\(\int \frac {1}{(a+b \cos (d+e x)+c \sin (d+e x))^{7/2}} \, dx\) [416]

Optimal result

Integrand size = 22, antiderivative size = 490 \[ \int \frac {1}{(a+b \cos (d+e x)+c \sin (d+e x))^{7/2}} \, dx=\frac {2 (c \cos (d+e x)-b \sin (d+e x))}{5 \left (a^2-b^2-c^2\right ) e (a+b \cos (d+e x)+c \sin (d+e x))^{5/2}}+\frac {16 (a c \cos (d+e x)-a b \sin (d+e x))}{15 \left (a^2-b^2-c^2\right )^2 e (a+b \cos (d+e x)+c \sin (d+e x))^{3/2}}+\frac {2 \left (23 a^2+9 \left (b^2+c^2\right )\right ) E\left (\frac {1}{2} \left (d+e x-\tan ^{-1}(b,c)\right )|\frac {2 \sqrt {b^2+c^2}}{a+\sqrt {b^2+c^2}}\right ) \sqrt {a+b \cos (d+e x)+c \sin (d+e x)}}{15 \left (a^2-b^2-c^2\right )^3 e \sqrt {\frac {a+b \cos (d+e x)+c \sin (d+e x)}{a+\sqrt {b^2+c^2}}}}-\frac {16 a \operatorname {EllipticF}\left (\frac {1}{2} \left (d+e x-\tan ^{-1}(b,c)\right ),\frac {2 \sqrt {b^2+c^2}}{a+\sqrt {b^2+c^2}}\right ) \sqrt {\frac {a+b \cos (d+e x)+c \sin (d+e x)}{a+\sqrt {b^2+c^2}}}}{15 \left (a^2-b^2-c^2\right )^2 e \sqrt {a+b \cos (d+e x)+c \sin (d+e x)}}+\frac {2 \left (c \left (23 a^2+9 \left (b^2+c^2\right )\right ) \cos (d+e x)-b \left (23 a^2+9 \left (b^2+c^2\right )\right ) \sin (d+e x)\right )}{15 \left (a^2-b^2-c^2\right )^3 e \sqrt {a+b \cos (d+e x)+c \sin (d+e x)}} \]

[Out]

2/5*(c*cos(e*x+d)-b*sin(e*x+d))/(a^2-b^2-c^2)/e/(a+b*cos(e*x+d)+c*sin(e*x+d))^(5/2)+16/15*(a*c*cos(e*x+d)-a*b*
sin(e*x+d))/(a^2-b^2-c^2)^2/e/(a+b*cos(e*x+d)+c*sin(e*x+d))^(3/2)+2/15*(c*(23*a^2+9*b^2+9*c^2)*cos(e*x+d)-b*(2
3*a^2+9*b^2+9*c^2)*sin(e*x+d))/(a^2-b^2-c^2)^3/e/(a+b*cos(e*x+d)+c*sin(e*x+d))^(1/2)+2/15*(23*a^2+9*b^2+9*c^2)
*(cos(1/2*d+1/2*e*x-1/2*arctan(b,c))^2)^(1/2)/cos(1/2*d+1/2*e*x-1/2*arctan(b,c))*EllipticE(sin(1/2*d+1/2*e*x-1
/2*arctan(b,c)),2^(1/2)*((b^2+c^2)^(1/2)/(a+(b^2+c^2)^(1/2)))^(1/2))*(a+b*cos(e*x+d)+c*sin(e*x+d))^(1/2)/(a^2-
b^2-c^2)^3/e/((a+b*cos(e*x+d)+c*sin(e*x+d))/(a+(b^2+c^2)^(1/2)))^(1/2)-16/15*a*(cos(1/2*d+1/2*e*x-1/2*arctan(b
,c))^2)^(1/2)/cos(1/2*d+1/2*e*x-1/2*arctan(b,c))*EllipticF(sin(1/2*d+1/2*e*x-1/2*arctan(b,c)),2^(1/2)*((b^2+c^
2)^(1/2)/(a+(b^2+c^2)^(1/2)))^(1/2))*((a+b*cos(e*x+d)+c*sin(e*x+d))/(a+(b^2+c^2)^(1/2)))^(1/2)/(a^2-b^2-c^2)^2
/e/(a+b*cos(e*x+d)+c*sin(e*x+d))^(1/2)

Rubi [A] (verified)

Time = 0.74 (sec) , antiderivative size = 490, normalized size of antiderivative = 1.00, number of steps used = 8, number of rules used = 7, \(\frac {\text {number of rules}}{\text {integrand size}}\) = 0.318, Rules used = {3208, 3235, 3228, 3198, 2732, 3206, 2740} \[ \int \frac {1}{(a+b \cos (d+e x)+c \sin (d+e x))^{7/2}} \, dx=-\frac {16 a \sqrt {\frac {a+b \cos (d+e x)+c \sin (d+e x)}{a+\sqrt {b^2+c^2}}} \operatorname {EllipticF}\left (\frac {1}{2} \left (d+e x-\tan ^{-1}(b,c)\right ),\frac {2 \sqrt {b^2+c^2}}{a+\sqrt {b^2+c^2}}\right )}{15 e \left (a^2-b^2-c^2\right )^2 \sqrt {a+b \cos (d+e x)+c \sin (d+e x)}}+\frac {2 \left (23 a^2+9 \left (b^2+c^2\right )\right ) \sqrt {a+b \cos (d+e x)+c \sin (d+e x)} E\left (\frac {1}{2} \left (d+e x-\tan ^{-1}(b,c)\right )|\frac {2 \sqrt {b^2+c^2}}{a+\sqrt {b^2+c^2}}\right )}{15 e \left (a^2-b^2-c^2\right )^3 \sqrt {\frac {a+b \cos (d+e x)+c \sin (d+e x)}{a+\sqrt {b^2+c^2}}}}+\frac {2 \left (c \left (23 a^2+9 \left (b^2+c^2\right )\right ) \cos (d+e x)-b \left (23 a^2+9 \left (b^2+c^2\right )\right ) \sin (d+e x)\right )}{15 e \left (a^2-b^2-c^2\right )^3 \sqrt {a+b \cos (d+e x)+c \sin (d+e x)}}+\frac {16 (a c \cos (d+e x)-a b \sin (d+e x))}{15 e \left (a^2-b^2-c^2\right )^2 (a+b \cos (d+e x)+c \sin (d+e x))^{3/2}}+\frac {2 (c \cos (d+e x)-b \sin (d+e x))}{5 e \left (a^2-b^2-c^2\right ) (a+b \cos (d+e x)+c \sin (d+e x))^{5/2}} \]

[In]

Int[(a + b*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x])^(-7/2),x]

[Out]

(2*(c*Cos[d + e*x] - b*Sin[d + e*x]))/(5*(a^2 - b^2 - c^2)*e*(a + b*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x])^(5/2)) + (1
6*(a*c*Cos[d + e*x] - a*b*Sin[d + e*x]))/(15*(a^2 - b^2 - c^2)^2*e*(a + b*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x])^(3/2)
) + (2*(23*a^2 + 9*(b^2 + c^2))*EllipticE[(d + e*x - ArcTan[b, c])/2, (2*Sqrt[b^2 + c^2])/(a + Sqrt[b^2 + c^2]
)]*Sqrt[a + b*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x]])/(15*(a^2 - b^2 - c^2)^3*e*Sqrt[(a + b*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e
*x])/(a + Sqrt[b^2 + c^2])]) - (16*a*EllipticF[(d + e*x - ArcTan[b, c])/2, (2*Sqrt[b^2 + c^2])/(a + Sqrt[b^2 +
c^2])]*Sqrt[(a + b*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x])/(a + Sqrt[b^2 + c^2])])/(15*(a^2 - b^2 - c^2)^2*e*Sqrt[a +
b*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x]]) + (2*(c*(23*a^2 + 9*(b^2 + c^2))*Cos[d + e*x] - b*(23*a^2 + 9*(b^2 + c^2))*S
in[d + e*x]))/(15*(a^2 - b^2 - c^2)^3*e*Sqrt[a + b*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x]])

Rule 2732

Int[Sqrt[(a_) + (b_.)*sin[(c_.) + (d_.)*(x_)]], x_Symbol] :> Simp[2*(Sqrt[a + b]/d)*EllipticE[(1/2)*(c - Pi/2
+ d*x), 2*(b/(a + b))], x] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && NeQ[a^2 - b^2, 0] && GtQ[a + b, 0]

Rule 2740

Int[1/Sqrt[(a_) + (b_.)*sin[(c_.) + (d_.)*(x_)]], x_Symbol] :> Simp[(2/(d*Sqrt[a + b]))*EllipticF[(1/2)*(c - P
i/2 + d*x), 2*(b/(a + b))], x] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && NeQ[a^2 - b^2, 0] && GtQ[a + b, 0]

Rule 3198

Int[Sqrt[cos[(d_.) + (e_.)*(x_)]*(b_.) + (a_) + (c_.)*sin[(d_.) + (e_.)*(x_)]], x_Symbol] :> Dist[Sqrt[a + b*C
os[d + e*x] + c*Sin[d + e*x]]/Sqrt[(a + b*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x])/(a + Sqrt[b^2 + c^2])], Int[Sqrt[a/(a
+ Sqrt[b^2 + c^2]) + (Sqrt[b^2 + c^2]/(a + Sqrt[b^2 + c^2]))*Cos[d + e*x - ArcTan[b, c]]], x], x] /; FreeQ[{a
, b, c, d, e}, x] && NeQ[a^2 - b^2 - c^2, 0] && NeQ[b^2 + c^2, 0] &&  !GtQ[a + Sqrt[b^2 + c^2], 0]

Rule 3206

Int[1/Sqrt[cos[(d_.) + (e_.)*(x_)]*(b_.) + (a_) + (c_.)*sin[(d_.) + (e_.)*(x_)]], x_Symbol] :> Dist[Sqrt[(a +
b*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x])/(a + Sqrt[b^2 + c^2])]/Sqrt[a + b*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x]], Int[1/Sqrt[
a/(a + Sqrt[b^2 + c^2]) + (Sqrt[b^2 + c^2]/(a + Sqrt[b^2 + c^2]))*Cos[d + e*x - ArcTan[b, c]]], x], x] /; Free
Q[{a, b, c, d, e}, x] && NeQ[a^2 - b^2 - c^2, 0] && NeQ[b^2 + c^2, 0] &&  !GtQ[a + Sqrt[b^2 + c^2], 0]

Rule 3208

Int[(cos[(d_.) + (e_.)*(x_)]*(b_.) + (a_) + (c_.)*sin[(d_.) + (e_.)*(x_)])^(n_), x_Symbol] :> Simp[((-c)*Cos[d
+ e*x] + b*Sin[d + e*x])*((a + b*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x])^(n + 1)/(e*(n + 1)*(a^2 - b^2 - c^2))), x] +
Dist[1/((n + 1)*(a^2 - b^2 - c^2)), Int[(a*(n + 1) - b*(n + 2)*Cos[d + e*x] - c*(n + 2)*Sin[d + e*x])*(a + b*C
os[d + e*x] + c*Sin[d + e*x])^(n + 1), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && NeQ[a^2 - b^2 - c^2, 0] && LtQ[n
, -1] && NeQ[n, -3/2]

Rule 3228

Int[((A_.) + cos[(d_.) + (e_.)*(x_)]*(B_.) + (C_.)*sin[(d_.) + (e_.)*(x_)])/Sqrt[cos[(d_.) + (e_.)*(x_)]*(b_.)
+ (a_) + (c_.)*sin[(d_.) + (e_.)*(x_)]], x_Symbol] :> Dist[B/b, Int[Sqrt[a + b*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x]]
, x], x] + Dist[(A*b - a*B)/b, Int[1/Sqrt[a + b*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x]], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e
, A, B, C}, x] && EqQ[B*c - b*C, 0] && NeQ[A*b - a*B, 0]

Rule 3235

Int[((a_.) + cos[(d_.) + (e_.)*(x_)]*(b_.) + (c_.)*sin[(d_.) + (e_.)*(x_)])^(n_)*((A_.) + cos[(d_.) + (e_.)*(x
_)]*(B_.) + (C_.)*sin[(d_.) + (e_.)*(x_)]), x_Symbol] :> Simp[(-(c*B - b*C - (a*C - c*A)*Cos[d + e*x] + (a*B -
b*A)*Sin[d + e*x]))*((a + b*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x])^(n + 1)/(e*(n + 1)*(a^2 - b^2 - c^2))), x] + Dist[
1/((n + 1)*(a^2 - b^2 - c^2)), Int[(a + b*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x])^(n + 1)*Simp[(n + 1)*(a*A - b*B - c*C
) + (n + 2)*(a*B - b*A)*Cos[d + e*x] + (n + 2)*(a*C - c*A)*Sin[d + e*x], x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, A
, B, C}, x] && LtQ[n, -1] && NeQ[a^2 - b^2 - c^2, 0] && NeQ[n, -2]

Rubi steps \begin{align*} \text {integral}& = \frac {2 (c \cos (d+e x)-b \sin (d+e x))}{5 \left (a^2-b^2-c^2\right ) e (a+b \cos (d+e x)+c \sin (d+e x))^{5/2}}-\frac {2 \int \frac {-\frac {5 a}{2}+\frac {3}{2} b \cos (d+e x)+\frac {3}{2} c \sin (d+e x)}{(a+b \cos (d+e x)+c \sin (d+e x))^{5/2}} \, dx}{5 \left (a^2-b^2-c^2\right )} \\ & = \frac {2 (c \cos (d+e x)-b \sin (d+e x))}{5 \left (a^2-b^2-c^2\right ) e (a+b \cos (d+e x)+c \sin (d+e x))^{5/2}}+\frac {16 (a c \cos (d+e x)-a b \sin (d+e x))}{15 \left (a^2-b^2-c^2\right )^2 e (a+b \cos (d+e x)+c \sin (d+e x))^{3/2}}+\frac {4 \int \frac {\frac {3}{4} \left (5 a^2+3 \left (b^2+c^2\right )\right )-2 a b \cos (d+e x)-2 a c \sin (d+e x)}{(a+b \cos (d+e x)+c \sin (d+e x))^{3/2}} \, dx}{15 \left (a^2-b^2-c^2\right )^2} \\ & = \frac {2 (c \cos (d+e x)-b \sin (d+e x))}{5 \left (a^2-b^2-c^2\right ) e (a+b \cos (d+e x)+c \sin (d+e x))^{5/2}}+\frac {16 (a c \cos (d+e x)-a b \sin (d+e x))}{15 \left (a^2-b^2-c^2\right )^2 e (a+b \cos (d+e x)+c \sin (d+e x))^{3/2}}+\frac {2 \left (c \left (23 a^2+9 \left (b^2+c^2\right )\right ) \cos (d+e x)-b \left (23 a^2+9 \left (b^2+c^2\right )\right ) \sin (d+e x)\right )}{15 \left (a^2-b^2-c^2\right )^3 e \sqrt {a+b \cos (d+e x)+c \sin (d+e x)}}-\frac {8 \int \frac {-\frac {1}{8} a \left (15 a^2+17 \left (b^2+c^2\right )\right )-\frac {1}{8} b \left (23 a^2+9 \left (b^2+c^2\right )\right ) \cos (d+e x)-\frac {1}{8} c \left (23 a^2+9 \left (b^2+c^2\right )\right ) \sin (d+e x)}{\sqrt {a+b \cos (d+e x)+c \sin (d+e x)}} \, dx}{15 \left (a^2-b^2-c^2\right )^3} \\ & = \frac {2 (c \cos (d+e x)-b \sin (d+e x))}{5 \left (a^2-b^2-c^2\right ) e (a+b \cos (d+e x)+c \sin (d+e x))^{5/2}}+\frac {16 (a c \cos (d+e x)-a b \sin (d+e x))}{15 \left (a^2-b^2-c^2\right )^2 e (a+b \cos (d+e x)+c \sin (d+e x))^{3/2}}+\frac {2 \left (c \left (23 a^2+9 \left (b^2+c^2\right )\right ) \cos (d+e x)-b \left (23 a^2+9 \left (b^2+c^2\right )\right ) \sin (d+e x)\right )}{15 \left (a^2-b^2-c^2\right )^3 e \sqrt {a+b \cos (d+e x)+c \sin (d+e x)}}-\frac {(8 a) \int \frac {1}{\sqrt {a+b \cos (d+e x)+c \sin (d+e x)}} \, dx}{15 \left (a^2-b^2-c^2\right )^2}+\frac {\left (23 a^2+9 \left (b^2+c^2\right )\right ) \int \sqrt {a+b \cos (d+e x)+c \sin (d+e x)} \, dx}{15 \left (a^2-b^2-c^2\right )^3} \\ & = \frac {2 (c \cos (d+e x)-b \sin (d+e x))}{5 \left (a^2-b^2-c^2\right ) e (a+b \cos (d+e x)+c \sin (d+e x))^{5/2}}+\frac {16 (a c \cos (d+e x)-a b \sin (d+e x))}{15 \left (a^2-b^2-c^2\right )^2 e (a+b \cos (d+e x)+c \sin (d+e x))^{3/2}}+\frac {2 \left (c \left (23 a^2+9 \left (b^2+c^2\right )\right ) \cos (d+e x)-b \left (23 a^2+9 \left (b^2+c^2\right )\right ) \sin (d+e x)\right )}{15 \left (a^2-b^2-c^2\right )^3 e \sqrt {a+b \cos (d+e x)+c \sin (d+e x)}}+\frac {\left (\left (23 a^2+9 \left (b^2+c^2\right )\right ) \sqrt {a+b \cos (d+e x)+c \sin (d+e x)}\right ) \int \sqrt {\frac {a}{a+\sqrt {b^2+c^2}}+\frac {\sqrt {b^2+c^2} \cos \left (d+e x-\tan ^{-1}(b,c)\right )}{a+\sqrt {b^2+c^2}}} \, dx}{15 \left (a^2-b^2-c^2\right )^3 \sqrt {\frac {a+b \cos (d+e x)+c \sin (d+e x)}{a+\sqrt {b^2+c^2}}}}-\frac {\left (8 a \sqrt {\frac {a+b \cos (d+e x)+c \sin (d+e x)}{a+\sqrt {b^2+c^2}}}\right ) \int \frac {1}{\sqrt {\frac {a}{a+\sqrt {b^2+c^2}}+\frac {\sqrt {b^2+c^2} \cos \left (d+e x-\tan ^{-1}(b,c)\right )}{a+\sqrt {b^2+c^2}}}} \, dx}{15 \left (a^2-b^2-c^2\right )^2 \sqrt {a+b \cos (d+e x)+c \sin (d+e x)}} \\ & = \frac {2 (c \cos (d+e x)-b \sin (d+e x))}{5 \left (a^2-b^2-c^2\right ) e (a+b \cos (d+e x)+c \sin (d+e x))^{5/2}}+\frac {16 (a c \cos (d+e x)-a b \sin (d+e x))}{15 \left (a^2-b^2-c^2\right )^2 e (a+b \cos (d+e x)+c \sin (d+e x))^{3/2}}+\frac {2 \left (23 a^2+9 \left (b^2+c^2\right )\right ) E\left (\frac {1}{2} \left (d+e x-\tan ^{-1}(b,c)\right )|\frac {2 \sqrt {b^2+c^2}}{a+\sqrt {b^2+c^2}}\right ) \sqrt {a+b \cos (d+e x)+c \sin (d+e x)}}{15 \left (a^2-b^2-c^2\right )^3 e \sqrt {\frac {a+b \cos (d+e x)+c \sin (d+e x)}{a+\sqrt {b^2+c^2}}}}-\frac {16 a \operatorname {EllipticF}\left (\frac {1}{2} \left (d+e x-\tan ^{-1}(b,c)\right ),\frac {2 \sqrt {b^2+c^2}}{a+\sqrt {b^2+c^2}}\right ) \sqrt {\frac {a+b \cos (d+e x)+c \sin (d+e x)}{a+\sqrt {b^2+c^2}}}}{15 \left (a^2-b^2-c^2\right )^2 e \sqrt {a+b \cos (d+e x)+c \sin (d+e x)}}+\frac {2 \left (c \left (23 a^2+9 \left (b^2+c^2\right )\right ) \cos (d+e x)-b \left (23 a^2+9 \left (b^2+c^2\right )\right ) \sin (d+e x)\right )}{15 \left (a^2-b^2-c^2\right )^3 e \sqrt {a+b \cos (d+e x)+c \sin (d+e x)}} \\ \end{align*}

Mathematica [C] (warning: unable to verify)

Result contains higher order function than in optimal. Order 6 vs. order 4 in optimal.

Time = 6.57 (sec) , antiderivative size = 4116, normalized size of antiderivative = 8.40 \[ \int \frac {1}{(a+b \cos (d+e x)+c \sin (d+e x))^{7/2}} \, dx=\text {Result too large to show} \]

[In]

Integrate[(a + b*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x])^(-7/2),x]

[Out]

(Sqrt[a + b*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x]]*((-2*(b^2 + c^2)*(23*a^2 + 9*b^2 + 9*c^2))/(15*b*c*(-a^2 + b^2 + c^
2)^3) + (2*(a*c + b^2*Sin[d + e*x] + c^2*Sin[d + e*x]))/(5*b*(-a^2 + b^2 + c^2)*(a + b*Cos[d + e*x] + c*Sin[d
+ e*x])^3) - (2*(5*a^2*c + 3*b^2*c + 3*c^3 + 8*a*b^2*Sin[d + e*x] + 8*a*c^2*Sin[d + e*x]))/(15*b*(-a^2 + b^2 +
c^2)^2*(a + b*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x])^2) + (2*(15*a^3*c + 17*a*b^2*c + 17*a*c^3 + 23*a^2*b^2*Sin[d + e
*x] + 9*b^4*Sin[d + e*x] + 23*a^2*c^2*Sin[d + e*x] + 18*b^2*c^2*Sin[d + e*x] + 9*c^4*Sin[d + e*x]))/(15*b*(-a^
2 + b^2 + c^2)^3*(a + b*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x]))))/e - (2*a^3*AppellF1[1/2, 1/2, 1/2, 3/2, -((a + Sqrt[
1 + b^2/c^2]*c*Sin[d + e*x + ArcTan[b/c]])/(Sqrt[1 + b^2/c^2]*(1 - a/(Sqrt[1 + b^2/c^2]*c))*c)), -((a + Sqrt[1
+ b^2/c^2]*c*Sin[d + e*x + ArcTan[b/c]])/(Sqrt[1 + b^2/c^2]*(-1 - a/(Sqrt[1 + b^2/c^2]*c))*c))]*Sec[d + e*x +
ArcTan[b/c]]*Sqrt[(c*Sqrt[(b^2 + c^2)/c^2] - c*Sqrt[(b^2 + c^2)/c^2]*Sin[d + e*x + ArcTan[b/c]])/(a + c*Sqrt[
(b^2 + c^2)/c^2])]*Sqrt[a + c*Sqrt[(b^2 + c^2)/c^2]*Sin[d + e*x + ArcTan[b/c]]]*Sqrt[(c*Sqrt[(b^2 + c^2)/c^2]
+ c*Sqrt[(b^2 + c^2)/c^2]*Sin[d + e*x + ArcTan[b/c]])/(-a + c*Sqrt[(b^2 + c^2)/c^2])])/(Sqrt[1 + b^2/c^2]*c*(-
a^2 + b^2 + c^2)^3*e) - (34*a*b^2*AppellF1[1/2, 1/2, 1/2, 3/2, -((a + Sqrt[1 + b^2/c^2]*c*Sin[d + e*x + ArcTan
[b/c]])/(Sqrt[1 + b^2/c^2]*(1 - a/(Sqrt[1 + b^2/c^2]*c))*c)), -((a + Sqrt[1 + b^2/c^2]*c*Sin[d + e*x + ArcTan[
b/c]])/(Sqrt[1 + b^2/c^2]*(-1 - a/(Sqrt[1 + b^2/c^2]*c))*c))]*Sec[d + e*x + ArcTan[b/c]]*Sqrt[(c*Sqrt[(b^2 + c
^2)/c^2] - c*Sqrt[(b^2 + c^2)/c^2]*Sin[d + e*x + ArcTan[b/c]])/(a + c*Sqrt[(b^2 + c^2)/c^2])]*Sqrt[a + c*Sqrt[
(b^2 + c^2)/c^2]*Sin[d + e*x + ArcTan[b/c]]]*Sqrt[(c*Sqrt[(b^2 + c^2)/c^2] + c*Sqrt[(b^2 + c^2)/c^2]*Sin[d + e
*x + ArcTan[b/c]])/(-a + c*Sqrt[(b^2 + c^2)/c^2])])/(15*Sqrt[1 + b^2/c^2]*c*(-a^2 + b^2 + c^2)^3*e) - (34*a*c*
AppellF1[1/2, 1/2, 1/2, 3/2, -((a + Sqrt[1 + b^2/c^2]*c*Sin[d + e*x + ArcTan[b/c]])/(Sqrt[1 + b^2/c^2]*(1 - a/
(Sqrt[1 + b^2/c^2]*c))*c)), -((a + Sqrt[1 + b^2/c^2]*c*Sin[d + e*x + ArcTan[b/c]])/(Sqrt[1 + b^2/c^2]*(-1 - a/
(Sqrt[1 + b^2/c^2]*c))*c))]*Sec[d + e*x + ArcTan[b/c]]*Sqrt[(c*Sqrt[(b^2 + c^2)/c^2] - c*Sqrt[(b^2 + c^2)/c^2]
*Sin[d + e*x + ArcTan[b/c]])/(a + c*Sqrt[(b^2 + c^2)/c^2])]*Sqrt[a + c*Sqrt[(b^2 + c^2)/c^2]*Sin[d + e*x + Arc
Tan[b/c]]]*Sqrt[(c*Sqrt[(b^2 + c^2)/c^2] + c*Sqrt[(b^2 + c^2)/c^2]*Sin[d + e*x + ArcTan[b/c]])/(-a + c*Sqrt[(b
^2 + c^2)/c^2])])/(15*Sqrt[1 + b^2/c^2]*(-a^2 + b^2 + c^2)^3*e) - (23*a^2*b^2*(-((c*AppellF1[-1/2, -1/2, -1/2,
1/2, -((a + b*Sqrt[1 + c^2/b^2]*Cos[d + e*x - ArcTan[c/b]])/(b*Sqrt[1 + c^2/b^2]*(1 - a/(b*Sqrt[1 + c^2/b^2])
))), -((a + b*Sqrt[1 + c^2/b^2]*Cos[d + e*x - ArcTan[c/b]])/(b*Sqrt[1 + c^2/b^2]*(-1 - a/(b*Sqrt[1 + c^2/b^2])
)))]*Sin[d + e*x - ArcTan[c/b]])/(b*Sqrt[1 + c^2/b^2]*Sqrt[(b*Sqrt[(b^2 + c^2)/b^2] - b*Sqrt[(b^2 + c^2)/b^2]*
Cos[d + e*x - ArcTan[c/b]])/(a + b*Sqrt[(b^2 + c^2)/b^2])]*Sqrt[a + b*Sqrt[(b^2 + c^2)/b^2]*Cos[d + e*x - ArcT
an[c/b]]]*Sqrt[(b*Sqrt[(b^2 + c^2)/b^2] + b*Sqrt[(b^2 + c^2)/b^2]*Cos[d + e*x - ArcTan[c/b]])/(-a + b*Sqrt[(b^
2 + c^2)/b^2])])) - ((2*b*(a + b*Sqrt[1 + c^2/b^2]*Cos[d + e*x - ArcTan[c/b]]))/(b^2 + c^2) - (c*Sin[d + e*x -
ArcTan[c/b]])/(b*Sqrt[1 + c^2/b^2]))/Sqrt[a + b*Sqrt[1 + c^2/b^2]*Cos[d + e*x - ArcTan[c/b]]]))/(15*c*(-a^2 +
b^2 + c^2)^3*e) - (3*b^4*(-((c*AppellF1[-1/2, -1/2, -1/2, 1/2, -((a + b*Sqrt[1 + c^2/b^2]*Cos[d + e*x - ArcTa
n[c/b]])/(b*Sqrt[1 + c^2/b^2]*(1 - a/(b*Sqrt[1 + c^2/b^2])))), -((a + b*Sqrt[1 + c^2/b^2]*Cos[d + e*x - ArcTan
[c/b]])/(b*Sqrt[1 + c^2/b^2]*(-1 - a/(b*Sqrt[1 + c^2/b^2]))))]*Sin[d + e*x - ArcTan[c/b]])/(b*Sqrt[1 + c^2/b^2
]*Sqrt[(b*Sqrt[(b^2 + c^2)/b^2] - b*Sqrt[(b^2 + c^2)/b^2]*Cos[d + e*x - ArcTan[c/b]])/(a + b*Sqrt[(b^2 + c^2)/
b^2])]*Sqrt[a + b*Sqrt[(b^2 + c^2)/b^2]*Cos[d + e*x - ArcTan[c/b]]]*Sqrt[(b*Sqrt[(b^2 + c^2)/b^2] + b*Sqrt[(b^
2 + c^2)/b^2]*Cos[d + e*x - ArcTan[c/b]])/(-a + b*Sqrt[(b^2 + c^2)/b^2])])) - ((2*b*(a + b*Sqrt[1 + c^2/b^2]*C
os[d + e*x - ArcTan[c/b]]))/(b^2 + c^2) - (c*Sin[d + e*x - ArcTan[c/b]])/(b*Sqrt[1 + c^2/b^2]))/Sqrt[a + b*Sqr
t[1 + c^2/b^2]*Cos[d + e*x - ArcTan[c/b]]]))/(5*c*(-a^2 + b^2 + c^2)^3*e) - (23*a^2*c*(-((c*AppellF1[-1/2, -1/
2, -1/2, 1/2, -((a + b*Sqrt[1 + c^2/b^2]*Cos[d + e*x - ArcTan[c/b]])/(b*Sqrt[1 + c^2/b^2]*(1 - a/(b*Sqrt[1 + c
^2/b^2])))), -((a + b*Sqrt[1 + c^2/b^2]*Cos[d + e*x - ArcTan[c/b]])/(b*Sqrt[1 + c^2/b^2]*(-1 - a/(b*Sqrt[1 + c
^2/b^2]))))]*Sin[d + e*x - ArcTan[c/b]])/(b*Sqrt[1 + c^2/b^2]*Sqrt[(b*Sqrt[(b^2 + c^2)/b^2] - b*Sqrt[(b^2 + c^
2)/b^2]*Cos[d + e*x - ArcTan[c/b]])/(a + b*Sqrt[(b^2 + c^2)/b^2])]*Sqrt[a + b*Sqrt[(b^2 + c^2)/b^2]*Cos[d + e*
x - ArcTan[c/b]]]*Sqrt[(b*Sqrt[(b^2 + c^2)/b^2] + b*Sqrt[(b^2 + c^2)/b^2]*Cos[d + e*x - ArcTan[c/b]])/(-a + b*
Sqrt[(b^2 + c^2)/b^2])])) - ((2*b*(a + b*Sqrt[1 + c^2/b^2]*Cos[d + e*x - ArcTan[c/b]]))/(b^2 + c^2) - (c*Sin[d
+ e*x - ArcTan[c/b]])/(b*Sqrt[1 + c^2/b^2]))/Sqrt[a + b*Sqrt[1 + c^2/b^2]*Cos[d + e*x - ArcTan[c/b]]]))/(15*(
-a^2 + b^2 + c^2)^3*e) - (6*b^2*c*(-((c*AppellF1[-1/2, -1/2, -1/2, 1/2, -((a + b*Sqrt[1 + c^2/b^2]*Cos[d + e*x
- ArcTan[c/b]])/(b*Sqrt[1 + c^2/b^2]*(1 - a/(b*Sqrt[1 + c^2/b^2])))), -((a + b*Sqrt[1 + c^2/b^2]*Cos[d + e*x
- ArcTan[c/b]])/(b*Sqrt[1 + c^2/b^2]*(-1 - a/(b*Sqrt[1 + c^2/b^2]))))]*Sin[d + e*x - ArcTan[c/b]])/(b*Sqrt[1 +
c^2/b^2]*Sqrt[(b*Sqrt[(b^2 + c^2)/b^2] - b*Sqrt[(b^2 + c^2)/b^2]*Cos[d + e*x - ArcTan[c/b]])/(a + b*Sqrt[(b^2
+ c^2)/b^2])]*Sqrt[a + b*Sqrt[(b^2 + c^2)/b^2]*Cos[d + e*x - ArcTan[c/b]]]*Sqrt[(b*Sqrt[(b^2 + c^2)/b^2] + b*
Sqrt[(b^2 + c^2)/b^2]*Cos[d + e*x - ArcTan[c/b]])/(-a + b*Sqrt[(b^2 + c^2)/b^2])])) - ((2*b*(a + b*Sqrt[1 + c^
2/b^2]*Cos[d + e*x - ArcTan[c/b]]))/(b^2 + c^2) - (c*Sin[d + e*x - ArcTan[c/b]])/(b*Sqrt[1 + c^2/b^2]))/Sqrt[a
+ b*Sqrt[1 + c^2/b^2]*Cos[d + e*x - ArcTan[c/b]]]))/(5*(-a^2 + b^2 + c^2)^3*e) - (3*c^3*(-((c*AppellF1[-1/2,
-1/2, -1/2, 1/2, -((a + b*Sqrt[1 + c^2/b^2]*Cos[d + e*x - ArcTan[c/b]])/(b*Sqrt[1 + c^2/b^2]*(1 - a/(b*Sqrt[1
+ c^2/b^2])))), -((a + b*Sqrt[1 + c^2/b^2]*Cos[d + e*x - ArcTan[c/b]])/(b*Sqrt[1 + c^2/b^2]*(-1 - a/(b*Sqrt[1
+ c^2/b^2]))))]*Sin[d + e*x - ArcTan[c/b]])/(b*Sqrt[1 + c^2/b^2]*Sqrt[(b*Sqrt[(b^2 + c^2)/b^2] - b*Sqrt[(b^2 +
c^2)/b^2]*Cos[d + e*x - ArcTan[c/b]])/(a + b*Sqrt[(b^2 + c^2)/b^2])]*Sqrt[a + b*Sqrt[(b^2 + c^2)/b^2]*Cos[d +
e*x - ArcTan[c/b]]]*Sqrt[(b*Sqrt[(b^2 + c^2)/b^2] + b*Sqrt[(b^2 + c^2)/b^2]*Cos[d + e*x - ArcTan[c/b]])/(-a +
b*Sqrt[(b^2 + c^2)/b^2])])) - ((2*b*(a + b*Sqrt[1 + c^2/b^2]*Cos[d + e*x - ArcTan[c/b]]))/(b^2 + c^2) - (c*Si
n[d + e*x - ArcTan[c/b]])/(b*Sqrt[1 + c^2/b^2]))/Sqrt[a + b*Sqrt[1 + c^2/b^2]*Cos[d + e*x - ArcTan[c/b]]]))/(5
*(-a^2 + b^2 + c^2)^3*e)

Maple [B] (warning: unable to verify)

Leaf count of result is larger than twice the leaf count of optimal. \(5027\) vs. \(2(535)=1070\).

Time = 30.19 (sec) , antiderivative size = 5028, normalized size of antiderivative = 10.26

method	result	size
default	\(\text {Expression too large to display}\)	\(5028\)

[In]

int(1/(a+b*cos(e*x+d)+c*sin(e*x+d))^(7/2),x,method=_RETURNVERBOSE)

[Out]

result too large to display

Fricas [C] (verification not implemented)

Result contains higher order function than in optimal. Order 9 vs. order 4.

Time = 0.51 (sec) , antiderivative size = 4955, normalized size of antiderivative = 10.11 \[ \int \frac {1}{(a+b \cos (d+e x)+c \sin (d+e x))^{7/2}} \, dx=\text {Too large to display} \]

[In]

integrate(1/(a+b*cos(e*x+d)+c*sin(e*x+d))^(7/2),x, algorithm="fricas")

[Out]

1/45*((sqrt(2)*(-I*a^3*b^4 + 33*I*a*b^6 - 99*I*a*b^2*c^4 - 99*a*b*c^5 + 3*(a^3*b - 22*a*b^3)*c^3 + 3*I*(a^3*b^
2 - 22*a*b^4)*c^2 - (a^3*b^3 - 33*a*b^5)*c)*cos(e*x + d)^3 - 3*sqrt(2)*(I*a^4*b^3 - 33*I*a^2*b^5 - I*a^4*b*c^2
- a^4*c^3 + 33*I*a^2*b*c^4 + 33*a^2*c^5 + (a^4*b^2 - 33*a^2*b^4)*c)*cos(e*x + d)^2 - 3*sqrt(2)*(I*a^5*b^2 - 3
3*I*a^3*b^4 - 33*I*a*b^2*c^4 - 33*a*b*c^5 - (32*a^3*b + 33*a*b^3)*c^3 - I*(32*a^3*b^2 + 33*a*b^4)*c^2 + (a^5*b
- 33*a^3*b^3)*c)*cos(e*x + d) + (sqrt(2)*(-33*I*a*b*c^5 - 33*a*c^6 + (a^3 + 66*a*b^2)*c^4 + I*(a^3*b + 66*a*b
^3)*c^3 - 3*(a^3*b^2 - 33*a*b^4)*c^2 - 3*I*(a^3*b^3 - 33*a*b^5)*c)*cos(e*x + d)^2 - 6*sqrt(2)*(-33*I*a^2*b^2*c
^3 - 33*a^2*b*c^4 + (a^4*b - 33*a^2*b^3)*c^2 + I*(a^4*b^2 - 33*a^2*b^4)*c)*cos(e*x + d) + sqrt(2)*(33*I*a*b*c^
5 + 33*a*c^6 + (98*a^3 + 33*a*b^2)*c^4 + I*(98*a^3*b + 33*a*b^3)*c^3 - 3*(a^5 - 33*a^3*b^2)*c^2 - 3*I*(a^5*b -
33*a^3*b^3)*c))*sin(e*x + d) + sqrt(2)*(-I*a^6*b + 33*I*a^4*b^3 + 99*I*a^2*b*c^4 + 99*a^2*c^5 + 3*(10*a^4 + 3
3*a^2*b^2)*c^3 + 3*I*(10*a^4*b + 33*a^2*b^3)*c^2 - (a^6 - 33*a^4*b^2)*c))*sqrt(b + I*c)*weierstrassPInverse(4/
3*(4*a^2*b^2 - 3*b^4 - 4*a^2*c^2 + 6*I*b*c^3 + 3*c^4 - 2*I*(4*a^2*b - 3*b^3)*c)/(b^4 + 2*b^2*c^2 + c^4), -8/27
*(8*a^3*b^3 - 9*a*b^5 + 27*a*b*c^4 - 9*I*a*c^5 + 2*I*(4*a^3 + 9*a*b^2)*c^3 - 6*(4*a^3*b - 3*a*b^3)*c^2 - 3*I*(
8*a^3*b^2 - 9*a*b^4)*c)/(b^6 + 3*b^4*c^2 + 3*b^2*c^4 + c^6), 1/3*(2*a*b - 2*I*a*c + 3*(b^2 + c^2)*cos(e*x + d)
- 3*(I*b^2 + I*c^2)*sin(e*x + d))/(b^2 + c^2)) + (sqrt(2)*(I*a^3*b^4 - 33*I*a*b^6 + 99*I*a*b^2*c^4 - 99*a*b*c
^5 + 3*(a^3*b - 22*a*b^3)*c^3 - 3*I*(a^3*b^2 - 22*a*b^4)*c^2 - (a^3*b^3 - 33*a*b^5)*c)*cos(e*x + d)^3 - 3*sqrt
(2)*(-I*a^4*b^3 + 33*I*a^2*b^5 + I*a^4*b*c^2 - a^4*c^3 - 33*I*a^2*b*c^4 + 33*a^2*c^5 + (a^4*b^2 - 33*a^2*b^4)*
c)*cos(e*x + d)^2 - 3*sqrt(2)*(-I*a^5*b^2 + 33*I*a^3*b^4 + 33*I*a*b^2*c^4 - 33*a*b*c^5 - (32*a^3*b + 33*a*b^3)
*c^3 + I*(32*a^3*b^2 + 33*a*b^4)*c^2 + (a^5*b - 33*a^3*b^3)*c)*cos(e*x + d) + (sqrt(2)*(33*I*a*b*c^5 - 33*a*c^
6 + (a^3 + 66*a*b^2)*c^4 - I*(a^3*b + 66*a*b^3)*c^3 - 3*(a^3*b^2 - 33*a*b^4)*c^2 + 3*I*(a^3*b^3 - 33*a*b^5)*c)
*cos(e*x + d)^2 - 6*sqrt(2)*(33*I*a^2*b^2*c^3 - 33*a^2*b*c^4 + (a^4*b - 33*a^2*b^3)*c^2 - I*(a^4*b^2 - 33*a^2*
b^4)*c)*cos(e*x + d) + sqrt(2)*(-33*I*a*b*c^5 + 33*a*c^6 + (98*a^3 + 33*a*b^2)*c^4 - I*(98*a^3*b + 33*a*b^3)*c
^3 - 3*(a^5 - 33*a^3*b^2)*c^2 + 3*I*(a^5*b - 33*a^3*b^3)*c))*sin(e*x + d) + sqrt(2)*(I*a^6*b - 33*I*a^4*b^3 -
99*I*a^2*b*c^4 + 99*a^2*c^5 + 3*(10*a^4 + 33*a^2*b^2)*c^3 - 3*I*(10*a^4*b + 33*a^2*b^3)*c^2 - (a^6 - 33*a^4*b^
2)*c))*sqrt(b - I*c)*weierstrassPInverse(4/3*(4*a^2*b^2 - 3*b^4 - 4*a^2*c^2 - 6*I*b*c^3 + 3*c^4 + 2*I*(4*a^2*b
- 3*b^3)*c)/(b^4 + 2*b^2*c^2 + c^4), -8/27*(8*a^3*b^3 - 9*a*b^5 + 27*a*b*c^4 + 9*I*a*c^5 - 2*I*(4*a^3 + 9*a*b
^2)*c^3 - 6*(4*a^3*b - 3*a*b^3)*c^2 + 3*I*(8*a^3*b^2 - 9*a*b^4)*c)/(b^6 + 3*b^4*c^2 + 3*b^2*c^4 + c^6), 1/3*(2
*a*b + 2*I*a*c + 3*(b^2 + c^2)*cos(e*x + d) - 3*(-I*b^2 - I*c^2)*sin(e*x + d))/(b^2 + c^2)) - 3*(sqrt(2)*(23*I
*a^2*b^5 + 9*I*b^7 - 27*I*b*c^6 - 3*I*(23*a^2*b + 15*b^3)*c^4 - I*(46*a^2*b^3 + 9*b^5)*c^2)*cos(e*x + d)^3 + 3
*sqrt(2)*(23*I*a^3*b^4 + 9*I*a*b^6 + 9*I*a*b^4*c^2 - 9*I*a*c^6 - I*(23*a^3 + 9*a*b^2)*c^4)*cos(e*x + d)^2 + 3*
sqrt(2)*(23*I*a^4*b^3 + 9*I*a^2*b^5 + 9*I*b*c^6 + 2*I*(16*a^2*b + 9*b^3)*c^4 + I*(23*a^4*b + 41*a^2*b^3 + 9*b^
5)*c^2)*cos(e*x + d) + (sqrt(2)*(-9*I*c^7 - I*(23*a^2 - 9*b^2)*c^5 + I*(46*a^2*b^2 + 45*b^4)*c^3 + 3*I*(23*a^2
*b^4 + 9*b^6)*c)*cos(e*x + d)^2 + 6*sqrt(2)*(9*I*a*b*c^5 + I*(23*a^3*b + 18*a*b^3)*c^3 + I*(23*a^3*b^3 + 9*a*b
^5)*c)*cos(e*x + d) + sqrt(2)*(9*I*c^7 + 2*I*(25*a^2 + 9*b^2)*c^5 + I*(69*a^4 + 77*a^2*b^2 + 9*b^4)*c^3 + 3*I*
(23*a^4*b^2 + 9*a^2*b^4)*c))*sin(e*x + d) + sqrt(2)*(23*I*a^5*b^2 + 9*I*a^3*b^4 + 27*I*a*c^6 + 6*I*(13*a^3 + 9
*a*b^2)*c^4 + I*(23*a^5 + 87*a^3*b^2 + 27*a*b^4)*c^2))*sqrt(b + I*c)*weierstrassZeta(4/3*(4*a^2*b^2 - 3*b^4 -
4*a^2*c^2 + 6*I*b*c^3 + 3*c^4 - 2*I*(4*a^2*b - 3*b^3)*c)/(b^4 + 2*b^2*c^2 + c^4), -8/27*(8*a^3*b^3 - 9*a*b^5 +
27*a*b*c^4 - 9*I*a*c^5 + 2*I*(4*a^3 + 9*a*b^2)*c^3 - 6*(4*a^3*b - 3*a*b^3)*c^2 - 3*I*(8*a^3*b^2 - 9*a*b^4)*c)
/(b^6 + 3*b^4*c^2 + 3*b^2*c^4 + c^6), weierstrassPInverse(4/3*(4*a^2*b^2 - 3*b^4 - 4*a^2*c^2 + 6*I*b*c^3 + 3*c
^4 - 2*I*(4*a^2*b - 3*b^3)*c)/(b^4 + 2*b^2*c^2 + c^4), -8/27*(8*a^3*b^3 - 9*a*b^5 + 27*a*b*c^4 - 9*I*a*c^5 + 2
*I*(4*a^3 + 9*a*b^2)*c^3 - 6*(4*a^3*b - 3*a*b^3)*c^2 - 3*I*(8*a^3*b^2 - 9*a*b^4)*c)/(b^6 + 3*b^4*c^2 + 3*b^2*c
^4 + c^6), 1/3*(2*a*b - 2*I*a*c + 3*(b^2 + c^2)*cos(e*x + d) - 3*(I*b^2 + I*c^2)*sin(e*x + d))/(b^2 + c^2))) -
3*(sqrt(2)*(-23*I*a^2*b^5 - 9*I*b^7 + 27*I*b*c^6 + 3*I*(23*a^2*b + 15*b^3)*c^4 + I*(46*a^2*b^3 + 9*b^5)*c^2)*
cos(e*x + d)^3 + 3*sqrt(2)*(-23*I*a^3*b^4 - 9*I*a*b^6 - 9*I*a*b^4*c^2 + 9*I*a*c^6 + I*(23*a^3 + 9*a*b^2)*c^4)*
cos(e*x + d)^2 + 3*sqrt(2)*(-23*I*a^4*b^3 - 9*I*a^2*b^5 - 9*I*b*c^6 - 2*I*(16*a^2*b + 9*b^3)*c^4 - I*(23*a^4*b
+ 41*a^2*b^3 + 9*b^5)*c^2)*cos(e*x + d) + (sqrt(2)*(9*I*c^7 + I*(23*a^2 - 9*b^2)*c^5 - I*(46*a^2*b^2 + 45*b^4
)*c^3 - 3*I*(23*a^2*b^4 + 9*b^6)*c)*cos(e*x + d)^2 + 6*sqrt(2)*(-9*I*a*b*c^5 - I*(23*a^3*b + 18*a*b^3)*c^3 - I
*(23*a^3*b^3 + 9*a*b^5)*c)*cos(e*x + d) + sqrt(2)*(-9*I*c^7 - 2*I*(25*a^2 + 9*b^2)*c^5 - I*(69*a^4 + 77*a^2*b^
2 + 9*b^4)*c^3 - 3*I*(23*a^4*b^2 + 9*a^2*b^4)*c))*sin(e*x + d) + sqrt(2)*(-23*I*a^5*b^2 - 9*I*a^3*b^4 - 27*I*a
*c^6 - 6*I*(13*a^3 + 9*a*b^2)*c^4 - I*(23*a^5 + 87*a^3*b^2 + 27*a*b^4)*c^2))*sqrt(b - I*c)*weierstrassZeta(4/3
*(4*a^2*b^2 - 3*b^4 - 4*a^2*c^2 - 6*I*b*c^3 + 3*c^4 + 2*I*(4*a^2*b - 3*b^3)*c)/(b^4 + 2*b^2*c^2 + c^4), -8/27*
(8*a^3*b^3 - 9*a*b^5 + 27*a*b*c^4 + 9*I*a*c^5 - 2*I*(4*a^3 + 9*a*b^2)*c^3 - 6*(4*a^3*b - 3*a*b^3)*c^2 + 3*I*(8
*a^3*b^2 - 9*a*b^4)*c)/(b^6 + 3*b^4*c^2 + 3*b^2*c^4 + c^6), weierstrassPInverse(4/3*(4*a^2*b^2 - 3*b^4 - 4*a^2
*c^2 - 6*I*b*c^3 + 3*c^4 + 2*I*(4*a^2*b - 3*b^3)*c)/(b^4 + 2*b^2*c^2 + c^4), -8/27*(8*a^3*b^3 - 9*a*b^5 + 27*a
*b*c^4 + 9*I*a*c^5 - 2*I*(4*a^3 + 9*a*b^2)*c^3 - 6*(4*a^3*b - 3*a*b^3)*c^2 + 3*I*(8*a^3*b^2 - 9*a*b^4)*c)/(b^6
+ 3*b^4*c^2 + 3*b^2*c^4 + c^6), 1/3*(2*a*b + 2*I*a*c + 3*(b^2 + c^2)*cos(e*x + d) - 3*(-I*b^2 - I*c^2)*sin(e*
x + d))/(b^2 + c^2))) - 6*(10*a*b*c^5 + 2*(27*a^3*b + 10*a*b^3)*c^3 + (9*c^7 + (23*a^2 - 9*b^2)*c^5 - (46*a^2*
b^2 + 45*b^4)*c^3 - 3*(23*a^2*b^4 + 9*b^6)*c)*cos(e*x + d)^3 - 4*(5*a*b*c^5 + (27*a^3*b + 10*a*b^3)*c^3 + (27*
a^3*b^3 + 5*a*b^5)*c)*cos(e*x + d)^2 + 2*(27*a^3*b^3 + 5*a*b^5)*c - (12*c^7 + 9*(2*a^2 + b^2)*c^5 + (34*a^4 -
33*a^2*b^2 - 18*b^4)*c^3 + (34*a^4*b^2 - 51*a^2*b^4 - 15*b^6)*c)*cos(e*x + d) + (34*a^4*b^3 - 5*a^2*b^5 + 3*b^
7 + 12*b*c^6 + 9*(2*a^2*b + 3*b^3)*c^4 + (34*a^4*b + 13*a^2*b^3 + 18*b^5)*c^2 + (23*a^2*b^5 + 9*b^7 - 27*b*c^6
- 3*(23*a^2*b + 15*b^3)*c^4 - (46*a^2*b^3 + 9*b^5)*c^2)*cos(e*x + d)^2 + 2*(27*a^3*b^4 + 5*a*b^6 + 5*a*b^4*c^
2 - 5*a*c^6 - (27*a^3 + 5*a*b^2)*c^4)*cos(e*x + d))*sin(e*x + d))*sqrt(b*cos(e*x + d) + c*sin(e*x + d) + a))/(
(a^6*b^5 - 3*a^4*b^7 + 3*a^2*b^9 - b^11 + 3*b*c^10 - (9*a^2*b - 11*b^3)*c^8 + (9*a^4*b - 24*a^2*b^3 + 14*b^5)*
c^6 - 3*(a^6*b - 5*a^4*b^3 + 6*a^2*b^5 - 2*b^7)*c^4 - (2*a^6*b^3 - 3*a^4*b^5 + b^9)*c^2)*e*cos(e*x + d)^3 + 3*
(a^7*b^4 - 3*a^5*b^6 + 3*a^3*b^8 - a*b^10 + a*c^10 - 3*(a^3 - a*b^2)*c^8 + (3*a^5 - 6*a^3*b^2 + 2*a*b^4)*c^6 -
(a^7 - 3*a^5*b^2 + 2*a*b^6)*c^4 - 3*(a^5*b^4 - 2*a^3*b^6 + a*b^8)*c^2)*e*cos(e*x + d)^2 + 3*(a^8*b^3 - 3*a^6*
b^5 + 3*a^4*b^7 - a^2*b^9 - b*c^10 + 2*(a^2*b - 2*b^3)*c^8 + (5*a^2*b^3 - 6*b^5)*c^6 - (2*a^6*b - 3*a^4*b^3 -
3*a^2*b^5 + 4*b^7)*c^4 + (a^8*b - 5*a^6*b^3 + 6*a^4*b^5 - a^2*b^7 - b^9)*c^2)*e*cos(e*x + d) + (a^9*b^2 - 3*a^
7*b^4 + 3*a^5*b^6 - a^3*b^8 - 3*a*c^10 + 4*(2*a^3 - 3*a*b^2)*c^8 - (6*a^5 - 23*a^3*b^2 + 18*a*b^4)*c^6 - 3*(3*
a^5*b^2 - 7*a^3*b^4 + 4*a*b^6)*c^4 + (a^9 - 3*a^7*b^2 + 5*a^3*b^6 - 3*a*b^8)*c^2)*e + ((c^11 - (3*a^2 - b^2)*c
^9 + 3*(a^4 - 2*b^4)*c^7 - (a^6 + 3*a^4*b^2 - 18*a^2*b^4 + 14*b^6)*c^5 + (2*a^6*b^2 - 15*a^4*b^4 + 24*a^2*b^6
- 11*b^8)*c^3 + 3*(a^6*b^4 - 3*a^4*b^6 + 3*a^2*b^8 - b^10)*c)*e*cos(e*x + d)^2 - 6*(a*b*c^9 - (3*a^3*b - 4*a*b
^3)*c^7 + 3*(a^5*b - 3*a^3*b^3 + 2*a*b^5)*c^5 - (a^7*b - 6*a^5*b^3 + 9*a^3*b^5 - 4*a*b^7)*c^3 - (a^7*b^3 - 3*a
^5*b^5 + 3*a^3*b^7 - a*b^9)*c)*e*cos(e*x + d) - (4*b^2*c^9 + c^11 - 3*(2*a^4 - a^2*b^2 - 2*b^4)*c^7 + (8*a^6 -
21*a^4*b^2 + 9*a^2*b^4 + 4*b^6)*c^5 - (3*a^8 - 17*a^6*b^2 + 24*a^4*b^4 - 9*a^2*b^6 - b^8)*c^3 - 3*(a^8*b^2 -
3*a^6*b^4 + 3*a^4*b^6 - a^2*b^8)*c)*e)*sin(e*x + d))

Sympy [F(-1)]

Timed out. \[ \int \frac {1}{(a+b \cos (d+e x)+c \sin (d+e x))^{7/2}} \, dx=\text {Timed out} \]

[In]

integrate(1/(a+b*cos(e*x+d)+c*sin(e*x+d))**(7/2),x)

[Out]

Timed out

Maxima [F]

\[ \int \frac {1}{(a+b \cos (d+e x)+c \sin (d+e x))^{7/2}} \, dx=\int { \frac {1}{{\left (b \cos \left (e x + d\right ) + c \sin \left (e x + d\right ) + a\right )}^{\frac {7}{2}}} \,d x } \]

[In]

integrate(1/(a+b*cos(e*x+d)+c*sin(e*x+d))^(7/2),x, algorithm="maxima")

[Out]

integrate((b*cos(e*x + d) + c*sin(e*x + d) + a)^(-7/2), x)

Giac [F]

\[ \int \frac {1}{(a+b \cos (d+e x)+c \sin (d+e x))^{7/2}} \, dx=\int { \frac {1}{{\left (b \cos \left (e x + d\right ) + c \sin \left (e x + d\right ) + a\right )}^{\frac {7}{2}}} \,d x } \]

[In]

integrate(1/(a+b*cos(e*x+d)+c*sin(e*x+d))^(7/2),x, algorithm="giac")

[Out]

integrate((b*cos(e*x + d) + c*sin(e*x + d) + a)^(-7/2), x)

Mupad [F(-1)]

Timed out. \[ \int \frac {1}{(a+b \cos (d+e x)+c \sin (d+e x))^{7/2}} \, dx=\int \frac {1}{{\left (a+b\,\cos \left (d+e\,x\right )+c\,\sin \left (d+e\,x\right )\right )}^{7/2}} \,d x \]

[In]

int(1/(a + b*cos(d + e*x) + c*sin(d + e*x))^(7/2),x)

[Out]

int(1/(a + b*cos(d + e*x) + c*sin(d + e*x))^(7/2), x)