3.1   ODE No. 1

$$\boxed{{\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}y\left(x\right)-\frac{1}{\sqrt{\mathit{a}\mathit{4}{x}^4+\mathit{a}\mathit{3}{x}^3+\mathit{a}\mathit{2}{x}^2+\mathit{a}\mathit{1}x+\mathit{a}\mathit{0}}}=0}}$$

1. Problem in Latex
2. Mathematica input
3. Maple input

Mathematica: cpu = 2.001754 (sec), leaf count = 1117 $$\left\{\{y(x)\to c_1-\frac{2F({\sin }^{-1}\left(\sqrt{\frac{(x-\text{Root}[\text{a4}{\mathrm{\#}\text{1}}^4+\text{a3}{\mathrm{\#}\text{1}}^3+\text{a2}{\mathrm{\#}\text{1}}^2+\text{a1}\mathrm{\#}\text{1}+\text{a0}\mathrm{\&},1])(\text{Root}[\text{a4}{\mathrm{\#}\text{1}}^4+\text{a3}{\mathrm{\#}\text{1}}^3+\text{a2}{\mathrm{\#}\text{1}}^2+\text{a1}\mathrm{\#}\text{1}+\text{a0}\mathrm{\&},2]-\text{Root}[\text{a4}{\mathrm{\#}\text{1}}^4+\text{a3}{\mathrm{\#}\text{1}}^3+\text{a2}{\mathrm{\#}\text{1}}^2+\text{a1}\mathrm{\#}\text{1}+\text{a0}\mathrm{\&},4])}{(x-\text{Root}[\text{a4}{\mathrm{\#}\text{1}}^4+\text{a3}{\mathrm{\#}\text{1}}^3+\text{a2}{\mathrm{\#}\text{1}}^2+\text{a1}\mathrm{\#}\text{1}+\text{a0}\mathrm{\&},2])(\text{Root}[\text{a4}{\mathrm{\#}\text{1}}^4+\text{a3}{\mathrm{\#}\text{1}}^3+\text{a2}{\mathrm{\#}\text{1}}^2+\text{a1}\mathrm{\#}\text{1}+\text{a0}\mathrm{\&},1]-\text{Root}[\text{a4}{\mathrm{\#}\text{1}}^4+\text{a3}{\mathrm{\#}\text{1}}^3+\text{a2}{\mathrm{\#}\text{1}}^2+\text{a1}\mathrm{\#}\text{1}+\text{a0}\mathrm{\&},4])}}\right)|\frac{(\text{Root}[\text{a4}{\mathrm{\#}\text{1}}^4+\text{a3}{\mathrm{\#}\text{1}}^3+\text{a2}{\mathrm{\#}\text{1}}^2+\text{a1}\mathrm{\#}\text{1}+\text{a0}\mathrm{\&},2]-\text{Root}[\text{a4}{\mathrm{\#}\text{1}}^4+\text{a3}{\mathrm{\#}\text{1}}^3+\text{a2}{\mathrm{\#}\text{1}}^2+\text{a1}\mathrm{\#}\text{1}+\text{a0}\mathrm{\&},3])(\text{Root}[\text{a4}{\mathrm{\#}\text{1}}^4+\text{a3}{\mathrm{\#}\text{1}}^3+\text{a2}{\mathrm{\#}\text{1}}^2+\text{a1}\mathrm{\#}\text{1}+\text{a0}\mathrm{\&},1]-\text{Root}[\text{a4}{\mathrm{\#}\text{1}}^4+\text{a3}{\mathrm{\#}\text{1}}^3+\text{a2}{\mathrm{\#}\text{1}}^2+\text{a1}\mathrm{\#}\text{1}+\text{a0}\mathrm{\&},4])}{(\text{Root}[\text{a4}{\mathrm{\#}\text{1}}^4+\text{a3}{\mathrm{\#}\text{1}}^3+\text{a2}{\mathrm{\#}\text{1}}^2+\text{a1}\mathrm{\#}\text{1}+\text{a0}\mathrm{\&},1]-\text{Root}[\text{a4}{\mathrm{\#}\text{1}}^4+\text{a3}{\mathrm{\#}\text{1}}^3+\text{a2}{\mathrm{\#}\text{1}}^2+\text{a1}\mathrm{\#}\text{1}+\text{a0}\mathrm{\&},3])(\text{Root}[\text{a4}{\mathrm{\#}\text{1}}^4+\text{a3}{\mathrm{\#}\text{1}}^3+\text{a2}{\mathrm{\#}\text{1}}^2+\text{a1}\mathrm{\#}\text{1}+\text{a0}\mathrm{\&},2]-\text{Root}[\text{a4}{\mathrm{\#}\text{1}}^4+\text{a3}{\mathrm{\#}\text{1}}^3+\text{a2}{\mathrm{\#}\text{1}}^2+\text{a1}\mathrm{\#}\text{1}+\text{a0}\mathrm{\&},4])}){(x-\text{Root}[\text{a4}{\mathrm{\#}\text{1}}^4+\text{a3}{\mathrm{\#}\text{1}}^3+\text{a2}{\mathrm{\#}\text{1}}^2+\text{a1}\mathrm{\#}\text{1}+\text{a0}\mathrm{\&},2])}^2\sqrt{\frac{(\text{Root}[\text{a4}{\mathrm{\#}\text{1}}^4+\text{a3}{\mathrm{\#}\text{1}}^3+\text{a2}{\mathrm{\#}\text{1}}^2+\text{a1}\mathrm{\#}\text{1}+\text{a0}\mathrm{\&},1]-\text{Root}[\text{a4}{\mathrm{\#}\text{1}}^4+\text{a3}{\mathrm{\#}\text{1}}^3+\text{a2}{\mathrm{\#}\text{1}}^2+\text{a1}\mathrm{\#}\text{1}+\text{a0}\mathrm{\&},2])(x-\text{Root}[\text{a4}{\mathrm{\#}\text{1}}^4+\text{a3}{\mathrm{\#}\text{1}}^3+\text{a2}{\mathrm{\#}\text{1}}^2+\text{a1}\mathrm{\#}\text{1}+\text{a0}\mathrm{\&},3])}{(x-\text{Root}[\text{a4}{\mathrm{\#}\text{1}}^4+\text{a3}{\mathrm{\#}\text{1}}^3+\text{a2}{\mathrm{\#}\text{1}}^2+\text{a1}\mathrm{\#}\text{1}+\text{a0}\mathrm{\&},2])(\text{Root}[\text{a4}{\mathrm{\#}\text{1}}^4+\text{a3}{\mathrm{\#}\text{1}}^3+\text{a2}{\mathrm{\#}\text{1}}^2+\text{a1}\mathrm{\#}\text{1}+\text{a0}\mathrm{\&},1]-\text{Root}[\text{a4}{\mathrm{\#}\text{1}}^4+\text{a3}{\mathrm{\#}\text{1}}^3+\text{a2}{\mathrm{\#}\text{1}}^2+\text{a1}\mathrm{\#}\text{1}+\text{a0}\mathrm{\&},3])}}(\text{Root}[\text{a4}{\mathrm{\#}\text{1}}^4+\text{a3}{\mathrm{\#}\text{1}}^3+\text{a2}{\mathrm{\#}\text{1}}^2+\text{a1}\mathrm{\#}\text{1}+\text{a0}\mathrm{\&},1]-\text{Root}[\text{a4}{\mathrm{\#}\text{1}}^4+\text{a3}{\mathrm{\#}\text{1}}^3+\text{a2}{\mathrm{\#}\text{1}}^2+\text{a1}\mathrm{\#}\text{1}+\text{a0}\mathrm{\&},4])\sqrt{\frac{(x-\text{Root}[\text{a4}{\mathrm{\#}\text{1}}^4+\text{a3}{\mathrm{\#}\text{1}}^3+\text{a2}{\mathrm{\#}\text{1}}^2+\text{a1}\mathrm{\#}\text{1}+\text{a0}\mathrm{\&},1])(\text{Root}[\text{a4}{\mathrm{\#}\text{1}}^4+\text{a3}{\mathrm{\#}\text{1}}^3+\text{a2}{\mathrm{\#}\text{1}}^2+\text{a1}\mathrm{\#}\text{1}+\text{a0}\mathrm{\&},1]-\text{Root}[\text{a4}{\mathrm{\#}\text{1}}^4+\text{a3}{\mathrm{\#}\text{1}}^3+\text{a2}{\mathrm{\#}\text{1}}^2+\text{a1}\mathrm{\#}\text{1}+\text{a0}\mathrm{\&},2])(x-\text{Root}[\text{a4}{\mathrm{\#}\text{1}}^4+\text{a3}{\mathrm{\#}\text{1}}^3+\text{a2}{\mathrm{\#}\text{1}}^2+\text{a1}\mathrm{\#}\text{1}+\text{a0}\mathrm{\&},4])(\text{Root}[\text{a4}{\mathrm{\#}\text{1}}^4+\text{a3}{\mathrm{\#}\text{1}}^3+\text{a2}{\mathrm{\#}\text{1}}^2+\text{a1}\mathrm{\#}\text{1}+\text{a0}\mathrm{\&},2]-\text{Root}[\text{a4}{\mathrm{\#}\text{1}}^4+\text{a3}{\mathrm{\#}\text{1}}^3+\text{a2}{\mathrm{\#}\text{1}}^2+\text{a1}\mathrm{\#}\text{1}+\text{a0}\mathrm{\&},4])}{{(x-\text{Root}[\text{a4}{\mathrm{\#}\text{1}}^4+\text{a3}{\mathrm{\#}\text{1}}^3+\text{a2}{\mathrm{\#}\text{1}}^2+\text{a1}\mathrm{\#}\text{1}+\text{a0}\mathrm{\&},2])}^2{(\text{Root}[\text{a4}{\mathrm{\#}\text{1}}^4+\text{a3}{\mathrm{\#}\text{1}}^3+\text{a2}{\mathrm{\#}\text{1}}^2+\text{a1}\mathrm{\#}\text{1}+\text{a0}\mathrm{\&},1]-\text{Root}[\text{a4}{\mathrm{\#}\text{1}}^4+\text{a3}{\mathrm{\#}\text{1}}^3+\text{a2}{\mathrm{\#}\text{1}}^2+\text{a1}\mathrm{\#}\text{1}+\text{a0}\mathrm{\&},4])}^2}}}{\sqrt{\text{a0}+x(\text{a1}+x(\text{a2}+x(\text{a3}+\text{a4}x)))}(\text{Root}[\text{a4}{\mathrm{\#}\text{1}}^4+\text{a3}{\mathrm{\#}\text{1}}^3+\text{a2}{\mathrm{\#}\text{1}}^2+\text{a1}\mathrm{\#}\text{1}+\text{a0}\mathrm{\&},2]-\text{Root}[\text{a4}{\mathrm{\#}\text{1}}^4+\text{a3}{\mathrm{\#}\text{1}}^3+\text{a2}{\mathrm{\#}\text{1}}^2+\text{a1}\mathrm{\#}\text{1}+\text{a0}\mathrm{\&},1])(\text{Root}[\text{a4}{\mathrm{\#}\text{1}}^4+\text{a3}{\mathrm{\#}\text{1}}^3+\text{a2}{\mathrm{\#}\text{1}}^2+\text{a1}\mathrm{\#}\text{1}+\text{a0}\mathrm{\&},2]-\text{Root}[\text{a4}{\mathrm{\#}\text{1}}^4+\text{a3}{\mathrm{\#}\text{1}}^3+\text{a2}{\mathrm{\#}\text{1}}^2+\text{a1}\mathrm{\#}\text{1}+\text{a0}\mathrm{\&},4])}\}\right\}$$

Maple: cpu = 0.062 (sec), leaf count = 30 $$\{y\left(x\right)=\int \frac{1}{\sqrt{\mathit{a}\mathit{4}{x}^4+\mathit{a}\mathit{3}{x}^3+\mathit{a}\mathit{2}{x}^2+\mathit{a}\mathit{1}x+\mathit{a}\mathit{0}}}\mathrm{d}x+\mathit{\_}\mathit{C}\mathit{1}\}$$

Sage: cpu = 1.012 (sec), leaf count = 0 $$[c+\int \frac{1}{\sqrt{a_4{x}^4+a_3{x}^3+a_2{x}^2+a_{1}x+a_0}}dx,\mathtt{\text{linear}}]$$