\(\int x \cot ^{-1}(c+d \cot (a+b x)) \, dx\) [172]

Optimal result

Integrand size = 13, antiderivative size = 303 \[ \int x \cot ^{-1}(c+d \cot (a+b x)) \, dx=\frac {1}{2} x^2 \cot ^{-1}(c+d \cot (a+b x))-\frac {1}{4} i x^2 \log \left (1-\frac {(1+i c-d) e^{2 i a+2 i b x}}{1+i c+d}\right )+\frac {1}{4} i x^2 \log \left (1-\frac {(c+i (1+d)) e^{2 i a+2 i b x}}{c+i (1-d)}\right )-\frac {x \operatorname {PolyLog}\left (2,\frac {(1+i c-d) e^{2 i a+2 i b x}}{1+i c+d}\right )}{4 b}+\frac {x \operatorname {PolyLog}\left (2,\frac {(c+i (1+d)) e^{2 i a+2 i b x}}{c+i (1-d)}\right )}{4 b}-\frac {i \operatorname {PolyLog}\left (3,\frac {(1+i c-d) e^{2 i a+2 i b x}}{1+i c+d}\right )}{8 b^2}+\frac {i \operatorname {PolyLog}\left (3,\frac {(c+i (1+d)) e^{2 i a+2 i b x}}{c+i (1-d)}\right )}{8 b^2} \]

[Out]

1/2*x^2*arccot(c+d*cot(b*x+a))-1/4*I*x^2*ln(1-(1+I*c-d)*exp(2*I*a+2*I*b*x)/(1+I*c+d))+1/4*I*x^2*ln(1-(c+I*(1+d
))*exp(2*I*a+2*I*b*x)/(c+I*(1-d)))-1/4*x*polylog(2,(1+I*c-d)*exp(2*I*a+2*I*b*x)/(1+I*c+d))/b+1/4*x*polylog(2,(
c+I*(1+d))*exp(2*I*a+2*I*b*x)/(c+I*(1-d)))/b-1/8*I*polylog(3,(1+I*c-d)*exp(2*I*a+2*I*b*x)/(1+I*c+d))/b^2+1/8*I
*polylog(3,(c+I*(1+d))*exp(2*I*a+2*I*b*x)/(c+I*(1-d)))/b^2

Rubi [A] (verified)

Time = 0.30 (sec) , antiderivative size = 303, normalized size of antiderivative = 1.00, number of steps used = 9, number of rules used = 5, \(\frac {\text {number of rules}}{\text {integrand size}}\) = 0.385, Rules used = {5286, 2221, 2611, 2320, 6724} \[ \int x \cot ^{-1}(c+d \cot (a+b x)) \, dx=-\frac {i \operatorname {PolyLog}\left (3,\frac {(i c-d+1) e^{2 i a+2 i b x}}{i c+d+1}\right )}{8 b^2}+\frac {i \operatorname {PolyLog}\left (3,\frac {(c+i (d+1)) e^{2 i a+2 i b x}}{c+i (1-d)}\right )}{8 b^2}-\frac {x \operatorname {PolyLog}\left (2,\frac {(i c-d+1) e^{2 i a+2 i b x}}{i c+d+1}\right )}{4 b}+\frac {x \operatorname {PolyLog}\left (2,\frac {(c+i (d+1)) e^{2 i a+2 i b x}}{c+i (1-d)}\right )}{4 b}-\frac {1}{4} i x^2 \log \left (1-\frac {(i c-d+1) e^{2 i a+2 i b x}}{i c+d+1}\right )+\frac {1}{4} i x^2 \log \left (1-\frac {(c+i (d+1)) e^{2 i a+2 i b x}}{c+i (1-d)}\right )+\frac {1}{2} x^2 \cot ^{-1}(d \cot (a+b x)+c) \]

[In]

Int[x*ArcCot[c + d*Cot[a + b*x]],x]

[Out]

(x^2*ArcCot[c + d*Cot[a + b*x]])/2 - (I/4)*x^2*Log[1 - ((1 + I*c - d)*E^((2*I)*a + (2*I)*b*x))/(1 + I*c + d)]
+ (I/4)*x^2*Log[1 - ((c + I*(1 + d))*E^((2*I)*a + (2*I)*b*x))/(c + I*(1 - d))] - (x*PolyLog[2, ((1 + I*c - d)*
E^((2*I)*a + (2*I)*b*x))/(1 + I*c + d)])/(4*b) + (x*PolyLog[2, ((c + I*(1 + d))*E^((2*I)*a + (2*I)*b*x))/(c +
I*(1 - d))])/(4*b) - ((I/8)*PolyLog[3, ((1 + I*c - d)*E^((2*I)*a + (2*I)*b*x))/(1 + I*c + d)])/b^2 + ((I/8)*Po
lyLog[3, ((c + I*(1 + d))*E^((2*I)*a + (2*I)*b*x))/(c + I*(1 - d))])/b^2

Rule 2221

Int[(((F_)^((g_.)*((e_.) + (f_.)*(x_))))^(n_.)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.))/((a_) + (b_.)*((F_)^((g_.)*((e_.) +
(f_.)*(x_))))^(n_.)), x_Symbol] :> Simp[((c + d*x)^m/(b*f*g*n*Log[F]))*Log[1 + b*((F^(g*(e + f*x)))^n/a)], x]
- Dist[d*(m/(b*f*g*n*Log[F])), Int[(c + d*x)^(m - 1)*Log[1 + b*((F^(g*(e + f*x)))^n/a)], x], x] /; FreeQ[{F,
a, b, c, d, e, f, g, n}, x] && IGtQ[m, 0]

Rule 2320

Int[u_, x_Symbol] :> With[{v = FunctionOfExponential[u, x]}, Dist[v/D[v, x], Subst[Int[FunctionOfExponentialFu
nction[u, x]/x, x], x, v], x]] /; FunctionOfExponentialQ[u, x] &&  !MatchQ[u, (w_)*((a_.)*(v_)^(n_))^(m_) /; F
reeQ[{a, m, n}, x] && IntegerQ[m*n]] &&  !MatchQ[u, E^((c_.)*((a_.) + (b_.)*x))*(F_)[v_] /; FreeQ[{a, b, c}, x
] && InverseFunctionQ[F[x]]]

Rule 2611

Int[Log[1 + (e_.)*((F_)^((c_.)*((a_.) + (b_.)*(x_))))^(n_.)]*((f_.) + (g_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Simp[(-(
f + g*x)^m)*(PolyLog[2, (-e)*(F^(c*(a + b*x)))^n]/(b*c*n*Log[F])), x] + Dist[g*(m/(b*c*n*Log[F])), Int[(f + g*
x)^(m - 1)*PolyLog[2, (-e)*(F^(c*(a + b*x)))^n], x], x] /; FreeQ[{F, a, b, c, e, f, g, n}, x] && GtQ[m, 0]

Rule 5286

Int[ArcCot[(c_.) + Cot[(a_.) + (b_.)*(x_)]*(d_.)]*((e_.) + (f_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Simp[(e + f*x)^(m +
1)*(ArcCot[c + d*Cot[a + b*x]]/(f*(m + 1))), x] + (-Dist[b*((1 + I*c - d)/(f*(m + 1))), Int[(e + f*x)^(m + 1)
*(E^(2*I*a + 2*I*b*x)/(1 + I*c + d - (1 + I*c - d)*E^(2*I*a + 2*I*b*x))), x], x] + Dist[b*((1 - I*c + d)/(f*(m
+ 1))), Int[(e + f*x)^(m + 1)*(E^(2*I*a + 2*I*b*x)/(1 - I*c - d - (1 - I*c + d)*E^(2*I*a + 2*I*b*x))), x], x]
) /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && IGtQ[m, 0] && NeQ[(c - I*d)^2, -1]

Rule 6724

Int[PolyLog[n_, (c_.)*((a_.) + (b_.)*(x_))^(p_.)]/((d_.) + (e_.)*(x_)), x_Symbol] :> Simp[PolyLog[n + 1, c*(a
+ b*x)^p]/(e*p), x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, n, p}, x] && EqQ[b*d, a*e]

Rubi steps \begin{align*} \text {integral}& = \frac {1}{2} x^2 \cot ^{-1}(c+d \cot (a+b x))-\frac {1}{2} (b (1+i c-d)) \int \frac {e^{2 i a+2 i b x} x^2}{1+i c+d+(-1-i c+d) e^{2 i a+2 i b x}} \, dx+\frac {1}{2} (b (1-i c+d)) \int \frac {e^{2 i a+2 i b x} x^2}{1-i c-d+(-1+i c-d) e^{2 i a+2 i b x}} \, dx \\ & = \frac {1}{2} x^2 \cot ^{-1}(c+d \cot (a+b x))-\frac {1}{4} i x^2 \log \left (1-\frac {(1+i c-d) e^{2 i a+2 i b x}}{1+i c+d}\right )+\frac {1}{4} i x^2 \log \left (1-\frac {(c+i (1+d)) e^{2 i a+2 i b x}}{c+i (1-d)}\right )-\frac {1}{2} i \int x \log \left (1+\frac {(-1+i c-d) e^{2 i a+2 i b x}}{1-i c-d}\right ) \, dx+\frac {1}{2} i \int x \log \left (1+\frac {(-1-i c+d) e^{2 i a+2 i b x}}{1+i c+d}\right ) \, dx \\ & = \frac {1}{2} x^2 \cot ^{-1}(c+d \cot (a+b x))-\frac {1}{4} i x^2 \log \left (1-\frac {(1+i c-d) e^{2 i a+2 i b x}}{1+i c+d}\right )+\frac {1}{4} i x^2 \log \left (1-\frac {(c+i (1+d)) e^{2 i a+2 i b x}}{c+i (1-d)}\right )-\frac {x \operatorname {PolyLog}\left (2,\frac {(1+i c-d) e^{2 i a+2 i b x}}{1+i c+d}\right )}{4 b}+\frac {x \operatorname {PolyLog}\left (2,\frac {(c+i (1+d)) e^{2 i a+2 i b x}}{c+i (1-d)}\right )}{4 b}-\frac {\int \operatorname {PolyLog}\left (2,-\frac {(-1+i c-d) e^{2 i a+2 i b x}}{1-i c-d}\right ) \, dx}{4 b}+\frac {\int \operatorname {PolyLog}\left (2,-\frac {(-1-i c+d) e^{2 i a+2 i b x}}{1+i c+d}\right ) \, dx}{4 b} \\ & = \frac {1}{2} x^2 \cot ^{-1}(c+d \cot (a+b x))-\frac {1}{4} i x^2 \log \left (1-\frac {(1+i c-d) e^{2 i a+2 i b x}}{1+i c+d}\right )+\frac {1}{4} i x^2 \log \left (1-\frac {(c+i (1+d)) e^{2 i a+2 i b x}}{c+i (1-d)}\right )-\frac {x \operatorname {PolyLog}\left (2,\frac {(1+i c-d) e^{2 i a+2 i b x}}{1+i c+d}\right )}{4 b}+\frac {x \operatorname {PolyLog}\left (2,\frac {(c+i (1+d)) e^{2 i a+2 i b x}}{c+i (1-d)}\right )}{4 b}-\frac {i \text {Subst}\left (\int \frac {\operatorname {PolyLog}\left (2,-\frac {(-1-i c+d) x}{1+i c+d}\right )}{x} \, dx,x,e^{2 i a+2 i b x}\right )}{8 b^2}+\frac {i \text {Subst}\left (\int \frac {\operatorname {PolyLog}\left (2,\frac {(c+i (1+d)) x}{c-i (-1+d)}\right )}{x} \, dx,x,e^{2 i a+2 i b x}\right )}{8 b^2} \\ & = \frac {1}{2} x^2 \cot ^{-1}(c+d \cot (a+b x))-\frac {1}{4} i x^2 \log \left (1-\frac {(1+i c-d) e^{2 i a+2 i b x}}{1+i c+d}\right )+\frac {1}{4} i x^2 \log \left (1-\frac {(c+i (1+d)) e^{2 i a+2 i b x}}{c+i (1-d)}\right )-\frac {x \operatorname {PolyLog}\left (2,\frac {(1+i c-d) e^{2 i a+2 i b x}}{1+i c+d}\right )}{4 b}+\frac {x \operatorname {PolyLog}\left (2,\frac {(c+i (1+d)) e^{2 i a+2 i b x}}{c+i (1-d)}\right )}{4 b}-\frac {i \operatorname {PolyLog}\left (3,\frac {(1+i c-d) e^{2 i a+2 i b x}}{1+i c+d}\right )}{8 b^2}+\frac {i \operatorname {PolyLog}\left (3,\frac {(c+i (1+d)) e^{2 i a+2 i b x}}{c+i (1-d)}\right )}{8 b^2} \\ \end{align*}

Mathematica [A] (verified)

Time = 1.89 (sec) , antiderivative size = 275, normalized size of antiderivative = 0.91 \[ \int x \cot ^{-1}(c+d \cot (a+b x)) \, dx=\frac {4 b^2 x^2 \cot ^{-1}(c+d \cot (a+b x))-2 i b^2 x^2 \log \left (1+\frac {(-c+i (1+d)) e^{-2 i (a+b x)}}{c+i (-1+d)}\right )+2 i b^2 x^2 \log \left (1+\frac {(-c+i (-1+d)) e^{-2 i (a+b x)}}{c+i (1+d)}\right )+2 b x \operatorname {PolyLog}\left (2,\frac {(c-i (1+d)) e^{-2 i (a+b x)}}{c+i (-1+d)}\right )-2 b x \operatorname {PolyLog}\left (2,\frac {(i+c-i d) e^{-2 i (a+b x)}}{c+i (1+d)}\right )-i \operatorname {PolyLog}\left (3,\frac {(c-i (1+d)) e^{-2 i (a+b x)}}{c+i (-1+d)}\right )+i \operatorname {PolyLog}\left (3,\frac {(i+c-i d) e^{-2 i (a+b x)}}{c+i (1+d)}\right )}{8 b^2} \]

[In]

Integrate[x*ArcCot[c + d*Cot[a + b*x]],x]

[Out]

(4*b^2*x^2*ArcCot[c + d*Cot[a + b*x]] - (2*I)*b^2*x^2*Log[1 + (-c + I*(1 + d))/((c + I*(-1 + d))*E^((2*I)*(a +
b*x)))] + (2*I)*b^2*x^2*Log[1 + (-c + I*(-1 + d))/((c + I*(1 + d))*E^((2*I)*(a + b*x)))] + 2*b*x*PolyLog[2, (
c - I*(1 + d))/((c + I*(-1 + d))*E^((2*I)*(a + b*x)))] - 2*b*x*PolyLog[2, (I + c - I*d)/((c + I*(1 + d))*E^((2
*I)*(a + b*x)))] - I*PolyLog[3, (c - I*(1 + d))/((c + I*(-1 + d))*E^((2*I)*(a + b*x)))] + I*PolyLog[3, (I + c
- I*d)/((c + I*(1 + d))*E^((2*I)*(a + b*x)))])/(8*b^2)

Maple [C] (warning: unable to verify)

Result contains higher order function than in optimal. Order 9 vs. order 4.

Time = 4.44 (sec) , antiderivative size = 7488, normalized size of antiderivative = 24.71

method	result	size
risch	\(\text {Expression too large to display}\)	\(7488\)

[In]

int(x*arccot(c+d*cot(b*x+a)),x,method=_RETURNVERBOSE)

[Out]

result too large to display

Fricas [B] (verification not implemented)

Both result and optimal contain complex but leaf count of result is larger than twice the leaf count of optimal. 1289 vs. \(2 (213) = 426\).

Time = 0.40 (sec) , antiderivative size = 1289, normalized size of antiderivative = 4.25 \[ \int x \cot ^{-1}(c+d \cot (a+b x)) \, dx=\text {Too large to display} \]

[In]

integrate(x*arccot(c+d*cot(b*x+a)),x, algorithm="fricas")

[Out]

1/16*(8*b^2*x^2*arccot(d*cot(b*x + a) + c) - 2*b*x*dilog(-(c^2 + d^2 - (c^2 + 2*I*c*d - d^2 + 1)*cos(2*b*x + 2
*a) + (-I*c^2 + 2*c*d + I*d^2 - I)*sin(2*b*x + 2*a) + 2*d + 1)/(c^2 + d^2 + 2*d + 1) + 1) - 2*b*x*dilog(-(c^2
+ d^2 - (c^2 - 2*I*c*d - d^2 + 1)*cos(2*b*x + 2*a) + (I*c^2 + 2*c*d - I*d^2 + I)*sin(2*b*x + 2*a) + 2*d + 1)/(
c^2 + d^2 + 2*d + 1) + 1) + 2*b*x*dilog(-(c^2 + d^2 - (c^2 + 2*I*c*d - d^2 + 1)*cos(2*b*x + 2*a) + (-I*c^2 + 2
*c*d + I*d^2 - I)*sin(2*b*x + 2*a) - 2*d + 1)/(c^2 + d^2 - 2*d + 1) + 1) + 2*b*x*dilog(-(c^2 + d^2 - (c^2 - 2*
I*c*d - d^2 + 1)*cos(2*b*x + 2*a) + (I*c^2 + 2*c*d - I*d^2 + I)*sin(2*b*x + 2*a) - 2*d + 1)/(c^2 + d^2 - 2*d +
1) + 1) - 2*I*a^2*log(1/2*c^2 + I*c*d - 1/2*d^2 - 1/2*(c^2 + d^2 + 2*d + 1)*cos(2*b*x + 2*a) + 1/2*(I*c^2 + I
*d^2 + 2*I*d + I)*sin(2*b*x + 2*a) + 1/2) + 2*I*a^2*log(1/2*c^2 + I*c*d - 1/2*d^2 - 1/2*(c^2 + d^2 - 2*d + 1)*
cos(2*b*x + 2*a) + 1/2*(I*c^2 + I*d^2 - 2*I*d + I)*sin(2*b*x + 2*a) + 1/2) + 2*I*a^2*log(-1/2*c^2 + I*c*d + 1/
2*d^2 + 1/2*(c^2 + d^2 + 2*d + 1)*cos(2*b*x + 2*a) + 1/2*(I*c^2 + I*d^2 + 2*I*d + I)*sin(2*b*x + 2*a) - 1/2) -
2*I*a^2*log(-1/2*c^2 + I*c*d + 1/2*d^2 + 1/2*(c^2 + d^2 - 2*d + 1)*cos(2*b*x + 2*a) + 1/2*(I*c^2 + I*d^2 - 2*
I*d + I)*sin(2*b*x + 2*a) - 1/2) - 2*(I*b^2*x^2 - I*a^2)*log((c^2 + d^2 - (c^2 + 2*I*c*d - d^2 + 1)*cos(2*b*x
+ 2*a) + (-I*c^2 + 2*c*d + I*d^2 - I)*sin(2*b*x + 2*a) + 2*d + 1)/(c^2 + d^2 + 2*d + 1)) - 2*(-I*b^2*x^2 + I*a
^2)*log((c^2 + d^2 - (c^2 - 2*I*c*d - d^2 + 1)*cos(2*b*x + 2*a) + (I*c^2 + 2*c*d - I*d^2 + I)*sin(2*b*x + 2*a)
+ 2*d + 1)/(c^2 + d^2 + 2*d + 1)) - 2*(-I*b^2*x^2 + I*a^2)*log((c^2 + d^2 - (c^2 + 2*I*c*d - d^2 + 1)*cos(2*b
*x + 2*a) + (-I*c^2 + 2*c*d + I*d^2 - I)*sin(2*b*x + 2*a) - 2*d + 1)/(c^2 + d^2 - 2*d + 1)) - 2*(I*b^2*x^2 - I
*a^2)*log((c^2 + d^2 - (c^2 - 2*I*c*d - d^2 + 1)*cos(2*b*x + 2*a) + (I*c^2 + 2*c*d - I*d^2 + I)*sin(2*b*x + 2*
a) - 2*d + 1)/(c^2 + d^2 - 2*d + 1)) - I*polylog(3, ((c^2 + 2*I*c*d - d^2 + 1)*cos(2*b*x + 2*a) + (I*c^2 - 2*c
*d - I*d^2 + I)*sin(2*b*x + 2*a))/(c^2 + d^2 + 2*d + 1)) + I*polylog(3, ((c^2 + 2*I*c*d - d^2 + 1)*cos(2*b*x +
2*a) + (I*c^2 - 2*c*d - I*d^2 + I)*sin(2*b*x + 2*a))/(c^2 + d^2 - 2*d + 1)) + I*polylog(3, ((c^2 - 2*I*c*d -
d^2 + 1)*cos(2*b*x + 2*a) + (-I*c^2 - 2*c*d + I*d^2 - I)*sin(2*b*x + 2*a))/(c^2 + d^2 + 2*d + 1)) - I*polylog(
3, ((c^2 - 2*I*c*d - d^2 + 1)*cos(2*b*x + 2*a) + (-I*c^2 - 2*c*d + I*d^2 - I)*sin(2*b*x + 2*a))/(c^2 + d^2 - 2
*d + 1)))/b^2

Sympy [F(-1)]

Timed out. \[ \int x \cot ^{-1}(c+d \cot (a+b x)) \, dx=\text {Timed out} \]

[In]

integrate(x*acot(c+d*cot(b*x+a)),x)

[Out]

Timed out

Maxima [F]

\[ \int x \cot ^{-1}(c+d \cot (a+b x)) \, dx=\int { x \operatorname {arccot}\left (d \cot \left (b x + a\right ) + c\right ) \,d x } \]

[In]

integrate(x*arccot(c+d*cot(b*x+a)),x, algorithm="maxima")

[Out]

1/4*x^2*arctan2((d + 1)*cos(2*b*x + 2*a) + c*sin(2*b*x + 2*a) + d - 1, c*cos(2*b*x + 2*a) - (d + 1)*sin(2*b*x
+ 2*a) - c) - 1/4*x^2*arctan2((d - 1)*cos(2*b*x + 2*a) + c*sin(2*b*x + 2*a) + d + 1, c*cos(2*b*x + 2*a) - (d -
1)*sin(2*b*x + 2*a) - c) - 2*b*d*integrate((2*(c^2 + d^2 + 1)*x^2*cos(2*b*x + 2*a)^2 + 2*c*d*x^2*sin(2*b*x +
2*a) + 2*(c^2 + d^2 + 1)*x^2*sin(2*b*x + 2*a)^2 - (c^2 - d^2 + 1)*x^2*cos(2*b*x + 2*a) - (2*c*d*x^2*sin(2*b*x
+ 2*a) + (c^2 - d^2 + 1)*x^2*cos(2*b*x + 2*a))*cos(4*b*x + 4*a) + (2*c*d*x^2*cos(2*b*x + 2*a) - (c^2 - d^2 + 1
)*x^2*sin(2*b*x + 2*a))*sin(4*b*x + 4*a))/(c^4 + d^4 + 2*(c^2 - 1)*d^2 + (c^4 + d^4 + 2*(c^2 - 1)*d^2 + 2*c^2
+ 1)*cos(4*b*x + 4*a)^2 + 4*(c^4 + d^4 + 2*(c^2 + 1)*d^2 + 2*c^2 + 1)*cos(2*b*x + 2*a)^2 + (c^4 + d^4 + 2*(c^2
- 1)*d^2 + 2*c^2 + 1)*sin(4*b*x + 4*a)^2 + 4*(c^4 + d^4 + 2*(c^2 + 1)*d^2 + 2*c^2 + 1)*sin(2*b*x + 2*a)^2 + 2
*c^2 + 2*(c^4 + d^4 - 2*(3*c^2 + 1)*d^2 + 2*c^2 - 2*(c^4 - d^4 + 2*c^2 + 1)*cos(2*b*x + 2*a) - 4*(c*d^3 + (c^3
+ c)*d)*sin(2*b*x + 2*a) + 1)*cos(4*b*x + 4*a) - 4*(c^4 - d^4 + 2*c^2 + 1)*cos(2*b*x + 2*a) + 4*(2*c*d^3 - 2*
(c^3 + c)*d + 2*(c*d^3 + (c^3 + c)*d)*cos(2*b*x + 2*a) - (c^4 - d^4 + 2*c^2 + 1)*sin(2*b*x + 2*a))*sin(4*b*x +
4*a) + 8*(c*d^3 + (c^3 + c)*d)*sin(2*b*x + 2*a) + 1), x)

Giac [F]

\[ \int x \cot ^{-1}(c+d \cot (a+b x)) \, dx=\int { x \operatorname {arccot}\left (d \cot \left (b x + a\right ) + c\right ) \,d x } \]

[In]

integrate(x*arccot(c+d*cot(b*x+a)),x, algorithm="giac")

[Out]

integrate(x*arccot(d*cot(b*x + a) + c), x)

Mupad [F(-1)]

Timed out. \[ \int x \cot ^{-1}(c+d \cot (a+b x)) \, dx=\int x\,\mathrm {acot}\left (c+d\,\mathrm {cot}\left (a+b\,x\right )\right ) \,d x \]

[In]

int(x*acot(c + d*cot(a + b*x)),x)

[Out]

int(x*acot(c + d*cot(a + b*x)), x)