3.158 \(\int \frac{(a+b x)^n \left (c+d x^3\right )^2}{x} \, dx\)

Optimal. Leaf size=209 \[ -\frac{a d \left (4 b^3 c-5 a^3 d\right ) (a+b x)^{n+2}}{b^6 (n+2)}+\frac{2 d \left (b^3 c-5 a^3 d\right ) (a+b x)^{n+3}}{b^6 (n+3)}+\frac{10 a^2 d^2 (a+b x)^{n+4}}{b^6 (n+4)}+\frac{a^2 d \left (2 b^3 c-a^3 d\right ) (a+b x)^{n+1}}{b^6 (n+1)}-\frac{5 a d^2 (a+b x)^{n+5}}{b^6 (n+5)}+\frac{d^2 (a+b x)^{n+6}}{b^6 (n+6)}-\frac{c^2 (a+b x)^{n+1} \, _2F_1\left (1,n+1;n+2;\frac{b x}{a}+1\right )}{a (n+1)} \]

[Out]

(a^2*d*(2*b^3*c - a^3*d)*(a + b*x)^(1 + n))/(b^6*(1 + n)) - (a*d*(4*b^3*c - 5*a^
3*d)*(a + b*x)^(2 + n))/(b^6*(2 + n)) + (2*d*(b^3*c - 5*a^3*d)*(a + b*x)^(3 + n)
)/(b^6*(3 + n)) + (10*a^2*d^2*(a + b*x)^(4 + n))/(b^6*(4 + n)) - (5*a*d^2*(a + b
*x)^(5 + n))/(b^6*(5 + n)) + (d^2*(a + b*x)^(6 + n))/(b^6*(6 + n)) - (c^2*(a + b
*x)^(1 + n)*Hypergeometric2F1[1, 1 + n, 2 + n, 1 + (b*x)/a])/(a*(1 + n))

_______________________________________________________________________________________

Rubi [A]  time = 0.274231, antiderivative size = 209, normalized size of antiderivative = 1., number of steps used = 3, number of rules used = 2, integrand size = 20, \(\frac{\text{number of rules}}{\text{integrand size}}\) = 0.1 \[ -\frac{a d \left (4 b^3 c-5 a^3 d\right ) (a+b x)^{n+2}}{b^6 (n+2)}+\frac{2 d \left (b^3 c-5 a^3 d\right ) (a+b x)^{n+3}}{b^6 (n+3)}+\frac{10 a^2 d^2 (a+b x)^{n+4}}{b^6 (n+4)}+\frac{a^2 d \left (2 b^3 c-a^3 d\right ) (a+b x)^{n+1}}{b^6 (n+1)}-\frac{5 a d^2 (a+b x)^{n+5}}{b^6 (n+5)}+\frac{d^2 (a+b x)^{n+6}}{b^6 (n+6)}-\frac{c^2 (a+b x)^{n+1} \, _2F_1\left (1,n+1;n+2;\frac{b x}{a}+1\right )}{a (n+1)} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]  Int[((a + b*x)^n*(c + d*x^3)^2)/x,x]

[Out]

(a^2*d*(2*b^3*c - a^3*d)*(a + b*x)^(1 + n))/(b^6*(1 + n)) - (a*d*(4*b^3*c - 5*a^
3*d)*(a + b*x)^(2 + n))/(b^6*(2 + n)) + (2*d*(b^3*c - 5*a^3*d)*(a + b*x)^(3 + n)
)/(b^6*(3 + n)) + (10*a^2*d^2*(a + b*x)^(4 + n))/(b^6*(4 + n)) - (5*a*d^2*(a + b
*x)^(5 + n))/(b^6*(5 + n)) + (d^2*(a + b*x)^(6 + n))/(b^6*(6 + n)) - (c^2*(a + b
*x)^(1 + n)*Hypergeometric2F1[1, 1 + n, 2 + n, 1 + (b*x)/a])/(a*(1 + n))

_______________________________________________________________________________________

Rubi in Sympy [A]  time = 57.7551, size = 187, normalized size = 0.89 \[ \frac{10 a^{2} d^{2} \left (a + b x\right )^{n + 4}}{b^{6} \left (n + 4\right )} - \frac{a^{2} d \left (a + b x\right )^{n + 1} \left (a^{3} d - 2 b^{3} c\right )}{b^{6} \left (n + 1\right )} - \frac{5 a d^{2} \left (a + b x\right )^{n + 5}}{b^{6} \left (n + 5\right )} + \frac{a d \left (a + b x\right )^{n + 2} \left (5 a^{3} d - 4 b^{3} c\right )}{b^{6} \left (n + 2\right )} + \frac{d^{2} \left (a + b x\right )^{n + 6}}{b^{6} \left (n + 6\right )} - \frac{2 d \left (a + b x\right )^{n + 3} \left (5 a^{3} d - b^{3} c\right )}{b^{6} \left (n + 3\right )} - \frac{c^{2} \left (a + b x\right )^{n + 1}{{}_{2}F_{1}\left (\begin{matrix} 1, n + 1 \\ n + 2 \end{matrix}\middle |{1 + \frac{b x}{a}} \right )}}{a \left (n + 1\right )} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]  rubi_integrate((b*x+a)**n*(d*x**3+c)**2/x,x)

[Out]

10*a**2*d**2*(a + b*x)**(n + 4)/(b**6*(n + 4)) - a**2*d*(a + b*x)**(n + 1)*(a**3
*d - 2*b**3*c)/(b**6*(n + 1)) - 5*a*d**2*(a + b*x)**(n + 5)/(b**6*(n + 5)) + a*d
*(a + b*x)**(n + 2)*(5*a**3*d - 4*b**3*c)/(b**6*(n + 2)) + d**2*(a + b*x)**(n +
6)/(b**6*(n + 6)) - 2*d*(a + b*x)**(n + 3)*(5*a**3*d - b**3*c)/(b**6*(n + 3)) -
c**2*(a + b*x)**(n + 1)*hyper((1, n + 1), (n + 2,), 1 + b*x/a)/(a*(n + 1))

_______________________________________________________________________________________

Mathematica [B]  time = 0.613162, size = 420, normalized size = 2.01 \[ (a+b x)^n \left (\frac{2 c d \left (\frac{b x}{a}+1\right )^{-n} \left (2 a^3 \left (\left (\frac{b x}{a}+1\right )^n-1\right )-2 a^2 b n x \left (\frac{b x}{a}+1\right )^n+b^3 \left (n^2+3 n+2\right ) x^3 \left (\frac{b x}{a}+1\right )^n+a b^2 n (n+1) x^2 \left (\frac{b x}{a}+1\right )^n\right )}{b^3 (n+1) (n+2) (n+3)}+\frac{d^2 \left (\frac{b x}{a}+1\right )^{-n} \left (-120 a^6 \left (\left (\frac{b x}{a}+1\right )^n-1\right )+120 a^5 b n x \left (\frac{b x}{a}+1\right )^n-60 a^4 b^2 n (n+1) x^2 \left (\frac{b x}{a}+1\right )^n+20 a^3 b^3 n \left (n^2+3 n+2\right ) x^3 \left (\frac{b x}{a}+1\right )^n-5 a^2 b^4 n \left (n^3+6 n^2+11 n+6\right ) x^4 \left (\frac{b x}{a}+1\right )^n+b^6 \left (n^5+15 n^4+85 n^3+225 n^2+274 n+120\right ) x^6 \left (\frac{b x}{a}+1\right )^n+a b^5 n \left (n^4+10 n^3+35 n^2+50 n+24\right ) x^5 \left (\frac{b x}{a}+1\right )^n\right )}{b^6 (n+1) (n+2) (n+3) (n+4) (n+5) (n+6)}+\frac{c^2 \left (\frac{a}{b x}+1\right )^{-n} \, _2F_1\left (-n,-n;1-n;-\frac{a}{b x}\right )}{n}\right ) \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]  Integrate[((a + b*x)^n*(c + d*x^3)^2)/x,x]

[Out]

(a + b*x)^n*((2*c*d*(-2*a^2*b*n*x*(1 + (b*x)/a)^n + a*b^2*n*(1 + n)*x^2*(1 + (b*
x)/a)^n + b^3*(2 + 3*n + n^2)*x^3*(1 + (b*x)/a)^n + 2*a^3*(-1 + (1 + (b*x)/a)^n)
))/(b^3*(1 + n)*(2 + n)*(3 + n)*(1 + (b*x)/a)^n) + (d^2*(120*a^5*b*n*x*(1 + (b*x
)/a)^n - 60*a^4*b^2*n*(1 + n)*x^2*(1 + (b*x)/a)^n + 20*a^3*b^3*n*(2 + 3*n + n^2)
*x^3*(1 + (b*x)/a)^n - 5*a^2*b^4*n*(6 + 11*n + 6*n^2 + n^3)*x^4*(1 + (b*x)/a)^n
+ a*b^5*n*(24 + 50*n + 35*n^2 + 10*n^3 + n^4)*x^5*(1 + (b*x)/a)^n + b^6*(120 + 2
74*n + 225*n^2 + 85*n^3 + 15*n^4 + n^5)*x^6*(1 + (b*x)/a)^n - 120*a^6*(-1 + (1 +
(b*x)/a)^n)))/(b^6*(1 + n)*(2 + n)*(3 + n)*(4 + n)*(5 + n)*(6 + n)*(1 + (b*x)/a
)^n) + (c^2*Hypergeometric2F1[-n, -n, 1 - n, -(a/(b*x))])/(n*(1 + a/(b*x))^n))

_______________________________________________________________________________________

Maple [F]  time = 0.05, size = 0, normalized size = 0. \[ \int{\frac{ \left ( bx+a \right ) ^{n} \left ( d{x}^{3}+c \right ) ^{2}}{x}}\, dx \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]  int((b*x+a)^n*(d*x^3+c)^2/x,x)

[Out]

int((b*x+a)^n*(d*x^3+c)^2/x,x)

_______________________________________________________________________________________

Maxima [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \[ \int \frac{{\left (d x^{3} + c\right )}^{2}{\left (b x + a\right )}^{n}}{x}\,{d x} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]  integrate((d*x^3 + c)^2*(b*x + a)^n/x,x, algorithm="maxima")

[Out]

integrate((d*x^3 + c)^2*(b*x + a)^n/x, x)

_______________________________________________________________________________________

Fricas [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \[{\rm integral}\left (\frac{{\left (d^{2} x^{6} + 2 \, c d x^{3} + c^{2}\right )}{\left (b x + a\right )}^{n}}{x}, x\right ) \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]  integrate((d*x^3 + c)^2*(b*x + a)^n/x,x, algorithm="fricas")

[Out]

integral((d^2*x^6 + 2*c*d*x^3 + c^2)*(b*x + a)^n/x, x)

_______________________________________________________________________________________

Sympy [A]  time = 31.6333, size = 4755, normalized size = 22.75 \[ \text{result too large to display} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]  integrate((b*x+a)**n*(d*x**3+c)**2/x,x)

[Out]

-b**n*c**2*n*(a/b + x)**n*lerchphi(1 + b*x/a, 1, n + 1)*gamma(n + 1)/gamma(n + 2
) - b**n*c**2*(a/b + x)**n*lerchphi(1 + b*x/a, 1, n + 1)*gamma(n + 1)/gamma(n +
2) + 2*c*d*Piecewise((a**n*x**3/3, Eq(b, 0)), (2*a**2*log(a/b + x)/(2*a**2*b**3
+ 4*a*b**4*x + 2*b**5*x**2) + 3*a**2/(2*a**2*b**3 + 4*a*b**4*x + 2*b**5*x**2) +
4*a*b*x*log(a/b + x)/(2*a**2*b**3 + 4*a*b**4*x + 2*b**5*x**2) + 4*a*b*x/(2*a**2*
b**3 + 4*a*b**4*x + 2*b**5*x**2) + 2*b**2*x**2*log(a/b + x)/(2*a**2*b**3 + 4*a*b
**4*x + 2*b**5*x**2), Eq(n, -3)), (-2*a**2*log(a/b + x)/(a*b**3 + b**4*x) - 2*a*
*2/(a*b**3 + b**4*x) - 2*a*b*x*log(a/b + x)/(a*b**3 + b**4*x) + b**2*x**2/(a*b**
3 + b**4*x), Eq(n, -2)), (a**2*log(a/b + x)/b**3 - a*x/b**2 + x**2/(2*b), Eq(n,
-1)), (2*a**3*(a + b*x)**n/(b**3*n**3 + 6*b**3*n**2 + 11*b**3*n + 6*b**3) - 2*a*
*2*b*n*x*(a + b*x)**n/(b**3*n**3 + 6*b**3*n**2 + 11*b**3*n + 6*b**3) + a*b**2*n*
*2*x**2*(a + b*x)**n/(b**3*n**3 + 6*b**3*n**2 + 11*b**3*n + 6*b**3) + a*b**2*n*x
**2*(a + b*x)**n/(b**3*n**3 + 6*b**3*n**2 + 11*b**3*n + 6*b**3) + b**3*n**2*x**3
*(a + b*x)**n/(b**3*n**3 + 6*b**3*n**2 + 11*b**3*n + 6*b**3) + 3*b**3*n*x**3*(a
+ b*x)**n/(b**3*n**3 + 6*b**3*n**2 + 11*b**3*n + 6*b**3) + 2*b**3*x**3*(a + b*x)
**n/(b**3*n**3 + 6*b**3*n**2 + 11*b**3*n + 6*b**3), True)) + d**2*Piecewise((a**
n*x**6/6, Eq(b, 0)), (60*a**5*log(a/b + x)/(60*a**5*b**6 + 300*a**4*b**7*x + 600
*a**3*b**8*x**2 + 600*a**2*b**9*x**3 + 300*a*b**10*x**4 + 60*b**11*x**5) + 27*a*
*5/(60*a**5*b**6 + 300*a**4*b**7*x + 600*a**3*b**8*x**2 + 600*a**2*b**9*x**3 + 3
00*a*b**10*x**4 + 60*b**11*x**5) + 300*a**4*b*x*log(a/b + x)/(60*a**5*b**6 + 300
*a**4*b**7*x + 600*a**3*b**8*x**2 + 600*a**2*b**9*x**3 + 300*a*b**10*x**4 + 60*b
**11*x**5) + 75*a**4*b*x/(60*a**5*b**6 + 300*a**4*b**7*x + 600*a**3*b**8*x**2 +
600*a**2*b**9*x**3 + 300*a*b**10*x**4 + 60*b**11*x**5) + 600*a**3*b**2*x**2*log(
a/b + x)/(60*a**5*b**6 + 300*a**4*b**7*x + 600*a**3*b**8*x**2 + 600*a**2*b**9*x*
*3 + 300*a*b**10*x**4 + 60*b**11*x**5) + 600*a**2*b**3*x**3*log(a/b + x)/(60*a**
5*b**6 + 300*a**4*b**7*x + 600*a**3*b**8*x**2 + 600*a**2*b**9*x**3 + 300*a*b**10
*x**4 + 60*b**11*x**5) - 200*a**2*b**3*x**3/(60*a**5*b**6 + 300*a**4*b**7*x + 60
0*a**3*b**8*x**2 + 600*a**2*b**9*x**3 + 300*a*b**10*x**4 + 60*b**11*x**5) + 300*
a*b**4*x**4*log(a/b + x)/(60*a**5*b**6 + 300*a**4*b**7*x + 600*a**3*b**8*x**2 +
600*a**2*b**9*x**3 + 300*a*b**10*x**4 + 60*b**11*x**5) - 250*a*b**4*x**4/(60*a**
5*b**6 + 300*a**4*b**7*x + 600*a**3*b**8*x**2 + 600*a**2*b**9*x**3 + 300*a*b**10
*x**4 + 60*b**11*x**5) + 60*b**5*x**5*log(a/b + x)/(60*a**5*b**6 + 300*a**4*b**7
*x + 600*a**3*b**8*x**2 + 600*a**2*b**9*x**3 + 300*a*b**10*x**4 + 60*b**11*x**5)
- 110*b**5*x**5/(60*a**5*b**6 + 300*a**4*b**7*x + 600*a**3*b**8*x**2 + 600*a**2
*b**9*x**3 + 300*a*b**10*x**4 + 60*b**11*x**5), Eq(n, -6)), (-60*a**5*log(a/b +
x)/(12*a**4*b**6 + 48*a**3*b**7*x + 72*a**2*b**8*x**2 + 48*a*b**9*x**3 + 12*b**1
0*x**4) - 35*a**5/(12*a**4*b**6 + 48*a**3*b**7*x + 72*a**2*b**8*x**2 + 48*a*b**9
*x**3 + 12*b**10*x**4) - 240*a**4*b*x*log(a/b + x)/(12*a**4*b**6 + 48*a**3*b**7*
x + 72*a**2*b**8*x**2 + 48*a*b**9*x**3 + 12*b**10*x**4) - 80*a**4*b*x/(12*a**4*b
**6 + 48*a**3*b**7*x + 72*a**2*b**8*x**2 + 48*a*b**9*x**3 + 12*b**10*x**4) - 360
*a**3*b**2*x**2*log(a/b + x)/(12*a**4*b**6 + 48*a**3*b**7*x + 72*a**2*b**8*x**2
+ 48*a*b**9*x**3 + 12*b**10*x**4) - 240*a**2*b**3*x**3*log(a/b + x)/(12*a**4*b**
6 + 48*a**3*b**7*x + 72*a**2*b**8*x**2 + 48*a*b**9*x**3 + 12*b**10*x**4) + 120*a
**2*b**3*x**3/(12*a**4*b**6 + 48*a**3*b**7*x + 72*a**2*b**8*x**2 + 48*a*b**9*x**
3 + 12*b**10*x**4) - 60*a*b**4*x**4*log(a/b + x)/(12*a**4*b**6 + 48*a**3*b**7*x
+ 72*a**2*b**8*x**2 + 48*a*b**9*x**3 + 12*b**10*x**4) + 90*a*b**4*x**4/(12*a**4*
b**6 + 48*a**3*b**7*x + 72*a**2*b**8*x**2 + 48*a*b**9*x**3 + 12*b**10*x**4) + 12
*b**5*x**5/(12*a**4*b**6 + 48*a**3*b**7*x + 72*a**2*b**8*x**2 + 48*a*b**9*x**3 +
12*b**10*x**4), Eq(n, -5)), (60*a**5*log(a/b + x)/(6*a**3*b**6 + 18*a**2*b**7*x
+ 18*a*b**8*x**2 + 6*b**9*x**3) + 50*a**5/(6*a**3*b**6 + 18*a**2*b**7*x + 18*a*
b**8*x**2 + 6*b**9*x**3) + 180*a**4*b*x*log(a/b + x)/(6*a**3*b**6 + 18*a**2*b**7
*x + 18*a*b**8*x**2 + 6*b**9*x**3) + 90*a**4*b*x/(6*a**3*b**6 + 18*a**2*b**7*x +
18*a*b**8*x**2 + 6*b**9*x**3) + 180*a**3*b**2*x**2*log(a/b + x)/(6*a**3*b**6 +
18*a**2*b**7*x + 18*a*b**8*x**2 + 6*b**9*x**3) + 60*a**2*b**3*x**3*log(a/b + x)/
(6*a**3*b**6 + 18*a**2*b**7*x + 18*a*b**8*x**2 + 6*b**9*x**3) - 60*a**2*b**3*x**
3/(6*a**3*b**6 + 18*a**2*b**7*x + 18*a*b**8*x**2 + 6*b**9*x**3) - 15*a*b**4*x**4
/(6*a**3*b**6 + 18*a**2*b**7*x + 18*a*b**8*x**2 + 6*b**9*x**3) + 3*b**5*x**5/(6*
a**3*b**6 + 18*a**2*b**7*x + 18*a*b**8*x**2 + 6*b**9*x**3), Eq(n, -4)), (-60*a**
5*log(a/b + x)/(6*a**2*b**6 + 12*a*b**7*x + 6*b**8*x**2) - 90*a**5/(6*a**2*b**6
+ 12*a*b**7*x + 6*b**8*x**2) - 120*a**4*b*x*log(a/b + x)/(6*a**2*b**6 + 12*a*b**
7*x + 6*b**8*x**2) - 120*a**4*b*x/(6*a**2*b**6 + 12*a*b**7*x + 6*b**8*x**2) - 60
*a**3*b**2*x**2*log(a/b + x)/(6*a**2*b**6 + 12*a*b**7*x + 6*b**8*x**2) + 20*a**2
*b**3*x**3/(6*a**2*b**6 + 12*a*b**7*x + 6*b**8*x**2) - 5*a*b**4*x**4/(6*a**2*b**
6 + 12*a*b**7*x + 6*b**8*x**2) + 2*b**5*x**5/(6*a**2*b**6 + 12*a*b**7*x + 6*b**8
*x**2), Eq(n, -3)), (60*a**5*log(a/b + x)/(12*a*b**6 + 12*b**7*x) + 60*a**5/(12*
a*b**6 + 12*b**7*x) + 60*a**4*b*x*log(a/b + x)/(12*a*b**6 + 12*b**7*x) - 30*a**3
*b**2*x**2/(12*a*b**6 + 12*b**7*x) + 10*a**2*b**3*x**3/(12*a*b**6 + 12*b**7*x) -
5*a*b**4*x**4/(12*a*b**6 + 12*b**7*x) + 3*b**5*x**5/(12*a*b**6 + 12*b**7*x), Eq
(n, -2)), (-a**5*log(a/b + x)/b**6 + a**4*x/b**5 - a**3*x**2/(2*b**4) + a**2*x**
3/(3*b**3) - a*x**4/(4*b**2) + x**5/(5*b), Eq(n, -1)), (-120*a**6*(a + b*x)**n/(
b**6*n**6 + 21*b**6*n**5 + 175*b**6*n**4 + 735*b**6*n**3 + 1624*b**6*n**2 + 1764
*b**6*n + 720*b**6) + 120*a**5*b*n*x*(a + b*x)**n/(b**6*n**6 + 21*b**6*n**5 + 17
5*b**6*n**4 + 735*b**6*n**3 + 1624*b**6*n**2 + 1764*b**6*n + 720*b**6) - 60*a**4
*b**2*n**2*x**2*(a + b*x)**n/(b**6*n**6 + 21*b**6*n**5 + 175*b**6*n**4 + 735*b**
6*n**3 + 1624*b**6*n**2 + 1764*b**6*n + 720*b**6) - 60*a**4*b**2*n*x**2*(a + b*x
)**n/(b**6*n**6 + 21*b**6*n**5 + 175*b**6*n**4 + 735*b**6*n**3 + 1624*b**6*n**2
+ 1764*b**6*n + 720*b**6) + 20*a**3*b**3*n**3*x**3*(a + b*x)**n/(b**6*n**6 + 21*
b**6*n**5 + 175*b**6*n**4 + 735*b**6*n**3 + 1624*b**6*n**2 + 1764*b**6*n + 720*b
**6) + 60*a**3*b**3*n**2*x**3*(a + b*x)**n/(b**6*n**6 + 21*b**6*n**5 + 175*b**6*
n**4 + 735*b**6*n**3 + 1624*b**6*n**2 + 1764*b**6*n + 720*b**6) + 40*a**3*b**3*n
*x**3*(a + b*x)**n/(b**6*n**6 + 21*b**6*n**5 + 175*b**6*n**4 + 735*b**6*n**3 + 1
624*b**6*n**2 + 1764*b**6*n + 720*b**6) - 5*a**2*b**4*n**4*x**4*(a + b*x)**n/(b*
*6*n**6 + 21*b**6*n**5 + 175*b**6*n**4 + 735*b**6*n**3 + 1624*b**6*n**2 + 1764*b
**6*n + 720*b**6) - 30*a**2*b**4*n**3*x**4*(a + b*x)**n/(b**6*n**6 + 21*b**6*n**
5 + 175*b**6*n**4 + 735*b**6*n**3 + 1624*b**6*n**2 + 1764*b**6*n + 720*b**6) - 5
5*a**2*b**4*n**2*x**4*(a + b*x)**n/(b**6*n**6 + 21*b**6*n**5 + 175*b**6*n**4 + 7
35*b**6*n**3 + 1624*b**6*n**2 + 1764*b**6*n + 720*b**6) - 30*a**2*b**4*n*x**4*(a
+ b*x)**n/(b**6*n**6 + 21*b**6*n**5 + 175*b**6*n**4 + 735*b**6*n**3 + 1624*b**6
*n**2 + 1764*b**6*n + 720*b**6) + a*b**5*n**5*x**5*(a + b*x)**n/(b**6*n**6 + 21*
b**6*n**5 + 175*b**6*n**4 + 735*b**6*n**3 + 1624*b**6*n**2 + 1764*b**6*n + 720*b
**6) + 10*a*b**5*n**4*x**5*(a + b*x)**n/(b**6*n**6 + 21*b**6*n**5 + 175*b**6*n**
4 + 735*b**6*n**3 + 1624*b**6*n**2 + 1764*b**6*n + 720*b**6) + 35*a*b**5*n**3*x*
*5*(a + b*x)**n/(b**6*n**6 + 21*b**6*n**5 + 175*b**6*n**4 + 735*b**6*n**3 + 1624
*b**6*n**2 + 1764*b**6*n + 720*b**6) + 50*a*b**5*n**2*x**5*(a + b*x)**n/(b**6*n*
*6 + 21*b**6*n**5 + 175*b**6*n**4 + 735*b**6*n**3 + 1624*b**6*n**2 + 1764*b**6*n
+ 720*b**6) + 24*a*b**5*n*x**5*(a + b*x)**n/(b**6*n**6 + 21*b**6*n**5 + 175*b**
6*n**4 + 735*b**6*n**3 + 1624*b**6*n**2 + 1764*b**6*n + 720*b**6) + b**6*n**5*x*
*6*(a + b*x)**n/(b**6*n**6 + 21*b**6*n**5 + 175*b**6*n**4 + 735*b**6*n**3 + 1624
*b**6*n**2 + 1764*b**6*n + 720*b**6) + 15*b**6*n**4*x**6*(a + b*x)**n/(b**6*n**6
+ 21*b**6*n**5 + 175*b**6*n**4 + 735*b**6*n**3 + 1624*b**6*n**2 + 1764*b**6*n +
720*b**6) + 85*b**6*n**3*x**6*(a + b*x)**n/(b**6*n**6 + 21*b**6*n**5 + 175*b**6
*n**4 + 735*b**6*n**3 + 1624*b**6*n**2 + 1764*b**6*n + 720*b**6) + 225*b**6*n**2
*x**6*(a + b*x)**n/(b**6*n**6 + 21*b**6*n**5 + 175*b**6*n**4 + 735*b**6*n**3 + 1
624*b**6*n**2 + 1764*b**6*n + 720*b**6) + 274*b**6*n*x**6*(a + b*x)**n/(b**6*n**
6 + 21*b**6*n**5 + 175*b**6*n**4 + 735*b**6*n**3 + 1624*b**6*n**2 + 1764*b**6*n
+ 720*b**6) + 120*b**6*x**6*(a + b*x)**n/(b**6*n**6 + 21*b**6*n**5 + 175*b**6*n*
*4 + 735*b**6*n**3 + 1624*b**6*n**2 + 1764*b**6*n + 720*b**6), True)) - b*b**n*c
**2*n*x*(a/b + x)**n*lerchphi(1 + b*x/a, 1, n + 1)*gamma(n + 1)/(a*gamma(n + 2))
- b*b**n*c**2*x*(a/b + x)**n*lerchphi(1 + b*x/a, 1, n + 1)*gamma(n + 1)/(a*gamm
a(n + 2))

_______________________________________________________________________________________

GIAC/XCAS [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \[ \int \frac{{\left (d x^{3} + c\right )}^{2}{\left (b x + a\right )}^{n}}{x}\,{d x} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]  integrate((d*x^3 + c)^2*(b*x + a)^n/x,x, algorithm="giac")

[Out]

integrate((d*x^3 + c)^2*(b*x + a)^n/x, x)