\(\int \frac {\sqrt {1+\sqrt {x+\sqrt {1+x^2}}}}{(1-x^2) \sqrt {x+\sqrt {1+x^2}}} \, dx\) [1923]

Optimal result

Integrand size = 46, antiderivative size = 133 \[ \int \frac {\sqrt {1+\sqrt {x+\sqrt {1+x^2}}}}{\left (1-x^2\right ) \sqrt {x+\sqrt {1+x^2}}} \, dx=-\frac {1}{2} \text {RootSum}\left [-2+4 \text {$\#$1}^4-4 \text {$\#$1}^6+\text {$\#$1}^8\&,\frac {\log \left (\sqrt {1+\sqrt {x+\sqrt {1+x^2}}}-\text {$\#$1}\right ) \text {$\#$1}}{-1+\text {$\#$1}^2}\&\right ]+\frac {1}{2} \text {RootSum}\left [2-8 \text {$\#$1}^2+8 \text {$\#$1}^4-4 \text {$\#$1}^6+\text {$\#$1}^8\&,\frac {\log \left (\sqrt {1+\sqrt {x+\sqrt {1+x^2}}}-\text {$\#$1}\right ) \text {$\#$1}}{-1+\text {$\#$1}^2}\&\right ] \]

[Out]

Unintegrable

Rubi [F]

\[ \int \frac {\sqrt {1+\sqrt {x+\sqrt {1+x^2}}}}{\left (1-x^2\right ) \sqrt {x+\sqrt {1+x^2}}} \, dx=\int \frac {\sqrt {1+\sqrt {x+\sqrt {1+x^2}}}}{\left (1-x^2\right ) \sqrt {x+\sqrt {1+x^2}}} \, dx \]

[In]

Int[Sqrt[1 + Sqrt[x + Sqrt[1 + x^2]]]/((1 - x^2)*Sqrt[x + Sqrt[1 + x^2]]),x]

[Out]

Defer[Int][Sqrt[1 + Sqrt[x + Sqrt[1 + x^2]]]/((1 - x)*Sqrt[x + Sqrt[1 + x^2]]), x]/2 + Defer[Int][Sqrt[1 + Sqr
t[x + Sqrt[1 + x^2]]]/((1 + x)*Sqrt[x + Sqrt[1 + x^2]]), x]/2

Rubi steps \begin{align*} \text {integral}& = \int \left (\frac {\sqrt {1+\sqrt {x+\sqrt {1+x^2}}}}{2 (1-x) \sqrt {x+\sqrt {1+x^2}}}+\frac {\sqrt {1+\sqrt {x+\sqrt {1+x^2}}}}{2 (1+x) \sqrt {x+\sqrt {1+x^2}}}\right ) \, dx \\ & = \frac {1}{2} \int \frac {\sqrt {1+\sqrt {x+\sqrt {1+x^2}}}}{(1-x) \sqrt {x+\sqrt {1+x^2}}} \, dx+\frac {1}{2} \int \frac {\sqrt {1+\sqrt {x+\sqrt {1+x^2}}}}{(1+x) \sqrt {x+\sqrt {1+x^2}}} \, dx \\ \end{align*}

Mathematica [A] (verified)

Time = 0.21 (sec) , antiderivative size = 133, normalized size of antiderivative = 1.00 \[ \int \frac {\sqrt {1+\sqrt {x+\sqrt {1+x^2}}}}{\left (1-x^2\right ) \sqrt {x+\sqrt {1+x^2}}} \, dx=-\frac {1}{2} \text {RootSum}\left [-2+4 \text {$\#$1}^4-4 \text {$\#$1}^6+\text {$\#$1}^8\&,\frac {\log \left (\sqrt {1+\sqrt {x+\sqrt {1+x^2}}}-\text {$\#$1}\right ) \text {$\#$1}}{-1+\text {$\#$1}^2}\&\right ]+\frac {1}{2} \text {RootSum}\left [2-8 \text {$\#$1}^2+8 \text {$\#$1}^4-4 \text {$\#$1}^6+\text {$\#$1}^8\&,\frac {\log \left (\sqrt {1+\sqrt {x+\sqrt {1+x^2}}}-\text {$\#$1}\right ) \text {$\#$1}}{-1+\text {$\#$1}^2}\&\right ] \]

[In]

Integrate[Sqrt[1 + Sqrt[x + Sqrt[1 + x^2]]]/((1 - x^2)*Sqrt[x + Sqrt[1 + x^2]]),x]

[Out]

-1/2*RootSum[-2 + 4*#1^4 - 4*#1^6 + #1^8 & , (Log[Sqrt[1 + Sqrt[x + Sqrt[1 + x^2]]] - #1]*#1)/(-1 + #1^2) & ]
+ RootSum[2 - 8*#1^2 + 8*#1^4 - 4*#1^6 + #1^8 & , (Log[Sqrt[1 + Sqrt[x + Sqrt[1 + x^2]]] - #1]*#1)/(-1 + #1^2)
& ]/2

Maple [N/A] (verified)

Not integrable

Time = 0.02 (sec) , antiderivative size = 36, normalized size of antiderivative = 0.27

\[\int \frac {\sqrt {1+\sqrt {x +\sqrt {x^{2}+1}}}}{\left (-x^{2}+1\right ) \sqrt {x +\sqrt {x^{2}+1}}}d x\]

[In]

int((1+(x+(x^2+1)^(1/2))^(1/2))^(1/2)/(-x^2+1)/(x+(x^2+1)^(1/2))^(1/2),x)

[Out]

int((1+(x+(x^2+1)^(1/2))^(1/2))^(1/2)/(-x^2+1)/(x+(x^2+1)^(1/2))^(1/2),x)

Fricas [C] (verification not implemented)

Result contains higher order function than in optimal. Order 3 vs. order 1.

Time = 1.11 (sec) , antiderivative size = 4633, normalized size of antiderivative = 34.83 \[ \int \frac {\sqrt {1+\sqrt {x+\sqrt {1+x^2}}}}{\left (1-x^2\right ) \sqrt {x+\sqrt {1+x^2}}} \, dx=\text {Too large to display} \]

[In]

integrate((1+(x+(x^2+1)^(1/2))^(1/2))^(1/2)/(-x^2+1)/(x+(x^2+1)^(1/2))^(1/2),x, algorithm="fricas")

[Out]

-1/2*sqrt(sqrt(2) + sqrt(sqrt(2) + 1) + 1)*log(((sqrt(2) + sqrt(sqrt(2) + 1) + 1)^2*(sqrt(2) - sqrt(sqrt(2) +
1) + 3) + (sqrt(2) - sqrt(sqrt(2) + 1) + 1)^3 + ((sqrt(2) - sqrt(sqrt(2) + 1) + 1)^2 - 4*sqrt(2) + 4*sqrt(sqrt
(2) + 1) - 11)*(sqrt(2) + sqrt(sqrt(2) + 1) + 1) - 4*(sqrt(2) - sqrt(sqrt(2) + 1) + 1)^2 - 1)*sqrt(sqrt(2) + s
qrt(sqrt(2) + 1) + 1) + 5*sqrt(sqrt(x + sqrt(x^2 + 1)) + 1)) + 1/2*sqrt(sqrt(2) + sqrt(sqrt(2) + 1) + 1)*log(-
((sqrt(2) + sqrt(sqrt(2) + 1) + 1)^2*(sqrt(2) - sqrt(sqrt(2) + 1) + 3) + (sqrt(2) - sqrt(sqrt(2) + 1) + 1)^3 +
((sqrt(2) - sqrt(sqrt(2) + 1) + 1)^2 - 4*sqrt(2) + 4*sqrt(sqrt(2) + 1) - 11)*(sqrt(2) + sqrt(sqrt(2) + 1) + 1
) - 4*(sqrt(2) - sqrt(sqrt(2) + 1) + 1)^2 - 1)*sqrt(sqrt(2) + sqrt(sqrt(2) + 1) + 1) + 5*sqrt(sqrt(x + sqrt(x^
2 + 1)) + 1)) + 1/2*sqrt(sqrt(2) - sqrt(sqrt(2) + 1) + 1)*log(((sqrt(2) - sqrt(sqrt(2) + 1) + 1)^3 - 6*(sqrt(2
) - sqrt(sqrt(2) + 1) + 1)^2 + 7*sqrt(2) - 7*sqrt(sqrt(2) + 1) + 8)*sqrt(sqrt(2) - sqrt(sqrt(2) + 1) + 1) + 5*
sqrt(sqrt(x + sqrt(x^2 + 1)) + 1)) - 1/2*sqrt(sqrt(2) - sqrt(sqrt(2) + 1) + 1)*log(-((sqrt(2) - sqrt(sqrt(2) +
1) + 1)^3 - 6*(sqrt(2) - sqrt(sqrt(2) + 1) + 1)^2 + 7*sqrt(2) - 7*sqrt(sqrt(2) + 1) + 8)*sqrt(sqrt(2) - sqrt(
sqrt(2) + 1) + 1) + 5*sqrt(sqrt(x + sqrt(x^2 + 1)) + 1)) - 1/2*sqrt(sqrt(2) + sqrt(sqrt(2) - 1) - 1)*log(((3*s
qrt(2) - 3*sqrt(sqrt(2) - 1) - 5)*(sqrt(2) + sqrt(sqrt(2) - 1) - 1)^2 + 3*(sqrt(2) - sqrt(sqrt(2) - 1) - 1)^3
+ (3*(sqrt(2) - sqrt(sqrt(2) - 1) - 1)^2 + 12*sqrt(2) - 12*sqrt(sqrt(2) - 1) - 17)*(sqrt(2) + sqrt(sqrt(2) - 1
) - 1) + 12*(sqrt(2) - sqrt(sqrt(2) - 1) - 1)^2 + 12*sqrt(2) - 12*sqrt(sqrt(2) - 1) - 19)*sqrt(sqrt(2) + sqrt(
sqrt(2) - 1) - 1) + 13*sqrt(sqrt(x + sqrt(x^2 + 1)) + 1)) + 1/2*sqrt(sqrt(2) + sqrt(sqrt(2) - 1) - 1)*log(-((3
*sqrt(2) - 3*sqrt(sqrt(2) - 1) - 5)*(sqrt(2) + sqrt(sqrt(2) - 1) - 1)^2 + 3*(sqrt(2) - sqrt(sqrt(2) - 1) - 1)^
3 + (3*(sqrt(2) - sqrt(sqrt(2) - 1) - 1)^2 + 12*sqrt(2) - 12*sqrt(sqrt(2) - 1) - 17)*(sqrt(2) + sqrt(sqrt(2) -
1) - 1) + 12*(sqrt(2) - sqrt(sqrt(2) - 1) - 1)^2 + 12*sqrt(2) - 12*sqrt(sqrt(2) - 1) - 19)*sqrt(sqrt(2) + sqr
t(sqrt(2) - 1) - 1) + 13*sqrt(sqrt(x + sqrt(x^2 + 1)) + 1)) + 1/2*sqrt(sqrt(2) - sqrt(sqrt(2) - 1) - 1)*log((3
*(sqrt(2) - sqrt(sqrt(2) - 1) - 1)^3 + 14*(sqrt(2) - sqrt(sqrt(2) - 1) - 1)^2 + 17*sqrt(2) - 17*sqrt(sqrt(2) -
1) - 34)*sqrt(sqrt(2) - sqrt(sqrt(2) - 1) - 1) + 13*sqrt(sqrt(x + sqrt(x^2 + 1)) + 1)) - 1/2*sqrt(sqrt(2) - s
qrt(sqrt(2) - 1) - 1)*log(-(3*(sqrt(2) - sqrt(sqrt(2) - 1) - 1)^3 + 14*(sqrt(2) - sqrt(sqrt(2) - 1) - 1)^2 + 1
7*sqrt(2) - 17*sqrt(sqrt(2) - 1) - 34)*sqrt(sqrt(2) - sqrt(sqrt(2) - 1) - 1) + 13*sqrt(sqrt(x + sqrt(x^2 + 1))
+ 1)) + 1/2*sqrt(-sqrt(2) + 2*sqrt(-3/16*(sqrt(2) + sqrt(sqrt(2) + 1) + 1)^2 - 3/16*(sqrt(2) - sqrt(sqrt(2) +
1) + 1)^2 - 1/8*(sqrt(2) + sqrt(sqrt(2) + 1) + 1)*(sqrt(2) - sqrt(sqrt(2) + 1) - 3) + 1/2*sqrt(2) - 1/2*sqrt(
sqrt(2) + 1) + 3/2) + 1)*log(1/2*((sqrt(2) + sqrt(sqrt(2) + 1) + 1)^2*(sqrt(2) - sqrt(sqrt(2) + 1) + 3) + ((sq
rt(2) - sqrt(sqrt(2) + 1) + 1)^2 - 4*sqrt(2) + 4*sqrt(sqrt(2) + 1) - 11)*(sqrt(2) + sqrt(sqrt(2) + 1) + 1) + 2
*(sqrt(2) - sqrt(sqrt(2) + 1) + 1)^2 + 4*sqrt(-3/16*(sqrt(2) + sqrt(sqrt(2) + 1) + 1)^2 - 3/16*(sqrt(2) - sqrt
(sqrt(2) + 1) + 1)^2 - 1/8*(sqrt(2) + sqrt(sqrt(2) + 1) + 1)*(sqrt(2) - sqrt(sqrt(2) + 1) - 3) + 1/2*sqrt(2) -
1/2*sqrt(sqrt(2) + 1) + 3/2)*((sqrt(2) + sqrt(sqrt(2) + 1) + 1)*(sqrt(2) - sqrt(sqrt(2) + 1) + 3) + 2*sqrt(2)
- 2*sqrt(sqrt(2) + 1) + 1) - 7*sqrt(2) + 7*sqrt(sqrt(2) + 1) - 9)*sqrt(-sqrt(2) + 2*sqrt(-3/16*(sqrt(2) + sqr
t(sqrt(2) + 1) + 1)^2 - 3/16*(sqrt(2) - sqrt(sqrt(2) + 1) + 1)^2 - 1/8*(sqrt(2) + sqrt(sqrt(2) + 1) + 1)*(sqrt
(2) - sqrt(sqrt(2) + 1) - 3) + 1/2*sqrt(2) - 1/2*sqrt(sqrt(2) + 1) + 3/2) + 1) + 5*sqrt(sqrt(x + sqrt(x^2 + 1)
) + 1)) - 1/2*sqrt(-sqrt(2) + 2*sqrt(-3/16*(sqrt(2) + sqrt(sqrt(2) + 1) + 1)^2 - 3/16*(sqrt(2) - sqrt(sqrt(2)
+ 1) + 1)^2 - 1/8*(sqrt(2) + sqrt(sqrt(2) + 1) + 1)*(sqrt(2) - sqrt(sqrt(2) + 1) - 3) + 1/2*sqrt(2) - 1/2*sqrt
(sqrt(2) + 1) + 3/2) + 1)*log(-1/2*((sqrt(2) + sqrt(sqrt(2) + 1) + 1)^2*(sqrt(2) - sqrt(sqrt(2) + 1) + 3) + ((
sqrt(2) - sqrt(sqrt(2) + 1) + 1)^2 - 4*sqrt(2) + 4*sqrt(sqrt(2) + 1) - 11)*(sqrt(2) + sqrt(sqrt(2) + 1) + 1) +
2*(sqrt(2) - sqrt(sqrt(2) + 1) + 1)^2 + 4*sqrt(-3/16*(sqrt(2) + sqrt(sqrt(2) + 1) + 1)^2 - 3/16*(sqrt(2) - sq
rt(sqrt(2) + 1) + 1)^2 - 1/8*(sqrt(2) + sqrt(sqrt(2) + 1) + 1)*(sqrt(2) - sqrt(sqrt(2) + 1) - 3) + 1/2*sqrt(2)
- 1/2*sqrt(sqrt(2) + 1) + 3/2)*((sqrt(2) + sqrt(sqrt(2) + 1) + 1)*(sqrt(2) - sqrt(sqrt(2) + 1) + 3) + 2*sqrt(
2) - 2*sqrt(sqrt(2) + 1) + 1) - 7*sqrt(2) + 7*sqrt(sqrt(2) + 1) - 9)*sqrt(-sqrt(2) + 2*sqrt(-3/16*(sqrt(2) + s
qrt(sqrt(2) + 1) + 1)^2 - 3/16*(sqrt(2) - sqrt(sqrt(2) + 1) + 1)^2 - 1/8*(sqrt(2) + sqrt(sqrt(2) + 1) + 1)*(sq
rt(2) - sqrt(sqrt(2) + 1) - 3) + 1/2*sqrt(2) - 1/2*sqrt(sqrt(2) + 1) + 3/2) + 1) + 5*sqrt(sqrt(x + sqrt(x^2 +
1)) + 1)) + 1/2*sqrt(-sqrt(2) - 2*sqrt(-3/16*(sqrt(2) + sqrt(sqrt(2) + 1) + 1)^2 - 3/16*(sqrt(2) - sqrt(sqrt(2
) + 1) + 1)^2 - 1/8*(sqrt(2) + sqrt(sqrt(2) + 1) + 1)*(sqrt(2) - sqrt(sqrt(2) + 1) - 3) + 1/2*sqrt(2) - 1/2*sq
rt(sqrt(2) + 1) + 3/2) + 1)*log(1/2*((sqrt(2) + sqrt(sqrt(2) + 1) + 1)^2*(sqrt(2) - sqrt(sqrt(2) + 1) + 3) + (
(sqrt(2) - sqrt(sqrt(2) + 1) + 1)^2 - 4*sqrt(2) + 4*sqrt(sqrt(2) + 1) - 11)*(sqrt(2) + sqrt(sqrt(2) + 1) + 1)
+ 2*(sqrt(2) - sqrt(sqrt(2) + 1) + 1)^2 - 4*sqrt(-3/16*(sqrt(2) + sqrt(sqrt(2) + 1) + 1)^2 - 3/16*(sqrt(2) - s
qrt(sqrt(2) + 1) + 1)^2 - 1/8*(sqrt(2) + sqrt(sqrt(2) + 1) + 1)*(sqrt(2) - sqrt(sqrt(2) + 1) - 3) + 1/2*sqrt(2
) - 1/2*sqrt(sqrt(2) + 1) + 3/2)*((sqrt(2) + sqrt(sqrt(2) + 1) + 1)*(sqrt(2) - sqrt(sqrt(2) + 1) + 3) + 2*sqrt
(2) - 2*sqrt(sqrt(2) + 1) + 1) - 7*sqrt(2) + 7*sqrt(sqrt(2) + 1) - 9)*sqrt(-sqrt(2) - 2*sqrt(-3/16*(sqrt(2) +
sqrt(sqrt(2) + 1) + 1)^2 - 3/16*(sqrt(2) - sqrt(sqrt(2) + 1) + 1)^2 - 1/8*(sqrt(2) + sqrt(sqrt(2) + 1) + 1)*(s
qrt(2) - sqrt(sqrt(2) + 1) - 3) + 1/2*sqrt(2) - 1/2*sqrt(sqrt(2) + 1) + 3/2) + 1) + 5*sqrt(sqrt(x + sqrt(x^2 +
1)) + 1)) - 1/2*sqrt(-sqrt(2) - 2*sqrt(-3/16*(sqrt(2) + sqrt(sqrt(2) + 1) + 1)^2 - 3/16*(sqrt(2) - sqrt(sqrt(
2) + 1) + 1)^2 - 1/8*(sqrt(2) + sqrt(sqrt(2) + 1) + 1)*(sqrt(2) - sqrt(sqrt(2) + 1) - 3) + 1/2*sqrt(2) - 1/2*s
qrt(sqrt(2) + 1) + 3/2) + 1)*log(-1/2*((sqrt(2) + sqrt(sqrt(2) + 1) + 1)^2*(sqrt(2) - sqrt(sqrt(2) + 1) + 3) +
((sqrt(2) - sqrt(sqrt(2) + 1) + 1)^2 - 4*sqrt(2) + 4*sqrt(sqrt(2) + 1) - 11)*(sqrt(2) + sqrt(sqrt(2) + 1) + 1
) + 2*(sqrt(2) - sqrt(sqrt(2) + 1) + 1)^2 - 4*sqrt(-3/16*(sqrt(2) + sqrt(sqrt(2) + 1) + 1)^2 - 3/16*(sqrt(2) -
sqrt(sqrt(2) + 1) + 1)^2 - 1/8*(sqrt(2) + sqrt(sqrt(2) + 1) + 1)*(sqrt(2) - sqrt(sqrt(2) + 1) - 3) + 1/2*sqrt
(2) - 1/2*sqrt(sqrt(2) + 1) + 3/2)*((sqrt(2) + sqrt(sqrt(2) + 1) + 1)*(sqrt(2) - sqrt(sqrt(2) + 1) + 3) + 2*sq
rt(2) - 2*sqrt(sqrt(2) + 1) + 1) - 7*sqrt(2) + 7*sqrt(sqrt(2) + 1) - 9)*sqrt(-sqrt(2) - 2*sqrt(-3/16*(sqrt(2)
+ sqrt(sqrt(2) + 1) + 1)^2 - 3/16*(sqrt(2) - sqrt(sqrt(2) + 1) + 1)^2 - 1/8*(sqrt(2) + sqrt(sqrt(2) + 1) + 1)*
(sqrt(2) - sqrt(sqrt(2) + 1) - 3) + 1/2*sqrt(2) - 1/2*sqrt(sqrt(2) + 1) + 3/2) + 1) + 5*sqrt(sqrt(x + sqrt(x^2
+ 1)) + 1)) + 1/2*sqrt(-sqrt(2) + 2*sqrt(-3/16*(sqrt(2) + sqrt(sqrt(2) - 1) - 1)^2 - 1/8*(sqrt(2) + sqrt(sqrt
(2) - 1) - 1)*(sqrt(2) - sqrt(sqrt(2) - 1) + 3) - 3/16*(sqrt(2) - sqrt(sqrt(2) - 1) - 1)^2 - 1/2*sqrt(2) + 1/2
*sqrt(sqrt(2) - 1) + 1/2) - 1)*log(1/2*((3*sqrt(2) - 3*sqrt(sqrt(2) - 1) - 5)*(sqrt(2) + sqrt(sqrt(2) - 1) - 1
)^2 + (3*(sqrt(2) - sqrt(sqrt(2) - 1) - 1)^2 + 12*sqrt(2) - 12*sqrt(sqrt(2) - 1) - 17)*(sqrt(2) + sqrt(sqrt(2)
- 1) - 1) - 2*(sqrt(2) - sqrt(sqrt(2) - 1) - 1)^2 + 4*((3*sqrt(2) - 3*sqrt(sqrt(2) - 1) - 5)*(sqrt(2) + sqrt(
sqrt(2) - 1) - 1) - 2*sqrt(2) + 2*sqrt(sqrt(2) - 1) - 1)*sqrt(-3/16*(sqrt(2) + sqrt(sqrt(2) - 1) - 1)^2 - 1/8*
(sqrt(2) + sqrt(sqrt(2) - 1) - 1)*(sqrt(2) - sqrt(sqrt(2) - 1) + 3) - 3/16*(sqrt(2) - sqrt(sqrt(2) - 1) - 1)^2
- 1/2*sqrt(2) + 1/2*sqrt(sqrt(2) - 1) + 1/2) - 5*sqrt(2) + 5*sqrt(sqrt(2) - 1) + 15)*sqrt(-sqrt(2) + 2*sqrt(-
3/16*(sqrt(2) + sqrt(sqrt(2) - 1) - 1)^2 - 1/8*(sqrt(2) + sqrt(sqrt(2) - 1) - 1)*(sqrt(2) - sqrt(sqrt(2) - 1)
+ 3) - 3/16*(sqrt(2) - sqrt(sqrt(2) - 1) - 1)^2 - 1/2*sqrt(2) + 1/2*sqrt(sqrt(2) - 1) + 1/2) - 1) + 13*sqrt(sq
rt(x + sqrt(x^2 + 1)) + 1)) - 1/2*sqrt(-sqrt(2) + 2*sqrt(-3/16*(sqrt(2) + sqrt(sqrt(2) - 1) - 1)^2 - 1/8*(sqrt
(2) + sqrt(sqrt(2) - 1) - 1)*(sqrt(2) - sqrt(sqrt(2) - 1) + 3) - 3/16*(sqrt(2) - sqrt(sqrt(2) - 1) - 1)^2 - 1/
2*sqrt(2) + 1/2*sqrt(sqrt(2) - 1) + 1/2) - 1)*log(-1/2*((3*sqrt(2) - 3*sqrt(sqrt(2) - 1) - 5)*(sqrt(2) + sqrt(
sqrt(2) - 1) - 1)^2 + (3*(sqrt(2) - sqrt(sqrt(2) - 1) - 1)^2 + 12*sqrt(2) - 12*sqrt(sqrt(2) - 1) - 17)*(sqrt(2
) + sqrt(sqrt(2) - 1) - 1) - 2*(sqrt(2) - sqrt(sqrt(2) - 1) - 1)^2 + 4*((3*sqrt(2) - 3*sqrt(sqrt(2) - 1) - 5)*
(sqrt(2) + sqrt(sqrt(2) - 1) - 1) - 2*sqrt(2) + 2*sqrt(sqrt(2) - 1) - 1)*sqrt(-3/16*(sqrt(2) + sqrt(sqrt(2) -
1) - 1)^2 - 1/8*(sqrt(2) + sqrt(sqrt(2) - 1) - 1)*(sqrt(2) - sqrt(sqrt(2) - 1) + 3) - 3/16*(sqrt(2) - sqrt(sqr
t(2) - 1) - 1)^2 - 1/2*sqrt(2) + 1/2*sqrt(sqrt(2) - 1) + 1/2) - 5*sqrt(2) + 5*sqrt(sqrt(2) - 1) + 15)*sqrt(-sq
rt(2) + 2*sqrt(-3/16*(sqrt(2) + sqrt(sqrt(2) - 1) - 1)^2 - 1/8*(sqrt(2) + sqrt(sqrt(2) - 1) - 1)*(sqrt(2) - sq
rt(sqrt(2) - 1) + 3) - 3/16*(sqrt(2) - sqrt(sqrt(2) - 1) - 1)^2 - 1/2*sqrt(2) + 1/2*sqrt(sqrt(2) - 1) + 1/2) -
1) + 13*sqrt(sqrt(x + sqrt(x^2 + 1)) + 1)) + 1/2*sqrt(-sqrt(2) - 2*sqrt(-3/16*(sqrt(2) + sqrt(sqrt(2) - 1) -
1)^2 - 1/8*(sqrt(2) + sqrt(sqrt(2) - 1) - 1)*(sqrt(2) - sqrt(sqrt(2) - 1) + 3) - 3/16*(sqrt(2) - sqrt(sqrt(2)
- 1) - 1)^2 - 1/2*sqrt(2) + 1/2*sqrt(sqrt(2) - 1) + 1/2) - 1)*log(1/2*((3*sqrt(2) - 3*sqrt(sqrt(2) - 1) - 5)*(
sqrt(2) + sqrt(sqrt(2) - 1) - 1)^2 + (3*(sqrt(2) - sqrt(sqrt(2) - 1) - 1)^2 + 12*sqrt(2) - 12*sqrt(sqrt(2) - 1
) - 17)*(sqrt(2) + sqrt(sqrt(2) - 1) - 1) - 2*(sqrt(2) - sqrt(sqrt(2) - 1) - 1)^2 - 4*((3*sqrt(2) - 3*sqrt(sqr
t(2) - 1) - 5)*(sqrt(2) + sqrt(sqrt(2) - 1) - 1) - 2*sqrt(2) + 2*sqrt(sqrt(2) - 1) - 1)*sqrt(-3/16*(sqrt(2) +
sqrt(sqrt(2) - 1) - 1)^2 - 1/8*(sqrt(2) + sqrt(sqrt(2) - 1) - 1)*(sqrt(2) - sqrt(sqrt(2) - 1) + 3) - 3/16*(sqr
t(2) - sqrt(sqrt(2) - 1) - 1)^2 - 1/2*sqrt(2) + 1/2*sqrt(sqrt(2) - 1) + 1/2) - 5*sqrt(2) + 5*sqrt(sqrt(2) - 1)
+ 15)*sqrt(-sqrt(2) - 2*sqrt(-3/16*(sqrt(2) + sqrt(sqrt(2) - 1) - 1)^2 - 1/8*(sqrt(2) + sqrt(sqrt(2) - 1) - 1
)*(sqrt(2) - sqrt(sqrt(2) - 1) + 3) - 3/16*(sqrt(2) - sqrt(sqrt(2) - 1) - 1)^2 - 1/2*sqrt(2) + 1/2*sqrt(sqrt(2
) - 1) + 1/2) - 1) + 13*sqrt(sqrt(x + sqrt(x^2 + 1)) + 1)) - 1/2*sqrt(-sqrt(2) - 2*sqrt(-3/16*(sqrt(2) + sqrt(
sqrt(2) - 1) - 1)^2 - 1/8*(sqrt(2) + sqrt(sqrt(2) - 1) - 1)*(sqrt(2) - sqrt(sqrt(2) - 1) + 3) - 3/16*(sqrt(2)
- sqrt(sqrt(2) - 1) - 1)^2 - 1/2*sqrt(2) + 1/2*sqrt(sqrt(2) - 1) + 1/2) - 1)*log(-1/2*((3*sqrt(2) - 3*sqrt(sqr
t(2) - 1) - 5)*(sqrt(2) + sqrt(sqrt(2) - 1) - 1)^2 + (3*(sqrt(2) - sqrt(sqrt(2) - 1) - 1)^2 + 12*sqrt(2) - 12*
sqrt(sqrt(2) - 1) - 17)*(sqrt(2) + sqrt(sqrt(2) - 1) - 1) - 2*(sqrt(2) - sqrt(sqrt(2) - 1) - 1)^2 - 4*((3*sqrt
(2) - 3*sqrt(sqrt(2) - 1) - 5)*(sqrt(2) + sqrt(sqrt(2) - 1) - 1) - 2*sqrt(2) + 2*sqrt(sqrt(2) - 1) - 1)*sqrt(-
3/16*(sqrt(2) + sqrt(sqrt(2) - 1) - 1)^2 - 1/8*(sqrt(2) + sqrt(sqrt(2) - 1) - 1)*(sqrt(2) - sqrt(sqrt(2) - 1)
+ 3) - 3/16*(sqrt(2) - sqrt(sqrt(2) - 1) - 1)^2 - 1/2*sqrt(2) + 1/2*sqrt(sqrt(2) - 1) + 1/2) - 5*sqrt(2) + 5*s
qrt(sqrt(2) - 1) + 15)*sqrt(-sqrt(2) - 2*sqrt(-3/16*(sqrt(2) + sqrt(sqrt(2) - 1) - 1)^2 - 1/8*(sqrt(2) + sqrt(
sqrt(2) - 1) - 1)*(sqrt(2) - sqrt(sqrt(2) - 1) + 3) - 3/16*(sqrt(2) - sqrt(sqrt(2) - 1) - 1)^2 - 1/2*sqrt(2) +
1/2*sqrt(sqrt(2) - 1) + 1/2) - 1) + 13*sqrt(sqrt(x + sqrt(x^2 + 1)) + 1))

Sympy [N/A]

Not integrable

Time = 5.13 (sec) , antiderivative size = 51, normalized size of antiderivative = 0.38 \[ \int \frac {\sqrt {1+\sqrt {x+\sqrt {1+x^2}}}}{\left (1-x^2\right ) \sqrt {x+\sqrt {1+x^2}}} \, dx=- \int \frac {\sqrt {\sqrt {x + \sqrt {x^{2} + 1}} + 1}}{x^{2} \sqrt {x + \sqrt {x^{2} + 1}} - \sqrt {x + \sqrt {x^{2} + 1}}}\, dx \]

[In]

integrate((1+(x+(x**2+1)**(1/2))**(1/2))**(1/2)/(-x**2+1)/(x+(x**2+1)**(1/2))**(1/2),x)

[Out]

-Integral(sqrt(sqrt(x + sqrt(x**2 + 1)) + 1)/(x**2*sqrt(x + sqrt(x**2 + 1)) - sqrt(x + sqrt(x**2 + 1))), x)

Maxima [N/A]

Not integrable

Time = 0.61 (sec) , antiderivative size = 38, normalized size of antiderivative = 0.29 \[ \int \frac {\sqrt {1+\sqrt {x+\sqrt {1+x^2}}}}{\left (1-x^2\right ) \sqrt {x+\sqrt {1+x^2}}} \, dx=\int { -\frac {\sqrt {\sqrt {x + \sqrt {x^{2} + 1}} + 1}}{{\left (x^{2} - 1\right )} \sqrt {x + \sqrt {x^{2} + 1}}} \,d x } \]

[In]

integrate((1+(x+(x^2+1)^(1/2))^(1/2))^(1/2)/(-x^2+1)/(x+(x^2+1)^(1/2))^(1/2),x, algorithm="maxima")

[Out]

-integrate(sqrt(sqrt(x + sqrt(x^2 + 1)) + 1)/((x^2 - 1)*sqrt(x + sqrt(x^2 + 1))), x)

Giac [F(-1)]

Timed out. \[ \int \frac {\sqrt {1+\sqrt {x+\sqrt {1+x^2}}}}{\left (1-x^2\right ) \sqrt {x+\sqrt {1+x^2}}} \, dx=\text {Timed out} \]

[In]

integrate((1+(x+(x^2+1)^(1/2))^(1/2))^(1/2)/(-x^2+1)/(x+(x^2+1)^(1/2))^(1/2),x, algorithm="giac")

[Out]

Timed out

Mupad [N/A]

Not integrable

Time = 6.27 (sec) , antiderivative size = 38, normalized size of antiderivative = 0.29 \[ \int \frac {\sqrt {1+\sqrt {x+\sqrt {1+x^2}}}}{\left (1-x^2\right ) \sqrt {x+\sqrt {1+x^2}}} \, dx=-\int \frac {\sqrt {\sqrt {x+\sqrt {x^2+1}}+1}}{\left (x^2-1\right )\,\sqrt {x+\sqrt {x^2+1}}} \,d x \]

[In]

int(-((x + (x^2 + 1)^(1/2))^(1/2) + 1)^(1/2)/((x^2 - 1)*(x + (x^2 + 1)^(1/2))^(1/2)),x)

[Out]

-int(((x + (x^2 + 1)^(1/2))^(1/2) + 1)^(1/2)/((x^2 - 1)*(x + (x^2 + 1)^(1/2))^(1/2)), x)