\(\int \frac {(a+b \sec (d+e x)+c \tan (d+e x))^{3/2}}{\sec ^{\frac {3}{2}}(d+e x)} \, dx\) [448]

Optimal result

Integrand size = 33, antiderivative size = 371 \[ \int \frac {(a+b \sec (d+e x)+c \tan (d+e x))^{3/2}}{\sec ^{\frac {3}{2}}(d+e x)} \, dx=-\frac {2 (c \cos (d+e x)-a \sin (d+e x)) (a+b \sec (d+e x)+c \tan (d+e x))^{3/2}}{3 e \sec ^{\frac {3}{2}}(d+e x) (b+a \cos (d+e x)+c \sin (d+e x))}+\frac {8 b E\left (\frac {1}{2} \left (d+e x-\tan ^{-1}(a,c)\right )|\frac {2 \sqrt {a^2+c^2}}{b+\sqrt {a^2+c^2}}\right ) (a+b \sec (d+e x)+c \tan (d+e x))^{3/2}}{3 e \sec ^{\frac {3}{2}}(d+e x) (b+a \cos (d+e x)+c \sin (d+e x)) \sqrt {\frac {b+a \cos (d+e x)+c \sin (d+e x)}{b+\sqrt {a^2+c^2}}}}+\frac {2 \left (a^2-b^2+c^2\right ) \operatorname {EllipticF}\left (\frac {1}{2} \left (d+e x-\tan ^{-1}(a,c)\right ),\frac {2 \sqrt {a^2+c^2}}{b+\sqrt {a^2+c^2}}\right ) \sqrt {\frac {b+a \cos (d+e x)+c \sin (d+e x)}{b+\sqrt {a^2+c^2}}} (a+b \sec (d+e x)+c \tan (d+e x))^{3/2}}{3 e \sec ^{\frac {3}{2}}(d+e x) (b+a \cos (d+e x)+c \sin (d+e x))^2} \]

[Out]

-2/3*(c*cos(e*x+d)-a*sin(e*x+d))*(a+b*sec(e*x+d)+c*tan(e*x+d))^(3/2)/e/sec(e*x+d)^(3/2)/(b+a*cos(e*x+d)+c*sin(
e*x+d))+8/3*b*(cos(1/2*d+1/2*e*x-1/2*arctan(a,c))^2)^(1/2)/cos(1/2*d+1/2*e*x-1/2*arctan(a,c))*EllipticE(sin(1/
2*d+1/2*e*x-1/2*arctan(a,c)),2^(1/2)*((a^2+c^2)^(1/2)/(b+(a^2+c^2)^(1/2)))^(1/2))*(a+b*sec(e*x+d)+c*tan(e*x+d)
)^(3/2)/e/sec(e*x+d)^(3/2)/(b+a*cos(e*x+d)+c*sin(e*x+d))/((b+a*cos(e*x+d)+c*sin(e*x+d))/(b+(a^2+c^2)^(1/2)))^(
1/2)+2/3*(a^2-b^2+c^2)*(cos(1/2*d+1/2*e*x-1/2*arctan(a,c))^2)^(1/2)/cos(1/2*d+1/2*e*x-1/2*arctan(a,c))*Ellipti
cF(sin(1/2*d+1/2*e*x-1/2*arctan(a,c)),2^(1/2)*((a^2+c^2)^(1/2)/(b+(a^2+c^2)^(1/2)))^(1/2))*((b+a*cos(e*x+d)+c*
sin(e*x+d))/(b+(a^2+c^2)^(1/2)))^(1/2)*(a+b*sec(e*x+d)+c*tan(e*x+d))^(3/2)/e/sec(e*x+d)^(3/2)/(b+a*cos(e*x+d)+
c*sin(e*x+d))^2

Rubi [A] (verified)

Time = 0.54 (sec) , antiderivative size = 371, normalized size of antiderivative = 1.00, number of steps used = 7, number of rules used = 7, \(\frac {\text {number of rules}}{\text {integrand size}}\) = 0.212, Rules used = {3246, 3199, 3228, 3198, 2732, 3206, 2740} \[ \int \frac {(a+b \sec (d+e x)+c \tan (d+e x))^{3/2}}{\sec ^{\frac {3}{2}}(d+e x)} \, dx=\frac {2 \left (a^2-b^2+c^2\right ) \sqrt {\frac {a \cos (d+e x)+b+c \sin (d+e x)}{\sqrt {a^2+c^2}+b}} (a+b \sec (d+e x)+c \tan (d+e x))^{3/2} \operatorname {EllipticF}\left (\frac {1}{2} \left (d+e x-\tan ^{-1}(a,c)\right ),\frac {2 \sqrt {a^2+c^2}}{b+\sqrt {a^2+c^2}}\right )}{3 e \sec ^{\frac {3}{2}}(d+e x) (a \cos (d+e x)+b+c \sin (d+e x))^2}+\frac {8 b (a+b \sec (d+e x)+c \tan (d+e x))^{3/2} E\left (\frac {1}{2} \left (d+e x-\tan ^{-1}(a,c)\right )|\frac {2 \sqrt {a^2+c^2}}{b+\sqrt {a^2+c^2}}\right )}{3 e \sec ^{\frac {3}{2}}(d+e x) (a \cos (d+e x)+b+c \sin (d+e x)) \sqrt {\frac {a \cos (d+e x)+b+c \sin (d+e x)}{\sqrt {a^2+c^2}+b}}}-\frac {2 (c \cos (d+e x)-a \sin (d+e x)) (a+b \sec (d+e x)+c \tan (d+e x))^{3/2}}{3 e \sec ^{\frac {3}{2}}(d+e x) (a \cos (d+e x)+b+c \sin (d+e x))} \]

[In]

Int[(a + b*Sec[d + e*x] + c*Tan[d + e*x])^(3/2)/Sec[d + e*x]^(3/2),x]

[Out]

(-2*(c*Cos[d + e*x] - a*Sin[d + e*x])*(a + b*Sec[d + e*x] + c*Tan[d + e*x])^(3/2))/(3*e*Sec[d + e*x]^(3/2)*(b
+ a*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x])) + (8*b*EllipticE[(d + e*x - ArcTan[a, c])/2, (2*Sqrt[a^2 + c^2])/(b + Sqrt
[a^2 + c^2])]*(a + b*Sec[d + e*x] + c*Tan[d + e*x])^(3/2))/(3*e*Sec[d + e*x]^(3/2)*(b + a*Cos[d + e*x] + c*Sin
[d + e*x])*Sqrt[(b + a*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x])/(b + Sqrt[a^2 + c^2])]) + (2*(a^2 - b^2 + c^2)*EllipticF
[(d + e*x - ArcTan[a, c])/2, (2*Sqrt[a^2 + c^2])/(b + Sqrt[a^2 + c^2])]*Sqrt[(b + a*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e
*x])/(b + Sqrt[a^2 + c^2])]*(a + b*Sec[d + e*x] + c*Tan[d + e*x])^(3/2))/(3*e*Sec[d + e*x]^(3/2)*(b + a*Cos[d
+ e*x] + c*Sin[d + e*x])^2)

Rule 2732

Int[Sqrt[(a_) + (b_.)*sin[(c_.) + (d_.)*(x_)]], x_Symbol] :> Simp[2*(Sqrt[a + b]/d)*EllipticE[(1/2)*(c - Pi/2
+ d*x), 2*(b/(a + b))], x] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && NeQ[a^2 - b^2, 0] && GtQ[a + b, 0]

Rule 2740

Int[1/Sqrt[(a_) + (b_.)*sin[(c_.) + (d_.)*(x_)]], x_Symbol] :> Simp[(2/(d*Sqrt[a + b]))*EllipticF[(1/2)*(c - P
i/2 + d*x), 2*(b/(a + b))], x] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && NeQ[a^2 - b^2, 0] && GtQ[a + b, 0]

Rule 3198

Int[Sqrt[cos[(d_.) + (e_.)*(x_)]*(b_.) + (a_) + (c_.)*sin[(d_.) + (e_.)*(x_)]], x_Symbol] :> Dist[Sqrt[a + b*C
os[d + e*x] + c*Sin[d + e*x]]/Sqrt[(a + b*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x])/(a + Sqrt[b^2 + c^2])], Int[Sqrt[a/(a
+ Sqrt[b^2 + c^2]) + (Sqrt[b^2 + c^2]/(a + Sqrt[b^2 + c^2]))*Cos[d + e*x - ArcTan[b, c]]], x], x] /; FreeQ[{a
, b, c, d, e}, x] && NeQ[a^2 - b^2 - c^2, 0] && NeQ[b^2 + c^2, 0] &&  !GtQ[a + Sqrt[b^2 + c^2], 0]

Rule 3199

Int[(cos[(d_.) + (e_.)*(x_)]*(b_.) + (a_) + (c_.)*sin[(d_.) + (e_.)*(x_)])^(n_), x_Symbol] :> Simp[(-(c*Cos[d
+ e*x] - b*Sin[d + e*x]))*((a + b*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x])^(n - 1)/(e*n)), x] + Dist[1/n, Int[Simp[n*a^2
+ (n - 1)*(b^2 + c^2) + a*b*(2*n - 1)*Cos[d + e*x] + a*c*(2*n - 1)*Sin[d + e*x], x]*(a + b*Cos[d + e*x] + c*S
in[d + e*x])^(n - 2), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && NeQ[a^2 - b^2 - c^2, 0] && GtQ[n, 1]

Rule 3206

Int[1/Sqrt[cos[(d_.) + (e_.)*(x_)]*(b_.) + (a_) + (c_.)*sin[(d_.) + (e_.)*(x_)]], x_Symbol] :> Dist[Sqrt[(a +
b*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x])/(a + Sqrt[b^2 + c^2])]/Sqrt[a + b*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x]], Int[1/Sqrt[
a/(a + Sqrt[b^2 + c^2]) + (Sqrt[b^2 + c^2]/(a + Sqrt[b^2 + c^2]))*Cos[d + e*x - ArcTan[b, c]]], x], x] /; Free
Q[{a, b, c, d, e}, x] && NeQ[a^2 - b^2 - c^2, 0] && NeQ[b^2 + c^2, 0] &&  !GtQ[a + Sqrt[b^2 + c^2], 0]

Rule 3228

Int[((A_.) + cos[(d_.) + (e_.)*(x_)]*(B_.) + (C_.)*sin[(d_.) + (e_.)*(x_)])/Sqrt[cos[(d_.) + (e_.)*(x_)]*(b_.)
+ (a_) + (c_.)*sin[(d_.) + (e_.)*(x_)]], x_Symbol] :> Dist[B/b, Int[Sqrt[a + b*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x]]
, x], x] + Dist[(A*b - a*B)/b, Int[1/Sqrt[a + b*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x]], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e
, A, B, C}, x] && EqQ[B*c - b*C, 0] && NeQ[A*b - a*B, 0]

Rule 3246

Int[sec[(d_.) + (e_.)*(x_)]^(n_.)*((a_.) + (b_.)*sec[(d_.) + (e_.)*(x_)] + (c_.)*tan[(d_.) + (e_.)*(x_)])^(m_)
, x_Symbol] :> Dist[Sec[d + e*x]^n*((b + a*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x])^n/(a + b*Sec[d + e*x] + c*Tan[d + e*
x])^n), Int[1/(b + a*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x])^n, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && EqQ[m + n, 0] &&
!IntegerQ[n]

Rubi steps \begin{align*} \text {integral}& = \frac {(a+b \sec (d+e x)+c \tan (d+e x))^{3/2} \int (b+a \cos (d+e x)+c \sin (d+e x))^{3/2} \, dx}{\sec ^{\frac {3}{2}}(d+e x) (b+a \cos (d+e x)+c \sin (d+e x))^{3/2}} \\ & = -\frac {2 (c \cos (d+e x)-a \sin (d+e x)) (a+b \sec (d+e x)+c \tan (d+e x))^{3/2}}{3 e \sec ^{\frac {3}{2}}(d+e x) (b+a \cos (d+e x)+c \sin (d+e x))}+\frac {\left (2 (a+b \sec (d+e x)+c \tan (d+e x))^{3/2}\right ) \int \frac {\frac {1}{2} \left (a^2+3 b^2+c^2\right )+2 a b \cos (d+e x)+2 b c \sin (d+e x)}{\sqrt {b+a \cos (d+e x)+c \sin (d+e x)}} \, dx}{3 \sec ^{\frac {3}{2}}(d+e x) (b+a \cos (d+e x)+c \sin (d+e x))^{3/2}} \\ & = -\frac {2 (c \cos (d+e x)-a \sin (d+e x)) (a+b \sec (d+e x)+c \tan (d+e x))^{3/2}}{3 e \sec ^{\frac {3}{2}}(d+e x) (b+a \cos (d+e x)+c \sin (d+e x))}+\frac {\left (4 b (a+b \sec (d+e x)+c \tan (d+e x))^{3/2}\right ) \int \sqrt {b+a \cos (d+e x)+c \sin (d+e x)} \, dx}{3 \sec ^{\frac {3}{2}}(d+e x) (b+a \cos (d+e x)+c \sin (d+e x))^{3/2}}+\frac {\left (\left (a^2-b^2+c^2\right ) (a+b \sec (d+e x)+c \tan (d+e x))^{3/2}\right ) \int \frac {1}{\sqrt {b+a \cos (d+e x)+c \sin (d+e x)}} \, dx}{3 \sec ^{\frac {3}{2}}(d+e x) (b+a \cos (d+e x)+c \sin (d+e x))^{3/2}} \\ & = -\frac {2 (c \cos (d+e x)-a \sin (d+e x)) (a+b \sec (d+e x)+c \tan (d+e x))^{3/2}}{3 e \sec ^{\frac {3}{2}}(d+e x) (b+a \cos (d+e x)+c \sin (d+e x))}+\frac {\left (4 b (a+b \sec (d+e x)+c \tan (d+e x))^{3/2}\right ) \int \sqrt {\frac {b}{b+\sqrt {a^2+c^2}}+\frac {\sqrt {a^2+c^2} \cos \left (d+e x-\tan ^{-1}(a,c)\right )}{b+\sqrt {a^2+c^2}}} \, dx}{3 \sec ^{\frac {3}{2}}(d+e x) (b+a \cos (d+e x)+c \sin (d+e x)) \sqrt {\frac {b+a \cos (d+e x)+c \sin (d+e x)}{b+\sqrt {a^2+c^2}}}}+\frac {\left (\left (a^2-b^2+c^2\right ) \sqrt {\frac {b+a \cos (d+e x)+c \sin (d+e x)}{b+\sqrt {a^2+c^2}}} (a+b \sec (d+e x)+c \tan (d+e x))^{3/2}\right ) \int \frac {1}{\sqrt {\frac {b}{b+\sqrt {a^2+c^2}}+\frac {\sqrt {a^2+c^2} \cos \left (d+e x-\tan ^{-1}(a,c)\right )}{b+\sqrt {a^2+c^2}}}} \, dx}{3 \sec ^{\frac {3}{2}}(d+e x) (b+a \cos (d+e x)+c \sin (d+e x))^2} \\ & = -\frac {2 (c \cos (d+e x)-a \sin (d+e x)) (a+b \sec (d+e x)+c \tan (d+e x))^{3/2}}{3 e \sec ^{\frac {3}{2}}(d+e x) (b+a \cos (d+e x)+c \sin (d+e x))}+\frac {8 b E\left (\frac {1}{2} \left (d+e x-\tan ^{-1}(a,c)\right )|\frac {2 \sqrt {a^2+c^2}}{b+\sqrt {a^2+c^2}}\right ) (a+b \sec (d+e x)+c \tan (d+e x))^{3/2}}{3 e \sec ^{\frac {3}{2}}(d+e x) (b+a \cos (d+e x)+c \sin (d+e x)) \sqrt {\frac {b+a \cos (d+e x)+c \sin (d+e x)}{b+\sqrt {a^2+c^2}}}}+\frac {2 \left (a^2-b^2+c^2\right ) \operatorname {EllipticF}\left (\frac {1}{2} \left (d+e x-\tan ^{-1}(a,c)\right ),\frac {2 \sqrt {a^2+c^2}}{b+\sqrt {a^2+c^2}}\right ) \sqrt {\frac {b+a \cos (d+e x)+c \sin (d+e x)}{b+\sqrt {a^2+c^2}}} (a+b \sec (d+e x)+c \tan (d+e x))^{3/2}}{3 e \sec ^{\frac {3}{2}}(d+e x) (b+a \cos (d+e x)+c \sin (d+e x))^2} \\ \end{align*}

Mathematica [C] (warning: unable to verify)

Result contains higher order function than in optimal. Order 6 vs. order 4 in optimal.

Time = 6.82 (sec) , antiderivative size = 2490, normalized size of antiderivative = 6.71 \[ \int \frac {(a+b \sec (d+e x)+c \tan (d+e x))^{3/2}}{\sec ^{\frac {3}{2}}(d+e x)} \, dx=\text {Result too large to show} \]

[In]

Integrate[(a + b*Sec[d + e*x] + c*Tan[d + e*x])^(3/2)/Sec[d + e*x]^(3/2),x]

[Out]

(((8*a*b)/(3*c) - (2*c*Cos[d + e*x])/3 + (2*a*Sin[d + e*x])/3)*(a + b*Sec[d + e*x] + c*Tan[d + e*x])^(3/2))/(e
*Sec[d + e*x]^(3/2)*(b + a*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x])) + (2*a^2*AppellF1[1/2, 1/2, 1/2, 3/2, -((b + Sqrt[1
+ a^2/c^2]*c*Sin[d + e*x + ArcTan[a/c]])/(Sqrt[1 + a^2/c^2]*(1 - b/(Sqrt[1 + a^2/c^2]*c))*c)), -((b + Sqrt[1
+ a^2/c^2]*c*Sin[d + e*x + ArcTan[a/c]])/(Sqrt[1 + a^2/c^2]*(-1 - b/(Sqrt[1 + a^2/c^2]*c))*c))]*Sec[d + e*x +
ArcTan[a/c]]*Sqrt[(c*Sqrt[(a^2 + c^2)/c^2] - c*Sqrt[(a^2 + c^2)/c^2]*Sin[d + e*x + ArcTan[a/c]])/(b + c*Sqrt[(
a^2 + c^2)/c^2])]*Sqrt[b + c*Sqrt[(a^2 + c^2)/c^2]*Sin[d + e*x + ArcTan[a/c]]]*Sqrt[(c*Sqrt[(a^2 + c^2)/c^2] +
c*Sqrt[(a^2 + c^2)/c^2]*Sin[d + e*x + ArcTan[a/c]])/(-b + c*Sqrt[(a^2 + c^2)/c^2])]*(a + b*Sec[d + e*x] + c*T
an[d + e*x])^(3/2))/(3*Sqrt[1 + a^2/c^2]*c*e*Sec[d + e*x]^(3/2)*(b + a*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x])^(3/2)) +
(2*b^2*AppellF1[1/2, 1/2, 1/2, 3/2, -((b + Sqrt[1 + a^2/c^2]*c*Sin[d + e*x + ArcTan[a/c]])/(Sqrt[1 + a^2/c^2]
*(1 - b/(Sqrt[1 + a^2/c^2]*c))*c)), -((b + Sqrt[1 + a^2/c^2]*c*Sin[d + e*x + ArcTan[a/c]])/(Sqrt[1 + a^2/c^2]*
(-1 - b/(Sqrt[1 + a^2/c^2]*c))*c))]*Sec[d + e*x + ArcTan[a/c]]*Sqrt[(c*Sqrt[(a^2 + c^2)/c^2] - c*Sqrt[(a^2 + c
^2)/c^2]*Sin[d + e*x + ArcTan[a/c]])/(b + c*Sqrt[(a^2 + c^2)/c^2])]*Sqrt[b + c*Sqrt[(a^2 + c^2)/c^2]*Sin[d + e
*x + ArcTan[a/c]]]*Sqrt[(c*Sqrt[(a^2 + c^2)/c^2] + c*Sqrt[(a^2 + c^2)/c^2]*Sin[d + e*x + ArcTan[a/c]])/(-b + c
*Sqrt[(a^2 + c^2)/c^2])]*(a + b*Sec[d + e*x] + c*Tan[d + e*x])^(3/2))/(Sqrt[1 + a^2/c^2]*c*e*Sec[d + e*x]^(3/2
)*(b + a*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x])^(3/2)) + (2*c*AppellF1[1/2, 1/2, 1/2, 3/2, -((b + Sqrt[1 + a^2/c^2]*c*
Sin[d + e*x + ArcTan[a/c]])/(Sqrt[1 + a^2/c^2]*(1 - b/(Sqrt[1 + a^2/c^2]*c))*c)), -((b + Sqrt[1 + a^2/c^2]*c*S
in[d + e*x + ArcTan[a/c]])/(Sqrt[1 + a^2/c^2]*(-1 - b/(Sqrt[1 + a^2/c^2]*c))*c))]*Sec[d + e*x + ArcTan[a/c]]*S
qrt[(c*Sqrt[(a^2 + c^2)/c^2] - c*Sqrt[(a^2 + c^2)/c^2]*Sin[d + e*x + ArcTan[a/c]])/(b + c*Sqrt[(a^2 + c^2)/c^2
])]*Sqrt[b + c*Sqrt[(a^2 + c^2)/c^2]*Sin[d + e*x + ArcTan[a/c]]]*Sqrt[(c*Sqrt[(a^2 + c^2)/c^2] + c*Sqrt[(a^2 +
c^2)/c^2]*Sin[d + e*x + ArcTan[a/c]])/(-b + c*Sqrt[(a^2 + c^2)/c^2])]*(a + b*Sec[d + e*x] + c*Tan[d + e*x])^(
3/2))/(3*Sqrt[1 + a^2/c^2]*e*Sec[d + e*x]^(3/2)*(b + a*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x])^(3/2)) + (4*a^2*b*(-((c*
AppellF1[-1/2, -1/2, -1/2, 1/2, -((b + a*Sqrt[1 + c^2/a^2]*Cos[d + e*x - ArcTan[c/a]])/(a*Sqrt[1 + c^2/a^2]*(1
- b/(a*Sqrt[1 + c^2/a^2])))), -((b + a*Sqrt[1 + c^2/a^2]*Cos[d + e*x - ArcTan[c/a]])/(a*Sqrt[1 + c^2/a^2]*(-1
- b/(a*Sqrt[1 + c^2/a^2]))))]*Sin[d + e*x - ArcTan[c/a]])/(a*Sqrt[1 + c^2/a^2]*Sqrt[(a*Sqrt[(a^2 + c^2)/a^2]
- a*Sqrt[(a^2 + c^2)/a^2]*Cos[d + e*x - ArcTan[c/a]])/(b + a*Sqrt[(a^2 + c^2)/a^2])]*Sqrt[b + a*Sqrt[(a^2 + c^
2)/a^2]*Cos[d + e*x - ArcTan[c/a]]]*Sqrt[(a*Sqrt[(a^2 + c^2)/a^2] + a*Sqrt[(a^2 + c^2)/a^2]*Cos[d + e*x - ArcT
an[c/a]])/(-b + a*Sqrt[(a^2 + c^2)/a^2])])) - ((2*a*(b + a*Sqrt[1 + c^2/a^2]*Cos[d + e*x - ArcTan[c/a]]))/(a^2
+ c^2) - (c*Sin[d + e*x - ArcTan[c/a]])/(a*Sqrt[1 + c^2/a^2]))/Sqrt[b + a*Sqrt[1 + c^2/a^2]*Cos[d + e*x - Arc
Tan[c/a]]])*(a + b*Sec[d + e*x] + c*Tan[d + e*x])^(3/2))/(3*c*e*Sec[d + e*x]^(3/2)*(b + a*Cos[d + e*x] + c*Sin
[d + e*x])^(3/2)) + (4*b*c*(-((c*AppellF1[-1/2, -1/2, -1/2, 1/2, -((b + a*Sqrt[1 + c^2/a^2]*Cos[d + e*x - ArcT
an[c/a]])/(a*Sqrt[1 + c^2/a^2]*(1 - b/(a*Sqrt[1 + c^2/a^2])))), -((b + a*Sqrt[1 + c^2/a^2]*Cos[d + e*x - ArcTa
n[c/a]])/(a*Sqrt[1 + c^2/a^2]*(-1 - b/(a*Sqrt[1 + c^2/a^2]))))]*Sin[d + e*x - ArcTan[c/a]])/(a*Sqrt[1 + c^2/a^
2]*Sqrt[(a*Sqrt[(a^2 + c^2)/a^2] - a*Sqrt[(a^2 + c^2)/a^2]*Cos[d + e*x - ArcTan[c/a]])/(b + a*Sqrt[(a^2 + c^2)
/a^2])]*Sqrt[b + a*Sqrt[(a^2 + c^2)/a^2]*Cos[d + e*x - ArcTan[c/a]]]*Sqrt[(a*Sqrt[(a^2 + c^2)/a^2] + a*Sqrt[(a
^2 + c^2)/a^2]*Cos[d + e*x - ArcTan[c/a]])/(-b + a*Sqrt[(a^2 + c^2)/a^2])])) - ((2*a*(b + a*Sqrt[1 + c^2/a^2]*
Cos[d + e*x - ArcTan[c/a]]))/(a^2 + c^2) - (c*Sin[d + e*x - ArcTan[c/a]])/(a*Sqrt[1 + c^2/a^2]))/Sqrt[b + a*Sq
rt[1 + c^2/a^2]*Cos[d + e*x - ArcTan[c/a]]])*(a + b*Sec[d + e*x] + c*Tan[d + e*x])^(3/2))/(3*e*Sec[d + e*x]^(3
/2)*(b + a*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x])^(3/2))

Maple [C] (warning: unable to verify)

Result contains complex when optimal does not.

Time = 29.33 (sec) , antiderivative size = 64069, normalized size of antiderivative = 172.69

method	result	size
default	\(\text {Expression too large to display}\)	\(64069\)

[In]

int((a+b*sec(e*x+d)+c*tan(e*x+d))^(3/2)/sec(e*x+d)^(3/2),x,method=_RETURNVERBOSE)

[Out]

result too large to display

Fricas [C] (verification not implemented)

Result contains higher order function than in optimal. Order 9 vs. order 4.

Time = 0.16 (sec) , antiderivative size = 1504, normalized size of antiderivative = 4.05 \[ \int \frac {(a+b \sec (d+e x)+c \tan (d+e x))^{3/2}}{\sec ^{\frac {3}{2}}(d+e x)} \, dx=\text {Too large to display} \]

[In]

integrate((a+b*sec(e*x+d)+c*tan(e*x+d))^(3/2)/sec(e*x+d)^(3/2),x, algorithm="fricas")

[Out]

1/9*((-3*I*a^3 - I*a*b^2 - 3*I*a*c^2 + 3*c^3 + (3*a^2 + b^2)*c)*sqrt(2*a - 2*I*c)*weierstrassPInverse(-4/3*(3*
a^4 - 4*a^2*b^2 + 4*b^2*c^2 + 6*I*a*c^3 - 3*c^4 + 2*I*(3*a^3 - 4*a*b^2)*c)/(a^4 + 2*a^2*c^2 + c^4), 8/27*(9*a^
5*b - 8*a^3*b^3 - 27*a*b*c^4 - 9*I*b*c^5 + 2*I*(9*a^2*b + 4*b^3)*c^3 - 6*(3*a^3*b - 4*a*b^3)*c^2 + 3*I*(9*a^4*
b - 8*a^2*b^3)*c)/(a^6 + 3*a^4*c^2 + 3*a^2*c^4 + c^6), 1/3*(2*a*b + 2*I*b*c + 3*(a^2 + c^2)*cos(e*x + d) - 3*(
-I*a^2 - I*c^2)*sin(e*x + d))/(a^2 + c^2)) + (3*I*a^3 + I*a*b^2 + 3*I*a*c^2 + 3*c^3 + (3*a^2 + b^2)*c)*sqrt(2*
a + 2*I*c)*weierstrassPInverse(-4/3*(3*a^4 - 4*a^2*b^2 + 4*b^2*c^2 - 6*I*a*c^3 - 3*c^4 - 2*I*(3*a^3 - 4*a*b^2)
*c)/(a^4 + 2*a^2*c^2 + c^4), 8/27*(9*a^5*b - 8*a^3*b^3 - 27*a*b*c^4 + 9*I*b*c^5 - 2*I*(9*a^2*b + 4*b^3)*c^3 -
6*(3*a^3*b - 4*a*b^3)*c^2 - 3*I*(9*a^4*b - 8*a^2*b^3)*c)/(a^6 + 3*a^4*c^2 + 3*a^2*c^4 + c^6), 1/3*(2*a*b - 2*I
*b*c + 3*(a^2 + c^2)*cos(e*x + d) - 3*(I*a^2 + I*c^2)*sin(e*x + d))/(a^2 + c^2)) - 12*(-I*a^2*b - I*b*c^2)*sqr
t(2*a - 2*I*c)*weierstrassZeta(-4/3*(3*a^4 - 4*a^2*b^2 + 4*b^2*c^2 + 6*I*a*c^3 - 3*c^4 + 2*I*(3*a^3 - 4*a*b^2)
*c)/(a^4 + 2*a^2*c^2 + c^4), 8/27*(9*a^5*b - 8*a^3*b^3 - 27*a*b*c^4 - 9*I*b*c^5 + 2*I*(9*a^2*b + 4*b^3)*c^3 -
6*(3*a^3*b - 4*a*b^3)*c^2 + 3*I*(9*a^4*b - 8*a^2*b^3)*c)/(a^6 + 3*a^4*c^2 + 3*a^2*c^4 + c^6), weierstrassPInve
rse(-4/3*(3*a^4 - 4*a^2*b^2 + 4*b^2*c^2 + 6*I*a*c^3 - 3*c^4 + 2*I*(3*a^3 - 4*a*b^2)*c)/(a^4 + 2*a^2*c^2 + c^4)
, 8/27*(9*a^5*b - 8*a^3*b^3 - 27*a*b*c^4 - 9*I*b*c^5 + 2*I*(9*a^2*b + 4*b^3)*c^3 - 6*(3*a^3*b - 4*a*b^3)*c^2 +
3*I*(9*a^4*b - 8*a^2*b^3)*c)/(a^6 + 3*a^4*c^2 + 3*a^2*c^4 + c^6), 1/3*(2*a*b + 2*I*b*c + 3*(a^2 + c^2)*cos(e*
x + d) - 3*(-I*a^2 - I*c^2)*sin(e*x + d))/(a^2 + c^2))) - 12*(I*a^2*b + I*b*c^2)*sqrt(2*a + 2*I*c)*weierstrass
Zeta(-4/3*(3*a^4 - 4*a^2*b^2 + 4*b^2*c^2 - 6*I*a*c^3 - 3*c^4 - 2*I*(3*a^3 - 4*a*b^2)*c)/(a^4 + 2*a^2*c^2 + c^4
), 8/27*(9*a^5*b - 8*a^3*b^3 - 27*a*b*c^4 + 9*I*b*c^5 - 2*I*(9*a^2*b + 4*b^3)*c^3 - 6*(3*a^3*b - 4*a*b^3)*c^2
- 3*I*(9*a^4*b - 8*a^2*b^3)*c)/(a^6 + 3*a^4*c^2 + 3*a^2*c^4 + c^6), weierstrassPInverse(-4/3*(3*a^4 - 4*a^2*b^
2 + 4*b^2*c^2 - 6*I*a*c^3 - 3*c^4 - 2*I*(3*a^3 - 4*a*b^2)*c)/(a^4 + 2*a^2*c^2 + c^4), 8/27*(9*a^5*b - 8*a^3*b^
3 - 27*a*b*c^4 + 9*I*b*c^5 - 2*I*(9*a^2*b + 4*b^3)*c^3 - 6*(3*a^3*b - 4*a*b^3)*c^2 - 3*I*(9*a^4*b - 8*a^2*b^3)
*c)/(a^6 + 3*a^4*c^2 + 3*a^2*c^4 + c^6), 1/3*(2*a*b - 2*I*b*c + 3*(a^2 + c^2)*cos(e*x + d) - 3*(I*a^2 + I*c^2)
*sin(e*x + d))/(a^2 + c^2))) - 6*((a^2*c + c^3)*cos(e*x + d)^2 - (a^3 + a*c^2)*cos(e*x + d)*sin(e*x + d))*sqrt
((a*cos(e*x + d) + c*sin(e*x + d) + b)/cos(e*x + d))/sqrt(cos(e*x + d)))/((a^2 + c^2)*e)

Sympy [F]

\[ \int \frac {(a+b \sec (d+e x)+c \tan (d+e x))^{3/2}}{\sec ^{\frac {3}{2}}(d+e x)} \, dx=\int \frac {\left (a + b \sec {\left (d + e x \right )} + c \tan {\left (d + e x \right )}\right )^{\frac {3}{2}}}{\sec ^{\frac {3}{2}}{\left (d + e x \right )}}\, dx \]

[In]

integrate((a+b*sec(e*x+d)+c*tan(e*x+d))**(3/2)/sec(e*x+d)**(3/2),x)

[Out]

Integral((a + b*sec(d + e*x) + c*tan(d + e*x))**(3/2)/sec(d + e*x)**(3/2), x)

Maxima [F]

\[ \int \frac {(a+b \sec (d+e x)+c \tan (d+e x))^{3/2}}{\sec ^{\frac {3}{2}}(d+e x)} \, dx=\int { \frac {{\left (b \sec \left (e x + d\right ) + c \tan \left (e x + d\right ) + a\right )}^{\frac {3}{2}}}{\sec \left (e x + d\right )^{\frac {3}{2}}} \,d x } \]

[In]

integrate((a+b*sec(e*x+d)+c*tan(e*x+d))^(3/2)/sec(e*x+d)^(3/2),x, algorithm="maxima")

[Out]

integrate((b*sec(e*x + d) + c*tan(e*x + d) + a)^(3/2)/sec(e*x + d)^(3/2), x)

Giac [F]

\[ \int \frac {(a+b \sec (d+e x)+c \tan (d+e x))^{3/2}}{\sec ^{\frac {3}{2}}(d+e x)} \, dx=\int { \frac {{\left (b \sec \left (e x + d\right ) + c \tan \left (e x + d\right ) + a\right )}^{\frac {3}{2}}}{\sec \left (e x + d\right )^{\frac {3}{2}}} \,d x } \]

[In]

integrate((a+b*sec(e*x+d)+c*tan(e*x+d))^(3/2)/sec(e*x+d)^(3/2),x, algorithm="giac")

[Out]

integrate((b*sec(e*x + d) + c*tan(e*x + d) + a)^(3/2)/sec(e*x + d)^(3/2), x)

Mupad [F(-1)]

Timed out. \[ \int \frac {(a+b \sec (d+e x)+c \tan (d+e x))^{3/2}}{\sec ^{\frac {3}{2}}(d+e x)} \, dx=\int \frac {{\left (a+c\,\mathrm {tan}\left (d+e\,x\right )+\frac {b}{\cos \left (d+e\,x\right )}\right )}^{3/2}}{{\left (\frac {1}{\cos \left (d+e\,x\right )}\right )}^{3/2}} \,d x \]

[In]

int((a + c*tan(d + e*x) + b/cos(d + e*x))^(3/2)/(1/cos(d + e*x))^(3/2),x)

[Out]

int((a + c*tan(d + e*x) + b/cos(d + e*x))^(3/2)/(1/cos(d + e*x))^(3/2), x)