\(\int \frac {\cot ^{-1}(a+b x)}{c+d x^2} \, dx\) [107]

Optimal result

Integrand size = 16, antiderivative size = 642 \[ \int \frac {\cot ^{-1}(a+b x)}{c+d x^2} \, dx=-\frac {\log \left (\frac {i+a+b x}{a+b x}\right ) \log \left (-\frac {b \left (i \sqrt {c}-\sqrt {d} x\right )}{\left (b \sqrt {c}+(1-i a) \sqrt {d}\right ) (a+b x)}\right )}{4 \sqrt {c} \sqrt {d}}+\frac {\log \left (-\frac {i-a-b x}{a+b x}\right ) \log \left (\frac {i b \left (\sqrt {c}+i \sqrt {d} x\right )}{\left (b \sqrt {c}-(1+i a) \sqrt {d}\right ) (a+b x)}\right )}{4 \sqrt {c} \sqrt {d}}-\frac {\log \left (-\frac {i-a-b x}{a+b x}\right ) \log \left (\frac {b \left (i \sqrt {c}+\sqrt {d} x\right )}{\left (b \sqrt {c}+(1+i a) \sqrt {d}\right ) (a+b x)}\right )}{4 \sqrt {c} \sqrt {d}}+\frac {\log \left (\frac {i+a+b x}{a+b x}\right ) \log \left (-\frac {b \left (i \sqrt {c}+\sqrt {d} x\right )}{\left (b \sqrt {c}+i (i+a) \sqrt {d}\right ) (a+b x)}\right )}{4 \sqrt {c} \sqrt {d}}+\frac {\operatorname {PolyLog}\left (2,-\frac {\left (b \sqrt {c}-i a \sqrt {d}\right ) (i-a-b x)}{\left (b \sqrt {c}-(1+i a) \sqrt {d}\right ) (a+b x)}\right )}{4 \sqrt {c} \sqrt {d}}-\frac {\operatorname {PolyLog}\left (2,-\frac {\left (b \sqrt {c}+i a \sqrt {d}\right ) (i-a-b x)}{\left (b \sqrt {c}+(1+i a) \sqrt {d}\right ) (a+b x)}\right )}{4 \sqrt {c} \sqrt {d}}-\frac {\operatorname {PolyLog}\left (2,\frac {\left (b \sqrt {c}-i a \sqrt {d}\right ) (i+a+b x)}{\left (b \sqrt {c}+(1-i a) \sqrt {d}\right ) (a+b x)}\right )}{4 \sqrt {c} \sqrt {d}}+\frac {\operatorname {PolyLog}\left (2,\frac {\left (b \sqrt {c}+i a \sqrt {d}\right ) (i+a+b x)}{\left (b \sqrt {c}+i (i+a) \sqrt {d}\right ) (a+b x)}\right )}{4 \sqrt {c} \sqrt {d}} \]

[Out]

-1/4*ln((I+a+b*x)/(b*x+a))*ln(-b*(I*c^(1/2)-x*d^(1/2))/(b*x+a)/(b*c^(1/2)+(1-I*a)*d^(1/2)))/c^(1/2)/d^(1/2)+1/
4*ln((-I+a+b*x)/(b*x+a))*ln(I*b*(c^(1/2)+I*x*d^(1/2))/(b*x+a)/(b*c^(1/2)-(1+I*a)*d^(1/2)))/c^(1/2)/d^(1/2)-1/4
*ln((-I+a+b*x)/(b*x+a))*ln(b*(I*c^(1/2)+x*d^(1/2))/(b*x+a)/(b*c^(1/2)+(1+I*a)*d^(1/2)))/c^(1/2)/d^(1/2)+1/4*ln
((I+a+b*x)/(b*x+a))*ln(-b*(I*c^(1/2)+x*d^(1/2))/(b*x+a)/(b*c^(1/2)+I*(I+a)*d^(1/2)))/c^(1/2)/d^(1/2)-1/4*polyl
og(2,(I+a+b*x)*(b*c^(1/2)-I*a*d^(1/2))/(b*x+a)/(b*c^(1/2)+(1-I*a)*d^(1/2)))/c^(1/2)/d^(1/2)+1/4*polylog(2,-(I-
a-b*x)*(b*c^(1/2)-I*a*d^(1/2))/(b*x+a)/(b*c^(1/2)-(1+I*a)*d^(1/2)))/c^(1/2)/d^(1/2)-1/4*polylog(2,-(I-a-b*x)*(
b*c^(1/2)+I*a*d^(1/2))/(b*x+a)/(b*c^(1/2)+(1+I*a)*d^(1/2)))/c^(1/2)/d^(1/2)+1/4*polylog(2,(I+a+b*x)*(b*c^(1/2)
+I*a*d^(1/2))/(b*x+a)/(b*c^(1/2)+I*(I+a)*d^(1/2)))/c^(1/2)/d^(1/2)

Rubi [A] (verified)

Time = 0.64 (sec) , antiderivative size = 642, normalized size of antiderivative = 1.00, number of steps used = 15, number of rules used = 5, \(\frac {\text {number of rules}}{\text {integrand size}}\) = 0.312, Rules used = {5160, 2576, 2404, 2354, 2438} \[ \int \frac {\cot ^{-1}(a+b x)}{c+d x^2} \, dx=\frac {\operatorname {PolyLog}\left (2,-\frac {\left (b \sqrt {c}-i a \sqrt {d}\right ) (-a-b x+i)}{\left (b \sqrt {c}-(i a+1) \sqrt {d}\right ) (a+b x)}\right )}{4 \sqrt {c} \sqrt {d}}-\frac {\operatorname {PolyLog}\left (2,-\frac {\left (i \sqrt {d} a+b \sqrt {c}\right ) (-a-b x+i)}{\left (\sqrt {d} (i a+1)+b \sqrt {c}\right ) (a+b x)}\right )}{4 \sqrt {c} \sqrt {d}}-\frac {\operatorname {PolyLog}\left (2,\frac {\left (b \sqrt {c}-i a \sqrt {d}\right ) (a+b x+i)}{\left (\sqrt {d} (1-i a)+b \sqrt {c}\right ) (a+b x)}\right )}{4 \sqrt {c} \sqrt {d}}+\frac {\operatorname {PolyLog}\left (2,\frac {\left (i \sqrt {d} a+b \sqrt {c}\right ) (a+b x+i)}{\left (i \sqrt {d} (a+i)+b \sqrt {c}\right ) (a+b x)}\right )}{4 \sqrt {c} \sqrt {d}}-\frac {\log \left (\frac {a+b x+i}{a+b x}\right ) \log \left (-\frac {b \left (-\sqrt {d} x+i \sqrt {c}\right )}{(a+b x) \left (b \sqrt {c}+(1-i a) \sqrt {d}\right )}\right )}{4 \sqrt {c} \sqrt {d}}+\frac {\log \left (-\frac {-a-b x+i}{a+b x}\right ) \log \left (\frac {i b \left (\sqrt {c}+i \sqrt {d} x\right )}{(a+b x) \left (b \sqrt {c}-(1+i a) \sqrt {d}\right )}\right )}{4 \sqrt {c} \sqrt {d}}-\frac {\log \left (-\frac {-a-b x+i}{a+b x}\right ) \log \left (\frac {b \left (\sqrt {d} x+i \sqrt {c}\right )}{(a+b x) \left (b \sqrt {c}+(1+i a) \sqrt {d}\right )}\right )}{4 \sqrt {c} \sqrt {d}}+\frac {\log \left (\frac {a+b x+i}{a+b x}\right ) \log \left (-\frac {b \left (\sqrt {d} x+i \sqrt {c}\right )}{(a+b x) \left (b \sqrt {c}+i (a+i) \sqrt {d}\right )}\right )}{4 \sqrt {c} \sqrt {d}} \]

[In]

Int[ArcCot[a + b*x]/(c + d*x^2),x]

[Out]

-1/4*(Log[(I + a + b*x)/(a + b*x)]*Log[-((b*(I*Sqrt[c] - Sqrt[d]*x))/((b*Sqrt[c] + (1 - I*a)*Sqrt[d])*(a + b*x
)))])/(Sqrt[c]*Sqrt[d]) + (Log[-((I - a - b*x)/(a + b*x))]*Log[(I*b*(Sqrt[c] + I*Sqrt[d]*x))/((b*Sqrt[c] - (1
+ I*a)*Sqrt[d])*(a + b*x))])/(4*Sqrt[c]*Sqrt[d]) - (Log[-((I - a - b*x)/(a + b*x))]*Log[(b*(I*Sqrt[c] + Sqrt[d
]*x))/((b*Sqrt[c] + (1 + I*a)*Sqrt[d])*(a + b*x))])/(4*Sqrt[c]*Sqrt[d]) + (Log[(I + a + b*x)/(a + b*x)]*Log[-(
(b*(I*Sqrt[c] + Sqrt[d]*x))/((b*Sqrt[c] + I*(I + a)*Sqrt[d])*(a + b*x)))])/(4*Sqrt[c]*Sqrt[d]) + PolyLog[2, -(
((b*Sqrt[c] - I*a*Sqrt[d])*(I - a - b*x))/((b*Sqrt[c] - (1 + I*a)*Sqrt[d])*(a + b*x)))]/(4*Sqrt[c]*Sqrt[d]) -
PolyLog[2, -(((b*Sqrt[c] + I*a*Sqrt[d])*(I - a - b*x))/((b*Sqrt[c] + (1 + I*a)*Sqrt[d])*(a + b*x)))]/(4*Sqrt[c
]*Sqrt[d]) - PolyLog[2, ((b*Sqrt[c] - I*a*Sqrt[d])*(I + a + b*x))/((b*Sqrt[c] + (1 - I*a)*Sqrt[d])*(a + b*x))]
/(4*Sqrt[c]*Sqrt[d]) + PolyLog[2, ((b*Sqrt[c] + I*a*Sqrt[d])*(I + a + b*x))/((b*Sqrt[c] + I*(I + a)*Sqrt[d])*(
a + b*x))]/(4*Sqrt[c]*Sqrt[d])

Rule 2354

Int[((a_.) + Log[(c_.)*(x_)^(n_.)]*(b_.))^(p_.)/((d_) + (e_.)*(x_)), x_Symbol] :> Simp[Log[1 + e*(x/d)]*((a +
b*Log[c*x^n])^p/e), x] - Dist[b*n*(p/e), Int[Log[1 + e*(x/d)]*((a + b*Log[c*x^n])^(p - 1)/x), x], x] /; FreeQ[
{a, b, c, d, e, n}, x] && IGtQ[p, 0]

Rule 2404

Int[((a_.) + Log[(c_.)*(x_)^(n_.)]*(b_.))^(p_.)*(RFx_), x_Symbol] :> With[{u = ExpandIntegrand[(a + b*Log[c*x^
n])^p, RFx, x]}, Int[u, x] /; SumQ[u]] /; FreeQ[{a, b, c, n}, x] && RationalFunctionQ[RFx, x] && IGtQ[p, 0]

Rule 2438

Int[Log[(c_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^(n_.))]/(x_), x_Symbol] :> Simp[-PolyLog[2, (-c)*e*x^n]/n, x] /; FreeQ[{c, d,
e, n}, x] && EqQ[c*d, 1]

Rule 2576

Int[((A_.) + Log[(e_.)*(((a_.) + (b_.)*(x_))/((c_.) + (d_.)*(x_)))^(n_.)]*(B_.))^(p_.)*(P2x_)^(m_.), x_Symbol]
:> With[{f = Coeff[P2x, x, 0], g = Coeff[P2x, x, 1], h = Coeff[P2x, x, 2]}, Dist[b*c - a*d, Subst[Int[(b^2*f
- a*b*g + a^2*h - (2*b*d*f - b*c*g - a*d*g + 2*a*c*h)*x + (d^2*f - c*d*g + c^2*h)*x^2)^m*((A + B*Log[e*x^n])^p
/(b - d*x)^(2*(m + 1))), x], x, (a + b*x)/(c + d*x)], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, A, B, n}, x] && PolyQ[P2x,
x, 2] && NeQ[b*c - a*d, 0] && IntegerQ[m] && IGtQ[p, 0]

Rule 5160

Int[ArcCot[(a_) + (b_.)*(x_)]/((c_) + (d_.)*(x_)^(n_.)), x_Symbol] :> Dist[I/2, Int[Log[(-I + a + b*x)/(a + b*
x)]/(c + d*x^n), x], x] - Dist[I/2, Int[Log[(I + a + b*x)/(a + b*x)]/(c + d*x^n), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d}
, x] && RationalQ[n]

Rubi steps \begin{align*} \text {integral}& = \frac {1}{2} i \int \frac {\log \left (\frac {-i+a+b x}{a+b x}\right )}{c+d x^2} \, dx-\frac {1}{2} i \int \frac {\log \left (\frac {i+a+b x}{a+b x}\right )}{c+d x^2} \, dx \\ & = -\left (\frac {1}{2} b \text {Subst}\left (\int \frac {\log (x)}{b^2 c+(-i+a)^2 d-\left (2 b^2 c+2 a (-i+a) d\right ) x+\left (b^2 c+a^2 d\right ) x^2} \, dx,x,\frac {-i+a+b x}{a+b x}\right )\right )-\frac {1}{2} b \text {Subst}\left (\int \frac {\log (x)}{b^2 c+(i+a)^2 d-\left (2 b^2 c+2 a (i+a) d\right ) x+\left (b^2 c+a^2 d\right ) x^2} \, dx,x,\frac {i+a+b x}{a+b x}\right ) \\ & = -\left (\frac {1}{2} b \text {Subst}\left (\int \left (\frac {\left (b^2 c+a^2 d\right ) \log (x)}{b \sqrt {c} \sqrt {d} \left (2 b^2 c-2 b \sqrt {c} \sqrt {d}+2 i a d+2 a^2 d-2 \left (b^2 c+a^2 d\right ) x\right )}+\frac {\left (b^2 c+a^2 d\right ) \log (x)}{b \sqrt {c} \sqrt {d} \left (-2 b^2 c-2 b \sqrt {c} \sqrt {d}-2 i a d-2 a^2 d+2 \left (b^2 c+a^2 d\right ) x\right )}\right ) \, dx,x,\frac {i+a+b x}{a+b x}\right )\right )-\frac {1}{2} b \text {Subst}\left (\int \left (\frac {\left (b^2 c+a^2 d\right ) \log (x)}{b \sqrt {c} \sqrt {d} \left (2 b^2 c-2 b \sqrt {c} \sqrt {d}-2 i a d+2 a^2 d-2 \left (b^2 c+a^2 d\right ) x\right )}+\frac {\left (b^2 c+a^2 d\right ) \log (x)}{b \sqrt {c} \sqrt {d} \left (-2 b^2 c-2 b \sqrt {c} \sqrt {d}+2 i a d-2 a^2 d+2 \left (b^2 c+a^2 d\right ) x\right )}\right ) \, dx,x,\frac {-i+a+b x}{a+b x}\right ) \\ & = -\frac {\left (b^2 c+a^2 d\right ) \text {Subst}\left (\int \frac {\log (x)}{2 b^2 c-2 b \sqrt {c} \sqrt {d}-2 i a d+2 a^2 d-2 \left (b^2 c+a^2 d\right ) x} \, dx,x,\frac {-i+a+b x}{a+b x}\right )}{2 \sqrt {c} \sqrt {d}}-\frac {\left (b^2 c+a^2 d\right ) \text {Subst}\left (\int \frac {\log (x)}{2 b^2 c-2 b \sqrt {c} \sqrt {d}+2 i a d+2 a^2 d-2 \left (b^2 c+a^2 d\right ) x} \, dx,x,\frac {i+a+b x}{a+b x}\right )}{2 \sqrt {c} \sqrt {d}}-\frac {\left (b^2 c+a^2 d\right ) \text {Subst}\left (\int \frac {\log (x)}{-2 b^2 c-2 b \sqrt {c} \sqrt {d}-2 i a d-2 a^2 d+2 \left (b^2 c+a^2 d\right ) x} \, dx,x,\frac {i+a+b x}{a+b x}\right )}{2 \sqrt {c} \sqrt {d}}-\frac {\left (b^2 c+a^2 d\right ) \text {Subst}\left (\int \frac {\log (x)}{-2 b^2 c-2 b \sqrt {c} \sqrt {d}+2 i a d-2 a^2 d+2 \left (b^2 c+a^2 d\right ) x} \, dx,x,\frac {-i+a+b x}{a+b x}\right )}{2 \sqrt {c} \sqrt {d}} \\ & = -\frac {\log \left (\frac {i+a+b x}{a+b x}\right ) \log \left (-\frac {b \left (i \sqrt {c}-\sqrt {d} x\right )}{\left (b \sqrt {c}+(1-i a) \sqrt {d}\right ) (a+b x)}\right )}{4 \sqrt {c} \sqrt {d}}+\frac {\log \left (-\frac {i-a-b x}{a+b x}\right ) \log \left (\frac {i b \left (\sqrt {c}+i \sqrt {d} x\right )}{\left (b \sqrt {c}-(1+i a) \sqrt {d}\right ) (a+b x)}\right )}{4 \sqrt {c} \sqrt {d}}-\frac {\log \left (-\frac {i-a-b x}{a+b x}\right ) \log \left (\frac {b \left (i \sqrt {c}+\sqrt {d} x\right )}{\left (b \sqrt {c}+(1+i a) \sqrt {d}\right ) (a+b x)}\right )}{4 \sqrt {c} \sqrt {d}}+\frac {\log \left (\frac {i+a+b x}{a+b x}\right ) \log \left (-\frac {b \left (i \sqrt {c}+\sqrt {d} x\right )}{\left (b \sqrt {c}+i (i+a) \sqrt {d}\right ) (a+b x)}\right )}{4 \sqrt {c} \sqrt {d}}+\frac {\text {Subst}\left (\int \frac {\log \left (1+\frac {2 \left (b^2 c+a^2 d\right ) x}{-2 b^2 c-2 b \sqrt {c} \sqrt {d}-2 i a d-2 a^2 d}\right )}{x} \, dx,x,\frac {i+a+b x}{a+b x}\right )}{4 \sqrt {c} \sqrt {d}}+\frac {\text {Subst}\left (\int \frac {\log \left (1+\frac {2 \left (b^2 c+a^2 d\right ) x}{-2 b^2 c-2 b \sqrt {c} \sqrt {d}+2 i a d-2 a^2 d}\right )}{x} \, dx,x,\frac {-i+a+b x}{a+b x}\right )}{4 \sqrt {c} \sqrt {d}}-\frac {\text {Subst}\left (\int \frac {\log \left (1-\frac {2 \left (b^2 c+a^2 d\right ) x}{2 b^2 c-2 b \sqrt {c} \sqrt {d}-2 i a d+2 a^2 d}\right )}{x} \, dx,x,\frac {-i+a+b x}{a+b x}\right )}{4 \sqrt {c} \sqrt {d}}-\frac {\text {Subst}\left (\int \frac {\log \left (1-\frac {2 \left (b^2 c+a^2 d\right ) x}{2 b^2 c-2 b \sqrt {c} \sqrt {d}+2 i a d+2 a^2 d}\right )}{x} \, dx,x,\frac {i+a+b x}{a+b x}\right )}{4 \sqrt {c} \sqrt {d}} \\ & = -\frac {\log \left (\frac {i+a+b x}{a+b x}\right ) \log \left (-\frac {b \left (i \sqrt {c}-\sqrt {d} x\right )}{\left (b \sqrt {c}+(1-i a) \sqrt {d}\right ) (a+b x)}\right )}{4 \sqrt {c} \sqrt {d}}+\frac {\log \left (-\frac {i-a-b x}{a+b x}\right ) \log \left (\frac {i b \left (\sqrt {c}+i \sqrt {d} x\right )}{\left (b \sqrt {c}-(1+i a) \sqrt {d}\right ) (a+b x)}\right )}{4 \sqrt {c} \sqrt {d}}-\frac {\log \left (-\frac {i-a-b x}{a+b x}\right ) \log \left (\frac {b \left (i \sqrt {c}+\sqrt {d} x\right )}{\left (b \sqrt {c}+(1+i a) \sqrt {d}\right ) (a+b x)}\right )}{4 \sqrt {c} \sqrt {d}}+\frac {\log \left (\frac {i+a+b x}{a+b x}\right ) \log \left (-\frac {b \left (i \sqrt {c}+\sqrt {d} x\right )}{\left (b \sqrt {c}+i (i+a) \sqrt {d}\right ) (a+b x)}\right )}{4 \sqrt {c} \sqrt {d}}+\frac {\operatorname {PolyLog}\left (2,-\frac {\left (b \sqrt {c}-i a \sqrt {d}\right ) (i-a-b x)}{\left (b \sqrt {c}-(1+i a) \sqrt {d}\right ) (a+b x)}\right )}{4 \sqrt {c} \sqrt {d}}-\frac {\operatorname {PolyLog}\left (2,-\frac {\left (b \sqrt {c}+i a \sqrt {d}\right ) (i-a-b x)}{\left (b \sqrt {c}+(1+i a) \sqrt {d}\right ) (a+b x)}\right )}{4 \sqrt {c} \sqrt {d}}-\frac {\operatorname {PolyLog}\left (2,\frac {\left (b \sqrt {c}-i a \sqrt {d}\right ) (i+a+b x)}{\left (b \sqrt {c}+(1-i a) \sqrt {d}\right ) (a+b x)}\right )}{4 \sqrt {c} \sqrt {d}}+\frac {\operatorname {PolyLog}\left (2,\frac {\left (b \sqrt {c}+i a \sqrt {d}\right ) (i+a+b x)}{\left (b \sqrt {c}+i (i+a) \sqrt {d}\right ) (a+b x)}\right )}{4 \sqrt {c} \sqrt {d}} \\ \end{align*}

Mathematica [A] (verified)

Time = 0.41 (sec) , antiderivative size = 563, normalized size of antiderivative = 0.88 \[ \int \frac {\cot ^{-1}(a+b x)}{c+d x^2} \, dx=-\frac {i \left (\log \left (\frac {\sqrt {d} (-i+a+b x)}{b \sqrt {-c}+(-i+a) \sqrt {d}}\right ) \log \left (\sqrt {-c}-\sqrt {d} x\right )-\log \left (\frac {-i+a+b x}{a+b x}\right ) \log \left (\sqrt {-c}-\sqrt {d} x\right )-\log \left (\frac {\sqrt {d} (i+a+b x)}{b \sqrt {-c}+(i+a) \sqrt {d}}\right ) \log \left (\sqrt {-c}-\sqrt {d} x\right )+\log \left (\frac {i+a+b x}{a+b x}\right ) \log \left (\sqrt {-c}-\sqrt {d} x\right )-\log \left (-\frac {\sqrt {d} (-i+a+b x)}{b \sqrt {-c}-(-i+a) \sqrt {d}}\right ) \log \left (\sqrt {-c}+\sqrt {d} x\right )+\log \left (\frac {-i+a+b x}{a+b x}\right ) \log \left (\sqrt {-c}+\sqrt {d} x\right )+\log \left (-\frac {\sqrt {d} (i+a+b x)}{b \sqrt {-c}-(i+a) \sqrt {d}}\right ) \log \left (\sqrt {-c}+\sqrt {d} x\right )-\log \left (\frac {i+a+b x}{a+b x}\right ) \log \left (\sqrt {-c}+\sqrt {d} x\right )+\operatorname {PolyLog}\left (2,\frac {b \left (\sqrt {-c}-\sqrt {d} x\right )}{b \sqrt {-c}+(-i+a) \sqrt {d}}\right )-\operatorname {PolyLog}\left (2,\frac {b \left (\sqrt {-c}-\sqrt {d} x\right )}{b \sqrt {-c}+(i+a) \sqrt {d}}\right )-\operatorname {PolyLog}\left (2,\frac {b \left (\sqrt {-c}+\sqrt {d} x\right )}{b \sqrt {-c}-(-i+a) \sqrt {d}}\right )+\operatorname {PolyLog}\left (2,\frac {b \left (\sqrt {-c}+\sqrt {d} x\right )}{b \sqrt {-c}-(i+a) \sqrt {d}}\right )\right )}{4 \sqrt {-c} \sqrt {d}} \]

[In]

Integrate[ArcCot[a + b*x]/(c + d*x^2),x]

[Out]

((-1/4*I)*(Log[(Sqrt[d]*(-I + a + b*x))/(b*Sqrt[-c] + (-I + a)*Sqrt[d])]*Log[Sqrt[-c] - Sqrt[d]*x] - Log[(-I +
a + b*x)/(a + b*x)]*Log[Sqrt[-c] - Sqrt[d]*x] - Log[(Sqrt[d]*(I + a + b*x))/(b*Sqrt[-c] + (I + a)*Sqrt[d])]*L
og[Sqrt[-c] - Sqrt[d]*x] + Log[(I + a + b*x)/(a + b*x)]*Log[Sqrt[-c] - Sqrt[d]*x] - Log[-((Sqrt[d]*(-I + a + b
*x))/(b*Sqrt[-c] - (-I + a)*Sqrt[d]))]*Log[Sqrt[-c] + Sqrt[d]*x] + Log[(-I + a + b*x)/(a + b*x)]*Log[Sqrt[-c]
+ Sqrt[d]*x] + Log[-((Sqrt[d]*(I + a + b*x))/(b*Sqrt[-c] - (I + a)*Sqrt[d]))]*Log[Sqrt[-c] + Sqrt[d]*x] - Log[
(I + a + b*x)/(a + b*x)]*Log[Sqrt[-c] + Sqrt[d]*x] + PolyLog[2, (b*(Sqrt[-c] - Sqrt[d]*x))/(b*Sqrt[-c] + (-I +
a)*Sqrt[d])] - PolyLog[2, (b*(Sqrt[-c] - Sqrt[d]*x))/(b*Sqrt[-c] + (I + a)*Sqrt[d])] - PolyLog[2, (b*(Sqrt[-c
] + Sqrt[d]*x))/(b*Sqrt[-c] - (-I + a)*Sqrt[d])] + PolyLog[2, (b*(Sqrt[-c] + Sqrt[d]*x))/(b*Sqrt[-c] - (I + a)
*Sqrt[d])]))/(Sqrt[-c]*Sqrt[d])

Maple [A] (verified)

Time = 2.01 (sec) , antiderivative size = 591, normalized size of antiderivative = 0.92

method	result	size
risch	\(-\frac {i b \pi \arctan \left (\frac {2 i a d +2 \left (-i b x -i a +1\right ) d -2 d}{2 \sqrt {-b^{2} c d}}\right )}{2 \sqrt {-b^{2} c d}}-\frac {\ln \left (-i b x -i a +1\right ) \ln \left (\frac {i a d -b \sqrt {c d}+\left (-i b x -i a +1\right ) d -d}{i a d -b \sqrt {c d}-d}\right ) \sqrt {c d}}{4 c d}+\frac {\ln \left (-i b x -i a +1\right ) \ln \left (\frac {i a d +b \sqrt {c d}+\left (-i b x -i a +1\right ) d -d}{i a d +b \sqrt {c d}-d}\right ) \sqrt {c d}}{4 c d}-\frac {\operatorname {dilog}\left (\frac {i a d -b \sqrt {c d}+\left (-i b x -i a +1\right ) d -d}{i a d -b \sqrt {c d}-d}\right ) \sqrt {c d}}{4 c d}+\frac {\operatorname {dilog}\left (\frac {i a d +b \sqrt {c d}+\left (-i b x -i a +1\right ) d -d}{i a d +b \sqrt {c d}-d}\right ) \sqrt {c d}}{4 c d}-\frac {\ln \left (i b x +i a +1\right ) \ln \left (\frac {i a d +b \sqrt {c d}-\left (i b x +i a +1\right ) d +d}{i a d +b \sqrt {c d}+d}\right ) \sqrt {c d}}{4 c d}+\frac {\ln \left (i b x +i a +1\right ) \ln \left (\frac {i a d -b \sqrt {c d}-\left (i b x +i a +1\right ) d +d}{i a d -b \sqrt {c d}+d}\right ) \sqrt {c d}}{4 c d}-\frac {\sqrt {c d}\, \operatorname {dilog}\left (\frac {i a d +b \sqrt {c d}-\left (i b x +i a +1\right ) d +d}{i a d +b \sqrt {c d}+d}\right )}{4 c d}+\frac {\sqrt {c d}\, \operatorname {dilog}\left (\frac {i a d -b \sqrt {c d}-\left (i b x +i a +1\right ) d +d}{i a d -b \sqrt {c d}+d}\right )}{4 c d}\)	\(591\)
derivativedivides	\(\text {Expression too large to display}\)	\(2074\)
default	\(\text {Expression too large to display}\)	\(2074\)

[In]

int(arccot(b*x+a)/(d*x^2+c),x,method=_RETURNVERBOSE)

[Out]

-1/2*I*b*Pi/(-b^2*c*d)^(1/2)*arctan(1/2*(2*I*a*d+2*(1-I*a-I*b*x)*d-2*d)/(-b^2*c*d)^(1/2))-1/4*ln(1-I*a-I*b*x)/
c/d*ln((I*a*d-b*(c*d)^(1/2)+(1-I*a-I*b*x)*d-d)/(I*a*d-b*(c*d)^(1/2)-d))*(c*d)^(1/2)+1/4*ln(1-I*a-I*b*x)/c/d*ln
((I*a*d+b*(c*d)^(1/2)+(1-I*a-I*b*x)*d-d)/(I*a*d+b*(c*d)^(1/2)-d))*(c*d)^(1/2)-1/4/c/d*dilog((I*a*d-b*(c*d)^(1/
2)+(1-I*a-I*b*x)*d-d)/(I*a*d-b*(c*d)^(1/2)-d))*(c*d)^(1/2)+1/4/c/d*dilog((I*a*d+b*(c*d)^(1/2)+(1-I*a-I*b*x)*d-
d)/(I*a*d+b*(c*d)^(1/2)-d))*(c*d)^(1/2)-1/4*ln(1+I*a+I*b*x)/c/d*ln((I*a*d+b*(c*d)^(1/2)-(1+I*a+I*b*x)*d+d)/(I*
a*d+b*(c*d)^(1/2)+d))*(c*d)^(1/2)+1/4*ln(1+I*a+I*b*x)/c/d*ln((I*a*d-b*(c*d)^(1/2)-(1+I*a+I*b*x)*d+d)/(I*a*d-b*
(c*d)^(1/2)+d))*(c*d)^(1/2)-1/4/c/d*(c*d)^(1/2)*dilog((I*a*d+b*(c*d)^(1/2)-(1+I*a+I*b*x)*d+d)/(I*a*d+b*(c*d)^(
1/2)+d))+1/4/c/d*(c*d)^(1/2)*dilog((I*a*d-b*(c*d)^(1/2)-(1+I*a+I*b*x)*d+d)/(I*a*d-b*(c*d)^(1/2)+d))

Fricas [F]

\[ \int \frac {\cot ^{-1}(a+b x)}{c+d x^2} \, dx=\int { \frac {\operatorname {arccot}\left (b x + a\right )}{d x^{2} + c} \,d x } \]

[In]

integrate(arccot(b*x+a)/(d*x^2+c),x, algorithm="fricas")

[Out]

integral(arccot(b*x + a)/(d*x^2 + c), x)

Sympy [F(-1)]

Timed out. \[ \int \frac {\cot ^{-1}(a+b x)}{c+d x^2} \, dx=\text {Timed out} \]

[In]

integrate(acot(b*x+a)/(d*x**2+c),x)

[Out]

Timed out

Maxima [B] (verification not implemented)

Both result and optimal contain complex but leaf count of result is larger than twice the leaf count of optimal. 8519 vs. \(2 (456) = 912\).

Time = 4.03 (sec) , antiderivative size = 8519, normalized size of antiderivative = 13.27 \[ \int \frac {\cot ^{-1}(a+b x)}{c+d x^2} \, dx=\text {Too large to display} \]

[In]

integrate(arccot(b*x+a)/(d*x^2+c),x, algorithm="maxima")

[Out]

-1/8*b*(8*arctan(d*x/sqrt(c*d))*arctan((b^2*x + a*b)/b)/b - (4*arctan(sqrt(d)*x/sqrt(c))*arctan2((2*a*b^2*c*d
+ (a*b^3*c + (a^3 + a)*b*d + (b^4*c + (a^2 + 3)*b^2*d)*x)*sqrt(c)*sqrt(d) + (3*b^3*c*d + (a^2 + 1)*b*d^2)*x)/(
b^4*c^2 + 2*(a^2 + 3)*b^2*c*d + (a^4 + 2*a^2 + 1)*d^2 + 4*(b^3*c + (a^2 + 1)*b*d)*sqrt(c)*sqrt(d)), ((a^2 + 3)
*b^2*c*d + (a^4 + 2*a^2 + 1)*d^2 + (2*a*b^2*d*x + b^3*c + 3*(a^2 + 1)*b*d)*sqrt(c)*sqrt(d) + (a*b^3*c*d + (a^3
+ a)*b*d^2)*x)/(b^4*c^2 + 2*(a^2 + 3)*b^2*c*d + (a^4 + 2*a^2 + 1)*d^2 + 4*(b^3*c + (a^2 + 1)*b*d)*sqrt(c)*sqr
t(d))) + 4*arctan(sqrt(d)*x/sqrt(c))*arctan2((2*a*b^2*c*d - (a*b^3*c + (a^3 + a)*b*d + (b^4*c + (a^2 + 3)*b^2*
d)*x)*sqrt(c)*sqrt(d) + (3*b^3*c*d + (a^2 + 1)*b*d^2)*x)/(b^4*c^2 + 2*(a^2 + 3)*b^2*c*d + (a^4 + 2*a^2 + 1)*d^
2 - 4*(b^3*c + (a^2 + 1)*b*d)*sqrt(c)*sqrt(d)), ((a^2 + 3)*b^2*c*d + (a^4 + 2*a^2 + 1)*d^2 - (2*a*b^2*d*x + b^
3*c + 3*(a^2 + 1)*b*d)*sqrt(c)*sqrt(d) + (a*b^3*c*d + (a^3 + a)*b*d^2)*x)/(b^4*c^2 + 2*(a^2 + 3)*b^2*c*d + (a^
4 + 2*a^2 + 1)*d^2 - 4*(b^3*c + (a^2 + 1)*b*d)*sqrt(c)*sqrt(d))) + log(d*x^2 + c)*log(((a^2 + 1)*b^22*c^11*d +
11*(a^4 + 22*a^2 + 21)*b^20*c^10*d^2 + 55*(a^6 + 39*a^4 + 171*a^2 + 133)*b^18*c^9*d^3 + 33*(5*a^8 + 260*a^6 +
1870*a^4 + 3876*a^2 + 2261)*b^16*c^8*d^4 + 330*(a^10 + 61*a^8 + 570*a^6 + 1802*a^4 + 2261*a^2 + 969)*b^14*c^7
*d^5 + 22*(21*a^12 + 1386*a^10 + 15015*a^8 + 60060*a^6 + 109395*a^4 + 92378*a^2 + 29393)*b^12*c^6*d^6 + 22*(21
*a^14 + 1407*a^12 + 16401*a^10 + 75075*a^8 + 169455*a^6 + 201773*a^4 + 121771*a^2 + 29393)*b^10*c^5*d^7 + 330*
(a^16 + 64*a^14 + 756*a^12 + 3696*a^10 + 9438*a^8 + 13728*a^6 + 11492*a^4 + 5168*a^2 + 969)*b^8*c^4*d^8 + 33*(
5*a^18 + 285*a^16 + 3220*a^14 + 15876*a^12 + 42966*a^10 + 70070*a^8 + 70980*a^6 + 43860*a^4 + 15181*a^2 + 2261
)*b^6*c^3*d^9 + 55*(a^20 + 46*a^18 + 465*a^16 + 2184*a^14 + 5922*a^12 + 10164*a^10 + 11466*a^8 + 8520*a^6 + 40
29*a^4 + 1102*a^2 + 133)*b^4*c^2*d^10 + 11*(a^22 + 31*a^20 + 255*a^18 + 1065*a^16 + 2730*a^14 + 4662*a^12 + 55
02*a^10 + 4530*a^8 + 2565*a^6 + 955*a^4 + 211*a^2 + 21)*b^2*c*d^11 + (a^24 + 12*a^22 + 66*a^20 + 220*a^18 + 49
5*a^16 + 792*a^14 + 924*a^12 + 792*a^10 + 495*a^8 + 220*a^6 + 66*a^4 + 12*a^2 + 1)*d^12 + (b^24*c^11*d + 11*(a
^2 + 21)*b^22*c^10*d^2 + 55*(a^4 + 38*a^2 + 133)*b^20*c^9*d^3 + 33*(5*a^6 + 255*a^4 + 1615*a^2 + 2261)*b^18*c^
8*d^4 + 330*(a^8 + 60*a^6 + 510*a^4 + 1292*a^2 + 969)*b^16*c^7*d^5 + 22*(21*a^10 + 1365*a^8 + 13650*a^6 + 4641
0*a^4 + 62985*a^2 + 29393)*b^14*c^6*d^6 + 22*(21*a^12 + 1386*a^10 + 15015*a^8 + 60060*a^6 + 109395*a^4 + 92378
*a^2 + 29393)*b^12*c^5*d^7 + 330*(a^14 + 63*a^12 + 693*a^10 + 3003*a^8 + 6435*a^6 + 7293*a^4 + 4199*a^2 + 969)
*b^10*c^4*d^8 + 33*(5*a^16 + 280*a^14 + 2940*a^12 + 12936*a^10 + 30030*a^8 + 40040*a^6 + 30940*a^4 + 12920*a^2
+ 2261)*b^8*c^3*d^9 + 55*(a^18 + 45*a^16 + 420*a^14 + 1764*a^12 + 4158*a^10 + 6006*a^8 + 5460*a^6 + 3060*a^4
+ 969*a^2 + 133)*b^6*c^2*d^10 + 11*(a^20 + 30*a^18 + 225*a^16 + 840*a^14 + 1890*a^12 + 2772*a^10 + 2730*a^8 +
1800*a^6 + 765*a^4 + 190*a^2 + 21)*b^4*c*d^11 + (a^22 + 11*a^20 + 55*a^18 + 165*a^16 + 330*a^14 + 462*a^12 + 4
62*a^10 + 330*a^8 + 165*a^6 + 55*a^4 + 11*a^2 + 1)*b^2*d^12)*x^2 + 2*(11*(a^2 + 1)*b^21*c^10*d + 110*(a^4 + 8*
a^2 + 7)*b^19*c^9*d^2 + 33*(15*a^6 + 205*a^4 + 589*a^2 + 399)*b^17*c^8*d^3 + 264*(5*a^8 + 90*a^6 + 408*a^4 + 6
46*a^2 + 323)*b^15*c^7*d^4 + 110*(21*a^10 + 441*a^8 + 2562*a^6 + 6018*a^4 + 6137*a^2 + 2261)*b^13*c^6*d^5 + 4*
(693*a^12 + 15708*a^10 + 105105*a^8 + 308880*a^6 + 449735*a^4 + 319124*a^2 + 88179)*b^11*c^5*d^6 + 110*(21*a^1
4 + 483*a^12 + 3465*a^10 + 11583*a^8 + 20735*a^6 + 20553*a^4 + 10659*a^2 + 2261)*b^9*c^4*d^7 + 264*(5*a^16 + 1
10*a^14 + 798*a^12 + 2838*a^10 + 5720*a^8 + 6890*a^6 + 4930*a^4 + 1938*a^2 + 323)*b^7*c^3*d^8 + 33*(15*a^18 +
295*a^16 + 2044*a^14 + 7308*a^12 + 15554*a^10 + 20930*a^8 + 18060*a^6 + 9724*a^4 + 2983*a^2 + 399)*b^5*c^2*d^9
+ 110*(a^20 + 16*a^18 + 99*a^16 + 336*a^14 + 714*a^12 + 1008*a^10 + 966*a^8 + 624*a^6 + 261*a^4 + 64*a^2 + 7)
*b^3*c*d^10 + 11*(a^22 + 11*a^20 + 55*a^18 + 165*a^16 + 330*a^14 + 462*a^12 + 462*a^10 + 330*a^8 + 165*a^6 + 5
5*a^4 + 11*a^2 + 1)*b*d^11 + (11*b^23*c^10*d + 110*(a^2 + 7)*b^21*c^9*d^2 + 33*(15*a^4 + 190*a^2 + 399)*b^19*c
^8*d^3 + 264*(5*a^6 + 85*a^4 + 323*a^2 + 323)*b^17*c^7*d^4 + 110*(21*a^8 + 420*a^6 + 2142*a^4 + 3876*a^2 + 226
1)*b^15*c^6*d^5 + 4*(693*a^10 + 15015*a^8 + 90090*a^6 + 218790*a^4 + 230945*a^2 + 88179)*b^13*c^5*d^6 + 110*(2
1*a^12 + 462*a^10 + 3003*a^8 + 8580*a^6 + 12155*a^4 + 8398*a^2 + 2261)*b^11*c^4*d^7 + 264*(5*a^14 + 105*a^12 +
693*a^10 + 2145*a^8 + 3575*a^6 + 3315*a^4 + 1615*a^2 + 323)*b^9*c^3*d^8 + 33*(15*a^16 + 280*a^14 + 1764*a^12
+ 5544*a^10 + 10010*a^8 + 10920*a^6 + 7140*a^4 + 2584*a^2 + 399)*b^7*c^2*d^9 + 110*(a^18 + 15*a^16 + 84*a^14 +
252*a^12 + 462*a^10 + 546*a^8 + 420*a^6 + 204*a^4 + 57*a^2 + 7)*b^5*c*d^10 + 11*(a^20 + 10*a^18 + 45*a^16 + 1
20*a^14 + 210*a^12 + 252*a^10 + 210*a^8 + 120*a^6 + 45*a^4 + 10*a^2 + 1)*b^3*d^11)*x^2 + 2*(11*a*b^22*c^10*d +
110*(a^3 + 7*a)*b^20*c^9*d^2 + 33*(15*a^5 + 190*a^3 + 399*a)*b^18*c^8*d^3 + 264*(5*a^7 + 85*a^5 + 323*a^3 + 3
23*a)*b^16*c^7*d^4 + 110*(21*a^9 + 420*a^7 + 2142*a^5 + 3876*a^3 + 2261*a)*b^14*c^6*d^5 + 4*(693*a^11 + 15015*
a^9 + 90090*a^7 + 218790*a^5 + 230945*a^3 + 88179*a)*b^12*c^5*d^6 + 110*(21*a^13 + 462*a^11 + 3003*a^9 + 8580*
a^7 + 12155*a^5 + 8398*a^3 + 2261*a)*b^10*c^4*d^7 + 264*(5*a^15 + 105*a^13 + 693*a^11 + 2145*a^9 + 3575*a^7 +
3315*a^5 + 1615*a^3 + 323*a)*b^8*c^3*d^8 + 33*(15*a^17 + 280*a^15 + 1764*a^13 + 5544*a^11 + 10010*a^9 + 10920*
a^7 + 7140*a^5 + 2584*a^3 + 399*a)*b^6*c^2*d^9 + 110*(a^19 + 15*a^17 + 84*a^15 + 252*a^13 + 462*a^11 + 546*a^9
+ 420*a^7 + 204*a^5 + 57*a^3 + 7*a)*b^4*c*d^10 + 11*(a^21 + 10*a^19 + 45*a^17 + 120*a^15 + 210*a^13 + 252*a^1
1 + 210*a^9 + 120*a^7 + 45*a^5 + 10*a^3 + a)*b^2*d^11)*x)*sqrt(c)*sqrt(d) + 2*(a*b^23*c^11*d + 11*(a^3 + 21*a)
*b^21*c^10*d^2 + 55*(a^5 + 38*a^3 + 133*a)*b^19*c^9*d^3 + 33*(5*a^7 + 255*a^5 + 1615*a^3 + 2261*a)*b^17*c^8*d^
4 + 330*(a^9 + 60*a^7 + 510*a^5 + 1292*a^3 + 969*a)*b^15*c^7*d^5 + 22*(21*a^11 + 1365*a^9 + 13650*a^7 + 46410*
a^5 + 62985*a^3 + 29393*a)*b^13*c^6*d^6 + 22*(21*a^13 + 1386*a^11 + 15015*a^9 + 60060*a^7 + 109395*a^5 + 92378
*a^3 + 29393*a)*b^11*c^5*d^7 + 330*(a^15 + 63*a^13 + 693*a^11 + 3003*a^9 + 6435*a^7 + 7293*a^5 + 4199*a^3 + 96
9*a)*b^9*c^4*d^8 + 33*(5*a^17 + 280*a^15 + 2940*a^13 + 12936*a^11 + 30030*a^9 + 40040*a^7 + 30940*a^5 + 12920*
a^3 + 2261*a)*b^7*c^3*d^9 + 55*(a^19 + 45*a^17 + 420*a^15 + 1764*a^13 + 4158*a^11 + 6006*a^9 + 5460*a^7 + 3060
*a^5 + 969*a^3 + 133*a)*b^5*c^2*d^10 + 11*(a^21 + 30*a^19 + 225*a^17 + 840*a^15 + 1890*a^13 + 2772*a^11 + 2730
*a^9 + 1800*a^7 + 765*a^5 + 190*a^3 + 21*a)*b^3*c*d^11 + (a^23 + 11*a^21 + 55*a^19 + 165*a^17 + 330*a^15 + 462
*a^13 + 462*a^11 + 330*a^9 + 165*a^7 + 55*a^5 + 11*a^3 + a)*b*d^12)*x)/(b^24*c^12 + 12*(a^2 + 23)*b^22*c^11*d
+ 66*(a^4 + 42*a^2 + 161)*b^20*c^10*d^2 + 44*(5*a^6 + 285*a^4 + 1995*a^2 + 3059)*b^18*c^9*d^3 + 99*(5*a^8 + 34
0*a^6 + 3230*a^4 + 9044*a^2 + 7429)*b^16*c^8*d^4 + 264*(3*a^10 + 225*a^8 + 2550*a^6 + 9690*a^4 + 14535*a^2 + 7
429)*b^14*c^7*d^5 + 4*(231*a^12 + 18018*a^10 + 225225*a^8 + 1021020*a^6 + 2078505*a^4 + 1939938*a^2 + 676039)*
b^12*c^6*d^6 + 264*(3*a^14 + 231*a^12 + 3003*a^10 + 15015*a^8 + 36465*a^6 + 46189*a^4 + 29393*a^2 + 7429)*b^10
*c^5*d^7 + 99*(5*a^16 + 360*a^14 + 4620*a^12 + 24024*a^10 + 64350*a^8 + 97240*a^6 + 83980*a^4 + 38760*a^2 + 74
29)*b^8*c^4*d^8 + 44*(5*a^18 + 315*a^16 + 3780*a^14 + 19404*a^12 + 54054*a^10 + 90090*a^8 + 92820*a^6 + 58140*
a^4 + 20349*a^2 + 3059)*b^6*c^3*d^9 + 66*(a^20 + 50*a^18 + 525*a^16 + 2520*a^14 + 6930*a^12 + 12012*a^10 + 136
50*a^8 + 10200*a^6 + 4845*a^4 + 1330*a^2 + 161)*b^4*c^2*d^10 + 12*(a^22 + 33*a^20 + 275*a^18 + 1155*a^16 + 297
0*a^14 + 5082*a^12 + 6006*a^10 + 4950*a^8 + 2805*a^6 + 1045*a^4 + 231*a^2 + 23)*b^2*c*d^11 + (a^24 + 12*a^22 +
66*a^20 + 220*a^18 + 495*a^16 + 792*a^14 + 924*a^12 + 792*a^10 + 495*a^8 + 220*a^6 + 66*a^4 + 12*a^2 + 1)*d^1
2 + 8*(3*b^23*c^11 + 11*(3*a^2 + 23)*b^21*c^10*d + 33*(5*a^4 + 70*a^2 + 161)*b^19*c^9*d^2 + 99*(5*a^6 + 95*a^4
+ 399*a^2 + 437)*b^17*c^8*d^3 + 22*(45*a^8 + 1020*a^6 + 5814*a^4 + 11628*a^2 + 7429)*b^15*c^7*d^4 + 6*(231*a^
10 + 5775*a^8 + 39270*a^6 + 106590*a^4 + 124355*a^2 + 52003)*b^13*c^6*d^5 + 6*(231*a^12 + 6006*a^10 + 45045*a^
8 + 145860*a^6 + 230945*a^4 + 176358*a^2 + 52003)*b^11*c^5*d^6 + 22*(45*a^14 + 1155*a^12 + 9009*a^10 + 32175*a
^8 + 60775*a^6 + 62985*a^4 + 33915*a^2 + 7429)*b^9*c^4*d^7 + 99*(5*a^16 + 120*a^14 + 924*a^12 + 3432*a^10 + 71
50*a^8 + 8840*a^6 + 6460*a^4 + 2584*a^2 + 437)*b^7*c^3*d^8 + 33*(5*a^18 + 105*a^16 + 756*a^14 + 2772*a^12 + 60
06*a^10 + 8190*a^8 + 7140*a^6 + 3876*a^4 + 1197*a^2 + 161)*b^5*c^2*d^9 + 11*(3*a^20 + 50*a^18 + 315*a^16 + 108
0*a^14 + 2310*a^12 + 3276*a^10 + 3150*a^8 + 2040*a^6 + 855*a^4 + 210*a^2 + 23)*b^3*c*d^10 + 3*(a^22 + 11*a^20
+ 55*a^18 + 165*a^16 + 330*a^14 + 462*a^12 + 462*a^10 + 330*a^8 + 165*a^6 + 55*a^4 + 11*a^2 + 1)*b*d^11)*sqrt(
c)*sqrt(d))) - log(d*x^2 + c)*log(((a^2 + 1)*b^22*c^11*d + 11*(a^4 + 22*a^2 + 21)*b^20*c^10*d^2 + 55*(a^6 + 39
*a^4 + 171*a^2 + 133)*b^18*c^9*d^3 + 33*(5*a^8 + 260*a^6 + 1870*a^4 + 3876*a^2 + 2261)*b^16*c^8*d^4 + 330*(a^1
0 + 61*a^8 + 570*a^6 + 1802*a^4 + 2261*a^2 + 969)*b^14*c^7*d^5 + 22*(21*a^12 + 1386*a^10 + 15015*a^8 + 60060*a
^6 + 109395*a^4 + 92378*a^2 + 29393)*b^12*c^6*d^6 + 22*(21*a^14 + 1407*a^12 + 16401*a^10 + 75075*a^8 + 169455*
a^6 + 201773*a^4 + 121771*a^2 + 29393)*b^10*c^5*d^7 + 330*(a^16 + 64*a^14 + 756*a^12 + 3696*a^10 + 9438*a^8 +
13728*a^6 + 11492*a^4 + 5168*a^2 + 969)*b^8*c^4*d^8 + 33*(5*a^18 + 285*a^16 + 3220*a^14 + 15876*a^12 + 42966*a
^10 + 70070*a^8 + 70980*a^6 + 43860*a^4 + 15181*a^2 + 2261)*b^6*c^3*d^9 + 55*(a^20 + 46*a^18 + 465*a^16 + 2184
*a^14 + 5922*a^12 + 10164*a^10 + 11466*a^8 + 8520*a^6 + 4029*a^4 + 1102*a^2 + 133)*b^4*c^2*d^10 + 11*(a^22 + 3
1*a^20 + 255*a^18 + 1065*a^16 + 2730*a^14 + 4662*a^12 + 5502*a^10 + 4530*a^8 + 2565*a^6 + 955*a^4 + 211*a^2 +
21)*b^2*c*d^11 + (a^24 + 12*a^22 + 66*a^20 + 220*a^18 + 495*a^16 + 792*a^14 + 924*a^12 + 792*a^10 + 495*a^8 +
220*a^6 + 66*a^4 + 12*a^2 + 1)*d^12 + (b^24*c^11*d + 11*(a^2 + 21)*b^22*c^10*d^2 + 55*(a^4 + 38*a^2 + 133)*b^2
0*c^9*d^3 + 33*(5*a^6 + 255*a^4 + 1615*a^2 + 2261)*b^18*c^8*d^4 + 330*(a^8 + 60*a^6 + 510*a^4 + 1292*a^2 + 969
)*b^16*c^7*d^5 + 22*(21*a^10 + 1365*a^8 + 13650*a^6 + 46410*a^4 + 62985*a^2 + 29393)*b^14*c^6*d^6 + 22*(21*a^1
2 + 1386*a^10 + 15015*a^8 + 60060*a^6 + 109395*a^4 + 92378*a^2 + 29393)*b^12*c^5*d^7 + 330*(a^14 + 63*a^12 + 6
93*a^10 + 3003*a^8 + 6435*a^6 + 7293*a^4 + 4199*a^2 + 969)*b^10*c^4*d^8 + 33*(5*a^16 + 280*a^14 + 2940*a^12 +
12936*a^10 + 30030*a^8 + 40040*a^6 + 30940*a^4 + 12920*a^2 + 2261)*b^8*c^3*d^9 + 55*(a^18 + 45*a^16 + 420*a^14
+ 1764*a^12 + 4158*a^10 + 6006*a^8 + 5460*a^6 + 3060*a^4 + 969*a^2 + 133)*b^6*c^2*d^10 + 11*(a^20 + 30*a^18 +
225*a^16 + 840*a^14 + 1890*a^12 + 2772*a^10 + 2730*a^8 + 1800*a^6 + 765*a^4 + 190*a^2 + 21)*b^4*c*d^11 + (a^2
2 + 11*a^20 + 55*a^18 + 165*a^16 + 330*a^14 + 462*a^12 + 462*a^10 + 330*a^8 + 165*a^6 + 55*a^4 + 11*a^2 + 1)*b
^2*d^12)*x^2 - 2*(11*(a^2 + 1)*b^21*c^10*d + 110*(a^4 + 8*a^2 + 7)*b^19*c^9*d^2 + 33*(15*a^6 + 205*a^4 + 589*a
^2 + 399)*b^17*c^8*d^3 + 264*(5*a^8 + 90*a^6 + 408*a^4 + 646*a^2 + 323)*b^15*c^7*d^4 + 110*(21*a^10 + 441*a^8
+ 2562*a^6 + 6018*a^4 + 6137*a^2 + 2261)*b^13*c^6*d^5 + 4*(693*a^12 + 15708*a^10 + 105105*a^8 + 308880*a^6 + 4
49735*a^4 + 319124*a^2 + 88179)*b^11*c^5*d^6 + 110*(21*a^14 + 483*a^12 + 3465*a^10 + 11583*a^8 + 20735*a^6 + 2
0553*a^4 + 10659*a^2 + 2261)*b^9*c^4*d^7 + 264*(5*a^16 + 110*a^14 + 798*a^12 + 2838*a^10 + 5720*a^8 + 6890*a^6
+ 4930*a^4 + 1938*a^2 + 323)*b^7*c^3*d^8 + 33*(15*a^18 + 295*a^16 + 2044*a^14 + 7308*a^12 + 15554*a^10 + 2093
0*a^8 + 18060*a^6 + 9724*a^4 + 2983*a^2 + 399)*b^5*c^2*d^9 + 110*(a^20 + 16*a^18 + 99*a^16 + 336*a^14 + 714*a^
12 + 1008*a^10 + 966*a^8 + 624*a^6 + 261*a^4 + 64*a^2 + 7)*b^3*c*d^10 + 11*(a^22 + 11*a^20 + 55*a^18 + 165*a^1
6 + 330*a^14 + 462*a^12 + 462*a^10 + 330*a^8 + 165*a^6 + 55*a^4 + 11*a^2 + 1)*b*d^11 + (11*b^23*c^10*d + 110*(
a^2 + 7)*b^21*c^9*d^2 + 33*(15*a^4 + 190*a^2 + 399)*b^19*c^8*d^3 + 264*(5*a^6 + 85*a^4 + 323*a^2 + 323)*b^17*c
^7*d^4 + 110*(21*a^8 + 420*a^6 + 2142*a^4 + 3876*a^2 + 2261)*b^15*c^6*d^5 + 4*(693*a^10 + 15015*a^8 + 90090*a^
6 + 218790*a^4 + 230945*a^2 + 88179)*b^13*c^5*d^6 + 110*(21*a^12 + 462*a^10 + 3003*a^8 + 8580*a^6 + 12155*a^4
+ 8398*a^2 + 2261)*b^11*c^4*d^7 + 264*(5*a^14 + 105*a^12 + 693*a^10 + 2145*a^8 + 3575*a^6 + 3315*a^4 + 1615*a^
2 + 323)*b^9*c^3*d^8 + 33*(15*a^16 + 280*a^14 + 1764*a^12 + 5544*a^10 + 10010*a^8 + 10920*a^6 + 7140*a^4 + 258
4*a^2 + 399)*b^7*c^2*d^9 + 110*(a^18 + 15*a^16 + 84*a^14 + 252*a^12 + 462*a^10 + 546*a^8 + 420*a^6 + 204*a^4 +
57*a^2 + 7)*b^5*c*d^10 + 11*(a^20 + 10*a^18 + 45*a^16 + 120*a^14 + 210*a^12 + 252*a^10 + 210*a^8 + 120*a^6 +
45*a^4 + 10*a^2 + 1)*b^3*d^11)*x^2 + 2*(11*a*b^22*c^10*d + 110*(a^3 + 7*a)*b^20*c^9*d^2 + 33*(15*a^5 + 190*a^3
+ 399*a)*b^18*c^8*d^3 + 264*(5*a^7 + 85*a^5 + 323*a^3 + 323*a)*b^16*c^7*d^4 + 110*(21*a^9 + 420*a^7 + 2142*a^
5 + 3876*a^3 + 2261*a)*b^14*c^6*d^5 + 4*(693*a^11 + 15015*a^9 + 90090*a^7 + 218790*a^5 + 230945*a^3 + 88179*a)
*b^12*c^5*d^6 + 110*(21*a^13 + 462*a^11 + 3003*a^9 + 8580*a^7 + 12155*a^5 + 8398*a^3 + 2261*a)*b^10*c^4*d^7 +
264*(5*a^15 + 105*a^13 + 693*a^11 + 2145*a^9 + 3575*a^7 + 3315*a^5 + 1615*a^3 + 323*a)*b^8*c^3*d^8 + 33*(15*a^
17 + 280*a^15 + 1764*a^13 + 5544*a^11 + 10010*a^9 + 10920*a^7 + 7140*a^5 + 2584*a^3 + 399*a)*b^6*c^2*d^9 + 110
*(a^19 + 15*a^17 + 84*a^15 + 252*a^13 + 462*a^11 + 546*a^9 + 420*a^7 + 204*a^5 + 57*a^3 + 7*a)*b^4*c*d^10 + 11
*(a^21 + 10*a^19 + 45*a^17 + 120*a^15 + 210*a^13 + 252*a^11 + 210*a^9 + 120*a^7 + 45*a^5 + 10*a^3 + a)*b^2*d^1
1)*x)*sqrt(c)*sqrt(d) + 2*(a*b^23*c^11*d + 11*(a^3 + 21*a)*b^21*c^10*d^2 + 55*(a^5 + 38*a^3 + 133*a)*b^19*c^9*
d^3 + 33*(5*a^7 + 255*a^5 + 1615*a^3 + 2261*a)*b^17*c^8*d^4 + 330*(a^9 + 60*a^7 + 510*a^5 + 1292*a^3 + 969*a)*
b^15*c^7*d^5 + 22*(21*a^11 + 1365*a^9 + 13650*a^7 + 46410*a^5 + 62985*a^3 + 29393*a)*b^13*c^6*d^6 + 22*(21*a^1
3 + 1386*a^11 + 15015*a^9 + 60060*a^7 + 109395*a^5 + 92378*a^3 + 29393*a)*b^11*c^5*d^7 + 330*(a^15 + 63*a^13 +
693*a^11 + 3003*a^9 + 6435*a^7 + 7293*a^5 + 4199*a^3 + 969*a)*b^9*c^4*d^8 + 33*(5*a^17 + 280*a^15 + 2940*a^13
+ 12936*a^11 + 30030*a^9 + 40040*a^7 + 30940*a^5 + 12920*a^3 + 2261*a)*b^7*c^3*d^9 + 55*(a^19 + 45*a^17 + 420
*a^15 + 1764*a^13 + 4158*a^11 + 6006*a^9 + 5460*a^7 + 3060*a^5 + 969*a^3 + 133*a)*b^5*c^2*d^10 + 11*(a^21 + 30
*a^19 + 225*a^17 + 840*a^15 + 1890*a^13 + 2772*a^11 + 2730*a^9 + 1800*a^7 + 765*a^5 + 190*a^3 + 21*a)*b^3*c*d^
11 + (a^23 + 11*a^21 + 55*a^19 + 165*a^17 + 330*a^15 + 462*a^13 + 462*a^11 + 330*a^9 + 165*a^7 + 55*a^5 + 11*a
^3 + a)*b*d^12)*x)/(b^24*c^12 + 12*(a^2 + 23)*b^22*c^11*d + 66*(a^4 + 42*a^2 + 161)*b^20*c^10*d^2 + 44*(5*a^6
+ 285*a^4 + 1995*a^2 + 3059)*b^18*c^9*d^3 + 99*(5*a^8 + 340*a^6 + 3230*a^4 + 9044*a^2 + 7429)*b^16*c^8*d^4 + 2
64*(3*a^10 + 225*a^8 + 2550*a^6 + 9690*a^4 + 14535*a^2 + 7429)*b^14*c^7*d^5 + 4*(231*a^12 + 18018*a^10 + 22522
5*a^8 + 1021020*a^6 + 2078505*a^4 + 1939938*a^2 + 676039)*b^12*c^6*d^6 + 264*(3*a^14 + 231*a^12 + 3003*a^10 +
15015*a^8 + 36465*a^6 + 46189*a^4 + 29393*a^2 + 7429)*b^10*c^5*d^7 + 99*(5*a^16 + 360*a^14 + 4620*a^12 + 24024
*a^10 + 64350*a^8 + 97240*a^6 + 83980*a^4 + 38760*a^2 + 7429)*b^8*c^4*d^8 + 44*(5*a^18 + 315*a^16 + 3780*a^14
+ 19404*a^12 + 54054*a^10 + 90090*a^8 + 92820*a^6 + 58140*a^4 + 20349*a^2 + 3059)*b^6*c^3*d^9 + 66*(a^20 + 50*
a^18 + 525*a^16 + 2520*a^14 + 6930*a^12 + 12012*a^10 + 13650*a^8 + 10200*a^6 + 4845*a^4 + 1330*a^2 + 161)*b^4*
c^2*d^10 + 12*(a^22 + 33*a^20 + 275*a^18 + 1155*a^16 + 2970*a^14 + 5082*a^12 + 6006*a^10 + 4950*a^8 + 2805*a^6
+ 1045*a^4 + 231*a^2 + 23)*b^2*c*d^11 + (a^24 + 12*a^22 + 66*a^20 + 220*a^18 + 495*a^16 + 792*a^14 + 924*a^12
+ 792*a^10 + 495*a^8 + 220*a^6 + 66*a^4 + 12*a^2 + 1)*d^12 - 8*(3*b^23*c^11 + 11*(3*a^2 + 23)*b^21*c^10*d + 3
3*(5*a^4 + 70*a^2 + 161)*b^19*c^9*d^2 + 99*(5*a^6 + 95*a^4 + 399*a^2 + 437)*b^17*c^8*d^3 + 22*(45*a^8 + 1020*a
^6 + 5814*a^4 + 11628*a^2 + 7429)*b^15*c^7*d^4 + 6*(231*a^10 + 5775*a^8 + 39270*a^6 + 106590*a^4 + 124355*a^2
+ 52003)*b^13*c^6*d^5 + 6*(231*a^12 + 6006*a^10 + 45045*a^8 + 145860*a^6 + 230945*a^4 + 176358*a^2 + 52003)*b^
11*c^5*d^6 + 22*(45*a^14 + 1155*a^12 + 9009*a^10 + 32175*a^8 + 60775*a^6 + 62985*a^4 + 33915*a^2 + 7429)*b^9*c
^4*d^7 + 99*(5*a^16 + 120*a^14 + 924*a^12 + 3432*a^10 + 7150*a^8 + 8840*a^6 + 6460*a^4 + 2584*a^2 + 437)*b^7*c
^3*d^8 + 33*(5*a^18 + 105*a^16 + 756*a^14 + 2772*a^12 + 6006*a^10 + 8190*a^8 + 7140*a^6 + 3876*a^4 + 1197*a^2
+ 161)*b^5*c^2*d^9 + 11*(3*a^20 + 50*a^18 + 315*a^16 + 1080*a^14 + 2310*a^12 + 3276*a^10 + 3150*a^8 + 2040*a^6
+ 855*a^4 + 210*a^2 + 23)*b^3*c*d^10 + 3*(a^22 + 11*a^20 + 55*a^18 + 165*a^16 + 330*a^14 + 462*a^12 + 462*a^1
0 + 330*a^8 + 165*a^6 + 55*a^4 + 11*a^2 + 1)*b*d^11)*sqrt(c)*sqrt(d))) + 2*dilog(((a + I)*b*d*x + b^2*c + (I*b
^2*x + (-I*a + 1)*b)*sqrt(c)*sqrt(d))/(b^2*c + 2*(-I*a + 1)*b*sqrt(c)*sqrt(d) - (a^2 + 2*I*a - 1)*d)) - 2*dilo
g(((a + I)*b*d*x + b^2*c - (I*b^2*x + (-I*a + 1)*b)*sqrt(c)*sqrt(d))/(b^2*c - 2*(-I*a + 1)*b*sqrt(c)*sqrt(d) -
(a^2 + 2*I*a - 1)*d)) - 2*dilog(((a - I)*b*d*x + b^2*c + (I*b^2*x + (-I*a - 1)*b)*sqrt(c)*sqrt(d))/(b^2*c + 2
*(-I*a - 1)*b*sqrt(c)*sqrt(d) - (a^2 - 2*I*a - 1)*d)) + 2*dilog(((a - I)*b*d*x + b^2*c - (I*b^2*x + (-I*a - 1)
*b)*sqrt(c)*sqrt(d))/(b^2*c - 2*(-I*a - 1)*b*sqrt(c)*sqrt(d) - (a^2 - 2*I*a - 1)*d)))/b)/sqrt(c*d) + arccot(b*
x + a)*arctan(d*x/sqrt(c*d))/sqrt(c*d) + arctan(d*x/sqrt(c*d))*arctan((b^2*x + a*b)/b)/sqrt(c*d)

Giac [F(-1)]

Timed out. \[ \int \frac {\cot ^{-1}(a+b x)}{c+d x^2} \, dx=\text {Timed out} \]

[In]

integrate(arccot(b*x+a)/(d*x^2+c),x, algorithm="giac")

[Out]

Timed out

Mupad [F(-1)]

Timed out. \[ \int \frac {\cot ^{-1}(a+b x)}{c+d x^2} \, dx=\int \frac {\mathrm {acot}\left (a+b\,x\right )}{d\,x^2+c} \,d x \]

[In]

int(acot(a + b*x)/(c + d*x^2),x)

[Out]

int(acot(a + b*x)/(c + d*x^2), x)