\(\int \sec ^3(2 (a+b x)) (c \tan (a+b x) \tan (2 (a+b x)))^{3/2} \, dx\) [612]

Optimal result

Integrand size = 31, antiderivative size = 148 \[ \int \sec ^3(2 (a+b x)) (c \tan (a+b x) \tan (2 (a+b x)))^{3/2} \, dx=-\frac {76 c^2 \tan (2 a+2 b x)}{105 b \sqrt {-c+c \sec (2 a+2 b x)}}+\frac {19 c \sqrt {-c+c \sec (2 a+2 b x)} \tan (2 a+2 b x)}{105 b}+\frac {2 (-c+c \sec (2 a+2 b x))^{3/2} \tan (2 a+2 b x)}{35 b}+\frac {(-c+c \sec (2 a+2 b x))^{5/2} \tan (2 a+2 b x)}{7 b c} \]

[Out]

2/35*(-c+c*sec(2*b*x+2*a))^(3/2)*tan(2*b*x+2*a)/b+1/7*(-c+c*sec(2*b*x+2*a))^(5/2)*tan(2*b*x+2*a)/b/c-76/105*c^
2*tan(2*b*x+2*a)/b/(-c+c*sec(2*b*x+2*a))^(1/2)+19/105*c*(-c+c*sec(2*b*x+2*a))^(1/2)*tan(2*b*x+2*a)/b

Rubi [A] (verified)

Time = 0.40 (sec) , antiderivative size = 148, normalized size of antiderivative = 1.00, number of steps used = 5, number of rules used = 5, \(\frac {\text {number of rules}}{\text {integrand size}}\) = 0.161, Rules used = {4482, 3885, 4086, 3878, 3877} \[ \int \sec ^3(2 (a+b x)) (c \tan (a+b x) \tan (2 (a+b x)))^{3/2} \, dx=-\frac {76 c^2 \tan (2 a+2 b x)}{105 b \sqrt {c \sec (2 a+2 b x)-c}}+\frac {\tan (2 a+2 b x) (c \sec (2 a+2 b x)-c)^{5/2}}{7 b c}+\frac {2 \tan (2 a+2 b x) (c \sec (2 a+2 b x)-c)^{3/2}}{35 b}+\frac {19 c \tan (2 a+2 b x) \sqrt {c \sec (2 a+2 b x)-c}}{105 b} \]

[In]

Int[Sec[2*(a + b*x)]^3*(c*Tan[a + b*x]*Tan[2*(a + b*x)])^(3/2),x]

[Out]

(-76*c^2*Tan[2*a + 2*b*x])/(105*b*Sqrt[-c + c*Sec[2*a + 2*b*x]]) + (19*c*Sqrt[-c + c*Sec[2*a + 2*b*x]]*Tan[2*a
+ 2*b*x])/(105*b) + (2*(-c + c*Sec[2*a + 2*b*x])^(3/2)*Tan[2*a + 2*b*x])/(35*b) + ((-c + c*Sec[2*a + 2*b*x])^
(5/2)*Tan[2*a + 2*b*x])/(7*b*c)

Rule 3877

Int[csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*Sqrt[csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_)], x_Symbol] :> Simp[-2*b*(Cot[e + f*x]/(
f*Sqrt[a + b*Csc[e + f*x]])), x] /; FreeQ[{a, b, e, f}, x] && EqQ[a^2 - b^2, 0]

Rule 3878

Int[csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_))^(m_), x_Symbol] :> Simp[(-b)*Cot[e + f*x]*(
(a + b*Csc[e + f*x])^(m - 1)/(f*m)), x] + Dist[a*((2*m - 1)/m), Int[Csc[e + f*x]*(a + b*Csc[e + f*x])^(m - 1),
x], x] /; FreeQ[{a, b, e, f}, x] && EqQ[a^2 - b^2, 0] && GtQ[m, 1/2] && IntegerQ[2*m]

Rule 3885

Int[csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]^3*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_))^(m_), x_Symbol] :> Simp[(-Cot[e + f*x])*(
(a + b*Csc[e + f*x])^(m + 1)/(b*f*(m + 2))), x] + Dist[1/(b*(m + 2)), Int[Csc[e + f*x]*(a + b*Csc[e + f*x])^m*
(b*(m + 1) - a*Csc[e + f*x]), x], x] /; FreeQ[{a, b, e, f, m}, x] && EqQ[a^2 - b^2, 0] &&  !LtQ[m, -2^(-1)]

Rule 4086

Int[csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_))^(m_)*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(B_.) + (A_))
, x_Symbol] :> Simp[(-B)*Cot[e + f*x]*((a + b*Csc[e + f*x])^m/(f*(m + 1))), x] + Dist[(a*B*m + A*b*(m + 1))/(b
*(m + 1)), Int[Csc[e + f*x]*(a + b*Csc[e + f*x])^m, x], x] /; FreeQ[{a, b, A, B, e, f, m}, x] && NeQ[A*b - a*B
, 0] && EqQ[a^2 - b^2, 0] && NeQ[a*B*m + A*b*(m + 1), 0] &&  !LtQ[m, -2^(-1)]

Rule 4482

Int[u_, x_Symbol] :> Int[TrigSimplify[u], x] /; TrigSimplifyQ[u]

Rubi steps \begin{align*} \text {integral}& = \int \sec ^3(2 a+2 b x) (-c+c \sec (2 a+2 b x))^{3/2} \, dx \\ & = \frac {(-c+c \sec (2 a+2 b x))^{5/2} \tan (2 a+2 b x)}{7 b c}+\frac {2 \int \sec (2 a+2 b x) (-c+c \sec (2 a+2 b x))^{3/2} \left (\frac {5 c}{2}+c \sec (2 a+2 b x)\right ) \, dx}{7 c} \\ & = \frac {2 (-c+c \sec (2 a+2 b x))^{3/2} \tan (2 a+2 b x)}{35 b}+\frac {(-c+c \sec (2 a+2 b x))^{5/2} \tan (2 a+2 b x)}{7 b c}+\frac {19}{35} \int \sec (2 a+2 b x) (-c+c \sec (2 a+2 b x))^{3/2} \, dx \\ & = \frac {19 c \sqrt {-c+c \sec (2 a+2 b x)} \tan (2 a+2 b x)}{105 b}+\frac {2 (-c+c \sec (2 a+2 b x))^{3/2} \tan (2 a+2 b x)}{35 b}+\frac {(-c+c \sec (2 a+2 b x))^{5/2} \tan (2 a+2 b x)}{7 b c}-\frac {1}{105} (76 c) \int \sec (2 a+2 b x) \sqrt {-c+c \sec (2 a+2 b x)} \, dx \\ & = -\frac {76 c^2 \tan (2 a+2 b x)}{105 b \sqrt {-c+c \sec (2 a+2 b x)}}+\frac {19 c \sqrt {-c+c \sec (2 a+2 b x)} \tan (2 a+2 b x)}{105 b}+\frac {2 (-c+c \sec (2 a+2 b x))^{3/2} \tan (2 a+2 b x)}{35 b}+\frac {(-c+c \sec (2 a+2 b x))^{5/2} \tan (2 a+2 b x)}{7 b c} \\ \end{align*}

Mathematica [A] (verified)

Time = 0.76 (sec) , antiderivative size = 73, normalized size of antiderivative = 0.49 \[ \int \sec ^3(2 (a+b x)) (c \tan (a+b x) \tan (2 (a+b x)))^{3/2} \, dx=-\frac {\cot (a+b x) \left (-28+76 \cot (a+b x) \cot (2 (a+b x))+24 \sec (2 (a+b x))-15 \sec ^2(2 (a+b x))\right ) (c \tan (a+b x) \tan (2 (a+b x)))^{3/2}}{105 b} \]

[In]

Integrate[Sec[2*(a + b*x)]^3*(c*Tan[a + b*x]*Tan[2*(a + b*x)])^(3/2),x]

[Out]

-1/105*(Cot[a + b*x]*(-28 + 76*Cot[a + b*x]*Cot[2*(a + b*x)] + 24*Sec[2*(a + b*x)] - 15*Sec[2*(a + b*x)]^2)*(c
*Tan[a + b*x]*Tan[2*(a + b*x)])^(3/2))/b

Maple [A] (verified)

Time = 5.80 (sec) , antiderivative size = 91, normalized size of antiderivative = 0.61

method	result	size
default	\(-\frac {\sqrt {2}\, \cot \left (x b +a \right ) \sqrt {\frac {c \sin \left (x b +a \right )^{2}}{2 \cos \left (x b +a \right )^{2}-1}}\, \left (416 \cos \left (x b +a \right )^{6}-728 \cos \left (x b +a \right )^{4}+455 \cos \left (x b +a \right )^{2}-105\right ) c \sqrt {4}}{105 b \left (2 \cos \left (x b +a \right )^{2}-1\right )^{3}}\)	\(91\)

[In]

int(sec(2*b*x+2*a)^3*(c*tan(b*x+a)*tan(2*b*x+2*a))^(3/2),x,method=_RETURNVERBOSE)

[Out]

-1/105*2^(1/2)/b*cot(b*x+a)*(c*sin(b*x+a)^2/(2*cos(b*x+a)^2-1))^(1/2)*(416*cos(b*x+a)^6-728*cos(b*x+a)^4+455*c
os(b*x+a)^2-105)*c/(2*cos(b*x+a)^2-1)^3*4^(1/2)

Fricas [A] (verification not implemented)

none

Time = 0.24 (sec) , antiderivative size = 111, normalized size of antiderivative = 0.75 \[ \int \sec ^3(2 (a+b x)) (c \tan (a+b x) \tan (2 (a+b x)))^{3/2} \, dx=-\frac {2 \, \sqrt {2} {\left (105 \, c \tan \left (b x + a\right )^{6} - 140 \, c \tan \left (b x + a\right )^{4} + 133 \, c \tan \left (b x + a\right )^{2} - 38 \, c\right )} \sqrt {-\frac {c \tan \left (b x + a\right )^{2}}{\tan \left (b x + a\right )^{2} - 1}}}{105 \, {\left (b \tan \left (b x + a\right )^{7} - 3 \, b \tan \left (b x + a\right )^{5} + 3 \, b \tan \left (b x + a\right )^{3} - b \tan \left (b x + a\right )\right )}} \]

[In]

integrate(sec(2*b*x+2*a)^3*(c*tan(b*x+a)*tan(2*b*x+2*a))^(3/2),x, algorithm="fricas")

[Out]

-2/105*sqrt(2)*(105*c*tan(b*x + a)^6 - 140*c*tan(b*x + a)^4 + 133*c*tan(b*x + a)^2 - 38*c)*sqrt(-c*tan(b*x + a
)^2/(tan(b*x + a)^2 - 1))/(b*tan(b*x + a)^7 - 3*b*tan(b*x + a)^5 + 3*b*tan(b*x + a)^3 - b*tan(b*x + a))

Sympy [F(-1)]

Timed out. \[ \int \sec ^3(2 (a+b x)) (c \tan (a+b x) \tan (2 (a+b x)))^{3/2} \, dx=\text {Timed out} \]

[In]

integrate(sec(2*b*x+2*a)**3*(c*tan(b*x+a)*tan(2*b*x+2*a))**(3/2),x)

[Out]

Timed out

Maxima [F]

\[ \int \sec ^3(2 (a+b x)) (c \tan (a+b x) \tan (2 (a+b x)))^{3/2} \, dx=\int { \left (c \tan \left (2 \, b x + 2 \, a\right ) \tan \left (b x + a\right )\right )^{\frac {3}{2}} \sec \left (2 \, b x + 2 \, a\right )^{3} \,d x } \]

[In]

integrate(sec(2*b*x+2*a)^3*(c*tan(b*x+a)*tan(2*b*x+2*a))^(3/2),x, algorithm="maxima")

[Out]

4/105*(210*(cos(4*b*x + 4*a)^2 + sin(4*b*x + 4*a)^2 + 2*cos(4*b*x + 4*a) + 1)^(3/4)*(3*(b*c*cos(4*b*x + 4*a)^2
+ b*c*sin(4*b*x + 4*a)^2 + 2*b*c*cos(4*b*x + 4*a) + b*c)*integrate(-(cos(4*b*x + 4*a)^2 + sin(4*b*x + 4*a)^2
+ 2*cos(4*b*x + 4*a) + 1)^(1/4)*(((cos(16*b*x + 16*a)*cos(4*b*x + 4*a) + 3*cos(12*b*x + 12*a)*cos(4*b*x + 4*a)
+ 3*cos(8*b*x + 8*a)*cos(4*b*x + 4*a) + cos(4*b*x + 4*a)^2 + sin(16*b*x + 16*a)*sin(4*b*x + 4*a) + 3*sin(12*b
*x + 12*a)*sin(4*b*x + 4*a) + 3*sin(8*b*x + 8*a)*sin(4*b*x + 4*a) + sin(4*b*x + 4*a)^2)*cos(3/2*arctan2(sin(4*
b*x + 4*a), -cos(4*b*x + 4*a) - 1)) + (cos(4*b*x + 4*a)*sin(16*b*x + 16*a) + 3*cos(4*b*x + 4*a)*sin(12*b*x + 1
2*a) + 3*cos(4*b*x + 4*a)*sin(8*b*x + 8*a) - cos(16*b*x + 16*a)*sin(4*b*x + 4*a) - 3*cos(12*b*x + 12*a)*sin(4*
b*x + 4*a) - 3*cos(8*b*x + 8*a)*sin(4*b*x + 4*a))*sin(3/2*arctan2(sin(4*b*x + 4*a), -cos(4*b*x + 4*a) - 1)))*c
os(5/2*arctan2(sin(4*b*x + 4*a), cos(4*b*x + 4*a))) + ((cos(4*b*x + 4*a)*sin(16*b*x + 16*a) + 3*cos(4*b*x + 4*
a)*sin(12*b*x + 12*a) + 3*cos(4*b*x + 4*a)*sin(8*b*x + 8*a) - cos(16*b*x + 16*a)*sin(4*b*x + 4*a) - 3*cos(12*b
*x + 12*a)*sin(4*b*x + 4*a) - 3*cos(8*b*x + 8*a)*sin(4*b*x + 4*a))*cos(3/2*arctan2(sin(4*b*x + 4*a), -cos(4*b*
x + 4*a) - 1)) - (cos(16*b*x + 16*a)*cos(4*b*x + 4*a) + 3*cos(12*b*x + 12*a)*cos(4*b*x + 4*a) + 3*cos(8*b*x +
8*a)*cos(4*b*x + 4*a) + cos(4*b*x + 4*a)^2 + sin(16*b*x + 16*a)*sin(4*b*x + 4*a) + 3*sin(12*b*x + 12*a)*sin(4*
b*x + 4*a) + 3*sin(8*b*x + 8*a)*sin(4*b*x + 4*a) + sin(4*b*x + 4*a)^2)*sin(3/2*arctan2(sin(4*b*x + 4*a), -cos(
4*b*x + 4*a) - 1)))*sin(5/2*arctan2(sin(4*b*x + 4*a), cos(4*b*x + 4*a))))/((cos(4*b*x + 4*a)^4 + sin(4*b*x + 4
*a)^4 + (cos(4*b*x + 4*a)^2 + sin(4*b*x + 4*a)^2 + 2*cos(4*b*x + 4*a) + 1)*cos(16*b*x + 16*a)^2 + 9*(cos(4*b*x
+ 4*a)^2 + sin(4*b*x + 4*a)^2 + 2*cos(4*b*x + 4*a) + 1)*cos(12*b*x + 12*a)^2 + 9*(cos(4*b*x + 4*a)^2 + sin(4*
b*x + 4*a)^2 + 2*cos(4*b*x + 4*a) + 1)*cos(8*b*x + 8*a)^2 + 2*cos(4*b*x + 4*a)^3 + (cos(4*b*x + 4*a)^2 + sin(4
*b*x + 4*a)^2 + 2*cos(4*b*x + 4*a) + 1)*sin(16*b*x + 16*a)^2 + 9*(cos(4*b*x + 4*a)^2 + sin(4*b*x + 4*a)^2 + 2*
cos(4*b*x + 4*a) + 1)*sin(12*b*x + 12*a)^2 + 9*(cos(4*b*x + 4*a)^2 + sin(4*b*x + 4*a)^2 + 2*cos(4*b*x + 4*a) +
1)*sin(8*b*x + 8*a)^2 + (2*cos(4*b*x + 4*a)^2 + 2*cos(4*b*x + 4*a) + 1)*sin(4*b*x + 4*a)^2 + 2*(cos(4*b*x + 4
*a)^3 + cos(4*b*x + 4*a)*sin(4*b*x + 4*a)^2 + 3*(cos(4*b*x + 4*a)^2 + sin(4*b*x + 4*a)^2 + 2*cos(4*b*x + 4*a)
+ 1)*cos(12*b*x + 12*a) + 3*(cos(4*b*x + 4*a)^2 + sin(4*b*x + 4*a)^2 + 2*cos(4*b*x + 4*a) + 1)*cos(8*b*x + 8*a
) + 2*cos(4*b*x + 4*a)^2 + cos(4*b*x + 4*a))*cos(16*b*x + 16*a) + 6*(cos(4*b*x + 4*a)^3 + cos(4*b*x + 4*a)*sin
(4*b*x + 4*a)^2 + 3*(cos(4*b*x + 4*a)^2 + sin(4*b*x + 4*a)^2 + 2*cos(4*b*x + 4*a) + 1)*cos(8*b*x + 8*a) + 2*co
s(4*b*x + 4*a)^2 + cos(4*b*x + 4*a))*cos(12*b*x + 12*a) + 6*(cos(4*b*x + 4*a)^3 + cos(4*b*x + 4*a)*sin(4*b*x +
4*a)^2 + 2*cos(4*b*x + 4*a)^2 + cos(4*b*x + 4*a))*cos(8*b*x + 8*a) + cos(4*b*x + 4*a)^2 + 2*(sin(4*b*x + 4*a)
^3 + 3*(cos(4*b*x + 4*a)^2 + sin(4*b*x + 4*a)^2 + 2*cos(4*b*x + 4*a) + 1)*sin(12*b*x + 12*a) + 3*(cos(4*b*x +
4*a)^2 + sin(4*b*x + 4*a)^2 + 2*cos(4*b*x + 4*a) + 1)*sin(8*b*x + 8*a) + (cos(4*b*x + 4*a)^2 + 2*cos(4*b*x + 4
*a) + 1)*sin(4*b*x + 4*a))*sin(16*b*x + 16*a) + 6*(sin(4*b*x + 4*a)^3 + 3*(cos(4*b*x + 4*a)^2 + sin(4*b*x + 4*
a)^2 + 2*cos(4*b*x + 4*a) + 1)*sin(8*b*x + 8*a) + (cos(4*b*x + 4*a)^2 + 2*cos(4*b*x + 4*a) + 1)*sin(4*b*x + 4*
a))*sin(12*b*x + 12*a) + 6*(sin(4*b*x + 4*a)^3 + (cos(4*b*x + 4*a)^2 + 2*cos(4*b*x + 4*a) + 1)*sin(4*b*x + 4*a
))*sin(8*b*x + 8*a))*cos(3/2*arctan2(sin(4*b*x + 4*a), -cos(4*b*x + 4*a) - 1))^2 + (cos(4*b*x + 4*a)^4 + sin(4
*b*x + 4*a)^4 + (cos(4*b*x + 4*a)^2 + sin(4*b*x + 4*a)^2 + 2*cos(4*b*x + 4*a) + 1)*cos(16*b*x + 16*a)^2 + 9*(c
os(4*b*x + 4*a)^2 + sin(4*b*x + 4*a)^2 + 2*cos(4*b*x + 4*a) + 1)*cos(12*b*x + 12*a)^2 + 9*(cos(4*b*x + 4*a)^2
+ sin(4*b*x + 4*a)^2 + 2*cos(4*b*x + 4*a) + 1)*cos(8*b*x + 8*a)^2 + 2*cos(4*b*x + 4*a)^3 + (cos(4*b*x + 4*a)^2
+ sin(4*b*x + 4*a)^2 + 2*cos(4*b*x + 4*a) + 1)*sin(16*b*x + 16*a)^2 + 9*(cos(4*b*x + 4*a)^2 + sin(4*b*x + 4*a
)^2 + 2*cos(4*b*x + 4*a) + 1)*sin(12*b*x + 12*a)^2 + 9*(cos(4*b*x + 4*a)^2 + sin(4*b*x + 4*a)^2 + 2*cos(4*b*x
+ 4*a) + 1)*sin(8*b*x + 8*a)^2 + (2*cos(4*b*x + 4*a)^2 + 2*cos(4*b*x + 4*a) + 1)*sin(4*b*x + 4*a)^2 + 2*(cos(4
*b*x + 4*a)^3 + cos(4*b*x + 4*a)*sin(4*b*x + 4*a)^2 + 3*(cos(4*b*x + 4*a)^2 + sin(4*b*x + 4*a)^2 + 2*cos(4*b*x
+ 4*a) + 1)*cos(12*b*x + 12*a) + 3*(cos(4*b*x + 4*a)^2 + sin(4*b*x + 4*a)^2 + 2*cos(4*b*x + 4*a) + 1)*cos(8*b
*x + 8*a) + 2*cos(4*b*x + 4*a)^2 + cos(4*b*x + 4*a))*cos(16*b*x + 16*a) + 6*(cos(4*b*x + 4*a)^3 + cos(4*b*x +
4*a)*sin(4*b*x + 4*a)^2 + 3*(cos(4*b*x + 4*a)^2 + sin(4*b*x + 4*a)^2 + 2*cos(4*b*x + 4*a) + 1)*cos(8*b*x + 8*a
) + 2*cos(4*b*x + 4*a)^2 + cos(4*b*x + 4*a))*cos(12*b*x + 12*a) + 6*(cos(4*b*x + 4*a)^3 + cos(4*b*x + 4*a)*sin
(4*b*x + 4*a)^2 + 2*cos(4*b*x + 4*a)^2 + cos(4*b*x + 4*a))*cos(8*b*x + 8*a) + cos(4*b*x + 4*a)^2 + 2*(sin(4*b*
x + 4*a)^3 + 3*(cos(4*b*x + 4*a)^2 + sin(4*b*x + 4*a)^2 + 2*cos(4*b*x + 4*a) + 1)*sin(12*b*x + 12*a) + 3*(cos(
4*b*x + 4*a)^2 + sin(4*b*x + 4*a)^2 + 2*cos(4*b*x + 4*a) + 1)*sin(8*b*x + 8*a) + (cos(4*b*x + 4*a)^2 + 2*cos(4
*b*x + 4*a) + 1)*sin(4*b*x + 4*a))*sin(16*b*x + 16*a) + 6*(sin(4*b*x + 4*a)^3 + 3*(cos(4*b*x + 4*a)^2 + sin(4*
b*x + 4*a)^2 + 2*cos(4*b*x + 4*a) + 1)*sin(8*b*x + 8*a) + (cos(4*b*x + 4*a)^2 + 2*cos(4*b*x + 4*a) + 1)*sin(4*
b*x + 4*a))*sin(12*b*x + 12*a) + 6*(sin(4*b*x + 4*a)^3 + (cos(4*b*x + 4*a)^2 + 2*cos(4*b*x + 4*a) + 1)*sin(4*b
*x + 4*a))*sin(8*b*x + 8*a))*sin(3/2*arctan2(sin(4*b*x + 4*a), -cos(4*b*x + 4*a) - 1))^2), x) + (b*c*cos(4*b*x
+ 4*a)^2 + b*c*sin(4*b*x + 4*a)^2 + 2*b*c*cos(4*b*x + 4*a) + b*c)*integrate(-(cos(4*b*x + 4*a)^2 + sin(4*b*x
+ 4*a)^2 + 2*cos(4*b*x + 4*a) + 1)^(1/4)*(((cos(16*b*x + 16*a)*cos(4*b*x + 4*a) + 3*cos(12*b*x + 12*a)*cos(4*b
*x + 4*a) + 3*cos(8*b*x + 8*a)*cos(4*b*x + 4*a) + cos(4*b*x + 4*a)^2 + sin(16*b*x + 16*a)*sin(4*b*x + 4*a) + 3
*sin(12*b*x + 12*a)*sin(4*b*x + 4*a) + 3*sin(8*b*x + 8*a)*sin(4*b*x + 4*a) + sin(4*b*x + 4*a)^2)*cos(3/2*arcta
n2(sin(4*b*x + 4*a), -cos(4*b*x + 4*a) - 1)) + (cos(4*b*x + 4*a)*sin(16*b*x + 16*a) + 3*cos(4*b*x + 4*a)*sin(1
2*b*x + 12*a) + 3*cos(4*b*x + 4*a)*sin(8*b*x + 8*a) - cos(16*b*x + 16*a)*sin(4*b*x + 4*a) - 3*cos(12*b*x + 12*
a)*sin(4*b*x + 4*a) - 3*cos(8*b*x + 8*a)*sin(4*b*x + 4*a))*sin(3/2*arctan2(sin(4*b*x + 4*a), -cos(4*b*x + 4*a)
- 1)))*cos(3/2*arctan2(sin(4*b*x + 4*a), cos(4*b*x + 4*a))) + ((cos(4*b*x + 4*a)*sin(16*b*x + 16*a) + 3*cos(4
*b*x + 4*a)*sin(12*b*x + 12*a) + 3*cos(4*b*x + 4*a)*sin(8*b*x + 8*a) - cos(16*b*x + 16*a)*sin(4*b*x + 4*a) - 3
*cos(12*b*x + 12*a)*sin(4*b*x + 4*a) - 3*cos(8*b*x + 8*a)*sin(4*b*x + 4*a))*cos(3/2*arctan2(sin(4*b*x + 4*a),
-cos(4*b*x + 4*a) - 1)) - (cos(16*b*x + 16*a)*cos(4*b*x + 4*a) + 3*cos(12*b*x + 12*a)*cos(4*b*x + 4*a) + 3*cos
(8*b*x + 8*a)*cos(4*b*x + 4*a) + cos(4*b*x + 4*a)^2 + sin(16*b*x + 16*a)*sin(4*b*x + 4*a) + 3*sin(12*b*x + 12*
a)*sin(4*b*x + 4*a) + 3*sin(8*b*x + 8*a)*sin(4*b*x + 4*a) + sin(4*b*x + 4*a)^2)*sin(3/2*arctan2(sin(4*b*x + 4*
a), -cos(4*b*x + 4*a) - 1)))*sin(3/2*arctan2(sin(4*b*x + 4*a), cos(4*b*x + 4*a))))/((cos(4*b*x + 4*a)^4 + sin(
4*b*x + 4*a)^4 + (cos(4*b*x + 4*a)^2 + sin(4*b*x + 4*a)^2 + 2*cos(4*b*x + 4*a) + 1)*cos(16*b*x + 16*a)^2 + 9*(
cos(4*b*x + 4*a)^2 + sin(4*b*x + 4*a)^2 + 2*cos(4*b*x + 4*a) + 1)*cos(12*b*x + 12*a)^2 + 9*(cos(4*b*x + 4*a)^2
+ sin(4*b*x + 4*a)^2 + 2*cos(4*b*x + 4*a) + 1)*cos(8*b*x + 8*a)^2 + 2*cos(4*b*x + 4*a)^3 + (cos(4*b*x + 4*a)^
2 + sin(4*b*x + 4*a)^2 + 2*cos(4*b*x + 4*a) + 1)*sin(16*b*x + 16*a)^2 + 9*(cos(4*b*x + 4*a)^2 + sin(4*b*x + 4*
a)^2 + 2*cos(4*b*x + 4*a) + 1)*sin(12*b*x + 12*a)^2 + 9*(cos(4*b*x + 4*a)^2 + sin(4*b*x + 4*a)^2 + 2*cos(4*b*x
+ 4*a) + 1)*sin(8*b*x + 8*a)^2 + (2*cos(4*b*x + 4*a)^2 + 2*cos(4*b*x + 4*a) + 1)*sin(4*b*x + 4*a)^2 + 2*(cos(
4*b*x + 4*a)^3 + cos(4*b*x + 4*a)*sin(4*b*x + 4*a)^2 + 3*(cos(4*b*x + 4*a)^2 + sin(4*b*x + 4*a)^2 + 2*cos(4*b*
x + 4*a) + 1)*cos(12*b*x + 12*a) + 3*(cos(4*b*x + 4*a)^2 + sin(4*b*x + 4*a)^2 + 2*cos(4*b*x + 4*a) + 1)*cos(8*
b*x + 8*a) + 2*cos(4*b*x + 4*a)^2 + cos(4*b*x + 4*a))*cos(16*b*x + 16*a) + 6*(cos(4*b*x + 4*a)^3 + cos(4*b*x +
4*a)*sin(4*b*x + 4*a)^2 + 3*(cos(4*b*x + 4*a)^2 + sin(4*b*x + 4*a)^2 + 2*cos(4*b*x + 4*a) + 1)*cos(8*b*x + 8*
a) + 2*cos(4*b*x + 4*a)^2 + cos(4*b*x + 4*a))*cos(12*b*x + 12*a) + 6*(cos(4*b*x + 4*a)^3 + cos(4*b*x + 4*a)*si
n(4*b*x + 4*a)^2 + 2*cos(4*b*x + 4*a)^2 + cos(4*b*x + 4*a))*cos(8*b*x + 8*a) + cos(4*b*x + 4*a)^2 + 2*(sin(4*b
*x + 4*a)^3 + 3*(cos(4*b*x + 4*a)^2 + sin(4*b*x + 4*a)^2 + 2*cos(4*b*x + 4*a) + 1)*sin(12*b*x + 12*a) + 3*(cos
(4*b*x + 4*a)^2 + sin(4*b*x + 4*a)^2 + 2*cos(4*b*x + 4*a) + 1)*sin(8*b*x + 8*a) + (cos(4*b*x + 4*a)^2 + 2*cos(
4*b*x + 4*a) + 1)*sin(4*b*x + 4*a))*sin(16*b*x + 16*a) + 6*(sin(4*b*x + 4*a)^3 + 3*(cos(4*b*x + 4*a)^2 + sin(4
*b*x + 4*a)^2 + 2*cos(4*b*x + 4*a) + 1)*sin(8*b*x + 8*a) + (cos(4*b*x + 4*a)^2 + 2*cos(4*b*x + 4*a) + 1)*sin(4
*b*x + 4*a))*sin(12*b*x + 12*a) + 6*(sin(4*b*x + 4*a)^3 + (cos(4*b*x + 4*a)^2 + 2*cos(4*b*x + 4*a) + 1)*sin(4*
b*x + 4*a))*sin(8*b*x + 8*a))*cos(3/2*arctan2(sin(4*b*x + 4*a), -cos(4*b*x + 4*a) - 1))^2 + (cos(4*b*x + 4*a)^
4 + sin(4*b*x + 4*a)^4 + (cos(4*b*x + 4*a)^2 + sin(4*b*x + 4*a)^2 + 2*cos(4*b*x + 4*a) + 1)*cos(16*b*x + 16*a)
^2 + 9*(cos(4*b*x + 4*a)^2 + sin(4*b*x + 4*a)^2 + 2*cos(4*b*x + 4*a) + 1)*cos(12*b*x + 12*a)^2 + 9*(cos(4*b*x
+ 4*a)^2 + sin(4*b*x + 4*a)^2 + 2*cos(4*b*x + 4*a) + 1)*cos(8*b*x + 8*a)^2 + 2*cos(4*b*x + 4*a)^3 + (cos(4*b*x
+ 4*a)^2 + sin(4*b*x + 4*a)^2 + 2*cos(4*b*x + 4*a) + 1)*sin(16*b*x + 16*a)^2 + 9*(cos(4*b*x + 4*a)^2 + sin(4*
b*x + 4*a)^2 + 2*cos(4*b*x + 4*a) + 1)*sin(12*b*x + 12*a)^2 + 9*(cos(4*b*x + 4*a)^2 + sin(4*b*x + 4*a)^2 + 2*c
os(4*b*x + 4*a) + 1)*sin(8*b*x + 8*a)^2 + (2*cos(4*b*x + 4*a)^2 + 2*cos(4*b*x + 4*a) + 1)*sin(4*b*x + 4*a)^2 +
2*(cos(4*b*x + 4*a)^3 + cos(4*b*x + 4*a)*sin(4*b*x + 4*a)^2 + 3*(cos(4*b*x + 4*a)^2 + sin(4*b*x + 4*a)^2 + 2*
cos(4*b*x + 4*a) + 1)*cos(12*b*x + 12*a) + 3*(cos(4*b*x + 4*a)^2 + sin(4*b*x + 4*a)^2 + 2*cos(4*b*x + 4*a) + 1
)*cos(8*b*x + 8*a) + 2*cos(4*b*x + 4*a)^2 + cos(4*b*x + 4*a))*cos(16*b*x + 16*a) + 6*(cos(4*b*x + 4*a)^3 + cos
(4*b*x + 4*a)*sin(4*b*x + 4*a)^2 + 3*(cos(4*b*x + 4*a)^2 + sin(4*b*x + 4*a)^2 + 2*cos(4*b*x + 4*a) + 1)*cos(8*
b*x + 8*a) + 2*cos(4*b*x + 4*a)^2 + cos(4*b*x + 4*a))*cos(12*b*x + 12*a) + 6*(cos(4*b*x + 4*a)^3 + cos(4*b*x +
4*a)*sin(4*b*x + 4*a)^2 + 2*cos(4*b*x + 4*a)^2 + cos(4*b*x + 4*a))*cos(8*b*x + 8*a) + cos(4*b*x + 4*a)^2 + 2*
(sin(4*b*x + 4*a)^3 + 3*(cos(4*b*x + 4*a)^2 + sin(4*b*x + 4*a)^2 + 2*cos(4*b*x + 4*a) + 1)*sin(12*b*x + 12*a)
+ 3*(cos(4*b*x + 4*a)^2 + sin(4*b*x + 4*a)^2 + 2*cos(4*b*x + 4*a) + 1)*sin(8*b*x + 8*a) + (cos(4*b*x + 4*a)^2
+ 2*cos(4*b*x + 4*a) + 1)*sin(4*b*x + 4*a))*sin(16*b*x + 16*a) + 6*(sin(4*b*x + 4*a)^3 + 3*(cos(4*b*x + 4*a)^2
+ sin(4*b*x + 4*a)^2 + 2*cos(4*b*x + 4*a) + 1)*sin(8*b*x + 8*a) + (cos(4*b*x + 4*a)^2 + 2*cos(4*b*x + 4*a) +
1)*sin(4*b*x + 4*a))*sin(12*b*x + 12*a) + 6*(sin(4*b*x + 4*a)^3 + (cos(4*b*x + 4*a)^2 + 2*cos(4*b*x + 4*a) + 1
)*sin(4*b*x + 4*a))*sin(8*b*x + 8*a))*sin(3/2*arctan2(sin(4*b*x + 4*a), -cos(4*b*x + 4*a) - 1))^2), x))*sqrt(c
) - (7*(5*c*sin(8*b*x + 8*a) + 13*c*sin(4*b*x + 4*a))*cos(7/2*arctan2(sin(4*b*x + 4*a), -cos(4*b*x + 4*a) - 1)
) + (35*c*cos(8*b*x + 8*a) + 91*c*cos(4*b*x + 4*a) + 26*c)*sin(7/2*arctan2(sin(4*b*x + 4*a), -cos(4*b*x + 4*a)
- 1)))*sqrt(c))/((b*cos(4*b*x + 4*a)^2 + b*sin(4*b*x + 4*a)^2 + 2*b*cos(4*b*x + 4*a) + b)*(cos(4*b*x + 4*a)^2
+ sin(4*b*x + 4*a)^2 + 2*cos(4*b*x + 4*a) + 1)^(3/4))

Giac [F(-1)]

Timed out. \[ \int \sec ^3(2 (a+b x)) (c \tan (a+b x) \tan (2 (a+b x)))^{3/2} \, dx=\text {Timed out} \]

[In]

integrate(sec(2*b*x+2*a)^3*(c*tan(b*x+a)*tan(2*b*x+2*a))^(3/2),x, algorithm="giac")

[Out]

Timed out

Mupad [B] (verification not implemented)

Time = 36.54 (sec) , antiderivative size = 479, normalized size of antiderivative = 3.24 \[ \int \sec ^3(2 (a+b x)) (c \tan (a+b x) \tan (2 (a+b x)))^{3/2} \, dx=\frac {\left (\frac {c\,8{}\mathrm {i}}{7\,b}-\frac {c\,{\mathrm {e}}^{a\,2{}\mathrm {i}+b\,x\,2{}\mathrm {i}}\,8{}\mathrm {i}}{7\,b}\right )\,\sqrt {\frac {c\,\left ({\mathrm {e}}^{a\,2{}\mathrm {i}+b\,x\,2{}\mathrm {i}}\,1{}\mathrm {i}-\mathrm {i}\right )\,\left ({\mathrm {e}}^{a\,4{}\mathrm {i}+b\,x\,4{}\mathrm {i}}\,1{}\mathrm {i}-\mathrm {i}\right )}{\left ({\mathrm {e}}^{a\,2{}\mathrm {i}+b\,x\,2{}\mathrm {i}}+1\right )\,\left ({\mathrm {e}}^{a\,4{}\mathrm {i}+b\,x\,4{}\mathrm {i}}+1\right )}}}{\left ({\mathrm {e}}^{a\,2{}\mathrm {i}+b\,x\,2{}\mathrm {i}}-1\right )\,{\left ({\mathrm {e}}^{a\,4{}\mathrm {i}+b\,x\,4{}\mathrm {i}}+1\right )}^3}-\frac {\left (\frac {c\,4{}\mathrm {i}}{5\,b}-\frac {c\,{\mathrm {e}}^{a\,2{}\mathrm {i}+b\,x\,2{}\mathrm {i}}\,92{}\mathrm {i}}{35\,b}\right )\,\sqrt {\frac {c\,\left ({\mathrm {e}}^{a\,2{}\mathrm {i}+b\,x\,2{}\mathrm {i}}\,1{}\mathrm {i}-\mathrm {i}\right )\,\left ({\mathrm {e}}^{a\,4{}\mathrm {i}+b\,x\,4{}\mathrm {i}}\,1{}\mathrm {i}-\mathrm {i}\right )}{\left ({\mathrm {e}}^{a\,2{}\mathrm {i}+b\,x\,2{}\mathrm {i}}+1\right )\,\left ({\mathrm {e}}^{a\,4{}\mathrm {i}+b\,x\,4{}\mathrm {i}}+1\right )}}}{\left ({\mathrm {e}}^{a\,2{}\mathrm {i}+b\,x\,2{}\mathrm {i}}-1\right )\,{\left ({\mathrm {e}}^{a\,4{}\mathrm {i}+b\,x\,4{}\mathrm {i}}+1\right )}^2}-\frac {\left (\frac {c\,4{}\mathrm {i}}{3\,b}+\frac {c\,{\mathrm {e}}^{a\,2{}\mathrm {i}+b\,x\,2{}\mathrm {i}}\,52{}\mathrm {i}}{105\,b}\right )\,\sqrt {\frac {c\,\left ({\mathrm {e}}^{a\,2{}\mathrm {i}+b\,x\,2{}\mathrm {i}}\,1{}\mathrm {i}-\mathrm {i}\right )\,\left ({\mathrm {e}}^{a\,4{}\mathrm {i}+b\,x\,4{}\mathrm {i}}\,1{}\mathrm {i}-\mathrm {i}\right )}{\left ({\mathrm {e}}^{a\,2{}\mathrm {i}+b\,x\,2{}\mathrm {i}}+1\right )\,\left ({\mathrm {e}}^{a\,4{}\mathrm {i}+b\,x\,4{}\mathrm {i}}+1\right )}}}{\left ({\mathrm {e}}^{a\,2{}\mathrm {i}+b\,x\,2{}\mathrm {i}}-1\right )\,\left ({\mathrm {e}}^{a\,4{}\mathrm {i}+b\,x\,4{}\mathrm {i}}+1\right )}-\frac {c\,{\mathrm {e}}^{a\,2{}\mathrm {i}+b\,x\,2{}\mathrm {i}}\,\sqrt {\frac {c\,\left ({\mathrm {e}}^{a\,2{}\mathrm {i}+b\,x\,2{}\mathrm {i}}\,1{}\mathrm {i}-\mathrm {i}\right )\,\left ({\mathrm {e}}^{a\,4{}\mathrm {i}+b\,x\,4{}\mathrm {i}}\,1{}\mathrm {i}-\mathrm {i}\right )}{\left ({\mathrm {e}}^{a\,2{}\mathrm {i}+b\,x\,2{}\mathrm {i}}+1\right )\,\left ({\mathrm {e}}^{a\,4{}\mathrm {i}+b\,x\,4{}\mathrm {i}}+1\right )}}\,104{}\mathrm {i}}{105\,b\,\left ({\mathrm {e}}^{a\,2{}\mathrm {i}+b\,x\,2{}\mathrm {i}}-1\right )} \]

[In]

int((c*tan(a + b*x)*tan(2*a + 2*b*x))^(3/2)/cos(2*a + 2*b*x)^3,x)

[Out]

(((c*8i)/(7*b) - (c*exp(a*2i + b*x*2i)*8i)/(7*b))*((c*(exp(a*2i + b*x*2i)*1i - 1i)*(exp(a*4i + b*x*4i)*1i - 1i
))/((exp(a*2i + b*x*2i) + 1)*(exp(a*4i + b*x*4i) + 1)))^(1/2))/((exp(a*2i + b*x*2i) - 1)*(exp(a*4i + b*x*4i) +
1)^3) - (((c*4i)/(5*b) - (c*exp(a*2i + b*x*2i)*92i)/(35*b))*((c*(exp(a*2i + b*x*2i)*1i - 1i)*(exp(a*4i + b*x*
4i)*1i - 1i))/((exp(a*2i + b*x*2i) + 1)*(exp(a*4i + b*x*4i) + 1)))^(1/2))/((exp(a*2i + b*x*2i) - 1)*(exp(a*4i
+ b*x*4i) + 1)^2) - (((c*4i)/(3*b) + (c*exp(a*2i + b*x*2i)*52i)/(105*b))*((c*(exp(a*2i + b*x*2i)*1i - 1i)*(exp
(a*4i + b*x*4i)*1i - 1i))/((exp(a*2i + b*x*2i) + 1)*(exp(a*4i + b*x*4i) + 1)))^(1/2))/((exp(a*2i + b*x*2i) - 1
)*(exp(a*4i + b*x*4i) + 1)) - (c*exp(a*2i + b*x*2i)*((c*(exp(a*2i + b*x*2i)*1i - 1i)*(exp(a*4i + b*x*4i)*1i -
1i))/((exp(a*2i + b*x*2i) + 1)*(exp(a*4i + b*x*4i) + 1)))^(1/2)*104i)/(105*b*(exp(a*2i + b*x*2i) - 1))