\(\int \frac {a+b \coth ^{-1}(c+d x)}{(e+f x)^3} \, dx\) [108]

Optimal result

Integrand size = 18, antiderivative size = 167 \[ \int \frac {a+b \coth ^{-1}(c+d x)}{(e+f x)^3} \, dx=\frac {b d}{2 (d e+f-c f) (d e-(1+c) f) (e+f x)}-\frac {a+b \coth ^{-1}(c+d x)}{2 f (e+f x)^2}-\frac {b d^2 \log (1-c-d x)}{4 f (d e+f-c f)^2}+\frac {b d^2 \log (1+c+d x)}{4 f (d e-f-c f)^2}-\frac {b d^2 (d e-c f) \log (e+f x)}{(d e+f-c f)^2 (d e-(1+c) f)^2} \]

[Out]

1/2*b*d/(-c*f+d*e-f)/(-c*f+d*e+f)/(f*x+e)+1/2*(-a-b*arccoth(d*x+c))/f/(f*x+e)^2-1/4*b*d^2*ln(-d*x-c+1)/f/(-c*f
+d*e+f)^2+1/4*b*d^2*ln(d*x+c+1)/f/(-c*f+d*e-f)^2-b*d^2*(-c*f+d*e)*ln(f*x+e)/(-c*f+d*e+f)^2/(d*e-(1+c)*f)^2

Rubi [A] (verified)

Time = 0.19 (sec) , antiderivative size = 167, normalized size of antiderivative = 1.00, number of steps used = 5, number of rules used = 4, \(\frac {\text {number of rules}}{\text {integrand size}}\) = 0.222, Rules used = {6245, 2007, 723, 814} \[ \int \frac {a+b \coth ^{-1}(c+d x)}{(e+f x)^3} \, dx=-\frac {a+b \coth ^{-1}(c+d x)}{2 f (e+f x)^2}-\frac {b d^2 \log (-c-d x+1)}{4 f (-c f+d e+f)^2}+\frac {b d^2 \log (c+d x+1)}{4 f (-c f+d e-f)^2}-\frac {b d^2 (d e-c f) \log (e+f x)}{(-c f+d e+f)^2 (d e-(c+1) f)^2}+\frac {b d}{2 (e+f x) (-c f+d e+f) (d e-(c+1) f)} \]

[In]

Int[(a + b*ArcCoth[c + d*x])/(e + f*x)^3,x]

[Out]

(b*d)/(2*(d*e + f - c*f)*(d*e - (1 + c)*f)*(e + f*x)) - (a + b*ArcCoth[c + d*x])/(2*f*(e + f*x)^2) - (b*d^2*Lo
g[1 - c - d*x])/(4*f*(d*e + f - c*f)^2) + (b*d^2*Log[1 + c + d*x])/(4*f*(d*e - f - c*f)^2) - (b*d^2*(d*e - c*f
)*Log[e + f*x])/((d*e + f - c*f)^2*(d*e - (1 + c)*f)^2)

Rule 723

Int[((d_.) + (e_.)*(x_))^(m_)/((a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2), x_Symbol] :> Simp[e*((d + e*x)^(m + 1)/((m
+ 1)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2))), x] + Dist[1/(c*d^2 - b*d*e + a*e^2), Int[(d + e*x)^(m + 1)*(Simp[c*d - b*e - c
*e*x, x]/(a + b*x + c*x^2)), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, m}, x] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] && NeQ[c*d^2 - b*d*
e + a*e^2, 0] && NeQ[2*c*d - b*e, 0] && LtQ[m, -1]

Rule 814

Int[(((d_.) + (e_.)*(x_))^(m_)*((f_.) + (g_.)*(x_)))/((a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2), x_Symbol] :> Int[Exp
andIntegrand[(d + e*x)^m*((f + g*x)/(a + b*x + c*x^2)), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g}, x] && NeQ[b^2 -
4*a*c, 0] && NeQ[c*d^2 - b*d*e + a*e^2, 0] && IntegerQ[m]

Rule 2007

Int[(u_)^(m_.)*(v_)^(p_.), x_Symbol] :> Int[ExpandToSum[u, x]^m*ExpandToSum[v, x]^p, x] /; FreeQ[{m, p}, x] &&
LinearQ[u, x] && QuadraticQ[v, x] &&  !(LinearMatchQ[u, x] && QuadraticMatchQ[v, x])

Rule 6245

Int[((a_.) + ArcCoth[(c_) + (d_.)*(x_)]*(b_.))^(p_.)*((e_.) + (f_.)*(x_))^(m_), x_Symbol] :> Simp[(e + f*x)^(m
+ 1)*((a + b*ArcCoth[c + d*x])^p/(f*(m + 1))), x] - Dist[b*d*(p/(f*(m + 1))), Int[(e + f*x)^(m + 1)*((a + b*A
rcCoth[c + d*x])^(p - 1)/(1 - (c + d*x)^2)), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && IGtQ[p, 0] && ILtQ[m, -
1]

Rubi steps \begin{align*} \text {integral}& = -\frac {a+b \coth ^{-1}(c+d x)}{2 f (e+f x)^2}+\frac {(b d) \int \frac {1}{(e+f x)^2 \left (1-(c+d x)^2\right )} \, dx}{2 f} \\ & = -\frac {a+b \coth ^{-1}(c+d x)}{2 f (e+f x)^2}+\frac {(b d) \int \frac {1}{(e+f x)^2 \left (1-c^2-2 c d x-d^2 x^2\right )} \, dx}{2 f} \\ & = \frac {b d}{2 (d e+f-c f) (d e-(1+c) f) (e+f x)}-\frac {a+b \coth ^{-1}(c+d x)}{2 f (e+f x)^2}+\frac {(b d) \int \frac {-d (d e-2 c f)+d^2 f x}{(e+f x) \left (1-c^2-2 c d x-d^2 x^2\right )} \, dx}{2 f \left (-d^2 e^2+2 c d e f+\left (1-c^2\right ) f^2\right )} \\ & = \frac {b d}{2 (d e+f-c f) (d e-(1+c) f) (e+f x)}-\frac {a+b \coth ^{-1}(c+d x)}{2 f (e+f x)^2}+\frac {(b d) \int \left (\frac {d^2 (-d e+(1+c) f)}{2 (d e+f-c f) (1-c-d x)}+\frac {d^2 (-d e-f+c f)}{2 (d e-(1+c) f) (1+c+d x)}+\frac {2 d f^2 (d e-c f)}{(d e+(1-c) f) (d e-f-c f) (e+f x)}\right ) \, dx}{2 f \left (-d^2 e^2+2 c d e f+\left (1-c^2\right ) f^2\right )} \\ & = \frac {b d}{2 (d e+f-c f) (d e-(1+c) f) (e+f x)}-\frac {a+b \coth ^{-1}(c+d x)}{2 f (e+f x)^2}-\frac {b d^2 \log (1-c-d x)}{4 f (d e+f-c f)^2}+\frac {b d^2 \log (1+c+d x)}{4 f (d e-f-c f)^2}-\frac {b d^2 (d e-c f) \log (e+f x)}{(d e+f-c f)^2 (d e-(1+c) f)^2} \\ \end{align*}

Mathematica [A] (verified)

Time = 0.20 (sec) , antiderivative size = 174, normalized size of antiderivative = 1.04 \[ \int \frac {a+b \coth ^{-1}(c+d x)}{(e+f x)^3} \, dx=\frac {1}{4} \left (-\frac {2 a}{f (e+f x)^2}+\frac {2 b d}{\left (d^2 e^2-2 c d e f+\left (-1+c^2\right ) f^2\right ) (e+f x)}-\frac {2 b \coth ^{-1}(c+d x)}{f (e+f x)^2}-\frac {b d^2 \log (1-c-d x)}{f (d e+f-c f)^2}+\frac {b d^2 \log (1+c+d x)}{f (-d e+f+c f)^2}-\frac {4 b d^2 (d e-c f) \log (e+f x)}{\left (d^2 e^2-2 c d e f+\left (-1+c^2\right ) f^2\right )^2}\right ) \]

[In]

Integrate[(a + b*ArcCoth[c + d*x])/(e + f*x)^3,x]

[Out]

((-2*a)/(f*(e + f*x)^2) + (2*b*d)/((d^2*e^2 - 2*c*d*e*f + (-1 + c^2)*f^2)*(e + f*x)) - (2*b*ArcCoth[c + d*x])/
(f*(e + f*x)^2) - (b*d^2*Log[1 - c - d*x])/(f*(d*e + f - c*f)^2) + (b*d^2*Log[1 + c + d*x])/(f*(-(d*e) + f + c
*f)^2) - (4*b*d^2*(d*e - c*f)*Log[e + f*x])/(d^2*e^2 - 2*c*d*e*f + (-1 + c^2)*f^2)^2)/4

Maple [A] (verified)

Time = 1.05 (sec) , antiderivative size = 198, normalized size of antiderivative = 1.19

method	result	size
parts	\(-\frac {a}{2 \left (f x +e \right )^{2} f}+\frac {b \left (-\frac {d^{3} \operatorname {arccoth}\left (d x +c \right )}{2 \left (f \left (d x +c \right )-c f +d e \right )^{2} f}-\frac {d^{3} \left (-\frac {f}{\left (c f -d e -f \right ) \left (c f -d e +f \right ) \left (f \left (d x +c \right )-c f +d e \right )}-\frac {2 f \left (c f -d e \right ) \ln \left (f \left (d x +c \right )-c f +d e \right )}{\left (c f -d e -f \right )^{2} \left (c f -d e +f \right )^{2}}+\frac {\ln \left (d x +c -1\right )}{2 \left (c f -d e -f \right )^{2}}-\frac {\ln \left (d x +c +1\right )}{2 \left (c f -d e +f \right )^{2}}\right )}{2 f}\right )}{d}\)	\(198\)
derivativedivides	\(\frac {-\frac {a \,d^{3}}{2 \left (c f -d e -f \left (d x +c \right )\right )^{2} f}-b \,d^{3} \left (\frac {\operatorname {arccoth}\left (d x +c \right )}{2 \left (c f -d e -f \left (d x +c \right )\right )^{2} f}+\frac {-\frac {\ln \left (d x +c +1\right )}{2 \left (c f -d e +f \right )^{2}}+\frac {\ln \left (d x +c -1\right )}{2 \left (c f -d e -f \right )^{2}}+\frac {f}{\left (c f -d e -f \right ) \left (c f -d e +f \right ) \left (c f -d e -f \left (d x +c \right )\right )}-\frac {2 f \left (c f -d e \right ) \ln \left (c f -d e -f \left (d x +c \right )\right )}{\left (c f -d e -f \right )^{2} \left (c f -d e +f \right )^{2}}}{2 f}\right )}{d}\)	\(213\)
default	\(\frac {-\frac {a \,d^{3}}{2 \left (c f -d e -f \left (d x +c \right )\right )^{2} f}-b \,d^{3} \left (\frac {\operatorname {arccoth}\left (d x +c \right )}{2 \left (c f -d e -f \left (d x +c \right )\right )^{2} f}+\frac {-\frac {\ln \left (d x +c +1\right )}{2 \left (c f -d e +f \right )^{2}}+\frac {\ln \left (d x +c -1\right )}{2 \left (c f -d e -f \right )^{2}}+\frac {f}{\left (c f -d e -f \right ) \left (c f -d e +f \right ) \left (c f -d e -f \left (d x +c \right )\right )}-\frac {2 f \left (c f -d e \right ) \ln \left (c f -d e -f \left (d x +c \right )\right )}{\left (c f -d e -f \right )^{2} \left (c f -d e +f \right )^{2}}}{2 f}\right )}{d}\)	\(213\)
parallelrisch	\(\frac {2 x \,\operatorname {arccoth}\left (d x +c \right ) b \,d^{6} e^{3} f^{2}+b \,d^{5} e^{3} f^{2}-b \,d^{3} e \,f^{4}-a \,d^{6} e^{4} f +2 a \,d^{4} e^{2} f^{3}+4 a \,c^{3} d^{3} e \,f^{4}-6 a \,c^{2} d^{4} e^{2} f^{3}+4 a c \,d^{5} e^{3} f^{2}-4 a c \,d^{3} e \,f^{4}+4 \,\operatorname {arccoth}\left (d x +c \right ) b \,c^{3} d^{3} e \,f^{4}+4 x \,\operatorname {arccoth}\left (d x +c \right ) b \,d^{5} e^{2} f^{3}-4 \,\operatorname {arccoth}\left (d x +c \right ) b c \,d^{3} e \,f^{4}+2 x \,\operatorname {arccoth}\left (d x +c \right ) b \,d^{4} e \,f^{4}+2 \ln \left (f x +e \right ) b c \,d^{4} e^{2} f^{3}-2 \ln \left (d x +c -1\right ) b c \,d^{4} e^{2} f^{3}+4 \ln \left (f x +e \right ) x b c \,d^{4} e \,f^{4}-4 \ln \left (d x +c -1\right ) x b c \,d^{4} e \,f^{4}+b \,c^{2} d^{3} e \,f^{4}-2 b c \,d^{4} e^{2} f^{3}+2 \ln \left (f x +e \right ) x^{2} b c \,d^{4} f^{5}-2 \ln \left (f x +e \right ) x^{2} b \,d^{5} e \,f^{4}-2 \ln \left (d x +c -1\right ) x^{2} b c \,d^{4} f^{5}+2 \ln \left (d x +c -1\right ) x^{2} b \,d^{5} e \,f^{4}-4 \ln \left (f x +e \right ) x b \,d^{5} e^{2} f^{3}+4 \ln \left (d x +c -1\right ) x b \,d^{5} e^{2} f^{3}+x^{2} \operatorname {arccoth}\left (d x +c \right ) b \,c^{2} d^{4} f^{5}+x^{2} \operatorname {arccoth}\left (d x +c \right ) b \,d^{6} e^{2} f^{3}-2 x^{2} \operatorname {arccoth}\left (d x +c \right ) b c \,d^{4} f^{5}+2 x^{2} \operatorname {arccoth}\left (d x +c \right ) b \,d^{5} e \,f^{4}-5 \,\operatorname {arccoth}\left (d x +c \right ) b \,c^{2} d^{4} e^{2} f^{3}+2 \,\operatorname {arccoth}\left (d x +c \right ) b c \,d^{5} e^{3} f^{2}-2 \,\operatorname {arccoth}\left (d x +c \right ) b c \,d^{4} e^{2} f^{3}-2 x b c \,d^{4} e \,f^{4}+2 x \,\operatorname {arccoth}\left (d x +c \right ) b \,c^{2} d^{4} e \,f^{4}-4 x \,\operatorname {arccoth}\left (d x +c \right ) b c \,d^{5} e^{2} f^{3}-4 x \,\operatorname {arccoth}\left (d x +c \right ) b c \,d^{4} e \,f^{4}-2 x^{2} \operatorname {arccoth}\left (d x +c \right ) b c \,d^{5} e \,f^{4}-a \,d^{2} f^{5}+x b \,c^{2} d^{3} f^{5}+2 \,\operatorname {arccoth}\left (d x +c \right ) b \,d^{5} e^{3} f^{2}+2 \,\operatorname {arccoth}\left (d x +c \right ) b \,c^{2} d^{2} f^{5}+3 \,\operatorname {arccoth}\left (d x +c \right ) b \,d^{4} e^{2} f^{3}+x b \,d^{5} e^{2} f^{3}+x^{2} \operatorname {arccoth}\left (d x +c \right ) b \,d^{4} f^{5}-\operatorname {arccoth}\left (d x +c \right ) b \,c^{4} d^{2} f^{5}-2 \ln \left (f x +e \right ) b \,d^{5} e^{3} f^{2}+2 \ln \left (d x +c -1\right ) b \,d^{5} e^{3} f^{2}-\operatorname {arccoth}\left (d x +c \right ) b \,d^{2} f^{5}-x b \,d^{3} f^{5}-a \,c^{4} d^{2} f^{5}+2 a \,c^{2} d^{2} f^{5}}{2 \left (c^{4} f^{4}-4 c^{3} d e \,f^{3}+6 c^{2} d^{2} e^{2} f^{2}-4 c \,d^{3} e^{3} f +d^{4} e^{4}-2 c^{2} f^{4}+4 c d e \,f^{3}-2 d^{2} e^{2} f^{2}+f^{4}\right ) \left (f x +e \right )^{2} f^{2} d^{2}}\)	\(937\)
risch	\(\text {Expression too large to display}\)	\(1358\)

[In]

int((a+b*arccoth(d*x+c))/(f*x+e)^3,x,method=_RETURNVERBOSE)

[Out]

-1/2*a/(f*x+e)^2/f+b/d*(-1/2*d^3/(f*(d*x+c)-c*f+d*e)^2/f*arccoth(d*x+c)-1/2*d^3/f*(-f/(c*f-d*e-f)/(c*f-d*e+f)/
(f*(d*x+c)-c*f+d*e)-2*f*(c*f-d*e)/(c*f-d*e-f)^2/(c*f-d*e+f)^2*ln(f*(d*x+c)-c*f+d*e)+1/2/(c*f-d*e-f)^2*ln(d*x+c
-1)-1/2/(c*f-d*e+f)^2*ln(d*x+c+1)))

Fricas [B] (verification not implemented)

Leaf count of result is larger than twice the leaf count of optimal. 833 vs. \(2 (160) = 320\).

Time = 0.81 (sec) , antiderivative size = 833, normalized size of antiderivative = 4.99 \[ \int \frac {a+b \coth ^{-1}(c+d x)}{(e+f x)^3} \, dx=-\frac {2 \, a d^{4} e^{4} - 2 \, {\left (4 \, a c + b\right )} d^{3} e^{3} f + 4 \, {\left (3 \, a c^{2} + b c - a\right )} d^{2} e^{2} f^{2} - 2 \, {\left (4 \, a c^{3} + b c^{2} - 4 \, a c - b\right )} d e f^{3} + 2 \, {\left (a c^{4} - 2 \, a c^{2} + a\right )} f^{4} - 2 \, {\left (b d^{3} e^{2} f^{2} - 2 \, b c d^{2} e f^{3} + {\left (b c^{2} - b\right )} d f^{4}\right )} x - {\left (b d^{4} e^{4} - 2 \, {\left (b c - b\right )} d^{3} e^{3} f + {\left (b c^{2} - 2 \, b c + b\right )} d^{2} e^{2} f^{2} + {\left (b d^{4} e^{2} f^{2} - 2 \, {\left (b c - b\right )} d^{3} e f^{3} + {\left (b c^{2} - 2 \, b c + b\right )} d^{2} f^{4}\right )} x^{2} + 2 \, {\left (b d^{4} e^{3} f - 2 \, {\left (b c - b\right )} d^{3} e^{2} f^{2} + {\left (b c^{2} - 2 \, b c + b\right )} d^{2} e f^{3}\right )} x\right )} \log \left (d x + c + 1\right ) + {\left (b d^{4} e^{4} - 2 \, {\left (b c + b\right )} d^{3} e^{3} f + {\left (b c^{2} + 2 \, b c + b\right )} d^{2} e^{2} f^{2} + {\left (b d^{4} e^{2} f^{2} - 2 \, {\left (b c + b\right )} d^{3} e f^{3} + {\left (b c^{2} + 2 \, b c + b\right )} d^{2} f^{4}\right )} x^{2} + 2 \, {\left (b d^{4} e^{3} f - 2 \, {\left (b c + b\right )} d^{3} e^{2} f^{2} + {\left (b c^{2} + 2 \, b c + b\right )} d^{2} e f^{3}\right )} x\right )} \log \left (d x + c - 1\right ) + 4 \, {\left (b d^{3} e^{3} f - b c d^{2} e^{2} f^{2} + {\left (b d^{3} e f^{3} - b c d^{2} f^{4}\right )} x^{2} + 2 \, {\left (b d^{3} e^{2} f^{2} - b c d^{2} e f^{3}\right )} x\right )} \log \left (f x + e\right ) + {\left (b d^{4} e^{4} - 4 \, b c d^{3} e^{3} f + 2 \, {\left (3 \, b c^{2} - b\right )} d^{2} e^{2} f^{2} - 4 \, {\left (b c^{3} - b c\right )} d e f^{3} + {\left (b c^{4} - 2 \, b c^{2} + b\right )} f^{4}\right )} \log \left (\frac {d x + c + 1}{d x + c - 1}\right )}{4 \, {\left (d^{4} e^{6} f - 4 \, c d^{3} e^{5} f^{2} + 2 \, {\left (3 \, c^{2} - 1\right )} d^{2} e^{4} f^{3} - 4 \, {\left (c^{3} - c\right )} d e^{3} f^{4} + {\left (c^{4} - 2 \, c^{2} + 1\right )} e^{2} f^{5} + {\left (d^{4} e^{4} f^{3} - 4 \, c d^{3} e^{3} f^{4} + 2 \, {\left (3 \, c^{2} - 1\right )} d^{2} e^{2} f^{5} - 4 \, {\left (c^{3} - c\right )} d e f^{6} + {\left (c^{4} - 2 \, c^{2} + 1\right )} f^{7}\right )} x^{2} + 2 \, {\left (d^{4} e^{5} f^{2} - 4 \, c d^{3} e^{4} f^{3} + 2 \, {\left (3 \, c^{2} - 1\right )} d^{2} e^{3} f^{4} - 4 \, {\left (c^{3} - c\right )} d e^{2} f^{5} + {\left (c^{4} - 2 \, c^{2} + 1\right )} e f^{6}\right )} x\right )}} \]

[In]

integrate((a+b*arccoth(d*x+c))/(f*x+e)^3,x, algorithm="fricas")

[Out]

-1/4*(2*a*d^4*e^4 - 2*(4*a*c + b)*d^3*e^3*f + 4*(3*a*c^2 + b*c - a)*d^2*e^2*f^2 - 2*(4*a*c^3 + b*c^2 - 4*a*c -
b)*d*e*f^3 + 2*(a*c^4 - 2*a*c^2 + a)*f^4 - 2*(b*d^3*e^2*f^2 - 2*b*c*d^2*e*f^3 + (b*c^2 - b)*d*f^4)*x - (b*d^4
*e^4 - 2*(b*c - b)*d^3*e^3*f + (b*c^2 - 2*b*c + b)*d^2*e^2*f^2 + (b*d^4*e^2*f^2 - 2*(b*c - b)*d^3*e*f^3 + (b*c
^2 - 2*b*c + b)*d^2*f^4)*x^2 + 2*(b*d^4*e^3*f - 2*(b*c - b)*d^3*e^2*f^2 + (b*c^2 - 2*b*c + b)*d^2*e*f^3)*x)*lo
g(d*x + c + 1) + (b*d^4*e^4 - 2*(b*c + b)*d^3*e^3*f + (b*c^2 + 2*b*c + b)*d^2*e^2*f^2 + (b*d^4*e^2*f^2 - 2*(b*
c + b)*d^3*e*f^3 + (b*c^2 + 2*b*c + b)*d^2*f^4)*x^2 + 2*(b*d^4*e^3*f - 2*(b*c + b)*d^3*e^2*f^2 + (b*c^2 + 2*b*
c + b)*d^2*e*f^3)*x)*log(d*x + c - 1) + 4*(b*d^3*e^3*f - b*c*d^2*e^2*f^2 + (b*d^3*e*f^3 - b*c*d^2*f^4)*x^2 + 2
*(b*d^3*e^2*f^2 - b*c*d^2*e*f^3)*x)*log(f*x + e) + (b*d^4*e^4 - 4*b*c*d^3*e^3*f + 2*(3*b*c^2 - b)*d^2*e^2*f^2
- 4*(b*c^3 - b*c)*d*e*f^3 + (b*c^4 - 2*b*c^2 + b)*f^4)*log((d*x + c + 1)/(d*x + c - 1)))/(d^4*e^6*f - 4*c*d^3*
e^5*f^2 + 2*(3*c^2 - 1)*d^2*e^4*f^3 - 4*(c^3 - c)*d*e^3*f^4 + (c^4 - 2*c^2 + 1)*e^2*f^5 + (d^4*e^4*f^3 - 4*c*d
^3*e^3*f^4 + 2*(3*c^2 - 1)*d^2*e^2*f^5 - 4*(c^3 - c)*d*e*f^6 + (c^4 - 2*c^2 + 1)*f^7)*x^2 + 2*(d^4*e^5*f^2 - 4
*c*d^3*e^4*f^3 + 2*(3*c^2 - 1)*d^2*e^3*f^4 - 4*(c^3 - c)*d*e^2*f^5 + (c^4 - 2*c^2 + 1)*e*f^6)*x)

Sympy [B] (verification not implemented)

Leaf count of result is larger than twice the leaf count of optimal. 19859 vs. \(2 (143) = 286\).

Time = 8.75 (sec) , antiderivative size = 19859, normalized size of antiderivative = 118.92 \[ \int \frac {a+b \coth ^{-1}(c+d x)}{(e+f x)^3} \, dx=\text {Too large to display} \]

[In]

integrate((a+b*acoth(d*x+c))/(f*x+e)**3,x)

[Out]

Piecewise((-(a + b*acoth(c))/(2*e**2*f + 4*e*f**2*x + 2*f**3*x**2), Eq(d, 0)), ((a*x + b*c*acoth(c + d*x)/d +
b*x*acoth(c + d*x) + b*log(c/d + x + 1/d)/d - b*acoth(c + d*x)/d)/e**3, Eq(f, 0)), (-4*a*f**2/(8*e**2*f**3 + 1
6*e*f**4*x + 8*f**5*x**2) + b*d**2*e**2*acoth(d*e/f + d*x - 1)/(8*e**2*f**3 + 16*e*f**4*x + 8*f**5*x**2) + 2*b
*d**2*e*f*x*acoth(d*e/f + d*x - 1)/(8*e**2*f**3 + 16*e*f**4*x + 8*f**5*x**2) + b*d**2*f**2*x**2*acoth(d*e/f +
d*x - 1)/(8*e**2*f**3 + 16*e*f**4*x + 8*f**5*x**2) - b*d*e*f/(8*e**2*f**3 + 16*e*f**4*x + 8*f**5*x**2) - b*d*f
**2*x/(8*e**2*f**3 + 16*e*f**4*x + 8*f**5*x**2) - 4*b*f**2*acoth(d*e/f + d*x - 1)/(8*e**2*f**3 + 16*e*f**4*x +
8*f**5*x**2) - b*f**2/(8*e**2*f**3 + 16*e*f**4*x + 8*f**5*x**2), Eq(c, (d*e - f)/f)), (-4*a*f**2/(8*e**2*f**3
+ 16*e*f**4*x + 8*f**5*x**2) + b*d**2*e**2*acoth(d*e/f + d*x + 1)/(8*e**2*f**3 + 16*e*f**4*x + 8*f**5*x**2) +
2*b*d**2*e*f*x*acoth(d*e/f + d*x + 1)/(8*e**2*f**3 + 16*e*f**4*x + 8*f**5*x**2) + b*d**2*f**2*x**2*acoth(d*e/
f + d*x + 1)/(8*e**2*f**3 + 16*e*f**4*x + 8*f**5*x**2) - b*d*e*f/(8*e**2*f**3 + 16*e*f**4*x + 8*f**5*x**2) - b
*d*f**2*x/(8*e**2*f**3 + 16*e*f**4*x + 8*f**5*x**2) - 4*b*f**2*acoth(d*e/f + d*x + 1)/(8*e**2*f**3 + 16*e*f**4
*x + 8*f**5*x**2) + b*f**2/(8*e**2*f**3 + 16*e*f**4*x + 8*f**5*x**2), Eq(c, (d*e + f)/f)), (-a*c**4*f**4/(2*c*
*4*e**2*f**5 + 4*c**4*e*f**6*x + 2*c**4*f**7*x**2 - 8*c**3*d*e**3*f**4 - 16*c**3*d*e**2*f**5*x - 8*c**3*d*e*f*
*6*x**2 + 12*c**2*d**2*e**4*f**3 + 24*c**2*d**2*e**3*f**4*x + 12*c**2*d**2*e**2*f**5*x**2 - 4*c**2*e**2*f**5 -
8*c**2*e*f**6*x - 4*c**2*f**7*x**2 - 8*c*d**3*e**5*f**2 - 16*c*d**3*e**4*f**3*x - 8*c*d**3*e**3*f**4*x**2 + 8
*c*d*e**3*f**4 + 16*c*d*e**2*f**5*x + 8*c*d*e*f**6*x**2 + 2*d**4*e**6*f + 4*d**4*e**5*f**2*x + 2*d**4*e**4*f**
3*x**2 - 4*d**2*e**4*f**3 - 8*d**2*e**3*f**4*x - 4*d**2*e**2*f**5*x**2 + 2*e**2*f**5 + 4*e*f**6*x + 2*f**7*x**
2) + 4*a*c**3*d*e*f**3/(2*c**4*e**2*f**5 + 4*c**4*e*f**6*x + 2*c**4*f**7*x**2 - 8*c**3*d*e**3*f**4 - 16*c**3*d
*e**2*f**5*x - 8*c**3*d*e*f**6*x**2 + 12*c**2*d**2*e**4*f**3 + 24*c**2*d**2*e**3*f**4*x + 12*c**2*d**2*e**2*f*
*5*x**2 - 4*c**2*e**2*f**5 - 8*c**2*e*f**6*x - 4*c**2*f**7*x**2 - 8*c*d**3*e**5*f**2 - 16*c*d**3*e**4*f**3*x -
8*c*d**3*e**3*f**4*x**2 + 8*c*d*e**3*f**4 + 16*c*d*e**2*f**5*x + 8*c*d*e*f**6*x**2 + 2*d**4*e**6*f + 4*d**4*e
**5*f**2*x + 2*d**4*e**4*f**3*x**2 - 4*d**2*e**4*f**3 - 8*d**2*e**3*f**4*x - 4*d**2*e**2*f**5*x**2 + 2*e**2*f*
*5 + 4*e*f**6*x + 2*f**7*x**2) - 6*a*c**2*d**2*e**2*f**2/(2*c**4*e**2*f**5 + 4*c**4*e*f**6*x + 2*c**4*f**7*x**
2 - 8*c**3*d*e**3*f**4 - 16*c**3*d*e**2*f**5*x - 8*c**3*d*e*f**6*x**2 + 12*c**2*d**2*e**4*f**3 + 24*c**2*d**2*
e**3*f**4*x + 12*c**2*d**2*e**2*f**5*x**2 - 4*c**2*e**2*f**5 - 8*c**2*e*f**6*x - 4*c**2*f**7*x**2 - 8*c*d**3*e
**5*f**2 - 16*c*d**3*e**4*f**3*x - 8*c*d**3*e**3*f**4*x**2 + 8*c*d*e**3*f**4 + 16*c*d*e**2*f**5*x + 8*c*d*e*f*
*6*x**2 + 2*d**4*e**6*f + 4*d**4*e**5*f**2*x + 2*d**4*e**4*f**3*x**2 - 4*d**2*e**4*f**3 - 8*d**2*e**3*f**4*x -
4*d**2*e**2*f**5*x**2 + 2*e**2*f**5 + 4*e*f**6*x + 2*f**7*x**2) + 2*a*c**2*f**4/(2*c**4*e**2*f**5 + 4*c**4*e*
f**6*x + 2*c**4*f**7*x**2 - 8*c**3*d*e**3*f**4 - 16*c**3*d*e**2*f**5*x - 8*c**3*d*e*f**6*x**2 + 12*c**2*d**2*e
**4*f**3 + 24*c**2*d**2*e**3*f**4*x + 12*c**2*d**2*e**2*f**5*x**2 - 4*c**2*e**2*f**5 - 8*c**2*e*f**6*x - 4*c**
2*f**7*x**2 - 8*c*d**3*e**5*f**2 - 16*c*d**3*e**4*f**3*x - 8*c*d**3*e**3*f**4*x**2 + 8*c*d*e**3*f**4 + 16*c*d*
e**2*f**5*x + 8*c*d*e*f**6*x**2 + 2*d**4*e**6*f + 4*d**4*e**5*f**2*x + 2*d**4*e**4*f**3*x**2 - 4*d**2*e**4*f**
3 - 8*d**2*e**3*f**4*x - 4*d**2*e**2*f**5*x**2 + 2*e**2*f**5 + 4*e*f**6*x + 2*f**7*x**2) + 4*a*c*d**3*e**3*f/(
2*c**4*e**2*f**5 + 4*c**4*e*f**6*x + 2*c**4*f**7*x**2 - 8*c**3*d*e**3*f**4 - 16*c**3*d*e**2*f**5*x - 8*c**3*d*
e*f**6*x**2 + 12*c**2*d**2*e**4*f**3 + 24*c**2*d**2*e**3*f**4*x + 12*c**2*d**2*e**2*f**5*x**2 - 4*c**2*e**2*f*
*5 - 8*c**2*e*f**6*x - 4*c**2*f**7*x**2 - 8*c*d**3*e**5*f**2 - 16*c*d**3*e**4*f**3*x - 8*c*d**3*e**3*f**4*x**2
+ 8*c*d*e**3*f**4 + 16*c*d*e**2*f**5*x + 8*c*d*e*f**6*x**2 + 2*d**4*e**6*f + 4*d**4*e**5*f**2*x + 2*d**4*e**4
*f**3*x**2 - 4*d**2*e**4*f**3 - 8*d**2*e**3*f**4*x - 4*d**2*e**2*f**5*x**2 + 2*e**2*f**5 + 4*e*f**6*x + 2*f**7
*x**2) - 4*a*c*d*e*f**3/(2*c**4*e**2*f**5 + 4*c**4*e*f**6*x + 2*c**4*f**7*x**2 - 8*c**3*d*e**3*f**4 - 16*c**3*
d*e**2*f**5*x - 8*c**3*d*e*f**6*x**2 + 12*c**2*d**2*e**4*f**3 + 24*c**2*d**2*e**3*f**4*x + 12*c**2*d**2*e**2*f
**5*x**2 - 4*c**2*e**2*f**5 - 8*c**2*e*f**6*x - 4*c**2*f**7*x**2 - 8*c*d**3*e**5*f**2 - 16*c*d**3*e**4*f**3*x
- 8*c*d**3*e**3*f**4*x**2 + 8*c*d*e**3*f**4 + 16*c*d*e**2*f**5*x + 8*c*d*e*f**6*x**2 + 2*d**4*e**6*f + 4*d**4*
e**5*f**2*x + 2*d**4*e**4*f**3*x**2 - 4*d**2*e**4*f**3 - 8*d**2*e**3*f**4*x - 4*d**2*e**2*f**5*x**2 + 2*e**2*f
**5 + 4*e*f**6*x + 2*f**7*x**2) - a*d**4*e**4/(2*c**4*e**2*f**5 + 4*c**4*e*f**6*x + 2*c**4*f**7*x**2 - 8*c**3*
d*e**3*f**4 - 16*c**3*d*e**2*f**5*x - 8*c**3*d*e*f**6*x**2 + 12*c**2*d**2*e**4*f**3 + 24*c**2*d**2*e**3*f**4*x
+ 12*c**2*d**2*e**2*f**5*x**2 - 4*c**2*e**2*f**5 - 8*c**2*e*f**6*x - 4*c**2*f**7*x**2 - 8*c*d**3*e**5*f**2 -
16*c*d**3*e**4*f**3*x - 8*c*d**3*e**3*f**4*x**2 + 8*c*d*e**3*f**4 + 16*c*d*e**2*f**5*x + 8*c*d*e*f**6*x**2 + 2
*d**4*e**6*f + 4*d**4*e**5*f**2*x + 2*d**4*e**4*f**3*x**2 - 4*d**2*e**4*f**3 - 8*d**2*e**3*f**4*x - 4*d**2*e**
2*f**5*x**2 + 2*e**2*f**5 + 4*e*f**6*x + 2*f**7*x**2) + 2*a*d**2*e**2*f**2/(2*c**4*e**2*f**5 + 4*c**4*e*f**6*x
+ 2*c**4*f**7*x**2 - 8*c**3*d*e**3*f**4 - 16*c**3*d*e**2*f**5*x - 8*c**3*d*e*f**6*x**2 + 12*c**2*d**2*e**4*f*
*3 + 24*c**2*d**2*e**3*f**4*x + 12*c**2*d**2*e**2*f**5*x**2 - 4*c**2*e**2*f**5 - 8*c**2*e*f**6*x - 4*c**2*f**7
*x**2 - 8*c*d**3*e**5*f**2 - 16*c*d**3*e**4*f**3*x - 8*c*d**3*e**3*f**4*x**2 + 8*c*d*e**3*f**4 + 16*c*d*e**2*f
**5*x + 8*c*d*e*f**6*x**2 + 2*d**4*e**6*f + 4*d**4*e**5*f**2*x + 2*d**4*e**4*f**3*x**2 - 4*d**2*e**4*f**3 - 8*
d**2*e**3*f**4*x - 4*d**2*e**2*f**5*x**2 + 2*e**2*f**5 + 4*e*f**6*x + 2*f**7*x**2) - a*f**4/(2*c**4*e**2*f**5
+ 4*c**4*e*f**6*x + 2*c**4*f**7*x**2 - 8*c**3*d*e**3*f**4 - 16*c**3*d*e**2*f**5*x - 8*c**3*d*e*f**6*x**2 + 12*
c**2*d**2*e**4*f**3 + 24*c**2*d**2*e**3*f**4*x + 12*c**2*d**2*e**2*f**5*x**2 - 4*c**2*e**2*f**5 - 8*c**2*e*f**
6*x - 4*c**2*f**7*x**2 - 8*c*d**3*e**5*f**2 - 16*c*d**3*e**4*f**3*x - 8*c*d**3*e**3*f**4*x**2 + 8*c*d*e**3*f**
4 + 16*c*d*e**2*f**5*x + 8*c*d*e*f**6*x**2 + 2*d**4*e**6*f + 4*d**4*e**5*f**2*x + 2*d**4*e**4*f**3*x**2 - 4*d*
*2*e**4*f**3 - 8*d**2*e**3*f**4*x - 4*d**2*e**2*f**5*x**2 + 2*e**2*f**5 + 4*e*f**6*x + 2*f**7*x**2) - b*c**4*f
**4*acoth(c + d*x)/(2*c**4*e**2*f**5 + 4*c**4*e*f**6*x + 2*c**4*f**7*x**2 - 8*c**3*d*e**3*f**4 - 16*c**3*d*e**
2*f**5*x - 8*c**3*d*e*f**6*x**2 + 12*c**2*d**2*e**4*f**3 + 24*c**2*d**2*e**3*f**4*x + 12*c**2*d**2*e**2*f**5*x
**2 - 4*c**2*e**2*f**5 - 8*c**2*e*f**6*x - 4*c**2*f**7*x**2 - 8*c*d**3*e**5*f**2 - 16*c*d**3*e**4*f**3*x - 8*c
*d**3*e**3*f**4*x**2 + 8*c*d*e**3*f**4 + 16*c*d*e**2*f**5*x + 8*c*d*e*f**6*x**2 + 2*d**4*e**6*f + 4*d**4*e**5*
f**2*x + 2*d**4*e**4*f**3*x**2 - 4*d**2*e**4*f**3 - 8*d**2*e**3*f**4*x - 4*d**2*e**2*f**5*x**2 + 2*e**2*f**5 +
4*e*f**6*x + 2*f**7*x**2) + 4*b*c**3*d*e*f**3*acoth(c + d*x)/(2*c**4*e**2*f**5 + 4*c**4*e*f**6*x + 2*c**4*f**
7*x**2 - 8*c**3*d*e**3*f**4 - 16*c**3*d*e**2*f**5*x - 8*c**3*d*e*f**6*x**2 + 12*c**2*d**2*e**4*f**3 + 24*c**2*
d**2*e**3*f**4*x + 12*c**2*d**2*e**2*f**5*x**2 - 4*c**2*e**2*f**5 - 8*c**2*e*f**6*x - 4*c**2*f**7*x**2 - 8*c*d
**3*e**5*f**2 - 16*c*d**3*e**4*f**3*x - 8*c*d**3*e**3*f**4*x**2 + 8*c*d*e**3*f**4 + 16*c*d*e**2*f**5*x + 8*c*d
*e*f**6*x**2 + 2*d**4*e**6*f + 4*d**4*e**5*f**2*x + 2*d**4*e**4*f**3*x**2 - 4*d**2*e**4*f**3 - 8*d**2*e**3*f**
4*x - 4*d**2*e**2*f**5*x**2 + 2*e**2*f**5 + 4*e*f**6*x + 2*f**7*x**2) - 5*b*c**2*d**2*e**2*f**2*acoth(c + d*x)
/(2*c**4*e**2*f**5 + 4*c**4*e*f**6*x + 2*c**4*f**7*x**2 - 8*c**3*d*e**3*f**4 - 16*c**3*d*e**2*f**5*x - 8*c**3*
d*e*f**6*x**2 + 12*c**2*d**2*e**4*f**3 + 24*c**2*d**2*e**3*f**4*x + 12*c**2*d**2*e**2*f**5*x**2 - 4*c**2*e**2*
f**5 - 8*c**2*e*f**6*x - 4*c**2*f**7*x**2 - 8*c*d**3*e**5*f**2 - 16*c*d**3*e**4*f**3*x - 8*c*d**3*e**3*f**4*x*
*2 + 8*c*d*e**3*f**4 + 16*c*d*e**2*f**5*x + 8*c*d*e*f**6*x**2 + 2*d**4*e**6*f + 4*d**4*e**5*f**2*x + 2*d**4*e*
*4*f**3*x**2 - 4*d**2*e**4*f**3 - 8*d**2*e**3*f**4*x - 4*d**2*e**2*f**5*x**2 + 2*e**2*f**5 + 4*e*f**6*x + 2*f*
*7*x**2) + 2*b*c**2*d**2*e*f**3*x*acoth(c + d*x)/(2*c**4*e**2*f**5 + 4*c**4*e*f**6*x + 2*c**4*f**7*x**2 - 8*c*
*3*d*e**3*f**4 - 16*c**3*d*e**2*f**5*x - 8*c**3*d*e*f**6*x**2 + 12*c**2*d**2*e**4*f**3 + 24*c**2*d**2*e**3*f**
4*x + 12*c**2*d**2*e**2*f**5*x**2 - 4*c**2*e**2*f**5 - 8*c**2*e*f**6*x - 4*c**2*f**7*x**2 - 8*c*d**3*e**5*f**2
- 16*c*d**3*e**4*f**3*x - 8*c*d**3*e**3*f**4*x**2 + 8*c*d*e**3*f**4 + 16*c*d*e**2*f**5*x + 8*c*d*e*f**6*x**2
+ 2*d**4*e**6*f + 4*d**4*e**5*f**2*x + 2*d**4*e**4*f**3*x**2 - 4*d**2*e**4*f**3 - 8*d**2*e**3*f**4*x - 4*d**2*
e**2*f**5*x**2 + 2*e**2*f**5 + 4*e*f**6*x + 2*f**7*x**2) + b*c**2*d**2*f**4*x**2*acoth(c + d*x)/(2*c**4*e**2*f
**5 + 4*c**4*e*f**6*x + 2*c**4*f**7*x**2 - 8*c**3*d*e**3*f**4 - 16*c**3*d*e**2*f**5*x - 8*c**3*d*e*f**6*x**2 +
12*c**2*d**2*e**4*f**3 + 24*c**2*d**2*e**3*f**4*x + 12*c**2*d**2*e**2*f**5*x**2 - 4*c**2*e**2*f**5 - 8*c**2*e
*f**6*x - 4*c**2*f**7*x**2 - 8*c*d**3*e**5*f**2 - 16*c*d**3*e**4*f**3*x - 8*c*d**3*e**3*f**4*x**2 + 8*c*d*e**3
*f**4 + 16*c*d*e**2*f**5*x + 8*c*d*e*f**6*x**2 + 2*d**4*e**6*f + 4*d**4*e**5*f**2*x + 2*d**4*e**4*f**3*x**2 -
4*d**2*e**4*f**3 - 8*d**2*e**3*f**4*x - 4*d**2*e**2*f**5*x**2 + 2*e**2*f**5 + 4*e*f**6*x + 2*f**7*x**2) + b*c*
*2*d*e*f**3/(2*c**4*e**2*f**5 + 4*c**4*e*f**6*x + 2*c**4*f**7*x**2 - 8*c**3*d*e**3*f**4 - 16*c**3*d*e**2*f**5*
x - 8*c**3*d*e*f**6*x**2 + 12*c**2*d**2*e**4*f**3 + 24*c**2*d**2*e**3*f**4*x + 12*c**2*d**2*e**2*f**5*x**2 - 4
*c**2*e**2*f**5 - 8*c**2*e*f**6*x - 4*c**2*f**7*x**2 - 8*c*d**3*e**5*f**2 - 16*c*d**3*e**4*f**3*x - 8*c*d**3*e
**3*f**4*x**2 + 8*c*d*e**3*f**4 + 16*c*d*e**2*f**5*x + 8*c*d*e*f**6*x**2 + 2*d**4*e**6*f + 4*d**4*e**5*f**2*x
+ 2*d**4*e**4*f**3*x**2 - 4*d**2*e**4*f**3 - 8*d**2*e**3*f**4*x - 4*d**2*e**2*f**5*x**2 + 2*e**2*f**5 + 4*e*f*
*6*x + 2*f**7*x**2) + b*c**2*d*f**4*x/(2*c**4*e**2*f**5 + 4*c**4*e*f**6*x + 2*c**4*f**7*x**2 - 8*c**3*d*e**3*f
**4 - 16*c**3*d*e**2*f**5*x - 8*c**3*d*e*f**6*x**2 + 12*c**2*d**2*e**4*f**3 + 24*c**2*d**2*e**3*f**4*x + 12*c*
*2*d**2*e**2*f**5*x**2 - 4*c**2*e**2*f**5 - 8*c**2*e*f**6*x - 4*c**2*f**7*x**2 - 8*c*d**3*e**5*f**2 - 16*c*d**
3*e**4*f**3*x - 8*c*d**3*e**3*f**4*x**2 + 8*c*d*e**3*f**4 + 16*c*d*e**2*f**5*x + 8*c*d*e*f**6*x**2 + 2*d**4*e*
*6*f + 4*d**4*e**5*f**2*x + 2*d**4*e**4*f**3*x**2 - 4*d**2*e**4*f**3 - 8*d**2*e**3*f**4*x - 4*d**2*e**2*f**5*x
**2 + 2*e**2*f**5 + 4*e*f**6*x + 2*f**7*x**2) + 2*b*c**2*f**4*acoth(c + d*x)/(2*c**4*e**2*f**5 + 4*c**4*e*f**6
*x + 2*c**4*f**7*x**2 - 8*c**3*d*e**3*f**4 - 16*c**3*d*e**2*f**5*x - 8*c**3*d*e*f**6*x**2 + 12*c**2*d**2*e**4*
f**3 + 24*c**2*d**2*e**3*f**4*x + 12*c**2*d**2*e**2*f**5*x**2 - 4*c**2*e**2*f**5 - 8*c**2*e*f**6*x - 4*c**2*f*
*7*x**2 - 8*c*d**3*e**5*f**2 - 16*c*d**3*e**4*f**3*x - 8*c*d**3*e**3*f**4*x**2 + 8*c*d*e**3*f**4 + 16*c*d*e**2
*f**5*x + 8*c*d*e*f**6*x**2 + 2*d**4*e**6*f + 4*d**4*e**5*f**2*x + 2*d**4*e**4*f**3*x**2 - 4*d**2*e**4*f**3 -
8*d**2*e**3*f**4*x - 4*d**2*e**2*f**5*x**2 + 2*e**2*f**5 + 4*e*f**6*x + 2*f**7*x**2) + 2*b*c*d**3*e**3*f*acoth
(c + d*x)/(2*c**4*e**2*f**5 + 4*c**4*e*f**6*x + 2*c**4*f**7*x**2 - 8*c**3*d*e**3*f**4 - 16*c**3*d*e**2*f**5*x
- 8*c**3*d*e*f**6*x**2 + 12*c**2*d**2*e**4*f**3 + 24*c**2*d**2*e**3*f**4*x + 12*c**2*d**2*e**2*f**5*x**2 - 4*c
**2*e**2*f**5 - 8*c**2*e*f**6*x - 4*c**2*f**7*x**2 - 8*c*d**3*e**5*f**2 - 16*c*d**3*e**4*f**3*x - 8*c*d**3*e**
3*f**4*x**2 + 8*c*d*e**3*f**4 + 16*c*d*e**2*f**5*x + 8*c*d*e*f**6*x**2 + 2*d**4*e**6*f + 4*d**4*e**5*f**2*x +
2*d**4*e**4*f**3*x**2 - 4*d**2*e**4*f**3 - 8*d**2*e**3*f**4*x - 4*d**2*e**2*f**5*x**2 + 2*e**2*f**5 + 4*e*f**6
*x + 2*f**7*x**2) - 4*b*c*d**3*e**2*f**2*x*acoth(c + d*x)/(2*c**4*e**2*f**5 + 4*c**4*e*f**6*x + 2*c**4*f**7*x*
*2 - 8*c**3*d*e**3*f**4 - 16*c**3*d*e**2*f**5*x - 8*c**3*d*e*f**6*x**2 + 12*c**2*d**2*e**4*f**3 + 24*c**2*d**2
*e**3*f**4*x + 12*c**2*d**2*e**2*f**5*x**2 - 4*c**2*e**2*f**5 - 8*c**2*e*f**6*x - 4*c**2*f**7*x**2 - 8*c*d**3*
e**5*f**2 - 16*c*d**3*e**4*f**3*x - 8*c*d**3*e**3*f**4*x**2 + 8*c*d*e**3*f**4 + 16*c*d*e**2*f**5*x + 8*c*d*e*f
**6*x**2 + 2*d**4*e**6*f + 4*d**4*e**5*f**2*x + 2*d**4*e**4*f**3*x**2 - 4*d**2*e**4*f**3 - 8*d**2*e**3*f**4*x
- 4*d**2*e**2*f**5*x**2 + 2*e**2*f**5 + 4*e*f**6*x + 2*f**7*x**2) - 2*b*c*d**3*e*f**3*x**2*acoth(c + d*x)/(2*c
**4*e**2*f**5 + 4*c**4*e*f**6*x + 2*c**4*f**7*x**2 - 8*c**3*d*e**3*f**4 - 16*c**3*d*e**2*f**5*x - 8*c**3*d*e*f
**6*x**2 + 12*c**2*d**2*e**4*f**3 + 24*c**2*d**2*e**3*f**4*x + 12*c**2*d**2*e**2*f**5*x**2 - 4*c**2*e**2*f**5
- 8*c**2*e*f**6*x - 4*c**2*f**7*x**2 - 8*c*d**3*e**5*f**2 - 16*c*d**3*e**4*f**3*x - 8*c*d**3*e**3*f**4*x**2 +
8*c*d*e**3*f**4 + 16*c*d*e**2*f**5*x + 8*c*d*e*f**6*x**2 + 2*d**4*e**6*f + 4*d**4*e**5*f**2*x + 2*d**4*e**4*f*
*3*x**2 - 4*d**2*e**4*f**3 - 8*d**2*e**3*f**4*x - 4*d**2*e**2*f**5*x**2 + 2*e**2*f**5 + 4*e*f**6*x + 2*f**7*x*
*2) + 2*b*c*d**2*e**2*f**2*log(e/f + x)/(2*c**4*e**2*f**5 + 4*c**4*e*f**6*x + 2*c**4*f**7*x**2 - 8*c**3*d*e**3
*f**4 - 16*c**3*d*e**2*f**5*x - 8*c**3*d*e*f**6*x**2 + 12*c**2*d**2*e**4*f**3 + 24*c**2*d**2*e**3*f**4*x + 12*
c**2*d**2*e**2*f**5*x**2 - 4*c**2*e**2*f**5 - 8*c**2*e*f**6*x - 4*c**2*f**7*x**2 - 8*c*d**3*e**5*f**2 - 16*c*d
**3*e**4*f**3*x - 8*c*d**3*e**3*f**4*x**2 + 8*c*d*e**3*f**4 + 16*c*d*e**2*f**5*x + 8*c*d*e*f**6*x**2 + 2*d**4*
e**6*f + 4*d**4*e**5*f**2*x + 2*d**4*e**4*f**3*x**2 - 4*d**2*e**4*f**3 - 8*d**2*e**3*f**4*x - 4*d**2*e**2*f**5
*x**2 + 2*e**2*f**5 + 4*e*f**6*x + 2*f**7*x**2) - 2*b*c*d**2*e**2*f**2*log(c/d + x + 1/d)/(2*c**4*e**2*f**5 +
4*c**4*e*f**6*x + 2*c**4*f**7*x**2 - 8*c**3*d*e**3*f**4 - 16*c**3*d*e**2*f**5*x - 8*c**3*d*e*f**6*x**2 + 12*c*
*2*d**2*e**4*f**3 + 24*c**2*d**2*e**3*f**4*x + 12*c**2*d**2*e**2*f**5*x**2 - 4*c**2*e**2*f**5 - 8*c**2*e*f**6*
x - 4*c**2*f**7*x**2 - 8*c*d**3*e**5*f**2 - 16*c*d**3*e**4*f**3*x - 8*c*d**3*e**3*f**4*x**2 + 8*c*d*e**3*f**4
+ 16*c*d*e**2*f**5*x + 8*c*d*e*f**6*x**2 + 2*d**4*e**6*f + 4*d**4*e**5*f**2*x + 2*d**4*e**4*f**3*x**2 - 4*d**2
*e**4*f**3 - 8*d**2*e**3*f**4*x - 4*d**2*e**2*f**5*x**2 + 2*e**2*f**5 + 4*e*f**6*x + 2*f**7*x**2) + 2*b*c*d**2
*e**2*f**2*acoth(c + d*x)/(2*c**4*e**2*f**5 + 4*c**4*e*f**6*x + 2*c**4*f**7*x**2 - 8*c**3*d*e**3*f**4 - 16*c**
3*d*e**2*f**5*x - 8*c**3*d*e*f**6*x**2 + 12*c**2*d**2*e**4*f**3 + 24*c**2*d**2*e**3*f**4*x + 12*c**2*d**2*e**2
*f**5*x**2 - 4*c**2*e**2*f**5 - 8*c**2*e*f**6*x - 4*c**2*f**7*x**2 - 8*c*d**3*e**5*f**2 - 16*c*d**3*e**4*f**3*
x - 8*c*d**3*e**3*f**4*x**2 + 8*c*d*e**3*f**4 + 16*c*d*e**2*f**5*x + 8*c*d*e*f**6*x**2 + 2*d**4*e**6*f + 4*d**
4*e**5*f**2*x + 2*d**4*e**4*f**3*x**2 - 4*d**2*e**4*f**3 - 8*d**2*e**3*f**4*x - 4*d**2*e**2*f**5*x**2 + 2*e**2
*f**5 + 4*e*f**6*x + 2*f**7*x**2) - 2*b*c*d**2*e**2*f**2/(2*c**4*e**2*f**5 + 4*c**4*e*f**6*x + 2*c**4*f**7*x**
2 - 8*c**3*d*e**3*f**4 - 16*c**3*d*e**2*f**5*x - 8*c**3*d*e*f**6*x**2 + 12*c**2*d**2*e**4*f**3 + 24*c**2*d**2*
e**3*f**4*x + 12*c**2*d**2*e**2*f**5*x**2 - 4*c**2*e**2*f**5 - 8*c**2*e*f**6*x - 4*c**2*f**7*x**2 - 8*c*d**3*e
**5*f**2 - 16*c*d**3*e**4*f**3*x - 8*c*d**3*e**3*f**4*x**2 + 8*c*d*e**3*f**4 + 16*c*d*e**2*f**5*x + 8*c*d*e*f*
*6*x**2 + 2*d**4*e**6*f + 4*d**4*e**5*f**2*x + 2*d**4*e**4*f**3*x**2 - 4*d**2*e**4*f**3 - 8*d**2*e**3*f**4*x -
4*d**2*e**2*f**5*x**2 + 2*e**2*f**5 + 4*e*f**6*x + 2*f**7*x**2) + 4*b*c*d**2*e*f**3*x*log(e/f + x)/(2*c**4*e*
*2*f**5 + 4*c**4*e*f**6*x + 2*c**4*f**7*x**2 - 8*c**3*d*e**3*f**4 - 16*c**3*d*e**2*f**5*x - 8*c**3*d*e*f**6*x*
*2 + 12*c**2*d**2*e**4*f**3 + 24*c**2*d**2*e**3*f**4*x + 12*c**2*d**2*e**2*f**5*x**2 - 4*c**2*e**2*f**5 - 8*c*
*2*e*f**6*x - 4*c**2*f**7*x**2 - 8*c*d**3*e**5*f**2 - 16*c*d**3*e**4*f**3*x - 8*c*d**3*e**3*f**4*x**2 + 8*c*d*
e**3*f**4 + 16*c*d*e**2*f**5*x + 8*c*d*e*f**6*x**2 + 2*d**4*e**6*f + 4*d**4*e**5*f**2*x + 2*d**4*e**4*f**3*x**
2 - 4*d**2*e**4*f**3 - 8*d**2*e**3*f**4*x - 4*d**2*e**2*f**5*x**2 + 2*e**2*f**5 + 4*e*f**6*x + 2*f**7*x**2) -
4*b*c*d**2*e*f**3*x*log(c/d + x + 1/d)/(2*c**4*e**2*f**5 + 4*c**4*e*f**6*x + 2*c**4*f**7*x**2 - 8*c**3*d*e**3*
f**4 - 16*c**3*d*e**2*f**5*x - 8*c**3*d*e*f**6*x**2 + 12*c**2*d**2*e**4*f**3 + 24*c**2*d**2*e**3*f**4*x + 12*c
**2*d**2*e**2*f**5*x**2 - 4*c**2*e**2*f**5 - 8*c**2*e*f**6*x - 4*c**2*f**7*x**2 - 8*c*d**3*e**5*f**2 - 16*c*d*
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**6*f + 4*d**4*e**5*f**2*x + 2*d**4*e**4*f**3*x**2 - 4*d**2*e**4*f**3 - 8*d**2*e**3*f**4*x - 4*d**2*e**2*f**5*
x**2 + 2*e**2*f**5 + 4*e*f**6*x + 2*f**7*x**2) + 4*b*c*d**2*e*f**3*x*acoth(c + d*x)/(2*c**4*e**2*f**5 + 4*c**4
*e*f**6*x + 2*c**4*f**7*x**2 - 8*c**3*d*e**3*f**4 - 16*c**3*d*e**2*f**5*x - 8*c**3*d*e*f**6*x**2 + 12*c**2*d**
2*e**4*f**3 + 24*c**2*d**2*e**3*f**4*x + 12*c**2*d**2*e**2*f**5*x**2 - 4*c**2*e**2*f**5 - 8*c**2*e*f**6*x - 4*
c**2*f**7*x**2 - 8*c*d**3*e**5*f**2 - 16*c*d**3*e**4*f**3*x - 8*c*d**3*e**3*f**4*x**2 + 8*c*d*e**3*f**4 + 16*c
*d*e**2*f**5*x + 8*c*d*e*f**6*x**2 + 2*d**4*e**6*f + 4*d**4*e**5*f**2*x + 2*d**4*e**4*f**3*x**2 - 4*d**2*e**4*
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4*e**6*f + 4*d**4*e**5*f**2*x + 2*d**4*e**4*f**3*x**2 - 4*d**2*e**4*f**3 - 8*d**2*e**3*f**4*x - 4*d**2*e**2*f*
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*4*e*f**6*x + 2*c**4*f**7*x**2 - 8*c**3*d*e**3*f**4 - 16*c**3*d*e**2*f**5*x - 8*c**3*d*e*f**6*x**2 + 12*c**2*d
**2*e**4*f**3 + 24*c**2*d**2*e**3*f**4*x + 12*c**2*d**2*e**2*f**5*x**2 - 4*c**2*e**2*f**5 - 8*c**2*e*f**6*x -
4*c**2*f**7*x**2 - 8*c*d**3*e**5*f**2 - 16*c*d**3*e**4*f**3*x - 8*c*d**3*e**3*f**4*x**2 + 8*c*d*e**3*f**4 + 16
*c*d*e**2*f**5*x + 8*c*d*e*f**6*x**2 + 2*d**4*e**6*f + 4*d**4*e**5*f**2*x + 2*d**4*e**4*f**3*x**2 - 4*d**2*e**
4*f**3 - 8*d**2*e**3*f**4*x - 4*d**2*e**2*f**5*x**2 + 2*e**2*f**5 + 4*e*f**6*x + 2*f**7*x**2) + 2*b*d**3*e*f**
3*x**2*log(c/d + x + 1/d)/(2*c**4*e**2*f**5 + 4*c**4*e*f**6*x + 2*c**4*f**7*x**2 - 8*c**3*d*e**3*f**4 - 16*c**
3*d*e**2*f**5*x - 8*c**3*d*e*f**6*x**2 + 12*c**2*d**2*e**4*f**3 + 24*c**2*d**2*e**3*f**4*x + 12*c**2*d**2*e**2
*f**5*x**2 - 4*c**2*e**2*f**5 - 8*c**2*e*f**6*x - 4*c**2*f**7*x**2 - 8*c*d**3*e**5*f**2 - 16*c*d**3*e**4*f**3*
x - 8*c*d**3*e**3*f**4*x**2 + 8*c*d*e**3*f**4 + 16*c*d*e**2*f**5*x + 8*c*d*e*f**6*x**2 + 2*d**4*e**6*f + 4*d**
4*e**5*f**2*x + 2*d**4*e**4*f**3*x**2 - 4*d**2*e**4*f**3 - 8*d**2*e**3*f**4*x - 4*d**2*e**2*f**5*x**2 + 2*e**2
*f**5 + 4*e*f**6*x + 2*f**7*x**2) - 2*b*d**3*e*f**3*x**2*acoth(c + d*x)/(2*c**4*e**2*f**5 + 4*c**4*e*f**6*x +
2*c**4*f**7*x**2 - 8*c**3*d*e**3*f**4 - 16*c**3*d*e**2*f**5*x - 8*c**3*d*e*f**6*x**2 + 12*c**2*d**2*e**4*f**3
+ 24*c**2*d**2*e**3*f**4*x + 12*c**2*d**2*e**2*f**5*x**2 - 4*c**2*e**2*f**5 - 8*c**2*e*f**6*x - 4*c**2*f**7*x*
*2 - 8*c*d**3*e**5*f**2 - 16*c*d**3*e**4*f**3*x - 8*c*d**3*e**3*f**4*x**2 + 8*c*d*e**3*f**4 + 16*c*d*e**2*f**5
*x + 8*c*d*e*f**6*x**2 + 2*d**4*e**6*f + 4*d**4*e**5*f**2*x + 2*d**4*e**4*f**3*x**2 - 4*d**2*e**4*f**3 - 8*d**
2*e**3*f**4*x - 4*d**2*e**2*f**5*x**2 + 2*e**2*f**5 + 4*e*f**6*x + 2*f**7*x**2) + 3*b*d**2*e**2*f**2*acoth(c +
d*x)/(2*c**4*e**2*f**5 + 4*c**4*e*f**6*x + 2*c**4*f**7*x**2 - 8*c**3*d*e**3*f**4 - 16*c**3*d*e**2*f**5*x - 8*
c**3*d*e*f**6*x**2 + 12*c**2*d**2*e**4*f**3 + 24*c**2*d**2*e**3*f**4*x + 12*c**2*d**2*e**2*f**5*x**2 - 4*c**2*
e**2*f**5 - 8*c**2*e*f**6*x - 4*c**2*f**7*x**2 - 8*c*d**3*e**5*f**2 - 16*c*d**3*e**4*f**3*x - 8*c*d**3*e**3*f*
*4*x**2 + 8*c*d*e**3*f**4 + 16*c*d*e**2*f**5*x + 8*c*d*e*f**6*x**2 + 2*d**4*e**6*f + 4*d**4*e**5*f**2*x + 2*d*
*4*e**4*f**3*x**2 - 4*d**2*e**4*f**3 - 8*d**2*e**3*f**4*x - 4*d**2*e**2*f**5*x**2 + 2*e**2*f**5 + 4*e*f**6*x +
2*f**7*x**2) + 2*b*d**2*e*f**3*x*acoth(c + d*x)/(2*c**4*e**2*f**5 + 4*c**4*e*f**6*x + 2*c**4*f**7*x**2 - 8*c*
*3*d*e**3*f**4 - 16*c**3*d*e**2*f**5*x - 8*c**3*d*e*f**6*x**2 + 12*c**2*d**2*e**4*f**3 + 24*c**2*d**2*e**3*f**
4*x + 12*c**2*d**2*e**2*f**5*x**2 - 4*c**2*e**2*f**5 - 8*c**2*e*f**6*x - 4*c**2*f**7*x**2 - 8*c*d**3*e**5*f**2
- 16*c*d**3*e**4*f**3*x - 8*c*d**3*e**3*f**4*x**2 + 8*c*d*e**3*f**4 + 16*c*d*e**2*f**5*x + 8*c*d*e*f**6*x**2
+ 2*d**4*e**6*f + 4*d**4*e**5*f**2*x + 2*d**4*e**4*f**3*x**2 - 4*d**2*e**4*f**3 - 8*d**2*e**3*f**4*x - 4*d**2*
e**2*f**5*x**2 + 2*e**2*f**5 + 4*e*f**6*x + 2*f**7*x**2) + b*d**2*f**4*x**2*acoth(c + d*x)/(2*c**4*e**2*f**5 +
4*c**4*e*f**6*x + 2*c**4*f**7*x**2 - 8*c**3*d*e**3*f**4 - 16*c**3*d*e**2*f**5*x - 8*c**3*d*e*f**6*x**2 + 12*c
**2*d**2*e**4*f**3 + 24*c**2*d**2*e**3*f**4*x + 12*c**2*d**2*e**2*f**5*x**2 - 4*c**2*e**2*f**5 - 8*c**2*e*f**6
*x - 4*c**2*f**7*x**2 - 8*c*d**3*e**5*f**2 - 16*c*d**3*e**4*f**3*x - 8*c*d**3*e**3*f**4*x**2 + 8*c*d*e**3*f**4
+ 16*c*d*e**2*f**5*x + 8*c*d*e*f**6*x**2 + 2*d**4*e**6*f + 4*d**4*e**5*f**2*x + 2*d**4*e**4*f**3*x**2 - 4*d**
2*e**4*f**3 - 8*d**2*e**3*f**4*x - 4*d**2*e**2*f**5*x**2 + 2*e**2*f**5 + 4*e*f**6*x + 2*f**7*x**2) - b*d*e*f**
3/(2*c**4*e**2*f**5 + 4*c**4*e*f**6*x + 2*c**4*f**7*x**2 - 8*c**3*d*e**3*f**4 - 16*c**3*d*e**2*f**5*x - 8*c**3
*d*e*f**6*x**2 + 12*c**2*d**2*e**4*f**3 + 24*c**2*d**2*e**3*f**4*x + 12*c**2*d**2*e**2*f**5*x**2 - 4*c**2*e**2
*f**5 - 8*c**2*e*f**6*x - 4*c**2*f**7*x**2 - 8*c*d**3*e**5*f**2 - 16*c*d**3*e**4*f**3*x - 8*c*d**3*e**3*f**4*x
**2 + 8*c*d*e**3*f**4 + 16*c*d*e**2*f**5*x + 8*c*d*e*f**6*x**2 + 2*d**4*e**6*f + 4*d**4*e**5*f**2*x + 2*d**4*e
**4*f**3*x**2 - 4*d**2*e**4*f**3 - 8*d**2*e**3*f**4*x - 4*d**2*e**2*f**5*x**2 + 2*e**2*f**5 + 4*e*f**6*x + 2*f
**7*x**2) - b*d*f**4*x/(2*c**4*e**2*f**5 + 4*c**4*e*f**6*x + 2*c**4*f**7*x**2 - 8*c**3*d*e**3*f**4 - 16*c**3*d
*e**2*f**5*x - 8*c**3*d*e*f**6*x**2 + 12*c**2*d**2*e**4*f**3 + 24*c**2*d**2*e**3*f**4*x + 12*c**2*d**2*e**2*f*
*5*x**2 - 4*c**2*e**2*f**5 - 8*c**2*e*f**6*x - 4*c**2*f**7*x**2 - 8*c*d**3*e**5*f**2 - 16*c*d**3*e**4*f**3*x -
8*c*d**3*e**3*f**4*x**2 + 8*c*d*e**3*f**4 + 16*c*d*e**2*f**5*x + 8*c*d*e*f**6*x**2 + 2*d**4*e**6*f + 4*d**4*e
**5*f**2*x + 2*d**4*e**4*f**3*x**2 - 4*d**2*e**4*f**3 - 8*d**2*e**3*f**4*x - 4*d**2*e**2*f**5*x**2 + 2*e**2*f*
*5 + 4*e*f**6*x + 2*f**7*x**2) - b*f**4*acoth(c + d*x)/(2*c**4*e**2*f**5 + 4*c**4*e*f**6*x + 2*c**4*f**7*x**2
- 8*c**3*d*e**3*f**4 - 16*c**3*d*e**2*f**5*x - 8*c**3*d*e*f**6*x**2 + 12*c**2*d**2*e**4*f**3 + 24*c**2*d**2*e*
*3*f**4*x + 12*c**2*d**2*e**2*f**5*x**2 - 4*c**2*e**2*f**5 - 8*c**2*e*f**6*x - 4*c**2*f**7*x**2 - 8*c*d**3*e**
5*f**2 - 16*c*d**3*e**4*f**3*x - 8*c*d**3*e**3*f**4*x**2 + 8*c*d*e**3*f**4 + 16*c*d*e**2*f**5*x + 8*c*d*e*f**6
*x**2 + 2*d**4*e**6*f + 4*d**4*e**5*f**2*x + 2*d**4*e**4*f**3*x**2 - 4*d**2*e**4*f**3 - 8*d**2*e**3*f**4*x - 4
*d**2*e**2*f**5*x**2 + 2*e**2*f**5 + 4*e*f**6*x + 2*f**7*x**2), True))

Maxima [A] (verification not implemented)

none

Time = 0.21 (sec) , antiderivative size = 291, normalized size of antiderivative = 1.74 \[ \int \frac {a+b \coth ^{-1}(c+d x)}{(e+f x)^3} \, dx=\frac {1}{4} \, {\left (d {\left (\frac {d \log \left (d x + c + 1\right )}{d^{2} e^{2} f - 2 \, {\left (c + 1\right )} d e f^{2} + {\left (c^{2} + 2 \, c + 1\right )} f^{3}} - \frac {d \log \left (d x + c - 1\right )}{d^{2} e^{2} f - 2 \, {\left (c - 1\right )} d e f^{2} + {\left (c^{2} - 2 \, c + 1\right )} f^{3}} - \frac {4 \, {\left (d^{2} e - c d f\right )} \log \left (f x + e\right )}{d^{4} e^{4} - 4 \, c d^{3} e^{3} f + 2 \, {\left (3 \, c^{2} - 1\right )} d^{2} e^{2} f^{2} - 4 \, {\left (c^{3} - c\right )} d e f^{3} + {\left (c^{4} - 2 \, c^{2} + 1\right )} f^{4}} + \frac {2}{d^{2} e^{3} - 2 \, c d e^{2} f + {\left (c^{2} - 1\right )} e f^{2} + {\left (d^{2} e^{2} f - 2 \, c d e f^{2} + {\left (c^{2} - 1\right )} f^{3}\right )} x}\right )} - \frac {2 \, \operatorname {arcoth}\left (d x + c\right )}{f^{3} x^{2} + 2 \, e f^{2} x + e^{2} f}\right )} b - \frac {a}{2 \, {\left (f^{3} x^{2} + 2 \, e f^{2} x + e^{2} f\right )}} \]

[In]

integrate((a+b*arccoth(d*x+c))/(f*x+e)^3,x, algorithm="maxima")

[Out]

1/4*(d*(d*log(d*x + c + 1)/(d^2*e^2*f - 2*(c + 1)*d*e*f^2 + (c^2 + 2*c + 1)*f^3) - d*log(d*x + c - 1)/(d^2*e^2
*f - 2*(c - 1)*d*e*f^2 + (c^2 - 2*c + 1)*f^3) - 4*(d^2*e - c*d*f)*log(f*x + e)/(d^4*e^4 - 4*c*d^3*e^3*f + 2*(3
*c^2 - 1)*d^2*e^2*f^2 - 4*(c^3 - c)*d*e*f^3 + (c^4 - 2*c^2 + 1)*f^4) + 2/(d^2*e^3 - 2*c*d*e^2*f + (c^2 - 1)*e*
f^2 + (d^2*e^2*f - 2*c*d*e*f^2 + (c^2 - 1)*f^3)*x)) - 2*arccoth(d*x + c)/(f^3*x^2 + 2*e*f^2*x + e^2*f))*b - 1/
2*a/(f^3*x^2 + 2*e*f^2*x + e^2*f)

Giac [B] (verification not implemented)

Leaf count of result is larger than twice the leaf count of optimal. 2562 vs. \(2 (160) = 320\).

Time = 0.34 (sec) , antiderivative size = 2562, normalized size of antiderivative = 15.34 \[ \int \frac {a+b \coth ^{-1}(c+d x)}{(e+f x)^3} \, dx=\text {Too large to display} \]

[In]

integrate((a+b*arccoth(d*x+c))/(f*x+e)^3,x, algorithm="giac")

[Out]

-1/2*((c + 1)*d - (c - 1)*d)*((b*d^2*e - b*c*d*f)*log((d*x + c + 1)*d*e/(d*x + c - 1) - d*e - (d*x + c + 1)*c*
f/(d*x + c - 1) + c*f + (d*x + c + 1)*f/(d*x + c - 1) + f)/(d^4*e^4 - 4*c*d^3*e^3*f + 6*c^2*d^2*e^2*f^2 - 4*c^
3*d*e*f^3 + c^4*f^4 - 2*d^2*e^2*f^2 + 4*c*d*e*f^3 - 2*c^2*f^4 + f^4) - ((d*x + c + 1)*b*d^2*e/(d*x + c - 1) -
b*d^2*e - (d*x + c + 1)*b*c*d*f/(d*x + c - 1) + b*c*d*f + (d*x + c + 1)*b*d*f/(d*x + c - 1))*log((d*x + c + 1)
/(d*x + c - 1))/((d*x + c + 1)^2*d^4*e^4/(d*x + c - 1)^2 - 2*(d*x + c + 1)*d^4*e^4/(d*x + c - 1) + d^4*e^4 - 4
*(d*x + c + 1)^2*c*d^3*e^3*f/(d*x + c - 1)^2 + 8*(d*x + c + 1)*c*d^3*e^3*f/(d*x + c - 1) - 4*c*d^3*e^3*f + 6*(
d*x + c + 1)^2*c^2*d^2*e^2*f^2/(d*x + c - 1)^2 - 12*(d*x + c + 1)*c^2*d^2*e^2*f^2/(d*x + c - 1) + 6*c^2*d^2*e^
2*f^2 - 4*(d*x + c + 1)^2*c^3*d*e*f^3/(d*x + c - 1)^2 + 8*(d*x + c + 1)*c^3*d*e*f^3/(d*x + c - 1) - 4*c^3*d*e*
f^3 + (d*x + c + 1)^2*c^4*f^4/(d*x + c - 1)^2 - 2*(d*x + c + 1)*c^4*f^4/(d*x + c - 1) + c^4*f^4 + 4*(d*x + c +
1)^2*d^3*e^3*f/(d*x + c - 1)^2 - 4*(d*x + c + 1)*d^3*e^3*f/(d*x + c - 1) - 12*(d*x + c + 1)^2*c*d^2*e^2*f^2/(
d*x + c - 1)^2 + 12*(d*x + c + 1)*c*d^2*e^2*f^2/(d*x + c - 1) + 12*(d*x + c + 1)^2*c^2*d*e*f^3/(d*x + c - 1)^2
- 12*(d*x + c + 1)*c^2*d*e*f^3/(d*x + c - 1) - 4*(d*x + c + 1)^2*c^3*f^4/(d*x + c - 1)^2 + 4*(d*x + c + 1)*c^
3*f^4/(d*x + c - 1) + 6*(d*x + c + 1)^2*d^2*e^2*f^2/(d*x + c - 1)^2 - 2*d^2*e^2*f^2 - 12*(d*x + c + 1)^2*c*d*e
*f^3/(d*x + c - 1)^2 + 4*c*d*e*f^3 + 6*(d*x + c + 1)^2*c^2*f^4/(d*x + c - 1)^2 - 2*c^2*f^4 + 4*(d*x + c + 1)^2
*d*e*f^3/(d*x + c - 1)^2 + 4*(d*x + c + 1)*d*e*f^3/(d*x + c - 1) - 4*(d*x + c + 1)^2*c*f^4/(d*x + c - 1)^2 - 4
*(d*x + c + 1)*c*f^4/(d*x + c - 1) + (d*x + c + 1)^2*f^4/(d*x + c - 1)^2 + 2*(d*x + c + 1)*f^4/(d*x + c - 1) +
f^4) - (b*d^2*e - b*c*d*f)*log((d*x + c + 1)/(d*x + c - 1))/(d^4*e^4 - 4*c*d^3*e^3*f + 6*c^2*d^2*e^2*f^2 - 4*
c^3*d*e*f^3 + c^4*f^4 - 2*d^2*e^2*f^2 + 4*c*d*e*f^3 - 2*c^2*f^4 + f^4) - (2*(d*x + c + 1)*a*d^3*e^2/(d*x + c -
1) - 2*a*d^3*e^2 - 4*(d*x + c + 1)*a*c*d^2*e*f/(d*x + c - 1) + 4*a*c*d^2*e*f + 2*(d*x + c + 1)*a*c^2*d*f^2/(d
*x + c - 1) - 2*a*c^2*d*f^2 + 2*a*d^2*e*f - (d*x + c + 1)*b*d^2*e*f/(d*x + c - 1) + b*d^2*e*f - 2*a*c*d*f^2 +
(d*x + c + 1)*b*c*d*f^2/(d*x + c - 1) - b*c*d*f^2 - 2*(d*x + c + 1)*a*d*f^2/(d*x + c - 1) - (d*x + c + 1)*b*d*
f^2/(d*x + c - 1) - b*d*f^2)/((d*x + c + 1)^2*d^5*e^5/(d*x + c - 1)^2 - 2*(d*x + c + 1)*d^5*e^5/(d*x + c - 1)
+ d^5*e^5 - 5*(d*x + c + 1)^2*c*d^4*e^4*f/(d*x + c - 1)^2 + 10*(d*x + c + 1)*c*d^4*e^4*f/(d*x + c - 1) - 5*c*d
^4*e^4*f + 10*(d*x + c + 1)^2*c^2*d^3*e^3*f^2/(d*x + c - 1)^2 - 20*(d*x + c + 1)*c^2*d^3*e^3*f^2/(d*x + c - 1)
+ 10*c^2*d^3*e^3*f^2 - 10*(d*x + c + 1)^2*c^3*d^2*e^2*f^3/(d*x + c - 1)^2 + 20*(d*x + c + 1)*c^3*d^2*e^2*f^3/
(d*x + c - 1) - 10*c^3*d^2*e^2*f^3 + 5*(d*x + c + 1)^2*c^4*d*e*f^4/(d*x + c - 1)^2 - 10*(d*x + c + 1)*c^4*d*e*
f^4/(d*x + c - 1) + 5*c^4*d*e*f^4 - (d*x + c + 1)^2*c^5*f^5/(d*x + c - 1)^2 + 2*(d*x + c + 1)*c^5*f^5/(d*x + c
- 1) - c^5*f^5 + 3*(d*x + c + 1)^2*d^4*e^4*f/(d*x + c - 1)^2 - 2*(d*x + c + 1)*d^4*e^4*f/(d*x + c - 1) - d^4*
e^4*f - 12*(d*x + c + 1)^2*c*d^3*e^3*f^2/(d*x + c - 1)^2 + 8*(d*x + c + 1)*c*d^3*e^3*f^2/(d*x + c - 1) + 4*c*d
^3*e^3*f^2 + 18*(d*x + c + 1)^2*c^2*d^2*e^2*f^3/(d*x + c - 1)^2 - 12*(d*x + c + 1)*c^2*d^2*e^2*f^3/(d*x + c -
1) - 6*c^2*d^2*e^2*f^3 - 12*(d*x + c + 1)^2*c^3*d*e*f^4/(d*x + c - 1)^2 + 8*(d*x + c + 1)*c^3*d*e*f^4/(d*x + c
- 1) + 4*c^3*d*e*f^4 + 3*(d*x + c + 1)^2*c^4*f^5/(d*x + c - 1)^2 - 2*(d*x + c + 1)*c^4*f^5/(d*x + c - 1) - c^
4*f^5 + 2*(d*x + c + 1)^2*d^3*e^3*f^2/(d*x + c - 1)^2 + 4*(d*x + c + 1)*d^3*e^3*f^2/(d*x + c - 1) - 2*d^3*e^3*
f^2 - 6*(d*x + c + 1)^2*c*d^2*e^2*f^3/(d*x + c - 1)^2 - 12*(d*x + c + 1)*c*d^2*e^2*f^3/(d*x + c - 1) + 6*c*d^2
*e^2*f^3 + 6*(d*x + c + 1)^2*c^2*d*e*f^4/(d*x + c - 1)^2 + 12*(d*x + c + 1)*c^2*d*e*f^4/(d*x + c - 1) - 6*c^2*
d*e*f^4 - 2*(d*x + c + 1)^2*c^3*f^5/(d*x + c - 1)^2 - 4*(d*x + c + 1)*c^3*f^5/(d*x + c - 1) + 2*c^3*f^5 - 2*(d
*x + c + 1)^2*d^2*e^2*f^3/(d*x + c - 1)^2 + 4*(d*x + c + 1)*d^2*e^2*f^3/(d*x + c - 1) + 2*d^2*e^2*f^3 + 4*(d*x
+ c + 1)^2*c*d*e*f^4/(d*x + c - 1)^2 - 8*(d*x + c + 1)*c*d*e*f^4/(d*x + c - 1) - 4*c*d*e*f^4 - 2*(d*x + c + 1
)^2*c^2*f^5/(d*x + c - 1)^2 + 4*(d*x + c + 1)*c^2*f^5/(d*x + c - 1) + 2*c^2*f^5 - 3*(d*x + c + 1)^2*d*e*f^4/(d
*x + c - 1)^2 - 2*(d*x + c + 1)*d*e*f^4/(d*x + c - 1) + d*e*f^4 + 3*(d*x + c + 1)^2*c*f^5/(d*x + c - 1)^2 + 2*
(d*x + c + 1)*c*f^5/(d*x + c - 1) - c*f^5 - (d*x + c + 1)^2*f^5/(d*x + c - 1)^2 - 2*(d*x + c + 1)*f^5/(d*x + c
- 1) - f^5))

Mupad [B] (verification not implemented)

Time = 6.13 (sec) , antiderivative size = 422, normalized size of antiderivative = 2.53 \[ \int \frac {a+b \coth ^{-1}(c+d x)}{(e+f x)^3} \, dx=\frac {b\,\ln \left (1-\frac {1}{c+d\,x}\right )}{2\,f\,\left (2\,e^2+4\,e\,f\,x+2\,f^2\,x^2\right )}-\frac {\ln \left (e+f\,x\right )\,\left (b\,d^3\,e-b\,c\,d^2\,f\right )}{c^4\,f^4-4\,c^3\,d\,e\,f^3+6\,c^2\,d^2\,e^2\,f^2-2\,c^2\,f^4-4\,c\,d^3\,e^3\,f+4\,c\,d\,e\,f^3+d^4\,e^4-2\,d^2\,e^2\,f^2+f^4}-\frac {\frac {-a\,c^2\,f^2+2\,a\,c\,d\,e\,f-a\,d^2\,e^2+b\,d\,e\,f+a\,f^2}{-c^2\,f^2+2\,c\,d\,e\,f-d^2\,e^2+f^2}+\frac {b\,d\,f^2\,x}{-c^2\,f^2+2\,c\,d\,e\,f-d^2\,e^2+f^2}}{2\,e^2\,f+4\,e\,f^2\,x+2\,f^3\,x^2}-\frac {b\,d^2\,\ln \left (c+d\,x-1\right )}{4\,c^2\,f^3-8\,c\,d\,e\,f^2-8\,c\,f^3+4\,d^2\,e^2\,f+8\,d\,e\,f^2+4\,f^3}+\frac {b\,d^2\,\ln \left (c+d\,x+1\right )}{4\,c^2\,f^3-8\,c\,d\,e\,f^2+8\,c\,f^3+4\,d^2\,e^2\,f-8\,d\,e\,f^2+4\,f^3}-\frac {b\,\ln \left (\frac {1}{c+d\,x}+1\right )}{4\,f\,\left (e^2+2\,e\,f\,x+f^2\,x^2\right )} \]

[In]

int((a + b*acoth(c + d*x))/(e + f*x)^3,x)

[Out]

(b*log(1 - 1/(c + d*x)))/(2*f*(2*e^2 + 2*f^2*x^2 + 4*e*f*x)) - (log(e + f*x)*(b*d^3*e - b*c*d^2*f))/(f^4 - 2*c
^2*f^4 + c^4*f^4 + d^4*e^4 - 2*d^2*e^2*f^2 + 4*c*d*e*f^3 + 6*c^2*d^2*e^2*f^2 - 4*c*d^3*e^3*f - 4*c^3*d*e*f^3)
- ((a*f^2 - a*c^2*f^2 - a*d^2*e^2 + b*d*e*f + 2*a*c*d*e*f)/(f^2 - c^2*f^2 - d^2*e^2 + 2*c*d*e*f) + (b*d*f^2*x)
/(f^2 - c^2*f^2 - d^2*e^2 + 2*c*d*e*f))/(2*e^2*f + 2*f^3*x^2 + 4*e*f^2*x) - (b*d^2*log(c + d*x - 1))/(4*f^3 -
8*c*f^3 + 4*c^2*f^3 + 4*d^2*e^2*f + 8*d*e*f^2 - 8*c*d*e*f^2) + (b*d^2*log(c + d*x + 1))/(8*c*f^3 + 4*f^3 + 4*c
^2*f^3 + 4*d^2*e^2*f - 8*d*e*f^2 - 8*c*d*e*f^2) - (b*log(1/(c + d*x) + 1))/(4*f*(e^2 + f^2*x^2 + 2*e*f*x))