\(\int x^2 \cot ^{-1}(c+d \cot (a+b x)) \, dx\) [171]

Optimal result

Integrand size = 15, antiderivative size = 399 \[ \int x^2 \cot ^{-1}(c+d \cot (a+b x)) \, dx=\frac {1}{3} x^3 \cot ^{-1}(c+d \cot (a+b x))-\frac {1}{6} i x^3 \log \left (1-\frac {(1+i c-d) e^{2 i a+2 i b x}}{1+i c+d}\right )+\frac {1}{6} i x^3 \log \left (1-\frac {(c+i (1+d)) e^{2 i a+2 i b x}}{c+i (1-d)}\right )-\frac {x^2 \operatorname {PolyLog}\left (2,\frac {(1+i c-d) e^{2 i a+2 i b x}}{1+i c+d}\right )}{4 b}+\frac {x^2 \operatorname {PolyLog}\left (2,\frac {(c+i (1+d)) e^{2 i a+2 i b x}}{c+i (1-d)}\right )}{4 b}-\frac {i x \operatorname {PolyLog}\left (3,\frac {(1+i c-d) e^{2 i a+2 i b x}}{1+i c+d}\right )}{4 b^2}+\frac {i x \operatorname {PolyLog}\left (3,\frac {(c+i (1+d)) e^{2 i a+2 i b x}}{c+i (1-d)}\right )}{4 b^2}+\frac {\operatorname {PolyLog}\left (4,\frac {(1+i c-d) e^{2 i a+2 i b x}}{1+i c+d}\right )}{8 b^3}-\frac {\operatorname {PolyLog}\left (4,\frac {(c+i (1+d)) e^{2 i a+2 i b x}}{c+i (1-d)}\right )}{8 b^3} \]

[Out]

1/3*x^3*arccot(c+d*cot(b*x+a))-1/6*I*x^3*ln(1-(1+I*c-d)*exp(2*I*a+2*I*b*x)/(1+I*c+d))+1/6*I*x^3*ln(1-(c+I*(1+d
))*exp(2*I*a+2*I*b*x)/(c+I*(1-d)))-1/4*x^2*polylog(2,(1+I*c-d)*exp(2*I*a+2*I*b*x)/(1+I*c+d))/b+1/4*x^2*polylog
(2,(c+I*(1+d))*exp(2*I*a+2*I*b*x)/(c+I*(1-d)))/b-1/4*I*x*polylog(3,(1+I*c-d)*exp(2*I*a+2*I*b*x)/(1+I*c+d))/b^2
+1/4*I*x*polylog(3,(c+I*(1+d))*exp(2*I*a+2*I*b*x)/(c+I*(1-d)))/b^2+1/8*polylog(4,(1+I*c-d)*exp(2*I*a+2*I*b*x)/
(1+I*c+d))/b^3-1/8*polylog(4,(c+I*(1+d))*exp(2*I*a+2*I*b*x)/(c+I*(1-d)))/b^3

Rubi [A] (verified)

Time = 0.38 (sec) , antiderivative size = 399, normalized size of antiderivative = 1.00, number of steps used = 11, number of rules used = 6, \(\frac {\text {number of rules}}{\text {integrand size}}\) = 0.400, Rules used = {5286, 2221, 2611, 6744, 2320, 6724} \[ \int x^2 \cot ^{-1}(c+d \cot (a+b x)) \, dx=\frac {\operatorname {PolyLog}\left (4,\frac {(i c-d+1) e^{2 i a+2 i b x}}{i c+d+1}\right )}{8 b^3}-\frac {\operatorname {PolyLog}\left (4,\frac {(c+i (d+1)) e^{2 i a+2 i b x}}{c+i (1-d)}\right )}{8 b^3}-\frac {i x \operatorname {PolyLog}\left (3,\frac {(i c-d+1) e^{2 i a+2 i b x}}{i c+d+1}\right )}{4 b^2}+\frac {i x \operatorname {PolyLog}\left (3,\frac {(c+i (d+1)) e^{2 i a+2 i b x}}{c+i (1-d)}\right )}{4 b^2}-\frac {x^2 \operatorname {PolyLog}\left (2,\frac {(i c-d+1) e^{2 i a+2 i b x}}{i c+d+1}\right )}{4 b}+\frac {x^2 \operatorname {PolyLog}\left (2,\frac {(c+i (d+1)) e^{2 i a+2 i b x}}{c+i (1-d)}\right )}{4 b}-\frac {1}{6} i x^3 \log \left (1-\frac {(i c-d+1) e^{2 i a+2 i b x}}{i c+d+1}\right )+\frac {1}{6} i x^3 \log \left (1-\frac {(c+i (d+1)) e^{2 i a+2 i b x}}{c+i (1-d)}\right )+\frac {1}{3} x^3 \cot ^{-1}(d \cot (a+b x)+c) \]

[In]

Int[x^2*ArcCot[c + d*Cot[a + b*x]],x]

[Out]

(x^3*ArcCot[c + d*Cot[a + b*x]])/3 - (I/6)*x^3*Log[1 - ((1 + I*c - d)*E^((2*I)*a + (2*I)*b*x))/(1 + I*c + d)]
+ (I/6)*x^3*Log[1 - ((c + I*(1 + d))*E^((2*I)*a + (2*I)*b*x))/(c + I*(1 - d))] - (x^2*PolyLog[2, ((1 + I*c - d
)*E^((2*I)*a + (2*I)*b*x))/(1 + I*c + d)])/(4*b) + (x^2*PolyLog[2, ((c + I*(1 + d))*E^((2*I)*a + (2*I)*b*x))/(
c + I*(1 - d))])/(4*b) - ((I/4)*x*PolyLog[3, ((1 + I*c - d)*E^((2*I)*a + (2*I)*b*x))/(1 + I*c + d)])/b^2 + ((I
/4)*x*PolyLog[3, ((c + I*(1 + d))*E^((2*I)*a + (2*I)*b*x))/(c + I*(1 - d))])/b^2 + PolyLog[4, ((1 + I*c - d)*E
^((2*I)*a + (2*I)*b*x))/(1 + I*c + d)]/(8*b^3) - PolyLog[4, ((c + I*(1 + d))*E^((2*I)*a + (2*I)*b*x))/(c + I*(
1 - d))]/(8*b^3)

Rule 2221

Int[(((F_)^((g_.)*((e_.) + (f_.)*(x_))))^(n_.)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.))/((a_) + (b_.)*((F_)^((g_.)*((e_.) +
(f_.)*(x_))))^(n_.)), x_Symbol] :> Simp[((c + d*x)^m/(b*f*g*n*Log[F]))*Log[1 + b*((F^(g*(e + f*x)))^n/a)], x]
- Dist[d*(m/(b*f*g*n*Log[F])), Int[(c + d*x)^(m - 1)*Log[1 + b*((F^(g*(e + f*x)))^n/a)], x], x] /; FreeQ[{F,
a, b, c, d, e, f, g, n}, x] && IGtQ[m, 0]

Rule 2320

Int[u_, x_Symbol] :> With[{v = FunctionOfExponential[u, x]}, Dist[v/D[v, x], Subst[Int[FunctionOfExponentialFu
nction[u, x]/x, x], x, v], x]] /; FunctionOfExponentialQ[u, x] &&  !MatchQ[u, (w_)*((a_.)*(v_)^(n_))^(m_) /; F
reeQ[{a, m, n}, x] && IntegerQ[m*n]] &&  !MatchQ[u, E^((c_.)*((a_.) + (b_.)*x))*(F_)[v_] /; FreeQ[{a, b, c}, x
] && InverseFunctionQ[F[x]]]

Rule 2611

Int[Log[1 + (e_.)*((F_)^((c_.)*((a_.) + (b_.)*(x_))))^(n_.)]*((f_.) + (g_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Simp[(-(
f + g*x)^m)*(PolyLog[2, (-e)*(F^(c*(a + b*x)))^n]/(b*c*n*Log[F])), x] + Dist[g*(m/(b*c*n*Log[F])), Int[(f + g*
x)^(m - 1)*PolyLog[2, (-e)*(F^(c*(a + b*x)))^n], x], x] /; FreeQ[{F, a, b, c, e, f, g, n}, x] && GtQ[m, 0]

Rule 5286

Int[ArcCot[(c_.) + Cot[(a_.) + (b_.)*(x_)]*(d_.)]*((e_.) + (f_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Simp[(e + f*x)^(m +
1)*(ArcCot[c + d*Cot[a + b*x]]/(f*(m + 1))), x] + (-Dist[b*((1 + I*c - d)/(f*(m + 1))), Int[(e + f*x)^(m + 1)
*(E^(2*I*a + 2*I*b*x)/(1 + I*c + d - (1 + I*c - d)*E^(2*I*a + 2*I*b*x))), x], x] + Dist[b*((1 - I*c + d)/(f*(m
+ 1))), Int[(e + f*x)^(m + 1)*(E^(2*I*a + 2*I*b*x)/(1 - I*c - d - (1 - I*c + d)*E^(2*I*a + 2*I*b*x))), x], x]
) /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && IGtQ[m, 0] && NeQ[(c - I*d)^2, -1]

Rule 6724

Int[PolyLog[n_, (c_.)*((a_.) + (b_.)*(x_))^(p_.)]/((d_.) + (e_.)*(x_)), x_Symbol] :> Simp[PolyLog[n + 1, c*(a
+ b*x)^p]/(e*p), x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, n, p}, x] && EqQ[b*d, a*e]

Rule 6744

Int[((e_.) + (f_.)*(x_))^(m_.)*PolyLog[n_, (d_.)*((F_)^((c_.)*((a_.) + (b_.)*(x_))))^(p_.)], x_Symbol] :> Simp
[(e + f*x)^m*(PolyLog[n + 1, d*(F^(c*(a + b*x)))^p]/(b*c*p*Log[F])), x] - Dist[f*(m/(b*c*p*Log[F])), Int[(e +
f*x)^(m - 1)*PolyLog[n + 1, d*(F^(c*(a + b*x)))^p], x], x] /; FreeQ[{F, a, b, c, d, e, f, n, p}, x] && GtQ[m,
0]

Rubi steps \begin{align*} \text {integral}& = \frac {1}{3} x^3 \cot ^{-1}(c+d \cot (a+b x))-\frac {1}{3} (b (1+i c-d)) \int \frac {e^{2 i a+2 i b x} x^3}{1+i c+d+(-1-i c+d) e^{2 i a+2 i b x}} \, dx+\frac {1}{3} (b (1-i c+d)) \int \frac {e^{2 i a+2 i b x} x^3}{1-i c-d+(-1+i c-d) e^{2 i a+2 i b x}} \, dx \\ & = \frac {1}{3} x^3 \cot ^{-1}(c+d \cot (a+b x))-\frac {1}{6} i x^3 \log \left (1-\frac {(1+i c-d) e^{2 i a+2 i b x}}{1+i c+d}\right )+\frac {1}{6} i x^3 \log \left (1-\frac {(c+i (1+d)) e^{2 i a+2 i b x}}{c+i (1-d)}\right )-\frac {1}{2} i \int x^2 \log \left (1+\frac {(-1+i c-d) e^{2 i a+2 i b x}}{1-i c-d}\right ) \, dx+\frac {1}{2} i \int x^2 \log \left (1+\frac {(-1-i c+d) e^{2 i a+2 i b x}}{1+i c+d}\right ) \, dx \\ & = \frac {1}{3} x^3 \cot ^{-1}(c+d \cot (a+b x))-\frac {1}{6} i x^3 \log \left (1-\frac {(1+i c-d) e^{2 i a+2 i b x}}{1+i c+d}\right )+\frac {1}{6} i x^3 \log \left (1-\frac {(c+i (1+d)) e^{2 i a+2 i b x}}{c+i (1-d)}\right )-\frac {x^2 \operatorname {PolyLog}\left (2,\frac {(1+i c-d) e^{2 i a+2 i b x}}{1+i c+d}\right )}{4 b}+\frac {x^2 \operatorname {PolyLog}\left (2,\frac {(c+i (1+d)) e^{2 i a+2 i b x}}{c+i (1-d)}\right )}{4 b}-\frac {\int x \operatorname {PolyLog}\left (2,-\frac {(-1+i c-d) e^{2 i a+2 i b x}}{1-i c-d}\right ) \, dx}{2 b}+\frac {\int x \operatorname {PolyLog}\left (2,-\frac {(-1-i c+d) e^{2 i a+2 i b x}}{1+i c+d}\right ) \, dx}{2 b} \\ & = \frac {1}{3} x^3 \cot ^{-1}(c+d \cot (a+b x))-\frac {1}{6} i x^3 \log \left (1-\frac {(1+i c-d) e^{2 i a+2 i b x}}{1+i c+d}\right )+\frac {1}{6} i x^3 \log \left (1-\frac {(c+i (1+d)) e^{2 i a+2 i b x}}{c+i (1-d)}\right )-\frac {x^2 \operatorname {PolyLog}\left (2,\frac {(1+i c-d) e^{2 i a+2 i b x}}{1+i c+d}\right )}{4 b}+\frac {x^2 \operatorname {PolyLog}\left (2,\frac {(c+i (1+d)) e^{2 i a+2 i b x}}{c+i (1-d)}\right )}{4 b}-\frac {i x \operatorname {PolyLog}\left (3,\frac {(1+i c-d) e^{2 i a+2 i b x}}{1+i c+d}\right )}{4 b^2}+\frac {i x \operatorname {PolyLog}\left (3,\frac {(c+i (1+d)) e^{2 i a+2 i b x}}{c+i (1-d)}\right )}{4 b^2}-\frac {i \int \operatorname {PolyLog}\left (3,-\frac {(-1+i c-d) e^{2 i a+2 i b x}}{1-i c-d}\right ) \, dx}{4 b^2}+\frac {i \int \operatorname {PolyLog}\left (3,-\frac {(-1-i c+d) e^{2 i a+2 i b x}}{1+i c+d}\right ) \, dx}{4 b^2} \\ & = \frac {1}{3} x^3 \cot ^{-1}(c+d \cot (a+b x))-\frac {1}{6} i x^3 \log \left (1-\frac {(1+i c-d) e^{2 i a+2 i b x}}{1+i c+d}\right )+\frac {1}{6} i x^3 \log \left (1-\frac {(c+i (1+d)) e^{2 i a+2 i b x}}{c+i (1-d)}\right )-\frac {x^2 \operatorname {PolyLog}\left (2,\frac {(1+i c-d) e^{2 i a+2 i b x}}{1+i c+d}\right )}{4 b}+\frac {x^2 \operatorname {PolyLog}\left (2,\frac {(c+i (1+d)) e^{2 i a+2 i b x}}{c+i (1-d)}\right )}{4 b}-\frac {i x \operatorname {PolyLog}\left (3,\frac {(1+i c-d) e^{2 i a+2 i b x}}{1+i c+d}\right )}{4 b^2}+\frac {i x \operatorname {PolyLog}\left (3,\frac {(c+i (1+d)) e^{2 i a+2 i b x}}{c+i (1-d)}\right )}{4 b^2}+\frac {\text {Subst}\left (\int \frac {\operatorname {PolyLog}\left (3,-\frac {(-1-i c+d) x}{1+i c+d}\right )}{x} \, dx,x,e^{2 i a+2 i b x}\right )}{8 b^3}-\frac {\text {Subst}\left (\int \frac {\operatorname {PolyLog}\left (3,\frac {(c+i (1+d)) x}{c-i (-1+d)}\right )}{x} \, dx,x,e^{2 i a+2 i b x}\right )}{8 b^3} \\ & = \frac {1}{3} x^3 \cot ^{-1}(c+d \cot (a+b x))-\frac {1}{6} i x^3 \log \left (1-\frac {(1+i c-d) e^{2 i a+2 i b x}}{1+i c+d}\right )+\frac {1}{6} i x^3 \log \left (1-\frac {(c+i (1+d)) e^{2 i a+2 i b x}}{c+i (1-d)}\right )-\frac {x^2 \operatorname {PolyLog}\left (2,\frac {(1+i c-d) e^{2 i a+2 i b x}}{1+i c+d}\right )}{4 b}+\frac {x^2 \operatorname {PolyLog}\left (2,\frac {(c+i (1+d)) e^{2 i a+2 i b x}}{c+i (1-d)}\right )}{4 b}-\frac {i x \operatorname {PolyLog}\left (3,\frac {(1+i c-d) e^{2 i a+2 i b x}}{1+i c+d}\right )}{4 b^2}+\frac {i x \operatorname {PolyLog}\left (3,\frac {(c+i (1+d)) e^{2 i a+2 i b x}}{c+i (1-d)}\right )}{4 b^2}+\frac {\operatorname {PolyLog}\left (4,\frac {(1+i c-d) e^{2 i a+2 i b x}}{1+i c+d}\right )}{8 b^3}-\frac {\operatorname {PolyLog}\left (4,\frac {(c+i (1+d)) e^{2 i a+2 i b x}}{c+i (1-d)}\right )}{8 b^3} \\ \end{align*}

Mathematica [A] (verified)

Time = 2.33 (sec) , antiderivative size = 360, normalized size of antiderivative = 0.90 \[ \int x^2 \cot ^{-1}(c+d \cot (a+b x)) \, dx=\frac {8 b^3 x^3 \cot ^{-1}(c+d \cot (a+b x))-4 i b^3 x^3 \log \left (1+\frac {(-c+i (1+d)) e^{-2 i (a+b x)}}{c+i (-1+d)}\right )+4 i b^3 x^3 \log \left (1+\frac {(-c+i (-1+d)) e^{-2 i (a+b x)}}{c+i (1+d)}\right )+6 b^2 x^2 \operatorname {PolyLog}\left (2,\frac {(c-i (1+d)) e^{-2 i (a+b x)}}{c+i (-1+d)}\right )-6 b^2 x^2 \operatorname {PolyLog}\left (2,\frac {(i+c-i d) e^{-2 i (a+b x)}}{c+i (1+d)}\right )-6 i b x \operatorname {PolyLog}\left (3,\frac {(c-i (1+d)) e^{-2 i (a+b x)}}{c+i (-1+d)}\right )+6 i b x \operatorname {PolyLog}\left (3,\frac {(i+c-i d) e^{-2 i (a+b x)}}{c+i (1+d)}\right )-3 \operatorname {PolyLog}\left (4,\frac {(c-i (1+d)) e^{-2 i (a+b x)}}{c+i (-1+d)}\right )+3 \operatorname {PolyLog}\left (4,\frac {(i+c-i d) e^{-2 i (a+b x)}}{c+i (1+d)}\right )}{24 b^3} \]

[In]

Integrate[x^2*ArcCot[c + d*Cot[a + b*x]],x]

[Out]

(8*b^3*x^3*ArcCot[c + d*Cot[a + b*x]] - (4*I)*b^3*x^3*Log[1 + (-c + I*(1 + d))/((c + I*(-1 + d))*E^((2*I)*(a +
b*x)))] + (4*I)*b^3*x^3*Log[1 + (-c + I*(-1 + d))/((c + I*(1 + d))*E^((2*I)*(a + b*x)))] + 6*b^2*x^2*PolyLog[
2, (c - I*(1 + d))/((c + I*(-1 + d))*E^((2*I)*(a + b*x)))] - 6*b^2*x^2*PolyLog[2, (I + c - I*d)/((c + I*(1 + d
))*E^((2*I)*(a + b*x)))] - (6*I)*b*x*PolyLog[3, (c - I*(1 + d))/((c + I*(-1 + d))*E^((2*I)*(a + b*x)))] + (6*I
)*b*x*PolyLog[3, (I + c - I*d)/((c + I*(1 + d))*E^((2*I)*(a + b*x)))] - 3*PolyLog[4, (c - I*(1 + d))/((c + I*(
-1 + d))*E^((2*I)*(a + b*x)))] + 3*PolyLog[4, (I + c - I*d)/((c + I*(1 + d))*E^((2*I)*(a + b*x)))])/(24*b^3)

Maple [C] (warning: unable to verify)

Result contains higher order function than in optimal. Order 9 vs. order 4.

Time = 53.61 (sec) , antiderivative size = 7868, normalized size of antiderivative = 19.72

method	result	size
risch	\(\text {Expression too large to display}\)	\(7868\)

[In]

int(x^2*arccot(c+d*cot(b*x+a)),x,method=_RETURNVERBOSE)

[Out]

result too large to display

Fricas [B] (verification not implemented)

Both result and optimal contain complex but leaf count of result is larger than twice the leaf count of optimal. 1589 vs. \(2 (283) = 566\).

Time = 0.46 (sec) , antiderivative size = 1589, normalized size of antiderivative = 3.98 \[ \int x^2 \cot ^{-1}(c+d \cot (a+b x)) \, dx=\text {Too large to display} \]

[In]

integrate(x^2*arccot(c+d*cot(b*x+a)),x, algorithm="fricas")

[Out]

1/48*(16*b^3*x^3*arccot(d*cot(b*x + a) + c) - 6*b^2*x^2*dilog(-(c^2 + d^2 - (c^2 + 2*I*c*d - d^2 + 1)*cos(2*b*
x + 2*a) + (-I*c^2 + 2*c*d + I*d^2 - I)*sin(2*b*x + 2*a) + 2*d + 1)/(c^2 + d^2 + 2*d + 1) + 1) - 6*b^2*x^2*dil
og(-(c^2 + d^2 - (c^2 - 2*I*c*d - d^2 + 1)*cos(2*b*x + 2*a) + (I*c^2 + 2*c*d - I*d^2 + I)*sin(2*b*x + 2*a) + 2
*d + 1)/(c^2 + d^2 + 2*d + 1) + 1) + 6*b^2*x^2*dilog(-(c^2 + d^2 - (c^2 + 2*I*c*d - d^2 + 1)*cos(2*b*x + 2*a)
+ (-I*c^2 + 2*c*d + I*d^2 - I)*sin(2*b*x + 2*a) - 2*d + 1)/(c^2 + d^2 - 2*d + 1) + 1) + 6*b^2*x^2*dilog(-(c^2
+ d^2 - (c^2 - 2*I*c*d - d^2 + 1)*cos(2*b*x + 2*a) + (I*c^2 + 2*c*d - I*d^2 + I)*sin(2*b*x + 2*a) - 2*d + 1)/(
c^2 + d^2 - 2*d + 1) + 1) + 4*I*a^3*log(1/2*c^2 + I*c*d - 1/2*d^2 - 1/2*(c^2 + d^2 + 2*d + 1)*cos(2*b*x + 2*a)
+ 1/2*(I*c^2 + I*d^2 + 2*I*d + I)*sin(2*b*x + 2*a) + 1/2) - 4*I*a^3*log(1/2*c^2 + I*c*d - 1/2*d^2 - 1/2*(c^2
+ d^2 - 2*d + 1)*cos(2*b*x + 2*a) + 1/2*(I*c^2 + I*d^2 - 2*I*d + I)*sin(2*b*x + 2*a) + 1/2) - 4*I*a^3*log(-1/2
*c^2 + I*c*d + 1/2*d^2 + 1/2*(c^2 + d^2 + 2*d + 1)*cos(2*b*x + 2*a) + 1/2*(I*c^2 + I*d^2 + 2*I*d + I)*sin(2*b*
x + 2*a) - 1/2) + 4*I*a^3*log(-1/2*c^2 + I*c*d + 1/2*d^2 + 1/2*(c^2 + d^2 - 2*d + 1)*cos(2*b*x + 2*a) + 1/2*(I
*c^2 + I*d^2 - 2*I*d + I)*sin(2*b*x + 2*a) - 1/2) - 6*I*b*x*polylog(3, ((c^2 + 2*I*c*d - d^2 + 1)*cos(2*b*x +
2*a) + (I*c^2 - 2*c*d - I*d^2 + I)*sin(2*b*x + 2*a))/(c^2 + d^2 + 2*d + 1)) + 6*I*b*x*polylog(3, ((c^2 + 2*I*c
*d - d^2 + 1)*cos(2*b*x + 2*a) + (I*c^2 - 2*c*d - I*d^2 + I)*sin(2*b*x + 2*a))/(c^2 + d^2 - 2*d + 1)) + 6*I*b*
x*polylog(3, ((c^2 - 2*I*c*d - d^2 + 1)*cos(2*b*x + 2*a) + (-I*c^2 - 2*c*d + I*d^2 - I)*sin(2*b*x + 2*a))/(c^2
+ d^2 + 2*d + 1)) - 6*I*b*x*polylog(3, ((c^2 - 2*I*c*d - d^2 + 1)*cos(2*b*x + 2*a) + (-I*c^2 - 2*c*d + I*d^2
- I)*sin(2*b*x + 2*a))/(c^2 + d^2 - 2*d + 1)) - 4*(I*b^3*x^3 + I*a^3)*log((c^2 + d^2 - (c^2 + 2*I*c*d - d^2 +
1)*cos(2*b*x + 2*a) + (-I*c^2 + 2*c*d + I*d^2 - I)*sin(2*b*x + 2*a) + 2*d + 1)/(c^2 + d^2 + 2*d + 1)) - 4*(-I*
b^3*x^3 - I*a^3)*log((c^2 + d^2 - (c^2 - 2*I*c*d - d^2 + 1)*cos(2*b*x + 2*a) + (I*c^2 + 2*c*d - I*d^2 + I)*sin
(2*b*x + 2*a) + 2*d + 1)/(c^2 + d^2 + 2*d + 1)) - 4*(-I*b^3*x^3 - I*a^3)*log((c^2 + d^2 - (c^2 + 2*I*c*d - d^2
+ 1)*cos(2*b*x + 2*a) + (-I*c^2 + 2*c*d + I*d^2 - I)*sin(2*b*x + 2*a) - 2*d + 1)/(c^2 + d^2 - 2*d + 1)) - 4*(
I*b^3*x^3 + I*a^3)*log((c^2 + d^2 - (c^2 - 2*I*c*d - d^2 + 1)*cos(2*b*x + 2*a) + (I*c^2 + 2*c*d - I*d^2 + I)*s
in(2*b*x + 2*a) - 2*d + 1)/(c^2 + d^2 - 2*d + 1)) + 3*polylog(4, ((c^2 + 2*I*c*d - d^2 + 1)*cos(2*b*x + 2*a) +
(I*c^2 - 2*c*d - I*d^2 + I)*sin(2*b*x + 2*a))/(c^2 + d^2 + 2*d + 1)) - 3*polylog(4, ((c^2 + 2*I*c*d - d^2 + 1
)*cos(2*b*x + 2*a) + (I*c^2 - 2*c*d - I*d^2 + I)*sin(2*b*x + 2*a))/(c^2 + d^2 - 2*d + 1)) + 3*polylog(4, ((c^2
- 2*I*c*d - d^2 + 1)*cos(2*b*x + 2*a) + (-I*c^2 - 2*c*d + I*d^2 - I)*sin(2*b*x + 2*a))/(c^2 + d^2 + 2*d + 1))
- 3*polylog(4, ((c^2 - 2*I*c*d - d^2 + 1)*cos(2*b*x + 2*a) + (-I*c^2 - 2*c*d + I*d^2 - I)*sin(2*b*x + 2*a))/(
c^2 + d^2 - 2*d + 1)))/b^3

Sympy [F(-1)]

Timed out. \[ \int x^2 \cot ^{-1}(c+d \cot (a+b x)) \, dx=\text {Timed out} \]

[In]

integrate(x**2*acot(c+d*cot(b*x+a)),x)

[Out]

Timed out

Maxima [F]

\[ \int x^2 \cot ^{-1}(c+d \cot (a+b x)) \, dx=\int { x^{2} \operatorname {arccot}\left (d \cot \left (b x + a\right ) + c\right ) \,d x } \]

[In]

integrate(x^2*arccot(c+d*cot(b*x+a)),x, algorithm="maxima")

[Out]

1/6*x^3*arctan2((d + 1)*cos(2*b*x + 2*a) + c*sin(2*b*x + 2*a) + d - 1, c*cos(2*b*x + 2*a) - (d + 1)*sin(2*b*x
+ 2*a) - c) - 1/6*x^3*arctan2((d - 1)*cos(2*b*x + 2*a) + c*sin(2*b*x + 2*a) + d + 1, c*cos(2*b*x + 2*a) - (d -
1)*sin(2*b*x + 2*a) - c) - 4*b*d*integrate(1/3*(2*(c^2 + d^2 + 1)*x^3*cos(2*b*x + 2*a)^2 + 2*c*d*x^3*sin(2*b*
x + 2*a) + 2*(c^2 + d^2 + 1)*x^3*sin(2*b*x + 2*a)^2 - (c^2 - d^2 + 1)*x^3*cos(2*b*x + 2*a) - (2*c*d*x^3*sin(2*
b*x + 2*a) + (c^2 - d^2 + 1)*x^3*cos(2*b*x + 2*a))*cos(4*b*x + 4*a) + (2*c*d*x^3*cos(2*b*x + 2*a) - (c^2 - d^2
+ 1)*x^3*sin(2*b*x + 2*a))*sin(4*b*x + 4*a))/(c^4 + d^4 + 2*(c^2 - 1)*d^2 + (c^4 + d^4 + 2*(c^2 - 1)*d^2 + 2*
c^2 + 1)*cos(4*b*x + 4*a)^2 + 4*(c^4 + d^4 + 2*(c^2 + 1)*d^2 + 2*c^2 + 1)*cos(2*b*x + 2*a)^2 + (c^4 + d^4 + 2*
(c^2 - 1)*d^2 + 2*c^2 + 1)*sin(4*b*x + 4*a)^2 + 4*(c^4 + d^4 + 2*(c^2 + 1)*d^2 + 2*c^2 + 1)*sin(2*b*x + 2*a)^2
+ 2*c^2 + 2*(c^4 + d^4 - 2*(3*c^2 + 1)*d^2 + 2*c^2 - 2*(c^4 - d^4 + 2*c^2 + 1)*cos(2*b*x + 2*a) - 4*(c*d^3 +
(c^3 + c)*d)*sin(2*b*x + 2*a) + 1)*cos(4*b*x + 4*a) - 4*(c^4 - d^4 + 2*c^2 + 1)*cos(2*b*x + 2*a) + 4*(2*c*d^3
- 2*(c^3 + c)*d + 2*(c*d^3 + (c^3 + c)*d)*cos(2*b*x + 2*a) - (c^4 - d^4 + 2*c^2 + 1)*sin(2*b*x + 2*a))*sin(4*b
*x + 4*a) + 8*(c*d^3 + (c^3 + c)*d)*sin(2*b*x + 2*a) + 1), x)

Giac [F]

\[ \int x^2 \cot ^{-1}(c+d \cot (a+b x)) \, dx=\int { x^{2} \operatorname {arccot}\left (d \cot \left (b x + a\right ) + c\right ) \,d x } \]

[In]

integrate(x^2*arccot(c+d*cot(b*x+a)),x, algorithm="giac")

[Out]

integrate(x^2*arccot(d*cot(b*x + a) + c), x)

Mupad [F(-1)]

Timed out. \[ \int x^2 \cot ^{-1}(c+d \cot (a+b x)) \, dx=\int x^2\,\mathrm {acot}\left (c+d\,\mathrm {cot}\left (a+b\,x\right )\right ) \,d x \]

[In]

int(x^2*acot(c + d*cot(a + b*x)),x)

[Out]

int(x^2*acot(c + d*cot(a + b*x)), x)