\(\int \frac {1}{(a+b \text {arcsinh}(c+d x))^4} \, dx\) [178]

Optimal result

Integrand size = 12, antiderivative size = 160 \[ \int \frac {1}{(a+b \text {arcsinh}(c+d x))^4} \, dx=-\frac {\sqrt {1+(c+d x)^2}}{3 b d (a+b \text {arcsinh}(c+d x))^3}-\frac {c+d x}{6 b^2 d (a+b \text {arcsinh}(c+d x))^2}-\frac {\sqrt {1+(c+d x)^2}}{6 b^3 d (a+b \text {arcsinh}(c+d x))}-\frac {\text {Chi}\left (\frac {a+b \text {arcsinh}(c+d x)}{b}\right ) \sinh \left (\frac {a}{b}\right )}{6 b^4 d}+\frac {\cosh \left (\frac {a}{b}\right ) \text {Shi}\left (\frac {a+b \text {arcsinh}(c+d x)}{b}\right )}{6 b^4 d} \]

[Out]

1/6*(-d*x-c)/b^2/d/(a+b*arcsinh(d*x+c))^2+1/6*cosh(a/b)*Shi((a+b*arcsinh(d*x+c))/b)/b^4/d-1/6*Chi((a+b*arcsinh
(d*x+c))/b)*sinh(a/b)/b^4/d-1/3*(1+(d*x+c)^2)^(1/2)/b/d/(a+b*arcsinh(d*x+c))^3-1/6*(1+(d*x+c)^2)^(1/2)/b^3/d/(
a+b*arcsinh(d*x+c))

Rubi [A] (verified)

Time = 0.19 (sec) , antiderivative size = 160, normalized size of antiderivative = 1.00, number of steps used = 8, number of rules used = 7, \(\frac {\text {number of rules}}{\text {integrand size}}\) = 0.583, Rules used = {5858, 5773, 5818, 5819, 3384, 3379, 3382} \[ \int \frac {1}{(a+b \text {arcsinh}(c+d x))^4} \, dx=-\frac {\sinh \left (\frac {a}{b}\right ) \text {Chi}\left (\frac {a+b \text {arcsinh}(c+d x)}{b}\right )}{6 b^4 d}+\frac {\cosh \left (\frac {a}{b}\right ) \text {Shi}\left (\frac {a+b \text {arcsinh}(c+d x)}{b}\right )}{6 b^4 d}-\frac {\sqrt {(c+d x)^2+1}}{6 b^3 d (a+b \text {arcsinh}(c+d x))}-\frac {c+d x}{6 b^2 d (a+b \text {arcsinh}(c+d x))^2}-\frac {\sqrt {(c+d x)^2+1}}{3 b d (a+b \text {arcsinh}(c+d x))^3} \]

[In]

Int[(a + b*ArcSinh[c + d*x])^(-4),x]

[Out]

-1/3*Sqrt[1 + (c + d*x)^2]/(b*d*(a + b*ArcSinh[c + d*x])^3) - (c + d*x)/(6*b^2*d*(a + b*ArcSinh[c + d*x])^2) -
Sqrt[1 + (c + d*x)^2]/(6*b^3*d*(a + b*ArcSinh[c + d*x])) - (CoshIntegral[(a + b*ArcSinh[c + d*x])/b]*Sinh[a/b
])/(6*b^4*d) + (Cosh[a/b]*SinhIntegral[(a + b*ArcSinh[c + d*x])/b])/(6*b^4*d)

Rule 3379

Int[sin[(e_.) + (Complex[0, fz_])*(f_.)*(x_)]/((c_.) + (d_.)*(x_)), x_Symbol] :> Simp[I*(SinhIntegral[c*f*(fz/
d) + f*fz*x]/d), x] /; FreeQ[{c, d, e, f, fz}, x] && EqQ[d*e - c*f*fz*I, 0]

Rule 3382

Int[sin[(e_.) + (Complex[0, fz_])*(f_.)*(x_)]/((c_.) + (d_.)*(x_)), x_Symbol] :> Simp[CoshIntegral[c*f*(fz/d)
+ f*fz*x]/d, x] /; FreeQ[{c, d, e, f, fz}, x] && EqQ[d*(e - Pi/2) - c*f*fz*I, 0]

Rule 3384

Int[sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]/((c_.) + (d_.)*(x_)), x_Symbol] :> Dist[Cos[(d*e - c*f)/d], Int[Sin[c*(f/d) + f*x]
/(c + d*x), x], x] + Dist[Sin[(d*e - c*f)/d], Int[Cos[c*(f/d) + f*x]/(c + d*x), x], x] /; FreeQ[{c, d, e, f},
x] && NeQ[d*e - c*f, 0]

Rule 5773

Int[((a_.) + ArcSinh[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_), x_Symbol] :> Simp[Sqrt[1 + c^2*x^2]*((a + b*ArcSinh[c*x])^(n + 1
)/(b*c*(n + 1))), x] - Dist[c/(b*(n + 1)), Int[x*((a + b*ArcSinh[c*x])^(n + 1)/Sqrt[1 + c^2*x^2]), x], x] /; F
reeQ[{a, b, c}, x] && LtQ[n, -1]

Rule 5818

Int[(((a_.) + ArcSinh[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_)*((f_.)*(x_))^(m_.))/Sqrt[(d_) + (e_.)*(x_)^2], x_Symbol] :> Simp
[((f*x)^m/(b*c*(n + 1)))*Simp[Sqrt[1 + c^2*x^2]/Sqrt[d + e*x^2]]*(a + b*ArcSinh[c*x])^(n + 1), x] - Dist[f*(m/
(b*c*(n + 1)))*Simp[Sqrt[1 + c^2*x^2]/Sqrt[d + e*x^2]], Int[(f*x)^(m - 1)*(a + b*ArcSinh[c*x])^(n + 1), x], x]
/; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m}, x] && EqQ[e, c^2*d] && LtQ[n, -1]

Rule 5819

Int[((a_.) + ArcSinh[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_.)*(x_)^(m_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(p_.), x_Symbol] :> Dist[(1/(b*
c^(m + 1)))*Simp[(d + e*x^2)^p/(1 + c^2*x^2)^p], Subst[Int[x^n*Sinh[-a/b + x/b]^m*Cosh[-a/b + x/b]^(2*p + 1),
x], x, a + b*ArcSinh[c*x]], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, n}, x] && EqQ[e, c^2*d] && IGtQ[2*p + 2, 0] && IGtQ[m,
0]

Rule 5858

Int[((a_.) + ArcSinh[(c_) + (d_.)*(x_)]*(b_.))^(n_.), x_Symbol] :> Dist[1/d, Subst[Int[(a + b*ArcSinh[x])^n, x
], x, c + d*x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, n}, x]

Rubi steps \begin{align*} \text {integral}& = \frac {\text {Subst}\left (\int \frac {1}{(a+b \text {arcsinh}(x))^4} \, dx,x,c+d x\right )}{d} \\ & = -\frac {\sqrt {1+(c+d x)^2}}{3 b d (a+b \text {arcsinh}(c+d x))^3}+\frac {\text {Subst}\left (\int \frac {x}{\sqrt {1+x^2} (a+b \text {arcsinh}(x))^3} \, dx,x,c+d x\right )}{3 b d} \\ & = -\frac {\sqrt {1+(c+d x)^2}}{3 b d (a+b \text {arcsinh}(c+d x))^3}-\frac {c+d x}{6 b^2 d (a+b \text {arcsinh}(c+d x))^2}+\frac {\text {Subst}\left (\int \frac {1}{(a+b \text {arcsinh}(x))^2} \, dx,x,c+d x\right )}{6 b^2 d} \\ & = -\frac {\sqrt {1+(c+d x)^2}}{3 b d (a+b \text {arcsinh}(c+d x))^3}-\frac {c+d x}{6 b^2 d (a+b \text {arcsinh}(c+d x))^2}-\frac {\sqrt {1+(c+d x)^2}}{6 b^3 d (a+b \text {arcsinh}(c+d x))}+\frac {\text {Subst}\left (\int \frac {x}{\sqrt {1+x^2} (a+b \text {arcsinh}(x))} \, dx,x,c+d x\right )}{6 b^3 d} \\ & = -\frac {\sqrt {1+(c+d x)^2}}{3 b d (a+b \text {arcsinh}(c+d x))^3}-\frac {c+d x}{6 b^2 d (a+b \text {arcsinh}(c+d x))^2}-\frac {\sqrt {1+(c+d x)^2}}{6 b^3 d (a+b \text {arcsinh}(c+d x))}-\frac {\text {Subst}\left (\int \frac {\sinh \left (\frac {a}{b}-\frac {x}{b}\right )}{x} \, dx,x,a+b \text {arcsinh}(c+d x)\right )}{6 b^4 d} \\ & = -\frac {\sqrt {1+(c+d x)^2}}{3 b d (a+b \text {arcsinh}(c+d x))^3}-\frac {c+d x}{6 b^2 d (a+b \text {arcsinh}(c+d x))^2}-\frac {\sqrt {1+(c+d x)^2}}{6 b^3 d (a+b \text {arcsinh}(c+d x))}+\frac {\cosh \left (\frac {a}{b}\right ) \text {Subst}\left (\int \frac {\sinh \left (\frac {x}{b}\right )}{x} \, dx,x,a+b \text {arcsinh}(c+d x)\right )}{6 b^4 d}-\frac {\sinh \left (\frac {a}{b}\right ) \text {Subst}\left (\int \frac {\cosh \left (\frac {x}{b}\right )}{x} \, dx,x,a+b \text {arcsinh}(c+d x)\right )}{6 b^4 d} \\ & = -\frac {\sqrt {1+(c+d x)^2}}{3 b d (a+b \text {arcsinh}(c+d x))^3}-\frac {c+d x}{6 b^2 d (a+b \text {arcsinh}(c+d x))^2}-\frac {\sqrt {1+(c+d x)^2}}{6 b^3 d (a+b \text {arcsinh}(c+d x))}-\frac {\text {Chi}\left (\frac {a+b \text {arcsinh}(c+d x)}{b}\right ) \sinh \left (\frac {a}{b}\right )}{6 b^4 d}+\frac {\cosh \left (\frac {a}{b}\right ) \text {Shi}\left (\frac {a+b \text {arcsinh}(c+d x)}{b}\right )}{6 b^4 d} \\ \end{align*}

Mathematica [A] (verified)

Time = 0.41 (sec) , antiderivative size = 130, normalized size of antiderivative = 0.81 \[ \int \frac {1}{(a+b \text {arcsinh}(c+d x))^4} \, dx=-\frac {\frac {2 b^3 \sqrt {1+(c+d x)^2}}{(a+b \text {arcsinh}(c+d x))^3}+\frac {b^2 (c+d x)}{(a+b \text {arcsinh}(c+d x))^2}+\frac {b \sqrt {1+(c+d x)^2}}{a+b \text {arcsinh}(c+d x)}+\text {Chi}\left (\frac {a}{b}+\text {arcsinh}(c+d x)\right ) \sinh \left (\frac {a}{b}\right )-\cosh \left (\frac {a}{b}\right ) \text {Shi}\left (\frac {a}{b}+\text {arcsinh}(c+d x)\right )}{6 b^4 d} \]

[In]

Integrate[(a + b*ArcSinh[c + d*x])^(-4),x]

[Out]

-1/6*((2*b^3*Sqrt[1 + (c + d*x)^2])/(a + b*ArcSinh[c + d*x])^3 + (b^2*(c + d*x))/(a + b*ArcSinh[c + d*x])^2 +
(b*Sqrt[1 + (c + d*x)^2])/(a + b*ArcSinh[c + d*x]) + CoshIntegral[a/b + ArcSinh[c + d*x]]*Sinh[a/b] - Cosh[a/b
]*SinhIntegral[a/b + ArcSinh[c + d*x]])/(b^4*d)

Maple [A] (verified)

Time = 0.05 (sec) , antiderivative size = 272, normalized size of antiderivative = 1.70

method	result	size
derivativedivides	\(\frac {\frac {\left (-\sqrt {1+\left (d x +c \right )^{2}}+d x +c \right ) \left (b^{2} \operatorname {arcsinh}\left (d x +c \right )^{2}+2 a b \,\operatorname {arcsinh}\left (d x +c \right )-b^{2} \operatorname {arcsinh}\left (d x +c \right )+a^{2}-a b +2 b^{2}\right )}{12 b^{3} \left (b^{3} \operatorname {arcsinh}\left (d x +c \right )^{3}+3 a \,b^{2} \operatorname {arcsinh}\left (d x +c \right )^{2}+3 a^{2} b \,\operatorname {arcsinh}\left (d x +c \right )+a^{3}\right )}+\frac {{\mathrm e}^{\frac {a}{b}} \operatorname {Ei}_{1}\left (\operatorname {arcsinh}\left (d x +c \right )+\frac {a}{b}\right )}{12 b^{4}}-\frac {d x +c +\sqrt {1+\left (d x +c \right )^{2}}}{6 b \left (a +b \,\operatorname {arcsinh}\left (d x +c \right )\right )^{3}}-\frac {d x +c +\sqrt {1+\left (d x +c \right )^{2}}}{12 b^{2} \left (a +b \,\operatorname {arcsinh}\left (d x +c \right )\right )^{2}}-\frac {d x +c +\sqrt {1+\left (d x +c \right )^{2}}}{12 b^{3} \left (a +b \,\operatorname {arcsinh}\left (d x +c \right )\right )}-\frac {{\mathrm e}^{-\frac {a}{b}} \operatorname {Ei}_{1}\left (-\operatorname {arcsinh}\left (d x +c \right )-\frac {a}{b}\right )}{12 b^{4}}}{d}\)	\(272\)
default	\(\frac {\frac {\left (-\sqrt {1+\left (d x +c \right )^{2}}+d x +c \right ) \left (b^{2} \operatorname {arcsinh}\left (d x +c \right )^{2}+2 a b \,\operatorname {arcsinh}\left (d x +c \right )-b^{2} \operatorname {arcsinh}\left (d x +c \right )+a^{2}-a b +2 b^{2}\right )}{12 b^{3} \left (b^{3} \operatorname {arcsinh}\left (d x +c \right )^{3}+3 a \,b^{2} \operatorname {arcsinh}\left (d x +c \right )^{2}+3 a^{2} b \,\operatorname {arcsinh}\left (d x +c \right )+a^{3}\right )}+\frac {{\mathrm e}^{\frac {a}{b}} \operatorname {Ei}_{1}\left (\operatorname {arcsinh}\left (d x +c \right )+\frac {a}{b}\right )}{12 b^{4}}-\frac {d x +c +\sqrt {1+\left (d x +c \right )^{2}}}{6 b \left (a +b \,\operatorname {arcsinh}\left (d x +c \right )\right )^{3}}-\frac {d x +c +\sqrt {1+\left (d x +c \right )^{2}}}{12 b^{2} \left (a +b \,\operatorname {arcsinh}\left (d x +c \right )\right )^{2}}-\frac {d x +c +\sqrt {1+\left (d x +c \right )^{2}}}{12 b^{3} \left (a +b \,\operatorname {arcsinh}\left (d x +c \right )\right )}-\frac {{\mathrm e}^{-\frac {a}{b}} \operatorname {Ei}_{1}\left (-\operatorname {arcsinh}\left (d x +c \right )-\frac {a}{b}\right )}{12 b^{4}}}{d}\)	\(272\)

[In]

int(1/(a+b*arcsinh(d*x+c))^4,x,method=_RETURNVERBOSE)

[Out]

1/d*(1/12*(-(1+(d*x+c)^2)^(1/2)+d*x+c)*(b^2*arcsinh(d*x+c)^2+2*a*b*arcsinh(d*x+c)-b^2*arcsinh(d*x+c)+a^2-a*b+2
*b^2)/b^3/(b^3*arcsinh(d*x+c)^3+3*a*b^2*arcsinh(d*x+c)^2+3*a^2*b*arcsinh(d*x+c)+a^3)+1/12/b^4*exp(a/b)*Ei(1,ar
csinh(d*x+c)+a/b)-1/6/b*(d*x+c+(1+(d*x+c)^2)^(1/2))/(a+b*arcsinh(d*x+c))^3-1/12/b^2*(d*x+c+(1+(d*x+c)^2)^(1/2)
)/(a+b*arcsinh(d*x+c))^2-1/12/b^3*(d*x+c+(1+(d*x+c)^2)^(1/2))/(a+b*arcsinh(d*x+c))-1/12/b^4*exp(-a/b)*Ei(1,-ar
csinh(d*x+c)-a/b))

Fricas [F]

\[ \int \frac {1}{(a+b \text {arcsinh}(c+d x))^4} \, dx=\int { \frac {1}{{\left (b \operatorname {arsinh}\left (d x + c\right ) + a\right )}^{4}} \,d x } \]

[In]

integrate(1/(a+b*arcsinh(d*x+c))^4,x, algorithm="fricas")

[Out]

integral(1/(b^4*arcsinh(d*x + c)^4 + 4*a*b^3*arcsinh(d*x + c)^3 + 6*a^2*b^2*arcsinh(d*x + c)^2 + 4*a^3*b*arcsi
nh(d*x + c) + a^4), x)

Sympy [F]

\[ \int \frac {1}{(a+b \text {arcsinh}(c+d x))^4} \, dx=\int \frac {1}{\left (a + b \operatorname {asinh}{\left (c + d x \right )}\right )^{4}}\, dx \]

[In]

integrate(1/(a+b*asinh(d*x+c))**4,x)

[Out]

Integral((a + b*asinh(c + d*x))**(-4), x)

Maxima [F]

\[ \int \frac {1}{(a+b \text {arcsinh}(c+d x))^4} \, dx=\int { \frac {1}{{\left (b \operatorname {arsinh}\left (d x + c\right ) + a\right )}^{4}} \,d x } \]

[In]

integrate(1/(a+b*arcsinh(d*x+c))^4,x, algorithm="maxima")

[Out]

-1/6*((a^2*d^11 + a*b*d^11 + 2*b^2*d^11)*x^11 + 11*(a^2*c*d^10 + a*b*c*d^10 + 2*b^2*c*d^10)*x^10 + 5*((11*c^2*
d^9 + d^9)*a^2 + (11*c^2*d^9 + d^9)*a*b + 2*(11*c^2*d^9 + d^9)*b^2)*x^9 + 15*((11*c^3*d^8 + 3*c*d^8)*a^2 + (11
*c^3*d^8 + 3*c*d^8)*a*b + 2*(11*c^3*d^8 + 3*c*d^8)*b^2)*x^8 + 10*((33*c^4*d^7 + 18*c^2*d^7 + d^7)*a^2 + (33*c^
4*d^7 + 18*c^2*d^7 + d^7)*a*b + 2*(33*c^4*d^7 + 18*c^2*d^7 + d^7)*b^2)*x^7 + 14*((33*c^5*d^6 + 30*c^3*d^6 + 5*
c*d^6)*a^2 + (33*c^5*d^6 + 30*c^3*d^6 + 5*c*d^6)*a*b + 2*(33*c^5*d^6 + 30*c^3*d^6 + 5*c*d^6)*b^2)*x^6 + 2*((23
1*c^6*d^5 + 315*c^4*d^5 + 105*c^2*d^5 + 5*d^5)*a^2 + (231*c^6*d^5 + 315*c^4*d^5 + 105*c^2*d^5 + 5*d^5)*a*b + 2
*(231*c^6*d^5 + 315*c^4*d^5 + 105*c^2*d^5 + 5*d^5)*b^2)*x^5 + 10*((33*c^7*d^4 + 63*c^5*d^4 + 35*c^3*d^4 + 5*c*
d^4)*a^2 + (33*c^7*d^4 + 63*c^5*d^4 + 35*c^3*d^4 + 5*c*d^4)*a*b + 2*(33*c^7*d^4 + 63*c^5*d^4 + 35*c^3*d^4 + 5*
c*d^4)*b^2)*x^4 + 5*((33*c^8*d^3 + 84*c^6*d^3 + 70*c^4*d^3 + 20*c^2*d^3 + d^3)*a^2 + (33*c^8*d^3 + 84*c^6*d^3
+ 70*c^4*d^3 + 20*c^2*d^3 + d^3)*a*b + 2*(33*c^8*d^3 + 84*c^6*d^3 + 70*c^4*d^3 + 20*c^2*d^3 + d^3)*b^2)*x^3 +
((a^2*d^6 + a*b*d^6 + 2*b^2*d^6)*x^6 + 6*(a^2*c*d^5 + a*b*c*d^5 + 2*b^2*c*d^5)*x^5 + (15*a*b*c^2*d^4 + (15*c^2
*d^4 + d^4)*a^2 + 2*(15*c^2*d^4 + d^4)*b^2)*x^4 + 4*(5*a*b*c^3*d^3 + (5*c^3*d^3 + c*d^3)*a^2 + 2*(5*c^3*d^3 +
c*d^3)*b^2)*x^3 + (c^6 + c^4 + 3*c^2 + 3)*a^2 + (c^6 - c^2)*a*b + 2*(c^6 + c^4)*b^2 + (3*(5*c^4*d^2 + 2*c^2*d^
2 + d^2)*a^2 + (15*c^4*d^2 - d^2)*a*b + 6*(5*c^4*d^2 + 2*c^2*d^2)*b^2)*x^2 + 2*((3*c^5*d + 2*c^3*d + 3*c*d)*a^
2 + (3*c^5*d - c*d)*a*b + 2*(3*c^5*d + 2*c^3*d)*b^2)*x)*(d^2*x^2 + 2*c*d*x + c^2 + 1)^(5/2) + (5*(a^2*d^7 + a*
b*d^7 + 2*b^2*d^7)*x^7 + 35*(a^2*c*d^6 + a*b*c*d^6 + 2*b^2*c*d^6)*x^6 + (3*(35*c^2*d^5 + 3*d^5)*a^2 + 5*(21*c^
2*d^5 + d^5)*a*b + 6*(35*c^2*d^5 + 3*d^5)*b^2)*x^5 + 5*((35*c^3*d^4 + 9*c*d^4)*a^2 + 5*(7*c^3*d^4 + c*d^4)*a*b
+ 2*(35*c^3*d^4 + 9*c*d^4)*b^2)*x^4 + (5*(35*c^4*d^3 + 18*c^2*d^3 + 2*d^3)*a^2 + (175*c^4*d^3 + 50*c^2*d^3 -
2*d^3)*a*b + 2*(175*c^4*d^3 + 90*c^2*d^3 + 4*d^3)*b^2)*x^3 + (5*c^7 + 9*c^5 + 10*c^3 + 6*c)*a^2 + (5*c^7 + 5*c
^5 - 2*c^3 - 2*c)*a*b + 2*(5*c^7 + 9*c^5 + 4*c^3)*b^2 + (15*(7*c^5*d^2 + 6*c^3*d^2 + 2*c*d^2)*a^2 + (105*c^5*d
^2 + 50*c^3*d^2 - 6*c*d^2)*a*b + 6*(35*c^5*d^2 + 30*c^3*d^2 + 4*c*d^2)*b^2)*x^2 + ((35*c^6*d + 45*c^4*d + 30*c
^2*d + 6*d)*a^2 + (35*c^6*d + 25*c^4*d - 6*c^2*d - 2*d)*a*b + 2*(35*c^6*d + 45*c^4*d + 12*c^2*d)*b^2)*x)*(d^2*
x^2 + 2*c*d*x + c^2 + 1)^2 + (c^11 + 5*c^9 + 10*c^7 + 10*c^5 + 5*c^3 + c)*a^2 + (c^11 + 5*c^9 + 10*c^7 + 10*c^
5 + 5*c^3 + c)*a*b + 2*(c^11 + 5*c^9 + 10*c^7 + 10*c^5 + 5*c^3 + c)*b^2 + 5*((11*c^9*d^2 + 36*c^7*d^2 + 42*c^5
*d^2 + 20*c^3*d^2 + 3*c*d^2)*a^2 + (11*c^9*d^2 + 36*c^7*d^2 + 42*c^5*d^2 + 20*c^3*d^2 + 3*c*d^2)*a*b + 2*(11*c
^9*d^2 + 36*c^7*d^2 + 42*c^5*d^2 + 20*c^3*d^2 + 3*c*d^2)*b^2)*x^2 + (b^2*d^11*x^11 + 11*b^2*c*d^10*x^10 + 5*(1
1*c^2*d^9 + d^9)*b^2*x^9 + 15*(11*c^3*d^8 + 3*c*d^8)*b^2*x^8 + 10*(33*c^4*d^7 + 18*c^2*d^7 + d^7)*b^2*x^7 + 14
*(33*c^5*d^6 + 30*c^3*d^6 + 5*c*d^6)*b^2*x^6 + 2*(231*c^6*d^5 + 315*c^4*d^5 + 105*c^2*d^5 + 5*d^5)*b^2*x^5 + 1
0*(33*c^7*d^4 + 63*c^5*d^4 + 35*c^3*d^4 + 5*c*d^4)*b^2*x^4 + 5*(33*c^8*d^3 + 84*c^6*d^3 + 70*c^4*d^3 + 20*c^2*
d^3 + d^3)*b^2*x^3 + 5*(11*c^9*d^2 + 36*c^7*d^2 + 42*c^5*d^2 + 20*c^3*d^2 + 3*c*d^2)*b^2*x^2 + (11*c^10*d + 45
*c^8*d + 70*c^6*d + 50*c^4*d + 15*c^2*d + d)*b^2*x + (b^2*d^6*x^6 + 6*b^2*c*d^5*x^5 + (15*c^2*d^4 + d^4)*b^2*x
^4 + 4*(5*c^3*d^3 + c*d^3)*b^2*x^3 + 3*(5*c^4*d^2 + 2*c^2*d^2 + d^2)*b^2*x^2 + 2*(3*c^5*d + 2*c^3*d + 3*c*d)*b
^2*x + (c^6 + c^4 + 3*c^2 + 3)*b^2)*(d^2*x^2 + 2*c*d*x + c^2 + 1)^(5/2) + (5*b^2*d^7*x^7 + 35*b^2*c*d^6*x^6 +
3*(35*c^2*d^5 + 3*d^5)*b^2*x^5 + 5*(35*c^3*d^4 + 9*c*d^4)*b^2*x^4 + 5*(35*c^4*d^3 + 18*c^2*d^3 + 2*d^3)*b^2*x^
3 + 15*(7*c^5*d^2 + 6*c^3*d^2 + 2*c*d^2)*b^2*x^2 + (35*c^6*d + 45*c^4*d + 30*c^2*d + 6*d)*b^2*x + (5*c^7 + 9*c
^5 + 10*c^3 + 6*c)*b^2)*(d^2*x^2 + 2*c*d*x + c^2 + 1)^2 + (c^11 + 5*c^9 + 10*c^7 + 10*c^5 + 5*c^3 + c)*b^2 + (
10*b^2*d^8*x^8 + 80*b^2*c*d^7*x^7 + 2*(140*c^2*d^6 + 13*d^6)*b^2*x^6 + 4*(140*c^3*d^5 + 39*c*d^5)*b^2*x^5 + 2*
(350*c^4*d^4 + 195*c^2*d^4 + 11*d^4)*b^2*x^4 + 8*(70*c^5*d^3 + 65*c^3*d^3 + 11*c*d^3)*b^2*x^3 + (280*c^6*d^2 +
390*c^4*d^2 + 132*c^2*d^2 + 3*d^2)*b^2*x^2 + 2*(40*c^7*d + 78*c^5*d + 44*c^3*d + 3*c*d)*b^2*x + (10*c^8 + 26*
c^6 + 22*c^4 + 3*c^2 - 3)*b^2)*(d^2*x^2 + 2*c*d*x + c^2 + 1)^(3/2) + 2*(5*b^2*d^9*x^9 + 45*b^2*c*d^8*x^8 + (18
0*c^2*d^7 + 17*d^7)*b^2*x^7 + 7*(60*c^3*d^6 + 17*c*d^6)*b^2*x^6 + 3*(210*c^4*d^5 + 119*c^2*d^5 + 6*d^5)*b^2*x^
5 + 5*(126*c^5*d^4 + 119*c^3*d^4 + 18*c*d^4)*b^2*x^4 + 5*(84*c^6*d^3 + 119*c^4*d^3 + 36*c^2*d^3 + d^3)*b^2*x^3
+ 3*(60*c^7*d^2 + 119*c^5*d^2 + 60*c^3*d^2 + 5*c*d^2)*b^2*x^2 + (45*c^8*d + 119*c^6*d + 90*c^4*d + 15*c^2*d -
d)*b^2*x + (5*c^9 + 17*c^7 + 18*c^5 + 5*c^3 - c)*b^2)*(d^2*x^2 + 2*c*d*x + c^2 + 1) + (5*b^2*d^10*x^10 + 50*b
^2*c*d^9*x^9 + 3*(75*c^2*d^8 + 7*d^8)*b^2*x^8 + 24*(25*c^3*d^7 + 7*c*d^7)*b^2*x^7 + (1050*c^4*d^6 + 588*c^2*d^
6 + 31*d^6)*b^2*x^6 + 6*(210*c^5*d^5 + 196*c^3*d^5 + 31*c*d^5)*b^2*x^5 + 5*(210*c^6*d^4 + 294*c^4*d^4 + 93*c^2
*d^4 + 4*d^4)*b^2*x^4 + 4*(150*c^7*d^3 + 294*c^5*d^3 + 155*c^3*d^3 + 20*c*d^3)*b^2*x^3 + 3*(75*c^8*d^2 + 196*c
^6*d^2 + 155*c^4*d^2 + 40*c^2*d^2 + 2*d^2)*b^2*x^2 + 2*(25*c^9*d + 84*c^7*d + 93*c^5*d + 40*c^3*d + 6*c*d)*b^2
*x + (5*c^10 + 21*c^8 + 31*c^6 + 20*c^4 + 6*c^2 + 1)*b^2)*sqrt(d^2*x^2 + 2*c*d*x + c^2 + 1))*log(d*x + c + sqr
t(d^2*x^2 + 2*c*d*x + c^2 + 1))^2 + (10*(a^2*d^8 + a*b*d^8 + 2*b^2*d^8)*x^8 + 80*(a^2*c*d^7 + a*b*c*d^7 + 2*b^
2*c*d^7)*x^7 + 2*((140*c^2*d^6 + 13*d^6)*a^2 + 10*(14*c^2*d^6 + d^6)*a*b + 2*(140*c^2*d^6 + 13*d^6)*b^2)*x^6 +
4*((140*c^3*d^5 + 39*c*d^5)*a^2 + 10*(14*c^3*d^5 + 3*c*d^5)*a*b + 2*(140*c^3*d^5 + 39*c*d^5)*b^2)*x^5 + 2*((3
50*c^4*d^4 + 195*c^2*d^4 + 11*d^4)*a^2 + 5*(70*c^4*d^4 + 30*c^2*d^4 + d^4)*a*b + 2*(350*c^4*d^4 + 195*c^2*d^4
+ 11*d^4)*b^2)*x^4 + 8*((70*c^5*d^3 + 65*c^3*d^3 + 11*c*d^3)*a^2 + 5*(14*c^5*d^3 + 10*c^3*d^3 + c*d^3)*a*b + 2
*(70*c^5*d^3 + 65*c^3*d^3 + 11*c*d^3)*b^2)*x^3 + (10*c^8 + 26*c^6 + 22*c^4 + 3*c^2 - 3)*a^2 + (10*c^8 + 20*c^6
+ 10*c^4 - c^2 - 1)*a*b + 4*(5*c^8 + 13*c^6 + 11*c^4 + 3*c^2)*b^2 + ((280*c^6*d^2 + 390*c^4*d^2 + 132*c^2*d^2
+ 3*d^2)*a^2 + (280*c^6*d^2 + 300*c^4*d^2 + 60*c^2*d^2 - d^2)*a*b + 4*(140*c^6*d^2 + 195*c^4*d^2 + 66*c^2*d^2
+ 3*d^2)*b^2)*x^2 + 2*((40*c^7*d + 78*c^5*d + 44*c^3*d + 3*c*d)*a^2 + (40*c^7*d + 60*c^5*d + 20*c^3*d - c*d)*
a*b + 4*(20*c^7*d + 39*c^5*d + 22*c^3*d + 3*c*d)*b^2)*x)*(d^2*x^2 + 2*c*d*x + c^2 + 1)^(3/2) + 2*(5*(a^2*d^9 +
a*b*d^9 + 2*b^2*d^9)*x^9 + 45*(a^2*c*d^8 + a*b*c*d^8 + 2*b^2*c*d^8)*x^8 + ((180*c^2*d^7 + 17*d^7)*a^2 + 15*(1
2*c^2*d^7 + d^7)*a*b + 2*(180*c^2*d^7 + 17*d^7)*b^2)*x^7 + 7*((60*c^3*d^6 + 17*c*d^6)*a^2 + 15*(4*c^3*d^6 + c*
d^6)*a*b + 2*(60*c^3*d^6 + 17*c*d^6)*b^2)*x^6 + (3*(210*c^4*d^5 + 119*c^2*d^5 + 6*d^5)*a^2 + (630*c^4*d^5 + 31
5*c^2*d^5 + 16*d^5)*a*b + 42*(30*c^4*d^5 + 17*c^2*d^5 + d^5)*b^2)*x^5 + 5*((126*c^5*d^4 + 119*c^3*d^4 + 18*c*d
^4)*a^2 + (126*c^5*d^4 + 105*c^3*d^4 + 16*c*d^4)*a*b + 14*(18*c^5*d^4 + 17*c^3*d^4 + 3*c*d^4)*b^2)*x^4 + (5*(8
4*c^6*d^3 + 119*c^4*d^3 + 36*c^2*d^3 + d^3)*a^2 + (420*c^6*d^3 + 525*c^4*d^3 + 160*c^2*d^3 + 7*d^3)*a*b + 2*(4
20*c^6*d^3 + 595*c^4*d^3 + 210*c^2*d^3 + 11*d^3)*b^2)*x^3 + (5*c^9 + 17*c^7 + 18*c^5 + 5*c^3 - c)*a^2 + (5*c^9
+ 15*c^7 + 16*c^5 + 7*c^3 + c)*a*b + 2*(5*c^9 + 17*c^7 + 21*c^5 + 11*c^3 + 2*c)*b^2 + (3*(60*c^7*d^2 + 119*c^
5*d^2 + 60*c^3*d^2 + 5*c*d^2)*a^2 + (180*c^7*d^2 + 315*c^5*d^2 + 160*c^3*d^2 + 21*c*d^2)*a*b + 6*(60*c^7*d^2 +
119*c^5*d^2 + 70*c^3*d^2 + 11*c*d^2)*b^2)*x^2 + ((45*c^8*d + 119*c^6*d + 90*c^4*d + 15*c^2*d - d)*a^2 + (45*c
^8*d + 105*c^6*d + 80*c^4*d + 21*c^2*d + d)*a*b + 2*(45*c^8*d + 119*c^6*d + 105*c^4*d + 33*c^2*d + 2*d)*b^2)*x
)*(d^2*x^2 + 2*c*d*x + c^2 + 1) + ((11*c^10*d + 45*c^8*d + 70*c^6*d + 50*c^4*d + 15*c^2*d + d)*a^2 + (11*c^10*
d + 45*c^8*d + 70*c^6*d + 50*c^4*d + 15*c^2*d + d)*a*b + 2*(11*c^10*d + 45*c^8*d + 70*c^6*d + 50*c^4*d + 15*c^
2*d + d)*b^2)*x + ((2*a*b*d^11 + b^2*d^11)*x^11 + 11*(2*a*b*c*d^10 + b^2*c*d^10)*x^10 + 5*(2*(11*c^2*d^9 + d^9
)*a*b + (11*c^2*d^9 + d^9)*b^2)*x^9 + 15*(2*(11*c^3*d^8 + 3*c*d^8)*a*b + (11*c^3*d^8 + 3*c*d^8)*b^2)*x^8 + 10*
(2*(33*c^4*d^7 + 18*c^2*d^7 + d^7)*a*b + (33*c^4*d^7 + 18*c^2*d^7 + d^7)*b^2)*x^7 + 14*(2*(33*c^5*d^6 + 30*c^3
*d^6 + 5*c*d^6)*a*b + (33*c^5*d^6 + 30*c^3*d^6 + 5*c*d^6)*b^2)*x^6 + 2*(2*(231*c^6*d^5 + 315*c^4*d^5 + 105*c^2
*d^5 + 5*d^5)*a*b + (231*c^6*d^5 + 315*c^4*d^5 + 105*c^2*d^5 + 5*d^5)*b^2)*x^5 + 10*(2*(33*c^7*d^4 + 63*c^5*d^
4 + 35*c^3*d^4 + 5*c*d^4)*a*b + (33*c^7*d^4 + 63*c^5*d^4 + 35*c^3*d^4 + 5*c*d^4)*b^2)*x^4 + 5*(2*(33*c^8*d^3 +
84*c^6*d^3 + 70*c^4*d^3 + 20*c^2*d^3 + d^3)*a*b + (33*c^8*d^3 + 84*c^6*d^3 + 70*c^4*d^3 + 20*c^2*d^3 + d^3)*b
^2)*x^3 + ((2*a*b*d^6 + b^2*d^6)*x^6 + 6*(2*a*b*c*d^5 + b^2*c*d^5)*x^5 + (15*b^2*c^2*d^4 + 2*(15*c^2*d^4 + d^4
)*a*b)*x^4 + 4*(5*b^2*c^3*d^3 + 2*(5*c^3*d^3 + c*d^3)*a*b)*x^3 + 2*(c^6 + c^4 + 3*c^2 + 3)*a*b + (c^6 - c^2)*b
^2 + (6*(5*c^4*d^2 + 2*c^2*d^2 + d^2)*a*b + (15*c^4*d^2 - d^2)*b^2)*x^2 + 2*(2*(3*c^5*d + 2*c^3*d + 3*c*d)*a*b
+ (3*c^5*d - c*d)*b^2)*x)*(d^2*x^2 + 2*c*d*x + c^2 + 1)^(5/2) + (5*(2*a*b*d^7 + b^2*d^7)*x^7 + 35*(2*a*b*c*d^
6 + b^2*c*d^6)*x^6 + (6*(35*c^2*d^5 + 3*d^5)*a*b + 5*(21*c^2*d^5 + d^5)*b^2)*x^5 + 5*(2*(35*c^3*d^4 + 9*c*d^4)
*a*b + 5*(7*c^3*d^4 + c*d^4)*b^2)*x^4 + (10*(35*c^4*d^3 + 18*c^2*d^3 + 2*d^3)*a*b + (175*c^4*d^3 + 50*c^2*d^3
- 2*d^3)*b^2)*x^3 + 2*(5*c^7 + 9*c^5 + 10*c^3 + 6*c)*a*b + (5*c^7 + 5*c^5 - 2*c^3 - 2*c)*b^2 + (30*(7*c^5*d^2
+ 6*c^3*d^2 + 2*c*d^2)*a*b + (105*c^5*d^2 + 50*c^3*d^2 - 6*c*d^2)*b^2)*x^2 + (2*(35*c^6*d + 45*c^4*d + 30*c^2*
d + 6*d)*a*b + (35*c^6*d + 25*c^4*d - 6*c^2*d - 2*d)*b^2)*x)*(d^2*x^2 + 2*c*d*x + c^2 + 1)^2 + 2*(c^11 + 5*c^9
+ 10*c^7 + 10*c^5 + 5*c^3 + c)*a*b + (c^11 + 5*c^9 + 10*c^7 + 10*c^5 + 5*c^3 + c)*b^2 + 5*(2*(11*c^9*d^2 + 36
*c^7*d^2 + 42*c^5*d^2 + 20*c^3*d^2 + 3*c*d^2)*a*b + (11*c^9*d^2 + 36*c^7*d^2 + 42*c^5*d^2 + 20*c^3*d^2 + 3*c*d
^2)*b^2)*x^2 + (10*(2*a*b*d^8 + b^2*d^8)*x^8 + 80*(2*a*b*c*d^7 + b^2*c*d^7)*x^7 + 4*((140*c^2*d^6 + 13*d^6)*a*
b + 5*(14*c^2*d^6 + d^6)*b^2)*x^6 + 8*((140*c^3*d^5 + 39*c*d^5)*a*b + 5*(14*c^3*d^5 + 3*c*d^5)*b^2)*x^5 + 2*(2
*(350*c^4*d^4 + 195*c^2*d^4 + 11*d^4)*a*b + 5*(70*c^4*d^4 + 30*c^2*d^4 + d^4)*b^2)*x^4 + 8*(2*(70*c^5*d^3 + 65
*c^3*d^3 + 11*c*d^3)*a*b + 5*(14*c^5*d^3 + 10*c^3*d^3 + c*d^3)*b^2)*x^3 + 2*(10*c^8 + 26*c^6 + 22*c^4 + 3*c^2
- 3)*a*b + (10*c^8 + 20*c^6 + 10*c^4 - c^2 - 1)*b^2 + (2*(280*c^6*d^2 + 390*c^4*d^2 + 132*c^2*d^2 + 3*d^2)*a*b
+ (280*c^6*d^2 + 300*c^4*d^2 + 60*c^2*d^2 - d^2)*b^2)*x^2 + 2*(2*(40*c^7*d + 78*c^5*d + 44*c^3*d + 3*c*d)*a*b
+ (40*c^7*d + 60*c^5*d + 20*c^3*d - c*d)*b^2)*x)*(d^2*x^2 + 2*c*d*x + c^2 + 1)^(3/2) + 2*(5*(2*a*b*d^9 + b^2*
d^9)*x^9 + 45*(2*a*b*c*d^8 + b^2*c*d^8)*x^8 + (2*(180*c^2*d^7 + 17*d^7)*a*b + 15*(12*c^2*d^7 + d^7)*b^2)*x^7 +
7*(2*(60*c^3*d^6 + 17*c*d^6)*a*b + 15*(4*c^3*d^6 + c*d^6)*b^2)*x^6 + (6*(210*c^4*d^5 + 119*c^2*d^5 + 6*d^5)*a
*b + (630*c^4*d^5 + 315*c^2*d^5 + 16*d^5)*b^2)*x^5 + 5*(2*(126*c^5*d^4 + 119*c^3*d^4 + 18*c*d^4)*a*b + (126*c^
5*d^4 + 105*c^3*d^4 + 16*c*d^4)*b^2)*x^4 + (10*(84*c^6*d^3 + 119*c^4*d^3 + 36*c^2*d^3 + d^3)*a*b + (420*c^6*d^
3 + 525*c^4*d^3 + 160*c^2*d^3 + 7*d^3)*b^2)*x^3 + 2*(5*c^9 + 17*c^7 + 18*c^5 + 5*c^3 - c)*a*b + (5*c^9 + 15*c^
7 + 16*c^5 + 7*c^3 + c)*b^2 + (6*(60*c^7*d^2 + 119*c^5*d^2 + 60*c^3*d^2 + 5*c*d^2)*a*b + (180*c^7*d^2 + 315*c^
5*d^2 + 160*c^3*d^2 + 21*c*d^2)*b^2)*x^2 + (2*(45*c^8*d + 119*c^6*d + 90*c^4*d + 15*c^2*d - d)*a*b + (45*c^8*d
+ 105*c^6*d + 80*c^4*d + 21*c^2*d + d)*b^2)*x)*(d^2*x^2 + 2*c*d*x + c^2 + 1) + (2*(11*c^10*d + 45*c^8*d + 70*
c^6*d + 50*c^4*d + 15*c^2*d + d)*a*b + (11*c^10*d + 45*c^8*d + 70*c^6*d + 50*c^4*d + 15*c^2*d + d)*b^2)*x + (5
*(2*a*b*d^10 + b^2*d^10)*x^10 + 50*(2*a*b*c*d^9 + b^2*c*d^9)*x^9 + (6*(75*c^2*d^8 + 7*d^8)*a*b + 5*(45*c^2*d^8
+ 4*d^8)*b^2)*x^8 + 8*(6*(25*c^3*d^7 + 7*c*d^7)*a*b + 5*(15*c^3*d^7 + 4*c*d^7)*b^2)*x^7 + (2*(1050*c^4*d^6 +
588*c^2*d^6 + 31*d^6)*a*b + (1050*c^4*d^6 + 560*c^2*d^6 + 31*d^6)*b^2)*x^6 + 2*(6*(210*c^5*d^5 + 196*c^3*d^5 +
31*c*d^5)*a*b + (630*c^5*d^5 + 560*c^3*d^5 + 93*c*d^5)*b^2)*x^5 + (10*(210*c^6*d^4 + 294*c^4*d^4 + 93*c^2*d^4
+ 4*d^4)*a*b + (1050*c^6*d^4 + 1400*c^4*d^4 + 465*c^2*d^4 + 23*d^4)*b^2)*x^4 + 4*(2*(150*c^7*d^3 + 294*c^5*d^
3 + 155*c^3*d^3 + 20*c*d^3)*a*b + (150*c^7*d^3 + 280*c^5*d^3 + 155*c^3*d^3 + 23*c*d^3)*b^2)*x^3 + 2*(5*c^10 +
21*c^8 + 31*c^6 + 20*c^4 + 6*c^2 + 1)*a*b + (5*c^10 + 20*c^8 + 31*c^6 + 23*c^4 + 8*c^2 + 1)*b^2 + (6*(75*c^8*d
^2 + 196*c^6*d^2 + 155*c^4*d^2 + 40*c^2*d^2 + 2*d^2)*a*b + (225*c^8*d^2 + 560*c^6*d^2 + 465*c^4*d^2 + 138*c^2*
d^2 + 8*d^2)*b^2)*x^2 + 2*(2*(25*c^9*d + 84*c^7*d + 93*c^5*d + 40*c^3*d + 6*c*d)*a*b + (25*c^9*d + 80*c^7*d +
93*c^5*d + 46*c^3*d + 8*c*d)*b^2)*x)*sqrt(d^2*x^2 + 2*c*d*x + c^2 + 1))*log(d*x + c + sqrt(d^2*x^2 + 2*c*d*x +
c^2 + 1)) + (5*(a^2*d^10 + a*b*d^10 + 2*b^2*d^10)*x^10 + 50*(a^2*c*d^9 + a*b*c*d^9 + 2*b^2*c*d^9)*x^9 + (3*(7
5*c^2*d^8 + 7*d^8)*a^2 + 5*(45*c^2*d^8 + 4*d^8)*a*b + 6*(75*c^2*d^8 + 7*d^8)*b^2)*x^8 + 8*(3*(25*c^3*d^7 + 7*c
*d^7)*a^2 + 5*(15*c^3*d^7 + 4*c*d^7)*a*b + 6*(25*c^3*d^7 + 7*c*d^7)*b^2)*x^7 + ((1050*c^4*d^6 + 588*c^2*d^6 +
31*d^6)*a^2 + (1050*c^4*d^6 + 560*c^2*d^6 + 31*d^6)*a*b + 4*(525*c^4*d^6 + 294*c^2*d^6 + 17*d^6)*b^2)*x^6 + 2*
(3*(210*c^5*d^5 + 196*c^3*d^5 + 31*c*d^5)*a^2 + (630*c^5*d^5 + 560*c^3*d^5 + 93*c*d^5)*a*b + 12*(105*c^5*d^5 +
98*c^3*d^5 + 17*c*d^5)*b^2)*x^5 + (5*(210*c^6*d^4 + 294*c^4*d^4 + 93*c^2*d^4 + 4*d^4)*a^2 + (1050*c^6*d^4 + 1
400*c^4*d^4 + 465*c^2*d^4 + 23*d^4)*a*b + 4*(525*c^6*d^4 + 735*c^4*d^4 + 255*c^2*d^4 + 13*d^4)*b^2)*x^4 + 4*((
150*c^7*d^3 + 294*c^5*d^3 + 155*c^3*d^3 + 20*c*d^3)*a^2 + (150*c^7*d^3 + 280*c^5*d^3 + 155*c^3*d^3 + 23*c*d^3)
*a*b + 4*(75*c^7*d^3 + 147*c^5*d^3 + 85*c^3*d^3 + 13*c*d^3)*b^2)*x^3 + (5*c^10 + 21*c^8 + 31*c^6 + 20*c^4 + 6*
c^2 + 1)*a^2 + (5*c^10 + 20*c^8 + 31*c^6 + 23*c^4 + 8*c^2 + 1)*a*b + 2*(5*c^10 + 21*c^8 + 34*c^6 + 26*c^4 + 9*
c^2 + 1)*b^2 + (3*(75*c^8*d^2 + 196*c^6*d^2 + 155*c^4*d^2 + 40*c^2*d^2 + 2*d^2)*a^2 + (225*c^8*d^2 + 560*c^6*d
^2 + 465*c^4*d^2 + 138*c^2*d^2 + 8*d^2)*a*b + 6*(75*c^8*d^2 + 196*c^6*d^2 + 170*c^4*d^2 + 52*c^2*d^2 + 3*d^2)*
b^2)*x^2 + 2*((25*c^9*d + 84*c^7*d + 93*c^5*d + 40*c^3*d + 6*c*d)*a^2 + (25*c^9*d + 80*c^7*d + 93*c^5*d + 46*c
^3*d + 8*c*d)*a*b + 2*(25*c^9*d + 84*c^7*d + 102*c^5*d + 52*c^3*d + 9*c*d)*b^2)*x)*sqrt(d^2*x^2 + 2*c*d*x + c^
2 + 1))/(a^3*b^3*d^11*x^10 + 10*a^3*b^3*c*d^10*x^9 + 5*(9*c^2*d^9 + d^9)*a^3*b^3*x^8 + 40*(3*c^3*d^8 + c*d^8)*
a^3*b^3*x^7 + 10*(21*c^4*d^7 + 14*c^2*d^7 + d^7)*a^3*b^3*x^6 + 4*(63*c^5*d^6 + 70*c^3*d^6 + 15*c*d^6)*a^3*b^3*
x^5 + 10*(21*c^6*d^5 + 35*c^4*d^5 + 15*c^2*d^5 + d^5)*a^3*b^3*x^4 + 40*(3*c^7*d^4 + 7*c^5*d^4 + 5*c^3*d^4 + c*
d^4)*a^3*b^3*x^3 + 5*(9*c^8*d^3 + 28*c^6*d^3 + 30*c^4*d^3 + 12*c^2*d^3 + d^3)*a^3*b^3*x^2 + 10*(c^9*d^2 + 4*c^
7*d^2 + 6*c^5*d^2 + 4*c^3*d^2 + c*d^2)*a^3*b^3*x + (c^10*d + 5*c^8*d + 10*c^6*d + 10*c^4*d + 5*c^2*d + d)*a^3*
b^3 + (b^6*d^11*x^10 + 10*b^6*c*d^10*x^9 + 5*(9*c^2*d^9 + d^9)*b^6*x^8 + 40*(3*c^3*d^8 + c*d^8)*b^6*x^7 + 10*(
21*c^4*d^7 + 14*c^2*d^7 + d^7)*b^6*x^6 + 4*(63*c^5*d^6 + 70*c^3*d^6 + 15*c*d^6)*b^6*x^5 + 10*(21*c^6*d^5 + 35*
c^4*d^5 + 15*c^2*d^5 + d^5)*b^6*x^4 + 40*(3*c^7*d^4 + 7*c^5*d^4 + 5*c^3*d^4 + c*d^4)*b^6*x^3 + 5*(9*c^8*d^3 +
28*c^6*d^3 + 30*c^4*d^3 + 12*c^2*d^3 + d^3)*b^6*x^2 + 10*(c^9*d^2 + 4*c^7*d^2 + 6*c^5*d^2 + 4*c^3*d^2 + c*d^2)
*b^6*x + (c^10*d + 5*c^8*d + 10*c^6*d + 10*c^4*d + 5*c^2*d + d)*b^6 + (b^6*d^6*x^5 + 5*b^6*c*d^5*x^4 + 10*b^6*
c^2*d^4*x^3 + 10*b^6*c^3*d^3*x^2 + 5*b^6*c^4*d^2*x + b^6*c^5*d)*(d^2*x^2 + 2*c*d*x + c^2 + 1)^(5/2) + 5*(b^6*d
^7*x^6 + 6*b^6*c*d^6*x^5 + (15*c^2*d^5 + d^5)*b^6*x^4 + 4*(5*c^3*d^4 + c*d^4)*b^6*x^3 + 3*(5*c^4*d^3 + 2*c^2*d
^3)*b^6*x^2 + 2*(3*c^5*d^2 + 2*c^3*d^2)*b^6*x + (c^6*d + c^4*d)*b^6)*(d^2*x^2 + 2*c*d*x + c^2 + 1)^2 + 10*(b^6
*d^8*x^7 + 7*b^6*c*d^7*x^6 + (21*c^2*d^6 + 2*d^6)*b^6*x^5 + 5*(7*c^3*d^5 + 2*c*d^5)*b^6*x^4 + (35*c^4*d^4 + 20
*c^2*d^4 + d^4)*b^6*x^3 + (21*c^5*d^3 + 20*c^3*d^3 + 3*c*d^3)*b^6*x^2 + (7*c^6*d^2 + 10*c^4*d^2 + 3*c^2*d^2)*b
^6*x + (c^7*d + 2*c^5*d + c^3*d)*b^6)*(d^2*x^2 + 2*c*d*x + c^2 + 1)^(3/2) + 10*(b^6*d^9*x^8 + 8*b^6*c*d^8*x^7
+ (28*c^2*d^7 + 3*d^7)*b^6*x^6 + 2*(28*c^3*d^6 + 9*c*d^6)*b^6*x^5 + (70*c^4*d^5 + 45*c^2*d^5 + 3*d^5)*b^6*x^4
+ 4*(14*c^5*d^4 + 15*c^3*d^4 + 3*c*d^4)*b^6*x^3 + (28*c^6*d^3 + 45*c^4*d^3 + 18*c^2*d^3 + d^3)*b^6*x^2 + 2*(4*
c^7*d^2 + 9*c^5*d^2 + 6*c^3*d^2 + c*d^2)*b^6*x + (c^8*d + 3*c^6*d + 3*c^4*d + c^2*d)*b^6)*(d^2*x^2 + 2*c*d*x +
c^2 + 1) + 5*(b^6*d^10*x^9 + 9*b^6*c*d^9*x^8 + 4*(9*c^2*d^8 + d^8)*b^6*x^7 + 28*(3*c^3*d^7 + c*d^7)*b^6*x^6 +
6*(21*c^4*d^6 + 14*c^2*d^6 + d^6)*b^6*x^5 + 2*(63*c^5*d^5 + 70*c^3*d^5 + 15*c*d^5)*b^6*x^4 + 4*(21*c^6*d^4 +
35*c^4*d^4 + 15*c^2*d^4 + d^4)*b^6*x^3 + 12*(3*c^7*d^3 + 7*c^5*d^3 + 5*c^3*d^3 + c*d^3)*b^6*x^2 + (9*c^8*d^2 +
28*c^6*d^2 + 30*c^4*d^2 + 12*c^2*d^2 + d^2)*b^6*x + (c^9*d + 4*c^7*d + 6*c^5*d + 4*c^3*d + c*d)*b^6)*sqrt(d^2
*x^2 + 2*c*d*x + c^2 + 1))*log(d*x + c + sqrt(d^2*x^2 + 2*c*d*x + c^2 + 1))^3 + (a^3*b^3*d^6*x^5 + 5*a^3*b^3*c
*d^5*x^4 + 10*a^3*b^3*c^2*d^4*x^3 + 10*a^3*b^3*c^3*d^3*x^2 + 5*a^3*b^3*c^4*d^2*x + a^3*b^3*c^5*d)*(d^2*x^2 + 2
*c*d*x + c^2 + 1)^(5/2) + 5*(a^3*b^3*d^7*x^6 + 6*a^3*b^3*c*d^6*x^5 + (15*c^2*d^5 + d^5)*a^3*b^3*x^4 + 4*(5*c^3
*d^4 + c*d^4)*a^3*b^3*x^3 + 3*(5*c^4*d^3 + 2*c^2*d^3)*a^3*b^3*x^2 + 2*(3*c^5*d^2 + 2*c^3*d^2)*a^3*b^3*x + (c^6
*d + c^4*d)*a^3*b^3)*(d^2*x^2 + 2*c*d*x + c^2 + 1)^2 + 3*(a*b^5*d^11*x^10 + 10*a*b^5*c*d^10*x^9 + 5*(9*c^2*d^9
+ d^9)*a*b^5*x^8 + 40*(3*c^3*d^8 + c*d^8)*a*b^5*x^7 + 10*(21*c^4*d^7 + 14*c^2*d^7 + d^7)*a*b^5*x^6 + 4*(63*c^
5*d^6 + 70*c^3*d^6 + 15*c*d^6)*a*b^5*x^5 + 10*(21*c^6*d^5 + 35*c^4*d^5 + 15*c^2*d^5 + d^5)*a*b^5*x^4 + 40*(3*c
^7*d^4 + 7*c^5*d^4 + 5*c^3*d^4 + c*d^4)*a*b^5*x^3 + 5*(9*c^8*d^3 + 28*c^6*d^3 + 30*c^4*d^3 + 12*c^2*d^3 + d^3)
*a*b^5*x^2 + 10*(c^9*d^2 + 4*c^7*d^2 + 6*c^5*d^2 + 4*c^3*d^2 + c*d^2)*a*b^5*x + (c^10*d + 5*c^8*d + 10*c^6*d +
10*c^4*d + 5*c^2*d + d)*a*b^5 + (a*b^5*d^6*x^5 + 5*a*b^5*c*d^5*x^4 + 10*a*b^5*c^2*d^4*x^3 + 10*a*b^5*c^3*d^3*
x^2 + 5*a*b^5*c^4*d^2*x + a*b^5*c^5*d)*(d^2*x^2 + 2*c*d*x + c^2 + 1)^(5/2) + 5*(a*b^5*d^7*x^6 + 6*a*b^5*c*d^6*
x^5 + (15*c^2*d^5 + d^5)*a*b^5*x^4 + 4*(5*c^3*d^4 + c*d^4)*a*b^5*x^3 + 3*(5*c^4*d^3 + 2*c^2*d^3)*a*b^5*x^2 + 2
*(3*c^5*d^2 + 2*c^3*d^2)*a*b^5*x + (c^6*d + c^4*d)*a*b^5)*(d^2*x^2 + 2*c*d*x + c^2 + 1)^2 + 10*(a*b^5*d^8*x^7
+ 7*a*b^5*c*d^7*x^6 + (21*c^2*d^6 + 2*d^6)*a*b^5*x^5 + 5*(7*c^3*d^5 + 2*c*d^5)*a*b^5*x^4 + (35*c^4*d^4 + 20*c^
2*d^4 + d^4)*a*b^5*x^3 + (21*c^5*d^3 + 20*c^3*d^3 + 3*c*d^3)*a*b^5*x^2 + (7*c^6*d^2 + 10*c^4*d^2 + 3*c^2*d^2)*
a*b^5*x + (c^7*d + 2*c^5*d + c^3*d)*a*b^5)*(d^2*x^2 + 2*c*d*x + c^2 + 1)^(3/2) + 10*(a*b^5*d^9*x^8 + 8*a*b^5*c
*d^8*x^7 + (28*c^2*d^7 + 3*d^7)*a*b^5*x^6 + 2*(28*c^3*d^6 + 9*c*d^6)*a*b^5*x^5 + (70*c^4*d^5 + 45*c^2*d^5 + 3*
d^5)*a*b^5*x^4 + 4*(14*c^5*d^4 + 15*c^3*d^4 + 3*c*d^4)*a*b^5*x^3 + (28*c^6*d^3 + 45*c^4*d^3 + 18*c^2*d^3 + d^3
)*a*b^5*x^2 + 2*(4*c^7*d^2 + 9*c^5*d^2 + 6*c^3*d^2 + c*d^2)*a*b^5*x + (c^8*d + 3*c^6*d + 3*c^4*d + c^2*d)*a*b^
5)*(d^2*x^2 + 2*c*d*x + c^2 + 1) + 5*(a*b^5*d^10*x^9 + 9*a*b^5*c*d^9*x^8 + 4*(9*c^2*d^8 + d^8)*a*b^5*x^7 + 28*
(3*c^3*d^7 + c*d^7)*a*b^5*x^6 + 6*(21*c^4*d^6 + 14*c^2*d^6 + d^6)*a*b^5*x^5 + 2*(63*c^5*d^5 + 70*c^3*d^5 + 15*
c*d^5)*a*b^5*x^4 + 4*(21*c^6*d^4 + 35*c^4*d^4 + 15*c^2*d^4 + d^4)*a*b^5*x^3 + 12*(3*c^7*d^3 + 7*c^5*d^3 + 5*c^
3*d^3 + c*d^3)*a*b^5*x^2 + (9*c^8*d^2 + 28*c^6*d^2 + 30*c^4*d^2 + 12*c^2*d^2 + d^2)*a*b^5*x + (c^9*d + 4*c^7*d
+ 6*c^5*d + 4*c^3*d + c*d)*a*b^5)*sqrt(d^2*x^2 + 2*c*d*x + c^2 + 1))*log(d*x + c + sqrt(d^2*x^2 + 2*c*d*x + c
^2 + 1))^2 + 10*(a^3*b^3*d^8*x^7 + 7*a^3*b^3*c*d^7*x^6 + (21*c^2*d^6 + 2*d^6)*a^3*b^3*x^5 + 5*(7*c^3*d^5 + 2*c
*d^5)*a^3*b^3*x^4 + (35*c^4*d^4 + 20*c^2*d^4 + d^4)*a^3*b^3*x^3 + (21*c^5*d^3 + 20*c^3*d^3 + 3*c*d^3)*a^3*b^3*
x^2 + (7*c^6*d^2 + 10*c^4*d^2 + 3*c^2*d^2)*a^3*b^3*x + (c^7*d + 2*c^5*d + c^3*d)*a^3*b^3)*(d^2*x^2 + 2*c*d*x +
c^2 + 1)^(3/2) + 10*(a^3*b^3*d^9*x^8 + 8*a^3*b^3*c*d^8*x^7 + (28*c^2*d^7 + 3*d^7)*a^3*b^3*x^6 + 2*(28*c^3*d^6
+ 9*c*d^6)*a^3*b^3*x^5 + (70*c^4*d^5 + 45*c^2*d^5 + 3*d^5)*a^3*b^3*x^4 + 4*(14*c^5*d^4 + 15*c^3*d^4 + 3*c*d^4
)*a^3*b^3*x^3 + (28*c^6*d^3 + 45*c^4*d^3 + 18*c^2*d^3 + d^3)*a^3*b^3*x^2 + 2*(4*c^7*d^2 + 9*c^5*d^2 + 6*c^3*d^
2 + c*d^2)*a^3*b^3*x + (c^8*d + 3*c^6*d + 3*c^4*d + c^2*d)*a^3*b^3)*(d^2*x^2 + 2*c*d*x + c^2 + 1) + 3*(a^2*b^4
*d^11*x^10 + 10*a^2*b^4*c*d^10*x^9 + 5*(9*c^2*d^9 + d^9)*a^2*b^4*x^8 + 40*(3*c^3*d^8 + c*d^8)*a^2*b^4*x^7 + 10
*(21*c^4*d^7 + 14*c^2*d^7 + d^7)*a^2*b^4*x^6 + 4*(63*c^5*d^6 + 70*c^3*d^6 + 15*c*d^6)*a^2*b^4*x^5 + 10*(21*c^6
*d^5 + 35*c^4*d^5 + 15*c^2*d^5 + d^5)*a^2*b^4*x^4 + 40*(3*c^7*d^4 + 7*c^5*d^4 + 5*c^3*d^4 + c*d^4)*a^2*b^4*x^3
+ 5*(9*c^8*d^3 + 28*c^6*d^3 + 30*c^4*d^3 + 12*c^2*d^3 + d^3)*a^2*b^4*x^2 + 10*(c^9*d^2 + 4*c^7*d^2 + 6*c^5*d^
2 + 4*c^3*d^2 + c*d^2)*a^2*b^4*x + (c^10*d + 5*c^8*d + 10*c^6*d + 10*c^4*d + 5*c^2*d + d)*a^2*b^4 + (a^2*b^4*d
^6*x^5 + 5*a^2*b^4*c*d^5*x^4 + 10*a^2*b^4*c^2*d^4*x^3 + 10*a^2*b^4*c^3*d^3*x^2 + 5*a^2*b^4*c^4*d^2*x + a^2*b^4
*c^5*d)*(d^2*x^2 + 2*c*d*x + c^2 + 1)^(5/2) + 5*(a^2*b^4*d^7*x^6 + 6*a^2*b^4*c*d^6*x^5 + (15*c^2*d^5 + d^5)*a^
2*b^4*x^4 + 4*(5*c^3*d^4 + c*d^4)*a^2*b^4*x^3 + 3*(5*c^4*d^3 + 2*c^2*d^3)*a^2*b^4*x^2 + 2*(3*c^5*d^2 + 2*c^3*d
^2)*a^2*b^4*x + (c^6*d + c^4*d)*a^2*b^4)*(d^2*x^2 + 2*c*d*x + c^2 + 1)^2 + 10*(a^2*b^4*d^8*x^7 + 7*a^2*b^4*c*d
^7*x^6 + (21*c^2*d^6 + 2*d^6)*a^2*b^4*x^5 + 5*(7*c^3*d^5 + 2*c*d^5)*a^2*b^4*x^4 + (35*c^4*d^4 + 20*c^2*d^4 + d
^4)*a^2*b^4*x^3 + (21*c^5*d^3 + 20*c^3*d^3 + 3*c*d^3)*a^2*b^4*x^2 + (7*c^6*d^2 + 10*c^4*d^2 + 3*c^2*d^2)*a^2*b
^4*x + (c^7*d + 2*c^5*d + c^3*d)*a^2*b^4)*(d^2*x^2 + 2*c*d*x + c^2 + 1)^(3/2) + 10*(a^2*b^4*d^9*x^8 + 8*a^2*b^
4*c*d^8*x^7 + (28*c^2*d^7 + 3*d^7)*a^2*b^4*x^6 + 2*(28*c^3*d^6 + 9*c*d^6)*a^2*b^4*x^5 + (70*c^4*d^5 + 45*c^2*d
^5 + 3*d^5)*a^2*b^4*x^4 + 4*(14*c^5*d^4 + 15*c^3*d^4 + 3*c*d^4)*a^2*b^4*x^3 + (28*c^6*d^3 + 45*c^4*d^3 + 18*c^
2*d^3 + d^3)*a^2*b^4*x^2 + 2*(4*c^7*d^2 + 9*c^5*d^2 + 6*c^3*d^2 + c*d^2)*a^2*b^4*x + (c^8*d + 3*c^6*d + 3*c^4*
d + c^2*d)*a^2*b^4)*(d^2*x^2 + 2*c*d*x + c^2 + 1) + 5*(a^2*b^4*d^10*x^9 + 9*a^2*b^4*c*d^9*x^8 + 4*(9*c^2*d^8 +
d^8)*a^2*b^4*x^7 + 28*(3*c^3*d^7 + c*d^7)*a^2*b^4*x^6 + 6*(21*c^4*d^6 + 14*c^2*d^6 + d^6)*a^2*b^4*x^5 + 2*(63
*c^5*d^5 + 70*c^3*d^5 + 15*c*d^5)*a^2*b^4*x^4 + 4*(21*c^6*d^4 + 35*c^4*d^4 + 15*c^2*d^4 + d^4)*a^2*b^4*x^3 + 1
2*(3*c^7*d^3 + 7*c^5*d^3 + 5*c^3*d^3 + c*d^3)*a^2*b^4*x^2 + (9*c^8*d^2 + 28*c^6*d^2 + 30*c^4*d^2 + 12*c^2*d^2
+ d^2)*a^2*b^4*x + (c^9*d + 4*c^7*d + 6*c^5*d + 4*c^3*d + c*d)*a^2*b^4)*sqrt(d^2*x^2 + 2*c*d*x + c^2 + 1))*log
(d*x + c + sqrt(d^2*x^2 + 2*c*d*x + c^2 + 1)) + 5*(a^3*b^3*d^10*x^9 + 9*a^3*b^3*c*d^9*x^8 + 4*(9*c^2*d^8 + d^8
)*a^3*b^3*x^7 + 28*(3*c^3*d^7 + c*d^7)*a^3*b^3*x^6 + 6*(21*c^4*d^6 + 14*c^2*d^6 + d^6)*a^3*b^3*x^5 + 2*(63*c^5
*d^5 + 70*c^3*d^5 + 15*c*d^5)*a^3*b^3*x^4 + 4*(21*c^6*d^4 + 35*c^4*d^4 + 15*c^2*d^4 + d^4)*a^3*b^3*x^3 + 12*(3
*c^7*d^3 + 7*c^5*d^3 + 5*c^3*d^3 + c*d^3)*a^3*b^3*x^2 + (9*c^8*d^2 + 28*c^6*d^2 + 30*c^4*d^2 + 12*c^2*d^2 + d^
2)*a^3*b^3*x + (c^9*d + 4*c^7*d + 6*c^5*d + 4*c^3*d + c*d)*a^3*b^3)*sqrt(d^2*x^2 + 2*c*d*x + c^2 + 1)) + integ
rate(1/6*(d^12*x^12 + 12*c*d^11*x^11 + c^12 + 6*(11*c^2*d^10 + d^10)*x^10 + 6*c^10 + 20*(11*c^3*d^9 + 3*c*d^9)
*x^9 + 15*(33*c^4*d^8 + 18*c^2*d^8 + d^8)*x^8 + 15*c^8 + 24*(33*c^5*d^7 + 30*c^3*d^7 + 5*c*d^7)*x^7 + 4*(231*c
^6*d^6 + 315*c^4*d^6 + 105*c^2*d^6 + 5*d^6)*x^6 + 20*c^6 + 24*(33*c^7*d^5 + 63*c^5*d^5 + 35*c^3*d^5 + 5*c*d^5)
*x^5 + 15*(33*c^8*d^4 + 84*c^6*d^4 + 70*c^4*d^4 + 20*c^2*d^4 + d^4)*x^4 + (d^6*x^6 + 6*c*d^5*x^5 + c^6 + (15*c
^2*d^4 - d^4)*x^4 - c^4 + 4*(5*c^3*d^3 - c*d^3)*x^3 + 3*(5*c^4*d^2 - 2*c^2*d^2 - 3*d^2)*x^2 - 9*c^2 + 2*(3*c^5
*d - 2*c^3*d - 9*c*d)*x - 15)*(d^2*x^2 + 2*c*d*x + c^2 + 1)^3 + 15*c^4 + 20*(11*c^9*d^3 + 36*c^7*d^3 + 42*c^5*
d^3 + 20*c^3*d^3 + 3*c*d^3)*x^3 + (6*d^7*x^7 + 42*c*d^6*x^6 + 6*c^7 + (126*c^2*d^5 + d^5)*x^5 + c^5 + 5*(42*c^
3*d^4 + c*d^4)*x^4 + (210*c^4*d^3 + 10*c^2*d^3 - 31*d^3)*x^3 - 31*c^3 + (126*c^5*d^2 + 10*c^3*d^2 - 93*c*d^2)*
x^2 + (42*c^6*d + 5*c^4*d - 93*c^2*d - 33*d)*x - 33*c)*(d^2*x^2 + 2*c*d*x + c^2 + 1)^(5/2) + (15*d^8*x^8 + 120
*c*d^7*x^7 + 15*c^8 + 20*(21*c^2*d^6 + d^6)*x^6 + 20*c^6 + 120*(7*c^3*d^5 + c*d^5)*x^5 + (1050*c^4*d^4 + 300*c
^2*d^4 - 19*d^4)*x^4 - 19*c^4 + 4*(210*c^5*d^3 + 100*c^3*d^3 - 19*c*d^3)*x^3 + 3*(140*c^6*d^2 + 100*c^4*d^2 -
38*c^2*d^2 - d^2)*x^2 - 3*c^2 + 2*(60*c^7*d + 60*c^5*d - 38*c^3*d - 3*c*d)*x + 21)*(d^2*x^2 + 2*c*d*x + c^2 +
1)^2 + 6*(11*c^10*d^2 + 45*c^8*d^2 + 70*c^6*d^2 + 50*c^4*d^2 + 15*c^2*d^2 + d^2)*x^2 + (20*d^9*x^9 + 180*c*d^8
*x^8 + 20*c^9 + 10*(72*c^2*d^7 + 5*d^7)*x^7 + 50*c^7 + 70*(24*c^3*d^6 + 5*c*d^6)*x^6 + 6*(420*c^4*d^5 + 175*c^
2*d^5 + 9*d^5)*x^5 + 54*c^5 + 10*(252*c^5*d^4 + 175*c^3*d^4 + 27*c*d^4)*x^4 + (1680*c^6*d^3 + 1750*c^4*d^3 + 5
40*c^2*d^3 + 59*d^3)*x^3 + 59*c^3 + 3*(240*c^7*d^2 + 350*c^5*d^2 + 180*c^3*d^2 + 59*c*d^2)*x^2 + (180*c^8*d +
350*c^6*d + 270*c^4*d + 177*c^2*d + 35*d)*x + 35*c)*(d^2*x^2 + 2*c*d*x + c^2 + 1)^(3/2) + (15*d^10*x^10 + 150*
c*d^9*x^9 + 15*c^10 + 5*(135*c^2*d^8 + 11*d^8)*x^8 + 55*c^8 + 40*(45*c^3*d^7 + 11*c*d^7)*x^7 + (3150*c^4*d^6 +
1540*c^2*d^6 + 101*d^6)*x^6 + 101*c^6 + 2*(1890*c^5*d^5 + 1540*c^3*d^5 + 303*c*d^5)*x^5 + 5*(630*c^6*d^4 + 77
0*c^4*d^4 + 303*c^2*d^4 + 18*d^4)*x^4 + 90*c^4 + 20*(90*c^7*d^3 + 154*c^5*d^3 + 101*c^3*d^3 + 18*c*d^3)*x^3 +
(675*c^8*d^2 + 1540*c^6*d^2 + 1515*c^4*d^2 + 540*c^2*d^2 + 22*d^2)*x^2 + 22*c^2 + 2*(75*c^9*d + 220*c^7*d + 30
3*c^5*d + 180*c^3*d + 22*c*d)*x - 7)*(d^2*x^2 + 2*c*d*x + c^2 + 1) + 6*c^2 + 12*(c^11*d + 5*c^9*d + 10*c^7*d +
10*c^5*d + 5*c^3*d + c*d)*x + (6*d^11*x^11 + 66*c*d^10*x^10 + 6*c^11 + (330*c^2*d^9 + 29*d^9)*x^9 + 29*c^9 +
9*(110*c^3*d^8 + 29*c*d^8)*x^8 + (1980*c^4*d^7 + 1044*c^2*d^7 + 65*d^7)*x^7 + 65*c^7 + 7*(396*c^5*d^6 + 348*c^
3*d^6 + 65*c*d^6)*x^6 + 3*(924*c^6*d^5 + 1218*c^4*d^5 + 455*c^2*d^5 + 22*d^5)*x^5 + 66*c^5 + (1980*c^7*d^4 + 3
654*c^5*d^4 + 2275*c^3*d^4 + 330*c*d^4)*x^4 + (990*c^8*d^3 + 2436*c^6*d^3 + 2275*c^4*d^3 + 660*c^2*d^3 + 23*d^
3)*x^3 + 23*c^3 + 3*(110*c^9*d^2 + 348*c^7*d^2 + 455*c^5*d^2 + 220*c^3*d^2 + 23*c*d^2)*x^2 + (66*c^10*d + 261*
c^8*d + 455*c^6*d + 330*c^4*d + 69*c^2*d - d)*x - c)*sqrt(d^2*x^2 + 2*c*d*x + c^2 + 1) + 1)/(a*b^3*d^12*x^12 +
12*a*b^3*c*d^11*x^11 + 6*(11*c^2*d^10 + d^10)*a*b^3*x^10 + 20*(11*c^3*d^9 + 3*c*d^9)*a*b^3*x^9 + 15*(33*c^4*d
^8 + 18*c^2*d^8 + d^8)*a*b^3*x^8 + 24*(33*c^5*d^7 + 30*c^3*d^7 + 5*c*d^7)*a*b^3*x^7 + 4*(231*c^6*d^6 + 315*c^4
*d^6 + 105*c^2*d^6 + 5*d^6)*a*b^3*x^6 + 24*(33*c^7*d^5 + 63*c^5*d^5 + 35*c^3*d^5 + 5*c*d^5)*a*b^3*x^5 + 15*(33
*c^8*d^4 + 84*c^6*d^4 + 70*c^4*d^4 + 20*c^2*d^4 + d^4)*a*b^3*x^4 + 20*(11*c^9*d^3 + 36*c^7*d^3 + 42*c^5*d^3 +
20*c^3*d^3 + 3*c*d^3)*a*b^3*x^3 + 6*(11*c^10*d^2 + 45*c^8*d^2 + 70*c^6*d^2 + 50*c^4*d^2 + 15*c^2*d^2 + d^2)*a*
b^3*x^2 + 12*(c^11*d + 5*c^9*d + 10*c^7*d + 10*c^5*d + 5*c^3*d + c*d)*a*b^3*x + (c^12 + 6*c^10 + 15*c^8 + 20*c
^6 + 15*c^4 + 6*c^2 + 1)*a*b^3 + (a*b^3*d^6*x^6 + 6*a*b^3*c*d^5*x^5 + 15*a*b^3*c^2*d^4*x^4 + 20*a*b^3*c^3*d^3*
x^3 + 15*a*b^3*c^4*d^2*x^2 + 6*a*b^3*c^5*d*x + a*b^3*c^6)*(d^2*x^2 + 2*c*d*x + c^2 + 1)^3 + 6*(a*b^3*d^7*x^7 +
7*a*b^3*c*d^6*x^6 + (21*c^2*d^5 + d^5)*a*b^3*x^5 + 5*(7*c^3*d^4 + c*d^4)*a*b^3*x^4 + 5*(7*c^4*d^3 + 2*c^2*d^3
)*a*b^3*x^3 + (21*c^5*d^2 + 10*c^3*d^2)*a*b^3*x^2 + (7*c^6*d + 5*c^4*d)*a*b^3*x + (c^7 + c^5)*a*b^3)*(d^2*x^2
+ 2*c*d*x + c^2 + 1)^(5/2) + 15*(a*b^3*d^8*x^8 + 8*a*b^3*c*d^7*x^7 + 2*(14*c^2*d^6 + d^6)*a*b^3*x^6 + 4*(14*c^
3*d^5 + 3*c*d^5)*a*b^3*x^5 + (70*c^4*d^4 + 30*c^2*d^4 + d^4)*a*b^3*x^4 + 4*(14*c^5*d^3 + 10*c^3*d^3 + c*d^3)*a
*b^3*x^3 + 2*(14*c^6*d^2 + 15*c^4*d^2 + 3*c^2*d^2)*a*b^3*x^2 + 4*(2*c^7*d + 3*c^5*d + c^3*d)*a*b^3*x + (c^8 +
2*c^6 + c^4)*a*b^3)*(d^2*x^2 + 2*c*d*x + c^2 + 1)^2 + 20*(a*b^3*d^9*x^9 + 9*a*b^3*c*d^8*x^8 + 3*(12*c^2*d^7 +
d^7)*a*b^3*x^7 + 21*(4*c^3*d^6 + c*d^6)*a*b^3*x^6 + 3*(42*c^4*d^5 + 21*c^2*d^5 + d^5)*a*b^3*x^5 + 3*(42*c^5*d^
4 + 35*c^3*d^4 + 5*c*d^4)*a*b^3*x^4 + (84*c^6*d^3 + 105*c^4*d^3 + 30*c^2*d^3 + d^3)*a*b^3*x^3 + 3*(12*c^7*d^2
+ 21*c^5*d^2 + 10*c^3*d^2 + c*d^2)*a*b^3*x^2 + 3*(3*c^8*d + 7*c^6*d + 5*c^4*d + c^2*d)*a*b^3*x + (c^9 + 3*c^7
+ 3*c^5 + c^3)*a*b^3)*(d^2*x^2 + 2*c*d*x + c^2 + 1)^(3/2) + 15*(a*b^3*d^10*x^10 + 10*a*b^3*c*d^9*x^9 + (45*c^2
*d^8 + 4*d^8)*a*b^3*x^8 + 8*(15*c^3*d^7 + 4*c*d^7)*a*b^3*x^7 + 2*(105*c^4*d^6 + 56*c^2*d^6 + 3*d^6)*a*b^3*x^6
+ 4*(63*c^5*d^5 + 56*c^3*d^5 + 9*c*d^5)*a*b^3*x^5 + 2*(105*c^6*d^4 + 140*c^4*d^4 + 45*c^2*d^4 + 2*d^4)*a*b^3*x
^4 + 8*(15*c^7*d^3 + 28*c^5*d^3 + 15*c^3*d^3 + 2*c*d^3)*a*b^3*x^3 + (45*c^8*d^2 + 112*c^6*d^2 + 90*c^4*d^2 + 2
4*c^2*d^2 + d^2)*a*b^3*x^2 + 2*(5*c^9*d + 16*c^7*d + 18*c^5*d + 8*c^3*d + c*d)*a*b^3*x + (c^10 + 4*c^8 + 6*c^6
+ 4*c^4 + c^2)*a*b^3)*(d^2*x^2 + 2*c*d*x + c^2 + 1) + (b^4*d^12*x^12 + 12*b^4*c*d^11*x^11 + 6*(11*c^2*d^10 +
d^10)*b^4*x^10 + 20*(11*c^3*d^9 + 3*c*d^9)*b^4*x^9 + 15*(33*c^4*d^8 + 18*c^2*d^8 + d^8)*b^4*x^8 + 24*(33*c^5*d
^7 + 30*c^3*d^7 + 5*c*d^7)*b^4*x^7 + 4*(231*c^6*d^6 + 315*c^4*d^6 + 105*c^2*d^6 + 5*d^6)*b^4*x^6 + 24*(33*c^7*
d^5 + 63*c^5*d^5 + 35*c^3*d^5 + 5*c*d^5)*b^4*x^5 + 15*(33*c^8*d^4 + 84*c^6*d^4 + 70*c^4*d^4 + 20*c^2*d^4 + d^4
)*b^4*x^4 + 20*(11*c^9*d^3 + 36*c^7*d^3 + 42*c^5*d^3 + 20*c^3*d^3 + 3*c*d^3)*b^4*x^3 + 6*(11*c^10*d^2 + 45*c^8
*d^2 + 70*c^6*d^2 + 50*c^4*d^2 + 15*c^2*d^2 + d^2)*b^4*x^2 + 12*(c^11*d + 5*c^9*d + 10*c^7*d + 10*c^5*d + 5*c^
3*d + c*d)*b^4*x + (c^12 + 6*c^10 + 15*c^8 + 20*c^6 + 15*c^4 + 6*c^2 + 1)*b^4 + (b^4*d^6*x^6 + 6*b^4*c*d^5*x^5
+ 15*b^4*c^2*d^4*x^4 + 20*b^4*c^3*d^3*x^3 + 15*b^4*c^4*d^2*x^2 + 6*b^4*c^5*d*x + b^4*c^6)*(d^2*x^2 + 2*c*d*x
+ c^2 + 1)^3 + 6*(b^4*d^7*x^7 + 7*b^4*c*d^6*x^6 + (21*c^2*d^5 + d^5)*b^4*x^5 + 5*(7*c^3*d^4 + c*d^4)*b^4*x^4 +
5*(7*c^4*d^3 + 2*c^2*d^3)*b^4*x^3 + (21*c^5*d^2 + 10*c^3*d^2)*b^4*x^2 + (7*c^6*d + 5*c^4*d)*b^4*x + (c^7 + c^
5)*b^4)*(d^2*x^2 + 2*c*d*x + c^2 + 1)^(5/2) + 15*(b^4*d^8*x^8 + 8*b^4*c*d^7*x^7 + 2*(14*c^2*d^6 + d^6)*b^4*x^6
+ 4*(14*c^3*d^5 + 3*c*d^5)*b^4*x^5 + (70*c^4*d^4 + 30*c^2*d^4 + d^4)*b^4*x^4 + 4*(14*c^5*d^3 + 10*c^3*d^3 + c
*d^3)*b^4*x^3 + 2*(14*c^6*d^2 + 15*c^4*d^2 + 3*c^2*d^2)*b^4*x^2 + 4*(2*c^7*d + 3*c^5*d + c^3*d)*b^4*x + (c^8 +
2*c^6 + c^4)*b^4)*(d^2*x^2 + 2*c*d*x + c^2 + 1)^2 + 20*(b^4*d^9*x^9 + 9*b^4*c*d^8*x^8 + 3*(12*c^2*d^7 + d^7)*
b^4*x^7 + 21*(4*c^3*d^6 + c*d^6)*b^4*x^6 + 3*(42*c^4*d^5 + 21*c^2*d^5 + d^5)*b^4*x^5 + 3*(42*c^5*d^4 + 35*c^3*
d^4 + 5*c*d^4)*b^4*x^4 + (84*c^6*d^3 + 105*c^4*d^3 + 30*c^2*d^3 + d^3)*b^4*x^3 + 3*(12*c^7*d^2 + 21*c^5*d^2 +
10*c^3*d^2 + c*d^2)*b^4*x^2 + 3*(3*c^8*d + 7*c^6*d + 5*c^4*d + c^2*d)*b^4*x + (c^9 + 3*c^7 + 3*c^5 + c^3)*b^4)
*(d^2*x^2 + 2*c*d*x + c^2 + 1)^(3/2) + 15*(b^4*d^10*x^10 + 10*b^4*c*d^9*x^9 + (45*c^2*d^8 + 4*d^8)*b^4*x^8 + 8
*(15*c^3*d^7 + 4*c*d^7)*b^4*x^7 + 2*(105*c^4*d^6 + 56*c^2*d^6 + 3*d^6)*b^4*x^6 + 4*(63*c^5*d^5 + 56*c^3*d^5 +
9*c*d^5)*b^4*x^5 + 2*(105*c^6*d^4 + 140*c^4*d^4 + 45*c^2*d^4 + 2*d^4)*b^4*x^4 + 8*(15*c^7*d^3 + 28*c^5*d^3 + 1
5*c^3*d^3 + 2*c*d^3)*b^4*x^3 + (45*c^8*d^2 + 112*c^6*d^2 + 90*c^4*d^2 + 24*c^2*d^2 + d^2)*b^4*x^2 + 2*(5*c^9*d
+ 16*c^7*d + 18*c^5*d + 8*c^3*d + c*d)*b^4*x + (c^10 + 4*c^8 + 6*c^6 + 4*c^4 + c^2)*b^4)*(d^2*x^2 + 2*c*d*x +
c^2 + 1) + 6*(b^4*d^11*x^11 + 11*b^4*c*d^10*x^10 + 5*(11*c^2*d^9 + d^9)*b^4*x^9 + 15*(11*c^3*d^8 + 3*c*d^8)*b
^4*x^8 + 10*(33*c^4*d^7 + 18*c^2*d^7 + d^7)*b^4*x^7 + 14*(33*c^5*d^6 + 30*c^3*d^6 + 5*c*d^6)*b^4*x^6 + 2*(231*
c^6*d^5 + 315*c^4*d^5 + 105*c^2*d^5 + 5*d^5)*b^4*x^5 + 10*(33*c^7*d^4 + 63*c^5*d^4 + 35*c^3*d^4 + 5*c*d^4)*b^4
*x^4 + 5*(33*c^8*d^3 + 84*c^6*d^3 + 70*c^4*d^3 + 20*c^2*d^3 + d^3)*b^4*x^3 + 5*(11*c^9*d^2 + 36*c^7*d^2 + 42*c
^5*d^2 + 20*c^3*d^2 + 3*c*d^2)*b^4*x^2 + (11*c^10*d + 45*c^8*d + 70*c^6*d + 50*c^4*d + 15*c^2*d + d)*b^4*x + (
c^11 + 5*c^9 + 10*c^7 + 10*c^5 + 5*c^3 + c)*b^4)*sqrt(d^2*x^2 + 2*c*d*x + c^2 + 1))*log(d*x + c + sqrt(d^2*x^2
+ 2*c*d*x + c^2 + 1)) + 6*(a*b^3*d^11*x^11 + 11*a*b^3*c*d^10*x^10 + 5*(11*c^2*d^9 + d^9)*a*b^3*x^9 + 15*(11*c
^3*d^8 + 3*c*d^8)*a*b^3*x^8 + 10*(33*c^4*d^7 + 18*c^2*d^7 + d^7)*a*b^3*x^7 + 14*(33*c^5*d^6 + 30*c^3*d^6 + 5*c
*d^6)*a*b^3*x^6 + 2*(231*c^6*d^5 + 315*c^4*d^5 + 105*c^2*d^5 + 5*d^5)*a*b^3*x^5 + 10*(33*c^7*d^4 + 63*c^5*d^4
+ 35*c^3*d^4 + 5*c*d^4)*a*b^3*x^4 + 5*(33*c^8*d^3 + 84*c^6*d^3 + 70*c^4*d^3 + 20*c^2*d^3 + d^3)*a*b^3*x^3 + 5*
(11*c^9*d^2 + 36*c^7*d^2 + 42*c^5*d^2 + 20*c^3*d^2 + 3*c*d^2)*a*b^3*x^2 + (11*c^10*d + 45*c^8*d + 70*c^6*d + 5
0*c^4*d + 15*c^2*d + d)*a*b^3*x + (c^11 + 5*c^9 + 10*c^7 + 10*c^5 + 5*c^3 + c)*a*b^3)*sqrt(d^2*x^2 + 2*c*d*x +
c^2 + 1)), x)

Giac [F]

\[ \int \frac {1}{(a+b \text {arcsinh}(c+d x))^4} \, dx=\int { \frac {1}{{\left (b \operatorname {arsinh}\left (d x + c\right ) + a\right )}^{4}} \,d x } \]

[In]

integrate(1/(a+b*arcsinh(d*x+c))^4,x, algorithm="giac")

[Out]

integrate((b*arcsinh(d*x + c) + a)^(-4), x)

Mupad [F(-1)]

Timed out. \[ \int \frac {1}{(a+b \text {arcsinh}(c+d x))^4} \, dx=\int \frac {1}{{\left (a+b\,\mathrm {asinh}\left (c+d\,x\right )\right )}^4} \,d x \]

[In]

int(1/(a + b*asinh(c + d*x))^4,x)

[Out]

int(1/(a + b*asinh(c + d*x))^4, x)