4.37.47 $x{y}^{″}(x)+2y^{\prime }(x)+xy(x{)}^5=0$

ODE
$$x{y}^{″}(x)+2y^{\prime }(x)+xy(x{)}^5=0$$ ODE Classification

[_Emden, [_2nd_order, _with_linear_symmetries]]

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$$\{\text{Solve}[\frac{2\sqrt{3}\sqrt{x}F({\sin 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}^{-1}\left(\sqrt{\frac{(\text{Root}[4K[1{]}^3{\mathrm{\#}\text{1}}^3-3K[1]\mathrm{\#}\text{1}-12c_1\mathrm{\&},1]-\text{Root}[4K[1{]}^3{\mathrm{\#}\text{1}}^3-3K[1]\mathrm{\#}\text{1}-12c_1\mathrm{\&},3])y(x{)}^2}{\text{Root}[4K[1{]}^3{\mathrm{\#}\text{1}}^3-3K[1]\mathrm{\#}\text{1}-12c_1\mathrm{\&},3](\text{Root}[4K[1{]}^3{\mathrm{\#}\text{1}}^3-3K[1]\mathrm{\#}\text{1}-12c_1\mathrm{\&},1]-y(x{)}^2)}}\right)|\frac{(\text{Root}[4K[1{]}^3{\mathrm{\#}\text{1}}^3-3K[1]\mathrm{\#}\text{1}-12c_1\mathrm{\&},1]-\text{Root}[4K[1{]}^3{\mathrm{\#}\text{1}}^3-3K[1]\mathrm{\#}\text{1}-12c_1\mathrm{\&},2])\text{Root}[4K[1{]}^3{\mathrm{\#}\text{1}}^3-3K[1]\mathrm{\#}\text{1}-12c_1\mathrm{\&},3]}{\text{Root}[4K[1{]}^3{\mathrm{\#}\text{1}}^3-3K[1]\mathrm{\#}\text{1}-12c_1\mathrm{\&},2](\text{Root}[4K[1{]}^3{\mathrm{\#}\text{1}}^3-3K[1]\mathrm{\#}\text{1}-12c_1\mathrm{\&},1]-\text{Root}[4K[1{]}^3{\mathrm{\#}\text{1}}^3-3K[1]\mathrm{\#}\text{1}-12c_1\mathrm{\&},3])})K[1]\text{Root}[4K[1{]}^3{\mathrm{\#}\text{1}}^3-3K[1]\mathrm{\#}\text{1}-12c_1\mathrm{\&},1]\text{Root}[4K[1{]}^3{\mathrm{\#}\text{1}}^3-3K[1]\mathrm{\#}\text{1}-12c_1\mathrm{\&},3](-4\text{Root}[4K[1{]}^3{\mathrm{\#}\text{1}}^3-3K[1]\mathrm{\#}\text{1}-12c_1\mathrm{\&},2]{}^{2}K[1{]}^2+4\text{Root}[4K[1{]}^3{\mathrm{\#}\text{1}}^3-3K[1]\mathrm{\#}\text{1}-12c_1\mathrm{\&},1]\text{Root}[4K[1{]}^3{\mathrm{\#}\text{1}}^3-3K[1]\mathrm{\#}\text{1}-12c_1\mathrm{\&},3]K[1{]}^2+3)\sqrt{\frac{\text{Root}[4K[1{]}^3{\mathrm{\#}\text{1}}^3-3K[1]\mathrm{\#}\text{1}-12c_1\mathrm{\&},1](\text{Root}[4K[1{]}^3{\mathrm{\#}\text{1}}^3-3K[1]\mathrm{\#}\text{1}-12c_1\mathrm{\&},1]-\text{Root}[4K[1{]}^3{\mathrm{\#}\text{1}}^3-3K[1]\mathrm{\#}\text{1}-12c_1\mathrm{\&},3])y(x{)}^2(\text{Root}[4K[1{]}^3{\mathrm{\#}\text{1}}^3-3K[1]\mathrm{\#}\text{1}-12c_1\mathrm{\&},3]-y(x{)}^2)}{\text{Root}[4K[1{]}^3{\mathrm{\#}\text{1}}^3-3K[1]\mathrm{\#}\text{1}-12c_1\mathrm{\&},3]{}^2(\text{Root}[4K[1{]}^3{\mathrm{\#}\text{1}}^3-3K[1]\mathrm{\#}\text{1}-12c_1\mathrm{\&},1]-y(x{)}^2){}^2}}y(x)+12\sqrt{3}{c}_{1}K[1{]}^{5/2}\text{Root}[4K[1{]}^3{\mathrm{\#}\text{1}}^3-3K[1]\mathrm{\#}\text{1}-12c_1\mathrm{\&},1]\text{Root}[4K[1{]}^3{\mathrm{\#}\text{1}}^3-3K[1]\mathrm{\#}\text{1}-12c_1\mathrm{\&},2]\text{Root}[4K[1{]}^3{\mathrm{\#}\text{1}}^3-3K[1]\mathrm{\#}\text{1}-12c_1\mathrm{\&},3](\text{Root}[4K[1{]}^3{\mathrm{\#}\text{1}}^3-3K[1]\mathrm{\#}\text{1}-12c_1\mathrm{\&},2]+2\text{Root}[4K[1{]}^3{\mathrm{\#}\text{1}}^3-3K[1]\mathrm{\#}\text{1}-12c_1\mathrm{\&},3])\sqrt{\frac{\text{Root}[4K[1{]}^3{\mathrm{\#}\text{1}}^3-3K[1]\mathrm{\#}\text{1}-12c_1\mathrm{\&},1](\text{Root}[4K[1{]}^3{\mathrm{\#}\text{1}}^3-3K[1]\mathrm{\#}\text{1}-12c_1\mathrm{\&},2]-y(x{)}^2)}{\text{Root}[4K[1{]}^3{\mathrm{\#}\text{1}}^3-3K[1]\mathrm{\#}\text{1}-12c_1\mathrm{\&},2](\text{Root}[4K[1{]}^3{\mathrm{\#}\text{1}}^3-3K[1]\mathrm{\#}\text{1}-12c_1\mathrm{\&},1]-y(x{)}^2)}}\sqrt{-4K[1{]}^{3}y(x{)}^6+3K[1]y(x{)}^2+12c_1}}{\sqrt{3}K[1{]}^{7/2}\text{Root}[4K[1{]}^3{\mathrm{\#}\text{1}}^3-3K[1]\mathrm{\#}\text{1}-12c_1\mathrm{\&},1]\text{Root}[4K[1{]}^3{\mathrm{\#}\text{1}}^3-3K[1]\mathrm{\#}\text{1}-12c_1\mathrm{\&},2](\text{Root}[4K[1{]}^3{\mathrm{\#}\text{1}}^3-3K[1]\mathrm{\#}\text{1}-12c_1\mathrm{\&},1]-\text{Root}[4K[1{]}^3{\mathrm{\#}\text{1}}^3-3K[1]\mathrm{\#}\text{1}-12c_1\mathrm{\&},3])\sqrt{\frac{\text{Root}[4K[1{]}^3{\mathrm{\#}\text{1}}^3-3K[1]\mathrm{\#}\text{1}-12c_1\mathrm{\&},1](\text{Root}[4K[1{]}^3{\mathrm{\#}\text{1}}^3-3K[1]\mathrm{\#}\text{1}-12c_1\mathrm{\&},2]-y(x{)}^2)}{\text{Root}[4K[1{]}^3{\mathrm{\#}\text{1}}^3-3K[1]\mathrm{\#}\text{1}-12c_1\mathrm{\&},2](\text{Root}[4K[1{]}^3{\mathrm{\#}\text{1}}^3-3K[1]\mathrm{\#}\text{1}-12c_1\mathrm{\&},1]-y(x{)}^2)}}(y(x{)}^2-\text{Root}[4K[1{]}^3{\mathrm{\#}\text{1}}^3-3K[1]\mathrm{\#}\text{1}-12c_1\mathrm{\&},3])(-4K[1{]}^{3}y(x{)}^6+3K[1]y(x{)}^2+12c_1){}^{3/2}}dK[1],y(x)]\}$$

Maple ✓
cpu = 0.419 (sec), leaf count = 75

$$\{-\frac{\ln \left(x\right)}{2}-3{\int }^{y\left(x\right)\sqrt{x}}\frac{1}{\sqrt{-12{\mathit{\_}\mathit{f}}^6+9{\mathit{\_}\mathit{f}}^2+9\mathit{\_}\mathit{C}\mathit{1}}}d\mathit{\_}\mathit{f}-\mathit{\_}\mathit{C}\mathit{2}=0,-\frac{\ln \left(x\right)}{2}+3{\int }^{y\left(x\right)\sqrt{x}}\frac{1}{\sqrt{-12{\mathit{\_}\mathit{f}}^6+9{\mathit{\_}\mathit{f}}^2+9\mathit{\_}\mathit{C}\mathit{1}}}d\mathit{\_}\mathit{f}-\mathit{\_}\mathit{C}\mathit{2}=0\}$$ Mathematica raw input

DSolve[x*y[x]^5 + 2*y'[x] + x*y''[x] == 0,y[x],x]

Mathematica raw output

{Solve[(2*Sqrt[3]*Sqrt[x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[((Root[-12*C[1] - 3*x*#1 + 4*x^3
*#1^3 & , 1] - Root[-12*C[1] - 3*x*#1 + 4*x^3*#1^3 & , 3])*y[x]^2)/(Root[-12*C[1
] - 3*x*#1 + 4*x^3*#1^3 & , 3]*(Root[-12*C[1] - 3*x*#1 + 4*x^3*#1^3 & , 1] - y[x
]^2))]], ((Root[-12*C[1] - 3*x*#1 + 4*x^3*#1^3 & , 1] - Root[-12*C[1] - 3*x*#1 +
 4*x^3*#1^3 & , 2])*Root[-12*C[1] - 3*x*#1 + 4*x^3*#1^3 & , 3])/(Root[-12*C[1] -
 3*x*#1 + 4*x^3*#1^3 & , 2]*(Root[-12*C[1] - 3*x*#1 + 4*x^3*#1^3 & , 1] - Root[-
12*C[1] - 3*x*#1 + 4*x^3*#1^3 & , 3]))]*y[x]*Sqrt[(Root[-12*C[1] - 3*x*#1 + 4*x^
3*#1^3 & , 1]*(Root[-12*C[1] - 3*x*#1 + 4*x^3*#1^3 & , 2] - y[x]^2))/(Root[-12*C
[1] - 3*x*#1 + 4*x^3*#1^3 & , 2]*(Root[-12*C[1] - 3*x*#1 + 4*x^3*#1^3 & , 1] - y
[x]^2))]*(-Root[-12*C[1] - 3*x*#1 + 4*x^3*#1^3 & , 3] + y[x]^2))/(Root[-12*C[1] 
- 3*x*#1 + 4*x^3*#1^3 & , 3]*Sqrt[(Root[-12*C[1] - 3*x*#1 + 4*x^3*#1^3 & , 1]*(R
oot[-12*C[1] - 3*x*#1 + 4*x^3*#1^3 & , 1] - Root[-12*C[1] - 3*x*#1 + 4*x^3*#1^3 
& , 3])*y[x]^2*(Root[-12*C[1] - 3*x*#1 + 4*x^3*#1^3 & , 3] - y[x]^2))/(Root[-12*
C[1] - 3*x*#1 + 4*x^3*#1^3 & , 3]^2*(Root[-12*C[1] - 3*x*#1 + 4*x^3*#1^3 & , 1] 
- y[x]^2)^2)]*Sqrt[12*C[1] + 3*x*y[x]^2 - 4*x^3*y[x]^6]) == C[2] + Integrate[-((
9*C[1]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[((Root[-12*C[1] - 3*K[2]*#1 + 4*K[2]^3*#1^3 & , 1] 
- Root[-12*C[1] - 3*K[2]*#1 + 4*K[2]^3*#1^3 & , 3])*y[x]^2)/(Root[-12*C[1] - 3*K
[2]*#1 + 4*K[2]^3*#1^3 & , 3]*(Root[-12*C[1] - 3*K[2]*#1 + 4*K[2]^3*#1^3 & , 1] 
- y[x]^2))]], ((Root[-12*C[1] - 3*K[2]*#1 + 4*K[2]^3*#1^3 & , 1] - Root[-12*C[1]
 - 3*K[2]*#1 + 4*K[2]^3*#1^3 & , 2])*Root[-12*C[1] - 3*K[2]*#1 + 4*K[2]^3*#1^3 &
 , 3])/(Root[-12*C[1] - 3*K[2]*#1 + 4*K[2]^3*#1^3 & , 2]*(Root[-12*C[1] - 3*K[2]
*#1 + 4*K[2]^3*#1^3 & , 1] - Root[-12*C[1] - 3*K[2]*#1 + 4*K[2]^3*#1^3 & , 3]))]
*K[2]*Root[-12*C[1] - 3*K[2]*#1 + 4*K[2]^3*#1^3 & , 1]*Root[-12*C[1] - 3*K[2]*#1
 + 4*K[2]^3*#1^3 & , 3]*(3 - 4*K[2]^2*Root[-12*C[1] - 3*K[2]*#1 + 4*K[2]^3*#1^3 
& , 2]^2 + 4*K[2]^2*Root[-12*C[1] - 3*K[2]*#1 + 4*K[2]^3*#1^3 & , 1]*Root[-12*C[
1] - 3*K[2]*#1 + 4*K[2]^3*#1^3 & , 3])*y[x]*Sqrt[(Root[-12*C[1] - 3*K[2]*#1 + 4*
K[2]^3*#1^3 & , 1]*(Root[-12*C[1] - 3*K[2]*#1 + 4*K[2]^3*#1^3 & , 1] - Root[-12*
C[1] - 3*K[2]*#1 + 4*K[2]^3*#1^3 & , 3])*y[x]^2*(Root[-12*C[1] - 3*K[2]*#1 + 4*K
[2]^3*#1^3 & , 3] - y[x]^2))/(Root[-12*C[1] - 3*K[2]*#1 + 4*K[2]^3*#1^3 & , 3]^2
*(Root[-12*C[1] - 3*K[2]*#1 + 4*K[2]^3*#1^3 & , 1] - y[x]^2)^2)] - 72*C[1]*Ellip
ticF[ArcSin[Sqrt[((Root[-12*C[1] - 3*K[2]*#1 + 4*K[2]^3*#1^3 & , 1] - Root[-12*C
[1] - 3*K[2]*#1 + 4*K[2]^3*#1^3 & , 3])*y[x]^2)/(Root[-12*C[1] - 3*K[2]*#1 + 4*K
[2]^3*#1^3 & , 3]*(Root[-12*C[1] - 3*K[2]*#1 + 4*K[2]^3*#1^3 & , 1] - y[x]^2))]]
, ((Root[-12*C[1] - 3*K[2]*#1 + 4*K[2]^3*#1^3 & , 1] - Root[-12*C[1] - 3*K[2]*#1
 + 4*K[2]^3*#1^3 & , 2])*Root[-12*C[1] - 3*K[2]*#1 + 4*K[2]^3*#1^3 & , 3])/(Root
[-12*C[1] - 3*K[2]*#1 + 4*K[2]^3*#1^3 & , 2]*(Root[-12*C[1] - 3*K[2]*#1 + 4*K[2]
^3*#1^3 & , 1] - Root[-12*C[1] - 3*K[2]*#1 + 4*K[2]^3*#1^3 & , 3]))]*(3*C[1] + K
[2]^3*Root[-12*C[1] - 3*K[2]*#1 + 4*K[2]^3*#1^3 & , 1]^2*Root[-12*C[1] - 3*K[2]*
#1 + 4*K[2]^3*#1^3 & , 3] + K[2]^3*Root[-12*C[1] - 3*K[2]*#1 + 4*K[2]^3*#1^3 & ,
 1]*Root[-12*C[1] - 3*K[2]*#1 + 4*K[2]^3*#1^3 & , 3]^2)*y[x]^3*Sqrt[(Root[-12*C[
1] - 3*K[2]*#1 + 4*K[2]^3*#1^3 & , 1]*(Root[-12*C[1] - 3*K[2]*#1 + 4*K[2]^3*#1^3
 & , 1] - Root[-12*C[1] - 3*K[2]*#1 + 4*K[2]^3*#1^3 & , 3])*y[x]^2*(Root[-12*C[1
] - 3*K[2]*#1 + 4*K[2]^3*#1^3 & , 3] - y[x]^2))/(Root[-12*C[1] - 3*K[2]*#1 + 4*K
[2]^3*#1^3 & , 3]^2*(Root[-12*C[1] - 3*K[2]*#1 + 4*K[2]^3*#1^3 & , 1] - y[x]^2)^
2)] - 9*EllipticF[ArcSin[Sqrt[((Root[-12*C[1] - 3*K[2]*#1 + 4*K[2]^3*#1^3 & , 1]
 - Root[-12*C[1] - 3*K[2]*#1 + 4*K[2]^3*#1^3 & , 3])*y[x]^2)/(Root[-12*C[1] - 3*
K[2]*#1 + 4*K[2]^3*#1^3 & , 3]*(Root[-12*C[1] - 3*K[2]*#1 + 4*K[2]^3*#1^3 & , 1]
 - y[x]^2))]], ((Root[-12*C[1] - 3*K[2]*#1 + 4*K[2]^3*#1^3 & , 1] - Root[-12*C[1
] - 3*K[2]*#1 + 4*K[2]^3*#1^3 & , 2])*Root[-12*C[1] - 3*K[2]*#1 + 4*K[2]^3*#1^3 
& , 3])/(Root[-12*C[1] - 3*K[2]*#1 + 4*K[2]^3*#1^3 & , 2]*(Root[-12*C[1] - 3*K[2
]*#1 + 4*K[2]^3*#1^3 & , 1] - Root[-12*C[1] - 3*K[2]*#1 + 4*K[2]^3*#1^3 & , 3]))
]*K[2]*(3*C[1] + K[2]^2*Root[-12*C[1] - 3*K[2]*#1 + 4*K[2]^3*#1^3 & , 1]*Root[-1
2*C[1] - 3*K[2]*#1 + 4*K[2]^3*#1^3 & , 3]*(-12*C[1] + K[2]*Root[-12*C[1] - 3*K[2
]*#1 + 4*K[2]^3*#1^3 & , 3]) + K[2]^3*Root[-12*C[1] - 3*K[2]*#1 + 4*K[2]^3*#1^3 
& , 1]^2*Root[-12*C[1] - 3*K[2]*#1 + 4*K[2]^3*#1^3 & , 3]*(1 + 4*K[2]^2*Root[-12
*C[1] - 3*K[2]*#1 + 4*K[2]^3*#1^3 & , 2]*Root[-12*C[1] - 3*K[2]*#1 + 4*K[2]^3*#1
^3 & , 3]))*y[x]^5*Sqrt[(Root[-12*C[1] - 3*K[2]*#1 + 4*K[2]^3*#1^3 & , 1]*(Root[
-12*C[1] - 3*K[2]*#1 + 4*K[2]^3*#1^3 & , 1] - Root[-12*C[1] - 3*K[2]*#1 + 4*K[2]
^3*#1^3 & , 3])*y[x]^2*(Root[-12*C[1] - 3*K[2]*#1 + 4*K[2]^3*#1^3 & , 3] - y[x]^
2))/(Root[-12*C[1] - 3*K[2]*#1 + 4*K[2]^3*#1^3 & , 3]^2*(Root[-12*C[1] - 3*K[2]*
#1 + 4*K[2]^3*#1^3 & , 1] - y[x]^2)^2)] + 6*EllipticF[ArcSin[Sqrt[((Root[-12*C[1
] - 3*K[2]*#1 + 4*K[2]^3*#1^3 & , 1] - Root[-12*C[1] - 3*K[2]*#1 + 4*K[2]^3*#1^3
 & , 3])*y[x]^2)/(Root[-12*C[1] - 3*K[2]*#1 + 4*K[2]^3*#1^3 & , 3]*(Root[-12*C[1
] - 3*K[2]*#1 + 4*K[2]^3*#1^3 & , 1] - y[x]^2))]], ((Root[-12*C[1] - 3*K[2]*#1 +
 4*K[2]^3*#1^3 & , 1] - Root[-12*C[1] - 3*K[2]*#1 + 4*K[2]^3*#1^3 & , 2])*Root[-
12*C[1] - 3*K[2]*#1 + 4*K[2]^3*#1^3 & , 3])/(Root[-12*C[1] - 3*K[2]*#1 + 4*K[2]^
3*#1^3 & , 2]*(Root[-12*C[1] - 3*K[2]*#1 + 4*K[2]^3*#1^3 & , 1] - Root[-12*C[1] 
- 3*K[2]*#1 + 4*K[2]^3*#1^3 & , 3]))]*K[2]^4*Root[-12*C[1] - 3*K[2]*#1 + 4*K[2]^
3*#1^3 & , 1]*Root[-12*C[1] - 3*K[2]*#1 + 4*K[2]^3*#1^3 & , 3]*(3 - 4*K[2]^2*Roo
t[-12*C[1] - 3*K[2]*#1 + 4*K[2]^3*#1^3 & , 2]^2 + 4*K[2]^2*Root[-12*C[1] - 3*K[2
]*#1 + 4*K[2]^3*#1^3 & , 1]*Root[-12*C[1] - 3*K[2]*#1 + 4*K[2]^3*#1^3 & , 3])*y[
x]^7*Sqrt[(Root[-12*C[1] - 3*K[2]*#1 + 4*K[2]^3*#1^3 & , 1]*(Root[-12*C[1] - 3*K
[2]*#1 + 4*K[2]^3*#1^3 & , 1] - Root[-12*C[1] - 3*K[2]*#1 + 4*K[2]^3*#1^3 & , 3]
)*y[x]^2*(Root[-12*C[1] - 3*K[2]*#1 + 4*K[2]^3*#1^3 & , 3] - y[x]^2))/(Root[-12*
C[1] - 3*K[2]*#1 + 4*K[2]^3*#1^3 & , 3]^2*(Root[-12*C[1] - 3*K[2]*#1 + 4*K[2]^3*
#1^3 & , 1] - y[x]^2)^2)] - 12*EllipticF[ArcSin[Sqrt[((Root[-12*C[1] - 3*K[2]*#1
 + 4*K[2]^3*#1^3 & , 1] - Root[-12*C[1] - 3*K[2]*#1 + 4*K[2]^3*#1^3 & , 3])*y[x]
^2)/(Root[-12*C[1] - 3*K[2]*#1 + 4*K[2]^3*#1^3 & , 3]*(Root[-12*C[1] - 3*K[2]*#1
 + 4*K[2]^3*#1^3 & , 1] - y[x]^2))]], ((Root[-12*C[1] - 3*K[2]*#1 + 4*K[2]^3*#1^
3 & , 1] - Root[-12*C[1] - 3*K[2]*#1 + 4*K[2]^3*#1^3 & , 2])*Root[-12*C[1] - 3*K
[2]*#1 + 4*K[2]^3*#1^3 & , 3])/(Root[-12*C[1] - 3*K[2]*#1 + 4*K[2]^3*#1^3 & , 2]
*(Root[-12*C[1] - 3*K[2]*#1 + 4*K[2]^3*#1^3 & , 1] - Root[-12*C[1] - 3*K[2]*#1 +
 4*K[2]^3*#1^3 & , 3]))]*K[2]^3*(3*C[1] + K[2]^3*Root[-12*C[1] - 3*K[2]*#1 + 4*K
[2]^3*#1^3 & , 1]^2*Root[-12*C[1] - 3*K[2]*#1 + 4*K[2]^3*#1^3 & , 3] + K[2]^3*Ro
ot[-12*C[1] - 3*K[2]*#1 + 4*K[2]^3*#1^3 & , 1]*Root[-12*C[1] - 3*K[2]*#1 + 4*K[2
]^3*#1^3 & , 3]^2)*y[x]^9*Sqrt[(Root[-12*C[1] - 3*K[2]*#1 + 4*K[2]^3*#1^3 & , 1]
*(Root[-12*C[1] - 3*K[2]*#1 + 4*K[2]^3*#1^3 & , 1] - Root[-12*C[1] - 3*K[2]*#1 +
 4*K[2]^3*#1^3 & , 3])*y[x]^2*(Root[-12*C[1] - 3*K[2]*#1 + 4*K[2]^3*#1^3 & , 3] 
- y[x]^2))/(Root[-12*C[1] - 3*K[2]*#1 + 4*K[2]^3*#1^3 & , 3]^2*(Root[-12*C[1] - 
3*K[2]*#1 + 4*K[2]^3*#1^3 & , 1] - y[x]^2)^2)] + 12*Sqrt[3]*C[1]*K[2]^(5/2)*Root
[-12*C[1] - 3*K[2]*#1 + 4*K[2]^3*#1^3 & , 1]*Root[-12*C[1] - 3*K[2]*#1 + 4*K[2]^
3*#1^3 & , 2]*Root[-12*C[1] - 3*K[2]*#1 + 4*K[2]^3*#1^3 & , 3]*(Root[-12*C[1] - 
3*K[2]*#1 + 4*K[2]^3*#1^3 & , 2] + 2*Root[-12*C[1] - 3*K[2]*#1 + 4*K[2]^3*#1^3 &
 , 3])*Sqrt[(Root[-12*C[1] - 3*K[2]*#1 + 4*K[2]^3*#1^3 & , 1]*(Root[-12*C[1] - 3
*K[2]*#1 + 4*K[2]^3*#1^3 & , 2] - y[x]^2))/(Root[-12*C[1] - 3*K[2]*#1 + 4*K[2]^3
*#1^3 & , 2]*(Root[-12*C[1] - 3*K[2]*#1 + 4*K[2]^3*#1^3 & , 1] - y[x]^2))]*Sqrt[
12*C[1] + 3*K[2]*y[x]^2 - 4*K[2]^3*y[x]^6] - (3*Sqrt[3]*(4*C[1]*K[2]^3*Root[-12*
C[1] - 3*K[2]*#1 + 4*K[2]^3*#1^3 & , 1]^2*Root[-12*C[1] - 3*K[2]*#1 + 4*K[2]^3*#
1^3 & , 3] + 4*C[1]*(12*C[1] + K[2]^3*Root[-12*C[1] - 3*K[2]*#1 + 4*K[2]^3*#1^3 
& , 2]^2*Root[-12*C[1] - 3*K[2]*#1 + 4*K[2]^3*#1^3 & , 3] + K[2]^3*Root[-12*C[1]
 - 3*K[2]*#1 + 4*K[2]^3*#1^3 & , 2]*Root[-12*C[1] - 3*K[2]*#1 + 4*K[2]^3*#1^3 & 
, 3]^2) + K[2]^3*Root[-12*C[1] - 3*K[2]*#1 + 4*K[2]^3*#1^3 & , 1]*(4*C[1]*Root[-
12*C[1] - 3*K[2]*#1 + 4*K[2]^3*#1^3 & , 3]^2 - 2*K[2]*Root[-12*C[1] - 3*K[2]*#1 
+ 4*K[2]^3*#1^3 & , 2]*Root[-12*C[1] - 3*K[2]*#1 + 4*K[2]^3*#1^3 & , 3]^2 + Root
[-12*C[1] - 3*K[2]*#1 + 4*K[2]^3*#1^3 & , 2]^2*(4*C[1] - K[2]*Root[-12*C[1] - 3*
K[2]*#1 + 4*K[2]^3*#1^3 & , 3])))*y[x]^2*Sqrt[(Root[-12*C[1] - 3*K[2]*#1 + 4*K[2
]^3*#1^3 & , 1]*(Root[-12*C[1] - 3*K[2]*#1 + 4*K[2]^3*#1^3 & , 2] - y[x]^2))/(Ro
ot[-12*C[1] - 3*K[2]*#1 + 4*K[2]^3*#1^3 & , 2]*(Root[-12*C[1] - 3*K[2]*#1 + 4*K[
2]^3*#1^3 & , 1] - y[x]^2))]*Sqrt[12*C[1] + 3*K[2]*y[x]^2 - 4*K[2]^3*y[x]^6])/Sq
rt[K[2]] - 3*Sqrt[3]*Sqrt[K[2]]*(12*C[1] + K[2]^3*Root[-12*C[1] - 3*K[2]*#1 + 4*
K[2]^3*#1^3 & , 1]^2*Root[-12*C[1] - 3*K[2]*#1 + 4*K[2]^3*#1^3 & , 3] + K[2]^3*R
oot[-12*C[1] - 3*K[2]*#1 + 4*K[2]^3*#1^3 & , 2]^2*Root[-12*C[1] - 3*K[2]*#1 + 4*
K[2]^3*#1^3 & , 3] + K[2]^3*Root[-12*C[1] - 3*K[2]*#1 + 4*K[2]^3*#1^3 & , 2]*Roo
t[-12*C[1] - 3*K[2]*#1 + 4*K[2]^3*#1^3 & , 3]^2 + K[2]^3*Root[-12*C[1] - 3*K[2]*
#1 + 4*K[2]^3*#1^3 & , 1]*(Root[-12*C[1] - 3*K[2]*#1 + 4*K[2]^3*#1^3 & , 2]^2 + 
Root[-12*C[1] - 3*K[2]*#1 + 4*K[2]^3*#1^3 & , 3]^2))*y[x]^4*Sqrt[(Root[-12*C[1] 
- 3*K[2]*#1 + 4*K[2]^3*#1^3 & , 1]*(Root[-12*C[1] - 3*K[2]*#1 + 4*K[2]^3*#1^3 & 
, 2] - y[x]^2))/(Root[-12*C[1] - 3*K[2]*#1 + 4*K[2]^3*#1^3 & , 2]*(Root[-12*C[1]
 - 3*K[2]*#1 + 4*K[2]^3*#1^3 & , 1] - y[x]^2))]*Sqrt[12*C[1] + 3*K[2]*y[x]^2 - 4
*K[2]^3*y[x]^6] - 4*Sqrt[3]*K[2]^(11/2)*Root[-12*C[1] - 3*K[2]*#1 + 4*K[2]^3*#1^
3 & , 1]*Root[-12*C[1] - 3*K[2]*#1 + 4*K[2]^3*#1^3 & , 2]*Root[-12*C[1] - 3*K[2]
*#1 + 4*K[2]^3*#1^3 & , 3]*(Root[-12*C[1] - 3*K[2]*#1 + 4*K[2]^3*#1^3 & , 2] + 2
*Root[-12*C[1] - 3*K[2]*#1 + 4*K[2]^3*#1^3 & , 3])*y[x]^6*Sqrt[(Root[-12*C[1] - 
3*K[2]*#1 + 4*K[2]^3*#1^3 & , 1]*(Root[-12*C[1] - 3*K[2]*#1 + 4*K[2]^3*#1^3 & , 
2] - y[x]^2))/(Root[-12*C[1] - 3*K[2]*#1 + 4*K[2]^3*#1^3 & , 2]*(Root[-12*C[1] -
 3*K[2]*#1 + 4*K[2]^3*#1^3 & , 1] - y[x]^2))]*Sqrt[12*C[1] + 3*K[2]*y[x]^2 - 4*K
[2]^3*y[x]^6] + 4*Sqrt[3]*K[2]^(5/2)*(12*C[1] + K[2]^3*Root[-12*C[1] - 3*K[2]*#1
 + 4*K[2]^3*#1^3 & , 1]^2*Root[-12*C[1] - 3*K[2]*#1 + 4*K[2]^3*#1^3 & , 3] + K[2
]^3*Root[-12*C[1] - 3*K[2]*#1 + 4*K[2]^3*#1^3 & , 2]^2*Root[-12*C[1] - 3*K[2]*#1
 + 4*K[2]^3*#1^3 & , 3] + K[2]^3*Root[-12*C[1] - 3*K[2]*#1 + 4*K[2]^3*#1^3 & , 2
]*Root[-12*C[1] - 3*K[2]*#1 + 4*K[2]^3*#1^3 & , 3]^2 + K[2]^3*Root[-12*C[1] - 3*
K[2]*#1 + 4*K[2]^3*#1^3 & , 1]*(Root[-12*C[1] - 3*K[2]*#1 + 4*K[2]^3*#1^3 & , 2]
^2 + Root[-12*C[1] - 3*K[2]*#1 + 4*K[2]^3*#1^3 & , 3]^2))*y[x]^8*Sqrt[(Root[-12*
C[1] - 3*K[2]*#1 + 4*K[2]^3*#1^3 & , 1]*(Root[-12*C[1] - 3*K[2]*#1 + 4*K[2]^3*#1
^3 & , 2] - y[x]^2))/(Root[-12*C[1] - 3*K[2]*#1 + 4*K[2]^3*#1^3 & , 2]*(Root[-12
*C[1] - 3*K[2]*#1 + 4*K[2]^3*#1^3 & , 1] - y[x]^2))]*Sqrt[12*C[1] + 3*K[2]*y[x]^
2 - 4*K[2]^3*y[x]^6])/(Sqrt[3]*K[2]^(7/2)*Root[-12*C[1] - 3*K[2]*#1 + 4*K[2]^3*#
1^3 & , 1]*Root[-12*C[1] - 3*K[2]*#1 + 4*K[2]^3*#1^3 & , 2]*(Root[-12*C[1] - 3*K
[2]*#1 + 4*K[2]^3*#1^3 & , 1] - Root[-12*C[1] - 3*K[2]*#1 + 4*K[2]^3*#1^3 & , 3]
)*Sqrt[(Root[-12*C[1] - 3*K[2]*#1 + 4*K[2]^3*#1^3 & , 1]*(Root[-12*C[1] - 3*K[2]
*#1 + 4*K[2]^3*#1^3 & , 2] - y[x]^2))/(Root[-12*C[1] - 3*K[2]*#1 + 4*K[2]^3*#1^3
 & , 2]*(Root[-12*C[1] - 3*K[2]*#1 + 4*K[2]^3*#1^3 & , 1] - y[x]^2))]*(-Root[-12
*C[1] - 3*K[2]*#1 + 4*K[2]^3*#1^3 & , 3] + y[x]^2)*(12*C[1] + 3*K[2]*y[x]^2 - 4*
K[2]^3*y[x]^6)^(3/2))), {K[2], 1, x}], y[x]], Solve[(2*Sqrt[3]*Sqrt[x]*EllipticF
[ArcSin[Sqrt[((Root[-12*C[1] - 3*x*#1 + 4*x^3*#1^3 & , 1] - Root[-12*C[1] - 3*x*
#1 + 4*x^3*#1^3 & , 3])*y[x]^2)/(Root[-12*C[1] - 3*x*#1 + 4*x^3*#1^3 & , 3]*(Roo
t[-12*C[1] - 3*x*#1 + 4*x^3*#1^3 & , 1] - y[x]^2))]], ((Root[-12*C[1] - 3*x*#1 +
 4*x^3*#1^3 & , 1] - Root[-12*C[1] - 3*x*#1 + 4*x^3*#1^3 & , 2])*Root[-12*C[1] -
 3*x*#1 + 4*x^3*#1^3 & , 3])/(Root[-12*C[1] - 3*x*#1 + 4*x^3*#1^3 & , 2]*(Root[-
12*C[1] - 3*x*#1 + 4*x^3*#1^3 & , 1] - Root[-12*C[1] - 3*x*#1 + 4*x^3*#1^3 & , 3
]))]*y[x]*Sqrt[(Root[-12*C[1] - 3*x*#1 + 4*x^3*#1^3 & , 1]*(Root[-12*C[1] - 3*x*
#1 + 4*x^3*#1^3 & , 2] - y[x]^2))/(Root[-12*C[1] - 3*x*#1 + 4*x^3*#1^3 & , 2]*(R
oot[-12*C[1] - 3*x*#1 + 4*x^3*#1^3 & , 1] - y[x]^2))]*(Root[-12*C[1] - 3*x*#1 + 
4*x^3*#1^3 & , 3] - y[x]^2))/(Root[-12*C[1] - 3*x*#1 + 4*x^3*#1^3 & , 3]*Sqrt[(R
oot[-12*C[1] - 3*x*#1 + 4*x^3*#1^3 & , 1]*(Root[-12*C[1] - 3*x*#1 + 4*x^3*#1^3 &
 , 1] - Root[-12*C[1] - 3*x*#1 + 4*x^3*#1^3 & , 3])*y[x]^2*(Root[-12*C[1] - 3*x*
#1 + 4*x^3*#1^3 & , 3] - y[x]^2))/(Root[-12*C[1] - 3*x*#1 + 4*x^3*#1^3 & , 3]^2*
(Root[-12*C[1] - 3*x*#1 + 4*x^3*#1^3 & , 1] - y[x]^2)^2)]*Sqrt[12*C[1] + 3*x*y[x
]^2 - 4*x^3*y[x]^6]) == C[2] + Integrate[-((-9*C[1]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[((Root
[-12*C[1] - 3*K[1]*#1 + 4*K[1]^3*#1^3 & , 1] - Root[-12*C[1] - 3*K[1]*#1 + 4*K[1
]^3*#1^3 & , 3])*y[x]^2)/(Root[-12*C[1] - 3*K[1]*#1 + 4*K[1]^3*#1^3 & , 3]*(Root
[-12*C[1] - 3*K[1]*#1 + 4*K[1]^3*#1^3 & , 1] - y[x]^2))]], ((Root[-12*C[1] - 3*K
[1]*#1 + 4*K[1]^3*#1^3 & , 1] - Root[-12*C[1] - 3*K[1]*#1 + 4*K[1]^3*#1^3 & , 2]
)*Root[-12*C[1] - 3*K[1]*#1 + 4*K[1]^3*#1^3 & , 3])/(Root[-12*C[1] - 3*K[1]*#1 +
 4*K[1]^3*#1^3 & , 2]*(Root[-12*C[1] - 3*K[1]*#1 + 4*K[1]^3*#1^3 & , 1] - Root[-
12*C[1] - 3*K[1]*#1 + 4*K[1]^3*#1^3 & , 3]))]*K[1]*Root[-12*C[1] - 3*K[1]*#1 + 4
*K[1]^3*#1^3 & , 1]*Root[-12*C[1] - 3*K[1]*#1 + 4*K[1]^3*#1^3 & , 3]*(3 - 4*K[1]
^2*Root[-12*C[1] - 3*K[1]*#1 + 4*K[1]^3*#1^3 & , 2]^2 + 4*K[1]^2*Root[-12*C[1] -
 3*K[1]*#1 + 4*K[1]^3*#1^3 & , 1]*Root[-12*C[1] - 3*K[1]*#1 + 4*K[1]^3*#1^3 & , 
3])*y[x]*Sqrt[(Root[-12*C[1] - 3*K[1]*#1 + 4*K[1]^3*#1^3 & , 1]*(Root[-12*C[1] -
 3*K[1]*#1 + 4*K[1]^3*#1^3 & , 1] - Root[-12*C[1] - 3*K[1]*#1 + 4*K[1]^3*#1^3 & 
, 3])*y[x]^2*(Root[-12*C[1] - 3*K[1]*#1 + 4*K[1]^3*#1^3 & , 3] - y[x]^2))/(Root[
-12*C[1] - 3*K[1]*#1 + 4*K[1]^3*#1^3 & , 3]^2*(Root[-12*C[1] - 3*K[1]*#1 + 4*K[1
]^3*#1^3 & , 1] - y[x]^2)^2)] + 72*C[1]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[((Root[-12*C[1] - 
3*K[1]*#1 + 4*K[1]^3*#1^3 & , 1] - Root[-12*C[1] - 3*K[1]*#1 + 4*K[1]^3*#1^3 & ,
 3])*y[x]^2)/(Root[-12*C[1] - 3*K[1]*#1 + 4*K[1]^3*#1^3 & , 3]*(Root[-12*C[1] - 
3*K[1]*#1 + 4*K[1]^3*#1^3 & , 1] - y[x]^2))]], ((Root[-12*C[1] - 3*K[1]*#1 + 4*K
[1]^3*#1^3 & , 1] - Root[-12*C[1] - 3*K[1]*#1 + 4*K[1]^3*#1^3 & , 2])*Root[-12*C
[1] - 3*K[1]*#1 + 4*K[1]^3*#1^3 & , 3])/(Root[-12*C[1] - 3*K[1]*#1 + 4*K[1]^3*#1
^3 & , 2]*(Root[-12*C[1] - 3*K[1]*#1 + 4*K[1]^3*#1^3 & , 1] - Root[-12*C[1] - 3*
K[1]*#1 + 4*K[1]^3*#1^3 & , 3]))]*(3*C[1] + K[1]^3*Root[-12*C[1] - 3*K[1]*#1 + 4
*K[1]^3*#1^3 & , 1]^2*Root[-12*C[1] - 3*K[1]*#1 + 4*K[1]^3*#1^3 & , 3] + K[1]^3*
Root[-12*C[1] - 3*K[1]*#1 + 4*K[1]^3*#1^3 & , 1]*Root[-12*C[1] - 3*K[1]*#1 + 4*K
[1]^3*#1^3 & , 3]^2)*y[x]^3*Sqrt[(Root[-12*C[1] - 3*K[1]*#1 + 4*K[1]^3*#1^3 & , 
1]*(Root[-12*C[1] - 3*K[1]*#1 + 4*K[1]^3*#1^3 & , 1] - Root[-12*C[1] - 3*K[1]*#1
 + 4*K[1]^3*#1^3 & , 3])*y[x]^2*(Root[-12*C[1] - 3*K[1]*#1 + 4*K[1]^3*#1^3 & , 3
] - y[x]^2))/(Root[-12*C[1] - 3*K[1]*#1 + 4*K[1]^3*#1^3 & , 3]^2*(Root[-12*C[1] 
- 3*K[1]*#1 + 4*K[1]^3*#1^3 & , 1] - y[x]^2)^2)] + 9*EllipticF[ArcSin[Sqrt[((Roo
t[-12*C[1] - 3*K[1]*#1 + 4*K[1]^3*#1^3 & , 1] - Root[-12*C[1] - 3*K[1]*#1 + 4*K[
1]^3*#1^3 & , 3])*y[x]^2)/(Root[-12*C[1] - 3*K[1]*#1 + 4*K[1]^3*#1^3 & , 3]*(Roo
t[-12*C[1] - 3*K[1]*#1 + 4*K[1]^3*#1^3 & , 1] - y[x]^2))]], ((Root[-12*C[1] - 3*
K[1]*#1 + 4*K[1]^3*#1^3 & , 1] - Root[-12*C[1] - 3*K[1]*#1 + 4*K[1]^3*#1^3 & , 2
])*Root[-12*C[1] - 3*K[1]*#1 + 4*K[1]^3*#1^3 & , 3])/(Root[-12*C[1] - 3*K[1]*#1 
+ 4*K[1]^3*#1^3 & , 2]*(Root[-12*C[1] - 3*K[1]*#1 + 4*K[1]^3*#1^3 & , 1] - Root[
-12*C[1] - 3*K[1]*#1 + 4*K[1]^3*#1^3 & , 3]))]*K[1]*(3*C[1] + K[1]^2*Root[-12*C[
1] - 3*K[1]*#1 + 4*K[1]^3*#1^3 & , 1]*Root[-12*C[1] - 3*K[1]*#1 + 4*K[1]^3*#1^3 
& , 3]*(-12*C[1] + K[1]*Root[-12*C[1] - 3*K[1]*#1 + 4*K[1]^3*#1^3 & , 3]) + K[1]
^3*Root[-12*C[1] - 3*K[1]*#1 + 4*K[1]^3*#1^3 & , 1]^2*Root[-12*C[1] - 3*K[1]*#1 
+ 4*K[1]^3*#1^3 & , 3]*(1 + 4*K[1]^2*Root[-12*C[1] - 3*K[1]*#1 + 4*K[1]^3*#1^3 &
 , 2]*Root[-12*C[1] - 3*K[1]*#1 + 4*K[1]^3*#1^3 & , 3]))*y[x]^5*Sqrt[(Root[-12*C
[1] - 3*K[1]*#1 + 4*K[1]^3*#1^3 & , 1]*(Root[-12*C[1] - 3*K[1]*#1 + 4*K[1]^3*#1^
3 & , 1] - Root[-12*C[1] - 3*K[1]*#1 + 4*K[1]^3*#1^3 & , 3])*y[x]^2*(Root[-12*C[
1] - 3*K[1]*#1 + 4*K[1]^3*#1^3 & , 3] - y[x]^2))/(Root[-12*C[1] - 3*K[1]*#1 + 4*
K[1]^3*#1^3 & , 3]^2*(Root[-12*C[1] - 3*K[1]*#1 + 4*K[1]^3*#1^3 & , 1] - y[x]^2)
^2)] - 6*EllipticF[ArcSin[Sqrt[((Root[-12*C[1] - 3*K[1]*#1 + 4*K[1]^3*#1^3 & , 1
] - Root[-12*C[1] - 3*K[1]*#1 + 4*K[1]^3*#1^3 & , 3])*y[x]^2)/(Root[-12*C[1] - 3
*K[1]*#1 + 4*K[1]^3*#1^3 & , 3]*(Root[-12*C[1] - 3*K[1]*#1 + 4*K[1]^3*#1^3 & , 1
] - y[x]^2))]], ((Root[-12*C[1] - 3*K[1]*#1 + 4*K[1]^3*#1^3 & , 1] - Root[-12*C[
1] - 3*K[1]*#1 + 4*K[1]^3*#1^3 & , 2])*Root[-12*C[1] - 3*K[1]*#1 + 4*K[1]^3*#1^3
 & , 3])/(Root[-12*C[1] - 3*K[1]*#1 + 4*K[1]^3*#1^3 & , 2]*(Root[-12*C[1] - 3*K[
1]*#1 + 4*K[1]^3*#1^3 & , 1] - Root[-12*C[1] - 3*K[1]*#1 + 4*K[1]^3*#1^3 & , 3])
)]*K[1]^4*Root[-12*C[1] - 3*K[1]*#1 + 4*K[1]^3*#1^3 & , 1]*Root[-12*C[1] - 3*K[1
]*#1 + 4*K[1]^3*#1^3 & , 3]*(3 - 4*K[1]^2*Root[-12*C[1] - 3*K[1]*#1 + 4*K[1]^3*#
1^3 & , 2]^2 + 4*K[1]^2*Root[-12*C[1] - 3*K[1]*#1 + 4*K[1]^3*#1^3 & , 1]*Root[-1
2*C[1] - 3*K[1]*#1 + 4*K[1]^3*#1^3 & , 3])*y[x]^7*Sqrt[(Root[-12*C[1] - 3*K[1]*#
1 + 4*K[1]^3*#1^3 & , 1]*(Root[-12*C[1] - 3*K[1]*#1 + 4*K[1]^3*#1^3 & , 1] - Roo
t[-12*C[1] - 3*K[1]*#1 + 4*K[1]^3*#1^3 & , 3])*y[x]^2*(Root[-12*C[1] - 3*K[1]*#1
 + 4*K[1]^3*#1^3 & , 3] - y[x]^2))/(Root[-12*C[1] - 3*K[1]*#1 + 4*K[1]^3*#1^3 & 
, 3]^2*(Root[-12*C[1] - 3*K[1]*#1 + 4*K[1]^3*#1^3 & , 1] - y[x]^2)^2)] + 12*Elli
pticF[ArcSin[Sqrt[((Root[-12*C[1] - 3*K[1]*#1 + 4*K[1]^3*#1^3 & , 1] - Root[-12*
C[1] - 3*K[1]*#1 + 4*K[1]^3*#1^3 & , 3])*y[x]^2)/(Root[-12*C[1] - 3*K[1]*#1 + 4*
K[1]^3*#1^3 & , 3]*(Root[-12*C[1] - 3*K[1]*#1 + 4*K[1]^3*#1^3 & , 1] - y[x]^2))]
], ((Root[-12*C[1] - 3*K[1]*#1 + 4*K[1]^3*#1^3 & , 1] - Root[-12*C[1] - 3*K[1]*#
1 + 4*K[1]^3*#1^3 & , 2])*Root[-12*C[1] - 3*K[1]*#1 + 4*K[1]^3*#1^3 & , 3])/(Roo
t[-12*C[1] - 3*K[1]*#1 + 4*K[1]^3*#1^3 & , 2]*(Root[-12*C[1] - 3*K[1]*#1 + 4*K[1
]^3*#1^3 & , 1] - Root[-12*C[1] - 3*K[1]*#1 + 4*K[1]^3*#1^3 & , 3]))]*K[1]^3*(3*
C[1] + K[1]^3*Root[-12*C[1] - 3*K[1]*#1 + 4*K[1]^3*#1^3 & , 1]^2*Root[-12*C[1] -
 3*K[1]*#1 + 4*K[1]^3*#1^3 & , 3] + K[1]^3*Root[-12*C[1] - 3*K[1]*#1 + 4*K[1]^3*
#1^3 & , 1]*Root[-12*C[1] - 3*K[1]*#1 + 4*K[1]^3*#1^3 & , 3]^2)*y[x]^9*Sqrt[(Roo
t[-12*C[1] - 3*K[1]*#1 + 4*K[1]^3*#1^3 & , 1]*(Root[-12*C[1] - 3*K[1]*#1 + 4*K[1
]^3*#1^3 & , 1] - Root[-12*C[1] - 3*K[1]*#1 + 4*K[1]^3*#1^3 & , 3])*y[x]^2*(Root
[-12*C[1] - 3*K[1]*#1 + 4*K[1]^3*#1^3 & , 3] - y[x]^2))/(Root[-12*C[1] - 3*K[1]*
#1 + 4*K[1]^3*#1^3 & , 3]^2*(Root[-12*C[1] - 3*K[1]*#1 + 4*K[1]^3*#1^3 & , 1] - 
y[x]^2)^2)] + 12*Sqrt[3]*C[1]*K[1]^(5/2)*Root[-12*C[1] - 3*K[1]*#1 + 4*K[1]^3*#1
^3 & , 1]*Root[-12*C[1] - 3*K[1]*#1 + 4*K[1]^3*#1^3 & , 2]*Root[-12*C[1] - 3*K[1
]*#1 + 4*K[1]^3*#1^3 & , 3]*(Root[-12*C[1] - 3*K[1]*#1 + 4*K[1]^3*#1^3 & , 2] + 
2*Root[-12*C[1] - 3*K[1]*#1 + 4*K[1]^3*#1^3 & , 3])*Sqrt[(Root[-12*C[1] - 3*K[1]
*#1 + 4*K[1]^3*#1^3 & , 1]*(Root[-12*C[1] - 3*K[1]*#1 + 4*K[1]^3*#1^3 & , 2] - y
[x]^2))/(Root[-12*C[1] - 3*K[1]*#1 + 4*K[1]^3*#1^3 & , 2]*(Root[-12*C[1] - 3*K[1
]*#1 + 4*K[1]^3*#1^3 & , 1] - y[x]^2))]*Sqrt[12*C[1] + 3*K[1]*y[x]^2 - 4*K[1]^3*
y[x]^6] - (3*Sqrt[3]*(4*C[1]*K[1]^3*Root[-12*C[1] - 3*K[1]*#1 + 4*K[1]^3*#1^3 & 
, 1]^2*Root[-12*C[1] - 3*K[1]*#1 + 4*K[1]^3*#1^3 & , 3] + 4*C[1]*(12*C[1] + K[1]
^3*Root[-12*C[1] - 3*K[1]*#1 + 4*K[1]^3*#1^3 & , 2]^2*Root[-12*C[1] - 3*K[1]*#1 
+ 4*K[1]^3*#1^3 & , 3] + K[1]^3*Root[-12*C[1] - 3*K[1]*#1 + 4*K[1]^3*#1^3 & , 2]
*Root[-12*C[1] - 3*K[1]*#1 + 4*K[1]^3*#1^3 & , 3]^2) + K[1]^3*Root[-12*C[1] - 3*
K[1]*#1 + 4*K[1]^3*#1^3 & , 1]*(4*C[1]*Root[-12*C[1] - 3*K[1]*#1 + 4*K[1]^3*#1^3
 & , 3]^2 - 2*K[1]*Root[-12*C[1] - 3*K[1]*#1 + 4*K[1]^3*#1^3 & , 2]*Root[-12*C[1
] - 3*K[1]*#1 + 4*K[1]^3*#1^3 & , 3]^2 + Root[-12*C[1] - 3*K[1]*#1 + 4*K[1]^3*#1
^3 & , 2]^2*(4*C[1] - K[1]*Root[-12*C[1] - 3*K[1]*#1 + 4*K[1]^3*#1^3 & , 3])))*y
[x]^2*Sqrt[(Root[-12*C[1] - 3*K[1]*#1 + 4*K[1]^3*#1^3 & , 1]*(Root[-12*C[1] - 3*
K[1]*#1 + 4*K[1]^3*#1^3 & , 2] - y[x]^2))/(Root[-12*C[1] - 3*K[1]*#1 + 4*K[1]^3*
#1^3 & , 2]*(Root[-12*C[1] - 3*K[1]*#1 + 4*K[1]^3*#1^3 & , 1] - y[x]^2))]*Sqrt[1
2*C[1] + 3*K[1]*y[x]^2 - 4*K[1]^3*y[x]^6])/Sqrt[K[1]] - 3*Sqrt[3]*Sqrt[K[1]]*(12
*C[1] + K[1]^3*Root[-12*C[1] - 3*K[1]*#1 + 4*K[1]^3*#1^3 & , 1]^2*Root[-12*C[1] 
- 3*K[1]*#1 + 4*K[1]^3*#1^3 & , 3] + K[1]^3*Root[-12*C[1] - 3*K[1]*#1 + 4*K[1]^3
*#1^3 & , 2]^2*Root[-12*C[1] - 3*K[1]*#1 + 4*K[1]^3*#1^3 & , 3] + K[1]^3*Root[-1
2*C[1] - 3*K[1]*#1 + 4*K[1]^3*#1^3 & , 2]*Root[-12*C[1] - 3*K[1]*#1 + 4*K[1]^3*#
1^3 & , 3]^2 + K[1]^3*Root[-12*C[1] - 3*K[1]*#1 + 4*K[1]^3*#1^3 & , 1]*(Root[-12
*C[1] - 3*K[1]*#1 + 4*K[1]^3*#1^3 & , 2]^2 + Root[-12*C[1] - 3*K[1]*#1 + 4*K[1]^
3*#1^3 & , 3]^2))*y[x]^4*Sqrt[(Root[-12*C[1] - 3*K[1]*#1 + 4*K[1]^3*#1^3 & , 1]*
(Root[-12*C[1] - 3*K[1]*#1 + 4*K[1]^3*#1^3 & , 2] - y[x]^2))/(Root[-12*C[1] - 3*
K[1]*#1 + 4*K[1]^3*#1^3 & , 2]*(Root[-12*C[1] - 3*K[1]*#1 + 4*K[1]^3*#1^3 & , 1]
 - y[x]^2))]*Sqrt[12*C[1] + 3*K[1]*y[x]^2 - 4*K[1]^3*y[x]^6] - 4*Sqrt[3]*K[1]^(1
1/2)*Root[-12*C[1] - 3*K[1]*#1 + 4*K[1]^3*#1^3 & , 1]*Root[-12*C[1] - 3*K[1]*#1 
+ 4*K[1]^3*#1^3 & , 2]*Root[-12*C[1] - 3*K[1]*#1 + 4*K[1]^3*#1^3 & , 3]*(Root[-1
2*C[1] - 3*K[1]*#1 + 4*K[1]^3*#1^3 & , 2] + 2*Root[-12*C[1] - 3*K[1]*#1 + 4*K[1]
^3*#1^3 & , 3])*y[x]^6*Sqrt[(Root[-12*C[1] - 3*K[1]*#1 + 4*K[1]^3*#1^3 & , 1]*(R
oot[-12*C[1] - 3*K[1]*#1 + 4*K[1]^3*#1^3 & , 2] - y[x]^2))/(Root[-12*C[1] - 3*K[
1]*#1 + 4*K[1]^3*#1^3 & , 2]*(Root[-12*C[1] - 3*K[1]*#1 + 4*K[1]^3*#1^3 & , 1] -
 y[x]^2))]*Sqrt[12*C[1] + 3*K[1]*y[x]^2 - 4*K[1]^3*y[x]^6] + 4*Sqrt[3]*K[1]^(5/2
)*(12*C[1] + K[1]^3*Root[-12*C[1] - 3*K[1]*#1 + 4*K[1]^3*#1^3 & , 1]^2*Root[-12*
C[1] - 3*K[1]*#1 + 4*K[1]^3*#1^3 & , 3] + K[1]^3*Root[-12*C[1] - 3*K[1]*#1 + 4*K
[1]^3*#1^3 & , 2]^2*Root[-12*C[1] - 3*K[1]*#1 + 4*K[1]^3*#1^3 & , 3] + K[1]^3*Ro
ot[-12*C[1] - 3*K[1]*#1 + 4*K[1]^3*#1^3 & , 2]*Root[-12*C[1] - 3*K[1]*#1 + 4*K[1
]^3*#1^3 & , 3]^2 + K[1]^3*Root[-12*C[1] - 3*K[1]*#1 + 4*K[1]^3*#1^3 & , 1]*(Roo
t[-12*C[1] - 3*K[1]*#1 + 4*K[1]^3*#1^3 & , 2]^2 + Root[-12*C[1] - 3*K[1]*#1 + 4*
K[1]^3*#1^3 & , 3]^2))*y[x]^8*Sqrt[(Root[-12*C[1] - 3*K[1]*#1 + 4*K[1]^3*#1^3 & 
, 1]*(Root[-12*C[1] - 3*K[1]*#1 + 4*K[1]^3*#1^3 & , 2] - y[x]^2))/(Root[-12*C[1]
 - 3*K[1]*#1 + 4*K[1]^3*#1^3 & , 2]*(Root[-12*C[1] - 3*K[1]*#1 + 4*K[1]^3*#1^3 &
 , 1] - y[x]^2))]*Sqrt[12*C[1] + 3*K[1]*y[x]^2 - 4*K[1]^3*y[x]^6])/(Sqrt[3]*K[1]
^(7/2)*Root[-12*C[1] - 3*K[1]*#1 + 4*K[1]^3*#1^3 & , 1]*Root[-12*C[1] - 3*K[1]*#
1 + 4*K[1]^3*#1^3 & , 2]*(Root[-12*C[1] - 3*K[1]*#1 + 4*K[1]^3*#1^3 & , 1] - Roo
t[-12*C[1] - 3*K[1]*#1 + 4*K[1]^3*#1^3 & , 3])*Sqrt[(Root[-12*C[1] - 3*K[1]*#1 +
 4*K[1]^3*#1^3 & , 1]*(Root[-12*C[1] - 3*K[1]*#1 + 4*K[1]^3*#1^3 & , 2] - y[x]^2
))/(Root[-12*C[1] - 3*K[1]*#1 + 4*K[1]^3*#1^3 & , 2]*(Root[-12*C[1] - 3*K[1]*#1 
+ 4*K[1]^3*#1^3 & , 1] - y[x]^2))]*(-Root[-12*C[1] - 3*K[1]*#1 + 4*K[1]^3*#1^3 &
 , 3] + y[x]^2)*(12*C[1] + 3*K[1]*y[x]^2 - 4*K[1]^3*y[x]^6)^(3/2))), {K[1], 1, x
}], y[x]]}

Maple raw input

dsolve(x*diff(diff(y(x),x),x)+2*diff(y(x),x)+x*y(x)^5 = 0, y(x),'implicit')

Maple raw output

-1/2*ln(x)+3*Intat(1/(-12*_f^6+9*_f^2+9*_C1)^(1/2),_f = y(x)*x^(1/2))-_C2 = 0, -
1/2*ln(x)-3*Intat(1/(-12*_f^6+9*_f^2+9*_C1)^(1/2),_f = y(x)*x^(1/2))-_C2 = 0