\(\int \frac {\sec ^{\frac {5}{2}}(d+e x)}{(a+b \sec (d+e x)+c \tan (d+e x))^{5/2}} \, dx\) [452]

Optimal result

Integrand size = 33, antiderivative size = 492 \[ \int \frac {\sec ^{\frac {5}{2}}(d+e x)}{(a+b \sec (d+e x)+c \tan (d+e x))^{5/2}} \, dx=-\frac {2 \sec ^{\frac {5}{2}}(d+e x) (c \cos (d+e x)-a \sin (d+e x)) (b+a \cos (d+e x)+c \sin (d+e x))}{3 \left (a^2-b^2+c^2\right ) e (a+b \sec (d+e x)+c \tan (d+e x))^{5/2}}+\frac {8 \sec ^{\frac {5}{2}}(d+e x) (b c \cos (d+e x)-a b \sin (d+e x)) (b+a \cos (d+e x)+c \sin (d+e x))^2}{3 \left (a^2-b^2+c^2\right )^2 e (a+b \sec (d+e x)+c \tan (d+e x))^{5/2}}+\frac {8 b E\left (\frac {1}{2} \left (d+e x-\tan ^{-1}(a,c)\right )|\frac {2 \sqrt {a^2+c^2}}{b+\sqrt {a^2+c^2}}\right ) \sec ^{\frac {5}{2}}(d+e x) (b+a \cos (d+e x)+c \sin (d+e x))^3}{3 \left (a^2-b^2+c^2\right )^2 e \sqrt {\frac {b+a \cos (d+e x)+c \sin (d+e x)}{b+\sqrt {a^2+c^2}}} (a+b \sec (d+e x)+c \tan (d+e x))^{5/2}}+\frac {2 \operatorname {EllipticF}\left (\frac {1}{2} \left (d+e x-\tan ^{-1}(a,c)\right ),\frac {2 \sqrt {a^2+c^2}}{b+\sqrt {a^2+c^2}}\right ) \sec ^{\frac {5}{2}}(d+e x) (b+a \cos (d+e x)+c \sin (d+e x))^2 \sqrt {\frac {b+a \cos (d+e x)+c \sin (d+e x)}{b+\sqrt {a^2+c^2}}}}{3 \left (a^2-b^2+c^2\right ) e (a+b \sec (d+e x)+c \tan (d+e x))^{5/2}} \]

[Out]

-2/3*sec(e*x+d)^(5/2)*(c*cos(e*x+d)-a*sin(e*x+d))*(b+a*cos(e*x+d)+c*sin(e*x+d))/(a^2-b^2+c^2)/e/(a+b*sec(e*x+d
)+c*tan(e*x+d))^(5/2)+8/3*sec(e*x+d)^(5/2)*(b*c*cos(e*x+d)-a*b*sin(e*x+d))*(b+a*cos(e*x+d)+c*sin(e*x+d))^2/(a^
2-b^2+c^2)^2/e/(a+b*sec(e*x+d)+c*tan(e*x+d))^(5/2)+8/3*b*(cos(1/2*d+1/2*e*x-1/2*arctan(a,c))^2)^(1/2)/cos(1/2*
d+1/2*e*x-1/2*arctan(a,c))*EllipticE(sin(1/2*d+1/2*e*x-1/2*arctan(a,c)),2^(1/2)*((a^2+c^2)^(1/2)/(b+(a^2+c^2)^
(1/2)))^(1/2))*sec(e*x+d)^(5/2)*(b+a*cos(e*x+d)+c*sin(e*x+d))^3/(a^2-b^2+c^2)^2/e/((b+a*cos(e*x+d)+c*sin(e*x+d
))/(b+(a^2+c^2)^(1/2)))^(1/2)/(a+b*sec(e*x+d)+c*tan(e*x+d))^(5/2)+2/3*(cos(1/2*d+1/2*e*x-1/2*arctan(a,c))^2)^(
1/2)/cos(1/2*d+1/2*e*x-1/2*arctan(a,c))*EllipticF(sin(1/2*d+1/2*e*x-1/2*arctan(a,c)),2^(1/2)*((a^2+c^2)^(1/2)/
(b+(a^2+c^2)^(1/2)))^(1/2))*sec(e*x+d)^(5/2)*(b+a*cos(e*x+d)+c*sin(e*x+d))^2*((b+a*cos(e*x+d)+c*sin(e*x+d))/(b
+(a^2+c^2)^(1/2)))^(1/2)/(a^2-b^2+c^2)/e/(a+b*sec(e*x+d)+c*tan(e*x+d))^(5/2)

Rubi [A] (verified)

Time = 0.58 (sec) , antiderivative size = 492, normalized size of antiderivative = 1.00, number of steps used = 8, number of rules used = 8, \(\frac {\text {number of rules}}{\text {integrand size}}\) = 0.242, Rules used = {3246, 3208, 3235, 3228, 3198, 2732, 3206, 2740} \[ \int \frac {\sec ^{\frac {5}{2}}(d+e x)}{(a+b \sec (d+e x)+c \tan (d+e x))^{5/2}} \, dx=\frac {2 \sec ^{\frac {5}{2}}(d+e x) \sqrt {\frac {a \cos (d+e x)+b+c \sin (d+e x)}{\sqrt {a^2+c^2}+b}} (a \cos (d+e x)+b+c \sin (d+e x))^2 \operatorname {EllipticF}\left (\frac {1}{2} \left (d+e x-\tan ^{-1}(a,c)\right ),\frac {2 \sqrt {a^2+c^2}}{b+\sqrt {a^2+c^2}}\right )}{3 e \left (a^2-b^2+c^2\right ) (a+b \sec (d+e x)+c \tan (d+e x))^{5/2}}+\frac {8 b \sec ^{\frac {5}{2}}(d+e x) (a \cos (d+e x)+b+c \sin (d+e x))^3 E\left (\frac {1}{2} \left (d+e x-\tan ^{-1}(a,c)\right )|\frac {2 \sqrt {a^2+c^2}}{b+\sqrt {a^2+c^2}}\right )}{3 e \left (a^2-b^2+c^2\right )^2 \sqrt {\frac {a \cos (d+e x)+b+c \sin (d+e x)}{\sqrt {a^2+c^2}+b}} (a+b \sec (d+e x)+c \tan (d+e x))^{5/2}}+\frac {8 \sec ^{\frac {5}{2}}(d+e x) (b c \cos (d+e x)-a b \sin (d+e x)) (a \cos (d+e x)+b+c \sin (d+e x))^2}{3 e \left (a^2-b^2+c^2\right )^2 (a+b \sec (d+e x)+c \tan (d+e x))^{5/2}}-\frac {2 \sec ^{\frac {5}{2}}(d+e x) (c \cos (d+e x)-a \sin (d+e x)) (a \cos (d+e x)+b+c \sin (d+e x))}{3 e \left (a^2-b^2+c^2\right ) (a+b \sec (d+e x)+c \tan (d+e x))^{5/2}} \]

[In]

Int[Sec[d + e*x]^(5/2)/(a + b*Sec[d + e*x] + c*Tan[d + e*x])^(5/2),x]

[Out]

(-2*Sec[d + e*x]^(5/2)*(c*Cos[d + e*x] - a*Sin[d + e*x])*(b + a*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x]))/(3*(a^2 - b^2
+ c^2)*e*(a + b*Sec[d + e*x] + c*Tan[d + e*x])^(5/2)) + (8*Sec[d + e*x]^(5/2)*(b*c*Cos[d + e*x] - a*b*Sin[d +
e*x])*(b + a*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x])^2)/(3*(a^2 - b^2 + c^2)^2*e*(a + b*Sec[d + e*x] + c*Tan[d + e*x])^
(5/2)) + (8*b*EllipticE[(d + e*x - ArcTan[a, c])/2, (2*Sqrt[a^2 + c^2])/(b + Sqrt[a^2 + c^2])]*Sec[d + e*x]^(5
/2)*(b + a*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x])^3)/(3*(a^2 - b^2 + c^2)^2*e*Sqrt[(b + a*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x
])/(b + Sqrt[a^2 + c^2])]*(a + b*Sec[d + e*x] + c*Tan[d + e*x])^(5/2)) + (2*EllipticF[(d + e*x - ArcTan[a, c])
/2, (2*Sqrt[a^2 + c^2])/(b + Sqrt[a^2 + c^2])]*Sec[d + e*x]^(5/2)*(b + a*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x])^2*Sqrt
[(b + a*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x])/(b + Sqrt[a^2 + c^2])])/(3*(a^2 - b^2 + c^2)*e*(a + b*Sec[d + e*x] + c*
Tan[d + e*x])^(5/2))

Rule 2732

Int[Sqrt[(a_) + (b_.)*sin[(c_.) + (d_.)*(x_)]], x_Symbol] :> Simp[2*(Sqrt[a + b]/d)*EllipticE[(1/2)*(c - Pi/2
+ d*x), 2*(b/(a + b))], x] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && NeQ[a^2 - b^2, 0] && GtQ[a + b, 0]

Rule 2740

Int[1/Sqrt[(a_) + (b_.)*sin[(c_.) + (d_.)*(x_)]], x_Symbol] :> Simp[(2/(d*Sqrt[a + b]))*EllipticF[(1/2)*(c - P
i/2 + d*x), 2*(b/(a + b))], x] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && NeQ[a^2 - b^2, 0] && GtQ[a + b, 0]

Rule 3198

Int[Sqrt[cos[(d_.) + (e_.)*(x_)]*(b_.) + (a_) + (c_.)*sin[(d_.) + (e_.)*(x_)]], x_Symbol] :> Dist[Sqrt[a + b*C
os[d + e*x] + c*Sin[d + e*x]]/Sqrt[(a + b*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x])/(a + Sqrt[b^2 + c^2])], Int[Sqrt[a/(a
+ Sqrt[b^2 + c^2]) + (Sqrt[b^2 + c^2]/(a + Sqrt[b^2 + c^2]))*Cos[d + e*x - ArcTan[b, c]]], x], x] /; FreeQ[{a
, b, c, d, e}, x] && NeQ[a^2 - b^2 - c^2, 0] && NeQ[b^2 + c^2, 0] &&  !GtQ[a + Sqrt[b^2 + c^2], 0]

Rule 3206

Int[1/Sqrt[cos[(d_.) + (e_.)*(x_)]*(b_.) + (a_) + (c_.)*sin[(d_.) + (e_.)*(x_)]], x_Symbol] :> Dist[Sqrt[(a +
b*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x])/(a + Sqrt[b^2 + c^2])]/Sqrt[a + b*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x]], Int[1/Sqrt[
a/(a + Sqrt[b^2 + c^2]) + (Sqrt[b^2 + c^2]/(a + Sqrt[b^2 + c^2]))*Cos[d + e*x - ArcTan[b, c]]], x], x] /; Free
Q[{a, b, c, d, e}, x] && NeQ[a^2 - b^2 - c^2, 0] && NeQ[b^2 + c^2, 0] &&  !GtQ[a + Sqrt[b^2 + c^2], 0]

Rule 3208

Int[(cos[(d_.) + (e_.)*(x_)]*(b_.) + (a_) + (c_.)*sin[(d_.) + (e_.)*(x_)])^(n_), x_Symbol] :> Simp[((-c)*Cos[d
+ e*x] + b*Sin[d + e*x])*((a + b*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x])^(n + 1)/(e*(n + 1)*(a^2 - b^2 - c^2))), x] +
Dist[1/((n + 1)*(a^2 - b^2 - c^2)), Int[(a*(n + 1) - b*(n + 2)*Cos[d + e*x] - c*(n + 2)*Sin[d + e*x])*(a + b*C
os[d + e*x] + c*Sin[d + e*x])^(n + 1), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && NeQ[a^2 - b^2 - c^2, 0] && LtQ[n
, -1] && NeQ[n, -3/2]

Rule 3228

Int[((A_.) + cos[(d_.) + (e_.)*(x_)]*(B_.) + (C_.)*sin[(d_.) + (e_.)*(x_)])/Sqrt[cos[(d_.) + (e_.)*(x_)]*(b_.)
+ (a_) + (c_.)*sin[(d_.) + (e_.)*(x_)]], x_Symbol] :> Dist[B/b, Int[Sqrt[a + b*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x]]
, x], x] + Dist[(A*b - a*B)/b, Int[1/Sqrt[a + b*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x]], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e
, A, B, C}, x] && EqQ[B*c - b*C, 0] && NeQ[A*b - a*B, 0]

Rule 3235

Int[((a_.) + cos[(d_.) + (e_.)*(x_)]*(b_.) + (c_.)*sin[(d_.) + (e_.)*(x_)])^(n_)*((A_.) + cos[(d_.) + (e_.)*(x
_)]*(B_.) + (C_.)*sin[(d_.) + (e_.)*(x_)]), x_Symbol] :> Simp[(-(c*B - b*C - (a*C - c*A)*Cos[d + e*x] + (a*B -
b*A)*Sin[d + e*x]))*((a + b*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x])^(n + 1)/(e*(n + 1)*(a^2 - b^2 - c^2))), x] + Dist[
1/((n + 1)*(a^2 - b^2 - c^2)), Int[(a + b*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x])^(n + 1)*Simp[(n + 1)*(a*A - b*B - c*C
) + (n + 2)*(a*B - b*A)*Cos[d + e*x] + (n + 2)*(a*C - c*A)*Sin[d + e*x], x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, A
, B, C}, x] && LtQ[n, -1] && NeQ[a^2 - b^2 - c^2, 0] && NeQ[n, -2]

Rule 3246

Int[sec[(d_.) + (e_.)*(x_)]^(n_.)*((a_.) + (b_.)*sec[(d_.) + (e_.)*(x_)] + (c_.)*tan[(d_.) + (e_.)*(x_)])^(m_)
, x_Symbol] :> Dist[Sec[d + e*x]^n*((b + a*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x])^n/(a + b*Sec[d + e*x] + c*Tan[d + e*
x])^n), Int[1/(b + a*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x])^n, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && EqQ[m + n, 0] &&
!IntegerQ[n]

Rubi steps \begin{align*} \text {integral}& = \frac {\left (\sec ^{\frac {5}{2}}(d+e x) (b+a \cos (d+e x)+c \sin (d+e x))^{5/2}\right ) \int \frac {1}{(b+a \cos (d+e x)+c \sin (d+e x))^{5/2}} \, dx}{(a+b \sec (d+e x)+c \tan (d+e x))^{5/2}} \\ & = -\frac {2 \sec ^{\frac {5}{2}}(d+e x) (c \cos (d+e x)-a \sin (d+e x)) (b+a \cos (d+e x)+c \sin (d+e x))}{3 \left (a^2-b^2+c^2\right ) e (a+b \sec (d+e x)+c \tan (d+e x))^{5/2}}+\frac {\left (2 \sec ^{\frac {5}{2}}(d+e x) (b+a \cos (d+e x)+c \sin (d+e x))^{5/2}\right ) \int \frac {-\frac {3 b}{2}+\frac {1}{2} a \cos (d+e x)+\frac {1}{2} c \sin (d+e x)}{(b+a \cos (d+e x)+c \sin (d+e x))^{3/2}} \, dx}{3 \left (a^2-b^2+c^2\right ) (a+b \sec (d+e x)+c \tan (d+e x))^{5/2}} \\ & = -\frac {2 \sec ^{\frac {5}{2}}(d+e x) (c \cos (d+e x)-a \sin (d+e x)) (b+a \cos (d+e x)+c \sin (d+e x))}{3 \left (a^2-b^2+c^2\right ) e (a+b \sec (d+e x)+c \tan (d+e x))^{5/2}}+\frac {8 \sec ^{\frac {5}{2}}(d+e x) (b c \cos (d+e x)-a b \sin (d+e x)) (b+a \cos (d+e x)+c \sin (d+e x))^2}{3 \left (a^2-b^2+c^2\right )^2 e (a+b \sec (d+e x)+c \tan (d+e x))^{5/2}}+\frac {\left (4 \sec ^{\frac {5}{2}}(d+e x) (b+a \cos (d+e x)+c \sin (d+e x))^{5/2}\right ) \int \frac {\frac {1}{4} \left (a^2+3 b^2+c^2\right )+a b \cos (d+e x)+b c \sin (d+e x)}{\sqrt {b+a \cos (d+e x)+c \sin (d+e x)}} \, dx}{3 \left (a^2-b^2+c^2\right )^2 (a+b \sec (d+e x)+c \tan (d+e x))^{5/2}} \\ & = -\frac {2 \sec ^{\frac {5}{2}}(d+e x) (c \cos (d+e x)-a \sin (d+e x)) (b+a \cos (d+e x)+c \sin (d+e x))}{3 \left (a^2-b^2+c^2\right ) e (a+b \sec (d+e x)+c \tan (d+e x))^{5/2}}+\frac {8 \sec ^{\frac {5}{2}}(d+e x) (b c \cos (d+e x)-a b \sin (d+e x)) (b+a \cos (d+e x)+c \sin (d+e x))^2}{3 \left (a^2-b^2+c^2\right )^2 e (a+b \sec (d+e x)+c \tan (d+e x))^{5/2}}+\frac {\left (4 b \sec ^{\frac {5}{2}}(d+e x) (b+a \cos (d+e x)+c \sin (d+e x))^{5/2}\right ) \int \sqrt {b+a \cos (d+e x)+c \sin (d+e x)} \, dx}{3 \left (a^2-b^2+c^2\right )^2 (a+b \sec (d+e x)+c \tan (d+e x))^{5/2}}+\frac {\left (\sec ^{\frac {5}{2}}(d+e x) (b+a \cos (d+e x)+c \sin (d+e x))^{5/2}\right ) \int \frac {1}{\sqrt {b+a \cos (d+e x)+c \sin (d+e x)}} \, dx}{3 \left (a^2-b^2+c^2\right ) (a+b \sec (d+e x)+c \tan (d+e x))^{5/2}} \\ & = -\frac {2 \sec ^{\frac {5}{2}}(d+e x) (c \cos (d+e x)-a \sin (d+e x)) (b+a \cos (d+e x)+c \sin (d+e x))}{3 \left (a^2-b^2+c^2\right ) e (a+b \sec (d+e x)+c \tan (d+e x))^{5/2}}+\frac {8 \sec ^{\frac {5}{2}}(d+e x) (b c \cos (d+e x)-a b \sin (d+e x)) (b+a \cos (d+e x)+c \sin (d+e x))^2}{3 \left (a^2-b^2+c^2\right )^2 e (a+b \sec (d+e x)+c \tan (d+e x))^{5/2}}+\frac {\left (4 b \sec ^{\frac {5}{2}}(d+e x) (b+a \cos (d+e x)+c \sin (d+e x))^3\right ) \int \sqrt {\frac {b}{b+\sqrt {a^2+c^2}}+\frac {\sqrt {a^2+c^2} \cos \left (d+e x-\tan ^{-1}(a,c)\right )}{b+\sqrt {a^2+c^2}}} \, dx}{3 \left (a^2-b^2+c^2\right )^2 \sqrt {\frac {b+a \cos (d+e x)+c \sin (d+e x)}{b+\sqrt {a^2+c^2}}} (a+b \sec (d+e x)+c \tan (d+e x))^{5/2}}+\frac {\left (\sec ^{\frac {5}{2}}(d+e x) (b+a \cos (d+e x)+c \sin (d+e x))^2 \sqrt {\frac {b+a \cos (d+e x)+c \sin (d+e x)}{b+\sqrt {a^2+c^2}}}\right ) \int \frac {1}{\sqrt {\frac {b}{b+\sqrt {a^2+c^2}}+\frac {\sqrt {a^2+c^2} \cos \left (d+e x-\tan ^{-1}(a,c)\right )}{b+\sqrt {a^2+c^2}}}} \, dx}{3 \left (a^2-b^2+c^2\right ) (a+b \sec (d+e x)+c \tan (d+e x))^{5/2}} \\ & = -\frac {2 \sec ^{\frac {5}{2}}(d+e x) (c \cos (d+e x)-a \sin (d+e x)) (b+a \cos (d+e x)+c \sin (d+e x))}{3 \left (a^2-b^2+c^2\right ) e (a+b \sec (d+e x)+c \tan (d+e x))^{5/2}}+\frac {8 \sec ^{\frac {5}{2}}(d+e x) (b c \cos (d+e x)-a b \sin (d+e x)) (b+a \cos (d+e x)+c \sin (d+e x))^2}{3 \left (a^2-b^2+c^2\right )^2 e (a+b \sec (d+e x)+c \tan (d+e x))^{5/2}}+\frac {8 b E\left (\frac {1}{2} \left (d+e x-\tan ^{-1}(a,c)\right )|\frac {2 \sqrt {a^2+c^2}}{b+\sqrt {a^2+c^2}}\right ) \sec ^{\frac {5}{2}}(d+e x) (b+a \cos (d+e x)+c \sin (d+e x))^3}{3 \left (a^2-b^2+c^2\right )^2 e \sqrt {\frac {b+a \cos (d+e x)+c \sin (d+e x)}{b+\sqrt {a^2+c^2}}} (a+b \sec (d+e x)+c \tan (d+e x))^{5/2}}+\frac {2 \operatorname {EllipticF}\left (\frac {1}{2} \left (d+e x-\tan ^{-1}(a,c)\right ),\frac {2 \sqrt {a^2+c^2}}{b+\sqrt {a^2+c^2}}\right ) \sec ^{\frac {5}{2}}(d+e x) (b+a \cos (d+e x)+c \sin (d+e x))^2 \sqrt {\frac {b+a \cos (d+e x)+c \sin (d+e x)}{b+\sqrt {a^2+c^2}}}}{3 \left (a^2-b^2+c^2\right ) e (a+b \sec (d+e x)+c \tan (d+e x))^{5/2}} \\ \end{align*}

Mathematica [C] (warning: unable to verify)

Result contains higher order function than in optimal. Order 6 vs. order 4 in optimal.

Time = 7.01 (sec) , antiderivative size = 2708, normalized size of antiderivative = 5.50 \[ \int \frac {\sec ^{\frac {5}{2}}(d+e x)}{(a+b \sec (d+e x)+c \tan (d+e x))^{5/2}} \, dx=\text {Result too large to show} \]

[In]

Integrate[Sec[d + e*x]^(5/2)/(a + b*Sec[d + e*x] + c*Tan[d + e*x])^(5/2),x]

[Out]

(Sec[d + e*x]^(5/2)*(b + a*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x])^3*((8*b*(a^2 + c^2))/(3*a*c*(-a^2 + b^2 - c^2)^2) +
(2*(b*c + a^2*Sin[d + e*x] + c^2*Sin[d + e*x]))/(3*a*(a^2 - b^2 + c^2)*(b + a*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x])^2
) - (2*(a^2*c + 3*b^2*c + c^3 + 4*a^2*b*Sin[d + e*x] + 4*b*c^2*Sin[d + e*x]))/(3*a*(a^2 - b^2 + c^2)^2*(b + a*
Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x]))))/(e*(a + b*Sec[d + e*x] + c*Tan[d + e*x])^(5/2)) + (2*a^2*AppellF1[1/2, 1/2,
1/2, 3/2, -((b + Sqrt[1 + a^2/c^2]*c*Sin[d + e*x + ArcTan[a/c]])/(Sqrt[1 + a^2/c^2]*(1 - b/(Sqrt[1 + a^2/c^2]*
c))*c)), -((b + Sqrt[1 + a^2/c^2]*c*Sin[d + e*x + ArcTan[a/c]])/(Sqrt[1 + a^2/c^2]*(-1 - b/(Sqrt[1 + a^2/c^2]*
c))*c))]*Sec[d + e*x]^(5/2)*Sec[d + e*x + ArcTan[a/c]]*(b + a*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x])^(5/2)*Sqrt[(c*Sqr
t[(a^2 + c^2)/c^2] - c*Sqrt[(a^2 + c^2)/c^2]*Sin[d + e*x + ArcTan[a/c]])/(b + c*Sqrt[(a^2 + c^2)/c^2])]*Sqrt[b
+ c*Sqrt[(a^2 + c^2)/c^2]*Sin[d + e*x + ArcTan[a/c]]]*Sqrt[(c*Sqrt[(a^2 + c^2)/c^2] + c*Sqrt[(a^2 + c^2)/c^2]
*Sin[d + e*x + ArcTan[a/c]])/(-b + c*Sqrt[(a^2 + c^2)/c^2])])/(3*Sqrt[1 + a^2/c^2]*c*(a^2 - b^2 + c^2)^2*e*(a
+ b*Sec[d + e*x] + c*Tan[d + e*x])^(5/2)) + (2*b^2*AppellF1[1/2, 1/2, 1/2, 3/2, -((b + Sqrt[1 + a^2/c^2]*c*Sin
[d + e*x + ArcTan[a/c]])/(Sqrt[1 + a^2/c^2]*(1 - b/(Sqrt[1 + a^2/c^2]*c))*c)), -((b + Sqrt[1 + a^2/c^2]*c*Sin[
d + e*x + ArcTan[a/c]])/(Sqrt[1 + a^2/c^2]*(-1 - b/(Sqrt[1 + a^2/c^2]*c))*c))]*Sec[d + e*x]^(5/2)*Sec[d + e*x
+ ArcTan[a/c]]*(b + a*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x])^(5/2)*Sqrt[(c*Sqrt[(a^2 + c^2)/c^2] - c*Sqrt[(a^2 + c^2)/
c^2]*Sin[d + e*x + ArcTan[a/c]])/(b + c*Sqrt[(a^2 + c^2)/c^2])]*Sqrt[b + c*Sqrt[(a^2 + c^2)/c^2]*Sin[d + e*x +
ArcTan[a/c]]]*Sqrt[(c*Sqrt[(a^2 + c^2)/c^2] + c*Sqrt[(a^2 + c^2)/c^2]*Sin[d + e*x + ArcTan[a/c]])/(-b + c*Sqr
t[(a^2 + c^2)/c^2])])/(Sqrt[1 + a^2/c^2]*c*(a^2 - b^2 + c^2)^2*e*(a + b*Sec[d + e*x] + c*Tan[d + e*x])^(5/2))
+ (2*c*AppellF1[1/2, 1/2, 1/2, 3/2, -((b + Sqrt[1 + a^2/c^2]*c*Sin[d + e*x + ArcTan[a/c]])/(Sqrt[1 + a^2/c^2]*
(1 - b/(Sqrt[1 + a^2/c^2]*c))*c)), -((b + Sqrt[1 + a^2/c^2]*c*Sin[d + e*x + ArcTan[a/c]])/(Sqrt[1 + a^2/c^2]*(
-1 - b/(Sqrt[1 + a^2/c^2]*c))*c))]*Sec[d + e*x]^(5/2)*Sec[d + e*x + ArcTan[a/c]]*(b + a*Cos[d + e*x] + c*Sin[d
+ e*x])^(5/2)*Sqrt[(c*Sqrt[(a^2 + c^2)/c^2] - c*Sqrt[(a^2 + c^2)/c^2]*Sin[d + e*x + ArcTan[a/c]])/(b + c*Sqrt
[(a^2 + c^2)/c^2])]*Sqrt[b + c*Sqrt[(a^2 + c^2)/c^2]*Sin[d + e*x + ArcTan[a/c]]]*Sqrt[(c*Sqrt[(a^2 + c^2)/c^2]
+ c*Sqrt[(a^2 + c^2)/c^2]*Sin[d + e*x + ArcTan[a/c]])/(-b + c*Sqrt[(a^2 + c^2)/c^2])])/(3*Sqrt[1 + a^2/c^2]*(
a^2 - b^2 + c^2)^2*e*(a + b*Sec[d + e*x] + c*Tan[d + e*x])^(5/2)) + (4*a^2*b*Sec[d + e*x]^(5/2)*(b + a*Cos[d +
e*x] + c*Sin[d + e*x])^(5/2)*(-((c*AppellF1[-1/2, -1/2, -1/2, 1/2, -((b + a*Sqrt[1 + c^2/a^2]*Cos[d + e*x - A
rcTan[c/a]])/(a*Sqrt[1 + c^2/a^2]*(1 - b/(a*Sqrt[1 + c^2/a^2])))), -((b + a*Sqrt[1 + c^2/a^2]*Cos[d + e*x - Ar
cTan[c/a]])/(a*Sqrt[1 + c^2/a^2]*(-1 - b/(a*Sqrt[1 + c^2/a^2]))))]*Sin[d + e*x - ArcTan[c/a]])/(a*Sqrt[1 + c^2
/a^2]*Sqrt[(a*Sqrt[(a^2 + c^2)/a^2] - a*Sqrt[(a^2 + c^2)/a^2]*Cos[d + e*x - ArcTan[c/a]])/(b + a*Sqrt[(a^2 + c
^2)/a^2])]*Sqrt[b + a*Sqrt[(a^2 + c^2)/a^2]*Cos[d + e*x - ArcTan[c/a]]]*Sqrt[(a*Sqrt[(a^2 + c^2)/a^2] + a*Sqrt
[(a^2 + c^2)/a^2]*Cos[d + e*x - ArcTan[c/a]])/(-b + a*Sqrt[(a^2 + c^2)/a^2])])) - ((2*a*(b + a*Sqrt[1 + c^2/a^
2]*Cos[d + e*x - ArcTan[c/a]]))/(a^2 + c^2) - (c*Sin[d + e*x - ArcTan[c/a]])/(a*Sqrt[1 + c^2/a^2]))/Sqrt[b + a
*Sqrt[1 + c^2/a^2]*Cos[d + e*x - ArcTan[c/a]]]))/(3*c*(a^2 - b^2 + c^2)^2*e*(a + b*Sec[d + e*x] + c*Tan[d + e*
x])^(5/2)) + (4*b*c*Sec[d + e*x]^(5/2)*(b + a*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x])^(5/2)*(-((c*AppellF1[-1/2, -1/2,
-1/2, 1/2, -((b + a*Sqrt[1 + c^2/a^2]*Cos[d + e*x - ArcTan[c/a]])/(a*Sqrt[1 + c^2/a^2]*(1 - b/(a*Sqrt[1 + c^2/
a^2])))), -((b + a*Sqrt[1 + c^2/a^2]*Cos[d + e*x - ArcTan[c/a]])/(a*Sqrt[1 + c^2/a^2]*(-1 - b/(a*Sqrt[1 + c^2/
a^2]))))]*Sin[d + e*x - ArcTan[c/a]])/(a*Sqrt[1 + c^2/a^2]*Sqrt[(a*Sqrt[(a^2 + c^2)/a^2] - a*Sqrt[(a^2 + c^2)/
a^2]*Cos[d + e*x - ArcTan[c/a]])/(b + a*Sqrt[(a^2 + c^2)/a^2])]*Sqrt[b + a*Sqrt[(a^2 + c^2)/a^2]*Cos[d + e*x -
ArcTan[c/a]]]*Sqrt[(a*Sqrt[(a^2 + c^2)/a^2] + a*Sqrt[(a^2 + c^2)/a^2]*Cos[d + e*x - ArcTan[c/a]])/(-b + a*Sqr
t[(a^2 + c^2)/a^2])])) - ((2*a*(b + a*Sqrt[1 + c^2/a^2]*Cos[d + e*x - ArcTan[c/a]]))/(a^2 + c^2) - (c*Sin[d +
e*x - ArcTan[c/a]])/(a*Sqrt[1 + c^2/a^2]))/Sqrt[b + a*Sqrt[1 + c^2/a^2]*Cos[d + e*x - ArcTan[c/a]]]))/(3*(a^2
- b^2 + c^2)^2*e*(a + b*Sec[d + e*x] + c*Tan[d + e*x])^(5/2))

Maple [C] (warning: unable to verify)

Result contains complex when optimal does not.

Time = 25.62 (sec) , antiderivative size = 155460, normalized size of antiderivative = 315.98

method	result	size
default	\(\text {Expression too large to display}\)	\(155460\)

[In]

int(sec(e*x+d)^(5/2)/(a+b*sec(e*x+d)+c*tan(e*x+d))^(5/2),x,method=_RETURNVERBOSE)

[Out]

result too large to display

Fricas [C] (verification not implemented)

Result contains higher order function than in optimal. Order 9 vs. order 4.

Time = 0.29 (sec) , antiderivative size = 2769, normalized size of antiderivative = 5.63 \[ \int \frac {\sec ^{\frac {5}{2}}(d+e x)}{(a+b \sec (d+e x)+c \tan (d+e x))^{5/2}} \, dx=\text {Too large to display} \]

[In]

integrate(sec(e*x+d)^(5/2)/(a+b*sec(e*x+d)+c*tan(e*x+d))^(5/2),x, algorithm="fricas")

[Out]

1/9*((-3*I*a^3*b^2 - I*a*b^4 - 3*I*a*c^4 + 3*c^5 + (3*a^2 + 4*b^2)*c^3 - I*(3*a^3 + 4*a*b^2)*c^2 + (-3*I*a^5 -
I*a^3*b^2 + I*a*b^2*c^2 - b^2*c^3 + 3*I*a*c^4 - 3*c^5 + (3*a^4 + a^2*b^2)*c)*cos(e*x + d)^2 + (3*a^2*b^2 + b^
4)*c - 2*(3*I*a^4*b + I*a^2*b^3 + 3*I*a^2*b*c^2 - 3*a*b*c^3 - (3*a^3*b + a*b^3)*c)*cos(e*x + d) - 2*(3*I*a*b*c
^3 - 3*b*c^4 - (3*a^2*b + b^3)*c^2 + I*(3*a^3*b + a*b^3)*c + (3*I*a^2*c^3 - 3*a*c^4 - (3*a^3 + a*b^2)*c^2 + I*
(3*a^4 + a^2*b^2)*c)*cos(e*x + d))*sin(e*x + d))*sqrt(2*a - 2*I*c)*weierstrassPInverse(-4/3*(3*a^4 - 4*a^2*b^2
+ 4*b^2*c^2 + 6*I*a*c^3 - 3*c^4 + 2*I*(3*a^3 - 4*a*b^2)*c)/(a^4 + 2*a^2*c^2 + c^4), 8/27*(9*a^5*b - 8*a^3*b^3
- 27*a*b*c^4 - 9*I*b*c^5 + 2*I*(9*a^2*b + 4*b^3)*c^3 - 6*(3*a^3*b - 4*a*b^3)*c^2 + 3*I*(9*a^4*b - 8*a^2*b^3)*
c)/(a^6 + 3*a^4*c^2 + 3*a^2*c^4 + c^6), 1/3*(2*a*b + 2*I*b*c + 3*(a^2 + c^2)*cos(e*x + d) - 3*(-I*a^2 - I*c^2)
*sin(e*x + d))/(a^2 + c^2)) + (3*I*a^3*b^2 + I*a*b^4 + 3*I*a*c^4 + 3*c^5 + (3*a^2 + 4*b^2)*c^3 + I*(3*a^3 + 4*
a*b^2)*c^2 + (3*I*a^5 + I*a^3*b^2 - I*a*b^2*c^2 - b^2*c^3 - 3*I*a*c^4 - 3*c^5 + (3*a^4 + a^2*b^2)*c)*cos(e*x +
d)^2 + (3*a^2*b^2 + b^4)*c - 2*(-3*I*a^4*b - I*a^2*b^3 - 3*I*a^2*b*c^2 - 3*a*b*c^3 - (3*a^3*b + a*b^3)*c)*cos
(e*x + d) - 2*(-3*I*a*b*c^3 - 3*b*c^4 - (3*a^2*b + b^3)*c^2 - I*(3*a^3*b + a*b^3)*c + (-3*I*a^2*c^3 - 3*a*c^4
- (3*a^3 + a*b^2)*c^2 - I*(3*a^4 + a^2*b^2)*c)*cos(e*x + d))*sin(e*x + d))*sqrt(2*a + 2*I*c)*weierstrassPInver
se(-4/3*(3*a^4 - 4*a^2*b^2 + 4*b^2*c^2 - 6*I*a*c^3 - 3*c^4 - 2*I*(3*a^3 - 4*a*b^2)*c)/(a^4 + 2*a^2*c^2 + c^4),
8/27*(9*a^5*b - 8*a^3*b^3 - 27*a*b*c^4 + 9*I*b*c^5 - 2*I*(9*a^2*b + 4*b^3)*c^3 - 6*(3*a^3*b - 4*a*b^3)*c^2 -
3*I*(9*a^4*b - 8*a^2*b^3)*c)/(a^6 + 3*a^4*c^2 + 3*a^2*c^4 + c^6), 1/3*(2*a*b - 2*I*b*c + 3*(a^2 + c^2)*cos(e*x
+ d) - 3*(I*a^2 + I*c^2)*sin(e*x + d))/(a^2 + c^2)) - 12*(-I*a^2*b^3 - I*b*c^4 - I*(a^2*b + b^3)*c^2 + (-I*a^
4*b + I*b*c^4)*cos(e*x + d)^2 + 2*(-I*a^3*b^2 - I*a*b^2*c^2)*cos(e*x + d) + 2*(-I*a^2*b^2*c - I*b^2*c^3 + (-I*
a^3*b*c - I*a*b*c^3)*cos(e*x + d))*sin(e*x + d))*sqrt(2*a - 2*I*c)*weierstrassZeta(-4/3*(3*a^4 - 4*a^2*b^2 + 4
*b^2*c^2 + 6*I*a*c^3 - 3*c^4 + 2*I*(3*a^3 - 4*a*b^2)*c)/(a^4 + 2*a^2*c^2 + c^4), 8/27*(9*a^5*b - 8*a^3*b^3 - 2
7*a*b*c^4 - 9*I*b*c^5 + 2*I*(9*a^2*b + 4*b^3)*c^3 - 6*(3*a^3*b - 4*a*b^3)*c^2 + 3*I*(9*a^4*b - 8*a^2*b^3)*c)/(
a^6 + 3*a^4*c^2 + 3*a^2*c^4 + c^6), weierstrassPInverse(-4/3*(3*a^4 - 4*a^2*b^2 + 4*b^2*c^2 + 6*I*a*c^3 - 3*c^
4 + 2*I*(3*a^3 - 4*a*b^2)*c)/(a^4 + 2*a^2*c^2 + c^4), 8/27*(9*a^5*b - 8*a^3*b^3 - 27*a*b*c^4 - 9*I*b*c^5 + 2*I
*(9*a^2*b + 4*b^3)*c^3 - 6*(3*a^3*b - 4*a*b^3)*c^2 + 3*I*(9*a^4*b - 8*a^2*b^3)*c)/(a^6 + 3*a^4*c^2 + 3*a^2*c^4
+ c^6), 1/3*(2*a*b + 2*I*b*c + 3*(a^2 + c^2)*cos(e*x + d) - 3*(-I*a^2 - I*c^2)*sin(e*x + d))/(a^2 + c^2))) -
12*(I*a^2*b^3 + I*b*c^4 + I*(a^2*b + b^3)*c^2 + (I*a^4*b - I*b*c^4)*cos(e*x + d)^2 + 2*(I*a^3*b^2 + I*a*b^2*c^
2)*cos(e*x + d) + 2*(I*a^2*b^2*c + I*b^2*c^3 + (I*a^3*b*c + I*a*b*c^3)*cos(e*x + d))*sin(e*x + d))*sqrt(2*a +
2*I*c)*weierstrassZeta(-4/3*(3*a^4 - 4*a^2*b^2 + 4*b^2*c^2 - 6*I*a*c^3 - 3*c^4 - 2*I*(3*a^3 - 4*a*b^2)*c)/(a^4
+ 2*a^2*c^2 + c^4), 8/27*(9*a^5*b - 8*a^3*b^3 - 27*a*b*c^4 + 9*I*b*c^5 - 2*I*(9*a^2*b + 4*b^3)*c^3 - 6*(3*a^3
*b - 4*a*b^3)*c^2 - 3*I*(9*a^4*b - 8*a^2*b^3)*c)/(a^6 + 3*a^4*c^2 + 3*a^2*c^4 + c^6), weierstrassPInverse(-4/3
*(3*a^4 - 4*a^2*b^2 + 4*b^2*c^2 - 6*I*a*c^3 - 3*c^4 - 2*I*(3*a^3 - 4*a*b^2)*c)/(a^4 + 2*a^2*c^2 + c^4), 8/27*(
9*a^5*b - 8*a^3*b^3 - 27*a*b*c^4 + 9*I*b*c^5 - 2*I*(9*a^2*b + 4*b^3)*c^3 - 6*(3*a^3*b - 4*a*b^3)*c^2 - 3*I*(9*
a^4*b - 8*a^2*b^3)*c)/(a^6 + 3*a^4*c^2 + 3*a^2*c^4 + c^6), 1/3*(2*a*b - 2*I*b*c + 3*(a^2 + c^2)*cos(e*x + d) -
3*(I*a^2 + I*c^2)*sin(e*x + d))/(a^2 + c^2))) + 6*(8*(a^3*b*c + a*b*c^3)*cos(e*x + d)^3 - (c^5 + (2*a^2 - 5*b
^2)*c^3 + (a^4 - 5*a^2*b^2)*c)*cos(e*x + d)^2 - 4*(a^3*b*c + a*b*c^3)*cos(e*x + d) - (4*(a^4*b - b*c^4)*cos(e*
x + d)^2 - (a^5 - 5*a^3*b^2 + a*c^4 + (2*a^3 - 5*a*b^2)*c^2)*cos(e*x + d))*sin(e*x + d))*sqrt((a*cos(e*x + d)
+ c*sin(e*x + d) + b)/cos(e*x + d))/sqrt(cos(e*x + d)))/((a^8 - 2*a^6*b^2 + a^4*b^4 - c^8 - 2*(a^2 - b^2)*c^6
+ (2*a^2*b^2 - b^4)*c^4 + 2*(a^6 - a^4*b^2)*c^2)*e*cos(e*x + d)^2 + 2*(a^7*b - 2*a^5*b^3 + a^3*b^5 + a*b*c^6 +
(3*a^3*b - 2*a*b^3)*c^4 + (3*a^5*b - 4*a^3*b^3 + a*b^5)*c^2)*e*cos(e*x + d) + (a^6*b^2 - 2*a^4*b^4 + a^2*b^6
+ c^8 + (3*a^2 - b^2)*c^6 + (3*a^4 - a^2*b^2 - b^4)*c^4 + (a^6 + a^4*b^2 - 3*a^2*b^4 + b^6)*c^2)*e + 2*((a*c^7
+ (3*a^3 - 2*a*b^2)*c^5 + (3*a^5 - 4*a^3*b^2 + a*b^4)*c^3 + (a^7 - 2*a^5*b^2 + a^3*b^4)*c)*e*cos(e*x + d) + (
b*c^7 + (3*a^2*b - 2*b^3)*c^5 + (3*a^4*b - 4*a^2*b^3 + b^5)*c^3 + (a^6*b - 2*a^4*b^3 + a^2*b^5)*c)*e)*sin(e*x
+ d))

Sympy [F(-1)]

Timed out. \[ \int \frac {\sec ^{\frac {5}{2}}(d+e x)}{(a+b \sec (d+e x)+c \tan (d+e x))^{5/2}} \, dx=\text {Timed out} \]

[In]

integrate(sec(e*x+d)**(5/2)/(a+b*sec(e*x+d)+c*tan(e*x+d))**(5/2),x)

[Out]

Timed out

Maxima [F]

\[ \int \frac {\sec ^{\frac {5}{2}}(d+e x)}{(a+b \sec (d+e x)+c \tan (d+e x))^{5/2}} \, dx=\int { \frac {\sec \left (e x + d\right )^{\frac {5}{2}}}{{\left (b \sec \left (e x + d\right ) + c \tan \left (e x + d\right ) + a\right )}^{\frac {5}{2}}} \,d x } \]

[In]

integrate(sec(e*x+d)^(5/2)/(a+b*sec(e*x+d)+c*tan(e*x+d))^(5/2),x, algorithm="maxima")

[Out]

integrate(sec(e*x + d)^(5/2)/(b*sec(e*x + d) + c*tan(e*x + d) + a)^(5/2), x)

Giac [F(-1)]

Timed out. \[ \int \frac {\sec ^{\frac {5}{2}}(d+e x)}{(a+b \sec (d+e x)+c \tan (d+e x))^{5/2}} \, dx=\text {Timed out} \]

[In]

integrate(sec(e*x+d)^(5/2)/(a+b*sec(e*x+d)+c*tan(e*x+d))^(5/2),x, algorithm="giac")

[Out]

Timed out

Mupad [F(-1)]

Timed out. \[ \int \frac {\sec ^{\frac {5}{2}}(d+e x)}{(a+b \sec (d+e x)+c \tan (d+e x))^{5/2}} \, dx=\int \frac {{\left (\frac {1}{\cos \left (d+e\,x\right )}\right )}^{5/2}}{{\left (a+c\,\mathrm {tan}\left (d+e\,x\right )+\frac {b}{\cos \left (d+e\,x\right )}\right )}^{5/2}} \,d x \]

[In]

int((1/cos(d + e*x))^(5/2)/(a + c*tan(d + e*x) + b/cos(d + e*x))^(5/2),x)

[Out]

int((1/cos(d + e*x))^(5/2)/(a + c*tan(d + e*x) + b/cos(d + e*x))^(5/2), x)