)) - 2*((5*sqrt(5)*sqrt(x^4 + 1)*(139*x^3 - 92*x) + (sqrt(5)*sqrt(x^4 + 1)*(1421*x^3 - 872*x) - sq
rt(5)*(1421*x^5 + 1301*x^3 - 1341*x))*(5*sqrt(1/10)*sqrt(29*sqrt(5) + 65) - 2*sqrt(5) - 5) - 5*sqrt(5)*(139*x^
5 + 454*x^3 - 349*x))*sqrt(x^2 + sqrt(x^4 + 1))*(2*sqrt(5) + 50*sqrt(-29/1000*sqrt(5) + 13/200) - 5) + 5*(sqrt
(5)*sqrt(x^4 + 1)*(259*x^3 + 17*x) + (sqrt(5)*sqrt(x^4 + 1)*(139*x^3 - 92*x) - sqrt(5)*(139*x^5 + 454*x^3 - 34
9*x))*(5*sqrt(1/10)*sqrt(29*sqrt(5) + 65) - 2*sqrt(5) - 5) - sqrt(5)*(259*x^5 + 589*x^3 - 479*x))*sqrt(x^2 + s
qrt(x^4 + 1)))*sqrt(-3/20*(5*sqrt(1/10)*sqrt(29*sqrt(5) + 65) - 2*sqrt(5) - 5)^2 - 1/10*(5*sqrt(1/10)*sqrt(29*
sqrt(5) + 65) - 2*sqrt(5) + 15)*(2*sqrt(5) + 50*sqrt(-29/1000*sqrt(5) + 13/200) - 5) - 3/20*(2*sqrt(5) + 50*sq
rt(-29/1000*sqrt(5) + 13/200) - 5)^2 - 10*sqrt(1/10)*sqrt(29*sqrt(5) + 65) + 4*sqrt(5) + 73))*sqrt(-sqrt(5)*sq
rt(-3/20*(5*sqrt(1/10)*sqrt(29*sqrt(5) + 65) - 2*sqrt(5) - 5)^2 - 1/10*(5*sqrt(1/10)*sqrt(29*sqrt(5) + 65) - 2
*sqrt(5) + 15)*(2*sqrt(5) + 50*sqrt(-29/1000*sqrt(5) + 13/200) - 5) - 3/20*(2*sqrt(5) + 50*sqrt(-29/1000*sqrt(
5) + 13/200) - 5)^2 - 10*sqrt(1/10)*sqrt(29*sqrt(5) + 65) + 4*sqrt(5) + 73) + 5/2*sqrt(1/10)*sqrt(29*sqrt(5) +
65) + 25*sqrt(-29/1000*sqrt(5) + 13/200) + 5))/(x^4 + x^2 - 1)) + 1/20*sqrt(-sqrt(5)*sqrt(-3/20*(5*sqrt(1/10)
*sqrt(29*sqrt(5) + 65) - 2*sqrt(5) - 5)^2 - 1/10*(5*sqrt(1/10)*sqrt(29*sqrt(5) + 65) - 2*sqrt(5) + 15)*(2*sqrt
(5) + 50*sqrt(-29/1000*sqrt(5) + 13/200) - 5) - 3/20*(2*sqrt(5) + 50*sqrt(-29/1000*sqrt(5) + 13/200) - 5)^2 -
10*sqrt(1/10)*sqrt(29*sqrt(5) + 65) + 4*sqrt(5) + 73) + 5/2*sqrt(1/10)*sqrt(29*sqrt(5) + 65) + 25*sqrt(-29/100
0*sqrt(5) + 13/200) + 5)*log(-1/10*(52950*x^4 - 5*(501*x^4 - 242*x^2 + 22*sqrt(x^4 + 1)*(18*x^2 - 11))*(5*sqrt
(1/10)*sqrt(29*sqrt(5) + 65) - 2*sqrt(5) - 5)^2 - 5*(501*x^4 - 242*x^2 + (370*x^4 - 231*x^2 + 21*sqrt(x^4 + 1)
*(18*x^2 - 11))*(5*sqrt(1/10)*sqrt(29*sqrt(5) + 65) - 2*sqrt(5) - 5) + 22*sqrt(x^4 + 1)*(18*x^2 - 11))*(2*sqrt
(5) + 50*sqrt(-29/1000*sqrt(5) + 13/200) - 5)^2 + 191850*x^2 - 25*(1831*x^4 - 1008*x^2 + sqrt(x^4 + 1)*(1433*x
^2 - 1008))*(5*sqrt(1/10)*sqrt(29*sqrt(5) + 65) - 2*sqrt(5) - 5) - 5*(9155*x^4 + (370*x^4 - 231*x^2 + 21*sqrt(
x^4 + 1)*(18*x^2 - 11))*(5*sqrt(1/10)*sqrt(29*sqrt(5) + 65) - 2*sqrt(5) - 5)^2 - 5040*x^2 + 20*(370*x^4 - 231*
x^2 + 21*sqrt(x^4 + 1)*(18*x^2 - 11))*(5*sqrt(1/10)*sqrt(29*sqrt(5) + 65) - 2*sqrt(5) - 5) + 5*sqrt(x^4 + 1)*(
1433*x^2 - 1008))*(2*sqrt(5) + 50*sqrt(-29/1000*sqrt(5) + 13/200) - 5) - 100*sqrt(x^4 + 1)*(109*x^2 - 728) - 1
0*(5*sqrt(5)*sqrt(x^4 + 1)*(151*x^2 + 40) + (22*sqrt(5)*sqrt(x^4 + 1)*(18*x^2 - 11) + sqrt(5)*(501*x^4 - 242*x
^2))*(5*sqrt(1/10)*sqrt(29*sqrt(5) + 65) - 2*sqrt(5) - 5) + (22*sqrt(5)*sqrt(x^4 + 1)*(18*x^2 - 11) + (21*sqrt
(5)*sqrt(x^4 + 1)*(18*x^2 - 11) + sqrt(5)*(370*x^4 - 231*x^2))*(5*sqrt(1/10)*sqrt(29*sqrt(5) + 65) - 2*sqrt(5)
- 5) + sqrt(5)*(501*x^4 - 242*x^2))*(2*sqrt(5) + 50*sqrt(-29/1000*sqrt(5) + 13/200) - 5) + 5*sqrt(5)*(173*x^4
+ 40*x^2))*sqrt(-3/20*(5*sqrt(1/10)*sqrt(29*sqrt(5) + 65) - 2*sqrt(5) - 5)^2 - 1/10*(5*sqrt(1/10)*sqrt(29*sqr
t(5) + 65) - 2*sqrt(5) + 15)*(2*sqrt(5) + 50*sqrt(-29/1000*sqrt(5) + 13/200) - 5) - 3/20*(2*sqrt(5) + 50*sqrt(
-29/1000*sqrt(5) + 13/200) - 5)^2 - 10*sqrt(1/10)*sqrt(29*sqrt(5) + 65) + 4*sqrt(5) + 73) - ((695*x^5 + 2270*x
^3 + (1421*x^5 + 1301*x^3 - sqrt(x^4 + 1)*(1421*x^3 - 872*x) - 1341*x)*(5*sqrt(1/10)*sqrt(29*sqrt(5) + 65) - 2
*sqrt(5) - 5) - 5*sqrt(x^4 + 1)*(139*x^3 - 92*x) - 1745*x)*sqrt(x^2 + sqrt(x^4 + 1))*(2*sqrt(5) + 50*sqrt(-29/
1000*sqrt(5) + 13/200) - 5)^2 + (12605*x^5 + 42455*x^3 + (1421*x^5 + 1301*x^3 - sqrt(x^4 + 1)*(1421*x^3 - 872*
x) - 1341*x)*(5*sqrt(1/10)*sqrt(29*sqrt(5) + 65) - 2*sqrt(5) - 5)^2 + 20*(1421*x^5 + 1301*x^3 - sqrt(x^4 + 1)*
(1421*x^3 - 872*x) - 1341*x)*(5*sqrt(1/10)*sqrt(29*sqrt(5) + 65) - 2*sqrt(5) - 5) - 5*sqrt(x^4 + 1)*(2521*x^3
- 1857*x) - 32505*x)*sqrt(x^2 + sqrt(x^4 + 1))*(2*sqrt(5) + 50*sqrt(-29/1000*sqrt(5) + 13/200) - 5) + 5*(3050*
x^5 + 12360*x^3 + (139*x^5 + 454*x^3 - sqrt(x^4 + 1)*(139*x^3 - 92*x) - 349*x)*(5*sqrt(1/10)*sqrt(29*sqrt(5) +
65) - 2*sqrt(5) - 5)^2 + (2521*x^5 + 8491*x^3 - sqrt(x^4 + 1)*(2521*x^3 - 1857*x) - 6501*x)*(5*sqrt(1/10)*sqr
t(29*sqrt(5) + 65) - 2*sqrt(5) - 5) - 10*sqrt(x^4 + 1)*(305*x^3 - 219*x) - 1320*x)*sqrt(x^2 + sqrt(x^4 + 1)) -
2*((5*sqrt(5)*sqrt(x^4 + 1)*(139*x^3 - 92*x) + (sqrt(5)*sqrt(x^4 + 1)*(1421*x^3 - 872*x) - sqrt(5)*(1421*x^5
+ 1301*x^3 - 1341*x))*(5*sqrt(1/10)*sqrt(29*sqrt(5) + 65) - 2*sqrt(5) - 5) - 5*sqrt(5)*(139*x^5 + 454*x^3 - 34
9*x))*sqrt(x^2 + sqrt(x^4 + 1))*(2*sqrt(5) + 50*sqrt(-29/1000*sqrt(5) + 13/200) - 5) + 5*(sqrt(5)*sqrt(x^4 + 1
)*(259*x^3 + 17*x) + (sqrt(5)*sqrt(x^4 + 1)*(139*x^3 - 92*x) - sqrt(5)*(139*x^5 + 454*x^3 - 349*x))*(5*sqrt(1/
10)*sqrt(29*sqrt(5) + 65) - 2*sqrt(5) - 5) - sqrt(5)*(259*x^5 + 589*x^3 - 479*x))*sqrt(x^2 + sqrt(x^4 + 1)))*s
qrt(-3/20*(5*sqrt(1/10)*sqrt(29*sqrt(5) + 65) - 2*sqrt(5) - 5)^2 - 1/10*(5*sqrt(1/10)*sqrt(29*sqrt(5) + 65) -
2*sqrt(5) + 15)*(2*sqrt(5) + 50*sqrt(-29/1000*sqrt(5) + 13/200) - 5) - 3/20*(2*sqrt(5) + 50*sqrt(-29/1000*sqrt
(5) + 13/200) - 5)^2 - 10*sqrt(1/10)*sqrt(29*sqrt(5) + 65) + 4*sqrt(5) + 73))*sqrt(-sqrt(5)*sqrt(-3/20*(5*sqrt
(1/10)*sqrt(29*sqrt(5) + 65) - 2*sqrt(5) - 5)^2 - 1/10*(5*sqrt(1/10)*sqrt(29*sqrt(5) + 65) - 2*sqrt(5) + 15)*(
2*sqrt(5) + 50*sqrt(-29/1000*sqrt(5) + 13/200) - 5) - 3/20*(2*sqrt(5) + 50*sqrt(-29/1000*sqrt(5) + 13/200) - 5
)^2 - 10*sqrt(1/10)*sqrt(29*sqrt(5) + 65) + 4*sqrt(5) + 73) + 5/2*sqrt(1/10)*sqrt(29*sqrt(5) + 65) + 25*sqrt(-
29/1000*sqrt(5) + 13/200) + 5))/(x^4 + x^2 - 1)) - 1/2*sqrt(-1/20*sqrt(1/10)*sqrt(29*sqrt(5) + 65) + 1/50*sqrt
(5) + 1/20)*log(1/5*(18570*x^4 + (370*x^4 - 231*x^2 + 21*sqrt(x^4 + 1)*(18*x^2 - 11))*(5*sqrt(1/10)*sqrt(29*sq
rt(5) + 65) - 2*sqrt(5) - 5)^3 + (6899*x^4 - 4378*x^2 + 398*sqrt(x^4 + 1)*(18*x^2 - 11))*(5*sqrt(1/10)*sqrt(29
*sqrt(5) + 65) - 2*sqrt(5) - 5)^2 - 11465*x^2 - 5*(17741*x^4 - 10941*x^2 + sqrt(x^4 + 1)*(17687*x^2 - 10941))*
(5*sqrt(1/10)*sqrt(29*sqrt(5) + 65) - 2*sqrt(5) - 5) + 2*(185250*x^5 - (1421*x^5 + 1301*x^3 - sqrt(x^4 + 1)*(1
421*x^3 - 872*x) - 1341*x)*(5*sqrt(1/10)*sqrt(29*sqrt(5) + 65) - 2*sqrt(5) - 5)^3 - 223150*x^3 - 5*(5545*x^5 +
4750*x^3 - sqrt(x^4 + 1)*(5545*x^3 - 3396*x) - 5015*x)*(5*sqrt(1/10)*sqrt(29*sqrt(5) + 65) - 2*sqrt(5) - 5)^2
+ 5*(63624*x^5 + 64434*x^3 - sqrt(x^4 + 1)*(63624*x^3 - 39353*x) - 64164*x)*(5*sqrt(1/10)*sqrt(29*sqrt(5) + 6
5) - 2*sqrt(5) - 5) - 475*sqrt(x^4 + 1)*(390*x^3 - 241*x) + 67175*x)*sqrt(x^2 + sqrt(x^4 + 1))*sqrt(-1/20*sqrt
(1/10)*sqrt(29*sqrt(5) + 65) + 1/50*sqrt(5) + 1/20) - 40*sqrt(x^4 + 1)*(18*x^2 - 11))/(x^4 + x^2 - 1)) + 1/2*s
qrt(-1/20*sqrt(1/10)*sqrt(29*sqrt(5) + 65) + 1/50*sqrt(5) + 1/20)*log(1/5*(18570*x^4 + (370*x^4 - 231*x^2 + 21
*sqrt(x^4 + 1)*(18*x^2 - 11))*(5*sqrt(1/10)*sqrt(29*sqrt(5) + 65) - 2*sqrt(5) - 5)^3 + (6899*x^4 - 4378*x^2 +
398*sqrt(x^4 + 1)*(18*x^2 - 11))*(5*sqrt(1/10)*sqrt(29*sqrt(5) + 65) - 2*sqrt(5) - 5)^2 - 11465*x^2 - 5*(17741
*x^4 - 10941*x^2 + sqrt(x^4 + 1)*(17687*x^2 - 10941))*(5*sqrt(1/10)*sqrt(29*sqrt(5) + 65) - 2*sqrt(5) - 5) - 2
*(185250*x^5 - (1421*x^5 + 1301*x^3 - sqrt(x^4 + 1)*(1421*x^3 - 872*x) - 1341*x)*(5*sqrt(1/10)*sqrt(29*sqrt(5)
+ 65) - 2*sqrt(5) - 5)^3 - 223150*x^3 - 5*(5545*x^5 + 4750*x^3 - sqrt(x^4 + 1)*(5545*x^3 - 3396*x) - 5015*x)*
(5*sqrt(1/10)*sqrt(29*sqrt(5) + 65) - 2*sqrt(5) - 5)^2 + 5*(63624*x^5 + 64434*x^3 - sqrt(x^4 + 1)*(63624*x^3 -
39353*x) - 64164*x)*(5*sqrt(1/10)*sqrt(29*sqrt(5) + 65) - 2*sqrt(5) - 5) - 475*sqrt(x^4 + 1)*(390*x^3 - 241*x
) + 67175*x)*sqrt(x^2 + sqrt(x^4 + 1))*sqrt(-1/20*sqrt(1/10)*sqrt(29*sqrt(5) + 65) + 1/50*sqrt(5) + 1/20) - 40
*sqrt(x^4 + 1)*(18*x^2 - 11))/(x^4 + x^2 - 1))

________________________________________________________________________________________

giac [F]  time = 0.00, size = 0, normalized size = 0.00 \begin {gather*} \int \frac {\sqrt {x^{2} + \sqrt {x^{4} + 1}} {\left (x^{2} + 1\right )}}{{\left (x^{4} + x^{2} - 1\right )} \sqrt {x^{4} + 1}}\,{d x} \end {gather*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((x^2+1)*(x^2+(x^4+1)^(1/2))^(1/2)/(x^4+1)^(1/2)/(x^4+x^2-1),x, algorithm="giac")

[Out]

integrate(sqrt(x^2 + sqrt(x^4 + 1))*(x^2 + 1)/((x^4 + x^2 - 1)*sqrt(x^4 + 1)), x)

________________________________________________________________________________________

maple [F]  time = 0.04, size = 0, normalized size = 0.00 \[\int \frac {\left (x^{2}+1\right ) \sqrt {x^{2}+\sqrt {x^{4}+1}}}{\sqrt {x^{4}+1}\, \left (x^{4}+x^{2}-1\right )}\, dx\]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int((x^2+1)*(x^2+(x^4+1)^(1/2))^(1/2)/(x^4+1)^(1/2)/(x^4+x^2-1),x)

[Out]

int((x^2+1)*(x^2+(x^4+1)^(1/2))^(1/2)/(x^4+1)^(1/2)/(x^4+x^2-1),x)

________________________________________________________________________________________

maxima [F]  time = 0.00, size = 0, normalized size = 0.00 \begin {gather*} \int \frac {\sqrt {x^{2} + \sqrt {x^{4} + 1}} {\left (x^{2} + 1\right )}}{{\left (x^{4} + x^{2} - 1\right )} \sqrt {x^{4} + 1}}\,{d x} \end {gather*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((x^2+1)*(x^2+(x^4+1)^(1/2))^(1/2)/(x^4+1)^(1/2)/(x^4+x^2-1),x, algorithm="maxima")

[Out]

integrate(sqrt(x^2 + sqrt(x^4 + 1))*(x^2 + 1)/((x^4 + x^2 - 1)*sqrt(x^4 + 1)), x)

________________________________________________________________________________________

mupad [F]  time = 0.00, size = -1, normalized size = -0.00 \begin {gather*} \int \frac {\left (x^2+1\right )\,\sqrt {\sqrt {x^4+1}+x^2}}{\sqrt {x^4+1}\,\left (x^4+x^2-1\right )} \,d x \end {gather*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int(((x^2 + 1)*((x^4 + 1)^(1/2) + x^2)^(1/2))/((x^4 + 1)^(1/2)*(x^2 + x^4 - 1)),x)

[Out]

int(((x^2 + 1)*((x^4 + 1)^(1/2) + x^2)^(1/2))/((x^4 + 1)^(1/2)*(x^2 + x^4 - 1)), x)

________________________________________________________________________________________

sympy [F]  time = 0.00, size = 0, normalized size = 0.00 \begin {gather*} \int \frac {\left (x^{2} + 1\right ) \sqrt {x^{2} + \sqrt {x^{4} + 1}}}{\sqrt {x^{4} + 1} \left (x^{4} + x^{2} - 1\right )}\, dx \end {gather*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((x**2+1)*(x**2+(x**4+1)**(1/2))**(1/2)/(x**4+1)**(1/2)/(x**4+x**2-1),x)

[Out]

Integral((x**2 + 1)*sqrt(x**2 + sqrt(x**4 + 1))/(sqrt(x**4 + 1)*(x**4 + x**2 - 1)), x)

________________________________________________________________________________________