Chapter 5
Appendix

5.1 Listing of grading functions

The following are the current version of the grading functions used for grading the quality of the antiderivative with reference to the optimal antiderivative included in the test suite.

There is a version for Maple and for Mathematica/Rubi. There is a version for grading Sympy and version for use with Sagemath.

The following are links to the current source code.

1. Mathematica and Rubi grading function GradeAntiderivative.m
2. Maple grading function GradeAntiderivative.mpl
3. Sympy grading function grade_sympy.py
4. Sagemath grading function grade_sagemath.py

The following are the listings of source code of the grading functions.

5.1.1 Mathematica and Rubi grading function

(* Original version thanks to Albert Rich emailed on 03/21/2017 *) 
(* ::Package:: *) 
 
(* Nasser: April 7,2022. add second output which gives reason for the grade *) 
(*                       Small rewrite of logic in main function to make it*) 
(*                       match Maple's logic. No change in functionality otherwise*) 
 
(* ::Subsection:: *) 
(*GradeAntiderivative[result,optimal]*) 
 
 
(* ::Text:: *) 
(*If result and optimal are mathematical expressions, *) 
(*          GradeAntiderivative[result,optimal] returns*) 
(*  "F" if the result fails to integrate an expression that*) 
(*      is integrable*) 
(*  "C" if result involves higher level functions than necessary*) 
(*  "B" if result is more than twice the size of the optimal*) 
(*      antiderivative*) 
(*  "A" if result can be considered optimal*) 
 
 
GradeAntiderivative[result_,optimal_] := Module[{expnResult,expnOptimal,leafCountResult,leafCountOptimal,finalresult}, 
    expnResult  = ExpnType[result]; 
    expnOptimal = ExpnType[optimal]; 
    leafCountResult = LeafCount[result]; 
    leafCountOptimal = LeafCount[optimal]; 
 
    (*Print["expnResult=",expnResult," expnOptimal=",expnOptimal];*) 
    If[expnResult<=expnOptimal, 
        If[Not[FreeQ[result,Complex]], (*result contains complex*) 
            If[Not[FreeQ[optimal,Complex]], (*optimal contains complex*) 
                If[leafCountResult<=2*leafCountOptimal, 
                    finalresult={"A"," "} 
                    ,(*ELSE*) 
                    finalresult={"B","Both result and optimal contain complex but leaf count is larger than twice the leaf count of optimal. $"<>ToString@leafCountResult<>"$ vs. $2("<>ToString@leafCountOptimal<>")="<>ToString[2*leafCountOptimal]<>"$."} 
                  ] 
            ,(*ELSE*) 
                finalresult={"C","Result contains complex when optimal does not."} 
            ] 
        ,(*ELSE*)(*result does not contains complex*) 
            If[leafCountResult<=2*leafCountOptimal, 
               finalresult={"A"," "} 
            ,(*ELSE*) 
               finalresult={"B","Leaf count is larger than twice the leaf count of optimal. $"<>ToString@leafCountResult<>"$ vs. $2("<>ToString@leafCountOptimal<>")="<>ToString[2*leafCountOptimal]<>"$."} 
              ] 
        ] 
    ,(*ELSE*) (*expnResult>expnOptimal*) 
        If[FreeQ[result,Integrate] && FreeQ[result,Int], 
            finalresult={"C","Result contains higher order function than in optimal. Order "<>ToString[expnResult]<>" vs. order "<>ToString[expnOptimal]<>" in optimal."} 
            , 
            finalresult={"F","Contains unresolved integral."} 
        ] 
    ]; 
 
    finalresult 
] 
 
(* ::Text:: *) 
(*The following summarizes the type number assigned an *) 
(*expression based on the functions it involves*) 
(*1 = rational function*) 
(*2 = algebraic function*) 
(*3 = elementary function*) 
(*4 = special function*) 
(*5 = hyperpergeometric function*) 
(*6 = appell function*) 
(*7 = rootsum function*) 
(*8 = integrate function*) 
(*9 = unknown function*) 
 
 
ExpnType[expn_] := 
  If[AtomQ[expn], 
    1, 
  If[ListQ[expn], 
    Max[Map[ExpnType,expn]], 
  If[Head[expn]===Power, 
    If[IntegerQ[expn[[2]]], 
      ExpnType[expn[[1]]], 
    If[Head[expn[[2]]]===Rational, 
      If[IntegerQ[expn[[1]]] || Head[expn[[1]]]===Rational, 
        1, 
      Max[ExpnType[expn[[1]]],2]], 
    Max[ExpnType[expn[[1]]],ExpnType[expn[[2]]],3]]], 
  If[Head[expn]===Plus || Head[expn]===Times, 
    Max[ExpnType[First[expn]],ExpnType[Rest[expn]]], 
  If[ElementaryFunctionQ[Head[expn]], 
    Max[3,ExpnType[expn[[1]]]], 
  If[SpecialFunctionQ[Head[expn]], 
    Apply[Max,Append[Map[ExpnType,Apply[List,expn]],4]], 
  If[HypergeometricFunctionQ[Head[expn]], 
    Apply[Max,Append[Map[ExpnType,Apply[List,expn]],5]], 
  If[AppellFunctionQ[Head[expn]], 
    Apply[Max,Append[Map[ExpnType,Apply[List,expn]],6]], 
  If[Head[expn]===RootSum, 
    Apply[Max,Append[Map[ExpnType,Apply[List,expn]],7]], 
  If[Head[expn]===Integrate || Head[expn]===Int, 
    Apply[Max,Append[Map[ExpnType,Apply[List,expn]],8]], 
  9]]]]]]]]]] 
 
 
ElementaryFunctionQ[func_] := 
  MemberQ[{ 
   Exp,Log, 
   Sin,Cos,Tan,Cot,Sec,Csc, 
   ArcSin,ArcCos,ArcTan,ArcCot,ArcSec,ArcCsc, 
   Sinh,Cosh,Tanh,Coth,Sech,Csch, 
   ArcSinh,ArcCosh,ArcTanh,ArcCoth,ArcSech,ArcCsch 
},func] 
 
 
SpecialFunctionQ[func_] := 
  MemberQ[{ 
   Erf, Erfc, Erfi, 
   FresnelS, FresnelC, 
   ExpIntegralE, ExpIntegralEi, LogIntegral, 
   SinIntegral, CosIntegral, SinhIntegral, CoshIntegral, 
   Gamma, LogGamma, PolyGamma, 
   Zeta, PolyLog, ProductLog, 
   EllipticF, EllipticE, EllipticPi 
},func] 
 
 
HypergeometricFunctionQ[func_] := 
  MemberQ[{Hypergeometric1F1,Hypergeometric2F1,HypergeometricPFQ},func] 
 
 
AppellFunctionQ[func_] := 
  MemberQ[{AppellF1},func]

5.1.2 Maple grading function

# File: GradeAntiderivative.mpl 
# Original version thanks to Albert Rich emailed on 03/21/2017 
 
#Nasser 03/22/2017  Use Maple leaf count instead since buildin 
#Nasser 03/23/2017  missing 'ln' for ElementaryFunctionQ added 
#Nasser 03/24/2017  corrected the check for complex result 
#Nasser 10/27/2017  check for leafsize and do not call ExpnType() 
#                   if leaf size is "too large". Set at 500,000 
#Nasser 12/22/2019  Added debug flag, added 'dilog' to special functions 
#                   see problem 156, file Apostol_Problems 
#Nasser 4/07/2022   add second output which gives reason for the grade 
 
GradeAntiderivative := proc(result,optimal) 
local leaf_count_result, 
        leaf_count_optimal, 
        ExpnType_result, 
        ExpnType_optimal, 
        debug:=false; 
 
        leaf_count_result:=leafcount(result); 
        #do NOT call ExpnType() if leaf size is too large. Recursion problem 
        if leaf_count_result > 500000 then 
            return "B","result has leaf size over 500,000. Avoiding possible recursion issues."; 
        fi; 
 
        leaf_count_optimal := leafcount(optimal); 
        ExpnType_result  := ExpnType(result); 
        ExpnType_optimal := ExpnType(optimal); 
 
        if debug then 
            print("ExpnType_result",ExpnType_result," ExpnType_optimal=",ExpnType_optimal); 
        fi; 
 
# If result and optimal are mathematical expressions, 
#  GradeAntiderivative[result,optimal] returns 
#   "F" if the result fails to integrate an expression that 
#       is integrable 
#   "C" if result involves higher level functions than necessary 
#   "B" if result is more than twice the size of the optimal 
#       antiderivative 
#   "A" if result can be considered optimal 
 
    #This check below actually is not needed, since I only 
    #call this grading only for passed integrals. i.e. I check 
    #for "F" before calling this. But no harm of keeping it here. 
    #just in case. 
 
 
    if not type(result,freeof('int')) then 
        return "F","Result contains unresolved integral"; 
    fi; 
 
 
    if ExpnType_result<=ExpnType_optimal then 
        if debug then 
             print("ExpnType_result<=ExpnType_optimal"); 
        fi; 
        if is_contains_complex(result) then 
            if is_contains_complex(optimal) then 
                if debug then 
                        print("both result and optimal complex"); 
                fi; 
                if leaf_count_result<=2*leaf_count_optimal then 
                    return "A"," "; 
                else 
                   return "B",cat("Both result and optimal contain complex but leaf count of result is larger than twice the leaf count of optimal. ", 
                                   convert(leaf_count_result,string)," vs. $2 (", 
                                   convert(leaf_count_optimal,string)," ) = ",convert(2*leaf_count_optimal,string),"$."); 
                end if 
            else #result contains complex but optimal is not 
                if debug then 
                        print("result contains complex but optimal is not"); 
                fi; 
                return "C","Result contains complex when optimal does not."; 
            fi; 
        else # result do not contain complex 
             # this assumes optimal do not as well. No check is needed here. 
            if debug then 
                   print("result do not contain complex, this assumes optimal do not as well"); 
            fi; 
            if leaf_count_result<=2*leaf_count_optimal then 
                if debug then 
                    print("leaf_count_result<=2*leaf_count_optimal"); 
                fi; 
                return "A"," "; 
            else 
                if debug then 
                    print("leaf_count_result>2*leaf_count_optimal"); 
                fi; 
                return "B",cat("Leaf count of result is larger than twice the leaf count of optimal. $", 
                                   convert(leaf_count_result,string),"$ vs. $2(", 
                                   convert(leaf_count_optimal,string),")=",convert(2*leaf_count_optimal,string),"$."); 
            fi; 
        fi; 
    else #ExpnType(result) > ExpnType(optimal) 
        if debug then 
            print("ExpnType(result) > ExpnType(optimal)"); 
        fi; 
        return "C",cat("Result contains higher order function than in optimal. Order ", 
                       convert(ExpnType_result,string)," vs. order ", 
                       convert(ExpnType_optimal,string),"."); 
    fi; 
 
end proc: 
 
# 
# is_contains_complex(result) 
# takes expressions and returns true if it contains "I" else false 
# 
#Nasser 032417 
is_contains_complex:= proc(expression) 
  return (has(expression,I)); 
end proc: 
 
# The following summarizes the type number assigned an expression 
# based on the functions it involves 
# 1 = rational function 
# 2 = algebraic function 
# 3 = elementary function 
# 4 = special function 
# 5 = hyperpergeometric function 
# 6 = appell function 
# 7 = rootsum function 
# 8 = integrate function 
# 9 = unknown function 
 
ExpnType := proc(expn) 
  if type(expn,'atomic') then 
    1 
  elif type(expn,'list') then 
    apply(max,map(ExpnType,expn)) 
  elif type(expn,'sqrt') then 
    if type(op(1,expn),'rational') then 
       1 
    else 
       max(2,ExpnType(op(1,expn))) 
    end if 
  elif type(expn,'`^`') then 
    if type(op(2,expn),'integer') then 
      ExpnType(op(1,expn)) 
    elif type(op(2,expn),'rational') then 
      if type(op(1,expn),'rational') then 
         1 
      else 
         max(2,ExpnType(op(1,expn))) 
      end if 
    else 
         max(3,ExpnType(op(1,expn)),ExpnType(op(2,expn))) 
    end if 
  elif type(expn,'`+`') or type(expn,'`*`') then 
    max(ExpnType(op(1,expn)),max(ExpnType(rest(expn)))) 
  elif ElementaryFunctionQ(op(0,expn)) then 
    max(3,ExpnType(op(1,expn))) 
  elif SpecialFunctionQ(op(0,expn)) then 
    max(4,apply(max,map(ExpnType,[op(expn)]))) 
  elif HypergeometricFunctionQ(op(0,expn)) then 
    max(5,apply(max,map(ExpnType,[op(expn)]))) 
  elif AppellFunctionQ(op(0,expn)) then 
    max(6,apply(max,map(ExpnType,[op(expn)]))) 
  elif op(0,expn)='int' then 
    max(8,apply(max,map(ExpnType,[op(expn)]))) else 
  9 
  end if 
end proc: 
 
 
ElementaryFunctionQ := proc(func) 
  member(func,[ 
        exp,log,ln, 
        sin,cos,tan,cot,sec,csc, 
        arcsin,arccos,arctan,arccot,arcsec,arccsc, 
        sinh,cosh,tanh,coth,sech,csch, 
        arcsinh,arccosh,arctanh,arccoth,arcsech,arccsch]) 
end proc: 
 
SpecialFunctionQ := proc(func) 
  member(func,[ 
        erf,erfc,erfi, 
        FresnelS,FresnelC, 
        Ei,Ei,Li,Si,Ci,Shi,Chi, 
        GAMMA,lnGAMMA,Psi,Zeta,polylog,dilog,LambertW, 
        EllipticF,EllipticE,EllipticPi]) 
end proc: 
 
HypergeometricFunctionQ := proc(func) 
  member(func,[Hypergeometric1F1,hypergeom,HypergeometricPFQ]) 
end proc: 
 
AppellFunctionQ := proc(func) 
  member(func,[AppellF1]) 
end proc: 
 
# u is a sum or product.  rest(u) returns all but the 
# first term or factor of u. 
rest := proc(u) local v; 
  if nops(u)=2 then 
     op(2,u) 
  else 
     apply(op(0,u),op(2..nops(u),u)) 
  end if 
end proc: 
 
#leafcount(u) returns the number of nodes in u. 
#Nasser 3/23/17  Replaced by build-in leafCount from package in Maple 
leafcount := proc(u) 
   MmaTranslator[Mma][LeafCount](u); 
end proc:

5.1.3 Sympy grading function

#Dec 24, 2019. Nasser M. Abbasi: 
#              Port of original Maple grading function by 
#              Albert Rich to use with Sympy/Python 
#Dec 27, 2019  Nasser. Added `RootSum`. See problem 177, Timofeev file 
#              added 'exp_polar' 
from sympy import * 
 
def leaf_count(expr): 
    #sympy do not have leaf count function. This is approximation 
    return round(1.7*count_ops(expr)) 
 
def is_sqrt(expr): 
    if isinstance(expr,Pow): 
        if expr.args[1] == Rational(1,2): 
            return True 
        else: 
            return False 
    else: 
        return False 
 
def is_elementary_function(func): 
    return func in [exp,log,ln,sin,cos,tan,cot,sec,csc, 
            asin,acos,atan,acot,asec,acsc,sinh,cosh,tanh,coth,sech,csch, 
            asinh,acosh,atanh,acoth,asech,acsch 
        ] 
 
def is_special_function(func): 
    return func in [ erf,erfc,erfi, 
             fresnels,fresnelc,Ei,Ei,Li,Si,Ci,Shi,Chi, 
             gamma,loggamma,digamma,zeta,polylog,LambertW, 
             elliptic_f,elliptic_e,elliptic_pi,exp_polar 
         ] 
 
def is_hypergeometric_function(func): 
    return func in [hyper] 
 
def is_appell_function(func): 
    return func in [appellf1] 
 
def is_atom(expn): 
    try: 
        if expn.isAtom or isinstance(expn,int) or isinstance(expn,float): 
           return True 
        else: 
           return False 
 
    except AttributeError as error: 
        return False 
 
def expnType(expn): 
    debug=False 
    if debug: 
        print("expn=",expn,"type(expn)=",type(expn)) 
 
    if is_atom(expn): 
       return 1 
    elif isinstance(expn,list): 
        return max(map(expnType, expn))   #apply(max,map(ExpnType,expn)) 
    elif  is_sqrt(expn): 
        if isinstance(expn.args[0],Rational): #type(op(1,expn),'rational') 
            return 1 
        else: 
            return max(2,expnType(expn.args[0]))  #max(2,ExpnType(op(1,expn))) 
    elif isinstance(expn,Pow):   #type(expn,'`^`') 
        if isinstance(expn.args[1],Integer):  #type(op(2,expn),'integer') 
            return expnType(expn.args[0])   #ExpnType(op(1,expn)) 
        elif isinstance(expn.args[1],Rational):  #type(op(2,expn),'rational') 
            if isinstance(expn.args[0],Rational): #type(op(1,expn),'rational') 
                return 1 
            else: 
                return max(2,expnType(expn.args[0]))  #max(2,ExpnType(op(1,expn))) 
        else: 
            return max(3,expnType(expn.args[0]),expnType(expn.args[1])) #max(3,ExpnType(op(1,expn)),ExpnType(op(2,expn))) 
    elif isinstance(expn,Add) or isinstance(expn,Mul): #type(expn,'`+`') or type(expn,'`*`') 
        m1 = expnType(expn.args[0]) 
        m2 = expnType(list(expn.args[1:])) 
        return max(m1,m2)  #max(ExpnType(op(1,expn)),max(ExpnType(rest(expn)))) 
    elif is_elementary_function(expn.func):  #ElementaryFunctionQ(op(0,expn)) 
        return max(3,expnType(expn.args[0]))  #max(3,ExpnType(op(1,expn))) 
    elif is_special_function(expn.func): #SpecialFunctionQ(op(0,expn)) 
        m1 = max(map(expnType, list(expn.args))) 
        return max(4,m1)   #max(4,apply(max,map(ExpnType,[op(expn)]))) 
    elif is_hypergeometric_function(expn.func): #HypergeometricFunctionQ(op(0,expn)) 
        m1 = max(map(expnType, list(expn.args))) 
        return max(5,m1)   #max(5,apply(max,map(ExpnType,[op(expn)]))) 
    elif is_appell_function(expn.func): 
        m1 = max(map(expnType, list(expn.args))) 
        return max(6,m1)   #max(5,apply(max,map(ExpnType,[op(expn)]))) 
    elif isinstance(expn,RootSum): 
        m1 = max(map(expnType, list(expn.args))) #Apply[Max,Append[Map[ExpnType,Apply[List,expn]],7]], 
        return max(7,m1) 
    elif str(expn).find("Integral") != -1: 
        m1 = max(map(expnType, list(expn.args))) 
        return max(8,m1)   #max(5,apply(max,map(ExpnType,[op(expn)]))) 
    else: 
        return 9 
 
#main function 
def grade_antiderivative(result,optimal): 
 
    #print ("Enter grade_antiderivative for sagemath") 
    #print("Enter grade_antiderivative, result=",result," optimal=",optimal) 
 
    leaf_count_result  = leaf_count(result) 
    leaf_count_optimal = leaf_count(optimal) 
 
    #print("leaf_count_result=",leaf_count_result) 
    #print("leaf_count_optimal=",leaf_count_optimal) 
 
    expnType_result  = expnType(result) 
    expnType_optimal = expnType(optimal) 
 
    if str(result).find("Integral") != -1: 
        grade = "F" 
        grade_annotation ="" 
    else: 
        if expnType_result <= expnType_optimal: 
            if result.has(I): 
                if optimal.has(I): #both result and optimal complex 
                    if leaf_count_result <= 2*leaf_count_optimal: 
                        grade = "A" 
                        grade_annotation ="" 
                    else: 
                        grade = "B" 
                        grade_annotation ="Both result and optimal contain complex but leaf count of result is larger than twice the leaf count of optimal. "+str(leaf_count_result)+" vs. $2 ("+str(leaf_count_optimal)+") = "+ str(2*leaf_count_optimal)+"$." 
                else: #result contains complex but optimal is not 
                    grade = "C" 
                    grade_annotation ="Result contains complex when optimal does not." 
            else: # result do not contain complex, this assumes optimal do not as well 
                if leaf_count_result <= 2*leaf_count_optimal: 
                    grade = "A" 
                    grade_annotation ="" 
                else: 
                    grade = "B" 
                    grade_annotation ="Leaf count of result is larger than twice the leaf count of optimal. "+str(leaf_count_result)+" vs. $2 ("+str(leaf_count_optimal)+") = "+ str(2*leaf_count_optimal)+"$." 
        else: 
            grade = "C" 
            grade_annotation ="Result contains higher order function than in optimal. Order "+str(ExpnType_result)+" vs. order "+str(ExpnType_optimal)+"." 
 
 
    #print("Before returning. grade=",grade, " grade_annotation=",grade_annotation) 
 
    return grade, grade_annotation

5.1.4 SageMath grading function

#Dec 24, 2019. Nasser: Ported original Maple grading function by 
#              Albert Rich to use with Sagemath. This is used to 
#              grade Fricas, Giac and Maxima results. 
#Dec 24, 2019. Nasser: Added 'exp_integral_e' and 'sng', 'sin_integral' 
#              'arctan2','floor','abs','log_integral' 
#June 4, 2022  Made default grade_annotation "none" instead of "" due 
#              issue later when reading the file. 
#July 14, 2022. Added ellipticF. This is until they fix sagemath, then remove it. 
 
from sage.all import * 
from sage.symbolic.operators import add_vararg, mul_vararg 
 
debug=False; 
 
def tree_size(expr): 
    r""" 
    Return the tree size of this expression. 
    """ 
    #print("Enter tree_size, expr is ",expr) 
 
    if expr not in SR: 
        # deal with lists, tuples, vectors 
        return 1 + sum(tree_size(a) for a in expr) 
    expr = SR(expr) 
    x, aa = expr.operator(), expr.operands() 
    if x is None: 
        return 1 
    else: 
        return 1 + sum(tree_size(a) for a in aa) 
 
def is_sqrt(expr): 
    if expr.operator() == operator.pow:   #isinstance(expr,Pow): 
        if expr.operands()[1]==1/2: #expr.args[1] == Rational(1,2): 
            if debug: print ("expr is sqrt") 
            return True 
        else: 
            return False 
    else: 
        return False 
 
def is_elementary_function(func): 
    #debug=False 
    m = func.name() in ['exp','log','ln', 
            'sin','cos','tan','cot','sec','csc', 
            'arcsin','arccos','arctan','arccot','arcsec','arccsc', 
            'sinh','cosh','tanh','coth','sech','csch', 
            'arcsinh','arccosh','arctanh','arccoth','arcsech','arccsch','sgn', 
        'arctan2','floor','abs' 
        ] 
    if debug: 
        if m: 
            print ("func ", func , " is elementary_function") 
        else: 
            print ("func ", func , " is NOT elementary_function") 
 
 
    return m 
 
def is_special_function(func): 
    #debug=False 
    if debug: 
        print ("type(func)=", type(func)) 
 
    m= func.name() in ['erf','erfc','erfi','fresnel_sin','fresnel_cos','Ei', 
           'Ei','Li','Si','sin_integral','Ci','cos_integral','Shi','sinh_integral' 
           'Chi','cosh_integral','gamma','log_gamma','psi,zeta', 
           'polylog','lambert_w','elliptic_f','elliptic_e','ellipticF', 
           'elliptic_pi','exp_integral_e','log_integral'] 
 
    if debug: 
        print ("m=",m) 
        if m: 
            print ("func ", func ," is special_function") 
        else: 
            print ("func ", func ," is NOT special_function") 
 
 
    return m 
 
 
def is_hypergeometric_function(func): 
    return func.name() in ['hypergeometric','hypergeometric_M','hypergeometric_U'] 
 
def is_appell_function(func): 
    return func.name() in ['hypergeometric']   #[appellf1] can't find this in sagemath 
 
def is_atom(expn): 
 
    #debug=False 
    if debug: 
         print ("Enter is_atom, expn=",expn) 
 
    if  not hasattr(expn, 'parent'): 
        return False 
 
 
    #thanks to answer at https://ask.sagemath.org/question/49179/what-is-sagemath-equivalent-to-atomic-type-in-maple/ 
    try: 
        if expn.parent() is SR: 
            return expn.operator() is None 
        if expn.parent() in (ZZ, QQ, AA, QQbar): 
            return expn in expn.parent() # Should always return True 
        if hasattr(expn.parent(),"base_ring") and hasattr(expn.parent(),"gens"): 
            return expn in expn.parent().base_ring() or expn in expn.parent().gens() 
 
        return False 
 
    except AttributeError as error: 
        print("Exception,AttributeError in  is_atom") 
        print ("cought exception" , type(error).__name__ ) 
        return False 
 
 
def expnType(expn): 
 
    if debug: 
        print (">>>>>Enter expnType, expn=", expn) 
        print (">>>>>is_atom(expn)=", is_atom(expn)) 
 
    if is_atom(expn): 
        return 1 
    elif type(expn)==list:   #isinstance(expn,list): 
        return max(map(expnType, expn))   #apply(max,map(ExpnType,expn)) 
    elif  is_sqrt(expn): 
        if  type(expn.operands()[0])==Rational: #type(isinstance(expn.args[0],Rational): 
            return 1 
        else: 
            return max(2,expnType(expn.operands()[0]))  #max(2,expnType(expn.args[0])) 
    elif expn.operator() == operator.pow:   #isinstance(expn,Pow) 
        if type(expn.operands()[1])==Integer:  #isinstance(expn.args[1],Integer) 
            return expnType(expn.operands()[0])   #expnType(expn.args[0]) 
        elif type(expn.operands()[1])==Rational:  #isinstance(expn.args[1],Rational) 
            if type(expn.operands()[0])==Rational: #isinstance(expn.args[0],Rational) 
                return 1 
            else: 
                return max(2,expnType(expn.operands()[0]))  #max(2,expnType(expn.args[0])) 
        else: 
            return max(3,expnType(expn.operands()[0]),expnType(expn.operands()[1])) #max(3,expnType(expn.operands()[0]),expnType(expn.operands()[1])) 
    elif expn.operator() == add_vararg or expn.operator() == mul_vararg: #isinstance(expn,Add) or isinstance(expn,Mul) 
        m1 = expnType(expn.operands()[0]) #expnType(expn.args[0]) 
        m2 = expnType(expn.operands()[1:]) #expnType(list(expn.args[1:])) 
        return max(m1,m2)  #max(ExpnType(op(1,expn)),max(ExpnType(rest(expn)))) 
    elif is_elementary_function(expn.operator()):  #is_elementary_function(expn.func) 
        return max(3,expnType(expn.operands()[0])) 
    elif is_special_function(expn.operator()): #is_special_function(expn.func) 
        m1 = max(map(expnType, expn.operands()))      #max(map(expnType, list(expn.args))) 
        return max(4,m1)   #max(4,m1) 
    elif is_hypergeometric_function(expn.operator()): #is_hypergeometric_function(expn.func) 
        m1 = max(map(expnType, expn.operands()))       #max(map(expnType, list(expn.args))) 
        return max(5,m1)   #max(5,m1) 
    elif is_appell_function(expn.operator()): 
        m1 = max(map(expnType, expn.operands()))       #max(map(expnType, list(expn.args))) 
        return max(6,m1)   #max(6,m1) 
    elif str(expn).find("Integral") != -1: #this will never happen, since it 
                #is checked before calling the grading function that is passed. 
                #but kept it here. 
        m1 = max(map(expnType, expn.operands()))       #max(map(expnType, list(expn.args))) 
        return max(8,m1)   #max(5,apply(max,map(ExpnType,[op(expn)]))) 
    else: 
        return 9 
 
#main function 
def grade_antiderivative(result,optimal): 
 
 
    if debug: 
        print ("Enter grade_antiderivative for sagemath") 
        print("Enter grade_antiderivative, result=",result) 
        print("Enter grade_antiderivative, optimal=",optimal) 
        print("type(anti)=",type(result)) 
        print("type(optimal)=",type(optimal)) 
 
    leaf_count_result  = tree_size(result) #leaf_count(result) 
    leaf_count_optimal = tree_size(optimal) #leaf_count(optimal) 
 
    #if debug: print ("leaf_count_result=", leaf_count_result, "leaf_count_optimal=",leaf_count_optimal) 
 
 
    expnType_result  = expnType(result) 
    expnType_optimal = expnType(optimal) 
 
    if debug: print ("expnType_result=", expnType_result, "expnType_optimal=",expnType_optimal) 
 
    if expnType_result <= expnType_optimal: 
        if result.has(I): 
            if optimal.has(I): #both result and optimal complex 
                if leaf_count_result <= 2*leaf_count_optimal: 
                    grade = "A" 
                    grade_annotation =" " 
                else: 
                    grade = "B" 
                    grade_annotation ="Both result and optimal contain complex but leaf count of result is larger than twice the leaf count of optimal. "+str(leaf_count_result)+" vs. $2 ("+str(leaf_count_optimal)+") = "+ str(2*leaf_count_optimal)+"$." 
            else: #result contains complex but optimal is not 
                grade = "C" 
                grade_annotation ="Result contains complex when optimal does not." 
        else: # result do not contain complex, this assumes optimal do not as well 
            if leaf_count_result <= 2*leaf_count_optimal: 
                grade = "A" 
                grade_annotation =" " 
            else: 
                grade = "B" 
                grade_annotation ="Leaf count of result is larger than twice the leaf count of optimal. "+str(leaf_count_result)+" vs. $2 ("+str(leaf_count_optimal)+") = "+ str(2*leaf_count_optimal)+"$." 
    else: 
        grade = "C" 
        grade_annotation ="Result contains higher order function than in optimal. Order "+str(expnType_result)+" vs. order "+str(expnType_optimal)+"." 
 
 
    print("Before returning. grade=",grade, " grade_annotation=",grade_annotation) 
 
    return grade, grade_annotation

5.2 Listing of all Rubi rules

This section lists all \(7297\) rules for Rubi version 4.17.2 used.

1. Int[(u_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_.))^(p_.), x_Symbol] :> Int[u*(b*x^n)^p, x] /; FreeQ[{a, b, n, p}, x] && EqQ[a
   , 0]

2. Int[(u_.)*((a_.) + (b_.)*(x_)^(n_.))^(p_.), x_Symbol] :> Int[u*a^p, x] /; FreeQ[{a, b, n, p}, x] && EqQ[b, 0]

3. Int[(u_.)*((a_) + (c_.)*(x_)^(j_.) + (b_.)*(x_)^(n_.))^(p_.), x_Symbol] :> Int[u*(b*x^n + c*x^(2*n))^p, x] /;
   FreeQ[{a, b, c, n, p}, x] && EqQ[j, 2*n] && EqQ[a, 0]

4. Int[(u_.)*((a_.) + (c_.)*(x_)^(j_.) + (b_.)*(x_)^(n_.))^(p_.), x_Symbol] :> Int[u*(a + c*x^(2*n))^p, x] /; Fre
   eQ[{a, b, c, n, p}, x] && EqQ[j, 2*n] && EqQ[b, 0]

5. Int[(u_.)*((a_.) + (c_.)*(x_)^(j_.) + (b_.)*(x_)^(n_.))^(p_.), x_Symbol] :> Int[u*(a + b*x^n)^p, x] /; FreeQ[{
   a, b, c, n, p}, x] && EqQ[j, 2*n] && EqQ[c, 0]

6. Int[(u_.)*((v_.) + (a_.)*(Fx_) + (b_.)*(Fx_))^(p_.), x_Symbol] :> Int[u*(v + (a + b)*Fx)^p, x] /; FreeQ[{a, b}
   , x] &&  !FreeQ[Fx, x]

7. Int[(u_.)*(Px_)^(p_), x_Symbol] :> Int[u*Px^Simplify[p], x] /; PolyQ[Px, x] &&  !RationalQ[p] && FreeQ[p, x] &
   & RationalQ[Simplify[p]]

8. Int[(u_.)*(x_)^(m_.)*((a_.)*(x_))^(p_), x_Symbol] :> Simp[1/a^m   Int[u*(a*x)^(m + p), x], x] /; FreeQ[{a, m,
   p}, x] && IntegerQ[m]

9. Int[(u_.)*(Px_)^(p_.)*((e_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> With[{r = Expon[Px, x, Min]}, Simp[1/e^(p*r)   Int[u*(e
   *x)^(m + p*r)*ExpandToSum[Px/x^r, x]^p, x], x] /; IGtQ[r, 0]] /; FreeQ[{e, m}, x] && PolyQ[Px, x] && IntegerQ[
   p] &&  !MonomialQ[Px, x]

10. Int[(u_.)*((e_.)*(x_))^(m_.)*((a_.)*(x_)^(r_.) + (b_.)*(x_)^(s_.))^(p_.), x_Symbol] :> Simp[1/e^(p*r)   Int[u*
    (e*x)^(m + p*r)*(a + b*x^(s - r))^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, e, m, r, s}, x] && IntegerQ[p] && (IntegerQ[p*r] |
    | GtQ[e, 0]) && PosQ[s - r]

11. Int[(u_.)*((e_.)*(x_))^(m_.)*((a_.)*(x_)^(r_.) + (b_.)*(x_)^(s_.) + (c_.)*(x_)^(t_.))^(p_.), x_Symbol] :> Simp
    [1/e^(p*r)   Int[u*(e*x)^(m + p*r)*(a + b*x^(s - r) + c*x^(t - r))^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, e, m, r, s, t}
    , x] && IntegerQ[p] && (IntegerQ[p*r] || GtQ[e, 0]) && PosQ[s - r] && PosQ[t - r]

12. Int[(u_.)*((e_.)*(x_))^(m_.)*((d_.)*(x_)^(q_.) + (a_.)*(x_)^(r_.) + (b_.)*(x_)^(s_.) + (c_.)*(x_)^(t_.))^(p_.)
    , x_Symbol] :> Simp[1/e^(p*r)   Int[u*(e*x)^(m + p*r)*(a + b*x^(s - r) + c*x^(t - r) + d*x^(q - r))^p, x], x]
    /; FreeQ[{a, b, c, d, e, m, r, s, t, q}, x] && IntegerQ[p] && (IntegerQ[p*r] || GtQ[e, 0]) && PosQ[s - r] && P
    osQ[t - r] && PosQ[q - r]

13. Int[(u_.)*((v_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_.))^(mm_.)*((c_) + (d_.)*(x_)^(n2_.))^(m_.))^(p_), x_Symbol] :> Int[u*(
    v*(c^m/a^(2*m))*(a - b*x^n)^m)^p, x] /; FreeQ[{a, b, c, d, n, p}, x] && EqQ[n2, 2*n] && EqQ[b^2*c + a^2*d, 0]
    && IntegersQ[m, mm] && EqQ[m + mm, 0]

14. Int[(a_.)/(x_), x_Symbol] :> Simp[a*Log[x], x] /; FreeQ[a, x]

15. Int[(a_.)*(x_)^(m_.), x_Symbol] :> Simp[a*(x^(m + 1)/(m + 1)), x] /; FreeQ[{a, m}, x] && NeQ[m, -1]

16. Int[(c_.)/((a_.) + (b_.)*(x_)), x_Symbol] :> Simp[c*(Log[RemoveContent[a + b*x, x]]/b), x] /; FreeQ[{a, b, c},
    x]

17. Int[(c_.)*((a_.) + (b_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Simp[c*((a + b*x)^(m + 1)/(b*(m + 1))), x] /; FreeQ[{a, b,
    c, m}, x] && NeQ[m, -1]

18. Int[(c_.)*((a_.) + (b_.)*(u_))^(m_), x_Symbol] :> Simp[1/D[u, x]   Subst[Int[c*(a + b*x)^m, x], x, u], x] /; F
    reeQ[{a, b, c, m}, x] && LinearQ[u, x] && NeQ[u, x]

19. Int[((a_.)/(x_))^(p_), x_Symbol] :> Simp[(-a)*((a/x)^(p - 1)/(p - 1)), x] /; FreeQ[{a, p}, x] &&  !IntegerQ[p]

20. Int[((a_.)*(x_)^(n_))^(p_), x_Symbol] :> Simp[(a*x^n)^p/x^(n*p)   Int[x^(n*p), x], x] /; FreeQ[{a, n, p}, x] &
    &  !IntegerQ[p]

21. Int[(x_)^(m_.)*((a_.)*(x_)^(n_))^(p_), x_Symbol] :> Simp[1/(n*a^(Simplify[(m + 1)/n] - 1))   Subst[Int[(a*x)^(
    Simplify[(m + 1)/n] + p - 1), x], x, x^n], x] /; FreeQ[{a, m, n, p}, x] && IntegerQ[Simplify[(m + 1)/n]]

22. Int[(x_)^(m_.)*((a_.)*(x_)^(n_.))^(p_), x_Symbol] :> Simp[1/a^(m/n)   Int[(a*x^n)^(p + m/n), x], x] /; FreeQ[{
    a, m, n, p}, x] && IntegerQ[m/n] && LtQ[p*(m/n), 0]

23. Int[(x_)^(m_.)*((a_.)*(x_)^(n_.))^(p_), x_Symbol] :> Simp[(a*x^n)^p/x^(n*p)   Int[x^(m + n*p), x], x] /; FreeQ
    [{a, m, n, p}, x]

24. Int[a_, x_Symbol] :> Simp[a*x, x] /; FreeQ[a, x]

25. Int[-(Fx_), x_Symbol] :> Simp[Identity[-1]   Int[Fx, x], x]

26. Int[(Complex[0, a_])*(Fx_), x_Symbol] :> Simp[(Complex[Identity[0], a])   Int[Fx, x], x] /; FreeQ[a, x] && EqQ
    [a^2, 1]

27. Int[(a_)*(Fx_), x_Symbol] :> Simp[a   Int[Fx, x], x] /; FreeQ[a, x] &&  !MatchQ[Fx, (b_)*(Gx_) /; FreeQ[b, x]]

28. Int[(u_.)*((a_.)*(x_))^(m_.)*((b_.)*(x_)^(i_.))^(p_.)*((c_.)*(x_)^(j_.))^(q_.)*((d_.)*(x_)^(k_.))^(r_.), x_Sym
    bol] :> Simp[(b*x^i)^p*(c*x^j)^q*((d*x^k)^r/(a*x)^(i*p + j*q + k*r))   Int[u*(a*x)^(m + i*p + j*q + k*r), x],
    x] /; FreeQ[{a, b, c, d, i, j, k, m, p, q, r}, x]

29. Int[(u_.)*((a_.)*(x_))^(m_.)*((b_.)*(x_)^(i_.))^(p_.)*((c_.)*(x_)^(j_.))^(q_.), x_Symbol] :> Simp[(b*x^i)^p*((
    c*x^j)^q/(a*x)^(i*p + j*q))   Int[u*(a*x)^(m + i*p + j*q), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, i, j, m, p, q}, x]

30. Int[(u_.)*((a_.)*(x_))^(m_.)*((b_.)*(x_)^(i_.))^(p_), x_Symbol] :> Simp[b^IntPart[p]*((b*x^i)^FracPart[p]/(a^(
    i*IntPart[p])*(a*x)^(i*FracPart[p])))   Int[u*(a*x)^(m + i*p), x], x] /; FreeQ[{a, b, i, m, p}, x] && IntegerQ
    [i] &&  !IntegerQ[p]

31. Int[(u_.)*((a_.)*(x_))^(m_.)*((b_.)*(x_)^(i_.))^(p_), x_Symbol] :> Simp[(b*x^i)^p/(a*x)^(i*p)   Int[u*(a*x)^(m
    + i*p), x], x] /; FreeQ[{a, b, i, m, p}, x] &&  !IntegerQ[p]

32. Int[(u_.)*((c_.)*(x_)^(k_))^(r_.)*((a_.)*(x_)^(m_))^(p_.)*((b_.)*(x_)^(n_))^(q_.), x_Symbol] :> Simp[(a*x^m)^p
    *(b*x^n)^q*((c*x^k)^r/x^(m*p + n*q + k*r))   Int[u*x^(m*p + n*q + k*r), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, m, n, k, p,
    q, r}, x]

33. Int[(u_.)*((a_.)*(x_)^(m_))^(p_.)*((b_.)*(x_)^(n_))^(q_.), x_Symbol] :> Simp[a^IntPart[p]*b^IntPart[q]*(a*x^m)
    ^FracPart[p]*((b*x^n)^FracPart[q]/x^(m*FracPart[p] + n*FracPart[q]))   Int[u*x^(m*p + n*q), x], x] /; FreeQ[{a
    , b, m, n, p, q}, x]

34. Int[(u_.)*((a_.)*(x_)^(m_))^(p_), x_Symbol] :> Simp[a^IntPart[p]*((a*x^m)^FracPart[p]/x^(m*FracPart[p]))   Int
    [u*x^(m*p), x], x] /; FreeQ[{a, m, p}, x] &&  !IntegerQ[p]

35. Int[(u_.)*((a_) + (b_.)*(x_))^(m_.)*((c_) + (d_.)*(x_))^(n_.), x_Symbol] :> Simp[(b/d)^m   Int[u*(c + d*x)^(m
    + n), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, m, n}, x] && EqQ[b*c - a*d, 0] && IntegerQ[m] &&  !(IntegerQ[n] && SimplerQ
    [a + b*x, c + d*x])

36. Int[(u_.)*((a_) + (b_.)*(x_))^(m_)*((c_) + (d_.)*(x_))^(n_), x_Symbol] :> Simp[(b/d)^m   Int[u*(c + d*x)^(m +
    n), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, m, n}, x] && EqQ[b*c - a*d, 0] && GtQ[b/d, 0] &&  !SimplerQ[a + b*x, c + d*x]

37. Int[(u_.)*((a_) + (b_.)*(x_))^(m_)*((c_) + (d_.)*(x_))^(n_), x_Symbol] :> Simp[(a + b*x)^m/(c + d*x)^m   Int[u
    *(c + d*x)^(m + n), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, m, n}, x] && EqQ[b*c - a*d, 0] &&  !SimplerQ[a + b*x, c + d*x
    ]

38. Int[((a_) + (b_.)*(x_))^(m_.)*((c_) + (d_.)*(x_)), x_Symbol] :> Simp[d*x*((a + b*x)^(m + 1)/(b*(m + 2))), x] /
    ; FreeQ[{a, b, c, d, m}, x] && EqQ[a*d - b*c*(m + 2), 0]

39. Int[((a_) + (b_.)*(x_))^(m_.)*((c_) + (d_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Int[(a*c + b*d*x^2)^m, x] /; FreeQ[{a, b
    , c, d, m}, x] && EqQ[b*c + a*d, 0] && (IntegerQ[m] || (GtQ[a, 0] && GtQ[c, 0]))

40. Int[((a_) + (b_.)*(x_))^(m_)*((c_) + (d_.)*(x_))^(m_), x_Symbol] :> Simp[x*(a + b*x)^m*((c + d*x)^m/(2*m + 1))
    , x] + Simp[2*a*c*(m/(2*m + 1))   Int[(a + b*x)^(m - 1)*(c + d*x)^(m - 1), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] &&
    EqQ[b*c + a*d, 0] && IGtQ[m + 1/2, 0]

41. Int[1/(((a_) + (b_.)*(x_))^(3/2)*((c_) + (d_.)*(x_))^(3/2)), x_Symbol] :> Simp[x/(a*c*Sqrt[a + b*x]*Sqrt[c + d
    *x]), x] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && EqQ[b*c + a*d, 0]

42. Int[((a_) + (b_.)*(x_))^(m_)*((c_) + (d_.)*(x_))^(m_), x_Symbol] :> Simp[(-x)*(a + b*x)^(m + 1)*((c + d*x)^(m
    + 1)/(2*a*c*(m + 1))), x] + Simp[(2*m + 3)/(2*a*c*(m + 1))   Int[(a + b*x)^(m + 1)*(c + d*x)^(m + 1), x], x] /
    ; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && EqQ[b*c + a*d, 0] && ILtQ[m + 3/2, 0]

43. Int[1/(Sqrt[(a_) + (b_.)*(x_)]*Sqrt[(c_) + (d_.)*(x_)]), x_Symbol] :> Simp[ArcCosh[b*(x/a)]/(b*Sqrt[d/b]), x]
    /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && EqQ[b*c + a*d, 0] && GtQ[a, 0] && GtQ[d/b, 0]

44. Int[1/(Sqrt[(a_) + (b_.)*(x_)]*Sqrt[(c_) + (d_.)*(x_)]), x_Symbol] :> Simp[2/(b*Sqrt[c])   Subst[Int[1/Sqrt[2
    - x^2/a], x], x, Sqrt[a + b*x]], x] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && EqQ[b*c + a*d, 0] && GtQ[c, 0]

45. Int[1/(Sqrt[(a_) + (b_.)*(x_)]*Sqrt[(c_) + (d_.)*(x_)]), x_Symbol] :> Simp[2   Subst[Int[1/(b - d*x^2), x], x,
    Sqrt[a + b*x]/Sqrt[c + d*x]], x] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && EqQ[b*c + a*d, 0] &&  !GtQ[c, 0]

46. Int[((a_) + (b_.)*(x_))^(m_)*((c_) + (d_.)*(x_))^(m_), x_Symbol] :> Simp[(a + b*x)^FracPart[m]*((c + d*x)^Frac
    Part[m]/(a*c + b*d*x^2)^FracPart[m])   Int[(a*c + b*d*x^2)^m, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, m}, x] && EqQ[b*c +
    a*d, 0] &&  !IntegerQ[2*m]

47. Int[1/(((a_.) + (b_.)*(x_))*((c_.) + (d_.)*(x_))), x_Symbol] :> Simp[b/(b*c - a*d)   Int[1/(a + b*x), x], x] -
    Simp[d/(b*c - a*d)   Int[1/(c + d*x), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x]

48. Int[((a_.) + (b_.)*(x_))^(m_.)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(n_), x_Symbol] :> Simp[(a + b*x)^(m + 1)*((c + d*x)^(n +
    1)/((b*c - a*d)*(m + 1))), x] /; FreeQ[{a, b, c, d, m, n}, x] && EqQ[m + n + 2, 0] && NeQ[m, -1]

49. Int[((a_.) + (b_.)*(x_))^(m_.)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(n_.), x_Symbol] :> Int[ExpandIntegrand[(a + b*x)^m*(c + d
    *x)^n, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && IGtQ[m, 0] && IGtQ[m + n + 2, 0]

50. Int[((a_) + (b_.)*(x_))^(m_)*((c_) + (d_.)*(x_))^(n_), x_Symbol] :> Simp[(a*c + b*d*x^2)^m/(2*d*m), x] + Simp[
    a   Int[(a*c + b*d*x^2)^n, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, m, n}, x] && EqQ[b*c + a*d, 0] && EqQ[m - n, 1] && GtQ
    [m, 0] && (IntegerQ[m] || (GtQ[a, 0] && GtQ[c, 0]))

51. Int[((a_.) + (b_.)*(x_))^(m_)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(n_), x_Symbol] :> Simp[(a + b*x)^(m + 1)*((c + d*x)^n/(b*(
    m + 1))), x] - Simp[d*(n/(b*(m + 1)))   Int[(a + b*x)^(m + 1)*(c + d*x)^(n - 1), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d,
    n}, x] && ILtQ[m, -1] && FractionQ[n] && GtQ[n, 0]

52. Int[((a_.) + (b_.)*(x_))^(m_)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(n_), x_Symbol] :> Simp[(a + b*x)^(m + 1)*((c + d*x)^(n + 1
    )/((b*c - a*d)*(m + 1))), x] - Simp[d*((m + n + 2)/((b*c - a*d)*(m + 1)))   Int[(a + b*x)^(m + 1)*(c + d*x)^n,
    x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, n}, x] && ILtQ[m, -1] && FractionQ[n] && LtQ[n, 0]

53. Int[((a_.) + (b_.)*(x_))^(m_.)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(n_.), x_Symbol] :> Int[ExpandIntegrand[(a + b*x)^m*(c + d
    *x)^n, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, n}, x] && IGtQ[m, 0] && ( !IntegerQ[n] || (EqQ[c, 0] && LeQ[7*m + 4*n + 4,
    0]) || LtQ[9*m + 5*(n + 1), 0] || GtQ[m + n + 2, 0])

54. Int[((a_) + (b_.)*(x_))^(m_)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(n_.), x_Symbol] :> Int[ExpandIntegrand[(a + b*x)^m*(c + d*x
    )^n, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && ILtQ[m, 0] && IntegerQ[n] &&  !(IGtQ[n, 0] && LtQ[m + n + 2, 0])

55. Int[((a_.) + (b_.)*(x_))^(m_)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(n_), x_Symbol] :> Simp[(a + b*x)^(m + 1)*((c + d*x)^(n + 1
    )/((b*c - a*d)*(m + 1))), x] - Simp[d*(Simplify[m + n + 2]/((b*c - a*d)*(m + 1)))   Int[(a + b*x)^Simplify[m +
    1]*(c + d*x)^n, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, m, n}, x] && ILtQ[Simplify[m + n + 2], 0] && NeQ[m, -1] &&  !(Lt
    Q[m, -1] && LtQ[n, -1] && (EqQ[a, 0] || (NeQ[c, 0] && LtQ[m - n, 0] && IntegerQ[n]))) && (SumSimplerQ[m, 1] ||
    !SumSimplerQ[n, 1])

56. Int[1/(((a_) + (b_.)*(x_))^(9/4)*((c_) + (d_.)*(x_))^(1/4)), x_Symbol] :> Simp[-4/(5*b*(a + b*x)^(5/4)*(c + d*
    x)^(1/4)), x] - Simp[d/(5*b)   Int[1/((a + b*x)^(5/4)*(c + d*x)^(5/4)), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && Eq
    Q[b*c + a*d, 0] && NegQ[a^2*b^2]

57. Int[((a_.) + (b_.)*(x_))^(m_)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(n_), x_Symbol] :> Simp[(a + b*x)^(m + 1)*((c + d*x)^n/(b*(
    m + 1))), x] - Simp[d*(n/(b*(m + 1)))   Int[(a + b*x)^(m + 1)*(c + d*x)^(n - 1), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d},
    x] && GtQ[n, 0] && LtQ[m, -1] &&  !(IntegerQ[n] &&  !IntegerQ[m]) &&  !(ILeQ[m + n + 2, 0] && (FractionQ[m] |
    | GeQ[2*n + m + 1, 0])) && IntLinearQ[a, b, c, d, m, n, x]

58. Int[1/(((a_) + (b_.)*(x_))^(5/4)*((c_) + (d_.)*(x_))^(1/4)), x_Symbol] :> Simp[-2/(b*(a + b*x)^(1/4)*(c + d*x)
    ^(1/4)), x] + Simp[c   Int[1/((a + b*x)^(5/4)*(c + d*x)^(5/4)), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && EqQ[b*c +
    a*d, 0] && NegQ[a^2*b^2]

59. Int[((a_) + (b_.)*(x_))^(m_)*((c_) + (d_.)*(x_))^(n_), x_Symbol] :> Simp[(a + b*x)^(m + 1)*((c + d*x)^n/(b*(m
    + n + 1))), x] + Simp[2*c*(n/(m + n + 1))   Int[(a + b*x)^m*(c + d*x)^(n - 1), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x
    ] && EqQ[b*c + a*d, 0] && IGtQ[m + 1/2, 0] && IGtQ[n + 1/2, 0] && LtQ[m, n]

60. Int[((a_.) + (b_.)*(x_))^(m_)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(n_), x_Symbol] :> Simp[(a + b*x)^(m + 1)*((c + d*x)^n/(b*(
    m + n + 1))), x] + Simp[n*((b*c - a*d)/(b*(m + n + 1)))   Int[(a + b*x)^m*(c + d*x)^(n - 1), x], x] /; FreeQ[{
    a, b, c, d}, x] && GtQ[n, 0] && NeQ[m + n + 1, 0] &&  !(IGtQ[m, 0] && ( !IntegerQ[n] || (GtQ[m, 0] && LtQ[m -
    n, 0]))) &&  !ILtQ[m + n + 2, 0] && IntLinearQ[a, b, c, d, m, n, x]

61. Int[((a_.) + (b_.)*(x_))^(m_)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(n_), x_Symbol] :> Simp[(a + b*x)^(m + 1)*((c + d*x)^(n + 1
    )/((b*c - a*d)*(m + 1))), x] - Simp[d*((m + n + 2)/((b*c - a*d)*(m + 1)))   Int[(a + b*x)^(m + 1)*(c + d*x)^n,
    x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, n}, x] && LtQ[m, -1] &&  !(LtQ[n, -1] && (EqQ[a, 0] || (NeQ[c, 0] && LtQ[m - n,
    0] && IntegerQ[n]))) && IntLinearQ[a, b, c, d, m, n, x]

62. Int[1/(Sqrt[(a_.) + (b_.)*(x_)]*Sqrt[(c_) + (d_.)*(x_)]), x_Symbol] :> Int[1/Sqrt[a*c - b*(a - c)*x - b^2*x^2]
    , x] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && EqQ[b + d, 0] && GtQ[a + c, 0]

63. Int[1/(Sqrt[(b_.)*(x_)]*Sqrt[(c_) + (d_.)*(x_)]), x_Symbol] :> Simp[2/b   Subst[Int[1/Sqrt[c + d*(x^2/b)], x],
    x, Sqrt[b*x]], x] /; FreeQ[{b, c, d}, x] && GtQ[c, 0]

64. Int[1/(Sqrt[(a_) + (b_.)*(x_)]*Sqrt[(c_.) + (d_.)*(x_)]), x_Symbol] :> Simp[2/b   Subst[Int[1/Sqrt[c - a*(d/b)
    + d*(x^2/b)], x], x, Sqrt[a + b*x]], x] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && GtQ[c - a*(d/b), 0] && ( !GtQ[a - c*(b/d
    ), 0] || PosQ[b])

65. Int[1/(Sqrt[(b_.)*(x_)]*Sqrt[(c_) + (d_.)*(x_)]), x_Symbol] :> Simp[2   Subst[Int[1/(b - d*x^2), x], x, Sqrt[b
    *x]/Sqrt[c + d*x]], x] /; FreeQ[{b, c, d}, x] &&  !GtQ[c, 0]

66. Int[1/(Sqrt[(a_) + (b_.)*(x_)]*Sqrt[(c_) + (d_.)*(x_)]), x_Symbol] :> Simp[2   Subst[Int[1/(b - d*x^2), x], x,
    Sqrt[a + b*x]/Sqrt[c + d*x]], x] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] &&  !GtQ[c - a*(d/b), 0]

67. Int[1/(((a_.) + (b_.)*(x_))*((c_.) + (d_.)*(x_))^(1/3)), x_Symbol] :> With[{q = Rt[(b*c - a*d)/b, 3]}, Simp[-L
    og[RemoveContent[a + b*x, x]]/(2*b*q), x] + (Simp[3/(2*b)   Subst[Int[1/(q^2 + q*x + x^2), x], x, (c + d*x)^(1
    /3)], x] - Simp[3/(2*b*q)   Subst[Int[1/(q - x), x], x, (c + d*x)^(1/3)], x])] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && Po
    sQ[(b*c - a*d)/b]

68. Int[1/(((a_.) + (b_.)*(x_))*((c_.) + (d_.)*(x_))^(1/3)), x_Symbol] :> With[{q = Rt[-(b*c - a*d)/b, 3]}, Simp[L
    og[RemoveContent[a + b*x, x]]/(2*b*q), x] + (Simp[3/(2*b)   Subst[Int[1/(q^2 - q*x + x^2), x], x, (c + d*x)^(1
    /3)], x] - Simp[3/(2*b*q)   Subst[Int[1/(q + x), x], x, (c + d*x)^(1/3)], x])] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && Ne
    gQ[(b*c - a*d)/b]

69. Int[1/(((a_.) + (b_.)*(x_))*((c_.) + (d_.)*(x_))^(2/3)), x_Symbol] :> With[{q = Rt[(b*c - a*d)/b, 3]}, Simp[-L
    og[RemoveContent[a + b*x, x]]/(2*b*q^2), x] + (-Simp[3/(2*b*q)   Subst[Int[1/(q^2 + q*x + x^2), x], x, (c + d*
    x)^(1/3)], x] - Simp[3/(2*b*q^2)   Subst[Int[1/(q - x), x], x, (c + d*x)^(1/3)], x])] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x
    ] && PosQ[(b*c - a*d)/b]

70. Int[1/(((a_.) + (b_.)*(x_))*((c_.) + (d_.)*(x_))^(2/3)), x_Symbol] :> With[{q = Rt[-(b*c - a*d)/b, 3]}, Simp[-
    Log[RemoveContent[a + b*x, x]]/(2*b*q^2), x] + (Simp[3/(2*b*q)   Subst[Int[1/(q^2 - q*x + x^2), x], x, (c + d*
    x)^(1/3)], x] + Simp[3/(2*b*q^2)   Subst[Int[1/(q + x), x], x, (c + d*x)^(1/3)], x])] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x
    ] && NegQ[(b*c - a*d)/b]

71. Int[1/(((a_.) + (b_.)*(x_))^(1/3)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(2/3)), x_Symbol] :> With[{q = Rt[d/b, 3]}, Simp[(-Sqrt
    [3])*(q/d)*ArcTan[2*q*((a + b*x)^(1/3)/(Sqrt[3]*(c + d*x)^(1/3))) + 1/Sqrt[3]], x] + (-Simp[3*(q/(2*d))*Log[q*
    ((a + b*x)^(1/3)/(c + d*x)^(1/3)) - 1], x] - Simp[(q/(2*d))*Log[c + d*x], x])] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && Po
    sQ[d/b]

72. Int[1/(((a_.) + (b_.)*(x_))^(1/3)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(2/3)), x_Symbol] :> With[{q = Rt[-d/b, 3]}, Simp[Sqrt[
    3]*(q/d)*ArcTan[1/Sqrt[3] - 2*q*((a + b*x)^(1/3)/(Sqrt[3]*(c + d*x)^(1/3)))], x] + (Simp[3*(q/(2*d))*Log[q*((a
    + b*x)^(1/3)/(c + d*x)^(1/3)) + 1], x] + Simp[(q/(2*d))*Log[c + d*x], x])] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && NegQ[
    d/b]

73. Int[((a_.) + (b_.)*(x_))^(m_)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(n_), x_Symbol] :> With[{p = Denominator[m]}, Simp[p/b   Su
    bst[Int[x^(p*(m + 1) - 1)*(c - a*(d/b) + d*(x^p/b))^n, x], x, (a + b*x)^(1/p)], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x]
    && LtQ[-1, m, 0] && LeQ[-1, n, 0] && LeQ[Denominator[n], Denominator[m]] && IntLinearQ[a, b, c, d, m, n, x]

74. Int[((b_.)*(x_))^(m_)*((c_) + (d_.)*(x_))^(n_), x_Symbol] :> Simp[c^n*((b*x)^(m + 1)/(b*(m + 1)))*Hypergeometr
    ic2F1[-n, m + 1, m + 2, (-d)*(x/c)], x] /; FreeQ[{b, c, d, m, n}, x] &&  !IntegerQ[m] && (IntegerQ[n] || (GtQ[
    c, 0] &&  !(EqQ[n, -2^(-1)] && EqQ[c^2 - d^2, 0] && GtQ[-d/(b*c), 0])))

75. Int[((b_.)*(x_))^(m_)*((c_) + (d_.)*(x_))^(n_), x_Symbol] :> Simp[((c + d*x)^(n + 1)/(d*(n + 1)*(-d/(b*c))^m))
    *Hypergeometric2F1[-m, n + 1, n + 2, 1 + d*(x/c)], x] /; FreeQ[{b, c, d, m, n}, x] &&  !IntegerQ[n] && (Intege
    rQ[m] || GtQ[-d/(b*c), 0])

76. Int[((b_.)*(x_))^(m_)*((c_) + (d_.)*(x_))^(n_), x_Symbol] :> Simp[c^IntPart[n]*((c + d*x)^FracPart[n]/(1 + d*(
    x/c))^FracPart[n])   Int[(b*x)^m*(1 + d*(x/c))^n, x], x] /; FreeQ[{b, c, d, m, n}, x] &&  !IntegerQ[m] &&  !In
    tegerQ[n] &&  !GtQ[c, 0] &&  !GtQ[-d/(b*c), 0] && ((RationalQ[m] &&  !(EqQ[n, -2^(-1)] && EqQ[c^2 - d^2, 0]))
    ||  !RationalQ[n])

77. Int[((b_.)*(x_))^(m_)*((c_) + (d_.)*(x_))^(n_), x_Symbol] :> Simp[((-b)*(c/d))^IntPart[m]*((b*x)^FracPart[m]/(
    (-d)*(x/c))^FracPart[m])   Int[((-d)*(x/c))^m*(c + d*x)^n, x], x] /; FreeQ[{b, c, d, m, n}, x] &&  !IntegerQ[m
    ] &&  !IntegerQ[n] &&  !GtQ[c, 0] &&  !GtQ[-d/(b*c), 0]

78. Int[((a_) + (b_.)*(x_))^(m_)*((c_) + (d_.)*(x_))^(n_), x_Symbol] :> Simp[(b*c - a*d)^n*((a + b*x)^(m + 1)/(b^(
    n + 1)*(m + 1)))*Hypergeometric2F1[-n, m + 1, m + 2, (-d)*((a + b*x)/(b*c - a*d))], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, m
    }, x] &&  !IntegerQ[m] && IntegerQ[n]

79. Int[((a_) + (b_.)*(x_))^(m_)*((c_) + (d_.)*(x_))^(n_), x_Symbol] :> Simp[((a + b*x)^(m + 1)/(b*(m + 1)*(b/(b*c
    - a*d))^n))*Hypergeometric2F1[-n, m + 1, m + 2, (-d)*((a + b*x)/(b*c - a*d))], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, m, n}
    , x] &&  !IntegerQ[m] &&  !IntegerQ[n] && GtQ[b/(b*c - a*d), 0] && (RationalQ[m] ||  !(RationalQ[n] && GtQ[-d/
    (b*c - a*d), 0]))

80. Int[((a_) + (b_.)*(x_))^(m_)*((c_) + (d_.)*(x_))^(n_), x_Symbol] :> Simp[(c + d*x)^FracPart[n]/((b/(b*c - a*d)
    )^IntPart[n]*(b*((c + d*x)/(b*c - a*d)))^FracPart[n])   Int[(a + b*x)^m*Simp[b*(c/(b*c - a*d)) + b*d*(x/(b*c -
    a*d)), x]^n, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, m, n}, x] &&  !IntegerQ[m] &&  !IntegerQ[n] && (RationalQ[m] ||  !S
    implerQ[n + 1, m + 1])

81. Int[((a_.) + (b_.)*(u_))^(m_.)*((c_.) + (d_.)*(u_))^(n_.), x_Symbol] :> Simp[1/Coefficient[u, x, 1]   Subst[In
    t[(a + b*x)^m*(c + d*x)^n, x], x, u], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, m, n}, x] && LinearQ[u, x] && NeQ[Coefficient[u
    , x, 0], 0]

82. Int[((a_) + (b_.)*(x_))^(m_.)*((c_) + (d_.)*(x_))^(n_.)*((e_.) + (f_.)*(x_))^(p_.), x_] :> Int[(a*c + b*d*x^2)
    ^m*(e + f*x)^p, x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m, n, p}, x] && EqQ[b*c + a*d, 0] && EqQ[n, m] && IntegerQ[m]

83. Int[((a_.) + (b_.)*(x_))*((c_.) + (d_.)*(x_))^(n_.)*((e_.) + (f_.)*(x_))^(p_.), x_] :> Simp[b*(c + d*x)^(n + 1
    )*((e + f*x)^(p + 1)/(d*f*(n + p + 2))), x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, n, p}, x] && NeQ[n + p + 2, 0] && EqQ[
    a*d*f*(n + p + 2) - b*(d*e*(n + 1) + c*f*(p + 1)), 0]

84. Int[((d_.)*(x_))^(n_.)*((a_) + (b_.)*(x_))*((e_) + (f_.)*(x_))^(p_.), x_] :> Int[ExpandIntegrand[(a + b*x)*(d*
    x)^n*(e + f*x)^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, d, e, f, n}, x] && IGtQ[p, 0] && EqQ[b*e + a*f, 0] &&  !(ILtQ[n + p +
    2, 0] && GtQ[n + 2*p, 0])

85. Int[((d_.)*(x_))^(n_.)*((a_) + (b_.)*(x_))*((e_) + (f_.)*(x_))^(p_.), x_] :> Int[ExpandIntegrand[(a + b*x)*(d*
    x)^n*(e + f*x)^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, d, e, f, n}, x] && IGtQ[p, 0] && (NeQ[n, -1] || EqQ[p, 1]) && NeQ[b*e
    + a*f, 0] && ( !IntegerQ[n] || LtQ[9*p + 5*n, 0] || GeQ[n + p + 1, 0] || (GeQ[n + p + 2, 0] && RationalQ[a, b
    , d, e, f])) && (NeQ[n + p + 3, 0] || EqQ[p, 1])

86. Int[((a_.) + (b_.)*(x_))*((c_) + (d_.)*(x_))^(n_.)*((e_.) + (f_.)*(x_))^(p_.), x_] :> Int[ExpandIntegrand[(a +
    b*x)*(c + d*x)^n*(e + f*x)^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, n}, x] && ((ILtQ[n, 0] && ILtQ[p, 0]) || EqQ
    [p, 1] || (IGtQ[p, 0] && ( !IntegerQ[n] || LeQ[9*p + 5*(n + 2), 0] || GeQ[n + p + 1, 0] || (GeQ[n + p + 2, 0]
    && RationalQ[a, b, c, d, e, f]))))

87. Int[((a_.) + (b_.)*(x_))*((c_.) + (d_.)*(x_))^(n_.)*((e_.) + (f_.)*(x_))^(p_.), x_] :> Simp[(-(b*e - a*f))*(c
    + d*x)^(n + 1)*((e + f*x)^(p + 1)/(f*(p + 1)*(c*f - d*e))), x] - Simp[(a*d*f*(n + p + 2) - b*(d*e*(n + 1) + c*
    f*(p + 1)))/(f*(p + 1)*(c*f - d*e))   Int[(c + d*x)^n*(e + f*x)^(p + 1), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, n}
    , x] && LtQ[p, -1] && ( !LtQ[n, -1] || IntegerQ[p] ||  !(IntegerQ[n] ||  !(EqQ[e, 0] ||  !(EqQ[c, 0] || LtQ[p,
    n]))))

88. Int[((a_.) + (b_.)*(x_))*((c_.) + (d_.)*(x_))^(n_.)*((e_.) + (f_.)*(x_))^(p_.), x_] :> Simp[(-(b*e - a*f))*(c
    + d*x)^(n + 1)*((e + f*x)^(p + 1)/(f*(p + 1)*(c*f - d*e))), x] - Simp[(a*d*f*(n + p + 2) - b*(d*e*(n + 1) + c*
    f*(p + 1)))/(f*(p + 1)*(c*f - d*e))   Int[(c + d*x)^n*(e + f*x)^Simplify[p + 1], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d,
    e, f, n, p}, x] &&  !RationalQ[p] && SumSimplerQ[p, 1]

89. Int[(((a_.) + (b_.)*(x_))*Sqrt[(c_) + (d_.)*(x_)])/Sqrt[(e_) + (f_.)*(x_)], x_] :> Simp[Sqrt[c*e]*(b*f*x - 2*(
    b*e - a*f))*(Sqrt[e^2 - f^2*x^2]/(2*e*f^2)), x] - Simp[Sqrt[c*e]*(b*e - 2*a*f)*(ArcSin[f*(x/e)]/(2*f^2)), x] /
    ; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && EqQ[d*e + c*f, 0] && GtQ[c, 0] && GtQ[e, 0]

90. Int[((a_.) + (b_.)*(x_))*((c_.) + (d_.)*(x_))^(n_.)*((e_.) + (f_.)*(x_))^(p_.), x_] :> Simp[b*(c + d*x)^(n + 1
    )*((e + f*x)^(p + 1)/(d*f*(n + p + 2))), x] + Simp[(a*d*f*(n + p + 2) - b*(d*e*(n + 1) + c*f*(p + 1)))/(d*f*(n
    + p + 2))   Int[(c + d*x)^n*(e + f*x)^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, n, p}, x] && NeQ[n + p + 2, 0]

91. Int[((a_.) + (b_.)*(x_))^2*((c_.) + (d_.)*(x_))^(n_)*((e_.) + (f_.)*(x_))^(p_), x_] :> Simp[b*(c + d*x)^(n + 1
    )*(e + f*x)^(p + 1)*((2*a*d*f*(n + p + 3) - b*(d*e*(n + 2) + c*f*(p + 2)) + b*d*f*(n + p + 2)*x)/(d^2*f^2*(n +
    p + 2)*(n + p + 3))), x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, n, p}, x] && NeQ[n + p + 2, 0] && NeQ[n + p + 3, 0] && E
    qQ[d*f*(n + p + 2)*(a^2*d*f*(n + p + 3) - b*(b*c*e + a*(d*e*(n + 1) + c*f*(p + 1)))) - b*(d*e*(n + 1) + c*f*(p
    + 1))*(a*d*f*(n + p + 4) - b*(d*e*(n + 2) + c*f*(p + 2))), 0]

92. Int[((f_.)*(x_))^(p_)*((a_.) + (b_.)*(x_))^(m_)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(n_), x_] :> Simp[a   Int[(a + b*x)^n*(c
    + d*x)^n*(f*x)^p, x], x] + Simp[b/f   Int[(a + b*x)^n*(c + d*x)^n*(f*x)^(p + 1), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d,
    f, m, n, p}, x] && EqQ[b*c + a*d, 0] && EqQ[m - n - 1, 0] &&  !RationalQ[p] &&  !IGtQ[m, 0] && NeQ[m + n + p +
    2, 0]

93. Int[((e_.) + (f_.)*(x_))^(p_)/(((a_.) + (b_.)*(x_))*((c_.) + (d_.)*(x_))), x_] :> Int[ExpandIntegrand[(e + f*x
    )^p/((a + b*x)*(c + d*x)), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && IntegerQ[p]

94. Int[((e_.) + (f_.)*(x_))^(p_)/(((a_.) + (b_.)*(x_))*((c_.) + (d_.)*(x_))), x_] :> Simp[(b*e - a*f)/(b*c - a*d)
    Int[(e + f*x)^(p - 1)/(a + b*x), x], x] - Simp[(d*e - c*f)/(b*c - a*d)   Int[(e + f*x)^(p - 1)/(c + d*x), x
    ], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && LtQ[0, p, 1]

95. Int[((e_.) + (f_.)*(x_))^(p_)/(((a_.) + (b_.)*(x_))*((c_.) + (d_.)*(x_))), x_] :> Simp[f*((e + f*x)^(p - 1)/(b
    *d*(p - 1))), x] + Simp[1/(b*d)   Int[(b*d*e^2 - a*c*f^2 + f*(2*b*d*e - b*c*f - a*d*f)*x)*((e + f*x)^(p - 2)/(
    (a + b*x)*(c + d*x))), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && GtQ[p, 1]

96. Int[((e_.) + (f_.)*(x_))^(p_)/(((a_.) + (b_.)*(x_))*((c_.) + (d_.)*(x_))), x_] :> Simp[f*((e + f*x)^(p + 1)/((
    p + 1)*(b*e - a*f)*(d*e - c*f))), x] + Simp[1/((b*e - a*f)*(d*e - c*f))   Int[(b*d*e - b*c*f - a*d*f - b*d*f*x
    )*((e + f*x)^(p + 1)/((a + b*x)*(c + d*x))), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && LtQ[p, -1]

97. Int[((e_.) + (f_.)*(x_))^(p_)/(((a_.) + (b_.)*(x_))*((c_.) + (d_.)*(x_))), x_] :> Simp[b/(b*c - a*d)   Int[(e
    + f*x)^p/(a + b*x), x], x] - Simp[d/(b*c - a*d)   Int[(e + f*x)^p/(c + d*x), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f
    , p}, x] &&  !IntegerQ[p]

98. Int[(((c_.) + (d_.)*(x_))^(n_)*((e_.) + (f_.)*(x_))^(p_))/((a_.) + (b_.)*(x_)), x_] :> Int[ExpandIntegrand[(e
    + f*x)^FractionalPart[p], (c + d*x)^n*((e + f*x)^IntegerPart[p]/(a + b*x)), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}
    , x] && IGtQ[n, 0] && LtQ[p, -1] && FractionQ[p]

99. Int[((a_.) + (b_.)*(x_))^(m_)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(n_)*((e_.) + (f_.)*(x_))^(p_), x_] :> Int[ExpandIntegrand[
    (a + b*x)^m*(c + d*x)^n*(e + f*x)^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, p}, x] && IntegersQ[m, n] && (IntegerQ
    [p] || (GtQ[m, 0] && GeQ[n, -1]))

100. Int[((a_.) + (b_.)*(x_))^2*((c_.) + (d_.)*(x_))^(n_)*((e_.) + (f_.)*(x_))^(p_), x_] :> Simp[(b*c - a*d)^2*(c +
     d*x)^(n + 1)*((e + f*x)^(p + 1)/(d^2*(d*e - c*f)*(n + 1))), x] - Simp[1/(d^2*(d*e - c*f)*(n + 1))   Int[(c +
     d*x)^(n + 1)*(e + f*x)^p*Simp[a^2*d^2*f*(n + p + 2) + b^2*c*(d*e*(n + 1) + c*f*(p + 1)) - 2*a*b*d*(d*e*(n + 1)
     + c*f*(p + 1)) - b^2*d*(d*e - c*f)*(n + 1)*x, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, n, p}, x] && (LtQ[n, -1]
     || (EqQ[n + p + 3, 0] && NeQ[n, -1] && (SumSimplerQ[n, 1] ||  !SumSimplerQ[p, 1])))

101. Int[((a_.) + (b_.)*(x_))^2*((c_.) + (d_.)*(x_))^(n_)*((e_.) + (f_.)*(x_))^(p_), x_] :> Simp[b*(a + b*x)*(c + d
     *x)^(n + 1)*((e + f*x)^(p + 1)/(d*f*(n + p + 3))), x] + Simp[1/(d*f*(n + p + 3))   Int[(c + d*x)^n*(e + f*x)^p
     *Simp[a^2*d*f*(n + p + 3) - b*(b*c*e + a*(d*e*(n + 1) + c*f*(p + 1))) + b*(a*d*f*(n + p + 4) - b*(d*e*(n + 2)
     + c*f*(p + 2)))*x, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, n, p}, x] && NeQ[n + p + 3, 0]

102. Int[1/(((a_.) + (b_.)*(x_))^(1/3)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(2/3)*((e_.) + (f_.)*(x_))), x_] :> With[{q = Rt[(d*e -
     c*f)/(b*e - a*f), 3]}, Simp[(-Sqrt[3])*q*(ArcTan[1/Sqrt[3] + 2*q*((a + b*x)^(1/3)/(Sqrt[3]*(c + d*x)^(1/3)))]
     /(d*e - c*f)), x] + (Simp[q*(Log[e + f*x]/(2*(d*e - c*f))), x] - Simp[3*q*(Log[q*(a + b*x)^(1/3) - (c + d*x)^(
     1/3)]/(2*(d*e - c*f))), x])] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x]

103. Int[1/(Sqrt[(a_.) + (b_.)*(x_)]*Sqrt[(c_.) + (d_.)*(x_)]*((e_.) + (f_.)*(x_))), x_] :> Simp[b*f   Subst[Int[1/
     (d*(b*e - a*f)^2 + b*f^2*x^2), x], x, Sqrt[a + b*x]*Sqrt[c + d*x]], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && EqQ[
     2*b*d*e - f*(b*c + a*d), 0]

104. Int[(((a_.) + (b_.)*(x_))^(m_)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(n_))/((e_.) + (f_.)*(x_)), x_] :> With[{q = Denominator[m
     ]}, Simp[q   Subst[Int[x^(q*(m + 1) - 1)/(b*e - a*f - (d*e - c*f)*x^q), x], x, (a + b*x)^(1/q)/(c + d*x)^(1/q)
     ], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && EqQ[m + n + 1, 0] && RationalQ[n] && LtQ[-1, m, 0] && SimplerQ[a + b
     *x, c + d*x]

105. Int[((a_.) + (b_.)*(x_))^(m_)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(n_)*((e_.) + (f_.)*(x_))^(p_), x_] :> Simp[(a + b*x)^(m +
     1)*(c + d*x)^n*((e + f*x)^(p + 1)/((m + 1)*(b*e - a*f))), x] - Simp[n*((d*e - c*f)/((m + 1)*(b*e - a*f)))   In
     t[(a + b*x)^(m + 1)*(c + d*x)^(n - 1)*(e + f*x)^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m, p}, x] && EqQ[m + n +
     p + 2, 0] && GtQ[n, 0] && (SumSimplerQ[m, 1] ||  !SumSimplerQ[p, 1]) && NeQ[m, -1]

106. Int[((a_.) + (b_.)*(x_))^(m_)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(n_)*((e_.) + (f_.)*(x_))^(p_), x_] :> Simp[b*(a + b*x)^(m
     + 1)*(c + d*x)^(n + 1)*((e + f*x)^(p + 1)/((m + 1)*(b*c - a*d)*(b*e - a*f))), x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m
     , n, p}, x] && EqQ[Simplify[m + n + p + 3], 0] && EqQ[a*d*f*(m + 1) + b*c*f*(n + 1) + b*d*e*(p + 1), 0] && NeQ
     [m, -1]

107. Int[((a_.) + (b_.)*(x_))^(m_)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(n_)*((e_.) + (f_.)*(x_))^(p_), x_] :> Simp[b*(a + b*x)^(m
     + 1)*(c + d*x)^(n + 1)*((e + f*x)^(p + 1)/((m + 1)*(b*c - a*d)*(b*e - a*f))), x] + Simp[(a*d*f*(m + 1) + b*c*f
     *(n + 1) + b*d*e*(p + 1))/((m + 1)*(b*c - a*d)*(b*e - a*f))   Int[(a + b*x)^(m + 1)*(c + d*x)^n*(e + f*x)^p, x
     ], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m, n, p}, x] && EqQ[Simplify[m + n + p + 3], 0] && (LtQ[m, -1] || SumSimpler
     Q[m, 1])

108. Int[((a_.) + (b_.)*(x_))^(m_)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(n_)*((e_.) + (f_.)*(x_))^(p_), x_] :> Simp[(a + b*x)^(m +
     1)*(c + d*x)^n*((e + f*x)^p/(b*(m + 1))), x] - Simp[1/(b*(m + 1))   Int[(a + b*x)^(m + 1)*(c + d*x)^(n - 1)*(e
     + f*x)^(p - 1)*Simp[d*e*n + c*f*p + d*f*(n + p)*x, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && LtQ[m, -1] &
     & GtQ[n, 0] && GtQ[p, 0] && (IntegersQ[2*m, 2*n, 2*p] || IntegersQ[m, n + p] || IntegersQ[p, m + n])

109. Int[((a_.) + (b_.)*(x_))^(m_)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(n_)*((e_.) + (f_.)*(x_))^(p_), x_] :> Simp[(b*c - a*d)*(a
     + b*x)^(m + 1)*(c + d*x)^(n - 1)*((e + f*x)^(p + 1)/(b*(b*e - a*f)*(m + 1))), x] + Simp[1/(b*(b*e - a*f)*(m +
     1))   Int[(a + b*x)^(m + 1)*(c + d*x)^(n - 2)*(e + f*x)^p*Simp[a*d*(d*e*(n - 1) + c*f*(p + 1)) + b*c*(d*e*(m -
     n + 2) - c*f*(m + p + 2)) + d*(a*d*f*(n + p) + b*(d*e*(m + 1) - c*f*(m + n + p + 1)))*x, x], x], x] /; FreeQ[
     {a, b, c, d, e, f, p}, x] && LtQ[m, -1] && GtQ[n, 1] && (IntegersQ[2*m, 2*n, 2*p] || IntegersQ[m, n + p] || In
     tegersQ[p, m + n])

110. Int[((a_.) + (b_.)*(x_))^(m_)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(n_)*((e_.) + (f_.)*(x_))^(p_), x_] :> Simp[(a + b*x)^(m +
     1)*(c + d*x)^n*((e + f*x)^(p + 1)/((m + 1)*(b*e - a*f))), x] - Simp[1/((m + 1)*(b*e - a*f))   Int[(a + b*x)^(m
     + 1)*(c + d*x)^(n - 1)*(e + f*x)^p*Simp[d*e*n + c*f*(m + p + 2) + d*f*(m + n + p + 2)*x, x], x], x] /; FreeQ[
     {a, b, c, d, e, f, p}, x] && LtQ[m, -1] && GtQ[n, 0] && (IntegersQ[2*m, 2*n, 2*p] || IntegersQ[m, n + p] || In
     tegersQ[p, m + n])

111. Int[((a_.) + (b_.)*(x_))^(m_)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(n_)*((e_.) + (f_.)*(x_))^(p_), x_] :> Simp[b*(a + b*x)^(m
     - 1)*(c + d*x)^(n + 1)*((e + f*x)^(p + 1)/(d*f*(m + n + p + 1))), x] + Simp[1/(d*f*(m + n + p + 1))   Int[(a +
     b*x)^(m - 2)*(c + d*x)^n*(e + f*x)^p*Simp[a^2*d*f*(m + n + p + 1) - b*(b*c*e*(m - 1) + a*(d*e*(n + 1) + c*f*(
     p + 1))) + b*(a*d*f*(2*m + n + p) - b*(d*e*(m + n) + c*f*(m + p)))*x, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, n
     , p}, x] && GtQ[m, 1] && NeQ[m + n + p + 1, 0] && IntegerQ[m]

112. Int[((a_.) + (b_.)*(x_))^(m_)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(n_)*((e_.) + (f_.)*(x_))^(p_), x_] :> Simp[(a + b*x)^m*(c
     + d*x)^n*((e + f*x)^(p + 1)/(f*(m + n + p + 1))), x] - Simp[1/(f*(m + n + p + 1))   Int[(a + b*x)^(m - 1)*(c +
     d*x)^(n - 1)*(e + f*x)^p*Simp[c*m*(b*e - a*f) + a*n*(d*e - c*f) + (d*m*(b*e - a*f) + b*n*(d*e - c*f))*x, x],
     x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, p}, x] && GtQ[m, 0] && GtQ[n, 0] && NeQ[m + n + p + 1, 0] && (IntegersQ[2*m
     , 2*n, 2*p] || (IntegersQ[m, n + p] || IntegersQ[p, m + n]))

113. Int[((a_.) + (b_.)*(x_))^(m_)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(n_)*((e_.) + (f_.)*(x_))^(p_), x_] :> Simp[b*(a + b*x)^(m
     - 1)*(c + d*x)^(n + 1)*((e + f*x)^(p + 1)/(d*f*(m + n + p + 1))), x] + Simp[1/(d*f*(m + n + p + 1))   Int[(a +
     b*x)^(m - 2)*(c + d*x)^n*(e + f*x)^p*Simp[a^2*d*f*(m + n + p + 1) - b*(b*c*e*(m - 1) + a*(d*e*(n + 1) + c*f*(
     p + 1))) + b*(a*d*f*(2*m + n + p) - b*(d*e*(m + n) + c*f*(m + p)))*x, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, n
     , p}, x] && GtQ[m, 1] && NeQ[m + n + p + 1, 0] && IntegersQ[2*m, 2*n, 2*p]

114. Int[((a_.) + (b_.)*(x_))^(m_)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(n_)*((e_.) + (f_.)*(x_))^(p_), x_] :> Simp[b*(a + b*x)^(m
     + 1)*(c + d*x)^(n + 1)*((e + f*x)^(p + 1)/((m + 1)*(b*c - a*d)*(b*e - a*f))), x] + Simp[1/((m + 1)*(b*c - a*d)
     *(b*e - a*f))   Int[(a + b*x)^(m + 1)*(c + d*x)^n*(e + f*x)^p*Simp[a*d*f*(m + 1) - b*(d*e*(m + n + 2) + c*f*(m
     + p + 2)) - b*d*f*(m + n + p + 3)*x, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, n, p}, x] && ILtQ[m, -1] && (Inte
     gerQ[n] || IntegersQ[2*n, 2*p] || ILtQ[m + n + p + 3, 0])

115. Int[((a_.) + (b_.)*(x_))^(m_)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(n_)*((e_.) + (f_.)*(x_))^(p_), x_] :> Simp[b*(a + b*x)^(m
     + 1)*(c + d*x)^(n + 1)*((e + f*x)^(p + 1)/((m + 1)*(b*c - a*d)*(b*e - a*f))), x] + Simp[1/((m + 1)*(b*c - a*d)
     *(b*e - a*f))   Int[(a + b*x)^(m + 1)*(c + d*x)^n*(e + f*x)^p*Simp[a*d*f*(m + 1) - b*(d*e*(m + n + 2) + c*f*(m
     + p + 2)) - b*d*f*(m + n + p + 3)*x, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, n, p}, x] && LtQ[m, -1] && Intege
     rsQ[2*m, 2*n, 2*p]

116. Int[1/(((a_.) + (b_.)*(x_))*Sqrt[(c_.) + (d_.)*(x_)]*((e_.) + (f_.)*(x_))^(1/4)), x_] :> Simp[-4   Subst[Int[x
     ^2/((b*e - a*f - b*x^4)*Sqrt[c - d*(e/f) + d*(x^4/f)]), x], x, (e + f*x)^(1/4)], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f
     }, x] && GtQ[-f/(d*e - c*f), 0]

117. Int[1/(((a_.) + (b_.)*(x_))*Sqrt[(c_.) + (d_.)*(x_)]*((e_.) + (f_.)*(x_))^(1/4)), x_] :> Simp[Sqrt[(-f)*((c +
     d*x)/(d*e - c*f))]/Sqrt[c + d*x]   Int[1/((a + b*x)*Sqrt[(-c)*(f/(d*e - c*f)) - d*f*(x/(d*e - c*f))]*(e + f*x)
     ^(1/4)), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] &&  !GtQ[-f/(d*e - c*f), 0]

118. Int[1/(((a_.) + (b_.)*(x_))*Sqrt[(c_.) + (d_.)*(x_)]*((e_.) + (f_.)*(x_))^(3/4)), x_] :> Simp[-4   Subst[Int[1
     /((b*e - a*f - b*x^4)*Sqrt[c - d*(e/f) + d*(x^4/f)]), x], x, (e + f*x)^(1/4)], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f},
     x] && GtQ[-f/(d*e - c*f), 0]

119. Int[1/(((a_.) + (b_.)*(x_))*Sqrt[(c_.) + (d_.)*(x_)]*((e_.) + (f_.)*(x_))^(3/4)), x_] :> Simp[Sqrt[(-f)*((c +
     d*x)/(d*e - c*f))]/Sqrt[c + d*x]   Int[1/((a + b*x)*Sqrt[(-c)*(f/(d*e - c*f)) - d*f*(x/(d*e - c*f))]*(e + f*x)
     ^(3/4)), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] &&  !GtQ[-f/(d*e - c*f), 0]

120. Int[Sqrt[(e_) + (f_.)*(x_)]/(Sqrt[(b_.)*(x_)]*Sqrt[(c_) + (d_.)*(x_)]), x_] :> Simp[2*(Sqrt[e]/b)*Rt[-b/d, 2]*
     EllipticE[ArcSin[Sqrt[b*x]/(Sqrt[c]*Rt[-b/d, 2])], c*(f/(d*e))], x] /; FreeQ[{b, c, d, e, f}, x] && GtQ[c, 0]
     && GtQ[e, 0] &&  !LtQ[-b/d, 0]

121. Int[Sqrt[(e_) + (f_.)*(x_)]/(Sqrt[(b_.)*(x_)]*Sqrt[(c_) + (d_.)*(x_)]), x_] :> Simp[Sqrt[(-b)*x]/Sqrt[b*x]   I
     nt[Sqrt[e + f*x]/(Sqrt[(-b)*x]*Sqrt[c + d*x]), x], x] /; FreeQ[{b, c, d, e, f}, x] && GtQ[c, 0] && GtQ[e, 0] &
     & LtQ[-b/d, 0]

122. Int[Sqrt[(e_) + (f_.)*(x_)]/(Sqrt[(b_.)*(x_)]*Sqrt[(c_) + (d_.)*(x_)]), x_] :> Simp[Sqrt[e + f*x]*(Sqrt[1 + d*
     (x/c)]/(Sqrt[c + d*x]*Sqrt[1 + f*(x/e)]))   Int[Sqrt[1 + f*(x/e)]/(Sqrt[b*x]*Sqrt[1 + d*(x/c)]), x], x] /; Fre
     eQ[{b, c, d, e, f}, x] &&  !(GtQ[c, 0] && GtQ[e, 0])

123. Int[Sqrt[(e_.) + (f_.)*(x_)]/(Sqrt[(a_) + (b_.)*(x_)]*Sqrt[(c_) + (d_.)*(x_)]), x_] :> Simp[(2/b)*Rt[-(b*e - a
     *f)/d, 2]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*x]/Rt[-(b*c - a*d)/d, 2]], f*((b*c - a*d)/(d*(b*e - a*f)))], x] /; FreeQ
     [{a, b, c, d, e, f}, x] && GtQ[b/(b*c - a*d), 0] && GtQ[b/(b*e - a*f), 0] &&  !LtQ[-(b*c - a*d)/d, 0] &&  !(Si
     mplerQ[c + d*x, a + b*x] && GtQ[-d/(b*c - a*d), 0] && GtQ[d/(d*e - c*f), 0] &&  !LtQ[(b*c - a*d)/b, 0])

124. Int[Sqrt[(e_.) + (f_.)*(x_)]/(Sqrt[(a_) + (b_.)*(x_)]*Sqrt[(c_) + (d_.)*(x_)]), x_] :> Simp[Sqrt[e + f*x]*(Sqr
     t[b*((c + d*x)/(b*c - a*d))]/(Sqrt[c + d*x]*Sqrt[b*((e + f*x)/(b*e - a*f))]))   Int[Sqrt[b*(e/(b*e - a*f)) + b
     *f*(x/(b*e - a*f))]/(Sqrt[a + b*x]*Sqrt[b*(c/(b*c - a*d)) + b*d*(x/(b*c - a*d))]), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d
     , e, f}, x] &&  !(GtQ[b/(b*c - a*d), 0] && GtQ[b/(b*e - a*f), 0]) &&  !LtQ[-(b*c - a*d)/d, 0]

125. Int[1/(Sqrt[(b_.)*(x_)]*Sqrt[(c_) + (d_.)*(x_)]*Sqrt[(e_) + (f_.)*(x_)]), x_] :> Simp[(2/(b*Sqrt[e]))*Rt[-b/d,
     2]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[b*x]/(Sqrt[c]*Rt[-b/d, 2])], c*(f/(d*e))], x] /; FreeQ[{b, c, d, e, f}, x] && GtQ[c,
     0] && GtQ[e, 0] && (GtQ[-b/d, 0] || LtQ[-b/f, 0])

126. Int[1/(Sqrt[(b_.)*(x_)]*Sqrt[(c_) + (d_.)*(x_)]*Sqrt[(e_) + (f_.)*(x_)]), x_] :> Simp[(2/(b*Sqrt[e]))*Rt[-b/d,
     2]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[b*x]/(Sqrt[c]*Rt[-b/d, 2])], c*(f/(d*e))], x] /; FreeQ[{b, c, d, e, f}, x] && GtQ[c,
     0] && GtQ[e, 0] && (PosQ[-b/d] || NegQ[-b/f])

127. Int[1/(Sqrt[(b_.)*(x_)]*Sqrt[(c_) + (d_.)*(x_)]*Sqrt[(e_) + (f_.)*(x_)]), x_] :> Simp[Sqrt[1 + d*(x/c)]*(Sqrt[
     1 + f*(x/e)]/(Sqrt[c + d*x]*Sqrt[e + f*x]))   Int[1/(Sqrt[b*x]*Sqrt[1 + d*(x/c)]*Sqrt[1 + f*(x/e)]), x], x] /;
     FreeQ[{b, c, d, e, f}, x] &&  !(GtQ[c, 0] && GtQ[e, 0])

128. Int[1/(Sqrt[(a_) + (b_.)*(x_)]*Sqrt[(c_) + (d_.)*(x_)]*Sqrt[(e_) + (f_.)*(x_)]), x_] :> Simp[-2*(Sqrt[d/f]/(d*
     Rt[-(b*e - a*f)/f, 2]))*EllipticF[ArcSin[Rt[-(b*e - a*f)/f, 2]/Sqrt[a + b*x]], f*((b*c - a*d)/(d*(b*e - a*f)))
     ], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && GtQ[d/b, 0] && GtQ[f/b, 0] && LeQ[c, a*(d/b)] && LeQ[e, a*(f/b)]

129. Int[1/(Sqrt[(a_) + (b_.)*(x_)]*Sqrt[(c_) + (d_.)*(x_)]*Sqrt[(e_) + (f_.)*(x_)]), x_] :> Simp[2*(Rt[-b/d, 2]/(b
     *Sqrt[(b*e - a*f)/b]))*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*x]/(Rt[-b/d, 2]*Sqrt[(b*c - a*d)/b])], f*((b*c - a*d)/(d*(b
     *e - a*f)))], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && GtQ[(b*c - a*d)/b, 0] && GtQ[(b*e - a*f)/b, 0] && PosQ[-b/
     d] &&  !(SimplerQ[c + d*x, a + b*x] && GtQ[(d*e - c*f)/d, 0] && GtQ[-d/b, 0]) &&  !(SimplerQ[c + d*x, a + b*x]
     && GtQ[((-b)*e + a*f)/f, 0] && GtQ[-f/b, 0]) &&  !(SimplerQ[e + f*x, a + b*x] && GtQ[((-d)*e + c*f)/f, 0] &&
     GtQ[((-b)*e + a*f)/f, 0] && (PosQ[-f/d] || PosQ[-f/b]))

130. Int[1/(Sqrt[(a_) + (b_.)*(x_)]*Sqrt[(c_) + (d_.)*(x_)]*Sqrt[(e_) + (f_.)*(x_)]), x_] :> Simp[2*(Rt[-b/d, 2]/(b
     *Sqrt[(b*e - a*f)/b]))*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*x]/(Rt[-b/d, 2]*Sqrt[(b*c - a*d)/b])], f*((b*c - a*d)/(d*(b
     *e - a*f)))], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && GtQ[b/(b*c - a*d), 0] && GtQ[b/(b*e - a*f), 0] && SimplerQ
     [a + b*x, c + d*x] && SimplerQ[a + b*x, e + f*x] && (PosQ[-(b*c - a*d)/d] || NegQ[-(b*e - a*f)/f])

131. Int[1/(Sqrt[(a_) + (b_.)*(x_)]*Sqrt[(c_) + (d_.)*(x_)]*Sqrt[(e_) + (f_.)*(x_)]), x_] :> Simp[Sqrt[b*((c + d*x)
     /(b*c - a*d))]/Sqrt[c + d*x]   Int[1/(Sqrt[a + b*x]*Sqrt[b*(c/(b*c - a*d)) + b*d*(x/(b*c - a*d))]*Sqrt[e + f*x
     ]), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] &&  !GtQ[(b*c - a*d)/b, 0] && SimplerQ[a + b*x, c + d*x] && Simpler
     Q[a + b*x, e + f*x]

132. Int[1/(Sqrt[(a_) + (b_.)*(x_)]*Sqrt[(c_) + (d_.)*(x_)]*Sqrt[(e_) + (f_.)*(x_)]), x_] :> Simp[Sqrt[b*((e + f*x)
     /(b*e - a*f))]/Sqrt[e + f*x]   Int[1/(Sqrt[a + b*x]*Sqrt[c + d*x]*Sqrt[b*(e/(b*e - a*f)) + b*f*(x/(b*e - a*f))
     ]), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] &&  !GtQ[(b*e - a*f)/b, 0]

133. Int[1/(((a_.) + (b_.)*(x_))*((c_.) + (d_.)*(x_))^(1/3)*((e_.) + (f_.)*(x_))^(1/3)), x_] :> With[{q = Rt[b*((b*
     e - a*f)/(b*c - a*d)^2), 3]}, Simp[-Log[a + b*x]/(2*q*(b*c - a*d)), x] + (-Simp[Sqrt[3]*(ArcTan[1/Sqrt[3] + 2*
     q*((c + d*x)^(2/3)/(Sqrt[3]*(e + f*x)^(1/3)))]/(2*q*(b*c - a*d))), x] + Simp[3*(Log[q*(c + d*x)^(2/3) - (e + f
     *x)^(1/3)]/(4*q*(b*c - a*d))), x])] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && EqQ[2*b*d*e - b*c*f - a*d*f, 0]

134. Int[((a_.) + (b_.)*(x_))^(m_)/(((c_.) + (d_.)*(x_))^(1/3)*((e_.) + (f_.)*(x_))^(1/3)), x_] :> Simp[b*(a + b*x)
     ^(m + 1)*(c + d*x)^(2/3)*((e + f*x)^(2/3)/((m + 1)*(b*c - a*d)*(b*e - a*f))), x] + Simp[f/(6*(m + 1)*(b*c - a*
     d)*(b*e - a*f))   Int[(a + b*x)^(m + 1)*((a*d*(3*m + 1) - 3*b*c*(3*m + 5) - 2*b*d*(3*m + 7)*x)/((c + d*x)^(1/3
     )*(e + f*x)^(1/3))), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && EqQ[2*b*d*e - b*c*f - a*d*f, 0] && ILtQ[m, -1]

135. Int[((f_.)*(x_))^(p_)*((a_.) + (b_.)*(x_))^(m_)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(n_), x_] :> Int[(a*c + b*d*x^2)^m*(f*x)^
     p, x] /; FreeQ[{a, b, c, d, f, m, n, p}, x] && EqQ[b*c + a*d, 0] && EqQ[n, m] && GtQ[a, 0] && GtQ[c, 0]

136. Int[((f_.)*(x_))^(p_)*((a_.) + (b_.)*(x_))^(m_)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(n_), x_] :> Simp[(a + b*x)^FracPart[m]*(
     (c + d*x)^FracPart[m]/(a*c + b*d*x^2)^FracPart[m])   Int[(a*c + b*d*x^2)^m*(f*x)^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c,
     d, f, m, n, p}, x] && EqQ[b*c + a*d, 0] && EqQ[n, m]

137. Int[((a_.) + (b_.)*(x_))^(m_)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(n_)*((e_.) + (f_.)*(x_))^(p_), x_] :> Int[ExpandIntegrand[
     (a + b*x)^m*(c + d*x)^n*(e + f*x)^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, n, p}, x] && (IGtQ[m, 0] || (ILtQ[m, 0
     ] && ILtQ[n, 0]))

138. Int[(((a_.) + (b_.)*(x_))^(m_)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(n_))/((e_.) + (f_.)*(x_))^2, x_] :> Simp[b*(d/f^2)   Int[
     (a + b*x)^(m - 1)*(c + d*x)^(n - 1), x], x] + Simp[(b*e - a*f)*((d*e - c*f)/f^2)   Int[(a + b*x)^(m - 1)*((c +
     d*x)^(n - 1)/(e + f*x)^2), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m, n}, x] && IGtQ[m + n, 0] && EqQ[2*b*d*e - f*
     (b*c + a*d), 0]

139. Int[((a_.) + (b_.)*(x_))^(m_)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(n_)*((e_.) + (f_.)*(x_))^(p_), x_] :> Simp[f^(p - 1)/d^p
     Int[(a + b*x)^m*((d*e*p - c*f*(p - 1) + d*f*x)/(c + d*x)^(m + 1)), x], x] + Simp[f^(p - 1)   Int[(a + b*x)^m*
     ((e + f*x)^p/(c + d*x)^(m + 1))*ExpandToSum[f^(-p + 1)*(c + d*x)^(-p + 1) - (d*e*p - c*f*(p - 1) + d*f*x)/(d^p
     *(e + f*x)^p), x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m, n}, x] && EqQ[m + n + p, 0] && ILtQ[p, 0] && (LtQ[m,
     0] || SumSimplerQ[m, 1] ||  !(LtQ[n, 0] || SumSimplerQ[n, 1]))

140. Int[((a_.) + (b_.)*(x_))^(m_)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(n_)*((e_.) + (f_.)*(x_))^(p_), x_] :> Simp[b*d^(m + n)*f^p
     Int[(a + b*x)^(m - 1)/(c + d*x)^m, x], x] + Int[(a + b*x)^(m - 1)*((e + f*x)^p/(c + d*x)^m)*ExpandToSum[(a
     + b*x)*(c + d*x)^(-p - 1) - (b*d^(-p - 1)*f^p)/(e + f*x)^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m, n}, x] && Eq
     Q[m + n + p + 1, 0] && ILtQ[p, 0] && (GtQ[m, 0] || SumSimplerQ[m, -1] ||  !(GtQ[n, 0] || SumSimplerQ[n, -1]))

141. Int[((a_.) + (b_.)*(x_))^(m_)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(n_)*((e_.) + (f_.)*(x_))^(p_), x_] :> Simp[(b*c - a*d)^n*(
     (a + b*x)^(m + 1)/((m + 1)*(b*e - a*f)^(n + 1)*(e + f*x)^(m + 1)))*Hypergeometric2F1[m + 1, -n, m + 2, (-(d*e
     - c*f))*((a + b*x)/((b*c - a*d)*(e + f*x)))], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m, p}, x] && EqQ[m + n + p + 2, 0
     ] && ILtQ[n, 0] && (SumSimplerQ[m, 1] ||  !SumSimplerQ[p, 1]) &&  !ILtQ[m, 0]

142. Int[((a_.) + (b_.)*(x_))^(m_)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(n_)*((e_.) + (f_.)*(x_))^(p_), x_] :> Simp[((a + b*x)^(m +
     1)*(c + d*x)^n*((e + f*x)^(p + 1)/((b*e - a*f)*(m + 1)))*Hypergeometric2F1[m + 1, -n, m + 2, (-(d*e - c*f))*(
     (a + b*x)/((b*c - a*d)*(e + f*x)))])/((b*e - a*f)*((c + d*x)/((b*c - a*d)*(e + f*x))))^n, x] /; FreeQ[{a, b, c
     , d, e, f, m, n, p}, x] && EqQ[m + n + p + 2, 0] &&  !IntegerQ[n]

143. Int[(((a_.) + (b_.)*(x_))^(m_)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(n_))/((e_.) + (f_.)*(x_)), x_] :> Simp[(c*f - d*e)^(m + n
     + 1)/f^(m + n + 1)   Int[(a + b*x)^m/((c + d*x)^(m + 1)*(e + f*x)), x], x] + Simp[1/f^(m + n + 1)   Int[((a +
     b*x)^m/(c + d*x)^(m + 1))*ExpandToSum[(f^(m + n + 1)*(c + d*x)^(m + n + 1) - (c*f - d*e)^(m + n + 1))/(e + f*
     x), x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m, n}, x] && IGtQ[m + n + 1, 0] && (LtQ[m, 0] || SumSimplerQ[m, 1]
     ||  !(LtQ[n, 0] || SumSimplerQ[n, 1]))

144. Int[((a_.) + (b_.)*(x_))^(m_)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(n_)*((e_.) + (f_.)*(x_))^(p_), x_] :> With[{mnp = Simplify
     [m + n + p]}, Simp[b*(a + b*x)^(m + 1)*(c + d*x)^(n + 1)*((e + f*x)^(p + 1)/((m + 1)*(b*c - a*d)*(b*e - a*f)))
     , x] + Simp[1/((m + 1)*(b*c - a*d)*(b*e - a*f))   Int[(a + b*x)^(m + 1)*(c + d*x)^n*(e + f*x)^p*Simp[a*d*f*(m
     + 1) - b*(d*e*(m + n + 2) + c*f*(m + p + 2)) - b*d*f*(mnp + 3)*x, x], x], x] /; ILtQ[mnp + 2, 0] && (SumSimple
     rQ[m, 1] || ( !SumSimplerQ[n, 1] &&  !SumSimplerQ[p, 1]))] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m, n, p}, x] && NeQ[m,
     -1]

145. Int[((a_.) + (b_.)*(x_))^(m_)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(n_)*((e_.) + (f_.)*(x_))^(p_), x_] :> Simp[1/b   Subst[Int
     [x^m*(c*e - (d*e + c*f)^2/(4*d*f) + d*f*(x^2/b^2))^n, x], x, a + b*x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m, n, p}
     , x] && EqQ[p, n] && EqQ[b*d*e + b*c*f - 2*a*d*f, 0] && EqQ[d*e + c*f, 0] && GtQ[c, 0] && GtQ[e, 0]

146. Int[((a_.) + (b_.)*(x_))^(m_)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(n_)*((e_.) + (f_.)*(x_))^(p_), x_] :> Simp[(c + d*x)^n*((e
     + f*x)^p/(b*(c*e + (d*e + c*f)*x + d*f*x^2)^n))   Subst[Int[x^m*(c*e - (d*e + c*f)^2/(4*d*f) + d*f*(x^2/b^2))
     ^n, x], x, a + b*x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m, n, p}, x] && EqQ[p, n] && EqQ[b*d*e + b*c*f - 2*a*d*f,
     0]

147. Int[((f_.)*(x_))^(p_)*((a_.) + (b_.)*(x_))^(m_)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(n_), x_] :> Int[ExpandIntegrand[(a + b*x
     )^n*(c + d*x)^n*(f*x)^p, (a + b*x)^(m - n), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, f, m, n, p}, x] && EqQ[b*c + a*d, 0]
     && IGtQ[m - n, 0] && NeQ[m + n + p + 2, 0]

148. Int[((b_.)*(x_))^(m_)*((c_) + (d_.)*(x_))^(n_.)*((e_) + (f_.)*(x_))^(p_.), x_] :> With[{k = Denominator[m]}, S
     imp[k/b   Subst[Int[x^(k*(m + 1) - 1)*(c + d*(x^k/b))^n*(e + f*(x^k/b))^p, x], x, (b*x)^(1/k)], x]] /; FreeQ[{
     b, c, d, e, f, n, p}, x] && FractionQ[m] && IntegerQ[p]

149. Int[((a_) + (b_.)*(x_))^(m_)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(n_.)*((e_.) + (f_.)*(x_))^(p_.), x_] :> With[{k = Denominat
     or[m]}, Simp[k/b   Subst[Int[x^(k*(m + 1) - 1)*(c - a*(d/b) + d*(x^k/b))^n*(e - a*(f/b) + f*(x^k/b))^p, x], x,
     (a + b*x)^(1/k)], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, n, p}, x] && FractionQ[m] && IntegerQ[2*n] && IntegerQ[p]

150. Int[((b_.)*(x_))^(m_)*((c_) + (d_.)*(x_))^(n_)*((e_) + (f_.)*(x_))^(p_), x_] :> Simp[c^n*e^p*((b*x)^(m + 1)/(b
     *(m + 1)))*AppellF1[m + 1, -n, -p, m + 2, (-d)*(x/c), (-f)*(x/e)], x] /; FreeQ[{b, c, d, e, f, m, n, p}, x] &&
     !IntegerQ[m] &&  !IntegerQ[n] && GtQ[c, 0] && (IntegerQ[p] || GtQ[e, 0])

151. Int[((b_.)*(x_))^(m_)*((c_) + (d_.)*(x_))^(n_)*((e_) + (f_.)*(x_))^(p_), x_] :> Simp[((c + d*x)^(n + 1)/(d*(n
     + 1)*(-d/(b*c))^m*(d/(d*e - c*f))^p))*AppellF1[n + 1, -m, -p, n + 2, 1 + d*(x/c), (-f)*((c + d*x)/(d*e - c*f))
     ], x] /; FreeQ[{b, c, d, e, f, m, n, p}, x] &&  !IntegerQ[m] &&  !IntegerQ[n] && GtQ[-d/(b*c), 0] && (IntegerQ
     [p] || GtQ[d/(d*e - c*f), 0])

152. Int[((b_.)*(x_))^(m_)*((c_) + (d_.)*(x_))^(n_)*((e_) + (f_.)*(x_))^(p_), x_] :> Simp[c^IntPart[n]*((c + d*x)^F
     racPart[n]/(1 + d*(x/c))^FracPart[n])   Int[(b*x)^m*(1 + d*(x/c))^n*(e + f*x)^p, x], x] /; FreeQ[{b, c, d, e,
     f, m, n, p}, x] &&  !IntegerQ[m] &&  !IntegerQ[n] &&  !GtQ[c, 0]

153. Int[((a_) + (b_.)*(x_))^(m_)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(n_)*((e_.) + (f_.)*(x_))^(p_), x_] :> Simp[(b*e - a*f)^p*((
     a + b*x)^(m + 1)/(b^(p + 1)*(m + 1)*Simplify[b/(b*c - a*d)]^n))*AppellF1[m + 1, -n, -p, m + 2, (-d)*((a + b*x)
     /(b*c - a*d)), (-f)*((a + b*x)/(b*e - a*f))], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m, n}, x] &&  !IntegerQ[m] &&  !I
     ntegerQ[n] && IntegerQ[p] && GtQ[Simplify[b/(b*c - a*d)], 0] &&  !(GtQ[Simplify[d/(d*a - c*b)], 0] && SimplerQ
     [c + d*x, a + b*x])

154. Int[((a_) + (b_.)*(x_))^(m_)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(n_)*((e_.) + (f_.)*(x_))^(p_), x_] :> Simp[(c + d*x)^FracPa
     rt[n]/(Simplify[b/(b*c - a*d)]^IntPart[n]*(b*((c + d*x)/(b*c - a*d)))^FracPart[n])   Int[(a + b*x)^m*Simp[b*(c
     /(b*c - a*d)) + b*d*(x/(b*c - a*d)), x]^n*(e + f*x)^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m, n}, x] &&  !Integ
     erQ[m] &&  !IntegerQ[n] && IntegerQ[p] &&  !GtQ[Simplify[b/(b*c - a*d)], 0] &&  !SimplerQ[c + d*x, a + b*x]

155. Int[((a_) + (b_.)*(x_))^(m_)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(n_)*((e_.) + (f_.)*(x_))^(p_), x_] :> Simp[((a + b*x)^(m +
     1)/(b*(m + 1)*Simplify[b/(b*c - a*d)]^n*Simplify[b/(b*e - a*f)]^p))*AppellF1[m + 1, -n, -p, m + 2, (-d)*((a +
     b*x)/(b*c - a*d)), (-f)*((a + b*x)/(b*e - a*f))], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m, n, p}, x] &&  !IntegerQ[m]
     &&  !IntegerQ[n] &&  !IntegerQ[p] && GtQ[Simplify[b/(b*c - a*d)], 0] && GtQ[Simplify[b/(b*e - a*f)], 0] &&  !
     (GtQ[Simplify[d/(d*a - c*b)], 0] && GtQ[Simplify[d/(d*e - c*f)], 0] && SimplerQ[c + d*x, a + b*x]) &&  !(GtQ[S
     implify[f/(f*a - e*b)], 0] && GtQ[Simplify[f/(f*c - e*d)], 0] && SimplerQ[e + f*x, a + b*x])

156. Int[((a_) + (b_.)*(x_))^(m_)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(n_)*((e_.) + (f_.)*(x_))^(p_), x_] :> Simp[(e + f*x)^FracPa
     rt[p]/(Simplify[b/(b*e - a*f)]^IntPart[p]*(b*((e + f*x)/(b*e - a*f)))^FracPart[p])   Int[(a + b*x)^m*(c + d*x)
     ^n*Simp[b*(e/(b*e - a*f)) + b*f*(x/(b*e - a*f)), x]^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m, n, p}, x] &&  !In
     tegerQ[m] &&  !IntegerQ[n] &&  !IntegerQ[p] && GtQ[Simplify[b/(b*c - a*d)], 0] &&  !GtQ[Simplify[b/(b*e - a*f)
     ], 0]

157. Int[((a_) + (b_.)*(x_))^(m_)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(n_)*((e_.) + (f_.)*(x_))^(p_), x_] :> Simp[(c + d*x)^FracPa
     rt[n]/(Simplify[b/(b*c - a*d)]^IntPart[n]*(b*((c + d*x)/(b*c - a*d)))^FracPart[n])   Int[(a + b*x)^m*Simp[b*(c
     /(b*c - a*d)) + b*d*(x/(b*c - a*d)), x]^n*(e + f*x)^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m, n, p}, x] &&  !In
     tegerQ[m] &&  !IntegerQ[n] &&  !IntegerQ[p] &&  !GtQ[Simplify[b/(b*c - a*d)], 0] &&  !SimplerQ[c + d*x, a + b*
     x] &&  !SimplerQ[e + f*x, a + b*x]

158. Int[((a_.) + (b_.)*(u_))^(m_.)*((c_.) + (d_.)*(u_))^(n_.)*((e_) + (f_.)*(u_))^(p_.), x_Symbol] :> Simp[1/D[u,
     x]   Subst[Int[(a + b*x)^m*(c + d*x)^n*(e + f*x)^p, x], x, u], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m, n, p}, x] &&
     LinearQ[u, x] && NeQ[u, x]

159. Int[((a_.) + (b_.)*(x_))^(m_.)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(n_.)*((e_) + (f_.)*(x_))*((g_.) + (h_.)*(x_)), x_] :> Int
     [ExpandIntegrand[(a + b*x)^m*(c + d*x)^n*(e + f*x)*(g + h*x), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, h}, x] &&
     (IGtQ[m, 0] || IntegersQ[m, n])

160. Int[((a_.) + (b_.)*(x_))^(m_)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(n_.)*((e_) + (f_.)*(x_))*((g_.) + (h_.)*(x_)), x_] :> Simp
     [(b^2*d*e*g - a^2*d*f*h*m - a*b*(d*(f*g + e*h) - c*f*h*(m + 1)) + b*f*h*(b*c - a*d)*(m + 1)*x)*(a + b*x)^(m +
     1)*((c + d*x)^(n + 1)/(b^2*d*(b*c - a*d)*(m + 1))), x] + Simp[(a*d*f*h*m + b*(d*(f*g + e*h) - c*f*h*(m + 2)))/
     (b^2*d)   Int[(a + b*x)^(m + 1)*(c + d*x)^n, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, h, m, n}, x] && EqQ[m + n +
     2, 0] && NeQ[m, -1] && (SumSimplerQ[m, 1] ||  !SumSimplerQ[n, 1])

161. Int[((a_.) + (b_.)*(x_))^(m_)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(n_)*((e_) + (f_.)*(x_))*((g_.) + (h_.)*(x_)), x_] :> Simp[
     ((b^2*c*d*e*g*(n + 1) + a^2*c*d*f*h*(n + 1) + a*b*(d^2*e*g*(m + 1) + c^2*f*h*(m + 1) - c*d*(f*g + e*h)*(m + n
     + 2)) + (a^2*d^2*f*h*(n + 1) - a*b*d^2*(f*g + e*h)*(n + 1) + b^2*(c^2*f*h*(m + 1) - c*d*(f*g + e*h)*(m + 1) +
     d^2*e*g*(m + n + 2)))*x)/(b*d*(b*c - a*d)^2*(m + 1)*(n + 1)))*(a + b*x)^(m + 1)*(c + d*x)^(n + 1), x] - Simp[(
     a^2*d^2*f*h*(2 + 3*n + n^2) + a*b*d*(n + 1)*(2*c*f*h*(m + 1) - d*(f*g + e*h)*(m + n + 3)) + b^2*(c^2*f*h*(2 +
     3*m + m^2) - c*d*(f*g + e*h)*(m + 1)*(m + n + 3) + d^2*e*g*(6 + m^2 + 5*n + n^2 + m*(2*n + 5))))/(b*d*(b*c - a
     *d)^2*(m + 1)*(n + 1))   Int[(a + b*x)^(m + 1)*(c + d*x)^(n + 1), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, h}, x]
     && LtQ[m, -1] && LtQ[n, -1]

162. Int[((a_.) + (b_.)*(x_))^(m_)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(n_.)*((e_) + (f_.)*(x_))*((g_.) + (h_.)*(x_)), x_] :> Simp
     [((b^3*c*e*g*(m + 2) - a^3*d*f*h*(n + 2) - a^2*b*(c*f*h*m - d*(f*g + e*h)*(m + n + 3)) - a*b^2*(c*(f*g + e*h)
     + d*e*g*(2*m + n + 4)) + b*(a^2*d*f*h*(m - n) - a*b*(2*c*f*h*(m + 1) - d*(f*g + e*h)*(n + 1)) + b^2*(c*(f*g +
     e*h)*(m + 1) - d*e*g*(m + n + 2)))*x)/(b^2*(b*c - a*d)^2*(m + 1)*(m + 2)))*(a + b*x)^(m + 1)*(c + d*x)^(n + 1)
     , x] + Simp[(f*(h/b^2) - (d*(m + n + 3)*(a^2*d*f*h*(m - n) - a*b*(2*c*f*h*(m + 1) - d*(f*g + e*h)*(n + 1)) + b
     ^2*(c*(f*g + e*h)*(m + 1) - d*e*g*(m + n + 2))))/(b^2*(b*c - a*d)^2*(m + 1)*(m + 2)))   Int[(a + b*x)^(m + 2)*
     (c + d*x)^n, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, h, m, n}, x] && (LtQ[m, -2] || (EqQ[m + n + 3, 0] &&  !LtQ[
     n, -2]))

163. Int[((a_.) + (b_.)*(x_))^(m_)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(n_.)*((e_) + (f_.)*(x_))*((g_.) + (h_.)*(x_)), x_] :> Simp
     [((a^2*d*f*h*(n + 2) + b^2*d*e*g*(m + n + 3) + a*b*(c*f*h*(m + 1) - d*(f*g + e*h)*(m + n + 3)) + b*f*h*(b*c -
     a*d)*(m + 1)*x)/(b^2*d*(b*c - a*d)*(m + 1)*(m + n + 3)))*(a + b*x)^(m + 1)*(c + d*x)^(n + 1), x] - Simp[(a^2*d
     ^2*f*h*(n + 1)*(n + 2) + a*b*d*(n + 1)*(2*c*f*h*(m + 1) - d*(f*g + e*h)*(m + n + 3)) + b^2*(c^2*f*h*(m + 1)*(m
     + 2) - c*d*(f*g + e*h)*(m + 1)*(m + n + 3) + d^2*e*g*(m + n + 2)*(m + n + 3)))/(b^2*d*(b*c - a*d)*(m + 1)*(m
     + n + 3))   Int[(a + b*x)^(m + 1)*(c + d*x)^n, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, h, m, n}, x] && ((GeQ[m,
     -2] && LtQ[m, -1]) || SumSimplerQ[m, 1]) && NeQ[m, -1] && NeQ[m + n + 3, 0]

164. Int[((a_.) + (b_.)*(x_))^(m_.)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(n_.)*((e_) + (f_.)*(x_))*((g_.) + (h_.)*(x_)), x_] :> Sim
     p[(-(a*d*f*h*(n + 2) + b*c*f*h*(m + 2) - b*d*(f*g + e*h)*(m + n + 3) - b*d*f*h*(m + n + 2)*x))*(a + b*x)^(m +
     1)*((c + d*x)^(n + 1)/(b^2*d^2*(m + n + 2)*(m + n + 3))), x] + Simp[(a^2*d^2*f*h*(n + 1)*(n + 2) + a*b*d*(n +
     1)*(2*c*f*h*(m + 1) - d*(f*g + e*h)*(m + n + 3)) + b^2*(c^2*f*h*(m + 1)*(m + 2) - c*d*(f*g + e*h)*(m + 1)*(m +
     n + 3) + d^2*e*g*(m + n + 2)*(m + n + 3)))/(b^2*d^2*(m + n + 2)*(m + n + 3))   Int[(a + b*x)^m*(c + d*x)^n, x
     ], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, h, m, n}, x] && NeQ[m + n + 2, 0] && NeQ[m + n + 3, 0]

165. Int[((a_.) + (b_.)*(x_))^(m_)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(n_)*((e_.) + (f_.)*(x_))^(p_)*((g_.) + (h_.)*(x_)), x_] :>
     Int[ExpandIntegrand[(a + b*x)^m*(c + d*x)^n*(e + f*x)^p*(g + h*x), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, h, m
     }, x] && (IntegersQ[m, n, p] || (IGtQ[n, 0] && IGtQ[p, 0]))

166. Int[((a_.) + (b_.)*(x_))^(m_)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(n_)*((e_.) + (f_.)*(x_))^(p_)*((g_.) + (h_.)*(x_)), x_] :>
     Simp[(b*g - a*h)*(a + b*x)^(m + 1)*(c + d*x)^n*((e + f*x)^(p + 1)/(b*(b*e - a*f)*(m + 1))), x] - Simp[1/(b*(b
     *e - a*f)*(m + 1))   Int[(a + b*x)^(m + 1)*(c + d*x)^(n - 1)*(e + f*x)^p*Simp[b*c*(f*g - e*h)*(m + 1) + (b*g -
     a*h)*(d*e*n + c*f*(p + 1)) + d*(b*(f*g - e*h)*(m + 1) + f*(b*g - a*h)*(n + p + 1))*x, x], x], x] /; FreeQ[{a,
     b, c, d, e, f, g, h, p}, x] && ILtQ[m, -1] && GtQ[n, 0]

167. Int[((a_.) + (b_.)*(x_))^(m_)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(n_)*((e_.) + (f_.)*(x_))^(p_)*((g_.) + (h_.)*(x_)), x_] :>
     Simp[(b*g - a*h)*(a + b*x)^(m + 1)*(c + d*x)^n*((e + f*x)^(p + 1)/(b*(b*e - a*f)*(m + 1))), x] - Simp[1/(b*(b
     *e - a*f)*(m + 1))   Int[(a + b*x)^(m + 1)*(c + d*x)^(n - 1)*(e + f*x)^p*Simp[b*c*(f*g - e*h)*(m + 1) + (b*g -
     a*h)*(d*e*n + c*f*(p + 1)) + d*(b*(f*g - e*h)*(m + 1) + f*(b*g - a*h)*(n + p + 1))*x, x], x], x] /; FreeQ[{a,
     b, c, d, e, f, g, h, p}, x] && LtQ[m, -1] && GtQ[n, 0] && IntegersQ[2*m, 2*n, 2*p]

168. Int[((a_.) + (b_.)*(x_))^(m_)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(n_)*((e_.) + (f_.)*(x_))^(p_)*((g_.) + (h_.)*(x_)), x_] :>
     Simp[(b*g - a*h)*(a + b*x)^(m + 1)*(c + d*x)^(n + 1)*((e + f*x)^(p + 1)/((m + 1)*(b*c - a*d)*(b*e - a*f))), x
     ] + Simp[1/((m + 1)*(b*c - a*d)*(b*e - a*f))   Int[(a + b*x)^(m + 1)*(c + d*x)^n*(e + f*x)^p*Simp[(a*d*f*g - b
     *(d*e + c*f)*g + b*c*e*h)*(m + 1) - (b*g - a*h)*(d*e*(n + 1) + c*f*(p + 1)) - d*f*(b*g - a*h)*(m + n + p + 3)*
     x, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, h, n, p}, x] && ILtQ[m, -1]

169. Int[((a_.) + (b_.)*(x_))^(m_)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(n_)*((e_.) + (f_.)*(x_))^(p_)*((g_.) + (h_.)*(x_)), x_] :>
     Simp[(b*g - a*h)*(a + b*x)^(m + 1)*(c + d*x)^(n + 1)*((e + f*x)^(p + 1)/((m + 1)*(b*c - a*d)*(b*e - a*f))), x
     ] + Simp[1/((m + 1)*(b*c - a*d)*(b*e - a*f))   Int[(a + b*x)^(m + 1)*(c + d*x)^n*(e + f*x)^p*Simp[(a*d*f*g - b
     *(d*e + c*f)*g + b*c*e*h)*(m + 1) - (b*g - a*h)*(d*e*(n + 1) + c*f*(p + 1)) - d*f*(b*g - a*h)*(m + n + p + 3)*
     x, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, h, n, p}, x] && LtQ[m, -1] && IntegersQ[2*m, 2*n, 2*p]

170. Int[((a_.) + (b_.)*(x_))^(m_)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(n_)*((e_.) + (f_.)*(x_))^(p_)*((g_.) + (h_.)*(x_)), x_] :>
     Simp[h*(a + b*x)^m*(c + d*x)^(n + 1)*((e + f*x)^(p + 1)/(d*f*(m + n + p + 2))), x] + Simp[1/(d*f*(m + n + p +
     2))   Int[(a + b*x)^(m - 1)*(c + d*x)^n*(e + f*x)^p*Simp[a*d*f*g*(m + n + p + 2) - h*(b*c*e*m + a*(d*e*(n + 1
     ) + c*f*(p + 1))) + (b*d*f*g*(m + n + p + 2) + h*(a*d*f*m - b*(d*e*(m + n + 1) + c*f*(m + p + 1))))*x, x], x],
     x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, h, n, p}, x] && GtQ[m, 0] && NeQ[m + n + p + 2, 0] && IntegerQ[m]

171. Int[((a_.) + (b_.)*(x_))^(m_)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(n_)*((e_.) + (f_.)*(x_))^(p_)*((g_.) + (h_.)*(x_)), x_] :>
     Simp[h*(a + b*x)^m*(c + d*x)^(n + 1)*((e + f*x)^(p + 1)/(d*f*(m + n + p + 2))), x] + Simp[1/(d*f*(m + n + p +
     2))   Int[(a + b*x)^(m - 1)*(c + d*x)^n*(e + f*x)^p*Simp[a*d*f*g*(m + n + p + 2) - h*(b*c*e*m + a*(d*e*(n + 1
     ) + c*f*(p + 1))) + (b*d*f*g*(m + n + p + 2) + h*(a*d*f*m - b*(d*e*(m + n + 1) + c*f*(m + p + 1))))*x, x], x],
     x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, h, n, p}, x] && GtQ[m, 0] && NeQ[m + n + p + 2, 0] && IntegersQ[2*m, 2*n, 2
     *p]

172. Int[((a_.) + (b_.)*(x_))^(m_)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(n_)*((e_.) + (f_.)*(x_))^(p_)*((g_.) + (h_.)*(x_)), x_] :>
     With[{mnp = Simplify[m + n + p]}, Simp[(b*g - a*h)*(a + b*x)^(m + 1)*(c + d*x)^(n + 1)*((e + f*x)^(p + 1)/((m
     + 1)*(b*c - a*d)*(b*e - a*f))), x] + Simp[1/((m + 1)*(b*c - a*d)*(b*e - a*f))   Int[(a + b*x)^(m + 1)*(c + d*
     x)^n*(e + f*x)^p*Simp[(a*d*f*g - b*(d*e + c*f)*g + b*c*e*h)*(m + 1) - (b*g - a*h)*(d*e*(n + 1) + c*f*(p + 1))
     - d*f*(b*g - a*h)*(mnp + 3)*x, x], x], x] /; ILtQ[mnp + 2, 0] && (SumSimplerQ[m, 1] || ( !(NeQ[n, -1] && SumSi
     mplerQ[n, 1]) &&  !(NeQ[p, -1] && SumSimplerQ[p, 1])))] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, h, n, p}, x] && NeQ[m,
     -1]

173. Int[(((a_.) + (b_.)*(x_))^(m_)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(n_)*((g_.) + (h_.)*(x_)))/((e_.) + (f_.)*(x_)), x_] :> Si
     mp[(f*g - e*h)*((c*f - d*e)^(m + n + 1)/f^(m + n + 2))   Int[(a + b*x)^m/((c + d*x)^(m + 1)*(e + f*x)), x], x]
     + Simp[1/f^(m + n + 2)   Int[((a + b*x)^m/(c + d*x)^(m + 1))*ExpandToSum[(f^(m + n + 2)*(c + d*x)^(m + n + 1)
     *(g + h*x) - (f*g - e*h)*(c*f - d*e)^(m + n + 1))/(e + f*x), x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, h}, x]
     && IGtQ[m + n + 1, 0] && (LtQ[m, 0] || SumSimplerQ[m, 1] ||  !SumSimplerQ[n, 1])

174. Int[(((e_.) + (f_.)*(x_))^(p_)*((g_.) + (h_.)*(x_)))/(((a_.) + (b_.)*(x_))*((c_.) + (d_.)*(x_))), x_] :> Simp[
     (b*g - a*h)/(b*c - a*d)   Int[(e + f*x)^p/(a + b*x), x], x] - Simp[(d*g - c*h)/(b*c - a*d)   Int[(e + f*x)^p/(
     c + d*x), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, h}, x]

175. Int[(((c_.) + (d_.)*(x_))^(n_)*((e_.) + (f_.)*(x_))^(p_)*((g_.) + (h_.)*(x_)))/((a_.) + (b_.)*(x_)), x_] :> Si
     mp[h/b   Int[(c + d*x)^n*(e + f*x)^p, x], x] + Simp[(b*g - a*h)/b   Int[(c + d*x)^n*((e + f*x)^p/(a + b*x)), x
     ], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, h, n, p}, x]

176. Int[((g_.) + (h_.)*(x_))/(Sqrt[(a_.) + (b_.)*(x_)]*Sqrt[(c_) + (d_.)*(x_)]*Sqrt[(e_) + (f_.)*(x_)]), x_] :> Si
     mp[h/f   Int[Sqrt[e + f*x]/(Sqrt[a + b*x]*Sqrt[c + d*x]), x], x] + Simp[(f*g - e*h)/f   Int[1/(Sqrt[a + b*x]*S
     qrt[c + d*x]*Sqrt[e + f*x]), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, h}, x] && SimplerQ[a + b*x, e + f*x] && Sim
     plerQ[c + d*x, e + f*x]

177. Int[((a_.) + (b_.)*(x_))^(m_)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(n_)*((e_.) + (f_.)*(x_))^(p_)*((g_.) + (h_.)*(x_)), x_] :>
     Simp[h/b   Int[(a + b*x)^(m + 1)*(c + d*x)^n*(e + f*x)^p, x], x] + Simp[(b*g - a*h)/b   Int[(a + b*x)^m*(c +
     d*x)^n*(e + f*x)^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, h, m, n, p}, x] && (SumSimplerQ[m, 1] || ( !SumSimpl
     erQ[n, 1] &&  !SumSimplerQ[p, 1]))

178. Int[((a_.) + (b_.)*(x_))^(m_)*Sqrt[(c_.) + (d_.)*(x_)]*Sqrt[(e_.) + (f_.)*(x_)]*Sqrt[(g_.) + (h_.)*(x_)], x_]
     :> Simp[(a + b*x)^(m + 1)*Sqrt[c + d*x]*Sqrt[e + f*x]*(Sqrt[g + h*x]/(b*(m + 1))), x] - Simp[1/(2*b*(m + 1))
     Int[((a + b*x)^(m + 1)/(Sqrt[c + d*x]*Sqrt[e + f*x]*Sqrt[g + h*x]))*Simp[d*e*g + c*f*g + c*e*h + 2*(d*f*g + d
     *e*h + c*f*h)*x + 3*d*f*h*x^2, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, h, m}, x] && IntegerQ[2*m] && LtQ[m,
     -1]

179. Int[((a_.) + (b_.)*(x_))^(m_)*Sqrt[(c_.) + (d_.)*(x_)]*Sqrt[(e_.) + (f_.)*(x_)]*Sqrt[(g_.) + (h_.)*(x_)], x_]
     :> Simp[2*(a + b*x)^(m + 1)*Sqrt[c + d*x]*Sqrt[e + f*x]*(Sqrt[g + h*x]/(b*(2*m + 5))), x] + Simp[1/(b*(2*m + 5
     ))   Int[((a + b*x)^m/(Sqrt[c + d*x]*Sqrt[e + f*x]*Sqrt[g + h*x]))*Simp[3*b*c*e*g - a*(d*e*g + c*f*g + c*e*h)
     + 2*(b*(d*e*g + c*f*g + c*e*h) - a*(d*f*g + d*e*h + c*f*h))*x - (3*a*d*f*h - b*(d*f*g + d*e*h + c*f*h))*x^2, x
     ], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, h, m}, x] && IntegerQ[2*m] &&  !LtQ[m, -1]

180. Int[(((a_.) + (b_.)*(x_))^(m_)*Sqrt[(e_.) + (f_.)*(x_)]*Sqrt[(g_.) + (h_.)*(x_)])/Sqrt[(c_.) + (d_.)*(x_)], x_
     ] :> Simp[2*(a + b*x)^m*Sqrt[c + d*x]*Sqrt[e + f*x]*(Sqrt[g + h*x]/(d*(2*m + 3))), x] - Simp[1/(d*(2*m + 3))
     Int[((a + b*x)^(m - 1)/(Sqrt[c + d*x]*Sqrt[e + f*x]*Sqrt[g + h*x]))*Simp[2*b*c*e*g*m + a*(c*(f*g + e*h) - 2*d
     *e*g*(m + 1)) - (b*(2*d*e*g - c*(f*g + e*h)*(2*m + 1)) - a*(2*c*f*h - d*(2*m + 1)*(f*g + e*h)))*x - (2*a*d*f*h
     *m + b*(d*(f*g + e*h) - 2*c*f*h*(m + 1)))*x^2, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, h, m}, x] && IntegerQ
     [2*m] && GtQ[m, 0]

181. Int[(Sqrt[(e_.) + (f_.)*(x_)]*Sqrt[(g_.) + (h_.)*(x_)])/(((a_.) + (b_.)*(x_))*Sqrt[(c_.) + (d_.)*(x_)]), x_] :
     > Simp[(b*e - a*f)*((b*g - a*h)/b^2)   Int[1/((a + b*x)*Sqrt[c + d*x]*Sqrt[e + f*x]*Sqrt[g + h*x]), x], x] + S
     imp[1/b^2   Int[Simp[b*f*g + b*e*h - a*f*h + b*f*h*x, x]/(Sqrt[c + d*x]*Sqrt[e + f*x]*Sqrt[g + h*x]), x], x] /
     ; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, h}, x]

182. Int[(((a_.) + (b_.)*(x_))^(m_)*Sqrt[(e_.) + (f_.)*(x_)]*Sqrt[(g_.) + (h_.)*(x_)])/Sqrt[(c_.) + (d_.)*(x_)], x_
     ] :> Simp[(a + b*x)^(m + 1)*Sqrt[c + d*x]*Sqrt[e + f*x]*(Sqrt[g + h*x]/((m + 1)*(b*c - a*d))), x] - Simp[1/(2*
     (m + 1)*(b*c - a*d))   Int[((a + b*x)^(m + 1)/(Sqrt[c + d*x]*Sqrt[e + f*x]*Sqrt[g + h*x]))*Simp[c*(f*g + e*h)
     + d*e*g*(2*m + 3) + 2*(c*f*h + d*(m + 2)*(f*g + e*h))*x + d*f*h*(2*m + 5)*x^2, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d
     , e, f, g, h, m}, x] && IntegerQ[2*m] && LtQ[m, -1]

183. Int[Sqrt[(a_.) + (b_.)*(x_)]/(Sqrt[(c_.) + (d_.)*(x_)]*Sqrt[(e_.) + (f_.)*(x_)]*Sqrt[(g_.) + (h_.)*(x_)]), x_]
     :> Simp[2*(a + b*x)*Sqrt[(b*g - a*h)*((c + d*x)/((d*g - c*h)*(a + b*x)))]*(Sqrt[(b*g - a*h)*((e + f*x)/((f*g
     - e*h)*(a + b*x)))]/(Sqrt[c + d*x]*Sqrt[e + f*x]))   Subst[Int[1/((h - b*x^2)*Sqrt[1 + (b*c - a*d)*(x^2/(d*g -
     c*h))]*Sqrt[1 + (b*e - a*f)*(x^2/(f*g - e*h))]), x], x, Sqrt[g + h*x]/Sqrt[a + b*x]], x] /; FreeQ[{a, b, c, d
     , e, f, g, h}, x]

184. Int[((a_.) + (b_.)*(x_))^(3/2)/(Sqrt[(c_.) + (d_.)*(x_)]*Sqrt[(e_.) + (f_.)*(x_)]*Sqrt[(g_.) + (h_.)*(x_)]), x
     _] :> Simp[b/d   Int[Sqrt[a + b*x]*(Sqrt[c + d*x]/(Sqrt[e + f*x]*Sqrt[g + h*x])), x], x] - Simp[(b*c - a*d)/d
     Int[Sqrt[a + b*x]/(Sqrt[c + d*x]*Sqrt[e + f*x]*Sqrt[g + h*x]), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, h}, x]

185. Int[((a_.) + (b_.)*(x_))^(m_)/(Sqrt[(c_.) + (d_.)*(x_)]*Sqrt[(e_.) + (f_.)*(x_)]*Sqrt[(g_.) + (h_.)*(x_)]), x_
     ] :> Simp[2*b^2*(a + b*x)^(m - 2)*Sqrt[c + d*x]*Sqrt[e + f*x]*(Sqrt[g + h*x]/(d*f*h*(2*m - 1))), x] - Simp[1/(
     d*f*h*(2*m - 1))   Int[((a + b*x)^(m - 3)/(Sqrt[c + d*x]*Sqrt[e + f*x]*Sqrt[g + h*x]))*Simp[a*b^2*(d*e*g + c*f
     *g + c*e*h) + 2*b^3*c*e*g*(m - 2) - a^3*d*f*h*(2*m - 1) + b*(2*a*b*(d*f*g + d*e*h + c*f*h) + b^2*(2*m - 3)*(d*
     e*g + c*f*g + c*e*h) - 3*a^2*d*f*h*(2*m - 1))*x - 2*b^2*(m - 1)*(3*a*d*f*h - b*(d*f*g + d*e*h + c*f*h))*x^2, x
     ], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, h}, x] && IntegerQ[2*m] && GeQ[m, 2]

186. Int[1/(((a_.) + (b_.)*(x_))*Sqrt[(c_.) + (d_.)*(x_)]*Sqrt[(e_.) + (f_.)*(x_)]*Sqrt[(g_.) + (h_.)*(x_)]), x_] :
     > Simp[-2   Subst[Int[1/(Simp[b*c - a*d - b*x^2, x]*Sqrt[Simp[(d*e - c*f)/d + f*(x^2/d), x]]*Sqrt[Simp[(d*g -
     c*h)/d + h*(x^2/d), x]]), x], x, Sqrt[c + d*x]], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, h}, x] && GtQ[(d*e - c*f)/d
     , 0]

187. Int[1/(((a_.) + (b_.)*(x_))*Sqrt[(c_.) + (d_.)*(x_)]*Sqrt[(e_.) + (f_.)*(x_)]*Sqrt[(g_.) + (h_.)*(x_)]), x_] :
     > Simp[-2   Subst[Int[1/(Simp[b*c - a*d - b*x^2, x]*Sqrt[Simp[(d*e - c*f)/d + f*(x^2/d), x]]*Sqrt[Simp[(d*g -
     c*h)/d + h*(x^2/d), x]]), x], x, Sqrt[c + d*x]], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, h}, x] &&  !SimplerQ[e + f*
     x, c + d*x] &&  !SimplerQ[g + h*x, c + d*x]

188. Int[1/(Sqrt[(a_.) + (b_.)*(x_)]*Sqrt[(c_.) + (d_.)*(x_)]*Sqrt[(e_.) + (f_.)*(x_)]*Sqrt[(g_.) + (h_.)*(x_)]), x
     _] :> Simp[2*Sqrt[g + h*x]*(Sqrt[(b*e - a*f)*((c + d*x)/((d*e - c*f)*(a + b*x)))]/((f*g - e*h)*Sqrt[c + d*x]*S
     qrt[(-(b*e - a*f))*((g + h*x)/((f*g - e*h)*(a + b*x)))]))   Subst[Int[1/(Sqrt[1 + (b*c - a*d)*(x^2/(d*e - c*f)
     )]*Sqrt[1 - (b*g - a*h)*(x^2/(f*g - e*h))]), x], x, Sqrt[e + f*x]/Sqrt[a + b*x]], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e,
     f, g, h}, x]

189. Int[1/(((a_.) + (b_.)*(x_))^(3/2)*Sqrt[(c_.) + (d_.)*(x_)]*Sqrt[(e_.) + (f_.)*(x_)]*Sqrt[(g_.) + (h_.)*(x_)]),
     x_] :> Simp[-d/(b*c - a*d)   Int[1/(Sqrt[a + b*x]*Sqrt[c + d*x]*Sqrt[e + f*x]*Sqrt[g + h*x]), x], x] + Simp[b
     /(b*c - a*d)   Int[Sqrt[c + d*x]/((a + b*x)^(3/2)*Sqrt[e + f*x]*Sqrt[g + h*x]), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e
     , f, g, h}, x]

190. Int[((a_.) + (b_.)*(x_))^(m_)/(Sqrt[(c_.) + (d_.)*(x_)]*Sqrt[(e_.) + (f_.)*(x_)]*Sqrt[(g_.) + (h_.)*(x_)]), x_
     ] :> Simp[b^2*(a + b*x)^(m + 1)*Sqrt[c + d*x]*Sqrt[e + f*x]*(Sqrt[g + h*x]/((m + 1)*(b*c - a*d)*(b*e - a*f)*(b
     *g - a*h))), x] - Simp[1/(2*(m + 1)*(b*c - a*d)*(b*e - a*f)*(b*g - a*h))   Int[((a + b*x)^(m + 1)/(Sqrt[c + d*
     x]*Sqrt[e + f*x]*Sqrt[g + h*x]))*Simp[2*a^2*d*f*h*(m + 1) - 2*a*b*(m + 1)*(d*f*g + d*e*h + c*f*h) + b^2*(2*m +
     3)*(d*e*g + c*f*g + c*e*h) - 2*b*(a*d*f*h*(m + 1) - b*(m + 2)*(d*f*g + d*e*h + c*f*h))*x + d*f*h*(2*m + 5)*b^
     2*x^2, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, h}, x] && IntegerQ[2*m] && LeQ[m, -2]

191. Int[(Sqrt[(a_.) + (b_.)*(x_)]*Sqrt[(c_.) + (d_.)*(x_)])/(Sqrt[(e_.) + (f_.)*(x_)]*Sqrt[(g_.) + (h_.)*(x_)]), x
     _] :> Simp[Sqrt[a + b*x]*Sqrt[c + d*x]*(Sqrt[g + h*x]/(h*Sqrt[e + f*x])), x] + (-Simp[(d*e - c*f)*((f*g - e*h)
     /(2*f*h))   Int[Sqrt[a + b*x]/(Sqrt[c + d*x]*(e + f*x)^(3/2)*Sqrt[g + h*x]), x], x] + Simp[(a*d*f*h - b*(d*f*g
     + d*e*h - c*f*h))/(2*f^2*h)   Int[Sqrt[e + f*x]/(Sqrt[a + b*x]*Sqrt[c + d*x]*Sqrt[g + h*x]), x], x] + Simp[(d
     *e - c*f)*((b*f*g + b*e*h - 2*a*f*h)/(2*f^2*h))   Int[1/(Sqrt[a + b*x]*Sqrt[c + d*x]*Sqrt[e + f*x]*Sqrt[g + h*
     x]), x], x]) /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, h}, x]

192. Int[(((a_.) + (b_.)*(x_))^(m_)*Sqrt[(c_.) + (d_.)*(x_)])/(Sqrt[(e_.) + (f_.)*(x_)]*Sqrt[(g_.) + (h_.)*(x_)]),
     x_] :> Simp[2*b*(a + b*x)^(m - 1)*Sqrt[c + d*x]*Sqrt[e + f*x]*(Sqrt[g + h*x]/(f*h*(2*m + 1))), x] - Simp[1/(f*
     h*(2*m + 1))   Int[((a + b*x)^(m - 2)/(Sqrt[c + d*x]*Sqrt[e + f*x]*Sqrt[g + h*x]))*Simp[a*b*(d*e*g + c*(f*g +
     e*h)) + 2*b^2*c*e*g*(m - 1) - a^2*c*f*h*(2*m + 1) + (b^2*(2*m - 1)*(d*e*g + c*(f*g + e*h)) - a^2*d*f*h*(2*m +
     1) + 2*a*b*(d*f*g + d*e*h - 2*c*f*h*m))*x - b*(a*d*f*h*(4*m - 1) + b*(c*f*h - 2*d*(f*g + e*h)*m))*x^2, x], x],
     x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, h, m}, x] && IntegerQ[2*m] && GtQ[m, 1]

193. Int[Sqrt[(c_.) + (d_.)*(x_)]/(((a_.) + (b_.)*(x_))*Sqrt[(e_.) + (f_.)*(x_)]*Sqrt[(g_.) + (h_.)*(x_)]), x_] :>
     Simp[d/b   Int[1/(Sqrt[c + d*x]*Sqrt[e + f*x]*Sqrt[g + h*x]), x], x] + Simp[(b*c - a*d)/b   Int[1/((a + b*x)*S
     qrt[c + d*x]*Sqrt[e + f*x]*Sqrt[g + h*x]), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, h}, x]

194. Int[Sqrt[(c_.) + (d_.)*(x_)]/(((a_.) + (b_.)*(x_))^(3/2)*Sqrt[(e_.) + (f_.)*(x_)]*Sqrt[(g_.) + (h_.)*(x_)]), x
     _] :> Simp[-2*Sqrt[c + d*x]*(Sqrt[(-(b*e - a*f))*((g + h*x)/((f*g - e*h)*(a + b*x)))]/((b*e - a*f)*Sqrt[g + h*
     x]*Sqrt[(b*e - a*f)*((c + d*x)/((d*e - c*f)*(a + b*x)))]))   Subst[Int[Sqrt[1 + (b*c - a*d)*(x^2/(d*e - c*f))]
     /Sqrt[1 - (b*g - a*h)*(x^2/(f*g - e*h))], x], x, Sqrt[e + f*x]/Sqrt[a + b*x]], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f,
     g, h}, x]

195. Int[(((a_.) + (b_.)*(x_))^(m_)*Sqrt[(c_.) + (d_.)*(x_)])/(Sqrt[(e_.) + (f_.)*(x_)]*Sqrt[(g_.) + (h_.)*(x_)]),
     x_] :> Simp[b*(a + b*x)^(m + 1)*Sqrt[c + d*x]*Sqrt[e + f*x]*(Sqrt[g + h*x]/((m + 1)*(b*e - a*f)*(b*g - a*h))),
     x] + Simp[1/(2*(m + 1)*(b*e - a*f)*(b*g - a*h))   Int[((a + b*x)^(m + 1)/(Sqrt[c + d*x]*Sqrt[e + f*x]*Sqrt[g
     + h*x]))*Simp[2*a*c*f*h*(m + 1) - b*(d*e*g + c*(2*m + 3)*(f*g + e*h)) + 2*(a*d*f*h*(m + 1) - b*(m + 2)*(d*f*g
     + d*e*h + c*f*h))*x - b*d*f*h*(2*m + 5)*x^2, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, h, m}, x] && IntegerQ[2
     *m] && LeQ[m, -2]

196. Int[(((e_.) + (f_.)*(x_))^(p_)*((g_.) + (h_.)*(x_))^(q_))/(((a_.) + (b_.)*(x_))*((c_.) + (d_.)*(x_))), x_] :>
     Simp[(b*e - a*f)/(b*c - a*d)   Int[(e + f*x)^(p - 1)*((g + h*x)^q/(a + b*x)), x], x] - Simp[(d*e - c*f)/(b*c -
     a*d)   Int[(e + f*x)^(p - 1)*((g + h*x)^q/(c + d*x)), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, h, q}, x] && LtQ[
     0, p, 1]

197. Int[(((a_.) + (b_.)*(x_))^(m_.)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(n_))/(Sqrt[(e_.) + (f_.)*(x_)]*Sqrt[(g_.) + (h_.)*(x_)])
     , x_] :> Int[ExpandIntegrand[1/(Sqrt[c + d*x]*Sqrt[e + f*x]*Sqrt[g + h*x]), (a + b*x)^m*(c + d*x)^(n + 1/2), x
     ], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, h}, x] && IntegerQ[m] && IntegerQ[n + 1/2]

198. Int[((a_.) + (b_.)*(x_))^(m_)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(n_)*((e_.) + (f_.)*(x_))^(p_)*((g_.) + (h_.)*(x_))^(q_), x
     _] :> Int[ExpandIntegrand[(a + b*x)^m*(c + d*x)^n*(e + f*x)^p*(g + h*x)^q, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f,
     g, h, m, n}, x] && IntegersQ[p, q]

199. Int[((a_.) + (b_.)*(x_))^(m_)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(n_)*((e_.) + (f_.)*(x_))^(p_)*((g_.) + (h_.)*(x_))^(q_), x
     _] :> Simp[h/b   Int[(a + b*x)^(m + 1)*(c + d*x)^n*(e + f*x)^p*(g + h*x)^(q - 1), x], x] + Simp[(b*g - a*h)/b
     Int[(a + b*x)^m*(c + d*x)^n*(e + f*x)^p*(g + h*x)^(q - 1), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, h, m, n, p}
     , x] && IGtQ[q, 0] && (SumSimplerQ[m, 1] || ( !SumSimplerQ[n, 1] &&  !SumSimplerQ[p, 1]))

200. Int[((a_.) + (b_.)*(x_))^(m_.)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(n_.)*((e_.) + (f_.)*(x_))^(p_.)*((g_.) + (h_.)*(x_))^(q_.
     ), x_] :> CannotIntegrate[(a + b*x)^m*(c + d*x)^n*(e + f*x)^p*(g + h*x)^q, x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, h
     , m, n, p, q}, x]

201. Int[((a_.) + (b_.)*(u_))^(m_.)*((c_.) + (d_.)*(u_))^(n_.)*((e_.) + (f_.)*(u_))^(p_.)*((g_.) + (h_.)*(u_))^(q_.
     ), x_Symbol] :> Simp[1/Coefficient[u, x, 1]   Subst[Int[(a + b*x)^m*(c + d*x)^n*(e + f*x)^p*(g + h*x)^q, x], x
     , u], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, h, m, n, p, q}, x] && LinearQ[u, x] && NeQ[u, x]

202. Int[((i_.)*((a_.) + (b_.)*(x_))^(m_)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(n_)*((e_.) + (f_.)*(x_))^(p_)*((g_.) + (h_.)*(x_))^
     (q_))^(r_), x_Symbol] :> Simp[(i*(a + b*x)^m*(c + d*x)^n*(e + f*x)^p*(g + h*x)^q)^r/((a + b*x)^(m*r)*(c + d*x)
     ^(n*r)*(e + f*x)^(p*r)*(g + h*x)^(q*r))   Int[(a + b*x)^(m*r)*(c + d*x)^(n*r)*(e + f*x)^(p*r)*(g + h*x)^(q*r),
     x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, h, i, m, n, p, q, r}, x]

203. Int[(u_)^(m_), x_Symbol] :> Int[ExpandToSum[u, x]^m, x] /; FreeQ[m, x] && LinearQ[u, x] &&  !LinearMatchQ[u, x
     ]

204. Int[(u_)^(m_.)*(v_)^(n_.), x_Symbol] :> Int[ExpandToSum[u, x]^m*ExpandToSum[v, x]^n, x] /; FreeQ[{m, n}, x] &&
     LinearQ[{u, v}, x] &&  !LinearMatchQ[{u, v}, x]

205. Int[(u_)^(m_.)*(v_)^(n_.)*(w_)^(p_.), x_Symbol] :> Int[ExpandToSum[u, x]^m*ExpandToSum[v, x]^n*ExpandToSum[w,
     x]^p, x] /; FreeQ[{m, n, p}, x] && LinearQ[{u, v, w}, x] &&  !LinearMatchQ[{u, v, w}, x]

206. Int[(u_)^(m_.)*(v_)^(n_.)*(w_)^(p_.)*(z_)^(q_.), x_Symbol] :> Int[ExpandToSum[u, x]^m*ExpandToSum[v, x]^n*Expa
     ndToSum[w, x]^p*ExpandToSum[z, x]^q, x] /; FreeQ[{m, n, p, q}, x] && LinearQ[{u, v, w, z}, x] &&  !LinearMatch
     Q[{u, v, w, z}, x]

207. Int[((b_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Simp[b^IntPart[p]*((b*x^2)^FracPart[p]/x^(2*FracPart[p]))   Int[x^(2*p),
     x], x] /; FreeQ[{b, p}, x]

208. Int[((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(-3/2), x_Symbol] :> Simp[x/(a*Sqrt[a + b*x^2]), x] /; FreeQ[{a, b}, x]

209. Int[((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Simp[(-x)*((a + b*x^2)^(p + 1)/(2*a*(p + 1))), x] + Simp[(2*p + 3
     )/(2*a*(p + 1))   Int[(a + b*x^2)^(p + 1), x], x] /; FreeQ[{a, b}, x] && ILtQ[p + 3/2, 0]

210. Int[((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Int[ExpandIntegrand[(a + b*x^2)^p, x], x] /; FreeQ[{a, b}, x] &&
     IGtQ[p, 0]

211. Int[((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Simp[x*((a + b*x^2)^p/(2*p + 1)), x] + Simp[2*a*(p/(2*p + 1))   I
     nt[(a + b*x^2)^(p - 1), x], x] /; FreeQ[{a, b}, x] && GtQ[p, 0] && (IntegerQ[4*p] || IntegerQ[6*p])

212. Int[((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(-5/4), x_Symbol] :> Simp[(2/(a^(5/4)*Rt[b/a, 2]))*EllipticE[(1/2)*ArcTan[Rt[b/a, 2]
     *x], 2], x] /; FreeQ[{a, b}, x] && GtQ[a, 0] && PosQ[b/a]

213. Int[((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(-5/4), x_Symbol] :> Simp[(1 + b*(x^2/a))^(1/4)/(a*(a + b*x^2)^(1/4))   Int[1/(1 + b
     *(x^2/a))^(5/4), x], x] /; FreeQ[{a, b}, x] && PosQ[a] && PosQ[b/a]

214. Int[((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(-7/6), x_Symbol] :> Simp[1/((a + b*x^2)^(2/3)*(a/(a + b*x^2))^(2/3))   Subst[Int[1/
     (1 - b*x^2)^(1/3), x], x, x/Sqrt[a + b*x^2]], x] /; FreeQ[{a, b}, x]

215. Int[((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Simp[(-x)*((a + b*x^2)^(p + 1)/(2*a*(p + 1))), x] + Simp[(2*p + 3
     )/(2*a*(p + 1))   Int[(a + b*x^2)^(p + 1), x], x] /; FreeQ[{a, b}, x] && LtQ[p, -1] && (IntegerQ[4*p] || Integ
     erQ[6*p])

216. Int[((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(-1), x_Symbol] :> Simp[(1/(Rt[a, 2]*Rt[b, 2]))*ArcTan[Rt[b, 2]*(x/Rt[a, 2])], x] /;
     FreeQ[{a, b}, x] && PosQ[a/b] && (GtQ[a, 0] || GtQ[b, 0])

217. Int[((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(-1), x_Symbol] :> Simp[(-(Rt[-a, 2]*Rt[-b, 2])^(-1))*ArcTan[Rt[-b, 2]*(x/Rt[-a, 2])
     ], x] /; FreeQ[{a, b}, x] && PosQ[a/b] && (LtQ[a, 0] || LtQ[b, 0])

218. Int[((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(-1), x_Symbol] :> Simp[(Rt[a/b, 2]/a)*ArcTan[x/Rt[a/b, 2]], x] /; FreeQ[{a, b}, x]
     && PosQ[a/b]

219. Int[((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(-1), x_Symbol] :> Simp[(1/(Rt[a, 2]*Rt[-b, 2]))*ArcTanh[Rt[-b, 2]*(x/Rt[a, 2])], x]
     /; FreeQ[{a, b}, x] && NegQ[a/b] && (GtQ[a, 0] || LtQ[b, 0])

220. Int[((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(-1), x_Symbol] :> Simp[(-(Rt[-a, 2]*Rt[b, 2])^(-1))*ArcTanh[Rt[b, 2]*(x/Rt[-a, 2])]
     , x] /; FreeQ[{a, b}, x] && NegQ[a/b] && (LtQ[a, 0] || GtQ[b, 0])

221. Int[((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(-1), x_Symbol] :> Simp[(Rt[-a/b, 2]/a)*ArcTanh[x/Rt[-a/b, 2]], x] /; FreeQ[{a, b},
     x] && NegQ[a/b]

222. Int[1/Sqrt[(a_) + (b_.)*(x_)^2], x_Symbol] :> Simp[ArcSinh[Rt[b, 2]*(x/Sqrt[a])]/Rt[b, 2], x] /; FreeQ[{a, b},
     x] && GtQ[a, 0] && PosQ[b]

223. Int[1/Sqrt[(a_) + (b_.)*(x_)^2], x_Symbol] :> Simp[ArcSin[Rt[-b, 2]*(x/Sqrt[a])]/Rt[-b, 2], x] /; FreeQ[{a, b}
     , x] && GtQ[a, 0] && NegQ[b]

224. Int[1/Sqrt[(a_) + (b_.)*(x_)^2], x_Symbol] :> Subst[Int[1/(1 - b*x^2), x], x, x/Sqrt[a + b*x^2]] /; FreeQ[{a,
     b}, x] &&  !GtQ[a, 0]

225. Int[((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(-1/4), x_Symbol] :> Simp[2*(x/(a + b*x^2)^(1/4)), x] - Simp[a   Int[1/(a + b*x^2)^(
     5/4), x], x] /; FreeQ[{a, b}, x] && GtQ[a, 0] && PosQ[b/a]

226. Int[((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(-1/4), x_Symbol] :> Simp[(2/(a^(1/4)*Rt[-b/a, 2]))*EllipticE[(1/2)*ArcSin[Rt[-b/a,
     2]*x], 2], x] /; FreeQ[{a, b}, x] && GtQ[a, 0] && NegQ[b/a]

227. Int[((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(-1/4), x_Symbol] :> Simp[(1 + b*(x^2/a))^(1/4)/(a + b*x^2)^(1/4)   Int[1/(1 + b*(x^
     2/a))^(1/4), x], x] /; FreeQ[{a, b}, x] && PosQ[a]

228. Int[((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(-1/4), x_Symbol] :> Simp[2*(Sqrt[(-b)*(x^2/a)]/(b*x))   Subst[Int[x^2/Sqrt[1 - x^4/
     a], x], x, (a + b*x^2)^(1/4)], x] /; FreeQ[{a, b}, x] && NegQ[a]

229. Int[((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(-3/4), x_Symbol] :> Simp[(2/(a^(3/4)*Rt[b/a, 2]))*EllipticF[(1/2)*ArcTan[Rt[b/a, 2]
     *x], 2], x] /; FreeQ[{a, b}, x] && GtQ[a, 0] && PosQ[b/a]

230. Int[((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(-3/4), x_Symbol] :> Simp[(2/(a^(3/4)*Rt[-b/a, 2]))*EllipticF[(1/2)*ArcSin[Rt[-b/a,
     2]*x], 2], x] /; FreeQ[{a, b}, x] && GtQ[a, 0] && NegQ[b/a]

231. Int[((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(-3/4), x_Symbol] :> Simp[(1 + b*(x^2/a))^(3/4)/(a + b*x^2)^(3/4)   Int[1/(1 + b*(x^
     2/a))^(3/4), x], x] /; FreeQ[{a, b}, x] && PosQ[a]

232. Int[((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(-3/4), x_Symbol] :> Simp[2*(Sqrt[(-b)*(x^2/a)]/(b*x))   Subst[Int[1/Sqrt[1 - x^4/a]
     , x], x, (a + b*x^2)^(1/4)], x] /; FreeQ[{a, b}, x] && NegQ[a]

233. Int[((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(-1/3), x_Symbol] :> Simp[3*(Sqrt[b*x^2]/(2*b*x))   Subst[Int[x/Sqrt[-a + x^3], x],
     x, (a + b*x^2)^(1/3)], x] /; FreeQ[{a, b}, x]

234. Int[((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(-2/3), x_Symbol] :> Simp[3*(Sqrt[b*x^2]/(2*b*x))   Subst[Int[1/Sqrt[-a + x^3], x],
     x, (a + b*x^2)^(1/3)], x] /; FreeQ[{a, b}, x]

235. Int[((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(-1/6), x_Symbol] :> Simp[3*(x/(2*(a + b*x^2)^(1/6))), x] - Simp[a/2   Int[1/(a + b*
     x^2)^(7/6), x], x] /; FreeQ[{a, b}, x]

236. Int[((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(-5/6), x_Symbol] :> Simp[1/((a/(a + b*x^2))^(1/3)*(a + b*x^2)^(1/3))   Subst[Int[1/
     (1 - b*x^2)^(2/3), x], x, x/Sqrt[a + b*x^2]], x] /; FreeQ[{a, b}, x]

237. Int[((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Simp[a^p*x*Hypergeometric2F1[-p, 1/2, 1/2 + 1, (-b)*(x^2/a)], x]
     /; FreeQ[{a, b, p}, x] &&  !IntegerQ[2*p] && GtQ[a, 0]

238. Int[((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Simp[a^IntPart[p]*((a + b*x^2)^FracPart[p]/(1 + b*(x^2/a))^FracPa
     rt[p])   Int[(1 + b*(x^2/a))^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, p}, x] &&  !IntegerQ[2*p] &&  !GtQ[a, 0]

239. Int[((a_.) + (b_.)*(v_)^(n_))^(p_), x_Symbol] :> Simp[1/Coefficient[v, x, 1]   Subst[Int[(a + b*x^n)^p, x], x,
     v], x] /; FreeQ[{a, b, n, p}, x] && LinearQ[v, x] && NeQ[v, x]

240. Int[(x_)/((a_) + (b_.)*(x_)^2), x_Symbol] :> Simp[Log[RemoveContent[a + b*x^2, x]]/(2*b), x] /; FreeQ[{a, b},
     x]

241. Int[(x_)*((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Simp[(a + b*x^2)^(p + 1)/(2*b*(p + 1)), x] /; FreeQ[{a, b, p
     }, x] && NeQ[p, -1]

242. Int[((c_.)*(x_))^(m_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Simp[(c*x)^(m + 1)*((a + b*x^2)^(p + 1)/(a*c*(
     m + 1))), x] /; FreeQ[{a, b, c, m, p}, x] && EqQ[m + 2*p + 3, 0] && NeQ[m, -1]

243. Int[(x_)^(m_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Simp[1/2   Subst[Int[x^((m - 1)/2)*(a + b*x)^p, x], x,
     x^2], x] /; FreeQ[{a, b, m, p}, x] && IntegerQ[(m - 1)/2]

244. Int[((c_.)*(x_))^(m_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(p_.), x_Symbol] :> Int[ExpandIntegrand[(c*x)^m*(a + b*x^2)^p, x]
     , x] /; FreeQ[{a, b, c, m}, x] && IGtQ[p, 0]

245. Int[(x_)^(m_)*((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Simp[x^(m + 1)*((a + b*x^2)^(p + 1)/(a*(m + 1))), x] -
     Simp[b*((m + 2*(p + 1) + 1)/(a*(m + 1)))   Int[x^(m + 2)*(a + b*x^2)^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, m, p}, x] && IL
     tQ[Simplify[(m + 1)/2 + p + 1], 0] && NeQ[m, -1]

246. Int[((c_.)*(x_))^(m_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Simp[(-(c*x)^(m + 1))*((a + b*x^2)^(p + 1)/(a*
     c*2*(p + 1))), x] + Simp[(m + 2*p + 3)/(a*2*(p + 1))   Int[(c*x)^m*(a + b*x^2)^(p + 1), x], x] /; FreeQ[{a, b,
     c, m, p}, x] && ILtQ[Simplify[(m + 1)/2 + p + 1], 0] && NeQ[p, -1]

247. Int[((c_.)*(x_))^(m_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Simp[(c*x)^(m + 1)*((a + b*x^2)^p/(c*(m + 1)))
     , x] - Simp[2*b*(p/(c^2*(m + 1)))   Int[(c*x)^(m + 2)*(a + b*x^2)^(p - 1), x], x] /; FreeQ[{a, b, c}, x] && Gt
     Q[p, 0] && LtQ[m, -1] &&  !ILtQ[(m + 2*p + 3)/2, 0] && IntBinomialQ[a, b, c, 2, m, p, x]

248. Int[((c_.)*(x_))^(m_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Simp[(c*x)^(m + 1)*((a + b*x^2)^p/(c*(m + 2*p
     + 1))), x] + Simp[2*a*(p/(m + 2*p + 1))   Int[(c*x)^m*(a + b*x^2)^(p - 1), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, m}, x] &&
     GtQ[p, 0] && NeQ[m + 2*p + 1, 0] && IntBinomialQ[a, b, c, 2, m, p, x]

249. Int[Sqrt[(c_.)*(x_)]/((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(5/4), x_Symbol] :> Simp[Sqrt[c*x]*((1 + a/(b*x^2))^(1/4)/(b*(a + b
     *x^2)^(1/4)))   Int[1/(x^2*(1 + a/(b*x^2))^(5/4)), x], x] /; FreeQ[{a, b, c}, x] && PosQ[b/a]

250. Int[((c_.)*(x_))^(m_)/((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(5/4), x_Symbol] :> Simp[2*c*((c*x)^(m - 1)/(b*(2*m - 3)*(a + b*x^
     2)^(1/4))), x] - Simp[2*a*c^2*((m - 1)/(b*(2*m - 3)))   Int[(c*x)^(m - 2)/(a + b*x^2)^(5/4), x], x] /; FreeQ[{
     a, b, c}, x] && PosQ[b/a] && IntegerQ[2*m] && GtQ[m, 3/2]

251. Int[((c_.)*(x_))^(m_)/((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(5/4), x_Symbol] :> Simp[(c*x)^(m + 1)/(a*c*(m + 1)*(a + b*x^2)^(1
     /4)), x] - Simp[b*((2*m + 1)/(2*a*c^2*(m + 1)))   Int[(c*x)^(m + 2)/(a + b*x^2)^(5/4), x], x] /; FreeQ[{a, b,
     c}, x] && PosQ[b/a] && IntegerQ[2*m] && LtQ[m, -1]

252. Int[((c_.)*(x_))^(m_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Simp[c*(c*x)^(m - 1)*((a + b*x^2)^(p + 1)/(2*b
     *(p + 1))), x] - Simp[c^2*((m - 1)/(2*b*(p + 1)))   Int[(c*x)^(m - 2)*(a + b*x^2)^(p + 1), x], x] /; FreeQ[{a,
     b, c}, x] && LtQ[p, -1] && GtQ[m, 1] &&  !ILtQ[(m + 2*p + 3)/2, 0] && IntBinomialQ[a, b, c, 2, m, p, x]

253. Int[((c_.)*(x_))^(m_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Simp[(-(c*x)^(m + 1))*((a + b*x^2)^(p + 1)/(2*
     a*c*(p + 1))), x] + Simp[(m + 2*p + 3)/(2*a*(p + 1))   Int[(c*x)^m*(a + b*x^2)^(p + 1), x], x] /; FreeQ[{a, b,
     c, m}, x] && LtQ[p, -1] && IntBinomialQ[a, b, c, 2, m, p, x]

254. Int[(x_)^(m_)/((a_) + (b_.)*(x_)^2), x_Symbol] :> Int[PolynomialDivide[x^m, a + b*x^2, x], x] /; FreeQ[{a, b},
     x] && IGtQ[m, 3]

255. Int[Sqrt[(c_)*(x_)]/((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(1/4), x_Symbol] :> Simp[x*(Sqrt[c*x]/(a + b*x^2)^(1/4)), x] - Simp[
     a/2   Int[Sqrt[c*x]/(a + b*x^2)^(5/4), x], x] /; FreeQ[{a, b, c}, x] && PosQ[b/a]

256. Int[Sqrt[(c_)*(x_)]/((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(1/4), x_Symbol] :> Simp[c*((a + b*x^2)^(3/4)/(b*Sqrt[c*x])), x] + S
     imp[a*(c^2/(2*b))   Int[1/((c*x)^(3/2)*(a + b*x^2)^(1/4)), x], x] /; FreeQ[{a, b, c}, x] && NegQ[b/a]

257. Int[1/(((c_.)*(x_))^(3/2)*((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(1/4)), x_Symbol] :> Simp[-2/(c*Sqrt[c*x]*(a + b*x^2)^(1/4)),
     x] - Simp[b/c^2   Int[Sqrt[c*x]/(a + b*x^2)^(5/4), x], x] /; FreeQ[{a, b, c}, x] && PosQ[b/a]

258. Int[1/(((c_.)*(x_))^(3/2)*((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(1/4)), x_Symbol] :> Simp[Sqrt[c*x]*((1 + a/(b*x^2))^(1/4)/(c^
     2*(a + b*x^2)^(1/4)))   Int[1/(x^2*(1 + a/(b*x^2))^(1/4)), x], x] /; FreeQ[{a, b, c}, x] && NegQ[b/a]

259. Int[Sqrt[x_]/Sqrt[(a_) + (b_.)*(x_)^2], x_Symbol] :> Simp[-2/(Sqrt[a]*(-b/a)^(3/4))   Subst[Int[Sqrt[1 - 2*x^2
     ]/Sqrt[1 - x^2], x], x, Sqrt[1 - Sqrt[-b/a]*x]/Sqrt[2]], x] /; FreeQ[{a, b}, x] && GtQ[-b/a, 0] && GtQ[a, 0]

260. Int[Sqrt[x_]/Sqrt[(a_) + (b_.)*(x_)^2], x_Symbol] :> Simp[Sqrt[1 + b*(x^2/a)]/Sqrt[a + b*x^2]   Int[Sqrt[x]/Sq
     rt[1 + b*(x^2/a)], x], x] /; FreeQ[{a, b}, x] && GtQ[-b/a, 0] &&  !GtQ[a, 0]

261. Int[Sqrt[(c_)*(x_)]/Sqrt[(a_) + (b_.)*(x_)^2], x_Symbol] :> Simp[Sqrt[c*x]/Sqrt[x]   Int[Sqrt[x]/Sqrt[a + b*x^
     2], x], x] /; FreeQ[{a, b, c}, x] && GtQ[-b/a, 0]

262. Int[((c_.)*(x_))^(m_)*((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Simp[c*(c*x)^(m - 1)*((a + b*x^2)^(p + 1)/(b*(m
     + 2*p + 1))), x] - Simp[a*c^2*((m - 1)/(b*(m + 2*p + 1)))   Int[(c*x)^(m - 2)*(a + b*x^2)^p, x], x] /; FreeQ[
     {a, b, c, p}, x] && GtQ[m, 2 - 1] && NeQ[m + 2*p + 1, 0] && IntBinomialQ[a, b, c, 2, m, p, x]

263. Int[((c_.)*(x_))^(m_)*((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Simp[c*(c*x)^(m - 1)*((a + b*x^2)^(p + 1)/(b*(m
     + 2*p + 1))), x] - Simp[a*c^2*((m - 1)/(b*(m + 2*p + 1)))   Int[(c*x)^(m - 2)*(a + b*x^2)^p, x], x] /; FreeQ[
     {a, b, c, m, p}, x] && SumSimplerQ[m, -2] && NeQ[m + 2*p + 1, 0] && ILtQ[Simplify[(m + 1)/2 + p], 0]

264. Int[((c_.)*(x_))^(m_)*((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Simp[(c*x)^(m + 1)*((a + b*x^2)^(p + 1)/(a*c*(m
     + 1))), x] - Simp[b*((m + 2*p + 3)/(a*c^2*(m + 1)))   Int[(c*x)^(m + 2)*(a + b*x^2)^p, x], x] /; FreeQ[{a, b,
     c, p}, x] && LtQ[m, -1] && IntBinomialQ[a, b, c, 2, m, p, x]

265. Int[((c_.)*(x_))^(m_)*((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Simp[(c*x)^(m + 1)*((a + b*x^2)^(p + 1)/(a*c*(m
     + 1))), x] - Simp[b*((m + 2*p + 3)/(a*c^2*(m + 1)))   Int[(c*x)^(m + 2)*(a + b*x^2)^p, x], x] /; FreeQ[{a, b,
     c, m, p}, x] && SumSimplerQ[m, 2] && ILtQ[Simplify[(m + 1)/2 + p], 0]

266. Int[((c_.)*(x_))^(m_)*((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> With[{k = Denominator[m]}, Simp[k/c   Subst[Int
     [x^(k*(m + 1) - 1)*(a + b*(x^(2*k)/c^2))^p, x], x, (c*x)^(1/k)], x]] /; FreeQ[{a, b, c, p}, x] && FractionQ[m]
     && IntBinomialQ[a, b, c, 2, m, p, x]

267. Int[(x_)^(m_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Simp[a^(p + (m + 1)/2)   Subst[Int[x^m/(1 - b*x^2)^(p
     + (m + 1)/2 + 1), x], x, x/(a + b*x^2)^(1/2)], x] /; FreeQ[{a, b}, x] && LtQ[-1, p, 0] && NeQ[p, -2^(-1)] && I
     ntegersQ[m, p + (m + 1)/2]

268. Int[(x_)^(m_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Simp[(a/(a + b*x^2))^(p + (m + 1)/2)*(a + b*x^2)^(p +
     (m + 1)/2)   Subst[Int[x^m/(1 - b*x^2)^(p + (m + 1)/2 + 1), x], x, x/(a + b*x^2)^(1/2)], x] /; FreeQ[{a, b}, x
     ] && LtQ[-1, p, 0] && NeQ[p, -2^(-1)] && IntegerQ[m] && LtQ[Denominator[p + (m + 1)/2], Denominator[p]]

269. Int[(x_)^(m_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Simp[x^(m + 1)*((a + b*x^2)^p/(m + 1)), x] - Simp[2*b*
     (p/(m + 1))   Int[x^(m + 2)*(a + b*x^2)^(p - 1), x], x] /; FreeQ[{a, b, m}, x] && EqQ[(m + 1)/2 + p, 0] && GtQ
     [p, 0]

270. Int[((c_)*(x_))^(m_)*((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Simp[c^IntPart[m]*((c*x)^FracPart[m]/x^FracPart[
     m])   Int[x^m*(a + b*x^2)^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, m}, x] && EqQ[(m + 1)/2 + p, 0] && GtQ[p, 0]

271. Int[((c_.)*(x_))^(m_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Simp[(c*x)^(m + 1)*((a + b*x^2)^p/(c*(m + 2*p
     + 1))), x] + Simp[2*a*(p/(m + 2*p + 1))   Int[(c*x)^m*(a + b*x^2)^(p - 1), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, m}, x] &&
     IntegerQ[p + Simplify[(m + 1)/2]] && GtQ[p, 0] && NeQ[m + 2*p + 1, 0]

272. Int[(x_)^(m_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> With[{k = Denominator[p]}, Simp[k*(a^(p + Simplify[(m
     + 1)/2])/2)   Subst[Int[x^(k*Simplify[(m + 1)/2] - 1)/(1 - b*x^k)^(p + Simplify[(m + 1)/2] + 1), x], x, x^(2/k
     )/(a + b*x^2)^(1/k)], x]] /; FreeQ[{a, b, m}, x] && IntegerQ[p + Simplify[(m + 1)/2]] && LtQ[-1, p, 0]

273. Int[((c_)*(x_))^(m_)*((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Simp[c^IntPart[m]*((c*x)^FracPart[m]/x^FracPart[
     m])   Int[x^m*(a + b*x^2)^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, m}, x] && IntegerQ[p + Simplify[(m + 1)/2]] && LtQ[-1,
     p, 0]

274. Int[((c_.)*(x_))^(m_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Simp[(-(c*x)^(m + 1))*((a + b*x^2)^(p + 1)/(a*
     c*2*(p + 1))), x] + Simp[(m + 2*(p + 1) + 1)/(a*2*(p + 1))   Int[(c*x)^m*(a + b*x^2)^(p + 1), x], x] /; FreeQ[
     {a, b, c, m}, x] && IntegerQ[p + Simplify[(m + 1)/2]] && LtQ[p, -1]

275. Int[(x_)^(m_.)/((a_) + (b_.)*(x_)^2), x_Symbol] :> Simp[x^(m - 1)/(b*(m - 1)), x] - Simp[a/b   Int[x^(m - 2)/(
     a + b*x^2), x], x] /; FreeQ[{a, b, m}, x] && FractionQ[(m + 1)/2] && SumSimplerQ[m, -2]

276. Int[(x_)^(m_)/((a_) + (b_.)*(x_)^2), x_Symbol] :> Simp[x^(m + 1)/(a*(m + 1)), x] - Simp[b/a   Int[x^Simplify[m
     + 2]/(a + b*x^2), x], x] /; FreeQ[{a, b, m}, x] && FractionQ[(m + 1)/2] && SumSimplerQ[m, 2]

277. Int[((c_)*(x_))^(m_)/((a_) + (b_.)*(x_)^2), x_Symbol] :> Simp[c^IntPart[m]*((c*x)^FracPart[m]/x^FracPart[m])
     Int[x^m/(a + b*x^2), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, m}, x] && FractionQ[(m + 1)/2] && (SumSimplerQ[m, 2] || SumSim
     plerQ[m, -2])

278. Int[((c_.)*(x_))^(m_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Simp[a^p*((c*x)^(m + 1)/(c*(m + 1)))*Hypergeom
     etric2F1[-p, (m + 1)/2, (m + 1)/2 + 1, (-b)*(x^2/a)], x] /; FreeQ[{a, b, c, m, p}, x] &&  !IGtQ[p, 0] && (ILtQ
     [p, 0] || GtQ[a, 0])

279. Int[((c_.)*(x_))^(m_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Simp[a^IntPart[p]*((a + b*x^2)^FracPart[p]/(1
     + b*(x^2/a))^FracPart[p])   Int[(c*x)^m*(1 + b*(x^2/a))^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, m, p}, x] &&  !IGtQ[p, 0]
     &&  !(ILtQ[p, 0] || GtQ[a, 0])

280. Int[(u_.)*((b_.)*(x_)^(n_))^(p_)*((d_.)*(x_)^(n_))^(q_), x_Symbol] :> Simp[b^IntPart[p]*d^IntPart[q]*(b*x^n)^F
     racPart[p]*((d*x^n)^FracPart[q]/x^(n*(FracPart[p] + FracPart[q])))   Int[u*x^(n*(p + q)), x], x] /; FreeQ[{b,
     d, n, p, q}, x]

281. Int[(u_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_.)*((c_) + (d_.)*(x_)^(n_))^(q_.), x_Symbol] :> Simp[(b/d)^p   Int[u*(c
     + d*x^n)^(p + q), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, n, p, q}, x] && EqQ[b*c - a*d, 0] && IntegerQ[p] &&  !(IntegerQ
     [q] && SimplerQ[a + b*x^n, c + d*x^n])

282. Int[(u_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_)*((c_) + (d_.)*(x_)^(n_))^(q_), x_Symbol] :> Simp[(b/d)^p   Int[u*(c +
     d*x^n)^(p + q), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, n, p, q}, x] && EqQ[b*c - a*d, 0] && GtQ[b/d, 0] &&  !SimplerQ[a
     + b*x^n, c + d*x^n]

283. Int[(u_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_)*((c_) + (d_.)*(x_)^(n_))^(q_), x_Symbol] :> Simp[(a + b*x^n)^p/(c + d*
     x^n)^p   Int[u*(c + d*x^n)^(p + q), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, n, p, q}, x] && EqQ[b*c - a*d, 0] &&  !Simple
     rQ[a + b*x^n, c + d*x^n]

284. Int[((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(p_.)*((c_) + (d_.)*(x_)^2)^(p_.), x_Symbol] :> Int[(a*c + b*d*x^4)^p, x] /; FreeQ[{
     a, b, c, d, p}, x] && EqQ[b*c + a*d, 0] && (IntegerQ[p] || (GtQ[a, 0] && GtQ[c, 0]))

285. Int[((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(p_)*((c_) + (d_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Simp[x*(a + b*x^2)^p*((c + d*x^2)^p/(4
     *p + 1)), x] + Simp[4*a*c*(p/(4*p + 1))   Int[(a + b*x^2)^(p - 1)*(c + d*x^2)^(p - 1), x], x] /; FreeQ[{a, b,
     c, d}, x] && EqQ[b*c + a*d, 0] && GtQ[p, 0]

286. Int[((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(p_)*((c_) + (d_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Simp[(-x)*(a + b*x^2)^(p + 1)*((c + d*
     x^2)^(p + 1)/(4*a*c*(p + 1))), x] + Simp[(4*p + 5)/(4*a*c*(p + 1))   Int[(a + b*x^2)^(p + 1)*(c + d*x^2)^(p +
     1), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && EqQ[b*c + a*d, 0] && LtQ[p, -1]

287. Int[1/(Sqrt[(a_) + (b_.)*(x_)^2]*Sqrt[(c_) + (d_.)*(x_)^2]), x_Symbol] :> Simp[(1/Sqrt[2*a*d])*EllipticF[ArcSi
     n[Sqrt[2*d]*(x/Sqrt[c + d*x^2])], 1/2], x] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && EqQ[b*c + a*d, 0] && GtQ[a, 0] && GtQ[
     d, 0]

288. Int[((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(p_)*((c_) + (d_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Simp[(c + d*x^2)^FracPart[p]/((-1)^Int
     Part[p]*(-c - d*x^2)^FracPart[p])   Int[((-a)*c - b*d*x^4)^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, p}, x] && EqQ[b*c +
     a*d, 0] && GtQ[a, 0] && LtQ[c, 0]

289. Int[((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(p_)*((c_) + (d_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Simp[(a + b*x^2)^FracPart[p]*((c + d*x
     ^2)^FracPart[p]/(a*c + b*d*x^4)^FracPart[p])   Int[(a*c + b*d*x^4)^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, p}, x] && E
     qQ[b*c + a*d, 0] &&  !IntegerQ[p]

290. Int[((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(p_.)*((c_) + (d_.)*(x_)^2)^(q_.), x_Symbol] :> Int[ExpandIntegrand[(a + b*x^2)^p*(c
     + d*x^2)^q, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && IGtQ[p, 0] && IGtQ[q, 0]

291. Int[1/(Sqrt[(a_) + (b_.)*(x_)^2]*((c_) + (d_.)*(x_)^2)), x_Symbol] :> Subst[Int[1/(c - (b*c - a*d)*x^2), x], x
     , x/Sqrt[a + b*x^2]] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0]

292. Int[((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(p_)*((c_) + (d_.)*(x_)^2)^(q_.), x_Symbol] :> Simp[(-x)*(a + b*x^2)^(p + 1)*((c + d
     *x^2)^q/(2*a*(p + 1))), x] - Simp[c*(q/(a*(p + 1)))   Int[(a + b*x^2)^(p + 1)*(c + d*x^2)^(q - 1), x], x] /; F
     reeQ[{a, b, c, d, p}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && EqQ[2*(p + q + 1) + 1, 0] && GtQ[q, 0] && NeQ[p, -1]

293. Int[((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(p_)*((c_) + (d_.)*(x_)^2)^(q_), x_Symbol] :> Simp[a^p*(x/(c^(p + 1)*Sqrt[c + d*x^2]
     ))*Hypergeometric2F1[1/2, -p, 3/2, (-(b*c - a*d))*(x^2/(a*(c + d*x^2)))], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, q}, x] && N
     eQ[b*c - a*d, 0] && EqQ[2*(p + q + 1) + 1, 0] && ILtQ[p, 0]

294. Int[((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(p_)*((c_) + (d_.)*(x_)^2)^(q_), x_Symbol] :> Simp[x*((a + b*x^2)^p/(c*(c*((a + b*x^
     2)/(a*(c + d*x^2))))^p*(c + d*x^2)^(1/2 + p)))*Hypergeometric2F1[1/2, -p, 3/2, (-(b*c - a*d))*(x^2/(a*(c + d*x
     ^2)))], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, p, q}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && EqQ[2*(p + q + 1) + 1, 0]

295. Int[((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(p_)*((c_) + (d_.)*(x_)^2)^(q_), x_Symbol] :> Simp[x*(a + b*x^2)^(p + 1)*((c + d*x^2
     )^(q + 1)/(a*c)), x] /; FreeQ[{a, b, c, d, p, q}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && EqQ[2*(p + q + 2) + 1, 0] && EqQ[
     a*d*(p + 1) + b*c*(q + 1), 0]

296. Int[((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(p_)*((c_) + (d_.)*(x_)^2)^(q_), x_Symbol] :> Simp[(-b)*x*(a + b*x^2)^(p + 1)*((c +
     d*x^2)^(q + 1)/(2*a*(p + 1)*(b*c - a*d))), x] + Simp[(b*c + 2*(p + 1)*(b*c - a*d))/(2*a*(p + 1)*(b*c - a*d))
     Int[(a + b*x^2)^(p + 1)*(c + d*x^2)^q, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, q}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && EqQ[2*(p +
     q + 2) + 1, 0] && (LtQ[p, -1] ||  !LtQ[q, -1]) && NeQ[p, -1]

297. Int[((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(p_.)*((c_) + (d_.)*(x_)^2), x_Symbol] :> Simp[c*x*((a + b*x^2)^(p + 1)/a), x] /; Fr
     eeQ[{a, b, c, d, p}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && EqQ[a*d - b*c*(2*p + 3), 0]

298. Int[((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(p_)*((c_) + (d_.)*(x_)^2), x_Symbol] :> Simp[(-(b*c - a*d))*x*((a + b*x^2)^(p + 1)/
     (2*a*b*(p + 1))), x] - Simp[(a*d - b*c*(2*p + 3))/(2*a*b*(p + 1))   Int[(a + b*x^2)^(p + 1), x], x] /; FreeQ[{
     a, b, c, d, p}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && (LtQ[p, -1] || ILtQ[1/2 + p, 0])

299. Int[((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(p_)*((c_) + (d_.)*(x_)^2), x_Symbol] :> Simp[d*x*((a + b*x^2)^(p + 1)/(b*(2*p + 3))
     ), x] - Simp[(a*d - b*c*(2*p + 3))/(b*(2*p + 3))   Int[(a + b*x^2)^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && NeQ[
     b*c - a*d, 0] && NeQ[2*p + 3, 0]

300. Int[((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(p_)*((c_) + (d_.)*(x_)^2)^(q_), x_Symbol] :> Int[PolynomialDivide[(a + b*x^2)^p, (c
     + d*x^2)^(-q), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && IGtQ[p, 0] && ILtQ[q, 0] && GeQ[p, -q
     ]

301. Int[((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(p_.)/((c_) + (d_.)*(x_)^2), x_Symbol] :> Simp[b/d   Int[(a + b*x^2)^(p - 1), x], x]
     - Simp[(b*c - a*d)/d   Int[(a + b*x^2)^(p - 1)/(c + d*x^2), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && NeQ[b*c - a*d
     , 0] && GtQ[p, 0] && (EqQ[p, 1/2] || EqQ[Denominator[p], 4] || (EqQ[p, 2/3] && EqQ[b*c + 3*a*d, 0]))

302. Int[((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(p_)/((c_) + (d_.)*(x_)^2), x_Symbol] :> Simp[b/(b*c - a*d)   Int[(a + b*x^2)^p, x],
     x] - Simp[d/(b*c - a*d)   Int[(a + b*x^2)^(p + 1)/(c + d*x^2), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && NeQ[b*c -
     a*d, 0] && LtQ[p, -1] && EqQ[Denominator[p], 4] && (EqQ[p, -5/4] || EqQ[p, -7/4])

303. Int[1/(((a_) + (b_.)*(x_)^2)*((c_) + (d_.)*(x_)^2)), x_Symbol] :> Simp[b/(b*c - a*d)   Int[1/(a + b*x^2), x],
     x] - Simp[d/(b*c - a*d)   Int[1/(c + d*x^2), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0]

304. Int[1/(((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(1/3)*((c_) + (d_.)*(x_)^2)), x_Symbol] :> With[{q = Rt[b/a, 2]}, Simp[q*(ArcTanh
     [Sqrt[3]/(q*x)]/(2*2^(2/3)*Sqrt[3]*a^(1/3)*d)), x] + (-Simp[q*(ArcTan[(a^(1/3)*q*x)/(a^(1/3) + 2^(1/3)*(a + b*
     x^2)^(1/3))]/(2*2^(2/3)*a^(1/3)*d)), x] + Simp[q*(ArcTan[q*x]/(6*2^(2/3)*a^(1/3)*d)), x] + Simp[q*(ArcTanh[Sqr
     t[3]*((a^(1/3) - 2^(1/3)*(a + b*x^2)^(1/3))/(a^(1/3)*q*x))]/(2*2^(2/3)*Sqrt[3]*a^(1/3)*d)), x])] /; FreeQ[{a,
     b, c, d}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && EqQ[b*c + 3*a*d, 0] && PosQ[b/a]

305. Int[1/(((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(1/3)*((c_) + (d_.)*(x_)^2)), x_Symbol] :> With[{q = Rt[-b/a, 2]}, Simp[q*(ArcTan
     [Sqrt[3]/(q*x)]/(2*2^(2/3)*Sqrt[3]*a^(1/3)*d)), x] + (Simp[q*(ArcTanh[(a^(1/3)*q*x)/(a^(1/3) + 2^(1/3)*(a + b*
     x^2)^(1/3))]/(2*2^(2/3)*a^(1/3)*d)), x] - Simp[q*(ArcTanh[q*x]/(6*2^(2/3)*a^(1/3)*d)), x] + Simp[q*(ArcTan[Sqr
     t[3]*((a^(1/3) - 2^(1/3)*(a + b*x^2)^(1/3))/(a^(1/3)*q*x))]/(2*2^(2/3)*Sqrt[3]*a^(1/3)*d)), x])] /; FreeQ[{a,
     b, c, d}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && EqQ[b*c + 3*a*d, 0] && NegQ[b/a]

306. Int[1/(((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(1/3)*((c_) + (d_.)*(x_)^2)), x_Symbol] :> With[{q = Rt[b/a, 2]}, Simp[q*(ArcTan[
     q*(x/3)]/(12*Rt[a, 3]*d)), x] + (Simp[q*(ArcTan[(Rt[a, 3] - (a + b*x^2)^(1/3))^2/(3*Rt[a, 3]^2*q*x)]/(12*Rt[a,
     3]*d)), x] - Simp[q*(ArcTanh[(Sqrt[3]*(Rt[a, 3] - (a + b*x^2)^(1/3)))/(Rt[a, 3]*q*x)]/(4*Sqrt[3]*Rt[a, 3]*d))
     , x])] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && EqQ[b*c - 9*a*d, 0] && PosQ[b/a]

307. Int[1/(((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(1/3)*((c_) + (d_.)*(x_)^2)), x_Symbol] :> With[{q = Rt[-b/a, 2]}, Simp[(-q)*(Arc
     Tanh[q*(x/3)]/(12*Rt[a, 3]*d)), x] + (Simp[q*(ArcTanh[(Rt[a, 3] - (a + b*x^2)^(1/3))^2/(3*Rt[a, 3]^2*q*x)]/(12
     *Rt[a, 3]*d)), x] - Simp[q*(ArcTan[(Sqrt[3]*(Rt[a, 3] - (a + b*x^2)^(1/3)))/(Rt[a, 3]*q*x)]/(4*Sqrt[3]*Rt[a, 3
     ]*d)), x])] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && EqQ[b*c - 9*a*d, 0] && NegQ[b/a]

308. Int[1/(((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(1/4)*((c_) + (d_.)*(x_)^2)), x_Symbol] :> With[{q = Rt[b^2/a, 4]}, Simp[(-b/(2*a
     *d*q))*ArcTan[(b + q^2*Sqrt[a + b*x^2])/(q^3*x*(a + b*x^2)^(1/4))], x] - Simp[(b/(2*a*d*q))*ArcTanh[(b - q^2*S
     qrt[a + b*x^2])/(q^3*x*(a + b*x^2)^(1/4))], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && EqQ[b*c - 2*a*d, 0] && PosQ[b^2/a
     ]

309. Int[1/(((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(1/4)*((c_) + (d_.)*(x_)^2)), x_Symbol] :> With[{q = Rt[-b^2/a, 4]}, Simp[(b/(2*S
     qrt[2]*a*d*q))*ArcTan[q*(x/(Sqrt[2]*(a + b*x^2)^(1/4)))], x] + Simp[(b/(2*Sqrt[2]*a*d*q))*ArcTanh[q*(x/(Sqrt[2
     ]*(a + b*x^2)^(1/4)))], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && EqQ[b*c - 2*a*d, 0] && NegQ[b^2/a]

310. Int[1/(((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(1/4)*((c_) + (d_.)*(x_)^2)), x_Symbol] :> Simp[2*(Sqrt[(-b)*(x^2/a)]/x)   Subst[
     Int[x^2/(Sqrt[1 - x^4/a]*(b*c - a*d + d*x^4)), x], x, (a + b*x^2)^(1/4)], x] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && NeQ[
     b*c - a*d, 0]

311. Int[1/(((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(3/4)*((c_) + (d_.)*(x_)^2)), x_Symbol] :> Simp[1/c   Int[1/(a + b*x^2)^(3/4), x]
     , x] - Simp[d/c   Int[x^2/((a + b*x^2)^(3/4)*(c + d*x^2)), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && EqQ[b*c - 2*a*d
     , 0]

312. Int[1/(((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(3/4)*((c_) + (d_.)*(x_)^2)), x_Symbol] :> Simp[Sqrt[(-b)*(x^2/a)]/(2*x)   Subst[
     Int[1/(Sqrt[(-b)*(x/a)]*(a + b*x)^(3/4)*(c + d*x)), x], x, x^2], x] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && NeQ[b*c - a*d
     , 0]

313. Int[Sqrt[(a_) + (b_.)*(x_)^2]/((c_) + (d_.)*(x_)^2)^(3/2), x_Symbol] :> Simp[(Sqrt[a + b*x^2]/(c*Rt[d/c, 2]*Sq
     rt[c + d*x^2]*Sqrt[c*((a + b*x^2)/(a*(c + d*x^2)))]))*EllipticE[ArcTan[Rt[d/c, 2]*x], 1 - b*(c/(a*d))], x] /;
     FreeQ[{a, b, c, d}, x] && PosQ[b/a] && PosQ[d/c]

314. Int[((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(p_)*((c_) + (d_.)*(x_)^2)^(q_), x_Symbol] :> Simp[(-x)*(a + b*x^2)^(p + 1)*((c + d*
     x^2)^q/(2*a*(p + 1))), x] + Simp[1/(2*a*(p + 1))   Int[(a + b*x^2)^(p + 1)*(c + d*x^2)^(q - 1)*Simp[c*(2*p + 3
     ) + d*(2*(p + q + 1) + 1)*x^2, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && LtQ[p, -1] && LtQ[
     0, q, 1] && IntBinomialQ[a, b, c, d, 2, p, q, x]

315. Int[((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(p_)*((c_) + (d_.)*(x_)^2)^(q_), x_Symbol] :> Simp[(a*d - c*b)*x*(a + b*x^2)^(p + 1)
     *((c + d*x^2)^(q - 1)/(2*a*b*(p + 1))), x] - Simp[1/(2*a*b*(p + 1))   Int[(a + b*x^2)^(p + 1)*(c + d*x^2)^(q -
     2)*Simp[c*(a*d - c*b*(2*p + 3)) + d*(a*d*(2*(q - 1) + 1) - b*c*(2*(p + q) + 1))*x^2, x], x], x] /; FreeQ[{a,
     b, c, d}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && LtQ[p, -1] && GtQ[q, 1] && IntBinomialQ[a, b, c, d, 2, p, q, x]

316. Int[((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(p_)*((c_) + (d_.)*(x_)^2)^(q_), x_Symbol] :> Simp[(-b)*x*(a + b*x^2)^(p + 1)*((c +
     d*x^2)^(q + 1)/(2*a*(p + 1)*(b*c - a*d))), x] + Simp[1/(2*a*(p + 1)*(b*c - a*d))   Int[(a + b*x^2)^(p + 1)*(c
     + d*x^2)^q*Simp[b*c + 2*(p + 1)*(b*c - a*d) + d*b*(2*(p + q + 2) + 1)*x^2, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, q}
     , x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && LtQ[p, -1] &&  !( !IntegerQ[p] && IntegerQ[q] && LtQ[q, -1]) && IntBinomialQ[a, b
     , c, d, 2, p, q, x]

317. Int[((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(p_)*((c_) + (d_.)*(x_)^2)^(q_), x_Symbol] :> Int[ExpandIntegrand[(a + b*x^2)^p*(c +
     d*x^2)^q, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && IntegersQ[p, q] && GtQ[p + q, 0]

318. Int[((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(p_)*((c_) + (d_.)*(x_)^2)^(q_), x_Symbol] :> Simp[d*x*(a + b*x^2)^(p + 1)*((c + d*x
     ^2)^(q - 1)/(b*(2*(p + q) + 1))), x] + Simp[1/(b*(2*(p + q) + 1))   Int[(a + b*x^2)^p*(c + d*x^2)^(q - 2)*Simp
     [c*(b*c*(2*(p + q) + 1) - a*d) + d*(b*c*(2*(p + 2*q - 1) + 1) - a*d*(2*(q - 1) + 1))*x^2, x], x], x] /; FreeQ[
     {a, b, c, d, p}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && GtQ[q, 1] && NeQ[2*(p + q) + 1, 0] &&  !IGtQ[p, 1] && IntBinomialQ
     [a, b, c, d, 2, p, q, x]

319. Int[((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(p_)*((c_) + (d_.)*(x_)^2)^(q_), x_Symbol] :> Simp[x*(a + b*x^2)^p*((c + d*x^2)^q/(2
     *(p + q) + 1)), x] + Simp[2/(2*(p + q) + 1)   Int[(a + b*x^2)^(p - 1)*(c + d*x^2)^(q - 1)*Simp[a*c*(p + q) + (
     q*(b*c - a*d) + a*d*(p + q))*x^2, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && GtQ[q, 0] && Gt
     Q[p, 0] && IntBinomialQ[a, b, c, d, 2, p, q, x]

320. Int[1/(Sqrt[(a_) + (b_.)*(x_)^2]*Sqrt[(c_) + (d_.)*(x_)^2]), x_Symbol] :> Simp[(Sqrt[a + b*x^2]/(a*Rt[d/c, 2]*
     Sqrt[c + d*x^2]*Sqrt[c*((a + b*x^2)/(a*(c + d*x^2)))]))*EllipticF[ArcTan[Rt[d/c, 2]*x], 1 - b*(c/(a*d))], x] /
     ; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && PosQ[d/c] && PosQ[b/a] &&  !SimplerSqrtQ[b/a, d/c]

321. Int[1/(Sqrt[(a_) + (b_.)*(x_)^2]*Sqrt[(c_) + (d_.)*(x_)^2]), x_Symbol] :> Simp[(1/(Sqrt[a]*Sqrt[c]*Rt[-d/c, 2]
     ))*EllipticF[ArcSin[Rt[-d/c, 2]*x], b*(c/(a*d))], x] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && NegQ[d/c] && GtQ[c, 0] && Gt
     Q[a, 0] &&  !(NegQ[b/a] && SimplerSqrtQ[-b/a, -d/c])

322. Int[1/(Sqrt[(a_) + (b_.)*(x_)^2]*Sqrt[(c_) + (d_.)*(x_)^2]), x_Symbol] :> Simp[(-(Sqrt[c]*Rt[-d/c, 2]*Sqrt[a -
     b*(c/d)])^(-1))*EllipticF[ArcCos[Rt[-d/c, 2]*x], b*(c/(b*c - a*d))], x] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && NegQ[d/c
     ] && GtQ[c, 0] && GtQ[a - b*(c/d), 0]

323. Int[1/(Sqrt[(a_) + (b_.)*(x_)^2]*Sqrt[(c_) + (d_.)*(x_)^2]), x_Symbol] :> Simp[Sqrt[1 + (d/c)*x^2]/Sqrt[c + d*
     x^2]   Int[1/(Sqrt[a + b*x^2]*Sqrt[1 + (d/c)*x^2]), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] &&  !GtQ[c, 0]

324. Int[Sqrt[(a_) + (b_.)*(x_)^2]/Sqrt[(c_) + (d_.)*(x_)^2], x_Symbol] :> Simp[a   Int[1/(Sqrt[a + b*x^2]*Sqrt[c +
     d*x^2]), x], x] + Simp[b   Int[x^2/(Sqrt[a + b*x^2]*Sqrt[c + d*x^2]), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && Pos
     Q[d/c] && PosQ[b/a]

325. Int[Sqrt[(a_) + (b_.)*(x_)^2]/Sqrt[(c_) + (d_.)*(x_)^2], x_Symbol] :> Simp[x*(Sqrt[a + b*x^2]/Sqrt[c + d*x^2])
     , x] + Simp[Sqrt[-2*a]*(x/Sqrt[d*x^2])*EllipticE[ArcSin[Sqrt[2*c]/Sqrt[c + d*x^2]], 1/2], x] /; FreeQ[{a, b, c
     , d}, x] && PosQ[d/c] && EqQ[b*c + a*d, 0] && LtQ[a, 0] && GtQ[c, 0]

326. Int[Sqrt[(a_) + (b_.)*(x_)^2]/Sqrt[(c_) + (d_.)*(x_)^2], x_Symbol] :> Simp[b/d   Int[Sqrt[c + d*x^2]/Sqrt[a +
     b*x^2], x], x] - Simp[(b*c - a*d)/d   Int[1/(Sqrt[a + b*x^2]*Sqrt[c + d*x^2]), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x
     ] && PosQ[d/c] && NegQ[b/a]

327. Int[Sqrt[(a_) + (b_.)*(x_)^2]/Sqrt[(c_) + (d_.)*(x_)^2], x_Symbol] :> Simp[(Sqrt[a]/(Sqrt[c]*Rt[-d/c, 2]))*Ell
     ipticE[ArcSin[Rt[-d/c, 2]*x], b*(c/(a*d))], x] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && NegQ[d/c] && GtQ[c, 0] && GtQ[a, 0
     ]

328. Int[Sqrt[(a_) + (b_.)*(x_)^2]/Sqrt[(c_) + (d_.)*(x_)^2], x_Symbol] :> Simp[(-Sqrt[a - b*(c/d)]/(Sqrt[c]*Rt[-d/
     c, 2]))*EllipticE[ArcCos[Rt[-d/c, 2]*x], b*(c/(b*c - a*d))], x] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && NegQ[d/c] && GtQ[
     c, 0] && GtQ[a - b*(c/d), 0]

329. Int[Sqrt[(a_) + (b_.)*(x_)^2]/Sqrt[(c_) + (d_.)*(x_)^2], x_Symbol] :> Simp[a*(Sqrt[1 - b^2*(x^4/a^2)]/(Sqrt[a
     + b*x^2]*Sqrt[c + d*x^2]))   Int[Sqrt[1 + b*(x^2/a)]/Sqrt[1 - b*(x^2/a)], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] &&
     EqQ[b*c + a*d, 0] &&  !(LtQ[a*c, 0] && GtQ[a*b, 0])

330. Int[Sqrt[(a_) + (b_.)*(x_)^2]/Sqrt[(c_) + (d_.)*(x_)^2], x_Symbol] :> Simp[Sqrt[a + b*x^2]/Sqrt[1 + (b/a)*x^2]
     Int[Sqrt[1 + (b/a)*x^2]/Sqrt[c + d*x^2], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && NegQ[d/c] && GtQ[c, 0] &&  !Gt
     Q[a, 0]

331. Int[Sqrt[(a_) + (b_.)*(x_)^2]/Sqrt[(c_) + (d_.)*(x_)^2], x_Symbol] :> Simp[Sqrt[1 + (d/c)*x^2]/Sqrt[c + d*x^2]
     Int[Sqrt[a + b*x^2]/Sqrt[1 + (d/c)*x^2], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && NegQ[d/c] &&  !GtQ[c, 0]

332. Int[((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(p_.)*((c_) + (d_.)*(x_)^2)^(q_), x_Symbol] :> Int[ExpandIntegrand[(a + b*x^2)^p*(c
     + d*x^2)^q, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, q}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && IGtQ[p, 0]

333. Int[((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(p_)*((c_) + (d_.)*(x_)^2)^(q_), x_Symbol] :> Simp[a^p*c^q*x*AppellF1[1/2, -p, -q, 3
     /2, (-b)*(x^2/a), (-d)*(x^2/c)], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, p, q}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && (IntegerQ[p] || Gt
     Q[a, 0]) && (IntegerQ[q] || GtQ[c, 0])

334. Int[((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(p_)*((c_) + (d_.)*(x_)^2)^(q_), x_Symbol] :> Simp[a^IntPart[p]*((a + b*x^2)^FracPar
     t[p]/(1 + b*(x^2/a))^FracPart[p])   Int[(1 + b*(x^2/a))^p*(c + d*x^2)^q, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, p, q}, x
     ] && NeQ[b*c - a*d, 0] &&  !(IntegerQ[p] || GtQ[a, 0])

335. Int[((e_.)*(x_))^(m_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(p_.)*((c_) + (d_.)*(x_)^2)^(p_.), x_Symbol] :> Int[(e*x)^m*(a*c
     + b*d*x^4)^p, x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, m, p}, x] && EqQ[b*c + a*d, 0] && (IntegerQ[p] || (GtQ[a, 0] && GtQ[
     c, 0]))

336. Int[(x_)^3*((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(p_)*((c_) + (d_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Simp[(a + b*x^2)^(p + 1)*((c +
     d*x^2)^(p + 1)/(4*b*d*(p + 1))), x] /; FreeQ[{a, b, c, d, p}, x] && EqQ[b*c + a*d, 0]

337. Int[((e_.)*(x_))^(m_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(p_)*((c_) + (d_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Simp[(-(e*x)^(m + 1
     ))*(a + b*x^2)^(p + 1)*((c + d*x^2)^(p + 1)/(4*a*c*e*(p + 1))), x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, m, p}, x] && EqQ[b
     *c + a*d, 0] && EqQ[m + 4*p + 5, 0]

338. Int[(x_)^(m_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(p_)*((c_) + (d_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Simp[1/2   Subst[Int[x^((m
     - 1)/2)*(a + b*x)^p*(c + d*x)^p, x], x, x^2], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, p}, x] && EqQ[b*c + a*d, 0] && IntegerQ
     [(m - 1)/2]

339. Int[((e_.)*(x_))^(m_)*((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(p_)*((c_) + (d_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Simp[(e*x)^(m + 1)*(
     a + b*x^2)^p*((c + d*x^2)^p/(e*(m + 1))), x] - Simp[4*b*d*(p/(e^4*(m + 1)))   Int[(e*x)^(m + 4)*(a + b*x^2)^(p
     - 1)*(c + d*x^2)^(p - 1), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, m}, x] && EqQ[b*c + a*d, 0] && GtQ[p, 0] && LtQ[m,
     -1]

340. Int[((e_.)*(x_))^(m_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(p_)*((c_) + (d_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Simp[(e*x)^(m + 1)*
     (a + b*x^2)^p*((c + d*x^2)^p/(e*(m + 4*p + 1))), x] + Simp[4*a*c*(p/(m + 4*p + 1))   Int[(e*x)^m*(a + b*x^2)^(
     p - 1)*(c + d*x^2)^(p - 1), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, m}, x] && EqQ[b*c + a*d, 0] && GtQ[p, 0] && NeQ[m
     + 4*p + 1, 0] && IntegerQ[2*m]

341. Int[((e_.)*(x_))^(m_)*((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(p_)*((c_) + (d_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Simp[e^3*(e*x)^(m -
     3)*(a + b*x^2)^(p + 1)*((c + d*x^2)^(p + 1)/(4*b*d*(p + 1))), x] - Simp[e^4*((m - 3)/(4*b*d*(p + 1)))   Int[(e
     *x)^(m - 4)*(a + b*x^2)^(p + 1)*(c + d*x^2)^(p + 1), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, m}, x] && EqQ[b*c + a*d,
     0] && LtQ[p, -1] && GtQ[m, 3]

342. Int[((e_.)*(x_))^(m_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(p_)*((c_) + (d_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Simp[(-(e*x)^(m + 1
     ))*(a + b*x^2)^(p + 1)*((c + d*x^2)^(p + 1)/(4*a*c*e*(p + 1))), x] + Simp[(m + 4*p + 5)/(4*a*c*(p + 1))   Int[
     (e*x)^m*(a + b*x^2)^(p + 1)*(c + d*x^2)^(p + 1), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, m}, x] && EqQ[b*c + a*d, 0] &
     & LtQ[p, -1] && IntegerQ[2*m]

343. Int[((e_.)*(x_))^(m_)*((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(p_)*((c_) + (d_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Simp[(e*x)^(m + 1)*(
     a + b*x^2)^(p + 1)*((c + d*x^2)^(p + 1)/(a*c*e*(m + 1))), x] - Simp[b*d*((m + 4*p + 5)/(a*c*e^4*(m + 1)))   In
     t[(e*x)^(m + 4)*(a + b*x^2)^p*(c + d*x^2)^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, p}, x] && EqQ[b*c + a*d, 0] && Lt
     Q[m, -1]

344. Int[((e_.)*(x_))^(m_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(p_)*((c_) + (d_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Simp[(a + b*x^2)^Fr
     acPart[p]*((c + d*x^2)^FracPart[p]/(a*c + b*d*x^4)^FracPart[p])   Int[(e*x)^m*(a*c + b*d*x^4)^p, x], x] /; Fre
     eQ[{a, b, c, d, e, m, p}, x] && EqQ[b*c + a*d, 0] &&  !IntegerQ[p]

345. Int[(x_)^(m_.)*((b_.)*(x_)^2)^(p_)*((c_) + (d_.)*(x_)^2)^(q_.), x_Symbol] :> Simp[1/(2*b^((m - 1)/2))   Subst[
     Int[(b*x)^(p + (m - 1)/2)*(c + d*x)^q, x], x, x^2], x] /; FreeQ[{b, c, d, m, p, q}, x] && IntegerQ[(m - 1)/2]

346. Int[((e_.)*(x_))^(m_.)*((b_.)*(x_)^2.)^(p_)*((c_) + (d_.)*(x_)^2)^(q_.), x_Symbol] :> Simp[e^m*b^IntPart[p]*((
     b*x^2)^FracPart[p]/x^(2*FracPart[p]))   Int[x^(m + 2*p)*(c + d*x^2)^q, x], x] /; FreeQ[{b, c, d, e, m, p, q},
     x] && (IntegerQ[m] || GtQ[e, 0])

347. Int[((e_)*(x_))^(m_)*((b_.)*(x_)^2.)^(p_)*((c_) + (d_.)*(x_)^2)^(q_.), x_Symbol] :> Simp[e^IntPart[m]*((e*x)^F
     racPart[m]/x^FracPart[m])   Int[x^m*(b*x^2)^p*(c + d*x^2)^q, x], x] /; FreeQ[{b, c, d, e, m, p, q}, x] &&  !In
     tegerQ[m]

348. Int[(x_)/(((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(1/4)*((c_) + (d_.)*(x_)^2)), x_Symbol] :> Simp[(-(Sqrt[2]*Rt[a, 4]*d)^(-1))*A
     rcTan[(Rt[a, 4]^2 - Sqrt[a + b*x^2])/(Sqrt[2]*Rt[a, 4]*(a + b*x^2)^(1/4))], x] - Simp[(1/(Sqrt[2]*Rt[a, 4]*d))
     *ArcTanh[(Rt[a, 4]^2 + Sqrt[a + b*x^2])/(Sqrt[2]*Rt[a, 4]*(a + b*x^2)^(1/4))], x] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] &&
     EqQ[b*c - 2*a*d, 0] && PosQ[a]

349. Int[(x_)^(m_)/(((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(1/4)*((c_) + (d_.)*(x_)^2)), x_Symbol] :> Int[ExpandIntegrand[x^m/((a +
     b*x^2)^(1/4)*(c + d*x^2)), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && EqQ[b*c - 2*a*d, 0] && IntegerQ[m] && (PosQ[a]
     || IntegerQ[m/2])

350. Int[(x_)^2/(((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(3/4)*((c_) + (d_.)*(x_)^2)), x_Symbol] :> Simp[(-b/(a*d*Rt[b^2/a, 4]^3))*Ar
     cTan[(b + Rt[b^2/a, 4]^2*Sqrt[a + b*x^2])/(Rt[b^2/a, 4]^3*x*(a + b*x^2)^(1/4))], x] + Simp[(b/(a*d*Rt[b^2/a, 4
     ]^3))*ArcTanh[(b - Rt[b^2/a, 4]^2*Sqrt[a + b*x^2])/(Rt[b^2/a, 4]^3*x*(a + b*x^2)^(1/4))], x] /; FreeQ[{a, b, c
     , d}, x] && EqQ[b*c - 2*a*d, 0] && PosQ[b^2/a]

351. Int[(x_)^2/(((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(3/4)*((c_) + (d_.)*(x_)^2)), x_Symbol] :> Simp[(-b/(Sqrt[2]*a*d*Rt[-b^2/a,
     4]^3))*ArcTan[(Rt[-b^2/a, 4]*x)/(Sqrt[2]*(a + b*x^2)^(1/4))], x] + Simp[(b/(Sqrt[2]*a*d*Rt[-b^2/a, 4]^3))*ArcT
     anh[(Rt[-b^2/a, 4]*x)/(Sqrt[2]*(a + b*x^2)^(1/4))], x] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && EqQ[b*c - 2*a*d, 0] && Neg
     Q[b^2/a]

352. Int[(x_)^(m_)/(((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(3/4)*((c_) + (d_.)*(x_)^2)), x_Symbol] :> Int[ExpandIntegrand[x^m/((a +
     b*x^2)^(3/4)*(c + d*x^2)), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && EqQ[b*c - 2*a*d, 0] && IntegerQ[m] && (PosQ[a]
     || IntegerQ[m/2])

353. Int[(x_)*((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(p_.)*((c_) + (d_.)*(x_)^2)^(q_.), x_Symbol] :> Simp[1/2   Subst[Int[(a + b*x)^
     p*(c + d*x)^q, x], x, x^2], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, p, q}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0]

354. Int[(x_)^(m_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(p_.)*((c_) + (d_.)*(x_)^2)^(q_.), x_Symbol] :> Simp[1/2   Subst[Int[x^((
     m - 1)/2)*(a + b*x)^p*(c + d*x)^q, x], x, x^2], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, p, q}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && Int
     egerQ[(m - 1)/2]

355. Int[((e_.)*(x_))^(m_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(p_.)*((c_) + (d_.)*(x_)^2)^(q_.), x_Symbol] :> Int[ExpandIntegra
     nd[(e*x)^m*(a + b*x^2)^p*(c + d*x^2)^q, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, m}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && IGtQ[p,
     0] && IGtQ[q, 0]

356. Int[((e_.)*(x_))^(m_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(p_.)*((c_) + (d_.)*(x_)^2), x_Symbol] :> Simp[c*(e*x)^(m + 1)*((
     a + b*x^2)^(p + 1)/(a*e*(m + 1))), x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, m, p}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && EqQ[a*d*(m +
     1) - b*c*(m + 2*p + 3), 0] && NeQ[m, -1]

357. Int[((e_.)*(x_))^(m_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(p_)*((c_) + (d_.)*(x_)^2), x_Symbol] :> Simp[(b*c - a*d)*(e*x)^(
     m + 1)*((a + b*x^2)^(p + 1)/(a*b*e*(m + 1))), x] + Simp[d/b   Int[(e*x)^m*(a + b*x^2)^(p + 1), x], x] /; FreeQ
     [{a, b, c, d, e}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && EqQ[m + 2*p + 3, 0] && LtQ[p, -1]

358. Int[((e_.)*(x_))^(m_)*((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(p_.)*((c_) + (d_.)*(x_)^2), x_Symbol] :> Simp[c*(e*x)^(m + 1)*((a
     + b*x^2)^(p + 1)/(a*e*(m + 1))), x] + Simp[d/e^2   Int[(e*x)^(m + 2)*(a + b*x^2)^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c,
     d, e, m, p}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && EqQ[Simplify[m + 2*p + 3], 0] && NeQ[m, -1]

359. Int[((e_.)*(x_))^(m_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(p_.)*((c_) + (d_.)*(x_)^2), x_Symbol] :> Simp[c*(e*x)^(m + 1)*((
     a + b*x^2)^(p + 1)/(a*e*(m + 1))), x] + Simp[(a*d*(m + 1) - b*c*(m + 2*p + 3))/(a*e^2*(m + 1))   Int[(e*x)^(m
     + 2)*(a + b*x^2)^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, p}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && LtQ[m, -1] &&  !ILtQ[p, -1]

360. Int[(x_)^(m_)*((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(p_)*((c_) + (d_.)*(x_)^2), x_Symbol] :> Simp[(-a)^(m/2 - 1)*(b*c - a*d)*x
     *((a + b*x^2)^(p + 1)/(2*b^(m/2 + 1)*(p + 1))), x] + Simp[1/(2*b^(m/2 + 1)*(p + 1))   Int[(a + b*x^2)^(p + 1)*
     ExpandToSum[2*b*(p + 1)*x^2*Together[(b^(m/2)*x^(m - 2)*(c + d*x^2) - (-a)^(m/2 - 1)*(b*c - a*d))/(a + b*x^2)]
     - (-a)^(m/2 - 1)*(b*c - a*d), x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && LtQ[p, -1] && IGtQ
     [m/2, 0] && (IntegerQ[p] || EqQ[m + 2*p + 1, 0])

361. Int[(x_)^(m_)*((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(p_)*((c_) + (d_.)*(x_)^2), x_Symbol] :> Simp[(-a)^(m/2 - 1)*(b*c - a*d)*x
     *((a + b*x^2)^(p + 1)/(2*b^(m/2 + 1)*(p + 1))), x] + Simp[1/(2*b^(m/2 + 1)*(p + 1))   Int[x^m*(a + b*x^2)^(p +
     1)*ExpandToSum[2*b*(p + 1)*Together[(b^(m/2)*(c + d*x^2) - (-a)^(m/2 - 1)*(b*c - a*d)*x^(-m + 2))/(a + b*x^2)
     ] - ((-a)^(m/2 - 1)*(b*c - a*d))/x^m, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && LtQ[p, -1]
     && ILtQ[m/2, 0] && (IntegerQ[p] || EqQ[m + 2*p + 1, 0])

362. Int[((e_.)*(x_))^(m_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(p_.)*((c_) + (d_.)*(x_)^2), x_Symbol] :> Simp[(-(b*c - a*d))*(e*
     x)^(m + 1)*((a + b*x^2)^(p + 1)/(2*a*b*e*(p + 1))), x] - Simp[(a*d*(m + 1) - b*c*(m + 2*p + 3))/(2*a*b*(p + 1)
     )   Int[(e*x)^m*(a + b*x^2)^(p + 1), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, m}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && LtQ[p, -1]
     && (( !IntegerQ[p + 1/2] && NeQ[p, -5/4]) ||  !RationalQ[m] || (ILtQ[p + 1/2, 0] && LeQ[-1, m, -2*(p + 1)]))

363. Int[((e_.)*(x_))^(m_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(p_.)*((c_) + (d_.)*(x_)^2), x_Symbol] :> Simp[d*(e*x)^(m + 1)*((
     a + b*x^2)^(p + 1)/(b*e*(m + 2*p + 3))), x] - Simp[(a*d*(m + 1) - b*c*(m + 2*p + 3))/(b*(m + 2*p + 3))   Int[(
     e*x)^m*(a + b*x^2)^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, m, p}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && NeQ[m + 2*p + 3, 0]

364. Int[(((e_.)*(x_))^(m_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(p_))/((c_) + (d_.)*(x_)^2), x_Symbol] :> Int[ExpandIntegrand[(e
     *x)^m*((a + b*x^2)^p/(c + d*x^2)), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, m}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && IGtQ[p, 0] &
     & (IntegerQ[m] || IGtQ[2*(m + 1), 0] ||  !RationalQ[m])

365. Int[((e_.)*(x_))^(m_)*((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(p_)*((c_) + (d_.)*(x_)^2)^2, x_Symbol] :> Simp[c^2*(e*x)^(m + 1)*
     ((a + b*x^2)^(p + 1)/(a*e*(m + 1))), x] - Simp[1/(a*e^2*(m + 1))   Int[(e*x)^(m + 2)*(a + b*x^2)^p*Simp[2*b*c^
     2*(p + 1) + c*(b*c - 2*a*d)*(m + 1) - a*d^2*(m + 1)*x^2, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, p}, x] && NeQ[b*c
     - a*d, 0] && LtQ[m, -1]

366. Int[((e_.)*(x_))^(m_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(p_)*((c_) + (d_.)*(x_)^2)^2, x_Symbol] :> Simp[(-(b*c - a*d)^2)*
     (e*x)^(m + 1)*((a + b*x^2)^(p + 1)/(2*a*b^2*e*(p + 1))), x] + Simp[1/(2*a*b^2*(p + 1))   Int[(e*x)^m*(a + b*x^
     2)^(p + 1)*Simp[(b*c - a*d)^2*(m + 1) + 2*b^2*c^2*(p + 1) + 2*a*b*d^2*(p + 1)*x^2, x], x], x] /; FreeQ[{a, b,
     c, d, e, m}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && LtQ[p, -1]

367. Int[((e_.)*(x_))^(m_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(p_)*((c_) + (d_.)*(x_)^2)^2, x_Symbol] :> Simp[d^2*(e*x)^(m + 3)
     *((a + b*x^2)^(p + 1)/(b*e^3*(m + 2*p + 5))), x] + Simp[1/(b*(m + 2*p + 5))   Int[(e*x)^m*(a + b*x^2)^p*Simp[b
     *c^2*(m + 2*p + 5) - d*(a*d*(m + 3) - 2*b*c*(m + 2*p + 5))*x^2, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, m, p}, x]
     && NeQ[b*c - a*d, 0] && NeQ[m + 2*p + 5, 0]

368. Int[((e_.)*(x_))^(m_)*((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(p_)*((c_) + (d_.)*(x_)^2)^(q_), x_Symbol] :> With[{k = Denominato
     r[m]}, Simp[k/e   Subst[Int[x^(k*(m + 1) - 1)*(a + b*(x^(k*2)/e^2))^p*(c + d*(x^(k*2)/e^2))^q, x], x, (e*x)^(1
     /k)], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, p, q}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && FractionQ[m] && IntegerQ[p]

369. Int[((e_.)*(x_))^(m_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(p_)*((c_) + (d_.)*(x_)^2)^(q_), x_Symbol] :> Simp[e*(e*x)^(m - 1
     )*(a + b*x^2)^(p + 1)*((c + d*x^2)^q/(2*b*(p + 1))), x] - Simp[e^2/(2*b*(p + 1))   Int[(e*x)^(m - 2)*(a + b*x^
     2)^(p + 1)*(c + d*x^2)^(q - 1)*Simp[c*(m - 1) + d*(m + 2*q - 1)*x^2, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] &
     & NeQ[b*c - a*d, 0] && LtQ[p, -1] && GtQ[q, 0] && GtQ[m, 1] && IntBinomialQ[a, b, c, d, e, m, 2, p, q, x]

370. Int[((e_.)*(x_))^(m_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(p_)*((c_) + (d_.)*(x_)^2)^(q_), x_Symbol] :> Simp[(-(b*c - a*d))
     *(e*x)^(m + 1)*(a + b*x^2)^(p + 1)*((c + d*x^2)^(q - 1)/(a*b*e*2*(p + 1))), x] + Simp[1/(a*b*2*(p + 1))   Int[
     (e*x)^m*(a + b*x^2)^(p + 1)*(c + d*x^2)^(q - 2)*Simp[c*(b*c*2*(p + 1) + (b*c - a*d)*(m + 1)) + d*(b*c*2*(p + 1
     ) + (b*c - a*d)*(m + 2*(q - 1) + 1))*x^2, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, m}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && L
     tQ[p, -1] && GtQ[q, 1] && IntBinomialQ[a, b, c, d, e, m, 2, p, q, x]

371. Int[((e_.)*(x_))^(m_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(p_)*((c_) + (d_.)*(x_)^2)^(q_), x_Symbol] :> Simp[(-(e*x)^(m + 1
     ))*(a + b*x^2)^(p + 1)*((c + d*x^2)^q/(a*e*2*(p + 1))), x] + Simp[1/(a*2*(p + 1))   Int[(e*x)^m*(a + b*x^2)^(p
     + 1)*(c + d*x^2)^(q - 1)*Simp[c*(m + 2*(p + 1) + 1) + d*(m + 2*(p + q + 1) + 1)*x^2, x], x], x] /; FreeQ[{a,
     b, c, d, e, m}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && LtQ[p, -1] && LtQ[0, q, 1] && IntBinomialQ[a, b, c, d, e, m, 2, p,
     q, x]

372. Int[((e_.)*(x_))^(m_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(p_)*((c_) + (d_.)*(x_)^2)^(q_), x_Symbol] :> Simp[(-a)*e^3*(e*x)
     ^(m - 3)*(a + b*x^2)^(p + 1)*((c + d*x^2)^(q + 1)/(2*b*(b*c - a*d)*(p + 1))), x] + Simp[e^4/(2*b*(b*c - a*d)*(
     p + 1))   Int[(e*x)^(m - 4)*(a + b*x^2)^(p + 1)*(c + d*x^2)^q*Simp[a*c*(m - 3) + (a*d*(m + 2*q - 1) + 2*b*c*(p
     + 1))*x^2, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, q}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && LtQ[p, -1] && GtQ[m, 3] && IntB
     inomialQ[a, b, c, d, e, m, 2, p, q, x]

373. Int[((e_.)*(x_))^(m_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(p_)*((c_) + (d_.)*(x_)^2)^(q_), x_Symbol] :> Simp[e*(e*x)^(m - 1
     )*(a + b*x^2)^(p + 1)*((c + d*x^2)^(q + 1)/(2*(b*c - a*d)*(p + 1))), x] - Simp[e^2/(2*(b*c - a*d)*(p + 1))   I
     nt[(e*x)^(m - 2)*(a + b*x^2)^(p + 1)*(c + d*x^2)^q*Simp[c*(m - 1) + d*(m + 2*p + 2*q + 3)*x^2, x], x], x] /; F
     reeQ[{a, b, c, d, e, q}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && LtQ[p, -1] && GtQ[m, 1] && LeQ[m, 3] && IntBinomialQ[a, b,
     c, d, e, m, 2, p, q, x]

374. Int[((e_.)*(x_))^(m_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(p_)*((c_) + (d_.)*(x_)^2)^(q_), x_Symbol] :> Simp[(-b)*(e*x)^(m
     + 1)*(a + b*x^2)^(p + 1)*((c + d*x^2)^(q + 1)/(a*e*2*(b*c - a*d)*(p + 1))), x] + Simp[1/(a*2*(b*c - a*d)*(p +
     1))   Int[(e*x)^m*(a + b*x^2)^(p + 1)*(c + d*x^2)^q*Simp[b*c*(m + 1) + 2*(b*c - a*d)*(p + 1) + d*b*(m + 2*(p +
     q + 2) + 1)*x^2, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, m, q}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && LtQ[p, -1] && IntBinom
     ialQ[a, b, c, d, e, m, 2, p, q, x]

375. Int[((e_.)*(x_))^(m_)*((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(p_)*((c_) + (d_.)*(x_)^2)^(q_), x_Symbol] :> Simp[(e*x)^(m + 1)*(
     a + b*x^2)^p*((c + d*x^2)^q/(e*(m + 1))), x] - Simp[2/(e^2*(m + 1))   Int[(e*x)^(m + 2)*(a + b*x^2)^(p - 1)*(c
     + d*x^2)^(q - 1)*Simp[b*c*p + a*d*q + b*d*(p + q)*x^2, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && NeQ[b*c - a
     *d, 0] && GtQ[q, 0] && LtQ[m, -1] && GtQ[p, 0] && IntBinomialQ[a, b, c, d, e, m, 2, p, q, x]

376. Int[((e_.)*(x_))^(m_)*((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(p_)*((c_) + (d_.)*(x_)^2)^(q_), x_Symbol] :> Simp[c*(e*x)^(m + 1)
     *(a + b*x^2)^(p + 1)*((c + d*x^2)^(q - 1)/(a*e*(m + 1))), x] - Simp[1/(a*e^2*(m + 1))   Int[(e*x)^(m + 2)*(a +
     b*x^2)^p*(c + d*x^2)^(q - 2)*Simp[c*(b*c - a*d)*(m + 1) + 2*c*(b*c*(p + 1) + a*d*(q - 1)) + d*((b*c - a*d)*(m
     + 1) + 2*b*c*(p + q))*x^2, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, p}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && GtQ[q, 1] && Lt
     Q[m, -1] && IntBinomialQ[a, b, c, d, e, m, 2, p, q, x]

377. Int[((e_.)*(x_))^(m_)*((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(p_)*((c_) + (d_.)*(x_)^2)^(q_), x_Symbol] :> Simp[(e*x)^(m + 1)*(
     a + b*x^2)^(p + 1)*((c + d*x^2)^q/(a*e*(m + 1))), x] - Simp[1/(a*e^2*(m + 1))   Int[(e*x)^(m + 2)*(a + b*x^2)^
     p*(c + d*x^2)^(q - 1)*Simp[b*c*(m + 1) + 2*(b*c*(p + 1) + a*d*q) + d*(b*(m + 1) + 2*b*(p + q + 1))*x^2, x], x]
     , x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, p}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && LtQ[0, q, 1] && LtQ[m, -1] && IntBinomialQ[a, b,
     c, d, e, m, 2, p, q, x]

378. Int[((e_.)*(x_))^(m_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(p_)*((c_) + (d_.)*(x_)^2)^(q_), x_Symbol] :> Simp[(e*x)^(m + 1)*
     (a + b*x^2)^p*((c + d*x^2)^q/(e*(m + 2*(p + q) + 1))), x] + Simp[2/(m + 2*(p + q) + 1)   Int[(e*x)^m*(a + b*x^
     2)^(p - 1)*(c + d*x^2)^(q - 1)*Simp[a*c*(p + q) + (q*(b*c - a*d) + a*d*(p + q))*x^2, x], x], x] /; FreeQ[{a, b
     , c, d, e, m}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && GtQ[q, 0] && GtQ[p, 0] && IntBinomialQ[a, b, c, d, e, m, 2, p, q, x]

379. Int[((e_.)*(x_))^(m_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(p_)*((c_) + (d_.)*(x_)^2)^(q_), x_Symbol] :> Simp[d*(e*x)^(m + 1
     )*(a + b*x^2)^(p + 1)*((c + d*x^2)^(q - 1)/(b*e*(m + 2*(p + q) + 1))), x] + Simp[1/(b*(m + 2*(p + q) + 1))   I
     nt[(e*x)^m*(a + b*x^2)^p*(c + d*x^2)^(q - 2)*Simp[c*((b*c - a*d)*(m + 1) + b*c*2*(p + q)) + (d*(b*c - a*d)*(m
     + 1) + d*2*(q - 1)*(b*c - a*d) + b*c*d*2*(p + q))*x^2, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, m, p}, x] && NeQ[b*
     c - a*d, 0] && GtQ[q, 1] && IntBinomialQ[a, b, c, d, e, m, 2, p, q, x]

380. Int[((e_.)*(x_))^(m_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(p_)*((c_) + (d_.)*(x_)^2)^(q_), x_Symbol] :> Simp[e*(e*x)^(m - 1
     )*(a + b*x^2)^(p + 1)*((c + d*x^2)^q/(b*(m + 2*(p + q) + 1))), x] - Simp[e^2/(b*(m + 2*(p + q) + 1))   Int[(e*
     x)^(m - 2)*(a + b*x^2)^p*(c + d*x^2)^(q - 1)*Simp[a*c*(m - 1) + (a*d*(m - 1) - 2*q*(b*c - a*d))*x^2, x], x], x
     ] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, p}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && GtQ[q, 0] && GtQ[m, 1] && IntBinomialQ[a, b, c, d, e
     , m, 2, p, q, x]

381. Int[((e_.)*(x_))^(m_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(p_)*((c_) + (d_.)*(x_)^2)^(q_), x_Symbol] :> Simp[e^3*(e*x)^(m -
     3)*(a + b*x^2)^(p + 1)*((c + d*x^2)^(q + 1)/(b*d*(m + 2*(p + q) + 1))), x] - Simp[e^4/(b*d*(m + 2*(p + q) + 1
     ))   Int[(e*x)^(m - 4)*(a + b*x^2)^p*(c + d*x^2)^q*Simp[a*c*(m - 3) + (a*d*(m + 2*q - 1) + b*c*(m + 2*p - 1))*
     x^2, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, p, q}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && GtQ[m, 3] && IntBinomialQ[a, b, c,
     d, e, m, 2, p, q, x]

382. Int[((e_.)*(x_))^(m_)*((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(p_)*((c_) + (d_.)*(x_)^2)^(q_), x_Symbol] :> Simp[(e*x)^(m + 1)*(
     a + b*x^2)^(p + 1)*((c + d*x^2)^(q + 1)/(a*c*e*(m + 1))), x] - Simp[1/(a*c*e^2*(m + 1))   Int[(e*x)^(m + 2)*(a
     + b*x^2)^p*(c + d*x^2)^q*Simp[(b*c + a*d)*(m + 3) + 2*(b*c*p + a*d*q) + b*d*(m + 2*p + 2*q + 5)*x^2, x], x],
     x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, p, q}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && LtQ[m, -1] && IntBinomialQ[a, b, c, d, e, m, 2,
     p, q, x]

383. Int[((e_.)*(x_))^(m_.)/(((a_) + (b_.)*(x_)^2)*((c_) + (d_.)*(x_)^2)), x_Symbol] :> Simp[(-a)*(e^2/(b*c - a*d))
     Int[(e*x)^(m - 2)/(a + b*x^2), x], x] + Simp[c*(e^2/(b*c - a*d))   Int[(e*x)^(m - 2)/(c + d*x^2), x], x] /;
     FreeQ[{a, b, c, d, e, m}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && LeQ[2, m, 3]

384. Int[((e_.)*(x_))^(m_.)/(((a_) + (b_.)*(x_)^2)*((c_) + (d_.)*(x_)^2)), x_Symbol] :> Simp[b/(b*c - a*d)   Int[(e
     *x)^m/(a + b*x^2), x], x] - Simp[d/(b*c - a*d)   Int[(e*x)^m/(c + d*x^2), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, m},
     x] && NeQ[b*c - a*d, 0]

385. Int[(((e_.)*(x_))^(m_)*((c_) + (d_.)*(x_)^2)^(q_.))/((a_) + (b_.)*(x_)^2), x_Symbol] :> Simp[e^2/b   Int[(e*x)
     ^(m - 2)*(c + d*x^2)^q, x], x] - Simp[a*(e^2/b)   Int[(e*x)^(m - 2)*((c + d*x^2)^q/(a + b*x^2)), x], x] /; Fre
     eQ[{a, b, c, d, e, m, q}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && LeQ[2, m, 3] && IntBinomialQ[a, b, c, d, e, m, 2, -1, q,
     x]

386. Int[((x_)*((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(p_))/((c_) + (d_.)*(x_)^2), x_Symbol] :> Simp[b/d   Int[x*(a + b*x^2)^(p - 1)
     , x], x] - Simp[(b*c - a*d)/d   Int[x*((a + b*x^2)^(p - 1)/(c + d*x^2)), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && N
     eQ[b*c - a*d, 0] && GtQ[p, 0] && IntBinomialQ[a, b, c, d, 1, 1, 2, p, -1, x]

387. Int[((x_)*((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(p_))/((c_) + (d_.)*(x_)^2), x_Symbol] :> Simp[b/(b*c - a*d)   Int[x*(a + b*x^
     2)^(p - 1), x], x] - Simp[d/(b*c - a*d)   Int[x*((a + b*x^2)^(p + 1)/(c + d*x^2)), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d
     }, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && LtQ[p, -1] && IntBinomialQ[a, b, c, d, 1, 1, 2, p, -1, x]

388. Int[(x_)^2/(Sqrt[(a_) + (b_.)*(x_)^2]*Sqrt[(c_) + (d_.)*(x_)^2]), x_Symbol] :> Simp[x*(Sqrt[a + b*x^2]/(b*Sqrt
     [c + d*x^2])), x] - Simp[c/b   Int[Sqrt[a + b*x^2]/(c + d*x^2)^(3/2), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && NeQ[
     b*c - a*d, 0] && PosQ[b/a] && PosQ[d/c] &&  !SimplerSqrtQ[b/a, d/c]

389. Int[(x_)^2/(Sqrt[(a_) + (b_.)*(x_)^2]*Sqrt[(c_) + (d_.)*(x_)^2]), x_Symbol] :> Simp[1/b   Int[Sqrt[a + b*x^2]/
     Sqrt[c + d*x^2], x], x] - Simp[a/b   Int[1/(Sqrt[a + b*x^2]*Sqrt[c + d*x^2]), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x]
     && NeQ[b*c - a*d, 0] &&  !SimplerSqrtQ[-b/a, -d/c]

390. Int[(x_)^(m_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(p_)*((c_) + (d_.)*(x_)^2)^(q_.), x_Symbol] :> With[{k = Denominator[p]},
     Simp[k*(a^(p + (m + 1)/2)/2)   Subst[Int[x^(k*((m + 1)/2) - 1)*((c - (b*c - a*d)*x^k)^q/(1 - b*x^k)^(p + q +
     (m + 1)/2 + 1)), x], x, x^(2/k)/(a + b*x^2)^(1/k)], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && RationalQ[m, p] && Intege
     rsQ[p + (m + 1)/2, q] && LtQ[-1, p, 0]

391. Int[(x_)^(m_)/(((a_) + (b_.)*(x_)^2)*((c_) + (d_.)*(x_)^2)), x_Symbol] :> Simp[-a/(b*c - a*d)   Int[x^(m - 2)/
     (a + b*x^2), x], x] + Simp[c/(b*c - a*d)   Int[x^(m - 2)/(c + d*x^2), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, m}, x] && N
     eQ[b*c - a*d, 0] && (EqQ[m, 2] || EqQ[m, 3])

392. Int[((e_.)*(x_))^(m_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(p_)*((c_) + (d_.)*(x_)^2)^(q_), x_Symbol] :> Int[ExpandIntegrand
     [(e*x)^m*(a + b*x^2)^p*(c + d*x^2)^q, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, m}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && IGtQ[p, -
     2] && (IGtQ[q, -2] || (EqQ[q, -3] && IntegerQ[(m - 1)/2]))

393. Int[((e_.)*(x_))^(m_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(p_.)*((c_) + (d_.)*(x_)^2)^(q_.), x_Symbol] :> Simp[(e*x)^m/(2*x
     *(x^2)^(Simplify[(m + 1)/2] - 1))   Subst[Int[x^(Simplify[(m + 1)/2] - 1)*(a + b*x)^p*(c + d*x)^q, x], x, x^2]
     , x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, m, p, q}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && IntegerQ[Simplify[m + 2*p]] &&  !IntegerQ[m
     ]

394. Int[((e_.)*(x_))^(m_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(p_)*((c_) + (d_.)*(x_)^2)^(q_), x_Symbol] :> Simp[a^p*c^q*((e*x)
     ^(m + 1)/(e*(m + 1)))*AppellF1[(m + 1)/2, -p, -q, 1 + (m + 1)/2, (-b)*(x^2/a), (-d)*(x^2/c)], x] /; FreeQ[{a,
     b, c, d, e, m, p, q}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && NeQ[m, -1] && NeQ[m, 1] && (IntegerQ[p] || GtQ[a, 0]) && (Int
     egerQ[q] || GtQ[c, 0])

395. Int[((e_.)*(x_))^(m_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(p_)*((c_) + (d_.)*(x_)^2)^(q_), x_Symbol] :> Simp[a^IntPart[p]*(
     (a + b*x^2)^FracPart[p]/(1 + b*(x^2/a))^FracPart[p])   Int[(e*x)^m*(1 + b*(x^2/a))^p*(c + d*x^2)^q, x], x] /;
     FreeQ[{a, b, c, d, e, m, p, q}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && NeQ[m, -1] && NeQ[m, 1] &&  !(IntegerQ[p] || GtQ[a,
     0])

396. Int[((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(p_.)*((c_) + (d_.)*(x_)^2)^(q_.)*((e_) + (f_.)*(x_)^2)^(r_.), x_Symbol] :> Int[Expa
     ndIntegrand[(a + b*x^2)^p*(c + d*x^2)^q*(e + f*x^2)^r, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && IGtQ[p, 0] &&
     IGtQ[q, 0] && IGtQ[r, 0]

397. Int[((e_) + (f_.)*(x_)^2)/(((a_) + (b_.)*(x_)^2)*((c_) + (d_.)*(x_)^2)), x_Symbol] :> Simp[(b*e - a*f)/(b*c -
     a*d)   Int[1/(a + b*x^2), x], x] - Simp[(d*e - c*f)/(b*c - a*d)   Int[1/(c + d*x^2), x], x] /; FreeQ[{a, b, c,
     d, e, f}, x]

398. Int[((e_) + (f_.)*(x_)^2)/(((a_) + (b_.)*(x_)^2)*Sqrt[(c_) + (d_.)*(x_)^2]), x_Symbol] :> Simp[f/b   Int[1/Sqr
     t[c + d*x^2], x], x] + Simp[(b*e - a*f)/b   Int[1/((a + b*x^2)*Sqrt[c + d*x^2]), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d,
     e, f}, x]

399. Int[((e_) + (f_.)*(x_)^2)/(Sqrt[(a_) + (b_.)*(x_)^2]*Sqrt[(c_) + (d_.)*(x_)^2]), x_Symbol] :> Simp[f/b   Int[S
     qrt[a + b*x^2]/Sqrt[c + d*x^2], x], x] + Simp[(b*e - a*f)/b   Int[1/(Sqrt[a + b*x^2]*Sqrt[c + d*x^2]), x], x]
     /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] &&  !((PosQ[b/a] && PosQ[d/c]) || (NegQ[b/a] && (PosQ[d/c] || (GtQ[a, 0] && (
     !GtQ[c, 0] || SimplerSqrtQ[-b/a, -d/c])))))

400. Int[((e_) + (f_.)*(x_)^2)/(Sqrt[(a_) + (b_.)*(x_)^2]*((c_) + (d_.)*(x_)^2)^(3/2)), x_Symbol] :> Simp[(b*e - a*
     f)/(b*c - a*d)   Int[1/(Sqrt[a + b*x^2]*Sqrt[c + d*x^2]), x], x] - Simp[(d*e - c*f)/(b*c - a*d)   Int[Sqrt[a +
     b*x^2]/(c + d*x^2)^(3/2), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && PosQ[b/a] && PosQ[d/c]

401. Int[((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(p_)*((c_) + (d_.)*(x_)^2)^(q_.)*((e_) + (f_.)*(x_)^2), x_Symbol] :> Simp[(-(b*e - a
     *f))*x*(a + b*x^2)^(p + 1)*((c + d*x^2)^q/(a*b*2*(p + 1))), x] + Simp[1/(a*b*2*(p + 1))   Int[(a + b*x^2)^(p +
     1)*(c + d*x^2)^(q - 1)*Simp[c*(b*e*2*(p + 1) + b*e - a*f) + d*(b*e*2*(p + 1) + (b*e - a*f)*(2*q + 1))*x^2, x]
     , x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && LtQ[p, -1] && GtQ[q, 0]

402. Int[((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(p_)*((c_) + (d_.)*(x_)^2)^(q_.)*((e_) + (f_.)*(x_)^2), x_Symbol] :> Simp[(-(b*e - a
     *f))*x*(a + b*x^2)^(p + 1)*((c + d*x^2)^(q + 1)/(a*2*(b*c - a*d)*(p + 1))), x] + Simp[1/(a*2*(b*c - a*d)*(p +
     1))   Int[(a + b*x^2)^(p + 1)*(c + d*x^2)^q*Simp[c*(b*e - a*f) + e*2*(b*c - a*d)*(p + 1) + d*(b*e - a*f)*(2*(p
     + q + 2) + 1)*x^2, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, q}, x] && LtQ[p, -1]

403. Int[((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(p_.)*((c_) + (d_.)*(x_)^2)^(q_.)*((e_) + (f_.)*(x_)^2), x_Symbol] :> Simp[f*x*(a +
     b*x^2)^(p + 1)*((c + d*x^2)^q/(b*(2*(p + q + 1) + 1))), x] + Simp[1/(b*(2*(p + q + 1) + 1))   Int[(a + b*x^2)^
     p*(c + d*x^2)^(q - 1)*Simp[c*(b*e - a*f + b*e*2*(p + q + 1)) + (d*(b*e - a*f) + f*2*q*(b*c - a*d) + b*d*e*2*(p
     + q + 1))*x^2, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, p}, x] && GtQ[q, 0] && NeQ[2*(p + q + 1) + 1, 0]

404. Int[((e_) + (f_.)*(x_)^4)/(((a_) + (b_.)*(x_)^4)^(3/4)*((c_) + (d_.)*(x_)^4)), x_Symbol] :> Simp[(b*e - a*f)/(
     b*c - a*d)   Int[1/(a + b*x^4)^(3/4), x], x] - Simp[(d*e - c*f)/(b*c - a*d)   Int[(a + b*x^4)^(1/4)/(c + d*x^4
     ), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x]

405. Int[(((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(p_)*((e_) + (f_.)*(x_)^2))/((c_) + (d_.)*(x_)^2), x_Symbol] :> Simp[f/d   Int[(a +
     b*x^2)^p, x], x] + Simp[(d*e - c*f)/d   Int[(a + b*x^2)^p/(c + d*x^2), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, p},
     x]

406. Int[((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(p_.)*((c_) + (d_.)*(x_)^2)^(q_.)*((e_) + (f_.)*(x_)^2), x_Symbol] :> Simp[e   Int[(
     a + b*x^2)^p*(c + d*x^2)^q, x], x] + Simp[f   Int[x^2*(a + b*x^2)^p*(c + d*x^2)^q, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d
     , e, f, p, q}, x]

407. Int[1/(((a_) + (b_.)*(x_)^2)*((c_) + (d_.)*(x_)^2)*Sqrt[(e_) + (f_.)*(x_)^2]), x_Symbol] :> Simp[b/(b*c - a*d)
     Int[1/((a + b*x^2)*Sqrt[e + f*x^2]), x], x] - Simp[d/(b*c - a*d)   Int[1/((c + d*x^2)*Sqrt[e + f*x^2]), x],
     x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x]

408. Int[1/((x_)^2*((c_) + (d_.)*(x_)^2)*Sqrt[(e_) + (f_.)*(x_)^2]), x_Symbol] :> Simp[1/c   Int[1/(x^2*Sqrt[e + f*
     x^2]), x], x] - Simp[d/c   Int[1/((c + d*x^2)*Sqrt[e + f*x^2]), x], x] /; FreeQ[{c, d, e, f}, x] && NeQ[d*e -
     c*f, 0]

409. Int[(Sqrt[(c_) + (d_.)*(x_)^2]*Sqrt[(e_) + (f_.)*(x_)^2])/((a_) + (b_.)*(x_)^2), x_Symbol] :> Simp[d/b   Int[S
     qrt[e + f*x^2]/Sqrt[c + d*x^2], x], x] + Simp[(b*c - a*d)/b   Int[Sqrt[e + f*x^2]/((a + b*x^2)*Sqrt[c + d*x^2]
     ), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && GtQ[d/c, 0] && GtQ[f/e, 0] &&  !SimplerSqrtQ[d/c, f/e]

410. Int[(Sqrt[(c_) + (d_.)*(x_)^2]*Sqrt[(e_) + (f_.)*(x_)^2])/((a_) + (b_.)*(x_)^2), x_Symbol] :> Simp[d/b   Int[S
     qrt[e + f*x^2]/Sqrt[c + d*x^2], x], x] + Simp[(b*c - a*d)/b   Int[Sqrt[e + f*x^2]/((a + b*x^2)*Sqrt[c + d*x^2]
     ), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] &&  !SimplerSqrtQ[-f/e, -d/c]

411. Int[1/(((a_) + (b_.)*(x_)^2)*Sqrt[(c_) + (d_.)*(x_)^2]*Sqrt[(e_) + (f_.)*(x_)^2]), x_Symbol] :> Simp[-f/(b*e -
     a*f)   Int[1/(Sqrt[c + d*x^2]*Sqrt[e + f*x^2]), x], x] + Simp[b/(b*e - a*f)   Int[Sqrt[e + f*x^2]/((a + b*x^2
     )*Sqrt[c + d*x^2]), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && GtQ[d/c, 0] && GtQ[f/e, 0] &&  !SimplerSqrtQ[d/c
     , f/e]

412. Int[1/(((a_) + (b_.)*(x_)^2)*Sqrt[(c_) + (d_.)*(x_)^2]*Sqrt[(e_) + (f_.)*(x_)^2]), x_Symbol] :> Simp[(1/(a*Sqr
     t[c]*Sqrt[e]*Rt[-d/c, 2]))*EllipticPi[b*(c/(a*d)), ArcSin[Rt[-d/c, 2]*x], c*(f/(d*e))], x] /; FreeQ[{a, b, c,
     d, e, f}, x] &&  !GtQ[d/c, 0] && GtQ[c, 0] && GtQ[e, 0] &&  !( !GtQ[f/e, 0] && SimplerSqrtQ[-f/e, -d/c])

413. Int[1/(((a_) + (b_.)*(x_)^2)*Sqrt[(c_) + (d_.)*(x_)^2]*Sqrt[(e_) + (f_.)*(x_)^2]), x_Symbol] :> Simp[Sqrt[1 +
     (d/c)*x^2]/Sqrt[c + d*x^2]   Int[1/((a + b*x^2)*Sqrt[1 + (d/c)*x^2]*Sqrt[e + f*x^2]), x], x] /; FreeQ[{a, b, c
     , d, e, f}, x] &&  !GtQ[c, 0]

414. Int[Sqrt[(c_) + (d_.)*(x_)^2]/(((a_) + (b_.)*(x_)^2)*Sqrt[(e_) + (f_.)*(x_)^2]), x_Symbol] :> Simp[c*(Sqrt[e +
     f*x^2]/(a*e*Rt[d/c, 2]*Sqrt[c + d*x^2]*Sqrt[c*((e + f*x^2)/(e*(c + d*x^2)))]))*EllipticPi[1 - b*(c/(a*d)), Ar
     cTan[Rt[d/c, 2]*x], 1 - c*(f/(d*e))], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && PosQ[d/c]

415. Int[Sqrt[(c_) + (d_.)*(x_)^2]/(((a_) + (b_.)*(x_)^2)*Sqrt[(e_) + (f_.)*(x_)^2]), x_Symbol] :> Simp[d/b   Int[1
     /(Sqrt[c + d*x^2]*Sqrt[e + f*x^2]), x], x] + Simp[(b*c - a*d)/b   Int[1/((a + b*x^2)*Sqrt[c + d*x^2]*Sqrt[e +
     f*x^2]), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && NegQ[d/c]

416. Int[Sqrt[(e_) + (f_.)*(x_)^2]/(((a_) + (b_.)*(x_)^2)*((c_) + (d_.)*(x_)^2)^(3/2)), x_Symbol] :> Simp[b/(b*c -
     a*d)   Int[Sqrt[e + f*x^2]/((a + b*x^2)*Sqrt[c + d*x^2]), x], x] - Simp[d/(b*c - a*d)   Int[Sqrt[e + f*x^2]/(c
     + d*x^2)^(3/2), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && PosQ[d/c] && PosQ[f/e]

417. Int[((e_) + (f_.)*(x_)^2)^(3/2)/(((a_) + (b_.)*(x_)^2)*((c_) + (d_.)*(x_)^2)^(3/2)), x_Symbol] :> Simp[(b*e -
     a*f)/(b*c - a*d)   Int[Sqrt[e + f*x^2]/((a + b*x^2)*Sqrt[c + d*x^2]), x], x] - Simp[(d*e - c*f)/(b*c - a*d)
     Int[Sqrt[e + f*x^2]/(c + d*x^2)^(3/2), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && PosQ[d/c] && PosQ[f/e]

418. Int[(((c_) + (d_.)*(x_)^2)^(3/2)*Sqrt[(e_) + (f_.)*(x_)^2])/((a_) + (b_.)*(x_)^2), x_Symbol] :> Simp[(b*c - a*
     d)^2/b^2   Int[Sqrt[e + f*x^2]/((a + b*x^2)*Sqrt[c + d*x^2]), x], x] + Simp[d/b^2   Int[(2*b*c - a*d + b*d*x^2
     )*(Sqrt[e + f*x^2]/Sqrt[c + d*x^2]), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && PosQ[d/c] && PosQ[f/e]

419. Int[(((c_) + (d_.)*(x_)^2)^(q_)*((e_) + (f_.)*(x_)^2)^(r_))/((a_) + (b_.)*(x_)^2), x_Symbol] :> Simp[b*((b*e -
     a*f)/(b*c - a*d)^2)   Int[(c + d*x^2)^(q + 2)*((e + f*x^2)^(r - 1)/(a + b*x^2)), x], x] - Simp[1/(b*c - a*d)^
     2   Int[(c + d*x^2)^q*(e + f*x^2)^(r - 1)*(2*b*c*d*e - a*d^2*e - b*c^2*f + d^2*(b*e - a*f)*x^2), x], x] /; Fre
     eQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && LtQ[q, -1] && GtQ[r, 1]

420. Int[(((c_) + (d_.)*(x_)^2)^(q_)*((e_) + (f_.)*(x_)^2)^(r_))/((a_) + (b_.)*(x_)^2), x_Symbol] :> Simp[d/b   Int
     [(c + d*x^2)^(q - 1)*(e + f*x^2)^r, x], x] + Simp[(b*c - a*d)/b   Int[(c + d*x^2)^(q - 1)*((e + f*x^2)^r/(a +
     b*x^2)), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, r}, x] && GtQ[q, 1]

421. Int[(((c_) + (d_.)*(x_)^2)^(q_)*((e_) + (f_.)*(x_)^2)^(r_))/((a_) + (b_.)*(x_)^2), x_Symbol] :> Simp[b^2/(b*c
     - a*d)^2   Int[(c + d*x^2)^(q + 2)*((e + f*x^2)^r/(a + b*x^2)), x], x] - Simp[d/(b*c - a*d)^2   Int[(c + d*x^2
     )^q*(e + f*x^2)^r*(2*b*c - a*d + b*d*x^2), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, r}, x] && LtQ[q, -1]

422. Int[(((c_) + (d_.)*(x_)^2)^(q_)*((e_) + (f_.)*(x_)^2)^(r_))/((a_) + (b_.)*(x_)^2), x_Symbol] :> Simp[-d/(b*c -
     a*d)   Int[(c + d*x^2)^q*(e + f*x^2)^r, x], x] + Simp[b/(b*c - a*d)   Int[(c + d*x^2)^(q + 1)*((e + f*x^2)^r/
     (a + b*x^2)), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, r}, x] && LeQ[q, -1]

423. Int[(Sqrt[(c_) + (d_.)*(x_)^2]*Sqrt[(e_) + (f_.)*(x_)^2])/((a_) + (b_.)*(x_)^2)^2, x_Symbol] :> Simp[x*Sqrt[c
     + d*x^2]*(Sqrt[e + f*x^2]/(2*a*(a + b*x^2))), x] + (Simp[(b^2*c*e - a^2*d*f)/(2*a*b^2)   Int[1/((a + b*x^2)*Sq
     rt[c + d*x^2]*Sqrt[e + f*x^2]), x], x] + Simp[d*(f/(2*a*b^2))   Int[(a - b*x^2)/(Sqrt[c + d*x^2]*Sqrt[e + f*x^
     2]), x], x]) /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x]

424. Int[1/(((a_) + (b_.)*(x_)^2)^2*Sqrt[(c_) + (d_.)*(x_)^2]*Sqrt[(e_) + (f_.)*(x_)^2]), x_Symbol] :> Simp[b^2*x*S
     qrt[c + d*x^2]*(Sqrt[e + f*x^2]/(2*a*(b*c - a*d)*(b*e - a*f)*(a + b*x^2))), x] + (Simp[(b^2*c*e + 3*a^2*d*f -
     2*a*b*(d*e + c*f))/(2*a*(b*c - a*d)*(b*e - a*f))   Int[1/((a + b*x^2)*Sqrt[c + d*x^2]*Sqrt[e + f*x^2]), x], x]
     - Simp[d*(f/(2*a*(b*c - a*d)*(b*e - a*f)))   Int[(a + b*x^2)/(Sqrt[c + d*x^2]*Sqrt[e + f*x^2]), x], x]) /; Fr
     eeQ[{a, b, c, d, e, f}, x]

425. Int[((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(p_)*((c_) + (d_.)*(x_)^2)^(q_)*((e_) + (f_.)*(x_)^2)^(r_), x_Symbol] :> Simp[d/b
     Int[(a + b*x^2)^(p + 1)*(c + d*x^2)^(q - 1)*(e + f*x^2)^r, x], x] + Simp[(b*c - a*d)/b   Int[(a + b*x^2)^p*(c
     + d*x^2)^(q - 1)*(e + f*x^2)^r, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, r}, x] && ILtQ[p, 0] && GtQ[q, 0]

426. Int[((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(p_)*((c_) + (d_.)*(x_)^2)^(q_)*((e_) + (f_.)*(x_)^2)^(r_), x_Symbol] :> Simp[b/(b*c
     - a*d)   Int[(a + b*x^2)^p*(c + d*x^2)^(q + 1)*(e + f*x^2)^r, x], x] - Simp[d/(b*c - a*d)   Int[(a + b*x^2)^(
     p + 1)*(c + d*x^2)^q*(e + f*x^2)^r, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, q}, x] && ILtQ[p, 0] && LeQ[q, -1]

427. Int[1/(Sqrt[(a_) + (b_.)*(x_)^2]*Sqrt[(c_) + (d_.)*(x_)^2]*Sqrt[(e_) + (f_.)*(x_)^2]), x_Symbol] :> Simp[Sqrt[
     c + d*x^2]*(Sqrt[a*((e + f*x^2)/(e*(a + b*x^2)))]/(c*Sqrt[e + f*x^2]*Sqrt[a*((c + d*x^2)/(c*(a + b*x^2)))]))
     Subst[Int[1/(Sqrt[1 - (b*c - a*d)*(x^2/c)]*Sqrt[1 - (b*e - a*f)*(x^2/e)]), x], x, x/Sqrt[a + b*x^2]], x] /; F
     reeQ[{a, b, c, d, e, f}, x]

428. Int[Sqrt[(a_) + (b_.)*(x_)^2]/(Sqrt[(c_) + (d_.)*(x_)^2]*Sqrt[(e_) + (f_.)*(x_)^2]), x_Symbol] :> Simp[a*Sqrt[
     c + d*x^2]*(Sqrt[a*((e + f*x^2)/(e*(a + b*x^2)))]/(c*Sqrt[e + f*x^2]*Sqrt[a*((c + d*x^2)/(c*(a + b*x^2)))]))
     Subst[Int[1/((1 - b*x^2)*Sqrt[1 - (b*c - a*d)*(x^2/c)]*Sqrt[1 - (b*e - a*f)*(x^2/e)]), x], x, x/Sqrt[a + b*x^
     2]], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x]

429. Int[Sqrt[(c_) + (d_.)*(x_)^2]/(((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(3/2)*Sqrt[(e_) + (f_.)*(x_)^2]), x_Symbol] :> Simp[Sqrt[
     c + d*x^2]*(Sqrt[a*((e + f*x^2)/(e*(a + b*x^2)))]/(a*Sqrt[e + f*x^2]*Sqrt[a*((c + d*x^2)/(c*(a + b*x^2)))]))
     Subst[Int[Sqrt[1 - (b*c - a*d)*(x^2/c)]/Sqrt[1 - (b*e - a*f)*(x^2/e)], x], x, x/Sqrt[a + b*x^2]], x] /; FreeQ
     [{a, b, c, d, e, f}, x]

430. Int[(Sqrt[(a_) + (b_.)*(x_)^2]*Sqrt[(c_) + (d_.)*(x_)^2])/Sqrt[(e_) + (f_.)*(x_)^2], x_Symbol] :> Simp[d*x*Sqr
     t[a + b*x^2]*(Sqrt[e + f*x^2]/(2*f*Sqrt[c + d*x^2])), x] + (-Simp[c*((d*e - c*f)/(2*f))   Int[Sqrt[a + b*x^2]/
     ((c + d*x^2)^(3/2)*Sqrt[e + f*x^2]), x], x] - Simp[(b*d*e - b*c*f - a*d*f)/(2*d*f)   Int[Sqrt[c + d*x^2]/(Sqrt
     [a + b*x^2]*Sqrt[e + f*x^2]), x], x] + Simp[b*c*((d*e - c*f)/(2*d*f))   Int[1/(Sqrt[a + b*x^2]*Sqrt[c + d*x^2]
     *Sqrt[e + f*x^2]), x], x]) /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && PosQ[(d*e - c*f)/c]

431. Int[(Sqrt[(a_) + (b_.)*(x_)^2]*Sqrt[(c_) + (d_.)*(x_)^2])/Sqrt[(e_) + (f_.)*(x_)^2], x_Symbol] :> Simp[x*Sqrt[
     a + b*x^2]*(Sqrt[c + d*x^2]/(2*Sqrt[e + f*x^2])), x] + (Simp[e*((b*e - a*f)/(2*f))   Int[Sqrt[c + d*x^2]/(Sqrt
     [a + b*x^2]*(e + f*x^2)^(3/2)), x], x] - Simp[(b*d*e - b*c*f - a*d*f)/(2*f^2)   Int[Sqrt[e + f*x^2]/(Sqrt[a +
     b*x^2]*Sqrt[c + d*x^2]), x], x] + Simp[(b*e - a*f)*((d*e - 2*c*f)/(2*f^2))   Int[1/(Sqrt[a + b*x^2]*Sqrt[c + d
     *x^2]*Sqrt[e + f*x^2]), x], x]) /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && NegQ[(d*e - c*f)/c]

432. Int[(Sqrt[(a_) + (b_.)*(x_)^2]*Sqrt[(c_) + (d_.)*(x_)^2])/((e_) + (f_.)*(x_)^2)^(3/2), x_Symbol] :> Simp[b/f
     Int[Sqrt[c + d*x^2]/(Sqrt[a + b*x^2]*Sqrt[e + f*x^2]), x], x] - Simp[(b*e - a*f)/f   Int[Sqrt[c + d*x^2]/(Sqr
     t[a + b*x^2]*(e + f*x^2)^(3/2)), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x]

433. Int[((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(p_)*((c_) + (d_.)*(x_)^2)^(q_)*((e_) + (f_.)*(x_)^2)^(r_), x_Symbol] :> With[{u = E
     xpandIntegrand[(a + b*x^2)^p*(c + d*x^2)^q*(e + f*x^2)^r, x]}, Int[u, x] /; SumQ[u]] /; FreeQ[{a, b, c, d, e,
     f, p, q, r}, x]

434. Int[((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(p_.)*((c_) + (d_.)*(x_)^2)^(q_.)*((e_) + (f_.)*(x_)^2)^(r_.), x_Symbol] :> Unintegr
     able[(a + b*x^2)^p*(c + d*x^2)^q*(e + f*x^2)^r, x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, p, q, r}, x]

435. Int[(x_)^(m_.)*((a_.) + (b_.)*(x_)^2)^(p_.)*((c_.) + (d_.)*(x_)^2)^(q_.)*((e_.) + (f_.)*(x_)^2)^(r_.), x_Symbo
     l] :> Simp[1/2   Subst[Int[x^((m - 1)/2)*(a + b*x)^p*(c + d*x)^q*(e + f*x)^r, x], x, x^2], x] /; FreeQ[{a, b,
     c, d, e, f, p, q, r}, x] && IntegerQ[(m - 1)/2]

436. Int[((g_.)*(x_))^(m_.)*((b_.)*(x_)^2.)^(p_.)*((c_.) + (d_.)*(x_)^2)^(q_.)*((e_.) + (f_.)*(x_)^2)^(r_.), x_Symb
     ol] :> Simp[(g*x)^m*((b*x^2)^p/x^(m + 2*p))   Int[x^(m + 2*p)*(c + d*x^2)^q*(e + f*x^2)^r, x], x] /; FreeQ[{b,
     c, d, e, f, g, m, p, q, r}, x]

437. Int[((g_.)*(x_))^(m_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(p_.)*((c_) + (d_.)*(x_)^2)^(q_.)*((e_) + (f_.)*(x_)^2)^(r_.), x_
     Symbol] :> Int[ExpandIntegrand[(g*x)^m*(a + b*x^2)^p*(c + d*x^2)^q*(e + f*x^2)^r, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d,
     e, f, g, m}, x] && IGtQ[p, -2] && IGtQ[q, 0] && IGtQ[r, 0]

438. Int[((g_.)*(x_))^(m_)*((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(p_)*((c_) + (d_.)*(x_)^2)^(q_)*((e_) + (f_.)*(x_)^2)^(r_), x_Symb
     ol] :> With[{k = Denominator[m]}, Simp[k/g   Subst[Int[x^(k*(m + 1) - 1)*(a + b*(x^(k*2)/g^2))^p*(c + d*(x^(k*
     2)/g^2))^q*(e + f*(x^(k*2)/g^2))^r, x], x, (g*x)^(1/k)], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, p, q, r}, x] && Fr
     actionQ[m]

439. Int[((g_.)*(x_))^(m_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(p_)*((c_) + (d_.)*(x_)^2)^(q_.)*((e_) + (f_.)*(x_)^2), x_Symbol]
     :> Simp[(-(b*e - a*f))*(g*x)^(m + 1)*(a + b*x^2)^(p + 1)*((c + d*x^2)^q/(2*a*b*g*(p + 1))), x] + Simp[1/(2*a*
     b*(p + 1))   Int[(g*x)^m*(a + b*x^2)^(p + 1)*(c + d*x^2)^(q - 1)*Simp[c*(2*b*e*(p + 1) + (b*e - a*f)*(m + 1))
     + d*(2*b*e*(p + 1) + (b*e - a*f)*(m + 2*q + 1))*x^2, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, m}, x] && LtQ[p
     , -1] && GtQ[q, 0] &&  !(EqQ[q, 1] && SimplerQ[b*c - a*d, b*e - a*f])

440. Int[((g_.)*(x_))^(m_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(p_)*((c_) + (d_.)*(x_)^2)^(q_)*((e_) + (f_.)*(x_)^2), x_Symbol]
     :> Simp[g*(b*e - a*f)*(g*x)^(m - 1)*(a + b*x^2)^(p + 1)*((c + d*x^2)^(q + 1)/(2*b*(b*c - a*d)*(p + 1))), x] -
     Simp[g^2/(2*b*(b*c - a*d)*(p + 1))   Int[(g*x)^(m - 2)*(a + b*x^2)^(p + 1)*(c + d*x^2)^q*Simp[c*(b*e - a*f)*(m
     - 1) + (d*(b*e - a*f)*(m + 2*q + 1) - b*2*(c*f - d*e)*(p + 1))*x^2, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g,
     q}, x] && LtQ[p, -1] && GtQ[m, 1]

441. Int[((g_.)*(x_))^(m_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(p_)*((c_) + (d_.)*(x_)^2)^(q_)*((e_) + (f_.)*(x_)^2), x_Symbol]
     :> Simp[(-(b*e - a*f))*(g*x)^(m + 1)*(a + b*x^2)^(p + 1)*((c + d*x^2)^(q + 1)/(a*g*2*(b*c - a*d)*(p + 1))), x]
     + Simp[1/(a*2*(b*c - a*d)*(p + 1))   Int[(g*x)^m*(a + b*x^2)^(p + 1)*(c + d*x^2)^q*Simp[c*(b*e - a*f)*(m + 1)
     + e*2*(b*c - a*d)*(p + 1) + d*(b*e - a*f)*(m + 2*(p + q + 2) + 1)*x^2, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f,
     g, m, q}, x] && LtQ[p, -1]

442. Int[((g_.)*(x_))^(m_)*((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(p_.)*((c_) + (d_.)*(x_)^2)^(q_.)*((e_) + (f_.)*(x_)^2), x_Symbol]
     :> Simp[e*(g*x)^(m + 1)*(a + b*x^2)^(p + 1)*((c + d*x^2)^q/(a*g*(m + 1))), x] - Simp[1/(a*g^2*(m + 1))   Int[
     (g*x)^(m + 2)*(a + b*x^2)^p*(c + d*x^2)^(q - 1)*Simp[c*(b*e - a*f)*(m + 1) + e*2*(b*c*(p + 1) + a*d*q) + d*((b
     *e - a*f)*(m + 1) + b*e*2*(p + q + 1))*x^2, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, p}, x] && GtQ[q, 0] && L
     tQ[m, -1] &&  !(EqQ[q, 1] && SimplerQ[e + f*x^2, c + d*x^2])

443. Int[((g_.)*(x_))^(m_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(p_.)*((c_) + (d_.)*(x_)^2)^(q_.)*((e_) + (f_.)*(x_)^2), x_Symbol
     ] :> Simp[f*(g*x)^(m + 1)*(a + b*x^2)^(p + 1)*((c + d*x^2)^q/(b*g*(m + 2*(p + q + 1) + 1))), x] + Simp[1/(b*(m
     + 2*(p + q + 1) + 1))   Int[(g*x)^m*(a + b*x^2)^p*(c + d*x^2)^(q - 1)*Simp[c*((b*e - a*f)*(m + 1) + b*e*2*(p
     + q + 1)) + (d*(b*e - a*f)*(m + 1) + f*2*q*(b*c - a*d) + b*e*d*2*(p + q + 1))*x^2, x], x], x] /; FreeQ[{a, b,
     c, d, e, f, g, m, p}, x] && GtQ[q, 0] &&  !(EqQ[q, 1] && SimplerQ[e + f*x^2, c + d*x^2])

444. Int[((g_.)*(x_))^(m_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(p_.)*((c_) + (d_.)*(x_)^2)^(q_.)*((e_) + (f_.)*(x_)^2), x_Symbol
     ] :> Simp[f*g*(g*x)^(m - 1)*(a + b*x^2)^(p + 1)*((c + d*x^2)^(q + 1)/(b*d*(m + 2*(p + q + 1) + 1))), x] - Simp
     [g^2/(b*d*(m + 2*(p + q + 1) + 1))   Int[(g*x)^(m - 2)*(a + b*x^2)^p*(c + d*x^2)^q*Simp[a*f*c*(m - 1) + (a*f*d
     *(m + 2*q + 1) + b*(f*c*(m + 2*p + 1) - e*d*(m + 2*(p + q + 1) + 1)))*x^2, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e,
     f, g, p, q}, x] && GtQ[m, 1]

445. Int[((g_.)*(x_))^(m_)*((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(p_.)*((c_) + (d_.)*(x_)^2)^(q_.)*((e_) + (f_.)*(x_)^2), x_Symbol]
     :> Simp[e*(g*x)^(m + 1)*(a + b*x^2)^(p + 1)*((c + d*x^2)^(q + 1)/(a*c*g*(m + 1))), x] + Simp[1/(a*c*g^2*(m +
     1))   Int[(g*x)^(m + 2)*(a + b*x^2)^p*(c + d*x^2)^q*Simp[a*f*c*(m + 1) - e*(b*c + a*d)*(m + 2 + 1) - e*2*(b*c*
     p + a*d*q) - b*e*d*(m + 2*(p + q + 2) + 1)*x^2, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, p, q}, x] && LtQ[m,
     -1]

446. Int[(((g_.)*(x_))^(m_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(p_)*((e_) + (f_.)*(x_)^2))/((c_) + (d_.)*(x_)^2), x_Symbol] :>
     Int[ExpandIntegrand[(g*x)^m*(a + b*x^2)^p*((e + f*x^2)/(c + d*x^2)), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, m,
     p}, x]

447. Int[((g_.)*(x_))^(m_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(p_.)*((c_) + (d_.)*(x_)^2)^(q_.)*((e_) + (f_.)*(x_)^2), x_Symbol
     ] :> Simp[e   Int[(g*x)^m*(a + b*x^2)^p*(c + d*x^2)^q, x], x] + Simp[f/e^2   Int[(g*x)^(m + 2)*(a + b*x^2)^p*(
     c + d*x^2)^q, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, m, p, q}, x]

448. Int[((g_.)*(x_))^(m_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(p_.)*((c_) + (d_.)*(x_)^2)^(q_.)*((e_) + (f_.)*(x_)^2)^(r_.), x_
     Symbol] :> Simp[e   Int[(g*x)^m*(a + b*x^2)^p*(c + d*x^2)^q*(e + f*x^2)^(r - 1), x], x] + Simp[f/e^2   Int[(g*
     x)^(m + 2)*(a + b*x^2)^p*(c + d*x^2)^q*(e + f*x^2)^(r - 1), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, m, p, q}, x]
     && IGtQ[r, 0]

449. Int[((g_.)*(x_))^(m_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(p_)*((c_) + (d_.)*(x_)^2)^(q_)*((e_) + (f_.)*(x_)^2), x_Symbol]
     :> Simp[e   Int[(g*x)^m*(a + b*x^2)^p*(c + d*x^2)^q, x], x] + Simp[f*((g*x)^m/x^m)   Int[x^(m + 2)*(a + b*x^2)
     ^p*(c + d*x^2)^q, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, m, p, q}, x]

450. Int[((g_.)*(x_))^(m_.)*((a_.) + (b_.)*(x_)^2)^(p_.)*((c_.) + (d_.)*(x_)^2)^(q_.)*((e_.) + (f_.)*(x_)^2)^(r_.),
     x_Symbol] :> Unintegrable[(g*x)^m*(a + b*x^2)^p*(c + d*x^2)^q*(e + f*x^2)^r, x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g
     , m, p, q, r}, x]

451. Int[((c_) + (d_.)*(x_))/((a_) + (b_.)*(x_)^2), x_Symbol] :> Simp[c^2/a   Int[1/(c - d*x), x], x] /; FreeQ[{a,
     b, c, d}, x] && EqQ[b*c^2 + a*d^2, 0]

452. Int[((c_) + (d_.)*(x_))/((a_) + (b_.)*(x_)^2), x_Symbol] :> Simp[c   Int[1/(a + b*x^2), x], x] + Simp[d   Int[
     x/(a + b*x^2), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && NeQ[b*c^2 + a*d^2, 0]

453. Int[((c_) + (d_.)*(x_))/((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(3/2), x_Symbol] :> Simp[-(a*d - b*c*x)/(a*b*Sqrt[a + b*x^2]), x
     ] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x]

454. Int[((c_) + (d_.)*(x_))*((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Simp[((a*d - b*c*x)/(2*a*b*(p + 1)))*(a + b*x
     ^2)^(p + 1), x] + Simp[c*((2*p + 3)/(2*a*(p + 1)))   Int[(a + b*x^2)^(p + 1), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x]
     && LtQ[p, -1] && NeQ[p, -3/2]

455. Int[((c_) + (d_.)*(x_))*((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(p_.), x_Symbol] :> Simp[d*((a + b*x^2)^(p + 1)/(2*b*(p + 1))),
     x] + Simp[c   Int[(a + b*x^2)^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, p}, x] &&  !LeQ[p, -1]

456. Int[((c_) + (d_.)*(x_))^(n_)*((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(p_.), x_Symbol] :> Int[(c + d*x)^(n + p)*(a/c + (b/d)*x)^p
     , x] /; FreeQ[{a, b, c, d, n, p}, x] && EqQ[b*c^2 + a*d^2, 0] && (IntegerQ[p] || (GtQ[a, 0] && GtQ[c, 0] &&  !
     IntegerQ[n]))

457. Int[((c_) + (d_.)*(x_))^2*((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Simp[d*(c + d*x)*((a + b*x^2)^(p + 1)/(b*(p
     + 1))), x] - Simp[d^2*((p + 2)/(b*(p + 1)))   Int[(a + b*x^2)^(p + 1), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, p}, x] &&
     EqQ[b*c^2 + a*d^2, 0] && LtQ[p, -1]

458. Int[((c_) + (d_.)*(x_))^(n_)*((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Simp[d*(c + d*x)^(n - 1)*((a + b*x^2)^(p
     + 1)/(b*(p + 1))), x] /; FreeQ[{a, b, c, d, n, p}, x] && EqQ[b*c^2 + a*d^2, 0] && EqQ[n + p, 0]

459. Int[((c_) + (d_.)*(x_))^(n_)*((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Simp[d*(c + d*x)^(n - 1)*((a + b*x^2)^(p
     + 1)/(b*(n + 2*p + 1))), x] + Simp[2*c*(Simplify[n + p]/(n + 2*p + 1))   Int[(c + d*x)^(n - 1)*(a + b*x^2)^p,
     x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, n, p}, x] && EqQ[b*c^2 + a*d^2, 0] && IGtQ[Simplify[n + p], 0]

460. Int[((c_) + (d_.)*(x_))^(n_)*((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Simp[(-d)*(c + d*x)^n*((a + b*x^2)^(p +
     1)/(b*c*n)), x] /; FreeQ[{a, b, c, d, n, p}, x] && EqQ[b*c^2 + a*d^2, 0] && EqQ[n + 2*p + 2, 0]

461. Int[((c_) + (d_.)*(x_))^(n_)*((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Simp[(-d)*(c + d*x)^n*((a + b*x^2)^(p +
     1)/(2*b*c*(n + p + 1))), x] + Simp[Simplify[n + 2*p + 2]/(2*c*(n + p + 1))   Int[(c + d*x)^(n + 1)*(a + b*x^2)
     ^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, n, p}, x] && EqQ[b*c^2 + a*d^2, 0] && ILtQ[Simplify[n + 2*p + 2], 0] && (LtQ[
     n, -1] || GtQ[n + p, 0])

462. Int[((c_) + (d_.)*(x_))^(n_)/((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(3/2), x_Symbol] :> Simp[(-2^(n - 1))*d*c^(n - 2)*((c + d*x
     )/(b*Sqrt[a + b*x^2])), x] + Simp[d^2/b   Int[(1/Sqrt[a + b*x^2])*ExpandToSum[(2^(n - 1)*c^(n - 1) - (c + d*x)
     ^(n - 1))/(c - d*x), x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && EqQ[b*c^2 + a*d^2, 0] && IGtQ[n, 2]

463. Int[((c_) + (d_.)*(x_))^(n_)*((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Simp[(-(-c)^(-n - 2))*d^(2*n + 3)*(Sqrt[
     a + b*x^2]/(2^(n + 1)*b^(n + 2)*(c + d*x))), x] - Simp[d^(2*n + 2)/b^(n + 1)   Int[(1/Sqrt[a + b*x^2])*ExpandT
     oSum[(2^(-n - 1)*(-c)^(-n - 1) - (-c + d*x)^(-n - 1))/(c + d*x), x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && EqQ[b
     *c^2 + a*d^2, 0] && ILtQ[n, 0] && EqQ[n + p, -3/2]

464. Int[((c_) + (d_.)*(x_))^(n_)*((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Int[(a + b*x^2)^(n + p)/(a/c + b*(x/d))^
     n, x] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && EqQ[b*c^2 + a*d^2, 0] && IntegerQ[n] && RationalQ[p] && (LtQ[0, -n, p] || L
     tQ[p, -n, 0]) && NeQ[n, 2] && NeQ[n, -1]

465. Int[((c_) + (d_.)*(x_))^(n_)*((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Simp[(c + d*x)^(n + 1)*((a + b*x^2)^p/(d
     *(n + p + 1))), x] - Simp[b*(p/(d^2*(n + p + 1)))   Int[(c + d*x)^(n + 2)*(a + b*x^2)^(p - 1), x], x] /; FreeQ
     [{a, b, c, d}, x] && EqQ[b*c^2 + a*d^2, 0] && GtQ[p, 0] && (LtQ[n, -2] || EqQ[n + 2*p + 1, 0]) && NeQ[n + p +
     1, 0] && IntegerQ[2*p]

466. Int[((c_) + (d_.)*(x_))^(n_)*((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Simp[(c + d*x)^(n + 1)*((a + b*x^2)^p/(d
     *(n + 2*p + 1))), x] - Simp[2*b*c*(p/(d^2*(n + 2*p + 1)))   Int[(c + d*x)^(n + 1)*(a + b*x^2)^(p - 1), x], x]
     /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && EqQ[b*c^2 + a*d^2, 0] && GtQ[p, 0] && (LeQ[-2, n, 0] || EqQ[n + p + 1, 0]) && NeQ
     [n + 2*p + 1, 0] && IntegerQ[2*p]

467. Int[((c_) + (d_.)*(x_))^(n_)*((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Simp[(-c)*(c + d*x)^n*((a + b*x^2)^(p +
     1)/(2*a*d*(p + 1))), x] + Simp[c*((n + 2*p + 2)/(2*a*(p + 1)))   Int[(c + d*x)^(n - 1)*(a + b*x^2)^(p + 1), x]
     , x] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && EqQ[b*c^2 + a*d^2, 0] && LtQ[p, -1] && LtQ[0, n, 1] && IntegerQ[2*p]

468. Int[((c_) + (d_.)*(x_))^(n_)*((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Simp[d*(c + d*x)^(n - 1)*((a + b*x^2)^(p
     + 1)/(b*(p + 1))), x] - Simp[d^2*((n + p)/(b*(p + 1)))   Int[(c + d*x)^(n - 2)*(a + b*x^2)^(p + 1), x], x] /;
     FreeQ[{a, b, c, d}, x] && EqQ[b*c^2 + a*d^2, 0] && LtQ[p, -1] && GtQ[n, 1] && IntegerQ[2*p]

469. Int[((c_) + (d_.)*(x_))^(n_)*((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Simp[d*(c + d*x)^(n - 1)*((a + b*x^2)^(p
     + 1)/(b*(n + 2*p + 1))), x] + Simp[2*c*((n + p)/(n + 2*p + 1))   Int[(c + d*x)^(n - 1)*(a + b*x^2)^p, x], x]
     /; FreeQ[{a, b, c, d, p}, x] && EqQ[b*c^2 + a*d^2, 0] && GtQ[n, 0] && NeQ[n + 2*p + 1, 0] && IntegerQ[2*p]

470. Int[((c_) + (d_.)*(x_))^(n_)*((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Simp[(-d)*(c + d*x)^n*((a + b*x^2)^(p +
     1)/(2*b*c*(n + p + 1))), x] + Simp[(n + 2*p + 2)/(2*c*(n + p + 1))   Int[(c + d*x)^(n + 1)*(a + b*x^2)^p, x],
     x] /; FreeQ[{a, b, c, d, p}, x] && EqQ[b*c^2 + a*d^2, 0] && LtQ[n, 0] && NeQ[n + p + 1, 0] && IntegerQ[2*p]

471. Int[1/(Sqrt[(c_) + (d_.)*(x_)]*Sqrt[(a_) + (b_.)*(x_)^2]), x_Symbol] :> Simp[2*d   Subst[Int[1/(2*b*c + d^2*x^
     2), x], x, Sqrt[a + b*x^2]/Sqrt[c + d*x]], x] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && EqQ[b*c^2 + a*d^2, 0]

472. Int[((c_) + (d_.)*(x_))^(n_)*((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Simp[a^(p + 1)*c^(n - 1)*(((c - d*x)/c)^
     (p + 1)/(a/c + b*(x/d))^(p + 1))   Int[(1 + d*(x/c))^(n + p)*(a/c + (b/d)*x)^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, n
     }, x] && EqQ[b*c^2 + a*d^2, 0] && (IntegerQ[n] || GtQ[c, 0]) && GtQ[a, 0] &&  !(IntegerQ[n] && (IntegerQ[3*p]
     || IntegerQ[4*p]))

473. Int[((c_) + (d_.)*(x_))^(n_)*((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Simp[c^(n - 1)*((a + b*x^2)^(p + 1)/((1
     + d*(x/c))^(p + 1)*(a/c + (b*x)/d)^(p + 1)))   Int[(1 + d*(x/c))^(n + p)*(a/c + (b/d)*x)^p, x], x] /; FreeQ[{a
     , b, c, d, n}, x] && EqQ[b*c^2 + a*d^2, 0] && (IntegerQ[n] || GtQ[c, 0]) &&  !GtQ[a, 0] &&  !(IntegerQ[n] && (
     IntegerQ[3*p] || IntegerQ[4*p]))

474. Int[((c_) + (d_.)*(x_))^(n_)*((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Simp[c^IntPart[n]*((c + d*x)^FracPart[n]
     /(1 + d*(x/c))^FracPart[n])   Int[(1 + d*(x/c))^n*(a + b*x^2)^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, n}, x] && EqQ[b*
     c^2 + a*d^2, 0] &&  !(IntegerQ[n] || GtQ[c, 0])

475. Int[((c_) + (d_.)*(x_))^(n_)*((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(p_.), x_Symbol] :> Simp[d*n*c^(n - 1)*((a + b*x^2)^(p + 1)
     /(2*b*(p + 1))), x] + Int[ExpandIntegrand[((c + d*x)^n - d*n*c^(n - 1)*x)*(a + b*x^2)^p, x], x] /; FreeQ[{a, b
     , c, d}, x] && IGtQ[p, 0] && IGtQ[n, 0] && LeQ[n, p]

476. Int[((c_) + (d_.)*(x_))^(n_)*((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(p_.), x_Symbol] :> Int[ExpandIntegrand[(c + d*x)^n*(a + b*
     x^2)^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, n}, x] && IGtQ[p, 0]

477. Int[((c_) + (d_.)*(x_))^(n_)*((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Simp[a^p   Int[ExpandIntegrand[(c + d*x)
     ^n*(1 - Rt[-b/a, 2]*x)^p*(1 + Rt[-b/a, 2]*x)^p, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && ILtQ[p, 0] && IntegerQ
     [n] && NiceSqrtQ[-b/a] &&  !FractionalPowerFactorQ[Rt[-b/a, 2]]

478. Int[((c_) + (d_.)*(x_))^(n_)/((a_) + (b_.)*(x_)^2), x_Symbol] :> Int[ExpandIntegrand[(c + d*x)^n/(a + b*x^2),
     x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && IGtQ[n, 1]

479. Int[1/(((c_) + (d_.)*(x_))*((a_) + (b_.)*(x_)^2)), x_Symbol] :> Simp[d*(Log[RemoveContent[c + d*x, x]]/(b*c^2
     + a*d^2)), x] + Simp[b/(b*c^2 + a*d^2)   Int[(c - d*x)/(a + b*x^2), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x]

480. Int[((c_) + (d_.)*(x_))^(n_)/((a_) + (b_.)*(x_)^2), x_Symbol] :> Simp[d*((c + d*x)^(n + 1)/((n + 1)*(b*c^2 + a
     *d^2))), x] + Simp[b/(b*c^2 + a*d^2)   Int[(c + d*x)^(n + 1)*((c - d*x)/(a + b*x^2)), x], x] /; FreeQ[{a, b, c
     , d}, x] && ILtQ[n, -1]

481. Int[((c_) + (d_.)*(x_))^(n_)/((a_) + (b_.)*(x_)^2), x_Symbol] :> Simp[d*((c + d*x)^(n - 1)/(b*(n - 1))), x] +
     Simp[1/b   Int[(c + d*x)^(n - 2)*(Simp[b*c^2 - a*d^2 + 2*b*c*d*x, x]/(a + b*x^2)), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d
     }, x] && GtQ[n, 1]

482. Int[((c_) + (d_.)*(x_))^(n_)/((a_) + (b_.)*(x_)^2), x_Symbol] :> Simp[d*((c + d*x)^(n + 1)/((n + 1)*(b*c^2 + a
     *d^2))), x] + Simp[b/(b*c^2 + a*d^2)   Int[(c + d*x)^(n + 1)*((c - d*x)/(a + b*x^2)), x], x] /; FreeQ[{a, b, c
     , d, n}, x] && LtQ[n, -1]

483. Int[Sqrt[(c_) + (d_.)*(x_)]/((a_) + (b_.)*(x_)^2), x_Symbol] :> Simp[2*d   Subst[Int[x^2/(b*c^2 + a*d^2 - 2*b*
     c*x^2 + b*x^4), x], x, Sqrt[c + d*x]], x] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x]

484. Int[1/(Sqrt[(c_) + (d_.)*(x_)]*((a_) + (b_.)*(x_)^2)), x_Symbol] :> Simp[2*d   Subst[Int[1/(b*c^2 + a*d^2 - 2*
     b*c*x^2 + b*x^4), x], x, Sqrt[c + d*x]], x] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x]

485. Int[((c_) + (d_.)*(x_))^(n_)/((a_) + (b_.)*(x_)^2), x_Symbol] :> Int[ExpandIntegrand[(c + d*x)^n, 1/(a + b*x^2
     ), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, n}, x] &&  !IntegerQ[2*n]

486. Int[((c_) + (d_.)*(x_))^(n_)*((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Simp[(c + d*x)^(n + 1)*(a*d - b*c*x)*((a
     + b*x^2)^p/((n + 1)*(b*c^2 + a*d^2))), x] - Simp[2*a*b*(p/((n + 1)*(b*c^2 + a*d^2)))   Int[(c + d*x)^(n + 2)*
     (a + b*x^2)^(p - 1), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && EqQ[n + 2*p + 2, 0] && GtQ[p, 0]

487. Int[((c_) + (d_.)*(x_))^(n_)*((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Simp[(c + d*x)^(n - 1)*(a*d - b*c*x)*((a
     + b*x^2)^(p + 1)/(2*a*b*(p + 1))), x] + Simp[(2*p + 3)*((b*c^2 + a*d^2)/(2*a*b*(p + 1)))   Int[(c + d*x)^(n -
     2)*(a + b*x^2)^(p + 1), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && EqQ[n + 2*p + 2, 0] && LtQ[p, -1]

488. Int[1/(((c_) + (d_.)*(x_))*Sqrt[(a_) + (b_.)*(x_)^2]), x_Symbol] :> -Subst[Int[1/(b*c^2 + a*d^2 - x^2), x], x,
     (a*d - b*c*x)/Sqrt[a + b*x^2]] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x]

489. Int[((c_) + (d_.)*(x_))^(n_)*((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> With[{q = Rt[(-a)*b, 2]}, Simp[(q - b*x)
     *(c + d*x)^(n + 1)*((a + b*x^2)^p/((n + 1)*(b*c + d*q)*((b*c + d*q)*((q + b*x)/((b*c - d*q)*(-q + b*x))))^p))*
     Hypergeometric2F1[n + 1, -p, n + 2, 2*b*q*((c + d*x)/((b*c - d*q)*(q - b*x)))], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d, n, p
     }, x] && EqQ[n + 2*p + 2, 0]

490. Int[((c_) + (d_.)*(x_))^(n_)*((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Simp[(-x)*(c + d*x)^n*((a + b*x^2)^(p +
     1)/(2*a*(p + 1))), x] - Simp[c*(n/(2*a*(p + 1)))   Int[(c + d*x)^(n - 1)*(a + b*x^2)^(p + 1), x], x] /; FreeQ[
     {a, b, c, d, n, p}, x] && EqQ[n + 2*p + 3, 0] && LtQ[p, -1]

491. Int[((c_) + (d_.)*(x_))^(n_)*((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Simp[d*(c + d*x)^(n + 1)*((a + b*x^2)^(p
     + 1)/((n + 1)*(b*c^2 + a*d^2))), x] + Simp[b*(c/(b*c^2 + a*d^2))   Int[(c + d*x)^(n + 1)*(a + b*x^2)^p, x], x
     ] /; FreeQ[{a, b, c, d, n, p}, x] && EqQ[n + 2*p + 3, 0]

492. Int[((c_) + (d_.)*(x_))^(n_)*((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Simp[(c + d*x)^(n + 1)*((a + b*x^2)^p/(d
     *(n + 1))), x] - Simp[2*b*(p/(d*(n + 1)))   Int[x*(c + d*x)^(n + 1)*(a + b*x^2)^(p - 1), x], x] /; FreeQ[{a, b
     , c, d, n}, x] && GtQ[p, 0] && (IntegerQ[p] || LtQ[n, -1]) && NeQ[n, -1] &&  !ILtQ[n + 2*p + 1, 0] && IntQuadr
     aticQ[a, 0, b, c, d, n, p, x]

493. Int[((c_) + (d_.)*(x_))^(n_)*((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Simp[(c + d*x)^(n + 1)*((a + b*x^2)^p/(d
     *(n + 2*p + 1))), x] + Simp[2*(p/(d*(n + 2*p + 1)))   Int[(c + d*x)^n*(a + b*x^2)^(p - 1)*(a*d - b*c*x), x], x
     ] /; FreeQ[{a, b, c, d, n}, x] && GtQ[p, 0] && NeQ[n + 2*p + 1, 0] && ( !RationalQ[n] || LtQ[n, 1]) &&  !ILtQ[
     n + 2*p, 0] && IntQuadraticQ[a, 0, b, c, d, n, p, x]

494. Int[((c_) + (d_.)*(x_))^(n_)*((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Simp[(-x)*(c + d*x)^n*((a + b*x^2)^(p +
     1)/(2*a*(p + 1))), x] + Simp[1/(2*a*(p + 1))   Int[(c + d*x)^(n - 1)*(a + b*x^2)^(p + 1)*(c*(2*p + 3) + d*(n +
     2*p + 3)*x), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && LtQ[p, -1] && GtQ[n, 0] && (LtQ[n, 1] || (ILtQ[n + 2*p + 3,
     0] && NeQ[n, 2])) && IntQuadraticQ[a, 0, b, c, d, n, p, x]

495. Int[((c_) + (d_.)*(x_))^(n_)*((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Simp[(a*d - b*c*x)*(c + d*x)^(n - 1)*((a
     + b*x^2)^(p + 1)/(2*a*b*(p + 1))), x] - Simp[1/(2*a*b*(p + 1))   Int[(c + d*x)^(n - 2)*(a + b*x^2)^(p + 1)*Si
     mp[a*d^2*(n - 1) - b*c^2*(2*p + 3) - b*c*d*(n + 2*p + 2)*x, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && LtQ[p, -1]
     && GtQ[n, 1] && IntQuadraticQ[a, 0, b, c, d, n, p, x]

496. Int[((c_) + (d_.)*(x_))^(n_)*((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Simp[(-(a*d + b*c*x))*(c + d*x)^(n + 1)*
     ((a + b*x^2)^(p + 1)/(2*a*(p + 1)*(b*c^2 + a*d^2))), x] + Simp[1/(2*a*(p + 1)*(b*c^2 + a*d^2))   Int[(c + d*x)
     ^n*(a + b*x^2)^(p + 1)*Simp[b*c^2*(2*p + 3) + a*d^2*(n + 2*p + 3) + b*c*d*(n + 2*p + 4)*x, x], x], x] /; FreeQ
     [{a, b, c, d, n}, x] && LtQ[p, -1] && IntQuadraticQ[a, 0, b, c, d, n, p, x]

497. Int[((c_) + (d_.)*(x_))^(n_)*((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Simp[d*(c + d*x)^(n - 1)*((a + b*x^2)^(p
     + 1)/(b*(n + 2*p + 1))), x] + Simp[1/(b*(n + 2*p + 1))   Int[(c + d*x)^(n - 2)*(a + b*x^2)^p*Simp[b*c^2*(n +
     2*p + 1) - a*d^2*(n - 1) + 2*b*c*d*(n + p)*x, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, n, p}, x] && If[RationalQ[n], G
     tQ[n, 1], SumSimplerQ[n, -2]] && NeQ[n + 2*p + 1, 0] && IntQuadraticQ[a, 0, b, c, d, n, p, x]

498. Int[((c_) + (d_.)*(x_))^(n_)*((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Simp[d*(c + d*x)^(n + 1)*((a + b*x^2)^(p
     + 1)/((n + 1)*(b*c^2 + a*d^2))), x] + Simp[b/((n + 1)*(b*c^2 + a*d^2))   Int[(c + d*x)^(n + 1)*(a + b*x^2)^p*
     (c*(n + 1) - d*(n + 2*p + 3)*x), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, n, p}, x] && NeQ[n, -1] && ((LtQ[n, -1] && IntQu
     adraticQ[a, 0, b, c, d, n, p, x]) || (SumSimplerQ[n, 1] && IntegerQ[p]) || ILtQ[Simplify[n + 2*p + 3], 0])

499. Int[1/(((c_) + (d_.)*(x_))*((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(1/4)), x_Symbol] :> With[{q = Rt[-a, 4]}, Simp[(1/(2*d*q))*A
     rcTan[c*q*((a + b*x^2)^(1/4)/(q^2*(c + d*x) - c*Sqrt[a + b*x^2]))], x] - Simp[(1/(2*d*q))*ArcTanh[c*q*((a + b*
     x^2)^(1/4)/(q^2*(c + d*x) + c*Sqrt[a + b*x^2]))], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && EqQ[b*c^2 + 2*a*d^2, 0] &&
     NegQ[a]

500. Int[1/(((c_) + (d_.)*(x_))*((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(1/4)), x_Symbol] :> Simp[(-a - b*x^2)^(1/4)/(a + b*x^2)^(1/4
     )   Int[1/((c + d*x)*(-a - b*x^2)^(1/4)), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && EqQ[b*c^2 + 2*a*d^2, 0] && PosQ[
     a]

501. Int[1/(((c_) + (d_.)*(x_))*((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(1/3)), x_Symbol] :> With[{q = Rt[6*b^2*(d^2/c^2), 3]}, Simp[
     (-Sqrt[3])*b*d*(ArcTan[1/Sqrt[3] + 2*b*((c - d*x)/(Sqrt[3]*c*q*(a + b*x^2)^(1/3)))]/(c^2*q^2)), x] + (-Simp[3*
     b*d*(Log[c + d*x]/(2*c^2*q^2)), x] + Simp[3*b*d*(Log[b*c - b*d*x - c*q*(a + b*x^2)^(1/3)]/(2*c^2*q^2)), x])] /
     ; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && EqQ[b*c^2 - 3*a*d^2, 0]

502. Int[1/(((c_) + (d_.)*(x_))*((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(1/3)), x_Symbol] :> Simp[a^(1/3)   Int[1/((c + d*x)*(1 - 3*d
     *(x/c))^(1/3)*(1 + 3*d*(x/c))^(1/3)), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && EqQ[b*c^2 + 9*a*d^2, 0] && GtQ[a, 0]

503. Int[1/(((c_) + (d_.)*(x_))*((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(1/3)), x_Symbol] :> Simp[(1 + b*(x^2/a))^(1/3)/(a + b*x^2)^(
     1/3)   Int[1/((c + d*x)*(1 + b*(x^2/a))^(1/3)), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && EqQ[b*c^2 + 9*a*d^2, 0] &&
     !GtQ[a, 0]

504. Int[((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(p_)/((c_) + (d_.)*(x_)), x_Symbol] :> Simp[c   Int[(a + b*x^2)^p/(c^2 - d^2*x^2), x
     ], x] - Simp[d   Int[x*((a + b*x^2)^p/(c^2 - d^2*x^2)), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, p}, x]

505. Int[((c_) + (d_.)*(x_))^(n_)*((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Int[ExpandIntegrand[(a + b*x^2)^p, (c/(c
     ^2 - d^2*x^2) - d*(x/(c^2 - d^2*x^2)))^(-n), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, p}, x] && ILtQ[n, -1] && PosQ[a/b]

506. Int[((c_) + (d_.)*(x_))^(n_)*((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> With[{q = Rt[-a/b, 2]}, Simp[(-(a + b*x^
     2)^p)*((1/(c + d*x))^(2*p)/(d*(1 - (c - d*q)/(c + d*x))^p*(1 - (c + d*q)/(c + d*x))^p))   Subst[Int[(1 - (c -
     d*q)*x)^p*((1 - (c + d*q)*x)^p/x^(n + 2*p + 2)), x], x, 1/(c + d*x)], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d, p}, x] && ILtQ
     [n, -1] && NegQ[a/b]

507. Int[Sqrt[(c_) + (d_.)*(x_)]/Sqrt[(a_) + (b_.)*(x_)^2], x_Symbol] :> Simp[2/d   Subst[Int[x^2/Sqrt[(b*c^2 + a*d
     ^2)/d^2 - 2*b*c*(x^2/d^2) + b*(x^4/d^2)], x], x, Sqrt[c + d*x]], x] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && PosQ[b/a]

508. Int[Sqrt[(c_) + (d_.)*(x_)]/Sqrt[(a_) + (b_.)*(x_)^2], x_Symbol] :> With[{q = Rt[-b/a, 2]}, Simp[-2*(Sqrt[c +
     d*x]/(Sqrt[a]*q*Sqrt[q*((c + d*x)/(d + c*q))]))   Subst[Int[Sqrt[1 - 2*d*(x^2/(d + c*q))]/Sqrt[1 - x^2], x], x
     , Sqrt[(1 - q*x)/2]], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && NegQ[b/a] && GtQ[a, 0]

509. Int[Sqrt[(c_) + (d_.)*(x_)]/Sqrt[(a_) + (b_.)*(x_)^2], x_Symbol] :> Simp[Sqrt[1 + b*(x^2/a)]/Sqrt[a + b*x^2]
     Int[Sqrt[c + d*x]/Sqrt[1 + b*(x^2/a)], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && NegQ[b/a] &&  !GtQ[a, 0]

510. Int[1/(Sqrt[(c_) + (d_.)*(x_)]*Sqrt[(a_) + (b_.)*(x_)^2]), x_Symbol] :> Simp[2/d   Subst[Int[1/Sqrt[(b*c^2 + a
     *d^2)/d^2 - 2*b*c*(x^2/d^2) + b*(x^4/d^2)], x], x, Sqrt[c + d*x]], x] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && PosQ[b/a]

511. Int[1/(Sqrt[(c_) + (d_.)*(x_)]*Sqrt[(a_) + (b_.)*(x_)^2]), x_Symbol] :> With[{q = Rt[-b/a, 2]}, Simp[-2*(Sqrt[
     q*((c + d*x)/(d + c*q))]/(Sqrt[a]*q*Sqrt[c + d*x]))   Subst[Int[1/(Sqrt[1 - 2*d*(x^2/(d + c*q))]*Sqrt[1 - x^2]
     ), x], x, Sqrt[(1 - q*x)/2]], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && NegQ[b/a] && GtQ[a, 0]

512. Int[1/(Sqrt[(c_) + (d_.)*(x_)]*Sqrt[(a_) + (b_.)*(x_)^2]), x_Symbol] :> Simp[Sqrt[1 + b*(x^2/a)]/Sqrt[a + b*x^
     2]   Int[1/(Sqrt[c + d*x]*Sqrt[1 + b*(x^2/a)]), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && NegQ[b/a] &&  !GtQ[a, 0]

513. Int[((c_) + (d_.)*(x_))^(n_)*((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Simp[a^p   Int[(c + d*x)^n*(1 + Rt[-b/a,
     2]*x)^p*(1 - Rt[-b/a, 2]*x)^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, n, p}, x] && GtQ[a, 0] && NegQ[b/a]

514. Int[((c_) + (d_.)*(x_))^(n_)*((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> With[{q = Rt[-a/b, 2]}, Simp[(a + b*x^2)
     ^p/(d*(1 - (c + d*x)/(c - d*q))^p*(1 - (c + d*x)/(c + d*q))^p)   Subst[Int[x^n*Simp[1 - x/(c + d*q), x]^p*Simp
     [1 - x/(c - d*q), x]^p, x], x, c + d*x], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d, n, p}, x] && NeQ[b*c^2 + a*d^2, 0]

515. Int[((c_) + (d_.)*(u_))^(n_.)*((a_) + (b_.)*(u_)^2)^(p_.), x_Symbol] :> Simp[1/Coefficient[u, x, 1]   Subst[In
     t[(c + d*x)^n*(a + b*x^2)^p, x], x, u], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, n, p}, x] && LinearQ[u, x] && NeQ[u, x]

516. Int[((e_.)*(x_))^(m_.)*((c_) + (d_.)*(x_))^(n_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(p_.), x_Symbol] :> Int[(e*x)^m*(c + d*
     x)^(n + p)*(a/c + (b/d)*x)^p, x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, m, n, p}, x] && EqQ[b*c^2 + a*d^2, 0] && (IntegerQ[p
     ] || (GtQ[a, 0] && GtQ[c, 0] &&  !IntegerQ[n]))

517. Int[((e_.)*(x_))^(m_)*((c_) + (d_.)*(x_))^(n_)*((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(p_.), x_Symbol] :> Simp[2*(e^m/d^(m + 2*
     p + 1))   Subst[Int[x^(2*n + 1)*(-c + x^2)^m*(b*c^2 + a*d^2 - 2*b*c*x^2 + b*x^4)^p, x], x, Sqrt[c + d*x]], x]
     /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && IGtQ[p, 0] && ILtQ[m, 0] && IntegerQ[n + 1/2]

518. Int[((e_.)*(x_))^(m_)*((c_) + (d_.)*(x_))^(n_)*((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(p_.), x_Symbol] :> Simp[2/e^(n + 2*p + 1
     )   Subst[Int[x^(2*m + 1)*(e*c + d*x^2)^n*(a*e^2 + b*x^4)^p, x], x, Sqrt[e*x]], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x
     ] && IGtQ[p, 0] && ILtQ[n, 0] && IntegerQ[m + 1/2]

519. Int[((e_.)*(x_))^(m_)*((c_) + (d_.)*(x_))^(n_)*((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(p_.), x_Symbol] :> With[{Qx = Polynomial
     Quotient[(a + b*x^2)^p, c + d*x, x], R = PolynomialRemainder[(a + b*x^2)^p, c + d*x, x]}, Simp[(-R)*(e*x)^(m +
     1)*((c + d*x)^(n + 1)/(c*e*(n + 1))), x] + Simp[1/(c*(n + 1))   Int[(e*x)^m*(c + d*x)^(n + 1)*ExpandToSum[c*(
     n + 1)*Qx + R*(m + n + 2), x], x], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, m}, x] && IGtQ[p, 0] && LtQ[n, -1] &&  !Intege
     rQ[m]

520. Int[((e_.)*(x_))^(m_)*((c_) + (d_.)*(x_))^(n_)*((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(p_.), x_Symbol] :> With[{Qx = Polynomial
     Quotient[(a + b*x^2)^p, e*x, x], R = PolynomialRemainder[(a + b*x^2)^p, e*x, x]}, Simp[R*(e*x)^(m + 1)*((c + d
     *x)^(n + 1)/((m + 1)*(e*c))), x] + Simp[1/((m + 1)*(e*c))   Int[(e*x)^(m + 1)*(c + d*x)^n*ExpandToSum[(m + 1)*
     (e*c)*Qx - d*R*(m + n + 2), x], x], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, n}, x] && IGtQ[p, 0] && LtQ[m, -1] &&  !Integ
     erQ[n]

521. Int[((e_.)*(x_))^(m_)*((c_) + (d_.)*(x_))^(n_)*((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(p_.), x_Symbol] :> Simp[b^p*(e*x)^(m + 2
     *p)*((c + d*x)^(n + 1)/(d*e^(2*p)*(m + n + 2*p + 1))), x] + Simp[1/(d*e^(2*p)*(m + n + 2*p + 1))   Int[(e*x)^m
     *(c + d*x)^n*ExpandToSum[d*(m + n + 2*p + 1)*(e^(2*p)*(a + b*x^2)^p - b^p*(e*x)^(2*p)) - b^p*(e*c)*(m + 2*p)*(
     e*x)^(2*p - 1), x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && IGtQ[p, 0] && NeQ[m + n + 2*p + 1, 0] &&  !IntegerQ
     [m] &&  !IntegerQ[n]

522. Int[((e_.)*(x_))^(m_.)*((c_) + (d_.)*(x_))^(n_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(p_.), x_Symbol] :> Int[ExpandIntegrand
     [(e*x)^m*(c + d*x)^n*(a + b*x^2)^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, m, n}, x] && IGtQ[p, 0]

523. Int[((x_)^(m_.)*((c_) + (d_.)*(x_)))/((a_) + (b_.)*(x_)^2), x_Symbol] :> Int[ExpandIntegrand[x^m*((c + d*x)/(a
     + b*x^2)), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && IntegerQ[m]

524. Int[((c_) + (d_.)*(x_))^2/((x_)*((a_) + (b_.)*(x_)^2)), x_Symbol] :> Simp[(c^2/a)*Log[x], x] + (-Simp[(b*c^2 -
     a*d^2)/a   Int[x/(a + b*x^2), x], x] + Simp[2*c*d   Int[1/(a + b*x^2), x], x]) /; FreeQ[{a, b, c, d}, x]

525. Int[((x_)^(m_.)*((c_) + (d_.)*(x_))^(n_))/((a_) + (b_.)*(x_)^2), x_Symbol] :> Simp[d^n*(x^(m + n - 1)/(b*(m +
     n - 1))), x] + Simp[1/b   Int[x^m*(ExpandToSum[b*(c + d*x)^n - b*d^n*x^n - a*d^n*x^(n - 2), x]/(a + b*x^2)), x
     ], x] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && IGtQ[n, 1] && IGtQ[m, -2] && NeQ[m + n - 1, 0]

526. Int[((x_)^(m_)*((c_) + (d_.)*(x_))^(n_))/((a_) + (b_.)*(x_)^2), x_Symbol] :> With[{Qx = PolynomialQuotient[(c
     + d*x)^n, x, x], R = PolynomialRemainder[(c + d*x)^n, x, x]}, Simp[R*(x^(m + 1)/(a*(m + 1))), x] + Simp[1/a
     Int[x^(m + 1)*(ExpandToSum[a*Qx - b*R*x, x]/(a + b*x^2)), x], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && IGtQ[n, 1] && I
     LtQ[m, -1]

527. Int[((x_)^(m_.)*((c_) + (d_.)*(x_))^(n_.))/((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(3/2), x_Symbol] :> Simp[(-2^(n - 1))*c^(m +
     n - 2)*((c + d*x)/(b*d^(m - 1)*Sqrt[a + b*x^2])), x] + Simp[1/(b*d^(m - 2))   Int[(1/Sqrt[a + b*x^2])*ExpandTo
     Sum[(2^(n - 1)*c^(m + n - 1) - d^m*x^m*(c + d*x)^(n - 1))/(c - d*x), x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && I
     GtQ[n, 0] && IGtQ[m, 0] && EqQ[b*c^2 + a*d^2, 0]

528. Int[((x_)^(m_)*((c_) + (d_.)*(x_))^(n_.))/((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(3/2), x_Symbol] :> Simp[(-2^(n - 1))*c^(m + n
     - 2)*((c + d*x)/(b*d^(m - 1)*Sqrt[a + b*x^2])), x] + Simp[c^2/a   Int[(x^m/Sqrt[a + b*x^2])*ExpandToSum[((c +
     d*x)^(n - 1) - (2^(n - 1)*c^(m + n - 1))/(d^m*x^m))/(c - d*x), x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && IGtQ[n
     , 0] && ILtQ[m, 0] && EqQ[b*c^2 + a*d^2, 0]

529. Int[(x_)^(m_)*((c_) + (d_.)*(x_))^(n_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> With[{Qx = PolynomialQuotient
     [x^m, a*d + b*c*x, x], R = PolynomialRemainder[x^m, a*d + b*c*x, x]}, Simp[(-c)*R*(c + d*x)^n*((a + b*x^2)^(p
     + 1)/(2*a*d*(p + 1))), x] + Simp[c/(2*a*(p + 1))   Int[(c + d*x)^(n - 1)*(a + b*x^2)^(p + 1)*ExpandToSum[2*a*d
     *(p + 1)*Qx + R*(n + 2*p + 2), x], x], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && IGtQ[n, 0] && IGtQ[m, 1] && LtQ[p, -1]
     && EqQ[b*c^2 + a*d^2, 0]

530. Int[(x_)^(m_.)*((c_) + (d_.)*(x_))^(n_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> With[{Qx = PolynomialQuotien
     t[x^m*(c + d*x)^n, a + b*x^2, x], e = Coeff[PolynomialRemainder[x^m*(c + d*x)^n, a + b*x^2, x], x, 0], f = Coe
     ff[PolynomialRemainder[x^m*(c + d*x)^n, a + b*x^2, x], x, 1]}, Simp[(a*f - b*e*x)*((a + b*x^2)^(p + 1)/(2*a*b*
     (p + 1))), x] + Simp[1/(2*a*(p + 1))   Int[(a + b*x^2)^(p + 1)*ExpandToSum[2*a*(p + 1)*Qx + e*(2*p + 3), x], x
     ], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && IGtQ[n, 0] && IGtQ[m, 0] && LtQ[p, -1] && EqQ[n, 1] && IntegerQ[2*p]

531. Int[(x_)^(m_.)*((c_) + (d_.)*(x_))^(n_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> With[{Qx = PolynomialQuotien
     t[x^m, a + b*x^2, x], e = Coeff[PolynomialRemainder[x^m, a + b*x^2, x], x, 0], f = Coeff[PolynomialRemainder[x
     ^m, a + b*x^2, x], x, 1]}, Simp[(c + d*x)^n*(a*f - b*e*x)*((a + b*x^2)^(p + 1)/(2*a*b*(p + 1))), x] + Simp[1/(
     2*a*b*(p + 1))   Int[(c + d*x)^(n - 1)*(a + b*x^2)^(p + 1)*ExpandToSum[2*a*b*(p + 1)*(c + d*x)*Qx - a*d*f*n +
     b*c*e*(2*p + 3) + b*d*e*(n + 2*p + 3)*x, x], x], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && IGtQ[n, 0] && IGtQ[m, 0] &&
     LtQ[p, -1] && GtQ[n, 1] && IntegerQ[2*p]

532. Int[(x_)^(m_)*((c_) + (d_.)*(x_))^(n_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> With[{Qx = PolynomialQuotient
     [x^m*(c + d*x)^n, a + b*x^2, x], e = Coeff[PolynomialRemainder[x^m*(c + d*x)^n, a + b*x^2, x], x, 0], f = Coef
     f[PolynomialRemainder[x^m*(c + d*x)^n, a + b*x^2, x], x, 1]}, Simp[(a*f - b*e*x)*((a + b*x^2)^(p + 1)/(2*a*b*(
     p + 1))), x] + Simp[1/(2*a*(p + 1))   Int[x^m*(a + b*x^2)^(p + 1)*ExpandToSum[2*a*(p + 1)*(Qx/x^m) + e*((2*p +
     3)/x^m), x], x], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && IGtQ[n, 0] && ILtQ[m, 0] && LtQ[p, -1] && IntegerQ[2*p]

533. Int[(x_)^(m_.)*((c_) + (d_.)*(x_))*((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Simp[d*x^m*((a + b*x^2)^(p + 1)/(b
     *(m + 2*p + 2))), x] - Simp[1/(b*(m + 2*p + 2))   Int[x^(m - 1)*(a + b*x^2)^p*Simp[a*d*m - b*c*(m + 2*p + 2)*x
     , x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, p}, x] && IGtQ[m, 0] && GtQ[p, -1] && IntegerQ[2*p]

534. Int[(x_)^(m_)*((c_) + (d_.)*(x_))*((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Simp[(-c)*x^(m + 1)*((a + b*x^2)^(p
     + 1)/(2*a*(p + 1))), x] + Simp[d   Int[x^(m + 1)*(a + b*x^2)^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, m, p}, x] && ILt
     Q[m, 0] && GtQ[p, -1] && EqQ[m + 2*p + 3, 0]

535. Int[(((c_) + (d_.)*(x_))*((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(p_))/(x_), x_Symbol] :> Simp[(c*(2*p + 1) + 2*d*p*x)*((a + b*x
     ^2)^p/(2*p*(2*p + 1))), x] + Simp[a/(2*p + 1)   Int[(c*(2*p + 1) + 2*d*p*x)*((a + b*x^2)^(p - 1)/x), x], x] /;
     FreeQ[{a, b, c, d}, x] && GtQ[p, 0] && IntegerQ[2*p]

536. Int[(((c_) + (d_.)*(x_))*((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(p_))/(x_)^2, x_Symbol] :> Simp[(-(2*c*p - d*x))*((a + b*x^2)^p
     /(2*p*x)), x] + Int[(a*d + 2*b*c*p*x)*((a + b*x^2)^(p - 1)/x), x] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && GtQ[p, 0] && In
     tegerQ[2*p]

537. Int[(x_)^(m_)*((c_) + (d_.)*(x_))*((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Simp[x^(m + 1)*(c*(m + 2) + d*(m +
     1)*x)*((a + b*x^2)^p/((m + 1)*(m + 2))), x] - Simp[2*b*(p/((m + 1)*(m + 2)))   Int[x^(m + 2)*(c*(m + 2) + d*(m
     + 1)*x)*(a + b*x^2)^(p - 1), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && ILtQ[m, -2] && GtQ[p, 0] &&  !ILtQ[m + 2*p +
     3, 0] && IntegerQ[2*p]

538. Int[((c_) + (d_.)*(x_))/((x_)*Sqrt[(a_) + (b_.)*(x_)^2]), x_Symbol] :> Simp[c   Int[1/(x*Sqrt[a + b*x^2]), x],
     x] + Simp[d   Int[1/Sqrt[a + b*x^2], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x]

539. Int[(x_)^(m_)*((c_) + (d_.)*(x_))*((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Simp[c*x^(m + 1)*((a + b*x^2)^(p +
     1)/(a*(m + 1))), x] + Simp[1/(a*(m + 1))   Int[x^(m + 1)*(a + b*x^2)^p*(a*d*(m + 1) - b*c*(m + 2*p + 3)*x), x]
     , x] /; FreeQ[{a, b, c, d, p}, x] && ILtQ[m, -1] && GtQ[p, -1] && IntegerQ[2*p]

540. Int[(x_)^(m_)*((c_) + (d_.)*(x_))^(n_)*((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> With[{Qx = PolynomialQuotient[
     (c + d*x)^n, x, x], R = PolynomialRemainder[(c + d*x)^n, x, x]}, Simp[R*x^(m + 1)*((a + b*x^2)^(p + 1)/(a*(m +
     1))), x] + Simp[1/(a*(m + 1))   Int[x^(m + 1)*(a + b*x^2)^p*ExpandToSum[a*(m + 1)*Qx - b*R*(m + 2*p + 3)*x, x
     ], x], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d, p}, x] && IGtQ[n, 1] && ILtQ[m, -1] && GtQ[p, -1] && IntegerQ[2*p]

541. Int[(x_)^(m_.)*((c_) + (d_.)*(x_))^(n_)*((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Simp[d^n*x^(m + n - 1)*((a +
     b*x^2)^(p + 1)/(b*(m + n + 2*p + 1))), x] + Simp[1/(b*(m + n + 2*p + 1))   Int[x^m*(a + b*x^2)^p*ExpandToSum[b
     *(m + n + 2*p + 1)*(c + d*x)^n - b*d^n*(m + n + 2*p + 1)*x^n - a*d^n*(m + n - 1)*x^(n - 2), x], x], x] /; Free
     Q[{a, b, c, d, m, p}, x] && IGtQ[n, 1] && IGtQ[m, -2] && GtQ[p, -1] && IntegerQ[2*p]

542. Int[(x_)^(m_.)*((c_) + (d_.)*(x_))*((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Simp[c   Int[x^m*(a + b*x^2)^p, x]
     , x] + Simp[d   Int[x^(m + 1)*(a + b*x^2)^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, p}, x] && IntegerQ[m] &&  !IntegerQ[
     2*p]

543. Int[(x_)^(m_.)*((c_) + (d_.)*(x_))^(n_)*((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Module[{k}, Int[x^m*Sum[Binom
     ial[n, 2*k]*c^(n - 2*k)*d^(2*k)*x^(2*k), {k, 0, n/2}]*(a + b*x^2)^p, x] + Int[x^(m + 1)*Sum[Binomial[n, 2*k +
     1]*c^(n - 2*k - 1)*d^(2*k + 1)*x^(2*k), {k, 0, (n - 1)/2}]*(a + b*x^2)^p, x]] /; FreeQ[{a, b, c, d, p}, x] &&
     IGtQ[n, 1] && IntegerQ[m] &&  !IntegerQ[2*p] &&  !(EqQ[m, 1] && EqQ[b*c^2 + a*d^2, 0])

544. Int[((e_.)*(x_))^(m_)*((c_) + (d_.)*(x_))*((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Simp[(e*x)^m*(a*d - b*c*x)*
     ((a + b*x^2)^(p + 1)/(2*a*b*(p + 1))), x] - Simp[e*d*(m/(2*b*(p + 1)))*Int[(e*x)^(m - 1)*(a + b*x^2)^(p + 1),
     x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, m}, x] && EqQ[Simplify[m + 2*p + 3], 0] && LtQ[p, -1]

545. Int[((e_.)*(x_))^(m_)*((c_) + (d_.)*(x_))*((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Simp[(-c)*(e*x)^(m + 1)*((a
     + b*x^2)^(p + 1)/(2*a*e*(p + 1))), x] + Simp[d/e   Int[(e*x)^(m + 1)*(a + b*x^2)^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c,
     d, e, m, p}, x] && EqQ[Simplify[m + 2*p + 3], 0]

546. Int[((e_.)*(x_))^(m_)*((c_) + (d_.)*(x_))*((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Simp[(e*x)^(m + 1)*(c*(m +
     2) + d*(m + 1)*x)*((a + b*x^2)^p/(e*(m + 1)*(m + 2))), x] - Simp[2*b*(p/(e^2*(m + 1)*(m + 2)))   Int[(e*x)^(m
     + 2)*(a + b*x^2)^(p - 1)*(c*(m + 2) + d*(m + 1)*x), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && GtQ[p, 0] && LtQ[m,
     -2] &&  !ILtQ[m + 2*p + 3, 0]

547. Int[((e_.)*(x_))^(m_)*((c_) + (d_.)*(x_))*((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Simp[(e*x)^(m + 1)*(c*(m +
     2*p + 2) + d*(m + 1)*x)*((a + b*x^2)^p/(e*(m + 1)*(m + 2*p + 2))), x] + Simp[2*(p/(e*(m + 1)*(m + 2*p + 2)))
     Int[(e*x)^(m + 1)*(a*d*(m + 1) - b*c*(m + 2*p + 2)*x)*(a + b*x^2)^(p - 1), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x
     ] && GtQ[p, 0] && LtQ[m, -1] &&  !ILtQ[m + 2*p + 1, 0]

548. Int[((e_.)*(x_))^(m_)*((c_) + (d_.)*(x_))*((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Simp[(e*x)^(m + 1)*(c*(m +
     2*p + 2) + d*(m + 2*p + 1)*x)*((a + b*x^2)^p/(e*(m + 2*p + 1)*(m + 2*p + 2))), x] + Simp[2*a*(p/((m + 2*p + 1)
     *(m + 2*p + 2)))   Int[(e*x)^m*(a + b*x^2)^(p - 1)*(c*(m + 2*p + 2) + d*(m + 2*p + 1)*x), x], x] /; FreeQ[{a,
     b, c, d, e, m}, x] && GtQ[p, 0] && (IntegerQ[p] ||  !RationalQ[m] || (GeQ[m, -1] && LtQ[m, 0])) &&  !ILtQ[m +
     2*p, 0] && (IntegerQ[m] || IntegerQ[p] || IntegersQ[2*m, 2*p])

549. Int[((e_.)*(x_))^(m_)*((c_) + (d_.)*(x_))*((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Simp[e*(e*x)^(m - 1)*(c + d
     *x)*((a + b*x^2)^(p + 1)/(2*b*(p + 1))), x] - Simp[e^2/(2*b*(p + 1))   Int[(e*x)^(m - 2)*(c*(m - 1) + d*m*x)*(
     a + b*x^2)^(p + 1), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && LtQ[p, -1] && GtQ[m, 1]

550. Int[((e_.)*(x_))^(m_)*((c_) + (d_.)*(x_))*((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Simp[(e*x)^m*(a*d - b*c*x)*
     ((a + b*x^2)^(p + 1)/(2*a*b*(p + 1))), x] - Simp[e/(2*a*b*(p + 1))   Int[(e*x)^(m - 1)*(a*d*m - b*c*(m + 2*p +
     3)*x)*(a + b*x^2)^(p + 1), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && LtQ[p, -1] && LtQ[0, m, 1]

551. Int[((e_.)*(x_))^(m_)*((c_) + (d_.)*(x_))*((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Simp[(-(e*x)^(m + 1))*(c +
     d*x)*((a + b*x^2)^(p + 1)/(2*a*e*(p + 1))), x] + Simp[1/(2*a*(p + 1))   Int[(e*x)^m*(c*(m + 2*p + 3) + d*(m +
     2*p + 4)*x)*(a + b*x^2)^(p + 1), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, m}, x] && LtQ[p, -1] && LtQ[m, 0]

552. Int[((e_.)*(x_))^(m_)*((c_) + (d_.)*(x_))*((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Simp[d*(e*x)^m*((a + b*x^2)
     ^(p + 1)/(b*(m + 2*p + 2))), x] - Simp[e/(b*(m + 2*p + 2))   Int[(e*x)^(m - 1)*(a + b*x^2)^p*Simp[a*d*m - b*c*
     (m + 2*p + 2)*x, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, p}, x] && GtQ[m, 0] && NeQ[m + 2*p + 2, 0] && (IntegerQ[p
     ] || IntegersQ[2*m, 2*p])

553. Int[((e_.)*(x_))^(m_)*((c_) + (d_.)*(x_))*((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Simp[c*(e*x)^(m + 1)*((a +
     b*x^2)^(p + 1)/(a*e*(m + 1))), x] + Simp[1/(a*e*(m + 1))   Int[(e*x)^(m + 1)*(a + b*x^2)^p*(a*d*(m + 1) - b*c*
     (m + 2*p + 3)*x), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, p}, x] && LtQ[m, -1]

554. Int[((c_) + (d_.)*(x_))/(Sqrt[(e_.)*(x_)]*((a_) + (b_.)*(x_)^2)), x_Symbol] :> Simp[2   Subst[Int[(e*c + d*x^2
     )/(a*e^2 + b*x^4), x], x, Sqrt[e*x]], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x]

555. Int[((f_) + (g_.)*(x_))/(Sqrt[x_]*Sqrt[(a_) + (c_.)*(x_)^2]), x_Symbol] :> Simp[2   Subst[Int[(f + g*x^2)/Sqrt
     [a + c*x^4], x], x, Sqrt[x]], x] /; FreeQ[{a, c, f, g}, x]

556. Int[((c_) + (d_.)*(x_))/(Sqrt[(e_)*(x_)]*Sqrt[(a_) + (b_.)*(x_)^2]), x_Symbol] :> Simp[Sqrt[x]/Sqrt[e*x]   Int
     [(c + d*x)/(Sqrt[x]*Sqrt[a + b*x^2]), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x]

557. Int[((e_.)*(x_))^(m_)*((c_) + (d_.)*(x_))*((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Simp[c   Int[(e*x)^m*(a + b
     *x^2)^p, x], x] + Simp[d/e   Int[(e*x)^(m + 1)*(a + b*x^2)^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, m, p}, x]

558. Int[((e_.)*(x_))^(m_)*((c_) + (d_.)*(x_))^(n_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> With[{Qx = Polynomial
     Quotient[(c + d*x)^n, a + b*x^2, x], f = Coeff[PolynomialRemainder[(c + d*x)^n, a + b*x^2, x], x, 0], g = Coef
     f[PolynomialRemainder[(c + d*x)^n, a + b*x^2, x], x, 1]}, Simp[(-(e*x)^(m + 1))*(f + g*x)*((a + b*x^2)^(p + 1)
     /(2*a*e*(p + 1))), x] + Simp[1/(2*a*(p + 1))   Int[(e*x)^m*(a + b*x^2)^(p + 1)*ExpandToSum[2*a*(p + 1)*Qx + f*
     (m + 2*p + 3) + g*(m + 2*p + 4)*x, x], x], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, m}, x] && IGtQ[n, 1] &&  !IntegerQ[m]
     && LtQ[p, -1]

559. Int[((e_.)*(x_))^(m_)*((c_) + (d_.)*(x_))^(n_)*((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Simp[d^n*(e*x)^(m + n
     - 1)*((a + b*x^2)^(p + 1)/(b*e^(n - 1)*(m + n + 2*p + 1))), x] + Simp[1/(b*(m + n + 2*p + 1))   Int[(e*x)^m*(a
     + b*x^2)^p*ExpandToSum[b*(m + n + 2*p + 1)*(c + d*x)^n - b*d^n*(m + n + 2*p + 1)*x^n - a*d^n*(m + n - 1)*x^(n
     - 2), x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, m, p}, x] && IGtQ[n, 1] &&  !IntegerQ[m] && NeQ[m + n + 2*p + 1, 0]

560. Int[((e_.)*(x_))^(m_)*((c_) + (d_.)*(x_))^(n_)*((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Module[{k}, Int[(e*x)^
     m*Sum[Binomial[n, 2*k]*c^(n - 2*k)*d^(2*k)*x^(2*k), {k, 0, n/2}]*(a + b*x^2)^p, x] + Simp[1/e   Int[(e*x)^(m +
     1)*Sum[Binomial[n, 2*k + 1]*c^(n - 2*k - 1)*d^(2*k + 1)*x^(2*k), {k, 0, (n - 1)/2}]*(a + b*x^2)^p, x], x]] /;
     FreeQ[{a, b, c, d, e, p}, x] && IGtQ[n, 1] &&  !IntegerQ[m] && EqQ[m + n + 2*p + 1, 0]

561. Int[(x_)^(m_.)*((c_) + (d_.)*(x_))^(n_)*((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> With[{k = Denominator[n]}, Si
     mp[k/d   Subst[Int[x^(k*(n + 1) - 1)*(-c/d + x^k/d)^m*Simp[(b*c^2 + a*d^2)/d^2 - 2*b*c*(x^k/d^2) + b*(x^(2*k)/
     d^2), x]^p, x], x, (c + d*x)^(1/k)], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d, m, p}, x] && FractionQ[n] && IntegerQ[p] && Int
     egerQ[m]

562. Int[(x_)^(m_.)*((c_) + (d_.)*(x_))^(n_)*((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Simp[c^(2*n)/a^n   Int[x^m*((
     a + b*x^2)^(n + p)/(c - d*x)^n), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && EqQ[b*c^2 + a*d^2, 0] && IGtQ[m, 0] && IL
     tQ[n, 0] && IGtQ[n + p + 1/2, 0]

563. Int[(x_)^(m_.)*((c_) + (d_.)*(x_))^(n_)*((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Simp[(-(-c)^(m - n - 2))*d^(2
     *n - m + 3)*(Sqrt[a + b*x^2]/(2^(n + 1)*b^(n + 2)*(c + d*x))), x] - Simp[d^(2*n - m + 2)/b^(n + 1)   Int[(1/Sq
     rt[a + b*x^2])*ExpandToSum[(2^(-n - 1)*(-c)^(m - n - 1) - d^m*x^m*(-c + d*x)^(-n - 1))/(c + d*x), x], x], x] /
     ; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && EqQ[b*c^2 + a*d^2, 0] && IGtQ[m, 0] && ILtQ[n, 0] && EqQ[n + p, -3/2]

564. Int[(x_)^(m_)*((c_) + (d_.)*(x_))^(n_)*((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Simp[(-(-c)^(m - n - 2))*d^(2*
     n - m + 3)*(Sqrt[a + b*x^2]/(2^(n + 1)*b^(n + 2)*(c + d*x))), x] - Simp[d^(2*n + 2)/b^(n + 1)   Int[(x^m/Sqrt[
     a + b*x^2])*ExpandToSum[((2^(-n - 1)*(-c)^(m - n - 1))/(d^m*x^m) - (-c + d*x)^(-n - 1))/(c + d*x), x], x], x]
     /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && EqQ[b*c^2 + a*d^2, 0] && ILtQ[m, 0] && ILtQ[n, 0] && EqQ[n + p, -3/2]

565. Int[((x_)*((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(p_))/((c_) + (d_.)*(x_)), x_Symbol] :> Simp[a*((a + b*x^2)^p/(2*b*c*p)), x] +
     Simp[b/d   Int[x^2*(a + b*x^2)^(p - 1), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, p}, x] && EqQ[b*c^2 + a*d^2, 0]

566. Int[((x_)^(m_)*((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(p_))/((c_) + (d_.)*(x_)), x_Symbol] :> Int[x^m*(a/c + b*(x/d))*(a + b*x^
     2)^(p - 1), x] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && EqQ[b*c^2 + a*d^2, 0] && GtQ[p, 0]

567. Int[((x_)^(m_)*((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(p_))/((c_) + (d_.)*(x_)), x_Symbol] :> Simp[c*x^m*((a + b*x^2)^(p + 1)/(
     2*a*d*p*(c + d*x))), x] - Simp[m/(2*d*p)   Int[x^(m - 1)*(a + b*x^2)^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && Eq
     Q[b*c^2 + a*d^2, 0] && IGtQ[m, 1] && LtQ[p, -1] && EqQ[m + 2*p + 1, 0]

568. Int[((x_)^(m_)*((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(p_))/((c_) + (d_.)*(x_)), x_Symbol] :> Simp[x^(m - 1)*((a + b*x^2)^(p +
     1)/(2*b*p*(c + d*x))), x] + Simp[1/(2*d^2*p)   Int[x^(m - 2)*(a + b*x^2)^p*(c*(m - 1) - d*m*x), x], x] /; Free
     Q[{a, b, c, d}, x] && EqQ[b*c^2 + a*d^2, 0] && IGtQ[m, 1] && LtQ[p, -1]

569. Int[((x_)^(m_)*((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(p_))/((c_) + (d_.)*(x_)), x_Symbol] :> Simp[(-x^(m + 1))*((a + b*x^2)^(p
     + 1)/(2*a*p*(c + d*x))), x] + Simp[1/(2*c^2*p)   Int[x^m*(a + b*x^2)^p*(c*(m + 2*p + 1) - d*(m + 2*p + 2)*x),
     x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && EqQ[b*c^2 + a*d^2, 0] && ILtQ[m + 2*p, 0]

570. Int[((e_.)*(x_))^(m_)*((c_) + (d_.)*(x_))^(n_)*((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Simp[c^(2*n)/a^n   Int
     [(e*x)^m*((a + b*x^2)^(n + p)/(c - d*x)^n), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, m, p}, x] && EqQ[b*c^2 + a*d^2, 0]
     && ILtQ[n, -1] &&  !(IGtQ[m, 0] && ILtQ[m + n, 0] &&  !GtQ[p, 1])

571. Int[(x_)*((c_) + (d_.)*(x_))^(n_)*((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Simp[(c + d*x)^n*((a + b*x^2)^(p +
     1)/(2*b*(n + p + 1))), x] + Simp[n/(2*d*(n + p + 1))   Int[(c + d*x)^(n + 1)*(a + b*x^2)^p, x], x] /; FreeQ[{a
     , b, c, d, n, p}, x] && EqQ[b*c^2 + a*d^2, 0] && ((LtQ[n, -1] &&  !IGtQ[n + p + 1, 0]) || (LtQ[n, 0] && LtQ[p,
     -1]) || EqQ[n + 2*p + 2, 0]) && NeQ[n + p + 1, 0]

572. Int[(x_)*((c_) + (d_.)*(x_))^(n_)*((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Simp[(c + d*x)^n*((a + b*x^2)^(p +
     1)/(b*(n + 2*p + 2))), x] + Simp[c*(n/(d*(n + 2*p + 2)))   Int[(c + d*x)^n*(a + b*x^2)^p, x], x] /; FreeQ[{a,
     b, c, d, n, p}, x] && EqQ[b*c^2 + a*d^2, 0] && NeQ[n + 2*p + 2, 0]

573. Int[Sqrt[(c_) + (d_.)*(x_)]/((x_)*Sqrt[(a_) + (b_.)*(x_)^2]), x_Symbol] :> Simp[-2*c   Subst[Int[1/(a - c*x^2)
     , x], x, Sqrt[a + b*x^2]/Sqrt[c + d*x]], x] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && EqQ[b*c^2 + a*d^2, 0]

574. Int[((e_.)*(x_))^(n_)*((c_) + (d_.)*(x_))^(m_)*((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Simp[d^2*(e*x)^(n + 1)
     *(c + d*x)^(m - 2)*((a + b*x^2)^(p + 1)/(b*e*(n + p + 2))), x] + Simp[c*((2*n + p + 3)/(n + p + 2))   Int[(e*x
     )^n*(c + d*x)^(m - 1)*(a + b*x^2)^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, m, n, p}, x] && EqQ[b*c^2 + a*d^2, 0] &&
     EqQ[m + p - 1, 0] &&  !LtQ[n, -1] && IntegerQ[2*p]

575. Int[((e_.)*(x_))^(m_)*((c_) + (d_.)*(x_))^(n_)*((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Simp[(e*x)^(m + 1)*(c
     + d*x)^n*((a + b*x^2)^p/(e*(m + 1))), x] + Simp[b*(n/(d*e*(m + 1)))   Int[(e*x)^(m + 1)*(c + d*x)^(n + 1)*(a +
     b*x^2)^(p - 1), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && EqQ[b*c^2 + a*d^2, 0] && EqQ[n + p, 0] && GtQ[p, 0] &&
     LtQ[m, -1] &&  !(IntegerQ[m + p] && LeQ[m + p + 2, 0])

576. Int[((e_.)*(x_))^(m_)*((c_) + (d_.)*(x_))^(n_)*((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Simp[(-(e*x)^(m + 1))*
     (c + d*x)^n*((a + b*x^2)^p/(e*(n - m - 1))), x] - Simp[b*c*(n/(d^2*(n - m - 1)))   Int[(e*x)^m*(c + d*x)^(n +
     1)*(a + b*x^2)^(p - 1), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, m}, x] && EqQ[b*c^2 + a*d^2, 0] && EqQ[n + p, 0] && Gt
     Q[p, 0] && NeQ[m - n + 1, 0] &&  !IGtQ[m, 0] &&  !(IntegerQ[m + p] && LtQ[m + p + 2, 0]) && RationalQ[m]

577. Int[((e_.)*(x_))^(m_)*((c_) + (d_.)*(x_))^(n_)*((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Simp[d*(e*x)^m*(c + d*
     x)^(n - 1)*((a + b*x^2)^(p + 1)/(b*(p + 1))), x] - Simp[d*e*(m/(b*(p + 1)))   Int[(e*x)^(m - 1)*(c + d*x)^(n -
     1)*(a + b*x^2)^(p + 1), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && EqQ[b*c^2 + a*d^2, 0] && EqQ[n + p, 0] && LtQ[
     p, -1] && GtQ[m, 0]

578. Int[((e_.)*(x_))^(m_)*((c_) + (d_.)*(x_))^(n_)*((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Simp[(-c)*(e*x)^(m + 1
     )*(c + d*x)^(n - 1)*((a + b*x^2)^(p + 1)/(a*e*(p + 1))), x] + Simp[c*((m - n + 2)/(a*(p + 1)))   Int[(e*x)^m*(
     c + d*x)^(n - 1)*(a + b*x^2)^(p + 1), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, m}, x] && EqQ[b*c^2 + a*d^2, 0] && EqQ[n
     + p, 0] && LtQ[p, -1] && RationalQ[m]

579. Int[((e_.)*(x_))^(m_)*((c_) + (d_.)*(x_))^(n_)*((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Simp[(-d^2)*(e*x)^(m +
     1)*(c + d*x)^(n - 1)*((a + b*x^2)^(p + 1)/(b*c*e*(m + 1))), x] - Simp[d*((n - m - 2)/(c*e*(m + 1)))   Int[(e*
     x)^(m + 1)*(c + d*x)^n*(a + b*x^2)^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, n, p}, x] && EqQ[b*c^2 + a*d^2, 0] && Eq
     Q[n + p, 0] && LtQ[m, -1] && (IntegerQ[2*p] || IntegerQ[m])

580. Int[((e_.)*(x_))^(m_)*((c_) + (d_.)*(x_))^(n_)*((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Simp[(-d^2)*(e*x)^(m +
     1)*(c + d*x)^(n - 2)*((a + b*x^2)^(p + 1)/(b*e*(m + 1))), x] + Simp[d*((2*m + p + 3)/(e*(m + 1)))   Int[(e*x)
     ^(m + 1)*(c + d*x)^(n - 1)*(a + b*x^2)^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, n, p}, x] && EqQ[b*c^2 + a*d^2, 0] &
     & EqQ[n + p - 1, 0] && LtQ[m, -1] && IntegerQ[p + 1/2]

581. Int[(x_)^(m_)*((c_) + (d_.)*(x_))^(n_)*((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Simp[(c + d*x)^(m + n - 1)*((a
     + b*x^2)^(p + 1)/(b*d^(m - 1)*(m + n + 2*p + 1))), x] + Simp[1/(d^m*(m + n + 2*p + 1))   Int[(c + d*x)^n*(a +
     b*x^2)^p*ExpandToSum[d^m*(m + n + 2*p + 1)*x^m - (m + n + 2*p + 1)*(c + d*x)^m + c*(c + d*x)^(m - 2)*(c*(m +
     n - 1) + c*(m + n + 2*p + 1) + 2*d*(m + n + p)*x), x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, n, p}, x] && EqQ[b*c^2 + a
     *d^2, 0] && IGtQ[m, 1] && NeQ[m + n + 2*p + 1, 0] && (IntegerQ[2*p] || ILtQ[m + n, 0])

582. Int[(x_)^(m_.)*((c_) + (d_.)*(x_))^(n_)*((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Int[ExpandIntegrand[x^m*(c +
     d*x)^n*(a + b*x^2)^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, p}, x] && EqQ[b*c^2 + a*d^2, 0] && IntegerQ[2*p] && Integer
     Q[m] && ILtQ[n, 0]

583. Int[((e_.)*(x_))^(m_)*((c_) + (d_.)*(x_))^(n_)*((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Simp[c^(2*n)/a^n   Int
     [(e*x)^m*((a + b*x^2)^(n + p)/(c - d*x)^n), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, m, p}, x] && EqQ[b*c^2 + a*d^2, 0]
     && ILtQ[n, 0]

584. Int[((e_.)*(x_))^(m_.)*((c_) + (d_.)*(x_))^(n_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Int[(e*x)^m*(c + d*x
     )^(n + p)*(a/c + (b/d)*x)^p, x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, m, n}, x] && EqQ[b*c^2 + a*d^2, 0] && GtQ[a, 0] && Gt
     Q[c, 0]

585. Int[((e_.)*(x_))^(m_.)*((c_) + (d_.)*(x_))^(n_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Simp[a^p*c^IntPart[n
     ]*((c + d*x)^FracPart[n]/(1 + d*(x/c))^FracPart[n])   Int[(e*x)^m*(1 - d*(x/c))^p*(1 + d*(x/c))^(n + p), x], x
     ] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, m, n, p}, x] && EqQ[b*c^2 + a*d^2, 0] && GtQ[a, 0]

586. Int[((e_.)*(x_))^(m_.)*((c_) + (d_.)*(x_))^(n_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Simp[(a + b*x^2)^Fra
     cPart[p]/((c + d*x)^FracPart[p]*(a/c + (b*x)/d)^FracPart[p])   Int[(e*x)^m*(c + d*x)^(n + p)*(a/c + (b/d)*x)^p
     , x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, m, n, p}, x] && EqQ[b*c^2 + a*d^2, 0]

587. Int[(x_.)/(((c_) + (d_.)*(x_))*((a_) + (b_.)*(x_)^2)), x_Symbol] :> Simp[(-c)*(d/(b*c^2 + a*d^2))   Int[1/(c +
     d*x), x], x] + Simp[1/(b*c^2 + a*d^2)   Int[(a*d + b*c*x)/(a + b*x^2), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && Ne
     Q[b*c^2 + a*d^2, 0]

588. Int[(x_.)*((c_) + (d_.)*(x_))^(n_)*((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Simp[c*(c + d*x)^(n + 1)*((a + b*x
     ^2)^(p + 1)/(2*(p + 1)*(b*c^2 + a*d^2))), x] + Simp[a*(d/(b*c^2 + a*d^2))   Int[(c + d*x)^(n + 1)*(a + b*x^2)^
     p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, n, p}, x] && EqQ[Simplify[n + 2*p + 3], 0] && NeQ[b*c^2 + a*d^2, 0]

589. Int[(x_)*((c_) + (d_.)*(x_))^(n_)*((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Simp[(-(c + d*x)^(n + 1))*(a + b*x^
     2)^p*((c*(a*d^2 + b*c^2*(2*p + 1)) - d*(a*d^2*(n + 1) + b*c^2*(n - 2*p + 1))*x)/(d^2*(n + 1)*(n + 2)*(b*c^2 +
     a*d^2))), x] + Simp[b*(p/(d^2*(n + 1)*(n + 2)*(b*c^2 + a*d^2)))   Int[(c + d*x)^(n + 2)*(a + b*x^2)^(p - 1)*Si
     mp[2*a*c*d*(n + 2) - (2*a*d^2*(n + 1) - 2*b*c^2*(2*p + 1))*x, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && GtQ[p, 0
     ] && LtQ[n, -2] && LtQ[n + 2*p, 0] &&  !ILtQ[n + 2*p + 3, 0]

590. Int[(x_)*((c_) + (d_.)*(x_))^(n_)*((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Simp[(-(c + d*x)^(n + 1))*(a + b*x^
     2)^p*((c*(2*p + 1) - d*(n + 1)*x)/(d^2*(n + 1)*(n + 2*p + 2))), x] + Simp[2*(p/(d^2*(n + 1)*(n + 2*p + 2)))
     Int[(c + d*x)^(n + 1)*(a + b*x^2)^(p - 1)*(a*d*(n + 1) + b*c*(2*p + 1)*x), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] &&
     GtQ[p, 0] && LtQ[n, -1] &&  !ILtQ[n + 2*p + 1, 0]

591. Int[(x_)*((c_) + (d_.)*(x_))^(n_)*((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Simp[(-(c + d*x)^(n + 1))*(a + b*x^
     2)^p*((c*(2*p + 1) - d*(n + 2*p + 1)*x)/(d^2*(n + 2*p + 1)*(n + 2*p + 2))), x] + Simp[2*(p/(d^2*(n + 2*p + 1)*
     (n + 2*p + 2)))   Int[(c + d*x)^n*(a + b*x^2)^(p - 1)*Simp[a*c*d*n + (b*c^2*(2*p + 1) + a*d^2*(n + 2*p + 1))*x
     , x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, n}, x] && GtQ[p, 0] && LeQ[-1, n, 0] &&  !ILtQ[n + 2*p, 0]

592. Int[(x_)*((c_) + (d_.)*(x_))^(n_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Simp[(c + d*x)^n*((a + b*x^2)^(p +
     1)/(2*b*(p + 1))), x] - Simp[d*(n/(2*b*(p + 1)))   Int[(c + d*x)^(n - 1)*(a + b*x^2)^(p + 1), x], x] /; FreeQ
     [{a, b, c, d}, x] && LtQ[p, -1] && GtQ[n, 0] && (IntegerQ[n] || IntegerQ[p] || IntegersQ[2*n, 2*p])

593. Int[(x_)*((c_) + (d_.)*(x_))^(n_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Simp[(c + d*x)^(n + 1)*(c - d*x)*(
     (a + b*x^2)^(p + 1)/(2*(p + 1)*(b*c^2 + a*d^2))), x] - Simp[d/(2*(p + 1)*(b*c^2 + a*d^2))   Int[(c + d*x)^n*(a
     + b*x^2)^(p + 1)*(c*n - d*(n + 2*p + 4)*x), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, n}, x] && LtQ[p, -1] && NeQ[b*c^2 +
     a*d^2, 0]

594. Int[(x_)*((c_) + (d_.)*(x_))^(n_)*((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Simp[(-c)*(c + d*x)^(n + 1)*((a + b
     *x^2)^(p + 1)/((n + 1)*(b*c^2 + a*d^2))), x] + Simp[1/((n + 1)*(b*c^2 + a*d^2))   Int[(c + d*x)^(n + 1)*(a + b
     *x^2)^p*(a*d*(n + 1) + b*c*(n + 2*p + 3)*x), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, p}, x] && LtQ[n, -1] && NeQ[b*c^2 +
     a*d^2, 0]

595. Int[((x_)*((c_) + (d_.)*(x_))^(n_))/((a_) + (b_.)*(x_)^2), x_Symbol] :> Simp[(c + d*x)^n/(b*n), x] - Simp[1/b
     Int[(c + d*x)^(n - 1)*((a*d - b*c*x)/(a + b*x^2)), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && GtQ[n, 0]

596. Int[(x_)*((c_) + (d_.)*(x_))^(n_)*((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Simp[(c + d*x)^n*((a + b*x^2)^(p +
     1)/(b*(n + 2*p + 2))), x] - Simp[n/(b*(n + 2*p + 2))   Int[(c + d*x)^(n - 1)*(a + b*x^2)^p*(a*d - b*c*x), x],
     x] /; FreeQ[{a, b, c, d, p}, x] && GtQ[n, 0] && NeQ[n + 2*p + 2, 0]

597. Int[(x_)/(((c_) + (d_.)*(x_))*((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(3/4)), x_Symbol] :> With[{q = Rt[-a, 4]}, Simp[(c/(2*d^2*
     q^3))*ArcTan[c*q*((a + b*x^2)^(1/4)/(q^2*(c + d*x) - c*Sqrt[a + b*x^2]))], x] + Simp[(c/(2*d^2*q^3))*ArcTanh[c
     *q*((a + b*x^2)^(1/4)/(q^2*(c + d*x) + c*Sqrt[a + b*x^2]))], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && EqQ[b*c^2 + 2*a*
     d^2, 0] && NegQ[a]

598. Int[(x_)/(((c_) + (d_.)*(x_))*((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(3/4)), x_Symbol] :> Simp[(-a - b*x^2)^(3/4)/(a + b*x^2)^(
     3/4)   Int[x/((c + d*x)*(-a - b*x^2)^(3/4)), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && EqQ[b*c^2 + 2*a*d^2, 0] && Po
     sQ[a]

599. Int[((A_.) + (B_.)*(x_))/(Sqrt[(c_) + (d_.)*(x_)]*Sqrt[(a_) + (b_.)*(x_)^2]), x_Symbol] :> Simp[-2/d^2   Subst
     [Int[(B*c - A*d - B*x^2)/Sqrt[(b*c^2 + a*d^2)/d^2 - 2*b*c*(x^2/d^2) + b*(x^4/d^2)], x], x, Sqrt[c + d*x]], x]
     /; FreeQ[{a, b, c, d, A, B}, x] && PosQ[b/a]

600. Int[((A_.) + (B_.)*(x_))/(Sqrt[(c_) + (d_.)*(x_)]*Sqrt[(a_) + (b_.)*(x_)^2]), x_Symbol] :> Simp[B/d   Int[Sqrt
     [c + d*x]/Sqrt[a + b*x^2], x], x] - Simp[(B*c - A*d)/d   Int[1/(Sqrt[c + d*x]*Sqrt[a + b*x^2]), x], x] /; Free
     Q[{a, b, c, d, A, B}, x] && NegQ[b/a]

601. Int[(x_)^(m_)*((c_) + (d_.)*(x_))^(n_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> With[{Qx = PolynomialQuotient
     [x^m*(c + d*x)^n, a + b*x^2, x], e = Coeff[PolynomialRemainder[x^m*(c + d*x)^n, a + b*x^2, x], x, 0], f = Coef
     f[PolynomialRemainder[x^m*(c + d*x)^n, a + b*x^2, x], x, 1]}, Simp[(a*f - b*e*x)*((a + b*x^2)^(p + 1)/(2*a*b*(
     p + 1))), x] + Simp[1/(2*a*(p + 1))   Int[(c + d*x)^n*(a + b*x^2)^(p + 1)*ExpandToSum[(2*a*(p + 1)*Qx)/(c + d*
     x)^n + (e*(2*p + 3))/(c + d*x)^n, x], x], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && IGtQ[m, 1] && LtQ[p, -1] && ILtQ[n,
     0] && NeQ[b*c^2 + a*d^2, 0]

602. Int[(x_)^(m_)*((c_) + (d_.)*(x_))^(n_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> With[{Qx = PolynomialQuotient
     [x^m, a + b*x^2, x], e = Coeff[PolynomialRemainder[x^m, a + b*x^2, x], x, 0], f = Coeff[PolynomialRemainder[x^
     m, a + b*x^2, x], x, 1]}, Simp[(-(c + d*x)^(n + 1))*(a + b*x^2)^(p + 1)*((a*(d*e - c*f) + (b*c*e + a*d*f)*x)/(
     2*a*(p + 1)*(b*c^2 + a*d^2))), x] + Simp[1/(2*a*(p + 1)*(b*c^2 + a*d^2))   Int[(c + d*x)^n*(a + b*x^2)^(p + 1)
     *ExpandToSum[2*a*(p + 1)*(b*c^2 + a*d^2)*Qx + e*(b*c^2*(2*p + 3) + a*d^2*(n + 2*p + 3)) - a*c*d*f*n + d*(b*c*e
     + a*d*f)*(n + 2*p + 4)*x, x], x], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d, n}, x] && IGtQ[m, 1] && LtQ[p, -1] && NeQ[b*c^2 +
     a*d^2, 0]

603. Int[(x_)^(m_)*((c_) + (d_.)*(x_))^(n_)*((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> With[{Qx = PolynomialQuotient[
     x^m, c + d*x, x], R = PolynomialRemainder[x^m, c + d*x, x]}, Simp[d*R*(c + d*x)^(n + 1)*((a + b*x^2)^(p + 1)/(
     (n + 1)*(b*c^2 + a*d^2))), x] + Simp[1/((n + 1)*(b*c^2 + a*d^2))   Int[(c + d*x)^(n + 1)*(a + b*x^2)^p*ExpandT
     oSum[(n + 1)*(b*c^2 + a*d^2)*Qx + b*c*R*(n + 1) - b*d*R*(n + 2*p + 3)*x, x], x], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d, p},
     x] && IGtQ[m, 1] && LtQ[n, -1] && NeQ[b*c^2 + a*d^2, 0]

604. Int[(x_)^(m_)*((c_) + (d_.)*(x_))^(n_)*((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Simp[(c + d*x)^(m + n - 1)*((a
     + b*x^2)^(p + 1)/(b*d^(m - 1)*(m + n + 2*p + 1))), x] + Simp[1/(b*d^m*(m + n + 2*p + 1))   Int[(c + d*x)^n*(a
     + b*x^2)^p*ExpandToSum[b*d^m*(m + n + 2*p + 1)*x^m - b*(m + n + 2*p + 1)*(c + d*x)^m - (c + d*x)^(m - 2)*(a*d
     ^2*(m + n - 1) - b*c^2*(m + n + 2*p + 1) - 2*b*c*d*(m + n + p)*x), x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, n, p}, x]
     && IGtQ[m, 1] && NeQ[m + n + 2*p + 1, 0] && IntegerQ[2*p]

605. Int[((x_)^(m_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(p_))/((c_) + (d_.)*(x_)), x_Symbol] :> Simp[1/d   Int[x^(m - 1)*(a + b*
     x^2)^p, x], x] - Simp[c/d   Int[x^(m - 1)*((a + b*x^2)^p/(c + d*x)), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, p}, x] && IG
     tQ[m, 0] && LtQ[-1, p, 0]

606. Int[(((c_) + (d_.)*(x_))^(n_)*((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(p_))/(x_), x_Symbol] :> Simp[a/c   Int[(c + d*x)^(n + 1)*
     ((a + b*x^2)^(p - 1)/x), x], x] - Simp[1/c   Int[(c + d*x)^n*(a*d - b*c*x)*(a + b*x^2)^(p - 1), x], x] /; Free
     Q[{a, b, c, d}, x] && GtQ[p, 0] && ILtQ[n, 0]

607. Int[(((e_.)*(x_))^(m_)*((c_) + (d_.)*(x_))^(n_))/((a_) + (b_.)*(x_)^2), x_Symbol] :> Simp[e*(d/b)   Int[(e*x)^
     (m - 1)*(c + d*x)^(n - 2)*(2*c + d*x), x], x] - Simp[e/b   Int[(e*x)^(m - 1)*(c + d*x)^(n - 2)*(Simp[2*a*c*d -
     (b*c^2 - a*d^2)*x, x]/(a + b*x^2)), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && GtQ[n, 1] && GtQ[m, 0] &&  !Intege
     rQ[m] &&  !IntegerQ[n]

608. Int[(((e_.)*(x_))^(m_)*((c_) + (d_.)*(x_))^(n_))/((a_) + (b_.)*(x_)^2), x_Symbol] :> Simp[e^2/b   Int[(e*x)^(m
     - 2)*(c + d*x)^n, x], x] - Simp[a*(e^2/b)   Int[(e*x)^(m - 2)*((c + d*x)^n/(a + b*x^2)), x], x] /; FreeQ[{a,
     b, c, d, e}, x] && LtQ[0, n, 1] && GtQ[m, 1] &&  !IntegerQ[m] &&  !IntegerQ[n]

609. Int[(((e_.)*(x_))^(m_)*((c_) + (d_.)*(x_))^(n_))/((a_) + (b_.)*(x_)^2), x_Symbol] :> Simp[d*(e/b)   Int[(e*x)^
     (m - 1)*(c + d*x)^(n - 1), x], x] - Simp[e/b   Int[(e*x)^(m - 1)*(c + d*x)^(n - 1)*((a*d - b*c*x)/(a + b*x^2))
     , x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && LtQ[0, n, 1] && LtQ[0, m, 1] &&  !IntegerQ[m] &&  !IntegerQ[n]

610. Int[(((e_.)*(x_))^(m_)*((c_) + (d_.)*(x_))^(n_))/((a_) + (b_.)*(x_)^2), x_Symbol] :> Simp[e^(m + 1/2)   Int[Ex
     pandIntegrand[1/(Sqrt[e*x]*Sqrt[c + d*x]), x^(m + 1/2)*((c + d*x)^(n + 1/2)/(a + b*x^2)), x], x], x] /; FreeQ[
     {a, b, c, d, e}, x] && IGtQ[n + 1/2, 0] && ILtQ[m - 1/2, 0]

611. Int[(((e_.)*(x_))^(m_)*((c_) + (d_.)*(x_))^(n_))/((a_) + (b_.)*(x_)^2), x_Symbol] :> Simp[c/a   Int[(e*x)^m*(c
     + d*x)^(n - 1), x], x] + Simp[1/(a*e)   Int[((e*x)^(m + 1)*(c + d*x)^(n - 1)*(a*d - b*c*x))/(a + b*x^2), x],
     x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && GtQ[n, 0] && LtQ[m, -1] &&  !IntegerQ[m] &&  !IntegerQ[n]

612. Int[(((e_.)*(x_))^(m_)*((c_) + (d_.)*(x_))^(n_))/((a_) + (b_.)*(x_)^2), x_Symbol] :> Simp[(-e)*c*(d/(b*c^2 + a
     *d^2))   Int[(e*x)^(m - 1)*(c + d*x)^n, x], x] + Simp[e/(b*c^2 + a*d^2)   Int[(e*x)^(m - 1)*(c + d*x)^(n + 1)*
     ((a*d + b*c*x)/(a + b*x^2)), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && LtQ[n, -1] && GtQ[m, 0] &&  !IntegerQ[m] &
     &  !IntegerQ[n]

613. Int[Sqrt[(e_.)*(x_)]/(Sqrt[(c_) + (d_.)*(x_)]*((a_) + (b_.)*(x_)^2)), x_Symbol] :> Simp[e/(2*b)   Int[1/(Sqrt[
     e*x]*Sqrt[c + d*x]*(Rt[-a/b, 2] + x)), x], x] - Simp[e/(2*b)   Int[1/(Sqrt[e*x]*Sqrt[c + d*x]*(Rt[-a/b, 2] - x
     )), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x]

614. Int[((e_.)*(x_))^(m_)/(Sqrt[(c_) + (d_.)*(x_)]*((a_) + (b_.)*(x_)^2)), x_Symbol] :> Simp[e^(m + 1/2)   Int[Exp
     andIntegrand[1/(Sqrt[e*x]*Sqrt[c + d*x]), x^(m + 1/2)/(a + b*x^2), x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] &&
     IGtQ[m - 1/2, 0]

615. Int[((e_.)*(x_))^(m_.)*((c_) + (d_.)*(x_))^(n_)*((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Int[ExpandIntegrand[(
     e*x)^m*(c + d*x)^n*(a + b*x^2)^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, m, n}, x] && ILtQ[p, 0]

616. Int[((e_.)*(x_))^(m_)*((c_) + (d_.)*(x_))^(n_)*((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> With[{k = Denominator[
     m]}, Simp[k/e   Subst[Int[x^(k*(m + 1) - 1)*(c + d*(x^k/e))^n*(a + b*(x^(2*k)/e^2))^p, x], x, (e*x)^(1/k)], x]
     ] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, p}, x] && ILtQ[n, 0] && FractionQ[m]

617. Int[(x_)^(m_.)*((c_) + (d_.)*(x_))^(n_)*((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Int[ExpandIntegrand[(a + b*x^
     2)^p, x^m*(c + d*x)^n, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, p}, x] && ILtQ[n, 0] && IntegerQ[m] && IntegerQ[2*p]

618. Int[Sqrt[(e_.)*(x_)]/(((c_) + (d_.)*(x_))*Sqrt[(a_) + (b_.)*(x_)^2]), x_Symbol] :> Simp[e/d   Int[1/(Sqrt[e*x]
     *Sqrt[a + b*x^2]), x], x] - Simp[c*(e/d)   Int[1/(Sqrt[e*x]*(c + d*x)*Sqrt[a + b*x^2]), x], x] /; FreeQ[{a, b,
     c, d, e}, x]

619. Int[1/(Sqrt[(e_.)*(x_)]*((c_) + (d_.)*(x_))*Sqrt[(a_) + (b_.)*(x_)^2]), x_Symbol] :> Simp[1/Sqrt[a]   Int[1/(S
     qrt[e*x]*(c + d*x)*Sqrt[1 - Rt[-b/a, 2]*x]*Sqrt[1 + Rt[-b/a, 2]*x]), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && Gt
     Q[a, 0]

620. Int[1/(Sqrt[(e_.)*(x_)]*((c_) + (d_.)*(x_))*Sqrt[(a_) + (b_.)*(x_)^2]), x_Symbol] :> Simp[Sqrt[1 + b*(x^2/a)]/
     Sqrt[a + b*x^2]   Int[1/(Sqrt[e*x]*(c + d*x)*Sqrt[1 + b*(x^2/a)]), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] &&  !Gt
     Q[a, 0]

621. Int[((x_)^(m_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(p_))/((c_) + (d_.)*(x_)), x_Symbol] :> Simp[c   Int[x^m*((a + b*x^2)^p/
     (c^2 - d^2*x^2)), x], x] - Simp[d   Int[x^(m + 1)*((a + b*x^2)^p/(c^2 - d^2*x^2)), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d
     , m, p}, x]

622. Int[(x_)^(m_.)*((c_) + (d_.)*(x_))^(n_)*((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Int[ExpandIntegrand[x^m*(a +
     b*x^2)^p, (c/(c^2 - d^2*x^2) - d*(x/(c^2 - d^2*x^2)))^(-n), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, m, p}, x] && ILtQ[n,
     -1]

623. Int[((e_)*(x_))^(m_.)*((c_) + (d_.)*(x_))^(n_)*((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Simp[(e*x)^m/x^m   Int
     [x^m*(c + d*x)^n*(a + b*x^2)^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, m, p}, x] && ILtQ[n, 0]

624. Int[(x_)^(m_.)*((c_) + (d_.)*(x_))^(n_)*((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Simp[1/d   Int[x^(m - 1)*(c +
     d*x)^(n + 1)*(a + b*x^2)^p, x], x] - Simp[c/d   Int[x^(m - 1)*(c + d*x)^n*(a + b*x^2)^p, x], x] /; FreeQ[{a,
     b, c, d, n, p}, x] && IGtQ[m, 0]

625. Int[Sqrt[(a_) + (b_.)*(x_)^2]/((x_)*Sqrt[(c_) + (d_.)*(x_)]), x_Symbol] :> Simp[-2   Subst[Int[Sqrt[(b*c^2 + a
     *d^2)/d^2 - 2*b*c*(x^2/d^2) + b*(x^4/d^2)]/(c - x^2), x], x, Sqrt[c + d*x]], x] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && P
     osQ[b/a]

626. Int[(((c_) + (d_.)*(x_))^(n_)*Sqrt[(a_) + (b_.)*(x_)^2])/(x_), x_Symbol] :> Simp[a*c^(n + 1/2)   Int[1/(x*Sqrt
     [c + d*x]*Sqrt[a + b*x^2]), x], x] + Int[(1/(Sqrt[c + d*x]*Sqrt[a + b*x^2]))*ExpandToSum[((-a)*c^(n + 1/2) + a
     *(c + d*x)^(n + 1/2) + b*x^2*(c + d*x)^(n + 1/2))/x, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && IGtQ[n + 3/2, 0]

627. Int[(((c_) + (d_.)*(x_))^(n_)*Sqrt[(a_) + (b_.)*(x_)^2])/(x_), x_Symbol] :> Simp[a*c^(n + 1/2)   Int[1/(x*Sqrt
     [c + d*x]*Sqrt[a + b*x^2]), x], x] + Int[((c + d*x)^n/Sqrt[a + b*x^2])*ExpandToSum[(a + b*x^2 - a*c^(n + 1/2)*
     (c + d*x)^(-n - 1/2))/x, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && ILtQ[n + 1/2, 0]

628. Int[((e_.)*(x_))^(m_)*((c_) + (d_.)*(x_))^(n_)*Sqrt[(a_) + (b_.)*(x_)^2], x_Symbol] :> Simp[c^(n - 1/2)*(e*x)^
     (m + 1)*Sqrt[c + d*x]*(Sqrt[a + b*x^2]/(e*(m + 1))), x] - Simp[1/(2*e*(m + 1))   Int[((e*x)^(m + 1)/(Sqrt[c +
     d*x]*Sqrt[a + b*x^2]))*ExpandToSum[(2*a*c^(n + 1/2)*(m + 1) + a*c^(n - 1/2)*d*(2*m + 3)*x + 2*b*c^(n + 1/2)*(m
     + 2)*x^2 + b*c^(n - 1/2)*d*(2*m + 5)*x^3 - 2*a*(m + 1)*(c + d*x)^(n + 1/2) - 2*b*(m + 1)*x^2*(c + d*x)^(n + 1
     /2))/x, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && IGtQ[n + 3/2, 0] && LtQ[m, -1] && IntegerQ[2*m]

629. Int[((e_.)*(x_))^(m_.)*Sqrt[(c_) + (d_.)*(x_)]*Sqrt[(a_) + (b_.)*(x_)^2], x_Symbol] :> Simp[2*(e*x)^(m + 1)*Sq
     rt[c + d*x]*(Sqrt[a + b*x^2]/(e*(2*m + 5))), x] + Simp[1/(2*m + 5)   Int[(e*x)^m*((3*a*c + 2*a*d*x + b*c*x^2)/
     (Sqrt[c + d*x]*Sqrt[a + b*x^2])), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, m}, x] &&  !LtQ[m, -1] && IntegerQ[2*m]

630. Int[Sqrt[(c_) + (d_.)*(x_)]/((x_)*Sqrt[(a_) + (b_.)*(x_)^2]), x_Symbol] :> Simp[-2   Subst[Int[x^2/((c - x^2)*
     Sqrt[(b*c^2 + a*d^2)/d^2 - 2*b*c*(x^2/d^2) + b*(x^4/d^2)]), x], x, Sqrt[c + d*x]], x] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x
     ] && PosQ[b/a]

631. Int[1/((x_)*Sqrt[(c_) + (d_.)*(x_)]*Sqrt[(a_) + (b_.)*(x_)^2]), x_Symbol] :> Simp[-2   Subst[Int[1/((c - x^2)*
     Sqrt[(b*c^2 + a*d^2)/d^2 - 2*b*c*(x^2/d^2) + b*(x^4/d^2)]), x], x, Sqrt[c + d*x]], x] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x
     ] && PosQ[b/a]

632. Int[1/((x_)*Sqrt[(c_) + (d_.)*(x_)]*Sqrt[(a_) + (b_.)*(x_)^2]), x_Symbol] :> With[{q = Rt[-b/a, 2]}, Simp[1/Sq
     rt[a]   Int[1/(x*Sqrt[c + d*x]*Sqrt[1 - q*x]*Sqrt[1 + q*x]), x], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && NegQ[b/a] &&
     GtQ[a, 0]

633. Int[1/((x_)*Sqrt[(c_) + (d_.)*(x_)]*Sqrt[(a_) + (b_.)*(x_)^2]), x_Symbol] :> Simp[Sqrt[1 + b*(x^2/a)]/Sqrt[a +
     b*x^2]   Int[1/(x*Sqrt[c + d*x]*Sqrt[1 + b*(x^2/a)]), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && NegQ[b/a] &&  !GtQ[
     a, 0]

634. Int[((c_) + (d_.)*(x_))^(n_)/((x_)*Sqrt[(a_) + (b_.)*(x_)^2]), x_Symbol] :> Simp[c^(n + 1/2)   Int[1/(x*Sqrt[c
     + d*x]*Sqrt[a + b*x^2]), x], x] - Int[(1/(Sqrt[c + d*x]*Sqrt[a + b*x^2]))*ExpandToSum[(c^(n + 1/2) - (c + d*x
     )^(n + 1/2))/x, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && IGtQ[n - 1/2, 0]

635. Int[((c_) + (d_.)*(x_))^(n_)/((x_)*Sqrt[(a_) + (b_.)*(x_)^2]), x_Symbol] :> Simp[c^(n + 1/2)   Int[1/(x*Sqrt[c
     + d*x]*Sqrt[a + b*x^2]), x], x] + Int[((c + d*x)^n/Sqrt[a + b*x^2])*ExpandToSum[(1 - c^(n + 1/2)*(c + d*x)^(-
     n - 1/2))/x, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && ILtQ[n + 1/2, 0]

636. Int[(((e_.)*(x_))^(m_)*((c_) + (d_.)*(x_))^(n_))/Sqrt[(a_) + (b_.)*(x_)^2], x_Symbol] :> Simp[c^(n - 1/2)*(e*x
     )^(m + 1)*Sqrt[c + d*x]*(Sqrt[a + b*x^2]/(a*e*(m + 1))), x] - Simp[1/(2*a*e*(m + 1))   Int[((e*x)^(m + 1)/(Sqr
     t[c + d*x]*Sqrt[a + b*x^2]))*ExpandToSum[(2*a*c^(n + 1/2)*(m + 1) + a*c^(n - 1/2)*d*(2*m + 3)*x + 2*b*c^(n + 1
     /2)*(m + 2)*x^2 + b*c^(n - 1/2)*d*(2*m + 5)*x^3 - 2*a*(m + 1)*(c + d*x)^(n + 1/2))/x, x], x], x] /; FreeQ[{a,
     b, c, d, e}, x] && IGtQ[n + 3/2, 0] && LtQ[m, -1] && IntegerQ[2*m]

637. Int[(x_)^(m_.)*((c_) + (d_.)*(x_))^(n_)*((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Int[ExpandIntegrand[(a + b*x^
     2)^p/Sqrt[c + d*x], x^m*(c + d*x)^(n + 1/2), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, m}, x] && IntegerQ[p + 1/2] && Integ
     erQ[n + 1/2] && IntegerQ[m]

638. Int[((e_.)*(x_))^(m_.)*((c_) + (d_.)*(x_))^(n_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(p_.), x_Symbol] :> Unintegrable[(e*x)^
     m*(c + d*x)^n*(a + b*x^2)^p, x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, m, n, p}, x]

639. Int[((c_) + (d_.)*(x_))^(m_.)*((e_) + (f_.)*(x_))^(n_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(p_.), x_Symbol] :> Int[(c + d*x
     )^(m + p)*(e + f*x)^n*(a/c + (b/d)*x)^p, x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m, n, p}, x] && EqQ[b*c^2 + a*d^2, 0]
     && (IntegerQ[p] || (GtQ[a, 0] && GtQ[c, 0] &&  !IntegerQ[m]))

640. Int[((d_.) + (e_.)*(x_))^(m_.)*((f_.) + (g_.)*(x_))^(n_.)*((a_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_.), x_Symbol] :> Simp[(g/e)
     ^n   Int[(d + e*x)^(m + n)*(a + c*x^2)^p, x], x] /; FreeQ[{a, c, d, e, f, g, m, p}, x] && EqQ[e*f - d*g, 0] &&
     IntegerQ[n] &&  !(IntegerQ[m] && SimplerQ[f + g*x, d + e*x])

641. Int[((d_.) + (e_.)*(x_))^(m_)*((f_.) + (g_.)*(x_))^(n_)*((a_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_.), x_Symbol] :> Simp[(e/g)^m
     Int[(f + g*x)^(m + n)*(a + c*x^2)^p, x], x] /; FreeQ[{a, c, d, e, f, g, m, n, p}, x] && EqQ[e*f - d*g, 0] &
     & GtQ[e/g, 0]

642. Int[((d_.) + (e_.)*(x_))^(m_)*((f_.) + (g_.)*(x_))^(n_)*((a_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_.), x_Symbol] :> Simp[(d + e*
     x)^m/(f + g*x)^m   Int[(f + g*x)^(m + n)*(a + c*x^2)^p, x], x] /; FreeQ[{a, c, d, e, f, g, m, n, p}, x] && EqQ
     [e*f - d*g, 0]

643. Int[((c_) + (d_.)*(x_))^(m_.)*((e_) + (f_.)*(x_))^(n_.)*((a_.) + (b_.)*(x_)^2)^(p_.), x_Symbol] :> Int[(c*e +
     d*f*x^2)^m*(a + b*x^2)^p, x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m, n, p}, x] && EqQ[m, n] && EqQ[d*e + c*f, 0] && (In
     tegerQ[m] || (GtQ[c, 0] && GtQ[e, 0]))

644. Int[((c_) + (d_.)*(x_))^(m_.)*((e_) + (f_.)*(x_))^(n_.)*((a_.) + (b_.)*(x_)^2), x_Symbol] :> Simp[a*x*(c + d*x
     )^(m + 1)*((e + f*x)^(n + 1)/(c*e)), x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m, n}, x] && EqQ[m, n] && EqQ[d*e + c*f, 0
     ] && EqQ[b*c*e - a*d*f*(2*m + 3), 0]

645. Int[((c_) + (d_.)*(x_))^(m_.)*((e_) + (f_.)*(x_))^(n_.)*((a_.) + (b_.)*(x_)^2), x_Symbol] :> Simp[(b*c*e - a*d
     *f)*x*(c + d*x)^(m + 1)*((e + f*x)^(n + 1)/(2*c*d*e*f*(m + 1))), x] - Simp[(b*c*e - a*d*f*(2*m + 3))/(2*c*d*e*
     f*(m + 1))   Int[(c + d*x)^(m + 1)*(e + f*x)^(n + 1), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m, n}, x] && EqQ[m, n
     ] && EqQ[d*e + c*f, 0] && LtQ[m, -1]

646. Int[((c_) + (d_.)*(x_))^(m_.)*((e_) + (f_.)*(x_))^(n_.)*((a_.) + (b_.)*(x_)^2), x_Symbol] :> Simp[b*x*(c + d*x
     )^(m + 1)*((e + f*x)^(n + 1)/(d*f*(2*m + 3))), x] - Simp[(b*c*e - a*d*f*(2*m + 3))/(d*f*(2*m + 3))   Int[(c +
     d*x)^m*(e + f*x)^n, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m, n}, x] && EqQ[m, n] && EqQ[d*e + c*f, 0] &&  !LtQ[m,
     -1]

647. Int[(Sqrt[(c_) + (d_.)*(x_)]*Sqrt[(e_) + (f_.)*(x_)])/((a_.) + (b_.)*(x_)^2), x_Symbol] :> Simp[d*(f/b)   Int[
     1/(Sqrt[c + d*x]*Sqrt[e + f*x]), x], x] + Simp[1/b   Int[(b*c*e - a*d*f)/(Sqrt[c + d*x]*Sqrt[e + f*x]*(a + b*x
     ^2)), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && EqQ[d*e + c*f, 0]

648. Int[((c_) + (d_.)*(x_))^(m_.)*((e_) + (f_.)*(x_))^(n_.)*((a_.) + (b_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Simp[(c + d*
     x)^FracPart[m]*((e + f*x)^FracPart[m]/(c*e + d*f*x^2)^FracPart[m])   Int[(c*e + d*f*x^2)^m*(a + b*x^2)^p, x],
     x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m, n, p}, x] && EqQ[m, n] && EqQ[d*e + c*f, 0] &&  !(EqQ[p, 2] && LtQ[m, -1])

649. Int[((d_.) + (e_.)*(x_))^(m_)*((f_.) + (g_.)*(x_))^(n_)*((a_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_.), x_Symbol] :> Simp[2/e^(n
     + 2*p + 1)   Subst[Int[x^(2*m + 1)*(e*f - d*g + g*x^2)^n*(c*d^2 + a*e^2 - 2*c*d*x^2 + c*x^4)^p, x], x, Sqrt[d
     + e*x]], x] /; FreeQ[{a, c, d, e, f, g}, x] && IGtQ[p, 0] && ILtQ[n, 0] && IntegerQ[m + 1/2]

650. Int[((d_.) + (e_.)*(x_))^(m_)*((f_.) + (g_.)*(x_))^(n_)*((a_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_.), x_Symbol] :> With[{Qx = P
     olynomialQuotient[(a + c*x^2)^p, d + e*x, x], R = PolynomialRemainder[(a + c*x^2)^p, d + e*x, x]}, Simp[R*(d +
     e*x)^(m + 1)*((f + g*x)^(n + 1)/((m + 1)*(e*f - d*g))), x] + Simp[1/((m + 1)*(e*f - d*g))   Int[(d + e*x)^(m
     + 1)*(f + g*x)^n*ExpandToSum[(m + 1)*(e*f - d*g)*Qx - g*R*(m + n + 2), x], x], x]] /; FreeQ[{a, c, d, e, f, g,
     n}, x] && IGtQ[p, 0] && ILtQ[2*m, -2] &&  !IntegerQ[n]

651. Int[((d_.) + (e_.)*(x_))^(m_)*((f_.) + (g_.)*(x_))^(n_)*((a_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_.), x_Symbol] :> Simp[c^p*(d
     + e*x)^(m + 2*p)*((f + g*x)^(n + 1)/(g*e^(2*p)*(m + n + 2*p + 1))), x] + Simp[1/(g*e^(2*p)*(m + n + 2*p + 1))
     Int[(d + e*x)^m*(f + g*x)^n*ExpandToSum[g*(m + n + 2*p + 1)*(e^(2*p)*(a + c*x^2)^p - c^p*(d + e*x)^(2*p)) -
     c^p*(e*f - d*g)*(m + 2*p)*(d + e*x)^(2*p - 1), x], x], x] /; FreeQ[{a, c, d, e, f, g}, x] && IGtQ[p, 0] &&  !I
     ntegerQ[m] &&  !IntegerQ[n] && NeQ[m + n + 2*p + 1, 0]

652. Int[((d_.) + (e_.)*(x_))^(m_.)*((f_.) + (g_.)*(x_))^(n_.)*((a_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_.), x_Symbol] :> Int[Expand
     Integrand[(d + e*x)^m*(f + g*x)^n*(a + c*x^2)^p, x], x] /; FreeQ[{a, c, d, e, f, g, m, n}, x] && IGtQ[p, 0]

653. Int[(((d_.) + (e_.)*(x_))^(m_)*((f_.) + (g_.)*(x_)))/((a_) + (c_.)*(x_)^2), x_Symbol] :> Simp[g*((d + e*x)^m/(
     c*m)), x] + Simp[1/c   Int[(d + e*x)^(m - 1)*(Simp[c*d*f - a*e*g + (g*c*d + c*e*f)*x, x]/(a + c*x^2)), x], x]
     /; FreeQ[{a, c, d, e, f, g}, x] && FractionQ[m] && GtQ[m, 0]

654. Int[((f_.) + (g_.)*(x_))/(Sqrt[(d_.) + (e_.)*(x_)]*((a_) + (c_.)*(x_)^2)), x_Symbol] :> Simp[2   Subst[Int[(e*
     f - d*g + g*x^2)/(c*d^2 + a*e^2 - 2*c*d*x^2 + c*x^4), x], x, Sqrt[d + e*x]], x] /; FreeQ[{a, c, d, e, f, g}, x
     ]

655. Int[(((d_.) + (e_.)*(x_))^(m_)*((f_.) + (g_.)*(x_)))/((a_) + (c_.)*(x_)^2), x_Symbol] :> Simp[(e*f - d*g)*((d
     + e*x)^(m + 1)/((m + 1)*(c*d^2 + a*e^2))), x] + Simp[1/(c*d^2 + a*e^2)   Int[(d + e*x)^(m + 1)*(Simp[c*d*f + a
     *e*g - c*(e*f - d*g)*x, x]/(a + c*x^2)), x], x] /; FreeQ[{a, c, d, e, f, g}, x] && FractionQ[m] && LtQ[m, -1]

656. Int[(((d_.) + (e_.)*(x_))^(m_)*((f_.) + (g_.)*(x_))^(n_))/((a_) + (c_.)*(x_)^2), x_Symbol] :> With[{q = Denomi
     nator[m]}, Simp[q/e   Subst[Int[ExpandIntegrand[x^(q*(m + 1) - 1)*(((e*f - d*g)/e + g*(x^q/e))^n/((c*d^2 + a*e
     ^2)/e^2 - 2*c*d*(x^q/e^2) + c*(x^(2*q)/e^2))), x], x], x, (d + e*x)^(1/q)], x]] /; FreeQ[{a, c, d, e, f, g}, x
     ] && IntegerQ[n] && FractionQ[m]

657. Int[(((d_.) + (e_.)*(x_))^(m_.)*((f_.) + (g_.)*(x_))^(n_.))/((a_) + (c_.)*(x_)^2), x_Symbol] :> Int[ExpandInte
     grand[(d + e*x)^m*((f + g*x)^n/(a + c*x^2)), x], x] /; FreeQ[{a, c, d, e, f, g, m}, x] && IntegersQ[n]

658. Int[(((d_.) + (e_.)*(x_))^(m_)*((f_.) + (g_.)*(x_))^(n_))/((a_) + (c_.)*(x_)^2), x_Symbol] :> Simp[g/c   Int[S
     imp[2*e*f + d*g + e*g*x, x]*(d + e*x)^(m - 1)*(f + g*x)^(n - 2), x], x] + Simp[1/c   Int[Simp[c*d*f^2 - 2*a*e*
     f*g - a*d*g^2 + (c*e*f^2 + 2*c*d*f*g - a*e*g^2)*x, x]*(d + e*x)^(m - 1)*((f + g*x)^(n - 2)/(a + c*x^2)), x], x
     ] /; FreeQ[{a, c, d, e, f, g}, x] &&  !IntegerQ[m] &&  !IntegerQ[n] && GtQ[m, 0] && GtQ[n, 1]

659. Int[(((d_.) + (e_.)*(x_))^(m_)*((f_.) + (g_.)*(x_))^(n_))/((a_) + (c_.)*(x_)^2), x_Symbol] :> Simp[e*(g/c)   I
     nt[(d + e*x)^(m - 1)*(f + g*x)^(n - 1), x], x] + Simp[1/c   Int[Simp[c*d*f - a*e*g + (c*e*f + c*d*g)*x, x]*(d
     + e*x)^(m - 1)*((f + g*x)^(n - 1)/(a + c*x^2)), x], x] /; FreeQ[{a, c, d, e, f, g}, x] &&  !IntegerQ[m] &&  !I
     ntegerQ[n] && GtQ[m, 0] && GtQ[n, 0]

660. Int[(((d_.) + (e_.)*(x_))^(m_)*((f_.) + (g_.)*(x_))^(n_))/((a_) + (c_.)*(x_)^2), x_Symbol] :> Simp[(-g)*((e*f
     - d*g)/(c*f^2 + a*g^2))   Int[(d + e*x)^(m - 1)*(f + g*x)^n, x], x] + Simp[1/(c*f^2 + a*g^2)   Int[Simp[c*d*f
     + a*e*g + c*(e*f - d*g)*x, x]*(d + e*x)^(m - 1)*((f + g*x)^(n + 1)/(a + c*x^2)), x], x] /; FreeQ[{a, c, d, e,
     f, g}, x] &&  !IntegerQ[m] &&  !IntegerQ[n] && GtQ[m, 0] && LtQ[n, -1]

661. Int[((d_.) + (e_.)*(x_))^(m_)/(Sqrt[(f_.) + (g_.)*(x_)]*((a_.) + (c_.)*(x_)^2)), x_Symbol] :> Int[ExpandIntegr
     and[1/(Sqrt[d + e*x]*Sqrt[f + g*x]), (d + e*x)^(m + 1/2)/(a + c*x^2), x], x] /; FreeQ[{a, c, d, e, f, g}, x] &
     & IGtQ[m + 1/2, 0]

662. Int[(((d_.) + (e_.)*(x_))^(m_)*((f_.) + (g_.)*(x_))^(n_))/((a_) + (c_.)*(x_)^2), x_Symbol] :> Int[ExpandIntegr
     and[(d + e*x)^m*(f + g*x)^n, 1/(a + c*x^2), x], x] /; FreeQ[{a, c, d, e, f, g, m, n}, x] &&  !IntegerQ[m] &&
     !IntegerQ[n]

663. Int[((d_.) + (e_.)*(x_))^(m_.)*((f_.) + (g_.)*(x_))^(n_.)*((a_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_.), x_Symbol] :> With[{q =
     Rt[(-a)*c, 2]}, Simp[1/c^p   Int[ExpandIntegrand[(d + e*x)^m*(f + g*x)^n*(-q + c*x)^p*(q + c*x)^p, x], x], x]
     /;  !FractionalPowerFactorQ[q]] /; FreeQ[{a, c, d, e, f, g}, x] && ILtQ[p, -1] && IntegersQ[m, n] && NiceSqrtQ
     [(-a)*c]

664. Int[((d_.) + (e_.)*(x_))^(m_.)*((f_.) + (g_.)*(x_))^2*((a_.) + (c_.)*(x_)^2)^(p_.), x_Symbol] :> Simp[g^2*(d +
     e*x)^(m + 1)*((a + c*x^2)^(p + 1)/(c*e*(m + 2*p + 3))), x] /; FreeQ[{a, c, d, e, f, g, m, p}, x] && EqQ[d*g*(
     p + 1) - e*f*(m + 2*p + 3), 0] && EqQ[e*(c*f^2 + a*g^2)*(m + 1) + 2*c*f*(e*f - d*g)*(p + 1), 0] && NeQ[m + 2*p
     + 3, 0]

665. Int[(((d_.) + (e_.)*(x_))^(m_.)*((f_.) + (g_.)*(x_))^(n_.))/((a_) + (c_.)*(x_)^2)^(3/2), x_Symbol] :> Simp[(-2
     ^(m - 1))*d^(m - 2)*(e*f + d*g)^n*((d + e*x)/(c*e^(n - 1)*Sqrt[a + c*x^2])), x] + Simp[1/(c*e^(n - 2))   Int[E
     xpandToSum[(2^(m - 1)*d^(m - 1)*(e*f + d*g)^n - e^n*(d + e*x)^(m - 1)*(f + g*x)^n)/(d - e*x), x]/Sqrt[a + c*x^
     2], x], x] /; FreeQ[{a, c, d, e, f, g}, x] && EqQ[c*d^2 + a*e^2, 0] && IGtQ[m, 0] && IGtQ[n, 0]

666. Int[((x_)^(n_.)*((d_.) + (e_.)*(x_))^(m_.))/((a_) + (c_.)*(x_)^2)^(3/2), x_Symbol] :> Simp[(-2^(m - 1))*d^(m +
     n - 2)*((d + e*x)/(c*e^(n - 1)*Sqrt[a + c*x^2])), x] + Simp[d^2/a   Int[ExpandToSum[((d + e*x)^(m - 1) - (2^(
     m - 1)*d^(m + n - 1))/(e^n*x^n))/(d - e*x), x]/(Sqrt[a + c*x^2]/x^n), x], x] /; FreeQ[{a, c, d, e}, x] && EqQ[
     c*d^2 + a*e^2, 0] && IGtQ[m, 0] && ILtQ[n, 0]

667. Int[(((f_.) + (g_.)*(x_))^(n_.)*((a_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_))/((d_) + (e_.)*(x_)), x_Symbol] :> Int[(a/d + c*(x/
     e))*(f + g*x)^n*(a + c*x^2)^(p - 1), x] /; FreeQ[{a, c, d, e, f, g, n, p}, x] && EqQ[c*d^2 + a*e^2, 0] && GtQ[
     p, 0]

668. Int[((d_) + (e_.)*(x_))^(m_)*((f_.) + (g_.)*(x_))*((a_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Simp[g*(d + e*x)^m*
     ((a + c*x^2)^(p + 1)/(c*(m + 2*p + 2))), x] /; FreeQ[{a, c, d, e, f, g, m, p}, x] && EqQ[c*d^2 + a*e^2, 0] &&
     EqQ[c*e*f*(m + 2*p + 2) + c*d*g*m, 0]

669. Int[((d_.) + (e_.)*(x_))^(m_.)*((f_.) + (g_.)*(x_))*((a_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Simp[(d*g + e*f)*
     (d + e*x)^m*((a + c*x^2)^(p + 1)/(2*c*d*(p + 1))), x] - Simp[e*((m*(d*g + e*f) + 2*e*f*(p + 1))/(2*c*d*(p + 1)
     ))   Int[(d + e*x)^(m - 1)*(a + c*x^2)^(p + 1), x], x] /; FreeQ[{a, c, d, e, f, g}, x] && EqQ[c*d^2 + a*e^2, 0
     ] && LtQ[p, -1] && GtQ[m, 0]

670. Int[((d_) + (e_.)*(x_))^(m_)*((f_.) + (g_.)*(x_))*((a_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Simp[(d*g + e*f)*(d
     + e*x)^m*((a + c*x^2)^(p + 1)/(2*c*d*(p + 1))), x] - Simp[e*((m*(d*g + e*f) + 2*e*f*(p + 1))/(2*c*d*(p + 1)))
     Int[(d + e*x)^Simplify[m - 1]*(a + c*x^2)^Simplify[p + 1], x], x] /; FreeQ[{a, c, d, e, f, g, m, p}, x] &&
     EqQ[c*d^2 + a*e^2, 0] && SumSimplerQ[p, 1] && SumSimplerQ[m, -1] && NeQ[p, -1] &&  !IGtQ[m, 0]

671. Int[((d_) + (e_.)*(x_))^(m_)*((f_.) + (g_.)*(x_))*((a_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Simp[(d*g - e*f)*(d
     + e*x)^m*((a + c*x^2)^(p + 1)/(2*c*d*(m + p + 1))), x] + Simp[(m*(g*c*d + c*e*f) + 2*e*c*f*(p + 1))/(e*(2*c*d
     )*(m + p + 1))   Int[(d + e*x)^(m + 1)*(a + c*x^2)^p, x], x] /; FreeQ[{a, c, d, e, f, g, m, p}, x] && EqQ[c*d^
     2 + a*e^2, 0] && ((LtQ[m, -1] &&  !IGtQ[m + p + 1, 0]) || (LtQ[m, 0] && LtQ[p, -1]) || EqQ[m + 2*p + 2, 0]) &&
     NeQ[m + p + 1, 0]

672. Int[((d_) + (e_.)*(x_))^(m_)*((f_.) + (g_.)*(x_))*((a_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Simp[g*(d + e*x)^m*
     ((a + c*x^2)^(p + 1)/(c*(m + 2*p + 2))), x] + Simp[(m*(d*g + e*f) + 2*e*f*(p + 1))/(e*(m + 2*p + 2))   Int[(d
     + e*x)^m*(a + c*x^2)^p, x], x] /; FreeQ[{a, c, d, e, f, g, m, p}, x] && EqQ[c*d^2 + a*e^2, 0] && NeQ[m + 2*p +
     2, 0]

673. Int[((d_.) + (e_.)*(x_))*((f_.) + (g_.)*(x_))*((a_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Simp[((e*f + d*g)*(2*p
     + 3) + 2*e*g*(p + 1)*x)*((a + c*x^2)^(p + 1)/(2*c*(p + 1)*(2*p + 3))), x] /; FreeQ[{a, c, d, e, f, g, p}, x] &
     & EqQ[a*e*g - c*d*f*(2*p + 3), 0] && NeQ[p, -1]

674. Int[(x_)*((d_) + (e_.)*(x_))*((a_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Simp[(d + e*x)*((a + c*x^2)^(p + 1)/(2*c
     *(p + 1))), x] - Simp[e/(2*c*(p + 1))   Int[(a + c*x^2)^(p + 1), x], x] /; FreeQ[{a, c, d, e}, x] && LtQ[p, -1
     ] &&  !(IntegerQ[p] && NiceSqrtQ[(-a)*c])

675. Int[((d_) + (e_.)*(x_))*((f_) + (g_.)*(x_))*((a_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Simp[a*(e*f + d*g)*((a +
     c*x^2)^(p + 1)/(2*a*c*(p + 1))), x] + (-Simp[(c*d*f - a*e*g)*x*((a + c*x^2)^(p + 1)/(2*a*c*(p + 1))), x] - Sim
     p[(a*e*g - c*d*f*(2*p + 3))/(2*a*c*(p + 1))   Int[(a + c*x^2)^(p + 1), x], x]) /; FreeQ[{a, c, d, e, f, g}, x]
     && LtQ[p, -1] &&  !(IntegerQ[p] && NiceSqrtQ[(-a)*c])

676. Int[((d_.) + (e_.)*(x_))*((f_.) + (g_.)*(x_))*((a_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Simp[(e*f + d*g)*((a +
     c*x^2)^(p + 1)/(2*c*(p + 1))), x] + (Simp[e*g*x*((a + c*x^2)^(p + 1)/(c*(2*p + 3))), x] - Simp[(a*e*g - c*d*f*
     (2*p + 3))/(c*(2*p + 3))   Int[(a + c*x^2)^p, x], x]) /; FreeQ[{a, c, d, e, f, g, p}, x] &&  !LeQ[p, -1]

677. Int[((d_.) + (e_.)*(x_))^(m_)*((f_.) + (g_.)*(x_))*((a_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_.), x_Symbol] :> Simp[(-(e*f - d*g
     ))*(d + e*x)^(m + 1)*((a + c*x^2)^(p + 1)/(2*(p + 1)*(c*d^2 + a*e^2))), x] /; FreeQ[{a, c, d, e, f, g, m, p},
     x] && EqQ[Simplify[m + 2*p + 3], 0] && EqQ[c*d*f + a*e*g, 0]

678. Int[((d_.) + (e_.)*(x_))^(m_)*((f_.) + (g_.)*(x_))*((a_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Simp[(d + e*x)^m*(
     a + c*x^2)^(p + 1)*((a*g - c*f*x)/(2*a*c*(p + 1))), x] - Simp[m*((c*d*f + a*e*g)/(2*a*c*(p + 1)))   Int[(d + e
     *x)^(m - 1)*(a + c*x^2)^(p + 1), x], x] /; FreeQ[{a, c, d, e, f, g}, x] && EqQ[Simplify[m + 2*p + 3], 0] && Lt
     Q[p, -1]

679. Int[((d_.) + (e_.)*(x_))^(m_)*((f_.) + (g_.)*(x_))*((a_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_.), x_Symbol] :> Simp[(-(e*f - d*g
     ))*(d + e*x)^(m + 1)*((a + c*x^2)^(p + 1)/(2*(p + 1)*(c*d^2 + a*e^2))), x] + Simp[(c*d*f + a*e*g)/(c*d^2 + a*e
     ^2)   Int[(d + e*x)^(m + 1)*(a + c*x^2)^p, x], x] /; FreeQ[{a, c, d, e, f, g, m, p}, x] && EqQ[Simplify[m + 2*
     p + 3], 0]

680. Int[((d_.) + (e_.)*(x_))^(m_)*((f_.) + (g_.)*(x_))*((a_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_.), x_Symbol] :> Simp[(-(d + e*x)^
     (m + 1))*((a + c*x^2)^p/(e^2*(m + 1)*(m + 2)*(c*d^2 + a*e^2)))*((d*g - e*f*(m + 2))*(c*d^2 + a*e^2) - 2*c*d^2*
     p*(e*f - d*g) - e*(g*(m + 1)*(c*d^2 + a*e^2) + 2*c*d*p*(e*f - d*g))*x), x] - Simp[p/(e^2*(m + 1)*(m + 2)*(c*d^
     2 + a*e^2))   Int[(d + e*x)^(m + 2)*(a + c*x^2)^(p - 1)*Simp[2*a*c*e*(e*f - d*g)*(m + 2) - c*(2*c*d*(d*g*(2*p
     + 1) - e*f*(m + 2*p + 2)) - 2*a*e^2*g*(m + 1))*x, x], x], x] /; FreeQ[{a, c, d, e, f, g}, x] && GtQ[p, 0] && L
     tQ[m, -2] && LtQ[m + 2*p, 0] &&  !ILtQ[m + 2*p + 3, 0]

681. Int[((d_.) + (e_.)*(x_))^(m_)*((f_.) + (g_.)*(x_))*((a_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_.), x_Symbol] :> Simp[(d + e*x)^(m
     + 1)*(e*f*(m + 2*p + 2) - d*g*(2*p + 1) + e*g*(m + 1)*x)*((a + c*x^2)^p/(e^2*(m + 1)*(m + 2*p + 2))), x] + Si
     mp[p/(e^2*(m + 1)*(m + 2*p + 2))   Int[(d + e*x)^(m + 1)*(a + c*x^2)^(p - 1)*Simp[g*(2*a*e + 2*a*e*m) + (g*(2*
     c*d + 4*c*d*p) - 2*c*e*f*(m + 2*p + 2))*x, x], x], x] /; FreeQ[{a, c, d, e, f, g, m}, x] && GtQ[p, 0] && (LtQ[
     m, -1] || EqQ[p, 1] || (IntegerQ[p] &&  !RationalQ[m])) && NeQ[m, -1] &&  !ILtQ[m + 2*p + 1, 0] && (IntegerQ[m
     ] || IntegerQ[p] || IntegersQ[2*m, 2*p])

682. Int[((d_.) + (e_.)*(x_))^(m_)*((f_.) + (g_.)*(x_))*((a_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_.), x_Symbol] :> Simp[(d + e*x)^(m
     + 1)*(c*e*f*(m + 2*p + 2) - g*c*d*(2*p + 1) + g*c*e*(m + 2*p + 1)*x)*((a + c*x^2)^p/(c*e^2*(m + 2*p + 1)*(m +
     2*p + 2))), x] + Simp[2*(p/(c*e^2*(m + 2*p + 1)*(m + 2*p + 2)))   Int[(d + e*x)^m*(a + c*x^2)^(p - 1)*Simp[f*
     a*c*e^2*(m + 2*p + 2) + a*c*d*e*g*m - (c^2*f*d*e*(m + 2*p + 2) - g*(c^2*d^2*(2*p + 1) + a*c*e^2*(m + 2*p + 1))
     )*x, x], x], x] /; FreeQ[{a, c, d, e, f, g, m}, x] && GtQ[p, 0] && (IntegerQ[p] ||  !RationalQ[m] || (GeQ[m, -
     1] && LtQ[m, 0])) &&  !ILtQ[m + 2*p, 0] && (IntegerQ[m] || IntegerQ[p] || IntegersQ[2*m, 2*p])

683. Int[((d_) + (e_.)*(x_))^(m_)*((f_) + (g_.)*(x_))*((a_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Int[(a + c*x^2)^p*Ex
     pandIntegrand[(d + e*x)^m*(f + g*x), x], x] /; FreeQ[{a, c, d, e, f, g}, x] && ILtQ[p, -1] && IGtQ[m, 0] && Ra
     tionalQ[a, c, d, e, f, g]

684. Int[((d_.) + (e_.)*(x_))^(m_)*((f_.) + (g_.)*(x_))*((a_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_.), x_Symbol] :> Simp[(d + e*x)^(m
     - 1)*(a + c*x^2)^(p + 1)*((a*(e*f + d*g) - (c*d*f - a*e*g)*x)/(2*a*c*(p + 1))), x] - Simp[1/(2*a*c*(p + 1))
     Int[(d + e*x)^(m - 2)*(a + c*x^2)^(p + 1)*Simp[a*e*(e*f*(m - 1) + d*g*m) - c*d^2*f*(2*p + 3) + e*(a*e*g*m - c
     *d*f*(m + 2*p + 2))*x, x], x], x] /; FreeQ[{a, c, d, e, f, g}, x] && LtQ[p, -1] && GtQ[m, 1] && (EqQ[d, 0] ||
     (EqQ[m, 2] && EqQ[p, -3] && RationalQ[a, c, d, e, f, g]) ||  !ILtQ[m + 2*p + 3, 0])

685. Int[((d_.) + (e_.)*(x_))^(m_)*((f_.) + (g_.)*(x_))*((a_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Simp[(d + e*x)^m*(
     a + c*x^2)^(p + 1)*((a*g - c*f*x)/(2*a*c*(p + 1))), x] - Simp[1/(2*a*c*(p + 1))   Int[(d + e*x)^(m - 1)*(a + c
     *x^2)^(p + 1)*Simp[a*e*g*m - c*d*f*(2*p + 3) - c*e*f*(m + 2*p + 3)*x, x], x], x] /; FreeQ[{a, c, d, e, f, g},
     x] && LtQ[p, -1] && GtQ[m, 0] && (IntegerQ[m] || IntegerQ[p] || IntegersQ[2*m, 2*p])

686. Int[((d_.) + (e_.)*(x_))^(m_)*((f_.) + (g_.)*(x_))*((a_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Simp[(-(d + e*x)^(
     m + 1))*(f*a*c*e - a*g*c*d + c*(c*d*f + a*e*g)*x)*((a + c*x^2)^(p + 1)/(2*a*c*(p + 1)*(c*d^2 + a*e^2))), x] +
     Simp[1/(2*a*c*(p + 1)*(c*d^2 + a*e^2))   Int[(d + e*x)^m*(a + c*x^2)^(p + 1)*Simp[f*(c^2*d^2*(2*p + 3) + a*c*e
     ^2*(m + 2*p + 3)) - a*c*d*e*g*m + c*e*(c*d*f + a*e*g)*(m + 2*p + 4)*x, x], x], x] /; FreeQ[{a, c, d, e, f, g},
     x] && LtQ[p, -1] && (IntegerQ[m] || IntegerQ[p] || IntegersQ[2*m, 2*p])

687. Int[((d_.) + (e_.)*(x_))^(m_)*((f_.) + (g_.)*(x_))*((a_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_.), x_Symbol] :> Simp[g*(d + e*x)^
     m*((a + c*x^2)^(p + 1)/(c*(m + 2*p + 2))), x] + Simp[1/(c*(m + 2*p + 2))   Int[(d + e*x)^(m - 1)*(a + c*x^2)^p
     *Simp[c*d*f*(m + 2*p + 2) - a*e*g*m + c*(e*f*(m + 2*p + 2) + d*g*m)*x, x], x], x] /; FreeQ[{a, c, d, e, f, g,
     p}, x] && GtQ[m, 0] && NeQ[m + 2*p + 2, 0] && (IntegerQ[m] || IntegerQ[p] || IntegersQ[2*m, 2*p]) &&  !(IGtQ[m
     , 0] && EqQ[f, 0])

688. Int[((d_.) + (e_.)*(x_))^(m_)*((f_.) + (g_.)*(x_))*((a_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_.), x_Symbol] :> Simp[(e*f - d*g)*
     (d + e*x)^(m + 1)*((a + c*x^2)^(p + 1)/((m + 1)*(c*d^2 + a*e^2))), x] + Simp[1/((m + 1)*(c*d^2 + a*e^2))   Int
     [(d + e*x)^(m + 1)*(a + c*x^2)^p*Simp[(c*d*f + a*e*g)*(m + 1) - c*(e*f - d*g)*(m + 2*p + 3)*x, x], x], x] /; F
     reeQ[{a, c, d, e, f, g, p}, x] && LtQ[m, -1] && (IntegerQ[m] || IntegerQ[p] || IntegersQ[2*m, 2*p])

689. Int[((d_.) + (e_.)*(x_))^(m_)*((f_.) + (g_.)*(x_))*((a_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_.), x_Symbol] :> Simp[(e*f - d*g)*
     (d + e*x)^(m + 1)*((a + c*x^2)^(p + 1)/((m + 1)*(c*d^2 + a*e^2))), x] + Simp[1/((m + 1)*(c*d^2 + a*e^2))   Int
     [(d + e*x)^(m + 1)*(a + c*x^2)^p*Simp[(c*d*f + a*e*g)*(m + 1) - c*(e*f - d*g)*(m + 2*p + 3)*x, x], x], x] /; F
     reeQ[{a, c, d, e, f, g, m, p}, x] && ILtQ[Simplify[m + 2*p + 3], 0] && NeQ[m, -1]

690. Int[((f_) + (g_.)*(x_))/(Sqrt[(e_)*(x_)]*Sqrt[(a_) + (c_.)*(x_)^2]), x_Symbol] :> Simp[Sqrt[x]/Sqrt[e*x]   Int
     [(f + g*x)/(Sqrt[x]*Sqrt[a + c*x^2]), x], x] /; FreeQ[{a, c, e, f, g}, x]

691. Int[((d_.) + (e_.)*(x_))^(m_.)*((f_.) + (g_.)*(x_))^(n_)*((a_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> With[{Q = Po
     lynomialQuotient[(f + g*x)^n, a*e + c*d*x, x], R = PolynomialRemainder[(f + g*x)^n, a*e + c*d*x, x]}, Simp[(-d
     )*R*(d + e*x)^m*((a + c*x^2)^(p + 1)/(2*a*e*(p + 1))), x] + Simp[d/(2*a*(p + 1))   Int[(d + e*x)^(m - 1)*(a +
     c*x^2)^(p + 1)*ExpandToSum[2*a*e*(p + 1)*Q + R*(m + 2*p + 2), x], x], x]] /; FreeQ[{a, c, d, e, f, g}, x] && I
     GtQ[n, 1] && IGtQ[m, 0] && LtQ[p, -1] && EqQ[c*d^2 + a*e^2, 0]

692. Int[(((f_.) + (g_.)*(x_))^(n_.)*((a_.) + (c_.)*(x_)^2)^(p_))/((d_) + (e_.)*(x_)), x_Symbol] :> Simp[d*(f + g*x
     )^n*((a + c*x^2)^(p + 1)/(2*a*e*p*(d + e*x))), x] - Simp[n*((e*f + d*g)/(2*d*e*p))   Int[(f + g*x)^(n - 1)*(a
     + c*x^2)^p, x], x] /; FreeQ[{a, c, d, e, f, g}, x] && EqQ[c*d^2 + a*e^2, 0] && IGtQ[n, 1] && LtQ[p, -1] && EqQ
     [n + 2*p + 1, 0]

693. Int[(((f_.) + (g_.)*(x_))^(n_)*((a_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_))/((d_) + (e_.)*(x_)), x_Symbol] :> Simp[(-(e*f - d*g
     ))*(f + g*x)^(n - 1)*((a + c*x^2)^(p + 1)/(2*c*d*p*(d + e*x))), x] + Simp[1/(2*d*e^2*p)   Int[(f + g*x)^(n - 2
     )*(a + c*x^2)^p*Simp[(e*f - d*g)*(e*f + d*g - d*g*n) + 2*e^2*f^2*p + e*g*((e*f - d*g)*n + 2*e*f*p)*x, x], x],
     x] /; FreeQ[{a, c, d, e, f, g}, x] && IGtQ[n, 1] && LtQ[p, -1] && EqQ[c*d^2 + a*e^2, 0]

694. Int[((d_) + (e_.)*(x_))^(m_)*((f_.) + (g_.)*(x_))^(n_)*((a_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Simp[(-(e*f -
     d*g)^n)*(d + e*x)^m*((a + c*x^2)^(p + 1)/(2*c*d*e^(n - 1)*(m + p + 1))), x] + Simp[1/(2*d*e^n*(m + p + 1))   I
     nt[(d + e*x)^(m + 1)*(a + c*x^2)^p*ExpandToSum[(2*d*e^n*(m + p + 1)*(f + g*x)^n - (e*f - d*g)^n*(d*m - e*(m +
     2*p + 2)*x))/(d + e*x), x], x], x] /; FreeQ[{a, c, d, e, f, g}, x] && IGtQ[n, 1] && ILtQ[m, -1] && LtQ[p, -1]
     && EqQ[c*d^2 + a*e^2, 0]

695. Int[(((f_.) + (g_.)*(x_))^(n_)*((a_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_))/((d_) + (e_.)*(x_)), x_Symbol] :> Simp[d*(f + g*x)^
     (n + 1)*((a + c*x^2)^(p + 1)/(2*a*p*(e*f - d*g)*(d + e*x))), x] + Simp[1/(p*(2*c*d)*(e*f - d*g))   Int[(f + g*
     x)^n*(a + c*x^2)^p*(c*e*f*(2*p + 1) - c*d*g*(n + 2*p + 1) + c*e*g*(n + 2*p + 2)*x), x], x] /; FreeQ[{a, c, d,
     e, f, g}, x] && EqQ[c*d^2 + a*e^2, 0] && ILtQ[n, 0] && ILtQ[n + 2*p, 0] &&  !IGtQ[n, 0]

696. Int[((d_) + (e_.)*(x_))^(m_)*((f_.) + (g_.)*(x_))^(n_)*((a_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Simp[(-e)*(d +
     e*x)^(m - 1)*(f + g*x)^n*((a + c*x^2)^(p + 1)/(c*(m - n - 1))), x] /; FreeQ[{a, c, d, e, f, g, m, n, p}, x] &
     & EqQ[c*d^2 + a*e^2, 0] && EqQ[m + p, 0] && EqQ[e*f + d*g, 0] && NeQ[m - n - 1, 0]

697. Int[((d_) + (e_.)*(x_))^(m_)*((f_.) + (g_.)*(x_))^(n_)*((a_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Simp[(-e^2)*(d
     + e*x)^(m - 1)*(f + g*x)^(n + 1)*((a + c*x^2)^(p + 1)/(c*(n + 1)*(e*f + d*g))), x] /; FreeQ[{a, c, d, e, f, g
     , m, n, p}, x] && EqQ[c*d^2 + a*e^2, 0] && EqQ[m + p, 0] && EqQ[m - n - 2, 0]

698. Int[((d_) + (e_.)*(x_))^(m_)*((f_.) + (g_.)*(x_))^(n_)*((a_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Simp[(d + e*x)
     ^m*(f + g*x)^(n + 1)*((a + c*x^2)^p/(g*(n + 1))), x] + Simp[c*(m/(e*g*(n + 1)))   Int[(d + e*x)^(m + 1)*(f + g
     *x)^(n + 1)*(a + c*x^2)^(p - 1), x], x] /; FreeQ[{a, c, d, e, f, g}, x] && EqQ[c*d^2 + a*e^2, 0] && EqQ[m + p,
     0] && GtQ[p, 0] && LtQ[n, -1] &&  !(IntegerQ[n + p] && LeQ[n + p + 2, 0])

699. Int[((d_) + (e_.)*(x_))^(m_)*((f_.) + (g_.)*(x_))^(n_)*((a_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Simp[(-(d + e*
     x)^m)*(f + g*x)^(n + 1)*((a + c*x^2)^p/(g*(m - n - 1))), x] - Simp[c*m*((e*f + d*g)/(e^2*g*(m - n - 1)))   Int
     [(d + e*x)^(m + 1)*(f + g*x)^n*(a + c*x^2)^(p - 1), x], x] /; FreeQ[{a, c, d, e, f, g, n}, x] && EqQ[c*d^2 + a
     *e^2, 0] && EqQ[m + p, 0] && GtQ[p, 0] && NeQ[m - n - 1, 0] &&  !IGtQ[n, 0] &&  !(IntegerQ[n + p] && LtQ[n + p
     + 2, 0]) && RationalQ[n]

700. Int[((d_) + (e_.)*(x_))^(m_)*((f_.) + (g_.)*(x_))^(n_)*((a_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Simp[e*(d + e*
     x)^(m - 1)*(f + g*x)^n*((a + c*x^2)^(p + 1)/(c*(p + 1))), x] - Simp[e*g*(n/(c*(p + 1)))   Int[(d + e*x)^(m - 1
     )*(f + g*x)^(n - 1)*(a + c*x^2)^(p + 1), x], x] /; FreeQ[{a, c, d, e, f, g}, x] && EqQ[c*d^2 + a*e^2, 0] && Eq
     Q[m + p, 0] && LtQ[p, -1] && GtQ[n, 0]

701. Int[((d_) + (e_.)*(x_))^(m_)*((f_.) + (g_.)*(x_))^(n_)*((a_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Simp[e^2*(d +
     e*x)^(m - 1)*(f + g*x)^(n + 1)*((a + c*x^2)^(p + 1)/(c*(p + 1)*(e*f + d*g))), x] + Simp[e^2*g*((m - n - 2)/(c*
     (p + 1)*(e*f + d*g)))   Int[(d + e*x)^(m - 1)*(f + g*x)^n*(a + c*x^2)^(p + 1), x], x] /; FreeQ[{a, c, d, e, f,
     g, n}, x] && EqQ[c*d^2 + a*e^2, 0] && EqQ[m + p, 0] && LtQ[p, -1] && RationalQ[n]

702. Int[((d_) + (e_.)*(x_))^(m_)*((f_.) + (g_.)*(x_))^(n_)*((a_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Simp[(-e)*(d +
     e*x)^(m - 1)*(f + g*x)^n*((a + c*x^2)^(p + 1)/(c*(m - n - 1))), x] - Simp[n*((e*f + d*g)/(e*(m - n - 1)))   I
     nt[(d + e*x)^m*(f + g*x)^(n - 1)*(a + c*x^2)^p, x], x] /; FreeQ[{a, c, d, e, f, g, m, p}, x] && EqQ[c*d^2 + a*
     e^2, 0] && EqQ[m + p, 0] && GtQ[n, 0] && NeQ[m - n - 1, 0] && (IntegerQ[2*p] || IntegerQ[n])

703. Int[((d_) + (e_.)*(x_))^(m_)*((f_.) + (g_.)*(x_))^(n_)*((a_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Simp[(-e^2)*(d
     + e*x)^(m - 1)*(f + g*x)^(n + 1)*((a + c*x^2)^(p + 1)/((n + 1)*(c*e*f + c*d*g))), x] - Simp[e*((m - n - 2)/((
     n + 1)*(e*f + d*g)))   Int[(d + e*x)^m*(f + g*x)^(n + 1)*(a + c*x^2)^p, x], x] /; FreeQ[{a, c, d, e, f, g, m,
     p}, x] && EqQ[c*d^2 + a*e^2, 0] && EqQ[m + p, 0] && LtQ[n, -1] && IntegerQ[2*p]

704. Int[Sqrt[(d_) + (e_.)*(x_)]/(((f_.) + (g_.)*(x_))*Sqrt[(a_) + (c_.)*(x_)^2]), x_Symbol] :> Simp[2*e^2   Subst[
     Int[1/(c*(e*f + d*g) + e^2*g*x^2), x], x, Sqrt[a + c*x^2]/Sqrt[d + e*x]], x] /; FreeQ[{a, c, d, e, f, g}, x] &
     & EqQ[c*d^2 + a*e^2, 0]

705. Int[((d_) + (e_.)*(x_))^(m_)*((f_.) + (g_.)*(x_))^(n_)*((a_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Simp[e^2*(d +
     e*x)^(m - 2)*(f + g*x)^(n + 1)*((a + c*x^2)^(p + 1)/(c*g*(n + p + 2))), x] /; FreeQ[{a, c, d, e, f, g, m, n, p
     }, x] && EqQ[c*d^2 + a*e^2, 0] && EqQ[m + p - 1, 0] && EqQ[e*f*(p + 1) - d*g*(2*n + p + 3), 0] && NeQ[n + p +
     2, 0]

706. Int[((d_) + (e_.)*(x_))^(m_)*((f_.) + (g_.)*(x_))^(n_)*((a_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Simp[e^2*(e*f
     - d*g)*(d + e*x)^(m - 2)*(f + g*x)^(n + 1)*((a + c*x^2)^(p + 1)/(c*g*(n + 1)*(e*f + d*g))), x] - Simp[e*((e*f*
     (p + 1) - d*g*(2*n + p + 3))/(g*(n + 1)*(e*f + d*g)))   Int[(d + e*x)^(m - 1)*(f + g*x)^(n + 1)*(a + c*x^2)^p,
     x], x] /; FreeQ[{a, c, d, e, f, g, m, p}, x] && EqQ[c*d^2 + a*e^2, 0] && EqQ[m + p - 1, 0] && LtQ[n, -1] && I
     ntegerQ[2*p]

707. Int[((d_) + (e_.)*(x_))^(m_)*((f_.) + (g_.)*(x_))^(n_)*((a_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Simp[e^2*(d +
     e*x)^(m - 2)*(f + g*x)^(n + 1)*((a + c*x^2)^(p + 1)/(c*g*(n + p + 2))), x] - Simp[(e*f*(p + 1) - d*g*(2*n + p
     + 3))/(g*(n + p + 2))   Int[(d + e*x)^(m - 1)*(f + g*x)^n*(a + c*x^2)^p, x], x] /; FreeQ[{a, c, d, e, f, g, m,
     n, p}, x] && EqQ[c*d^2 + a*e^2, 0] && EqQ[m + p - 1, 0] &&  !LtQ[n, -1] && IntegerQ[2*p]

708. Int[((d_) + (e_.)*(x_))^(m_)*((f_.) + (g_.)*(x_))^(n_)*((a_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Int[ExpandInte
     grand[1/Sqrt[a + c*x^2], (d + e*x)^m*(f + g*x)^n*(a + c*x^2)^(p + 1/2), x], x] /; FreeQ[{a, c, d, e, f, g, n,
     p}, x] && EqQ[c*d^2 + a*e^2, 0] && IntegerQ[p - 1/2] && ILtQ[m, 0] && ILtQ[n, 0] &&  !IGtQ[n, 0]

709. Int[((d_) + (e_.)*(x_))^(m_)*((f_.) + (g_.)*(x_))^(n_)*((a_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Int[ExpandInte
     grand[(d + e*x)^m*(f + g*x)^n*(a + c*x^2)^p, x], x] /; FreeQ[{a, c, d, e, f, g, n, p}, x] && EqQ[c*d^2 + a*e^2
     , 0] && ILtQ[m, 0] && (ILtQ[n, 0] || (IGtQ[n, 0] && ILtQ[p + 1/2, 0])) &&  !IGtQ[n, 0]

710. Int[((d_.) + (e_.)*(x_))^(m_)*((f_.) + (g_.)*(x_))^(n_)*((a_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Int[ExpandInt
     egrand[(a + c*x^2)^p, (d + e*x)^m*(f + g*x)^n, x], x] /; FreeQ[{a, c, d, e, f, g}, x] && EqQ[c*d^2 + a*e^2, 0]
     && EqQ[m + n + 2*p + 1, 0] && ILtQ[m, 0] && ILtQ[n, 0]

711. Int[((d_.) + (e_.)*(x_))^(m_.)*((f_) + (g_.)*(x_))^(n_.)*((a_.) + (c_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Simp[g^n*(d
     + e*x)^(m + n - 1)*((a + c*x^2)^(p + 1)/(c*e^(n - 1)*(m + n + 2*p + 1))), x] + Simp[1/(c*e^n*(m + n + 2*p + 1
     ))   Int[(d + e*x)^m*(a + c*x^2)^p*ExpandToSum[c*e^n*(m + n + 2*p + 1)*(f + g*x)^n - c*g^n*(m + n + 2*p + 1)*(
     d + e*x)^n - 2*e*g^n*(m + p + n)*(d + e*x)^(n - 2)*(a*e - c*d*x), x], x], x] /; FreeQ[{a, c, d, e, f, g, m, p}
     , x] && EqQ[c*d^2 + a*e^2, 0] && IGtQ[n, 0] && NeQ[m + n + 2*p + 1, 0]

712. Int[((d_) + (e_.)*(x_))^(m_.)*((f_.) + (g_.)*(x_))^(n_)*((a_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> With[{Q = Pol
     ynomialQuotient[(f + g*x)^n, a + c*x^2, x], R = Coeff[PolynomialRemainder[(f + g*x)^n, a + c*x^2, x], x, 0], S
     = Coeff[PolynomialRemainder[(f + g*x)^n, a + c*x^2, x], x, 1]}, Simp[(d + e*x)^m*(a + c*x^2)^(p + 1)*((a*S -
     c*R*x)/(2*a*c*(p + 1))), x] + Simp[1/(2*a*c*(p + 1))   Int[(d + e*x)^(m - 1)*(a + c*x^2)^(p + 1)*ExpandToSum[2
     *a*c*(p + 1)*(d + e*x)*Q - a*e*S*m + c*d*R*(2*p + 3) + c*e*R*(m + 2*p + 3)*x, x], x], x]] /; FreeQ[{a, c, d, e
     , f, g}, x] && IGtQ[n, 1] && LtQ[p, -1] && GtQ[m, 0] && NeQ[c*d^2 + a*e^2, 0]

713. Int[((d_) + (e_.)*(x_))^(m_.)*((f_.) + (g_.)*(x_))^(n_)*((a_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> With[{Q = Pol
     ynomialQuotient[(d + e*x)^m*(f + g*x)^n, a + c*x^2, x], R = Coeff[PolynomialRemainder[(d + e*x)^m*(f + g*x)^n,
     a + c*x^2, x], x, 0], S = Coeff[PolynomialRemainder[(d + e*x)^m*(f + g*x)^n, a + c*x^2, x], x, 1]}, Simp[(a*S
     - c*R*x)*((a + c*x^2)^(p + 1)/(2*a*c*(p + 1))), x] + Simp[1/(2*a*c*(p + 1))   Int[(d + e*x)^m*(a + c*x^2)^(p
     + 1)*ExpandToSum[(2*a*c*(p + 1)*Q)/(d + e*x)^m + (c*R*(2*p + 3))/(d + e*x)^m, x], x], x]] /; FreeQ[{a, c, d, e
     , f, g}, x] && IGtQ[n, 1] && LtQ[p, -1] && ILtQ[m, 0] && NeQ[c*d^2 + a*e^2, 0]

714. Int[((d_.) + (e_.)*(x_))^(m_.)*((f_.) + (g_.)*(x_))^(n_)*((a_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> With[{Q = Po
     lynomialQuotient[(f + g*x)^n, a + c*x^2, x], R = Coeff[PolynomialRemainder[(f + g*x)^n, a + c*x^2, x], x, 0],
     S = Coeff[PolynomialRemainder[(f + g*x)^n, a + c*x^2, x], x, 1]}, Simp[(-(d + e*x)^(m + 1))*(a + c*x^2)^(p + 1
     )*((a*(e*R - d*S) + (c*d*R + a*e*S)*x)/(2*a*(p + 1)*(c*d^2 + a*e^2))), x] + Simp[1/(2*a*(p + 1)*(c*d^2 + a*e^2
     ))   Int[(d + e*x)^m*(a + c*x^2)^(p + 1)*ExpandToSum[2*a*(p + 1)*(c*d^2 + a*e^2)*Q + c*d^2*R*(2*p + 3) - a*e*(
     d*S*m - e*R*(m + 2*p + 3)) + e*(c*d*R + a*e*S)*(m + 2*p + 4)*x, x], x], x]] /; FreeQ[{a, c, d, e, f, g, m}, x]
     && IGtQ[n, 1] && LtQ[p, -1] && NeQ[c*d^2 + a*e^2, 0]

715. Int[((d_.) + (e_.)*(x_))^(m_)*((f_.) + (g_.)*(x_))^(n_)*((a_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> With[{Q = Pol
     ynomialQuotient[(f + g*x)^n, d + e*x, x], R = PolynomialRemainder[(f + g*x)^n, d + e*x, x]}, Simp[(e*R*(d + e*
     x)^(m + 1)*(a + c*x^2)^(p + 1))/((m + 1)*(c*d^2 + a*e^2)), x] + Simp[1/((m + 1)*(c*d^2 + a*e^2))   Int[(d + e*
     x)^(m + 1)*(a + c*x^2)^p*ExpandToSum[(m + 1)*(c*d^2 + a*e^2)*Q + c*d*R*(m + 1) - c*e*R*(m + 2*p + 3)*x, x], x]
     , x]] /; FreeQ[{a, c, d, e, f, g, p}, x] && IGtQ[n, 1] && ILtQ[m, -1] && NeQ[c*d^2 + a*e^2, 0] && (NeQ[m + n,
     0] || EqQ[p, -2^(-1)])

716. Int[((d_.) + (e_.)*(x_))^(m_.)*((f_.) + (g_.)*(x_))^(n_)*((a_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Simp[g^n*(d
     + e*x)^(m + n - 1)*((a + c*x^2)^(p + 1)/(c*e^(n - 1)*(m + n + 2*p + 1))), x] + Simp[1/(c*e^n*(m + n + 2*p + 1)
     )   Int[(d + e*x)^m*(a + c*x^2)^p*ExpandToSum[c*e^n*(m + n + 2*p + 1)*(f + g*x)^n - c*g^n*(m + n + 2*p + 1)*(d
     + e*x)^n - g^n*(d + e*x)^(n - 2)*(a*e^2*(m + n - 1) - c*d^2*(m + n + 2*p + 1) - 2*c*d*e*(m + n + p)*x), x], x
     ], x] /; FreeQ[{a, c, d, e, f, g, m, p}, x] && IGtQ[n, 1] && IntegerQ[m] && NeQ[m + n + 2*p + 1, 0]

717. Int[((d_) + (e_.)*(x_))^(m_.)*((f_.) + (g_.)*(x_))^(n_.)*((a_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Int[(d + e*x
     )^(m + p)*(f + g*x)^n*(a/d + (c/e)*x)^p, x] /; FreeQ[{a, c, d, e, f, g, m, n}, x] && EqQ[c*d^2 + a*e^2, 0] &&
     GtQ[a, 0] && GtQ[d, 0]

718. Int[((d_) + (e_.)*(x_))^(m_.)*((f_.) + (g_.)*(x_))^(n_.)*((a_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Simp[(a + c*
     x^2)^FracPart[p]/((d + e*x)^FracPart[p]*(a/d + (c*x)/e)^FracPart[p])   Int[(d + e*x)^(m + p)*(f + g*x)^n*(a/d
     + (c/e)*x)^p, x], x] /; FreeQ[{a, c, d, e, f, g, m, n}, x] && EqQ[c*d^2 + a*e^2, 0]

719. Int[((d_.) + (e_.)*(x_))^(m_)*((f_.) + (g_.)*(x_))*((a_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_.), x_Symbol] :> Simp[g/e   Int[(d
     + e*x)^(m + 1)*(a + c*x^2)^p, x], x] + Simp[(e*f - d*g)/e   Int[(d + e*x)^m*(a + c*x^2)^p, x], x] /; FreeQ[{a
     , c, d, e, f, g, m, p}, x] &&  !IGtQ[m, 0]

720. Int[((a_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_)/(((d_.) + (e_.)*(x_))*((f_.) + (g_.)*(x_))), x_Symbol] :> Simp[(c*d^2 + a*e^2)/
     (e*(e*f - d*g))   Int[(a + c*x^2)^(p - 1)/(d + e*x), x], x] - Simp[1/(e*(e*f - d*g))   Int[Simp[c*d*f + a*e*g
     - c*(e*f - d*g)*x, x]*((a + c*x^2)^(p - 1)/(f + g*x)), x], x] /; FreeQ[{a, c, d, e, f, g}, x] && FractionQ[p]
     && GtQ[p, 0]

721. Int[((d_.) + (e_.)*(x_))^(m_.)*Sqrt[(f_.) + (g_.)*(x_)]*Sqrt[(a_) + (c_.)*(x_)^2], x_Symbol] :> Simp[(d + e*x)
     ^(m + 1)*Sqrt[f + g*x]*(Sqrt[a + c*x^2]/(e*(m + 1))), x] - Simp[1/(2*e*(m + 1))   Int[((d + e*x)^(m + 1)/(Sqrt
     [f + g*x]*Sqrt[a + c*x^2]))*Simp[a*g + 2*c*f*x + 3*c*g*x^2, x], x], x] /; FreeQ[{a, c, d, e, f, g}, x] && Inte
     gerQ[2*m] && LtQ[m, -1]

722. Int[((d_.) + (e_.)*(x_))^(m_.)*Sqrt[(f_.) + (g_.)*(x_)]*Sqrt[(a_) + (c_.)*(x_)^2], x_Symbol] :> Simp[2*(d + e*
     x)^(m + 1)*Sqrt[f + g*x]*(Sqrt[a + c*x^2]/(e*(2*m + 5))), x] + Simp[1/(e*(2*m + 5))   Int[((d + e*x)^m/(Sqrt[f
     + g*x]*Sqrt[a + c*x^2]))*Simp[3*a*e*f - a*d*g - 2*(c*d*f - a*e*g)*x + (c*e*f - 3*c*d*g)*x^2, x], x], x] /; Fr
     eeQ[{a, c, d, e, f, g, m}, x] && IntegerQ[2*m] &&  !LtQ[m, -1]

723. Int[(((d_.) + (e_.)*(x_))^(m_.)*Sqrt[(a_) + (c_.)*(x_)^2])/Sqrt[(f_.) + (g_.)*(x_)], x_Symbol] :> Simp[2*(d +
     e*x)^m*Sqrt[f + g*x]*(Sqrt[a + c*x^2]/(g*(2*m + 3))), x] - Simp[1/(g*(2*m + 3))   Int[((d + e*x)^(m - 1)/(Sqrt
     [f + g*x]*Sqrt[a + c*x^2]))*Simp[2*a*(e*f*m - d*g*(m + 1)) + (2*c*d*f - 2*a*e*g)*x - (2*c*(d*g*m - e*f*(m + 1)
     ))*x^2, x], x], x] /; FreeQ[{a, c, d, e, f, g}, x] && IntegerQ[2*m] && GtQ[m, 0]

724. Int[Sqrt[(a_) + (c_.)*(x_)^2]/(((d_.) + (e_.)*(x_))*Sqrt[(f_.) + (g_.)*(x_)]), x_Symbol] :> Simp[(c*d^2 + a*e^
     2)/e^2   Int[1/((d + e*x)*Sqrt[f + g*x]*Sqrt[a + c*x^2]), x], x] - Simp[1/e^2   Int[(c*d - c*e*x)/(Sqrt[f + g*
     x]*Sqrt[a + c*x^2]), x], x] /; FreeQ[{a, c, d, e, f, g}, x]

725. Int[(((d_.) + (e_.)*(x_))^(m_.)*Sqrt[(a_) + (c_.)*(x_)^2])/Sqrt[(f_.) + (g_.)*(x_)], x_Symbol] :> Simp[(d + e*
     x)^(m + 1)*Sqrt[f + g*x]*(Sqrt[a + c*x^2]/((m + 1)*(e*f - d*g))), x] - Simp[1/(2*(m + 1)*(e*f - d*g))   Int[((
     d + e*x)^(m + 1)/(Sqrt[f + g*x]*Sqrt[a + c*x^2]))*Simp[a*g*(2*m + 3) + 2*(c*f)*x + c*g*(2*m + 5)*x^2, x], x],
     x] /; FreeQ[{a, c, d, e, f, g}, x] && IntegerQ[2*m] && LtQ[m, -1]

726. Int[Sqrt[(d_.) + (e_.)*(x_)]/(Sqrt[(f_.) + (g_.)*(x_)]*Sqrt[(a_) + (c_.)*(x_)^2]), x_Symbol] :> With[{q = Rt[-
     4*a*c, 2]}, Simp[Sqrt[2]*Sqrt[2*c*f - g*q]*Sqrt[-q + 2*c*x]*(d + e*x)*Sqrt[(e*f - d*g)*((q + 2*c*x)/((2*c*f -
     g*q)*(d + e*x)))]*(Sqrt[(e*f - d*g)*((2*a + q*x)/((q*f - 2*a*g)*(d + e*x)))]/(g*Sqrt[2*c*d - e*q]*Sqrt[2*a*(c/
     q) + c*x]*Sqrt[a + c*x^2]))*EllipticPi[e*((2*c*f - g*q)/(g*(2*c*d - e*q))), ArcSin[Sqrt[2*c*d - e*q]*(Sqrt[f +
     g*x]/(Sqrt[2*c*f - g*q]*Sqrt[d + e*x]))], (q*d - 2*a*e)*((2*c*f - g*q)/((q*f - 2*a*g)*(2*c*d - e*q)))], x]] /
     ; FreeQ[{a, c, d, e, f, g}, x]

727. Int[((d_.) + (e_.)*(x_))^(3/2)/(Sqrt[(f_.) + (g_.)*(x_)]*Sqrt[(a_) + (c_.)*(x_)^2]), x_Symbol] :> Simp[e/g   I
     nt[Sqrt[d + e*x]*(Sqrt[f + g*x]/Sqrt[a + c*x^2]), x], x] - Simp[(e*f - d*g)/g   Int[Sqrt[d + e*x]/(Sqrt[f + g*
     x]*Sqrt[a + c*x^2]), x], x] /; FreeQ[{a, c, d, e, f, g}, x]

728. Int[((d_.) + (e_.)*(x_))^(m_)/(Sqrt[(f_.) + (g_.)*(x_)]*Sqrt[(a_) + (c_.)*(x_)^2]), x_Symbol] :> Simp[2*e^2*(d
     + e*x)^(m - 2)*Sqrt[f + g*x]*(Sqrt[a + c*x^2]/(c*g*(2*m - 1))), x] - Simp[1/(c*g*(2*m - 1))   Int[((d + e*x)^
     (m - 3)/(Sqrt[f + g*x]*Sqrt[a + c*x^2]))*Simp[a*e^2*(d*g + 2*e*f*(m - 2)) - c*d^3*g*(2*m - 1) + e*(e*(a*e*g*(2
     *m - 3)) + c*d*(2*e*f - 3*d*g*(2*m - 1)))*x + 2*e^2*(c*e*f - 3*c*d*g)*(m - 1)*x^2, x], x], x] /; FreeQ[{a, c,
     d, e, f, g}, x] && IntegerQ[2*m] && GeQ[m, 2]

729. Int[1/(Sqrt[(c_.) + (d_.)*(x_)]*((e_.) + (f_.)*(x_))*Sqrt[(a_) + (b_.)*(x_)^2]), x_Symbol] :> Simp[2   Subst[I
     nt[1/((d*e - c*f + f*x^2)*Sqrt[(b*c^2 + a*d^2)/d^2 - 2*b*c*(x^2/d^2) + b*(x^4/d^2)]), x], x, Sqrt[c + d*x]], x
     ] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && PosQ[b/a]

730. Int[1/(Sqrt[(c_.) + (d_.)*(x_)]*((e_.) + (f_.)*(x_))*Sqrt[(a_) + (b_.)*(x_)^2]), x_Symbol] :> With[{q = Rt[-b/
     a, 2]}, Simp[1/Sqrt[a]   Int[1/((e + f*x)*Sqrt[c + d*x]*Sqrt[1 - q*x]*Sqrt[1 + q*x]), x], x]] /; FreeQ[{a, b,
     c, d, e, f}, x] && NegQ[b/a] && GtQ[a, 0]

731. Int[1/(Sqrt[(c_.) + (d_.)*(x_)]*((e_.) + (f_.)*(x_))*Sqrt[(a_) + (b_.)*(x_)^2]), x_Symbol] :> With[{q = Rt[-b/
     a, 2]}, Simp[Sqrt[1 + b*(x^2/a)]/Sqrt[a + b*x^2]   Int[1/((e + f*x)*Sqrt[c + d*x]*Sqrt[1 - q*x]*Sqrt[1 + q*x])
     , x], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && NegQ[b/a] &&  !GtQ[a, 0]

732. Int[1/(Sqrt[(c_.) + (d_.)*(x_)]*Sqrt[(e_.) + (f_.)*(x_)]*Sqrt[(a_) + (b_.)*(x_)^2]), x_Symbol] :> Simp[-2*(c +
     d*x)*(Sqrt[(d*e - c*f)^2*((a + b*x^2)/((b*e^2 + a*f^2)*(c + d*x)^2))]/((d*e - c*f)*Sqrt[a + b*x^2]))   Subst[
     Int[1/Sqrt[Simp[1 - (2*b*c*e + 2*a*d*f)*(x^2/(b*e^2 + a*f^2)) + (b*c^2 + a*d^2)*(x^4/(b*e^2 + a*f^2)), x]], x]
     , x, Sqrt[e + f*x]/Sqrt[c + d*x]], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x]

733. Int[1/(Sqrt[(c_.) + (d_.)*(x_)]*((e_.) + (f_.)*(x_))^(3/2)*Sqrt[(a_) + (b_.)*(x_)^2]), x_Symbol] :> Simp[d/(d*
     e - c*f)   Int[1/(Sqrt[c + d*x]*Sqrt[e + f*x]*Sqrt[a + b*x^2]), x], x] - Simp[f/(d*e - c*f)   Int[Sqrt[c + d*x
     ]/((e + f*x)^(3/2)*Sqrt[a + b*x^2]), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x]

734. Int[((d_.) + (e_.)*(x_))^(m_)/(Sqrt[(f_.) + (g_.)*(x_)]*Sqrt[(a_) + (c_.)*(x_)^2]), x_Symbol] :> Simp[e^2*(d +
     e*x)^(m + 1)*Sqrt[f + g*x]*(Sqrt[a + c*x^2]/((m + 1)*(e*f - d*g)*(c*d^2 + a*e^2))), x] + Simp[1/(2*(m + 1)*(e
     *f - d*g)*(c*d^2 + a*e^2))   Int[((d + e*x)^(m + 1)/(Sqrt[f + g*x]*Sqrt[a + c*x^2]))*Simp[2*c*d*(e*f - d*g)*(m
     + 1) - a*e^2*g*(2*m + 3) + 2*c*e*(d*g*(m + 1) - e*f*(m + 2))*x - c*e^2*g*(2*m + 5)*x^2, x], x], x] /; FreeQ[{
     a, c, d, e, f, g}, x] && IntegerQ[2*m] && LeQ[m, -2]

735. Int[(((d_.) + (e_.)*(x_))^(m_)*Sqrt[(f_.) + (g_.)*(x_)])/Sqrt[(a_) + (c_.)*(x_)^2], x_Symbol] :> Simp[2*e*(d +
     e*x)^(m - 1)*Sqrt[f + g*x]*(Sqrt[a + c*x^2]/(c*(2*m + 1))), x] - Simp[1/(c*(2*m + 1))   Int[((d + e*x)^(m - 2
     )/(Sqrt[f + g*x]*Sqrt[a + c*x^2]))*Simp[a*e*(d*g + 2*e*f*(m - 1)) - c*d^2*f*(2*m + 1) + (a*e^2*g*(2*m - 1) - c
     *d*(4*e*f*m + d*g*(2*m + 1)))*x - c*e*(e*f + d*g*(4*m - 1))*x^2, x], x], x] /; FreeQ[{a, c, d, e, f, g}, x] &&
     IntegerQ[2*m] && GtQ[m, 1]

736. Int[Sqrt[(f_.) + (g_.)*(x_)]/(((d_.) + (e_.)*(x_))*Sqrt[(a_) + (c_.)*(x_)^2]), x_Symbol] :> Simp[g/e   Int[1/(
     Sqrt[f + g*x]*Sqrt[a + c*x^2]), x], x] + Simp[(e*f - d*g)/e   Int[1/((d + e*x)*Sqrt[f + g*x]*Sqrt[a + c*x^2]),
     x], x] /; FreeQ[{a, c, d, e, f, g}, x]

737. Int[(((d_.) + (e_.)*(x_))^(m_)*Sqrt[(f_.) + (g_.)*(x_)])/Sqrt[(a_) + (c_.)*(x_)^2], x_Symbol] :> Simp[e*(d + e
     *x)^(m + 1)*Sqrt[f + g*x]*(Sqrt[a + c*x^2]/((m + 1)*(c*d^2 + a*e^2))), x] + Simp[1/(2*(m + 1)*(c*d^2 + a*e^2))
     Int[((d + e*x)^(m + 1)/(Sqrt[f + g*x]*Sqrt[a + c*x^2]))*Simp[2*c*d*f*(m + 1) - e*(a*g) + 2*c*(d*g*(m + 1) -
     e*f*(m + 2))*x - c*e*g*(2*m + 5)*x^2, x], x], x] /; FreeQ[{a, c, d, e, f, g}, x] && IntegerQ[2*m] && LeQ[m, -
     2]

738. Int[(((f_.) + (g_.)*(x_))^(n_)*((a_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_))/((d_.) + (e_.)*(x_)), x_Symbol] :> Simp[(c*d^2 + a*
     e^2)/(e*(e*f - d*g))   Int[(f + g*x)^(n + 1)*((a + c*x^2)^(p - 1)/(d + e*x)), x], x] - Simp[1/(e*(e*f - d*g))
     Int[(f + g*x)^n*(c*d*f + a*e*g - c*(e*f - d*g)*x)*(a + c*x^2)^(p - 1), x], x] /; FreeQ[{a, c, d, e, f, g}, x
     ] &&  !IntegerQ[n] &&  !IntegerQ[p] && GtQ[p, 0] && LtQ[n, -1]

739. Int[(((f_.) + (g_.)*(x_))^(n_)*((a_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_))/((d_.) + (e_.)*(x_)), x_Symbol] :> Simp[e*((e*f - d
     *g)/(c*d^2 + a*e^2))   Int[(f + g*x)^(n - 1)*((a + c*x^2)^(p + 1)/(d + e*x)), x], x] + Simp[1/(c*d^2 + a*e^2)
     Int[(f + g*x)^(n - 1)*(c*d*f + a*e*g - c*(e*f - d*g)*x)*(a + c*x^2)^p, x], x] /; FreeQ[{a, c, d, e, f, g}, x
     ] &&  !IntegerQ[n] &&  !IntegerQ[p] && LtQ[p, -1] && GtQ[n, 0]

740. Int[((f_.) + (g_.)*(x_))^(n_)/(((d_.) + (e_.)*(x_))*Sqrt[(a_) + (c_.)*(x_)^2]), x_Symbol] :> Int[ExpandIntegra
     nd[1/(Sqrt[f + g*x]*Sqrt[a + c*x^2]), (f + g*x)^(n + 1/2)/(d + e*x), x], x] /; FreeQ[{a, c, d, e, f, g}, x] &&
     IntegerQ[n + 1/2]

741. Int[((d_.) + (e_.)*(x_))^(m_.)*((f_.) + (g_.)*(x_))^(n_.)*((a_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_.), x_Symbol] :> Int[Expand
     Integrand[(d + e*x)^m*(f + g*x)^n*(a + c*x^2)^p, x], x] /; FreeQ[{a, c, d, e, f, g}, x] && (IntegerQ[p] || (IL
     tQ[m, 0] && ILtQ[n, 0]))

742. Int[((d_) + (e_.)*(x_))^(m_)*((f_.) + (g_.)*(x_))^(n_)*((a_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> With[{Q = Poly
     nomialQuotient[(f + g*x)^n, d + e*x, x], R = PolynomialRemainder[(f + g*x)^n, d + e*x, x]}, Simp[(e*R*(d + e*x
     )^(m + 1)*(a + c*x^2)^(p + 1))/((m + 1)*(c*d^2 + a*e^2)), x] + Simp[1/((m + 1)*(c*d^2 + a*e^2))   Int[(d + e*x
     )^(m + 1)*(a + c*x^2)^p*ExpandToSum[(m + 1)*(c*d^2 + a*e^2)*Q + c*d*R*(m + 1) - c*e*R*(m + 2*p + 3)*x, x], x],
     x]] /; FreeQ[{a, c, d, e, f, g, p}, x] && IGtQ[n, 1] && LtQ[m, -1]

743. Int[((d_.) + (e_.)*(x_))^(m_.)*((f_.) + (g_.)*(x_))^(n_)*((a_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Simp[g^n*(d
     + e*x)^(m + n - 1)*((a + c*x^2)^(p + 1)/(c*e^(n - 1)*(m + n + 2*p + 1))), x] + Simp[1/(c*e^n*(m + n + 2*p + 1)
     )   Int[(d + e*x)^m*(a + c*x^2)^p*ExpandToSum[c*e^n*(m + n + 2*p + 1)*(f + g*x)^n - c*g^n*(m + n + 2*p + 1)*(d
     + e*x)^n - g^n*(d + e*x)^(n - 2)*(a*e^2*(m + n - 1) - c*d^2*(m + n + 2*p + 1) - 2*c*d*e*(m + n + p)*x), x], x
     ], x] /; FreeQ[{a, c, d, e, f, g, m, p}, x] && IGtQ[n, 1] && NeQ[m + n + 2*p + 1, 0]

744. Int[((d_.) + (e_.)*(x_))^(m_.)*((f_.) + (g_.)*(x_))^(n_.)*((a_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Unintegrabl
     e[(d + e*x)^m*(f + g*x)^n*(a + c*x^2)^p, x] /; FreeQ[{a, c, d, e, f, g, m, n, p}, x]

745. Int[((d_.) + (e_.)*(u_))^(m_.)*((f_.) + (g_.)*(u_))^(n_.)*((a_) + (c_.)*(u_)^2)^(p_.), x_Symbol] :> Simp[1/Coe
     fficient[u, x, 1]   Subst[Int[(d + e*x)^m*(f + g*x)^n*(a + c*x^2)^p, x], x, u], x] /; FreeQ[{a, c, d, e, f, g,
     m, n, p}, x] && LinearQ[u, x] && NeQ[u, x]

746. Int[((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_), x_Symbol] :> Simp[x*((a + b*x^n)^(p + 1)/a), x] /; FreeQ[{a, b, n, p}, x] &
     & EqQ[1/n + p + 1, 0]

747. Int[((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_), x_Symbol] :> Int[ExpandIntegrand[(a + b*x^n)^p, x], x] /; FreeQ[{a, b}, x]
     && IGtQ[n, 0] && IGtQ[p, 0]

748. Int[((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_), x_Symbol] :> Simp[x*((a + b*x^n)^p/(n*p + 1)), x] + Simp[a*n*(p/(n*p + 1))
     Int[(a + b*x^n)^(p - 1), x], x] /; FreeQ[{a, b}, x] && IGtQ[n, 0] && GtQ[p, 0] && (IntegerQ[2*p] || LtQ[Deno
     minator[p + 1/n], Denominator[p]])

749. Int[((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_), x_Symbol] :> Simp[(-x)*((a + b*x^n)^(p + 1)/(a*n*(p + 1))), x] + Simp[(n*(p
     + 1) + 1)/(a*n*(p + 1))   Int[(a + b*x^n)^(p + 1), x], x] /; FreeQ[{a, b}, x] && IGtQ[n, 0] && LtQ[p, -1] &&
     (IntegerQ[2*p] || Denominator[p + 1/n] < Denominator[p])

750. Int[((a_) + (b_.)*(x_)^3)^(-1), x_Symbol] :> Simp[1/(3*Rt[a, 3]^2)   Int[1/(Rt[a, 3] + Rt[b, 3]*x), x], x] + S
     imp[1/(3*Rt[a, 3]^2)   Int[(2*Rt[a, 3] - Rt[b, 3]*x)/(Rt[a, 3]^2 - Rt[a, 3]*Rt[b, 3]*x + Rt[b, 3]^2*x^2), x],
     x] /; FreeQ[{a, b}, x]

751. Int[((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(-1), x_Symbol] :> Module[{r = Numerator[Rt[a/b, n]], s = Denominator[Rt[a/b, n]]
     , k, u}, Simp[u = Int[(r - s*Cos[(2*k - 1)*(Pi/n)]*x)/(r^2 - 2*r*s*Cos[(2*k - 1)*(Pi/n)]*x + s^2*x^2), x]; r/(
     a*n)   Int[1/(r + s*x), x] + 2*(r/(a*n))   Sum[u, {k, 1, (n - 1)/2}], x]] /; FreeQ[{a, b}, x] && IGtQ[(n - 3)/
     2, 0] && PosQ[a/b]

752. Int[((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(-1), x_Symbol] :> Module[{r = Numerator[Rt[-a/b, n]], s = Denominator[Rt[-a/b, n
     ]], k, u}, Simp[u = Int[(r + s*Cos[(2*k - 1)*(Pi/n)]*x)/(r^2 + 2*r*s*Cos[(2*k - 1)*(Pi/n)]*x + s^2*x^2), x]; r
     /(a*n)   Int[1/(r - s*x), x] + 2*(r/(a*n))   Sum[u, {k, 1, (n - 1)/2}], x]] /; FreeQ[{a, b}, x] && IGtQ[(n - 3
     )/2, 0] && NegQ[a/b]

753. Int[((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(-1), x_Symbol] :> Module[{r = Numerator[Rt[a/b, n]], s = Denominator[Rt[a/b, n]]
     , k, u, v}, Simp[u = Int[(r - s*Cos[(2*k - 1)*(Pi/n)]*x)/(r^2 - 2*r*s*Cos[(2*k - 1)*(Pi/n)]*x + s^2*x^2), x] +
     Int[(r + s*Cos[(2*k - 1)*(Pi/n)]*x)/(r^2 + 2*r*s*Cos[(2*k - 1)*(Pi/n)]*x + s^2*x^2), x]; 2*(r^2/(a*n))   Int[
     1/(r^2 + s^2*x^2), x] + 2*(r/(a*n))   Sum[u, {k, 1, (n - 2)/4}], x]] /; FreeQ[{a, b}, x] && IGtQ[(n - 2)/4, 0]
     && PosQ[a/b]

754. Int[((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(-1), x_Symbol] :> Module[{r = Numerator[Rt[-a/b, n]], s = Denominator[Rt[-a/b, n
     ]], k, u}, Simp[u = Int[(r - s*Cos[(2*k*Pi)/n]*x)/(r^2 - 2*r*s*Cos[(2*k*Pi)/n]*x + s^2*x^2), x] + Int[(r + s*C
     os[(2*k*Pi)/n]*x)/(r^2 + 2*r*s*Cos[(2*k*Pi)/n]*x + s^2*x^2), x]; 2*(r^2/(a*n))   Int[1/(r^2 - s^2*x^2), x] + 2
     *(r/(a*n))   Sum[u, {k, 1, (n - 2)/4}], x]] /; FreeQ[{a, b}, x] && IGtQ[(n - 2)/4, 0] && NegQ[a/b]

755. Int[((a_) + (b_.)*(x_)^4)^(-1), x_Symbol] :> With[{r = Numerator[Rt[a/b, 2]], s = Denominator[Rt[a/b, 2]]}, Si
     mp[1/(2*r)   Int[(r - s*x^2)/(a + b*x^4), x], x] + Simp[1/(2*r)   Int[(r + s*x^2)/(a + b*x^4), x], x]] /; Free
     Q[{a, b}, x] && (GtQ[a/b, 0] || (PosQ[a/b] && AtomQ[SplitProduct[SumBaseQ, a]] && AtomQ[SplitProduct[SumBaseQ,
     b]]))

756. Int[((a_) + (b_.)*(x_)^4)^(-1), x_Symbol] :> With[{r = Numerator[Rt[-a/b, 2]], s = Denominator[Rt[-a/b, 2]]},
     Simp[r/(2*a)   Int[1/(r - s*x^2), x], x] + Simp[r/(2*a)   Int[1/(r + s*x^2), x], x]] /; FreeQ[{a, b}, x] &&  !
     GtQ[a/b, 0]

757. Int[((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(-1), x_Symbol] :> With[{r = Numerator[Rt[a/b, 4]], s = Denominator[Rt[a/b, 4]]},
     Simp[r/(2*Sqrt[2]*a)   Int[(Sqrt[2]*r - s*x^(n/4))/(r^2 - Sqrt[2]*r*s*x^(n/4) + s^2*x^(n/2)), x], x] + Simp[r
     /(2*Sqrt[2]*a)   Int[(Sqrt[2]*r + s*x^(n/4))/(r^2 + Sqrt[2]*r*s*x^(n/4) + s^2*x^(n/2)), x], x]] /; FreeQ[{a, b
     }, x] && IGtQ[n/4, 1] && GtQ[a/b, 0]

758. Int[((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(-1), x_Symbol] :> With[{r = Numerator[Rt[-a/b, 2]], s = Denominator[Rt[-a/b, 2]]
     }, Simp[r/(2*a)   Int[1/(r - s*x^(n/2)), x], x] + Simp[r/(2*a)   Int[1/(r + s*x^(n/2)), x], x]] /; FreeQ[{a, b
     }, x] && IGtQ[n/4, 1] &&  !GtQ[a/b, 0]

759. Int[1/Sqrt[(a_) + (b_.)*(x_)^3], x_Symbol] :> With[{r = Numer[Rt[b/a, 3]], s = Denom[Rt[b/a, 3]]}, Simp[2*Sqrt
     [2 + Sqrt[3]]*(s + r*x)*(Sqrt[(s^2 - r*s*x + r^2*x^2)/((1 + Sqrt[3])*s + r*x)^2]/(3^(1/4)*r*Sqrt[a + b*x^3]*Sq
     rt[s*((s + r*x)/((1 + Sqrt[3])*s + r*x)^2)]))*EllipticF[ArcSin[((1 - Sqrt[3])*s + r*x)/((1 + Sqrt[3])*s + r*x)
     ], -7 - 4*Sqrt[3]], x]] /; FreeQ[{a, b}, x] && PosQ[a]

760. Int[1/Sqrt[(a_) + (b_.)*(x_)^3], x_Symbol] :> With[{r = Numer[Rt[b/a, 3]], s = Denom[Rt[b/a, 3]]}, Simp[2*Sqrt
     [2 - Sqrt[3]]*(s + r*x)*(Sqrt[(s^2 - r*s*x + r^2*x^2)/((1 - Sqrt[3])*s + r*x)^2]/(3^(1/4)*r*Sqrt[a + b*x^3]*Sq
     rt[(-s)*((s + r*x)/((1 - Sqrt[3])*s + r*x)^2)]))*EllipticF[ArcSin[((1 + Sqrt[3])*s + r*x)/((1 - Sqrt[3])*s + r
     *x)], -7 + 4*Sqrt[3]], x]] /; FreeQ[{a, b}, x] && NegQ[a]

761. Int[1/Sqrt[(a_) + (b_.)*(x_)^4], x_Symbol] :> With[{q = Rt[b/a, 4]}, Simp[(1 + q^2*x^2)*(Sqrt[(a + b*x^4)/(a*(
     1 + q^2*x^2)^2)]/(2*q*Sqrt[a + b*x^4]))*EllipticF[2*ArcTan[q*x], 1/2], x]] /; FreeQ[{a, b}, x] && PosQ[b/a]

762. Int[1/Sqrt[(a_) + (b_.)*(x_)^4], x_Symbol] :> Simp[(1/(Sqrt[a]*Rt[-b/a, 4]))*EllipticF[ArcSin[Rt[-b/a, 4]*x],
     -1], x] /; FreeQ[{a, b}, x] && NegQ[b/a] && GtQ[a, 0]

763. Int[1/Sqrt[(a_) + (b_.)*(x_)^4], x_Symbol] :> With[{q = Rt[(-a)*b, 2]}, Simp[Sqrt[-a + q*x^2]*(Sqrt[(a + q*x^2
     )/q]/(Sqrt[2]*Sqrt[-a]*Sqrt[a + b*x^4]))*EllipticF[ArcSin[x/Sqrt[(a + q*x^2)/(2*q)]], 1/2], x] /; IntegerQ[q]]
     /; FreeQ[{a, b}, x] && LtQ[a, 0] && GtQ[b, 0]

764. Int[1/Sqrt[(a_) + (b_.)*(x_)^4], x_Symbol] :> With[{q = Rt[(-a)*b, 2]}, Simp[Sqrt[(a - q*x^2)/(a + q*x^2)]*(Sq
     rt[(a + q*x^2)/q]/(Sqrt[2]*Sqrt[a + b*x^4]*Sqrt[a/(a + q*x^2)]))*EllipticF[ArcSin[x/Sqrt[(a + q*x^2)/(2*q)]],
     1/2], x]] /; FreeQ[{a, b}, x] && LtQ[a, 0] && GtQ[b, 0]

765. Int[1/Sqrt[(a_) + (b_.)*(x_)^4], x_Symbol] :> Simp[Sqrt[1 + b*(x^4/a)]/Sqrt[a + b*x^4]   Int[1/Sqrt[1 + b*(x^4
     /a)], x], x] /; FreeQ[{a, b}, x] && NegQ[b/a] &&  !GtQ[a, 0]

766. Int[1/Sqrt[(a_) + (b_.)*(x_)^6], x_Symbol] :> With[{r = Numer[Rt[b/a, 3]], s = Denom[Rt[b/a, 3]]}, Simp[x*(s +
     r*x^2)*(Sqrt[(s^2 - r*s*x^2 + r^2*x^4)/(s + (1 + Sqrt[3])*r*x^2)^2]/(2*3^(1/4)*s*Sqrt[a + b*x^6]*Sqrt[r*x^2*(
     (s + r*x^2)/(s + (1 + Sqrt[3])*r*x^2)^2)]))*EllipticF[ArcCos[(s + (1 - Sqrt[3])*r*x^2)/(s + (1 + Sqrt[3])*r*x^
     2)], (2 + Sqrt[3])/4], x]] /; FreeQ[{a, b}, x]

767. Int[1/Sqrt[(a_) + (b_.)*(x_)^8], x_Symbol] :> Simp[1/2   Int[(1 - Rt[b/a, 4]*x^2)/Sqrt[a + b*x^8], x], x] + Si
     mp[1/2   Int[(1 + Rt[b/a, 4]*x^2)/Sqrt[a + b*x^8], x], x] /; FreeQ[{a, b}, x]

768. Int[((a_) + (b_.)*(x_)^4)^(-3/4), x_Symbol] :> Simp[x^3*((1 + a/(b*x^4))^(3/4)/(a + b*x^4)^(3/4))   Int[1/(x^3
     *(1 + a/(b*x^4))^(3/4)), x], x] /; FreeQ[{a, b}, x]

769. Int[((a_) + (b_.)*(x_)^3)^(-1/3), x_Symbol] :> Simp[ArcTan[(1 + 2*Rt[b, 3]*(x/(a + b*x^3)^(1/3)))/Sqrt[3]]/(Sq
     rt[3]*Rt[b, 3]), x] - Simp[Log[(a + b*x^3)^(1/3) - Rt[b, 3]*x]/(2*Rt[b, 3]), x] /; FreeQ[{a, b}, x]

770. Int[((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_), x_Symbol] :> Simp[a^(p + 1/n)   Subst[Int[1/(1 - b*x^n)^(p + 1/n + 1), x],
     x, x/(a + b*x^n)^(1/n)], x] /; FreeQ[{a, b}, x] && IGtQ[n, 0] && LtQ[-1, p, 0] && NeQ[p, -2^(-1)] && IntegerQ[
     p + 1/n]

771. Int[((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_), x_Symbol] :> Simp[(a/(a + b*x^n))^(p + 1/n)*(a + b*x^n)^(p + 1/n)   Subst[I
     nt[1/(1 - b*x^n)^(p + 1/n + 1), x], x, x/(a + b*x^n)^(1/n)], x] /; FreeQ[{a, b}, x] && IGtQ[n, 0] && LtQ[-1, p
     , 0] && NeQ[p, -2^(-1)] && LtQ[Denominator[p + 1/n], Denominator[p]]

772. Int[((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_), x_Symbol] :> Int[x^(n*p)*(b + a/x^n)^p, x] /; FreeQ[{a, b}, x] && ILtQ[n, 0
     ] && IntegerQ[p]

773. Int[((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_), x_Symbol] :> -Subst[Int[(a + b/x^n)^p/x^2, x], x, 1/x] /; FreeQ[{a, b, p},
     x] && ILtQ[n, 0] &&  !IntegerQ[p]

774. Int[((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_), x_Symbol] :> With[{k = Denominator[n]}, Simp[k   Subst[Int[x^(k - 1)*(a + b
     *x^(k*n))^p, x], x, x^(1/k)], x]] /; FreeQ[{a, b, p}, x] && FractionQ[n]

775. Int[((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_), x_Symbol] :> Int[ExpandIntegrand[(a + b*x^n)^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, n},
     x] && IGtQ[p, 0]

776. Int[((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_), x_Symbol] :> Simp[x*(a + b*x^n)^p*((x^n/(a + b*x^n))^p/n)   Subst[Int[1/(x^
     (p + 1)*(1 - b*x)), x], x, x^n/(a + b*x^n)], x] /; FreeQ[{a, b, n, p}, x] && EqQ[1/n + p, 0]

777. Int[((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_), x_Symbol] :> Simp[(-x)*((a + b*x^n)^(p + 1)/(a*n*(p + 1))), x] + Simp[(n*(p
     + 1) + 1)/(a*n*(p + 1))   Int[(a + b*x^n)^(p + 1), x], x] /; FreeQ[{a, b, n, p}, x] && ILtQ[Simplify[1/n + p
     + 1], 0] && NeQ[p, -1]

778. Int[((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_), x_Symbol] :> Simp[a^p*x*Hypergeometric2F1[-p, 1/n, 1/n + 1, (-b)*(x^n/a)],
     x] /; FreeQ[{a, b, n, p}, x] &&  !IGtQ[p, 0] &&  !IntegerQ[1/n] &&  !ILtQ[Simplify[1/n + p], 0] && (IntegerQ[p
     ] || GtQ[a, 0])

779. Int[((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_), x_Symbol] :> Simp[a^IntPart[p]*((a + b*x^n)^FracPart[p]/(1 + b*(x^n/a))^Fra
     cPart[p])   Int[(1 + b*(x^n/a))^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, n, p}, x] &&  !IGtQ[p, 0] &&  !IntegerQ[1/n] &&  !IL
     tQ[Simplify[1/n + p], 0] &&  !(IntegerQ[p] || GtQ[a, 0])

780. Int[((a1_.) + (b1_.)*(x_)^(n_))^(p_.)*((a2_.) + (b2_.)*(x_)^(n_))^(p_.), x_Symbol] :> Int[(a1*a2 + b1*b2*x^(2*
     n))^p, x] /; FreeQ[{a1, b1, a2, b2, n, p}, x] && EqQ[a2*b1 + a1*b2, 0] && (IntegerQ[p] || (GtQ[a1, 0] && GtQ[a
     2, 0]))

781. Int[((a1_) + (b1_.)*(x_)^(n_.))^(p_.)*((a2_) + (b2_.)*(x_)^(n_.))^(p_.), x_Symbol] :> Simp[x*(a1 + b1*x^n)^p*(
     (a2 + b2*x^n)^p/(2*n*p + 1)), x] + Simp[2*a1*a2*n*(p/(2*n*p + 1))   Int[(a1 + b1*x^n)^(p - 1)*(a2 + b2*x^n)^(p
     - 1), x], x] /; FreeQ[{a1, b1, a2, b2}, x] && EqQ[a2*b1 + a1*b2, 0] && IGtQ[2*n, 0] && GtQ[p, 0] && (IntegerQ
     [2*p] || Denominator[p + 1/n] < Denominator[p])

782. Int[((a1_) + (b1_.)*(x_)^(n_.))^(p_)*((a2_) + (b2_.)*(x_)^(n_.))^(p_), x_Symbol] :> Simp[(-x)*(a1 + b1*x^n)^(p
     + 1)*((a2 + b2*x^n)^(p + 1)/(2*a1*a2*n*(p + 1))), x] + Simp[(2*n*(p + 1) + 1)/(2*a1*a2*n*(p + 1))   Int[(a1 +
     b1*x^n)^(p + 1)*(a2 + b2*x^n)^(p + 1), x], x] /; FreeQ[{a1, b1, a2, b2}, x] && EqQ[a2*b1 + a1*b2, 0] && IGtQ[
     2*n, 0] && LtQ[p, -1] && (IntegerQ[2*p] || Denominator[p + 1/n] < Denominator[p])

783. Int[((a1_) + (b1_.)*(x_)^(n_))^(p_)*((a2_) + (b2_.)*(x_)^(n_))^(p_), x_Symbol] :> -Subst[Int[(a1 + b1/x^n)^p*(
     (a2 + b2/x^n)^p/x^2), x], x, 1/x] /; FreeQ[{a1, b1, a2, b2, p}, x] && EqQ[a2*b1 + a1*b2, 0] && ILtQ[2*n, 0]

784. Int[((a1_) + (b1_.)*(x_)^(n_))^(p_)*((a2_) + (b2_.)*(x_)^(n_))^(p_), x_Symbol] :> With[{k = Denominator[2*n]},
     Simp[k   Subst[Int[x^(k - 1)*(a1 + b1*x^(k*n))^p*(a2 + b2*x^(k*n))^p, x], x, x^(1/k)], x]] /; FreeQ[{a1, b1,
     a2, b2, p}, x] && EqQ[a2*b1 + a1*b2, 0] && FractionQ[2*n]

785. Int[((a1_.) + (b1_.)*(x_)^(n_))^(p_)*((a2_.) + (b2_.)*(x_)^(n_))^(p_), x_Symbol] :> Simp[(a1 + b1*x^n)^FracPar
     t[p]*((a2 + b2*x^n)^FracPart[p]/(a1*a2 + b1*b2*x^(2*n))^FracPart[p])   Int[(a1*a2 + b1*b2*x^(2*n))^p, x], x] /
     ; FreeQ[{a1, b1, a2, b2, n, p}, x] && EqQ[a2*b1 + a1*b2, 0] &&  !IntegerQ[p]

786. Int[((a_) + (b_.)*((c_.)*(x_)^(q_.))^(n_))^(p_), x_Symbol] :> Simp[x/(c*x^q)^(1/q)   Subst[Int[(a + b*x^(n*q))
     ^p, x], x, (c*x^q)^(1/q)], x] /; FreeQ[{a, b, c, n, p, q}, x] && IntegerQ[n*q] && NeQ[x, (c*x^q)^(1/q)]

787. Int[((a_) + (b_.)*((c_.)*(x_)^(q_.))^(n_))^(p_), x_Symbol] :> With[{k = Denominator[n]}, Subst[Int[(a + b*c^n*
     x^(n*q))^p, x], x^(1/k), (c*x^q)^(1/k)/(c^(1/k)*(x^(1/k))^(q - 1))]] /; FreeQ[{a, b, c, p, q}, x] && FractionQ
     [n]

788. Int[((a_) + (b_.)*((c_.)*(x_)^(q_.))^(n_))^(p_), x_Symbol] :> Subst[Int[(a + b*c^n*x^(n*q))^p, x], x^(n*q), (c
     *x^q)^n/c^n] /; FreeQ[{a, b, c, n, p, q}, x] &&  !RationalQ[n]

789. Int[((a_) + (b_.)*((d_.)*(x_)^(q_.))^(n_))^(p_), x_Symbol] :> -Subst[Int[(a + b*(d/x^q)^n)^p/x^2, x], x, 1/x]
     /; FreeQ[{a, b, d, n, p}, x] && ILtQ[q, 0]

790. Int[((a_) + (b_.)*((d_.)*(x_)^(q_.))^(n_))^(p_), x_Symbol] :> With[{s = Denominator[q]}, Simp[s   Subst[Int[x^
     (s - 1)*(a + b*(d*x^(q*s))^n)^p, x], x, x^(1/s)], x]] /; FreeQ[{a, b, d, n, p}, x] && FractionQ[q]

791. Int[((c_.)*(x_))^(m_.)*((a1_) + (b1_.)*(x_)^(n_))^(p_)*((a2_) + (b2_.)*(x_)^(n_))^(p_), x_Symbol] :> Int[(c*x)
     ^m*(a1*a2 + b1*b2*x^(2*n))^p, x] /; FreeQ[{a1, b1, a2, b2, c, m, n, p}, x] && EqQ[a2*b1 + a1*b2, 0] && (Intege
     rQ[p] || (GtQ[a1, 0] && GtQ[a2, 0]))

792. Int[(x_)^(m_.)/((a_) + (b_.)*(x_)^(n_)), x_Symbol] :> Simp[Log[RemoveContent[a + b*x^n, x]]/(b*n), x] /; FreeQ
     [{a, b, m, n}, x] && EqQ[m, n - 1]

793. Int[(x_)^(m_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_), x_Symbol] :> Simp[(a + b*x^n)^(p + 1)/(b*n*(p + 1)), x] /; FreeQ
     [{a, b, m, n, p}, x] && EqQ[m, n - 1] && NeQ[p, -1]

794. Int[(x_)^(m_.)*((a1_) + (b1_.)*(x_)^(n_.))^(p_)*((a2_) + (b2_.)*(x_)^(n_.))^(p_), x_Symbol] :> Simp[(a1 + b1*x
     ^n)^(p + 1)*((a2 + b2*x^n)^(p + 1)/(2*b1*b2*n*(p + 1))), x] /; FreeQ[{a1, b1, a2, b2, m, n, p}, x] && EqQ[a2*b
     1 + a1*b2, 0] && EqQ[m, 2*n - 1] && NeQ[p, -1]

795. Int[(x_)^(m_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_), x_Symbol] :> Int[x^(m + n*p)*(b + a/x^n)^p, x] /; FreeQ[{a, b, m
     , n}, x] && IntegerQ[p] && NegQ[n]

796. Int[((c_.)*(x_))^(m_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_), x_Symbol] :> Simp[(c*x)^(m + 1)*((a + b*x^n)^(p + 1)/(a*
     c*(m + 1))), x] /; FreeQ[{a, b, c, m, n, p}, x] && EqQ[(m + 1)/n + p + 1, 0] && NeQ[m, -1]

797. Int[((c_.)*(x_))^(m_.)*((a1_) + (b1_.)*(x_)^(n_))^(p_)*((a2_) + (b2_.)*(x_)^(n_))^(p_), x_Symbol] :> Simp[(c*x
     )^(m + 1)*(a1 + b1*x^n)^(p + 1)*((a2 + b2*x^n)^(p + 1)/(a1*a2*c*(m + 1))), x] /; FreeQ[{a1, b1, a2, b2, c, m,
     n, p}, x] && EqQ[a2*b1 + a1*b2, 0] && EqQ[(m + 1)/(2*n) + p + 1, 0] && NeQ[m, -1]

798. Int[(x_)^(m_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_), x_Symbol] :> Simp[1/n   Subst[Int[x^(Simplify[(m + 1)/n] - 1)*(a
     + b*x)^p, x], x, x^n], x] /; FreeQ[{a, b, m, n, p}, x] && IntegerQ[Simplify[(m + 1)/n]]

799. Int[(x_)^(m_.)*((a1_) + (b1_.)*(x_)^(n_))^(p_)*((a2_) + (b2_.)*(x_)^(n_))^(p_), x_Symbol] :> Simp[1/n   Subst[
     Int[x^(Simplify[(m + 1)/n] - 1)*(a1 + b1*x)^p*(a2 + b2*x)^p, x], x, x^n], x] /; FreeQ[{a1, b1, a2, b2, m, n, p
     }, x] && EqQ[a2*b1 + a1*b2, 0] && IntegerQ[Simplify[(m + 1)/(2*n)]]

800. Int[((c_)*(x_))^(m_)*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_), x_Symbol] :> Simp[c^IntPart[m]*((c*x)^FracPart[m]/x^FracPa
     rt[m])   Int[x^m*(a + b*x^n)^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, m, n, p}, x] && IntegerQ[Simplify[(m + 1)/n]]

801. Int[((c_)*(x_))^(m_)*((a1_) + (b1_.)*(x_)^(n_))^(p_)*((a2_) + (b2_.)*(x_)^(n_))^(p_), x_Symbol] :> Simp[c^IntP
     art[m]*((c*x)^FracPart[m]/x^FracPart[m])   Int[x^m*(a1 + b1*x^n)^p*(a2 + b2*x^n)^p, x], x] /; FreeQ[{a1, b1, a
     2, b2, c, m, n, p}, x] && EqQ[a2*b1 + a1*b2, 0] && IntegerQ[Simplify[(m + 1)/(2*n)]]

802. Int[((c_.)*(x_))^(m_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_.), x_Symbol] :> Int[ExpandIntegrand[(c*x)^m*(a + b*x^n)^p,
     x], x] /; FreeQ[{a, b, c, m, n}, x] && IGtQ[p, 0]

803. Int[(x_)^(m_)*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_), x_Symbol] :> Simp[x^(m + 1)*((a + b*x^n)^(p + 1)/(a*(m + 1))), x]
     - Simp[b*((m + n*(p + 1) + 1)/(a*(m + 1)))   Int[x^(m + n)*(a + b*x^n)^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, m, n, p}, x]
     && ILtQ[Simplify[(m + 1)/n + p + 1], 0] && NeQ[m, -1]

804. Int[(x_)^(m_)*((a1_) + (b1_.)*(x_)^(n_))^(p_)*((a2_) + (b2_.)*(x_)^(n_))^(p_), x_Symbol] :> Simp[x^(m + 1)*(a1
     + b1*x^n)^(p + 1)*((a2 + b2*x^n)^(p + 1)/(a1*a2*(m + 1))), x] - Simp[b1*b2*((m + 2*n*(p + 1) + 1)/(a1*a2*(m +
     1)))   Int[x^(m + 2*n)*(a1 + b1*x^n)^p*(a2 + b2*x^n)^p, x], x] /; FreeQ[{a1, b1, a2, b2, m, n, p}, x] && EqQ[
     a2*b1 + a1*b2, 0] && ILtQ[Simplify[(m + 1)/(2*n) + p + 1], 0] && NeQ[m, -1]

805. Int[((c_.)*(x_))^(m_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_), x_Symbol] :> Simp[(-(c*x)^(m + 1))*((a + b*x^n)^(p + 1)/
     (a*c*n*(p + 1))), x] + Simp[(m + n*(p + 1) + 1)/(a*n*(p + 1))   Int[(c*x)^m*(a + b*x^n)^(p + 1), x], x] /; Fre
     eQ[{a, b, c, m, n, p}, x] && ILtQ[Simplify[(m + 1)/n + p + 1], 0] && NeQ[p, -1]

806. Int[((c_.)*(x_))^(m_.)*((a1_) + (b1_.)*(x_)^(n_))^(p_)*((a2_) + (b2_.)*(x_)^(n_))^(p_), x_Symbol] :> Simp[(-(c
     *x)^(m + 1))*(a1 + b1*x^n)^(p + 1)*((a2 + b2*x^n)^(p + 1)/(2*a1*a2*c*n*(p + 1))), x] + Simp[(m + 2*n*(p + 1) +
     1)/(2*a1*a2*n*(p + 1))   Int[(c*x)^m*(a1 + b1*x^n)^(p + 1)*(a2 + b2*x^n)^(p + 1), x], x] /; FreeQ[{a1, b1, a2
     , b2, c, m, n, p}, x] && EqQ[a2*b1 + a1*b2, 0] && ILtQ[Simplify[(m + 1)/(2*n) + p + 1], 0] && NeQ[p, -1]

807. Int[(x_)^(m_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_), x_Symbol] :> With[{k = GCD[m + 1, n]}, Simp[1/k   Subst[Int[x^((
     m + 1)/k - 1)*(a + b*x^(n/k))^p, x], x, x^k], x] /; k != 1] /; FreeQ[{a, b, p}, x] && IGtQ[n, 0] && IntegerQ[m
     ]

808. Int[(x_)^(m_.)*((a1_) + (b1_.)*(x_)^(n_))^(p_)*((a2_) + (b2_.)*(x_)^(n_))^(p_), x_Symbol] :> With[{k = GCD[m +
     1, 2*n]}, Simp[1/k   Subst[Int[x^((m + 1)/k - 1)*(a1 + b1*x^(n/k))^p*(a2 + b2*x^(n/k))^p, x], x, x^k], x] /;
     k != 1] /; FreeQ[{a1, b1, a2, b2, p}, x] && EqQ[a2*b1 + a1*b2, 0] && IGtQ[2*n, 0] && IntegerQ[m]

809. Int[((c_.)*(x_))^(m_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_), x_Symbol] :> Simp[(c*x)^(m + 1)*((a + b*x^n)^p/(c*(m + 1
     ))), x] - Simp[b*n*(p/(c^n*(m + 1)))   Int[(c*x)^(m + n)*(a + b*x^n)^(p - 1), x], x] /; FreeQ[{a, b, c}, x] &&
     IGtQ[n, 0] && GtQ[p, 0] && LtQ[m, -1] &&  !ILtQ[(m + n*p + n + 1)/n, 0] && IntBinomialQ[a, b, c, n, m, p, x]

810. Int[((c_.)*(x_))^(m_.)*((a1_) + (b1_.)*(x_)^(n_))^(p_)*((a2_) + (b2_.)*(x_)^(n_))^(p_), x_Symbol] :> Simp[(c*x
     )^(m + 1)*(a1 + b1*x^n)^p*((a2 + b2*x^n)^p/(c*(m + 1))), x] - Simp[2*b1*b2*n*(p/(c^(2*n)*(m + 1)))   Int[(c*x)
     ^(m + 2*n)*(a1 + b1*x^n)^(p - 1)*(a2 + b2*x^n)^(p - 1), x], x] /; FreeQ[{a1, b1, a2, b2, c, m}, x] && EqQ[a2*b
     1 + a1*b2, 0] && IGtQ[2*n, 0] && GtQ[p, 0] && LtQ[m, -1] && NeQ[m + 2*n*p + 1, 0] && IntBinomialQ[a1*a2, b1*b2
     , c, 2*n, m, p, x]

811. Int[((c_.)*(x_))^(m_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_), x_Symbol] :> Simp[(c*x)^(m + 1)*((a + b*x^n)^p/(c*(m + n
     *p + 1))), x] + Simp[a*n*(p/(m + n*p + 1))   Int[(c*x)^m*(a + b*x^n)^(p - 1), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, m}, x]
     && IGtQ[n, 0] && GtQ[p, 0] && NeQ[m + n*p + 1, 0] && IntBinomialQ[a, b, c, n, m, p, x]

812. Int[((c_.)*(x_))^(m_.)*((a1_) + (b1_.)*(x_)^(n_))^(p_)*((a2_) + (b2_.)*(x_)^(n_))^(p_), x_Symbol] :> Simp[(c*x
     )^(m + 1)*(a1 + b1*x^n)^p*((a2 + b2*x^n)^p/(c*(m + 2*n*p + 1))), x] + Simp[2*a1*a2*n*(p/(m + 2*n*p + 1))   Int
     [(c*x)^m*(a1 + b1*x^n)^(p - 1)*(a2 + b2*x^n)^(p - 1), x], x] /; FreeQ[{a1, b1, a2, b2, c, m}, x] && EqQ[a2*b1
     + a1*b2, 0] && IGtQ[2*n, 0] && GtQ[p, 0] && NeQ[m + 2*n*p + 1, 0] && IntBinomialQ[a1*a2, b1*b2, c, 2*n, m, p,
     x]

813. Int[(x_)^2/((a_) + (b_.)*(x_)^4)^(5/4), x_Symbol] :> Simp[x*((1 + a/(b*x^4))^(1/4)/(b*(a + b*x^4)^(1/4)))   In
     t[1/(x^3*(1 + a/(b*x^4))^(5/4)), x], x] /; FreeQ[{a, b}, x] && PosQ[b/a]

814. Int[(x_)^2/((a_) + (b_.)*(x_)^4)^(5/4), x_Symbol] :> -Simp[(b*x*(a + b*x^4)^(1/4))^(-1), x] - Simp[1/b   Int[1
     /(x^2*(a + b*x^4)^(1/4)), x], x] /; FreeQ[{a, b}, x] && NegQ[b/a]

815. Int[(x_)^(m_)/((a_) + (b_.)*(x_)^4)^(5/4), x_Symbol] :> Simp[x^(m - 3)/(b*(m - 4)*(a + b*x^4)^(1/4)), x] - Sim
     p[a*((m - 3)/(b*(m - 4)))   Int[x^(m - 4)/(a + b*x^4)^(5/4), x], x] /; FreeQ[{a, b}, x] && PosQ[b/a] && IGtQ[(
     m - 2)/4, 0]

816. Int[(x_)^(m_)/((a_) + (b_.)*(x_)^4)^(5/4), x_Symbol] :> Simp[x^(m + 1)/(a*(m + 1)*(a + b*x^4)^(1/4)), x] - Sim
     p[b*(m/(a*(m + 1)))   Int[x^(m + 4)/(a + b*x^4)^(5/4), x], x] /; FreeQ[{a, b}, x] && PosQ[b/a] && ILtQ[(m - 2)
     /4, 0]

817. Int[((c_.)*(x_))^(m_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_), x_Symbol] :> Simp[c^(n - 1)*(c*x)^(m - n + 1)*((a + b*x^
     n)^(p + 1)/(b*n*(p + 1))), x] - Simp[c^n*((m - n + 1)/(b*n*(p + 1)))   Int[(c*x)^(m - n)*(a + b*x^n)^(p + 1),
     x], x] /; FreeQ[{a, b, c}, x] && IGtQ[n, 0] && LtQ[p, -1] && GtQ[m + 1, n] &&  !ILtQ[(m + n*(p + 1) + 1)/n, 0]
     && IntBinomialQ[a, b, c, n, m, p, x]

818. Int[((c_.)*(x_))^(m_.)*((a1_) + (b1_.)*(x_)^(n_))^(p_)*((a2_) + (b2_.)*(x_)^(n_))^(p_), x_Symbol] :> Simp[c^(2
     *n - 1)*(c*x)^(m - 2*n + 1)*(a1 + b1*x^n)^(p + 1)*((a2 + b2*x^n)^(p + 1)/(2*b1*b2*n*(p + 1))), x] - Simp[c^(2*
     n)*((m - 2*n + 1)/(2*b1*b2*n*(p + 1)))   Int[(c*x)^(m - 2*n)*(a1 + b1*x^n)^(p + 1)*(a2 + b2*x^n)^(p + 1), x],
     x] /; FreeQ[{a1, b1, a2, b2, c}, x] && EqQ[a2*b1 + a1*b2, 0] && IGtQ[2*n, 0] && LtQ[p, -1] && m + 1 > 2*n &&
     !ILtQ[(m + 2*n*(p + 1) + 1)/(2*n), 0] && IntBinomialQ[a1*a2, b1*b2, c, 2*n, m, p, x]

819. Int[((c_.)*(x_))^(m_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_), x_Symbol] :> Simp[(-(c*x)^(m + 1))*((a + b*x^n)^(p + 1)/
     (a*c*n*(p + 1))), x] + Simp[(m + n*(p + 1) + 1)/(a*n*(p + 1))   Int[(c*x)^m*(a + b*x^n)^(p + 1), x], x] /; Fre
     eQ[{a, b, c, m}, x] && IGtQ[n, 0] && LtQ[p, -1] && IntBinomialQ[a, b, c, n, m, p, x]

820. Int[((c_.)*(x_))^(m_.)*((a1_) + (b1_.)*(x_)^(n_))^(p_)*((a2_) + (b2_.)*(x_)^(n_))^(p_), x_Symbol] :> Simp[(-(c
     *x)^(m + 1))*(a1 + b1*x^n)^(p + 1)*((a2 + b2*x^n)^(p + 1)/(2*a1*a2*c*n*(p + 1))), x] + Simp[(m + 2*n*(p + 1) +
     1)/(2*a1*a2*n*(p + 1))   Int[(c*x)^m*(a1 + b1*x^n)^(p + 1)*(a2 + b2*x^n)^(p + 1), x], x] /; FreeQ[{a1, b1, a2
     , b2, c, m}, x] && EqQ[a2*b1 + a1*b2, 0] && IGtQ[2*n, 0] && LtQ[p, -1] && IntBinomialQ[a1*a2, b1*b2, c, 2*n, m
     , p, x]

821. Int[(x_)/((a_) + (b_.)*(x_)^3), x_Symbol] :> Simp[-(3*Rt[a, 3]*Rt[b, 3])^(-1)   Int[1/(Rt[a, 3] + Rt[b, 3]*x),
     x], x] + Simp[1/(3*Rt[a, 3]*Rt[b, 3])   Int[(Rt[a, 3] + Rt[b, 3]*x)/(Rt[a, 3]^2 - Rt[a, 3]*Rt[b, 3]*x + Rt[b,
     3]^2*x^2), x], x] /; FreeQ[{a, b}, x]

822. Int[(x_)^(m_.)/((a_) + (b_.)*(x_)^(n_)), x_Symbol] :> Module[{r = Numerator[Rt[a/b, n]], s = Denominator[Rt[a/
     b, n]], k, u}, Simp[u = Int[(r*Cos[(2*k - 1)*m*(Pi/n)] - s*Cos[(2*k - 1)*(m + 1)*(Pi/n)]*x)/(r^2 - 2*r*s*Cos[(
     2*k - 1)*(Pi/n)]*x + s^2*x^2), x]; -(-r)^(m + 1)/(a*n*s^m)   Int[1/(r + s*x), x] + 2*(r^(m + 1)/(a*n*s^m))   S
     um[u, {k, 1, (n - 1)/2}], x]] /; FreeQ[{a, b}, x] && IGtQ[(n - 1)/2, 0] && IGtQ[m, 0] && LtQ[m, n - 1] && PosQ
     [a/b]

823. Int[(x_)^(m_.)/((a_) + (b_.)*(x_)^(n_)), x_Symbol] :> Module[{r = Numerator[Rt[-a/b, n]], s = Denominator[Rt[-
     a/b, n]], k, u}, Simp[u = Int[(r*Cos[(2*k - 1)*m*(Pi/n)] + s*Cos[(2*k - 1)*(m + 1)*(Pi/n)]*x)/(r^2 + 2*r*s*Cos
     [(2*k - 1)*(Pi/n)]*x + s^2*x^2), x]; r^(m + 1)/(a*n*s^m)   Int[1/(r - s*x), x] - 2*((-r)^(m + 1)/(a*n*s^m))
     Sum[u, {k, 1, (n - 1)/2}], x]] /; FreeQ[{a, b}, x] && IGtQ[(n - 1)/2, 0] && IGtQ[m, 0] && LtQ[m, n - 1] && Neg
     Q[a/b]

824. Int[(x_)^(m_.)/((a_) + (b_.)*(x_)^(n_)), x_Symbol] :> Module[{r = Numerator[Rt[a/b, n]], s = Denominator[Rt[a/
     b, n]], k, u}, Simp[u = Int[(r*Cos[(2*k - 1)*m*(Pi/n)] - s*Cos[(2*k - 1)*(m + 1)*(Pi/n)]*x)/(r^2 - 2*r*s*Cos[(
     2*k - 1)*(Pi/n)]*x + s^2*x^2), x] + Int[(r*Cos[(2*k - 1)*m*(Pi/n)] + s*Cos[(2*k - 1)*(m + 1)*(Pi/n)]*x)/(r^2 +
     2*r*s*Cos[(2*k - 1)*(Pi/n)]*x + s^2*x^2), x]; 2*(-1)^(m/2)*(r^(m + 2)/(a*n*s^m))   Int[1/(r^2 + s^2*x^2), x]
     + 2*(r^(m + 1)/(a*n*s^m))   Sum[u, {k, 1, (n - 2)/4}], x]] /; FreeQ[{a, b}, x] && IGtQ[(n - 2)/4, 0] && IGtQ[m
     , 0] && LtQ[m, n - 1] && PosQ[a/b]

825. Int[(x_)^(m_.)/((a_) + (b_.)*(x_)^(n_)), x_Symbol] :> Module[{r = Numerator[Rt[-a/b, n]], s = Denominator[Rt[-
     a/b, n]], k, u}, Simp[u = Int[(r*Cos[2*k*m*(Pi/n)] - s*Cos[2*k*(m + 1)*(Pi/n)]*x)/(r^2 - 2*r*s*Cos[2*k*(Pi/n)]
     *x + s^2*x^2), x] + Int[(r*Cos[2*k*m*(Pi/n)] + s*Cos[2*k*(m + 1)*(Pi/n)]*x)/(r^2 + 2*r*s*Cos[2*k*(Pi/n)]*x + s
     ^2*x^2), x]; 2*(r^(m + 2)/(a*n*s^m))   Int[1/(r^2 - s^2*x^2), x] + 2*(r^(m + 1)/(a*n*s^m))   Sum[u, {k, 1, (n
     - 2)/4}], x]] /; FreeQ[{a, b}, x] && IGtQ[(n - 2)/4, 0] && IGtQ[m, 0] && LtQ[m, n - 1] && NegQ[a/b]

826. Int[(x_)^2/((a_) + (b_.)*(x_)^4), x_Symbol] :> With[{r = Numerator[Rt[a/b, 2]], s = Denominator[Rt[a/b, 2]]},
     Simp[1/(2*s)   Int[(r + s*x^2)/(a + b*x^4), x], x] - Simp[1/(2*s)   Int[(r - s*x^2)/(a + b*x^4), x], x]] /; Fr
     eeQ[{a, b}, x] && (GtQ[a/b, 0] || (PosQ[a/b] && AtomQ[SplitProduct[SumBaseQ, a]] && AtomQ[SplitProduct[SumBase
     Q, b]]))

827. Int[(x_)^2/((a_) + (b_.)*(x_)^4), x_Symbol] :> With[{r = Numerator[Rt[-a/b, 2]], s = Denominator[Rt[-a/b, 2]]}
     , Simp[s/(2*b)   Int[1/(r + s*x^2), x], x] - Simp[s/(2*b)   Int[1/(r - s*x^2), x], x]] /; FreeQ[{a, b}, x] &&
     !GtQ[a/b, 0]

828. Int[(x_)^(m_.)/((a_) + (b_.)*(x_)^(n_)), x_Symbol] :> With[{r = Numerator[Rt[a/b, 4]], s = Denominator[Rt[a/b,
     4]]}, Simp[s^3/(2*Sqrt[2]*b*r)   Int[x^(m - n/4)/(r^2 - Sqrt[2]*r*s*x^(n/4) + s^2*x^(n/2)), x], x] - Simp[s^3
     /(2*Sqrt[2]*b*r)   Int[x^(m - n/4)/(r^2 + Sqrt[2]*r*s*x^(n/4) + s^2*x^(n/2)), x], x]] /; FreeQ[{a, b}, x] && I
     GtQ[n/4, 0] && IGtQ[m, 0] && LtQ[m, n - 1] && GtQ[a/b, 0]

829. Int[(x_)^(m_)/((a_) + (b_.)*(x_)^(n_)), x_Symbol] :> With[{r = Numerator[Rt[-a/b, 2]], s = Denominator[Rt[-a/b
     , 2]]}, Simp[r/(2*a)   Int[x^m/(r + s*x^(n/2)), x], x] + Simp[r/(2*a)   Int[x^m/(r - s*x^(n/2)), x], x]] /; Fr
     eeQ[{a, b}, x] && IGtQ[n/4, 0] && IGtQ[m, 0] && LtQ[m, n/2] &&  !GtQ[a/b, 0]

830. Int[(x_)^(m_)/((a_) + (b_.)*(x_)^(n_)), x_Symbol] :> With[{r = Numerator[Rt[-a/b, 2]], s = Denominator[Rt[-a/b
     , 2]]}, Simp[s/(2*b)   Int[x^(m - n/2)/(r + s*x^(n/2)), x], x] - Simp[s/(2*b)   Int[x^(m - n/2)/(r - s*x^(n/2)
     ), x], x]] /; FreeQ[{a, b}, x] && IGtQ[n/4, 0] && IGtQ[m, 0] && LeQ[n/2, m] && LtQ[m, n] &&  !GtQ[a/b, 0]

831. Int[(x_)^(m_)/((a_) + (b_.)*(x_)^(n_)), x_Symbol] :> Int[PolynomialDivide[x^m, a + b*x^n, x], x] /; FreeQ[{a,
     b}, x] && IGtQ[m, 0] && IGtQ[n, 0] && GtQ[m, 2*n - 1]

832. Int[(x_)/Sqrt[(a_) + (b_.)*(x_)^3], x_Symbol] :> With[{r = Numer[Rt[b/a, 3]], s = Denom[Rt[b/a, 3]]}, Simp[(-(
     1 - Sqrt[3]))*(s/r)   Int[1/Sqrt[a + b*x^3], x], x] + Simp[1/r   Int[((1 - Sqrt[3])*s + r*x)/Sqrt[a + b*x^3],
     x], x]] /; FreeQ[{a, b}, x] && PosQ[a]

833. Int[(x_)/Sqrt[(a_) + (b_.)*(x_)^3], x_Symbol] :> With[{r = Numer[Rt[b/a, 3]], s = Denom[Rt[b/a, 3]]}, Simp[(-(
     1 + Sqrt[3]))*(s/r)   Int[1/Sqrt[a + b*x^3], x], x] + Simp[1/r   Int[((1 + Sqrt[3])*s + r*x)/Sqrt[a + b*x^3],
     x], x]] /; FreeQ[{a, b}, x] && NegQ[a]

834. Int[(x_)^2/Sqrt[(a_) + (b_.)*(x_)^4], x_Symbol] :> With[{q = Rt[b/a, 2]}, Simp[1/q   Int[1/Sqrt[a + b*x^4], x]
     , x] - Simp[1/q   Int[(1 - q*x^2)/Sqrt[a + b*x^4], x], x]] /; FreeQ[{a, b}, x] && PosQ[b/a]

835. Int[(x_)^2/Sqrt[(a_) + (b_.)*(x_)^4], x_Symbol] :> With[{q = Rt[-b/a, 2]}, Simp[1/q   Int[1/Sqrt[a + b*x^4], x
     ], x] - Simp[1/q   Int[(1 - q*x^2)/Sqrt[a + b*x^4], x], x]] /; FreeQ[{a, b}, x] && LtQ[a, 0] && GtQ[b, 0]

836. Int[(x_)^2/Sqrt[(a_) + (b_.)*(x_)^4], x_Symbol] :> With[{q = Rt[-b/a, 2]}, Simp[-q^(-1)   Int[1/Sqrt[a + b*x^4
     ], x], x] + Simp[1/q   Int[(1 + q*x^2)/Sqrt[a + b*x^4], x], x]] /; FreeQ[{a, b}, x] && NegQ[b/a]

837. Int[(x_)^4/Sqrt[(a_) + (b_.)*(x_)^6], x_Symbol] :> With[{r = Numer[Rt[b/a, 3]], s = Denom[Rt[b/a, 3]]}, Simp[(
     Sqrt[3] - 1)*(s^2/(2*r^2))   Int[1/Sqrt[a + b*x^6], x], x] - Simp[1/(2*r^2)   Int[((Sqrt[3] - 1)*s^2 - 2*r^2*x
     ^4)/Sqrt[a + b*x^6], x], x]] /; FreeQ[{a, b}, x]

838. Int[(x_)^2/Sqrt[(a_) + (b_.)*(x_)^8], x_Symbol] :> Simp[1/(2*Rt[b/a, 4])   Int[(1 + Rt[b/a, 4]*x^2)/Sqrt[a + b
     *x^8], x], x] - Simp[1/(2*Rt[b/a, 4])   Int[(1 - Rt[b/a, 4]*x^2)/Sqrt[a + b*x^8], x], x] /; FreeQ[{a, b}, x]

839. Int[(x_)^2/((a_) + (b_.)*(x_)^4)^(1/4), x_Symbol] :> Simp[x^3/(2*(a + b*x^4)^(1/4)), x] - Simp[a/2   Int[x^2/(
     a + b*x^4)^(5/4), x], x] /; FreeQ[{a, b}, x] && PosQ[b/a]

840. Int[(x_)^2/((a_) + (b_.)*(x_)^4)^(1/4), x_Symbol] :> Simp[(a + b*x^4)^(3/4)/(2*b*x), x] + Simp[a/(2*b)   Int[1
     /(x^2*(a + b*x^4)^(1/4)), x], x] /; FreeQ[{a, b}, x] && NegQ[b/a]

841. Int[1/((x_)^2*((a_) + (b_.)*(x_)^4)^(1/4)), x_Symbol] :> -Simp[(x*(a + b*x^4)^(1/4))^(-1), x] - Simp[b   Int[x
     ^2/(a + b*x^4)^(5/4), x], x] /; FreeQ[{a, b}, x] && PosQ[b/a]

842. Int[1/((x_)^2*((a_) + (b_.)*(x_)^4)^(1/4)), x_Symbol] :> Simp[x*((1 + a/(b*x^4))^(1/4)/(a + b*x^4)^(1/4))   In
     t[1/(x^3*(1 + a/(b*x^4))^(1/4)), x], x] /; FreeQ[{a, b}, x] && NegQ[b/a]

843. Int[((c_.)*(x_))^(m_)*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_), x_Symbol] :> Simp[c^(n - 1)*(c*x)^(m - n + 1)*((a + b*x^n
     )^(p + 1)/(b*(m + n*p + 1))), x] - Simp[a*c^n*((m - n + 1)/(b*(m + n*p + 1)))   Int[(c*x)^(m - n)*(a + b*x^n)^
     p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, p}, x] && IGtQ[n, 0] && GtQ[m, n - 1] && NeQ[m + n*p + 1, 0] && IntBinomialQ[a, b
     , c, n, m, p, x]

844. Int[((c_.)*(x_))^(m_)*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_), x_Symbol] :> Simp[c^(n - 1)*(c*x)^(m - n + 1)*((a + b*x^n
     )^(p + 1)/(b*(m + n*p + 1))), x] - Simp[a*c^n*((m - n + 1)/(b*(m + n*p + 1)))   Int[(c*x)^(m - n)*(a + b*x^n)^
     p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, m, p}, x] && IGtQ[n, 0] && SumSimplerQ[m, -n] && NeQ[m + n*p + 1, 0] && ILtQ[Simp
     lify[(m + 1)/n + p], 0]

845. Int[((c_.)*(x_))^(m_)*((a1_) + (b1_.)*(x_)^(n_))^(p_)*((a2_) + (b2_.)*(x_)^(n_))^(p_), x_Symbol] :> Simp[c^(2*
     n - 1)*(c*x)^(m - 2*n + 1)*(a1 + b1*x^n)^(p + 1)*((a2 + b2*x^n)^(p + 1)/(b1*b2*(m + 2*n*p + 1))), x] - Simp[a1
     *a2*c^(2*n)*((m - 2*n + 1)/(b1*b2*(m + 2*n*p + 1)))   Int[(c*x)^(m - 2*n)*(a1 + b1*x^n)^p*(a2 + b2*x^n)^p, x],
     x] /; FreeQ[{a1, b1, a2, b2, c, p}, x] && EqQ[a2*b1 + a1*b2, 0] && IGtQ[2*n, 0] && GtQ[m, 2*n - 1] && NeQ[m +
     2*n*p + 1, 0] && IntBinomialQ[a1*a2, b1*b2, c, 2*n, m, p, x]

846. Int[((c_.)*(x_))^(m_)*((a1_) + (b1_.)*(x_)^(n_))^(p_)*((a2_) + (b2_.)*(x_)^(n_))^(p_), x_Symbol] :> Simp[c^(2*
     n - 1)*(c*x)^(m - 2*n + 1)*(a1 + b1*x^n)^(p + 1)*((a2 + b2*x^n)^(p + 1)/(b1*b2*(m + 2*n*p + 1))), x] - Simp[a1
     *a2*c^(2*n)*((m - 2*n + 1)/(b1*b2*(m + 2*n*p + 1)))   Int[(c*x)^(m - 2*n)*(a1 + b1*x^n)^p*(a2 + b2*x^n)^p, x],
     x] /; FreeQ[{a1, b1, a2, b2, c, m, p}, x] && EqQ[a2*b1 + a1*b2, 0] && IGtQ[2*n, 0] && SumSimplerQ[m, -2*n] &&
     NeQ[m + 2*n*p + 1, 0] && ILtQ[Simplify[(m + 1)/(2*n) + p], 0]

847. Int[((c_.)*(x_))^(m_)*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_), x_Symbol] :> Simp[(c*x)^(m + 1)*((a + b*x^n)^(p + 1)/(a*c
     *(m + 1))), x] - Simp[b*((m + n*(p + 1) + 1)/(a*c^n*(m + 1)))   Int[(c*x)^(m + n)*(a + b*x^n)^p, x], x] /; Fre
     eQ[{a, b, c, p}, x] && IGtQ[n, 0] && LtQ[m, -1] && IntBinomialQ[a, b, c, n, m, p, x]

848. Int[((c_.)*(x_))^(m_)*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_), x_Symbol] :> Simp[(c*x)^(m + 1)*((a + b*x^n)^(p + 1)/(a*c
     *(m + 1))), x] - Simp[b*((m + n*(p + 1) + 1)/(a*c^n*(m + 1)))   Int[(c*x)^(m + n)*(a + b*x^n)^p, x], x] /; Fre
     eQ[{a, b, c, m, p}, x] && IGtQ[n, 0] && SumSimplerQ[m, n] && ILtQ[Simplify[(m + 1)/n + p], 0]

849. Int[((c_.)*(x_))^(m_)*((a1_) + (b1_.)*(x_)^(n_))^(p_)*((a2_) + (b2_.)*(x_)^(n_))^(p_), x_Symbol] :> Simp[(c*x)
     ^(m + 1)*(a1 + b1*x^n)^(p + 1)*((a2 + b2*x^n)^(p + 1)/(a1*a2*c*(m + 1))), x] - Simp[b1*b2*((m + 2*n*(p + 1) +
     1)/(a1*a2*c^(2*n)*(m + 1)))   Int[(c*x)^(m + 2*n)*(a1 + b1*x^n)^p*(a2 + b2*x^n)^p, x], x] /; FreeQ[{a1, b1, a2
     , b2, c, p}, x] && EqQ[a2*b1 + a1*b2, 0] && IGtQ[2*n, 0] && LtQ[m, -1] && IntBinomialQ[a1*a2, b1*b2, c, 2*n, m
     , p, x]

850. Int[((c_.)*(x_))^(m_)*((a1_) + (b1_.)*(x_)^(n_))^(p_)*((a2_) + (b2_.)*(x_)^(n_))^(p_), x_Symbol] :> Simp[(c*x)
     ^(m + 1)*(a1 + b1*x^n)^(p + 1)*((a2 + b2*x^n)^(p + 1)/(a1*a2*c*(m + 1))), x] - Simp[b1*b2*((m + 2*n*(p + 1) +
     1)/(a1*a2*c^(2*n)*(m + 1)))   Int[(c*x)^(m + 2*n)*(a1 + b1*x^n)^p*(a2 + b2*x^n)^p, x], x] /; FreeQ[{a1, b1, a2
     , b2, c, m, p}, x] && EqQ[a2*b1 + a1*b2, 0] && IGtQ[2*n, 0] && SumSimplerQ[m, 2*n] && ILtQ[Simplify[(m + 1)/(2
     *n) + p], 0]

851. Int[((c_.)*(x_))^(m_)*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_), x_Symbol] :> With[{k = Denominator[m]}, Simp[k/c   Subst[
     Int[x^(k*(m + 1) - 1)*(a + b*(x^(k*n)/c^n))^p, x], x, (c*x)^(1/k)], x]] /; FreeQ[{a, b, c, p}, x] && IGtQ[n, 0
     ] && FractionQ[m] && IntBinomialQ[a, b, c, n, m, p, x]

852. Int[((c_.)*(x_))^(m_)*((a1_) + (b1_.)*(x_)^(n_))^(p_)*((a2_) + (b2_.)*(x_)^(n_))^(p_), x_Symbol] :> With[{k =
     Denominator[m]}, Simp[k/c   Subst[Int[x^(k*(m + 1) - 1)*(a1 + b1*(x^(k*n)/c^n))^p*(a2 + b2*(x^(k*n)/c^n))^p, x
     ], x, (c*x)^(1/k)], x]] /; FreeQ[{a1, b1, a2, b2, c, p}, x] && EqQ[a2*b1 + a1*b2, 0] && IGtQ[2*n, 0] && Fracti
     onQ[m] && IntBinomialQ[a1*a2, b1*b2, c, 2*n, m, p, x]

853. Int[(x_)/((a_) + (b_.)*(x_)^3)^(2/3), x_Symbol] :> With[{q = Rt[b, 3]}, Simp[-ArcTan[(1 + 2*q*(x/(a + b*x^3)^(
     1/3)))/Sqrt[3]]/(Sqrt[3]*q^2), x] - Simp[Log[q*x - (a + b*x^3)^(1/3)]/(2*q^2), x]] /; FreeQ[{a, b}, x]

854. Int[(x_)^(m_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_), x_Symbol] :> Simp[a^(p + (m + 1)/n)   Subst[Int[x^m/(1 - b*x^n)^
     (p + (m + 1)/n + 1), x], x, x/(a + b*x^n)^(1/n)], x] /; FreeQ[{a, b}, x] && IGtQ[n, 0] && LtQ[-1, p, 0] && NeQ
     [p, -2^(-1)] && IntegersQ[m, p + (m + 1)/n]

855. Int[(x_)^(m_.)*((a1_) + (b1_.)*(x_)^(n_))^(p_)*((a2_) + (b2_.)*(x_)^(n_))^(p_), x_Symbol] :> Simp[(a1*a2)^(p +
     (m + 1)/(2*n))   Subst[Int[x^m/((1 - b1*x^n)^(p + (m + 1)/(2*n) + 1)*(1 - b2*x^n)^(p + (m + 1)/(2*n) + 1)), x
     ], x, x/((a1 + b1*x^n)^(1/(2*n))*(a2 + b2*x^n)^(1/(2*n)))], x] /; FreeQ[{a1, b1, a2, b2}, x] && EqQ[a2*b1 + a1
     *b2, 0] && IGtQ[2*n, 0] && LtQ[-1, p, 0] && NeQ[p, -2^(-1)] && IntegersQ[m, p + (m + 1)/(2*n)]

856. Int[(x_)^(m_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_), x_Symbol] :> Simp[(a/(a + b*x^n))^(p + (m + 1)/n)*(a + b*x^n)^(p
     + (m + 1)/n)   Subst[Int[x^m/(1 - b*x^n)^(p + (m + 1)/n + 1), x], x, x/(a + b*x^n)^(1/n)], x] /; FreeQ[{a, b}
     , x] && IGtQ[n, 0] && LtQ[-1, p, 0] && NeQ[p, -2^(-1)] && IntegerQ[m] && LtQ[Denominator[p + (m + 1)/n], Denom
     inator[p]]

857. Int[(x_)^(m_.)*((a1_) + (b1_.)*(x_)^(n_))^(p_)*((a2_) + (b2_.)*(x_)^(n_))^(p_), x_Symbol] :> Simp[(a1/(a1 + b1
     *x^n))^(p + (m + 1)/(2*n))*(a1 + b1*x^n)^(p + (m + 1)/(2*n))*(a2/(a2 + b2*x^n))^(p + (m + 1)/(2*n))*(a2 + b2*x
     ^n)^(p + (m + 1)/(2*n))   Subst[Int[x^m/((1 - b1*x^n)^(p + (m + 1)/(2*n) + 1)*(1 - b2*x^n)^(p + (m + 1)/(2*n)
     + 1)), x], x, x/((a1 + b1*x^n)^(1/(2*n))*(a2 + b2*x^n)^(1/(2*n)))], x] /; FreeQ[{a1, b1, a2, b2}, x] && EqQ[a2
     *b1 + a1*b2, 0] && IGtQ[2*n, 0] && LtQ[-1, p, 0] && NeQ[p, -2^(-1)] && IntegerQ[m] && LtQ[Denominator[p + (m +
     1)/(2*n)], Denominator[p]]

858. Int[(x_)^(m_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_), x_Symbol] :> -Subst[Int[(a + b/x^n)^p/x^(m + 2), x], x, 1/x] /;
     FreeQ[{a, b, p}, x] && ILtQ[n, 0] && IntegerQ[m]

859. Int[(x_)^(m_.)*((a1_) + (b1_.)*(x_)^(n_))^(p_)*((a2_) + (b2_.)*(x_)^(n_))^(p_), x_Symbol] :> -Subst[Int[(a1 +
     b1/x^n)^p*((a2 + b2/x^n)^p/x^(m + 2)), x], x, 1/x] /; FreeQ[{a1, b1, a2, b2, p}, x] && EqQ[a2*b1 + a1*b2, 0] &
     & ILtQ[2*n, 0] && IntegerQ[m]

860. Int[((c_.)*(x_))^(m_)*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_), x_Symbol] :> With[{k = Denominator[m]}, Simp[-k/c   Subst
     [Int[(a + b/(c^n*x^(k*n)))^p/x^(k*(m + 1) + 1), x], x, 1/(c*x)^(1/k)], x]] /; FreeQ[{a, b, c, p}, x] && ILtQ[n
     , 0] && FractionQ[m]

861. Int[((c_.)*(x_))^(m_)*((a1_) + (b1_.)*(x_)^(n_))^(p_)*((a2_) + (b2_.)*(x_)^(n_))^(p_), x_Symbol] :> With[{k =
     Denominator[m]}, Simp[-k/c   Subst[Int[(a1 + b1/(c^n*x^(k*n)))^p*((a2 + b2/(c^n*x^(k*n)))^p/x^(k*(m + 1) + 1))
     , x], x, 1/(c*x)^(1/k)], x]] /; FreeQ[{a1, b1, a2, b2, c, p}, x] && EqQ[a2*b1 + a1*b2, 0] && ILtQ[2*n, 0] && F
     ractionQ[m]

862. Int[((c_.)*(x_))^(m_)*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_), x_Symbol] :> Simp[(-c^(-1))*(c*x)^(m + 1)*(1/x)^(m + 1)
     Subst[Int[(a + b/x^n)^p/x^(m + 2), x], x, 1/x], x] /; FreeQ[{a, b, c, m, p}, x] && ILtQ[n, 0] &&  !RationalQ[
     m]

863. Int[((c_.)*(x_))^(m_)*((a1_) + (b1_.)*(x_)^(n_))^(p_)*((a2_) + (b2_.)*(x_)^(n_))^(p_), x_Symbol] :> Simp[(-c^(
     -1))*(c*x)^(m + 1)*(1/x)^(m + 1)   Subst[Int[(a1 + b1/x^n)^p*((a2 + b2/x^n)^p/x^(m + 2)), x], x, 1/x], x] /; F
     reeQ[{a1, b1, a2, b2, c, m, p}, x] && EqQ[a2*b1 + a1*b2, 0] && ILtQ[2*n, 0] &&  !RationalQ[m]

864. Int[(x_)^(m_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_), x_Symbol] :> With[{k = Denominator[n]}, Simp[k   Subst[Int[x^(k*
     (m + 1) - 1)*(a + b*x^(k*n))^p, x], x, x^(1/k)], x]] /; FreeQ[{a, b, m, p}, x] && FractionQ[n]

865. Int[(x_)^(m_.)*((a1_) + (b1_.)*(x_)^(n_))^(p_)*((a2_) + (b2_.)*(x_)^(n_))^(p_), x_Symbol] :> With[{k = Denomin
     ator[2*n]}, Simp[k   Subst[Int[x^(k*(m + 1) - 1)*(a1 + b1*x^(k*n))^p*(a2 + b2*x^(k*n))^p, x], x, x^(1/k)], x]]
     /; FreeQ[{a1, b1, a2, b2, m, p}, x] && EqQ[a2*b1 + a1*b2, 0] && FractionQ[2*n]

866. Int[((c_)*(x_))^(m_)*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_), x_Symbol] :> Simp[c^IntPart[m]*((c*x)^FracPart[m]/x^FracPa
     rt[m])   Int[x^m*(a + b*x^n)^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, m, p}, x] && FractionQ[n]

867. Int[((c_)*(x_))^(m_)*((a1_) + (b1_.)*(x_)^(n_))^(p_)*((a2_) + (b2_.)*(x_)^(n_))^(p_), x_Symbol] :> Simp[c^IntP
     art[m]*((c*x)^FracPart[m]/x^FracPart[m])   Int[x^m*(a1 + b1*x^n)^p*(a2 + b2*x^n)^p, x], x] /; FreeQ[{a1, b1, a
     2, b2, c, m, p}, x] && EqQ[a2*b1 + a1*b2, 0] && FractionQ[2*n]

868. Int[(x_)^(m_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_), x_Symbol] :> Simp[1/(m + 1)   Subst[Int[(a + b*x^Simplify[n/(m +
     1)])^p, x], x, x^(m + 1)], x] /; FreeQ[{a, b, m, n, p}, x] && IntegerQ[Simplify[n/(m + 1)]] &&  !IntegerQ[n]

869. Int[(x_)^(m_.)*((a1_) + (b1_.)*(x_)^(n_))^(p_)*((a2_) + (b2_.)*(x_)^(n_))^(p_), x_Symbol] :> Simp[1/(m + 1)
     Subst[Int[(a1 + b1*x^Simplify[n/(m + 1)])^p*(a2 + b2*x^Simplify[n/(m + 1)])^p, x], x, x^(m + 1)], x] /; FreeQ[
     {a1, b1, a2, b2, m, n, p}, x] && EqQ[a2*b1 + a1*b2, 0] && IntegerQ[Simplify[2*(n/(m + 1))]] &&  !IntegerQ[2*n]

870. Int[((c_)*(x_))^(m_)*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_), x_Symbol] :> Simp[c^IntPart[m]*((c*x)^FracPart[m]/x^FracPa
     rt[m])   Int[x^m*(a + b*x^n)^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, m, n, p}, x] && IntegerQ[Simplify[n/(m + 1)]] &&  !I
     ntegerQ[n]

871. Int[((c_)*(x_))^(m_)*((a1_) + (b1_.)*(x_)^(n_))^(p_)*((a2_) + (b2_.)*(x_)^(n_))^(p_), x_Symbol] :> Simp[c^IntP
     art[m]*((c*x)^FracPart[m]/x^FracPart[m])   Int[x^m*(a1 + b1*x^n)^p*(a2 + b2*x^n)^p, x], x] /; FreeQ[{a1, b1, a
     2, b2, c, m, n, p}, x] && EqQ[a2*b1 + a1*b2, 0] && IntegerQ[Simplify[2*(n/(m + 1))]] &&  !IntegerQ[2*n]

872. Int[(x_)^(m_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_), x_Symbol] :> Simp[x^(m + 1)*((a + b*x^n)^p/(m + 1)), x] - Simp[b
     *n*(p/(m + 1))   Int[x^(m + n)*(a + b*x^n)^(p - 1), x], x] /; FreeQ[{a, b, m, n}, x] && EqQ[(m + 1)/n + p, 0]
     && GtQ[p, 0]

873. Int[(x_)^(m_.)*((a1_) + (b1_.)*(x_)^(n_))^(p_)*((a2_) + (b2_.)*(x_)^(n_))^(p_), x_Symbol] :> Simp[x^(m + 1)*(a
     1 + b1*x^n)^p*((a2 + b2*x^n)^p/(m + 1)), x] - Simp[2*b1*b2*n*(p/(m + 1))   Int[x^(m + 2*n)*(a1 + b1*x^n)^(p -
     1)*(a2 + b2*x^n)^(p - 1), x], x] /; FreeQ[{a1, b1, a2, b2, m, n}, x] && EqQ[a2*b1 + a1*b2, 0] && EqQ[(m + 1)/(
     2*n) + p, 0] && GtQ[p, 0]

874. Int[((c_)*(x_))^(m_)*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_), x_Symbol] :> Simp[c^IntPart[m]*((c*x)^FracPart[m]/x^FracPa
     rt[m])   Int[x^m*(a + b*x^n)^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, m, n}, x] && EqQ[(m + 1)/n + p, 0] && GtQ[p, 0]

875. Int[((c_)*(x_))^(m_)*((a1_) + (b1_.)*(x_)^(n_))^(p_)*((a2_) + (b2_.)*(x_)^(n_))^(p_), x_Symbol] :> Simp[c^IntP
     art[m]*((c*x)^FracPart[m]/x^FracPart[m])   Int[x^m*(a1 + b1*x^n)^p*(a2 + b2*x^n)^p, x], x] /; FreeQ[{a1, b1, a
     2, b2, c, m, n}, x] && EqQ[a2*b1 + a1*b2, 0] && EqQ[(m + 1)/(2*n) + p, 0] && GtQ[p, 0]

876. Int[((c_.)*(x_))^(m_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_), x_Symbol] :> Simp[(c*x)^(m + 1)*((a + b*x^n)^p/(c*(m + n
     *p + 1))), x] + Simp[a*n*(p/(m + n*p + 1))   Int[(c*x)^m*(a + b*x^n)^(p - 1), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, m, n},
     x] && IntegerQ[p + Simplify[(m + 1)/n]] && GtQ[p, 0] && NeQ[m + n*p + 1, 0]

877. Int[((c_.)*(x_))^(m_.)*((a1_) + (b1_.)*(x_)^(n_))^(p_)*((a2_) + (b2_.)*(x_)^(n_))^(p_), x_Symbol] :> Simp[(c*x
     )^(m + 1)*(a1 + b1*x^n)^p*((a2 + b2*x^n)^p/(c*(m + 2*n*p + 1))), x] + Simp[2*a1*a2*n*(p/(m + 2*n*p + 1))   Int
     [(c*x)^m*(a1 + b1*x^n)^(p - 1)*(a2 + b2*x^n)^(p - 1), x], x] /; FreeQ[{a1, b1, a2, b2, c, m, n}, x] && EqQ[a2*
     b1 + a1*b2, 0] && IntegerQ[p + Simplify[(m + 1)/(2*n)]] && GtQ[p, 0] && NeQ[m + 2*n*p + 1, 0]

878. Int[((c_.)*(x_))^(m_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_), x_Symbol] :> Simp[(-(c*x)^(m + 1))*((a + b*x^n)^(p + 1)/
     (a*c*n*(p + 1))), x] + Simp[(m + n*(p + 1) + 1)/(a*n*(p + 1))   Int[(c*x)^m*(a + b*x^n)^(p + 1), x], x] /; Fre
     eQ[{a, b, c, m, n}, x] && IntegerQ[p + Simplify[(m + 1)/n]] && LtQ[p, -1]

879. Int[((c_.)*(x_))^(m_.)*((a1_) + (b1_.)*(x_)^(n_))^(p_)*((a2_) + (b2_.)*(x_)^(n_))^(p_), x_Symbol] :> Simp[(-(c
     *x)^(m + 1))*(a1 + b1*x^n)^(p + 1)*((a2 + b2*x^n)^(p + 1)/(2*a1*a2*c*n*(p + 1))), x] + Simp[(m + 2*n*(p + 1) +
     1)/(2*a1*a2*n*(p + 1))   Int[(c*x)^m*(a1 + b1*x^n)^(p + 1)*(a2 + b2*x^n)^(p + 1), x], x] /; FreeQ[{a1, b1, a2
     , b2, c, m, n}, x] && EqQ[a2*b1 + a1*b2, 0] && IntegerQ[p + Simplify[(m + 1)/(2*n)]] && LtQ[p, -1]

880. Int[(x_)^(m_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_), x_Symbol] :> With[{k = Denominator[p]}, Simp[k*(a^(p + Simplify[
     (m + 1)/n])/n)   Subst[Int[x^(k*Simplify[(m + 1)/n] - 1)/(1 - b*x^k)^(p + Simplify[(m + 1)/n] + 1), x], x, x^(
     n/k)/(a + b*x^n)^(1/k)], x]] /; FreeQ[{a, b, m, n, p}, x] && IntegerQ[p + Simplify[(m + 1)/n]] && LtQ[-1, p, 0
     ]

881. Int[(x_)^(m_.)*((a1_) + (b1_.)*(x_)^(n_))^(p_)*((a2_) + (b2_.)*(x_)^(n_))^(p_), x_Symbol] :> With[{k = Denomin
     ator[p]}, Simp[k*((a1*a2)^(p + Simplify[(m + 1)/(2*n)])/(2*n))   Subst[Int[x^(k*Simplify[(m + 1)/(2*n)] - 1)/(
     1 - b1*b2*x^k)^(p + Simplify[(m + 1)/(2*n)] + 1), x], x, x^(2*(n/k))/((a1 + b1*x^n)^(1/k)*(a2 + b2*x^n)^(1/k))
     ], x]] /; FreeQ[{a1, b1, a2, b2, m, n, p}, x] && EqQ[a2*b1 + a1*b2, 0] && IntegerQ[p + Simplify[(m + 1)/(2*n)]
     ] && LtQ[-1, p, 0]

882. Int[(x_)^(m_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_), x_Symbol] :> Simp[a^Simplify[(m + 1)/n + p]*x^m*(a + b*x^n)^p*((
     x^n/(a + b*x^n))^p/(n*x^Simplify[m + n*p]))   Subst[Int[x^((m + 1)/n - 1)/(1 - b*x)^(Simplify[(m + 1)/n + p] +
     1), x], x, x^n/(a + b*x^n)], x] /; FreeQ[{a, b, m, n, p}, x] && IntegerQ[Simplify[(m + 1)/n + p]]

883. Int[((c_)*(x_))^(m_)*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_), x_Symbol] :> Simp[c^IntPart[m]*((c*x)^FracPart[m]/x^FracPa
     rt[m])   Int[x^m*(a + b*x^n)^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, m, n, p}, x] && IntegerQ[Simplify[(m + 1)/n + p]]

884. Int[((c_)*(x_))^(m_)*((a1_) + (b1_.)*(x_)^(n_))^(p_)*((a2_) + (b2_.)*(x_)^(n_))^(p_), x_Symbol] :> Simp[c^IntP
     art[m]*((c*x)^FracPart[m]/x^FracPart[m])   Int[x^m*(a1 + b1*x^n)^p*(a2 + b2*x^n)^p, x], x] /; FreeQ[{a1, b1, a
     2, b2, c, m, n, p}, x] && EqQ[a2*b1 + a1*b2, 0] && IntegerQ[p + Simplify[(m + 1)/(2*n)]]

885. Int[(x_)^(m_.)/((a_) + (b_.)*(x_)^(n_)), x_Symbol] :> With[{mn = Simplify[m - n]}, Simp[x^(mn + 1)/(b*(mn + 1)
     ), x] - Simp[a/b   Int[x^mn/(a + b*x^n), x], x]] /; FreeQ[{a, b, m, n}, x] && FractionQ[Simplify[(m + 1)/n]] &
     & SumSimplerQ[m, -n]

886. Int[(x_)^(m_)/((a_) + (b_.)*(x_)^(n_)), x_Symbol] :> Simp[x^(m + 1)/(a*(m + 1)), x] - Simp[b/a   Int[x^Simplif
     y[m + n]/(a + b*x^n), x], x] /; FreeQ[{a, b, m, n}, x] && FractionQ[Simplify[(m + 1)/n]] && SumSimplerQ[m, n]

887. Int[((c_)*(x_))^(m_)/((a_) + (b_.)*(x_)^(n_)), x_Symbol] :> Simp[c^IntPart[m]*((c*x)^FracPart[m]/x^FracPart[m]
     )   Int[x^m/(a + b*x^n), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, m, n}, x] && FractionQ[Simplify[(m + 1)/n]] && (SumSimplerQ
     [m, n] || SumSimplerQ[m, -n])

888. Int[((c_.)*(x_))^(m_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_), x_Symbol] :> Simp[a^p*((c*x)^(m + 1)/(c*(m + 1)))*Hyperg
     eometric2F1[-p, (m + 1)/n, (m + 1)/n + 1, (-b)*(x^n/a)], x] /; FreeQ[{a, b, c, m, n, p}, x] &&  !IGtQ[p, 0] &&
     (ILtQ[p, 0] || GtQ[a, 0])

889. Int[((c_.)*(x_))^(m_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_), x_Symbol] :> Simp[a^IntPart[p]*((a + b*x^n)^FracPart[p]/
     (1 + b*(x^n/a))^FracPart[p])   Int[(c*x)^m*(1 + b*(x^n/a))^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, m, n, p}, x] &&  !IGtQ
     [p, 0] &&  !(ILtQ[p, 0] || GtQ[a, 0])

890. Int[((c_.)*(x_))^(m_.)*((a1_) + (b1_.)*(x_)^(n_))^(p_)*((a2_) + (b2_.)*(x_)^(n_))^(p_), x_Symbol] :> Simp[(a1
     + b1*x^n)^FracPart[p]*((a2 + b2*x^n)^FracPart[p]/(a1*a2 + b1*b2*x^(2*n))^FracPart[p])   Int[(c*x)^m*(a1*a2 + b
     1*b2*x^(2*n))^p, x], x] /; FreeQ[{a1, b1, a2, b2, c, m, n, p}, x] && EqQ[a2*b1 + a1*b2, 0] &&  !IntegerQ[p]

891. Int[((d_.)*(x_))^(m_.)*((a_) + (b_.)*((c_)*(x_))^(n_))^(p_.), x_Symbol] :> Simp[1/c   Subst[Int[(d*(x/c))^m*(a
     + b*x^n)^p, x], x, c*x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, m, n, p}, x]

892. Int[((d_.)*(x_))^(m_.)*((a_) + (b_.)*((c_.)*(x_)^(q_))^(n_))^(p_.), x_Symbol] :> Simp[(d*x)^(m + 1)/(d*((c*x^q
     )^(1/q))^(m + 1))   Subst[Int[x^m*(a + b*x^(n*q))^p, x], x, (c*x^q)^(1/q)], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, m, n, p,
     q}, x] && IntegerQ[n*q] && NeQ[x, (c*x^q)^(1/q)]

893. Int[((d_.)*(x_))^(m_.)*((a_) + (b_.)*((c_.)*(x_)^(q_))^(n_))^(p_.), x_Symbol] :> With[{k = Denominator[n]}, Su
     bst[Int[(d*x)^m*(a + b*c^n*x^(n*q))^p, x], x^(1/k), (c*x^q)^(1/k)/(c^(1/k)*(x^(1/k))^(q - 1))]] /; FreeQ[{a, b
     , c, d, m, p, q}, x] && FractionQ[n]

894. Int[((d_.)*(x_))^(m_.)*((a_) + (b_.)*((c_.)*(x_)^(q_))^(n_))^(p_.), x_Symbol] :> Subst[Int[(d*x)^m*(a + b*c^n*
     x^(n*q))^p, x], x^(n*q), (c*x^q)^n/c^n] /; FreeQ[{a, b, c, d, m, n, p, q}, x] &&  !RationalQ[n]

895. Int[(u_)^(m_.)*((a_) + (b_.)*(v_)^(n_))^(p_.), x_Symbol] :> Simp[u^m/(Coefficient[v, x, 1]*v^m)   Subst[Int[x^
     m*(a + b*x^n)^p, x], x, v], x] /; FreeQ[{a, b, m, n, p}, x] && LinearPairQ[u, v, x]

896. Int[((a_) + (b_.)*(v_)^(n_))^(p_.)*(x_)^(m_.), x_Symbol] :> With[{c = Coefficient[v, x, 0], d = Coefficient[v,
     x, 1]}, Simp[1/d^(m + 1)   Subst[Int[SimplifyIntegrand[(x - c)^m*(a + b*x^n)^p, x], x], x, v], x] /; NeQ[c, 0
     ]] /; FreeQ[{a, b, n, p}, x] && LinearQ[v, x] && IntegerQ[m]

897. Int[((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_.)*((c_) + (d_.)*(x_)^(n_))^(q_.), x_Symbol] :> Int[ExpandIntegrand[(a + b*x^n
     )^p*(c + d*x^n)^q, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, n}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && IGtQ[p, 0] && IGtQ[q, 0]

898. Int[((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_.)*((c_) + (d_.)*(x_)^(n_))^(q_.), x_Symbol] :> Int[x^(n*(p + q))*(b + a/x^n)^
     p*(d + c/x^n)^q, x] /; FreeQ[{a, b, c, d, n}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && IntegersQ[p, q] && NegQ[n]

899. Int[((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_.)*((c_) + (d_.)*(x_)^(n_))^(q_.), x_Symbol] :> -Subst[Int[(a + b/x^n)^p*((c +
     d/x^n)^q/x^2), x], x, 1/x] /; FreeQ[{a, b, c, d, p, q}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && ILtQ[n, 0]

900. Int[((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_.)*((c_) + (d_.)*(x_)^(n_))^(q_.), x_Symbol] :> With[{g = Denominator[n]}, Sim
     p[g   Subst[Int[x^(g - 1)*(a + b*x^(g*n))^p*(c + d*x^(g*n))^q, x], x, x^(1/g)], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d, p, q
     }, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && FractionQ[n]

901. Int[1/(((a_) + (b_.)*(x_)^3)^(1/3)*((c_) + (d_.)*(x_)^3)), x_Symbol] :> With[{q = Rt[(b*c - a*d)/c, 3]}, Simp[
     ArcTan[(1 + (2*q*x)/(a + b*x^3)^(1/3))/Sqrt[3]]/(Sqrt[3]*c*q), x] + (-Simp[Log[q*x - (a + b*x^3)^(1/3)]/(2*c*q
     ), x] + Simp[Log[c + d*x^3]/(6*c*q), x])] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0]

902. Int[((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_)/((c_) + (d_.)*(x_)^(n_)), x_Symbol] :> Subst[Int[1/(c - (b*c - a*d)*x^n), x]
     , x, x/(a + b*x^n)^(1/n)] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && EqQ[n*p + 1, 0] && IntegerQ[n]

903. Int[((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_)*((c_) + (d_.)*(x_)^(n_))^(q_.), x_Symbol] :> Simp[(-x)*(a + b*x^n)^(p + 1)*(
     (c + d*x^n)^q/(a*n*(p + 1))), x] - Simp[c*(q/(a*(p + 1)))   Int[(a + b*x^n)^(p + 1)*(c + d*x^n)^(q - 1), x], x
     ] /; FreeQ[{a, b, c, d, n, p}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && EqQ[n*(p + q + 1) + 1, 0] && GtQ[q, 0] && NeQ[p, -1]

904. Int[((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_)*((c_) + (d_.)*(x_)^(n_))^(q_), x_Symbol] :> Simp[a^p*(x/(c^(p + 1)*(c + d*x^
     n)^(1/n)))*Hypergeometric2F1[1/n, -p, 1 + 1/n, (-(b*c - a*d))*(x^n/(a*(c + d*x^n)))], x] /; FreeQ[{a, b, c, d,
     n, q}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && EqQ[n*(p + q + 1) + 1, 0] && ILtQ[p, 0]

905. Int[((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_)*((c_) + (d_.)*(x_)^(n_))^(q_), x_Symbol] :> Simp[x*((a + b*x^n)^p/(c*(c*((a
     + b*x^n)/(a*(c + d*x^n))))^p*(c + d*x^n)^(1/n + p)))*Hypergeometric2F1[1/n, -p, 1 + 1/n, (-(b*c - a*d))*(x^n/(
     a*(c + d*x^n)))], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, n, p, q}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && EqQ[n*(p + q + 1) + 1, 0]

906. Int[((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_)*((c_) + (d_.)*(x_)^(n_))^(q_), x_Symbol] :> Simp[x*(a + b*x^n)^(p + 1)*((c +
     d*x^n)^(q + 1)/(a*c)), x] /; FreeQ[{a, b, c, d, n, p, q}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && EqQ[n*(p + q + 2) + 1, 0
     ] && EqQ[a*d*(p + 1) + b*c*(q + 1), 0]

907. Int[((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_)*((c_) + (d_.)*(x_)^(n_))^(q_), x_Symbol] :> Simp[(-b)*x*(a + b*x^n)^(p + 1)*
     ((c + d*x^n)^(q + 1)/(a*n*(p + 1)*(b*c - a*d))), x] + Simp[(b*c + n*(p + 1)*(b*c - a*d))/(a*n*(p + 1)*(b*c - a
     *d))   Int[(a + b*x^n)^(p + 1)*(c + d*x^n)^q, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, n, q}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && E
     qQ[n*(p + q + 2) + 1, 0] && (LtQ[p, -1] ||  !LtQ[q, -1]) && NeQ[p, -1]

908. Int[((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_.)*((c_) + (d_.)*(x_)^(n_)), x_Symbol] :> Simp[c*x*((a + b*x^n)^(p + 1)/a), x]
     /; FreeQ[{a, b, c, d, n, p}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && EqQ[a*d - b*c*(n*(p + 1) + 1), 0]

909. Int[((a1_) + (b1_.)*(x_)^(non2_.))^(p_.)*((a2_) + (b2_.)*(x_)^(non2_.))^(p_.)*((c_) + (d_.)*(x_)^(n_)), x_Symb
     ol] :> Simp[c*x*(a1 + b1*x^(n/2))^(p + 1)*((a2 + b2*x^(n/2))^(p + 1)/(a1*a2)), x] /; FreeQ[{a1, b1, a2, b2, c,
     d, n, p}, x] && EqQ[non2, n/2] && EqQ[a2*b1 + a1*b2, 0] && EqQ[a1*a2*d - b1*b2*c*(n*(p + 1) + 1), 0]

910. Int[((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_)*((c_) + (d_.)*(x_)^(n_)), x_Symbol] :> Simp[(-(b*c - a*d))*x*((a + b*x^n)^(p
     + 1)/(a*b*n*(p + 1))), x] - Simp[(a*d - b*c*(n*(p + 1) + 1))/(a*b*n*(p + 1))   Int[(a + b*x^n)^(p + 1), x], x
     ] /; FreeQ[{a, b, c, d, n, p}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && (LtQ[p, -1] || ILtQ[1/n + p, 0])

911. Int[((a1_) + (b1_.)*(x_)^(non2_.))^(p_.)*((a2_) + (b2_.)*(x_)^(non2_.))^(p_.)*((c_) + (d_.)*(x_)^(n_)), x_Symb
     ol] :> Simp[(-(b1*b2*c - a1*a2*d))*x*(a1 + b1*x^(n/2))^(p + 1)*((a2 + b2*x^(n/2))^(p + 1)/(a1*a2*b1*b2*n*(p +
     1))), x] - Simp[(a1*a2*d - b1*b2*c*(n*(p + 1) + 1))/(a1*a2*b1*b2*n*(p + 1))   Int[(a1 + b1*x^(n/2))^(p + 1)*(a
     2 + b2*x^(n/2))^(p + 1), x], x] /; FreeQ[{a1, b1, a2, b2, c, d, n}, x] && EqQ[non2, n/2] && EqQ[a2*b1 + a1*b2,
     0] && (LtQ[p, -1] || ILtQ[1/n + p, 0])

912. Int[((c_) + (d_.)*(x_)^(n_))/((a_) + (b_.)*(x_)^(n_)), x_Symbol] :> Simp[c*(x/a), x] - Simp[(b*c - a*d)/a   In
     t[1/(b + a/x^n), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, n}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && LtQ[n, 0]

913. Int[((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_)*((c_) + (d_.)*(x_)^(n_)), x_Symbol] :> Simp[d*x*((a + b*x^n)^(p + 1)/(b*(n*(
     p + 1) + 1))), x] - Simp[(a*d - b*c*(n*(p + 1) + 1))/(b*(n*(p + 1) + 1))   Int[(a + b*x^n)^p, x], x] /; FreeQ[
     {a, b, c, d, n, p}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && NeQ[n*(p + 1) + 1, 0]

914. Int[((a1_) + (b1_.)*(x_)^(non2_.))^(p_.)*((a2_) + (b2_.)*(x_)^(non2_.))^(p_.)*((c_) + (d_.)*(x_)^(n_)), x_Symb
     ol] :> Simp[d*x*(a1 + b1*x^(n/2))^(p + 1)*((a2 + b2*x^(n/2))^(p + 1)/(b1*b2*(n*(p + 1) + 1))), x] - Simp[(a1*a
     2*d - b1*b2*c*(n*(p + 1) + 1))/(b1*b2*(n*(p + 1) + 1))   Int[(a1 + b1*x^(n/2))^p*(a2 + b2*x^(n/2))^p, x], x] /
     ; FreeQ[{a1, b1, a2, b2, c, d, n, p}, x] && EqQ[non2, n/2] && EqQ[a2*b1 + a1*b2, 0] && NeQ[n*(p + 1) + 1, 0]

915. Int[((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_)*((c_) + (d_.)*(x_)^(n_))^(q_), x_Symbol] :> Int[PolynomialDivide[(a + b*x^n)
     ^p, (c + d*x^n)^(-q), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && IGtQ[n, 0] && IGtQ[p, 0] && ILt
     Q[q, 0] && GeQ[p, -q]

916. Int[((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_)/((c_) + (d_.)*(x_)^(n_)), x_Symbol] :> Simp[b/d   Int[(a + b*x^n)^(p - 1), x
     ], x] - Simp[(b*c - a*d)/d   Int[(a + b*x^n)^(p - 1)/(c + d*x^n), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, p}, x] && NeQ[b
     *c - a*d, 0] && EqQ[n*(p - 1) + 1, 0] && IntegerQ[n]

917. Int[1/(((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))*((c_) + (d_.)*(x_)^(n_))), x_Symbol] :> Simp[b/(b*c - a*d)   Int[1/(a + b*x^n)
     , x], x] - Simp[d/(b*c - a*d)   Int[1/(c + d*x^n), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, n}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0]

918. Int[((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(2/3)/((c_) + (d_.)*(x_)^2), x_Symbol] :> Simp[b/d   Int[1/(a + b*x^2)^(1/3), x], x]
     - Simp[(b*c - a*d)/d   Int[1/((a + b*x^2)^(1/3)*(c + d*x^2)), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && NeQ[b*c - a
     *d, 0] && EqQ[b*c + 3*a*d, 0]

919. Int[((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(p_.)/((c_) + (d_.)*(x_)^2), x_Symbol] :> Simp[b/d   Int[(a + b*x^2)^(p - 1), x], x]
     - Simp[(b*c - a*d)/d   Int[(a + b*x^2)^(p - 1)/(c + d*x^2), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && NeQ[b*c - a*d
     , 0] && GtQ[p, 0] && (EqQ[p, 1/2] || EqQ[Denominator[p], 4])

920. Int[Sqrt[(a_) + (b_.)*(x_)^4]/((c_) + (d_.)*(x_)^4), x_Symbol] :> Simp[a/c   Subst[Int[1/(1 - 4*a*b*x^4), x],
     x, x/Sqrt[a + b*x^4]], x] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && EqQ[b*c + a*d, 0] && PosQ[a*b]

921. Int[Sqrt[(a_) + (b_.)*(x_)^4]/((c_) + (d_.)*(x_)^4), x_Symbol] :> With[{q = Rt[(-a)*b, 4]}, Simp[(a/(2*c*q))*A
     rcTan[q*x*((a + q^2*x^2)/(a*Sqrt[a + b*x^4]))], x] + Simp[(a/(2*c*q))*ArcTanh[q*x*((a - q^2*x^2)/(a*Sqrt[a + b
     *x^4]))], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && EqQ[b*c + a*d, 0] && NegQ[a*b]

922. Int[Sqrt[(a_) + (b_.)*(x_)^4]/((c_) + (d_.)*(x_)^4), x_Symbol] :> Simp[b/d   Int[1/Sqrt[a + b*x^4], x], x] - S
     imp[(b*c - a*d)/d   Int[1/(Sqrt[a + b*x^4]*(c + d*x^4)), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0]

923. Int[((a_) + (b_.)*(x_)^4)^(1/4)/((c_) + (d_.)*(x_)^4), x_Symbol] :> Simp[Sqrt[a + b*x^4]*Sqrt[a/(a + b*x^4)]
     Subst[Int[1/(Sqrt[1 - b*x^4]*(c - (b*c - a*d)*x^4)), x], x, x/(a + b*x^4)^(1/4)], x] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x
     ] && NeQ[b*c - a*d, 0]

924. Int[((a_) + (b_.)*(x_)^4)^(5/4)/((c_) + (d_.)*(x_)^4), x_Symbol] :> Simp[b/d   Int[(a + b*x^4)^(1/4), x], x] -
     Simp[(b*c - a*d)/d   Int[(a + b*x^4)^(1/4)/(c + d*x^4), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0]

925. Int[1/(Sqrt[(a_) + (b_.)*(x_)^4]*((c_) + (d_.)*(x_)^4)), x_Symbol] :> Simp[1/(2*c)   Int[1/(Sqrt[a + b*x^4]*(1
     - Rt[-d/c, 2]*x^2)), x], x] + Simp[1/(2*c)   Int[1/(Sqrt[a + b*x^4]*(1 + Rt[-d/c, 2]*x^2)), x], x] /; FreeQ[{
     a, b, c, d}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0]

926. Int[1/(((a_) + (b_.)*(x_)^4)^(3/4)*((c_) + (d_.)*(x_)^4)), x_Symbol] :> Simp[b/(b*c - a*d)   Int[1/(a + b*x^4)
     ^(3/4), x], x] - Simp[d/(b*c - a*d)   Int[(a + b*x^4)^(1/4)/(c + d*x^4), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && N
     eQ[b*c - a*d, 0]

927. Int[((a_) + (b_.)*(x_)^3)^(1/3)/((c_) + (d_.)*(x_)^3), x_Symbol] :> With[{q = Rt[b/a, 3]}, Simp[9*(a/(c*q))
     Subst[Int[x/((4 - a*x^3)*(1 + 2*a*x^3)), x], x, (1 + q*x)/(a + b*x^3)^(1/3)], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] &&
     NeQ[b*c - a*d, 0] && EqQ[b*c + a*d, 0]

928. Int[1/(((a_) + (b_.)*(x_)^3)^(2/3)*((c_) + (d_.)*(x_)^3)), x_Symbol] :> Simp[b/(b*c - a*d)   Int[1/(a + b*x^3)
     ^(2/3), x], x] - Simp[d/(b*c - a*d)   Int[(a + b*x^3)^(1/3)/(c + d*x^3), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && N
     eQ[b*c - a*d, 0] && EqQ[b*c + a*d, 0]

929. Int[((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_)*((c_) + (d_.)*(x_)^(n_))^(q_), x_Symbol] :> Simp[(-x)*(a + b*x^n)^(p + 1)*((
     c + d*x^n)^q/(a*n*(p + 1))), x] + Simp[1/(a*n*(p + 1))   Int[(a + b*x^n)^(p + 1)*(c + d*x^n)^(q - 1)*Simp[c*(n
     *(p + 1) + 1) + d*(n*(p + q + 1) + 1)*x^n, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, n}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && LtQ
     [p, -1] && LtQ[0, q, 1] && IntBinomialQ[a, b, c, d, n, p, q, x]

930. Int[((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_)*((c_) + (d_.)*(x_)^(n_))^(q_), x_Symbol] :> Simp[(a*d - c*b)*x*(a + b*x^n)^(
     p + 1)*((c + d*x^n)^(q - 1)/(a*b*n*(p + 1))), x] - Simp[1/(a*b*n*(p + 1))   Int[(a + b*x^n)^(p + 1)*(c + d*x^n
     )^(q - 2)*Simp[c*(a*d - c*b*(n*(p + 1) + 1)) + d*(a*d*(n*(q - 1) + 1) - b*c*(n*(p + q) + 1))*x^n, x], x], x] /
     ; FreeQ[{a, b, c, d, n}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && LtQ[p, -1] && GtQ[q, 1] && IntBinomialQ[a, b, c, d, n, p,
     q, x]

931. Int[((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_)*((c_) + (d_.)*(x_)^(n_))^(q_), x_Symbol] :> Simp[(-b)*x*(a + b*x^n)^(p + 1)*
     ((c + d*x^n)^(q + 1)/(a*n*(p + 1)*(b*c - a*d))), x] + Simp[1/(a*n*(p + 1)*(b*c - a*d))   Int[(a + b*x^n)^(p +
     1)*(c + d*x^n)^q*Simp[b*c + n*(p + 1)*(b*c - a*d) + d*b*(n*(p + q + 2) + 1)*x^n, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c,
     d, n, q}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && LtQ[p, -1] &&  !( !IntegerQ[p] && IntegerQ[q] && LtQ[q, -1]) && IntBinom
     ialQ[a, b, c, d, n, p, q, x]

932. Int[((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_)*((c_) + (d_.)*(x_)^(n_))^(q_), x_Symbol] :> Int[ExpandIntegrand[(a + b*x^n)^
     p*(c + d*x^n)^q, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && IGtQ[n, 0] && IntegersQ[p, q] && GtQ
     [p + q, 0]

933. Int[((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_)*((c_) + (d_.)*(x_)^(n_))^(q_), x_Symbol] :> Simp[d*x*(a + b*x^n)^(p + 1)*((c
     + d*x^n)^(q - 1)/(b*(n*(p + q) + 1))), x] + Simp[1/(b*(n*(p + q) + 1))   Int[(a + b*x^n)^p*(c + d*x^n)^(q - 2
     )*Simp[c*(b*c*(n*(p + q) + 1) - a*d) + d*(b*c*(n*(p + 2*q - 1) + 1) - a*d*(n*(q - 1) + 1))*x^n, x], x], x] /;
     FreeQ[{a, b, c, d, n, p}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && GtQ[q, 1] && NeQ[n*(p + q) + 1, 0] &&  !IGtQ[p, 1] && Int
     BinomialQ[a, b, c, d, n, p, q, x]

934. Int[((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_)*((c_) + (d_.)*(x_)^(n_))^(q_), x_Symbol] :> Simp[x*(a + b*x^n)^p*((c + d*x^n
     )^q/(n*(p + q) + 1)), x] + Simp[n/(n*(p + q) + 1)   Int[(a + b*x^n)^(p - 1)*(c + d*x^n)^(q - 1)*Simp[a*c*(p +
     q) + (q*(b*c - a*d) + a*d*(p + q))*x^n, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, n}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && GtQ[q,
     0] && GtQ[p, 0] && IntBinomialQ[a, b, c, d, n, p, q, x]

935. Int[((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_.)*((c_) + (d_.)*(x_)^(n_))^(q_), x_Symbol] :> Int[ExpandIntegrand[(a + b*x^n)
     ^p*(c + d*x^n)^q, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, n, q}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && IGtQ[p, 0]

936. Int[((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_)*((c_) + (d_.)*(x_)^(n_))^(q_), x_Symbol] :> Simp[a^p*c^q*x*AppellF1[1/n, -p,
     -q, 1 + 1/n, (-b)*(x^n/a), (-d)*(x^n/c)], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, n, p, q}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && NeQ[n
     , -1] && (IntegerQ[p] || GtQ[a, 0]) && (IntegerQ[q] || GtQ[c, 0])

937. Int[((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_)*((c_) + (d_.)*(x_)^(n_))^(q_), x_Symbol] :> Simp[a^IntPart[p]*((a + b*x^n)^F
     racPart[p]/(1 + b*(x^n/a))^FracPart[p])   Int[(1 + b*(x^n/a))^p*(c + d*x^n)^q, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, n,
     p, q}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && NeQ[n, -1] &&  !(IntegerQ[p] || GtQ[a, 0])

938. Int[((a_.) + (b_.)*(u_)^(n_))^(p_.)*((c_.) + (d_.)*(u_)^(n_))^(q_.), x_Symbol] :> Simp[1/Coefficient[u, x, 1]
     Subst[Int[(a + b*x^n)^p*(c + d*x^n)^q, x], x, u], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, n, p, q}, x] && LinearQ[u, x] &&
     NeQ[u, x]

939. Int[(u_)^(p_.)*(v_)^(q_.), x_Symbol] :> Int[NormalizePseudoBinomial[u, x]^p*NormalizePseudoBinomial[v, x]^q, x
     ] /; FreeQ[{p, q}, x] && PseudoBinomialPairQ[u, v, x]

940. Int[(u_)^(p_.)*(v_)^(q_.)*(x_)^(m_.), x_Symbol] :> Int[NormalizePseudoBinomial[x^(m/p)*u, x]^p*NormalizePseudo
     Binomial[v, x]^q, x] /; FreeQ[{p, q}, x] && IntegersQ[p, m/p] && PseudoBinomialPairQ[x^(m/p)*u, v, x]

941. Int[((c_) + (d_.)*(x_)^(mn_.))^(q_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_.))^(p_.), x_Symbol] :> Int[(a + b*x^n)^p*((d + c*x
     ^n)^q/x^(n*q)), x] /; FreeQ[{a, b, c, d, n, p}, x] && EqQ[mn, -n] && IntegerQ[q] && (PosQ[n] ||  !IntegerQ[p])

942. Int[((c_) + (d_.)*(x_)^(mn_.))^(q_)*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_.))^(p_.), x_Symbol] :> Simp[x^(n*FracPart[q])*((c +
     d/x^n)^FracPart[q]/(d + c*x^n)^FracPart[q])   Int[(a + b*x^n)^p*((d + c*x^n)^q/x^(n*q)), x], x] /; FreeQ[{a,
     b, c, d, n, p, q}, x] && EqQ[mn, -n] &&  !IntegerQ[q] &&  !IntegerQ[p]

943. Int[((e_.)*(x_))^(m_.)*((b_.)*(x_)^(n_))^(p_)*((c_) + (d_.)*(x_)^(n_))^(q_.), x_Symbol] :> Simp[e^m/(n*b^(Simp
     lify[(m + 1)/n] - 1))   Subst[Int[(b*x)^(p + Simplify[(m + 1)/n] - 1)*(c + d*x)^q, x], x, x^n], x] /; FreeQ[{b
     , c, d, e, m, n, p, q}, x] && (IntegerQ[m] || GtQ[e, 0]) && IntegerQ[Simplify[(m + 1)/n]]

944. Int[((e_.)*(x_))^(m_.)*((b_.)*(x_)^(n_.))^(p_)*((c_) + (d_.)*(x_)^(n_))^(q_.), x_Symbol] :> Simp[e^m*b^IntPart
     [p]*((b*x^n)^FracPart[p]/x^(n*FracPart[p]))   Int[x^(m + n*p)*(c + d*x^n)^q, x], x] /; FreeQ[{b, c, d, e, m, n
     , p, q}, x] && (IntegerQ[m] || GtQ[e, 0]) &&  !IntegerQ[Simplify[(m + 1)/n]]

945. Int[((e_)*(x_))^(m_)*((b_.)*(x_)^(n_.))^(p_)*((c_) + (d_.)*(x_)^(n_))^(q_.), x_Symbol] :> Simp[e^IntPart[m]*((
     e*x)^FracPart[m]/x^FracPart[m])   Int[x^m*(b*x^n)^p*(c + d*x^n)^q, x], x] /; FreeQ[{b, c, d, e, m, n, p, q}, x
     ] &&  !IntegerQ[m]

946. Int[(x_)^(m_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_.)*((c_) + (d_.)*(x_)^(n_))^(q_.), x_Symbol] :> Simp[1/n   Subst[In
     t[(a + b*x)^p*(c + d*x)^q, x], x, x^n], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, m, n, p, q}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && EqQ[m
     - n + 1, 0]

947. Int[(x_)^(m_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_.)*((c_) + (d_.)*(x_)^(n_))^(q_.), x_Symbol] :> Int[x^(m + n*(p + q
     ))*(b + a/x^n)^p*(d + c/x^n)^q, x] /; FreeQ[{a, b, c, d, m, n}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && IntegersQ[p, q] &&
     NegQ[n]

948. Int[(x_)^(m_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_.)*((c_) + (d_.)*(x_)^(n_))^(q_.), x_Symbol] :> Simp[1/n   Subst[In
     t[x^(Simplify[(m + 1)/n] - 1)*(a + b*x)^p*(c + d*x)^q, x], x, x^n], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, m, n, p, q}, x] &
     & NeQ[b*c - a*d, 0] && IntegerQ[Simplify[(m + 1)/n]]

949. Int[((e_)*(x_))^(m_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_.)*((c_) + (d_.)*(x_)^(n_))^(q_.), x_Symbol] :> Simp[e^IntPa
     rt[m]*((e*x)^FracPart[m]/x^FracPart[m])   Int[x^m*(a + b*x^n)^p*(c + d*x^n)^q, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e,
     m, n, p, q}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && IntegerQ[Simplify[(m + 1)/n]]

950. Int[((e_.)*(x_))^(m_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_.)*((c_) + (d_.)*(x_)^(n_))^(q_.), x_Symbol] :> Int[ExpandI
     ntegrand[(e*x)^m*(a + b*x^n)^p*(c + d*x^n)^q, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, m, n}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] &
     & IGtQ[p, 0] && IGtQ[q, 0]

951. Int[((e_.)*(x_))^(m_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_.)*((c_) + (d_.)*(x_)^(n_)), x_Symbol] :> Simp[c*(e*x)^(m +
     1)*((a + b*x^n)^(p + 1)/(a*e*(m + 1))), x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, m, n, p}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && EqQ[
     a*d*(m + 1) - b*c*(m + n*(p + 1) + 1), 0] && NeQ[m, -1]

952. Int[((e_.)*(x_))^(m_.)*((a1_) + (b1_.)*(x_)^(non2_.))^(p_.)*((a2_) + (b2_.)*(x_)^(non2_.))^(p_.)*((c_) + (d_.)
     *(x_)^(n_)), x_Symbol] :> Simp[c*(e*x)^(m + 1)*(a1 + b1*x^(n/2))^(p + 1)*((a2 + b2*x^(n/2))^(p + 1)/(a1*a2*e*(
     m + 1))), x] /; FreeQ[{a1, b1, a2, b2, c, d, e, m, n, p}, x] && EqQ[non2, n/2] && EqQ[a2*b1 + a1*b2, 0] && EqQ
     [a1*a2*d*(m + 1) - b1*b2*c*(m + n*(p + 1) + 1), 0] && NeQ[m, -1]

953. Int[((e_.)*(x_))^(m_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_.)*((c_) + (d_.)*(x_)^(n_)), x_Symbol] :> Simp[c*(e*x)^(m +
     1)*((a + b*x^n)^(p + 1)/(a*e*(m + 1))), x] + Simp[d/e^n   Int[(e*x)^(m + n)*(a + b*x^n)^p, x], x] /; FreeQ[{a
     , b, c, d, e, m, n, p}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && EqQ[m + n*(p + 1) + 1, 0] && (IntegerQ[n] || GtQ[e, 0]) &&
     ((GtQ[n, 0] && LtQ[m, -1]) || (LtQ[n, 0] && GtQ[m + n, -1]))

954. Int[((e_.)*(x_))^(m_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_.)*((c_) + (d_.)*(x_)^(n_)), x_Symbol] :> Simp[(b*c - a*d)*
     (e*x)^(m + 1)*((a + b*x^n)^(p + 1)/(a*b*e*(m + 1))), x] + Simp[d/b   Int[(e*x)^m*(a + b*x^n)^(p + 1), x], x] /
     ; FreeQ[{a, b, c, d, e, m, n, p}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && EqQ[m + n*(p + 1) + 1, 0] && NeQ[m, -1]

955. Int[((e_.)*(x_))^(m_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_.)*((c_) + (d_.)*(x_)^(n_)), x_Symbol] :> Simp[c*(e*x)^(m +
     1)*((a + b*x^n)^(p + 1)/(a*e*(m + 1))), x] + Simp[(a*d*(m + 1) - b*c*(m + n*(p + 1) + 1))/(a*e^n*(m + 1))   I
     nt[(e*x)^(m + n)*(a + b*x^n)^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, p}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && (IntegerQ[n] ||
     GtQ[e, 0]) && ((GtQ[n, 0] && LtQ[m, -1]) || (LtQ[n, 0] && GtQ[m + n, -1])) &&  !ILtQ[p, -1]

956. Int[((e_.)*(x_))^(m_.)*((a1_) + (b1_.)*(x_)^(non2_.))^(p_.)*((a2_) + (b2_.)*(x_)^(non2_.))^(p_.)*((c_) + (d_.)
     *(x_)^(n_)), x_Symbol] :> Simp[c*(e*x)^(m + 1)*(a1 + b1*x^(n/2))^(p + 1)*((a2 + b2*x^(n/2))^(p + 1)/(a1*a2*e*(
     m + 1))), x] + Simp[(a1*a2*d*(m + 1) - b1*b2*c*(m + n*(p + 1) + 1))/(a1*a2*e^n*(m + 1))   Int[(e*x)^(m + n)*(a
     1 + b1*x^(n/2))^p*(a2 + b2*x^(n/2))^p, x], x] /; FreeQ[{a1, b1, a2, b2, c, d, e, p}, x] && EqQ[non2, n/2] && E
     qQ[a2*b1 + a1*b2, 0] && (IntegerQ[n] || GtQ[e, 0]) && ((GtQ[n, 0] && LtQ[m, -1]) || (LtQ[n, 0] && GtQ[m + n, -
     1])) &&  !ILtQ[p, -1]

957. Int[((e_.)*(x_))^(m_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_.)*((c_) + (d_.)*(x_)^(n_)), x_Symbol] :> Simp[(-(b*c - a*d
     ))*(e*x)^(m + 1)*((a + b*x^n)^(p + 1)/(a*b*e*n*(p + 1))), x] - Simp[(a*d*(m + 1) - b*c*(m + n*(p + 1) + 1))/(a
     *b*n*(p + 1))   Int[(e*x)^m*(a + b*x^n)^(p + 1), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, m, n}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0
     ] && LtQ[p, -1] && (( !IntegerQ[p + 1/2] && NeQ[p, -5/4]) ||  !RationalQ[m] || (IGtQ[n, 0] && ILtQ[p + 1/2, 0]
     && LeQ[-1, m, (-n)*(p + 1)]))

958. Int[((e_.)*(x_))^(m_.)*((a1_) + (b1_.)*(x_)^(non2_.))^(p_.)*((a2_) + (b2_.)*(x_)^(non2_.))^(p_.)*((c_) + (d_.)
     *(x_)^(n_)), x_Symbol] :> Simp[(-(b1*b2*c - a1*a2*d))*(e*x)^(m + 1)*(a1 + b1*x^(n/2))^(p + 1)*((a2 + b2*x^(n/2
     ))^(p + 1)/(a1*a2*b1*b2*e*n*(p + 1))), x] - Simp[(a1*a2*d*(m + 1) - b1*b2*c*(m + n*(p + 1) + 1))/(a1*a2*b1*b2*
     n*(p + 1))   Int[(e*x)^m*(a1 + b1*x^(n/2))^(p + 1)*(a2 + b2*x^(n/2))^(p + 1), x], x] /; FreeQ[{a1, b1, a2, b2,
     c, d, e, m, n}, x] && EqQ[non2, n/2] && EqQ[a2*b1 + a1*b2, 0] && LtQ[p, -1] && (( !IntegerQ[p + 1/2] && NeQ[p
     , -5/4]) ||  !RationalQ[m] || (IGtQ[n, 0] && ILtQ[p + 1/2, 0] && LeQ[-1, m, (-n)*(p + 1)]))

959. Int[((e_.)*(x_))^(m_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_.)*((c_) + (d_.)*(x_)^(n_)), x_Symbol] :> Simp[d*(e*x)^(m +
     1)*((a + b*x^n)^(p + 1)/(b*e*(m + n*(p + 1) + 1))), x] - Simp[(a*d*(m + 1) - b*c*(m + n*(p + 1) + 1))/(b*(m +
     n*(p + 1) + 1))   Int[(e*x)^m*(a + b*x^n)^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, m, n, p}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0
     ] && NeQ[m + n*(p + 1) + 1, 0]

960. Int[((e_.)*(x_))^(m_.)*((a1_) + (b1_.)*(x_)^(non2_.))^(p_.)*((a2_) + (b2_.)*(x_)^(non2_.))^(p_.)*((c_) + (d_.)
     *(x_)^(n_)), x_Symbol] :> Simp[d*(e*x)^(m + 1)*(a1 + b1*x^(n/2))^(p + 1)*((a2 + b2*x^(n/2))^(p + 1)/(b1*b2*e*(
     m + n*(p + 1) + 1))), x] - Simp[(a1*a2*d*(m + 1) - b1*b2*c*(m + n*(p + 1) + 1))/(b1*b2*(m + n*(p + 1) + 1))
     Int[(e*x)^m*(a1 + b1*x^(n/2))^p*(a2 + b2*x^(n/2))^p, x], x] /; FreeQ[{a1, b1, a2, b2, c, d, e, m, n, p}, x] &&
     EqQ[non2, n/2] && EqQ[a2*b1 + a1*b2, 0] && NeQ[m + n*(p + 1) + 1, 0]

961. Int[(((e_.)*(x_))^(m_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_))/((c_) + (d_.)*(x_)^(n_)), x_Symbol] :> Int[ExpandIntegr
     and[(e*x)^m*((a + b*x^n)^p/(c + d*x^n)), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, m}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && IGtQ[n
     , 0] && IGtQ[p, 0] && (IntegerQ[m] || IGtQ[2*(m + 1), 0] ||  !RationalQ[m])

962. Int[((e_.)*(x_))^(m_)*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_)*((c_) + (d_.)*(x_)^(n_))^2, x_Symbol] :> Simp[c^2*(e*x)^(m
     + 1)*((a + b*x^n)^(p + 1)/(a*e*(m + 1))), x] - Simp[1/(a*e^n*(m + 1))   Int[(e*x)^(m + n)*(a + b*x^n)^p*Simp[
     b*c^2*n*(p + 1) + c*(b*c - 2*a*d)*(m + 1) - a*(m + 1)*d^2*x^n, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, p}, x] && N
     eQ[b*c - a*d, 0] && IGtQ[n, 0] && LtQ[m, -1] && GtQ[n, 0]

963. Int[((e_.)*(x_))^(m_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_)*((c_) + (d_.)*(x_)^(n_))^2, x_Symbol] :> Simp[(-(b*c - a*
     d)^2)*(e*x)^(m + 1)*((a + b*x^n)^(p + 1)/(a*b^2*e*n*(p + 1))), x] + Simp[1/(a*b^2*n*(p + 1))   Int[(e*x)^m*(a
     + b*x^n)^(p + 1)*Simp[(b*c - a*d)^2*(m + 1) + b^2*c^2*n*(p + 1) + a*b*d^2*n*(p + 1)*x^n, x], x], x] /; FreeQ[{
     a, b, c, d, e, m, n}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && IGtQ[n, 0] && LtQ[p, -1]

964. Int[((e_.)*(x_))^(m_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_)*((c_) + (d_.)*(x_)^(n_))^2, x_Symbol] :> Simp[d^2*(e*x)^(
     m + n + 1)*((a + b*x^n)^(p + 1)/(b*e^(n + 1)*(m + n*(p + 2) + 1))), x] + Simp[1/(b*(m + n*(p + 2) + 1))   Int[
     (e*x)^m*(a + b*x^n)^p*Simp[b*c^2*(m + n*(p + 2) + 1) - d*(a*d*(m + n + 1) - 2*b*c*(m + n*(p + 2) + 1))*x^n, x]
     , x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, m, n, p}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && IGtQ[n, 0] && NeQ[m + n*(p + 2) + 1, 0]

965. Int[(x_)^(m_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_)*((c_) + (d_.)*(x_)^(n_))^(q_), x_Symbol] :> With[{k = GCD[m + 1,
     n]}, Simp[1/k   Subst[Int[x^((m + 1)/k - 1)*(a + b*x^(n/k))^p*(c + d*x^(n/k))^q, x], x, x^k], x] /; k != 1] /;
     FreeQ[{a, b, c, d, p, q}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && IGtQ[n, 0] && IntegerQ[m]

966. Int[((e_.)*(x_))^(m_)*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_)*((c_) + (d_.)*(x_)^(n_))^(q_), x_Symbol] :> With[{k = Deno
     minator[m]}, Simp[k/e   Subst[Int[x^(k*(m + 1) - 1)*(a + b*(x^(k*n)/e^n))^p*(c + d*(x^(k*n)/e^n))^q, x], x, (e
     *x)^(1/k)], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, p, q}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && IGtQ[n, 0] && FractionQ[m] && Integ
     erQ[p]

967. Int[((e_.)*(x_))^(m_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_)*((c_) + (d_.)*(x_)^(n_))^(q_), x_Symbol] :> Simp[e^(n - 1
     )*(e*x)^(m - n + 1)*(a + b*x^n)^(p + 1)*((c + d*x^n)^q/(b*n*(p + 1))), x] - Simp[e^n/(b*n*(p + 1))   Int[(e*x)
     ^(m - n)*(a + b*x^n)^(p + 1)*(c + d*x^n)^(q - 1)*Simp[c*(m - n + 1) + d*(m + n*(q - 1) + 1)*x^n, x], x], x] /;
     FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && IGtQ[n, 0] && LtQ[p, -1] && GtQ[q, 0] && GtQ[m - n + 1, 0]
     && IntBinomialQ[a, b, c, d, e, m, n, p, q, x]

968. Int[((e_.)*(x_))^(m_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_)*((c_) + (d_.)*(x_)^(n_))^(q_), x_Symbol] :> Simp[(-(c*b -
     a*d))*(e*x)^(m + 1)*(a + b*x^n)^(p + 1)*((c + d*x^n)^(q - 1)/(a*b*e*n*(p + 1))), x] + Simp[1/(a*b*n*(p + 1))
     Int[(e*x)^m*(a + b*x^n)^(p + 1)*(c + d*x^n)^(q - 2)*Simp[c*(c*b*n*(p + 1) + (c*b - a*d)*(m + 1)) + d*(c*b*n*
     (p + 1) + (c*b - a*d)*(m + n*(q - 1) + 1))*x^n, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, m}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0
     ] && IGtQ[n, 0] && LtQ[p, -1] && GtQ[q, 1] && IntBinomialQ[a, b, c, d, e, m, n, p, q, x]

969. Int[((e_.)*(x_))^(m_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_)*((c_) + (d_.)*(x_)^(n_))^(q_), x_Symbol] :> Simp[(-(e*x)^
     (m + 1))*(a + b*x^n)^(p + 1)*((c + d*x^n)^q/(a*e*n*(p + 1))), x] + Simp[1/(a*n*(p + 1))   Int[(e*x)^m*(a + b*x
     ^n)^(p + 1)*(c + d*x^n)^(q - 1)*Simp[c*(m + n*(p + 1) + 1) + d*(m + n*(p + q + 1) + 1)*x^n, x], x], x] /; Free
     Q[{a, b, c, d, e, m}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && IGtQ[n, 0] && LtQ[p, -1] && LtQ[0, q, 1] && IntBinomialQ[a, b
     , c, d, e, m, n, p, q, x]

970. Int[((e_.)*(x_))^(m_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_)*((c_) + (d_.)*(x_)^(n_))^(q_), x_Symbol] :> Simp[(-a)*e^(
     2*n - 1)*(e*x)^(m - 2*n + 1)*(a + b*x^n)^(p + 1)*((c + d*x^n)^(q + 1)/(b*n*(b*c - a*d)*(p + 1))), x] + Simp[e^
     (2*n)/(b*n*(b*c - a*d)*(p + 1))   Int[(e*x)^(m - 2*n)*(a + b*x^n)^(p + 1)*(c + d*x^n)^q*Simp[a*c*(m - 2*n + 1)
     + (a*d*(m - n + n*q + 1) + b*c*n*(p + 1))*x^n, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, q}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0
     ] && IGtQ[n, 0] && LtQ[p, -1] && GtQ[m - n + 1, n] && IntBinomialQ[a, b, c, d, e, m, n, p, q, x]

971. Int[((e_.)*(x_))^(m_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_)*((c_) + (d_.)*(x_)^(n_))^(q_), x_Symbol] :> Simp[e^(n - 1
     )*(e*x)^(m - n + 1)*(a + b*x^n)^(p + 1)*((c + d*x^n)^(q + 1)/(n*(b*c - a*d)*(p + 1))), x] - Simp[e^n/(n*(b*c -
     a*d)*(p + 1))   Int[(e*x)^(m - n)*(a + b*x^n)^(p + 1)*(c + d*x^n)^q*Simp[c*(m - n + 1) + d*(m + n*(p + q + 1)
     + 1)*x^n, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, q}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && IGtQ[n, 0] && LtQ[p, -1] && GeQ[
     n, m - n + 1] && GtQ[m - n + 1, 0] && IntBinomialQ[a, b, c, d, e, m, n, p, q, x]

972. Int[((e_.)*(x_))^(m_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_)*((c_) + (d_.)*(x_)^(n_))^(q_), x_Symbol] :> Simp[(-b)*(e*
     x)^(m + 1)*(a + b*x^n)^(p + 1)*((c + d*x^n)^(q + 1)/(a*e*n*(b*c - a*d)*(p + 1))), x] + Simp[1/(a*n*(b*c - a*d)
     *(p + 1))   Int[(e*x)^m*(a + b*x^n)^(p + 1)*(c + d*x^n)^q*Simp[c*b*(m + 1) + n*(b*c - a*d)*(p + 1) + d*b*(m +
     n*(p + q + 2) + 1)*x^n, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, m, q}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && IGtQ[n, 0] && Lt
     Q[p, -1] && IntBinomialQ[a, b, c, d, e, m, n, p, q, x]

973. Int[((e_.)*(x_))^(m_)*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_)*((c_) + (d_.)*(x_)^(n_))^(q_), x_Symbol] :> Simp[(e*x)^(m
     + 1)*(a + b*x^n)^p*((c + d*x^n)^q/(e*(m + 1))), x] - Simp[n/(e^n*(m + 1))   Int[(e*x)^(m + n)*(a + b*x^n)^(p -
     1)*(c + d*x^n)^(q - 1)*Simp[b*c*p + a*d*q + b*d*(p + q)*x^n, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && NeQ[b
     *c - a*d, 0] && IGtQ[n, 0] && GtQ[q, 0] && LtQ[m, -1] && GtQ[p, 0] && IntBinomialQ[a, b, c, d, e, m, n, p, q,
     x]

974. Int[((e_.)*(x_))^(m_)*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_)*((c_) + (d_.)*(x_)^(n_))^(q_), x_Symbol] :> Simp[c*(e*x)^(
     m + 1)*(a + b*x^n)^(p + 1)*((c + d*x^n)^(q - 1)/(a*e*(m + 1))), x] - Simp[1/(a*e^n*(m + 1))   Int[(e*x)^(m + n
     )*(a + b*x^n)^p*(c + d*x^n)^(q - 2)*Simp[c*(c*b - a*d)*(m + 1) + c*n*(b*c*(p + 1) + a*d*(q - 1)) + d*((c*b - a
     *d)*(m + 1) + c*b*n*(p + q))*x^n, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, p}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && IGtQ[n, 0
     ] && GtQ[q, 1] && LtQ[m, -1] && IntBinomialQ[a, b, c, d, e, m, n, p, q, x]

975. Int[((e_.)*(x_))^(m_)*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_)*((c_) + (d_.)*(x_)^(n_))^(q_), x_Symbol] :> Simp[(e*x)^(m
     + 1)*(a + b*x^n)^(p + 1)*((c + d*x^n)^q/(a*e*(m + 1))), x] - Simp[1/(a*e^n*(m + 1))   Int[(e*x)^(m + n)*(a + b
     *x^n)^p*(c + d*x^n)^(q - 1)*Simp[c*b*(m + 1) + n*(b*c*(p + 1) + a*d*q) + d*(b*(m + 1) + b*n*(p + q + 1))*x^n,
     x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, p}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && IGtQ[n, 0] && LtQ[0, q, 1] && LtQ[m, -1] &&
     IntBinomialQ[a, b, c, d, e, m, n, p, q, x]

976. Int[((e_.)*(x_))^(m_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_)*((c_) + (d_.)*(x_)^(n_))^(q_), x_Symbol] :> Simp[(e*x)^(m
     + 1)*(a + b*x^n)^p*((c + d*x^n)^q/(e*(m + n*(p + q) + 1))), x] + Simp[n/(m + n*(p + q) + 1)   Int[(e*x)^m*(a
     + b*x^n)^(p - 1)*(c + d*x^n)^(q - 1)*Simp[a*c*(p + q) + (q*(b*c - a*d) + a*d*(p + q))*x^n, x], x], x] /; FreeQ
     [{a, b, c, d, e, m}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && IGtQ[n, 0] && GtQ[q, 0] && GtQ[p, 0] && IntBinomialQ[a, b, c,
     d, e, m, n, p, q, x]

977. Int[((e_.)*(x_))^(m_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_)*((c_) + (d_.)*(x_)^(n_))^(q_), x_Symbol] :> Simp[d*(e*x)^
     (m + 1)*(a + b*x^n)^(p + 1)*((c + d*x^n)^(q - 1)/(b*e*(m + n*(p + q) + 1))), x] + Simp[1/(b*(m + n*(p + q) + 1
     ))   Int[(e*x)^m*(a + b*x^n)^p*(c + d*x^n)^(q - 2)*Simp[c*((c*b - a*d)*(m + 1) + c*b*n*(p + q)) + (d*(c*b - a*
     d)*(m + 1) + d*n*(q - 1)*(b*c - a*d) + c*b*d*n*(p + q))*x^n, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, m, p}, x] &&
     NeQ[b*c - a*d, 0] && IGtQ[n, 0] && GtQ[q, 1] && IntBinomialQ[a, b, c, d, e, m, n, p, q, x]

978. Int[((e_.)*(x_))^(m_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_)*((c_) + (d_.)*(x_)^(n_))^(q_), x_Symbol] :> Simp[e^(n - 1
     )*(e*x)^(m - n + 1)*(a + b*x^n)^(p + 1)*((c + d*x^n)^q/(b*(m + n*(p + q) + 1))), x] - Simp[e^n/(b*(m + n*(p +
     q) + 1))   Int[(e*x)^(m - n)*(a + b*x^n)^p*(c + d*x^n)^(q - 1)*Simp[a*c*(m - n + 1) + (a*d*(m - n + 1) - n*q*(
     b*c - a*d))*x^n, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, p}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && IGtQ[n, 0] && GtQ[q, 0] &&
     GtQ[m - n + 1, 0] && IntBinomialQ[a, b, c, d, e, m, n, p, q, x]

979. Int[((e_.)*(x_))^(m_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_)*((c_) + (d_.)*(x_)^(n_))^(q_), x_Symbol] :> Simp[e^(2*n -
     1)*(e*x)^(m - 2*n + 1)*(a + b*x^n)^(p + 1)*((c + d*x^n)^(q + 1)/(b*d*(m + n*(p + q) + 1))), x] - Simp[e^(2*n)
     /(b*d*(m + n*(p + q) + 1))   Int[(e*x)^(m - 2*n)*(a + b*x^n)^p*(c + d*x^n)^q*Simp[a*c*(m - 2*n + 1) + (a*d*(m
     + n*(q - 1) + 1) + b*c*(m + n*(p - 1) + 1))*x^n, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, p, q}, x] && NeQ[b*c - a*
     d, 0] && IGtQ[n, 0] && GtQ[m - n + 1, n] && IntBinomialQ[a, b, c, d, e, m, n, p, q, x]

980. Int[((e_.)*(x_))^(m_)*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_)*((c_) + (d_.)*(x_)^(n_))^(q_), x_Symbol] :> Simp[(e*x)^(m
     + 1)*(a + b*x^n)^(p + 1)*((c + d*x^n)^(q + 1)/(a*c*e*(m + 1))), x] - Simp[1/(a*c*e^n*(m + 1))   Int[(e*x)^(m +
     n)*(a + b*x^n)^p*(c + d*x^n)^q*Simp[(b*c + a*d)*(m + n + 1) + n*(b*c*p + a*d*q) + b*d*(m + n*(p + q + 2) + 1)
     *x^n, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, p, q}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && IGtQ[n, 0] && LtQ[m, -1] && IntBin
     omialQ[a, b, c, d, e, m, n, p, q, x]

981. Int[((e_.)*(x_))^(m_.)/(((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))*((c_) + (d_.)*(x_)^(n_))), x_Symbol] :> Simp[(-a)*(e^n/(b*c -
     a*d))   Int[(e*x)^(m - n)/(a + b*x^n), x], x] + Simp[c*(e^n/(b*c - a*d))   Int[(e*x)^(m - n)/(c + d*x^n), x],
     x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, m}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && IGtQ[n, 0] && LeQ[n, m, 2*n - 1]

982. Int[((e_.)*(x_))^(m_.)/(((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))*((c_) + (d_.)*(x_)^(n_))), x_Symbol] :> Simp[b/(b*c - a*d)
     Int[(e*x)^m/(a + b*x^n), x], x] - Simp[d/(b*c - a*d)   Int[(e*x)^m/(c + d*x^n), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e
     , m}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && IGtQ[n, 0]

983. Int[(((e_.)*(x_))^(m_)*((c_) + (d_.)*(x_)^(n_))^(q_.))/((a_) + (b_.)*(x_)^(n_)), x_Symbol] :> Simp[e^n/b   Int
     [(e*x)^(m - n)*(c + d*x^n)^q, x], x] - Simp[a*(e^n/b)   Int[(e*x)^(m - n)*((c + d*x^n)^q/(a + b*x^n)), x], x]
     /; FreeQ[{a, b, c, d, e, m, q}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && IGtQ[n, 0] && LeQ[n, m, 2*n - 1] && IntBinomialQ[a,
     b, c, d, e, m, n, -1, q, x]

984. Int[((x_)*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_))/((c_) + (d_.)*(x_)^(n_)), x_Symbol] :> Simp[b/d   Int[x*(a + b*x^n)^(
     p - 1), x], x] - Simp[(b*c - a*d)/d   Int[x*((a + b*x^n)^(p - 1)/(c + d*x^n)), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x
     ] && NeQ[b*c - a*d, 0] && IGtQ[n, 0] && GtQ[p, 0] && IntBinomialQ[a, b, c, d, 1, 1, n, p, -1, x]

985. Int[((x_)*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_))/((c_) + (d_.)*(x_)^(n_)), x_Symbol] :> Simp[b/(b*c - a*d)   Int[x*(a
     + b*x^n)^(p - 1), x], x] - Simp[d/(b*c - a*d)   Int[x*((a + b*x^n)^(p + 1)/(c + d*x^n)), x], x] /; FreeQ[{a, b
     , c, d}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && IGtQ[n, 0] && LtQ[p, -1] && IntBinomialQ[a, b, c, d, 1, 1, n, p, -1, x]

986. Int[(x_)/(((a_) + (b_.)*(x_)^3)*Sqrt[(c_) + (d_.)*(x_)^3]), x_Symbol] :> With[{q = Rt[d/c, 3]}, Simp[q*(ArcTan
     h[Sqrt[c + d*x^3]/Rt[c, 2]]/(9*2^(2/3)*b*Rt[c, 2])), x] + (-Simp[q*(ArcTanh[Rt[c, 2]*((1 - 2^(1/3)*q*x)/Sqrt[c
     + d*x^3])]/(3*2^(2/3)*b*Rt[c, 2])), x] + Simp[q*(ArcTan[Sqrt[c + d*x^3]/(Sqrt[3]*Rt[c, 2])]/(3*2^(2/3)*Sqrt[3
     ]*b*Rt[c, 2])), x] - Simp[q*(ArcTan[Sqrt[3]*Rt[c, 2]*((1 + 2^(1/3)*q*x)/Sqrt[c + d*x^3])]/(3*2^(2/3)*Sqrt[3]*b
     *Rt[c, 2])), x])] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && EqQ[4*b*c - a*d, 0] && PosQ[c]

987. Int[(x_)/(((a_) + (b_.)*(x_)^3)*Sqrt[(c_) + (d_.)*(x_)^3]), x_Symbol] :> With[{q = Rt[d/c, 3]}, Simp[(-q)*(Arc
     Tan[Sqrt[c + d*x^3]/Rt[-c, 2]]/(9*2^(2/3)*b*Rt[-c, 2])), x] + (-Simp[q*(ArcTan[Rt[-c, 2]*((1 - 2^(1/3)*q*x)/Sq
     rt[c + d*x^3])]/(3*2^(2/3)*b*Rt[-c, 2])), x] - Simp[q*(ArcTanh[Sqrt[c + d*x^3]/(Sqrt[3]*Rt[-c, 2])]/(3*2^(2/3)
     *Sqrt[3]*b*Rt[-c, 2])), x] - Simp[q*(ArcTanh[Sqrt[3]*Rt[-c, 2]*((1 + 2^(1/3)*q*x)/Sqrt[c + d*x^3])]/(3*2^(2/3)
     *Sqrt[3]*b*Rt[-c, 2])), x])] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && EqQ[4*b*c - a*d, 0] && NegQ[c]

988. Int[(x_)/(((a_) + (b_.)*(x_)^3)*Sqrt[(c_) + (d_.)*(x_)^3]), x_Symbol] :> With[{q = Rt[d/c, 3]}, Simp[d*(q/(4*b
     ))   Int[x^2/((8*c - d*x^3)*Sqrt[c + d*x^3]), x], x] + (-Simp[q^2/(12*b)   Int[(1 + q*x)/((2 - q*x)*Sqrt[c + d
     *x^3]), x], x] + Simp[1/(12*b*c)   Int[(2*c*q^2 - 2*d*x - d*q*x^2)/((4 + 2*q*x + q^2*x^2)*Sqrt[c + d*x^3]), x]
     , x])] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && EqQ[8*b*c + a*d, 0]

989. Int[(x_)/(Sqrt[(a_) + (b_.)*(x_)^3]*((c_) + (d_.)*(x_)^3)), x_Symbol] :> With[{q = Rt[b/a, 3], r = Simplify[(b
     *c - 10*a*d)/(6*a*d)]}, Simp[(-q)*(2 - r)*(ArcTan[(1 - r)*(Sqrt[a + b*x^3]/(Sqrt[2]*Rt[a, 2]*r^(3/2)))]/(3*Sqr
     t[2]*Rt[a, 2]*d*r^(3/2))), x] + (-Simp[q*(2 - r)*(ArcTan[Rt[a, 2]*Sqrt[r]*(1 + r)*((1 + q*x)/(Sqrt[2]*Sqrt[a +
     b*x^3]))]/(2*Sqrt[2]*Rt[a, 2]*d*r^(3/2))), x] - Simp[q*(2 - r)*(ArcTanh[Rt[a, 2]*Sqrt[r]*((1 + r - 2*q*x)/(Sq
     rt[2]*Sqrt[a + b*x^3]))]/(3*Sqrt[2]*Rt[a, 2]*d*Sqrt[r])), x] - Simp[q*(2 - r)*(ArcTanh[Rt[a, 2]*(1 - r)*Sqrt[r
     ]*((1 + q*x)/(Sqrt[2]*Sqrt[a + b*x^3]))]/(6*Sqrt[2]*Rt[a, 2]*d*Sqrt[r])), x])] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && Ne
     Q[b*c - a*d, 0] && EqQ[b^2*c^2 - 20*a*b*c*d - 8*a^2*d^2, 0] && PosQ[a]

990. Int[(x_)/(Sqrt[(a_) + (b_.)*(x_)^3]*((c_) + (d_.)*(x_)^3)), x_Symbol] :> With[{q = Rt[b/a, 3], r = Simplify[(b
     *c - 10*a*d)/(6*a*d)]}, Simp[q*(2 - r)*(ArcTanh[(1 - r)*(Sqrt[a + b*x^3]/(Sqrt[2]*Rt[-a, 2]*r^(3/2)))]/(3*Sqrt
     [2]*Rt[-a, 2]*d*r^(3/2))), x] + (-Simp[q*(2 - r)*(ArcTanh[Rt[-a, 2]*Sqrt[r]*(1 + r)*((1 + q*x)/(Sqrt[2]*Sqrt[a
     + b*x^3]))]/(2*Sqrt[2]*Rt[-a, 2]*d*r^(3/2))), x] - Simp[q*(2 - r)*(ArcTan[Rt[-a, 2]*Sqrt[r]*((1 + r - 2*q*x)/
     (Sqrt[2]*Sqrt[a + b*x^3]))]/(3*Sqrt[2]*Rt[-a, 2]*d*Sqrt[r])), x] - Simp[q*(2 - r)*(ArcTan[Rt[-a, 2]*(1 - r)*Sq
     rt[r]*((1 + q*x)/(Sqrt[2]*Sqrt[a + b*x^3]))]/(6*Sqrt[2]*Rt[-a, 2]*d*Sqrt[r])), x])] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x]
     && NeQ[b*c - a*d, 0] && EqQ[b^2*c^2 - 20*a*b*c*d - 8*a^2*d^2, 0] && NegQ[a]

991. Int[(x_)/(((a_) + (b_.)*(x_)^3)^(1/3)*((c_) + (d_.)*(x_)^3)), x_Symbol] :> With[{q = Rt[b/a, 3]}, Simp[-q^2/(3
     *d)   Int[1/((1 - q*x)*(a + b*x^3)^(1/3)), x], x] + Simp[q/d   Subst[Int[1/(1 + 2*a*x^3), x], x, (1 + q*x)/(a
     + b*x^3)^(1/3)], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && EqQ[b*c + a*d, 0]

992. Int[(x_)/(((a_) + (b_.)*(x_)^3)^(2/3)*((c_) + (d_.)*(x_)^3)), x_Symbol] :> With[{q = Rt[(b*c - a*d)/c, 3]}, Si
     mp[-ArcTan[(1 + (2*q*x)/(a + b*x^3)^(1/3))/Sqrt[3]]/(Sqrt[3]*c*q^2), x] + (-Simp[Log[q*x - (a + b*x^3)^(1/3)]/
     (2*c*q^2), x] + Simp[Log[c + d*x^3]/(6*c*q^2), x])] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0]

993. Int[(x_)^2/(((a_) + (b_.)*(x_)^4)*Sqrt[(c_) + (d_.)*(x_)^4]), x_Symbol] :> With[{r = Numerator[Rt[-a/b, 2]], s
     = Denominator[Rt[-a/b, 2]]}, Simp[s/(2*b)   Int[1/((r + s*x^2)*Sqrt[c + d*x^4]), x], x] - Simp[s/(2*b)   Int[
     1/((r - s*x^2)*Sqrt[c + d*x^4]), x], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0]

994. Int[((x_)^2*Sqrt[(c_) + (d_.)*(x_)^4])/((a_) + (b_.)*(x_)^4), x_Symbol] :> Simp[d/b   Int[x^2/Sqrt[c + d*x^4],
     x], x] + Simp[(b*c - a*d)/b   Int[x^2/((a + b*x^4)*Sqrt[c + d*x^4]), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && NeQ[
     b*c - a*d, 0]

995. Int[(x_)^4/(Sqrt[(a_) + (b_.)*(x_)^4]*Sqrt[(c_) + (d_.)*(x_)^4]), x_Symbol] :> Simp[1/b   Int[Sqrt[a + b*x^4]/
     Sqrt[c + d*x^4], x], x] - Simp[a/b   Int[1/(Sqrt[a + b*x^4]*Sqrt[c + d*x^4]), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x]
     && NeQ[b*c - a*d, 0]

996. Int[(x_)^(m_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_)*((c_) + (d_.)*(x_)^(n_))^(q_.), x_Symbol] :> With[{k = Denominato
     r[p]}, Simp[k*(a^(p + (m + 1)/n)/n)   Subst[Int[x^(k*((m + 1)/n) - 1)*((c - (b*c - a*d)*x^k)^q/(1 - b*x^k)^(p
     + q + (m + 1)/n + 1)), x], x, x^(n/k)/(a + b*x^n)^(1/k)], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && IGtQ[n, 0] && Ratio
     nalQ[m, p] && IntegersQ[p + (m + 1)/n, q] && LtQ[-1, p, 0]

997. Int[(x_)^(m_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_)*((c_) + (d_.)*(x_)^(n_))^(q_), x_Symbol] :> -Subst[Int[(a + b/x^n
     )^p*((c + d/x^n)^q/x^(m + 2)), x], x, 1/x] /; FreeQ[{a, b, c, d, p, q}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && ILtQ[n, 0]
     && IntegerQ[m]

998. Int[((e_.)*(x_))^(m_)*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_)*((c_) + (d_.)*(x_)^(n_))^(q_), x_Symbol] :> With[{g = Deno
     minator[m]}, Simp[-g/e   Subst[Int[(a + b/(e^n*x^(g*n)))^p*((c + d/(e^n*x^(g*n)))^q/x^(g*(m + 1) + 1)), x], x,
     1/(e*x)^(1/g)], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, p, q}, x] && ILtQ[n, 0] && FractionQ[m]

999. Int[((e_.)*(x_))^(m_)*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_)*((c_) + (d_.)*(x_)^(n_))^(q_), x_Symbol] :> Simp[(-(e*x)^m
     )*(x^(-1))^m   Subst[Int[(a + b/x^n)^p*((c + d/x^n)^q/x^(m + 2)), x], x, 1/x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, m,
     p, q}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && ILtQ[n, 0] &&  !RationalQ[m]

1000. Int[(x_)^(m_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_)*((c_) + (d_.)*(x_)^(n_))^(q_), x_Symbol] :> With[{g = Denominator
      [n]}, Simp[g   Subst[Int[x^(g*(m + 1) - 1)*(a + b*x^(g*n))^p*(c + d*x^(g*n))^q, x], x, x^(1/g)], x]] /; FreeQ[
      {a, b, c, d, m, p, q}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && FractionQ[n]

1001. Int[((e_)*(x_))^(m_)*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_)*((c_) + (d_.)*(x_)^(n_))^(q_), x_Symbol] :> Simp[e^IntPart[
      m]*((e*x)^FracPart[m]/x^FracPart[m])   Int[x^m*(a + b*x^n)^p*(c + d*x^n)^q, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, m,
      p, q}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && FractionQ[n]

1002. Int[(x_)^(m_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_)*((c_) + (d_.)*(x_)^(n_))^(q_), x_Symbol] :> Simp[1/(m + 1)   Subs
      t[Int[(a + b*x^Simplify[n/(m + 1)])^p*(c + d*x^Simplify[n/(m + 1)])^q, x], x, x^(m + 1)], x] /; FreeQ[{a, b, c
      , d, m, n, p, q}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && IntegerQ[Simplify[n/(m + 1)]] &&  !IntegerQ[n]

1003. Int[((e_)*(x_))^(m_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_)*((c_) + (d_.)*(x_)^(n_))^(q_), x_Symbol] :> Simp[e^IntPart
      [m]*((e*x)^FracPart[m]/x^FracPart[m])   Int[x^m*(a + b*x^n)^p*(c + d*x^n)^q, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, m
      , n, p, q}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && IntegerQ[Simplify[n/(m + 1)]] &&  !IntegerQ[n]

1004. Int[((e_.)*(x_))^(m_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_)*((c_) + (d_.)*(x_)^(n_))^(q_), x_Symbol] :> Simp[(-(c*b -
      a*d))*(e*x)^(m + 1)*(a + b*x^n)^(p + 1)*((c + d*x^n)^(q - 1)/(a*b*e*n*(p + 1))), x] + Simp[1/(a*b*n*(p + 1))
      Int[(e*x)^m*(a + b*x^n)^(p + 1)*(c + d*x^n)^(q - 2)*Simp[c*(c*b*n*(p + 1) + (c*b - a*d)*(m + 1)) + d*(c*b*n*
      (p + 1) + (c*b - a*d)*(m + n*(q - 1) + 1))*x^n, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, m, n}, x] && NeQ[b*c - a*d
      , 0] && LtQ[p, -1] && GtQ[q, 1] && IntBinomialQ[a, b, c, d, e, m, n, p, q, x]

1005. Int[((e_.)*(x_))^(m_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_)*((c_) + (d_.)*(x_)^(n_))^(q_), x_Symbol] :> Simp[(-(e*x)^
      (m + 1))*(a + b*x^n)^(p + 1)*((c + d*x^n)^q/(a*e*n*(p + 1))), x] + Simp[1/(a*n*(p + 1))   Int[(e*x)^m*(a + b*x
      ^n)^(p + 1)*(c + d*x^n)^(q - 1)*Simp[c*(m + n*(p + 1) + 1) + d*(m + n*(p + q + 1) + 1)*x^n, x], x], x] /; Free
      Q[{a, b, c, d, e, m, n}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && LtQ[p, -1] && LtQ[0, q, 1] && IntBinomialQ[a, b, c, d, e,
      m, n, p, q, x]

1006. Int[((e_.)*(x_))^(m_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_)*((c_) + (d_.)*(x_)^(n_))^(q_), x_Symbol] :> Simp[(-b)*(e*
      x)^(m + 1)*(a + b*x^n)^(p + 1)*((c + d*x^n)^(q + 1)/(a*e*n*(b*c - a*d)*(p + 1))), x] + Simp[1/(a*n*(b*c - a*d)
      *(p + 1))   Int[(e*x)^m*(a + b*x^n)^(p + 1)*(c + d*x^n)^q*Simp[c*b*(m + 1) + n*(b*c - a*d)*(p + 1) + d*b*(m +
      n*(p + q + 2) + 1)*x^n, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, m, n, q}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && LtQ[p, -1] &&
      IntBinomialQ[a, b, c, d, e, m, n, p, q, x]

1007. Int[((e_.)*(x_))^(m_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_)*((c_) + (d_.)*(x_)^(n_))^(q_), x_Symbol] :> Simp[(e*x)^(m
      + 1)*(a + b*x^n)^p*((c + d*x^n)^q/(e*(m + n*(p + q) + 1))), x] + Simp[n/(m + n*(p + q) + 1)   Int[(e*x)^m*(a
      + b*x^n)^(p - 1)*(c + d*x^n)^(q - 1)*Simp[a*c*(p + q) + (q*(b*c - a*d) + a*d*(p + q))*x^n, x], x], x] /; FreeQ
      [{a, b, c, d, e, m, n}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && GtQ[q, 0] && GtQ[p, 0] && IntBinomialQ[a, b, c, d, e, m, n,
      p, q, x]

1008. Int[((e_.)*(x_))^(m_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_)*((c_) + (d_.)*(x_)^(n_))^(q_), x_Symbol] :> Simp[d*(e*x)^
      (m + 1)*(a + b*x^n)^(p + 1)*((c + d*x^n)^(q - 1)/(b*e*(m + n*(p + q) + 1))), x] + Simp[1/(b*(m + n*(p + q) + 1
      ))   Int[(e*x)^m*(a + b*x^n)^p*(c + d*x^n)^(q - 2)*Simp[c*((c*b - a*d)*(m + 1) + c*b*n*(p + q)) + (d*(c*b - a*
      d)*(m + 1) + d*n*(q - 1)*(b*c - a*d) + c*b*d*n*(p + q))*x^n, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, m, n, p}, x]
      && NeQ[b*c - a*d, 0] && GtQ[q, 1] && IntBinomialQ[a, b, c, d, e, m, n, p, q, x]

1009. Int[(x_)^(m_)/(((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))*((c_) + (d_.)*(x_)^(n_))), x_Symbol] :> Simp[-a/(b*c - a*d)   Int[x^(m
      - n)/(a + b*x^n), x], x] + Simp[c/(b*c - a*d)   Int[x^(m - n)/(c + d*x^n), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, m, n}
      , x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && (EqQ[m, n] || EqQ[m, 2*n - 1])

1010. Int[((e_.)*(x_))^(m_.)/(((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))*((c_) + (d_.)*(x_)^(n_))), x_Symbol] :> Simp[b/(b*c - a*d)
      Int[(e*x)^m/(a + b*x^n), x], x] - Simp[d/(b*c - a*d)   Int[(e*x)^m/(c + d*x^n), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e
      , n, m}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0]

1011. Int[((e_.)*(x_))^(m_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_)*((c_) + (d_.)*(x_)^(n_))^(q_), x_Symbol] :> Int[ExpandInt
      egrand[(e*x)^m*(a + b*x^n)^p*(c + d*x^n)^q, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, m}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && IGt
      Q[p, -2] && (IGtQ[q, -2] || (EqQ[q, -3] && IntegerQ[(m - 1)/2]))

1012. Int[((e_.)*(x_))^(m_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_)*((c_) + (d_.)*(x_)^(n_))^(q_), x_Symbol] :> Simp[a^p*c^q*
      ((e*x)^(m + 1)/(e*(m + 1)))*AppellF1[(m + 1)/n, -p, -q, 1 + (m + 1)/n, (-b)*(x^n/a), (-d)*(x^n/c)], x] /; Free
      Q[{a, b, c, d, e, m, n, p, q}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && NeQ[m, -1] && NeQ[m, n - 1] && (IntegerQ[p] || GtQ[a
      , 0]) && (IntegerQ[q] || GtQ[c, 0])

1013. Int[((e_.)*(x_))^(m_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_)*((c_) + (d_.)*(x_)^(n_))^(q_), x_Symbol] :> Simp[a^IntPar
      t[p]*((a + b*x^n)^FracPart[p]/(1 + b*(x^n/a))^FracPart[p])   Int[(e*x)^m*(1 + b*(x^n/a))^p*(c + d*x^n)^q, x],
      x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, m, n, p, q}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && NeQ[m, -1] && NeQ[m, n - 1] &&  !(IntegerQ
      [p] || GtQ[a, 0])

1014. Int[(u_)^(m_.)*((a_.) + (b_.)*(v_)^(n_))^(p_.)*((c_.) + (d_.)*(v_)^(n_))^(q_.), x_Symbol] :> Simp[u^m/(Coeffic
      ient[v, x, 1]*v^m)   Subst[Int[x^m*(a + b*x^n)^p*(c + d*x^n)^q, x], x, v], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, m, n, p, q
      }, x] && LinearPairQ[u, v, x]

1015. Int[((a_.) + (b_.)*(v_)^(n_))^(p_.)*((c_.) + (d_.)*(v_)^(n_))^(q_.)*(x_)^(m_.), x_Symbol] :> Simp[1/Coefficien
      t[v, x, 1]^(m + 1)   Subst[Int[SimplifyIntegrand[(x - Coefficient[v, x, 0])^m*(a + b*x^n)^p*(c + d*x^n)^q, x],
      x], x, v], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, n, p, q}, x] && LinearQ[v, x] && IntegerQ[m] && NeQ[v, x]

1016. Int[(x_)^(m_.)*((c_) + (d_.)*(x_)^(mn_.))^(q_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_.))^(p_.), x_Symbol] :> Int[x^(m - n*q)*
      (a + b*x^n)^p*(d + c*x^n)^q, x] /; FreeQ[{a, b, c, d, m, n, p}, x] && EqQ[mn, -n] && IntegerQ[q] && (PosQ[n] |
      |  !IntegerQ[p])

1017. Int[(x_)^(m_.)*((c_) + (d_.)*(x_)^(mn_.))^(q_)*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_.))^(p_), x_Symbol] :> Simp[x^(n*FracPart
      [q])*((c + d/x^n)^FracPart[q]/(d + c*x^n)^FracPart[q])   Int[x^(m - n*q)*(a + b*x^n)^p*(d + c*x^n)^q, x], x] /
      ; FreeQ[{a, b, c, d, m, n, p, q}, x] && EqQ[mn, -n] &&  !IntegerQ[q] &&  !IntegerQ[p]

1018. Int[((e_)*(x_))^(m_)*((c_) + (d_.)*(x_)^(mn_.))^(q_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_.))^(p_.), x_Symbol] :> Simp[e^Int
      Part[m]*((e*x)^FracPart[m]/x^FracPart[m])   Int[x^m*(a + b*x^n)^p*(c + d/x^n)^q, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d,
      e, m, n, p, q}, x] && EqQ[mn, -n]

1019. Int[((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_.)*((c_) + (d_.)*(x_)^(n_))^(q_.)*((e_) + (f_.)*(x_)^(n_))^(r_.), x_Symbol] :>
      Int[ExpandIntegrand[(a + b*x^n)^p*(c + d*x^n)^q*(e + f*x^n)^r, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, n}, x] && I
      GtQ[p, 0] && IGtQ[q, 0] && IGtQ[r, 0]

1020. Int[((e_) + (f_.)*(x_)^(n_))/(((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))*((c_) + (d_.)*(x_)^(n_))), x_Symbol] :> Simp[(b*e - a*f
      )/(b*c - a*d)   Int[1/(a + b*x^n), x], x] - Simp[(d*e - c*f)/(b*c - a*d)   Int[1/(c + d*x^n), x], x] /; FreeQ[
      {a, b, c, d, e, f, n}, x]

1021. Int[((e_) + (f_.)*(x_)^(n_))/(((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))*Sqrt[(c_) + (d_.)*(x_)^(n_)]), x_Symbol] :> Simp[f/b
      Int[1/Sqrt[c + d*x^n], x], x] + Simp[(b*e - a*f)/b   Int[1/((a + b*x^n)*Sqrt[c + d*x^n]), x], x] /; FreeQ[{a,
      b, c, d, e, f, n}, x]

1022. Int[((e_) + (f_.)*(x_)^(n_))/(Sqrt[(a_) + (b_.)*(x_)^(n_)]*Sqrt[(c_) + (d_.)*(x_)^(n_)]), x_Symbol] :> Simp[f/
      b   Int[Sqrt[a + b*x^n]/Sqrt[c + d*x^n], x], x] + Simp[(b*e - a*f)/b   Int[1/(Sqrt[a + b*x^n]*Sqrt[c + d*x^n])
      , x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, n}, x] &&  !(EqQ[n, 2] && ((PosQ[b/a] && PosQ[d/c]) || (NegQ[b/a] && (Pos
      Q[d/c] || (GtQ[a, 0] && ( !GtQ[c, 0] || SimplerSqrtQ[-b/a, -d/c]))))))

1023. Int[((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_)*((c_) + (d_.)*(x_)^(n_))^(q_.)*((e_) + (f_.)*(x_)^(n_)), x_Symbol] :> Simp[(
      -(b*e - a*f))*x*(a + b*x^n)^(p + 1)*((c + d*x^n)^q/(a*b*n*(p + 1))), x] + Simp[1/(a*b*n*(p + 1))   Int[(a + b*
      x^n)^(p + 1)*(c + d*x^n)^(q - 1)*Simp[c*(b*e*n*(p + 1) + b*e - a*f) + d*(b*e*n*(p + 1) + (b*e - a*f)*(n*q + 1)
      )*x^n, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, n}, x] && LtQ[p, -1] && GtQ[q, 0]

1024. Int[((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_)*((c_) + (d_.)*(x_)^(n_))^(q_.)*((e_) + (f_.)*(x_)^(n_)), x_Symbol] :> Simp[(
      -(b*e - a*f))*x*(a + b*x^n)^(p + 1)*((c + d*x^n)^(q + 1)/(a*n*(b*c - a*d)*(p + 1))), x] + Simp[1/(a*n*(b*c - a
      *d)*(p + 1))   Int[(a + b*x^n)^(p + 1)*(c + d*x^n)^q*Simp[c*(b*e - a*f) + e*n*(b*c - a*d)*(p + 1) + d*(b*e - a
      *f)*(n*(p + q + 2) + 1)*x^n, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, n, q}, x] && LtQ[p, -1]

1025. Int[((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_.)*((c_) + (d_.)*(x_)^(n_))^(q_.)*((e_) + (f_.)*(x_)^(n_)), x_Symbol] :> Simp[
      f*x*(a + b*x^n)^(p + 1)*((c + d*x^n)^q/(b*(n*(p + q + 1) + 1))), x] + Simp[1/(b*(n*(p + q + 1) + 1))   Int[(a
      + b*x^n)^p*(c + d*x^n)^(q - 1)*Simp[c*(b*e - a*f + b*e*n*(p + q + 1)) + (d*(b*e - a*f) + f*n*q*(b*c - a*d) + b
      *d*e*n*(p + q + 1))*x^n, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, n, p}, x] && GtQ[q, 0] && NeQ[n*(p + q + 1) +
      1, 0]

1026. Int[(((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_)*((e_) + (f_.)*(x_)^(n_)))/((c_) + (d_.)*(x_)^(n_)), x_Symbol] :> Simp[f/d
      Int[(a + b*x^n)^p, x], x] + Simp[(d*e - c*f)/d   Int[(a + b*x^n)^p/(c + d*x^n), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d,
      e, f, p, n}, x]

1027. Int[((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_.)*((c_) + (d_.)*(x_)^(n_))^(q_.)*((e_) + (f_.)*(x_)^(n_)), x_Symbol] :> Simp[
      e   Int[(a + b*x^n)^p*(c + d*x^n)^q, x], x] + Simp[f   Int[x^n*(a + b*x^n)^p*(c + d*x^n)^q, x], x] /; FreeQ[{a
      , b, c, d, e, f, n, p, q}, x]

1028. Int[((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_)*((c_) + (d_.)*(x_)^(n_))^(q_)*((e_) + (f_.)*(x_)^(n_))^(r_), x_Symbol] :> Si
      mp[d/b   Int[(a + b*x^n)^(p + 1)*(c + d*x^n)^(q - 1)*(e + f*x^n)^r, x], x] + Simp[(b*c - a*d)/b   Int[(a + b*x
      ^n)^p*(c + d*x^n)^(q - 1)*(e + f*x^n)^r, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, n, r}, x] && ILtQ[p, 0] && GtQ[q,
      0]

1029. Int[((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_)*((c_) + (d_.)*(x_)^(n_))^(q_)*((e_) + (f_.)*(x_)^(n_))^(r_), x_Symbol] :> Si
      mp[b/(b*c - a*d)   Int[(a + b*x^n)^p*(c + d*x^n)^(q + 1)*(e + f*x^n)^r, x], x] - Simp[d/(b*c - a*d)   Int[(a +
      b*x^n)^(p + 1)*(c + d*x^n)^q*(e + f*x^n)^r, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, n, q}, x] && ILtQ[p, 0] && LeQ
      [q, -1]

1030. Int[((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_)*((c_) + (d_.)*(x_)^(n_))^(q_)*((e_) + (f_.)*(x_)^(n_))^(r_), x_Symbol] :> Wi
      th[{u = ExpandIntegrand[(a + b*x^n)^p*(c + d*x^n)^q*(e + f*x^n)^r, x]}, Int[u, x] /; SumQ[u]] /; FreeQ[{a, b,
      c, d, e, f, p, q, r}, x] && IGtQ[n, 0]

1031. Int[((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_)*((c_) + (d_.)*(x_)^(n_))^(q_)*((e_) + (f_.)*(x_)^(n_))^(r_), x_Symbol] :> -S
      ubst[Int[(a + b/x^n)^p*(c + d/x^n)^q*((e + f/x^n)^r/x^2), x], x, 1/x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, p, q, r}, x]
      && ILtQ[n, 0]

1032. Int[((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_.)*((c_) + (d_.)*(x_)^(n_))^(q_.)*((e_) + (f_.)*(x_)^(n_))^(r_.), x_Symbol] :>
      Unintegrable[(a + b*x^n)^p*(c + d*x^n)^q*(e + f*x^n)^r, x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, n, p, q, r}, x]

1033. Int[((a_.) + (b_.)*(u_)^(n_))^(p_.)*((c_.) + (d_.)*(v_)^(n_))^(q_.)*((e_.) + (f_.)*(w_)^(n_))^(r_.), x_Symbol]
      :> Simp[1/Coefficient[u, x, 1]   Subst[Int[(a + b*x^n)^p*(c + d*x^n)^q*(e + f*x^n)^r, x], x, u], x] /; FreeQ[
      {a, b, c, d, e, f, p, n, q, r}, x] && EqQ[u, v] && EqQ[u, w] && LinearQ[u, x] && NeQ[u, x]

1034. Int[((c_) + (d_.)*(x_)^(mn_.))^(q_.)*((a_.) + (b_.)*(x_)^(n_.))^(p_.)*((e_) + (f_.)*(x_)^(n_.))^(r_.), x_Symbo
      l] :> Int[(a + b*x^n)^p*(d + c*x^n)^q*((e + f*x^n)^r/x^(n*q)), x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, n, p, r}, x] &&
      EqQ[mn, -n] && IntegerQ[q]

1035. Int[((c_) + (d_.)*(x_)^(mn_.))^(q_.)*((a_.) + (b_.)*(x_)^(n_.))^(p_.)*((e_) + (f_.)*(x_)^(n_.))^(r_.), x_Symbo
      l] :> Int[x^(n*(p + r))*(b + a/x^n)^p*(c + d/x^n)^q*(f + e/x^n)^r, x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, n, q}, x] &&
      EqQ[mn, -n] && IntegerQ[p] && IntegerQ[r]

1036. Int[((c_) + (d_.)*(x_)^(mn_.))^(q_)*((a_.) + (b_.)*(x_)^(n_.))^(p_.)*((e_) + (f_.)*(x_)^(n_.))^(r_.), x_Symbol
      ] :> Simp[x^(n*FracPart[q])*((c + d/x^n)^FracPart[q]/(d + c*x^n)^FracPart[q])   Int[(a + b*x^n)^p*(d + c*x^n)^
      q*((e + f*x^n)^r/x^(n*q)), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, n, p, q, r}, x] && EqQ[mn, -n] &&  !IntegerQ[q]

1037. Int[((g_.)*(x_))^(m_.)*((b_.)*(x_)^(n_))^(p_)*((c_) + (d_.)*(x_)^(n_))^(q_.)*((e_) + (f_.)*(x_)^(n_))^(r_.), x
      _Symbol] :> Simp[g^m/(n*b^(Simplify[(m + 1)/n] - 1))   Subst[Int[(b*x)^(p + Simplify[(m + 1)/n] - 1)*(c + d*x)
      ^q*(e + f*x)^r, x], x, x^n], x] /; FreeQ[{b, c, d, e, f, g, m, n, p, q, r}, x] && (IntegerQ[m] || GtQ[g, 0]) &
      & IntegerQ[Simplify[(m + 1)/n]]

1038. Int[((g_.)*(x_))^(m_.)*((b_.)*(x_)^(n_.))^(p_)*((c_) + (d_.)*(x_)^(n_))^(q_.)*((e_) + (f_.)*(x_)^(n_))^(r_.),
      x_Symbol] :> Simp[g^m*b^IntPart[p]*((b*x^n)^FracPart[p]/x^(n*FracPart[p]))   Int[x^(m + n*p)*(c + d*x^n)^q*(e
      + f*x^n)^r, x], x] /; FreeQ[{b, c, d, e, f, g, m, n, p, q, r}, x] && (IntegerQ[m] || GtQ[g, 0]) &&  !IntegerQ[
      Simplify[(m + 1)/n]]

1039. Int[((g_)*(x_))^(m_)*((b_.)*(x_)^(n_.))^(p_)*((c_) + (d_.)*(x_)^(n_))^(q_.)*((e_) + (f_.)*(x_)^(n_))^(r_.), x_
      Symbol] :> Simp[g^IntPart[m]*((g*x)^FracPart[m]/x^FracPart[m])   Int[x^m*(b*x^n)^p*(c + d*x^n)^q*(e + f*x^n)^r
      , x], x] /; FreeQ[{b, c, d, e, f, g, m, n, p, q, r}, x] &&  !IntegerQ[m]

1040. Int[((g_.)*(x_))^(m_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_.)*((c_) + (d_.)*(x_)^(n_))^(q_.)*((e_) + (f_.)*(x_)^(n_))^
      (r_.), x_Symbol] :> Int[ExpandIntegrand[(g*x)^m*(a + b*x^n)^p*(c + d*x^n)^q*(e + f*x^n)^r, x], x] /; FreeQ[{a,
      b, c, d, e, f, g, m, n}, x] && IGtQ[p, -2] && IGtQ[q, 0] && IGtQ[r, 0]

1041. Int[(x_)^(m_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_.)*((c_) + (d_.)*(x_)^(n_))^(q_.)*((e_) + (f_.)*(x_)^(n_))^(r_.), x
      _Symbol] :> Simp[1/n   Subst[Int[(a + b*x)^p*(c + d*x)^q*(e + f*x)^r, x], x, x^n], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e,
      f, m, n, p, q, r}, x] && EqQ[m - n + 1, 0]

1042. Int[(x_)^(m_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_.)*((c_) + (d_.)*(x_)^(n_))^(q_.)*((e_) + (f_.)*(x_)^(n_))^(r_.), x
      _Symbol] :> Int[x^(m + n*(p + q + r))*(b + a/x^n)^p*(d + c/x^n)^q*(f + e/x^n)^r, x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f
      , m, n}, x] && IntegersQ[p, q, r] && NegQ[n]

1043. Int[(x_)^(m_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_.)*((c_) + (d_.)*(x_)^(n_))^(q_.)*((e_) + (f_.)*(x_)^(n_))^(r_.), x
      _Symbol] :> Simp[1/n   Subst[Int[x^(Simplify[(m + 1)/n] - 1)*(a + b*x)^p*(c + d*x)^q*(e + f*x)^r, x], x, x^n],
      x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m, n, p, q, r}, x] && IntegerQ[Simplify[(m + 1)/n]]

1044. Int[((g_)*(x_))^(m_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_.)*((c_) + (d_.)*(x_)^(n_))^(q_.)*((e_) + (f_.)*(x_)^(n_))^(
      r_.), x_Symbol] :> Simp[g^IntPart[m]*((g*x)^FracPart[m]/x^FracPart[m])   Int[x^m*(a + b*x^n)^p*(c + d*x^n)^q*(
      e + f*x^n)^r, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, m, n, p, q, r}, x] && IntegerQ[Simplify[(m + 1)/n]]

1045. Int[(x_)^(m_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_.)*((c_) + (d_.)*(x_)^(n_))^(q_.)*((e_) + (f_.)*(x_)^(n_))^(r_.), x
      _Symbol] :> With[{k = GCD[m + 1, n]}, Simp[1/k   Subst[Int[x^((m + 1)/k - 1)*(a + b*x^(n/k))^p*(c + d*x^(n/k))
      ^q*(e + f*x^(n/k))^r, x], x, x^k], x] /; k != 1] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, p, q, r}, x] && IGtQ[n, 0] && Int
      egerQ[m]

1046. Int[((g_.)*(x_))^(m_)*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_)*((c_) + (d_.)*(x_)^(n_))^(q_)*((e_) + (f_.)*(x_)^(n_))^(r_
      ), x_Symbol] :> With[{k = Denominator[m]}, Simp[k/g   Subst[Int[x^(k*(m + 1) - 1)*(a + b*(x^(k*n)/g^n))^p*(c +
      d*(x^(k*n)/g^n))^q*(e + f*(x^(k*n)/g^n))^r, x], x, (g*x)^(1/k)], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, p, q, r},
      x] && IGtQ[n, 0] && FractionQ[m]

1047. Int[((g_.)*(x_))^(m_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_)*((c_) + (d_.)*(x_)^(n_))^(q_.)*((e_) + (f_.)*(x_)^(n_)),
      x_Symbol] :> Simp[(-(b*e - a*f))*(g*x)^(m + 1)*(a + b*x^n)^(p + 1)*((c + d*x^n)^q/(a*b*g*n*(p + 1))), x] + Sim
      p[1/(a*b*n*(p + 1))   Int[(g*x)^m*(a + b*x^n)^(p + 1)*(c + d*x^n)^(q - 1)*Simp[c*(b*e*n*(p + 1) + (b*e - a*f)*
      (m + 1)) + d*(b*e*n*(p + 1) + (b*e - a*f)*(m + n*q + 1))*x^n, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, m}, x]
      && IGtQ[n, 0] && LtQ[p, -1] && GtQ[q, 0] &&  !(EqQ[q, 1] && SimplerQ[b*c - a*d, b*e - a*f])

1048. Int[((g_.)*(x_))^(m_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_)*((c_) + (d_.)*(x_)^(n_))^(q_)*((e_) + (f_.)*(x_)^(n_)), x
      _Symbol] :> Simp[g^(n - 1)*(b*e - a*f)*(g*x)^(m - n + 1)*(a + b*x^n)^(p + 1)*((c + d*x^n)^(q + 1)/(b*n*(b*c -
      a*d)*(p + 1))), x] - Simp[g^n/(b*n*(b*c - a*d)*(p + 1))   Int[(g*x)^(m - n)*(a + b*x^n)^(p + 1)*(c + d*x^n)^q*
      Simp[c*(b*e - a*f)*(m - n + 1) + (d*(b*e - a*f)*(m + n*q + 1) - b*n*(c*f - d*e)*(p + 1))*x^n, x], x], x] /; Fr
      eeQ[{a, b, c, d, e, f, g, q}, x] && IGtQ[n, 0] && LtQ[p, -1] && GtQ[m - n + 1, 0]

1049. Int[((g_.)*(x_))^(m_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_)*((c_) + (d_.)*(x_)^(n_))^(q_)*((e_) + (f_.)*(x_)^(n_)), x
      _Symbol] :> Simp[(-(b*e - a*f))*(g*x)^(m + 1)*(a + b*x^n)^(p + 1)*((c + d*x^n)^(q + 1)/(a*g*n*(b*c - a*d)*(p +
      1))), x] + Simp[1/(a*n*(b*c - a*d)*(p + 1))   Int[(g*x)^m*(a + b*x^n)^(p + 1)*(c + d*x^n)^q*Simp[c*(b*e - a*f
      )*(m + 1) + e*n*(b*c - a*d)*(p + 1) + d*(b*e - a*f)*(m + n*(p + q + 2) + 1)*x^n, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c,
      d, e, f, g, m, q}, x] && IGtQ[n, 0] && LtQ[p, -1]

1050. Int[((g_.)*(x_))^(m_)*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_.)*((c_) + (d_.)*(x_)^(n_))^(q_.)*((e_) + (f_.)*(x_)^(n_)),
      x_Symbol] :> Simp[e*(g*x)^(m + 1)*(a + b*x^n)^(p + 1)*((c + d*x^n)^q/(a*g*(m + 1))), x] - Simp[1/(a*g^n*(m + 1
      ))   Int[(g*x)^(m + n)*(a + b*x^n)^p*(c + d*x^n)^(q - 1)*Simp[c*(b*e - a*f)*(m + 1) + e*n*(b*c*(p + 1) + a*d*q
      ) + d*((b*e - a*f)*(m + 1) + b*e*n*(p + q + 1))*x^n, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, p}, x] && IGtQ[
      n, 0] && GtQ[q, 0] && LtQ[m, -1] &&  !(EqQ[q, 1] && SimplerQ[e + f*x^n, c + d*x^n])

1051. Int[((g_.)*(x_))^(m_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_.)*((c_) + (d_.)*(x_)^(n_))^(q_.)*((e_) + (f_.)*(x_)^(n_)),
      x_Symbol] :> Simp[f*(g*x)^(m + 1)*(a + b*x^n)^(p + 1)*((c + d*x^n)^q/(b*g*(m + n*(p + q + 1) + 1))), x] + Sim
      p[1/(b*(m + n*(p + q + 1) + 1))   Int[(g*x)^m*(a + b*x^n)^p*(c + d*x^n)^(q - 1)*Simp[c*((b*e - a*f)*(m + 1) +
      b*e*n*(p + q + 1)) + (d*(b*e - a*f)*(m + 1) + f*n*q*(b*c - a*d) + b*e*d*n*(p + q + 1))*x^n, x], x], x] /; Free
      Q[{a, b, c, d, e, f, g, m, p}, x] && IGtQ[n, 0] && GtQ[q, 0] &&  !(EqQ[q, 1] && SimplerQ[e + f*x^n, c + d*x^n]
      )

1052. Int[((g_.)*(x_))^(m_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_.)*((c_) + (d_.)*(x_)^(n_))^(q_.)*((e_) + (f_.)*(x_)^(n_)),
      x_Symbol] :> Simp[f*g^(n - 1)*(g*x)^(m - n + 1)*(a + b*x^n)^(p + 1)*((c + d*x^n)^(q + 1)/(b*d*(m + n*(p + q +
      1) + 1))), x] - Simp[g^n/(b*d*(m + n*(p + q + 1) + 1))   Int[(g*x)^(m - n)*(a + b*x^n)^p*(c + d*x^n)^q*Simp[a
      *f*c*(m - n + 1) + (a*f*d*(m + n*q + 1) + b*(f*c*(m + n*p + 1) - e*d*(m + n*(p + q + 1) + 1)))*x^n, x], x], x]
      /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, p, q}, x] && IGtQ[n, 0] && GtQ[m, n - 1]

1053. Int[((g_.)*(x_))^(m_)*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_.)*((c_) + (d_.)*(x_)^(n_))^(q_.)*((e_) + (f_.)*(x_)^(n_)),
      x_Symbol] :> Simp[e*(g*x)^(m + 1)*(a + b*x^n)^(p + 1)*((c + d*x^n)^(q + 1)/(a*c*g*(m + 1))), x] + Simp[1/(a*c*
      g^n*(m + 1))   Int[(g*x)^(m + n)*(a + b*x^n)^p*(c + d*x^n)^q*Simp[a*f*c*(m + 1) - e*(b*c + a*d)*(m + n + 1) -
      e*n*(b*c*p + a*d*q) - b*e*d*(m + n*(p + q + 2) + 1)*x^n, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, p, q}, x] &
      & IGtQ[n, 0] && LtQ[m, -1]

1054. Int[(((g_.)*(x_))^(m_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_)*((e_) + (f_.)*(x_)^(n_)))/((c_) + (d_.)*(x_)^(n_)), x_Sy
      mbol] :> Int[ExpandIntegrand[(g*x)^m*(a + b*x^n)^p*((e + f*x^n)/(c + d*x^n)), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e,
      f, g, m, p}, x] && IGtQ[n, 0]

1055. Int[((g_.)*(x_))^(m_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_.)*((c_) + (d_.)*(x_)^(n_))^(q_.)*((e_) + (f_.)*(x_)^(n_)),
      x_Symbol] :> Simp[e   Int[(g*x)^m*(a + b*x^n)^p*(c + d*x^n)^q, x], x] + Simp[f/e^n   Int[(g*x)^(m + n)*(a + b
      *x^n)^p*(c + d*x^n)^q, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, m, p, q}, x] && IGtQ[n, 0]

1056. Int[((g_.)*(x_))^(m_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_.)*((c_) + (d_.)*(x_)^(n_))^(q_.)*((e_) + (f_.)*(x_)^(n_))^
      (r_.), x_Symbol] :> Simp[e   Int[(g*x)^m*(a + b*x^n)^p*(c + d*x^n)^q*(e + f*x^n)^(r - 1), x], x] + Simp[f/e^n
      Int[(g*x)^(m + n)*(a + b*x^n)^p*(c + d*x^n)^q*(e + f*x^n)^(r - 1), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, m,
      p, q}, x] && IGtQ[n, 0] && IGtQ[r, 0]

1057. Int[(x_)^(m_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_.)*((c_) + (d_.)*(x_)^(n_))^(q_.)*((e_) + (f_.)*(x_)^(n_))^(r_.), x
      _Symbol] :> -Subst[Int[(a + b/x^n)^p*(c + d/x^n)^q*((e + f/x^n)^r/x^(m + 2)), x], x, 1/x] /; FreeQ[{a, b, c, d
      , e, f, p, q, r}, x] && ILtQ[n, 0] && IntegerQ[m]

1058. Int[((g_.)*(x_))^(m_)*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_.)*((c_) + (d_.)*(x_)^(n_))^(q_.)*((e_) + (f_.)*(x_)^(n_))^(
      r_.), x_Symbol] :> With[{k = Denominator[m]}, Simp[-k/g   Subst[Int[(a + b/(g^n*x^(k*n)))^p*(c + d/(g^n*x^(k*n
      )))^q*((e + f/(g^n*x^(k*n)))^r/x^(k*(m + 1) + 1)), x], x, 1/(g*x)^(1/k)], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, p
      , q, r}, x] && ILtQ[n, 0] && FractionQ[m]

1059. Int[((g_.)*(x_))^(m_)*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_.)*((c_) + (d_.)*(x_)^(n_))^(q_.)*((e_) + (f_.)*(x_)^(n_))^(
      r_.), x_Symbol] :> Simp[(-(g*x)^m)*(x^(-1))^m   Subst[Int[(a + b/x^n)^p*(c + d/x^n)^q*((e + f/x^n)^r/x^(m + 2)
      ), x], x, 1/x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, m, p, q, r}, x] && ILtQ[n, 0] &&  !RationalQ[m]

1060. Int[(x_)^(m_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_.)*((c_) + (d_.)*(x_)^(n_))^(q_.)*((e_) + (f_.)*(x_)^(n_))^(r_.), x
      _Symbol] :> With[{k = Denominator[n]}, Simp[k   Subst[Int[x^(k*(m + 1) - 1)*(a + b*x^(k*n))^p*(c + d*x^(k*n))^
      q*(e + f*x^(k*n))^r, x], x, x^(1/k)], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m, p, q, r}, x] && FractionQ[n]

1061. Int[((g_)*(x_))^(m_)*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_.)*((c_) + (d_.)*(x_)^(n_))^(q_.)*((e_) + (f_.)*(x_)^(n_))^(r
      _.), x_Symbol] :> Simp[g^IntPart[m]*((g*x)^FracPart[m]/x^FracPart[m])   Int[x^m*(a + b*x^n)^p*(c + d*x^n)^q*(e
      + f*x^n)^r, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, m, p, q, r}, x] && FractionQ[n]

1062. Int[(x_)^(m_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_.)*((c_) + (d_.)*(x_)^(n_))^(q_.)*((e_) + (f_.)*(x_)^(n_))^(r_.), x
      _Symbol] :> Simp[1/(m + 1)   Subst[Int[(a + b*x^Simplify[n/(m + 1)])^p*(c + d*x^Simplify[n/(m + 1)])^q*(e + f*
      x^Simplify[n/(m + 1)])^r, x], x, x^(m + 1)], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m, n, p, q, r}, x] && IntegerQ[Sim
      plify[n/(m + 1)]]

1063. Int[((g_)*(x_))^(m_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_.)*((c_) + (d_.)*(x_)^(n_))^(q_.)*((e_) + (f_.)*(x_)^(n_))^(
      r_.), x_Symbol] :> Simp[g^IntPart[m]*((g*x)^FracPart[m]/x^FracPart[m])   Int[x^m*(a + b*x^n)^p*(c + d*x^n)^q*(
      e + f*x^n)^r, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, m, n, p, q, r}, x] && IntegerQ[Simplify[n/(m + 1)]]

1064. Int[((g_.)*(x_))^(m_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_)*((c_) + (d_.)*(x_)^(n_))^(q_.)*((e_) + (f_.)*(x_)^(n_)),
      x_Symbol] :> Simp[(-(b*e - a*f))*(g*x)^(m + 1)*(a + b*x^n)^(p + 1)*((c + d*x^n)^q/(a*b*g*n*(p + 1))), x] + Sim
      p[1/(a*b*n*(p + 1))   Int[(g*x)^m*(a + b*x^n)^(p + 1)*(c + d*x^n)^(q - 1)*Simp[c*(b*e*n*(p + 1) + (b*e - a*f)*
      (m + 1)) + d*(b*e*n*(p + 1) + (b*e - a*f)*(m + n*q + 1))*x^n, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, m, n},
      x] && LtQ[p, -1] && GtQ[q, 0] &&  !(EqQ[q, 1] && SimplerQ[b*c - a*d, b*e - a*f])

1065. Int[((g_.)*(x_))^(m_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_)*((c_) + (d_.)*(x_)^(n_))^(q_)*((e_) + (f_.)*(x_)^(n_)), x
      _Symbol] :> Simp[(-(b*e - a*f))*(g*x)^(m + 1)*(a + b*x^n)^(p + 1)*((c + d*x^n)^(q + 1)/(a*g*n*(b*c - a*d)*(p +
      1))), x] + Simp[1/(a*n*(b*c - a*d)*(p + 1))   Int[(g*x)^m*(a + b*x^n)^(p + 1)*(c + d*x^n)^q*Simp[c*(b*e - a*f
      )*(m + 1) + e*n*(b*c - a*d)*(p + 1) + d*(b*e - a*f)*(m + n*(p + q + 2) + 1)*x^n, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c,
      d, e, f, g, m, n, q}, x] && LtQ[p, -1]

1066. Int[((g_.)*(x_))^(m_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_.)*((c_) + (d_.)*(x_)^(n_))^(q_.)*((e_) + (f_.)*(x_)^(n_)),
      x_Symbol] :> Simp[f*(g*x)^(m + 1)*(a + b*x^n)^(p + 1)*((c + d*x^n)^q/(b*g*(m + n*(p + q + 1) + 1))), x] + Sim
      p[1/(b*(m + n*(p + q + 1) + 1))   Int[(g*x)^m*(a + b*x^n)^p*(c + d*x^n)^(q - 1)*Simp[c*((b*e - a*f)*(m + 1) +
      b*e*n*(p + q + 1)) + (d*(b*e - a*f)*(m + 1) + f*n*q*(b*c - a*d) + b*e*d*n*(p + q + 1))*x^n, x], x], x] /; Free
      Q[{a, b, c, d, e, f, g, m, n, p}, x] && GtQ[q, 0] &&  !(EqQ[q, 1] && SimplerQ[e + f*x^n, c + d*x^n])

1067. Int[(((g_.)*(x_))^(m_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_)*((e_) + (f_.)*(x_)^(n_)))/((c_) + (d_.)*(x_)^(n_)), x_Sy
      mbol] :> Int[ExpandIntegrand[(g*x)^m*(a + b*x^n)^p*((e + f*x^n)/(c + d*x^n)), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e,
      f, g, m, n, p}, x]

1068. Int[((g_.)*(x_))^(m_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_)*((c_) + (d_.)*(x_)^(n_))^(q_)*((e_) + (f_.)*(x_)^(n_)), x
      _Symbol] :> Simp[e   Int[(g*x)^m*(a + b*x^n)^p*(c + d*x^n)^q, x], x] + Simp[f*((g*x)^m/x^m)   Int[x^(m + n)*(a
      + b*x^n)^p*(c + d*x^n)^q, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, m, n, p, q}, x]

1069. Int[(x_)^(m_.)*((c_) + (d_.)*(x_)^(mn_.))^(q_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_.))^(p_.)*((e_) + (f_.)*(x_)^(n_.))^(r_.
      ), x_Symbol] :> Int[x^(m - n*q)*(a + b*x^n)^p*(d + c*x^n)^q*(e + f*x^n)^r, x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m, n
      , p, r}, x] && EqQ[mn, -n] && IntegerQ[q]

1070. Int[(x_)^(m_.)*((c_) + (d_.)*(x_)^(mn_.))^(q_.)*((a_.) + (b_.)*(x_)^(n_.))^(p_.)*((e_) + (f_.)*(x_)^(n_.))^(r_
      .), x_Symbol] :> Int[x^(m + n*(p + r))*(b + a/x^n)^p*(c + d/x^n)^q*(f + e/x^n)^r, x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e,
      f, m, n, q}, x] && EqQ[mn, -n] && IntegerQ[p] && IntegerQ[r]

1071. Int[(x_)^(m_.)*((c_) + (d_.)*(x_)^(mn_.))^(q_)*((a_.) + (b_.)*(x_)^(n_.))^(p_.)*((e_) + (f_.)*(x_)^(n_.))^(r_.
      ), x_Symbol] :> Simp[x^(n*FracPart[q])*((c + d/x^n)^FracPart[q]/(d + c*x^n)^FracPart[q])   Int[x^(m - n*q)*(a
      + b*x^n)^p*(d + c*x^n)^q*(e + f*x^n)^r, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m, n, p, q, r}, x] && EqQ[mn, -n] &
      &  !IntegerQ[q]

1072. Int[((g_)*(x_))^(m_)*((c_) + (d_.)*(x_)^(mn_.))^(q_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_.))^(p_.)*((e_) + (f_.)*(x_)^(n_.)
      )^(r_.), x_Symbol] :> Simp[g^IntPart[m]*((g*x)^FracPart[m]/x^FracPart[m])   Int[x^m*(a + b*x^n)^p*(c + d/x^n)^
      q*(e + f*x^n)^r, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, m, n, p, q, r}, x] && EqQ[mn, -n]

1073. Int[((g_.)*(x_))^(m_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_.)*((c_) + (d_.)*(x_)^(n_))^(q_.)*((e_) + (f_.)*(x_)^(n_))^
      (r_.), x_Symbol] :> Unintegrable[(g*x)^m*(a + b*x^n)^p*(c + d*x^n)^q*(e + f*x^n)^r, x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e
      , f, g, m, n, p, q, r}, x]

1074. Int[(u_)^(m_.)*((a_.) + (b_.)*(v_)^(n_))^(p_.)*((c_.) + (d_.)*(v_)^(n_))^(q_.)*((e_) + (f_.)*(v_)^(n_))^(r_.),
      x_Symbol] :> Simp[u^m/(Coefficient[v, x, 1]*v^m)   Subst[Int[x^m*(a + b*x^n)^p*(c + d*x^n)^q*(e + f*x^n)^r, x
      ], x, v], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m, n, p, q, r}, x] && LinearPairQ[u, v, x]

1075. Int[((g_.)*(x_))^(m_.)*((e1_) + (f1_.)*(x_)^(n2_.))^(r_.)*((e2_) + (f2_.)*(x_)^(n2_.))^(r_.)*((a_) + (b_.)*(x_
      )^(n_))^(p_.)*((c_) + (d_.)*(x_)^(n_))^(q_.), x_Symbol] :> Int[(g*x)^m*(a + b*x^n)^p*(c + d*x^n)^q*(e1*e2 + f1
      *f2*x^n)^r, x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e1, f1, e2, f2, g, m, n, p, q, r}, x] && EqQ[n2, n/2] && EqQ[e2*f1 + e1*f
      2, 0] && (IntegerQ[r] || (GtQ[e1, 0] && GtQ[e2, 0]))

1076. Int[((g_.)*(x_))^(m_.)*((e1_) + (f1_.)*(x_)^(n2_.))^(r_.)*((e2_) + (f2_.)*(x_)^(n2_.))^(r_.)*((a_) + (b_.)*(x_
      )^(n_))^(p_.)*((c_) + (d_.)*(x_)^(n_))^(q_.), x_Symbol] :> Simp[(e1 + f1*x^(n/2))^FracPart[r]*((e2 + f2*x^(n/2
      ))^FracPart[r]/(e1*e2 + f1*f2*x^n)^FracPart[r])   Int[(g*x)^m*(a + b*x^n)^p*(c + d*x^n)^q*(e1*e2 + f1*f2*x^n)^
      r, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e1, f1, e2, f2, g, m, n, p, q, r}, x] && EqQ[n2, n/2] && EqQ[e2*f1 + e1*f2, 0]

1077. Int[((a_) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_.), x_Symbol] :> Simp[1/c^p   Int[(b/2 + c*x)^(2*p), x], x] /; FreeQ
      [{a, b, c}, x] && EqQ[b^2 - 4*a*c, 0] && IntegerQ[p]

1078. Int[((a_) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Simp[2*((a + b*x + c*x^2)^(p + 1)/((2*p + 1)*(b + 2*
      c*x))), x] /; FreeQ[{a, b, c, p}, x] && EqQ[b^2 - 4*a*c, 0] && LtQ[p, -1]

1079. Int[((a_) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Simp[(a + b*x + c*x^2)^FracPart[p]/(c^IntPart[p]*(b/
      2 + c*x)^(2*FracPart[p]))   Int[(b/2 + c*x)^(2*p), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, p}, x] && EqQ[b^2 - 4*a*c, 0]

1080. Int[((b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Int[ExpandIntegrand[x^p*(b + c*x)^p, x], x] /; FreeQ[{b, c}
      , x] && IntegerQ[p]

1081. Int[((a_) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2)^(-1), x_Symbol] :> With[{q = Rt[b^2 - 4*a*c, 2]}, Simp[c   Int[ExpandIn
      tegrand[1/((b/2 - q/2 + c*x)*(b/2 + q/2 + c*x)), x], x], x]] /; FreeQ[{a, b, c}, x] && NiceSqrtQ[b^2 - 4*a*c]

1082. Int[((a_) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2)^(-1), x_Symbol] :> With[{q = 1 - 4*Simplify[a*(c/b^2)]}, Simp[-2/b   Su
      bst[Int[1/(q - x^2), x], x, 1 + 2*c*(x/b)], x] /; RationalQ[q] && (EqQ[q^2, 1] ||  !RationalQ[b^2 - 4*a*c])] /
      ; FreeQ[{a, b, c}, x]

1083. Int[((a_) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2)^(-1), x_Symbol] :> Simp[-2   Subst[Int[1/Simp[b^2 - 4*a*c - x^2, x], x]
      , x, b + 2*c*x], x] /; FreeQ[{a, b, c}, x]

1084. Int[((a_) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> With[{q = Rt[b^2 - 4*a*c, 2]}, Simp[1/c^p   Int[Expa
      ndIntegrand[(b/2 - q/2 + c*x)^p*(b/2 + q/2 + c*x)^p, x], x], x] /;  !FractionalPowerFactorQ[q]] /; FreeQ[{a, b
      , c}, x] && IntegerQ[p] && NiceSqrtQ[b^2 - 4*a*c]

1085. Int[((a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Int[ExpandIntegrand[(a + b*x + c*x^2)^p, x], x] /;
      FreeQ[{a, b, c}, x] && IntegerQ[p] && (GtQ[p, 0] || EqQ[a, 0])

1086. Int[((a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Simp[(b + 2*c*x)*((a + b*x + c*x^2)^(p + 1)/((p + 1
      )*(b^2 - 4*a*c))), x] - Simp[2*c*((2*p + 3)/((p + 1)*(b^2 - 4*a*c)))   Int[(a + b*x + c*x^2)^(p + 1), x], x] /
      ; FreeQ[{a, b, c}, x] && ILtQ[p, -1]

1087. Int[((a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Simp[(b + 2*c*x)*((a + b*x + c*x^2)^p/(2*c*(2*p + 1
      ))), x] - Simp[p*((b^2 - 4*a*c)/(2*c*(2*p + 1)))   Int[(a + b*x + c*x^2)^(p - 1), x], x] /; FreeQ[{a, b, c}, x
      ] && GtQ[p, 0] && (IntegerQ[4*p] || IntegerQ[3*p])

1088. Int[((a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2)^(-3/2), x_Symbol] :> Simp[-2*((b + 2*c*x)/((b^2 - 4*a*c)*Sqrt[a + b*x
      + c*x^2])), x] /; FreeQ[{a, b, c}, x] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0]

1089. Int[((a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Simp[(b + 2*c*x)*((a + b*x + c*x^2)^(p + 1)/((p + 1
      )*(b^2 - 4*a*c))), x] - Simp[2*c*((2*p + 3)/((p + 1)*(b^2 - 4*a*c)))   Int[(a + b*x + c*x^2)^(p + 1), x], x] /
      ; FreeQ[{a, b, c}, x] && LtQ[p, -1] && (IntegerQ[4*p] || IntegerQ[3*p])

1090. Int[((a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Simp[1/(2*c*(-4*(c/(b^2 - 4*a*c)))^p)   Subst[Int[S
      imp[1 - x^2/(b^2 - 4*a*c), x]^p, x], x, b + 2*c*x], x] /; FreeQ[{a, b, c, p}, x] && GtQ[4*a - b^2/c, 0]

1091. Int[1/Sqrt[(b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2], x_Symbol] :> Simp[2   Subst[Int[1/(1 - c*x^2), x], x, x/Sqrt[b*x + c*x^
      2]], x] /; FreeQ[{b, c}, x]

1092. Int[1/Sqrt[(a_) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2], x_Symbol] :> Simp[2   Subst[Int[1/(4*c - x^2), x], x, (b + 2*c*x
      )/Sqrt[a + b*x + c*x^2]], x] /; FreeQ[{a, b, c}, x]

1093. Int[((b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Simp[(b*x + c*x^2)^p/((-c)*((b*x + c*x^2)/b^2))^p   Int[((-
      c)*(x/b) - c^2*(x^2/b^2))^p, x], x] /; FreeQ[{b, c}, x] && (IntegerQ[4*p] || IntegerQ[3*p])

1094. Int[((a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Simp[4*(Sqrt[(b + 2*c*x)^2]/(b + 2*c*x))   Subst[In
      t[x^(4*(p + 1) - 1)/Sqrt[b^2 - 4*a*c + 4*c*x^4], x], x, (a + b*x + c*x^2)^(1/4)], x] /; FreeQ[{a, b, c}, x] &&
      IntegerQ[4*p]

1095. Int[((a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Simp[3*(Sqrt[(b + 2*c*x)^2]/(b + 2*c*x))   Subst[In
      t[x^(3*(p + 1) - 1)/Sqrt[b^2 - 4*a*c + 4*c*x^3], x], x, (a + b*x + c*x^2)^(1/3)], x] /; FreeQ[{a, b, c}, x] &&
      IntegerQ[3*p]

1096. Int[((a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> With[{q = Rt[b^2 - 4*a*c, 2]}, Simp[(-(a + b*x + c*
      x^2)^(p + 1)/(q*(p + 1)*((q - b - 2*c*x)/(2*q))^(p + 1)))*Hypergeometric2F1[-p, p + 1, p + 2, (b + q + 2*c*x)/
      (2*q)], x]] /; FreeQ[{a, b, c, p}, x] &&  !IntegerQ[4*p] &&  !IntegerQ[3*p]

1097. Int[((a_.) + (b_.)*(u_) + (c_.)*(u_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Simp[1/Coefficient[u, x, 1]   Subst[Int[(a + b*x +
      c*x^2)^p, x], x, u], x] /; FreeQ[{a, b, c, p}, x] && LinearQ[u, x] && NeQ[u, x]

1098. Int[((d_.) + (e_.)*(x_))^(m_.)*((a_) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_.), x_Symbol] :> Simp[1/c^p   Int[(d + e*
      x)^m*(b/2 + c*x)^(2*p), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, m}, x] && EqQ[b^2 - 4*a*c, 0] && IntegerQ[p]

1099. Int[((d_) + (e_.)*(x_))^(m_.)*((a_) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Simp[e^m*((a + b*x + c*x^2
      )^(p + (m + 1)/2)/(c^((m + 1)/2)*(m + 2*p + 1))), x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, p}, x] && EqQ[b^2 - 4*a*c, 0] &&
      EqQ[2*c*d - b*e, 0] && IntegerQ[(m - 1)/2]

1100. Int[((d_.) + (e_.)*(x_))*((a_) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Simp[e*((a + b*x + c*x^2)^(p +
      1)/(2*c*(p + 1))), x] + Simp[(2*c*d - b*e)/(2*c)   Int[(a + b*x + c*x^2)^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, p}
      , x] && EqQ[b^2 - 4*a*c, 0]

1101. Int[(x_)^(m_)*((a_) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Simp[(a + b*x + c*x^2)^FracPart[p]/(c^IntP
      art[p]*(b/2 + c*x)^(2*FracPart[p]))   Int[ExpandLinearProduct[(b/2 + c*x)^(2*p), x^m, b/2, c, x], x], x] /; Fr
      eeQ[{a, b, c, m, p}, x] && EqQ[b^2 - 4*a*c, 0] && IGtQ[m, 0] && EqQ[m - 2*p + 1, 0]

1102. Int[((d_.) + (e_.)*(x_))^(m_.)*((a_) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Simp[(a + b*x + c*x^2)^Fr
      acPart[p]/(c^IntPart[p]*(b/2 + c*x)^(2*FracPart[p]))   Int[(d + e*x)^m*(b/2 + c*x)^(2*p), x], x] /; FreeQ[{a,
      b, c, d, e, m, p}, x] && EqQ[b^2 - 4*a*c, 0]

1103. Int[((d_) + (e_.)*(x_))/((a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2), x_Symbol] :> Simp[d*(Log[RemoveContent[a + b*x +
      c*x^2, x]]/b), x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && EqQ[2*c*d - b*e, 0]

1104. Int[((d_) + (e_.)*(x_))*((a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_.), x_Symbol] :> Simp[d*((a + b*x + c*x^2)^(p +
      1)/(b*(p + 1))), x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, p}, x] && EqQ[2*c*d - b*e, 0]

1105. Int[1/(((d_) + (e_.)*(x_))*((a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2)), x_Symbol] :> Simp[-4*b*(c/(d*(b^2 - 4*a*c)))
      Int[1/(b + 2*c*x), x], x] + Simp[b^2/(d^2*(b^2 - 4*a*c))   Int[(d + e*x)/(a + b*x + c*x^2), x], x] /; FreeQ[
      {a, b, c, d, e}, x] && EqQ[2*c*d - b*e, 0]

1106. Int[((d_) + (e_.)*(x_))^(m_)*((a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_.), x_Symbol] :> Simp[2*c*(d + e*x)^(m + 1
      )*((a + b*x + c*x^2)^(p + 1)/(e*(p + 1)*(b^2 - 4*a*c))), x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, m, p}, x] && EqQ[2*c*d -
      b*e, 0] && EqQ[m + 2*p + 3, 0]

1107. Int[((d_.) + (e_.)*(x_))^(m_)*((a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_.), x_Symbol] :> Int[ExpandIntegrand[(d +
      e*x)^m*(a + b*x + c*x^2)^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, m}, x] && EqQ[2*c*d - b*e, 0] && IGtQ[p, 0] &&  !
      (EqQ[m, 3] && NeQ[p, 1])

1108. Int[((d_) + (e_.)*(x_))^(m_)*((a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_.), x_Symbol] :> Simp[(d + e*x)^(m + 1)*((
      a + b*x + c*x^2)^p/(e*(m + 1))), x] - Simp[b*(p/(d*e*(m + 1)))   Int[(d + e*x)^(m + 2)*(a + b*x + c*x^2)^(p -
      1), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && EqQ[2*c*d - b*e, 0] && NeQ[m + 2*p + 3, 0] && GtQ[p, 0] && LtQ[m, -
      1] &&  !(IntegerQ[m/2] && LtQ[m + 2*p + 3, 0]) && IntegerQ[2*p]

1109. Int[((d_) + (e_.)*(x_))^(m_)*((a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_.), x_Symbol] :> Simp[(d + e*x)^(m + 1)*((
      a + b*x + c*x^2)^p/(e*(m + 2*p + 1))), x] - Simp[d*p*((b^2 - 4*a*c)/(b*e*(m + 2*p + 1)))   Int[(d + e*x)^m*(a
      + b*x + c*x^2)^(p - 1), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, m}, x] && EqQ[2*c*d - b*e, 0] && NeQ[m + 2*p + 3, 0] &
      & GtQ[p, 0] &&  !LtQ[m, -1] &&  !(IGtQ[(m - 1)/2, 0] && ( !IntegerQ[p] || LtQ[m, 2*p])) && RationalQ[m] && Int
      egerQ[2*p]

1110. Int[((d_) + (e_.)*(x_))^(m_)*((a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Simp[d*(d + e*x)^(m - 1)*(
      (a + b*x + c*x^2)^(p + 1)/(b*(p + 1))), x] - Simp[d*e*((m - 1)/(b*(p + 1)))   Int[(d + e*x)^(m - 2)*(a + b*x +
      c*x^2)^(p + 1), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && EqQ[2*c*d - b*e, 0] && NeQ[m + 2*p + 3, 0] && LtQ[p, -
      1] && GtQ[m, 1] && IntegerQ[2*p]

1111. Int[((d_) + (e_.)*(x_))^(m_)*((a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_.), x_Symbol] :> Simp[2*c*(d + e*x)^(m + 1
      )*((a + b*x + c*x^2)^(p + 1)/(e*(p + 1)*(b^2 - 4*a*c))), x] - Simp[2*c*e*((m + 2*p + 3)/(e*(p + 1)*(b^2 - 4*a*
      c)))   Int[(d + e*x)^m*(a + b*x + c*x^2)^(p + 1), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, m}, x] && EqQ[2*c*d - b*e, 0
      ] && NeQ[m + 2*p + 3, 0] && LtQ[p, -1] &&  !GtQ[m, 1] && RationalQ[m] && IntegerQ[2*p]

1112. Int[1/(((d_) + (e_.)*(x_))*Sqrt[(a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2]), x_Symbol] :> Simp[4*c   Subst[Int[1/(b^2*
      e - 4*a*c*e + 4*c*e*x^2), x], x, Sqrt[a + b*x + c*x^2]], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && EqQ[2*c*d - b*e, 0
      ]

1113. Int[1/(Sqrt[(d_) + (e_.)*(x_)]*Sqrt[(a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2]), x_Symbol] :> Simp[(4/e)*Sqrt[-c/(b^2
      - 4*a*c)]   Subst[Int[1/Sqrt[Simp[1 - b^2*(x^4/(d^2*(b^2 - 4*a*c))), x]], x], x, Sqrt[d + e*x]], x] /; FreeQ[{
      a, b, c, d, e}, x] && EqQ[2*c*d - b*e, 0] && LtQ[c/(b^2 - 4*a*c), 0]

1114. Int[Sqrt[(d_) + (e_.)*(x_)]/Sqrt[(a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2], x_Symbol] :> Simp[(4/e)*Sqrt[-c/(b^2 - 4*
      a*c)]   Subst[Int[x^2/Sqrt[Simp[1 - b^2*(x^4/(d^2*(b^2 - 4*a*c))), x]], x], x, Sqrt[d + e*x]], x] /; FreeQ[{a,
      b, c, d, e}, x] && EqQ[2*c*d - b*e, 0] && LtQ[c/(b^2 - 4*a*c), 0]

1115. Int[((d_) + (e_.)*(x_))^(m_)/Sqrt[(a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2], x_Symbol] :> Simp[Sqrt[(-c)*((a + b*x +
      c*x^2)/(b^2 - 4*a*c))]/Sqrt[a + b*x + c*x^2]   Int[(d + e*x)^m/Sqrt[(-a)*(c/(b^2 - 4*a*c)) - b*c*(x/(b^2 - 4*a
      *c)) - c^2*(x^2/(b^2 - 4*a*c))], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && EqQ[2*c*d - b*e, 0] && EqQ[m^2, 1/4]

1116. Int[((d_) + (e_.)*(x_))^(m_)*((a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_.), x_Symbol] :> Simp[2*d*(d + e*x)^(m - 1
      )*((a + b*x + c*x^2)^(p + 1)/(b*(m + 2*p + 1))), x] + Simp[d^2*(m - 1)*((b^2 - 4*a*c)/(b^2*(m + 2*p + 1)))   I
      nt[(d + e*x)^(m - 2)*(a + b*x + c*x^2)^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, p}, x] && EqQ[2*c*d - b*e, 0] && NeQ
      [m + 2*p + 3, 0] && GtQ[m, 1] && NeQ[m + 2*p + 1, 0] && (IntegerQ[2*p] || (IntegerQ[m] && RationalQ[p]) || Odd
      Q[m])

1117. Int[((d_) + (e_.)*(x_))^(m_)*((a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_.), x_Symbol] :> Simp[-2*b*d*(d + e*x)^(m
      + 1)*((a + b*x + c*x^2)^(p + 1)/(d^2*(m + 1)*(b^2 - 4*a*c))), x] + Simp[b^2*((m + 2*p + 3)/(d^2*(m + 1)*(b^2 -
      4*a*c)))   Int[(d + e*x)^(m + 2)*(a + b*x + c*x^2)^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, p}, x] && EqQ[2*c*d - b
      *e, 0] && NeQ[m + 2*p + 3, 0] && LtQ[m, -1] && (IntegerQ[2*p] || (IntegerQ[m] && RationalQ[p]) || IntegerQ[(m
      + 2*p + 3)/2])

1118. Int[((d_) + (e_.)*(x_))^(m_)*((a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_.), x_Symbol] :> Simp[1/e   Subst[Int[x^m*
      (a - b^2/(4*c) + (c*x^2)/e^2)^p, x], x, d + e*x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, m, p}, x] && EqQ[2*c*d - b*e, 0]

1119. Int[((e_.)*(x_))^(m_.)*((b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_.), x_Symbol] :> Simp[1/e^p   Int[(e*x)^(m + p)*(b + c*x
      )^p, x], x] /; FreeQ[{b, c, e, m}, x] && IntegerQ[p]

1120. Int[((d_) + (e_.)*(x_))^(m_.)*((a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_.), x_Symbol] :> Int[(d + e*x)^(m + p)*(a
      /d + (c/e)*x)^p, x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, m}, x] && EqQ[c*d^2 - b*d*e + a*e^2, 0] && IntegerQ[p] && (EqQ[m
      + p, 0] || EqQ[m + 2*p + 2, 0])

1121. Int[((d_) + (e_.)*(x_))^(m_.)*((a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_.), x_Symbol] :> Int[ExpandIntegrand[(d +
      e*x)^(m + p)*(a/d + (c/e)*x)^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, m, p}, x] && EqQ[c*d^2 - b*d*e + a*e^2, 0] &&
      (IntegerQ[p] || (GtQ[a, 0] && GtQ[d, 0] && LtQ[c, 0]))

1122. Int[((d_.) + (e_.)*(x_))^(m_)*((a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Simp[e*(d + e*x)^(m - 1)*
      ((a + b*x + c*x^2)^(p + 1)/(c*(p + 1))), x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, m, p}, x] && EqQ[c*d^2 - b*d*e + a*e^2, 0
      ] && EqQ[m + p, 0]

1123. Int[((d_.) + (e_.)*(x_))^(m_)*((a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Simp[e*(d + e*x)^m*((a +
      b*x + c*x^2)^(p + 1)/((p + 1)*(2*c*d - b*e))), x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, m, p}, x] && EqQ[c*d^2 - b*d*e + a*
      e^2, 0] && EqQ[m + 2*p + 2, 0]

1124. Int[((d_.) + (e_.)*(x_))^(m_.)/((a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2)^(3/2), x_Symbol] :> Simp[-2*e*(2*c*d - b*e)
      ^(m - 2)*((d + e*x)/(c^(m - 1)*Sqrt[a + b*x + c*x^2])), x] + Simp[e^2/c^(m - 1)   Int[(1/Sqrt[a + b*x + c*x^2]
      )*ExpandToSum[((2*c*d - b*e)^(m - 1) - c^(m - 1)*(d + e*x)^(m - 1))/(c*d - b*e - c*e*x), x], x], x] /; FreeQ[{
      a, b, c, d, e}, x] && EqQ[c*d^2 - b*d*e + a*e^2, 0] && IGtQ[m, 0]

1125. Int[((d_.) + (e_.)*(x_))^(m_.)*((a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Simp[-2*e^(2*m + 3)*(Sqr
      t[a + b*x + c*x^2]/((-2*c*d + b*e)^(m + 2)*(d + e*x))), x] - Simp[e^(2*m + 2)   Int[(1/Sqrt[a + b*x + c*x^2])*
      ExpandToSum[((-2*c*d + b*e)^(-m - 1) - ((-c)*d + b*e + c*e*x)^(-m - 1))/(d + e*x), x], x], x] /; FreeQ[{a, b,
      c, d, e}, x] && EqQ[c*d^2 - b*d*e + a*e^2, 0] && ILtQ[m, 0] && EqQ[m + p, -3/2]

1126. Int[((d_.) + (e_.)*(x_))^2*((a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Simp[e*(d + e*x)*((a + b*x +
      c*x^2)^(p + 1)/(c*(p + 1))), x] - Simp[e^2*((p + 2)/(c*(p + 1)))   Int[(a + b*x + c*x^2)^(p + 1), x], x] /; F
      reeQ[{a, b, c, d, e, p}, x] && EqQ[c*d^2 - b*d*e + a*e^2, 0] && LtQ[p, -1]

1127. Int[((d_) + (e_.)*(x_))^(m_)*((a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Int[(a + b*x + c*x^2)^(m +
      p)/(a/d + c*(x/e))^m, x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && EqQ[c*d^2 - b*d*e + a*e^2, 0] && IntegerQ[m] && Rati
      onalQ[p] && (LtQ[0, -m, p] || LtQ[p, -m, 0]) && NeQ[m, 2] && NeQ[m, -1]

1128. Int[((d_.) + (e_.)*(x_))^(m_)*((a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Simp[e*(d + e*x)^(m - 1)*
      ((a + b*x + c*x^2)^(p + 1)/(c*(m + 2*p + 1))), x] + Simp[Simplify[m + p]*((2*c*d - b*e)/(c*(m + 2*p + 1)))   I
      nt[(d + e*x)^(m - 1)*(a + b*x + c*x^2)^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, m, p}, x] && EqQ[c*d^2 - b*d*e + a*e
      ^2, 0] && IGtQ[Simplify[m + p], 0]

1129. Int[((d_.) + (e_.)*(x_))^(m_)*((a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Simp[(-e)*(d + e*x)^m*((a
      + b*x + c*x^2)^(p + 1)/((m + p + 1)*(2*c*d - b*e))), x] + Simp[c*(Simplify[m + 2*p + 2]/((m + p + 1)*(2*c*d -
      b*e)))   Int[(d + e*x)^(m + 1)*(a + b*x + c*x^2)^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, m, p}, x] && EqQ[c*d^2 -
      b*d*e + a*e^2, 0] && ILtQ[Simplify[m + 2*p + 2], 0]

1130. Int[((d_.) + (e_.)*(x_))^(m_)*((a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Simp[(d + e*x)^(m + 1)*((
      a + b*x + c*x^2)^p/(e*(m + p + 1))), x] - Simp[c*(p/(e^2*(m + p + 1)))   Int[(d + e*x)^(m + 2)*(a + b*x + c*x^
      2)^(p - 1), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && EqQ[c*d^2 - b*d*e + a*e^2, 0] && GtQ[p, 0] && (LtQ[m, -2] |
      | EqQ[m + 2*p + 1, 0]) && NeQ[m + p + 1, 0] && IntegerQ[2*p]

1131. Int[((d_.) + (e_.)*(x_))^(m_)*((a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Simp[(d + e*x)^(m + 1)*((
      a + b*x + c*x^2)^p/(e*(m + 2*p + 1))), x] - Simp[p*((2*c*d - b*e)/(e^2*(m + 2*p + 1)))   Int[(d + e*x)^(m + 1)
      *(a + b*x + c*x^2)^(p - 1), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && EqQ[c*d^2 - b*d*e + a*e^2, 0] && GtQ[p, 0]
      && (LeQ[-2, m, 0] || EqQ[m + p + 1, 0]) && NeQ[m + 2*p + 1, 0] && IntegerQ[2*p]

1132. Int[((d_.) + (e_.)*(x_))^(m_)*((a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Simp[(2*c*d - b*e)*(d + e
      *x)^m*((a + b*x + c*x^2)^(p + 1)/(e*(p + 1)*(b^2 - 4*a*c))), x] - Simp[(2*c*d - b*e)*((m + 2*p + 2)/((p + 1)*(
      b^2 - 4*a*c)))   Int[(d + e*x)^(m - 1)*(a + b*x + c*x^2)^(p + 1), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && EqQ[c
      *d^2 - b*d*e + a*e^2, 0] && LtQ[p, -1] && LtQ[0, m, 1] && IntegerQ[2*p]

1133. Int[((d_.) + (e_.)*(x_))^(m_)*((a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Simp[e*(d + e*x)^(m - 1)*
      ((a + b*x + c*x^2)^(p + 1)/(c*(p + 1))), x] - Simp[e^2*((m + p)/(c*(p + 1)))   Int[(d + e*x)^(m - 2)*(a + b*x
      + c*x^2)^(p + 1), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && EqQ[c*d^2 - b*d*e + a*e^2, 0] && LtQ[p, -1] && GtQ[m,
      1] && IntegerQ[2*p]

1134. Int[((d_.) + (e_.)*(x_))^(m_)*((a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Simp[e*(d + e*x)^(m - 1)*
      ((a + b*x + c*x^2)^(p + 1)/(c*(m + 2*p + 1))), x] + Simp[(m + p)*((2*c*d - b*e)/(c*(m + 2*p + 1)))   Int[(d +
      e*x)^(m - 1)*(a + b*x + c*x^2)^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, p}, x] && EqQ[c*d^2 - b*d*e + a*e^2, 0] && G
      tQ[m, 1] && NeQ[m + 2*p + 1, 0] && IntegerQ[2*p]

1135. Int[((d_.) + (e_.)*(x_))^(m_)*((a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Simp[(-e)*(d + e*x)^m*((a
      + b*x + c*x^2)^(p + 1)/((m + p + 1)*(2*c*d - b*e))), x] + Simp[c*((m + 2*p + 2)/((m + p + 1)*(2*c*d - b*e)))
      Int[(d + e*x)^(m + 1)*(a + b*x + c*x^2)^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, p}, x] && EqQ[c*d^2 - b*d*e + a*e
      ^2, 0] && LtQ[m, 0] && NeQ[m + p + 1, 0] && IntegerQ[2*p]

1136. Int[1/(Sqrt[(d_.) + (e_.)*(x_)]*Sqrt[(a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2]), x_Symbol] :> Simp[2*e   Subst[Int[1/
      (2*c*d - b*e + e^2*x^2), x], x, Sqrt[a + b*x + c*x^2]/Sqrt[d + e*x]], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && EqQ[c
      *d^2 - b*d*e + a*e^2, 0]

1137. Int[((e_.)*(x_))^(m_)*((b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Simp[(e*x)^m*((b*x + c*x^2)^p/(x^(m + p)*
      (b + c*x)^p))   Int[x^(m + p)*(b + c*x)^p, x], x] /; FreeQ[{b, c, e, m}, x]

1138. Int[((d_) + (e_.)*(x_))^(m_)*((a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Simp[d^m*((a + b*x + c*x^2
      )^FracPart[p]/((1 + e*(x/d))^FracPart[p]*(a/d + (c*x)/e)^FracPart[p]))   Int[(1 + e*(x/d))^(m + p)*(a/d + (c/e
      )*x)^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, m}, x] && EqQ[c*d^2 - b*d*e + a*e^2, 0] && (IntegerQ[m] || GtQ[d, 0])
      &&  !(IGtQ[m, 0] && (IntegerQ[3*p] || IntegerQ[4*p]))

1139. Int[((d_) + (e_.)*(x_))^(m_)*((a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Simp[d^IntPart[m]*((d + e*
      x)^FracPart[m]/(1 + e*(x/d))^FracPart[m])   Int[(1 + e*(x/d))^m*(a + b*x + c*x^2)^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c,
      d, e, m}, x] && EqQ[c*d^2 - b*d*e + a*e^2, 0] &&  !(IntegerQ[m] || GtQ[d, 0])

1140. Int[((d_.) + (e_.)*(x_))^(m_.)*((a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_.), x_Symbol] :> Int[ExpandIntegrand[(d
      + e*x)^m*(a + b*x + c*x^2)^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, m}, x] && IGtQ[p, 0]

1141. Int[((d_.) + (e_.)*(x_))^(m_.)*((a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> With[{q = Rt[b^2 - 4*a*c
      , 2]}, Simp[1/c^p   Int[ExpandIntegrand[(d + e*x)^m*(b/2 - q/2 + c*x)^p*(b/2 + q/2 + c*x)^p, x], x], x] /; EqQ
      [p, -1] ||  !FractionalPowerFactorQ[q]] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && ILtQ[p, 0] && IntegerQ[m] && NiceSqrtQ
      [b^2 - 4*a*c]

1142. Int[((d_.) + (e_.)*(x_))/((a_) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2), x_Symbol] :> Simp[(2*c*d - b*e)/(2*c)   Int[1/(a
      + b*x + c*x^2), x], x] + Simp[e/(2*c)   Int[(b + 2*c*x)/(a + b*x + c*x^2), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x]

1143. Int[((d_.) + (e_.)*(x_))^(m_)/((a_) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2), x_Symbol] :> Int[ExpandIntegrand[(d + e*x)^m
      /(a + b*x + c*x^2), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && IGtQ[m, 1]

1144. Int[1/(((d_.) + (e_.)*(x_))*((a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2)), x_Symbol] :> Simp[e*(Log[RemoveContent[d + e
      *x, x]]/(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)), x] + Simp[1/(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)   Int[(c*d - b*e - c*e*x)/(a + b*x + c*x
      ^2), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x]

1145. Int[((d_.) + (e_.)*(x_))^(m_)/((a_) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2), x_Symbol] :> Simp[e*((d + e*x)^(m + 1)/((m +
      1)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2))), x] + Simp[1/(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)   Int[(d + e*x)^(m + 1)*(Simp[c*d - b*e - c
      *e*x, x]/(a + b*x + c*x^2)), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && ILtQ[m, -1]

1146. Int[((d_.) + (e_.)*(x_))^(m_)/((a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2), x_Symbol] :> Simp[e*((d + e*x)^(m - 1)/(c*(
      m - 1))), x] + Simp[1/c   Int[(d + e*x)^(m - 2)*(Simp[c*d^2 - a*e^2 + e*(2*c*d - b*e)*x, x]/(a + b*x + c*x^2))
      , x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && GtQ[m, 1]

1147. Int[((d_.) + (e_.)*(x_))^(m_)/((a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2), x_Symbol] :> Simp[e*((d + e*x)^(m + 1)/((m
      + 1)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2))), x] + Simp[1/(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)   Int[(d + e*x)^(m + 1)*(Simp[c*d - b*e -
      c*e*x, x]/(a + b*x + c*x^2)), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, m}, x] && LtQ[m, -1]

1148. Int[Sqrt[(d_.) + (e_.)*(x_)]/((a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2), x_Symbol] :> Simp[2*e   Subst[Int[x^2/(c*d^2
      - b*d*e + a*e^2 - (2*c*d - b*e)*x^2 + c*x^4), x], x, Sqrt[d + e*x]], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x]

1149. Int[1/(Sqrt[(d_.) + (e_.)*(x_)]*((a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2)), x_Symbol] :> Simp[2*e   Subst[Int[1/(c*d
      ^2 - b*d*e + a*e^2 - (2*c*d - b*e)*x^2 + c*x^4), x], x, Sqrt[d + e*x]], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x]

1150. Int[((d_.) + (e_.)*(x_))^(m_)/((a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2), x_Symbol] :> Int[ExpandIntegrand[(d + e*x)^
      m, 1/(a + b*x + c*x^2), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, m}, x] &&  !IntegerQ[2*m]

1151. Int[((d_.) + (e_.)*(x_))^(m_)*((a_) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Simp[(d + e*x)^FracPart[p]
      *((a + b*x + c*x^2)^FracPart[p]/(a*d + c*e*x^3)^FracPart[p])   Int[(d + e*x)^(m - p)*(a*d + c*e*x^3)^p, x], x]
      /; FreeQ[{a, b, c, d, e, m, p}, x] && EqQ[b*d + a*e, 0] && EqQ[c*d + b*e, 0] && IGtQ[m - p + 1, 0] &&  !Integ
      erQ[p]

1152. Int[((d_.) + (e_.)*(x_))^(m_)*((a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Simp[(-(d + e*x)^(m + 1))
      *(d*b - 2*a*e + (2*c*d - b*e)*x)*((a + b*x + c*x^2)^p/(2*(m + 1)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2))), x] + Simp[p*((b^2
      - 4*a*c)/(2*(m + 1)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)))   Int[(d + e*x)^(m + 2)*(a + b*x + c*x^2)^(p - 1), x], x] /; Fre
      eQ[{a, b, c, d, e}, x] && EqQ[m + 2*p + 2, 0] && GtQ[p, 0]

1153. Int[((d_.) + (e_.)*(x_))^(m_)*((a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Simp[(d + e*x)^(m - 1)*(d
      *b - 2*a*e + (2*c*d - b*e)*x)*((a + b*x + c*x^2)^(p + 1)/((p + 1)*(b^2 - 4*a*c))), x] - Simp[2*(2*p + 3)*((c*d
      ^2 - b*d*e + a*e^2)/((p + 1)*(b^2 - 4*a*c)))   Int[(d + e*x)^(m - 2)*(a + b*x + c*x^2)^(p + 1), x], x] /; Free
      Q[{a, b, c, d, e}, x] && EqQ[m + 2*p + 2, 0] && LtQ[p, -1]

1154. Int[1/(((d_.) + (e_.)*(x_))*Sqrt[(a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2]), x_Symbol] :> Simp[-2   Subst[Int[1/(4*c*
      d^2 - 4*b*d*e + 4*a*e^2 - x^2), x], x, (2*a*e - b*d - (2*c*d - b*e)*x)/Sqrt[a + b*x + c*x^2]], x] /; FreeQ[{a,
      b, c, d, e}, x]

1155. Int[((d_.) + (e_.)*(x_))^(m_)*((a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> With[{q = Rt[b^2 - 4*a*c,
      2]}, Simp[(-(b - q + 2*c*x))*(d + e*x)^(m + 1)*((a + b*x + c*x^2)^p/((m + 1)*(2*c*d - b*e + e*q)*((2*c*d - b*
      e + e*q)*((b + q + 2*c*x)/((2*c*d - b*e - e*q)*(b - q + 2*c*x))))^p))*Hypergeometric2F1[m + 1, -p, m + 2, -4*c
      *q*((d + e*x)/((2*c*d - b*e - e*q)*(b - q + 2*c*x)))], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, m, p}, x] && EqQ[m + 2*p +
      2, 0]

1156. Int[((d_.) + (e_.)*(x_))^(m_)*((a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Simp[(d + e*x)^m*(b + 2*c
      *x)*((a + b*x + c*x^2)^(p + 1)/((p + 1)*(b^2 - 4*a*c))), x] + Simp[m*((2*c*d - b*e)/((p + 1)*(b^2 - 4*a*c)))
      Int[(d + e*x)^(m - 1)*(a + b*x + c*x^2)^(p + 1), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, m, p}, x] && EqQ[m + 2*p + 3
      , 0] && LtQ[p, -1]

1157. Int[((d_.) + (e_.)*(x_))^(m_)*((a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Simp[e*(d + e*x)^(m + 1)*
      ((a + b*x + c*x^2)^(p + 1)/((m + 1)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2))), x] + Simp[(2*c*d - b*e)/(2*(c*d^2 - b*d*e + a*e
      ^2))   Int[(d + e*x)^(m + 1)*(a + b*x + c*x^2)^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, m, p}, x] && EqQ[m + 2*p + 3
      , 0]

1158. Int[((d_.) + (e_.)*(x_))/((a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2)^(3/2), x_Symbol] :> Simp[-2*((b*d - 2*a*e + (2*c*
      d - b*e)*x)/((b^2 - 4*a*c)*Sqrt[a + b*x + c*x^2])), x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x]

1159. Int[((d_.) + (e_.)*(x_))*((a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Simp[((b*d - 2*a*e + (2*c*d -
      b*e)*x)/((p + 1)*(b^2 - 4*a*c)))*(a + b*x + c*x^2)^(p + 1), x] - Simp[(2*p + 3)*((2*c*d - b*e)/((p + 1)*(b^2 -
      4*a*c)))   Int[(a + b*x + c*x^2)^(p + 1), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && LtQ[p, -1] && NeQ[p, -3/2]

1160. Int[((d_.) + (e_.)*(x_))*((a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Simp[e*((a + b*x + c*x^2)^(p +
      1)/(2*c*(p + 1))), x] + Simp[(2*c*d - b*e)/(2*c)   Int[(a + b*x + c*x^2)^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, p
      }, x] && NeQ[p, -1]

1161. Int[((d_.) + (e_.)*(x_))^(m_)*((a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Simp[(d + e*x)^(m + 1)*((
      a + b*x + c*x^2)^p/(e*(m + 1))), x] - Simp[p/(e*(m + 1))   Int[(d + e*x)^(m + 1)*(b + 2*c*x)*(a + b*x + c*x^2)
      ^(p - 1), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, m}, x] && GtQ[p, 0] && (IntegerQ[p] || LtQ[m, -1]) && NeQ[m, -1] &&
      !ILtQ[m + 2*p + 1, 0] && IntQuadraticQ[a, b, c, d, e, m, p, x]

1162. Int[((d_.) + (e_.)*(x_))^(m_)*((a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Simp[(d + e*x)^(m + 1)*((
      a + b*x + c*x^2)^p/(e*(m + 2*p + 1))), x] - Simp[p/(e*(m + 2*p + 1))   Int[(d + e*x)^m*Simp[b*d - 2*a*e + (2*c
      *d - b*e)*x, x]*(a + b*x + c*x^2)^(p - 1), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, m}, x] && GtQ[p, 0] && NeQ[m + 2*p
      + 1, 0] && ( !RationalQ[m] || LtQ[m, 1]) &&  !ILtQ[m + 2*p, 0] && IntQuadraticQ[a, b, c, d, e, m, p, x]

1163. Int[((d_.) + (e_.)*(x_))^(m_)*((a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Simp[(d + e*x)^m*(b + 2*c
      *x)*((a + b*x + c*x^2)^(p + 1)/((p + 1)*(b^2 - 4*a*c))), x] - Simp[1/((p + 1)*(b^2 - 4*a*c))   Int[(d + e*x)^(
      m - 1)*(b*e*m + 2*c*d*(2*p + 3) + 2*c*e*(m + 2*p + 3)*x)*(a + b*x + c*x^2)^(p + 1), x], x] /; FreeQ[{a, b, c,
      d, e}, x] && LtQ[p, -1] && GtQ[m, 0] && (LtQ[m, 1] || (ILtQ[m + 2*p + 3, 0] && NeQ[m, 2])) && IntQuadraticQ[a,
      b, c, d, e, m, p, x]

1164. Int[((d_.) + (e_.)*(x_))^(m_)*((a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Simp[(d + e*x)^(m - 1)*(d
      *b - 2*a*e + (2*c*d - b*e)*x)*((a + b*x + c*x^2)^(p + 1)/((p + 1)*(b^2 - 4*a*c))), x] + Simp[1/((p + 1)*(b^2 -
      4*a*c))   Int[(d + e*x)^(m - 2)*Simp[e*(2*a*e*(m - 1) + b*d*(2*p - m + 4)) - 2*c*d^2*(2*p + 3) + e*(b*e - 2*d
      *c)*(m + 2*p + 2)*x, x]*(a + b*x + c*x^2)^(p + 1), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && LtQ[p, -1] && GtQ[m,
      1] && IntQuadraticQ[a, b, c, d, e, m, p, x]

1165. Int[((d_.) + (e_.)*(x_))^(m_)*((a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Simp[(d + e*x)^(m + 1)*(b
      *c*d - b^2*e + 2*a*c*e + c*(2*c*d - b*e)*x)*((a + b*x + c*x^2)^(p + 1)/((p + 1)*(b^2 - 4*a*c)*(c*d^2 - b*d*e +
      a*e^2))), x] + Simp[1/((p + 1)*(b^2 - 4*a*c)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2))   Int[(d + e*x)^m*Simp[b*c*d*e*(2*p - m
      + 2) + b^2*e^2*(m + p + 2) - 2*c^2*d^2*(2*p + 3) - 2*a*c*e^2*(m + 2*p + 3) - c*e*(2*c*d - b*e)*(m + 2*p + 4)*
      x, x]*(a + b*x + c*x^2)^(p + 1), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, m}, x] && LtQ[p, -1] && IntQuadraticQ[a, b, c
      , d, e, m, p, x]

1166. Int[((d_.) + (e_.)*(x_))^(m_)*((a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Simp[e*(d + e*x)^(m - 1)*
      ((a + b*x + c*x^2)^(p + 1)/(c*(m + 2*p + 1))), x] + Simp[1/(c*(m + 2*p + 1))   Int[(d + e*x)^(m - 2)*Simp[c*d^
      2*(m + 2*p + 1) - e*(a*e*(m - 1) + b*d*(p + 1)) + e*(2*c*d - b*e)*(m + p)*x, x]*(a + b*x + c*x^2)^p, x], x] /;
      FreeQ[{a, b, c, d, e, m, p}, x] && If[RationalQ[m], GtQ[m, 1], SumSimplerQ[m, -2]] && NeQ[m + 2*p + 1, 0] &&
      IntQuadraticQ[a, b, c, d, e, m, p, x]

1167. Int[((d_.) + (e_.)*(x_))^(m_)*((a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Simp[e*(d + e*x)^(m + 1)*
      ((a + b*x + c*x^2)^(p + 1)/((m + 1)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2))), x] + Simp[1/((m + 1)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2))
      Int[(d + e*x)^(m + 1)*Simp[c*d*(m + 1) - b*e*(m + p + 2) - c*e*(m + 2*p + 3)*x, x]*(a + b*x + c*x^2)^p, x], x
      ] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, m, p}, x] && NeQ[m, -1] && ((LtQ[m, -1] && IntQuadraticQ[a, b, c, d, e, m, p, x]) |
      | (SumSimplerQ[m, 1] && IntegerQ[p]) || ILtQ[Simplify[m + 2*p + 3], 0])

1168. Int[((d_.) + (e_.)*(x_))^(m_)/Sqrt[(b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2], x_Symbol] :> Int[(d + e*x)^m/(Sqrt[b*x]*Sqrt[1
      + (c/b)*x]), x] /; FreeQ[{b, c, d, e}, x] && NeQ[c*d - b*e, 0] && EqQ[m^2, 1/4] && LtQ[c, 0] && RationalQ[b]

1169. Int[((d_.) + (e_.)*(x_))^(m_)/Sqrt[(b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2], x_Symbol] :> Simp[Sqrt[x]*(Sqrt[b + c*x]/Sqrt[b
      *x + c*x^2])   Int[(d + e*x)^m/(Sqrt[x]*Sqrt[b + c*x]), x], x] /; FreeQ[{b, c, d, e}, x] && NeQ[c*d - b*e, 0]
      && EqQ[m^2, 1/4]

1170. Int[(x_)^(m_)/Sqrt[(a_) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2], x_Symbol] :> Simp[2   Subst[Int[x^(2*m + 1)/Sqrt[a + b*x
      ^2 + c*x^4], x], x, Sqrt[x]], x] /; FreeQ[{a, b, c}, x] && EqQ[m^2, 1/4]

1171. Int[((e_)*(x_))^(m_)/Sqrt[(a_) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2], x_Symbol] :> Simp[(e*x)^m/x^m   Int[x^m/Sqrt[a +
      b*x + c*x^2], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, e}, x] && EqQ[m^2, 1/4]

1172. Int[((d_.) + (e_.)*(x_))^(m_)/Sqrt[(a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2], x_Symbol] :> Simp[2*Rt[b^2 - 4*a*c, 2]*
      (d + e*x)^m*(Sqrt[(-c)*((a + b*x + c*x^2)/(b^2 - 4*a*c))]/(c*Sqrt[a + b*x + c*x^2]*(2*c*((d + e*x)/(2*c*d - b*
      e - e*Rt[b^2 - 4*a*c, 2])))^m))   Subst[Int[(1 + 2*e*Rt[b^2 - 4*a*c, 2]*(x^2/(2*c*d - b*e - e*Rt[b^2 - 4*a*c,
      2])))^m/Sqrt[1 - x^2], x], x, Sqrt[(b + Rt[b^2 - 4*a*c, 2] + 2*c*x)/(2*Rt[b^2 - 4*a*c, 2])]], x] /; FreeQ[{a,
      b, c, d, e}, x] && EqQ[m^2, 1/4]

1173. Int[((a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_)/((d_.) + (e_.)*(x_)), x_Symbol] :> Simp[1/(-4*(c/(b^2 - 4*a*c)))^
      p   Subst[Int[Simp[1 - x^2/(b^2 - 4*a*c), x]^p/Simp[2*c*d - b*e + e*x, x], x], x, b + 2*c*x], x] /; FreeQ[{a,
      b, c, d, e, p}, x] && GtQ[4*a - b^2/c, 0] && IntegerQ[4*p]

1174. Int[((a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_)/((d_.) + (e_.)*(x_)), x_Symbol] :> Simp[(a + b*x + c*x^2)^p/((-c)
      *((a + b*x + c*x^2)/(b^2 - 4*a*c)))^p   Int[((-a)*(c/(b^2 - 4*a*c)) - b*c*(x/(b^2 - 4*a*c)) - c^2*(x^2/(b^2 -
      4*a*c)))^p/(d + e*x), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, p}, x] &&  !GtQ[4*a - b^2/c, 0] && IntegerQ[4*p]

1175. Int[1/(((d_.) + (e_.)*(x_))*((a_) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2)^(1/3)), x_Symbol] :> With[{q = Rt[3*c*e^2*(2*c*
      d - b*e), 3]}, Simp[(-Sqrt[3])*c*e*(ArcTan[1/Sqrt[3] + 2*((c*d - b*e - c*e*x)/(Sqrt[3]*q*(a + b*x + c*x^2)^(1/
      3)))]/q^2), x] + (-Simp[3*c*e*(Log[d + e*x]/(2*q^2)), x] + Simp[3*c*e*(Log[c*d - b*e - c*e*x - q*(a + b*x + c*
      x^2)^(1/3)]/(2*q^2)), x])] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && EqQ[c^2*d^2 - b*c*d*e + b^2*e^2 - 3*a*c*e^2, 0] &&
      PosQ[c*e^2*(2*c*d - b*e)]

1176. Int[1/(((d_.) + (e_.)*(x_))*((a_) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2)^(1/3)), x_Symbol] :> With[{q = Rt[-3*c*e^2*(2*c
      *d - b*e), 3]}, Simp[(-Sqrt[3])*c*e*(ArcTan[1/Sqrt[3] - 2*((c*d - b*e - c*e*x)/(Sqrt[3]*q*(a + b*x + c*x^2)^(1
      /3)))]/q^2), x] + (-Simp[3*c*e*(Log[d + e*x]/(2*q^2)), x] + Simp[3*c*e*(Log[c*d - b*e - c*e*x + q*(a + b*x + c
      *x^2)^(1/3)]/(2*q^2)), x])] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && EqQ[c^2*d^2 - b*c*d*e + b^2*e^2 - 3*a*c*e^2, 0] &&
      NegQ[c*e^2*(2*c*d - b*e)]

1177. Int[1/(((d_.) + (e_.)*(x_))*((a_) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2)^(1/3)), x_Symbol] :> With[{q = Rt[b^2 - 4*a*c,
      2]}, Simp[(b + q + 2*c*x)^(1/3)*((b - q + 2*c*x)^(1/3)/(a + b*x + c*x^2)^(1/3))   Int[1/((d + e*x)*(b + q + 2*
      c*x)^(1/3)*(b - q + 2*c*x)^(1/3)), x], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && EqQ[c^2*d^2 - b*c*d*e - 2*b^2*e^2 +
      9*a*c*e^2, 0]

1178. Int[((d_.) + (e_.)*(x_))^(m_)*((a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> With[{q = Rt[b^2 - 4*a*c,
      2]}, Simp[(-(1/(d + e*x))^(2*p))*((a + b*x + c*x^2)^p/(e*(e*((b - q + 2*c*x)/(2*c*(d + e*x))))^p*(e*((b + q +
      2*c*x)/(2*c*(d + e*x))))^p))   Subst[Int[x^(-m - 2*(p + 1))*Simp[1 - (d - e*((b - q)/(2*c)))*x, x]^p*Simp[1 -
      (d - e*((b + q)/(2*c)))*x, x]^p, x], x, 1/(d + e*x)], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, p}, x] && ILtQ[m, 0]

1179. Int[((d_.) + (e_.)*(x_))^(m_)*((a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> With[{q = Rt[b^2 - 4*a*c,
      2]}, Simp[(a + b*x + c*x^2)^p/(e*(1 - (d + e*x)/(d - e*((b - q)/(2*c))))^p*(1 - (d + e*x)/(d - e*((b + q)/(2*
      c))))^p)   Subst[Int[x^m*Simp[1 - x/(d - e*((b - q)/(2*c))), x]^p*Simp[1 - x/(d - e*((b + q)/(2*c))), x]^p, x]
      , x, d + e*x], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, m, p}, x]

1180. Int[((d_.) + (e_.)*(u_))^(m_.)*((a_) + (b_.)*(u_) + (c_.)*(u_)^2)^(p_.), x_Symbol] :> Simp[1/Coefficient[u, x,
      1]   Subst[Int[(d + e*x)^m*(a + b*x + c*x^2)^p, x], x, u], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, m, p}, x] && LinearQ[u
      , x] && NeQ[u, x]

1181. Int[((d_.) + (e_.)*(x_))^(m_.)*((f_.) + (g_.)*(x_))^(n_.)*((a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_.), x_Symbol]
      :> Simp[(g/e)^n   Int[(d + e*x)^(m + n)*(a + b*x + c*x^2)^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, m, p}, x]
      && EqQ[e*f - d*g, 0] && IntegerQ[n] &&  !(IntegerQ[m] && SimplerQ[f + g*x, d + e*x])

1182. Int[((d_.) + (e_.)*(x_))^(m_)*((f_.) + (g_.)*(x_))^(n_)*((a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_.), x_Symbol] :
      > Simp[(e/g)^m   Int[(f + g*x)^(m + n)*(a + b*x + c*x^2)^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, m, n, p}, x]
      && EqQ[e*f - d*g, 0] && GtQ[e/g, 0]

1183. Int[((d_.) + (e_.)*(x_))^(m_)*((f_.) + (g_.)*(x_))^(n_)*((a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_.), x_Symbol] :
      > Simp[(d + e*x)^m/(f + g*x)^m   Int[(f + g*x)^(m + n)*(a + b*x + c*x^2)^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f,
      g, m, n, p}, x] && EqQ[e*f - d*g, 0]

1184. Int[((d_.) + (e_.)*(x_))^(m_.)*((f_.) + (g_.)*(x_))^(n_.)*((a_) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_.), x_Symbol]
      :> Simp[1/c^p   Int[(d + e*x)^m*(f + g*x)^n*(b/2 + c*x)^(2*p), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, m, n}, x]
      && EqQ[b^2 - 4*a*c, 0] && IntegerQ[p]

1185. Int[((d_.) + (e_.)*(x_))^(m_.)*((f_) + (g_.)*(x_))*((a_) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_.), x_Symbol] :> Simp
      [(-f)*g*(d + e*x)^(m + 1)*((a + b*x + c*x^2)^(p + 1)/(b*(p + 1)*(e*f - d*g))), x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f,
      g, m, p}, x] && EqQ[b^2 - 4*a*c, 0] && EqQ[m + 2*p + 3, 0] && EqQ[2*c*f - b*g, 0]

1186. Int[((d_.) + (e_.)*(x_))^(m_.)*((f_.) + (g_.)*(x_))*((a_) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Simp
      [-2*c*(e*f - d*g)*(d + e*x)^(m + 1)*((a + b*x + c*x^2)^(p + 1)/((p + 1)*(2*c*d - b*e)^2)), x] + Simp[(2*c*f -
      b*g)/(2*c*d - b*e)   Int[(d + e*x)^(m + 1)*(a + b*x + c*x^2)^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, m, p}, x
      ] && EqQ[b^2 - 4*a*c, 0] && EqQ[m + 2*p + 3, 0] && NeQ[2*c*f - b*g, 0] && NeQ[2*c*d - b*e, 0]

1187. Int[((d_.) + (e_.)*(x_))^(m_.)*((f_.) + (g_.)*(x_))^(n_.)*((a_) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :
      > Simp[(a + b*x + c*x^2)^FracPart[p]/(c^IntPart[p]*(b/2 + c*x)^(2*FracPart[p]))   Int[(d + e*x)^m*(f + g*x)^n*
      (b/2 + c*x)^(2*p), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, m, n, p}, x] && EqQ[b^2 - 4*a*c, 0] &&  !IntegerQ[p]

1188. Int[((d_) + (e_.)*(x_))^(m_.)*((f_) + (g_.)*(x_))^(n_.)*((a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_.), x_Symbol] :
      > Int[(d*f + e*g*x^2)^m*(a + b*x + c*x^2)^p, x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, m, n, p}, x] && EqQ[m, n] && Eq
      Q[e*f + d*g, 0] && (IntegerQ[m] || (GtQ[d, 0] && GtQ[f, 0]))

1189. Int[((d_) + (e_.)*(x_))^(m_.)*((f_) + (g_.)*(x_))^(n_.)*((a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2), x_Symbol] :> Simp
      [b   Int[x*(d + e*x)^m*(f + g*x)^n, x], x] + Int[(d + e*x)^m*(f + g*x)^n*(a + c*x^2), x] /; FreeQ[{a, b, c, d,
      e, f, g, m, n}, x] && EqQ[m, n] && EqQ[e*f + d*g, 0]

1190. Int[(Sqrt[(d_) + (e_.)*(x_)]*Sqrt[(f_) + (g_.)*(x_)])/((a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2), x_Symbol] :> Simp[e
      *(g/c)   Int[1/(Sqrt[d + e*x]*Sqrt[f + g*x]), x], x] + Simp[1/c   Int[(c*d*f - a*e*g - b*e*g*x)/(Sqrt[d + e*x]
      *Sqrt[f + g*x]*(a + b*x + c*x^2)), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g}, x] && EqQ[e*f + d*g, 0]

1191. Int[((d_) + (e_.)*(x_))^(m_.)*((f_) + (g_.)*(x_))^(n_.)*((a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :>
      Simp[(d + e*x)^FracPart[m]*((f + g*x)^FracPart[m]/(d*f + e*g*x^2)^FracPart[m])   Int[(d*f + e*g*x^2)^m*(a + b
      *x + c*x^2)^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, m, n, p}, x] && EqQ[m, n] && EqQ[e*f + d*g, 0] &&  !(EqQ[
      p, 2] && LtQ[m, -1])

1192. Int[((d_.) + (e_.)*(x_))^(m_)*((f_.) + (g_.)*(x_))^(n_)*((a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_.), x_Symbol] :
      > Simp[2/e^(n + 2*p + 1)   Subst[Int[x^(2*m + 1)*(e*f - d*g + g*x^2)^n*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2 - (2*c*d - b*e)*
      x^2 + c*x^4)^p, x], x, Sqrt[d + e*x]], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g}, x] && IGtQ[p, 0] && ILtQ[n, 0] && In
      tegerQ[m + 1/2]

1193. Int[((d_.) + (e_.)*(x_))^(m_)*((f_.) + (g_.)*(x_))^(n_)*((a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_.), x_Symbol] :
      > With[{Qx = PolynomialQuotient[(a + b*x + c*x^2)^p, d + e*x, x], R = PolynomialRemainder[(a + b*x + c*x^2)^p,
      d + e*x, x]}, Simp[R*(d + e*x)^(m + 1)*((f + g*x)^(n + 1)/((m + 1)*(e*f - d*g))), x] + Simp[1/((m + 1)*(e*f -
      d*g))   Int[(d + e*x)^(m + 1)*(f + g*x)^n*ExpandToSum[(m + 1)*(e*f - d*g)*Qx - g*R*(m + n + 2), x], x], x]] /
      ; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, n}, x] && IGtQ[p, 0] && ILtQ[2*m, -2] &&  !IntegerQ[n] &&  !(EqQ[m, -2] && EqQ[p
      , 1] && EqQ[2*c*d - b*e, 0])

1194. Int[((d_.) + (e_.)*(x_))^(m_)*((f_.) + (g_.)*(x_))^(n_)*((a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_.), x_Symbol] :
      > Simp[c^p*(d + e*x)^(m + 2*p)*((f + g*x)^(n + 1)/(g*e^(2*p)*(m + n + 2*p + 1))), x] + Simp[1/(g*e^(2*p)*(m +
      n + 2*p + 1))   Int[(d + e*x)^m*(f + g*x)^n*ExpandToSum[g*(m + n + 2*p + 1)*(e^(2*p)*(a + b*x + c*x^2)^p - c^p
      *(d + e*x)^(2*p)) - c^p*(e*f - d*g)*(m + 2*p)*(d + e*x)^(2*p - 1), x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g},
      x] && IGtQ[p, 0] &&  !IntegerQ[m] &&  !IntegerQ[n] && NeQ[m + n + 2*p + 1, 0]

1195. Int[((d_.) + (e_.)*(x_))^(m_.)*((f_.) + (g_.)*(x_))^(n_.)*((a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_.), x_Symbol]
      :> Int[ExpandIntegrand[(d + e*x)^m*(f + g*x)^n*(a + b*x + c*x^2)^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, m,
      n}, x] && IGtQ[p, 0]

1196. Int[(((d_.) + (e_.)*(x_))^(m_)*((f_.) + (g_.)*(x_)))/((a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2), x_Symbol] :> Simp[g*
      ((d + e*x)^m/(c*m)), x] + Simp[1/c   Int[(d + e*x)^(m - 1)*(Simp[c*d*f - a*e*g + (g*c*d - b*e*g + c*e*f)*x, x]
      /(a + b*x + c*x^2)), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g}, x] && FractionQ[m] && GtQ[m, 0]

1197. Int[((f_.) + (g_.)*(x_))/(Sqrt[(d_.) + (e_.)*(x_)]*((a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2)), x_Symbol] :> Simp[2
      Subst[Int[(e*f - d*g + g*x^2)/(c*d^2 - b*d*e + a*e^2 - (2*c*d - b*e)*x^2 + c*x^4), x], x, Sqrt[d + e*x]], x]
      /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g}, x]

1198. Int[(((d_.) + (e_.)*(x_))^(m_)*((f_.) + (g_.)*(x_)))/((a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2), x_Symbol] :> Simp[(e
      *f - d*g)*((d + e*x)^(m + 1)/((m + 1)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2))), x] + Simp[1/(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)   Int[(d
      + e*x)^(m + 1)*(Simp[c*d*f - f*b*e + a*e*g - c*(e*f - d*g)*x, x]/(a + b*x + c*x^2)), x], x] /; FreeQ[{a, b, c,
      d, e, f, g}, x] && FractionQ[m] && LtQ[m, -1]

1199. Int[(((d_.) + (e_.)*(x_))^(m_)*((f_.) + (g_.)*(x_))^(n_))/((a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2), x_Symbol] :> Wi
      th[{q = Denominator[m]}, Simp[q/e   Subst[Int[ExpandIntegrand[x^(q*(m + 1) - 1)*(((e*f - d*g)/e + g*(x^q/e))^n
      /((c*d^2 - b*d*e + a*e^2)/e^2 - (2*c*d - b*e)*(x^q/e^2) + c*(x^(2*q)/e^2))), x], x], x, (d + e*x)^(1/q)], x]]
      /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g}, x] && IntegerQ[n] && FractionQ[m]

1200. Int[(((d_.) + (e_.)*(x_))^(m_.)*((f_.) + (g_.)*(x_))^(n_.))/((a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2), x_Symbol] :>
      Int[ExpandIntegrand[(d + e*x)^m*((f + g*x)^n/(a + b*x + c*x^2)), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, m}, x]
      && IntegersQ[n]

1201. Int[(((d_.) + (e_.)*(x_))^(m_)*((f_.) + (g_.)*(x_))^(n_))/((a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2), x_Symbol] :> Si
      mp[g/c^2   Int[Simp[2*c*e*f + c*d*g - b*e*g + c*e*g*x, x]*(d + e*x)^(m - 1)*(f + g*x)^(n - 2), x], x] + Simp[1
      /c^2   Int[Simp[c^2*d*f^2 - 2*a*c*e*f*g - a*c*d*g^2 + a*b*e*g^2 + (c^2*e*f^2 + 2*c^2*d*f*g - 2*b*c*e*f*g - b*c
      *d*g^2 + b^2*e*g^2 - a*c*e*g^2)*x, x]*(d + e*x)^(m - 1)*((f + g*x)^(n - 2)/(a + b*x + c*x^2)), x], x] /; FreeQ
      [{a, b, c, d, e, f, g}, x] &&  !IntegerQ[m] &&  !IntegerQ[n] && GtQ[m, 0] && GtQ[n, 1]

1202. Int[(((d_.) + (e_.)*(x_))^(m_)*((f_.) + (g_.)*(x_))^(n_))/((a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2), x_Symbol] :> Si
      mp[e*(g/c)   Int[(d + e*x)^(m - 1)*(f + g*x)^(n - 1), x], x] + Simp[1/c   Int[Simp[c*d*f - a*e*g + (c*e*f + c*
      d*g - b*e*g)*x, x]*(d + e*x)^(m - 1)*((f + g*x)^(n - 1)/(a + b*x + c*x^2)), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f,
      g}, x] &&  !IntegerQ[m] &&  !IntegerQ[n] && GtQ[m, 0] && GtQ[n, 0]

1203. Int[(((d_.) + (e_.)*(x_))^(m_)*((f_.) + (g_.)*(x_))^(n_))/((a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2), x_Symbol] :> Si
      mp[(-g)*((e*f - d*g)/(c*f^2 - b*f*g + a*g^2))   Int[(d + e*x)^(m - 1)*(f + g*x)^n, x], x] + Simp[1/(c*f^2 - b*
      f*g + a*g^2)   Int[Simp[c*d*f - b*d*g + a*e*g + c*(e*f - d*g)*x, x]*(d + e*x)^(m - 1)*((f + g*x)^(n + 1)/(a +
      b*x + c*x^2)), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g}, x] &&  !IntegerQ[m] &&  !IntegerQ[n] && GtQ[m, 0] && LtQ
      [n, -1]

1204. Int[((d_.) + (e_.)*(x_))^(m_)/(Sqrt[(f_.) + (g_.)*(x_)]*((a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2)), x_Symbol] :> Int
      [ExpandIntegrand[1/(Sqrt[d + e*x]*Sqrt[f + g*x]), (d + e*x)^(m + 1/2)/(a + b*x + c*x^2), x], x] /; FreeQ[{a, b
      , c, d, e, f, g}, x] && IGtQ[m + 1/2, 0]

1205. Int[(((d_.) + (e_.)*(x_))^(m_)*((f_.) + (g_.)*(x_))^(n_))/((a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2), x_Symbol] :> In
      t[ExpandIntegrand[(d + e*x)^m*(f + g*x)^n, 1/(a + b*x + c*x^2), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, m, n}, x
      ] &&  !IntegerQ[m] &&  !IntegerQ[n]

1206. Int[((d_) + (e_.)*(x_))^(m_.)*((f_) + (g_.)*(x_))^(n_.)*((b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Int[Exp
      andIntegrand[x^p*(d + e*x)^m*(f + g*x)^n*(b + c*x)^p, x], x] /; FreeQ[{b, c, d, e, f, g}, x] && ILtQ[p, -1] &&
      IntegersQ[m, n]

1207. Int[((d_.) + (e_.)*(x_))^(m_.)*((f_.) + (g_.)*(x_))^(n_.)*((a_) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_.), x_Symbol]
      :> With[{q = Rt[b^2 - 4*a*c, 2]}, Simp[1/c^p   Int[ExpandIntegrand[(d + e*x)^m*(f + g*x)^n*(b/2 - q/2 + c*x)^p
      *(b/2 + q/2 + c*x)^p, x], x], x] /;  !FractionalPowerFactorQ[q]] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g}, x] && ILtQ[p,
      -1] && IntegersQ[m, n] && NiceSqrtQ[b^2 - 4*a*c]

1208. Int[((d_.) + (e_.)*(x_))^(m_.)*((f_.) + (g_.)*(x_))^2*((a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_.), x_Symbol] :>
      Simp[g^2*(d + e*x)^(m + 1)*((a + b*x + c*x^2)^(p + 1)/(c*e*(m + 2*p + 3))), x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g,
      m, p}, x] && EqQ[b*e*g*(m + p + 2) + 2*c*(d*g*(p + 1) - e*f*(m + 2*p + 3)), 0] && EqQ[e*(c*f^2 - b*f*g + a*g^2
      )*(m + 1) + (2*c*f - b*g)*(e*f - d*g)*(p + 1), 0] && NeQ[m + 2*p + 3, 0]

1209. Int[((d_.) + (e_.)*(x_))^(m_)*((f_.) + (g_.)*(x_))^(n_.)*((a_) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :>
      Int[(f + g*x)^n*(a*d + c*e*x^3)^p, x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, m, p}, x] && EqQ[b*d + a*e, 0] && EqQ[c*
      d + b*e, 0] && EqQ[m, p] && ILtQ[p, -1]

1210. Int[((d_.) + (e_.)*(x_))^(m_)*((f_.) + (g_.)*(x_))^(n_.)*((a_) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :>
      Simp[(d + e*x)^FracPart[p]*((a + b*x + c*x^2)^FracPart[p]/(a*d + c*e*x^3)^FracPart[p])   Int[(f + g*x)^n*(a*d
      + c*e*x^3)^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, m, p}, x] && EqQ[b*d + a*e, 0] && EqQ[c*d + b*e, 0] && Eq
      Q[m, p]

1211. Int[(((d_.) + (e_.)*(x_))^(m_.)*((f_.) + (g_.)*(x_))^(n_.))/((a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2)^(3/2), x_Symbo
      l] :> Simp[-2*(2*c*d - b*e)^(m - 2)*(c*(e*f + d*g) - b*e*g)^n*((d + e*x)/(c^(m + n - 1)*e^(n - 1)*Sqrt[a + b*x
      + c*x^2])), x] + Simp[1/(c^(m + n - 1)*e^(n - 2))   Int[ExpandToSum[((2*c*d - b*e)^(m - 1)*(c*(e*f + d*g) - b
      *e*g)^n - c^(m + n - 1)*e^n*(d + e*x)^(m - 1)*(f + g*x)^n)/(c*d - b*e - c*e*x), x]/Sqrt[a + b*x + c*x^2], x],
      x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g}, x] && EqQ[c*d^2 - b*d*e + a*e^2, 0] && IGtQ[m, 0] && IGtQ[n, 0]

1212. Int[((x_)^(n_.)*((d_.) + (e_.)*(x_))^(m_.))/((a_) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2)^(3/2), x_Symbol] :> Simp[-2*(2*
      c*d - b*e)^(m - 2)*(c*d - b*e)^n*((d + e*x)/(c^(m + n - 1)*e^(n - 1)*Sqrt[a + b*x + c*x^2])), x] - Simp[e^2/c^
      (m + n - 1)   Int[ExpandToSum[(c^(m + n - 1)*(d + e*x)^(m - 1) - ((c*d - b*e)^n*(2*c*d - b*e)^(m - 1))/(e^n*x^
      n))/(c*d - b*e - c*e*x), x]/(Sqrt[a + b*x + c*x^2]/x^n), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && EqQ[c*d^2 - b*
      d*e + a*e^2, 0] && IGtQ[m, 0] && ILtQ[n, 0]

1213. Int[(x_)^(n_.)*((d_.) + (e_.)*(x_))^(m_.)*((a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Simp[-2*(-d)^
      n*e^(2*m - n + 3)*(Sqrt[a + b*x + c*x^2]/((-2*c*d + b*e)^(m + 2)*(d + e*x))), x] - Simp[e^(2*m - n + 2)   Int[
      ExpandToSum[((-d)^n*(-2*c*d + b*e)^(-m - 1) - e^n*x^n*((-c)*d + b*e + c*e*x)^(-m - 1))/(d + e*x), x]/Sqrt[a +
      b*x + c*x^2], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && EqQ[c*d^2 - b*d*e + a*e^2, 0] && ILtQ[m, 0] && IGtQ[n, 0]
      && EqQ[m + p, -3/2]

1214. Int[(x_)^(n_.)*((d_.) + (e_.)*(x_))^(m_.)*((a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Simp[-2*(-d)^
      n*e^(2*m - n + 3)*(Sqrt[a + b*x + c*x^2]/((-2*c*d + b*e)^(m + 2)*(d + e*x))), x] - Simp[e^(2*m + 2)   Int[Expa
      ndToSum[(((-d)^n*(-2*c*d + b*e)^(-m - 1))/(e^n*x^n) - ((-c)*d + b*e + c*e*x)^(-m - 1))/(d + e*x), x]/(Sqrt[a +
      b*x + c*x^2]/x^n), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && EqQ[c*d^2 - b*d*e + a*e^2, 0] && ILtQ[m, 0] && ILtQ
      [n, 0] && EqQ[m + p, -3/2]

1215. Int[(((f_.) + (g_.)*(x_))^(n_.)*((a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_))/((d_) + (e_.)*(x_)), x_Symbol] :> In
      t[(a/d + c*(x/e))*(f + g*x)^n*(a + b*x + c*x^2)^(p - 1), x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, n, p}, x] && EqQ[c*
      d^2 - b*d*e + a*e^2, 0] && GtQ[p, 0]

1216. Int[((d_) + (e_.)*(x_))^(m_)*((f_.) + (g_.)*(x_))^(n_.)*Sqrt[(a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2], x_Symbol] :>
      Int[((f + g*x)^n*(a + b*x + c*x^2)^(m + 1/2))/(a/d + c*(x/e))^m, x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, n}, x] && E
      qQ[c*d^2 - b*d*e + a*e^2, 0] && ILtQ[m, 0] && IntegerQ[n]

1217. Int[((d_.) + (e_.)*(x_))^(m_)*((f_.) + (g_.)*(x_))*((a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Simp
      [g*(d + e*x)^m*((a + b*x + c*x^2)^(p + 1)/(c*(m + 2*p + 2))), x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, m, p}, x] && E
      qQ[c*d^2 - b*d*e + a*e^2, 0] && EqQ[c*e*f*(m + 2*p + 2) + g*(c*d*m - b*e*(m + p + 1)), 0]

1218. Int[((d_.) + (e_.)*(x_))^(m_.)*((f_.) + (g_.)*(x_))*((a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Sim
      p[(g*(c*d - b*e) + c*e*f)*(d + e*x)^m*((a + b*x + c*x^2)^(p + 1)/(c*(p + 1)*(2*c*d - b*e))), x] - Simp[e*((m*(
      g*(c*d - b*e) + c*e*f) + e*(p + 1)*(2*c*f - b*g))/(c*(p + 1)*(2*c*d - b*e)))   Int[(d + e*x)^(m - 1)*(a + b*x
      + c*x^2)^(p + 1), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g}, x] && EqQ[c*d^2 - b*d*e + a*e^2, 0] && LtQ[p, -1] &&
      GtQ[m, 0]

1219. Int[((d_.) + (e_.)*(x_))^(m_)*((f_.) + (g_.)*(x_))*((a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Simp
      [(g*(c*d - b*e) + c*e*f)*(d + e*x)^m*((a + b*x + c*x^2)^(p + 1)/(c*(p + 1)*(2*c*d - b*e))), x] - Simp[e*((m*(g
      *(c*d - b*e) + c*e*f) + e*(p + 1)*(2*c*f - b*g))/(c*(p + 1)*(2*c*d - b*e)))   Int[(d + e*x)^Simplify[m - 1]*(a
      + b*x + c*x^2)^Simplify[p + 1], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, m, p}, x] && EqQ[c*d^2 - b*d*e + a*e^2,
      0] && SumSimplerQ[p, 1] && SumSimplerQ[m, -1] && NeQ[p, -1]

1220. Int[((d_.) + (e_.)*(x_))^(m_)*((f_.) + (g_.)*(x_))*((a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Simp
      [(d*g - e*f)*(d + e*x)^m*((a + b*x + c*x^2)^(p + 1)/((2*c*d - b*e)*(m + p + 1))), x] + Simp[(m*(g*(c*d - b*e)
      + c*e*f) + e*(p + 1)*(2*c*f - b*g))/(e*(2*c*d - b*e)*(m + p + 1))   Int[(d + e*x)^(m + 1)*(a + b*x + c*x^2)^p,
      x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, m, p}, x] && EqQ[c*d^2 - b*d*e + a*e^2, 0] && ((LtQ[m, -1] &&  !IGtQ[m
      + p + 1, 0]) || (LtQ[m, 0] && LtQ[p, -1]) || EqQ[m + 2*p + 2, 0]) && NeQ[m + p + 1, 0]

1221. Int[((d_.) + (e_.)*(x_))^(m_)*((f_.) + (g_.)*(x_))*((a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Simp
      [g*(d + e*x)^m*((a + b*x + c*x^2)^(p + 1)/(c*(m + 2*p + 2))), x] + Simp[(m*(g*(c*d - b*e) + c*e*f) + e*(p + 1)
      *(2*c*f - b*g))/(c*e*(m + 2*p + 2))   Int[(d + e*x)^m*(a + b*x + c*x^2)^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f,
      g, m, p}, x] && EqQ[c*d^2 - b*d*e + a*e^2, 0] && NeQ[m + 2*p + 2, 0]

1222. Int[((d_.) + (e_.)*(x_))^(m_.)*((f_.) + (g_.)*(x_))*((a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Sim
      p[g*(d + e*x)^m*((a + b*x + c*x^2)^(p + 1)/(2*c*(p + 1))), x] - Simp[e*g*(m/(2*c*(p + 1)))   Int[(d + e*x)^(m
      - 1)*(a + b*x + c*x^2)^(p + 1), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g}, x] && EqQ[2*c*f - b*g, 0] && LtQ[p, -1]
      && GtQ[m, 0]

1223. Int[((d_.) + (e_.)*(x_))*((f_.) + (g_.)*(x_))*((a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Simp[(-(b
      *e*g*(p + 2) - c*(e*f + d*g)*(2*p + 3) - 2*c*e*g*(p + 1)*x))*((a + b*x + c*x^2)^(p + 1)/(2*c^2*(p + 1)*(2*p +
      3))), x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, p}, x] && EqQ[b^2*e*g*(p + 2) - 2*a*c*e*g + c*(2*c*d*f - b*(e*f + d*g)
      )*(2*p + 3), 0] && NeQ[p, -1]

1224. Int[((d_.) + (e_.)*(x_))*((f_.) + (g_.)*(x_))*((a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Simp[(-(2
      *a*c*(e*f + d*g) - b*(c*d*f + a*e*g) - (b^2*e*g - b*c*(e*f + d*g) + 2*c*(c*d*f - a*e*g))*x))*((a + b*x + c*x^2
      )^(p + 1)/(c*(p + 1)*(b^2 - 4*a*c))), x] - Simp[(b^2*e*g*(p + 2) - 2*a*c*e*g + c*(2*c*d*f - b*(e*f + d*g))*(2*
      p + 3))/(c*(p + 1)*(b^2 - 4*a*c))   Int[(a + b*x + c*x^2)^(p + 1), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g}, x] &
      & LtQ[p, -1] &&  !(IntegerQ[p] && NeQ[a, 0] && NiceSqrtQ[b^2 - 4*a*c])

1225. Int[((d_.) + (e_.)*(x_))*((f_.) + (g_.)*(x_))*((a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Simp[(-(b
      *e*g*(p + 2) - c*(e*f + d*g)*(2*p + 3) - 2*c*e*g*(p + 1)*x))*((a + b*x + c*x^2)^(p + 1)/(2*c^2*(p + 1)*(2*p +
      3))), x] + Simp[(b^2*e*g*(p + 2) - 2*a*c*e*g + c*(2*c*d*f - b*(e*f + d*g))*(2*p + 3))/(2*c^2*(2*p + 3))   Int[
      (a + b*x + c*x^2)^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, p}, x] &&  !LeQ[p, -1]

1226. Int[((d_.) + (e_.)*(x_))^(m_)*((f_.) + (g_.)*(x_))*((a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_.), x_Symbol] :> Sim
      p[(-(e*f - d*g))*(d + e*x)^(m + 1)*((a + b*x + c*x^2)^(p + 1)/(2*(p + 1)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2))), x] /; Free
      Q[{a, b, c, d, e, f, g, m, p}, x] && EqQ[Simplify[m + 2*p + 3], 0] && EqQ[b*(e*f + d*g) - 2*(c*d*f + a*e*g), 0
      ]

1227. Int[((d_.) + (e_.)*(x_))^(m_)*((f_.) + (g_.)*(x_))*((a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Simp
      [(d + e*x)^m*(a + b*x + c*x^2)^(p + 1)*((b*f - 2*a*g + (2*c*f - b*g)*x)/((p + 1)*(b^2 - 4*a*c))), x] - Simp[m*
      ((b*(e*f + d*g) - 2*(c*d*f + a*e*g))/((p + 1)*(b^2 - 4*a*c)))   Int[(d + e*x)^(m - 1)*(a + b*x + c*x^2)^(p + 1
      ), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g}, x] && EqQ[Simplify[m + 2*p + 3], 0] && LtQ[p, -1]

1228. Int[((d_.) + (e_.)*(x_))^(m_)*((f_.) + (g_.)*(x_))*((a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_.), x_Symbol] :> Sim
      p[(-(e*f - d*g))*(d + e*x)^(m + 1)*((a + b*x + c*x^2)^(p + 1)/(2*(p + 1)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2))), x] - Simp[
      (b*(e*f + d*g) - 2*(c*d*f + a*e*g))/(2*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2))   Int[(d + e*x)^(m + 1)*(a + b*x + c*x^2)^p, x
      ], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, m, p}, x] && EqQ[Simplify[m + 2*p + 3], 0]

1229. Int[((d_.) + (e_.)*(x_))^(m_)*((f_.) + (g_.)*(x_))*((a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_.), x_Symbol] :> Sim
      p[(-(d + e*x)^(m + 1))*((a + b*x + c*x^2)^p/(e^2*(m + 1)*(m + 2)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)))*((d*g - e*f*(m + 2)
      )*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2) - d*p*(2*c*d - b*e)*(e*f - d*g) - e*(g*(m + 1)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2) + p*(2*c*d -
      b*e)*(e*f - d*g))*x), x] - Simp[p/(e^2*(m + 1)*(m + 2)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2))   Int[(d + e*x)^(m + 2)*(a + b
      *x + c*x^2)^(p - 1)*Simp[2*a*c*e*(e*f - d*g)*(m + 2) + b^2*e*(d*g*(p + 1) - e*f*(m + p + 2)) + b*(a*e^2*g*(m +
      1) - c*d*(d*g*(2*p + 1) - e*f*(m + 2*p + 2))) - c*(2*c*d*(d*g*(2*p + 1) - e*f*(m + 2*p + 2)) - e*(2*a*e*g*(m
      + 1) - b*(d*g*(m - 2*p) + e*f*(m + 2*p + 2))))*x, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g}, x] && GtQ[p, 0] &
      & LtQ[m, -2] && LtQ[m + 2*p, 0] &&  !ILtQ[m + 2*p + 3, 0]

1230. Int[((d_.) + (e_.)*(x_))^(m_)*((f_.) + (g_.)*(x_))*((a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_.), x_Symbol] :> Sim
      p[(d + e*x)^(m + 1)*(e*f*(m + 2*p + 2) - d*g*(2*p + 1) + e*g*(m + 1)*x)*((a + b*x + c*x^2)^p/(e^2*(m + 1)*(m +
      2*p + 2))), x] + Simp[p/(e^2*(m + 1)*(m + 2*p + 2))   Int[(d + e*x)^(m + 1)*(a + b*x + c*x^2)^(p - 1)*Simp[g*
      (b*d + 2*a*e + 2*a*e*m + 2*b*d*p) - f*b*e*(m + 2*p + 2) + (g*(2*c*d + b*e + b*e*m + 4*c*d*p) - 2*c*e*f*(m + 2*
      p + 2))*x, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, m}, x] && GtQ[p, 0] && (LtQ[m, -1] || EqQ[p, 1] || (Integ
      erQ[p] &&  !RationalQ[m])) && NeQ[m, -1] &&  !ILtQ[m + 2*p + 1, 0] && (IntegerQ[m] || IntegerQ[p] || IntegersQ
      [2*m, 2*p])

1231. Int[((d_.) + (e_.)*(x_))^(m_)*((f_.) + (g_.)*(x_))*((a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_.), x_Symbol] :> Sim
      p[(d + e*x)^(m + 1)*(c*e*f*(m + 2*p + 2) - g*(c*d + 2*c*d*p - b*e*p) + g*c*e*(m + 2*p + 1)*x)*((a + b*x + c*x^
      2)^p/(c*e^2*(m + 2*p + 1)*(m + 2*p + 2))), x] - Simp[p/(c*e^2*(m + 2*p + 1)*(m + 2*p + 2))   Int[(d + e*x)^m*(
      a + b*x + c*x^2)^(p - 1)*Simp[c*e*f*(b*d - 2*a*e)*(m + 2*p + 2) + g*(a*e*(b*e - 2*c*d*m + b*e*m) + b*d*(b*e*p
      - c*d - 2*c*d*p)) + (c*e*f*(2*c*d - b*e)*(m + 2*p + 2) + g*(b^2*e^2*(p + m + 1) - 2*c^2*d^2*(1 + 2*p) - c*e*(b
      *d*(m - 2*p) + 2*a*e*(m + 2*p + 1))))*x, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, m}, x] && GtQ[p, 0] && (Int
      egerQ[p] ||  !RationalQ[m] || (GeQ[m, -1] && LtQ[m, 0])) &&  !ILtQ[m + 2*p, 0] && (IntegerQ[m] || IntegerQ[p]
      || IntegersQ[2*m, 2*p])

1232. Int[((d_) + (e_.)*(x_))^(m_)*((f_) + (g_.)*(x_))*((a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Int[(a
      + b*x + c*x^2)^p*ExpandIntegrand[(d + e*x)^m*(f + g*x), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g}, x] && ILtQ[p,
      -1] && IGtQ[m, 0] && RationalQ[a, b, c, d, e, f, g]

1233. Int[((d_.) + (e_.)*(x_))^(m_)*((f_.) + (g_.)*(x_))*((a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_.), x_Symbol] :> Sim
      p[(-(d + e*x)^(m - 1))*(a + b*x + c*x^2)^(p + 1)*((2*a*c*(e*f + d*g) - b*(c*d*f + a*e*g) - (2*c^2*d*f + b^2*e*
      g - c*(b*e*f + b*d*g + 2*a*e*g))*x)/(c*(p + 1)*(b^2 - 4*a*c))), x] - Simp[1/(c*(p + 1)*(b^2 - 4*a*c))   Int[(d
      + e*x)^(m - 2)*(a + b*x + c*x^2)^(p + 1)*Simp[2*c^2*d^2*f*(2*p + 3) + b*e*g*(a*e*(m - 1) + b*d*(p + 2)) - c*(
      2*a*e*(e*f*(m - 1) + d*g*m) + b*d*(d*g*(2*p + 3) - e*f*(m - 2*p - 4))) + e*(b^2*e*g*(m + p + 1) + 2*c^2*d*f*(m
      + 2*p + 2) - c*(2*a*e*g*m + b*(e*f + d*g)*(m + 2*p + 2)))*x, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g}, x] &&
      LtQ[p, -1] && GtQ[m, 1] && ((EqQ[m, 2] && EqQ[p, -3] && RationalQ[a, b, c, d, e, f, g]) ||  !ILtQ[m + 2*p + 3
      , 0])

1234. Int[((d_.) + (e_.)*(x_))^(m_)*((f_.) + (g_.)*(x_))*((a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Simp
      [(d + e*x)^m*(a + b*x + c*x^2)^(p + 1)*((f*b - 2*a*g + (2*c*f - b*g)*x)/((p + 1)*(b^2 - 4*a*c))), x] + Simp[1/
      ((p + 1)*(b^2 - 4*a*c))   Int[(d + e*x)^(m - 1)*(a + b*x + c*x^2)^(p + 1)*Simp[g*(2*a*e*m + b*d*(2*p + 3)) - f
      *(b*e*m + 2*c*d*(2*p + 3)) - e*(2*c*f - b*g)*(m + 2*p + 3)*x, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g}, x] &&
      LtQ[p, -1] && GtQ[m, 0] && (IntegerQ[m] || IntegerQ[p] || IntegersQ[2*m, 2*p])

1235. Int[((d_.) + (e_.)*(x_))^(m_)*((f_.) + (g_.)*(x_))*((a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Simp
      [(d + e*x)^(m + 1)*(f*(b*c*d - b^2*e + 2*a*c*e) - a*g*(2*c*d - b*e) + c*(f*(2*c*d - b*e) - g*(b*d - 2*a*e))*x)
      *((a + b*x + c*x^2)^(p + 1)/((p + 1)*(b^2 - 4*a*c)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2))), x] + Simp[1/((p + 1)*(b^2 - 4*a*
      c)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2))   Int[(d + e*x)^m*(a + b*x + c*x^2)^(p + 1)*Simp[f*(b*c*d*e*(2*p - m + 2) + b^2*e^
      2*(p + m + 2) - 2*c^2*d^2*(2*p + 3) - 2*a*c*e^2*(m + 2*p + 3)) - g*(a*e*(b*e - 2*c*d*m + b*e*m) - b*d*(3*c*d -
      b*e + 2*c*d*p - b*e*p)) + c*e*(g*(b*d - 2*a*e) - f*(2*c*d - b*e))*(m + 2*p + 4)*x, x], x], x] /; FreeQ[{a, b,
      c, d, e, f, g, m}, x] && LtQ[p, -1] && (IntegerQ[m] || IntegerQ[p] || IntegersQ[2*m, 2*p])

1236. Int[((d_.) + (e_.)*(x_))^(m_)*((f_.) + (g_.)*(x_))*((a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_.), x_Symbol] :> Sim
      p[g*(d + e*x)^m*((a + b*x + c*x^2)^(p + 1)/(c*(m + 2*p + 2))), x] + Simp[1/(c*(m + 2*p + 2))   Int[(d + e*x)^(
      m - 1)*(a + b*x + c*x^2)^p*Simp[m*(c*d*f - a*e*g) + d*(2*c*f - b*g)*(p + 1) + (m*(c*e*f + c*d*g - b*e*g) + e*(
      p + 1)*(2*c*f - b*g))*x, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, p}, x] && GtQ[m, 0] && NeQ[m + 2*p + 2, 0]
      && (IntegerQ[m] || IntegerQ[p] || IntegersQ[2*m, 2*p]) &&  !(IGtQ[m, 0] && EqQ[f, 0])

1237. Int[((d_.) + (e_.)*(x_))^(m_)*((f_.) + (g_.)*(x_))*((a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_.), x_Symbol] :> Sim
      p[(e*f - d*g)*(d + e*x)^(m + 1)*((a + b*x + c*x^2)^(p + 1)/((m + 1)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2))), x] + Simp[1/((m
      + 1)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2))   Int[(d + e*x)^(m + 1)*(a + b*x + c*x^2)^p*Simp[(c*d*f - f*b*e + a*e*g)*(m + 1
      ) + b*(d*g - e*f)*(p + 1) - c*(e*f - d*g)*(m + 2*p + 3)*x, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, p}, x] &&
      LtQ[m, -1] && (IntegerQ[m] || IntegerQ[p] || IntegersQ[2*m, 2*p])

1238. Int[((d_.) + (e_.)*(x_))^(m_)*((f_.) + (g_.)*(x_))*((a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_.), x_Symbol] :> Sim
      p[(e*f - d*g)*(d + e*x)^(m + 1)*((a + b*x + c*x^2)^(p + 1)/((m + 1)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2))), x] + Simp[1/((m
      + 1)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2))   Int[(d + e*x)^(m + 1)*(a + b*x + c*x^2)^p*Simp[(c*d*f - f*b*e + a*e*g)*(m + 1
      ) + b*(d*g - e*f)*(p + 1) - c*(e*f - d*g)*(m + 2*p + 3)*x, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, m, p}, x]
      && ILtQ[Simplify[m + 2*p + 3], 0] && NeQ[m, -1]

1239. Int[((f_) + (g_.)*(x_))/(((d_.) + (e_.)*(x_))*Sqrt[(a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2]), x_Symbol] :> Simp[4*f*
      ((a - d)/(b*d - a*e))   Subst[Int[1/(4*(a - d) - x^2), x], x, (2*(a - d) + (b - e)*x)/Sqrt[a + b*x + c*x^2]],
      x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g}, x] && EqQ[4*c*(a - d) - (b - e)^2, 0] && EqQ[e*f*(b - e) - 2*g*(b*d - a*e),
      0] && NeQ[b*d - a*e, 0]

1240. Int[((f_) + (g_.)*(x_))/(Sqrt[x_]*Sqrt[(a_) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2]), x_Symbol] :> Simp[2   Subst[Int[(f
      + g*x^2)/Sqrt[a + b*x^2 + c*x^4], x], x, Sqrt[x]], x] /; FreeQ[{a, b, c, f, g}, x]

1241. Int[((f_) + (g_.)*(x_))/(Sqrt[(e_)*(x_)]*Sqrt[(a_) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2]), x_Symbol] :> Simp[Sqrt[x]/Sq
      rt[e*x]   Int[(f + g*x)/(Sqrt[x]*Sqrt[a + b*x + c*x^2]), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, e, f, g}, x]

1242. Int[((d_.) + (e_.)*(x_))^(m_.)*((f_.) + (g_.)*(x_))^(n_)*((a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :
      > With[{Q = PolynomialQuotient[(f + g*x)^n, a*e + c*d*x, x], R = PolynomialRemainder[(f + g*x)^n, a*e + c*d*x,
      x]}, Simp[R*(2*c*d - b*e)*(d + e*x)^m*((a + b*x + c*x^2)^(p + 1)/(e*(p + 1)*(b^2 - 4*a*c))), x] + Simp[1/((p
      + 1)*(b^2 - 4*a*c))   Int[(d + e*x)^(m - 1)*(a + b*x + c*x^2)^(p + 1)*ExpandToSum[d*e*(p + 1)*(b^2 - 4*a*c)*Q
      - R*(2*c*d - b*e)*(m + 2*p + 2), x], x], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g}, x] && IGtQ[n, 1] && IGtQ[m, 0] &&
      LtQ[p, -1] && EqQ[c*d^2 - b*d*e + a*e^2, 0]

1243. Int[(((f_.) + (g_.)*(x_))^(n_.)*((a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_))/((d_) + (e_.)*(x_)), x_Symbol] :> Si
      mp[(-(2*c*d - b*e))*(f + g*x)^n*((a + b*x + c*x^2)^(p + 1)/(e*p*(b^2 - 4*a*c)*(d + e*x))), x] + Simp[n*((a*g*(
      2*c*d - b*e) - c*f*(b*d - 2*a*e))/(d*e*p*(b^2 - 4*a*c)))   Int[(f + g*x)^(n - 1)*(a + b*x + c*x^2)^p, x], x] /
      ; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g}, x] && EqQ[c*d^2 - b*d*e + a*e^2, 0] && IGtQ[n, 1] && LtQ[p, -1] && EqQ[n + 2*p
      + 1, 0]

1244. Int[(((f_.) + (g_.)*(x_))^(n_)*((a_) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_))/((d_) + (e_.)*(x_)), x_Symbol] :> Simp
      [(-(e*f - d*g))*(f + g*x)^(n - 1)*((a + b*x + c*x^2)^(p + 1)/(p*(2*c*d - b*e)*(d + e*x))), x] + Simp[1/(p*e^2*
      (2*c*d - b*e))   Int[(f + g*x)^(n - 2)*(a + b*x + c*x^2)^p*Simp[b*e*g*((-e)*f + d*g + e*f*n - d*g*n - e*f*p) +
      c*(d^2*g^2*(n - 1) - d*e*f*g*n + e^2*f^2*(2*p + 1)) - e*g*(b*e*g*p - c*(e*f*n - d*g*n + 2*e*f*p))*x, x], x],
      x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g}, x] && IGtQ[n, 1] && LtQ[p, -1] && EqQ[c*d^2 - b*d*e + a*e^2, 0]

1245. Int[((d_) + (e_.)*(x_))^(m_.)*((f_.) + (g_.)*(x_))^(n_.)*((a_) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :>
      Int[(d + e*x)^(m + p)*(f + g*x)^n*(a/d + (c/e)*x)^p, x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, m, n, p}, x] && EqQ[c*
      d^2 - b*d*e + a*e^2, 0] && GtQ[a, 0] && GtQ[d, 0] && LtQ[c, 0]

1246. Int[(((f_.) + (g_.)*(x_))^(n_)*((a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_))/((d_) + (e_.)*(x_)), x_Symbol] :> Sim
      p[(f + g*x)^(n + 1)*(a + b*x + c*x^2)^p*((c*d - b*e - c*e*x)/(p*(2*c*d - b*e)*(e*f - d*g))), x] + Simp[1/(p*(2
      *c*d - b*e)*(e*f - d*g))   Int[(f + g*x)^n*(a + b*x + c*x^2)^p*(b*e*g*(n + p + 1) + c*e*f*(2*p + 1) - c*d*g*(n
      + 2*p + 1) + c*e*g*(n + 2*p + 2)*x), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g}, x] && EqQ[c*d^2 - b*d*e + a*e^2,
      0] && ILtQ[n, 0] && ILtQ[n + 2*p, 0] &&  !IGtQ[n, 0]

1247. Int[((d_) + (e_.)*(x_))^(m_)*((f_.) + (g_.)*(x_))^(n_)*((a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :>
      Simp[(-e)*(d + e*x)^(m - 1)*(f + g*x)^n*((a + b*x + c*x^2)^(p + 1)/(c*(m - n - 1))), x] /; FreeQ[{a, b, c, d,
      e, f, g, m, n, p}, x] && EqQ[c*d^2 - b*d*e + a*e^2, 0] && EqQ[m + p, 0] && EqQ[c*e*f + c*d*g - b*e*g, 0] && Ne
      Q[m - n - 1, 0]

1248. Int[((d_) + (e_.)*(x_))^(m_)*((f_.) + (g_.)*(x_))^(n_)*((a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :>
      Simp[(-e^2)*(d + e*x)^(m - 1)*(f + g*x)^(n + 1)*((a + b*x + c*x^2)^(p + 1)/((n + 1)*(c*e*f + c*d*g - b*e*g))),
      x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, m, n, p}, x] && EqQ[c*d^2 - b*d*e + a*e^2, 0] && EqQ[m + p, 0] && EqQ[m - n
      - 2, 0]

1249. Int[((d_) + (e_.)*(x_))^(m_)*((f_.) + (g_.)*(x_))^(n_)*((a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :>
      Simp[(d + e*x)^m*(f + g*x)^(n + 1)*((a + b*x + c*x^2)^p/(g*(n + 1))), x] + Simp[c*(m/(e*g*(n + 1)))   Int[(d +
      e*x)^(m + 1)*(f + g*x)^(n + 1)*(a + b*x + c*x^2)^(p - 1), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g}, x] && EqQ[c*
      d^2 - b*d*e + a*e^2, 0] && EqQ[m + p, 0] && GtQ[p, 0] && LtQ[n, -1] &&  !(IntegerQ[n + p] && LeQ[n + p + 2, 0]
      )

1250. Int[((d_) + (e_.)*(x_))^(m_)*((f_.) + (g_.)*(x_))^(n_)*((a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :>
      Simp[(-(d + e*x)^m)*(f + g*x)^(n + 1)*((a + b*x + c*x^2)^p/(g*(m - n - 1))), x] - Simp[m*((c*e*f + c*d*g - b*e
      *g)/(e^2*g*(m - n - 1)))   Int[(d + e*x)^(m + 1)*(f + g*x)^n*(a + b*x + c*x^2)^(p - 1), x], x] /; FreeQ[{a, b,
      c, d, e, f, g, n}, x] && EqQ[c*d^2 - b*d*e + a*e^2, 0] && EqQ[m + p, 0] && GtQ[p, 0] && NeQ[m - n - 1, 0] &&
      !IGtQ[n, 0] &&  !(IntegerQ[n + p] && LtQ[n + p + 2, 0]) && RationalQ[n]

1251. Int[((d_) + (e_.)*(x_))^(m_)*((f_.) + (g_.)*(x_))^(n_)*((a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :>
      Simp[e*(d + e*x)^(m - 1)*(f + g*x)^n*((a + b*x + c*x^2)^(p + 1)/(c*(p + 1))), x] - Simp[e*g*(n/(c*(p + 1)))
      Int[(d + e*x)^(m - 1)*(f + g*x)^(n - 1)*(a + b*x + c*x^2)^(p + 1), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g}, x] &
      & EqQ[c*d^2 - b*d*e + a*e^2, 0] && EqQ[m + p, 0] && LtQ[p, -1] && GtQ[n, 0]

1252. Int[((d_) + (e_.)*(x_))^(m_)*((f_.) + (g_.)*(x_))^(n_)*((a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :>
      Simp[e^2*(d + e*x)^(m - 1)*(f + g*x)^(n + 1)*((a + b*x + c*x^2)^(p + 1)/((p + 1)*(c*e*f + c*d*g - b*e*g))), x]
      + Simp[e^2*g*((m - n - 2)/((p + 1)*(c*e*f + c*d*g - b*e*g)))   Int[(d + e*x)^(m - 1)*(f + g*x)^n*(a + b*x + c
      *x^2)^(p + 1), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, n}, x] && EqQ[c*d^2 - b*d*e + a*e^2, 0] && EqQ[m + p, 0]
      && LtQ[p, -1] && RationalQ[n]

1253. Int[((d_) + (e_.)*(x_))^(m_)*((f_.) + (g_.)*(x_))^(n_)*((a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :>
      Simp[(-e)*(d + e*x)^(m - 1)*(f + g*x)^n*((a + b*x + c*x^2)^(p + 1)/(c*(m - n - 1))), x] - Simp[n*((c*e*f + c*d
      *g - b*e*g)/(c*e*(m - n - 1)))   Int[(d + e*x)^m*(f + g*x)^(n - 1)*(a + b*x + c*x^2)^p, x], x] /; FreeQ[{a, b,
      c, d, e, f, g, m, p}, x] && EqQ[c*d^2 - b*d*e + a*e^2, 0] && EqQ[m + p, 0] && GtQ[n, 0] && NeQ[m - n - 1, 0]
      && (IntegerQ[2*p] || IntegerQ[n])

1254. Int[((d_) + (e_.)*(x_))^(m_)*((f_.) + (g_.)*(x_))^(n_)*((a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :>
      Simp[(-e^2)*(d + e*x)^(m - 1)*(f + g*x)^(n + 1)*((a + b*x + c*x^2)^(p + 1)/((n + 1)*(c*e*f + c*d*g - b*e*g))),
      x] - Simp[c*e*((m - n - 2)/((n + 1)*(c*e*f + c*d*g - b*e*g)))   Int[(d + e*x)^m*(f + g*x)^(n + 1)*(a + b*x +
      c*x^2)^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, m, p}, x] && EqQ[c*d^2 - b*d*e + a*e^2, 0] && EqQ[m + p, 0] &&
      LtQ[n, -1] && IntegerQ[2*p]

1255. Int[Sqrt[(d_) + (e_.)*(x_)]/(((f_.) + (g_.)*(x_))*Sqrt[(a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2]), x_Symbol] :> Simp[
      2*e^2   Subst[Int[1/(c*(e*f + d*g) - b*e*g + e^2*g*x^2), x], x, Sqrt[a + b*x + c*x^2]/Sqrt[d + e*x]], x] /; Fr
      eeQ[{a, b, c, d, e, f, g}, x] && EqQ[c*d^2 - b*d*e + a*e^2, 0]

1256. Int[((d_) + (e_.)*(x_))^(m_)*((f_.) + (g_.)*(x_))^(n_)*((a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :>
      Simp[e^2*(d + e*x)^(m - 2)*(f + g*x)^(n + 1)*((a + b*x + c*x^2)^(p + 1)/(c*g*(n + p + 2))), x] /; FreeQ[{a, b,
      c, d, e, f, g, m, n, p}, x] && EqQ[c*d^2 - b*d*e + a*e^2, 0] && EqQ[m + p - 1, 0] && EqQ[b*e*g*(n + 1) + c*e*
      f*(p + 1) - c*d*g*(2*n + p + 3), 0] && NeQ[n + p + 2, 0]

1257. Int[((d_) + (e_.)*(x_))^(m_)*((f_.) + (g_.)*(x_))^(n_)*((a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :>
      Simp[e^2*(e*f - d*g)*(d + e*x)^(m - 2)*(f + g*x)^(n + 1)*((a + b*x + c*x^2)^(p + 1)/(g*(n + 1)*(c*e*f + c*d*g
      - b*e*g))), x] - Simp[e*((b*e*g*(n + 1) + c*e*f*(p + 1) - c*d*g*(2*n + p + 3))/(g*(n + 1)*(c*e*f + c*d*g - b*e
      *g)))   Int[(d + e*x)^(m - 1)*(f + g*x)^(n + 1)*(a + b*x + c*x^2)^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, m,
      p}, x] && EqQ[c*d^2 - b*d*e + a*e^2, 0] && EqQ[m + p - 1, 0] && LtQ[n, -1] && IntegerQ[2*p]

1258. Int[((d_) + (e_.)*(x_))^(m_)*((f_.) + (g_.)*(x_))^(n_)*((a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :>
      Simp[e^2*(d + e*x)^(m - 2)*(f + g*x)^(n + 1)*((a + b*x + c*x^2)^(p + 1)/(c*g*(n + p + 2))), x] - Simp[(b*e*g*(
      n + 1) + c*e*f*(p + 1) - c*d*g*(2*n + p + 3))/(c*g*(n + p + 2))   Int[(d + e*x)^(m - 1)*(f + g*x)^n*(a + b*x +
      c*x^2)^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, m, n, p}, x] && EqQ[c*d^2 - b*d*e + a*e^2, 0] && EqQ[m + p -
      1, 0] &&  !LtQ[n, -1] && IntegerQ[2*p]

1259. Int[((d_) + (e_.)*(x_))^(m_)*((f_.) + (g_.)*(x_))^(n_)*((a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :>
      Int[ExpandIntegrand[(d + e*x)^m*(f + g*x)^n*(a + b*x + c*x^2)^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, n, p},
      x] && EqQ[c*d^2 - b*d*e + a*e^2, 0] && ILtQ[m, 0] && (ILtQ[n, 0] || (IGtQ[n, 0] && ILtQ[p + 1/2, 0])) &&  !IGt
      Q[n, 0]

1260. Int[((d_.) + (e_.)*(x_))^(m_)*((f_.) + (g_.)*(x_))^(n_)*((a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :>
      Int[ExpandIntegrand[(a + b*x + c*x^2)^p, (d + e*x)^m*(f + g*x)^n, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g}, x] &
      & EqQ[c*d^2 - b*d*e + a*e^2, 0] && EqQ[m + n + 2*p + 1, 0] && ILtQ[m, 0] && ILtQ[n, 0]

1261. Int[((e_.)*(x_))^(m_)*((f_.) + (g_.)*(x_))^(n_)*((b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Simp[(e*x)^m*((
      b*x + c*x^2)^p/(x^(m + p)*(b + c*x)^p))   Int[x^(m + p)*(f + g*x)^n*(b + c*x)^p, x], x] /; FreeQ[{b, c, e, f,
      g, m, n}, x] &&  !IGtQ[n, 0]

1262. Int[((d_.) + (e_.)*(x_))^(m_.)*((f_) + (g_.)*(x_))^(n_.)*((a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :
      > Simp[g^n*(d + e*x)^(m + n - 1)*((a + b*x + c*x^2)^(p + 1)/(c*e^(n - 1)*(m + n + 2*p + 1))), x] + Simp[1/(c*e
      ^n*(m + n + 2*p + 1))   Int[(d + e*x)^m*(a + b*x + c*x^2)^p*ExpandToSum[c*e^n*(m + n + 2*p + 1)*(f + g*x)^n -
      c*g^n*(m + n + 2*p + 1)*(d + e*x)^n + e*g^n*(m + p + n)*(d + e*x)^(n - 2)*(b*d - 2*a*e + (2*c*d - b*e)*x), x],
      x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, m, p}, x] && EqQ[c*d^2 - b*d*e + a*e^2, 0] && IGtQ[n, 0] && NeQ[m + n +
      2*p + 1, 0]

1263. Int[((d_.) + (e_.)*(x_))^(m_.)*((f_.) + (g_.)*(x_))^(n_)*((a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :
      > With[{Q = PolynomialQuotient[(f + g*x)^n, a + b*x + c*x^2, x], R = Coeff[PolynomialRemainder[(f + g*x)^n, a
      + b*x + c*x^2, x], x, 0], S = Coeff[PolynomialRemainder[(f + g*x)^n, a + b*x + c*x^2, x], x, 1]}, Simp[(d + e*
      x)^m*(a + b*x + c*x^2)^(p + 1)*((R*b - 2*a*S + (2*c*R - b*S)*x)/((p + 1)*(b^2 - 4*a*c))), x] + Simp[1/((p + 1)
      *(b^2 - 4*a*c))   Int[(d + e*x)^(m - 1)*(a + b*x + c*x^2)^(p + 1)*ExpandToSum[(p + 1)*(b^2 - 4*a*c)*(d + e*x)*
      Q + S*(2*a*e*m + b*d*(2*p + 3)) - R*(b*e*m + 2*c*d*(2*p + 3)) - e*(2*c*R - b*S)*(m + 2*p + 3)*x, x], x], x]] /
      ; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g}, x] && IGtQ[n, 1] && LtQ[p, -1] && GtQ[m, 0] && NeQ[c*d^2 - b*d*e + a*e^2, 0]

1264. Int[((d_.) + (e_.)*(x_))^(m_.)*((f_.) + (g_.)*(x_))^(n_)*((a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :
      > With[{Q = PolynomialQuotient[(d + e*x)^m*(f + g*x)^n, a + b*x + c*x^2, x], R = Coeff[PolynomialRemainder[(d
      + e*x)^m*(f + g*x)^n, a + b*x + c*x^2, x], x, 0], S = Coeff[PolynomialRemainder[(d + e*x)^m*(f + g*x)^n, a + b
      *x + c*x^2, x], x, 1]}, Simp[(b*R - 2*a*S + (2*c*R - b*S)*x)*((a + b*x + c*x^2)^(p + 1)/((p + 1)*(b^2 - 4*a*c)
      )), x] + Simp[1/((p + 1)*(b^2 - 4*a*c))   Int[(d + e*x)^m*(a + b*x + c*x^2)^(p + 1)*ExpandToSum[((p + 1)*(b^2
      - 4*a*c)*Q)/(d + e*x)^m - ((2*p + 3)*(2*c*R - b*S))/(d + e*x)^m, x], x], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g}, x
      ] && IGtQ[n, 1] && LtQ[p, -1] && ILtQ[m, 0] && NeQ[c*d^2 - b*d*e + a*e^2, 0]

1265. Int[((d_.) + (e_.)*(x_))^(m_.)*((f_.) + (g_.)*(x_))^(n_)*((a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :
      > With[{Q = PolynomialQuotient[(f + g*x)^n, a + b*x + c*x^2, x], R = Coeff[PolynomialRemainder[(f + g*x)^n, a
      + b*x + c*x^2, x], x, 0], S = Coeff[PolynomialRemainder[(f + g*x)^n, a + b*x + c*x^2, x], x, 1]}, Simp[(d + e*
      x)^(m + 1)*(a + b*x + c*x^2)^(p + 1)*((R*(b*c*d - b^2*e + 2*a*c*e) - a*S*(2*c*d - b*e) + c*(R*(2*c*d - b*e) -
      S*(b*d - 2*a*e))*x)/((p + 1)*(b^2 - 4*a*c)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2))), x] + Simp[1/((p + 1)*(b^2 - 4*a*c)*(c*d^
      2 - b*d*e + a*e^2))   Int[(d + e*x)^m*(a + b*x + c*x^2)^(p + 1)*ExpandToSum[(p + 1)*(b^2 - 4*a*c)*(c*d^2 - b*d
      *e + a*e^2)*Q + R*(b*c*d*e*(2*p - m + 2) + b^2*e^2*(p + m + 2) - 2*c^2*d^2*(2*p + 3) - 2*a*c*e^2*(m + 2*p + 3)
      ) - S*(a*e*(b*e - 2*c*d*m + b*e*m) - b*d*(3*c*d - b*e + 2*c*d*p - b*e*p)) + c*e*(S*(b*d - 2*a*e) - R*(2*c*d -
      b*e))*(m + 2*p + 4)*x, x], x], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, m}, x] && IGtQ[n, 1] && LtQ[p, -1] && NeQ[c*
      d^2 - b*d*e + a*e^2, 0]

1266. Int[((d_.) + (e_.)*(x_))^(m_)*((f_.) + (g_.)*(x_))^(n_)*((a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :>
      With[{Q = PolynomialQuotient[(f + g*x)^n, d + e*x, x], R = PolynomialRemainder[(f + g*x)^n, d + e*x, x]}, Sim
      p[(e*R*(d + e*x)^(m + 1)*(a + b*x + c*x^2)^(p + 1))/((m + 1)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)), x] + Simp[1/((m + 1)*(c
      *d^2 - b*d*e + a*e^2))   Int[(d + e*x)^(m + 1)*(a + b*x + c*x^2)^p*ExpandToSum[(m + 1)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)
      *Q + c*d*R*(m + 1) - b*e*R*(m + p + 2) - c*e*R*(m + 2*p + 3)*x, x], x], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, p},
      x] && IGtQ[n, 1] && ILtQ[m, -1] && NeQ[c*d^2 - b*d*e + a*e^2, 0] && (NeQ[m + n, 0] || EqQ[p, -2^(-1)])

1267. Int[((d_.) + (e_.)*(x_))^(m_.)*((f_.) + (g_.)*(x_))^(n_)*((a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :
      > Simp[g^n*(d + e*x)^(m + n - 1)*((a + b*x + c*x^2)^(p + 1)/(c*e^(n - 1)*(m + n + 2*p + 1))), x] + Simp[1/(c*e
      ^n*(m + n + 2*p + 1))   Int[(d + e*x)^m*(a + b*x + c*x^2)^p*ExpandToSum[c*e^n*(m + n + 2*p + 1)*(f + g*x)^n -
      c*g^n*(m + n + 2*p + 1)*(d + e*x)^n - g^n*(d + e*x)^(n - 2)*(b*d*e*(p + 1) + a*e^2*(m + n - 1) - c*d^2*(m + n
      + 2*p + 1) - e*(2*c*d - b*e)*(m + n + p)*x), x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, m, p}, x] && IGtQ[n, 1]
      && IntegerQ[m] && NeQ[m + n + 2*p + 1, 0]

1268. Int[((d_) + (e_.)*(x_))^(m_.)*((f_.) + (g_.)*(x_))^(n_.)*((a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :
      > Simp[(a + b*x + c*x^2)^FracPart[p]/((d + e*x)^FracPart[p]*(a/d + (c*x)/e)^FracPart[p])   Int[(d + e*x)^(m +
      p)*(f + g*x)^n*(a/d + (c/e)*x)^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, m, n}, x] && EqQ[c*d^2 - b*d*e + a*e^2
      , 0]

1269. Int[((d_.) + (e_.)*(x_))^(m_)*((f_.) + (g_.)*(x_))*((a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_.), x_Symbol] :> Sim
      p[g/e   Int[(d + e*x)^(m + 1)*(a + b*x + c*x^2)^p, x], x] + Simp[(e*f - d*g)/e   Int[(d + e*x)^m*(a + b*x + c*
      x^2)^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, m, p}, x] &&  !IGtQ[m, 0]

1270. Int[((a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_)/(((d_.) + (e_.)*(x_))*((f_.) + (g_.)*(x_))), x_Symbol] :> Simp[(c
      *d^2 - b*d*e + a*e^2)/(e*(e*f - d*g))   Int[(a + b*x + c*x^2)^(p - 1)/(d + e*x), x], x] - Simp[1/(e*(e*f - d*g
      ))   Int[Simp[c*d*f - b*e*f + a*e*g - c*(e*f - d*g)*x, x]*((a + b*x + c*x^2)^(p - 1)/(f + g*x)), x], x] /; Fre
      eQ[{a, b, c, d, e, f, g}, x] && FractionQ[p] && GtQ[p, 0]

1271. Int[((d_.) + (e_.)*(x_))^(m_.)*Sqrt[(f_.) + (g_.)*(x_)]*Sqrt[(a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2], x_Symbol] :>
      Simp[(d + e*x)^(m + 1)*Sqrt[f + g*x]*(Sqrt[a + b*x + c*x^2]/(e*(m + 1))), x] - Simp[1/(2*e*(m + 1))   Int[((d
      + e*x)^(m + 1)/(Sqrt[f + g*x]*Sqrt[a + b*x + c*x^2]))*Simp[b*f + a*g + 2*(c*f + b*g)*x + 3*c*g*x^2, x], x], x]
      /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g}, x] && IntegerQ[2*m] && LtQ[m, -1]

1272. Int[((d_.) + (e_.)*(x_))^(m_.)*Sqrt[(f_.) + (g_.)*(x_)]*Sqrt[(a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2], x_Symbol] :>
      Simp[2*(d + e*x)^(m + 1)*Sqrt[f + g*x]*(Sqrt[a + b*x + c*x^2]/(e*(2*m + 5))), x] - Simp[1/(e*(2*m + 5))   Int[
      ((d + e*x)^m/(Sqrt[f + g*x]*Sqrt[a + b*x + c*x^2]))*Simp[b*d*f - 3*a*e*f + a*d*g + 2*(c*d*f - b*e*f + b*d*g -
      a*e*g)*x - (c*e*f - 3*c*d*g + b*e*g)*x^2, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, m}, x] && IntegerQ[2*m] &&
      !LtQ[m, -1]

1273. Int[(((d_.) + (e_.)*(x_))^(m_.)*Sqrt[(a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2])/Sqrt[(f_.) + (g_.)*(x_)], x_Symbol] :
      > Simp[2*(d + e*x)^m*Sqrt[f + g*x]*(Sqrt[a + b*x + c*x^2]/(g*(2*m + 3))), x] - Simp[1/(g*(2*m + 3))   Int[((d
      + e*x)^(m - 1)/(Sqrt[f + g*x]*Sqrt[a + b*x + c*x^2]))*Simp[b*d*f + 2*a*(e*f*m - d*g*(m + 1)) + (2*c*d*f - 2*a*
      e*g + b*(e*f - d*g)*(2*m + 1))*x - (b*e*g + 2*c*(d*g*m - e*f*(m + 1)))*x^2, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e
      , f, g}, x] && IntegerQ[2*m] && GtQ[m, 0]

1274. Int[Sqrt[(a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2]/(((d_.) + (e_.)*(x_))*Sqrt[(f_.) + (g_.)*(x_)]), x_Symbol] :> Simp
      [(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)/e^2   Int[1/((d + e*x)*Sqrt[f + g*x]*Sqrt[a + b*x + c*x^2]), x], x] - Simp[1/e^2   In
      t[(c*d - b*e - c*e*x)/(Sqrt[f + g*x]*Sqrt[a + b*x + c*x^2]), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g}, x]

1275. Int[(((d_.) + (e_.)*(x_))^(m_.)*Sqrt[(a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2])/Sqrt[(f_.) + (g_.)*(x_)], x_Symbol] :
      > Simp[(d + e*x)^(m + 1)*Sqrt[f + g*x]*(Sqrt[a + b*x + c*x^2]/((m + 1)*(e*f - d*g))), x] - Simp[1/(2*(m + 1)*(
      e*f - d*g))   Int[((d + e*x)^(m + 1)/(Sqrt[f + g*x]*Sqrt[a + b*x + c*x^2]))*Simp[b*f + a*g*(2*m + 3) + 2*(c*f
      + b*g*(m + 2))*x + c*g*(2*m + 5)*x^2, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g}, x] && IntegerQ[2*m] && LtQ[m,
      -1]

1276. Int[Sqrt[(d_.) + (e_.)*(x_)]/(Sqrt[(f_.) + (g_.)*(x_)]*Sqrt[(a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2]), x_Symbol] :>
      With[{q = Rt[b^2 - 4*a*c, 2]}, Simp[Sqrt[2]*Sqrt[2*c*f - g*(b + q)]*Sqrt[b - q + 2*c*x]*(d + e*x)*Sqrt[(e*f -
      d*g)*((b + q + 2*c*x)/((2*c*f - g*(b + q))*(d + e*x)))]*(Sqrt[(e*f - d*g)*((2*a + (b + q)*x)/((b*f + q*f - 2*a
      *g)*(d + e*x)))]/(g*Sqrt[2*c*d - e*(b + q)]*Sqrt[2*a*(c/(b + q)) + c*x]*Sqrt[a + b*x + c*x^2]))*EllipticPi[e*(
      (2*c*f - g*(b + q))/(g*(2*c*d - e*(b + q)))), ArcSin[Sqrt[2*c*d - e*(b + q)]*(Sqrt[f + g*x]/(Sqrt[2*c*f - g*(b
      + q)]*Sqrt[d + e*x]))], (b*d + q*d - 2*a*e)*((2*c*f - g*(b + q))/((b*f + q*f - 2*a*g)*(2*c*d - e*(b + q))))],
      x]] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g}, x]

1277. Int[((d_.) + (e_.)*(x_))^(3/2)/(Sqrt[(f_.) + (g_.)*(x_)]*Sqrt[(a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2]), x_Symbol] :
      > Simp[e/g   Int[Sqrt[d + e*x]*(Sqrt[f + g*x]/Sqrt[a + b*x + c*x^2]), x], x] - Simp[(e*f - d*g)/g   Int[Sqrt[d
      + e*x]/(Sqrt[f + g*x]*Sqrt[a + b*x + c*x^2]), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g}, x]

1278. Int[((d_.) + (e_.)*(x_))^(m_)/(Sqrt[(f_.) + (g_.)*(x_)]*Sqrt[(a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2]), x_Symbol] :>
      Simp[2*e^2*(d + e*x)^(m - 2)*Sqrt[f + g*x]*(Sqrt[a + b*x + c*x^2]/(c*g*(2*m - 1))), x] - Simp[1/(c*g*(2*m - 1
      ))   Int[((d + e*x)^(m - 3)/(Sqrt[f + g*x]*Sqrt[a + b*x + c*x^2]))*Simp[b*d*e^2*f + a*e^2*(d*g + 2*e*f*(m - 2)
      ) - c*d^3*g*(2*m - 1) + e*(e*(2*b*d*g + e*(b*f + a*g)*(2*m - 3)) + c*d*(2*e*f - 3*d*g*(2*m - 1)))*x + 2*e^2*(c
      *e*f - 3*c*d*g + b*e*g)*(m - 1)*x^2, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g}, x] && IntegerQ[2*m] && GeQ[m,
      2]

1279. Int[1/(((d_.) + (e_.)*(x_))*Sqrt[(f_.) + (g_.)*(x_)]*Sqrt[(a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2]), x_Symbol] :> Wi
      th[{q = Rt[b^2 - 4*a*c, 2]}, Simp[Sqrt[b - q + 2*c*x]*(Sqrt[b + q + 2*c*x]/Sqrt[a + b*x + c*x^2])   Int[1/((d
      + e*x)*Sqrt[f + g*x]*Sqrt[b - q + 2*c*x]*Sqrt[b + q + 2*c*x]), x], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g}, x]

1280. Int[1/(Sqrt[(d_.) + (e_.)*(x_)]*Sqrt[(f_.) + (g_.)*(x_)]*Sqrt[(a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2]), x_Symbol] :
      > Simp[-2*(d + e*x)*(Sqrt[(e*f - d*g)^2*((a + b*x + c*x^2)/((c*f^2 - b*f*g + a*g^2)*(d + e*x)^2))]/((e*f - d*g
      )*Sqrt[a + b*x + c*x^2]))   Subst[Int[1/Sqrt[1 - (2*c*d*f - b*e*f - b*d*g + 2*a*e*g)*(x^2/(c*f^2 - b*f*g + a*g
      ^2)) + (c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(x^4/(c*f^2 - b*f*g + a*g^2))], x], x, Sqrt[f + g*x]/Sqrt[d + e*x]], x] /; Free
      Q[{a, b, c, d, e, f, g}, x]

1281. Int[1/(((d_.) + (e_.)*(x_))^(3/2)*Sqrt[(f_.) + (g_.)*(x_)]*Sqrt[(a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2]), x_Symbol]
      :> Simp[-g/(e*f - d*g)   Int[1/(Sqrt[d + e*x]*Sqrt[f + g*x]*Sqrt[a + b*x + c*x^2]), x], x] + Simp[e/(e*f - d*
      g)   Int[Sqrt[f + g*x]/((d + e*x)^(3/2)*Sqrt[a + b*x + c*x^2]), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g}, x]

1282. Int[((d_.) + (e_.)*(x_))^(m_)/(Sqrt[(f_.) + (g_.)*(x_)]*Sqrt[(a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2]), x_Symbol] :>
      Simp[e^2*(d + e*x)^(m + 1)*Sqrt[f + g*x]*(Sqrt[a + b*x + c*x^2]/((m + 1)*(e*f - d*g)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2))
      ), x] + Simp[1/(2*(m + 1)*(e*f - d*g)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2))   Int[((d + e*x)^(m + 1)/(Sqrt[f + g*x]*Sqrt[a
      + b*x + c*x^2]))*Simp[2*d*(c*e*f - c*d*g + b*e*g)*(m + 1) - e^2*(b*f + a*g)*(2*m + 3) + 2*e*(c*d*g*(m + 1) - e
      *(c*f + b*g)*(m + 2))*x - c*e^2*g*(2*m + 5)*x^2, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g}, x] && IntegerQ[2*m
      ] && LeQ[m, -2]

1283. Int[(((d_.) + (e_.)*(x_))^(m_)*Sqrt[(f_.) + (g_.)*(x_)])/Sqrt[(a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2], x_Symbol] :>
      Simp[2*e*(d + e*x)^(m - 1)*Sqrt[f + g*x]*(Sqrt[a + b*x + c*x^2]/(c*(2*m + 1))), x] - Simp[1/(c*(2*m + 1))   I
      nt[((d + e*x)^(m - 2)/(Sqrt[f + g*x]*Sqrt[a + b*x + c*x^2]))*Simp[e*(b*d*f + a*(d*g + 2*e*f*(m - 1))) - c*d^2*
      f*(2*m + 1) + (a*e^2*g*(2*m - 1) - c*d*(4*e*f*m + d*g*(2*m + 1)) + b*e*(2*d*g + e*f*(2*m - 1)))*x + e*(2*b*e*g
      *m - c*(e*f + d*g*(4*m - 1)))*x^2, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g}, x] && IntegerQ[2*m] && GtQ[m, 1]

1284. Int[Sqrt[(f_.) + (g_.)*(x_)]/(((d_.) + (e_.)*(x_))*Sqrt[(a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2]), x_Symbol] :> Simp
      [g/e   Int[1/(Sqrt[f + g*x]*Sqrt[a + b*x + c*x^2]), x], x] + Simp[(e*f - d*g)/e   Int[1/((d + e*x)*Sqrt[f + g*
      x]*Sqrt[a + b*x + c*x^2]), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g}, x]

1285. Int[(((d_.) + (e_.)*(x_))^(m_)*Sqrt[(f_.) + (g_.)*(x_)])/Sqrt[(a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2], x_Symbol] :>
      Simp[e*(d + e*x)^(m + 1)*Sqrt[f + g*x]*(Sqrt[a + b*x + c*x^2]/((m + 1)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2))), x] + Simp[1
      /(2*(m + 1)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2))   Int[((d + e*x)^(m + 1)/(Sqrt[f + g*x]*Sqrt[a + b*x + c*x^2]))*Simp[2*c*
      d*f*(m + 1) - e*(a*g + b*f*(2*m + 3)) - 2*(b*e*g*(2 + m) - c*(d*g*(m + 1) - e*f*(m + 2)))*x - c*e*g*(2*m + 5)*
      x^2, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g}, x] && IntegerQ[2*m] && LeQ[m, -2]

1286. Int[(((f_.) + (g_.)*(x_))^(n_)*((a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_))/((d_.) + (e_.)*(x_)), x_Symbol] :> Si
      mp[(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)/(e*(e*f - d*g))   Int[(f + g*x)^(n + 1)*((a + b*x + c*x^2)^(p - 1)/(d + e*x)), x],
      x] - Simp[1/(e*(e*f - d*g))   Int[(f + g*x)^n*(c*d*f - b*e*f + a*e*g - c*(e*f - d*g)*x)*(a + b*x + c*x^2)^(p -
      1), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g}, x] &&  !IntegerQ[n] &&  !IntegerQ[p] && GtQ[p, 0] && LtQ[n, -1]

1287. Int[(((f_.) + (g_.)*(x_))^(n_)*((a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_))/((d_.) + (e_.)*(x_)), x_Symbol] :> Si
      mp[e*((e*f - d*g)/(c*d^2 - b*d*e + a*e^2))   Int[(f + g*x)^(n - 1)*((a + b*x + c*x^2)^(p + 1)/(d + e*x)), x],
      x] + Simp[1/(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)   Int[(f + g*x)^(n - 1)*(c*d*f - b*e*f + a*e*g - c*(e*f - d*g)*x)*(a + b*x
      + c*x^2)^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g}, x] &&  !IntegerQ[n] &&  !IntegerQ[p] && LtQ[p, -1] && GtQ[
      n, 0]

1288. Int[((f_.) + (g_.)*(x_))^(n_)/(((d_.) + (e_.)*(x_))*Sqrt[(a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2]), x_Symbol] :> Int
      [ExpandIntegrand[1/(Sqrt[f + g*x]*Sqrt[a + b*x + c*x^2]), (f + g*x)^(n + 1/2)/(d + e*x), x], x] /; FreeQ[{a, b
      , c, d, e, f, g}, x] && IntegerQ[n + 1/2]

1289. Int[((d_.) + (e_.)*(x_))^(m_.)*((f_.) + (g_.)*(x_))^(n_.)*((a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_.), x_Symbol]
      :> Int[ExpandIntegrand[(d + e*x)^m*(f + g*x)^n*(a + b*x + c*x^2)^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g}, x]
      && (IntegerQ[p] || (ILtQ[m, 0] && ILtQ[n, 0]))

1290. Int[((d_.) + (e_.)*(x_))^(m_)*((f_.) + (g_.)*(x_))^(n_)*((a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :>
      With[{Q = PolynomialQuotient[(f + g*x)^n, d + e*x, x], R = PolynomialRemainder[(f + g*x)^n, d + e*x, x]}, Sim
      p[(e*R*(d + e*x)^(m + 1)*(a + b*x + c*x^2)^(p + 1))/((m + 1)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)), x] + Simp[1/((m + 1)*(c
      *d^2 - b*d*e + a*e^2))   Int[(d + e*x)^(m + 1)*(a + b*x + c*x^2)^p*ExpandToSum[(m + 1)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)
      *Q + c*d*R*(m + 1) - b*e*R*(m + p + 2) - c*e*R*(m + 2*p + 3)*x, x], x], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, p},
      x] && IGtQ[n, 1] && LtQ[m, -1]

1291. Int[((d_.) + (e_.)*(x_))^(m_.)*((f_.) + (g_.)*(x_))^(n_)*((a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :
      > Simp[g^n*(d + e*x)^(m + n - 1)*((a + b*x + c*x^2)^(p + 1)/(c*e^(n - 1)*(m + n + 2*p + 1))), x] + Simp[1/(c*e
      ^n*(m + n + 2*p + 1))   Int[(d + e*x)^m*(a + b*x + c*x^2)^p*ExpandToSum[c*e^n*(m + n + 2*p + 1)*(f + g*x)^n -
      c*g^n*(m + n + 2*p + 1)*(d + e*x)^n - g^n*(d + e*x)^(n - 2)*(b*d*e*(p + 1) + a*e^2*(m + n - 1) - c*d^2*(m + n
      + 2*p + 1) - e*(2*c*d - b*e)*(m + n + p)*x), x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, m, p}, x] && IGtQ[n, 1]
      && NeQ[m + n + 2*p + 1, 0]

1292. Int[((d_.) + (e_.)*(x_))^(m_.)*((f_.) + (g_.)*(x_))^(n_.)*((a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol]
      :> Unintegrable[(d + e*x)^m*(f + g*x)^n*(a + b*x + c*x^2)^p, x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, m, n, p}, x]

1293. Int[((d_.) + (e_.)*(u_))^(m_.)*((f_.) + (g_.)*(u_))^(n_.)*((a_) + (b_.)*(u_) + (c_.)*(u_)^2)^(p_.), x_Symbol]
      :> Simp[1/Coefficient[u, x, 1]   Subst[Int[(d + e*x)^m*(f + g*x)^n*(a + b*x + c*x^2)^p, x], x, u], x] /; FreeQ
      [{a, b, c, d, e, f, g, m, n, p}, x] && LinearQ[u, x] && NeQ[u, x]

1294. Int[((a_) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_.)*((d_.) + (e_.)*(x_) + (f_.)*(x_)^2)^(q_.), x_Symbol] :> Simp[1/c^
      p   Int[(b/2 + c*x)^(2*p)*(d + e*x + f*x^2)^q, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, q}, x] && EqQ[b^2 - 4*a*c, 0
      ] && IntegerQ[p]

1295. Int[((a_) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_.)*((d_) + (e_.)*(x_) + (f_.)*(x_)^2)^(q_.), x_Symbol] :> Simp[(c/f)
      ^p   Int[(d + e*x + f*x^2)^(p + q), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, p, q}, x] && EqQ[c*d - a*f, 0] && EqQ[b
      *d - a*e, 0] && (IntegerQ[p] || GtQ[c/f, 0]) && ( !IntegerQ[q] || LeafCount[d + e*x + f*x^2] <= LeafCount[a +
      b*x + c*x^2])

1296. Int[((a_) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_)*((d_) + (e_.)*(x_) + (f_.)*(x_)^2)^(q_.), x_Symbol] :> Simp[a^IntP
      art[p]*((a + b*x + c*x^2)^FracPart[p]/(d^IntPart[p]*(d + e*x + f*x^2)^FracPart[p]))   Int[(d + e*x + f*x^2)^(p
      + q), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, p, q}, x] && EqQ[c*d - a*f, 0] && EqQ[b*d - a*e, 0] &&  !IntegerQ[p]
      &&  !IntegerQ[q] &&  !GtQ[c/f, 0]

1297. Int[((a_) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_)*((d_) + (e_.)*(x_) + (f_.)*(x_)^2)^(q_.), x_Symbol] :> Simp[(a + b
      *x + c*x^2)^FracPart[p]/((4*c)^IntPart[p]*(b + 2*c*x)^(2*FracPart[p]))   Int[(b + 2*c*x)^(2*p)*(d + e*x + f*x^
      2)^q, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, p, q}, x] && EqQ[b^2 - 4*a*c, 0] &&  !IntegerQ[p]

1298. Int[((a_) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_)*((d_) + (f_.)*(x_)^2)^(q_.), x_Symbol] :> Simp[(a + b*x + c*x^2)^F
      racPart[p]/((4*c)^IntPart[p]*(b + 2*c*x)^(2*FracPart[p]))   Int[(b + 2*c*x)^(2*p)*(d + f*x^2)^q, x], x] /; Fre
      eQ[{a, b, c, d, f, p, q}, x] && EqQ[b^2 - 4*a*c, 0] &&  !IntegerQ[p]

1299. Int[((a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_)*((d_.) + (e_.)*(x_) + (f_.)*(x_)^2)^(q_), x_Symbol] :> With[{r =
      Rt[b^2 - 4*a*c, 2]}, Simp[1/c^p   Int[ExpandIntegrand[(b/2 - r/2 + c*x)^p*(b/2 + r/2 + c*x)^p*(d + e*x + f*x^2
      )^q, x], x], x] /; EqQ[p, -1] ||  !FractionalPowerFactorQ[r]] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && ILtQ[p, 0] &&
      IntegerQ[q] && NiceSqrtQ[b^2 - 4*a*c]

1300. Int[((a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_)*((d_.) + (f_.)*(x_)^2)^(q_), x_Symbol] :> With[{r = Rt[b^2 - 4*a*
      c, 2]}, Simp[1/c^p   Int[ExpandIntegrand[(b/2 - r/2 + c*x)^p*(b/2 + r/2 + c*x)^p*(d + f*x^2)^q, x], x], x] /;
      EqQ[p, -1] ||  !FractionalPowerFactorQ[r]] /; FreeQ[{a, b, c, d, f}, x] && ILtQ[p, 0] && IntegerQ[q] && NiceSq
      rtQ[b^2 - 4*a*c]

1301. Int[((a_.) + (c_.)*(x_)^2)^(p_)*((d_.) + (e_.)*(x_) + (f_.)*(x_)^2)^(q_), x_Symbol] :> With[{r = Rt[(-a)*c, 2]
      }, Simp[1/c^p   Int[ExpandIntegrand[(-r + c*x)^p*(r + c*x)^p*(d + e*x + f*x^2)^q, x], x], x] /; EqQ[p, -1] ||
      !FractionalPowerFactorQ[r]] /; FreeQ[{a, c, d, e, f}, x] && ILtQ[p, 0] && IntegerQ[q] && NiceSqrtQ[(-a)*c]

1302. Int[((a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_)*((d_.) + (e_.)*(x_) + (f_.)*(x_)^2)^(q_), x_Symbol] :> Simp[(b +
      2*c*x)*(a + b*x + c*x^2)^(p + 1)*((d + e*x + f*x^2)^q/((b^2 - 4*a*c)*(p + 1))), x] - Simp[1/((b^2 - 4*a*c)*(p
      + 1))   Int[(a + b*x + c*x^2)^(p + 1)*(d + e*x + f*x^2)^(q - 1)*Simp[2*c*d*(2*p + 3) + b*e*q + (2*b*f*q + 2*c*
      e*(2*p + q + 3))*x + 2*c*f*(2*p + 2*q + 3)*x^2, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && NeQ[b^2 - 4*a*c,
      0] && NeQ[e^2 - 4*d*f, 0] && LtQ[p, -1] && GtQ[q, 0] &&  !IGtQ[q, 0]

1303. Int[((a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_)*((d_.) + (f_.)*(x_)^2)^(q_), x_Symbol] :> Simp[(b + 2*c*x)*(a + b
      *x + c*x^2)^(p + 1)*((d + f*x^2)^q/((b^2 - 4*a*c)*(p + 1))), x] - Simp[1/((b^2 - 4*a*c)*(p + 1))   Int[(a + b*
      x + c*x^2)^(p + 1)*(d + f*x^2)^(q - 1)*Simp[2*c*d*(2*p + 3) + (2*b*f*q)*x + 2*c*f*(2*p + 2*q + 3)*x^2, x], x],
      x] /; FreeQ[{a, b, c, d, f}, x] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] && LtQ[p, -1] && GtQ[q, 0] &&  !IGtQ[q, 0]

1304. Int[((a_.) + (c_.)*(x_)^2)^(p_)*((d_.) + (e_.)*(x_) + (f_.)*(x_)^2)^(q_), x_Symbol] :> Simp[(2*c*x)*(a + c*x^2
      )^(p + 1)*((d + e*x + f*x^2)^q/((-4*a*c)*(p + 1))), x] - Simp[1/((-4*a*c)*(p + 1))   Int[(a + c*x^2)^(p + 1)*(
      d + e*x + f*x^2)^(q - 1)*Simp[2*c*d*(2*p + 3) + (2*c*e*(2*p + q + 3))*x + 2*c*f*(2*p + 2*q + 3)*x^2, x], x], x
      ] /; FreeQ[{a, c, d, e, f}, x] && NeQ[e^2 - 4*d*f] && LtQ[p, -1] && GtQ[q, 0] &&  !IGtQ[q, 0]

1305. Int[((a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_)*((d_.) + (e_.)*(x_) + (f_.)*(x_)^2)^(q_), x_Symbol] :> Simp[(2*a*
      c^2*e - b^2*c*e + b^3*f + b*c*(c*d - 3*a*f) + c*(2*c^2*d + b^2*f - c*(b*e + 2*a*f))*x)*(a + b*x + c*x^2)^(p +
      1)*((d + e*x + f*x^2)^(q + 1)/((b^2 - 4*a*c)*((c*d - a*f)^2 - (b*d - a*e)*(c*e - b*f))*(p + 1))), x] - Simp[1/
      ((b^2 - 4*a*c)*((c*d - a*f)^2 - (b*d - a*e)*(c*e - b*f))*(p + 1))   Int[(a + b*x + c*x^2)^(p + 1)*(d + e*x + f
      *x^2)^q*Simp[2*c*((c*d - a*f)^2 - (b*d - a*e)*(c*e - b*f))*(p + 1) - (2*c^2*d + b^2*f - c*(b*e + 2*a*f))*(a*f*
      (p + 1) - c*d*(p + 2)) - e*(b^2*c*e - 2*a*c^2*e - b^3*f - b*c*(c*d - 3*a*f))*(p + q + 2) + (2*f*(2*a*c^2*e - b
      ^2*c*e + b^3*f + b*c*(c*d - 3*a*f))*(p + q + 2) - (2*c^2*d + b^2*f - c*(b*e + 2*a*f))*(b*f*(p + 1) - c*e*(2*p
      + q + 4)))*x + c*f*(2*c^2*d + b^2*f - c*(b*e + 2*a*f))*(2*p + 2*q + 5)*x^2, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e
      , f, q}, x] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] && NeQ[e^2 - 4*d*f, 0] && LtQ[p, -1] && NeQ[(c*d - a*f)^2 - (b*d - a*e)*(c*
      e - b*f), 0] &&  !( !IntegerQ[p] && ILtQ[q, -1]) &&  !IGtQ[q, 0]

1306. Int[((a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_)*((d_.) + (f_.)*(x_)^2)^(q_), x_Symbol] :> Simp[(b^3*f + b*c*(c*d
      - 3*a*f) + c*(2*c^2*d + b^2*f - c*(2*a*f))*x)*(a + b*x + c*x^2)^(p + 1)*((d + f*x^2)^(q + 1)/((b^2 - 4*a*c)*(b
      ^2*d*f + (c*d - a*f)^2)*(p + 1))), x] - Simp[1/((b^2 - 4*a*c)*(b^2*d*f + (c*d - a*f)^2)*(p + 1))   Int[(a + b*
      x + c*x^2)^(p + 1)*(d + f*x^2)^q*Simp[2*c*(b^2*d*f + (c*d - a*f)^2)*(p + 1) - (2*c^2*d + b^2*f - c*(2*a*f))*(a
      *f*(p + 1) - c*d*(p + 2)) + (2*f*(b^3*f + b*c*(c*d - 3*a*f))*(p + q + 2) - (2*c^2*d + b^2*f - c*(2*a*f))*(b*f*
      (p + 1)))*x + c*f*(2*c^2*d + b^2*f - c*(2*a*f))*(2*p + 2*q + 5)*x^2, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, f, q}, x
      ] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] && LtQ[p, -1] && NeQ[b^2*d*f + (c*d - a*f)^2, 0] &&  !( !IntegerQ[p] && ILtQ[q, -1])
      &&  !IGtQ[q, 0]

1307. Int[((a_.) + (c_.)*(x_)^2)^(p_)*((d_.) + (e_.)*(x_) + (f_.)*(x_)^2)^(q_), x_Symbol] :> Simp[(2*a*c^2*e + c*(2*
      c^2*d - c*(2*a*f))*x)*(a + c*x^2)^(p + 1)*((d + e*x + f*x^2)^(q + 1)/((-4*a*c)*(a*c*e^2 + (c*d - a*f)^2)*(p +
      1))), x] - Simp[1/((-4*a*c)*(a*c*e^2 + (c*d - a*f)^2)*(p + 1))   Int[(a + c*x^2)^(p + 1)*(d + e*x + f*x^2)^q*S
      imp[2*c*((c*d - a*f)^2 - ((-a)*e)*(c*e))*(p + 1) - (2*c^2*d - c*(2*a*f))*(a*f*(p + 1) - c*d*(p + 2)) - e*(-2*a
      *c^2*e)*(p + q + 2) + (2*f*(2*a*c^2*e)*(p + q + 2) - (2*c^2*d - c*(2*a*f))*((-c)*e*(2*p + q + 4)))*x + c*f*(2*
      c^2*d - c*(2*a*f))*(2*p + 2*q + 5)*x^2, x], x], x] /; FreeQ[{a, c, d, e, f, q}, x] && NeQ[e^2 - 4*d*f, 0] && L
      tQ[p, -1] && NeQ[a*c*e^2 + (c*d - a*f)^2, 0] &&  !( !IntegerQ[p] && ILtQ[q, -1]) &&  !IGtQ[q, 0]

1308. Int[((a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_)*((d_.) + (e_.)*(x_) + (f_.)*(x_)^2)^(q_), x_Symbol] :> Simp[(b*f*
      (3*p + 2*q) - c*e*(2*p + q) + 2*c*f*(p + q)*x)*(a + b*x + c*x^2)^(p - 1)*((d + e*x + f*x^2)^(q + 1)/(2*f^2*(p
      + q)*(2*p + 2*q + 1))), x] - Simp[1/(2*f^2*(p + q)*(2*p + 2*q + 1))   Int[(a + b*x + c*x^2)^(p - 2)*(d + e*x +
      f*x^2)^q*Simp[(b*d - a*e)*(c*e - b*f)*(1 - p)*(2*p + q) - (p + q)*(b^2*d*f*(1 - p) - a*(f*(b*e - 2*a*f)*(2*p
      + 2*q + 1) + c*(2*d*f - e^2*(2*p + q)))) + (2*(c*d - a*f)*(c*e - b*f)*(1 - p)*(2*p + q) - (p + q)*((b^2 - 4*a*
      c)*e*f*(1 - p) + b*(c*(e^2 - 4*d*f)*(2*p + q) + f*(2*c*d - b*e + 2*a*f)*(2*p + 2*q + 1))))*x + ((c*e - b*f)^2*
      (1 - p)*p + c*(p + q)*(f*(b*e - 2*a*f)*(4*p + 2*q - 1) - c*(2*d*f*(1 - 2*p) + e^2*(3*p + q - 1))))*x^2, x], x]
      , x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, q}, x] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] && NeQ[e^2 - 4*d*f, 0] && GtQ[p, 1] && NeQ[p +
      q, 0] && NeQ[2*p + 2*q + 1, 0] &&  !IGtQ[p, 0] &&  !IGtQ[q, 0]

1309. Int[((a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_)*((d_.) + (f_.)*(x_)^2)^(q_), x_Symbol] :> Simp[(b*(3*p + 2*q) + 2
      *c*(p + q)*x)*(a + b*x + c*x^2)^(p - 1)*((d + f*x^2)^(q + 1)/(2*f*(p + q)*(2*p + 2*q + 1))), x] - Simp[1/(2*f*
      (p + q)*(2*p + 2*q + 1))   Int[(a + b*x + c*x^2)^(p - 2)*(d + f*x^2)^q*Simp[b^2*d*(p - 1)*(2*p + q) - (p + q)*
      (b^2*d*(1 - p) - 2*a*(c*d - a*f*(2*p + 2*q + 1))) - (2*b*(c*d - a*f)*(1 - p)*(2*p + q) - 2*(p + q)*b*(2*c*d*(2
      *p + q) - (c*d + a*f)*(2*p + 2*q + 1)))*x + (b^2*f*p*(1 - p) + 2*c*(p + q)*(c*d*(2*p - 1) - a*f*(4*p + 2*q - 1
      )))*x^2, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, f, q}, x] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] && GtQ[p, 1] && NeQ[p + q, 0] && Ne
      Q[2*p + 2*q + 1, 0] &&  !IGtQ[p, 0] &&  !IGtQ[q, 0]

1310. Int[((a_.) + (c_.)*(x_)^2)^(p_)*((d_.) + (e_.)*(x_) + (f_.)*(x_)^2)^(q_), x_Symbol] :> Simp[(-c)*(e*(2*p + q)
      - 2*f*(p + q)*x)*(a + c*x^2)^(p - 1)*((d + e*x + f*x^2)^(q + 1)/(2*f^2*(p + q)*(2*p + 2*q + 1))), x] - Simp[1/
      (2*f^2*(p + q)*(2*p + 2*q + 1))   Int[(a + c*x^2)^(p - 2)*(d + e*x + f*x^2)^q*Simp[(-a)*c*e^2*(1 - p)*(2*p + q
      ) + a*(p + q)*(-2*a*f^2*(2*p + 2*q + 1) + c*(2*d*f - e^2*(2*p + q))) + (2*(c*d - a*f)*(c*e)*(1 - p)*(2*p + q)
      + 4*a*c*e*f*(1 - p)*(p + q))*x + (p*c^2*e^2*(1 - p) - c*(p + q)*(2*a*f^2*(4*p + 2*q - 1) + c*(2*d*f*(1 - 2*p)
      + e^2*(3*p + q - 1))))*x^2, x], x], x] /; FreeQ[{a, c, d, e, f, q}, x] && NeQ[e^2 - 4*d*f, 0] && GtQ[p, 1] &&
      NeQ[p + q, 0] && NeQ[2*p + 2*q + 1, 0] &&  !IGtQ[p, 0] &&  !IGtQ[q, 0]

1311. Int[1/(((a_) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2)*((d_) + (e_.)*(x_) + (f_.)*(x_)^2)), x_Symbol] :> With[{q = c^2*d^2
      - b*c*d*e + a*c*e^2 + b^2*d*f - 2*a*c*d*f - a*b*e*f + a^2*f^2}, Simp[1/q   Int[(c^2*d - b*c*e + b^2*f - a*c*f
      - (c^2*e - b*c*f)*x)/(a + b*x + c*x^2), x], x] + Simp[1/q   Int[(c*e^2 - c*d*f - b*e*f + a*f^2 + (c*e*f - b*f^
      2)*x)/(d + e*x + f*x^2), x], x] /; NeQ[q, 0]] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] && NeQ[e^
      2 - 4*d*f, 0]

1312. Int[1/(((a_) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2)*((d_) + (f_.)*(x_)^2)), x_Symbol] :> With[{q = c^2*d^2 + b^2*d*f - 2
      *a*c*d*f + a^2*f^2}, Simp[1/q   Int[(c^2*d + b^2*f - a*c*f + b*c*f*x)/(a + b*x + c*x^2), x], x] - Simp[1/q   I
      nt[(c*d*f - a*f^2 + b*f^2*x)/(d + f*x^2), x], x] /; NeQ[q, 0]] /; FreeQ[{a, b, c, d, f}, x] && NeQ[b^2 - 4*a*c
      , 0]

1313. Int[1/(((a_) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2)*Sqrt[(d_.) + (e_.)*(x_) + (f_.)*(x_)^2]), x_Symbol] :> Simp[-2*e   S
      ubst[Int[1/(e*(b*e - 4*a*f) - (b*d - a*e)*x^2), x], x, (e + 2*f*x)/Sqrt[d + e*x + f*x^2]], x] /; FreeQ[{a, b,
      c, d, e, f}, x] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] && NeQ[e^2 - 4*d*f, 0] && EqQ[c*e - b*f, 0]

1314. Int[1/(((a_) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2)*Sqrt[(d_.) + (e_.)*(x_) + (f_.)*(x_)^2]), x_Symbol] :> With[{q = Rt[
      b^2 - 4*a*c, 2]}, Simp[2*(c/q)   Int[1/((b - q + 2*c*x)*Sqrt[d + e*x + f*x^2]), x], x] - Simp[2*(c/q)   Int[1/
      ((b + q + 2*c*x)*Sqrt[d + e*x + f*x^2]), x], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] && NeQ
      [e^2 - 4*d*f, 0] && NeQ[c*e - b*f, 0] && PosQ[b^2 - 4*a*c]

1315. Int[1/(((a_) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2)*Sqrt[(d_) + (f_.)*(x_)^2]), x_Symbol] :> With[{q = Rt[b^2 - 4*a*c, 2
      ]}, Simp[2*(c/q)   Int[1/((b - q + 2*c*x)*Sqrt[d + f*x^2]), x], x] - Simp[2*(c/q)   Int[1/((b + q + 2*c*x)*Sqr
      t[d + f*x^2]), x], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d, f}, x] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] && PosQ[b^2 - 4*a*c]

1316. Int[1/(((a_) + (c_.)*(x_)^2)*Sqrt[(d_.) + (e_.)*(x_) + (f_.)*(x_)^2]), x_Symbol] :> Simp[1/2   Int[1/((a - Rt[
      (-a)*c, 2]*x)*Sqrt[d + e*x + f*x^2]), x], x] + Simp[1/2   Int[1/((a + Rt[(-a)*c, 2]*x)*Sqrt[d + e*x + f*x^2]),
      x], x] /; FreeQ[{a, c, d, e, f}, x] && NeQ[e^2 - 4*d*f, 0] && PosQ[(-a)*c]

1317. Int[1/(((a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2)*Sqrt[(d_.) + (e_.)*(x_) + (f_.)*(x_)^2]), x_Symbol] :> With[{q = Rt
      [(c*d - a*f)^2 - (b*d - a*e)*(c*e - b*f), 2]}, Simp[1/(2*q)   Int[(c*d - a*f + q + (c*e - b*f)*x)/((a + b*x +
      c*x^2)*Sqrt[d + e*x + f*x^2]), x], x] - Simp[1/(2*q)   Int[(c*d - a*f - q + (c*e - b*f)*x)/((a + b*x + c*x^2)*
      Sqrt[d + e*x + f*x^2]), x], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] && NeQ[e^2 - 4*d*f, 0]
      && NeQ[c*e - b*f, 0] && NegQ[b^2 - 4*a*c]

1318. Int[1/(((a_.) + (c_.)*(x_)^2)*Sqrt[(d_.) + (e_.)*(x_) + (f_.)*(x_)^2]), x_Symbol] :> With[{q = Rt[(c*d - a*f)^
      2 + a*c*e^2, 2]}, Simp[1/(2*q)   Int[(c*d - a*f + q + c*e*x)/((a + c*x^2)*Sqrt[d + e*x + f*x^2]), x], x] - Sim
      p[1/(2*q)   Int[(c*d - a*f - q + c*e*x)/((a + c*x^2)*Sqrt[d + e*x + f*x^2]), x], x]] /; FreeQ[{a, c, d, e, f},
      x] && NeQ[e^2 - 4*d*f, 0] && NegQ[(-a)*c]

1319. Int[1/(((a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2)*Sqrt[(d_.) + (f_.)*(x_)^2]), x_Symbol] :> With[{q = Rt[(c*d - a*f)^
      2 + b^2*d*f, 2]}, Simp[1/(2*q)   Int[(c*d - a*f + q + ((-b)*f)*x)/((a + b*x + c*x^2)*Sqrt[d + f*x^2]), x], x]
      - Simp[1/(2*q)   Int[(c*d - a*f - q + ((-b)*f)*x)/((a + b*x + c*x^2)*Sqrt[d + f*x^2]), x], x]] /; FreeQ[{a, b,
      c, d, f}, x] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] && NegQ[b^2 - 4*a*c]

1320. Int[Sqrt[(a_) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2]/((d_) + (e_.)*(x_) + (f_.)*(x_)^2), x_Symbol] :> Simp[c/f   Int[1/S
      qrt[a + b*x + c*x^2], x], x] - Simp[1/f   Int[(c*d - a*f + (c*e - b*f)*x)/(Sqrt[a + b*x + c*x^2]*(d + e*x + f*
      x^2)), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] && NeQ[e^2 - 4*d*f, 0]

1321. Int[Sqrt[(a_) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2]/((d_) + (f_.)*(x_)^2), x_Symbol] :> Simp[c/f   Int[1/Sqrt[a + b*x +
      c*x^2], x], x] - Simp[1/f   Int[(c*d - a*f - b*f*x)/(Sqrt[a + b*x + c*x^2]*(d + f*x^2)), x], x] /; FreeQ[{a,
      b, c, d, f}, x] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0]

1322. Int[Sqrt[(a_) + (c_.)*(x_)^2]/((d_) + (e_.)*(x_) + (f_.)*(x_)^2), x_Symbol] :> Simp[c/f   Int[1/Sqrt[a + c*x^2
      ], x], x] - Simp[1/f   Int[(c*d - a*f + c*e*x)/(Sqrt[a + c*x^2]*(d + e*x + f*x^2)), x], x] /; FreeQ[{a, c, d,
      e, f}, x] && NeQ[e^2 - 4*d*f, 0]

1323. Int[1/(Sqrt[(a_) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2]*Sqrt[(d_) + (e_.)*(x_) + (f_.)*(x_)^2]), x_Symbol] :> With[{r =
      Rt[b^2 - 4*a*c, 2]}, Simp[Sqrt[b + r + 2*c*x]*(Sqrt[2*a + (b + r)*x]/Sqrt[a + b*x + c*x^2])   Int[1/(Sqrt[b +
      r + 2*c*x]*Sqrt[2*a + (b + r)*x]*Sqrt[d + e*x + f*x^2]), x], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && NeQ[b^2 -
      4*a*c, 0] && NeQ[e^2 - 4*d*f, 0]

1324. Int[1/(Sqrt[(a_) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2]*Sqrt[(d_) + (f_.)*(x_)^2]), x_Symbol] :> With[{r = Rt[b^2 - 4*a*
      c, 2]}, Simp[Sqrt[b + r + 2*c*x]*(Sqrt[2*a + (b + r)*x]/Sqrt[a + b*x + c*x^2])   Int[1/(Sqrt[b + r + 2*c*x]*Sq
      rt[2*a + (b + r)*x]*Sqrt[d + f*x^2]), x], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d, f}, x] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0]

1325. Int[((a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_)*((d_.) + (e_.)*(x_) + (f_.)*(x_)^2)^(q_), x_Symbol] :> Unintegrab
      le[(a + b*x + c*x^2)^p*(d + e*x + f*x^2)^q, x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, p, q}, x] &&  !IGtQ[p, 0] &&  !IGtQ
      [q, 0]

1326. Int[((a_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_)*((d_.) + (e_.)*(x_) + (f_.)*(x_)^2)^(q_), x_Symbol] :> Unintegrable[(a + c*x^2)
      ^p*(d + e*x + f*x^2)^q, x] /; FreeQ[{a, c, d, e, f, p, q}, x] &&  !IGtQ[p, 0] &&  !IGtQ[q, 0]

1327. Int[((a_.) + (b_.)*(u_) + (c_.)*(u_)^2)^(p_.)*((d_.) + (e_.)*(u_) + (f_.)*(u_)^2)^(q_.), x_Symbol] :> Simp[1/C
      oefficient[u, x, 1]   Subst[Int[(a + b*x + c*x^2)^p*(d + e*x + f*x^2)^q, x], x, u], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e
      , f, p, q}, x] && LinearQ[u, x] && NeQ[u, x]

1328. Int[((a_.) + (c_.)*(u_)^2)^(p_.)*((d_.) + (e_.)*(u_) + (f_.)*(u_)^2)^(q_.), x_Symbol] :> Simp[1/Coefficient[u,
      x, 1]   Subst[Int[(a + c*x^2)^p*(d + e*x + f*x^2)^q, x], x, u], x] /; FreeQ[{a, c, d, e, f, p, q}, x] && Line
      arQ[u, x] && NeQ[u, x]

1329. Int[((g_.) + (h_.)*(x_))^(m_.)*((a_) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_)*((d_) + (e_.)*(x_) + (f_.)*(x_)^2)^(q_)
      , x_Symbol] :> Simp[(c/f)^p   Int[(g + h*x)^m*(d + e*x + f*x^2)^(p + q), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g,
      h, p, q}, x] && EqQ[c*d - a*f, 0] && EqQ[b*d - a*e, 0] && (IntegerQ[p] || GtQ[c/f, 0]) && ( !IntegerQ[q] || L
      eafCount[d + e*x + f*x^2] <= LeafCount[a + b*x + c*x^2])

1330. Int[((g_.) + (h_.)*(x_))^(m_.)*((a_) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_)*((d_) + (e_.)*(x_) + (f_.)*(x_)^2)^(q_)
      , x_Symbol] :> Simp[a^IntPart[p]*((a + b*x + c*x^2)^FracPart[p]/(d^IntPart[p]*(d + e*x + f*x^2)^FracPart[p]))
      Int[(g + h*x)^m*(d + e*x + f*x^2)^(p + q), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, h, p, q}, x] && EqQ[c*d - a
      *f, 0] && EqQ[b*d - a*e, 0] &&  !IntegerQ[p] &&  !IntegerQ[q] &&  !GtQ[c/f, 0]

1331. Int[((g_.) + (h_.)*(x_))^(m_.)*((a_) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_.)*((d_.) + (e_.)*(x_) + (f_.)*(x_)^2)^(q
      _.), x_Symbol] :> Simp[1/c^p   Int[(g + h*x)^m*(b/2 + c*x)^(2*p)*(d + e*x + f*x^2)^q, x], x] /; FreeQ[{a, b, c
      , d, e, f, g, h, m, q}, x] && EqQ[b^2 - 4*a*c, 0] && IntegerQ[p]

1332. Int[((g_.) + (h_.)*(x_))^(m_.)*((a_) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_.)*((d_.) + (f_.)*(x_)^2)^(q_.), x_Symbol
      ] :> Simp[1/c^p   Int[(g + h*x)^m*(b/2 + c*x)^(2*p)*(d + f*x^2)^q, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, f, g, h, m, q}
      , x] && EqQ[b^2 - 4*a*c, 0] && IntegerQ[p]

1333. Int[((g_.) + (h_.)*(x_))^(m_.)*((a_) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_)*((d_) + (e_.)*(x_) + (f_.)*(x_)^2)^(q_)
      , x_Symbol] :> Simp[(a + b*x + c*x^2)^FracPart[p]/((4*c)^IntPart[p]*(b + 2*c*x)^(2*FracPart[p]))   Int[(g + h*
      x)^m*(b + 2*c*x)^(2*p)*(d + e*x + f*x^2)^q, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, h, m, p, q}, x] && EqQ[b^2 -
      4*a*c, 0] &&  !IntegerQ[p]

1334. Int[((g_.) + (h_.)*(x_))^(m_.)*((a_) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_)*((d_) + (f_.)*(x_)^2)^(q_), x_Symbol] :
      > Simp[(a + b*x + c*x^2)^FracPart[p]/((4*c)^IntPart[p]*(b + 2*c*x)^(2*FracPart[p]))   Int[(g + h*x)^m*(b + 2*c
      *x)^(2*p)*(d + f*x^2)^q, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, f, g, h, m, p, q}, x] && EqQ[b^2 - 4*a*c, 0] &&  !Intege
      rQ[p]

1335. Int[((g_) + (h_.)*(x_))^(m_.)*((a_) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_)*((d_.) + (e_.)*(x_) + (f_.)*(x_)^2)^(m_.
      ), x_Symbol] :> Int[(d*(g/a) + f*h*(x/c))^m*(a + b*x + c*x^2)^(m + p), x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, h, p}
      , x] && EqQ[c*g^2 - b*g*h + a*h^2, 0] && EqQ[c^2*d*g^2 - a*c*e*g*h + a^2*f*h^2, 0] && IntegerQ[m]

1336. Int[((g_) + (h_.)*(x_))^(m_.)*((a_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_)*((d_.) + (e_.)*(x_) + (f_.)*(x_)^2)^(m_.), x_Symbol]
      :> Int[(d*(g/a) + f*h*(x/c))^m*(a + c*x^2)^(m + p), x] /; FreeQ[{a, c, d, e, f, g, h, p}, x] && EqQ[c*g^2 + a*
      h^2, 0] && EqQ[c^2*d*g^2 - a*c*e*g*h + a^2*f*h^2, 0] && IntegerQ[m]

1337. Int[((g_) + (h_.)*(x_))^(m_.)*((a_) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_)*((d_.) + (f_.)*(x_)^2)^(m_.), x_Symbol]
      :> Int[(d*(g/a) + f*h*(x/c))^m*(a + b*x + c*x^2)^(m + p), x] /; FreeQ[{a, b, c, d, f, g, h, p}, x] && EqQ[c*g^
      2 - b*g*h + a*h^2, 0] && EqQ[c^2*d*g^2 + a^2*f*h^2, 0] && IntegerQ[m]

1338. Int[((g_) + (h_.)*(x_))^(m_.)*((a_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_)*((d_.) + (f_.)*(x_)^2)^(m_.), x_Symbol] :> Int[(d*(g/
      a) + f*h*(x/c))^m*(a + c*x^2)^(m + p), x] /; FreeQ[{a, c, d, f, g, h, p}, x] && EqQ[c*g^2 + a*h^2, 0] && EqQ[c
      ^2*d*g^2 + a^2*f*h^2, 0] && IntegerQ[m]

1339. Int[(x_)^(p_)*((a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_)*((e_.)*(x_) + (f_.)*(x_)^2)^(q_), x_Symbol] :> Int[(a/e
      + (c/f)*x)^p*(e*x + f*x^2)^(p + q), x] /; FreeQ[{a, b, c, e, f, q}, x] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] && EqQ[c*e^2 -
      b*e*f + a*f^2, 0] && IntegerQ[p]

1340. Int[(x_)^(p_)*((a_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_)*((e_.)*(x_) + (f_.)*(x_)^2)^(q_), x_Symbol] :> Int[(a/e + (c/f)*x)^p*
      (e*x + f*x^2)^(p + q), x] /; FreeQ[{a, c, e, f, q}, x] && EqQ[c*e^2 + a*f^2, 0] && IntegerQ[p]

1341. Int[((g_) + (h_.)*(x_))/(((a_) + (c_.)*(x_)^2)^(1/3)*((d_) + (f_.)*(x_)^2)), x_Symbol] :> Simp[Sqrt[3]*h*(ArcT
      an[1/Sqrt[3] - 2^(2/3)*((1 - 3*h*(x/g))^(2/3)/(Sqrt[3]*(1 + 3*h*(x/g))^(1/3)))]/(2^(2/3)*a^(1/3)*f)), x] + (-S
      imp[3*h*(Log[(1 - 3*h*(x/g))^(2/3) + 2^(1/3)*(1 + 3*h*(x/g))^(1/3)]/(2^(5/3)*a^(1/3)*f)), x] + Simp[h*(Log[d +
      f*x^2]/(2^(5/3)*a^(1/3)*f)), x]) /; FreeQ[{a, c, d, f, g, h}, x] && EqQ[c*d + 3*a*f, 0] && EqQ[c*g^2 + 9*a*h^
      2, 0] && GtQ[a, 0]

1342. Int[((g_) + (h_.)*(x_))/(((a_) + (c_.)*(x_)^2)^(1/3)*((d_) + (f_.)*(x_)^2)), x_Symbol] :> Simp[(1 + c*(x^2/a))
      ^(1/3)/(a + c*x^2)^(1/3)   Int[(g + h*x)/((1 + c*(x^2/a))^(1/3)*(d + f*x^2)), x], x] /; FreeQ[{a, c, d, f, g,
      h}, x] && EqQ[c*d + 3*a*f, 0] && EqQ[c*g^2 + 9*a*h^2, 0] &&  !GtQ[a, 0]

1343. Int[((g_) + (h_.)*(x_))*((a_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_)*((d_) + (f_.)*(x_)^2)^(q_), x_Symbol] :> Simp[g   Int[(a +
      c*x^2)^p*(d + f*x^2)^q, x], x] + Simp[h   Int[x*(a + c*x^2)^p*(d + f*x^2)^q, x], x] /; FreeQ[{a, c, d, f, g, h
      , p, q}, x]

1344. Int[((g_.) + (h_.)*(x_))*((a_) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_)*((d_) + (e_.)*(x_) + (f_.)*(x_)^2)^(q_), x_Sy
      mbol] :> Int[ExpandIntegrand[(a + b*x + c*x^2)^p*(d + e*x + f*x^2)^q*(g + h*x), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e
      , f, g, h}, x] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] && NeQ[e^2 - 4*d*f, 0] && IGtQ[p, 0] && IntegerQ[q]

1345. Int[((g_.) + (h_.)*(x_))*((a_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_)*((d_) + (e_.)*(x_) + (f_.)*(x_)^2)^(q_), x_Symbol] :> Int[
      ExpandIntegrand[(a + c*x^2)^p*(d + e*x + f*x^2)^q*(g + h*x), x], x] /; FreeQ[{a, c, d, e, f, g, h}, x] && NeQ[
      e^2 - 4*d*f, 0] && IntegersQ[p, q] && (GtQ[p, 0] || GtQ[q, 0])

1346. Int[((g_.) + (h_.)*(x_))*((a_) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_)*((d_) + (e_.)*(x_) + (f_.)*(x_)^2)^(q_), x_Sy
      mbol] :> Simp[(g*b - 2*a*h - (b*h - 2*g*c)*x)*(a + b*x + c*x^2)^(p + 1)*((d + e*x + f*x^2)^q/((b^2 - 4*a*c)*(p
      + 1))), x] - Simp[1/((b^2 - 4*a*c)*(p + 1))   Int[(a + b*x + c*x^2)^(p + 1)*(d + e*x + f*x^2)^(q - 1)*Simp[e*
      q*(g*b - 2*a*h) - d*(b*h - 2*g*c)*(2*p + 3) + (2*f*q*(g*b - 2*a*h) - e*(b*h - 2*g*c)*(2*p + q + 3))*x - f*(b*h
      - 2*g*c)*(2*p + 2*q + 3)*x^2, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, h}, x] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] && NeQ[
      e^2 - 4*d*f, 0] && LtQ[p, -1] && GtQ[q, 0]

1347. Int[((g_.) + (h_.)*(x_))*((a_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_)*((d_) + (e_.)*(x_) + (f_.)*(x_)^2)^(q_), x_Symbol] :> Simp
      [(a*h - g*c*x)*(a + c*x^2)^(p + 1)*((d + e*x + f*x^2)^q/(2*a*c*(p + 1))), x] + Simp[2/(4*a*c*(p + 1))   Int[(a
      + c*x^2)^(p + 1)*(d + e*x + f*x^2)^(q - 1)*Simp[g*c*d*(2*p + 3) - a*(h*e*q) + (g*c*e*(2*p + q + 3) - a*(2*h*f
      *q))*x + g*c*f*(2*p + 2*q + 3)*x^2, x], x], x] /; FreeQ[{a, c, d, e, f, g, h}, x] && NeQ[e^2 - 4*d*f, 0] && Lt
      Q[p, -1] && GtQ[q, 0]

1348. Int[((g_.) + (h_.)*(x_))*((a_) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_)*((d_) + (f_.)*(x_)^2)^(q_), x_Symbol] :> Simp
      [(g*b - 2*a*h - (b*h - 2*g*c)*x)*(a + b*x + c*x^2)^(p + 1)*((d + f*x^2)^q/((b^2 - 4*a*c)*(p + 1))), x] - Simp[
      1/((b^2 - 4*a*c)*(p + 1))   Int[(a + b*x + c*x^2)^(p + 1)*(d + f*x^2)^(q - 1)*Simp[(-d)*(b*h - 2*g*c)*(2*p + 3
      ) + (2*f*q*(g*b - 2*a*h))*x - f*(b*h - 2*g*c)*(2*p + 2*q + 3)*x^2, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, f, g, h},
      x] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] && LtQ[p, -1] && GtQ[q, 0]

1349. Int[((g_.) + (h_.)*(x_))*((a_) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_)*((d_) + (e_.)*(x_) + (f_.)*(x_)^2)^(q_), x_Sy
      mbol] :> Simp[(a + b*x + c*x^2)^(p + 1)*((d + e*x + f*x^2)^(q + 1)/((b^2 - 4*a*c)*((c*d - a*f)^2 - (b*d - a*e)
      *(c*e - b*f))*(p + 1)))*(g*c*(2*a*c*e - b*(c*d + a*f)) + (g*b - a*h)*(2*c^2*d + b^2*f - c*(b*e + 2*a*f)) + c*(
      g*(2*c^2*d + b^2*f - c*(b*e + 2*a*f)) - h*(b*c*d - 2*a*c*e + a*b*f))*x), x] + Simp[1/((b^2 - 4*a*c)*((c*d - a*
      f)^2 - (b*d - a*e)*(c*e - b*f))*(p + 1))   Int[(a + b*x + c*x^2)^(p + 1)*(d + e*x + f*x^2)^q*Simp[(b*h - 2*g*c
      )*((c*d - a*f)^2 - (b*d - a*e)*(c*e - b*f))*(p + 1) + (b^2*(g*f) - b*(h*c*d + g*c*e + a*h*f) + 2*(g*c*(c*d - a
      *f) - a*((-h)*c*e)))*(a*f*(p + 1) - c*d*(p + 2)) - e*((g*c)*(2*a*c*e - b*(c*d + a*f)) + (g*b - a*h)*(2*c^2*d +
      b^2*f - c*(b*e + 2*a*f)))*(p + q + 2) - (2*f*((g*c)*(2*a*c*e - b*(c*d + a*f)) + (g*b - a*h)*(2*c^2*d + b^2*f
      - c*(b*e + 2*a*f)))*(p + q + 2) - (b^2*g*f - b*(h*c*d + g*c*e + a*h*f) + 2*(g*c*(c*d - a*f) - a*((-h)*c*e)))*(
      b*f*(p + 1) - c*e*(2*p + q + 4)))*x - c*f*(b^2*(g*f) - b*(h*c*d + g*c*e + a*h*f) + 2*(g*c*(c*d - a*f) + a*h*c*
      e))*(2*p + 2*q + 5)*x^2, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, h, q}, x] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] && NeQ[e^2
      - 4*d*f, 0] && LtQ[p, -1] && NeQ[(c*d - a*f)^2 - (b*d - a*e)*(c*e - b*f), 0] &&  !( !IntegerQ[p] && ILtQ[q, -
      1])

1350. Int[((g_.) + (h_.)*(x_))*((a_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_)*((d_) + (e_.)*(x_) + (f_.)*(x_)^2)^(q_), x_Symbol] :> Simp
      [(a + c*x^2)^(p + 1)*((d + e*x + f*x^2)^(q + 1)/((-4*a*c)*(a*c*e^2 + (c*d - a*f)^2)*(p + 1)))*(g*c*(2*a*c*e) +
      ((-a)*h)*(2*c^2*d - c*(2*a*f)) + c*(g*(2*c^2*d - c*(2*a*f)) - h*(-2*a*c*e))*x), x] + Simp[1/((-4*a*c)*(a*c*e^
      2 + (c*d - a*f)^2)*(p + 1))   Int[(a + c*x^2)^(p + 1)*(d + e*x + f*x^2)^q*Simp[(-2*g*c)*((c*d - a*f)^2 - ((-a)
      *e)*(c*e))*(p + 1) + (2*(g*c*(c*d - a*f) - a*((-h)*c*e)))*(a*f*(p + 1) - c*d*(p + 2)) - e*((g*c)*(2*a*c*e) + (
      (-a)*h)*(2*c^2*d - c*((Plus[2])*a*f)))*(p + q + 2) - (2*f*((g*c)*(2*a*c*e) + ((-a)*h)*(2*c^2*d + (-c)*((Plus[2
      ])*a*f)))*(p + q + 2) - (2*(g*c*(c*d - a*f) - a*((-h)*c*e)))*((-c)*e*(2*p + q + 4)))*x - c*f*(2*(g*c*(c*d - a*
      f) - a*((-h)*c*e)))*(2*p + 2*q + 5)*x^2, x], x], x] /; FreeQ[{a, c, d, e, f, g, h, q}, x] && NeQ[e^2 - 4*d*f,
      0] && LtQ[p, -1] && NeQ[a*c*e^2 + (c*d - a*f)^2, 0] &&  !( !IntegerQ[p] && ILtQ[q, -1])

1351. Int[((g_.) + (h_.)*(x_))*((a_) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_)*((d_) + (f_.)*(x_)^2)^(q_), x_Symbol] :> Simp
      [(a + b*x + c*x^2)^(p + 1)*((d + f*x^2)^(q + 1)/((b^2 - 4*a*c)*(b^2*d*f + (c*d - a*f)^2)*(p + 1)))*((g*c)*((-b
      )*(c*d + a*f)) + (g*b - a*h)*(2*c^2*d + b^2*f - c*(2*a*f)) + c*(g*(2*c^2*d + b^2*f - c*(2*a*f)) - h*(b*c*d + a
      *b*f))*x), x] + Simp[1/((b^2 - 4*a*c)*(b^2*d*f + (c*d - a*f)^2)*(p + 1))   Int[(a + b*x + c*x^2)^(p + 1)*(d +
      f*x^2)^q*Simp[(b*h - 2*g*c)*((c*d - a*f)^2 - (b*d)*((-b)*f))*(p + 1) + (b^2*(g*f) - b*(h*c*d + a*h*f) + 2*(g*c
      *(c*d - a*f)))*(a*f*(p + 1) - c*d*(p + 2)) - (2*f*((g*c)*((-b)*(c*d + a*f)) + (g*b - a*h)*(2*c^2*d + b^2*f - c
      *(2*a*f)))*(p + q + 2) - (b^2*(g*f) - b*(h*c*d + a*h*f) + 2*(g*c*(c*d - a*f)))*(b*f*(p + 1)))*x - c*f*(b^2*(g*
      f) - b*(h*c*d + a*h*f) + 2*(g*c*(c*d - a*f)))*(2*p + 2*q + 5)*x^2, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, f, g, h, q
      }, x] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] && LtQ[p, -1] && NeQ[b^2*d*f + (c*d - a*f)^2, 0] &&  !( !IntegerQ[p] && ILtQ[q, -
      1])

1352. Int[((g_.) + (h_.)*(x_))*((a_) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_)*((d_) + (e_.)*(x_) + (f_.)*(x_)^2)^(q_), x_Sy
      mbol] :> Simp[h*(a + b*x + c*x^2)^p*((d + e*x + f*x^2)^(q + 1)/(2*f*(p + q + 1))), x] - Simp[1/(2*f*(p + q + 1
      ))   Int[(a + b*x + c*x^2)^(p - 1)*(d + e*x + f*x^2)^q*Simp[h*p*(b*d - a*e) + a*(h*e - 2*g*f)*(p + q + 1) + (2
      *h*p*(c*d - a*f) + b*(h*e - 2*g*f)*(p + q + 1))*x + (h*p*(c*e - b*f) + c*(h*e - 2*g*f)*(p + q + 1))*x^2, x], x
      ], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, h, q}, x] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] && NeQ[e^2 - 4*d*f, 0] && GtQ[p, 0] && N
      eQ[p + q + 1, 0]

1353. Int[((g_.) + (h_.)*(x_))*((a_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_)*((d_) + (e_.)*(x_) + (f_.)*(x_)^2)^(q_), x_Symbol] :> Simp
      [h*(a + c*x^2)^p*((d + e*x + f*x^2)^(q + 1)/(2*f*(p + q + 1))), x] + Simp[1/(2*f*(p + q + 1))   Int[(a + c*x^2
      )^(p - 1)*(d + e*x + f*x^2)^q*Simp[a*h*e*p - a*(h*e - 2*g*f)*(p + q + 1) - 2*h*p*(c*d - a*f)*x - (h*c*e*p + c*
      (h*e - 2*g*f)*(p + q + 1))*x^2, x], x], x] /; FreeQ[{a, c, d, e, f, g, h, q}, x] && NeQ[e^2 - 4*d*f, 0] && GtQ
      [p, 0] && NeQ[p + q + 1, 0]

1354. Int[((g_.) + (h_.)*(x_))*((a_) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_)*((d_) + (f_.)*(x_)^2)^(q_), x_Symbol] :> Simp
      [h*(a + b*x + c*x^2)^p*((d + f*x^2)^(q + 1)/(2*f*(p + q + 1))), x] - Simp[1/(2*f*(p + q + 1))   Int[(a + b*x +
      c*x^2)^(p - 1)*(d + f*x^2)^q*Simp[h*p*(b*d) + a*(-2*g*f)*(p + q + 1) + (2*h*p*(c*d - a*f) + b*(-2*g*f)*(p + q
      + 1))*x + (h*p*((-b)*f) + c*(-2*g*f)*(p + q + 1))*x^2, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, f, g, h, q}, x] && Ne
      Q[b^2 - 4*a*c, 0] && GtQ[p, 0] && NeQ[p + q + 1, 0]

1355. Int[((g_.) + (h_.)*(x_))/(((a_) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2)*((d_) + (e_.)*(x_) + (f_.)*(x_)^2)), x_Symbol] :>
      With[{q = Simplify[c^2*d^2 - b*c*d*e + a*c*e^2 + b^2*d*f - 2*a*c*d*f - a*b*e*f + a^2*f^2]}, Simp[1/q   Int[Si
      mp[g*c^2*d - g*b*c*e + a*h*c*e + g*b^2*f - a*b*h*f - a*g*c*f + c*(h*c*d - g*c*e + g*b*f - a*h*f)*x, x]/(a + b*
      x + c*x^2), x], x] + Simp[1/q   Int[Simp[(-h)*c*d*e + g*c*e^2 + b*h*d*f - g*c*d*f - g*b*e*f + a*g*f^2 - f*(h*c
      *d - g*c*e + g*b*f - a*h*f)*x, x]/(d + e*x + f*x^2), x], x] /; NeQ[q, 0]] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, h}, x
      ] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] && NeQ[e^2 - 4*d*f, 0]

1356. Int[((g_.) + (h_.)*(x_))/(((a_) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2)*((d_) + (f_.)*(x_)^2)), x_Symbol] :> With[{q = Si
      mplify[c^2*d^2 + b^2*d*f - 2*a*c*d*f + a^2*f^2]}, Simp[1/q   Int[Simp[g*c^2*d + g*b^2*f - a*b*h*f - a*g*c*f +
      c*(h*c*d + g*b*f - a*h*f)*x, x]/(a + b*x + c*x^2), x], x] + Simp[1/q   Int[Simp[b*h*d*f - g*c*d*f + a*g*f^2 -
      f*(h*c*d + g*b*f - a*h*f)*x, x]/(d + f*x^2), x], x] /; NeQ[q, 0]] /; FreeQ[{a, b, c, d, f, g, h}, x] && NeQ[b^
      2 - 4*a*c, 0]

1357. Int[((g_) + (h_.)*(x_))/(((a_) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2)*Sqrt[(d_.) + (e_.)*(x_) + (f_.)*(x_)^2]), x_Symbol
      ] :> Simp[-2*g   Subst[Int[1/(b*d - a*e - b*x^2), x], x, Sqrt[d + e*x + f*x^2]], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f
      , g, h}, x] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] && NeQ[e^2 - 4*d*f, 0] && EqQ[c*e - b*f, 0] && EqQ[h*e - 2*g*f, 0]

1358. Int[((g_.) + (h_.)*(x_))/(((a_) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2)*Sqrt[(d_.) + (e_.)*(x_) + (f_.)*(x_)^2]), x_Symbo
      l] :> Simp[-(h*e - 2*g*f)/(2*f)   Int[1/((a + b*x + c*x^2)*Sqrt[d + e*x + f*x^2]), x], x] + Simp[h/(2*f)   Int
      [(e + 2*f*x)/((a + b*x + c*x^2)*Sqrt[d + e*x + f*x^2]), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, h}, x] && NeQ[b^
      2 - 4*a*c, 0] && NeQ[e^2 - 4*d*f, 0] && EqQ[c*e - b*f, 0] && NeQ[h*e - 2*g*f, 0]

1359. Int[(x_)/(((a_) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2)*Sqrt[(d_) + (e_.)*(x_) + (f_.)*(x_)^2]), x_Symbol] :> Simp[-2*e
      Subst[Int[(1 - d*x^2)/(c*e - b*f - e*(2*c*d - b*e + 2*a*f)*x^2 + d^2*(c*e - b*f)*x^4), x], x, (1 + (e + Sqrt[
      e^2 - 4*d*f])*(x/(2*d)))/Sqrt[d + e*x + f*x^2]], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] &&
      NeQ[e^2 - 4*d*f, 0] && EqQ[b*d - a*e, 0]

1360. Int[((g_) + (h_.)*(x_))/(((a_) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2)*Sqrt[(d_) + (e_.)*(x_) + (f_.)*(x_)^2]), x_Symbol]
      :> Simp[g   Subst[Int[1/(a + (c*d - a*f)*x^2), x], x, x/Sqrt[d + e*x + f*x^2]], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f
      , g, h}, x] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] && NeQ[e^2 - 4*d*f, 0] && EqQ[b*d - a*e, 0] && EqQ[2*h*d - g*e, 0]

1361. Int[((g_) + (h_.)*(x_))/(((a_) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2)*Sqrt[(d_) + (e_.)*(x_) + (f_.)*(x_)^2]), x_Symbol]
      :> Simp[-(2*h*d - g*e)/e   Int[1/((a + b*x + c*x^2)*Sqrt[d + e*x + f*x^2]), x], x] + Simp[h/e   Int[(2*d + e*
      x)/((a + b*x + c*x^2)*Sqrt[d + e*x + f*x^2]), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, h}, x] && NeQ[b^2 - 4*a*c,
      0] && NeQ[e^2 - 4*d*f, 0] && EqQ[b*d - a*e, 0] && NeQ[2*h*d - g*e, 0]

1362. Int[((g_.) + (h_.)*(x_))/(((a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2)*Sqrt[(d_.) + (e_.)*(x_) + (f_.)*(x_)^2]), x_Symb
      ol] :> Simp[-2*g*(g*b - 2*a*h)   Subst[Int[1/Simp[g*(g*b - 2*a*h)*(b^2 - 4*a*c) - (b*d - a*e)*x^2, x], x], x,
      Simp[g*b - 2*a*h - (b*h - 2*g*c)*x, x]/Sqrt[d + e*x + f*x^2]], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, h}, x] && NeQ
      [b^2 - 4*a*c, 0] && NeQ[e^2 - 4*d*f, 0] && NeQ[b*d - a*e, 0] && EqQ[h^2*(b*d - a*e) - 2*g*h*(c*d - a*f) + g^2*
      (c*e - b*f), 0]

1363. Int[((g_) + (h_.)*(x_))/(((a_) + (c_.)*(x_)^2)*Sqrt[(d_.) + (e_.)*(x_) + (f_.)*(x_)^2]), x_Symbol] :> Simp[-2*
      a*g*h   Subst[Int[1/Simp[2*a^2*g*h*c + a*e*x^2, x], x], x, Simp[a*h - g*c*x, x]/Sqrt[d + e*x + f*x^2]], x] /;
      FreeQ[{a, c, d, e, f, g, h}, x] && EqQ[a*h^2*e + 2*g*h*(c*d - a*f) - g^2*c*e, 0]

1364. Int[((g_) + (h_.)*(x_))/(((a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2)*Sqrt[(d_) + (f_.)*(x_)^2]), x_Symbol] :> Simp[-2*
      g*(g*b - 2*a*h)   Subst[Int[1/Simp[g*(g*b - 2*a*h)*(b^2 - 4*a*c) - b*d*x^2, x], x], x, Simp[g*b - 2*a*h - (b*h
      - 2*g*c)*x, x]/Sqrt[d + f*x^2]], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, f, g, h}, x] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] && EqQ[b*h^2*d
      - 2*g*h*(c*d - a*f) - g^2*b*f, 0]

1365. Int[((g_.) + (h_.)*(x_))/(((a_) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2)*Sqrt[(d_.) + (e_.)*(x_) + (f_.)*(x_)^2]), x_Symbo
      l] :> With[{q = Rt[b^2 - 4*a*c, 2]}, Simp[(2*c*g - h*(b - q))/q   Int[1/((b - q + 2*c*x)*Sqrt[d + e*x + f*x^2]
      ), x], x] - Simp[(2*c*g - h*(b + q))/q   Int[1/((b + q + 2*c*x)*Sqrt[d + e*x + f*x^2]), x], x]] /; FreeQ[{a, b
      , c, d, e, f, g, h}, x] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] && NeQ[e^2 - 4*d*f, 0] && PosQ[b^2 - 4*a*c]

1366. Int[((g_.) + (h_.)*(x_))/(((a_) + (c_.)*(x_)^2)*Sqrt[(d_.) + (e_.)*(x_) + (f_.)*(x_)^2]), x_Symbol] :> With[{q
      = Rt[(-a)*c, 2]}, Simp[(h/2 + c*(g/(2*q)))   Int[1/((-q + c*x)*Sqrt[d + e*x + f*x^2]), x], x] + Simp[(h/2 - c
      *(g/(2*q)))   Int[1/((q + c*x)*Sqrt[d + e*x + f*x^2]), x], x]] /; FreeQ[{a, c, d, e, f, g, h}, x] && NeQ[e^2 -
      4*d*f, 0] && PosQ[(-a)*c]

1367. Int[((g_.) + (h_.)*(x_))/(((a_) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2)*Sqrt[(d_) + (f_.)*(x_)^2]), x_Symbol] :> With[{q
      = Rt[b^2 - 4*a*c, 2]}, Simp[(2*c*g - h*(b - q))/q   Int[1/((b - q + 2*c*x)*Sqrt[d + f*x^2]), x], x] - Simp[(2*
      c*g - h*(b + q))/q   Int[1/((b + q + 2*c*x)*Sqrt[d + f*x^2]), x], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d, f, g, h}, x] && Ne
      Q[b^2 - 4*a*c, 0] && PosQ[b^2 - 4*a*c]

1368. Int[((g_.) + (h_.)*(x_))/(((a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2)*Sqrt[(d_.) + (e_.)*(x_) + (f_.)*(x_)^2]), x_Symb
      ol] :> With[{q = Rt[(c*d - a*f)^2 - (b*d - a*e)*(c*e - b*f), 2]}, Simp[1/(2*q)   Int[Simp[h*(b*d - a*e) - g*(c
      *d - a*f - q) - (g*(c*e - b*f) - h*(c*d - a*f + q))*x, x]/((a + b*x + c*x^2)*Sqrt[d + e*x + f*x^2]), x], x] -
      Simp[1/(2*q)   Int[Simp[h*(b*d - a*e) - g*(c*d - a*f + q) - (g*(c*e - b*f) - h*(c*d - a*f - q))*x, x]/((a + b*
      x + c*x^2)*Sqrt[d + e*x + f*x^2]), x], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, h}, x] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] && NeQ
      [e^2 - 4*d*f, 0] && NeQ[b*d - a*e, 0] && NegQ[b^2 - 4*a*c]

1369. Int[((g_.) + (h_.)*(x_))/(((a_) + (c_.)*(x_)^2)*Sqrt[(d_.) + (e_.)*(x_) + (f_.)*(x_)^2]), x_Symbol] :> With[{q
      = Rt[(c*d - a*f)^2 + a*c*e^2, 2]}, Simp[1/(2*q)   Int[Simp[(-a)*h*e - g*(c*d - a*f - q) + (h*(c*d - a*f + q)
      - g*c*e)*x, x]/((a + c*x^2)*Sqrt[d + e*x + f*x^2]), x], x] - Simp[1/(2*q)   Int[Simp[(-a)*h*e - g*(c*d - a*f +
      q) + (h*(c*d - a*f - q) - g*c*e)*x, x]/((a + c*x^2)*Sqrt[d + e*x + f*x^2]), x], x]] /; FreeQ[{a, c, d, e, f,
      g, h}, x] && NeQ[e^2 - 4*d*f, 0] && NegQ[(-a)*c]

1370. Int[((g_.) + (h_.)*(x_))/(((a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2)*Sqrt[(d_) + (f_.)*(x_)^2]), x_Symbol] :> With[{q
      = Rt[(c*d - a*f)^2 + b^2*d*f, 2]}, Simp[1/(2*q)   Int[Simp[h*b*d - g*(c*d - a*f - q) + (h*(c*d - a*f + q) + g
      *b*f)*x, x]/((a + b*x + c*x^2)*Sqrt[d + f*x^2]), x], x] - Simp[1/(2*q)   Int[Simp[h*b*d - g*(c*d - a*f + q) +
      (h*(c*d - a*f - q) + g*b*f)*x, x]/((a + b*x + c*x^2)*Sqrt[d + f*x^2]), x], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d, f, g, h},
      x] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] && NegQ[b^2 - 4*a*c]

1371. Int[((g_.) + (h_.)*(x_))/(Sqrt[(a_) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2]*Sqrt[(d_) + (e_.)*(x_) + (f_.)*(x_)^2]), x_Sy
      mbol] :> With[{s = Rt[b^2 - 4*a*c, 2], t = Rt[e^2 - 4*d*f, 2]}, Simp[Sqrt[b + s + 2*c*x]*Sqrt[2*a + (b + s)*x]
      *Sqrt[e + t + 2*f*x]*(Sqrt[2*d + (e + t)*x]/(Sqrt[a + b*x + c*x^2]*Sqrt[d + e*x + f*x^2]))   Int[(g + h*x)/(Sq
      rt[b + s + 2*c*x]*Sqrt[2*a + (b + s)*x]*Sqrt[e + t + 2*f*x]*Sqrt[2*d + (e + t)*x]), x], x]] /; FreeQ[{a, b, c,
      d, e, f, g, h}, x] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] && NeQ[e^2 - 4*d*f, 0]

1372. Int[((g_.) + (h_.)*(x_))/(Sqrt[(a_) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2]*Sqrt[(d_) + (f_.)*(x_)^2]), x_Symbol] :> With
      [{s = Rt[b^2 - 4*a*c, 2], t = Rt[-4*d*f, 2]}, Simp[Sqrt[b + s + 2*c*x]*Sqrt[2*a + (b + s)*x]*Sqrt[t + 2*f*x]*(
      Sqrt[2*d + t*x]/(Sqrt[a + b*x + c*x^2]*Sqrt[d + f*x^2]))   Int[(g + h*x)/(Sqrt[b + s + 2*c*x]*Sqrt[2*a + (b +
      s)*x]*Sqrt[t + 2*f*x]*Sqrt[2*d + t*x]), x], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d, f, g, h}, x] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0]

1373. Int[((g_.) + (h_.)*(x_))/(((a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2)^(1/3)*((d_.) + (e_.)*(x_) + (f_.)*(x_)^2)), x_Sy
      mbol] :> With[{q = (-9*c*(h^2/(2*c*g - b*h)^2))^(1/3)}, Simp[Sqrt[3]*h*q*(ArcTan[1/Sqrt[3] - 2^(2/3)*((1 - (3*
      h*(b + 2*c*x))/(2*c*g - b*h))^(2/3)/(Sqrt[3]*(1 + (3*h*(b + 2*c*x))/(2*c*g - b*h))^(1/3)))]/f), x] + (-Simp[3*
      h*q*(Log[(1 - 3*h*((b + 2*c*x)/(2*c*g - b*h)))^(2/3) + 2^(1/3)*(1 + 3*h*((b + 2*c*x)/(2*c*g - b*h)))^(1/3)]/(2
      *f)), x] + Simp[h*q*(Log[d + e*x + f*x^2]/(2*f)), x])] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, h}, x] && EqQ[c*e - b*f,
      0] && EqQ[c^2*d - f*(b^2 - 3*a*c), 0] && EqQ[c^2*g^2 - b*c*g*h - 2*b^2*h^2 + 9*a*c*h^2, 0] && GtQ[-9*c*(h^2/(
      2*c*g - b*h)^2), 0]

1374. Int[((g_.) + (h_.)*(x_))/(((a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2)^(1/3)*((d_.) + (e_.)*(x_) + (f_.)*(x_)^2)), x_Sy
      mbol] :> With[{q = -c/(b^2 - 4*a*c)}, Simp[(q*(a + b*x + c*x^2))^(1/3)/(a + b*x + c*x^2)^(1/3)   Int[(g + h*x)
      /((q*a + b*q*x + c*q*x^2)^(1/3)*(d + e*x + f*x^2)), x], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, h}, x] && EqQ[c*e -
      b*f, 0] && EqQ[c^2*d - f*(b^2 - 3*a*c), 0] && EqQ[c^2*g^2 - b*c*g*h - 2*b^2*h^2 + 9*a*c*h^2, 0] &&  !GtQ[4*a
      - b^2/c, 0]

1375. Int[((g_.) + (h_.)*(x_))*((a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_)*((d_.) + (e_.)*(x_) + (f_.)*(x_)^2)^(q_), x_
      Symbol] :> Unintegrable[(g + h*x)*(a + b*x + c*x^2)^p*(d + e*x + f*x^2)^q, x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, h
      , p, q}, x]

1376. Int[((g_.) + (h_.)*(x_))*((a_.) + (c_.)*(x_)^2)^(p_)*((d_.) + (e_.)*(x_) + (f_.)*(x_)^2)^(q_), x_Symbol] :> Un
      integrable[(g + h*x)*(a + c*x^2)^p*(d + e*x + f*x^2)^q, x] /; FreeQ[{a, c, d, e, f, g, h, p, q}, x]

1377. Int[((g_.) + (h_.)*(u_))^(m_.)*((a_.) + (b_.)*(u_) + (c_.)*(u_)^2)^(p_.)*((d_.) + (e_.)*(u_) + (f_.)*(u_)^2)^(
      q_.), x_Symbol] :> Simp[1/Coefficient[u, x, 1]   Subst[Int[(g + h*x)^m*(a + b*x + c*x^2)^p*(d + e*x + f*x^2)^q
      , x], x, u], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, h, m, p, q}, x] && LinearQ[u, x] && NeQ[u, x]

1378. Int[((g_.) + (h_.)*(u_))^(m_.)*((a_.) + (c_.)*(u_)^2)^(p_.)*((d_.) + (e_.)*(u_) + (f_.)*(u_)^2)^(q_.), x_Symbo
      l] :> Simp[1/Coefficient[u, x, 1]   Subst[Int[(g + h*x)^m*(a + c*x^2)^p*(d + e*x + f*x^2)^q, x], x, u], x] /;
      FreeQ[{a, c, d, e, f, g, h, m, p, q}, x] && LinearQ[u, x] && NeQ[u, x]

1379. Int[((a_) + (c_.)*(x_)^(n2_.) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_), x_Symbol] :> Simp[1/c^p   Int[(b/2 + c*x^n)^(2*p), x],
      x] /; FreeQ[{a, b, c, n, p}, x] && EqQ[n2, 2*n] && EqQ[b^2 - 4*a*c, 0] && IntegerQ[p] && NeQ[p, 1]

1380. Int[(u_)*((a_) + (c_.)*(x_)^(n2_.) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_.), x_Symbol] :> Simp[1/c^p   Int[u*(b/2 + c*x^n)^(2*
      p), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, n, p}, x] && EqQ[n2, 2*n] && EqQ[b^2 - 4*a*c, 0] && IntegerQ[p]

1381. Int[(u_.)*((a_) + (c_.)*(x_)^(n2_.) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_)*((d_) + (e_.)*(x_)^(n_))^(q_), x_Symbol] :> Simp[e
      ^q/c^(q/2)   Int[u*(a + b*x^n + c*x^(2*n))^(p + q/2), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, n, p, q}, x] && EqQ[n2,
      2*n] && EqQ[b^2 - 4*a*c, 0] && EqQ[2*c*d - b*e, 0] &&  !IntegerQ[p] && IntegerQ[q/2]

1382. Int[(u_.)*((a_) + (c_.)*(x_)^(n2_.) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_)*((d_) + (e_.)*(x_)^(n_))^(q_), x_Symbol] :> Simp[e
      ^(q - 1)/c^((q - 1)/2)   Int[u*(d + e*x^n)*(a + b*x^n + c*x^(2*n))^(p + (q - 1)/2), x], x] /; FreeQ[{a, b, c,
      d, e, p}, x] && EqQ[b^2 - 4*a*c, 0] && EqQ[2*c*d - b*e, 0] &&  !IntegerQ[p] && IntegerQ[(q - 1)/2]

1383. Int[(u_.)*((a_) + (c_.)*(x_)^(n2_.) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_)*((d_) + (e_.)*(x_)^(n_))^(q_.), x_Symbol] :> Simp[
      (a + b*x^n + c*x^(2*n))^p/(d + e*x^n)^(2*p)   Int[u*(d + e*x^n)^(q + 2*p), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, n,
      p, q}, x] && EqQ[n2, 2*n] && EqQ[b^2 - 4*a*c, 0] && EqQ[2*c*d - b*e, 0] &&  !IntegerQ[p]

1384. Int[(u_.)*((a_) + (c_.)*(x_)^(n2_.) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_), x_Symbol] :> Simp[(a + b*x^n + c*x^(2*n))^FracPar
      t[p]/(c^IntPart[p]*(b/2 + c*x^n)^(2*FracPart[p]))   Int[u*(b/2 + c*x^n)^(2*p), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, n, p}
      , x] && EqQ[n2, 2*n] && EqQ[b^2 - 4*a*c, 0] && IntegerQ[p - 1/2] && NeQ[u, x^(n - 1)] && NeQ[u, x^(2*n - 1)] &
      &  !(EqQ[p, 1/2] && EqQ[u, x^(-2*n - 1)])

1385. Int[(u_.)*((a_) + (c_.)*(x_)^(n2_.) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_), x_Symbol] :> Simp[a^IntPart[p]*((a + b*x^n + c*x^
      (2*n))^FracPart[p]/(1 + 2*c*(x^n/b))^(2*FracPart[p]))   Int[u*(1 + 2*c*(x^n/b))^(2*p), x], x] /; FreeQ[{a, b,
      c, n, p}, x] && EqQ[n2, 2*n] && EqQ[b^2 - 4*a*c, 0] &&  !IntegerQ[2*p] && NeQ[u, x^(n - 1)] && NeQ[u, x^(2*n -
      1)]

1386. Int[(u_.)*((a_) + (c_.)*(x_)^(n2_.))^(p_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^(n_))^(q_.), x_Symbol] :> Simp[(-e^2/c)^q   Int[
      u*(d - e*x^n)^p, x], x] /; FreeQ[{a, c, d, e, n, p, q}, x] && EqQ[n2, 2*n] && EqQ[c*d^2 + a*e^2, 0] && EqQ[p +
      q, 0] && GtQ[d, 0] && LtQ[c, 0] && GtQ[e^2, 0]

1387. Int[(u_.)*((a_) + (c_.)*(x_)^(n2_.) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^(n_))^(q_.), x_Symbol] :> Int[
      u*(d + e*x^n)^(p + q)*(a/d + (c/e)*x^n)^p, x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, n, p, q}, x] && EqQ[n2, 2*n] && EqQ[c*d
      ^2 - b*d*e + a*e^2, 0] && (IntegerQ[p] || (GtQ[a, 0] && GtQ[d, 0] && LtQ[c, 0]))

1388. Int[(u_.)*((a_) + (c_.)*(x_)^(n2_.))^(p_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^(n_))^(q_.), x_Symbol] :> Int[u*(d + e*x^n)^(p +
      q)*(a/d + (c/e)*x^n)^p, x] /; FreeQ[{a, c, d, e, n, p, q}, x] && EqQ[n2, 2*n] && EqQ[c*d^2 + a*e^2, 0] && (In
      tegerQ[p] || (GtQ[a, 0] && GtQ[d, 0]))

1389. Int[((d_) + (e_.)*(x_)^2)/Sqrt[(a_) + (c_.)*(x_)^4], x_Symbol] :> Simp[d/Sqrt[a]   Int[Sqrt[1 + e*(x^2/d)]/Sqr
      t[1 - e*(x^2/d)], x], x] /; FreeQ[{a, c, d, e}, x] && EqQ[c*d^2 + a*e^2, 0] && NegQ[c/a] && GtQ[a, 0]

1390. Int[((d_) + (e_.)*(x_)^2)/Sqrt[(a_) + (c_.)*(x_)^4], x_Symbol] :> Simp[Sqrt[1 + c*(x^4/a)]/Sqrt[a + c*x^4]   I
      nt[(d + e*x^2)/Sqrt[1 + c*(x^4/a)], x], x] /; FreeQ[{a, c, d, e}, x] && EqQ[c*d^2 + a*e^2, 0] && NegQ[c/a] &&
      !GtQ[a, 0] &&  !(LtQ[a, 0] && GtQ[c, 0])

1391. Int[1/(((d_) + (e_.)*(x_)^2)*Sqrt[(a_) + (c_.)*(x_)^4]), x_Symbol] :> Simp[x/(d*Sqrt[a + c*x^4]), x] + (-Simp[
      (Sqrt[-1 + (e/d)*x^2]*Sqrt[1 + (e/d)*x^2]*EllipticE[ArcSin[(Sqrt[2]*Rt[e/d, 2]*x)/Sqrt[-1 + (e/d)*x^2]], 1/2])
      /(Sqrt[2]*d*Rt[e/d, 2]*Sqrt[a + c*x^4]), x] + Simp[(Sqrt[-1 + (e/d)*x^2]*Sqrt[1 + (e/d)*x^2]*EllipticF[ArcSin[
      (Sqrt[2]*Rt[e/d, 2]*x)/Sqrt[-1 + (e/d)*x^2]], 1/2])/(Sqrt[2]*d*Rt[e/d, 2]*Sqrt[a + c*x^4]), x]) /; FreeQ[{a, c
      , d, e}, x] && EqQ[c*d^2 + a*e^2, 0] && LtQ[a, 0] && GtQ[c, 0] && PosQ[e/d]

1392. Int[1/(((d_) + (e_.)*(x_)^2)*Sqrt[(a_) + (c_.)*(x_)^4]), x_Symbol] :> Simp[x/(d*Sqrt[a + c*x^4]), x] - Simp[(x
      /(d*Sqrt[-2*a]*Sqrt[(-e/d)*x^2]))*EllipticE[ArcSin[Sqrt[-2*a]*(Sqrt[-1 - (e/d)*x^2]/Sqrt[a + c*x^4])], 1/2], x
      ] /; FreeQ[{a, c, d, e}, x] && EqQ[c*d^2 + a*e^2, 0] && LtQ[a, 0] && GtQ[c, 0] && NegQ[e/d]

1393. Int[(x_)^2/(((d_) + (e_.)*(x_)^2)*Sqrt[(a_) + (c_.)*(x_)^4]), x_Symbol] :> Simp[-x/(e*Sqrt[a + c*x^4]), x] + S
      imp[(Sqrt[-1 + (e/d)*x^2]*Sqrt[1 + (e/d)*x^2]*EllipticE[ArcSin[(Sqrt[2]*Rt[e/d, 2]*x)/Sqrt[-1 + (e/d)*x^2]], 1
      /2])/(Sqrt[2]*e*Rt[e/d, 2]*Sqrt[a + c*x^4]), x] /; FreeQ[{a, c, d, e}, x] && EqQ[c*d^2 + a*e^2, 0] && LtQ[a, 0
      ] && GtQ[c, 0] && PosQ[e/d]

1394. Int[(x_)^2/(((d_) + (e_.)*(x_)^2)*Sqrt[(a_) + (c_.)*(x_)^4]), x_Symbol] :> Simp[-x/(e*Sqrt[a + c*x^4]), x] + (
      Simp[(x/(e*Sqrt[-2*a]*Sqrt[(-e/d)*x^2]))*EllipticE[ArcSin[(Sqrt[-2*a]*Sqrt[-1 - (e/d)*x^2])/Sqrt[a + c*x^4]],
      1/2], x] - Simp[(x/(e*Sqrt[-2*a]*Sqrt[(-e/d)*x^2]))*EllipticF[ArcSin[(Sqrt[-2*a]*Sqrt[-1 - (e/d)*x^2])/Sqrt[a
      + c*x^4]], 1/2], x]) /; FreeQ[{a, c, d, e}, x] && EqQ[c*d^2 + a*e^2, 0] && LtQ[a, 0] && GtQ[c, 0] && NegQ[e/d]

1395. Int[(u_.)*((a_) + (c_.)*(x_)^(n2_.) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_)*((d_) + (e_.)*(x_)^(n_))^(q_.), x_Symbol] :> Simp[
      (a + b*x^n + c*x^(2*n))^FracPart[p]/((d + e*x^n)^FracPart[p]*(a/d + c*(x^n/e))^FracPart[p])   Int[u*(d + e*x^n
      )^(p + q)*(a/d + (c/e)*x^n)^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, n, p, q}, x] && EqQ[n2, 2*n] && EqQ[c*d^2 - b*d
      *e + a*e^2, 0] &&  !IntegerQ[p] &&  !(EqQ[q, 1] && EqQ[n, 2])

1396. Int[(u_.)*((a_) + (c_.)*(x_)^(n2_.))^(p_)*((d_) + (e_.)*(x_)^(n_))^(q_.), x_Symbol] :> Simp[(a + c*x^(2*n))^Fr
      acPart[p]/((d + e*x^n)^FracPart[p]*(a/d + c*(x^n/e))^FracPart[p])   Int[u*(d + e*x^n)^(p + q)*(a/d + (c/e)*x^n
      )^p, x], x] /; FreeQ[{a, c, d, e, n, p, q}, x] && EqQ[n2, 2*n] && EqQ[c*d^2 + a*e^2, 0] &&  !IntegerQ[p] &&  !
      (EqQ[q, 1] && EqQ[n, 2])

1397. Int[((b_.)*(x_)^2 + (c_.)*(x_)^4)^(p_), x_Symbol] :> Int[x^(2*p)*(b + c*x^2)^p, x] /; FreeQ[{b, c}, x] && Inte
      gerQ[p]

1398. Int[Sqrt[(b_.)*(x_)^2 + (c_.)*(x_)^4], x_Symbol] :> Simp[(b*x^2 + c*x^4)^(3/2)/(3*c*x^3), x] /; FreeQ[{b, c},
      x]

1399. Int[((b_.)*(x_)^2 + (c_.)*(x_)^4)^(p_), x_Symbol] :> Simp[(b*x^2 + c*x^4)^(p + 1)/(c*(4*p + 1)*x^3), x] - Simp
      [b*((2*p - 1)/(c*(4*p + 1)))   Int[(b*x^2 + c*x^4)^p/x^2, x], x] /; FreeQ[{b, c, p}, x] && IGtQ[p - 1/2, 0]

1400. Int[1/Sqrt[(b_.)*(x_)^2 + (c_.)*(x_)^4], x_Symbol] :> -Subst[Int[1/(1 - b*x^2), x], x, x/Sqrt[b*x^2 + c*x^4]]
      /; FreeQ[{b, c}, x]

1401. Int[((b_.)*(x_)^2 + (c_.)*(x_)^4)^(p_), x_Symbol] :> Simp[-(b*x^2 + c*x^4)^(p + 1)/(2*b*(p + 1)*x), x] + Simp[
      (4*p + 3)/(2*b*(p + 1))   Int[(b*x^2 + c*x^4)^(p + 1)/x^2, x], x] /; FreeQ[{b, c}, x] &&  !IntegerQ[p] && LtQ[
      p, -1]

1402. Int[((b_.)*(x_)^2 + (c_.)*(x_)^4)^(p_), x_Symbol] :> Simp[(b*x^2 + c*x^4)^p/(x^(2*p)*(b + c*x^2)^p)   Int[x^(2
      *p)*(b + c*x^2)^p, x], x] /; FreeQ[{b, c, p}, x] &&  !IntegerQ[p]

1403. Int[((a_.) + (b_.)*(x_)^2 + (c_.)*(x_)^4)^(p_), x_Symbol] :> Int[ExpandIntegrand[(a + b*x^2 + c*x^4)^p, x], x]
      /; FreeQ[{a, b, c}, x] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] && IGtQ[p, 0]

1404. Int[((a_.) + (b_.)*(x_)^2 + (c_.)*(x_)^4)^(p_), x_Symbol] :> Simp[x*((a + b*x^2 + c*x^4)^p/(4*p + 1)), x] + Si
      mp[2*(p/(4*p + 1))   Int[(2*a + b*x^2)*(a + b*x^2 + c*x^4)^(p - 1), x], x] /; FreeQ[{a, b, c}, x] && NeQ[b^2 -
      4*a*c, 0] && GtQ[p, 0] && IntegerQ[2*p]

1405. Int[((a_) + (b_.)*(x_)^2 + (c_.)*(x_)^4)^(p_), x_Symbol] :> Simp[(-x)*(b^2 - 2*a*c + b*c*x^2)*((a + b*x^2 + c*
      x^4)^(p + 1)/(2*a*(p + 1)*(b^2 - 4*a*c))), x] + Simp[1/(2*a*(p + 1)*(b^2 - 4*a*c))   Int[(b^2 - 2*a*c + 2*(p +
      1)*(b^2 - 4*a*c) + b*c*(4*p + 7)*x^2)*(a + b*x^2 + c*x^4)^(p + 1), x], x] /; FreeQ[{a, b, c}, x] && NeQ[b^2 -
      4*a*c, 0] && LtQ[p, -1] && IntegerQ[2*p]

1406. Int[((a_) + (b_.)*(x_)^2 + (c_.)*(x_)^4)^(-1), x_Symbol] :> With[{q = Rt[b^2 - 4*a*c, 2]}, Simp[c/q   Int[1/(b
      /2 - q/2 + c*x^2), x], x] - Simp[c/q   Int[1/(b/2 + q/2 + c*x^2), x], x]] /; FreeQ[{a, b, c}, x] && NeQ[b^2 -
      4*a*c, 0] && PosQ[b^2 - 4*a*c]

1407. Int[((a_) + (b_.)*(x_)^2 + (c_.)*(x_)^4)^(-1), x_Symbol] :> With[{q = Rt[a/c, 2]}, With[{r = Rt[2*q - b/c, 2]}
      , Simp[1/(2*c*q*r)   Int[(r - x)/(q - r*x + x^2), x], x] + Simp[1/(2*c*q*r)   Int[(r + x)/(q + r*x + x^2), x],
      x]]] /; FreeQ[{a, b, c}, x] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] && NegQ[b^2 - 4*a*c]

1408. Int[1/Sqrt[(a_) + (b_.)*(x_)^2 + (c_.)*(x_)^4], x_Symbol] :> With[{q = Rt[b^2 - 4*a*c, 2]}, Simp[2*Sqrt[-c]
      Int[1/(Sqrt[b + q + 2*c*x^2]*Sqrt[-b + q - 2*c*x^2]), x], x]] /; FreeQ[{a, b, c}, x] && GtQ[b^2 - 4*a*c, 0] &&
      LtQ[c, 0]

1409. Int[1/Sqrt[(a_) + (b_.)*(x_)^2 + (c_.)*(x_)^4], x_Symbol] :> With[{q = Rt[c/a, 4]}, Simp[(1 + q^2*x^2)*(Sqrt[(
      a + b*x^2 + c*x^4)/(a*(1 + q^2*x^2)^2)]/(2*q*Sqrt[a + b*x^2 + c*x^4]))*EllipticF[2*ArcTan[q*x], 1/2 - b*(q^2/(
      4*c))], x]] /; FreeQ[{a, b, c}, x] && GtQ[b^2 - 4*a*c, 0] && GtQ[c/a, 0] && LtQ[b/a, 0]

1410. Int[1/Sqrt[(a_) + (b_.)*(x_)^2 + (c_.)*(x_)^4], x_Symbol] :> With[{q = Rt[b^2 - 4*a*c, 2]}, Simp[Sqrt[-2*a - (
      b - q)*x^2]*(Sqrt[(2*a + (b + q)*x^2)/q]/(2*Sqrt[-a]*Sqrt[a + b*x^2 + c*x^4]))*EllipticF[ArcSin[x/Sqrt[(2*a +
      (b + q)*x^2)/(2*q)]], (b + q)/(2*q)], x] /; IntegerQ[q]] /; FreeQ[{a, b, c}, x] && GtQ[b^2 - 4*a*c, 0] && LtQ[
      a, 0] && GtQ[c, 0]

1411. Int[1/Sqrt[(a_) + (b_.)*(x_)^2 + (c_.)*(x_)^4], x_Symbol] :> With[{q = Rt[b^2 - 4*a*c, 2]}, Simp[Sqrt[(2*a + (
      b - q)*x^2)/(2*a + (b + q)*x^2)]*(Sqrt[(2*a + (b + q)*x^2)/q]/(2*Sqrt[a + b*x^2 + c*x^4]*Sqrt[a/(2*a + (b + q)
      *x^2)]))*EllipticF[ArcSin[x/Sqrt[(2*a + (b + q)*x^2)/(2*q)]], (b + q)/(2*q)], x]] /; FreeQ[{a, b, c}, x] && Gt
      Q[b^2 - 4*a*c, 0] && LtQ[a, 0] && GtQ[c, 0]

1412. Int[1/Sqrt[(a_) + (b_.)*(x_)^2 + (c_.)*(x_)^4], x_Symbol] :> With[{q = Rt[b^2 - 4*a*c, 2]}, Simp[(2*a + (b + q
      )*x^2)*(Sqrt[(2*a + (b - q)*x^2)/(2*a + (b + q)*x^2)]/(2*a*Rt[(b + q)/(2*a), 2]*Sqrt[a + b*x^2 + c*x^4]))*Elli
      pticF[ArcTan[Rt[(b + q)/(2*a), 2]*x], 2*(q/(b + q))], x] /; PosQ[(b + q)/a] &&  !(PosQ[(b - q)/a] && SimplerSq
      rtQ[(b - q)/(2*a), (b + q)/(2*a)])] /; FreeQ[{a, b, c}, x] && GtQ[b^2 - 4*a*c, 0]

1413. Int[1/Sqrt[(a_) + (b_.)*(x_)^2 + (c_.)*(x_)^4], x_Symbol] :> With[{q = Rt[b^2 - 4*a*c, 2]}, Simp[(2*a + (b - q
      )*x^2)*(Sqrt[(2*a + (b + q)*x^2)/(2*a + (b - q)*x^2)]/(2*a*Rt[(b - q)/(2*a), 2]*Sqrt[a + b*x^2 + c*x^4]))*Elli
      pticF[ArcTan[Rt[(b - q)/(2*a), 2]*x], -2*(q/(b - q))], x] /; PosQ[(b - q)/a]] /; FreeQ[{a, b, c}, x] && GtQ[b^
      2 - 4*a*c, 0]

1414. Int[1/Sqrt[(a_) + (b_.)*(x_)^2 + (c_.)*(x_)^4], x_Symbol] :> With[{q = Rt[b^2 - 4*a*c, 2]}, Simp[Sqrt[1 + (b +
      q)*(x^2/(2*a))]*(Sqrt[1 + (b - q)*(x^2/(2*a))]/(Rt[-(b + q)/(2*a), 2]*Sqrt[a + b*x^2 + c*x^4]))*EllipticF[Arc
      Sin[Rt[-(b + q)/(2*a), 2]*x], (b - q)/(b + q)], x] /; NegQ[(b + q)/a] &&  !(NegQ[(b - q)/a] && SimplerSqrtQ[-(
      b - q)/(2*a), -(b + q)/(2*a)])] /; FreeQ[{a, b, c}, x] && GtQ[b^2 - 4*a*c, 0]

1415. Int[1/Sqrt[(a_) + (b_.)*(x_)^2 + (c_.)*(x_)^4], x_Symbol] :> With[{q = Rt[b^2 - 4*a*c, 2]}, Simp[Sqrt[1 + (b -
      q)*(x^2/(2*a))]*(Sqrt[1 + (b + q)*(x^2/(2*a))]/(Rt[-(b - q)/(2*a), 2]*Sqrt[a + b*x^2 + c*x^4]))*EllipticF[Arc
      Sin[Rt[-(b - q)/(2*a), 2]*x], (b + q)/(b - q)], x] /; NegQ[(b - q)/a]] /; FreeQ[{a, b, c}, x] && GtQ[b^2 - 4*a
      *c, 0]

1416. Int[1/Sqrt[(a_) + (b_.)*(x_)^2 + (c_.)*(x_)^4], x_Symbol] :> With[{q = Rt[c/a, 4]}, Simp[(1 + q^2*x^2)*(Sqrt[(
      a + b*x^2 + c*x^4)/(a*(1 + q^2*x^2)^2)]/(2*q*Sqrt[a + b*x^2 + c*x^4]))*EllipticF[2*ArcTan[q*x], 1/2 - b*(q^2/(
      4*c))], x]] /; FreeQ[{a, b, c}, x] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] && PosQ[c/a]

1417. Int[1/Sqrt[(a_) + (b_.)*(x_)^2 + (c_.)*(x_)^4], x_Symbol] :> With[{q = Rt[b^2 - 4*a*c, 2]}, Simp[Sqrt[1 + 2*c*
      (x^2/(b - q))]*(Sqrt[1 + 2*c*(x^2/(b + q))]/Sqrt[a + b*x^2 + c*x^4])   Int[1/(Sqrt[1 + 2*c*(x^2/(b - q))]*Sqrt
      [1 + 2*c*(x^2/(b + q))]), x], x]] /; FreeQ[{a, b, c}, x] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] && NegQ[c/a]

1418. Int[((a_) + (b_.)*(x_)^2 + (c_.)*(x_)^4)^(p_), x_Symbol] :> With[{q = Rt[b^2 - 4*a*c, 2]}, Simp[a^IntPart[p]*(
      (a + b*x^2 + c*x^4)^FracPart[p]/((1 + 2*c*(x^2/(b + q)))^FracPart[p]*(1 + 2*c*(x^2/(b - q)))^FracPart[p]))   I
      nt[(1 + 2*c*(x^2/(b + q)))^p*(1 + 2*c*(x^2/(b - q)))^p, x], x]] /; FreeQ[{a, b, c, p}, x] && NeQ[b^2 - 4*a*c,
      0]

1419. Int[((d_.)*(x_))^(m_.)*((b_.)*(x_)^2 + (c_.)*(x_)^4)^(p_), x_Symbol] :> Simp[1/d^(2*p)   Int[(d*x)^(m + 2*p)*(
      b + c*x^2)^p, x], x] /; FreeQ[{b, c, d, m}, x] && IntegerQ[p]

1420. Int[((d_.)*(x_))^(m_)*((b_.)*(x_)^2 + (c_.)*(x_)^4)^(p_), x_Symbol] :> Simp[d^3*(d*x)^(m - 3)*((b*x^2 + c*x^4)
      ^(p + 1)/(2*c*(p + 1))), x] /; FreeQ[{b, c, d, m, p}, x] &&  !IntegerQ[p] && EqQ[m + 2*p - 1, 0]

1421. Int[((d_.)*(x_))^(m_)*((b_.)*(x_)^2 + (c_.)*(x_)^4)^(p_), x_Symbol] :> Simp[d^3*(d*x)^(m - 3)*((b*x^2 + c*x^4)
      ^(p + 1)/(c*(m + 4*p + 1))), x] - Simp[b*d^2*((m + 2*p - 1)/(c*(m + 4*p + 1)))   Int[(d*x)^(m - 2)*(b*x^2 + c*
      x^4)^p, x], x] /; FreeQ[{b, c, d, m, p}, x] &&  !IntegerQ[p] && IGtQ[Simplify[(m + 2*p - 1)/2], 0] && NeQ[m +
      4*p + 1, 0]

1422. Int[((d_.)*(x_))^(m_)*((b_.)*(x_)^2 + (c_.)*(x_)^4)^(p_), x_Symbol] :> Simp[(-d)*(d*x)^(m - 1)*((b*x^2 + c*x^4
      )^(p + 1)/(2*b*(p + 1))), x] /; FreeQ[{b, c, d, m, p}, x] &&  !IntegerQ[p] && EqQ[m + 4*p + 3, 0]

1423. Int[((d_.)*(x_))^(m_)*((b_.)*(x_)^2 + (c_.)*(x_)^4)^(p_), x_Symbol] :> Simp[d*(d*x)^(m - 1)*((b*x^2 + c*x^4)^(
      p + 1)/(b*(m + 2*p + 1))), x] - Simp[c*((m + 4*p + 3)/(b*d^2*(m + 2*p + 1)))   Int[(d*x)^(m + 2)*(b*x^2 + c*x^
      4)^p, x], x] /; FreeQ[{b, c, d, m, p}, x] &&  !IntegerQ[p] && ILtQ[Simplify[(m + 4*p + 3)/2], 0] && NeQ[m + 2*
      p + 1, 0]

1424. Int[(x_)^(m_.)*((b_.)*(x_)^2 + (c_.)*(x_)^4)^(p_), x_Symbol] :> Simp[1/2   Subst[Int[x^((m - 1)/2)*(b*x + c*x^
      2)^p, x], x, x^2], x] /; FreeQ[{b, c, m, p}, x] &&  !IntegerQ[p] && IntegerQ[(m - 1)/2]

1425. Int[((d_.)*(x_))^(m_)*((b_.)*(x_)^2 + (c_.)*(x_)^4)^(p_), x_Symbol] :> Simp[(d*x)^(m + 1)*((b*x^2 + c*x^4)^p/(
      d*(m + 2*p + 1))), x] - Simp[2*c*(p/(d^4*(m + 2*p + 1)))   Int[(d*x)^(m + 4)*(b*x^2 + c*x^4)^(p - 1), x], x] /
      ; FreeQ[{b, c, d, m, p}, x] &&  !IntegerQ[p] && GtQ[p, 0] && LtQ[m + 2*p + 1, 0]

1426. Int[((d_.)*(x_))^(m_)*((b_.)*(x_)^2 + (c_.)*(x_)^4)^(p_), x_Symbol] :> Simp[(d*x)^(m + 1)*((b*x^2 + c*x^4)^p/(
      d*(m + 4*p + 1))), x] + Simp[2*b*(p/(d^2*(m + 4*p + 1)))   Int[(d*x)^(m + 2)*(b*x^2 + c*x^4)^(p - 1), x], x] /
      ; FreeQ[{b, c, d, m, p}, x] &&  !IntegerQ[p] && GtQ[p, 0] && NeQ[m + 4*p + 1, 0]

1427. Int[((d_.)*(x_))^(m_)*((b_.)*(x_)^2 + (c_.)*(x_)^4)^(p_), x_Symbol] :> Simp[d^3*(d*x)^(m - 3)*((b*x^2 + c*x^4)
      ^(p + 1)/(2*c*(p + 1))), x] - Simp[d^4*((m + 2*p - 1)/(2*c*(p + 1)))   Int[(d*x)^(m - 4)*(b*x^2 + c*x^4)^(p +
      1), x], x] /; FreeQ[{b, c, d, m, p}, x] &&  !IntegerQ[p] && LtQ[p, -1] && GtQ[m + 2*p + 1, 2]

1428. Int[((d_.)*(x_))^(m_)*((b_.)*(x_)^2 + (c_.)*(x_)^4)^(p_), x_Symbol] :> Simp[(-d)*(d*x)^(m - 1)*((b*x^2 + c*x^4
      )^(p + 1)/(2*b*(p + 1))), x] + Simp[d^2*((m + 4*p + 3)/(2*b*(p + 1)))   Int[(d*x)^(m - 2)*(b*x^2 + c*x^4)^(p +
      1), x], x] /; FreeQ[{b, c, d, m, p}, x] &&  !IntegerQ[p] && LtQ[p, -1]

1429. Int[((d_.)*(x_))^(m_)*((b_.)*(x_)^2 + (c_.)*(x_)^4)^(p_), x_Symbol] :> Simp[d^3*(d*x)^(m - 3)*((b*x^2 + c*x^4)
      ^(p + 1)/(c*(m + 4*p + 1))), x] - Simp[b*d^2*((m + 2*p - 1)/(c*(m + 4*p + 1)))   Int[(d*x)^(m - 2)*(b*x^2 + c*
      x^4)^p, x], x] /; FreeQ[{b, c, d, m, p}, x] &&  !IntegerQ[p] && GtQ[m + 2*p - 1, 0] && NeQ[m + 4*p + 1, 0]

1430. Int[((d_.)*(x_))^(m_)*((b_.)*(x_)^2 + (c_.)*(x_)^4)^(p_), x_Symbol] :> Simp[d*(d*x)^(m - 1)*((b*x^2 + c*x^4)^(
      p + 1)/(b*(m + 2*p + 1))), x] - Simp[c*((m + 4*p + 3)/(b*d^2*(m + 2*p + 1)))   Int[(d*x)^(m + 2)*(b*x^2 + c*x^
      4)^p, x], x] /; FreeQ[{b, c, d, m, p}, x] &&  !IntegerQ[p] && LtQ[m + 2*p + 1, 0]

1431. Int[((d_.)*(x_))^(m_)*((b_.)*(x_)^2 + (c_.)*(x_)^4)^(p_), x_Symbol] :> Simp[(b*x^2 + c*x^4)^p/((d*x)^(2*p)*(b
      + c*x^2)^p)   Int[(d*x)^(m + 2*p)*(b + c*x^2)^p, x], x] /; FreeQ[{b, c, d, m, p}, x] &&  !IntegerQ[p]

1432. Int[(x_)*((a_) + (b_.)*(x_)^2 + (c_.)*(x_)^4)^(p_), x_Symbol] :> Simp[1/2   Subst[Int[(a + b*x + c*x^2)^p, x],
      x, x^2], x] /; FreeQ[{a, b, c, p}, x]

1433. Int[((d_.)*(x_))^(m_)*((a_) + (b_.)*(x_)^2 + (c_.)*(x_)^4)^(p_.), x_Symbol] :> Int[ExpandIntegrand[(d*x)^m*(a
      + b*x^2 + c*x^4)^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, m}, x] && IGtQ[p, 0] && (EqQ[p, 1] ||  !IntegerQ[(m + 1)/2])

1434. Int[(x_)^(m_)*((a_) + (b_.)*(x_)^2 + (c_.)*(x_)^4)^(p_.), x_Symbol] :> Simp[1/2   Subst[Int[x^((m - 1)/2)*(a +
      b*x + c*x^2)^p, x], x, x^2], x] /; FreeQ[{a, b, c, p}, x] && IntegerQ[(m - 1)/2]

1435. Int[((d_.)*(x_))^(m_)*((a_) + (b_.)*(x_)^2 + (c_.)*(x_)^4)^(p_), x_Symbol] :> With[{k = Denominator[m]}, Simp[
      k/d   Subst[Int[x^(k*(m + 1) - 1)*(a + b*(x^(2*k)/d^2) + c*(x^(4*k)/d^4))^p, x], x, (d*x)^(1/k)], x]] /; FreeQ
      [{a, b, c, d, p}, x] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] && FractionQ[m] && IntegerQ[p]

1436. Int[((d_.)*(x_))^(m_)*((a_) + (b_.)*(x_)^2 + (c_.)*(x_)^4)^(p_), x_Symbol] :> Simp[d*(d*x)^(m - 1)*(a + b*x^2
      + c*x^4)^p*((2*b*p + c*(m + 4*p - 1)*x^2)/(c*(m + 4*p + 1)*(m + 4*p - 1))), x] - Simp[2*p*(d^2/(c*(m + 4*p + 1
      )*(m + 4*p - 1)))   Int[(d*x)^(m - 2)*(a + b*x^2 + c*x^4)^(p - 1)*Simp[a*b*(m - 1) - (2*a*c*(m + 4*p - 1) - b^
      2*(m + 2*p - 1))*x^2, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] && GtQ[p, 0] && GtQ[m, 1] &&
      IntegerQ[2*p] && (IntegerQ[p] || IntegerQ[m])

1437. Int[((d_.)*(x_))^(m_)*((a_) + (b_.)*(x_)^2 + (c_.)*(x_)^4)^(p_), x_Symbol] :> Simp[(d*x)^(m + 1)*((a + b*x^2 +
      c*x^4)^p/(d*(m + 1))), x] - Simp[2*(p/(d^2*(m + 1)))   Int[(d*x)^(m + 2)*(b + 2*c*x^2)*(a + b*x^2 + c*x^4)^(p
      - 1), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] && GtQ[p, 0] && LtQ[m, -1] && IntegerQ[2*p] &&
      (IntegerQ[p] || IntegerQ[m])

1438. Int[((d_.)*(x_))^(m_)*((a_) + (b_.)*(x_)^2 + (c_.)*(x_)^4)^(p_), x_Symbol] :> Simp[(d*x)^(m + 1)*((a + b*x^2 +
      c*x^4)^p/(d*(m + 4*p + 1))), x] + Simp[2*(p/(m + 4*p + 1))   Int[(d*x)^m*(2*a + b*x^2)*(a + b*x^2 + c*x^4)^(p
      - 1), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, m}, x] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] && GtQ[p, 0] && NeQ[m + 4*p + 1, 0] && Integ
      erQ[2*p] && (IntegerQ[p] || IntegerQ[m])

1439. Int[((d_.)*(x_))^(m_)*((a_) + (b_.)*(x_)^2 + (c_.)*(x_)^4)^(p_), x_Symbol] :> Simp[d*(d*x)^(m - 1)*(b + 2*c*x^
      2)*((a + b*x^2 + c*x^4)^(p + 1)/(2*(p + 1)*(b^2 - 4*a*c))), x] - Simp[d^2/(2*(p + 1)*(b^2 - 4*a*c))   Int[(d*x
      )^(m - 2)*(b*(m - 1) + 2*c*(m + 4*p + 5)*x^2)*(a + b*x^2 + c*x^4)^(p + 1), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] &&
      NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] && LtQ[p, -1] && GtQ[m, 1] && LeQ[m, 3] && IntegerQ[2*p] && (IntegerQ[p] || IntegerQ[m])

1440. Int[((d_.)*(x_))^(m_)*((a_) + (b_.)*(x_)^2 + (c_.)*(x_)^4)^(p_), x_Symbol] :> Simp[(-d^3)*(d*x)^(m - 3)*(2*a +
      b*x^2)*((a + b*x^2 + c*x^4)^(p + 1)/(2*(p + 1)*(b^2 - 4*a*c))), x] + Simp[d^4/(2*(p + 1)*(b^2 - 4*a*c))   Int
      [(d*x)^(m - 4)*(2*a*(m - 3) + b*(m + 4*p + 3)*x^2)*(a + b*x^2 + c*x^4)^(p + 1), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d},
      x] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] && LtQ[p, -1] && GtQ[m, 3] && IntegerQ[2*p] && (IntegerQ[p] || IntegerQ[m])

1441. Int[((d_.)*(x_))^(m_)*((a_) + (b_.)*(x_)^2 + (c_.)*(x_)^4)^(p_), x_Symbol] :> Simp[(-(d*x)^(m + 1))*(b^2 - 2*a
      *c + b*c*x^2)*((a + b*x^2 + c*x^4)^(p + 1)/(2*a*d*(p + 1)*(b^2 - 4*a*c))), x] + Simp[1/(2*a*(p + 1)*(b^2 - 4*a
      *c))   Int[(d*x)^m*(a + b*x^2 + c*x^4)^(p + 1)*Simp[b^2*(m + 2*p + 3) - 2*a*c*(m + 4*p + 5) + b*c*(m + 4*p + 7
      )*x^2, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, m}, x] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] && LtQ[p, -1] && IntegerQ[2*p] && (Integ
      erQ[p] || IntegerQ[m])

1442. Int[((d_.)*(x_))^(m_)*((a_) + (b_.)*(x_)^2 + (c_.)*(x_)^4)^(p_), x_Symbol] :> Simp[d^3*(d*x)^(m - 3)*((a + b*x
      ^2 + c*x^4)^(p + 1)/(c*(m + 4*p + 1))), x] - Simp[d^4/(c*(m + 4*p + 1))   Int[(d*x)^(m - 4)*Simp[a*(m - 3) + b
      *(m + 2*p - 1)*x^2, x]*(a + b*x^2 + c*x^4)^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, p}, x] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] && Gt
      Q[m, 3] && NeQ[m + 4*p + 1, 0] && IntegerQ[2*p] && (IntegerQ[p] || IntegerQ[m])

1443. Int[((d_.)*(x_))^(m_)*((a_) + (b_.)*(x_)^2 + (c_.)*(x_)^4)^(p_), x_Symbol] :> Simp[(d*x)^(m + 1)*((a + b*x^2 +
      c*x^4)^(p + 1)/(a*d*(m + 1))), x] - Simp[1/(a*d^2*(m + 1))   Int[(d*x)^(m + 2)*(b*(m + 2*p + 3) + c*(m + 4*p
      + 5)*x^2)*(a + b*x^2 + c*x^4)^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, p}, x] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] && LtQ[m, -1] && I
      ntegerQ[2*p] && (IntegerQ[p] || IntegerQ[m])

1444. Int[((d_.)*(x_))^(m_)/((a_) + (b_.)*(x_)^2 + (c_.)*(x_)^4), x_Symbol] :> Simp[(d*x)^(m + 1)/(a*d*(m + 1)), x]
      - Simp[1/(a*d^2)   Int[(d*x)^(m + 2)*((b + c*x^2)/(a + b*x^2 + c*x^4)), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && Ne
      Q[b^2 - 4*a*c, 0] && LtQ[m, -1]

1445. Int[(x_)^(m_)/((a_) + (b_.)*(x_)^2 + (c_.)*(x_)^4), x_Symbol] :> Int[PolynomialDivide[x^m, a + b*x^2 + c*x^4,
      x], x] /; FreeQ[{a, b, c}, x] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] && IGtQ[m, 5]

1446. Int[((d_.)*(x_))^(m_)/((a_) + (b_.)*(x_)^2 + (c_.)*(x_)^4), x_Symbol] :> Simp[d^3*((d*x)^(m - 3)/(c*(m - 3))),
      x] - Simp[d^4/c   Int[(d*x)^(m - 4)*((a + b*x^2)/(a + b*x^2 + c*x^4)), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && Ne
      Q[b^2 - 4*a*c, 0] && GtQ[m, 3]

1447. Int[(x_)^2/((a_) + (b_.)*(x_)^2 + (c_.)*(x_)^4), x_Symbol] :> With[{q = Rt[a/c, 2]}, Simp[1/2   Int[(q + x^2)/
      (a + b*x^2 + c*x^4), x], x] - Simp[1/2   Int[(q - x^2)/(a + b*x^2 + c*x^4), x], x]] /; FreeQ[{a, b, c}, x] &&
      LtQ[b^2 - 4*a*c, 0] && PosQ[a*c]

1448. Int[(x_)^(m_)/((a_) + (b_.)*(x_)^2 + (c_.)*(x_)^4), x_Symbol] :> With[{q = Rt[a/c, 2]}, With[{r = Rt[2*q - b/c
      , 2]}, -Simp[1/(2*c*r)   Int[x^(m - 3)*((q - r*x)/(q - r*x + x^2)), x], x] + Simp[1/(2*c*r)   Int[x^(m - 3)*((
      q + r*x)/(q + r*x + x^2)), x], x]]] /; FreeQ[{a, b, c}, x] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] && GeQ[m, 3] && LtQ[m, 4] &&
      NegQ[b^2 - 4*a*c]

1449. Int[(x_)^(m_)/((a_) + (b_.)*(x_)^2 + (c_.)*(x_)^4), x_Symbol] :> With[{q = Rt[a/c, 2]}, With[{r = Rt[2*q - b/c
      , 2]}, Simp[1/(2*c*r)   Int[x^(m - 1)/(q - r*x + x^2), x], x] - Simp[1/(2*c*r)   Int[x^(m - 1)/(q + r*x + x^2)
      , x], x]]] /; FreeQ[{a, b, c}, x] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] && GeQ[m, 1] && LtQ[m, 3] && NegQ[b^2 - 4*a*c]

1450. Int[((d_.)*(x_))^(m_)/((a_) + (b_.)*(x_)^2 + (c_.)*(x_)^4), x_Symbol] :> With[{q = Rt[b^2 - 4*a*c, 2]}, Simp[(
      d^2/2)*(b/q + 1)   Int[(d*x)^(m - 2)/(b/2 + q/2 + c*x^2), x], x] - Simp[(d^2/2)*(b/q - 1)   Int[(d*x)^(m - 2)/
      (b/2 - q/2 + c*x^2), x], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] && GeQ[m, 2]

1451. Int[((d_.)*(x_))^(m_)/((a_) + (b_.)*(x_)^2 + (c_.)*(x_)^4), x_Symbol] :> With[{q = Rt[b^2 - 4*a*c, 2]}, Simp[c
      /q   Int[(d*x)^m/(b/2 - q/2 + c*x^2), x], x] - Simp[c/q   Int[(d*x)^m/(b/2 + q/2 + c*x^2), x], x]] /; FreeQ[{a
      , b, c, d, m}, x] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0]

1452. Int[(x_)^2/Sqrt[(a_) + (b_.)*(x_)^2 + (c_.)*(x_)^4], x_Symbol] :> With[{q = Rt[b^2 - 4*a*c, 2]}, Simp[2*Sqrt[-
      c]   Int[x^2/(Sqrt[b + q + 2*c*x^2]*Sqrt[-b + q - 2*c*x^2]), x], x]] /; FreeQ[{a, b, c}, x] && GtQ[b^2 - 4*a*c
      , 0] && LtQ[c, 0]

1453. Int[(x_)^2/Sqrt[(a_) + (b_.)*(x_)^2 + (c_.)*(x_)^4], x_Symbol] :> With[{q = Rt[c/a, 2]}, Simp[1/q   Int[1/Sqrt
      [a + b*x^2 + c*x^4], x], x] - Simp[1/q   Int[(1 - q*x^2)/Sqrt[a + b*x^2 + c*x^4], x], x]] /; FreeQ[{a, b, c},
      x] && GtQ[b^2 - 4*a*c, 0] && GtQ[c/a, 0] && LtQ[b/a, 0]

1454. Int[(x_)^2/Sqrt[(a_) + (b_.)*(x_)^2 + (c_.)*(x_)^4], x_Symbol] :> With[{q = Rt[b^2 - 4*a*c, 2]}, Simp[-(b - q)
      /(2*c)   Int[1/Sqrt[a + b*x^2 + c*x^4], x], x] + Simp[1/(2*c)   Int[(b - q + 2*c*x^2)/Sqrt[a + b*x^2 + c*x^4],
      x], x]] /; FreeQ[{a, b, c}, x] && GtQ[b^2 - 4*a*c, 0] && LtQ[a, 0] && GtQ[c, 0]

1455. Int[(x_)^2/Sqrt[(a_) + (b_.)*(x_)^2 + (c_.)*(x_)^4], x_Symbol] :> With[{q = Rt[b^2 - 4*a*c, 2]}, Simp[x*((b +
      q + 2*c*x^2)/(2*c*Sqrt[a + b*x^2 + c*x^4])), x] - Simp[Rt[(b + q)/(2*a), 2]*(2*a + (b + q)*x^2)*(Sqrt[(2*a + (
      b - q)*x^2)/(2*a + (b + q)*x^2)]/(2*c*Sqrt[a + b*x^2 + c*x^4]))*EllipticE[ArcTan[Rt[(b + q)/(2*a), 2]*x], 2*(q
      /(b + q))], x] /; PosQ[(b + q)/a] &&  !(PosQ[(b - q)/a] && SimplerSqrtQ[(b - q)/(2*a), (b + q)/(2*a)])] /; Fre
      eQ[{a, b, c}, x] && GtQ[b^2 - 4*a*c, 0]

1456. Int[(x_)^2/Sqrt[(a_) + (b_.)*(x_)^2 + (c_.)*(x_)^4], x_Symbol] :> With[{q = Rt[b^2 - 4*a*c, 2]}, Simp[x*((b -
      q + 2*c*x^2)/(2*c*Sqrt[a + b*x^2 + c*x^4])), x] - Simp[Rt[(b - q)/(2*a), 2]*(2*a + (b - q)*x^2)*(Sqrt[(2*a + (
      b + q)*x^2)/(2*a + (b - q)*x^2)]/(2*c*Sqrt[a + b*x^2 + c*x^4]))*EllipticE[ArcTan[Rt[(b - q)/(2*a), 2]*x], -2*(
      q/(b - q))], x] /; PosQ[(b - q)/a]] /; FreeQ[{a, b, c}, x] && GtQ[b^2 - 4*a*c, 0]

1457. Int[(x_)^2/Sqrt[(a_) + (b_.)*(x_)^2 + (c_.)*(x_)^4], x_Symbol] :> With[{q = Rt[b^2 - 4*a*c, 2]}, Simp[-(b + q)
      /(2*c)   Int[1/Sqrt[a + b*x^2 + c*x^4], x], x] + Simp[1/(2*c)   Int[(b + q + 2*c*x^2)/Sqrt[a + b*x^2 + c*x^4],
      x], x] /; NegQ[(b + q)/a] &&  !(NegQ[(b - q)/a] && SimplerSqrtQ[-(b - q)/(2*a), -(b + q)/(2*a)])] /; FreeQ[{a
      , b, c}, x] && GtQ[b^2 - 4*a*c, 0]

1458. Int[(x_)^2/Sqrt[(a_) + (b_.)*(x_)^2 + (c_.)*(x_)^4], x_Symbol] :> With[{q = Rt[b^2 - 4*a*c, 2]}, Simp[-(b - q)
      /(2*c)   Int[1/Sqrt[a + b*x^2 + c*x^4], x], x] + Simp[1/(2*c)   Int[(b - q + 2*c*x^2)/Sqrt[a + b*x^2 + c*x^4],
      x], x] /; NegQ[(b - q)/a]] /; FreeQ[{a, b, c}, x] && GtQ[b^2 - 4*a*c, 0]

1459. Int[(x_)^2/Sqrt[(a_) + (b_.)*(x_)^2 + (c_.)*(x_)^4], x_Symbol] :> With[{q = Rt[c/a, 2]}, Simp[1/q   Int[1/Sqrt
      [a + b*x^2 + c*x^4], x], x] - Simp[1/q   Int[(1 - q*x^2)/Sqrt[a + b*x^2 + c*x^4], x], x]] /; FreeQ[{a, b, c},
      x] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] && PosQ[c/a]

1460. Int[(x_)^2/Sqrt[(a_) + (b_.)*(x_)^2 + (c_.)*(x_)^4], x_Symbol] :> With[{q = Rt[b^2 - 4*a*c, 2]}, Simp[Sqrt[1 +
      2*c*(x^2/(b - q))]*(Sqrt[1 + 2*c*(x^2/(b + q))]/Sqrt[a + b*x^2 + c*x^4])   Int[x^2/(Sqrt[1 + 2*c*(x^2/(b - q)
      )]*Sqrt[1 + 2*c*(x^2/(b + q))]), x], x]] /; FreeQ[{a, b, c}, x] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] && NegQ[c/a]

1461. Int[((d_.)*(x_))^(m_)*((a_) + (b_.)*(x_)^2 + (c_.)*(x_)^4)^(p_), x_Symbol] :> Simp[a^IntPart[p]*((a + b*x^2 +
      c*x^4)^FracPart[p]/((1 + 2*c*(x^2/(b + Rt[b^2 - 4*a*c, 2])))^FracPart[p]*(1 + 2*c*(x^2/(b - Rt[b^2 - 4*a*c, 2]
      )))^FracPart[p]))   Int[(d*x)^m*(1 + 2*c*(x^2/(b + Sqrt[b^2 - 4*a*c])))^p*(1 + 2*c*(x^2/(b - Sqrt[b^2 - 4*a*c]
      )))^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, m, p}, x]

1462. Int[(u_)^(m_.)*((a_.) + (b_.)*(v_)^2 + (c_.)*(v_)^4)^(p_.), x_Symbol] :> Simp[u^m/(Coefficient[v, x, 1]*v^m)
      Subst[Int[x^m*(a + b*x^2 + c*x^(2*2))^p, x], x, v], x] /; FreeQ[{a, b, c, m, p}, x] && LinearPairQ[u, v, x]

1463. Int[((d_) + (e_.)*(x_)^2)/((b_.)*(x_)^2 + (c_.)*(x_)^4)^(3/4), x_Symbol] :> Simp[-2*(c*d - b*e)*((b*x^2 + c*x^
      4)^(1/4)/(b*c*x)), x] + Simp[e/c   Int[(b*x^2 + c*x^4)^(1/4)/x^2, x], x] /; FreeQ[{b, c, d, e}, x]

1464. Int[((d_) + (e_.)*(x_)^2)*((b_.)*(x_)^2 + (c_.)*(x_)^4)^(p_), x_Symbol] :> Simp[e*((b*x^2 + c*x^4)^(p + 1)/(c*
      (4*p + 3)*x)), x] /; FreeQ[{b, c, d, e, p}, x] &&  !IntegerQ[p] && NeQ[4*p + 3, 0] && EqQ[b*e*(2*p + 1) - c*d*
      (4*p + 3), 0]

1465. Int[((d_) + (e_.)*(x_)^2)*((b_.)*(x_)^2 + (c_.)*(x_)^4)^(p_), x_Symbol] :> Simp[e*((b*x^2 + c*x^4)^(p + 1)/(c*
      (4*p + 3)*x)), x] - Simp[(b*e*(2*p + 1) - c*d*(4*p + 3))/(c*(4*p + 3))   Int[(b*x^2 + c*x^4)^p, x], x] /; Free
      Q[{b, c, d, e, p}, x] &&  !IntegerQ[p] && NeQ[4*p + 3, 0] && NeQ[b*e*(2*p + 1) - c*d*(4*p + 3), 0]

1466. Int[((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(q_.)*((b_.)*(x_)^2 + (c_.)*(x_)^4)^(p_), x_Symbol] :> Simp[(b*x^2 + c*x^4)^FracPart
      [p]/(x^(2*FracPart[p])*(b + c*x^2)^FracPart[p])   Int[x^(2*p)*(d + e*x^2)^q*(b + c*x^2)^p, x], x] /; FreeQ[{b,
      c, d, e, p, q}, x] &&  !IntegerQ[p]

1467. Int[((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(q_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^2 + (c_.)*(x_)^4)^(p_.), x_Symbol] :> Int[ExpandIntegrand[(
      d + e*x^2)^q*(a + b*x^2 + c*x^4)^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] && NeQ[c*d^2 -
      b*d*e + a*e^2, 0] && IGtQ[p, 0] && IGtQ[q, -2]

1468. Int[((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(q_.)*((a_) + (c_.)*(x_)^4)^(p_.), x_Symbol] :> Int[ExpandIntegrand[(d + e*x^2)^q*(a
      + c*x^4)^p, x], x] /; FreeQ[{a, c, d, e}, x] && NeQ[c*d^2 + a*e^2, 0] && IGtQ[p, 0] && IGtQ[q, -2]

1469. Int[((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(q_)*((a_) + (b_.)*(x_)^2 + (c_.)*(x_)^4)^(p_.), x_Symbol] :> Simp[a^p*x*((d + e*x^2
      )^(q + 1)/d), x] + Simp[1/d   Int[x^2*(d + e*x^2)^q*(d*PolynomialQuotient[(a + b*x^2 + c*x^4)^p - a^p, x^2, x]
      - e*a^p*(2*q + 3)), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] && NeQ[c*d^2 - b*d*e + a*e^2,
      0] && IGtQ[p, 0] && ILtQ[q + 1/2, 0] && LtQ[4*p + 2*q + 1, 0]

1470. Int[((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(q_)*((a_) + (c_.)*(x_)^4)^(p_.), x_Symbol] :> Simp[a^p*x*((d + e*x^2)^(q + 1)/d), x
      ] + Simp[1/d   Int[x^2*(d + e*x^2)^q*(d*PolynomialQuotient[(a + c*x^4)^p - a^p, x^2, x] - e*a^p*(2*q + 3)), x]
      , x] /; FreeQ[{a, c, d, e}, x] && NeQ[c*d^2 + a*e^2, 0] && IGtQ[p, 0] && ILtQ[q + 1/2, 0] && LtQ[4*p + 2*q + 1
      , 0]

1471. Int[((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(q_)*((a_) + (b_.)*(x_)^2 + (c_.)*(x_)^4)^(p_.), x_Symbol] :> With[{Qx = PolynomialQ
      uotient[(a + b*x^2 + c*x^4)^p, d + e*x^2, x], R = Coeff[PolynomialRemainder[(a + b*x^2 + c*x^4)^p, d + e*x^2,
      x], x, 0]}, Simp[(-R)*x*((d + e*x^2)^(q + 1)/(2*d*(q + 1))), x] + Simp[1/(2*d*(q + 1))   Int[(d + e*x^2)^(q +
      1)*ExpandToSum[2*d*(q + 1)*Qx + R*(2*q + 3), x], x], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] &
      & NeQ[c*d^2 - b*d*e + a*e^2, 0] && IGtQ[p, 0] && LtQ[q, -1]

1472. Int[((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(q_)*((a_) + (c_.)*(x_)^4)^(p_.), x_Symbol] :> With[{Qx = PolynomialQuotient[(a + c*
      x^4)^p, d + e*x^2, x], R = Coeff[PolynomialRemainder[(a + c*x^4)^p, d + e*x^2, x], x, 0]}, Simp[(-R)*x*((d + e
      *x^2)^(q + 1)/(2*d*(q + 1))), x] + Simp[1/(2*d*(q + 1))   Int[(d + e*x^2)^(q + 1)*ExpandToSum[2*d*(q + 1)*Qx +
      R*(2*q + 3), x], x], x]] /; FreeQ[{a, c, d, e}, x] && NeQ[c*d^2 + a*e^2, 0] && IGtQ[p, 0] && LtQ[q, -1]

1473. Int[((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(q_)*((a_) + (b_.)*(x_)^2 + (c_.)*(x_)^4)^(p_.), x_Symbol] :> Simp[c^p*x^(4*p - 1)*(
      (d + e*x^2)^(q + 1)/(e*(4*p + 2*q + 1))), x] + Simp[1/(e*(4*p + 2*q + 1))   Int[(d + e*x^2)^q*ExpandToSum[e*(4
      *p + 2*q + 1)*(a + b*x^2 + c*x^4)^p - d*c^p*(4*p - 1)*x^(4*p - 2) - e*c^p*(4*p + 2*q + 1)*x^(4*p), x], x], x]
      /; FreeQ[{a, b, c, d, e, q}, x] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] && NeQ[c*d^2 - b*d*e + a*e^2, 0] && IGtQ[p, 0] &&  !LtQ
      [q, -1]

1474. Int[((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(q_)*((a_) + (c_.)*(x_)^4)^(p_.), x_Symbol] :> Simp[c^p*x^(4*p - 1)*((d + e*x^2)^(q
      + 1)/(e*(4*p + 2*q + 1))), x] + Simp[1/(e*(4*p + 2*q + 1))   Int[(d + e*x^2)^q*ExpandToSum[e*(4*p + 2*q + 1)*(
      a + c*x^4)^p - d*c^p*(4*p - 1)*x^(4*p - 2) - e*c^p*(4*p + 2*q + 1)*x^(4*p), x], x], x] /; FreeQ[{a, c, d, e, q
      }, x] && NeQ[c*d^2 + a*e^2, 0] && IGtQ[p, 0] &&  !LtQ[q, -1]

1475. Int[((d_) + (e_.)*(x_)^2)/((a_) + (b_.)*(x_)^2 + (c_.)*(x_)^4), x_Symbol] :> With[{q = Rt[2*(d/e) - b/c, 2]},
      Simp[e/(2*c)   Int[1/Simp[d/e + q*x + x^2, x], x], x] + Simp[e/(2*c)   Int[1/Simp[d/e - q*x + x^2, x], x], x]]
      /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] && EqQ[c*d^2 - a*e^2, 0] && (GtQ[2*(d/e) - b/c, 0] || ( !
      LtQ[2*(d/e) - b/c, 0] && EqQ[d - e*Rt[a/c, 2], 0]))

1476. Int[((d_) + (e_.)*(x_)^2)/((a_) + (c_.)*(x_)^4), x_Symbol] :> With[{q = Rt[2*(d/e), 2]}, Simp[e/(2*c)   Int[1/
      Simp[d/e + q*x + x^2, x], x], x] + Simp[e/(2*c)   Int[1/Simp[d/e - q*x + x^2, x], x], x]] /; FreeQ[{a, c, d, e
      }, x] && EqQ[c*d^2 - a*e^2, 0] && PosQ[d*e]

1477. Int[((d_) + (e_.)*(x_)^2)/((a_) + (b_.)*(x_)^2 + (c_.)*(x_)^4), x_Symbol] :> With[{q = Rt[b^2 - 4*a*c, 2]}, Si
      mp[(e/2 + (2*c*d - b*e)/(2*q))   Int[1/(b/2 - q/2 + c*x^2), x], x] + Simp[(e/2 - (2*c*d - b*e)/(2*q))   Int[1/
      (b/2 + q/2 + c*x^2), x], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] && EqQ[c*d^2 - a*e^2, 0] && G
      tQ[b^2 - 4*a*c, 0]

1478. Int[((d_) + (e_.)*(x_)^2)/((a_) + (b_.)*(x_)^2 + (c_.)*(x_)^4), x_Symbol] :> With[{q = Rt[-2*(d/e) - b/c, 2]},
      Simp[e/(2*c*q)   Int[(q - 2*x)/Simp[d/e + q*x - x^2, x], x], x] + Simp[e/(2*c*q)   Int[(q + 2*x)/Simp[d/e - q
      *x - x^2, x], x], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] && EqQ[c*d^2 - a*e^2, 0] &&  !GtQ[b^
      2 - 4*a*c, 0]

1479. Int[((d_) + (e_.)*(x_)^2)/((a_) + (c_.)*(x_)^4), x_Symbol] :> With[{q = Rt[-2*(d/e), 2]}, Simp[e/(2*c*q)   Int
      [(q - 2*x)/Simp[d/e + q*x - x^2, x], x], x] + Simp[e/(2*c*q)   Int[(q + 2*x)/Simp[d/e - q*x - x^2, x], x], x]]
      /; FreeQ[{a, c, d, e}, x] && EqQ[c*d^2 - a*e^2, 0] && NegQ[d*e]

1480. Int[((d_) + (e_.)*(x_)^2)/((a_) + (b_.)*(x_)^2 + (c_.)*(x_)^4), x_Symbol] :> With[{q = Rt[b^2 - 4*a*c, 2]}, Si
      mp[(e/2 + (2*c*d - b*e)/(2*q))   Int[1/(b/2 - q/2 + c*x^2), x], x] + Simp[(e/2 - (2*c*d - b*e)/(2*q))   Int[1/
      (b/2 + q/2 + c*x^2), x], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] && NeQ[c*d^2 - a*e^2, 0] && P
      osQ[b^2 - 4*a*c]

1481. Int[((d_) + (e_.)*(x_)^2)/((a_) + (c_.)*(x_)^4), x_Symbol] :> With[{q = Rt[(-a)*c, 2]}, Simp[(e/2 + c*(d/(2*q)
      ))   Int[1/(-q + c*x^2), x], x] + Simp[(e/2 - c*(d/(2*q)))   Int[1/(q + c*x^2), x], x]] /; FreeQ[{a, c, d, e},
      x] && NeQ[c*d^2 - a*e^2, 0] && PosQ[(-a)*c]

1482. Int[((d_) + (e_.)*(x_)^2)/((a_) + (c_.)*(x_)^4), x_Symbol] :> With[{q = Rt[a*c, 2]}, Simp[(d*q + a*e)/(2*a*c)
      Int[(q + c*x^2)/(a + c*x^4), x], x] + Simp[(d*q - a*e)/(2*a*c)   Int[(q - c*x^2)/(a + c*x^4), x], x]] /; Fre
      eQ[{a, c, d, e}, x] && NeQ[c*d^2 + a*e^2, 0] && NeQ[c*d^2 - a*e^2, 0] && NegQ[(-a)*c]

1483. Int[((d_) + (e_.)*(x_)^2)/((a_) + (b_.)*(x_)^2 + (c_.)*(x_)^4), x_Symbol] :> With[{q = Rt[a/c, 2]}, With[{r =
      Rt[2*q - b/c, 2]}, Simp[1/(2*c*q*r)   Int[(d*r - (d - e*q)*x)/(q - r*x + x^2), x], x] + Simp[1/(2*c*q*r)   Int
      [(d*r + (d - e*q)*x)/(q + r*x + x^2), x], x]]] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] && NeQ[c*d^
      2 - b*d*e + a*e^2, 0] && NegQ[b^2 - 4*a*c]

1484. Int[((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(q_)/((a_) + (b_.)*(x_)^2 + (c_.)*(x_)^4), x_Symbol] :> Int[ExpandIntegrand[(d + e*x
      ^2)^q/(a + b*x^2 + c*x^4), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] && NeQ[c*d^2 - b*d*e + a
      *e^2, 0] && IntegerQ[q]

1485. Int[((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(q_)/((a_) + (c_.)*(x_)^4), x_Symbol] :> Int[ExpandIntegrand[(d + e*x^2)^q/(a + c*x^
      4), x], x] /; FreeQ[{a, c, d, e}, x] && NeQ[c*d^2 + a*e^2, 0] && IntegerQ[q]

1486. Int[((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(q_)/((a_) + (b_.)*(x_)^2 + (c_.)*(x_)^4), x_Symbol] :> Simp[e^2/(c*d^2 - b*d*e + a*
      e^2)   Int[(d + e*x^2)^q, x], x] + Simp[1/(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)   Int[(d + e*x^2)^(q + 1)*((c*d - b*e - c*e*
      x^2)/(a + b*x^2 + c*x^4)), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] && NeQ[c*d^2 - b*d*e + a
      *e^2, 0] &&  !IntegerQ[q] && LtQ[q, -1]

1487. Int[((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(q_)/((a_) + (c_.)*(x_)^4), x_Symbol] :> Simp[e^2/(c*d^2 + a*e^2)   Int[(d + e*x^2)^
      q, x], x] + Simp[c/(c*d^2 + a*e^2)   Int[(d + e*x^2)^(q + 1)*((d - e*x^2)/(a + c*x^4)), x], x] /; FreeQ[{a, c,
      d, e}, x] && NeQ[c*d^2 + a*e^2, 0] &&  !IntegerQ[q] && LtQ[q, -1]

1488. Int[((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(q_)/((a_) + (b_.)*(x_)^2 + (c_.)*(x_)^4), x_Symbol] :> With[{r = Rt[b^2 - 4*a*c, 2]
      }, Simp[2*(c/r)   Int[(d + e*x^2)^q/(b - r + 2*c*x^2), x], x] - Simp[2*(c/r)   Int[(d + e*x^2)^q/(b + r + 2*c*
      x^2), x], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, q}, x] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] && NeQ[c*d^2 - b*d*e + a*e^2, 0] &&  !Int
      egerQ[q]

1489. Int[((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(q_)/((a_) + (c_.)*(x_)^4), x_Symbol] :> With[{r = Rt[(-a)*c, 2]}, Simp[-c/(2*r)   I
      nt[(d + e*x^2)^q/(r - c*x^2), x], x] - Simp[c/(2*r)   Int[(d + e*x^2)^q/(r + c*x^2), x], x]] /; FreeQ[{a, c, d
      , e, q}, x] && NeQ[c*d^2 + a*e^2, 0] &&  !IntegerQ[q]

1490. Int[((d_) + (e_.)*(x_)^2)*((a_) + (b_.)*(x_)^2 + (c_.)*(x_)^4)^(p_), x_Symbol] :> Simp[x*(2*b*e*p + c*d*(4*p +
      3) + c*e*(4*p + 1)*x^2)*((a + b*x^2 + c*x^4)^p/(c*(4*p + 1)*(4*p + 3))), x] + Simp[2*(p/(c*(4*p + 1)*(4*p + 3
      )))   Int[Simp[2*a*c*d*(4*p + 3) - a*b*e + (2*a*c*e*(4*p + 1) + b*c*d*(4*p + 3) - b^2*e*(2*p + 1))*x^2, x]*(a
      + b*x^2 + c*x^4)^(p - 1), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] && NeQ[c*d^2 - b*d*e + a*
      e^2, 0] && GtQ[p, 0] && FractionQ[p] && IntegerQ[2*p]

1491. Int[((d_) + (e_.)*(x_)^2)*((a_) + (c_.)*(x_)^4)^(p_), x_Symbol] :> Simp[x*(d*(4*p + 3) + e*(4*p + 1)*x^2)*((a
      + c*x^4)^p/((4*p + 1)*(4*p + 3))), x] + Simp[2*(p/((4*p + 1)*(4*p + 3)))   Int[Simp[2*a*d*(4*p + 3) + (2*a*e*(
      4*p + 1))*x^2, x]*(a + c*x^4)^(p - 1), x], x] /; FreeQ[{a, c, d, e}, x] && NeQ[c*d^2 + a*e^2, 0] && GtQ[p, 0]
      && FractionQ[p] && IntegerQ[2*p]

1492. Int[((d_) + (e_.)*(x_)^2)*((a_) + (b_.)*(x_)^2 + (c_.)*(x_)^4)^(p_), x_Symbol] :> Simp[x*(a*b*e - d*(b^2 - 2*a
      *c) - c*(b*d - 2*a*e)*x^2)*((a + b*x^2 + c*x^4)^(p + 1)/(2*a*(p + 1)*(b^2 - 4*a*c))), x] + Simp[1/(2*a*(p + 1)
      *(b^2 - 4*a*c))   Int[Simp[(2*p + 3)*d*b^2 - a*b*e - 2*a*c*d*(4*p + 5) + (4*p + 7)*(d*b - 2*a*e)*c*x^2, x]*(a
      + b*x^2 + c*x^4)^(p + 1), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] && NeQ[c*d^2 - b*d*e + a*
      e^2, 0] && LtQ[p, -1] && IntegerQ[2*p]

1493. Int[((d_) + (e_.)*(x_)^2)*((a_) + (c_.)*(x_)^4)^(p_), x_Symbol] :> Simp[(-x)*(d + e*x^2)*((a + c*x^4)^(p + 1)/
      (4*a*(p + 1))), x] + Simp[1/(4*a*(p + 1))   Int[Simp[d*(4*p + 5) + e*(4*p + 7)*x^2, x]*(a + c*x^4)^(p + 1), x]
      , x] /; FreeQ[{a, c, d, e}, x] && NeQ[c*d^2 + a*e^2, 0] && LtQ[p, -1] && IntegerQ[2*p]

1494. Int[((d_) + (e_.)*(x_)^2)/Sqrt[(a_) + (b_.)*(x_)^2 + (c_.)*(x_)^4], x_Symbol] :> With[{q = Rt[b^2 - 4*a*c, 2]}
      , Simp[2*Sqrt[-c]   Int[(d + e*x^2)/(Sqrt[b + q + 2*c*x^2]*Sqrt[-b + q - 2*c*x^2]), x], x]] /; FreeQ[{a, b, c,
      d, e}, x] && GtQ[b^2 - 4*a*c, 0] && LtQ[c, 0]

1495. Int[((d_) + (e_.)*(x_)^2)/Sqrt[(a_) + (c_.)*(x_)^4], x_Symbol] :> With[{q = Rt[(-a)*c, 2]}, Simp[Sqrt[-c]   In
      t[(d + e*x^2)/(Sqrt[q + c*x^2]*Sqrt[q - c*x^2]), x], x]] /; FreeQ[{a, c, d, e}, x] && GtQ[a, 0] && LtQ[c, 0]

1496. Int[((d_) + (e_.)*(x_)^2)/Sqrt[(a_) + (b_.)*(x_)^2 + (c_.)*(x_)^4], x_Symbol] :> With[{q = Rt[c/a, 4]}, Simp[(
      -d)*x*(Sqrt[a + b*x^2 + c*x^4]/(a*(1 + q^2*x^2))), x] + Simp[d*(1 + q^2*x^2)*(Sqrt[(a + b*x^2 + c*x^4)/(a*(1 +
      q^2*x^2)^2)]/(q*Sqrt[a + b*x^2 + c*x^4]))*EllipticE[2*ArcTan[q*x], 1/2 - b*(q^2/(4*c))], x] /; EqQ[e + d*q^2,
      0]] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && GtQ[b^2 - 4*a*c, 0] && GtQ[c/a, 0] && LtQ[b/a, 0]

1497. Int[((d_) + (e_.)*(x_)^2)/Sqrt[(a_) + (b_.)*(x_)^2 + (c_.)*(x_)^4], x_Symbol] :> With[{q = Rt[c/a, 2]}, Simp[(
      e + d*q)/q   Int[1/Sqrt[a + b*x^2 + c*x^4], x], x] - Simp[e/q   Int[(1 - q*x^2)/Sqrt[a + b*x^2 + c*x^4], x], x
      ] /; NeQ[e + d*q, 0]] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && GtQ[b^2 - 4*a*c, 0] && GtQ[c/a, 0] && LtQ[b/a, 0]

1498. Int[((d_) + (e_.)*(x_)^2)/Sqrt[(a_) + (b_.)*(x_)^2 + (c_.)*(x_)^4], x_Symbol] :> With[{q = Rt[b^2 - 4*a*c, 2]}
      , Simp[e*x*((b + q + 2*c*x^2)/(2*c*Sqrt[a + b*x^2 + c*x^4])), x] - Simp[e*q*Sqrt[(2*a + (b - q)*x^2)/(2*a + (b
      + q)*x^2)]*(Sqrt[(2*a + (b + q)*x^2)/q]/(2*c*Sqrt[a + b*x^2 + c*x^4]*Sqrt[a/(2*a + (b + q)*x^2)]))*EllipticE[
      ArcSin[x/Sqrt[(2*a + (b + q)*x^2)/(2*q)]], (b + q)/(2*q)], x] /; EqQ[2*c*d - e*(b - q), 0]] /; FreeQ[{a, b, c,
      d, e}, x] && GtQ[b^2 - 4*a*c, 0] && LtQ[a, 0] && GtQ[c, 0]

1499. Int[((d_) + (e_.)*(x_)^2)/Sqrt[(a_) + (c_.)*(x_)^4], x_Symbol] :> With[{q = Rt[(-a)*c, 2]}, Simp[e*x*((q + c*x
      ^2)/(c*Sqrt[a + c*x^4])), x] - Simp[Sqrt[2]*e*q*Sqrt[-a + q*x^2]*(Sqrt[(a + q*x^2)/q]/(Sqrt[-a]*c*Sqrt[a + c*x
      ^4]))*EllipticE[ArcSin[x/Sqrt[(a + q*x^2)/(2*q)]], 1/2], x] /; EqQ[c*d + e*q, 0] && IntegerQ[q]] /; FreeQ[{a,
      c, d, e}, x] && LtQ[a, 0] && GtQ[c, 0]

1500. Int[((d_) + (e_.)*(x_)^2)/Sqrt[(a_) + (c_.)*(x_)^4], x_Symbol] :> With[{q = Rt[(-a)*c, 2]}, Simp[e*x*((q + c*x
      ^2)/(c*Sqrt[a + c*x^4])), x] - Simp[Sqrt[2]*e*q*Sqrt[(a - q*x^2)/(a + q*x^2)]*(Sqrt[(a + q*x^2)/q]/(c*Sqrt[a +
      c*x^4]*Sqrt[a/(a + q*x^2)]))*EllipticE[ArcSin[x/Sqrt[(a + q*x^2)/(2*q)]], 1/2], x] /; EqQ[c*d + e*q, 0]] /; F
      reeQ[{a, c, d, e}, x] && LtQ[a, 0] && GtQ[c, 0]

1501. Int[((d_) + (e_.)*(x_)^2)/Sqrt[(a_) + (b_.)*(x_)^2 + (c_.)*(x_)^4], x_Symbol] :> With[{q = Rt[b^2 - 4*a*c, 2]}
      , Simp[(2*c*d - e*(b - q))/(2*c)   Int[1/Sqrt[a + b*x^2 + c*x^4], x], x] + Simp[e/(2*c)   Int[(b - q + 2*c*x^2
      )/Sqrt[a + b*x^2 + c*x^4], x], x] /; NeQ[2*c*d - e*(b - q), 0]] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && GtQ[b^2 - 4*a*
      c, 0] && LtQ[a, 0] && GtQ[c, 0]

1502. Int[((d_) + (e_.)*(x_)^2)/Sqrt[(a_) + (c_.)*(x_)^4], x_Symbol] :> With[{q = Rt[(-a)*c, 2]}, Simp[(c*d + e*q)/c
      Int[1/Sqrt[a + c*x^4], x], x] - Simp[e/c   Int[(q - c*x^2)/Sqrt[a + c*x^4], x], x] /; NeQ[c*d + e*q, 0]] /;
      FreeQ[{a, c, d, e}, x] && LtQ[a, 0] && GtQ[c, 0]

1503. Int[((d_) + (e_.)*(x_)^2)/Sqrt[(a_) + (b_.)*(x_)^2 + (c_.)*(x_)^4], x_Symbol] :> With[{q = Rt[b^2 - 4*a*c, 2]}
      , Simp[d   Int[1/Sqrt[a + b*x^2 + c*x^4], x], x] + Simp[e   Int[x^2/Sqrt[a + b*x^2 + c*x^4], x], x] /; PosQ[(b
      + q)/a] || PosQ[(b - q)/a]] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && GtQ[b^2 - 4*a*c, 0]

1504. Int[((d_) + (e_.)*(x_)^2)/Sqrt[(a_) + (c_.)*(x_)^4], x_Symbol] :> Simp[d   Int[1/Sqrt[a + c*x^4], x], x] + Sim
      p[e   Int[x^2/Sqrt[a + c*x^4], x], x] /; FreeQ[{a, c, d, e}, x] && GtQ[(-a)*c, 0]

1505. Int[((d_) + (e_.)*(x_)^2)/Sqrt[(a_) + (b_.)*(x_)^2 + (c_.)*(x_)^4], x_Symbol] :> With[{q = Rt[b^2 - 4*a*c, 2]}
      , Simp[(-a)*e*Rt[-(b + q)/(2*a), 2]*Sqrt[1 + (b + q)*(x^2/(2*a))]*(Sqrt[1 + (b - q)*(x^2/(2*a))]/(c*Sqrt[a + b
      *x^2 + c*x^4]))*EllipticE[ArcSin[Rt[-(b + q)/(2*a), 2]*x], (b - q)/(b + q)], x] /; NegQ[(b + q)/a] && EqQ[2*c*
      d - e*(b + q), 0] &&  !SimplerSqrtQ[-(b - q)/(2*a), -(b + q)/(2*a)]] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && GtQ[b^2 -
      4*a*c, 0]

1506. Int[((d_) + (e_.)*(x_)^2)/Sqrt[(a_) + (b_.)*(x_)^2 + (c_.)*(x_)^4], x_Symbol] :> With[{q = Rt[b^2 - 4*a*c, 2]}
      , Simp[(2*c*d - e*(b + q))/(2*c)   Int[1/Sqrt[a + b*x^2 + c*x^4], x], x] + Simp[e/(2*c)   Int[(b + q + 2*c*x^2
      )/Sqrt[a + b*x^2 + c*x^4], x], x] /; NegQ[(b + q)/a] && NeQ[2*c*d - e*(b + q), 0] &&  !SimplerSqrtQ[-(b - q)/(
      2*a), -(b + q)/(2*a)]] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && GtQ[b^2 - 4*a*c, 0]

1507. Int[((d_) + (e_.)*(x_)^2)/Sqrt[(a_) + (b_.)*(x_)^2 + (c_.)*(x_)^4], x_Symbol] :> With[{q = Rt[b^2 - 4*a*c, 2]}
      , Simp[(-a)*e*Rt[-(b - q)/(2*a), 2]*Sqrt[1 + (b - q)*(x^2/(2*a))]*(Sqrt[1 + (b + q)*(x^2/(2*a))]/(c*Sqrt[a + b
      *x^2 + c*x^4]))*EllipticE[ArcSin[Rt[-(b - q)/(2*a), 2]*x], (b + q)/(b - q)], x] /; NegQ[(b - q)/a] && EqQ[2*c*
      d - e*(b - q), 0]] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && GtQ[b^2 - 4*a*c, 0]

1508. Int[((d_) + (e_.)*(x_)^2)/Sqrt[(a_) + (b_.)*(x_)^2 + (c_.)*(x_)^4], x_Symbol] :> With[{q = Rt[b^2 - 4*a*c, 2]}
      , Simp[(2*c*d - e*(b - q))/(2*c)   Int[1/Sqrt[a + b*x^2 + c*x^4], x], x] + Simp[e/(2*c)   Int[(b - q + 2*c*x^2
      )/Sqrt[a + b*x^2 + c*x^4], x], x] /; NegQ[(b - q)/a] && NeQ[2*c*d - e*(b - q), 0]] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x
      ] && GtQ[b^2 - 4*a*c, 0]

1509. Int[((d_) + (e_.)*(x_)^2)/Sqrt[(a_) + (b_.)*(x_)^2 + (c_.)*(x_)^4], x_Symbol] :> With[{q = Rt[c/a, 4]}, Simp[(
      -d)*x*(Sqrt[a + b*x^2 + c*x^4]/(a*(1 + q^2*x^2))), x] + Simp[d*(1 + q^2*x^2)*(Sqrt[(a + b*x^2 + c*x^4)/(a*(1 +
      q^2*x^2)^2)]/(q*Sqrt[a + b*x^2 + c*x^4]))*EllipticE[2*ArcTan[q*x], 1/2 - b*(q^2/(4*c))], x] /; EqQ[e + d*q^2,
      0]] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] && PosQ[c/a]

1510. Int[((d_) + (e_.)*(x_)^2)/Sqrt[(a_) + (c_.)*(x_)^4], x_Symbol] :> With[{q = Rt[c/a, 4]}, Simp[(-d)*x*(Sqrt[a +
      c*x^4]/(a*(1 + q^2*x^2))), x] + Simp[d*(1 + q^2*x^2)*(Sqrt[(a + c*x^4)/(a*(1 + q^2*x^2)^2)]/(q*Sqrt[a + c*x^4
      ]))*EllipticE[2*ArcTan[q*x], 1/2], x] /; EqQ[e + d*q^2, 0]] /; FreeQ[{a, c, d, e}, x] && PosQ[c/a]

1511. Int[((d_) + (e_.)*(x_)^2)/Sqrt[(a_) + (b_.)*(x_)^2 + (c_.)*(x_)^4], x_Symbol] :> With[{q = Rt[c/a, 2]}, Simp[(
      e + d*q)/q   Int[1/Sqrt[a + b*x^2 + c*x^4], x], x] - Simp[e/q   Int[(1 - q*x^2)/Sqrt[a + b*x^2 + c*x^4], x], x
      ] /; NeQ[e + d*q, 0]] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] && PosQ[c/a]

1512. Int[((d_) + (e_.)*(x_)^2)/Sqrt[(a_) + (c_.)*(x_)^4], x_Symbol] :> With[{q = Rt[c/a, 2]}, Simp[(e + d*q)/q   In
      t[1/Sqrt[a + c*x^4], x], x] - Simp[e/q   Int[(1 - q*x^2)/Sqrt[a + c*x^4], x], x] /; NeQ[e + d*q, 0]] /; FreeQ[
      {a, c, d, e}, x] && PosQ[c/a]

1513. Int[((d_) + (e_.)*(x_)^2)/Sqrt[(a_) + (c_.)*(x_)^4], x_Symbol] :> With[{q = Rt[-c/a, 2]}, Simp[(d*q - e)/q   I
      nt[1/Sqrt[a + c*x^4], x], x] + Simp[e/q   Int[(1 + q*x^2)/Sqrt[a + c*x^4], x], x]] /; FreeQ[{a, c, d, e}, x] &
      & NegQ[c/a] && NeQ[c*d^2 + a*e^2, 0]

1514. Int[((d_) + (e_.)*(x_)^2)/Sqrt[(a_) + (b_.)*(x_)^2 + (c_.)*(x_)^4], x_Symbol] :> With[{q = Rt[b^2 - 4*a*c, 2]}
      , Simp[Sqrt[1 + 2*c*(x^2/(b - q))]*(Sqrt[1 + 2*c*(x^2/(b + q))]/Sqrt[a + b*x^2 + c*x^4])   Int[(d + e*x^2)/(Sq
      rt[1 + 2*c*(x^2/(b - q))]*Sqrt[1 + 2*c*(x^2/(b + q))]), x], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && NeQ[b^2 - 4*a*
      c, 0] && NegQ[c/a]

1515. Int[((d_) + (e_.)*(x_)^2)*((a_) + (b_.)*(x_)^2 + (c_.)*(x_)^4)^(p_), x_Symbol] :> Int[ExpandIntegrand[(d + e*x
      ^2)*(a + b*x^2 + c*x^4)^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] && NeQ[c*d^2 - b*d*e + a
      *e^2, 0]

1516. Int[((d_) + (e_.)*(x_)^2)*((a_) + (c_.)*(x_)^4)^(p_), x_Symbol] :> Int[ExpandIntegrand[(d + e*x^2)*(a + c*x^4)
      ^p, x], x] /; FreeQ[{a, c, d, e}, x] && NeQ[c*d^2 + a*e^2, 0]

1517. Int[((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(q_)*((a_) + (b_.)*(x_)^2 + (c_.)*(x_)^4)^(p_), x_Symbol] :> With[{f = Coeff[Polynom
      ialRemainder[(d + e*x^2)^q, a + b*x^2 + c*x^4, x], x, 0], g = Coeff[PolynomialRemainder[(d + e*x^2)^q, a + b*x
      ^2 + c*x^4, x], x, 2]}, Simp[x*(a + b*x^2 + c*x^4)^(p + 1)*((a*b*g - f*(b^2 - 2*a*c) - c*(b*f - 2*a*g)*x^2)/(2
      *a*(p + 1)*(b^2 - 4*a*c))), x] + Simp[1/(2*a*(p + 1)*(b^2 - 4*a*c))   Int[(a + b*x^2 + c*x^4)^(p + 1)*ExpandTo
      Sum[2*a*(p + 1)*(b^2 - 4*a*c)*PolynomialQuotient[(d + e*x^2)^q, a + b*x^2 + c*x^4, x] + b^2*f*(2*p + 3) - 2*a*
      c*f*(4*p + 5) - a*b*g + c*(4*p + 7)*(b*f - 2*a*g)*x^2, x], x], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && NeQ[b^2 - 4
      *a*c, 0] && NeQ[c*d^2 - b*d*e + a*e^2, 0] && IGtQ[q, 1] && LtQ[p, -1]

1518. Int[((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(q_)*((a_) + (b_.)*(x_)^2 + (c_.)*(x_)^4)^(p_), x_Symbol] :> Simp[e^q*x^(2*q - 3)*((
      a + b*x^2 + c*x^4)^(p + 1)/(c*(4*p + 2*q + 1))), x] + Simp[1/(c*(4*p + 2*q + 1))   Int[(a + b*x^2 + c*x^4)^p*E
      xpandToSum[c*(4*p + 2*q + 1)*(d + e*x^2)^q - a*(2*q - 3)*e^q*x^(2*q - 4) - b*(2*p + 2*q - 1)*e^q*x^(2*q - 2) -
      c*(4*p + 2*q + 1)*e^q*x^(2*q), x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, p}, x] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] && NeQ[c*d^2
      - b*d*e + a*e^2, 0] && IGtQ[q, 1]

1519. Int[((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(q_)*((a_) + (c_.)*(x_)^4)^(p_), x_Symbol] :> Simp[e^q*x^(2*q - 3)*((a + c*x^4)^(p +
      1)/(c*(4*p + 2*q + 1))), x] + Simp[1/(c*(4*p + 2*q + 1))   Int[(a + c*x^4)^p*ExpandToSum[c*(4*p + 2*q + 1)*(d
      + e*x^2)^q - a*(2*q - 3)*e^q*x^(2*q - 4) - c*(4*p + 2*q + 1)*e^q*x^(2*q), x], x], x] /; FreeQ[{a, c, d, e, p}
      , x] && NeQ[c*d^2 + a*e^2, 0] && IGtQ[q, 1]

1520. Int[Sqrt[(a_) + (b_.)*(x_)^2 + (c_.)*(x_)^4]/((d_) + (e_.)*(x_)^2), x_Symbol] :> Simp[-c/e^2   Int[(d - e*x^2)
      /Sqrt[a + b*x^2 + c*x^4], x], x] + Int[(2*a + b*x^2)/((d + e*x^2)*Sqrt[a + b*x^2 + c*x^4]), x] /; FreeQ[{a, b,
      c, d, e}, x] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] && NeQ[c*d^2 - b*d*e + a*e^2, 0] && EqQ[c*d^2 - a*e^2, 0]

1521. Int[Sqrt[(a_) + (c_.)*(x_)^4]/((d_) + (e_.)*(x_)^2), x_Symbol] :> Simp[-c/e^2   Int[(d - e*x^2)/Sqrt[a + c*x^4
      ], x], x] + Simp[2*a   Int[1/((d + e*x^2)*Sqrt[a + c*x^4]), x], x] /; FreeQ[{a, c, d, e}, x] && NeQ[c*d^2 + a*
      e^2, 0] && EqQ[c*d^2 - a*e^2, 0]

1522. Int[Sqrt[(a_) + (b_.)*(x_)^2 + (c_.)*(x_)^4]/((d_) + (e_.)*(x_)^2), x_Symbol] :> With[{q = Rt[b^2 - 4*a*c, 2]}
      , Simp[1/(2*e)   Int[(b - q + 2*c*x^2)/Sqrt[a + b*x^2 + c*x^4], x], x] - Simp[1/(2*e)   Int[(b*d - 2*a*e - d*q
      + (2*c*d - b*e - e*q)*x^2)/((d + e*x^2)*Sqrt[a + b*x^2 + c*x^4]), x], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && GtQ
      [b^2 - 4*a*c, 0] && NeQ[c*d^2 - b*d*e + a*e^2, 0] && NeQ[c*d^2 - a*e^2, 0] && PosQ[c/a]

1523. Int[Sqrt[(a_) + (b_.)*(x_)^2 + (c_.)*(x_)^4]/((d_) + (e_.)*(x_)^2), x_Symbol] :> With[{q = Rt[c/a, 2]}, Simp[(
      c*d^2 - b*d*e + a*e^2)/(e*(e - d*q))   Int[(1 + q*x^2)/((d + e*x^2)*Sqrt[a + b*x^2 + c*x^4]), x], x] - Simp[1/
      (e*(e - d*q))   Int[(c*d - b*e + a*e*q - (c*e - a*d*q^3)*x^2)/Sqrt[a + b*x^2 + c*x^4], x], x]] /; FreeQ[{a, b,
      c, d, e}, x] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] && NeQ[c*d^2 - b*d*e + a*e^2, 0] && NeQ[c*d^2 - a*e^2, 0] && PosQ[c/a]

1524. Int[Sqrt[(a_) + (c_.)*(x_)^4]/((d_) + (e_.)*(x_)^2), x_Symbol] :> With[{q = Rt[c/a, 2]}, Simp[(c*d^2 + a*e^2)/
      (e*(e - d*q))   Int[(1 + q*x^2)/((d + e*x^2)*Sqrt[a + c*x^4]), x], x] - Simp[1/(e*(e - d*q))   Int[(c*d + a*e*
      q - (c*e - a*d*q^3)*x^2)/Sqrt[a + c*x^4], x], x]] /; FreeQ[{a, c, d, e}, x] && NeQ[c*d^2 + a*e^2, 0] && NeQ[c*
      d^2 - a*e^2, 0] && PosQ[c/a]

1525. Int[Sqrt[(a_) + (b_.)*(x_)^2 + (c_.)*(x_)^4]/((d_) + (e_.)*(x_)^2), x_Symbol] :> Simp[(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)/
      e^2   Int[1/((d + e*x^2)*Sqrt[a + b*x^2 + c*x^4]), x], x] - Simp[1/e^2   Int[(c*d - b*e - c*e*x^2)/Sqrt[a + b*
      x^2 + c*x^4], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] && NeQ[c*d^2 - b*d*e + a*e^2, 0] && N
      eQ[c*d^2 - a*e^2, 0] && NegQ[c/a]

1526. Int[Sqrt[(a_) + (c_.)*(x_)^4]/((d_) + (e_.)*(x_)^2), x_Symbol] :> Simp[(c*d^2 + a*e^2)/e^2   Int[1/((d + e*x^2
      )*Sqrt[a + c*x^4]), x], x] - Simp[1/e^2   Int[(c*d - c*e*x^2)/Sqrt[a + c*x^4], x], x] /; FreeQ[{a, c, d, e}, x
      ] && NeQ[c*d^2 + a*e^2, 0] && NeQ[c*d^2 - a*e^2, 0] && NegQ[c/a]

1527. Int[((a_) + (b_.)*(x_)^2 + (c_.)*(x_)^4)^(p_)/((d_) + (e_.)*(x_)^2), x_Symbol] :> Simp[-(e^2)^(-1)   Int[(c*d
      - b*e - c*e*x^2)*(a + b*x^2 + c*x^4)^(p - 1), x], x] + Simp[(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)/e^2   Int[(a + b*x^2 + c*x
      ^4)^(p - 1)/(d + e*x^2), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] && NeQ[c*d^2 - b*d*e + a*e
      ^2, 0] && IGtQ[p - 1/2, 0] && EqQ[c*d^2 - a*e^2, 0]

1528. Int[((a_) + (c_.)*(x_)^4)^(p_)/((d_) + (e_.)*(x_)^2), x_Symbol] :> Simp[-(e^2)^(-1)   Int[(c*d - c*e*x^2)*(a +
      c*x^4)^(p - 1), x], x] + Simp[(c*d^2 + a*e^2)/e^2   Int[(a + c*x^4)^(p - 1)/(d + e*x^2), x], x] /; FreeQ[{a,
      c, d, e}, x] && NeQ[c*d^2 + a*e^2, 0] && IGtQ[p - 1/2, 0] && EqQ[c*d^2 - a*e^2, 0]

1529. Int[((a_) + (b_.)*(x_)^2 + (c_.)*(x_)^4)^(p_)/((d_) + (e_.)*(x_)^2), x_Symbol] :> With[{q = Rt[b^2 - 4*a*c, 2]
      }, Simp[(-(2*c*d - e*(b + q)))*((c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^(p - 1/2)/(4*c*e^(2*p)))   Int[(b - q + 2*c*x^2)/((d +
      e*x^2)*Sqrt[a + b*x^2 + c*x^4]), x], x] + Simp[1/(4*c*e^(2*p))   Int[(1/Sqrt[a + b*x^2 + c*x^4])*ExpandToSum[
      (4*c*e^(2*p)*(a + b*x^2 + c*x^4)^(p + 1/2) + (2*c*d - e*(b + q))*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^(p - 1/2)*(b - q + 2*
      c*x^2))/(d + e*x^2), x], x], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] && NeQ[c*d^2 - b*d*e + a*
      e^2, 0] && IGtQ[p - 1/2, 0] && PosQ[b^2 - 4*a*c] && PosQ[c/a]

1530. Int[((a_) + (b_.)*(x_)^2 + (c_.)*(x_)^4)^(p_)/((d_) + (e_.)*(x_)^2), x_Symbol] :> Simp[-(c*d^2 - b*d*e + a*e^2
      )^(p + 1/2)/(e^(2*p)*(c*d^2 - a*e^2))   Int[(a*d*Rt[c/a, 2] + a*e + (c*d + a*e*Rt[c/a, 2])*x^2)/((d + e*x^2)*S
      qrt[a + b*x^2 + c*x^4]), x], x] + Simp[1/(e^(2*p)*(c*d^2 - a*e^2))   Int[(1/Sqrt[a + b*x^2 + c*x^4])*ExpandToS
      um[(e^(2*p)*(c*d^2 - a*e^2)*(a + b*x^2 + c*x^4)^(p + 1/2) + (c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^(p + 1/2)*(a*d*Rt[c/a, 2]
      + a*e + (c*d + a*e*Rt[c/a, 2])*x^2))/(d + e*x^2), x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && NeQ[b^2 - 4*a*c,
      0] && NeQ[c*d^2 - b*d*e + a*e^2, 0] && IGtQ[p - 1/2, 0] && NeQ[c*d^2 - a*e^2, 0] && PosQ[c/a]

1531. Int[((a_) + (c_.)*(x_)^4)^(p_)/((d_) + (e_.)*(x_)^2), x_Symbol] :> Simp[-(c*d^2 + a*e^2)^(p + 1/2)/(e^(2*p)*(c
      *d^2 - a*e^2))   Int[(a*d*Rt[c/a, 2] + a*e + (c*d + a*e*Rt[c/a, 2])*x^2)/((d + e*x^2)*Sqrt[a + c*x^4]), x], x]
      + Simp[1/(e^(2*p)*(c*d^2 - a*e^2))   Int[(1/Sqrt[a + c*x^4])*ExpandToSum[(e^(2*p)*(c*d^2 - a*e^2)*(a + c*x^4)
      ^(p + 1/2) + (c*d^2 + a*e^2)^(p + 1/2)*(a*d*Rt[c/a, 2] + a*e + (c*d + a*e*Rt[c/a, 2])*x^2))/(d + e*x^2), x], x
      ], x] /; FreeQ[{a, c, d, e}, x] && NeQ[c*d^2 + a*e^2, 0] && IGtQ[p - 1/2, 0] && NeQ[c*d^2 - a*e^2, 0] && PosQ[
      c/a]

1532. Int[((a_) + (b_.)*(x_)^2 + (c_.)*(x_)^4)^(p_)/((d_) + (e_.)*(x_)^2), x_Symbol] :> Simp[(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)
      ^(p + 1/2)/e^(2*p + 1)   Int[1/((d + e*x^2)*Sqrt[a + b*x^2 + c*x^4]), x], x] + Simp[1/e^(2*p + 1)   Int[(1/Sqr
      t[a + b*x^2 + c*x^4])*ExpandToSum[(e^(2*p + 1)*(a + b*x^2 + c*x^4)^(p + 1/2) - (c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^(p + 1/
      2))/(d + e*x^2), x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] && NeQ[c*d^2 - b*d*e + a*e^2,
      0] && IGtQ[p - 1/2, 0] && NeQ[c*d^2 - a*e^2, 0] && NegQ[c/a]

1533. Int[((a_) + (c_.)*(x_)^4)^(p_)/((d_) + (e_.)*(x_)^2), x_Symbol] :> Simp[(c*d^2 + a*e^2)^(p + 1/2)/e^(2*p + 1)
      Int[1/((d + e*x^2)*Sqrt[a + c*x^4]), x], x] + Simp[1/e^(2*p + 1)   Int[(1/Sqrt[a + c*x^4])*ExpandToSum[(e^(2
      *p + 1)*(a + c*x^4)^(p + 1/2) - (c*d^2 + a*e^2)^(p + 1/2))/(d + e*x^2), x], x], x] /; FreeQ[{a, c, d, e}, x] &
      & NeQ[c*d^2 + a*e^2, 0] && IGtQ[p - 1/2, 0] && NeQ[c*d^2 - a*e^2, 0] && NegQ[c/a]

1534. Int[1/(((d_) + (e_.)*(x_)^2)*Sqrt[(a_) + (b_.)*(x_)^2 + (c_.)*(x_)^4]), x_Symbol] :> Simp[1/(2*d)   Int[1/Sqrt
      [a + b*x^2 + c*x^4], x], x] + Simp[1/(2*d)   Int[(d - e*x^2)/((d + e*x^2)*Sqrt[a + b*x^2 + c*x^4]), x], x] /;
      FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] && NeQ[c*d^2 - b*d*e + a*e^2, 0] && EqQ[c*d^2 - a*e^2, 0]

1535. Int[1/(((d_) + (e_.)*(x_)^2)*Sqrt[(a_) + (c_.)*(x_)^4]), x_Symbol] :> Simp[1/(2*d)   Int[1/Sqrt[a + c*x^4], x]
      , x] + Simp[1/(2*d)   Int[(d - e*x^2)/((d + e*x^2)*Sqrt[a + c*x^4]), x], x] /; FreeQ[{a, c, d, e}, x] && NeQ[c
      *d^2 + a*e^2, 0] && EqQ[c*d^2 - a*e^2, 0]

1536. Int[1/(((d_) + (e_.)*(x_)^2)*Sqrt[(a_) + (b_.)*(x_)^2 + (c_.)*(x_)^4]), x_Symbol] :> With[{q = Rt[b^2 - 4*a*c,
      2]}, Simp[2*Sqrt[-c]   Int[1/((d + e*x^2)*Sqrt[b + q + 2*c*x^2]*Sqrt[-b + q - 2*c*x^2]), x], x]] /; FreeQ[{a,
      b, c, d, e}, x] && GtQ[b^2 - 4*a*c, 0] && NeQ[c*d^2 - b*d*e + a*e^2, 0] && LtQ[c, 0]

1537. Int[1/(((d_) + (e_.)*(x_)^2)*Sqrt[(a_) + (c_.)*(x_)^4]), x_Symbol] :> With[{q = Rt[(-a)*c, 2]}, Simp[Sqrt[-c]
      Int[1/((d + e*x^2)*Sqrt[q + c*x^2]*Sqrt[q - c*x^2]), x], x]] /; FreeQ[{a, c, d, e}, x] && NeQ[c*d^2 + a*e^2,
      0] && GtQ[a, 0] && LtQ[c, 0]

1538. Int[1/(((d_) + (e_.)*(x_)^2)*Sqrt[(a_) + (b_.)*(x_)^2 + (c_.)*(x_)^4]), x_Symbol] :> With[{q = Rt[b^2 - 4*a*c,
      2]}, Simp[2*(c/(2*c*d - e*(b - q)))   Int[1/Sqrt[a + b*x^2 + c*x^4], x], x] - Simp[e/(2*c*d - e*(b - q))   In
      t[(b - q + 2*c*x^2)/((d + e*x^2)*Sqrt[a + b*x^2 + c*x^4]), x], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && GtQ[b^2 - 4
      *a*c, 0] && NeQ[c*d^2 - b*d*e + a*e^2, 0] &&  !LtQ[c, 0]

1539. Int[1/(((d_) + (e_.)*(x_)^2)*Sqrt[(a_) + (c_.)*(x_)^4]), x_Symbol] :> With[{q = Rt[(-a)*c, 2]}, Simp[c/(c*d +
      e*q)   Int[1/Sqrt[a + c*x^4], x], x] + Simp[e/(c*d + e*q)   Int[(q - c*x^2)/((d + e*x^2)*Sqrt[a + c*x^4]), x],
      x]] /; FreeQ[{a, c, d, e}, x] && NeQ[c*d^2 + a*e^2, 0] && GtQ[(-a)*c, 0] &&  !LtQ[c, 0]

1540. Int[1/(((d_) + (e_.)*(x_)^2)*Sqrt[(a_) + (b_.)*(x_)^2 + (c_.)*(x_)^4]), x_Symbol] :> With[{q = Rt[c/a, 2]}, Si
      mp[(c*d + a*e*q)/(c*d^2 - a*e^2)   Int[1/Sqrt[a + b*x^2 + c*x^4], x], x] - Simp[(a*e*(e + d*q))/(c*d^2 - a*e^2
      )   Int[(1 + q*x^2)/((d + e*x^2)*Sqrt[a + b*x^2 + c*x^4]), x], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && NeQ[b^2 - 4
      *a*c, 0] && NeQ[c*d^2 - b*d*e + a*e^2, 0] && NeQ[c*d^2 - a*e^2, 0] && PosQ[c/a]

1541. Int[1/(((d_) + (e_.)*(x_)^2)*Sqrt[(a_) + (c_.)*(x_)^4]), x_Symbol] :> With[{q = Rt[c/a, 2]}, Simp[(c*d + a*e*q
      )/(c*d^2 - a*e^2)   Int[1/Sqrt[a + c*x^4], x], x] - Simp[(a*e*(e + d*q))/(c*d^2 - a*e^2)   Int[(1 + q*x^2)/((d
      + e*x^2)*Sqrt[a + c*x^4]), x], x]] /; FreeQ[{a, c, d, e}, x] && NeQ[c*d^2 + a*e^2, 0] && NeQ[c*d^2 - a*e^2, 0
      ] && PosQ[c/a]

1542. Int[1/(((d_) + (e_.)*(x_)^2)*Sqrt[(a_) + (c_.)*(x_)^4]), x_Symbol] :> With[{q = Rt[-c/a, 4]}, Simp[(1/(d*Sqrt[
      a]*q))*EllipticPi[-e/(d*q^2), ArcSin[q*x], -1], x]] /; FreeQ[{a, c, d, e}, x] && NegQ[c/a] && GtQ[a, 0]

1543. Int[1/(((d_) + (e_.)*(x_)^2)*Sqrt[(a_) + (c_.)*(x_)^4]), x_Symbol] :> Simp[Sqrt[1 + c*(x^4/a)]/Sqrt[a + c*x^4]
      Int[1/((d + e*x^2)*Sqrt[1 + c*(x^4/a)]), x], x] /; FreeQ[{a, c, d, e}, x] && NegQ[c/a] &&  !GtQ[a, 0]

1544. Int[1/(((d_) + (e_.)*(x_)^2)*Sqrt[(a_) + (b_.)*(x_)^2 + (c_.)*(x_)^4]), x_Symbol] :> With[{q = Rt[b^2 - 4*a*c,
      2]}, Simp[Sqrt[1 + 2*c*(x^2/(b - q))]*(Sqrt[1 + 2*c*(x^2/(b + q))]/Sqrt[a + b*x^2 + c*x^4])   Int[1/((d + e*x
      ^2)*Sqrt[1 + 2*c*(x^2/(b - q))]*Sqrt[1 + 2*c*(x^2/(b + q))]), x], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && NeQ[b^2
      - 4*a*c, 0] && NeQ[c*d^2 - b*d*e + a*e^2, 0] && NegQ[c/a]

1545. Int[((a_) + (b_.)*(x_)^2 + (c_.)*(x_)^4)^(p_)/((d_) + (e_.)*(x_)^2), x_Symbol] :> Simp[1/(c*d^2 - b*d*e + a*e^
      2)   Int[(c*d - b*e - c*e*x^2)*(a + b*x^2 + c*x^4)^p, x], x] + Simp[e^2/(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)   Int[(a + b*x
      ^2 + c*x^4)^(p + 1)/(d + e*x^2), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] && NeQ[c*d^2 - b*d
      *e + a*e^2, 0] && ILtQ[p + 1/2, 0] && (EqQ[c*d^2 - a*e^2, 0] || NiceSqrtQ[b^2 - 4*a*c])

1546. Int[((a_) + (c_.)*(x_)^4)^(p_)/((d_) + (e_.)*(x_)^2), x_Symbol] :> Simp[1/(c*d^2 + a*e^2)   Int[(c*d - c*e*x^2
      )*(a + c*x^4)^p, x], x] + Simp[e^2/(c*d^2 + a*e^2)   Int[(a + c*x^4)^(p + 1)/(d + e*x^2), x], x] /; FreeQ[{a,
      c, d, e}, x] && NeQ[c*d^2 + a*e^2, 0] && ILtQ[p + 1/2, 0] && EqQ[c*d^2 - a*e^2, 0] && (EqQ[c*d^2 - a*e^2, 0] |
      | NiceSqrtQ[(-a)*c])

1547. Int[((a_) + (b_.)*(x_)^2 + (c_.)*(x_)^4)^(p_)/((d_.) + (e_.)*(x_)^2), x_Symbol] :> Simp[-(c*d^2 - b*d*e + a*e^
      2)^(p + 1/2)/(e^(2*p)*(Rt[c/a, 2]*d - e))   Int[(1 + Rt[c/a, 2]*x^2)/((d + e*x^2)*Sqrt[a + b*x^2 + c*x^4]), x]
      , x] + Simp[(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^(p + 1/2)/(Rt[c/a, 2]*d - e)   Int[(a + b*x^2 + c*x^4)^p*ExpandToSum[((Rt[
      c/a, 2]*d - e)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^(-p - 1/2) + ((1 + Rt[c/a, 2]*x^2)*(a + b*x^2 + c*x^4)^(-p - 1/2))/e^(2
      *p))/(d + e*x^2), x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] && NeQ[c*d^2 - b*d*e + a*e^2,
      0] && ILtQ[p + 1/2, 0] && NeQ[c*d^2 - a*e^2, 0] && PosQ[c/a]

1548. Int[((a_) + (c_.)*(x_)^4)^(p_)/((d_.) + (e_.)*(x_)^2), x_Symbol] :> Simp[-(c*d^2 + a*e^2)^(p + 1/2)/(e^(2*p)*(
      Rt[c/a, 2]*d - e))   Int[(1 + Rt[c/a, 2]*x^2)/((d + e*x^2)*Sqrt[a + c*x^4]), x], x] + Simp[(c*d^2 + a*e^2)^(p
      + 1/2)/(Rt[c/a, 2]*d - e)   Int[(a + c*x^4)^p*ExpandToSum[((Rt[c/a, 2]*d - e)*(c*d^2 + a*e^2)^(-p - 1/2) + ((1
      + Rt[c/a, 2]*x^2)*(a + c*x^4)^(-p - 1/2))/e^(2*p))/(d + e*x^2), x], x], x] /; FreeQ[{a, c, d, e}, x] && NeQ[c
      *d^2 + a*e^2, 0] && ILtQ[p + 1/2, 0] && NeQ[c*d^2 - a*e^2, 0] && PosQ[c/a]

1549. Int[((a_) + (b_.)*(x_)^2 + (c_.)*(x_)^4)^(p_)/((d_.) + (e_.)*(x_)^2), x_Symbol] :> Simp[(c*d^2 - b*d*e + a*e^2
      )^(p + 1/2)/e^(2*p + 1)   Int[1/((d + e*x^2)*Sqrt[a + b*x^2 + c*x^4]), x], x] + Simp[(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^(
      p + 1/2)   Int[(a + b*x^2 + c*x^4)^p*ExpandToSum[((c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^(-p - 1/2) - e^(-2*p - 1)*(a + b*x^2
      + c*x^4)^(-p - 1/2))/(d + e*x^2), x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] && NeQ[c*d^2
      - b*d*e + a*e^2, 0] && ILtQ[p + 1/2, 0] && NeQ[c*d^2 - a*e^2, 0] && NegQ[c/a]

1550. Int[((a_) + (c_.)*(x_)^4)^(p_)/((d_.) + (e_.)*(x_)^2), x_Symbol] :> Simp[(c*d^2 + a*e^2)^(p + 1/2)/e^(2*p + 1)
      Int[1/((d + e*x^2)*Sqrt[a + c*x^4]), x], x] + Simp[(c*d^2 + a*e^2)^(p + 1/2)   Int[(a + c*x^4)^p*ExpandToSu
      m[((c*d^2 + a*e^2)^(-p - 1/2) - e^(-2*p - 1)*(a + c*x^4)^(-p - 1/2))/(d + e*x^2), x], x], x] /; FreeQ[{a, c, d
      , e}, x] && NeQ[c*d^2 + a*e^2, 0] && ILtQ[p + 1/2, 0] && NeQ[c*d^2 - a*e^2, 0] && NegQ[c/a]

1551. Int[((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(q_)/Sqrt[(a_) + (b_.)*(x_)^2 + (c_.)*(x_)^4], x_Symbol] :> Simp[(-e^2)*x*(d + e*x^2
      )^(q + 1)*(Sqrt[a + b*x^2 + c*x^4]/(2*d*(q + 1)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2))), x] + Simp[1/(2*d*(q + 1)*(c*d^2 - b
      *d*e + a*e^2))   Int[((d + e*x^2)^(q + 1)/Sqrt[a + b*x^2 + c*x^4])*Simp[a*e^2*(2*q + 3) + 2*d*(c*d - b*e)*(q +
      1) - 2*e*(c*d*(q + 1) - b*e*(q + 2))*x^2 + c*e^2*(2*q + 5)*x^4, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && Ne
      Q[b^2 - 4*a*c, 0] && NeQ[c*d^2 - b*d*e + a*e^2, 0] && ILtQ[q, -1]

1552. Int[((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(q_)/Sqrt[(a_) + (c_.)*(x_)^4], x_Symbol] :> Simp[(-e^2)*x*(d + e*x^2)^(q + 1)*(Sqrt
      [a + c*x^4]/(2*d*(q + 1)*(c*d^2 + a*e^2))), x] + Simp[1/(2*d*(q + 1)*(c*d^2 + a*e^2))   Int[((d + e*x^2)^(q +
      1)/Sqrt[a + c*x^4])*Simp[a*e^2*(2*q + 3) + 2*c*d^2*(q + 1) - 2*e*c*d*(q + 1)*x^2 + c*e^2*(2*q + 5)*x^4, x], x]
      , x] /; FreeQ[{a, c, d, e}, x] && NeQ[c*d^2 + a*e^2, 0] && ILtQ[q, -1]

1553. Int[Sqrt[(a_) + (b_.)*(x_)^2 + (c_.)*(x_)^4]/((d_) + (e_.)*(x_)^2)^2, x_Symbol] :> With[{q = Rt[e/d, 2]}, Simp
      [c*(d + e*x^2)*(Sqrt[(e^2*(a + b*x^2 + c*x^4))/(c*(d + e*x^2)^2)]/(2*d*e^2*q*Sqrt[a + b*x^2 + c*x^4]))*Ellipti
      cE[2*ArcTan[q*x], (2*c*d - b*e)/(4*c*d)], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] && NeQ[c*d^2
      - b*d*e + a*e^2, 0] && EqQ[c*d^2 - a*e^2, 0] && PosQ[e/d]

1554. Int[((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(q_)*Sqrt[(a_) + (b_.)*(x_)^2 + (c_.)*(x_)^4], x_Symbol] :> Simp[(-x)*(d + e*x^2)^(q
      + 1)*(Sqrt[a + b*x^2 + c*x^4]/(2*d*(q + 1))), x] + Simp[1/(2*d*(q + 1))   Int[(d + e*x^2)^(q + 1)*((a*(2*q +
      3) + 2*b*(q + 2)*x^2 + c*(2*q + 5)*x^4)/Sqrt[a + b*x^2 + c*x^4]), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && NeQ[b
      ^2 - 4*a*c, 0] && NeQ[c*d^2 - b*d*e + a*e^2, 0] && ILtQ[q, -1]

1555. Int[((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(q_)*Sqrt[(a_) + (c_.)*(x_)^4], x_Symbol] :> Simp[(-x)*(d + e*x^2)^(q + 1)*(Sqrt[a +
      c*x^4]/(2*d*(q + 1))), x] + Simp[1/(2*d*(q + 1))   Int[(d + e*x^2)^(q + 1)*((a*(2*q + 3) + c*(2*q + 5)*x^4)/S
      qrt[a + c*x^4]), x], x] /; FreeQ[{a, c, d, e}, x] && NeQ[c*d^2 + a*e^2, 0] && ILtQ[q, -1]

1556. Int[((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(q_)*((a_) + (b_.)*(x_)^2 + (c_.)*(x_)^4)^(p_), x_Symbol] :> Module[{aa, bb, cc}, In
      t[ExpandIntegrand[1/Sqrt[aa + bb*x^2 + cc*x^4], (d + e*x^2)^q*(aa + bb*x^2 + cc*x^4)^(p + 1/2), x] /. {aa -> a
      , bb -> b, cc -> c}, x]] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] && NeQ[c*d^2 - b*d*e + a*e^2, 0]
      && ILtQ[q, 0] && IntegerQ[p + 1/2]

1557. Int[((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(q_)*((a_) + (c_.)*(x_)^4)^(p_), x_Symbol] :> Module[{aa, cc}, Int[ExpandIntegrand[1
      /Sqrt[aa + cc*x^4], (d + e*x^2)^q*(aa + cc*x^4)^(p + 1/2), x] /. {aa -> a, cc -> c}, x]] /; FreeQ[{a, c, d, e}
      , x] && NeQ[c*d^2 + a*e^2, 0] && ILtQ[q, 0] && IntegerQ[p + 1/2]

1558. Int[Sqrt[(d_) + (e_.)*(x_)^2]/Sqrt[(a_) + (b_.)*(x_)^2 + (c_.)*(x_)^4], x_Symbol] :> With[{q = Rt[b^2 - 4*a*c,
      2]}, Simp[Sqrt[1 + 2*c*(x^2/(b - q))]*(Sqrt[1 + 2*c*(x^2/(b + q))]/Sqrt[a + b*x^2 + c*x^4])   Int[Sqrt[d + e*
      x^2]/(Sqrt[1 + 2*c*(x^2/(b - q))]*Sqrt[1 + 2*c*(x^2/(b + q))]), x], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && NeQ[b^
      2 - 4*a*c, 0]

1559. Int[1/(Sqrt[(d_) + (e_.)*(x_)^2]*Sqrt[(a_) + (b_.)*(x_)^2 + (c_.)*(x_)^4]), x_Symbol] :> Simp[(1/(2*Sqrt[a]*Sq
      rt[d]*Rt[-e/d, 2]))*EllipticF[2*ArcSin[Rt[-e/d, 2]*x], b*(d/(4*a*e))], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && EqQ[
      c*d - b*e, 0] && GtQ[a, 0] && GtQ[d, 0]

1560. Int[1/(Sqrt[(d_) + (e_.)*(x_)^2]*Sqrt[(a_) + (b_.)*(x_)^2 + (c_.)*(x_)^4]), x_Symbol] :> Simp[Sqrt[(d + e*x^2)
      /d]*(Sqrt[(a + b*x^2 + c*x^4)/a]/(Sqrt[d + e*x^2]*Sqrt[a + b*x^2 + c*x^4]))   Int[1/(Sqrt[1 + (e/d)*x^2]*Sqrt[
      1 + (b/a)*x^2 + (c/a)*x^4]), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && EqQ[c*d - b*e, 0] &&  !(GtQ[a, 0] && GtQ[d
      , 0])

1561. Int[1/(Sqrt[(d_) + (e_.)*(x_)^2]*Sqrt[(a_) + (b_.)*(x_)^2 + (c_.)*(x_)^4]), x_Symbol] :> Simp[x^3*Sqrt[e + d/x
      ^2]*(Sqrt[c + b/x^2 + a/x^4]/(Sqrt[d + e*x^2]*Sqrt[a + b*x^2 + c*x^4]))   Int[1/(x^3*Sqrt[e + d/x^2]*Sqrt[c +
      b/x^2 + a/x^4]), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] && NeQ[c*d^2 - b*d*e + a*e^2, 0]

1562. Int[1/(Sqrt[(d_) + (e_.)*(x_)^2]*Sqrt[(a_) + (c_.)*(x_)^4]), x_Symbol] :> Simp[x^3*Sqrt[e + d/x^2]*(Sqrt[c + a
      /x^4]/(Sqrt[d + e*x^2]*Sqrt[a + c*x^4]))   Int[1/(x^3*Sqrt[e + d/x^2]*Sqrt[c + a/x^4]), x], x] /; FreeQ[{a, c,
      d, e}, x] && NeQ[c*d^2 + a*e^2, 0]

1563. Int[Sqrt[(a_) + (b_.)*(x_)^2 + (c_.)*(x_)^4]/Sqrt[(d_) + (e_.)*(x_)^2], x_Symbol] :> Simp[(Sqrt[a]/(2*Sqrt[d]*
      Rt[-e/d, 2]))*EllipticE[2*ArcSin[Rt[-e/d, 2]*x], b*(d/(4*a*e))], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && EqQ[c*d -
      b*e, 0] && GtQ[a, 0] && GtQ[d, 0]

1564. Int[Sqrt[(a_) + (b_.)*(x_)^2 + (c_.)*(x_)^4]/Sqrt[(d_) + (e_.)*(x_)^2], x_Symbol] :> Simp[Sqrt[a + b*x^2 + c*x
      ^4]*(Sqrt[(d + e*x^2)/d]/(Sqrt[d + e*x^2]*Sqrt[(a + b*x^2 + c*x^4)/a]))   Int[Sqrt[1 + (b/a)*x^2 + (c/a)*x^4]/
      Sqrt[1 + (e/d)*x^2], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && EqQ[c*d - b*e, 0] &&  !(GtQ[a, 0] && GtQ[d, 0])

1565. Int[Sqrt[(a_) + (b_.)*(x_)^2 + (c_.)*(x_)^4]/Sqrt[(d_) + (e_.)*(x_)^2], x_Symbol] :> Simp[Sqrt[e + d/x^2]*(Sqr
      t[a + b*x^2 + c*x^4]/(x*Sqrt[d + e*x^2]*Sqrt[c + b/x^2 + a/x^4]))   Int[(x*Sqrt[c + b/x^2 + a/x^4])/Sqrt[e + d
      /x^2], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] && NeQ[c*d^2 - b*d*e + a*e^2, 0]

1566. Int[Sqrt[(a_) + (c_.)*(x_)^4]/Sqrt[(d_) + (e_.)*(x_)^2], x_Symbol] :> Simp[Sqrt[e + d/x^2]*(Sqrt[a + c*x^4]/(x
      *Sqrt[d + e*x^2]*Sqrt[c + a/x^4]))   Int[(x*Sqrt[c + a/x^4])/Sqrt[e + d/x^2], x], x] /; FreeQ[{a, c, d, e}, x]
      && NeQ[c*d^2 + a*e^2, 0]

1567. Int[((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(q_)*((a_) + (b_.)*(x_)^2 + (c_.)*(x_)^4)^(p_), x_Symbol] :> Int[ExpandIntegrand[(d
      + e*x^2)^q*(a + b*x^2 + c*x^4)^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, p, q}, x] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] && ((Intege
      rQ[p] && IntegerQ[q]) || IGtQ[p, 0] || IGtQ[q, 0])

1568. Int[((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(q_)*((a_) + (c_.)*(x_)^4)^(p_), x_Symbol] :> Int[ExpandIntegrand[(d + e*x^2)^q*(a +
      c*x^4)^p, x], x] /; FreeQ[{a, c, d, e, p, q}, x] && ((IntegerQ[p] && IntegerQ[q]) || IGtQ[p, 0])

1569. Int[((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(q_)*((a_) + (c_.)*(x_)^4)^(p_), x_Symbol] :> Int[ExpandIntegrand[(a + c*x^4)^p, (d/
      (d^2 - e^2*x^4) - e*(x^2/(d^2 - e^2*x^4)))^(-q), x], x] /; FreeQ[{a, c, d, e, p}, x] && NeQ[c*d^2 + a*e^2, 0]
      &&  !IntegerQ[p] && ILtQ[q, 0]

1570. Int[((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(q_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^2 + (c_.)*(x_)^4)^(p_.), x_Symbol] :> Unintegrable[(d + e*x
      ^2)^q*(a + b*x^2 + c*x^4)^p, x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, p, q}, x]

1571. Int[((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(q_.)*((a_) + (c_.)*(x_)^4)^(p_.), x_Symbol] :> Unintegrable[(d + e*x^2)^q*(a + c*x^
      4)^p, x] /; FreeQ[{a, c, d, e, p, q}, x]

1572. Int[(x_)^(m_.)*((e_.)*(x_)^2)^(q_)*((a_) + (b_.)*(x_)^2 + (c_.)*(x_)^4)^(p_.), x_Symbol] :> Simp[1/(2*e^((m -
      1)/2))   Subst[Int[(e*x)^(q + (m - 1)/2)*(a + b*x + c*x^2)^p, x], x, x^2], x] /; FreeQ[{a, b, c, e, p, q}, x]
      &&  !IntegerQ[q] && IntegerQ[(m - 1)/2]

1573. Int[(x_)^(m_.)*((e_.)*(x_)^2)^(q_)*((a_) + (c_.)*(x_)^4)^(p_.), x_Symbol] :> Simp[1/(2*e^((m - 1)/2))   Subst[
      Int[(e*x)^(q + (m - 1)/2)*(a + c*x^2)^p, x], x, x^2], x] /; FreeQ[{a, c, e, p, q}, x] &&  !IntegerQ[q] && Inte
      gerQ[(m - 1)/2]

1574. Int[((f_.)*(x_))^(m_.)*((e_.)*(x_)^2)^(q_)*((a_) + (b_.)*(x_)^2 + (c_.)*(x_)^4)^(p_.), x_Symbol] :> Simp[e^Int
      Part[q]*((e*x^2)^FracPart[q]/(f^(2*IntPart[q])*(f*x)^(2*FracPart[q])))   Int[(f*x)^(m + 2*q)*(a + b*x^2 + c*x^
      4)^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, e, f, m, p, q}, x] &&  !IntegerQ[q]

1575. Int[((f_.)*(x_))^(m_.)*((e_.)*(x_)^2)^(q_)*((a_) + (c_.)*(x_)^4)^(p_.), x_Symbol] :> Simp[e^IntPart[q]*((e*x^2
      )^FracPart[q]/(f^(2*IntPart[q])*(f*x)^(2*FracPart[q])))   Int[(f*x)^(m + 2*q)*(a + c*x^4)^p, x], x] /; FreeQ[{
      a, c, e, f, m, p, q}, x] &&  !IntegerQ[q]

1576. Int[(x_)*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(q_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^2 + (c_.)*(x_)^4)^(p_.), x_Symbol] :> Simp[1/2   Subst
      [Int[(d + e*x)^q*(a + b*x + c*x^2)^p, x], x, x^2], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, p, q}, x]

1577. Int[(x_)*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(q_.)*((a_) + (c_.)*(x_)^4)^(p_.), x_Symbol] :> Simp[1/2   Subst[Int[(d + e*x)^
      q*(a + c*x^2)^p, x], x, x^2], x] /; FreeQ[{a, c, d, e, p, q}, x]

1578. Int[(x_)^(m_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(q_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^2 + (c_.)*(x_)^4)^(p_.), x_Symbol] :> Simp[1/2
      Subst[Int[x^((m - 1)/2)*(d + e*x)^q*(a + b*x + c*x^2)^p, x], x, x^2], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, p, q}, x] &
      & IntegerQ[(m - 1)/2]

1579. Int[(x_)^(m_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(q_.)*((a_) + (c_.)*(x_)^4)^(p_.), x_Symbol] :> Simp[1/2   Subst[Int[x^((
      m - 1)/2)*(d + e*x)^q*(a + c*x^2)^p, x], x, x^2], x] /; FreeQ[{a, c, d, e, p, q}, x] && IntegerQ[(m + 1)/2]

1580. Int[(x_)^(m_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(q_)*((a_) + (b_.)*(x_)^2 + (c_.)*(x_)^4)^(p_.), x_Symbol] :> Simp[(-d)^(
      m/2 - 1)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^p*x*((d + e*x^2)^(q + 1)/(2*e^(2*p + m/2)*(q + 1))), x] + Simp[1/(2*e^(2*p +
      m/2)*(q + 1))   Int[(d + e*x^2)^(q + 1)*ExpandToSum[Together[(1/(d + e*x^2))*(2*e^(2*p + m/2)*(q + 1)*x^m*(a +
      b*x^2 + c*x^4)^p - (-d)^(m/2 - 1)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^p*(d + e*(2*q + 3)*x^2))], x], x], x] /; FreeQ[{a,
      b, c, d, e}, x] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] && IGtQ[p, 0] && ILtQ[q, -1] && IGtQ[m/2, 0]

1581. Int[(x_)^(m_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(q_)*((a_) + (c_.)*(x_)^4)^(p_.), x_Symbol] :> Simp[(-d)^(m/2 - 1)*(c*d^2
      + a*e^2)^p*x*((d + e*x^2)^(q + 1)/(2*e^(2*p + m/2)*(q + 1))), x] + Simp[1/(2*e^(2*p + m/2)*(q + 1))   Int[(d
      + e*x^2)^(q + 1)*ExpandToSum[Together[(1/(d + e*x^2))*(2*e^(2*p + m/2)*(q + 1)*x^m*(a + c*x^4)^p - (-d)^(m/2 -
      1)*(c*d^2 + a*e^2)^p*(d + e*(2*q + 3)*x^2))], x], x], x] /; FreeQ[{a, c, d, e}, x] && IGtQ[p, 0] && ILtQ[q, -
      1] && IGtQ[m/2, 0]

1582. Int[(x_)^(m_)*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(q_)*((a_) + (b_.)*(x_)^2 + (c_.)*(x_)^4)^(p_.), x_Symbol] :> Simp[(-d)^(m
      /2 - 1)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^p*x*((d + e*x^2)^(q + 1)/(2*e^(2*p + m/2)*(q + 1))), x] + Simp[(-d)^(m/2 - 1)/
      (2*e^(2*p)*(q + 1))   Int[x^m*(d + e*x^2)^(q + 1)*ExpandToSum[Together[(1/(d + e*x^2))*(2*(-d)^(-m/2 + 1)*e^(2
      *p)*(q + 1)*(a + b*x^2 + c*x^4)^p - ((c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^p/(e^(m/2)*x^m))*(d + e*(2*q + 3)*x^2))], x], x],
      x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] && IGtQ[p, 0] && ILtQ[q, -1] && ILtQ[m/2, 0]

1583. Int[(x_)^(m_)*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(q_)*((a_) + (c_.)*(x_)^4)^(p_.), x_Symbol] :> Simp[(-d)^(m/2 - 1)*(c*d^2
      + a*e^2)^p*x*((d + e*x^2)^(q + 1)/(2*e^(2*p + m/2)*(q + 1))), x] + Simp[(-d)^(m/2 - 1)/(2*e^(2*p)*(q + 1))   I
      nt[x^m*(d + e*x^2)^(q + 1)*ExpandToSum[Together[(1/(d + e*x^2))*(2*(-d)^(-m/2 + 1)*e^(2*p)*(q + 1)*(a + c*x^4)
      ^p - ((c*d^2 + a*e^2)^p/(e^(m/2)*x^m))*(d + e*(2*q + 3)*x^2))], x], x], x] /; FreeQ[{a, c, d, e}, x] && IGtQ[p
      , 0] && ILtQ[q, -1] && ILtQ[m/2, 0]

1584. Int[((f_.)*(x_))^(m_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(q_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^2 + (c_.)*(x_)^4)^(p_.), x_Symbol] :> In
      t[ExpandIntegrand[(f*x)^m*(d + e*x^2)^q*(a + b*x^2 + c*x^4)^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m, q}, x] &&
      NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] && IGtQ[p, 0] && IGtQ[q, -2]

1585. Int[((f_.)*(x_))^(m_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(q_.)*((a_) + (c_.)*(x_)^4)^(p_.), x_Symbol] :> Int[ExpandIntegra
      nd[(f*x)^m*(d + e*x^2)^q*(a + c*x^4)^p, x], x] /; FreeQ[{a, c, d, e, f, m, q}, x] && IGtQ[p, 0] && IGtQ[q, -2]

1586. Int[((f_.)*(x_))^(m_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(q_)*((a_) + (b_.)*(x_)^2 + (c_.)*(x_)^4)^(p_.), x_Symbol] :> Wit
      h[{Qx = PolynomialQuotient[(a + b*x^2 + c*x^4)^p, d + e*x^2, x], R = Coeff[PolynomialRemainder[(a + b*x^2 + c*
      x^4)^p, d + e*x^2, x], x, 0]}, Simp[(-R)*(f*x)^(m + 1)*((d + e*x^2)^(q + 1)/(2*d*f*(q + 1))), x] + Simp[f/(2*d
      *(q + 1))   Int[(f*x)^(m - 1)*(d + e*x^2)^(q + 1)*ExpandToSum[2*d*(q + 1)*x*Qx + R*(m + 2*q + 3)*x, x], x], x]
      ] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] && IGtQ[p, 0] && LtQ[q, -1] && GtQ[m, 0]

1587. Int[((f_.)*(x_))^(m_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(q_)*((a_) + (c_.)*(x_)^4)^(p_.), x_Symbol] :> With[{Qx = Polynom
      ialQuotient[(a + c*x^4)^p, d + e*x^2, x], R = Coeff[PolynomialRemainder[(a + c*x^4)^p, d + e*x^2, x], x, 0]},
      Simp[(-R)*(f*x)^(m + 1)*((d + e*x^2)^(q + 1)/(2*d*f*(q + 1))), x] + Simp[f/(2*d*(q + 1))   Int[(f*x)^(m - 1)*(
      d + e*x^2)^(q + 1)*ExpandToSum[2*d*(q + 1)*x*Qx + R*(m + 2*q + 3)*x, x], x], x]] /; FreeQ[{a, c, d, e, f}, x]
      && IGtQ[p, 0] && LtQ[q, -1] && GtQ[m, 0]

1588. Int[((f_.)*(x_))^(m_)*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(q_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^2 + (c_.)*(x_)^4)^(p_.), x_Symbol] :> Wit
      h[{Qx = PolynomialQuotient[(a + b*x^2 + c*x^4)^p, f*x, x], R = PolynomialRemainder[(a + b*x^2 + c*x^4)^p, f*x,
      x]}, Simp[R*(f*x)^(m + 1)*((d + e*x^2)^(q + 1)/(d*f*(m + 1))), x] + Simp[1/(d*f^2*(m + 1))   Int[(f*x)^(m + 2
      )*(d + e*x^2)^q*ExpandToSum[d*f*(m + 1)*(Qx/x) - e*R*(m + 2*q + 3), x], x], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, q}
      , x] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] && IGtQ[p, 0] && LtQ[m, -1]

1589. Int[((f_.)*(x_))^(m_)*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(q_.)*((a_) + (c_.)*(x_)^4)^(p_.), x_Symbol] :> With[{Qx = Polynom
      ialQuotient[(a + c*x^4)^p, f*x, x], R = PolynomialRemainder[(a + c*x^4)^p, f*x, x]}, Simp[R*(f*x)^(m + 1)*((d
      + e*x^2)^(q + 1)/(d*f*(m + 1))), x] + Simp[1/(d*f^2*(m + 1))   Int[(f*x)^(m + 2)*(d + e*x^2)^q*ExpandToSum[d*f
      *(m + 1)*(Qx/x) - e*R*(m + 2*q + 3), x], x], x]] /; FreeQ[{a, c, d, e, f, q}, x] && IGtQ[p, 0] && LtQ[m, -1]

1590. Int[((f_.)*(x_))^(m_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(q_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^2 + (c_.)*(x_)^4)^(p_.), x_Symbol] :> Si
      mp[c^p*(f*x)^(m + 4*p - 1)*((d + e*x^2)^(q + 1)/(e*f^(4*p - 1)*(m + 4*p + 2*q + 1))), x] + Simp[1/(e*(m + 4*p
      + 2*q + 1))   Int[(f*x)^m*(d + e*x^2)^q*ExpandToSum[e*(m + 4*p + 2*q + 1)*((a + b*x^2 + c*x^4)^p - c^p*x^(4*p)
      ) - d*c^p*(m + 4*p - 1)*x^(4*p - 2), x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m, q}, x] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] &
      & IGtQ[p, 0] &&  !IntegerQ[q] && NeQ[m + 4*p + 2*q + 1, 0]

1591. Int[((f_.)*(x_))^(m_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(q_.)*((a_) + (c_.)*(x_)^4)^(p_.), x_Symbol] :> Simp[c^p*(f*x)^(m
      + 4*p - 1)*((d + e*x^2)^(q + 1)/(e*f^(4*p - 1)*(m + 4*p + 2*q + 1))), x] + Simp[1/(e*(m + 4*p + 2*q + 1))   I
      nt[(f*x)^m*(d + e*x^2)^q*ExpandToSum[e*(m + 4*p + 2*q + 1)*((a + c*x^4)^p - c^p*x^(4*p)) - d*c^p*(m + 4*p - 1)
      *x^(4*p - 2), x], x], x] /; FreeQ[{a, c, d, e, f, m, q}, x] && IGtQ[p, 0] &&  !IntegerQ[q] && NeQ[m + 4*p + 2*
      q + 1, 0]

1592. Int[((f_.)*(x_))^(m_)*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(q_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^2 + (c_.)*(x_)^4)^(p_), x_Symbol] :> With
      [{k = Denominator[m]}, Simp[k/f   Subst[Int[x^(k*(m + 1) - 1)*(d + e*(x^(2*k)/f^2))^q*(a + b*(x^(2*k)/f^k) + c
      *(x^(4*k)/f^4))^p, x], x, (f*x)^(1/k)], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, p, q}, x] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] && Fr
      actionQ[m] && IntegerQ[p]

1593. Int[((f_.)*(x_))^(m_)*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(q_.)*((a_) + (c_.)*(x_)^4)^(p_), x_Symbol] :> With[{k = Denominat
      or[m]}, Simp[k/f   Subst[Int[x^(k*(m + 1) - 1)*(d + e*(x^(2*k)/f))^q*(a + c*(x^(4*k)/f))^p, x], x, (f*x)^(1/k)
      ], x]] /; FreeQ[{a, c, d, e, f, p, q}, x] && FractionQ[m] && IntegerQ[p]

1594. Int[((f_.)*(x_))^(m_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^2)*((a_) + (b_.)*(x_)^2 + (c_.)*(x_)^4)^(p_.), x_Symbol] :> Simp[(f*
      x)^(m + 1)*(a + b*x^2 + c*x^4)^p*((d*(m + 4*p + 3) + e*(m + 1)*x^2)/(f*(m + 1)*(m + 4*p + 3))), x] + Simp[2*(p
      /(f^2*(m + 1)*(m + 4*p + 3)))   Int[(f*x)^(m + 2)*(a + b*x^2 + c*x^4)^(p - 1)*Simp[2*a*e*(m + 1) - b*d*(m + 4*
      p + 3) + (b*e*(m + 1) - 2*c*d*(m + 4*p + 3))*x^2, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && NeQ[b^2 - 4*a*
      c, 0] && GtQ[p, 0] && LtQ[m, -1] && m + 4*p + 3 != 0 && IntegerQ[2*p] && (IntegerQ[p] || IntegerQ[m])

1595. Int[((f_.)*(x_))^(m_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^2)*((a_) + (c_.)*(x_)^4)^(p_.), x_Symbol] :> Simp[(f*x)^(m + 1)*(a +
      c*x^4)^p*((d*(m + 4*p + 3) + e*(m + 1)*x^2)/(f*(m + 1)*(m + 4*p + 3))), x] + Simp[4*(p/(f^2*(m + 1)*(m + 4*p
      + 3)))   Int[(f*x)^(m + 2)*(a + c*x^4)^(p - 1)*(a*e*(m + 1) - c*d*(m + 4*p + 3)*x^2), x], x] /; FreeQ[{a, c, d
      , e, f}, x] && GtQ[p, 0] && LtQ[m, -1] && m + 4*p + 3 != 0 && IntegerQ[2*p] && (IntegerQ[p] || IntegerQ[m])

1596. Int[((f_.)*(x_))^(m_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^2)*((a_) + (b_.)*(x_)^2 + (c_.)*(x_)^4)^(p_.), x_Symbol] :> Simp[(f*
      x)^(m + 1)*(a + b*x^2 + c*x^4)^p*((b*e*2*p + c*d*(m + 4*p + 3) + c*e*(4*p + m + 1)*x^2)/(c*f*(4*p + m + 1)*(m
      + 4*p + 3))), x] + Simp[2*(p/(c*(4*p + m + 1)*(m + 4*p + 3)))   Int[(f*x)^m*(a + b*x^2 + c*x^4)^(p - 1)*Simp[2
      *a*c*d*(m + 4*p + 3) - a*b*e*(m + 1) + (2*a*c*e*(4*p + m + 1) + b*c*d*(m + 4*p + 3) - b^2*e*(m + 2*p + 1))*x^2
      , x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m}, x] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] && GtQ[p, 0] && NeQ[4*p + m + 1, 0] &&
      NeQ[m + 4*p + 3, 0] && IntegerQ[2*p] && (IntegerQ[p] || IntegerQ[m])

1597. Int[((f_.)*(x_))^(m_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^2)*((a_) + (c_.)*(x_)^4)^(p_.), x_Symbol] :> Simp[(f*x)^(m + 1)*(a +
      c*x^4)^p*((c*d*(m + 4*p + 3) + c*e*(4*p + m + 1)*x^2)/(c*f*(4*p + m + 1)*(m + 4*p + 3))), x] + Simp[4*a*(p/((
      4*p + m + 1)*(m + 4*p + 3)))   Int[(f*x)^m*(a + c*x^4)^(p - 1)*Simp[d*(m + 4*p + 3) + e*(4*p + m + 1)*x^2, x],
      x], x] /; FreeQ[{a, c, d, e, f, m}, x] && GtQ[p, 0] && NeQ[4*p + m + 1, 0] && NeQ[m + 4*p + 3, 0] && IntegerQ
      [2*p] && (IntegerQ[p] || IntegerQ[m])

1598. Int[((f_.)*(x_))^(m_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^2)*((a_) + (b_.)*(x_)^2 + (c_.)*(x_)^4)^(p_.), x_Symbol] :> Simp[f*(
      f*x)^(m - 1)*(a + b*x^2 + c*x^4)^(p + 1)*((b*d - 2*a*e - (b*e - 2*c*d)*x^2)/(2*(p + 1)*(b^2 - 4*a*c))), x] - S
      imp[f^2/(2*(p + 1)*(b^2 - 4*a*c))   Int[(f*x)^(m - 2)*(a + b*x^2 + c*x^4)^(p + 1)*Simp[(m - 1)*(b*d - 2*a*e) -
      (4*p + 4 + m + 1)*(b*e - 2*c*d)*x^2, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] && LtQ
      [p, -1] && GtQ[m, 1] && IntegerQ[2*p] && (IntegerQ[p] || IntegerQ[m])

1599. Int[((f_.)*(x_))^(m_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^2)*((a_) + (c_.)*(x_)^4)^(p_.), x_Symbol] :> Simp[f*(f*x)^(m - 1)*(a
      + c*x^4)^(p + 1)*((a*e - c*d*x^2)/(4*a*c*(p + 1))), x] - Simp[f^2/(4*a*c*(p + 1))   Int[(f*x)^(m - 2)*(a + c*
      x^4)^(p + 1)*(a*e*(m - 1) - c*d*(4*p + 4 + m + 1)*x^2), x], x] /; FreeQ[{a, c, d, e, f}, x] && LtQ[p, -1] && G
      tQ[m, 1] && IntegerQ[2*p] && (IntegerQ[p] || IntegerQ[m])

1600. Int[((f_.)*(x_))^(m_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^2)*((a_) + (b_.)*(x_)^2 + (c_.)*(x_)^4)^(p_), x_Symbol] :> Simp[(-(f
      *x)^(m + 1))*(a + b*x^2 + c*x^4)^(p + 1)*((d*(b^2 - 2*a*c) - a*b*e + (b*d - 2*a*e)*c*x^2)/(2*a*f*(p + 1)*(b^2
      - 4*a*c))), x] + Simp[1/(2*a*(p + 1)*(b^2 - 4*a*c))   Int[(f*x)^m*(a + b*x^2 + c*x^4)^(p + 1)*Simp[d*(b^2*(m +
      2*(p + 1) + 1) - 2*a*c*(m + 4*(p + 1) + 1)) - a*b*e*(m + 1) + c*(m + 2*(2*p + 3) + 1)*(b*d - 2*a*e)*x^2, x],
      x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m}, x] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] && LtQ[p, -1] && IntegerQ[2*p] && (IntegerQ[p
      ] || IntegerQ[m])

1601. Int[((f_.)*(x_))^(m_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^2)*((a_) + (c_.)*(x_)^4)^(p_), x_Symbol] :> Simp[(-(f*x)^(m + 1))*(a
      + c*x^4)^(p + 1)*((d + e*x^2)/(4*a*f*(p + 1))), x] + Simp[1/(4*a*(p + 1))   Int[(f*x)^m*(a + c*x^4)^(p + 1)*S
      imp[d*(m + 4*(p + 1) + 1) + e*(m + 2*(2*p + 3) + 1)*x^2, x], x], x] /; FreeQ[{a, c, d, e, f, m}, x] && LtQ[p,
      -1] && IntegerQ[2*p] && (IntegerQ[p] || IntegerQ[m])

1602. Int[((f_.)*(x_))^(m_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^2)*((a_) + (b_.)*(x_)^2 + (c_.)*(x_)^4)^(p_), x_Symbol] :> Simp[e*f*
      (f*x)^(m - 1)*((a + b*x^2 + c*x^4)^(p + 1)/(c*(m + 4*p + 3))), x] - Simp[f^2/(c*(m + 4*p + 3))   Int[(f*x)^(m
      - 2)*(a + b*x^2 + c*x^4)^p*Simp[a*e*(m - 1) + (b*e*(m + 2*p + 1) - c*d*(m + 4*p + 3))*x^2, x], x], x] /; FreeQ
      [{a, b, c, d, e, f, p}, x] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] && GtQ[m, 1] && NeQ[m + 4*p + 3, 0] && IntegerQ[2*p] && (Int
      egerQ[p] || IntegerQ[m])

1603. Int[((f_.)*(x_))^(m_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^2)*((a_) + (c_.)*(x_)^4)^(p_), x_Symbol] :> Simp[e*f*(f*x)^(m - 1)*(
      (a + c*x^4)^(p + 1)/(c*(m + 4*p + 3))), x] - Simp[f^2/(c*(m + 4*p + 3))   Int[(f*x)^(m - 2)*(a + c*x^4)^p*(a*e
      *(m - 1) - c*d*(m + 4*p + 3)*x^2), x], x] /; FreeQ[{a, c, d, e, f, p}, x] && GtQ[m, 1] && NeQ[m + 4*p + 3, 0]
      && IntegerQ[2*p] && (IntegerQ[p] || IntegerQ[m])

1604. Int[((f_.)*(x_))^(m_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^2)*((a_) + (b_.)*(x_)^2 + (c_.)*(x_)^4)^(p_), x_Symbol] :> Simp[d*(f
      *x)^(m + 1)*((a + b*x^2 + c*x^4)^(p + 1)/(a*f*(m + 1))), x] + Simp[1/(a*f^2*(m + 1))   Int[(f*x)^(m + 2)*(a +
      b*x^2 + c*x^4)^p*Simp[a*e*(m + 1) - b*d*(m + 2*p + 3) - c*d*(m + 4*p + 5)*x^2, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d
      , e, f, p}, x] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] && LtQ[m, -1] && IntegerQ[2*p] && (IntegerQ[p] || IntegerQ[m])

1605. Int[((f_.)*(x_))^(m_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^2)*((a_) + (c_.)*(x_)^4)^(p_), x_Symbol] :> Simp[d*(f*x)^(m + 1)*((a
      + c*x^4)^(p + 1)/(a*f*(m + 1))), x] + Simp[1/(a*f^2*(m + 1))   Int[(f*x)^(m + 2)*(a + c*x^4)^p*(a*e*(m + 1) -
      c*d*(m + 4*p + 5)*x^2), x], x] /; FreeQ[{a, c, d, e, f, p}, x] && LtQ[m, -1] && IntegerQ[2*p] && (IntegerQ[p]
      || IntegerQ[m])

1606. Int[(((f_.)*(x_))^(m_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^2))/((a_) + (b_.)*(x_)^2 + (c_.)*(x_)^4), x_Symbol] :> With[{r = Rt
      [(c/e)*(2*c*d - b*e), 2]}, Simp[e/2   Int[(f*x)^m/(c*(d/e) - r*x + c*x^2), x], x] + Simp[e/2   Int[(f*x)^m/(c*
      (d/e) + r*x + c*x^2), x], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m}, x] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] && EqQ[c*d^2 - a*e^2,
      0] && GtQ[d/e, 0] && PosQ[(c/e)*(2*c*d - b*e)]

1607. Int[(((f_.)*(x_))^(m_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^2))/((a_) + (c_.)*(x_)^4), x_Symbol] :> With[{r = Rt[2*c^2*(d/e), 2
      ]}, Simp[e/2   Int[(f*x)^m/(c*(d/e) - r*x + c*x^2), x], x] + Simp[e/2   Int[(f*x)^m/(c*(d/e) + r*x + c*x^2), x
      ], x]] /; FreeQ[{a, c, d, e, f, m}, x] && EqQ[c*d^2 - a*e^2, 0] && GtQ[d/e, 0]

1608. Int[(((f_.)*(x_))^(m_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^2))/((a_) + (b_.)*(x_)^2 + (c_.)*(x_)^4), x_Symbol] :> With[{q = Rt
      [b^2 - 4*a*c, 2]}, Simp[(e/2 + (2*c*d - b*e)/(2*q))   Int[(f*x)^m/(b/2 - q/2 + c*x^2), x], x] + Simp[(e/2 - (2
      *c*d - b*e)/(2*q))   Int[(f*x)^m/(b/2 + q/2 + c*x^2), x], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m}, x] && NeQ[b^2 -
      4*a*c, 0]

1609. Int[(((f_.)*(x_))^(m_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^2))/((a_) + (c_.)*(x_)^4), x_Symbol] :> With[{q = Rt[(-a)*c, 2]}, S
      imp[-(e/2 + c*(d/(2*q)))   Int[(f*x)^m/(q - c*x^2), x], x] + Simp[(e/2 - c*(d/(2*q)))   Int[(f*x)^m/(q + c*x^2
      ), x], x]] /; FreeQ[{a, c, d, e, f, m}, x]

1610. Int[(((f_.)*(x_))^(m_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(q_.))/((a_) + (b_.)*(x_)^2 + (c_.)*(x_)^4), x_Symbol] :> Int[Ex
      pandIntegrand[(f*x)^m*((d + e*x^2)^q/(a + b*x^2 + c*x^4)), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m}, x] && NeQ[b^
      2 - 4*a*c, 0] && IntegerQ[q] && IntegerQ[m]

1611. Int[(((f_.)*(x_))^(m_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(q_.))/((a_) + (c_.)*(x_)^4), x_Symbol] :> Int[ExpandIntegrand[(
      f*x)^m*((d + e*x^2)^q/(a + c*x^4)), x], x] /; FreeQ[{a, c, d, e, f, m}, x] && IntegerQ[q] && IntegerQ[m]

1612. Int[(((f_.)*(x_))^(m_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(q_.))/((a_) + (b_.)*(x_)^2 + (c_.)*(x_)^4), x_Symbol] :> Int[Ex
      pandIntegrand[(f*x)^m, (d + e*x^2)^q/(a + b*x^2 + c*x^4), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m}, x] && NeQ[b^2
      - 4*a*c, 0] && IntegerQ[q] &&  !IntegerQ[m]

1613. Int[(((f_.)*(x_))^(m_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(q_.))/((a_) + (c_.)*(x_)^4), x_Symbol] :> Int[ExpandIntegrand[(
      f*x)^m, (d + e*x^2)^q/(a + c*x^4), x], x] /; FreeQ[{a, c, d, e, f, m}, x] && IntegerQ[q] &&  !IntegerQ[m]

1614. Int[(((f_.)*(x_))^(m_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(q_))/((a_) + (b_.)*(x_)^2 + (c_.)*(x_)^4), x_Symbol] :> Simp[f^
      4/c^2   Int[(f*x)^(m - 4)*(c*d - b*e + c*e*x^2)*(d + e*x^2)^(q - 1), x], x] - Simp[f^4/c^2   Int[(f*x)^(m - 4)
      *(d + e*x^2)^(q - 1)*(Simp[a*(c*d - b*e) + (b*c*d - b^2*e + a*c*e)*x^2, x]/(a + b*x^2 + c*x^4)), x], x] /; Fre
      eQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] &&  !IntegerQ[q] && GtQ[q, 0] && GtQ[m, 3]

1615. Int[(((f_.)*(x_))^(m_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(q_))/((a_) + (c_.)*(x_)^4), x_Symbol] :> Simp[f^4/c   Int[(f*x)
      ^(m - 4)*(d + e*x^2)^q, x], x] - Simp[a*(f^4/c)   Int[(f*x)^(m - 4)*((d + e*x^2)^q/(a + c*x^4)), x], x] /; Fre
      eQ[{a, c, d, e, f, q}, x] &&  !IntegerQ[q] && GtQ[m, 3]

1616. Int[(((f_.)*(x_))^(m_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(q_))/((a_) + (b_.)*(x_)^2 + (c_.)*(x_)^4), x_Symbol] :> Simp[e*
      (f^2/c)   Int[(f*x)^(m - 2)*(d + e*x^2)^(q - 1), x], x] - Simp[f^2/c   Int[(f*x)^(m - 2)*(d + e*x^2)^(q - 1)*(
      Simp[a*e - (c*d - b*e)*x^2, x]/(a + b*x^2 + c*x^4)), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && NeQ[b^2 - 4*a*c
      , 0] &&  !IntegerQ[q] && GtQ[q, 0] && GtQ[m, 1] && LeQ[m, 3]

1617. Int[(((f_.)*(x_))^(m_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(q_))/((a_) + (c_.)*(x_)^4), x_Symbol] :> Simp[e*(f^2/c)   Int[(
      f*x)^(m - 2)*(d + e*x^2)^(q - 1), x], x] - Simp[f^2/c   Int[(f*x)^(m - 2)*(d + e*x^2)^(q - 1)*(Simp[a*e - c*d*
      x^2, x]/(a + c*x^4)), x], x] /; FreeQ[{a, c, d, e, f}, x] &&  !IntegerQ[q] && GtQ[q, 0] && GtQ[m, 1] && LeQ[m,
      3]

1618. Int[(((f_.)*(x_))^(m_)*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(q_))/((a_) + (b_.)*(x_)^2 + (c_.)*(x_)^4), x_Symbol] :> Simp[d/a
      Int[(f*x)^m*(d + e*x^2)^(q - 1), x], x] - Simp[1/(a*f^2)   Int[(f*x)^(m + 2)*(d + e*x^2)^(q - 1)*(Simp[b*d
      - a*e + c*d*x^2, x]/(a + b*x^2 + c*x^4)), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] &&  !I
      ntegerQ[q] && GtQ[q, 0] && LtQ[m, 0]

1619. Int[(((f_.)*(x_))^(m_)*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(q_))/((a_) + (c_.)*(x_)^4), x_Symbol] :> Simp[d/a   Int[(f*x)^m*
      (d + e*x^2)^(q - 1), x], x] + Simp[1/(a*f^2)   Int[(f*x)^(m + 2)*(d + e*x^2)^(q - 1)*(Simp[a*e - c*d*x^2, x]/(
      a + c*x^4)), x], x] /; FreeQ[{a, c, d, e, f}, x] &&  !IntegerQ[q] && GtQ[q, 0] && LtQ[m, 0]

1620. Int[(((f_.)*(x_))^(m_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(q_))/((a_) + (b_.)*(x_)^2 + (c_.)*(x_)^4), x_Symbol] :> Simp[d^
      2*(f^4/(c*d^2 - b*d*e + a*e^2))   Int[(f*x)^(m - 4)*(d + e*x^2)^q, x], x] - Simp[f^4/(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)
      Int[(f*x)^(m - 4)*(d + e*x^2)^(q + 1)*(Simp[a*d + (b*d - a*e)*x^2, x]/(a + b*x^2 + c*x^4)), x], x] /; FreeQ[{
      a, b, c, d, e, f}, x] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] &&  !IntegerQ[q] && LtQ[q, -1] && GtQ[m, 3]

1621. Int[(((f_.)*(x_))^(m_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(q_))/((a_) + (c_.)*(x_)^4), x_Symbol] :> Simp[d^2*(f^4/(c*d^2 +
      a*e^2))   Int[(f*x)^(m - 4)*(d + e*x^2)^q, x], x] - Simp[a*(f^4/(c*d^2 + a*e^2))   Int[(f*x)^(m - 4)*(d + e*x
      ^2)^(q + 1)*((d - e*x^2)/(a + c*x^4)), x], x] /; FreeQ[{a, c, d, e, f}, x] &&  !IntegerQ[q] && LtQ[q, -1] && G
      tQ[m, 3]

1622. Int[(((f_.)*(x_))^(m_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(q_))/((a_) + (b_.)*(x_)^2 + (c_.)*(x_)^4), x_Symbol] :> Simp[(-
      d)*e*(f^2/(c*d^2 - b*d*e + a*e^2))   Int[(f*x)^(m - 2)*(d + e*x^2)^q, x], x] + Simp[f^2/(c*d^2 - b*d*e + a*e^2
      )   Int[(f*x)^(m - 2)*(d + e*x^2)^(q + 1)*(Simp[a*e + c*d*x^2, x]/(a + b*x^2 + c*x^4)), x], x] /; FreeQ[{a, b,
      c, d, e, f}, x] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] &&  !IntegerQ[q] && LtQ[q, -1] && GtQ[m, 1] && LeQ[m, 3]

1623. Int[(((f_.)*(x_))^(m_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(q_))/((a_) + (c_.)*(x_)^4), x_Symbol] :> Simp[(-d)*e*(f^2/(c*d^
      2 + a*e^2))   Int[(f*x)^(m - 2)*(d + e*x^2)^q, x], x] + Simp[f^2/(c*d^2 + a*e^2)   Int[(f*x)^(m - 2)*(d + e*x^
      2)^(q + 1)*(Simp[a*e + c*d*x^2, x]/(a + c*x^4)), x], x] /; FreeQ[{a, c, d, e, f}, x] &&  !IntegerQ[q] && LtQ[q
      , -1] && GtQ[m, 1] && LeQ[m, 3]

1624. Int[(((f_.)*(x_))^(m_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(q_))/((a_) + (b_.)*(x_)^2 + (c_.)*(x_)^4), x_Symbol] :> Simp[e^
      2/(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)   Int[(f*x)^m*(d + e*x^2)^q, x], x] + Simp[1/(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)   Int[(f*x)^m*(
      d + e*x^2)^(q + 1)*(Simp[c*d - b*e - c*e*x^2, x]/(a + b*x^2 + c*x^4)), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m},
      x] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] &&  !IntegerQ[q] && LtQ[q, -1]

1625. Int[(((f_.)*(x_))^(m_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(q_))/((a_) + (c_.)*(x_)^4), x_Symbol] :> Simp[e^2/(c*d^2 + a*e^
      2)   Int[(f*x)^m*(d + e*x^2)^q, x], x] + Simp[c/(c*d^2 + a*e^2)   Int[(f*x)^m*(d + e*x^2)^(q + 1)*((d - e*x^2)
      /(a + c*x^4)), x], x] /; FreeQ[{a, c, d, e, f, m}, x] &&  !IntegerQ[q] && LtQ[q, -1]

1626. Int[(((f_.)*(x_))^(m_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(q_))/((a_) + (b_.)*(x_)^2 + (c_.)*(x_)^4), x_Symbol] :> Int[Exp
      andIntegrand[(d + e*x^2)^q, (f*x)^m/(a + b*x^2 + c*x^4), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, q}, x] && NeQ[b^2
      - 4*a*c, 0] &&  !IntegerQ[q] && IntegerQ[m]

1627. Int[(((f_.)*(x_))^(m_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(q_))/((a_) + (c_.)*(x_)^4), x_Symbol] :> Int[ExpandIntegrand[(d
      + e*x^2)^q, (f*x)^m/(a + c*x^4), x], x] /; FreeQ[{a, c, d, e, f, q}, x] &&  !IntegerQ[q] && IntegerQ[m]

1628. Int[(((f_.)*(x_))^(m_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(q_))/((a_) + (b_.)*(x_)^2 + (c_.)*(x_)^4), x_Symbol] :> With[{r
      = Rt[b^2 - 4*a*c, 2]}, Simp[2*(c/r)   Int[(f*x)^m*((d + e*x^2)^q/(b - r + 2*c*x^2)), x], x] - Simp[2*(c/r)
      Int[(f*x)^m*((d + e*x^2)^q/(b + r + 2*c*x^2)), x], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m, q}, x] && NeQ[b^2 - 4*a*
      c, 0]

1629. Int[(((f_.)*(x_))^(m_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(q_))/((a_) + (c_.)*(x_)^4), x_Symbol] :> With[{r = Rt[(-a)*c, 2
      ]}, Simp[-c/(2*r)   Int[(f*x)^m*((d + e*x^2)^q/(r - c*x^2)), x], x] - Simp[c/(2*r)   Int[(f*x)^m*((d + e*x^2)^
      q/(r + c*x^2)), x], x]] /; FreeQ[{a, c, d, e, f, m, q}, x]

1630. Int[((x_)^(m_)*((a_.) + (b_.)*(x_)^2 + (c_.)*(x_)^4)^(p_))/((d_) + (e_.)*(x_)^2), x_Symbol] :> Simp[(-(-d/e)^(
      m/2))*((c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^(p + 1/2)/(e^(2*p)*(c*d^2 - a*e^2)))   Int[(a*d*Rt[c/a, 2] + a*e + (c*d + a*e*R
      t[c/a, 2])*x^2)/((d + e*x^2)*Sqrt[a + b*x^2 + c*x^4]), x], x] + Simp[1/(e^(2*p)*(c*d^2 - a*e^2))   Int[(1/Sqrt
      [a + b*x^2 + c*x^4])*ExpandToSum[(e^(2*p)*(c*d^2 - a*e^2)*x^m*(a + b*x^2 + c*x^4)^(p + 1/2) + (-d/e)^(m/2)*(c*
      d^2 - b*d*e + a*e^2)^(p + 1/2)*(a*d*Rt[c/a, 2] + a*e + (c*d + a*e*Rt[c/a, 2])*x^2))/(d + e*x^2), x], x], x] /;
      FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] && IGtQ[p + 1/2, 0] && IGtQ[m/2, 0] && NeQ[c*d^2 - a*e^2, 0]
      && PosQ[c/a]

1631. Int[((x_)^(m_)*((a_) + (c_.)*(x_)^4)^(p_))/((d_) + (e_.)*(x_)^2), x_Symbol] :> Simp[(-(-d/e)^(m/2))*((c*d^2 +
      a*e^2)^(p + 1/2)/(e^(2*p)*(c*d^2 - a*e^2)))   Int[(a*d*Rt[c/a, 2] + a*e + (c*d + a*e*Rt[c/a, 2])*x^2)/((d + e*
      x^2)*Sqrt[a + c*x^4]), x], x] + Simp[1/(e^(2*p)*(c*d^2 - a*e^2))   Int[(1/Sqrt[a + c*x^4])*ExpandToSum[(e^(2*p
      )*(c*d^2 - a*e^2)*x^m*(a + c*x^4)^(p + 1/2) + (-d/e)^(m/2)*(c*d^2 + a*e^2)^(p + 1/2)*(a*d*Rt[c/a, 2] + a*e + (
      c*d + a*e*Rt[c/a, 2])*x^2))/(d + e*x^2), x], x], x] /; FreeQ[{a, c, d, e}, x] && IGtQ[p + 1/2, 0] && IGtQ[m/2,
      0] && NeQ[c*d^2 - a*e^2, 0] && PosQ[c/a]

1632. Int[((x_)^(m_)*((a_.) + (b_.)*(x_)^2 + (c_.)*(x_)^4)^(p_))/((d_) + (e_.)*(x_)^2), x_Symbol] :> Simp[(-d/e)^(m/
      2)*((c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^(p + 1/2)/e^(2*p + 1))   Int[1/((d + e*x^2)*Sqrt[a + b*x^2 + c*x^4]), x], x] + Sim
      p[1/e^(2*p + 1)   Int[(1/Sqrt[a + b*x^2 + c*x^4])*ExpandToSum[(e^(2*p + 1)*x^m*(a + b*x^2 + c*x^4)^(p + 1/2) -
      (-d/e)^(m/2)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^(p + 1/2))/(d + e*x^2), x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && NeQ[b
      ^2 - 4*a*c, 0] && IGtQ[p + 1/2, 0] && IGtQ[m/2, 0] && NeQ[c*d^2 - a*e^2, 0] && NegQ[c/a]

1633. Int[((x_)^(m_)*((a_) + (c_.)*(x_)^4)^(p_))/((d_) + (e_.)*(x_)^2), x_Symbol] :> Simp[(-d/e)^(m/2)*((c*d^2 + a*e
      ^2)^(p + 1/2)/e^(2*p + 1))   Int[1/((d + e*x^2)*Sqrt[a + c*x^4]), x], x] + Simp[1/e^(2*p + 1)   Int[(1/Sqrt[a
      + c*x^4])*ExpandToSum[(e^(2*p + 1)*x^m*(a + c*x^4)^(p + 1/2) - (-d/e)^(m/2)*(c*d^2 + a*e^2)^(p + 1/2))/(d + e*
      x^2), x], x], x] /; FreeQ[{a, c, d, e}, x] && IGtQ[p + 1/2, 0] && IGtQ[m/2, 0] && NeQ[c*d^2 - a*e^2, 0] && Neg
      Q[c/a]

1634. Int[((x_)^(m_)*((a_.) + (b_.)*(x_)^2 + (c_.)*(x_)^4)^(p_))/((d_) + (e_.)*(x_)^2), x_Symbol] :> Simp[(-(-d/e)^(
      m/2))*((c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^(p + 1/2)/(e^(2*p)*(c*d^2 - a*e^2)))   Int[(a*d*Rt[c/a, 2] + a*e + (c*d + a*e*R
      t[c/a, 2])*x^2)/((d + e*x^2)*Sqrt[a + b*x^2 + c*x^4]), x], x] + Simp[(-d/e)^(m/2)/(e^(2*p)*(c*d^2 - a*e^2))
      Int[(x^m/Sqrt[a + b*x^2 + c*x^4])*ExpandToSum[((e^(2*p)*(c*d^2 - a*e^2)*(a + b*x^2 + c*x^4)^(p + 1/2))/(-d/e)^
      (m/2) + ((a*d*Rt[c/a, 2] + a*e + (c*d + a*e*Rt[c/a, 2])*x^2)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^(p + 1/2))/x^m)/(d + e*x^
      2), x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] && IGtQ[p + 1/2, 0] && ILtQ[m/2, 0] && NeQ[
      c*d^2 - a*e^2, 0] && PosQ[c/a]

1635. Int[((x_)^(m_)*((a_) + (c_.)*(x_)^4)^(p_))/((d_) + (e_.)*(x_)^2), x_Symbol] :> Simp[(-(-d/e)^(m/2))*((c*d^2 +
      a*e^2)^(p + 1/2)/(e^(2*p)*(c*d^2 - a*e^2)))   Int[(a*d*Rt[c/a, 2] + a*e + (c*d + a*e*Rt[c/a, 2])*x^2)/((d + e*
      x^2)*Sqrt[a + c*x^4]), x], x] + Simp[(-d/e)^(m/2)/(e^(2*p)*(c*d^2 - a*e^2))   Int[(x^m/Sqrt[a + c*x^4])*Expand
      ToSum[((e^(2*p)*(c*d^2 - a*e^2)*(a + c*x^4)^(p + 1/2))/(-d/e)^(m/2) + ((a*d*Rt[c/a, 2] + a*e + (c*d + a*e*Rt[c
      /a, 2])*x^2)*(c*d^2 + a*e^2)^(p + 1/2))/x^m)/(d + e*x^2), x], x], x] /; FreeQ[{a, c, d, e}, x] && IGtQ[p + 1/2
      , 0] && ILtQ[m/2, 0] && NeQ[c*d^2 - a*e^2, 0] && PosQ[c/a]

1636. Int[((x_)^(m_)*((a_.) + (b_.)*(x_)^2 + (c_.)*(x_)^4)^(p_))/((d_) + (e_.)*(x_)^2), x_Symbol] :> Simp[(-d/e)^(m/
      2)*((c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^(p + 1/2)/e^(2*p + 1))   Int[1/((d + e*x^2)*Sqrt[a + b*x^2 + c*x^4]), x], x] + Sim
      p[(-d/e)^(m/2)/e^(2*p + 1)   Int[(x^m/Sqrt[a + b*x^2 + c*x^4])*ExpandToSum[((e^(2*p + 1)*(a + b*x^2 + c*x^4)^(
      p + 1/2))/(-d/e)^(m/2) - (c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^(p + 1/2)/x^m)/(d + e*x^2), x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d,
      e}, x] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] && IGtQ[p + 1/2, 0] && ILtQ[m/2, 0] && NeQ[c*d^2 - a*e^2, 0] && NegQ[c/a]

1637. Int[((x_)^(m_)*((a_) + (c_.)*(x_)^4)^(p_))/((d_) + (e_.)*(x_)^2), x_Symbol] :> Simp[(-d/e)^(m/2)*((c*d^2 + a*e
      ^2)^(p + 1/2)/e^(2*p + 1))   Int[1/((d + e*x^2)*Sqrt[a + c*x^4]), x], x] + Simp[(-d/e)^(m/2)/e^(2*p + 1)   Int
      [(x^m/Sqrt[a + c*x^4])*ExpandToSum[((e^(2*p + 1)*(a + c*x^4)^(p + 1/2))/(-d/e)^(m/2) - (c*d^2 + a*e^2)^(p + 1/
      2)/x^m)/(d + e*x^2), x], x], x] /; FreeQ[{a, c, d, e}, x] && IGtQ[p + 1/2, 0] && ILtQ[m/2, 0] && NeQ[c*d^2 - a
      *e^2, 0] && NegQ[c/a]

1638. Int[((x_)^(m_)*((a_.) + (b_.)*(x_)^2 + (c_.)*(x_)^4)^(p_))/((d_) + (e_.)*(x_)^2), x_Symbol] :> Simp[(-(-d/e)^(
      m/2))*((c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^(p + 1/2)/(e^(2*p)*(Rt[c/a, 2]*d - e)))   Int[(1 + Rt[c/a, 2]*x^2)/((d + e*x^2)
      *Sqrt[a + b*x^2 + c*x^4]), x], x] + Simp[(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^(p + 1/2)/(Rt[c/a, 2]*d - e)   Int[(a + b*x^2
      + c*x^4)^p*ExpandToSum[((Rt[c/a, 2]*d - e)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^(-p - 1/2)*x^m + ((-d/e)^(m/2)*(1 + Rt[c/a
      , 2]*x^2)*(a + b*x^2 + c*x^4)^(-p - 1/2))/e^(2*p))/(d + e*x^2), x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && NeQ
      [b^2 - 4*a*c, 0] && ILtQ[p + 1/2, 0] && IGtQ[m/2, 0] && NeQ[c*d^2 - a*e^2, 0] && PosQ[c/a]

1639. Int[((x_)^(m_)*((a_) + (c_.)*(x_)^4)^(p_))/((d_) + (e_.)*(x_)^2), x_Symbol] :> Simp[(-(-d/e)^(m/2))*((c*d^2 +
      a*e^2)^(p + 1/2)/(e^(2*p)*(Rt[c/a, 2]*d - e)))   Int[(1 + Rt[c/a, 2]*x^2)/((d + e*x^2)*Sqrt[a + c*x^4]), x], x
      ] + Simp[(c*d^2 + a*e^2)^(p + 1/2)/(Rt[c/a, 2]*d - e)   Int[(a + c*x^4)^p*ExpandToSum[((Rt[c/a, 2]*d - e)*(c*d
      ^2 + a*e^2)^(-p - 1/2)*x^m + ((-d/e)^(m/2)*(1 + Rt[c/a, 2]*x^2)*(a + c*x^4)^(-p - 1/2))/e^(2*p))/(d + e*x^2),
      x], x], x] /; FreeQ[{a, c, d, e}, x] && ILtQ[p + 1/2, 0] && IGtQ[m/2, 0] && NeQ[c*d^2 - a*e^2, 0] && PosQ[c/a]

1640. Int[((x_)^(m_)*((a_.) + (b_.)*(x_)^2 + (c_.)*(x_)^4)^(p_))/((d_) + (e_.)*(x_)^2), x_Symbol] :> Simp[(-d/e)^(m/
      2)*((c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^(p + 1/2)/e^(2*p + 1))   Int[1/((d + e*x^2)*Sqrt[a + b*x^2 + c*x^4]), x], x] + Sim
      p[(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^(p + 1/2)   Int[(a + b*x^2 + c*x^4)^p*ExpandToSum[((c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^(-p - 1/2
      )*x^m - e^(-2*p - 1)*(-d/e)^(m/2)*(a + b*x^2 + c*x^4)^(-p - 1/2))/(d + e*x^2), x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d
      , e}, x] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] && ILtQ[p + 1/2, 0] && IGtQ[m/2, 0] && NeQ[c*d^2 - a*e^2, 0] && NegQ[c/a]

1641. Int[((x_)^(m_)*((a_) + (c_.)*(x_)^4)^(p_))/((d_) + (e_.)*(x_)^2), x_Symbol] :> Simp[(-d/e)^(m/2)*((c*d^2 + a*e
      ^2)^(p + 1/2)/e^(2*p + 1))   Int[1/((d + e*x^2)*Sqrt[a + c*x^4]), x], x] + Simp[(c*d^2 + a*e^2)^(p + 1/2)   In
      t[(a + c*x^4)^p*ExpandToSum[((c*d^2 + a*e^2)^(-p - 1/2)*x^m - e^(-2*p - 1)*(-d/e)^(m/2)*(a + c*x^4)^(-p - 1/2)
      )/(d + e*x^2), x], x], x] /; FreeQ[{a, c, d, e}, x] && ILtQ[p + 1/2, 0] && IGtQ[m/2, 0] && NeQ[c*d^2 - a*e^2,
      0] && NegQ[c/a]

1642. Int[((x_)^(m_)*((a_.) + (b_.)*(x_)^2 + (c_.)*(x_)^4)^(p_))/((d_) + (e_.)*(x_)^2), x_Symbol] :> Simp[(-(-d/e)^(
      m/2))*((c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^(p + 1/2)/(e^(2*p)*(Rt[c/a, 2]*d - e)))   Int[(1 + Rt[c/a, 2]*x^2)/((d + e*x^2)
      *Sqrt[a + b*x^2 + c*x^4]), x], x] + Simp[(-d/e)^(m/2)*((c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^(p + 1/2)/(Rt[c/a, 2]*d - e))
      Int[x^m*(a + b*x^2 + c*x^4)^p*ExpandToSum[(((Rt[c/a, 2]*d - e)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^(-p - 1/2))/(-d/e)^(m/
      2) + ((1 + Rt[c/a, 2]*x^2)*(a + b*x^2 + c*x^4)^(-p - 1/2))/(e^(2*p)*x^m))/(d + e*x^2), x], x], x] /; FreeQ[{a,
      b, c, d, e}, x] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] && ILtQ[p + 1/2, 0] && ILtQ[m/2, 0] && NeQ[c*d^2 - a*e^2, 0] && PosQ[c
      /a]

1643. Int[((x_)^(m_)*((a_) + (c_.)*(x_)^4)^(p_))/((d_) + (e_.)*(x_)^2), x_Symbol] :> Simp[(-(-d/e)^(m/2))*((c*d^2 +
      a*e^2)^(p + 1/2)/(e^(2*p)*(Rt[c/a, 2]*d - e)))   Int[(1 + Rt[c/a, 2]*x^2)/((d + e*x^2)*Sqrt[a + c*x^4]), x], x
      ] + Simp[(-d/e)^(m/2)*((c*d^2 + a*e^2)^(p + 1/2)/(Rt[c/a, 2]*d - e))   Int[x^m*(a + c*x^4)^p*ExpandToSum[(((Rt
      [c/a, 2]*d - e)*(c*d^2 + a*e^2)^(-p - 1/2))/(-d/e)^(m/2) + ((1 + Rt[c/a, 2]*x^2)*(a + c*x^4)^(-p - 1/2))/(e^(2
      *p)*x^m))/(d + e*x^2), x], x], x] /; FreeQ[{a, c, d, e}, x] && ILtQ[p + 1/2, 0] && ILtQ[m/2, 0] && NeQ[c*d^2 -
      a*e^2, 0] && PosQ[c/a]

1644. Int[((x_)^(m_)*((a_.) + (b_.)*(x_)^2 + (c_.)*(x_)^4)^(p_))/((d_) + (e_.)*(x_)^2), x_Symbol] :> Simp[(-d/e)^(m/
      2)*((c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^(p + 1/2)/e^(2*p + 1))   Int[1/((d + e*x^2)*Sqrt[a + b*x^2 + c*x^4]), x], x] + Sim
      p[(-d/e)^(m/2)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^(p + 1/2)   Int[x^m*(a + b*x^2 + c*x^4)^p*ExpandToSum[((c*d^2 - b*d*e +
      a*e^2)^(-p - 1/2)/(-d/e)^(m/2) - (e^(-2*p - 1)*(a + b*x^2 + c*x^4)^(-p - 1/2))/x^m)/(d + e*x^2), x], x], x] /
      ; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] && ILtQ[p + 1/2, 0] && ILtQ[m/2, 0] && NeQ[c*d^2 - a*e^2, 0
      ] && NegQ[c/a]

1645. Int[((x_)^(m_)*((a_) + (c_.)*(x_)^4)^(p_))/((d_) + (e_.)*(x_)^2), x_Symbol] :> Simp[(-d/e)^(m/2)*((c*d^2 + a*e
      ^2)^(p + 1/2)/e^(2*p + 1))   Int[1/((d + e*x^2)*Sqrt[a + c*x^4]), x], x] + Simp[(-d/e)^(m/2)*(c*d^2 + a*e^2)^(
      p + 1/2)   Int[x^m*(a + c*x^4)^p*ExpandToSum[((c*d^2 + a*e^2)^(-p - 1/2)/(-d/e)^(m/2) - (e^(-2*p - 1)*(a + c*x
      ^4)^(-p - 1/2))/x^m)/(d + e*x^2), x], x], x] /; FreeQ[{a, c, d, e}, x] && ILtQ[p + 1/2, 0] && ILtQ[m/2, 0] &&
      NeQ[c*d^2 - a*e^2, 0] && NegQ[c/a]

1646. Int[(((f_.)*(x_))^(m_)*((a_.) + (b_.)*(x_)^2 + (c_.)*(x_)^4)^(p_.))/((d_) + (e_.)*(x_)^2), x_Symbol] :> Simp[1
      /d^2   Int[(f*x)^m*(a*d + (b*d - a*e)*x^2)*(a + b*x^2 + c*x^4)^(p - 1), x], x] + Simp[(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)/
      (d^2*f^4)   Int[(f*x)^(m + 4)*((a + b*x^2 + c*x^4)^(p - 1)/(d + e*x^2)), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x
      ] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] && GtQ[p, 0] && LtQ[m, -2]

1647. Int[(((f_.)*(x_))^(m_)*((a_) + (c_.)*(x_)^4)^(p_.))/((d_) + (e_.)*(x_)^2), x_Symbol] :> Simp[a/d^2   Int[(f*x)
      ^m*(d - e*x^2)*(a + c*x^4)^(p - 1), x], x] + Simp[(c*d^2 + a*e^2)/(d^2*f^4)   Int[(f*x)^(m + 4)*((a + c*x^4)^(
      p - 1)/(d + e*x^2)), x], x] /; FreeQ[{a, c, d, e, f}, x] && GtQ[p, 0] && LtQ[m, -2]

1648. Int[(((f_.)*(x_))^(m_)*((a_.) + (b_.)*(x_)^2 + (c_.)*(x_)^4)^(p_.))/((d_) + (e_.)*(x_)^2), x_Symbol] :> Simp[1
      /(d*e)   Int[(f*x)^m*(a*e + c*d*x^2)*(a + b*x^2 + c*x^4)^(p - 1), x], x] - Simp[(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)/(d*e*f
      ^2)   Int[(f*x)^(m + 2)*((a + b*x^2 + c*x^4)^(p - 1)/(d + e*x^2)), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && N
      eQ[b^2 - 4*a*c, 0] && GtQ[p, 0] && LtQ[m, 0]

1649. Int[(((f_.)*(x_))^(m_)*((a_) + (c_.)*(x_)^4)^(p_.))/((d_) + (e_.)*(x_)^2), x_Symbol] :> Simp[1/(d*e)   Int[(f*
      x)^m*(a*e + c*d*x^2)*(a + c*x^4)^(p - 1), x], x] - Simp[(c*d^2 + a*e^2)/(d*e*f^2)   Int[(f*x)^(m + 2)*((a + c*
      x^4)^(p - 1)/(d + e*x^2)), x], x] /; FreeQ[{a, c, d, e, f}, x] && GtQ[p, 0] && LtQ[m, 0]

1650. Int[(((f_.)*(x_))^(m_.)*((a_.) + (b_.)*(x_)^2 + (c_.)*(x_)^4)^(p_))/((d_) + (e_.)*(x_)^2), x_Symbol] :> Simp[-
      f^4/(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)   Int[(f*x)^(m - 4)*(a*d + (b*d - a*e)*x^2)*(a + b*x^2 + c*x^4)^p, x], x] + Simp[d
      ^2*(f^4/(c*d^2 - b*d*e + a*e^2))   Int[(f*x)^(m - 4)*((a + b*x^2 + c*x^4)^(p + 1)/(d + e*x^2)), x], x] /; Free
      Q[{a, b, c, d, e, f}, x] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] && LtQ[p, -1] && GtQ[m, 2]

1651. Int[(((f_.)*(x_))^(m_.)*((a_) + (c_.)*(x_)^4)^(p_))/((d_) + (e_.)*(x_)^2), x_Symbol] :> Simp[(-a)*(f^4/(c*d^2
      + a*e^2))   Int[(f*x)^(m - 4)*(d - e*x^2)*(a + c*x^4)^p, x], x] + Simp[d^2*(f^4/(c*d^2 + a*e^2))   Int[(f*x)^(
      m - 4)*((a + c*x^4)^(p + 1)/(d + e*x^2)), x], x] /; FreeQ[{a, c, d, e, f}, x] && LtQ[p, -1] && GtQ[m, 2]

1652. Int[(((f_.)*(x_))^(m_.)*((a_.) + (b_.)*(x_)^2 + (c_.)*(x_)^4)^(p_))/((d_) + (e_.)*(x_)^2), x_Symbol] :> Simp[f
      ^2/(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)   Int[(f*x)^(m - 2)*(a*e + c*d*x^2)*(a + b*x^2 + c*x^4)^p, x], x] - Simp[d*e*(f^2/(
      c*d^2 - b*d*e + a*e^2))   Int[(f*x)^(m - 2)*((a + b*x^2 + c*x^4)^(p + 1)/(d + e*x^2)), x], x] /; FreeQ[{a, b,
      c, d, e, f}, x] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] && LtQ[p, -1] && GtQ[m, 0]

1653. Int[(((f_.)*(x_))^(m_.)*((a_) + (c_.)*(x_)^4)^(p_))/((d_) + (e_.)*(x_)^2), x_Symbol] :> Simp[f^2/(c*d^2 + a*e^
      2)   Int[(f*x)^(m - 2)*(a*e + c*d*x^2)*(a + c*x^4)^p, x], x] - Simp[d*e*(f^2/(c*d^2 + a*e^2))   Int[(f*x)^(m -
      2)*((a + c*x^4)^(p + 1)/(d + e*x^2)), x], x] /; FreeQ[{a, c, d, e, f}, x] && LtQ[p, -1] && GtQ[m, 0]

1654. Int[(x_)^2/(((d_) + (e_.)*(x_)^2)*Sqrt[(a_) + (b_.)*(x_)^2 + (c_.)*(x_)^4]), x_Symbol] :> Simp[1/(2*e)   Int[1
      /Sqrt[a + b*x^2 + c*x^4], x], x] - Simp[1/(2*e)   Int[(d - e*x^2)/((d + e*x^2)*Sqrt[a + b*x^2 + c*x^4]), x], x
      ] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] && PosQ[c/a] && EqQ[c*d^2 - a*e^2, 0]

1655. Int[(x_)^2/(((d_) + (e_.)*(x_)^2)*Sqrt[(a_) + (c_.)*(x_)^4]), x_Symbol] :> Simp[1/(2*e)   Int[1/Sqrt[a + c*x^4
      ], x], x] - Simp[1/(2*e)   Int[(d - e*x^2)/((d + e*x^2)*Sqrt[a + c*x^4]), x], x] /; FreeQ[{a, c, d, e}, x] &&
      PosQ[c/a] && EqQ[c*d^2 - a*e^2, 0]

1656. Int[(x_)^2/(((d_) + (e_.)*(x_)^2)*Sqrt[(a_) + (b_.)*(x_)^2 + (c_.)*(x_)^4]), x_Symbol] :> With[{q = Rt[c/a, 2]
      }, Simp[(-a)*((e + d*q)/(c*d^2 - a*e^2))   Int[1/Sqrt[a + b*x^2 + c*x^4], x], x] + Simp[a*d*((e + d*q)/(c*d^2
      - a*e^2))   Int[(1 + q*x^2)/((d + e*x^2)*Sqrt[a + b*x^2 + c*x^4]), x], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && NeQ
      [b^2 - 4*a*c, 0] && PosQ[c/a] && NeQ[c*d^2 - a*e^2, 0]

1657. Int[(x_)^2/(((d_) + (e_.)*(x_)^2)*Sqrt[(a_) + (c_.)*(x_)^4]), x_Symbol] :> With[{q = Rt[c/a, 2]}, Simp[(-a)*((
      e + d*q)/(c*d^2 - a*e^2))   Int[1/Sqrt[a + c*x^4], x], x] + Simp[a*d*((e + d*q)/(c*d^2 - a*e^2))   Int[(1 + q*
      x^2)/((d + e*x^2)*Sqrt[a + c*x^4]), x], x]] /; FreeQ[{a, c, d, e}, x] && PosQ[c/a] && NeQ[c*d^2 - a*e^2, 0]

1658. Int[(x_)^2/(((d_) + (e_.)*(x_)^2)*Sqrt[(a_) + (b_.)*(x_)^2 + (c_.)*(x_)^4]), x_Symbol] :> Simp[1/e   Int[1/Sqr
      t[a + b*x^2 + c*x^4], x], x] - Simp[d/e   Int[1/((d + e*x^2)*Sqrt[a + b*x^2 + c*x^4]), x], x] /; FreeQ[{a, b,
      c, d, e}, x] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0]

1659. Int[(x_)^2/(((d_) + (e_.)*(x_)^2)*Sqrt[(a_) + (c_.)*(x_)^4]), x_Symbol] :> Simp[1/e   Int[1/Sqrt[a + c*x^4], x
      ], x] - Simp[d/e   Int[1/((d + e*x^2)*Sqrt[a + c*x^4]), x], x] /; FreeQ[{a, c, d, e}, x]

1660. Int[(x_)^4/(((d_) + (e_.)*(x_)^2)*Sqrt[(a_) + (b_.)*(x_)^2 + (c_.)*(x_)^4]), x_Symbol] :> With[{q = Rt[c/a, 2]
      }, Simp[-(e*q)^(-1)   Int[(1 - q*x^2)/Sqrt[a + b*x^2 + c*x^4], x], x] + Simp[d^2/(e*(e - d*q))   Int[(1 + q*x^
      2)/((d + e*x^2)*Sqrt[a + b*x^2 + c*x^4]), x], x] /; EqQ[2*c*d - a*e*q, 0]] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && NeQ
      [b^2 - 4*a*c, 0] && PosQ[c/a] && NeQ[c*d^2 - a*e^2, 0]

1661. Int[(x_)^4/(((d_) + (e_.)*(x_)^2)*Sqrt[(a_) + (c_.)*(x_)^4]), x_Symbol] :> With[{q = Rt[c/a, 2]}, Simp[-(e*q)^
      (-1)   Int[(1 - q*x^2)/Sqrt[a + c*x^4], x], x] + Simp[d^2/(e*(e - d*q))   Int[(1 + q*x^2)/((d + e*x^2)*Sqrt[a
      + c*x^4]), x], x] /; EqQ[2*c*d - a*e*q, 0]] /; FreeQ[{a, c, d, e}, x] && PosQ[c/a] && NeQ[c*d^2 - a*e^2, 0]

1662. Int[(x_)^4/(((d_) + (e_.)*(x_)^2)*Sqrt[(a_) + (b_.)*(x_)^2 + (c_.)*(x_)^4]), x_Symbol] :> With[{q = Rt[c/a, 2]
      }, Simp[-(2*c*d - a*e*q)/(c*e*(e - d*q))   Int[1/Sqrt[a + b*x^2 + c*x^4], x], x] + (-Simp[1/(e*q)   Int[(1 - q
      *x^2)/Sqrt[a + b*x^2 + c*x^4], x], x] + Simp[d^2/(e*(e - d*q))   Int[(1 + q*x^2)/((d + e*x^2)*Sqrt[a + b*x^2 +
      c*x^4]), x], x])] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] && PosQ[c/a] && NeQ[c*d^2 - a*e^2, 0]

1663. Int[(x_)^4/(((d_) + (e_.)*(x_)^2)*Sqrt[(a_) + (c_.)*(x_)^4]), x_Symbol] :> With[{q = Rt[c/a, 2]}, Simp[-(2*c*d
      - a*e*q)/(c*e*(e - d*q))   Int[1/Sqrt[a + c*x^4], x], x] + (-Simp[1/(e*q)   Int[(1 - q*x^2)/Sqrt[a + c*x^4],
      x], x] + Simp[d^2/(e*(e - d*q))   Int[(1 + q*x^2)/((d + e*x^2)*Sqrt[a + c*x^4]), x], x])] /; FreeQ[{a, c, d, e
      }, x] && PosQ[c/a] && NeQ[c*d^2 - a*e^2, 0]

1664. Int[(x_)^4/(((d_) + (e_.)*(x_)^2)*Sqrt[(a_) + (b_.)*(x_)^2 + (c_.)*(x_)^4]), x_Symbol] :> Simp[d^2/e^2   Int[1
      /((d + e*x^2)*Sqrt[a + b*x^2 + c*x^4]), x], x] - Simp[1/e^2   Int[(d - e*x^2)/Sqrt[a + b*x^2 + c*x^4], x], x]
      /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0]

1665. Int[(x_)^4/(((d_) + (e_.)*(x_)^2)*Sqrt[(a_) + (c_.)*(x_)^4]), x_Symbol] :> Simp[d^2/e^2   Int[1/((d + e*x^2)*S
      qrt[a + c*x^4]), x], x] - Simp[1/e^2   Int[(d - e*x^2)/Sqrt[a + c*x^4], x], x] /; FreeQ[{a, c, d, e}, x]

1666. Int[(x_)^(m_)/(((d_) + (e_.)*(x_)^2)*Sqrt[(a_) + (b_.)*(x_)^2 + (c_.)*(x_)^4]), x_Symbol] :> Simp[x^(m - 5)*(S
      qrt[a + b*x^2 + c*x^4]/(c*e*(m - 3))), x] - Simp[1/(c*e*(m - 3))   Int[(x^(m - 6)/((d + e*x^2)*Sqrt[a + b*x^2
      + c*x^4]))*Simp[a*d*(m - 5) + (a*e*(m - 5) + b*d*(m - 4))*x^2 + (b*e*(m - 4) + c*d*(m - 3))*x^4, x], x], x] /;
      FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] && IGtQ[m/2, 2]

1667. Int[(x_)^(m_)/(((d_) + (e_.)*(x_)^2)*Sqrt[(a_) + (c_.)*(x_)^4]), x_Symbol] :> Simp[x^(m - 5)*(Sqrt[a + c*x^4]/
      (c*e*(m - 3))), x] - Simp[1/(c*e*(m - 3))   Int[(x^(m - 6)/((d + e*x^2)*Sqrt[a + c*x^4]))*Simp[a*d*(m - 5) + a
      *e*(m - 5)*x^2 + c*d*(m - 3)*x^4, x], x], x] /; FreeQ[{a, c, d, e}, x] && IGtQ[m/2, 2]

1668. Int[(x_)^(m_)/(((d_) + (e_.)*(x_)^2)*Sqrt[(a_) + (b_.)*(x_)^2 + (c_.)*(x_)^4]), x_Symbol] :> Simp[x^(m + 1)*(S
      qrt[a + b*x^2 + c*x^4]/(a*d*(m + 1))), x] - Simp[1/(a*d*(m + 1))   Int[(x^(m + 2)/((d + e*x^2)*Sqrt[a + b*x^2
      + c*x^4]))*Simp[a*e*(m + 1) + b*d*(m + 2) + (b*e*(m + 2) + c*d*(m + 3))*x^2 + c*e*(m + 3)*x^4, x], x], x] /; F
      reeQ[{a, b, c, d, e}, x] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] && ILtQ[m/2, 0]

1669. Int[(x_)^(m_)/(((d_) + (e_.)*(x_)^2)*Sqrt[(a_) + (c_.)*(x_)^4]), x_Symbol] :> Simp[x^(m + 1)*(Sqrt[a + c*x^4]/
      (a*d*(m + 1))), x] - Simp[1/(a*d*(m + 1))   Int[(x^(m + 2)/((d + e*x^2)*Sqrt[a + c*x^4]))*Simp[a*e*(m + 1) + c
      *d*(m + 3)*x^2 + c*e*(m + 3)*x^4, x], x], x] /; FreeQ[{a, c, d, e}, x] && ILtQ[m/2, 0]

1670. Int[(x_)^(m_)/(Sqrt[(d_) + (e_.)*(x_)^2]*Sqrt[(a_) + (b_.)*(x_)^2 + (c_.)*(x_)^4]), x_Symbol] :> Simp[x^3*Sqrt
      [e + d/x^2]*(Sqrt[c + b/x^2 + a/x^4]/(Sqrt[d + e*x^2]*Sqrt[a + b*x^2 + c*x^4]))   Int[x^(m - 3)/(Sqrt[e + d/x^
      2]*Sqrt[c + b/x^2 + a/x^4]), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] && IntegerQ[m/2]

1671. Int[(x_)^(m_)/(Sqrt[(d_) + (e_.)*(x_)^2]*Sqrt[(a_) + (c_.)*(x_)^4]), x_Symbol] :> Simp[x^3*Sqrt[e + d/x^2]*(Sq
      rt[c + a/x^4]/(Sqrt[d + e*x^2]*Sqrt[a + c*x^4]))   Int[x^(m - 3)/(Sqrt[e + d/x^2]*Sqrt[c + a/x^4]), x], x] /;
      FreeQ[{a, c, d, e}, x] && IntegerQ[m/2]

1672. Int[(x_)^(m_)*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(q_)*((a_) + (b_.)*(x_)^2 + (c_.)*(x_)^4)^(p_), x_Symbol] :> With[{f = Coe
      ff[PolynomialRemainder[x^m*(d + e*x^2)^q, a + b*x^2 + c*x^4, x], x, 0], g = Coeff[PolynomialRemainder[x^m*(d +
      e*x^2)^q, a + b*x^2 + c*x^4, x], x, 2]}, Simp[x*(a + b*x^2 + c*x^4)^(p + 1)*((a*b*g - f*(b^2 - 2*a*c) - c*(b*
      f - 2*a*g)*x^2)/(2*a*(p + 1)*(b^2 - 4*a*c))), x] + Simp[1/(2*a*(p + 1)*(b^2 - 4*a*c))   Int[(a + b*x^2 + c*x^4
      )^(p + 1)*Simp[ExpandToSum[2*a*(p + 1)*(b^2 - 4*a*c)*PolynomialQuotient[x^m*(d + e*x^2)^q, a + b*x^2 + c*x^4,
      x] + b^2*f*(2*p + 3) - 2*a*c*f*(4*p + 5) - a*b*g + c*(4*p + 7)*(b*f - 2*a*g)*x^2, x], x], x], x]] /; FreeQ[{a,
      b, c, d, e}, x] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] && LtQ[p, -1] && IGtQ[q, 1] && IGtQ[m/2, 0]

1673. Int[(x_)^(m_)*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(q_)*((a_) + (b_.)*(x_)^2 + (c_.)*(x_)^4)^(p_), x_Symbol] :> With[{f = Coe
      ff[PolynomialRemainder[x^m*(d + e*x^2)^q, a + b*x^2 + c*x^4, x], x, 0], g = Coeff[PolynomialRemainder[x^m*(d +
      e*x^2)^q, a + b*x^2 + c*x^4, x], x, 2]}, Simp[x*(a + b*x^2 + c*x^4)^(p + 1)*((a*b*g - f*(b^2 - 2*a*c) - c*(b*
      f - 2*a*g)*x^2)/(2*a*(p + 1)*(b^2 - 4*a*c))), x] + Simp[1/(2*a*(p + 1)*(b^2 - 4*a*c))   Int[x^m*(a + b*x^2 + c
      *x^4)^(p + 1)*Simp[ExpandToSum[(2*a*(p + 1)*(b^2 - 4*a*c)*PolynomialQuotient[x^m*(d + e*x^2)^q, a + b*x^2 + c*
      x^4, x])/x^m + (b^2*f*(2*p + 3) - 2*a*c*f*(4*p + 5) - a*b*g)/x^m + c*(4*p + 7)*(b*f - 2*a*g)*x^(2 - m), x], x]
      , x], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] && LtQ[p, -1] && IGtQ[q, 1] && ILtQ[m/2, 0]

1674. Int[((f_.)*(x_))^(m_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(q_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^2 + (c_.)*(x_)^4)^(p_.), x_Symbol] :> In
      t[ExpandIntegrand[(f*x)^m*(d + e*x^2)^q*(a + b*x^2 + c*x^4)^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m, p, q}, x]
      && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] && (IGtQ[p, 0] || IGtQ[q, 0] || IntegersQ[m, q])

1675. Int[((f_.)*(x_))^(m_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(q_.)*((a_) + (c_.)*(x_)^4)^(p_.), x_Symbol] :> Int[ExpandIntegra
      nd[(f*x)^m*(d + e*x^2)^q*(a + c*x^4)^p, x], x] /; FreeQ[{a, c, d, e, f, m, p, q}, x] && (IGtQ[p, 0] || IGtQ[q,
      0] || IntegersQ[m, q])

1676. Int[((f_.)*(x_))^(m_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(q_)*((a_) + (c_.)*(x_)^4)^(p_), x_Symbol] :> Simp[(f*x)^m/x^m
      Int[ExpandIntegrand[x^m*(a + c*x^4)^p, (d/(d^2 - e^2*x^4) - e*(x^2/(d^2 - e^2*x^4)))^(-q), x], x], x] /; FreeQ
      [{a, c, d, e, f, m, p}, x] &&  !IntegerQ[p] && ILtQ[q, 0]

1677. Int[((f_.)*(x_))^(m_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(q_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^2 + (c_.)*(x_)^4)^(p_.), x_Symbol] :> Un
      integrable[(f*x)^m*(d + e*x^2)^q*(a + b*x^2 + c*x^4)^p, x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m, p, q}, x]

1678. Int[((f_.)*(x_))^(m_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(q_.)*((a_) + (c_.)*(x_)^4)^(p_.), x_Symbol] :> Unintegrable[(f*x
      )^m*(d + e*x^2)^q*(a + c*x^4)^p, x] /; FreeQ[{a, c, d, e, f, m, p, q}, x]

1679. Int[((a_) + (c_.)*(x_)^(n2_.) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_), x_Symbol] :> Int[x^(2*n*p)*(c + b/x^n + a/x^(2*n))^p, x
      ] /; FreeQ[{a, b, c}, x] && EqQ[n2, 2*n] && LtQ[n, 0] && IntegerQ[p]

1680. Int[((a_) + (c_.)*(x_)^(n2_.) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_), x_Symbol] :> With[{k = Denominator[n]}, Simp[k   Subst[
      Int[x^(k - 1)*(a + b*x^(k*n) + c*x^(2*k*n))^p, x], x, x^(1/k)], x]] /; FreeQ[{a, b, c, p}, x] && EqQ[n2, 2*n]
      && FractionQ[n]

1681. Int[((a_) + (c_.)*(x_)^(n2_.) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_), x_Symbol] :> -Subst[Int[(a + b/x^n + c/x^(2*n))^p/x^2,
      x], x, 1/x] /; FreeQ[{a, b, c, p}, x] && EqQ[n2, 2*n] && ILtQ[n, 0]

1682. Int[((a_) + (c_.)*(x_)^(n2_.) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_), x_Symbol] :> Int[ExpandIntegrand[(a + b*x^n + c*x^(2*n)
      )^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, n}, x] && EqQ[n2, 2*n] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] && IGtQ[p, 0]

1683. Int[((a_) + (c_.)*(x_)^(n2_.) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_), x_Symbol] :> Simp[(-x)*(b^2 - 2*a*c + b*c*x^n)*((a + b*
      x^n + c*x^(2*n))^(p + 1)/(a*n*(p + 1)*(b^2 - 4*a*c))), x] + Simp[1/(a*n*(p + 1)*(b^2 - 4*a*c))   Int[(b^2 - 2*
      a*c + n*(p + 1)*(b^2 - 4*a*c) + b*c*(n*(2*p + 3) + 1)*x^n)*(a + b*x^n + c*x^(2*n))^(p + 1), x], x] /; FreeQ[{a
      , b, c, n}, x] && EqQ[n2, 2*n] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] && ILtQ[p, -1]

1684. Int[((a_) + (b_.)*(x_)^(n_) + (c_.)*(x_)^(n2_))^(-1), x_Symbol] :> With[{q = Rt[a/c, 2]}, With[{r = Rt[2*q - b
      /c, 2]}, Simp[1/(2*c*q*r)   Int[(r - x^(n/2))/(q - r*x^(n/2) + x^n), x], x] + Simp[1/(2*c*q*r)   Int[(r + x^(n
      /2))/(q + r*x^(n/2) + x^n), x], x]]] /; FreeQ[{a, b, c}, x] && EqQ[n2, 2*n] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] && IGtQ[n/2
      , 0] && NegQ[b^2 - 4*a*c]

1685. Int[((a_) + (b_.)*(x_)^(n_) + (c_.)*(x_)^(n2_))^(-1), x_Symbol] :> With[{q = Rt[b^2 - 4*a*c, 2]}, Simp[c/q   I
      nt[1/(b/2 - q/2 + c*x^n), x], x] - Simp[c/q   Int[1/(b/2 + q/2 + c*x^n), x], x]] /; FreeQ[{a, b, c}, x] && EqQ
      [n2, 2*n] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0]

1686. Int[((a_) + (c_.)*(x_)^(n2_.) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_), x_Symbol] :> Simp[a^IntPart[p]*((a + b*x^n + c*x^(2*n))
      ^FracPart[p]/((1 + 2*c*(x^n/(b + Rt[b^2 - 4*a*c, 2])))^FracPart[p]*(1 + 2*c*(x^n/(b - Rt[b^2 - 4*a*c, 2])))^Fr
      acPart[p]))   Int[(1 + 2*c*(x^n/(b + Sqrt[b^2 - 4*a*c])))^p*(1 + 2*c*(x^n/(b - Sqrt[b^2 - 4*a*c])))^p, x], x]
      /; FreeQ[{a, b, c, n, p}, x] && EqQ[n2, 2*n] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] &&  !IntegerQ[p]

1687. Int[((a_) + (c_.)*(u_)^(n2_.) + (b_.)*(u_)^(n_))^(p_), x_Symbol] :> Simp[1/Coefficient[u, x, 1]   Subst[Int[(a
      + b*x^n + c*x^(2*n))^p, x], x, u], x] /; FreeQ[{a, b, c, n, p}, x] && EqQ[n2, 2*n] && LinearQ[u, x] && NeQ[u,
      x]

1688. Int[((a_) + (c_.)*(x_)^(n_.) + (b_.)*(x_)^(mn_))^(p_), x_Symbol] :> Int[(b + a*x^n + c*x^(2*n))^p/x^(n*p), x]
      /; FreeQ[{a, b, c, n}, x] && EqQ[mn, -n] && IntegerQ[p] && PosQ[n]

1689. Int[((a_) + (c_.)*(x_)^(n_.) + (b_.)*(x_)^(mn_))^(p_), x_Symbol] :> Simp[x^(n*FracPart[p])*((a + b/x^n + c*x^n
      )^FracPart[p]/(b + a*x^n + c*x^(2*n))^FracPart[p])   Int[(b + a*x^n + c*x^(2*n))^p/x^(n*p), x], x] /; FreeQ[{a
      , b, c, n, p}, x] && EqQ[mn, -n] &&  !IntegerQ[p] && PosQ[n]

1690. Int[(x_)^(m_.)*((a_) + (c_.)*(x_)^(n2_.) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_.), x_Symbol] :> Simp[1/n   Subst[Int[(a + b*x
      + c*x^2)^p, x], x, x^n], x] /; FreeQ[{a, b, c, m, n, p}, x] && EqQ[n2, 2*n] && EqQ[Simplify[m - n + 1], 0]

1691. Int[((d_.)*(x_))^(m_.)*((a_) + (c_.)*(x_)^(n2_.) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_.), x_Symbol] :> Int[ExpandIntegrand[(d
      *x)^m*(a + b*x^n + c*x^(2*n))^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, m, n}, x] && EqQ[n2, 2*n] && IGtQ[p, 0] &&  !Int
      egerQ[Simplify[(m + 1)/n]]

1692. Int[(x_)^(m_.)*((a_) + (c_.)*(x_)^(n2_.) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_), x_Symbol] :> Int[x^(m + 2*n*p)*(c + b/x^n +
      a/x^(2*n))^p, x] /; FreeQ[{a, b, c, m, n}, x] && EqQ[n2, 2*n] && ILtQ[p, 0] && NegQ[n]

1693. Int[(x_)^(m_.)*((a_) + (c_.)*(x_)^(n2_.) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_.), x_Symbol] :> Simp[1/n   Subst[Int[x^(Simpli
      fy[(m + 1)/n] - 1)*(a + b*x + c*x^2)^p, x], x, x^n], x] /; FreeQ[{a, b, c, m, n, p}, x] && EqQ[n2, 2*n] && Int
      egerQ[Simplify[(m + 1)/n]]

1694. Int[((d_)*(x_))^(m_.)*((a_) + (c_.)*(x_)^(n2_.) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_.), x_Symbol] :> Simp[d^IntPart[m]*((d*x
      )^FracPart[m]/x^FracPart[m])   Int[x^m*(a + b*x^n + c*x^(2*n))^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, m, n, p}, x] &&
      EqQ[n2, 2*n] && IntegerQ[Simplify[(m + 1)/n]]

1695. Int[(x_)^(m_.)*((a_) + (c_.)*(x_)^(n2_.) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_), x_Symbol] :> With[{k = GCD[m + 1, n]}, Simp[
      1/k   Subst[Int[x^((m + 1)/k - 1)*(a + b*x^(n/k) + c*x^(2*(n/k)))^p, x], x, x^k], x] /; k != 1] /; FreeQ[{a, b
      , c, p}, x] && EqQ[n2, 2*n] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] && IGtQ[n, 0] && IntegerQ[m]

1696. Int[((d_.)*(x_))^(m_)*((a_) + (c_.)*(x_)^(n2_.) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_), x_Symbol] :> With[{k = Denominator[m]
      }, Simp[k/d   Subst[Int[x^(k*(m + 1) - 1)*(a + b*(x^(k*n)/d^n) + c*(x^(2*k*n)/d^(2*n)))^p, x], x, (d*x)^(1/k)]
      , x]] /; FreeQ[{a, b, c, d, p}, x] && EqQ[n2, 2*n] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] && IGtQ[n, 0] && FractionQ[m] && Int
      egerQ[p]

1697. Int[((d_.)*(x_))^(m_.)*((a_) + (c_.)*(x_)^(n2_.) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_), x_Symbol] :> Simp[d^(n - 1)*(d*x)^(m
      - n + 1)*(a + b*x^n + c*x^(2*n))^p*((b*n*p + c*(m + n*(2*p - 1) + 1)*x^n)/(c*(m + 2*n*p + 1)*(m + n*(2*p - 1)
      + 1))), x] - Simp[n*p*(d^n/(c*(m + 2*n*p + 1)*(m + n*(2*p - 1) + 1)))   Int[(d*x)^(m - n)*(a + b*x^n + c*x^(2
      *n))^(p - 1)*Simp[a*b*(m - n + 1) - (2*a*c*(m + n*(2*p - 1) + 1) - b^2*(m + n*(p - 1) + 1))*x^n, x], x], x] /;
      FreeQ[{a, b, c, d}, x] && EqQ[n2, 2*n] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] && IGtQ[n, 0] && IGtQ[p, 0] && GtQ[m, n - 1] &&
      NeQ[m + 2*n*p + 1, 0] && NeQ[m + n*(2*p - 1) + 1, 0]

1698. Int[((d_.)*(x_))^(m_.)*((a_) + (c_.)*(x_)^(n2_.) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_), x_Symbol] :> Simp[(d*x)^(m + 1)*((a
      + b*x^n + c*x^(2*n))^p/(d*(m + 1))), x] - Simp[n*(p/(d^n*(m + 1)))   Int[(d*x)^(m + n)*(b + 2*c*x^n)*(a + b*x^
      n + c*x^(2*n))^(p - 1), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && EqQ[n2, 2*n] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] && IGtQ[n, 0]
      && IGtQ[p, 0] && LtQ[m, -1]

1699. Int[((d_.)*(x_))^(m_.)*((a_) + (c_.)*(x_)^(n2_.) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_), x_Symbol] :> Simp[(d*x)^(m + 1)*((a
      + b*x^n + c*x^(2*n))^p/(d*(m + 2*n*p + 1))), x] + Simp[n*(p/(m + 2*n*p + 1))   Int[(d*x)^m*(2*a + b*x^n)*(a +
      b*x^n + c*x^(2*n))^(p - 1), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, m}, x] && EqQ[n2, 2*n] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] && IGtQ
      [n, 0] && IGtQ[p, 0] && NeQ[m + 2*n*p + 1, 0]

1700. Int[((d_.)*(x_))^(m_.)*((a_) + (c_.)*(x_)^(n2_.) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_), x_Symbol] :> Simp[d^(n - 1)*(d*x)^(m
      - n + 1)*(b + 2*c*x^n)*((a + b*x^n + c*x^(2*n))^(p + 1)/(n*(p + 1)*(b^2 - 4*a*c))), x] - Simp[d^n/(n*(p + 1)*
      (b^2 - 4*a*c))   Int[(d*x)^(m - n)*(b*(m - n + 1) + 2*c*(m + 2*n*(p + 1) + 1)*x^n)*(a + b*x^n + c*x^(2*n))^(p
      + 1), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && EqQ[n2, 2*n] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] && IGtQ[n, 0] && ILtQ[p, -1] &&
      GtQ[m, n - 1] && LeQ[m, 2*n - 1]

1701. Int[((d_.)*(x_))^(m_.)*((a_) + (c_.)*(x_)^(n2_.) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_), x_Symbol] :> Simp[(-d^(2*n - 1))*(d*
      x)^(m - 2*n + 1)*(2*a + b*x^n)*((a + b*x^n + c*x^(2*n))^(p + 1)/(n*(p + 1)*(b^2 - 4*a*c))), x] + Simp[d^(2*n)/
      (n*(p + 1)*(b^2 - 4*a*c))   Int[(d*x)^(m - 2*n)*(2*a*(m - 2*n + 1) + b*(m + n*(2*p + 1) + 1)*x^n)*(a + b*x^n +
      c*x^(2*n))^(p + 1), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && EqQ[n2, 2*n] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] && IGtQ[n, 0] &&
      ILtQ[p, -1] && GtQ[m, 2*n - 1]

1702. Int[((d_.)*(x_))^(m_.)*((a_) + (c_.)*(x_)^(n2_.) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_), x_Symbol] :> Simp[(-(d*x)^(m + 1))*(
      b^2 - 2*a*c + b*c*x^n)*((a + b*x^n + c*x^(2*n))^(p + 1)/(a*d*n*(p + 1)*(b^2 - 4*a*c))), x] + Simp[1/(a*n*(p +
      1)*(b^2 - 4*a*c))   Int[(d*x)^m*(a + b*x^n + c*x^(2*n))^(p + 1)*Simp[b^2*(m + n*(p + 1) + 1) - 2*a*c*(m + 2*n*
      (p + 1) + 1) + b*c*(m + n*(2*p + 3) + 1)*x^n, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, m}, x] && EqQ[n2, 2*n] && NeQ[b
      ^2 - 4*a*c, 0] && IGtQ[n, 0] && ILtQ[p, -1]

1703. Int[((d_.)*(x_))^(m_.)*((a_) + (c_.)*(x_)^(n2_.) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_), x_Symbol] :> Simp[d^(2*n - 1)*(d*x)^
      (m - 2*n + 1)*((a + b*x^n + c*x^(2*n))^(p + 1)/(c*(m + 2*n*p + 1))), x] - Simp[d^(2*n)/(c*(m + 2*n*p + 1))   I
      nt[(d*x)^(m - 2*n)*Simp[a*(m - 2*n + 1) + b*(m + n*(p - 1) + 1)*x^n, x]*(a + b*x^n + c*x^(2*n))^p, x], x] /; F
      reeQ[{a, b, c, d, p}, x] && EqQ[n2, 2*n] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] && IGtQ[n, 0] && GtQ[m, 2*n - 1] && NeQ[m + 2*
      n*p + 1, 0] && IntegerQ[p]

1704. Int[((d_.)*(x_))^(m_)*((a_) + (c_.)*(x_)^(n2_.) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_), x_Symbol] :> Simp[(d*x)^(m + 1)*((a +
      b*x^n + c*x^(2*n))^(p + 1)/(a*d*(m + 1))), x] - Simp[1/(a*d^n*(m + 1))   Int[(d*x)^(m + n)*(b*(m + n*(p + 1)
      + 1) + c*(m + 2*n*(p + 1) + 1)*x^n)*(a + b*x^n + c*x^(2*n))^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, p}, x] && EqQ[n2,
      2*n] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] && IGtQ[n, 0] && LtQ[m, -1] && IntegerQ[p]

1705. Int[((d_.)*(x_))^(m_)/((a_) + (c_.)*(x_)^(n2_.) + (b_.)*(x_)^(n_)), x_Symbol] :> Simp[(d*x)^(m + 1)/(a*d*(m +
      1)), x] - Simp[1/(a*d^n)   Int[(d*x)^(m + n)*((b + c*x^n)/(a + b*x^n + c*x^(2*n))), x], x] /; FreeQ[{a, b, c,
      d}, x] && EqQ[n2, 2*n] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] && IGtQ[n, 0] && LtQ[m, -1]

1706. Int[(x_)^(m_)/((a_) + (c_.)*(x_)^(n2_.) + (b_.)*(x_)^(n_)), x_Symbol] :> Int[PolynomialDivide[x^m, a + b*x^n +
      c*x^(2*n), x], x] /; FreeQ[{a, b, c}, x] && EqQ[n2, 2*n] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] && IGtQ[n, 0] && IGtQ[m, 3*n
      - 1]

1707. Int[((d_.)*(x_))^(m_)/((a_) + (c_.)*(x_)^(n2_.) + (b_.)*(x_)^(n_)), x_Symbol] :> Simp[d^(2*n - 1)*((d*x)^(m -
      2*n + 1)/(c*(m - 2*n + 1))), x] - Simp[d^(2*n)/c   Int[(d*x)^(m - 2*n)*((a + b*x^n)/(a + b*x^n + c*x^(2*n))),
      x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && EqQ[n2, 2*n] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] && IGtQ[n, 0] && GtQ[m, 2*n - 1]

1708. Int[(x_)^(m_.)/((a_) + (c_.)*(x_)^(n2_.) + (b_.)*(x_)^(n_)), x_Symbol] :> With[{q = Rt[a/c, 2]}, With[{r = Rt[
      2*q - b/c, 2]}, -Simp[1/(2*c*r)   Int[x^(m - 3*(n/2))*((q - r*x^(n/2))/(q - r*x^(n/2) + x^n)), x], x] + Simp[1
      /(2*c*r)   Int[x^(m - 3*(n/2))*((q + r*x^(n/2))/(q + r*x^(n/2) + x^n)), x], x]]] /; FreeQ[{a, b, c}, x] && EqQ
      [n2, 2*n] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] && IGtQ[n/2, 0] && IGtQ[m, 0] && GeQ[m, 3*(n/2)] && LtQ[m, 2*n] && NegQ[b^2 -
      4*a*c]

1709. Int[(x_)^(m_.)/((a_) + (c_.)*(x_)^(n2_.) + (b_.)*(x_)^(n_)), x_Symbol] :> With[{q = Rt[a/c, 2]}, With[{r = Rt[
      2*q - b/c, 2]}, Simp[1/(2*c*r)   Int[x^(m - n/2)/(q - r*x^(n/2) + x^n), x], x] - Simp[1/(2*c*r)   Int[x^(m - n
      /2)/(q + r*x^(n/2) + x^n), x], x]]] /; FreeQ[{a, b, c}, x] && EqQ[n2, 2*n] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] && IGtQ[n/2,
      0] && IGtQ[m, 0] && GeQ[m, n/2] && LtQ[m, 3*(n/2)] && NegQ[b^2 - 4*a*c]

1710. Int[((d_.)*(x_))^(m_)/((a_) + (c_.)*(x_)^(n2_.) + (b_.)*(x_)^(n_)), x_Symbol] :> With[{q = Rt[b^2 - 4*a*c, 2]}
      , Simp[(d^n/2)*(b/q + 1)   Int[(d*x)^(m - n)/(b/2 + q/2 + c*x^n), x], x] - Simp[(d^n/2)*(b/q - 1)   Int[(d*x)^
      (m - n)/(b/2 - q/2 + c*x^n), x], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && EqQ[n2, 2*n] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] && IGtQ[
      n, 0] && GeQ[m, n]

1711. Int[((d_.)*(x_))^(m_.)/((a_) + (c_.)*(x_)^(n2_.) + (b_.)*(x_)^(n_)), x_Symbol] :> With[{q = Rt[b^2 - 4*a*c, 2]
      }, Simp[c/q   Int[(d*x)^m/(b/2 - q/2 + c*x^n), x], x] - Simp[c/q   Int[(d*x)^m/(b/2 + q/2 + c*x^n), x], x]] /;
      FreeQ[{a, b, c, d, m}, x] && EqQ[n2, 2*n] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] && IGtQ[n, 0]

1712. Int[(x_)^(m_.)*((a_) + (c_.)*(x_)^(n2_.) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_), x_Symbol] :> -Subst[Int[(a + b/x^n + c/x^(2*
      n))^p/x^(m + 2), x], x, 1/x] /; FreeQ[{a, b, c, p}, x] && EqQ[n2, 2*n] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] && ILtQ[n, 0] &&
      IntegerQ[m]

1713. Int[((d_.)*(x_))^(m_.)*((a_) + (c_.)*(x_)^(n2_.) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_), x_Symbol] :> With[{k = Denominator[m
      ]}, Simp[-k/d   Subst[Int[(a + b/(d^n*x^(k*n)) + c/(d^(2*n)*x^(2*k*n)))^p/x^(k*(m + 1) + 1), x], x, 1/(d*x)^(1
      /k)], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d, p}, x] && EqQ[n2, 2*n] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] && ILtQ[n, 0] && FractionQ[m]

1714. Int[((d_.)*(x_))^(m_)*((a_) + (c_.)*(x_)^(n2_.) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_), x_Symbol] :> Simp[(-d^IntPart[m])*(d*
      x)^FracPart[m]*(x^(-1))^FracPart[m]   Subst[Int[(a + b/x^n + c/x^(2*n))^p/x^(m + 2), x], x, 1/x], x] /; FreeQ[
      {a, b, c, d, m, p}, x] && EqQ[n2, 2*n] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] && ILtQ[n, 0] &&  !RationalQ[m]

1715. Int[(x_)^(m_.)*((a_) + (c_.)*(x_)^(n2_.) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_), x_Symbol] :> With[{k = Denominator[n]}, Simp
      [k   Subst[Int[x^(k*(m + 1) - 1)*(a + b*x^(k*n) + c*x^(2*k*n))^p, x], x, x^(1/k)], x]] /; FreeQ[{a, b, c, m, p
      }, x] && EqQ[n2, 2*n] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] && FractionQ[n]

1716. Int[((d_)*(x_))^(m_)*((a_) + (c_.)*(x_)^(n2_.) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_), x_Symbol] :> Simp[d^IntPart[m]*((d*x)^
      FracPart[m]/x^FracPart[m])   Int[x^m*(a + b*x^n + c*x^(2*n))^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, m, p}, x] && EqQ[
      n2, 2*n] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] && FractionQ[n]

1717. Int[(x_)^(m_.)*((a_) + (c_.)*(x_)^(n2_.) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_), x_Symbol] :> Simp[1/(m + 1)   Subst[Int[(a +
      b*x^Simplify[n/(m + 1)] + c*x^Simplify[2*(n/(m + 1))])^p, x], x, x^(m + 1)], x] /; FreeQ[{a, b, c, m, n, p},
      x] && EqQ[n2, 2*n] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] && IntegerQ[Simplify[n/(m + 1)]] &&  !IntegerQ[n]

1718. Int[((d_)*(x_))^(m_)*((a_) + (c_.)*(x_)^(n2_.) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_), x_Symbol] :> Simp[d^IntPart[m]*((d*x)^
      FracPart[m]/x^FracPart[m])   Int[x^m*(a + b*x^n + c*x^(2*n))^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, m, n, p}, x] && E
      qQ[n2, 2*n] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] && IntegerQ[Simplify[n/(m + 1)]] &&  !IntegerQ[n]

1719. Int[((d_.)*(x_))^(m_.)/((a_) + (c_.)*(x_)^(n2_.) + (b_.)*(x_)^(n_)), x_Symbol] :> With[{q = Rt[b^2 - 4*a*c, 2]
      }, Simp[2*(c/q)   Int[(d*x)^m/(b - q + 2*c*x^n), x], x] - Simp[2*(c/q)   Int[(d*x)^m/(b + q + 2*c*x^n), x], x]
      ] /; FreeQ[{a, b, c, d, m, n}, x] && EqQ[n2, 2*n] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0]

1720. Int[((d_.)*(x_))^(m_.)*((a_) + (c_.)*(x_)^(n2_.) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_), x_Symbol] :> Simp[(-(d*x)^(m + 1))*(
      b^2 - 2*a*c + b*c*x^n)*((a + b*x^n + c*x^(2*n))^(p + 1)/(a*d*n*(p + 1)*(b^2 - 4*a*c))), x] + Simp[1/(a*n*(p +
      1)*(b^2 - 4*a*c))   Int[(d*x)^m*(a + b*x^n + c*x^(2*n))^(p + 1)*Simp[b^2*(n*(p + 1) + m + 1) - 2*a*c*(m + 2*n*
      (p + 1) + 1) + b*c*(2*n*p + 3*n + m + 1)*x^n, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, m, n}, x] && EqQ[n2, 2*n] && Ne
      Q[b^2 - 4*a*c, 0] && ILtQ[p + 1, 0]

1721. Int[((d_.)*(x_))^(m_.)*((a_) + (c_.)*(x_)^(n2_.) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_), x_Symbol] :> Simp[a^IntPart[p]*((a +
      b*x^n + c*x^(2*n))^FracPart[p]/((1 + 2*c*(x^n/(b + Rt[b^2 - 4*a*c, 2])))^FracPart[p]*(1 + 2*c*(x^n/(b - Rt[b^
      2 - 4*a*c, 2])))^FracPart[p]))   Int[(d*x)^m*(1 + 2*c*(x^n/(b + Sqrt[b^2 - 4*a*c])))^p*(1 + 2*c*(x^n/(b - Sqrt
      [b^2 - 4*a*c])))^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, m, n, p}, x] && EqQ[n2, 2*n]

1722. Int[(x_)^(m_.)*((a_) + (c_.)*(x_)^(n_.) + (b_.)*(x_)^(mn_))^(p_.), x_Symbol] :> Int[x^(m - n*p)*(b + a*x^n + c
      *x^(2*n))^p, x] /; FreeQ[{a, b, c, m, n}, x] && EqQ[mn, -n] && IntegerQ[p] && PosQ[n]

1723. Int[(x_)^(m_.)*((a_) + (c_.)*(x_)^(n_.) + (b_.)*(x_)^(mn_))^(p_.), x_Symbol] :> Simp[x^(n*FracPart[p])*((a + b
      /x^n + c*x^n)^FracPart[p]/(b + a*x^n + c*x^(2*n))^FracPart[p])   Int[x^(m - n*p)*(b + a*x^n + c*x^(2*n))^p, x]
      , x] /; FreeQ[{a, b, c, m, n, p}, x] && EqQ[mn, -n] &&  !IntegerQ[p] && PosQ[n]

1724. Int[((d_)*(x_))^(m_.)*((a_) + (c_.)*(x_)^(n_.) + (b_.)*(x_)^(mn_))^(p_.), x_Symbol] :> Simp[d^IntPart[m]*((d*x
      )^FracPart[m]/x^FracPart[m])   Int[x^m*(a + b/x^n + c*x^n)^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, m, n, p}, x] && EqQ
      [mn, -n]

1725. Int[(u_)^(m_.)*((a_.) + (c_.)*(v_)^(n2_.) + (b_.)*(v_)^(n_))^(p_.), x_Symbol] :> Simp[u^m/(Coefficient[v, x, 1
      ]*v^m)   Subst[Int[x^m*(a + b*x^n + c*x^(2*n))^p, x], x, v], x] /; FreeQ[{a, b, c, m, n, p}, x] && EqQ[n2, 2*n
      ] && LinearPairQ[u, v, x]

1726. Int[((a_.) + (c_.)*(v_)^(n2_.) + (b_.)*(v_)^(n_))^(p_.)*(x_)^(m_.), x_Symbol] :> Simp[1/Coefficient[v, x, 1]^(
      m + 1)   Subst[Int[SimplifyIntegrand[(x - Coefficient[v, x, 0])^m*(a + b*x^n + c*x^(2*n))^p, x], x], x, v], x]
      /; FreeQ[{a, b, c, n, p}, x] && EqQ[n2, 2*n] && LinearQ[v, x] && IntegerQ[m] && NeQ[v, x]

1727. Int[((a_) + (c_.)*(x_)^(n2_.) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^(n_))^(q_.), x_Symbol] :> Int[x^(n*(
      2*p + q))*(e + d/x^n)^q*(c + b/x^n + a/x^(2*n))^p, x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, n}, x] && EqQ[n2, 2*n] && Integ
      ersQ[p, q] && NegQ[n]

1728. Int[((a_) + (c_.)*(x_)^(n2_.))^(p_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^(n_))^(q_.), x_Symbol] :> Int[x^(n*(2*p + q))*(e + d/x
      ^n)^q*(c + a/x^(2*n))^p, x] /; FreeQ[{a, c, d, e, n}, x] && EqQ[n2, 2*n] && IntegersQ[p, q] && NegQ[n]

1729. Int[((d_) + (e_.)*(x_)^(n_))^(q_.)*((a_.) + (b_.)*(x_)^(n_) + (c_.)*(x_)^(n2_))^(p_), x_Symbol] :> -Subst[Int[
      (d + e/x^n)^q*((a + b/x^n + c/x^(2*n))^p/x^2), x], x, 1/x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, p, q}, x] && EqQ[n2, 2*n]
      && ILtQ[n, 0]

1730. Int[((d_) + (e_.)*(x_)^(n_))^(q_.)*((a_) + (c_.)*(x_)^(n2_))^(p_), x_Symbol] :> -Subst[Int[(d + e/x^n)^q*((a +
      c/x^(2*n))^p/x^2), x], x, 1/x] /; FreeQ[{a, c, d, e, p, q}, x] && EqQ[n2, 2*n] && ILtQ[n, 0]

1731. Int[((a_.) + (c_.)*(x_)^(n2_.) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^(n_))^(q_.), x_Symbol] :> With[{g =
      Denominator[n]}, Simp[g   Subst[Int[x^(g - 1)*(d + e*x^(g*n))^q*(a + b*x^(g*n) + c*x^(2*g*n))^p, x], x, x^(1/
      g)], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, p, q}, x] && EqQ[n2, 2*n] && FractionQ[n]

1732. Int[((a_) + (c_.)*(x_)^(n2_.))^(p_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^(n_))^(q_.), x_Symbol] :> With[{g = Denominator[n]}, S
      imp[g   Subst[Int[x^(g - 1)*(d + e*x^(g*n))^q*(a + c*x^(2*g*n))^p, x], x, x^(1/g)], x]] /; FreeQ[{a, c, d, e,
      p, q}, x] && EqQ[n2, 2*n] && FractionQ[n]

1733. Int[((d_) + (e_.)*(x_)^(n_))*((b_.)*(x_)^(n_) + (c_.)*(x_)^(n2_))^(p_), x_Symbol] :> Simp[(b*e - d*c)*((b*x^n
      + c*x^(2*n))^(p + 1)/(b*c*n*(p + 1)*x^(2*n*(p + 1)))), x] + Simp[e/c   Int[(b*x^n + c*x^(2*n))^(p + 1)/x^n, x]
      , x] /; FreeQ[{b, c, d, e, n, p}, x] && EqQ[n2, 2*n] &&  !IntegerQ[p] && EqQ[n*(2*p + 1) + 1, 0]

1734. Int[((d_) + (e_.)*(x_)^(n_))*((b_.)*(x_)^(n_) + (c_.)*(x_)^(n2_))^(p_), x_Symbol] :> Simp[e*x^(-n + 1)*((b*x^n
      + c*x^(2*n))^(p + 1)/(c*(n*(2*p + 1) + 1))), x] /; FreeQ[{b, c, d, e, n, p}, x] && EqQ[n2, 2*n] &&  !IntegerQ
      [p] && NeQ[n*(2*p + 1) + 1, 0] && EqQ[b*e*(n*p + 1) - c*d*(n*(2*p + 1) + 1), 0]

1735. Int[((d_) + (e_.)*(x_)^(n_))*((b_.)*(x_)^(n_) + (c_.)*(x_)^(n2_))^(p_), x_Symbol] :> Simp[e*x^(-n + 1)*((b*x^n
      + c*x^(2*n))^(p + 1)/(c*(n*(2*p + 1) + 1))), x] - Simp[(b*e*(n*p + 1) - c*d*(n*(2*p + 1) + 1))/(c*(n*(2*p + 1
      ) + 1))   Int[(b*x^n + c*x^(2*n))^p, x], x] /; FreeQ[{b, c, d, e, n, p}, x] && EqQ[n2, 2*n] &&  !IntegerQ[p] &
      & NeQ[n*(2*p + 1) + 1, 0] && NeQ[b*e*(n*p + 1) - c*d*(n*(2*p + 1) + 1), 0]

1736. Int[((d_) + (e_.)*(x_)^(n_))^(q_.)*((b_.)*(x_)^(n_) + (c_.)*(x_)^(n2_))^(p_), x_Symbol] :> Simp[(b*x^n + c*x^(
      2*n))^FracPart[p]/(x^(n*FracPart[p])*(b + c*x^n)^FracPart[p])   Int[x^(n*p)*(d + e*x^n)^q*(b + c*x^n)^p, x], x
      ] /; FreeQ[{b, c, d, e, n, p, q}, x] && EqQ[n2, 2*n] &&  !IntegerQ[p]

1737. Int[((d_) + (e_.)*(x_)^(n_))^(q_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_) + (c_.)*(x_)^(n2_)), x_Symbol] :> Int[ExpandIntegra
      nd[(d + e*x^n)^q*(a + b*x^n + c*x^(2*n)), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, n}, x] && EqQ[n2, 2*n] && NeQ[b^2 -
      4*a*c, 0] && NeQ[c*d^2 - b*d*e + a*e^2, 0] && IGtQ[q, 0]

1738. Int[((d_) + (e_.)*(x_)^(n_))^(q_.)*((a_) + (c_.)*(x_)^(n2_)), x_Symbol] :> Int[ExpandIntegrand[(d + e*x^n)^q*(
      a + c*x^(2*n)), x], x] /; FreeQ[{a, c, d, e, n}, x] && EqQ[n2, 2*n] && NeQ[c*d^2 + a*e^2, 0] && IGtQ[q, 0]

1739. Int[((d_) + (e_.)*(x_)^(n_))^(q_)*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_) + (c_.)*(x_)^(n2_)), x_Symbol] :> Simp[(-(c*d^2 - b*
      d*e + a*e^2))*x*((d + e*x^n)^(q + 1)/(d*e^2*n*(q + 1))), x] + Simp[1/(n*(q + 1)*d*e^2)   Int[(d + e*x^n)^(q +
      1)*Simp[c*d^2 - b*d*e + a*e^2*(n*(q + 1) + 1) + c*d*e*n*(q + 1)*x^n, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, n}, x
      ] && EqQ[n2, 2*n] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] && NeQ[c*d^2 - b*d*e + a*e^2, 0] && LtQ[q, -1]

1740. Int[((d_) + (e_.)*(x_)^(n_))^(q_)*((a_) + (c_.)*(x_)^(n2_)), x_Symbol] :> Simp[(-(c*d^2 + a*e^2))*x*((d + e*x^
      n)^(q + 1)/(d*e^2*n*(q + 1))), x] + Simp[1/(n*(q + 1)*d*e^2)   Int[(d + e*x^n)^(q + 1)*Simp[c*d^2 + a*e^2*(n*(
      q + 1) + 1) + c*d*e*n*(q + 1)*x^n, x], x], x] /; FreeQ[{a, c, d, e, n}, x] && EqQ[n2, 2*n] && NeQ[c*d^2 + a*e^
      2, 0] && LtQ[q, -1]

1741. Int[((d_) + (e_.)*(x_)^(n_))^(q_)*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_) + (c_.)*(x_)^(n2_)), x_Symbol] :> Simp[c*x^(n + 1)*(
      (d + e*x^n)^(q + 1)/(e*(n*(q + 2) + 1))), x] + Simp[1/(e*(n*(q + 2) + 1))   Int[(d + e*x^n)^q*(a*e*(n*(q + 2)
      + 1) - (c*d*(n + 1) - b*e*(n*(q + 2) + 1))*x^n), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, n, q}, x] && EqQ[n2, 2*n] &&
      NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] && NeQ[c*d^2 - b*d*e + a*e^2, 0]

1742. Int[((d_) + (e_.)*(x_)^(n_))^(q_)*((a_) + (c_.)*(x_)^(n2_)), x_Symbol] :> Simp[c*x^(n + 1)*((d + e*x^n)^(q + 1
      )/(e*(n*(q + 2) + 1))), x] + Simp[1/(e*(n*(q + 2) + 1))   Int[(d + e*x^n)^q*(a*e*(n*(q + 2) + 1) - c*d*(n + 1)
      *x^n), x], x] /; FreeQ[{a, c, d, e, n, q}, x] && EqQ[n2, 2*n] && NeQ[c*d^2 + a*e^2, 0]

1743. Int[((d_) + (e_.)*(x_)^(n_))/((a_) + (c_.)*(x_)^(n2_)), x_Symbol] :> With[{q = Rt[2*d*e, 2]}, Simp[e^2/(2*c)
      Int[1/(d + q*x^(n/2) + e*x^n), x], x] + Simp[e^2/(2*c)   Int[1/(d - q*x^(n/2) + e*x^n), x], x]] /; FreeQ[{a,
      c, d, e}, x] && EqQ[n2, 2*n] && EqQ[c*d^2 - a*e^2, 0] && IGtQ[n/2, 0] && PosQ[d*e]

1744. Int[((d_) + (e_.)*(x_)^(n_))/((a_) + (c_.)*(x_)^(n2_)), x_Symbol] :> With[{q = Rt[-2*d*e, 2]}, Simp[d/(2*a)
      Int[(d - q*x^(n/2))/(d - q*x^(n/2) - e*x^n), x], x] + Simp[d/(2*a)   Int[(d + q*x^(n/2))/(d + q*x^(n/2) - e*x^
      n), x], x]] /; FreeQ[{a, c, d, e}, x] && EqQ[n2, 2*n] && EqQ[c*d^2 - a*e^2, 0] && IGtQ[n/2, 0] && NegQ[d*e]

1745. Int[((d_) + (e_.)*(x_)^(n_))/((a_) + (c_.)*(x_)^(n2_)), x_Symbol] :> With[{q = Rt[a/c, 4]}, Simp[1/(2*Sqrt[2]*
      c*q^3)   Int[(Sqrt[2]*d*q - (d - e*q^2)*x^(n/2))/(q^2 - Sqrt[2]*q*x^(n/2) + x^n), x], x] + Simp[1/(2*Sqrt[2]*c
      *q^3)   Int[(Sqrt[2]*d*q + (d - e*q^2)*x^(n/2))/(q^2 + Sqrt[2]*q*x^(n/2) + x^n), x], x]] /; FreeQ[{a, c, d, e}
      , x] && EqQ[n2, 2*n] && NeQ[c*d^2 + a*e^2, 0] && NeQ[c*d^2 - a*e^2, 0] && IGtQ[n/2, 0] && PosQ[a*c]

1746. Int[((d_) + (e_.)*(x_)^3)/((a_) + (c_.)*(x_)^6), x_Symbol] :> With[{q = Rt[c/a, 6]}, Simp[1/(3*a*q^2)   Int[(q
      ^2*d - e*x)/(1 + q^2*x^2), x], x] + (Simp[1/(6*a*q^2)   Int[(2*q^2*d - (Sqrt[3]*q^3*d - e)*x)/(1 - Sqrt[3]*q*x
      + q^2*x^2), x], x] + Simp[1/(6*a*q^2)   Int[(2*q^2*d + (Sqrt[3]*q^3*d + e)*x)/(1 + Sqrt[3]*q*x + q^2*x^2), x]
      , x])] /; FreeQ[{a, c, d, e}, x] && NeQ[c*d^2 + a*e^2, 0] && PosQ[c/a]

1747. Int[((d_) + (e_.)*(x_)^(n_))/((a_) + (c_.)*(x_)^(n2_)), x_Symbol] :> With[{q = Rt[-a/c, 2]}, Simp[(d + e*q)/2
      Int[1/(a + c*q*x^n), x], x] + Simp[(d - e*q)/2   Int[1/(a - c*q*x^n), x], x]] /; FreeQ[{a, c, d, e, n}, x] &
      & EqQ[n2, 2*n] && NeQ[c*d^2 + a*e^2, 0] && NegQ[a*c] && IntegerQ[n]

1748. Int[((d_) + (e_.)*(x_)^(n_))/((a_) + (c_.)*(x_)^(n2_)), x_Symbol] :> Simp[d   Int[1/(a + c*x^(2*n)), x], x] +
      Simp[e   Int[x^n/(a + c*x^(2*n)), x], x] /; FreeQ[{a, c, d, e, n}, x] && EqQ[n2, 2*n] && NeQ[c*d^2 + a*e^2, 0]
      && (PosQ[a*c] ||  !IntegerQ[n])

1749. Int[((d_) + (e_.)*(x_)^(n_))/((a_) + (b_.)*(x_)^(n_) + (c_.)*(x_)^(n2_)), x_Symbol] :> With[{q = Rt[2*(d/e) -
      b/c, 2]}, Simp[e/(2*c)   Int[1/Simp[d/e + q*x^(n/2) + x^n, x], x], x] + Simp[e/(2*c)   Int[1/Simp[d/e - q*x^(n
      /2) + x^n, x], x], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && EqQ[n2, 2*n] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] && EqQ[c*d^2 - a*e^
      2, 0] && IGtQ[n/2, 0] && (GtQ[2*(d/e) - b/c, 0] || ( !LtQ[2*(d/e) - b/c, 0] && EqQ[d, e*Rt[a/c, 2]]))

1750. Int[((d_) + (e_.)*(x_)^(n_))/((a_) + (b_.)*(x_)^(n_) + (c_.)*(x_)^(n2_)), x_Symbol] :> With[{q = Rt[b^2 - 4*a*
      c, 2]}, Simp[(e/2 + (2*c*d - b*e)/(2*q))   Int[1/(b/2 - q/2 + c*x^n), x], x] + Simp[(e/2 - (2*c*d - b*e)/(2*q)
      )   Int[1/(b/2 + q/2 + c*x^n), x], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, n}, x] && EqQ[n2, 2*n] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0]
      && EqQ[c*d^2 - a*e^2, 0] && IGtQ[n/2, 0] && GtQ[b^2 - 4*a*c, 0]

1751. Int[((d_) + (e_.)*(x_)^(n_))/((a_) + (b_.)*(x_)^(n_) + (c_.)*(x_)^(n2_)), x_Symbol] :> With[{q = Rt[-2*(d/e) -
      b/c, 2]}, Simp[e/(2*c*q)   Int[(q - 2*x^(n/2))/Simp[d/e + q*x^(n/2) - x^n, x], x], x] + Simp[e/(2*c*q)   Int[
      (q + 2*x^(n/2))/Simp[d/e - q*x^(n/2) - x^n, x], x], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && EqQ[n2, 2*n] && NeQ[b^
      2 - 4*a*c, 0] && EqQ[c*d^2 - a*e^2, 0] && IGtQ[n/2, 0] &&  !GtQ[b^2 - 4*a*c, 0]

1752. Int[((d_) + (e_.)*(x_)^(n_))/((a_) + (b_.)*(x_)^(n_) + (c_.)*(x_)^(n2_)), x_Symbol] :> With[{q = Rt[b^2 - 4*a*
      c, 2]}, Simp[(e/2 + (2*c*d - b*e)/(2*q))   Int[1/(b/2 - q/2 + c*x^n), x], x] + Simp[(e/2 - (2*c*d - b*e)/(2*q)
      )   Int[1/(b/2 + q/2 + c*x^n), x], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, n}, x] && EqQ[n2, 2*n] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0]
      && NeQ[c*d^2 - b*d*e + a*e^2, 0] && (PosQ[b^2 - 4*a*c] ||  !IGtQ[n/2, 0])

1753. Int[((d_) + (e_.)*(x_)^(n_))/((a_) + (b_.)*(x_)^(n_) + (c_.)*(x_)^(n2_)), x_Symbol] :> With[{q = Rt[a/c, 2]},
      With[{r = Rt[2*q - b/c, 2]}, Simp[1/(2*c*q*r)   Int[(d*r - (d - e*q)*x^(n/2))/(q - r*x^(n/2) + x^n), x], x] +
      Simp[1/(2*c*q*r)   Int[(d*r + (d - e*q)*x^(n/2))/(q + r*x^(n/2) + x^n), x], x]]] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x]
      && EqQ[n2, 2*n] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] && NeQ[c*d^2 - b*d*e + a*e^2, 0] && IGtQ[n/2, 0] && NegQ[b^2 - 4*a*c]

1754. Int[((d_) + (e_.)*(x_)^(n_))^(q_)/((a_) + (b_.)*(x_)^(n_) + (c_.)*(x_)^(n2_)), x_Symbol] :> Int[ExpandIntegran
      d[(d + e*x^n)^q/(a + b*x^n + c*x^(2*n)), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, n}, x] && EqQ[n2, 2*n] && NeQ[b^2 - 4
      *a*c, 0] && NeQ[c*d^2 - b*d*e + a*e^2, 0] && IntegerQ[q]

1755. Int[((d_) + (e_.)*(x_)^(n_))^(q_)/((a_) + (c_.)*(x_)^(n2_)), x_Symbol] :> Int[ExpandIntegrand[(d + e*x^n)^q/(a
      + c*x^(2*n)), x], x] /; FreeQ[{a, c, d, e, n}, x] && EqQ[n2, 2*n] && NeQ[c*d^2 + a*e^2, 0] && IntegerQ[q]

1756. Int[((d_) + (e_.)*(x_)^(n_))^(q_)/((a_) + (b_.)*(x_)^(n_) + (c_.)*(x_)^(n2_)), x_Symbol] :> Simp[e^2/(c*d^2 -
      b*d*e + a*e^2)   Int[(d + e*x^n)^q, x], x] + Simp[1/(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)   Int[(d + e*x^n)^(q + 1)*((c*d -
      b*e - c*e*x^n)/(a + b*x^n + c*x^(2*n))), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, n}, x] && EqQ[n2, 2*n] && NeQ[b^2 - 4
      *a*c, 0] && NeQ[c*d^2 - b*d*e + a*e^2, 0] &&  !IntegerQ[q] && LtQ[q, -1]

1757. Int[((d_) + (e_.)*(x_)^(n_))^(q_)/((a_) + (c_.)*(x_)^(n2_)), x_Symbol] :> Simp[e^2/(c*d^2 + a*e^2)   Int[(d +
      e*x^n)^q, x], x] + Simp[c/(c*d^2 + a*e^2)   Int[(d + e*x^n)^(q + 1)*((d - e*x^n)/(a + c*x^(2*n))), x], x] /; F
      reeQ[{a, c, d, e, n}, x] && EqQ[n2, 2*n] && NeQ[c*d^2 + a*e^2, 0] &&  !IntegerQ[q] && LtQ[q, -1]

1758. Int[((d_) + (e_.)*(x_)^(n_))^(q_)/((a_) + (b_.)*(x_)^(n_) + (c_.)*(x_)^(n2_)), x_Symbol] :> With[{r = Rt[b^2 -
      4*a*c, 2]}, Simp[2*(c/r)   Int[(d + e*x^n)^q/(b - r + 2*c*x^n), x], x] - Simp[2*(c/r)   Int[(d + e*x^n)^q/(b
      + r + 2*c*x^n), x], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, n, q}, x] && EqQ[n2, 2*n] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] && NeQ[c*d^2
      - b*d*e + a*e^2, 0] &&  !IntegerQ[q]

1759. Int[((d_) + (e_.)*(x_)^(n_))^(q_)/((a_) + (c_.)*(x_)^(n2_)), x_Symbol] :> With[{r = Rt[(-a)*c, 2]}, Simp[-c/(2
      *r)   Int[(d + e*x^n)^q/(r - c*x^n), x], x] - Simp[c/(2*r)   Int[(d + e*x^n)^q/(r + c*x^n), x], x]] /; FreeQ[{
      a, c, d, e, n, q}, x] && EqQ[n2, 2*n] && NeQ[c*d^2 + a*e^2, 0] &&  !IntegerQ[q]

1760. Int[((d_) + (e_.)*(x_)^(n_))*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_) + (c_.)*(x_)^(n2_))^(p_), x_Symbol] :> Simp[(-x)*(d*b^2 -
      a*b*e - 2*a*c*d + (b*d - 2*a*e)*c*x^n)*((a + b*x^n + c*x^(2*n))^(p + 1)/(a*n*(p + 1)*(b^2 - 4*a*c))), x] + Si
      mp[1/(a*n*(p + 1)*(b^2 - 4*a*c))   Int[Simp[(n*p + n + 1)*d*b^2 - a*b*e - 2*a*c*d*(2*n*p + 2*n + 1) + (2*n*p +
      3*n + 1)*(d*b - 2*a*e)*c*x^n, x]*(a + b*x^n + c*x^(2*n))^(p + 1), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, n}, x] && E
      qQ[n2, 2*n] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] && ILtQ[p, -1]

1761. Int[((d_) + (e_.)*(x_)^(n_))*((a_) + (c_.)*(x_)^(n2_))^(p_), x_Symbol] :> Simp[(-x)*(d + e*x^n)*((a + c*x^(2*n
      ))^(p + 1)/(2*a*n*(p + 1))), x] + Simp[1/(2*a*n*(p + 1))   Int[(d*(2*n*p + 2*n + 1) + e*(2*n*p + 3*n + 1)*x^n)
      *(a + c*x^(2*n))^(p + 1), x], x] /; FreeQ[{a, c, d, e, n}, x] && EqQ[n2, 2*n] && ILtQ[p, -1]

1762. Int[((d_) + (e_.)*(x_)^(n_))*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_) + (c_.)*(x_)^(n2_))^(p_), x_Symbol] :> Int[ExpandIntegran
      d[(d + e*x^n)*(a + b*x^n + c*x^(2*n))^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, n}, x] && EqQ[n2, 2*n] && NeQ[b^2 - 4
      *a*c, 0]

1763. Int[((d_) + (e_.)*(x_)^(n_))*((a_) + (c_.)*(x_)^(n2_))^(p_), x_Symbol] :> Int[ExpandIntegrand[(d + e*x^n)*(a +
      c*x^(2*n))^p, x], x] /; FreeQ[{a, c, d, e, n}, x] && EqQ[n2, 2*n]

1764. Int[((d_) + (e_.)*(x_)^(n_))^(q_)*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_) + (c_.)*(x_)^(n2_))^(p_), x_Symbol] :> Simp[c^p*x^(2
      *n*p - n + 1)*((d + e*x^n)^(q + 1)/(e*(2*n*p + n*q + 1))), x] + Int[(d + e*x^n)^q*ExpandToSum[(a + b*x^n + c*x
      ^(2*n))^p - c^p*x^(2*n*p) - d*c^p*(2*n*p - n + 1)*(x^(2*n*p - n)/(e*(2*n*p + n*q + 1))), x], x] /; FreeQ[{a, b
      , c, d, e, n, q}, x] && EqQ[n2, 2*n] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] && IGtQ[p, 0] && NeQ[2*n*p + n*q + 1, 0] && IGtQ[n
      , 0] &&  !IGtQ[q, 0]

1765. Int[((d_) + (e_.)*(x_)^(n_))^(q_)*((a_) + (c_.)*(x_)^(n2_))^(p_), x_Symbol] :> Simp[c^p*x^(2*n*p - n + 1)*((d
      + e*x^n)^(q + 1)/(e*(2*n*p + n*q + 1))), x] + Int[(d + e*x^n)^q*ExpandToSum[(a + c*x^(2*n))^p - c^p*x^(2*n*p)
      - d*c^p*(2*n*p - n + 1)*(x^(2*n*p - n)/(e*(2*n*p + n*q + 1))), x], x] /; FreeQ[{a, c, d, e, n, q}, x] && EqQ[n
      2, 2*n] && IGtQ[p, 0] && NeQ[2*n*p + n*q + 1, 0] && IGtQ[n, 0] &&  !IGtQ[q, 0]

1766. Int[((d_) + (e_.)*(x_)^(n_))^(q_)*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_) + (c_.)*(x_)^(n2_))^(p_), x_Symbol] :> Int[ExpandInt
      egrand[(d + e*x^n)^q*(a + b*x^n + c*x^(2*n))^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, n, p, q}, x] && EqQ[n2, 2*n] &
      & NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] && NeQ[c*d^2 - b*d*e + a*e^2, 0] && ((IntegersQ[p, q] &&  !IntegerQ[n]) || IGtQ[p, 0] ||
      (IGtQ[q, 0] &&  !IntegerQ[n]))

1767. Int[((d_) + (e_.)*(x_)^(n_))^(q_)*((a_) + (c_.)*(x_)^(n2_))^(p_), x_Symbol] :> Int[ExpandIntegrand[(d + e*x^n)
      ^q*(a + c*x^(2*n))^p, x], x] /; FreeQ[{a, c, d, e, n, p, q}, x] && EqQ[n2, 2*n] && NeQ[c*d^2 + a*e^2, 0] && ((
      IntegersQ[p, q] &&  !IntegerQ[n]) || IGtQ[p, 0] || (IGtQ[q, 0] &&  !IntegerQ[n]))

1768. Int[((d_) + (e_.)*(x_)^(n_))^(q_)*((a_) + (c_.)*(x_)^(n2_))^(p_), x_Symbol] :> Int[ExpandIntegrand[(a + c*x^(2
      *n))^p, (d/(d^2 - e^2*x^(2*n)) - e*(x^n/(d^2 - e^2*x^(2*n))))^(-q), x], x] /; FreeQ[{a, c, d, e, n, p}, x] &&
      EqQ[n2, 2*n] && NeQ[c*d^2 + a*e^2, 0] &&  !IntegerQ[p] && ILtQ[q, 0]

1769. Int[((d_) + (e_.)*(x_)^(n_))^(q_)*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_) + (c_.)*(x_)^(n2_))^(p_), x_Symbol] :> Unintegrable[
      (d + e*x^n)^q*(a + b*x^n + c*x^(2*n))^p, x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, n, p, q}, x] && EqQ[n2, 2*n]

1770. Int[((d_) + (e_.)*(x_)^(n_))^(q_)*((a_) + (c_.)*(x_)^(n2_))^(p_), x_Symbol] :> Unintegrable[(d + e*x^n)^q*(a +
      c*x^(2*n))^p, x] /; FreeQ[{a, c, d, e, n, p, q}, x] && EqQ[n2, 2*n]

1771. Int[((d_) + (e_.)*(u_)^(n_))^(q_.)*((a_) + (b_.)*(u_)^(n_) + (c_.)*(u_)^(n2_))^(p_.), x_Symbol] :> Simp[1/Coef
      ficient[u, x, 1]   Subst[Int[(d + e*x^n)^q*(a + b*x^n + c*x^(2*n))^p, x], x, u], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, n
      , p, q}, x] && EqQ[n2, 2*n] && LinearQ[u, x] && NeQ[u, x]

1772. Int[((d_) + (e_.)*(u_)^(n_))^(q_.)*((a_) + (c_.)*(u_)^(n2_))^(p_.), x_Symbol] :> Simp[1/Coefficient[u, x, 1]
      Subst[Int[(d + e*x^n)^q*(a + c*x^(2*n))^p, x], x, u], x] /; FreeQ[{a, c, d, e, n, p, q}, x] && EqQ[n2, 2*n] &
      & LinearQ[u, x] && NeQ[u, x]

1773. Int[((d_) + (e_.)*(x_)^(mn_.))^(q_.)*((a_.) + (b_.)*(x_)^(n_.) + (c_.)*(x_)^(n2_.))^(p_.), x_Symbol] :> Int[((
      e + d*x^n)^q*(a + b*x^n + c*x^(2*n))^p)/x^(n*q), x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, n, p}, x] && EqQ[n2, 2*n] && EqQ[
      mn, -n] && IntegerQ[q] && (PosQ[n] ||  !IntegerQ[p])

1774. Int[((d_) + (e_.)*(x_)^(mn_.))^(q_.)*((a_) + (c_.)*(x_)^(n2_.))^(p_.), x_Symbol] :> Int[x^(mn*q)*(e + d/x^mn)^
      q*(a + c*x^n2)^p, x] /; FreeQ[{a, c, d, e, mn, p}, x] && EqQ[n2, -2*mn] && IntegerQ[q] && (PosQ[n2] ||  !Integ
      erQ[p])

1775. Int[((a_.) + (b_.)*(x_)^(mn_.) + (c_.)*(x_)^(mn2_.))^(p_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^(n_.))^(q_.), x_Symbol] :> Int[(
      (d + e*x^n)^q*(c + b*x^n + a*x^(2*n))^p)/x^(2*n*p), x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, n, q}, x] && EqQ[mn, -n] && Eq
      Q[mn2, 2*mn] && IntegerQ[p]

1776. Int[((a_.) + (c_.)*(x_)^(mn2_.))^(p_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^(n_.))^(q_.), x_Symbol] :> Int[((d + e*x^n)^q*(c + a
      *x^(2*n))^p)/x^(2*n*p), x] /; FreeQ[{a, c, d, e, n, q}, x] && EqQ[mn2, -2*n] && IntegerQ[p]

1777. Int[((d_) + (e_.)*(x_)^(mn_.))^(q_)*((a_.) + (b_.)*(x_)^(n_.) + (c_.)*(x_)^(n2_.))^(p_.), x_Symbol] :> Simp[e^
      IntPart[q]*x^(n*FracPart[q])*((d + e/x^n)^FracPart[q]/(1 + d*(x^n/e))^FracPart[q])   Int[((1 + d*(x^n/e))^q*(a
      + b*x^n + c*x^(2*n))^p)/x^(n*q), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, n, p, q}, x] && EqQ[n2, 2*n] && EqQ[mn, -n]
      &&  !IntegerQ[p] &&  !IntegerQ[q] && PosQ[n]

1778. Int[((d_) + (e_.)*(x_)^(mn_.))^(q_)*((a_) + (c_.)*(x_)^(n2_.))^(p_.), x_Symbol] :> Simp[(e^IntPart[q]*((d + e*
      x^mn)^FracPart[q]/(1 + d*(1/(x^mn*e)))^FracPart[q]))/x^(mn*FracPart[q])   Int[x^(mn*q)*(1 + d*(1/(x^mn*e)))^q*
      (a + c*x^n2)^p, x], x] /; FreeQ[{a, c, d, e, mn, p, q}, x] && EqQ[n2, -2*mn] &&  !IntegerQ[p] &&  !IntegerQ[q]
      && PosQ[n2]

1779. Int[((a_.) + (b_.)*(x_)^(mn_.) + (c_.)*(x_)^(mn2_.))^(p_)*((d_) + (e_.)*(x_)^(n_.))^(q_.), x_Symbol] :> Simp[x
      ^(2*n*FracPart[p])*((a + b/x^n + c/x^(2*n))^FracPart[p]/(c + b*x^n + a*x^(2*n))^FracPart[p])   Int[((d + e*x^n
      )^q*(c + b*x^n + a*x^(2*n))^p)/x^(2*n*p), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, n, p, q}, x] && EqQ[mn, -n] && EqQ[m
      n2, 2*mn] &&  !IntegerQ[p] &&  !IntegerQ[q] && PosQ[n]

1780. Int[((a_.) + (c_.)*(x_)^(mn2_.))^(p_)*((d_) + (e_.)*(x_)^(n_.))^(q_.), x_Symbol] :> Simp[x^(2*n*FracPart[p])*(
      (a + c/x^(2*n))^FracPart[p]/(c + a*x^(2*n))^FracPart[p])   Int[((d + e*x^n)^q*(c + a*x^(2*n))^p)/x^(2*n*p), x]
      , x] /; FreeQ[{a, c, d, e, n, p, q}, x] && EqQ[mn2, -2*n] &&  !IntegerQ[p] &&  !IntegerQ[q] && PosQ[n]

1781. Int[((a_) + (c_.)*(x_)^(n_.) + (b_.)*(x_)^(mn_))^(p_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^(n_))^(q_.), x_Symbol] :> Int[((d +
      e*x^n)^q*(b + a*x^n + c*x^(2*n))^p)/x^(n*p), x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, n, q}, x] && EqQ[mn, -n] && IntegerQ[
      p]

1782. Int[((a_) + (c_.)*(x_)^(n_.) + (b_.)*(x_)^(mn_))^(p_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^(n_))^(q_.), x_Symbol] :> Simp[x^(n*
      FracPart[p])*((a + b/x^n + c*x^n)^FracPart[p]/(b + a*x^n + c*x^(2*n))^FracPart[p])   Int[((d + e*x^n)^q*(b + a
      *x^n + c*x^(2*n))^p)/x^(n*p), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, n, p, q}, x] && EqQ[mn, -n] &&  !IntegerQ[p]

1783. Int[((d_) + (e_.)*(x_)^(n_))^(q_.)*((f_) + (g_.)*(x_)^(n_))^(r_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_) + (c_.)*(x_)^(n2_))^
      (p_), x_Symbol] :> Simp[(a + b*x^n + c*x^(2*n))^FracPart[p]/((4*c)^IntPart[p]*(b + 2*c*x^n)^(2*FracPart[p]))
      Int[(d + e*x^n)^q*(f + g*x^n)^r*(b + 2*c*x^n)^(2*p), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, n, p, q, r}, x] &&
      EqQ[n2, 2*n] && EqQ[b^2 - 4*a*c, 0] &&  !IntegerQ[p]

1784. Int[((d_) + (e_.)*(x_)^(n_))^(q_.)*((f_) + (g_.)*(x_)^(n_))^(r_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_) + (c_.)*(x_)^(n2_))^
      (p_.), x_Symbol] :> Int[(d + e*x^n)^(p + q)*(f + g*x^n)^r*(a/d + (c/e)*x^n)^p, x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f,
      g, n, q, r}, x] && EqQ[n2, 2*n] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] && EqQ[c*d^2 - b*d*e + a*e^2, 0] && IntegerQ[p]

1785. Int[((d_) + (e_.)*(x_)^(n_))^(q_.)*((f_) + (g_.)*(x_)^(n_))^(r_.)*((a_) + (c_.)*(x_)^(n2_))^(p_.), x_Symbol] :
      > Int[(d + e*x^n)^(p + q)*(f + g*x^n)^r*(a/d + (c/e)*x^n)^p, x] /; FreeQ[{a, c, d, e, f, g, n, q, r}, x] && Eq
      Q[n2, 2*n] && EqQ[c*d^2 + a*e^2, 0] && IntegerQ[p]

1786. Int[((d_) + (e_.)*(x_)^(n_))^(q_.)*((f_) + (g_.)*(x_)^(n_))^(r_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_) + (c_.)*(x_)^(n2_))^
      (p_), x_Symbol] :> Simp[(a + b*x^n + c*x^(2*n))^FracPart[p]/((d + e*x^n)^FracPart[p]*(a/d + (c*x^n)/e)^FracPar
      t[p])   Int[(d + e*x^n)^(p + q)*(f + g*x^n)^r*(a/d + (c/e)*x^n)^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, n, p,
      q, r}, x] && EqQ[n2, 2*n] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] && EqQ[c*d^2 - b*d*e + a*e^2, 0] &&  !IntegerQ[p]

1787. Int[((d_) + (e_.)*(x_)^(n_))^(q_.)*((f_) + (g_.)*(x_)^(n_))^(r_.)*((a_) + (c_.)*(x_)^(n2_))^(p_), x_Symbol] :>
      Simp[(a + c*x^(2*n))^FracPart[p]/((d + e*x^n)^FracPart[p]*(a/d + (c*x^n)/e)^FracPart[p])   Int[(d + e*x^n)^(p
      + q)*(f + g*x^n)^r*(a/d + (c/e)*x^n)^p, x], x] /; FreeQ[{a, c, d, e, f, g, n, p, q, r}, x] && EqQ[n2, 2*n] &&
      EqQ[c*d^2 + a*e^2, 0] &&  !IntegerQ[p]

1788. Int[((d1_) + (e1_.)*(x_)^(non2_.))^(q_.)*((d2_) + (e2_.)*(x_)^(non2_.))^(q_.)*((a_.) + (b_.)*(x_)^(n_) + (c_.)
      *(x_)^(n2_))^(p_.), x_Symbol] :> Int[(d1*d2 + e1*e2*x^n)^q*(a + b*x^n + c*x^(2*n))^p, x] /; FreeQ[{a, b, c, d1
      , e1, d2, e2, n, p, q}, x] && EqQ[n2, 2*n] && EqQ[non2, n/2] && EqQ[d2*e1 + d1*e2, 0] && (IntegerQ[q] || (GtQ[
      d1, 0] && GtQ[d2, 0]))

1789. Int[((d1_) + (e1_.)*(x_)^(non2_.))^(q_.)*((d2_) + (e2_.)*(x_)^(non2_.))^(q_.)*((a_.) + (b_.)*(x_)^(n_) + (c_.)
      *(x_)^(n2_))^(p_.), x_Symbol] :> Simp[(d1 + e1*x^(n/2))^FracPart[q]*((d2 + e2*x^(n/2))^FracPart[q]/(d1*d2 + e1
      *e2*x^n)^FracPart[q])   Int[(d1*d2 + e1*e2*x^n)^q*(a + b*x^n + c*x^(2*n))^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d1, e1,
      d2, e2, n, p, q}, x] && EqQ[n2, 2*n] && EqQ[non2, n/2] && EqQ[d2*e1 + d1*e2, 0]

1790. Int[((A_) + (B_.)*(x_)^(m_.))*((d_) + (e_.)*(x_)^(n_))^(q_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_) + (c_.)*(x_)^(n2_))^(p_.)
      , x_Symbol] :> Simp[A   Int[(d + e*x^n)^q*(a + b*x^n + c*x^(2*n))^p, x], x] + Simp[B   Int[x^m*(d + e*x^n)^q*(
      a + b*x^n + c*x^(2*n))^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, A, B, m, n, p, q}, x] && EqQ[n2, 2*n] && EqQ[m - n +
      1, 0]

1791. Int[((A_) + (B_.)*(x_)^(m_.))*((d_) + (e_.)*(x_)^(n_))^(q_.)*((a_) + (c_.)*(x_)^(n2_))^(p_.), x_Symbol] :> Sim
      p[A   Int[(d + e*x^n)^q*(a + c*x^(2*n))^p, x], x] + Simp[B   Int[x^m*(d + e*x^n)^q*(a + c*x^(2*n))^p, x], x] /
      ; FreeQ[{a, c, d, e, A, B, m, n, p, q}, x] && EqQ[n2, 2*n] && EqQ[m - n + 1, 0]

1792. Int[((f_.)*(x_))^(m_.)*((e_.)*(x_)^(n_))^(q_)*((a_) + (c_.)*(x_)^(n2_.) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_.), x_Symbol] :>
      Simp[f^m/(n*e^((m + 1)/n - 1))   Subst[Int[(e*x)^(q + (m + 1)/n - 1)*(a + b*x + c*x^2)^p, x], x, x^n], x] /;
      FreeQ[{a, b, c, e, f, m, n, p, q}, x] && EqQ[n2, 2*n] && (IntegerQ[m] || GtQ[f, 0]) && IntegerQ[Simplify[(m +
      1)/n]]

1793. Int[((f_.)*(x_))^(m_.)*((e_.)*(x_)^(n_))^(q_)*((a_) + (c_.)*(x_)^(n2_.))^(p_.), x_Symbol] :> Simp[f^m/(n*e^((m
      + 1)/n - 1))   Subst[Int[(e*x)^(q + (m + 1)/n - 1)*(a + c*x^2)^p, x], x, x^n], x] /; FreeQ[{a, c, e, f, m, n,
      p, q}, x] && EqQ[n2, 2*n] && (IntegerQ[m] || GtQ[f, 0]) && IntegerQ[Simplify[(m + 1)/n]]

1794. Int[((f_.)*(x_))^(m_.)*((e_.)*(x_)^(n_))^(q_)*((a_) + (c_.)*(x_)^(n2_.) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_.), x_Symbol] :>
      Simp[f^m*e^IntPart[q]*((e*x^n)^FracPart[q]/x^(n*FracPart[q]))   Int[x^(m + n*q)*(a + b*x^n + c*x^(2*n))^p, x]
      , x] /; FreeQ[{a, b, c, e, f, m, n, p, q}, x] && EqQ[n2, 2*n] && (IntegerQ[m] || GtQ[f, 0]) &&  !IntegerQ[Simp
      lify[(m + 1)/n]]

1795. Int[((f_.)*(x_))^(m_.)*((e_.)*(x_)^(n_))^(q_)*((a_) + (c_.)*(x_)^(n2_.))^(p_.), x_Symbol] :> Simp[f^m*e^IntPar
      t[q]*((e*x^n)^FracPart[q]/x^(n*FracPart[q]))   Int[x^(m + n*q)*(a + c*x^(2*n))^p, x], x] /; FreeQ[{a, c, e, f,
      m, n, p, q}, x] && EqQ[n2, 2*n] && (IntegerQ[m] || GtQ[f, 0]) &&  !IntegerQ[Simplify[(m + 1)/n]]

1796. Int[((f_)*(x_))^(m_.)*((e_.)*(x_)^(n_))^(q_)*((a_) + (c_.)*(x_)^(n2_.) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_.), x_Symbol] :>
      Simp[f^IntPart[m]*((f*x)^FracPart[m]/x^FracPart[m])   Int[x^m*(e*x^n)^q*(a + b*x^n + c*x^(2*n))^p, x], x] /; F
      reeQ[{a, b, c, e, f, m, n, p, q}, x] && EqQ[n2, 2*n] &&  !IntegerQ[m]

1797. Int[((f_)*(x_))^(m_.)*((e_.)*(x_)^(n_))^(q_)*((a_) + (c_.)*(x_)^(n2_.))^(p_.), x_Symbol] :> Simp[f^IntPart[m]*
      ((f*x)^FracPart[m]/x^FracPart[m])   Int[x^m*(e*x^n)^q*(a + c*x^(2*n))^p, x], x] /; FreeQ[{a, c, e, f, m, n, p,
      q}, x] && EqQ[n2, 2*n] &&  !IntegerQ[m]

1798. Int[(x_)^(m_.)*((a_) + (c_.)*(x_)^(n2_.) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^(n_))^(q_.), x_Symbol] :>
      Simp[1/n   Subst[Int[(d + e*x)^q*(a + b*x + c*x^2)^p, x], x, x^n], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, m, n, p, q}, x
      ] && EqQ[n2, 2*n] && EqQ[Simplify[m - n + 1], 0]

1799. Int[(x_)^(m_.)*((a_) + (c_.)*(x_)^(n2_.))^(p_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^(n_))^(q_.), x_Symbol] :> Simp[1/n   Subst[
      Int[(d + e*x)^q*(a + c*x^2)^p, x], x, x^n], x] /; FreeQ[{a, c, d, e, m, n, p, q}, x] && EqQ[n2, 2*n] && EqQ[Si
      mplify[m - n + 1], 0]

1800. Int[(x_)^(m_.)*((a_) + (c_.)*(x_)^(n2_.) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^(n_))^(q_.), x_Symbol] :>
      Int[x^(m + n*(2*p + q))*(e + d/x^n)^q*(c + b/x^n + a/x^(2*n))^p, x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, m, n}, x] && EqQ
      [n2, 2*n] && IntegersQ[p, q] && NegQ[n]

1801. Int[(x_)^(m_.)*((a_) + (c_.)*(x_)^(n2_.))^(p_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^(n_))^(q_.), x_Symbol] :> Int[x^(m + n*(2*p
      + q))*(e + d/x^n)^q*(c + a/x^(2*n))^p, x] /; FreeQ[{a, c, d, e, m, n}, x] && EqQ[n2, 2*n] && IntegersQ[p, q]
      && NegQ[n]

1802. Int[(x_)^(m_.)*((a_) + (c_.)*(x_)^(n2_.) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^(n_))^(q_.), x_Symbol] :>
      Simp[1/n   Subst[Int[x^(Simplify[(m + 1)/n] - 1)*(d + e*x)^q*(a + b*x + c*x^2)^p, x], x, x^n], x] /; FreeQ[{a
      , b, c, d, e, m, n, p, q}, x] && EqQ[n2, 2*n] && IntegerQ[Simplify[(m + 1)/n]]

1803. Int[(x_)^(m_.)*((a_) + (c_.)*(x_)^(n2_.))^(p_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^(n_))^(q_.), x_Symbol] :> Simp[1/n   Subst[
      Int[x^(Simplify[(m + 1)/n] - 1)*(d + e*x)^q*(a + c*x^2)^p, x], x, x^n], x] /; FreeQ[{a, c, d, e, m, n, p, q},
      x] && EqQ[n2, 2*n] && IntegerQ[Simplify[(m + 1)/n]]

1804. Int[((f_)*(x_))^(m_.)*((a_) + (c_.)*(x_)^(n2_.) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^(n_))^(q_.), x_Sym
      bol] :> Simp[f^IntPart[m]*((f*x)^FracPart[m]/x^FracPart[m])   Int[x^m*(d + e*x^n)^q*(a + b*x^n + c*x^(2*n))^p,
      x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m, n, p, q}, x] && EqQ[n2, 2*n] && IntegerQ[Simplify[(m + 1)/n]]

1805. Int[((f_)*(x_))^(m_.)*((a_) + (c_.)*(x_)^(n2_.))^(p_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^(n_))^(q_.), x_Symbol] :> Simp[f^Int
      Part[m]*((f*x)^FracPart[m]/x^FracPart[m])   Int[x^m*(d + e*x^n)^q*(a + c*x^(2*n))^p, x], x] /; FreeQ[{a, c, d,
      e, f, m, n, p, q}, x] && EqQ[n2, 2*n] && IntegerQ[Simplify[(m + 1)/n]]

1806. Int[(x_)^(m_.)*((a_) + (c_.)*(x_)^(n2_.) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^(n_))^(q_), x_Symbol] :>
      Simp[(-d)^((m - Mod[m, n])/n - 1)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^p*x^(Mod[m, n] + 1)*((d + e*x^n)^(q + 1)/(n*e^(2*p +
      (m - Mod[m, n])/n)*(q + 1))), x] + Simp[1/(n*e^(2*p + (m - Mod[m, n])/n)*(q + 1))   Int[x^Mod[m, n]*(d + e*x^
      n)^(q + 1)*ExpandToSum[Together[(1/(d + e*x^n))*(n*e^(2*p + (m - Mod[m, n])/n)*(q + 1)*x^(m - Mod[m, n])*(a +
      b*x^n + c*x^(2*n))^p - (-d)^((m - Mod[m, n])/n - 1)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^p*(d*(Mod[m, n] + 1) + e*(Mod[m, n
      ] + n*(q + 1) + 1)*x^n))], x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && EqQ[n2, 2*n] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] && I
      GtQ[n, 0] && IGtQ[p, 0] && ILtQ[q, -1] && IGtQ[m, 0]

1807. Int[(x_)^(m_.)*((a_) + (c_.)*(x_)^(n2_.))^(p_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^(n_))^(q_), x_Symbol] :> Simp[(-d)^((m - Mo
      d[m, n])/n - 1)*(c*d^2 + a*e^2)^p*x^(Mod[m, n] + 1)*((d + e*x^n)^(q + 1)/(n*e^(2*p + (m - Mod[m, n])/n)*(q + 1
      ))), x] + Simp[1/(n*e^(2*p + (m - Mod[m, n])/n)*(q + 1))   Int[x^Mod[m, n]*(d + e*x^n)^(q + 1)*ExpandToSum[Tog
      ether[(1/(d + e*x^n))*(n*e^(2*p + (m - Mod[m, n])/n)*(q + 1)*x^(m - Mod[m, n])*(a + c*x^(2*n))^p - (-d)^((m -
      Mod[m, n])/n - 1)*(c*d^2 + a*e^2)^p*(d*(Mod[m, n] + 1) + e*(Mod[m, n] + n*(q + 1) + 1)*x^n))], x], x], x] /; F
      reeQ[{a, c, d, e}, x] && EqQ[n2, 2*n] && IGtQ[n, 0] && IGtQ[p, 0] && ILtQ[q, -1] && IGtQ[m, 0]

1808. Int[(x_)^(m_)*((a_) + (c_.)*(x_)^(n2_.) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^(n_))^(q_), x_Symbol] :> S
      imp[(-d)^((m - Mod[m, n])/n - 1)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^p*x^(Mod[m, n] + 1)*((d + e*x^n)^(q + 1)/(n*e^(2*p +
      (m - Mod[m, n])/n)*(q + 1))), x] + Simp[(-d)^((m - Mod[m, n])/n - 1)/(n*e^(2*p)*(q + 1))   Int[x^m*(d + e*x^n)
      ^(q + 1)*ExpandToSum[Together[(1/(d + e*x^n))*(n*(-d)^(-(m - Mod[m, n])/n + 1)*e^(2*p)*(q + 1)*(a + b*x^n + c*
      x^(2*n))^p - ((c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^p/(e^((m - Mod[m, n])/n)*x^(m - Mod[m, n])))*(d*(Mod[m, n] + 1) + e*(Mod
      [m, n] + n*(q + 1) + 1)*x^n))], x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && EqQ[n2, 2*n] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0]
      && IGtQ[n, 0] && IGtQ[p, 0] && ILtQ[q, -1] && ILtQ[m, 0]

1809. Int[(x_)^(m_)*((a_) + (c_.)*(x_)^(n2_.))^(p_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^(n_))^(q_), x_Symbol] :> Simp[(-d)^((m - Mod
      [m, n])/n - 1)*(c*d^2 + a*e^2)^p*x^(Mod[m, n] + 1)*((d + e*x^n)^(q + 1)/(n*e^(2*p + (m - Mod[m, n])/n)*(q + 1)
      )), x] + Simp[(-d)^((m - Mod[m, n])/n - 1)/(n*e^(2*p)*(q + 1))   Int[x^m*(d + e*x^n)^(q + 1)*ExpandToSum[Toget
      her[(1/(d + e*x^n))*(n*(-d)^(-(m - Mod[m, n])/n + 1)*e^(2*p)*(q + 1)*(a + c*x^(2*n))^p - ((c*d^2 + a*e^2)^p/(e
      ^((m - Mod[m, n])/n)*x^(m - Mod[m, n])))*(d*(Mod[m, n] + 1) + e*(Mod[m, n] + n*(q + 1) + 1)*x^n))], x], x], x]
      /; FreeQ[{a, c, d, e}, x] && EqQ[n2, 2*n] && IGtQ[n, 0] && IGtQ[p, 0] && IntegersQ[m, q] && ILtQ[q, -1] && IL
      tQ[m, 0]

1810. Int[((f_.)*(x_))^(m_.)*((a_) + (c_.)*(x_)^(n2_.) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^(n_))^(q_.), x_Sy
      mbol] :> Simp[c^p*(f*x)^(m + 2*n*p - n + 1)*((d + e*x^n)^(q + 1)/(e*f^(2*n*p - n + 1)*(m + 2*n*p + n*q + 1))),
      x] + Simp[1/(e*(m + 2*n*p + n*q + 1))   Int[(f*x)^m*(d + e*x^n)^q*ExpandToSum[e*(m + 2*n*p + n*q + 1)*((a + b
      *x^n + c*x^(2*n))^p - c^p*x^(2*n*p)) - d*c^p*(m + 2*n*p - n + 1)*x^(2*n*p - n), x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c,
      d, e, f, m, q}, x] && EqQ[n2, 2*n] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] && IGtQ[n, 0] && IGtQ[p, 0] && GtQ[2*n*p, n - 1] &&
      !IntegerQ[q] && NeQ[m + 2*n*p + n*q + 1, 0]

1811. Int[((f_.)*(x_))^(m_.)*((a_) + (c_.)*(x_)^(n2_.))^(p_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^(n_))^(q_.), x_Symbol] :> Simp[c^p*
      (f*x)^(m + 2*n*p - n + 1)*((d + e*x^n)^(q + 1)/(e*f^(2*n*p - n + 1)*(m + 2*n*p + n*q + 1))), x] + Simp[1/(e*(m
      + 2*n*p + n*q + 1))   Int[(f*x)^m*(d + e*x^n)^q*ExpandToSum[e*(m + 2*n*p + n*q + 1)*((a + c*x^(2*n))^p - c^p*
      x^(2*n*p)) - d*c^p*(m + 2*n*p - n + 1)*x^(2*n*p - n), x], x], x] /; FreeQ[{a, c, d, e, f, m, q}, x] && EqQ[n2,
      2*n] && IGtQ[n, 0] && IGtQ[p, 0] && GtQ[2*n*p, n - 1] &&  !IntegerQ[q] && NeQ[m + 2*n*p + n*q + 1, 0]

1812. Int[((f_.)*(x_))^(m_.)*((a_) + (c_.)*(x_)^(n2_.) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^(n_))^(q_.), x_Sy
      mbol] :> Int[ExpandIntegrand[(f*x)^m*(d + e*x^n)^q*(a + b*x^n + c*x^(2*n))^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e,
      f, m, q}, x] && EqQ[n2, 2*n] && IGtQ[n, 0] && IGtQ[p, 0]

1813. Int[((f_.)*(x_))^(m_.)*((a_) + (c_.)*(x_)^(n2_.))^(p_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^(n_))^(q_.), x_Symbol] :> Int[Expan
      dIntegrand[(f*x)^m*(d + e*x^n)^q*(a + c*x^(2*n))^p, x], x] /; FreeQ[{a, c, d, e, f, m, q}, x] && EqQ[n2, 2*n]
      && IGtQ[n, 0] && IGtQ[p, 0]

1814. Int[(x_)^(m_.)*((a_) + (c_.)*(x_)^(n2_.) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_)*((d_) + (e_.)*(x_)^(n_))^(q_.), x_Symbol] :>
      With[{k = GCD[m + 1, n]}, Simp[1/k   Subst[Int[x^((m + 1)/k - 1)*(d + e*x^(n/k))^q*(a + b*x^(n/k) + c*x^(2*(n/
      k)))^p, x], x, x^k], x] /; k != 1] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, p, q}, x] && EqQ[n2, 2*n] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] &
      & IGtQ[n, 0] && IntegerQ[m]

1815. Int[(x_)^(m_.)*((a_) + (c_.)*(x_)^(n2_.))^(p_)*((d_) + (e_.)*(x_)^(n_))^(q_.), x_Symbol] :> With[{k = GCD[m +
      1, n]}, Simp[1/k   Subst[Int[x^((m + 1)/k - 1)*(d + e*x^(n/k))^q*(a + c*x^(2*(n/k)))^p, x], x, x^k], x] /; k !
      = 1] /; FreeQ[{a, c, d, e, p, q}, x] && EqQ[n2, 2*n] && IGtQ[n, 0] && IntegerQ[m]

1816. Int[((f_.)*(x_))^(m_)*((a_) + (c_.)*(x_)^(n2_.) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_)*((d_) + (e_.)*(x_)^(n_))^(q_.), x_Symb
      ol] :> With[{k = Denominator[m]}, Simp[k/f   Subst[Int[x^(k*(m + 1) - 1)*(d + e*(x^(k*n)/f^n))^q*(a + b*(x^(k*
      n)/f^n) + c*(x^(2*k*n)/f^(2*n)))^p, x], x, (f*x)^(1/k)], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, p, q}, x] && EqQ[n2,
      2*n] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] && IGtQ[n, 0] && FractionQ[m] && IntegerQ[p]

1817. Int[((f_.)*(x_))^(m_)*((a_) + (c_.)*(x_)^(n2_.))^(p_)*((d_) + (e_.)*(x_)^(n_))^(q_.), x_Symbol] :> With[{k = D
      enominator[m]}, Simp[k/f   Subst[Int[x^(k*(m + 1) - 1)*(d + e*(x^(k*n)/f))^q*(a + c*(x^(2*k*n)/f))^p, x], x, (
      f*x)^(1/k)], x]] /; FreeQ[{a, c, d, e, f, p, q}, x] && EqQ[n2, 2*n] && IGtQ[n, 0] && FractionQ[m] && IntegerQ[
      p]

1818. Int[((f_.)*(x_))^(m_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^(n_))*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_) + (c_.)*(x_)^(n2_))^(p_.), x_Symbol] :
      > Simp[(f*x)^(m + 1)*(a + b*x^n + c*x^(2*n))^p*((d*(m + n*(2*p + 1) + 1) + e*(m + 1)*x^n)/(f*(m + 1)*(m + n*(2
      *p + 1) + 1))), x] + Simp[n*(p/(f^n*(m + 1)*(m + n*(2*p + 1) + 1)))   Int[(f*x)^(m + n)*(a + b*x^n + c*x^(2*n)
      )^(p - 1)*Simp[2*a*e*(m + 1) - b*d*(m + n*(2*p + 1) + 1) + (b*e*(m + 1) - 2*c*d*(m + n*(2*p + 1) + 1))*x^n, x]
      , x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && EqQ[n2, 2*n] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] && IGtQ[n, 0] && GtQ[p, 0] &&
      LtQ[m, -1] && NeQ[m + n*(2*p + 1) + 1, 0] && IntegerQ[p]

1819. Int[((f_.)*(x_))^(m_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^(n_))*((a_) + (c_.)*(x_)^(n2_))^(p_.), x_Symbol] :> Simp[(f*x)^(m +
      1)*(a + c*x^(2*n))^p*((d*(m + n*(2*p + 1) + 1) + e*(m + 1)*x^n)/(f*(m + 1)*(m + n*(2*p + 1) + 1))), x] + Simp[
      2*n*(p/(f^n*(m + 1)*(m + n*(2*p + 1) + 1)))   Int[(f*x)^(m + n)*(a + c*x^(2*n))^(p - 1)*(a*e*(m + 1) - c*d*(m
      + n*(2*p + 1) + 1)*x^n), x], x] /; FreeQ[{a, c, d, e, f}, x] && EqQ[n2, 2*n] && IGtQ[n, 0] && GtQ[p, 0] && LtQ
      [m, -1] && NeQ[m + n*(2*p + 1) + 1, 0] && IntegerQ[p]

1820. Int[((f_.)*(x_))^(m_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^(n_))*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_) + (c_.)*(x_)^(n2_))^(p_.), x_Symbol] :
      > Simp[(f*x)^(m + 1)*(a + b*x^n + c*x^(2*n))^p*((b*e*n*p + c*d*(m + n*(2*p + 1) + 1) + c*e*(2*n*p + m + 1)*x^n
      )/(c*f*(2*n*p + m + 1)*(m + n*(2*p + 1) + 1))), x] + Simp[n*(p/(c*(2*n*p + m + 1)*(m + n*(2*p + 1) + 1)))   In
      t[(f*x)^m*(a + b*x^n + c*x^(2*n))^(p - 1)*Simp[2*a*c*d*(m + n*(2*p + 1) + 1) - a*b*e*(m + 1) + (2*a*c*e*(2*n*p
      + m + 1) + b*c*d*(m + n*(2*p + 1) + 1) - b^2*e*(m + n*p + 1))*x^n, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m},
      x] && EqQ[n2, 2*n] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] && IGtQ[n, 0] && GtQ[p, 0] && NeQ[2*n*p + m + 1, 0] && NeQ[m + n*(2
      *p + 1) + 1, 0] && IntegerQ[p]

1821. Int[((f_.)*(x_))^(m_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^(n_))*((a_) + (c_.)*(x_)^(n2_))^(p_.), x_Symbol] :> Simp[(f*x)^(m +
      1)*(a + c*x^(2*n))^p*((c*d*(m + n*(2*p + 1) + 1) + c*e*(2*n*p + m + 1)*x^n)/(c*f*(2*n*p + m + 1)*(m + n*(2*p +
      1) + 1))), x] + Simp[2*a*n*(p/((2*n*p + m + 1)*(m + n*(2*p + 1) + 1)))   Int[(f*x)^m*(a + c*x^(2*n))^(p - 1)*
      Simp[d*(m + n*(2*p + 1) + 1) + e*(2*n*p + m + 1)*x^n, x], x], x] /; FreeQ[{a, c, d, e, f, m}, x] && EqQ[n2, 2*
      n] && IGtQ[n, 0] && GtQ[p, 0] && NeQ[2*n*p + m + 1, 0] && NeQ[m + n*(2*p + 1) + 1, 0] && IntegerQ[p]

1822. Int[((f_.)*(x_))^(m_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^(n_))*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_) + (c_.)*(x_)^(n2_))^(p_.), x_Symbol] :
      > Simp[f^(n - 1)*(f*x)^(m - n + 1)*(a + b*x^n + c*x^(2*n))^(p + 1)*((b*d - 2*a*e - (b*e - 2*c*d)*x^n)/(n*(p +
      1)*(b^2 - 4*a*c))), x] + Simp[f^n/(n*(p + 1)*(b^2 - 4*a*c))   Int[(f*x)^(m - n)*(a + b*x^n + c*x^(2*n))^(p + 1
      )*Simp[(n - m - 1)*(b*d - 2*a*e) + (2*n*p + 2*n + m + 1)*(b*e - 2*c*d)*x^n, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e
      , f}, x] && EqQ[n2, 2*n] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] && IGtQ[n, 0] && LtQ[p, -1] && GtQ[m, n - 1] && IntegerQ[p]

1823. Int[((f_.)*(x_))^(m_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^(n_))*((a_) + (c_.)*(x_)^(n2_))^(p_.), x_Symbol] :> Simp[f^(n - 1)*(
      f*x)^(m - n + 1)*(a + c*x^(2*n))^(p + 1)*((a*e - c*d*x^n)/(2*a*c*n*(p + 1))), x] + Simp[f^n/(2*a*c*n*(p + 1))
      Int[(f*x)^(m - n)*(a + c*x^(2*n))^(p + 1)*(a*e*(n - m - 1) + c*d*(2*n*p + 2*n + m + 1)*x^n), x], x] /; FreeQ
      [{a, c, d, e, f}, x] && EqQ[n2, 2*n] && IGtQ[n, 0] && LtQ[p, -1] && GtQ[m, n - 1] && IntegerQ[p]

1824. Int[((f_.)*(x_))^(m_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^(n_))*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_) + (c_.)*(x_)^(n2_))^(p_), x_Symbol] :>
      Simp[(-(f*x)^(m + 1))*(a + b*x^n + c*x^(2*n))^(p + 1)*((d*(b^2 - 2*a*c) - a*b*e + (b*d - 2*a*e)*c*x^n)/(a*f*n
      *(p + 1)*(b^2 - 4*a*c))), x] + Simp[1/(a*n*(p + 1)*(b^2 - 4*a*c))   Int[(f*x)^m*(a + b*x^n + c*x^(2*n))^(p + 1
      )*Simp[d*(b^2*(m + n*(p + 1) + 1) - 2*a*c*(m + 2*n*(p + 1) + 1)) - a*b*e*(m + 1) + c*(m + n*(2*p + 3) + 1)*(b*
      d - 2*a*e)*x^n, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m}, x] && EqQ[n2, 2*n] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] && IGtQ[n
      , 0] && LtQ[p, -1] && IntegerQ[p]

1825. Int[((f_.)*(x_))^(m_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^(n_))*((a_) + (c_.)*(x_)^(n2_))^(p_), x_Symbol] :> Simp[(-(f*x)^(m +
      1))*(a + c*x^(2*n))^(p + 1)*((d + e*x^n)/(2*a*f*n*(p + 1))), x] + Simp[1/(2*a*n*(p + 1))   Int[(f*x)^m*(a + c
      *x^(2*n))^(p + 1)*Simp[d*(m + 2*n*(p + 1) + 1) + e*(m + n*(2*p + 3) + 1)*x^n, x], x], x] /; FreeQ[{a, c, d, e,
      f, m}, x] && EqQ[n2, 2*n] && IGtQ[n, 0] && LtQ[p, -1] && IntegerQ[p]

1826. Int[((f_.)*(x_))^(m_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^(n_))*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_) + (c_.)*(x_)^(n2_))^(p_), x_Symbol] :>
      Simp[e*f^(n - 1)*(f*x)^(m - n + 1)*((a + b*x^n + c*x^(2*n))^(p + 1)/(c*(m + n*(2*p + 1) + 1))), x] - Simp[f^n
      /(c*(m + n*(2*p + 1) + 1))   Int[(f*x)^(m - n)*(a + b*x^n + c*x^(2*n))^p*Simp[a*e*(m - n + 1) + (b*e*(m + n*p
      + 1) - c*d*(m + n*(2*p + 1) + 1))*x^n, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, p}, x] && EqQ[n2, 2*n] && NeQ[b^
      2 - 4*a*c, 0] && IGtQ[n, 0] && GtQ[m, n - 1] && NeQ[m + n*(2*p + 1) + 1, 0] && IntegerQ[p]

1827. Int[((f_.)*(x_))^(m_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^(n_))*((a_) + (c_.)*(x_)^(n2_))^(p_), x_Symbol] :> Simp[e*f^(n - 1)*
      (f*x)^(m - n + 1)*((a + c*x^(2*n))^(p + 1)/(c*(m + n*(2*p + 1) + 1))), x] - Simp[f^n/(c*(m + n*(2*p + 1) + 1))
      Int[(f*x)^(m - n)*(a + c*x^(2*n))^p*(a*e*(m - n + 1) - c*d*(m + n*(2*p + 1) + 1)*x^n), x], x] /; FreeQ[{a,
      c, d, e, f, p}, x] && EqQ[n2, 2*n] && IGtQ[n, 0] && GtQ[m, n - 1] && NeQ[m + n*(2*p + 1) + 1, 0] && IntegerQ[p
      ]

1828. Int[((f_.)*(x_))^(m_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^(n_))*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_) + (c_.)*(x_)^(n2_))^(p_), x_Symbol] :>
      Simp[d*(f*x)^(m + 1)*((a + b*x^n + c*x^(2*n))^(p + 1)/(a*f*(m + 1))), x] + Simp[1/(a*f^n*(m + 1))   Int[(f*x)
      ^(m + n)*(a + b*x^n + c*x^(2*n))^p*Simp[a*e*(m + 1) - b*d*(m + n*(p + 1) + 1) - c*d*(m + 2*n*(p + 1) + 1)*x^n,
      x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, p}, x] && EqQ[n2, 2*n] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] && IGtQ[n, 0] && LtQ[m,
      -1] && IntegerQ[p]

1829. Int[((f_.)*(x_))^(m_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^(n_))*((a_) + (c_.)*(x_)^(n2_))^(p_), x_Symbol] :> Simp[d*(f*x)^(m +
      1)*((a + c*x^(2*n))^(p + 1)/(a*f*(m + 1))), x] + Simp[1/(a*f^n*(m + 1))   Int[(f*x)^(m + n)*(a + c*x^(2*n))^p
      *(a*e*(m + 1) - c*d*(m + 2*n*(p + 1) + 1)*x^n), x], x] /; FreeQ[{a, c, d, e, f, p}, x] && EqQ[n2, 2*n] && IGtQ
      [n, 0] && LtQ[m, -1] && IntegerQ[p]

1830. Int[(((f_.)*(x_))^(m_)*((d_) + (e_.)*(x_)^(n_)))/((a_) + (b_.)*(x_)^(n_) + (c_.)*(x_)^(n2_)), x_Symbol] :> Wit
      h[{q = Rt[a*c, 2]}, With[{r = Rt[2*c*q - b*c, 2]}, Simp[c/(2*q*r)   Int[(f*x)^m*(Simp[d*r - (c*d - e*q)*x^(n/2
      ), x]/(q - r*x^(n/2) + c*x^n)), x], x] + Simp[c/(2*q*r)   Int[(f*x)^m*(Simp[d*r + (c*d - e*q)*x^(n/2), x]/(q +
      r*x^(n/2) + c*x^n)), x], x]] /;  !LtQ[2*c*q - b*c, 0]] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && EqQ[n2, 2*n] && LtQ
      [b^2 - 4*a*c, 0] && IntegersQ[m, n/2] && LtQ[0, m, n] && PosQ[a*c]

1831. Int[(((f_.)*(x_))^(m_)*((d_) + (e_.)*(x_)^(n_)))/((a_) + (c_.)*(x_)^(n2_)), x_Symbol] :> With[{q = Rt[a*c, 2]}
      , With[{r = Rt[2*c*q, 2]}, Simp[c/(2*q*r)   Int[(f*x)^m*(Simp[d*r - (c*d - e*q)*x^(n/2), x]/(q - r*x^(n/2) + c
      *x^n)), x], x] + Simp[c/(2*q*r)   Int[(f*x)^m*(Simp[d*r + (c*d - e*q)*x^(n/2), x]/(q + r*x^(n/2) + c*x^n)), x]
      , x]] /;  !LtQ[2*c*q, 0]] /; FreeQ[{a, c, d, e, f}, x] && EqQ[n2, 2*n] && GtQ[a*c, 0] && IntegersQ[m, n/2] &&
      LtQ[0, m, n]

1832. Int[(((f_.)*(x_))^(m_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^(n_)))/((a_) + (b_.)*(x_)^(n_) + (c_.)*(x_)^(n2_)), x_Symbol] :> Wi
      th[{q = Rt[a*c, 2]}, With[{r = Rt[2*c*q - b*c, 2]}, Simp[c/(2*q*r)   Int[(f*x)^m*((d*r - (c*d - e*q)*x^(n/2))/
      (q - r*x^(n/2) + c*x^n)), x], x] + Simp[c/(2*q*r)   Int[(f*x)^m*((d*r + (c*d - e*q)*x^(n/2))/(q + r*x^(n/2) +
      c*x^n)), x], x]] /;  !LtQ[2*c*q - b*c, 0]] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m}, x] && EqQ[n2, 2*n] && LtQ[b^2 - 4*a
      *c, 0] && IGtQ[n/2, 1] && PosQ[a*c]

1833. Int[(((f_.)*(x_))^(m_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^(n_)))/((a_) + (c_.)*(x_)^(n2_)), x_Symbol] :> With[{q = Rt[a*c, 2]
      }, With[{r = Rt[2*c*q, 2]}, Simp[c/(2*q*r)   Int[(f*x)^m*((d*r - (c*d - e*q)*x^(n/2))/(q - r*x^(n/2) + c*x^n))
      , x], x] + Simp[c/(2*q*r)   Int[(f*x)^m*((d*r + (c*d - e*q)*x^(n/2))/(q + r*x^(n/2) + c*x^n)), x], x]] /;  !Lt
      Q[2*c*q, 0]] /; FreeQ[{a, c, d, e, f, m}, x] && EqQ[n2, 2*n] && IGtQ[n/2, 1] && GtQ[a*c, 0]

1834. Int[(((f_.)*(x_))^(m_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^(n_)))/((a_) + (b_.)*(x_)^(n_) + (c_.)*(x_)^(n2_)), x_Symbol] :> Wi
      th[{q = Rt[b^2 - 4*a*c, 2]}, Simp[(e/2 + (2*c*d - b*e)/(2*q))   Int[(f*x)^m/(b/2 - q/2 + c*x^n), x], x] + Simp
      [(e/2 - (2*c*d - b*e)/(2*q))   Int[(f*x)^m/(b/2 + q/2 + c*x^n), x], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m}, x] &&
      EqQ[n2, 2*n] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] && IGtQ[n, 0]

1835. Int[(((f_.)*(x_))^(m_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^(n_)))/((a_) + (c_.)*(x_)^(n2_)), x_Symbol] :> With[{q = Rt[(-a)*c,
      2]}, Simp[-(e/2 + c*(d/(2*q)))   Int[(f*x)^m/(q - c*x^n), x], x] + Simp[(e/2 - c*(d/(2*q)))   Int[(f*x)^m/(q
      + c*x^n), x], x]] /; FreeQ[{a, c, d, e, f, m}, x] && EqQ[n2, 2*n] && IGtQ[n, 0]

1836. Int[(((f_.)*(x_))^(m_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^(n_))^(q_.))/((a_) + (c_.)*(x_)^(n2_.) + (b_.)*(x_)^(n_)), x_Symbol
      ] :> Int[ExpandIntegrand[(f*x)^m*((d + e*x^n)^q/(a + b*x^n + c*x^(2*n))), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m
      }, x] && EqQ[n2, 2*n] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] && IGtQ[n, 0] && IntegerQ[q] && IntegerQ[m]

1837. Int[(((f_.)*(x_))^(m_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^(n_))^(q_.))/((a_) + (c_.)*(x_)^(n2_.)), x_Symbol] :> Int[ExpandInt
      egrand[(f*x)^m*((d + e*x^n)^q/(a + c*x^(2*n))), x], x] /; FreeQ[{a, c, d, e, f, m}, x] && EqQ[n2, 2*n] && IGtQ
      [n, 0] && IntegerQ[q] && IntegerQ[m]

1838. Int[(((f_.)*(x_))^(m_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^(n_))^(q_.))/((a_) + (c_.)*(x_)^(n2_.) + (b_.)*(x_)^(n_)), x_Symbol
      ] :> Int[ExpandIntegrand[(f*x)^m, (d + e*x^n)^q/(a + b*x^n + c*x^(2*n)), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m}
      , x] && EqQ[n2, 2*n] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] && IGtQ[n, 0] && IntegerQ[q] &&  !IntegerQ[m]

1839. Int[(((f_.)*(x_))^(m_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^(n_))^(q_.))/((a_) + (c_.)*(x_)^(n2_.)), x_Symbol] :> Int[ExpandInt
      egrand[(f*x)^m, (d + e*x^n)^q/(a + c*x^(2*n)), x], x] /; FreeQ[{a, c, d, e, f, m}, x] && EqQ[n2, 2*n] && IGtQ[
      n, 0] && IntegerQ[q] &&  !IntegerQ[m]

1840. Int[(((f_.)*(x_))^(m_.)*((d_.) + (e_.)*(x_)^(n_))^(q_))/((a_) + (c_.)*(x_)^(n2_.) + (b_.)*(x_)^(n_)), x_Symbol
      ] :> Simp[f^(2*n)/c^2   Int[(f*x)^(m - 2*n)*(c*d - b*e + c*e*x^n)*(d + e*x^n)^(q - 1), x], x] - Simp[f^(2*n)/c
      ^2   Int[(f*x)^(m - 2*n)*(d + e*x^n)^(q - 1)*(Simp[a*(c*d - b*e) + (b*c*d - b^2*e + a*c*e)*x^n, x]/(a + b*x^n
      + c*x^(2*n))), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && EqQ[n2, 2*n] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] && IGtQ[n, 0] &&
      !IntegerQ[q] && GtQ[q, 0] && GtQ[m, 2*n - 1]

1841. Int[(((f_.)*(x_))^(m_.)*((d_.) + (e_.)*(x_)^(n_))^(q_))/((a_) + (c_.)*(x_)^(n2_.)), x_Symbol] :> Simp[f^(2*n)/
      c   Int[(f*x)^(m - 2*n)*(d + e*x^n)^q, x], x] - Simp[a*(f^(2*n)/c)   Int[(f*x)^(m - 2*n)*((d + e*x^n)^q/(a + c
      *x^(2*n))), x], x] /; FreeQ[{a, c, d, e, f, q}, x] && EqQ[n2, 2*n] && IGtQ[n, 0] &&  !IntegerQ[q] && GtQ[m, 2*
      n - 1]

1842. Int[(((f_.)*(x_))^(m_.)*((d_.) + (e_.)*(x_)^(n_))^(q_))/((a_) + (c_.)*(x_)^(n2_.) + (b_.)*(x_)^(n_)), x_Symbol
      ] :> Simp[e*(f^n/c)   Int[(f*x)^(m - n)*(d + e*x^n)^(q - 1), x], x] - Simp[f^n/c   Int[(f*x)^(m - n)*(d + e*x^
      n)^(q - 1)*(Simp[a*e - (c*d - b*e)*x^n, x]/(a + b*x^n + c*x^(2*n))), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] &&
      EqQ[n2, 2*n] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] && IGtQ[n, 0] &&  !IntegerQ[q] && GtQ[q, 0] && GtQ[m, n - 1] && LeQ[m, 2*
      n - 1]

1843. Int[(((f_.)*(x_))^(m_.)*((d_.) + (e_.)*(x_)^(n_))^(q_))/((a_) + (c_.)*(x_)^(n2_.)), x_Symbol] :> Simp[e*(f^n/c
      )   Int[(f*x)^(m - n)*(d + e*x^n)^(q - 1), x], x] - Simp[f^n/c   Int[(f*x)^(m - n)*(d + e*x^n)^(q - 1)*(Simp[a
      *e - c*d*x^n, x]/(a + c*x^(2*n))), x], x] /; FreeQ[{a, c, d, e, f}, x] && EqQ[n2, 2*n] && IGtQ[n, 0] &&  !Inte
      gerQ[q] && GtQ[q, 0] && GtQ[m, n - 1] && LeQ[m, 2*n - 1]

1844. Int[(((f_.)*(x_))^(m_)*((d_.) + (e_.)*(x_)^(n_))^(q_))/((a_) + (c_.)*(x_)^(n2_.) + (b_.)*(x_)^(n_)), x_Symbol]
      :> Simp[d/a   Int[(f*x)^m*(d + e*x^n)^(q - 1), x], x] - Simp[1/(a*f^n)   Int[(f*x)^(m + n)*(d + e*x^n)^(q - 1
      )*(Simp[b*d - a*e + c*d*x^n, x]/(a + b*x^n + c*x^(2*n))), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && EqQ[n2, 2*
      n] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] && IGtQ[n, 0] &&  !IntegerQ[q] && GtQ[q, 0] && LtQ[m, 0]

1845. Int[(((f_.)*(x_))^(m_)*((d_.) + (e_.)*(x_)^(n_))^(q_))/((a_) + (c_.)*(x_)^(n2_.)), x_Symbol] :> Simp[d/a   Int
      [(f*x)^m*(d + e*x^n)^(q - 1), x], x] + Simp[1/(a*f^n)   Int[(f*x)^(m + n)*(d + e*x^n)^(q - 1)*(Simp[a*e - c*d*
      x^n, x]/(a + c*x^(2*n))), x], x] /; FreeQ[{a, c, d, e, f}, x] && EqQ[n2, 2*n] && IGtQ[n, 0] &&  !IntegerQ[q] &
      & GtQ[q, 0] && LtQ[m, 0]

1846. Int[(((f_.)*(x_))^(m_.)*((d_.) + (e_.)*(x_)^(n_))^(q_))/((a_) + (c_.)*(x_)^(n2_.) + (b_.)*(x_)^(n_)), x_Symbol
      ] :> Simp[d^2*(f^(2*n)/(c*d^2 - b*d*e + a*e^2))   Int[(f*x)^(m - 2*n)*(d + e*x^n)^q, x], x] - Simp[f^(2*n)/(c*
      d^2 - b*d*e + a*e^2)   Int[(f*x)^(m - 2*n)*(d + e*x^n)^(q + 1)*(Simp[a*d + (b*d - a*e)*x^n, x]/(a + b*x^n + c*
      x^(2*n))), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && EqQ[n2, 2*n] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] && IGtQ[n, 0] &&  !In
      tegerQ[q] && LtQ[q, -1] && GtQ[m, 2*n - 1]

1847. Int[(((f_.)*(x_))^(m_.)*((d_.) + (e_.)*(x_)^(n_))^(q_))/((a_) + (c_.)*(x_)^(n2_.)), x_Symbol] :> Simp[d^2*(f^(
      2*n)/(c*d^2 + a*e^2))   Int[(f*x)^(m - 2*n)*(d + e*x^n)^q, x], x] - Simp[a*(f^(2*n)/(c*d^2 + a*e^2))   Int[(f*
      x)^(m - 2*n)*(d + e*x^n)^(q + 1)*((d - e*x^n)/(a + c*x^(2*n))), x], x] /; FreeQ[{a, c, d, e, f}, x] && EqQ[n2,
      2*n] && IGtQ[n, 0] &&  !IntegerQ[q] && LtQ[q, -1] && GtQ[m, 2*n - 1]

1848. Int[(((f_.)*(x_))^(m_.)*((d_.) + (e_.)*(x_)^(n_))^(q_))/((a_) + (c_.)*(x_)^(n2_.) + (b_.)*(x_)^(n_)), x_Symbol
      ] :> Simp[(-d)*e*(f^n/(c*d^2 - b*d*e + a*e^2))   Int[(f*x)^(m - n)*(d + e*x^n)^q, x], x] + Simp[f^n/(c*d^2 - b
      *d*e + a*e^2)   Int[(f*x)^(m - n)*(d + e*x^n)^(q + 1)*(Simp[a*e + c*d*x^n, x]/(a + b*x^n + c*x^(2*n))), x], x]
      /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && EqQ[n2, 2*n] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] && IGtQ[n, 0] &&  !IntegerQ[q] && LtQ[
      q, -1] && GtQ[m, n - 1] && LeQ[m, 2*n - 1]

1849. Int[(((f_.)*(x_))^(m_.)*((d_.) + (e_.)*(x_)^(n_))^(q_))/((a_) + (c_.)*(x_)^(n2_.)), x_Symbol] :> Simp[(-d)*e*(
      f^n/(c*d^2 + a*e^2))   Int[(f*x)^(m - n)*(d + e*x^n)^q, x], x] + Simp[f^n/(c*d^2 + a*e^2)   Int[(f*x)^(m - n)*
      (d + e*x^n)^(q + 1)*(Simp[a*e + c*d*x^n, x]/(a + c*x^(2*n))), x], x] /; FreeQ[{a, c, d, e, f}, x] && EqQ[n2, 2
      *n] && IGtQ[n, 0] &&  !IntegerQ[q] && LtQ[q, -1] && GtQ[m, n - 1] && LeQ[m, 2*n - 1]

1850. Int[(((f_.)*(x_))^(m_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^(n_))^(q_))/((a_) + (b_.)*(x_)^(n_) + (c_.)*(x_)^(n2_)), x_Symbol]
      :> Simp[e^2/(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)   Int[(f*x)^m*(d + e*x^n)^q, x], x] + Simp[1/(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)   Int
      [(f*x)^m*(d + e*x^n)^(q + 1)*(Simp[c*d - b*e - c*e*x^n, x]/(a + b*x^n + c*x^(2*n))), x], x] /; FreeQ[{a, b, c,
      d, e, f, m}, x] && EqQ[n2, 2*n] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] && IGtQ[n, 0] &&  !IntegerQ[q] && LtQ[q, -1]

1851. Int[(((f_.)*(x_))^(m_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^(n_))^(q_))/((a_) + (c_.)*(x_)^(n2_)), x_Symbol] :> Simp[e^2/(c*d^2
      + a*e^2)   Int[(f*x)^m*(d + e*x^n)^q, x], x] + Simp[c/(c*d^2 + a*e^2)   Int[(f*x)^m*(d + e*x^n)^(q + 1)*((d -
      e*x^n)/(a + c*x^(2*n))), x], x] /; FreeQ[{a, c, d, e, f, m}, x] && EqQ[n2, 2*n] && IGtQ[n, 0] &&  !IntegerQ[q
      ] && LtQ[q, -1]

1852. Int[(((f_.)*(x_))^(m_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^(n_))^(q_))/((a_) + (c_.)*(x_)^(n2_.) + (b_.)*(x_)^(n_)), x_Symbol]
      :> Int[ExpandIntegrand[(d + e*x^n)^q, (f*x)^m/(a + b*x^n + c*x^(2*n)), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, q,
      n}, x] && EqQ[n2, 2*n] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] && IGtQ[n, 0] &&  !IntegerQ[q] && IntegerQ[m]

1853. Int[(((f_.)*(x_))^(m_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^(n_))^(q_))/((a_) + (c_.)*(x_)^(n2_.)), x_Symbol] :> Int[ExpandInte
      grand[(d + e*x^n)^q, (f*x)^m/(a + c*x^(2*n)), x], x] /; FreeQ[{a, c, d, e, f, q, n}, x] && EqQ[n2, 2*n] && IGt
      Q[n, 0] &&  !IntegerQ[q] && IntegerQ[m]

1854. Int[(((f_.)*(x_))^(m_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^(n_))^(q_))/((a_) + (c_.)*(x_)^(n2_.) + (b_.)*(x_)^(n_)), x_Symbol]
      :> Int[ExpandIntegrand[(f*x)^m*(d + e*x^n)^q, 1/(a + b*x^n + c*x^(2*n)), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m
      , q, n}, x] && EqQ[n2, 2*n] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] && IGtQ[n, 0] &&  !IntegerQ[q] &&  !IntegerQ[m]

1855. Int[(((f_.)*(x_))^(m_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^(n_))^(q_))/((a_) + (c_.)*(x_)^(n2_.)), x_Symbol] :> Int[ExpandInte
      grand[(f*x)^m*(d + e*x^n)^q, 1/(a + c*x^(2*n)), x], x] /; FreeQ[{a, c, d, e, f, m, q, n}, x] && EqQ[n2, 2*n] &
      & IGtQ[n, 0] &&  !IntegerQ[q] &&  !IntegerQ[m]

1856. Int[(((f_.)*(x_))^(m_)*((a_.) + (c_.)*(x_)^(n2_.) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_.))/((d_.) + (e_.)*(x_)^(n_)), x_Symbo
      l] :> Simp[1/d^2   Int[(f*x)^m*(a*d + (b*d - a*e)*x^n)*(a + b*x^n + c*x^(2*n))^(p - 1), x], x] + Simp[(c*d^2 -
      b*d*e + a*e^2)/(d^2*f^(2*n))   Int[(f*x)^(m + 2*n)*((a + b*x^n + c*x^(2*n))^(p - 1)/(d + e*x^n)), x], x] /; F
      reeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && EqQ[n2, 2*n] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] && IGtQ[n, 0] && GtQ[p, 0] && LtQ[m, -n]

1857. Int[(((f_.)*(x_))^(m_)*((a_) + (c_.)*(x_)^(n2_.))^(p_.))/((d_.) + (e_.)*(x_)^(n_)), x_Symbol] :> Simp[a/d^2
      Int[(f*x)^m*(d - e*x^n)*(a + c*x^(2*n))^(p - 1), x], x] + Simp[(c*d^2 + a*e^2)/(d^2*f^(2*n))   Int[(f*x)^(m +
      2*n)*((a + c*x^(2*n))^(p - 1)/(d + e*x^n)), x], x] /; FreeQ[{a, c, d, e, f}, x] && EqQ[n2, 2*n] && IGtQ[n, 0]
      && GtQ[p, 0] && LtQ[m, -n]

1858. Int[(((f_.)*(x_))^(m_)*((a_.) + (c_.)*(x_)^(n2_.) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_.))/((d_.) + (e_.)*(x_)^(n_)), x_Symbo
      l] :> Simp[1/(d*e)   Int[(f*x)^m*(a*e + c*d*x^n)*(a + b*x^n + c*x^(2*n))^(p - 1), x], x] - Simp[(c*d^2 - b*d*e
      + a*e^2)/(d*e*f^n)   Int[(f*x)^(m + n)*((a + b*x^n + c*x^(2*n))^(p - 1)/(d + e*x^n)), x], x] /; FreeQ[{a, b,
      c, d, e, f}, x] && EqQ[n2, 2*n] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] && IGtQ[n, 0] && GtQ[p, 0] && LtQ[m, 0]

1859. Int[(((f_.)*(x_))^(m_)*((a_) + (c_.)*(x_)^(n2_.))^(p_.))/((d_.) + (e_.)*(x_)^(n_)), x_Symbol] :> Simp[1/(d*e)
      Int[(f*x)^m*(a*e + c*d*x^n)*(a + c*x^(2*n))^(p - 1), x], x] - Simp[(c*d^2 + a*e^2)/(d*e*f^n)   Int[(f*x)^(m
      + n)*((a + c*x^(2*n))^(p - 1)/(d + e*x^n)), x], x] /; FreeQ[{a, c, d, e, f}, x] && EqQ[n2, 2*n] && IGtQ[n, 0]
      && GtQ[p, 0] && LtQ[m, 0]

1860. Int[(((f_.)*(x_))^(m_.)*((a_.) + (c_.)*(x_)^(n2_.) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_))/((d_.) + (e_.)*(x_)^(n_)), x_Symbo
      l] :> Simp[-f^(2*n)/(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)   Int[(f*x)^(m - 2*n)*(a*d + (b*d - a*e)*x^n)*(a + b*x^n + c*x^(2*
      n))^p, x], x] + Simp[d^2*(f^(2*n)/(c*d^2 - b*d*e + a*e^2))   Int[(f*x)^(m - 2*n)*((a + b*x^n + c*x^(2*n))^(p +
      1)/(d + e*x^n)), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && EqQ[n2, 2*n] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] && IGtQ[n, 0]
      && LtQ[p, -1] && GtQ[m, n]

1861. Int[(((f_.)*(x_))^(m_.)*((a_) + (c_.)*(x_)^(n2_.))^(p_))/((d_.) + (e_.)*(x_)^(n_)), x_Symbol] :> Simp[(-a)*(f^
      (2*n)/(c*d^2 + a*e^2))   Int[(f*x)^(m - 2*n)*(d - e*x^n)*(a + c*x^(2*n))^p, x], x] + Simp[d^2*(f^(2*n)/(c*d^2
      + a*e^2))   Int[(f*x)^(m - 2*n)*((a + c*x^(2*n))^(p + 1)/(d + e*x^n)), x], x] /; FreeQ[{a, c, d, e, f}, x] &&
      EqQ[n2, 2*n] && IGtQ[n, 0] && LtQ[p, -1] && GtQ[m, n]

1862. Int[(((f_.)*(x_))^(m_.)*((a_.) + (c_.)*(x_)^(n2_.) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_))/((d_.) + (e_.)*(x_)^(n_)), x_Symbo
      l] :> Simp[f^n/(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)   Int[(f*x)^(m - n)*(a*e + c*d*x^n)*(a + b*x^n + c*x^(2*n))^p, x], x] -
      Simp[d*e*(f^n/(c*d^2 - b*d*e + a*e^2))   Int[(f*x)^(m - n)*((a + b*x^n + c*x^(2*n))^(p + 1)/(d + e*x^n)), x],
      x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && EqQ[n2, 2*n] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] && IGtQ[n, 0] && LtQ[p, -1] && GtQ[
      m, 0]

1863. Int[(((f_.)*(x_))^(m_.)*((a_) + (c_.)*(x_)^(n2_.))^(p_))/((d_.) + (e_.)*(x_)^(n_)), x_Symbol] :> Simp[f^n/(c*d
      ^2 + a*e^2)   Int[(f*x)^(m - n)*(a*e + c*d*x^n)*(a + c*x^(2*n))^p, x], x] - Simp[d*e*(f^n/(c*d^2 + a*e^2))   I
      nt[(f*x)^(m - n)*((a + c*x^(2*n))^(p + 1)/(d + e*x^n)), x], x] /; FreeQ[{a, c, d, e, f}, x] && EqQ[n2, 2*n] &&
      IGtQ[n, 0] && LtQ[p, -1] && GtQ[m, 0]

1864. Int[((f_.)*(x_))^(m_.)*((a_) + (c_.)*(x_)^(n2_.) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^(n_))^(q_.), x_Sy
      mbol] :> Int[ExpandIntegrand[(a + b*x^n + c*x^(2*n))^p, (f*x)^m*(d + e*x^n)^q, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e,
      f, m, q}, x] && EqQ[n2, 2*n] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] && IGtQ[n, 0] && IGtQ[q, 0]

1865. Int[((f_.)*(x_))^(m_.)*((a_) + (c_.)*(x_)^(n2_.))^(p_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^(n_))^(q_.), x_Symbol] :> Int[Expan
      dIntegrand[(a + c*x^(2*n))^p, (f*x)^m*(d + e*x^n)^q, x], x] /; FreeQ[{a, c, d, e, f, m, q}, x] && EqQ[n2, 2*n]
      && IGtQ[n, 0] && IGtQ[q, 0]

1866. Int[(x_)^(m_.)*((a_) + (c_.)*(x_)^(n2_.) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_)*((d_) + (e_.)*(x_)^(n_))^(q_.), x_Symbol] :>
      -Subst[Int[(d + e/x^n)^q*((a + b/x^n + c/x^(2*n))^p/x^(m + 2)), x], x, 1/x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, p, q}, x]
      && EqQ[n2, 2*n] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] && ILtQ[n, 0] && IntegerQ[m]

1867. Int[(x_)^(m_.)*((a_) + (c_.)*(x_)^(n2_.))^(p_)*((d_) + (e_.)*(x_)^(n_))^(q_.), x_Symbol] :> -Subst[Int[(d + e/
      x^n)^q*((a + c/x^(2*n))^p/x^(m + 2)), x], x, 1/x] /; FreeQ[{a, c, d, e, p, q}, x] && EqQ[n2, 2*n] && ILtQ[n, 0
      ] && IntegerQ[m]

1868. Int[((f_.)*(x_))^(m_.)*((a_) + (c_.)*(x_)^(n2_.) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_)*((d_) + (e_.)*(x_)^(n_))^(q_.), x_Sym
      bol] :> With[{g = Denominator[m]}, Simp[-g/f   Subst[Int[(d + e/(f^n*x^(g*n)))^q*((a + b/(f^n*x^(g*n)) + c/(f^
      (2*n)*x^(2*g*n)))^p/x^(g*(m + 1) + 1)), x], x, 1/(f*x)^(1/g)], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, p, q}, x] && Eq
      Q[n2, 2*n] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] && ILtQ[n, 0] && FractionQ[m]

1869. Int[((f_.)*(x_))^(m_.)*((a_) + (c_.)*(x_)^(n2_.))^(p_)*((d_) + (e_.)*(x_)^(n_))^(q_.), x_Symbol] :> With[{g =
      Denominator[m]}, Simp[-g/f   Subst[Int[(d + e/(f^n*x^(g*n)))^q*((a + c/(f^(2*n)*x^(2*g*n)))^p/x^(g*(m + 1) + 1
      )), x], x, 1/(f*x)^(1/g)], x]] /; FreeQ[{a, c, d, e, f, p, q}, x] && EqQ[n2, 2*n] && ILtQ[n, 0] && FractionQ[m
      ]

1870. Int[((f_.)*(x_))^(m_)*((a_) + (c_.)*(x_)^(n2_.) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_)*((d_) + (e_.)*(x_)^(n_))^(q_.), x_Symb
      ol] :> Simp[(-f^IntPart[m])*(f*x)^FracPart[m]*(x^(-1))^FracPart[m]   Subst[Int[(d + e/x^n)^q*((a + b/x^n + c/x
      ^(2*n))^p/x^(m + 2)), x], x, 1/x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m, p, q}, x] && EqQ[n2, 2*n] && NeQ[b^2 - 4*
      a*c, 0] && ILtQ[n, 0] &&  !RationalQ[m]

1871. Int[((f_.)*(x_))^(m_)*((a_) + (c_.)*(x_)^(n2_.))^(p_)*((d_) + (e_.)*(x_)^(n_))^(q_.), x_Symbol] :> Simp[(-f^In
      tPart[m])*(f*x)^FracPart[m]*(x^(-1))^FracPart[m]   Subst[Int[(d + e/x^n)^q*((a + c/x^(2*n))^p/x^(m + 2)), x],
      x, 1/x], x] /; FreeQ[{a, c, d, e, f, m, p, q}, x] && EqQ[n2, 2*n] && ILtQ[n, 0] &&  !RationalQ[m]

1872. Int[(x_)^(m_.)*((a_) + (c_.)*(x_)^(n2_.) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_)*((d_) + (e_.)*(x_)^(n_))^(q_.), x_Symbol] :>
      With[{g = Denominator[n]}, Simp[g   Subst[Int[x^(g*(m + 1) - 1)*(d + e*x^(g*n))^q*(a + b*x^(g*n) + c*x^(2*g*n)
      )^p, x], x, x^(1/g)], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, m, p, q}, x] && EqQ[n2, 2*n] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] && Frac
      tionQ[n]

1873. Int[(x_)^(m_.)*((a_) + (c_.)*(x_)^(n2_.))^(p_)*((d_) + (e_.)*(x_)^(n_))^(q_.), x_Symbol] :> With[{g = Denomina
      tor[n]}, Simp[g   Subst[Int[x^(g*(m + 1) - 1)*(d + e*x^(g*n))^q*(a + c*x^(2*g*n))^p, x], x, x^(1/g)], x]] /; F
      reeQ[{a, c, d, e, m, p, q}, x] && EqQ[n2, 2*n] && FractionQ[n]

1874. Int[((f_)*(x_))^(m_)*((a_) + (c_.)*(x_)^(n2_.) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_)*((d_) + (e_.)*(x_)^(n_))^(q_.), x_Symbo
      l] :> Simp[f^IntPart[m]*((f*x)^FracPart[m]/x^FracPart[m])   Int[x^m*(d + e*x^n)^q*(a + b*x^n + c*x^(2*n))^p, x
      ], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m, p, q}, x] && EqQ[n2, 2*n] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] && FractionQ[n]

1875. Int[((f_)*(x_))^(m_)*((a_) + (c_.)*(x_)^(n2_.))^(p_)*((d_) + (e_.)*(x_)^(n_))^(q_.), x_Symbol] :> Simp[f^IntPa
      rt[m]*((f*x)^FracPart[m]/x^FracPart[m])   Int[x^m*(d + e*x^n)^q*(a + c*x^(2*n))^p, x], x] /; FreeQ[{a, c, d, e
      , f, m, p, q}, x] && EqQ[n2, 2*n] && FractionQ[n]

1876. Int[(x_)^(m_.)*((a_) + (c_.)*(x_)^(n2_.) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_)*((d_) + (e_.)*(x_)^(n_))^(q_.), x_Symbol] :>
      Simp[1/(m + 1)   Subst[Int[(d + e*x^Simplify[n/(m + 1)])^q*(a + b*x^Simplify[n/(m + 1)] + c*x^Simplify[2*(n/(m
      + 1))])^p, x], x, x^(m + 1)], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, m, n, p, q}, x] && EqQ[n2, 2*n] && NeQ[b^2 - 4*a*c,
      0] &&  !RationalQ[n] && IntegerQ[Simplify[n/(m + 1)]] &&  !IntegerQ[n]

1877. Int[(x_)^(m_.)*((a_) + (c_.)*(x_)^(n2_.))^(p_)*((d_) + (e_.)*(x_)^(n_))^(q_.), x_Symbol] :> Simp[1/(m + 1)   S
      ubst[Int[(d + e*x^Simplify[n/(m + 1)])^q*(a + c*x^Simplify[2*(n/(m + 1))])^p, x], x, x^(m + 1)], x] /; FreeQ[{
      a, c, d, e, m, n, p, q}, x] && EqQ[n2, 2*n] &&  !RationalQ[n] && IntegerQ[Simplify[n/(m + 1)]] &&  !IntegerQ[n
      ]

1878. Int[((f_)*(x_))^(m_)*((a_) + (c_.)*(x_)^(n2_.) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_)*((d_) + (e_.)*(x_)^(n_))^(q_.), x_Symbo
      l] :> Simp[f^IntPart[m]*((f*x)^FracPart[m]/x^FracPart[m])   Int[x^m*(d + e*x^n)^q*(a + b*x^n + c*x^(2*n))^p, x
      ], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m, p, q}, x] && EqQ[n2, 2*n] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] &&  !RationalQ[n] && Int
      egerQ[Simplify[n/(m + 1)]] &&  !IntegerQ[n]

1879. Int[((f_)*(x_))^(m_)*((a_) + (c_.)*(x_)^(n2_.))^(p_)*((d_) + (e_.)*(x_)^(n_))^(q_.), x_Symbol] :> Simp[f^IntPa
      rt[m]*((f*x)^FracPart[m]/x^FracPart[m])   Int[x^m*(d + e*x^n)^q*(a + c*x^(2*n))^p, x], x] /; FreeQ[{a, c, d, e
      , f, m, p, q}, x] && EqQ[n2, 2*n] &&  !RationalQ[n] && IntegerQ[Simplify[n/(m + 1)]] &&  !IntegerQ[n]

1880. Int[(((f_.)*(x_))^(m_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^(n_))^(q_))/((a_) + (c_.)*(x_)^(n2_.) + (b_.)*(x_)^(n_)), x_Symbol]
      :> With[{r = Rt[b^2 - 4*a*c, 2]}, Simp[2*(c/r)   Int[(f*x)^m*((d + e*x^n)^q/(b - r + 2*c*x^n)), x], x] - Simp
      [2*(c/r)   Int[(f*x)^m*((d + e*x^n)^q/(b + r + 2*c*x^n)), x], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m, n, q}, x] &&
      EqQ[n2, 2*n] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] &&  !RationalQ[n]

1881. Int[(((f_.)*(x_))^(m_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^(n_))^(q_))/((a_) + (c_.)*(x_)^(n2_.)), x_Symbol] :> With[{r = Rt[(
      -a)*c, 2]}, Simp[-c/(2*r)   Int[(f*x)^m*((d + e*x^n)^q/(r - c*x^n)), x], x] - Simp[c/(2*r)   Int[(f*x)^m*((d +
      e*x^n)^q/(r + c*x^n)), x], x]] /; FreeQ[{a, c, d, e, f, m, n, q}, x] && EqQ[n2, 2*n] &&  !RationalQ[n]

1882. Int[((f_.)*(x_))^(m_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^(n_))*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_) + (c_.)*(x_)^(n2_))^(p_), x_Symbol] :>
      Simp[(-(f*x)^(m + 1))*(a + b*x^n + c*x^(2*n))^(p + 1)*((d*(b^2 - 2*a*c) - a*b*e + (b*d - 2*a*e)*c*x^n)/(a*f*n
      *(p + 1)*(b^2 - 4*a*c))), x] + Simp[1/(a*n*(p + 1)*(b^2 - 4*a*c))   Int[(f*x)^m*(a + b*x^n + c*x^(2*n))^(p + 1
      )*Simp[d*(b^2*(m + n*(p + 1) + 1) - 2*a*c*(m + 2*n*(p + 1) + 1)) - a*b*e*(m + 1) + (m + n*(2*p + 3) + 1)*(b*d
      - 2*a*e)*c*x^n, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m, n}, x] && EqQ[n2, 2*n] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] &&  !R
      ationalQ[n] && ILtQ[p + 1, 0]

1883. Int[((f_.)*(x_))^(m_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^(n_))*((a_) + (c_.)*(x_)^(n2_))^(p_), x_Symbol] :> Simp[(-(f*x)^(m +
      1))*(a + c*x^(2*n))^(p + 1)*((d + e*x^n)/(2*a*f*n*(p + 1))), x] + Simp[1/(2*a*n*(p + 1))   Int[(f*x)^m*(a + c
      *x^(2*n))^(p + 1)*Simp[d*(m + 2*n*(p + 1) + 1) + e*(m + n*(2*p + 3) + 1)*x^n, x], x], x] /; FreeQ[{a, c, d, e,
      f, m, n}, x] && EqQ[n2, 2*n] &&  !RationalQ[n] && ILtQ[p + 1, 0]

1884. Int[((f_.)*(x_))^(m_.)*((a_) + (c_.)*(x_)^(n2_.) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^(n_))^(q_.), x_Sy
      mbol] :> Int[ExpandIntegrand[(f*x)^m*(d + e*x^n)^q*(a + b*x^n + c*x^(2*n))^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e,
      f, m, n, p, q}, x] && EqQ[n2, 2*n] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] &&  !RationalQ[n] && (IGtQ[p, 0] || IGtQ[q, 0])

1885. Int[((f_.)*(x_))^(m_.)*((a_) + (c_.)*(x_)^(n2_.))^(p_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^(n_))^(q_.), x_Symbol] :> Int[Expan
      dIntegrand[(f*x)^m*(d + e*x^n)^q*(a + c*x^(2*n))^p, x], x] /; FreeQ[{a, c, d, e, f, m, n, p, q}, x] && EqQ[n2,
      2*n] &&  !RationalQ[n] && (IGtQ[p, 0] || IGtQ[q, 0])

1886. Int[((f_.)*(x_))^(m_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^(n_))^(q_)*((a_) + (c_.)*(x_)^(n2_))^(p_), x_Symbol] :> Simp[(f*x)^m
      /x^m   Int[ExpandIntegrand[x^m*(a + c*x^(2*n))^p, (d/(d^2 - e^2*x^(2*n)) - e*(x^n/(d^2 - e^2*x^(2*n))))^(-q),
      x], x], x] /; FreeQ[{a, c, d, e, f, m, n, p}, x] && EqQ[n2, 2*n] &&  !RationalQ[n] &&  !IntegerQ[p] && ILtQ[q,
      0]

1887. Int[((f_.)*(x_))^(m_.)*((a_) + (c_.)*(x_)^(n2_.) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^(n_))^(q_.), x_Sy
      mbol] :> Unintegrable[(f*x)^m*(d + e*x^n)^q*(a + b*x^n + c*x^(2*n))^p, x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m, n, p,
      q}, x] && EqQ[n2, 2*n]

1888. Int[((f_.)*(x_))^(m_.)*((a_) + (c_.)*(x_)^(n2_.))^(p_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^(n_))^(q_.), x_Symbol] :> Unintegra
      ble[(f*x)^m*(d + e*x^n)^q*(a + c*x^(2*n))^p, x] /; FreeQ[{a, c, d, e, f, m, n, p, q}, x] && EqQ[n2, 2*n]

1889. Int[(u_)^(m_.)*((a_) + (c_.)*(v_)^(n2_.) + (b_.)*(v_)^(n_))^(p_.)*((d_) + (e_.)*(v_)^(n_))^(q_.), x_Symbol] :>
      Simp[u^m/(Coefficient[v, x, 1]*v^m)   Subst[Int[x^m*(d + e*x^n)^q*(a + b*x^n + c*x^(2*n))^p, x], x, v], x] /;
      FreeQ[{a, b, c, d, e, m, n, p, q}, x] && EqQ[n2, 2*n] && LinearPairQ[u, v, x] && NeQ[v, x]

1890. Int[(u_)^(m_.)*((a_) + (c_.)*(v_)^(n2_.))^(p_.)*((d_) + (e_.)*(v_)^(n_))^(q_.), x_Symbol] :> Simp[u^m/(Coeffic
      ient[v, x, 1]*v^m)   Subst[Int[x^m*(d + e*x^n)^q*(a + c*x^(2*n))^p, x], x, v], x] /; FreeQ[{a, c, d, e, m, n,
      p}, x] && EqQ[n2, 2*n] && LinearPairQ[u, v, x] && NeQ[v, x]

1891. Int[(x_)^(m_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^(mn_.))^(q_.)*((a_.) + (b_.)*(x_)^(n_.) + (c_.)*(x_)^(n2_.))^(p_.), x_Symbol
      ] :> Int[x^(m - n*q)*(e + d*x^n)^q*(a + b*x^n + c*x^(2*n))^p, x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, m, n, p}, x] && EqQ[
      n2, 2*n] && EqQ[mn, -n] && IntegerQ[q] && (PosQ[n] ||  !IntegerQ[p])

1892. Int[(x_)^(m_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^(mn_.))^(q_.)*((a_) + (c_.)*(x_)^(n2_.))^(p_.), x_Symbol] :> Int[x^(m + mn*q
      )*(e + d/x^mn)^q*(a + c*x^n2)^p, x] /; FreeQ[{a, c, d, e, m, mn, p}, x] && EqQ[n2, -2*mn] && IntegerQ[q] && (P
      osQ[n2] ||  !IntegerQ[p])

1893. Int[(x_)^(m_.)*((a_.) + (b_.)*(x_)^(mn_.) + (c_.)*(x_)^(mn2_.))^(p_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^(n_.))^(q_.), x_Symbo
      l] :> Int[x^(m - 2*n*p)*(d + e*x^n)^q*(c + b*x^n + a*x^(2*n))^p, x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, m, n, q}, x] && E
      qQ[mn, -n] && EqQ[mn2, 2*mn] && IntegerQ[p]

1894. Int[(x_)^(m_.)*((a_.) + (c_.)*(x_)^(mn2_.))^(p_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^(n_.))^(q_.), x_Symbol] :> Int[x^(m - 2*n
      *p)*(d + e*x^n)^q*(c + a*x^(2*n))^p, x] /; FreeQ[{a, c, d, e, m, n, q}, x] && EqQ[mn2, -2*n] && IntegerQ[p]

1895. Int[(x_)^(m_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^(mn_.))^(q_)*((a_.) + (b_.)*(x_)^(n_.) + (c_.)*(x_)^(n2_.))^(p_.), x_Symbol]
      :> Simp[e^IntPart[q]*x^(n*FracPart[q])*((d + e/x^n)^FracPart[q]/(1 + d*(x^n/e))^FracPart[q])   Int[x^(m - n*q
      )*(1 + d*(x^n/e))^q*(a + b*x^n + c*x^(2*n))^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, m, n, p, q}, x] && EqQ[n2, 2*n]
      && EqQ[mn, -n] &&  !IntegerQ[p] &&  !IntegerQ[q] && PosQ[n]

1896. Int[(x_)^(m_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^(mn_.))^(q_)*((a_) + (c_.)*(x_)^(n2_.))^(p_.), x_Symbol] :> Simp[(e^IntPart[
      q]*((d + e*x^mn)^FracPart[q]/(1 + d*(1/(x^mn*e)))^FracPart[q]))/x^(mn*FracPart[q])   Int[x^(m + mn*q)*(1 + d*(
      1/(x^mn*e)))^q*(a + c*x^n2)^p, x], x] /; FreeQ[{a, c, d, e, m, mn, p, q}, x] && EqQ[n2, -2*mn] &&  !IntegerQ[p
      ] &&  !IntegerQ[q] && PosQ[n2]

1897. Int[(x_)^(m_.)*((a_.) + (b_.)*(x_)^(mn_.) + (c_.)*(x_)^(mn2_.))^(p_)*((d_) + (e_.)*(x_)^(n_.))^(q_.), x_Symbol
      ] :> Simp[x^(2*n*FracPart[p])*((a + b/x^n + c/x^(2*n))^FracPart[p]/(c + b*x^n + a*x^(2*n))^FracPart[p])   Int[
      x^(m - 2*n*p)*(d + e*x^n)^q*(c + b*x^n + a*x^(2*n))^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, m, n, p, q}, x] && EqQ[
      mn, -n] && EqQ[mn2, 2*mn] &&  !IntegerQ[p] &&  !IntegerQ[q] && PosQ[n]

1898. Int[(x_)^(m_.)*((a_.) + (c_.)*(x_)^(mn2_.))^(p_)*((d_) + (e_.)*(x_)^(n_.))^(q_.), x_Symbol] :> Simp[x^(2*n*Fra
      cPart[p])*((a + c/x^(2*n))^FracPart[p]/(c + a*x^(2*n))^FracPart[p])   Int[x^(m - 2*n*p)*(d + e*x^n)^q*(c + a*x
      ^(2*n))^p, x], x] /; FreeQ[{a, c, d, e, m, n, p, q}, x] && EqQ[mn2, -2*n] &&  !IntegerQ[p] &&  !IntegerQ[q] &&
      PosQ[n]

1899. Int[((f_)*(x_))^(m_)*((d_) + (e_.)*(x_)^(mn_.))^(q_.)*((a_.) + (b_.)*(x_)^(n_.) + (c_.)*(x_)^(n2_.))^(p_.), x_
      Symbol] :> Simp[f^IntPart[m]*((f*x)^FracPart[m]/x^FracPart[m])   Int[x^m*(d + e*x^mn)^q*(a + b*x^n + c*x^(2*n)
      )^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m, n, p, q}, x] && EqQ[n2, 2*n] && EqQ[mn, -n]

1900. Int[((f_)*(x_))^(m_)*((d_) + (e_.)*(x_)^(mn_.))^(q_.)*((a_) + (c_.)*(x_)^(n2_.))^(p_.), x_Symbol] :> Simp[f^In
      tPart[m]*((f*x)^FracPart[m]/x^FracPart[m])   Int[x^m*(d + e*x^mn)^q*(a + c*x^n2)^p, x], x] /; FreeQ[{a, c, d,
      e, f, m, mn, p, q}, x] && EqQ[n2, -2*mn]

1901. Int[(x_)^(m_.)*((a_) + (c_.)*(x_)^(n_.) + (b_.)*(x_)^(mn_))^(p_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^(n_))^(q_.), x_Symbol] :>
      Int[x^(m - n*p)*(d + e*x^n)^q*(b + a*x^n + c*x^(2*n))^p, x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, m, n, q}, x] && EqQ[mn,
      -n] && IntegerQ[p]

1902. Int[(x_)^(m_.)*((a_) + (c_.)*(x_)^(n_.) + (b_.)*(x_)^(mn_))^(p_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^(n_))^(q_.), x_Symbol] :>
      Simp[x^(n*FracPart[p])*((a + b/x^n + c*x^n)^FracPart[p]/(b + a*x^n + c*x^(2*n))^FracPart[p])   Int[x^(m - n*p
      )*(d + e*x^n)^q*(b + a*x^n + c*x^(2*n))^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, m, n, p, q}, x] && EqQ[mn, -n] &&
      !IntegerQ[p]

1903. Int[((f_)*(x_))^(m_.)*((a_) + (c_.)*(x_)^(n_.) + (b_.)*(x_)^(mn_))^(p_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^(n_))^(q_.), x_Sym
      bol] :> Simp[f^IntPart[m]*((f*x)^FracPart[m]/x^FracPart[m])   Int[x^m*(d + e*x^n)^q*(a + b/x^n + c*x^n)^p, x],
      x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m, n, p, q}, x] && EqQ[mn, -n]

1904. Int[((f_.)*(x_))^(m_.)*((d1_) + (e1_.)*(x_)^(non2_.))^(q_.)*((d2_) + (e2_.)*(x_)^(non2_.))^(q_.)*((a_.) + (b_.
      )*(x_)^(n_) + (c_.)*(x_)^(n2_))^(p_.), x_Symbol] :> Int[(f*x)^m*(d1*d2 + e1*e2*x^n)^q*(a + b*x^n + c*x^(2*n))^
      p, x] /; FreeQ[{a, b, c, d1, e1, d2, e2, f, n, p, q}, x] && EqQ[n2, 2*n] && EqQ[non2, n/2] && EqQ[d2*e1 + d1*e
      2, 0] && (IntegerQ[q] || (GtQ[d1, 0] && GtQ[d2, 0]))

1905. Int[((f_.)*(x_))^(m_.)*((d1_) + (e1_.)*(x_)^(non2_.))^(q_.)*((d2_) + (e2_.)*(x_)^(non2_.))^(q_.)*((a_.) + (b_.
      )*(x_)^(n_) + (c_.)*(x_)^(n2_))^(p_.), x_Symbol] :> Simp[(d1 + e1*x^(n/2))^FracPart[q]*((d2 + e2*x^(n/2))^Frac
      Part[q]/(d1*d2 + e1*e2*x^n)^FracPart[q])   Int[(f*x)^m*(d1*d2 + e1*e2*x^n)^q*(a + b*x^n + c*x^(2*n))^p, x], x]
      /; FreeQ[{a, b, c, d1, e1, d2, e2, f, n, p, q}, x] && EqQ[n2, 2*n] && EqQ[non2, n/2] && EqQ[d2*e1 + d1*e2, 0]

1906. Int[((a_.)*(x_)^(j_.) + (b_.)*(x_)^(n_.))^(p_), x_Symbol] :> Simp[(a*x^j + b*x^n)^(p + 1)/(b*(n - j)*(p + 1)*x
      ^(n - 1)), x] /; FreeQ[{a, b, j, n, p}, x] &&  !IntegerQ[p] && NeQ[n, j] && EqQ[j*p - n + j + 1, 0]

1907. Int[((a_.)*(x_)^(j_.) + (b_.)*(x_)^(n_.))^(p_), x_Symbol] :> Simp[-(a*x^j + b*x^n)^(p + 1)/(a*(n - j)*(p + 1)*
      x^(j - 1)), x] + Simp[(n*p + n - j + 1)/(a*(n - j)*(p + 1))   Int[(a*x^j + b*x^n)^(p + 1)/x^j, x], x] /; FreeQ
      [{a, b, j, n}, x] &&  !IntegerQ[p] && NeQ[n, j] && ILtQ[Simplify[(n*p + n - j + 1)/(n - j)], 0] && LtQ[p, -1]

1908. Int[((a_.)*(x_)^(j_.) + (b_.)*(x_)^(n_.))^(p_), x_Symbol] :> Simp[(a*x^j + b*x^n)^(p + 1)/(a*(j*p + 1)*x^(j -
      1)), x] - Simp[b*((n*p + n - j + 1)/(a*(j*p + 1)))   Int[x^(n - j)*(a*x^j + b*x^n)^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, j
      , n, p}, x] &&  !IntegerQ[p] && NeQ[n, j] && ILtQ[Simplify[(n*p + n - j + 1)/(n - j)], 0] && NeQ[j*p + 1, 0]

1909. Int[((a_.)*(x_)^(j_.) + (b_.)*(x_)^(n_.))^(p_), x_Symbol] :> Simp[x*((a*x^j + b*x^n)^p/(j*p + 1)), x] - Simp[b
      *(n - j)*(p/(j*p + 1))   Int[x^n*(a*x^j + b*x^n)^(p - 1), x], x] /; FreeQ[{a, b}, x] &&  !IntegerQ[p] && LtQ[0
      , j, n] && GtQ[p, 0] && LtQ[j*p + 1, 0]

1910. Int[((a_.)*(x_)^(j_.) + (b_.)*(x_)^(n_.))^(p_), x_Symbol] :> Simp[x*((a*x^j + b*x^n)^p/(n*p + 1)), x] + Simp[a
      *(n - j)*(p/(n*p + 1))   Int[x^j*(a*x^j + b*x^n)^(p - 1), x], x] /; FreeQ[{a, b}, x] &&  !IntegerQ[p] && LtQ[0
      , j, n] && GtQ[p, 0] && NeQ[n*p + 1, 0]

1911. Int[((a_.)*(x_)^(j_.) + (b_.)*(x_)^(n_.))^(p_), x_Symbol] :> Simp[(a*x^j + b*x^n)^(p + 1)/(b*(n - j)*(p + 1)*x
      ^(n - 1)), x] - Simp[(j*p - n + j + 1)/(b*(n - j)*(p + 1))   Int[(a*x^j + b*x^n)^(p + 1)/x^n, x], x] /; FreeQ[
      {a, b}, x] &&  !IntegerQ[p] && LtQ[0, j, n] && LtQ[p, -1] && GtQ[j*p + 1, n - j]

1912. Int[((a_.)*(x_)^(j_.) + (b_.)*(x_)^(n_.))^(p_), x_Symbol] :> Simp[-(a*x^j + b*x^n)^(p + 1)/(a*(n - j)*(p + 1)*
      x^(j - 1)), x] + Simp[(n*p + n - j + 1)/(a*(n - j)*(p + 1))   Int[(a*x^j + b*x^n)^(p + 1)/x^j, x], x] /; FreeQ
      [{a, b}, x] &&  !IntegerQ[p] && LtQ[0, j, n] && LtQ[p, -1]

1913. Int[((a_.)*(x_)^(j_.) + (b_.)*(x_)^(n_.))^(p_), x_Symbol] :> Simp[x*((a*x^j + b*x^n)^p/(p*(n - j))), x] + Simp
      [a   Int[x^j*(a*x^j + b*x^n)^(p - 1), x], x] /; FreeQ[{a, b, j, n}, x] && IGtQ[p + 1/2, 0] && NeQ[n, j] && EqQ
      [Simplify[j*p + 1], 0]

1914. Int[1/Sqrt[(a_.)*(x_)^2 + (b_.)*(x_)^(n_.)], x_Symbol] :> Simp[2/(2 - n)   Subst[Int[1/(1 - a*x^2), x], x, x/S
      qrt[a*x^2 + b*x^n]], x] /; FreeQ[{a, b, n}, x] && NeQ[n, 2]

1915. Int[((a_.)*(x_)^(j_.) + (b_.)*(x_)^(n_.))^(p_), x_Symbol] :> Simp[-(a*x^j + b*x^n)^(p + 1)/(a*(n - j)*(p + 1)*
      x^(j - 1)), x] + Simp[(n*p + n - j + 1)/(a*(n - j)*(p + 1))   Int[(a*x^j + b*x^n)^(p + 1)/x^j, x], x] /; FreeQ
      [{a, b, j, n}, x] && ILtQ[p + 1/2, 0] && NeQ[n, j] && EqQ[Simplify[j*p + 1], 0]

1916. Int[1/Sqrt[(a_.)*(x_)^(j_.) + (b_.)*(x_)^(n_.)], x_Symbol] :> Simp[-2*(Sqrt[a*x^j + b*x^n]/(b*(n - 2)*x^(n - 1
      ))), x] - Simp[a*((2*n - j - 2)/(b*(n - 2)))   Int[1/(x^(n - j)*Sqrt[a*x^j + b*x^n]), x], x] /; FreeQ[{a, b},
      x] && LtQ[2*(n - 1), j, n]

1917. Int[((a_.)*(x_)^(j_.) + (b_.)*(x_)^(n_.))^(p_), x_Symbol] :> Simp[(a*x^j + b*x^n)^FracPart[p]/(x^(j*FracPart[p
      ])*(a + b*x^(n - j))^FracPart[p])   Int[x^(j*p)*(a + b*x^(n - j))^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, j, n, p}, x] &&  !
      IntegerQ[p] && NeQ[n, j] && PosQ[n - j]

1918. Int[((a_.)*(u_)^(j_.) + (b_.)*(u_)^(n_.))^(p_), x_Symbol] :> Simp[1/Coefficient[u, x, 1]   Subst[Int[(a*x^j +
      b*x^n)^p, x], x, u], x] /; FreeQ[{a, b, j, n, p}, x] && LinearQ[u, x] && NeQ[u, x]

1919. Int[(x_)^(m_.)*((a_.)*(x_)^(j_.) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_), x_Symbol] :> Simp[1/n   Subst[Int[(a*x^Simplify[j/n]
      + b*x)^p, x], x, x^n], x] /; FreeQ[{a, b, j, m, n, p}, x] &&  !IntegerQ[p] && NeQ[n, j] && IntegerQ[Simplify[
      j/n]] && EqQ[Simplify[m - n + 1], 0]

1920. Int[((c_.)*(x_))^(m_.)*((a_.)*(x_)^(j_.) + (b_.)*(x_)^(n_.))^(p_), x_Symbol] :> Simp[(-c^(j - 1))*(c*x)^(m - j
      + 1)*((a*x^j + b*x^n)^(p + 1)/(a*(n - j)*(p + 1))), x] /; FreeQ[{a, b, c, j, m, n, p}, x] &&  !IntegerQ[p] &&
      NeQ[n, j] && EqQ[m + n*p + n - j + 1, 0] && (IntegerQ[j] || GtQ[c, 0])

1921. Int[((c_.)*(x_))^(m_.)*((a_.)*(x_)^(j_.) + (b_.)*(x_)^(n_.))^(p_), x_Symbol] :> Simp[(-c^(j - 1))*(c*x)^(m - j
      + 1)*((a*x^j + b*x^n)^(p + 1)/(a*(n - j)*(p + 1))), x] + Simp[c^j*((m + n*p + n - j + 1)/(a*(n - j)*(p + 1)))
      Int[(c*x)^(m - j)*(a*x^j + b*x^n)^(p + 1), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, j, m, n}, x] &&  !IntegerQ[p] && NeQ[n
      , j] && ILtQ[Simplify[(m + n*p + n - j + 1)/(n - j)], 0] && LtQ[p, -1] && (IntegerQ[j] || GtQ[c, 0])

1922. Int[((c_.)*(x_))^(m_.)*((a_.)*(x_)^(j_.) + (b_.)*(x_)^(n_.))^(p_), x_Symbol] :> Simp[c^(j - 1)*(c*x)^(m - j +
      1)*((a*x^j + b*x^n)^(p + 1)/(a*(m + j*p + 1))), x] - Simp[b*((m + n*p + n - j + 1)/(a*c^(n - j)*(m + j*p + 1))
      )   Int[(c*x)^(m + n - j)*(a*x^j + b*x^n)^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, j, m, n, p}, x] &&  !IntegerQ[p] && NeQ
      [n, j] && ILtQ[Simplify[(m + n*p + n - j + 1)/(n - j)], 0] && NeQ[m + j*p + 1, 0] && (IntegersQ[j, n] || GtQ[c
      , 0])

1923. Int[((c_)*(x_))^(m_.)*((a_.)*(x_)^(j_.) + (b_.)*(x_)^(n_.))^(p_), x_Symbol] :> Simp[c^IntPart[m]*((c*x)^FracPa
      rt[m]/x^FracPart[m])   Int[x^m*(a*x^j + b*x^n)^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, j, m, n, p}, x] &&  !IntegerQ[p] &
      & NeQ[n, j] && ILtQ[Simplify[(m + n*p + n - j + 1)/(n - j)], 0]

1924. Int[(x_)^(m_.)*((a_.)*(x_)^(j_.) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_), x_Symbol] :> Simp[1/n   Subst[Int[x^(Simplify[(m + 1
      )/n] - 1)*(a*x^Simplify[j/n] + b*x)^p, x], x, x^n], x] /; FreeQ[{a, b, j, m, n, p}, x] &&  !IntegerQ[p] && NeQ
      [n, j] && IntegerQ[Simplify[j/n]] && IntegerQ[Simplify[(m + 1)/n]] && NeQ[n^2, 1]

1925. Int[((c_)*(x_))^(m_.)*((a_.)*(x_)^(j_.) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_), x_Symbol] :> Simp[c^IntPart[m]*((c*x)^FracPar
      t[m]/x^FracPart[m])   Int[x^m*(a*x^j + b*x^n)^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, j, m, n, p}, x] &&  !IntegerQ[p] &&
      NeQ[n, j] && IntegerQ[Simplify[j/n]] && IntegerQ[Simplify[(m + 1)/n]] && NeQ[n^2, 1]

1926. Int[((c_.)*(x_))^(m_)*((a_.)*(x_)^(j_.) + (b_.)*(x_)^(n_.))^(p_), x_Symbol] :> Simp[(c*x)^(m + 1)*((a*x^j + b*
      x^n)^p/(c*(m + j*p + 1))), x] - Simp[b*p*((n - j)/(c^n*(m + j*p + 1)))   Int[(c*x)^(m + n)*(a*x^j + b*x^n)^(p
      - 1), x], x] /; FreeQ[{a, b, c}, x] &&  !IntegerQ[p] && LtQ[0, j, n] && (IntegersQ[j, n] || GtQ[c, 0]) && GtQ[
      p, 0] && LtQ[m + j*p + 1, 0]

1927. Int[((c_.)*(x_))^(m_.)*((a_.)*(x_)^(j_.) + (b_.)*(x_)^(n_.))^(p_), x_Symbol] :> Simp[(c*x)^(m + 1)*((a*x^j + b
      *x^n)^p/(c*(m + n*p + 1))), x] + Simp[a*(n - j)*(p/(c^j*(m + n*p + 1)))   Int[(c*x)^(m + j)*(a*x^j + b*x^n)^(p
      - 1), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, m}, x] &&  !IntegerQ[p] && LtQ[0, j, n] && (IntegersQ[j, n] || GtQ[c, 0]) &&
      GtQ[p, 0] && NeQ[m + n*p + 1, 0]

1928. Int[((c_.)*(x_))^(m_.)*((a_.)*(x_)^(j_.) + (b_.)*(x_)^(n_.))^(p_), x_Symbol] :> Simp[c^(n - 1)*(c*x)^(m - n +
      1)*((a*x^j + b*x^n)^(p + 1)/(b*(n - j)*(p + 1))), x] - Simp[c^n*((m + j*p - n + j + 1)/(b*(n - j)*(p + 1)))
      Int[(c*x)^(m - n)*(a*x^j + b*x^n)^(p + 1), x], x] /; FreeQ[{a, b, c}, x] &&  !IntegerQ[p] && LtQ[0, j, n] && (
      IntegersQ[j, n] || GtQ[c, 0]) && LtQ[p, -1] && GtQ[m + j*p + 1, n - j]

1929. Int[((c_.)*(x_))^(m_.)*((a_.)*(x_)^(j_.) + (b_.)*(x_)^(n_.))^(p_), x_Symbol] :> Simp[(-c^(j - 1))*(c*x)^(m - j
      + 1)*((a*x^j + b*x^n)^(p + 1)/(a*(n - j)*(p + 1))), x] + Simp[c^j*((m + n*p + n - j + 1)/(a*(n - j)*(p + 1)))
      Int[(c*x)^(m - j)*(a*x^j + b*x^n)^(p + 1), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, m}, x] &&  !IntegerQ[p] && LtQ[0, j, n
      ] && (IntegersQ[j, n] || GtQ[c, 0]) && LtQ[p, -1]

1930. Int[((c_.)*(x_))^(m_.)*((a_.)*(x_)^(j_.) + (b_.)*(x_)^(n_.))^(p_), x_Symbol] :> Simp[c^(n - 1)*(c*x)^(m - n +
      1)*((a*x^j + b*x^n)^(p + 1)/(b*(m + n*p + 1))), x] - Simp[a*c^(n - j)*((m + j*p - n + j + 1)/(b*(m + n*p + 1))
      )   Int[(c*x)^(m - (n - j))*(a*x^j + b*x^n)^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, m, p}, x] &&  !IntegerQ[p] && LtQ[0,
      j, n] && (IntegersQ[j, n] || GtQ[c, 0]) && GtQ[m + j*p - n + j + 1, 0] && NeQ[m + n*p + 1, 0]

1931. Int[((c_.)*(x_))^(m_.)*((a_.)*(x_)^(j_.) + (b_.)*(x_)^(n_.))^(p_), x_Symbol] :> Simp[c^(j - 1)*(c*x)^(m - j +
      1)*((a*x^j + b*x^n)^(p + 1)/(a*(m + j*p + 1))), x] - Simp[b*((m + n*p + n - j + 1)/(a*c^(n - j)*(m + j*p + 1))
      )   Int[(c*x)^(m + n - j)*(a*x^j + b*x^n)^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, m, p}, x] &&  !IntegerQ[p] && LtQ[0, j,
      n] && (IntegersQ[j, n] || GtQ[c, 0]) && LtQ[m + j*p + 1, 0]

1932. Int[(x_)^(m_.)*((a_.)*(x_)^(j_.) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_), x_Symbol] :> Simp[1/(m + 1)   Subst[Int[(a*x^Simplif
      y[j/(m + 1)] + b*x^Simplify[n/(m + 1)])^p, x], x, x^(m + 1)], x] /; FreeQ[{a, b, j, m, n, p}, x] &&  !IntegerQ
      [p] && NeQ[n, j] && IntegerQ[Simplify[j/n]] && NeQ[m, -1] && IntegerQ[Simplify[n/(m + 1)]] &&  !IntegerQ[n]

1933. Int[((c_)*(x_))^(m_.)*((a_.)*(x_)^(j_.) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_), x_Symbol] :> Simp[c^IntPart[m]*((c*x)^FracPar
      t[m]/x^FracPart[m])   Int[x^m*(a*x^j + b*x^n)^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, j, m, n, p}, x] &&  !IntegerQ[p] &&
      NeQ[n, j] && IntegerQ[Simplify[j/n]] && NeQ[m, -1] && IntegerQ[Simplify[n/(m + 1)]] &&  !IntegerQ[n]

1934. Int[((c_.)*(x_))^(m_.)*((a_.)*(x_)^(j_.) + (b_.)*(x_)^(n_.))^(p_), x_Symbol] :> Simp[(c*x)^(m + 1)*((a*x^j + b
      *x^n)^p/(c*p*(n - j))), x] + Simp[a/c^j   Int[(c*x)^(m + j)*(a*x^j + b*x^n)^(p - 1), x], x] /; FreeQ[{a, b, c,
      j, m, n}, x] && IGtQ[p + 1/2, 0] && NeQ[n, j] && EqQ[Simplify[m + j*p + 1], 0] && (IntegerQ[j] || GtQ[c, 0])

1935. Int[(x_)^(m_.)/Sqrt[(a_.)*(x_)^(j_.) + (b_.)*(x_)^(n_.)], x_Symbol] :> Simp[-2/(n - j)   Subst[Int[1/(1 - a*x^
      2), x], x, x^(j/2)/Sqrt[a*x^j + b*x^n]], x] /; FreeQ[{a, b, j, n}, x] && EqQ[m, j/2 - 1] && NeQ[n, j]

1936. Int[((c_.)*(x_))^(m_.)*((a_.)*(x_)^(j_.) + (b_.)*(x_)^(n_.))^(p_), x_Symbol] :> Simp[(-c^(j - 1))*(c*x)^(m - j
      + 1)*((a*x^j + b*x^n)^(p + 1)/(a*(n - j)*(p + 1))), x] + Simp[c^j*((m + n*p + n - j + 1)/(a*(n - j)*(p + 1)))
      Int[(c*x)^(m - j)*(a*x^j + b*x^n)^(p + 1), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, j, m, n}, x] && ILtQ[p + 1/2, 0] && Ne
      Q[n, j] && EqQ[Simplify[m + j*p + 1], 0] && (IntegerQ[j] || GtQ[c, 0])

1937. Int[((c_)*(x_))^(m_.)*((a_.)*(x_)^(j_.) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_), x_Symbol] :> Simp[c^IntPart[m]*((c*x)^FracPar
      t[m]/x^FracPart[m])   Int[x^m*(a*x^j + b*x^n)^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, j, m, n, p}, x] && IntegerQ[p + 1/2
      ] && NeQ[n, j] && EqQ[Simplify[m + j*p + 1], 0]

1938. Int[((c_.)*(x_))^(m_.)*((a_.)*(x_)^(j_.) + (b_.)*(x_)^(n_.))^(p_), x_Symbol] :> Simp[c^IntPart[m]*(c*x)^FracPa
      rt[m]*((a*x^j + b*x^n)^FracPart[p]/(x^(FracPart[m] + j*FracPart[p])*(a + b*x^(n - j))^FracPart[p]))   Int[x^(m
      + j*p)*(a + b*x^(n - j))^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, j, m, n, p}, x] &&  !IntegerQ[p] && NeQ[n, j] && PosQ[n
      - j]

1939. Int[(u_)^(m_.)*((a_.)*(v_)^(j_.) + (b_.)*(v_)^(n_.))^(p_.), x_Symbol] :> Simp[u^m/(Coefficient[v, x, 1]*v^m)
      Subst[Int[x^m*(a*x^j + b*x^n)^p, x], x, v], x] /; FreeQ[{a, b, j, m, n, p}, x] && LinearPairQ[u, v, x]

1940. Int[(x_)^(m_.)*((b_.)*(x_)^(k_.) + (a_.)*(x_)^(j_))^(p_)*((c_) + (d_.)*(x_)^(n_))^(q_.), x_Symbol] :> Simp[1/n
      Subst[Int[x^(Simplify[(m + 1)/n] - 1)*(a*x^Simplify[j/n] + b*x^Simplify[k/n])^p*(c + d*x)^q, x], x, x^n], x
      ] /; FreeQ[{a, b, c, d, j, k, m, n, p, q}, x] &&  !IntegerQ[p] && NeQ[k, j] && IntegerQ[Simplify[j/n]] && Inte
      gerQ[Simplify[k/n]] && IntegerQ[Simplify[(m + 1)/n]] && NeQ[n^2, 1]

1941. Int[((e_)*(x_))^(m_.)*((c_) + (d_.)*(x_)^(n_.))^(q_.)*((b_.)*(x_)^(k_.) + (a_.)*(x_)^(j_))^(p_), x_Symbol] :>
      Simp[e^IntPart[m]*((e*x)^FracPart[m]/x^FracPart[m])   Int[x^m*(a*x^j + b*x^k)^p*(c + d*x^n)^q, x], x] /; FreeQ
      [{a, b, c, d, e, j, k, m, n, p, q}, x] &&  !IntegerQ[p] && NeQ[k, j] && IntegerQ[Simplify[j/n]] && IntegerQ[Si
      mplify[k/n]] && IntegerQ[Simplify[(m + 1)/n]] && NeQ[n^2, 1]

1942. Int[((e_.)*(x_))^(m_.)*((a_.)*(x_)^(j_.) + (b_.)*(x_)^(jn_.))^(p_)*((c_) + (d_.)*(x_)^(n_.)), x_Symbol] :> Sim
      p[c*e^(j - 1)*(e*x)^(m - j + 1)*((a*x^j + b*x^(j + n))^(p + 1)/(a*(m + j*p + 1))), x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e,
      j, m, n, p}, x] && EqQ[jn, j + n] &&  !IntegerQ[p] && NeQ[b*c - a*d, 0] && EqQ[a*d*(m + j*p + 1) - b*c*(m + n
      + p*(j + n) + 1), 0] && (GtQ[e, 0] || IntegersQ[j]) && NeQ[m + j*p + 1, 0]

1943. Int[((e_.)*(x_))^(m_.)*((a_.)*(x_)^(j_.) + (b_.)*(x_)^(jn_.))^(p_)*((c_) + (d_.)*(x_)^(n_.)), x_Symbol] :> Sim
      p[(-e^(j - 1))*(b*c - a*d)*(e*x)^(m - j + 1)*((a*x^j + b*x^(j + n))^(p + 1)/(a*b*n*(p + 1))), x] - Simp[e^j*((
      a*d*(m + j*p + 1) - b*c*(m + n + p*(j + n) + 1))/(a*b*n*(p + 1)))   Int[(e*x)^(m - j)*(a*x^j + b*x^(j + n))^(p
      + 1), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, j, m, n}, x] && EqQ[jn, j + n] &&  !IntegerQ[p] && NeQ[b*c - a*d, 0] &&
      LtQ[p, -1] && GtQ[j, 0] && LeQ[j, m] && (GtQ[e, 0] || IntegerQ[j])

1944. Int[((e_.)*(x_))^(m_.)*((a_.)*(x_)^(j_.) + (b_.)*(x_)^(jn_.))^(p_)*((c_) + (d_.)*(x_)^(n_.)), x_Symbol] :> Sim
      p[c*e^(j - 1)*(e*x)^(m - j + 1)*((a*x^j + b*x^(j + n))^(p + 1)/(a*(m + j*p + 1))), x] + Simp[(a*d*(m + j*p + 1
      ) - b*c*(m + n + p*(j + n) + 1))/(a*e^n*(m + j*p + 1))   Int[(e*x)^(m + n)*(a*x^j + b*x^(j + n))^p, x], x] /;
      FreeQ[{a, b, c, d, e, j, p}, x] && EqQ[jn, j + n] &&  !IntegerQ[p] && NeQ[b*c - a*d, 0] && GtQ[n, 0] && (LtQ[m
      + j*p, -1] || (IntegersQ[m - 1/2, p - 1/2] && LtQ[p, 0] && LtQ[m, (-n)*p - 1])) && (GtQ[e, 0] || IntegersQ[j,
      n]) && NeQ[m + j*p + 1, 0] && NeQ[m - n + j*p + 1, 0]

1945. Int[((e_.)*(x_))^(m_.)*((a_.)*(x_)^(j_.) + (b_.)*(x_)^(jn_.))^(p_)*((c_) + (d_.)*(x_)^(n_.)), x_Symbol] :> Sim
      p[d*e^(j - 1)*(e*x)^(m - j + 1)*((a*x^j + b*x^(j + n))^(p + 1)/(b*(m + n + p*(j + n) + 1))), x] - Simp[(a*d*(m
      + j*p + 1) - b*c*(m + n + p*(j + n) + 1))/(b*(m + n + p*(j + n) + 1))   Int[(e*x)^m*(a*x^j + b*x^(j + n))^p,
      x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, j, m, n, p}, x] && EqQ[jn, j + n] &&  !IntegerQ[p] && NeQ[b*c - a*d, 0] && NeQ
      [m + n + p*(j + n) + 1, 0] && (GtQ[e, 0] || IntegerQ[j])

1946. Int[(x_)^(m_.)*((c_) + (d_.)*(x_)^(n_.))^(q_.)*((b_.)*(x_)^(k_.) + (a_.)*(x_)^(j_))^(p_), x_Symbol] :> Simp[1/
      (m + 1)   Subst[Int[(a*x^Simplify[j/(m + 1)] + b*x^Simplify[k/(m + 1)])^p*(c + d*x^Simplify[n/(m + 1)])^q, x],
      x, x^(m + 1)], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, j, k, m, n, p, q}, x] &&  !IntegerQ[p] && NeQ[k, j] && IntegerQ[Simpl
      ify[j/n]] && IntegerQ[Simplify[k/n]] && NeQ[m, -1] && IntegerQ[Simplify[n/(m + 1)]] &&  !IntegerQ[n]

1947. Int[((e_)*(x_))^(m_.)*((c_) + (d_.)*(x_)^(n_.))^(q_.)*((b_.)*(x_)^(k_.) + (a_.)*(x_)^(j_))^(p_), x_Symbol] :>
      Simp[e^IntPart[m]*((e*x)^FracPart[m]/x^FracPart[m])   Int[x^m*(a*x^j + b*x^k)^p*(c + d*x^n)^q, x], x] /; FreeQ
      [{a, b, c, d, e, j, k, m, n, p, q}, x] &&  !IntegerQ[p] && NeQ[k, j] && IntegerQ[Simplify[j/n]] && IntegerQ[Si
      mplify[k/n]] && NeQ[m, -1] && IntegerQ[Simplify[n/(m + 1)]] &&  !IntegerQ[n]

1948. Int[((e_.)*(x_))^(m_.)*((a_.)*(x_)^(j_.) + (b_.)*(x_)^(jn_.))^(p_)*((c_) + (d_.)*(x_)^(n_.))^(q_.), x_Symbol]
      :> Simp[e^IntPart[m]*(e*x)^FracPart[m]*((a*x^j + b*x^(j + n))^FracPart[p]/(x^(FracPart[m] + j*FracPart[p])*(a
      + b*x^n)^FracPart[p]))   Int[x^(m + j*p)*(a + b*x^n)^p*(c + d*x^n)^q, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, j, m, n,
      p, q}, x] && EqQ[jn, j + n] &&  !IntegerQ[p] && NeQ[b*c - a*d, 0] &&  !(EqQ[n, 1] && EqQ[j, 1])

1949. Int[((b_.)*(x_)^(n_.) + (a_.)*(x_)^(q_.) + (c_.)*(x_)^(r_.))^(p_), x_Symbol] :> Int[x^(p*q)*(a + b*x^(n - q) +
      c*x^(2*(n - q)))^p, x] /; FreeQ[{a, b, c, n, q}, x] && EqQ[r, 2*n - q] && PosQ[n - q] && IntegerQ[p]

1950. Int[Sqrt[(b_.)*(x_)^(n_.) + (a_.)*(x_)^(q_.) + (c_.)*(x_)^(r_.)], x_Symbol] :> Simp[Sqrt[a*x^q + b*x^n + c*x^(
      2*n - q)]/(x^(q/2)*Sqrt[a + b*x^(n - q) + c*x^(2*(n - q))])   Int[x^(q/2)*Sqrt[a + b*x^(n - q) + c*x^(2*(n - q
      ))], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, n, q}, x] && EqQ[r, 2*n - q] && PosQ[n - q]

1951. Int[1/Sqrt[(a_.)*(x_)^2 + (b_.)*(x_)^(n_.) + (c_.)*(x_)^(r_.)], x_Symbol] :> Simp[-2/(n - 2)   Subst[Int[1/(4*
      a - x^2), x], x, x*((2*a + b*x^(n - 2))/Sqrt[a*x^2 + b*x^n + c*x^r])], x] /; FreeQ[{a, b, c, n, r}, x] && EqQ[
      r, 2*n - 2] && PosQ[n - 2] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0]

1952. Int[1/Sqrt[(b_.)*(x_)^(n_.) + (a_.)*(x_)^(q_.) + (c_.)*(x_)^(r_.)], x_Symbol] :> Simp[x^(q/2)*(Sqrt[a + b*x^(n
      - q) + c*x^(2*(n - q))]/Sqrt[a*x^q + b*x^n + c*x^(2*n - q)])   Int[1/(x^(q/2)*Sqrt[a + b*x^(n - q) + c*x^(2*(
      n - q))]), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, n, q}, x] && EqQ[r, 2*n - q] && PosQ[n - q]

1953. Int[((b_.)*(x_)^(n_.) + (a_.)*(x_)^(q_.) + (c_.)*(x_)^(r_.))^(p_), x_Symbol] :> Simp[x*((a*x^q + b*x^n + c*x^(
      2*n - q))^p/(p*(2*n - q) + 1)), x] + Simp[(n - q)*(p/(p*(2*n - q) + 1))   Int[x^q*(2*a + b*x^(n - q))*(a*x^q +
      b*x^n + c*x^(2*n - q))^(p - 1), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, n, q}, x] && EqQ[r, 2*n - q] && PosQ[n - q] &&  !In
      tegerQ[p] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] && GtQ[p, 0] && NeQ[p*(2*n - q) + 1, 0]

1954. Int[((b_.)*(x_)^(n_.) + (a_.)*(x_)^(q_.) + (c_.)*(x_)^(r_.))^(p_), x_Symbol] :> Simp[(-x^(-q + 1))*(b^2 - 2*a*
      c + b*c*x^(n - q))*((a*x^q + b*x^n + c*x^(2*n - q))^(p + 1)/(a*(n - q)*(p + 1)*(b^2 - 4*a*c))), x] + Simp[1/(a
      *(n - q)*(p + 1)*(b^2 - 4*a*c))   Int[(((p*q + 1)*(b^2 - 2*a*c) + (n - q)*(p + 1)*(b^2 - 4*a*c) + b*c*(p*q + (
      n - q)*(2*p + 3) + 1)*x^(n - q))*(a*x^q + b*x^n + c*x^(2*n - q))^(p + 1))/x^q, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, n, q}
      , x] && EqQ[r, 2*n - q] && PosQ[n - q] &&  !IntegerQ[p] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] && LtQ[p, -1]

1955. Int[((b_.)*(x_)^(n_.) + (a_.)*(x_)^(q_.) + (c_.)*(x_)^(r_.))^(p_), x_Symbol] :> Simp[(a*x^q + b*x^n + c*x^(2*n
      - q))^p/(x^(p*q)*(a + b*x^(n - q) + c*x^(2*(n - q)))^p)   Int[x^(p*q)*(a + b*x^(n - q) + c*x^(2*(n - q)))^p,
      x], x] /; FreeQ[{a, b, c, n, p, q}, x] && EqQ[r, 2*n - q] && PosQ[n - q] &&  !IntegerQ[p]

1956. Int[((b_.)*(x_)^(n_.) + (a_.)*(x_)^(q_.) + (c_.)*(x_)^(r_.))^(p_), x_Symbol] :> Unintegrable[(b*x^n + c*x^(2*n
      - q) + a*x^q)^p, x] /; FreeQ[{a, b, c, n, p, q}, x] && EqQ[r, 2*n - q]

1957. Int[((b_.)*(u_)^(n_.) + (a_.)*(u_)^(q_.) + (c_.)*(u_)^(r_.))^(p_), x_Symbol] :> Simp[1/Coefficient[u, x, 1]
      Subst[Int[(a*x^q + b*x^n + c*x^(2*n - q))^p, x], x, u], x] /; FreeQ[{a, b, c, n, p, q}, x] && EqQ[r, 2*n - q]
      && LinearQ[u, x] && NeQ[u, x]

1958. Int[(x_)^(m_.)*((b_.)*(x_)^(n_.) + (a_.)*(x_)^(q_.) + (c_.)*(x_)^(r_.))^(p_.), x_Symbol] :> Int[x^m*((a + b +
      c)*x^n)^p, x] /; FreeQ[{a, b, c, m, n, p}, x] && EqQ[q, n] && EqQ[r, n]

1959. Int[(x_)^(m_.)*((b_.)*(x_)^(n_.) + (a_.)*(x_)^(q_.) + (c_.)*(x_)^(r_.))^(p_.), x_Symbol] :> Int[x^(m + p*q)*(a
      + b*x^(n - q) + c*x^(2*(n - q)))^p, x] /; FreeQ[{a, b, c, m, n, q}, x] && EqQ[r, 2*n - q] && IntegerQ[p] && P
      osQ[n - q]

1960. Int[(x_)^(m_.)/Sqrt[(b_.)*(x_)^(n_.) + (a_.)*(x_)^(q_.) + (c_.)*(x_)^(r_.)], x_Symbol] :> Simp[-2/(n - q)   Su
      bst[Int[1/(4*a - x^2), x], x, x^(m + 1)*((2*a + b*x^(n - q))/Sqrt[a*x^q + b*x^n + c*x^r])], x] /; FreeQ[{a, b,
      c, m, n, q, r}, x] && EqQ[r, 2*n - q] && PosQ[n - q] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] && EqQ[m, q/2 - 1]

1961. Int[(x_)^(m_.)/Sqrt[(b_.)*(x_)^(n_.) + (a_.)*(x_)^(q_.) + (c_.)*(x_)^(r_.)], x_Symbol] :> Simp[x^(q/2)*(Sqrt[a
      + b*x^(n - q) + c*x^(2*(n - q))]/Sqrt[a*x^q + b*x^n + c*x^(2*n - q)])   Int[x^(m - q/2)/Sqrt[a + b*x^(n - q)
      + c*x^(2*(n - q))], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, m, n, q}, x] && EqQ[r, 2*n - q] && PosQ[n - q] && ((EqQ[m, 1] &&
      EqQ[n, 3] && EqQ[q, 2]) || ((EqQ[m + 1/2] || EqQ[m, 3/2] || EqQ[m, 1/2] || EqQ[m, 5/2]) && EqQ[n, 3] && EqQ[q
      , 1]))

1962. Int[(x_)^(m_.)/((b_.)*(x_)^(n_.) + (a_.)*(x_)^(q_.) + (c_.)*(x_)^(r_.))^(3/2), x_Symbol] :> Simp[-2*x^((n - 1)
      /2)*((b + 2*c*x)/((b^2 - 4*a*c)*Sqrt[a*x^(n - 1) + b*x^n + c*x^(n + 1)])), x] /; FreeQ[{a, b, c, n}, x] && EqQ
      [m, 3*((n - 1)/2)] && EqQ[q, n - 1] && EqQ[r, n + 1] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0]

1963. Int[(x_)^(m_.)/((b_.)*(x_)^(n_.) + (a_.)*(x_)^(q_.) + (c_.)*(x_)^(r_.))^(3/2), x_Symbol] :> Simp[x^((n - 1)/2)
      *((4*a + 2*b*x)/((b^2 - 4*a*c)*Sqrt[a*x^(n - 1) + b*x^n + c*x^(n + 1)])), x] /; FreeQ[{a, b, c, n}, x] && EqQ[
      m, (3*n - 1)/2] && EqQ[q, n - 1] && EqQ[r, n + 1] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0]

1964. Int[(x_)^(m_.)*((b_.)*(x_)^(n_.) + (a_.)*(x_)^(q_.) + (c_.)*(x_)^(r_.))^(p_), x_Symbol] :> Simp[x^(m - n)*((a*
      x^(n - 1) + b*x^n + c*x^(n + 1))^(p + 1)/(2*c*(p + 1))), x] - Simp[b/(2*c)   Int[x^(m - 1)*(a*x^(n - 1) + b*x^
      n + c*x^(n + 1))^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c}, x] && EqQ[r, 2*n - q] && PosQ[n - q] &&  !IntegerQ[p] && NeQ[b^
      2 - 4*a*c, 0] && IGtQ[n, 0] && RationalQ[m, p, q] && EqQ[m + p*(n - 1) - 1, 0]

1965. Int[(x_)^(m_.)*((b_.)*(x_)^(n_.) + (a_.)*(x_)^(q_.) + (c_.)*(x_)^(r_.))^(p_), x_Symbol] :> Simp[x^(m - n + q +
      1)*(b + 2*c*x^(n - q))*((a*x^q + b*x^n + c*x^(2*n - q))^p/(2*c*(n - q)*(2*p + 1))), x] - Simp[p*((b^2 - 4*a*c
      )/(2*c*(2*p + 1)))   Int[x^(m + q)*(a*x^q + b*x^n + c*x^(2*n - q))^(p - 1), x], x] /; FreeQ[{a, b, c}, x] && E
      qQ[r, 2*n - q] && PosQ[n - q] &&  !IntegerQ[p] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] && IGtQ[n, 0] && GtQ[p, 0] && RationalQ[
      m, q] && EqQ[m + p*q + 1, n - q]

1966. Int[(x_)^(m_.)*((b_.)*(x_)^(n_.) + (a_.)*(x_)^(q_.) + (c_.)*(x_)^(r_.))^(p_), x_Symbol] :> Simp[x^(m - n + q +
      1)*(b*(n - q)*p + c*(m + p*q + (n - q)*(2*p - 1) + 1)*x^(n - q))*((a*x^q + b*x^n + c*x^(2*n - q))^p/(c*(m + p
      *(2*n - q) + 1)*(m + p*q + (n - q)*(2*p - 1) + 1))), x] + Simp[(n - q)*(p/(c*(m + p*(2*n - q) + 1)*(m + p*q +
      (n - q)*(2*p - 1) + 1)))   Int[x^(m - (n - 2*q))*Simp[(-a)*b*(m + p*q - n + q + 1) + (2*a*c*(m + p*q + (n - q)
      *(2*p - 1) + 1) - b^2*(m + p*q + (n - q)*(p - 1) + 1))*x^(n - q), x]*(a*x^q + b*x^n + c*x^(2*n - q))^(p - 1),
      x], x] /; FreeQ[{a, b, c}, x] && EqQ[r, 2*n - q] && PosQ[n - q] &&  !IntegerQ[p] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] && IGt
      Q[n, 0] && GtQ[p, 0] && RationalQ[m, q] && GtQ[m + p*q + 1, n - q] && NeQ[m + p*(2*n - q) + 1, 0] && NeQ[m + p
      *q + (n - q)*(2*p - 1) + 1, 0]

1967. Int[(x_)^(m_.)*((b_.)*(x_)^(n_.) + (a_.)*(x_)^(q_.) + (c_.)*(x_)^(r_.))^(p_), x_Symbol] :> Simp[x^(m + 1)*((a*
      x^q + b*x^n + c*x^(2*n - q))^p/(m + p*q + 1)), x] - Simp[(n - q)*(p/(m + p*q + 1))   Int[x^(m + n)*(b + 2*c*x^
      (n - q))*(a*x^q + b*x^n + c*x^(2*n - q))^(p - 1), x], x] /; FreeQ[{a, b, c}, x] && EqQ[r, 2*n - q] && PosQ[n -
      q] &&  !IntegerQ[p] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] && IGtQ[n, 0] && GtQ[p, 0] && RationalQ[m, q] && LeQ[m + p*q + 1,
      -(n - q) + 1] && NeQ[m + p*q + 1, 0]

1968. Int[(x_)^(m_.)*((b_.)*(x_)^(n_.) + (a_.)*(x_)^(q_.) + (c_.)*(x_)^(r_.))^(p_), x_Symbol] :> Simp[x^(m + 1)*((a*
      x^q + b*x^n + c*x^(2*n - q))^p/(m + p*(2*n - q) + 1)), x] + Simp[(n - q)*(p/(m + p*(2*n - q) + 1))   Int[x^(m
      + q)*(2*a + b*x^(n - q))*(a*x^q + b*x^n + c*x^(2*n - q))^(p - 1), x], x] /; FreeQ[{a, b, c}, x] && EqQ[r, 2*n
      - q] && PosQ[n - q] &&  !IntegerQ[p] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] && IGtQ[n, 0] && GtQ[p, 0] && RationalQ[m, q] && G
      tQ[m + p*q + 1, -(n - q)] && NeQ[m + p*(2*n - q) + 1, 0]

1969. Int[(x_)^(m_.)*((b_.)*(x_)^(n_.) + (a_.)*(x_)^(q_.) + (c_.)*(x_)^(r_.))^(p_), x_Symbol] :> Simp[(-x^(m - q + 1
      ))*(b^2 - 2*a*c + b*c*x^(n - q))*((a*x^q + b*x^n + c*x^(2*n - q))^(p + 1)/(a*(n - q)*(p + 1)*(b^2 - 4*a*c))),
      x] + Simp[(2*a*c - b^2*(p + 2))/(a*(p + 1)*(b^2 - 4*a*c))   Int[x^(m - q)*(a*x^q + b*x^n + c*x^(2*n - q))^(p +
      1), x], x] /; FreeQ[{a, b, c}, x] && EqQ[r, 2*n - q] && PosQ[n - q] &&  !IntegerQ[p] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] &
      & IGtQ[n, 0] && LtQ[p, -1] && RationalQ[m, p, q] && EqQ[m + p*q + 1, (-(n - q))*(2*p + 3)]

1970. Int[(x_)^(m_.)*((b_.)*(x_)^(n_.) + (a_.)*(x_)^(q_.) + (c_.)*(x_)^(r_.))^(p_), x_Symbol] :> Simp[(-x^(m - 2*n +
      q + 1))*(2*a + b*x^(n - q))*((a*x^q + b*x^n + c*x^(2*n - q))^(p + 1)/((n - q)*(p + 1)*(b^2 - 4*a*c))), x] + S
      imp[1/((n - q)*(p + 1)*(b^2 - 4*a*c))   Int[x^(m - 2*n + q)*(2*a*(m + p*q - 2*(n - q) + 1) + b*(m + p*q + (n -
      q)*(2*p + 1) + 1)*x^(n - q))*(a*x^q + b*x^n + c*x^(2*n - q))^(p + 1), x], x] /; FreeQ[{a, b, c}, x] && EqQ[r,
      2*n - q] && PosQ[n - q] &&  !IntegerQ[p] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] && IGtQ[n, 0] && LtQ[p, -1] && RationalQ[m, q
      ] && GtQ[m + p*q + 1, 2*(n - q)]

1971. Int[(x_)^(m_.)*((b_.)*(x_)^(n_.) + (a_.)*(x_)^(q_.) + (c_.)*(x_)^(r_.))^(p_), x_Symbol] :> Simp[(-x^(m - q + 1
      ))*(b^2 - 2*a*c + b*c*x^(n - q))*((a*x^q + b*x^n + c*x^(2*n - q))^(p + 1)/(a*(n - q)*(p + 1)*(b^2 - 4*a*c))),
      x] + Simp[1/(a*(n - q)*(p + 1)*(b^2 - 4*a*c))   Int[x^(m - q)*(b^2*(m + p*q + (n - q)*(p + 1) + 1) - 2*a*c*(m
      + p*q + 2*(n - q)*(p + 1) + 1) + b*c*(m + p*q + (n - q)*(2*p + 3) + 1)*x^(n - q))*(a*x^q + b*x^n + c*x^(2*n -
      q))^(p + 1), x], x] /; FreeQ[{a, b, c}, x] && EqQ[r, 2*n - q] && PosQ[n - q] &&  !IntegerQ[p] && NeQ[b^2 - 4*a
      *c, 0] && IGtQ[n, 0] && LtQ[p, -1] && RationalQ[m, q] && LtQ[m + p*q + 1, n - q]

1972. Int[(x_)^(m_.)*((b_.)*(x_)^(n_.) + (a_.)*(x_)^(q_.) + (c_.)*(x_)^(r_.))^(p_), x_Symbol] :> Simp[x^(m - n + 1)*
      (b + 2*c*x^(n - q))*((a*x^q + b*x^n + c*x^(2*n - q))^(p + 1)/((n - q)*(p + 1)*(b^2 - 4*a*c))), x] - Simp[1/((n
      - q)*(p + 1)*(b^2 - 4*a*c))   Int[x^(m - n)*(b*(m + p*q - n + q + 1) + 2*c*(m + p*q + 2*(n - q)*(p + 1) + 1)*
      x^(n - q))*(a*x^q + b*x^n + c*x^(2*n - q))^(p + 1), x], x] /; FreeQ[{a, b, c}, x] && EqQ[r, 2*n - q] && PosQ[n
      - q] &&  !IntegerQ[p] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] && IGtQ[n, 0] && LtQ[p, -1] && RationalQ[m, q] && LtQ[n - q, m +
      p*q + 1, 2*(n - q)]

1973. Int[(x_)^(m_.)*((b_.)*(x_)^(n_.) + (a_.)*(x_)^(q_.) + (c_.)*(x_)^(r_.))^(p_), x_Symbol] :> Simp[x^(m - 2*n + q
      + 1)*((a*x^q + b*x^n + c*x^(2*n - q))^(p + 1)/(2*c*(n - q)*(p + 1))), x] - Simp[b/(2*c)   Int[x^(m - n + q)*(
      a*x^q + b*x^n + c*x^(2*n - q))^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c}, x] && EqQ[r, 2*n - q] && PosQ[n - q] &&  !Integer
      Q[p] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] && IGtQ[n, 0] && GeQ[p, -1] && LtQ[p, 0] && RationalQ[m, q] && EqQ[m + p*q + 1, 2*
      (n - q)]

1974. Int[(x_)^(m_.)*((b_.)*(x_)^(n_.) + (a_.)*(x_)^(q_.) + (c_.)*(x_)^(r_.))^(p_), x_Symbol] :> Simp[(-x^(m - q + 1
      ))*((a*x^q + b*x^n + c*x^(2*n - q))^(p + 1)/(2*a*(n - q)*(p + 1))), x] - Simp[b/(2*a)   Int[x^(m + n - q)*(a*x
      ^q + b*x^n + c*x^(2*n - q))^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c}, x] && EqQ[r, 2*n - q] && PosQ[n - q] &&  !IntegerQ[p
      ] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] && IGtQ[n, 0] && GeQ[p, -1] && LtQ[p, 0] && RationalQ[m, q] && EqQ[m + p*q + 1, -2*(n
      - q)*(p + 1)]

1975. Int[(x_)^(m_.)*((b_.)*(x_)^(n_.) + (a_.)*(x_)^(q_.) + (c_.)*(x_)^(r_.))^(p_), x_Symbol] :> Simp[x^(m - 2*n + q
      + 1)*((a*x^q + b*x^n + c*x^(2*n - q))^(p + 1)/(c*(m + p*q + 2*(n - q)*p + 1))), x] - Simp[1/(c*(m + p*q + 2*(
      n - q)*p + 1))   Int[x^(m - 2*(n - q))*(a*(m + p*q - 2*(n - q) + 1) + b*(m + p*q + (n - q)*(p - 1) + 1)*x^(n -
      q))*(a*x^q + b*x^n + c*x^(2*n - q))^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c}, x] && EqQ[r, 2*n - q] && PosQ[n - q] &&  !I
      ntegerQ[p] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] && IGtQ[n, 0] && GeQ[p, -1] && LtQ[p, 0] && RationalQ[m, q] && GtQ[m + p*q +
      1, 2*(n - q)]

1976. Int[(x_)^(m_.)*((b_.)*(x_)^(n_.) + (a_.)*(x_)^(q_.) + (c_.)*(x_)^(r_.))^(p_), x_Symbol] :> Simp[x^(m - q + 1)*
      ((a*x^q + b*x^n + c*x^(2*n - q))^(p + 1)/(a*(m + p*q + 1))), x] - Simp[1/(a*(m + p*q + 1))   Int[x^(m + n - q)
      *(b*(m + p*q + (n - q)*(p + 1) + 1) + c*(m + p*q + 2*(n - q)*(p + 1) + 1)*x^(n - q))*(a*x^q + b*x^n + c*x^(2*n
      - q))^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c}, x] && EqQ[r, 2*n - q] && PosQ[n - q] &&  !IntegerQ[p] && NeQ[b^2 - 4*a*c,
      0] && IGtQ[n, 0] && GeQ[p, -1] && LtQ[p, 0] && RationalQ[m, q] && LtQ[m + p*q + 1, 0]

1977. Int[(x_)^(m_.)*((b_.)*(x_)^(n_.) + (a_.)*(x_)^(q_.) + (c_.)*(x_)^(r_.))^(p_), x_Symbol] :> Simp[(a*x^q + b*x^n
      + c*x^(2*n - q))^p/(x^(p*q)*(a + b*x^(n - q) + c*x^(2*(n - q)))^p)   Int[x^(m + p*q)*(a + b*x^(n - q) + c*x^(
      2*(n - q)))^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, m, n, p, q}, x] && EqQ[r, 2*n - q] &&  !IntegerQ[p] && PosQ[n - q]

1978. Int[(u_)^(m_.)*((b_.)*(u_)^(n_.) + (a_.)*(u_)^(q_.) + (c_.)*(u_)^(r_.))^(p_.), x_Symbol] :> Simp[1/Coefficient
      [u, x, 1]   Subst[Int[x^m*(a*x^q + b*x^n + c*x^(2*n - q))^p, x], x, u], x] /; FreeQ[{a, b, c, m, n, p, q}, x]
      && EqQ[r, 2*n - q] && LinearQ[u, x] && NeQ[u, x]

1979. Int[((c_.)*(x_)^(j_.) + (b_.)*(x_)^(n_.) + (a_.)*(x_)^(q_.))^(p_.)*((A_) + (B_.)*(x_)^(r_.)), x_Symbol] :> Int
      [x^(p*q)*(A + B*x^(n - q))*(a + b*x^(n - q) + c*x^(2*(n - q)))^p, x] /; FreeQ[{a, b, c, A, B, n, q}, x] && EqQ
      [r, n - q] && EqQ[j, 2*n - q] && IntegerQ[p] && PosQ[n - q]

1980. Int[((A_) + (B_.)*(x_)^(j_.))/Sqrt[(b_.)*(x_)^(n_.) + (a_.)*(x_)^(q_.) + (c_.)*(x_)^(r_.)], x_Symbol] :> Simp[
      x^(q/2)*(Sqrt[a + b*x^(n - q) + c*x^(2*(n - q))]/Sqrt[a*x^q + b*x^n + c*x^(2*n - q)])   Int[(A + B*x^(n - q))/
      (x^(q/2)*Sqrt[a + b*x^(n - q) + c*x^(2*(n - q))]), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, A, B, n, q}, x] && EqQ[j, n - q]
      && EqQ[r, 2*n - q] && PosQ[n - q] && EqQ[n, 3] && EqQ[q, 2]

1981. Int[((c_.)*(x_)^(j_.) + (b_.)*(x_)^(n_.) + (a_.)*(x_)^(q_.))^(p_)*((A_) + (B_.)*(x_)^(r_.)), x_Symbol] :> Simp
      [x*(b*B*(n - q)*p + A*c*(p*q + (n - q)*(2*p + 1) + 1) + B*c*(p*(2*n - q) + 1)*x^(n - q))*((a*x^q + b*x^n + c*x
      ^(2*n - q))^p/(c*(p*(2*n - q) + 1)*(p*q + (n - q)*(2*p + 1) + 1))), x] + Simp[(n - q)*(p/(c*(p*(2*n - q) + 1)*
      (p*q + (n - q)*(2*p + 1) + 1)))   Int[x^q*(2*a*A*c*(p*q + (n - q)*(2*p + 1) + 1) - a*b*B*(p*q + 1) + (2*a*B*c*
      (p*(2*n - q) + 1) + A*b*c*(p*q + (n - q)*(2*p + 1) + 1) - b^2*B*(p*q + (n - q)*p + 1))*x^(n - q))*(a*x^q + b*x
      ^n + c*x^(2*n - q))^(p - 1), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, A, B, n, q}, x] && EqQ[r, n - q] && EqQ[j, 2*n - q] &&
      !IntegerQ[p] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] && GtQ[p, 0] && NeQ[p*(2*n - q) + 1, 0] && NeQ[p*q + (n - q)*(2*p + 1) +
      1, 0]

1982. Int[((c_.)*(x_)^(j_.) + (a_.)*(x_)^(q_.))^(p_)*((A_) + (B_.)*(x_)^(r_.)), x_Symbol] :> With[{n = q + r}, Simp[
      x*(A*(p*q + (n - q)*(2*p + 1) + 1) + B*(p*(2*n - q) + 1)*x^(n - q))*((a*x^q + c*x^(2*n - q))^p/((p*(2*n - q) +
      1)*(p*q + (n - q)*(2*p + 1) + 1))), x] + Simp[(n - q)*(p/((p*(2*n - q) + 1)*(p*q + (n - q)*(2*p + 1) + 1)))
      Int[x^q*(2*a*A*(p*q + (n - q)*(2*p + 1) + 1) + (2*a*B*(p*(2*n - q) + 1))*x^(n - q))*(a*x^q + c*x^(2*n - q))^(
      p - 1), x], x] /; EqQ[j, 2*n - q] && NeQ[p*(2*n - q) + 1, 0] && NeQ[p*q + (n - q)*(2*p + 1) + 1, 0]] /; FreeQ[
      {a, c, A, B, q}, x] &&  !IntegerQ[p] && GtQ[p, 0]

1983. Int[((c_.)*(x_)^(j_.) + (b_.)*(x_)^(n_.) + (a_.)*(x_)^(q_.))^(p_)*((A_) + (B_.)*(x_)^(r_.)), x_Symbol] :> Simp
      [(-x^(-q + 1))*(A*b^2 - a*b*B - 2*a*A*c + (A*b - 2*a*B)*c*x^(n - q))*((a*x^q + b*x^n + c*x^(2*n - q))^(p + 1)/
      (a*(n - q)*(p + 1)*(b^2 - 4*a*c))), x] + Simp[1/(a*(n - q)*(p + 1)*(b^2 - 4*a*c))   Int[((A*b^2*(p*q + (n - q)
      *(p + 1) + 1) - a*b*B*(p*q + 1) - 2*a*A*c*(p*q + 2*(n - q)*(p + 1) + 1) + (p*q + (n - q)*(2*p + 3) + 1)*(A*b -
      2*a*B)*c*x^(n - q))*(a*x^q + b*x^n + c*x^(2*n - q))^(p + 1))/x^q, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, A, B, n, q}, x] &
      & EqQ[r, n - q] && EqQ[j, 2*n - q] &&  !IntegerQ[p] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] && LtQ[p, -1]

1984. Int[((c_.)*(x_)^(j_.) + (a_.)*(x_)^(q_.))^(p_)*((A_) + (B_.)*(x_)^(r_.)), x_Symbol] :> With[{n = q + r}, Simp[
      (-x^(-q + 1))*(a*A*c + a*B*c*x^(n - q))*((a*x^q + c*x^(2*n - q))^(p + 1)/(a*(n - q)*(p + 1)*(2*a*c))), x] + Si
      mp[1/(a*(n - q)*(p + 1)*(2*a*c))   Int[((a*A*c*(p*q + 2*(n - q)*(p + 1) + 1) + a*B*c*(p*q + (n - q)*(2*p + 3)
      + 1)*x^(n - q))*(a*x^q + c*x^(2*n - q))^(p + 1))/x^q, x], x] /; EqQ[j, 2*n - q]] /; FreeQ[{a, c, A, B, q}, x]
      &&  !IntegerQ[p] && LtQ[p, -1]

1985. Int[((A_) + (B_.)*(x_)^(j_.))*((b_.)*(x_)^(n_.) + (a_.)*(x_)^(q_.) + (c_.)*(x_)^(r_.))^(p_.), x_Symbol] :> Uni
      ntegrable[(A + B*x^(n - q))*(b*x^n + c*x^(2*n - q) + a*x^q)^p, x] /; FreeQ[{a, b, c, A, B, n, p, q}, x] && EqQ
      [j, n - q] && EqQ[r, 2*n - q]

1986. Int[((A_) + (B_.)*(u_)^(j_.))*((b_.)*(u_)^(n_.) + (a_.)*(u_)^(q_.) + (c_.)*(u_)^(r_.))^(p_.), x_Symbol] :> Sim
      p[1/Coefficient[u, x, 1]   Subst[Int[(A + B*x^(n - q))*(a*x^q + b*x^n + c*x^(2*n - q))^p, x], x, u], x] /; Fre
      eQ[{a, b, c, A, B, n, p, q}, x] && EqQ[j, n - q] && EqQ[r, 2*n - q] && LinearQ[u, x] && NeQ[u, x]

1987. Int[(x_)^(m_.)*((c_.)*(x_)^(j_.) + (b_.)*(x_)^(n_.) + (a_.)*(x_)^(q_.))^(p_.)*((A_) + (B_.)*(x_)^(r_.)), x_Sym
      bol] :> Int[x^(m + p*q)*(A + B*x^(n - q))*(a + b*x^(n - q) + c*x^(2*(n - q)))^p, x] /; FreeQ[{a, b, c, A, B, m
      , n, q}, x] && EqQ[r, n - q] && EqQ[j, 2*n - q] && IntegerQ[p] && PosQ[n - q]

1988. Int[(x_)^(m_.)*((c_.)*(x_)^(j_.) + (b_.)*(x_)^(n_.) + (a_.)*(x_)^(q_.))^(p_.)*((A_) + (B_.)*(x_)^(r_.)), x_Sym
      bol] :> Simp[x^(m + 1)*(A*(m + p*q + (n - q)*(2*p + 1) + 1) + B*(m + p*q + 1)*x^(n - q))*((a*x^q + b*x^n + c*x
      ^(2*n - q))^p/((m + p*q + 1)*(m + p*q + (n - q)*(2*p + 1) + 1))), x] + Simp[(n - q)*(p/((m + p*q + 1)*(m + p*q
      + (n - q)*(2*p + 1) + 1)))   Int[x^(n + m)*Simp[2*a*B*(m + p*q + 1) - A*b*(m + p*q + (n - q)*(2*p + 1) + 1) +
      (b*B*(m + p*q + 1) - 2*A*c*(m + p*q + (n - q)*(2*p + 1) + 1))*x^(n - q), x]*(a*x^q + b*x^n + c*x^(2*n - q))^(
      p - 1), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, A, B}, x] && EqQ[r, n - q] && EqQ[j, 2*n - q] &&  !IntegerQ[p] && NeQ[b^2 -
      4*a*c, 0] && IGtQ[n, 0] && GtQ[p, 0] && RationalQ[m, q] && LeQ[m + p*q, -(n - q)] && NeQ[m + p*q + 1, 0] && Ne
      Q[m + p*q + (n - q)*(2*p + 1) + 1, 0]

1989. Int[(x_)^(m_.)*((c_.)*(x_)^(j_.) + (a_.)*(x_)^(q_.))^(p_.)*((A_) + (B_.)*(x_)^(r_.)), x_Symbol] :> With[{n = q
      + r}, Simp[x^(m + 1)*(A*(m + p*q + (n - q)*(2*p + 1) + 1) + B*(m + p*q + 1)*x^(n - q))*((a*x^q + c*x^(2*n - q
      ))^p/((m + p*q + 1)*(m + p*q + (n - q)*(2*p + 1) + 1))), x] + Simp[2*(n - q)*(p/((m + p*q + 1)*(m + p*q + (n -
      q)*(2*p + 1) + 1)))   Int[x^(n + m)*Simp[a*B*(m + p*q + 1) - A*c*(m + p*q + (n - q)*(2*p + 1) + 1)*x^(n - q),
      x]*(a*x^q + c*x^(2*n - q))^(p - 1), x], x] /; EqQ[j, 2*n - q] && IGtQ[n, 0] && LeQ[m + p*q, -(n - q)] && NeQ[
      m + p*q + 1, 0] && NeQ[m + p*q + (n - q)*(2*p + 1) + 1, 0]] /; FreeQ[{a, c, A, B}, x] &&  !IntegerQ[p] && Rati
      onalQ[m, p, q] && GtQ[p, 0]

1990. Int[(x_)^(m_.)*((c_.)*(x_)^(j_.) + (b_.)*(x_)^(n_.) + (a_.)*(x_)^(q_.))^(p_.)*((A_) + (B_.)*(x_)^(r_.)), x_Sym
      bol] :> Simp[x^(m - n + 1)*(A*b - 2*a*B - (b*B - 2*A*c)*x^(n - q))*((a*x^q + b*x^n + c*x^(2*n - q))^(p + 1)/((
      n - q)*(p + 1)*(b^2 - 4*a*c))), x] + Simp[1/((n - q)*(p + 1)*(b^2 - 4*a*c))   Int[x^(m - n)*Simp[(m + p*q - n
      + q + 1)*(2*a*B - A*b) + (m + p*q + 2*(n - q)*(p + 1) + 1)*(b*B - 2*A*c)*x^(n - q), x]*(a*x^q + b*x^n + c*x^(2
      *n - q))^(p + 1), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, A, B}, x] && EqQ[r, n - q] && EqQ[j, 2*n - q] &&  !IntegerQ[p] &&
      NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] && IGtQ[n, 0] && LtQ[p, -1] && RationalQ[m, q] && GtQ[m + p*q, n - q - 1]

1991. Int[(x_)^(m_.)*((c_.)*(x_)^(j_.) + (a_.)*(x_)^(q_.))^(p_.)*((A_) + (B_.)*(x_)^(r_.)), x_Symbol] :> With[{n = q
      + r}, Simp[x^(m - n + 1)*(a*B - A*c*x^(n - q))*((a*x^q + c*x^(2*n - q))^(p + 1)/(2*a*c*(n - q)*(p + 1))), x]
      - Simp[1/(2*a*c*(n - q)*(p + 1))   Int[x^(m - n)*Simp[a*B*(m + p*q - n + q + 1) - A*c*(m + p*q + (n - q)*2*(p
      + 1) + 1)*x^(n - q), x]*(a*x^q + c*x^(2*n - q))^(p + 1), x], x] /; EqQ[j, 2*n - q] && IGtQ[n, 0] && m + p*q >
      n - q - 1] /; FreeQ[{a, c, A, B}, x] &&  !IntegerQ[p] && RationalQ[m, q] && LtQ[p, -1]

1992. Int[(x_)^(m_.)*((c_.)*(x_)^(j_.) + (b_.)*(x_)^(n_.) + (a_.)*(x_)^(q_.))^(p_.)*((A_) + (B_.)*(x_)^(r_.)), x_Sym
      bol] :> Simp[x^(m + 1)*(b*B*(n - q)*p + A*c*(m + p*q + (n - q)*(2*p + 1) + 1) + B*c*(m + p*q + 2*(n - q)*p + 1
      )*x^(n - q))*((a*x^q + b*x^n + c*x^(2*n - q))^p/(c*(m + p*(2*n - q) + 1)*(m + p*q + (n - q)*(2*p + 1) + 1))),
      x] + Simp[(n - q)*(p/(c*(m + p*(2*n - q) + 1)*(m + p*q + (n - q)*(2*p + 1) + 1)))   Int[x^(m + q)*Simp[2*a*A*c
      *(m + p*q + (n - q)*(2*p + 1) + 1) - a*b*B*(m + p*q + 1) + (2*a*B*c*(m + p*q + 2*(n - q)*p + 1) + A*b*c*(m + p
      *q + (n - q)*(2*p + 1) + 1) - b^2*B*(m + p*q + (n - q)*p + 1))*x^(n - q), x]*(a*x^q + b*x^n + c*x^(2*n - q))^(
      p - 1), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, A, B}, x] && EqQ[r, n - q] && EqQ[j, 2*n - q] &&  !IntegerQ[p] && NeQ[b^2 -
      4*a*c, 0] && IGtQ[n, 0] && GtQ[p, 0] && RationalQ[m, q] && GtQ[m + p*q, -(n - q) - 1] && NeQ[m + p*(2*n - q) +
      1, 0] && NeQ[m + p*q + (n - q)*(2*p + 1) + 1, 0]

1993. Int[(x_)^(m_.)*((c_.)*(x_)^(j_.) + (a_.)*(x_)^(q_.))^(p_.)*((A_) + (B_.)*(x_)^(r_.)), x_Symbol] :> With[{n = q
      + r}, Simp[x^(m + 1)*(A*(m + p*q + (n - q)*(2*p + 1) + 1) + B*(m + p*q + 2*(n - q)*p + 1)*x^(n - q))*((a*x^q
      + c*x^(2*n - q))^p/((m + p*(2*n - q) + 1)*(m + p*q + (n - q)*(2*p + 1) + 1))), x] + Simp[(n - q)*(p/((m + p*(2
      *n - q) + 1)*(m + p*q + (n - q)*(2*p + 1) + 1)))   Int[x^(m + q)*Simp[2*a*A*(m + p*q + (n - q)*(2*p + 1) + 1)
      + 2*a*B*(m + p*q + 2*(n - q)*p + 1)*x^(n - q), x]*(a*x^q + c*x^(2*n - q))^(p - 1), x], x] /; EqQ[j, 2*n - q] &
      & IGtQ[n, 0] && GtQ[m + p*q, -(n - q)] && NeQ[m + p*q + 2*(n - q)*p + 1, 0] && NeQ[m + p*q + (n - q)*(2*p + 1)
      + 1, 0] && NeQ[m + 1, n]] /; FreeQ[{a, c, A, B}, x] &&  !IntegerQ[p] && RationalQ[m, q] && GtQ[p, 0]

1994. Int[(x_)^(m_.)*((c_.)*(x_)^(j_.) + (b_.)*(x_)^(n_.) + (a_.)*(x_)^(q_.))^(p_.)*((A_) + (B_.)*(x_)^(r_.)), x_Sym
      bol] :> Simp[(-x^(m - q + 1))*(A*b^2 - a*b*B - 2*a*A*c + (A*b - 2*a*B)*c*x^(n - q))*((a*x^q + b*x^n + c*x^(2*n
      - q))^(p + 1)/(a*(n - q)*(p + 1)*(b^2 - 4*a*c))), x] + Simp[1/(a*(n - q)*(p + 1)*(b^2 - 4*a*c))   Int[x^(m -
      q)*Simp[A*b^2*(m + p*q + (n - q)*(p + 1) + 1) - a*b*B*(m + p*q + 1) - 2*a*A*c*(m + p*q + 2*(n - q)*(p + 1) + 1
      ) + (m + p*q + (n - q)*(2*p + 3) + 1)*(A*b - 2*a*B)*c*x^(n - q), x]*(a*x^q + b*x^n + c*x^(2*n - q))^(p + 1), x
      ], x] /; FreeQ[{a, b, c, A, B}, x] && EqQ[r, n - q] && EqQ[j, 2*n - q] &&  !IntegerQ[p] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0]
      && IGtQ[n, 0] && LtQ[p, -1] && RationalQ[m, q] && m + p*q < n - q - 1

1995. Int[(x_)^(m_.)*((c_.)*(x_)^(j_.) + (a_.)*(x_)^(q_.))^(p_.)*((A_) + (B_.)*(x_)^(r_.)), x_Symbol] :> With[{n = q
      + r}, Simp[(-x^(m - q + 1))*(A*c + B*c*x^(n - q))*((a*x^q + c*x^(2*n - q))^(p + 1)/(2*a*c*(n - q)*(p + 1))),
      x] + Simp[1/(2*a*c*(n - q)*(p + 1))   Int[x^(m - q)*Simp[A*c*(m + p*q + 2*(n - q)*(p + 1) + 1) + B*(m + p*q +
      (n - q)*(2*p + 3) + 1)*c*x^(n - q), x]*(a*x^q + c*x^(2*n - q))^(p + 1), x], x] /; EqQ[j, 2*n - q] && IGtQ[n, 0
      ] && LtQ[m + p*q, n - q - 1]] /; FreeQ[{a, c, A, B}, x] &&  !IntegerQ[p] && RationalQ[m, q] && LtQ[p, -1]

1996. Int[(x_)^(m_.)*((c_.)*(x_)^(j_.) + (b_.)*(x_)^(n_.) + (a_.)*(x_)^(q_.))^(p_.)*((A_) + (B_.)*(x_)^(r_.)), x_Sym
      bol] :> Simp[B*x^(m - n + 1)*((a*x^q + b*x^n + c*x^(2*n - q))^(p + 1)/(c*(m + p*q + (n - q)*(2*p + 1) + 1))),
      x] - Simp[1/(c*(m + p*q + (n - q)*(2*p + 1) + 1))   Int[x^(m - n + q)*Simp[a*B*(m + p*q - n + q + 1) + (b*B*(m
      + p*q + (n - q)*p + 1) - A*c*(m + p*q + (n - q)*(2*p + 1) + 1))*x^(n - q), x]*(a*x^q + b*x^n + c*x^(2*n - q))
      ^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, A, B}, x] && EqQ[r, n - q] && EqQ[j, 2*n - q] &&  !IntegerQ[p] && NeQ[b^2 - 4*a*
      c, 0] && IGtQ[n, 0] && GeQ[p, -1] && LtQ[p, 0] && RationalQ[m, q] && GeQ[m + p*q, n - q - 1] && NeQ[m + p*q +
      (n - q)*(2*p + 1) + 1, 0]

1997. Int[(x_)^(m_.)*((c_.)*(x_)^(j_.) + (a_.)*(x_)^(q_.))^(p_.)*((A_) + (B_.)*(x_)^(r_.)), x_Symbol] :> With[{n = q
      + r}, Simp[B*x^(m - n + 1)*((a*x^q + c*x^(2*n - q))^(p + 1)/(c*(m + p*q + (n - q)*(2*p + 1) + 1))), x] - Simp
      [1/(c*(m + p*q + (n - q)*(2*p + 1) + 1))   Int[x^(m - n + q)*Simp[a*B*(m + p*q - n + q + 1) - A*c*(m + p*q + (
      n - q)*(2*p + 1) + 1)*x^(n - q), x]*(a*x^q + c*x^(2*n - q))^p, x], x] /; EqQ[j, 2*n - q] && IGtQ[n, 0] && GeQ[
      m + p*q, n - q - 1] && NeQ[m + p*q + (n - q)*(2*p + 1) + 1, 0]] /; FreeQ[{a, c, A, B}, x] &&  !IntegerQ[p] &&
      RationalQ[m, p, q] && GeQ[p, -1] && LtQ[p, 0]

1998. Int[(x_)^(m_.)*((c_.)*(x_)^(j_.) + (b_.)*(x_)^(n_.) + (a_.)*(x_)^(q_.))^(p_.)*((A_) + (B_.)*(x_)^(r_.)), x_Sym
      bol] :> Simp[A*x^(m - q + 1)*((a*x^q + b*x^n + c*x^(2*n - q))^(p + 1)/(a*(m + p*q + 1))), x] + Simp[1/(a*(m +
      p*q + 1))   Int[x^(m + n - q)*Simp[a*B*(m + p*q + 1) - A*b*(m + p*q + (n - q)*(p + 1) + 1) - A*c*(m + p*q + 2*
      (n - q)*(p + 1) + 1)*x^(n - q), x]*(a*x^q + b*x^n + c*x^(2*n - q))^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, A, B}, x] && E
      qQ[r, n - q] && EqQ[j, 2*n - q] &&  !IntegerQ[p] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] && IGtQ[n, 0] && RationalQ[m, p, q] &&
      ((GeQ[p, -1] && LtQ[p, 0]) || EqQ[m + p*q + (n - q)*(2*p + 1) + 1, 0]) && LeQ[m + p*q, -(n - q)] && NeQ[m + p
      *q + 1, 0]

1999. Int[(x_)^(m_.)*((c_.)*(x_)^(j_.) + (a_.)*(x_)^(q_.))^(p_.)*((A_) + (B_.)*(x_)^(r_.)), x_Symbol] :> With[{n = q
      + r}, Simp[A*x^(m - q + 1)*((a*x^q + c*x^(2*n - q))^(p + 1)/(a*(m + p*q + 1))), x] + Simp[1/(a*(m + p*q + 1))
      Int[x^(m + n - q)*Simp[a*B*(m + p*q + 1) - A*c*(m + p*q + 2*(n - q)*(p + 1) + 1)*x^(n - q), x]*(a*x^q + c*x
      ^(2*n - q))^p, x], x] /; EqQ[j, 2*n - q] && IGtQ[n, 0] && ((GeQ[p, -1] && LtQ[p, 0]) || EqQ[m + p*q + (n - q)*
      (2*p + 1) + 1, 0]) && LeQ[m + p*q, -(n - q)] && NeQ[m + p*q + 1, 0]] /; FreeQ[{a, c, A, B}, x] &&  !IntegerQ[p
      ] && RationalQ[m, p, q]

2000. Int[((x_)^(m_.)*((A_) + (B_.)*(x_)^(j_.)))/Sqrt[(b_.)*(x_)^(n_.) + (a_.)*(x_)^(q_.) + (c_.)*(x_)^(r_.)], x_Sym
      bol] :> Simp[x^(q/2)*(Sqrt[a + b*x^(n - q) + c*x^(2*(n - q))]/Sqrt[a*x^q + b*x^n + c*x^(2*n - q)])   Int[x^(m
      - q/2)*((A + B*x^(n - q))/Sqrt[a + b*x^(n - q) + c*x^(2*(n - q))]), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, A, B, m, n, q},
      x] && EqQ[j, n - q] && EqQ[r, 2*n - q] && PosQ[n - q] && (EqQ[m, 1/2] || EqQ[m, -2^(-1)]) && EqQ[n, 3] && EqQ[
      q, 1]

2001. Int[(x_)^(m_.)*((a_.)*(x_)^(j_.) + (b_.)*(x_)^(k_.) + (c_.)*(x_)^(n_.))^(p_)*((A_) + (B_.)*(x_)^(q_)), x_Symbo
      l] :> Simp[(a*x^j + b*x^k + c*x^n)^p/(x^(j*p)*(a + b*x^(k - j) + c*x^(2*(k - j)))^p)   Int[x^(m + j*p)*(A + B*
      x^(k - j))*(a + b*x^(k - j) + c*x^(2*(k - j)))^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, A, B, j, k, m, p}, x] && EqQ[q, k
      - j] && EqQ[n, 2*k - j] &&  !IntegerQ[p] && PosQ[k - j]

2002. Int[(u_)^(m_.)*((A_) + (B_.)*(u_)^(j_.))*((b_.)*(u_)^(n_.) + (a_.)*(u_)^(q_.) + (c_.)*(u_)^(r_.))^(p_.), x_Sym
      bol] :> Simp[1/Coefficient[u, x, 1]   Subst[Int[x^m*(A + B*x^(n - q))*(a*x^q + b*x^n + c*x^(2*n - q))^p, x], x
      , u], x] /; FreeQ[{a, b, c, A, B, m, n, p, q}, x] && EqQ[j, n - q] && EqQ[r, 2*n - q] && LinearQ[u, x] && NeQ[
      u, x]

2003. Int[(u_)*((c_) + (d_.)*(x_))^(n_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(p_.), x_Symbol] :> Int[u*(c + d*x)^(n + p)*(a/c + (b
      /d)*x)^p, x] /; FreeQ[{a, b, c, d, n, p}, x] && EqQ[b*c^2 + a*d^2, 0] && (IntegerQ[p] || (GtQ[a, 0] && GtQ[c,
      0] &&  !IntegerQ[n]))

2004. Int[(u_)*((d_) + (e_.)*(x_))^(q_.)*((a_) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_.), x_Symbol] :> Int[u*(d + e*x)^(p +
      q)*(a/d + (c/e)*x)^p, x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, q}, x] && EqQ[c*d^2 - b*d*e + a*e^2, 0] && IntegerQ[p]

2005. Int[(Fx_)*(x_)^(m_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_.), x_Symbol] :> Int[x^(m + n*p)*(b + a/x^n)^p*Fx, x] /; Free
      Q[{a, b, m, n}, x] && IntegerQ[p] && NegQ[n]

2006. Int[(u_.)*(Px_), x_Symbol] :> With[{a = Rt[Coeff[Px, x, 0], Expon[Px, x]], b = Rt[Coeff[Px, x, Expon[Px, x]],
      Expon[Px, x]]}, Int[u*(a + b*x)^Expon[Px, x], x] /; EqQ[Px, (a + b*x)^Expon[Px, x]]] /; PolyQ[Px, x] && GtQ[Ex
      pon[Px, x], 1] && NeQ[Coeff[Px, x, 0], 0] &&  !MatchQ[Px, (a_.)*(v_)^Expon[Px, x] /; FreeQ[a, x] && LinearQ[v,
      x]]

2007. Int[(u_.)*(Px_)^(p_), x_Symbol] :> With[{a = Rt[Coeff[Px, x, 0], Expon[Px, x]], b = Rt[Coeff[Px, x, Expon[Px,
      x]], Expon[Px, x]]}, Int[u*(a + b*x)^(Expon[Px, x]*p), x] /; EqQ[Px, (a + b*x)^Expon[Px, x]]] /; IntegerQ[p] &
      & PolyQ[Px, x] && GtQ[Expon[Px, x], 1] && NeQ[Coeff[Px, x, 0], 0]

2008. Int[(u_.)*(Px_)^(p_), x_Symbol] :> With[{a = Rt[Coeff[Px, x, 0], Expon[Px, x]], b = Rt[Coeff[Px, x, Expon[Px,
      x]], Expon[Px, x]]}, Simp[((a + b*x)^Expon[Px, x])^p/(a + b*x)^(Expon[Px, x]*p)   Int[u*(a + b*x)^(Expon[Px, x
      ]*p), x], x] /; EqQ[Px, (a + b*x)^Expon[Px, x]]] /;  !IntegerQ[p] && PolyQ[Px, x] && GtQ[Expon[Px, x], 1] && N
      eQ[Coeff[Px, x, 0], 0]

2009. Int[u_, x_Symbol] :> Simp[IntSum[u, x], x] /; SumQ[u]

2010. Int[(u_)*((c_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Int[ExpandIntegrand[(c*x)^m*u, x], x] /; FreeQ[{c, m}, x] && SumQ[u]
      &&  !LinearQ[u, x] &&  !MatchQ[u, (a_) + (b_.)*(v_) /; FreeQ[{a, b}, x] && InverseFunctionQ[v]]

2011. Int[(u_.)*((a_) + (b_.)*(v_))^(m_.)*((c_) + (d_.)*(v_))^(n_.), x_Symbol] :> Simp[(b/d)^m   Int[u*(c + d*v)^(m
      + n), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, n}, x] && EqQ[b*c - a*d, 0] && IntegerQ[m] && ( !IntegerQ[n] || SimplerQ[c
      + d*x, a + b*x])

2012. Int[(u_.)*((a_) + (b_.)*(v_))^(m_)*((c_) + (d_.)*(v_))^(n_), x_Symbol] :> Simp[(b/d)^m   Int[u*(c + d*v)^(m +
      n), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, m, n}, x] && EqQ[b*c - a*d, 0] && GtQ[b/d, 0] &&  !(IntegerQ[m] || IntegerQ[n
      ])

2013. Int[(u_.)*((a_) + (b_.)*(v_))^(m_)*((c_) + (d_.)*(v_))^(n_), x_Symbol] :> Simp[(a + b*v)^m/(c + d*v)^m   Int[u
      *(c + d*v)^(m + n), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, m, n}, x] && EqQ[b*c - a*d, 0] &&  !(IntegerQ[m] || IntegerQ[
      n] || GtQ[b/d, 0])

2014. Int[(u_.)*((a_) + (b_.)*(v_))^(m_)*((A_.) + (B_.)*(v_) + (C_.)*(v_)^2), x_Symbol] :> Simp[1/b^2   Int[u*(a + b
      *v)^(m + 1)*Simp[b*B - a*C + b*C*v, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, A, B, C}, x] && EqQ[A*b^2 - a*b*B + a^2*C, 0] &
      & LeQ[m, -1]

2015. Int[(u_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_.))^(m_.)*((c_) + (d_.)*(x_)^(q_.))^(p_.), x_Symbol] :> Simp[(d/a)^p   Int[u*(
      (a + b*x^n)^(m + p)/x^(n*p)), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, m, n}, x] && EqQ[q, -n] && IntegerQ[p] && EqQ[a*c -
      b*d, 0] &&  !(IntegerQ[m] && NegQ[n])

2016. Int[(u_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_.))^(m_.)*((c_) + (d_.)*(x_)^(j_))^(p_.), x_Symbol] :> Simp[(-b^2/d)^m   Int[u
      /(a - b*x^n)^m, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, m, n, p}, x] && EqQ[j, 2*n] && EqQ[p, -m] && EqQ[b^2*c + a^2*d, 0
      ] && GtQ[a, 0] && LtQ[d, 0] && GtQ[b^2, 0]

2017. Int[(Px_)*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_), x_Symbol] :> Simp[Coeff[Px, x, n - 1]*((a + b*x^n)^(p + 1)/(b*n*(p +
      1))), x] + Int[(Px - Coeff[Px, x, n - 1]*x^(n - 1))*(a + b*x^n)^p, x] /; FreeQ[{a, b}, x] && PolyQ[Px, x] && I
      GtQ[p, 1] && IGtQ[n, 1] && NeQ[Coeff[Px, x, n - 1], 0] && NeQ[Px, Coeff[Px, x, n - 1]*x^(n - 1)] &&  !MatchQ[P
      x, (Qx_.)*((c_) + (d_.)*x^(m_))^(q_) /; FreeQ[{c, d}, x] && PolyQ[Qx, x] && IGtQ[q, 1] && IGtQ[m, 1] && NeQ[Co
      eff[Qx*(a + b*x^n)^p, x, m - 1], 0] && GtQ[m*q, n*p]]

2018. Int[(Px_)*(x_)^(m_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_.))^(p_), x_Symbol] :> Simp[Coeff[Px, x, n - m - 1]*((a + b*x^n)^(p
      + 1)/(b*n*(p + 1))), x] + Int[(Px - Coeff[Px, x, n - m - 1]*x^(n - m - 1))*x^m*(a + b*x^n)^p, x] /; FreeQ[{a,
      b, m, n}, x] && PolyQ[Px, x] && IGtQ[p, 1] && IGtQ[n - m, 0] && NeQ[Coeff[Px, x, n - m - 1], 0]

2019. Int[(u_.)*(Px_)^(p_.)*(Qx_)^(q_.), x_Symbol] :> Int[u*PolynomialQuotient[Px, Qx, x]^p*Qx^(p + q), x] /; FreeQ[
      q, x] && PolyQ[Px, x] && PolyQ[Qx, x] && EqQ[PolynomialRemainder[Px, Qx, x], 0] && IntegerQ[p] && LtQ[p*q, 0]

2020. Int[(Pp_)/(Qq_), x_Symbol] :> With[{p = Expon[Pp, x], q = Expon[Qq, x]}, Simp[Coeff[Pp, x, p]*(Log[RemoveConte
      nt[Qq, x]]/(q*Coeff[Qq, x, q])), x] /; EqQ[p, q - 1] && EqQ[Pp, Simplify[(Coeff[Pp, x, p]/(q*Coeff[Qq, x, q]))
      *D[Qq, x]]]] /; PolyQ[Pp, x] && PolyQ[Qq, x]

2021. Int[(Pp_)*(Qq_)^(m_.), x_Symbol] :> With[{p = Expon[Pp, x], q = Expon[Qq, x]}, Simp[Coeff[Pp, x, p]*x^(p - q +
      1)*(Qq^(m + 1)/((p + m*q + 1)*Coeff[Qq, x, q])), x] /; NeQ[p + m*q + 1, 0] && EqQ[(p + m*q + 1)*Coeff[Qq, x,
      q]*Pp, Coeff[Pp, x, p]*x^(p - q)*((p - q + 1)*Qq + (m + 1)*x*D[Qq, x])]] /; FreeQ[m, x] && PolyQ[Pp, x] && Pol
      yQ[Qq, x] && NeQ[m, -1]

2022. Int[(x_)^(m_.)*((a1_) + (b1_.)*(x_)^(n_.))^(p_)*((a2_) + (b2_.)*(x_)^(n_.))^(p_), x_Symbol] :> Simp[(a1 + b1*x
      ^n)^(p + 1)*((a2 + b2*x^n)^(p + 1)/(2*b1*b2*n*(p + 1))), x] /; FreeQ[{a1, b1, a2, b2, m, n, p}, x] && EqQ[a2*b
      1 + a1*b2, 0] && EqQ[m - 2*n + 1, 0] && NeQ[p, -1]

2023. Int[(Pp_)*(Qq_)^(m_.)*(Rr_)^(n_.), x_Symbol] :> With[{p = Expon[Pp, x], q = Expon[Qq, x], r = Expon[Rr, x]}, S
      imp[Coeff[Pp, x, p]*x^(p - q - r + 1)*Qq^(m + 1)*(Rr^(n + 1)/((p + m*q + n*r + 1)*Coeff[Qq, x, q]*Coeff[Rr, x,
      r])), x] /; NeQ[p + m*q + n*r + 1, 0] && EqQ[(p + m*q + n*r + 1)*Coeff[Qq, x, q]*Coeff[Rr, x, r]*Pp, Coeff[Pp
      , x, p]*x^(p - q - r)*((p - q - r + 1)*Qq*Rr + (m + 1)*x*Rr*D[Qq, x] + (n + 1)*x*Qq*D[Rr, x])]] /; FreeQ[{m, n
      }, x] && PolyQ[Pp, x] && PolyQ[Qq, x] && PolyQ[Rr, x] && NeQ[m, -1] && NeQ[n, -1]

2024. Int[((a_.) + (b_.)*(Pq_)^(n_.))^(p_.)*(Qr_), x_Symbol] :> With[{q = Expon[Pq, x], r = Expon[Qr, x]}, Simp[Coef
      f[Qr, x, r]/(q*Coeff[Pq, x, q])   Subst[Int[(a + b*x^n)^p, x], x, Pq], x] /; EqQ[r, q - 1] && EqQ[Coeff[Qr, x,
      r]*D[Pq, x], q*Coeff[Pq, x, q]*Qr]] /; FreeQ[{a, b, n, p}, x] && PolyQ[Pq, x] && PolyQ[Qr, x]

2025. Int[((a_.) + (b_.)*(Pq_)^(n_.) + (c_.)*(Pq_)^(n2_.))^(p_.)*(Qr_), x_Symbol] :> Module[{q = Expon[Pq, x], r = E
      xpon[Qr, x]}, Simp[Coeff[Qr, x, r]/(q*Coeff[Pq, x, q])   Subst[Int[(a + b*x^n + c*x^(2*n))^p, x], x, Pq], x] /
      ; EqQ[r, q - 1] && EqQ[Coeff[Qr, x, r]*D[Pq, x], q*Coeff[Pq, x, q]*Qr]] /; FreeQ[{a, b, c, n, p}, x] && EqQ[n2
      , 2*n] && PolyQ[Pq, x] && PolyQ[Qr, x]

2026. Int[(Fx_.)*(Px_)^(p_.), x_Symbol] :> With[{r = Expon[Px, x, Min]}, Int[x^(p*r)*ExpandToSum[Px/x^r, x]^p*Fx, x]
      /; IGtQ[r, 0]] /; PolyQ[Px, x] && IntegerQ[p] &&  !MonomialQ[Px, x] && (ILtQ[p, 0] ||  !PolyQ[u, x])

2027. Int[(Fx_.)*((a_.)*(x_)^(r_.) + (b_.)*(x_)^(s_.))^(p_.), x_Symbol] :> Int[x^(p*r)*(a + b*x^(s - r))^p*Fx, x] /;
      FreeQ[{a, b, r, s}, x] && IntegerQ[p] && PosQ[s - r] &&  !(EqQ[p, 1] && EqQ[u, 1])

2028. Int[(Fx_.)*((a_.)*(x_)^(r_.) + (b_.)*(x_)^(s_.) + (c_.)*(x_)^(t_.))^(p_.), x_Symbol] :> Int[x^(p*r)*(a + b*x^(
      s - r) + c*x^(t - r))^p*Fx, x] /; FreeQ[{a, b, c, r, s, t}, x] && IntegerQ[p] && PosQ[s - r] && PosQ[t - r] &&
      !(EqQ[p, 1] && EqQ[u, 1])

2029. Int[(Fx_.)*((d_.)*(x_)^(q_.) + (a_.)*(x_)^(r_.) + (b_.)*(x_)^(s_.) + (c_.)*(x_)^(t_.))^(p_.), x_Symbol] :> Int
      [x^(p*r)*(a + b*x^(s - r) + c*x^(t - r) + d*x^(q - r))^p*Fx, x] /; FreeQ[{a, b, c, d, r, s, t, q}, x] && Integ
      erQ[p] && PosQ[s - r] && PosQ[t - r] && PosQ[q - r] &&  !(EqQ[p, 1] && EqQ[u, 1])

2030. Int[(Fx_.)*(v_)^(m_.)*((b_)*(v_))^(n_), x_Symbol] :> Simp[1/b^m   Int[(b*v)^(m + n)*Fx, x], x] /; FreeQ[{b, n}
      , x] && IntegerQ[m]

2031. Int[(Fx_.)*((a_.)*(v_))^(m_)*((b_.)*(v_))^(n_), x_Symbol] :> Simp[a^(m + 1/2)*b^(n - 1/2)*(Sqrt[b*v]/Sqrt[a*v]
      )   Int[v^(m + n)*Fx, x], x] /; FreeQ[{a, b, m}, x] &&  !IntegerQ[m] && IGtQ[n + 1/2, 0] && IntegerQ[m + n]

2032. Int[(Fx_.)*((a_.)*(v_))^(m_)*((b_.)*(v_))^(n_), x_Symbol] :> Simp[a^(m - 1/2)*b^(n + 1/2)*(Sqrt[a*v]/Sqrt[b*v]
      )   Int[v^(m + n)*Fx, x], x] /; FreeQ[{a, b, m}, x] &&  !IntegerQ[m] && ILtQ[n - 1/2, 0] && IntegerQ[m + n]

2033. Int[(Fx_.)*((a_.)*(v_))^(m_)*((b_.)*(v_))^(n_), x_Symbol] :> Simp[a^(m + n)*((b*v)^n/(a*v)^n)   Int[v^(m + n)*
      Fx, x], x] /; FreeQ[{a, b, m, n}, x] &&  !IntegerQ[m] &&  !IntegerQ[n] && IntegerQ[m + n]

2034. Int[(Fx_.)*((a_.)*(v_))^(m_)*((b_.)*(v_))^(n_), x_Symbol] :> Simp[b^IntPart[n]*((b*v)^FracPart[n]/(a^IntPart[n
      ]*(a*v)^FracPart[n]))   Int[(a*v)^(m + n)*Fx, x], x] /; FreeQ[{a, b, m, n}, x] &&  !IntegerQ[m] &&  !IntegerQ[
      n] &&  !IntegerQ[m + n]

2035. Int[(Fx_)*(x_)^(m_), x_Symbol] :> With[{k = Denominator[m]}, Simp[k   Subst[Int[x^(k*(m + 1) - 1)*SubstPower[F
      x, x, k], x], x, x^(1/k)], x]] /; FractionQ[m] && AlgebraicFunctionQ[Fx, x]

2036. Int[(u_.)*((c_) + (d_.)*(x_)^(n_.))^(q_.)*((a1_) + (b1_.)*(x_)^(non2_.))^(p_.)*((a2_) + (b2_.)*(x_)^(non2_.))^
      (p_.), x_Symbol] :> Int[u*(a1*a2 + b1*b2*x^n)^p*(c + d*x^n)^q, x] /; FreeQ[{a1, b1, a2, b2, c, d, n, p, q}, x]
      && EqQ[non2, n/2] && EqQ[a2*b1 + a1*b2, 0] && (IntegerQ[p] || (GtQ[a1, 0] && GtQ[a2, 0]))

2037. Int[(u_.)*((c_) + (d_.)*(x_)^(n_.) + (e_.)*(x_)^(n2_.))^(q_.)*((a1_) + (b1_.)*(x_)^(non2_.))^(p_.)*((a2_) + (b
      2_.)*(x_)^(non2_.))^(p_.), x_Symbol] :> Int[u*(a1*a2 + b1*b2*x^n)^p*(c + d*x^n + e*x^(2*n))^q, x] /; FreeQ[{a1
      , b1, a2, b2, c, d, e, n, p, q}, x] && EqQ[non2, n/2] && EqQ[n2, 2*n] && EqQ[a2*b1 + a1*b2, 0] && (IntegerQ[p]
      || (GtQ[a1, 0] && GtQ[a2, 0]))

2038. Int[(u_.)*((c_) + (d_.)*(x_)^(n_.))^(q_.)*((a1_) + (b1_.)*(x_)^(non2_.))^(p_)*((a2_) + (b2_.)*(x_)^(non2_.))^(
      p_), x_Symbol] :> Simp[(a1 + b1*x^(n/2))^FracPart[p]*((a2 + b2*x^(n/2))^FracPart[p]/(a1*a2 + b1*b2*x^n)^FracPa
      rt[p])   Int[u*(a1*a2 + b1*b2*x^n)^p*(c + d*x^n)^q, x], x] /; FreeQ[{a1, b1, a2, b2, c, d, n, p, q}, x] && EqQ
      [non2, n/2] && EqQ[a2*b1 + a1*b2, 0] &&  !(EqQ[n, 2] && IGtQ[q, 0])

2039. Int[(u_.)*((c_) + (d_.)*(x_)^(n_.) + (e_.)*(x_)^(n2_.))^(q_.)*((a1_) + (b1_.)*(x_)^(non2_.))^(p_.)*((a2_) + (b
      2_.)*(x_)^(non2_.))^(p_.), x_Symbol] :> Simp[(a1 + b1*x^(n/2))^FracPart[p]*((a2 + b2*x^(n/2))^FracPart[p]/(a1*
      a2 + b1*b2*x^n)^FracPart[p])   Int[u*(a1*a2 + b1*b2*x^n)^p*(c + d*x^n + e*x^(2*n))^q, x], x] /; FreeQ[{a1, b1,
      a2, b2, c, d, e, n, p, q}, x] && EqQ[non2, n/2] && EqQ[n2, 2*n] && EqQ[a2*b1 + a1*b2, 0]

2040. Int[((e1_) + (f1_.)*(x_)^(n2_.))^(r_.)*((e2_) + (f2_.)*(x_)^(n2_.))^(r_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_.)*((c_)
      + (d_.)*(x_)^(n_))^(q_.), x_Symbol] :> Int[(a + b*x^n)^p*(c + d*x^n)^q*(e1*e2 + f1*f2*x^n)^r, x] /; FreeQ[{a,
      b, c, d, e1, f1, e2, f2, n, p, q, r}, x] && EqQ[n2, n/2] && EqQ[e2*f1 + e1*f2, 0] && (IntegerQ[r] || (GtQ[e1,
      0] && GtQ[e2, 0]))

2041. Int[((e1_) + (f1_.)*(x_)^(n2_.))^(r_.)*((e2_) + (f2_.)*(x_)^(n2_.))^(r_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_.)*((c_)
      + (d_.)*(x_)^(n_))^(q_.), x_Symbol] :> Simp[(e1 + f1*x^(n/2))^FracPart[r]*((e2 + f2*x^(n/2))^FracPart[r]/(e1*
      e2 + f1*f2*x^n)^FracPart[r])   Int[(a + b*x^n)^p*(c + d*x^n)^q*(e1*e2 + f1*f2*x^n)^r, x], x] /; FreeQ[{a, b, c
      , d, e1, f1, e2, f2, n, p, q, r}, x] && EqQ[n2, n/2] && EqQ[e2*f1 + e1*f2, 0]

2042. Int[(u_.)*((c_.)*((d_)*((a_.) + (b_.)*(x_)))^(q_))^(p_), x_Symbol] :> Simp[(c*(d*(a + b*x))^q)^p/(a + b*x)^(p*
      q)   Int[u*(a + b*x)^(p*q), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, q, p}, x] &&  !IntegerQ[q] &&  !IntegerQ[p]

2043. Int[(u_.)*((c_.)*((d_.)*((a_.) + (b_.)*(x_))^(n_))^(q_))^(p_), x_Symbol] :> Simp[(c*(d*(a + b*x)^n)^q)^p/(a +
      b*x)^(n*p*q)   Int[u*(a + b*x)^(n*p*q), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, n, q, p}, x] &&  !IntegerQ[q] &&  !Intege
      rQ[p]

2044. Int[(u_.)*((c_.)*((a_.) + (b_.)*(x_)^(n_.))^(q_))^(p_), x_Symbol] :> Simp[Simp[(c*(a + b*x^n)^q)^p/(a + b*x^n)
      ^(p*q)]   Int[u*(a + b*x^n)^(p*q), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, n, p, q}, x] && GeQ[a, 0]

2045. Int[(u_.)*((c_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_.))^(q_))^(p_), x_Symbol] :> Simp[Simp[(c*(a + b*x^n)^q)^p/(1 + b*(x^n/
      a))^(p*q)]   Int[u*(1 + b*(x^n/a))^(p*q), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, n, p, q}, x] &&  !GeQ[a, 0]

2046. Int[(u_.)*((e_.)*((a_.) + (b_.)*(x_)^(n_.))^(q_.)*((c_) + (d_.)*(x_)^(n_.))^(q_.))^(p_), x_Symbol] :> Int[u*(e
      *(d/b)^q*(a + b*x^n)^(2*q))^p, x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, n, p}, x] && IntegerQ[q] && EqQ[b*c - a*d, 0]

2047. Int[(u_.)*((e_.)*((a_.) + (b_.)*(x_)^(n_.))^(q_)*((c_) + (d_.)*(x_)^(n_.))^(q_))^(p_), x_Symbol] :> Int[u*(e*(
      (-a^2)*(d/b) + b*d*x^(2*n))^q)^p, x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, n, p}, x] && IntegerQ[q] && EqQ[b*c + a*d, 0]

2048. Int[(u_.)*((e_.)*((a_.) + (b_.)*(x_)^(n_.))*((c_) + (d_.)*(x_)^(n_.)))^(p_), x_Symbol] :> Int[u*(a*c*e + (b*c
      + a*d)*e*x^n + b*d*e*x^(2*n))^p, x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, n, p}, x]

2049. Int[(u_.)*(((e_.)*((a_.) + (b_.)*(x_)^(n_.)))/((c_) + (d_.)*(x_)^(n_.)))^(p_), x_Symbol] :> Simp[(b*(e/d))^p
      Int[u, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, n, p}, x] && EqQ[b*c - a*d, 0]

2050. Int[(u_.)*(((e_.)*((a_.) + (b_.)*(x_)^(n_.)))/((c_) + (d_.)*(x_)^(n_.)))^(p_), x_Symbol] :> Int[u*((a*e + b*e*
      x^n)^p/(c + d*x^n)^p), x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, n, p}, x] && GtQ[b*d*e, 0] && GtQ[c - a*(d/b), 0]

2051. Int[(((e_.)*((a_.) + (b_.)*(x_)^(n_.)))/((c_) + (d_.)*(x_)^(n_.)))^(p_), x_Symbol] :> With[{q = Denominator[p]
      }, Simp[q*e*((b*c - a*d)/n)   Subst[Int[x^(q*(p + 1) - 1)*(((-a)*e + c*x^q)^(1/n - 1)/(b*e - d*x^q)^(1/n + 1))
      , x], x, (e*((a + b*x^n)/(c + d*x^n)))^(1/q)], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && FractionQ[p] && IntegerQ[1/
      n]

2052. Int[(x_)^(m_.)*(((e_.)*((a_.) + (b_.)*(x_)))/((c_) + (d_.)*(x_)))^(p_), x_Symbol] :> With[{q = Denominator[p]}
      , Simp[q*e*(b*c - a*d)   Subst[Int[x^(q*(p + 1) - 1)*(((-a)*e + c*x^q)^m/(b*e - d*x^q)^(m + 2)), x], x, (e*((a
      + b*x)/(c + d*x)))^(1/q)], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, m}, x] && FractionQ[p] && IntegerQ[m]

2053. Int[(x_)^(m_.)*(((e_.)*((a_.) + (b_.)*(x_)^(n_.)))/((c_) + (d_.)*(x_)^(n_.)))^(p_), x_Symbol] :> Simp[1/n   Su
      bst[Int[x^(Simplify[(m + 1)/n] - 1)*(e*((a + b*x)/(c + d*x)))^p, x], x, x^n], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, m, n
      , p}, x] && IntegerQ[Simplify[(m + 1)/n]]

2054. Int[((f_)*(x_))^(m_)*(((e_.)*((a_.) + (b_.)*(x_)^(n_.)))/((c_) + (d_.)*(x_)^(n_.)))^(p_), x_Symbol] :> Simp[Si
      mp[(c*x)^m/x^m]   Int[x^m*(e*((a + b*x^n)/(c + d*x^n)))^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m, n, p}, x] &&
      IntegerQ[Simplify[(m + 1)/n]]

2055. Int[(u_)^(r_.)*(((e_.)*((a_.) + (b_.)*(x_)^(n_.)))/((c_) + (d_.)*(x_)^(n_.)))^(p_), x_Symbol] :> With[{q = Den
      ominator[p]}, Simp[q*e*((b*c - a*d)/n)   Subst[Int[SimplifyIntegrand[x^(q*(p + 1) - 1)*(((-a)*e + c*x^q)^(1/n
      - 1)/(b*e - d*x^q)^(1/n + 1))*(u /. x -> ((-a)*e + c*x^q)^(1/n)/(b*e - d*x^q)^(1/n))^r, x], x], x, (e*((a + b*
      x^n)/(c + d*x^n)))^(1/q)], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && PolynomialQ[u, x] && FractionQ[p] && IntegerQ[1
      /n] && IntegerQ[r]

2056. Int[(u_)^(r_.)*(x_)^(m_.)*(((e_.)*((a_.) + (b_.)*(x_)^(n_.)))/((c_) + (d_.)*(x_)^(n_.)))^(p_), x_Symbol] :> Wi
      th[{q = Denominator[p]}, Simp[q*e*((b*c - a*d)/n)   Subst[Int[SimplifyIntegrand[x^(q*(p + 1) - 1)*(((-a)*e + c
      *x^q)^((m + 1)/n - 1)/(b*e - d*x^q)^((m + 1)/n + 1))*(u /. x -> ((-a)*e + c*x^q)^(1/n)/(b*e - d*x^q)^(1/n))^r,
      x], x], x, (e*((a + b*x^n)/(c + d*x^n)))^(1/q)], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && PolynomialQ[u, x] && Fra
      ctionQ[p] && IntegerQ[1/n] && IntegersQ[m, r]

2057. Int[(u_.)*((a_) + (b_.)/((c_) + (d_.)*(x_)^(n_)))^(p_), x_Symbol] :> Int[u*((b + a*c + a*d*x^n)/(c + d*x^n))^p
      , x] /; FreeQ[{a, b, c, d, n, p}, x]

2058. Int[(u_.)*((e_.)*((a_.) + (b_.)*(x_)^(n_.))^(q_.)*((c_) + (d_.)*(x_)^(n_))^(r_.))^(p_), x_Symbol] :> Simp[Simp
      [(e*(a + b*x^n)^q*(c + d*x^n)^r)^p/((a + b*x^n)^(p*q)*(c + d*x^n)^(p*r))]   Int[u*(a + b*x^n)^(p*q)*(c + d*x^n
      )^(p*r), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, n, p, q, r}, x]

2059. Int[((a_.) + (b_.)*((c_.)/(x_))^(n_))^(p_), x_Symbol] :> Simp[-c   Subst[Int[(a + b*x^n)^p/x^2, x], x, c/x], x
      ] /; FreeQ[{a, b, c, n, p}, x]

2060. Int[((a_.) + (b_.)*((c_.)/(x_))^(n_))^(p_)*(x_)^(m_.), x_Symbol] :> Simp[-c^(m + 1)   Subst[Int[(a + b*x^n)^p/
      x^(m + 2), x], x, c/x], x] /; FreeQ[{a, b, c, n, p}, x] && IntegerQ[m]

2061. Int[((a_.) + (b_.)*((c_.)/(x_))^(n_))^(p_)*((d_.)*(x_))^(m_), x_Symbol] :> Simp[(-c)*(d*x)^m*(c/x)^m   Subst[I
      nt[(a + b*x^n)^p/x^(m + 2), x], x, c/x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, m, n, p}, x] &&  !IntegerQ[m]

2062. Int[((a_.) + (c_.)*((d_.)/(x_))^(n2_.) + (b_.)*((d_.)/(x_))^(n_))^(p_), x_Symbol] :> Simp[-d   Subst[Int[(a +
      b*x^n + c*x^(2*n))^p/x^2, x], x, d/x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, n, p}, x] && EqQ[n2, 2*n]

2063. Int[((a_) + (c_.)*((d_.)/(x_))^(n2_.) + (b_.)*((d_.)/(x_))^(n_))^(p_)*(x_)^(m_.), x_Symbol] :> Simp[-d^(m + 1)
      Subst[Int[(a + b*x^n + c*x^(2*n))^p/x^(m + 2), x], x, d/x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, n, p}, x] && EqQ[n2, 2
      *n] && IntegerQ[m]

2064. Int[((a_) + (c_.)*((d_.)/(x_))^(n2_.) + (b_.)*((d_.)/(x_))^(n_))^(p_)*((e_.)*(x_))^(m_), x_Symbol] :> Simp[(-d
      )*(e*x)^m*(d/x)^m   Subst[Int[(a + b*x^n + c*x^(2*n))^p/x^(m + 2), x], x, d/x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, m,
      n, p}, x] && EqQ[n2, 2*n] &&  !IntegerQ[m]

2065. Int[((a_.) + (b_.)*((d_.)/(x_))^(n_) + (c_.)*(x_)^(n2_.))^(p_), x_Symbol] :> Simp[-d   Subst[Int[(a + b*x^n +
      (c/d^(2*n))*x^(2*n))^p/x^2, x], x, d/x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, n, p}, x] && EqQ[n2, -2*n] && IntegerQ[2*n]

2066. Int[(x_)^(m_.)*((a_) + (b_.)*((d_.)/(x_))^(n_) + (c_.)*(x_)^(n2_.))^(p_), x_Symbol] :> Simp[-d^(m + 1)   Subst
      [Int[(a + b*x^n + (c/d^(2*n))*x^(2*n))^p/x^(m + 2), x], x, d/x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, n, p}, x] && EqQ[n2,
      -2*n] && IntegerQ[2*n] && IntegerQ[m]

2067. Int[((e_.)*(x_))^(m_)*((a_) + (b_.)*((d_.)/(x_))^(n_) + (c_.)*(x_)^(n2_.))^(p_), x_Symbol] :> Simp[(-d)*(e*x)^
      m*(d/x)^m   Subst[Int[(a + b*x^n + (c/d^(2*n))*x^(2*n))^p/x^(m + 2), x], x, d/x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e,
      n, p}, x] && EqQ[n2, -2*n] &&  !IntegerQ[m] && IntegerQ[2*n]

2068. Int[(u_.)*((e_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_.))^(r_.))^(p_)*((f_.)*((c_) + (d_.)*(x_)^(n_.))^(s_))^(q_), x_Symbol]
      :> Simp[(e*(a + b*x^n)^r)^p*((f*(c + d*x^n)^s)^q/((a + b*x^n)^(p*r)*(c + d*x^n)^(q*s)))   Int[u*(a + b*x^n)^(p
      *r)*(c + d*x^n)^(q*s), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, n, p, q, r, s}, x]

2069. Int[(u_.)*(Px_), x_Symbol] :> With[{a = Rt[Coeff[Px, x^2, 0], Expon[Px, x^2]], b = Rt[Coeff[Px, x^2, Expon[Px,
      x^2]], Expon[Px, x^2]]}, Int[u*(a + b*x^2)^Expon[Px, x^2], x] /; EqQ[Px, (a + b*x^2)^Expon[Px, x^2]]] /; Poly
      Q[Px, x^2] && GtQ[Expon[Px, x^2], 1] && NeQ[Coeff[Px, x^2, 0], 0] &&  !MatchQ[Px, (a_.)*(v_)^Expon[Px, x^2] /;
      FreeQ[a, x] && BinomialQ[v, x, 2]]

2070. Int[(u_.)*(Px_)^(p_), x_Symbol] :> With[{a = Rt[Coeff[Px, x^2, 0], Expon[Px, x^2]], b = Rt[Coeff[Px, x^2, Expo
      n[Px, x^2]], Expon[Px, x^2]]}, Int[u*(a + b*x^2)^(Expon[Px, x^2]*p), x] /; EqQ[Px, (a + b*x^2)^Expon[Px, x^2]]
      ] /; IntegerQ[p] && PolyQ[Px, x^2] && GtQ[Expon[Px, x^2], 1] && NeQ[Coeff[Px, x^2, 0], 0]

2071. Int[(u_.)*(Px_)^(p_), x_Symbol] :> With[{a = Rt[Coeff[Px, x^2, 0], Expon[Px, x^2]], b = Rt[Coeff[Px, x^2, Expo
      n[Px, x^2]], Expon[Px, x^2]]}, Simp[((a + b*x^2)^Expon[Px, x^2])^p/(a + b*x^2)^(Expon[Px, x^2]*p)   Int[u*(a +
      b*x^2)^(Expon[Px, x^2]*p), x], x] /; EqQ[Px, (a + b*x^2)^Expon[Px, x^2]]] /;  !IntegerQ[p] && PolyQ[Px, x^2]
      && GtQ[Expon[Px, x^2], 1] && NeQ[Coeff[Px, x^2, 0], 0]

2072. Int[(u_)^(p_), x_Symbol] :> Int[ExpandToSum[u, x]^p, x] /; FreeQ[p, x] && BinomialQ[u, x] &&  !BinomialMatchQ[
      u, x]

2073. Int[(u_)^(p_.)*((c_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Int[(c*x)^m*ExpandToSum[u, x]^p, x] /; FreeQ[{c, m, p}, x] &&
      BinomialQ[u, x] &&  !BinomialMatchQ[u, x]

2074. Int[(u_)^(p_.)*(v_)^(q_.), x_Symbol] :> Int[ExpandToSum[u, x]^p*ExpandToSum[v, x]^q, x] /; FreeQ[{p, q}, x] &&
      BinomialQ[{u, v}, x] && EqQ[BinomialDegree[u, x] - BinomialDegree[v, x], 0] &&  !BinomialMatchQ[{u, v}, x]

2075. Int[(u_)^(p_.)*(v_)^(q_.)*((e_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Int[(e*x)^m*ExpandToSum[u, x]^p*ExpandToSum[v, x]^q
      , x] /; FreeQ[{e, m, p, q}, x] && BinomialQ[{u, v}, x] && EqQ[BinomialDegree[u, x] - BinomialDegree[v, x], 0]
      &&  !BinomialMatchQ[{u, v}, x]

2076. Int[(u_)^(m_.)*(v_)^(p_.)*(w_)^(q_.), x_Symbol] :> Int[ExpandToSum[u, x]^m*ExpandToSum[v, x]^p*ExpandToSum[w,
      x]^q, x] /; FreeQ[{m, p, q}, x] && BinomialQ[{u, v, w}, x] && EqQ[BinomialDegree[u, x] - BinomialDegree[v, x],
      0] && EqQ[BinomialDegree[u, x] - BinomialDegree[w, x], 0] &&  !BinomialMatchQ[{u, v, w}, x]

2077. Int[(u_)^(p_.)*(v_)^(q_.)*((g_.)*(x_))^(m_.)*(z_)^(r_.), x_Symbol] :> Int[(g*x)^m*ExpandToSum[u, x]^p*ExpandTo
      Sum[v, x]^q*ExpandToSum[z, x]^r, x] /; FreeQ[{g, m, p, q, r}, x] && BinomialQ[{u, v, z}, x] && EqQ[BinomialDeg
      ree[u, x] - BinomialDegree[v, x], 0] && EqQ[BinomialDegree[u, x] - BinomialDegree[z, x], 0] &&  !BinomialMatch
      Q[{u, v, z}, x]

2078. Int[(u_)^(p_), x_Symbol] :> Int[ExpandToSum[u, x]^p, x] /; FreeQ[p, x] && GeneralizedBinomialQ[u, x] &&  !Gene
      ralizedBinomialMatchQ[u, x]

2079. Int[(u_)^(p_.)*((c_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Int[(c*x)^m*ExpandToSum[u, x]^p, x] /; FreeQ[{c, m, p}, x] &&
      GeneralizedBinomialQ[u, x] &&  !GeneralizedBinomialMatchQ[u, x]

2080. Int[(u_)^(p_), x_Symbol] :> Int[ExpandToSum[u, x]^p, x] /; FreeQ[p, x] && QuadraticQ[u, x] &&  !QuadraticMatch
      Q[u, x]

2081. Int[(u_)^(m_.)*(v_)^(p_.), x_Symbol] :> Int[ExpandToSum[u, x]^m*ExpandToSum[v, x]^p, x] /; FreeQ[{m, p}, x] &&
      LinearQ[u, x] && QuadraticQ[v, x] &&  !(LinearMatchQ[u, x] && QuadraticMatchQ[v, x])

2082. Int[(u_)^(m_.)*(v_)^(n_.)*(w_)^(p_.), x_Symbol] :> Int[ExpandToSum[u, x]^m*ExpandToSum[v, x]^n*ExpandToSum[w,
      x]^p, x] /; FreeQ[{m, n, p}, x] && LinearQ[{u, v}, x] && QuadraticQ[w, x] &&  !(LinearMatchQ[{u, v}, x] && Qua
      draticMatchQ[w, x])

2083. Int[(u_)^(p_.)*(v_)^(q_.), x_Symbol] :> Int[ExpandToSum[u, x]^p*ExpandToSum[v, x]^q, x] /; FreeQ[{p, q}, x] &&
      QuadraticQ[{u, v}, x] &&  !QuadraticMatchQ[{u, v}, x]

2084. Int[(u_)^(p_.)*(v_)^(q_.)*(z_)^(m_.), x_Symbol] :> Int[ExpandToSum[z, x]^m*ExpandToSum[u, x]^p*ExpandToSum[v,
      x]^q, x] /; FreeQ[{m, p, q}, x] && LinearQ[z, x] && QuadraticQ[{u, v}, x] &&  !(LinearMatchQ[z, x] && Quadrati
      cMatchQ[{u, v}, x]) &&  !MatchQ[z^m*u^p*v^q, ((d_.) + (e_.)*x)^m*((f_.) + (g_.)*x)^2*((a_.) + (b_.)*x + (c_.)*
      x^2)^(t_.) /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, t}, x]] &&  !MatchQ[z^m*u^p*v^q, ((d_.) + (e_.)*x)^m*((f_.) + (g_.)*
      x)^2*((a_.) + (c_.)*x^2)^(t_.) /; FreeQ[{a, c, d, e, f, g, t}, x]]

2085. Int[(u_)^(p_), x_Symbol] :> Int[ExpandToSum[u, x]^p, x] /; FreeQ[p, x] && TrinomialQ[u, x] &&  !TrinomialMatch
      Q[u, x]

2086. Int[(u_)^(p_.)*((d_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Int[(d*x)^m*ExpandToSum[u, x]^p, x] /; FreeQ[{d, m, p}, x] &&
      TrinomialQ[u, x] &&  !TrinomialMatchQ[u, x]

2087. Int[(u_)^(q_.)*(v_)^(p_.), x_Symbol] :> Int[ExpandToSum[u, x]^q*ExpandToSum[v, x]^p, x] /; FreeQ[{p, q}, x] &&
      BinomialQ[u, x] && TrinomialQ[v, x] &&  !(BinomialMatchQ[u, x] && TrinomialMatchQ[v, x])

2088. Int[(u_)^(q_.)*(v_)^(p_.), x_Symbol] :> Int[ExpandToSum[u, x]^q*ExpandToSum[v, x]^p, x] /; FreeQ[{p, q}, x] &&
      BinomialQ[u, x] && BinomialQ[v, x] &&  !(BinomialMatchQ[u, x] && BinomialMatchQ[v, x])

2089. Int[(u_)^(p_.)*((f_.)*(x_))^(m_.)*(z_)^(q_.), x_Symbol] :> Int[(f*x)^m*ExpandToSum[z, x]^q*ExpandToSum[u, x]^p
      , x] /; FreeQ[{f, m, p, q}, x] && BinomialQ[z, x] && TrinomialQ[u, x] &&  !(BinomialMatchQ[z, x] && TrinomialM
      atchQ[u, x])

2090. Int[(u_)^(p_.)*((f_.)*(x_))^(m_.)*(z_)^(q_.), x_Symbol] :> Int[(f*x)^m*ExpandToSum[z, x]^q*ExpandToSum[u, x]^p
      , x] /; FreeQ[{f, m, p, q}, x] && BinomialQ[z, x] && BinomialQ[u, x] &&  !(BinomialMatchQ[z, x] && BinomialMat
      chQ[u, x])

2091. Int[(Px_)*(u_)^(p_.)*(z_)^(q_.), x_Symbol] :> Int[Px*ExpandToSum[z, x]^q*ExpandToSum[u, x]^p, x] /; FreeQ[{p,
      q}, x] && PolyQ[Px, x] && BinomialQ[z, x] && TrinomialQ[u, x] &&  !(BinomialMatchQ[z, x] && TrinomialMatchQ[u,
      x])

2092. Int[(Px_)*(u_)^(p_.)*(z_)^(q_.), x_Symbol] :> Int[Px*ExpandToSum[z, x]^q*ExpandToSum[u, x]^p, x] /; FreeQ[{p,
      q}, x] && BinomialQ[z, x] && BinomialQ[u, x] &&  !(BinomialMatchQ[z, x] && BinomialMatchQ[u, x])

2093. Int[(u_)^(p_), x_Symbol] :> Int[ExpandToSum[u, x]^p, x] /; FreeQ[p, x] && GeneralizedTrinomialQ[u, x] &&  !Gen
      eralizedTrinomialMatchQ[u, x]

2094. Int[(u_)^(p_.)*((d_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Int[(d*x)^m*ExpandToSum[u, x]^p, x] /; FreeQ[{d, m, p}, x] &&
      GeneralizedTrinomialQ[u, x] &&  !GeneralizedTrinomialMatchQ[u, x]

2095. Int[(u_)^(p_.)*(z_), x_Symbol] :> Int[ExpandToSum[z, x]*ExpandToSum[u, x]^p, x] /; FreeQ[p, x] && BinomialQ[z,
      x] && GeneralizedTrinomialQ[u, x] && EqQ[BinomialDegree[z, x] - GeneralizedTrinomialDegree[u, x], 0] &&  !(Bi
      nomialMatchQ[z, x] && GeneralizedTrinomialMatchQ[u, x])

2096. Int[(u_)^(p_.)*((f_.)*(x_))^(m_.)*(z_), x_Symbol] :> Int[(f*x)^m*ExpandToSum[z, x]*ExpandToSum[u, x]^p, x] /;
      FreeQ[{f, m, p}, x] && BinomialQ[z, x] && GeneralizedTrinomialQ[u, x] && EqQ[BinomialDegree[z, x] - Generalize
      dTrinomialDegree[u, x], 0] &&  !(BinomialMatchQ[z, x] && GeneralizedTrinomialMatchQ[u, x])

2097. Int[(((a_.) + (b_.)*(x_))*((A_.) + (B_.)*(x_)))/(Sqrt[(c_.) + (d_.)*(x_)]*Sqrt[(e_.) + (f_.)*(x_)]*Sqrt[(g_.)
      + (h_.)*(x_)]), x_Symbol] :> Simp[2*b*B*Sqrt[c + d*x]*Sqrt[e + f*x]*(Sqrt[g + h*x]/(3*d*f*h)), x] + Simp[1/(3*
      d*f*h)   Int[(1/(Sqrt[c + d*x]*Sqrt[e + f*x]*Sqrt[g + h*x]))*Simp[3*a*A*d*f*h - b*B*(d*e*g + c*f*g + c*e*h) +
      (3*A*b*d*f*h + B*(3*a*d*f*h - 2*b*(d*f*g + d*e*h + c*f*h)))*x, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, h, A,
      B}, x]

2098. Int[(Sqrt[(a_.) + (b_.)*(x_)]*((A_.) + (B_.)*(x_)))/(Sqrt[(c_.) + (d_.)*(x_)]*Sqrt[(e_.) + (f_.)*(x_)]*Sqrt[(g
      _.) + (h_.)*(x_)]), x_Symbol] :> Simp[b*B*Sqrt[c + d*x]*Sqrt[e + f*x]*(Sqrt[g + h*x]/(d*f*h*Sqrt[a + b*x])), x
      ] + (-Simp[B*((b*g - a*h)/(2*f*h))   Int[Sqrt[e + f*x]/(Sqrt[a + b*x]*Sqrt[c + d*x]*Sqrt[g + h*x]), x], x] + S
      imp[B*(b*e - a*f)*((b*g - a*h)/(2*d*f*h))   Int[Sqrt[c + d*x]/((a + b*x)^(3/2)*Sqrt[e + f*x]*Sqrt[g + h*x]), x
      ], x]) /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, h, A, B}, x] && EqQ[2*A*d*f - B*(d*e + c*f), 0]

2099. Int[(Sqrt[(a_.) + (b_.)*(x_)]*((A_.) + (B_.)*(x_)))/(Sqrt[(c_.) + (d_.)*(x_)]*Sqrt[(e_.) + (f_.)*(x_)]*Sqrt[(g
      _.) + (h_.)*(x_)]), x_Symbol] :> Simp[B*Sqrt[a + b*x]*Sqrt[e + f*x]*(Sqrt[g + h*x]/(f*h*Sqrt[c + d*x])), x] +
      (-Simp[B*(b*e - a*f)*((b*g - a*h)/(2*b*f*h))   Int[1/(Sqrt[a + b*x]*Sqrt[c + d*x]*Sqrt[e + f*x]*Sqrt[g + h*x])
      , x], x] + Simp[B*(d*e - c*f)*((d*g - c*h)/(2*d*f*h))   Int[Sqrt[a + b*x]/((c + d*x)^(3/2)*Sqrt[e + f*x]*Sqrt[
      g + h*x]), x], x] + Simp[(2*A*b*d*f*h + B*(a*d*f*h - b*(d*f*g + d*e*h + c*f*h)))/(2*b*d*f*h)   Int[Sqrt[a + b*
      x]/(Sqrt[c + d*x]*Sqrt[e + f*x]*Sqrt[g + h*x]), x], x]) /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, h, A, B}, x] && NeQ[2*A
      *d*f - B*(d*e + c*f), 0]

2100. Int[(((a_.) + (b_.)*(x_))^(m_)*((A_.) + (B_.)*(x_)))/(Sqrt[(c_.) + (d_.)*(x_)]*Sqrt[(e_.) + (f_.)*(x_)]*Sqrt[(
      g_.) + (h_.)*(x_)]), x_Symbol] :> Simp[2*b*B*(a + b*x)^(m - 1)*Sqrt[c + d*x]*Sqrt[e + f*x]*(Sqrt[g + h*x]/(d*f
      *h*(2*m + 1))), x] + Simp[1/(d*f*h*(2*m + 1))   Int[((a + b*x)^(m - 2)/(Sqrt[c + d*x]*Sqrt[e + f*x]*Sqrt[g + h
      *x]))*Simp[(-b)*B*(a*(d*e*g + c*f*g + c*e*h) + 2*b*c*e*g*(m - 1)) + a^2*A*d*f*h*(2*m + 1) + (2*a*A*b*d*f*h*(2*
      m + 1) - B*(2*a*b*(d*f*g + d*e*h + c*f*h) + b^2*(d*e*g + c*f*g + c*e*h)*(2*m - 1) - a^2*d*f*h*(2*m + 1)))*x +
      b*(A*b*d*f*h*(2*m + 1) - B*(2*b*(d*f*g + d*e*h + c*f*h)*m - a*d*f*h*(4*m - 1)))*x^2, x], x], x] /; FreeQ[{a, b
      , c, d, e, f, g, h, A, B}, x] && IntegerQ[2*m] && GtQ[m, 1]

2101. Int[((A_.) + (B_.)*(x_))/(Sqrt[(a_.) + (b_.)*(x_)]*Sqrt[(c_.) + (d_.)*(x_)]*Sqrt[(e_.) + (f_.)*(x_)]*Sqrt[(g_.
      ) + (h_.)*(x_)]), x_Symbol] :> Simp[(A*b - a*B)/b   Int[1/(Sqrt[a + b*x]*Sqrt[c + d*x]*Sqrt[e + f*x]*Sqrt[g +
      h*x]), x], x] + Simp[B/b   Int[Sqrt[a + b*x]/(Sqrt[c + d*x]*Sqrt[e + f*x]*Sqrt[g + h*x]), x], x] /; FreeQ[{a,
      b, c, d, e, f, g, h, A, B}, x]

2102. Int[(((a_.) + (b_.)*(x_))^(m_)*((A_.) + (B_.)*(x_)))/(Sqrt[(c_.) + (d_.)*(x_)]*Sqrt[(e_.) + (f_.)*(x_)]*Sqrt[(
      g_.) + (h_.)*(x_)]), x_Symbol] :> Simp[(A*b^2 - a*b*B)*(a + b*x)^(m + 1)*Sqrt[c + d*x]*Sqrt[e + f*x]*(Sqrt[g +
      h*x]/((m + 1)*(b*c - a*d)*(b*e - a*f)*(b*g - a*h))), x] - Simp[1/(2*(m + 1)*(b*c - a*d)*(b*e - a*f)*(b*g - a*
      h))   Int[((a + b*x)^(m + 1)/(Sqrt[c + d*x]*Sqrt[e + f*x]*Sqrt[g + h*x]))*Simp[A*(2*a^2*d*f*h*(m + 1) - 2*a*b*
      (m + 1)*(d*f*g + d*e*h + c*f*h) + b^2*(2*m + 3)*(d*e*g + c*f*g + c*e*h)) - b*B*(a*(d*e*g + c*f*g + c*e*h) + 2*
      b*c*e*g*(m + 1)) - 2*((A*b - a*B)*(a*d*f*h*(m + 1) - b*(m + 2)*(d*f*g + d*e*h + c*f*h)))*x + d*f*h*(2*m + 5)*(
      A*b^2 - a*b*B)*x^2, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, h, A, B}, x] && IntegerQ[2*m] && LtQ[m, -1]

2103. Int[(((a_.) + (b_.)*(x_))^(m_.)*((A_.) + (B_.)*(x_) + (C_.)*(x_)^2))/(Sqrt[(c_.) + (d_.)*(x_)]*Sqrt[(e_.) + (f
      _.)*(x_)]*Sqrt[(g_.) + (h_.)*(x_)]), x_Symbol] :> Simp[2*C*(a + b*x)^m*Sqrt[c + d*x]*Sqrt[e + f*x]*(Sqrt[g + h
      *x]/(d*f*h*(2*m + 3))), x] + Simp[1/(d*f*h*(2*m + 3))   Int[((a + b*x)^(m - 1)/(Sqrt[c + d*x]*Sqrt[e + f*x]*Sq
      rt[g + h*x]))*Simp[a*A*d*f*h*(2*m + 3) - C*(a*(d*e*g + c*f*g + c*e*h) + 2*b*c*e*g*m) + ((A*b + a*B)*d*f*h*(2*m
      + 3) - C*(2*a*(d*f*g + d*e*h + c*f*h) + b*(2*m + 1)*(d*e*g + c*f*g + c*e*h)))*x + (b*B*d*f*h*(2*m + 3) + 2*C*
      (a*d*f*h*m - b*(m + 1)*(d*f*g + d*e*h + c*f*h)))*x^2, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, h, A, B, C}, x
      ] && IntegerQ[2*m] && GtQ[m, 0]

2104. Int[(((a_.) + (b_.)*(x_))^(m_.)*((A_.) + (C_.)*(x_)^2))/(Sqrt[(c_.) + (d_.)*(x_)]*Sqrt[(e_.) + (f_.)*(x_)]*Sqr
      t[(g_.) + (h_.)*(x_)]), x_Symbol] :> Simp[2*C*(a + b*x)^m*Sqrt[c + d*x]*Sqrt[e + f*x]*(Sqrt[g + h*x]/(d*f*h*(2
      *m + 3))), x] + Simp[1/(d*f*h*(2*m + 3))   Int[((a + b*x)^(m - 1)/(Sqrt[c + d*x]*Sqrt[e + f*x]*Sqrt[g + h*x]))
      *Simp[a*A*d*f*h*(2*m + 3) - C*(a*(d*e*g + c*f*g + c*e*h) + 2*b*c*e*g*m) + (A*b*d*f*h*(2*m + 3) - C*(2*a*(d*f*g
      + d*e*h + c*f*h) + b*(2*m + 1)*(d*e*g + c*f*g + c*e*h)))*x + 2*C*(a*d*f*h*m - b*(m + 1)*(d*f*g + d*e*h + c*f*
      h))*x^2, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, h, A, C}, x] && IntegerQ[2*m] && GtQ[m, 0]

2105. Int[((A_.) + (B_.)*(x_) + (C_.)*(x_)^2)/(Sqrt[(a_.) + (b_.)*(x_)]*Sqrt[(c_.) + (d_.)*(x_)]*Sqrt[(e_.) + (f_.)*
      (x_)]*Sqrt[(g_.) + (h_.)*(x_)]), x_Symbol] :> Simp[C*Sqrt[a + b*x]*Sqrt[e + f*x]*(Sqrt[g + h*x]/(b*f*h*Sqrt[c
      + d*x])), x] + (Simp[1/(2*b*d*f*h)   Int[(1/(Sqrt[a + b*x]*Sqrt[c + d*x]*Sqrt[e + f*x]*Sqrt[g + h*x]))*Simp[2*
      A*b*d*f*h - C*(b*d*e*g + a*c*f*h) + (2*b*B*d*f*h - C*(a*d*f*h + b*(d*f*g + d*e*h + c*f*h)))*x, x], x], x] + Si
      mp[C*(d*e - c*f)*((d*g - c*h)/(2*b*d*f*h))   Int[Sqrt[a + b*x]/((c + d*x)^(3/2)*Sqrt[e + f*x]*Sqrt[g + h*x]),
      x], x]) /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, h, A, B, C}, x]

2106. Int[((A_.) + (C_.)*(x_)^2)/(Sqrt[(a_.) + (b_.)*(x_)]*Sqrt[(c_.) + (d_.)*(x_)]*Sqrt[(e_.) + (f_.)*(x_)]*Sqrt[(g
      _.) + (h_.)*(x_)]), x_Symbol] :> Simp[C*Sqrt[a + b*x]*Sqrt[e + f*x]*(Sqrt[g + h*x]/(b*f*h*Sqrt[c + d*x])), x]
      + (Simp[1/(2*b*d*f*h)   Int[(1/(Sqrt[a + b*x]*Sqrt[c + d*x]*Sqrt[e + f*x]*Sqrt[g + h*x]))*Simp[2*A*b*d*f*h - C
      *(b*d*e*g + a*c*f*h) - C*(a*d*f*h + b*(d*f*g + d*e*h + c*f*h))*x, x], x], x] + Simp[C*(d*e - c*f)*((d*g - c*h)
      /(2*b*d*f*h))   Int[Sqrt[a + b*x]/((c + d*x)^(3/2)*Sqrt[e + f*x]*Sqrt[g + h*x]), x], x]) /; FreeQ[{a, b, c, d,
      e, f, g, h, A, C}, x]

2107. Int[(((a_.) + (b_.)*(x_))^(m_)*((A_.) + (B_.)*(x_) + (C_.)*(x_)^2))/(Sqrt[(c_.) + (d_.)*(x_)]*Sqrt[(e_.) + (f_
      .)*(x_)]*Sqrt[(g_.) + (h_.)*(x_)]), x_Symbol] :> Simp[(A*b^2 - a*b*B + a^2*C)*(a + b*x)^(m + 1)*Sqrt[c + d*x]*
      Sqrt[e + f*x]*(Sqrt[g + h*x]/((m + 1)*(b*c - a*d)*(b*e - a*f)*(b*g - a*h))), x] - Simp[1/(2*(m + 1)*(b*c - a*d
      )*(b*e - a*f)*(b*g - a*h))   Int[((a + b*x)^(m + 1)/(Sqrt[c + d*x]*Sqrt[e + f*x]*Sqrt[g + h*x]))*Simp[A*(2*a^2
      *d*f*h*(m + 1) - 2*a*b*(m + 1)*(d*f*g + d*e*h + c*f*h) + b^2*(2*m + 3)*(d*e*g + c*f*g + c*e*h)) - (b*B - a*C)*
      (a*(d*e*g + c*f*g + c*e*h) + 2*b*c*e*g*(m + 1)) - 2*((A*b - a*B)*(a*d*f*h*(m + 1) - b*(m + 2)*(d*f*g + d*e*h +
      c*f*h)) - C*(a^2*(d*f*g + d*e*h + c*f*h) - b^2*c*e*g*(m + 1) + a*b*(m + 1)*(d*e*g + c*f*g + c*e*h)))*x + d*f*
      h*(2*m + 5)*(A*b^2 - a*b*B + a^2*C)*x^2, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, h, A, B, C}, x] && IntegerQ
      [2*m] && LtQ[m, -1]

2108. Int[(((a_.) + (b_.)*(x_))^(m_)*((A_.) + (C_.)*(x_)^2))/(Sqrt[(c_.) + (d_.)*(x_)]*Sqrt[(e_.) + (f_.)*(x_)]*Sqrt
      [(g_.) + (h_.)*(x_)]), x_Symbol] :> Simp[(A*b^2 + a^2*C)*(a + b*x)^(m + 1)*Sqrt[c + d*x]*Sqrt[e + f*x]*(Sqrt[g
      + h*x]/((m + 1)*(b*c - a*d)*(b*e - a*f)*(b*g - a*h))), x] - Simp[1/(2*(m + 1)*(b*c - a*d)*(b*e - a*f)*(b*g -
      a*h))   Int[((a + b*x)^(m + 1)/(Sqrt[c + d*x]*Sqrt[e + f*x]*Sqrt[g + h*x]))*Simp[A*(2*a^2*d*f*h*(m + 1) - 2*a*
      b*(m + 1)*(d*f*g + d*e*h + c*f*h) + b^2*(2*m + 3)*(d*e*g + c*f*g + c*e*h)) + a*C*(a*(d*e*g + c*f*g + c*e*h) +
      2*b*c*e*g*(m + 1)) - 2*(A*b*(a*d*f*h*(m + 1) - b*(m + 2)*(d*f*g + d*e*h + c*f*h)) - C*(a^2*(d*f*g + d*e*h + c*
      f*h) - b^2*c*e*g*(m + 1) + a*b*(m + 1)*(d*e*g + c*f*g + c*e*h)))*x + d*f*h*(2*m + 5)*(A*b^2 + a^2*C)*x^2, x],
      x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, h, A, C}, x] && IntegerQ[2*m] && LtQ[m, -1]

2109. Int[(Px_)*((a_.) + (b_.)*(x_))^(m_.)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(n_.)*((e_.) + (f_.)*(x_))^(p_.)*((g_.) + (h_.)*(x_)
      )^(q_.), x_Symbol] :> Int[ExpandIntegrand[Px*(a + b*x)^m*(c + d*x)^n*(e + f*x)^p*(g + h*x)^q, x], x] /; FreeQ[
      {a, b, c, d, e, f, g, h, m, n, p, q}, x] && PolyQ[Px, x] && IntegersQ[m, n]

2110. Int[(Px_)*((a_.) + (b_.)*(x_))^(m_.)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(n_.)*((e_.) + (f_.)*(x_))^(p_.)*((g_.) + (h_.)*(x_)
      )^(q_.), x_Symbol] :> Simp[PolynomialRemainder[Px, a + b*x, x]   Int[(a + b*x)^m*(c + d*x)^n*(e + f*x)^p*(g +
      h*x)^q, x], x] + Int[PolynomialQuotient[Px, a + b*x, x]*(a + b*x)^(m + 1)*(c + d*x)^n*(e + f*x)^p*(g + h*x)^q,
      x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, h, m, n, p, q}, x] && PolyQ[Px, x] && EqQ[m, -1]

2111. Int[(Px_)*((a_.) + (b_.)*(x_))^(m_.)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(n_.)*((e_.) + (f_.)*(x_))^(p_.)*((g_.) + (h_.)*(x_)
      )^(q_.), x_Symbol] :> Simp[PolynomialRemainder[Px, a + b*x, x]   Int[(a + b*x)^m*(c + d*x)^n*(e + f*x)^p*(g +
      h*x)^q, x], x] + Int[PolynomialQuotient[Px, a + b*x, x]*(a + b*x)^(m + 1)*(c + d*x)^n*(e + f*x)^p*(g + h*x)^q,
      x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, h, m, n, p, q}, x] && PolyQ[Px, x]

2112. Int[(Px_)*((a_.) + (b_.)*(x_))^(m_.)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(n_.)*((e_.) + (f_.)*(x_))^(p_.), x_Symbol] :> Int[P
      x*(a*c + b*d*x^2)^m*(e + f*x)^p, x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m, n, p}, x] && PolyQ[Px, x] && EqQ[b*c + a*d,
      0] && EqQ[m, n] && (IntegerQ[m] || (GtQ[a, 0] && GtQ[c, 0]))

2113. Int[(Px_)*((a_.) + (b_.)*(x_))^(m_)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(n_)*((e_.) + (f_.)*(x_))^(p_.), x_Symbol] :> Simp[(a
      + b*x)^FracPart[m]*((c + d*x)^FracPart[m]/(a*c + b*d*x^2)^FracPart[m])   Int[Px*(a*c + b*d*x^2)^m*(e + f*x)^p
      , x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m, n, p}, x] && PolyQ[Px, x] && EqQ[b*c + a*d, 0] && EqQ[m, n] &&  !Integ
      erQ[m]

2114. Int[(Px_)*((a_.) + (b_.)*(x_))^(m_.)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(n_.)*((e_.) + (f_.)*(x_))^(p_.), x_Symbol] :> Int[P
      olynomialQuotient[Px, a + b*x, x]*(a + b*x)^(m + 1)*(c + d*x)^n*(e + f*x)^p, x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m,
      n, p}, x] && PolyQ[Px, x] && EqQ[PolynomialRemainder[Px, a + b*x, x], 0]

2115. Int[(Px_)*((a_.) + (b_.)*(x_))^(m_.)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(n_.)*((e_.) + (f_.)*(x_))^(p_.), x_Symbol] :> Int[E
      xpandIntegrand[Px*(a + b*x)^m*(c + d*x)^n*(e + f*x)^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m, n, p}, x] && Poly
      Q[Px, x] && IntegersQ[m, n]

2116. Int[(Px_)*((a_.) + (b_.)*(x_))^(m_)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(n_.)*((e_.) + (f_.)*(x_))^(p_.), x_Symbol] :> With[{
      Qx = PolynomialQuotient[Px, a + b*x, x], R = PolynomialRemainder[Px, a + b*x, x]}, Simp[b*R*(a + b*x)^(m + 1)*
      (c + d*x)^(n + 1)*((e + f*x)^(p + 1)/((m + 1)*(b*c - a*d)*(b*e - a*f))), x] + Simp[1/((m + 1)*(b*c - a*d)*(b*e
      - a*f))   Int[(a + b*x)^(m + 1)*(c + d*x)^n*(e + f*x)^p*ExpandToSum[(m + 1)*(b*c - a*d)*(b*e - a*f)*Qx + a*d*
      f*R*(m + 1) - b*R*(d*e*(m + n + 2) + c*f*(m + p + 2)) - b*d*f*R*(m + n + p + 3)*x, x], x], x]] /; FreeQ[{a, b,
      c, d, e, f, n, p}, x] && PolyQ[Px, x] && ILtQ[m, -1]

2117. Int[(Px_)*((a_.) + (b_.)*(x_))^(m_)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(n_.)*((e_.) + (f_.)*(x_))^(p_.), x_Symbol] :> With[{
      Qx = PolynomialQuotient[Px, a + b*x, x], R = PolynomialRemainder[Px, a + b*x, x]}, Simp[b*R*(a + b*x)^(m + 1)*
      (c + d*x)^(n + 1)*((e + f*x)^(p + 1)/((m + 1)*(b*c - a*d)*(b*e - a*f))), x] + Simp[1/((m + 1)*(b*c - a*d)*(b*e
      - a*f))   Int[(a + b*x)^(m + 1)*(c + d*x)^n*(e + f*x)^p*ExpandToSum[(m + 1)*(b*c - a*d)*(b*e - a*f)*Qx + a*d*
      f*R*(m + 1) - b*R*(d*e*(m + n + 2) + c*f*(m + p + 2)) - b*d*f*R*(m + n + p + 3)*x, x], x], x]] /; FreeQ[{a, b,
      c, d, e, f, n, p}, x] && PolyQ[Px, x] && LtQ[m, -1] && IntegersQ[2*m, 2*n, 2*p]

2118. Int[(Px_)*((a_.) + (b_.)*(x_))^(m_.)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(n_.)*((e_.) + (f_.)*(x_))^(p_.), x_Symbol] :> With[
      {q = Expon[Px, x], k = Coeff[Px, x, Expon[Px, x]]}, Simp[k*(a + b*x)^(m + q - 1)*(c + d*x)^(n + 1)*((e + f*x)^
      (p + 1)/(d*f*b^(q - 1)*(m + n + p + q + 1))), x] + Simp[1/(d*f*b^q*(m + n + p + q + 1))   Int[(a + b*x)^m*(c +
      d*x)^n*(e + f*x)^p*ExpandToSum[d*f*b^q*(m + n + p + q + 1)*Px - d*f*k*(m + n + p + q + 1)*(a + b*x)^q + k*(a
      + b*x)^(q - 2)*(a^2*d*f*(m + n + p + q + 1) - b*(b*c*e*(m + q - 1) + a*(d*e*(n + 1) + c*f*(p + 1))) + b*(a*d*f
      *(2*(m + q) + n + p) - b*(d*e*(m + q + n) + c*f*(m + q + p)))*x), x], x], x] /; NeQ[m + n + p + q + 1, 0]] /;
      FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m, n, p}, x] && PolyQ[Px, x]

2119. Int[(Px_)*((a_.) + (b_.)*(x_))^(m_.)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(n_.), x_Symbol] :> Int[Px*(a*c + b*d*x^2)^m, x] /;
      FreeQ[{a, b, c, d, m, n}, x] && PolyQ[Px, x] && EqQ[b*c + a*d, 0] && EqQ[m, n] && (IntegerQ[m] || (GtQ[a, 0] &
      & GtQ[c, 0]))

2120. Int[(Px_)*((a_.) + (b_.)*(x_))^(m_)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(n_), x_Symbol] :> Simp[(a + b*x)^FracPart[m]*((c + d
      *x)^FracPart[m]/(a*c + b*d*x^2)^FracPart[m])   Int[Px*(a*c + b*d*x^2)^m, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, m, n}, x
      ] && PolyQ[Px, x] && EqQ[b*c + a*d, 0] && EqQ[m, n] &&  !IntegerQ[m]

2121. Int[(Px_)*((a_.) + (b_.)*(x_))^(m_.)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(n_.), x_Symbol] :> Int[PolynomialQuotient[Px, a + b
      *x, x]*(a + b*x)^(m + 1)*(c + d*x)^n, x] /; FreeQ[{a, b, c, d, m, n}, x] && PolyQ[Px, x] && EqQ[PolynomialRema
      inder[Px, a + b*x, x], 0]

2122. Int[((Px_)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(n_))/((a_.) + (b_.)*(x_)), x_Symbol] :> Int[ExpandIntegrand[1/Sqrt[c + d*x],
      Px*((c + d*x)^(n + 1/2)/(a + b*x)), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, n}, x] && PolyQ[Px, x] && ILtQ[n + 1/2, 0]

2123. Int[(Px_)*((a_.) + (b_.)*(x_))^(m_.)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(n_.), x_Symbol] :> Int[ExpandIntegrand[Px*(a + b*x)
      ^m*(c + d*x)^n, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, m, n}, x] && PolyQ[Px, x] && (IntegersQ[m, n] || IGtQ[m, -2])

2124. Int[(Px_)*((a_.) + (b_.)*(x_))^(m_)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(n_.), x_Symbol] :> With[{Qx = PolynomialQuotient[Px,
      a + b*x, x], R = PolynomialRemainder[Px, a + b*x, x]}, Simp[R*(a + b*x)^(m + 1)*((c + d*x)^(n + 1)/((m + 1)*(
      b*c - a*d))), x] + Simp[1/((m + 1)*(b*c - a*d))   Int[(a + b*x)^(m + 1)*(c + d*x)^n*ExpandToSum[(m + 1)*(b*c -
      a*d)*Qx - d*R*(m + n + 2), x], x], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d, n}, x] && PolyQ[Px, x] && LtQ[m, -1] && (Integer
      Q[m] ||  !ILtQ[n, -1])

2125. Int[(Px_)*((a_.) + (b_.)*(x_))^(m_.)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(n_.), x_Symbol] :> With[{q = Expon[Px, x], k = Coef
      f[Px, x, Expon[Px, x]]}, Simp[k*(a + b*x)^(m + q)*((c + d*x)^(n + 1)/(d*b^q*(m + n + q + 1))), x] + Simp[1/(d*
      b^q*(m + n + q + 1))   Int[(a + b*x)^m*(c + d*x)^n*ExpandToSum[d*b^q*(m + n + q + 1)*Px - d*k*(m + n + q + 1)*
      (a + b*x)^q - k*(b*c - a*d)*(m + q)*(a + b*x)^(q - 1), x], x], x] /; NeQ[m + n + q + 1, 0]] /; FreeQ[{a, b, c,
      d, m, n}, x] && PolyQ[Px, x]

2126. Int[(Px_)*((a_) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_.)*((d_) + (e_.)*(x_) + (f_.)*(x_)^2)^(q_.), x_Symbol] :> Simp
      [(c/f)^p   Int[Px*(d + e*x + f*x^2)^(p + q), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, p, q}, x] && PolyQ[Px, x] && E
      qQ[c*d - a*f, 0] && EqQ[b*d - a*e, 0] && (IntegerQ[p] || GtQ[c/f, 0]) && ( !IntegerQ[q] || LeafCount[d + e*x +
      f*x^2] <= LeafCount[a + b*x + c*x^2])

2127. Int[(Px_)*((a_) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_.)*((d_) + (e_.)*(x_) + (f_.)*(x_)^2)^(q_.), x_Symbol] :> Simp
      [a^IntPart[p]*((a + b*x + c*x^2)^FracPart[p]/(d^IntPart[p]*(d + e*x + f*x^2)^FracPart[p]))   Int[Px*(d + e*x +
      f*x^2)^(p + q), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, p, q}, x] && PolyQ[Px, x] && EqQ[c*d - a*f, 0] && EqQ[b*d
      - a*e, 0] &&  !IntegerQ[p] &&  !IntegerQ[q] &&  !GtQ[c/f, 0]

2128. Int[(Px_)*((a_) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_.)*((d_.) + (e_.)*(x_) + (f_.)*(x_)^2)^(q_.), x_Symbol] :> Sim
      p[1/c^p   Int[Px*(b/2 + c*x)^(2*p)*(d + e*x + f*x^2)^q, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, p, q}, x] && PolyQ[
      Px, x] && EqQ[b^2 - 4*a*c, 0] && IntegerQ[p]

2129. Int[(Px_)*((a_) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_.)*((d_.) + (f_.)*(x_)^2)^(q_.), x_Symbol] :> Simp[1/c^p   Int
      [Px*(b/2 + c*x)^(2*p)*(d + f*x^2)^q, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, f, p, q}, x] && PolyQ[Px, x] && EqQ[b^2 - 4*
      a*c, 0] && IntegerQ[p]

2130. Int[(Px_)*((a_) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_.)*((d_.) + (e_.)*(x_) + (f_.)*(x_)^2)^(q_.), x_Symbol] :> Sim
      p[(a + b*x + c*x^2)^FracPart[p]/((4*c)^IntPart[p]*(b + 2*c*x)^(2*FracPart[p]))   Int[(b + 2*c*x)^(2*p)*(d + e*
      x + f*x^2)^q, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, p, q}, x] && PolyQ[Px, x] && EqQ[b^2 - 4*a*c, 0] &&  !Integer
      Q[p]

2131. Int[(Px_)*((a_) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_.)*((d_.) + (f_.)*(x_)^2)^(q_.), x_Symbol] :> Simp[(a + b*x +
      c*x^2)^FracPart[p]/((4*c)^IntPart[p]*(b + 2*c*x)^(2*FracPart[p]))   Int[(b + 2*c*x)^(2*p)*(d + f*x^2)^q, x], x
      ] /; FreeQ[{a, b, c, d, f, p, q}, x] && PolyQ[Px, x] && EqQ[b^2 - 4*a*c, 0] &&  !IntegerQ[p]

2132. Int[(Px_)*((a_) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_)*((d_) + (e_.)*(x_) + (f_.)*(x_)^2)^(q_), x_Symbol] :> With[{
      A = Coeff[Px, x, 0], B = Coeff[Px, x, 1], C = Coeff[Px, x, 2]}, Simp[(A*b*c - 2*a*B*c + a*b*C - (c*(b*B - 2*A*
      c) - C*(b^2 - 2*a*c))*x)*(a + b*x + c*x^2)^(p + 1)*((d + e*x + f*x^2)^q/(c*(b^2 - 4*a*c)*(p + 1))), x] - Simp[
      1/(c*(b^2 - 4*a*c)*(p + 1))   Int[(a + b*x + c*x^2)^(p + 1)*(d + e*x + f*x^2)^(q - 1)*Simp[e*q*(A*b*c - 2*a*B*
      c + a*b*C) - d*(c*(b*B - 2*A*c)*(2*p + 3) + C*(2*a*c - b^2*(p + 2))) + (2*f*q*(A*b*c - 2*a*B*c + a*b*C) - e*(c
      *(b*B - 2*A*c)*(2*p + q + 3) + C*(2*a*c*(q + 1) - b^2*(p + q + 2))))*x - f*(c*(b*B - 2*A*c)*(2*p + 2*q + 3) +
      C*(2*a*c*(2*q + 1) - b^2*(p + 2*q + 2)))*x^2, x], x], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && PolyQ[Px, x, 2] &
      & LtQ[p, -1] && GtQ[q, 0] &&  !IGtQ[q, 0]

2133. Int[(Px_)*((a_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_)*((d_) + (e_.)*(x_) + (f_.)*(x_)^2)^(q_), x_Symbol] :> With[{A = Coeff[Px,
      x, 0], B = Coeff[Px, x, 1], C = Coeff[Px, x, 2]}, Simp[(a*B - (A*c - a*C)*x)*(a + c*x^2)^(p + 1)*((d + e*x +
      f*x^2)^q/(2*a*c*(p + 1))), x] - Simp[2/((-4*a*c)*(p + 1))   Int[(a + c*x^2)^(p + 1)*(d + e*x + f*x^2)^(q - 1)*
      Simp[A*c*d*(2*p + 3) - a*(C*d + B*e*q) + (A*c*e*(2*p + q + 3) - a*(2*B*f*q + C*e*(q + 1)))*x - f*(a*C*(2*q + 1
      ) - A*c*(2*p + 2*q + 3))*x^2, x], x], x]] /; FreeQ[{a, c, d, e, f}, x] && PolyQ[Px, x, 2] && LtQ[p, -1] && GtQ
      [q, 0] &&  !IGtQ[q, 0]

2134. Int[(Px_)*((a_) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_)*((d_) + (f_.)*(x_)^2)^(q_), x_Symbol] :> With[{A = Coeff[Px,
      x, 0], B = Coeff[Px, x, 1], C = Coeff[Px, x, 2]}, Simp[(A*b*c - 2*a*B*c + a*b*C - (c*(b*B - 2*A*c) - C*(b^2 -
      2*a*c))*x)*(a + b*x + c*x^2)^(p + 1)*((d + f*x^2)^q/(c*(b^2 - 4*a*c)*(p + 1))), x] - Simp[1/(c*(b^2 - 4*a*c)*
      (p + 1))   Int[(a + b*x + c*x^2)^(p + 1)*(d + f*x^2)^(q - 1)*Simp[(-d)*(c*(b*B - 2*A*c)*(2*p + 3) + C*(2*a*c -
      b^2*(p + 2))) + (2*f*q*(A*b*c - 2*a*B*c + a*b*C))*x - f*(c*(b*B - 2*A*c)*(2*p + 2*q + 3) + C*(2*a*c*(2*q + 1)
      - b^2*(p + 2*q + 2)))*x^2, x], x], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d, f}, x] && PolyQ[Px, x, 2] && LtQ[p, -1] && GtQ[q
      , 0] &&  !IGtQ[q, 0]

2135. Int[(Px_)*((a_) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_)*((d_) + (e_.)*(x_) + (f_.)*(x_)^2)^(q_), x_Symbol] :> With[{
      A = Coeff[Px, x, 0], B = Coeff[Px, x, 1], C = Coeff[Px, x, 2]}, Simp[(a + b*x + c*x^2)^(p + 1)*((d + e*x + f*x
      ^2)^(q + 1)/((b^2 - 4*a*c)*((c*d - a*f)^2 - (b*d - a*e)*(c*e - b*f))*(p + 1)))*((A*c - a*C)*(2*a*c*e - b*(c*d
      + a*f)) + (A*b - a*B)*(2*c^2*d + b^2*f - c*(b*e + 2*a*f)) + c*(A*(2*c^2*d + b^2*f - c*(b*e + 2*a*f)) - B*(b*c*
      d - 2*a*c*e + a*b*f) + C*(b^2*d - a*b*e - 2*a*(c*d - a*f)))*x), x] + Simp[1/((b^2 - 4*a*c)*((c*d - a*f)^2 - (b
      *d - a*e)*(c*e - b*f))*(p + 1))   Int[(a + b*x + c*x^2)^(p + 1)*(d + e*x + f*x^2)^q*Simp[(b*B - 2*A*c - 2*a*C)
      *((c*d - a*f)^2 - (b*d - a*e)*(c*e - b*f))*(p + 1) + (b^2*(C*d + A*f) - b*(B*c*d + A*c*e + a*C*e + a*B*f) + 2*
      (A*c*(c*d - a*f) - a*(c*C*d - B*c*e - a*C*f)))*(a*f*(p + 1) - c*d*(p + 2)) - e*((A*c - a*C)*(2*a*c*e - b*(c*d
      + a*f)) + (A*b - a*B)*(2*c^2*d + b^2*f - c*(b*e + 2*a*f)))*(p + q + 2) - (2*f*((A*c - a*C)*(2*a*c*e - b*(c*d +
      a*f)) + (A*b - a*B)*(2*c^2*d + b^2*f - c*(b*e + 2*a*f)))*(p + q + 2) - (b^2*(C*d + A*f) - b*(B*c*d + A*c*e +
      a*C*e + a*B*f) + 2*(A*c*(c*d - a*f) - a*(c*C*d - B*c*e - a*C*f)))*(b*f*(p + 1) - c*e*(2*p + q + 4)))*x - c*f*(
      b^2*(C*d + A*f) - b*(B*c*d + A*c*e + a*C*e + a*B*f) + 2*(A*c*(c*d - a*f) - a*(c*C*d - B*c*e - a*C*f)))*(2*p +
      2*q + 5)*x^2, x], x], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, q}, x] && PolyQ[Px, x, 2] && LtQ[p, -1] && NeQ[(c*d - a*
      f)^2 - (b*d - a*e)*(c*e - b*f), 0] &&  !( !IntegerQ[p] && ILtQ[q, -1]) &&  !IGtQ[q, 0]

2136. Int[(Px_)*((a_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_)*((d_) + (e_.)*(x_) + (f_.)*(x_)^2)^(q_), x_Symbol] :> With[{A = Coeff[Px,
      x, 0], B = Coeff[Px, x, 1], C = Coeff[Px, x, 2]}, Simp[(a + c*x^2)^(p + 1)*((d + e*x + f*x^2)^(q + 1)/((-4*a*
      c)*(a*c*e^2 + (c*d - a*f)^2)*(p + 1)))*((A*c - a*C)*(2*a*c*e) + ((-a)*B)*(2*c^2*d - c*(2*a*f)) + c*(A*(2*c^2*d
      - c*(2*a*f)) - B*(-2*a*c*e) + C*(-2*a*(c*d - a*f)))*x), x] + Simp[1/((-4*a*c)*(a*c*e^2 + (c*d - a*f)^2)*(p +
      1))   Int[(a + c*x^2)^(p + 1)*(d + e*x + f*x^2)^q*Simp[(-2*A*c - 2*a*C)*((c*d - a*f)^2 - ((-a)*e)*(c*e))*(p +
      1) + (2*(A*c*(c*d - a*f) - a*(c*C*d - B*c*e - a*C*f)))*(a*f*(p + 1) - c*d*(p + 2)) - e*((A*c - a*C)*(2*a*c*e)
      + ((-a)*B)*(2*c^2*d - c*((Plus[2])*a*f)))*(p + q + 2) - (2*f*((A*c - a*C)*(2*a*c*e) + ((-a)*B)*(2*c^2*d + (-c)
      *((Plus[2])*a*f)))*(p + q + 2) - (2*(A*c*(c*d - a*f) - a*(c*C*d - B*c*e - a*C*f)))*((-c)*e*(2*p + q + 4)))*x -
      c*f*(2*(A*c*(c*d - a*f) - a*(c*C*d - B*c*e - a*C*f)))*(2*p + 2*q + 5)*x^2, x], x], x]] /; FreeQ[{a, c, d, e,
      f, q}, x] && PolyQ[Px, x, 2] && LtQ[p, -1] && NeQ[a*c*e^2 + (c*d - a*f)^2, 0] &&  !( !IntegerQ[p] && ILtQ[q, -
      1]) &&  !IGtQ[q, 0]

2137. Int[(Px_)*((a_) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_)*((d_) + (f_.)*(x_)^2)^(q_), x_Symbol] :> With[{A = Coeff[Px,
      x, 0], B = Coeff[Px, x, 1], C = Coeff[Px, x, 2]}, Simp[(a + b*x + c*x^2)^(p + 1)*((d + f*x^2)^(q + 1)/((b^2 -
      4*a*c)*(b^2*d*f + (c*d - a*f)^2)*(p + 1)))*((A*c - a*C)*((-b)*(c*d + a*f)) + (A*b - a*B)*(2*c^2*d + b^2*f - c
      *(2*a*f)) + c*(A*(2*c^2*d + b^2*f - c*(2*a*f)) - B*(b*c*d + a*b*f) + C*(b^2*d - 2*a*(c*d - a*f)))*x), x] + Sim
      p[1/((b^2 - 4*a*c)*(b^2*d*f + (c*d - a*f)^2)*(p + 1))   Int[(a + b*x + c*x^2)^(p + 1)*(d + f*x^2)^q*Simp[(b*B
      - 2*A*c - 2*a*C)*((c*d - a*f)^2 - (b*d)*((-b)*f))*(p + 1) + (b^2*(C*d + A*f) - b*(B*c*d + a*B*f) + 2*(A*c*(c*d
      - a*f) - a*(c*C*d - a*C*f)))*(a*f*(p + 1) - c*d*(p + 2)) - (2*f*((A*c - a*C)*((-b)*(c*d + a*f)) + (A*b - a*B)
      *(2*c^2*d + b^2*f - c*(2*a*f)))*(p + q + 2) - (b^2*(C*d + A*f) - b*(B*c*d + a*B*f) + 2*(A*c*(c*d - a*f) - a*(c
      *C*d - a*C*f)))*(b*f*(p + 1)))*x - c*f*(b^2*(C*d + A*f) - b*(B*c*d + a*B*f) + 2*(A*c*(c*d - a*f) - a*(c*C*d -
      a*C*f)))*(2*p + 2*q + 5)*x^2, x], x], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d, f, q}, x] && PolyQ[Px, x, 2] && LtQ[p, -1] &&
      NeQ[b^2*d*f + (c*d - a*f)^2, 0] &&  !( !IntegerQ[p] && ILtQ[q, -1]) &&  !IGtQ[q, 0]

2138. Int[(Px_)*((a_) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_)*((d_) + (e_.)*(x_) + (f_.)*(x_)^2)^(q_), x_Symbol] :> With[{
      A = Coeff[Px, x, 0], B = Coeff[Px, x, 1], C = Coeff[Px, x, 2]}, Simp[(B*c*f*(2*p + 2*q + 3) + C*(b*f*p - c*e*(
      2*p + q + 2)) + 2*c*C*f*(p + q + 1)*x)*(a + b*x + c*x^2)^p*((d + e*x + f*x^2)^(q + 1)/(2*c*f^2*(p + q + 1)*(2*
      p + 2*q + 3))), x] - Simp[1/(2*c*f^2*(p + q + 1)*(2*p + 2*q + 3))   Int[(a + b*x + c*x^2)^(p - 1)*(d + e*x + f
      *x^2)^q*Simp[p*(b*d - a*e)*(C*(c*e - b*f)*(q + 1) - c*(C*e - B*f)*(2*p + 2*q + 3)) + (p + q + 1)*(b^2*C*d*f*p
      + a*c*(C*(2*d*f - e^2*(2*p + q + 2)) + f*(B*e - 2*A*f)*(2*p + 2*q + 3))) + (2*p*(c*d - a*f)*(C*(c*e - b*f)*(q
      + 1) - c*(C*e - B*f)*(2*p + 2*q + 3)) + (p + q + 1)*(C*e*f*p*(b^2 - 4*a*c) - b*c*(C*(e^2 - 4*d*f)*(2*p + q + 2
      ) + f*(2*C*d - B*e + 2*A*f)*(2*p + 2*q + 3))))*x + (p*(c*e - b*f)*(C*(c*e - b*f)*(q + 1) - c*(C*e - B*f)*(2*p
      + 2*q + 3)) + (p + q + 1)*(C*f^2*p*(b^2 - 4*a*c) - c^2*(C*(e^2 - 4*d*f)*(2*p + q + 2) + f*(2*C*d - B*e + 2*A*f
      )*(2*p + 2*q + 3))))*x^2, x], x], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, q}, x] && PolyQ[Px, x, 2] && GtQ[p, 0] && Ne
      Q[p + q + 1, 0] && NeQ[2*p + 2*q + 3, 0] &&  !IGtQ[p, 0] &&  !IGtQ[q, 0]

2139. Int[(Px_)*((a_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_)*((d_) + (e_.)*(x_) + (f_.)*(x_)^2)^(q_), x_Symbol] :> With[{A = Coeff[Px,
      x, 0], B = Coeff[Px, x, 1], C = Coeff[Px, x, 2]}, Simp[(B*c*f*(2*p + 2*q + 3) + C*((-c)*e*(2*p + q + 2)) + 2*
      c*C*f*(p + q + 1)*x)*(a + c*x^2)^p*((d + e*x + f*x^2)^(q + 1)/(2*c*f^2*(p + q + 1)*(2*p + 2*q + 3))), x] - Sim
      p[1/(2*c*f^2*(p + q + 1)*(2*p + 2*q + 3))   Int[(a + c*x^2)^(p - 1)*(d + e*x + f*x^2)^q*Simp[p*((-a)*e)*(C*(c*
      e)*(q + 1) - c*(C*e - B*f)*(2*p + 2*q + 3)) + (p + q + 1)*(a*c*(C*(2*d*f - e^2*(2*p + q + 2)) + f*(B*e - 2*A*f
      )*(2*p + 2*q + 3))) + (2*p*(c*d - a*f)*(C*(c*e)*(q + 1) - c*(C*e - B*f)*(2*p + 2*q + 3)) + (p + q + 1)*(C*e*f*
      p*(-4*a*c)))*x + (p*(c*e)*(C*(c*e)*(q + 1) - c*(C*e - B*f)*(2*p + 2*q + 3)) + (p + q + 1)*(C*f^2*p*(-4*a*c) -
      c^2*(C*(e^2 - 4*d*f)*(2*p + q + 2) + f*(2*C*d - B*e + 2*A*f)*(2*p + 2*q + 3))))*x^2, x], x], x]] /; FreeQ[{a,
      c, d, e, f, q}, x] && PolyQ[Px, x, 2] && GtQ[p, 0] && NeQ[p + q + 1, 0] && NeQ[2*p + 2*q + 3, 0] &&  !IGtQ[p,
      0] &&  !IGtQ[q, 0]

2140. Int[(Px_)*((a_) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_)*((d_) + (f_.)*(x_)^2)^(q_), x_Symbol] :> With[{A = Coeff[Px,
      x, 0], B = Coeff[Px, x, 1], C = Coeff[Px, x, 2]}, Simp[(B*c*f*(2*p + 2*q + 3) + C*(b*f*p) + 2*c*C*f*(p + q +
      1)*x)*(a + b*x + c*x^2)^p*((d + f*x^2)^(q + 1)/(2*c*f^2*(p + q + 1)*(2*p + 2*q + 3))), x] - Simp[1/(2*c*f^2*(p
      + q + 1)*(2*p + 2*q + 3))   Int[(a + b*x + c*x^2)^(p - 1)*(d + f*x^2)^q*Simp[p*(b*d)*(C*((-b)*f)*(q + 1) - c*
      ((-B)*f)*(2*p + 2*q + 3)) + (p + q + 1)*(b^2*C*d*f*p + a*c*(C*(2*d*f) + f*(-2*A*f)*(2*p + 2*q + 3))) + (2*p*(c
      *d - a*f)*(C*((-b)*f)*(q + 1) - c*((-B)*f)*(2*p + 2*q + 3)) + (p + q + 1)*((-b)*c*(C*(-4*d*f)*(2*p + q + 2) +
      f*(2*C*d + 2*A*f)*(2*p + 2*q + 3))))*x + (p*((-b)*f)*(C*((-b)*f)*(q + 1) - c*((-B)*f)*(2*p + 2*q + 3)) + (p +
      q + 1)*(C*f^2*p*(b^2 - 4*a*c) - c^2*(C*(-4*d*f)*(2*p + q + 2) + f*(2*C*d + 2*A*f)*(2*p + 2*q + 3))))*x^2, x],
      x], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d, f, q}, x] && PolyQ[Px, x, 2] && GtQ[p, 0] && NeQ[p + q + 1, 0] && NeQ[2*p + 2*q
      + 3, 0] &&  !IGtQ[p, 0] &&  !IGtQ[q, 0]

2141. Int[(Px_)/(((a_) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2)*((d_) + (e_.)*(x_) + (f_.)*(x_)^2)), x_Symbol] :> With[{A = Coef
      f[Px, x, 0], B = Coeff[Px, x, 1], C = Coeff[Px, x, 2], q = c^2*d^2 - b*c*d*e + a*c*e^2 + b^2*d*f - 2*a*c*d*f -
      a*b*e*f + a^2*f^2}, Simp[1/q   Int[(A*c^2*d - a*c*C*d - A*b*c*e + a*B*c*e + A*b^2*f - a*b*B*f - a*A*c*f + a^2
      *C*f + c*(B*c*d - b*C*d - A*c*e + a*C*e + A*b*f - a*B*f)*x)/(a + b*x + c*x^2), x], x] + Simp[1/q   Int[(c*C*d^
      2 - B*c*d*e + A*c*e^2 + b*B*d*f - A*c*d*f - a*C*d*f - A*b*e*f + a*A*f^2 - f*(B*c*d - b*C*d - A*c*e + a*C*e + A
      *b*f - a*B*f)*x)/(d + e*x + f*x^2), x], x] /; NeQ[q, 0]] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && PolyQ[Px, x, 2]

2142. Int[(Px_)/(((a_) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2)*((d_) + (f_.)*(x_)^2)), x_Symbol] :> With[{A = Coeff[Px, x, 0],
      B = Coeff[Px, x, 1], C = Coeff[Px, x, 2], q = c^2*d^2 + b^2*d*f - 2*a*c*d*f + a^2*f^2}, Simp[1/q   Int[(A*c^2*
      d - a*c*C*d + A*b^2*f - a*b*B*f - a*A*c*f + a^2*C*f + c*(B*c*d - b*C*d + A*b*f - a*B*f)*x)/(a + b*x + c*x^2),
      x], x] + Simp[1/q   Int[(c*C*d^2 + b*B*d*f - A*c*d*f - a*C*d*f + a*A*f^2 - f*(B*c*d - b*C*d + A*b*f - a*B*f)*x
      )/(d + f*x^2), x], x] /; NeQ[q, 0]] /; FreeQ[{a, b, c, d, f}, x] && PolyQ[Px, x, 2]

2143. Int[(Px_)/(((a_) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2)*Sqrt[(d_.) + (e_.)*(x_) + (f_.)*(x_)^2]), x_Symbol] :> With[{A =
      Coeff[Px, x, 0], B = Coeff[Px, x, 1], C = Coeff[Px, x, 2]}, Simp[C/c   Int[1/Sqrt[d + e*x + f*x^2], x], x] +
      Simp[1/c   Int[(A*c - a*C + (B*c - b*C)*x)/((a + b*x + c*x^2)*Sqrt[d + e*x + f*x^2]), x], x]] /; FreeQ[{a, b,
      c, d, e, f}, x] && PolyQ[Px, x, 2]

2144. Int[(Px_)/(((a_) + (c_.)*(x_)^2)*Sqrt[(d_.) + (e_.)*(x_) + (f_.)*(x_)^2]), x_Symbol] :> With[{A = Coeff[Px, x,
      0], B = Coeff[Px, x, 1], C = Coeff[Px, x, 2]}, Simp[C/c   Int[1/Sqrt[d + e*x + f*x^2], x], x] + Simp[1/c   In
      t[(A*c - a*C + B*c*x)/((a + c*x^2)*Sqrt[d + e*x + f*x^2]), x], x]] /; FreeQ[{a, c, d, e, f}, x] && PolyQ[Px, x
      , 2]

2145. Int[(Px_)/(((a_) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2)*Sqrt[(d_.) + (f_.)*(x_)^2]), x_Symbol] :> With[{A = Coeff[Px, x,
      0], B = Coeff[Px, x, 1], C = Coeff[Px, x, 2]}, Simp[C/c   Int[1/Sqrt[d + f*x^2], x], x] + Simp[1/c   Int[(A*c
      - a*C + (B*c - b*C)*x)/((a + b*x + c*x^2)*Sqrt[d + f*x^2]), x], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d, f}, x] && PolyQ[Px,
      x, 2]

2146. Int[((a_.) + (b_.)*(u_) + (c_.)*(u_)^2)^(p_.)*((A_.) + (B_.)*(u_) + (C_.)*(u_)^2)*((d_.) + (e_.)*(u_) + (f_.)*
      (u_)^2)^(q_.), x_Symbol] :> Simp[1/Coefficient[u, x, 1]   Subst[Int[(a + b*x + c*x^2)^p*(d + e*x + f*x^2)^q*(A
      + B*x + C*x^2), x], x, u], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, A, B, C, p, q}, x] && LinearQ[u, x] && NeQ[u, x]

2147. Int[((A_.) + (B_.)*(u_))*((a_.) + (b_.)*(u_) + (c_.)*(u_)^2)^(p_.)*((d_.) + (e_.)*(u_) + (f_.)*(u_)^2)^(q_.),
      x_Symbol] :> Simp[1/Coefficient[u, x, 1]   Subst[Int[(a + b*x + c*x^2)^p*(d + e*x + f*x^2)^q*(A + B*x), x], x,
      u], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, A, B, C, p, q}, x] && LinearQ[u, x] && NeQ[u, x]

2148. Int[((a_.) + (b_.)*(u_) + (c_.)*(u_)^2)^(p_.)*((A_.) + (C_.)*(u_)^2)*((d_.) + (e_.)*(u_) + (f_.)*(u_)^2)^(q_.)
      , x_Symbol] :> Simp[1/Coefficient[u, x, 1]   Subst[Int[(a + b*x + c*x^2)^p*(d + e*x + f*x^2)^q*(A + C*x^2), x]
      , x, u], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, A, C, p, q}, x] && LinearQ[u, x] && NeQ[u, x]

2149. Int[((a_.) + (c_.)*(u_)^2)^(p_.)*((A_.) + (B_.)*(u_) + (C_.)*(u_)^2)*((d_.) + (e_.)*(u_) + (f_.)*(u_)^2)^(q_.)
      , x_Symbol] :> Simp[1/Coefficient[u, x, 1]   Subst[Int[(a + c*x^2)^p*(d + e*x + f*x^2)^q*(A + B*x + C*x^2), x]
      , x, u], x] /; FreeQ[{a, c, d, e, f, A, B, C, p, q}, x] && LinearQ[u, x] && NeQ[u, x]

2150. Int[((A_.) + (B_.)*(u_))*((a_.) + (c_.)*(u_)^2)^(p_.)*((d_.) + (e_.)*(u_) + (f_.)*(u_)^2)^(q_.), x_Symbol] :>
      Simp[1/Coefficient[u, x, 1]   Subst[Int[(a + c*x^2)^p*(d + e*x + f*x^2)^q*(A + B*x), x], x, u], x] /; FreeQ[{a
      , c, d, e, f, A, B, C, p, q}, x] && LinearQ[u, x] && NeQ[u, x]

2151. Int[((a_.) + (c_.)*(u_)^2)^(p_.)*((A_.) + (C_.)*(u_)^2)*((d_.) + (e_.)*(u_) + (f_.)*(u_)^2)^(q_.), x_Symbol] :
      > Simp[1/Coefficient[u, x, 1]   Subst[Int[(a + c*x^2)^p*(d + e*x + f*x^2)^q*(A + C*x^2), x], x, u], x] /; Free
      Q[{a, c, d, e, f, A, C, p, q}, x] && LinearQ[u, x] && NeQ[u, x]

2152. Int[(Px_)*((d_.) + (e_.)*(x_))^(m_.)*((f_.) + (g_.)*(x_))^(n_.)*((a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_.), x_S
      ymbol] :> Int[PolynomialQuotient[Px, d + e*x, x]*(d + e*x)^(m + 1)*(f + g*x)^n*(a + b*x + c*x^2)^p, x] /; Free
      Q[{a, b, c, d, e, f, g, m, n, p}, x] && PolynomialQ[Px, x] && EqQ[PolynomialRemainder[Px, d + e*x, x], 0]

2153. Int[(Px_)*((d_.) + (e_.)*(x_))^(m_.)*((f_.) + (g_.)*(x_))^(n_.)*((a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_.), x_S
      ymbol] :> Int[ExpandIntegrand[Px*(d + e*x)^m*(f + g*x)^n*(a + b*x + c*x^2)^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e,
      f, g, m, n, p}, x] && PolyQ[Px, x] && (IntegerQ[p] || (IntegerQ[2*p] && IntegerQ[m] && ILtQ[n, 0])) &&  !(IGtQ
      [m, 0] && IGtQ[n, 0])

2154. Int[(Px_)*((d_.) + (e_.)*(x_))^(m_.)*((f_.) + (g_.)*(x_))^(n_.)*((a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_.), x_S
      ymbol] :> Int[PolynomialQuotient[Px, d + e*x, x]*(d + e*x)^(m + 1)*(f + g*x)^n*(a + b*x + c*x^2)^p, x] + Simp[
      PolynomialRemainder[Px, d + e*x, x]   Int[(d + e*x)^m*(f + g*x)^n*(a + b*x + c*x^2)^p, x], x] /; FreeQ[{a, b,
      c, d, e, f, g, n, p}, x] && PolynomialQ[Px, x] && LtQ[m, 0] &&  !IntegerQ[n] && IntegersQ[2*m, 2*n, 2*p]

2155. Int[(Pq_)*((d_.) + (e_.)*(x_))^(m_.)*((a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_.), x_Symbol] :> Int[(d + e*x)^(m
      + 1)*PolynomialQuotient[Pq, d + e*x, x]*(a + b*x + c*x^2)^p, x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, m, p}, x] && PolyQ[Pq
      , x] && EqQ[PolynomialRemainder[Pq, d + e*x, x], 0]

2156. Int[(Pq_)*((d_) + (e_.)*(x_))^(m_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(p_.), x_Symbol] :> Int[(d + e*x)^(m + 1)*Polynomial
      Quotient[Pq, d + e*x, x]*(a + b*x^2)^p, x] /; FreeQ[{a, b, d, e, m, p}, x] && PolyQ[Pq, x] && EqQ[PolynomialRe
      mainder[Pq, d + e*x, x], 0]

2157. Int[(P2_)*((d_.) + (e_.)*(x_))^(m_.)*((a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_.), x_Symbol] :> With[{f = Coeff[P
      2, x, 0], g = Coeff[P2, x, 1], h = Coeff[P2, x, 2]}, Simp[h*(d + e*x)^(m + 1)*((a + b*x + c*x^2)^(p + 1)/(c*e*
      (m + 2*p + 3))), x] /; EqQ[b*e*h*(m + p + 2) + 2*c*d*h*(p + 1) - c*e*g*(m + 2*p + 3), 0] && EqQ[b*d*h*(p + 1)
      + a*e*h*(m + 1) - c*e*f*(m + 2*p + 3), 0]] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, m, p}, x] && PolyQ[P2, x, 2] && NeQ[m + 2*
      p + 3, 0]

2158. Int[(P2_)*((d_) + (e_.)*(x_))^(m_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(p_.), x_Symbol] :> With[{f = Coeff[P2, x, 0], g = C
      oeff[P2, x, 1], h = Coeff[P2, x, 2]}, Simp[h*(d + e*x)^(m + 1)*((a + b*x^2)^(p + 1)/(b*e*(m + 2*p + 3))), x] /
      ; EqQ[2*d*h*(p + 1) - e*g*(m + 2*p + 3), 0] && EqQ[a*h*(m + 1) - b*f*(m + 2*p + 3), 0]] /; FreeQ[{a, b, d, e,
      m, p}, x] && PolyQ[P2, x, 2] && NeQ[m + 2*p + 3, 0]

2159. Int[(Pq_)*((d_.) + (e_.)*(x_))^(m_.)*((a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_.), x_Symbol] :> Int[ExpandIntegra
      nd[(d + e*x)^m*Pq*(a + b*x + c*x^2)^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, m}, x] && PolyQ[Pq, x] && IGtQ[p, -2]

2160. Int[(Pq_)*((d_) + (e_.)*(x_))^(m_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(p_.), x_Symbol] :> Int[ExpandIntegrand[(d + e*x)^m*
      Pq*(a + b*x^2)^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, d, e, m}, x] && PolyQ[Pq, x] && IGtQ[p, -2]

2161. Int[(Pq_)*((d_.) + (e_.)*(x_))^(m_.)*((a_) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Simp[(a + b*x + c*x
      ^2)^FracPart[p]/((4*c)^IntPart[p]*(b + 2*c*x)^(2*FracPart[p]))   Int[(d + e*x)^m*Pq*(b + 2*c*x)^(2*p), x], x]
      /; FreeQ[{a, b, c, d, e, m, p}, x] && PolyQ[Pq, x] && EqQ[b^2 - 4*a*c, 0]

2162. Int[(Pq_)*((e_.)*(x_))^(m_.)*((b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_.), x_Symbol] :> Simp[e   Int[(e*x)^(m - 1)*Polyno
      mialQuotient[Pq, b + c*x, x]*(b*x + c*x^2)^(p + 1), x], x] /; FreeQ[{b, c, e, m, p}, x] && PolyQ[Pq, x] && EqQ
      [PolynomialRemainder[Pq, b + c*x, x], 0]

2163. Int[(Pq_)*((d_) + (e_.)*(x_))^(m_.)*((a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_.), x_Symbol] :> Simp[d*e   Int[(d
      + e*x)^(m - 1)*PolynomialQuotient[Pq, a*e + c*d*x, x]*(a + b*x + c*x^2)^(p + 1), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d,
      e, m, p}, x] && PolyQ[Pq, x] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] && EqQ[c*d^2 - b*d*e + a*e^2, 0] && EqQ[PolynomialRemainde
      r[Pq, a*e + c*d*x, x], 0]

2164. Int[(Pq_)*((d_) + (e_.)*(x_))^(m_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(p_.), x_Symbol] :> Simp[d*e   Int[(d + e*x)^(m - 1)
      *PolynomialQuotient[Pq, a*e + b*d*x, x]*(a + b*x^2)^(p + 1), x], x] /; FreeQ[{a, b, d, e, m, p}, x] && PolyQ[P
      q, x] && EqQ[b*d^2 + a*e^2, 0] && EqQ[PolynomialRemainder[Pq, a*e + b*d*x, x], 0]

2165. Int[(Pq_)*((d_.) + (e_.)*(x_))^(m_.)*((a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> With[{Qx = Polynom
      ialQuotient[Pq, a*e + c*d*x, x], R = PolynomialRemainder[Pq, a*e + c*d*x, x]}, Simp[R*(2*c*d - b*e)*(d + e*x)^
      m*((a + b*x + c*x^2)^(p + 1)/(e*(p + 1)*(b^2 - 4*a*c))), x] + Simp[1/((p + 1)*(b^2 - 4*a*c))   Int[(d + e*x)^(
      m - 1)*(a + b*x + c*x^2)^(p + 1)*ExpandToSum[d*e*(p + 1)*(b^2 - 4*a*c)*Qx - R*(2*c*d - b*e)*(m + 2*p + 2), x],
      x], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && PolyQ[Pq, x] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] && EqQ[c*d^2 - b*d*e + a*e^2, 0]
      && ILtQ[p + 1/2, 0] && GtQ[m, 0]

2166. Int[(Pq_)*((d_) + (e_.)*(x_))^(m_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> With[{Qx = PolynomialQuotient[Pq,
      a*e + b*d*x, x], R = PolynomialRemainder[Pq, a*e + b*d*x, x]}, Simp[(-d)*R*(d + e*x)^m*((a + b*x^2)^(p + 1)/(
      2*a*e*(p + 1))), x] + Simp[d/(2*a*(p + 1))   Int[(d + e*x)^(m - 1)*(a + b*x^2)^(p + 1)*ExpandToSum[2*a*e*(p +
      1)*Qx + R*(m + 2*p + 2), x], x], x]] /; FreeQ[{a, b, d, e}, x] && PolyQ[Pq, x] && EqQ[b*d^2 + a*e^2, 0] && ILt
      Q[p + 1/2, 0] && GtQ[m, 0]

2167. Int[(Pq_)*((d_.) + (e_.)*(x_))^(m_)*((a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Int[ExpandIntegrand
      [(a + b*x + c*x^2)^p, (d + e*x)^m*Pq, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && PolyQ[Pq, x] && NeQ[b^2 - 4*a*c,
      0] && EqQ[c*d^2 - b*d*e + a*e^2, 0] && EqQ[m + Expon[Pq, x] + 2*p + 1, 0] && ILtQ[m, 0]

2168. Int[(Pq_)*((d_) + (e_.)*(x_))^(m_)*((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Int[ExpandIntegrand[(a + b*x^2)^p,
      (d + e*x)^m*Pq, x], x] /; FreeQ[{a, b, d, e}, x] && PolyQ[Pq, x] && EqQ[b*d^2 + a*e^2, 0] && EqQ[m + Expon[Pq
      , x] + 2*p + 1, 0] && ILtQ[m, 0]

2169. Int[(Pq_)*((d_.) + (e_.)*(x_))^(m_.)*((a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> With[{q = Expon[Pq
      , x], f = Coeff[Pq, x, Expon[Pq, x]]}, Simp[f*(d + e*x)^(m + q - 1)*((a + b*x + c*x^2)^(p + 1)/(c*e^(q - 1)*(m
      + q + 2*p + 1))), x] + Simp[1/(c*e^q*(m + q + 2*p + 1))   Int[(d + e*x)^m*(a + b*x + c*x^2)^p*ExpandToSum[c*e
      ^q*(m + q + 2*p + 1)*Pq - c*f*(m + q + 2*p + 1)*(d + e*x)^q + e*f*(m + p + q)*(d + e*x)^(q - 2)*(b*d - 2*a*e +
      (2*c*d - b*e)*x), x], x], x] /; NeQ[m + q + 2*p + 1, 0]] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, m, p}, x] && PolyQ[Pq, x] &
      & NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] && EqQ[c*d^2 - b*d*e + a*e^2, 0]

2170. Int[(Pq_)*((d_) + (e_.)*(x_))^(m_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> With[{q = Expon[Pq, x], f = Coeff
      [Pq, x, Expon[Pq, x]]}, Simp[f*(d + e*x)^(m + q - 1)*((a + b*x^2)^(p + 1)/(b*e^(q - 1)*(m + q + 2*p + 1))), x]
      + Simp[1/(b*e^q*(m + q + 2*p + 1))   Int[(d + e*x)^m*(a + b*x^2)^p*ExpandToSum[b*e^q*(m + q + 2*p + 1)*Pq - b
      *f*(m + q + 2*p + 1)*(d + e*x)^q - 2*e*f*(m + p + q)*(d + e*x)^(q - 2)*(a*e - b*d*x), x], x], x] /; NeQ[m + q
      + 2*p + 1, 0]] /; FreeQ[{a, b, d, e, m, p}, x] && PolyQ[Pq, x] && EqQ[b*d^2 + a*e^2, 0] &&  !IGtQ[m, 0]

2171. Int[(Pq_)*((d_.) + (e_.)*(x_))^(m_.)*((a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_.), x_Symbol] :> Int[(d + e*x)^(m
      + p)*(a/d + (c/e)*x)^p*Pq, x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, m}, x] && PolyQ[Pq, x] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] && EqQ[c*
      d^2 - b*d*e + a*e^2, 0] && IntegerQ[p]

2172. Int[(Pq_)*((d_) + (e_.)*(x_))^(m_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(p_.), x_Symbol] :> Int[(d + e*x)^(m + p)*(a/d + (b/
      e)*x)^p*Pq, x] /; FreeQ[{a, b, d, e, m}, x] && PolyQ[Pq, x] && EqQ[b*d^2 + a*e^2, 0] && IntegerQ[p]

2173. Int[(Pq_)*((d_.) + (e_.)*(x_))^(m_.)*((a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Simp[(a + b*x + c*
      x^2)^FracPart[p]/((d + e*x)^FracPart[p]*(a/d + (c*x)/e)^FracPart[p])   Int[(d + e*x)^(m + p)*(a/d + (c/e)*x)^p
      *Pq, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, m, p}, x] && PolyQ[Pq, x] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] && EqQ[c*d^2 - b*d*e + a
      *e^2, 0] &&  !IntegerQ[p] &&  !IGtQ[m, 0]

2174. Int[(Pq_)*((d_) + (e_.)*(x_))^(m_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Simp[(a + b*x^2)^FracPart[p]/((d
      + e*x)^FracPart[p]*(a/d + (b*x)/e)^FracPart[p])   Int[(d + e*x)^(m + p)*(a/d + (b/e)*x)^p*Pq, x], x] /; FreeQ[
      {a, b, d, e, m, p}, x] && PolyQ[Pq, x] && EqQ[b*d^2 + a*e^2, 0] &&  !IntegerQ[p] &&  !IGtQ[m, 0]

2175. Int[(Pq_)*((d_.) + (e_.)*(x_))^(m_.)*((a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> With[{Qx = Polynom
      ialQuotient[Pq, a + b*x + c*x^2, x], R = Coeff[PolynomialRemainder[Pq, a + b*x + c*x^2, x], x, 0], S = Coeff[P
      olynomialRemainder[Pq, a + b*x + c*x^2, x], x, 1]}, Simp[(d + e*x)^m*(a + b*x + c*x^2)^(p + 1)*((R*b - 2*a*S +
      (2*c*R - b*S)*x)/((p + 1)*(b^2 - 4*a*c))), x] + Simp[1/((p + 1)*(b^2 - 4*a*c))   Int[(d + e*x)^(m - 1)*(a + b
      *x + c*x^2)^(p + 1)*ExpandToSum[(p + 1)*(b^2 - 4*a*c)*(d + e*x)*Qx + S*(2*a*e*m + b*d*(2*p + 3)) - R*(b*e*m +
      2*c*d*(2*p + 3)) - e*(2*c*R - b*S)*(m + 2*p + 3)*x, x], x], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && PolyQ[Pq, x] &
      & NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] && NeQ[c*d^2 - b*d*e + a*e^2, 0] && LtQ[p, -1] && GtQ[m, 0] && (IntegerQ[p] ||  !Integer
      Q[m] ||  !RationalQ[a, b, c, d, e]) &&  !(IGtQ[m, 0] && RationalQ[a, b, c, d, e] && (IntegerQ[p] || ILtQ[p + 1
      /2, 0]))

2176. Int[(Pq_)*((d_) + (e_.)*(x_))^(m_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> With[{Qx = PolynomialQuotient[Pq,
      a + b*x^2, x], R = Coeff[PolynomialRemainder[Pq, a + b*x^2, x], x, 0], S = Coeff[PolynomialRemainder[Pq, a +
      b*x^2, x], x, 1]}, Simp[(d + e*x)^m*(a + b*x^2)^(p + 1)*((a*S - b*R*x)/(2*a*b*(p + 1))), x] + Simp[1/(2*a*b*(p
      + 1))   Int[(d + e*x)^(m - 1)*(a + b*x^2)^(p + 1)*ExpandToSum[2*a*b*(p + 1)*(d + e*x)*Qx - a*e*S*m + b*d*R*(2
      *p + 3) + b*e*R*(m + 2*p + 3)*x, x], x], x]] /; FreeQ[{a, b, d, e}, x] && PolyQ[Pq, x] && NeQ[b*d^2 + a*e^2, 0
      ] && LtQ[p, -1] && GtQ[m, 0] &&  !(IGtQ[m, 0] && RationalQ[a, b, d, e] && (IntegerQ[p] || ILtQ[p + 1/2, 0]))

2177. Int[(Pq_)*((d_.) + (e_.)*(x_))^(m_.)*((a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> With[{Qx = Polynom
      ialQuotient[(d + e*x)^m*Pq, a + b*x + c*x^2, x], R = Coeff[PolynomialRemainder[(d + e*x)^m*Pq, a + b*x + c*x^2
      , x], x, 0], S = Coeff[PolynomialRemainder[(d + e*x)^m*Pq, a + b*x + c*x^2, x], x, 1]}, Simp[(b*R - 2*a*S + (2
      *c*R - b*S)*x)*((a + b*x + c*x^2)^(p + 1)/((p + 1)*(b^2 - 4*a*c))), x] + Simp[1/((p + 1)*(b^2 - 4*a*c))   Int[
      (d + e*x)^m*(a + b*x + c*x^2)^(p + 1)*ExpandToSum[((p + 1)*(b^2 - 4*a*c)*Qx)/(d + e*x)^m - ((2*p + 3)*(2*c*R -
      b*S))/(d + e*x)^m, x], x], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && PolyQ[Pq, x] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] && NeQ[c*d
      ^2 - b*d*e + a*e^2, 0] && LtQ[p, -1] && ILtQ[m, 0]

2178. Int[(Pq_)*((d_) + (e_.)*(x_))^(m_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> With[{Qx = PolynomialQuotient[(d
      + e*x)^m*Pq, a + b*x^2, x], R = Coeff[PolynomialRemainder[(d + e*x)^m*Pq, a + b*x^2, x], x, 0], S = Coeff[Poly
      nomialRemainder[(d + e*x)^m*Pq, a + b*x^2, x], x, 1]}, Simp[(a*S - b*R*x)*((a + b*x^2)^(p + 1)/(2*a*b*(p + 1))
      ), x] + Simp[1/(2*a*b*(p + 1))   Int[(d + e*x)^m*(a + b*x^2)^(p + 1)*ExpandToSum[(2*a*b*(p + 1)*Qx)/(d + e*x)^
      m + (b*R*(2*p + 3))/(d + e*x)^m, x], x], x]] /; FreeQ[{a, b, d, e}, x] && PolyQ[Pq, x] && NeQ[b*d^2 + a*e^2, 0
      ] && LtQ[p, -1] && ILtQ[m, 0]

2179. Int[(Pq_)*((d_.) + (e_.)*(x_))^(m_.)*((a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> With[{Qx = Polynom
      ialQuotient[Pq, a + b*x + c*x^2, x], R = Coeff[PolynomialRemainder[Pq, a + b*x + c*x^2, x], x, 0], S = Coeff[P
      olynomialRemainder[Pq, a + b*x + c*x^2, x], x, 1]}, Simp[(d + e*x)^(m + 1)*(a + b*x + c*x^2)^(p + 1)*((R*(b*c*
      d - b^2*e + 2*a*c*e) - a*S*(2*c*d - b*e) + c*(R*(2*c*d - b*e) - S*(b*d - 2*a*e))*x)/((p + 1)*(b^2 - 4*a*c)*(c*
      d^2 - b*d*e + a*e^2))), x] + Simp[1/((p + 1)*(b^2 - 4*a*c)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2))   Int[(d + e*x)^m*(a + b*x
      + c*x^2)^(p + 1)*ExpandToSum[(p + 1)*(b^2 - 4*a*c)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*Qx + R*(b*c*d*e*(2*p - m + 2) + b^
      2*e^2*(p + m + 2) - 2*c^2*d^2*(2*p + 3) - 2*a*c*e^2*(m + 2*p + 3)) - S*(a*e*(b*e - 2*c*d*m + b*e*m) - b*d*(3*c
      *d - b*e + 2*c*d*p - b*e*p)) + c*e*(S*(b*d - 2*a*e) - R*(2*c*d - b*e))*(m + 2*p + 4)*x, x], x], x]] /; FreeQ[{
      a, b, c, d, e, m}, x] && PolyQ[Pq, x] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] && NeQ[c*d^2 - b*d*e + a*e^2, 0] && LtQ[p, -1] &&
      !(IGtQ[m, 0] && RationalQ[a, b, c, d, e] && (IntegerQ[p] || ILtQ[p + 1/2, 0]))

2180. Int[(Pq_)*((d_) + (e_.)*(x_))^(m_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> With[{Qx = PolynomialQuotient[Pq,
      a + b*x^2, x], R = Coeff[PolynomialRemainder[Pq, a + b*x^2, x], x, 0], S = Coeff[PolynomialRemainder[Pq, a +
      b*x^2, x], x, 1]}, Simp[(-(d + e*x)^(m + 1))*(a + b*x^2)^(p + 1)*((a*(e*R - d*S) + (b*d*R + a*e*S)*x)/(2*a*(p
      + 1)*(b*d^2 + a*e^2))), x] + Simp[1/(2*a*(p + 1)*(b*d^2 + a*e^2))   Int[(d + e*x)^m*(a + b*x^2)^(p + 1)*Expand
      ToSum[2*a*(p + 1)*(b*d^2 + a*e^2)*Qx + b*d^2*R*(2*p + 3) - a*e*(d*S*m - e*R*(m + 2*p + 3)) + e*(b*d*R + a*e*S)
      *(m + 2*p + 4)*x, x], x], x]] /; FreeQ[{a, b, d, e, m}, x] && PolyQ[Pq, x] && NeQ[b*d^2 + a*e^2, 0] && LtQ[p,
      -1] &&  !(IGtQ[m, 0] && RationalQ[a, b, d, e] && (IntegerQ[p] || ILtQ[p + 1/2, 0]))

2181. Int[(Pq_)*((d_.) + (e_.)*(x_))^(m_)*((a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> With[{Qx = Polynomi
      alQuotient[Pq, d + e*x, x], R = PolynomialRemainder[Pq, d + e*x, x]}, Simp[(e*R*(d + e*x)^(m + 1)*(a + b*x + c
      *x^2)^(p + 1))/((m + 1)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)), x] + Simp[1/((m + 1)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2))   Int[(d + e*x
      )^(m + 1)*(a + b*x + c*x^2)^p*ExpandToSum[(m + 1)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*Qx + c*d*R*(m + 1) - b*e*R*(m + p +
      2) - c*e*R*(m + 2*p + 3)*x, x], x], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, p}, x] && PolyQ[Pq, x] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0]
      && NeQ[c*d^2 - b*d*e + a*e^2, 0] && LtQ[m, -1]

2182. Int[(Pq_)*((d_) + (e_.)*(x_))^(m_)*((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> With[{Qx = PolynomialQuotient[Pq,
      d + e*x, x], R = PolynomialRemainder[Pq, d + e*x, x]}, Simp[e*R*(d + e*x)^(m + 1)*((a + b*x^2)^(p + 1)/((m + 1
      )*(b*d^2 + a*e^2))), x] + Simp[1/((m + 1)*(b*d^2 + a*e^2))   Int[(d + e*x)^(m + 1)*(a + b*x^2)^p*ExpandToSum[(
      m + 1)*(b*d^2 + a*e^2)*Qx + b*d*R*(m + 1) - b*e*R*(m + 2*p + 3)*x, x], x], x]] /; FreeQ[{a, b, d, e, p}, x] &&
      PolyQ[Pq, x] && NeQ[b*d^2 + a*e^2, 0] && LtQ[m, -1]

2183. Int[(Pq_)*(x_)^(m_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Module[{q = Expon[Pq, x], k}, Int[x^m*Sum[Coeff[
      Pq, x, 2*k]*x^(2*k), {k, 0, q/2}]*(a + b*x^2)^p, x] + Int[x^(m + 1)*Sum[Coeff[Pq, x, 2*k + 1]*x^(2*k), {k, 0,
      (q - 1)/2}]*(a + b*x^2)^p, x]] /; FreeQ[{a, b, p}, x] && PolyQ[Pq, x] &&  !PolyQ[Pq, x^2] && IGtQ[m, -2] &&  !
      IntegerQ[2*p]

2184. Int[(Pq_)*((d_.) + (e_.)*(x_))^(m_.)*((a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> With[{q = Expon[Pq
      , x], f = Coeff[Pq, x, Expon[Pq, x]]}, Simp[f*(d + e*x)^(m + q - 1)*((a + b*x + c*x^2)^(p + 1)/(c*e^(q - 1)*(m
      + q + 2*p + 1))), x] + Simp[1/(c*e^q*(m + q + 2*p + 1))   Int[(d + e*x)^m*(a + b*x + c*x^2)^p*ExpandToSum[c*e
      ^q*(m + q + 2*p + 1)*Pq - c*f*(m + q + 2*p + 1)*(d + e*x)^q - f*(d + e*x)^(q - 2)*(b*d*e*(p + 1) + a*e^2*(m +
      q - 1) - c*d^2*(m + q + 2*p + 1) - e*(2*c*d - b*e)*(m + q + p)*x), x], x], x] /; GtQ[q, 1] && NeQ[m + q + 2*p
      + 1, 0]] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, m, p}, x] && PolyQ[Pq, x] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] && NeQ[c*d^2 - b*d*e + a*e^
      2, 0] &&  !(IGtQ[m, 0] && RationalQ[a, b, c, d, e] && (IntegerQ[p] || ILtQ[p + 1/2, 0]))

2185. Int[(Pq_)*((d_) + (e_.)*(x_))^(m_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> With[{q = Expon[Pq, x], f = Coeff
      [Pq, x, Expon[Pq, x]]}, Simp[f*(d + e*x)^(m + q - 1)*((a + b*x^2)^(p + 1)/(b*e^(q - 1)*(m + q + 2*p + 1))), x]
      + Simp[1/(b*e^q*(m + q + 2*p + 1))   Int[(d + e*x)^m*(a + b*x^2)^p*ExpandToSum[b*e^q*(m + q + 2*p + 1)*Pq - b
      *f*(m + q + 2*p + 1)*(d + e*x)^q - f*(d + e*x)^(q - 2)*(a*e^2*(m + q - 1) - b*d^2*(m + q + 2*p + 1) - 2*b*d*e*
      (m + q + p)*x), x], x], x] /; GtQ[q, 1] && NeQ[m + q + 2*p + 1, 0]] /; FreeQ[{a, b, d, e, m, p}, x] && PolyQ[P
      q, x] && NeQ[b*d^2 + a*e^2, 0] &&  !(EqQ[d, 0] && True) &&  !(IGtQ[m, 0] && RationalQ[a, b, d, e] && (IntegerQ
      [p] || ILtQ[p + 1/2, 0]))

2186. Int[(Pq_)*((d_.) + (e_.)*(x_))^(m_.)*((a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_.), x_Symbol] :> With[{q = Expon[P
      q, x]}, Simp[Coeff[Pq, x, q]/e^q   Int[(d + e*x)^(m + q)*(a + b*x + c*x^2)^p, x], x] + Simp[1/e^q   Int[(d + e
      *x)^m*(a + b*x + c*x^2)^p*ExpandToSum[e^q*Pq - Coeff[Pq, x, q]*(d + e*x)^q, x], x], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d,
      e, m, p}, x] && PolyQ[Pq, x] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] && NeQ[c*d^2 - b*d*e + a*e^2, 0] &&  !(IGtQ[m, 0] && Ratio
      nalQ[a, b, c, d, e] && (IntegerQ[p] || ILtQ[p + 1/2, 0]))

2187. Int[(Pq_)*((d_) + (e_.)*(x_))^(m_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(p_.), x_Symbol] :> With[{q = Expon[Pq, x]}, Simp[Co
      eff[Pq, x, q]/e^q   Int[(d + e*x)^(m + q)*(a + b*x^2)^p, x], x] + Simp[1/e^q   Int[(d + e*x)^m*(a + b*x^2)^p*E
      xpandToSum[e^q*Pq - Coeff[Pq, x, q]*(d + e*x)^q, x], x], x]] /; FreeQ[{a, b, d, e, m, p}, x] && PolyQ[Pq, x] &
      & NeQ[b*d^2 + a*e^2, 0] &&  !(IGtQ[m, 0] && RationalQ[a, b, d, e] && (IntegerQ[p] || ILtQ[p + 1/2, 0]))

2188. Int[(Pq_)*((a_) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_.), x_Symbol] :> Int[ExpandIntegrand[Pq*(a + b*x + c*x^2)^p, x
      ], x] /; FreeQ[{a, b, c}, x] && PolyQ[Pq, x] && IGtQ[p, -2]

2189. Int[(Pq_)*((a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Int[x*PolynomialQuotient[Pq, x, x]*(a + b*x +
      c*x^2)^p, x] /; FreeQ[{a, b, c, p}, x] && PolyQ[Pq, x] && EqQ[Coeff[Pq, x, 0], 0] &&  !MatchQ[Pq, x^(m_.)*(u_
      .) /; IntegerQ[m]]

2190. Int[(Pq_)*((a_) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Simp[(a + b*x + c*x^2)^FracPart[p]/((4*c)^IntP
      art[p]*(b + 2*c*x)^(2*FracPart[p]))   Int[Pq*(b + 2*c*x)^(2*p), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, p}, x] && PolyQ[Pq,
      x] && EqQ[b^2 - 4*a*c, 0]

2191. Int[(Pq_)*((a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> With[{Q = PolynomialQuotient[Pq, a + b*x + c*
      x^2, x], f = Coeff[PolynomialRemainder[Pq, a + b*x + c*x^2, x], x, 0], g = Coeff[PolynomialRemainder[Pq, a + b
      *x + c*x^2, x], x, 1]}, Simp[(b*f - 2*a*g + (2*c*f - b*g)*x)*((a + b*x + c*x^2)^(p + 1)/((p + 1)*(b^2 - 4*a*c)
      )), x] + Simp[1/((p + 1)*(b^2 - 4*a*c))   Int[(a + b*x + c*x^2)^(p + 1)*ExpandToSum[(p + 1)*(b^2 - 4*a*c)*Q -
      (2*p + 3)*(2*c*f - b*g), x], x], x]] /; FreeQ[{a, b, c}, x] && PolyQ[Pq, x] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] && LtQ[p, -
      1]

2192. Int[(Pq_)*((a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> With[{q = Expon[Pq, x], e = Coeff[Pq, x, Expo
      n[Pq, x]]}, Simp[e*x^(q - 1)*((a + b*x + c*x^2)^(p + 1)/(c*(q + 2*p + 1))), x] + Simp[1/(c*(q + 2*p + 1))   In
      t[(a + b*x + c*x^2)^p*ExpandToSum[c*(q + 2*p + 1)*Pq - a*e*(q - 1)*x^(q - 2) - b*e*(q + p)*x^(q - 1) - c*e*(q
      + 2*p + 1)*x^q, x], x], x]] /; FreeQ[{a, b, c, p}, x] && PolyQ[Pq, x] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] &&  !LeQ[p, -1]

2193. Int[(Pq_)*((d_.)*(x_))^(m_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^2 + (c_.)*(x_)^4)^(p_), x_Symbol] :> Module[{q = Expon[Pq, x],
      k}, Int[Sum[Coeff[Pq, x, 2*k]*x^(2*k), {k, 0, q/2 + 1}]*(d*x)^m*(a + b*x^2 + c*x^4)^p, x] + Simp[1/d   Int[Su
      m[Coeff[Pq, x, 2*k + 1]*x^(2*k), {k, 0, (q + 1)/2}]*(d*x)^(m + 1)*(a + b*x^2 + c*x^4)^p, x], x]] /; FreeQ[{a,
      b, c, d, m, p}, x] && PolyQ[Pq, x] &&  !PolyQ[Pq, x^2]

2194. Int[(Pq_)*(x_)^(m_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^2 + (c_.)*(x_)^4)^(p_), x_Symbol] :> Simp[1/2   Subst[Int[x^((m - 1)/2
      )*SubstFor[x^2, Pq, x]*(a + b*x + c*x^2)^p, x], x, x^2], x] /; FreeQ[{a, b, c, p}, x] && PolyQ[Pq, x^2] && Int
      egerQ[(m - 1)/2]

2195. Int[(Pq_)*((d_.)*(x_))^(m_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^2 + (c_.)*(x_)^4)^(p_.), x_Symbol] :> Int[ExpandIntegrand[(d*x
      )^m*Pq*(a + b*x^2 + c*x^4)^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, m}, x] && PolyQ[Pq, x^2] && IGtQ[p, -2]

2196. Int[(Pq_)*((d_.)*(x_))^(m_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^2 + (c_.)*(x_)^4)^(p_.), x_Symbol] :> With[{e = Coeff[Pq, x, 0
      ], f = Coeff[Pq, x, 2], g = Coeff[Pq, x, 4]}, Simp[e*(d*x)^(m + 1)*((a + b*x^2 + c*x^4)^(p + 1)/(a*d*(m + 1)))
      , x] /; EqQ[a*f*(m + 1) - b*e*(m + 2*p + 3), 0] && EqQ[a*g*(m + 1) - c*e*(m + 4*p + 5), 0] && NeQ[m, -1]] /; F
      reeQ[{a, b, c, d, m, p}, x] && PolyQ[Pq, x^2] && EqQ[Expon[Pq, x], 4]

2197. Int[(Pq_)*(x_)^(m_)*((a_) + (b_.)*(x_)^2 + (c_.)*(x_)^4)^(p_), x_Symbol] :> With[{Qx = PolynomialQuotient[x^m*
      Pq, a + b*x^2 + c*x^4, x], d = Coeff[PolynomialRemainder[x^m*Pq, a + b*x^2 + c*x^4, x], x, 0], e = Coeff[Polyn
      omialRemainder[x^m*Pq, a + b*x^2 + c*x^4, x], x, 2]}, Simp[x*(a + b*x^2 + c*x^4)^(p + 1)*((a*b*e - d*(b^2 - 2*
      a*c) - c*(b*d - 2*a*e)*x^2)/(2*a*(p + 1)*(b^2 - 4*a*c))), x] + Simp[1/(2*a*(p + 1)*(b^2 - 4*a*c))   Int[(a + b
      *x^2 + c*x^4)^(p + 1)*ExpandToSum[2*a*(p + 1)*(b^2 - 4*a*c)*Qx + b^2*d*(2*p + 3) - 2*a*c*d*(4*p + 5) - a*b*e +
      c*(4*p + 7)*(b*d - 2*a*e)*x^2, x], x], x]] /; FreeQ[{a, b, c}, x] && PolyQ[Pq, x^2] && GtQ[Expon[Pq, x^2], 1]
      && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] && LtQ[p, -1] && IGtQ[m/2, 0]

2198. Int[(Pq_)*(x_)^(m_)*((a_) + (b_.)*(x_)^2 + (c_.)*(x_)^4)^(p_), x_Symbol] :> With[{Qx = PolynomialQuotient[x^m*
      Pq, a + b*x^2 + c*x^4, x], d = Coeff[PolynomialRemainder[x^m*Pq, a + b*x^2 + c*x^4, x], x, 0], e = Coeff[Polyn
      omialRemainder[x^m*Pq, a + b*x^2 + c*x^4, x], x, 2]}, Simp[x*(a + b*x^2 + c*x^4)^(p + 1)*((a*b*e - d*(b^2 - 2*
      a*c) - c*(b*d - 2*a*e)*x^2)/(2*a*(p + 1)*(b^2 - 4*a*c))), x] + Simp[1/(2*a*(p + 1)*(b^2 - 4*a*c))   Int[x^m*(a
      + b*x^2 + c*x^4)^(p + 1)*ExpandToSum[(2*a*(p + 1)*(b^2 - 4*a*c)*Qx)/x^m + (b^2*d*(2*p + 3) - 2*a*c*d*(4*p + 5
      ) - a*b*e)/x^m + c*(4*p + 7)*(b*d - 2*a*e)*x^(2 - m), x], x], x]] /; FreeQ[{a, b, c}, x] && PolyQ[Pq, x^2] &&
      GtQ[Expon[Pq, x^2], 1] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] && LtQ[p, -1] && ILtQ[m/2, 0]

2199. Int[(Px_)*((d_.)*(x_))^(m_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^2 + (c_.)*(x_)^4)^(p_), x_Symbol] :> With[{q = Expon[Px, x^2]}
      , Simp[Coeff[Px, x^2, q]*(d*x)^(m + 2*q - 3)*((a + b*x^2 + c*x^4)^(p + 1)/(c*d^(2*q - 3)*(m + 4*p + 2*q + 1)))
      , x] + Int[(d*x)^m*(a + b*x^2 + c*x^4)^p*ExpandToSum[Px - Coeff[Px, x^2, q]*x^(2*q) - Coeff[Px, x^2, q]*((a*(m
      + 2*q - 3)*x^(2*(q - 2)) + b*(m + 2*p + 2*q - 1)*x^(2*(q - 1)))/(c*(m + 4*p + 2*q + 1))), x], x] /; GtQ[q, 1]
      && NeQ[m + 4*p + 2*q + 1, 0]] /; FreeQ[{a, b, c, d, m, p}, x] && PolyQ[Px, x^2] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0]

2200. Int[(Px_)*((a_) + (b_.)*(x_)^2 + (c_.)*(x_)^4)^(p_.), x_Symbol] :> Int[ExpandIntegrand[Px*(a + b*x^2 + c*x^4)^
      p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c}, x] && PolyQ[Px, x] && IGtQ[p, 0]

2201. Int[(Px_)*((a_) + (b_.)*(x_)^2 + (c_.)*(x_)^4)^(p_), x_Symbol] :> With[{m = Expon[Px, x, Min]}, Int[x^m*Expand
      ToSum[Px/x^m, x]*(a + b*x^2 + c*x^4)^p, x] /; GtQ[m, 0] &&  !MatchQ[Px, x^m*(u_.)]] /; FreeQ[{a, b, c, p}, x]
      && PolyQ[Px, x]

2202. Int[(Pn_)*((a_) + (b_.)*(x_)^2 + (c_.)*(x_)^4)^(p_), x_Symbol] :> Module[{n = Expon[Pn, x], k}, Int[Sum[Coeff[
      Pn, x, 2*k]*x^(2*k), {k, 0, n/2}]*(a + b*x^2 + c*x^4)^p, x] + Int[x*Sum[Coeff[Pn, x, 2*k + 1]*x^(2*k), {k, 0,
      (n - 1)/2}]*(a + b*x^2 + c*x^4)^p, x]] /; FreeQ[{a, b, c, p}, x] && PolyQ[Pn, x] &&  !PolyQ[Pn, x^2]

2203. Int[(Px_)*((a_) + (b_.)*(x_)^2 + (c_.)*(x_)^4)^(p_.), x_Symbol] :> With[{d = Coeff[Px, x, 0], e = Coeff[Px, x,
      2], f = Coeff[Px, x, 4]}, Simp[d*x*((a + b*x^2 + c*x^4)^(p + 1)/a), x] /; EqQ[a*e - b*d*(2*p + 3), 0] && EqQ[
      a*f - c*d*(4*p + 5), 0]] /; FreeQ[{a, b, c, p}, x] && PolyQ[Px, x^2] && EqQ[Expon[Px, x], 4]

2204. Int[(Px_)*((a_) + (b_.)*(x_)^2 + (c_.)*(x_)^4)^(p_.), x_Symbol] :> With[{d = Coeff[Px, x, 0], e = Coeff[Px, x,
      2], f = Coeff[Px, x, 4], g = Coeff[Px, x, 6]}, Simp[x*(3*a*d + (a*e - b*d*(2*p + 3))*x^2)*((a + b*x^2 + c*x^4
      )^(p + 1)/(3*a^2)), x] /; EqQ[3*a^2*g - c*(4*p + 7)*(a*e - b*d*(2*p + 3)), 0] && EqQ[3*a^2*f - 3*a*c*d*(4*p +
      5) - b*(2*p + 5)*(a*e - b*d*(2*p + 3)), 0]] /; FreeQ[{a, b, c, p}, x] && PolyQ[Px, x^2] && EqQ[Expon[Px, x], 6
      ]

2205. Int[(Px_)/((a_) + (b_.)*(x_)^2 + (c_.)*(x_)^4), x_Symbol] :> Int[ExpandIntegrand[Px/(a + b*x^2 + c*x^4), x], x
      ] /; FreeQ[{a, b, c}, x] && PolyQ[Px, x^2] && Expon[Px, x^2] > 1

2206. Int[(Px_)*((a_) + (b_.)*(x_)^2 + (c_.)*(x_)^4)^(p_), x_Symbol] :> With[{d = Coeff[PolynomialRemainder[Px, a +
      b*x^2 + c*x^4, x], x, 0], e = Coeff[PolynomialRemainder[Px, a + b*x^2 + c*x^4, x], x, 2]}, Simp[x*(a + b*x^2 +
      c*x^4)^(p + 1)*((a*b*e - d*(b^2 - 2*a*c) - c*(b*d - 2*a*e)*x^2)/(2*a*(p + 1)*(b^2 - 4*a*c))), x] + Simp[1/(2*
      a*(p + 1)*(b^2 - 4*a*c))   Int[(a + b*x^2 + c*x^4)^(p + 1)*ExpandToSum[2*a*(p + 1)*(b^2 - 4*a*c)*PolynomialQuo
      tient[Px, a + b*x^2 + c*x^4, x] + b^2*d*(2*p + 3) - 2*a*c*d*(4*p + 5) - a*b*e + c*(4*p + 7)*(b*d - 2*a*e)*x^2,
      x], x], x]] /; FreeQ[{a, b, c}, x] && PolyQ[Px, x^2] && Expon[Px, x^2] > 1 && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] && LtQ[p, -
      1]

2207. Int[(Px_)*((a_) + (b_.)*(x_)^2 + (c_.)*(x_)^4)^(p_), x_Symbol] :> With[{n = Expon[Px, x^2], e = Coeff[Px, x^2,
      Expon[Px, x^2]]}, Simp[e*x^(2*n - 3)*((a + b*x^2 + c*x^4)^(p + 1)/(c*(2*n + 4*p + 1))), x] + Simp[1/(c*(2*n +
      4*p + 1))   Int[(a + b*x^2 + c*x^4)^p*ExpandToSum[c*(2*n + 4*p + 1)*Px - a*e*(2*n - 3)*x^(2*n - 4) - b*e*(2*n
      + 2*p - 1)*x^(2*n - 2) - c*e*(2*n + 4*p + 1)*x^(2*n), x], x], x]] /; FreeQ[{a, b, c, p}, x] && PolyQ[Px, x^2]
      && Expon[Px, x^2] > 1 && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] &&  !LtQ[p, -1]

2208. Int[((P4x_)*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(q_))/Sqrt[(a_) + (b_.)*(x_)^2 + (c_.)*(x_)^4], x_Symbol] :> With[{A = Coeff
      [P4x, x, 0], B = Coeff[P4x, x, 2], C = Coeff[P4x, x, 4]}, Simp[C*x*(d + e*x^2)^q*(Sqrt[a + b*x^2 + c*x^4]/(c*(
      2*q + 3))), x] + Simp[1/(c*(2*q + 3))   Int[((d + e*x^2)^(q - 1)/Sqrt[a + b*x^2 + c*x^4])*Simp[A*c*d*(2*q + 3)
      - a*C*d + (c*(B*d + A*e)*(2*q + 3) - C*(2*b*d + a*e + 2*a*e*q))*x^2 + (B*c*e*(2*q + 3) - 2*C*(b*e - c*d*q + b
      *e*q))*x^4, x], x], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && PolyQ[P4x, x^2] && EqQ[Expon[P4x, x], 4] && IGtQ[q, 0]

2209. Int[((P4x_)*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(q_))/Sqrt[(a_) + (c_.)*(x_)^4], x_Symbol] :> With[{A = Coeff[P4x, x, 0], B
      = Coeff[P4x, x, 2], C = Coeff[P4x, x, 4]}, Simp[C*x*(d + e*x^2)^q*(Sqrt[a + c*x^4]/(c*(2*q + 3))), x] + Simp[1
      /(c*(2*q + 3))   Int[((d + e*x^2)^(q - 1)/Sqrt[a + c*x^4])*Simp[A*c*d*(2*q + 3) - a*C*d + (c*(B*d + A*e)*(2*q
      + 3) - a*C*e*(2*q + 1))*x^2 + (B*c*e*(2*q + 3) + 2*c*C*d*q)*x^4, x], x], x]] /; FreeQ[{a, c, d, e}, x] && Poly
      Q[P4x, x^2] && EqQ[Expon[P4x, x], 4] && IGtQ[q, 0]

2210. Int[((P4x_)*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(q_))/Sqrt[(a_) + (b_.)*(x_)^2 + (c_.)*(x_)^4], x_Symbol] :> With[{A = Coeff
      [P4x, x, 0], B = Coeff[P4x, x, 2], C = Coeff[P4x, x, 4]}, Simp[(-(C*d^2 - B*d*e + A*e^2))*x*(d + e*x^2)^(q + 1
      )*(Sqrt[a + b*x^2 + c*x^4]/(2*d*(q + 1)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2))), x] + Simp[1/(2*d*(q + 1)*(c*d^2 - b*d*e + a
      *e^2))   Int[((d + e*x^2)^(q + 1)/Sqrt[a + b*x^2 + c*x^4])*Simp[a*d*(C*d - B*e) + A*(a*e^2*(2*q + 3) + 2*d*(c*
      d - b*e)*(q + 1)) - 2*((B*d - A*e)*(b*e*(q + 2) - c*d*(q + 1)) - C*d*(b*d + a*e*(q + 1)))*x^2 + c*(C*d^2 - B*d
      *e + A*e^2)*(2*q + 5)*x^4, x], x], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && PolyQ[P4x, x^2] && LeQ[Expon[P4x, x], 4
      ] && ILtQ[q, -1]

2211. Int[((P4x_)*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(q_))/Sqrt[(a_) + (c_.)*(x_)^4], x_Symbol] :> With[{A = Coeff[P4x, x, 0], B
      = Coeff[P4x, x, 2], C = Coeff[P4x, x, 4]}, Simp[(-(C*d^2 - B*d*e + A*e^2))*x*(d + e*x^2)^(q + 1)*(Sqrt[a + c*x
      ^4]/(2*d*(q + 1)*(c*d^2 + a*e^2))), x] + Simp[1/(2*d*(q + 1)*(c*d^2 + a*e^2))   Int[((d + e*x^2)^(q + 1)/Sqrt[
      a + c*x^4])*Simp[a*d*(C*d - B*e) + A*(a*e^2*(2*q + 3) + 2*c*d^2*(q + 1)) + 2*d*(B*c*d - A*c*e + a*C*e)*(q + 1)
      *x^2 + c*(C*d^2 - B*d*e + A*e^2)*(2*q + 5)*x^4, x], x], x]] /; FreeQ[{a, c, d, e}, x] && PolyQ[P4x, x^2] && Le
      Q[Expon[P4x, x], 4] && ILtQ[q, -1]

2212. Int[((A_) + (B_.)*(x_)^2)/(((d_) + (e_.)*(x_)^2)*Sqrt[(a_) + (b_.)*(x_)^2 + (c_.)*(x_)^4]), x_Symbol] :> Simp[
      A   Subst[Int[1/(d - (b*d - 2*a*e)*x^2), x], x, x/Sqrt[a + b*x^2 + c*x^4]], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, A, B},
      x] && EqQ[c*d^2 - a*e^2, 0] && EqQ[B*d + A*e, 0]

2213. Int[((A_) + (B_.)*(x_)^2)/(((d_) + (e_.)*(x_)^2)*Sqrt[(a_) + (c_.)*(x_)^4]), x_Symbol] :> Simp[A   Subst[Int[1
      /(d + 2*a*e*x^2), x], x, x/Sqrt[a + c*x^4]], x] /; FreeQ[{a, c, d, e, A, B}, x] && EqQ[c*d^2 - a*e^2, 0] && Eq
      Q[B*d + A*e, 0]

2214. Int[((A_) + (B_.)*(x_)^2)/(((d_) + (e_.)*(x_)^2)*Sqrt[(a_) + (b_.)*(x_)^2 + (c_.)*(x_)^4]), x_Symbol] :> Simp[
      (B*d + A*e)/(2*d*e)   Int[1/Sqrt[a + b*x^2 + c*x^4], x], x] - Simp[(B*d - A*e)/(2*d*e)   Int[(d - e*x^2)/((d +
      e*x^2)*Sqrt[a + b*x^2 + c*x^4]), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, A, B}, x] && EqQ[c*d^2 - a*e^2, 0] && NeQ[B*
      d + A*e, 0]

2215. Int[((A_) + (B_.)*(x_)^2)/(((d_) + (e_.)*(x_)^2)*Sqrt[(a_) + (c_.)*(x_)^4]), x_Symbol] :> Simp[(B*d + A*e)/(2*
      d*e)   Int[1/Sqrt[a + c*x^4], x], x] - Simp[(B*d - A*e)/(2*d*e)   Int[(d - e*x^2)/((d + e*x^2)*Sqrt[a + c*x^4]
      ), x], x] /; FreeQ[{a, c, d, e, A, B}, x] && EqQ[c*d^2 - a*e^2, 0] && NeQ[B*d + A*e, 0]

2216. Int[((A_) + (B_.)*(x_)^2)/(((d_) + (e_.)*(x_)^2)*Sqrt[(a_) + (b_.)*(x_)^2 + (c_.)*(x_)^4]), x_Symbol] :> Simp[
      Sqrt[A + B*x^2]*(Sqrt[a/A + c*(x^2/B)]/Sqrt[a + b*x^2 + c*x^4])   Int[Sqrt[A + B*x^2]/((d + e*x^2)*Sqrt[a/A +
      c*(x^2/B)]), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, A, B}, x] && EqQ[c*A^2 - b*A*B + a*B^2, 0]

2217. Int[((A_) + (B_.)*(x_)^2)/(((d_) + (e_.)*(x_)^2)*Sqrt[(a_) + (c_.)*(x_)^4]), x_Symbol] :> Simp[Sqrt[A + B*x^2]
      *(Sqrt[a/A + c*(x^2/B)]/Sqrt[a + c*x^4])   Int[Sqrt[A + B*x^2]/((d + e*x^2)*Sqrt[a/A + c*(x^2/B)]), x], x] /;
      FreeQ[{a, c, d, e, A, B}, x] && EqQ[c*A^2 + a*B^2, 0]

2218. Int[((A_) + (B_.)*(x_)^2)/(((d_) + (e_.)*(x_)^2)*Sqrt[(a_) + (b_.)*(x_)^2 + (c_.)*(x_)^4]), x_Symbol] :> With[
      {q = Sqrt[b^2 - 4*a*c]}, Simp[(2*a*B - A*(b + q))/(2*a*e - d*(b + q))   Int[1/Sqrt[a + b*x^2 + c*x^4], x], x]
      - Simp[(B*d - A*e)/(2*a*e - d*(b + q))   Int[(2*a + (b + q)*x^2)/((d + e*x^2)*Sqrt[a + b*x^2 + c*x^4]), x], x]
      /; RationalQ[q]] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, A, B}, x] && GtQ[b^2 - 4*a*c, 0] && NeQ[c*d^2 - b*d*e + a*e^2, 0] &
      & NeQ[c*A^2 - b*A*B + a*B^2, 0]

2219. Int[((A_) + (B_.)*(x_)^2)/(((d_) + (e_.)*(x_)^2)*Sqrt[(a_) + (c_.)*(x_)^4]), x_Symbol] :> With[{q = Sqrt[(-a)*
      c]}, Simp[(a*B - A*q)/(a*e - d*q)   Int[1/Sqrt[a + c*x^4], x], x] - Simp[(B*d - A*e)/(a*e - d*q)   Int[(a + q*
      x^2)/((d + e*x^2)*Sqrt[a + c*x^4]), x], x] /; RationalQ[q]] /; FreeQ[{a, c, d, e, A, B}, x] && GtQ[(-a)*c, 0]
      && EqQ[c*d^2 + a*e^2, 0] && NeQ[c*A^2 + a*B^2, 0]

2220. Int[((A_) + (B_.)*(x_)^2)/(((d_) + (e_.)*(x_)^2)*Sqrt[(a_) + (b_.)*(x_)^2 + (c_.)*(x_)^4]), x_Symbol] :> With[
      {q = Rt[B/A, 2]}, Simp[(-(B*d - A*e))*(ArcTan[Rt[-b + c*(d/e) + a*(e/d), 2]*(x/Sqrt[a + b*x^2 + c*x^4])]/(2*d*
      e*Rt[-b + c*(d/e) + a*(e/d), 2])), x] + Simp[(B*d + A*e)*(1 + q^2*x^2)*(Sqrt[(a + b*x^2 + c*x^4)/(a*(1 + q^2*x
      ^2)^2)]/(4*d*e*q*Sqrt[a + b*x^2 + c*x^4]))*EllipticPi[-(e - d*q^2)^2/(4*d*e*q^2), 2*ArcTan[q*x], 1/2 - b/(4*a*
      q^2)], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, A, B}, x] && NeQ[c*d^2 - a*e^2, 0] && PosQ[c/a] && EqQ[c*A^2 - a*B^2, 0] &
      & PosQ[B/A] && PosQ[-b + c*(d/e) + a*(e/d)]

2221. Int[((A_) + (B_.)*(x_)^2)/(((d_) + (e_.)*(x_)^2)*Sqrt[(a_) + (c_.)*(x_)^4]), x_Symbol] :> With[{q = Rt[B/A, 2]
      }, Simp[(-(B*d - A*e))*(ArcTan[Rt[c*(d/e) + a*(e/d), 2]*(x/Sqrt[a + c*x^4])]/(2*d*e*Rt[c*(d/e) + a*(e/d), 2]))
      , x] + Simp[(B*d + A*e)*(1 + q^2*x^2)*(Sqrt[(a + c*x^4)/(a*(1 + q^2*x^2)^2)]/(4*d*e*q*Sqrt[a + c*x^4]))*Ellipt
      icPi[-(e - d*q^2)^2/(4*d*e*q^2), 2*ArcTan[q*x], 1/2], x]] /; FreeQ[{a, c, d, e, A, B}, x] && NeQ[c*d^2 - a*e^2
      , 0] && PosQ[c/a] && EqQ[c*A^2 - a*B^2, 0] && PosQ[B/A] && PosQ[c*(d/e) + a*(e/d)]

2222. Int[((A_) + (B_.)*(x_)^2)/(((d_) + (e_.)*(x_)^2)*Sqrt[(a_) + (b_.)*(x_)^2 + (c_.)*(x_)^4]), x_Symbol] :> With[
      {q = Rt[B/A, 2]}, Simp[(-(B*d - A*e))*(ArcTanh[Rt[b - c*(d/e) - a*(e/d), 2]*(x/Sqrt[a + b*x^2 + c*x^4])]/(2*d*
      e*Rt[b - c*(d/e) - a*(e/d), 2])), x] + Simp[(B*d + A*e)*(1 + q^2*x^2)*(Sqrt[(a + b*x^2 + c*x^4)/(a*(1 + q^2*x^
      2)^2)]/(4*d*e*q*Sqrt[a + b*x^2 + c*x^4]))*EllipticPi[-(e - d*q^2)^2/(4*d*e*q^2), 2*ArcTan[q*x], 1/2 - b/(4*a*q
      ^2)], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, A, B}, x] && NeQ[c*d^2 - a*e^2, 0] && PosQ[c/a] && EqQ[c*A^2 - a*B^2, 0] &&
      PosQ[B/A] && NegQ[-b + c*(d/e) + a*(e/d)]

2223. Int[((A_) + (B_.)*(x_)^2)/(((d_) + (e_.)*(x_)^2)*Sqrt[(a_) + (c_.)*(x_)^4]), x_Symbol] :> With[{q = Rt[B/A, 2]
      }, Simp[(-(B*d - A*e))*(ArcTanh[Rt[(-c)*(d/e) - a*(e/d), 2]*(x/Sqrt[a + c*x^4])]/(2*d*e*Rt[(-c)*(d/e) - a*(e/d
      ), 2])), x] + Simp[(B*d + A*e)*(1 + q^2*x^2)*(Sqrt[(a + c*x^4)/(a*(1 + q^2*x^2)^2)]/(4*d*e*q*Sqrt[a + c*x^4]))
      *EllipticPi[-(e - d*q^2)^2/(4*d*e*q^2), 2*ArcTan[q*x], 1/2], x]] /; FreeQ[{a, c, d, e, A, B}, x] && NeQ[c*d^2
      - a*e^2, 0] && PosQ[c/a] && EqQ[c*A^2 - a*B^2, 0] && PosQ[B/A] && NegQ[c*(d/e) + a*(e/d)]

2224. Int[((A_) + (B_.)*(x_)^2)/(((d_) + (e_.)*(x_)^2)*Sqrt[(a_) + (b_.)*(x_)^2 + (c_.)*(x_)^4]), x_Symbol] :> Simp[
      2*A*(B/(B*d + A*e))   Int[1/Sqrt[a + b*x^2 + c*x^4], x], x] - Simp[(B*d - A*e)/(B*d + A*e)   Int[(A - B*x^2)/(
      (d + e*x^2)*Sqrt[a + b*x^2 + c*x^4]), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, A, B}, x] && NeQ[c*d^2 - a*e^2, 0] && Po
      sQ[c/a] && EqQ[c*A^2 - a*B^2, 0] && NegQ[B/A]

2225. Int[((A_) + (B_.)*(x_)^2)/(((d_) + (e_.)*(x_)^2)*Sqrt[(a_) + (c_.)*(x_)^4]), x_Symbol] :> Simp[2*A*(B/(B*d + A
      *e))   Int[1/Sqrt[a + c*x^4], x], x] - Simp[(B*d - A*e)/(B*d + A*e)   Int[(A - B*x^2)/((d + e*x^2)*Sqrt[a + c*
      x^4]), x], x] /; FreeQ[{a, c, d, e, A, B}, x] && NeQ[c*d^2 - a*e^2, 0] && PosQ[c/a] && EqQ[c*A^2 - a*B^2, 0] &
      & NegQ[B/A]

2226. Int[((A_) + (B_.)*(x_)^2)/(((d_) + (e_.)*(x_)^2)*Sqrt[(a_) + (b_.)*(x_)^2 + (c_.)*(x_)^4]), x_Symbol] :> With[
      {q = Rt[c/a, 2]}, Simp[(A*(c*d + a*e*q) - a*B*(e + d*q))/(c*d^2 - a*e^2)   Int[1/Sqrt[a + b*x^2 + c*x^4], x],
      x] + Simp[a*(B*d - A*e)*((e + d*q)/(c*d^2 - a*e^2))   Int[(1 + q*x^2)/((d + e*x^2)*Sqrt[a + b*x^2 + c*x^4]), x
      ], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, A, B}, x] && NeQ[c*d^2 - a*e^2, 0] && PosQ[c/a] && NeQ[c*A^2 - a*B^2, 0]

2227. Int[((A_) + (B_.)*(x_)^2)/(((d_) + (e_.)*(x_)^2)*Sqrt[(a_) + (c_.)*(x_)^4]), x_Symbol] :> With[{q = Rt[c/a, 2]
      }, Simp[(A*(c*d + a*e*q) - a*B*(e + d*q))/(c*d^2 - a*e^2)   Int[1/Sqrt[a + c*x^4], x], x] + Simp[a*(B*d - A*e)
      *((e + d*q)/(c*d^2 - a*e^2))   Int[(1 + q*x^2)/((d + e*x^2)*Sqrt[a + c*x^4]), x], x]] /; FreeQ[{a, c, d, e, A,
      B}, x] && NeQ[c*d^2 - a*e^2, 0] && PosQ[c/a] && NeQ[c*A^2 - a*B^2, 0]

2228. Int[((A_) + (B_.)*(x_)^2)/(((d_) + (e_.)*(x_)^2)*Sqrt[(a_) + (b_.)*(x_)^2 + (c_.)*(x_)^4]), x_Symbol] :> Simp[
      B/e   Int[1/Sqrt[a + b*x^2 + c*x^4], x], x] + Simp[(e*A - d*B)/e   Int[1/((d + e*x^2)*Sqrt[a + b*x^2 + c*x^4])
      , x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, A, B}, x] && NeQ[c*d^2 - a*e^2, 0] && NegQ[c/a]

2229. Int[((A_) + (B_.)*(x_)^2)/(((d_) + (e_.)*(x_)^2)*Sqrt[(a_) + (c_.)*(x_)^4]), x_Symbol] :> Simp[B/e   Int[1/Sqr
      t[a + c*x^4], x], x] + Simp[(e*A - d*B)/e   Int[1/((d + e*x^2)*Sqrt[a + c*x^4]), x], x] /; FreeQ[{a, c, d, e,
      A, B}, x] && NeQ[c*d^2 - a*e^2, 0] && NegQ[c/a]

2230. Int[(P4x_)/(((d_) + (e_.)*(x_)^2)*Sqrt[(a_) + (b_.)*(x_)^2 + (c_.)*(x_)^4]), x_Symbol] :> With[{A = Coeff[P4x,
      x, 0], B = Coeff[P4x, x, 2], C = Coeff[P4x, x, 4]}, Simp[-C/e^2   Int[(d - e*x^2)/Sqrt[a + b*x^2 + c*x^4], x]
      , x] + Simp[1/e^2   Int[(C*d^2 + A*e^2 + B*e^2*x^2)/((d + e*x^2)*Sqrt[a + b*x^2 + c*x^4]), x], x]] /; FreeQ[{a
      , b, c, d, e}, x] && PolyQ[P4x, x^2, 2] && EqQ[c*d^2 - a*e^2, 0]

2231. Int[(P4x_)/(((d_) + (e_.)*(x_)^2)*Sqrt[(a_) + (c_.)*(x_)^4]), x_Symbol] :> With[{A = Coeff[P4x, x, 0], B = Coe
      ff[P4x, x, 2], C = Coeff[P4x, x, 4]}, Simp[-C/e^2   Int[(d - e*x^2)/Sqrt[a + c*x^4], x], x] + Simp[1/e^2   Int
      [(C*d^2 + A*e^2 + B*e^2*x^2)/((d + e*x^2)*Sqrt[a + c*x^4]), x], x]] /; FreeQ[{a, c, d, e}, x] && PolyQ[P4x, x^
      2, 2] && EqQ[c*d^2 - a*e^2, 0]

2232. Int[(P4x_)/(((d_) + (e_.)*(x_)^2)*Sqrt[(a_) + (b_.)*(x_)^2 + (c_.)*(x_)^4]), x_Symbol] :> With[{q = Rt[c/a, 2]
      , A = Coeff[P4x, x, 0], B = Coeff[P4x, x, 2], C = Coeff[P4x, x, 4]}, Simp[-C/(e*q)   Int[(1 - q*x^2)/Sqrt[a +
      b*x^2 + c*x^4], x], x] + Simp[1/(c*e)   Int[(A*c*e + a*C*d*q + (B*c*e - C*(c*d - a*e*q))*x^2)/((d + e*x^2)*Sqr
      t[a + b*x^2 + c*x^4]), x], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && PolyQ[P4x, x^2, 2] && NeQ[c*d^2 - a*e^2, 0] &&
      PosQ[c/a] &&  !GtQ[b^2 - 4*a*c, 0]

2233. Int[(P4x_)/(((d_) + (e_.)*(x_)^2)*Sqrt[(a_) + (c_.)*(x_)^4]), x_Symbol] :> With[{q = Rt[c/a, 2], A = Coeff[P4x
      , x, 0], B = Coeff[P4x, x, 2], C = Coeff[P4x, x, 4]}, Simp[-C/(e*q)   Int[(1 - q*x^2)/Sqrt[a + c*x^4], x], x]
      + Simp[1/(c*e)   Int[(A*c*e + a*C*d*q + (B*c*e - C*(c*d - a*e*q))*x^2)/((d + e*x^2)*Sqrt[a + c*x^4]), x], x]]
      /; FreeQ[{a, c, d, e}, x] && PolyQ[P4x, x^2, 2] && NeQ[c*d^2 - a*e^2, 0] && PosQ[c/a]

2234. Int[(P4x_)/(((d_) + (e_.)*(x_)^2)*Sqrt[(a_) + (b_.)*(x_)^2 + (c_.)*(x_)^4]), x_Symbol] :> With[{A = Coeff[P4x,
      x, 0], B = Coeff[P4x, x, 2], C = Coeff[P4x, x, 4]}, Simp[-(e^2)^(-1)   Int[(C*d - B*e - C*e*x^2)/Sqrt[a + b*x
      ^2 + c*x^4], x], x] + Simp[(C*d^2 - B*d*e + A*e^2)/e^2   Int[1/((d + e*x^2)*Sqrt[a + b*x^2 + c*x^4]), x], x]]
      /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && PolyQ[P4x, x^2, 2] && NeQ[c*d^2 - a*e^2, 0]

2235. Int[(P4x_)/(((d_) + (e_.)*(x_)^2)*Sqrt[(a_) + (c_.)*(x_)^4]), x_Symbol] :> With[{A = Coeff[P4x, x, 0], B = Coe
      ff[P4x, x, 2], C = Coeff[P4x, x, 4]}, Simp[-(e^2)^(-1)   Int[(C*d - B*e - C*e*x^2)/Sqrt[a + c*x^4], x], x] + S
      imp[(C*d^2 - B*d*e + A*e^2)/e^2   Int[1/((d + e*x^2)*Sqrt[a + c*x^4]), x], x]] /; FreeQ[{a, c, d, e}, x] && Po
      lyQ[P4x, x^2, 2] && NeQ[c*d^2 - a*e^2, 0]

2236. Int[(Px_)/(((d_) + (e_.)*(x_)^2)*Sqrt[(a_) + (b_.)*(x_)^2 + (c_.)*(x_)^4]), x_Symbol] :> With[{q = Expon[Px, x
      ]}, Simp[Coeff[Px, x, q]*x^(q - 5)*(Sqrt[a + b*x^2 + c*x^4]/(c*e*(q - 3))), x] + Simp[1/(c*e*(q - 3))   Int[(c
      *e*(q - 3)*Px - Coeff[Px, x, q]*x^(q - 6)*(d + e*x^2)*(a*(q - 5) + b*(q - 4)*x^2 + c*(q - 3)*x^4))/((d + e*x^2
      )*Sqrt[a + b*x^2 + c*x^4]), x], x] /; GtQ[q, 4]] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && PolyQ[Px, x]

2237. Int[(Px_)/(((d_) + (e_.)*(x_)^2)*Sqrt[(a_) + (c_.)*(x_)^4]), x_Symbol] :> With[{q = Expon[Px, x]}, Simp[Coeff[
      Px, x, q]*x^(q - 5)*(Sqrt[a + c*x^4]/(c*e*(q - 3))), x] + Simp[1/(c*e*(q - 3))   Int[(c*e*(q - 3)*Px - Coeff[P
      x, x, q]*x^(q - 6)*(d + e*x^2)*(a*(q - 5) + c*(q - 3)*x^4))/((d + e*x^2)*Sqrt[a + c*x^4]), x], x] /; GtQ[q, 4]
      ] /; FreeQ[{a, c, d, e}, x] && PolyQ[Px, x]

2238. Int[(Px_)*(x_)*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(q_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^2 + (c_.)*(x_)^4)^(p_.), x_Symbol] :> Simp[1/2
      Subst[Int[(Px /. x -> Sqrt[x])*(d + e*x)^q*(a + b*x + c*x^2)^p, x], x, x^2], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, p, q
      }, x] && PolyQ[Px, x^2]

2239. Int[(Px_)*(x_)*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(q_.)*((a_) + (c_.)*(x_)^4)^(p_.), x_Symbol] :> Simp[1/2   Subst[Int[(Px
      /. x -> Sqrt[x])*(d + e*x)^q*(a + c*x^2)^p, x], x, x^2], x] /; FreeQ[{a, c, d, e, p, q}, x] && PolyQ[Px, x^2]

2240. Int[(Pr_)*((f_.)*(x_))^(m_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(q_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^2 + (c_.)*(x_)^4)^(p_), x_Symbol]
      :> Module[{r = Expon[Pr, x], k}, Int[Sum[Coeff[Pr, x, 2*k]*x^(2*k), {k, 0, r/2 + 1}]*(f*x)^m*(d + e*x^2)^q*(a
      + b*x^2 + c*x^4)^p, x] + Simp[1/f   Int[Sum[Coeff[Pr, x, 2*k + 1]*x^(2*k), {k, 0, (r + 1)/2}]*(f*x)^(m + 1)*(d
      + e*x^2)^q*(a + b*x^2 + c*x^4)^p, x], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m, p, q}, x] && PolyQ[Pr, x] &&  !PolyQ
      [Pr, x^2]

2241. Int[(Pr_)*((f_.)*(x_))^(m_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(q_.)*((a_) + (c_.)*(x_)^4)^(p_), x_Symbol] :> Module[{r =
      Expon[Pr, x], k}, Int[Sum[Coeff[Pr, x, 2*k]*x^(2*k), {k, 0, r/2 + 1}]*(f*x)^m*(d + e*x^2)^q*(a + c*x^4)^p, x]
      + Simp[1/f   Int[Sum[Coeff[Pr, x, 2*k + 1]*x^(2*k), {k, 0, (r + 1)/2}]*(f*x)^(m + 1)*(d + e*x^2)^q*(a + c*x^4)
      ^p, x], x]] /; FreeQ[{a, c, d, e, f, m, p, q}, x] && PolyQ[Pr, x] &&  !PolyQ[Pr, x^2]

2242. Int[((Px_)*(x_)^(m_))/(((d_) + (e_.)*(x_)^2)*Sqrt[(a_) + (b_.)*(x_)^2 + (c_.)*(x_)^4]), x_Symbol] :> With[{A =
      Coeff[Px, x, 0], B = Coeff[Px, x, 2], C = Coeff[Px, x, 4]}, Simp[C*x^(m - 1)*(Sqrt[a + b*x^2 + c*x^4]/(c*e*(m
      + 1))), x] - Simp[1/(c*e*(m + 1))   Int[(x^(m - 2)/((d + e*x^2)*Sqrt[a + b*x^2 + c*x^4]))*Simp[a*C*d*(m - 1)
      - (A*c*e*(m + 1) - C*(a*e*(m - 1) + b*d*m))*x^2 - (B*c*e*(m + 1) - C*(b*e*m + c*d*(m + 1)))*x^4, x], x], x]] /
      ; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && PolyQ[Px, x^2, 2] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] && IGtQ[m/2, 0]

2243. Int[((Px_)*(x_)^(m_))/(((d_) + (e_.)*(x_)^2)*Sqrt[(a_) + (c_.)*(x_)^4]), x_Symbol] :> With[{A = Coeff[Px, x, 0
      ], B = Coeff[Px, x, 2], C = Coeff[Px, x, 4]}, Simp[C*x^(m - 1)*(Sqrt[a + c*x^4]/(c*e*(m + 1))), x] - Simp[1/(c
      *e*(m + 1))   Int[(x^(m - 2)/((d + e*x^2)*Sqrt[a + c*x^4]))*Simp[a*C*d*(m - 1) - (A*c*e*(m + 1) - C*a*e*(m - 1
      ))*x^2 - (B*c*e*(m + 1) - C*c*d*(m + 1))*x^4, x], x], x]] /; FreeQ[{a, c, d, e}, x] && PolyQ[Px, x^2, 2] && IG
      tQ[m/2, 0]

2244. Int[((Px_)*(x_)^(m_))/(((d_) + (e_.)*(x_)^2)*Sqrt[(a_) + (b_.)*(x_)^2 + (c_.)*(x_)^4]), x_Symbol] :> With[{A =
      Coeff[Px, x, 0], B = Coeff[Px, x, 2], C = Coeff[Px, x, 4]}, Simp[A*x^(m + 1)*(Sqrt[a + b*x^2 + c*x^4]/(a*d*(m
      + 1))), x] + Simp[1/(a*d*(m + 1))   Int[(x^(m + 2)/((d + e*x^2)*Sqrt[a + b*x^2 + c*x^4]))*Simp[a*B*d*(m + 1)
      - A*(a*e*(m + 1) + b*d*(m + 2)) + (a*C*d*(m + 1) - A*(b*e*(m + 2) + c*d*(m + 3)))*x^2 - A*c*e*(m + 3)*x^4, x],
      x], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && PolyQ[Px, x^2, 2] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] && ILtQ[m/2, 0]

2245. Int[((Px_)*(x_)^(m_))/(((d_) + (e_.)*(x_)^2)*Sqrt[(a_) + (c_.)*(x_)^4]), x_Symbol] :> With[{A = Coeff[Px, x, 0
      ], B = Coeff[Px, x, 2], C = Coeff[Px, x, 4]}, Simp[A*x^(m + 1)*(Sqrt[a + c*x^4]/(a*d*(m + 1))), x] + Simp[1/(a
      *d*(m + 1))   Int[(x^(m + 2)/((d + e*x^2)*Sqrt[a + c*x^4]))*Simp[a*B*d*(m + 1) - A*a*e*(m + 1) + (a*C*d*(m + 1
      ) - A*c*d*(m + 3))*x^2 - A*c*e*(m + 3)*x^4, x], x], x]] /; FreeQ[{a, c, d, e}, x] && PolyQ[Px, x^2, 2] && ILtQ
      [m/2, 0]

2246. Int[(Px_)*((f_.)*(x_))^(m_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(q_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^2 + (c_.)*(x_)^4)^(p_.), x_Symbol]
      :> Int[ExpandIntegrand[Px*(f*x)^m*(d + e*x^2)^q*(a + b*x^2 + c*x^4)^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m,
      q}, x] && PolyQ[Px, x] && IntegerQ[p]

2247. Int[(Px_)*((f_.)*(x_))^(m_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(q_.)*((a_) + (c_.)*(x_)^4)^(p_.), x_Symbol] :> Int[ExpandI
      ntegrand[Px*(f*x)^m*(d + e*x^2)^q*(a + c*x^4)^p, x], x] /; FreeQ[{a, c, d, e, f, m, q}, x] && PolyQ[Px, x] &&
      IntegerQ[p]

2248. Int[(Px_)*((f_.)*(x_))^(m_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(q_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^2 + (c_.)*(x_)^4)^(p_), x_Symbol]
      :> Int[ExpandIntegrand[1/Sqrt[a + b*x^2 + c*x^4], Px*(f*x)^m*(d + e*x^2)^q*(a + b*x^2 + c*x^4)^(p + 1/2), x],
      x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m}, x] && PolyQ[Px, x] && IntegerQ[p + 1/2] && IntegerQ[q]

2249. Int[(Px_)*((f_.)*(x_))^(m_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(q_.)*((a_) + (c_.)*(x_)^4)^(p_), x_Symbol] :> Int[ExpandIn
      tegrand[1/Sqrt[a + c*x^4], Px*(f*x)^m*(d + e*x^2)^q*(a + c*x^4)^(p + 1/2), x], x] /; FreeQ[{a, c, d, e, f, m},
      x] && PolyQ[Px, x] && IntegerQ[p + 1/2] && IntegerQ[q]

2250. Int[(Px_)*((f_.)*(x_))^(m_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(q_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^2 + (c_.)*(x_)^4)^(p_.), x_Symbol]
      :> Unintegrable[Px*(f*x)^m*(d + e*x^2)^q*(a + b*x^2 + c*x^4)^p, x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m, p, q}, x] &
      & PolyQ[Px, x]

2251. Int[(Px_)*((f_.)*(x_))^(m_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(q_.)*((a_) + (c_.)*(x_)^4)^(p_.), x_Symbol] :> Unintegrabl
      e[Px*(f*x)^m*(d + e*x^2)^q*(a + c*x^4)^p, x] /; FreeQ[{a, c, d, e, f, m, p, q}, x] && PolyQ[Px, x]

2252. Int[(Px_)*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(q_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^2 + (c_.)*(x_)^4)^(p_), x_Symbol] :> With[{m = Expon[
      Px, x, Min]}, Int[x^m*ExpandToSum[Px/x^m, x]*(d + e*x^2)^q*(a + b*x^2 + c*x^4)^p, x] /; GtQ[m, 0] &&  !MatchQ[
      Px, x^m*(u_.)]] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, p, q}, x] && PolyQ[Px, x]

2253. Int[(Px_)*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(q_.)*((a_) + (c_.)*(x_)^4)^(p_), x_Symbol] :> With[{m = Expon[Px, x, Min]}, I
      nt[x^m*ExpandToSum[Px/x^m, x]*(d + e*x^2)^q*(a + c*x^4)^p, x] /; GtQ[m, 0] &&  !MatchQ[Px, x^m*(u_.)]] /; Free
      Q[{a, c, d, e, p, q}, x] && PolyQ[Px, x]

2254. Int[(Pr_)*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(q_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^2 + (c_.)*(x_)^4)^(p_), x_Symbol] :> Module[{r = Expo
      n[Pr, x], k}, Int[Sum[Coeff[Pr, x, 2*k]*x^(2*k), {k, 0, r/2}]*(d + e*x^2)^q*(a + b*x^2 + c*x^4)^p, x] + Int[x*
      Sum[Coeff[Pr, x, 2*k + 1]*x^(2*k), {k, 0, (r - 1)/2}]*(d + e*x^2)^q*(a + b*x^2 + c*x^4)^p, x]] /; FreeQ[{a, b,
      c, d, e, p, q}, x] && PolyQ[Pr, x] &&  !PolyQ[Pr, x^2]

2255. Int[(Pr_)*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(q_.)*((a_) + (c_.)*(x_)^4)^(p_), x_Symbol] :> Module[{r = Expon[Pr, x], k}, I
      nt[Sum[Coeff[Pr, x, 2*k]*x^(2*k), {k, 0, r/2}]*(d + e*x^2)^q*(a + c*x^4)^p, x] + Int[x*Sum[Coeff[Pr, x, 2*k +
      1]*x^(2*k), {k, 0, (r - 1)/2}]*(d + e*x^2)^q*(a + c*x^4)^p, x]] /; FreeQ[{a, c, d, e, p, q}, x] && PolyQ[Pr, x
      ] &&  !PolyQ[Pr, x^2]

2256. Int[(Px_)*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(q_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^2 + (c_.)*(x_)^4)^(p_.), x_Symbol] :> Int[ExpandInteg
      rand[Px*(d + e*x^2)^q*(a + b*x^2 + c*x^4)^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, q}, x] && PolyQ[Px, x] && Integer
      Q[p]

2257. Int[(Px_)*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(q_.)*((a_) + (c_.)*(x_)^4)^(p_.), x_Symbol] :> Int[ExpandIntegrand[Px*(d + e*
      x^2)^q*(a + c*x^4)^p, x], x] /; FreeQ[{a, c, d, e, q}, x] && PolyQ[Px, x] && IntegerQ[p]

2258. Int[(Px_)*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(q_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^2 + (c_.)*(x_)^4)^(p_), x_Symbol] :> Int[ExpandIntegr
      and[1/Sqrt[a + b*x^2 + c*x^4], Px*(d + e*x^2)^q*(a + b*x^2 + c*x^4)^(p + 1/2), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}
      , x] && PolyQ[Px, x] && IntegerQ[p + 1/2] && IntegerQ[q]

2259. Int[(Px_)*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(q_.)*((a_) + (c_.)*(x_)^4)^(p_), x_Symbol] :> Int[ExpandIntegrand[1/Sqrt[a +
      c*x^4], Px*(d + e*x^2)^q*(a + c*x^4)^(p + 1/2), x], x] /; FreeQ[{a, c, d, e}, x] && PolyQ[Px, x] && IntegerQ[p
      + 1/2] && IntegerQ[q]

2260. Int[(Px_)*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(q_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^2 + (c_.)*(x_)^4)^(p_.), x_Symbol] :> Unintegrable[Px
      *(d + e*x^2)^q*(a + b*x^2 + c*x^4)^p, x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, p, q}, x] && PolyQ[Px, x]

2261. Int[(Px_)*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(q_.)*((a_) + (c_.)*(x_)^4)^(p_.), x_Symbol] :> Unintegrable[Px*(d + e*x^2)^q*
      (a + c*x^4)^p, x] /; FreeQ[{a, c, d, e, p, q}, x] && PolyQ[Px, x]

2262. Int[1/(((d_) + (e_.)*(x_))*Sqrt[(a_) + (b_.)*(x_)^2 + (c_.)*(x_)^4]), x_Symbol] :> Simp[d   Int[1/((d^2 - e^2*
      x^2)*Sqrt[a + b*x^2 + c*x^4]), x], x] - Simp[e   Int[x/((d^2 - e^2*x^2)*Sqrt[a + b*x^2 + c*x^4]), x], x] /; Fr
      eeQ[{a, b, c, d, e}, x]

2263. Int[1/(((d_) + (e_.)*(x_))*Sqrt[(a_) + (c_.)*(x_)^4]), x_Symbol] :> Simp[d   Int[1/((d^2 - e^2*x^2)*Sqrt[a + c
      *x^4]), x], x] - Simp[e   Int[x/((d^2 - e^2*x^2)*Sqrt[a + c*x^4]), x], x] /; FreeQ[{a, c, d, e}, x]

2264. Int[((d_) + (e_.)*(x_))^(q_)/Sqrt[(a_) + (b_.)*(x_)^2 + (c_.)*(x_)^4], x_Symbol] :> Simp[e^3*(d + e*x)^(q + 1)
      *(Sqrt[a + b*x^2 + c*x^4]/((q + 1)*(c*d^4 + b*d^2*e^2 + a*e^4))), x] + Simp[1/((q + 1)*(c*d^4 + b*d^2*e^2 + a*
      e^4))   Int[((d + e*x)^(q + 1)/Sqrt[a + b*x^2 + c*x^4])*Simp[d*(q + 1)*(c*d^2 + b*e^2) - e*(c*d^2*(q + 1) + b*
      e^2*(q + 2))*x + c*d*e^2*(q + 1)*x^2 - c*e^3*(q + 3)*x^3, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && NeQ[c*d^4
      + b*d^2*e^2 + a*e^4, 0] && ILtQ[q, -1]

2265. Int[((d_) + (e_.)*(x_))^(q_)/Sqrt[(a_) + (c_.)*(x_)^4], x_Symbol] :> Simp[e^3*(d + e*x)^(q + 1)*(Sqrt[a + c*x^
      4]/((q + 1)*(c*d^4 + a*e^4))), x] + Simp[c/((q + 1)*(c*d^4 + a*e^4))   Int[((d + e*x)^(q + 1)/Sqrt[a + c*x^4])
      *Simp[d^3*(q + 1) - d^2*e*(q + 1)*x + d*e^2*(q + 1)*x^2 - e^3*(q + 3)*x^3, x], x], x] /; FreeQ[{a, c, d, e}, x
      ] && NeQ[c*d^4 + a*e^4, 0] && ILtQ[q, -1]

2266. Int[((a_) + (b_.)*(x_)^2 + (c_.)*(x_)^4)^(p_.)/((d_) + (e_.)*(x_)), x_Symbol] :> Simp[d   Int[(a + b*x^2 + c*x
      ^4)^p/(d^2 - e^2*x^2), x], x] - Simp[e   Int[x*((a + b*x^2 + c*x^4)^p/(d^2 - e^2*x^2)), x], x] /; FreeQ[{a, b,
      c, d, e}, x] && IntegerQ[p + 1/2]

2267. Int[((a_) + (c_.)*(x_)^4)^(p_.)/((d_) + (e_.)*(x_)), x_Symbol] :> Simp[d   Int[(a + c*x^4)^p/(d^2 - e^2*x^2),
      x], x] - Simp[e   Int[x*((a + c*x^4)^p/(d^2 - e^2*x^2)), x], x] /; FreeQ[{a, c, d, e}, x] && IntegerQ[p + 1/2]

2268. Int[(Px_)*((d_) + (e_.)*(x_))^(q_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^2 + (c_.)*(x_)^4)^(p_.), x_Symbol] :> Int[PolynomialQuo
      tient[Px, d + e*x, x]*(d + e*x)^(q + 1)*(a + b*x^2 + c*x^4)^p, x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, p, q}, x] && PolyQ[
      Px, x] && EqQ[PolynomialRemainder[Px, d + e*x, x], 0]

2269. Int[(Px_)*((d_) + (e_.)*(x_))^(q_.)*((a_) + (c_.)*(x_)^4)^(p_.), x_Symbol] :> Int[PolynomialQuotient[Px, d + e
      *x, x]*(d + e*x)^(q + 1)*(a + c*x^4)^p, x] /; FreeQ[{a, c, d, e, p, q}, x] && PolyQ[Px, x] && EqQ[PolynomialRe
      mainder[Px, d + e*x, x], 0]

2270. Int[(Px_)*((d_) + (e_.)*(x_))^(q_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^2 + (c_.)*(x_)^4)^(p_.), x_Symbol] :> Int[PolynomialQuo
      tient[Px, a + b*x^2 + c*x^4, x]*(d + e*x)^q*(a + b*x^2 + c*x^4)^(p + 1), x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, p, q}, x]
      && PolyQ[Px, x] && EqQ[PolynomialRemainder[Px, a + b*x^2 + c*x^4, x], 0]

2271. Int[(Px_)*((d_) + (e_.)*(x_))^(q_.)*((a_) + (c_.)*(x_)^4)^(p_.), x_Symbol] :> Int[PolynomialQuotient[Px, a + c
      *x^4, x]*(d + e*x)^q*(a + c*x^4)^(p + 1), x] /; FreeQ[{a, c, d, e, p, q}, x] && PolyQ[Px, x] && EqQ[Polynomial
      Remainder[Px, a + c*x^4, x], 0]

2272. Int[((Px_)*((d_) + (e_.)*(x_))^(q_))/Sqrt[(a_) + (b_.)*(x_)^2 + (c_.)*(x_)^4], x_Symbol] :> With[{A = Coeff[Px
      , x, 0], B = Coeff[Px, x, 1], C = Coeff[Px, x, 2], D = Coeff[Px, x, 3]}, Int[(d + e*x)^(q - 1)*((A*d + (B*d +
      A*e)*x + (C*d + B*e)*x^2 + C*e*x^3)/Sqrt[a + b*x^2 + c*x^4]), x]] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && PolyQ[Px, x]
      && LeQ[Expon[Px, x], 2] && NeQ[c*d^4 + b*d^2*e^2 + a*e^4, 0] && GtQ[q, 0]

2273. Int[((Px_)*((d_) + (e_.)*(x_))^(q_))/Sqrt[(a_) + (c_.)*(x_)^4], x_Symbol] :> With[{A = Coeff[Px, x, 0], B = Co
      eff[Px, x, 1], C = Coeff[Px, x, 2], D = Coeff[Px, x, 3]}, Int[(d + e*x)^(q - 1)*((A*d + (B*d + A*e)*x + (C*d +
      B*e)*x^2 + C*e*x^3)/Sqrt[a + c*x^4]), x]] /; FreeQ[{a, c, d, e}, x] && PolyQ[Px, x] && LeQ[Expon[Px, x], 2] &
      & NeQ[c*d^4 + a*e^4, 0] && GtQ[q, 0]

2274. Int[((Px_)*((d_) + (e_.)*(x_))^(q_))/Sqrt[(a_) + (b_.)*(x_)^2 + (c_.)*(x_)^4], x_Symbol] :> With[{A = Coeff[Px
      , x, 0], B = Coeff[Px, x, 1], C = Coeff[Px, x, 2], D = Coeff[Px, x, 3]}, Simp[D*(d + e*x)^q*(Sqrt[a + b*x^2 +
      c*x^4]/(c*(q + 2))), x] - Simp[1/(c*(q + 2))   Int[((d + e*x)^(q - 1)/Sqrt[a + b*x^2 + c*x^4])*Simp[a*D*e*q -
      A*c*d*(q + 2) + (b*d*D - B*c*d*(q + 2) - A*c*e*(q + 2))*x + (b*D*e*(q + 1) - c*(C*d + B*e)*(q + 2))*x^2 - c*(d
      *D*q + C*e*(q + 2))*x^3, x], x], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && PolyQ[Px, x, 3] && NeQ[c*d^4 + b*d^2*e^2
      + a*e^4, 0] && GtQ[q, 0]

2275. Int[((Px_)*((d_) + (e_.)*(x_))^(q_))/Sqrt[(a_) + (c_.)*(x_)^4], x_Symbol] :> With[{A = Coeff[Px, x, 0], B = Co
      eff[Px, x, 1], C = Coeff[Px, x, 2], D = Coeff[Px, x, 3]}, Simp[D*(d + e*x)^q*(Sqrt[a + c*x^4]/(c*(q + 2))), x]
      - Simp[1/(c*(q + 2))   Int[((d + e*x)^(q - 1)/Sqrt[a + c*x^4])*Simp[a*D*e*q - A*c*d*(q + 2) - c*(B*d*(q + 2)
      + A*e*(q + 2))*x - c*(C*d + B*e)*(q + 2)*x^2 - c*(d*D*q + C*e*(q + 2))*x^3, x], x], x]] /; FreeQ[{a, c, d, e},
      x] && PolyQ[Px, x, 3] && NeQ[c*d^4 + a*e^4, 0] && GtQ[q, 0]

2276. Int[((Px_)*((d_) + (e_.)*(x_))^(q_))/Sqrt[(a_) + (b_.)*(x_)^2 + (c_.)*(x_)^4], x_Symbol] :> With[{A = Coeff[Px
      , x, 0], B = Coeff[Px, x, 1], C = Coeff[Px, x, 2], D = Coeff[Px, x, 3]}, Simp[(-(d^3*D - C*d^2*e + B*d*e^2 - A
      *e^3))*(d + e*x)^(q + 1)*(Sqrt[a + b*x^2 + c*x^4]/((q + 1)*(c*d^4 + b*d^2*e^2 + a*e^4))), x] + Simp[1/((q + 1)
      *(c*d^4 + b*d^2*e^2 + a*e^4))   Int[((d + e*x)^(q + 1)/Sqrt[a + b*x^2 + c*x^4])*Simp[(q + 1)*(a*e*(d^2*D - C*d
      *e + B*e^2) + A*d*(c*d^2 + b*e^2)) - (e*(q + 1)*(A*c*d^2 + a*e*(d*D - C*e)) - B*d*(c*d^2*(q + 1) + b*e^2*(q +
      2)) - b*(d^3*D - C*d^2*e - A*e^3*(q + 2)))*x + (q + 1)*(D*e*(b*d^2 + a*e^2) + c*d*(C*d^2 - e*(B*d - A*e)))*x^2
      + c*(q + 3)*(d^3*D - C*d^2*e + B*d*e^2 - A*e^3)*x^3, x], x], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && PolyQ[Px, x]
      && LeQ[Expon[Px, x], 3] && NeQ[c*d^4 + b*d^2*e^2 + a*e^4, 0] && LtQ[q, -1]

2277. Int[((Px_)*((d_) + (e_.)*(x_))^(q_))/Sqrt[(a_) + (c_.)*(x_)^4], x_Symbol] :> With[{A = Coeff[Px, x, 0], B = Co
      eff[Px, x, 1], C = Coeff[Px, x, 2], D = Coeff[Px, x, 3]}, Simp[(-(d^3*D - C*d^2*e + B*d*e^2 - A*e^3))*(d + e*x
      )^(q + 1)*(Sqrt[a + c*x^4]/((q + 1)*(c*d^4 + a*e^4))), x] + Simp[1/((q + 1)*(c*d^4 + a*e^4))   Int[((d + e*x)^
      (q + 1)/Sqrt[a + c*x^4])*Simp[(q + 1)*(a*e*(d^2*D - C*d*e + B*e^2) + A*d*(c*d^2)) - (e*(q + 1)*(A*c*d^2 + a*e*
      (d*D - C*e)) - B*d*(c*d^2*(q + 1)))*x + (q + 1)*(D*e*(a*e^2) + c*d*(C*d^2 - e*(B*d - A*e)))*x^2 + c*(q + 3)*(d
      ^3*D - C*d^2*e + B*d*e^2 - A*e^3)*x^3, x], x], x]] /; FreeQ[{a, c, d, e}, x] && PolyQ[Px, x] && LeQ[Expon[Px,
      x], 3] && NeQ[c*d^4 + a*e^4, 0] && LtQ[q, -1]

2278. Int[((A_) + (B_.)*(x_))/(((d_) + (e_.)*(x_))*Sqrt[(a_) + (b_.)*(x_)^2 + (c_.)*(x_)^4]), x_Symbol] :> Simp[(-A^
      2)*((B*d + A*e)/e)   Subst[Int[1/(6*A^3*B*d + 3*A^4*e - a*e*x^2), x], x, (A + B*x)^2/Sqrt[a + b*x^2 + c*x^4]],
      x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, A, B}, x] && NeQ[B*d - A*e, 0] && EqQ[c^2*d^6 + a*e^4*(13*c*d^2 + b*e^2), 0] && E
      qQ[b^2*e^4 - 12*c*d^2*(c*d^2 - b*e^2), 0] && EqQ[4*A*c*d*e + B*(2*c*d^2 - b*e^2), 0]

2279. Int[(Px_)/(((d_) + (e_.)*(x_))*Sqrt[(a_) + (b_.)*(x_)^2 + (c_.)*(x_)^4]), x_Symbol] :> With[{A = Coeff[Px, x,
      0], B = Coeff[Px, x, 1], C = Coeff[Px, x, 2], D = Coeff[Px, x, 3]}, Int[(x*(B*d - A*e + (d*D - C*e)*x^2))/((d^
      2 - e^2*x^2)*Sqrt[a + b*x^2 + c*x^4]), x] + Int[(A*d + (C*d - B*e)*x^2 - D*e*x^4)/((d^2 - e^2*x^2)*Sqrt[a + b*
      x^2 + c*x^4]), x]] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && PolyQ[Px, x] && LeQ[Expon[Px, x], 3] && NeQ[c*d^4 + b*d^2*e
      ^2 + a*e^4, 0]

2280. Int[(Px_)/(((d_) + (e_.)*(x_))*Sqrt[(a_) + (c_.)*(x_)^4]), x_Symbol] :> With[{A = Coeff[Px, x, 0], B = Coeff[P
      x, x, 1], C = Coeff[Px, x, 2], D = Coeff[Px, x, 3]}, Int[(x*(B*d - A*e + (d*D - C*e)*x^2))/((d^2 - e^2*x^2)*Sq
      rt[a + c*x^4]), x] + Int[(A*d + (C*d - B*e)*x^2 - D*e*x^4)/((d^2 - e^2*x^2)*Sqrt[a + c*x^4]), x]] /; FreeQ[{a,
      c, d, e}, x] && PolyQ[Px, x] && LeQ[Expon[Px, x], 3] && NeQ[c*d^4 + a*e^4, 0]

2281. Int[((Px_)*((a_) + (b_.)*(x_)^2 + (c_.)*(x_)^4)^(p_.))/((d_) + (e_.)*(x_)), x_Symbol] :> Simp[d   Int[Px*((a +
      b*x^2 + c*x^4)^p/(d^2 - e^2*x^2)), x], x] - Simp[e   Int[x*Px*((a + b*x^2 + c*x^4)^p/(d^2 - e^2*x^2)), x], x]
      /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && PolyQ[Px, x] && IntegerQ[p + 1/2]

2282. Int[((Px_)*((a_) + (c_.)*(x_)^4)^(p_.))/((d_) + (e_.)*(x_)), x_Symbol] :> Simp[d   Int[Px*((a + c*x^4)^p/(d^2
      - e^2*x^2)), x], x] - Simp[e   Int[x*Px*((a + c*x^4)^p/(d^2 - e^2*x^2)), x], x] /; FreeQ[{a, c, d, e}, x] && P
      olyQ[Px, x] && IntegerQ[p + 1/2]

2283. Int[(Px_)*(x_)^(m_.)*((a_) + (c_.)*(x_)^(n2_.) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_.), x_Symbol] :> Simp[1/n   Subst[Int[Sub
      stFor[x^n, Px, x]*(a + b*x + c*x^2)^p, x], x, x^n], x] /; FreeQ[{a, b, c, m, n, p}, x] && EqQ[n2, 2*n] && Poly
      Q[Px, x^n] && EqQ[Simplify[m - n + 1], 0]

2284. Int[(Px_)*((d_.)*(x_))^(m_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_.) + (c_.)*(x_)^(n2_.))^(p_.), x_Symbol] :> Int[ExpandInteg
      rand[(d*x)^m*Px*(a + b*x^n + c*x^(2*n))^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, m, n}, x] && EqQ[n2, 2*n] && PolyQ[Px,
      x] && IGtQ[p, 0]

2285. Int[((g_.)*(x_))^(m_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_.) + (c_.)*(x_)^(n2_.))^(p_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^(n_.) + (f_.)*(x
      _)^(n2_.)), x_Symbol] :> Simp[d*(g*x)^(m + 1)*((a + b*x^n + c*x^(2*n))^(p + 1)/(a*g*(m + 1))), x] /; FreeQ[{a,
      b, c, d, e, f, g, m, n, p}, x] && EqQ[n2, 2*n] && EqQ[a*e*(m + 1) - b*d*(m + n*(p + 1) + 1), 0] && EqQ[a*f*(m
      + 1) - c*d*(m + 2*n*(p + 1) + 1), 0] && NeQ[m, -1]

2286. Int[((g_.)*(x_))^(m_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_.) + (c_.)*(x_)^(n2_.))^(p_.)*((d_) + (f_.)*(x_)^(n2_.)), x_Symbo
      l] :> Simp[d*(g*x)^(m + 1)*((a + b*x^n + c*x^(2*n))^(p + 1)/(a*g*(m + 1))), x] /; FreeQ[{a, b, c, d, f, g, m,
      n, p}, x] && EqQ[n2, 2*n] && EqQ[m + n*(p + 1) + 1, 0] && EqQ[c*d + a*f, 0] && NeQ[m, -1]

2287. Int[(Px_)*(x_)^(m_.)*((a_) + (c_.)*(x_)^(n2_.) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_), x_Symbol] :> Simp[1/n   Subst[Int[x^(S
      implify[(m + 1)/n] - 1)*SubstFor[x^n, Px, x]*(a + b*x + c*x^2)^p, x], x, x^n], x] /; FreeQ[{a, b, c, m, n, p},
      x] && EqQ[n2, 2*n] && PolyQ[Px, x^n] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] && IntegerQ[Simplify[(m + 1)/n]]

2288. Int[(Px_)*((d_)*(x_))^(m_.)*((a_) + (c_.)*(x_)^(n2_.) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_), x_Symbol] :> Simp[(d*x)^m/x^m
      Int[x^m*Px*(a + b*x^n + c*x^(2*n))^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, m, n, p}, x] && EqQ[n2, 2*n] && PolyQ[Px,
      x^n] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] && IntegerQ[Simplify[(m + 1)/n]]

2289. Int[((x_)^(m_.)*((e_) + (f_.)*(x_)^(q_.) + (g_.)*(x_)^(r_.) + (h_.)*(x_)^(s_.)))/((a_) + (b_.)*(x_)^(n_.) + (c
      _.)*(x_)^(n2_.))^(3/2), x_Symbol] :> Simp[-(2*c*(b*f - 2*a*g) + 2*h*(b^2 - 4*a*c)*x^(n/2) + 2*c*(2*c*f - b*g)*
      x^n)/(c*n*(b^2 - 4*a*c)*Sqrt[a + b*x^n + c*x^(2*n)]), x] /; FreeQ[{a, b, c, e, f, g, h, m, n}, x] && EqQ[n2, 2
      *n] && EqQ[q, n/2] && EqQ[r, 3*(n/2)] && EqQ[s, 2*n] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] && EqQ[2*m - n + 2, 0] && EqQ[c*e
      + a*h, 0]

2290. Int[(((d_)*(x_))^(m_.)*((e_) + (f_.)*(x_)^(q_.) + (g_.)*(x_)^(r_.) + (h_.)*(x_)^(s_.)))/((a_) + (b_.)*(x_)^(n_
      .) + (c_.)*(x_)^(n2_.))^(3/2), x_Symbol] :> Simp[(d*x)^m/x^m   Int[x^m*((e + f*x^(n/2) + g*x^((3*n)/2) + h*x^(
      2*n))/(a + b*x^n + c*x^(2*n))^(3/2)), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, h, m, n}, x] && EqQ[n2, 2*n] && Eq
      Q[q, n/2] && EqQ[r, 3*(n/2)] && EqQ[s, 2*n] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] && EqQ[2*m - n + 2, 0] && EqQ[c*e + a*h, 0]

2291. Int[(Px_)*(x_)^(m_)*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_) + (c_.)*(x_)^(n2_))^(p_), x_Symbol] :> Module[{q = Expon[Px, x]},
      Module[{Q = PolynomialQuotient[a*(b*c)^(Floor[(q - 1)/n] + 1)*x^m*Px, a + b*x^n + c*x^(2*n), x], R = Polynomia
      lRemainder[a*(b*c)^(Floor[(q - 1)/n] + 1)*x^m*Px, a + b*x^n + c*x^(2*n), x], i}, Simp[1/(a*n*(p + 1)*(b^2 - 4*
      a*c)*(b*c)^(Floor[(q - 1)/n] + 1))   Int[x^m*(a + b*x^n + c*x^(2*n))^(p + 1)*ExpandToSum[(n*(p + 1)*(b^2 - 4*a
      *c)*Q)/x^m + Sum[((b^2*((n*(p + 1) + i + 1)/a) - 2*c*(2*n*(p + 1) + i + 1))*Coeff[R, x, i] - b*(i + 1)*Coeff[R
      , x, n + i])*x^(i - m) + c*(n*(2*p + 3) + i + 1)*((b/a)*Coeff[R, x, i] - 2*Coeff[R, x, n + i])*x^(n + i - m),
      {i, 0, n - 1}], x], x], x] + Simp[(-x)*((a + b*x^n + c*x^(2*n))^(p + 1)/(a^2*n*(p + 1)*(b^2 - 4*a*c)*(b*c)^(Fl
      oor[(q - 1)/n] + 1)))*Sum[((b^2 - 2*a*c)*Coeff[R, x, i] - a*b*Coeff[R, x, n + i])*x^i + c*(b*Coeff[R, x, i] -
      2*a*Coeff[R, x, n + i])*x^(n + i), {i, 0, n - 1}], x]] /; GeQ[q, 2*n]] /; FreeQ[{a, b, c}, x] && EqQ[n2, 2*n]
      && PolyQ[Px, x] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] && IGtQ[n, 0] && LtQ[p, -1] && ILtQ[m, 0]

2292. Int[(Px_)*(x_)^(m_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_) + (c_.)*(x_)^(n2_))^(p_), x_Symbol] :> With[{g = GCD[m + 1, n]},
      Simp[1/g   Subst[Int[x^((m + 1)/g - 1)*(Px /. x -> x^(1/g))*(a + b*x^(n/g) + c*x^(2*(n/g)))^p, x], x, x^g], x]
      /; NeQ[g, 1]] /; FreeQ[{a, b, c, p}, x] && EqQ[n2, 2*n] && PolyQ[Px, x^n] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] && IGtQ[n, 0
      ] && IntegerQ[m]

2293. Int[(Px_)*((d_.)*(x_))^(m_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_.) + (c_.)*(x_)^(n2_))^(p_), x_Symbol] :> With[{q = Expon[P
      x, x^n]}, Simp[Coeff[Px, x^n, q]*(d*x)^(m + n*q - 2*n + 1)*((a + b*x^n + c*x^(2*n))^(p + 1)/(c*d^(n*q - 2*n +
      1)*(m + n*(2*p + q) + 1))), x] + Int[(d*x)^m*(a + b*x^n + c*x^(2*n))^p*ExpandToSum[Px - Coeff[Px, x^n, q]*x^(n
      *q) - Coeff[Px, x^n, q]*((a*(m + n*q - 2*n + 1)*x^(n*(q - 2)) + b*(m + n*(p + q - 1) + 1)*x^(n*(q - 1)))/(c*(m
      + n*(2*p + q) + 1))), x], x] /; GtQ[q, 1] && NeQ[m + n*(2*p + q) + 1, 0] && (IntegerQ[2*p] || (EqQ[n, 1] && I
      ntegerQ[4*p]) || IntegerQ[p + (n*q + 1)/(2*n)])] /; FreeQ[{a, b, c, d, m, p}, x] && EqQ[n2, 2*n] && PolyQ[Px,
      x^n] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] && IGtQ[n, 0]

2294. Int[(Px_)*((d_.)*(x_))^(m_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_) + (c_.)*(x_)^(n2_))^(p_), x_Symbol] :> Module[{q = Expon[
      Px, x], j, k}, Int[Sum[(1/d^j)*(d*x)^(m + j)*Sum[Coeff[Px, x, j + k*n]*x^(k*n), {k, 0, (q - j)/n + 1}]*(a + b*
      x^n + c*x^(2*n))^p, {j, 0, n - 1}], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d, m, p}, x] && EqQ[n2, 2*n] && PolyQ[Px, x] && NeQ
      [b^2 - 4*a*c, 0] && IGtQ[n, 0] &&  !PolyQ[Px, x^n]

2295. Int[((Px_)*((d_.)*(x_))^(m_.))/((a_) + (b_.)*(x_)^(n_.) + (c_.)*(x_)^(n2_.)), x_Symbol] :> Int[RationalFunctio
      nExpand[(d*x)^m*(Px/(a + b*x^n + c*x^(2*n))), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, m}, x] && EqQ[n2, 2*n] && PolyQ[Px,
      x] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] && IGtQ[n, 0]

2296. Int[(Px_)*(x_)^(m_.)*((a_) + (c_.)*(x_)^(n2_.) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_), x_Symbol] :> With[{q = Expon[Px, x]},
      -Subst[Int[ExpandToSum[x^q*(Px /. x -> x^(-1)), x]*((a + b/x^n + c/x^(2*n))^p/x^(m + q + 2)), x], x, 1/x]] /;
      FreeQ[{a, b, c, p}, x] && EqQ[n2, 2*n] && PolyQ[Px, x] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] && ILtQ[n, 0] && IntegerQ[m]

2297. Int[(Px_)*((d_.)*(x_))^(m_.)*((a_) + (c_.)*(x_)^(n2_.) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_), x_Symbol] :> With[{g = Denomin
      ator[m], q = Expon[Px, x]}, Simp[-g/d   Subst[Int[ExpandToSum[x^(g*q)*(Px /. x -> 1/(d*x^g)), x]*((a + b/(d^n*
      x^(g*n)) + c/(d^(2*n)*x^(2*g*n)))^p/x^(g*(m + q + 1) + 1)), x], x, 1/(d*x)^(1/g)], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d, p
      }, x] && EqQ[n2, 2*n] && PolyQ[Px, x] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] && ILtQ[n, 0] && FractionQ[m]

2298. Int[(Px_)*((d_.)*(x_))^(m_)*((a_) + (c_.)*(x_)^(n2_.) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_), x_Symbol] :> With[{q = Expon[Px
      , x]}, Simp[(-(d*x)^m)*(x^(-1))^m   Subst[Int[ExpandToSum[x^q*(Px /. x -> x^(-1)), x]*((a + b/x^n + c/x^(2*n))
      ^p/x^(m + q + 2)), x], x, 1/x], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d, m, p}, x] && EqQ[n2, 2*n] && PolyQ[Px, x] && NeQ[b^2
      - 4*a*c, 0] && ILtQ[n, 0] &&  !RationalQ[m]

2299. Int[(Px_)*(x_)^(m_.)*((a_) + (c_.)*(x_)^(n2_.) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_), x_Symbol] :> With[{g = Denominator[n]}
      , Simp[g   Subst[Int[x^(g*(m + 1) - 1)*(Px /. x -> x^g)*(a + b*x^(g*n) + c*x^(2*g*n))^p, x], x, x^(1/g)], x]]
      /; FreeQ[{a, b, c, m, p}, x] && EqQ[n2, 2*n] && PolyQ[Px, x] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] && FractionQ[n]

2300. Int[(Px_)*((d_)*(x_))^(m_)*((a_) + (c_.)*(x_)^(n2_.) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_), x_Symbol] :> Simp[d^(m - 1/2)*(S
      qrt[d*x]/Sqrt[x])   Int[x^m*Px*(a + b*x^n + c*x^(2*n))^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, p}, x] && EqQ[n2, 2*n]
      && PolyQ[Px, x] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] && FractionQ[n] && IGtQ[m + 1/2, 0]

2301. Int[(Px_)*((d_)*(x_))^(m_)*((a_) + (c_.)*(x_)^(n2_.) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_), x_Symbol] :> Simp[d^(m + 1/2)*(S
      qrt[x]/Sqrt[d*x])   Int[x^m*Px*(a + b*x^n + c*x^(2*n))^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, p}, x] && EqQ[n2, 2*n]
      && PolyQ[Px, x] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] && FractionQ[n] && ILtQ[m - 1/2, 0]

2302. Int[(Px_)*((d_)*(x_))^(m_)*((a_) + (c_.)*(x_)^(n2_.) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_), x_Symbol] :> Simp[(d*x)^m/x^m
      Int[x^m*Px*(a + b*x^n + c*x^(2*n))^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, m, p}, x] && EqQ[n2, 2*n] && PolyQ[Px, x] &
      & NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] && FractionQ[n]

2303. Int[(Px_)*(x_)^(m_.)*((a_) + (c_.)*(x_)^(n2_.) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_), x_Symbol] :> Simp[1/(m + 1)   Subst[In
      t[(SubstFor[x^n, Px, x] /. x -> x^Simplify[n/(m + 1)])*(a + b*x^Simplify[n/(m + 1)] + c*x^Simplify[2*(n/(m + 1
      ))])^p, x], x, x^(m + 1)], x] /; FreeQ[{a, b, c, m, n, p}, x] && EqQ[n2, 2*n] && PolyQ[Px, x^n] && NeQ[b^2 - 4
      *a*c, 0] && IntegerQ[Simplify[n/(m + 1)]] &&  !IntegerQ[n]

2304. Int[(Px_)*((d_)*(x_))^(m_)*((a_) + (c_.)*(x_)^(n2_.) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_), x_Symbol] :> Simp[(d*x)^m/x^m
      Int[x^m*Px*(a + b*x^n + c*x^(2*n))^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, m, p}, x] && EqQ[n2, 2*n] && PolyQ[Px, x^n]
      && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] && IntegerQ[Simplify[n/(m + 1)]] &&  !IntegerQ[n]

2305. Int[((Px_)*((d_.)*(x_))^(m_.))/((a_) + (b_.)*(x_)^(n_.) + (c_.)*(x_)^(n2_.)), x_Symbol] :> With[{q = Rt[b^2 -
      4*a*c, 2]}, Simp[2*(c/q)   Int[(d*x)^m*(Px/(b - q + 2*c*x^n)), x], x] - Simp[2*(c/q)   Int[(d*x)^m*(Px/(b + q
      + 2*c*x^n)), x], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d, m, n}, x] && EqQ[n2, 2*n] && PolyQ[Px, x] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0]

2306. Int[(Px_)*((d_.)*(x_))^(m_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_.) + (c_.)*(x_)^(n2_.))^(p_), x_Symbol] :> Int[ExpandIntegr
      and[(d*x)^m*Px*(a + b*x^n + c*x^(2*n))^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, m, n}, x] && EqQ[n2, 2*n] && PolyQ[Px,
      x]

2307. Int[(Px_)*(u_)^(m_.)*((a_) + (c_.)*(v_)^(n2_.) + (b_.)*(v_)^(n_))^(p_.), x_Symbol] :> Simp[u^m/(Coefficient[v,
      x, 1]*v^m)   Subst[Int[x^m*SubstFor[v, Px, x]*(a + b*x^n + c*x^(2*n))^p, x], x, v], x] /; FreeQ[{a, b, c, m,
      n, p}, x] && EqQ[n2, 2*n] && LinearPairQ[u, v, x] && PolyQ[Px, v^n]

2308. Int[(Pq_)*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_.) + (c_.)*(x_)^(n2_.))^(p_.), x_Symbol] :> Int[ExpandIntegrand[Pq*(a + b*x^n
      + c*x^(2*n))^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, n}, x] && EqQ[n2, 2*n] && PolyQ[Pq, x] && IGtQ[p, 0]

2309. Int[((a_) + (b_.)*(x_)^(n_.) + (c_.)*(x_)^(n2_.))^(p_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^(n_.) + (f_.)*(x_)^(n2_.)), x_Symbo
      l] :> Simp[d*x*((a + b*x^n + c*x^(2*n))^(p + 1)/a), x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, n, p}, x] && EqQ[n2, 2*n] &
      & EqQ[a*e - b*d*(n*(p + 1) + 1), 0] && EqQ[a*f - c*d*(2*n*(p + 1) + 1), 0]

2310. Int[((a_) + (b_.)*(x_)^(n_.) + (c_.)*(x_)^(n2_.))^(p_.)*((d_) + (f_.)*(x_)^(n2_.)), x_Symbol] :> Simp[d*x*((a
      + b*x^n + c*x^(2*n))^(p + 1)/a), x] /; FreeQ[{a, b, c, d, f, n, p}, x] && EqQ[n2, 2*n] && EqQ[n*(p + 1) + 1, 0
      ] && EqQ[c*d + a*f, 0]

2311. Int[(Pq_)*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_.) + (c_.)*(x_)^(n2_.))^(p_), x_Symbol] :> Int[x*PolynomialQuotient[Pq, x, x]*
      (a + b*x^n + c*x^(2*n))^p, x] /; FreeQ[{a, b, c, n, p}, x] && EqQ[n2, 2*n] && PolyQ[Pq, x] && EqQ[Coeff[Pq, x,
      0], 0] &&  !MatchQ[Pq, x^(m_.)*(u_.) /; IntegerQ[m]]

2312. Int[((a_) + (c_.)*(x_)^(n2_.) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_.)*((d_) + (f_.)*(x_)^(n2_.) + (g_.)*(x_)^(n3_.) + (e_.)*(
      x_)^(n_)), x_Symbol] :> Simp[x*(a*d*(n + 1) + (a*e - b*d*(n*(p + 1) + 1))*x^n)*((a + b*x^n + c*x^(2*n))^(p + 1
      )/(a^2*(n + 1))), x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, n, p}, x] && EqQ[n2, 2*n] && EqQ[n3, 3*n] && NeQ[b^2 - 4*a
      *c, 0] && EqQ[a^2*g*(n + 1) - c*(n*(2*p + 3) + 1)*(a*e - b*d*(n*(p + 1) + 1)), 0] && EqQ[a^2*f*(n + 1) - a*c*d
      *(n + 1)*(2*n*(p + 1) + 1) - b*(n*(p + 2) + 1)*(a*e - b*d*(n*(p + 1) + 1)), 0]

2313. Int[((d_) + (f_.)*(x_)^(n2_.) + (g_.)*(x_)^(n3_.))*((a_) + (c_.)*(x_)^(n2_.) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_.), x_Symbo
      l] :> Simp[d*x*(a*(n + 1) - b*(n*(p + 1) + 1)*x^n)*((a + b*x^n + c*x^(2*n))^(p + 1)/(a^2*(n + 1))), x] /; Free
      Q[{a, b, c, d, f, g, n, p}, x] && EqQ[n2, 2*n] && EqQ[n3, 3*n] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] && EqQ[a^2*g*(n + 1) + c
      *b*d*(n*(2*p + 3) + 1)*(n*(p + 1) + 1), 0] && EqQ[a^2*f*(n + 1) - a*c*d*(n + 1)*(2*n*(p + 1) + 1) + b^2*d*(n*(
      p + 2) + 1)*(n*(p + 1) + 1), 0]

2314. Int[((a_) + (c_.)*(x_)^(n2_.) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_.)*((d_) + (g_.)*(x_)^(n3_.) + (e_.)*(x_)^(n_)), x_Symbol]
      :> Simp[x*(a*d*(n + 1) + (a*e - b*d*(n*(p + 1) + 1))*x^n)*((a + b*x^n + c*x^(2*n))^(p + 1)/(a^2*(n + 1))), x]
      /; FreeQ[{a, b, c, d, e, g, n, p}, x] && EqQ[n2, 2*n] && EqQ[n3, 3*n] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] && EqQ[a^2*g*(n
      + 1) - c*(n*(2*p + 3) + 1)*(a*e - b*d*(n*(p + 1) + 1)), 0] && EqQ[a*c*d*(n + 1)*(2*n*(p + 1) + 1) + b*(n*(p +
      2) + 1)*(a*e - b*d*(n*(p + 1) + 1)), 0]

2315. Int[((d_) + (g_.)*(x_)^(n3_.))*((a_) + (c_.)*(x_)^(n2_.) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_.), x_Symbol] :> Simp[d*x*(a*(n
      + 1) - b*(n*(p + 1) + 1)*x^n)*((a + b*x^n + c*x^(2*n))^(p + 1)/(a^2*(n + 1))), x] /; FreeQ[{a, b, c, d, g, n,
      p}, x] && EqQ[n2, 2*n] && EqQ[n3, 3*n] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] && EqQ[a^2*g*(n + 1) + c*b*d*(n*(2*p + 3) + 1)*
      (n*(p + 1) + 1), 0] && EqQ[a*c*d*(n + 1)*(2*n*(p + 1) + 1) - b^2*d*(n*(p + 2) + 1)*(n*(p + 1) + 1), 0]

2316. Int[(Pq_)*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_) + (c_.)*(x_)^(n2_))^(p_), x_Symbol] :> Module[{q = Expon[Pq, x], i}, Simp[(-
      x)*((a + b*x^n + c*x^(2*n))^(p + 1)/(a*n*(p + 1)*(b^2 - 4*a*c)))*Sum[((b^2 - 2*a*c)*Coeff[Pq, x, i] - a*b*Coef
      f[Pq, x, n + i])*x^i + c*(b*Coeff[Pq, x, i] - 2*a*Coeff[Pq, x, n + i])*x^(n + i), {i, 0, n - 1}], x] + Simp[1/
      (a*n*(p + 1)*(b^2 - 4*a*c))   Int[(a + b*x^n + c*x^(2*n))^(p + 1)*Sum[((b^2*(n*(p + 1) + i + 1) - 2*a*c*(2*n*(
      p + 1) + i + 1))*Coeff[Pq, x, i] - a*b*(i + 1)*Coeff[Pq, x, n + i])*x^i + c*(n*(2*p + 3) + i + 1)*(b*Coeff[Pq,
      x, i] - 2*a*Coeff[Pq, x, n + i])*x^(n + i), {i, 0, n - 1}], x], x] /; LtQ[q, 2*n]] /; FreeQ[{a, b, c}, x] &&
      EqQ[n2, 2*n] && PolyQ[Pq, x] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] && IGtQ[n, 0] && LtQ[p, -1]

2317. Int[(Pq_)*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_) + (c_.)*(x_)^(n2_))^(p_), x_Symbol] :> With[{q = Expon[Pq, x]}, Module[{Q =
      PolynomialQuotient[(b*c)^(Floor[(q - 1)/n] + 1)*Pq, a + b*x^n + c*x^(2*n), x], R = PolynomialRemainder[(b*c)^(
      Floor[(q - 1)/n] + 1)*Pq, a + b*x^n + c*x^(2*n), x], i}, Simp[1/(a*n*(p + 1)*(b^2 - 4*a*c)*(b*c)^(Floor[(q - 1
      )/n] + 1))   Int[(a + b*x^n + c*x^(2*n))^(p + 1)*ExpandToSum[a*n*(p + 1)*(b^2 - 4*a*c)*Q + Sum[((b^2*(n*(p + 1
      ) + i + 1) - 2*a*c*(2*n*(p + 1) + i + 1))*Coeff[R, x, i] - a*b*(i + 1)*Coeff[R, x, n + i])*x^i + c*(n*(2*p + 3
      ) + i + 1)*(b*Coeff[R, x, i] - 2*a*Coeff[R, x, n + i])*x^(n + i), {i, 0, n - 1}], x], x], x] + Simp[(-x)*((a +
      b*x^n + c*x^(2*n))^(p + 1)/(a*n*(p + 1)*(b^2 - 4*a*c)*(b*c)^(Floor[(q - 1)/n] + 1)))*Sum[((b^2 - 2*a*c)*Coeff
      [R, x, i] - a*b*Coeff[R, x, n + i])*x^i + c*(b*Coeff[R, x, i] - 2*a*Coeff[R, x, n + i])*x^(n + i), {i, 0, n -
      1}], x]] /; GeQ[q, 2*n]] /; FreeQ[{a, b, c}, x] && EqQ[n2, 2*n] && PolyQ[Pq, x] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] && IGtQ
      [n, 0] && LtQ[p, -1]

2318. Int[(Pq_)*((a_) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> With[{q = Expon[Pq, x]}, With[{Pqq = Coeff[Pq,
      x, q]}, Simp[c^p*Pqq*(Log[a + b*x + c*x^2]/2), x] + Simp[1/2   Int[ExpandToSum[2*Pq - c^p*Pqq*((b + 2*c*x)/(a
      + b*x + c*x^2)^(p + 1)), x]*(a + b*x + c*x^2)^p, x], x]] /; EqQ[q + 2*p + 1, 0]] /; FreeQ[{a, b, c}, x] && Po
      lyQ[Pq, x] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] && ILtQ[p, 0]

2319. Int[(Pq_)*((a_) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> With[{q = Expon[Pq, x]}, With[{Pqq = Coeff[Pq,
      x, q]}, Int[ExpandToSum[Pq - c^(p + 1/2)*(Pqq/(a + b*x + c*x^2)^(p + 1/2)), x]*(a + b*x + c*x^2)^p, x] + Simp
      [c^p*Pqq*ArcTanh[(b + 2*c*x)/(2*Rt[c, 2]*Sqrt[a + b*x + c*x^2])], x]] /; EqQ[q + 2*p + 1, 0]] /; FreeQ[{a, b,
      c}, x] && PolyQ[Pq, x] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] && ILtQ[p + 1/2, 0] && PosQ[c]

2320. Int[(Pq_)*((a_) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> With[{q = Expon[Pq, x]}, With[{Pqq = Coeff[Pq,
      x, q]}, Int[ExpandToSum[Pq - (-c)^(p + 1/2)*(Pqq/(a + b*x + c*x^2)^(p + 1/2)), x]*(a + b*x + c*x^2)^p, x] + S
      imp[(-(-c)^p)*Pqq*ArcTan[(b + 2*c*x)/(2*Rt[-c, 2]*Sqrt[a + b*x + c*x^2])], x]] /; EqQ[q + 2*p + 1, 0]] /; Free
      Q[{a, b, c}, x] && PolyQ[Pq, x] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] && ILtQ[p + 1/2, 0] && NegQ[c]

2321. Int[(Pq_)*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_.) + (c_.)*(x_)^(n2_))^(p_), x_Symbol] :> With[{q = Expon[Pq, x]}, With[{Pqq =
      Coeff[Pq, x, q]}, Int[ExpandToSum[Pq - Pqq*x^q - Pqq*((a*(q - 2*n + 1)*x^(q - 2*n) + b*(q + n*(p - 1) + 1)*x^
      (q - n))/(c*(q + 2*n*p + 1))), x]*(a + b*x^n + c*x^(2*n))^p, x] + Simp[Pqq*x^(q - 2*n + 1)*((a + b*x^n + c*x^(
      2*n))^(p + 1)/(c*(q + 2*n*p + 1))), x]] /; GeQ[q, 2*n] && NeQ[q + 2*n*p + 1, 0] && (IntegerQ[2*p] || (EqQ[n, 1
      ] && IntegerQ[4*p]) || IntegerQ[p + (q + 1)/(2*n)])] /; FreeQ[{a, b, c, p}, x] && EqQ[n2, 2*n] && PolyQ[Pq, x^
      n] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] && IGtQ[n, 0]

2322. Int[(Pq_)*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_) + (c_.)*(x_)^(n2_))^(p_), x_Symbol] :> Module[{q = Expon[Pq, x], j, k}, Int[
      Sum[x^j*Sum[Coeff[Pq, x, j + k*n]*x^(k*n), {k, 0, (q - j)/n + 1}]*(a + b*x^n + c*x^(2*n))^p, {j, 0, n - 1}], x
      ]] /; FreeQ[{a, b, c, p}, x] && EqQ[n2, 2*n] && PolyQ[Pq, x] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] && IGtQ[n, 0] &&  !PolyQ[P
      q, x^n]

2323. Int[(Pq_)/((a_) + (b_.)*(x_)^(n_.) + (c_.)*(x_)^(n2_.)), x_Symbol] :> Int[RationalFunctionExpand[Pq/(a + b*x^n
      + c*x^(2*n)), x], x] /; FreeQ[{a, b, c}, x] && EqQ[n2, 2*n] && PolyQ[Pq, x] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] && IGtQ[n,
      0]

2324. Int[(Pq_)*((a_) + (c_.)*(x_)^(n2_.) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_), x_Symbol] :> With[{g = Denominator[n]}, Simp[g
      Subst[Int[x^(g - 1)*(Pq /. x -> x^g)*(a + b*x^(g*n) + c*x^(2*g*n))^p, x], x, x^(1/g)], x]] /; FreeQ[{a, b, c,
      p}, x] && EqQ[n2, 2*n] && PolyQ[Pq, x] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] && FractionQ[n]

2325. Int[(Pq_)/((a_) + (b_.)*(x_)^(n_.) + (c_.)*(x_)^(n2_.)), x_Symbol] :> With[{q = Rt[b^2 - 4*a*c, 2]}, Simp[2*(c
      /q)   Int[Pq/(b - q + 2*c*x^n), x], x] - Simp[2*(c/q)   Int[Pq/(b + q + 2*c*x^n), x], x]] /; FreeQ[{a, b, c, n
      }, x] && EqQ[n2, 2*n] && PolyQ[Pq, x] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0]

2326. Int[(P3_)*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_) + (c_.)*(x_)^(n2_))^(p_), x_Symbol] :> With[{d = Coeff[P3, x^n, 0], e = Coef
      f[P3, x^n, 1], f = Coeff[P3, x^n, 2], g = Coeff[P3, x^n, 3]}, Simp[(-x)*(b^2*c*d - 2*a*c*(c*d - a*f) - a*b*(c*
      e + a*g) + (b*c*(c*d + a*f) - a*b^2*g - 2*a*c*(c*e - a*g))*x^n)*((a + b*x^n + c*x^(2*n))^(p + 1)/(a*c*n*(p + 1
      )*(b^2 - 4*a*c))), x] - Simp[1/(a*c*n*(p + 1)*(b^2 - 4*a*c))   Int[(a + b*x^n + c*x^(2*n))^(p + 1)*Simp[a*b*(c
      *e + a*g) - b^2*c*d*(n + n*p + 1) - 2*a*c*(a*f - c*d*(2*n*(p + 1) + 1)) + (a*b^2*g*(n*(p + 2) + 1) - b*c*(c*d
      + a*f)*(n*(2*p + 3) + 1) - 2*a*c*(a*g*(n + 1) - c*e*(n*(2*p + 3) + 1)))*x^n, x], x], x]] /; FreeQ[{a, b, c, n}
      , x] && EqQ[n2, 2*n] && PolyQ[P3, x^n, 3] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] && ILtQ[p, -1]

2327. Int[(P2_)*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_) + (c_.)*(x_)^(n2_))^(p_), x_Symbol] :> With[{d = Coeff[P2, x^n, 0], e = Coef
      f[P2, x^n, 1], f = Coeff[P2, x^n, 2]}, Simp[(-x)*(b^2*d - 2*a*(c*d - a*f) - a*b*e + (b*(c*d + a*f) - 2*a*c*e)*
      x^n)*((a + b*x^n + c*x^(2*n))^(p + 1)/(a*n*(p + 1)*(b^2 - 4*a*c))), x] - Simp[1/(a*n*(p + 1)*(b^2 - 4*a*c))
      Int[(a + b*x^n + c*x^(2*n))^(p + 1)*Simp[a*b*e - b^2*d*(n + n*p + 1) - 2*a*(a*f - c*d*(2*n*(p + 1) + 1)) - (b*
      (c*d + a*f)*(n*(2*p + 3) + 1) - 2*a*c*e*(n*(2*p + 3) + 1))*x^n, x], x], x]] /; FreeQ[{a, b, c, n}, x] && EqQ[n
      2, 2*n] && PolyQ[P2, x^n, 2] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] && ILtQ[p, -1]

2328. Int[(Pq_)*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_.) + (c_.)*(x_)^(n2_.))^(p_), x_Symbol] :> Int[ExpandIntegrand[Pq*(a + b*x^n +
      c*x^(2*n))^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, n}, x] && EqQ[n2, 2*n] && PolyQ[Pq, x] && ILtQ[p, -1]

2329. Int[(Pq_)*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_.) + (c_.)*(x_)^(n2_.))^(p_.), x_Symbol] :> Unintegrable[Pq*(a + b*x^n + c*x^(
      2*n))^p, x] /; FreeQ[{a, b, c, n, p}, x] && EqQ[n2, 2*n] && (PolyQ[Pq, x] || PolyQ[Pq, x^n])

2330. Int[(Pq_)*((a_) + (c_.)*(v_)^(n2_.) + (b_.)*(v_)^(n_))^(p_.), x_Symbol] :> Simp[1/Coefficient[v, x, 1]   Subst
      [Int[SubstFor[v, Pq, x]*(a + b*x^n + c*x^(2*n))^p, x], x, v], x] /; FreeQ[{a, b, c, n, p}, x] && EqQ[n2, 2*n]
      && LinearQ[v, x] && PolyQ[Pq, v^n]

2331. Int[(Pq_)*(x_)^(m_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(p_.), x_Symbol] :> Simp[1/2   Subst[Int[x^((m - 1)/2)*SubstFor[x^2
      , Pq, x]*(a + b*x)^p, x], x, x^2], x] /; FreeQ[{a, b, p}, x] && PolyQ[Pq, x^2] && IntegerQ[(m - 1)/2]

2332. Int[(P2_)*((c_.)*(x_))^(m_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(p_.), x_Symbol] :> With[{f = Coeff[P2, x, 0], g = Coeff[P2
      , x, 1], h = Coeff[P2, x, 2]}, Simp[h*(c*x)^(m + 1)*((a + b*x^2)^(p + 1)/(b*c*(m + 2*p + 3))), x] /; EqQ[g, 0]
      && EqQ[a*h*(m + 1) - b*f*(m + 2*p + 3), 0]] /; FreeQ[{a, b, c, m, p}, x] && PolyQ[P2, x, 2] && NeQ[m, -1]

2333. Int[(Pq_)*((c_.)*(x_))^(m_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(p_.), x_Symbol] :> Int[ExpandIntegrand[(c*x)^m*Pq*(a + b*x
      ^2)^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, m}, x] && PolyQ[Pq, x] && IGtQ[p, -2]

2334. Int[(Pq_)*(x_)^(m_)*((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> With[{A = Coeff[Pq, x, 0], Q = PolynomialQuotient
      [Pq - Coeff[Pq, x, 0], x^2, x]}, Simp[A*x^(m + 1)*((a + b*x^2)^(p + 1)/(a*(m + 1))), x] + Simp[1/(a*(m + 1))
      Int[x^(m + 2)*(a + b*x^2)^p*(a*(m + 1)*Q - A*b*(m + 2*(p + 1) + 1)), x], x]] /; FreeQ[{a, b}, x] && PolyQ[Pq,
      x^2] && IntegerQ[m/2] && ILtQ[(m + 1)/2 + p, 0] && LtQ[m + Expon[Pq, x] + 2*p + 1, 0]

2335. Int[(Pq_)*((c_.)*(x_))^(m_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> With[{Q = PolynomialQuotient[Pq, a + b*x
      ^2, x], f = Coeff[PolynomialRemainder[Pq, a + b*x^2, x], x, 0], g = Coeff[PolynomialRemainder[Pq, a + b*x^2, x
      ], x, 1]}, Simp[(c*x)^m*(a + b*x^2)^(p + 1)*((a*g - b*f*x)/(2*a*b*(p + 1))), x] + Simp[c/(2*a*b*(p + 1))   Int
      [(c*x)^(m - 1)*(a + b*x^2)^(p + 1)*ExpandToSum[2*a*b*(p + 1)*x*Q - a*g*m + b*f*(m + 2*p + 3)*x, x], x], x]] /;
      FreeQ[{a, b, c}, x] && PolyQ[Pq, x] && LtQ[p, -1] && GtQ[m, 0]

2336. Int[(Pq_)*((c_.)*(x_))^(m_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> With[{Q = PolynomialQuotient[(c*x)^m*Pq,
      a + b*x^2, x], f = Coeff[PolynomialRemainder[(c*x)^m*Pq, a + b*x^2, x], x, 0], g = Coeff[PolynomialRemainder[
      (c*x)^m*Pq, a + b*x^2, x], x, 1]}, Simp[(a*g - b*f*x)*((a + b*x^2)^(p + 1)/(2*a*b*(p + 1))), x] + Simp[1/(2*a*
      (p + 1))   Int[(c*x)^m*(a + b*x^2)^(p + 1)*ExpandToSum[(2*a*(p + 1)*Q)/(c*x)^m + (f*(2*p + 3))/(c*x)^m, x], x]
      , x]] /; FreeQ[{a, b, c}, x] && PolyQ[Pq, x] && LtQ[p, -1] && ILtQ[m, 0]

2337. Int[(Pq_)*((c_.)*(x_))^(m_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> With[{Q = PolynomialQuotient[Pq, a + b*x
      ^2, x], f = Coeff[PolynomialRemainder[Pq, a + b*x^2, x], x, 0], g = Coeff[PolynomialRemainder[Pq, a + b*x^2, x
      ], x, 1]}, Simp[(-(c*x)^(m + 1))*(f + g*x)*((a + b*x^2)^(p + 1)/(2*a*c*(p + 1))), x] + Simp[1/(2*a*(p + 1))
      Int[(c*x)^m*(a + b*x^2)^(p + 1)*ExpandToSum[2*a*(p + 1)*Q + f*(m + 2*p + 3) + g*(m + 2*p + 4)*x, x], x], x]] /
      ; FreeQ[{a, b, c, m}, x] && PolyQ[Pq, x] && LtQ[p, -1] &&  !GtQ[m, 0]

2338. Int[(Pq_)*((c_.)*(x_))^(m_)*((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> With[{Q = PolynomialQuotient[Pq, c*x, x],
      R = PolynomialRemainder[Pq, c*x, x]}, Simp[R*(c*x)^(m + 1)*((a + b*x^2)^(p + 1)/(a*c*(m + 1))), x] + Simp[1/(
      a*c*(m + 1))   Int[(c*x)^(m + 1)*(a + b*x^2)^p*ExpandToSum[a*c*(m + 1)*Q - b*R*(m + 2*p + 3)*x, x], x], x]] /;
      FreeQ[{a, b, c, p}, x] && PolyQ[Pq, x] && LtQ[m, -1] && (IntegerQ[2*p] || NeQ[Expon[Pq, x], 1])

2339. Int[(Pq_)*((c_.)*(x_))^(m_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(p_.), x_Symbol] :> With[{q = Expon[Pq, x]}, Simp[Coeff[Pq,
      x, q]/c^q   Int[(c*x)^(m + q)*(a + b*x^2)^p, x], x] + Simp[1/c^q   Int[(c*x)^m*(a + b*x^2)^p*ExpandToSum[c^q*
      Pq - Coeff[Pq, x, q]*(c*x)^q, x], x], x] /; EqQ[q, 1] || EqQ[m + q + 2*p + 1, 0]] /; FreeQ[{a, b, c, m, p}, x]
      && PolyQ[Pq, x] &&  !(IGtQ[m, 0] && ILtQ[p + 1/2, 0])

2340. Int[(Pq_)*((c_.)*(x_))^(m_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> With[{q = Expon[Pq, x], f = Coeff[Pq, x,
      Expon[Pq, x]]}, Simp[f*(c*x)^(m + q - 1)*((a + b*x^2)^(p + 1)/(b*c^(q - 1)*(m + q + 2*p + 1))), x] + Simp[1/(
      b*(m + q + 2*p + 1))   Int[(c*x)^m*(a + b*x^2)^p*ExpandToSum[b*(m + q + 2*p + 1)*Pq - b*f*(m + q + 2*p + 1)*x^
      q - a*f*(m + q - 1)*x^(q - 2), x], x], x] /; GtQ[q, 1] && NeQ[m + q + 2*p + 1, 0]] /; FreeQ[{a, b, c, m, p}, x
      ] && PolyQ[Pq, x] && ( !IGtQ[m, 0] || IGtQ[p + 1/2, -1])

2341. Int[(Pq_)*((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(p_.), x_Symbol] :> Int[ExpandIntegrand[Pq*(a + b*x^2)^p, x], x] /; FreeQ[{a,
      b}, x] && PolyQ[Pq, x] && IGtQ[p, -2]

2342. Int[(Pq_)*((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Int[x*PolynomialQuotient[Pq, x, x]*(a + b*x^2)^p, x] /; Fre
      eQ[{a, b, p}, x] && PolyQ[Pq, x] && EqQ[Coeff[Pq, x, 0], 0] &&  !MatchQ[Pq, x^(m_.)*(u_.) /; IntegerQ[m]]

2343. Int[(Px_)*((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(p_.), x_Symbol] :> Int[PolynomialQuotient[Px, a + b*x^2, x]*(a + b*x^2)^(p +
      1), x] /; FreeQ[{a, b, p}, x] && PolyQ[Px, x] && EqQ[PolynomialRemainder[Px, a + b*x^2, x], 0]

2344. Int[(Pq_)*((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> With[{A = Coeff[Pq, x, 0], Q = PolynomialQuotient[Pq - Coef
      f[Pq, x, 0], x^2, x]}, Simp[A*x*((a + b*x^2)^(p + 1)/a), x] + Simp[1/a   Int[x^2*(a + b*x^2)^p*(a*Q - A*b*(2*p
      + 3)), x], x]] /; FreeQ[{a, b}, x] && PolyQ[Pq, x^2] && ILtQ[p + 1/2, 0] && LtQ[Expon[Pq, x] + 2*p + 1, 0]

2345. Int[(Pq_)*((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> With[{Q = PolynomialQuotient[Pq, a + b*x^2, x], f = Coeff[P
      olynomialRemainder[Pq, a + b*x^2, x], x, 0], g = Coeff[PolynomialRemainder[Pq, a + b*x^2, x], x, 1]}, Simp[(a*
      g - b*f*x)*((a + b*x^2)^(p + 1)/(2*a*b*(p + 1))), x] + Simp[1/(2*a*(p + 1))   Int[(a + b*x^2)^(p + 1)*ExpandTo
      Sum[2*a*(p + 1)*Q + f*(2*p + 3), x], x], x]] /; FreeQ[{a, b}, x] && PolyQ[Pq, x] && LtQ[p, -1]

2346. Int[(Pq_)*((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> With[{q = Expon[Pq, x], e = Coeff[Pq, x, Expon[Pq, x]]}, Si
      mp[e*x^(q - 1)*((a + b*x^2)^(p + 1)/(b*(q + 2*p + 1))), x] + Simp[1/(b*(q + 2*p + 1))   Int[(a + b*x^2)^p*Expa
      ndToSum[b*(q + 2*p + 1)*Pq - a*e*(q - 1)*x^(q - 2) - b*e*(q + 2*p + 1)*x^q, x], x], x]] /; FreeQ[{a, b, p}, x]
      && PolyQ[Pq, x] &&  !LeQ[p, -1]

2347. Int[(Px_)*((c_) + (d_.)*(x_))^(m_.)*((e_) + (f_.)*(x_))^(n_.)*((a_.) + (b_.)*(x_)^2)^(p_.), x_Symbol] :> Int[P
      olynomialQuotient[Px, c + d*x, x]*(c + d*x)^(m + 1)*(e + f*x)^n*(a + b*x^2)^p, x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f,
      m, n, p}, x] && PolynomialQ[Px, x] && EqQ[PolynomialRemainder[Px, c + d*x, x], 0]

2348. Int[(Px_)*((c_) + (d_.)*(x_))^(m_.)*((e_) + (f_.)*(x_))^(n_.)*((a_.) + (b_.)*(x_)^2)^(p_.), x_Symbol] :> Int[E
      xpandIntegrand[Px*(c + d*x)^m*(e + f*x)^n*(a + b*x^2)^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m, n, p}, x] && Po
      lyQ[Px, x] && (IntegerQ[p] || (IntegerQ[2*p] && IntegerQ[m] && ILtQ[n, 0])) &&  !(IGtQ[m, 0] && IGtQ[n, 0])

2349. Int[(Px_)*((c_) + (d_.)*(x_))^(m_.)*((e_) + (f_.)*(x_))^(n_.)*((a_.) + (b_.)*(x_)^2)^(p_.), x_Symbol] :> Int[P
      olynomialQuotient[Px, c + d*x, x]*(c + d*x)^(m + 1)*(e + f*x)^n*(a + b*x^2)^p, x] + Simp[PolynomialRemainder[P
      x, c + d*x, x]   Int[(c + d*x)^m*(e + f*x)^n*(a + b*x^2)^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, n, p}, x] && Po
      lynomialQ[Px, x] && LtQ[m, 0] &&  !IntegerQ[n] && IntegersQ[2*m, 2*n, 2*p]

2350. Int[(Px_)*((e_.)*(x_))^(m_.)*((c_) + (d_.)*(x_))^(n_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(p_.), x_Symbol] :> Int[Polynomia
      lQuotient[Px, c + d*x, x]*(e*x)^m*(c + d*x)^(n + 1)*(a + b*x^2)^p, x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, m, n, p}, x] &&
      PolynomialQ[Px, x] && EqQ[PolynomialRemainder[Px, c + d*x, x], 0]

2351. Int[((Px_)*((c_) + (d_.)*(x_))^(n_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(p_.))/(x_), x_Symbol] :> Int[PolynomialQuotient[Px
      , x, x]*(c + d*x)^n*(a + b*x^2)^p, x] + Simp[PolynomialRemainder[Px, x, x]   Int[(c + d*x)^n*((a + b*x^2)^p/x)
      , x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, n, p}, x] && PolynomialQ[Px, x]

2352. Int[((Px_)*((e_.)*(x_))^(m_))/(Sqrt[(c_) + (d_.)*(x_)]*Sqrt[(a_) + (b_.)*(x_)^2]), x_Symbol] :> With[{Px0 = Co
      efficient[Px, x, 0]}, Simp[Px0*(e*x)^(m + 1)*Sqrt[c + d*x]*(Sqrt[a + b*x^2]/(a*c*e*(m + 1))), x] + Simp[1/(2*a
      *c*e*(m + 1))   Int[((e*x)^(m + 1)/(Sqrt[c + d*x]*Sqrt[a + b*x^2]))*ExpandToSum[2*a*c*(m + 1)*((Px - Px0)/x) -
      Px0*(a*d*(2*m + 3) + 2*b*c*(m + 2)*x + b*d*(2*m + 5)*x^2), x], x], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && Polyno
      mialQ[Px, x] && LtQ[m, -1]

2353. Int[(Px_)*((e_.)*(x_))^(m_.)*((c_) + (d_.)*(x_))^(n_)*((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Int[ExpandInteg
      rand[Px*(e*x)^m*(c + d*x)^n*(a + b*x^2)^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, m, n, p}, x] && PolyQ[Px, x] && (In
      tegerQ[p] || (IntegerQ[2*p] && IntegerQ[m] && ILtQ[n, 0]))

2354. Int[(Px_)*((e_.)*(x_))^(m_)*((c_) + (d_.)*(x_))^(n_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(p_.), x_Symbol] :> With[{k = Deno
      minator[m]}, Simp[k/e   Subst[Int[(Px /. x -> x^k/e)*x^(k*(m + 1) - 1)*(c + d*(x^k/e))^n*(a + b*(x^(2*k)/e^2))
      ^p, x], x, (e*x)^(1/k)], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, n, p}, x] && PolyQ[Px, x] && FractionQ[m]

2355. Int[(Px_)*((e_.)*(x_))^(m_.)*((c_) + (d_.)*(x_))^(n_)*((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(p_.), x_Symbol] :> Int[Polynomial
      Quotient[Px, c + d*x, x]*(e*x)^m*(c + d*x)^(n + 1)*(a + b*x^2)^p, x] + Simp[PolynomialRemainder[Px, c + d*x, x
      ]   Int[(e*x)^m*(c + d*x)^n*(a + b*x^2)^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, m, p}, x] && PolynomialQ[Px, x] &&
      LtQ[n, 0]

2356. Int[((x_)^(m_.)*((e_) + (h_.)*(x_)^(n_.) + (f_.)*(x_)^(q_.) + (g_.)*(x_)^(r_.)))/((a_) + (c_.)*(x_)^(n_.))^(3/
      2), x_Symbol] :> Simp[-(2*a*g + 4*a*h*x^(n/4) - 2*c*f*x^(n/2))/(a*c*n*Sqrt[a + c*x^n]), x] /; FreeQ[{a, c, e,
      f, g, h, m, n}, x] && EqQ[q, n/4] && EqQ[r, 3*(n/4)] && EqQ[4*m - n + 4, 0] && EqQ[c*e + a*h, 0]

2357. Int[(((d_)*(x_))^(m_.)*((e_) + (h_.)*(x_)^(n_.) + (f_.)*(x_)^(q_.) + (g_.)*(x_)^(r_.)))/((a_) + (c_.)*(x_)^(n_
      .))^(3/2), x_Symbol] :> Simp[(d*x)^m/x^m   Int[x^m*((e + f*x^(n/4) + g*x^((3*n)/4) + h*x^n)/(a + c*x^n)^(3/2))
      , x], x] /; FreeQ[{a, c, d, e, f, g, h, m, n}, x] && EqQ[4*m - n + 4, 0] && EqQ[q, n/4] && EqQ[r, 3*(n/4)] &&
      EqQ[c*e + a*h, 0]

2358. Int[(Pq_)*((c_.)*(x_))^(m_)*((a_) + (b_.)*(x_))^(p_), x_Symbol] :> With[{n = Denominator[p]}, Simp[n/b   Subst
      [Int[x^(n*p + n - 1)*((-a)*(c/b) + c*(x^n/b))^m*(Pq /. x -> -a/b + x^n/b), x], x, (a + b*x)^(1/n)], x]] /; Fre
      eQ[{a, b, c, m}, x] && PolyQ[Pq, x] && FractionQ[p] && ILtQ[m, -1]

2359. Int[(Pq_)*(x_)^(m_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_.), x_Symbol] :> Simp[1/(m + 1)   Subst[Int[SubstFor[x^(m + 1
      ), Pq, x]*(a + b*x^Simplify[n/(m + 1)])^p, x], x, x^(m + 1)], x] /; FreeQ[{a, b, m, n, p}, x] && NeQ[m, -1] &&
      IGtQ[Simplify[n/(m + 1)], 0] && PolyQ[Pq, x^(m + 1)]

2360. Int[(Pq_)*((c_.)*(x_))^(m_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_.))^(p_.), x_Symbol] :> Int[ExpandIntegrand[(c*x)^m*Pq*(a +
      b*x^n)^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, m, n}, x] && PolyQ[Pq, x] && (IGtQ[p, 0] || EqQ[n, 1])

2361. Int[(Pq_)*(x_)^(m_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_.), x_Symbol] :> Simp[1/n   Subst[Int[x^(Simplify[(m + 1)/n]
      - 1)*SubstFor[x^n, Pq, x]*(a + b*x)^p, x], x, x^n], x] /; FreeQ[{a, b, m, n, p}, x] && PolyQ[Pq, x^n] && Integ
      erQ[Simplify[(m + 1)/n]]

2362. Int[(Pq_)*((c_)*(x_))^(m_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_.), x_Symbol] :> Simp[c^IntPart[m]*((c*x)^FracPart[m]/
      x^FracPart[m])   Int[x^m*Pq*(a + b*x^n)^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, m, n, p}, x] && PolyQ[Pq, x^n] && Integer
      Q[Simplify[(m + 1)/n]]

2363. Int[(Pq_)*(x_)^(m_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_), x_Symbol] :> Simp[Pq*((a + b*x^n)^(p + 1)/(b*n*(p + 1))),
      x] - Simp[1/(b*n*(p + 1))   Int[D[Pq, x]*(a + b*x^n)^(p + 1), x], x] /; FreeQ[{a, b, m, n}, x] && PolyQ[Pq, x]
      && EqQ[m - n + 1, 0] && LtQ[p, -1]

2364. Int[(Pq_)*(x_)^(m_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_.))^(p_), x_Symbol] :> Module[{u = IntHide[x^m*Pq, x]}, Simp[u*(a +
      b*x^n)^p, x] - Simp[b*n*p   Int[x^(m + n)*(a + b*x^n)^(p - 1)*ExpandToSum[u/x^(m + 1), x], x], x]] /; FreeQ[{
      a, b}, x] && PolyQ[Pq, x] && IGtQ[n, 0] && GtQ[p, 0] && LtQ[m + Expon[Pq, x] + 1, 0]

2365. Int[(Pq_)*((c_.)*(x_))^(m_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_.))^(p_), x_Symbol] :> Module[{q = Expon[Pq, x], i}, Simp[(
      c*x)^m*(a + b*x^n)^p*Sum[Coeff[Pq, x, i]*(x^(i + 1)/(m + n*p + i + 1)), {i, 0, q}], x] + Simp[a*n*p   Int[(c*x
      )^m*(a + b*x^n)^(p - 1)*Sum[Coeff[Pq, x, i]*(x^i/(m + n*p + i + 1)), {i, 0, q}], x], x]] /; FreeQ[{a, b, c, m}
      , x] && PolyQ[Pq, x] && IGtQ[(n - 1)/2, 0] && GtQ[p, 0]

2366. Int[((P4_)*(x_)^2)/((a_) + (b_.)*(x_)^4)^(3/2), x_Symbol] :> With[{e = Coeff[P4, x, 0], f = Coeff[P4, x, 1], h
      = Coeff[P4, x, 4]}, Simp[-(f - 2*h*x^3)/(2*b*Sqrt[a + b*x^4]), x] /; EqQ[b*e - 3*a*h, 0]] /; FreeQ[{a, b}, x]
      && PolyQ[P4, x, 4] && EqQ[Coeff[P4, x, 2], 0] && EqQ[Coeff[P4, x, 3], 0]

2367. Int[(Pq_)*(x_)^(m_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_.))^(p_), x_Symbol] :> With[{q = m + Expon[Pq, x]}, Module[{Q = Pol
      ynomialQuotient[b^(Floor[(q - 1)/n] + 1)*x^m*Pq, a + b*x^n, x], R = PolynomialRemainder[b^(Floor[(q - 1)/n] +
      1)*x^m*Pq, a + b*x^n, x]}, Simp[(-x)*R*((a + b*x^n)^(p + 1)/(a*n*(p + 1)*b^(Floor[(q - 1)/n] + 1))), x] + Simp
      [1/(a*n*(p + 1)*b^(Floor[(q - 1)/n] + 1))   Int[(a + b*x^n)^(p + 1)*ExpandToSum[a*n*(p + 1)*Q + n*(p + 1)*R +
      D[x*R, x], x], x], x]] /; GeQ[q, n]] /; FreeQ[{a, b}, x] && PolyQ[Pq, x] && IGtQ[n, 0] && LtQ[p, -1] && IGtQ[m
      , 0]

2368. Int[(Pq_)*(x_)^(m_)*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_.))^(p_), x_Symbol] :> With[{q = Expon[Pq, x]}, Module[{Q = Polynomi
      alQuotient[a*b^(Floor[(q - 1)/n] + 1)*x^m*Pq, a + b*x^n, x], R = PolynomialRemainder[a*b^(Floor[(q - 1)/n] + 1
      )*x^m*Pq, a + b*x^n, x], i}, Simp[(-x)*R*((a + b*x^n)^(p + 1)/(a^2*n*(p + 1)*b^(Floor[(q - 1)/n] + 1))), x] +
      Simp[1/(a*n*(p + 1)*b^(Floor[(q - 1)/n] + 1))   Int[x^m*(a + b*x^n)^(p + 1)*ExpandToSum[(n*(p + 1)*Q)/x^m + Su
      m[((n*(p + 1) + i + 1)/a)*Coeff[R, x, i]*x^(i - m), {i, 0, n - 1}], x], x], x]]] /; FreeQ[{a, b}, x] && PolyQ[
      Pq, x] && IGtQ[n, 0] && LtQ[p, -1] && ILtQ[m, 0]

2369. Int[(Pq_)*(x_)^(m_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_), x_Symbol] :> With[{g = GCD[m + 1, n]}, Simp[1/g   Subst[In
      t[x^((m + 1)/g - 1)*(Pq /. x -> x^(1/g))*(a + b*x^(n/g))^p, x], x, x^g], x] /; g != 1] /; FreeQ[{a, b, p}, x]
      && PolyQ[Pq, x^n] && IGtQ[n, 0] && IntegerQ[m]

2370. Int[((Pq_)*((c_.)*(x_))^(m_.))/((a_) + (b_.)*(x_)^(n_)), x_Symbol] :> With[{v = Sum[(c*x)^(m + ii)*((Coeff[Pq,
      x, ii] + Coeff[Pq, x, n/2 + ii]*x^(n/2))/(c^ii*(a + b*x^n))), {ii, 0, n/2 - 1}]}, Int[v, x] /; SumQ[v]] /; Fr
      eeQ[{a, b, c, m}, x] && PolyQ[Pq, x] && IGtQ[n/2, 0] && Expon[Pq, x] < n

2371. Int[(Pq_)/((x_)*Sqrt[(a_) + (b_.)*(x_)^(n_)]), x_Symbol] :> Simp[Coeff[Pq, x, 0]   Int[1/(x*Sqrt[a + b*x^n]),
      x], x] + Int[ExpandToSum[(Pq - Coeff[Pq, x, 0])/x, x]/Sqrt[a + b*x^n], x] /; FreeQ[{a, b}, x] && PolyQ[Pq, x]
      && IGtQ[n, 0] && NeQ[Coeff[Pq, x, 0], 0]

2372. Int[(Pq_)*((c_.)*(x_))^(m_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_), x_Symbol] :> Module[{q = Expon[Pq, x], j, k}, Int[
      Sum[((c*x)^(m + j)/c^j)*Sum[Coeff[Pq, x, j + k*(n/2)]*x^(k*(n/2)), {k, 0, 2*((q - j)/n) + 1}]*(a + b*x^n)^p, {
      j, 0, n/2 - 1}], x]] /; FreeQ[{a, b, c, m, p}, x] && PolyQ[Pq, x] && IGtQ[n/2, 0] &&  !PolyQ[Pq, x^(n/2)]

2373. Int[((Pq_)*((c_.)*(x_))^(m_.))/((a_) + (b_.)*(x_)^(n_)), x_Symbol] :> Int[ExpandIntegrand[(c*x)^m*(Pq/(a + b*x
      ^n)), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, m}, x] && PolyQ[Pq, x] && IntegerQ[n] &&  !IGtQ[m, 0]

2374. Int[(Pq_)*((c_.)*(x_))^(m_)*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_), x_Symbol] :> With[{Pq0 = Coeff[Pq, x, 0]}, Simp[Pq0
      *(c*x)^(m + 1)*((a + b*x^n)^(p + 1)/(a*c*(m + 1))), x] + Simp[1/(2*a*c*(m + 1))   Int[(c*x)^(m + 1)*ExpandToSu
      m[2*a*(m + 1)*((Pq - Pq0)/x) - 2*b*Pq0*(m + n*(p + 1) + 1)*x^(n - 1), x]*(a + b*x^n)^p, x], x] /; NeQ[Pq0, 0]]
      /; FreeQ[{a, b, c, p}, x] && PolyQ[Pq, x] && IGtQ[n, 0] && LtQ[m, -1] && LeQ[n - 1, Expon[Pq, x]]

2375. Int[(Pq_)*((c_.)*(x_))^(m_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_), x_Symbol] :> With[{q = Expon[Pq, x]}, With[{Pqq =
      Coeff[Pq, x, q]}, Simp[Pqq*(c*x)^(m + q - n + 1)*((a + b*x^n)^(p + 1)/(b*c^(q - n + 1)*(m + q + n*p + 1))), x]
      + Simp[1/(b*(m + q + n*p + 1))   Int[(c*x)^m*ExpandToSum[b*(m + q + n*p + 1)*(Pq - Pqq*x^q) - a*Pqq*(m + q -
      n + 1)*x^(q - n), x]*(a + b*x^n)^p, x], x]] /; NeQ[m + q + n*p + 1, 0] && q - n >= 0 && (IntegerQ[2*p] || Inte
      gerQ[p + (q + 1)/(2*n)])] /; FreeQ[{a, b, c, m, p}, x] && PolyQ[Pq, x] && IGtQ[n, 0]

2376. Int[(Pq_)*(x_)^(m_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_), x_Symbol] :> With[{q = Expon[Pq, x]}, -Subst[Int[ExpandToS
      um[x^q*(Pq /. x -> x^(-1)), x]*((a + b/x^n)^p/x^(m + q + 2)), x], x, 1/x]] /; FreeQ[{a, b, p}, x] && PolyQ[Pq,
      x] && ILtQ[n, 0] && IntegerQ[m]

2377. Int[(Pq_)*((c_.)*(x_))^(m_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_), x_Symbol] :> With[{g = Denominator[m], q = Expon[P
      q, x]}, Simp[-g/c   Subst[Int[ExpandToSum[x^(g*q)*(Pq /. x -> 1/(c*x^g)), x]*((a + b/(c^n*x^(g*n)))^p/x^(g*(m
      + q + 1) + 1)), x], x, 1/(c*x)^(1/g)], x]] /; FreeQ[{a, b, c, p}, x] && PolyQ[Pq, x] && ILtQ[n, 0] && Fraction
      Q[m]

2378. Int[(Pq_)*((c_.)*(x_))^(m_)*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_), x_Symbol] :> With[{q = Expon[Pq, x]}, Simp[(-(c*x)^
      m)*(x^(-1))^m   Subst[Int[ExpandToSum[x^q*(Pq /. x -> x^(-1)), x]*((a + b/x^n)^p/x^(m + q + 2)), x], x, 1/x],
      x]] /; FreeQ[{a, b, c, m, p}, x] && PolyQ[Pq, x] && ILtQ[n, 0] &&  !RationalQ[m]

2379. Int[(Pq_)*(x_)^(m_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_), x_Symbol] :> With[{g = Denominator[n]}, Simp[g   Subst[Int
      [x^(g*(m + 1) - 1)*(Pq /. x -> x^g)*(a + b*x^(g*n))^p, x], x, x^(1/g)], x]] /; FreeQ[{a, b, m, p}, x] && PolyQ
      [Pq, x] && FractionQ[n]

2380. Int[(Pq_)*((c_)*(x_))^(m_)*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_), x_Symbol] :> Simp[c^IntPart[m]*((c*x)^FracPart[m]/x^
      FracPart[m])   Int[x^m*Pq*(a + b*x^n)^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, m, p}, x] && PolyQ[Pq, x] && FractionQ[n]

2381. Int[(Pq_)*(x_)^(m_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_), x_Symbol] :> Simp[1/(m + 1)   Subst[Int[(SubstFor[x^n, Pq,
      x] /. x -> x^Simplify[n/(m + 1)])*(a + b*x^Simplify[n/(m + 1)])^p, x], x, x^(m + 1)], x] /; FreeQ[{a, b, m, n
      , p}, x] && PolyQ[Pq, x^n] && IntegerQ[Simplify[n/(m + 1)]] &&  !IntegerQ[n]

2382. Int[(Pq_)*((c_)*(x_))^(m_)*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_), x_Symbol] :> Simp[c^IntPart[m]*((c*x)^FracPart[m]/x^
      FracPart[m])   Int[x^m*Pq*(a + b*x^n)^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, m, n, p}, x] && PolyQ[Pq, x^n] && IntegerQ[
      Simplify[n/(m + 1)]] &&  !IntegerQ[n]

2383. Int[(Pq_)*((c_.)*(x_))^(m_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_.), x_Symbol] :> Int[ExpandIntegrand[(c*x)^m*Pq*(a +
      b*x^n)^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, m, n, p}, x] && (PolyQ[Pq, x] || PolyQ[Pq, x^n]) &&  !IGtQ[m, 0]

2384. Int[(Pq_)*(u_)^(m_.)*((a_) + (b_.)*(v_)^(n_.))^(p_), x_Symbol] :> Simp[u^m/(Coeff[v, x, 1]*v^m)   Subst[Int[x^
      m*SubstFor[v, Pq, x]*(a + b*x^n)^p, x], x, v], x] /; FreeQ[{a, b, m, n, p}, x] && LinearPairQ[u, v, x] && Poly
      Q[Pq, v^n]

2385. Int[(Pq_)*((c_.)*(x_))^(m_.)*((a1_) + (b1_.)*(x_)^(n_.))^(p_.)*((a2_) + (b2_.)*(x_)^(n_.))^(p_.), x_Symbol] :>
      Int[(c*x)^m*Pq*(a1*a2 + b1*b2*x^(2*n))^p, x] /; FreeQ[{a1, b1, a2, b2, c, m, n, p}, x] && PolyQ[Pq, x] && EqQ
      [a2*b1 + a1*b2, 0] && (IntegerQ[p] || (GtQ[a1, 0] && GtQ[a2, 0]))

2386. Int[(Pq_)*((c_.)*(x_))^(m_.)*((a1_) + (b1_.)*(x_)^(n_.))^(p_.)*((a2_) + (b2_.)*(x_)^(n_.))^(p_.), x_Symbol] :>
      Simp[(a1 + b1*x^n)^FracPart[p]*((a2 + b2*x^n)^FracPart[p]/(a1*a2 + b1*b2*x^(2*n))^FracPart[p])   Int[(c*x)^m*
      Pq*(a1*a2 + b1*b2*x^(2*n))^p, x], x] /; FreeQ[{a1, b1, a2, b2, c, m, n, p}, x] && PolyQ[Pq, x] && EqQ[a2*b1 +
      a1*b2, 0] &&  !(EqQ[n, 1] && LinearQ[Pq, x])

2387. Int[((h_.)*(x_))^(m_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_.))^(p_.)*((c_) + (d_.)*(x_)^(n_.))^(p_.)*((e_) + (f_.)*(x_)^(n_.
      ) + (g_.)*(x_)^(n2_.)), x_Symbol] :> Simp[e*(h*x)^(m + 1)*(a + b*x^n)^(p + 1)*((c + d*x^n)^(p + 1)/(a*c*h*(m +
      1))), x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, h, m, n, p}, x] && EqQ[n2, 2*n] && EqQ[a*c*f*(m + 1) - e*(b*c + a*d)*
      (m + n*(p + 1) + 1), 0] && EqQ[a*c*g*(m + 1) - b*d*e*(m + 2*n*(p + 1) + 1), 0] && NeQ[m, -1]

2388. Int[((h_.)*(x_))^(m_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_.))^(p_.)*((c_) + (d_.)*(x_)^(n_.))^(p_.)*((e_) + (g_.)*(x_)^(n2_
      .)), x_Symbol] :> Simp[e*(h*x)^(m + 1)*(a + b*x^n)^(p + 1)*((c + d*x^n)^(p + 1)/(a*c*h*(m + 1))), x] /; FreeQ[
      {a, b, c, d, e, g, h, m, n, p}, x] && EqQ[n2, 2*n] && EqQ[m + n*(p + 1) + 1, 0] && EqQ[a*c*g*(m + 1) - b*d*e*(
      m + 2*n*(p + 1) + 1), 0] && NeQ[m, -1]

2389. Int[(Pq_)*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_.))^(p_.), x_Symbol] :> Int[ExpandIntegrand[Pq*(a + b*x^n)^p, x], x] /; FreeQ[
      {a, b, n}, x] && PolyQ[Pq, x] && (IGtQ[p, 0] || EqQ[n, 1])

2390. Int[(Pq_)*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_.))^(p_), x_Symbol] :> Int[x*PolynomialQuotient[Pq, x, x]*(a + b*x^n)^p, x] /;
      FreeQ[{a, b, n, p}, x] && PolyQ[Pq, x] && EqQ[Coeff[Pq, x, 0], 0] &&  !MatchQ[Pq, x^(m_.)*(u_.) /; IntegerQ[m
      ]]

2391. Int[(Pq_)*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_.))^(p_.), x_Symbol] :> Int[PolynomialQuotient[Pq, a + b*x^n, x]*(a + b*x^n)^(
      p + 1), x] /; FreeQ[{a, b, p}, x] && PolyQ[Pq, x] && IGtQ[n, 0] && GeQ[Expon[Pq, x], n] && EqQ[PolynomialRemai
      nder[Pq, a + b*x^n, x], 0]

2392. Int[(Pq_)*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_.))^(p_), x_Symbol] :> Module[{q = Expon[Pq, x], i}, Simp[(a + b*x^n)^p*Sum[Co
      eff[Pq, x, i]*(x^(i + 1)/(n*p + i + 1)), {i, 0, q}], x] + Simp[a*n*p   Int[(a + b*x^n)^(p - 1)*Sum[Coeff[Pq, x
      , i]*(x^i/(n*p + i + 1)), {i, 0, q}], x], x]] /; FreeQ[{a, b}, x] && PolyQ[Pq, x] && IGtQ[(n - 1)/2, 0] && GtQ
      [p, 0]

2393. Int[(Pq_)*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_), x_Symbol] :> Module[{q = Expon[Pq, x], i}, Simp[(a*Coeff[Pq, x, q] -
      b*x*ExpandToSum[Pq - Coeff[Pq, x, q]*x^q, x])*((a + b*x^n)^(p + 1)/(a*b*n*(p + 1))), x] + Simp[1/(a*n*(p + 1))
      Int[Sum[(n*(p + 1) + i + 1)*Coeff[Pq, x, i]*x^i, {i, 0, q - 1}]*(a + b*x^n)^(p + 1), x], x] /; q == n - 1]
      /; FreeQ[{a, b}, x] && PolyQ[Pq, x] && IGtQ[n, 0] && LtQ[p, -1]

2394. Int[(Pq_)*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_.))^(p_), x_Symbol] :> Simp[(-x)*Pq*((a + b*x^n)^(p + 1)/(a*n*(p + 1))), x] +
      Simp[1/(a*n*(p + 1))   Int[ExpandToSum[n*(p + 1)*Pq + D[x*Pq, x], x]*(a + b*x^n)^(p + 1), x], x] /; FreeQ[{a,
      b}, x] && PolyQ[Pq, x] && IGtQ[n, 0] && LtQ[p, -1] && LtQ[Expon[Pq, x], n - 1]

2395. Int[(P4_)/((a_) + (b_.)*(x_)^4)^(3/2), x_Symbol] :> With[{d = Coeff[P4, x, 0], e = Coeff[P4, x, 1], f = Coeff[
      P4, x, 3], g = Coeff[P4, x, 4]}, Simp[-(a*f + 2*a*g*x - b*e*x^2)/(2*a*b*Sqrt[a + b*x^4]), x] /; EqQ[b*d + a*g,
      0]] /; FreeQ[{a, b}, x] && PolyQ[P4, x, 4] && EqQ[Coeff[P4, x, 2], 0]

2396. Int[(P6_)/((a_) + (b_.)*(x_)^4)^(3/2), x_Symbol] :> With[{d = Coeff[P6, x, 0], e = Coeff[P6, x, 2], f = Coeff[
      P6, x, 3], g = Coeff[P6, x, 4], h = Coeff[P6, x, 6]}, Simp[-(a*f - 2*b*d*x - 2*a*h*x^3)/(2*a*b*Sqrt[a + b*x^4]
      ), x] /; EqQ[b*e - 3*a*h, 0] && EqQ[b*d + a*g, 0]] /; FreeQ[{a, b}, x] && PolyQ[P6, x, 6] && EqQ[Coeff[P6, x,
      1], 0] && EqQ[Coeff[P6, x, 5], 0]

2397. Int[(Pq_)*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_.))^(p_), x_Symbol] :> With[{q = Expon[Pq, x]}, Module[{Q = PolynomialQuotient
      [b^(Floor[(q - 1)/n] + 1)*Pq, a + b*x^n, x], R = PolynomialRemainder[b^(Floor[(q - 1)/n] + 1)*Pq, a + b*x^n, x
      ]}, Simp[(-x)*R*((a + b*x^n)^(p + 1)/(a*n*(p + 1)*b^(Floor[(q - 1)/n] + 1))), x] + Simp[1/(a*n*(p + 1)*b^(Floo
      r[(q - 1)/n] + 1))   Int[(a + b*x^n)^(p + 1)*ExpandToSum[a*n*(p + 1)*Q + n*(p + 1)*R + D[x*R, x], x], x], x]]
      /; GeQ[q, n]] /; FreeQ[{a, b}, x] && PolyQ[Pq, x] && IGtQ[n, 0] && LtQ[p, -1]

2398. Int[((A_) + (B_.)*(x_))/((a_) + (b_.)*(x_)^3), x_Symbol] :> Simp[B^3/b   Int[1/(A^2 - A*B*x + B^2*x^2), x], x]
      /; FreeQ[{a, b, A, B}, x] && EqQ[a*B^3 - b*A^3, 0]

2399. Int[((A_) + (B_.)*(x_))/((a_) + (b_.)*(x_)^3), x_Symbol] :> With[{r = Numerator[Rt[a/b, 3]], s = Denominator[R
      t[a/b, 3]]}, Simp[(-r)*((B*r - A*s)/(3*a*s))   Int[1/(r + s*x), x], x] + Simp[r/(3*a*s)   Int[(r*(B*r + 2*A*s)
      + s*(B*r - A*s)*x)/(r^2 - r*s*x + s^2*x^2), x], x]] /; FreeQ[{a, b, A, B}, x] && NeQ[a*B^3 - b*A^3, 0] && Pos
      Q[a/b]

2400. Int[((A_) + (B_.)*(x_))/((a_) + (b_.)*(x_)^3), x_Symbol] :> With[{r = Numerator[Rt[-a/b, 3]], s = Denominator[
      Rt[-a/b, 3]]}, Simp[r*((B*r + A*s)/(3*a*s))   Int[1/(r - s*x), x], x] - Simp[r/(3*a*s)   Int[(r*(B*r - 2*A*s)
      - s*(B*r + A*s)*x)/(r^2 + r*s*x + s^2*x^2), x], x]] /; FreeQ[{a, b, A, B}, x] && NeQ[a*B^3 - b*A^3, 0] && NegQ
      [a/b]

2401. Int[(P2_)/((a_) + (b_.)*(x_)^3), x_Symbol] :> With[{A = Coeff[P2, x, 0], B = Coeff[P2, x, 1], C = Coeff[P2, x,
      2]}, Simp[-C^2/b   Int[1/(B - C*x), x], x] /; EqQ[B^2 - A*C, 0] && EqQ[b*B^3 + a*C^3, 0]] /; FreeQ[{a, b}, x]
      && PolyQ[P2, x, 2]

2402. Int[(P2_)/((a_) + (b_.)*(x_)^3), x_Symbol] :> With[{A = Coeff[P2, x, 0], B = Coeff[P2, x, 1], C = Coeff[P2, x,
      2]}, With[{q = a^(1/3)/b^(1/3)}, Simp[C/b   Int[1/(q + x), x], x] + Simp[(B + C*q)/b   Int[1/(q^2 - q*x + x^2
      ), x], x]] /; EqQ[A*b^(2/3) - a^(1/3)*b^(1/3)*B - 2*a^(2/3)*C, 0]] /; FreeQ[{a, b}, x] && PolyQ[P2, x, 2]

2403. Int[(P2_)/((a_) + (b_.)*(x_)^3), x_Symbol] :> With[{A = Coeff[P2, x, 0], B = Coeff[P2, x, 1], C = Coeff[P2, x,
      2]}, With[{q = (-a)^(1/3)/(-b)^(1/3)}, Simp[C/b   Int[1/(q + x), x], x] + Simp[(B + C*q)/b   Int[1/(q^2 - q*x
      + x^2), x], x]] /; EqQ[A*(-b)^(2/3) - (-a)^(1/3)*(-b)^(1/3)*B - 2*(-a)^(2/3)*C, 0]] /; FreeQ[{a, b}, x] && Po
      lyQ[P2, x, 2]

2404. Int[(P2_)/((a_) + (b_.)*(x_)^3), x_Symbol] :> With[{A = Coeff[P2, x, 0], B = Coeff[P2, x, 1], C = Coeff[P2, x,
      2]}, With[{q = (-a)^(1/3)/b^(1/3)}, Simp[-C/b   Int[1/(q - x), x], x] + Simp[(B - C*q)/b   Int[1/(q^2 + q*x +
      x^2), x], x]] /; EqQ[A*b^(2/3) + (-a)^(1/3)*b^(1/3)*B - 2*(-a)^(2/3)*C, 0]] /; FreeQ[{a, b}, x] && PolyQ[P2,
      x, 2]

2405. Int[(P2_)/((a_) + (b_.)*(x_)^3), x_Symbol] :> With[{A = Coeff[P2, x, 0], B = Coeff[P2, x, 1], C = Coeff[P2, x,
      2]}, With[{q = a^(1/3)/(-b)^(1/3)}, Simp[-C/b   Int[1/(q - x), x], x] + Simp[(B - C*q)/b   Int[1/(q^2 + q*x +
      x^2), x], x]] /; EqQ[A*(-b)^(2/3) + a^(1/3)*(-b)^(1/3)*B - 2*a^(2/3)*C, 0]] /; FreeQ[{a, b}, x] && PolyQ[P2,
      x, 2]

2406. Int[(P2_)/((a_) + (b_.)*(x_)^3), x_Symbol] :> With[{A = Coeff[P2, x, 0], B = Coeff[P2, x, 1], C = Coeff[P2, x,
      2]}, With[{q = (a/b)^(1/3)}, Simp[C/b   Int[1/(q + x), x], x] + Simp[(B + C*q)/b   Int[1/(q^2 - q*x + x^2), x
      ], x]] /; EqQ[A - (a/b)^(1/3)*B - 2*(a/b)^(2/3)*C, 0]] /; FreeQ[{a, b}, x] && PolyQ[P2, x, 2]

2407. Int[(P2_)/((a_) + (b_.)*(x_)^3), x_Symbol] :> With[{A = Coeff[P2, x, 0], B = Coeff[P2, x, 1], C = Coeff[P2, x,
      2]}, With[{q = Rt[a/b, 3]}, Simp[C/b   Int[1/(q + x), x], x] + Simp[(B + C*q)/b   Int[1/(q^2 - q*x + x^2), x]
      , x]] /; EqQ[A - Rt[a/b, 3]*B - 2*Rt[a/b, 3]^2*C, 0]] /; FreeQ[{a, b}, x] && PolyQ[P2, x, 2]

2408. Int[(P2_)/((a_) + (b_.)*(x_)^3), x_Symbol] :> With[{A = Coeff[P2, x, 0], B = Coeff[P2, x, 1], C = Coeff[P2, x,
      2]}, With[{q = (-a/b)^(1/3)}, Simp[-C/b   Int[1/(q - x), x], x] + Simp[(B - C*q)/b   Int[1/(q^2 + q*x + x^2),
      x], x]] /; EqQ[A + (-a/b)^(1/3)*B - 2*(-a/b)^(2/3)*C, 0]] /; FreeQ[{a, b}, x] && PolyQ[P2, x, 2]

2409. Int[(P2_)/((a_) + (b_.)*(x_)^3), x_Symbol] :> With[{A = Coeff[P2, x, 0], B = Coeff[P2, x, 1], C = Coeff[P2, x,
      2]}, With[{q = Rt[-a/b, 3]}, Simp[-C/b   Int[1/(q - x), x], x] + Simp[(B - C*q)/b   Int[1/(q^2 + q*x + x^2),
      x], x]] /; EqQ[A + Rt[-a/b, 3]*B - 2*Rt[-a/b, 3]^2*C, 0]] /; FreeQ[{a, b}, x] && PolyQ[P2, x, 2]

2410. Int[(P2_)/((a_) + (b_.)*(x_)^3), x_Symbol] :> With[{A = Coeff[P2, x, 0], B = Coeff[P2, x, 1], C = Coeff[P2, x,
      2]}, Int[(A + B*x)/(a + b*x^3), x] + Simp[C   Int[x^2/(a + b*x^3), x], x] /; EqQ[a*B^3 - b*A^3, 0] ||  !Ratio
      nalQ[a/b]] /; FreeQ[{a, b}, x] && PolyQ[P2, x, 2]

2411. Int[(P2_)/((a_) + (b_.)*(x_)^3), x_Symbol] :> With[{A = Coeff[P2, x, 0], B = Coeff[P2, x, 1], C = Coeff[P2, x,
      2]}, With[{q = (a/b)^(1/3)}, Simp[q^2/a   Int[(A + C*q*x)/(q^2 - q*x + x^2), x], x]] /; EqQ[A - B*(a/b)^(1/3)
      + C*(a/b)^(2/3), 0]] /; FreeQ[{a, b}, x] && PolyQ[P2, x, 2]

2412. Int[(P2_)/((a_) + (b_.)*(x_)^3), x_Symbol] :> With[{A = Coeff[P2, x, 0], B = Coeff[P2, x, 1], C = Coeff[P2, x,
      2]}, With[{q = (-a/b)^(1/3)}, Simp[q/a   Int[(A*q + (A + B*q)*x)/(q^2 + q*x + x^2), x], x]] /; EqQ[A + B*(-a/
      b)^(1/3) + C*(-a/b)^(2/3), 0]] /; FreeQ[{a, b}, x] && PolyQ[P2, x, 2]

2413. Int[(P2_)/((a_) + (b_.)*(x_)^3), x_Symbol] :> With[{A = Coeff[P2, x, 0], B = Coeff[P2, x, 1], C = Coeff[P2, x,
      2], q = (a/b)^(1/3)}, Simp[q*((A - B*q + C*q^2)/(3*a))   Int[1/(q + x), x], x] + Simp[q/(3*a)   Int[(q*(2*A +
      B*q - C*q^2) - (A - B*q - 2*C*q^2)*x)/(q^2 - q*x + x^2), x], x] /; NeQ[a*B^3 - b*A^3, 0] && NeQ[A - B*q + C*q
      ^2, 0]] /; FreeQ[{a, b}, x] && PolyQ[P2, x, 2] && GtQ[a/b, 0]

2414. Int[(P2_)/((a_) + (b_.)*(x_)^3), x_Symbol] :> With[{A = Coeff[P2, x, 0], B = Coeff[P2, x, 1], C = Coeff[P2, x,
      2], q = (-a/b)^(1/3)}, Simp[q*((A + B*q + C*q^2)/(3*a))   Int[1/(q - x), x], x] + Simp[q/(3*a)   Int[(q*(2*A
      - B*q - C*q^2) + (A + B*q - 2*C*q^2)*x)/(q^2 + q*x + x^2), x], x] /; NeQ[a*B^3 - b*A^3, 0] && NeQ[A + B*q + C*
      q^2, 0]] /; FreeQ[{a, b}, x] && PolyQ[P2, x, 2] && LtQ[a/b, 0]

2415. Int[(Pq_)/((a_) + (b_.)*(x_)^(n_)), x_Symbol] :> With[{v = Sum[x^ii*((Coeff[Pq, x, ii] + Coeff[Pq, x, n/2 + ii
      ]*x^(n/2))/(a + b*x^n)), {ii, 0, n/2 - 1}]}, Int[v, x] /; SumQ[v]] /; FreeQ[{a, b}, x] && PolyQ[Pq, x] && IGtQ
      [n/2, 0] && Expon[Pq, x] < n

2416. Int[((c_) + (d_.)*(x_))/Sqrt[(a_) + (b_.)*(x_)^3], x_Symbol] :> With[{r = Numer[Simplify[(1 - Sqrt[3])*(d/c)]]
      , s = Denom[Simplify[(1 - Sqrt[3])*(d/c)]]}, Simp[2*d*s^3*(Sqrt[a + b*x^3]/(a*r^2*((1 + Sqrt[3])*s + r*x))), x
      ] - Simp[3^(1/4)*Sqrt[2 - Sqrt[3]]*d*s*(s + r*x)*(Sqrt[(s^2 - r*s*x + r^2*x^2)/((1 + Sqrt[3])*s + r*x)^2]/(r^2
      *Sqrt[a + b*x^3]*Sqrt[s*((s + r*x)/((1 + Sqrt[3])*s + r*x)^2)]))*EllipticE[ArcSin[((1 - Sqrt[3])*s + r*x)/((1
      + Sqrt[3])*s + r*x)], -7 - 4*Sqrt[3]], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && PosQ[a] && EqQ[b*c^3 - 2*(5 - 3*Sqrt[3
      ])*a*d^3, 0]

2417. Int[((c_) + (d_.)*(x_))/Sqrt[(a_) + (b_.)*(x_)^3], x_Symbol] :> With[{r = Numer[Rt[b/a, 3]], s = Denom[Rt[b/a,
      3]]}, Simp[(c*r - (1 - Sqrt[3])*d*s)/r   Int[1/Sqrt[a + b*x^3], x], x] + Simp[d/r   Int[((1 - Sqrt[3])*s + r*
      x)/Sqrt[a + b*x^3], x], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && PosQ[a] && NeQ[b*c^3 - 2*(5 - 3*Sqrt[3])*a*d^3, 0]

2418. Int[((c_) + (d_.)*(x_))/Sqrt[(a_) + (b_.)*(x_)^3], x_Symbol] :> With[{r = Numer[Simplify[(1 + Sqrt[3])*(d/c)]]
      , s = Denom[Simplify[(1 + Sqrt[3])*(d/c)]]}, Simp[2*d*s^3*(Sqrt[a + b*x^3]/(a*r^2*((1 - Sqrt[3])*s + r*x))), x
      ] + Simp[3^(1/4)*Sqrt[2 + Sqrt[3]]*d*s*(s + r*x)*(Sqrt[(s^2 - r*s*x + r^2*x^2)/((1 - Sqrt[3])*s + r*x)^2]/(r^2
      *Sqrt[a + b*x^3]*Sqrt[(-s)*((s + r*x)/((1 - Sqrt[3])*s + r*x)^2)]))*EllipticE[ArcSin[((1 + Sqrt[3])*s + r*x)/(
      (1 - Sqrt[3])*s + r*x)], -7 + 4*Sqrt[3]], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && NegQ[a] && EqQ[b*c^3 - 2*(5 + 3*Sqr
      t[3])*a*d^3, 0]

2419. Int[((c_) + (d_.)*(x_))/Sqrt[(a_) + (b_.)*(x_)^3], x_Symbol] :> With[{r = Numer[Rt[b/a, 3]], s = Denom[Rt[b/a,
      3]]}, Simp[(c*r - (1 + Sqrt[3])*d*s)/r   Int[1/Sqrt[a + b*x^3], x], x] + Simp[d/r   Int[((1 + Sqrt[3])*s + r*
      x)/Sqrt[a + b*x^3], x], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && NegQ[a] && NeQ[b*c^3 - 2*(5 + 3*Sqrt[3])*a*d^3, 0]

2420. Int[((c_) + (d_.)*(x_)^4)/Sqrt[(a_) + (b_.)*(x_)^6], x_Symbol] :> With[{r = Numer[Rt[b/a, 3]], s = Denom[Rt[b/
      a, 3]]}, Simp[(1 + Sqrt[3])*d*s^3*x*(Sqrt[a + b*x^6]/(2*a*r^2*(s + (1 + Sqrt[3])*r*x^2))), x] - Simp[3^(1/4)*d
      *s*x*(s + r*x^2)*(Sqrt[(s^2 - r*s*x^2 + r^2*x^4)/(s + (1 + Sqrt[3])*r*x^2)^2]/(2*r^2*Sqrt[(r*x^2*(s + r*x^2))/
      (s + (1 + Sqrt[3])*r*x^2)^2]*Sqrt[a + b*x^6]))*EllipticE[ArcCos[(s + (1 - Sqrt[3])*r*x^2)/(s + (1 + Sqrt[3])*r
      *x^2)], (2 + Sqrt[3])/4], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && EqQ[2*Rt[b/a, 3]^2*c - (1 - Sqrt[3])*d, 0]

2421. Int[((c_) + (d_.)*(x_)^4)/Sqrt[(a_) + (b_.)*(x_)^6], x_Symbol] :> With[{q = Rt[b/a, 3]}, Simp[(2*c*q^2 - (1 -
      Sqrt[3])*d)/(2*q^2)   Int[1/Sqrt[a + b*x^6], x], x] + Simp[d/(2*q^2)   Int[(1 - Sqrt[3] + 2*q^2*x^4)/Sqrt[a +
      b*x^6], x], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && NeQ[2*Rt[b/a, 3]^2*c - (1 - Sqrt[3])*d, 0]

2422. Int[((c_) + (d_.)*(x_)^2)/Sqrt[(a_) + (b_.)*(x_)^8], x_Symbol] :> Simp[(-c)*d*x^3*Sqrt[-(c - d*x^2)^2/(c*d*x^2
      )]*(Sqrt[(-d^2)*((a + b*x^8)/(b*c^2*x^4))]/(Sqrt[2 + Sqrt[2]]*(c - d*x^2)*Sqrt[a + b*x^8]))*EllipticF[ArcSin[(
      1/2)*Sqrt[(Sqrt[2]*c^2 + 2*c*d*x^2 + Sqrt[2]*d^2*x^4)/(c*d*x^2)]], -2*(1 - Sqrt[2])], x] /; FreeQ[{a, b, c, d}
      , x] && EqQ[b*c^4 - a*d^4, 0]

2423. Int[((c_) + (d_.)*(x_)^2)/Sqrt[(a_) + (b_.)*(x_)^8], x_Symbol] :> Simp[(d + Rt[b/a, 4]*c)/(2*Rt[b/a, 4])   Int
      [(1 + Rt[b/a, 4]*x^2)/Sqrt[a + b*x^8], x], x] - Simp[(d - Rt[b/a, 4]*c)/(2*Rt[b/a, 4])   Int[(1 - Rt[b/a, 4]*x
      ^2)/Sqrt[a + b*x^8], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && NeQ[b*c^4 - a*d^4, 0]

2424. Int[(Pq_)*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_), x_Symbol] :> Module[{q = Expon[Pq, x], j, k}, Int[Sum[x^j*Sum[Coeff[P
      q, x, j + k*(n/2)]*x^(k*(n/2)), {k, 0, 2*((q - j)/n) + 1}]*(a + b*x^n)^p, {j, 0, n/2 - 1}], x]] /; FreeQ[{a, b
      , p}, x] && PolyQ[Pq, x] && IGtQ[n/2, 0] &&  !PolyQ[Pq, x^(n/2)]

2425. Int[(Pq_)*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_), x_Symbol] :> Simp[Coeff[Pq, x, n - 1]   Int[x^(n - 1)*(a + b*x^n)^p,
      x], x] + Int[ExpandToSum[Pq - Coeff[Pq, x, n - 1]*x^(n - 1), x]*(a + b*x^n)^p, x] /; FreeQ[{a, b, p}, x] && Po
      lyQ[Pq, x] && IGtQ[n, 0] && Expon[Pq, x] == n - 1

2426. Int[(Pq_)/((a_) + (b_.)*(x_)^(n_)), x_Symbol] :> Int[ExpandIntegrand[Pq/(a + b*x^n), x], x] /; FreeQ[{a, b}, x
      ] && PolyQ[Pq, x] && IntegerQ[n]

2427. Int[(Pq_)*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_), x_Symbol] :> With[{q = Expon[Pq, x]}, With[{Pqq = Coeff[Pq, x, q]}, S
      imp[Pqq*x^(q - n + 1)*((a + b*x^n)^(p + 1)/(b*(q + n*p + 1))), x] + Simp[1/(b*(q + n*p + 1))   Int[ExpandToSum
      [b*(q + n*p + 1)*(Pq - Pqq*x^q) - a*Pqq*(q - n + 1)*x^(q - n), x]*(a + b*x^n)^p, x], x]] /; NeQ[q + n*p + 1, 0
      ] && q - n >= 0 && (IntegerQ[2*p] || IntegerQ[p + (q + 1)/(2*n)])] /; FreeQ[{a, b, p}, x] && PolyQ[Pq, x] && I
      GtQ[n, 0]

2428. Int[(Pq_)*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_), x_Symbol] :> With[{q = Expon[Pq, x]}, -Subst[Int[ExpandToSum[x^q*(Pq
      /. x -> x^(-1)), x]*((a + b/x^n)^p/x^(q + 2)), x], x, 1/x]] /; FreeQ[{a, b, p}, x] && PolyQ[Pq, x] && ILtQ[n,
      0]

2429. Int[(Pq_)*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_), x_Symbol] :> With[{g = Denominator[n]}, Simp[g   Subst[Int[x^(g - 1)*
      (Pq /. x -> x^g)*(a + b*x^(g*n))^p, x], x, x^(1/g)], x]] /; FreeQ[{a, b, p}, x] && PolyQ[Pq, x] && FractionQ[n
      ]

2430. Int[((A_) + (B_.)*(x_)^(m_.))*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_.), x_Symbol] :> Simp[A   Int[(a + b*x^n)^p, x], x]
      + Simp[B   Int[x^m*(a + b*x^n)^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, A, B, m, n, p}, x] && EqQ[m - n + 1, 0]

2431. Int[(P3_)*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_), x_Symbol] :> With[{A = Coeff[P3, x^(n/2), 0], B = Coeff[P3, x^(n/2),
      1], C = Coeff[P3, x^(n/2), 2], D = Coeff[P3, x^(n/2), 3]}, Simp[-(x*(b*A - a*C + (b*B - a*D)*x^(n/2))*(a + b*x
      ^n)^(p + 1))/(a*b*n*(p + 1)), x] - Simp[1/(2*a*b*n*(p + 1))   Int[(a + b*x^n)^(p + 1)*Simp[2*a*C - 2*b*A*(n*(p
      + 1) + 1) + (a*D*(n + 2) - b*B*(n*(2*p + 3) + 2))*x^(n/2), x], x], x]] /; FreeQ[{a, b, n}, x] && PolyQ[P3, x^
      (n/2), 3] && ILtQ[p, -1]

2432. Int[(Pq_)*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_.), x_Symbol] :> Int[ExpandIntegrand[Pq*(a + b*x^n)^p, x], x] /; FreeQ[{
      a, b, n, p}, x] && (PolyQ[Pq, x] || PolyQ[Pq, x^n])

2433. Int[(Pq_)*((a_) + (b_.)*(v_)^(n_.))^(p_), x_Symbol] :> Simp[1/Coeff[v, x, 1]   Subst[Int[SubstFor[v, Pq, x]*(a
      + b*x^n)^p, x], x, v], x] /; FreeQ[{a, b, n, p}, x] && LinearQ[v, x] && PolyQ[Pq, v^n]

2434. Int[(Pq_)*((a1_) + (b1_.)*(x_)^(n_.))^(p_.)*((a2_) + (b2_.)*(x_)^(n_.))^(p_.), x_Symbol] :> Int[Pq*(a1*a2 + b1
      *b2*x^(2*n))^p, x] /; FreeQ[{a1, b1, a2, b2, n, p}, x] && PolyQ[Pq, x] && EqQ[a2*b1 + a1*b2, 0] && (IntegerQ[p
      ] || (GtQ[a1, 0] && GtQ[a2, 0]))

2435. Int[(Pq_)*((a1_) + (b1_.)*(x_)^(n_.))^(p_.)*((a2_) + (b2_.)*(x_)^(n_.))^(p_.), x_Symbol] :> Simp[(a1 + b1*x^n)
      ^FracPart[p]*((a2 + b2*x^n)^FracPart[p]/(a1*a2 + b1*b2*x^(2*n))^FracPart[p])   Int[Pq*(a1*a2 + b1*b2*x^(2*n))^
      p, x], x] /; FreeQ[{a1, b1, a2, b2, n, p}, x] && PolyQ[Pq, x] && EqQ[a2*b1 + a1*b2, 0] &&  !(EqQ[n, 1] && Line
      arQ[Pq, x])

2436. Int[((a_) + (b_.)*(x_)^(n_.))^(p_.)*((c_) + (d_.)*(x_)^(n_.))^(p_.)*((e_) + (f_.)*(x_)^(n_.) + (g_.)*(x_)^(n2_
      .)), x_Symbol] :> Simp[e*x*(a + b*x^n)^(p + 1)*((c + d*x^n)^(p + 1)/(a*c)), x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g,
      n, p}, x] && EqQ[n2, 2*n] && EqQ[a*c*f - e*(b*c + a*d)*(n*(p + 1) + 1), 0] && EqQ[a*c*g - b*d*e*(2*n*(p + 1) +
      1), 0]

2437. Int[((a_) + (b_.)*(x_)^(n_.))^(p_.)*((c_) + (d_.)*(x_)^(n_.))^(p_.)*((e_) + (g_.)*(x_)^(n2_.)), x_Symbol] :> S
      imp[e*x*(a + b*x^n)^(p + 1)*((c + d*x^n)^(p + 1)/(a*c)), x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, g, n, p}, x] && EqQ[n2, 2
      *n] && EqQ[n*(p + 1) + 1, 0] && EqQ[a*c*g - b*d*e*(2*n*(p + 1) + 1), 0]

2438. Int[((A_) + (B_.)*(x_)^(m_.))*((a_.) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_.)*((c_) + (d_.)*(x_)^(n_))^(q_.), x_Symbol] :> Sim
      p[A   Int[(a + b*x^n)^p*(c + d*x^n)^q, x], x] + Simp[B   Int[x^m*(a + b*x^n)^p*(c + d*x^n)^q, x], x] /; FreeQ[
      {a, b, c, d, A, B, m, n, p, q}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && EqQ[m - n + 1, 0]

2439. Int[(Px_)^(q_.)*((a_.) + (b_.)*((c_) + (d_.)*(x_))^(n_))^(p_), x_Symbol] :> With[{k = Denominator[n]}, Simp[k/
      d   Subst[Int[SimplifyIntegrand[x^(k - 1)*(Px /. x -> x^k/d - c/d)^q*(a + b*x^(k*n))^p, x], x], x, (c + d*x)^(
      1/k)], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d, p}, x] && PolynomialQ[Px, x] && IntegerQ[q] && FractionQ[n]

2440. Int[(Pq_)*((a_.)*(x_)^(j_.) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_), x_Symbol] :> With[{d = Denominator[n]}, Simp[d   Subst[In
      t[x^(d - 1)*(SubstFor[x^n, Pq, x] /. x -> x^(d*n))*(a*x^(d*j) + b*x^(d*n))^p, x], x, x^(1/d)], x]] /; FreeQ[{a
      , b, j, n, p}, x] && PolyQ[Pq, x^n] &&  !IntegerQ[p] && NeQ[n, j] && RationalQ[j, n] && IntegerQ[j/n] && LtQ[-
      1, n, 1]

2441. Int[(Pq_)*(x_)^(m_.)*((a_.)*(x_)^(j_.) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_), x_Symbol] :> Simp[1/n   Subst[Int[x^(Simplify[
      (m + 1)/n] - 1)*SubstFor[x^n, Pq, x]*(a*x^Simplify[j/n] + b*x)^p, x], x, x^n], x] /; FreeQ[{a, b, j, m, n, p},
      x] && PolyQ[Pq, x^n] &&  !IntegerQ[p] && NeQ[n, j] && IntegerQ[Simplify[j/n]] && IntegerQ[Simplify[(m + 1)/n]
      ]

2442. Int[(Pq_)*((c_)*(x_))^(m_.)*((a_.)*(x_)^(j_.) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_), x_Symbol] :> Simp[c^(Sign[m]*Quotient[m
      , Sign[m]])*((c*x)^Mod[m, Sign[m]]/x^Mod[m, Sign[m]])   Int[x^m*Pq*(a*x^j + b*x^n)^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c
      , j, n, p}, x] && PolyQ[Pq, x^n] &&  !IntegerQ[p] && NeQ[n, j] && IntegerQ[Simplify[j/n]] && IntegerQ[Simplify
      [(m + 1)/n]] && RationalQ[m] && GtQ[m^2, 1]

2443. Int[(Pq_)*((c_)*(x_))^(m_.)*((a_.)*(x_)^(j_.) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_), x_Symbol] :> Simp[(c*x)^m/x^m   Int[x^m
      *Pq*(a*x^j + b*x^n)^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, j, m, n, p}, x] && PolyQ[Pq, x^n] &&  !IntegerQ[p] && NeQ[n,
      j] && IntegerQ[Simplify[j/n]] && IntegerQ[Simplify[(m + 1)/n]]

2444. Int[(Pq_)*(x_)^(m_.)*((a_.)*(x_)^(j_.) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_), x_Symbol] :> With[{g = GCD[m + 1, n]}, Simp[1/
      g   Subst[Int[x^((m + 1)/g - 1)*(Pq /. x -> x^(1/g))*(a*x^(j/g) + b*x^(n/g))^p, x], x, x^g], x] /; NeQ[g, 1]]
      /; FreeQ[{a, b, p}, x] && PolyQ[Pq, x^n] &&  !IntegerQ[p] && IGtQ[j, 0] && IGtQ[n, 0] && IGtQ[j/n, 0] && Integ
      erQ[m]

2445. Int[(Pq_)*((c_.)*(x_))^(m_.)*((a_.)*(x_)^(j_.) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_), x_Symbol] :> With[{q = Expon[Pq, x]},
      With[{Pqq = Coeff[Pq, x, q]}, Int[(c*x)^m*ExpandToSum[Pq - Pqq*x^q - a*Pqq*(m + q - n + 1)*(x^(q - n)/(b*(m +
      q + n*p + 1))), x]*(a*x^j + b*x^n)^p, x] + Simp[Pqq*(c*x)^(m + q - n + 1)*((a*x^j + b*x^n)^(p + 1)/(b*c^(q - n
      + 1)*(m + q + n*p + 1))), x]] /; GtQ[q, n - 1] && NeQ[m + q + n*p + 1, 0] && (IntegerQ[2*p] || IntegerQ[p + (
      q + 1)/(2*n)])] /; FreeQ[{a, b, c, m, p}, x] && PolyQ[Pq, x] &&  !IntegerQ[p] && IGtQ[j, 0] && IGtQ[n, 0] && L
      tQ[j, n]

2446. Int[(Pq_)*(x_)^(m_.)*((a_.)*(x_)^(j_.) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_), x_Symbol] :> Simp[1/(m + 1)   Subst[Int[(Subst
      For[x^n, Pq, x] /. x -> x^Simplify[n/(m + 1)])*(a*x^Simplify[j/(m + 1)] + b*x^Simplify[n/(m + 1)])^p, x], x, x
      ^(m + 1)], x] /; FreeQ[{a, b, j, m, n, p}, x] && PolyQ[Pq, x^n] &&  !IntegerQ[p] && NeQ[n, j] && IntegerQ[Simp
      lify[j/n]] && IntegerQ[Simplify[n/(m + 1)]] &&  !IntegerQ[n]

2447. Int[(Pq_)*((c_)*(x_))^(m_)*((a_.)*(x_)^(j_.) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_), x_Symbol] :> Simp[c^(Sign[m]*Quotient[m,
      Sign[m]])*((c*x)^Mod[m, Sign[m]]/x^Mod[m, Sign[m]])   Int[x^m*Pq*(a*x^j + b*x^n)^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c,
      j, n, p}, x] && PolyQ[Pq, x^n] &&  !IntegerQ[p] && NeQ[n, j] && IntegerQ[Simplify[j/n]] && IntegerQ[Simplify[
      n/(m + 1)]] &&  !IntegerQ[n] && GtQ[m^2, 1]

2448. Int[(Pq_)*((c_)*(x_))^(m_)*((a_.)*(x_)^(j_.) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_), x_Symbol] :> Simp[(c*x)^m/x^m   Int[x^m*
      Pq*(a*x^j + b*x^n)^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, j, m, n, p}, x] && PolyQ[Pq, x^n] &&  !IntegerQ[p] && NeQ[n, j
      ] && IntegerQ[Simplify[j/n]] && IntegerQ[Simplify[n/(m + 1)]] &&  !IntegerQ[n]

2449. Int[(Pq_)*((c_.)*(x_))^(m_.)*((a_.)*(x_)^(j_.) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_), x_Symbol] :> Int[ExpandIntegrand[(c*x)
      ^m*Pq*(a*x^j + b*x^n)^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, j, m, n, p}, x] && (PolyQ[Pq, x] || PolyQ[Pq, x^n]) &&  !In
      tegerQ[p] && NeQ[n, j]

2450. Int[(Pq_)*((a_.)*(x_)^(j_.) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_), x_Symbol] :> Int[ExpandIntegrand[Pq*(a*x^j + b*x^n)^p, x]
      , x] /; FreeQ[{a, b, j, n, p}, x] && (PolyQ[Pq, x] || PolyQ[Pq, x^n]) &&  !IntegerQ[p] && NeQ[n, j]

2451. Int[(Pq_)*(u_)^(p_.)*((c_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Int[(c*x)^m*Pq*ExpandToSum[u, x]^p, x] /; FreeQ[{c, m, p
      }, x] && PolyQ[Pq, x] && BinomialQ[u, x] &&  !BinomialMatchQ[u, x]

2452. Int[(Pq_)*(u_)^(p_.), x_Symbol] :> Int[Pq*ExpandToSum[u, x]^p, x] /; FreeQ[p, x] && PolyQ[Pq, x] && QuadraticQ
      [u, x] &&  !QuadraticMatchQ[u, x]

2453. Int[(Pq_)*(u_)^(m_.)*(v_)^(p_.), x_Symbol] :> Int[ExpandToSum[u, x]^m*Pq*ExpandToSum[v, x]^p, x] /; FreeQ[{m,
      p}, x] && PolyQ[Pq, x] && LinearQ[u, x] && QuadraticQ[v, x] &&  !(LinearMatchQ[u, x] && QuadraticMatchQ[v, x])

2454. Int[(Pq_)*(u_)^(p_.), x_Symbol] :> Int[Pq*ExpandToSum[u, x]^p, x] /; FreeQ[p, x] && PolyQ[Pq, x] && TrinomialQ
      [u, x] &&  !TrinomialMatchQ[u, x]

2455. Int[(Pq_)*(u_)^(p_.)*((d_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Int[(d*x)^m*Pq*ExpandToSum[u, x]^p, x] /; FreeQ[{d, m, p
      }, x] && PolyQ[Pq, x] && TrinomialQ[u, x] &&  !TrinomialMatchQ[u, x]

2456. Int[(u_.)*(Px_)^(p_)*(Qx_)^(q_), x_Symbol] :> Module[{Rx = PolyGCD[Px, Qx, x]}, Int[u*Rx^(p + q)*PolynomialQuo
      tient[Px, Rx, x]^p*PolynomialQuotient[Qx, Rx, x]^q, x] /; NeQ[Rx, 1]] /; IGtQ[p, 0] && ILtQ[q, 0] && PolyQ[Px,
      x] && PolyQ[Qx, x]

2457. Int[(u_.)*(Px_)*(Qx_)^(q_), x_Symbol] :> Module[{Rx = PolyGCD[Px, Qx, x]}, Int[u*Rx^(q + 1)*PolynomialQuotient
      [Px, Rx, x]*PolynomialQuotient[Qx, Rx, x]^q, x] /; NeQ[Rx, 1]] /; ILtQ[q, 0] && PolyQ[Px, x] && PolyQ[Qx, x]

2458. Int[(Pn_)^(p_.), x_Symbol] :> With[{S = Coeff[Pn, x, Expon[Pn, x] - 1]/(Expon[Pn, x]*Coeff[Pn, x, Expon[Pn, x]
      ])}, Subst[Int[ExpandToSum[Pn /. x -> x - S, x]^p, x], x, x + S] /; BinomialQ[Pn /. x -> x - S, x] || (Integer
      Q[Expon[Pn, x]/2] && TrinomialQ[Pn /. x -> x - S, x])] /; FreeQ[p, x] && PolyQ[Pn, x] && GtQ[Expon[Pn, x], 2]
      && NeQ[Coeff[Pn, x, Expon[Pn, x] - 1], 0]

2459. Int[(Pn_)^(p_.)*(Qx_), x_Symbol] :> With[{S = Coeff[Pn, x, Expon[Pn, x] - 1]/(Expon[Pn, x]*Coeff[Pn, x, Expon[
      Pn, x]])}, Subst[Int[ExpandToSum[Pn /. x -> x - S, x]^p*ExpandToSum[Qx /. x -> x - S, x], x], x, x + S] /; Bin
      omialQ[Pn /. x -> x - S, x] || (IntegerQ[Expon[Pn, x]/2] && TrinomialQ[Pn /. x -> x - S, x])] /; FreeQ[p, x] &
      & PolyQ[Pn, x] && GtQ[Expon[Pn, x], 2] && NeQ[Coeff[Pn, x, Expon[Pn, x] - 1], 0] && PolyQ[Qx, x] &&  !(Monomia
      lQ[Qx, x] && IGtQ[p, 0])

2460. Int[(u_.)*(Px_)^(p_), x_Symbol] :> With[{Qx = Factor[Px /. x -> Sqrt[x]]}, Int[ExpandIntegrand[u*(Qx /. x -> x
      ^2)^p, x], x] /;  !SumQ[NonfreeFactors[Qx, x]]] /; PolyQ[Px, x^2] && GtQ[Expon[Px, x], 2] &&  !BinomialQ[Px, x
      ] &&  !TrinomialQ[Px, x] && ILtQ[p, 0] && RationalFunctionQ[u, x]

2461. Int[(u_.)*(Px_)^(p_), x_Symbol] :> With[{Qx = Factor[Px /. x -> Sqrt[x]]}, Int[ExpandIntegrand[u, (Qx /. x ->
      x^2)^p, x], x] /;  !SumQ[NonfreeFactors[Qx, x]]] /; PolyQ[Px, x^2] && GtQ[Expon[Px, x], 2] &&  !BinomialQ[Px,
      x] &&  !TrinomialQ[Px, x] && ILtQ[p, 0]

2462. Int[(u_.)*(Px_)^(p_), x_Symbol] :> With[{Qx = Factor[Px]}, Int[ExpandIntegrand[u*Qx^p, x], x] /;  !SumQ[Nonfre
      eFactors[Qx, x]]] /; PolyQ[Px, x] && GtQ[Expon[Px, x], 2] &&  !BinomialQ[Px, x] &&  !TrinomialQ[Px, x] && ILtQ
      [p, 0] && RationalFunctionQ[u, x]

2463. Int[(u_.)*(Px_)^(p_), x_Symbol] :> With[{Qx = Factor[Px]}, Int[ExpandIntegrand[u, Qx^p, x], x] /;  !SumQ[Nonfr
      eeFactors[Qx, x]]] /; PolyQ[Px, x] && GtQ[Expon[Px, x], 2] &&  !BinomialQ[Px, x] &&  !TrinomialQ[Px, x] && ILt
      Q[p, 0]

2464. Int[(u_.)*(Px_)^(p_), x_Symbol] :> With[{Qx = Factor[Px]}, Int[u*Qx^p, x] /;  !SumQ[NonfreeFactors[Qx, x]]] /;
      PolyQ[Px, x] && GtQ[Expon[Px, x], 2] &&  !BinomialQ[Px, x] &&  !TrinomialQ[Px, x] && IGtQ[p, 1]

2465. Int[(u_.)*(Px_)^(p_), x_Symbol] :> Int[ExpandToSum[u, Px^p, x], x] /; PolyQ[Px, x] && GtQ[Expon[Px, x], 2] &&
      !BinomialQ[Px, x] &&  !TrinomialQ[Px, x] && IGtQ[p, 0]

2466. Int[(u_.)*(Q6_)^(p_), x_Symbol] :> With[{a = Coeff[Q6, x, 0], b = Coeff[Q6, x, 2], c = Coeff[Q6, x, 3], d = Co
      eff[Q6, x, 4], e = Coeff[Q6, x, 6]}, Simp[1/(3^(3*p)*a^(2*p))   Int[ExpandIntegrand[u*(3*a + 3*Rt[a, 3]^2*Rt[c
      , 3]*x + b*x^2)^p*(3*a - 3*(-1)^(1/3)*Rt[a, 3]^2*Rt[c, 3]*x + b*x^2)^p*(3*a + 3*(-1)^(2/3)*Rt[a, 3]^2*Rt[c, 3]
      *x + b*x^2)^p, x], x], x] /; EqQ[b^2 - 3*a*d, 0] && EqQ[b^3 - 27*a^2*e, 0]] /; ILtQ[p, 0] && PolyQ[Q6, x, 6] &
      & EqQ[Coeff[Q6, x, 1], 0] && EqQ[Coeff[Q6, x, 5], 0] && RationalFunctionQ[u, x]

2467. Int[(Fx_.)*(Px_)^(p_), x_Symbol] :> With[{r = Expon[Px, x, Min]}, Simp[Px^FracPart[p]/(x^(r*FracPart[p])*Expan
      dToSum[Px/x^r, x]^FracPart[p])   Int[x^(p*r)*ExpandToSum[Px/x^r, x]^p*Fx, x], x] /; IGtQ[r, 0]] /; FreeQ[p, x]
      && PolyQ[Px, x] &&  !IntegerQ[p] &&  !MonomialQ[Px, x] &&  !PolyQ[Fx, x]

2468. Int[(Fx_.)*((a_.)*(x_)^(r_.) + (b_.)*(x_)^(s_.))^(p_), x_Symbol] :> Simp[(a*x^r + b*x^s)^p/(x^(p*r)*(a + b*x^(
      s - r))^p)   Int[x^(p*r)*(a + b*x^(s - r))^p*Fx, x], x] /; FreeQ[{a, b, p, r, s}, x] &&  !IntegerQ[p] && PosQ[
      s - r] &&  !(EqQ[p, 1] && EqQ[Fx, 1])

2469. Int[(Fx_.)*((a_.)*(x_)^(r_.) + (b_.)*(x_)^(s_.) + (c_.)*(x_)^(t_.))^(p_), x_Symbol] :> Simp[(a*x^r + b*x^s + c
      *x^t)^p/(x^(p*r)*(a + b*x^(s - r) + c*x^(t - r))^p)   Int[x^(p*r)*(a + b*x^(s - r) + c*x^(t - r))^p*Fx, x], x]
      /; FreeQ[{a, b, c, p, r, s, t}, x] &&  !IntegerQ[p] && PosQ[s - r] && PosQ[t - r] &&  !(EqQ[p, 1] && EqQ[Fx,
      1])

2470. Int[(Fx_.)*((d_.)*(x_)^(q_.) + (a_.)*(x_)^(r_.) + (b_.)*(x_)^(s_.) + (c_.)*(x_)^(t_.))^(p_), x_Symbol] :> Simp
      [(a*x^r + b*x^s + c*x^t + d*x^q)^p/(x^(p*r)*(a + b*x^(s - r) + c*x^(t - r) + d*x^(q - r))^p)   Int[x^(p*r)*(a
      + b*x^(s - r) + c*x^(t - r) + d*x^(q - r))^p*Fx, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, p, r, s, t, q}, x] &&  !IntegerQ
      [p] && PosQ[s - r] && PosQ[t - r] && PosQ[q - r] &&  !(EqQ[p, 1] && EqQ[Fx, 1])

2471. Int[(u_.)*(Px_)^(p_), x_Symbol] :> With[{b = Coeff[Px, x, 1], c = Coeff[Px, x, 2], d = Coeff[Px, x, 3]}, Simp[
      Px^FracPart[p]/(x^FracPart[p]*(b + c*x + d*x^2)^FracPart[p])   Int[u*x^p*(b + c*x + d*x^2)^p, x], x]] /; FreeQ
      [p, x] && PolyQ[Px, x, 3] && EqQ[Coeff[Px, x, 0], 0] &&  !IntegerQ[p]

2472. Int[((a_.) + (b_.)*(x_) + (d_.)*(x_)^3)^(p_), x_Symbol] :> Simp[1/(3^(3*p)*a^(2*p))   Int[(3*a - b*x)^p*(3*a +
      2*b*x)^(2*p), x], x] /; FreeQ[{a, b, d}, x] && EqQ[4*b^3 + 27*a^2*d, 0] && IntegerQ[p]

2473. Int[((a_.) + (b_.)*(x_) + (d_.)*(x_)^3)^(p_), x_Symbol] :> Simp[(a + b*x + d*x^3)^p/((3*a - b*x)^p*(3*a + 2*b*
      x)^(2*p))   Int[(3*a - b*x)^p*(3*a + 2*b*x)^(2*p), x], x] /; FreeQ[{a, b, d, p}, x] && EqQ[4*b^3 + 27*a^2*d, 0
      ] &&  !IntegerQ[p]

2474. Int[((a_.) + (b_.)*(x_) + (d_.)*(x_)^3)^(p_), x_Symbol] :> With[{r = Rt[-9*a*d^2 + Sqrt[3]*d*Sqrt[4*b^3*d + 27
      *a^2*d^2], 3]}, Simp[1/d^(2*p)   Int[Simp[18^(1/3)*b*(d/(3*r)) - r/18^(1/3) + d*x, x]^p*Simp[b*(d/3) + 12^(1/3
      )*b^2*(d^2/(3*r^2)) + r^2/(3*12^(1/3)) - d*(2^(1/3)*b*(d/(3^(1/3)*r)) - r/18^(1/3))*x + d^2*x^2, x]^p, x], x]]
      /; FreeQ[{a, b, d}, x] && NeQ[4*b^3 + 27*a^2*d, 0] && IntegerQ[p]

2475. Int[((a_.) + (b_.)*(x_) + (d_.)*(x_)^3)^(p_), x_Symbol] :> With[{r = Rt[-9*a*d^2 + Sqrt[3]*d*Sqrt[4*b^3*d + 27
      *a^2*d^2], 3]}, Simp[(a + b*x + d*x^3)^p/(Simp[18^(1/3)*b*(d/(3*r)) - r/18^(1/3) + d*x, x]^p*Simp[b*(d/3) + 12
      ^(1/3)*b^2*(d^2/(3*r^2)) + r^2/(3*12^(1/3)) - d*(2^(1/3)*b*(d/(3^(1/3)*r)) - r/18^(1/3))*x + d^2*x^2, x]^p)
      Int[Simp[18^(1/3)*b*(d/(3*r)) - r/18^(1/3) + d*x, x]^p*Simp[b*(d/3) + 12^(1/3)*b^2*(d^2/(3*r^2)) + r^2/(3*12^(
      1/3)) - d*(2^(1/3)*b*(d/(3^(1/3)*r)) - r/18^(1/3))*x + d^2*x^2, x]^p, x], x]] /; FreeQ[{a, b, d, p}, x] && NeQ
      [4*b^3 + 27*a^2*d, 0] &&  !IntegerQ[p]

2476. Int[(Px_)^(p_), x_Symbol] :> With[{a = Coeff[Px, x, 0], b = Coeff[Px, x, 1], c = Coeff[Px, x, 2], d = Coeff[Px
      , x, 3]}, Simp[1/d^p   Int[(c + d*x)^p*(b + d*x^2)^p, x], x] /; EqQ[b*c - a*d, 0]] /; PolyQ[Px, x, 3] && Integ
      erQ[p]

2477. Int[(Px_)^(p_), x_Symbol] :> With[{a = Coeff[Px, x, 0], b = Coeff[Px, x, 1], c = Coeff[Px, x, 2], d = Coeff[Px
      , x, 3]}, Simp[Px^p/((c + d*x)^p*(b + d*x^2)^p)   Int[(c + d*x)^p*(b + d*x^2)^p, x], x] /; EqQ[b*c - a*d, 0]]
      /; FreeQ[p, x] && PolyQ[Px, x, 3] &&  !IntegerQ[p]

2478. Int[(Px_)^(p_), x_Symbol] :> With[{a = Coeff[Px, x, 0], b = Coeff[Px, x, 1], c = Coeff[Px, x, 2], d = Coeff[Px
      , x, 3]}, Subst[Int[Simp[a - b^2/(3*c) + d*x^3, x]^p, x], x, c/(3*d) + x] /; EqQ[c^2 - 3*b*d, 0]] /; FreeQ[p,
      x] && PolyQ[Px, x, 3]

2479. Int[(Px_)^(p_), x_Symbol] :> With[{a = Coeff[Px, x, 0], b = Coeff[Px, x, 1], c = Coeff[Px, x, 2], d = Coeff[Px
      , x, 3]}, Simp[1/(4^p*(c^2 - 3*b*d)^(3*p))   Int[(c^3 - 4*b*c*d + 9*a*d^2 + d*(c^2 - 3*b*d)*x)^p*(b*c - 9*a*d
      + 2*(c^2 - 3*b*d)*x)^(2*p), x], x] /; EqQ[b^2*c^2 - 4*a*c^3 - 4*b^3*d + 18*a*b*c*d - 27*a^2*d^2, 0] && NeQ[c^2
      - 3*b*d, 0]] /; FreeQ[p, x] && PolyQ[Px, x, 3] && IntegerQ[p]

2480. Int[(Px_)^(p_), x_Symbol] :> With[{a = Coeff[Px, x, 0], b = Coeff[Px, x, 1], c = Coeff[Px, x, 2], d = Coeff[Px
      , x, 3]}, Simp[Px^p/((c^3 - 4*b*c*d + 9*a*d^2 + d*(c^2 - 3*b*d)*x)^p*(b*c - 9*a*d + 2*(c^2 - 3*b*d)*x)^(2*p))
      Int[(c^3 - 4*b*c*d + 9*a*d^2 + d*(c^2 - 3*b*d)*x)^p*(b*c - 9*a*d + 2*(c^2 - 3*b*d)*x)^(2*p), x], x] /; EqQ[b
      ^2*c^2 - 4*a*c^3 - 4*b^3*d + 18*a*b*c*d - 27*a^2*d^2, 0] && NeQ[c^2 - 3*b*d, 0]] /; FreeQ[p, x] && PolyQ[Px, x
      , 3] &&  !IntegerQ[p]

2481. Int[(Px_)^(p_), x_Symbol] :> With[{a = Coeff[Px, x, 0], b = Coeff[Px, x, 1], c = Coeff[Px, x, 2], d = Coeff[Px
      , x, 3]}, Subst[Int[Simp[(2*c^3 - 9*b*c*d + 27*a*d^2)/(27*d^2) - (c^2 - 3*b*d)*(x/(3*d)) + d*x^3, x]^p, x], x,
      c/(3*d) + x]] /; FreeQ[p, x] && PolyQ[Px, x, 3]

2482. Int[((e_.) + (f_.)*(x_))^(m_.)*((a_) + (b_.)*(x_) + (d_.)*(x_)^3)^(p_.), x_Symbol] :> Simp[1/(3^(3*p)*a^(2*p))
      Int[(e + f*x)^m*(3*a - b*x)^p*(3*a + 2*b*x)^(2*p), x], x] /; FreeQ[{a, b, d, e, f, m}, x] && EqQ[4*b^3 + 27
      *a^2*d, 0] && IntegerQ[p]

2483. Int[((e_.) + (f_.)*(x_))^(m_.)*((a_) + (b_.)*(x_) + (d_.)*(x_)^3)^(p_), x_Symbol] :> Simp[(a + b*x + d*x^3)^p/
      ((3*a - b*x)^p*(3*a + 2*b*x)^(2*p))   Int[(e + f*x)^m*(3*a - b*x)^p*(3*a + 2*b*x)^(2*p), x], x] /; FreeQ[{a, b
      , d, e, f, m, p}, x] && EqQ[4*b^3 + 27*a^2*d, 0] &&  !IntegerQ[p]

2484. Int[((e_.) + (f_.)*(x_))^(m_.)*((a_) + (b_.)*(x_) + (d_.)*(x_)^3)^(p_.), x_Symbol] :> Int[ExpandIntegrand[(e +
      f*x)^m*(a + b*x + d*x^3)^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, d, e, f, m}, x] && NeQ[4*b^3 + 27*a^2*d, 0] && IGtQ[p, 0]

2485. Int[((e_.) + (f_.)*(x_))^(m_.)*((a_) + (b_.)*(x_) + (d_.)*(x_)^3)^(p_), x_Symbol] :> With[{r = Rt[-9*a*d^2 + S
      qrt[3]*d*Sqrt[4*b^3*d + 27*a^2*d^2], 3]}, Simp[1/d^(2*p)   Int[(e + f*x)^m*Simp[18^(1/3)*b*(d/(3*r)) - r/18^(1
      /3) + d*x, x]^p*Simp[b*(d/3) + 12^(1/3)*b^2*(d^2/(3*r^2)) + r^2/(3*12^(1/3)) - d*(2^(1/3)*b*(d/(3^(1/3)*r)) -
      r/18^(1/3))*x + d^2*x^2, x]^p, x], x]] /; FreeQ[{a, b, d, e, f, m}, x] && NeQ[4*b^3 + 27*a^2*d, 0] && ILtQ[p,
      0]

2486. Int[((e_.) + (f_.)*(x_))^(m_.)*((a_) + (b_.)*(x_) + (d_.)*(x_)^3)^(p_), x_Symbol] :> With[{r = Rt[-9*a*d^2 + S
      qrt[3]*d*Sqrt[4*b^3*d + 27*a^2*d^2], 3]}, Simp[(a + b*x + d*x^3)^p/(Simp[18^(1/3)*b*(d/(3*r)) - r/18^(1/3) + d
      *x, x]^p*Simp[b*(d/3) + 12^(1/3)*b^2*(d^2/(3*r^2)) + r^2/(3*12^(1/3)) - d*(2^(1/3)*b*(d/(3^(1/3)*r)) - r/18^(1
      /3))*x + d^2*x^2, x]^p)   Int[(e + f*x)^m*Simp[18^(1/3)*b*(d/(3*r)) - r/18^(1/3) + d*x, x]^p*Simp[b*(d/3) + 12
      ^(1/3)*b^2*(d^2/(3*r^2)) + r^2/(3*12^(1/3)) - d*(2^(1/3)*b*(d/(3^(1/3)*r)) - r/18^(1/3))*x + d^2*x^2, x]^p, x]
      , x]] /; FreeQ[{a, b, d, e, f, m, p}, x] && NeQ[4*b^3 + 27*a^2*d, 0] &&  !IntegerQ[p]

2487. Int[((e_.) + (f_.)*(x_))^(m_.)*((a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2 + (d_.)*(x_)^3)^(p_), x_Symbol] :> Subst[Int
      [((3*d*e - c*f)/(3*d) + f*x)^m*Simp[a - b^2/(3*c) + d*x^3, x]^p, x], x, x + c/(3*d)] /; FreeQ[{a, b, c, d, e,
      f, m, p}, x] && EqQ[c^2 - 3*b*d, 0]

2488. Int[((e_.) + (f_.)*(x_))^(m_.)*((a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2 + (d_.)*(x_)^3)^(p_), x_Symbol] :> Simp[1/(4
      ^p*(c^2 - 3*b*d)^(3*p))   Int[(e + f*x)^m*(c^3 - 4*b*c*d + 9*a*d^2 + d*(c^2 - 3*b*d)*x)^p*(b*c - 9*a*d + 2*(c^
      2 - 3*b*d)*x)^(2*p), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m, p}, x] && NeQ[c^2 - 3*b*d, 0] && EqQ[b^2*c^2 - 4*a*
      c^3 - 4*b^3*d + 18*a*b*c*d - 27*a^2*d^2, 0] && ILtQ[p, 0]

2489. Int[((e_.) + (f_.)*(x_))^(m_.)*((a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2 + (d_.)*(x_)^3)^(p_), x_Symbol] :> Simp[(a +
      b*x + c*x^2 + d*x^3)^p/((c^3 - 4*b*c*d + 9*a*d^2 + d*(c^2 - 3*b*d)*x)^p*(b*c - 9*a*d + 2*(c^2 - 3*b*d)*x)^(2*
      p))   Int[(e + f*x)^m*(c^3 - 4*b*c*d + 9*a*d^2 + d*(c^2 - 3*b*d)*x)^p*(b*c - 9*a*d + 2*(c^2 - 3*b*d)*x)^(2*p),
      x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m, p}, x] && NeQ[c^2 - 3*b*d, 0] && EqQ[b^2*c^2 - 4*a*c^3 - 4*b^3*d + 18*a
      *b*c*d - 27*a^2*d^2, 0] &&  !IntegerQ[p]

2490. Int[(P3_)^(p_.)*((e_.) + (f_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> With[{a = Coeff[P3, x, 0], b = Coeff[P3, x, 1], c = C
      oeff[P3, x, 2], d = Coeff[P3, x, 3]}, Subst[Int[((3*d*e - c*f)/(3*d) + f*x)^m*Simp[(2*c^3 - 9*b*c*d + 27*a*d^2
      )/(27*d^2) - (c^2 - 3*b*d)*(x/(3*d)) + d*x^3, x]^p, x], x, x + c/(3*d)] /; NeQ[c, 0]] /; FreeQ[{e, f, m, p}, x
      ] && PolyQ[P3, x, 3]

2491. Int[(u_.)*(Px_)^(p_), x_Symbol] :> With[{b = Coeff[Px, x, 1], c = Coeff[Px, x, 2], d = Coeff[Px, x, 3], e = Co
      eff[Px, x, 4]}, Simp[Px^FracPart[p]/(x^FracPart[p]*(b + c*x + d*x^2 + e*x^3)^FracPart[p])   Int[u*x^p*(b + c*x
      + d*x^2 + e*x^3)^p, x], x]] /; FreeQ[p, x] && PolyQ[Px, x, 4] && EqQ[Coeff[Px, x, 0], 0] &&  !IntegerQ[p]

2492. Int[(Px_.)*((a_) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2 + (d_.)*(x_)^3 + (e_.)*(x_)^4)^(p_), x_Symbol] :> Simp[e^p   Int[
      ExpandIntegrand[Px*(b/d + ((d + Sqrt[e*((b^2 - 4*a*c)/a) + 8*a*d*(e/b)])/(2*e))*x + x^2)^p*(b/d + ((d - Sqrt[e
      *((b^2 - 4*a*c)/a) + 8*a*d*(e/b)])/(2*e))*x + x^2)^p, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && PolyQ[Px, x]
      && ILtQ[p, 0] && EqQ[a*d^2 - b^2*e, 0]

2493. Int[(Px_.)*((a_) + (b_.)*(x_) + (d_.)*(x_)^3 + (e_.)*(x_)^4)^(p_), x_Symbol] :> Simp[e^p   Int[ExpandIntegrand
      [Px*(b/d + ((d + Sqrt[d^2 + 8*a*d*(e/b)])/(2*e))*x + x^2)^p*(b/d + ((d - Sqrt[d^2 + 8*a*d*(e/b)])/(2*e))*x + x
      ^2)^p, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, d, e}, x] && PolyQ[Px, x] && ILtQ[p, 0] && EqQ[a*d^2 - b^2*e, 0]

2494. Int[(Px_.)*((a_) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2 + (d_.)*(x_)^3 + (e_.)*(x_)^4)^(p_), x_Symbol] :> With[{S = Root[
      a*d^2 - b^2*e + (b*d^2 - 4*b*c*e + 8*a*d*e)*x + (c*d^2 - 4*c^2*e + 2*b*d*e + 16*a*e^2)*x^2 + (d^3 - 4*c*d*e +
      8*b*e^2)*x^3, 3]}, Subst[Int[(Px /. x -> x + S)*ExpandToSum[a + b*(x + S) + c*(x + S)^2 + d*(x + S)^3 + e*(x +
      S)^4, x]^p, x], x, x - S] /; RationalQ[S]] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && PolyQ[Px, x] && ILtQ[p, 0] && Rati
      onalQ[a, b, c, d, e] && NeQ[a*d^2 - b^2*e, 0]

2495. Int[(Px_.)*((a_) + (b_.)*(x_) + (d_.)*(x_)^3 + (e_.)*(x_)^4)^(p_), x_Symbol] :> With[{S = Root[a*d^2 - b^2*e +
      (b*d^2 + 8*a*d*e)*x + (2*b*d*e + 16*a*e^2)*x^2 + (d^3 + 8*b*e^2)*x^3, 3]}, Subst[Int[(Px /. x -> x + S)*Expan
      dToSum[a + b*(x + S) + d*(x + S)^3 + e*(x + S)^4, x]^p, x], x, x - S] /; RationalQ[S]] /; FreeQ[{a, b, d, e},
      x] && PolyQ[Px, x] && ILtQ[p, 0] && RationalQ[a, b, d, e] && NeQ[a*d^2 - b^2*e, 0]

2496. Int[(Px_.)*(x_)^(m_.)*((a_) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2 + (d_.)*(x_)^3 + (e_.)*(x_)^4)^(p_), x_Symbol] :> Simp
      [e^p   Int[ExpandIntegrand[x^m*Px*(b/d + ((d + Sqrt[e*((b^2 - 4*a*c)/a) + 8*a*d*(e/b)])/(2*e))*x + x^2)^p*(b/d
      + ((d - Sqrt[e*((b^2 - 4*a*c)/a) + 8*a*d*(e/b)])/(2*e))*x + x^2)^p, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, m}, x
      ] && PolyQ[Px, x] && ILtQ[p, 0] && EqQ[a*d^2 - b^2*e, 0]

2497. Int[(Px_.)*(x_)^(m_.)*((a_) + (b_.)*(x_) + (d_.)*(x_)^3 + (e_.)*(x_)^4)^(p_), x_Symbol] :> Simp[e^p   Int[Expa
      ndIntegrand[x^m*Px*(b/d + ((d + Sqrt[d^2 + 8*a*d*(e/b)])/(2*e))*x + x^2)^p*(b/d + ((d - Sqrt[d^2 + 8*a*d*(e/b)
      ])/(2*e))*x + x^2)^p, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, d, e, m}, x] && PolyQ[Px, x] && ILtQ[p, 0] && EqQ[a*d^2 - b^2
      *e, 0]

2498. Int[(Px_.)*((a_) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2 + (d_.)*(x_)^3 + (e_.)*(x_)^4)^(p_), x_Symbol] :> Simp[1/a^(3*p)
      Int[ExpandIntegrand[Px*((a^5 - b^5*x^5)^p/(a - b*x)^p), x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && PolyQ[Px,
      x] && ILtQ[p, 0] && NeQ[a, 0] && EqQ[c, b^2/a] && EqQ[d, b^3/a^2] && EqQ[e, b^4/a^3]

2499. Int[(Px_.)*(x_)^(m_.)*((a_) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2 + (d_.)*(x_)^3 + (e_.)*(x_)^4)^(p_), x_Symbol] :> Simp
      [1/a^(3*p)   Int[ExpandIntegrand[x^m*Px*((a^5 - b^5*x^5)^p/(a - b*x)^p), x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, m
      }, x] && PolyQ[Px, x] && ILtQ[p, 0] && NeQ[a, 0] && EqQ[c, b^2/a] && EqQ[d, b^3/a^2] && EqQ[e, b^4/a^3]

2500. Int[((A_.) + (B_.)*(x_) + (C_.)*(x_)^2)/((a_) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2 + (d_.)*(x_)^3 + (e_.)*(x_)^4), x_Sy
      mbol] :> With[{q = Rt[C*(2*e*(B*d - 4*A*e) + C*(d^2 - 4*c*e)), 2]}, Simp[-2*(C^2/q)*ArcTanh[(C*d - B*e + 2*C*e
      *x)/q], x] + Simp[2*(C^2/q)*ArcTanh[C*((4*B*c*C - 3*B^2*d - 4*A*C*d + 12*A*B*e + 4*C*(2*c*C - B*d + 2*A*e)*x +
      4*C*(2*C*d - B*e)*x^2 + 8*C^2*e*x^3)/(q*(B^2 - 4*A*C)))], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, A, B, C}, x] && EqQ[B^
      2*d + 2*C*(b*C + A*d) - 2*B*(c*C + 2*A*e), 0] && EqQ[2*B^2*c*C - 8*a*C^3 - B^3*d - 4*A*B*C*d + 4*A*(B^2 + 2*A*
      C)*e, 0] && PosQ[C*(2*e*(B*d - 4*A*e) + C*(d^2 - 4*c*e))]

2501. Int[((A_.) + (C_.)*(x_)^2)/((a_) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2 + (d_.)*(x_)^3 + (e_.)*(x_)^4), x_Symbol] :> With
      [{q = Rt[C*(-8*A*e^2 + C*(d^2 - 4*c*e)), 2]}, Simp[-2*(C^2/q)*ArcTanh[C*((d + 2*e*x)/q)], x] + Simp[2*(C^2/q)*
      ArcTanh[C*((A*d - 2*(c*C + A*e)*x - 2*C*d*x^2 - 2*C*e*x^3)/(A*q))], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, A, C}, x] &&
      EqQ[b*C + A*d, 0] && EqQ[a*C^2 - A^2*e, 0] && PosQ[C*(-8*A*e^2 + C*(d^2 - 4*c*e))]

2502. Int[((A_.) + (B_.)*(x_) + (C_.)*(x_)^2)/((a_) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2 + (d_.)*(x_)^3 + (e_.)*(x_)^4), x_Sy
      mbol] :> With[{q = Rt[(-C)*(2*e*(B*d - 4*A*e) + C*(d^2 - 4*c*e)), 2]}, Simp[2*(C^2/q)*ArcTan[(C*d - B*e + 2*C*
      e*x)/q], x] - Simp[2*(C^2/q)*ArcTan[C*((4*B*c*C - 3*B^2*d - 4*A*C*d + 12*A*B*e + 4*C*(2*c*C - B*d + 2*A*e)*x +
      4*C*(2*C*d - B*e)*x^2 + 8*C^2*e*x^3)/(q*(B^2 - 4*A*C)))], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, A, B, C}, x] && EqQ[B^
      2*d + 2*C*(b*C + A*d) - 2*B*(c*C + 2*A*e), 0] && EqQ[2*B^2*c*C - 8*a*C^3 - B^3*d - 4*A*B*C*d + 4*A*(B^2 + 2*A*
      C)*e, 0] && NegQ[C*(2*e*(B*d - 4*A*e) + C*(d^2 - 4*c*e))]

2503. Int[((A_.) + (C_.)*(x_)^2)/((a_) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2 + (d_.)*(x_)^3 + (e_.)*(x_)^4), x_Symbol] :> With
      [{q = Rt[(-C)*(-8*A*e^2 + C*(d^2 - 4*c*e)), 2]}, Simp[2*(C^2/q)*ArcTan[(C*d + 2*C*e*x)/q], x] - Simp[2*(C^2/q)
      *ArcTan[(-C)*(((-A)*d + 2*(c*C + A*e)*x + 2*C*d*x^2 + 2*C*e*x^3)/(A*q))], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, A, C},
      x] && EqQ[b*C + A*d, 0] && EqQ[a*C^2 - A^2*e, 0] && NegQ[C*(-8*A*e^2 + C*(d^2 - 4*c*e))]

2504. Int[(P4_)^(p_), x_Symbol] :> With[{a = Coeff[P4, x, 0], b = Coeff[P4, x, 1], c = Coeff[P4, x, 2], d = Coeff[P4
      , x, 3], e = Coeff[P4, x, 4]}, Simp[-16*a^2   Subst[Int[(1/(b - 4*a*x)^2)*(a*((-3*b^4 + 16*a*b^2*c - 64*a^2*b*
      d + 256*a^3*e - 32*a^2*(3*b^2 - 8*a*c)*x^2 + 256*a^4*x^4)/(b - 4*a*x)^4))^p, x], x, b/(4*a) + 1/x], x] /; NeQ[
      a, 0] && NeQ[b, 0] && EqQ[b^3 - 4*a*b*c + 8*a^2*d, 0]] /; FreeQ[p, x] && PolyQ[P4, x, 4] && IntegerQ[2*p] &&
      !IGtQ[p, 0]

2505. Int[(x_)/Sqrt[(a_) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2 + (e_.)*(x_)^4], x_Symbol] :> With[{Px = (1/320)*(33*b^2*c + 6*
      a*c^2 + 40*a^2*e) - (22/5)*a*c*e*x^2 + (22/15)*b*c*e*x^3 + (1/4)*e*(5*c^2 + 4*a*e)*x^4 + (4/3)*b*e^2*x^5 + 2*c
      *e^2*x^6 + e^3*x^8}, Simp[(1/(8*Rt[e, 2]))*Log[Px + (1/(8*Rt[e, 2]*x)   D[Px, x])*Sqrt[a + b*x + c*x^2 + e*x^4
      ]], x]] /; FreeQ[{a, b, c, e}, x] && EqQ[71*c^2 + 100*a*e, 0] && EqQ[1152*c^3 - 125*b^2*e, 0]

2506. Int[((A_) + (B_.)*(x_))/Sqrt[(a_) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2 + (d_.)*(x_)^3 + (e_.)*(x_)^4], x_Symbol] :> Sim
      p[B   Subst[Int[x/Sqrt[(-3*d^4 + 16*c*d^2*e - 64*b*d*e^2 + 256*a*e^3)/(256*e^3) + (d^3 - 4*c*d*e + 8*b*e^2)*(x
      /(8*e^2)) - (3*d^2 - 8*c*e)*(x^2/(8*e)) + e*x^4], x], x, d/(4*e) + x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, A, B}, x] &
      & EqQ[B*d - 4*A*e, 0] && EqQ[d*(141*d^3 - 752*c*d*e - 400*b*e^2) + 16*e^2*(71*c^2 + 100*a*e), 0] && EqQ[144*(3
      *d^2 - 8*c*e)^3 + 125*(d^3 - 4*c*d*e + 8*b*e^2)^2, 0]

2507. Int[((f_) + (g_.)*(x_)^2)/(((d_) + (e_.)*(x_) + (d_.)*(x_)^2)*Sqrt[(a_) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2 + (b_.)*(x
      _)^3 + (a_.)*(x_)^4]), x_Symbol] :> Simp[a*(f/(d*Rt[a^2*(2*a - c), 2]))*ArcTan[(a*b + (4*a^2 + b^2 - 2*a*c)*x
      + a*b*x^2)/(2*Rt[a^2*(2*a - c), 2]*Sqrt[a + b*x + c*x^2 + b*x^3 + a*x^4])], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g},
      x] && EqQ[b*d - a*e, 0] && EqQ[f + g, 0] && PosQ[a^2*(2*a - c)]

2508. Int[((f_) + (g_.)*(x_)^2)/(((d_) + (e_.)*(x_) + (d_.)*(x_)^2)*Sqrt[(a_) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2 + (b_.)*(x
      _)^3 + (a_.)*(x_)^4]), x_Symbol] :> Simp[(-a)*(f/(d*Rt[(-a^2)*(2*a - c), 2]))*ArcTanh[(a*b + (4*a^2 + b^2 - 2*
      a*c)*x + a*b*x^2)/(2*Rt[(-a^2)*(2*a - c), 2]*Sqrt[a + b*x + c*x^2 + b*x^3 + a*x^4])], x] /; FreeQ[{a, b, c, d,
      e, f, g}, x] && EqQ[b*d - a*e, 0] && EqQ[f + g, 0] && NegQ[a^2*(2*a - c)]

2509. Int[(Pn_)^(p_.)*((g_) + (h_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> With[{Px = Pn /. x -> (x - g)/h}, Simp[1/h   Subst[Int
      [x^m*ExpandToSum[Px, x]^p, x], x, g + h*x], x] /; BinomialQ[Px, x]] /; FreeQ[{g, h, m, p}, x] && PolyQ[Pn, x]

2510. Int[(Pn_)^(p_.)*(u_)^(m_.), x_Symbol] :> With[{Px = Pn /. x -> (x - Coeff[u, x, 0])/Coeff[u, x, 1]}, Simp[1/Co
      eff[u, x, 1]   Subst[Int[x^m*ExpandToSum[Px, x]^p, x], x, u], x] /; BinomialQ[Px, x]] /; FreeQ[{m, p}, x] && L
      inearQ[u, x] && PolyQ[Pn, x] && NeQ[Coeff[u, x, 0], 0]

2511. Int[(Pn_)^(p_.)*(Qn_)^(q_.)*((g_) + (h_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> With[{Px = Pn /. x -> (x - g)/h, Qx = Qn /
      . x -> (x - g)/h}, Simp[1/h   Subst[Int[x^m*ExpandToSum[Px, x]^p*ExpandToSum[Qx, x]^q, x], x, g + h*x], x] /;
      BinomialQ[Px, x] && BinomialQ[Qx, x]] /; FreeQ[{g, h, m, p, q}, x] && PolyQ[Pn, x] && PolyQ[Qn, x] && EqQ[Expo
      n[Pn, x], Expon[Qn, x]]

2512. Int[(Pn_)^(p_.)*(Qn_)^(q_.)*(u_)^(m_.), x_Symbol] :> With[{Px = Pn /. x -> (x - Coeff[u, x, 0])/Coeff[u, x, 1]
      , Qx = Qn /. x -> (x - Coeff[u, x, 0])/Coeff[u, x, 1]}, Simp[1/Coeff[u, x, 1]   Subst[Int[x^m*ExpandToSum[Px,
      x]^p*ExpandToSum[Qx, x]^q, x], x, u], x] /; BinomialQ[Px, x] && BinomialQ[Qx, x]] /; FreeQ[{m, p, q}, x] && Li
      nearQ[u, x] && PolyQ[Pn, x] && PolyQ[Qn, x] && EqQ[Expon[Pn, x], Expon[Qn, x]] && NeQ[Coeff[u, x, 0], 0]

2513. Int[(Pn_)^(p_.)*(Qn_)^(q_.)*(Rn_)^(r_.)*((g_) + (h_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> With[{Px = Pn /. x -> (x - g)/
      h, Qx = Qn /. x -> (x - g)/h, Rx = Rn /. x -> (x - g)/h}, Simp[1/h   Subst[Int[x^m*ExpandToSum[Px, x]^p*Expand
      ToSum[Qx, x]^q*ExpandToSum[Rx, x]^r, x], x, g + h*x], x] /; BinomialQ[Px, x] && BinomialQ[Qx, x] && BinomialQ[
      Rx, x]] /; FreeQ[{g, h, m, p, q, r}, x] && PolyQ[Pn, x] && PolyQ[Qn, x] && PolyQ[Rn, x] && EqQ[Expon[Pn, x], E
      xpon[Qn, x]] && EqQ[Expon[Pn, x], Expon[Rn, x]]

2514. Int[(Pn_)^(p_.)*(Qn_)^(q_.)*(Rn_)^(r_.)*(u_)^(m_.), x_Symbol] :> With[{Px = Pn /. x -> (x - Coeff[u, x, 0])/Co
      eff[u, x, 1], Qx = Qn /. x -> (x - Coeff[u, x, 0])/Coeff[u, x, 1], Rx = Rn /. x -> (x - Coeff[u, x, 0])/Coeff[
      u, x, 1]}, Simp[1/Coeff[u, x, 1]   Subst[Int[x^m*ExpandToSum[Px, x]^p*ExpandToSum[Qx, x]^q*ExpandToSum[Rx, x]^
      r, x], x, u], x] /; BinomialQ[Px, x] && BinomialQ[Qx, x] && BinomialQ[Rx, x]] /; FreeQ[{m, p, q, r}, x] && Lin
      earQ[u, x] && PolyQ[Pn, x] && PolyQ[Qn, x] && PolyQ[Rn, x] && EqQ[Expon[Pn, x], Expon[Qn, x]] && EqQ[Expon[Pn,
      x], Expon[Rn, x]] && NeQ[Coeff[u, x, 0], 0]

2515. Int[(Pn_)^(p_.)*((g_) + (h_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> With[{Px = Pn /. x -> (x - g)/h}, Simp[1/h   Subst[Int
      [x^m*ExpandToSum[Px, x]^p, x], x, g + h*x], x] /; TrinomialQ[Px, x]] /; FreeQ[{g, h, m, p}, x] && PolyQ[Pn, x]

2516. Int[(Pn_)^(p_.)*(u_)^(m_.), x_Symbol] :> With[{Px = Pn /. x -> (x - Coeff[u, x, 0])/Coeff[u, x, 1]}, Simp[1/Co
      eff[u, x, 1]   Subst[Int[x^m*ExpandToSum[Px, x]^p, x], x, u], x] /; TrinomialQ[Px, x]] /; FreeQ[{m, p}, x] &&
      LinearQ[u, x] && PolyQ[Pn, x] && NeQ[Coeff[u, x, 0], 0]

2517. Int[Sqrt[v_]/((d_) + (e_.)*(x_)^4), x_Symbol] :> With[{a = Coeff[v, x, 0], b = Coeff[v, x, 2], c = Coeff[v, x,
      4]}, Simp[a/d   Subst[Int[1/(1 - 2*b*x^2 + (b^2 - 4*a*c)*x^4), x], x, x/Sqrt[v]], x] /; EqQ[c*d + a*e, 0] &&
      PosQ[a*c]] /; FreeQ[{d, e}, x] && PolyQ[v, x^2, 2]

2518. Int[Sqrt[(a_) + (b_.)*(x_)^2 + (c_.)*(x_)^4]/((d_) + (e_.)*(x_)^4), x_Symbol] :> With[{q = Sqrt[b^2 - 4*a*c]},
      Simp[(-a)*(Sqrt[b + q]/(2*Sqrt[2]*Rt[(-a)*c, 2]*d))*ArcTan[Sqrt[b + q]*x*((b - q + 2*c*x^2)/(2*Sqrt[2]*Rt[(-a
      )*c, 2]*Sqrt[a + b*x^2 + c*x^4]))], x] + Simp[a*(Sqrt[-b + q]/(2*Sqrt[2]*Rt[(-a)*c, 2]*d))*ArcTanh[Sqrt[-b + q
      ]*x*((b + q + 2*c*x^2)/(2*Sqrt[2]*Rt[(-a)*c, 2]*Sqrt[a + b*x^2 + c*x^4]))], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] &
      & EqQ[c*d + a*e, 0] && NegQ[a*c]

2519. Int[((A_) + (B_.)*(x_)^(n_))/((a_) + (b_.)*(x_)^2 + (c_.)*(x_)^(n_) + (d_.)*(x_)^(n2_)), x_Symbol] :> Simp[A^2
      *(n - 1)   Subst[Int[1/(a + A^2*b*(n - 1)^2*x^2), x], x, x/(A*(n - 1) - B*x^n)], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, A, B
      , n}, x] && EqQ[n2, 2*n] && NeQ[n, 2] && EqQ[a*B^2 - A^2*d*(n - 1)^2, 0] && EqQ[B*c + 2*A*d*(n - 1), 0]

2520. Int[((x_)^(m_.)*((A_) + (B_.)*(x_)^(n_.)))/((a_) + (b_.)*(x_)^(k_.) + (c_.)*(x_)^(n_.) + (d_.)*(x_)^(n2_)), x_
      Symbol] :> Simp[A^2*((m - n + 1)/(m + 1))   Subst[Int[1/(a + A^2*b*(m - n + 1)^2*x^2), x], x, x^(m + 1)/(A*(m
      - n + 1) + B*(m + 1)*x^n)], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, A, B, m, n}, x] && EqQ[n2, 2*n] && EqQ[k, 2*(m + 1)] && E
      qQ[a*B^2*(m + 1)^2 - A^2*d*(m - n + 1)^2, 0] && EqQ[B*c*(m + 1) - 2*A*d*(m - n + 1), 0]

2521. Int[((a_) + (b_.)*(x_)^2 + (c_.)*(x_)^4)/((d_) + (e_.)*(x_)^2 + (f_.)*(x_)^4 + (g_.)*(x_)^6), x_Symbol] :> Wit
      h[{q = Rt[((-a)*c*f^2 + 12*a^2*g^2 + f*(3*c^2*d - 2*a*b*g))/(c*g*(3*c*d - a*f)), 2], r = Rt[(a*c*f^2 + 4*g*(b*
      c*d + a^2*g) - f*(3*c^2*d + 2*a*b*g))/(c*g*(3*c*d - a*f)), 2]}, Simp[(c/(g*q))*ArcTan[(r + 2*x)/q], x] + (-Sim
      p[(c/(g*q))*ArcTan[(r - 2*x)/q], x] - Simp[(c/(g*q))*ArcTan[(3*c*d - a*f)*(x/(g*q*(b*c*d - 2*a^2*g)*(b*c*d - a
      *b*f + 4*a^2*g)))*(b*c^2*d*f - a*b^2*f*g - 2*a^2*c*f*g + 6*a^2*b*g^2 + c*(3*c^2*d*f - a*c*f^2 - b*c*d*g + 2*a^
      2*g^2)*x^2 + c^2*g*(3*c*d - a*f)*x^4)], x])] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g}, x] && EqQ[9*c^3*d^2 - c*(b^2 + 6*
      a*c)*d*f + a^2*c*f^2 + 2*a*b*(3*c*d + a*f)*g - 12*a^3*g^2, 0] && EqQ[3*c^4*d^2*e - 3*a^2*c^2*d*f*g + a^3*c*f^2
      *g + 2*a^3*g^2*(b*f - 6*a*g) - c^3*d*(2*b*d*f + a*e*f - 12*a*d*g), 0] && NeQ[3*c*d - a*f, 0] && NeQ[b*c*d - 2*
      a^2*g, 0] && NeQ[b*c*d - a*b*f + 4*a^2*g, 0] && PosQ[((-a)*c*f^2 + 12*a^2*g^2 + f*(3*c^2*d - 2*a*b*g))/(c*g*(3
      *c*d - a*f))]

2522. Int[((a_) + (c_.)*(x_)^4)/((d_) + (e_.)*(x_)^2 + (f_.)*(x_)^4 + (g_.)*(x_)^6), x_Symbol] :> With[{q = Rt[((-a)
      *c*f^2 + 12*a^2*g^2 + 3*f*c^2*d)/(c*g*(3*c*d - a*f)), 2], r = Rt[(a*c*f^2 + 4*a^2*g^2 - 3*c^2*d*f)/(c*g*(3*c*d
      - a*f)), 2]}, Simp[(c/(g*q))*ArcTan[(r + 2*x)/q], x] + (-Simp[(c/(g*q))*ArcTan[(r - 2*x)/q], x] - Simp[(c/(g*
      q))*ArcTan[(c*(3*c*d - a*f)*x*(2*a^2*f*g - (3*c^2*d*f - a*c*f^2 + 2*a^2*g^2)*x^2 - c*(3*c*d - a*f)*g*x^4))/(8*
      a^4*g^3*q)], x])] /; FreeQ[{a, c, d, e, f, g}, x] && EqQ[9*c^3*d^2 - 6*a*c^2*d*f + a^2*c*f^2 - 12*a^3*g^2, 0]
      && EqQ[3*c^4*d^2*e - 3*a^2*c^2*d*f*g + a^3*c*f^2*g - 12*a^4*g^3 - a*c^3*d*(e*f - 12*d*g), 0] && NeQ[3*c*d - a*
      f, 0] && PosQ[((-a)*c*f^2 + 12*a^2*g^2 + 3*c^2*d*f)/(c*g*(3*c*d - a*f))]

2523. Int[(Pm_)/(Qn_), x_Symbol] :> With[{m = Expon[Pm, x], n = Expon[Qn, x]}, Simp[Coeff[Pm, x, m]*(Log[Qn]/(n*Coef
      f[Qn, x, n])), x] + Simp[Simplify[Pm - Coeff[Pm, x, m]*(D[Qn, x]/(n*Coeff[Qn, x, n]))]   Int[1/Qn, x], x] /; E
      qQ[m, n - 1] && EqQ[D[Simplify[Pm - (Coeff[Pm, x, m]/(n*Coeff[Qn, x, n]))*D[Qn, x]], x], 0]] /; PolyQ[Pm, x] &
      & PolyQ[Qn, x]

2524. Int[(Pm_)*(Qn_)^(p_), x_Symbol] :> With[{m = Expon[Pm, x], n = Expon[Qn, x]}, Simp[Coeff[Pm, x, m]*(Qn^(p + 1)
      /(n*(p + 1)*Coeff[Qn, x, n])), x] + Simp[Simplify[Pm - Coeff[Pm, x, m]*(D[Qn, x]/(n*Coeff[Qn, x, n]))]   Int[Q
      n^p, x], x] /; EqQ[m, n - 1] && EqQ[D[Simplify[Pm - (Coeff[Pm, x, m]/(n*Coeff[Qn, x, n]))*D[Qn, x]], x], 0]] /
      ; FreeQ[p, x] && PolyQ[Pm, x] && PolyQ[Qn, x] && NeQ[p, -1]

2525. Int[(Pm_)/(Qn_), x_Symbol] :> With[{m = Expon[Pm, x], n = Expon[Qn, x]}, Simp[Coeff[Pm, x, m]*(Log[Qn]/(n*Coef
      f[Qn, x, n])), x] + Simp[1/(n*Coeff[Qn, x, n])   Int[ExpandToSum[n*Coeff[Qn, x, n]*Pm - Coeff[Pm, x, m]*D[Qn,
      x], x]/Qn, x], x] /; EqQ[m, n - 1]] /; PolyQ[Pm, x] && PolyQ[Qn, x]

2526. Int[(Pm_)*(Qn_)^(p_), x_Symbol] :> With[{m = Expon[Pm, x], n = Expon[Qn, x]}, Simp[Coeff[Pm, x, m]*(Qn^(p + 1)
      /(n*(p + 1)*Coeff[Qn, x, n])), x] + Simp[1/(n*Coeff[Qn, x, n])   Int[ExpandToSum[n*Coeff[Qn, x, n]*Pm - Coeff[
      Pm, x, m]*D[Qn, x], x]*Qn^p, x], x] /; EqQ[m, n - 1]] /; FreeQ[p, x] && PolyQ[Pm, x] && PolyQ[Qn, x] && NeQ[p,
      -1]

2527. Int[(Pm_)*(Qn_)^(p_.), x_Symbol] :> With[{m = Expon[Pm, x], n = Expon[Qn, x]}, Simp[Coeff[Pm, x, m]*x^(m - n +
      1)*(Qn^(p + 1)/((m + n*p + 1)*Coeff[Qn, x, n])), x] + Simp[1/((m + n*p + 1)*Coeff[Qn, x, n])   Int[ExpandToSu
      m[(m + n*p + 1)*Coeff[Qn, x, n]*Pm - Coeff[Pm, x, m]*x^(m - n)*((m - n + 1)*Qn + (p + 1)*x*D[Qn, x]), x]*Qn^p,
      x], x] /; LtQ[1, n, m + 1] && m + n*p + 1 < 0] /; FreeQ[p, x] && PolyQ[Pm, x] && PolyQ[Qn, x] && LtQ[p, -1]

2528. Int[(u_)/((e_.)*Sqrt[(a_.) + (b_.)*(x_)] + (f_.)*Sqrt[(c_.) + (d_.)*(x_)]), x_Symbol] :> Simp[c/(e*(b*c - a*d)
      )   Int[(u*Sqrt[a + b*x])/x, x], x] - Simp[a/(f*(b*c - a*d))   Int[(u*Sqrt[c + d*x])/x, x], x] /; FreeQ[{a, b,
      c, d, e, f}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && EqQ[a*e^2 - c*f^2, 0]

2529. Int[(u_)/((e_.)*Sqrt[(a_.) + (b_.)*(x_)] + (f_.)*Sqrt[(c_.) + (d_.)*(x_)]), x_Symbol] :> Simp[-d/(e*(b*c - a*d
      ))   Int[u*Sqrt[a + b*x], x], x] + Simp[b/(f*(b*c - a*d))   Int[u*Sqrt[c + d*x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d,
      e, f}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && EqQ[b*e^2 - d*f^2, 0]

2530. Int[(u_)/((e_.)*Sqrt[(a_.) + (b_.)*(x_)] + (f_.)*Sqrt[(c_.) + (d_.)*(x_)]), x_Symbol] :> Simp[e   Int[(u*Sqrt[
      a + b*x])/(a*e^2 - c*f^2 + (b*e^2 - d*f^2)*x), x], x] - Simp[f   Int[(u*Sqrt[c + d*x])/(a*e^2 - c*f^2 + (b*e^2
      - d*f^2)*x), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && NeQ[a*e^2 - c*f^2, 0] && NeQ[b*e^2 - d*f^2, 0]

2531. Int[(u_.)/((d_.)*(x_)^(n_.) + (c_.)*Sqrt[(a_.) + (b_.)*(x_)^(p_.)]), x_Symbol] :> Simp[-b/(a*d)   Int[u*x^n, x
      ], x] + Simp[1/(a*c)   Int[u*Sqrt[a + b*x^(2*n)], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, n}, x] && EqQ[p, 2*n] && EqQ[b*
      c^2 - d^2, 0]

2532. Int[(x_)^(m_.)/((d_.)*(x_)^(n_.) + (c_.)*Sqrt[(a_.) + (b_.)*(x_)^(p_.)]), x_Symbol] :> Simp[-d   Int[x^(m + n)
      /(a*c^2 + (b*c^2 - d^2)*x^(2*n)), x], x] + Simp[c   Int[(x^m*Sqrt[a + b*x^(2*n)])/(a*c^2 + (b*c^2 - d^2)*x^(2*
      n)), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, m, n}, x] && EqQ[p, 2*n] && NeQ[b*c^2 - d^2, 0]

2533. Int[1/(Sqrt[(d_.) + (e_.)*(x_) + (f_.)*(x_)^2]*((a_) + (b_.)*(x_)^3)), x_Symbol] :> With[{r = Numerator[Rt[a/b
      , 3]], s = Denominator[Rt[a/b, 3]]}, Simp[r/(3*a)   Int[1/((r + s*x)*Sqrt[d + e*x + f*x^2]), x], x] + Simp[r/(
      3*a)   Int[(2*r - s*x)/((r^2 - r*s*x + s^2*x^2)*Sqrt[d + e*x + f*x^2]), x], x]] /; FreeQ[{a, b, d, e, f}, x] &
      & PosQ[a/b]

2534. Int[1/(Sqrt[(d_.) + (f_.)*(x_)^2]*((a_) + (b_.)*(x_)^3)), x_Symbol] :> With[{r = Numerator[Rt[a/b, 3]], s = De
      nominator[Rt[a/b, 3]]}, Simp[r/(3*a)   Int[1/((r + s*x)*Sqrt[d + f*x^2]), x], x] + Simp[r/(3*a)   Int[(2*r - s
      *x)/((r^2 - r*s*x + s^2*x^2)*Sqrt[d + f*x^2]), x], x]] /; FreeQ[{a, b, d, f}, x] && PosQ[a/b]

2535. Int[1/(Sqrt[(d_.) + (e_.)*(x_) + (f_.)*(x_)^2]*((a_) + (b_.)*(x_)^3)), x_Symbol] :> With[{r = Numerator[Rt[-a/
      b, 3]], s = Denominator[Rt[-a/b, 3]]}, Simp[r/(3*a)   Int[1/((r - s*x)*Sqrt[d + e*x + f*x^2]), x], x] + Simp[r
      /(3*a)   Int[(2*r + s*x)/((r^2 + r*s*x + s^2*x^2)*Sqrt[d + e*x + f*x^2]), x], x]] /; FreeQ[{a, b, d, e, f}, x]
      && NegQ[a/b]

2536. Int[1/(Sqrt[(d_.) + (f_.)*(x_)^2]*((a_) + (b_.)*(x_)^3)), x_Symbol] :> With[{r = Numerator[Rt[-a/b, 3]], s = D
      enominator[Rt[-a/b, 3]]}, Simp[r/(3*a)   Int[1/((r - s*x)*Sqrt[d + f*x^2]), x], x] + Simp[r/(3*a)   Int[(2*r +
      s*x)/((r^2 + r*s*x + s^2*x^2)*Sqrt[d + f*x^2]), x], x]] /; FreeQ[{a, b, d, f}, x] && NegQ[a/b]

2537. Int[((u_)*((A_) + (B_.)*(x_)^4))/Sqrt[v_], x_Symbol] :> With[{a = Coeff[v, x, 0], b = Coeff[v, x, 2], c = Coef
      f[v, x, 4], d = Coeff[1/u, x, 0], e = Coeff[1/u, x, 2], f = Coeff[1/u, x, 4]}, Simp[A   Subst[Int[1/(d - (b*d
      - a*e)*x^2), x], x, x/Sqrt[v]], x] /; EqQ[a*B + A*c, 0] && EqQ[c*d - a*f, 0]] /; FreeQ[{A, B}, x] && PolyQ[v,
      x^2, 2] && PolyQ[1/u, x^2, 2]

2538. Int[1/(((a_) + (b_.)*(x_))*Sqrt[(c_) + (d_.)*(x_)^2]*Sqrt[(e_) + (f_.)*(x_)^2]), x_Symbol] :> Simp[a   Int[1/(
      (a^2 - b^2*x^2)*Sqrt[c + d*x^2]*Sqrt[e + f*x^2]), x], x] - Simp[b   Int[x/((a^2 - b^2*x^2)*Sqrt[c + d*x^2]*Sqr
      t[e + f*x^2]), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x]

2539. Int[((g_.) + (h_.)*(x_))*Sqrt[(d_.) + (e_.)*(x_) + (f_.)*Sqrt[(a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2]], x_Symbol] :
      > Simp[2*((f*(5*b*c*g^2 - 2*b^2*g*h - 3*a*c*g*h + 2*a*b*h^2) + c*f*(10*c*g^2 - b*g*h + a*h^2)*x + 9*c^2*f*g*h*
      x^2 + 3*c^2*f*h^2*x^3 - (e*g - d*h)*(5*c*g - 2*b*h + c*h*x)*Sqrt[a + b*x + c*x^2])/(15*c^2*f*(g + h*x)))*Sqrt[
      d + e*x + f*Sqrt[a + b*x + c*x^2]], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, h}, x] && EqQ[(e*g - d*h)^2 - f^2*(c*g^2
      - b*g*h + a*h^2), 0] && EqQ[2*e^2*g - 2*d*e*h - f^2*(2*c*g - b*h), 0]

2540. Int[((u_) + (f_.)*((j_.) + (k_.)*Sqrt[v_]))^(n_.)*((g_.) + (h_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Int[(g + h*x)^m*(Ex
      pandToSum[u + f*j, x] + f*k*Sqrt[ExpandToSum[v, x]])^n, x] /; FreeQ[{f, g, h, j, k, m, n}, x] && LinearQ[u, x]
      && QuadraticQ[v, x] &&  !(LinearMatchQ[u, x] && QuadraticMatchQ[v, x] && (EqQ[j, 0] || EqQ[f, 1])) && EqQ[(Co
      efficient[u, x, 1]*g - h*(Coefficient[u, x, 0] + f*j))^2 - f^2*k^2*(Coefficient[v, x, 2]*g^2 - Coefficient[v,
      x, 1]*g*h + Coefficient[v, x, 0]*h^2), 0]

2541. Int[((g_.) + (h_.)*((d_.) + (e_.)*(x_) + (f_.)*Sqrt[(a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2])^(n_))^(p_.), x_Symbol]
      :> Simp[2   Subst[Int[(g + h*x^n)^p*((d^2*e - (b*d - a*e)*f^2 - (2*d*e - b*f^2)*x + e*x^2)/(-2*d*e + b*f^2 +
      2*e*x)^2), x], x, d + e*x + f*Sqrt[a + b*x + c*x^2]], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, h, n}, x] && EqQ[e^2 -
      c*f^2, 0] && IntegerQ[p]

2542. Int[((g_.) + (h_.)*((d_.) + (e_.)*(x_) + (f_.)*Sqrt[(a_) + (c_.)*(x_)^2])^(n_))^(p_.), x_Symbol] :> Simp[1/(2*
      e)   Subst[Int[(g + h*x^n)^p*((d^2 + a*f^2 - 2*d*x + x^2)/(d - x)^2), x], x, d + e*x + f*Sqrt[a + c*x^2]], x]
      /; FreeQ[{a, c, d, e, f, g, h, n}, x] && EqQ[e^2 - c*f^2, 0] && IntegerQ[p]

2543. Int[((g_.) + (h_.)*((u_) + (f_.)*Sqrt[v_])^(n_))^(p_.), x_Symbol] :> Int[(g + h*(ExpandToSum[u, x] + f*Sqrt[Ex
      pandToSum[v, x]])^n)^p, x] /; FreeQ[{f, g, h, n}, x] && LinearQ[u, x] && QuadraticQ[v, x] &&  !(LinearMatchQ[u
      , x] && QuadraticMatchQ[v, x]) && EqQ[Coefficient[u, x, 1]^2 - Coefficient[v, x, 2]*f^2, 0] && IntegerQ[p]

2544. Int[((g_.) + (h_.)*(x_))^(m_.)*((e_.)*(x_) + (f_.)*Sqrt[(a_.) + (c_.)*(x_)^2])^(n_.), x_Symbol] :> Simp[1/(2^(
      m + 1)*e^(m + 1))   Subst[Int[x^(n - m - 2)*(a*f^2 + x^2)*((-a)*f^2*h + 2*e*g*x + h*x^2)^m, x], x, e*x + f*Sqr
      t[a + c*x^2]], x] /; FreeQ[{a, c, e, f, g, h, n}, x] && EqQ[e^2 - c*f^2, 0] && IntegerQ[m]

2545. Int[(x_)^(p_.)*((g_) + (i_.)*(x_)^2)^(m_.)*((e_.)*(x_) + (f_.)*Sqrt[(a_) + (c_.)*(x_)^2])^(n_.), x_Symbol] :>
      Simp[(1/(2^(2*m + p + 1)*e^(p + 1)*f^(2*m)))*(i/c)^m   Subst[Int[x^(n - 2*m - p - 2)*((-a)*f^2 + x^2)^p*(a*f^2
      + x^2)^(2*m + 1), x], x, e*x + f*Sqrt[a + c*x^2]], x] /; FreeQ[{a, c, e, f, g, i, n}, x] && EqQ[e^2 - c*f^2,
      0] && EqQ[c*g - a*i, 0] && IntegersQ[p, 2*m] && (IntegerQ[m] || GtQ[i/c, 0])

2546. Int[((g_.) + (h_.)*(x_) + (i_.)*(x_)^2)^(m_.)*((d_.) + (e_.)*(x_) + (f_.)*Sqrt[(a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)
      ^2])^(n_.), x_Symbol] :> Simp[(2/f^(2*m))*(i/c)^m   Subst[Int[x^n*((d^2*e - (b*d - a*e)*f^2 - (2*d*e - b*f^2)*
      x + e*x^2)^(2*m + 1)/(-2*d*e + b*f^2 + 2*e*x)^(2*(m + 1))), x], x, d + e*x + f*Sqrt[a + b*x + c*x^2]], x] /; F
      reeQ[{a, b, c, d, e, f, g, h, i, n}, x] && EqQ[e^2 - c*f^2, 0] && EqQ[c*g - a*i, 0] && EqQ[c*h - b*i, 0] && In
      tegerQ[2*m] && (IntegerQ[m] || GtQ[i/c, 0])

2547. Int[((g_) + (i_.)*(x_)^2)^(m_.)*((d_.) + (e_.)*(x_) + (f_.)*Sqrt[(a_) + (c_.)*(x_)^2])^(n_.), x_Symbol] :> Sim
      p[(1/(2^(2*m + 1)*e*f^(2*m)))*(i/c)^m   Subst[Int[x^n*((d^2 + a*f^2 - 2*d*x + x^2)^(2*m + 1)/(-d + x)^(2*(m +
      1))), x], x, d + e*x + f*Sqrt[a + c*x^2]], x] /; FreeQ[{a, c, d, e, f, g, i, n}, x] && EqQ[e^2 - c*f^2, 0] &&
      EqQ[c*g - a*i, 0] && IntegerQ[2*m] && (IntegerQ[m] || GtQ[i/c, 0])

2548. Int[((g_.) + (h_.)*(x_) + (i_.)*(x_)^2)^(m_.)*((d_.) + (e_.)*(x_) + (f_.)*Sqrt[(a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)
      ^2])^(n_.), x_Symbol] :> Simp[(i/c)^(m - 1/2)*(Sqrt[g + h*x + i*x^2]/Sqrt[a + b*x + c*x^2])   Int[(a + b*x + c
      *x^2)^m*(d + e*x + f*Sqrt[a + b*x + c*x^2])^n, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, h, i, n}, x] && EqQ[e^2 -
      c*f^2, 0] && EqQ[c*g - a*i, 0] && EqQ[c*h - b*i, 0] && IGtQ[m + 1/2, 0] &&  !GtQ[i/c, 0]

2549. Int[((g_) + (i_.)*(x_)^2)^(m_.)*((d_.) + (e_.)*(x_) + (f_.)*Sqrt[(a_) + (c_.)*(x_)^2])^(n_.), x_Symbol] :> Sim
      p[(i/c)^(m - 1/2)*(Sqrt[g + i*x^2]/Sqrt[a + c*x^2])   Int[(a + c*x^2)^m*(d + e*x + f*Sqrt[a + c*x^2])^n, x], x
      ] /; FreeQ[{a, c, d, e, f, g, i, n}, x] && EqQ[e^2 - c*f^2, 0] && EqQ[c*g - a*i, 0] && IGtQ[m + 1/2, 0] &&  !G
      tQ[i/c, 0]

2550. Int[((g_.) + (h_.)*(x_) + (i_.)*(x_)^2)^(m_.)*((d_.) + (e_.)*(x_) + (f_.)*Sqrt[(a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)
      ^2])^(n_.), x_Symbol] :> Simp[(i/c)^(m + 1/2)*(Sqrt[a + b*x + c*x^2]/Sqrt[g + h*x + i*x^2])   Int[(a + b*x + c
      *x^2)^m*(d + e*x + f*Sqrt[a + b*x + c*x^2])^n, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, h, i, n}, x] && EqQ[e^2 -
      c*f^2, 0] && EqQ[c*g - a*i, 0] && EqQ[c*h - b*i, 0] && ILtQ[m - 1/2, 0] &&  !GtQ[i/c, 0]

2551. Int[((g_) + (i_.)*(x_)^2)^(m_.)*((d_.) + (e_.)*(x_) + (f_.)*Sqrt[(a_) + (c_.)*(x_)^2])^(n_.), x_Symbol] :> Sim
      p[(i/c)^(m + 1/2)*(Sqrt[a + c*x^2]/Sqrt[g + i*x^2])   Int[(a + c*x^2)^m*(d + e*x + f*Sqrt[a + c*x^2])^n, x], x
      ] /; FreeQ[{a, c, d, e, f, g, i, n}, x] && EqQ[e^2 - c*f^2, 0] && EqQ[c*g - a*i, 0] && ILtQ[m - 1/2, 0] &&  !G
      tQ[i/c, 0]

2552. Int[((u_) + (f_.)*((j_.) + (k_.)*Sqrt[v_]))^(n_.)*(w_)^(m_.), x_Symbol] :> Int[ExpandToSum[w, x]^m*(ExpandToSu
      m[u + f*j, x] + f*k*Sqrt[ExpandToSum[v, x]])^n, x] /; FreeQ[{f, j, k, m, n}, x] && LinearQ[u, x] && QuadraticQ
      [{v, w}, x] &&  !(LinearMatchQ[u, x] && QuadraticMatchQ[{v, w}, x] && (EqQ[j, 0] || EqQ[f, 1])) && EqQ[Coeffic
      ient[u, x, 1]^2 - Coefficient[v, x, 2]*f^2*k^2, 0]

2553. Int[1/(((a_) + (b_.)*(x_)^(n_.))*Sqrt[(c_.)*(x_)^2 + (d_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_.))^(p_.)]), x_Symbol] :> Sim
      p[1/a   Subst[Int[1/(1 - c*x^2), x], x, x/Sqrt[c*x^2 + d*(a + b*x^n)^(2/n)]], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, n}, x]
      && EqQ[p, 2/n]

2554. Int[Sqrt[(a_) + (b_.)*Sqrt[(c_) + (d_.)*(x_)^2]], x_Symbol] :> Simp[2*b^2*d*(x^3/(3*(a + b*Sqrt[c + d*x^2])^(3
      /2))), x] + Simp[2*a*(x/Sqrt[a + b*Sqrt[c + d*x^2]]), x] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && EqQ[a^2 - b^2*c, 0]

2555. Int[Sqrt[(a_.)*(x_)^2 + (b_.)*(x_)*Sqrt[(c_) + (d_.)*(x_)^2]]/((x_)*Sqrt[(c_) + (d_.)*(x_)^2]), x_Symbol] :> S
      imp[Sqrt[2]*(b/a)   Subst[Int[1/Sqrt[1 + x^2/a], x], x, a*x + b*Sqrt[c + d*x^2]], x] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x]
      && EqQ[a^2 - b^2*d, 0] && EqQ[b^2*c + a, 0]

2556. Int[Sqrt[(e_.)*(x_)*((a_.)*(x_) + (b_.)*Sqrt[(c_) + (d_.)*(x_)^2])]/((x_)*Sqrt[(c_) + (d_.)*(x_)^2]), x_Symbol
      ] :> Int[Sqrt[a*e*x^2 + b*e*x*Sqrt[c + d*x^2]]/(x*Sqrt[c + d*x^2]), x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && EqQ[a^2
      - b^2*d, 0] && EqQ[b^2*c*e + a, 0]

2557. Int[Sqrt[(c_.)*(x_)^2 + (d_.)*Sqrt[(a_) + (b_.)*(x_)^4]]/Sqrt[(a_) + (b_.)*(x_)^4], x_Symbol] :> Simp[d   Subs
      t[Int[1/(1 - 2*c*x^2), x], x, x/Sqrt[c*x^2 + d*Sqrt[a + b*x^4]]], x] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && EqQ[c^2 - b*
      d^2, 0]

2558. Int[(((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.)*Sqrt[(b_.)*(x_)^2 + Sqrt[(a_) + (e_.)*(x_)^4]])/Sqrt[(a_) + (e_.)*(x_)^4], x_S
      ymbol] :> Simp[(1 - I)/2   Int[(c + d*x)^m/Sqrt[Sqrt[a] - I*b*x^2], x], x] + Simp[(1 + I)/2   Int[(c + d*x)^m/
      Sqrt[Sqrt[a] + I*b*x^2], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, m}, x] && EqQ[e, b^2] && GtQ[a, 0]

2559. Int[1/(((c_) + (d_.)*(x_))*Sqrt[(a_) + (b_.)*(x_)^3]), x_Symbol] :> Simp[2/(3*c)   Int[1/Sqrt[a + b*x^3], x],
      x] + Simp[1/(3*c)   Int[(c - 2*d*x)/((c + d*x)*Sqrt[a + b*x^3]), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && EqQ[b*c^3
      - 4*a*d^3, 0]

2560. Int[1/(((c_) + (d_.)*(x_))*Sqrt[(a_) + (b_.)*(x_)^3]), x_Symbol] :> Simp[-6*a*(d^3/(c*(b*c^3 - 28*a*d^3)))   I
      nt[1/Sqrt[a + b*x^3], x], x] + Simp[1/(c*(b*c^3 - 28*a*d^3))   Int[Simp[c*(b*c^3 - 22*a*d^3) + 6*a*d^4*x, x]/(
      (c + d*x)*Sqrt[a + b*x^3]), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && EqQ[b^2*c^6 - 20*a*b*c^3*d^3 - 8*a^2*d^6, 0]

2561. Int[1/(((c_) + (d_.)*(x_))*Sqrt[(a_) + (b_.)*(x_)^3]), x_Symbol] :> With[{q = Rt[b/a, 3]}, Simp[-q/((1 + Sqrt[
      3])*d - c*q)   Int[1/Sqrt[a + b*x^3], x], x] + Simp[d/((1 + Sqrt[3])*d - c*q)   Int[(1 + Sqrt[3] + q*x)/((c +
      d*x)*Sqrt[a + b*x^3]), x], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && NeQ[b^2*c^6 - 20*a*b*c^3*d^3 - 8*a^2*d^6, 0]

2562. Int[((e_) + (f_.)*(x_))/(((c_) + (d_.)*(x_))*Sqrt[(a_) + (b_.)*(x_)^3]), x_Symbol] :> Simp[2*(e/d)   Subst[Int
      [1/(1 + 3*a*x^2), x], x, (1 + 2*d*(x/c))/Sqrt[a + b*x^3]], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && NeQ[d*e - c*f
      , 0] && EqQ[b*c^3 - 4*a*d^3, 0] && EqQ[2*d*e + c*f, 0]

2563. Int[((e_) + (f_.)*(x_))/(((c_) + (d_.)*(x_))*Sqrt[(a_) + (b_.)*(x_)^3]), x_Symbol] :> Simp[-2*(e/d)   Subst[In
      t[1/(9 - a*x^2), x], x, (1 + f*(x/e))^2/Sqrt[a + b*x^3]], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && NeQ[d*e - c*f,
      0] && EqQ[b*c^3 + 8*a*d^3, 0] && EqQ[2*d*e + c*f, 0]

2564. Int[((e_.) + (f_.)*(x_))/(((c_) + (d_.)*(x_))*Sqrt[(a_) + (b_.)*(x_)^3]), x_Symbol] :> Simp[(2*d*e + c*f)/(3*c
      *d)   Int[1/Sqrt[a + b*x^3], x], x] + Simp[(d*e - c*f)/(3*c*d)   Int[(c - 2*d*x)/((c + d*x)*Sqrt[a + b*x^3]),
      x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && NeQ[d*e - c*f, 0] && (EqQ[b*c^3 - 4*a*d^3, 0] || EqQ[b*c^3 + 8*a*d^3
      , 0]) && NeQ[2*d*e + c*f, 0]

2565. Int[((e_) + (f_.)*(x_))/(((c_) + (d_.)*(x_))*Sqrt[(a_) + (b_.)*(x_)^3]), x_Symbol] :> With[{k = Simplify[(d*e
      + 2*c*f)/(c*f)]}, Simp[(1 + k)*(e/d)   Subst[Int[1/(1 + (3 + 2*k)*a*x^2), x], x, (1 + (1 + k)*d*(x/c))/Sqrt[a
      + b*x^3]], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && NeQ[d*e - c*f, 0] && EqQ[b^2*c^6 - 20*a*b*c^3*d^3 - 8*a^2*d^
      6, 0] && EqQ[6*a*d^4*e - c*f*(b*c^3 - 22*a*d^3), 0]

2566. Int[((e_.) + (f_.)*(x_))/(((c_) + (d_.)*(x_))*Sqrt[(a_) + (b_.)*(x_)^3]), x_Symbol] :> Simp[-(6*a*d^4*e - c*f*
      (b*c^3 - 22*a*d^3))/(c*d*(b*c^3 - 28*a*d^3))   Int[1/Sqrt[a + b*x^3], x], x] + Simp[(d*e - c*f)/(c*d*(b*c^3 -
      28*a*d^3))   Int[(c*(b*c^3 - 22*a*d^3) + 6*a*d^4*x)/((c + d*x)*Sqrt[a + b*x^3]), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d,
      e, f}, x] && NeQ[d*e - c*f, 0] && EqQ[b^2*c^6 - 20*a*b*c^3*d^3 - 8*a^2*d^6, 0] && NeQ[6*a*d^4*e - c*f*(b*c^3 -
      22*a*d^3), 0]

2567. Int[((e_) + (f_.)*(x_))/(((c_) + (d_.)*(x_))*Sqrt[(a_) + (b_.)*(x_)^3]), x_Symbol] :> With[{q = Simplify[(1 +
      Sqrt[3])*(f/e)]}, Simp[4*3^(1/4)*Sqrt[2 - Sqrt[3]]*f*(1 + q*x)*(Sqrt[(1 - q*x + q^2*x^2)/(1 + Sqrt[3] + q*x)^2
      ]/(q*Sqrt[a + b*x^3]*Sqrt[(1 + q*x)/(1 + Sqrt[3] + q*x)^2]))   Subst[Int[1/(((1 - Sqrt[3])*d - c*q + ((1 + Sqr
      t[3])*d - c*q)*x)*Sqrt[1 - x^2]*Sqrt[7 - 4*Sqrt[3] + x^2]), x], x, (-1 + Sqrt[3] - q*x)/(1 + Sqrt[3] + q*x)],
      x]] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && NeQ[d*e - c*f, 0] && EqQ[b*e^3 - 2*(5 + 3*Sqrt[3])*a*f^3, 0] && NeQ[b*c
      ^3 - 2*(5 - 3*Sqrt[3])*a*d^3, 0]

2568. Int[((e_) + (f_.)*(x_))/(((c_) + (d_.)*(x_))*Sqrt[(a_) + (b_.)*(x_)^3]), x_Symbol] :> With[{q = Simplify[(-1 +
      Sqrt[3])*(f/e)]}, Simp[4*3^(1/4)*Sqrt[2 + Sqrt[3]]*f*(1 - q*x)*(Sqrt[(1 + q*x + q^2*x^2)/(1 - Sqrt[3] - q*x)^
      2]/(q*Sqrt[a + b*x^3]*Sqrt[-(1 - q*x)/(1 - Sqrt[3] - q*x)^2]))   Subst[Int[1/(((1 + Sqrt[3])*d + c*q + ((1 - S
      qrt[3])*d + c*q)*x)*Sqrt[1 - x^2]*Sqrt[7 + 4*Sqrt[3] + x^2]), x], x, (1 + Sqrt[3] - q*x)/(-1 + Sqrt[3] + q*x)]
      , x]] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && NeQ[d*e - c*f, 0] && EqQ[b*e^3 - 2*(5 - 3*Sqrt[3])*a*f^3, 0] && NeQ[b
      *c^3 - 2*(5 + 3*Sqrt[3])*a*d^3, 0]

2569. Int[((e_.) + (f_.)*(x_))/(((c_) + (d_.)*(x_))*Sqrt[(a_) + (b_.)*(x_)^3]), x_Symbol] :> With[{q = Rt[b/a, 3]},
      Simp[((1 + Sqrt[3])*f - e*q)/((1 + Sqrt[3])*d - c*q)   Int[1/Sqrt[a + b*x^3], x], x] + Simp[(d*e - c*f)/((1 +
      Sqrt[3])*d - c*q)   Int[(1 + Sqrt[3] + q*x)/((c + d*x)*Sqrt[a + b*x^3]), x], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f},
      x] && NeQ[d*e - c*f, 0] && NeQ[b^2*c^6 - 20*a*b*c^3*d^3 - 8*a^2*d^6, 0] && NeQ[b^2*e^6 - 20*a*b*e^3*f^3 - 8*a^
      2*f^6, 0]

2570. Int[((f_) + (g_.)*(x_) + (h_.)*(x_)^2)/(((c_) + (d_.)*(x_) + (e_.)*(x_)^2)*Sqrt[(a_) + (b_.)*(x_)^3]), x_Symbo
      l] :> Simp[-2*g*h   Subst[Int[1/(2*e*h - (b*d*f - 2*a*e*h)*x^2), x], x, (1 + 2*h*(x/g))/Sqrt[a + b*x^3]], x] /
      ; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, h}, x] && NeQ[b*d*f - 2*a*e*h, 0] && EqQ[b*g^3 - 8*a*h^3, 0] && EqQ[g^2 + 2*f*h,
      0] && EqQ[b*d*f + b*c*g - 4*a*e*h, 0]

2571. Int[((f_) + (g_.)*(x_) + (h_.)*(x_)^2)/(((c_) + (e_.)*(x_)^2)*Sqrt[(a_) + (b_.)*(x_)^3]), x_Symbol] :> Simp[-g
      /e   Subst[Int[1/(1 + a*x^2), x], x, (1 + 2*h*(x/g))/Sqrt[a + b*x^3]], x] /; FreeQ[{a, b, c, e, f, g, h}, x] &
      & EqQ[b*g^3 - 8*a*h^3, 0] && EqQ[g^2 + 2*f*h, 0] && EqQ[b*c*g - 4*a*e*h, 0]

2572. Int[Sqrt[(a_) + (b_.)*(x_)^3]/((c_) + (d_.)*(x_)), x_Symbol] :> Simp[b/d   Int[x^2/Sqrt[a + b*x^3], x], x] + S
      imp[b*(c/d^3)   Int[(c - d*x)/Sqrt[a + b*x^3], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && EqQ[b*c^3 - a*d^3, 0]

2573. Int[Sqrt[(a_) + (b_.)*(x_)^3]/((c_) + (d_.)*(x_)), x_Symbol] :> Simp[b/d   Int[x^2/Sqrt[a + b*x^3], x], x] + (
      -Simp[(b*c^3 - a*d^3)/d^3   Int[1/((c + d*x)*Sqrt[a + b*x^3]), x], x] + Simp[b*(c/d^3)   Int[(c - d*x)/Sqrt[a
      + b*x^3], x], x]) /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && NeQ[b*c^3 - a*d^3, 0]

2574. Int[1/(((c_) + (d_.)*(x_))*((a_) + (b_.)*(x_)^3)^(1/3)), x_Symbol] :> Simp[Sqrt[3]*(ArcTan[(1 - 2^(1/3)*Rt[b,
      3]*((c - d*x)/(d*(a + b*x^3)^(1/3))))/Sqrt[3]]/(2^(4/3)*Rt[b, 3]*c)), x] + (Simp[Log[(c + d*x)^2*(c - d*x)]/(2
      ^(7/3)*Rt[b, 3]*c), x] - Simp[(3*Log[Rt[b, 3]*(c - d*x) + 2^(2/3)*d*(a + b*x^3)^(1/3)])/(2^(7/3)*Rt[b, 3]*c),
      x]) /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && EqQ[b*c^3 + a*d^3, 0]

2575. Int[1/(((c_) + (d_.)*(x_))*((a_) + (b_.)*(x_)^3)^(1/3)), x_Symbol] :> Simp[1/(2*c)   Int[1/(a + b*x^3)^(1/3),
      x], x] + Simp[1/(2*c)   Int[(c - d*x)/((c + d*x)*(a + b*x^3)^(1/3)), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && EqQ[2
      *b*c^3 - a*d^3, 0]

2576. Int[((e_) + (f_.)*(x_))/(((c_) + (d_.)*(x_))*((a_) + (b_.)*(x_)^3)^(1/3)), x_Symbol] :> Simp[Sqrt[3]*f*(ArcTan
      [(1 + 2*Rt[b, 3]*((2*c + d*x)/(d*(a + b*x^3)^(1/3))))/Sqrt[3]]/(Rt[b, 3]*d)), x] + (Simp[(f*Log[c + d*x])/(Rt[
      b, 3]*d), x] - Simp[(3*f*Log[Rt[b, 3]*(2*c + d*x) - d*(a + b*x^3)^(1/3)])/(2*Rt[b, 3]*d), x]) /; FreeQ[{a, b,
      c, d, e, f}, x] && EqQ[d*e + c*f, 0] && EqQ[2*b*c^3 - a*d^3, 0]

2577. Int[((e_.) + (f_.)*(x_))/(((c_.) + (d_.)*(x_))*((a_) + (b_.)*(x_)^3)^(1/3)), x_Symbol] :> Simp[f/d   Int[1/(a
      + b*x^3)^(1/3), x], x] + Simp[(d*e - c*f)/d   Int[1/((c + d*x)*(a + b*x^3)^(1/3)), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d
      , e, f}, x]

2578. Int[((a_) + (b_.)*(x_)^3)^(2/3)/((c_) + (d_.)*(x_)), x_Symbol] :> Simp[(a + b*x^3)^(2/3)/(2*d), x] + (Simp[1/d
      ^2   Int[(a*d^2 + b*c^2*x)/((c + d*x)*(a + b*x^3)^(1/3)), x], x] - Simp[b*(c/d^2)   Int[x/(a + b*x^3)^(1/3), x
      ], x]) /; FreeQ[{a, b, c, d}, x]

2579. Int[1/(((c_) + (d_.)*(x_))*((a_) + (b_.)*(x_)^3)^(2/3)), x_Symbol] :> With[{q = Rt[b, 3]}, Simp[(-d)*(ArcTan[(
      1 + 2*q*(x/(a + b*x^3)^(1/3)))/Sqrt[3]]/(2*Sqrt[3]*q^2*c^2)), x] + (Simp[Sqrt[3]*d*(ArcTan[(1 + 2*q*((2*c + d*
      x)/(d*(a + b*x^3)^(1/3))))/Sqrt[3]]/(2*q^2*c^2)), x] - Simp[d*(Log[c + d*x]/(2*q^2*c^2)), x] - Simp[d*(Log[q*x
      - (a + b*x^3)^(1/3)]/(4*q^2*c^2)), x] + Simp[3*d*(Log[q*(2*c + d*x) - d*(a + b*x^3)^(1/3)]/(4*q^2*c^2)), x])]
      /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && EqQ[2*b*c^3 - a*d^3, 0]

2580. Int[(Px_)*(x_)^(m_.)*((c_) + (d_.)*(x_))^(q_)*((a_) + (b_.)*(x_)^3)^(p_.), x_Symbol] :> Int[ExpandIntegrand[(c
      ^3 + d^3*x^3)^q*(a + b*x^3)^p, x^m*(Px/(c^2 - c*d*x + d^2*x^2)^q), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, m, p}, x] && P
      olyQ[Px, x] && ILtQ[q, 0] && IntegerQ[m] && RationalQ[p] && EqQ[Denominator[p], 3]

2581. Int[(Px_.)*((c_) + (d_.)*(x_))^(q_)*((a_) + (b_.)*(x_)^3)^(p_.), x_Symbol] :> Int[ExpandIntegrand[(c^3 + d^3*x
      ^3)^q*(a + b*x^3)^p, Px/(c^2 - c*d*x + d^2*x^2)^q, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, p}, x] && PolyQ[Px, x] && ILtQ
      [q, 0] && RationalQ[p] && EqQ[Denominator[p], 3]

2582. Int[(Px_)*(x_)^(m_.)*((c_) + (d_.)*(x_) + (e_.)*(x_)^2)^(q_)*((a_) + (b_.)*(x_)^3)^(p_.), x_Symbol] :> Simp[1/
      c^q   Int[ExpandIntegrand[(c^3 - d^3*x^3)^q*(a + b*x^3)^p, x^m*(Px/(c - d*x)^q), x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c,
      d, e, m, p}, x] && PolyQ[Px, x] && EqQ[d^2 - c*e, 0] && ILtQ[q, 0] && IntegerQ[m] && RationalQ[p] && EqQ[Deno
      minator[p], 3]

2583. Int[(Px_.)*((c_) + (d_.)*(x_) + (e_.)*(x_)^2)^(q_)*((a_) + (b_.)*(x_)^3)^(p_.), x_Symbol] :> Simp[1/c^q   Int[
      ExpandIntegrand[(c^3 - d^3*x^3)^q*(a + b*x^3)^p, Px/(c - d*x)^q, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, p}, x] &&
      PolyQ[Px, x] && EqQ[d^2 - c*e, 0] && ILtQ[q, 0] && RationalQ[p] && EqQ[Denominator[p], 3]

2584. Int[((c_) + (d_.)*(x_)^(n_.))^(q_)*((a_) + (b_.)*(x_)^(nn_.))^(p_), x_Symbol] :> Int[ExpandToSum[(c - d*x^n)^(
      -q), x]*((a + b*x^nn)^p/(c^2 - d^2*x^(2*n))^(-q)), x] /; FreeQ[{a, b, c, d, n, nn, p}, x] &&  !IntegerQ[p] &&
      ILtQ[q, 0] && IGtQ[Log[2, nn/n], 0]

2585. Int[((e_.)*(x_))^(m_.)*((c_) + (d_.)*(x_)^(n_.))^(q_)*((a_) + (b_.)*(x_)^(nn_.))^(p_), x_Symbol] :> Simp[(e*x)
      ^m/x^m   Int[x^m*ExpandToSum[(c - d*x^n)^(-q), x]*((a + b*x^nn)^p/(c^2 - d^2*x^(2*n))^(-q)), x], x] /; FreeQ[{
      a, b, c, d, e, m, n, nn, p}, x] &&  !IntegerQ[p] && ILtQ[q, 0] && IGtQ[Log[2, nn/n], 0]

2586. Int[(x_)^(m_.)/((c_) + (d_.)*(x_)^(n_) + (e_.)*Sqrt[(a_) + (b_.)*(x_)^(n_)]), x_Symbol] :> Simp[1/n   Subst[In
      t[x^((m + 1)/n - 1)/(c + d*x + e*Sqrt[a + b*x]), x], x, x^n], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, m, n}, x] && EqQ[b*c
      - a*d, 0] && IntegerQ[(m + 1)/n]

2587. Int[(u_.)/((c_) + (d_.)*(x_)^(n_) + (e_.)*Sqrt[(a_) + (b_.)*(x_)^(n_)]), x_Symbol] :> Simp[c   Int[u/(c^2 - a*
      e^2 + c*d*x^n), x], x] - Simp[a*e   Int[u/((c^2 - a*e^2 + c*d*x^n)*Sqrt[a + b*x^n]), x], x] /; FreeQ[{a, b, c,
      d, e, n}, x] && EqQ[b*c - a*d, 0]

2588. Int[(u_)^(m_.), x_Symbol] :> With[{c = Simplify[D[u, x]]}, Simp[1/c   Subst[Int[x^m, x], x, u], x]] /; FreeQ[m
      , x] && PiecewiseLinearQ[u, x]

2589. Int[(v_)/(u_), x_Symbol] :> With[{a = Simplify[D[u, x]], b = Simplify[D[v, x]]}, Simp[b*(x/a), x] - Simp[(b*u
      - a*v)/a   Int[1/u, x], x] /; NeQ[b*u - a*v, 0]] /; PiecewiseLinearQ[u, v, x]

2590. Int[(v_)^(n_)/(u_), x_Symbol] :> With[{a = Simplify[D[u, x]], b = Simplify[D[v, x]]}, Simp[v^n/(a*n), x] - Sim
      p[(b*u - a*v)/a   Int[v^(n - 1)/u, x], x] /; NeQ[b*u - a*v, 0]] /; PiecewiseLinearQ[u, v, x] && GtQ[n, 0] && N
      eQ[n, 1]

2591. Int[1/((u_)*(v_)), x_Symbol] :> With[{a = Simplify[D[u, x]], b = Simplify[D[v, x]]}, Simp[b/(b*u - a*v)   Int[
      1/v, x], x] - Simp[a/(b*u - a*v)   Int[1/u, x], x] /; NeQ[b*u - a*v, 0]] /; PiecewiseLinearQ[u, v, x]

2592. Int[1/((u_)*Sqrt[v_]), x_Symbol] :> With[{a = Simplify[D[u, x]], b = Simplify[D[v, x]]}, Simp[2*(ArcTan[Sqrt[v
      ]/Rt[(b*u - a*v)/a, 2]]/(a*Rt[(b*u - a*v)/a, 2])), x] /; NeQ[b*u - a*v, 0] && PosQ[(b*u - a*v)/a]] /; Piecewis
      eLinearQ[u, v, x]

2593. Int[1/((u_)*Sqrt[v_]), x_Symbol] :> With[{a = Simplify[D[u, x]], b = Simplify[D[v, x]]}, Simp[-2*(ArcTanh[Sqrt
      [v]/Rt[-(b*u - a*v)/a, 2]]/(a*Rt[-(b*u - a*v)/a, 2])), x] /; NeQ[b*u - a*v, 0] && NegQ[(b*u - a*v)/a]] /; Piec
      ewiseLinearQ[u, v, x]

2594. Int[(v_)^(n_)/(u_), x_Symbol] :> With[{a = Simplify[D[u, x]], b = Simplify[D[v, x]]}, Simp[v^(n + 1)/((n + 1)*
      (b*u - a*v)), x] - Simp[a*((n + 1)/((n + 1)*(b*u - a*v)))   Int[v^(n + 1)/u, x], x] /; NeQ[b*u - a*v, 0]] /; P
      iecewiseLinearQ[u, v, x] && LtQ[n, -1]

2595. Int[(v_)^(n_)/(u_), x_Symbol] :> With[{a = Simplify[D[u, x]], b = Simplify[D[v, x]]}, Simp[(v^(n + 1)/((n + 1)
      *(b*u - a*v)))*Hypergeometric2F1[1, n + 1, n + 2, (-a)*(v/(b*u - a*v))], x] /; NeQ[b*u - a*v, 0]] /; Piecewise
      LinearQ[u, v, x] &&  !IntegerQ[n]

2596. Int[1/(Sqrt[u_]*Sqrt[v_]), x_Symbol] :> With[{a = Simplify[D[u, x]], b = Simplify[D[v, x]]}, Simp[(2/Rt[a*b, 2
      ])*ArcTanh[Rt[a*b, 2]*(Sqrt[u]/(a*Sqrt[v]))], x] /; NeQ[b*u - a*v, 0] && PosQ[a*b]] /; PiecewiseLinearQ[u, v,
      x]

2597. Int[1/(Sqrt[u_]*Sqrt[v_]), x_Symbol] :> With[{a = Simplify[D[u, x]], b = Simplify[D[v, x]]}, Simp[(2/Rt[(-a)*b
      , 2])*ArcTan[Rt[(-a)*b, 2]*(Sqrt[u]/(a*Sqrt[v]))], x] /; NeQ[b*u - a*v, 0] && NegQ[a*b]] /; PiecewiseLinearQ[u
      , v, x]

2598. Int[(u_)^(m_)*(v_)^(n_), x_Symbol] :> With[{a = Simplify[D[u, x]], b = Simplify[D[v, x]]}, Simp[(-u^(m + 1))*(
      v^(n + 1)/((m + 1)*(b*u - a*v))), x] /; NeQ[b*u - a*v, 0]] /; FreeQ[{m, n}, x] && PiecewiseLinearQ[u, v, x] &&
      EqQ[m + n + 2, 0] && NeQ[m, -1]

2599. Int[(u_)^(m_)*(v_)^(n_.), x_Symbol] :> With[{a = Simplify[D[u, x]], b = Simplify[D[v, x]]}, Simp[u^(m + 1)*(v^
      n/(a*(m + 1))), x] - Simp[b*(n/(a*(m + 1)))   Int[u^(m + 1)*v^(n - 1), x], x] /; NeQ[b*u - a*v, 0]] /; FreeQ[{
      m, n}, x] && PiecewiseLinearQ[u, v, x] && NeQ[m, -1] && ((LtQ[m, -1] && GtQ[n, 0] &&  !(ILtQ[m + n, -2] && (Fr
      actionQ[m] || GeQ[2*n + m + 1, 0]))) || (IGtQ[n, 0] && IGtQ[m, 0] && LeQ[n, m]) || (IGtQ[n, 0] &&  !IntegerQ[m
      ]) || (ILtQ[m, 0] &&  !IntegerQ[n]))

2600. Int[(u_)^(m_)*(v_)^(n_.), x_Symbol] :> With[{a = Simplify[D[u, x]], b = Simplify[D[v, x]]}, Simp[u^(m + 1)*(v^
      n/(a*(m + n + 1))), x] - Simp[n*((b*u - a*v)/(a*(m + n + 1)))   Int[u^m*v^(n - 1), x], x] /; NeQ[b*u - a*v, 0]
      ] /; PiecewiseLinearQ[u, v, x] && NeQ[m + n + 2, 0] && GtQ[n, 0] && NeQ[m + n + 1, 0] &&  !(IGtQ[m, 0] && ( !I
      ntegerQ[n] || LtQ[0, m, n])) &&  !ILtQ[m + n, -2]

2601. Int[(u_)^(m_)*(v_)^(n_), x_Symbol] :> With[{a = Simplify[D[u, x]], b = Simplify[D[v, x]]}, Simp[u^(m + 1)*(v^n
      /(a*(m + n + 1))), x] - Simp[n*((b*u - a*v)/(a*(m + n + 1)))   Int[u^m*v^Simplify[n - 1], x], x] /; NeQ[b*u -
      a*v, 0]] /; PiecewiseLinearQ[u, v, x] && NeQ[m + n + 1, 0] &&  !RationalQ[n] && SumSimplerQ[n, -1]

2602. Int[(u_)^(m_)*(v_)^(n_), x_Symbol] :> With[{a = Simplify[D[u, x]], b = Simplify[D[v, x]]}, Simp[(-u^(m + 1))*(
      v^(n + 1)/((m + 1)*(b*u - a*v))), x] + Simp[b*((m + n + 2)/((m + 1)*(b*u - a*v)))   Int[u^(m + 1)*v^n, x], x]
      /; NeQ[b*u - a*v, 0]] /; PiecewiseLinearQ[u, v, x] && NeQ[m + n + 2, 0] && LtQ[m, -1]

2603. Int[(u_)^(m_)*(v_)^(n_), x_Symbol] :> With[{a = Simplify[D[u, x]], b = Simplify[D[v, x]]}, Simp[(-u^(m + 1))*(
      v^(n + 1)/((m + 1)*(b*u - a*v))), x] + Simp[b*((m + n + 2)/((m + 1)*(b*u - a*v)))   Int[u^Simplify[m + 1]*v^n,
      x], x] /; NeQ[b*u - a*v, 0]] /; PiecewiseLinearQ[u, v, x] &&  !RationalQ[m] && SumSimplerQ[m, 1]

2604. Int[(u_)^(m_)*(v_)^(n_), x_Symbol] :> With[{a = Simplify[D[u, x]], b = Simplify[D[v, x]]}, Simp[u^m*(v^(n + 1)
      /(b*(n + 1)*(b*(u/(b*u - a*v)))^m))*Hypergeometric2F1[-m, n + 1, n + 2, (-a)*(v/(b*u - a*v))], x] /; NeQ[b*u -
      a*v, 0]] /; PiecewiseLinearQ[u, v, x] &&  !IntegerQ[m] &&  !IntegerQ[n]

2605. Int[Log[(a_.) + (b_.)*(x_)]*(u_)^(n_.), x_Symbol] :> With[{c = Simplify[D[u, x]]}, Simp[u^n*(a + b*x)*(Log[a +
      b*x]/b), x] + (-Int[u^n, x] - Simp[c*(n/b)   Int[u^(n - 1)*(a + b*x)*Log[a + b*x], x], x])] /; FreeQ[{a, b},
      x] && PiecewiseLinearQ[u, x] &&  !LinearQ[u, x] && GtQ[n, 0]

2606. Int[Log[(a_.) + (b_.)*(x_)]*(u_)^(n_.)*((a_.) + (b_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> With[{c = Simplify[D[u, x]]},
      Simp[u^n*(a + b*x)^(m + 1)*(Log[a + b*x]/(b*(m + 1))), x] + (-Simp[1/(m + 1)   Int[u^n*(a + b*x)^m, x], x] - S
      imp[c*(n/(b*(m + 1)))   Int[u^(n - 1)*(a + b*x)^(m + 1)*Log[a + b*x], x], x])] /; FreeQ[{a, b, m}, x] && Piece
      wiseLinearQ[u, x] &&  !LinearQ[u, x] && GtQ[n, 0] && NeQ[m, -1]

2607. Int[((b_.)*(F_)^((g_.)*((e_.) + (f_.)*(x_))))^(n_.)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Simp[(c + d*x)^m*
      ((b*F^(g*(e + f*x)))^n/(f*g*n*Log[F])), x] - Simp[d*(m/(f*g*n*Log[F]))   Int[(c + d*x)^(m - 1)*(b*F^(g*(e + f*
      x)))^n, x], x] /; FreeQ[{F, b, c, d, e, f, g, n}, x] && GtQ[m, 0] && IntegerQ[2*m] &&  !TrueQ[$UseGamma]

2608. Int[((b_.)*(F_)^((g_.)*((e_.) + (f_.)*(x_))))^(n_.)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_), x_Symbol] :> Simp[(c + d*x)^(m
      + 1)*((b*F^(g*(e + f*x)))^n/(d*(m + 1))), x] - Simp[f*g*n*(Log[F]/(d*(m + 1)))   Int[(c + d*x)^(m + 1)*(b*F^(g
      *(e + f*x)))^n, x], x] /; FreeQ[{F, b, c, d, e, f, g, n}, x] && LtQ[m, -1] && IntegerQ[2*m] &&  !TrueQ[$UseGam
      ma]

2609. Int[(F_)^((g_.)*((e_.) + (f_.)*(x_)))/((c_.) + (d_.)*(x_)), x_Symbol] :> Simp[(F^(g*(e - c*(f/d)))/d)*ExpInteg
      ralEi[f*g*(c + d*x)*(Log[F]/d)], x] /; FreeQ[{F, c, d, e, f, g}, x] &&  !TrueQ[$UseGamma]

2610. Int[(F_)^((g_.)*((e_.) + (f_.)*(x_)))*((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Simp[(-d)^m*(F^(g*(e - c*(f/d))
      )/(f^(m + 1)*g^(m + 1)*Log[F]^(m + 1)))*Gamma[m + 1, (-f)*g*(Log[F]/d)*(c + d*x)], x] /; FreeQ[{F, c, d, e, f,
      g}, x] && IntegerQ[m]

2611. Int[(F_)^((g_.)*((e_.) + (f_.)*(x_)))/Sqrt[(c_.) + (d_.)*(x_)], x_Symbol] :> Simp[2/d   Subst[Int[F^(g*(e - c*
      (f/d)) + f*g*(x^2/d)), x], x, Sqrt[c + d*x]], x] /; FreeQ[{F, c, d, e, f, g}, x] &&  !TrueQ[$UseGamma]

2612. Int[(F_)^((g_.)*((e_.) + (f_.)*(x_)))*((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_), x_Symbol] :> Simp[(-F^(g*(e - c*(f/d))))*((c
      + d*x)^FracPart[m]/(d*((-f)*g*(Log[F]/d))^(IntPart[m] + 1)*((-f)*g*Log[F]*((c + d*x)/d))^FracPart[m]))*Gamma[m
      + 1, ((-f)*g*(Log[F]/d))*(c + d*x)], x] /; FreeQ[{F, c, d, e, f, g, m}, x] &&  !IntegerQ[m]

2613. Int[((b_.)*(F_)^((g_.)*((e_.) + (f_.)*(x_))))^(n_)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Simp[(b*F^(g*(e +
      f*x)))^n/F^(g*n*(e + f*x))   Int[(c + d*x)^m*F^(g*n*(e + f*x)), x], x] /; FreeQ[{F, b, c, d, e, f, g, m, n}, x
      ]

2614. Int[((a_) + (b_.)*((F_)^((g_.)*((e_.) + (f_.)*(x_))))^(n_.))^(p_.)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> In
      t[ExpandIntegrand[(c + d*x)^m, (a + b*(F^(g*(e + f*x)))^n)^p, x], x] /; FreeQ[{F, a, b, c, d, e, f, g, m, n},
      x] && IGtQ[p, 0]

2615. Int[((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.)/((a_) + (b_.)*((F_)^((g_.)*((e_.) + (f_.)*(x_))))^(n_.)), x_Symbol] :> Simp[(c
      + d*x)^(m + 1)/(a*d*(m + 1)), x] - Simp[b/a   Int[(c + d*x)^m*((F^(g*(e + f*x)))^n/(a + b*(F^(g*(e + f*x)))^n)
      ), x], x] /; FreeQ[{F, a, b, c, d, e, f, g, n}, x] && IGtQ[m, 0]

2616. Int[((a_) + (b_.)*((F_)^((g_.)*((e_.) + (f_.)*(x_))))^(n_.))^(p_)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Sim
      p[1/a   Int[(c + d*x)^m*(a + b*(F^(g*(e + f*x)))^n)^(p + 1), x], x] - Simp[b/a   Int[(c + d*x)^m*(F^(g*(e + f*
      x)))^n*(a + b*(F^(g*(e + f*x)))^n)^p, x], x] /; FreeQ[{F, a, b, c, d, e, f, g, n}, x] && ILtQ[p, 0] && IGtQ[m,
      0]

2617. Int[((a_) + (b_.)*((F_)^((g_.)*((e_.) + (f_.)*(x_))))^(n_.))^(p_)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Wit
      h[{u = IntHide[(a + b*(F^(g*(e + f*x)))^n)^p, x]}, Simp[(c + d*x)^m   u, x] - Simp[d*m   Int[(c + d*x)^(m - 1)
      *u, x], x]] /; FreeQ[{F, a, b, c, d, e, f, g, n}, x] && IGtQ[m, 0] && LtQ[p, -1]

2618. Int[((a_.) + (b_.)*((F_)^((g_.)*(v_)))^(n_.))^(p_.)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Int[(c + d*x)^m*(
      a + b*(F^(g*ExpandToSum[v, x]))^n)^p, x] /; FreeQ[{F, a, b, c, d, g, n, p}, x] && LinearQ[v, x] &&  !LinearMat
      chQ[v, x] && IntegerQ[m]

2619. Int[((a_) + (b_.)*((F_)^((g_.)*((e_.) + (f_.)*(x_))))^(n_.))^(p_.)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Un
      integrable[(a + b*(F^(g*(e + f*x)))^n)^p*(c + d*x)^m, x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, m, n, p}, x]

2620. Int[(((F_)^((g_.)*((e_.) + (f_.)*(x_))))^(n_.)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.))/((a_) + (b_.)*((F_)^((g_.)*((e_.) +
      (f_.)*(x_))))^(n_.)), x_Symbol] :> Simp[((c + d*x)^m/(b*f*g*n*Log[F]))*Log[1 + b*((F^(g*(e + f*x)))^n/a)], x]
      - Simp[d*(m/(b*f*g*n*Log[F]))   Int[(c + d*x)^(m - 1)*Log[1 + b*((F^(g*(e + f*x)))^n/a)], x], x] /; FreeQ[{F,
      a, b, c, d, e, f, g, n}, x] && IGtQ[m, 0]

2621. Int[((F_)^((g_.)*((e_.) + (f_.)*(x_))))^(n_.)*((a_.) + (b_.)*((F_)^((g_.)*((e_.) + (f_.)*(x_))))^(n_.))^(p_.)*
      ((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Simp[(c + d*x)^m*((a + b*(F^(g*(e + f*x)))^n)^(p + 1)/(b*f*g*n*(p + 1
      )*Log[F])), x] - Simp[d*(m/(b*f*g*n*(p + 1)*Log[F]))   Int[(c + d*x)^(m - 1)*(a + b*(F^(g*(e + f*x)))^n)^(p +
      1), x], x] /; FreeQ[{F, a, b, c, d, e, f, g, m, n, p}, x] && NeQ[p, -1]

2622. Int[((F_)^((g_.)*((e_.) + (f_.)*(x_))))^(n_.)*((a_.) + (b_.)*((F_)^((g_.)*((e_.) + (f_.)*(x_))))^(n_.))^(p_.)*
      ((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Unintegrable[(F^(g*(e + f*x)))^n*(a + b*(F^(g*(e + f*x)))^n)^p*(c + d
      *x)^m, x] /; FreeQ[{F, a, b, c, d, e, f, g, m, n, p}, x]

2623. Int[((a_.) + (b_.)*((F_)^((g_.)*((e_.) + (f_.)*(x_))))^(n_.))^(p_.)*((k_.)*(G_)^((j_.)*((h_.) + (i_.)*(x_))))^
      (q_.)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Simp[(k*G^(j*(h + i*x)))^q/(F^(g*(e + f*x)))^n   Int[(c + d*x)^
      m*(F^(g*(e + f*x)))^n*(a + b*(F^(g*(e + f*x)))^n)^p, x], x] /; FreeQ[{F, a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, m, n
      , p, q}, x] && EqQ[f*g*n*Log[F] - i*j*q*Log[G], 0] && NeQ[(k*G^(j*(h + i*x)))^q - (F^(g*(e + f*x)))^n, 0]

2624. Int[((F_)^(v_))^(n_.), x_Symbol] :> Simp[(F^v)^n/(n*Log[F]*D[v, x]), x] /; FreeQ[{F, n}, x] && LinearQ[v, x]

2625. Int[(F_)^(v_)*(Px_), x_Symbol] :> Int[ExpandIntegrand[Px*F^v, x], x] /; FreeQ[F, x] && PolynomialQ[Px, x] && L
      inearQ[v, x] && TrueQ[$UseGamma]

2626. Int[(F_)^(v_)*(Px_), x_Symbol] :> Int[ExpandIntegrand[F^v, Px, x], x] /; FreeQ[F, x] && PolynomialQ[Px, x] &&
      LinearQ[v, x] &&  !TrueQ[$UseGamma]

2627. Int[(F_)^(v_)*((d_.) + (e_.)*(x_))^(m_.)*((f_.) + (g_.)*(x_)), x_Symbol] :> Simp[g*(d + e*x)^(m + 1)*(F^v/(D[v
      , x]*e*Log[F])), x] /; FreeQ[{F, d, e, f, g, m}, x] && LinearQ[v, x] && EqQ[e*g*(m + 1) - D[v, x]*(e*f - d*g)*
      Log[F], 0]

2628. Int[(F_)^(v_)*(Px_)*((d_.) + (e_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Int[ExpandIntegrand[Px*(d + e*x)^m*F^v, x], x] /;
      FreeQ[{F, d, e, m}, x] && PolynomialQ[Px, x] && LinearQ[v, x] && TrueQ[$UseGamma]

2629. Int[(F_)^(v_)*(Px_)*((d_.) + (e_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Int[ExpandIntegrand[F^v, Px*(d + e*x)^m, x], x] /
      ; FreeQ[{F, d, e, m}, x] && PolynomialQ[Px, x] && LinearQ[v, x] &&  !TrueQ[$UseGamma]

2630. Int[Log[(d_.)*(x_)]^(n_.)*(F_)^(v_)*((e_) + Log[(d_.)*(x_)]*(h_.)*((f_.) + (g_.)*(x_))), x_Symbol] :> Simp[e*x
      *F^v*(Log[d*x]^(n + 1)/(n + 1)), x] /; FreeQ[{F, d, e, f, g, h, n}, x] && LinearQ[v, x] && EqQ[e, f*h*(n + 1)]
      && EqQ[g*h*(n + 1), D[v, x]*e*Log[F]] && NeQ[n, -1]

2631. Int[Log[(d_.)*(x_)]^(n_.)*(F_)^(v_)*(x_)^(m_.)*((e_) + Log[(d_.)*(x_)]*(h_.)*((f_.) + (g_.)*(x_))), x_Symbol]
      :> Simp[e*x^(m + 1)*F^v*(Log[d*x]^(n + 1)/(n + 1)), x] /; FreeQ[{F, d, e, f, g, h, m, n}, x] && LinearQ[v, x]
      && EqQ[e*(m + 1), f*h*(n + 1)] && EqQ[g*h*(n + 1), D[v, x]*e*Log[F]] && NeQ[n, -1]

2632. Int[(F_)^((a_.) + (b_.)*((c_.) + (d_.)*(x_))), x_Symbol] :> Simp[F^(a + b*(c + d*x))/(b*d*Log[F]), x] /; FreeQ
      [{F, a, b, c, d}, x]

2633. Int[(F_)^((a_.) + (b_.)*((c_.) + (d_.)*(x_))^2), x_Symbol] :> Simp[F^a*Sqrt[Pi]*(Erfi[(c + d*x)*Rt[b*Log[F], 2
      ]]/(2*d*Rt[b*Log[F], 2])), x] /; FreeQ[{F, a, b, c, d}, x] && PosQ[b]

2634. Int[(F_)^((a_.) + (b_.)*((c_.) + (d_.)*(x_))^2), x_Symbol] :> Simp[F^a*Sqrt[Pi]*(Erf[(c + d*x)*Rt[(-b)*Log[F],
      2]]/(2*d*Rt[(-b)*Log[F], 2])), x] /; FreeQ[{F, a, b, c, d}, x] && NegQ[b]

2635. Int[(F_)^((a_.) + (b_.)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(n_)), x_Symbol] :> Simp[(c + d*x)*(F^(a + b*(c + d*x)^n)/d), x]
      - Simp[b*n*Log[F]   Int[(c + d*x)^n*F^(a + b*(c + d*x)^n), x], x] /; FreeQ[{F, a, b, c, d}, x] && IntegerQ[2/n
      ] && ILtQ[n, 0]

2636. Int[(F_)^((a_.) + (b_.)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(n_)), x_Symbol] :> With[{k = Denominator[n]}, Simp[k/d   Subst[I
      nt[x^(k - 1)*F^(a + b*x^(k*n)), x], x, (c + d*x)^(1/k)], x]] /; FreeQ[{F, a, b, c, d}, x] && IntegerQ[2/n] &&
      !IntegerQ[n]

2637. Int[(F_)^((a_.) + (b_.)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(n_)), x_Symbol] :> Simp[(-F^a)*(c + d*x)*(Gamma[1/n, (-b)*(c + d
      *x)^n*Log[F]]/(d*n*((-b)*(c + d*x)^n*Log[F])^(1/n))), x] /; FreeQ[{F, a, b, c, d, n}, x] &&  !IntegerQ[2/n]

2638. Int[(F_)^((a_.) + (b_.)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(n_))*((e_.) + (f_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Simp[(e + f*x)^n*(
      F^(a + b*(c + d*x)^n)/(b*f*n*(c + d*x)^n*Log[F])), x] /; FreeQ[{F, a, b, c, d, e, f, n}, x] && EqQ[m, n - 1] &
      & EqQ[d*e - c*f, 0]

2639. Int[(F_)^((a_.) + (b_.)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(n_))/((e_.) + (f_.)*(x_)), x_Symbol] :> Simp[F^a*(ExpIntegralEi[
      b*(c + d*x)^n*Log[F]]/(f*n)), x] /; FreeQ[{F, a, b, c, d, e, f, n}, x] && EqQ[d*e - c*f, 0]

2640. Int[(F_)^((a_.) + (b_.)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(n_))*((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Simp[1/(d*(m + 1))
      Subst[Int[F^(a + b*x^2), x], x, (c + d*x)^(m + 1)], x] /; FreeQ[{F, a, b, c, d, m, n}, x] && EqQ[n, 2*(m +
      1)]

2641. Int[(F_)^((a_.) + (b_.)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(n_))*((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Simp[(c + d*x)^(m
      - n + 1)*(F^(a + b*(c + d*x)^n)/(b*d*n*Log[F])), x] - Simp[(m - n + 1)/(b*n*Log[F])   Int[(c + d*x)^(m - n)*F^
      (a + b*(c + d*x)^n), x], x] /; FreeQ[{F, a, b, c, d}, x] && IntegerQ[2*((m + 1)/n)] && LtQ[0, (m + 1)/n, 5] &&
      IntegerQ[n] && (LtQ[0, n, m + 1] || LtQ[m, n, 0])

2642. Int[(F_)^((a_.) + (b_.)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(n_))*((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Simp[(c + d*x)^(m
      - n + 1)*(F^(a + b*(c + d*x)^n)/(b*d*n*Log[F])), x] - Simp[(m - n + 1)/(b*n*Log[F])   Int[(c + d*x)^Simplify[m
      - n]*F^(a + b*(c + d*x)^n), x], x] /; FreeQ[{F, a, b, c, d, m, n}, x] && IntegerQ[2*Simplify[(m + 1)/n]] && L
      tQ[0, Simplify[(m + 1)/n], 5] &&  !RationalQ[m] && SumSimplerQ[m, -n]

2643. Int[(F_)^((a_.) + (b_.)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(n_))*((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Simp[(c + d*x)^(m
      + 1)*(F^(a + b*(c + d*x)^n)/(d*(m + 1))), x] - Simp[b*n*(Log[F]/(m + 1))   Int[(c + d*x)^(m + n)*F^(a + b*(c +
      d*x)^n), x], x] /; FreeQ[{F, a, b, c, d}, x] && IntegerQ[2*((m + 1)/n)] && LtQ[-4, (m + 1)/n, 5] && IntegerQ[
      n] && ((GtQ[n, 0] && LtQ[m, -1]) || (GtQ[-n, 0] && LeQ[-n, m + 1]))

2644. Int[(F_)^((a_.) + (b_.)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(n_))*((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Simp[(c + d*x)^(m
      + 1)*(F^(a + b*(c + d*x)^n)/(d*(m + 1))), x] - Simp[b*n*(Log[F]/(m + 1))   Int[(c + d*x)^Simplify[m + n]*F^(a
      + b*(c + d*x)^n), x], x] /; FreeQ[{F, a, b, c, d, m, n}, x] && IntegerQ[2*Simplify[(m + 1)/n]] && LtQ[-4, Simp
      lify[(m + 1)/n], 5] &&  !RationalQ[m] && SumSimplerQ[m, n]

2645. Int[(F_)^((a_.) + (b_.)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(n_))*((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> With[{k = Denomina
      tor[n]}, Simp[k/d   Subst[Int[x^(k*(m + 1) - 1)*F^(a + b*x^(k*n)), x], x, (c + d*x)^(1/k)], x]] /; FreeQ[{F, a
      , b, c, d, m, n}, x] && IntegerQ[2*((m + 1)/n)] && LtQ[0, (m + 1)/n, 5] &&  !IntegerQ[n]

2646. Int[(F_)^((a_.) + (b_.)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(n_))*((e_.) + (f_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Simp[(e + f*x)^m/(
      c + d*x)^m   Int[(c + d*x)^m*F^(a + b*(c + d*x)^n), x], x] /; FreeQ[{F, a, b, c, d, e, f, m, n}, x] && EqQ[d*e
      - c*f, 0] && IntegerQ[2*Simplify[(m + 1)/n]] &&  !IntegerQ[m] && NeQ[f, d] && NeQ[c*e, 0]

2647. Int[(F_)^((a_.) + (b_.)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(n_))*((e_.) + (f_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> With[{p = Simplify
      [(m + 1)/n]}, Simp[(-F^a)*((f/d)^m/(d*n*((-b)*Log[F])^p))*Simplify[FunctionExpand[Gamma[p, (-b)*(c + d*x)^n*Lo
      g[F]]]], x] /; IGtQ[p, 0]] /; FreeQ[{F, a, b, c, d, e, f, m, n}, x] && EqQ[d*e - c*f, 0] &&  !TrueQ[$UseGamma]

2648. Int[(F_)^((a_.) + (b_.)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(n_))*((e_.) + (f_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Simp[(-F^a)*((e +
      f*x)^(m + 1)/(f*n*((-b)*(c + d*x)^n*Log[F])^((m + 1)/n)))*Gamma[(m + 1)/n, (-b)*(c + d*x)^n*Log[F]], x] /; Fre
      eQ[{F, a, b, c, d, e, f, m, n}, x] && EqQ[d*e - c*f, 0]

2649. Int[(F_)^((a_.) + (b_.)*((c_.) + (d_.)*(x_))^2)*((e_.) + (f_.)*(x_))^(m_), x_Symbol] :> Simp[f*(e + f*x)^(m -
      1)*(F^(a + b*(c + d*x)^2)/(2*b*d^2*Log[F])), x] + (Simp[(d*e - c*f)/d   Int[(e + f*x)^(m - 1)*F^(a + b*(c + d*
      x)^2), x], x] - Simp[(m - 1)*(f^2/(2*b*d^2*Log[F]))   Int[(e + f*x)^(m - 2)*F^(a + b*(c + d*x)^2), x], x]) /;
      FreeQ[{F, a, b, c, d, e, f}, x] && NeQ[d*e - c*f, 0] && FractionQ[m] && GtQ[m, 1]

2650. Int[(F_)^((a_.) + (b_.)*((c_.) + (d_.)*(x_))^2)*((e_.) + (f_.)*(x_))^(m_), x_Symbol] :> Simp[f*(e + f*x)^(m +
      1)*(F^(a + b*(c + d*x)^2)/((m + 1)*f^2)), x] + (-Simp[2*b*d^2*(Log[F]/(f^2*(m + 1)))   Int[(e + f*x)^(m + 2)*F
      ^(a + b*(c + d*x)^2), x], x] + Simp[2*b*d*(d*e - c*f)*(Log[F]/(f^2*(m + 1)))   Int[(e + f*x)^(m + 1)*F^(a + b*
      (c + d*x)^2), x], x]) /; FreeQ[{F, a, b, c, d, e, f}, x] && NeQ[d*e - c*f, 0] && LtQ[m, -1]

2651. Int[(F_)^((a_.) + (b_.)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(n_))*((e_.) + (f_.)*(x_))^(m_), x_Symbol] :> Simp[(e + f*x)^(m +
      1)*(F^(a + b*(c + d*x)^n)/(f*(m + 1))), x] - Simp[b*d*n*(Log[F]/(f*(m + 1)))   Int[(e + f*x)^(m + 1)*(c + d*x
      )^(n - 1)*F^(a + b*(c + d*x)^n), x], x] /; FreeQ[{F, a, b, c, d, e, f}, x] && NeQ[d*e - c*f, 0] && IGtQ[n, 2]
      && LtQ[m, -1]

2652. Int[(F_)^((a_.) + (b_.)/((c_.) + (d_.)*(x_)))/((e_.) + (f_.)*(x_)), x_Symbol] :> Simp[d/f   Int[F^(a + b/(c +
      d*x))/(c + d*x), x], x] - Simp[(d*e - c*f)/f   Int[F^(a + b/(c + d*x))/((c + d*x)*(e + f*x)), x], x] /; FreeQ[
      {F, a, b, c, d, e, f}, x] && NeQ[d*e - c*f, 0]

2653. Int[(F_)^((a_.) + (b_.)/((c_.) + (d_.)*(x_)))*((e_.) + (f_.)*(x_))^(m_), x_Symbol] :> Simp[(e + f*x)^(m + 1)*(
      F^(a + b/(c + d*x))/(f*(m + 1))), x] + Simp[b*d*(Log[F]/(f*(m + 1)))   Int[(e + f*x)^(m + 1)*(F^(a + b/(c + d*
      x))/(c + d*x)^2), x], x] /; FreeQ[{F, a, b, c, d, e, f}, x] && NeQ[d*e - c*f, 0] && ILtQ[m, -1]

2654. Int[(F_)^((a_.) + (b_.)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(n_))/((e_.) + (f_.)*(x_)), x_Symbol] :> Unintegrable[F^(a + b*(c
      + d*x)^n)/(e + f*x), x] /; FreeQ[{F, a, b, c, d, e, f, n}, x] && NeQ[d*e - c*f, 0]

2655. Int[(F_)^(v_)*((e_.) + (f_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Int[(e + f*x)^m*F^ExpandToSum[v, x], x] /; FreeQ[{F, e,
      f, m}, x] && BinomialQ[v, x] &&  !BinomialMatchQ[v, x]

2656. Int[(F_)^((a_.) + (b_.)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(n_))*(Px_), x_Symbol] :> Int[ExpandLinearProduct[F^(a + b*(c + d
      *x)^n), Px, c, d, x], x] /; FreeQ[{F, a, b, c, d, n}, x] && PolynomialQ[Px, x]

2657. Int[(Px_.)*(F_)^((a_.) + (b_.)*(v_)^(n_.)), x_Symbol] :> Int[Px*F^(a + b*ExpandToSum[v, x]^n), x] /; FreeQ[{F,
      a, b, n}, x] && PolynomialQ[Px, x] && LinearQ[v, x] &&  !LinearMatchQ[v, x]

2658. Int[(F_)^((a_.) + (b_.)/((c_.) + (d_.)*(x_)))/(((e_.) + (f_.)*(x_))*((g_.) + (h_.)*(x_))), x_Symbol] :> Simp[-
      d/(f*(d*g - c*h))   Subst[Int[F^(a - b*(h/(d*g - c*h)) + d*b*(x/(d*g - c*h)))/x, x], x, (g + h*x)/(c + d*x)],
      x] /; FreeQ[{F, a, b, c, d, e, f}, x] && EqQ[d*e - c*f, 0]

2659. Int[(F_)^((e_.) + ((f_.)*((a_.) + (b_.)*(x_)))/((c_.) + (d_.)*(x_)))*((g_.) + (h_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :>
      Simp[F^(e + f*(b/d))   Int[(g + h*x)^m, x], x] /; FreeQ[{F, a, b, c, d, e, f, g, h, m}, x] && EqQ[b*c - a*d, 0
      ]

2660. Int[(F_)^((e_.) + ((f_.)*((a_.) + (b_.)*(x_)))/((c_.) + (d_.)*(x_)))*((g_.) + (h_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :>
      Int[(g + h*x)^m*F^((d*e + b*f)/d - f*((b*c - a*d)/(d*(c + d*x)))), x] /; FreeQ[{F, a, b, c, d, e, f, g, h, m},
      x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && EqQ[d*g - c*h, 0]

2661. Int[(F_)^((e_.) + ((f_.)*((a_.) + (b_.)*(x_)))/((c_.) + (d_.)*(x_)))/((g_.) + (h_.)*(x_)), x_Symbol] :> Simp[d
      /h   Int[F^(e + f*((a + b*x)/(c + d*x)))/(c + d*x), x], x] - Simp[(d*g - c*h)/h   Int[F^(e + f*((a + b*x)/(c +
      d*x)))/((c + d*x)*(g + h*x)), x], x] /; FreeQ[{F, a, b, c, d, e, f, g, h}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && NeQ[d*g
      - c*h, 0]

2662. Int[(F_)^((e_.) + ((f_.)*((a_.) + (b_.)*(x_)))/((c_.) + (d_.)*(x_)))*((g_.) + (h_.)*(x_))^(m_), x_Symbol] :> S
      imp[(g + h*x)^(m + 1)*(F^(e + f*((a + b*x)/(c + d*x)))/(h*(m + 1))), x] - Simp[f*(b*c - a*d)*(Log[F]/(h*(m + 1
      )))   Int[(g + h*x)^(m + 1)*(F^(e + f*((a + b*x)/(c + d*x)))/(c + d*x)^2), x], x] /; FreeQ[{F, a, b, c, d, e,
      f, g, h}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && NeQ[d*g - c*h, 0] && ILtQ[m, -1]

2663. Int[(F_)^((e_.) + ((f_.)*((a_.) + (b_.)*(x_)))/((c_.) + (d_.)*(x_)))/(((g_.) + (h_.)*(x_))*((i_.) + (j_.)*(x_)
      )), x_Symbol] :> Simp[-d/(h*(d*i - c*j))   Subst[Int[F^(e + f*((b*i - a*j)/(d*i - c*j)) - (b*c - a*d)*f*(x/(d*
      i - c*j)))/x, x], x, (i + j*x)/(c + d*x)], x] /; FreeQ[{F, a, b, c, d, e, f, g, h}, x] && EqQ[d*g - c*h, 0]

2664. Int[(F_)^((a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2), x_Symbol] :> Simp[F^(a - b^2/(4*c))   Int[F^((b + 2*c*x)^2/(4*c)
      ), x], x] /; FreeQ[{F, a, b, c}, x]

2665. Int[(F_)^(v_), x_Symbol] :> Int[F^ExpandToSum[v, x], x] /; FreeQ[F, x] && QuadraticQ[v, x] &&  !QuadraticMatch
      Q[v, x]

2666. Int[(F_)^((a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2)*((d_.) + (e_.)*(x_)), x_Symbol] :> Simp[e*(F^(a + b*x + c*x^2)/(2
      *c*Log[F])), x] /; FreeQ[{F, a, b, c, d, e}, x] && EqQ[b*e - 2*c*d, 0]

2667. Int[(F_)^((a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2)*((d_.) + (e_.)*(x_))^(m_), x_Symbol] :> Simp[e*(d + e*x)^(m - 1)*
      (F^(a + b*x + c*x^2)/(2*c*Log[F])), x] - Simp[(m - 1)*(e^2/(2*c*Log[F]))   Int[(d + e*x)^(m - 2)*F^(a + b*x +
      c*x^2), x], x] /; FreeQ[{F, a, b, c, d, e}, x] && EqQ[b*e - 2*c*d, 0] && GtQ[m, 1]

2668. Int[(F_)^((a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2)/((d_.) + (e_.)*(x_)), x_Symbol] :> Simp[(1/(2*e))*F^(a - b^2/(4*c
      ))*ExpIntegralEi[(b + 2*c*x)^2*(Log[F]/(4*c))], x] /; FreeQ[{F, a, b, c, d, e}, x] && EqQ[b*e - 2*c*d, 0]

2669. Int[(F_)^((a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2)*((d_.) + (e_.)*(x_))^(m_), x_Symbol] :> Simp[(d + e*x)^(m + 1)*(F
      ^(a + b*x + c*x^2)/(e*(m + 1))), x] - Simp[2*c*(Log[F]/(e^2*(m + 1)))   Int[(d + e*x)^(m + 2)*F^(a + b*x + c*x
      ^2), x], x] /; FreeQ[{F, a, b, c, d, e}, x] && EqQ[b*e - 2*c*d, 0] && LtQ[m, -1]

2670. Int[(F_)^((a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2)*((d_.) + (e_.)*(x_)), x_Symbol] :> Simp[e*(F^(a + b*x + c*x^2)/(2
      *c*Log[F])), x] - Simp[(b*e - 2*c*d)/(2*c)   Int[F^(a + b*x + c*x^2), x], x] /; FreeQ[{F, a, b, c, d, e}, x] &
      & NeQ[b*e - 2*c*d, 0]

2671. Int[(F_)^((a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2)*((d_.) + (e_.)*(x_))^(m_), x_Symbol] :> Simp[e*(d + e*x)^(m - 1)*
      (F^(a + b*x + c*x^2)/(2*c*Log[F])), x] + (-Simp[(b*e - 2*c*d)/(2*c)   Int[(d + e*x)^(m - 1)*F^(a + b*x + c*x^2
      ), x], x] - Simp[(m - 1)*(e^2/(2*c*Log[F]))   Int[(d + e*x)^(m - 2)*F^(a + b*x + c*x^2), x], x]) /; FreeQ[{F,
      a, b, c, d, e}, x] && NeQ[b*e - 2*c*d, 0] && GtQ[m, 1]

2672. Int[(F_)^((a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2)*((d_.) + (e_.)*(x_))^(m_), x_Symbol] :> Simp[(d + e*x)^(m + 1)*(F
      ^(a + b*x + c*x^2)/(e*(m + 1))), x] + (-Simp[2*c*(Log[F]/(e^2*(m + 1)))   Int[(d + e*x)^(m + 2)*F^(a + b*x + c
      *x^2), x], x] - Simp[(b*e - 2*c*d)*(Log[F]/(e^2*(m + 1)))   Int[(d + e*x)^(m + 1)*F^(a + b*x + c*x^2), x], x])
      /; FreeQ[{F, a, b, c, d, e}, x] && NeQ[b*e - 2*c*d, 0] && LtQ[m, -1]

2673. Int[(F_)^((a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2)*((d_.) + (e_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Unintegrable[F^(a + b*x
      + c*x^2)*(d + e*x)^m, x] /; FreeQ[{F, a, b, c, d, e, m}, x]

2674. Int[(F_)^(v_)*(u_)^(m_.), x_Symbol] :> Int[ExpandToSum[u, x]^m*F^ExpandToSum[v, x], x] /; FreeQ[{F, m}, x] &&
      LinearQ[u, x] && QuadraticQ[v, x] &&  !(LinearMatchQ[u, x] && QuadraticMatchQ[v, x])

2675. Int[(F_)^((e_.)*((c_.) + (d_.)*(x_)))*((a_.) + (b_.)*(F_)^(v_))^(p_)*(x_)^(m_.), x_Symbol] :> With[{u = IntHid
      e[F^(e*(c + d*x))*(a + b*F^v)^p, x]}, Simp[x^m   u, x] - Simp[m   Int[x^(m - 1)*u, x], x]] /; FreeQ[{F, a, b,
      c, d, e}, x] && EqQ[v, 2*e*(c + d*x)] && GtQ[m, 0] && ILtQ[p, 0]

2676. Int[((F_)^((e_.)*((c_.) + (d_.)*(x_))))^(n_.)*((a_) + (b_.)*((F_)^((e_.)*((c_.) + (d_.)*(x_))))^(n_.))^(p_.),
      x_Symbol] :> Simp[1/(d*e*n*Log[F])   Subst[Int[(a + b*x)^p, x], x, (F^(e*(c + d*x)))^n], x] /; FreeQ[{F, a, b,
      c, d, e, n, p}, x]

2677. Int[((a_) + (b_.)*((F_)^((e_.)*((c_.) + (d_.)*(x_))))^(n_.))^(p_.)*((G_)^((h_.)*((f_.) + (g_.)*(x_))))^(m_.),
      x_Symbol] :> Simp[(G^(h*(f + g*x)))^m/(F^(e*(c + d*x)))^n   Int[(F^(e*(c + d*x)))^n*(a + b*(F^(e*(c + d*x)))^n
      )^p, x], x] /; FreeQ[{F, G, a, b, c, d, e, f, g, h, m, n, p}, x] && EqQ[d*e*n*Log[F], g*h*m*Log[G]]

2678. Int[((a_) + (b_.)*(F_)^((e_.)*((c_.) + (d_.)*(x_))))^(p_.)*(G_)^((h_.)*((f_.) + (g_.)*(x_))), x_Symbol] :> Wit
      h[{m = FullSimplify[g*h*(Log[G]/(d*e*Log[F]))]}, Simp[Denominator[m]*(G^(f*h - c*g*(h/d))/(d*e*Log[F]))   Subs
      t[Int[x^(Numerator[m] - 1)*(a + b*x^Denominator[m])^p, x], x, F^(e*((c + d*x)/Denominator[m]))], x] /; LeQ[m,
      -1] || GeQ[m, 1]] /; FreeQ[{F, G, a, b, c, d, e, f, g, h, p}, x]

2679. Int[((a_) + (b_.)*(F_)^((e_.)*((c_.) + (d_.)*(x_))))^(p_.)*(G_)^((h_.)*((f_.) + (g_.)*(x_))), x_Symbol] :> Wit
      h[{m = FullSimplify[d*e*(Log[F]/(g*h*Log[G]))]}, Simp[Denominator[m]/(g*h*Log[G])   Subst[Int[x^(Denominator[m
      ] - 1)*(a + b*F^(c*e - d*e*(f/g))*x^Numerator[m])^p, x], x, G^(h*((f + g*x)/Denominator[m]))], x] /; LtQ[m, -1
      ] || GtQ[m, 1]] /; FreeQ[{F, G, a, b, c, d, e, f, g, h, p}, x]

2680. Int[((a_) + (b_.)*(F_)^((e_.)*((c_.) + (d_.)*(x_))))^(p_.)*(G_)^((h_.)*((f_.) + (g_.)*(x_))), x_Symbol] :> Int
      [Expand[G^(h*(f + g*x))*(a + b*F^(e*(c + d*x)))^p, x], x] /; FreeQ[{F, G, a, b, c, d, e, f, g, h}, x] && IGtQ[
      p, 0]

2681. Int[((a_) + (b_.)*(F_)^((e_.)*((c_.) + (d_.)*(x_))))^(p_)*(G_)^((h_.)*((f_.) + (g_.)*(x_))), x_Symbol] :> Simp
      [a^p*(G^(h*(f + g*x))/(g*h*Log[G]))*Hypergeometric2F1[-p, g*h*(Log[G]/(d*e*Log[F])), g*h*(Log[G]/(d*e*Log[F]))
      + 1, Simplify[(-b/a)*F^(e*(c + d*x))]], x] /; FreeQ[{F, G, a, b, c, d, e, f, g, h, p}, x] && (ILtQ[p, 0] || G
      tQ[a, 0])

2682. Int[((a_) + (b_.)*(F_)^((e_.)*((c_.) + (d_.)*(x_))))^(p_)*(G_)^((h_.)*((f_.) + (g_.)*(x_))), x_Symbol] :> Simp
      [(a + b*F^(e*(c + d*x)))^p/(1 + (b/a)*F^(e*(c + d*x)))^p   Int[G^(h*(f + g*x))*(1 + (b/a)*F^(e*(c + d*x)))^p,
      x], x] /; FreeQ[{F, G, a, b, c, d, e, f, g, h, p}, x] &&  !(ILtQ[p, 0] || GtQ[a, 0])

2683. Int[((a_) + (b_.)*(F_)^((e_.)*(v_)))^(p_)*(G_)^((h_.)*(u_)), x_Symbol] :> Int[G^(h*ExpandToSum[u, x])*(a + b*F
      ^(e*ExpandToSum[v, x]))^p, x] /; FreeQ[{F, G, a, b, e, h, p}, x] && LinearQ[{u, v}, x] &&  !LinearMatchQ[{u, v
      }, x]

2684. Int[((a_.) + (b_.)*(F_)^(u_))^(p_.)*((c_.) + (d_.)*(F_)^(v_))^(q_.)*((e_.) + (f_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> W
      ith[{w = ExpandIntegrand[(e + f*x)^m, (a + b*F^u)^p*(c + d*F^v)^q, x]}, Int[w, x] /; SumQ[w]] /; FreeQ[{F, a,
      b, c, d, e, f, m}, x] && IntegersQ[p, q] && LinearQ[{u, v}, x] && RationalQ[Simplify[u/v]]

2685. Int[((a_) + (b_.)*(F_)^((e_.)*((c_.) + (d_.)*(x_))))^(p_.)*(G_)^((h_.)*((f_.) + (g_.)*(x_)))*(H_)^((t_.)*((r_.
      ) + (s_.)*(x_))), x_Symbol] :> With[{m = FullSimplify[(g*h*Log[G] + s*t*Log[H])/(d*e*Log[F])]}, Simp[Denominat
      or[m]*G^(f*h - c*g*(h/d))*(H^(r*t - c*s*(t/d))/(d*e*Log[F]))   Subst[Int[x^(Numerator[m] - 1)*(a + b*x^Denomin
      ator[m])^p, x], x, F^(e*((c + d*x)/Denominator[m]))], x] /; RationalQ[m]] /; FreeQ[{F, G, H, a, b, c, d, e, f,
      g, h, r, s, t, p}, x]

2686. Int[((a_) + (b_.)*(F_)^((e_.)*((c_.) + (d_.)*(x_))))^(p_.)*(G_)^((h_.)*((f_.) + (g_.)*(x_)))*(H_)^((t_.)*((r_.
      ) + (s_.)*(x_))), x_Symbol] :> Simp[G^((f - c*(g/d))*h)   Int[H^(t*(r + s*x))*(b + a/F^(e*(c + d*x)))^p, x], x
      ] /; FreeQ[{F, G, H, a, b, c, d, e, f, g, h, r, s, t}, x] && EqQ[d*e*p*Log[F] + g*h*Log[G], 0] && IntegerQ[p]

2687. Int[((a_) + (b_.)*(F_)^((e_.)*((c_.) + (d_.)*(x_))))^(p_.)*(G_)^((h_.)*((f_.) + (g_.)*(x_)))*(H_)^((t_.)*((r_.
      ) + (s_.)*(x_))), x_Symbol] :> Int[Expand[G^(h*(f + g*x))*H^(t*(r + s*x))*(a + b*F^(e*(c + d*x)))^p, x], x] /;
      FreeQ[{F, G, H, a, b, c, d, e, f, g, h, r, s, t}, x] && IGtQ[p, 0]

2688. Int[((a_) + (b_.)*(F_)^((e_.)*((c_.) + (d_.)*(x_))))^(p_)*(G_)^((h_.)*((f_.) + (g_.)*(x_)))*(H_)^((t_.)*((r_.)
      + (s_.)*(x_))), x_Symbol] :> Simp[a^p*G^(h*(f + g*x))*(H^(t*(r + s*x))/(g*h*Log[G] + s*t*Log[H]))*Hypergeomet
      ric2F1[-p, (g*h*Log[G] + s*t*Log[H])/(d*e*Log[F]), (g*h*Log[G] + s*t*Log[H])/(d*e*Log[F]) + 1, Simplify[(-b/a)
      *F^(e*(c + d*x))]], x] /; FreeQ[{F, G, H, a, b, c, d, e, f, g, h, r, s, t}, x] && ILtQ[p, 0]

2689. Int[((a_) + (b_.)*(F_)^((e_.)*((c_.) + (d_.)*(x_))))^(p_)*(G_)^((h_.)*((f_.) + (g_.)*(x_)))*(H_)^((t_.)*((r_.)
      + (s_.)*(x_))), x_Symbol] :> Simp[G^(h*(f + g*x))*H^(t*(r + s*x))*((a + b*F^(e*(c + d*x)))^p/((g*h*Log[G] + s
      *t*Log[H])*((a + b*F^(e*(c + d*x)))/a)^p))*Hypergeometric2F1[-p, (g*h*Log[G] + s*t*Log[H])/(d*e*Log[F]), (g*h*
      Log[G] + s*t*Log[H])/(d*e*Log[F]) + 1, Simplify[(-b/a)*F^(e*(c + d*x))]], x] /; FreeQ[{F, G, H, a, b, c, d, e,
      f, g, h, r, s, t, p}, x] &&  !IntegerQ[p]

2690. Int[((a_) + (b_.)*(F_)^((e_.)*(v_)))^(p_)*(G_)^((h_.)*(u_))*(H_)^((t_.)*(w_)), x_Symbol] :> Int[G^(h*ExpandToS
      um[u, x])*H^(t*ExpandToSum[w, x])*(a + b*F^(e*ExpandToSum[v, x]))^p, x] /; FreeQ[{F, G, H, a, b, e, h, t, p},
      x] && LinearQ[{u, v, w}, x] &&  !LinearMatchQ[{u, v, w}, x]

2691. Int[(F_)^((e_.)*((c_.) + (d_.)*(x_)))*((b_.)*(F_)^((e_.)*((c_.) + (d_.)*(x_))) + (a_.)*(x_)^(n_.))^(p_.), x_Sy
      mbol] :> Simp[(a*x^n + b*F^(e*(c + d*x)))^(p + 1)/(b*d*e*(p + 1)*Log[F]), x] - Simp[a*(n/(b*d*e*Log[F]))   Int
      [x^(n - 1)*(a*x^n + b*F^(e*(c + d*x)))^p, x], x] /; FreeQ[{F, a, b, c, d, e, n, p}, x] && NeQ[p, -1]

2692. Int[(F_)^((e_.)*((c_.) + (d_.)*(x_)))*(x_)^(m_.)*((b_.)*(F_)^((e_.)*((c_.) + (d_.)*(x_))) + (a_.)*(x_)^(n_.))^
      (p_.), x_Symbol] :> Simp[x^m*((a*x^n + b*F^(e*(c + d*x)))^(p + 1)/(b*d*e*(p + 1)*Log[F])), x] + (-Simp[m/(b*d*
      e*(p + 1)*Log[F])   Int[x^(m - 1)*(a*x^n + b*F^(e*(c + d*x)))^(p + 1), x], x] - Simp[a*(n/(b*d*e*Log[F]))   In
      t[x^(m + n - 1)*(a*x^n + b*F^(e*(c + d*x)))^p, x], x]) /; FreeQ[{F, a, b, c, d, e, m, n, p}, x] && NeQ[p, -1]

2693. Int[((f_.) + (g_.)*(x_))^(m_.)/((a_.) + (b_.)*(F_)^(u_) + (c_.)*(F_)^(v_)), x_Symbol] :> With[{q = Rt[b^2 - 4*
      a*c, 2]}, Simp[2*(c/q)   Int[(f + g*x)^m/(b - q + 2*c*F^u), x], x] - Simp[2*(c/q)   Int[(f + g*x)^m/(b + q + 2
      *c*F^u), x], x]] /; FreeQ[{F, a, b, c, f, g}, x] && EqQ[v, 2*u] && LinearQ[u, x] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] && IGt
      Q[m, 0]

2694. Int[((F_)^(u_)*((f_.) + (g_.)*(x_))^(m_.))/((a_.) + (b_.)*(F_)^(u_) + (c_.)*(F_)^(v_)), x_Symbol] :> With[{q =
      Rt[b^2 - 4*a*c, 2]}, Simp[2*(c/q)   Int[(f + g*x)^m*(F^u/(b - q + 2*c*F^u)), x], x] - Simp[2*(c/q)   Int[(f +
      g*x)^m*(F^u/(b + q + 2*c*F^u)), x], x]] /; FreeQ[{F, a, b, c, f, g}, x] && EqQ[v, 2*u] && LinearQ[u, x] && Ne
      Q[b^2 - 4*a*c, 0] && IGtQ[m, 0]

2695. Int[(((i_.)*(F_)^(u_) + (h_))*((f_.) + (g_.)*(x_))^(m_.))/((a_.) + (b_.)*(F_)^(u_) + (c_.)*(F_)^(v_)), x_Symbo
      l] :> With[{q = Rt[b^2 - 4*a*c, 2]}, Simp[(Simplify[(2*c*h - b*i)/q] + i)   Int[(f + g*x)^m/(b - q + 2*c*F^u),
      x], x] - Simp[(Simplify[(2*c*h - b*i)/q] - i)   Int[(f + g*x)^m/(b + q + 2*c*F^u), x], x]] /; FreeQ[{F, a, b,
      c, f, g, h, i}, x] && EqQ[v, 2*u] && LinearQ[u, x] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] && IGtQ[m, 0]

2696. Int[(x_)^(m_.)/((b_.)*(F_)^(v_) + (a_.)*(F_)^((c_.) + (d_.)*(x_))), x_Symbol] :> With[{u = IntHide[1/(a*F^(c +
      d*x) + b*F^v), x]}, Simp[x^m*u, x] - Simp[m   Int[x^(m - 1)*u, x], x]] /; FreeQ[{F, a, b, c, d}, x] && EqQ[v,
      -(c + d*x)] && GtQ[m, 0]

2697. Int[(u_)/((a_) + (b_.)*(F_)^(v_) + (c_.)*(F_)^(w_)), x_Symbol] :> Int[u*(F^v/(c + a*F^v + b*F^(2*v))), x] /; F
      reeQ[{F, a, b, c}, x] && EqQ[w, -v] && LinearQ[v, x] && If[RationalQ[D[v, x]], GtQ[D[v, x], 0], LtQ[LeafCount[
      v], LeafCount[w]]]

2698. Int[(F_)^((g_.)*((d_.) + (e_.)*(x_))^(n_.))/((a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2), x_Symbol] :> Int[ExpandIntegr
      and[F^(g*(d + e*x)^n), 1/(a + b*x + c*x^2), x], x] /; FreeQ[{F, a, b, c, d, e, g, n}, x]

2699. Int[(F_)^((g_.)*((d_.) + (e_.)*(x_))^(n_.))/((a_) + (c_.)*(x_)^2), x_Symbol] :> Int[ExpandIntegrand[F^(g*(d +
      e*x)^n), 1/(a + c*x^2), x], x] /; FreeQ[{F, a, c, d, e, g, n}, x]

2700. Int[((F_)^((g_.)*((d_.) + (e_.)*(x_))^(n_.))*(u_)^(m_.))/((a_.) + (b_.)*(x_) + (c_)*(x_)^2), x_Symbol] :> Int[
      ExpandIntegrand[F^(g*(d + e*x)^n), u^m/(a + b*x + c*x^2), x], x] /; FreeQ[{F, a, b, c, d, e, g, n}, x] && Poly
      nomialQ[u, x] && IntegerQ[m]

2701. Int[((F_)^((g_.)*((d_.) + (e_.)*(x_))^(n_.))*(u_)^(m_.))/((a_) + (c_)*(x_)^2), x_Symbol] :> Int[ExpandIntegran
      d[F^(g*(d + e*x)^n), u^m/(a + c*x^2), x], x] /; FreeQ[{F, a, c, d, e, g, n}, x] && PolynomialQ[u, x] && Intege
      rQ[m]

2702. Int[(F_)^(((a_.) + (b_.)*(x_)^4)/(x_)^2), x_Symbol] :> Simp[Sqrt[Pi]*Exp[2*Sqrt[(-a)*Log[F]]*Sqrt[(-b)*Log[F]]
      ]*(Erf[(Sqrt[(-a)*Log[F]] + Sqrt[(-b)*Log[F]]*x^2)/x]/(4*Sqrt[(-b)*Log[F]])), x] - Simp[Sqrt[Pi]*Exp[-2*Sqrt[(
      -a)*Log[F]]*Sqrt[(-b)*Log[F]]]*(Erf[(Sqrt[(-a)*Log[F]] - Sqrt[(-b)*Log[F]]*x^2)/x]/(4*Sqrt[(-b)*Log[F]])), x]
      /; FreeQ[{F, a, b}, x]

2703. Int[(x_)^(m_.)*(E^(x_) + (x_)^(m_.))^(n_), x_Symbol] :> Simp[-(E^x + x^m)^(n + 1)/(n + 1), x] + (Int[(E^x + x^
      m)^(n + 1), x] + Simp[m   Int[x^(m - 1)*(E^x + x^m)^n, x], x]) /; RationalQ[m, n] && GtQ[m, 0] && LtQ[n, 0] &&
      NeQ[n, -1]

2704. Int[(u_.)*(F_)^((a_.)*(Log[z_]*(b_.) + (v_.))), x_Symbol] :> Int[u*F^(a*v)*z^(a*b*Log[F]), x] /; FreeQ[{F, a,
      b}, x]

2705. Int[(F_)^(((a_.) + Log[(c_.)*((d_.) + (e_.)*(x_))^(n_.)]^2*(b_.))*(f_.)), x_Symbol] :> Simp[(d + e*x)/(e*n*(c*
      (d + e*x)^n)^(1/n))   Subst[Int[E^(a*f*Log[F] + x/n + b*f*Log[F]*x^2), x], x, Log[c*(d + e*x)^n]], x] /; FreeQ
      [{F, a, b, c, d, e, f, n}, x]

2706. Int[(F_)^(((a_.) + Log[(c_.)*((d_.) + (e_.)*(x_))^(n_.)]^2*(b_.))*(f_.))*((g_.) + (h_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol]
      :> Simp[(g + h*x)^(m + 1)/(h*n*(c*(d + e*x)^n)^((m + 1)/n))   Subst[Int[E^(a*f*Log[F] + ((m + 1)*x)/n + b*f*L
      og[F]*x^2), x], x, Log[c*(d + e*x)^n]], x] /; FreeQ[{F, a, b, c, d, e, f, g, h, m, n}, x] && EqQ[e*g - d*h, 0]

2707. Int[(F_)^(((a_.) + Log[(c_.)*((d_.) + (e_.)*(x_))^(n_.)]^2*(b_.))*(f_.))*((g_.) + (h_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol]
      :> Simp[1/e^(m + 1)   Subst[Int[ExpandIntegrand[F^(f*(a + b*Log[c*x^n]^2)), (e*g - d*h + h*x)^m, x], x], x, d
      + e*x], x] /; FreeQ[{F, a, b, c, d, e, f, g, h, n}, x] && IGtQ[m, 0]

2708. Int[(F_)^(((a_.) + Log[(c_.)*((d_.) + (e_.)*(x_))^(n_.)]^2*(b_.))*(f_.))*((g_.) + (h_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol]
      :> Unintegrable[F^(f*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n]^2))*(g + h*x)^m, x] /; FreeQ[{F, a, b, c, d, e, f, g, h, m, n}
      , x]

2709. Int[(F_)^(((a_.) + Log[(c_.)*((d_.) + (e_.)*(x_))^(n_.)]*(b_.))^2*(f_.)), x_Symbol] :> Simp[c^(2*a*b*f*Log[F])
      Int[(d + e*x)^(2*a*b*f*n*Log[F])*F^(a^2*f + b^2*f*Log[c*(d + e*x)^n]^2), x], x] /; FreeQ[{F, a, b, c, d, e,
      f, n}, x] && IntegerQ[2*a*b*f*Log[F]]

2710. Int[(F_)^(((a_.) + Log[(c_.)*((d_.) + (e_.)*(x_))^(n_.)]*(b_.))^2*(f_.)), x_Symbol] :> Simp[((c*(d + e*x)^n)^(
      2*a*b*f*Log[F])/(d + e*x)^(2*a*b*f*n*Log[F]))*Int[(d + e*x)^(2*a*b*f*n*Log[F])*F^(a^2*f + b^2*f*Log[c*(d + e*x
      )^n]^2), x], x] /; FreeQ[{F, a, b, c, d, e, f, n}, x] &&  !IntegerQ[2*a*b*f*Log[F]]

2711. Int[(F_)^(((a_.) + Log[(c_.)*((d_.) + (e_.)*(x_))^(n_.)]*(b_.))^2*(f_.))*((g_.) + (h_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol]
      :> Simp[h^m*(c^(2*a*b*f*Log[F])/e^m)   Int[(d + e*x)^(m + 2*a*b*f*n*Log[F])*F^(a^2*f + b^2*f*Log[c*(d + e*x)^
      n]^2), x], x] /; FreeQ[{F, a, b, c, d, e, f, g, h, m, n}, x] && EqQ[e*g - d*h, 0] && IntegerQ[2*a*b*f*Log[F]]
      && (IntegerQ[m] || EqQ[h, e])

2712. Int[(F_)^(((a_.) + Log[(c_.)*((d_.) + (e_.)*(x_))^(n_.)]*(b_.))^2*(f_.))*((g_.) + (h_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol]
      :> Simp[(g + h*x)^m*((c*(d + e*x)^n)^(2*a*b*f*Log[F])/(d + e*x)^(m + 2*a*b*f*n*Log[F]))*Int[(d + e*x)^(m + 2*
      a*b*f*n*Log[F])*F^(a^2*f + b^2*f*Log[c*(d + e*x)^n]^2), x], x] /; FreeQ[{F, a, b, c, d, e, f, g, h, m, n}, x]
      && EqQ[e*g - d*h, 0]

2713. Int[(F_)^(((a_.) + Log[(c_.)*((d_.) + (e_.)*(x_))^(n_.)]*(b_.))^2*(f_.))*((g_.) + (h_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol]
      :> Simp[1/e^(m + 1)   Subst[Int[ExpandIntegrand[F^(f*(a + b*Log[c*x^n])^2), (e*g - d*h + h*x)^m, x], x], x, d
      + e*x], x] /; FreeQ[{F, a, b, c, d, e, f, g, h, n}, x] && IGtQ[m, 0]

2714. Int[(F_)^(((a_.) + Log[(c_.)*((d_.) + (e_.)*(x_))^(n_.)]*(b_.))^2*(f_.))*((g_.) + (h_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol]
      :> Unintegrable[F^(f*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^2)*(g + h*x)^m, x] /; FreeQ[{F, a, b, c, d, e, f, g, h, m, n}
      , x]

2715. Int[Log[(a_) + (b_.)*((F_)^((e_.)*((c_.) + (d_.)*(x_))))^(n_.)], x_Symbol] :> Simp[1/(d*e*n*Log[F])   Subst[In
      t[Log[a + b*x]/x, x], x, (F^(e*(c + d*x)))^n], x] /; FreeQ[{F, a, b, c, d, e, n}, x] && GtQ[a, 0]

2716. Int[Log[(a_) + (b_.)*((F_)^((e_.)*((c_.) + (d_.)*(x_))))^(n_.)], x_Symbol] :> Simp[x*Log[a + b*(F^(e*(c + d*x)
      ))^n], x] - Simp[b*d*e*n*Log[F]   Int[x*((F^(e*(c + d*x)))^n/(a + b*(F^(e*(c + d*x)))^n)), x], x] /; FreeQ[{F,
      a, b, c, d, e, n}, x] &&  !GtQ[a, 0]

2717. Int[(u_.)*((a_.)*(F_)^(v_))^(n_), x_Symbol] :> Simp[(a*F^v)^n/F^(n*v)   Int[u*F^(n*v), x], x] /; FreeQ[{F, a,
      n}, x] &&  !IntegerQ[n]

2718. Int[(F_)^((d_.)*((c_.)*((a_.) + (b_.)*(x_))^(n_))^(m_)), x_Symbol] :> Simp[(a + b*x)*(F^(d*(c*(a + b*x)^n)^m)/
      (b*d*(c*(a + b*x)^n)^m*Log[F])), x] /; FreeQ[{F, a, b, c, d, m, n}, x] && EqQ[m*n, 1]

2719. Int[(F_)^((d_.)*((c_.)*((a_.) + (b_.)*(x_))^(n_))^(m_)), x_Symbol] :> Simp[(-(a + b*x))*(Gamma[1/(m*n), ((-d)*
      (c*(a + b*x)^n)^m)*Log[F]]/(b*m*n*(((-d)*(c*(a + b*x)^n)^m)*Log[F])^(1/(m*n)))), x] /; FreeQ[{F, a, b, c, d, m
      , n}, x]

2720. Int[u_, x_Symbol] :> With[{v = FunctionOfExponential[u, x]}, Simp[v/D[v, x]   Subst[Int[FunctionOfExponentialF
      unction[u, x]/x, x], x, v], x]] /; FunctionOfExponentialQ[u, x] &&  !MatchQ[u, (w_)*((a_.)*(v_)^(n_))^(m_) /;
      FreeQ[{a, m, n}, x] && IntegerQ[m*n]] &&  !MatchQ[u, E^((c_.)*((a_.) + (b_.)*x))*(F_)[v_] /; FreeQ[{a, b, c},
      x] && InverseFunctionQ[F[x]]]

2721. Int[(u_.)*((a_.)*(F_)^(v_) + (b_.)*(F_)^(w_))^(n_), x_Symbol] :> Int[u*F^(n*v)*(a + b*F^ExpandToSum[w - v, x])
      ^n, x] /; FreeQ[{F, a, b, n}, x] && ILtQ[n, 0] && LinearQ[{v, w}, x]

2722. Int[(u_.)*((a_.)*(F_)^(v_) + (b_.)*(G_)^(w_))^(n_), x_Symbol] :> Int[u*F^(n*v)*(a + b*E^ExpandToSum[Log[G]*w -
      Log[F]*v, x])^n, x] /; FreeQ[{F, G, a, b, n}, x] && ILtQ[n, 0] && LinearQ[{v, w}, x]

2723. Int[(u_.)*((a_.)*(F_)^(v_) + (b_.)*(F_)^(w_))^(n_), x_Symbol] :> Simp[(a*F^v + b*F^w)^n/(F^(n*v)*(a + b*F^Expa
      ndToSum[w - v, x])^n)   Int[u*F^(n*v)*(a + b*F^ExpandToSum[w - v, x])^n, x], x] /; FreeQ[{F, a, b, n}, x] &&
      !IntegerQ[n] && LinearQ[{v, w}, x]

2724. Int[(u_.)*((a_.)*(F_)^(v_) + (b_.)*(G_)^(w_))^(n_), x_Symbol] :> Simp[(a*F^v + b*G^w)^n/(F^(n*v)*(a + b*E^Expa
      ndToSum[Log[G]*w - Log[F]*v, x])^n)   Int[u*F^(n*v)*(a + b*E^ExpandToSum[Log[G]*w - Log[F]*v, x])^n, x], x] /;
      FreeQ[{F, G, a, b, n}, x] &&  !IntegerQ[n] && LinearQ[{v, w}, x]

2725. Int[(u_.)*(F_)^(v_)*(G_)^(w_), x_Symbol] :> With[{z = v*Log[F] + w*Log[G]}, Int[u*NormalizeIntegrand[E^z, x],
      x] /; BinomialQ[z, x] || (PolynomialQ[z, x] && LeQ[Exponent[z, x], 2])] /; FreeQ[{F, G}, x]

2726. Int[(y_.)*(F_)^(u_)*((v_) + (w_)), x_Symbol] :> With[{z = v*(y/(Log[F]*D[u, x]))}, Simp[F^u*z, x] /; EqQ[D[z,
      x], w*y]] /; FreeQ[F, x]

2727. Int[(F_)^(u_)*(v_)^(n_.)*(w_), x_Symbol] :> With[{z = Log[F]*v*D[u, x] + (n + 1)*D[v, x]}, Simp[(Coefficient[w
      , x, Exponent[w, x]]/Coefficient[z, x, Exponent[z, x]])*F^u*v^(n + 1), x] /; EqQ[Exponent[w, x], Exponent[z, x
      ]] && EqQ[w*Coefficient[z, x, Exponent[z, x]], z*Coefficient[w, x, Exponent[w, x]]]] /; FreeQ[{F, n}, x] && Po
      lynomialQ[u, x] && PolynomialQ[v, x] && PolynomialQ[w, x]

2728. Int[((a_.) + (b_.)*(F_)^(((c_.)*Sqrt[(d_.) + (e_.)*(x_)])/Sqrt[(f_.) + (g_.)*(x_)]))^(n_.)/((A_.) + (B_.)*(x_)
      + (C_.)*(x_)^2), x_Symbol] :> Simp[2*e*(g/(C*(e*f - d*g)))   Subst[Int[(a + b*F^(c*x))^n/x, x], x, Sqrt[d + e
      *x]/Sqrt[f + g*x]], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, A, B, C, F}, x] && EqQ[C*d*f - A*e*g, 0] && EqQ[B*e*g -
      C*(e*f + d*g), 0] && IGtQ[n, 0]

2729. Int[((a_.) + (b_.)*(F_)^(((c_.)*Sqrt[(d_.) + (e_.)*(x_)])/Sqrt[(f_.) + (g_.)*(x_)]))^(n_.)/((A_) + (C_.)*(x_)^
      2), x_Symbol] :> Simp[2*e*(g/(C*(e*f - d*g)))   Subst[Int[(a + b*F^(c*x))^n/x, x], x, Sqrt[d + e*x]/Sqrt[f + g
      *x]], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, A, C, F}, x] && EqQ[C*d*f - A*e*g, 0] && EqQ[e*f + d*g, 0] && IGtQ[n,
      0]

2730. Int[((a_.) + (b_.)*(F_)^(((c_.)*Sqrt[(d_.) + (e_.)*(x_)])/Sqrt[(f_.) + (g_.)*(x_)]))^(n_)/((A_.) + (B_.)*(x_)
      + (C_.)*(x_)^2), x_Symbol] :> Unintegrable[(a + b*F^((c*Sqrt[d + e*x])/Sqrt[f + g*x]))^n/(A + B*x + C*x^2), x]
      /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, A, B, C, F, n}, x] && EqQ[C*d*f - A*e*g, 0] && EqQ[B*e*g - C*(e*f + d*g), 0] &
      &  !IGtQ[n, 0]

2731. Int[((a_.) + (b_.)*(F_)^(((c_.)*Sqrt[(d_.) + (e_.)*(x_)])/Sqrt[(f_.) + (g_.)*(x_)]))^(n_)/((A_) + (C_.)*(x_)^2
      ), x_Symbol] :> Unintegrable[(a + b*F^((c*Sqrt[d + e*x])/Sqrt[f + g*x]))^n/(A + C*x^2), x] /; FreeQ[{a, b, c,
      d, e, f, g, A, C, F, n}, x] && EqQ[C*d*f - A*e*g, 0] && EqQ[e*f + d*g, 0] &&  !IGtQ[n, 0]

2732. Int[Log[(c_.)*(x_)^(n_.)], x_Symbol] :> Simp[x*Log[c*x^n], x] - Simp[n*x, x] /; FreeQ[{c, n}, x]

2733. Int[((a_.) + Log[(c_.)*(x_)^(n_.)]*(b_.))^(p_.), x_Symbol] :> Simp[x*(a + b*Log[c*x^n])^p, x] - Simp[b*n*p   I
      nt[(a + b*Log[c*x^n])^(p - 1), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, n}, x] && GtQ[p, 0] && IntegerQ[2*p]

2734. Int[((a_.) + Log[(c_.)*(x_)^(n_.)]*(b_.))^(p_), x_Symbol] :> Simp[x*((a + b*Log[c*x^n])^(p + 1)/(b*n*(p + 1)))
      , x] - Simp[1/(b*n*(p + 1))   Int[(a + b*Log[c*x^n])^(p + 1), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, n}, x] && LtQ[p, -1] &
      & IntegerQ[2*p]

2735. Int[Log[(c_.)*(x_)]^(-1), x_Symbol] :> Simp[LogIntegral[c*x]/c, x] /; FreeQ[c, x]

2736. Int[((a_.) + Log[(c_.)*(x_)^(n_.)]*(b_.))^(p_), x_Symbol] :> Simp[1/(n*c^(1/n))   Subst[Int[E^(x/n)*(a + b*x)^
      p, x], x, Log[c*x^n]], x] /; FreeQ[{a, b, c, p}, x] && IntegerQ[1/n]

2737. Int[((a_.) + Log[(c_.)*(x_)^(n_.)]*(b_.))^(p_), x_Symbol] :> Simp[x/(n*(c*x^n)^(1/n))   Subst[Int[E^(x/n)*(a +
      b*x)^p, x], x, Log[c*x^n]], x] /; FreeQ[{a, b, c, n, p}, x]

2738. Int[((a_.) + Log[(c_.)*(x_)^(n_.)]*(b_.))/(x_), x_Symbol] :> Simp[(a + b*Log[c*x^n])^2/(2*b*n), x] /; FreeQ[{a
      , b, c, n}, x]

2739. Int[((a_.) + Log[(c_.)*(x_)^(n_.)]*(b_.))^(p_.)/(x_), x_Symbol] :> Simp[1/(b*n)   Subst[Int[x^p, x], x, a + b*
      Log[c*x^n]], x] /; FreeQ[{a, b, c, n, p}, x]

2740. Int[((a_.) + Log[(c_.)*(x_)^(n_.)]*(b_.))*((d_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Simp[b*(d*x)^(m + 1)*(Log[c*x^n]/(d
      *(m + 1))), x] /; FreeQ[{a, b, c, d, m, n}, x] && NeQ[m, -1] && EqQ[a*(m + 1) - b*n, 0]

2741. Int[((a_.) + Log[(c_.)*(x_)^(n_.)]*(b_.))*((d_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Simp[(d*x)^(m + 1)*((a + b*Log[c*x^
      n])/(d*(m + 1))), x] - Simp[b*n*((d*x)^(m + 1)/(d*(m + 1)^2)), x] /; FreeQ[{a, b, c, d, m, n}, x] && NeQ[m, -1
      ]

2742. Int[((a_.) + Log[(c_.)*(x_)^(n_.)]*(b_.))^(p_.)*((d_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Simp[(d*x)^(m + 1)*((a + b*Lo
      g[c*x^n])^p/(d*(m + 1))), x] - Simp[b*n*(p/(m + 1))   Int[(d*x)^m*(a + b*Log[c*x^n])^(p - 1), x], x] /; FreeQ[
      {a, b, c, d, m, n}, x] && NeQ[m, -1] && GtQ[p, 0]

2743. Int[((a_.) + Log[(c_.)*(x_)^(n_.)]*(b_.))^(p_)*((d_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Simp[(d*x)^(m + 1)*((a + b*Log
      [c*x^n])^(p + 1)/(b*d*n*(p + 1))), x] - Simp[(m + 1)/(b*n*(p + 1))   Int[(d*x)^m*(a + b*Log[c*x^n])^(p + 1), x
      ], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, m, n}, x] && NeQ[m, -1] && LtQ[p, -1]

2744. Int[(x_)^(m_.)/Log[(c_.)*(x_)^(n_)], x_Symbol] :> Simp[1/n   Subst[Int[1/Log[c*x], x], x, x^n], x] /; FreeQ[{c
      , m, n}, x] && EqQ[m, n - 1]

2745. Int[((d_)*(x_))^(m_.)/Log[(c_.)*(x_)^(n_)], x_Symbol] :> Simp[(d*x)^m/x^m   Int[x^m/Log[c*x^n], x], x] /; Free
      Q[{c, d, m, n}, x] && EqQ[m, n - 1]

2746. Int[((a_.) + Log[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(p_)*(x_)^(m_.), x_Symbol] :> Simp[1/c^(m + 1)   Subst[Int[E^((m + 1)*x)*(
      a + b*x)^p, x], x, Log[c*x]], x] /; FreeQ[{a, b, c, p}, x] && IntegerQ[m]

2747. Int[((a_.) + Log[(c_.)*(x_)^(n_.)]*(b_.))^(p_)*((d_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Simp[(d*x)^(m + 1)/(d*n*(c*x^n
      )^((m + 1)/n))   Subst[Int[E^(((m + 1)/n)*x)*(a + b*x)^p, x], x, Log[c*x^n]], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, m, n, p
      }, x]

2748. Int[((a_.) + Log[(c_.)*(x_)^(n_.)]*(b_.))^(p_.)*((d_.)*(x_)^(q_))^(m_), x_Symbol] :> Simp[(d*x^q)^m/x^(m*q)
      Int[x^(m*q)*(a + b*Log[c*x^n])^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, m, n, p, q}, x]

2749. Int[((a_.) + Log[(c_.)*(x_)^(n_.)]*(b_.))^(p_.)*((d1_.)*(x_)^(q1_))^(m1_)*((d2_.)*(x_)^(q2_))^(m2_), x_Symbol]
      :> Simp[(d1*x^q1)^m1*((d2*x^q2)^m2/x^(m1*q1 + m2*q2))   Int[x^(m1*q1 + m2*q2)*(a + b*Log[c*x^n])^p, x], x] /;
      FreeQ[{a, b, c, d1, d2, m1, m2, n, p, q1, q2}, x]

2750. Int[((a_.) + Log[(c_.)*(x_)^(n_.)]*(b_.))*((d_) + (e_.)*(x_)^(r_.))^(q_.), x_Symbol] :> With[{u = IntHide[(d +
      e*x^r)^q, x]}, Simp[(a + b*Log[c*x^n])   u, x] - Simp[b*n   Int[SimplifyIntegrand[u/x, x], x], x]] /; FreeQ[{
      a, b, c, d, e, n, r}, x] && IGtQ[q, 0]

2751. Int[((a_.) + Log[(c_.)*(x_)^(n_.)]*(b_.))*((d_) + (e_.)*(x_)^(r_.))^(q_), x_Symbol] :> Simp[x*(d + e*x^r)^(q +
      1)*((a + b*Log[c*x^n])/d), x] - Simp[b*(n/d)   Int[(d + e*x^r)^(q + 1), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, n, q,
      r}, x] && EqQ[r*(q + 1) + 1, 0]

2752. Int[Log[(c_.)*(x_)]/((d_) + (e_.)*(x_)), x_Symbol] :> Simp[(-e^(-1))*PolyLog[2, 1 - c*x], x] /; FreeQ[{c, d, e
      }, x] && EqQ[e + c*d, 0]

2753. Int[((a_.) + Log[(c_.)*(x_)]*(b_.))/((d_) + (e_.)*(x_)), x_Symbol] :> Simp[(a + b*Log[(-c)*(d/e)])*(Log[d + e*
      x]/e), x] + Simp[b   Int[Log[(-e)*(x/d)]/(d + e*x), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && GtQ[(-c)*(d/e), 0]

2754. Int[((a_.) + Log[(c_.)*(x_)^(n_.)]*(b_.))^(p_.)/((d_) + (e_.)*(x_)), x_Symbol] :> Simp[Log[1 + e*(x/d)]*((a +
      b*Log[c*x^n])^p/e), x] - Simp[b*n*(p/e)   Int[Log[1 + e*(x/d)]*((a + b*Log[c*x^n])^(p - 1)/x), x], x] /; FreeQ
      [{a, b, c, d, e, n}, x] && IGtQ[p, 0]

2755. Int[((a_.) + Log[(c_.)*(x_)^(n_.)]*(b_.))^(p_.)/((d_) + (e_.)*(x_))^2, x_Symbol] :> Simp[x*((a + b*Log[c*x^n])
      ^p/(d*(d + e*x))), x] - Simp[b*n*(p/d)   Int[(a + b*Log[c*x^n])^(p - 1)/(d + e*x), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d
      , e, n, p}, x] && GtQ[p, 0]

2756. Int[((a_.) + Log[(c_.)*(x_)^(n_.)]*(b_.))^(p_.)*((d_) + (e_.)*(x_))^(q_.), x_Symbol] :> Simp[(d + e*x)^(q + 1)
      *((a + b*Log[c*x^n])^p/(e*(q + 1))), x] - Simp[b*n*(p/(e*(q + 1)))   Int[((d + e*x)^(q + 1)*(a + b*Log[c*x^n])
      ^(p - 1))/x, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, n, p, q}, x] && GtQ[p, 0] && NeQ[q, -1] && (EqQ[p, 1] || (Integer
      sQ[2*p, 2*q] &&  !IGtQ[q, 0]) || (EqQ[p, 2] && NeQ[q, 1]))

2757. Int[((a_.) + Log[(c_.)*(x_)^(n_.)]*(b_.))^(p_)*((d_) + (e_.)*(x_))^(q_.), x_Symbol] :> Simp[x*(d + e*x)^q*((a
      + b*Log[c*x^n])^(p + 1)/(b*n*(p + 1))), x] + (-Simp[(q + 1)/(b*n*(p + 1))   Int[(d + e*x)^q*(a + b*Log[c*x^n])
      ^(p + 1), x], x] + Simp[d*(q/(b*n*(p + 1)))   Int[(d + e*x)^(q - 1)*(a + b*Log[c*x^n])^(p + 1), x], x]) /; Fre
      eQ[{a, b, c, d, e, n}, x] && LtQ[p, -1] && GtQ[q, 0]

2758. Int[((a_.) + Log[(c_.)*(x_)^(n_.)]*(b_.))*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(q_.), x_Symbol] :> Simp[x*(d + e*x^2)^q*((a +
      b*Log[c*x^n])/(2*q + 1)), x] + (-Simp[b*(n/(2*q + 1))   Int[(d + e*x^2)^q, x], x] + Simp[2*d*(q/(2*q + 1))
      Int[(d + e*x^2)^(q - 1)*(a + b*Log[c*x^n]), x], x]) /; FreeQ[{a, b, c, d, e, n}, x] && GtQ[q, 0]

2759. Int[((a_.) + Log[(c_.)*(x_)^(n_.)]*(b_.))/((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(3/2), x_Symbol] :> Simp[x*((a + b*Log[c*x^n])
      /(d*Sqrt[d + e*x^2])), x] - Simp[b*(n/d)   Int[1/Sqrt[d + e*x^2], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, n}, x]

2760. Int[((a_.) + Log[(c_.)*(x_)^(n_.)]*(b_.))*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(q_), x_Symbol] :> Simp[(-x)*(d + e*x^2)^(q +
      1)*((a + b*Log[c*x^n])/(2*d*(q + 1))), x] + (Simp[(2*q + 3)/(2*d*(q + 1))   Int[(d + e*x^2)^(q + 1)*(a + b*Log
      [c*x^n]), x], x] + Simp[b*(n/(2*d*(q + 1)))   Int[(d + e*x^2)^(q + 1), x], x]) /; FreeQ[{a, b, c, d, e, n}, x]
      && LtQ[q, -1]

2761. Int[((a_.) + Log[(c_.)*(x_)^(n_.)]*(b_.))/((d_) + (e_.)*(x_)^2), x_Symbol] :> With[{u = IntHide[1/(d + e*x^2),
      x]}, Simp[u*(a + b*Log[c*x^n]), x] - Simp[b*n   Int[u/x, x], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, n}, x]

2762. Int[((a_.) + Log[(c_.)*(x_)^(n_.)]*(b_.))/Sqrt[(d_) + (e_.)*(x_)^2], x_Symbol] :> Simp[ArcSinh[Rt[e, 2]*(x/Sqr
      t[d])]*((a + b*Log[c*x^n])/Rt[e, 2]), x] - Simp[b*(n/Rt[e, 2])   Int[ArcSinh[Rt[e, 2]*(x/Sqrt[d])]/x, x], x] /
      ; FreeQ[{a, b, c, d, e, n}, x] && GtQ[d, 0] && PosQ[e]

2763. Int[((a_.) + Log[(c_.)*(x_)^(n_.)]*(b_.))/Sqrt[(d_) + (e_.)*(x_)^2], x_Symbol] :> Simp[ArcSin[Rt[-e, 2]*(x/Sqr
      t[d])]*((a + b*Log[c*x^n])/Rt[-e, 2]), x] - Simp[b*(n/Rt[-e, 2])   Int[ArcSin[Rt[-e, 2]*(x/Sqrt[d])]/x, x], x]
      /; FreeQ[{a, b, c, d, e, n}, x] && GtQ[d, 0] && NegQ[e]

2764. Int[((a_.) + Log[(c_.)*(x_)^(n_.)]*(b_.))/Sqrt[(d_) + (e_.)*(x_)^2], x_Symbol] :> Simp[Sqrt[1 + (e/d)*x^2]/Sqr
      t[d + e*x^2]   Int[(a + b*Log[c*x^n])/Sqrt[1 + (e/d)*x^2], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, n}, x] &&  !GtQ[d,
      0]

2765. Int[((a_.) + Log[(c_.)*(x_)^(n_.)]*(b_.))/(Sqrt[(d1_) + (e1_.)*(x_)]*Sqrt[(d2_) + (e2_.)*(x_)]), x_Symbol] :>
      Simp[Sqrt[1 + e1*(e2/(d1*d2))*x^2]/(Sqrt[d1 + e1*x]*Sqrt[d2 + e2*x])   Int[(a + b*Log[c*x^n])/Sqrt[1 + e1*(e2/
      (d1*d2))*x^2], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d1, e1, d2, e2, n}, x] && EqQ[d2*e1 + d1*e2, 0]

2766. Int[((a_.) + Log[(c_.)*(x_)^(n_.)]*(b_.))*((d_) + (e_.)*(x_)^(r_.))^(q_.), x_Symbol] :> With[{u = IntHide[(d +
      e*x^r)^q, x]}, Simp[(a + b*Log[c*x^n])   u, x] - Simp[b*n   Int[SimplifyIntegrand[u/x, x], x], x] /; (EqQ[r,
      1] && IntegerQ[q - 1/2]) || (EqQ[r, 2] && EqQ[q, -1]) || InverseFunctionFreeQ[u, x]] /; FreeQ[{a, b, c, d, e,
      n, q, r}, x] && IntegerQ[2*q] && IntegerQ[r]

2767. Int[((a_.) + Log[(c_.)*(x_)^(n_.)]*(b_.))^(p_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^(r_.))^(q_.), x_Symbol] :> With[{u = Expand
      Integrand[(a + b*Log[c*x^n])^p, (d + e*x^r)^q, x]}, Int[u, x] /; SumQ[u]] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, n, p, q, r}
      , x] && IntegerQ[q] && (GtQ[q, 0] || (IGtQ[p, 0] && IntegerQ[r]))

2768. Int[((a_.) + Log[(c_.)*(x_)^(n_.)]*(b_.))^(p_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^(r_.))^(q_.), x_Symbol] :> Unintegrable[(d
      + e*x^r)^q*(a + b*Log[c*x^n])^p, x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, n, p, q, r}, x]

2769. Int[((a_.) + Log[(c_.)*(x_)^(n_.)]*(b_.))^(p_.)*(u_)^(q_.), x_Symbol] :> Int[ExpandToSum[u, x]^q*(a + b*Log[c*
      x^n])^p, x] /; FreeQ[{a, b, c, n, p, q}, x] && BinomialQ[u, x] &&  !BinomialMatchQ[u, x]

2770. Int[((a_.) + Log[(c_.)*(x_)^(n_.)]*(b_.))^(p_.)*((d_) + (e_.)/(x_))^(q_.)*(x_)^(m_.), x_Symbol] :> Int[(e + d*
      x)^q*(a + b*Log[c*x^n])^p, x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, m, n, p}, x] && EqQ[m, q] && IntegerQ[q]

2771. Int[((a_.) + Log[(c_.)*(x_)^(n_.)]*(b_.))*(x_)^(m_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^(r_.))^(q_.), x_Symbol] :> With[{u = I
      ntHide[x^m*(d + e*x^r)^q, x]}, Simp[u*(a + b*Log[c*x^n]), x] - Simp[b*n   Int[SimplifyIntegrand[u/x, x], x], x
      ]] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, n, r}, x] && IGtQ[q, 0] && IGtQ[m, 0]

2772. Int[((a_.) + Log[(c_.)*(x_)^(n_.)]*(b_.))*(x_)^(m_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^(r_.))^(q_.), x_Symbol] :> With[{u = I
      ntHide[x^m*(d + e*x^r)^q, x]}, Simp[(a + b*Log[c*x^n])   u, x] - Simp[b*n   Int[SimplifyIntegrand[u/x, x], x],
      x]] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, n, r}, x] && IGtQ[q, 0] && IntegerQ[m] &&  !(EqQ[q, 1] && EqQ[m, -1])

2773. Int[((a_.) + Log[(c_.)*(x_)^(n_.)]*(b_.))*((f_.)*(x_))^(m_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^(r_.))^(q_), x_Symbol] :> Simp
      [(f*x)^(m + 1)*(d + e*x^r)^(q + 1)*((a + b*Log[c*x^n])/(d*f*(m + 1))), x] - Simp[b*(n/(d*(m + 1)))   Int[(f*x)
      ^m*(d + e*x^r)^(q + 1), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m, n, q, r}, x] && EqQ[m + r*(q + 1) + 1, 0] && NeQ
      [m, -1]

2774. Int[((a_.) + Log[(c_.)*(x_)^(n_)]*(b_.))^(p_.)*((f_.)*(x_))^(m_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^(r_))^(q_.), x_Symbol] :>
      Simp[f^m/n   Subst[Int[(d + e*x)^q*(a + b*Log[c*x])^p, x], x, x^n], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m, n, q, r
      }, x] && EqQ[m, r - 1] && IGtQ[p, 0] && (IntegerQ[m] || GtQ[f, 0]) && EqQ[r, n]

2775. Int[(((a_.) + Log[(c_.)*(x_)^(n_.)]*(b_.))^(p_.)*((f_.)*(x_))^(m_.))/((d_) + (e_.)*(x_)^(r_)), x_Symbol] :> Si
      mp[f^m*Log[1 + e*(x^r/d)]*((a + b*Log[c*x^n])^p/(e*r)), x] - Simp[b*f^m*n*(p/(e*r))   Int[Log[1 + e*(x^r/d)]*(
      (a + b*Log[c*x^n])^(p - 1)/x), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m, n, r}, x] && EqQ[m, r - 1] && IGtQ[p, 0]
      && (IntegerQ[m] || GtQ[f, 0]) && NeQ[r, n]

2776. Int[((a_.) + Log[(c_.)*(x_)^(n_.)]*(b_.))^(p_.)*((f_.)*(x_))^(m_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^(r_))^(q_.), x_Symbol] :
      > Simp[f^m*(d + e*x^r)^(q + 1)*((a + b*Log[c*x^n])^p/(e*r*(q + 1))), x] - Simp[b*f^m*n*(p/(e*r*(q + 1)))   Int
      [(d + e*x^r)^(q + 1)*((a + b*Log[c*x^n])^(p - 1)/x), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m, n, q, r}, x] && EqQ
      [m, r - 1] && IGtQ[p, 0] && (IntegerQ[m] || GtQ[f, 0]) && NeQ[r, n] && NeQ[q, -1]

2777. Int[((a_.) + Log[(c_.)*(x_)^(n_.)]*(b_.))^(p_.)*((f_)*(x_))^(m_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^(r_))^(q_.), x_Symbol] :>
      Simp[(f*x)^m/x^m   Int[x^m*(d + e*x^r)^q*(a + b*Log[c*x^n])^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m, n, q, r}
      , x] && EqQ[m, r - 1] && IGtQ[p, 0] &&  !(IntegerQ[m] || GtQ[f, 0])

2778. Int[((a_.) + Log[(c_.)*(x_)^(n_)]*(b_.))/((x_)*((d_) + (e_.)*(x_)^(r_.))), x_Symbol] :> Simp[1/n   Subst[Int[(
      a + b*Log[c*x])/(x*(d + e*x^(r/n))), x], x, x^n], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, n, r}, x] && IntegerQ[r/n]

2779. Int[((a_.) + Log[(c_.)*(x_)^(n_.)]*(b_.))^(p_.)/((x_)*((d_) + (e_.)*(x_)^(r_.))), x_Symbol] :> Simp[(-Log[1 +
      d/(e*x^r)])*((a + b*Log[c*x^n])^p/(d*r)), x] + Simp[b*n*(p/(d*r))   Int[Log[1 + d/(e*x^r)]*((a + b*Log[c*x^n])
      ^(p - 1)/x), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, n, r}, x] && IGtQ[p, 0]

2780. Int[(((a_.) + Log[(c_.)*(x_)^(n_.)]*(b_.))^(p_.)*(x_)^(m_.))/((d_) + (e_.)*(x_)^(r_.)), x_Symbol] :> Simp[1/d
      Int[x^m*(a + b*Log[c*x^n])^p, x], x] - Simp[e/d   Int[(x^(m + r)*(a + b*Log[c*x^n])^p)/(d + e*x^r), x], x] /
      ; FreeQ[{a, b, c, d, e, m, n, r}, x] && IGtQ[p, 0] && IGtQ[r, 0] && ILtQ[m, -1]

2781. Int[((a_.) + Log[(c_.)*(x_)^(n_.)]*(b_.))^(p_.)*((f_.)*(x_))^(m_.)*((d_) + (e_.)*(x_))^(q_), x_Symbol] :> Simp
      [(-(f*x)^(m + 1))*(d + e*x)^(q + 1)*((a + b*Log[c*x^n])^p/(d*f*(q + 1))), x] + Simp[b*n*(p/(d*(q + 1)))   Int[
      (f*x)^m*(d + e*x)^(q + 1)*(a + b*Log[c*x^n])^(p - 1), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m, n, q}, x] && EqQ[m
      + q + 2, 0] && IGtQ[p, 0] && LtQ[q, -1]

2782. Int[((a_.) + Log[(c_.)*(x_)^(n_.)]*(b_.))*(x_)^(m_.)*((d_) + (e_.)*(x_))^(q_), x_Symbol] :> With[{u = IntHide[
      x^m*(d + e*x)^q, x]}, Simp[(a + b*Log[c*x^n])   u, x] - Simp[b*n   Int[SimplifyIntegrand[u/x, x], x], x]] /; F
      reeQ[{a, b, c, d, e, n}, x] && ILtQ[m + q + 2, 0] && IGtQ[m, 0]

2783. Int[((a_.) + Log[(c_.)*(x_)^(n_.)]*(b_.))^(p_.)*((f_.)*(x_))^(m_.)*((d_) + (e_.)*(x_))^(q_), x_Symbol] :> Simp
      [(-(f*x)^(m + 1))*(d + e*x)^(q + 1)*((a + b*Log[c*x^n])^p/(d*f*(q + 1))), x] + (Simp[(m + q + 2)/(d*(q + 1))
      Int[(f*x)^m*(d + e*x)^(q + 1)*(a + b*Log[c*x^n])^p, x], x] + Simp[b*n*(p/(d*(q + 1)))   Int[(f*x)^m*(d + e*x)
      ^(q + 1)*(a + b*Log[c*x^n])^(p - 1), x], x]) /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, n}, x] && ILtQ[m + q + 2, 0] && IGtQ[
      p, 0] && LtQ[q, -1] && GtQ[m, 0]

2784. Int[((a_.) + Log[(c_.)*(x_)^(n_.)]*(b_.))*((f_.)*(x_))^(m_.)*((d_) + (e_.)*(x_))^(q_.), x_Symbol] :> Simp[(f*x
      )^m*(d + e*x)^(q + 1)*((a + b*Log[c*x^n])/(e*(q + 1))), x] - Simp[f/(e*(q + 1))   Int[(f*x)^(m - 1)*(d + e*x)^
      (q + 1)*(a*m + b*n + b*m*Log[c*x^n]), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m, n}, x] && ILtQ[q, -1] && GtQ[m, 0]

2785. Int[((a_.) + Log[(c_.)*(x_)^(n_.)]*(b_.))*((f_.)*(x_))^(m_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(q_.), x_Symbol] :> Simp[(-
      (f*x)^(m + 1))*(d + e*x^2)^(q + 1)*((a + b*Log[c*x^n])/(2*d*f*(q + 1))), x] + Simp[1/(2*d*(q + 1))   Int[(f*x)
      ^m*(d + e*x^2)^(q + 1)*(a*(m + 2*q + 3) + b*n + b*(m + 2*q + 3)*Log[c*x^n]), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f
      , m, n}, x] && ILtQ[q, -1] && ILtQ[m, 0]

2786. Int[((a_.) + Log[(c_.)*(x_)^(n_.)]*(b_.))*(x_)^(m_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(q_), x_Symbol] :> Simp[d^IntPart[q
      ]*((d + e*x^2)^FracPart[q]/(1 + (e/d)*x^2)^FracPart[q])   Int[x^m*(1 + (e/d)*x^2)^q*(a + b*Log[c*x^n]), x], x]
      /; FreeQ[{a, b, c, d, e, n}, x] && IntegerQ[m/2] && IntegerQ[q - 1/2] &&  !(LtQ[m + 2*q, -2] || GtQ[d, 0])

2787. Int[((a_.) + Log[(c_.)*(x_)^(n_.)]*(b_.))*(x_)^(m_.)*((d1_) + (e1_.)*(x_))^(q_)*((d2_) + (e2_.)*(x_))^(q_), x_
      Symbol] :> Simp[(d1 + e1*x)^q*((d2 + e2*x)^q/(1 + e1*(e2/(d1*d2))*x^2)^q)   Int[x^m*(1 + e1*(e2/(d1*d2))*x^2)^
      q*(a + b*Log[c*x^n]), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d1, e1, d2, e2, n}, x] && EqQ[d2*e1 + d1*e2, 0] && IntegerQ[m]
      && IntegerQ[q - 1/2]

2788. Int[(((a_.) + Log[(c_.)*(x_)^(n_.)]*(b_.))^(p_.)*((d_) + (e_.)*(x_))^(q_.))/(x_), x_Symbol] :> Simp[d   Int[(d
      + e*x)^(q - 1)*((a + b*Log[c*x^n])^p/x), x], x] + Simp[e   Int[(d + e*x)^(q - 1)*(a + b*Log[c*x^n])^p, x], x]
      /; FreeQ[{a, b, c, d, e, n}, x] && IGtQ[p, 0] && GtQ[q, 0] && IntegerQ[2*q]

2789. Int[(((a_.) + Log[(c_.)*(x_)^(n_.)]*(b_.))^(p_.)*((d_) + (e_.)*(x_))^(q_))/(x_), x_Symbol] :> Simp[1/d   Int[(
      d + e*x)^(q + 1)*((a + b*Log[c*x^n])^p/x), x], x] - Simp[e/d   Int[(d + e*x)^q*(a + b*Log[c*x^n])^p, x], x] /;
      FreeQ[{a, b, c, d, e, n}, x] && IGtQ[p, 0] && LtQ[q, -1] && IntegerQ[2*q]

2790. Int[(((a_.) + Log[(c_.)*(x_)^(n_.)]*(b_.))*((d_) + (e_.)*(x_)^(r_.))^(q_.))/(x_), x_Symbol] :> With[{u = IntHi
      de[(d + e*x^r)^q/x, x]}, Simp[u*(a + b*Log[c*x^n]), x] - Simp[b*n   Int[1/x   u, x], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d,
      e, n, r}, x] && IntegerQ[q - 1/2]

2791. Int[(((a_.) + Log[(c_.)*(x_)^(n_.)]*(b_.))^(p_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^(r_.))^(q_))/(x_), x_Symbol] :> Simp[1/d
      Int[(d + e*x^r)^(q + 1)*((a + b*Log[c*x^n])^p/x), x], x] - Simp[e/d   Int[x^(r - 1)*(d + e*x^r)^q*(a + b*Log[
      c*x^n])^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, n, r}, x] && IGtQ[p, 0] && ILtQ[q, -1]

2792. Int[((a_.) + Log[(c_.)*(x_)^(n_.)]*(b_.))*((f_.)*(x_))^(m_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^(r_.))^(q_.), x_Symbol] :> Wit
      h[{u = IntHide[(f*x)^m*(d + e*x^r)^q, x]}, Simp[(a + b*Log[c*x^n])   u, x] - Simp[b*n   Int[SimplifyIntegrand[
      u/x, x], x], x] /; ((EqQ[r, 1] || EqQ[r, 2]) && IntegerQ[m] && IntegerQ[q - 1/2]) || InverseFunctionFreeQ[u, x
      ]] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m, n, q, r}, x] && IntegerQ[2*q] && ((IntegerQ[m] && IntegerQ[r]) || IGtQ[q, 0]
      )

2793. Int[((a_.) + Log[(c_.)*(x_)^(n_.)]*(b_.))*((f_.)*(x_))^(m_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^(r_.))^(q_.), x_Symbol] :> Wit
      h[{u = ExpandIntegrand[a + b*Log[c*x^n], (f*x)^m*(d + e*x^r)^q, x]}, Int[u, x] /; SumQ[u]] /; FreeQ[{a, b, c,
      d, e, f, m, n, q, r}, x] && IntegerQ[q] && (GtQ[q, 0] || (IntegerQ[m] && IntegerQ[r]))

2794. Int[((a_.) + Log[(c_.)*(x_)^(n_)]*(b_.))^(p_.)*(x_)^(m_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^(r_.))^(q_.), x_Symbol] :> Simp[1
      /n   Subst[Int[x^(Simplify[(m + 1)/n] - 1)*(d + e*x^(r/n))^q*(a + b*Log[c*x])^p, x], x, x^n], x] /; FreeQ[{a,
      b, c, d, e, m, n, p, q, r}, x] && IntegerQ[q] && IntegerQ[r/n] && IntegerQ[Simplify[(m + 1)/n]] && (GtQ[(m + 1
      )/n, 0] || IGtQ[p, 0])

2795. Int[((a_.) + Log[(c_.)*(x_)^(n_.)]*(b_.))^(p_.)*((f_.)*(x_))^(m_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^(r_.))^(q_.), x_Symbol]
      :> With[{u = ExpandIntegrand[(a + b*Log[c*x^n])^p, (f*x)^m*(d + e*x^r)^q, x]}, Int[u, x] /; SumQ[u]] /; FreeQ[
      {a, b, c, d, e, f, m, n, p, q, r}, x] && IntegerQ[q] && (GtQ[q, 0] || (IGtQ[p, 0] && IntegerQ[m] && IntegerQ[r
      ]))

2796. Int[((a_.) + Log[(c_.)*(x_)^(n_.)]*(b_.))^(p_.)*((f_.)*(x_))^(m_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^(r_.))^(q_.), x_Symbol]
      :> Unintegrable[(f*x)^m*(d + e*x^r)^q*(a + b*Log[c*x^n])^p, x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m, n, p, q, r}, x]

2797. Int[((a_.) + Log[(c_.)*(x_)^(n_.)]*(b_.))^(p_.)*(u_)^(q_.)*((f_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Int[(f*x)^m*Expand
      ToSum[u, x]^q*(a + b*Log[c*x^n])^p, x] /; FreeQ[{a, b, c, f, m, n, p, q}, x] && BinomialQ[u, x] &&  !BinomialM
      atchQ[u, x]

2798. Int[((a_.) + Log[(c_.)*(x_)^(n_.)]*(b_.))^(p_.)*((d_) + (e_.)*(x_))^(q_)*((f_) + (g_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol]
      :> Simp[(f + g*x)^(m + 1)*(d + e*x)^(q + 1)*((a + b*Log[c*x^n])^p/((q + 1)*(e*f - d*g))), x] - Simp[b*n*(p/((q
      + 1)*(e*f - d*g)))   Int[(f + g*x)^(m + 1)*(d + e*x)^(q + 1)*((a + b*Log[c*x^n])^(p - 1)/x), x], x] /; FreeQ[
      {a, b, c, d, e, f, g, m, n, q}, x] && NeQ[e*f - d*g, 0] && EqQ[m + q + 2, 0] && IGtQ[p, 0] && LtQ[q, -1]

2799. Int[((A_.) + Log[(c_.)*((d_.) + (e_.)*(x_))^(n_.)]*(B_.))/Sqrt[Log[(c_.)*((d_.) + (e_.)*(x_))^(n_.)]*(b_.) + (
      a_)], x_Symbol] :> Simp[B*(d + e*x)*(Sqrt[a + b*Log[c*(d + e*x)^n]]/(b*e)), x] + Simp[(2*A*b - B*(2*a + b*n))/
      (2*b)   Int[1/Sqrt[a + b*Log[c*(d + e*x)^n]], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, A, B, n}, x]

2800. Int[Log[(c_.)*(x_)^(n_.)]*(x_)^(m_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^(r_.))^(q_.), x_Symbol] :> With[{u = IntHide[x^m*(d +
      e*x^r)^q, x]}, Simp[Log[c*x^n]   u, x] - Simp[n   Int[SimplifyIntegrand[u/x, x], x], x]] /; FreeQ[{c, d, e, n,
      r}, x] && IGtQ[q, 0] && IntegerQ[m] &&  !(EqQ[q, 1] && EqQ[m, -1])

2801. Int[(Log[(c_.)*(x_)^(n_.)]*(b_.) + (a_))*(x_)^(m_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^(r_.))^(q_.), x_Symbol] :> With[{u = In
      tHide[x^m*(d + e*x^r)^q, x]}, Simp[(a + b*Log[c*x^n])   u, x] - Simp[b*n   Int[SimplifyIntegrand[u/x, x], x],
      x]] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, n, r}, x] && IGtQ[q, 0] && IntegerQ[m] &&  !(EqQ[q, 1] && EqQ[m, -1])

2802. Int[((a_.) + Log[(c_.)*(x_)^(n_.)]*(b_.))^(p_.)/((x_)*((d_) + (e_.)*(x_))), x_Symbol] :> Simp[1/d   Int[(a + b
      *Log[c*x^n])^p/x, x], x] - Simp[e/d   Int[(a + b*Log[c*x^n])^p/(d + e*x), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, n},
      x] && IGtQ[p, 0]

2803. Int[((a_.) + Log[(c_.)*(x_)^(n_.)]*(b_.))^(p_.)*(Polyx_), x_Symbol] :> Int[ExpandIntegrand[Polyx*(a + b*Log[c*
      x^n])^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, n, p}, x] && PolynomialQ[Polyx, x]

2804. Int[((a_.) + Log[(c_.)*(x_)^(n_.)]*(b_.))^(p_.)*(RFx_), x_Symbol] :> With[{u = ExpandIntegrand[(a + b*Log[c*x^
      n])^p, RFx, x]}, Int[u, x] /; SumQ[u]] /; FreeQ[{a, b, c, n}, x] && RationalFunctionQ[RFx, x] && IGtQ[p, 0]

2805. Int[((a_.) + Log[(c_.)*(x_)^(n_.)]*(b_.))^(p_.)*(RFx_), x_Symbol] :> With[{u = ExpandIntegrand[RFx*(a + b*Log[
      c*x^n])^p, x]}, Int[u, x] /; SumQ[u]] /; FreeQ[{a, b, c, n}, x] && RationalFunctionQ[RFx, x] && IGtQ[p, 0]

2806. Int[((a_.) + Log[(c_.)*(x_)^(n_.)]*(b_.))^(p_.)*(AFx_), x_Symbol] :> Unintegrable[AFx*(a + b*Log[c*x^n])^p, x]
      /; FreeQ[{a, b, c, n, p}, x] && AlgebraicFunctionQ[AFx, x, True]

2807. Int[((a_.) + Log[(c_.)*(x_)^(n_.)]*(b_.))^(p_.)*(Log[(c_.)*(x_)^(n_.)]*(e_.) + (d_))^(q_.), x_Symbol] :> Int[E
      xpandIntegrand[(a + b*Log[c*x^n])^p*(d + e*Log[c*x^n])^q, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, n}, x] && IntegerQ[p
      ] && IntegerQ[q]

2808. Int[((a_.) + Log[(c_.)*(x_)^(n_.)]*(b_.))^(p_.)*((d_.) + Log[(f_.)*(x_)^(r_.)]*(e_.)), x_Symbol] :> With[{u =
      IntHide[(a + b*Log[c*x^n])^p, x]}, Simp[(d + e*Log[f*x^r])   u, x] - Simp[e*r   Int[SimplifyIntegrand[u/x, x],
      x], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, n, p, r}, x]

2809. Int[((a_.) + Log[(c_.)*(x_)^(n_.)]*(b_.))^(p_.)*((d_.) + Log[(f_.)*(x_)^(r_.)]*(e_.))^(q_.), x_Symbol] :> Simp
      [x*(a + b*Log[c*x^n])^p*(d + e*Log[f*x^r])^q, x] + (-Simp[b*n*p   Int[(a + b*Log[c*x^n])^(p - 1)*(d + e*Log[f*
      x^r])^q, x], x] - Simp[e*q*r   Int[(a + b*Log[c*x^n])^p*(d + e*Log[f*x^r])^(q - 1), x], x]) /; FreeQ[{a, b, c,
      d, e, f, n, r}, x] && IGtQ[p, 0] && IGtQ[q, 0]

2810. Int[((a_.) + Log[(c_.)*(x_)^(n_.)]*(b_.))^(p_.)*((d_.) + Log[(f_.)*(x_)^(r_.)]*(e_.))^(q_.), x_Symbol] :> Unin
      tegrable[(a + b*Log[c*x^n])^p*(d + e*Log[f*x^r])^q, x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, n, p, q, r}, x]

2811. Int[((a_.) + Log[v_]*(b_.))^(p_.)*((c_.) + Log[v_]*(d_.))^(q_.), x_Symbol] :> Simp[1/Coeff[v, x, 1]   Subst[In
      t[(a + b*Log[x])^p*(c + d*Log[x])^q, x], x, v], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, p, q}, x] && LinearQ[v, x] && NeQ[Coe
      ff[v, x, 0], 0]

2812. Int[(((a_.) + Log[(c_.)*(x_)^(n_.)]*(b_.))^(p_.)*((d_.) + Log[(c_.)*(x_)^(n_.)]*(e_.))^(q_.))/(x_), x_Symbol]
      :> Simp[1/n   Subst[Int[(a + b*x)^p*(d + e*x)^q, x], x, Log[c*x^n]], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, n, p, q}, x]

2813. Int[((a_.) + Log[(c_.)*(x_)^(n_.)]*(b_.))^(p_.)*((d_.) + Log[(f_.)*(x_)^(r_.)]*(e_.))*((g_.)*(x_))^(m_.), x_Sy
      mbol] :> With[{u = IntHide[(g*x)^m*(a + b*Log[c*x^n])^p, x]}, Simp[(d + e*Log[f*x^r])   u, x] - Simp[e*r   Int
      [SimplifyIntegrand[u/x, x], x], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, m, n, p, r}, x] &&  !(EqQ[p, 1] && EqQ[a, 0
      ] && NeQ[d, 0])

2814. Int[((a_.) + Log[(c_.)*(x_)^(n_.)]*(b_.))^(p_.)*((d_.) + Log[(f_.)*(x_)^(r_.)]*(e_.))^(q_.)*((g_.)*(x_))^(m_.)
      , x_Symbol] :> Simp[(g*x)^(m + 1)*(a + b*Log[c*x^n])^p*((d + e*Log[f*x^r])^q/(g*(m + 1))), x] + (-Simp[b*n*(p/
      (m + 1))   Int[(g*x)^m*(a + b*Log[c*x^n])^(p - 1)*(d + e*Log[f*x^r])^q, x], x] - Simp[e*q*(r/(m + 1))   Int[(g
      *x)^m*(a + b*Log[c*x^n])^p*(d + e*Log[f*x^r])^(q - 1), x], x]) /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, m, n, r}, x] &&
      IGtQ[p, 0] && IGtQ[q, 0] && NeQ[m, -1]

2815. Int[((a_.) + Log[(c_.)*(x_)^(n_.)]*(b_.))^(p_.)*((d_.) + Log[(f_.)*(x_)^(r_.)]*(e_.))^(q_.)*((g_.)*(x_))^(m_.)
      , x_Symbol] :> Unintegrable[(g*x)^m*(a + b*Log[c*x^n])^p*(d + e*Log[f*x^r])^q, x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f,
      g, m, n, p, q, r}, x]

2816. Int[((a_.) + Log[v_]*(b_.))^(p_.)*((c_.) + Log[v_]*(d_.))^(q_.)*(u_)^(m_.), x_Symbol] :> With[{e = Coeff[u, x,
      0], f = Coeff[u, x, 1], g = Coeff[v, x, 0], h = Coeff[v, x, 1]}, Simp[1/h   Subst[Int[(f*(x/h))^m*(a + b*Log[
      x])^p*(c + d*Log[x])^q, x], x, v], x] /; EqQ[f*g - e*h, 0] && NeQ[g, 0]] /; FreeQ[{a, b, c, d, m, p, q}, x] &&
      LinearQ[{u, v}, x]

2817. Int[Log[(d_.)*((e_) + (f_.)*(x_)^(m_.))^(r_.)]*((a_.) + Log[(c_.)*(x_)^(n_.)]*(b_.))^(p_.), x_Symbol] :> With[
      {u = IntHide[Log[d*(e + f*x^m)^r], x]}, Simp[(a + b*Log[c*x^n])^p   u, x] - Simp[b*n*p   Int[(a + b*Log[c*x^n]
      )^(p - 1)/x   u, x], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, r, m, n}, x] && IGtQ[p, 0] && RationalQ[m] && (EqQ[p, 1]
      || (FractionQ[m] && IntegerQ[1/m]) || (EqQ[r, 1] && EqQ[m, 1] && EqQ[d*e, 1]))

2818. Int[Log[(d_.)*((e_) + (f_.)*(x_)^(m_.))^(r_.)]*((a_.) + Log[(c_.)*(x_)^(n_.)]*(b_.))^(p_.), x_Symbol] :> With[
      {u = IntHide[(a + b*Log[c*x^n])^p, x]}, Simp[Log[d*(e + f*x^m)^r]   u, x] - Simp[f*m*r   Int[x^(m - 1)/(e + f*
      x^m)   u, x], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, r, m, n}, x] && IGtQ[p, 0] && IntegerQ[m]

2819. Int[Log[(d_.)*((e_) + (f_.)*(x_)^(m_.))^(r_.)]*((a_.) + Log[(c_.)*(x_)^(n_.)]*(b_.))^(p_.), x_Symbol] :> Unint
      egrable[(a + b*Log[c*x^n])^p*Log[d*(e + f*x^m)^r], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, r, m, n, p}, x]

2820. Int[Log[(d_.)*(u_)^(r_.)]*((a_.) + Log[(c_.)*(x_)^(n_.)]*(b_.))^(p_.), x_Symbol] :> Int[Log[d*ExpandToSum[u, x
      ]^r]*(a + b*Log[c*x^n])^p, x] /; FreeQ[{a, b, c, d, r, n, p}, x] && BinomialQ[u, x] &&  !BinomialMatchQ[u, x]

2821. Int[(Log[(d_.)*((e_) + (f_.)*(x_)^(m_.))]*((a_.) + Log[(c_.)*(x_)^(n_.)]*(b_.))^(p_.))/(x_), x_Symbol] :> Simp
      [(-PolyLog[2, (-d)*f*x^m])*((a + b*Log[c*x^n])^p/m), x] + Simp[b*n*(p/m)   Int[PolyLog[2, (-d)*f*x^m]*((a + b*
      Log[c*x^n])^(p - 1)/x), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m, n}, x] && IGtQ[p, 0] && EqQ[d*e, 1]

2822. Int[(Log[(d_.)*((e_) + (f_.)*(x_)^(m_.))^(r_.)]*((a_.) + Log[(c_.)*(x_)^(n_.)]*(b_.))^(p_.))/(x_), x_Symbol] :
      > Simp[Log[d*(e + f*x^m)^r]*((a + b*Log[c*x^n])^(p + 1)/(b*n*(p + 1))), x] - Simp[f*m*(r/(b*n*(p + 1)))   Int[
      x^(m - 1)*((a + b*Log[c*x^n])^(p + 1)/(e + f*x^m)), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, r, m, n}, x] && IGtQ[p,
      0] && NeQ[d*e, 1]

2823. Int[Log[(d_.)*((e_) + (f_.)*(x_)^(m_.))^(r_.)]*((a_.) + Log[(c_.)*(x_)^(n_.)]*(b_.))*((g_.)*(x_))^(q_.), x_Sym
      bol] :> With[{u = IntHide[(g*x)^q*Log[d*(e + f*x^m)^r], x]}, Simp[(a + b*Log[c*x^n])   u, x] - Simp[b*n   Int[
      1/x   u, x], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, r, m, n, q}, x] && (IntegerQ[(q + 1)/m] || (RationalQ[m] && Ra
      tionalQ[q])) && NeQ[q, -1]

2824. Int[Log[(d_.)*((e_) + (f_.)*(x_)^(m_.))]*((a_.) + Log[(c_.)*(x_)^(n_.)]*(b_.))^(p_.)*((g_.)*(x_))^(q_.), x_Sym
      bol] :> With[{u = IntHide[(g*x)^q*Log[d*(e + f*x^m)], x]}, Simp[(a + b*Log[c*x^n])^p   u, x] - Simp[b*n*p   In
      t[(a + b*Log[c*x^n])^(p - 1)/x   u, x], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, m, n, q}, x] && IGtQ[p, 0] && Ratio
      nalQ[m] && RationalQ[q] && NeQ[q, -1] && (EqQ[p, 1] || (FractionQ[m] && IntegerQ[(q + 1)/m]) || (IGtQ[q, 0] &&
      IntegerQ[(q + 1)/m] && EqQ[d*e, 1]))

2825. Int[Log[(d_.)*((e_) + (f_.)*(x_)^(m_.))^(r_.)]*((a_.) + Log[(c_.)*(x_)^(n_.)]*(b_.))^(p_.)*((g_.)*(x_))^(q_.),
      x_Symbol] :> With[{u = IntHide[(g*x)^q*(a + b*Log[c*x^n])^p, x]}, Simp[Log[d*(e + f*x^m)^r]   u, x] - Simp[f*
      m*r   Int[x^(m - 1)/(e + f*x^m)   u, x], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, r, m, n, q}, x] && IGtQ[p, 0] && R
      ationalQ[m] && RationalQ[q]

2826. Int[Log[(d_.)*((e_) + (f_.)*(x_)^(m_.))^(r_.)]*((a_.) + Log[(c_.)*(x_)^(n_.)]*(b_.))^(p_.)*((g_.)*(x_))^(q_.),
      x_Symbol] :> Unintegrable[(g*x)^q*(a + b*Log[c*x^n])^p*Log[d*(e + f*x^m)^r], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g
      , r, m, n, p, q}, x]

2827. Int[Log[(d_.)*(u_)^(r_.)]*((a_.) + Log[(c_.)*(x_)^(n_.)]*(b_.))^(p_.)*((g_.)*(x_))^(q_.), x_Symbol] :> Int[(g*
      x)^q*Log[d*ExpandToSum[u, x]^r]*(a + b*Log[c*x^n])^p, x] /; FreeQ[{a, b, c, d, g, r, n, p, q}, x] && BinomialQ
      [u, x] &&  !BinomialMatchQ[u, x]

2828. Int[((a_.) + Log[(c_.)*(x_)^(n_.)]*(b_.))*PolyLog[k_, (e_.)*(x_)^(q_.)], x_Symbol] :> Simp[(-b)*n*x*PolyLog[k,
      e*x^q], x] + (Simp[x*PolyLog[k, e*x^q]*(a + b*Log[c*x^n]), x] - Simp[q   Int[PolyLog[k - 1, e*x^q]*(a + b*Log
      [c*x^n]), x], x] + Simp[b*n*q   Int[PolyLog[k - 1, e*x^q], x], x]) /; FreeQ[{a, b, c, e, n, q}, x] && IGtQ[k,
      0]

2829. Int[((a_.) + Log[(c_.)*(x_)^(n_.)]*(b_.))^(p_.)*PolyLog[k_, (e_.)*(x_)^(q_.)], x_Symbol] :> Unintegrable[(a +
      b*Log[c*x^n])^p*PolyLog[k, e*x^q], x] /; FreeQ[{a, b, c, e, n, p, q}, x]

2830. Int[(((a_.) + Log[(c_.)*(x_)^(n_.)]*(b_.))^(p_.)*PolyLog[k_, (e_.)*(x_)^(q_.)])/(x_), x_Symbol] :> Simp[PolyLo
      g[k + 1, e*x^q]*((a + b*Log[c*x^n])^p/q), x] - Simp[b*n*(p/q)   Int[PolyLog[k + 1, e*x^q]*((a + b*Log[c*x^n])^
      (p - 1)/x), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, e, k, n, q}, x] && GtQ[p, 0]

2831. Int[(((a_.) + Log[(c_.)*(x_)^(n_.)]*(b_.))^(p_.)*PolyLog[k_, (e_.)*(x_)^(q_.)])/(x_), x_Symbol] :> Simp[PolyLo
      g[k, e*x^q]*((a + b*Log[c*x^n])^(p + 1)/(b*n*(p + 1))), x] - Simp[q/(b*n*(p + 1))   Int[PolyLog[k - 1, e*x^q]*
      ((a + b*Log[c*x^n])^(p + 1)/x), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, e, k, n, q}, x] && LtQ[p, -1]

2832. Int[((a_.) + Log[(c_.)*(x_)^(n_.)]*(b_.))*((d_.)*(x_))^(m_.)*PolyLog[k_, (e_.)*(x_)^(q_.)], x_Symbol] :> Simp[
      (-b)*n*(d*x)^(m + 1)*(PolyLog[k, e*x^q]/(d*(m + 1)^2)), x] + (Simp[(d*x)^(m + 1)*PolyLog[k, e*x^q]*((a + b*Log
      [c*x^n])/(d*(m + 1))), x] - Simp[q/(m + 1)   Int[(d*x)^m*PolyLog[k - 1, e*x^q]*(a + b*Log[c*x^n]), x], x] + Si
      mp[b*n*(q/(m + 1)^2)   Int[(d*x)^m*PolyLog[k - 1, e*x^q], x], x]) /; FreeQ[{a, b, c, d, e, m, n, q}, x] && IGt
      Q[k, 0]

2833. Int[((a_.) + Log[(c_.)*(x_)^(n_.)]*(b_.))^(p_.)*((d_.)*(x_))^(m_.)*PolyLog[k_, (e_.)*(x_)^(q_.)], x_Symbol] :>
      Unintegrable[(d*x)^m*(a + b*Log[c*x^n])^p*PolyLog[k, e*x^q], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, m, n, p, q}, x]

2834. Int[((a_.) + Log[(c_.)*(x_)^(n_.)]*(b_.))*(Px_.)*(F_)[(d_.)*((e_.) + (f_.)*(x_))]^(m_.), x_Symbol] :> With[{u
      = IntHide[Px*F[d*(e + f*x)]^m, x]}, Simp[(a + b*Log[c*x^n])   u, x] - Simp[b*n   Int[1/x   u, x], x]] /; FreeQ
      [{a, b, c, d, e, f, n}, x] && PolynomialQ[Px, x] && IGtQ[m, 0] && MemberQ[{ArcSin, ArcCos, ArcSinh, ArcCosh},
      F]

2835. Int[((a_.) + Log[(c_.)*(x_)^(n_.)]*(b_.))*(Px_.)*(F_)[(d_.)*((e_.) + (f_.)*(x_))], x_Symbol] :> With[{u = IntH
      ide[Px*F[d*(e + f*x)], x]}, Simp[(a + b*Log[c*x^n])   u, x] - Simp[b*n   Int[1/x   u, x], x]] /; FreeQ[{a, b,
      c, d, e, f, n}, x] && PolynomialQ[Px, x] && MemberQ[{ArcTan, ArcCot, ArcTanh, ArcCoth}, F]

2836. Int[((a_.) + Log[(c_.)*((d_) + (e_.)*(x_))^(n_.)]*(b_.))^(p_.), x_Symbol] :> Simp[1/e   Subst[Int[(a + b*Log[c
      *x^n])^p, x], x, d + e*x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, n, p}, x]

2837. Int[((a_.) + Log[(c_.)*((d_) + (e_.)*(x_))^(n_.)]*(b_.))^(p_.)*((f_) + (g_.)*(x_))^(q_.), x_Symbol] :> Simp[1/
      e   Subst[Int[(f*(x/d))^q*(a + b*Log[c*x^n])^p, x], x, d + e*x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, n, p, q}, x
      ] && EqQ[e*f - d*g, 0]

2838. Int[Log[(c_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^(n_.))]/(x_), x_Symbol] :> Simp[-PolyLog[2, (-c)*e*x^n]/n, x] /; FreeQ[{c, d,
      e, n}, x] && EqQ[c*d, 1]

2839. Int[((a_.) + Log[(c_.)*((d_) + (e_.)*(x_))]*(b_.))/(x_), x_Symbol] :> Simp[(a + b*Log[c*d])*Log[x], x] + Simp[
      b   Int[Log[1 + e*(x/d)]/x, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && GtQ[c*d, 0]

2840. Int[((a_.) + Log[(c_.)*((d_) + (e_.)*(x_))]*(b_.))/((f_.) + (g_.)*(x_)), x_Symbol] :> Simp[1/g   Subst[Int[(a
      + b*Log[1 + c*e*(x/g)])/x, x], x, f + g*x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g}, x] && NeQ[e*f - d*g, 0] && EqQ[
      g + c*(e*f - d*g), 0]

2841. Int[((a_.) + Log[(c_.)*((d_) + (e_.)*(x_))^(n_.)]*(b_.))/((f_.) + (g_.)*(x_)), x_Symbol] :> Simp[Log[e*((f + g
      *x)/(e*f - d*g))]*((a + b*Log[c*(d + e*x)^n])/g), x] - Simp[b*e*(n/g)   Int[Log[(e*(f + g*x))/(e*f - d*g)]/(d
      + e*x), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, n}, x] && NeQ[e*f - d*g, 0]

2842. Int[((a_.) + Log[(c_.)*((d_) + (e_.)*(x_))^(n_.)]*(b_.))*((f_.) + (g_.)*(x_))^(q_.), x_Symbol] :> Simp[(f + g*
      x)^(q + 1)*((a + b*Log[c*(d + e*x)^n])/(g*(q + 1))), x] - Simp[b*e*(n/(g*(q + 1)))   Int[(f + g*x)^(q + 1)/(d
      + e*x), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, n, q}, x] && NeQ[e*f - d*g, 0] && NeQ[q, -1]

2843. Int[((a_.) + Log[(c_.)*((d_) + (e_.)*(x_))^(n_.)]*(b_.))^(p_)/((f_.) + (g_.)*(x_)), x_Symbol] :> Simp[Log[e*((
      f + g*x)/(e*f - d*g))]*((a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^p/g), x] - Simp[b*e*n*(p/g)   Int[Log[(e*(f + g*x))/(e*f -
      d*g)]*((a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^(p - 1)/(d + e*x)), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, n, p}, x] && NeQ[e
      *f - d*g, 0] && IGtQ[p, 1]

2844. Int[((a_.) + Log[(c_.)*((d_) + (e_.)*(x_))^(n_.)]*(b_.))^(p_)/((f_.) + (g_.)*(x_))^2, x_Symbol] :> Simp[(d + e
      *x)*((a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^p/((e*f - d*g)*(f + g*x))), x] - Simp[b*e*n*(p/(e*f - d*g))   Int[(a + b*Log[c
      *(d + e*x)^n])^(p - 1)/(f + g*x), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, n}, x] && NeQ[e*f - d*g, 0] && GtQ[p,
      0]

2845. Int[((a_.) + Log[(c_.)*((d_) + (e_.)*(x_))^(n_.)]*(b_.))^(p_)*((f_.) + (g_.)*(x_))^(q_.), x_Symbol] :> Simp[(f
      + g*x)^(q + 1)*((a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^p/(g*(q + 1))), x] - Simp[b*e*n*(p/(g*(q + 1)))   Int[(f + g*x)^(q
      + 1)*((a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^(p - 1)/(d + e*x)), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, n, q}, x] && NeQ[e
      *f - d*g, 0] && GtQ[p, 0] && NeQ[q, -1] && IntegersQ[2*p, 2*q] && ( !IGtQ[q, 0] || (EqQ[p, 2] && NeQ[q, 1]))

2846. Int[((f_.) + (g_.)*(x_))^(q_.)/((a_.) + Log[(c_.)*((d_) + (e_.)*(x_))^(n_.)]*(b_.)), x_Symbol] :> Int[ExpandIn
      tegrand[(f + g*x)^q/(a + b*Log[c*(d + e*x)^n]), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, n}, x] && NeQ[e*f - d*g,
      0] && IGtQ[q, 0]

2847. Int[((a_.) + Log[(c_.)*((d_) + (e_.)*(x_))^(n_.)]*(b_.))^(p_)*((f_.) + (g_.)*(x_))^(q_.), x_Symbol] :> Simp[(d
      + e*x)*(f + g*x)^q*((a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^(p + 1)/(b*e*n*(p + 1))), x] + (-Simp[(q + 1)/(b*n*(p + 1))
      Int[(f + g*x)^q*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^(p + 1), x], x] + Simp[q*((e*f - d*g)/(b*e*n*(p + 1)))   Int[(f + g
      *x)^(q - 1)*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^(p + 1), x], x]) /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, n}, x] && NeQ[e*f - d*g
      , 0] && LtQ[p, -1] && GtQ[q, 0]

2848. Int[((a_.) + Log[(c_.)*((d_) + (e_.)*(x_))^(n_.)]*(b_.))^(p_)*((f_.) + (g_.)*(x_))^(q_.), x_Symbol] :> Int[Exp
      andIntegrand[(f + g*x)^q*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, n, p}, x] && NeQ[
      e*f - d*g, 0] && IGtQ[q, 0]

2849. Int[Log[(c_.)/((d_) + (e_.)*(x_))]/((f_) + (g_.)*(x_)^2), x_Symbol] :> Simp[-e/g   Subst[Int[Log[2*d*x]/(1 - 2
      *d*x), x], x, 1/(d + e*x)], x] /; FreeQ[{c, d, e, f, g}, x] && EqQ[c, 2*d] && EqQ[e^2*f + d^2*g, 0]

2850. Int[((a_.) + Log[(c_.)/((d_) + (e_.)*(x_))]*(b_.))/((f_) + (g_.)*(x_)^2), x_Symbol] :> Simp[(a + b*Log[c/(2*d)
      ])   Int[1/(f + g*x^2), x], x] + Simp[b   Int[Log[2*(d/(d + e*x))]/(f + g*x^2), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e
      , f, g}, x] && EqQ[e^2*f + d^2*g, 0] && GtQ[c/(2*d), 0]

2851. Int[((a_.) + Log[(c_.)*((d_) + (e_.)*(x_))^(n_.)]*(b_.))/Sqrt[(f_) + (g_.)*(x_)^2], x_Symbol] :> With[{u = Int
      Hide[1/Sqrt[f + g*x^2], x]}, Simp[u*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n]), x] - Simp[b*e*n   Int[SimplifyIntegrand[u/(d +
      e*x), x], x], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, n}, x] && GtQ[f, 0]

2852. Int[((a_.) + Log[(c_.)*((d_) + (e_.)*(x_))^(n_.)]*(b_.))/(Sqrt[(f1_) + (g1_.)*(x_)]*Sqrt[(f2_) + (g2_.)*(x_)])
      , x_Symbol] :> With[{u = IntHide[1/Sqrt[f1*f2 + g1*g2*x^2], x]}, Simp[u*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n]), x] - Simp[
      b*e*n   Int[SimplifyIntegrand[u/(d + e*x), x], x], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f1, g1, f2, g2, n}, x] && EqQ[
      f2*g1 + f1*g2, 0] && GtQ[f1, 0] && GtQ[f2, 0]

2853. Int[((a_.) + Log[(c_.)*((d_) + (e_.)*(x_))^(n_.)]*(b_.))/Sqrt[(f_) + (g_.)*(x_)^2], x_Symbol] :> Simp[Sqrt[1 +
      (g/f)*x^2]/Sqrt[f + g*x^2]   Int[(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])/Sqrt[1 + (g/f)*x^2], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d,
      e, f, g, n}, x] &&  !GtQ[f, 0]

2854. Int[((a_.) + Log[(c_.)*((d_) + (e_.)*(x_))^(n_.)]*(b_.))/(Sqrt[(f1_) + (g1_.)*(x_)]*Sqrt[(f2_) + (g2_.)*(x_)])
      , x_Symbol] :> Simp[Sqrt[1 + g1*(g2/(f1*f2))*x^2]/(Sqrt[f1 + g1*x]*Sqrt[f2 + g2*x])   Int[(a + b*Log[c*(d + e*
      x)^n])/Sqrt[1 + g1*(g2/(f1*f2))*x^2], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f1, g1, f2, g2, n}, x] && EqQ[f2*g1 + f1
      *g2, 0]

2855. Int[((a_.) + Log[(c_.)*((d_) + (e_.)*(x_))^(n_.)]*(b_.))^(p_.)*((f_.) + (g_.)*(x_)^(r_))^(q_.), x_Symbol] :> W
      ith[{k = Denominator[r]}, Simp[k   Subst[Int[x^(k - 1)*(f + g*x^(k*r))^q*(a + b*Log[c*(d + e*x^k)^n])^p, x], x
      , x^(1/k)], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, n, p, q}, x] && FractionQ[r] && IGtQ[p, 0]

2856. Int[((a_.) + Log[(c_.)*((d_) + (e_.)*(x_))^(n_.)]*(b_.))^(p_.)*((f_) + (g_.)*(x_)^(r_))^(q_.), x_Symbol] :> In
      t[ExpandIntegrand[(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^p, (f + g*x^r)^q, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, n, r}, x]
      && IGtQ[p, 0] && IntegerQ[q] && (GtQ[q, 0] || (IntegerQ[r] && NeQ[r, 1]))

2857. Int[(Log[(c_.)*((d_) + (e_.)*(x_))]*(x_)^(m_.))/((f_) + (g_.)*(x_)), x_Symbol] :> Int[ExpandIntegrand[Log[c*(d
      + e*x)], x^m/(f + g*x), x], x] /; FreeQ[{c, d, e, f, g}, x] && EqQ[e*f - d*g, 0] && EqQ[c*d, 1] && IntegerQ[m
      ]

2858. Int[((a_.) + Log[(c_.)*((d_) + (e_.)*(x_))^(n_.)]*(b_.))^(p_.)*((f_.) + (g_.)*(x_))^(q_.)*((h_.) + (i_.)*(x_))
      ^(r_.), x_Symbol] :> Simp[1/e   Subst[Int[(g*(x/e))^q*((e*h - d*i)/e + i*(x/e))^r*(a + b*Log[c*x^n])^p, x], x,
      d + e*x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, h, i, n, p, q, r}, x] && EqQ[e*f - d*g, 0] && (IGtQ[p, 0] || IGtQ
      [r, 0]) && IntegerQ[2*r]

2859. Int[((a_.) + Log[(c_.)*((d_) + (e_.)*(x_))^(n_.)]*(b_.))^(p_.)*((f_) + (g_.)/(x_))^(q_.)*(x_)^(m_.), x_Symbol]
      :> Int[(g + f*x)^q*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^p, x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, m, n, p, q}, x] && EqQ[m,
      q] && IntegerQ[q]

2860. Int[((a_.) + Log[(c_.)*((d_) + (e_.)*(x_))^(n_.)]*(b_.))^(p_.)*(x_)^(m_.)*((f_.) + (g_.)*(x_)^(r_.))^(q_.), x_
      Symbol] :> Simp[(f + g*x^r)^(q + 1)*((a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^p/(g*r*(q + 1))), x] - Simp[b*e*n*(p/(g*r*(q +
      1)))   Int[(f + g*x^r)^(q + 1)*((a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^(p - 1)/(d + e*x)), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e
      , f, g, m, n, q, r}, x] && EqQ[m, r - 1] && NeQ[q, -1] && IGtQ[p, 0]

2861. Int[((a_.) + Log[(c_.)*((d_) + (e_.)*(x_))^(n_.)]*(b_.))*(x_)^(m_.)*((f_) + (g_.)*(x_)^(r_.))^(q_.), x_Symbol]
      :> With[{u = IntHide[x^m*(f + g*x^r)^q, x]}, Simp[(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])   u, x] - Simp[b*e*n   Int[Simpl
      ifyIntegrand[u/(d + e*x), x], x], x] /; InverseFunctionFreeQ[u, x]] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, m, n, q, r}
      , x] && IntegerQ[m] && IntegerQ[q] && IntegerQ[r]

2862. Int[((a_.) + Log[(c_.)*((d_) + (e_.)*(x_))^(n_.)]*(b_.))^(p_.)*(x_)^(m_.)*((f_.) + (g_.)*(x_)^(r_))^(q_.), x_S
      ymbol] :> With[{k = Denominator[r]}, Simp[k   Subst[Int[x^(k*(m + 1) - 1)*(f + g*x^(k*r))^q*(a + b*Log[c*(d +
      e*x^k)^n])^p, x], x, x^(1/k)], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, n, p, q}, x] && FractionQ[r] && IGtQ[p, 0] &
      & IntegerQ[m]

2863. Int[((a_.) + Log[(c_.)*((d_) + (e_.)*(x_))^(n_.)]*(b_.))^(p_.)*((h_.)*(x_))^(m_.)*((f_) + (g_.)*(x_)^(r_.))^(q
      _.), x_Symbol] :> Int[ExpandIntegrand[(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^p, (h*x)^m*(f + g*x^r)^q, x], x] /; FreeQ[{a,
      b, c, d, e, f, g, h, m, n, p, q, r}, x] && IntegerQ[m] && IntegerQ[q]

2864. Int[((a_.) + Log[(c_.)*((d_) + (e_.)*(x_))^(n_.)]*(b_.))^(p_.)*(Polyx_), x_Symbol] :> Int[ExpandIntegrand[Poly
      x*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, n, p}, x] && PolynomialQ[Polyx, x]

2865. Int[((a_.) + Log[(c_.)*((d_) + (e_.)*(x_))^(n_.)]*(b_.))^(p_.)*(RFx_), x_Symbol] :> With[{u = ExpandIntegrand[
      (a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^p, RFx, x]}, Int[u, x] /; SumQ[u]] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, n}, x] && RationalFunct
      ionQ[RFx, x] && IntegerQ[p]

2866. Int[((a_.) + Log[(c_.)*((d_) + (e_.)*(x_))^(n_.)]*(b_.))^(p_.)*(RFx_), x_Symbol] :> With[{u = ExpandIntegrand[
      RFx*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^p, x]}, Int[u, x] /; SumQ[u]] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, n}, x] && RationalFuncti
      onQ[RFx, x] && IntegerQ[p]

2867. Int[((a_.) + Log[(c_.)*((d_) + (e_.)*(x_))^(n_.)]*(b_.))^(p_.)*(AFx_), x_Symbol] :> Unintegrable[AFx*(a + b*Lo
      g[c*(d + e*x)^n])^p, x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, n, p}, x] && AlgebraicFunctionQ[AFx, x, True]

2868. Int[((a_.) + Log[(c_.)*(v_)^(n_.)]*(b_.))^(p_.)*(u_)^(q_.), x_Symbol] :> Int[ExpandToSum[u, x]^q*(a + b*Log[c*
      ExpandToSum[v, x]^n])^p, x] /; FreeQ[{a, b, c, n, p, q}, x] && BinomialQ[u, x] && LinearQ[v, x] &&  !(Binomial
      MatchQ[u, x] && LinearMatchQ[v, x])

2869. Int[Log[(f_.)*(x_)^(m_.)]*((a_.) + Log[(c_.)*((d_) + (e_.)*(x_))^(n_.)]*(b_.)), x_Symbol] :> Simp[(-x)*(m - Lo
      g[f*x^m])*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n]), x] + (-Simp[b*e*n   Int[(x*Log[f*x^m])/(d + e*x), x], x] + Simp[b*e*m*n
      Int[x/(d + e*x), x], x]) /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m, n}, x]

2870. Int[Log[(f_.)*(x_)^(m_.)]*((a_.) + Log[(c_.)*((d_) + (e_.)*(x_))^(n_.)]*(b_.))^(p_), x_Symbol] :> With[{u = In
      tHide[(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^p, x]}, Simp[Log[f*x^m]   u, x] - Simp[m   Int[1/x   u, x], x]] /; FreeQ[{a,
      b, c, d, e, f, m, n}, x] && IGtQ[p, 1]

2871. Int[Log[(f_.)*(x_)^(m_.)]*((a_.) + Log[(c_.)*((d_) + (e_.)*(x_))^(n_.)]*(b_.))^(p_.), x_Symbol] :> Unintegrabl
      e[Log[f*x^m]*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^p, x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m, n, p}, x]

2872. Int[(Log[(f_.)*(x_)^(m_.)]*((a_.) + Log[(c_.)*((d_) + (e_.)*(x_))^(n_.)]*(b_.)))/(x_), x_Symbol] :> Simp[Log[f
      *x^m]^2*((a + b*Log[c*(d + e*x)^n])/(2*m)), x] - Simp[b*e*(n/(2*m))   Int[Log[f*x^m]^2/(d + e*x), x], x] /; Fr
      eeQ[{a, b, c, d, e, f, m, n}, x]

2873. Int[Log[(f_.)*(x_)^(m_.)]*((a_.) + Log[(c_.)*((d_) + (e_.)*(x_))^(n_.)]*(b_.))*((g_.)*(x_))^(q_.), x_Symbol] :
      > Simp[(-(g*(q + 1))^(-1))*(m*((g*x)^(q + 1)/(q + 1)) - (g*x)^(q + 1)*Log[f*x^m])*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n]),
      x] + (-Simp[b*e*(n/(g*(q + 1)))   Int[(g*x)^(q + 1)*(Log[f*x^m]/(d + e*x)), x], x] + Simp[b*e*m*(n/(g*(q + 1)^
      2))   Int[(g*x)^(q + 1)/(d + e*x), x], x]) /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, m, n, q}, x] && NeQ[q, -1]

2874. Int[(Log[(f_.)*(x_)^(m_.)]*((a_.) + Log[(c_.)*((d_) + (e_.)*(x_))^(n_.)]*(b_.))^(p_.))/(x_), x_Symbol] :> Simp
      [Log[f*x^m]^2*((a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^p/(2*m)), x] - Simp[b*e*n*(p/(2*m))   Int[Log[f*x^m]^2*((a + b*Log[c
      *(d + e*x)^n])^(p - 1)/(d + e*x)), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m, n}, x] && IGtQ[p, 0]

2875. Int[Log[(f_.)*(x_)^(m_.)]*((a_.) + Log[(c_.)*((d_) + (e_.)*(x_))^(n_.)]*(b_.))^(p_)*((g_.)*(x_))^(q_.), x_Symb
      ol] :> With[{u = IntHide[(g*x)^q*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^p, x]}, Simp[Log[f*x^m]   u, x] - Simp[m   Int[1/x
      u, x], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, m, n, q}, x] && IGtQ[p, 1] && IGtQ[q, 0]

2876. Int[Log[(f_.)*(x_)^(m_.)]*((a_.) + Log[(c_.)*((d_) + (e_.)*(x_))^(n_.)]*(b_.))^(p_.)*((g_.)*(x_))^(q_.), x_Sym
      bol] :> Unintegrable[(g*x)^q*Log[f*x^m]*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^p, x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, m, n,
      p, q}, x]

2877. Int[Log[(f_.)*((g_.) + (h_.)*(x_))^(m_.)]*((a_.) + Log[(c_.)*((d_) + (e_.)*(x_))^(n_.)]*(b_.))^(p_.), x_Symbol
      ] :> Simp[1/e   Subst[Int[Log[f*(g*(x/d))^m]*(a + b*Log[c*x^n])^p, x], x, d + e*x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e
      , f, g, h, m, n, p}, x] && EqQ[e*f - d*g, 0]

2878. Int[((a_.) + Log[(c_.)*((d_) + (e_.)*(x_))^(n_.)]*(b_.))*((f_.) + Log[(c_.)*((d_) + (e_.)*(x_))^(n_.)]*(g_.)),
      x_Symbol] :> Simp[x*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])*(f + g*Log[c*(d + e*x)^n]), x] - Simp[e*n   Int[(x*(b*f + a*g
      + 2*b*g*Log[c*(d + e*x)^n]))/(d + e*x), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, n}, x]

2879. Int[((a_.) + Log[(c_.)*((d_) + (e_.)*(x_))^(n_.)]*(b_.))^(p_.)*((f_.) + Log[(h_.)*((i_.) + (j_.)*(x_))^(m_.)]*
      (g_.)), x_Symbol] :> Simp[x*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^p*(f + g*Log[h*(i + j*x)^m]), x] + (-Simp[g*j*m   Int[x
      *((a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^p/(i + j*x)), x], x] - Simp[b*e*n*p   Int[x*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^(p - 1)*((
      f + g*Log[h*(i + j*x)^m])/(d + e*x)), x], x]) /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, m, n}, x] && IGtQ[p, 0]

2880. Int[((a_.) + Log[(c_.)*((d_) + (e_.)*(x_))^(n_.)]*(b_.))^(p_.)*((f_.) + Log[(h_.)*((i_.) + (j_.)*(x_))^(m_.)]*
      (g_.))^(q_.), x_Symbol] :> Unintegrable[(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^p*(f + g*Log[h*(i + j*x)^m])^q, x] /; FreeQ
      [{a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, m, n, p}, x]

2881. Int[((a_.) + Log[(c_.)*((d_) + (e_.)*(x_))^(n_.)]*(b_.))^(p_.)*((f_.) + Log[(h_.)*((i_.) + (j_.)*(x_))^(m_.)]*
      (g_.))*((k_.) + (l_.)*(x_))^(r_.), x_Symbol] :> Simp[1/e   Subst[Int[(k*(x/d))^r*(a + b*Log[c*x^n])^p*(f + g*L
      og[h*((e*i - d*j)/e + j*(x/e))^m]), x], x, d + e*x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l, n, p, r}
      , x] && EqQ[e*k - d*l, 0]

2882. Int[(((a_.) + Log[(c_.)*((d_) + (e_.)*(x_))^(n_.)]*(b_.))*((f_.) + Log[(c_.)*((d_) + (e_.)*(x_))^(n_.)]*(g_.))
      )/(x_), x_Symbol] :> Simp[Log[x]*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])*(f + g*Log[c*(d + e*x)^n]), x] - Simp[e*n   Int[(L
      og[x]*(b*f + a*g + 2*b*g*Log[c*(d + e*x)^n]))/(d + e*x), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, n}, x]

2883. Int[((a_.) + Log[(c_.)*((d_) + (e_.)*(x_))^(n_.)]*(b_.))*((f_.) + Log[(c_.)*((d_) + (e_.)*(x_))^(n_.)]*(g_.))*
      (x_)^(m_.), x_Symbol] :> Simp[x^(m + 1)*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])*((f + g*Log[c*(d + e*x)^n])/(m + 1)), x] -
      Simp[e*(n/(m + 1))   Int[(x^(m + 1)*(b*f + a*g + 2*b*g*Log[c*(d + e*x)^n]))/(d + e*x), x], x] /; FreeQ[{a, b,
      c, d, e, f, g, n, m}, x] && NeQ[m, -1]

2884. Int[(((a_.) + Log[(c_.)*((d_) + (e_.)*(x_))^(n_.)]*(b_.))*((f_.) + Log[(h_.)*((i_.) + (j_.)*(x_))^(m_.)]*(g_.)
      ))/(x_), x_Symbol] :> Simp[Log[x]*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])*(f + g*Log[h*(i + j*x)^m]), x] + (-Simp[e*g*m   I
      nt[Log[x]*((a + b*Log[c*(d + e*x)^n])/(d + e*x)), x], x] - Simp[b*j*n   Int[Log[x]*((f + g*Log[h*(i + j*x)^m])
      /(i + j*x)), x], x]) /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, m, n}, x] && EqQ[e*i - d*j, 0]

2885. Int[(Log[(a_) + (b_.)*(x_)]*Log[(c_) + (d_.)*(x_)])/(x_), x_Symbol] :> Simp[Log[(-b)*(x/a)]*Log[a + b*x]*Log[c
      + d*x], x] + (Simp[(1/2)*(Log[(-b)*(x/a)] - Log[(-(b*c - a*d))*(x/(a*(c + d*x)))] + Log[(b*c - a*d)/(b*(c + d
      *x))])*Log[a*((c + d*x)/(c*(a + b*x)))]^2, x] - Simp[(1/2)*(Log[(-b)*(x/a)] - Log[(-d)*(x/c)])*(Log[a + b*x] +
      Log[a*((c + d*x)/(c*(a + b*x)))])^2, x] + Simp[(Log[c + d*x] - Log[a*((c + d*x)/(c*(a + b*x)))])*PolyLog[2, 1
      + b*(x/a)], x] + Simp[(Log[a + b*x] + Log[a*((c + d*x)/(c*(a + b*x)))])*PolyLog[2, 1 + d*(x/c)], x] + Simp[Lo
      g[a*((c + d*x)/(c*(a + b*x)))]*PolyLog[2, c*((a + b*x)/(a*(c + d*x)))], x] - Simp[Log[a*((c + d*x)/(c*(a + b*x
      )))]*PolyLog[2, d*((a + b*x)/(b*(c + d*x)))], x] - Simp[PolyLog[3, 1 + b*(x/a)], x] - Simp[PolyLog[3, 1 + d*(x
      /c)], x] + Simp[PolyLog[3, c*((a + b*x)/(a*(c + d*x)))], x] - Simp[PolyLog[3, d*((a + b*x)/(b*(c + d*x)))], x]
      ) /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0]

2886. Int[(Log[v_]*Log[w_])/(x_), x_Symbol] :> Int[Log[ExpandToSum[v, x]]*(Log[ExpandToSum[w, x]]/x), x] /; LinearQ[
      {v, w}, x] &&  !LinearMatchQ[{v, w}, x]

2887. Int[(Log[(c_.)*((d_) + (e_.)*(x_))^(n_.)]*Log[(h_.)*((i_.) + (j_.)*(x_))^(m_.)])/(x_), x_Symbol] :> Simp[m   I
      nt[Log[i + j*x]*(Log[c*(d + e*x)^n]/x), x], x] - Simp[(m*Log[i + j*x] - Log[h*(i + j*x)^m])   Int[Log[c*(d + e
      *x)^n]/x, x], x] /; FreeQ[{c, d, e, h, i, j, m, n}, x] && NeQ[e*i - d*j, 0] && NeQ[i + j*x, h*(i + j*x)^m]

2888. Int[(((a_.) + Log[(c_.)*((d_) + (e_.)*(x_))^(n_.)]*(b_.))*(Log[(h_.)*((i_.) + (j_.)*(x_))^(m_.)]*(g_.) + (f_))
      )/(x_), x_Symbol] :> Simp[f   Int[(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])/x, x], x] + Simp[g   Int[Log[h*(i + j*x)^m]*((a +
      b*Log[c*(d + e*x)^n])/x), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, m, n}, x] && NeQ[e*i - d*j, 0]

2889. Int[((a_.) + Log[(c_.)*((d_) + (e_.)*(x_))^(n_.)]*(b_.))^(p_.)*((f_.) + Log[(h_.)*((i_.) + (j_.)*(x_))^(m_.)]*
      (g_.))*(x_)^(r_.), x_Symbol] :> Simp[x^(r + 1)*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^p*((f + g*Log[h*(i + j*x)^m])/(r + 1
      )), x] + (-Simp[g*j*(m/(r + 1))   Int[x^(r + 1)*((a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^p/(i + j*x)), x], x] - Simp[b*e*n*
      (p/(r + 1))   Int[x^(r + 1)*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^(p - 1)*((f + g*Log[h*(i + j*x)^m])/(d + e*x)), x], x])
      /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, m, n}, x] && IGtQ[p, 0] && IntegerQ[r] && (EqQ[p, 1] || GtQ[r, 0]) &&
      NeQ[r, -1]

2890. Int[((a_.) + Log[(c_.)*((d_) + (e_.)*(x_))^(n_.)]*(b_.))*((f_.) + Log[(h_.)*((i_.) + (j_.)*(x_))^(m_.)]*(g_.))
      *((k_) + (l_.)*(x_))^(r_.), x_Symbol] :> Simp[1/l   Subst[Int[x^r*(a + b*Log[c*(-(e*k - d*l)/l + e*(x/l))^n])*
      (f + g*Log[h*(-(j*k - i*l)/l + j*(x/l))^m]), x], x, k + l*x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l,
      m, n}, x] && IntegerQ[r]

2891. Int[((a_.) + Log[(c_.)*((d_) + (e_.)*(x_))^(n_.)]*(b_.))^(p_.)*((f_.) + Log[(h_.)*((i_.) + (j_.)*(x_))^(m_.)]*
      (g_.))^(q_.)*((k_.) + (l_.)*(x_))^(r_.), x_Symbol] :> Unintegrable[(k + l*x)^r*(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])^p*(f
      + g*Log[h*(i + j*x)^m])^q, x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l, m, n, p, q, r}, x]

2892. Int[(((a_.) + Log[(c_.)*((d_) + (e_.)*(x_))^(n_.)]*(b_.))^(p_.)*PolyLog[k_, (h_) + (i_.)*(x_)])/((f_) + (g_.)*
      (x_)), x_Symbol] :> Simp[1/g   Subst[Int[PolyLog[k, h*(x/d)]*((a + b*Log[c*x^n])^p/x), x], x, d + e*x], x] /;
      FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, h, i, k, n}, x] && EqQ[e*f - d*g, 0] && EqQ[g*h - f*i, 0] && IGtQ[p, 0]

2893. Int[((a_.) + Log[(c_.)*((d_) + (e_.)*(x_))^(n_.)]*(b_.))*(Px_.)*(F_)[(f_.)*((g_.) + (h_.)*(x_))], x_Symbol] :>
      With[{u = IntHide[Px*F[f*(g + h*x)], x]}, Simp[(a + b*Log[c*(d + e*x)^n])   u, x] - Simp[b*e*n   Int[Simplify
      Integrand[u/(d + e*x), x], x], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, h, n}, x] && PolynomialQ[Px, x] && MemberQ[{
      ArcSin, ArcCos, ArcTan, ArcCot, ArcSinh, ArcCosh, ArcTanh, ArcCoth}, F]

2894. Int[((a_.) + Log[(c_.)*(v_)^(n_.)]*(b_.))^(p_.)*(u_.), x_Symbol] :> Int[u*(a + b*Log[c*ExpandToSum[v, x]^n])^p
      , x] /; FreeQ[{a, b, c, n, p}, x] && LinearQ[v, x] &&  !LinearMatchQ[v, x] &&  !(EqQ[n, 1] && MatchQ[c*v, (e_.
      )*((f_) + (g_.)*x) /; FreeQ[{e, f, g}, x]])

2895. Int[((a_.) + Log[(c_.)*((d_.)*((e_.) + (f_.)*(x_))^(m_.))^(n_)]*(b_.))^(p_.)*(u_.), x_Symbol] :> Subst[Int[u*(
      a + b*Log[c*d^n*(e + f*x)^(m*n)])^p, x], c*d^n*(e + f*x)^(m*n), c*(d*(e + f*x)^m)^n] /; FreeQ[{a, b, c, d, e,
      f, m, n, p}, x] &&  !IntegerQ[n] &&  !(EqQ[d, 1] && EqQ[m, 1]) && IntegralFreeQ[IntHide[u*(a + b*Log[c*d^n*(e
      + f*x)^(m*n)])^p, x]]

2896. Int[((a_.) + Log[(c_.)*((d_.)*((e_.) + (f_.)*(x_))^(m_.))^(n_)]*(b_.))^(p_.)*(AFx_), x_Symbol] :> Unintegrable
      [AFx*(a + b*Log[c*(d*(e + f*x)^m)^n])^p, x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m, n, p}, x] && AlgebraicFunctionQ[AFx
      , x, True]

2897. Int[Log[u_]*(Pq_)^(m_.), x_Symbol] :> With[{C = FullSimplify[Pq^m*((1 - u)/D[u, x])]}, Simp[C*PolyLog[2, 1 - u
      ], x] /; FreeQ[C, x]] /; IntegerQ[m] && PolyQ[Pq, x] && RationalFunctionQ[u, x] && LeQ[RationalFunctionExponen
      ts[u, x][[2]], Expon[Pq, x]]

2898. Int[Log[(c_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^(n_))^(p_.)], x_Symbol] :> Simp[x*Log[c*(d + e*x^n)^p], x] - Simp[e*n*p   Int
      [x^n/(d + e*x^n), x], x] /; FreeQ[{c, d, e, n, p}, x]

2899. Int[((a_.) + Log[(c_.)*((d_) + (e_.)/(x_))^(p_.)]*(b_.))^(q_), x_Symbol] :> Simp[(e + d*x)*((a + b*Log[c*(d +
      e/x)^p])^q/d), x] + Simp[b*e*p*(q/d)   Int[(a + b*Log[c*(d + e/x)^p])^(q - 1)/x, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d,
      e, p}, x] && IGtQ[q, 0]

2900. Int[((a_.) + Log[(c_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^(n_))^(p_.)]*(b_.))^(q_), x_Symbol] :> Simp[x*(a + b*Log[c*(d + e*x^
      n)^p])^q, x] - Simp[b*e*n*p*q   Int[x^n*((a + b*Log[c*(d + e*x^n)^p])^(q - 1)/(d + e*x^n)), x], x] /; FreeQ[{a
      , b, c, d, e, n, p}, x] && IGtQ[q, 0] && (EqQ[q, 1] || IntegerQ[n])

2901. Int[((a_.) + Log[(c_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^(n_))^(p_.)]*(b_.))^(q_), x_Symbol] :> With[{k = Denominator[n]}, Si
      mp[k   Subst[Int[x^(k - 1)*(a + b*Log[c*(d + e*x^(k*n))^p])^q, x], x, x^(1/k)], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, p
      , q}, x] && FractionQ[n]

2902. Int[((a_.) + Log[(c_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^(n_))^(p_.)]*(b_.))^(q_), x_Symbol] :> Unintegrable[(a + b*Log[c*(d
      + e*x^n)^p])^q, x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, n, p, q}, x]

2903. Int[((a_.) + Log[(c_.)*(v_)^(p_.)]*(b_.))^(q_.), x_Symbol] :> Int[(a + b*Log[c*ExpandToSum[v, x]^p])^q, x] /;
      FreeQ[{a, b, c, p, q}, x] && BinomialQ[v, x] &&  !BinomialMatchQ[v, x]

2904. Int[((a_.) + Log[(c_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^(n_))^(p_.)]*(b_.))^(q_.)*(x_)^(m_.), x_Symbol] :> Simp[1/n   Subst[
      Int[x^(Simplify[(m + 1)/n] - 1)*(a + b*Log[c*(d + e*x)^p])^q, x], x, x^n], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, m, n, p
      , q}, x] && IntegerQ[Simplify[(m + 1)/n]] && (GtQ[(m + 1)/n, 0] || IGtQ[q, 0]) &&  !(EqQ[q, 1] && ILtQ[n, 0] &
      & IGtQ[m, 0])

2905. Int[((a_.) + Log[(c_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^(n_))^(p_.)]*(b_.))*((f_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Simp[(f*x)^(m +
      1)*((a + b*Log[c*(d + e*x^n)^p])/(f*(m + 1))), x] - Simp[b*e*n*(p/(f*(m + 1)))   Int[x^(n - 1)*((f*x)^(m + 1)
      /(d + e*x^n)), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m, n, p}, x] && NeQ[m, -1]

2906. Int[((a_.) + Log[(c_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^(n_))^(p_.)]*(b_.))^(q_.)*((f_)*(x_))^(m_), x_Symbol] :> Simp[(f*x)^
      m/x^m   Int[x^m*(a + b*Log[c*(d + e*x^n)^p])^q, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m, n, p, q}, x] && IntegerQ
      [Simplify[(m + 1)/n]] && (GtQ[(m + 1)/n, 0] || IGtQ[q, 0])

2907. Int[((a_.) + Log[(c_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^(n_))^(p_.)]*(b_.))^(q_)*((f_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Simp[(f*x)
      ^(m + 1)*((a + b*Log[c*(d + e*x^n)^p])^q/(f*(m + 1))), x] - Simp[b*e*n*p*(q/(f^n*(m + 1)))   Int[(f*x)^(m + n)
      *((a + b*Log[c*(d + e*x^n)^p])^(q - 1)/(d + e*x^n)), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m, p}, x] && IGtQ[q, 1
      ] && IntegerQ[n] && NeQ[m, -1]

2908. Int[((a_.) + Log[(c_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^(n_))^(p_.)]*(b_.))^(q_)*(x_)^(m_.), x_Symbol] :> With[{k = Denomina
      tor[n]}, Simp[k   Subst[Int[x^(k*(m + 1) - 1)*(a + b*Log[c*(d + e*x^(k*n))^p])^q, x], x, x^(1/k)], x]] /; Free
      Q[{a, b, c, d, e, m, p, q}, x] && FractionQ[n]

2909. Int[((a_.) + Log[(c_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^(n_))^(p_.)]*(b_.))^(q_.)*((f_)*(x_))^(m_), x_Symbol] :> Simp[(f*x)^
      m/x^m   Int[x^m*(a + b*Log[c*(d + e*x^n)^p])^q, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m, p, q}, x] && FractionQ[n
      ]

2910. Int[((a_.) + Log[(c_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^(n_))^(p_.)]*(b_.))^(q_.)*((f_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Unintegra
      ble[(f*x)^m*(a + b*Log[c*(d + e*x^n)^p])^q, x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m, n, p, q}, x]

2911. Int[((a_.) + Log[(c_.)*(v_)^(p_.)]*(b_.))^(q_.)*((f_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Int[(f*x)^m*(a + b*Log[c*Expa
      ndToSum[v, x]^p])^q, x] /; FreeQ[{a, b, c, f, m, p, q}, x] && BinomialQ[v, x] &&  !BinomialMatchQ[v, x]

2912. Int[((a_.) + Log[(c_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^(n_))^(p_.)]*(b_.))/((f_.) + (g_.)*(x_)), x_Symbol] :> Simp[Log[f +
      g*x]*((a + b*Log[c*(d + e*x^n)^p])/g), x] - Simp[b*e*n*(p/g)   Int[x^(n - 1)*(Log[f + g*x]/(d + e*x^n)), x], x
      ] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, n, p}, x] && RationalQ[n]

2913. Int[((a_.) + Log[(c_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^(n_))^(p_.)]*(b_.))*((f_.) + (g_.)*(x_))^(r_.), x_Symbol] :> Simp[(f
      + g*x)^(r + 1)*((a + b*Log[c*(d + e*x^n)^p])/(g*(r + 1))), x] - Simp[b*e*n*(p/(g*(r + 1)))   Int[x^(n - 1)*((
      f + g*x)^(r + 1)/(d + e*x^n)), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, n, p, r}, x] && (IGtQ[r, 0] || RationalQ[
      n]) && NeQ[r, -1]

2914. Int[((a_.) + Log[(c_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^(n_))^(p_.)]*(b_.))^(q_.)*((f_.) + (g_.)*(x_))^(r_.), x_Symbol] :> U
      nintegrable[(f + g*x)^r*(a + b*Log[c*(d + e*x^n)^p])^q, x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, n, p, q, r}, x]

2915. Int[((a_.) + Log[(c_.)*(v_)^(p_.)]*(b_.))^(q_.)*(u_)^(r_.), x_Symbol] :> Int[ExpandToSum[u, x]^r*(a + b*Log[c*
      ExpandToSum[v, x]^p])^q, x] /; FreeQ[{a, b, c, p, q, r}, x] && LinearQ[u, x] && BinomialQ[v, x] &&  !(LinearMa
      tchQ[u, x] && BinomialMatchQ[v, x])

2916. Int[((a_.) + Log[(c_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^(n_))^(p_.)]*(b_.))^(q_.)*(x_)^(m_.)*((f_.) + (g_.)*(x_))^(r_.), x_S
      ymbol] :> Int[ExpandIntegrand[(a + b*Log[c*(d + e*x^n)^p])^q, x^m*(f + g*x)^r, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e,
      f, g, n, p, q}, x] && IntegerQ[m] && IntegerQ[r]

2917. Int[((a_.) + Log[(c_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^(n_.))^(p_.)]*(b_.))^(q_.)*((h_.)*(x_))^(m_)*((f_.) + (g_.)*(x_))^(r
      _.), x_Symbol] :> With[{k = Denominator[m]}, Simp[k/h   Subst[Int[x^(k*(m + 1) - 1)*(f + g*(x^k/h))^r*(a + b*L
      og[c*(d + e*(x^(k*n)/h^n))^p])^q, x], x, (h*x)^(1/k)], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, h, p, r}, x] && Frac
      tionQ[m] && IntegerQ[n] && IntegerQ[r]

2918. Int[((a_.) + Log[(c_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^(n_))^(p_.)]*(b_.))^(q_.)*((h_.)*(x_))^(m_.)*((f_.) + (g_.)*(x_))^(r
      _.), x_Symbol] :> Unintegrable[(h*x)^m*(f + g*x)^r*(a + b*Log[c*(d + e*x^n)^p])^q, x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e,
      f, g, h, m, n, p, q, r}, x]

2919. Int[((a_.) + Log[(c_.)*(v_)^(p_.)]*(b_.))^(q_.)*(u_)^(r_.)*((h_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Int[(h*x)^m*Expand
      ToSum[u, x]^r*(a + b*Log[c*ExpandToSum[v, x]^p])^q, x] /; FreeQ[{a, b, c, h, m, p, q, r}, x] && LinearQ[u, x]
      && BinomialQ[v, x] &&  !(LinearMatchQ[u, x] && BinomialMatchQ[v, x])

2920. Int[((a_.) + Log[(c_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^(n_))^(p_.)]*(b_.))/((f_) + (g_.)*(x_)^2), x_Symbol] :> With[{u = In
      tHide[1/(f + g*x^2), x]}, Simp[u*(a + b*Log[c*(d + e*x^n)^p]), x] - Simp[b*e*n*p   Int[u*(x^(n - 1)/(d + e*x^n
      )), x], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, n, p}, x] && IntegerQ[n]

2921. Int[((a_.) + Log[(c_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^(n_))^(p_.)]*(b_.))^(q_.)*((f_) + (g_.)*(x_)^(s_))^(r_.), x_Symbol]
      :> With[{t = ExpandIntegrand[(a + b*Log[c*(d + e*x^n)^p])^q, (f + g*x^s)^r, x]}, Int[t, x] /; SumQ[t]] /; Free
      Q[{a, b, c, d, e, f, g, n, p, q, r, s}, x] && IntegerQ[n] && IGtQ[q, 0] && IntegerQ[r] && IntegerQ[s] && (EqQ[
      q, 1] || (GtQ[r, 0] && GtQ[s, 1]) || (LtQ[s, 0] && LtQ[r, 0]))

2922. Int[((a_.) + Log[(c_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^(n_))^(p_.)]*(b_.))^(q_.)*((f_) + (g_.)*(x_)^(s_))^(r_.), x_Symbol]
      :> With[{k = Denominator[n]}, Simp[k   Subst[Int[x^(k - 1)*(f + g*x^(k*s))^r*(a + b*Log[c*(d + e*x^(k*n))^p])^
      q, x], x, x^(1/k)], x] /; IntegerQ[k*s]] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, n, p, q, r, s}, x] && FractionQ[n]

2923. Int[((a_.) + Log[(c_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^(n_))^(p_.)]*(b_.))^(q_.)*((f_) + (g_.)*(x_)^(s_))^(r_.), x_Symbol]
      :> Unintegrable[(f + g*x^s)^r*(a + b*Log[c*(d + e*x^n)^p])^q, x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, n, p, q, r, s}
      , x]

2924. Int[((a_.) + Log[(c_.)*(v_)^(p_.)]*(b_.))^(q_.)*(u_)^(r_.), x_Symbol] :> Int[ExpandToSum[u, x]^r*(a + b*Log[c*
      ExpandToSum[v, x]^p])^q, x] /; FreeQ[{a, b, c, p, q, r}, x] && BinomialQ[{u, v}, x] &&  !BinomialMatchQ[{u, v}
      , x]

2925. Int[((a_.) + Log[(c_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^(n_))^(p_.)]*(b_.))^(q_.)*(x_)^(m_.)*((f_) + (g_.)*(x_)^(s_))^(r_.),
      x_Symbol] :> Simp[1/n   Subst[Int[x^(Simplify[(m + 1)/n] - 1)*(f + g*x^(s/n))^r*(a + b*Log[c*(d + e*x)^p])^q,
      x], x, x^n], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, m, n, p, q, r, s}, x] && IntegerQ[r] && IntegerQ[s/n] && Integ
      erQ[Simplify[(m + 1)/n]] && (GtQ[(m + 1)/n, 0] || IGtQ[q, 0])

2926. Int[((a_.) + Log[(c_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^(n_))^(p_.)]*(b_.))^(q_.)*(x_)^(m_.)*((f_) + (g_.)*(x_)^(s_))^(r_.),
      x_Symbol] :> Int[ExpandIntegrand[(a + b*Log[c*(d + e*x^n)^p])^q, x^m*(f + g*x^s)^r, x], x] /; FreeQ[{a, b, c,
      d, e, f, g, m, n, p, q, r, s}, x] && IGtQ[q, 0] && IntegerQ[m] && IntegerQ[r] && IntegerQ[s]

2927. Int[((a_.) + Log[(c_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^(n_))^(p_.)]*(b_.))^(q_.)*(x_)^(m_.)*((f_) + (g_.)*(x_)^(s_))^(r_.),
      x_Symbol] :> Simp[1/n   Subst[Int[x^(m + 1/n - 1)*(f + g*x^(s/n))^r*(a + b*Log[c*(d + e*x)^p])^q, x], x, x^n]
      , x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, m, n, p, q, r, s}, x] && FractionQ[n] && IntegerQ[1/n] && IntegerQ[s/n]

2928. Int[((a_.) + Log[(c_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^(n_.))^(p_.)]*(b_.))^(q_.)*((h_.)*(x_))^(m_)*((f_.) + (g_.)*(x_)^(s_
      .))^(r_.), x_Symbol] :> With[{k = Denominator[m]}, Simp[k/h   Subst[Int[x^(k*(m + 1) - 1)*(f + g*(x^(k*s)/h^s)
      )^r*(a + b*Log[c*(d + e*(x^(k*n)/h^n))^p])^q, x], x, (h*x)^(1/k)], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, h, p, r}
      , x] && FractionQ[m] && IntegerQ[n] && IntegerQ[s]

2929. Int[((a_.) + Log[(c_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^(n_))^(p_.)]*(b_.))^(q_.)*((h_.)*(x_))^(m_.)*((f_) + (g_.)*(x_)^(s_)
      )^(r_.), x_Symbol] :> Unintegrable[(h*x)^m*(f + g*x^s)^r*(a + b*Log[c*(d + e*x^n)^p])^q, x] /; FreeQ[{a, b, c,
      d, e, f, g, h, m, n, p, q, r, s}, x]

2930. Int[((a_.) + Log[(c_.)*(v_)^(p_.)]*(b_.))^(q_.)*(u_)^(r_.)*((h_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Int[(h*x)^m*Expand
      ToSum[u, x]^r*(a + b*Log[c*ExpandToSum[v, x]^p])^q, x] /; FreeQ[{a, b, c, h, m, p, q, r}, x] && BinomialQ[{u,
      v}, x] &&  !BinomialMatchQ[{u, v}, x]

2931. Int[(Log[(f_.)*(x_)^(q_.)]^(m_.)*((a_.) + Log[(c_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^(n_))^(p_.)]*(b_.)))/(x_), x_Symbol] :>
      Simp[Log[f*x^q]^(m + 1)*((a + b*Log[c*(d + e*x^n)^p])/(q*(m + 1))), x] - Simp[b*e*n*(p/(q*(m + 1)))   Int[x^(
      n - 1)*(Log[f*x^q]^(m + 1)/(d + e*x^n)), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m, n, p, q}, x] && NeQ[m, -1]

2932. Int[((a_.) + Log[(c_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^(n_))^(p_.)]*(b_.))*(F_)[(f_.)*(x_)]^(m_.), x_Symbol] :> With[{u = I
      ntHide[F[f*x]^m, x]}, Simp[(a + b*Log[c*(d + e*x^n)^p])   u, x] - Simp[b*e*n*p   Int[SimplifyIntegrand[u*(x^(n
      - 1)/(d + e*x^n)), x], x], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, p}, x] && MemberQ[{ArcSin, ArcCos, ArcSinh, ArcCos
      h}, F] && IGtQ[m, 0] && IGtQ[n, 1]

2933. Int[((a_.) + Log[(c_.)*((d_) + (e_.)*((f_.) + (g_.)*(x_))^(n_))^(p_.)]*(b_.))^(q_.), x_Symbol] :> Simp[1/g   S
      ubst[Int[(a + b*Log[c*(d + e*x^n)^p])^q, x], x, f + g*x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, n, p}, x] && IGtQ[
      q, 0] && (EqQ[q, 1] || IntegerQ[n])

2934. Int[((a_.) + Log[(c_.)*((d_) + (e_.)*((f_.) + (g_.)*(x_))^(n_))^(p_.)]*(b_.))^(q_.), x_Symbol] :> Unintegrable
      [(a + b*Log[c*(d + e*(f + g*x)^n)^p])^q, x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, n, p, q}, x]

2935. Int[((A_.) + Log[(e_.)*(((a_.) + (b_.)*(x_))/((c_.) + (d_.)*(x_)))^(n_.)]*(B_.))^(p_.), x_Symbol] :> Simp[(a +
      b*x)*((A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])^p/b), x] - Simp[B*n*p*((b*c - a*d)/b)   Int[(A + B*Log[e*((a + b
      *x)/(c + d*x))^n])^(p - 1)/(c + d*x), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, A, B, n}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && IGt
      Q[p, 0]

2936. Int[((A_.) + Log[(e_.)*((a_.) + (b_.)*(x_))^(n_.)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(mn_)]*(B_.))^(p_.), x_Symbol] :> Simp[
      (a + b*x)*((A + B*Log[e*((a + b*x)^n/(c + d*x)^n)])^p/b), x] - Simp[B*n*p*((b*c - a*d)/b)   Int[(A + B*Log[e*(
      (a + b*x)^n/(c + d*x)^n)])^(p - 1)/(c + d*x), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, A, B, n}, x] && EqQ[n + mn, 0] &
      & NeQ[b*c - a*d, 0] && IGtQ[p, 0]

2937. Int[((A_.) + Log[(e_.)*(((a_.) + (b_.)*(x_))/((c_.) + (d_.)*(x_)))^(n_.)]*(B_.))^(p_), x_Symbol] :> Unintegrab
      le[(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])^p, x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, A, B, n, p}, x]

2938. Int[((A_.) + Log[(e_.)*((a_.) + (b_.)*(x_))^(n_.)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(mn_)]*(B_.))^(p_), x_Symbol] :> Uninte
      grable[(A + B*Log[(e*(a + b*x)^n)/(c + d*x)^n])^p, x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, A, B, n, p}, x] && EqQ[n + mn,
      0]

2939. Int[((A_.) + Log[(e_.)*((u_)/(v_))^(n_.)]*(B_.))^(p_.), x_Symbol] :> Int[(A + B*Log[e*(ExpandToSum[u, x]/Expan
      dToSum[v, x])^n])^p, x] /; FreeQ[{e, A, B, n, p}, x] && LinearQ[{u, v}, x] &&  !LinearMatchQ[{u, v}, x]

2940. Int[((A_.) + Log[(e_.)*(u_)^(n_.)*(v_)^(mn_)]*(B_.))^(p_.), x_Symbol] :> Int[(A + B*Log[e*(ExpandToSum[u, x]^n
      /ExpandToSum[v, x]^n)])^p, x] /; FreeQ[{e, A, B, n, p}, x] && EqQ[n + mn, 0] && IGtQ[n, 0] && LinearQ[{u, v},
      x] &&  !LinearMatchQ[{u, v}, x]

2941. Int[((A_.) + Log[(e_.)*(((a_.) + (b_.)*(x_))/((c_.) + (d_.)*(x_)))^(n_.)]*(B_.))/((f_.) + (g_.)*(x_)), x_Symbo
      l] :> Simp[(-Log[-(b*c - a*d)/(d*(a + b*x))])*((A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])/g), x] + Simp[B*n*((b*c
      - a*d)/g)   Int[Log[-(b*c - a*d)/(d*(a + b*x))]/((a + b*x)*(c + d*x)), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, A
      , B, n}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && EqQ[b*f - a*g, 0]

2942. Int[((A_.) + Log[(e_.)*((a_.) + (b_.)*(x_))^(n_.)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(mn_)]*(B_.))/((f_.) + (g_.)*(x_)), x_S
      ymbol] :> Simp[(-Log[-(b*c - a*d)/(d*(a + b*x))])*((A + B*Log[e*((a + b*x)^n/(c + d*x)^n)])/g), x] + Simp[B*n*
      ((b*c - a*d)/g)   Int[Log[-(b*c - a*d)/(d*(a + b*x))]/((a + b*x)*(c + d*x)), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f
      , g, A, B, n}, x] && EqQ[n + mn, 0] && NeQ[b*c - a*d, 0] && EqQ[b*f - a*g, 0]

2943. Int[((A_.) + Log[(e_.)*(((a_.) + (b_.)*(x_))/((c_.) + (d_.)*(x_)))^(n_.)]*(B_.))/((f_.) + (g_.)*(x_)), x_Symbo
      l] :> Simp[(-Log[(b*c - a*d)/(b*(c + d*x))])*((A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])/g), x] + Simp[B*n*((b*c -
      a*d)/g)   Int[Log[(b*c - a*d)/(b*(c + d*x))]/((a + b*x)*(c + d*x)), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, A,
      B, n}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && EqQ[d*f - c*g, 0]

2944. Int[((A_.) + Log[(e_.)*((a_.) + (b_.)*(x_))^(n_.)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(mn_)]*(B_.))/((f_.) + (g_.)*(x_)), x_S
      ymbol] :> Simp[(-Log[(b*c - a*d)/(b*(c + d*x))])*((A + B*Log[e*((a + b*x)^n/(c + d*x)^n)])/g), x] + Simp[B*n*(
      (b*c - a*d)/g)   Int[Log[(b*c - a*d)/(b*(c + d*x))]/((a + b*x)*(c + d*x)), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f,
      g, A, B, n}, x] && EqQ[n + mn, 0] && NeQ[b*c - a*d, 0] && EqQ[d*f - c*g, 0]

2945. Int[((A_.) + Log[(e_.)*(((a_.) + (b_.)*(x_))/((c_.) + (d_.)*(x_)))^(n_.)]*(B_.))/((f_.) + (g_.)*(x_)), x_Symbo
      l] :> Simp[Log[f + g*x]*((A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])/g), x] + (-Simp[b*B*(n/g)   Int[Log[f + g*x]/(
      a + b*x), x], x] + Simp[B*d*(n/g)   Int[Log[f + g*x]/(c + d*x), x], x]) /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, A, B, n
      }, x] && NeQ[b*c - a*d, 0]

2946. Int[((A_.) + Log[(e_.)*((a_.) + (b_.)*(x_))^(n_.)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(mn_)]*(B_.))/((f_.) + (g_.)*(x_)), x_S
      ymbol] :> Simp[Log[f + g*x]*((A + B*Log[e*((a + b*x)^n/(c + d*x)^n)])/g), x] + (-Simp[b*B*(n/g)   Int[Log[f +
      g*x]/(a + b*x), x], x] + Simp[B*d*(n/g)   Int[Log[f + g*x]/(c + d*x), x], x]) /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, A
      , B, n}, x] && EqQ[n + mn, 0] && NeQ[b*c - a*d, 0]

2947. Int[((A_.) + Log[(e_.)*(((a_.) + (b_.)*(x_))/((c_.) + (d_.)*(x_)))^(n_.)]*(B_.))*((f_.) + (g_.)*(x_))^(m_.), x
      _Symbol] :> Simp[(f + g*x)^(m + 1)*((A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])/(g*(m + 1))), x] - Simp[B*n*((b*c -
      a*d)/(g*(m + 1)))   Int[(f + g*x)^(m + 1)/((a + b*x)*(c + d*x)), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, A, B,
      m, n}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && NeQ[m, -1] && NeQ[m, -2]

2948. Int[((A_.) + Log[(e_.)*((a_.) + (b_.)*(x_))^(n_.)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(mn_)]*(B_.))*((f_.) + (g_.)*(x_))^(m_.
      ), x_Symbol] :> Simp[(f + g*x)^(m + 1)*((A + B*Log[e*((a + b*x)^n/(c + d*x)^n)])/(g*(m + 1))), x] - Simp[B*n*(
      (b*c - a*d)/(g*(m + 1)))   Int[(f + g*x)^(m + 1)/((a + b*x)*(c + d*x)), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g,
      A, B, m, n}, x] && EqQ[n + mn, 0] && NeQ[b*c - a*d, 0] && NeQ[m, -1] &&  !(EqQ[m, -2] && IntegerQ[n])

2949. Int[((A_.) + Log[(e_.)*(((a_.) + (b_.)*(x_))/((c_.) + (d_.)*(x_)))^(n_.)]*(B_.))^(p_.)*((f_.) + (g_.)*(x_))^(m
      _.), x_Symbol] :> Simp[(b*c - a*d)^(m + 1)*(g/b)^m   Subst[Int[x^m*((A + B*Log[e*x^n])^p/(b - d*x)^(m + 2)), x
      ], x, (a + b*x)/(c + d*x)], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, A, B, n}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && IntegersQ[m
      , p] && EqQ[b*f - a*g, 0] && (GtQ[p, 0] || LtQ[m, -1])

2950. Int[((A_.) + Log[(e_.)*((a_.) + (b_.)*(x_))^(n_.)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(mn_)]*(B_.))^(p_.)*((f_.) + (g_.)*(x_)
      )^(m_.), x_Symbol] :> Simp[(b*c - a*d)^(m + 1)*(g/b)^m   Subst[Int[x^m*((A + B*Log[e*x^n])^p/(b - d*x)^(m + 2)
      ), x], x, (a + b*x)/(c + d*x)], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, A, B, n}, x] && EqQ[n + mn, 0] && IGtQ[n, 0]
      && NeQ[b*c - a*d, 0] && IntegersQ[m, p] && EqQ[b*f - a*g, 0] && (GtQ[p, 0] || LtQ[m, -1])

2951. Int[((A_.) + Log[(e_.)*(((a_.) + (b_.)*(x_))/((c_.) + (d_.)*(x_)))^(n_.)]*(B_.))^(p_.)*((f_.) + (g_.)*(x_))^(m
      _.), x_Symbol] :> Simp[(b*c - a*d)^(m + 1)*(g/d)^m   Subst[Int[(A + B*Log[e*x^n])^p/(b - d*x)^(m + 2), x], x,
      (a + b*x)/(c + d*x)], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, A, B, n}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && IntegersQ[m, p] &
      & EqQ[d*f - c*g, 0] && (GtQ[p, 0] || LtQ[m, -1])

2952. Int[((A_.) + Log[(e_.)*((a_.) + (b_.)*(x_))^(n_.)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(mn_)]*(B_.))^(p_.)*((f_.) + (g_.)*(x_)
      )^(m_.), x_Symbol] :> Simp[(b*c - a*d)^(m + 1)*(g/d)^m   Subst[Int[(A + B*Log[e*x^n])^p/(b - d*x)^(m + 2), x],
      x, (a + b*x)/(c + d*x)], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, A, B, n}, x] && EqQ[n + mn, 0] && IGtQ[n, 0] && Ne
      Q[b*c - a*d, 0] && IntegersQ[m, p] && EqQ[d*f - c*g, 0] && (GtQ[p, 0] || LtQ[m, -1])

2953. Int[((A_.) + Log[(e_.)*(((a_.) + (b_.)*(x_))/((c_.) + (d_.)*(x_)))^(n_.)]*(B_.))^(p_.)*((f_.) + (g_.)*(x_))^(m
      _.), x_Symbol] :> Simp[(b*c - a*d)   Subst[Int[(b*f - a*g - (d*f - c*g)*x)^m*((A + B*Log[e*x^n])^p/(b - d*x)^(
      m + 2)), x], x, (a + b*x)/(c + d*x)], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, A, B, n}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && I
      ntegerQ[m] && IGtQ[p, 0]

2954. Int[((A_.) + Log[(e_.)*((a_.) + (b_.)*(x_))^(n_.)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(mn_)]*(B_.))^(p_.)*((f_.) + (g_.)*(x_)
      )^(m_.), x_Symbol] :> Simp[(b*c - a*d)   Subst[Int[(b*f - a*g - (d*f - c*g)*x)^m*((A + B*Log[e*x^n])^p/(b - d*
      x)^(m + 2)), x], x, (a + b*x)/(c + d*x)], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, A, B, n}, x] && EqQ[n + mn, 0] &&
      IGtQ[n, 0] && NeQ[b*c - a*d, 0] && IntegerQ[m] && IGtQ[p, 0]

2955. Int[((A_.) + Log[(e_.)*(((a_.) + (b_.)*(x_))/((c_.) + (d_.)*(x_)))^(n_.)]*(B_.))^(p_.)*((f_.) + (g_.)*(x_))^(m
      _.), x_Symbol] :> Unintegrable[(f + g*x)^m*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])^p, x] /; FreeQ[{a, b, c, d,
      e, f, g, A, B, m, n, p}, x]

2956. Int[((A_.) + Log[(e_.)*((a_.) + (b_.)*(x_))^(n_.)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(mn_)]*(B_.))^(p_.)*((f_.) + (g_.)*(x_)
      )^(m_.), x_Symbol] :> Unintegrable[(f + g*x)^m*(A + B*Log[(e*(a + b*x)^n)/(c + d*x)^n])^p, x] /; FreeQ[{a, b,
      c, d, e, f, g, A, B, m, n, p}, x] && EqQ[n + mn, 0] && IntegerQ[n]

2957. Int[((A_.) + Log[(e_.)*((u_)/(v_))^(n_.)]*(B_.))^(p_.)*(w_)^(m_.), x_Symbol] :> Int[ExpandToSum[w, x]^m*(A + B
      *Log[e*(ExpandToSum[u, x]/ExpandToSum[v, x])^n])^p, x] /; FreeQ[{e, A, B, m, n, p}, x] && LinearQ[{u, v, w}, x
      ] &&  !LinearMatchQ[{u, v, w}, x]

2958. Int[((A_.) + Log[(e_.)*(u_)^(n_.)*(v_)^(mn_)]*(B_.))^(p_.)*(w_)^(m_.), x_Symbol] :> Int[ExpandToSum[w, x]^m*(A
      + B*Log[e*(ExpandToSum[u, x]^n/ExpandToSum[v, x]^n)])^p, x] /; FreeQ[{e, A, B, m, n, p}, x] && EqQ[n + mn, 0]
      && IGtQ[n, 0] && LinearQ[{u, v, w}, x] &&  !LinearMatchQ[{u, v, w}, x]

2959. Int[((A_.) + Log[(e_.)*(((a_.) + (b_.)*(x_))/((c_.) + (d_.)*(x_)))^(n_.)]*(B_.))*((f_.) + (g_.)*(x_))^(m_.)*((
      h_.) + (i_.)*(x_)), x_Symbol] :> Simp[(f + g*x)^(m + 1)*(h + i*x)*((A + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n])/(g*(
      m + 2))), x] + Simp[i*((b*c - a*d)/(b*d*(m + 2)))   Int[(f + g*x)^m*(A - B*n + B*Log[e*((a + b*x)/(c + d*x))^n
      ]), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, h, i, A, B, m, n}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && EqQ[b*f - a*g, 0] && E
      qQ[d*h - c*i, 0] && IGtQ[m, -2]

2960. Int[((A_.) + Log[(e_.)*((a_.) + (b_.)*(x_))^(n_.)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(mn_)]*(B_.))*((f_.) + (g_.)*(x_))^(m_.
      )*((h_.) + (i_.)*(x_)), x_Symbol] :> Simp[(f + g*x)^(m + 1)*(h + i*x)*((A + B*Log[e*((a + b*x)^n/(c + d*x)^n)]
      )/(g*(m + 2))), x] + Simp[i*((b*c - a*d)/(b*d*(m + 2)))   Int[(f + g*x)^m*(A - B*n + B*Log[e*((a + b*x)^n/(c +
      d*x)^n)]), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, h, i, A, B, m, n}, x] && EqQ[n + mn, 0] && IGtQ[n, 0] && NeQ
      [b*c - a*d, 0] && EqQ[b*f - a*g, 0] && EqQ[d*h - c*i, 0] && IGtQ[m, -2]

2961. Int[((A_.) + Log[(e_.)*(((a_.) + (b_.)*(x_))/((c_.) + (d_.)*(x_)))^(n_.)]*(B_.))^(p_.)*((f_.) + (g_.)*(x_))^(m
      _.)*((h_.) + (i_.)*(x_))^(q_.), x_Symbol] :> Simp[(b*c - a*d)^(m + q + 1)*(g/b)^m*(i/d)^q   Subst[Int[x^m*((A
      + B*Log[e*x^n])^p/(b - d*x)^(m + q + 2)), x], x, (a + b*x)/(c + d*x)], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, h, i,
      A, B, n, p}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && EqQ[b*f - a*g, 0] && EqQ[d*h - c*i, 0] && IntegersQ[m, q]

2962. Int[((A_.) + Log[(e_.)*((a_.) + (b_.)*(x_))^(n_.)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(mn_)]*(B_.))^(p_.)*((f_.) + (g_.)*(x_)
      )^(m_.)*((h_.) + (i_.)*(x_))^(q_.), x_Symbol] :> Simp[(b*c - a*d)^(m + q + 1)*(g/b)^m*(i/d)^q   Subst[Int[x^m*
      ((A + B*Log[e*x^n])^p/(b - d*x)^(m + q + 2)), x], x, (a + b*x)/(c + d*x)], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, h
      , i, A, B, n, p}, x] && EqQ[n + mn, 0] && IGtQ[n, 0] && NeQ[b*c - a*d, 0] && EqQ[b*f - a*g, 0] && EqQ[d*h - c*
      i, 0] && IntegersQ[m, q]

2963. Int[((A_.) + Log[(e_.)*(((a_.) + (b_.)*(x_))/((c_.) + (d_.)*(x_)))^(n_.)]*(B_.))^(p_.)*((f_.) + (g_.)*(x_))^(m
      _.)*((h_.) + (i_.)*(x_))^(q_.), x_Symbol] :> Simp[d^2*((g*((a + b*x)/b))^m/(i^2*(b*c - a*d)*(i*((c + d*x)/d))^
      m*((a + b*x)/(c + d*x))^m))   Subst[Int[x^m*(A + B*Log[e*x^n])^p, x], x, (a + b*x)/(c + d*x)], x] /; FreeQ[{a,
      b, c, d, e, f, g, h, i, A, B, m, n, p, q}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && EqQ[b*f - a*g, 0] && EqQ[d*h - c*i, 0]
      && EqQ[m + q + 2, 0]

2964. Int[((A_.) + Log[(e_.)*((a_.) + (b_.)*(x_))^(n_.)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(mn_)]*(B_.))^(p_.)*((f_.) + (g_.)*(x_)
      )^(m_.)*((h_.) + (i_.)*(x_))^(q_.), x_Symbol] :> Simp[d^2*((g*((a + b*x)/b))^m/(i^2*(b*c - a*d)*(i*((c + d*x)/
      d))^m*((a + b*x)/(c + d*x))^m))   Subst[Int[x^m*(A + B*Log[e*x^n])^p, x], x, (a + b*x)/(c + d*x)], x] /; FreeQ
      [{a, b, c, d, e, f, g, h, i, A, B, m, n, p, q}, x] && EqQ[n + mn, 0] && IGtQ[n, 0] && NeQ[b*c - a*d, 0] && EqQ
      [b*f - a*g, 0] && EqQ[d*h - c*i, 0] && EqQ[m + q + 2, 0]

2965. Int[((A_.) + Log[(e_.)*(((a_.) + (b_.)*(x_))/((c_.) + (d_.)*(x_)))^(n_.)]*(B_.))^(p_.)*((f_.) + (g_.)*(x_))^(m
      _.)*((h_.) + (i_.)*(x_))^(q_.), x_Symbol] :> Simp[(b*c - a*d)^(q + 1)*(i/d)^q   Subst[Int[(b*f - a*g - (d*f -
      c*g)*x)^m*((A + B*Log[e*x^n])^p/(b - d*x)^(m + q + 2)), x], x, (a + b*x)/(c + d*x)], x] /; FreeQ[{a, b, c, d,
      e, f, g, h, i, A, B, n}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && IntegersQ[m, q] && IGtQ[p, 0] && EqQ[d*h - c*i, 0]

2966. Int[((A_.) + Log[(e_.)*((a_.) + (b_.)*(x_))^(n_.)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(mn_)]*(B_.))^(p_.)*((f_.) + (g_.)*(x_)
      )^(m_.)*((h_.) + (i_.)*(x_))^(q_.), x_Symbol] :> Simp[(b*c - a*d)^(q + 1)*(i/d)^q   Subst[Int[(b*f - a*g - (d*
      f - c*g)*x)^m*((A + B*Log[e*x^n])^p/(b - d*x)^(m + q + 2)), x], x, (a + b*x)/(c + d*x)], x] /; FreeQ[{a, b, c,
      d, e, f, g, h, i, A, B, n}, x] && EqQ[n + mn, 0] && IGtQ[n, 0] && NeQ[b*c - a*d, 0] && IntegersQ[m, q] && IGt
      Q[p, 0] && EqQ[d*h - c*i, 0]

2967. Int[((A_.) + Log[(e_.)*(((a_.) + (b_.)*(x_))/((c_.) + (d_.)*(x_)))^(n_.)]*(B_.))^(p_.)*((f_.) + (g_.)*(x_))^(m
      _.)*((h_.) + (i_.)*(x_))^(q_.), x_Symbol] :> Simp[(b*c - a*d)   Subst[Int[(b*f - a*g - (d*f - c*g)*x)^m*(b*h -
      a*i - (d*h - c*i)*x)^q*((A + B*Log[e*x^n])^p/(b - d*x)^(m + q + 2)), x], x, (a + b*x)/(c + d*x)], x] /; FreeQ
      [{a, b, c, d, e, f, g, h, i, A, B, n}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && IntegersQ[m, q] && IGtQ[p, 0]

2968. Int[((A_.) + Log[(e_.)*((a_.) + (b_.)*(x_))^(n_.)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(mn_)]*(B_.))^(p_.)*((f_.) + (g_.)*(x_)
      )^(m_.)*((h_.) + (i_.)*(x_))^(q_.), x_Symbol] :> Simp[(b*c - a*d)   Subst[Int[(b*f - a*g - (d*f - c*g)*x)^m*(b
      *h - a*i - (d*h - c*i)*x)^q*((A + B*Log[e*x^n])^p/(b - d*x)^(m + q + 2)), x], x, (a + b*x)/(c + d*x)], x] /; F
      reeQ[{a, b, c, d, e, f, g, h, i, A, B, n}, x] && EqQ[n + mn, 0] && IGtQ[n, 0] && NeQ[b*c - a*d, 0] && Integers
      Q[m, q] && IGtQ[p, 0]

2969. Int[((A_.) + Log[(e_.)*(((a_.) + (b_.)*(x_))/((c_.) + (d_.)*(x_)))^(n_.)]*(B_.))^(p_.)*((f_.) + (g_.)*(x_))^(m
      _.)*((h_.) + (i_.)*(x_))^(q_.), x_Symbol] :> Unintegrable[(f + g*x)^m*(h + i*x)^q*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c +
      d*x))^n])^p, x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, h, i, A, B, m, n, p, q}, x]

2970. Int[((A_.) + Log[(e_.)*((a_.) + (b_.)*(x_))^(n_.)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(mn_)]*(B_.))^(p_.)*((f_.) + (g_.)*(x_)
      )^(m_.)*((h_.) + (i_.)*(x_))^(q_.), x_Symbol] :> Unintegrable[(f + g*x)^m*(h + i*x)^q*(A + B*Log[(e*(a + b*x)^
      n)/(c + d*x)^n])^p, x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, h, i, A, B, m, n, p, q}, x] && EqQ[n + mn, 0] && Integer
      Q[n]

2971. Int[((A_.) + Log[(e_.)*((u_)/(v_))^(n_.)]*(B_.))^(p_.)*(w_)^(m_.)*(y_)^(q_.), x_Symbol] :> Int[ExpandToSum[w,
      x]^m*ExpandToSum[y, x]^q*(A + B*Log[e*(ExpandToSum[u, x]/ExpandToSum[v, x])^n])^p, x] /; FreeQ[{e, A, B, m, n,
      p, q}, x] && LinearQ[{u, v, w, y}, x] &&  !LinearMatchQ[{u, v, w, y}, x]

2972. Int[((A_.) + Log[(e_.)*(u_)^(n_.)*(v_)^(mn_)]*(B_.))^(p_.)*(w_)^(m_.)*(y_)^(q_.), x_Symbol] :> Int[ExpandToSum
      [w, x]^m*ExpandToSum[y, x]^q*(A + B*Log[e*(ExpandToSum[u, x]^n/ExpandToSum[v, x]^n)])^p, x] /; FreeQ[{e, A, B,
      m, n, p, q}, x] && EqQ[n + mn, 0] && IGtQ[n, 0] && LinearQ[{u, v, w, y}, x] &&  !LinearMatchQ[{u, v, w, y}, x
      ]

2973. Int[((A_.) + Log[(e_.)*(u_)^(n_.)*(v_)^(mn_)]*(B_.))^(p_.)*(w_.), x_Symbol] :> Subst[Int[w*(A + B*Log[e*(u/v)^
      n])^p, x], e*(u/v)^n, e*(u^n/v^n)] /; FreeQ[{e, A, B, n, p}, x] && EqQ[n + mn, 0] && LinearQ[{u, v}, x] &&  !I
      ntegerQ[n]

2974. Int[((A_.) + Log[(e_.)*(((a_.) + (b_.)*(x_))/((c_.) + (d_.)*(x_)))^(n_.)]*(B_.))^(p_.)*((f_.) + (g_.)*(x_) + (
      h_.)*(x_)^2)^(m_.), x_Symbol] :> Simp[h^m/(b^m*d^m)   Int[(a + b*x)^m*(c + d*x)^m*(A + B*Log[e*((a + b*x)/(c +
      d*x))^n])^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, h, A, B, n, p}, x] && EqQ[b*d*f - a*c*h, 0] && EqQ[b*d*g -
      h*(b*c + a*d), 0] && IntegerQ[m]

2975. Int[((A_.) + Log[(e_.)*((a_.) + (b_.)*(x_))^(n_.)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(mn_)]*(B_.))^(p_.)*((f_.) + (g_.)*(x_)
      + (h_.)*(x_)^2)^(m_.), x_Symbol] :> Simp[h^m/(b^m*d^m)   Int[(a + b*x)^m*(c + d*x)^m*(A + B*Log[e*((a + b*x)^
      n/(c + d*x)^n)])^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, h, A, B, n, p}, x] && EqQ[n + mn, 0] && IGtQ[n, 0] &
      & EqQ[b*d*f - a*c*h, 0] && EqQ[b*d*g - h*(b*c + a*d), 0] && IntegerQ[m]

2976. Int[((A_.) + Log[(e_.)*(((a_.) + (b_.)*(x_))/((c_.) + (d_.)*(x_)))^(n_.)]*(B_.))^(p_.)*(P2x_)^(m_.), x_Symbol]
      :> With[{f = Coeff[P2x, x, 0], g = Coeff[P2x, x, 1], h = Coeff[P2x, x, 2]}, Simp[(b*c - a*d)   Subst[Int[(b^2
      *f - a*b*g + a^2*h - (2*b*d*f - b*c*g - a*d*g + 2*a*c*h)*x + (d^2*f - c*d*g + c^2*h)*x^2)^m*((A + B*Log[e*x^n]
      )^p/(b - d*x)^(2*(m + 1))), x], x, (a + b*x)/(c + d*x)], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, A, B, n}, x] && PolyQ[P2
      x, x, 2] && NeQ[b*c - a*d, 0] && IntegerQ[m] && IGtQ[p, 0]

2977. Int[((A_.) + Log[(e_.)*((a_.) + (b_.)*(x_))^(n_.)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(mn_)]*(B_.))^(p_.)*(P2x_)^(m_.), x_Sym
      bol] :> With[{f = Coeff[P2x, x, 0], g = Coeff[P2x, x, 1], h = Coeff[P2x, x, 2]}, Simp[(b*c - a*d)   Subst[Int[
      (b^2*f - a*b*g + a^2*h - (2*b*d*f - b*c*g - a*d*g + 2*a*c*h)*x + (d^2*f - c*d*g + c^2*h)*x^2)^m*((A + B*Log[e*
      x^n])^p/(b - d*x)^(2*(m + 1))), x], x, (a + b*x)/(c + d*x)], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, A, B, n}, x] && Poly
      Q[P2x, x, 2] && EqQ[n + mn, 0] && IGtQ[n, 0] && NeQ[b*c - a*d, 0] && IntegerQ[m] && IGtQ[p, 0]

2978. Int[Log[(e_.)*((f_.)*((a_.) + (b_.)*(x_))^(p_.)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(q_.))^(r_.)]^(s_.)*(u_.), x_Symbol] :> I
      nt[u*Log[e*(b^p*(f/d^p)*(c + d*x)^(p + q))^r]^s, x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, p, q, r, s}, x] && EqQ[b*c - a
      *d, 0] && IntegerQ[p]

2979. Int[Log[(e_.)*((f_.)*((a_.) + (b_.)*(x_))^(p_.)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(q_.))^(r_.)]^(s_.), x_Symbol] :> Simp[(a
      + b*x)*(Log[e*(f*(a + b*x)^p*(c + d*x)^q)^r]^s/b), x] + (Simp[q*r*s*((b*c - a*d)/b)   Int[Log[e*(f*(a + b*x)^
      p*(c + d*x)^q)^r]^(s - 1)/(c + d*x), x], x] - Simp[r*s*(p + q)   Int[Log[e*(f*(a + b*x)^p*(c + d*x)^q)^r]^(s -
      1), x], x]) /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, p, q, r, s}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && NeQ[p + q, 0] && IGtQ[s, 0] &
      & LtQ[s, 4]

2980. Int[Log[(e_.)*((f_.)*((a_.) + (b_.)*(x_))^(p_.)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(q_.))^(r_.)]/((g_.) + (h_.)*(x_)), x_Sym
      bol] :> Simp[Log[g + h*x]*(Log[e*(f*(a + b*x)^p*(c + d*x)^q)^r]/h), x] + (-Simp[b*p*(r/h)   Int[Log[g + h*x]/(
      a + b*x), x], x] - Simp[d*q*(r/h)   Int[Log[g + h*x]/(c + d*x), x], x]) /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, h, p, q
      , r}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0]

2981. Int[Log[(e_.)*((f_.)*((a_.) + (b_.)*(x_))^(p_.)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(q_.))^(r_.)]*((g_.) + (h_.)*(x_))^(m_.),
      x_Symbol] :> Simp[(g + h*x)^(m + 1)*(Log[e*(f*(a + b*x)^p*(c + d*x)^q)^r]/(h*(m + 1))), x] + (-Simp[b*p*(r/(h
      *(m + 1)))   Int[(g + h*x)^(m + 1)/(a + b*x), x], x] - Simp[d*q*(r/(h*(m + 1)))   Int[(g + h*x)^(m + 1)/(c + d
      *x), x], x]) /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, h, m, p, q, r}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && NeQ[m, -1]

2982. Int[Log[(e_.)*((f_.)*((a_.) + (b_.)*(x_))^(p_.)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(q_.))^(r_.)]^2/((g_.) + (h_.)*(x_)), x_S
      ymbol] :> Int[(Log[(a + b*x)^(p*r)] + Log[(c + d*x)^(q*r)])^2/(g + h*x), x] + Simp[(Log[e*(f*(a + b*x)^p*(c +
      d*x)^q)^r] - Log[(a + b*x)^(p*r)] - Log[(c + d*x)^(q*r)])*(2   Int[Log[(c + d*x)^(q*r)]/(g + h*x), x] + Int[(L
      og[(a + b*x)^(p*r)] - Log[(c + d*x)^(q*r)] + Log[e*(f*(a + b*x)^p*(c + d*x)^q)^r])/(g + h*x), x]), x] /; FreeQ
      [{a, b, c, d, e, f, g, h, p, q, r}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && EqQ[b*g - a*h, 0]

2983. Int[Log[(e_.)*((f_.)*((a_.) + (b_.)*(x_))^(p_.)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(q_.))^(r_.)]^2/((g_.) + (h_.)*(x_)), x_S
      ymbol] :> Simp[Log[g + h*x]*(Log[e*(f*(a + b*x)^p*(c + d*x)^q)^r]^2/h), x] + (-Simp[2*b*p*(r/h)   Int[Log[g +
      h*x]*(Log[e*(f*(a + b*x)^p*(c + d*x)^q)^r]/(a + b*x)), x], x] - Simp[2*d*q*(r/h)   Int[Log[g + h*x]*(Log[e*(f*
      (a + b*x)^p*(c + d*x)^q)^r]/(c + d*x)), x], x]) /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, h, p, q, r}, x] && NeQ[b*c - a*
      d, 0]

2984. Int[Log[(e_.)*((f_.)*((a_.) + (b_.)*(x_))^(p_.)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(q_.))^(r_.)]^(s_)*((g_.) + (h_.)*(x_))^(
      m_.), x_Symbol] :> Simp[(g + h*x)^(m + 1)*(Log[e*(f*(a + b*x)^p*(c + d*x)^q)^r]^s/(h*(m + 1))), x] + (-Simp[b*
      p*r*(s/(h*(m + 1)))   Int[(g + h*x)^(m + 1)*(Log[e*(f*(a + b*x)^p*(c + d*x)^q)^r]^(s - 1)/(a + b*x)), x], x] -
      Simp[d*q*r*(s/(h*(m + 1)))   Int[(g + h*x)^(m + 1)*(Log[e*(f*(a + b*x)^p*(c + d*x)^q)^r]^(s - 1)/(c + d*x)),
      x], x]) /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, h, m, p, q, r, s}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && IGtQ[s, 0] && NeQ[m, -1]

2985. Int[(Log[(e_.)*((f_.)*((a_.) + (b_.)*(x_))^(p_.)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(q_.))^(r_.)]*((s_.) + Log[(i_.)*((g_.)
      + (h_.)*(x_))^(n_.)]*(t_.))^(m_.))/((j_.) + (k_.)*(x_)), x_Symbol] :> Simp[(s + t*Log[i*(g + h*x)^n])^(m + 1)*
      (Log[e*(f*(a + b*x)^p*(c + d*x)^q)^r]/(k*n*t*(m + 1))), x] + (-Simp[b*p*(r/(k*n*t*(m + 1)))   Int[(s + t*Log[i
      *(g + h*x)^n])^(m + 1)/(a + b*x), x], x] - Simp[d*q*(r/(k*n*t*(m + 1)))   Int[(s + t*Log[i*(g + h*x)^n])^(m +
      1)/(c + d*x), x], x]) /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, s, t, m, n, p, q, r}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0]
      && EqQ[h*j - g*k, 0] && IGtQ[m, 0]

2986. Int[(Log[(e_.)*((f_.)*((a_.) + (b_.)*(x_))^(p_.)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(q_.))^(r_.)]*((s_.) + Log[(i_.)*((g_.)
      + (h_.)*(x_))^(n_.)]*(t_.)))/((j_.) + (k_.)*(x_)), x_Symbol] :> Simp[(Log[e*(f*(a + b*x)^p*(c + d*x)^q)^r] - L
      og[(a + b*x)^(p*r)] - Log[(c + d*x)^(q*r)])   Int[(s + t*Log[i*(g + h*x)^n])/(j + k*x), x], x] + (Int[(Log[(a
      + b*x)^(p*r)]*(s + t*Log[i*(g + h*x)^n]))/(j + k*x), x] + Int[(Log[(c + d*x)^(q*r)]*(s + t*Log[i*(g + h*x)^n])
      )/(j + k*x), x]) /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, s, t, n, p, q, r}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0]

2987. Int[(Log[(e_.)*((f_.)*((a_.) + (b_.)*(x_))^(p_.)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(q_.))^(r_.)]^(u_.)*((s_.) + Log[(i_.)*(
      (g_.) + (h_.)*(x_))^(n_.)]*(t_.))^(m_.))/((j_.) + (k_.)*(x_)), x_Symbol] :> Unintegrable[(Log[e*(f*(a + b*x)^p
      *(c + d*x)^q)^r]^u*(s + t*Log[i*(g + h*x)^n])^m)/(j + k*x), x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, s, t
      , m, n, p, q, r, u}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0]

2988. Int[Log[v_]*Log[(e_.)*((f_.)*((a_.) + (b_.)*(x_))^(p_.)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(q_.))^(r_.)]^(s_.)*(u_), x_Symbo
      l] :> With[{g = Simplify[(v - 1)*((c + d*x)/(a + b*x))], h = Simplify[u*(a + b*x)*(c + d*x)]}, Simp[(-h)*PolyL
      og[2, 1 - v]*(Log[e*(f*(a + b*x)^p*(c + d*x)^q)^r]^s/(b*c - a*d)), x] + Simp[h*p*r*s   Int[PolyLog[2, 1 - v]*(
      Log[e*(f*(a + b*x)^p*(c + d*x)^q)^r]^(s - 1)/((a + b*x)*(c + d*x))), x], x] /; FreeQ[{g, h}, x]] /; FreeQ[{a,
      b, c, d, e, f, p, q, r, s}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && IGtQ[s, 0] && EqQ[p + q, 0]

2989. Int[Log[(e_.)*((f_.)*((a_.) + (b_.)*(x_))^(p_.)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(q_.))^(r_.)]^(s_.)*Log[(i_.)*((j_.)*((g_
      .) + (h_.)*(x_))^(t_.))^(u_.)]*(v_), x_Symbol] :> With[{k = Simplify[v*(a + b*x)*(c + d*x)]}, Simp[k*Log[i*(j*
      (g + h*x)^t)^u]*(Log[e*(f*(a + b*x)^p*(c + d*x)^q)^r]^(s + 1)/(p*r*(s + 1)*(b*c - a*d))), x] - Simp[k*h*t*(u/(
      p*r*(s + 1)*(b*c - a*d)))   Int[Log[e*(f*(a + b*x)^p*(c + d*x)^q)^r]^(s + 1)/(g + h*x), x], x] /; FreeQ[k, x]]
      /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, p, q, r, s, t, u}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && EqQ[p + q, 0] && NeQ[s,
      -1]

2990. Int[Log[(e_.)*((f_.)*((a_.) + (b_.)*(x_))^(p_.)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(q_.))^(r_.)]^(s_.)*(u_)*PolyLog[n_, v_],
      x_Symbol] :> With[{g = Simplify[v*((c + d*x)/(a + b*x))], h = Simplify[u*(a + b*x)*(c + d*x)]}, Simp[h*PolyLo
      g[n + 1, v]*(Log[e*(f*(a + b*x)^p*(c + d*x)^q)^r]^s/(b*c - a*d)), x] - Simp[h*p*r*s   Int[PolyLog[n + 1, v]*(L
      og[e*(f*(a + b*x)^p*(c + d*x)^q)^r]^(s - 1)/((a + b*x)*(c + d*x))), x], x] /; FreeQ[{g, h}, x]] /; FreeQ[{a, b
      , c, d, e, f, n, p, q, r, s}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && IGtQ[s, 0] && EqQ[p + q, 0]

2991. Int[((a_.) + Log[((c_.)*Sqrt[(d_.) + (e_.)*(x_)])/Sqrt[(f_.) + (g_.)*(x_)]]*(b_.))^(n_.)/((A_.) + (B_.)*(x_) +
      (C_.)*(x_)^2), x_Symbol] :> Simp[2*e*(g/(C*(e*f - d*g)))   Subst[Int[(a + b*Log[c*x])^n/x, x], x, Sqrt[d + e*
      x]/Sqrt[f + g*x]], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, A, B, C, n}, x] && EqQ[C*d*f - A*e*g, 0] && EqQ[B*e*g - C
      *(e*f + d*g), 0]

2992. Int[((a_.) + Log[((c_.)*Sqrt[(d_.) + (e_.)*(x_)])/Sqrt[(f_.) + (g_.)*(x_)]]*(b_.))^(n_.)/((A_.) + (C_.)*(x_)^2
      ), x_Symbol] :> Simp[g/(C*f)   Subst[Int[(a + b*Log[c*x])^n/x, x], x, Sqrt[d + e*x]/Sqrt[f + g*x]], x] /; Free
      Q[{a, b, c, d, e, f, g, A, C, n}, x] && EqQ[C*d*f - A*e*g, 0] && EqQ[e*f + d*g, 0]

2993. Int[Log[(e_.)*((f_.)*((a_.) + (b_.)*(x_))^(p_.)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(q_.))^(r_.)]*(RFx_.), x_Symbol] :> Simp[
      p*r   Int[RFx*Log[a + b*x], x], x] + (Simp[q*r   Int[RFx*Log[c + d*x], x], x] - Simp[(p*r*Log[a + b*x] + q*r*L
      og[c + d*x] - Log[e*(f*(a + b*x)^p*(c + d*x)^q)^r])   Int[RFx, x], x]) /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, p, q, r}, x
      ] && RationalFunctionQ[RFx, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] &&  !MatchQ[RFx, (u_.)*(a + b*x)^(m_.)*(c + d*x)^(n_.) /;
      IntegersQ[m, n]]

2994. Int[Log[(e_.)*((f_.)*((a_.) + (b_.)*(x_))^(p_.)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(q_.))^(r_.)]^(s_.)*(RFx_), x_Symbol] :>
      With[{u = ExpandIntegrand[Log[e*(f*(a + b*x)^p*(c + d*x)^q)^r]^s, RFx, x]}, Int[u, x] /; SumQ[u]] /; FreeQ[{a,
      b, c, d, e, f, p, q, r, s}, x] && RationalFunctionQ[RFx, x] && IGtQ[s, 0]

2995. Int[Log[(e_.)*((f_.)*((a_.) + (b_.)*(x_))^(p_.)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(q_.))^(r_.)]^(s_.)*(RFx_), x_Symbol] :>
      Unintegrable[RFx*Log[e*(f*(a + b*x)^p*(c + d*x)^q)^r]^s, x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, p, q, r, s}, x] && Rat
      ionalFunctionQ[RFx, x]

2996. Int[Log[(e_.)*((f_.)*(v_)^(p_.)*(w_)^(q_.))^(r_.)]^(s_.)*(u_.), x_Symbol] :> Int[u*Log[e*(f*ExpandToSum[v, x]^
      p*ExpandToSum[w, x]^q)^r]^s, x] /; FreeQ[{e, f, p, q, r, s}, x] && LinearQ[{v, w}, x] &&  !LinearMatchQ[{v, w}
      , x] && AlgebraicFunctionQ[u, x]

2997. Int[Log[(e_.)*((f_.)*((g_) + (v_.)/(w_)))^(r_.)]^(s_.)*(u_.), x_Symbol] :> Int[u*Log[e*(f*(ExpandToSum[v + g*w
      , x]/ExpandToSum[w, x]))^r]^s, x] /; FreeQ[{e, f, g, r, s}, x] && LinearQ[w, x] && (FreeQ[v, x] || LinearQ[v,
      x]) && AlgebraicFunctionQ[u, x]

2998. Int[Log[v_]*(u_), x_Symbol] :> With[{w = DerivativeDivides[v, u*(1 - v), x]}, Simp[w*PolyLog[2, 1 - v], x] /;
      !FalseQ[w]]

2999. Int[Log[v_]*((a_.) + Log[u_]*(b_.))*(w_), x_Symbol] :> With[{z = DerivativeDivides[v, w*(1 - v), x]}, Simp[z*(
      a + b*Log[u])*PolyLog[2, 1 - v], x] - Simp[b   Int[SimplifyIntegrand[z*PolyLog[2, 1 - v]*(D[u, x]/u), x], x],
      x] /;  !FalseQ[z]] /; FreeQ[{a, b}, x] && InverseFunctionFreeQ[u, x]

3000. Int[Log[Log[(d_.)*(x_)^(n_.)]^(p_.)*(c_.)], x_Symbol] :> Simp[x*Log[c*Log[d*x^n]^p], x] - Simp[n*p   Int[1/Log
      [d*x^n], x], x] /; FreeQ[{c, d, n, p}, x]

3001. Int[((a_.) + Log[Log[(d_.)*(x_)^(n_.)]^(p_.)*(c_.)]*(b_.))/(x_), x_Symbol] :> Simp[Log[d*x^n]*((a + b*Log[c*Lo
      g[d*x^n]^p])/n), x] - Simp[b*p*Log[x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, n, p}, x]

3002. Int[((a_.) + Log[Log[(d_.)*(x_)^(n_.)]^(p_.)*(c_.)]*(b_.))*((e_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Simp[(e*x)^(m + 1)
      *((a + b*Log[c*Log[d*x^n]^p])/(e*(m + 1))), x] - Simp[b*n*(p/(m + 1))   Int[(e*x)^m/Log[d*x^n], x], x] /; Free
      Q[{a, b, c, d, e, m, n, p}, x] && NeQ[m, -1]

3003. Int[((a_.) + Log[(c_.)*(RFx_)^(p_.)]*(b_.))^(n_.), x_Symbol] :> Simp[x*(a + b*Log[c*RFx^p])^n, x] - Simp[b*n*p
      Int[SimplifyIntegrand[x*(a + b*Log[c*RFx^p])^(n - 1)*(D[RFx, x]/RFx), x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, p}, x]
      && RationalFunctionQ[RFx, x] && IGtQ[n, 0]

3004. Int[((a_.) + Log[(c_.)*(RFx_)^(p_.)]*(b_.))^(n_.)/((d_.) + (e_.)*(x_)), x_Symbol] :> Simp[Log[d + e*x]*((a + b
      *Log[c*RFx^p])^n/e), x] - Simp[b*n*(p/e)   Int[Log[d + e*x]*(a + b*Log[c*RFx^p])^(n - 1)*(D[RFx, x]/RFx), x],
      x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, p}, x] && RationalFunctionQ[RFx, x] && IGtQ[n, 0]

3005. Int[((a_.) + Log[(c_.)*(RFx_)^(p_.)]*(b_.))^(n_.)*((d_.) + (e_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Simp[(d + e*x)^(m +
      1)*((a + b*Log[c*RFx^p])^n/(e*(m + 1))), x] - Simp[b*n*(p/(e*(m + 1)))   Int[SimplifyIntegrand[(d + e*x)^(m +
      1)*(a + b*Log[c*RFx^p])^(n - 1)*(D[RFx, x]/RFx), x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, m, p}, x] && RationalFun
      ctionQ[RFx, x] && IGtQ[n, 0] && (EqQ[n, 1] || IntegerQ[m]) && NeQ[m, -1]

3006. Int[Log[(c_.)*(RFx_)^(n_.)]/((d_) + (e_.)*(x_)^2), x_Symbol] :> With[{u = IntHide[1/(d + e*x^2), x]}, Simp[u*L
      og[c*RFx^n], x] - Simp[n   Int[SimplifyIntegrand[u*(D[RFx, x]/RFx), x], x], x]] /; FreeQ[{c, d, e, n}, x] && R
      ationalFunctionQ[RFx, x] &&  !PolynomialQ[RFx, x]

3007. Int[Log[(c_.)*(Px_)^(n_.)]/(Qx_), x_Symbol] :> With[{u = IntHide[1/Qx, x]}, Simp[u*Log[c*Px^n], x] - Simp[n
      Int[SimplifyIntegrand[u*(D[Px, x]/Px), x], x], x]] /; FreeQ[{c, n}, x] && QuadraticQ[{Qx, Px}, x] && EqQ[D[Px/
      Qx, x], 0]

3008. Int[((a_.) + Log[(c_.)*(RFx_)^(p_.)]*(b_.))^(n_.)*(RGx_), x_Symbol] :> With[{u = ExpandIntegrand[(a + b*Log[c*
      RFx^p])^n, RGx, x]}, Int[u, x] /; SumQ[u]] /; FreeQ[{a, b, c, p}, x] && RationalFunctionQ[RFx, x] && RationalF
      unctionQ[RGx, x] && IGtQ[n, 0]

3009. Int[((a_.) + Log[(c_.)*(RFx_)^(p_.)]*(b_.))^(n_.)*(RGx_), x_Symbol] :> With[{u = ExpandIntegrand[RGx*(a + b*Lo
      g[c*RFx^p])^n, x]}, Int[u, x] /; SumQ[u]] /; FreeQ[{a, b, c, p}, x] && RationalFunctionQ[RFx, x] && RationalFu
      nctionQ[RGx, x] && IGtQ[n, 0]

3010. Int[((a_.) + Log[u_]*(b_.))*(RFx_), x_Symbol] :> With[{lst = SubstForFractionalPowerOfLinear[RFx*(a + b*Log[u]
      ), x]}, Simp[lst[[2]]*lst[[4]]   Subst[Int[lst[[1]], x], x, lst[[3]]^(1/lst[[2]])], x] /;  !FalseQ[lst]] /; Fr
      eeQ[{a, b}, x] && RationalFunctionQ[RFx, x]

3011. Int[Log[1 + (e_.)*((F_)^((c_.)*((a_.) + (b_.)*(x_))))^(n_.)]*((f_.) + (g_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Simp[(-(
      f + g*x)^m)*(PolyLog[2, (-e)*(F^(c*(a + b*x)))^n]/(b*c*n*Log[F])), x] + Simp[g*(m/(b*c*n*Log[F]))   Int[(f + g
      *x)^(m - 1)*PolyLog[2, (-e)*(F^(c*(a + b*x)))^n], x], x] /; FreeQ[{F, a, b, c, e, f, g, n}, x] && GtQ[m, 0]

3012. Int[Log[(d_) + (e_.)*((F_)^((c_.)*((a_.) + (b_.)*(x_))))^(n_.)]*((f_.) + (g_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Simp[
      (f + g*x)^(m + 1)*(Log[d + e*(F^(c*(a + b*x)))^n]/(g*(m + 1))), x] + (Int[(f + g*x)^m*Log[1 + (e/d)*(F^(c*(a +
      b*x)))^n], x] - Simp[(f + g*x)^(m + 1)*(Log[1 + (e/d)*(F^(c*(a + b*x)))^n]/(g*(m + 1))), x]) /; FreeQ[{F, a,
      b, c, d, e, f, g, n}, x] && GtQ[m, 0] && NeQ[d, 1]

3013. Int[Log[(d_.) + (e_.)*(x_) + (f_.)*Sqrt[(a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2]], x_Symbol] :> Simp[x*Log[d + e*x +
      f*Sqrt[a + b*x + c*x^2]], x] + Simp[f^2*((b^2 - 4*a*c)/2)   Int[x/((2*d*e - b*f^2)*(a + b*x + c*x^2) - f*(b*d
      - 2*a*e + (2*c*d - b*e)*x)*Sqrt[a + b*x + c*x^2]), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && EqQ[e^2 - c*f^2,
      0]

3014. Int[Log[(d_.) + (e_.)*(x_) + (f_.)*Sqrt[(a_.) + (c_.)*(x_)^2]], x_Symbol] :> Simp[x*Log[d + e*x + f*Sqrt[a + c
      *x^2]], x] - Simp[a*c*f^2   Int[x/(d*e*(a + c*x^2) + f*(a*e - c*d*x)*Sqrt[a + c*x^2]), x], x] /; FreeQ[{a, c,
      d, e, f}, x] && EqQ[e^2 - c*f^2, 0]

3015. Int[Log[(d_.) + (e_.)*(x_) + (f_.)*Sqrt[(a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2]]*((g_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> S
      imp[(g*x)^(m + 1)*(Log[d + e*x + f*Sqrt[a + b*x + c*x^2]]/(g*(m + 1))), x] + Simp[f^2*((b^2 - 4*a*c)/(2*g*(m +
      1)))   Int[(g*x)^(m + 1)/((2*d*e - b*f^2)*(a + b*x + c*x^2) - f*(b*d - 2*a*e + (2*c*d - b*e)*x)*Sqrt[a + b*x
      + c*x^2]), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, m}, x] && EqQ[e^2 - c*f^2, 0] && NeQ[m, -1] && IntegerQ[2*m]

3016. Int[Log[(d_.) + (e_.)*(x_) + (f_.)*Sqrt[(a_.) + (c_.)*(x_)^2]]*((g_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Simp[(g*x)^(m
      + 1)*(Log[d + e*x + f*Sqrt[a + c*x^2]]/(g*(m + 1))), x] - Simp[a*c*(f^2/(g*(m + 1)))   Int[(g*x)^(m + 1)/(d*e*
      (a + c*x^2) + f*(a*e - c*d*x)*Sqrt[a + c*x^2]), x], x] /; FreeQ[{a, c, d, e, f, g, m}, x] && EqQ[e^2 - c*f^2,
      0] && NeQ[m, -1] && IntegerQ[2*m]

3017. Int[Log[(d_.) + (f_.)*Sqrt[u_] + (e_.)*(x_)]*(v_.), x_Symbol] :> Int[v*Log[d + e*x + f*Sqrt[ExpandToSum[u, x]]
      ], x] /; FreeQ[{d, e, f}, x] && QuadraticQ[u, x] &&  !QuadraticMatchQ[u, x] && (EqQ[v, 1] || MatchQ[v, ((g_.)*
      x)^(m_.) /; FreeQ[{g, m}, x]])

3018. Int[Log[(c_.)*(x_)^(n_.)]^(r_.)/((x_)*(Log[(c_.)*(x_)^(n_.)]^(q_)*(b_.) + (a_.)*(x_)^(m_.))), x_Symbol] :> Sim
      p[Log[a*x^m + b*Log[c*x^n]^q]/(b*n*q), x] - Simp[a*(m/(b*n*q))   Int[x^(m - 1)/(a*x^m + b*Log[c*x^n]^q), x], x
      ] /; FreeQ[{a, b, c, m, n, q, r}, x] && EqQ[r, q - 1]

3019. Int[(Log[(c_.)*(x_)^(n_.)]^(r_.)*(Log[(c_.)*(x_)^(n_.)]^(q_)*(b_.) + (a_.)*(x_)^(m_.))^(p_.))/(x_), x_Symbol]
      :> Int[ExpandIntegrand[Log[c*x^n]^r/x, (a*x^m + b*Log[c*x^n]^q)^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, m, n, p, q, r}, x
      ] && EqQ[r, q - 1] && IGtQ[p, 0]

3020. Int[(Log[(c_.)*(x_)^(n_.)]^(r_.)*(Log[(c_.)*(x_)^(n_.)]^(q_)*(b_.) + (a_.)*(x_)^(m_.))^(p_.))/(x_), x_Symbol]
      :> Simp[(a*x^m + b*Log[c*x^n]^q)^(p + 1)/(b*n*q*(p + 1)), x] - Simp[a*(m/(b*n*q))   Int[x^(m - 1)*(a*x^m + b*L
      og[c*x^n]^q)^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, m, n, p, q, r}, x] && EqQ[r, q - 1] && NeQ[p, -1]

3021. Int[(Log[(c_.)*(x_)^(n_.)]^(r_.)*(e_.) + (d_.)*(x_)^(m_.))/((x_)*(Log[(c_.)*(x_)^(n_.)]^(q_)*(b_.) + (a_.)*(x_
      )^(m_.))), x_Symbol] :> Simp[e*(Log[a*x^m + b*Log[c*x^n]^q]/(b*n*q)), x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, m, n, q, r},
      x] && EqQ[r, q - 1] && EqQ[a*e*m - b*d*n*q, 0]

3022. Int[(Log[(c_.)*(x_)^(n_.)]^(r_.)*(e_.) + (u_) + (d_.)*(x_)^(m_.))/((x_)*(Log[(c_.)*(x_)^(n_.)]^(q_)*(b_.) + (a
      _.)*(x_)^(m_.))), x_Symbol] :> Simp[e*(Log[a*x^m + b*Log[c*x^n]^q]/(b*n*q)), x] + Int[u/(x*(a*x^m + b*Log[c*x^
      n]^q)), x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, m, n, q, r}, x] && EqQ[r, q - 1] && EqQ[a*e*m - b*d*n*q, 0]

3023. Int[(Log[(c_.)*(x_)^(n_.)]^(r_.)*(e_.) + (d_.)*(x_)^(m_.))/((x_)*(Log[(c_.)*(x_)^(n_.)]^(q_)*(b_.) + (a_.)*(x_
      )^(m_.))), x_Symbol] :> Simp[e*(Log[a*x^m + b*Log[c*x^n]^q]/(b*n*q)), x] - Simp[(a*e*m - b*d*n*q)/(b*n*q)   In
      t[x^(m - 1)/(a*x^m + b*Log[c*x^n]^q), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, m, n, q, r}, x] && EqQ[r, q - 1] && NeQ[
      a*e*m - b*d*n*q, 0]

3024. Int[((Log[(c_.)*(x_)^(n_.)]^(q_)*(b_.) + (a_.)*(x_)^(m_.))^(p_.)*(Log[(c_.)*(x_)^(n_.)]^(r_.)*(e_.) + (d_.)*(x
      _)^(m_.)))/(x_), x_Symbol] :> Simp[e*((a*x^m + b*Log[c*x^n]^q)^(p + 1)/(b*n*q*(p + 1))), x] /; FreeQ[{a, b, c,
      d, e, m, n, p, q, r}, x] && EqQ[r, q - 1] && NeQ[p, -1] && EqQ[a*e*m - b*d*n*q, 0]

3025. Int[((Log[(c_.)*(x_)^(n_.)]^(q_)*(b_.) + (a_.)*(x_)^(m_.))^(p_.)*(Log[(c_.)*(x_)^(n_.)]^(r_.)*(e_.) + (d_.)*(x
      _)^(m_.)))/(x_), x_Symbol] :> Simp[e*((a*x^m + b*Log[c*x^n]^q)^(p + 1)/(b*n*q*(p + 1))), x] - Simp[(a*e*m - b*
      d*n*q)/(b*n*q)   Int[x^(m - 1)*(a*x^m + b*Log[c*x^n]^q)^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, m, n, p, q, r}, x]
      && EqQ[r, q - 1] && NeQ[p, -1] && NeQ[a*e*m - b*d*n*q, 0]

3026. Int[(Log[(c_.)*(x_)^(n_.)]^(q_.)*(f_.) + (d_.)*(x_)^(m_.) + Log[(c_.)*(x_)^(n_.)]*(e_.)*(x_)^(m_.))/((x_)*(Log
      [(c_.)*(x_)^(n_.)]^(q_)*(b_.) + (a_.)*(x_)^(m_.))^2), x_Symbol] :> Simp[d*(Log[c*x^n]/(a*n*(a*x^m + b*Log[c*x^
      n]^q))), x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m, n, q}, x] && EqQ[e*n + d*m, 0] && EqQ[a*f + b*d*(q - 1), 0]

3027. Int[(Log[(c_.)*(x_)^(n_.)]*(e_.) + (d_))/(Log[(c_.)*(x_)^(n_.)]^(q_)*(b_.) + (a_.)*(x_))^2, x_Symbol] :> Simp[
      (-e)*(Log[c*x^n]/(a*(a*x + b*Log[c*x^n]^q))), x] + Simp[(d + e*n)/a   Int[1/(x*(a*x + b*Log[c*x^n]^q)), x], x]
      /; FreeQ[{a, b, c, d, e, n, q}, x] && EqQ[d + e*n*q, 0]

3028. Int[Log[u_], x_Symbol] :> Simp[x*Log[u], x] - Int[SimplifyIntegrand[x*(D[u, x]/u), x], x] /; InverseFunctionFr
      eeQ[u, x]

3029. Int[Log[u_], x_Symbol] :> Simp[x*Log[u], x] - Int[SimplifyIntegrand[x*Simplify[D[u, x]/u], x], x] /; ProductQ[
      u]

3030. Int[Log[u_]/((a_.) + (b_.)*(x_)), x_Symbol] :> Simp[Log[a + b*x]*(Log[u]/b), x] - Simp[1/b   Int[SimplifyInteg
      rand[Log[a + b*x]*(D[u, x]/u), x], x], x] /; FreeQ[{a, b}, x] && RationalFunctionQ[D[u, x]/u, x] && (NeQ[a, 0]
      ||  !(BinomialQ[u, x] && EqQ[BinomialDegree[u, x]^2, 1]))

3031. Int[Log[u_]*((a_.) + (b_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Simp[(a + b*x)^(m + 1)*(Log[u]/(b*(m + 1))), x] - Simp[1/
      (b*(m + 1))   Int[SimplifyIntegrand[(a + b*x)^(m + 1)*(D[u, x]/u), x], x], x] /; FreeQ[{a, b, m}, x] && Invers
      eFunctionFreeQ[u, x] && NeQ[m, -1]

3032. Int[Log[u_]/(Qx_), x_Symbol] :> With[{v = IntHide[1/Qx, x]}, Simp[v*Log[u], x] - Int[SimplifyIntegrand[v*(D[u,
      x]/u), x], x]] /; QuadraticQ[Qx, x] && InverseFunctionFreeQ[u, x]

3033. Int[Log[u_]*(u_)^((a_.)*(x_)), x_Symbol] :> Simp[u^(a*x)/a, x] - Int[SimplifyIntegrand[x*u^(a*x - 1)*D[u, x],
      x], x] /; FreeQ[a, x] && InverseFunctionFreeQ[u, x]

3034. Int[Log[u_]*(v_), x_Symbol] :> With[{w = IntHide[v, x]}, Simp[Log[u]   w, x] - Int[SimplifyIntegrand[w*(D[u, x
      ]/u), x], x] /; InverseFunctionFreeQ[w, x]] /; InverseFunctionFreeQ[u, x]

3035. Int[Log[u_]*(v_), x_Symbol] :> With[{w = IntHide[v, x]}, Simp[Log[u]   w, x] - Int[SimplifyIntegrand[w*Simplif
      y[D[u, x]/u], x], x] /; InverseFunctionFreeQ[w, x]] /; ProductQ[u]

3036. Int[Log[v_]*Log[w_], x_Symbol] :> Simp[x*Log[v]*Log[w], x] + (-Int[SimplifyIntegrand[x*Log[w]*(D[v, x]/v), x],
      x] - Int[SimplifyIntegrand[x*Log[v]*(D[w, x]/w), x], x]) /; InverseFunctionFreeQ[v, x] && InverseFunctionFree
      Q[w, x]

3037. Int[Log[v_]*Log[w_]*(u_), x_Symbol] :> With[{z = IntHide[u, x]}, Simp[Log[v]*Log[w]   z, x] + (-Int[SimplifyIn
      tegrand[z*Log[w]*(D[v, x]/v), x], x] - Int[SimplifyIntegrand[z*Log[v]*(D[w, x]/w), x], x]) /; InverseFunctionF
      reeQ[z, x]] /; InverseFunctionFreeQ[v, x] && InverseFunctionFreeQ[w, x]

3038. Int[(f_)^(Log[u_]*(a_.)), x_Symbol] :> Int[u^(a*Log[f]), x] /; FreeQ[{a, f}, x]

3039. Int[u_, x_Symbol] :> With[{lst = FunctionOfLog[Cancel[x*u], x]}, Simp[1/lst[[3]]   Subst[Int[lst[[1]], x], x,
      Log[lst[[2]]]], x] /;  !FalseQ[lst]] /; NonsumQ[u]

3040. Int[Log[Gamma[v_]]*(u_.), x_Symbol] :> Simp[(Log[Gamma[v]] - LogGamma[v])   Int[u, x], x] + Int[u*LogGamma[v],
      x]

3041. Int[(u_.)*((a_.)*(x_)^(m_.) + Log[(c_.)*(x_)^(n_.)]^(q_.)*(b_.)*(x_)^(r_.))^(p_.), x_Symbol] :> Int[u*x^(p*r)*
      (a*x^(m - r) + b*Log[c*x^n]^q)^p, x] /; FreeQ[{a, b, c, m, n, p, q, r}, x] && IntegerQ[p]

3042. Int[u_, x_Symbol] :> Int[DeactivateTrig[u, x], x] /; FunctionOfTrigOfLinearQ[u, x]

3043. Int[(cos[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.))^(n_.)*((a_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_.), x_Symbol] :> Simp[(a*Sin[e +
      f*x])^(m + 1)*((b*Cos[e + f*x])^(n + 1)/(a*b*f*(m + 1))), x] /; FreeQ[{a, b, e, f, m, n}, x] && EqQ[m + n + 2,
      0] && NeQ[m, -1]

3044. Int[cos[(e_.) + (f_.)*(x_)]^(n_.)*((a_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_.), x_Symbol] :> Simp[1/(a*f)   Subst[Int
      [x^m*(1 - x^2/a^2)^((n - 1)/2), x], x, a*Sin[e + f*x]], x] /; FreeQ[{a, e, f, m}, x] && IntegerQ[(n - 1)/2] &&
      !(IntegerQ[(m - 1)/2] && LtQ[0, m, n])

3045. Int[(cos[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(a_.))^(m_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]^(n_.), x_Symbol] :> Simp[-(a*f)^(-1)   Subst
      [Int[x^m*(1 - x^2/a^2)^((n - 1)/2), x], x, a*Cos[e + f*x]], x] /; FreeQ[{a, e, f, m}, x] && IntegerQ[(n - 1)/2
      ] &&  !(IntegerQ[(m - 1)/2] && GtQ[m, 0] && LeQ[m, n])

3046. Int[(cos[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.))^(n_)*((a_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_), x_Symbol] :> Simp[(-a)*(a*Sin[e
      + f*x])^(m - 1)*((b*Cos[e + f*x])^(n + 1)/(b*f*(n + 1))), x] + Simp[a^2*((m - 1)/(b^2*(n + 1)))   Int[(a*Sin[
      e + f*x])^(m - 2)*(b*Cos[e + f*x])^(n + 2), x], x] /; FreeQ[{a, b, e, f}, x] && GtQ[m, 1] && LtQ[n, -1] && (In
      tegersQ[2*m, 2*n] || EqQ[m + n, 0])

3047. Int[(cos[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(a_.))^(m_)*((b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_), x_Symbol] :> Simp[a*(a*Cos[e +
      f*x])^(m - 1)*((b*Sin[e + f*x])^(n + 1)/(b*f*(n + 1))), x] + Simp[a^2*((m - 1)/(b^2*(n + 1)))   Int[(a*Cos[e +
      f*x])^(m - 2)*(b*Sin[e + f*x])^(n + 2), x], x] /; FreeQ[{a, b, e, f}, x] && GtQ[m, 1] && LtQ[n, -1] && (Integ
      ersQ[2*m, 2*n] || EqQ[m + n, 0])

3048. Int[(cos[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.))^(n_)*((a_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_), x_Symbol] :> Simp[(-a)*(b*Cos[e
      + f*x])^(n + 1)*((a*Sin[e + f*x])^(m - 1)/(b*f*(m + n))), x] + Simp[a^2*((m - 1)/(m + n))   Int[(b*Cos[e + f*
      x])^n*(a*Sin[e + f*x])^(m - 2), x], x] /; FreeQ[{a, b, e, f, n}, x] && GtQ[m, 1] && NeQ[m + n, 0] && IntegersQ
      [2*m, 2*n]

3049. Int[(cos[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(a_.))^(m_)*((b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_), x_Symbol] :> Simp[a*(b*Sin[e +
      f*x])^(n + 1)*((a*Cos[e + f*x])^(m - 1)/(b*f*(m + n))), x] + Simp[a^2*((m - 1)/(m + n))   Int[(b*Sin[e + f*x])
      ^n*(a*Cos[e + f*x])^(m - 2), x], x] /; FreeQ[{a, b, e, f, n}, x] && GtQ[m, 1] && NeQ[m + n, 0] && IntegersQ[2*
      m, 2*n]

3050. Int[(cos[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.))^(n_)*((a_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_), x_Symbol] :> Simp[(b*Cos[e + f*
      x])^(n + 1)*((a*Sin[e + f*x])^(m + 1)/(a*b*f*(m + 1))), x] + Simp[(m + n + 2)/(a^2*(m + 1))   Int[(b*Cos[e + f
      *x])^n*(a*Sin[e + f*x])^(m + 2), x], x] /; FreeQ[{a, b, e, f, n}, x] && LtQ[m, -1] && IntegersQ[2*m, 2*n]

3051. Int[(cos[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(a_.))^(m_)*((b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_), x_Symbol] :> Simp[(-(b*Sin[e +
      f*x])^(n + 1))*((a*Cos[e + f*x])^(m + 1)/(a*b*f*(m + 1))), x] + Simp[(m + n + 2)/(a^2*(m + 1))   Int[(b*Sin[e
      + f*x])^n*(a*Cos[e + f*x])^(m + 2), x], x] /; FreeQ[{a, b, e, f, n}, x] && LtQ[m, -1] && IntegersQ[2*m, 2*n]

3052. Int[Sqrt[cos[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.)]*Sqrt[(a_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]], x_Symbol] :> Simp[Sqrt[a*Sin[e +
      f*x]]*(Sqrt[b*Cos[e + f*x]]/Sqrt[Sin[2*e + 2*f*x]])   Int[Sqrt[Sin[2*e + 2*f*x]], x], x] /; FreeQ[{a, b, e, f}
      , x]

3053. Int[1/(Sqrt[cos[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.)]*Sqrt[(a_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]]), x_Symbol] :> Simp[Sqrt[Sin[2*
      e + 2*f*x]]/(Sqrt[a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[b*Cos[e + f*x]])   Int[1/Sqrt[Sin[2*e + 2*f*x]], x], x] /; FreeQ[{a, b,
      e, f}, x]

3054. Int[(cos[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.))^(n_)*((a_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_), x_Symbol] :> With[{k = Denomina
      tor[m]}, Simp[k*a*(b/f)   Subst[Int[x^(k*(m + 1) - 1)/(a^2 + b^2*x^(2*k)), x], x, (a*Sin[e + f*x])^(1/k)/(b*Co
      s[e + f*x])^(1/k)], x]] /; FreeQ[{a, b, e, f}, x] && EqQ[m + n, 0] && GtQ[m, 0] && LtQ[m, 1]

3055. Int[(cos[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(a_.))^(m_)*((b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_), x_Symbol] :> With[{k = Denomina
      tor[m]}, Simp[(-k)*a*(b/f)   Subst[Int[x^(k*(m + 1) - 1)/(a^2 + b^2*x^(2*k)), x], x, (a*Cos[e + f*x])^(1/k)/(b
      *Sin[e + f*x])^(1/k)], x]] /; FreeQ[{a, b, e, f}, x] && EqQ[m + n, 0] && GtQ[m, 0] && LtQ[m, 1]

3056. Int[(cos[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(a_.))^(m_)*((b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_), x_Symbol] :> Simp[(-b^(2*IntPar
      t[(n - 1)/2] + 1))*(b*Sin[e + f*x])^(2*FracPart[(n - 1)/2])*((a*Cos[e + f*x])^(m + 1)/(a*f*(m + 1)*(Sin[e + f*
      x]^2)^FracPart[(n - 1)/2]))*Hypergeometric2F1[(1 + m)/2, (1 - n)/2, (3 + m)/2, Cos[e + f*x]^2], x] /; FreeQ[{a
      , b, e, f, m, n}, x] && SimplerQ[n, m]

3057. Int[(cos[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.))^(n_)*((a_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_), x_Symbol] :> Simp[b^(2*IntPart[
      (n - 1)/2] + 1)*(b*Cos[e + f*x])^(2*FracPart[(n - 1)/2])*((a*Sin[e + f*x])^(m + 1)/(a*f*(m + 1)*(Cos[e + f*x]^
      2)^FracPart[(n - 1)/2]))*Hypergeometric2F1[(1 + m)/2, (1 - n)/2, (3 + m)/2, Sin[e + f*x]^2], x] /; FreeQ[{a, b
      , e, f, m, n}, x]

3058. Int[((b_.)*sec[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_.)*((a_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_.), x_Symbol] :> Simp[b*(a*Sin[e
      + f*x])^(m + 1)*((b*Sec[e + f*x])^(n - 1)/(a*f*(m + 1))), x] /; FreeQ[{a, b, e, f, m, n}, x] && EqQ[m - n + 2,
      0] && NeQ[m, -1]

3059. Int[((b_.)*sec[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_)*((a_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_), x_Symbol] :> Simp[a*b*(a*Sin[e
      + f*x])^(m - 1)*((b*Sec[e + f*x])^(n - 1)/(f*(n - 1))), x] - Simp[a^2*b^2*((m - 1)/(n - 1))   Int[(a*Sin[e + f
      *x])^(m - 2)*(b*Sec[e + f*x])^(n - 2), x], x] /; FreeQ[{a, b, e, f}, x] && GtQ[n, 1] && GtQ[m, 1] && IntegersQ
      [2*m, 2*n]

3060. Int[((b_.)*sec[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_)*((a_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_), x_Symbol] :> Simp[(a*Sin[e + f*
      x])^(m + 1)*((b*Sec[e + f*x])^(n + 1)/(a*b*f*(m - n))), x] - Simp[(n + 1)/(b^2*(m - n))   Int[(a*Sin[e + f*x])
      ^m*(b*Sec[e + f*x])^(n + 2), x], x] /; FreeQ[{a, b, e, f, m}, x] && GtQ[n, 1] && IntegersQ[2*m, 2*n]

3061. Int[((b_.)*sec[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_)*((a_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_), x_Symbol] :> Simp[(a*Sin[e + f*
      x])^(m + 1)*((b*Sec[e + f*x])^(n + 1)/(a*b*f*(m + 1))), x] - Simp[(n + 1)/(a^2*b^2*(m + 1))   Int[(a*Sin[e + f
      *x])^(m + 2)*(b*Sec[e + f*x])^(n + 2), x], x] /; FreeQ[{a, b, e, f}, x] && LtQ[n, -1] && LtQ[m, -1] && Integer
      sQ[2*m, 2*n]

3062. Int[((b_.)*sec[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_)*((a_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_), x_Symbol] :> Simp[(a*Sin[e + f*
      x])^(m + 1)*((b*Sec[e + f*x])^(n + 1)/(a*b*f*(m - n))), x] - Simp[(n + 1)/(b^2*(m - n))   Int[(a*Sin[e + f*x])
      ^m*(b*Sec[e + f*x])^(n + 2), x], x] /; FreeQ[{a, b, e, f, m}, x] && LtQ[n, -1] && NeQ[m - n, 0] && IntegersQ[2
      *m, 2*n]

3063. Int[((b_.)*sec[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_)*((a_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_), x_Symbol] :> Simp[(-a)*b*(a*Sin
      [e + f*x])^(m - 1)*((b*Sec[e + f*x])^(n - 1)/(f*(m - n))), x] + Simp[a^2*((m - 1)/(m - n))   Int[(a*Sin[e + f*
      x])^(m - 2)*(b*Sec[e + f*x])^n, x], x] /; FreeQ[{a, b, e, f, n}, x] && GtQ[m, 1] && NeQ[m - n, 0] && IntegersQ
      [2*m, 2*n]

3064. Int[((b_.)*sec[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_)*((a_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_), x_Symbol] :> Simp[b*(a*Sin[e +
      f*x])^(m + 1)*((b*Sec[e + f*x])^(n - 1)/(a*f*(m + 1))), x] + Simp[(m - n + 2)/(a^2*(m + 1))   Int[(a*Sin[e + f
      *x])^(m + 2)*(b*Sec[e + f*x])^n, x], x] /; FreeQ[{a, b, e, f, n}, x] && LtQ[m, -1] && IntegersQ[2*m, 2*n]

3065. Int[((b_.)*sec[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_)*((a_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_), x_Symbol] :> Simp[(b*Cos[e + f*
      x])^n*(b*Sec[e + f*x])^n   Int[(a*Sin[e + f*x])^m/(b*Cos[e + f*x])^n, x], x] /; FreeQ[{a, b, e, f, m, n}, x] &
      & IntegerQ[m - 1/2] && IntegerQ[n - 1/2]

3066. Int[((b_.)*sec[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_)*((a_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_), x_Symbol] :> Simp[(1/b^2)*(b*Co
      s[e + f*x])^(n + 1)*(b*Sec[e + f*x])^(n + 1)   Int[(a*Sin[e + f*x])^m/(b*Cos[e + f*x])^n, x], x] /; FreeQ[{a,
      b, e, f, m, n}, x] &&  !IntegerQ[m] &&  !IntegerQ[n] && LtQ[n, 1]

3067. Int[((b_.)*sec[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_)*((a_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_), x_Symbol] :> Simp[b^2*(b*Cos[e
      + f*x])^(n - 1)*(b*Sec[e + f*x])^(n - 1)   Int[(a*Sin[e + f*x])^m/(b*Cos[e + f*x])^n, x], x] /; FreeQ[{a, b, e
      , f, m, n}, x] &&  !IntegerQ[m] &&  !IntegerQ[n]

3068. Int[(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.))^(n_)*((a_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_.), x_Symbol] :> Simp[(a*b)^IntPar
      t[n]*(a*Sin[e + f*x])^FracPart[n]*(b*Csc[e + f*x])^FracPart[n]   Int[(a*Sin[e + f*x])^(m - n), x], x] /; FreeQ
      [{a, b, e, f, m, n}, x] &&  !IntegerQ[m] &&  !IntegerQ[n]

3069. Int[((a_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_)*((b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_), x_Symbol] :> Simp[(-b)*(a*Sin[e
      + f*x])^m*((b*Tan[e + f*x])^(n - 1)/(f*m)), x] /; FreeQ[{a, b, e, f, m, n}, x] && EqQ[m + n - 1, 0]

3070. Int[sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]^(m_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)]^(n_.), x_Symbol] :> Simp[-f^(-1)   Subst[Int[(1 - x^
      2)^((m + n - 1)/2)/x^n, x], x, Cos[e + f*x]], x] /; FreeQ[{e, f}, x] && IntegersQ[m, n, (m + n - 1)/2]

3071. Int[sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]^(m_)*((b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_.), x_Symbol] :> With[{ff = FreeFactors[Ta
      n[e + f*x], x]}, Simp[b*(ff/f)   Subst[Int[(ff*x)^(m + n)/(b^2 + ff^2*x^2)^(m/2 + 1), x], x, b*(Tan[e + f*x]/f
      f)], x]] /; FreeQ[{b, e, f, n}, x] && IntegerQ[m/2]

3072. Int[((a_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)]^(n_.), x_Symbol] :> With[{ff = FreeFactors[S
      in[e + f*x], x]}, Simp[ff/f   Subst[Int[(ff*x)^(m + n)/(a^2 - ff^2*x^2)^((n + 1)/2), x], x, a*(Sin[e + f*x]/ff
      )], x]] /; FreeQ[{a, e, f, m}, x] && IntegerQ[(n + 1)/2]

3073. Int[((a_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_)*((b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_), x_Symbol] :> Simp[b*(a*Sin[e +
      f*x])^(m + 2)*((b*Tan[e + f*x])^(n - 1)/(a^2*f*(n - 1))), x] - Simp[b^2*((m + 2)/(a^2*(n - 1)))   Int[(a*Sin[e
      + f*x])^(m + 2)*(b*Tan[e + f*x])^(n - 2), x], x] /; FreeQ[{a, b, e, f}, x] && GtQ[n, 1] && (LtQ[m, -1] || (Eq
      Q[m, -1] && EqQ[n, 3/2])) && IntegersQ[2*m, 2*n]

3074. Int[((a_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_.)*((b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_), x_Symbol] :> Simp[b*(a*Sin[e +
      f*x])^m*((b*Tan[e + f*x])^(n - 1)/(f*(n - 1))), x] - Simp[b^2*((m + n - 1)/(n - 1))   Int[(a*Sin[e + f*x])^m*
      (b*Tan[e + f*x])^(n - 2), x], x] /; FreeQ[{a, b, e, f, m}, x] && GtQ[n, 1] && IntegersQ[2*m, 2*n] &&  !(GtQ[m,
      1] &&  !IntegerQ[(m - 1)/2])

3075. Int[Sqrt[(a_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]]/((b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(3/2), x_Symbol] :> Simp[2*(Sqrt[a*Sin
      [e + f*x]]/(b*f*Sqrt[b*Tan[e + f*x]])), x] + Simp[a^2/b^2   Int[Sqrt[b*Tan[e + f*x]]/(a*Sin[e + f*x])^(3/2), x
      ], x] /; FreeQ[{a, b, e, f}, x]

3076. Int[((a_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_)*((b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_), x_Symbol] :> Simp[(a*Sin[e + f*
      x])^m*((b*Tan[e + f*x])^(n + 1)/(b*f*m)), x] - Simp[a^2*((n + 1)/(b^2*m))   Int[(a*Sin[e + f*x])^(m - 2)*(b*Ta
      n[e + f*x])^(n + 2), x], x] /; FreeQ[{a, b, e, f}, x] && LtQ[n, -1] && GtQ[m, 1] && IntegersQ[2*m, 2*n]

3077. Int[((a_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_.)*((b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_), x_Symbol] :> Simp[(a*Sin[e + f
      *x])^m*((b*Tan[e + f*x])^(n + 1)/(b*f*(m + n + 1))), x] - Simp[(n + 1)/(b^2*(m + n + 1))   Int[(a*Sin[e + f*x]
      )^m*(b*Tan[e + f*x])^(n + 2), x], x] /; FreeQ[{a, b, e, f, m}, x] && LtQ[n, -1] && NeQ[m + n + 1, 0] && Intege
      rsQ[2*m, 2*n] &&  !(EqQ[n, -3/2] && EqQ[m, 1])

3078. Int[((a_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_.)*((b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_.), x_Symbol] :> Simp[(-b)*(a*Sin
      [e + f*x])^m*((b*Tan[e + f*x])^(n - 1)/(f*m)), x] + Simp[a^2*((m + n - 1)/m)   Int[(a*Sin[e + f*x])^(m - 2)*(b
      *Tan[e + f*x])^n, x], x] /; FreeQ[{a, b, e, f, n}, x] && (GtQ[m, 1] || (EqQ[m, 1] && EqQ[n, 1/2])) && Integers
      Q[2*m, 2*n]

3079. Int[((a_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_)*((b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_.), x_Symbol] :> Simp[b*(a*Sin[e +
      f*x])^(m + 2)*((b*Tan[e + f*x])^(n - 1)/(a^2*f*(m + n + 1))), x] + Simp[(m + 2)/(a^2*(m + n + 1))   Int[(a*Si
      n[e + f*x])^(m + 2)*(b*Tan[e + f*x])^n, x], x] /; FreeQ[{a, b, e, f, n}, x] && LtQ[m, -1] && NeQ[m + n + 1, 0]
      && IntegersQ[2*m, 2*n]

3080. Int[((a_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)]^(n_), x_Symbol] :> Simp[1/a^n   Int[(a*Sin[e
      + f*x])^(m + n)/Cos[e + f*x]^n, x], x] /; FreeQ[{a, e, f, m}, x] && IntegerQ[n] &&  !IntegerQ[m]

3081. Int[((a_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_.)*((b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_), x_Symbol] :> Simp[Cos[e + f*x]
      ^n*((b*Tan[e + f*x])^n/(a*Sin[e + f*x])^n)   Int[(a*Sin[e + f*x])^(m + n)/Cos[e + f*x]^n, x], x] /; FreeQ[{a,
      b, e, f, m, n}, x] &&  !IntegerQ[n] && (ILtQ[m, 0] || (EqQ[m, 1] && EqQ[n, -2^(-1)]) || IntegersQ[m - 1/2, n -
      1/2])

3082. Int[((a_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_.)*((b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_), x_Symbol] :> Simp[a*Cos[e + f*
      x]^(n + 1)*((b*Tan[e + f*x])^(n + 1)/(b*(a*Sin[e + f*x])^(n + 1)))   Int[(a*Sin[e + f*x])^(m + n)/Cos[e + f*x]
      ^n, x], x] /; FreeQ[{a, b, e, f, m, n}, x] &&  !IntegerQ[n]

3083. Int[(cos[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(a_.))^(m_)*((b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_), x_Symbol] :> Simp[(a*Cos[e + f*
      x])^FracPart[m]*(Sec[e + f*x]/a)^FracPart[m]   Int[(b*Tan[e + f*x])^n/(Sec[e + f*x]/a)^m, x], x] /; FreeQ[{a,
      b, e, f, m, n}, x] &&  !IntegerQ[m] &&  !IntegerQ[n]

3084. Int[(cot[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(a_.))^(m_)*((b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_), x_Symbol] :> Simp[(a*Cot[e + f*
      x])^m*(b*Tan[e + f*x])^m   Int[(b*Tan[e + f*x])^(n - m), x], x] /; FreeQ[{a, b, e, f, m, n}, x] &&  !IntegerQ[
      m] &&  !IntegerQ[n]

3085. Int[((a_.)*sec[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_.)*((b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_.), x_Symbol] :> Simp[(-(a*Sec[e
      + f*x])^m)*((b*Tan[e + f*x])^(n + 1)/(b*f*m)), x] /; FreeQ[{a, b, e, f, m, n}, x] && EqQ[m + n + 1, 0]

3086. Int[((a_.)*sec[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_.)*((b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_.), x_Symbol] :> Simp[a/f   Subst
      [Int[(a*x)^(m - 1)*(-1 + x^2)^((n - 1)/2), x], x, Sec[e + f*x]], x] /; FreeQ[{a, e, f, m}, x] && IntegerQ[(n -
      1)/2] &&  !(IntegerQ[m/2] && LtQ[0, m, n + 1])

3087. Int[sec[(e_.) + (f_.)*(x_)]^(m_)*((b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_.), x_Symbol] :> Simp[1/f   Subst[Int[(b*x
      )^n*(1 + x^2)^(m/2 - 1), x], x, Tan[e + f*x]], x] /; FreeQ[{b, e, f, n}, x] && IntegerQ[m/2] &&  !(IntegerQ[(n
      - 1)/2] && LtQ[0, n, m - 1])

3088. Int[((a_.)*sec[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_.)*((b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_), x_Symbol] :> Simp[a^2*(a*Sec[e
      + f*x])^(m - 2)*((b*Tan[e + f*x])^(n + 1)/(b*f*(n + 1))), x] - Simp[a^2*((m - 2)/(b^2*(n + 1)))   Int[(a*Sec[
      e + f*x])^(m - 2)*(b*Tan[e + f*x])^(n + 2), x], x] /; FreeQ[{a, b, e, f}, x] && LtQ[n, -1] && (GtQ[m, 1] || (E
      qQ[m, 1] && EqQ[n, -3/2])) && IntegersQ[2*m, 2*n]

3089. Int[((a_.)*sec[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_.)*((b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_), x_Symbol] :> Simp[(a*Sec[e + f
      *x])^m*((b*Tan[e + f*x])^(n + 1)/(b*f*(n + 1))), x] - Simp[(m + n + 1)/(b^2*(n + 1))   Int[(a*Sec[e + f*x])^m*
      (b*Tan[e + f*x])^(n + 2), x], x] /; FreeQ[{a, b, e, f, m}, x] && LtQ[n, -1] && IntegersQ[2*m, 2*n]

3090. Int[((a_.)*sec[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_)*((b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_), x_Symbol] :> Simp[b*(a*Sec[e +
      f*x])^m*((b*Tan[e + f*x])^(n - 1)/(f*m)), x] - Simp[b^2*((n - 1)/(a^2*m))   Int[(a*Sec[e + f*x])^(m + 2)*(b*Ta
      n[e + f*x])^(n - 2), x], x] /; FreeQ[{a, b, e, f}, x] && GtQ[n, 1] && (LtQ[m, -1] || (EqQ[m, -1] && EqQ[n, 3/2
      ])) && IntegersQ[2*m, 2*n]

3091. Int[((a_.)*sec[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_.)*((b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_), x_Symbol] :> Simp[b*(a*Sec[e +
      f*x])^m*((b*Tan[e + f*x])^(n - 1)/(f*(m + n - 1))), x] - Simp[b^2*((n - 1)/(m + n - 1))   Int[(a*Sec[e + f*x]
      )^m*(b*Tan[e + f*x])^(n - 2), x], x] /; FreeQ[{a, b, e, f, m}, x] && GtQ[n, 1] && NeQ[m + n - 1, 0] && Integer
      sQ[2*m, 2*n]

3092. Int[((a_.)*sec[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_)*((b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_), x_Symbol] :> Simp[(-(a*Sec[e +
      f*x])^m)*((b*Tan[e + f*x])^(n + 1)/(b*f*m)), x] + Simp[(m + n + 1)/(a^2*m)   Int[(a*Sec[e + f*x])^(m + 2)*(b*T
      an[e + f*x])^n, x], x] /; FreeQ[{a, b, e, f, n}, x] && (LtQ[m, -1] || (EqQ[m, -1] && EqQ[n, -2^(-1)])) && Inte
      gersQ[2*m, 2*n]

3093. Int[((a_.)*sec[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_.)*((b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_), x_Symbol] :> Simp[a^2*(a*Sec[e
      + f*x])^(m - 2)*((b*Tan[e + f*x])^(n + 1)/(b*f*(m + n - 1))), x] + Simp[a^2*((m - 2)/(m + n - 1))   Int[(a*Se
      c[e + f*x])^(m - 2)*(b*Tan[e + f*x])^n, x], x] /; FreeQ[{a, b, e, f, n}, x] && (GtQ[m, 1] || (EqQ[m, 1] && EqQ
      [n, 1/2])) && NeQ[m + n - 1, 0] && IntegersQ[2*m, 2*n]

3094. Int[sec[(e_.) + (f_.)*(x_)]/Sqrt[(b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)]], x_Symbol] :> Simp[Sqrt[Sin[e + f*x]]/(Sqrt[Co
      s[e + f*x]]*Sqrt[b*Tan[e + f*x]])   Int[1/(Sqrt[Cos[e + f*x]]*Sqrt[Sin[e + f*x]]), x], x] /; FreeQ[{b, e, f},
      x]

3095. Int[Sqrt[(b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)]]/sec[(e_.) + (f_.)*(x_)], x_Symbol] :> Simp[Sqrt[Cos[e + f*x]]*(Sqrt[b*
      Tan[e + f*x]]/Sqrt[Sin[e + f*x]])   Int[Sqrt[Cos[e + f*x]]*Sqrt[Sin[e + f*x]], x], x] /; FreeQ[{b, e, f}, x]

3096. Int[((a_.)*sec[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_)*((b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_), x_Symbol] :> Simp[a^(m + n)*((b
      *Tan[e + f*x])^n/((a*Sec[e + f*x])^n*(b*Sin[e + f*x])^n))   Int[(b*Sin[e + f*x])^n/Cos[e + f*x]^(m + n), x], x
      ] /; FreeQ[{a, b, e, f, m, n}, x] && IntegerQ[n + 1/2] && IntegerQ[m + 1/2]

3097. Int[((a_.)*sec[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_.)*((b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_), x_Symbol] :> Simp[(a*Sec[e + f
      *x])^m*(b*Tan[e + f*x])^(n + 1)*((Cos[e + f*x]^2)^((m + n + 1)/2)/(b*f*(n + 1)))*Hypergeometric2F1[(n + 1)/2,
      (m + n + 1)/2, (n + 3)/2, Sin[e + f*x]^2], x] /; FreeQ[{a, b, e, f, m, n}, x] &&  !IntegerQ[(n - 1)/2] &&  !In
      tegerQ[m/2]

3098. Int[(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(a_.))^(m_)*((b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_), x_Symbol] :> Simp[(a*Csc[e + f*
      x])^FracPart[m]*(Sin[e + f*x]/a)^FracPart[m]   Int[(b*Tan[e + f*x])^n/(Sin[e + f*x]/a)^m, x], x] /; FreeQ[{a,
      b, e, f, m, n}, x] &&  !IntegerQ[m] &&  !IntegerQ[n]

3099. Int[(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(a_.))^(m_)*((b_.)*sec[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_), x_Symbol] :> Simp[a*b*(a*Csc[e
      + f*x])^(m - 1)*((b*Sec[e + f*x])^(n - 1)/(f*(n - 1))), x] /; FreeQ[{a, b, e, f, m, n}, x] && EqQ[m + n - 2, 0
      ] && NeQ[n, 1]

3100. Int[csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]^(m_.)*sec[(e_.) + (f_.)*(x_)]^(n_.), x_Symbol] :> Simp[1/f   Subst[Int[(1 + x^2)^(
      (m + n)/2 - 1)/x^m, x], x, Tan[e + f*x]], x] /; FreeQ[{e, f}, x] && IntegersQ[m, n, (m + n)/2]

3101. Int[(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(a_.))^(m_)*sec[(e_.) + (f_.)*(x_)]^(n_.), x_Symbol] :> Simp[-(f*a^n)^(-1)   Subs
      t[Int[x^(m + n - 1)/(-1 + x^2/a^2)^((n + 1)/2), x], x, a*Csc[e + f*x]], x] /; FreeQ[{a, e, f, m}, x] && Intege
      rQ[(n + 1)/2] &&  !(IntegerQ[(m + 1)/2] && LtQ[0, m, n])

3102. Int[csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]^(n_.)*((a_.)*sec[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_), x_Symbol] :> Simp[1/(f*a^n)   Subst[In
      t[x^(m + n - 1)/(-1 + x^2/a^2)^((n + 1)/2), x], x, a*Sec[e + f*x]], x] /; FreeQ[{a, e, f, m}, x] && IntegerQ[(
      n + 1)/2] &&  !(IntegerQ[(m + 1)/2] && LtQ[0, m, n])

3103. Int[(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(a_.))^(m_)*((b_.)*sec[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_), x_Symbol] :> Simp[(-a)*(a*Csc[e
      + f*x])^(m - 1)*((b*Sec[e + f*x])^(n + 1)/(f*b*(m - 1))), x] + Simp[a^2*((n + 1)/(b^2*(m - 1)))   Int[(a*Csc[
      e + f*x])^(m - 2)*(b*Sec[e + f*x])^(n + 2), x], x] /; FreeQ[{a, b, e, f}, x] && GtQ[m, 1] && LtQ[n, -1] && Int
      egersQ[2*m, 2*n]

3104. Int[(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(a_.))^(m_)*((b_.)*sec[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_), x_Symbol] :> Simp[b*(a*Csc[e +
      f*x])^(m + 1)*((b*Sec[e + f*x])^(n - 1)/(f*a*(n - 1))), x] + Simp[b^2*((m + 1)/(a^2*(n - 1)))   Int[(a*Csc[e +
      f*x])^(m + 2)*(b*Sec[e + f*x])^(n - 2), x], x] /; FreeQ[{a, b, e, f}, x] && GtQ[n, 1] && LtQ[m, -1] && Intege
      rsQ[2*m, 2*n]

3105. Int[(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(a_.))^(m_)*((b_.)*sec[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_.), x_Symbol] :> Simp[(-a)*b*(a*Cs
      c[e + f*x])^(m - 1)*((b*Sec[e + f*x])^(n - 1)/(f*(m - 1))), x] + Simp[a^2*((m + n - 2)/(m - 1))   Int[(a*Csc[e
      + f*x])^(m - 2)*(b*Sec[e + f*x])^n, x], x] /; FreeQ[{a, b, e, f, n}, x] && GtQ[m, 1] && IntegersQ[2*m, 2*n] &
      &  !GtQ[n, m]

3106. Int[(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(a_.))^(m_.)*((b_.)*sec[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_), x_Symbol] :> Simp[a*b*(a*Csc[e
      + f*x])^(m - 1)*((b*Sec[e + f*x])^(n - 1)/(f*(n - 1))), x] + Simp[b^2*((m + n - 2)/(n - 1))   Int[(a*Csc[e +
      f*x])^m*(b*Sec[e + f*x])^(n - 2), x], x] /; FreeQ[{a, b, e, f, m}, x] && GtQ[n, 1] && IntegersQ[2*m, 2*n]

3107. Int[(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(a_.))^(m_)*((b_.)*sec[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_.), x_Symbol] :> Simp[b*(a*Csc[e +
      f*x])^(m + 1)*((b*Sec[e + f*x])^(n - 1)/(a*f*(m + n))), x] + Simp[(m + 1)/(a^2*(m + n))   Int[(a*Csc[e + f*x]
      )^(m + 2)*(b*Sec[e + f*x])^n, x], x] /; FreeQ[{a, b, e, f, n}, x] && LtQ[m, -1] && NeQ[m + n, 0] && IntegersQ[
      2*m, 2*n]

3108. Int[(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(a_.))^(m_.)*((b_.)*sec[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_), x_Symbol] :> Simp[(-a)*(a*Csc[
      e + f*x])^(m - 1)*((b*Sec[e + f*x])^(n + 1)/(b*f*(m + n))), x] + Simp[(n + 1)/(b^2*(m + n))   Int[(a*Csc[e + f
      *x])^m*(b*Sec[e + f*x])^(n + 2), x], x] /; FreeQ[{a, b, e, f, m}, x] && LtQ[n, -1] && NeQ[m + n, 0] && Integer
      sQ[2*m, 2*n]

3109. Int[(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(a_.))^(m_)*((b_.)*sec[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_), x_Symbol] :> Simp[(a*Csc[e + f*
      x])^m*((b*Sec[e + f*x])^n/Tan[e + f*x]^n)   Int[Tan[e + f*x]^n, x], x] /; FreeQ[{a, b, e, f, m, n}, x] &&  !In
      tegerQ[n] && EqQ[m + n, 0]

3110. Int[(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(a_.))^(m_)*((b_.)*sec[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_), x_Symbol] :> Simp[(a*Csc[e + f*
      x])^m*(b*Sec[e + f*x])^n*(a*Sin[e + f*x])^m*(b*Cos[e + f*x])^n   Int[1/((a*Sin[e + f*x])^m*(b*Cos[e + f*x])^n)
      , x], x] /; FreeQ[{a, b, e, f, m, n}, x] && IntegerQ[m - 1/2] && IntegerQ[n - 1/2]

3111. Int[(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(a_.))^(m_)*((b_.)*sec[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_), x_Symbol] :> Simp[(a^2/b^2)*(a*
      Csc[e + f*x])^(m - 1)*(b*Sec[e + f*x])^(n + 1)*(a*Sin[e + f*x])^(m - 1)*(b*Cos[e + f*x])^(n + 1)   Int[1/((a*S
      in[e + f*x])^m*(b*Cos[e + f*x])^n), x], x] /; FreeQ[{a, b, e, f, m, n}, x] &&  !SimplerQ[-m, -n]

3112. Int[(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.))^(n_)*((a_.)*sec[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_), x_Symbol] :> Simp[(a^2/b^2)*(a*
      Sec[e + f*x])^(m - 1)*(b*Csc[e + f*x])^(n + 1)*(a*Cos[e + f*x])^(m - 1)*(b*Sin[e + f*x])^(n + 1)   Int[1/((a*C
      os[e + f*x])^m*(b*Sin[e + f*x])^n), x], x] /; FreeQ[{a, b, e, f, m, n}, x]

3113. Int[sin[(c_.) + (d_.)*(x_)]^(n_), x_Symbol] :> Simp[-d^(-1)   Subst[Int[Expand[(1 - x^2)^((n - 1)/2), x], x],
      x, Cos[c + d*x]], x] /; FreeQ[{c, d}, x] && IGtQ[(n - 1)/2, 0]

3114. Int[sin[(c_.) + ((d_.)*(x_))/2]^2, x_Symbol] :> Simp[x/2, x] - Simp[Sin[2*c + d*x]/(2*d), x] /; FreeQ[{c, d},
      x]

3115. Int[((b_.)*sin[(c_.) + (d_.)*(x_)])^(n_), x_Symbol] :> Simp[(-b)*Cos[c + d*x]*((b*Sin[c + d*x])^(n - 1)/(d*n))
      , x] + Simp[b^2*((n - 1)/n)   Int[(b*Sin[c + d*x])^(n - 2), x], x] /; FreeQ[{b, c, d}, x] && GtQ[n, 1] && Inte
      gerQ[2*n]

3116. Int[((b_.)*sin[(c_.) + (d_.)*(x_)])^(n_), x_Symbol] :> Simp[Cos[c + d*x]*((b*Sin[c + d*x])^(n + 1)/(b*d*(n + 1
      ))), x] + Simp[(n + 2)/(b^2*(n + 1))   Int[(b*Sin[c + d*x])^(n + 2), x], x] /; FreeQ[{b, c, d}, x] && LtQ[n, -
      1] && IntegerQ[2*n]

3117. Int[sin[Pi/2 + (c_.) + (d_.)*(x_)], x_Symbol] :> Simp[Sin[c + d*x]/d, x] /; FreeQ[{c, d}, x]

3118. Int[sin[(c_.) + (d_.)*(x_)], x_Symbol] :> Simp[-Cos[c + d*x]/d, x] /; FreeQ[{c, d}, x]

3119. Int[Sqrt[sin[(c_.) + (d_.)*(x_)]], x_Symbol] :> Simp[(2/d)*EllipticE[(1/2)*(c - Pi/2 + d*x), 2], x] /; FreeQ[{
      c, d}, x]

3120. Int[1/Sqrt[sin[(c_.) + (d_.)*(x_)]], x_Symbol] :> Simp[(2/d)*EllipticF[(1/2)*(c - Pi/2 + d*x), 2], x] /; FreeQ
      [{c, d}, x]

3121. Int[((b_)*sin[(c_.) + (d_.)*(x_)])^(n_), x_Symbol] :> Simp[(b*Sin[c + d*x])^n/Sin[c + d*x]^n   Int[Sin[c + d*x
      ]^n, x], x] /; FreeQ[{b, c, d}, x] && LtQ[-1, n, 1] && IntegerQ[2*n]

3122. Int[((b_.)*sin[(c_.) + (d_.)*(x_)])^(n_), x_Symbol] :> Simp[Cos[c + d*x]*((b*Sin[c + d*x])^(n + 1)/(b*d*(n + 1
      )*Sqrt[Cos[c + d*x]^2]))*Hypergeometric2F1[1/2, (n + 1)/2, (n + 3)/2, Sin[c + d*x]^2], x] /; FreeQ[{b, c, d, n
      }, x] &&  !IntegerQ[2*n]

3123. Int[((a_) + (b_.)*sin[(c_.) + (d_.)*(x_)])^2, x_Symbol] :> Simp[(2*a^2 + b^2)*(x/2), x] + (-Simp[2*a*b*(Cos[c
      + d*x]/d), x] - Simp[b^2*Cos[c + d*x]*(Sin[c + d*x]/(2*d)), x]) /; FreeQ[{a, b, c, d}, x]

3124. Int[((a_) + (b_.)*sin[(c_.) + (d_.)*(x_)])^(n_), x_Symbol] :> Int[ExpandTrig[(a + b*sin[c + d*x])^n, x], x] /;
      FreeQ[{a, b, c, d, n}, x] && EqQ[a^2 - b^2, 0] && IGtQ[n, 0]

3125. Int[Sqrt[(a_) + (b_.)*sin[(c_.) + (d_.)*(x_)]], x_Symbol] :> Simp[-2*b*(Cos[c + d*x]/(d*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x
      ]])), x] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && EqQ[a^2 - b^2, 0]

3126. Int[((a_) + (b_.)*sin[(c_.) + (d_.)*(x_)])^(n_), x_Symbol] :> Simp[(-b)*Cos[c + d*x]*((a + b*Sin[c + d*x])^(n
      - 1)/(d*n)), x] + Simp[a*((2*n - 1)/n)   Int[(a + b*Sin[c + d*x])^(n - 1), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] &&
      EqQ[a^2 - b^2, 0] && IGtQ[n - 1/2, 0]

3127. Int[((a_) + (b_.)*sin[(c_.) + (d_.)*(x_)])^(-1), x_Symbol] :> Simp[-Cos[c + d*x]/(d*(b + a*Sin[c + d*x])), x]
      /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && EqQ[a^2 - b^2, 0]

3128. Int[1/Sqrt[(a_) + (b_.)*sin[(c_.) + (d_.)*(x_)]], x_Symbol] :> Simp[-2/d   Subst[Int[1/(2*a - x^2), x], x, b*(
      Cos[c + d*x]/Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]])], x] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && EqQ[a^2 - b^2, 0]

3129. Int[((a_) + (b_.)*sin[(c_.) + (d_.)*(x_)])^(n_), x_Symbol] :> Simp[b*Cos[c + d*x]*((a + b*Sin[c + d*x])^n/(a*d
      *(2*n + 1))), x] + Simp[(n + 1)/(a*(2*n + 1))   Int[(a + b*Sin[c + d*x])^(n + 1), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d}
      , x] && EqQ[a^2 - b^2, 0] && LtQ[n, -1] && IntegerQ[2*n]

3130. Int[((a_) + (b_.)*sin[(c_.) + (d_.)*(x_)])^(n_), x_Symbol] :> Simp[(-2^(n + 1/2))*a^(n - 1/2)*b*(Cos[c + d*x]/
      (d*Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]]))*Hypergeometric2F1[1/2, 1/2 - n, 3/2, (1/2)*(1 - b*(Sin[c + d*x]/a))], x] /; Free
      Q[{a, b, c, d, n}, x] && EqQ[a^2 - b^2, 0] &&  !IntegerQ[2*n] && GtQ[a, 0]

3131. Int[((a_) + (b_.)*sin[(c_.) + (d_.)*(x_)])^(n_), x_Symbol] :> Simp[a^IntPart[n]*((a + b*Sin[c + d*x])^FracPart
      [n]/(1 + (b/a)*Sin[c + d*x])^FracPart[n])   Int[(1 + (b/a)*Sin[c + d*x])^n, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, n}, x
      ] && EqQ[a^2 - b^2, 0] &&  !IntegerQ[2*n] &&  !GtQ[a, 0]

3132. Int[Sqrt[(a_) + (b_.)*sin[(c_.) + (d_.)*(x_)]], x_Symbol] :> Simp[2*(Sqrt[a + b]/d)*EllipticE[(1/2)*(c - Pi/2
      + d*x), 2*(b/(a + b))], x] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && NeQ[a^2 - b^2, 0] && GtQ[a + b, 0]

3133. Int[Sqrt[(a_) + (b_.)*sin[(c_.) + (d_.)*(x_)]], x_Symbol] :> Simp[2*(Sqrt[a - b]/d)*EllipticE[(1/2)*(c + Pi/2
      + d*x), -2*(b/(a - b))], x] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && NeQ[a^2 - b^2, 0] && GtQ[a - b, 0]

3134. Int[Sqrt[(a_) + (b_.)*sin[(c_.) + (d_.)*(x_)]], x_Symbol] :> Simp[Sqrt[a + b*Sin[c + d*x]]/Sqrt[(a + b*Sin[c +
      d*x])/(a + b)]   Int[Sqrt[a/(a + b) + (b/(a + b))*Sin[c + d*x]], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && NeQ[a^2
      - b^2, 0] &&  !GtQ[a + b, 0]

3135. Int[((a_) + (b_.)*sin[(c_.) + (d_.)*(x_)])^(n_), x_Symbol] :> Simp[(-b)*Cos[c + d*x]*((a + b*Sin[c + d*x])^(n
      - 1)/(d*n)), x] + Simp[1/n   Int[(a + b*Sin[c + d*x])^(n - 2)*Simp[a^2*n + b^2*(n - 1) + a*b*(2*n - 1)*Sin[c +
      d*x], x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && NeQ[a^2 - b^2, 0] && GtQ[n, 1] && IntegerQ[2*n]

3136. Int[((a_) + (b_.)*sin[(c_.) + (d_.)*(x_)])^(-1), x_Symbol] :> With[{q = Rt[a^2 - b^2, 2]}, Simp[x/q, x] + Simp
      [(2/(d*q))*ArcTan[b*(Cos[c + d*x]/(a + q + b*Sin[c + d*x]))], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && GtQ[a^2 - b^2,
      0] && PosQ[a]

3137. Int[((a_) + (b_.)*sin[(c_.) + (d_.)*(x_)])^(-1), x_Symbol] :> With[{q = Rt[a^2 - b^2, 2]}, Simp[-x/q, x] - Sim
      p[(2/(d*q))*ArcTan[b*(Cos[c + d*x]/(a - q + b*Sin[c + d*x]))], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && GtQ[a^2 - b^2,
      0] && NegQ[a]

3138. Int[((a_) + (b_.)*sin[Pi/2 + (c_.) + (d_.)*(x_)])^(-1), x_Symbol] :> With[{e = FreeFactors[Tan[(c + d*x)/2], x
      ]}, Simp[2*(e/d)   Subst[Int[1/(a + b + (a - b)*e^2*x^2), x], x, Tan[(c + d*x)/2]/e], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d
      }, x] && NeQ[a^2 - b^2, 0]

3139. Int[((a_) + (b_.)*sin[(c_.) + (d_.)*(x_)])^(-1), x_Symbol] :> With[{e = FreeFactors[Tan[(c + d*x)/2], x]}, Sim
      p[2*(e/d)   Subst[Int[1/(a + 2*b*e*x + a*e^2*x^2), x], x, Tan[(c + d*x)/2]/e], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] &
      & NeQ[a^2 - b^2, 0]

3140. Int[1/Sqrt[(a_) + (b_.)*sin[(c_.) + (d_.)*(x_)]], x_Symbol] :> Simp[(2/(d*Sqrt[a + b]))*EllipticF[(1/2)*(c - P
      i/2 + d*x), 2*(b/(a + b))], x] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && NeQ[a^2 - b^2, 0] && GtQ[a + b, 0]

3141. Int[1/Sqrt[(a_) + (b_.)*sin[(c_.) + (d_.)*(x_)]], x_Symbol] :> Simp[(2/(d*Sqrt[a - b]))*EllipticF[(1/2)*(c + P
      i/2 + d*x), -2*(b/(a - b))], x] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && NeQ[a^2 - b^2, 0] && GtQ[a - b, 0]

3142. Int[1/Sqrt[(a_) + (b_.)*sin[(c_.) + (d_.)*(x_)]], x_Symbol] :> Simp[Sqrt[(a + b*Sin[c + d*x])/(a + b)]/Sqrt[a
      + b*Sin[c + d*x]]   Int[1/Sqrt[a/(a + b) + (b/(a + b))*Sin[c + d*x]], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && NeQ[
      a^2 - b^2, 0] &&  !GtQ[a + b, 0]

3143. Int[((a_) + (b_.)*sin[(c_.) + (d_.)*(x_)])^(n_), x_Symbol] :> Simp[(-b)*Cos[c + d*x]*((a + b*Sin[c + d*x])^(n
      + 1)/(d*(n + 1)*(a^2 - b^2))), x] + Simp[1/((n + 1)*(a^2 - b^2))   Int[(a + b*Sin[c + d*x])^(n + 1)*Simp[a*(n
      + 1) - b*(n + 2)*Sin[c + d*x], x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && NeQ[a^2 - b^2, 0] && LtQ[n, -1] && Inte
      gerQ[2*n]

3144. Int[((a_) + (b_.)*sin[(c_.) + (d_.)*(x_)])^(n_), x_Symbol] :> Simp[Cos[c + d*x]/(d*Sqrt[1 + Sin[c + d*x]]*Sqrt
      [1 - Sin[c + d*x]])   Subst[Int[(a + b*x)^n/(Sqrt[1 + x]*Sqrt[1 - x]), x], x, Sin[c + d*x]], x] /; FreeQ[{a, b
      , c, d, n}, x] && NeQ[a^2 - b^2, 0] &&  !IntegerQ[2*n]

3145. Int[((a_) + cos[(c_.) + (d_.)*(x_)]*(b_.)*sin[(c_.) + (d_.)*(x_)])^(n_), x_Symbol] :> Int[(a + b*(Sin[2*c + 2*
      d*x]/2))^n, x] /; FreeQ[{a, b, c, d, n}, x]

3146. Int[cos[(e_.) + (f_.)*(x_)]^(p_.)*((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_.), x_Symbol] :> Simp[1/(b^p*f)
      Subst[Int[(a + x)^(m + (p - 1)/2)*(a - x)^((p - 1)/2), x], x, b*Sin[e + f*x]], x] /; FreeQ[{a, b, e, f, m}, x]
      && IntegerQ[(p - 1)/2] && EqQ[a^2 - b^2, 0] && (GeQ[p, -1] ||  !IntegerQ[m + 1/2])

3147. Int[cos[(e_.) + (f_.)*(x_)]^(p_.)*((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_.), x_Symbol] :> Simp[1/(b^p*f)
      Subst[Int[(a + x)^m*(b^2 - x^2)^((p - 1)/2), x], x, b*Sin[e + f*x]], x] /; FreeQ[{a, b, e, f, m}, x] && Intege
      rQ[(p - 1)/2] && NeQ[a^2 - b^2, 0]

3148. Int[(cos[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(g_.))^(p_)*((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]), x_Symbol] :> Simp[(-b)*((g*Co
      s[e + f*x])^(p + 1)/(f*g*(p + 1))), x] + Simp[a   Int[(g*Cos[e + f*x])^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, e, f, g, p},
      x] && (IntegerQ[2*p] || NeQ[a^2 - b^2, 0])

3149. Int[(cos[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(g_.))^(p_)*((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_), x_Symbol] :> Simp[(a/g)^
      (2*m)   Int[(g*Cos[e + f*x])^(2*m + p)/(a - b*Sin[e + f*x])^m, x], x] /; FreeQ[{a, b, e, f, g}, x] && EqQ[a^2
      - b^2, 0] && IntegerQ[m] && LtQ[p, -1] && GeQ[2*m + p, 0]

3150. Int[(cos[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(g_.))^(p_)*((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_), x_Symbol] :> Simp[b*(g*C
      os[e + f*x])^(p + 1)*((a + b*Sin[e + f*x])^m/(a*f*g*m)), x] /; FreeQ[{a, b, e, f, g, m, p}, x] && EqQ[a^2 - b^
      2, 0] && EqQ[Simplify[m + p + 1], 0] &&  !ILtQ[p, 0]

3151. Int[(cos[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(g_.))^(p_)*((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_), x_Symbol] :> Simp[b*(g*C
      os[e + f*x])^(p + 1)*((a + b*Sin[e + f*x])^m/(a*f*g*Simplify[2*m + p + 1])), x] + Simp[Simplify[m + p + 1]/(a*
      Simplify[2*m + p + 1])   Int[(g*Cos[e + f*x])^p*(a + b*Sin[e + f*x])^(m + 1), x], x] /; FreeQ[{a, b, e, f, g,
      m, p}, x] && EqQ[a^2 - b^2, 0] && ILtQ[Simplify[m + p + 1], 0] && NeQ[2*m + p + 1, 0] &&  !IGtQ[m, 0]

3152. Int[(cos[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(g_.))^(p_)*((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_), x_Symbol] :> Simp[b*(g*C
      os[e + f*x])^(p + 1)*((a + b*Sin[e + f*x])^(m - 1)/(f*g*(m - 1))), x] /; FreeQ[{a, b, e, f, g, m, p}, x] && Eq
      Q[a^2 - b^2, 0] && EqQ[2*m + p - 1, 0] && NeQ[m, 1]

3153. Int[(cos[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(g_.))^(p_)*((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_), x_Symbol] :> Simp[(-b)*(
      g*Cos[e + f*x])^(p + 1)*((a + b*Sin[e + f*x])^(m - 1)/(f*g*(m + p))), x] + Simp[a*((2*m + p - 1)/(m + p))   In
      t[(g*Cos[e + f*x])^p*(a + b*Sin[e + f*x])^(m - 1), x], x] /; FreeQ[{a, b, e, f, g, m, p}, x] && EqQ[a^2 - b^2,
      0] && IGtQ[Simplify[(2*m + p - 1)/2], 0] && NeQ[m + p, 0]

3154. Int[(cos[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(g_.))^(p_)*((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_), x_Symbol] :> Simp[(-b)*(
      g*Cos[e + f*x])^(p + 1)*((a + b*Sin[e + f*x])^m/(a*f*g*(p + 1))), x] + Simp[a*((m + p + 1)/(g^2*(p + 1)))   In
      t[(g*Cos[e + f*x])^(p + 2)*(a + b*Sin[e + f*x])^(m - 1), x], x] /; FreeQ[{a, b, e, f, g}, x] && EqQ[a^2 - b^2,
      0] && GtQ[m, 0] && LeQ[p, -2*m] && IntegersQ[m + 1/2, 2*p]

3155. Int[(cos[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(g_.))^(p_)*((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_), x_Symbol] :> Simp[-2*b*(
      g*Cos[e + f*x])^(p + 1)*((a + b*Sin[e + f*x])^(m - 1)/(f*g*(p + 1))), x] + Simp[b^2*((2*m + p - 1)/(g^2*(p + 1
      )))   Int[(g*Cos[e + f*x])^(p + 2)*(a + b*Sin[e + f*x])^(m - 2), x], x] /; FreeQ[{a, b, e, f, g}, x] && EqQ[a^
      2 - b^2, 0] && GtQ[m, 1] && LtQ[p, -1] && IntegersQ[2*m, 2*p]

3156. Int[Sqrt[(a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]]/Sqrt[cos[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(g_.)], x_Symbol] :> Simp[a*Sqrt[1
      + Cos[e + f*x]]*(Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]]/(a + a*Cos[e + f*x] + b*Sin[e + f*x]))   Int[Sqrt[1 + Cos[e + f*x]]
      /Sqrt[g*Cos[e + f*x]], x], x] + Simp[b*Sqrt[1 + Cos[e + f*x]]*(Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]]/(a + a*Cos[e + f*x] +
      b*Sin[e + f*x]))   Int[Sin[e + f*x]/(Sqrt[g*Cos[e + f*x]]*Sqrt[1 + Cos[e + f*x]]), x], x] /; FreeQ[{a, b, e, f
      , g}, x] && EqQ[a^2 - b^2, 0]

3157. Int[(cos[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(g_.))^(p_)*((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_), x_Symbol] :> Simp[(-b)*(
      g*Cos[e + f*x])^(p + 1)*((a + b*Sin[e + f*x])^(m - 1)/(f*g*(m + p))), x] + Simp[a*((2*m + p - 1)/(m + p))   In
      t[(g*Cos[e + f*x])^p*(a + b*Sin[e + f*x])^(m - 1), x], x] /; FreeQ[{a, b, e, f, g, m, p}, x] && EqQ[a^2 - b^2,
      0] && GtQ[m, 0] && NeQ[m + p, 0] && IntegersQ[2*m, 2*p]

3158. Int[(cos[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(g_.))^(p_)*((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_), x_Symbol] :> Simp[g*(g*C
      os[e + f*x])^(p - 1)*((a + b*Sin[e + f*x])^(m + 1)/(b*f*(m + p))), x] + Simp[g^2*((p - 1)/(a*(m + p)))   Int[(
      g*Cos[e + f*x])^(p - 2)*(a + b*Sin[e + f*x])^(m + 1), x], x] /; FreeQ[{a, b, e, f, g}, x] && EqQ[a^2 - b^2, 0]
      && LtQ[m, -1] && GtQ[p, 1] && (GtQ[m, -2] || EqQ[2*m + p + 1, 0] || (EqQ[m, -2] && IntegerQ[p])) && NeQ[m + p
      , 0] && IntegersQ[2*m, 2*p]

3159. Int[(cos[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(g_.))^(p_)*((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_), x_Symbol] :> Simp[2*g*(g
      *Cos[e + f*x])^(p - 1)*((a + b*Sin[e + f*x])^(m + 1)/(b*f*(2*m + p + 1))), x] + Simp[g^2*((p - 1)/(b^2*(2*m +
      p + 1)))   Int[(g*Cos[e + f*x])^(p - 2)*(a + b*Sin[e + f*x])^(m + 2), x], x] /; FreeQ[{a, b, e, f, g}, x] && E
      qQ[a^2 - b^2, 0] && LeQ[m, -2] && GtQ[p, 1] && NeQ[2*m + p + 1, 0] &&  !ILtQ[m + p + 1, 0] && IntegersQ[2*m, 2
      *p]

3160. Int[(cos[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(g_.))^(p_)*((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_), x_Symbol] :> Simp[b*(g*C
      os[e + f*x])^(p + 1)*((a + b*Sin[e + f*x])^m/(a*f*g*(2*m + p + 1))), x] + Simp[(m + p + 1)/(a*(2*m + p + 1))
      Int[(g*Cos[e + f*x])^p*(a + b*Sin[e + f*x])^(m + 1), x], x] /; FreeQ[{a, b, e, f, g, m, p}, x] && EqQ[a^2 - b
      ^2, 0] && LtQ[m, -1] && NeQ[2*m + p + 1, 0] && IntegersQ[2*m, 2*p]

3161. Int[(cos[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(g_.))^(p_)/((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]), x_Symbol] :> Simp[g*((g*Cos[e
      + f*x])^(p - 1)/(b*f*(p - 1))), x] + Simp[g^2/a   Int[(g*Cos[e + f*x])^(p - 2), x], x] /; FreeQ[{a, b, e, f,
      g}, x] && EqQ[a^2 - b^2, 0] && GtQ[p, 1] && IntegerQ[2*p]

3162. Int[(cos[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(g_.))^(p_)/((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]), x_Symbol] :> Simp[b*((g*Cos[e
      + f*x])^(p + 1)/(a*f*g*(p - 1)*(a + b*Sin[e + f*x]))), x] + Simp[p/(a*(p - 1))   Int[(g*Cos[e + f*x])^p, x],
      x] /; FreeQ[{a, b, e, f, g, p}, x] && EqQ[a^2 - b^2, 0] &&  !GeQ[p, 1] && IntegerQ[2*p]

3163. Int[Sqrt[cos[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(g_.)]/Sqrt[(a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]], x_Symbol] :> Simp[g*Sqrt[1
      + Cos[e + f*x]]*(Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]]/(a + a*Cos[e + f*x] + b*Sin[e + f*x]))   Int[Sqrt[1 + Cos[e + f*x]]
      /Sqrt[g*Cos[e + f*x]], x], x] - Simp[g*Sqrt[1 + Cos[e + f*x]]*(Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]]/(b + b*Cos[e + f*x] +
      a*Sin[e + f*x]))   Int[Sin[e + f*x]/(Sqrt[g*Cos[e + f*x]]*Sqrt[1 + Cos[e + f*x]]), x], x] /; FreeQ[{a, b, e, f
      , g}, x] && EqQ[a^2 - b^2, 0]

3164. Int[(cos[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(g_.))^(3/2)/Sqrt[(a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]], x_Symbol] :> Simp[g*Sqrt
      [g*Cos[e + f*x]]*(Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]]/(b*f)), x] + Simp[g^2/(2*a)   Int[Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]]/Sqrt[g*C
      os[e + f*x]], x], x] /; FreeQ[{a, b, e, f, g}, x] && EqQ[a^2 - b^2, 0]

3165. Int[(cos[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(g_.))^(p_)/Sqrt[(a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]], x_Symbol] :> Simp[-2*b*((
      g*Cos[e + f*x])^(p + 1)/(f*g*(2*p - 1)*(a + b*Sin[e + f*x])^(3/2))), x] + Simp[2*a*((p - 2)/(2*p - 1))   Int[(
      g*Cos[e + f*x])^p/(a + b*Sin[e + f*x])^(3/2), x], x] /; FreeQ[{a, b, e, f, g}, x] && EqQ[a^2 - b^2, 0] && GtQ[
      p, 2] && IntegerQ[2*p]

3166. Int[(cos[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(g_.))^(p_)/Sqrt[(a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]], x_Symbol] :> Simp[(-b)*((
      g*Cos[e + f*x])^(p + 1)/(a*f*g*(p + 1)*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]])), x] + Simp[a*((2*p + 1)/(2*g^2*(p + 1)))   I
      nt[(g*Cos[e + f*x])^(p + 2)/(a + b*Sin[e + f*x])^(3/2), x], x] /; FreeQ[{a, b, e, f, g}, x] && EqQ[a^2 - b^2,
      0] && LtQ[p, -1] && IntegerQ[2*p]

3167. Int[(cos[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(g_.))^(p_)*((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_.), x_Symbol] :> Simp[a^m*(
      (g*Cos[e + f*x])^(p + 1)/(f*g*(1 + Sin[e + f*x])^((p + 1)/2)*(1 - Sin[e + f*x])^((p + 1)/2)))   Subst[Int[(1 +
      (b/a)*x)^(m + (p - 1)/2)*(1 - (b/a)*x)^((p - 1)/2), x], x, Sin[e + f*x]], x] /; FreeQ[{a, b, e, f, g, p}, x]
      && EqQ[a^2 - b^2, 0] && IntegerQ[m]

3168. Int[(cos[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(g_.))^(p_)*((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_.), x_Symbol] :> Simp[a^2*(
      (g*Cos[e + f*x])^(p + 1)/(f*g*(a + b*Sin[e + f*x])^((p + 1)/2)*(a - b*Sin[e + f*x])^((p + 1)/2)))   Subst[Int[
      (a + b*x)^(m + (p - 1)/2)*(a - b*x)^((p - 1)/2), x], x, Sin[e + f*x]], x] /; FreeQ[{a, b, e, f, g, m, p}, x] &
      & EqQ[a^2 - b^2, 0] &&  !IntegerQ[m]

3169. Int[(cos[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(g_.))^(p_)*((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_), x_Symbol] :> Simp[(-(g*C
      os[e + f*x])^(p + 1))*(a + b*Sin[e + f*x])^m*(Sin[e + f*x]/(f*g*(p + 1))), x] + Simp[1/(g^2*(p + 1))   Int[(g*
      Cos[e + f*x])^(p + 2)*(a + b*Sin[e + f*x])^(m - 1)*(a*(p + 2) + b*(m + p + 2)*Sin[e + f*x]), x], x] /; FreeQ[{
      a, b, e, f, g}, x] && NeQ[a^2 - b^2, 0] && LtQ[0, m, 1] && LtQ[p, -1] && (IntegersQ[2*m, 2*p] || IntegerQ[m])

3170. Int[(cos[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(g_.))^(p_)*((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_), x_Symbol] :> Simp[(-(g*C
      os[e + f*x])^(p + 1))*(a + b*Sin[e + f*x])^(m - 1)*((b + a*Sin[e + f*x])/(f*g*(p + 1))), x] + Simp[1/(g^2*(p +
      1))   Int[(g*Cos[e + f*x])^(p + 2)*(a + b*Sin[e + f*x])^(m - 2)*(b^2*(m - 1) + a^2*(p + 2) + a*b*(m + p + 1)*
      Sin[e + f*x]), x], x] /; FreeQ[{a, b, e, f, g}, x] && NeQ[a^2 - b^2, 0] && GtQ[m, 1] && LtQ[p, -1] && (Integer
      sQ[2*m, 2*p] || IntegerQ[m])

3171. Int[(cos[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(g_.))^(p_)*((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_), x_Symbol] :> Simp[(-b)*(
      g*Cos[e + f*x])^(p + 1)*((a + b*Sin[e + f*x])^(m - 1)/(f*g*(m + p))), x] + Simp[1/(m + p)   Int[(g*Cos[e + f*x
      ])^p*(a + b*Sin[e + f*x])^(m - 2)*(b^2*(m - 1) + a^2*(m + p) + a*b*(2*m + p - 1)*Sin[e + f*x]), x], x] /; Free
      Q[{a, b, e, f, g, p}, x] && NeQ[a^2 - b^2, 0] && GtQ[m, 1] && NeQ[m + p, 0] && (IntegersQ[2*m, 2*p] || Integer
      Q[m])

3172. Int[(cos[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(g_.))^(p_)*((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_), x_Symbol] :> Simp[g*(g*C
      os[e + f*x])^(p - 1)*((a + b*Sin[e + f*x])^(m + 1)/(b*f*(m + 1))), x] + Simp[g^2*((p - 1)/(b*(m + 1)))   Int[(
      g*Cos[e + f*x])^(p - 2)*(a + b*Sin[e + f*x])^(m + 1)*Sin[e + f*x], x], x] /; FreeQ[{a, b, e, f, g}, x] && NeQ[
      a^2 - b^2, 0] && LtQ[m, -1] && GtQ[p, 1] && IntegersQ[2*m, 2*p]

3173. Int[(cos[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(g_.))^(p_)*((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_), x_Symbol] :> Simp[(-b)*(
      g*Cos[e + f*x])^(p + 1)*((a + b*Sin[e + f*x])^(m + 1)/(f*g*(a^2 - b^2)*(m + 1))), x] + Simp[1/((a^2 - b^2)*(m
      + 1))   Int[(g*Cos[e + f*x])^p*(a + b*Sin[e + f*x])^(m + 1)*(a*(m + 1) - b*(m + p + 2)*Sin[e + f*x]), x], x] /
      ; FreeQ[{a, b, e, f, g, p}, x] && NeQ[a^2 - b^2, 0] && LtQ[m, -1] && IntegersQ[2*m, 2*p]

3174. Int[(cos[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(g_.))^(p_)*((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_), x_Symbol] :> Simp[g*(g*C
      os[e + f*x])^(p - 1)*((a + b*Sin[e + f*x])^(m + 1)/(b*f*(m + p))), x] + Simp[g^2*((p - 1)/(b*(m + p)))   Int[(
      g*Cos[e + f*x])^(p - 2)*(a + b*Sin[e + f*x])^m*(b + a*Sin[e + f*x]), x], x] /; FreeQ[{a, b, e, f, g, m}, x] &&
      NeQ[a^2 - b^2, 0] && GtQ[p, 1] && NeQ[m + p, 0] && IntegersQ[2*m, 2*p]

3175. Int[(cos[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(g_.))^(p_)*((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_), x_Symbol] :> Simp[(g*Cos
      [e + f*x])^(p + 1)*(a + b*Sin[e + f*x])^(m + 1)*((b - a*Sin[e + f*x])/(f*g*(a^2 - b^2)*(p + 1))), x] + Simp[1/
      (g^2*(a^2 - b^2)*(p + 1))   Int[(g*Cos[e + f*x])^(p + 2)*(a + b*Sin[e + f*x])^m*(a^2*(p + 2) - b^2*(m + p + 2)
      + a*b*(m + p + 3)*Sin[e + f*x]), x], x] /; FreeQ[{a, b, e, f, g, m}, x] && NeQ[a^2 - b^2, 0] && LtQ[p, -1] &&
      IntegersQ[2*m, 2*p]

3176. Int[1/(Sqrt[cos[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(g_.)]*Sqrt[(a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]]), x_Symbol] :> Simp[2*Sq
      rt[2]*Sqrt[g*Cos[e + f*x]]*(Sqrt[(a + b*Sin[e + f*x])/((a - b)*(1 - Sin[e + f*x]))]/(f*g*Sqrt[a + b*Sin[e + f*
      x]]*Sqrt[(1 + Cos[e + f*x] + Sin[e + f*x])/(1 + Cos[e + f*x] - Sin[e + f*x])]))   Subst[Int[1/Sqrt[1 + (a + b)
      *(x^4/(a - b))], x], x, Sqrt[(1 + Cos[e + f*x] + Sin[e + f*x])/(1 + Cos[e + f*x] - Sin[e + f*x])]], x] /; Free
      Q[{a, b, e, f, g}, x] && NeQ[a^2 - b^2, 0]

3177. Int[(cos[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(g_.))^(p_)*((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_), x_Symbol] :> Simp[g*(g*C
      os[e + f*x])^(p - 1)*(1 - Sin[e + f*x])*(a + b*Sin[e + f*x])^(m + 1)*(((-(a - b))*((1 - Sin[e + f*x])/((a + b)
      *(1 + Sin[e + f*x]))))^(m/2)/(f*(a + b)*(m + 1)))*Hypergeometric2F1[m + 1, m/2 + 1, m + 2, 2*((a + b*Sin[e + f
      *x])/((a + b)*(1 + Sin[e + f*x])))], x] /; FreeQ[{a, b, e, f, g, m, p}, x] && NeQ[a^2 - b^2, 0] && EqQ[m + p +
      1, 0]

3178. Int[(cos[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(g_.))^(p_)*((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_), x_Symbol] :> Simp[(g*Cos
      [e + f*x])^(p + 1)*((a + b*Sin[e + f*x])^(m + 1)/(f*g*(a - b)*(p + 1))), x] + Simp[a/(g^2*(a - b))   Int[(g*Co
      s[e + f*x])^(p + 2)*((a + b*Sin[e + f*x])^m/(1 - Sin[e + f*x])), x], x] /; FreeQ[{a, b, e, f, g, m, p}, x] &&
      NeQ[a^2 - b^2, 0] && EqQ[m + p + 2, 0]

3179. Int[(cos[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(g_.))^(p_)*((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_), x_Symbol] :> Simp[(g*Cos
      [e + f*x])^(p + 1)*((a + b*Sin[e + f*x])^(m + 1)/(f*g*(a - b)*(p + 1))), x] + (-Simp[b*((m + p + 2)/(g^2*(a -
      b)*(p + 1)))   Int[(g*Cos[e + f*x])^(p + 2)*(a + b*Sin[e + f*x])^m, x], x] + Simp[a/(g^2*(a - b))   Int[(g*Cos
      [e + f*x])^(p + 2)*((a + b*Sin[e + f*x])^m/(1 - Sin[e + f*x])), x], x]) /; FreeQ[{a, b, e, f, g, m, p}, x] &&
      NeQ[a^2 - b^2, 0] && ILtQ[m + p + 2, 0]

3180. Int[Sqrt[cos[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(g_.)]/((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]), x_Symbol] :> With[{q = Rt[-a^2
      + b^2, 2]}, Simp[a*(g/(2*b))   Int[1/(Sqrt[g*Cos[e + f*x]]*(q + b*Cos[e + f*x])), x], x] + (-Simp[a*(g/(2*b))
      Int[1/(Sqrt[g*Cos[e + f*x]]*(q - b*Cos[e + f*x])), x], x] + Simp[b*(g/f)   Subst[Int[Sqrt[x]/(g^2*(a^2 - b^
      2) + b^2*x^2), x], x, g*Cos[e + f*x]], x])] /; FreeQ[{a, b, e, f, g}, x] && NeQ[a^2 - b^2, 0]

3181. Int[1/(Sqrt[cos[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(g_.)]*((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])), x_Symbol] :> With[{q = Rt[
      -a^2 + b^2, 2]}, Simp[-a/(2*q)   Int[1/(Sqrt[g*Cos[e + f*x]]*(q + b*Cos[e + f*x])), x], x] + (Simp[b*(g/f)   S
      ubst[Int[1/(Sqrt[x]*(g^2*(a^2 - b^2) + b^2*x^2)), x], x, g*Cos[e + f*x]], x] - Simp[a/(2*q)   Int[1/(Sqrt[g*Co
      s[e + f*x]]*(q - b*Cos[e + f*x])), x], x])] /; FreeQ[{a, b, e, f, g}, x] && NeQ[a^2 - b^2, 0]

3182. Int[(cos[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(g_.))^(p_)*((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_), x_Symbol] :> Simp[g*(g*C
      os[e + f*x])^(p - 1)*((a + b*Sin[e + f*x])^(m + 1)/(b*f*(m + p)*((-b)*((1 - Sin[e + f*x])/(a + b*Sin[e + f*x])
      ))^((p - 1)/2)*(b*((1 + Sin[e + f*x])/(a + b*Sin[e + f*x])))^((p - 1)/2)))*AppellF1[-p - m, (1 - p)/2, (1 - p)
      /2, 1 - p - m, (a + b)/(a + b*Sin[e + f*x]), (a - b)/(a + b*Sin[e + f*x])], x] /; FreeQ[{a, b, e, f, g, p}, x]
      && NeQ[a^2 - b^2, 0] && ILtQ[m, 0] &&  !IGtQ[m + p + 1, 0]

3183. Int[(cos[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(g_.))^(p_)*((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_), x_Symbol] :> Simp[g*((g*
      Cos[e + f*x])^(p - 1)/(f*(1 - (a + b*Sin[e + f*x])/(a - b))^((p - 1)/2)*(1 - (a + b*Sin[e + f*x])/(a + b))^((p
      - 1)/2)))   Subst[Int[(-b/(a - b) - b*(x/(a - b)))^((p - 1)/2)*(b/(a + b) - b*(x/(a + b)))^((p - 1)/2)*(a + b
      *x)^m, x], x, Sin[e + f*x]], x] /; FreeQ[{a, b, e, f, g, m, p}, x] && NeQ[a^2 - b^2, 0] &&  !IGtQ[m, 0]

3184. Int[((g_.)*sec[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(p_)*((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_.), x_Symbol] :> Simp[g^(2*
      IntPart[p])*(g*Cos[e + f*x])^FracPart[p]*(g*Sec[e + f*x])^FracPart[p]   Int[(a + b*Sin[e + f*x])^m/(g*Cos[e +
      f*x])^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, e, f, g, m, p}, x] &&  !IntegerQ[p]

3185. Int[((g_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(p_.)/((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]), x_Symbol] :> Simp[1/a   Int[
      Sec[e + f*x]^2*(g*Tan[e + f*x])^p, x], x] - Simp[1/(b*g)   Int[Sec[e + f*x]*(g*Tan[e + f*x])^(p + 1), x], x] /
      ; FreeQ[{a, b, e, f, g, p}, x] && EqQ[a^2 - b^2, 0] && NeQ[p, -1]

3186. Int[((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)]^(p_.), x_Symbol] :> Simp[1/f   Subst[
      Int[x^p*((a + x)^(m - (p + 1)/2)/(a - x)^((p + 1)/2)), x], x, b*Sin[e + f*x]], x] /; FreeQ[{a, b, e, f, m}, x]
      && EqQ[a^2 - b^2, 0] && IntegerQ[(p + 1)/2]

3187. Int[((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)]^(p_), x_Symbol] :> Simp[a^p   Int[Sin
      [e + f*x]^p/(a - b*Sin[e + f*x])^m, x], x] /; FreeQ[{a, b, e, f}, x] && EqQ[a^2 - b^2, 0] && IntegersQ[m, p] &
      & EqQ[p, 2*m]

3188. Int[((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)]^(p_), x_Symbol] :> Simp[a^p   Int[Expa
      ndIntegrand[Sin[e + f*x]^p*((a + b*Sin[e + f*x])^(m - p/2)/(a - b*Sin[e + f*x])^(p/2)), x], x], x] /; FreeQ[{a
      , b, e, f}, x] && EqQ[a^2 - b^2, 0] && IntegersQ[m, p/2] && (LtQ[p, 0] || GtQ[m - p/2, 0])

3189. Int[((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_.)*((g_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(p_.), x_Symbol] :> Int[Expan
      dIntegrand[(g*Tan[e + f*x])^p, (a + b*Sin[e + f*x])^m, x], x] /; FreeQ[{a, b, e, f, g, p}, x] && EqQ[a^2 - b^2
      , 0] && IGtQ[m, 0]

3190. Int[((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_)*((g_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(p_.), x_Symbol] :> Simp[a^(2*
      m)   Int[ExpandIntegrand[(g*Tan[e + f*x])^p/Sec[e + f*x]^m, (a*Sec[e + f*x] - b*Tan[e + f*x])^(-m), x], x], x]
      /; FreeQ[{a, b, e, f, g, p}, x] && EqQ[a^2 - b^2, 0] && ILtQ[m, 0]

3191. Int[((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2, x_Symbol] :> Simp[b*((a + b*Sin[e +
      f*x])^m/(a*f*(2*m - 1)*Cos[e + f*x])), x] - Simp[1/(a^2*(2*m - 1))   Int[(a + b*Sin[e + f*x])^(m + 1)*((a*m -
      b*(2*m - 1)*Sin[e + f*x])/Cos[e + f*x]^2), x], x] /; FreeQ[{a, b, e, f}, x] && EqQ[a^2 - b^2, 0] &&  !Integer
      Q[m] && LtQ[m, 0]

3192. Int[((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2, x_Symbol] :> Simp[-(a + b*Sin[e + f
      *x])^(m + 1)/(b*f*m*Cos[e + f*x]), x] + Simp[1/(b*m)   Int[(a + b*Sin[e + f*x])^m*((b*(m + 1) + a*Sin[e + f*x]
      )/Cos[e + f*x]^2), x], x] /; FreeQ[{a, b, e, f, m}, x] && EqQ[a^2 - b^2, 0] &&  !IntegerQ[m] &&  !LtQ[m, 0]

3193. Int[((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)]^4, x_Symbol] :> Int[(a + b*Sin[e + f*x
      ])^m, x] - Int[(a + b*Sin[e + f*x])^m*((1 - 2*Sin[e + f*x]^2)/Cos[e + f*x]^4), x] /; FreeQ[{a, b, e, f, m}, x]
      && EqQ[a^2 - b^2, 0] && IntegerQ[m - 1/2]

3194. Int[((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_)/tan[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2, x_Symbol] :> Simp[-(a + b*Sin[e + f
      *x])^(m + 1)/(a*f*Tan[e + f*x]), x] + Simp[1/b^2   Int[(a + b*Sin[e + f*x])^(m + 1)*((b*m - a*(m + 1)*Sin[e +
      f*x])/Sin[e + f*x]), x], x] /; FreeQ[{a, b, e, f}, x] && EqQ[a^2 - b^2, 0] && IntegerQ[m - 1/2] && LtQ[m, -1]

3195. Int[((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_.)/tan[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2, x_Symbol] :> Simp[-(a + b*Sin[e +
      f*x])^m/(f*Tan[e + f*x]), x] + Simp[1/a   Int[(a + b*Sin[e + f*x])^m*((b*m - a*(m + 1)*Sin[e + f*x])/Sin[e + f
      *x]), x], x] /; FreeQ[{a, b, e, f, m}, x] && EqQ[a^2 - b^2, 0] && IntegerQ[m - 1/2] &&  !LtQ[m, -1]

3196. Int[((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_)/tan[(e_.) + (f_.)*(x_)]^4, x_Symbol] :> Simp[-2/(a*b)   Int[(a
      + b*Sin[e + f*x])^(m + 2)/Sin[e + f*x]^3, x], x] + Simp[1/a^2   Int[(a + b*Sin[e + f*x])^(m + 2)*((1 + Sin[e
      + f*x]^2)/Sin[e + f*x]^4), x], x] /; FreeQ[{a, b, e, f}, x] && EqQ[a^2 - b^2, 0] && IntegerQ[m - 1/2] && LtQ[m
      , -1]

3197. Int[((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_)/tan[(e_.) + (f_.)*(x_)]^4, x_Symbol] :> Int[(a + b*Sin[e + f*x
      ])^m, x] + Int[(a + b*Sin[e + f*x])^m*((1 - 2*Sin[e + f*x]^2)/Sin[e + f*x]^4), x] /; FreeQ[{a, b, e, f, m}, x]
      && EqQ[a^2 - b^2, 0] && IntegerQ[m - 1/2] &&  !LtQ[m, -1]

3198. Int[((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)]^(p_), x_Symbol] :> Simp[Sqrt[a + b*Sin
      [e + f*x]]*(Sqrt[a - b*Sin[e + f*x]]/(b*f*Cos[e + f*x]))   Subst[Int[x^p*((a + x)^(m - (p + 1)/2)/(a - x)^((p
      + 1)/2)), x], x, b*Sin[e + f*x]], x] /; FreeQ[{a, b, e, f, m}, x] && EqQ[a^2 - b^2, 0] &&  !IntegerQ[m] && Int
      egerQ[p/2]

3199. Int[((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_)*((g_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(p_), x_Symbol] :> Simp[(g*Tan
      [e + f*x])^(p + 1)*(a - b*Sin[e + f*x])^((p + 1)/2)*((a + b*Sin[e + f*x])^((p + 1)/2)/(f*g*(b*Sin[e + f*x])^(p
      + 1)))   Subst[Int[x^p*((a + x)^(m - (p + 1)/2)/(a - x)^((p + 1)/2)), x], x, b*Sin[e + f*x]], x] /; FreeQ[{a,
      b, e, f, g, m, p}, x] && EqQ[a^2 - b^2, 0] &&  !IntegerQ[m] &&  !IntegerQ[p]

3200. Int[((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)]^(p_.), x_Symbol] :> Simp[1/f   Subst[
      Int[(x^p*(a + x)^m)/(b^2 - x^2)^((p + 1)/2), x], x, b*Sin[e + f*x]], x] /; FreeQ[{a, b, e, f, m}, x] && NeQ[a^
      2 - b^2, 0] && IntegerQ[(p + 1)/2]

3201. Int[((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_.)*((g_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(p_.), x_Symbol] :> Int[Expan
      dIntegrand[(g*Tan[e + f*x])^p, (a + b*Sin[e + f*x])^m, x], x] /; FreeQ[{a, b, e, f, g, p}, x] && NeQ[a^2 - b^2
      , 0] && IGtQ[m, 0]

3202. Int[((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_)/tan[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2, x_Symbol] :> Int[(a + b*Sin[e + f*x
      ])^m*((1 - Sin[e + f*x]^2)/Sin[e + f*x]^2), x] /; FreeQ[{a, b, e, f, m}, x] && NeQ[a^2 - b^2, 0]

3203. Int[((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_)/tan[(e_.) + (f_.)*(x_)]^4, x_Symbol] :> Simp[(-Cos[e + f*x])*(
      (a + b*Sin[e + f*x])^(m + 1)/(3*a*f*Sin[e + f*x]^3)), x] + (-Simp[(3*a^2 + b^2*(m - 2))*Cos[e + f*x]*((a + b*S
      in[e + f*x])^(m + 1)/(3*a^2*b*f*(m + 1)*Sin[e + f*x]^2)), x] - Simp[1/(3*a^2*b*(m + 1))   Int[((a + b*Sin[e +
      f*x])^(m + 1)/Sin[e + f*x]^3)*Simp[6*a^2 - b^2*(m - 1)*(m - 2) + a*b*(m + 1)*Sin[e + f*x] - (3*a^2 - b^2*m*(m
      - 2))*Sin[e + f*x]^2, x], x], x]) /; FreeQ[{a, b, e, f}, x] && NeQ[a^2 - b^2, 0] && LtQ[m, -1] && IntegerQ[2*m
      ]

3204. Int[((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_)/tan[(e_.) + (f_.)*(x_)]^4, x_Symbol] :> Simp[(-Cos[e + f*x])*(
      (a + b*Sin[e + f*x])^(m + 1)/(3*a*f*Sin[e + f*x]^3)), x] + (-Simp[b*(m - 2)*Cos[e + f*x]*((a + b*Sin[e + f*x])
      ^(m + 1)/(6*a^2*f*Sin[e + f*x]^2)), x] - Simp[1/(6*a^2)   Int[((a + b*Sin[e + f*x])^m/Sin[e + f*x]^2)*Simp[8*a
      ^2 - b^2*(m - 1)*(m - 2) + a*b*m*Sin[e + f*x] - (6*a^2 - b^2*m*(m - 2))*Sin[e + f*x]^2, x], x], x]) /; FreeQ[{
      a, b, e, f, m}, x] && NeQ[a^2 - b^2, 0] &&  !LtQ[m, -1] && IntegerQ[2*m]

3205. Int[((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_)/tan[(e_.) + (f_.)*(x_)]^6, x_Symbol] :> Simp[(-Cos[e + f*x])*(
      (a + b*Sin[e + f*x])^(m + 1)/(5*a*f*Sin[e + f*x]^5)), x] + (Simp[Cos[e + f*x]*((a + b*Sin[e + f*x])^(m + 1)/(b
      *f*m*Sin[e + f*x]^2)), x] + Simp[a*Cos[e + f*x]*((a + b*Sin[e + f*x])^(m + 1)/(b^2*f*m*(m - 1)*Sin[e + f*x]^3)
      ), x] - Simp[b*(m - 4)*Cos[e + f*x]*((a + b*Sin[e + f*x])^(m + 1)/(20*a^2*f*Sin[e + f*x]^4)), x] + Simp[1/(20*
      a^2*b^2*m*(m - 1))   Int[((a + b*Sin[e + f*x])^m/Sin[e + f*x]^4)*Simp[60*a^4 - 44*a^2*b^2*(m - 1)*m + b^4*m*(m
      - 1)*(m - 3)*(m - 4) + a*b*m*(20*a^2 - b^2*m*(m - 1))*Sin[e + f*x] - (40*a^4 + b^4*m*(m - 1)*(m - 2)*(m - 4)
      - 20*a^2*b^2*(m - 1)*(2*m + 1))*Sin[e + f*x]^2, x], x], x]) /; FreeQ[{a, b, e, f, m}, x] && NeQ[a^2 - b^2, 0]
      && NeQ[m, 1] && IntegerQ[2*m]

3206. Int[((g_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(p_)/((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]), x_Symbol] :> Simp[a/(a^2 - b^
      2)   Int[(g*Tan[e + f*x])^p/Sin[e + f*x]^2, x], x] + (-Simp[b*(g/(a^2 - b^2))   Int[(g*Tan[e + f*x])^(p - 1)/C
      os[e + f*x], x], x] - Simp[a^2*(g^2/(a^2 - b^2))   Int[(g*Tan[e + f*x])^(p - 2)/(a + b*Sin[e + f*x]), x], x])
      /; FreeQ[{a, b, e, f, g}, x] && NeQ[a^2 - b^2, 0] && IntegersQ[2*p] && GtQ[p, 1]

3207. Int[((g_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(p_)/((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]), x_Symbol] :> Simp[1/a   Int[(
      g*Tan[e + f*x])^p/Cos[e + f*x]^2, x], x] + (-Simp[b/(a^2*g)   Int[(g*Tan[e + f*x])^(p + 1)/Cos[e + f*x], x], x
      ] - Simp[(a^2 - b^2)/(a^2*g^2)   Int[(g*Tan[e + f*x])^(p + 2)/(a + b*Sin[e + f*x]), x], x]) /; FreeQ[{a, b, e,
      f, g}, x] && NeQ[a^2 - b^2, 0] && IntegersQ[2*p] && LtQ[p, -1]

3208. Int[Sqrt[(g_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)]]/((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]), x_Symbol] :> Simp[Sqrt[Cos[e +
      f*x]]*(Sqrt[g*Tan[e + f*x]]/Sqrt[Sin[e + f*x]])   Int[Sqrt[Sin[e + f*x]]/(Sqrt[Cos[e + f*x]]*(a + b*Sin[e + f
      *x])), x], x] /; FreeQ[{a, b, e, f, g}, x] && NeQ[a^2 - b^2, 0]

3209. Int[1/(((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])*Sqrt[(g_)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)]]), x_Symbol] :> Simp[Sqrt[Sin[
      e + f*x]]/(Sqrt[Cos[e + f*x]]*Sqrt[g*Tan[e + f*x]])   Int[Sqrt[Cos[e + f*x]]/(Sqrt[Sin[e + f*x]]*(a + b*Sin[e
      + f*x])), x], x] /; FreeQ[{a, b, e, f, g}, x] && NeQ[a^2 - b^2, 0]

3210. Int[((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)]^(p_), x_Symbol] :> Int[ExpandIntegrand
      [Sin[e + f*x]^p*((a + b*Sin[e + f*x])^m/(1 - Sin[e + f*x]^2)^(p/2)), x], x] /; FreeQ[{a, b, e, f}, x] && NeQ[a
      ^2 - b^2, 0] && IntegersQ[m, p/2]

3211. Int[((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_.)*((g_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(p_.), x_Symbol] :> Unintegra
      ble[(a + b*Sin[e + f*x])^m*(g*Tan[e + f*x])^p, x] /; FreeQ[{a, b, e, f, g, m, p}, x]

3212. Int[(cot[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(g_.))^(p_)*((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_.), x_Symbol] :> Simp[g^(2*
      IntPart[p])*(g*Cot[e + f*x])^FracPart[p]*(g*Tan[e + f*x])^FracPart[p]   Int[(a + b*Sin[e + f*x])^m/(g*Tan[e +
      f*x])^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, e, f, g, m, p}, x] &&  !IntegerQ[p]

3213. Int[((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])*((c_.) + (d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]), x_Symbol] :> Simp[(2*a*c +
      b*d)*(x/2), x] + (-Simp[(b*c + a*d)*(Cos[e + f*x]/f), x] - Simp[b*d*Cos[e + f*x]*(Sin[e + f*x]/(2*f)), x]) /;
      FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0]

3214. Int[((a_.) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])/((c_.) + (d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]), x_Symbol] :> Simp[b*(x/d)
      , x] - Simp[(b*c - a*d)/d   Int[1/(c + d*Sin[e + f*x]), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && NeQ[b*c - a*
      d, 0]

3215. Int[((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_.)*((c_) + (d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_.), x_Symbol] :> Si
      mp[a^m*c^m   Int[Cos[e + f*x]^(2*m)*(c + d*Sin[e + f*x])^(n - m), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, n}, x] &&
      EqQ[b*c + a*d, 0] && EqQ[a^2 - b^2, 0] && IntegerQ[m] &&  !(IntegerQ[n] && ((LtQ[m, 0] && GtQ[n, 0]) || LtQ[0
      , n, m] || LtQ[m, n, 0]))

3216. Int[Sqrt[(a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]]/Sqrt[(c_) + (d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]], x_Symbol] :> Simp[a
      *c*(Cos[e + f*x]/(Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]]))   Int[Cos[e + f*x]/(c + d*Sin[e + f*x]),
      x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && EqQ[b*c + a*d, 0] && EqQ[a^2 - b^2, 0]

3217. Int[Sqrt[(a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]]*((c_) + (d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_), x_Symbol] :> Simp[
      -2*b*Cos[e + f*x]*((c + d*Sin[e + f*x])^n/(f*(2*n + 1)*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]])), x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e,
      f, n}, x] && EqQ[b*c + a*d, 0] && EqQ[a^2 - b^2, 0] && NeQ[n, -2^(-1)]

3218. Int[((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_)*((c_) + (d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_), x_Symbol] :> Simp
      [-2*b*Cos[e + f*x]*(a + b*Sin[e + f*x])^(m - 1)*((c + d*Sin[e + f*x])^n/(f*(2*n + 1))), x] - Simp[b*((2*m - 1)
      /(d*(2*n + 1)))   Int[(a + b*Sin[e + f*x])^(m - 1)*(c + d*Sin[e + f*x])^(n + 1), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d,
      e, f}, x] && EqQ[b*c + a*d, 0] && EqQ[a^2 - b^2, 0] && IGtQ[m - 1/2, 0] && LtQ[n, -1] &&  !(ILtQ[m + n, 0] &&
      GtQ[2*m + n + 1, 0])

3219. Int[((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_)*((c_) + (d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_), x_Symbol] :> Simp
      [(-b)*Cos[e + f*x]*(a + b*Sin[e + f*x])^(m - 1)*((c + d*Sin[e + f*x])^n/(f*(m + n))), x] + Simp[a*((2*m - 1)/(
      m + n))   Int[(a + b*Sin[e + f*x])^(m - 1)*(c + d*Sin[e + f*x])^n, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, n}, x] &
      & EqQ[b*c + a*d, 0] && EqQ[a^2 - b^2, 0] && IGtQ[m - 1/2, 0] &&  !LtQ[n, -1] &&  !(IGtQ[n - 1/2, 0] && LtQ[n,
      m]) &&  !(ILtQ[m + n, 0] && GtQ[2*m + n + 1, 0])

3220. Int[1/(Sqrt[(a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]]*Sqrt[(c_) + (d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]]), x_Symbol] :> Si
      mp[Cos[e + f*x]/(Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])   Int[1/Cos[e + f*x], x], x] /; FreeQ[{a,
      b, c, d, e, f}, x] && EqQ[b*c + a*d, 0] && EqQ[a^2 - b^2, 0]

3221. Int[((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_)*((c_) + (d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_), x_Symbol] :> Simp
      [b*Cos[e + f*x]*(a + b*Sin[e + f*x])^m*((c + d*Sin[e + f*x])^n/(a*f*(2*m + 1))), x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f
      , m, n}, x] && EqQ[b*c + a*d, 0] && EqQ[a^2 - b^2, 0] && EqQ[m + n + 1, 0] && NeQ[m, -2^(-1)]

3222. Int[((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_)*((c_) + (d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_), x_Symbol] :> Simp
      [b*Cos[e + f*x]*(a + b*Sin[e + f*x])^m*((c + d*Sin[e + f*x])^n/(a*f*(2*m + 1))), x] + Simp[(m + n + 1)/(a*(2*m
      + 1))   Int[(a + b*Sin[e + f*x])^(m + 1)*(c + d*Sin[e + f*x])^n, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m, n}, x]
      && EqQ[b*c + a*d, 0] && EqQ[a^2 - b^2, 0] && ILtQ[Simplify[m + n + 1], 0] && NeQ[m, -2^(-1)] && (SumSimplerQ[
      m, 1] ||  !SumSimplerQ[n, 1])

3223. Int[((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_)*((c_) + (d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_), x_Symbol] :> Simp
      [b*Cos[e + f*x]*(a + b*Sin[e + f*x])^m*((c + d*Sin[e + f*x])^n/(a*f*(2*m + 1))), x] + Simp[(m + n + 1)/(a*(2*m
      + 1))   Int[(a + b*Sin[e + f*x])^(m + 1)*(c + d*Sin[e + f*x])^n, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, n}, x] &&
      EqQ[b*c + a*d, 0] && EqQ[a^2 - b^2, 0] && LtQ[m, -1] &&  !LtQ[m, n, -1] && IntegersQ[2*m, 2*n]

3224. Int[((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_)*((c_) + (d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_), x_Symbol] :> Simp
      [a^IntPart[m]*c^IntPart[m]*(a + b*Sin[e + f*x])^FracPart[m]*((c + d*Sin[e + f*x])^FracPart[m]/Cos[e + f*x]^(2*
      FracPart[m]))   Int[Cos[e + f*x]^(2*m)*(c + d*Sin[e + f*x])^(n - m), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m, n},
      x] && EqQ[b*c + a*d, 0] && EqQ[a^2 - b^2, 0] && (FractionQ[m] ||  !FractionQ[n])

3225. Int[((a_.) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^2/((c_.) + (d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]), x_Symbol] :> Simp[(-b^2
      )*(Cos[e + f*x]/(d*f)), x] + Simp[1/d   Int[Simp[a^2*d - b*(b*c - 2*a*d)*Sin[e + f*x], x]/(c + d*Sin[e + f*x])
      , x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0]

3226. Int[1/(((a_.) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])*((c_.) + (d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])), x_Symbol] :> Simp[b/(
      b*c - a*d)   Int[1/(a + b*Sin[e + f*x]), x], x] - Simp[d/(b*c - a*d)   Int[1/(c + d*Sin[e + f*x]), x], x] /; F
      reeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0]

3227. Int[((b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_)*((c_) + (d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]), x_Symbol] :> Simp[c   Int[(b*
      Sin[e + f*x])^m, x], x] + Simp[d/b   Int[(b*Sin[e + f*x])^(m + 1), x], x] /; FreeQ[{b, c, d, e, f, m}, x]

3228. Int[((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_)*((c_) + (d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]), x_Symbol] :> Simp[(-d)
      *Cos[e + f*x]*((a + b*Sin[e + f*x])^m/(f*(m + 1))), x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0]
      && EqQ[a^2 - b^2, 0] && EqQ[a*d*m + b*c*(m + 1), 0]

3229. Int[((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_)*((c_.) + (d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]), x_Symbol] :> Simp[(b*
      c - a*d)*Cos[e + f*x]*((a + b*Sin[e + f*x])^m/(a*f*(2*m + 1))), x] + Simp[(a*d*m + b*c*(m + 1))/(a*b*(2*m + 1)
      )   Int[(a + b*Sin[e + f*x])^(m + 1), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && EqQ[a^2 -
      b^2, 0] && LtQ[m, -2^(-1)]

3230. Int[((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_)*((c_.) + (d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]), x_Symbol] :> Simp[(-d
      )*Cos[e + f*x]*((a + b*Sin[e + f*x])^m/(f*(m + 1))), x] + Simp[(a*d*m + b*c*(m + 1))/(b*(m + 1))   Int[(a + b*
      Sin[e + f*x])^m, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && EqQ[a^2 - b^2, 0] &&  !LtQ[
      m, -2^(-1)]

3231. Int[((c_.) + (d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])/Sqrt[(a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]], x_Symbol] :> Simp[(b*c
      - a*d)/b   Int[1/Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]], x], x] + Simp[d/b   Int[Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]], x], x] /; FreeQ[
      {a, b, c, d, e, f}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && NeQ[a^2 - b^2, 0]

3232. Int[((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_)*((c_.) + (d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]), x_Symbol] :> Simp[(-d
      )*Cos[e + f*x]*((a + b*Sin[e + f*x])^m/(f*(m + 1))), x] + Simp[1/(m + 1)   Int[(a + b*Sin[e + f*x])^(m - 1)*Si
      mp[b*d*m + a*c*(m + 1) + (a*d*m + b*c*(m + 1))*Sin[e + f*x], x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && NeQ
      [b*c - a*d, 0] && NeQ[a^2 - b^2, 0] && GtQ[m, 0] && IntegerQ[2*m]

3233. Int[((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_)*((c_.) + (d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]), x_Symbol] :> Simp[(-(
      b*c - a*d))*Cos[e + f*x]*((a + b*Sin[e + f*x])^(m + 1)/(f*(m + 1)*(a^2 - b^2))), x] + Simp[1/((m + 1)*(a^2 - b
      ^2))   Int[(a + b*Sin[e + f*x])^(m + 1)*Simp[(a*c - b*d)*(m + 1) - (b*c - a*d)*(m + 2)*Sin[e + f*x], x], x], x
      ] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && NeQ[a^2 - b^2, 0] && LtQ[m, -1] && IntegerQ[2*m]

3234. Int[((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_)*((c_) + (d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]), x_Symbol] :> Simp[c*(C
      os[e + f*x]/(f*Sqrt[1 + Sin[e + f*x]]*Sqrt[1 - Sin[e + f*x]]))   Subst[Int[(a + b*x)^m*(Sqrt[1 + (d/c)*x]/Sqrt
      [1 - (d/c)*x]), x], x, Sin[e + f*x]], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && NeQ[a^2 -
      b^2, 0] &&  !IntegerQ[2*m] && EqQ[c^2 - d^2, 0]

3235. Int[((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_)*((c_.) + (d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]), x_Symbol] :> Simp[(b*
      c - a*d)/b   Int[(a + b*Sin[e + f*x])^m, x], x] + Simp[d/b   Int[(a + b*Sin[e + f*x])^(m + 1), x], x] /; FreeQ
      [{a, b, c, d, e, f, m}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && NeQ[a^2 - b^2, 0]

3236. Int[((d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_.)*((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_.), x_Symbol] :> Int[Expan
      dTrig[(a + b*sin[e + f*x])^m*(d*sin[e + f*x])^n, x], x] /; FreeQ[{a, b, d, e, f, n}, x] && EqQ[a^2 - b^2, 0] &
      & IGtQ[m, 0] && RationalQ[n]

3237. Int[sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2*((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_), x_Symbol] :> Simp[b*Cos[e + f*x]*((
      a + b*Sin[e + f*x])^m/(a*f*(2*m + 1))), x] - Simp[1/(a^2*(2*m + 1))   Int[(a + b*Sin[e + f*x])^(m + 1)*(a*m -
      b*(2*m + 1)*Sin[e + f*x]), x], x] /; FreeQ[{a, b, e, f}, x] && EqQ[a^2 - b^2, 0] && LtQ[m, -2^(-1)]

3238. Int[sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2*((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_), x_Symbol] :> Simp[(-Cos[e + f*x])*(
      (a + b*Sin[e + f*x])^(m + 1)/(b*f*(m + 2))), x] + Simp[1/(b*(m + 2))   Int[(a + b*Sin[e + f*x])^m*(b*(m + 1) -
      a*Sin[e + f*x]), x], x] /; FreeQ[{a, b, e, f, m}, x] && EqQ[a^2 - b^2, 0] &&  !LtQ[m, -2^(-1)]

3239. Int[((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_)*((c_) + (d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^2, x_Symbol] :> Simp[(b
      *c - a*d)*Cos[e + f*x]*(a + b*Sin[e + f*x])^m*((c + d*Sin[e + f*x])/(a*f*(2*m + 1))), x] + Simp[1/(a*b*(2*m +
      1))   Int[(a + b*Sin[e + f*x])^(m + 1)*Simp[a*c*d*(m - 1) + b*(d^2 + c^2*(m + 1)) + d*(a*d*(m - 1) + b*c*(m +
      2))*Sin[e + f*x], x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && EqQ[a^2 - b^2, 0] && LtQ[
      m, -1]

3240. Int[((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_)*((c_) + (d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^2, x_Symbol] :> Simp[(-
      d^2)*Cos[e + f*x]*((a + b*Sin[e + f*x])^(m + 1)/(b*f*(m + 2))), x] + Simp[1/(b*(m + 2))   Int[(a + b*Sin[e + f
      *x])^m*Simp[b*(d^2*(m + 1) + c^2*(m + 2)) - d*(a*d - 2*b*c*(m + 2))*Sin[e + f*x], x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c
      , d, e, f, m}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && EqQ[a^2 - b^2, 0] &&  !LtQ[m, -1]

3241. Int[((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_)*((c_.) + (d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_), x_Symbol] :> Sim
      p[(-b^2)*(b*c - a*d)*Cos[e + f*x]*(a + b*Sin[e + f*x])^(m - 2)*((c + d*Sin[e + f*x])^(n + 1)/(d*f*(n + 1)*(b*c
      + a*d))), x] + Simp[b^2/(d*(n + 1)*(b*c + a*d))   Int[(a + b*Sin[e + f*x])^(m - 2)*(c + d*Sin[e + f*x])^(n +
      1)*Simp[a*c*(m - 2) - b*d*(m - 2*n - 4) - (b*c*(m - 1) - a*d*(m + 2*n + 1))*Sin[e + f*x], x], x], x] /; FreeQ[
      {a, b, c, d, e, f}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && EqQ[a^2 - b^2, 0] && NeQ[c^2 - d^2, 0] && GtQ[m, 1] && LtQ[n, -
      1] && (IntegersQ[2*m, 2*n] || IntegerQ[m + 1/2] || (IntegerQ[m] && EqQ[c, 0]))

3242. Int[((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_)*((c_.) + (d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_), x_Symbol] :> Sim
      p[(-b^2)*Cos[e + f*x]*(a + b*Sin[e + f*x])^(m - 2)*((c + d*Sin[e + f*x])^(n + 1)/(d*f*(m + n))), x] + Simp[1/(
      d*(m + n))   Int[(a + b*Sin[e + f*x])^(m - 2)*(c + d*Sin[e + f*x])^n*Simp[a*b*c*(m - 2) + b^2*d*(n + 1) + a^2*
      d*(m + n) - b*(b*c*(m - 1) - a*d*(3*m + 2*n - 2))*Sin[e + f*x], x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, n}, x]
      && NeQ[b*c - a*d, 0] && EqQ[a^2 - b^2, 0] && NeQ[c^2 - d^2, 0] && GtQ[m, 1] &&  !LtQ[n, -1] && (IntegersQ[2*m,
      2*n] || IntegerQ[m + 1/2] || (IntegerQ[m] && EqQ[c, 0]))

3243. Int[((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_)*((c_.) + (d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_), x_Symbol] :> Sim
      p[b*Cos[e + f*x]*(a + b*Sin[e + f*x])^m*((c + d*Sin[e + f*x])^n/(a*f*(2*m + 1))), x] - Simp[1/(a*b*(2*m + 1))
      Int[(a + b*Sin[e + f*x])^(m + 1)*(c + d*Sin[e + f*x])^(n - 1)*Simp[a*d*n - b*c*(m + 1) - b*d*(m + n + 1)*Sin
      [e + f*x], x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && EqQ[a^2 - b^2, 0] && NeQ[c^2 - d
      ^2, 0] && LtQ[m, -1] && LtQ[0, n, 1] && (IntegersQ[2*m, 2*n] || (IntegerQ[m] && EqQ[c, 0]))

3244. Int[((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_)*((c_.) + (d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_), x_Symbol] :> Sim
      p[(b*c - a*d)*Cos[e + f*x]*(a + b*Sin[e + f*x])^m*((c + d*Sin[e + f*x])^(n - 1)/(a*f*(2*m + 1))), x] + Simp[1/
      (a*b*(2*m + 1))   Int[(a + b*Sin[e + f*x])^(m + 1)*(c + d*Sin[e + f*x])^(n - 2)*Simp[b*(c^2*(m + 1) + d^2*(n -
      1)) + a*c*d*(m - n + 1) + d*(a*d*(m - n + 1) + b*c*(m + n))*Sin[e + f*x], x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e,
      f}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && EqQ[a^2 - b^2, 0] && NeQ[c^2 - d^2, 0] && LtQ[m, -1] && GtQ[n, 1] && (Integers
      Q[2*m, 2*n] || (IntegerQ[m] && EqQ[c, 0]))

3245. Int[((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_)*((c_.) + (d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_), x_Symbol] :> Sim
      p[b^2*Cos[e + f*x]*(a + b*Sin[e + f*x])^m*((c + d*Sin[e + f*x])^(n + 1)/(a*f*(2*m + 1)*(b*c - a*d))), x] + Sim
      p[1/(a*(2*m + 1)*(b*c - a*d))   Int[(a + b*Sin[e + f*x])^(m + 1)*(c + d*Sin[e + f*x])^n*Simp[b*c*(m + 1) - a*d
      *(2*m + n + 2) + b*d*(m + n + 2)*Sin[e + f*x], x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, n}, x] && NeQ[b*c - a*d,
      0] && EqQ[a^2 - b^2, 0] && NeQ[c^2 - d^2, 0] && LtQ[m, -1] &&  !GtQ[n, 0] && (IntegersQ[2*m, 2*n] || (Integer
      Q[m] && EqQ[c, 0]))

3246. Int[((c_.) + (d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_)/((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]), x_Symbol] :> Simp[(-(
      b*c - a*d))*Cos[e + f*x]*((c + d*Sin[e + f*x])^(n - 1)/(a*f*(a + b*Sin[e + f*x]))), x] - Simp[d/(a*b)   Int[(c
      + d*Sin[e + f*x])^(n - 2)*Simp[b*d*(n - 1) - a*c*n + (b*c*(n - 1) - a*d*n)*Sin[e + f*x], x], x], x] /; FreeQ[
      {a, b, c, d, e, f}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && EqQ[a^2 - b^2, 0] && NeQ[c^2 - d^2, 0] && GtQ[n, 1] && (Integer
      Q[2*n] || EqQ[c, 0])

3247. Int[((c_.) + (d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_)/((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]), x_Symbol] :> Simp[(-b
      ^2)*Cos[e + f*x]*((c + d*Sin[e + f*x])^(n + 1)/(a*f*(b*c - a*d)*(a + b*Sin[e + f*x]))), x] + Simp[d/(a*(b*c -
      a*d))   Int[(c + d*Sin[e + f*x])^n*(a*n - b*(n + 1)*Sin[e + f*x]), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && N
      eQ[b*c - a*d, 0] && EqQ[a^2 - b^2, 0] && NeQ[c^2 - d^2, 0] && LtQ[n, 0] && (IntegerQ[2*n] || EqQ[c, 0])

3248. Int[((c_.) + (d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_)/((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]), x_Symbol] :> Simp[(-b
      )*Cos[e + f*x]*((c + d*Sin[e + f*x])^n/(a*f*(a + b*Sin[e + f*x]))), x] + Simp[d*(n/(a*b))   Int[(c + d*Sin[e +
      f*x])^(n - 1)*(a - b*Sin[e + f*x]), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, n}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && EqQ[a^2
      - b^2, 0] && NeQ[c^2 - d^2, 0] && (IntegerQ[2*n] || EqQ[c, 0])

3249. Int[Sqrt[(a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]]*((c_.) + (d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_), x_Symbol] :> Simp
      [-2*b*Cos[e + f*x]*((c + d*Sin[e + f*x])^n/(f*(2*n + 1)*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]])), x] + Simp[2*n*((b*c + a*d)
      /(b*(2*n + 1)))   Int[Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]]*(c + d*Sin[e + f*x])^(n - 1), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f
      }, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && EqQ[a^2 - b^2, 0] && NeQ[c^2 - d^2, 0] && GtQ[n, 0] && IntegerQ[2*n]

3250. Int[Sqrt[(a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]]/((c_.) + (d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(3/2), x_Symbol] :> Sim
      p[-2*b^2*(Cos[e + f*x]/(f*(b*c + a*d)*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])), x] /; FreeQ[{a, b,
      c, d, e, f}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && EqQ[a^2 - b^2, 0] && NeQ[c^2 - d^2, 0]

3251. Int[Sqrt[(a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]]*((c_.) + (d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_), x_Symbol] :> Simp
      [(b*c - a*d)*Cos[e + f*x]*((c + d*Sin[e + f*x])^(n + 1)/(f*(n + 1)*(c^2 - d^2)*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]])), x]
      + Simp[(2*n + 3)*((b*c - a*d)/(2*b*(n + 1)*(c^2 - d^2)))   Int[Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]]*(c + d*Sin[e + f*x])^(
      n + 1), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && EqQ[a^2 - b^2, 0] && NeQ[c^2 - d^2, 0]
      && LtQ[n, -1] && NeQ[2*n + 3, 0] && IntegerQ[2*n]

3252. Int[Sqrt[(a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]]/((c_.) + (d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]), x_Symbol] :> Simp[-2*(
      b/f)   Subst[Int[1/(b*c + a*d - d*x^2), x], x, b*(Cos[e + f*x]/Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]])], x] /; FreeQ[{a, b,
      c, d, e, f}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && EqQ[a^2 - b^2, 0] && NeQ[c^2 - d^2, 0]

3253. Int[Sqrt[(a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]]/Sqrt[(d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]], x_Symbol] :> Simp[-2/f   S
      ubst[Int[1/Sqrt[1 - x^2/a], x], x, b*(Cos[e + f*x]/Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]])], x] /; FreeQ[{a, b, d, e, f}, x]
      && EqQ[a^2 - b^2, 0] && EqQ[d, a/b]

3254. Int[Sqrt[(a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]]/Sqrt[(c_.) + (d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]], x_Symbol] :> Simp[
      -2*(b/f)   Subst[Int[1/(b + d*x^2), x], x, b*(Cos[e + f*x]/(Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])
      )], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && EqQ[a^2 - b^2, 0] && NeQ[c^2 - d^2, 0]

3255. Int[Sqrt[(a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]]*((c_.) + (d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_), x_Symbol] :> Simp
      [a^2*(Cos[e + f*x]/(f*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]]*Sqrt[a - b*Sin[e + f*x]]))   Subst[Int[(c + d*x)^n/Sqrt[a - b*x
      ], x], x, Sin[e + f*x]], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, n}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && EqQ[a^2 - b^2, 0] && Ne
      Q[c^2 - d^2, 0] &&  !IntegerQ[2*n]

3256. Int[Sqrt[(c_.) + (d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]]/Sqrt[(a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]], x_Symbol] :> Simp[
      d/b   Int[Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]]/Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]], x], x] + Simp[(b*c - a*d)/b   Int[1/(Sqrt[a + b*S
      in[e + f*x]]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]]), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && EqQ[a^2
      - b^2, 0] && NeQ[c^2 - d^2, 0]

3257. Int[((c_.) + (d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_)/Sqrt[(a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]], x_Symbol] :> Simp
      [-2*d*Cos[e + f*x]*((c + d*Sin[e + f*x])^(n - 1)/(f*(2*n - 1)*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]])), x] - Simp[1/(b*(2*n
      - 1))   Int[((c + d*Sin[e + f*x])^(n - 2)/Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]])*Simp[a*c*d - b*(2*d^2*(n - 1) + c^2*(2*n -
      1)) + d*(a*d - b*c*(4*n - 3))*Sin[e + f*x], x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] &
      & EqQ[a^2 - b^2, 0] && NeQ[c^2 - d^2, 0] && GtQ[n, 1] && IntegerQ[2*n]

3258. Int[((c_.) + (d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_)/Sqrt[(a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]], x_Symbol] :> Simp
      [(-d)*Cos[e + f*x]*((c + d*Sin[e + f*x])^(n + 1)/(f*(n + 1)*(c^2 - d^2)*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]])), x] - Simp[
      1/(2*b*(n + 1)*(c^2 - d^2))   Int[(c + d*Sin[e + f*x])^(n + 1)*(Simp[a*d - 2*b*c*(n + 1) + b*d*(2*n + 3)*Sin[e
      + f*x], x]/Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]]), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && EqQ[a^2
      - b^2, 0] && NeQ[c^2 - d^2, 0] && LtQ[n, -1] && IntegerQ[2*n]

3259. Int[1/(Sqrt[(a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]]*((c_.) + (d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])), x_Symbol] :> Simp[
      b/(b*c - a*d)   Int[1/Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]], x], x] - Simp[d/(b*c - a*d)   Int[Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]]/(c
      + d*Sin[e + f*x]), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && EqQ[a^2 - b^2, 0] && NeQ[c^2
      - d^2, 0]

3260. Int[1/(Sqrt[(d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]]*Sqrt[(a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]]), x_Symbol] :> Simp[-Sqr
      t[2]/(Sqrt[a]*f)   Subst[Int[1/Sqrt[1 - x^2], x], x, b*(Cos[e + f*x]/(a + b*Sin[e + f*x]))], x] /; FreeQ[{a, b
      , d, e, f}, x] && EqQ[a^2 - b^2, 0] && EqQ[d, a/b] && GtQ[a, 0]

3261. Int[1/(Sqrt[(a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]]*Sqrt[(c_.) + (d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]]), x_Symbol] :> S
      imp[-2*(a/f)   Subst[Int[1/(2*b^2 - (a*c - b*d)*x^2), x], x, b*(Cos[e + f*x]/(Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c
      + d*Sin[e + f*x]]))], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && EqQ[a^2 - b^2, 0] && NeQ[c^2
      - d^2, 0]

3262. Int[((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_)*((c_.) + (d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_), x_Symbol] :> Sim
      p[(-d)*Cos[e + f*x]*(a + b*Sin[e + f*x])^m*((c + d*Sin[e + f*x])^(n - 1)/(f*(m + n))), x] + Simp[1/(b*(m + n))
      Int[(a + b*Sin[e + f*x])^m*(c + d*Sin[e + f*x])^(n - 2)*Simp[d*(a*c*m + b*d*(n - 1)) + b*c^2*(m + n) + d*(a
      *d*m + b*c*(m + 2*n - 1))*Sin[e + f*x], x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] &&
      EqQ[a^2 - b^2, 0] && NeQ[c^2 - d^2, 0] && GtQ[n, 1] && IntegerQ[n]

3263. Int[((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_)*((c_.) + (d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_.), x_Symbol] :> Si
      mp[a^m*(Cos[e + f*x]/(f*Sqrt[1 + Sin[e + f*x]]*Sqrt[1 - Sin[e + f*x]]))   Subst[Int[(1 + (b/a)*x)^(m - 1/2)*((
      c + d*x)^n/Sqrt[1 - (b/a)*x]), x], x, Sin[e + f*x]], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, n}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0
      ] && EqQ[a^2 - b^2, 0] && NeQ[c^2 - d^2, 0] && IntegerQ[m]

3264. Int[((d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_)*((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_), x_Symbol] :> Simp[(-b)*(
      d/b)^n*(Cos[e + f*x]/(f*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]]*Sqrt[a - b*Sin[e + f*x]]))   Subst[Int[(a - x)^n*((2*a - x)^(
      m - 1/2)/Sqrt[x]), x], x, a - b*Sin[e + f*x]], x] /; FreeQ[{a, b, d, e, f, m, n}, x] && EqQ[a^2 - b^2, 0] &&
      !IntegerQ[m] && GtQ[a, 0] && GtQ[d/b, 0]

3265. Int[((d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_.)*((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_), x_Symbol] :> Simp[(d/b)
      ^IntPart[n]*((d*Sin[e + f*x])^FracPart[n]/(b*Sin[e + f*x])^FracPart[n])   Int[(a + b*Sin[e + f*x])^m*(b*Sin[e
      + f*x])^n, x], x] /; FreeQ[{a, b, d, e, f, m, n}, x] && EqQ[a^2 - b^2, 0] &&  !IntegerQ[m] && GtQ[a, 0] &&  !G
      tQ[d/b, 0]

3266. Int[((d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_.)*((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_), x_Symbol] :> Simp[a^Int
      Part[m]*((a + b*Sin[e + f*x])^FracPart[m]/(1 + (b/a)*Sin[e + f*x])^FracPart[m])   Int[(1 + (b/a)*Sin[e + f*x])
      ^m*(d*Sin[e + f*x])^n, x], x] /; FreeQ[{a, b, d, e, f, m, n}, x] && EqQ[a^2 - b^2, 0] &&  !IntegerQ[m] &&  !Gt
      Q[a, 0]

3267. Int[((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_)*((c_) + (d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_.), x_Symbol] :> Sim
      p[a^2*(Cos[e + f*x]/(f*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]]*Sqrt[a - b*Sin[e + f*x]]))   Subst[Int[(a + b*x)^(m - 1/2)*((c
      + d*x)^n/Sqrt[a - b*x]), x], x, Sin[e + f*x]], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m, n}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0]
      && EqQ[a^2 - b^2, 0] && NeQ[c^2 - d^2, 0] &&  !IntegerQ[m]

3268. Int[((b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_)*((c_) + (d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^2, x_Symbol] :> Simp[2*c*(d/b)
      Int[(b*Sin[e + f*x])^(m + 1), x], x] + Int[(b*Sin[e + f*x])^m*(c^2 + d^2*Sin[e + f*x]^2), x] /; FreeQ[{b, c
      , d, e, f, m}, x]

3269. Int[((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_)*((c_.) + (d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^2, x_Symbol] :> Simp[(
      -(b^2*c^2 - 2*a*b*c*d + a^2*d^2))*Cos[e + f*x]*((a + b*Sin[e + f*x])^(m + 1)/(b*f*(m + 1)*(a^2 - b^2))), x] -
      Simp[1/(b*(m + 1)*(a^2 - b^2))   Int[(a + b*Sin[e + f*x])^(m + 1)*Simp[b*(m + 1)*(2*b*c*d - a*(c^2 + d^2)) + (
      a^2*d^2 - 2*a*b*c*d*(m + 2) + b^2*(d^2*(m + 1) + c^2*(m + 2)))*Sin[e + f*x], x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d,
      e, f}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && NeQ[a^2 - b^2, 0] && LtQ[m, -1]

3270. Int[((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_)*((c_.) + (d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^2, x_Symbol] :> Simp[(
      -d^2)*Cos[e + f*x]*((a + b*Sin[e + f*x])^(m + 1)/(b*f*(m + 2))), x] + Simp[1/(b*(m + 2))   Int[(a + b*Sin[e +
      f*x])^m*Simp[b*(d^2*(m + 1) + c^2*(m + 2)) - d*(a*d - 2*b*c*(m + 2))*Sin[e + f*x], x], x], x] /; FreeQ[{a, b,
      c, d, e, f, m}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && NeQ[a^2 - b^2, 0] &&  !LtQ[m, -1]

3271. Int[((a_.) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_)*((c_.) + (d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_), x_Symbol] :> Si
      mp[(-(b^2*c^2 - 2*a*b*c*d + a^2*d^2))*Cos[e + f*x]*(a + b*Sin[e + f*x])^(m - 2)*((c + d*Sin[e + f*x])^(n + 1)/
      (d*f*(n + 1)*(c^2 - d^2))), x] + Simp[1/(d*(n + 1)*(c^2 - d^2))   Int[(a + b*Sin[e + f*x])^(m - 3)*(c + d*Sin[
      e + f*x])^(n + 1)*Simp[b*(m - 2)*(b*c - a*d)^2 + a*d*(n + 1)*(c*(a^2 + b^2) - 2*a*b*d) + (b*(n + 1)*(a*b*c^2 +
      c*d*(a^2 + b^2) - 3*a*b*d^2) - a*(n + 2)*(b*c - a*d)^2)*Sin[e + f*x] + b*(b^2*(c^2 - d^2) - m*(b*c - a*d)^2 +
      d*n*(2*a*b*c - d*(a^2 + b^2)))*Sin[e + f*x]^2, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0
      ] && NeQ[a^2 - b^2, 0] && NeQ[c^2 - d^2, 0] && GtQ[m, 2] && LtQ[n, -1] && (IntegerQ[m] || IntegersQ[2*m, 2*n])

3272. Int[((a_.) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_)*((c_.) + (d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_), x_Symbol] :> Si
      mp[(-b^2)*Cos[e + f*x]*(a + b*Sin[e + f*x])^(m - 2)*((c + d*Sin[e + f*x])^(n + 1)/(d*f*(m + n))), x] + Simp[1/
      (d*(m + n))   Int[(a + b*Sin[e + f*x])^(m - 3)*(c + d*Sin[e + f*x])^n*Simp[a^3*d*(m + n) + b^2*(b*c*(m - 2) +
      a*d*(n + 1)) - b*(a*b*c - b^2*d*(m + n - 1) - 3*a^2*d*(m + n))*Sin[e + f*x] - b^2*(b*c*(m - 1) - a*d*(3*m + 2*
      n - 2))*Sin[e + f*x]^2, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, n}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && NeQ[a^2 - b^2, 0
      ] && NeQ[c^2 - d^2, 0] && GtQ[m, 2] && (IntegerQ[m] || IntegersQ[2*m, 2*n]) &&  !(IGtQ[n, 2] && ( !IntegerQ[m]
      || (EqQ[a, 0] && NeQ[c, 0])))

3273. Int[Sqrt[(d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]]/((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(3/2), x_Symbol] :> Simp[-2*a*d
      *(Cos[e + f*x]/(f*(a^2 - b^2)*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]]*Sqrt[d*Sin[e + f*x]])), x] - Simp[d^2/(a^2 - b^2)   Int
      [Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]]/(d*Sin[e + f*x])^(3/2), x], x] /; FreeQ[{a, b, d, e, f}, x] && NeQ[a^2 - b^2, 0]

3274. Int[Sqrt[(c_) + (d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]]/((a_.) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(3/2), x_Symbol] :> Sim
      p[(c - d)/(a - b)   Int[1/(Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]]), x], x] - Simp[(b*c - a*d)/(a -
      b)   Int[(1 + Sin[e + f*x])/((a + b*Sin[e + f*x])^(3/2)*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]]), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d
      , e, f}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && NeQ[a^2 - b^2, 0] && NeQ[c^2 - d^2, 0]

3275. Int[((a_.) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_)*((c_.) + (d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_), x_Symbol] :> Si
      mp[(-b)*Cos[e + f*x]*(a + b*Sin[e + f*x])^(m + 1)*((c + d*Sin[e + f*x])^n/(f*(m + 1)*(a^2 - b^2))), x] + Simp[
      1/((m + 1)*(a^2 - b^2))   Int[(a + b*Sin[e + f*x])^(m + 1)*(c + d*Sin[e + f*x])^(n - 1)*Simp[a*c*(m + 1) + b*d
      *n + (a*d*(m + 1) - b*c*(m + 2))*Sin[e + f*x] - b*d*(m + n + 2)*Sin[e + f*x]^2, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c,
      d, e, f}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && NeQ[a^2 - b^2, 0] && NeQ[c^2 - d^2, 0] && LtQ[m, -1] && LtQ[0, n, 1] && I
      ntegersQ[2*m, 2*n]

3276. Int[((d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(3/2)/((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(3/2), x_Symbol] :> Simp[d/b
      Int[Sqrt[d*Sin[e + f*x]]/Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]], x], x] - Simp[a*(d/b)   Int[Sqrt[d*Sin[e + f*x]]/(a + b*S
      in[e + f*x])^(3/2), x], x] /; FreeQ[{a, b, d, e, f}, x] && NeQ[a^2 - b^2, 0]

3277. Int[((c_) + (d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(3/2)/((a_.) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(3/2), x_Symbol] :> S
      imp[d^2/b^2   Int[Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]]/Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]], x], x] + Simp[(b*c - a*d)/b^2   Int[Simp[
      b*c + a*d + 2*b*d*Sin[e + f*x], x]/((a + b*Sin[e + f*x])^(3/2)*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]]), x], x] /; FreeQ[{a,
      b, c, d, e, f}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && NeQ[a^2 - b^2, 0] && NeQ[c^2 - d^2, 0]

3278. Int[((a_.) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_)*((c_.) + (d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_), x_Symbol] :> Si
      mp[(-(b*c - a*d))*Cos[e + f*x]*(a + b*Sin[e + f*x])^(m + 1)*((c + d*Sin[e + f*x])^(n - 1)/(f*(m + 1)*(a^2 - b^
      2))), x] + Simp[1/((m + 1)*(a^2 - b^2))   Int[(a + b*Sin[e + f*x])^(m + 1)*(c + d*Sin[e + f*x])^(n - 2)*Simp[c
      *(a*c - b*d)*(m + 1) + d*(b*c - a*d)*(n - 1) + (d*(a*c - b*d)*(m + 1) - c*(b*c - a*d)*(m + 2))*Sin[e + f*x] -
      d*(b*c - a*d)*(m + n + 1)*Sin[e + f*x]^2, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && N
      eQ[a^2 - b^2, 0] && NeQ[c^2 - d^2, 0] && LtQ[m, -1] && LtQ[1, n, 2] && IntegersQ[2*m, 2*n]

3279. Int[1/(Sqrt[(d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]]*((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(3/2)), x_Symbol] :> Simp[2*
      b*(Cos[e + f*x]/(f*(a^2 - b^2)*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]]*Sqrt[d*Sin[e + f*x]])), x] + Simp[d/(a^2 - b^2)   Int[
      (b + a*Sin[e + f*x])/(Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]]*(d*Sin[e + f*x])^(3/2)), x], x] /; FreeQ[{a, b, d, e, f}, x] &&
      NeQ[a^2 - b^2, 0]

3280. Int[1/(((a_.) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(3/2)*Sqrt[(c_.) + (d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]]), x_Symbol] :
      > Simp[1/(a - b)   Int[1/(Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]]), x], x] - Simp[b/(a - b)   Int[(1
      + Sin[e + f*x])/((a + b*Sin[e + f*x])^(3/2)*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]]), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x]
      && NeQ[b*c - a*d, 0] && NeQ[a^2 - b^2, 0] && NeQ[c^2 - d^2, 0]

3281. Int[((a_.) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_)*((c_.) + (d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_), x_Symbol] :> Si
      mp[(-b^2)*Cos[e + f*x]*(a + b*Sin[e + f*x])^(m + 1)*((c + d*Sin[e + f*x])^(n + 1)/(f*(m + 1)*(b*c - a*d)*(a^2
      - b^2))), x] + Simp[1/((m + 1)*(b*c - a*d)*(a^2 - b^2))   Int[(a + b*Sin[e + f*x])^(m + 1)*(c + d*Sin[e + f*x]
      )^n*Simp[a*(b*c - a*d)*(m + 1) + b^2*d*(m + n + 2) - (b^2*c + b*(b*c - a*d)*(m + 1))*Sin[e + f*x] - b^2*d*(m +
      n + 3)*Sin[e + f*x]^2, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, n}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && NeQ[a^2 - b^2, 0
      ] && NeQ[c^2 - d^2, 0] && LtQ[m, -1] && IntegersQ[2*m, 2*n] && ((EqQ[a, 0] && IntegerQ[m] &&  !IntegerQ[n]) ||
      !(IntegerQ[2*n] && LtQ[n, -1] && ((IntegerQ[n] &&  !IntegerQ[m]) || EqQ[a, 0])))

3282. Int[Sqrt[(c_.) + (d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]]/((a_.) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]), x_Symbol] :> Simp[d/b
      Int[1/Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]], x], x] + Simp[(b*c - a*d)/b   Int[1/((a + b*Sin[e + f*x])*Sqrt[c + d*Sin[e
      + f*x]]), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && NeQ[a^2 - b^2, 0] && NeQ[c^2 - d^2, 0
      ]

3283. Int[((a_.) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(3/2)/((c_.) + (d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]), x_Symbol] :> Simp[b
      /d   Int[Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]], x], x] - Simp[(b*c - a*d)/d   Int[Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]]/(c + d*Sin[e + f
      *x]), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && NeQ[a^2 - b^2, 0] && NeQ[c^2 - d^2, 0]

3284. Int[1/(((a_.) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])*Sqrt[(c_.) + (d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]]), x_Symbol] :> Simp
      [(2/(f*(a + b)*Sqrt[c + d]))*EllipticPi[2*(b/(a + b)), (1/2)*(e - Pi/2 + f*x), 2*(d/(c + d))], x] /; FreeQ[{a,
      b, c, d, e, f}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && NeQ[a^2 - b^2, 0] && NeQ[c^2 - d^2, 0] && GtQ[c + d, 0]

3285. Int[1/(((a_.) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])*Sqrt[(c_.) + (d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]]), x_Symbol] :> Simp
      [(2/(f*(a - b)*Sqrt[c - d]))*EllipticPi[-2*(b/(a - b)), (1/2)*(e + Pi/2 + f*x), -2*(d/(c - d))], x] /; FreeQ[{
      a, b, c, d, e, f}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && NeQ[a^2 - b^2, 0] && NeQ[c^2 - d^2, 0] && GtQ[c - d, 0]

3286. Int[1/(((a_.) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])*Sqrt[(c_.) + (d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]]), x_Symbol] :> Simp
      [Sqrt[(c + d*Sin[e + f*x])/(c + d)]/Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]]   Int[1/((a + b*Sin[e + f*x])*Sqrt[c/(c + d) + (d
      /(c + d))*Sin[e + f*x]]), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && NeQ[a^2 - b^2, 0] &&
      NeQ[c^2 - d^2, 0] &&  !GtQ[c + d, 0]

3287. Int[Sqrt[(b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]]/Sqrt[(c_) + (d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]], x_Symbol] :> Simp[2*c*Rt[b
      *(c + d), 2]*Tan[e + f*x]*Sqrt[1 + Csc[e + f*x]]*(Sqrt[1 - Csc[e + f*x]]/(d*f*Sqrt[c^2 - d^2]))*EllipticPi[(c
      + d)/d, ArcSin[Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]]/Sqrt[b*Sin[e + f*x]]/Rt[(c + d)/b, 2]], -(c + d)/(c - d)], x] /; FreeQ
      [{b, c, d, e, f}, x] && GtQ[c^2 - d^2, 0] && PosQ[(c + d)/b] && GtQ[c^2, 0]

3288. Int[Sqrt[(b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]]/Sqrt[(c_) + (d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]], x_Symbol] :> Simp[2*b*(Tan
      [e + f*x]/(d*f))*Rt[(c + d)/b, 2]*Sqrt[c*((1 + Csc[e + f*x])/(c - d))]*Sqrt[c*((1 - Csc[e + f*x])/(c + d))]*El
      lipticPi[(c + d)/d, ArcSin[Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]]/Sqrt[b*Sin[e + f*x]]/Rt[(c + d)/b, 2]], -(c + d)/(c - d)],
      x] /; FreeQ[{b, c, d, e, f}, x] && NeQ[c^2 - d^2, 0] && PosQ[(c + d)/b]

3289. Int[Sqrt[(b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]]/Sqrt[(c_) + (d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]], x_Symbol] :> Simp[Sqrt[b*S
      in[e + f*x]]/Sqrt[(-b)*Sin[e + f*x]]   Int[Sqrt[(-b)*Sin[e + f*x]]/Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]], x], x] /; FreeQ[{
      b, c, d, e, f}, x] && NeQ[c^2 - d^2, 0] && NegQ[(c + d)/b]

3290. Int[Sqrt[(a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]]/Sqrt[(c_.) + (d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]], x_Symbol] :> Simp[
      2*((a + b*Sin[e + f*x])/(d*f*Rt[(a + b)/(c + d), 2]*Cos[e + f*x]))*Sqrt[(b*c - a*d)*((1 + Sin[e + f*x])/((c -
      d)*(a + b*Sin[e + f*x])))]*Sqrt[(-(b*c - a*d))*((1 - Sin[e + f*x])/((c + d)*(a + b*Sin[e + f*x])))]*EllipticPi
      [b*((c + d)/(d*(a + b))), ArcSin[Rt[(a + b)/(c + d), 2]*(Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]]/Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]])],
      (a - b)*((c + d)/((a + b)*(c - d)))], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && NeQ[a^2 - b^2
      , 0] && NeQ[c^2 - d^2, 0] && PosQ[(a + b)/(c + d)]

3291. Int[Sqrt[(a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]]/Sqrt[(c_.) + (d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]], x_Symbol] :> Simp[
      Sqrt[-c - d*Sin[e + f*x]]/Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]]   Int[Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]]/Sqrt[-c - d*Sin[e + f*x]], x
      ], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && NeQ[a^2 - b^2, 0] && NeQ[c^2 - d^2, 0] && NegQ[(
      a + b)/(c + d)]

3292. Int[1/(Sqrt[(d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]]*Sqrt[(a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]]), x_Symbol] :> Simp[-2*(
      d/(f*Sqrt[a + b*d]))*EllipticF[ArcSin[Cos[e + f*x]/(1 + d*Sin[e + f*x])], -(a - b*d)/(a + b*d)], x] /; FreeQ[{
      a, b, d, e, f}, x] && LtQ[a^2 - b^2, 0] && EqQ[d^2, 1] && GtQ[b*d, 0]

3293. Int[1/(Sqrt[(d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]]*Sqrt[(a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]]), x_Symbol] :> Simp[Sqrt
      [Sign[b]*Sin[e + f*x]]/Sqrt[d*Sin[e + f*x]]   Int[1/(Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]]*Sqrt[Sign[b]*Sin[e + f*x]]), x],
      x] /; FreeQ[{a, b, d, e, f}, x] && LtQ[a^2 - b^2, 0] && GtQ[b^2, 0] &&  !(EqQ[d^2, 1] && GtQ[b*d, 0])

3294. Int[1/(Sqrt[(d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]]*Sqrt[(a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]]), x_Symbol] :> Simp[-2*S
      qrt[a^2]*(Sqrt[-Cot[e + f*x]^2]/(a*f*Sqrt[a^2 - b^2]*Cot[e + f*x]))*Rt[(a + b)/d, 2]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a +
      b*Sin[e + f*x]]/Sqrt[d*Sin[e + f*x]]/Rt[(a + b)/d, 2]], -(a + b)/(a - b)], x] /; FreeQ[{a, b, d, e, f}, x] &&
      GtQ[a^2 - b^2, 0] && PosQ[(a + b)/d] && GtQ[a^2, 0]

3295. Int[1/(Sqrt[(d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]]*Sqrt[(a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]]), x_Symbol] :> Simp[-2*(
      Tan[e + f*x]/(a*f))*Rt[(a + b)/d, 2]*Sqrt[a*((1 - Csc[e + f*x])/(a + b))]*Sqrt[a*((1 + Csc[e + f*x])/(a - b))]
      *EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]]/Sqrt[d*Sin[e + f*x]]/Rt[(a + b)/d, 2]], -(a + b)/(a - b)], x] /; Fr
      eeQ[{a, b, d, e, f}, x] && NeQ[a^2 - b^2, 0] && PosQ[(a + b)/d]

3296. Int[1/(Sqrt[(d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]]*Sqrt[(a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]]), x_Symbol] :> Simp[Sqrt
      [(-d)*Sin[e + f*x]]/Sqrt[d*Sin[e + f*x]]   Int[1/(Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]]*Sqrt[(-d)*Sin[e + f*x]]), x], x] /;
      FreeQ[{a, b, d, e, f}, x] && NeQ[a^2 - b^2, 0] && NegQ[(a + b)/d]

3297. Int[1/(Sqrt[(a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]]*Sqrt[(c_) + (d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]]), x_Symbol] :> Si
      mp[2*((c + d*Sin[e + f*x])/(f*(b*c - a*d)*Rt[(c + d)/(a + b), 2]*Cos[e + f*x]))*Sqrt[(b*c - a*d)*((1 - Sin[e +
      f*x])/((a + b)*(c + d*Sin[e + f*x])))]*Sqrt[(-(b*c - a*d))*((1 + Sin[e + f*x])/((a - b)*(c + d*Sin[e + f*x]))
      )]*EllipticF[ArcSin[Rt[(c + d)/(a + b), 2]*(Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]]/Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])], (a + b)*((c -
      d)/((a - b)*(c + d)))], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && NeQ[a^2 - b^2, 0] && NeQ[c
      ^2 - d^2, 0] && PosQ[(c + d)/(a + b)]

3298. Int[1/(Sqrt[(a_.) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]]*Sqrt[(c_) + (d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]]), x_Symbol] :> S
      imp[Sqrt[-a - b*Sin[e + f*x]]/Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]]   Int[1/(Sqrt[-a - b*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c + d*Sin[e + f
      *x]]), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && NeQ[a^2 - b^2, 0] && NeQ[c^2 - d^2, 0] &
      & NegQ[(c + d)/(a + b)]

3299. Int[((d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(3/2)/Sqrt[(a_.) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]], x_Symbol] :> Simp[(-a)*
      (d/(2*b))   Int[Sqrt[d*Sin[e + f*x]]/Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]], x], x] + Simp[d/(2*b)   Int[Sqrt[d*Sin[e + f*x]
      ]*((a + 2*b*Sin[e + f*x])/Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]]), x], x] /; FreeQ[{a, b, d, e, f}, x] && NeQ[a^2 - b^2, 0]

3300. Int[((a_.) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_)*((c_.) + (d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_), x_Symbol] :> Si
      mp[(-b)*Cos[e + f*x]*(a + b*Sin[e + f*x])^(m - 1)*((c + d*Sin[e + f*x])^n/(f*(m + n))), x] + Simp[1/(d*(m + n)
      )   Int[(a + b*Sin[e + f*x])^(m - 2)*(c + d*Sin[e + f*x])^(n - 1)*Simp[a^2*c*d*(m + n) + b*d*(b*c*(m - 1) + a*
      d*n) + (a*d*(2*b*c + a*d)*(m + n) - b*d*(a*c - b*d*(m + n - 1)))*Sin[e + f*x] + b*d*(b*c*n + a*d*(2*m + n - 1)
      )*Sin[e + f*x]^2, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && NeQ[a^2 - b^2, 0] && NeQ[
      c^2 - d^2, 0] && LtQ[0, m, 2] && LtQ[-1, n, 2] && NeQ[m + n, 0] && (IntegerQ[m] || IntegersQ[2*m, 2*n])

3301. Int[((a_.) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_)*((c_.) + (d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_), x_Symbol] :> Si
      mp[b/d   Int[(a + b*Sin[e + f*x])^(m - 1)*(c + d*Sin[e + f*x])^(n + 1), x], x] - Simp[(b*c - a*d)/d   Int[(a +
      b*Sin[e + f*x])^(m - 1)*(c + d*Sin[e + f*x])^n, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, n}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0
      ] && IGtQ[m, 0]

3302. Int[((d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_.)/((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]), x_Symbol] :> Simp[a   Int[(d
      *Sin[e + f*x])^n/(a^2 - b^2*Sin[e + f*x]^2), x], x] - Simp[b/d   Int[(d*Sin[e + f*x])^(n + 1)/(a^2 - b^2*Sin[e
      + f*x]^2), x], x] /; FreeQ[{a, b, d, e, f, n}, x] && NeQ[a^2 - b^2, 0]

3303. Int[((d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_.)*((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_.), x_Symbol] :> Int[Expan
      dTrig[(d*sin[e + f*x])^n*(1/((a - b*sin[e + f*x])^m/(a^2 - b^2*sin[e + f*x]^2)^m)), x], x] /; FreeQ[{a, b, d,
      e, f, n}, x] && NeQ[a^2 - b^2, 0] && ILtQ[m, -1]

3304. Int[((a_.) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_)*((c_.) + (d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_), x_Symbol] :> Un
      integrable[(a + b*Sin[e + f*x])^m*(c + d*Sin[e + f*x])^n, x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m, n}, x] && NeQ[b*c
      - a*d, 0] && NeQ[a^2 - b^2, 0] && NeQ[c^2 - d^2, 0]

3305. Int[((c_.)*((d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(p_))^(n_)*((a_.) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_.), x_Symbol]
      :> Simp[c^IntPart[n]*((c*(d*Sin[e + f*x])^p)^FracPart[n]/(d*Sin[e + f*x])^(p*FracPart[n]))   Int[(a + b*Sin[e
      + f*x])^m*(d*Sin[e + f*x])^(n*p), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m, n, p}, x] &&  !IntegerQ[n]

3306. Int[((a_.) + cos[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.))^(m_.)*((c_.)*(cos[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(d_.))^(p_))^(n_), x_Symbol]
      :> Simp[c^IntPart[n]*((c*(d*Cos[e + f*x])^p)^FracPart[n]/(d*Cos[e + f*x])^(p*FracPart[n]))   Int[(a + b*Cos[e
      + f*x])^m*(d*Cos[e + f*x])^(n*p), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m, n, p}, x] &&  !IntegerQ[n]

3307. Int[(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(d_.) + (c_))^(n_.)*((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_.), x_Symbol] :> In
      t[(a + b*Sin[e + f*x])^m*((d + c*Sin[e + f*x])^n/Sin[e + f*x]^n), x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m}, x] && Int
      egerQ[n]

3308. Int[(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(d_.) + (c_))^(n_)*((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_.), x_Symbol] :> Int
      [(b + a*Csc[e + f*x])^m*((c + d*Csc[e + f*x])^n/Csc[e + f*x]^m), x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, n}, x] &&  !In
      tegerQ[n] && IntegerQ[m]

3309. Int[(cos[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_))^(m_.)*((c_) + (d_.)*sec[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_), x_Symbol] :> Int
      [(b + a*Sec[e + f*x])^m*((c + d*Sec[e + f*x])^n/Sec[e + f*x]^m), x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, n}, x] &&  !In
      tegerQ[n] && IntegerQ[m]

3310. Int[(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(d_.) + (c_))^(n_)*((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_), x_Symbol] :> Simp
      [Sin[e + f*x]^n*((c + d*Csc[e + f*x])^n/(d + c*Sin[e + f*x])^n)   Int[(a + b*Sin[e + f*x])^m*((d + c*Sin[e + f
      *x])^n/Sin[e + f*x]^n), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m, n}, x] &&  !IntegerQ[n] &&  !IntegerQ[m]

3311. Int[(cos[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_))^(m_)*((c_) + (d_.)*sec[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_), x_Symbol] :> Simp
      [Cos[e + f*x]^n*((c + d*Sec[e + f*x])^n/(d + c*Cos[e + f*x])^n)   Int[(a + b*Cos[e + f*x])^m*((d + c*Cos[e + f
      *x])^n/Cos[e + f*x]^n), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m, n}, x] &&  !IntegerQ[n] &&  !IntegerQ[m]

3312. Int[cos[(e_.) + (f_.)*(x_)]*((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_.)*((c_.) + (d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)
      ])^(n_.), x_Symbol] :> Simp[1/(b*f)   Subst[Int[(a + x)^m*(c + (d/b)*x)^n, x], x, b*Sin[e + f*x]], x] /; FreeQ
      [{a, b, c, d, e, f, m, n}, x]

3313. Int[cos[(e_.) + (f_.)*(x_)]^(p_)*((d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_.)*((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]),
      x_Symbol] :> Simp[a   Int[Cos[e + f*x]^p*(d*Sin[e + f*x])^n, x], x] + Simp[b/d   Int[Cos[e + f*x]^p*(d*Sin[e
      + f*x])^(n + 1), x], x] /; FreeQ[{a, b, d, e, f, n, p}, x] && IntegerQ[(p - 1)/2] && IntegerQ[n] && ((LtQ[p, 0
      ] && NeQ[a^2 - b^2, 0]) || LtQ[0, n, p - 1] || LtQ[p + 1, -n, 2*p + 1])

3314. Int[(cos[(e_.) + (f_.)*(x_)]^(p_)*((d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_.))/((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]
      ), x_Symbol] :> Simp[1/a   Int[Cos[e + f*x]^(p - 2)*(d*Sin[e + f*x])^n, x], x] - Simp[1/(b*d)   Int[Cos[e + f*
      x]^(p - 2)*(d*Sin[e + f*x])^(n + 1), x], x] /; FreeQ[{a, b, d, e, f, n, p}, x] && IntegerQ[(p - 1)/2] && EqQ[a
      ^2 - b^2, 0] && IntegerQ[n] && (LtQ[0, n, (p + 1)/2] || (LeQ[p, -n] && LtQ[-n, 2*p - 3]) || (GtQ[n, 0] && LeQ[
      n, -p]))

3315. Int[cos[(e_.) + (f_.)*(x_)]^(p_)*((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_.)*((c_.) + (d_.)*sin[(e_.) + (f_.)
      *(x_)])^(n_.), x_Symbol] :> Simp[1/(b^p*f)   Subst[Int[(a + x)^(m + (p - 1)/2)*(a - x)^((p - 1)/2)*(c + (d/b)*
      x)^n, x], x, b*Sin[e + f*x]], x] /; FreeQ[{a, b, e, f, c, d, m, n}, x] && IntegerQ[(p - 1)/2] && EqQ[a^2 - b^2
      , 0]

3316. Int[cos[(e_.) + (f_.)*(x_)]^(p_)*((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_.)*((c_.) + (d_.)*sin[(e_.) + (f_.)
      *(x_)])^(n_.), x_Symbol] :> Simp[1/(b^p*f)   Subst[Int[(a + x)^m*(c + (d/b)*x)^n*(b^2 - x^2)^((p - 1)/2), x],
      x, b*Sin[e + f*x]], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m, n}, x] && IntegerQ[(p - 1)/2] && NeQ[a^2 - b^2, 0]

3317. Int[(cos[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(g_.))^(p_)*((d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_.)*((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)
      *(x_)]), x_Symbol] :> Simp[a   Int[(g*Cos[e + f*x])^p*(d*Sin[e + f*x])^n, x], x] + Simp[b/d   Int[(g*Cos[e + f
      *x])^p*(d*Sin[e + f*x])^(n + 1), x], x] /; FreeQ[{a, b, d, e, f, g, n, p}, x]

3318. Int[((cos[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(g_.))^(p_)*((d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_.))/((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_
      .)*(x_)]), x_Symbol] :> Simp[g^2/a   Int[(g*Cos[e + f*x])^(p - 2)*(d*Sin[e + f*x])^n, x], x] - Simp[g^2/(b*d)
      Int[(g*Cos[e + f*x])^(p - 2)*(d*Sin[e + f*x])^(n + 1), x], x] /; FreeQ[{a, b, d, e, f, g, n, p}, x] && EqQ[a
      ^2 - b^2, 0]

3319. Int[(cos[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(g_.))^(p_)*((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_.)*((c_) + (d_.)*sin[(e_.)
      + (f_.)*(x_)])^(n_.), x_Symbol] :> Simp[a^m*(c^m/g^(2*m))   Int[(g*Cos[e + f*x])^(2*m + p)*(c + d*Sin[e + f*x]
      )^(n - m), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, n, p}, x] && EqQ[b*c + a*d, 0] && EqQ[a^2 - b^2, 0] && Intege
      rQ[m] &&  !(IntegerQ[n] && LtQ[n^2, m^2])

3320. Int[cos[(e_.) + (f_.)*(x_)]^(p_)*((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_.)*((c_) + (d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*
      (x_)])^(n_.), x_Symbol] :> Simp[1/(a^(p/2)*c^(p/2))   Int[(a + b*Sin[e + f*x])^(m + p/2)*(c + d*Sin[e + f*x])^
      (n + p/2), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, n, p}, x] && EqQ[b*c + a*d, 0] && EqQ[a^2 - b^2, 0] && IntegerQ[
      p/2]

3321. Int[(cos[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(g_.))^(p_)/(Sqrt[(a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]]*Sqrt[(c_) + (d_.)*sin[(e_
      .) + (f_.)*(x_)]]), x_Symbol] :> Simp[g*(Cos[e + f*x]/(Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]]))   I
      nt[(g*Cos[e + f*x])^(p - 1), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, p}, x] && EqQ[b*c + a*d, 0] && EqQ[a^2 - b^
      2, 0]

3322. Int[(cos[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(g_.))^(p_)*((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_)*((c_) + (d_.)*sin[(e_.) +
      (f_.)*(x_)])^(n_), x_Symbol] :> Simp[a^IntPart[m]*c^IntPart[m]*(a + b*Sin[e + f*x])^FracPart[m]*((c + d*Sin[e
      + f*x])^FracPart[m]/(g^(2*IntPart[m])*(g*Cos[e + f*x])^(2*FracPart[m])))   Int[(g*Cos[e + f*x])^(2*m + p)/(c
      + d*Sin[e + f*x]), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, m, n, p}, x] && EqQ[b*c + a*d, 0] && EqQ[a^2 - b^2, 0
      ] && EqQ[2*m + p - 1, 0] && EqQ[m - n - 1, 0]

3323. Int[(cos[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(g_.))^(p_)*((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_)*((c_) + (d_.)*sin[(e_.) +
      (f_.)*(x_)])^(n_), x_Symbol] :> Simp[b*(g*Cos[e + f*x])^(p + 1)*(a + b*Sin[e + f*x])^(m - 1)*((c + d*Sin[e +
      f*x])^n/(f*g*(m - n - 1))), x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, m, n, p}, x] && EqQ[b*c + a*d, 0] && EqQ[a^2 - b
      ^2, 0] && EqQ[2*m + p - 1, 0] && NeQ[m - n - 1, 0]

3324. Int[(cos[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(g_.))^(p_)*((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_)*((c_) + (d_.)*sin[(e_.) +
      (f_.)*(x_)])^(n_), x_Symbol] :> Simp[-2*b*(g*Cos[e + f*x])^(p + 1)*(a + b*Sin[e + f*x])^(m - 1)*((c + d*Sin[e
      + f*x])^n/(f*g*(2*n + p + 1))), x] - Simp[b*((2*m + p - 1)/(d*(2*n + p + 1)))   Int[(g*Cos[e + f*x])^p*(a + b
      *Sin[e + f*x])^(m - 1)*(c + d*Sin[e + f*x])^(n + 1), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, p}, x] && EqQ[b*c +
      a*d, 0] && EqQ[a^2 - b^2, 0] && IGtQ[Simplify[m + p/2 - 1/2], 0] && LtQ[n, -1] && NeQ[2*n + p + 1, 0] &&  !(I
      LtQ[Simplify[m + n + p], 0] && GtQ[Simplify[2*m + n + 3*(p/2) + 1], 0])

3325. Int[(cos[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(g_.))^(p_)*((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_)*((c_) + (d_.)*sin[(e_.) +
      (f_.)*(x_)])^(n_), x_Symbol] :> Simp[(-b)*(g*Cos[e + f*x])^(p + 1)*(a + b*Sin[e + f*x])^(m - 1)*((c + d*Sin[e
      + f*x])^n/(f*g*(m + n + p))), x] + Simp[a*((2*m + p - 1)/(m + n + p))   Int[(g*Cos[e + f*x])^p*(a + b*Sin[e +
      f*x])^(m - 1)*(c + d*Sin[e + f*x])^n, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, n, p}, x] && EqQ[b*c + a*d, 0] &&
      EqQ[a^2 - b^2, 0] && IGtQ[Simplify[m + p/2 - 1/2], 0] &&  !LtQ[n, -1] &&  !(IGtQ[Simplify[n + p/2 - 1/2], 0]
      && GtQ[m - n, 0]) &&  !(ILtQ[Simplify[m + n + p], 0] && GtQ[Simplify[2*m + n + 3*(p/2) + 1], 0])

3326. Int[(cos[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(g_.))^(p_)*((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_)*((c_) + (d_.)*sin[(e_.) +
      (f_.)*(x_)])^(m_), x_Symbol] :> Simp[a^IntPart[m]*c^IntPart[m]*(a + b*Sin[e + f*x])^FracPart[m]*((c + d*Sin[e
      + f*x])^FracPart[m]/(g^(2*IntPart[m])*(g*Cos[e + f*x])^(2*FracPart[m])))   Int[(g*Cos[e + f*x])^(2*m + p), x]
      , x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, m, p}, x] && EqQ[b*c + a*d, 0] && EqQ[a^2 - b^2, 0] && EqQ[2*m + p + 1, 0]

3327. Int[(cos[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(g_.))^(p_)*((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_)*((c_) + (d_.)*sin[(e_.) +
      (f_.)*(x_)])^(n_), x_Symbol] :> Simp[b*(g*Cos[e + f*x])^(p + 1)*(a + b*Sin[e + f*x])^m*((c + d*Sin[e + f*x])^
      n/(a*f*g*(m - n))), x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, m, n, p}, x] && EqQ[b*c + a*d, 0] && EqQ[a^2 - b^2, 0] &
      & EqQ[m + n + p + 1, 0] && NeQ[m, n]

3328. Int[(cos[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(g_.))^(p_)*((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_)*((c_) + (d_.)*sin[(e_.) +
      (f_.)*(x_)])^(n_), x_Symbol] :> Simp[b*(g*Cos[e + f*x])^(p + 1)*(a + b*Sin[e + f*x])^m*((c + d*Sin[e + f*x])^
      n/(a*f*g*(2*m + p + 1))), x] + Simp[(m + n + p + 1)/(a*(2*m + p + 1))   Int[(g*Cos[e + f*x])^p*(a + b*Sin[e +
      f*x])^(m + 1)*(c + d*Sin[e + f*x])^n, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, m, n, p}, x] && EqQ[b*c + a*d, 0]
      && EqQ[a^2 - b^2, 0] && ILtQ[Simplify[m + n + p + 1], 0] && NeQ[2*m + p + 1, 0] && (SumSimplerQ[m, 1] ||  !Sum
      SimplerQ[n, 1])

3329. Int[(cos[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(g_.))^(p_)*((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_)*((c_) + (d_.)*sin[(e_.) +
      (f_.)*(x_)])^(n_), x_Symbol] :> Simp[-2*b*(g*Cos[e + f*x])^(p + 1)*(a + b*Sin[e + f*x])^(m - 1)*((c + d*Sin[e
      + f*x])^n/(f*g*(2*n + p + 1))), x] - Simp[b*((2*m + p - 1)/(d*(2*n + p + 1)))   Int[(g*Cos[e + f*x])^p*(a + b
      *Sin[e + f*x])^(m - 1)*(c + d*Sin[e + f*x])^(n + 1), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, p}, x] && EqQ[b*c +
      a*d, 0] && EqQ[a^2 - b^2, 0] && GtQ[m, 0] && LtQ[n, -1] && NeQ[2*n + p + 1, 0] && IntegersQ[2*m, 2*n, 2*p]

3330. Int[(cos[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(g_.))^(p_)*((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_)*((c_) + (d_.)*sin[(e_.) +
      (f_.)*(x_)])^(n_), x_Symbol] :> Simp[(-b)*(g*Cos[e + f*x])^(p + 1)*(a + b*Sin[e + f*x])^(m - 1)*((c + d*Sin[e
      + f*x])^n/(f*g*(m + n + p))), x] + Simp[a*((2*m + p - 1)/(m + n + p))   Int[(g*Cos[e + f*x])^p*(a + b*Sin[e +
      f*x])^(m - 1)*(c + d*Sin[e + f*x])^n, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, n, p}, x] && EqQ[b*c + a*d, 0] &&
      EqQ[a^2 - b^2, 0] && GtQ[m, 0] && NeQ[m + n + p, 0] &&  !LtQ[0, n, m] && IntegersQ[2*m, 2*n, 2*p]

3331. Int[(cos[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(g_.))^(p_)*((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_)*((c_) + (d_.)*sin[(e_.) +
      (f_.)*(x_)])^(n_), x_Symbol] :> Simp[b*(g*Cos[e + f*x])^(p + 1)*(a + b*Sin[e + f*x])^m*((c + d*Sin[e + f*x])^
      n/(a*f*g*(2*m + p + 1))), x] + Simp[(m + n + p + 1)/(a*(2*m + p + 1))   Int[(g*Cos[e + f*x])^p*(a + b*Sin[e +
      f*x])^(m + 1)*(c + d*Sin[e + f*x])^n, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, n, p}, x] && EqQ[b*c + a*d, 0] &&
      EqQ[a^2 - b^2, 0] && LtQ[m, -1] && NeQ[2*m + p + 1, 0] &&  !LtQ[m, n, -1] && IntegersQ[2*m, 2*n, 2*p]

3332. Int[(cos[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(g_.))^(p_)*((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_)*((c_) + (d_.)*sin[(e_.) +
      (f_.)*(x_)])^(n_), x_Symbol] :> Simp[a^IntPart[m]*c^IntPart[m]*(a + b*Sin[e + f*x])^FracPart[m]*((c + d*Sin[e
      + f*x])^FracPart[m]/(g^(2*IntPart[m])*(g*Cos[e + f*x])^(2*FracPart[m])))   Int[(g*Cos[e + f*x])^(2*m + p)*(c
      + d*Sin[e + f*x])^(n - m), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, m, n, p}, x] && EqQ[b*c + a*d, 0] && EqQ[a^2
      - b^2, 0] && (FractionQ[m] ||  !FractionQ[n])

3333. Int[(cos[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(g_.))^(p_)*((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_.)*((c_.) + (d_.)*sin[(e_.)
      + (f_.)*(x_)]), x_Symbol] :> Simp[(-d)*(g*Cos[e + f*x])^(p + 1)*((a + b*Sin[e + f*x])^m/(f*g*(m + p + 1))), x
      ] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, m, p}, x] && EqQ[a^2 - b^2, 0] && EqQ[a*d*m + b*c*(m + p + 1), 0]

3334. Int[(cos[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(g_.))^(p_)*((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_.)*((c_.) + (d_.)*sin[(e_.)
      + (f_.)*(x_)]), x_Symbol] :> Simp[(-(b*c + a*d))*(g*Cos[e + f*x])^(p + 1)*((a + b*Sin[e + f*x])^m/(a*f*g*(p +
      1))), x] + Simp[b*((a*d*m + b*c*(m + p + 1))/(a*g^2*(p + 1)))   Int[(g*Cos[e + f*x])^(p + 2)*(a + b*Sin[e + f
      *x])^(m - 1), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g}, x] && EqQ[a^2 - b^2, 0] && GtQ[m, -1] && LtQ[p, -1]

3335. Int[(cos[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(g_.))^(p_)*((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_.)*((c_.) + (d_.)*sin[(e_.)
      + (f_.)*(x_)]), x_Symbol] :> Simp[(-d)*(g*Cos[e + f*x])^(p + 1)*((a + b*Sin[e + f*x])^m/(f*g*(m + p + 1))), x
      ] + Simp[(a*d*m + b*c*(m + p + 1))/(b*(m + p + 1))   Int[(g*Cos[e + f*x])^p*(a + b*Sin[e + f*x])^m, x], x] /;
      FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, m, p}, x] && EqQ[a^2 - b^2, 0] && IGtQ[Simplify[(2*m + p + 1)/2], 0] && NeQ[m + p
      + 1, 0]

3336. Int[cos[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2*((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_)*((c_.) + (d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_
      )]), x_Symbol] :> Simp[2*(b*c - a*d)*Cos[e + f*x]*((a + b*Sin[e + f*x])^(m + 1)/(b^2*f*(2*m + 3))), x] + Simp[
      1/(b^3*(2*m + 3))   Int[(a + b*Sin[e + f*x])^(m + 2)*(b*c + 2*a*d*(m + 1) - b*d*(2*m + 3)*Sin[e + f*x]), x], x
      ] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && EqQ[a^2 - b^2, 0] && LtQ[m, -3/2]

3337. Int[cos[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2*((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_)*((c_.) + (d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_
      )]), x_Symbol] :> Simp[d*Cos[e + f*x]*((a + b*Sin[e + f*x])^(m + 2)/(b^2*f*(m + 3))), x] - Simp[1/(b^2*(m + 3)
      )   Int[(a + b*Sin[e + f*x])^(m + 1)*(b*d*(m + 2) - a*c*(m + 3) + (b*c*(m + 3) - a*d*(m + 4))*Sin[e + f*x]), x
      ], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && EqQ[a^2 - b^2, 0] && GeQ[m, -3/2] && LtQ[m, 0]

3338. Int[(cos[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(g_.))^(p_)*((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_)*((c_.) + (d_.)*sin[(e_.)
      + (f_.)*(x_)]), x_Symbol] :> Simp[(b*c - a*d)*(g*Cos[e + f*x])^(p + 1)*((a + b*Sin[e + f*x])^m/(a*f*g*(2*m + p
      + 1))), x] + Simp[(a*d*m + b*c*(m + p + 1))/(a*b*(2*m + p + 1))   Int[(g*Cos[e + f*x])^p*(a + b*Sin[e + f*x])
      ^(m + 1), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, m, p}, x] && EqQ[a^2 - b^2, 0] && (LtQ[m, -1] || ILtQ[Simplify
      [m + p], 0]) && NeQ[2*m + p + 1, 0]

3339. Int[(cos[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(g_.))^(p_)*((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_.)*((c_.) + (d_.)*sin[(e_.)
      + (f_.)*(x_)]), x_Symbol] :> Simp[(-d)*(g*Cos[e + f*x])^(p + 1)*((a + b*Sin[e + f*x])^m/(f*g*(m + p + 1))), x
      ] + Simp[(a*d*m + b*c*(m + p + 1))/(b*(m + p + 1))   Int[(g*Cos[e + f*x])^p*(a + b*Sin[e + f*x])^m, x], x] /;
      FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, m, p}, x] && EqQ[a^2 - b^2, 0] && NeQ[m + p + 1, 0]

3340. Int[(cos[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(g_.))^(p_)*((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_.)*((c_.) + (d_.)*sin[(e_.)
      + (f_.)*(x_)]), x_Symbol] :> Simp[(-(g*Cos[e + f*x])^(p + 1))*(a + b*Sin[e + f*x])^m*((d + c*Sin[e + f*x])/(f
      *g*(p + 1))), x] + Simp[1/(g^2*(p + 1))   Int[(g*Cos[e + f*x])^(p + 2)*(a + b*Sin[e + f*x])^(m - 1)*Simp[a*c*(
      p + 2) + b*d*m + b*c*(m + p + 2)*Sin[e + f*x], x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g}, x] && NeQ[a^2 - b^2,
      0] && GtQ[m, 0] && LtQ[p, -1] && IntegerQ[2*m] &&  !(EqQ[m, 1] && NeQ[c^2 - d^2, 0] && SimplerQ[c + d*x, a +
      b*x])

3341. Int[(cos[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(g_.))^(p_)*((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_.)*((c_.) + (d_.)*sin[(e_.)
      + (f_.)*(x_)]), x_Symbol] :> Simp[(-d)*(g*Cos[e + f*x])^(p + 1)*((a + b*Sin[e + f*x])^m/(f*g*(m + p + 1))), x
      ] + Simp[1/(m + p + 1)   Int[(g*Cos[e + f*x])^p*(a + b*Sin[e + f*x])^(m - 1)*Simp[a*c*(m + p + 1) + b*d*m + (a
      *d*m + b*c*(m + p + 1))*Sin[e + f*x], x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, p}, x] && NeQ[a^2 - b^2, 0] &&
      GtQ[m, 0] &&  !LtQ[p, -1] && IntegerQ[2*m] &&  !(EqQ[m, 1] && NeQ[c^2 - d^2, 0] && SimplerQ[c + d*x, a + b*x]
      )

3342. Int[(cos[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(g_.))^(p_)*((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_)*((c_.) + (d_.)*sin[(e_.)
      + (f_.)*(x_)]), x_Symbol] :> Simp[g*(g*Cos[e + f*x])^(p - 1)*(a + b*Sin[e + f*x])^(m + 1)*((b*c*(m + p + 1) -
      a*d*p + b*d*(m + 1)*Sin[e + f*x])/(b^2*f*(m + 1)*(m + p + 1))), x] + Simp[g^2*((p - 1)/(b^2*(m + 1)*(m + p + 1
      )))   Int[(g*Cos[e + f*x])^(p - 2)*(a + b*Sin[e + f*x])^(m + 1)*Simp[b*d*(m + 1) + (b*c*(m + p + 1) - a*d*p)*S
      in[e + f*x], x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g}, x] && NeQ[a^2 - b^2, 0] && LtQ[m, -1] && GtQ[p, 1] &&
      NeQ[m + p + 1, 0] && IntegerQ[2*m]

3343. Int[(cos[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(g_.))^(p_)*((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_)*((c_.) + (d_.)*sin[(e_.)
      + (f_.)*(x_)]), x_Symbol] :> Simp[(-(b*c - a*d))*(g*Cos[e + f*x])^(p + 1)*((a + b*Sin[e + f*x])^(m + 1)/(f*g*(
      a^2 - b^2)*(m + 1))), x] + Simp[1/((a^2 - b^2)*(m + 1))   Int[(g*Cos[e + f*x])^p*(a + b*Sin[e + f*x])^(m + 1)*
      Simp[(a*c - b*d)*(m + 1) - (b*c - a*d)*(m + p + 2)*Sin[e + f*x], x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, p},
      x] && NeQ[a^2 - b^2, 0] && LtQ[m, -1] && IntegerQ[2*m]

3344. Int[(cos[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(g_.))^(p_)*((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_.)*((c_.) + (d_.)*sin[(e_.)
      + (f_.)*(x_)]), x_Symbol] :> Simp[g*(g*Cos[e + f*x])^(p - 1)*(a + b*Sin[e + f*x])^(m + 1)*((b*c*(m + p + 1) -
      a*d*p + b*d*(m + p)*Sin[e + f*x])/(b^2*f*(m + p)*(m + p + 1))), x] + Simp[g^2*((p - 1)/(b^2*(m + p)*(m + p +
      1)))   Int[(g*Cos[e + f*x])^(p - 2)*(a + b*Sin[e + f*x])^m*Simp[b*(a*d*m + b*c*(m + p + 1)) + (a*b*c*(m + p +
      1) - d*(a^2*p - b^2*(m + p)))*Sin[e + f*x], x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, m}, x] && NeQ[a^2 - b^2,
      0] && GtQ[p, 1] && NeQ[m + p, 0] && NeQ[m + p + 1, 0] && IntegerQ[2*m]

3345. Int[(cos[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(g_.))^(p_)*((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_.)*((c_.) + (d_.)*sin[(e_.)
      + (f_.)*(x_)]), x_Symbol] :> Simp[(g*Cos[e + f*x])^(p + 1)*(a + b*Sin[e + f*x])^(m + 1)*((b*c - a*d - (a*c -
      b*d)*Sin[e + f*x])/(f*g*(a^2 - b^2)*(p + 1))), x] + Simp[1/(g^2*(a^2 - b^2)*(p + 1))   Int[(g*Cos[e + f*x])^(p
      + 2)*(a + b*Sin[e + f*x])^m*Simp[c*(a^2*(p + 2) - b^2*(m + p + 2)) + a*b*d*m + b*(a*c - b*d)*(m + p + 3)*Sin[
      e + f*x], x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, m}, x] && NeQ[a^2 - b^2, 0] && LtQ[p, -1] && IntegerQ[2*m]

3346. Int[((cos[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(g_.))^(p_)*((c_.) + (d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]))/((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (
      f_.)*(x_)]), x_Symbol] :> Simp[d/b   Int[(g*Cos[e + f*x])^p, x], x] + Simp[(b*c - a*d)/b   Int[(g*Cos[e + f*x]
      )^p/(a + b*Sin[e + f*x]), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g}, x] && NeQ[a^2 - b^2, 0]

3347. Int[(cos[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(g_.))^(p_)*((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_)*((c_) + (d_.)*sin[(e_.) +
      (f_.)*(x_)]), x_Symbol] :> Simp[c*g*((g*Cos[e + f*x])^(p - 1)/(f*(1 + Sin[e + f*x])^((p - 1)/2)*(1 - Sin[e +
      f*x])^((p - 1)/2)))   Subst[Int[(1 + (d/c)*x)^((p + 1)/2)*(1 - (d/c)*x)^((p - 1)/2)*(a + b*x)^m, x], x, Sin[e
      + f*x]], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m, p}, x] && NeQ[a^2 - b^2, 0] && EqQ[c^2 - d^2, 0]

3348. Int[cos[(e_.) + (f_.)*(x_)]^(p_)*((d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_)*((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(
      m_), x_Symbol] :> Simp[a^(2*m)   Int[(d*Sin[e + f*x])^n/(a - b*Sin[e + f*x])^m, x], x] /; FreeQ[{a, b, d, e, f
      , n}, x] && EqQ[a^2 - b^2, 0] && IntegersQ[m, p] && EqQ[2*m + p, 0]

3349. Int[(cos[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(g_.))^(p_)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2*((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_)
      , x_Symbol] :> Simp[(-(g*Cos[e + f*x])^(p + 1))*((a + b*Sin[e + f*x])^(m + 1)/(2*b*f*g*(m + 1))), x] + Simp[a/
      (2*g^2)   Int[(g*Cos[e + f*x])^(p + 2)*(a + b*Sin[e + f*x])^(m - 1), x], x] /; FreeQ[{a, b, e, f, g, m, p}, x]
      && EqQ[a^2 - b^2, 0] && EqQ[m - p, 0]

3350. Int[(cos[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(g_.))^(p_)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2*((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_)
      , x_Symbol] :> Simp[b*(g*Cos[e + f*x])^(p + 1)*((a + b*Sin[e + f*x])^m/(a*f*g*m)), x] - Simp[1/g^2   Int[(g*Co
      s[e + f*x])^(p + 2)*(a + b*Sin[e + f*x])^m, x], x] /; FreeQ[{a, b, e, f, g, m, p}, x] && EqQ[a^2 - b^2, 0] &&
      EqQ[m + p + 1, 0]

3351. Int[cos[(e_.) + (f_.)*(x_)]^(p_)*((d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_)*((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(
      m_), x_Symbol] :> Simp[1/a^p   Int[ExpandTrig[(d*sin[e + f*x])^n*(a - b*sin[e + f*x])^(p/2)*(a + b*sin[e + f*x
      ])^(m + p/2), x], x], x] /; FreeQ[{a, b, d, e, f}, x] && EqQ[a^2 - b^2, 0] && IntegersQ[m, n, p/2] && ((GtQ[m,
      0] && GtQ[p, 0] && LtQ[-m - p, n, -1]) || (GtQ[m, 2] && LtQ[p, 0] && GtQ[m + p/2, 0]))

3352. Int[(cos[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(g_.))^(p_)*((d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_)*((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*
      (x_)])^(m_), x_Symbol] :> Int[ExpandTrig[(g*cos[e + f*x])^p, (d*sin[e + f*x])^n*(a + b*sin[e + f*x])^m, x], x]
      /; FreeQ[{a, b, d, e, f, g, n, p}, x] && EqQ[a^2 - b^2, 0] && IGtQ[m, 0]

3353. Int[cos[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2*((d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_)*((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_)
      , x_Symbol] :> Simp[1/b^2   Int[(d*Sin[e + f*x])^n*(a + b*Sin[e + f*x])^(m + 1)*(a - b*Sin[e + f*x]), x], x] /
      ; FreeQ[{a, b, d, e, f, m, n}, x] && EqQ[a^2 - b^2, 0] && (ILtQ[m, 0] ||  !IGtQ[n, 0])

3354. Int[(cos[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(g_.))^(p_)*((d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_)*((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*
      (x_)])^(m_), x_Symbol] :> Simp[(a/g)^(2*m)   Int[(g*Cos[e + f*x])^(2*m + p)*((d*Sin[e + f*x])^n/(a - b*Sin[e +
      f*x])^m), x], x] /; FreeQ[{a, b, d, e, f, g, n, p}, x] && EqQ[a^2 - b^2, 0] && ILtQ[m, 0]

3355. Int[(cos[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(g_.))^(p_)*((d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_)*((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*
      (x_)])^(m_), x_Symbol] :> Simp[(a/g)^(2*m)   Int[(g*Cos[e + f*x])^(2*m + p)*((d*Sin[e + f*x])^n/(a - b*Sin[e +
      f*x])^m), x], x] /; FreeQ[{a, b, d, e, f, g, n}, x] && EqQ[a^2 - b^2, 0] && IntegerQ[m] && RationalQ[p] && (E
      qQ[2*m + p, 0] || (GtQ[2*m + p, 0] && LtQ[p, -1]))

3356. Int[(cos[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(g_.))^(p_)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2*((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_)
      , x_Symbol] :> Simp[b*(g*Cos[e + f*x])^(p + 1)*((a + b*Sin[e + f*x])^m/(a*f*g*(2*m + p + 1))), x] - Simp[1/(a^
      2*(2*m + p + 1))   Int[(g*Cos[e + f*x])^p*(a + b*Sin[e + f*x])^(m + 1)*(a*m - b*(2*m + p + 1)*Sin[e + f*x]), x
      ], x] /; FreeQ[{a, b, e, f, g, p}, x] && EqQ[a^2 - b^2, 0] && LeQ[m, -2^(-1)] && NeQ[2*m + p + 1, 0]

3357. Int[(cos[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(g_.))^(p_)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2*((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_)
      , x_Symbol] :> Simp[(-(g*Cos[e + f*x])^(p + 1))*((a + b*Sin[e + f*x])^(m + 1)/(b*f*g*(m + p + 2))), x] + Simp[
      1/(b*(m + p + 2))   Int[(g*Cos[e + f*x])^p*(a + b*Sin[e + f*x])^m*(b*(m + 1) - a*(p + 1)*Sin[e + f*x]), x], x]
      /; FreeQ[{a, b, e, f, g, m, p}, x] && EqQ[a^2 - b^2, 0] && NeQ[m + p + 2, 0]

3358. Int[cos[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2*((d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_)*((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_)
      , x_Symbol] :> Simp[1/b^2   Int[(d*Sin[e + f*x])^n*(a + b*Sin[e + f*x])^(m + 1)*(a - b*Sin[e + f*x]), x], x] /
      ; FreeQ[{a, b, d, e, f, m, n}, x] && EqQ[a^2 - b^2, 0] && IntegersQ[2*m, 2*n]

3359. Int[cos[(e_.) + (f_.)*(x_)]^4*((d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_)*((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_)
      , x_Symbol] :> Simp[-2/(a*b*d)   Int[(d*Sin[e + f*x])^(n + 1)*(a + b*Sin[e + f*x])^(m + 2), x], x] + Simp[1/a^
      2   Int[(d*Sin[e + f*x])^n*(a + b*Sin[e + f*x])^(m + 2)*(1 + Sin[e + f*x]^2), x], x] /; FreeQ[{a, b, d, e, f,
      n}, x] && EqQ[a^2 - b^2, 0] && LtQ[m, -1]

3360. Int[cos[(e_.) + (f_.)*(x_)]^4*((d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_)*((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_)
      , x_Symbol] :> Simp[1/d^4   Int[(d*Sin[e + f*x])^(n + 4)*(a + b*Sin[e + f*x])^m, x], x] + Int[(d*Sin[e + f*x])
      ^n*(a + b*Sin[e + f*x])^m*(1 - 2*Sin[e + f*x]^2), x] /; FreeQ[{a, b, d, e, f, m, n}, x] && EqQ[a^2 - b^2, 0] &
      &  !IGtQ[m, 0]

3361. Int[cos[(e_.) + (f_.)*(x_)]^(p_)*((d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_)*((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(
      m_), x_Symbol] :> Simp[a^m*(Cos[e + f*x]/(f*Sqrt[1 + Sin[e + f*x]]*Sqrt[1 - Sin[e + f*x]]))   Subst[Int[(d*x)^
      n*(1 + (b/a)*x)^(m + (p - 1)/2)*(1 - (b/a)*x)^((p - 1)/2), x], x, Sin[e + f*x]], x] /; FreeQ[{a, b, d, e, f, n
      }, x] && EqQ[a^2 - b^2, 0] && IntegerQ[p/2] && IntegerQ[m]

3362. Int[cos[(e_.) + (f_.)*(x_)]^(p_)*((d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_)*((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(
      m_), x_Symbol] :> Simp[Cos[e + f*x]/(a^(p - 2)*f*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]]*Sqrt[a - b*Sin[e + f*x]])   Subst[In
      t[(d*x)^n*(a + b*x)^(m + p/2 - 1/2)*(a - b*x)^(p/2 - 1/2), x], x, Sin[e + f*x]], x] /; FreeQ[{a, b, d, e, f, m
      , n}, x] && EqQ[a^2 - b^2, 0] && IntegerQ[p/2] &&  !IntegerQ[m]

3363. Int[(cos[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(g_.))^(p_)*((d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_)*((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*
      (x_)])^(m_), x_Symbol] :> Int[ExpandTrig[(g*cos[e + f*x])^p, (d*sin[e + f*x])^n*(a + b*sin[e + f*x])^m, x], x]
      /; FreeQ[{a, b, d, e, f, g, n, p}, x] && EqQ[a^2 - b^2, 0] && IGtQ[m, 0] && (IntegerQ[p] || IGtQ[n, 0])

3364. Int[(cos[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(g_.))^(p_)*((d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_)*((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*
      (x_)])^(m_), x_Symbol] :> Simp[a^m*g*((g*Cos[e + f*x])^(p - 1)/(f*(1 + Sin[e + f*x])^((p - 1)/2)*(1 - Sin[e +
      f*x])^((p - 1)/2)))   Subst[Int[(d*x)^n*(1 + (b/a)*x)^(m + (p - 1)/2)*(1 - (b/a)*x)^((p - 1)/2), x], x, Sin[e
      + f*x]], x] /; FreeQ[{a, b, d, e, f, n, p}, x] && EqQ[a^2 - b^2, 0] && IntegerQ[m]

3365. Int[(cos[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(g_.))^(p_)*((d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_)*((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*
      (x_)])^(m_), x_Symbol] :> Simp[g*((g*Cos[e + f*x])^(p - 1)/(f*(a + b*Sin[e + f*x])^((p - 1)/2)*(a - b*Sin[e +
      f*x])^((p - 1)/2)))   Subst[Int[(d*x)^n*(a + b*x)^(m + (p - 1)/2)*(a - b*x)^((p - 1)/2), x], x, Sin[e + f*x]],
      x] /; FreeQ[{a, b, d, e, f, m, n, p}, x] && EqQ[a^2 - b^2, 0] &&  !IntegerQ[m]

3366. Int[((cos[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(g_.))^(p_)*((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_))/Sqrt[(d_.)*sin[(e_.) +
      (f_.)*(x_)]], x_Symbol] :> Simp[(-g)*(g*Cos[e + f*x])^(p - 1)*Sqrt[d*Sin[e + f*x]]*((a + b*Sin[e + f*x])^(m +
      1)/(a*d*f*(m + 1))), x] + Simp[g^2*((2*m + 3)/(2*a*(m + 1)))   Int[(g*Cos[e + f*x])^(p - 2)*((a + b*Sin[e + f*
      x])^(m + 1)/Sqrt[d*Sin[e + f*x]]), x], x] /; FreeQ[{a, b, d, e, f, g}, x] && NeQ[a^2 - b^2, 0] && LtQ[m, -1] &
      & EqQ[m + p + 1/2, 0]

3367. Int[((cos[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(g_.))^(p_)*((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_))/Sqrt[(d_.)*sin[(e_.) +
      (f_.)*(x_)]], x_Symbol] :> Simp[2*(g*Cos[e + f*x])^(p + 1)*Sqrt[d*Sin[e + f*x]]*((a + b*Sin[e + f*x])^m/(d*f*g
      *(2*m + 1))), x] + Simp[2*a*(m/(g^2*(2*m + 1)))   Int[(g*Cos[e + f*x])^(p + 2)*((a + b*Sin[e + f*x])^(m - 1)/S
      qrt[d*Sin[e + f*x]]), x], x] /; FreeQ[{a, b, e, f, g}, x] && NeQ[a^2 - b^2, 0] && GtQ[m, 0] && EqQ[m + p + 3/2
      , 0]

3368. Int[cos[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2*((d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_)*((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_)
      , x_Symbol] :> Int[(d*Sin[e + f*x])^n*(a + b*Sin[e + f*x])^m*(1 - Sin[e + f*x]^2), x] /; FreeQ[{a, b, d, e, f,
      m, n}, x] && NeQ[a^2 - b^2, 0] && (IGtQ[m, 0] || IntegersQ[2*m, 2*n])

3369. Int[cos[(e_.) + (f_.)*(x_)]^4*((d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_)*((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_)
      , x_Symbol] :> Simp[Cos[e + f*x]*(d*Sin[e + f*x])^(n + 1)*((a + b*Sin[e + f*x])^(m + 1)/(a*d*f*(n + 1))), x] +
      (-Simp[(a^2*(n + 1) - b^2*(m + n + 2))*Cos[e + f*x]*(d*Sin[e + f*x])^(n + 2)*((a + b*Sin[e + f*x])^(m + 1)/(a
      ^2*b*d^2*f*(n + 1)*(m + 1))), x] + Simp[1/(a^2*b*d*(n + 1)*(m + 1))   Int[(d*Sin[e + f*x])^(n + 1)*(a + b*Sin[
      e + f*x])^(m + 1)*Simp[a^2*(n + 1)*(n + 2) - b^2*(m + n + 2)*(m + n + 3) + a*b*(m + 1)*Sin[e + f*x] - (a^2*(n
      + 1)*(n + 3) - b^2*(m + n + 2)*(m + n + 4))*Sin[e + f*x]^2, x], x], x]) /; FreeQ[{a, b, d, e, f}, x] && NeQ[a^
      2 - b^2, 0] && IntegersQ[2*m, 2*n] && LtQ[m, -1] && LtQ[n, -1]

3370. Int[cos[(e_.) + (f_.)*(x_)]^4*((d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_)*((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_)
      , x_Symbol] :> Simp[(a^2 - b^2)*Cos[e + f*x]*(a + b*Sin[e + f*x])^(m + 1)*((d*Sin[e + f*x])^(n + 1)/(a*b^2*d*f
      *(m + 1))), x] + (Simp[(a^2*(n - m + 1) - b^2*(m + n + 2))*Cos[e + f*x]*(a + b*Sin[e + f*x])^(m + 2)*((d*Sin[e
      + f*x])^(n + 1)/(a^2*b^2*d*f*(m + 1)*(m + 2))), x] - Simp[1/(a^2*b^2*(m + 1)*(m + 2))   Int[(a + b*Sin[e + f*
      x])^(m + 2)*(d*Sin[e + f*x])^n*Simp[a^2*(n + 1)*(n + 3) - b^2*(m + n + 2)*(m + n + 3) + a*b*(m + 2)*Sin[e + f*
      x] - (a^2*(n + 2)*(n + 3) - b^2*(m + n + 2)*(m + n + 4))*Sin[e + f*x]^2, x], x], x]) /; FreeQ[{a, b, d, e, f,
      n}, x] && NeQ[a^2 - b^2, 0] && IntegersQ[2*m, 2*n] && LtQ[m, -1] &&  !LtQ[n, -1] && (LtQ[m, -2] || EqQ[m + n +
      4, 0])

3371. Int[cos[(e_.) + (f_.)*(x_)]^4*((d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_)*((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_)
      , x_Symbol] :> Simp[(a^2 - b^2)*Cos[e + f*x]*(a + b*Sin[e + f*x])^(m + 1)*((d*Sin[e + f*x])^(n + 1)/(a*b^2*d*f
      *(m + 1))), x] + (-Simp[Cos[e + f*x]*(a + b*Sin[e + f*x])^(m + 2)*((d*Sin[e + f*x])^(n + 1)/(b^2*d*f*(m + n +
      4))), x] - Simp[1/(a*b^2*(m + 1)*(m + n + 4))   Int[(a + b*Sin[e + f*x])^(m + 1)*(d*Sin[e + f*x])^n*Simp[a^2*(
      n + 1)*(n + 3) - b^2*(m + n + 2)*(m + n + 4) + a*b*(m + 1)*Sin[e + f*x] - (a^2*(n + 2)*(n + 3) - b^2*(m + n +
      3)*(m + n + 4))*Sin[e + f*x]^2, x], x], x]) /; FreeQ[{a, b, d, e, f, n}, x] && NeQ[a^2 - b^2, 0] && IntegersQ[
      2*m, 2*n] && LtQ[m, -1] &&  !LtQ[n, -1] && NeQ[m + n + 4, 0]

3372. Int[cos[(e_.) + (f_.)*(x_)]^4*((d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_)*((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_)
      , x_Symbol] :> Simp[Cos[e + f*x]*(a + b*Sin[e + f*x])^(m + 1)*((d*Sin[e + f*x])^(n + 1)/(a*d*f*(n + 1))), x] +
      (-Simp[b*(m + n + 2)*Cos[e + f*x]*(a + b*Sin[e + f*x])^(m + 1)*((d*Sin[e + f*x])^(n + 2)/(a^2*d^2*f*(n + 1)*(
      n + 2))), x] - Simp[1/(a^2*d^2*(n + 1)*(n + 2))   Int[(a + b*Sin[e + f*x])^m*(d*Sin[e + f*x])^(n + 2)*Simp[a^2
      *n*(n + 2) - b^2*(m + n + 2)*(m + n + 3) + a*b*m*Sin[e + f*x] - (a^2*(n + 1)*(n + 2) - b^2*(m + n + 2)*(m + n
      + 4))*Sin[e + f*x]^2, x], x], x]) /; FreeQ[{a, b, d, e, f, m}, x] && NeQ[a^2 - b^2, 0] && (IGtQ[m, 0] || Integ
      ersQ[2*m, 2*n]) &&  !m < -1 && LtQ[n, -1] && (LtQ[n, -2] || EqQ[m + n + 4, 0])

3373. Int[cos[(e_.) + (f_.)*(x_)]^4*((d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_)*((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_)
      , x_Symbol] :> Simp[Cos[e + f*x]*(a + b*Sin[e + f*x])^(m + 1)*((d*Sin[e + f*x])^(n + 1)/(a*d*f*(n + 1))), x] +
      (-Simp[Cos[e + f*x]*(a + b*Sin[e + f*x])^(m + 1)*((d*Sin[e + f*x])^(n + 2)/(b*d^2*f*(m + n + 4))), x] + Simp[
      1/(a*b*d*(n + 1)*(m + n + 4))   Int[(a + b*Sin[e + f*x])^m*(d*Sin[e + f*x])^(n + 1)*Simp[a^2*(n + 1)*(n + 2) -
      b^2*(m + n + 2)*(m + n + 4) + a*b*(m + 3)*Sin[e + f*x] - (a^2*(n + 1)*(n + 3) - b^2*(m + n + 3)*(m + n + 4))*
      Sin[e + f*x]^2, x], x], x]) /; FreeQ[{a, b, d, e, f, m}, x] && NeQ[a^2 - b^2, 0] && (IGtQ[m, 0] || IntegersQ[2
      *m, 2*n]) &&  !m < -1 && LtQ[n, -1] && NeQ[m + n + 4, 0]

3374. Int[cos[(e_.) + (f_.)*(x_)]^4*((d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_)*((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_)
      , x_Symbol] :> Simp[a*(n + 3)*Cos[e + f*x]*(d*Sin[e + f*x])^(n + 1)*((a + b*Sin[e + f*x])^(m + 1)/(b^2*d*f*(m
      + n + 3)*(m + n + 4))), x] + (-Simp[Cos[e + f*x]*(d*Sin[e + f*x])^(n + 2)*((a + b*Sin[e + f*x])^(m + 1)/(b*d^2
      *f*(m + n + 4))), x] - Simp[1/(b^2*(m + n + 3)*(m + n + 4))   Int[(d*Sin[e + f*x])^n*(a + b*Sin[e + f*x])^m*Si
      mp[a^2*(n + 1)*(n + 3) - b^2*(m + n + 3)*(m + n + 4) + a*b*m*Sin[e + f*x] - (a^2*(n + 2)*(n + 3) - b^2*(m + n
      + 3)*(m + n + 5))*Sin[e + f*x]^2, x], x], x]) /; FreeQ[{a, b, d, e, f, m, n}, x] && NeQ[a^2 - b^2, 0] && (IGtQ
      [m, 0] || IntegersQ[2*m, 2*n]) &&  !m < -1 &&  !LtQ[n, -1] && NeQ[m + n + 3, 0] && NeQ[m + n + 4, 0]

3375. Int[cos[(e_.) + (f_.)*(x_)]^6*((d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_)*((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_)
      , x_Symbol] :> Simp[Cos[e + f*x]*(d*Sin[e + f*x])^(n + 1)*((a + b*Sin[e + f*x])^(m + 1)/(a*d*f*(n + 1))), x] +
      (-Simp[b*(m + n + 2)*Cos[e + f*x]*(d*Sin[e + f*x])^(n + 2)*((a + b*Sin[e + f*x])^(m + 1)/(a^2*d^2*f*(n + 1)*(
      n + 2))), x] - Simp[a*(n + 5)*Cos[e + f*x]*(d*Sin[e + f*x])^(n + 3)*((a + b*Sin[e + f*x])^(m + 1)/(b^2*d^3*f*(
      m + n + 5)*(m + n + 6))), x] + Simp[Cos[e + f*x]*(d*Sin[e + f*x])^(n + 4)*((a + b*Sin[e + f*x])^(m + 1)/(b*d^4
      *f*(m + n + 6))), x] + Simp[1/(a^2*b^2*d^2*(n + 1)*(n + 2)*(m + n + 5)*(m + n + 6))   Int[(d*Sin[e + f*x])^(n
      + 2)*(a + b*Sin[e + f*x])^m*Simp[a^4*(n + 1)*(n + 2)*(n + 3)*(n + 5) - a^2*b^2*(n + 2)*(2*n + 1)*(m + n + 5)*(
      m + n + 6) + b^4*(m + n + 2)*(m + n + 3)*(m + n + 5)*(m + n + 6) + a*b*m*(a^2*(n + 1)*(n + 2) - b^2*(m + n + 5
      )*(m + n + 6))*Sin[e + f*x] - (a^4*(n + 1)*(n + 2)*(4 + n)*(n + 5) + b^4*(m + n + 2)*(m + n + 4)*(m + n + 5)*(
      m + n + 6) - a^2*b^2*(n + 1)*(n + 2)*(m + n + 5)*(2*n + 2*m + 13))*Sin[e + f*x]^2, x], x], x]) /; FreeQ[{a, b,
      d, e, f, m, n}, x] && NeQ[a^2 - b^2, 0] && IntegersQ[2*m, 2*n] && NeQ[n, -1] && NeQ[n, -2] && NeQ[m + n + 5,
      0] && NeQ[m + n + 6, 0] &&  !IGtQ[m, 0]

3376. Int[cos[(e_.) + (f_.)*(x_)]^(p_)*((d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_)*((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(
      m_), x_Symbol] :> Int[ExpandTrig[(d*sin[e + f*x])^n*(a + b*sin[e + f*x])^m*(1 - sin[e + f*x]^2)^(p/2), x], x]
      /; FreeQ[{a, b, d, e, f}, x] && NeQ[a^2 - b^2, 0] && IntegersQ[m, 2*n, p/2] && (LtQ[m, -1] || (EqQ[m, -1] && G
      tQ[p, 0]))

3377. Int[((cos[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(g_.))^(p_)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]^(n_))/((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])
      , x_Symbol] :> Int[ExpandTrig[(g*cos[e + f*x])^p, sin[e + f*x]^n/(a + b*sin[e + f*x]), x], x] /; FreeQ[{a, b,
      e, f, g, p}, x] && NeQ[a^2 - b^2, 0] && IntegerQ[n] && (LtQ[n, 0] || IGtQ[p + 1/2, 0])

3378. Int[((cos[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(g_.))^(p_)*((d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_))/((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.
      )*(x_)]), x_Symbol] :> Simp[g^2/a   Int[(g*Cos[e + f*x])^(p - 2)*(d*Sin[e + f*x])^n, x], x] + (-Simp[b*(g^2/(a
      ^2*d))   Int[(g*Cos[e + f*x])^(p - 2)*(d*Sin[e + f*x])^(n + 1), x], x] - Simp[g^2*((a^2 - b^2)/(a^2*d^2))   In
      t[(g*Cos[e + f*x])^(p - 2)*((d*Sin[e + f*x])^(n + 2)/(a + b*Sin[e + f*x])), x], x]) /; FreeQ[{a, b, d, e, f, g
      }, x] && NeQ[a^2 - b^2, 0] && IntegersQ[2*n, 2*p] && GtQ[p, 1] && (LeQ[n, -2] || (EqQ[n, -3/2] && EqQ[p, 3/2])
      )

3379. Int[((cos[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(g_.))^(p_)*((d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_))/((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.
      )*(x_)]), x_Symbol] :> Simp[g^2/(a*b)   Int[(g*Cos[e + f*x])^(p - 2)*(d*Sin[e + f*x])^n*(b - a*Sin[e + f*x]),
      x], x] + Simp[g^2*((a^2 - b^2)/(a*b*d))   Int[(g*Cos[e + f*x])^(p - 2)*((d*Sin[e + f*x])^(n + 1)/(a + b*Sin[e
      + f*x])), x], x] /; FreeQ[{a, b, d, e, f, g}, x] && NeQ[a^2 - b^2, 0] && IntegersQ[2*n, 2*p] && GtQ[p, 1] && (
      LtQ[n, -1] || (EqQ[p, 3/2] && EqQ[n, -2^(-1)]))

3380. Int[((cos[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(g_.))^(p_)*((d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_))/((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.
      )*(x_)]), x_Symbol] :> Simp[g^2/b^2   Int[(g*Cos[e + f*x])^(p - 2)*(d*Sin[e + f*x])^n*(a - b*Sin[e + f*x]), x]
      , x] - Simp[g^2*((a^2 - b^2)/b^2)   Int[(g*Cos[e + f*x])^(p - 2)*((d*Sin[e + f*x])^n/(a + b*Sin[e + f*x])), x]
      , x] /; FreeQ[{a, b, d, e, f, g}, x] && NeQ[a^2 - b^2, 0] && IntegersQ[2*n, 2*p] && GtQ[p, 1]

3381. Int[((cos[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(g_.))^(p_)*((d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_))/((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.
      )*(x_)]), x_Symbol] :> Simp[a*(d^2/(a^2 - b^2))   Int[(g*Cos[e + f*x])^p*(d*Sin[e + f*x])^(n - 2), x], x] + (-
      Simp[b*(d/(a^2 - b^2))   Int[(g*Cos[e + f*x])^p*(d*Sin[e + f*x])^(n - 1), x], x] - Simp[a^2*(d^2/(g^2*(a^2 - b
      ^2)))   Int[(g*Cos[e + f*x])^(p + 2)*((d*Sin[e + f*x])^(n - 2)/(a + b*Sin[e + f*x])), x], x]) /; FreeQ[{a, b,
      d, e, f, g}, x] && NeQ[a^2 - b^2, 0] && IntegersQ[2*n, 2*p] && LtQ[p, -1] && GtQ[n, 1]

3382. Int[((cos[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(g_.))^(p_)*((d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_))/((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.
      )*(x_)]), x_Symbol] :> Simp[-d/(a^2 - b^2)   Int[(g*Cos[e + f*x])^p*(d*Sin[e + f*x])^(n - 1)*(b - a*Sin[e + f*
      x]), x], x] + Simp[a*b*(d/(g^2*(a^2 - b^2)))   Int[(g*Cos[e + f*x])^(p + 2)*((d*Sin[e + f*x])^(n - 1)/(a + b*S
      in[e + f*x])), x], x] /; FreeQ[{a, b, d, e, f, g}, x] && NeQ[a^2 - b^2, 0] && IntegersQ[2*n, 2*p] && LtQ[p, -1
      ] && GtQ[n, 0]

3383. Int[((cos[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(g_.))^(p_)*((d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_))/((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.
      )*(x_)]), x_Symbol] :> Simp[1/(a^2 - b^2)   Int[(g*Cos[e + f*x])^p*(d*Sin[e + f*x])^n*(a - b*Sin[e + f*x]), x]
      , x] - Simp[b^2/(g^2*(a^2 - b^2))   Int[(g*Cos[e + f*x])^(p + 2)*((d*Sin[e + f*x])^n/(a + b*Sin[e + f*x])), x]
      , x] /; FreeQ[{a, b, d, e, f, g}, x] && NeQ[a^2 - b^2, 0] && IntegersQ[2*n, 2*p] && LtQ[p, -1]

3384. Int[Sqrt[cos[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(g_.)]/(Sqrt[sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]]*((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]))
      , x_Symbol] :> Simp[-4*Sqrt[2]*(g/f)   Subst[Int[x^2/(((a + b)*g^2 + (a - b)*x^4)*Sqrt[1 - x^4/g^2]), x], x, S
      qrt[g*Cos[e + f*x]]/Sqrt[1 + Sin[e + f*x]]], x] /; FreeQ[{a, b, e, f, g}, x] && NeQ[a^2 - b^2, 0]

3385. Int[Sqrt[cos[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(g_.)]/(Sqrt[(d_)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]]*((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x
      _)])), x_Symbol] :> Simp[Sqrt[Sin[e + f*x]]/Sqrt[d*Sin[e + f*x]]   Int[Sqrt[g*Cos[e + f*x]]/(Sqrt[Sin[e + f*x]
      ]*(a + b*Sin[e + f*x])), x], x] /; FreeQ[{a, b, d, e, f, g}, x] && NeQ[a^2 - b^2, 0]

3386. Int[Sqrt[(d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]]/(Sqrt[cos[(e_.) + (f_.)*(x_)]]*((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]))
      , x_Symbol] :> With[{q = Rt[-a^2 + b^2, 2]}, Simp[2*Sqrt[2]*d*((b + q)/(f*q))   Subst[Int[1/((d*(b + q) + a*x^
      2)*Sqrt[1 - x^4/d^2]), x], x, Sqrt[d*Sin[e + f*x]]/Sqrt[1 + Cos[e + f*x]]], x] - Simp[2*Sqrt[2]*d*((b - q)/(f*
      q))   Subst[Int[1/((d*(b - q) + a*x^2)*Sqrt[1 - x^4/d^2]), x], x, Sqrt[d*Sin[e + f*x]]/Sqrt[1 + Cos[e + f*x]]]
      , x]] /; FreeQ[{a, b, d, e, f}, x] && NeQ[a^2 - b^2, 0]

3387. Int[Sqrt[(d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]]/(Sqrt[cos[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(g_.)]*((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(
      x_)])), x_Symbol] :> Simp[Sqrt[Cos[e + f*x]]/Sqrt[g*Cos[e + f*x]]   Int[Sqrt[d*Sin[e + f*x]]/(Sqrt[Cos[e + f*x
      ]]*(a + b*Sin[e + f*x])), x], x] /; FreeQ[{a, b, d, e, f, g}, x] && NeQ[a^2 - b^2, 0]

3388. Int[((cos[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(g_.))^(p_)*((d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_))/((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.
      )*(x_)]), x_Symbol] :> Simp[d/b   Int[(g*Cos[e + f*x])^p*(d*Sin[e + f*x])^(n - 1), x], x] - Simp[a*(d/b)   Int
      [(g*Cos[e + f*x])^p*((d*Sin[e + f*x])^(n - 1)/(a + b*Sin[e + f*x])), x], x] /; FreeQ[{a, b, d, e, f, g}, x] &&
      NeQ[a^2 - b^2, 0] && IntegersQ[2*n, 2*p] && LtQ[-1, p, 1] && GtQ[n, 0]

3389. Int[((cos[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(g_.))^(p_)*((d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_))/((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.
      )*(x_)]), x_Symbol] :> Simp[1/a   Int[(g*Cos[e + f*x])^p*(d*Sin[e + f*x])^n, x], x] - Simp[b/(a*d)   Int[(g*Co
      s[e + f*x])^p*((d*Sin[e + f*x])^(n + 1)/(a + b*Sin[e + f*x])), x], x] /; FreeQ[{a, b, d, e, f, g}, x] && NeQ[a
      ^2 - b^2, 0] && IntegersQ[2*n, 2*p] && LtQ[-1, p, 1] && LtQ[n, 0]

3390. Int[(cos[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(g_.))^(p_)*((d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_)*((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*
      (x_)])^2, x_Symbol] :> Simp[2*a*(b/d)   Int[(g*Cos[e + f*x])^p*(d*Sin[e + f*x])^(n + 1), x], x] + Int[(g*Cos[e
      + f*x])^p*(d*Sin[e + f*x])^n*(a^2 + b^2*Sin[e + f*x]^2), x] /; FreeQ[{a, b, d, e, f, g, n, p}, x] && NeQ[a^2
      - b^2, 0]

3391. Int[(cos[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(g_.))^(p_)*((d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_)*((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*
      (x_)])^(m_), x_Symbol] :> Int[ExpandTrig[(g*cos[e + f*x])^p, (d*sin[e + f*x])^n*(a + b*sin[e + f*x])^m, x], x]
      /; FreeQ[{a, b, d, e, f, g, n, p}, x] && NeQ[a^2 - b^2, 0] && IntegerQ[m] && (GtQ[m, 0] || IntegerQ[n])

3392. Int[(cos[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(g_.))^(p_)*((d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_)*((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*
      (x_)])^(m_), x_Symbol] :> Simp[g^2/a   Int[(g*Cos[e + f*x])^(p - 2)*(d*Sin[e + f*x])^n*(a + b*Sin[e + f*x])^(m
      + 1), x], x] + (-Simp[b*(g^2/(a^2*d))   Int[(g*Cos[e + f*x])^(p - 2)*(d*Sin[e + f*x])^(n + 1)*(a + b*Sin[e +
      f*x])^(m + 1), x], x] - Simp[g^2*((a^2 - b^2)/(a^2*d^2))   Int[(g*Cos[e + f*x])^(p - 2)*(d*Sin[e + f*x])^(n +
      2)*(a + b*Sin[e + f*x])^m, x], x]) /; FreeQ[{a, b, d, e, f, g}, x] && NeQ[a^2 - b^2, 0] && IntegersQ[m, 2*n, 2
      *p] && LtQ[m, 0] && GtQ[p, 1] && (LeQ[n, -2] || (EqQ[m, -1] && EqQ[n, -3/2] && EqQ[p, 3/2]))

3393. Int[cos[(e_.) + (f_.)*(x_)]^(p_)*((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_)*((c_) + (d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(
      x_)])^(n_), x_Symbol] :> Simp[a^(2*m)   Int[(c + d*Sin[e + f*x])^n/(a - b*Sin[e + f*x])^m, x], x] /; FreeQ[{a,
      b, c, d, e, f, n}, x] && EqQ[a^2 - b^2, 0] && IntegersQ[m, p] && EqQ[2*m + p, 0]

3394. Int[(cos[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(g_.))^(p_)*((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_)*((c_) + (d_.)*sin[(e_.) +
      (f_.)*(x_)])^(n_), x_Symbol] :> Simp[(a/g)^(2*m)   Int[(g*Cos[e + f*x])^(2*m + p)*((c + d*Sin[e + f*x])^n/(a
      - b*Sin[e + f*x])^m), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, n}, x] && EqQ[a^2 - b^2, 0] && IntegerQ[m] && (EqQ
      [2*m + p, 0] || (GtQ[2*m + p, 0] && LtQ[p, -1]))

3395. Int[cos[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2*((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_)*((c_) + (d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)
      ])^(n_), x_Symbol] :> Simp[1/b^2   Int[(a + b*Sin[e + f*x])^(m + 1)*(c + d*Sin[e + f*x])^n*(a - b*Sin[e + f*x]
      ), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m, n}, x] && EqQ[a^2 - b^2, 0] && IntegersQ[2*m, 2*n]

3396. Int[cos[(e_.) + (f_.)*(x_)]^(p_)*((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_)*((c_) + (d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(
      x_)])^(n_), x_Symbol] :> Simp[a^m*(Cos[e + f*x]/(f*Sqrt[1 + Sin[e + f*x]]*Sqrt[1 - Sin[e + f*x]]))   Subst[Int
      [(1 + (b/a)*x)^(m + (p - 1)/2)*(1 - (b/a)*x)^((p - 1)/2)*(c + d*x)^n, x], x, Sin[e + f*x]], x] /; FreeQ[{a, b,
      c, d, e, f, n}, x] && EqQ[a^2 - b^2, 0] && IntegerQ[p/2] && IntegerQ[m]

3397. Int[cos[(e_.) + (f_.)*(x_)]^(p_)*((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_)*((c_) + (d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(
      x_)])^(n_), x_Symbol] :> Simp[Cos[e + f*x]/(a^(p - 2)*f*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]]*Sqrt[a - b*Sin[e + f*x]])   S
      ubst[Int[(a + b*x)^(m + p/2 - 1/2)*(a - b*x)^(p/2 - 1/2)*(c + d*x)^n, x], x, Sin[e + f*x]], x] /; FreeQ[{a, b,
      c, d, e, f, m, n}, x] && EqQ[a^2 - b^2, 0] && IntegerQ[p/2] &&  !IntegerQ[m]

3398. Int[(cos[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(g_.))^(p_)*((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_)*((c_) + (d_.)*sin[(e_.) +
      (f_.)*(x_)])^(n_), x_Symbol] :> Int[ExpandTrig[(g*cos[e + f*x])^p, (a + b*sin[e + f*x])^m*(c + d*sin[e + f*x]
      )^n, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, n, p}, x] && EqQ[a^2 - b^2, 0] && IGtQ[m, 0] && (IntegerQ[p] || IGt
      Q[n, 0])

3399. Int[(cos[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(g_.))^(p_)*((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_)*((c_) + (d_.)*sin[(e_.) +
      (f_.)*(x_)])^(n_), x_Symbol] :> Simp[a^m*g*((g*Cos[e + f*x])^(p - 1)/(f*(1 + Sin[e + f*x])^((p - 1)/2)*(1 - S
      in[e + f*x])^((p - 1)/2)))   Subst[Int[(1 + (b/a)*x)^(m + (p - 1)/2)*(1 - (b/a)*x)^((p - 1)/2)*(c + d*x)^n, x]
      , x, Sin[e + f*x]], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, n, p}, x] && EqQ[a^2 - b^2, 0] && IntegerQ[m]

3400. Int[(cos[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(g_.))^(p_)*((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_)*((c_) + (d_.)*sin[(e_.) +
      (f_.)*(x_)])^(n_), x_Symbol] :> Simp[g*((g*Cos[e + f*x])^(p - 1)/(f*(a + b*Sin[e + f*x])^((p - 1)/2)*(a - b*S
      in[e + f*x])^((p - 1)/2)))   Subst[Int[(a + b*x)^(m + (p - 1)/2)*(a - b*x)^((p - 1)/2)*(c + d*x)^n, x], x, Sin
      [e + f*x]], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m, n, p}, x] && EqQ[a^2 - b^2, 0] &&  !IntegerQ[m]

3401. Int[cos[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2*((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_.)*((c_) + (d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_
      )])^(n_), x_Symbol] :> Int[(a + b*Sin[e + f*x])^m*(c + d*Sin[e + f*x])^n*(1 - Sin[e + f*x]^2), x] /; FreeQ[{a,
      b, c, d, e, f, m, n}, x] && NeQ[a^2 - b^2, 0] && (IGtQ[m, 0] || IntegersQ[2*m, 2*n])

3402. Int[cos[(e_.) + (f_.)*(x_)]^(p_)*((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_.)*((c_) + (d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*
      (x_)])^(n_), x_Symbol] :> Int[ExpandTrig[(a + b*sin[e + f*x])^m*(c + d*sin[e + f*x])^n*(1 - sin[e + f*x]^2)^(p
      /2), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m, n}, x] && NeQ[a^2 - b^2, 0] && IGtQ[p/2, 0] && (IGtQ[m, 0] || Integ
      ersQ[2*m, 2*n])

3403. Int[(cos[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(g_.))^(p_)*((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_)*((c_) + (d_.)*sin[(e_.) +
      (f_.)*(x_)])^(n_), x_Symbol] :> Int[ExpandTrig[(g*cos[e + f*x])^p*(a + b*sin[e + f*x])^m*(c + d*sin[e + f*x])
      ^n, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, p}, x] && NeQ[a^2 - b^2, 0] && IntegersQ[2*m, 2*n]

3404. Int[(cos[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(g_.))^(p_)*((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_.)*((c_.) + (d_.)*sin[(e_.)
      + (f_.)*(x_)])^(n_.), x_Symbol] :> Unintegrable[(g*Cos[e + f*x])^p*(a + b*Sin[e + f*x])^m*(c + d*Sin[e + f*x]
      )^n, x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, m, n, p}, x] && NeQ[a^2 - b^2, 0]

3405. Int[((g_.)*sec[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(p_)*((a_.) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_.)*((c_.) + (d_.)*sin[(e_.
      ) + (f_.)*(x_)])^(n_.), x_Symbol] :> Simp[g^(2*IntPart[p])*(g*Cos[e + f*x])^FracPart[p]*(g*Sec[e + f*x])^FracP
      art[p]   Int[(a + b*Sin[e + f*x])^m*((c + d*Sin[e + f*x])^n/(g*Cos[e + f*x])^p), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d,
      e, f, g, m, n, p}, x] &&  !IntegerQ[p]

3406. Int[((a_.) + cos[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.))^(m_.)*((c_.) + cos[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(d_.))^(n_.)*(csc[(e_.) + (
      f_.)*(x_)]*(g_.))^(p_), x_Symbol] :> Simp[g^(2*IntPart[p])*(g*Sin[e + f*x])^FracPart[p]*(g*Csc[e + f*x])^FracP
      art[p]   Int[(a + b*Cos[e + f*x])^m*((c + d*Cos[e + f*x])^n/(g*Sin[e + f*x])^p), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d,
      e, f, g, m, n, p}, x] &&  !IntegerQ[p]

3407. Int[(Sqrt[(g_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]]*Sqrt[(a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]])/((c_) + (d_.)*sin[(e_.) +
      (f_.)*(x_)]), x_Symbol] :> Simp[g/d   Int[Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]]/Sqrt[g*Sin[e + f*x]], x], x] - Simp[c*(g/d
      )   Int[Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]]/(Sqrt[g*Sin[e + f*x]]*(c + d*Sin[e + f*x])), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e,
      f, g}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && (EqQ[a^2 - b^2, 0] || EqQ[c^2 - d^2, 0])

3408. Int[(Sqrt[(g_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]]*Sqrt[(a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]])/((c_) + (d_.)*sin[(e_.) +
      (f_.)*(x_)]), x_Symbol] :> Simp[b/d   Int[Sqrt[g*Sin[e + f*x]]/Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]], x], x] - Simp[(b*c -
      a*d)/d   Int[Sqrt[g*Sin[e + f*x]]/(Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]]*(c + d*Sin[e + f*x])), x], x] /; FreeQ[{a, b, c,
      d, e, f, g}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && NeQ[a^2 - b^2, 0] && NeQ[c^2 - d^2, 0]

3409. Int[Sqrt[(a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]]/(Sqrt[(g_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]]*((c_) + (d_.)*sin[(e_.) +
      (f_.)*(x_)])), x_Symbol] :> Simp[-2*(b/f)   Subst[Int[1/(b*c + a*d + c*g*x^2), x], x, b*(Cos[e + f*x]/(Sqrt[g*
      Sin[e + f*x]]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]]))], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && EqQ[a
      ^2 - b^2, 0]

3410. Int[Sqrt[(a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]]/(Sqrt[sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]]*((c_) + (d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*
      (x_)])), x_Symbol] :> Simp[(-Sqrt[a + b]/(c*f))*EllipticE[ArcSin[Cos[e + f*x]/(1 + Sin[e + f*x])], -(a - b)/(a
      + b)], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && EqQ[d, c] && GtQ[b^2 - a^2, 0] && GtQ[b, 0]

3411. Int[Sqrt[(a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]]/(Sqrt[(g_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]]*((c_) + (d_.)*sin[(e_.) +
      (f_.)*(x_)])), x_Symbol] :> Simp[(-Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]])*(Sqrt[d*(Sin[e + f*x]/(c + d*Sin[e + f*x]))]/(d*f
      *Sqrt[g*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c^2*((a + b*Sin[e + f*x])/((a*c + b*d)*(c + d*Sin[e + f*x])))]))*EllipticE[ArcSin[c
      *(Cos[e + f*x]/(c + d*Sin[e + f*x]))], (b*c - a*d)/(b*c + a*d)], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g}, x] && NeQ[
      b*c - a*d, 0] && NeQ[a^2 - b^2, 0] && EqQ[c^2 - d^2, 0]

3412. Int[Sqrt[(a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]]/(Sqrt[(g_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]]*((c_) + (d_.)*sin[(e_.) +
      (f_.)*(x_)])), x_Symbol] :> Simp[a/c   Int[1/(Sqrt[g*Sin[e + f*x]]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]]), x], x] + Simp[(b
      *c - a*d)/(c*g)   Int[Sqrt[g*Sin[e + f*x]]/(Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]]*(c + d*Sin[e + f*x])), x], x] /; FreeQ[{a
      , b, c, d, e, f, g}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && NeQ[a^2 - b^2, 0] && NeQ[c^2 - d^2, 0]

3413. Int[Sqrt[(a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]]/(sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]*((c_) + (d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])
      ), x_Symbol] :> Simp[1/c   Int[Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]]/Sin[e + f*x], x], x] - Simp[d/c   Int[Sqrt[a + b*Sin[e
      + f*x]]/(c + d*Sin[e + f*x]), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && EqQ[a^2 - b^2, 0
      ]

3414. Int[Sqrt[(a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]]/(sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]*((c_) + (d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])
      ), x_Symbol] :> Simp[a/c   Int[1/(Sin[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]]), x], x] + Simp[(b*c - a*d)/c   Int[1/
      (Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]]*(c + d*Sin[e + f*x])), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] &
      & NeQ[a^2 - b^2, 0]

3415. Int[Sqrt[(g_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]]/(Sqrt[(a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]]*((c_) + (d_.)*sin[(e_.) +
      (f_.)*(x_)])), x_Symbol] :> Simp[(-a)*(g/(b*c - a*d))   Int[1/(Sqrt[g*Sin[e + f*x]]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]]),
      x], x] + Simp[c*(g/(b*c - a*d))   Int[Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]]/(Sqrt[g*Sin[e + f*x]]*(c + d*Sin[e + f*x])), x
      ], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && (EqQ[a^2 - b^2, 0] || EqQ[c^2 - d^2, 0])

3416. Int[Sqrt[(g_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]]/(Sqrt[(a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]]*((c_) + (d_.)*sin[(e_.) +
      (f_.)*(x_)])), x_Symbol] :> Simp[2*Sqrt[-Cot[e + f*x]^2]*(Sqrt[g*Sin[e + f*x]]/(f*(c + d)*Cot[e + f*x]*Sqrt[a
      + b*Sin[e + f*x]]))*Sqrt[(b + a*Csc[e + f*x])/(a + b)]*EllipticPi[2*(c/(c + d)), ArcSin[Sqrt[1 - Csc[e + f*x]]
      /Sqrt[2]], 2*(a/(a + b))], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && NeQ[a^2 - b^2, 0] &&
      NeQ[c^2 - d^2, 0]

3417. Int[1/(Sqrt[(g_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]]*Sqrt[(a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]]*((c_) + (d_.)*sin[(e_.)
      + (f_.)*(x_)])), x_Symbol] :> Simp[b/(b*c - a*d)   Int[1/(Sqrt[g*Sin[e + f*x]]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]]), x],
      x] - Simp[d/(b*c - a*d)   Int[Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]]/(Sqrt[g*Sin[e + f*x]]*(c + d*Sin[e + f*x])), x], x] /;
      FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && (EqQ[a^2 - b^2, 0] || EqQ[c^2 - d^2, 0])

3418. Int[1/(Sqrt[(g_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]]*Sqrt[(a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]]*((c_) + (d_.)*sin[(e_.)
      + (f_.)*(x_)])), x_Symbol] :> Simp[1/c   Int[1/(Sqrt[g*Sin[e + f*x]]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]]), x], x] - Simp[
      d/(c*g)   Int[Sqrt[g*Sin[e + f*x]]/(Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]]*(c + d*Sin[e + f*x])), x], x] /; FreeQ[{a, b, c,
      d, e, f, g}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && NeQ[a^2 - b^2, 0] && NeQ[c^2 - d^2, 0]

3419. Int[1/(sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]*Sqrt[(a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]]*((c_) + (d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)
      ])), x_Symbol] :> Simp[d^2/(c*(b*c - a*d))   Int[Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]]/(c + d*Sin[e + f*x]), x], x] + Simp[
      1/(c*(b*c - a*d))   Int[(b*c - a*d - b*d*Sin[e + f*x])/(Sin[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]]), x], x] /; Free
      Q[{a, b, c, d, e, f}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && EqQ[a^2 - b^2, 0]

3420. Int[1/(sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]*Sqrt[(a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]]*((c_) + (d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)
      ])), x_Symbol] :> Simp[1/c   Int[1/(Sin[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]]), x], x] - Simp[d/c   Int[1/(Sqrt[a
      + b*Sin[e + f*x]]*(c + d*Sin[e + f*x])), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && NeQ[a^
      2 - b^2, 0]

3421. Int[Sqrt[(a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]]/(sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]*Sqrt[(c_) + (d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x
      _)]]), x_Symbol] :> Simp[-d/c   Int[Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]]/Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]], x], x] + Simp[1/c   Int
      [Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]]*(Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]]/Sin[e + f*x]), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && N
      eQ[b*c - a*d, 0] && EqQ[a^2 - b^2, 0] && EqQ[b*c + a*d, 0]

3422. Int[Sqrt[(a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]]/(sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]*Sqrt[(c_) + (d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x
      _)]]), x_Symbol] :> Simp[-2*(a/f)   Subst[Int[1/(1 - a*c*x^2), x], x, Cos[e + f*x]/(Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]]*S
      qrt[c + d*Sin[e + f*x]])], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && EqQ[a^2 - b^2, 0] && NeQ
      [b*c + a*d, 0]

3423. Int[Sqrt[(a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]]/(sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]*Sqrt[(c_) + (d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x
      _)]]), x_Symbol] :> Simp[(b*c - a*d)/c   Int[1/(Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]]), x], x] + S
      imp[a/c   Int[Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]]/(Sin[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]]), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e
      , f}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && NeQ[a^2 - b^2, 0] && EqQ[c^2 - d^2, 0]

3424. Int[Sqrt[(a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]]/(sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]*Sqrt[(c_) + (d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x
      _)]]), x_Symbol] :> Simp[-2*((a + b*Sin[e + f*x])/(c*f*Rt[(a + b)/(c + d), 2]*Cos[e + f*x]))*Sqrt[(-(b*c - a*d
      ))*((1 - Sin[e + f*x])/((c + d)*(a + b*Sin[e + f*x])))]*Sqrt[(b*c - a*d)*((1 + Sin[e + f*x])/((c - d)*(a + b*S
      in[e + f*x])))]*EllipticPi[a*((c + d)/(c*(a + b))), ArcSin[Rt[(a + b)/(c + d), 2]*(Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]]/Sq
      rt[a + b*Sin[e + f*x]])], (a - b)*((c + d)/((a + b)*(c - d)))], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && NeQ[b*c
      - a*d, 0] && NeQ[a^2 - b^2, 0] && NeQ[c^2 - d^2, 0]

3425. Int[1/(sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]*Sqrt[(a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]]*Sqrt[(c_) + (d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*
      (x_)]]), x_Symbol] :> Simp[Cos[e + f*x]/(Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])   Int[1/(Cos[e + f
      *x]*Sin[e + f*x]), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && EqQ[a^2 - b^2, 0] && EqQ[c^2
      - d^2, 0]

3426. Int[1/(sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]*Sqrt[(a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]]*Sqrt[(c_) + (d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*
      (x_)]]), x_Symbol] :> Simp[-b/a   Int[1/(Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]]), x], x] + Simp[1/a
      Int[Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]]/(Sin[e + f*x]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]]), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x
      ] && NeQ[b*c - a*d, 0] && (NeQ[a^2 - b^2, 0] || NeQ[c^2 - d^2, 0])

3427. Int[(Sqrt[(a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]]*Sqrt[(c_) + (d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]])/sin[(e_.) + (f_.)*
      (x_)], x_Symbol] :> Simp[Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]]*(Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]]/Cos[e + f*x])   Int[Cot[e + f*x],
      x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && EqQ[a^2 - b^2, 0] && EqQ[c^2 - d^2, 0]

3428. Int[(Sqrt[(a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]]*Sqrt[(c_) + (d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]])/sin[(e_.) + (f_.)*
      (x_)], x_Symbol] :> Simp[d   Int[Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]]/Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]], x], x] + Simp[c   Int[Sqrt
      [a + b*Sin[e + f*x]]/(Sin[e + f*x]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]]), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && NeQ[b*
      c - a*d, 0] && (NeQ[a^2 - b^2, 0] || NeQ[c^2 - d^2, 0])

3429. Int[sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]^(p_)*((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_.)*((c_) + (d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*
      (x_)])^(n_.), x_Symbol] :> Simp[a^n*c^n   Int[Tan[e + f*x]^p*(a + b*Sin[e + f*x])^(m - n), x], x] /; FreeQ[{a,
      b, c, d, e, f, m}, x] && EqQ[b*c + a*d, 0] && EqQ[a^2 - b^2, 0] && EqQ[p + 2*n, 0] && IntegerQ[n]

3430. Int[((g_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(p_)*((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_)*((c_) + (d_.)*sin[(e_.) +
      (f_.)*(x_)])^(n_), x_Symbol] :> Simp[Sqrt[a - b*Sin[e + f*x]]*(Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]]/(f*Cos[e + f*x]))   S
      ubst[Int[(g*x)^p*(a + b*x)^(m - 1/2)*((c + d*x)^n/Sqrt[a - b*x]), x], x, Sin[e + f*x]], x] /; FreeQ[{a, b, c,
      d, e, f, g, m, n, p}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && EqQ[a^2 - b^2, 0] && NeQ[c^2 - d^2, 0] && IntegerQ[m - 1/2]

3431. Int[((g_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(p_)*((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_)*((c_) + (d_.)*sin[(e_.) +
      (f_.)*(x_)])^(n_), x_Symbol] :> Int[ExpandTrig[(g*sin[e + f*x])^p*(a + b*sin[e + f*x])^m*(c + d*sin[e + f*x])
      ^n, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, n, p}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && (IntegersQ[m, n] || IntegersQ[m, p
      ] || IntegersQ[n, p]) && NeQ[p, 2]

3432. Int[((g_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(p_)*((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_)*((c_) + (d_.)*sin[(e_.) +
      (f_.)*(x_)])^(n_), x_Symbol] :> Unintegrable[(g*Sin[e + f*x])^p*(a + b*Sin[e + f*x])^m*(c + d*Sin[e + f*x])^n
      , x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, m, n, p}, x] && NeQ[p, 2]

3433. Int[((a_.) + csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.))^(m_.)*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(d_.) + (c_))^(n_.)*((g_.)*sin[(e_.
      ) + (f_.)*(x_)])^(p_.), x_Symbol] :> Simp[g^(m + n)   Int[(g*Sin[e + f*x])^(p - m - n)*(b + a*Sin[e + f*x])^m*
      (d + c*Sin[e + f*x])^n, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, p}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] &&  !IntegerQ[p] &&
      IntegerQ[m] && IntegerQ[n]

3434. Int[((a_.) + csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.))^(m_.)*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(d_.) + (c_))^(n_.)*((g_.)*sin[(e_.
      ) + (f_.)*(x_)])^(p_.), x_Symbol] :> Simp[(g*Csc[e + f*x])^p*(g*Sin[e + f*x])^p   Int[(a + b*Csc[e + f*x])^m*(
      (c + d*Csc[e + f*x])^n/(g*Csc[e + f*x])^p), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, m, n, p}, x] && NeQ[b*c - a*
      d, 0] &&  !IntegerQ[p] &&  !(IntegerQ[m] && IntegerQ[n])

3435. Int[(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(d_.) + (c_))^(n_.)*((g_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(p_.)*((a_) + (b_.)*sin[(e_.)
      + (f_.)*(x_)])^(m_.), x_Symbol] :> Simp[g^n   Int[(g*Sin[e + f*x])^(p - n)*(a + b*Sin[e + f*x])^m*(d + c*Sin[
      e + f*x])^n, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, m, p}, x] && IntegerQ[n]

3436. Int[(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(d_.) + (c_))^(n_)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]^(p_.)*((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*
      (x_)])^(m_.), x_Symbol] :> Int[(b + a*Csc[e + f*x])^m*((c + d*Csc[e + f*x])^n/Csc[e + f*x]^(m + p)), x] /; Fre
      eQ[{a, b, c, d, e, f, n}, x] &&  !IntegerQ[n] && IntegerQ[m] && IntegerQ[p]

3437. Int[(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(d_.) + (c_))^(n_)*((g_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(p_)*((a_) + (b_.)*sin[(e_.) +
      (f_.)*(x_)])^(m_.), x_Symbol] :> Simp[Csc[e + f*x]^p*(g*Sin[e + f*x])^p   Int[(b + a*Csc[e + f*x])^m*((c + d*
      Csc[e + f*x])^n/Csc[e + f*x]^(m + p)), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, n, p}, x] &&  !IntegerQ[n] && Int
      egerQ[m] &&  !IntegerQ[p]

3438. Int[(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(d_.) + (c_))^(n_)*((g_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(p_.)*((a_) + (b_.)*sin[(e_.)
      + (f_.)*(x_)])^(m_), x_Symbol] :> Simp[(g*Sin[e + f*x])^n*((c + d*Csc[e + f*x])^n/(d + c*Sin[e + f*x])^n)   In
      t[(g*Sin[e + f*x])^(p - n)*(a + b*Sin[e + f*x])^m*(d + c*Sin[e + f*x])^n, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g
      , m, n, p}, x] &&  !IntegerQ[n] &&  !IntegerQ[m]

3439. Int[(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(g_.))^(p_.)*((a_.) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_.)*((c_) + (d_.)*sin[(e_.
      ) + (f_.)*(x_)])^(n_.), x_Symbol] :> Simp[g^(m + n)   Int[(g*Csc[e + f*x])^(p - m - n)*(b + a*Csc[e + f*x])^m*
      (d + c*Csc[e + f*x])^n, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, p}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] &&  !IntegerQ[p] &&
      IntegerQ[m] && IntegerQ[n]

3440. Int[(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(g_.))^(p_.)*((a_.) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_.)*((c_) + (d_.)*sin[(e_.
      ) + (f_.)*(x_)])^(n_.), x_Symbol] :> Simp[(g*Csc[e + f*x])^p*(g*Sin[e + f*x])^p   Int[(a + b*Sin[e + f*x])^m*(
      (c + d*Sin[e + f*x])^n/(g*Sin[e + f*x])^p), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, m, n, p}, x] && NeQ[b*c - a*
      d, 0] &&  !IntegerQ[p] &&  !(IntegerQ[m] && IntegerQ[n])

3441. Int[(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(g_.))^(p_.)*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(d_.) + (c_))^(n_.)*((a_) + (b_.)*sin[(e_.)
      + (f_.)*(x_)])^(m_.), x_Symbol] :> Simp[g^m   Int[(g*Csc[e + f*x])^(p - m)*(b + a*Csc[e + f*x])^m*(c + d*Csc[
      e + f*x])^n, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, n, p}, x] && IntegerQ[m]

3442. Int[csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]^(p_.)*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(d_.) + (c_))^(n_.)*((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)
      *(x_)])^(m_), x_Symbol] :> Int[(a + b*Sin[e + f*x])^m*((d + c*Sin[e + f*x])^n/Sin[e + f*x]^(n + p)), x] /; Fre
      eQ[{a, b, c, d, e, f, m}, x] &&  !IntegerQ[m] && IntegerQ[n] && IntegerQ[p]

3443. Int[(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(g_.))^(p_)*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(d_.) + (c_))^(n_.)*((a_) + (b_.)*sin[(e_.)
      + (f_.)*(x_)])^(m_), x_Symbol] :> Simp[Sin[e + f*x]^p*(g*Csc[e + f*x])^p   Int[(a + b*Sin[e + f*x])^m*((d + c*
      Sin[e + f*x])^n/Sin[e + f*x]^(n + p)), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, m, p}, x] &&  !IntegerQ[m] && Int
      egerQ[n] &&  !IntegerQ[p]

3444. Int[(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(g_.))^(p_.)*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(d_.) + (c_))^(n_)*((a_) + (b_.)*sin[(e_.)
      + (f_.)*(x_)])^(m_), x_Symbol] :> Simp[(a + b*Sin[e + f*x])^m*((g*Csc[e + f*x])^m/(b + a*Csc[e + f*x])^m)   In
      t[(g*Csc[e + f*x])^(p - m)*(b + a*Csc[e + f*x])^m*(c + d*Csc[e + f*x])^n, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g
      , m, n, p}, x] &&  !IntegerQ[m] &&  !IntegerQ[n]

3445. Int[sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]^(n_.)*((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_.)*((A_.) + (B_.)*sin[(e_.) + (f_.
      )*(x_)]), x_Symbol] :> Int[ExpandTrig[sin[e + f*x]^n*(a + b*sin[e + f*x])^m*(A + B*sin[e + f*x]), x], x] /; Fr
      eeQ[{a, b, e, f, A, B}, x] && EqQ[A*b + a*B, 0] && EqQ[a^2 - b^2, 0] && IntegerQ[m] && IntegerQ[n]

3446. Int[((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_.)*((A_.) + (B_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])*((c_) + (d_.)*sin[(e_
      .) + (f_.)*(x_)])^(n_.), x_Symbol] :> Simp[a^m*c^m   Int[Cos[e + f*x]^(2*m)*(c + d*Sin[e + f*x])^(n - m)*(A +
      B*Sin[e + f*x]), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, A, B, n}, x] && EqQ[b*c + a*d, 0] && EqQ[a^2 - b^2, 0] &&
      IntegerQ[m] &&  !(IntegerQ[n] && ((LtQ[m, 0] && GtQ[n, 0]) || LtQ[0, n, m] || LtQ[m, n, 0]))

3447. Int[((a_.) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_.)*((A_.) + (B_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])*((c_.) + (d_.)*sin[(
      e_.) + (f_.)*(x_)]), x_Symbol] :> Int[(a + b*Sin[e + f*x])^m*(A*c + (B*c + A*d)*Sin[e + f*x] + B*d*Sin[e + f*x
      ]^2), x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, A, B, m}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0]

3448. Int[((A_.) + (B_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])/(Sqrt[(a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]]*Sqrt[(c_) + (d_.)*sin[
      (e_.) + (f_.)*(x_)]]), x_Symbol] :> Simp[(A*b + a*B)/(2*a*b)   Int[Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]]/Sqrt[c + d*Sin[e +
      f*x]], x], x] + Simp[(B*c + A*d)/(2*c*d)   Int[Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]]/Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]], x], x] /; F
      reeQ[{a, b, c, d, e, f, A, B}, x] && EqQ[b*c + a*d, 0] && EqQ[a^2 - b^2, 0]

3449. Int[((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_)*((A_.) + (B_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])*((c_) + (d_.)*sin[(e_.
      ) + (f_.)*(x_)])^(n_.), x_Symbol] :> Simp[(-B)*Cos[e + f*x]*(a + b*Sin[e + f*x])^m*((c + d*Sin[e + f*x])^n/(f*
      (m + n + 1))), x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, A, B, m, n}, x] && EqQ[b*c + a*d, 0] && EqQ[a^2 - b^2, 0] && EqQ
      [A*b*(m + n + 1) + a*B*(m - n), 0] && NeQ[m, -2^(-1)]

3450. Int[Sqrt[(a_.) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]]*((A_.) + (B_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])*((c_) + (d_.)*sin[(e_.
      ) + (f_.)*(x_)])^(n_), x_Symbol] :> Simp[B/d   Int[Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]]*(c + d*Sin[e + f*x])^(n + 1), x],
      x] - Simp[(B*c - A*d)/d   Int[Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]]*(c + d*Sin[e + f*x])^n, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e,
      f, A, B, n}, x] && EqQ[b*c + a*d, 0] && EqQ[a^2 - b^2, 0]

3451. Int[((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_)*((A_.) + (B_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])*((c_) + (d_.)*sin[(e_.
      ) + (f_.)*(x_)])^(n_.), x_Symbol] :> Simp[(A*b - a*B)*Cos[e + f*x]*(a + b*Sin[e + f*x])^m*((c + d*Sin[e + f*x]
      )^n/(a*f*(2*m + 1))), x] + Simp[(a*B*(m - n) + A*b*(m + n + 1))/(a*b*(2*m + 1))   Int[(a + b*Sin[e + f*x])^(m
      + 1)*(c + d*Sin[e + f*x])^n, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, A, B, m, n}, x] && EqQ[b*c + a*d, 0] && EqQ[a^
      2 - b^2, 0] && (LtQ[m, -2^(-1)] || (ILtQ[m + n, 0] &&  !SumSimplerQ[n, 1])) && NeQ[2*m + 1, 0]

3452. Int[((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_.)*((A_.) + (B_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])*((c_) + (d_.)*sin[(e_
      .) + (f_.)*(x_)])^(n_), x_Symbol] :> Simp[(-B)*Cos[e + f*x]*(a + b*Sin[e + f*x])^m*((c + d*Sin[e + f*x])^n/(f*
      (m + n + 1))), x] - Simp[(B*c*(m - n) - A*d*(m + n + 1))/(d*(m + n + 1))   Int[(a + b*Sin[e + f*x])^m*(c + d*S
      in[e + f*x])^n, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, A, B, m, n}, x] && EqQ[b*c + a*d, 0] && EqQ[a^2 - b^2, 0] &
      &  !LtQ[m, -2^(-1)] && NeQ[m + n + 1, 0]

3453. Int[((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_)*((A_.) + (B_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])*((c_.) + (d_.)*sin[(e_
      .) + (f_.)*(x_)])^(n_), x_Symbol] :> Simp[(B*c - A*d)*Cos[e + f*x]*(a + b*Sin[e + f*x])^m*((c + d*Sin[e + f*x]
      )^(n + 1)/(f*(n + 1)*(c^2 - d^2))), x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, A, B, m, n}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && EqQ
      [a^2 - b^2, 0] && NeQ[c^2 - d^2, 0] && EqQ[m + n + 2, 0] && EqQ[A*(a*d*m + b*c*(n + 1)) - B*(a*c*m + b*d*(n +
      1)), 0]

3454. Int[((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_)*((A_.) + (B_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])*((c_.) + (d_.)*sin[(e_
      .) + (f_.)*(x_)])^(n_), x_Symbol] :> Simp[(-b^2)*(B*c - A*d)*Cos[e + f*x]*(a + b*Sin[e + f*x])^(m - 1)*((c + d
      *Sin[e + f*x])^(n + 1)/(d*f*(n + 1)*(b*c + a*d))), x] - Simp[b/(d*(n + 1)*(b*c + a*d))   Int[(a + b*Sin[e + f*
      x])^(m - 1)*(c + d*Sin[e + f*x])^(n + 1)*Simp[a*A*d*(m - n - 2) - B*(a*c*(m - 1) + b*d*(n + 1)) - (A*b*d*(m +
      n + 1) - B*(b*c*m - a*d*(n + 1)))*Sin[e + f*x], x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, A, B}, x] && NeQ[b*c -
      a*d, 0] && EqQ[a^2 - b^2, 0] && NeQ[c^2 - d^2, 0] && GtQ[m, 1/2] && LtQ[n, -1] && IntegerQ[2*m] && (IntegerQ[2
      *n] || EqQ[c, 0])

3455. Int[((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_)*((A_.) + (B_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])*((c_.) + (d_.)*sin[(e_
      .) + (f_.)*(x_)])^(n_), x_Symbol] :> Simp[(-b)*B*Cos[e + f*x]*(a + b*Sin[e + f*x])^(m - 1)*((c + d*Sin[e + f*x
      ])^(n + 1)/(d*f*(m + n + 1))), x] + Simp[1/(d*(m + n + 1))   Int[(a + b*Sin[e + f*x])^(m - 1)*(c + d*Sin[e + f
      *x])^n*Simp[a*A*d*(m + n + 1) + B*(a*c*(m - 1) + b*d*(n + 1)) + (A*b*d*(m + n + 1) - B*(b*c*m - a*d*(2*m + n))
      )*Sin[e + f*x], x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, A, B, n}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && EqQ[a^2 - b^2, 0]
      && NeQ[c^2 - d^2, 0] && GtQ[m, 1/2] &&  !LtQ[n, -1] && IntegerQ[2*m] && (IntegerQ[2*n] || EqQ[c, 0])

3456. Int[((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_)*((A_.) + (B_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])*((c_.) + (d_.)*sin[(e_
      .) + (f_.)*(x_)])^(n_), x_Symbol] :> Simp[(A*b - a*B)*Cos[e + f*x]*(a + b*Sin[e + f*x])^m*((c + d*Sin[e + f*x]
      )^n/(a*f*(2*m + 1))), x] - Simp[1/(a*b*(2*m + 1))   Int[(a + b*Sin[e + f*x])^(m + 1)*(c + d*Sin[e + f*x])^(n -
      1)*Simp[A*(a*d*n - b*c*(m + 1)) - B*(a*c*m + b*d*n) - d*(a*B*(m - n) + A*b*(m + n + 1))*Sin[e + f*x], x], x],
      x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, A, B}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && EqQ[a^2 - b^2, 0] && NeQ[c^2 - d^2, 0] && Lt
      Q[m, -2^(-1)] && GtQ[n, 0] && IntegerQ[2*m] && (IntegerQ[2*n] || EqQ[c, 0])

3457. Int[((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_)*((A_.) + (B_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])*((c_.) + (d_.)*sin[(e_
      .) + (f_.)*(x_)])^(n_), x_Symbol] :> Simp[b*(A*b - a*B)*Cos[e + f*x]*(a + b*Sin[e + f*x])^m*((c + d*Sin[e + f*
      x])^(n + 1)/(a*f*(2*m + 1)*(b*c - a*d))), x] + Simp[1/(a*(2*m + 1)*(b*c - a*d))   Int[(a + b*Sin[e + f*x])^(m
      + 1)*(c + d*Sin[e + f*x])^n*Simp[B*(a*c*m + b*d*(n + 1)) + A*(b*c*(m + 1) - a*d*(2*m + n + 2)) + d*(A*b - a*B)
      *(m + n + 2)*Sin[e + f*x], x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, A, B, n}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && EqQ[a^2
      - b^2, 0] && NeQ[c^2 - d^2, 0] && LtQ[m, -2^(-1)] &&  !GtQ[n, 0] && IntegerQ[2*m] && (IntegerQ[2*n] || EqQ[c,
      0])

3458. Int[Sqrt[(a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]]*((A_.) + (B_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])*((c_.) + (d_.)*sin[(e_.
      ) + (f_.)*(x_)])^(n_), x_Symbol] :> Simp[-2*b*B*Cos[e + f*x]*((c + d*Sin[e + f*x])^(n + 1)/(d*f*(2*n + 3)*Sqrt
      [a + b*Sin[e + f*x]])), x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, A, B, n}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && EqQ[a^2 - b^2, 0]
      && NeQ[c^2 - d^2, 0] && EqQ[A*b*d*(2*n + 3) - B*(b*c - 2*a*d*(n + 1)), 0]

3459. Int[Sqrt[(a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]]*((A_.) + (B_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])*((c_.) + (d_.)*sin[(e_.
      ) + (f_.)*(x_)])^(n_), x_Symbol] :> Simp[(-b^2)*(B*c - A*d)*Cos[e + f*x]*((c + d*Sin[e + f*x])^(n + 1)/(d*f*(n
      + 1)*(b*c + a*d)*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]])), x] + Simp[(A*b*d*(2*n + 3) - B*(b*c - 2*a*d*(n + 1)))/(2*d*(n +
      1)*(b*c + a*d))   Int[Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]]*(c + d*Sin[e + f*x])^(n + 1), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f
      , A, B}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && EqQ[a^2 - b^2, 0] && NeQ[c^2 - d^2, 0] && LtQ[n, -1]

3460. Int[Sqrt[(a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]]*((A_.) + (B_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])*((c_.) + (d_.)*sin[(e_.
      ) + (f_.)*(x_)])^(n_), x_Symbol] :> Simp[-2*b*B*Cos[e + f*x]*((c + d*Sin[e + f*x])^(n + 1)/(d*f*(2*n + 3)*Sqrt
      [a + b*Sin[e + f*x]])), x] + Simp[(A*b*d*(2*n + 3) - B*(b*c - 2*a*d*(n + 1)))/(b*d*(2*n + 3))   Int[Sqrt[a + b
      *Sin[e + f*x]]*(c + d*Sin[e + f*x])^n, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, A, B, n}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] &&
      EqQ[a^2 - b^2, 0] && NeQ[c^2 - d^2, 0] &&  !LtQ[n, -1]

3461. Int[((A_.) + (B_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])/(Sqrt[(a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]]*Sqrt[(c_.) + (d_.)*sin
      [(e_.) + (f_.)*(x_)]]), x_Symbol] :> Simp[(A*b - a*B)/b   Int[1/(Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c + d*Sin[e + f
      *x]]), x], x] + Simp[B/b   Int[Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]]/Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d,
      e, f, A, B}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && EqQ[a^2 - b^2, 0] && NeQ[c^2 - d^2, 0]

3462. Int[((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_)*((A_.) + (B_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])*((c_.) + (d_.)*sin[(e_
      .) + (f_.)*(x_)])^(n_), x_Symbol] :> Simp[(-B)*Cos[e + f*x]*(a + b*Sin[e + f*x])^m*((c + d*Sin[e + f*x])^n/(f*
      (m + n + 1))), x] + Simp[1/(b*(m + n + 1))   Int[(a + b*Sin[e + f*x])^m*(c + d*Sin[e + f*x])^(n - 1)*Simp[A*b*
      c*(m + n + 1) + B*(a*c*m + b*d*n) + (A*b*d*(m + n + 1) + B*(a*d*m + b*c*n))*Sin[e + f*x], x], x], x] /; FreeQ[
      {a, b, c, d, e, f, A, B, m}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && EqQ[a^2 - b^2, 0] && NeQ[c^2 - d^2, 0] && GtQ[n, 0] &&
      (IntegerQ[n] || EqQ[m + 1/2, 0])

3463. Int[((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_)*((A_.) + (B_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])*((c_.) + (d_.)*sin[(e_
      .) + (f_.)*(x_)])^(n_), x_Symbol] :> Simp[(B*c - A*d)*Cos[e + f*x]*(a + b*Sin[e + f*x])^m*((c + d*Sin[e + f*x]
      )^(n + 1)/(f*(n + 1)*(c^2 - d^2))), x] + Simp[1/(b*(n + 1)*(c^2 - d^2))   Int[(a + b*Sin[e + f*x])^m*(c + d*Si
      n[e + f*x])^(n + 1)*Simp[A*(a*d*m + b*c*(n + 1)) - B*(a*c*m + b*d*(n + 1)) + b*(B*c - A*d)*(m + n + 2)*Sin[e +
      f*x], x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, A, B, m}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && EqQ[a^2 - b^2, 0] && NeQ[c^
      2 - d^2, 0] && LtQ[n, -1] && (IntegerQ[n] || EqQ[m + 1/2, 0])

3464. Int[((A_.) + (B_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])/(Sqrt[(a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]]*((c_.) + (d_.)*sin[(e_
      .) + (f_.)*(x_)])), x_Symbol] :> Simp[(A*b - a*B)/(b*c - a*d)   Int[1/Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]], x], x] + Simp[
      (B*c - A*d)/(b*c - a*d)   Int[Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]]/(c + d*Sin[e + f*x]), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f
      , A, B}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && EqQ[a^2 - b^2, 0] && NeQ[c^2 - d^2, 0]

3465. Int[(((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_)*((A_.) + (B_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]))/((c_.) + (d_.)*sin[(
      e_.) + (f_.)*(x_)]), x_Symbol] :> Simp[B/d   Int[(a + b*Sin[e + f*x])^m, x], x] - Simp[(B*c - A*d)/d   Int[(a
      + b*Sin[e + f*x])^m/(c + d*Sin[e + f*x]), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, A, B, m}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0]
      && EqQ[a^2 - b^2, 0] && NeQ[c^2 - d^2, 0] && NeQ[m + 1/2, 0]

3466. Int[((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_.)*((A_.) + (B_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])*((c_.) + (d_.)*sin[(e
      _.) + (f_.)*(x_)])^(n_), x_Symbol] :> Simp[(A*b - a*B)/b   Int[(a + b*Sin[e + f*x])^m*(c + d*Sin[e + f*x])^n,
      x], x] + Simp[B/b   Int[(a + b*Sin[e + f*x])^(m + 1)*(c + d*Sin[e + f*x])^n, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f
      , A, B, m, n}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && EqQ[a^2 - b^2, 0] && NeQ[c^2 - d^2, 0] && NeQ[A*b + a*B, 0]

3467. Int[((a_.) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^2*((A_.) + (B_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])*((c_.) + (d_.)*sin[(e_.)
      + (f_.)*(x_)])^(n_), x_Symbol] :> Simp[(B*c - A*d)*(b*c - a*d)^2*Cos[e + f*x]*((c + d*Sin[e + f*x])^(n + 1)/(
      f*d^2*(n + 1)*(c^2 - d^2))), x] - Simp[1/(d^2*(n + 1)*(c^2 - d^2))   Int[(c + d*Sin[e + f*x])^(n + 1)*Simp[d*(
      n + 1)*(B*(b*c - a*d)^2 - A*d*(a^2*c + b^2*c - 2*a*b*d)) - ((B*c - A*d)*(a^2*d^2*(n + 2) + b^2*(c^2 + d^2*(n +
      1))) + 2*a*b*d*(A*c*d*(n + 2) - B*(c^2 + d^2*(n + 1))))*Sin[e + f*x] - b^2*B*d*(n + 1)*(c^2 - d^2)*Sin[e + f*
      x]^2, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, A, B}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && NeQ[a^2 - b^2, 0] && NeQ[c^2 -
      d^2, 0] && LtQ[n, -1]

3468. Int[((a_.) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_)*((A_.) + (B_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])*((c_.) + (d_.)*sin[(e
      _.) + (f_.)*(x_)])^(n_), x_Symbol] :> Simp[(-(b*c - a*d))*(B*c - A*d)*Cos[e + f*x]*(a + b*Sin[e + f*x])^(m - 1
      )*((c + d*Sin[e + f*x])^(n + 1)/(d*f*(n + 1)*(c^2 - d^2))), x] + Simp[1/(d*(n + 1)*(c^2 - d^2))   Int[(a + b*S
      in[e + f*x])^(m - 2)*(c + d*Sin[e + f*x])^(n + 1)*Simp[b*(b*c - a*d)*(B*c - A*d)*(m - 1) + a*d*(a*A*c + b*B*c
      - (A*b + a*B)*d)*(n + 1) + (b*(b*d*(B*c - A*d) + a*(A*c*d + B*(c^2 - 2*d^2)))*(n + 1) - a*(b*c - a*d)*(B*c - A
      *d)*(n + 2))*Sin[e + f*x] + b*(d*(A*b*c + a*B*c - a*A*d)*(m + n + 1) - b*B*(c^2*m + d^2*(n + 1)))*Sin[e + f*x]
      ^2, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, A, B}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && NeQ[a^2 - b^2, 0] && NeQ[c^2 - d^
      2, 0] && GtQ[m, 1] && LtQ[n, -1]

3469. Int[((a_.) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_)*((A_.) + (B_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])*((c_.) + (d_.)*sin[(e
      _.) + (f_.)*(x_)])^(n_), x_Symbol] :> Simp[(-b)*B*Cos[e + f*x]*(a + b*Sin[e + f*x])^(m - 1)*((c + d*Sin[e + f*
      x])^(n + 1)/(d*f*(m + n + 1))), x] + Simp[1/(d*(m + n + 1))   Int[(a + b*Sin[e + f*x])^(m - 2)*(c + d*Sin[e +
      f*x])^n*Simp[a^2*A*d*(m + n + 1) + b*B*(b*c*(m - 1) + a*d*(n + 1)) + (a*d*(2*A*b + a*B)*(m + n + 1) - b*B*(a*c
      - b*d*(m + n)))*Sin[e + f*x] + b*(A*b*d*(m + n + 1) - B*(b*c*m - a*d*(2*m + n)))*Sin[e + f*x]^2, x], x], x] /
      ; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, A, B, n}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && NeQ[a^2 - b^2, 0] && NeQ[c^2 - d^2, 0] && GtQ[
      m, 1] &&  !(IGtQ[n, 1] && ( !IntegerQ[m] || (EqQ[a, 0] && NeQ[c, 0])))

3470. Int[(((A_.) + (B_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])*Sqrt[(c_) + (d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]])/((b_.)*sin[(e_.) + (f
      _.)*(x_)])^(3/2), x_Symbol] :> Simp[B*(d/b^2)   Int[Sqrt[b*Sin[e + f*x]]/Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]], x], x] + In
      t[(A*c + (B*c + A*d)*Sin[e + f*x])/((b*Sin[e + f*x])^(3/2)*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]]), x] /; FreeQ[{b, c, d, e,
      f, A, B}, x] && NeQ[c^2 - d^2, 0]

3471. Int[(((A_.) + (B_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])*Sqrt[(c_.) + (d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]])/((a_) + (b_.)*sin[(e
      _.) + (f_.)*(x_)])^(3/2), x_Symbol] :> Simp[B/b   Int[Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]]/Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]], x], x
      ] + Simp[(A*b - a*B)/b   Int[Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]]/(a + b*Sin[e + f*x])^(3/2), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d,
      e, f, A, B}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && NeQ[a^2 - b^2, 0] && NeQ[c^2 - d^2, 0]

3472. Int[((A_.) + (B_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])/(Sqrt[(d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]]*((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_
      .)*(x_)])^(3/2)), x_Symbol] :> Simp[2*(A*b - a*B)*(Cos[e + f*x]/(f*(a^2 - b^2)*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]]*Sqrt[d
      *Sin[e + f*x]])), x] + Simp[d/(a^2 - b^2)   Int[(A*b - a*B + (a*A - b*B)*Sin[e + f*x])/(Sqrt[a + b*Sin[e + f*x
      ]]*(d*Sin[e + f*x])^(3/2)), x], x] /; FreeQ[{a, b, d, e, f, A, B}, x] && NeQ[a^2 - b^2, 0]

3473. Int[((A_) + (B_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])/(((b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(3/2)*Sqrt[(c_) + (d_.)*sin[(e_.)
      + (f_.)*(x_)]]), x_Symbol] :> Simp[-2*A*(c - d)*(Tan[e + f*x]/(f*b*c^2))*Rt[(c + d)/b, 2]*Sqrt[c*((1 + Csc[e +
      f*x])/(c - d))]*Sqrt[c*((1 - Csc[e + f*x])/(c + d))]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]]/Sqrt[b*Sin[e +
      f*x]]/Rt[(c + d)/b, 2]], -(c + d)/(c - d)], x] /; FreeQ[{b, c, d, e, f, A, B}, x] && NeQ[c^2 - d^2, 0] && EqQ
      [A, B] && PosQ[(c + d)/b]

3474. Int[((A_) + (B_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])/(((b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(3/2)*Sqrt[(c_) + (d_.)*sin[(e_.)
      + (f_.)*(x_)]]), x_Symbol] :> Simp[-Sqrt[(-b)*Sin[e + f*x]]/Sqrt[b*Sin[e + f*x]]   Int[(A + B*Sin[e + f*x])/((
      (-b)*Sin[e + f*x])^(3/2)*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]]), x], x] /; FreeQ[{b, c, d, e, f, A, B}, x] && NeQ[c^2 - d^2
      , 0] && EqQ[A, B] && NegQ[(c + d)/b]

3475. Int[((A_) + (B_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])/(((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(3/2)*Sqrt[(c_) + (d_.)*sin
      [(e_.) + (f_.)*(x_)]]), x_Symbol] :> Simp[-2*A*(c - d)*((a + b*Sin[e + f*x])/(f*(b*c - a*d)^2*Rt[(a + b)/(c +
      d), 2]*Cos[e + f*x]))*Sqrt[(b*c - a*d)*((1 + Sin[e + f*x])/((c - d)*(a + b*Sin[e + f*x])))]*Sqrt[(-(b*c - a*d)
      )*((1 - Sin[e + f*x])/((c + d)*(a + b*Sin[e + f*x])))]*EllipticE[ArcSin[Rt[(a + b)/(c + d), 2]*(Sqrt[c + d*Sin
      [e + f*x]]/Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]])], (a - b)*((c + d)/((a + b)*(c - d)))], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, A,
      B}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && NeQ[a^2 - b^2, 0] && NeQ[c^2 - d^2, 0] && EqQ[A, B] && PosQ[(a + b)/(c + d)]

3476. Int[((A_) + (B_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])/(((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(3/2)*Sqrt[(c_) + (d_.)*sin
      [(e_.) + (f_.)*(x_)]]), x_Symbol] :> Simp[Sqrt[-c - d*Sin[e + f*x]]/Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]]   Int[(A + B*Sin[
      e + f*x])/((a + b*Sin[e + f*x])^(3/2)*Sqrt[-c - d*Sin[e + f*x]]), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, A, B}, x]
      && NeQ[b*c - a*d, 0] && NeQ[a^2 - b^2, 0] && NeQ[c^2 - d^2, 0] && EqQ[A, B] && NegQ[(a + b)/(c + d)]

3477. Int[((A_.) + (B_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])/(((a_.) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(3/2)*Sqrt[(c_) + (d_.)*s
      in[(e_.) + (f_.)*(x_)]]), x_Symbol] :> Simp[(A - B)/(a - b)   Int[1/(Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c + d*Sin[e
      + f*x]]), x], x] - Simp[(A*b - a*B)/(a - b)   Int[(1 + Sin[e + f*x])/((a + b*Sin[e + f*x])^(3/2)*Sqrt[c + d*S
      in[e + f*x]]), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, A, B}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && NeQ[a^2 - b^2, 0] && NeQ[c
      ^2 - d^2, 0] && NeQ[A, B]

3478. Int[((a_.) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_)*((A_.) + (B_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])*((c_.) + (d_.)*sin[(e
      _.) + (f_.)*(x_)])^(n_), x_Symbol] :> Simp[(B*a - A*b)*Cos[e + f*x]*(a + b*Sin[e + f*x])^(m + 1)*((c + d*Sin[e
      + f*x])^n/(f*(m + 1)*(a^2 - b^2))), x] + Simp[1/((m + 1)*(a^2 - b^2))   Int[(a + b*Sin[e + f*x])^(m + 1)*(c +
      d*Sin[e + f*x])^(n - 1)*Simp[c*(a*A - b*B)*(m + 1) + d*n*(A*b - a*B) + (d*(a*A - b*B)*(m + 1) - c*(A*b - a*B)
      *(m + 2))*Sin[e + f*x] - d*(A*b - a*B)*(m + n + 2)*Sin[e + f*x]^2, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, A, B
      }, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && NeQ[a^2 - b^2, 0] && NeQ[c^2 - d^2, 0] && LtQ[m, -1] && GtQ[n, 0]

3479. Int[((a_.) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_)*((A_.) + (B_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])*((c_.) + (d_.)*sin[(e
      _.) + (f_.)*(x_)])^(n_), x_Symbol] :> Simp[(-(A*b^2 - a*b*B))*Cos[e + f*x]*(a + b*Sin[e + f*x])^(m + 1)*((c +
      d*Sin[e + f*x])^(1 + n)/(f*(m + 1)*(b*c - a*d)*(a^2 - b^2))), x] + Simp[1/((m + 1)*(b*c - a*d)*(a^2 - b^2))
      Int[(a + b*Sin[e + f*x])^(m + 1)*(c + d*Sin[e + f*x])^n*Simp[(a*A - b*B)*(b*c - a*d)*(m + 1) + b*d*(A*b - a*B)
      *(m + n + 2) + (A*b - a*B)*(a*d*(m + 1) - b*c*(m + 2))*Sin[e + f*x] - b*d*(A*b - a*B)*(m + n + 3)*Sin[e + f*x]
      ^2, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, A, B, n}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && NeQ[a^2 - b^2, 0] && NeQ[c^2 -
      d^2, 0] && RationalQ[m] && m < -1 && ((EqQ[a, 0] && IntegerQ[m] &&  !IntegerQ[n]) ||  !(IntegerQ[2*n] && LtQ[
      n, -1] && ((IntegerQ[n] &&  !IntegerQ[m]) || EqQ[a, 0])))

3480. Int[((A_.) + (B_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])/(((a_.) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])*((c_.) + (d_.)*sin[(e_.)
      + (f_.)*(x_)])), x_Symbol] :> Simp[(A*b - a*B)/(b*c - a*d)   Int[1/(a + b*Sin[e + f*x]), x], x] + Simp[(B*c -
      A*d)/(b*c - a*d)   Int[1/(c + d*Sin[e + f*x]), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, A, B}, x] && NeQ[b*c - a*d,
      0] && NeQ[a^2 - b^2, 0] && NeQ[c^2 - d^2, 0]

3481. Int[(((a_.) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_)*((A_.) + (B_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]))/((c_.) + (d_.)*sin[
      (e_.) + (f_.)*(x_)]), x_Symbol] :> Simp[B/d   Int[(a + b*Sin[e + f*x])^m, x], x] - Simp[(B*c - A*d)/d   Int[(a
      + b*Sin[e + f*x])^m/(c + d*Sin[e + f*x]), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, A, B, m}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0
      ] && NeQ[a^2 - b^2, 0] && NeQ[c^2 - d^2, 0]

3482. Int[Sqrt[(a_.) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]]*((A_.) + (B_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])*((c_.) + (d_.)*sin[(e_
      .) + (f_.)*(x_)])^(n_), x_Symbol] :> Simp[-2*B*Cos[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]]*((c + d*Sin[e + f*x])^n/(
      f*(2*n + 3))), x] + Simp[1/(2*n + 3)   Int[((c + d*Sin[e + f*x])^(n - 1)/Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]])*Simp[a*A*c*
      (2*n + 3) + B*(b*c + 2*a*d*n) + (B*(a*c + b*d)*(2*n + 1) + A*(b*c + a*d)*(2*n + 3))*Sin[e + f*x] + (A*b*d*(2*n
      + 3) + B*(a*d + 2*b*c*n))*Sin[e + f*x]^2, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, A, B}, x] && NeQ[b*c - a*d,
      0] && NeQ[a^2 - b^2, 0] && NeQ[c^2 - d^2, 0] && EqQ[n^2, 1/4]

3483. Int[((A_) + (B_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])/(Sqrt[sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]]*Sqrt[(a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*
      (x_)]]), x_Symbol] :> Simp[4*(A/(f*Sqrt[a + b]))*EllipticPi[-1, -ArcSin[Cos[e + f*x]/(1 + Sin[e + f*x])], -(a
      - b)/(a + b)], x] /; FreeQ[{a, b, e, f, A, B}, x] && GtQ[b, 0] && GtQ[b^2 - a^2, 0] && EqQ[A, B]

3484. Int[((A_) + (B_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])/(Sqrt[(d_)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]]*Sqrt[(a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (
      f_.)*(x_)]]), x_Symbol] :> Simp[Sqrt[Sin[e + f*x]]/Sqrt[d*Sin[e + f*x]]   Int[(A + B*Sin[e + f*x])/(Sqrt[Sin[e
      + f*x]]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]]), x], x] /; FreeQ[{a, b, e, f, d, A, B}, x] && GtQ[b, 0] && GtQ[b^2 - a^2, 0
      ] && EqQ[A, B]

3485. Int[((A_.) + (B_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])/(Sqrt[(a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]]*Sqrt[(c_.) + (d_.)*sin
      [(e_.) + (f_.)*(x_)]]), x_Symbol] :> Simp[B/d   Int[Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]]/Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]], x], x]
      - Simp[(B*c - A*d)/d   Int[1/(Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]]), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d,
      e, f, A, B}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && NeQ[a^2 - b^2, 0] && NeQ[c^2 - d^2, 0]

3486. Int[((a_.) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_)*((A_.) + (B_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])*((c_.) + (d_.)*sin[(e
      _.) + (f_.)*(x_)])^(n_.), x_Symbol] :> Unintegrable[(a + b*Sin[e + f*x])^m*(A + B*Sin[e + f*x])*(c + d*Sin[e +
      f*x])^n, x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, A, B, m, n}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && NeQ[a^2 - b^2, 0] && NeQ[c^2
      - d^2, 0]

3487. Int[((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_.)*((A_.) + (B_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(p_)*((c_) + (d_.)*si
      n[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_.), x_Symbol] :> Simp[Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]]*(Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]]/(f*Cos[e +
      f*x]))   Subst[Int[(a + b*x)^(m - 1/2)*(c + d*x)^(n - 1/2)*(A + B*x)^p, x], x, Sin[e + f*x]], x] /; FreeQ[{a,
      b, c, d, e, f, A, B, m, n, p}, x] && EqQ[b*c + a*d, 0] && EqQ[a^2 - b^2, 0]

3488. Int[((A_.) + cos[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(B_.))^(p_)*(cos[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_))^(m_.)*(cos[(e_.) + (f_
      .)*(x_)]*(d_.) + (c_))^(n_.), x_Symbol] :> Simp[(-Sqrt[a + b*Cos[e + f*x]])*(Sqrt[c + d*Cos[e + f*x]]/(f*Sin[e
      + f*x]))   Subst[Int[(a + b*x)^(m - 1/2)*(c + d*x)^(n - 1/2)*(A + B*x)^p, x], x, Cos[e + f*x]], x] /; FreeQ[{
      a, b, c, d, e, f, A, B, m, n, p}, x] && EqQ[b*c + a*d, 0] && EqQ[a^2 - b^2, 0]

3489. Int[((b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_.)*((B_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)] + (C_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2), x
      _Symbol] :> Simp[1/b   Int[(b*Sin[e + f*x])^(m + 1)*(B + C*Sin[e + f*x]), x], x] /; FreeQ[{b, e, f, B, C, m},
      x]

3490. Int[((b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_.)*((A_) + (C_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2), x_Symbol] :> Simp[A*Cos[e
      + f*x]*((b*Sin[e + f*x])^(m + 1)/(b*f*(m + 1))), x] /; FreeQ[{b, e, f, A, C, m}, x] && EqQ[A*(m + 2) + C*(m +
      1), 0]

3491. Int[((b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_)*((A_) + (C_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2), x_Symbol] :> Simp[A*Cos[e +
      f*x]*((b*Sin[e + f*x])^(m + 1)/(b*f*(m + 1))), x] + Simp[(A*(m + 2) + C*(m + 1))/(b^2*(m + 1))   Int[(b*Sin[e
      + f*x])^(m + 2), x], x] /; FreeQ[{b, e, f, A, C}, x] && LtQ[m, -1]

3492. Int[sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]^(m_.)*((A_) + (C_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2), x_Symbol] :> Simp[-f^(-1)   Subst[
      Int[(1 - x^2)^((m - 1)/2)*(A + C - C*x^2), x], x, Cos[e + f*x]], x] /; FreeQ[{e, f, A, C}, x] && IGtQ[(m + 1)/
      2, 0]

3493. Int[((b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_.)*((A_) + (C_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2), x_Symbol] :> Simp[(-C)*Cos
      [e + f*x]*((b*Sin[e + f*x])^(m + 1)/(b*f*(m + 2))), x] + Simp[(A*(m + 2) + C*(m + 1))/(m + 2)   Int[(b*Sin[e +
      f*x])^m, x], x] /; FreeQ[{b, e, f, A, C, m}, x] &&  !LtQ[m, -1]

3494. Int[((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_.)*((A_.) + (B_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)] + (C_.)*sin[(e_.) + (f
      _.)*(x_)]^2), x_Symbol] :> Simp[1/b^2   Int[(a + b*Sin[e + f*x])^(m + 1)*Simp[b*B - a*C + b*C*Sin[e + f*x], x]
      , x], x] /; FreeQ[{a, b, e, f, A, B, C, m}, x] && EqQ[A*b^2 - a*b*B + a^2*C, 0]

3495. Int[((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_.)*((A_.) + (C_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2), x_Symbol] :> Simp[
      C/b^2   Int[(a + b*Sin[e + f*x])^(m + 1)*Simp[-a + b*Sin[e + f*x], x], x], x] /; FreeQ[{a, b, e, f, A, C, m},
      x] && EqQ[A*b^2 + a^2*C, 0]

3496. Int[((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_.)*((A_.) + (B_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)] + (C_.)*sin[(e_.) + (f
      _.)*(x_)]^2), x_Symbol] :> Simp[(A - C)   Int[(a + b*Sin[e + f*x])^m*(1 + Sin[e + f*x]), x], x] + Simp[C   Int
      [(a + b*Sin[e + f*x])^m*(1 + Sin[e + f*x])^2, x], x] /; FreeQ[{a, b, e, f, A, B, C, m}, x] && EqQ[A - B + C, 0
      ] &&  !IntegerQ[2*m]

3497. Int[((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_.)*((A_.) + (C_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2), x_Symbol] :> Simp[
      (A - C)   Int[(a + b*Sin[e + f*x])^m*(1 + Sin[e + f*x]), x], x] + Simp[C   Int[(a + b*Sin[e + f*x])^m*(1 + Sin
      [e + f*x])^2, x], x] /; FreeQ[{a, b, e, f, A, C, m}, x] && EqQ[A + C, 0] &&  !IntegerQ[2*m]

3498. Int[((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_)*((A_.) + (B_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)] + (C_.)*sin[(e_.) + (f_
      .)*(x_)]^2), x_Symbol] :> Simp[(A*b - a*B + b*C)*Cos[e + f*x]*((a + b*Sin[e + f*x])^m/(a*f*(2*m + 1))), x] + S
      imp[1/(a^2*(2*m + 1))   Int[(a + b*Sin[e + f*x])^(m + 1)*Simp[a*A*(m + 1) + m*(b*B - a*C) + b*C*(2*m + 1)*Sin[
      e + f*x], x], x], x] /; FreeQ[{a, b, e, f, A, B, C}, x] && LtQ[m, -1] && EqQ[a^2 - b^2, 0]

3499. Int[((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_)*((A_.) + (C_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2), x_Symbol] :> Simp[b
      *(A + C)*Cos[e + f*x]*((a + b*Sin[e + f*x])^m/(a*f*(2*m + 1))), x] + Simp[1/(a^2*(2*m + 1))   Int[(a + b*Sin[e
      + f*x])^(m + 1)*Simp[a*A*(m + 1) - a*C*m + b*C*(2*m + 1)*Sin[e + f*x], x], x], x] /; FreeQ[{a, b, e, f, A, C}
      , x] && LtQ[m, -1] && EqQ[a^2 - b^2, 0]

3500. Int[((a_.) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_)*((A_.) + (B_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)] + (C_.)*sin[(e_.) + (f
      _.)*(x_)]^2), x_Symbol] :> Simp[(-(A*b^2 - a*b*B + a^2*C))*Cos[e + f*x]*((a + b*Sin[e + f*x])^(m + 1)/(b*f*(m
      + 1)*(a^2 - b^2))), x] + Simp[1/(b*(m + 1)*(a^2 - b^2))   Int[(a + b*Sin[e + f*x])^(m + 1)*Simp[b*(a*A - b*B +
      a*C)*(m + 1) - (A*b^2 - a*b*B + a^2*C + b*(A*b - a*B + b*C)*(m + 1))*Sin[e + f*x], x], x], x] /; FreeQ[{a, b,
      e, f, A, B, C}, x] && LtQ[m, -1] && NeQ[a^2 - b^2, 0]

3501. Int[((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_)*((A_.) + (C_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2), x_Symbol] :> Simp[(
      -(A*b^2 + a^2*C))*Cos[e + f*x]*((a + b*Sin[e + f*x])^(m + 1)/(b*f*(m + 1)*(a^2 - b^2))), x] + Simp[1/(b*(m + 1
      )*(a^2 - b^2))   Int[(a + b*Sin[e + f*x])^(m + 1)*Simp[a*b*(A + C)*(m + 1) - (A*b^2 + a^2*C + b^2*(A + C)*(m +
      1))*Sin[e + f*x], x], x], x] /; FreeQ[{a, b, e, f, A, C}, x] && LtQ[m, -1] && NeQ[a^2 - b^2, 0]

3502. Int[((a_.) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_.)*((A_.) + (B_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)] + (C_.)*sin[(e_.) + (
      f_.)*(x_)]^2), x_Symbol] :> Simp[(-C)*Cos[e + f*x]*((a + b*Sin[e + f*x])^(m + 1)/(b*f*(m + 2))), x] + Simp[1/(
      b*(m + 2))   Int[(a + b*Sin[e + f*x])^m*Simp[A*b*(m + 2) + b*C*(m + 1) + (b*B*(m + 2) - a*C)*Sin[e + f*x], x],
      x], x] /; FreeQ[{a, b, e, f, A, B, C, m}, x] &&  !LtQ[m, -1]

3503. Int[((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_.)*((A_.) + (C_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2), x_Symbol] :> Simp[
      (-C)*Cos[e + f*x]*((a + b*Sin[e + f*x])^(m + 1)/(b*f*(m + 2))), x] + Simp[1/(b*(m + 2))   Int[(a + b*Sin[e + f
      *x])^m*Simp[A*b*(m + 2) + b*C*(m + 1) - a*C*Sin[e + f*x], x], x], x] /; FreeQ[{a, b, e, f, A, C, m}, x] &&  !L
      tQ[m, -1]

3504. Int[((b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]^(p_))^(m_)*((A_.) + (B_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)] + (C_.)*sin[(e_.) + (f_.)
      *(x_)]^2), x_Symbol] :> Simp[(b*Sin[e + f*x]^p)^m/(b*Sin[e + f*x])^(m*p)   Int[(b*Sin[e + f*x])^(m*p)*(A + B*S
      in[e + f*x] + C*Sin[e + f*x]^2), x], x] /; FreeQ[{b, e, f, A, B, C, m, p}, x] &&  !IntegerQ[m]

3505. Int[(cos[(e_.) + (f_.)*(x_)]^(p_)*(b_.))^(m_)*((A_.) + cos[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(B_.) + cos[(e_.) + (f_.)*(x_)]
      ^2*(C_.)), x_Symbol] :> Simp[(b*Cos[e + f*x]^p)^m/(b*Cos[e + f*x])^(m*p)   Int[(b*Cos[e + f*x])^(m*p)*(A + B*C
      os[e + f*x] + C*Cos[e + f*x]^2), x], x] /; FreeQ[{b, e, f, A, B, C, m, p}, x] &&  !IntegerQ[m]

3506. Int[((b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]^(p_))^(m_)*((A_.) + (C_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2), x_Symbol] :> Simp[(b*
      Sin[e + f*x]^p)^m/(b*Sin[e + f*x])^(m*p)   Int[(b*Sin[e + f*x])^(m*p)*(A + C*Sin[e + f*x]^2), x], x] /; FreeQ[
      {b, e, f, A, C, m, p}, x] &&  !IntegerQ[m]

3507. Int[(cos[(e_.) + (f_.)*(x_)]^(p_)*(b_.))^(m_)*((A_.) + cos[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2*(C_.)), x_Symbol] :> Simp[(b*
      Cos[e + f*x]^p)^m/(b*Cos[e + f*x])^(m*p)   Int[(b*Cos[e + f*x])^(m*p)*(A + C*Cos[e + f*x]^2), x], x] /; FreeQ[
      {b, e, f, A, C, m, p}, x] &&  !IntegerQ[m]

3508. Int[((a_.) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_.)*((c_.) + (d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_.)*((A_.) + (B_.)
      *sin[(e_.) + (f_.)*(x_)] + (C_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2), x_Symbol] :> Simp[1/b^2   Int[(a + b*Sin[e + f*x]
      )^(m + 1)*(c + d*Sin[e + f*x])^n*(b*B - a*C + b*C*Sin[e + f*x]), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, A, B, C, m
      , n}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && EqQ[A*b^2 - a*b*B + a^2*C, 0]

3509. Int[((a_.) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_.)*((c_.) + (d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_.)*((A_.) + (C_.)
      *sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2), x_Symbol] :> Simp[-C/b^2   Int[(a + b*Sin[e + f*x])^(m + 1)*(c + d*Sin[e + f*x])^
      n*(a - b*Sin[e + f*x]), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, A, C, m, n}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && EqQ[A*b^2 +
      a^2*C, 0]

3510. Int[((a_.) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_)*((c_.) + (d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])*((A_.) + (B_.)*sin[(e
      _.) + (f_.)*(x_)] + (C_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2), x_Symbol] :> Simp[(-(b*c - a*d))*(A*b^2 - a*b*B + a^2*C)
      *Cos[e + f*x]*((a + b*Sin[e + f*x])^(m + 1)/(b^2*f*(m + 1)*(a^2 - b^2))), x] - Simp[1/(b^2*(m + 1)*(a^2 - b^2)
      )   Int[(a + b*Sin[e + f*x])^(m + 1)*Simp[b*(m + 1)*((b*B - a*C)*(b*c - a*d) - A*b*(a*c - b*d)) + (b*B*(a^2*d
      + b^2*d*(m + 1) - a*b*c*(m + 2)) + (b*c - a*d)*(A*b^2*(m + 2) + C*(a^2 + b^2*(m + 1))))*Sin[e + f*x] - b*C*d*(
      m + 1)*(a^2 - b^2)*Sin[e + f*x]^2, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, A, B, C}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] &&
      NeQ[a^2 - b^2, 0] && LtQ[m, -1]

3511. Int[((a_.) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_)*((c_.) + (d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])*((A_.) + (C_.)*sin[(e
      _.) + (f_.)*(x_)]^2), x_Symbol] :> Simp[(-(b*c - a*d))*(A*b^2 + a^2*C)*Cos[e + f*x]*((a + b*Sin[e + f*x])^(m +
      1)/(b^2*f*(m + 1)*(a^2 - b^2))), x] + Simp[1/(b^2*(m + 1)*(a^2 - b^2))   Int[(a + b*Sin[e + f*x])^(m + 1)*Sim
      p[b*(m + 1)*(a*C*(b*c - a*d) + A*b*(a*c - b*d)) - ((b*c - a*d)*(A*b^2*(m + 2) + C*(a^2 + b^2*(m + 1))))*Sin[e
      + f*x] + b*C*d*(m + 1)*(a^2 - b^2)*Sin[e + f*x]^2, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, A, C}, x] && NeQ[b*c
      - a*d, 0] && NeQ[a^2 - b^2, 0] && LtQ[m, -1]

3512. Int[((a_.) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_.)*((c_) + (d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])*((A_.) + (B_.)*sin[(e
      _.) + (f_.)*(x_)] + (C_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2), x_Symbol] :> Simp[(-C)*d*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x]*((a +
      b*Sin[e + f*x])^(m + 1)/(b*f*(m + 3))), x] + Simp[1/(b*(m + 3))   Int[(a + b*Sin[e + f*x])^m*Simp[a*C*d + A*b
      *c*(m + 3) + b*(B*c*(m + 3) + d*(C*(m + 2) + A*(m + 3)))*Sin[e + f*x] - (2*a*C*d - b*(c*C + B*d)*(m + 3))*Sin[
      e + f*x]^2, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, A, B, C, m}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && NeQ[a^2 - b^2, 0] &
      &  !LtQ[m, -1]

3513. Int[((a_.) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_.)*((c_) + (d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])*((A_.) + (C_.)*sin[(e
      _.) + (f_.)*(x_)]^2), x_Symbol] :> Simp[(-C)*d*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x]*((a + b*Sin[e + f*x])^(m + 1)/(b*f*(m
      + 3))), x] + Simp[1/(b*(m + 3))   Int[(a + b*Sin[e + f*x])^m*Simp[a*C*d + A*b*c*(m + 3) + b*d*(C*(m + 2) + A*
      (m + 3))*Sin[e + f*x] - (2*a*C*d - b*c*C*(m + 3))*Sin[e + f*x]^2, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, A, C,
      m}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && NeQ[a^2 - b^2, 0] &&  !LtQ[m, -1]

3514. Int[((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_)*((c_.) + (d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_.)*((A_.) + (B_.)*s
      in[(e_.) + (f_.)*(x_)] + (C_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2), x_Symbol] :> Simp[(a*A - b*B + a*C)*Cos[e + f*x]*(a
      + b*Sin[e + f*x])^m*((c + d*Sin[e + f*x])^(n + 1)/(2*b*c*f*(2*m + 1))), x] - Simp[1/(2*b*c*d*(2*m + 1))   Int
      [(a + b*Sin[e + f*x])^(m + 1)*(c + d*Sin[e + f*x])^n*Simp[A*(c^2*(m + 1) + d^2*(2*m + n + 2)) - B*c*d*(m - n -
      1) - C*(c^2*m - d^2*(n + 1)) + d*((A*c + B*d)*(m + n + 2) - c*C*(3*m - n))*Sin[e + f*x], x], x], x] /; FreeQ[
      {a, b, c, d, e, f, A, B, C, m, n}, x] && EqQ[b*c + a*d, 0] && EqQ[a^2 - b^2, 0] && (LtQ[m, -2^(-1)] || (EqQ[m
      + n + 2, 0] && NeQ[2*m + 1, 0]))

3515. Int[((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_)*((c_.) + (d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_.)*((A_.) + (C_.)*s
      in[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2), x_Symbol] :> Simp[(a*A + a*C)*Cos[e + f*x]*(a + b*Sin[e + f*x])^m*((c + d*Sin[e + f
      *x])^(n + 1)/(2*b*c*f*(2*m + 1))), x] - Simp[1/(2*b*c*d*(2*m + 1))   Int[(a + b*Sin[e + f*x])^(m + 1)*(c + d*S
      in[e + f*x])^n*Simp[A*(c^2*(m + 1) + d^2*(2*m + n + 2)) - C*(c^2*m - d^2*(n + 1)) + d*(A*c*(m + n + 2) - c*C*(
      3*m - n))*Sin[e + f*x], x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, A, C, m, n}, x] && EqQ[b*c + a*d, 0] && EqQ[a^2
      - b^2, 0] && (LtQ[m, -2^(-1)] || (EqQ[m + n + 2, 0] && NeQ[2*m + 1, 0]))

3516. Int[(((a_.) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_.)*((A_.) + (B_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)] + (C_.)*sin[(e_.) +
      (f_.)*(x_)]^2))/Sqrt[(c_.) + (d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]], x_Symbol] :> Simp[-2*C*Cos[e + f*x]*((a + b*Sin[e
      + f*x])^(m + 1)/(b*f*(2*m + 3)*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])), x] + Int[(a + b*Sin[e + f*x])^m*(Simp[A + C + B*Si
      n[e + f*x], x]/Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]]), x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, A, B, C, m}, x] && EqQ[b*c + a*d, 0]
      && EqQ[a^2 - b^2, 0] &&  !LtQ[m, -2^(-1)]

3517. Int[(((a_.) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_.)*((A_.) + (C_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2))/Sqrt[(c_.) + (d_
      .)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]], x_Symbol] :> Simp[-2*C*Cos[e + f*x]*((a + b*Sin[e + f*x])^(m + 1)/(b*f*(2*m + 3)*
      Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])), x] + Simp[(A + C)   Int[(a + b*Sin[e + f*x])^m/Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]], x], x] /;
      FreeQ[{a, b, c, d, e, f, A, C, m}, x] && EqQ[b*c + a*d, 0] && EqQ[a^2 - b^2, 0] &&  !LtQ[m, -2^(-1)]

3518. Int[((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_.)*((c_.) + (d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_.)*((A_.) + (B_.)*
      sin[(e_.) + (f_.)*(x_)] + (C_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2), x_Symbol] :> Simp[(-C)*Cos[e + f*x]*(a + b*Sin[e +
      f*x])^m*((c + d*Sin[e + f*x])^(n + 1)/(d*f*(m + n + 2))), x] + Simp[1/(b*d*(m + n + 2))   Int[(a + b*Sin[e +
      f*x])^m*(c + d*Sin[e + f*x])^n*Simp[A*b*d*(m + n + 2) + C*(a*c*m + b*d*(n + 1)) + (b*B*d*(m + n + 2) - b*c*C*(
      2*m + 1))*Sin[e + f*x], x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, A, B, C, m, n}, x] && EqQ[b*c + a*d, 0] && EqQ[
      a^2 - b^2, 0] &&  !LtQ[m, -2^(-1)] && NeQ[m + n + 2, 0]

3519. Int[((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_.)*((c_.) + (d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_.)*((A_.) + (C_.)*
      sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2), x_Symbol] :> Simp[(-C)*Cos[e + f*x]*(a + b*Sin[e + f*x])^m*((c + d*Sin[e + f*x])^(
      n + 1)/(d*f*(m + n + 2))), x] + Simp[1/(b*d*(m + n + 2))   Int[(a + b*Sin[e + f*x])^m*(c + d*Sin[e + f*x])^n*S
      imp[A*b*d*(m + n + 2) + C*(a*c*m + b*d*(n + 1)) - b*c*C*(2*m + 1)*Sin[e + f*x], x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c,
      d, e, f, A, C, m, n}, x] && EqQ[b*c + a*d, 0] && EqQ[a^2 - b^2, 0] &&  !LtQ[m, -2^(-1)] && NeQ[m + n + 2, 0]

3520. Int[((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_)*((c_.) + (d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_.)*((A_.) + (B_.)*s
      in[(e_.) + (f_.)*(x_)] + (C_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2), x_Symbol] :> Simp[(a*A - b*B + a*C)*Cos[e + f*x]*(a
      + b*Sin[e + f*x])^m*((c + d*Sin[e + f*x])^(n + 1)/(f*(b*c - a*d)*(2*m + 1))), x] + Simp[1/(b*(b*c - a*d)*(2*m
      + 1))   Int[(a + b*Sin[e + f*x])^(m + 1)*(c + d*Sin[e + f*x])^n*Simp[A*(a*c*(m + 1) - b*d*(2*m + n + 2)) + B*
      (b*c*m + a*d*(n + 1)) - C*(a*c*m + b*d*(n + 1)) + (d*(a*A - b*B)*(m + n + 2) + C*(b*c*(2*m + 1) - a*d*(m - n -
      1)))*Sin[e + f*x], x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, A, B, C, n}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && EqQ[a^2 - b
      ^2, 0] && NeQ[c^2 - d^2, 0] && LtQ[m, -2^(-1)]

3521. Int[((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_)*((c_.) + (d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_.)*((A_.) + (C_.)*s
      in[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2), x_Symbol] :> Simp[a*(A + C)*Cos[e + f*x]*(a + b*Sin[e + f*x])^m*((c + d*Sin[e + f*x
      ])^(n + 1)/(f*(b*c - a*d)*(2*m + 1))), x] + Simp[1/(b*(b*c - a*d)*(2*m + 1))   Int[(a + b*Sin[e + f*x])^(m + 1
      )*(c + d*Sin[e + f*x])^n*Simp[A*(a*c*(m + 1) - b*d*(2*m + n + 2)) - C*(a*c*m + b*d*(n + 1)) + (a*A*d*(m + n +
      2) + C*(b*c*(2*m + 1) - a*d*(m - n - 1)))*Sin[e + f*x], x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, A, C, n}, x] &&
      NeQ[b*c - a*d, 0] && EqQ[a^2 - b^2, 0] && NeQ[c^2 - d^2, 0] && LtQ[m, -2^(-1)]

3522. Int[((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_.)*((c_.) + (d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_)*((A_.) + (B_.)*s
      in[(e_.) + (f_.)*(x_)] + (C_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2), x_Symbol] :> Simp[(-(c^2*C - B*c*d + A*d^2))*Cos[e
      + f*x]*(a + b*Sin[e + f*x])^m*((c + d*Sin[e + f*x])^(n + 1)/(d*f*(n + 1)*(c^2 - d^2))), x] + Simp[1/(b*d*(n +
      1)*(c^2 - d^2))   Int[(a + b*Sin[e + f*x])^m*(c + d*Sin[e + f*x])^(n + 1)*Simp[A*d*(a*d*m + b*c*(n + 1)) + (c*
      C - B*d)*(a*c*m + b*d*(n + 1)) + b*(d*(B*c - A*d)*(m + n + 2) - C*(c^2*(m + 1) + d^2*(n + 1)))*Sin[e + f*x], x
      ], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, A, B, C, m}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && EqQ[a^2 - b^2, 0] && NeQ[c^2 - d
      ^2, 0] &&  !LtQ[m, -2^(-1)] && (LtQ[n, -1] || EqQ[m + n + 2, 0])

3523. Int[((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_.)*((c_.) + (d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_)*((A_.) + (C_.)*s
      in[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2), x_Symbol] :> Simp[(-(c^2*C + A*d^2))*Cos[e + f*x]*(a + b*Sin[e + f*x])^m*((c + d*Si
      n[e + f*x])^(n + 1)/(d*f*(n + 1)*(c^2 - d^2))), x] + Simp[1/(b*d*(n + 1)*(c^2 - d^2))   Int[(a + b*Sin[e + f*x
      ])^m*(c + d*Sin[e + f*x])^(n + 1)*Simp[A*d*(a*d*m + b*c*(n + 1)) + c*C*(a*c*m + b*d*(n + 1)) - b*(A*d^2*(m + n
      + 2) + C*(c^2*(m + 1) + d^2*(n + 1)))*Sin[e + f*x], x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, A, C, m}, x] && Ne
      Q[b*c - a*d, 0] && EqQ[a^2 - b^2, 0] && NeQ[c^2 - d^2, 0] &&  !LtQ[m, -2^(-1)] && (LtQ[n, -1] || EqQ[m + n + 2
      , 0])

3524. Int[((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_.)*((c_.) + (d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_.)*((A_.) + (B_.)*
      sin[(e_.) + (f_.)*(x_)] + (C_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2), x_Symbol] :> Simp[(-C)*Cos[e + f*x]*(a + b*Sin[e +
      f*x])^m*((c + d*Sin[e + f*x])^(n + 1)/(d*f*(m + n + 2))), x] + Simp[1/(b*d*(m + n + 2))   Int[(a + b*Sin[e +
      f*x])^m*(c + d*Sin[e + f*x])^n*Simp[A*b*d*(m + n + 2) + C*(a*c*m + b*d*(n + 1)) + (C*(a*d*m - b*c*(m + 1)) + b
      *B*d*(m + n + 2))*Sin[e + f*x], x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, A, B, C, m, n}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0]
      && EqQ[a^2 - b^2, 0] && NeQ[c^2 - d^2, 0] &&  !LtQ[m, -2^(-1)] && NeQ[m + n + 2, 0]

3525. Int[((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_.)*((c_.) + (d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_.)*((A_.) + (C_.)*
      sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2), x_Symbol] :> Simp[(-C)*Cos[e + f*x]*(a + b*Sin[e + f*x])^m*((c + d*Sin[e + f*x])^(
      n + 1)/(d*f*(m + n + 2))), x] + Simp[1/(b*d*(m + n + 2))   Int[(a + b*Sin[e + f*x])^m*(c + d*Sin[e + f*x])^n*S
      imp[A*b*d*(m + n + 2) + C*(a*c*m + b*d*(n + 1)) + C*(a*d*m - b*c*(m + 1))*Sin[e + f*x], x], x], x] /; FreeQ[{a
      , b, c, d, e, f, A, C, m, n}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && EqQ[a^2 - b^2, 0] && NeQ[c^2 - d^2, 0] &&  !LtQ[m, -2
      ^(-1)] && NeQ[m + n + 2, 0]

3526. Int[((a_.) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_)*((c_.) + (d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_)*((A_.) + (B_.)*s
      in[(e_.) + (f_.)*(x_)] + (C_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2), x_Symbol] :> Simp[(-(c^2*C - B*c*d + A*d^2))*Cos[e
      + f*x]*(a + b*Sin[e + f*x])^m*((c + d*Sin[e + f*x])^(n + 1)/(d*f*(n + 1)*(c^2 - d^2))), x] + Simp[1/(d*(n + 1)
      *(c^2 - d^2))   Int[(a + b*Sin[e + f*x])^(m - 1)*(c + d*Sin[e + f*x])^(n + 1)*Simp[A*d*(b*d*m + a*c*(n + 1)) +
      (c*C - B*d)*(b*c*m + a*d*(n + 1)) - (d*(A*(a*d*(n + 2) - b*c*(n + 1)) + B*(b*d*(n + 1) - a*c*(n + 2))) - C*(b
      *c*d*(n + 1) - a*(c^2 + d^2*(n + 1))))*Sin[e + f*x] + b*(d*(B*c - A*d)*(m + n + 2) - C*(c^2*(m + 1) + d^2*(n +
      1)))*Sin[e + f*x]^2, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, A, B, C}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && NeQ[a^2 - b^
      2, 0] && NeQ[c^2 - d^2, 0] && GtQ[m, 0] && LtQ[n, -1]

3527. Int[((a_.) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_)*((c_.) + (d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_)*((A_.) + (C_.)*s
      in[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2), x_Symbol] :> Simp[(-(c^2*C + A*d^2))*Cos[e + f*x]*(a + b*Sin[e + f*x])^m*((c + d*Si
      n[e + f*x])^(n + 1)/(d*f*(n + 1)*(c^2 - d^2))), x] + Simp[1/(d*(n + 1)*(c^2 - d^2))   Int[(a + b*Sin[e + f*x])
      ^(m - 1)*(c + d*Sin[e + f*x])^(n + 1)*Simp[A*d*(b*d*m + a*c*(n + 1)) + c*C*(b*c*m + a*d*(n + 1)) - (A*d*(a*d*(
      n + 2) - b*c*(n + 1)) - C*(b*c*d*(n + 1) - a*(c^2 + d^2*(n + 1))))*Sin[e + f*x] - b*(A*d^2*(m + n + 2) + C*(c^
      2*(m + 1) + d^2*(n + 1)))*Sin[e + f*x]^2, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, A, C}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0
      ] && NeQ[a^2 - b^2, 0] && NeQ[c^2 - d^2, 0] && GtQ[m, 0] && LtQ[n, -1]

3528. Int[((a_.) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_.)*((c_.) + (d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_.)*((A_.) + (B_.)
      *sin[(e_.) + (f_.)*(x_)] + (C_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2), x_Symbol] :> Simp[(-C)*Cos[e + f*x]*(a + b*Sin[e
      + f*x])^m*((c + d*Sin[e + f*x])^(n + 1)/(d*f*(m + n + 2))), x] + Simp[1/(d*(m + n + 2))   Int[(a + b*Sin[e + f
      *x])^(m - 1)*(c + d*Sin[e + f*x])^n*Simp[a*A*d*(m + n + 2) + C*(b*c*m + a*d*(n + 1)) + (d*(A*b + a*B)*(m + n +
      2) - C*(a*c - b*d*(m + n + 1)))*Sin[e + f*x] + (C*(a*d*m - b*c*(m + 1)) + b*B*d*(m + n + 2))*Sin[e + f*x]^2,
      x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, A, B, C, n}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && NeQ[a^2 - b^2, 0] && NeQ[c^2 -
      d^2, 0] && GtQ[m, 0] &&  !(IGtQ[n, 0] && ( !IntegerQ[m] || (EqQ[a, 0] && NeQ[c, 0])))

3529. Int[((a_.) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_.)*((c_.) + (d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_.)*((A_.) + (C_.)
      *sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2), x_Symbol] :> Simp[(-C)*Cos[e + f*x]*(a + b*Sin[e + f*x])^m*((c + d*Sin[e + f*x])^
      (n + 1)/(d*f*(m + n + 2))), x] + Simp[1/(d*(m + n + 2))   Int[(a + b*Sin[e + f*x])^(m - 1)*(c + d*Sin[e + f*x]
      )^n*Simp[a*A*d*(m + n + 2) + C*(b*c*m + a*d*(n + 1)) + (A*b*d*(m + n + 2) - C*(a*c - b*d*(m + n + 1)))*Sin[e +
      f*x] + C*(a*d*m - b*c*(m + 1))*Sin[e + f*x]^2, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, A, C, n}, x] && NeQ[b*c
      - a*d, 0] && NeQ[a^2 - b^2, 0] && NeQ[c^2 - d^2, 0] && GtQ[m, 0] &&  !(IGtQ[n, 0] && ( !IntegerQ[m] || (EqQ[a
      , 0] && NeQ[c, 0])))

3530. Int[((A_.) + (B_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)] + (C_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2)/(Sqrt[(d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x
      _)]]*((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(3/2)), x_Symbol] :> Simp[C/(b*d)   Int[Sqrt[d*Sin[e + f*x]]/Sqrt[
      a + b*Sin[e + f*x]], x], x] + Simp[1/b   Int[(A*b + (b*B - a*C)*Sin[e + f*x])/((a + b*Sin[e + f*x])^(3/2)*Sqrt
      [d*Sin[e + f*x]]), x], x] /; FreeQ[{a, b, d, e, f, A, B, C}, x] && NeQ[a^2 - b^2, 0]

3531. Int[((A_.) + (C_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2)/(Sqrt[(d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]]*((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (
      f_.)*(x_)])^(3/2)), x_Symbol] :> Simp[C/(b*d)   Int[Sqrt[d*Sin[e + f*x]]/Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]], x], x] + Si
      mp[1/b   Int[(A*b - a*C*Sin[e + f*x])/((a + b*Sin[e + f*x])^(3/2)*Sqrt[d*Sin[e + f*x]]), x], x] /; FreeQ[{a, b
      , d, e, f, A, C}, x] && NeQ[a^2 - b^2, 0]

3532. Int[((A_.) + (B_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)] + (C_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2)/(((a_.) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.
      )*(x_)])^(3/2)*Sqrt[(c_.) + (d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]]), x_Symbol] :> Simp[C/b^2   Int[Sqrt[a + b*Sin[e +
      f*x]]/Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]], x], x] + Simp[1/b^2   Int[(A*b^2 - a^2*C + b*(b*B - 2*a*C)*Sin[e + f*x])/((a +
      b*Sin[e + f*x])^(3/2)*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]]), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, A, B, C}, x] && NeQ[b*c -
      a*d, 0] && NeQ[a^2 - b^2, 0] && NeQ[c^2 - d^2, 0]

3533. Int[((A_.) + (C_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2)/(((a_.) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(3/2)*Sqrt[(c_.) + (d_.
      )*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]]), x_Symbol] :> Simp[C/b^2   Int[Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]]/Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]],
      x], x] + Simp[1/b^2   Int[(A*b^2 - a^2*C - 2*a*b*C*Sin[e + f*x])/((a + b*Sin[e + f*x])^(3/2)*Sqrt[c + d*Sin[e
      + f*x]]), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, A, C}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && NeQ[a^2 - b^2, 0] && NeQ[c^2 -
      d^2, 0]

3534. Int[((a_.) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_)*((c_.) + (d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_)*((A_.) + (B_.)*s
      in[(e_.) + (f_.)*(x_)] + (C_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2), x_Symbol] :> Simp[(-(A*b^2 - a*b*B + a^2*C))*Cos[e
      + f*x]*(a + b*Sin[e + f*x])^(m + 1)*((c + d*Sin[e + f*x])^(n + 1)/(f*(m + 1)*(b*c - a*d)*(a^2 - b^2))), x] + S
      imp[1/((m + 1)*(b*c - a*d)*(a^2 - b^2))   Int[(a + b*Sin[e + f*x])^(m + 1)*(c + d*Sin[e + f*x])^n*Simp[(m + 1)
      *(b*c - a*d)*(a*A - b*B + a*C) + d*(A*b^2 - a*b*B + a^2*C)*(m + n + 2) - (c*(A*b^2 - a*b*B + a^2*C) + (m + 1)*
      (b*c - a*d)*(A*b - a*B + b*C))*Sin[e + f*x] - d*(A*b^2 - a*b*B + a^2*C)*(m + n + 3)*Sin[e + f*x]^2, x], x], x]
      /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, A, B, C, n}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && NeQ[a^2 - b^2, 0] && NeQ[c^2 - d^2, 0] &&
      LtQ[m, -1] && ((EqQ[a, 0] && IntegerQ[m] &&  !IntegerQ[n]) ||  !(IntegerQ[2*n] && LtQ[n, -1] && ((IntegerQ[n]
      &&  !IntegerQ[m]) || EqQ[a, 0])))

3535. Int[((a_.) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_)*((c_.) + (d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_)*((A_.) + (C_.)*s
      in[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2), x_Symbol] :> Simp[(-(A*b^2 + a^2*C))*Cos[e + f*x]*(a + b*Sin[e + f*x])^(m + 1)*((c
      + d*Sin[e + f*x])^(n + 1)/(f*(m + 1)*(b*c - a*d)*(a^2 - b^2))), x] + Simp[1/((m + 1)*(b*c - a*d)*(a^2 - b^2))
      Int[(a + b*Sin[e + f*x])^(m + 1)*(c + d*Sin[e + f*x])^n*Simp[a*(m + 1)*(b*c - a*d)*(A + C) + d*(A*b^2 + a^2*
      C)*(m + n + 2) - (c*(A*b^2 + a^2*C) + b*(m + 1)*(b*c - a*d)*(A + C))*Sin[e + f*x] - d*(A*b^2 + a^2*C)*(m + n +
      3)*Sin[e + f*x]^2, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, A, C, n}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && NeQ[a^2 - b^2,
      0] && NeQ[c^2 - d^2, 0] && LtQ[m, -1] && ((EqQ[a, 0] && IntegerQ[m] &&  !IntegerQ[n]) ||  !(IntegerQ[2*n] &&
      LtQ[n, -1] && ((IntegerQ[n] &&  !IntegerQ[m]) || EqQ[a, 0])))

3536. Int[((A_.) + (B_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)] + (C_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2)/(((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)
      *(x_)])*((c_.) + (d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])), x_Symbol] :> Simp[C*(x/(b*d)), x] + (Simp[(A*b^2 - a*b*B + a
      ^2*C)/(b*(b*c - a*d))   Int[1/(a + b*Sin[e + f*x]), x], x] - Simp[(c^2*C - B*c*d + A*d^2)/(d*(b*c - a*d))   In
      t[1/(c + d*Sin[e + f*x]), x], x]) /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, A, B, C}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && NeQ[a^2 - b
      ^2, 0] && NeQ[c^2 - d^2, 0]

3537. Int[((A_.) + (C_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2)/(((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])*((c_.) + (d_.)*sin[(e_.)
      + (f_.)*(x_)])), x_Symbol] :> Simp[C*(x/(b*d)), x] + (Simp[(A*b^2 + a^2*C)/(b*(b*c - a*d))   Int[1/(a + b*Sin
      [e + f*x]), x], x] - Simp[(c^2*C + A*d^2)/(d*(b*c - a*d))   Int[1/(c + d*Sin[e + f*x]), x], x]) /; FreeQ[{a, b
      , c, d, e, f, A, C}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && NeQ[a^2 - b^2, 0] && NeQ[c^2 - d^2, 0]

3538. Int[((A_.) + (B_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)] + (C_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2)/(Sqrt[(a_.) + (b_.)*sin[(e_.) +
      (f_.)*(x_)]]*((c_.) + (d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])), x_Symbol] :> Simp[C/(b*d)   Int[Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]
      ], x], x] - Simp[1/(b*d)   Int[Simp[a*c*C - A*b*d + (b*c*C - b*B*d + a*C*d)*Sin[e + f*x], x]/(Sqrt[a + b*Sin[e
      + f*x]]*(c + d*Sin[e + f*x])), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, A, B, C}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && NeQ[a^
      2 - b^2, 0] && NeQ[c^2 - d^2, 0]

3539. Int[((A_.) + (C_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2)/(Sqrt[(a_.) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]]*((c_.) + (d_.)*sin[
      (e_.) + (f_.)*(x_)])), x_Symbol] :> Simp[C/(b*d)   Int[Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]], x], x] - Simp[1/(b*d)   Int[S
      imp[a*c*C - A*b*d + (b*c*C + a*C*d)*Sin[e + f*x], x]/(Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]]*(c + d*Sin[e + f*x])), x], x] /
      ; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, A, C}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && NeQ[a^2 - b^2, 0] && NeQ[c^2 - d^2, 0]

3540. Int[((A_.) + (B_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)] + (C_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2)/(Sqrt[(a_.) + (b_.)*sin[(e_.) +
      (f_.)*(x_)]]*Sqrt[(c_) + (d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]]), x_Symbol] :> Simp[(-C)*Cos[e + f*x]*(Sqrt[c + d*Sin[
      e + f*x]]/(d*f*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]])), x] + Simp[1/(2*d)   Int[(1/((a + b*Sin[e + f*x])^(3/2)*Sqrt[c + d*S
      in[e + f*x]]))*Simp[2*a*A*d - C*(b*c - a*d) - 2*(a*c*C - d*(A*b + a*B))*Sin[e + f*x] + (2*b*B*d - C*(b*c + a*d
      ))*Sin[e + f*x]^2, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, A, B, C}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && NeQ[a^2 - b^2,
      0] && NeQ[c^2 - d^2, 0]

3541. Int[((A_.) + (C_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2)/(Sqrt[(a_.) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]]*Sqrt[(c_) + (d_.)*s
      in[(e_.) + (f_.)*(x_)]]), x_Symbol] :> Simp[(-C)*Cos[e + f*x]*(Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]]/(d*f*Sqrt[a + b*Sin[e
      + f*x]])), x] + Simp[1/(2*d)   Int[(1/((a + b*Sin[e + f*x])^(3/2)*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]]))*Simp[2*a*A*d - C*
      (b*c - a*d) - 2*(a*c*C - A*b*d)*Sin[e + f*x] - C*(b*c + a*d)*Sin[e + f*x]^2, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d,
      e, f, A, C}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && NeQ[a^2 - b^2, 0] && NeQ[c^2 - d^2, 0]

3542. Int[(((d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_.)*((A_.) + (B_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)] + (C_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x
      _)]^2))/((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]), x_Symbol] :> Simp[(b*B - a*C)/b^2   Int[(d*Sin[e + f*x])^n, x]
      , x] + (Simp[(A*b^2 - a*b*B + a^2*C)/b^2   Int[(d*Sin[e + f*x])^n/(a + b*Sin[e + f*x]), x], x] + Simp[C/(b*d)
      Int[(d*Sin[e + f*x])^(n + 1), x], x]) /; FreeQ[{a, b, d, e, f, A, B, C, n}, x] && NeQ[a^2 - b^2, 0]

3543. Int[(((d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_.)*((A_.) + (C_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2))/((a_) + (b_.)*sin[(e_.)
      + (f_.)*(x_)]), x_Symbol] :> Simp[(-a)*(C/b^2)   Int[(d*Sin[e + f*x])^n, x], x] + (Simp[(A*b^2 + a^2*C)/b^2
      Int[(d*Sin[e + f*x])^n/(a + b*Sin[e + f*x]), x], x] + Simp[C/(b*d)   Int[(d*Sin[e + f*x])^(n + 1), x], x]) /;
      FreeQ[{a, b, d, e, f, A, C, n}, x] && NeQ[a^2 - b^2, 0]

3544. Int[((a_.) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_)*((c_.) + (d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_)*((A_.) + (B_.)*s
      in[(e_.) + (f_.)*(x_)] + (C_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2), x_Symbol] :> Unintegrable[(a + b*Sin[e + f*x])^m*(c
      + d*Sin[e + f*x])^n*(A + B*Sin[e + f*x] + C*Sin[e + f*x]^2), x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, A, B, C, m, n}, x
      ] && NeQ[b*c - a*d, 0] && NeQ[a^2 - b^2, 0] && NeQ[c^2 - d^2, 0]

3545. Int[((a_.) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_)*((c_.) + (d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_)*((A_.) + (C_.)*s
      in[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2), x_Symbol] :> Unintegrable[(a + b*Sin[e + f*x])^m*(c + d*Sin[e + f*x])^n*(A + C*Sin[
      e + f*x]^2), x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, A, C, m, n}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && NeQ[a^2 - b^2, 0] && NeQ[c
      ^2 - d^2, 0]

3546. Int[((b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]^(p_))^(m_)*((c_.) + (d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_.)*((A_.) + (B_.)*sin
      [(e_.) + (f_.)*(x_)] + (C_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2), x_Symbol] :> Simp[(b*Sin[e + f*x]^p)^m/(b*Sin[e + f*x
      ])^(m*p)   Int[(b*Sin[e + f*x])^(m*p)*(c + d*Sin[e + f*x])^n*(A + B*Sin[e + f*x] + C*Sin[e + f*x]^2), x], x] /
      ; FreeQ[{b, c, d, e, f, A, B, C, m, n, p}, x] &&  !IntegerQ[m]

3547. Int[(cos[(e_.) + (f_.)*(x_)]^(p_)*(b_.))^(m_)*((A_.) + cos[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(B_.) + cos[(e_.) + (f_.)*(x_)]
      ^2*(C_.))*((c_.) + cos[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(d_.))^(n_.), x_Symbol] :> Simp[(b*Cos[e + f*x]^p)^m/(b*Cos[e + f*x
      ])^(m*p)   Int[(b*Cos[e + f*x])^(m*p)*(c + d*Cos[e + f*x])^n*(A + B*Cos[e + f*x] + C*Cos[e + f*x]^2), x], x] /
      ; FreeQ[{b, c, d, e, f, A, B, C, m, n, p}, x] &&  !IntegerQ[m]

3548. Int[((b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]^(p_))^(m_)*((c_.) + (d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_.)*((A_.) + (C_.)*sin
      [(e_.) + (f_.)*(x_)]^2), x_Symbol] :> Simp[(b*Sin[e + f*x]^p)^m/(b*Sin[e + f*x])^(m*p)   Int[(b*Sin[e + f*x])^
      (m*p)*(c + d*Sin[e + f*x])^n*(A + C*Sin[e + f*x]^2), x], x] /; FreeQ[{b, c, d, e, f, A, C, m, n, p}, x] &&  !I
      ntegerQ[m]

3549. Int[(cos[(e_.) + (f_.)*(x_)]^(p_)*(b_.))^(m_)*((A_.) + cos[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2*(C_.))*((c_.) + cos[(e_.) + (
      f_.)*(x_)]*(d_.))^(n_.), x_Symbol] :> Simp[(b*Cos[e + f*x]^p)^m/(b*Cos[e + f*x])^(m*p)   Int[(b*Cos[e + f*x])^
      (m*p)*(c + d*Cos[e + f*x])^n*(A + C*Cos[e + f*x]^2), x], x] /; FreeQ[{b, c, d, e, f, A, C, m, n, p}, x] &&  !I
      ntegerQ[m]

3550. Int[(cos[(c_.) + (d_.)*(x_)]*(a_.) + (b_.)*sin[(c_.) + (d_.)*(x_)])^(n_), x_Symbol] :> Simp[a*((a*Cos[c + d*x]
      + b*Sin[c + d*x])^n/(b*d*n)), x] /; FreeQ[{a, b, c, d, n}, x] && EqQ[a^2 + b^2, 0]

3551. Int[(cos[(c_.) + (d_.)*(x_)]*(a_.) + (b_.)*sin[(c_.) + (d_.)*(x_)])^(n_), x_Symbol] :> Simp[-d^(-1)   Subst[In
      t[(a^2 + b^2 - x^2)^((n - 1)/2), x], x, b*Cos[c + d*x] - a*Sin[c + d*x]], x] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && NeQ[
      a^2 + b^2, 0] && IGtQ[(n - 1)/2, 0]

3552. Int[(cos[(c_.) + (d_.)*(x_)]*(a_.) + (b_.)*sin[(c_.) + (d_.)*(x_)])^(n_), x_Symbol] :> Simp[(-(b*Cos[c + d*x]
      - a*Sin[c + d*x]))*((a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x])^(n - 1)/(d*n)), x] + Simp[(n - 1)*((a^2 + b^2)/n)   Int[
      (a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x])^(n - 2), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && NeQ[a^2 + b^2, 0] &&  !IntegerQ
      [(n - 1)/2] && GtQ[n, 1]

3553. Int[(cos[(c_.) + (d_.)*(x_)]*(a_.) + (b_.)*sin[(c_.) + (d_.)*(x_)])^(-1), x_Symbol] :> Simp[-d^(-1)   Subst[In
      t[1/(a^2 + b^2 - x^2), x], x, b*Cos[c + d*x] - a*Sin[c + d*x]], x] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && NeQ[a^2 + b^2,
      0]

3554. Int[(cos[(c_.) + (d_.)*(x_)]*(a_.) + (b_.)*sin[(c_.) + (d_.)*(x_)])^(-2), x_Symbol] :> Simp[Sin[c + d*x]/(a*d*
      (a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x])), x] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && NeQ[a^2 + b^2, 0]

3555. Int[(cos[(c_.) + (d_.)*(x_)]*(a_.) + (b_.)*sin[(c_.) + (d_.)*(x_)])^(n_), x_Symbol] :> Simp[(b*Cos[c + d*x] -
      a*Sin[c + d*x])*((a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x])^(n + 1)/(d*(n + 1)*(a^2 + b^2))), x] + Simp[(n + 2)/((n + 1
      )*(a^2 + b^2))   Int[(a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x])^(n + 2), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && NeQ[a^2 +
      b^2, 0] && LtQ[n, -1] && NeQ[n, -2]

3556. Int[(cos[(c_.) + (d_.)*(x_)]*(a_.) + (b_.)*sin[(c_.) + (d_.)*(x_)])^(n_), x_Symbol] :> Simp[(a^2 + b^2)^(n/2)
      Int[Cos[c + d*x - ArcTan[a, b]]^n, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, n}, x] &&  !(GeQ[n, 1] || LeQ[n, -1]) && GtQ
      [a^2 + b^2, 0]

3557. Int[(cos[(c_.) + (d_.)*(x_)]*(a_.) + (b_.)*sin[(c_.) + (d_.)*(x_)])^(n_), x_Symbol] :> Simp[(a*Cos[c + d*x] +
      b*Sin[c + d*x])^n/((a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x])/Sqrt[a^2 + b^2])^n   Int[Cos[c + d*x - ArcTan[a, b]]^n, x
      ], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, n}, x] &&  !(GeQ[n, 1] || LeQ[n, -1]) &&  !(GtQ[a^2 + b^2, 0] || EqQ[a^2 + b^2, 0]
      )

3558. Int[sin[(c_.) + (d_.)*(x_)]^(m_)*(cos[(c_.) + (d_.)*(x_)]*(a_.) + (b_.)*sin[(c_.) + (d_.)*(x_)])^(n_), x_Symbo
      l] :> Simp[(-a)*((a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x])^(n - 1)/(d*(n - 1)*Sin[c + d*x]^(n - 1))), x] + Simp[2*b
      Int[(a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x])^(n - 1)/Sin[c + d*x]^(n - 1), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && EqQ[m
      + n, 0] && EqQ[a^2 + b^2, 0] && GtQ[n, 1]

3559. Int[cos[(c_.) + (d_.)*(x_)]^(m_)*(cos[(c_.) + (d_.)*(x_)]*(a_.) + (b_.)*sin[(c_.) + (d_.)*(x_)])^(n_), x_Symbo
      l] :> Simp[b*((a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x])^(n - 1)/(d*(n - 1)*Cos[c + d*x]^(n - 1))), x] + Simp[2*a   Int
      [(a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x])^(n - 1)/Cos[c + d*x]^(n - 1), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && EqQ[m + n
      , 0] && EqQ[a^2 + b^2, 0] && GtQ[n, 1]

3560. Int[sin[(c_.) + (d_.)*(x_)]^(m_.)*(cos[(c_.) + (d_.)*(x_)]*(a_.) + (b_.)*sin[(c_.) + (d_.)*(x_)])^(n_), x_Symb
      ol] :> Simp[a*((a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x])^n/(2*b*d*n*Sin[c + d*x]^n)), x] + Simp[1/(2*b)   Int[(a*Cos[c
      + d*x] + b*Sin[c + d*x])^(n + 1)/Sin[c + d*x]^(n + 1), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && EqQ[m + n, 0] && E
      qQ[a^2 + b^2, 0] && LtQ[n, 0]

3561. Int[cos[(c_.) + (d_.)*(x_)]^(m_.)*(cos[(c_.) + (d_.)*(x_)]*(a_.) + (b_.)*sin[(c_.) + (d_.)*(x_)])^(n_), x_Symb
      ol] :> Simp[(-b)*((a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x])^n/(2*a*d*n*Cos[c + d*x]^n)), x] + Simp[1/(2*a)   Int[(a*Co
      s[c + d*x] + b*Sin[c + d*x])^(n + 1)/Cos[c + d*x]^(n + 1), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && EqQ[m + n, 0] &
      & EqQ[a^2 + b^2, 0] && LtQ[n, 0]

3562. Int[sin[(c_.) + (d_.)*(x_)]^(m_.)*(cos[(c_.) + (d_.)*(x_)]*(a_.) + (b_.)*sin[(c_.) + (d_.)*(x_)])^(n_), x_Symb
      ol] :> Simp[a*((a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x])^n/(2*b*d*n*Sin[c + d*x]^n))*Hypergeometric2F1[1, n, n + 1, (b
      + a*Cot[c + d*x])/(2*b)], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, n}, x] && EqQ[m + n, 0] && EqQ[a^2 + b^2, 0] &&  !IntegerQ
      [n]

3563. Int[cos[(c_.) + (d_.)*(x_)]^(m_.)*(cos[(c_.) + (d_.)*(x_)]*(a_.) + (b_.)*sin[(c_.) + (d_.)*(x_)])^(n_), x_Symb
      ol] :> Simp[(-b)*((a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x])^n/(2*a*d*n*Cos[c + d*x]^n))*Hypergeometric2F1[1, n, n + 1,
      (a + b*Tan[c + d*x])/(2*a)], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, n}, x] && EqQ[m + n, 0] && EqQ[a^2 + b^2, 0] &&  !Integ
      erQ[n]

3564. Int[sin[(c_.) + (d_.)*(x_)]^(m_)*(cos[(c_.) + (d_.)*(x_)]*(a_.) + (b_.)*sin[(c_.) + (d_.)*(x_)])^(n_.), x_Symb
      ol] :> Int[(b + a*Cot[c + d*x])^n, x] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && EqQ[m + n, 0] && IntegerQ[n] && NeQ[a^2 + b
      ^2, 0]

3565. Int[cos[(c_.) + (d_.)*(x_)]^(m_)*(cos[(c_.) + (d_.)*(x_)]*(a_.) + (b_.)*sin[(c_.) + (d_.)*(x_)])^(n_.), x_Symb
      ol] :> Int[(a + b*Tan[c + d*x])^n, x] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && EqQ[m + n, 0] && IntegerQ[n] && NeQ[a^2 + b
      ^2, 0]

3566. Int[sin[(c_.) + (d_.)*(x_)]^(m_.)*(cos[(c_.) + (d_.)*(x_)]*(a_.) + (b_.)*sin[(c_.) + (d_.)*(x_)])^(n_), x_Symb
      ol] :> Simp[1/d   Subst[Int[x^m*((a + b*x)^n/(1 + x^2)^((m + n + 2)/2)), x], x, Tan[c + d*x]], x] /; FreeQ[{a,
      b, c, d}, x] && IntegerQ[n] && IntegerQ[(m + n)/2] && NeQ[n, -1] &&  !(GtQ[n, 0] && GtQ[m, 1])

3567. Int[cos[(c_.) + (d_.)*(x_)]^(m_.)*(cos[(c_.) + (d_.)*(x_)]*(a_.) + (b_.)*sin[(c_.) + (d_.)*(x_)])^(n_), x_Symb
      ol] :> Simp[-d^(-1)   Subst[Int[x^m*((b + a*x)^n/(1 + x^2)^((m + n + 2)/2)), x], x, Cot[c + d*x]], x] /; FreeQ
      [{a, b, c, d}, x] && IntegerQ[n] && IntegerQ[(m + n)/2] && NeQ[n, -1] &&  !(GtQ[n, 0] && GtQ[m, 1])

3568. Int[sin[(c_.) + (d_.)*(x_)]^(m_.)*(cos[(c_.) + (d_.)*(x_)]*(a_.) + (b_.)*sin[(c_.) + (d_.)*(x_)])^(n_.), x_Sym
      bol] :> Int[ExpandTrig[sin[c + d*x]^m*(a*cos[c + d*x] + b*sin[c + d*x])^n, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] &&
      IntegerQ[m] && IGtQ[n, 0]

3569. Int[cos[(c_.) + (d_.)*(x_)]^(m_.)*(cos[(c_.) + (d_.)*(x_)]*(a_.) + (b_.)*sin[(c_.) + (d_.)*(x_)])^(n_.), x_Sym
      bol] :> Int[ExpandTrig[cos[c + d*x]^m*(a*cos[c + d*x] + b*sin[c + d*x])^n, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] &&
      IntegerQ[m] && IGtQ[n, 0]

3570. Int[sin[(c_.) + (d_.)*(x_)]^(m_.)*(cos[(c_.) + (d_.)*(x_)]*(a_.) + (b_.)*sin[(c_.) + (d_.)*(x_)])^(n_), x_Symb
      ol] :> Simp[a^n*b^n   Int[Sin[c + d*x]^m/(b*Cos[c + d*x] + a*Sin[c + d*x])^n, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, m},
      x] && EqQ[a^2 + b^2, 0] && ILtQ[n, 0]

3571. Int[cos[(c_.) + (d_.)*(x_)]^(m_.)*(cos[(c_.) + (d_.)*(x_)]*(a_.) + (b_.)*sin[(c_.) + (d_.)*(x_)])^(n_), x_Symb
      ol] :> Simp[a^n*b^n   Int[Cos[c + d*x]^m/(b*Cos[c + d*x] + a*Sin[c + d*x])^n, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, m},
      x] && EqQ[a^2 + b^2, 0] && ILtQ[n, 0]

3572. Int[(cos[(c_.) + (d_.)*(x_)]*(a_.) + (b_.)*sin[(c_.) + (d_.)*(x_)])^(n_)/sin[(c_.) + (d_.)*(x_)], x_Symbol] :>
      Simp[-(a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x])^(n + 1)/(a*d*(n + 1)), x] + (Simp[1/a^2   Int[(a*Cos[c + d*x] + b*Sin
      [c + d*x])^(n + 2)/Sin[c + d*x], x], x] - Simp[b/a^2   Int[(a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x])^(n + 1), x], x])
      /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && NeQ[a^2 + b^2, 0] && LtQ[n, -1]

3573. Int[(cos[(c_.) + (d_.)*(x_)]*(a_.) + (b_.)*sin[(c_.) + (d_.)*(x_)])^(n_)/cos[(c_.) + (d_.)*(x_)], x_Symbol] :>
      Simp[(a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x])^(n + 1)/(b*d*(n + 1)), x] + (Simp[1/b^2   Int[(a*Cos[c + d*x] + b*Sin[
      c + d*x])^(n + 2)/Cos[c + d*x], x], x] - Simp[a/b^2   Int[(a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x])^(n + 1), x], x]) /
      ; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && NeQ[a^2 + b^2, 0] && LtQ[n, -1]

3574. Int[sin[(c_.) + (d_.)*(x_)]^(m_)*(cos[(c_.) + (d_.)*(x_)]*(a_.) + (b_.)*sin[(c_.) + (d_.)*(x_)])^(n_), x_Symbo
      l] :> Simp[-(a^2 + b^2)   Int[Sin[c + d*x]^(m + 2)*(a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x])^(n - 2), x], x] + (Simp[a
      ^2   Int[Sin[c + d*x]^m*(a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x])^(n - 2), x], x] + Simp[2*b   Int[Sin[c + d*x]^(m + 1
      )*(a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x])^(n - 1), x], x]) /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && NeQ[a^2 + b^2, 0] && GtQ[n,
      1] && LtQ[m, -1]

3575. Int[cos[(c_.) + (d_.)*(x_)]^(m_)*(cos[(c_.) + (d_.)*(x_)]*(a_.) + (b_.)*sin[(c_.) + (d_.)*(x_)])^(n_), x_Symbo
      l] :> Simp[-(a^2 + b^2)   Int[Cos[c + d*x]^(m + 2)*(a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x])^(n - 2), x], x] + (Simp[2
      *a   Int[Cos[c + d*x]^(m + 1)*(a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x])^(n - 1), x], x] + Simp[b^2   Int[Cos[c + d*x]^
      m*(a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x])^(n - 2), x], x]) /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && NeQ[a^2 + b^2, 0] && GtQ[n,
      1] && LtQ[m, -1]

3576. Int[sin[(c_.) + (d_.)*(x_)]/(cos[(c_.) + (d_.)*(x_)]*(a_.) + (b_.)*sin[(c_.) + (d_.)*(x_)]), x_Symbol] :> Simp
      [b*(x/(a^2 + b^2)), x] - Simp[a/(a^2 + b^2)   Int[(b*Cos[c + d*x] - a*Sin[c + d*x])/(a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c
      + d*x]), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && NeQ[a^2 + b^2, 0]

3577. Int[cos[(c_.) + (d_.)*(x_)]/(cos[(c_.) + (d_.)*(x_)]*(a_.) + (b_.)*sin[(c_.) + (d_.)*(x_)]), x_Symbol] :> Simp
      [a*(x/(a^2 + b^2)), x] + Simp[b/(a^2 + b^2)   Int[(b*Cos[c + d*x] - a*Sin[c + d*x])/(a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c
      + d*x]), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && NeQ[a^2 + b^2, 0]

3578. Int[sin[(c_.) + (d_.)*(x_)]^(m_)/(cos[(c_.) + (d_.)*(x_)]*(a_.) + (b_.)*sin[(c_.) + (d_.)*(x_)]), x_Symbol] :>
      Simp[(-a)*(Sin[c + d*x]^(m - 1)/(d*(a^2 + b^2)*(m - 1))), x] + (Simp[a^2/(a^2 + b^2)   Int[Sin[c + d*x]^(m -
      2)/(a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x]), x], x] + Simp[b/(a^2 + b^2)   Int[Sin[c + d*x]^(m - 1), x], x]) /; FreeQ
      [{a, b, c, d}, x] && NeQ[a^2 + b^2, 0] && GtQ[m, 1]

3579. Int[cos[(c_.) + (d_.)*(x_)]^(m_)/(cos[(c_.) + (d_.)*(x_)]*(a_.) + (b_.)*sin[(c_.) + (d_.)*(x_)]), x_Symbol] :>
      Simp[b*(Cos[c + d*x]^(m - 1)/(d*(a^2 + b^2)*(m - 1))), x] + (Simp[a/(a^2 + b^2)   Int[Cos[c + d*x]^(m - 1), x
      ], x] + Simp[b^2/(a^2 + b^2)   Int[Cos[c + d*x]^(m - 2)/(a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x]), x], x]) /; FreeQ[{a
      , b, c, d}, x] && NeQ[a^2 + b^2, 0] && GtQ[m, 1]

3580. Int[1/(sin[(c_.) + (d_.)*(x_)]*(cos[(c_.) + (d_.)*(x_)]*(a_.) + (b_.)*sin[(c_.) + (d_.)*(x_)])), x_Symbol] :>
      Simp[1/a   Int[Cot[c + d*x], x], x] - Simp[1/a   Int[(b*Cos[c + d*x] - a*Sin[c + d*x])/(a*Cos[c + d*x] + b*Sin
      [c + d*x]), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && NeQ[a^2 + b^2, 0]

3581. Int[1/(cos[(c_.) + (d_.)*(x_)]*(cos[(c_.) + (d_.)*(x_)]*(a_.) + (b_.)*sin[(c_.) + (d_.)*(x_)])), x_Symbol] :>
      Simp[1/b   Int[Tan[c + d*x], x], x] + Simp[1/b   Int[(b*Cos[c + d*x] - a*Sin[c + d*x])/(a*Cos[c + d*x] + b*Sin
      [c + d*x]), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && NeQ[a^2 + b^2, 0]

3582. Int[sin[(c_.) + (d_.)*(x_)]^(m_)/(cos[(c_.) + (d_.)*(x_)]*(a_.) + (b_.)*sin[(c_.) + (d_.)*(x_)]), x_Symbol] :>
      Simp[Sin[c + d*x]^(m + 1)/(a*d*(m + 1)), x] + (-Simp[b/a^2   Int[Sin[c + d*x]^(m + 1), x], x] + Simp[(a^2 + b
      ^2)/a^2   Int[Sin[c + d*x]^(m + 2)/(a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x]), x], x]) /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && NeQ
      [a^2 + b^2, 0] && LtQ[m, -1]

3583. Int[cos[(c_.) + (d_.)*(x_)]^(m_)/(cos[(c_.) + (d_.)*(x_)]*(a_.) + (b_.)*sin[(c_.) + (d_.)*(x_)]), x_Symbol] :>
      Simp[-Cos[c + d*x]^(m + 1)/(b*d*(m + 1)), x] + (-Simp[a/b^2   Int[Cos[c + d*x]^(m + 1), x], x] + Simp[(a^2 +
      b^2)/b^2   Int[Cos[c + d*x]^(m + 2)/(a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x]), x], x]) /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && Ne
      Q[a^2 + b^2, 0] && LtQ[m, -1]

3584. Int[sin[(c_.) + (d_.)*(x_)]^(m_)*(cos[(c_.) + (d_.)*(x_)]*(a_.) + (b_.)*sin[(c_.) + (d_.)*(x_)])^(n_), x_Symbo
      l] :> Simp[(a^2 + b^2)/a^2   Int[Sin[c + d*x]^(m + 2)*(a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x])^n, x], x] + (Simp[1/a^
      2   Int[Sin[c + d*x]^m*(a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x])^(n + 2), x], x] - Simp[2*(b/a^2)   Int[Sin[c + d*x]^(
      m + 1)*(a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x])^(n + 1), x], x]) /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && NeQ[a^2 + b^2, 0] && Lt
      Q[n, -1] && LtQ[m, -1]

3585. Int[cos[(c_.) + (d_.)*(x_)]^(m_)*(cos[(c_.) + (d_.)*(x_)]*(a_.) + (b_.)*sin[(c_.) + (d_.)*(x_)])^(n_), x_Symbo
      l] :> Simp[(a^2 + b^2)/b^2   Int[Cos[c + d*x]^(m + 2)*(a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x])^n, x], x] + (Simp[1/b^
      2   Int[Cos[c + d*x]^m*(a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x])^(n + 2), x], x] - Simp[2*(a/b^2)   Int[Cos[c + d*x]^(
      m + 1)*(a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x])^(n + 1), x], x]) /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && NeQ[a^2 + b^2, 0] && Lt
      Q[n, -1] && LtQ[m, -1]

3586. Int[cos[(c_.) + (d_.)*(x_)]^(m_.)*sin[(c_.) + (d_.)*(x_)]^(n_.)*(cos[(c_.) + (d_.)*(x_)]*(a_.) + (b_.)*sin[(c_
      .) + (d_.)*(x_)])^(p_.), x_Symbol] :> Int[ExpandTrig[cos[c + d*x]^m*sin[c + d*x]^n*(a*cos[c + d*x] + b*sin[c +
      d*x])^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, m, n}, x] && IGtQ[p, 0]

3587. Int[cos[(c_.) + (d_.)*(x_)]^(m_.)*sin[(c_.) + (d_.)*(x_)]^(n_.)*(cos[(c_.) + (d_.)*(x_)]*(a_.) + (b_.)*sin[(c_
      .) + (d_.)*(x_)])^(p_), x_Symbol] :> Simp[a^p*b^p   Int[(Cos[c + d*x]^m*Sin[c + d*x]^n)/(b*Cos[c + d*x] + a*Si
      n[c + d*x])^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, m, n}, x] && EqQ[a^2 + b^2, 0] && ILtQ[p, 0]

3588. Int[(cos[(c_.) + (d_.)*(x_)]^(m_.)*sin[(c_.) + (d_.)*(x_)]^(n_.))/(cos[(c_.) + (d_.)*(x_)]*(a_.) + (b_.)*sin[(
      c_.) + (d_.)*(x_)]), x_Symbol] :> Simp[b/(a^2 + b^2)   Int[Cos[c + d*x]^m*Sin[c + d*x]^(n - 1), x], x] + (Simp
      [a/(a^2 + b^2)   Int[Cos[c + d*x]^(m - 1)*Sin[c + d*x]^n, x], x] - Simp[a*(b/(a^2 + b^2))   Int[Cos[c + d*x]^(
      m - 1)*(Sin[c + d*x]^(n - 1)/(a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x])), x], x]) /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && NeQ[a^2
      + b^2, 0] && IGtQ[m, 0] && IGtQ[n, 0]

3589. Int[(cos[(c_.) + (d_.)*(x_)]^(m_.)*sin[(c_.) + (d_.)*(x_)]^(n_.))/(cos[(c_.) + (d_.)*(x_)]*(a_.) + (b_.)*sin[(
      c_.) + (d_.)*(x_)]), x_Symbol] :> Int[ExpandTrig[cos[c + d*x]^m*(sin[c + d*x]^n/(a*cos[c + d*x] + b*sin[c + d*
      x])), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, m, n}, x] && IntegersQ[m, n]

3590. Int[cos[(c_.) + (d_.)*(x_)]^(m_.)*sin[(c_.) + (d_.)*(x_)]^(n_.)*(cos[(c_.) + (d_.)*(x_)]*(a_.) + (b_.)*sin[(c_
      .) + (d_.)*(x_)])^(p_), x_Symbol] :> Simp[b/(a^2 + b^2)   Int[Cos[c + d*x]^m*Sin[c + d*x]^(n - 1)*(a*Cos[c + d
      *x] + b*Sin[c + d*x])^(p + 1), x], x] + (Simp[a/(a^2 + b^2)   Int[Cos[c + d*x]^(m - 1)*Sin[c + d*x]^n*(a*Cos[c
      + d*x] + b*Sin[c + d*x])^(p + 1), x], x] - Simp[a*(b/(a^2 + b^2))   Int[Cos[c + d*x]^(m - 1)*Sin[c + d*x]^(n
      - 1)*(a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x])^p, x], x]) /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && NeQ[a^2 + b^2, 0] && IGtQ[m, 0]
      && IGtQ[n, 0] && ILtQ[p, 0]

3591. Int[Sqrt[cos[(d_.) + (e_.)*(x_)]*(b_.) + (a_) + (c_.)*sin[(d_.) + (e_.)*(x_)]], x_Symbol] :> Simp[-2*((c*Cos[d
      + e*x] - b*Sin[d + e*x])/(e*Sqrt[a + b*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x]])), x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && E
      qQ[a^2 - b^2 - c^2, 0]

3592. Int[(cos[(d_.) + (e_.)*(x_)]*(b_.) + (a_) + (c_.)*sin[(d_.) + (e_.)*(x_)])^(n_), x_Symbol] :> Simp[(-(c*Cos[d
      + e*x] - b*Sin[d + e*x]))*((a + b*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x])^(n - 1)/(e*n)), x] + Simp[a*((2*n - 1)/n)   I
      nt[(a + b*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x])^(n - 1), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && EqQ[a^2 - b^2 - c^2,
      0] && GtQ[n, 0]

3593. Int[(cos[(d_.) + (e_.)*(x_)]*(b_.) + (a_) + (c_.)*sin[(d_.) + (e_.)*(x_)])^(-1), x_Symbol] :> Simp[-(c - a*Sin
      [d + e*x])/(c*e*(c*Cos[d + e*x] - b*Sin[d + e*x])), x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && EqQ[a^2 - b^2 - c^2, 0]

3594. Int[1/Sqrt[cos[(d_.) + (e_.)*(x_)]*(b_.) + (a_) + (c_.)*sin[(d_.) + (e_.)*(x_)]], x_Symbol] :> Int[1/Sqrt[a +
      Sqrt[b^2 + c^2]*Cos[d + e*x - ArcTan[b, c]]], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && EqQ[a^2 - b^2 - c^2, 0]

3595. Int[(cos[(d_.) + (e_.)*(x_)]*(b_.) + (a_) + (c_.)*sin[(d_.) + (e_.)*(x_)])^(n_), x_Symbol] :> Simp[(c*Cos[d +
      e*x] - b*Sin[d + e*x])*((a + b*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x])^n/(a*e*(2*n + 1))), x] + Simp[(n + 1)/(a*(2*n +
      1))   Int[(a + b*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x])^(n + 1), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && EqQ[a^2 - b^2
      - c^2, 0] && LtQ[n, -1]

3596. Int[Sqrt[cos[(d_.) + (e_.)*(x_)]*(b_.) + (a_) + (c_.)*sin[(d_.) + (e_.)*(x_)]], x_Symbol] :> Simp[b/(c*e)   Su
      bst[Int[Sqrt[a + x]/x, x], x, b*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x]], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && EqQ[b^2 + c
      ^2, 0]

3597. Int[Sqrt[cos[(d_.) + (e_.)*(x_)]*(b_.) + (a_) + (c_.)*sin[(d_.) + (e_.)*(x_)]], x_Symbol] :> Int[Sqrt[a + Sqrt
      [b^2 + c^2]*Cos[d + e*x - ArcTan[b, c]]], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && NeQ[b^2 + c^2, 0] && GtQ[a + Sqrt
      [b^2 + c^2], 0]

3598. Int[Sqrt[cos[(d_.) + (e_.)*(x_)]*(b_.) + (a_) + (c_.)*sin[(d_.) + (e_.)*(x_)]], x_Symbol] :> Simp[Sqrt[a + b*C
      os[d + e*x] + c*Sin[d + e*x]]/Sqrt[(a + b*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x])/(a + Sqrt[b^2 + c^2])]   Int[Sqrt[a/(
      a + Sqrt[b^2 + c^2]) + (Sqrt[b^2 + c^2]/(a + Sqrt[b^2 + c^2]))*Cos[d + e*x - ArcTan[b, c]]], x], x] /; FreeQ[{
      a, b, c, d, e}, x] && NeQ[a^2 - b^2 - c^2, 0] && NeQ[b^2 + c^2, 0] &&  !GtQ[a + Sqrt[b^2 + c^2], 0]

3599. Int[(cos[(d_.) + (e_.)*(x_)]*(b_.) + (a_) + (c_.)*sin[(d_.) + (e_.)*(x_)])^(n_), x_Symbol] :> Simp[(-(c*Cos[d
      + e*x] - b*Sin[d + e*x]))*((a + b*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x])^(n - 1)/(e*n)), x] + Simp[1/n   Int[Simp[n*a^
      2 + (n - 1)*(b^2 + c^2) + a*b*(2*n - 1)*Cos[d + e*x] + a*c*(2*n - 1)*Sin[d + e*x], x]*(a + b*Cos[d + e*x] + c*
      Sin[d + e*x])^(n - 2), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && NeQ[a^2 - b^2 - c^2, 0] && GtQ[n, 1]

3600. Int[(cos[(d_.) + (e_.)*(x_)]*(b_.) + (a_) + (c_.)*sin[(d_.) + (e_.)*(x_)])^(-1), x_Symbol] :> Module[{f = Free
      Factors[Cot[(d + e*x)/2], x]}, Simp[-f/e   Subst[Int[1/(a + c*f*x), x], x, Cot[(d + e*x)/2]/f], x]] /; FreeQ[{
      a, b, c, d, e}, x] && EqQ[a + b, 0]

3601. Int[(cos[(d_.) + (e_.)*(x_)]*(b_.) + (a_) + (c_.)*sin[(d_.) + (e_.)*(x_)])^(-1), x_Symbol] :> Module[{f = Free
      Factors[Tan[(d + e*x)/2 + Pi/4], x]}, Simp[f/e   Subst[Int[1/(a + b*f*x), x], x, Tan[(d + e*x)/2 + Pi/4]/f], x
      ]] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && EqQ[a + c, 0]

3602. Int[(cos[(d_.) + (e_.)*(x_)]*(b_.) + (a_) + (c_.)*sin[(d_.) + (e_.)*(x_)])^(-1), x_Symbol] :> Module[{f = Free
      Factors[Cot[(d + e*x)/2 + Pi/4], x]}, Simp[-f/e   Subst[Int[1/(a + b*f*x), x], x, Cot[(d + e*x)/2 + Pi/4]/f],
      x]] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && EqQ[a - c, 0] && NeQ[a - b, 0]

3603. Int[(cos[(d_.) + (e_.)*(x_)]*(b_.) + (a_) + (c_.)*sin[(d_.) + (e_.)*(x_)])^(-1), x_Symbol] :> Module[{f = Free
      Factors[Tan[(d + e*x)/2], x]}, Simp[2*(f/e)   Subst[Int[1/(a + b + 2*c*f*x + (a - b)*f^2*x^2), x], x, Tan[(d +
      e*x)/2]/f], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && NeQ[a^2 - b^2 - c^2, 0]

3604. Int[1/Sqrt[cos[(d_.) + (e_.)*(x_)]*(b_.) + (a_) + (c_.)*sin[(d_.) + (e_.)*(x_)]], x_Symbol] :> Simp[b/(c*e)
      Subst[Int[1/(x*Sqrt[a + x]), x], x, b*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x]], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && EqQ[b
      ^2 + c^2, 0]

3605. Int[1/Sqrt[cos[(d_.) + (e_.)*(x_)]*(b_.) + (a_) + (c_.)*sin[(d_.) + (e_.)*(x_)]], x_Symbol] :> Int[1/Sqrt[a +
      Sqrt[b^2 + c^2]*Cos[d + e*x - ArcTan[b, c]]], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && NeQ[b^2 + c^2, 0] && GtQ[a +
      Sqrt[b^2 + c^2], 0]

3606. Int[1/Sqrt[cos[(d_.) + (e_.)*(x_)]*(b_.) + (a_) + (c_.)*sin[(d_.) + (e_.)*(x_)]], x_Symbol] :> Simp[Sqrt[(a +
      b*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x])/(a + Sqrt[b^2 + c^2])]/Sqrt[a + b*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x]]   Int[1/Sqrt
      [a/(a + Sqrt[b^2 + c^2]) + (Sqrt[b^2 + c^2]/(a + Sqrt[b^2 + c^2]))*Cos[d + e*x - ArcTan[b, c]]], x], x] /; Fre
      eQ[{a, b, c, d, e}, x] && NeQ[a^2 - b^2 - c^2, 0] && NeQ[b^2 + c^2, 0] &&  !GtQ[a + Sqrt[b^2 + c^2], 0]

3607. Int[(cos[(d_.) + (e_.)*(x_)]*(b_.) + (a_) + (c_.)*sin[(d_.) + (e_.)*(x_)])^(-3/2), x_Symbol] :> Simp[2*((c*Cos
      [d + e*x] - b*Sin[d + e*x])/(e*(a^2 - b^2 - c^2)*Sqrt[a + b*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x]])), x] + Simp[1/(a^2
      - b^2 - c^2)   Int[Sqrt[a + b*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x]], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && NeQ[a^2
      - b^2 - c^2, 0]

3608. Int[(cos[(d_.) + (e_.)*(x_)]*(b_.) + (a_) + (c_.)*sin[(d_.) + (e_.)*(x_)])^(n_), x_Symbol] :> Simp[((-c)*Cos[d
      + e*x] + b*Sin[d + e*x])*((a + b*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x])^(n + 1)/(e*(n + 1)*(a^2 - b^2 - c^2))), x] +
      Simp[1/((n + 1)*(a^2 - b^2 - c^2))   Int[(a*(n + 1) - b*(n + 2)*Cos[d + e*x] - c*(n + 2)*Sin[d + e*x])*(a + b*
      Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x])^(n + 1), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && NeQ[a^2 - b^2 - c^2, 0] && LtQ[
      n, -1] && NeQ[n, -3/2]

3609. Int[((A_.) + cos[(d_.) + (e_.)*(x_)]*(B_.) + (C_.)*sin[(d_.) + (e_.)*(x_)])/(cos[(d_.) + (e_.)*(x_)]*(b_.) + (
      a_) + (c_.)*sin[(d_.) + (e_.)*(x_)]), x_Symbol] :> Simp[(2*a*A - b*B - c*C)*(x/(2*a^2)), x] + (-Simp[(b*B + c*
      C)*((b*Cos[d + e*x] - c*Sin[d + e*x])/(2*a*b*c*e)), x] + Simp[(a^2*(b*B - c*C) - 2*a*A*b^2 + b^2*(b*B + c*C))*
      (Log[RemoveContent[a + b*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x], x]]/(2*a^2*b*c*e)), x]) /; FreeQ[{a, b, c, d, e, A, B,
      C}, x] && EqQ[b^2 + c^2, 0]

3610. Int[((A_.) + (C_.)*sin[(d_.) + (e_.)*(x_)])/(cos[(d_.) + (e_.)*(x_)]*(b_.) + (a_) + (c_.)*sin[(d_.) + (e_.)*(x
      _)]), x_Symbol] :> Simp[(2*a*A - c*C)*(x/(2*a^2)), x] + (-Simp[C*(Cos[d + e*x]/(2*a*e)), x] + Simp[c*C*(Sin[d
      + e*x]/(2*a*b*e)), x] + Simp[((-a^2)*C + 2*a*c*A + b^2*C)*(Log[RemoveContent[a + b*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*
      x], x]]/(2*a^2*b*e)), x]) /; FreeQ[{a, b, c, d, e, A, C}, x] && EqQ[b^2 + c^2, 0]

3611. Int[((A_.) + cos[(d_.) + (e_.)*(x_)]*(B_.))/(cos[(d_.) + (e_.)*(x_)]*(b_.) + (a_) + (c_.)*sin[(d_.) + (e_.)*(x
      _)]), x_Symbol] :> Simp[(2*a*A - b*B)*(x/(2*a^2)), x] + (Simp[B*(Sin[d + e*x]/(2*a*e)), x] - Simp[b*B*(Cos[d +
      e*x]/(2*a*c*e)), x] + Simp[(a^2*B - 2*a*b*A + b^2*B)*(Log[RemoveContent[a + b*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x],
      x]]/(2*a^2*c*e)), x]) /; FreeQ[{a, b, c, d, e, A, B}, x] && EqQ[b^2 + c^2, 0]

3612. Int[((A_.) + cos[(d_.) + (e_.)*(x_)]*(B_.) + (C_.)*sin[(d_.) + (e_.)*(x_)])/((a_.) + cos[(d_.) + (e_.)*(x_)]*(
      b_.) + (c_.)*sin[(d_.) + (e_.)*(x_)]), x_Symbol] :> Simp[(b*B + c*C)*(x/(b^2 + c^2)), x] + Simp[(c*B - b*C)*(L
      og[a + b*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x]]/(e*(b^2 + c^2))), x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, A, B, C}, x] && NeQ[b^2
      + c^2, 0] && EqQ[A*(b^2 + c^2) - a*(b*B + c*C), 0]

3613. Int[((A_.) + (C_.)*sin[(d_.) + (e_.)*(x_)])/((a_.) + cos[(d_.) + (e_.)*(x_)]*(b_.) + (c_.)*sin[(d_.) + (e_.)*(
      x_)]), x_Symbol] :> Simp[c*C*(x/(b^2 + c^2)), x] - Simp[b*C*(Log[a + b*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x]]/(e*(b^2
      + c^2))), x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, A, C}, x] && NeQ[b^2 + c^2, 0] && EqQ[A*(b^2 + c^2) - a*c*C, 0]

3614. Int[((A_.) + cos[(d_.) + (e_.)*(x_)]*(B_.))/((a_.) + cos[(d_.) + (e_.)*(x_)]*(b_.) + (c_.)*sin[(d_.) + (e_.)*(
      x_)]), x_Symbol] :> Simp[b*B*(x/(b^2 + c^2)), x] + Simp[c*B*(Log[a + b*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x]]/(e*(b^2
      + c^2))), x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, A, B}, x] && NeQ[b^2 + c^2, 0] && EqQ[A*(b^2 + c^2) - a*b*B, 0]

3615. Int[((A_.) + cos[(d_.) + (e_.)*(x_)]*(B_.) + (C_.)*sin[(d_.) + (e_.)*(x_)])/((a_.) + cos[(d_.) + (e_.)*(x_)]*(
      b_.) + (c_.)*sin[(d_.) + (e_.)*(x_)]), x_Symbol] :> Simp[(b*B + c*C)*(x/(b^2 + c^2)), x] + (Simp[(c*B - b*C)*(
      Log[a + b*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x]]/(e*(b^2 + c^2))), x] + Simp[(A*(b^2 + c^2) - a*(b*B + c*C))/(b^2 + c^
      2)   Int[1/(a + b*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x]), x], x]) /; FreeQ[{a, b, c, d, e, A, B, C}, x] && NeQ[b^2 + c
      ^2, 0] && NeQ[A*(b^2 + c^2) - a*(b*B + c*C), 0]

3616. Int[((A_.) + (C_.)*sin[(d_.) + (e_.)*(x_)])/((a_.) + cos[(d_.) + (e_.)*(x_)]*(b_.) + (c_.)*sin[(d_.) + (e_.)*(
      x_)]), x_Symbol] :> Simp[c*C*((d + e*x)/(e*(b^2 + c^2))), x] + (-Simp[b*C*(Log[a + b*Cos[d + e*x] + c*Sin[d +
      e*x]]/(e*(b^2 + c^2))), x] + Simp[(A*(b^2 + c^2) - a*c*C)/(b^2 + c^2)   Int[1/(a + b*Cos[d + e*x] + c*Sin[d +
      e*x]), x], x]) /; FreeQ[{a, b, c, d, e, A, C}, x] && NeQ[b^2 + c^2, 0] && NeQ[A*(b^2 + c^2) - a*c*C, 0]

3617. Int[((A_.) + cos[(d_.) + (e_.)*(x_)]*(B_.))/((a_.) + cos[(d_.) + (e_.)*(x_)]*(b_.) + (c_.)*sin[(d_.) + (e_.)*(
      x_)]), x_Symbol] :> Simp[b*B*((d + e*x)/(e*(b^2 + c^2))), x] + (Simp[c*B*(Log[a + b*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e
      *x]]/(e*(b^2 + c^2))), x] + Simp[(A*(b^2 + c^2) - a*b*B)/(b^2 + c^2)   Int[1/(a + b*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e
      *x]), x], x]) /; FreeQ[{a, b, c, d, e, A, B}, x] && NeQ[b^2 + c^2, 0] && NeQ[A*(b^2 + c^2) - a*b*B, 0]

3618. Int[(cos[(d_.) + (e_.)*(x_)]*(b_.) + (a_) + (c_.)*sin[(d_.) + (e_.)*(x_)])^(n_.)*((A_.) + cos[(d_.) + (e_.)*(x
      _)]*(B_.) + (C_.)*sin[(d_.) + (e_.)*(x_)]), x_Symbol] :> Simp[(B*c - b*C - a*C*Cos[d + e*x] + a*B*Sin[d + e*x]
      )*((a + b*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x])^n/(a*e*(n + 1))), x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, A, B, C, n}, x] && NeQ[
      n, -1] && EqQ[a^2 - b^2 - c^2, 0] && EqQ[(b*B + c*C)*n + a*A*(n + 1), 0]

3619. Int[(cos[(d_.) + (e_.)*(x_)]*(b_.) + (a_) + (c_.)*sin[(d_.) + (e_.)*(x_)])^(n_.)*((A_.) + (C_.)*sin[(d_.) + (e
      _.)*(x_)]), x_Symbol] :> Simp[(-(b*C + a*C*Cos[d + e*x]))*((a + b*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x])^n/(a*e*(n + 1
      ))), x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, A, C, n}, x] && NeQ[n, -1] && EqQ[a^2 - b^2 - c^2, 0] && EqQ[c*C*n + a*A*(n +
      1), 0]

3620. Int[((A_.) + cos[(d_.) + (e_.)*(x_)]*(B_.))*(cos[(d_.) + (e_.)*(x_)]*(b_.) + (a_) + (c_.)*sin[(d_.) + (e_.)*(x
      _)])^(n_.), x_Symbol] :> Simp[(B*c + a*B*Sin[d + e*x])*((a + b*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x])^n/(a*e*(n + 1)))
      , x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, A, B, n}, x] && NeQ[n, -1] && EqQ[a^2 - b^2 - c^2, 0] && EqQ[b*B*n + a*A*(n + 1)
      , 0]

3621. Int[(cos[(d_.) + (e_.)*(x_)]*(b_.) + (a_) + (c_.)*sin[(d_.) + (e_.)*(x_)])^(n_.)*((A_.) + cos[(d_.) + (e_.)*(x
      _)]*(B_.) + (C_.)*sin[(d_.) + (e_.)*(x_)]), x_Symbol] :> Simp[(B*c - b*C - a*C*Cos[d + e*x] + a*B*Sin[d + e*x]
      )*((a + b*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x])^n/(a*e*(n + 1))), x] + Simp[((b*B + c*C)*n + a*A*(n + 1))/(a*(n + 1))
      Int[(a + b*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x])^n, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, A, B, C, n}, x] && NeQ[n, -1]
      && EqQ[a^2 - b^2 - c^2, 0] && NeQ[(b*B + c*C)*n + a*A*(n + 1), 0]

3622. Int[(cos[(d_.) + (e_.)*(x_)]*(b_.) + (a_) + (c_.)*sin[(d_.) + (e_.)*(x_)])^(n_.)*((A_.) + (C_.)*sin[(d_.) + (e
      _.)*(x_)]), x_Symbol] :> Simp[(-(b*C + a*C*Cos[d + e*x]))*((a + b*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x])^n/(a*e*(n + 1
      ))), x] + Simp[(c*C*n + a*A*(n + 1))/(a*(n + 1))   Int[(a + b*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x])^n, x], x] /; Free
      Q[{a, b, c, d, e, A, C, n}, x] && NeQ[n, -1] && EqQ[a^2 - b^2 - c^2, 0] && NeQ[c*C*n + a*A*(n + 1), 0]

3623. Int[((A_.) + cos[(d_.) + (e_.)*(x_)]*(B_.))*(cos[(d_.) + (e_.)*(x_)]*(b_.) + (a_) + (c_.)*sin[(d_.) + (e_.)*(x
      _)])^(n_.), x_Symbol] :> Simp[(B*c + a*B*Sin[d + e*x])*((a + b*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x])^n/(a*e*(n + 1)))
      , x] + Simp[(b*B*n + a*A*(n + 1))/(a*(n + 1))   Int[(a + b*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x])^n, x], x] /; FreeQ[{
      a, b, c, d, e, A, B, n}, x] && NeQ[n, -1] && EqQ[a^2 - b^2 - c^2, 0] && NeQ[b*B*n + a*A*(n + 1), 0]

3624. Int[(cos[(d_.) + (e_.)*(x_)]*(b_.) + (c_.)*sin[(d_.) + (e_.)*(x_)])^(n_.)*(cos[(d_.) + (e_.)*(x_)]*(B_.) + (C_
      .)*sin[(d_.) + (e_.)*(x_)]), x_Symbol] :> Simp[(c*B - b*C)*((b*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x])^(n + 1)/(e*(n +
      1)*(b^2 + c^2))), x] /; FreeQ[{b, c, d, e, B, C}, x] && NeQ[n, -1] && NeQ[b^2 + c^2, 0] && EqQ[b*B + c*C, 0]

3625. Int[(cos[(d_.) + (e_.)*(x_)]*(b_.) + (a_) + (c_.)*sin[(d_.) + (e_.)*(x_)])^(n_.)*((A_.) + cos[(d_.) + (e_.)*(x
      _)]*(B_.) + (C_.)*sin[(d_.) + (e_.)*(x_)]), x_Symbol] :> Simp[(B*c - b*C - a*C*Cos[d + e*x] + a*B*Sin[d + e*x]
      )*((a + b*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x])^n/(a*e*(n + 1))), x] + Simp[1/(a*(n + 1))   Int[(a + b*Cos[d + e*x] +
      c*Sin[d + e*x])^(n - 1)*Simp[a*(b*B + c*C)*n + a^2*A*(n + 1) + (n*(a^2*B - B*c^2 + b*c*C) + a*b*A*(n + 1))*Co
      s[d + e*x] + (n*(b*B*c + a^2*C - b^2*C) + a*c*A*(n + 1))*Sin[d + e*x], x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, A,
      B, C}, x] && GtQ[n, 0] && NeQ[a^2 - b^2 - c^2, 0]

3626. Int[(cos[(d_.) + (e_.)*(x_)]*(b_.) + (a_) + (c_.)*sin[(d_.) + (e_.)*(x_)])^(n_.)*((A_.) + (C_.)*sin[(d_.) + (e
      _.)*(x_)]), x_Symbol] :> Simp[(-(b*C + a*C*Cos[d + e*x]))*((a + b*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x])^n/(a*e*(n + 1
      ))), x] + Simp[1/(a*(n + 1))   Int[(a + b*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x])^(n - 1)*Simp[a*c*C*n + a^2*A*(n + 1)
      + (c*b*C*n + a*b*A*(n + 1))*Cos[d + e*x] + (a^2*C*n - b^2*C*n + a*c*A*(n + 1))*Sin[d + e*x], x], x], x] /; Fre
      eQ[{a, b, c, d, e, A, C}, x] && GtQ[n, 0] && NeQ[a^2 - b^2 - c^2, 0]

3627. Int[((A_.) + cos[(d_.) + (e_.)*(x_)]*(B_.))*(cos[(d_.) + (e_.)*(x_)]*(b_.) + (a_) + (c_.)*sin[(d_.) + (e_.)*(x
      _)])^(n_.), x_Symbol] :> Simp[(B*c + a*B*Sin[d + e*x])*((a + b*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x])^n/(a*e*(n + 1)))
      , x] + Simp[1/(a*(n + 1))   Int[(a + b*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x])^(n - 1)*Simp[a*b*B*n + a^2*A*(n + 1) + (
      a^2*B*n - c^2*B*n + a*b*A*(n + 1))*Cos[d + e*x] + (b*c*B*n + a*c*A*(n + 1))*Sin[d + e*x], x], x], x] /; FreeQ[
      {a, b, c, d, e, A, B}, x] && GtQ[n, 0] && NeQ[a^2 - b^2 - c^2, 0]

3628. Int[((A_.) + cos[(d_.) + (e_.)*(x_)]*(B_.) + (C_.)*sin[(d_.) + (e_.)*(x_)])/Sqrt[cos[(d_.) + (e_.)*(x_)]*(b_.)
      + (a_) + (c_.)*sin[(d_.) + (e_.)*(x_)]], x_Symbol] :> Simp[B/b   Int[Sqrt[a + b*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x]
      ], x], x] + Simp[(A*b - a*B)/b   Int[1/Sqrt[a + b*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x]], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d,
      e, A, B, C}, x] && EqQ[B*c - b*C, 0] && NeQ[A*b - a*B, 0]

3629. Int[((A_.) + cos[(d_.) + (e_.)*(x_)]*(B_.) + (C_.)*sin[(d_.) + (e_.)*(x_)])/((a_.) + cos[(d_.) + (e_.)*(x_)]*(
      b_.) + (c_.)*sin[(d_.) + (e_.)*(x_)])^2, x_Symbol] :> Simp[(c*B - b*C - (a*C - c*A)*Cos[d + e*x] + (a*B - b*A)
      *Sin[d + e*x])/(e*(a^2 - b^2 - c^2)*(a + b*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x])), x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, A, B,
      C}, x] && NeQ[a^2 - b^2 - c^2, 0] && EqQ[a*A - b*B - c*C, 0]

3630. Int[((A_.) + (C_.)*sin[(d_.) + (e_.)*(x_)])/((a_.) + cos[(d_.) + (e_.)*(x_)]*(b_.) + (c_.)*sin[(d_.) + (e_.)*(
      x_)])^2, x_Symbol] :> Simp[-(b*C + (a*C - c*A)*Cos[d + e*x] + b*A*Sin[d + e*x])/(e*(a^2 - b^2 - c^2)*(a + b*Co
      s[d + e*x] + c*Sin[d + e*x])), x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, A, C}, x] && NeQ[a^2 - b^2 - c^2, 0] && EqQ[a*A - c
      *C, 0]

3631. Int[((A_.) + cos[(d_.) + (e_.)*(x_)]*(B_.))/((a_.) + cos[(d_.) + (e_.)*(x_)]*(b_.) + (c_.)*sin[(d_.) + (e_.)*(
      x_)])^2, x_Symbol] :> Simp[(c*B + c*A*Cos[d + e*x] + (a*B - b*A)*Sin[d + e*x])/(e*(a^2 - b^2 - c^2)*(a + b*Cos
      [d + e*x] + c*Sin[d + e*x])), x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, A, B}, x] && NeQ[a^2 - b^2 - c^2, 0] && EqQ[a*A - b*
      B, 0]

3632. Int[((A_.) + cos[(d_.) + (e_.)*(x_)]*(B_.) + (C_.)*sin[(d_.) + (e_.)*(x_)])/((a_.) + cos[(d_.) + (e_.)*(x_)]*(
      b_.) + (c_.)*sin[(d_.) + (e_.)*(x_)])^2, x_Symbol] :> Simp[(c*B - b*C - (a*C - c*A)*Cos[d + e*x] + (a*B - b*A)
      *Sin[d + e*x])/(e*(a^2 - b^2 - c^2)*(a + b*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x])), x] + Simp[(a*A - b*B - c*C)/(a^2 -
      b^2 - c^2)   Int[1/(a + b*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x]), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, A, B, C}, x] && NeQ
      [a^2 - b^2 - c^2, 0] && NeQ[a*A - b*B - c*C, 0]

3633. Int[((A_.) + (C_.)*sin[(d_.) + (e_.)*(x_)])/((a_.) + cos[(d_.) + (e_.)*(x_)]*(b_.) + (c_.)*sin[(d_.) + (e_.)*(
      x_)])^2, x_Symbol] :> Simp[-(b*C + (a*C - c*A)*Cos[d + e*x] + b*A*Sin[d + e*x])/(e*(a^2 - b^2 - c^2)*(a + b*Co
      s[d + e*x] + c*Sin[d + e*x])), x] + Simp[(a*A - c*C)/(a^2 - b^2 - c^2)   Int[1/(a + b*Cos[d + e*x] + c*Sin[d +
      e*x]), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, A, C}, x] && NeQ[a^2 - b^2 - c^2, 0] && NeQ[a*A - c*C, 0]

3634. Int[((A_.) + cos[(d_.) + (e_.)*(x_)]*(B_.))/((a_.) + cos[(d_.) + (e_.)*(x_)]*(b_.) + (c_.)*sin[(d_.) + (e_.)*(
      x_)])^2, x_Symbol] :> Simp[(c*B + c*A*Cos[d + e*x] + (a*B - b*A)*Sin[d + e*x])/(e*(a^2 - b^2 - c^2)*(a + b*Cos
      [d + e*x] + c*Sin[d + e*x])), x] + Simp[(a*A - b*B)/(a^2 - b^2 - c^2)   Int[1/(a + b*Cos[d + e*x] + c*Sin[d +
      e*x]), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, A, B}, x] && NeQ[a^2 - b^2 - c^2, 0] && NeQ[a*A - b*B, 0]

3635. Int[((a_.) + cos[(d_.) + (e_.)*(x_)]*(b_.) + (c_.)*sin[(d_.) + (e_.)*(x_)])^(n_)*((A_.) + cos[(d_.) + (e_.)*(x
      _)]*(B_.) + (C_.)*sin[(d_.) + (e_.)*(x_)]), x_Symbol] :> Simp[(-(c*B - b*C - (a*C - c*A)*Cos[d + e*x] + (a*B -
      b*A)*Sin[d + e*x]))*((a + b*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x])^(n + 1)/(e*(n + 1)*(a^2 - b^2 - c^2))), x] + Simp[
      1/((n + 1)*(a^2 - b^2 - c^2))   Int[(a + b*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x])^(n + 1)*Simp[(n + 1)*(a*A - b*B - c*
      C) + (n + 2)*(a*B - b*A)*Cos[d + e*x] + (n + 2)*(a*C - c*A)*Sin[d + e*x], x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e,
      A, B, C}, x] && LtQ[n, -1] && NeQ[a^2 - b^2 - c^2, 0] && NeQ[n, -2]

3636. Int[((a_.) + cos[(d_.) + (e_.)*(x_)]*(b_.) + (c_.)*sin[(d_.) + (e_.)*(x_)])^(n_)*((A_.) + (C_.)*sin[(d_.) + (e
      _.)*(x_)]), x_Symbol] :> Simp[(b*C + (a*C - c*A)*Cos[d + e*x] + b*A*Sin[d + e*x])*((a + b*Cos[d + e*x] + c*Sin
      [d + e*x])^(n + 1)/(e*(n + 1)*(a^2 - b^2 - c^2))), x] + Simp[1/((n + 1)*(a^2 - b^2 - c^2))   Int[(a + b*Cos[d
      + e*x] + c*Sin[d + e*x])^(n + 1)*Simp[(n + 1)*(a*A - c*C) - (n + 2)*b*A*Cos[d + e*x] + (n + 2)*(a*C - c*A)*Sin
      [d + e*x], x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, A, C}, x] && LtQ[n, -1] && NeQ[a^2 - b^2 - c^2, 0] && NeQ[n, -2
      ]

3637. Int[((A_.) + cos[(d_.) + (e_.)*(x_)]*(B_.))*((a_.) + cos[(d_.) + (e_.)*(x_)]*(b_.) + (c_.)*sin[(d_.) + (e_.)*(
      x_)])^(n_), x_Symbol] :> Simp[(-(c*B + c*A*Cos[d + e*x] + (a*B - b*A)*Sin[d + e*x]))*((a + b*Cos[d + e*x] + c*
      Sin[d + e*x])^(n + 1)/(e*(n + 1)*(a^2 - b^2 - c^2))), x] + Simp[1/((n + 1)*(a^2 - b^2 - c^2))   Int[(a + b*Cos
      [d + e*x] + c*Sin[d + e*x])^(n + 1)*Simp[(n + 1)*(a*A - b*B) + (n + 2)*(a*B - b*A)*Cos[d + e*x] - (n + 2)*c*A*
      Sin[d + e*x], x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, A, B}, x] && LtQ[n, -1] && NeQ[a^2 - b^2 - c^2, 0] && NeQ[n,
      -2]

3638. Int[((a_.) + (b_.)*sec[(d_.) + (e_.)*(x_)] + (c_.)*tan[(d_.) + (e_.)*(x_)])^(-1), x_Symbol] :> Int[Cos[d + e*x
      ]/(b + a*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x]), x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x]

3639. Int[((a_.) + csc[(d_.) + (e_.)*(x_)]*(b_.) + cot[(d_.) + (e_.)*(x_)]*(c_.))^(-1), x_Symbol] :> Int[Sin[d + e*x
      ]/(b + a*Sin[d + e*x] + c*Cos[d + e*x]), x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x]

3640. Int[cos[(d_.) + (e_.)*(x_)]^(n_.)*((a_.) + (b_.)*sec[(d_.) + (e_.)*(x_)] + (c_.)*tan[(d_.) + (e_.)*(x_)])^(n_.
      ), x_Symbol] :> Int[(b + a*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x])^n, x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && IntegerQ[n]

3641. Int[((a_.) + csc[(d_.) + (e_.)*(x_)]*(b_.) + cot[(d_.) + (e_.)*(x_)]*(c_.))^(n_.)*sin[(d_.) + (e_.)*(x_)]^(n_.
      ), x_Symbol] :> Int[(b + a*Sin[d + e*x] + c*Cos[d + e*x])^n, x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && IntegerQ[n]

3642. Int[cos[(d_.) + (e_.)*(x_)]^(n_)*((a_.) + (b_.)*sec[(d_.) + (e_.)*(x_)] + (c_.)*tan[(d_.) + (e_.)*(x_)])^(n_),
      x_Symbol] :> Simp[Cos[d + e*x]^n*((a + b*Sec[d + e*x] + c*Tan[d + e*x])^n/(b + a*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x
      ])^n)   Int[(b + a*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x])^n, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] &&  !IntegerQ[n]

3643. Int[((a_.) + csc[(d_.) + (e_.)*(x_)]*(b_.) + cot[(d_.) + (e_.)*(x_)]*(c_.))^(n_)*sin[(d_.) + (e_.)*(x_)]^(n_),
      x_Symbol] :> Simp[Sin[d + e*x]^n*((a + b*Csc[d + e*x] + c*Cot[d + e*x])^n/(b + a*Sin[d + e*x] + c*Cos[d + e*x
      ])^n)   Int[(b + a*Sin[d + e*x] + c*Cos[d + e*x])^n, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] &&  !IntegerQ[n]

3644. Int[sec[(d_.) + (e_.)*(x_)]^(n_.)*((a_.) + (b_.)*sec[(d_.) + (e_.)*(x_)] + (c_.)*tan[(d_.) + (e_.)*(x_)])^(m_)
      , x_Symbol] :> Int[1/(b + a*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x])^n, x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && EqQ[m + n, 0]
      && IntegerQ[n]

3645. Int[csc[(d_.) + (e_.)*(x_)]^(n_.)*((a_.) + csc[(d_.) + (e_.)*(x_)]*(b_.) + cot[(d_.) + (e_.)*(x_)]*(c_.))^(m_)
      , x_Symbol] :> Int[1/(b + a*Sin[d + e*x] + c*Cos[d + e*x])^n, x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && EqQ[m + n, 0]
      && IntegerQ[n]

3646. Int[sec[(d_.) + (e_.)*(x_)]^(n_.)*((a_.) + (b_.)*sec[(d_.) + (e_.)*(x_)] + (c_.)*tan[(d_.) + (e_.)*(x_)])^(m_)
      , x_Symbol] :> Simp[Sec[d + e*x]^n*((b + a*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x])^n/(a + b*Sec[d + e*x] + c*Tan[d + e*
      x])^n)   Int[1/(b + a*Cos[d + e*x] + c*Sin[d + e*x])^n, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && EqQ[m + n, 0] &
      &  !IntegerQ[n]

3647. Int[csc[(d_.) + (e_.)*(x_)]^(n_.)*((a_.) + csc[(d_.) + (e_.)*(x_)]*(b_.) + cot[(d_.) + (e_.)*(x_)]*(c_.))^(m_)
      , x_Symbol] :> Simp[Csc[d + e*x]^n*((b + a*Sin[d + e*x] + c*Cos[d + e*x])^n/(a + b*Csc[d + e*x] + c*Cot[d + e*
      x])^n)   Int[1/(b + a*Sin[d + e*x] + c*Cos[d + e*x])^n, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && EqQ[m + n, 0] &
      &  !IntegerQ[n]

3648. Int[((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2)*((A_.) + (B_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2), x_Symbol] :> Simp[(4*A
      *(2*a + b) + B*(4*a + 3*b))*(x/8), x] + (-Simp[b*B*Cos[e + f*x]*(Sin[e + f*x]^3/(4*f)), x] - Simp[(4*A*b + B*(
      4*a + 3*b))*Cos[e + f*x]*(Sin[e + f*x]/(8*f)), x]) /; FreeQ[{a, b, e, f, A, B}, x]

3649. Int[((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2)^(p_)*((A_.) + (B_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2), x_Symbol] :> Simp
      [(-B)*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x]*((a + b*Sin[e + f*x]^2)^p/(2*f*(p + 1))), x] + Simp[1/(2*(p + 1))   Int[(a + b
      *Sin[e + f*x]^2)^(p - 1)*Simp[a*B + 2*a*A*(p + 1) + (2*A*b*(p + 1) + B*(b + 2*a*p + 2*b*p))*Sin[e + f*x]^2, x]
      , x], x] /; FreeQ[{a, b, e, f, A, B}, x] && GtQ[p, 0]

3650. Int[((A_.) + (B_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2)/((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2), x_Symbol] :> Simp[B*(x
      /b), x] + Simp[(A*b - a*B)/b   Int[1/(a + b*Sin[e + f*x]^2), x], x] /; FreeQ[{a, b, e, f, A, B}, x]

3651. Int[((A_.) + (B_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2)/Sqrt[(a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2], x_Symbol] :> Simp[
      B/b   Int[Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2], x], x] + Simp[(A*b - a*B)/b   Int[1/Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2], x], x] /
      ; FreeQ[{a, b, e, f, A, B}, x]

3652. Int[((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2)^(p_)*((A_.) + (B_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2), x_Symbol] :> Simp
      [(-(A*b - a*B))*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x]*((a + b*Sin[e + f*x]^2)^(p + 1)/(2*a*f*(a + b)*(p + 1))), x] - Simp[
      1/(2*a*(a + b)*(p + 1))   Int[(a + b*Sin[e + f*x]^2)^(p + 1)*Simp[a*B - A*(2*a*(p + 1) + b*(2*p + 3)) + 2*(A*b
      - a*B)*(p + 2)*Sin[e + f*x]^2, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, e, f, A, B}, x] && LtQ[p, -1] && NeQ[a + b, 0]

3653. Int[((a_.) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2)^(p_)*((A_.) + (B_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2), x_Symbol] :> Wit
      h[{ff = FreeFactors[Tan[e + f*x], x]}, Simp[ff*(a + b*Sin[e + f*x]^2)^p*((Sec[e + f*x]^2)^p/(f*(a + (a + b)*Ta
      n[e + f*x]^2)^p))   Subst[Int[(a + (a + b)*ff^2*x^2)^p*((A + (A + B)*ff^2*x^2)/(1 + ff^2*x^2)^(p + 2)), x], x,
      Tan[e + f*x]/ff], x]] /; FreeQ[{a, b, e, f, A, B}, x] &&  !IntegerQ[p]

3654. Int[(u_.)*((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2)^(p_), x_Symbol] :> Simp[a^p   Int[ActivateTrig[u*cos[e + f*
      x]^(2*p)], x], x] /; FreeQ[{a, b, e, f, p}, x] && EqQ[a + b, 0] && IntegerQ[p]

3655. Int[(u_.)*((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2)^(p_), x_Symbol] :> Int[ActivateTrig[u*(a*cos[e + f*x]^2)^p]
      , x] /; FreeQ[{a, b, e, f, p}, x] && EqQ[a + b, 0]

3656. Int[Sqrt[(a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2], x_Symbol] :> Simp[(Sqrt[a]/f)*EllipticE[e + f*x, -b/a], x] /
      ; FreeQ[{a, b, e, f}, x] && GtQ[a, 0]

3657. Int[Sqrt[(a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2], x_Symbol] :> Simp[Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]^2]/Sqrt[1 + b*(Sin
      [e + f*x]^2/a)]   Int[Sqrt[1 + (b*Sin[e + f*x]^2)/a], x], x] /; FreeQ[{a, b, e, f}, x] &&  !GtQ[a, 0]

3658. Int[((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2)^2, x_Symbol] :> Simp[(8*a^2 + 8*a*b + 3*b^2)*(x/8), x] + (-Simp[b
      ^2*Cos[e + f*x]*(Sin[e + f*x]^3/(4*f)), x] - Simp[b*(8*a + 3*b)*Cos[e + f*x]*(Sin[e + f*x]/(8*f)), x]) /; Free
      Q[{a, b, e, f}, x]

3659. Int[((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2)^(p_), x_Symbol] :> Simp[(-b)*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x]*((a + b*Si
      n[e + f*x]^2)^(p - 1)/(2*f*p)), x] + Simp[1/(2*p)   Int[(a + b*Sin[e + f*x]^2)^(p - 2)*Simp[a*(b + 2*a*p) + b*
      (2*a + b)*(2*p - 1)*Sin[e + f*x]^2, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, e, f}, x] && NeQ[a + b, 0] && GtQ[p, 1]

3660. Int[((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2)^(-1), x_Symbol] :> With[{ff = FreeFactors[Tan[e + f*x], x]}, Simp
      [ff/f   Subst[Int[1/(a + (a + b)*ff^2*x^2), x], x, Tan[e + f*x]/ff], x]] /; FreeQ[{a, b, e, f}, x]

3661. Int[1/Sqrt[(a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2], x_Symbol] :> Simp[(1/(Sqrt[a]*f))*EllipticF[e + f*x, -b/a]
      , x] /; FreeQ[{a, b, e, f}, x] && GtQ[a, 0]

3662. Int[1/Sqrt[(a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2], x_Symbol] :> Simp[Sqrt[1 + b*(Sin[e + f*x]^2/a)]/Sqrt[a +
      b*Sin[e + f*x]^2]   Int[1/Sqrt[1 + (b*Sin[e + f*x]^2)/a], x], x] /; FreeQ[{a, b, e, f}, x] &&  !GtQ[a, 0]

3663. Int[((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2)^(p_), x_Symbol] :> Simp[(-b)*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x]*((a + b*Si
      n[e + f*x]^2)^(p + 1)/(2*a*f*(p + 1)*(a + b))), x] + Simp[1/(2*a*(p + 1)*(a + b))   Int[(a + b*Sin[e + f*x]^2)
      ^(p + 1)*Simp[2*a*(p + 1) + b*(2*p + 3) - 2*b*(p + 2)*Sin[e + f*x]^2, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, e, f}, x] &&
      NeQ[a + b, 0] && LtQ[p, -1]

3664. Int[((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2)^(p_.), x_Symbol] :> With[{ff = FreeFactors[Sin[e + f*x], x]}, Sim
      p[ff*(Sqrt[Cos[e + f*x]^2]/(f*Cos[e + f*x]))   Subst[Int[(a + b*ff^2*x^2)^p/Sqrt[1 - ff^2*x^2], x], x, Sin[e +
      f*x]/ff], x]] /; FreeQ[{a, b, e, f, p}, x] &&  !IntegerQ[p]

3665. Int[sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]^(m_.)*((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2)^(p_.), x_Symbol] :> With[{ff = Free
      Factors[Cos[e + f*x], x]}, Simp[-ff/f   Subst[Int[(1 - ff^2*x^2)^((m - 1)/2)*(a + b - b*ff^2*x^2)^p, x], x, Co
      s[e + f*x]/ff], x]] /; FreeQ[{a, b, e, f, p}, x] && IntegerQ[(m - 1)/2]

3666. Int[sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]^(m_)*((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2)^(p_.), x_Symbol] :> With[{ff = FreeF
      actors[Tan[e + f*x], x]}, Simp[ff^(m + 1)/f   Subst[Int[x^m*((a + (a + b)*ff^2*x^2)^p/(1 + ff^2*x^2)^(m/2 + p
      + 1)), x], x, Tan[e + f*x]/ff], x]] /; FreeQ[{a, b, e, f}, x] && IntegerQ[m/2] && IntegerQ[p]

3667. Int[sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]^(m_)*((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2)^(p_.), x_Symbol] :> With[{ff = FreeF
      actors[Sin[e + f*x], x]}, Simp[ff^(m + 1)*(Sqrt[Cos[e + f*x]^2]/(f*Cos[e + f*x]))   Subst[Int[x^m*((a + b*ff^2
      *x^2)^p/Sqrt[1 - ff^2*x^2]), x], x, Sin[e + f*x]/ff], x]] /; FreeQ[{a, b, e, f, p}, x] && IntegerQ[m/2] &&  !I
      ntegerQ[p]

3668. Int[((d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_)*((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2)^(p_.), x_Symbol] :> With[{ff
      = FreeFactors[Cos[e + f*x], x]}, Simp[(-ff)*d^(2*IntPart[(m - 1)/2] + 1)*((d*Sin[e + f*x])^(2*FracPart[(m - 1
      )/2])/(f*(Sin[e + f*x]^2)^FracPart[(m - 1)/2]))   Subst[Int[(1 - ff^2*x^2)^((m - 1)/2)*(a + b - b*ff^2*x^2)^p,
      x], x, Cos[e + f*x]/ff], x]] /; FreeQ[{a, b, d, e, f, m, p}, x] &&  !IntegerQ[m]

3669. Int[cos[(e_.) + (f_.)*(x_)]^(m_.)*((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2)^(p_.), x_Symbol] :> With[{ff = Free
      Factors[Sin[e + f*x], x]}, Simp[ff/f   Subst[Int[(1 - ff^2*x^2)^((m - 1)/2)*(a + b*ff^2*x^2)^p, x], x, Sin[e +
      f*x]/ff], x]] /; FreeQ[{a, b, e, f, p}, x] && IntegerQ[(m - 1)/2]

3670. Int[cos[(e_.) + (f_.)*(x_)]^(m_)*((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2)^(p_.), x_Symbol] :> With[{ff = FreeF
      actors[Tan[e + f*x], x]}, Simp[ff/f   Subst[Int[(a + (a + b)*ff^2*x^2)^p/(1 + ff^2*x^2)^(m/2 + p + 1), x], x,
      Tan[e + f*x]/ff], x]] /; FreeQ[{a, b, e, f}, x] && IntegerQ[m/2] && IntegerQ[p]

3671. Int[cos[(e_.) + (f_.)*(x_)]^(m_)*((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2)^(p_.), x_Symbol] :> With[{ff = FreeF
      actors[Sin[e + f*x], x]}, Simp[ff*(Sqrt[Cos[e + f*x]^2]/(f*Cos[e + f*x]))   Subst[Int[(1 - ff^2*x^2)^((m - 1)/
      2)*(a + b*ff^2*x^2)^p, x], x, Sin[e + f*x]/ff], x]] /; FreeQ[{a, b, e, f, p}, x] && IntegerQ[m/2] &&  !Integer
      Q[p]

3672. Int[(cos[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(d_.))^(m_)*((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2)^(p_.), x_Symbol] :> With[{ff
      = FreeFactors[Sin[e + f*x], x]}, Simp[ff*d^(2*IntPart[(m - 1)/2] + 1)*((d*Cos[e + f*x])^(2*FracPart[(m - 1)/2
      ])/(f*(Cos[e + f*x]^2)^FracPart[(m - 1)/2]))   Subst[Int[(1 - ff^2*x^2)^((m - 1)/2)*(a + b*ff^2*x^2)^p, x], x,
      Sin[e + f*x]/ff], x]] /; FreeQ[{a, b, d, e, f, m, p}, x] &&  !IntegerQ[m]

3673. Int[((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2)^(p_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)]^(m_.), x_Symbol] :> With[{ff = Free
      Factors[Sin[e + f*x]^2, x]}, Simp[ff^((m + 1)/2)/(2*f)   Subst[Int[x^((m - 1)/2)*((a + b*ff*x)^p/(1 - ff*x)^((
      m + 1)/2)), x], x, Sin[e + f*x]^2/ff], x]] /; FreeQ[{a, b, e, f, p}, x] && IntegerQ[(m - 1)/2]

3674. Int[((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2)^(p_.)*((d_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_), x_Symbol] :> With[{ff
      = FreeFactors[Tan[e + f*x], x]}, Simp[ff/f   Subst[Int[(d*ff*x)^m*((a + (a + b)*ff^2*x^2)^p/(1 + ff^2*x^2)^(p
      + 1)), x], x, Tan[e + f*x]/ff], x]] /; FreeQ[{a, b, d, e, f, m}, x] && IntegerQ[p]

3675. Int[((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2)^(p_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)]^(m_), x_Symbol] :> With[{ff = FreeF
      actors[Sin[e + f*x], x]}, Simp[ff^(m + 1)*(Sqrt[Cos[e + f*x]^2]/(f*Cos[e + f*x]))   Subst[Int[x^m*((a + b*ff^2
      *x^2)^p/(1 - ff^2*x^2)^((m + 1)/2)), x], x, Sin[e + f*x]/ff], x]] /; FreeQ[{a, b, e, f, p}, x] && IntegerQ[m/2
      ] &&  !IntegerQ[p]

3676. Int[((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2)^(p_.)*((d_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_), x_Symbol] :> With[{ff
      = FreeFactors[Sin[e + f*x], x]}, Simp[ff*(d*Tan[e + f*x])^(m + 1)*((Cos[e + f*x]^2)^((m + 1)/2)/(d*f*Sin[e +
      f*x]^(m + 1)))   Subst[Int[(ff*x)^m*((a + b*ff^2*x^2)^p/(1 - ff^2*x^2)^((m + 1)/2)), x], x, Sin[e + f*x]/ff],
      x]] /; FreeQ[{a, b, d, e, f, m, p}, x] &&  !IntegerQ[m]

3677. Int[cos[(e_.) + (f_.)*(x_)]^(m_.)*((d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_.)*((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]^
      2)^(p_.), x_Symbol] :> With[{ff = FreeFactors[Sin[e + f*x], x]}, Simp[ff/f   Subst[Int[(d*ff*x)^n*(1 - ff^2*x^
      2)^((m - 1)/2)*(a + b*ff^2*x^2)^p, x], x, Sin[e + f*x]/ff], x]] /; FreeQ[{a, b, d, e, f, n, p}, x] && IntegerQ
      [(m - 1)/2]

3678. Int[sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]^(n_.)*((c_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_)*((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2
      )^(p_.), x_Symbol] :> With[{ff = FreeFactors[Cos[e + f*x], x]}, Simp[-ff/f   Subst[Int[(c*ff*x)^m*(1 - ff^2*x^
      2)^((n - 1)/2)*(a + b - b*ff^2*x^2)^p, x], x, Cos[e + f*x]/ff], x]] /; FreeQ[{a, b, c, e, f, m, p}, x] && Inte
      gerQ[(n - 1)/2]

3679. Int[cos[(e_.) + (f_.)*(x_)]^(m_)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]^(n_)*((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2)^(p_.),
      x_Symbol] :> With[{ff = FreeFactors[Tan[e + f*x], x]}, Simp[ff^(n + 1)/f   Subst[Int[x^n*((a + (a + b)*ff^2*x^
      2)^p/(1 + ff^2*x^2)^((m + n)/2 + p + 1)), x], x, Tan[e + f*x]/ff], x]] /; FreeQ[{a, b, e, f}, x] && IntegerQ[m
      /2] && IntegerQ[n/2] && IntegerQ[p]

3680. Int[cos[(e_.) + (f_.)*(x_)]^(m_)*((d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_.)*((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2
      )^(p_.), x_Symbol] :> With[{ff = FreeFactors[Sin[e + f*x], x]}, Simp[ff*(Sqrt[Cos[e + f*x]^2]/(f*Cos[e + f*x])
      )   Subst[Int[(d*ff*x)^n*(1 - ff^2*x^2)^((m - 1)/2)*(a + b*ff^2*x^2)^p, x], x, Sin[e + f*x]/ff], x]] /; FreeQ[
      {a, b, d, e, f, n, p}, x] && IntegerQ[m/2]

3681. Int[(cos[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(c_.))^(m_)*((d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_.)*((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)
      *(x_)]^2)^(p_.), x_Symbol] :> With[{ff = FreeFactors[Sin[e + f*x], x]}, Simp[ff*c^(2*IntPart[(m - 1)/2] + 1)*(
      (c*Cos[e + f*x])^(2*FracPart[(m - 1)/2])/(f*(Cos[e + f*x]^2)^FracPart[(m - 1)/2]))   Subst[Int[(d*ff*x)^n*(1 -
      ff^2*x^2)^((m - 1)/2)*(a + b*ff^2*x^2)^p, x], x, Sin[e + f*x]/ff], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m, n, p},
      x] &&  !IntegerQ[m]

3682. Int[((b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2)^(p_), x_Symbol] :> Simp[(-Cot[e + f*x])*((b*Sin[e + f*x]^2)^p/(2*f*p)),
      x] + Simp[b*((2*p - 1)/(2*p))   Int[(b*Sin[e + f*x]^2)^(p - 1), x], x] /; FreeQ[{b, e, f}, x] &&  !IntegerQ[p]
      && GtQ[p, 1]

3683. Int[((b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2)^(p_), x_Symbol] :> Simp[Cot[e + f*x]*((b*Sin[e + f*x]^2)^(p + 1)/(b*f*(2
      *p + 1))), x] + Simp[2*((p + 1)/(b*(2*p + 1)))   Int[(b*Sin[e + f*x]^2)^(p + 1), x], x] /; FreeQ[{b, e, f}, x]
      &&  !IntegerQ[p] && LtQ[p, -1]

3684. Int[((b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]^(n_))^(p_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)]^(m_.), x_Symbol] :> With[{ff = FreeFact
      ors[Sin[e + f*x]^2, x]}, Simp[ff^((m + 1)/2)/(2*f)   Subst[Int[x^((m - 1)/2)*((b*ff^(n/2)*x^(n/2))^p/(1 - ff*x
      )^((m + 1)/2)), x], x, Sin[e + f*x]^2/ff], x]] /; FreeQ[{b, e, f, p}, x] && IntegerQ[(m - 1)/2] && IntegerQ[n/
      2]

3685. Int[((b_.)*((c_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_))^(p_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)]^(m_.), x_Symbol] :> With[{ff =
      FreeFactors[Sin[e + f*x], x]}, Simp[ff^(m + 1)/f   Subst[Int[x^m*((b*(c*ff*x)^n)^p/(1 - ff^2*x^2)^((m + 1)/2))
      , x], x, Sin[e + f*x]/ff], x]] /; FreeQ[{b, c, e, f, n, p}, x] && ILtQ[(m - 1)/2, 0]

3686. Int[(u_.)*((b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]^(n_))^(p_), x_Symbol] :> With[{ff = FreeFactors[Sin[e + f*x], x]}, Si
      mp[(b*ff^n)^IntPart[p]*((b*Sin[e + f*x]^n)^FracPart[p]/(Sin[e + f*x]/ff)^(n*FracPart[p]))   Int[ActivateTrig[u
      ]*(Sin[e + f*x]/ff)^(n*p), x], x]] /; FreeQ[{b, e, f, n, p}, x] &&  !IntegerQ[p] && IntegerQ[n] && (EqQ[u, 1]
      || MatchQ[u, ((d_.)*(trig_)[e + f*x])^(m_.) /; FreeQ[{d, m}, x] && MemberQ[{sin, cos, tan, cot, sec, csc}, tri
      g]])

3687. Int[(u_.)*((b_.)*((c_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_))^(p_), x_Symbol] :> Simp[b^IntPart[p]*((b*(c*Sin[e + f*x
      ])^n)^FracPart[p]/(c*Sin[e + f*x])^(n*FracPart[p]))   Int[ActivateTrig[u]*(c*Sin[e + f*x])^(n*p), x], x] /; Fr
      eeQ[{b, c, e, f, n, p}, x] &&  !IntegerQ[p] &&  !IntegerQ[n] && (EqQ[u, 1] || MatchQ[u, ((d_.)*(trig_)[e + f*x
      ])^(m_.) /; FreeQ[{d, m}, x] && MemberQ[{sin, cos, tan, cot, sec, csc}, trig]])

3688. Int[((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]^4)^(p_.), x_Symbol] :> With[{ff = FreeFactors[Tan[e + f*x], x]}, Sim
      p[ff/f   Subst[Int[(a + 2*a*ff^2*x^2 + (a + b)*ff^4*x^4)^p/(1 + ff^2*x^2)^(2*p + 1), x], x, Tan[e + f*x]/ff],
      x]] /; FreeQ[{a, b, e, f}, x] && IntegerQ[p]

3689. Int[((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]^4)^(p_), x_Symbol] :> With[{ff = FreeFactors[Tan[e + f*x], x]}, Simp
      [ff*(a + b*Sin[e + f*x]^4)^p*((Sec[e + f*x]^2)^(2*p)/(f*(a + 2*a*Tan[e + f*x]^2 + (a + b)*Tan[e + f*x]^4)^p))
      Subst[Int[(a + 2*a*ff^2*x^2 + (a + b)*ff^4*x^4)^p/(1 + ff^2*x^2)^(2*p + 1), x], x, Tan[e + f*x]/ff], x]] /;
      FreeQ[{a, b, e, f, p}, x] && IntegerQ[p - 1/2]

3690. Int[((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]^(n_))^(-1), x_Symbol] :> Module[{k}, Simp[2/(a*n)   Sum[Int[1/(1 - S
      in[e + f*x]^2/((-1)^(4*(k/n))*Rt[-a/b, n/2])), x], {k, 1, n/2}], x]] /; FreeQ[{a, b, e, f}, x] && IntegerQ[n/2
      ]

3691. Int[((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]^(n_))^(p_), x_Symbol] :> With[{ff = FreeFactors[Tan[e + f*x], x]}, S
      imp[ff/f   Subst[Int[(b*ff^n*x^n + a*(1 + ff^2*x^2)^(n/2))^p/(1 + ff^2*x^2)^(n*(p/2) + 1), x], x, Tan[e + f*x]
      /ff], x]] /; FreeQ[{a, b, e, f}, x] && IntegerQ[n/2] && IGtQ[p, 0]

3692. Int[((a_) + (b_.)*((c_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_))^(p_), x_Symbol] :> Int[ExpandTrig[(a + b*(c*sin[e + f*
      x])^n)^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, e, f, n}, x] && (IGtQ[p, 0] || (EqQ[p, -1] && IntegerQ[n]))

3693. Int[((a_) + (b_.)*((c_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_))^(p_), x_Symbol] :> Unintegrable[(a + b*(c*Sin[e + f*x]
      )^n)^p, x] /; FreeQ[{a, b, c, e, f, n, p}, x]

3694. Int[sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]^(m_.)*((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]^4)^(p_.), x_Symbol] :> With[{ff = Free
      Factors[Cos[e + f*x], x]}, Simp[-ff/f   Subst[Int[(1 - ff^2*x^2)^((m - 1)/2)*(a + b - 2*b*ff^2*x^2 + b*ff^4*x^
      4)^p, x], x, Cos[e + f*x]/ff], x]] /; FreeQ[{a, b, e, f, p}, x] && IntegerQ[(m - 1)/2]

3695. Int[sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]^(m_.)*((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]^(n_))^(p_.), x_Symbol] :> With[{ff = F
      reeFactors[Cos[e + f*x], x]}, Simp[-ff/f   Subst[Int[(1 - ff^2*x^2)^((m - 1)/2)*(a + b*(1 - ff^2*x^2)^(n/2))^p
      , x], x, Cos[e + f*x]/ff], x]] /; FreeQ[{a, b, e, f, p}, x] && IntegerQ[(m - 1)/2] && IntegerQ[n/2]

3696. Int[sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]^(m_)*((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]^4)^(p_.), x_Symbol] :> With[{ff = FreeF
      actors[Tan[e + f*x], x]}, Simp[ff^(m + 1)/f   Subst[Int[x^m*((a + 2*a*ff^2*x^2 + (a + b)*ff^4*x^4)^p/(1 + ff^2
      *x^2)^(m/2 + 2*p + 1)), x], x, Tan[e + f*x]/ff], x]] /; FreeQ[{a, b, e, f}, x] && IntegerQ[m/2] && IntegerQ[p]

3697. Int[sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]^(m_)*((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]^(n_))^(p_.), x_Symbol] :> With[{ff = Fr
      eeFactors[Tan[e + f*x], x]}, Simp[ff^(m + 1)/f   Subst[Int[x^m*((a*(1 + ff^2*x^2)^(n/2) + b*ff^n*x^n)^p/(1 + f
      f^2*x^2)^(m/2 + n*(p/2) + 1)), x], x, Tan[e + f*x]/ff], x]] /; FreeQ[{a, b, e, f}, x] && IntegerQ[m/2] && Inte
      gerQ[n/2] && IntegerQ[p]

3698. Int[sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]^(m_)*((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]^4)^(p_), x_Symbol] :> With[{ff = FreeFa
      ctors[Tan[e + f*x], x]}, Simp[ff^(m + 1)*(a + b*Sin[e + f*x]^4)^p*((Sec[e + f*x]^2)^(2*p)/(f*Apart[a*(1 + Tan[
      e + f*x]^2)^2 + b*Tan[e + f*x]^4]^p))   Subst[Int[x^m*(ExpandToSum[a*(1 + ff^2*x^2)^2 + b*ff^4*x^4, x]^p/(1 +
      ff^2*x^2)^(m/2 + 2*p + 1)), x], x, Tan[e + f*x]/ff], x]] /; FreeQ[{a, b, e, f, p}, x] && IntegerQ[m/2] && Inte
      gerQ[p - 1/2]

3699. Int[sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]^(m_.)*((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]^(n_))^(p_.), x_Symbol] :> Int[ExpandTr
      ig[sin[e + f*x]^m*(a + b*sin[e + f*x]^n)^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, e, f}, x] && IntegersQ[m, p] && (EqQ[n, 4]
      || GtQ[p, 0] || (EqQ[p, -1] && IntegerQ[n]))

3700. Int[((d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_.)*((a_) + (b_.)*((c_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_))^(p_.), x_Symbol]
      :> Int[ExpandTrig[(d*sin[e + f*x])^m*(a + b*(c*sin[e + f*x])^n)^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m, n},
      x] && IGtQ[p, 0]

3701. Int[((d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_.)*((a_) + (b_.)*((c_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_))^(p_.), x_Symbol]
      :> Unintegrable[(d*Sin[e + f*x])^m*(a + b*(c*Sin[e + f*x])^n)^p, x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m, n, p}, x]

3702. Int[cos[(e_.) + (f_.)*(x_)]^(m_.)*((a_) + (b_.)*((c_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_))^(p_.), x_Symbol] :> With
      [{ff = FreeFactors[Sin[e + f*x], x]}, Simp[ff/f   Subst[Int[(1 - ff^2*x^2)^((m - 1)/2)*(a + b*(c*ff*x)^n)^p, x
      ], x, Sin[e + f*x]/ff], x]] /; FreeQ[{a, b, c, e, f, n, p}, x] && IntegerQ[(m - 1)/2] && (EqQ[n, 4] || GtQ[m,
      0] || IGtQ[p, 0] || IntegersQ[m, p])

3703. Int[cos[(e_.) + (f_.)*(x_)]^(m_)*((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]^4)^(p_.), x_Symbol] :> With[{ff = FreeF
      actors[Tan[e + f*x], x]}, Simp[ff/f   Subst[Int[(a + 2*a*ff^2*x^2 + (a + b)*ff^4*x^4)^p/(1 + ff^2*x^2)^(m/2 +
      2*p + 1), x], x, Tan[e + f*x]/ff], x]] /; FreeQ[{a, b, e, f}, x] && IntegerQ[m/2] && IntegerQ[p]

3704. Int[cos[(e_.) + (f_.)*(x_)]^(m_)*((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]^(n_))^(p_.), x_Symbol] :> With[{ff = Fr
      eeFactors[Tan[e + f*x], x]}, Simp[ff/f   Subst[Int[(b*ff^n*x^n + a*(1 + ff^2*x^2)^(n/2))^p/(1 + ff^2*x^2)^(m/2
      + n*(p/2) + 1), x], x, Tan[e + f*x]/ff], x]] /; FreeQ[{a, b, e, f}, x] && IntegerQ[m/2] && IntegerQ[n/2] && I
      ntegerQ[p]

3705. Int[cos[(e_.) + (f_.)*(x_)]^(m_)/((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]^(n_)), x_Symbol] :> Int[Expand[(1 - Sin
      [e + f*x]^2)^(m/2)/(a + b*Sin[e + f*x]^n), x], x] /; FreeQ[{a, b, e, f}, x] && IGtQ[m/2, 0] && IntegerQ[(n - 1
      )/2]

3706. Int[(cos[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(d_.))^(m_.)*((a_) + (b_.)*((c_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_))^(p_.), x_Symbol]
      :> Int[ExpandTrig[(d*cos[e + f*x])^m*(a + b*(c*sin[e + f*x])^n)^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m, n},
      x] && IGtQ[p, 0]

3707. Int[(cos[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(d_.))^(m_.)*((a_) + (b_.)*((c_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_))^(p_.), x_Symbol]
      :> Unintegrable[(d*Cos[e + f*x])^m*(a + b*(c*Sin[e + f*x])^n)^p, x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m, n, p}, x]

3708. Int[((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]^(n_))^(p_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)]^(m_.), x_Symbol] :> With[{ff = F
      reeFactors[Sin[e + f*x]^2, x]}, Simp[ff^((m + 1)/2)/(2*f)   Subst[Int[x^((m - 1)/2)*((a + b*ff^(n/2)*x^(n/2))^
      p/(1 - ff*x)^((m + 1)/2)), x], x, Sin[e + f*x]^2/ff], x]] /; FreeQ[{a, b, e, f, p}, x] && IntegerQ[(m - 1)/2]
      && IntegerQ[n/2]

3709. Int[((a_) + (b_.)*((c_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_))^(p_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)]^(m_.), x_Symbol] :> With
      [{ff = FreeFactors[Sin[e + f*x], x]}, Simp[ff^(m + 1)/f   Subst[Int[x^m*((a + b*(c*ff*x)^n)^p/(1 - ff^2*x^2)^(
      (m + 1)/2)), x], x, Sin[e + f*x]/ff], x]] /; FreeQ[{a, b, c, e, f, n, p}, x] && ILtQ[(m - 1)/2, 0]

3710. Int[((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]^4)^(p_.)*((d_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_), x_Symbol] :> With[{ff
      = FreeFactors[Tan[e + f*x], x]}, Simp[ff/f   Subst[Int[(d*ff*x)^m*(ExpandToSum[a*(1 + ff^2*x^2)^2 + b*ff^4*x^
      4, x]^p/(1 + ff^2*x^2)^(2*p + 1)), x], x, Tan[e + f*x]/ff], x]] /; FreeQ[{a, b, d, e, f, m}, x] && IntegerQ[p]

3711. Int[((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]^4)^(p_)*((d_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_), x_Symbol] :> With[{ff
      = FreeFactors[Tan[e + f*x], x]}, Simp[ff*(a + b*Sin[e + f*x]^4)^p*((Sec[e + f*x]^2)^(2*p)/(f*Apart[a*(1 + Tan[
      e + f*x]^2)^2 + b*Tan[e + f*x]^4]^p))   Subst[Int[(d*ff*x)^m*(ExpandToSum[a*(1 + ff^2*x^2)^2 + b*ff^4*x^4, x]^
      p/(1 + ff^2*x^2)^(2*p + 1)), x], x, Tan[e + f*x]/ff], x]] /; FreeQ[{a, b, d, e, f, m}, x] && IntegerQ[p - 1/2]

3712. Int[((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]^(n_))^(p_.)*((d_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_), x_Symbol] :> With[
      {ff = FreeFactors[Tan[e + f*x], x]}, Simp[ff^(m + 1)/f   Subst[Int[(d*x)^m*((b*ff^n*x^n + a*(1 + ff^2*x^2)^(n/
      2))^p/(1 + ff^2*x^2)^(n*(p/2) + 1)), x], x, Tan[e + f*x]/ff], x]] /; FreeQ[{a, b, d, e, f, m}, x] && IntegerQ[
      n/2] && IGtQ[p, 0]

3713. Int[((a_) + (b_.)*((c_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_))^(p_.)*((d_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_.), x_Symbol]
      :> Int[ExpandTrig[(d*tan[e + f*x])^m*(a + b*(c*sin[e + f*x])^n)^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m, n},
      x] && IGtQ[p, 0]

3714. Int[((a_) + (b_.)*((c_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_))^(p_.)*((d_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_.), x_Symbol]
      :> Unintegrable[(a + b*(c*Sin[e + f*x])^n)^p*(d*Tan[e + f*x])^m, x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m, n, p}, x]

3715. Int[(cot[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(d_.))^(m_)*((a_) + (b_.)*((c_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_))^(p_), x_Symbol] :
      > Simp[(d*Cot[e + f*x])^FracPart[m]*(Tan[e + f*x]/d)^FracPart[m]   Int[(a + b*(c*Sin[e + f*x])^n)^p/(Tan[e + f
      *x]/d)^m, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m, n, p}, x] &&  !IntegerQ[m]

3716. Int[((d_.)*sec[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_)*((a_) + (b_.)*((c_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_))^(p_), x_Symbol] :
      > Simp[(d*Sec[e + f*x])^FracPart[m]*(Cos[e + f*x]/d)^FracPart[m]   Int[(a + b*(c*Sin[e + f*x])^n)^p/(Cos[e + f
      *x]/d)^m, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m, n, p}, x] &&  !IntegerQ[m]

3717. Int[(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(d_.))^(m_)*((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]^(n_.))^(p_.), x_Symbol] :> Simp
      [d^(n*p)   Int[(d*Csc[e + f*x])^(m - n*p)*(b + a*Csc[e + f*x]^n)^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, d, e, f, m, n, p},
      x] &&  !IntegerQ[m] && IntegersQ[n, p]

3718. Int[(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(d_.))^(m_)*((a_) + (b_.)*((c_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_))^(p_), x_Symbol] :
      > Simp[(d*Csc[e + f*x])^FracPart[m]*(Sin[e + f*x]/d)^FracPart[m]   Int[(a + b*(c*Sin[e + f*x])^n)^p/(Sin[e + f
      *x]/d)^m, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m, n, p}, x] &&  !IntegerQ[m]

3719. Int[((a_) + (b_.)*(cos[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(d_.) + (c_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^2)^(p_), x_Symbol] :> Int[(a
      + b*(Sqrt[c^2 + d^2]*Sin[ArcTan[c, d] + e + f*x])^2)^p, x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && EqQ[p^2, 1/4] &
      & GtQ[a, 0]

3720. Int[((a_) + (b_.)*(cos[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(d_.) + (c_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^2)^(p_), x_Symbol] :> Simp[(
      a + b*(c*Sin[e + f*x] + d*Cos[e + f*x])^2)^p/(1 + (b*(c*Sin[e + f*x] + d*Cos[e + f*x])^2)/a)^p   Int[(1 + (b*(
      c*Sin[e + f*x] + d*Cos[e + f*x])^2)/a)^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && EqQ[p^2, 1/4] &&  !GtQ[a,
      0]

3721. Int[sin[(d_.) + (e_.)*(x_)]^(m_)*(cos[(d_.) + (e_.)*(x_)]^(p_)*(b_.) + (a_) + (c_.)*sin[(d_.) + (e_.)*(x_)]^(q
      _))^(n_), x_Symbol] :> Module[{f = FreeFactors[Cot[d + e*x], x]}, Simp[-f/e   Subst[Int[ExpandToSum[c + b*(1 +
      f^2*x^2)^(q/2 - p/2) + a*(1 + f^2*x^2)^(q/2), x]^n/(1 + f^2*x^2)^(m/2 + n*(q/2) + 1), x], x, Cot[d + e*x]/f],
      x]] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && IntegerQ[m/2] && IntegerQ[p/2] && IntegerQ[q/2] && IntegerQ[n] && GtQ[p,
      0] && LeQ[p, q]

3722. Int[cos[(d_.) + (e_.)*(x_)]^(m_)*(cos[(d_.) + (e_.)*(x_)]^(q_)*(c_.) + (a_) + (b_.)*sin[(d_.) + (e_.)*(x_)]^(p
      _))^(n_), x_Symbol] :> Module[{f = FreeFactors[Tan[d + e*x], x]}, Simp[f/e   Subst[Int[ExpandToSum[c + b*(1 +
      f^2*x^2)^(q/2 - p/2) + a*(1 + f^2*x^2)^(q/2), x]^n/(1 + f^2*x^2)^(m/2 + n*(q/2) + 1), x], x, Tan[d + e*x]/f],
      x]] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && IntegerQ[m/2] && IntegerQ[p/2] && IntegerQ[q/2] && IntegerQ[n] && GtQ[p, 0
      ] && LeQ[p, q]

3723. Int[sin[(d_.) + (e_.)*(x_)]^(m_)*(cos[(d_.) + (e_.)*(x_)]^(p_)*(b_.) + (a_) + (c_.)*sin[(d_.) + (e_.)*(x_)]^(q
      _))^(n_), x_Symbol] :> Module[{f = FreeFactors[Cot[d + e*x], x]}, Simp[-f/e   Subst[Int[ExpandToSum[a*(1 + f^2
      *x^2)^(p/2) + b*f^p*x^p + c*(1 + f^2*x^2)^(p/2 - q/2), x]^n/(1 + f^2*x^2)^(m/2 + n*(p/2) + 1), x], x, Cot[d +
      e*x]/f], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && IntegerQ[m/2] && IntegerQ[p/2] && IntegerQ[q/2] && IntegerQ[n] &&
      LtQ[0, q, p]

3724. Int[cos[(d_.) + (e_.)*(x_)]^(m_)*(cos[(d_.) + (e_.)*(x_)]^(q_)*(c_.) + (a_) + (b_.)*sin[(d_.) + (e_.)*(x_)]^(p
      _))^(n_), x_Symbol] :> Module[{f = FreeFactors[Tan[d + e*x], x]}, Simp[f/e   Subst[Int[ExpandToSum[a*(1 + f^2*
      x^2)^(p/2) + b*f^p*x^p + c*(1 + f^2*x^2)^(p/2 - q/2), x]^n/(1 + f^2*x^2)^(m/2 + n*(p/2) + 1), x], x, Tan[d + e
      *x]/f], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && IntegerQ[m/2] && IntegerQ[p/2] && IntegerQ[q/2] && IntegerQ[n] &&
      LtQ[0, q, p]

3725. Int[((a_.) + (b_.)*sin[(d_.) + (e_.)*(x_)]^(n_.) + (c_.)*sin[(d_.) + (e_.)*(x_)]^(n2_.))^(p_.), x_Symbol] :> S
      imp[1/(4^p*c^p)   Int[(b + 2*c*Sin[d + e*x]^n)^(2*p), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, n}, x] && EqQ[n2, 2*n] &
      & EqQ[b^2 - 4*a*c, 0] && IntegerQ[p]

3726. Int[((a_.) + cos[(d_.) + (e_.)*(x_)]^(n_.)*(b_.) + cos[(d_.) + (e_.)*(x_)]^(n2_.)*(c_.))^(p_.), x_Symbol] :> S
      imp[1/(4^p*c^p)   Int[(b + 2*c*Cos[d + e*x]^n)^(2*p), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, n}, x] && EqQ[n2, 2*n] &
      & EqQ[b^2 - 4*a*c, 0] && IntegerQ[p]

3727. Int[((a_.) + (b_.)*sin[(d_.) + (e_.)*(x_)]^(n_.) + (c_.)*sin[(d_.) + (e_.)*(x_)]^(n2_.))^(p_), x_Symbol] :> Si
      mp[(a + b*Sin[d + e*x]^n + c*Sin[d + e*x]^(2*n))^p/(b + 2*c*Sin[d + e*x]^n)^(2*p)   Int[u*(b + 2*c*Sin[d + e*x
      ]^n)^(2*p), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, n, p}, x] && EqQ[n2, 2*n] && EqQ[b^2 - 4*a*c, 0] &&  !IntegerQ[p]

3728. Int[((a_.) + cos[(d_.) + (e_.)*(x_)]^(n_.)*(b_.) + cos[(d_.) + (e_.)*(x_)]^(n2_.)*(c_.))^(p_), x_Symbol] :> Si
      mp[(a + b*Cos[d + e*x]^n + c*Cos[d + e*x]^(2*n))^p/(b + 2*c*Cos[d + e*x]^n)^(2*p)   Int[u*(b + 2*c*Cos[d + e*x
      ]^n)^(2*p), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, n, p}, x] && EqQ[n2, 2*n] && EqQ[b^2 - 4*a*c, 0] &&  !IntegerQ[p]

3729. Int[((a_.) + (b_.)*sin[(d_.) + (e_.)*(x_)]^(n_.) + (c_.)*sin[(d_.) + (e_.)*(x_)]^(n2_.))^(-1), x_Symbol] :> Mo
      dule[{q = Rt[b^2 - 4*a*c, 2]}, Simp[2*(c/q)   Int[1/(b - q + 2*c*Sin[d + e*x]^n), x], x] - Simp[2*(c/q)   Int[
      1/(b + q + 2*c*Sin[d + e*x]^n), x], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, n}, x] && EqQ[n2, 2*n] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0]

3730. Int[((a_.) + cos[(d_.) + (e_.)*(x_)]^(n_.)*(b_.) + cos[(d_.) + (e_.)*(x_)]^(n2_.)*(c_.))^(-1), x_Symbol] :> Mo
      dule[{q = Rt[b^2 - 4*a*c, 2]}, Simp[2*(c/q)   Int[1/(b - q + 2*c*Cos[d + e*x]^n), x], x] - Simp[2*(c/q)   Int[
      1/(b + q + 2*c*Cos[d + e*x]^n), x], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, n}, x] && EqQ[n2, 2*n] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0]

3731. Int[sin[(d_.) + (e_.)*(x_)]^(m_.)*((a_.) + (b_.)*sin[(d_.) + (e_.)*(x_)]^(n_.) + (c_.)*sin[(d_.) + (e_.)*(x_)]
      ^(n2_.))^(p_), x_Symbol] :> Simp[1/(4^p*c^p)   Int[Sin[d + e*x]^m*(b + 2*c*Sin[d + e*x]^n)^(2*p), x], x] /; Fr
      eeQ[{a, b, c, d, e, m, n}, x] && EqQ[n2, 2*n] && EqQ[b^2 - 4*a*c, 0] && IntegerQ[p]

3732. Int[cos[(d_.) + (e_.)*(x_)]^(m_.)*((a_.) + cos[(d_.) + (e_.)*(x_)]^(n_.)*(b_.) + cos[(d_.) + (e_.)*(x_)]^(n2_.
      )*(c_.))^(p_), x_Symbol] :> Simp[1/(4^p*c^p)   Int[Cos[d + e*x]^m*(b + 2*c*Cos[d + e*x]^n)^(2*p), x], x] /; Fr
      eeQ[{a, b, c, d, e, m, n}, x] && EqQ[n2, 2*n] && EqQ[b^2 - 4*a*c, 0] && IntegerQ[p]

3733. Int[sin[(d_.) + (e_.)*(x_)]^(m_.)*((a_.) + (b_.)*sin[(d_.) + (e_.)*(x_)]^(n_.) + (c_.)*sin[(d_.) + (e_.)*(x_)]
      ^(n2_.))^(p_), x_Symbol] :> Simp[(a + b*Sin[d + e*x]^n + c*Sin[d + e*x]^(2*n))^p/(b + 2*c*Sin[d + e*x]^n)^(2*p
      )   Int[Sin[d + e*x]^m*(b + 2*c*Sin[d + e*x]^n)^(2*p), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, m, n, p}, x] && EqQ[n2,
      2*n] && EqQ[b^2 - 4*a*c, 0] &&  !IntegerQ[p]

3734. Int[cos[(d_.) + (e_.)*(x_)]^(m_.)*((a_.) + cos[(d_.) + (e_.)*(x_)]^(n_.)*(b_.) + cos[(d_.) + (e_.)*(x_)]^(n2_.
      )*(c_.))^(p_), x_Symbol] :> Simp[(a + b*Cos[d + e*x]^n + c*Cos[d + e*x]^(2*n))^p/(b + 2*c*Cos[d + e*x]^n)^(2*p
      )   Int[Cos[d + e*x]^m*(b + 2*c*Cos[d + e*x]^n)^(2*p), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, m, n, p}, x] && EqQ[n2,
      2*n] && EqQ[b^2 - 4*a*c, 0] &&  !IntegerQ[p]

3735. Int[sin[(d_.) + (e_.)*(x_)]^(m_)*((a_.) + (b_.)*sin[(d_.) + (e_.)*(x_)]^(n_) + (c_.)*sin[(d_.) + (e_.)*(x_)]^(
      n2_))^(p_), x_Symbol] :> Module[{f = FreeFactors[Cot[d + e*x], x]}, Simp[-f/e   Subst[Int[ExpandToSum[c + b*(1
      + x^2)^(n/2) + a*(1 + x^2)^n, x]^p/(1 + f^2*x^2)^(m/2 + n*p + 1), x], x, Cot[d + e*x]/f], x]] /; FreeQ[{a, b,
      c, d, e}, x] && EqQ[n2, 2*n] && IntegerQ[m/2] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] && IntegerQ[n/2] && IntegerQ[p]

3736. Int[cos[(d_.) + (e_.)*(x_)]^(m_.)*((a_.) + cos[(d_.) + (e_.)*(x_)]^(n_)*(b_.) + cos[(d_.) + (e_.)*(x_)]^(n2_)*
      (c_.))^(p_), x_Symbol] :> Module[{f = FreeFactors[Tan[d + e*x], x]}, Simp[f/e   Subst[Int[ExpandToSum[c + b*(1
      + x^2)^(n/2) + a*(1 + x^2)^n, x]^p/(1 + f^2*x^2)^(m/2 + n*p + 1), x], x, Tan[d + e*x]/f], x]] /; FreeQ[{a, b,
      c, d, e}, x] && EqQ[n2, 2*n] && IntegerQ[m/2] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] && IntegerQ[n/2] && IntegerQ[p]

3737. Int[sin[(d_.) + (e_.)*(x_)]^(m_.)*((a_.) + (b_.)*sin[(d_.) + (e_.)*(x_)]^(n_.) + (c_.)*sin[(d_.) + (e_.)*(x_)]
      ^(n2_.))^(p_), x_Symbol] :> Int[ExpandTrig[sin[d + e*x]^m*(a + b*sin[d + e*x]^n + c*sin[d + e*x]^(2*n))^p, x],
      x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && EqQ[n2, 2*n] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] && IntegersQ[m, n, p]

3738. Int[cos[(d_.) + (e_.)*(x_)]^(m_.)*((a_.) + cos[(d_.) + (e_.)*(x_)]^(n_.)*(b_.) + cos[(d_.) + (e_.)*(x_)]^(n2_.
      )*(c_.))^(p_), x_Symbol] :> Int[ExpandTrig[cos[d + e*x]^m*(a + b*cos[d + e*x]^n + c*cos[d + e*x]^(2*n))^p, x],
      x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && EqQ[n2, 2*n] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] && IntegersQ[m, n, p]

3739. Int[cos[(d_.) + (e_.)*(x_)]^(m_.)*((a_.) + (b_.)*((f_.)*sin[(d_.) + (e_.)*(x_)])^(n_.) + (c_.)*((f_.)*sin[(d_.
      ) + (e_.)*(x_)])^(n2_.))^(p_.), x_Symbol] :> Module[{g = FreeFactors[Sin[d + e*x], x]}, Simp[g/e   Subst[Int[(
      1 - g^2*x^2)^((m - 1)/2)*(a + b*(f*g*x)^n + c*(f*g*x)^(2*n))^p, x], x, Sin[d + e*x]/g], x]] /; FreeQ[{a, b, c,
      d, e, f, n, p}, x] && EqQ[n2, 2*n] && IntegerQ[(m - 1)/2]

3740. Int[((a_.) + (b_.)*(cos[(d_.) + (e_.)*(x_)]*(f_.))^(n_.) + (c_.)*(cos[(d_.) + (e_.)*(x_)]*(f_.))^(n2_.))^(p_.)
      *sin[(d_.) + (e_.)*(x_)]^(m_.), x_Symbol] :> Module[{g = FreeFactors[Cos[d + e*x], x]}, Simp[-g/e   Subst[Int[
      (1 - g^2*x^2)^((m - 1)/2)*(a + b*(f*g*x)^n + c*(f*g*x)^(2*n))^p, x], x, Cos[d + e*x]/g], x]] /; FreeQ[{a, b, c
      , d, e, f, n, p}, x] && EqQ[n2, 2*n] && IntegerQ[(m - 1)/2]

3741. Int[cos[(d_.) + (e_.)*(x_)]^(m_)*((a_.) + (b_.)*sin[(d_.) + (e_.)*(x_)]^(n_.) + (c_.)*sin[(d_.) + (e_.)*(x_)]^
      (n2_.))^(p_.), x_Symbol] :> Simp[1/(4^p*c^p)   Int[Cos[d + e*x]^m*(b + 2*c*Sin[d + e*x]^n)^(2*p), x], x] /; Fr
      eeQ[{a, b, c, d, e, m, n}, x] && EqQ[n2, 2*n] &&  !IntegerQ[(m - 1)/2] && EqQ[b^2 - 4*a*c, 0] && IntegerQ[p]

3742. Int[((a_.) + cos[(d_.) + (e_.)*(x_)]^(n_.)*(b_.) + cos[(d_.) + (e_.)*(x_)]^(n2_.)*(c_.))^(p_.)*sin[(d_.) + (e_
      .)*(x_)]^(m_), x_Symbol] :> Simp[1/(4^p*c^p)   Int[Sin[d + e*x]^m*(b + 2*c*Cos[d + e*x]^n)^(2*p), x], x] /; Fr
      eeQ[{a, b, c, d, e, m, n}, x] && EqQ[n2, 2*n] &&  !IntegerQ[(m - 1)/2] && EqQ[b^2 - 4*a*c, 0] && IntegerQ[p]

3743. Int[cos[(d_.) + (e_.)*(x_)]^(m_)*((a_.) + (b_.)*sin[(d_.) + (e_.)*(x_)]^(n_.) + (c_.)*sin[(d_.) + (e_.)*(x_)]^
      (n2_.))^(p_), x_Symbol] :> Simp[(a + b*Sin[d + e*x]^n + c*Sin[d + e*x]^(2*n))^p/(b + 2*c*Sin[d + e*x]^n)^(2*p)
      Int[Cos[d + e*x]^m*(b + 2*c*Sin[d + e*x]^n)^(2*p), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, m, n, p}, x] && EqQ[n2,
      2*n] &&  !IntegerQ[(m - 1)/2] && EqQ[b^2 - 4*a*c, 0] &&  !IntegerQ[p]

3744. Int[((a_.) + cos[(d_.) + (e_.)*(x_)]^(n_.)*(b_.) + cos[(d_.) + (e_.)*(x_)]^(n2_.)*(c_.))^(p_)*sin[(d_.) + (e_.
      )*(x_)]^(m_), x_Symbol] :> Simp[(a + b*Cos[d + e*x]^n + c*Cos[d + e*x]^(2*n))^p/(b + 2*c*Cos[d + e*x]^n)^(2*p)
      Int[Sin[d + e*x]^m*(b + 2*c*Cos[d + e*x]^n)^(2*p), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, m, n, p}, x] && EqQ[n2,
      2*n] &&  !IntegerQ[(m - 1)/2] && EqQ[b^2 - 4*a*c, 0] &&  !IntegerQ[p]

3745. Int[cos[(d_.) + (e_.)*(x_)]^(m_)*((a_.) + (b_.)*sin[(d_.) + (e_.)*(x_)]^(n_) + (c_.)*sin[(d_.) + (e_.)*(x_)]^(
      n2_))^(p_.), x_Symbol] :> Module[{f = FreeFactors[Cot[d + e*x], x]}, Simp[-f^(m + 1)/e   Subst[Int[x^m*(Expand
      ToSum[c + b*(1 + x^2)^(n/2) + a*(1 + x^2)^n, x]^p/(1 + f^2*x^2)^(m/2 + n*p + 1)), x], x, Cot[d + e*x]/f], x]]
      /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && EqQ[n2, 2*n] && IntegerQ[m/2] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] && IntegerQ[n/2] && Integ
      erQ[p]

3746. Int[((a_.) + cos[(d_.) + (e_.)*(x_)]^(n_)*(b_.) + cos[(d_.) + (e_.)*(x_)]^(n2_)*(c_.))^(p_.)*sin[(d_.) + (e_.)
      *(x_)]^(m_.), x_Symbol] :> Module[{f = FreeFactors[Tan[d + e*x], x]}, Simp[f^(m + 1)/e   Subst[Int[x^m*(Expand
      ToSum[c + b*(1 + x^2)^(n/2) + a*(1 + x^2)^n, x]^p/(1 + f^2*x^2)^(m/2 + n*p + 1)), x], x, Tan[d + e*x]/f], x]]
      /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && EqQ[n2, 2*n] && IntegerQ[m/2] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] && IntegerQ[n/2] && Integ
      erQ[p]

3747. Int[cos[(d_.) + (e_.)*(x_)]^(m_.)*((a_.) + (b_.)*sin[(d_.) + (e_.)*(x_)]^(n_.) + (c_.)*sin[(d_.) + (e_.)*(x_)]
      ^(n2_.))^(p_.), x_Symbol] :> Int[ExpandTrig[(1 - sin[d + e*x]^2)^(m/2)*(a + b*sin[d + e*x]^n + c*sin[d + e*x]^
      (2*n))^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && EqQ[n2, 2*n] && IntegerQ[m/2] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] && Integ
      ersQ[n, p]

3748. Int[((a_.) + cos[(d_.) + (e_.)*(x_)]^(n_.)*(b_.) + cos[(d_.) + (e_.)*(x_)]^(n2_.)*(c_.))^(p_.)*sin[(d_.) + (e_
      .)*(x_)]^(m_.), x_Symbol] :> Int[ExpandTrig[(1 - cos[d + e*x]^2)^(m/2)*(a + b*cos[d + e*x]^n + c*cos[d + e*x]^
      (2*n))^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && EqQ[n2, 2*n] && IntegerQ[m/2] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] && Integ
      ersQ[n, p]

3749. Int[((a_) + (c_.)*((f_.)*sin[(d_.) + (e_.)*(x_)])^(n2_.) + (b_.)*((f_.)*sin[(d_.) + (e_.)*(x_)])^(n_))^(p_.)*t
      an[(d_.) + (e_.)*(x_)]^(m_.), x_Symbol] :> Module[{g = FreeFactors[Sin[d + e*x], x]}, Simp[g^(m + 1)/e   Subst
      [Int[x^m*((a + b*(f*g*x)^n + c*(f*g*x)^(2*n))^p/(1 - g^2*x^2)^((m + 1)/2)), x], x, Sin[d + e*x]/g], x]] /; Fre
      eQ[{a, b, c, d, e, f, n}, x] && IntegerQ[(m - 1)/2] && IntegerQ[2*p]

3750. Int[cot[(d_.) + (e_.)*(x_)]^(m_.)*((c_.)*(cos[(d_.) + (e_.)*(x_)]*(f_.))^(n2_.) + (b_.)*(cos[(d_.) + (e_.)*(x_
      )]*(f_.))^(n_) + (a_))^(p_.), x_Symbol] :> Module[{g = FreeFactors[Cos[d + e*x], x]}, Simp[-g^(m + 1)/e   Subs
      t[Int[x^m*((a + b*(f*g*x)^n + c*(f*g*x)^(2*n))^p/(1 - g^2*x^2)^((m + 1)/2)), x], x, Cos[d + e*x]/g], x]] /; Fr
      eeQ[{a, b, c, d, e, f, n}, x] && IntegerQ[(m - 1)/2] && IntegerQ[2*p]

3751. Int[((a_.) + (b_.)*sin[(d_.) + (e_.)*(x_)]^(n_.) + (c_.)*sin[(d_.) + (e_.)*(x_)]^(n2_.))^(p_.)*tan[(d_.) + (e_
      .)*(x_)]^(m_), x_Symbol] :> Simp[1/(4^p*c^p)   Int[Tan[d + e*x]^m*(b + 2*c*Sin[d + e*x]^n)^(2*p), x], x] /; Fr
      eeQ[{a, b, c, d, e, m, n}, x] && EqQ[n2, 2*n] &&  !IntegerQ[(m - 1)/2] && EqQ[b^2 - 4*a*c, 0] && IntegerQ[p]

3752. Int[cot[(d_.) + (e_.)*(x_)]^(m_)*((a_.) + cos[(d_.) + (e_.)*(x_)]^(n_.)*(b_.) + cos[(d_.) + (e_.)*(x_)]^(n2_.)
      *(c_.))^(p_.), x_Symbol] :> Simp[1/(4^p*c^p)   Int[Cot[d + e*x]^m*(b + 2*c*Cos[d + e*x]^n)^(2*p), x], x] /; Fr
      eeQ[{a, b, c, d, e, m, n}, x] && EqQ[n2, 2*n] &&  !IntegerQ[(m - 1)/2] && EqQ[b^2 - 4*a*c, 0] && IntegerQ[p]

3753. Int[((a_.) + (b_.)*sin[(d_.) + (e_.)*(x_)]^(n_.) + (c_.)*sin[(d_.) + (e_.)*(x_)]^(n2_.))^(p_)*tan[(d_.) + (e_.
      )*(x_)]^(m_), x_Symbol] :> Simp[(a + b*Sin[d + e*x]^n + c*Sin[d + e*x]^(2*n))^p/(b + 2*c*Sin[d + e*x]^n)^(2*p)
      Int[Tan[d + e*x]^m*(b + 2*c*Sin[d + e*x]^n)^(2*p), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, m, n, p}, x] && EqQ[n2,
      2*n] &&  !IntegerQ[(m - 1)/2] && EqQ[b^2 - 4*a*c, 0] &&  !IntegerQ[p]

3754. Int[cot[(d_.) + (e_.)*(x_)]^(m_)*((a_.) + cos[(d_.) + (e_.)*(x_)]^(n_.)*(b_.) + cos[(d_.) + (e_.)*(x_)]^(n2_.)
      *(c_.))^(p_), x_Symbol] :> Simp[(a + b*Cos[d + e*x]^n + c*Cos[d + e*x]^(2*n))^p/(b + 2*c*Cos[d + e*x]^n)^(2*p)
      Int[Cot[d + e*x]^m*(b + 2*c*Cos[d + e*x]^n)^(2*p), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, m, n, p}, x] && EqQ[n2,
      2*n] &&  !IntegerQ[(m - 1)/2] && EqQ[b^2 - 4*a*c, 0] &&  !IntegerQ[p]

3755. Int[((a_.) + (b_.)*sin[(d_.) + (e_.)*(x_)]^(n_) + (c_.)*sin[(d_.) + (e_.)*(x_)]^(n2_))^(p_.)*tan[(d_.) + (e_.)
      *(x_)]^(m_.), x_Symbol] :> Module[{f = FreeFactors[Tan[d + e*x], x]}, Simp[f^(m + 1)/e   Subst[Int[x^m*(Expand
      ToSum[c*x^(2*n) + b*x^n*(1 + x^2)^(n/2) + a*(1 + x^2)^n, x]^p/(1 + f^2*x^2)^(n*p + 1)), x], x, Tan[d + e*x]/f]
      , x]] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, m}, x] && EqQ[n2, 2*n] &&  !IntegerQ[(m - 1)/2] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] && Integ
      erQ[n/2] && IntegerQ[p]

3756. Int[cot[(d_.) + (e_.)*(x_)]^(m_.)*((a_.) + cos[(d_.) + (e_.)*(x_)]^(n_)*(b_.) + cos[(d_.) + (e_.)*(x_)]^(n2_)*
      (c_.))^(p_.), x_Symbol] :> Module[{f = FreeFactors[Cot[d + e*x], x]}, Simp[-f^(m + 1)/e   Subst[Int[x^m*(Expan
      dToSum[c*x^(2*n) + b*x^n*(1 + x^2)^(n/2) + a*(1 + x^2)^n, x]^p/(1 + f^2*x^2)^(n*p + 1)), x], x, Cot[d + e*x]/f
      ], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, m}, x] && EqQ[n2, 2*n] &&  !IntegerQ[(m - 1)/2] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] && Inte
      gerQ[n/2] && IntegerQ[p]

3757. Int[((a_.) + (b_.)*sin[(d_.) + (e_.)*(x_)]^(n_.) + (c_.)*sin[(d_.) + (e_.)*(x_)]^(n2_.))^(p_.)*tan[(d_.) + (e_
      .)*(x_)]^(m_.), x_Symbol] :> Int[ExpandTrig[sin[d + e*x]^m*((a + b*sin[d + e*x]^n + c*sin[d + e*x]^(2*n))^p/(1
      - sin[d + e*x]^2)^(m/2)), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && EqQ[n2, 2*n] && IntegerQ[m/2] && NeQ[b^2 - 4
      *a*c, 0] && IntegersQ[n, p]

3758. Int[cot[(d_.) + (e_.)*(x_)]^(m_.)*((a_.) + cos[(d_.) + (e_.)*(x_)]^(n_.)*(b_.) + cos[(d_.) + (e_.)*(x_)]^(n2_.
      )*(c_.))^(p_.), x_Symbol] :> Int[ExpandTrig[cos[d + e*x]^m*((a + b*cos[d + e*x]^n + c*cos[d + e*x]^(2*n))^p/(1
      - cos[d + e*x]^2)^(m/2)), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && EqQ[n2, 2*n] && IntegerQ[m/2] && NeQ[b^2 - 4
      *a*c, 0] && IntegersQ[n, p]

3759. Int[cot[(d_.) + (e_.)*(x_)]^(m_.)*((a_) + (c_.)*((f_.)*sin[(d_.) + (e_.)*(x_)])^(n2_.) + (b_.)*((f_.)*sin[(d_.
      ) + (e_.)*(x_)])^(n_))^(p_.), x_Symbol] :> Module[{g = FreeFactors[Sin[d + e*x], x]}, Simp[g^(m + 1)/e   Subst
      [Int[(1 - g^2*x^2)^((m - 1)/2)*((a + b*(f*g*x)^n + c*(f*g*x)^(2*n))^p/x^m), x], x, Sin[d + e*x]/g], x]] /; Fre
      eQ[{a, b, c, d, e, f, n}, x] && IntegerQ[(m - 1)/2] && IntegerQ[2*p]

3760. Int[((c_.)*(cos[(d_.) + (e_.)*(x_)]*(f_.))^(n2_.) + (b_.)*(cos[(d_.) + (e_.)*(x_)]*(f_.))^(n_) + (a_))^(p_.)*t
      an[(d_.) + (e_.)*(x_)]^(m_.), x_Symbol] :> Module[{g = FreeFactors[Cos[d + e*x], x]}, Simp[-g^(m + 1)/e   Subs
      t[Int[(1 - g^2*x^2)^((m - 1)/2)*((a + b*(f*g*x)^n + c*(f*g*x)^(2*n))^p/x^m), x], x, Cos[d + e*x]/g], x]] /; Fr
      eeQ[{a, b, c, d, e, f, n}, x] && IntegerQ[(m - 1)/2] && IntegerQ[2*p]

3761. Int[cot[(d_.) + (e_.)*(x_)]^(m_)*((a_.) + (b_.)*sin[(d_.) + (e_.)*(x_)]^(n_.) + (c_.)*sin[(d_.) + (e_.)*(x_)]^
      (n2_.))^(p_.), x_Symbol] :> Simp[1/(4^p*c^p)   Int[Cot[d + e*x]^m*(b + 2*c*Sin[d + e*x]^n)^(2*p), x], x] /; Fr
      eeQ[{a, b, c, d, e, m, n}, x] && EqQ[n2, 2*n] &&  !IntegerQ[(m - 1)/2] && EqQ[b^2 - 4*a*c, 0] && IntegerQ[p]

3762. Int[((a_.) + cos[(d_.) + (e_.)*(x_)]^(n_.)*(b_.) + cos[(d_.) + (e_.)*(x_)]^(n2_.)*(c_.))^(p_.)*tan[(d_.) + (e_
      .)*(x_)]^(m_), x_Symbol] :> Simp[1/(4^p*c^p)   Int[Tan[d + e*x]^m*(b + 2*c*Cos[d + e*x]^n)^(2*p), x], x] /; Fr
      eeQ[{a, b, c, d, e, m, n}, x] && EqQ[n2, 2*n] &&  !IntegerQ[(m - 1)/2] && EqQ[b^2 - 4*a*c, 0] && IntegerQ[p]

3763. Int[cot[(d_.) + (e_.)*(x_)]^(m_)*((a_.) + (b_.)*sin[(d_.) + (e_.)*(x_)]^(n_.) + (c_.)*sin[(d_.) + (e_.)*(x_)]^
      (n2_.))^(p_), x_Symbol] :> Simp[(a + b*Sin[d + e*x]^n + c*Sin[d + e*x]^(2*n))^p/(b + 2*c*Sin[d + e*x]^n)^(2*p)
      Int[Cot[d + e*x]^m*(b + 2*c*Sin[d + e*x]^n)^(2*p), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, m, n, p}, x] && EqQ[n2,
      2*n] &&  !IntegerQ[(m - 1)/2] && EqQ[b^2 - 4*a*c, 0] &&  !IntegerQ[p]

3764. Int[((a_.) + cos[(d_.) + (e_.)*(x_)]^(n_.)*(b_.) + cos[(d_.) + (e_.)*(x_)]^(n2_.)*(c_.))^(p_)*tan[(d_.) + (e_.
      )*(x_)]^(m_), x_Symbol] :> Simp[(a + b*Cos[d + e*x]^n + c*Cos[d + e*x]^(2*n))^p/(b + 2*c*Cos[d + e*x]^n)^(2*p)
      Int[Tan[d + e*x]^m*(b + 2*c*Cos[d + e*x]^n)^(2*p), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, m, n, p}, x] && EqQ[n2,
      2*n] &&  !IntegerQ[(m - 1)/2] && EqQ[b^2 - 4*a*c, 0] &&  !IntegerQ[p]

3765. Int[cot[(d_.) + (e_.)*(x_)]^(m_.)*((a_) + (b_.)*sin[(d_.) + (e_.)*(x_)]^(n_) + (c_.)*sin[(d_.) + (e_.)*(x_)]^(
      n2_))^(p_.), x_Symbol] :> Module[{f = FreeFactors[Cot[d + e*x], x]}, Simp[-f^(m + 1)/e   Subst[Int[x^m*(Expand
      ToSum[c + b*(1 + f^2*x^2)^(n/2) + a*(1 + f^2*x^2)^n, x]^p/(1 + f^2*x^2)^(n*p + 1)), x], x, Cot[d + e*x]/f], x]
      ] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, m}, x] && EqQ[n2, 2*n] && IntegerQ[n/2] && IntegerQ[p]

3766. Int[(cos[(d_.) + (e_.)*(x_)]^(n_)*(b_.) + cos[(d_.) + (e_.)*(x_)]^(n2_)*(c_.) + (a_))^(p_.)*tan[(d_.) + (e_.)*
      (x_)]^(m_.), x_Symbol] :> Module[{f = FreeFactors[Tan[d + e*x], x]}, Simp[f^(m + 1)/e   Subst[Int[x^m*(ExpandT
      oSum[c + b*(1 + f^2*x^2)^(n/2) + a*(1 + f^2*x^2)^n, x]^p/(1 + f^2*x^2)^(n*p + 1)), x], x, Tan[d + e*x]/f], x]]
      /; FreeQ[{a, b, c, d, e, m}, x] && EqQ[n2, 2*n] && IntegerQ[n/2] && IntegerQ[p]

3767. Int[cot[(d_.) + (e_.)*(x_)]^(m_.)*((a_.) + (b_.)*sin[(d_.) + (e_.)*(x_)]^(n_.) + (c_.)*sin[(d_.) + (e_.)*(x_)]
      ^(n2_.))^(p_.), x_Symbol] :> Int[ExpandTrig[(1 - sin[d + e*x]^2)^(m/2)*((a + b*sin[d + e*x]^n + c*sin[d + e*x]
      ^(2*n))^p/sin[d + e*x]^m), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && EqQ[n2, 2*n] && IntegerQ[m/2] && NeQ[b^2 - 4
      *a*c, 0] && IntegersQ[n, p]

3768. Int[((a_.) + cos[(d_.) + (e_.)*(x_)]^(n_.)*(b_.) + cos[(d_.) + (e_.)*(x_)]^(n2_.)*(c_.))^(p_.)*tan[(d_.) + (e_
      .)*(x_)]^(m_.), x_Symbol] :> Int[ExpandTrig[(1 - cos[d + e*x]^2)^(m/2)*((a + b*cos[d + e*x]^n + c*cos[d + e*x]
      ^(2*n))^p/cos[d + e*x]^m), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && EqQ[n2, 2*n] && IntegerQ[m/2] && NeQ[b^2 - 4
      *a*c, 0] && IntegersQ[n, p]

3769. Int[((A_) + (B_.)*sin[(d_.) + (e_.)*(x_)])*((a_) + (b_.)*sin[(d_.) + (e_.)*(x_)] + (c_.)*sin[(d_.) + (e_.)*(x_
      )]^2)^(n_), x_Symbol] :> Simp[1/(4^n*c^n)   Int[(A + B*Sin[d + e*x])*(b + 2*c*Sin[d + e*x])^(2*n), x], x] /; F
      reeQ[{a, b, c, d, e, A, B}, x] && EqQ[b^2 - 4*a*c, 0] && IntegerQ[n]

3770. Int[(cos[(d_.) + (e_.)*(x_)]*(b_.) + cos[(d_.) + (e_.)*(x_)]^2*(c_.) + (a_))^(n_)*(cos[(d_.) + (e_.)*(x_)]*(B_
      .) + (A_)), x_Symbol] :> Simp[1/(4^n*c^n)   Int[(A + B*Cos[d + e*x])*(b + 2*c*Cos[d + e*x])^(2*n), x], x] /; F
      reeQ[{a, b, c, d, e, A, B}, x] && EqQ[b^2 - 4*a*c, 0] && IntegerQ[n]

3771. Int[((A_) + (B_.)*sin[(d_.) + (e_.)*(x_)])*((a_) + (b_.)*sin[(d_.) + (e_.)*(x_)] + (c_.)*sin[(d_.) + (e_.)*(x_
      )]^2)^(n_), x_Symbol] :> Simp[(a + b*Sin[d + e*x] + c*Sin[d + e*x]^2)^n/(b + 2*c*Sin[d + e*x])^(2*n)   Int[(A
      + B*Sin[d + e*x])*(b + 2*c*Sin[d + e*x])^(2*n), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, A, B}, x] && EqQ[b^2 - 4*a*c,
      0] &&  !IntegerQ[n]

3772. Int[(cos[(d_.) + (e_.)*(x_)]*(b_.) + cos[(d_.) + (e_.)*(x_)]^2*(c_.) + (a_))^(n_)*(cos[(d_.) + (e_.)*(x_)]*(B_
      .) + (A_)), x_Symbol] :> Simp[(a + b*Cos[d + e*x] + c*Cos[d + e*x]^2)^n/(b + 2*c*Cos[d + e*x])^(2*n)   Int[(A
      + B*Cos[d + e*x])*(b + 2*c*Cos[d + e*x])^(2*n), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, A, B}, x] && EqQ[b^2 - 4*a*c,
      0] &&  !IntegerQ[n]

3773. Int[((A_) + (B_.)*sin[(d_.) + (e_.)*(x_)])/((a_.) + (b_.)*sin[(d_.) + (e_.)*(x_)] + (c_.)*sin[(d_.) + (e_.)*(x
      _)]^2), x_Symbol] :> Module[{q = Rt[b^2 - 4*a*c, 2]}, Simp[(B + (b*B - 2*A*c)/q)   Int[1/(b + q + 2*c*Sin[d +
      e*x]), x], x] + Simp[(B - (b*B - 2*A*c)/q)   Int[1/(b - q + 2*c*Sin[d + e*x]), x], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d, e
      , A, B}, x] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0]

3774. Int[(cos[(d_.) + (e_.)*(x_)]*(B_.) + (A_))/((a_.) + cos[(d_.) + (e_.)*(x_)]*(b_.) + cos[(d_.) + (e_.)*(x_)]^2*
      (c_.)), x_Symbol] :> Module[{q = Rt[b^2 - 4*a*c, 2]}, Simp[(B + (b*B - 2*A*c)/q)   Int[1/(b + q + 2*c*Cos[d +
      e*x]), x], x] + Simp[(B - (b*B - 2*A*c)/q)   Int[1/(b - q + 2*c*Cos[d + e*x]), x], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d, e
      , A, B}, x] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0]

3775. Int[((A_) + (B_.)*sin[(d_.) + (e_.)*(x_)])*((a_.) + (b_.)*sin[(d_.) + (e_.)*(x_)] + (c_.)*sin[(d_.) + (e_.)*(x
      _)]^2)^(n_), x_Symbol] :> Int[ExpandTrig[(A + B*sin[d + e*x])*(a + b*sin[d + e*x] + c*sin[d + e*x]^2)^n, x], x
      ] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, A, B}, x] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] && IntegerQ[n]

3776. Int[((a_.) + cos[(d_.) + (e_.)*(x_)]*(b_.) + cos[(d_.) + (e_.)*(x_)]^2*(c_.))^(n_)*(cos[(d_.) + (e_.)*(x_)]*(B
      _.) + (A_)), x_Symbol] :> Int[ExpandTrig[(A + B*cos[d + e*x])*(a + b*cos[d + e*x] + c*cos[d + e*x]^2)^n, x], x
      ] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, A, B}, x] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] && IntegerQ[n]

3777. Int[((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)], x_Symbol] :> Simp[(-(c + d*x)^m)*(Cos[e + f*x]/f), x]
      + Simp[d*(m/f)   Int[(c + d*x)^(m - 1)*Cos[e + f*x], x], x] /; FreeQ[{c, d, e, f}, x] && GtQ[m, 0]

3778. Int[((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)], x_Symbol] :> Simp[(c + d*x)^(m + 1)*(Sin[e + f*x]/(d*(m
      + 1))), x] - Simp[f/(d*(m + 1))   Int[(c + d*x)^(m + 1)*Cos[e + f*x], x], x] /; FreeQ[{c, d, e, f}, x] && LtQ
      [m, -1]

3779. Int[sin[(e_.) + (Complex[0, fz_])*(f_.)*(x_)]/((c_.) + (d_.)*(x_)), x_Symbol] :> Simp[I*(SinhIntegral[c*f*(fz/
      d) + f*fz*x]/d), x] /; FreeQ[{c, d, e, f, fz}, x] && EqQ[d*e - c*f*fz*I, 0]

3780. Int[sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]/((c_.) + (d_.)*(x_)), x_Symbol] :> Simp[SinIntegral[e + f*x]/d, x] /; FreeQ[{c, d,
      e, f}, x] && EqQ[d*e - c*f, 0]

3781. Int[sin[(e_.) + (Complex[0, fz_])*(f_.)*(x_)]/((c_.) + (d_.)*(x_)), x_Symbol] :> Simp[CoshIntegral[(-c)*f*(fz/
      d) - f*fz*x]/d, x] /; FreeQ[{c, d, e, f, fz}, x] && EqQ[d*(e - Pi/2) - c*f*fz*I, 0] && NegQ[c*f*(fz/d), 0]

3782. Int[sin[(e_.) + (Complex[0, fz_])*(f_.)*(x_)]/((c_.) + (d_.)*(x_)), x_Symbol] :> Simp[CoshIntegral[c*f*(fz/d)
      + f*fz*x]/d, x] /; FreeQ[{c, d, e, f, fz}, x] && EqQ[d*(e - Pi/2) - c*f*fz*I, 0]

3783. Int[sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]/((c_.) + (d_.)*(x_)), x_Symbol] :> Simp[CosIntegral[e - Pi/2 + f*x]/d, x] /; FreeQ
      [{c, d, e, f}, x] && EqQ[d*(e - Pi/2) - c*f, 0]

3784. Int[sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]/((c_.) + (d_.)*(x_)), x_Symbol] :> Simp[Cos[(d*e - c*f)/d]   Int[Sin[c*(f/d) + f*x
      ]/(c + d*x), x], x] + Simp[Sin[(d*e - c*f)/d]   Int[Cos[c*(f/d) + f*x]/(c + d*x), x], x] /; FreeQ[{c, d, e, f}
      , x] && NeQ[d*e - c*f, 0]

3785. Int[sin[Pi/2 + (e_.) + (f_.)*(x_)]/Sqrt[(c_.) + (d_.)*(x_)], x_Symbol] :> Simp[2/d   Subst[Int[Cos[f*(x^2/d)],
      x], x, Sqrt[c + d*x]], x] /; FreeQ[{c, d, e, f}, x] && ComplexFreeQ[f] && EqQ[d*e - c*f, 0]

3786. Int[sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]/Sqrt[(c_.) + (d_.)*(x_)], x_Symbol] :> Simp[2/d   Subst[Int[Sin[f*(x^2/d)], x], x,
      Sqrt[c + d*x]], x] /; FreeQ[{c, d, e, f}, x] && ComplexFreeQ[f] && EqQ[d*e - c*f, 0]

3787. Int[sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]/Sqrt[(c_.) + (d_.)*(x_)], x_Symbol] :> Simp[Cos[(d*e - c*f)/d]   Int[Sin[c*(f/d) +
      f*x]/Sqrt[c + d*x], x], x] + Simp[Sin[(d*e - c*f)/d]   Int[Cos[c*(f/d) + f*x]/Sqrt[c + d*x], x], x] /; FreeQ[
      {c, d, e, f}, x] && ComplexFreeQ[f] && NeQ[d*e - c*f, 0]

3788. Int[((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.)*sin[(e_.) + Pi*(k_.) + (f_.)*(x_)], x_Symbol] :> Simp[I/2   Int[(c + d*x)^m/(E^
      (I*k*Pi)*E^(I*(e + f*x))), x], x] - Simp[I/2   Int[(c + d*x)^m*E^(I*k*Pi)*E^(I*(e + f*x)), x], x] /; FreeQ[{c,
      d, e, f, m}, x] && IntegerQ[2*k]

3789. Int[((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)], x_Symbol] :> Simp[I/2   Int[(c + d*x)^m/E^(I*(e + f*x)
      ), x], x] - Simp[I/2   Int[(c + d*x)^m*E^(I*(e + f*x)), x], x] /; FreeQ[{c, d, e, f, m}, x]

3790. Int[((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.)*sin[(e_.) + ((f_.)*(x_))/2]^2, x_Symbol] :> Simp[1/2   Int[(c + d*x)^m, x], x]
      - Simp[1/2   Int[(c + d*x)^m*Cos[2*e + f*x], x], x] /; FreeQ[{c, d, e, f, m}, x]

3791. Int[((c_.) + (d_.)*(x_))*((b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_), x_Symbol] :> Simp[d*((b*Sin[e + f*x])^n/(f^2*n^
      2)), x] + (-Simp[b*(c + d*x)*Cos[e + f*x]*((b*Sin[e + f*x])^(n - 1)/(f*n)), x] + Simp[b^2*((n - 1)/n)   Int[(c
      + d*x)*(b*Sin[e + f*x])^(n - 2), x], x]) /; FreeQ[{b, c, d, e, f}, x] && GtQ[n, 1]

3792. Int[((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_)*((b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_), x_Symbol] :> Simp[d*m*(c + d*x)^(m - 1)*((
      b*Sin[e + f*x])^n/(f^2*n^2)), x] + (-Simp[b*(c + d*x)^m*Cos[e + f*x]*((b*Sin[e + f*x])^(n - 1)/(f*n)), x] + Si
      mp[b^2*((n - 1)/n)   Int[(c + d*x)^m*(b*Sin[e + f*x])^(n - 2), x], x] - Simp[d^2*m*((m - 1)/(f^2*n^2))   Int[(
      c + d*x)^(m - 2)*(b*Sin[e + f*x])^n, x], x]) /; FreeQ[{b, c, d, e, f}, x] && GtQ[n, 1] && GtQ[m, 1]

3793. Int[((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]^(n_), x_Symbol] :> Int[ExpandTrigReduce[(c + d*x)^m, Sin
      [e + f*x]^n, x], x] /; FreeQ[{c, d, e, f, m}, x] && IGtQ[n, 1] && ( !RationalQ[m] || (GeQ[m, -1] && LtQ[m, 1])
      )

3794. Int[((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]^(n_), x_Symbol] :> Simp[(c + d*x)^(m + 1)*(Sin[e + f*x]^
      n/(d*(m + 1))), x] - Simp[f*(n/(d*(m + 1)))   Int[ExpandTrigReduce[(c + d*x)^(m + 1), Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x
      ]^(n - 1), x], x], x] /; FreeQ[{c, d, e, f, m}, x] && IGtQ[n, 1] && GeQ[m, -2] && LtQ[m, -1]

3795. Int[((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_)*((b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_), x_Symbol] :> Simp[(c + d*x)^(m + 1)*((b*Si
      n[e + f*x])^n/(d*(m + 1))), x] + (-Simp[b*f*n*(c + d*x)^(m + 2)*Cos[e + f*x]*((b*Sin[e + f*x])^(n - 1)/(d^2*(m
      + 1)*(m + 2))), x] + Simp[b^2*f^2*n*((n - 1)/(d^2*(m + 1)*(m + 2)))   Int[(c + d*x)^(m + 2)*(b*Sin[e + f*x])^
      (n - 2), x], x] - Simp[f^2*(n^2/(d^2*(m + 1)*(m + 2)))   Int[(c + d*x)^(m + 2)*(b*Sin[e + f*x])^n, x], x]) /;
      FreeQ[{b, c, d, e, f}, x] && GtQ[n, 1] && LtQ[m, -2]

3796. Int[((c_.) + (d_.)*(x_))*((b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_), x_Symbol] :> Simp[(c + d*x)*Cos[e + f*x]*((b*Si
      n[e + f*x])^(n + 1)/(b*f*(n + 1))), x] + (-Simp[d*((b*Sin[e + f*x])^(n + 2)/(b^2*f^2*(n + 1)*(n + 2))), x] + S
      imp[(n + 2)/(b^2*(n + 1))   Int[(c + d*x)*(b*Sin[e + f*x])^(n + 2), x], x]) /; FreeQ[{b, c, d, e, f}, x] && Lt
      Q[n, -1] && NeQ[n, -2]

3797. Int[((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.)*((b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_), x_Symbol] :> Simp[(c + d*x)^m*Cos[e + f*x
      ]*((b*Sin[e + f*x])^(n + 1)/(b*f*(n + 1))), x] + (-Simp[d*m*(c + d*x)^(m - 1)*((b*Sin[e + f*x])^(n + 2)/(b^2*f
      ^2*(n + 1)*(n + 2))), x] + Simp[(n + 2)/(b^2*(n + 1))   Int[(c + d*x)^m*(b*Sin[e + f*x])^(n + 2), x], x] + Sim
      p[d^2*m*((m - 1)/(b^2*f^2*(n + 1)*(n + 2)))   Int[(c + d*x)^(m - 2)*(b*Sin[e + f*x])^(n + 2), x], x]) /; FreeQ
      [{b, c, d, e, f}, x] && LtQ[n, -1] && NeQ[n, -2] && GtQ[m, 1]

3798. Int[((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.)*((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_.), x_Symbol] :> Int[ExpandIntegrand[
      (c + d*x)^m, (a + b*Sin[e + f*x])^n, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m}, x] && IGtQ[n, 0] && (EqQ[n, 1] ||
      IGtQ[m, 0] || NeQ[a^2 - b^2, 0])

3799. Int[((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.)*((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_.), x_Symbol] :> Simp[(2*a)^n   Int[(
      c + d*x)^m*Sin[(1/2)*(e + Pi*(a/(2*b))) + f*(x/2)]^(2*n), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m}, x] && EqQ[a^2
      - b^2, 0] && IntegerQ[n] && (GtQ[n, 0] || IGtQ[m, 0])

3800. Int[((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.)*((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_), x_Symbol] :> Simp[(2*a)^IntPart[n]
      *((a + b*Sin[e + f*x])^FracPart[n]/Sin[e/2 + a*(Pi/(4*b)) + f*(x/2)]^(2*FracPart[n]))   Int[(c + d*x)^m*Sin[e/
      2 + a*(Pi/(4*b)) + f*(x/2)]^(2*n), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m}, x] && EqQ[a^2 - b^2, 0] && IntegerQ[
      n + 1/2] && (GtQ[n, 0] || IGtQ[m, 0])

3801. Int[((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.)/((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + Pi*(k_.) + (Complex[0, fz_])*(f_.)*(x_)]), x_Symbol]
      :> Simp[2   Int[((c + d*x)^m*(E^((-I)*e + f*fz*x)/(b + (2*a*E^((-I)*e + f*fz*x))/E^(I*Pi*(k - 1/2)) - (b*E^(2*
      ((-I)*e + f*fz*x)))/E^(2*I*k*Pi))))/E^(I*Pi*(k - 1/2)), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, fz}, x] && IntegerQ
      [2*k] && NeQ[a^2 - b^2, 0] && IGtQ[m, 0]

3802. Int[((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.)/((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + Pi*(k_.) + (f_.)*(x_)]), x_Symbol] :> Simp[2   Int[(c
      + d*x)^m*E^(I*Pi*(k - 1/2))*(E^(I*(e + f*x))/(b + 2*a*E^(I*Pi*(k - 1/2))*E^(I*(e + f*x)) - b*E^(2*I*k*Pi)*E^(
      2*I*(e + f*x)))), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && IntegerQ[2*k] && NeQ[a^2 - b^2, 0] && IGtQ[m, 0]

3803. Int[((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.)/((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (Complex[0, fz_])*(f_.)*(x_)]), x_Symbol] :> Simp[2
      Int[(c + d*x)^m*(E^((-I)*e + f*fz*x)/((-I)*b + 2*a*E^((-I)*e + f*fz*x) + I*b*E^(2*((-I)*e + f*fz*x)))), x], x
      ] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, fz}, x] && NeQ[a^2 - b^2, 0] && IGtQ[m, 0]

3804. Int[((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.)/((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]), x_Symbol] :> Simp[2   Int[(c + d*x)^m*(
      E^(I*(e + f*x))/(I*b + 2*a*E^(I*(e + f*x)) - I*b*E^(2*I*(e + f*x)))), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] &
      & NeQ[a^2 - b^2, 0] && IGtQ[m, 0]

3805. Int[((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.)/((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^2, x_Symbol] :> Simp[b*(c + d*x)^m*(Cos[
      e + f*x]/(f*(a^2 - b^2)*(a + b*Sin[e + f*x]))), x] + (Simp[a/(a^2 - b^2)   Int[(c + d*x)^m/(a + b*Sin[e + f*x]
      ), x], x] - Simp[b*d*(m/(f*(a^2 - b^2)))   Int[(c + d*x)^(m - 1)*(Cos[e + f*x]/(a + b*Sin[e + f*x])), x], x])
      /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && NeQ[a^2 - b^2, 0] && IGtQ[m, 0]

3806. Int[((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.)*((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_), x_Symbol] :> Simp[(-b)*(c + d*x)^m
      *Cos[e + f*x]*((a + b*Sin[e + f*x])^(n + 1)/(f*(n + 1)*(a^2 - b^2))), x] + (Simp[a/(a^2 - b^2)   Int[(c + d*x)
      ^m*(a + b*Sin[e + f*x])^(n + 1), x], x] - Simp[b*((n + 2)/((n + 1)*(a^2 - b^2)))   Int[(c + d*x)^m*Sin[e + f*x
      ]*(a + b*Sin[e + f*x])^(n + 1), x], x] + Simp[b*d*(m/(f*(n + 1)*(a^2 - b^2)))   Int[(c + d*x)^(m - 1)*Cos[e +
      f*x]*(a + b*Sin[e + f*x])^(n + 1), x], x]) /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && NeQ[a^2 - b^2, 0] && ILtQ[n, -2]
      && IGtQ[m, 0]

3807. Int[((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.)*((a_.) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_.), x_Symbol] :> Unintegrable[(c + d
      *x)^m*(a + b*Sin[e + f*x])^n, x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m, n}, x]

3808. Int[(u_)^(m_.)*((a_.) + (b_.)*Sin[v_])^(n_.), x_Symbol] :> Int[ExpandToSum[u, x]^m*(a + b*Sin[ExpandToSum[v, x
      ]])^n, x] /; FreeQ[{a, b, m, n}, x] && LinearQ[{u, v}, x] &&  !LinearMatchQ[{u, v}, x]

3809. Int[((a_.) + Cos[v_]*(b_.))^(n_.)*(u_)^(m_.), x_Symbol] :> Int[ExpandToSum[u, x]^m*(a + b*Cos[ExpandToSum[v, x
      ]])^n, x] /; FreeQ[{a, b, m, n}, x] && LinearQ[{u, v}, x] &&  !LinearMatchQ[{u, v}, x]

3810. Int[((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_.)*Sin[(c_.) + (d_.)*(x_)], x_Symbol] :> Int[ExpandIntegrand[Sin[c + d*x], (a
      + b*x^n)^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, n}, x] && IGtQ[p, 0]

3811. Int[Cos[(c_.) + (d_.)*(x_)]*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_.), x_Symbol] :> Int[ExpandIntegrand[Cos[c + d*x], (a
      + b*x^n)^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, n}, x] && IGtQ[p, 0]

3812. Int[((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_)*Sin[(c_.) + (d_.)*(x_)], x_Symbol] :> Simp[x^(-n + 1)*(a + b*x^n)^(p + 1)*(S
      in[c + d*x]/(b*n*(p + 1))), x] + (-Simp[(-n + 1)/(b*n*(p + 1))   Int[((a + b*x^n)^(p + 1)*Sin[c + d*x])/x^n, x
      ], x] - Simp[d/(b*n*(p + 1))   Int[x^(-n + 1)*(a + b*x^n)^(p + 1)*Cos[c + d*x], x], x]) /; FreeQ[{a, b, c, d},
      x] && ILtQ[p, -1] && IGtQ[n, 2]

3813. Int[Cos[(c_.) + (d_.)*(x_)]*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_), x_Symbol] :> Simp[x^(-n + 1)*(a + b*x^n)^(p + 1)*(C
      os[c + d*x]/(b*n*(p + 1))), x] + (-Simp[(-n + 1)/(b*n*(p + 1))   Int[((a + b*x^n)^(p + 1)*Cos[c + d*x])/x^n, x
      ], x] + Simp[d/(b*n*(p + 1))   Int[x^(-n + 1)*(a + b*x^n)^(p + 1)*Sin[c + d*x], x], x]) /; FreeQ[{a, b, c, d},
      x] && ILtQ[p, -1] && IGtQ[n, 2]

3814. Int[((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_)*Sin[(c_.) + (d_.)*(x_)], x_Symbol] :> Int[ExpandIntegrand[Sin[c + d*x], (a +
      b*x^n)^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && ILtQ[p, 0] && IGtQ[n, 0] && (EqQ[n, 2] || EqQ[p, -1])

3815. Int[Cos[(c_.) + (d_.)*(x_)]*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_), x_Symbol] :> Int[ExpandIntegrand[Cos[c + d*x], (a +
      b*x^n)^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && ILtQ[p, 0] && IGtQ[n, 0] && (EqQ[n, 2] || EqQ[p, -1])

3816. Int[((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_)*Sin[(c_.) + (d_.)*(x_)], x_Symbol] :> Int[x^(n*p)*(b + a/x^n)^p*Sin[c + d*x]
      , x] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && ILtQ[p, 0] && ILtQ[n, 0]

3817. Int[Cos[(c_.) + (d_.)*(x_)]*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_), x_Symbol] :> Int[x^(n*p)*(b + a/x^n)^p*Cos[c + d*x]
      , x] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && ILtQ[p, 0] && ILtQ[n, 0]

3818. Int[((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_)*Sin[(c_.) + (d_.)*(x_)], x_Symbol] :> Unintegrable[(a + b*x^n)^p*Sin[c + d*x
      ], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, n, p}, x]

3819. Int[Cos[(c_.) + (d_.)*(x_)]*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_), x_Symbol] :> Unintegrable[(a + b*x^n)^p*Cos[c + d*x
      ], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, n, p}, x]

3820. Int[((e_.)*(x_))^(m_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_.)*Sin[(c_.) + (d_.)*(x_)], x_Symbol] :> Int[ExpandIntegran
      d[Sin[c + d*x], (e*x)^m*(a + b*x^n)^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, m, n}, x] && IGtQ[p, 0]

3821. Int[Cos[(c_.) + (d_.)*(x_)]*((e_.)*(x_))^(m_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_.), x_Symbol] :> Int[ExpandIntegran
      d[Cos[c + d*x], (e*x)^m*(a + b*x^n)^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, m, n}, x] && IGtQ[p, 0]

3822. Int[((e_.)*(x_))^(m_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_)*Sin[(c_.) + (d_.)*(x_)], x_Symbol] :> Simp[e^m*(a + b*x^n
      )^(p + 1)*(Sin[c + d*x]/(b*n*(p + 1))), x] - Simp[d*(e^m/(b*n*(p + 1)))   Int[(a + b*x^n)^(p + 1)*Cos[c + d*x]
      , x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, m, n}, x] && ILtQ[p, -1] && EqQ[m, n - 1] && (IntegerQ[n] || GtQ[e, 0])

3823. Int[Cos[(c_.) + (d_.)*(x_)]*((e_.)*(x_))^(m_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_), x_Symbol] :> Simp[e^m*(a + b*x^n
      )^(p + 1)*(Cos[c + d*x]/(b*n*(p + 1))), x] + Simp[d*(e^m/(b*n*(p + 1)))   Int[(a + b*x^n)^(p + 1)*Sin[c + d*x]
      , x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, m, n}, x] && ILtQ[p, -1] && EqQ[m, n - 1] && (IntegerQ[n] || GtQ[e, 0])

3824. Int[(x_)^(m_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_)*Sin[(c_.) + (d_.)*(x_)], x_Symbol] :> Simp[x^(m - n + 1)*(a + b*x
      ^n)^(p + 1)*(Sin[c + d*x]/(b*n*(p + 1))), x] + (-Simp[(m - n + 1)/(b*n*(p + 1))   Int[x^(m - n)*(a + b*x^n)^(p
      + 1)*Sin[c + d*x], x], x] - Simp[d/(b*n*(p + 1))   Int[x^(m - n + 1)*(a + b*x^n)^(p + 1)*Cos[c + d*x], x], x]
      ) /; FreeQ[{a, b, c, d, m}, x] && ILtQ[p, -1] && IGtQ[n, 0] && (GtQ[m - n + 1, 0] || GtQ[n, 2]) && RationalQ[m
      ]

3825. Int[Cos[(c_.) + (d_.)*(x_)]*(x_)^(m_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_), x_Symbol] :> Simp[x^(m - n + 1)*(a + b*x
      ^n)^(p + 1)*(Cos[c + d*x]/(b*n*(p + 1))), x] + (-Simp[(m - n + 1)/(b*n*(p + 1))   Int[x^(m - n)*(a + b*x^n)^(p
      + 1)*Cos[c + d*x], x], x] + Simp[d/(b*n*(p + 1))   Int[x^(m - n + 1)*(a + b*x^n)^(p + 1)*Sin[c + d*x], x], x]
      ) /; FreeQ[{a, b, c, d, m}, x] && ILtQ[p, -1] && IGtQ[n, 0] && (GtQ[m - n + 1, 0] || GtQ[n, 2]) && RationalQ[m
      ]

3826. Int[(x_)^(m_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_)*Sin[(c_.) + (d_.)*(x_)], x_Symbol] :> Int[ExpandIntegrand[Sin[c +
      d*x], x^m*(a + b*x^n)^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, m}, x] && ILtQ[p, 0] && IGtQ[n, 0] && (EqQ[n, 2] || EqQ
      [p, -1]) && IntegerQ[m]

3827. Int[Cos[(c_.) + (d_.)*(x_)]*(x_)^(m_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_), x_Symbol] :> Int[ExpandIntegrand[Cos[c +
      d*x], x^m*(a + b*x^n)^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, m}, x] && ILtQ[p, 0] && IGtQ[n, 0] && (EqQ[n, 2] || EqQ
      [p, -1]) && IntegerQ[m]

3828. Int[(x_)^(m_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_)*Sin[(c_.) + (d_.)*(x_)], x_Symbol] :> Int[x^(m + n*p)*(b + a/x^n)
      ^p*Sin[c + d*x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, m}, x] && ILtQ[p, 0] && ILtQ[n, 0]

3829. Int[Cos[(c_.) + (d_.)*(x_)]*(x_)^(m_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_), x_Symbol] :> Int[x^(m + n*p)*(b + a/x^n)
      ^p*Cos[c + d*x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, m}, x] && ILtQ[p, 0] && ILtQ[n, 0]

3830. Int[((e_.)*(x_))^(m_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_.)*Sin[(c_.) + (d_.)*(x_)], x_Symbol] :> Unintegrable[(e*x)
      ^m*(a + b*x^n)^p*Sin[c + d*x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, m, n, p}, x]

3831. Int[Cos[(c_.) + (d_.)*(x_)]*((e_.)*(x_))^(m_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_.), x_Symbol] :> Unintegrable[(e*x)
      ^m*(a + b*x^n)^p*Cos[c + d*x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, m, n, p}, x]

3832. Int[Sin[(d_.)*((e_.) + (f_.)*(x_))^2], x_Symbol] :> Simp[(Sqrt[Pi/2]/(f*Rt[d, 2]))*FresnelS[Sqrt[2/Pi]*Rt[d, 2
      ]*(e + f*x)], x] /; FreeQ[{d, e, f}, x]

3833. Int[Cos[(d_.)*((e_.) + (f_.)*(x_))^2], x_Symbol] :> Simp[(Sqrt[Pi/2]/(f*Rt[d, 2]))*FresnelC[Sqrt[2/Pi]*Rt[d, 2
      ]*(e + f*x)], x] /; FreeQ[{d, e, f}, x]

3834. Int[Sin[(c_) + (d_.)*((e_.) + (f_.)*(x_))^2], x_Symbol] :> Simp[Sin[c]   Int[Cos[d*(e + f*x)^2], x], x] + Simp
      [Cos[c]   Int[Sin[d*(e + f*x)^2], x], x] /; FreeQ[{c, d, e, f}, x]

3835. Int[Cos[(c_) + (d_.)*((e_.) + (f_.)*(x_))^2], x_Symbol] :> Simp[Cos[c]   Int[Cos[d*(e + f*x)^2], x], x] - Simp
      [Sin[c]   Int[Sin[d*(e + f*x)^2], x], x] /; FreeQ[{c, d, e, f}, x]

3836. Int[Sin[(c_.) + (d_.)*((e_.) + (f_.)*(x_))^(n_)], x_Symbol] :> Simp[I/2   Int[E^((-c)*I - d*I*(e + f*x)^n), x]
      , x] - Simp[I/2   Int[E^(c*I + d*I*(e + f*x)^n), x], x] /; FreeQ[{c, d, e, f}, x] && IGtQ[n, 2]

3837. Int[Cos[(c_.) + (d_.)*((e_.) + (f_.)*(x_))^(n_)], x_Symbol] :> Simp[1/2   Int[E^((-c)*I - d*I*(e + f*x)^n), x]
      , x] + Simp[1/2   Int[E^(c*I + d*I*(e + f*x)^n), x], x] /; FreeQ[{c, d, e, f}, x] && IGtQ[n, 2]

3838. Int[((a_.) + (b_.)*Sin[(c_.) + (d_.)*((e_.) + (f_.)*(x_))^(n_)])^(p_), x_Symbol] :> Int[ExpandTrigReduce[(a +
      b*Sin[c + d*(e + f*x)^n])^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && IGtQ[p, 1] && IGtQ[n, 1]

3839. Int[((a_.) + Cos[(c_.) + (d_.)*((e_.) + (f_.)*(x_))^(n_)]*(b_.))^(p_), x_Symbol] :> Int[ExpandTrigReduce[(a +
      b*Cos[c + d*(e + f*x)^n])^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && IGtQ[p, 1] && IGtQ[n, 1]

3840. Int[((a_.) + (b_.)*Sin[(c_.) + (d_.)*((e_.) + (f_.)*(x_))^(n_)])^(p_.), x_Symbol] :> Simp[-f^(-1)   Subst[Int[
      (a + b*Sin[c + d/x^n])^p/x^2, x], x, 1/(e + f*x)], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && IGtQ[p, 0] && ILtQ[n,
      0] && EqQ[n, -2]

3841. Int[((a_.) + Cos[(c_.) + (d_.)*((e_.) + (f_.)*(x_))^(n_)]*(b_.))^(p_.), x_Symbol] :> Simp[-f^(-1)   Subst[Int[
      (a + b*Cos[c + d/x^n])^p/x^2, x], x, 1/(e + f*x)], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && IGtQ[p, 0] && ILtQ[n,
      0] && EqQ[n, -2]

3842. Int[((a_.) + (b_.)*Sin[(c_.) + (d_.)*((e_.) + (f_.)*(x_))^(n_)])^(p_.), x_Symbol] :> Simp[1/(n*f)   Subst[Int[
      x^(1/n - 1)*(a + b*Sin[c + d*x])^p, x], x, (e + f*x)^n], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && IGtQ[p, 0] && I
      ntegerQ[1/n]

3843. Int[((a_.) + Cos[(c_.) + (d_.)*((e_.) + (f_.)*(x_))^(n_)]*(b_.))^(p_.), x_Symbol] :> Simp[1/(n*f)   Subst[Int[
      x^(1/n - 1)*(a + b*Cos[c + d*x])^p, x], x, (e + f*x)^n], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && IGtQ[p, 0] && I
      ntegerQ[1/n]

3844. Int[((a_.) + (b_.)*Sin[(c_.) + (d_.)*((e_.) + (f_.)*(x_))^(n_)])^(p_.), x_Symbol] :> Module[{k = Denominator[n
      ]}, Simp[k/f   Subst[Int[x^(k - 1)*(a + b*Sin[c + d*x^(k*n)])^p, x], x, (e + f*x)^(1/k)], x]] /; FreeQ[{a, b,
      c, d, e, f}, x] && IGtQ[p, 0] && FractionQ[n]

3845. Int[((a_.) + Cos[(c_.) + (d_.)*((e_.) + (f_.)*(x_))^(n_)]*(b_.))^(p_.), x_Symbol] :> Module[{k = Denominator[n
      ]}, Simp[k/f   Subst[Int[x^(k - 1)*(a + b*Cos[c + d*x^(k*n)])^p, x], x, (e + f*x)^(1/k)], x]] /; FreeQ[{a, b,
      c, d, e, f}, x] && IGtQ[p, 0] && FractionQ[n]

3846. Int[Sin[(c_.) + (d_.)*((e_.) + (f_.)*(x_))^(n_)], x_Symbol] :> Simp[I/2   Int[E^((-c)*I - d*I*(e + f*x)^n), x]
      , x] - Simp[I/2   Int[E^(c*I + d*I*(e + f*x)^n), x], x] /; FreeQ[{c, d, e, f, n}, x]

3847. Int[Cos[(c_.) + (d_.)*((e_.) + (f_.)*(x_))^(n_)], x_Symbol] :> Simp[1/2   Int[E^((-c)*I - d*I*(e + f*x)^n), x]
      , x] + Simp[1/2   Int[E^(c*I + d*I*(e + f*x)^n), x], x] /; FreeQ[{c, d, e, f, n}, x]

3848. Int[((a_.) + (b_.)*Sin[(c_.) + (d_.)*((e_.) + (f_.)*(x_))^(n_)])^(p_), x_Symbol] :> Int[ExpandTrigReduce[(a +
      b*Sin[c + d*(e + f*x)^n])^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, n}, x] && IGtQ[p, 1]

3849. Int[((a_.) + Cos[(c_.) + (d_.)*((e_.) + (f_.)*(x_))^(n_)]*(b_.))^(p_), x_Symbol] :> Int[ExpandTrigReduce[(a +
      b*Cos[c + d*(e + f*x)^n])^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, n}, x] && IGtQ[p, 1]

3850. Int[((a_.) + (b_.)*Sin[(c_.) + (d_.)*((e_.) + (f_.)*(x_))^(n_)])^(p_), x_Symbol] :> Unintegrable[(a + b*Sin[c
      + d*(e + f*x)^n])^p, x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, n, p}, x]

3851. Int[((a_.) + Cos[(c_.) + (d_.)*((e_.) + (f_.)*(x_))^(n_)]*(b_.))^(p_), x_Symbol] :> Unintegrable[(a + b*Cos[c
      + d*(e + f*x)^n])^p, x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, n, p}, x]

3852. Int[((a_.) + (b_.)*Sin[(c_.) + (d_.)*(u_)^(n_)])^(p_.), x_Symbol] :> Int[(a + b*Sin[c + d*ExpandToSum[u, x]^n]
      )^p, x] /; FreeQ[{a, b, c, d, n, p}, x] && LinearQ[u, x] &&  !LinearMatchQ[u, x]

3853. Int[((a_.) + Cos[(c_.) + (d_.)*(u_)^(n_)]*(b_.))^(p_.), x_Symbol] :> Int[(a + b*Cos[c + d*ExpandToSum[u, x]^n]
      )^p, x] /; FreeQ[{a, b, c, d, n, p}, x] && LinearQ[u, x] &&  !LinearMatchQ[u, x]

3854. Int[((a_.) + (b_.)*Sin[u_])^(p_.), x_Symbol] :> Int[(a + b*Sin[ExpandToSum[u, x]])^p, x] /; FreeQ[{a, b, p}, x
      ] && BinomialQ[u, x] &&  !BinomialMatchQ[u, x]

3855. Int[((a_.) + Cos[u_]*(b_.))^(p_.), x_Symbol] :> Int[(a + b*Cos[ExpandToSum[u, x]])^p, x] /; FreeQ[{a, b, p}, x
      ] && BinomialQ[u, x] &&  !BinomialMatchQ[u, x]

3856. Int[Sin[(d_.)*(x_)^(n_)]/(x_), x_Symbol] :> Simp[SinIntegral[d*x^n]/n, x] /; FreeQ[{d, n}, x]

3857. Int[Cos[(d_.)*(x_)^(n_)]/(x_), x_Symbol] :> Simp[CosIntegral[d*x^n]/n, x] /; FreeQ[{d, n}, x]

3858. Int[Sin[(c_) + (d_.)*(x_)^(n_)]/(x_), x_Symbol] :> Simp[Sin[c]   Int[Cos[d*x^n]/x, x], x] + Simp[Cos[c]   Int[
      Sin[d*x^n]/x, x], x] /; FreeQ[{c, d, n}, x]

3859. Int[Cos[(c_) + (d_.)*(x_)^(n_)]/(x_), x_Symbol] :> Simp[Cos[c]   Int[Cos[d*x^n]/x, x], x] - Simp[Sin[c]   Int[
      Sin[d*x^n]/x, x], x] /; FreeQ[{c, d, n}, x]

3860. Int[(x_)^(m_.)*((a_.) + (b_.)*Sin[(c_.) + (d_.)*(x_)^(n_)])^(p_.), x_Symbol] :> Simp[1/n   Subst[Int[x^(Simpli
      fy[(m + 1)/n] - 1)*(a + b*Sin[c + d*x])^p, x], x, x^n], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, m, n, p}, x] && IntegerQ[Simp
      lify[(m + 1)/n]] && (EqQ[p, 1] || EqQ[m, n - 1] || (IntegerQ[p] && GtQ[Simplify[(m + 1)/n], 0]))

3861. Int[((a_.) + Cos[(c_.) + (d_.)*(x_)^(n_)]*(b_.))^(p_.)*(x_)^(m_.), x_Symbol] :> Simp[1/n   Subst[Int[x^(Simpli
      fy[(m + 1)/n] - 1)*(a + b*Cos[c + d*x])^p, x], x, x^n], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, m, n, p}, x] && IntegerQ[Simp
      lify[(m + 1)/n]] && (EqQ[p, 1] || EqQ[m, n - 1] || (IntegerQ[p] && GtQ[Simplify[(m + 1)/n], 0]))

3862. Int[((e_)*(x_))^(m_)*((a_.) + (b_.)*Sin[(c_.) + (d_.)*(x_)^(n_)])^(p_.), x_Symbol] :> Simp[e^IntPart[m]*((e*x)
      ^FracPart[m]/x^FracPart[m])   Int[x^m*(a + b*Sin[c + d*x^n])^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, m, n, p}, x] &
      & IntegerQ[Simplify[(m + 1)/n]]

3863. Int[((a_.) + Cos[(c_.) + (d_.)*(x_)^(n_)]*(b_.))^(p_.)*((e_)*(x_))^(m_), x_Symbol] :> Simp[e^IntPart[m]*((e*x)
      ^FracPart[m]/x^FracPart[m])   Int[x^m*(a + b*Cos[c + d*x^n])^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, m, n, p}, x] &
      & IntegerQ[Simplify[(m + 1)/n]]

3864. Int[(x_)^(m_.)*Sin[(a_.) + (b_.)*(x_)^(n_)], x_Symbol] :> Simp[2/n   Subst[Int[Sin[a + b*x^2], x], x, x^(n/2)]
      , x] /; FreeQ[{a, b, m, n}, x] && EqQ[m, n/2 - 1]

3865. Int[Cos[(a_.) + (b_.)*(x_)^(n_)]*(x_)^(m_.), x_Symbol] :> Simp[2/n   Subst[Int[Cos[a + b*x^2], x], x, x^(n/2)]
      , x] /; FreeQ[{a, b, m, n}, x] && EqQ[m, n/2 - 1]

3866. Int[((e_.)*(x_))^(m_.)*Sin[(c_.) + (d_.)*(x_)^(n_)], x_Symbol] :> Simp[(-e^(n - 1))*(e*x)^(m - n + 1)*(Cos[c +
      d*x^n]/(d*n)), x] + Simp[e^n*((m - n + 1)/(d*n))   Int[(e*x)^(m - n)*Cos[c + d*x^n], x], x] /; FreeQ[{c, d, e
      }, x] && IGtQ[n, 0] && LtQ[n, m + 1]

3867. Int[Cos[(c_.) + (d_.)*(x_)^(n_)]*((e_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Simp[e^(n - 1)*(e*x)^(m - n + 1)*(Sin[c + d*
      x^n]/(d*n)), x] - Simp[e^n*((m - n + 1)/(d*n))   Int[(e*x)^(m - n)*Sin[c + d*x^n], x], x] /; FreeQ[{c, d, e},
      x] && IGtQ[n, 0] && LtQ[n, m + 1]

3868. Int[((e_.)*(x_))^(m_)*Sin[(c_.) + (d_.)*(x_)^(n_)], x_Symbol] :> Simp[(e*x)^(m + 1)*(Sin[c + d*x^n]/(e*(m + 1)
      )), x] - Simp[d*(n/(e^n*(m + 1)))   Int[(e*x)^(m + n)*Cos[c + d*x^n], x], x] /; FreeQ[{c, d, e}, x] && IGtQ[n,
      0] && LtQ[m, -1]

3869. Int[Cos[(c_.) + (d_.)*(x_)^(n_)]*((e_.)*(x_))^(m_), x_Symbol] :> Simp[(e*x)^(m + 1)*(Cos[c + d*x^n]/(e*(m + 1)
      )), x] + Simp[d*(n/(e^n*(m + 1)))   Int[(e*x)^(m + n)*Sin[c + d*x^n], x], x] /; FreeQ[{c, d, e}, x] && IGtQ[n,
      0] && LtQ[m, -1]

3870. Int[((e_.)*(x_))^(m_.)*Sin[(c_.) + (d_.)*(x_)^(n_)], x_Symbol] :> Simp[I/2   Int[(e*x)^m*E^((-c)*I - d*I*x^n),
      x], x] - Simp[I/2   Int[(e*x)^m*E^(c*I + d*I*x^n), x], x] /; FreeQ[{c, d, e, m}, x] && IGtQ[n, 0]

3871. Int[Cos[(c_.) + (d_.)*(x_)^(n_)]*((e_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Simp[1/2   Int[(e*x)^m*E^((-c)*I - d*I*x^n),
      x], x] + Simp[1/2   Int[(e*x)^m*E^(c*I + d*I*x^n), x], x] /; FreeQ[{c, d, e, m}, x] && IGtQ[n, 0]

3872. Int[(x_)^(m_.)*Sin[(a_.) + ((b_.)*(x_)^(n_))/2]^2, x_Symbol] :> Simp[1/2   Int[x^m, x], x] - Simp[1/2   Int[x^
      m*Cos[2*a + b*x^n], x], x] /; FreeQ[{a, b, m, n}, x]

3873. Int[Cos[(a_.) + ((b_.)*(x_)^(n_))/2]^2*(x_)^(m_.), x_Symbol] :> Simp[1/2   Int[x^m, x], x] + Simp[1/2   Int[x^
      m*Cos[2*a + b*x^n], x], x] /; FreeQ[{a, b, m, n}, x]

3874. Int[(x_)^(m_.)*Sin[(a_.) + (b_.)*(x_)^(n_)]^(p_), x_Symbol] :> Simp[x^(m + 1)*(Sin[a + b*x^n]^p/(m + 1)), x] -
      Simp[b*n*(p/(m + 1))   Int[Sin[a + b*x^n]^(p - 1)*Cos[a + b*x^n], x], x] /; FreeQ[{a, b}, x] && IGtQ[p, 1] &&
      EqQ[m + n, 0] && NeQ[n, 1] && IntegerQ[n]

3875. Int[Cos[(a_.) + (b_.)*(x_)^(n_)]^(p_)*(x_)^(m_.), x_Symbol] :> Simp[x^(m + 1)*(Cos[a + b*x^n]^p/(m + 1)), x] +
      Simp[b*n*(p/(m + 1))   Int[Cos[a + b*x^n]^(p - 1)*Sin[a + b*x^n], x], x] /; FreeQ[{a, b}, x] && IGtQ[p, 1] &&
      EqQ[m + n, 0] && NeQ[n, 1] && IntegerQ[n]

3876. Int[(x_)^(m_.)*Sin[(a_.) + (b_.)*(x_)^(n_)]^(p_), x_Symbol] :> Simp[n*(Sin[a + b*x^n]^p/(b^2*n^2*p^2)), x] + (
      -Simp[x^n*Cos[a + b*x^n]*(Sin[a + b*x^n]^(p - 1)/(b*n*p)), x] + Simp[(p - 1)/p   Int[x^m*Sin[a + b*x^n]^(p - 2
      ), x], x]) /; FreeQ[{a, b, m, n}, x] && EqQ[m - 2*n + 1, 0] && GtQ[p, 1]

3877. Int[Cos[(a_.) + (b_.)*(x_)^(n_)]^(p_)*(x_)^(m_.), x_Symbol] :> Simp[n*(Cos[a + b*x^n]^p/(b^2*n^2*p^2)), x] + (
      Simp[x^n*Sin[a + b*x^n]*(Cos[a + b*x^n]^(p - 1)/(b*n*p)), x] + Simp[(p - 1)/p   Int[x^m*Cos[a + b*x^n]^(p - 2)
      , x], x]) /; FreeQ[{a, b, m, n}, x] && EqQ[m - 2*n + 1, 0] && GtQ[p, 1]

3878. Int[(x_)^(m_.)*Sin[(a_.) + (b_.)*(x_)^(n_)]^(p_), x_Symbol] :> Simp[(m - n + 1)*x^(m - 2*n + 1)*(Sin[a + b*x^n
      ]^p/(b^2*n^2*p^2)), x] + (-Simp[x^(m - n + 1)*Cos[a + b*x^n]*(Sin[a + b*x^n]^(p - 1)/(b*n*p)), x] + Simp[(p -
      1)/p   Int[x^m*Sin[a + b*x^n]^(p - 2), x], x] - Simp[(m - n + 1)*((m - 2*n + 1)/(b^2*n^2*p^2))   Int[x^(m - 2*
      n)*Sin[a + b*x^n]^p, x], x]) /; FreeQ[{a, b}, x] && GtQ[p, 1] && IGtQ[n, 0] && IGtQ[m, 2*n - 1]

3879. Int[Cos[(a_.) + (b_.)*(x_)^(n_)]^(p_)*(x_)^(m_.), x_Symbol] :> Simp[(m - n + 1)*x^(m - 2*n + 1)*(Cos[a + b*x^n
      ]^p/(b^2*n^2*p^2)), x] + (Simp[x^(m - n + 1)*Sin[a + b*x^n]*(Cos[a + b*x^n]^(p - 1)/(b*n*p)), x] + Simp[(p - 1
      )/p   Int[x^m*Cos[a + b*x^n]^(p - 2), x], x] - Simp[(m - n + 1)*((m - 2*n + 1)/(b^2*n^2*p^2))   Int[x^(m - 2*n
      )*Cos[a + b*x^n]^p, x], x]) /; FreeQ[{a, b}, x] && GtQ[p, 1] && IGtQ[n, 0] && IGtQ[m, 2*n - 1]

3880. Int[(x_)^(m_.)*Sin[(a_.) + (b_.)*(x_)^(n_)]^(p_), x_Symbol] :> Simp[x^(m + 1)*(Sin[a + b*x^n]^p/(m + 1)), x] +
      (-Simp[b*n*p*x^(m + n + 1)*Cos[a + b*x^n]*(Sin[a + b*x^n]^(p - 1)/((m + 1)*(m + n + 1))), x] + Simp[b^2*n^2*p
      *((p - 1)/((m + 1)*(m + n + 1)))   Int[x^(m + 2*n)*Sin[a + b*x^n]^(p - 2), x], x] - Simp[b^2*n^2*(p^2/((m + 1)
      *(m + n + 1)))   Int[x^(m + 2*n)*Sin[a + b*x^n]^p, x], x]) /; FreeQ[{a, b}, x] && GtQ[p, 1] && IGtQ[n, 0] && I
      LtQ[m, -2*n + 1] && NeQ[m + n + 1, 0]

3881. Int[Cos[(a_.) + (b_.)*(x_)^(n_)]^(p_)*(x_)^(m_.), x_Symbol] :> Simp[x^(m + 1)*(Cos[a + b*x^n]^p/(m + 1)), x] +
      (Simp[b*n*p*x^(m + n + 1)*Sin[a + b*x^n]*(Cos[a + b*x^n]^(p - 1)/((m + 1)*(m + n + 1))), x] + Simp[b^2*n^2*p*
      ((p - 1)/((m + 1)*(m + n + 1)))   Int[x^(m + 2*n)*Cos[a + b*x^n]^(p - 2), x], x] - Simp[b^2*n^2*(p^2/((m + 1)*
      (m + n + 1)))   Int[x^(m + 2*n)*Cos[a + b*x^n]^p, x], x]) /; FreeQ[{a, b}, x] && GtQ[p, 1] && IGtQ[n, 0] && IL
      tQ[m, -2*n + 1] && NeQ[m + n + 1, 0]

3882. Int[((e_.)*(x_))^(m_)*((a_.) + (b_.)*Sin[(c_.) + (d_.)*(x_)^(n_)])^(p_.), x_Symbol] :> With[{k = Denominator[m
      ]}, Simp[k/e   Subst[Int[x^(k*(m + 1) - 1)*(a + b*Sin[c + d*(x^(k*n)/e^n)])^p, x], x, (e*x)^(1/k)], x]] /; Fre
      eQ[{a, b, c, d, e}, x] && IntegerQ[p] && IGtQ[n, 0] && FractionQ[m]

3883. Int[((a_.) + Cos[(c_.) + (d_.)*(x_)^(n_)]*(b_.))^(p_.)*((e_.)*(x_))^(m_), x_Symbol] :> With[{k = Denominator[m
      ]}, Simp[k/e   Subst[Int[x^(k*(m + 1) - 1)*(a + b*Cos[c + d*(x^(k*n)/e^n)])^p, x], x, (e*x)^(1/k)], x]] /; Fre
      eQ[{a, b, c, d, e}, x] && IntegerQ[p] && IGtQ[n, 0] && FractionQ[m]

3884. Int[((e_.)*(x_))^(m_.)*((a_.) + (b_.)*Sin[(c_.) + (d_.)*(x_)^(n_)])^(p_), x_Symbol] :> Int[ExpandTrigReduce[(e
      *x)^m, (a + b*Sin[c + d*x^n])^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, m}, x] && IGtQ[p, 1] && IGtQ[n, 0]

3885. Int[((a_.) + Cos[(c_.) + (d_.)*(x_)^(n_)]*(b_.))^(p_)*((e_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Int[ExpandTrigReduce[(e
      *x)^m, (a + b*Cos[c + d*x^n])^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, m}, x] && IGtQ[p, 1] && IGtQ[n, 0]

3886. Int[(x_)^(m_.)*Sin[(a_.) + (b_.)*(x_)^(n_)]^(p_), x_Symbol] :> Simp[x^n*Cos[a + b*x^n]*(Sin[a + b*x^n]^(p + 1)
      /(b*n*(p + 1))), x] + (-Simp[n*(Sin[a + b*x^n]^(p + 2)/(b^2*n^2*(p + 1)*(p + 2))), x] + Simp[(p + 2)/(p + 1)
      Int[x^m*Sin[a + b*x^n]^(p + 2), x], x]) /; FreeQ[{a, b, m, n}, x] && EqQ[m - 2*n + 1, 0] && LtQ[p, -1] && NeQ
      [p, -2]

3887. Int[Cos[(a_.) + (b_.)*(x_)^(n_)]^(p_)*(x_)^(m_.), x_Symbol] :> Simp[(-x^n)*Sin[a + b*x^n]*(Cos[a + b*x^n]^(p +
      1)/(b*n*(p + 1))), x] + (-Simp[n*(Cos[a + b*x^n]^(p + 2)/(b^2*n^2*(p + 1)*(p + 2))), x] + Simp[(p + 2)/(p + 1
      )   Int[x^m*Cos[a + b*x^n]^(p + 2), x], x]) /; FreeQ[{a, b, m, n}, x] && EqQ[m - 2*n + 1, 0] && LtQ[p, -1] &&
      NeQ[p, -2]

3888. Int[(x_)^(m_.)*Sin[(a_.) + (b_.)*(x_)^(n_)]^(p_), x_Symbol] :> Simp[x^(m - n + 1)*Cos[a + b*x^n]*(Sin[a + b*x^
      n]^(p + 1)/(b*n*(p + 1))), x] + (-Simp[(m - n + 1)*x^(m - 2*n + 1)*(Sin[a + b*x^n]^(p + 2)/(b^2*n^2*(p + 1)*(p
      + 2))), x] + Simp[(p + 2)/(p + 1)   Int[x^m*Sin[a + b*x^n]^(p + 2), x], x] + Simp[(m - n + 1)*((m - 2*n + 1)/
      (b^2*n^2*(p + 1)*(p + 2)))   Int[x^(m - 2*n)*Sin[a + b*x^n]^(p + 2), x], x]) /; FreeQ[{a, b}, x] && LtQ[p, -1]
      && NeQ[p, -2] && IGtQ[n, 0] && IGtQ[m, 2*n - 1]

3889. Int[Cos[(a_.) + (b_.)*(x_)^(n_)]^(p_)*(x_)^(m_.), x_Symbol] :> Simp[(-x^(m - n + 1))*Sin[a + b*x^n]*(Cos[a + b
      *x^n]^(p + 1)/(b*n*(p + 1))), x] + (-Simp[(m - n + 1)*x^(m - 2*n + 1)*(Cos[a + b*x^n]^(p + 2)/(b^2*n^2*(p + 1)
      *(p + 2))), x] + Simp[(p + 2)/(p + 1)   Int[x^m*Cos[a + b*x^n]^(p + 2), x], x] + Simp[(m - n + 1)*((m - 2*n +
      1)/(b^2*n^2*(p + 1)*(p + 2)))   Int[x^(m - 2*n)*Cos[a + b*x^n]^(p + 2), x], x]) /; FreeQ[{a, b}, x] && LtQ[p,
      -1] && NeQ[p, -2] && IGtQ[n, 0] && IGtQ[m, 2*n - 1]

3890. Int[(x_)^(m_.)*((a_.) + (b_.)*Sin[(c_.) + (d_.)*(x_)^(n_)])^(p_.), x_Symbol] :> -Subst[Int[(a + b*Sin[c + d/x^
      n])^p/x^(m + 2), x], x, 1/x] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && IGtQ[p, 0] && ILtQ[n, 0] && IntegerQ[m] && EqQ[n, -2
      ]

3891. Int[((a_.) + Cos[(c_.) + (d_.)*(x_)^(n_)]*(b_.))^(p_.)*(x_)^(m_.), x_Symbol] :> -Subst[Int[(a + b*Cos[c + d/x^
      n])^p/x^(m + 2), x], x, 1/x] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && IGtQ[p, 0] && ILtQ[n, 0] && IntegerQ[m] && EqQ[n, -2
      ]

3892. Int[((e_.)*(x_))^(m_)*((a_.) + (b_.)*Sin[(c_.) + (d_.)*(x_)^(n_)])^(p_.), x_Symbol] :> With[{k = Denominator[m
      ]}, Simp[-k/e   Subst[Int[(a + b*Sin[c + d/(e^n*x^(k*n))])^p/x^(k*(m + 1) + 1), x], x, 1/(e*x)^(1/k)], x]] /;
      FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && IGtQ[p, 0] && ILtQ[n, 0] && FractionQ[m]

3893. Int[((a_.) + Cos[(c_.) + (d_.)*(x_)^(n_)]*(b_.))^(p_.)*((e_.)*(x_))^(m_), x_Symbol] :> With[{k = Denominator[m
      ]}, Simp[-k/e   Subst[Int[(a + b*Cos[c + d/(e^n*x^(k*n))])^p/x^(k*(m + 1) + 1), x], x, 1/(e*x)^(1/k)], x]] /;
      FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && IGtQ[p, 0] && ILtQ[n, 0] && FractionQ[m]

3894. Int[((e_.)*(x_))^(m_)*((a_.) + (b_.)*Sin[(c_.) + (d_.)*(x_)^(n_)])^(p_.), x_Symbol] :> Simp[(-(e*x)^m)*(x^(-1)
      )^m   Subst[Int[(a + b*Sin[c + d/x^n])^p/x^(m + 2), x], x, 1/x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, m}, x] && IGtQ[p,
      0] && ILtQ[n, 0] &&  !RationalQ[m]

3895. Int[((a_.) + Cos[(c_.) + (d_.)*(x_)^(n_)]*(b_.))^(p_.)*((e_.)*(x_))^(m_), x_Symbol] :> Simp[(-(e*x)^m)*(x^(-1)
      )^m   Subst[Int[(a + b*Cos[c + d/x^n])^p/x^(m + 2), x], x, 1/x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, m}, x] && IGtQ[p,
      0] && ILtQ[n, 0] &&  !RationalQ[m]

3896. Int[(x_)^(m_.)*((a_.) + (b_.)*Sin[(c_.) + (d_.)*(x_)^(n_)])^(p_.), x_Symbol] :> Module[{k = Denominator[n]}, S
      imp[k   Subst[Int[x^(k*(m + 1) - 1)*(a + b*Sin[c + d*x^(k*n)])^p, x], x, x^(1/k)], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d, m
      }, x] && IntegerQ[p] && FractionQ[n]

3897. Int[((a_.) + Cos[(c_.) + (d_.)*(x_)^(n_)]*(b_.))^(p_.)*(x_)^(m_.), x_Symbol] :> Module[{k = Denominator[n]}, S
      imp[k   Subst[Int[x^(k*(m + 1) - 1)*(a + b*Cos[c + d*x^(k*n)])^p, x], x, x^(1/k)], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d, m
      }, x] && IntegerQ[p] && FractionQ[n]

3898. Int[((e_)*(x_))^(m_)*((a_.) + (b_.)*Sin[(c_.) + (d_.)*(x_)^(n_)])^(p_.), x_Symbol] :> Simp[e^IntPart[m]*((e*x)
      ^FracPart[m]/x^FracPart[m])   Int[x^m*(a + b*Sin[c + d*x^n])^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, m}, x] && Inte
      gerQ[p] && FractionQ[n]

3899. Int[((a_.) + Cos[(c_.) + (d_.)*(x_)^(n_)]*(b_.))^(p_.)*((e_)*(x_))^(m_), x_Symbol] :> Simp[e^IntPart[m]*((e*x)
      ^FracPart[m]/x^FracPart[m])   Int[x^m*(a + b*Cos[c + d*x^n])^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, m}, x] && Inte
      gerQ[p] && FractionQ[n]

3900. Int[(x_)^(m_.)*((a_.) + (b_.)*Sin[(c_.) + (d_.)*(x_)^(n_)])^(p_.), x_Symbol] :> Simp[1/(m + 1)   Subst[Int[(a
      + b*Sin[c + d*x^Simplify[n/(m + 1)]])^p, x], x, x^(m + 1)], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, m, n}, x] && IntegerQ[p]
      && NeQ[m, -1] && IGtQ[Simplify[n/(m + 1)], 0] &&  !IntegerQ[n]

3901. Int[((a_.) + Cos[(c_.) + (d_.)*(x_)^(n_)]*(b_.))^(p_.)*(x_)^(m_.), x_Symbol] :> Simp[1/(m + 1)   Subst[Int[(a
      + b*Cos[c + d*x^Simplify[n/(m + 1)]])^p, x], x, x^(m + 1)], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, m, n}, x] && IntegerQ[p]
      && NeQ[m, -1] && IGtQ[Simplify[n/(m + 1)], 0] &&  !IntegerQ[n]

3902. Int[((e_)*(x_))^(m_)*((a_.) + (b_.)*Sin[(c_.) + (d_.)*(x_)^(n_)])^(p_.), x_Symbol] :> Simp[e^IntPart[m]*((e*x)
      ^FracPart[m]/x^FracPart[m])   Int[x^m*(a + b*Sin[c + d*x^n])^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, m, n}, x] && I
      ntegerQ[p] && NeQ[m, -1] && IGtQ[Simplify[n/(m + 1)], 0] &&  !IntegerQ[n]

3903. Int[((a_.) + Cos[(c_.) + (d_.)*(x_)^(n_)]*(b_.))^(p_.)*((e_)*(x_))^(m_), x_Symbol] :> Simp[e^IntPart[m]*((e*x)
      ^FracPart[m]/x^FracPart[m])   Int[x^m*(a + b*Cos[c + d*x^n])^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, m, n}, x] && I
      ntegerQ[p] && NeQ[m, -1] && IGtQ[Simplify[n/(m + 1)], 0] &&  !IntegerQ[n]

3904. Int[((e_.)*(x_))^(m_.)*Sin[(c_.) + (d_.)*(x_)^(n_)], x_Symbol] :> Simp[I/2   Int[(e*x)^m*E^((-c)*I - d*I*x^n),
      x], x] - Simp[I/2   Int[(e*x)^m*E^(c*I + d*I*x^n), x], x] /; FreeQ[{c, d, e, m, n}, x]

3905. Int[Cos[(c_.) + (d_.)*(x_)^(n_)]*((e_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Simp[1/2   Int[(e*x)^m*E^((-c)*I - d*I*x^n),
      x], x] + Simp[1/2   Int[(e*x)^m*E^(c*I + d*I*x^n), x], x] /; FreeQ[{c, d, e, m, n}, x]

3906. Int[((e_.)*(x_))^(m_.)*((a_.) + (b_.)*Sin[(c_.) + (d_.)*(x_)^(n_)])^(p_), x_Symbol] :> Int[ExpandTrigReduce[(e
      *x)^m, (a + b*Sin[c + d*x^n])^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, m, n}, x] && IGtQ[p, 0]

3907. Int[((a_.) + Cos[(c_.) + (d_.)*(x_)^(n_)]*(b_.))^(p_)*((e_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Int[ExpandTrigReduce[(e
      *x)^m, (a + b*Cos[c + d*x^n])^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, m, n}, x] && IGtQ[p, 0]

3908. Int[((e_.)*(x_))^(m_.)*((a_.) + (b_.)*Sin[(c_.) + (d_.)*(x_)^(n_)])^(p_.), x_Symbol] :> Unintegrable[(e*x)^m*(
      a + b*Sin[c + d*x^n])^p, x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, m, n, p}, x]

3909. Int[((a_.) + Cos[(c_.) + (d_.)*(x_)^(n_)]*(b_.))^(p_.)*((e_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Unintegrable[(e*x)^m*(
      a + b*Cos[c + d*x^n])^p, x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, m, n, p}, x]

3910. Int[((e_)*(x_))^(m_.)*((a_.) + (b_.)*Sin[u_])^(p_.), x_Symbol] :> Int[(e*x)^m*(a + b*Sin[ExpandToSum[u, x]])^p
      , x] /; FreeQ[{a, b, e, m, p}, x] && BinomialQ[u, x] &&  !BinomialMatchQ[u, x]

3911. Int[((a_.) + Cos[u_]*(b_.))^(p_.)*((e_)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Int[(e*x)^m*(a + b*Cos[ExpandToSum[u, x]])^p
      , x] /; FreeQ[{a, b, e, m, p}, x] && BinomialQ[u, x] &&  !BinomialMatchQ[u, x]

3912. Int[((g_.) + (h_.)*(x_))^(m_.)*((a_.) + (b_.)*Sin[(c_.) + (d_.)*((e_.) + (f_.)*(x_))^(n_)])^(p_.), x_Symbol] :
      > Simp[1/(n*f)   Subst[Int[ExpandIntegrand[(a + b*Sin[c + d*x])^p, x^(1/n - 1)*(g - e*(h/f) + h*(x^(1/n)/f))^m
      , x], x], x, (e + f*x)^n], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, h, m}, x] && IGtQ[p, 0] && IntegerQ[1/n]

3913. Int[((a_.) + Cos[(c_.) + (d_.)*((e_.) + (f_.)*(x_))^(n_)]*(b_.))^(p_.)*((g_.) + (h_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :
      > Simp[1/(n*f)   Subst[Int[ExpandIntegrand[(a + b*Cos[c + d*x])^p, x^(1/n - 1)*(g - e*(h/f) + h*(x^(1/n)/f))^m
      , x], x], x, (e + f*x)^n], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, h, m}, x] && IGtQ[p, 0] && IntegerQ[1/n]

3914. Int[((g_.) + (h_.)*(x_))^(m_.)*((a_.) + (b_.)*Sin[(c_.) + (d_.)*((e_.) + (f_.)*(x_))^(n_)])^(p_.), x_Symbol] :
      > Module[{k = If[FractionQ[n], Denominator[n], 1]}, Simp[k/f^(m + 1)   Subst[Int[ExpandIntegrand[(a + b*Sin[c
      + d*x^(k*n)])^p, x^(k - 1)*(f*g - e*h + h*x^k)^m, x], x], x, (e + f*x)^(1/k)], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f,
      g, h}, x] && IGtQ[p, 0] && IGtQ[m, 0]

3915. Int[((a_.) + Cos[(c_.) + (d_.)*((e_.) + (f_.)*(x_))^(n_)]*(b_.))^(p_.)*((g_.) + (h_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :
      > Module[{k = If[FractionQ[n], Denominator[n], 1]}, Simp[k/f^(m + 1)   Subst[Int[ExpandIntegrand[(a + b*Cos[c
      + d*x^(k*n)])^p, x^(k - 1)*(f*g - e*h + h*x^k)^m, x], x], x, (e + f*x)^(1/k)], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f,
      g, h}, x] && IGtQ[p, 0] && IGtQ[m, 0]

3916. Int[((g_.) + (h_.)*(x_))^(m_.)*((a_.) + (b_.)*Sin[(c_.) + (d_.)*((e_.) + (f_.)*(x_))^(n_)])^(p_.), x_Symbol] :
      > Simp[1/f   Subst[Int[(h*(x/f))^m*(a + b*Sin[c + d*x^n])^p, x], x, e + f*x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g
      , h, m}, x] && IGtQ[p, 0] && EqQ[f*g - e*h, 0]

3917. Int[((a_.) + Cos[(c_.) + (d_.)*((e_.) + (f_.)*(x_))^(n_)]*(b_.))^(p_.)*((g_.) + (h_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :
      > Simp[1/f   Subst[Int[(h*(x/f))^m*(a + b*Cos[c + d*x^n])^p, x], x, e + f*x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g
      , h, m}, x] && IGtQ[p, 0] && EqQ[f*g - e*h, 0]

3918. Int[((g_.) + (h_.)*(x_))^(m_.)*((a_.) + (b_.)*Sin[(c_.) + (d_.)*((e_.) + (f_.)*(x_))^(n_)])^(p_.), x_Symbol] :
      > Unintegrable[(g + h*x)^m*(a + b*Sin[c + d*(e + f*x)^n])^p, x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, h, m, n, p}, x]

3919. Int[((a_.) + Cos[(c_.) + (d_.)*((e_.) + (f_.)*(x_))^(n_)]*(b_.))^(p_.)*((g_.) + (h_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :
      > Unintegrable[(g + h*x)^m*(a + b*Cos[c + d*(e + f*x)^n])^p, x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, h, m, n, p}, x]

3920. Int[(v_)^(m_.)*((a_.) + (b_.)*Sin[(c_.) + (d_.)*(u_)^(n_)])^(p_.), x_Symbol] :> Int[ExpandToSum[v, x]^m*(a + b
      *Sin[c + d*ExpandToSum[u, x]^n])^p, x] /; FreeQ[{a, b, c, d, m, n, p}, x] && LinearQ[u, x] && LinearQ[v, x] &&
      !(LinearMatchQ[u, x] && LinearMatchQ[v, x])

3921. Int[((a_.) + Cos[(c_.) + (d_.)*(u_)^(n_)]*(b_.))^(p_.)*(v_)^(m_.), x_Symbol] :> Int[ExpandToSum[v, x]^m*(a + b
      *Cos[c + d*ExpandToSum[u, x]^n])^p, x] /; FreeQ[{a, b, c, d, m, n, p}, x] && LinearQ[u, x] && LinearQ[v, x] &&
      !(LinearMatchQ[u, x] && LinearMatchQ[v, x])

3922. Int[Cos[(a_.) + (b_.)*(x_)^(n_.)]*(x_)^(m_.)*Sin[(a_.) + (b_.)*(x_)^(n_.)]^(p_.), x_Symbol] :> Simp[Sin[a + b*
      x^n]^(p + 1)/(b*n*(p + 1)), x] /; FreeQ[{a, b, m, n, p}, x] && EqQ[m, n - 1] && NeQ[p, -1]

3923. Int[Cos[(a_.) + (b_.)*(x_)^(n_.)]^(p_.)*(x_)^(m_.)*Sin[(a_.) + (b_.)*(x_)^(n_.)], x_Symbol] :> Simp[-Cos[a + b
      *x^n]^(p + 1)/(b*n*(p + 1)), x] /; FreeQ[{a, b, m, n, p}, x] && EqQ[m, n - 1] && NeQ[p, -1]

3924. Int[Cos[(a_.) + (b_.)*(x_)^(n_.)]*(x_)^(m_.)*Sin[(a_.) + (b_.)*(x_)^(n_.)]^(p_.), x_Symbol] :> Simp[x^(m - n +
      1)*(Sin[a + b*x^n]^(p + 1)/(b*n*(p + 1))), x] - Simp[(m - n + 1)/(b*n*(p + 1))   Int[x^(m - n)*Sin[a + b*x^n]
      ^(p + 1), x], x] /; FreeQ[{a, b, p}, x] && LtQ[0, n, m + 1] && NeQ[p, -1]

3925. Int[Cos[(a_.) + (b_.)*(x_)^(n_.)]^(p_.)*(x_)^(m_.)*Sin[(a_.) + (b_.)*(x_)^(n_.)], x_Symbol] :> Simp[(-x^(m - n
      + 1))*(Cos[a + b*x^n]^(p + 1)/(b*n*(p + 1))), x] + Simp[(m - n + 1)/(b*n*(p + 1))   Int[x^(m - n)*Cos[a + b*x
      ^n]^(p + 1), x], x] /; FreeQ[{a, b, p}, x] && LtQ[0, n, m + 1] && NeQ[p, -1]

3926. Int[Sin[(a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2], x_Symbol] :> Int[Sin[(b + 2*c*x)^2/(4*c)], x] /; FreeQ[{a, b, c},
      x] && EqQ[b^2 - 4*a*c, 0]

3927. Int[Cos[(a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2], x_Symbol] :> Int[Cos[(b + 2*c*x)^2/(4*c)], x] /; FreeQ[{a, b, c},
      x] && EqQ[b^2 - 4*a*c, 0]

3928. Int[Sin[(a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2], x_Symbol] :> Simp[Cos[(b^2 - 4*a*c)/(4*c)]   Int[Sin[(b + 2*c*x)^2
      /(4*c)], x], x] - Simp[Sin[(b^2 - 4*a*c)/(4*c)]   Int[Cos[(b + 2*c*x)^2/(4*c)], x], x] /; FreeQ[{a, b, c}, x]
      && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0]

3929. Int[Cos[(a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2], x_Symbol] :> Simp[Cos[(b^2 - 4*a*c)/(4*c)]   Int[Cos[(b + 2*c*x)^2
      /(4*c)], x], x] + Simp[Sin[(b^2 - 4*a*c)/(4*c)]   Int[Sin[(b + 2*c*x)^2/(4*c)], x], x] /; FreeQ[{a, b, c}, x]
      && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0]

3930. Int[Sin[(a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2]^(n_), x_Symbol] :> Int[ExpandTrigReduce[Sin[a + b*x + c*x^2]^n, x],
      x] /; FreeQ[{a, b, c}, x] && IGtQ[n, 1]

3931. Int[Cos[(a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2]^(n_), x_Symbol] :> Int[ExpandTrigReduce[Cos[a + b*x + c*x^2]^n, x],
      x] /; FreeQ[{a, b, c}, x] && IGtQ[n, 1]

3932. Int[Sin[(a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2]^(n_.), x_Symbol] :> Unintegrable[Sin[a + b*x + c*x^2]^n, x] /; Free
      Q[{a, b, c, n}, x]

3933. Int[Cos[(a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2]^(n_.), x_Symbol] :> Unintegrable[Cos[a + b*x + c*x^2]^n, x] /; Free
      Q[{a, b, c, n}, x]

3934. Int[Sin[v_]^(n_.), x_Symbol] :> Int[Sin[ExpandToSum[v, x]]^n, x] /; IGtQ[n, 0] && QuadraticQ[v, x] &&  !Quadra
      ticMatchQ[v, x]

3935. Int[Cos[v_]^(n_.), x_Symbol] :> Int[Cos[ExpandToSum[v, x]]^n, x] /; IGtQ[n, 0] && QuadraticQ[v, x] &&  !Quadra
      ticMatchQ[v, x]

3936. Int[((d_) + (e_.)*(x_))*Sin[(a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2], x_Symbol] :> Simp[(-e)*(Cos[a + b*x + c*x^2]/(
      2*c)), x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && EqQ[2*c*d - b*e, 0]

3937. Int[Cos[(a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2]*((d_) + (e_.)*(x_)), x_Symbol] :> Simp[e*(Sin[a + b*x + c*x^2]/(2*c
      )), x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && EqQ[2*c*d - b*e, 0]

3938. Int[((d_.) + (e_.)*(x_))^(m_)*Sin[(a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2], x_Symbol] :> Simp[(-e)*(d + e*x)^(m - 1)
      *(Cos[a + b*x + c*x^2]/(2*c)), x] + Simp[e^2*((m - 1)/(2*c))   Int[(d + e*x)^(m - 2)*Cos[a + b*x + c*x^2], x],
      x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && EqQ[2*c*d - b*e, 0] && GtQ[m, 1]

3939. Int[Cos[(a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2]*((d_.) + (e_.)*(x_))^(m_), x_Symbol] :> Simp[e*(d + e*x)^(m - 1)*(S
      in[a + b*x + c*x^2]/(2*c)), x] - Simp[e^2*((m - 1)/(2*c))   Int[(d + e*x)^(m - 2)*Sin[a + b*x + c*x^2], x], x]
      /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && EqQ[2*c*d - b*e, 0] && GtQ[m, 1]

3940. Int[((d_.) + (e_.)*(x_))^(m_)*Sin[(a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2], x_Symbol] :> Simp[(d + e*x)^(m + 1)*(Sin
      [a + b*x + c*x^2]/(e*(m + 1))), x] - Simp[2*(c/(e^2*(m + 1)))   Int[(d + e*x)^(m + 2)*Cos[a + b*x + c*x^2], x]
      , x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && EqQ[2*c*d - b*e, 0] && LtQ[m, -1]

3941. Int[Cos[(a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2]*((d_.) + (e_.)*(x_))^(m_), x_Symbol] :> Simp[(d + e*x)^(m + 1)*(Cos
      [a + b*x + c*x^2]/(e*(m + 1))), x] + Simp[2*(c/(e^2*(m + 1)))   Int[(d + e*x)^(m + 2)*Sin[a + b*x + c*x^2], x]
      , x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && EqQ[2*c*d - b*e, 0] && LtQ[m, -1]

3942. Int[((d_.) + (e_.)*(x_))*Sin[(a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2], x_Symbol] :> Simp[(-e)*(Cos[a + b*x + c*x^2]/
      (2*c)), x] + Simp[(2*c*d - b*e)/(2*c)   Int[Sin[a + b*x + c*x^2], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && NeQ[2
      *c*d - b*e, 0]

3943. Int[Cos[(a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2]*((d_.) + (e_.)*(x_)), x_Symbol] :> Simp[e*(Sin[a + b*x + c*x^2]/(2*
      c)), x] + Simp[(2*c*d - b*e)/(2*c)   Int[Cos[a + b*x + c*x^2], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && NeQ[2*c*
      d - b*e, 0]

3944. Int[((d_.) + (e_.)*(x_))^(m_)*Sin[(a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2], x_Symbol] :> Simp[(-e)*(d + e*x)^(m - 1)
      *(Cos[a + b*x + c*x^2]/(2*c)), x] + (-Simp[(b*e - 2*c*d)/(2*c)   Int[(d + e*x)^(m - 1)*Sin[a + b*x + c*x^2], x
      ], x] + Simp[e^2*((m - 1)/(2*c))   Int[(d + e*x)^(m - 2)*Cos[a + b*x + c*x^2], x], x]) /; FreeQ[{a, b, c, d, e
      }, x] && NeQ[b*e - 2*c*d, 0] && GtQ[m, 1]

3945. Int[Cos[(a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2]*((d_.) + (e_.)*(x_))^(m_), x_Symbol] :> Simp[e*(d + e*x)^(m - 1)*(S
      in[a + b*x + c*x^2]/(2*c)), x] + (-Simp[(b*e - 2*c*d)/(2*c)   Int[(d + e*x)^(m - 1)*Cos[a + b*x + c*x^2], x],
      x] - Simp[e^2*((m - 1)/(2*c))   Int[(d + e*x)^(m - 2)*Sin[a + b*x + c*x^2], x], x]) /; FreeQ[{a, b, c, d, e},
      x] && NeQ[b*e - 2*c*d, 0] && GtQ[m, 1]

3946. Int[((d_.) + (e_.)*(x_))^(m_)*Sin[(a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2], x_Symbol] :> Simp[(d + e*x)^(m + 1)*(Sin
      [a + b*x + c*x^2]/(e*(m + 1))), x] + (-Simp[(b*e - 2*c*d)/(e^2*(m + 1))   Int[(d + e*x)^(m + 1)*Cos[a + b*x +
      c*x^2], x], x] - Simp[2*(c/(e^2*(m + 1)))   Int[(d + e*x)^(m + 2)*Cos[a + b*x + c*x^2], x], x]) /; FreeQ[{a, b
      , c, d, e}, x] && NeQ[b*e - 2*c*d, 0] && LtQ[m, -1]

3947. Int[Cos[(a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2]*((d_.) + (e_.)*(x_))^(m_), x_Symbol] :> Simp[(d + e*x)^(m + 1)*(Cos
      [a + b*x + c*x^2]/(e*(m + 1))), x] + (Simp[(b*e - 2*c*d)/(e^2*(m + 1))   Int[(d + e*x)^(m + 1)*Sin[a + b*x + c
      *x^2], x], x] + Simp[2*(c/(e^2*(m + 1)))   Int[(d + e*x)^(m + 2)*Sin[a + b*x + c*x^2], x], x]) /; FreeQ[{a, b,
      c, d, e}, x] && NeQ[b*e - 2*c*d, 0] && LtQ[m, -1]

3948. Int[((d_.) + (e_.)*(x_))^(m_.)*Sin[(a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2]^(n_), x_Symbol] :> Int[ExpandTrigReduce[
      (d + e*x)^m, Sin[a + b*x + c*x^2]^n, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, m}, x] && IGtQ[n, 1]

3949. Int[Cos[(a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2]^(n_)*((d_.) + (e_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Int[ExpandTrigReduce[
      (d + e*x)^m, Cos[a + b*x + c*x^2]^n, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, m}, x] && IGtQ[n, 1]

3950. Int[((d_.) + (e_.)*(x_))^(m_.)*Sin[(a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2]^(n_.), x_Symbol] :> Unintegrable[(d + e*
      x)^m*Sin[a + b*x + c*x^2]^n, x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, m, n}, x]

3951. Int[Cos[(a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2]^(n_.)*((d_.) + (e_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Unintegrable[(d + e*
      x)^m*Cos[a + b*x + c*x^2]^n, x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, m, n}, x]

3952. Int[(u_)^(m_.)*Sin[v_]^(n_.), x_Symbol] :> Int[ExpandToSum[u, x]^m*Sin[ExpandToSum[v, x]]^n, x] /; FreeQ[m, x]
      && IGtQ[n, 0] && LinearQ[u, x] && QuadraticQ[v, x] &&  !(LinearMatchQ[u, x] && QuadraticMatchQ[v, x])

3953. Int[Cos[v_]^(n_.)*(u_)^(m_.), x_Symbol] :> Int[ExpandToSum[u, x]^m*Cos[ExpandToSum[v, x]]^n, x] /; FreeQ[m, x]
      && IGtQ[n, 0] && LinearQ[u, x] && QuadraticQ[v, x] &&  !(LinearMatchQ[u, x] && QuadraticMatchQ[v, x])

3954. Int[((b_.)*tan[(c_.) + (d_.)*(x_)])^(n_), x_Symbol] :> Simp[b*((b*Tan[c + d*x])^(n - 1)/(d*(n - 1))), x] - Sim
      p[b^2   Int[(b*Tan[c + d*x])^(n - 2), x], x] /; FreeQ[{b, c, d}, x] && GtQ[n, 1]

3955. Int[((b_.)*tan[(c_.) + (d_.)*(x_)])^(n_), x_Symbol] :> Simp[(b*Tan[c + d*x])^(n + 1)/(b*d*(n + 1)), x] - Simp[
      1/b^2   Int[(b*Tan[c + d*x])^(n + 2), x], x] /; FreeQ[{b, c, d}, x] && LtQ[n, -1]

3956. Int[tan[(c_.) + (d_.)*(x_)], x_Symbol] :> Simp[-Log[RemoveContent[Cos[c + d*x], x]]/d, x] /; FreeQ[{c, d}, x]

3957. Int[((b_.)*tan[(c_.) + (d_.)*(x_)])^(n_), x_Symbol] :> Simp[b/d   Subst[Int[x^n/(b^2 + x^2), x], x, b*Tan[c +
      d*x]], x] /; FreeQ[{b, c, d, n}, x] &&  !IntegerQ[n]

3958. Int[((a_) + (b_.)*tan[(c_.) + (d_.)*(x_)])^2, x_Symbol] :> Simp[(a^2 - b^2)*x, x] + (Simp[b^2*(Tan[c + d*x]/d)
      , x] + Simp[2*a*b   Int[Tan[c + d*x], x], x]) /; FreeQ[{a, b, c, d}, x]

3959. Int[((a_) + (b_.)*tan[(c_.) + (d_.)*(x_)])^(n_), x_Symbol] :> Simp[b*((a + b*Tan[c + d*x])^(n - 1)/(d*(n - 1))
      ), x] + Simp[2*a   Int[(a + b*Tan[c + d*x])^(n - 1), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && EqQ[a^2 + b^2, 0] &&
      GtQ[n, 1]

3960. Int[((a_) + (b_.)*tan[(c_.) + (d_.)*(x_)])^(n_), x_Symbol] :> Simp[a*((a + b*Tan[c + d*x])^n/(2*b*d*n)), x] +
      Simp[1/(2*a)   Int[(a + b*Tan[c + d*x])^(n + 1), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && EqQ[a^2 + b^2, 0] && LtQ[
      n, 0]

3961. Int[Sqrt[(a_) + (b_.)*tan[(c_.) + (d_.)*(x_)]], x_Symbol] :> Simp[-2*(b/d)   Subst[Int[1/(2*a - x^2), x], x, S
      qrt[a + b*Tan[c + d*x]]], x] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && EqQ[a^2 + b^2, 0]

3962. Int[((a_) + (b_.)*tan[(c_.) + (d_.)*(x_)])^(n_), x_Symbol] :> Simp[-b/d   Subst[Int[(a + x)^(n - 1)/(a - x), x
      ], x, b*Tan[c + d*x]], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, n}, x] && EqQ[a^2 + b^2, 0]

3963. Int[((a_) + (b_.)*tan[(c_.) + (d_.)*(x_)])^(n_), x_Symbol] :> Simp[b*((a + b*Tan[c + d*x])^(n - 1)/(d*(n - 1))
      ), x] + Int[(a^2 - b^2 + 2*a*b*Tan[c + d*x])*(a + b*Tan[c + d*x])^(n - 2), x] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && NeQ
      [a^2 + b^2, 0] && GtQ[n, 1]

3964. Int[((a_) + (b_.)*tan[(c_.) + (d_.)*(x_)])^(n_), x_Symbol] :> Simp[b*((a + b*Tan[c + d*x])^(n + 1)/(d*(n + 1)*
      (a^2 + b^2))), x] + Simp[1/(a^2 + b^2)   Int[(a - b*Tan[c + d*x])*(a + b*Tan[c + d*x])^(n + 1), x], x] /; Free
      Q[{a, b, c, d}, x] && NeQ[a^2 + b^2, 0] && LtQ[n, -1]

3965. Int[((a_) + (b_.)*tan[(c_.) + (d_.)*(x_)])^(-1), x_Symbol] :> Simp[a*(x/(a^2 + b^2)), x] + Simp[b/(a^2 + b^2)
      Int[(b - a*Tan[c + d*x])/(a + b*Tan[c + d*x]), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && NeQ[a^2 + b^2, 0]

3966. Int[((a_) + (b_.)*tan[(c_.) + (d_.)*(x_)])^(n_), x_Symbol] :> Simp[b/d   Subst[Int[(a + x)^n/(b^2 + x^2), x],
      x, b*Tan[c + d*x]], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, n}, x] && NeQ[a^2 + b^2, 0]

3967. Int[((d_.)*sec[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_.)*((a_) + (b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)]), x_Symbol] :> Simp[b*((d*Sec[
      e + f*x])^m/(f*m)), x] + Simp[a   Int[(d*Sec[e + f*x])^m, x], x] /; FreeQ[{a, b, d, e, f, m}, x] && (IntegerQ[
      2*m] || NeQ[a^2 + b^2, 0])

3968. Int[sec[(e_.) + (f_.)*(x_)]^(m_)*((a_) + (b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_), x_Symbol] :> Simp[1/(a^(m - 2)*b
      *f)   Subst[Int[(a - x)^(m/2 - 1)*(a + x)^(n + m/2 - 1), x], x, b*Tan[e + f*x]], x] /; FreeQ[{a, b, e, f, n},
      x] && EqQ[a^2 + b^2, 0] && IntegerQ[m/2]

3969. Int[((d_.)*sec[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_.)*((a_) + (b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_), x_Symbol] :> Simp[b*(d*
      Sec[e + f*x])^m*((a + b*Tan[e + f*x])^n/(a*f*m)), x] /; FreeQ[{a, b, d, e, f, m, n}, x] && EqQ[a^2 + b^2, 0] &
      & EqQ[Simplify[m + n], 0]

3970. Int[sec[(e_.) + (f_.)*(x_)]/Sqrt[(a_) + (b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)]], x_Symbol] :> Simp[-2*(a/(b*f))   Subst
      [Int[1/(2 - a*x^2), x], x, Sec[e + f*x]/Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]]], x] /; FreeQ[{a, b, e, f}, x] && EqQ[a^2 + b
      ^2, 0]

3971. Int[((d_.)*sec[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_.)*((a_) + (b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_), x_Symbol] :> Simp[b*(d*
      Sec[e + f*x])^m*((a + b*Tan[e + f*x])^n/(a*f*m)), x] + Simp[a/(2*d^2)   Int[(d*Sec[e + f*x])^(m + 2)*(a + b*Ta
      n[e + f*x])^(n - 1), x], x] /; FreeQ[{a, b, d, e, f}, x] && EqQ[a^2 + b^2, 0] && EqQ[m/2 + n, 0] && GtQ[n, 0]

3972. Int[((d_.)*sec[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_.)*((a_) + (b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_), x_Symbol] :> Simp[2*d^2
      *(d*Sec[e + f*x])^(m - 2)*((a + b*Tan[e + f*x])^(n + 1)/(b*f*(m - 2))), x] + Simp[2*(d^2/a)   Int[(d*Sec[e + f
      *x])^(m - 2)*(a + b*Tan[e + f*x])^(n + 1), x], x] /; FreeQ[{a, b, d, e, f}, x] && EqQ[a^2 + b^2, 0] && EqQ[m/2
      + n, 0] && LtQ[n, -1]

3973. Int[((d_.)*sec[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_)*((a_) + (b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_), x_Symbol] :> Simp[(a/d)^
      (2*IntPart[n])*(a + b*Tan[e + f*x])^FracPart[n]*((a - b*Tan[e + f*x])^FracPart[n]/(d*Sec[e + f*x])^(2*FracPart
      [n]))   Int[1/(a - b*Tan[e + f*x])^n, x], x] /; FreeQ[{a, b, d, e, f, m, n}, x] && EqQ[a^2 + b^2, 0] && EqQ[Si
      mplify[m/2 + n], 0]

3974. Int[((d_.)*sec[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_.)*((a_) + (b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_), x_Symbol] :> Simp[2*b*(
      d*Sec[e + f*x])^m*((a + b*Tan[e + f*x])^(n - 1)/(f*m)), x] /; FreeQ[{a, b, d, e, f, m, n}, x] && EqQ[a^2 + b^2
      , 0] && EqQ[Simplify[m/2 + n - 1], 0]

3975. Int[((d_.)*sec[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_.)*((a_) + (b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_), x_Symbol] :> Simp[b*(d*
      Sec[e + f*x])^m*((a + b*Tan[e + f*x])^(n - 1)/(f*(m + n - 1))), x] + Simp[a*((m + 2*n - 2)/(m + n - 1))   Int[
      (d*Sec[e + f*x])^m*(a + b*Tan[e + f*x])^(n - 1), x], x] /; FreeQ[{a, b, d, e, f, m, n}, x] && EqQ[a^2 + b^2, 0
      ] && IGtQ[Simplify[m/2 + n - 1], 0] &&  !IntegerQ[n]

3976. Int[Sqrt[(d_.)*sec[(e_.) + (f_.)*(x_)]]*Sqrt[(a_) + (b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)]], x_Symbol] :> Simp[-4*b*(d^
      2/f)   Subst[Int[x^2/(a^2 + d^2*x^4), x], x, Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]]/Sqrt[d*Sec[e + f*x]]], x] /; FreeQ[{a, b
      , d, e, f}, x] && EqQ[a^2 + b^2, 0]

3977. Int[((d_.)*sec[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_)*((a_) + (b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_), x_Symbol] :> Simp[2*b*(d
      *Sec[e + f*x])^m*((a + b*Tan[e + f*x])^(n - 1)/(f*m)), x] - Simp[b^2*((m + 2*n - 2)/(d^2*m))   Int[(d*Sec[e +
      f*x])^(m + 2)*(a + b*Tan[e + f*x])^(n - 2), x], x] /; FreeQ[{a, b, d, e, f}, x] && EqQ[a^2 + b^2, 0] && GtQ[n,
      1] && ((IGtQ[n/2, 0] && ILtQ[m - 1/2, 0]) || (EqQ[n, 2] && LtQ[m, 0]) || (LeQ[m, -1] && GtQ[m + n, 0]) || (IL
      tQ[m, 0] && LtQ[m/2 + n - 1, 0] && IntegerQ[n]) || (EqQ[n, 3/2] && EqQ[m, -2^(-1)])) && IntegerQ[2*m]

3978. Int[((d_.)*sec[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_)*((a_) + (b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_), x_Symbol] :> Simp[b*(d*S
      ec[e + f*x])^m*((a + b*Tan[e + f*x])^n/(a*f*m)), x] + Simp[a*((m + n)/(m*d^2))   Int[(d*Sec[e + f*x])^(m + 2)*
      (a + b*Tan[e + f*x])^(n - 1), x], x] /; FreeQ[{a, b, d, e, f}, x] && EqQ[a^2 + b^2, 0] && GtQ[n, 0] && LtQ[m,
      -1] && IntegersQ[2*m, 2*n]

3979. Int[((d_.)*sec[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_.)*((a_) + (b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_), x_Symbol] :> Simp[b*(d*
      Sec[e + f*x])^m*((a + b*Tan[e + f*x])^(n - 1)/(f*(m + n - 1))), x] + Simp[a*((m + 2*n - 2)/(m + n - 1))   Int[
      (d*Sec[e + f*x])^m*(a + b*Tan[e + f*x])^(n - 1), x], x] /; FreeQ[{a, b, d, e, f, m}, x] && EqQ[a^2 + b^2, 0] &
      & GtQ[n, 0] && NeQ[m + n - 1, 0] && IntegersQ[2*m, 2*n]

3980. Int[((d_.)*sec[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(3/2)/Sqrt[(a_) + (b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)]], x_Symbol] :> Simp[d*(Sec
      [e + f*x]/(Sqrt[a - b*Tan[e + f*x]]*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]]))   Int[Sqrt[d*Sec[e + f*x]]*Sqrt[a - b*Tan[e + f
      *x]], x], x] /; FreeQ[{a, b, d, e, f}, x] && EqQ[a^2 + b^2, 0]

3981. Int[((d_.)*sec[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_)*((a_) + (b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_), x_Symbol] :> Simp[2*d^2*
      (d*Sec[e + f*x])^(m - 2)*((a + b*Tan[e + f*x])^(n + 1)/(b*f*(m + 2*n))), x] - Simp[d^2*((m - 2)/(b^2*(m + 2*n)
      ))   Int[(d*Sec[e + f*x])^(m - 2)*(a + b*Tan[e + f*x])^(n + 2), x], x] /; FreeQ[{a, b, d, e, f, m}, x] && EqQ[
      a^2 + b^2, 0] && LtQ[n, -1] && ((ILtQ[n/2, 0] && IGtQ[m - 1/2, 0]) || EqQ[n, -2] || IGtQ[m + n, 0] || (Integer
      sQ[n, m + 1/2] && GtQ[2*m + n + 1, 0])) && IntegerQ[2*m]

3982. Int[((d_.)*sec[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_.)*((a_) + (b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_), x_Symbol] :> Simp[d^2*(
      d*Sec[e + f*x])^(m - 2)*((a + b*Tan[e + f*x])^(n + 1)/(b*f*(m + n - 1))), x] + Simp[d^2*((m - 2)/(a*(m + n - 1
      )))   Int[(d*Sec[e + f*x])^(m - 2)*(a + b*Tan[e + f*x])^(n + 1), x], x] /; FreeQ[{a, b, d, e, f}, x] && EqQ[a^
      2 + b^2, 0] && LtQ[n, 0] && GtQ[m, 1] &&  !ILtQ[m + n, 0] && NeQ[m + n - 1, 0] && IntegersQ[2*m, 2*n]

3983. Int[((d_.)*sec[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_.)*((a_) + (b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_), x_Symbol] :> Simp[a*(d*
      Sec[e + f*x])^m*((a + b*Tan[e + f*x])^n/(b*f*(m + 2*n))), x] + Simp[Simplify[m + n]/(a*(m + 2*n))   Int[(d*Sec
      [e + f*x])^m*(a + b*Tan[e + f*x])^(n + 1), x], x] /; FreeQ[{a, b, d, e, f, m}, x] && EqQ[a^2 + b^2, 0] && LtQ[
      n, 0] && NeQ[m + 2*n, 0] && IntegersQ[2*m, 2*n]

3984. Int[((d_.)*sec[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_.)*((a_) + (b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_), x_Symbol] :> Simp[b*(d*
      Sec[e + f*x])^m*((a + b*Tan[e + f*x])^(n - 1)/(f*Simplify[m + n - 1])), x] + Simp[a*((m + 2*n - 2)/Simplify[m
      + n - 1])   Int[(d*Sec[e + f*x])^m*(a + b*Tan[e + f*x])^(n - 1), x], x] /; FreeQ[{a, b, d, e, f, m, n}, x] &&
      EqQ[a^2 + b^2, 0] && IGtQ[Simplify[m + n - 1], 0] && RationalQ[n]

3985. Int[((d_.)*sec[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_.)*((a_) + (b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_), x_Symbol] :> Simp[a*(d*
      Sec[e + f*x])^m*((a + b*Tan[e + f*x])^n/(b*f*(m + 2*n))), x] + Simp[Simplify[m + n]/(a*(m + 2*n))   Int[(d*Sec
      [e + f*x])^m*(a + b*Tan[e + f*x])^(n + 1), x], x] /; FreeQ[{a, b, d, e, f, m, n}, x] && EqQ[a^2 + b^2, 0] && I
      LtQ[Simplify[m + n], 0] && NeQ[m + 2*n, 0]

3986. Int[((d_.)*sec[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_.)*((a_) + (b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_.), x_Symbol] :> Simp[(d*S
      ec[e + f*x])^m/((a + b*Tan[e + f*x])^(m/2)*(a - b*Tan[e + f*x])^(m/2))   Int[(a + b*Tan[e + f*x])^(m/2 + n)*(a
      - b*Tan[e + f*x])^(m/2), x], x] /; FreeQ[{a, b, d, e, f, m, n}, x] && EqQ[a^2 + b^2, 0]

3987. Int[sec[(e_.) + (f_.)*(x_)]^(m_)*((a_) + (b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_), x_Symbol] :> Simp[1/(b*f)   Subs
      t[Int[(a + x)^n*(1 + x^2/b^2)^(m/2 - 1), x], x, b*Tan[e + f*x]], x] /; FreeQ[{a, b, e, f, n}, x] && NeQ[a^2 +
      b^2, 0] && IntegerQ[m/2]

3988. Int[sec[(e_.) + (f_.)*(x_)]/((a_) + (b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)]), x_Symbol] :> Simp[-f^(-1)   Subst[Int[1/(a
      ^2 + b^2 - x^2), x], x, (b - a*Tan[e + f*x])/Sec[e + f*x]], x] /; FreeQ[{a, b, e, f}, x] && NeQ[a^2 + b^2, 0]

3989. Int[sec[(e_.) + (f_.)*(x_)]^(m_)/((a_) + (b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)]), x_Symbol] :> Simp[-(b^2)^(-1)   Int[S
      ec[e + f*x]^(m - 2)*(a - b*Tan[e + f*x]), x], x] + Simp[(a^2 + b^2)/b^2   Int[Sec[e + f*x]^(m - 2)/(a + b*Tan[
      e + f*x]), x], x] /; FreeQ[{a, b, e, f}, x] && NeQ[a^2 + b^2, 0] && IGtQ[(m - 1)/2, 0]

3990. Int[sec[(e_.) + (f_.)*(x_)]^(m_)/((a_) + (b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)]), x_Symbol] :> Simp[1/(a^2 + b^2)   Int
      [Sec[e + f*x]^m*(a - b*Tan[e + f*x]), x], x] + Simp[b^2/(a^2 + b^2)   Int[Sec[e + f*x]^(m + 2)/(a + b*Tan[e +
      f*x]), x], x] /; FreeQ[{a, b, e, f}, x] && NeQ[a^2 + b^2, 0] && ILtQ[(m - 1)/2, 0]

3991. Int[sec[(e_.) + (f_.)*(x_)]^(m_.)*((a_) + (b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_), x_Symbol] :> Module[{k}, Int[Se
      c[e + f*x]^m*Sum[Binomial[n, 2*k]*a^(n - 2*k)*b^(2*k)*Tan[e + f*x]^(2*k), {k, 0, n/2}], x] + Int[Sec[e + f*x]^
      m*Tan[e + f*x]*Sum[Binomial[n, 2*k + 1]*a^(n - 2*k - 1)*b^(2*k + 1)*Tan[e + f*x]^(2*k), {k, 0, (n - 1)/2}], x]
      ] /; FreeQ[{a, b, e, f}, x] && NeQ[a^2 + b^2, 0] && IntegerQ[(m - 1)/2] && IGtQ[n, 0]

3992. Int[sec[(e_.) + (f_.)*(x_)]^(m_.)*((a_) + (b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_), x_Symbol] :> Simp[Sec[e + f*x]/
      (b*f*Sqrt[Sec[e + f*x]^2])   Subst[Int[(a + x)^n*(1 + x^2/b^2)^(m/2 - 1), x], x, b*Tan[e + f*x]], x] /; FreeQ[
      {a, b, e, f, n}, x] && NeQ[a^2 + b^2, 0] && IntegerQ[(m - 1)/2]

3993. Int[((d_.)*sec[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_.)*((a_) + (b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^2, x_Symbol] :> Simp[b*(d*Sec
      [e + f*x])^m*((a + b*Tan[e + f*x])/(f*(m + 1))), x] + Simp[1/(m + 1)   Int[(d*Sec[e + f*x])^m*(a^2*(m + 1) - b
      ^2 + a*b*(m + 2)*Tan[e + f*x]), x], x] /; FreeQ[{a, b, d, e, f, m}, x] && NeQ[a^2 + b^2, 0] &&  !IntegerQ[m]

3994. Int[((d_.)*sec[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_.)*((a_) + (b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_), x_Symbol] :> Simp[d^(2*
      IntPart[m/2])*((d*Sec[e + f*x])^(2*FracPart[m/2])/(b*f*(Sec[e + f*x]^2)^FracPart[m/2]))   Subst[Int[(a + x)^n*
      (1 + x^2/b^2)^(m/2 - 1), x], x, b*Tan[e + f*x]], x] /; FreeQ[{a, b, d, e, f, m, n}, x] && NeQ[a^2 + b^2, 0] &&
      !IntegerQ[m] && IntegerQ[n]

3995. Int[((d_.)*sec[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_.)*((a_) + (b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_), x_Symbol] :> Simp[d^(2*
      IntPart[m/2])*(a^2 + b^2)^(IntPart[m/2] - 1)*((d*Sec[e + f*x])^(2*FracPart[m/2])/(f*b^(2*IntPart[m/2] - 1)*(1
      - (a + b*Tan[e + f*x])/(a - Rt[-b^2, 2]))^FracPart[m/2]*(1 - (a + b*Tan[e + f*x])/(a + Rt[-b^2, 2]))^FracPart[
      m/2]))   Subst[Int[x^n*(1 - x/(a - Rt[-b^2, 2]))^(m/2 - 1)*(1 - x/(a + Rt[-b^2, 2]))^(m/2 - 1), x], x, a + b*T
      an[e + f*x]], x] /; FreeQ[{a, b, d, e, f, m, n}, x] && NeQ[a^2 + b^2, 0] &&  !IntegerQ[m] &&  !IntegerQ[n]

3996. Int[Sqrt[(a_) + (b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)]]/Sqrt[cos[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(d_.)], x_Symbol] :> Simp[-4*(b/f)
      Subst[Int[x^2/(a^2*d^2 + x^4), x], x, Sqrt[d*Cos[e + f*x]]*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]]], x] /; FreeQ[{a, b, d,
      e, f}, x] && EqQ[a^2 + b^2, 0]

3997. Int[1/((cos[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(d_.))^(3/2)*Sqrt[(a_) + (b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)]]), x_Symbol] :> Simp[1/
      (d*Cos[e + f*x]*Sqrt[a - b*Tan[e + f*x]]*Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]])   Int[Sqrt[a - b*Tan[e + f*x]]/Sqrt[d*Cos[e
      + f*x]], x], x] /; FreeQ[{a, b, d, e, f}, x] && EqQ[a^2 + b^2, 0]

3998. Int[(cos[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(d_.))^(m_)*((a_) + (b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_.), x_Symbol] :> Simp[(d*Co
      s[e + f*x])^m*(d*Sec[e + f*x])^m   Int[(a + b*Tan[e + f*x])^n/(d*Sec[e + f*x])^m, x], x] /; FreeQ[{a, b, d, e,
      f, m, n}, x] &&  !IntegerQ[m]

3999. Int[sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]^(m_)*((a_) + (b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_), x_Symbol] :> Simp[b/f   Subst[In
      t[x^m*((a + x)^n/(b^2 + x^2)^(m/2 + 1)), x], x, b*Tan[e + f*x]], x] /; FreeQ[{a, b, e, f, n}, x] && IntegerQ[m
      /2]

4000. Int[sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]^(m_.)*((a_) + (b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_.), x_Symbol] :> Int[Expand[Sin[e
      + f*x]^m*(a + b*Tan[e + f*x])^n, x], x] /; FreeQ[{a, b, e, f}, x] && IntegerQ[(m - 1)/2] && IGtQ[n, 0]

4001. Int[sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]^(m_.)*((a_) + (b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_.), x_Symbol] :> Int[Sin[e + f*x]^
      m*((a*Cos[e + f*x] + b*Sin[e + f*x])^n/Cos[e + f*x]^n), x] /; FreeQ[{a, b, e, f}, x] && IntegerQ[(m - 1)/2] &&
      ILtQ[n, 0] && ((LtQ[m, 5] && GtQ[n, -4]) || (EqQ[m, 5] && EqQ[n, -1]))

4002. Int[(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(d_.))^(m_)*((a_.) + (b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_.), x_Symbol] :> Simp[(d*C
      sc[e + f*x])^FracPart[m]*(Sin[e + f*x]/d)^FracPart[m]   Int[(a + b*Tan[e + f*x])^n/(Sin[e + f*x]/d)^m, x], x]
      /; FreeQ[{a, b, d, e, f, m, n}, x] &&  !IntegerQ[m]

4003. Int[cos[(e_.) + (f_.)*(x_)]^(m_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]^(p_.)*((a_) + (b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_.),
      x_Symbol] :> Int[Cos[e + f*x]^(m - n)*Sin[e + f*x]^p*(a*Cos[e + f*x] + b*Sin[e + f*x])^n, x] /; FreeQ[{a, b, e
      , f, m, p}, x] && IntegerQ[n]

4004. Int[cos[(e_.) + (f_.)*(x_)]^(p_.)*(cot[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_))^(n_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]^(m_.),
      x_Symbol] :> Int[Sin[e + f*x]^(m - n)*Cos[e + f*x]^p*(a*Sin[e + f*x] + b*Cos[e + f*x])^n, x] /; FreeQ[{a, b, e
      , f, m, p}, x] && IntegerQ[n]

4005. Int[((a_) + (b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_.)*((c_) + (d_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_.), x_Symbol] :> Si
      mp[a^m*c^m   Int[Sec[e + f*x]^(2*m)*(c + d*Tan[e + f*x])^(n - m), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, n}, x] &&
      EqQ[b*c + a*d, 0] && EqQ[a^2 + b^2, 0] && IntegerQ[m] &&  !(IGtQ[n, 0] && (LtQ[m, 0] || GtQ[m, n]))

4006. Int[((a_) + (b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_)*((c_) + (d_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_), x_Symbol] :> Simp
      [a*(c/f)   Subst[Int[(a + b*x)^(m - 1)*(c + d*x)^(n - 1), x], x, Tan[e + f*x]], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f,
      m, n}, x] && EqQ[b*c + a*d, 0] && EqQ[a^2 + b^2, 0]

4007. Int[((a_) + (b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])*((c_) + (d_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)]), x_Symbol] :> Simp[(a*c - b*
      d)*x, x] + Simp[b*d*(Tan[e + f*x]/f), x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && EqQ[b*c + a*d
      , 0]

4008. Int[((a_) + (b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])*((c_.) + (d_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)]), x_Symbol] :> Simp[(a*c - b
      *d)*x, x] + (Simp[b*d*(Tan[e + f*x]/f), x] + Simp[(b*c + a*d)   Int[Tan[e + f*x], x], x]) /; FreeQ[{a, b, c, d
      , e, f}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && NeQ[b*c + a*d, 0]

4009. Int[((a_) + (b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_)*((c_.) + (d_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)]), x_Symbol] :> Simp[(-(
      b*c - a*d))*((a + b*Tan[e + f*x])^m/(2*a*f*m)), x] + Simp[(b*c + a*d)/(2*a*b)   Int[(a + b*Tan[e + f*x])^(m +
      1), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && EqQ[a^2 + b^2, 0] && LtQ[m, 0]

4010. Int[((a_) + (b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_)*((c_.) + (d_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)]), x_Symbol] :> Simp[d*(
      (a + b*Tan[e + f*x])^m/(f*m)), x] + Simp[(b*c + a*d)/b   Int[(a + b*Tan[e + f*x])^m, x], x] /; FreeQ[{a, b, c,
      d, e, f, m}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && EqQ[a^2 + b^2, 0] &&  !LtQ[m, 0]

4011. Int[((a_.) + (b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_)*((c_.) + (d_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)]), x_Symbol] :> Simp[d*
      ((a + b*Tan[e + f*x])^m/(f*m)), x] + Int[(a + b*Tan[e + f*x])^(m - 1)*Simp[a*c - b*d + (b*c + a*d)*Tan[e + f*x
      ], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && NeQ[a^2 + b^2, 0] && GtQ[m, 0]

4012. Int[((a_.) + (b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_)*((c_.) + (d_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)]), x_Symbol] :> Simp[(b
      *c - a*d)*((a + b*Tan[e + f*x])^(m + 1)/(f*(m + 1)*(a^2 + b^2))), x] + Simp[1/(a^2 + b^2)   Int[(a + b*Tan[e +
      f*x])^(m + 1)*Simp[a*c + b*d - (b*c - a*d)*Tan[e + f*x], x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && NeQ[b*
      c - a*d, 0] && NeQ[a^2 + b^2, 0] && LtQ[m, -1]

4013. Int[((c_) + (d_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])/((a_) + (b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)]), x_Symbol] :> Simp[(c/(b*f))
      *Log[RemoveContent[a*Cos[e + f*x] + b*Sin[e + f*x], x]], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && NeQ[b*c - a*d,
      0] && NeQ[a^2 + b^2, 0] && EqQ[a*c + b*d, 0]

4014. Int[((c_.) + (d_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])/((a_.) + (b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)]), x_Symbol] :> Simp[(a*c +
      b*d)*(x/(a^2 + b^2)), x] + Simp[(b*c - a*d)/(a^2 + b^2)   Int[(b - a*Tan[e + f*x])/(a + b*Tan[e + f*x]), x], x
      ] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && NeQ[a^2 + b^2, 0] && NeQ[a*c + b*d, 0]

4015. Int[((c_) + (d_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])/Sqrt[(b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)]], x_Symbol] :> Simp[-2*(d^2/f)
      Subst[Int[1/(2*c*d + b*x^2), x], x, (c - d*Tan[e + f*x])/Sqrt[b*Tan[e + f*x]]], x] /; FreeQ[{b, c, d, e, f},
      x] && EqQ[c^2 - d^2, 0]

4016. Int[((c_) + (d_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])/Sqrt[(b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)]], x_Symbol] :> Simp[2*(c^2/f)
      Subst[Int[1/(b*c - d*x^2), x], x, Sqrt[b*Tan[e + f*x]]], x] /; FreeQ[{b, c, d, e, f}, x] && EqQ[c^2 + d^2, 0]

4017. Int[((c_) + (d_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])/Sqrt[(b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)]], x_Symbol] :> Simp[2/f   Subst[
      Int[(b*c + d*x^2)/(b^2 + x^4), x], x, Sqrt[b*Tan[e + f*x]]], x] /; FreeQ[{b, c, d, e, f}, x] && NeQ[c^2 - d^2,
      0] && NeQ[c^2 + d^2, 0]

4018. Int[((c_.) + (d_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])/Sqrt[(a_) + (b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)]], x_Symbol] :> Simp[-2*(
      d^2/f)   Subst[Int[1/(2*b*c*d - 4*a*d^2 + x^2), x], x, (b*c - 2*a*d - b*d*Tan[e + f*x])/Sqrt[a + b*Tan[e + f*x
      ]]], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && NeQ[a^2 + b^2, 0] && NeQ[c^2 + d^2, 0] && EqQ[
      2*a*c*d - b*(c^2 - d^2), 0]

4019. Int[((c_.) + (d_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])/Sqrt[(a_) + (b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)]], x_Symbol] :> With[{q =
      Rt[a^2 + b^2, 2]}, Simp[1/(2*q)   Int[(a*c + b*d + c*q + (b*c - a*d + d*q)*Tan[e + f*x])/Sqrt[a + b*Tan[e + f
      *x]], x], x] - Simp[1/(2*q)   Int[(a*c + b*d - c*q + (b*c - a*d - d*q)*Tan[e + f*x])/Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]],
      x], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && NeQ[a^2 + b^2, 0] && NeQ[c^2 + d^2, 0] && NeQ
      [2*a*c*d - b*(c^2 - d^2), 0] && NiceSqrtQ[a^2 + b^2]

4020. Int[((a_.) + (b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_)*((c_) + (d_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)]), x_Symbol] :> Simp[c*(
      d/f)   Subst[Int[(a + (b/d)*x)^m/(d^2 + c*x), x], x, d*Tan[e + f*x]], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m}, x] &&
      NeQ[b*c - a*d, 0] && NeQ[a^2 + b^2, 0] && EqQ[c^2 + d^2, 0]

4021. Int[((b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_)*((c_) + (d_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)]), x_Symbol] :> Simp[c   Int[(b*
      Tan[e + f*x])^m, x], x] + Simp[d/b   Int[(b*Tan[e + f*x])^(m + 1), x], x] /; FreeQ[{b, c, d, e, f, m}, x] && N
      eQ[c^2 + d^2, 0] &&  !IntegerQ[2*m]

4022. Int[((a_.) + (b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_)*((c_.) + (d_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)]), x_Symbol] :> Simp[(c
      + I*d)/2   Int[(a + b*Tan[e + f*x])^m*(1 - I*Tan[e + f*x]), x], x] + Simp[(c - I*d)/2   Int[(a + b*Tan[e + f*
      x])^m*(1 + I*Tan[e + f*x]), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && NeQ[a^2 + b^2, 0
      ] && NeQ[c^2 + d^2, 0] &&  !IntegerQ[m]

4023. Int[((a_) + (b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_)*((c_.) + (d_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^2, x_Symbol] :> Simp[(
      -b)*(a*c + b*d)^2*((a + b*Tan[e + f*x])^m/(2*a^3*f*m)), x] + Simp[1/(2*a^2)   Int[(a + b*Tan[e + f*x])^(m + 1)
      *Simp[a*c^2 - 2*b*c*d + a*d^2 - 2*b*d^2*Tan[e + f*x], x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && NeQ[b*c -
      a*d, 0] && LeQ[m, -1] && EqQ[a^2 + b^2, 0]

4024. Int[((c_.) + (d_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^2/((a_.) + (b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)]), x_Symbol] :> Simp[d*(2*
      b*c - a*d)*(x/b^2), x] + (Simp[d^2/b   Int[Tan[e + f*x], x], x] + Simp[(b*c - a*d)^2/b^2   Int[1/(a + b*Tan[e
      + f*x]), x], x]) /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && NeQ[a^2 + b^2, 0]

4025. Int[((a_.) + (b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_)*((c_.) + (d_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^2, x_Symbol] :> Simp[
      (b*c - a*d)^2*((a + b*Tan[e + f*x])^(m + 1)/(b*f*(m + 1)*(a^2 + b^2))), x] + Simp[1/(a^2 + b^2)   Int[(a + b*T
      an[e + f*x])^(m + 1)*Simp[a*c^2 + 2*b*c*d - a*d^2 - (b*c^2 - 2*a*c*d - b*d^2)*Tan[e + f*x], x], x], x] /; Free
      Q[{a, b, c, d, e, f}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && LtQ[m, -1] && NeQ[a^2 + b^2, 0]

4026. Int[((a_.) + (b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_)*((c_.) + (d_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^2, x_Symbol] :> Simp[
      d^2*((a + b*Tan[e + f*x])^(m + 1)/(b*f*(m + 1))), x] + Int[(a + b*Tan[e + f*x])^m*Simp[c^2 - d^2 + 2*c*d*Tan[e
      + f*x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] &&  !LeQ[m, -1] &&  !(EqQ[m, 2] && EqQ
      [a, 0])

4027. Int[Sqrt[(a_) + (b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)]]/Sqrt[(c_.) + (d_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)]], x_Symbol] :> Simp[
      -2*a*(b/f)   Subst[Int[1/(a*c - b*d - 2*a^2*x^2), x], x, Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]]/Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]]], x
      ] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && EqQ[a^2 + b^2, 0] && NeQ[c^2 + d^2, 0]

4028. Int[((a_) + (b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_)*((c_.) + (d_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_), x_Symbol] :> Sim
      p[a*b*(a + b*Tan[e + f*x])^(m - 1)*((c + d*Tan[e + f*x])^(n + 1)/(f*(m - 1)*(a*c - b*d))), x] + Simp[2*(a^2/(a
      *c - b*d))   Int[(a + b*Tan[e + f*x])^(m - 1)*(c + d*Tan[e + f*x])^(n + 1), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}
      , x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && EqQ[a^2 + b^2, 0] && NeQ[c^2 + d^2, 0] && EqQ[m + n, 0] && GtQ[m, 1/2]

4029. Int[((a_) + (b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_)*((c_.) + (d_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_), x_Symbol] :> Sim
      p[a*(a + b*Tan[e + f*x])^m*((c + d*Tan[e + f*x])^n/(2*b*f*m)), x] - Simp[(a*c - b*d)/(2*b^2)   Int[(a + b*Tan[
      e + f*x])^(m + 1)*(c + d*Tan[e + f*x])^(n - 1), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] &&
      EqQ[a^2 + b^2, 0] && NeQ[c^2 + d^2, 0] && EqQ[m + n, 0] && LeQ[m, -2^(-1)]

4030. Int[((a_) + (b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_)*((c_.) + (d_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_), x_Symbol] :> Sim
      p[a*(a + b*Tan[e + f*x])^m*((c + d*Tan[e + f*x])^(n + 1)/(2*f*m*(b*c - a*d))), x] + Simp[1/(2*a)   Int[(a + b*
      Tan[e + f*x])^(m + 1)*(c + d*Tan[e + f*x])^n, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && E
      qQ[a^2 + b^2, 0] && NeQ[c^2 + d^2, 0] && EqQ[m + n + 1, 0] && LtQ[m, -1]

4031. Int[((a_) + (b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_)*((c_.) + (d_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_), x_Symbol] :> Sim
      p[(-d)*(a + b*Tan[e + f*x])^m*((c + d*Tan[e + f*x])^(n + 1)/(f*m*(c^2 + d^2))), x] + Simp[a/(a*c - b*d)   Int[
      (a + b*Tan[e + f*x])^m*(c + d*Tan[e + f*x])^(n + 1), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m, n}, x] && NeQ[b*c -
      a*d, 0] && EqQ[a^2 + b^2, 0] && NeQ[c^2 + d^2, 0] && EqQ[m + n + 1, 0] &&  !LtQ[m, -1]

4032. Int[((c_.) + (d_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_)/((a_) + (b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)]), x_Symbol] :> Simp[(-(
      a*c + b*d))*((c + d*Tan[e + f*x])^n/(2*(b*c - a*d)*f*(a + b*Tan[e + f*x]))), x] + Simp[1/(2*a*(b*c - a*d))   I
      nt[(c + d*Tan[e + f*x])^(n - 1)*Simp[a*c*d*(n - 1) + b*c^2 + b*d^2*n - d*(b*c - a*d)*(n - 1)*Tan[e + f*x], x],
      x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && EqQ[a^2 + b^2, 0] && NeQ[c^2 + d^2, 0] && LtQ[
      0, n, 1]

4033. Int[((c_.) + (d_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_)/((a_) + (b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)]), x_Symbol] :> Simp[(b*
      c - a*d)*((c + d*Tan[e + f*x])^(n - 1)/(2*a*f*(a + b*Tan[e + f*x]))), x] + Simp[1/(2*a^2)   Int[(c + d*Tan[e +
      f*x])^(n - 2)*Simp[a*c^2 + a*d^2*(n - 1) - b*c*d*n - d*(a*c*(n - 2) + b*d*n)*Tan[e + f*x], x], x], x] /; Free
      Q[{a, b, c, d, e, f}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && EqQ[a^2 + b^2, 0] && NeQ[c^2 + d^2, 0] && GtQ[n, 1]

4034. Int[1/(((a_.) + (b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])*((c_.) + (d_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])), x_Symbol] :> Simp[b/(
      b*c - a*d)   Int[1/(a + b*Tan[e + f*x]), x], x] - Simp[d/(b*c - a*d)   Int[1/(c + d*Tan[e + f*x]), x], x] /; F
      reeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && EqQ[a^2 + b^2, 0] && NeQ[c^2 + d^2, 0]

4035. Int[((c_.) + (d_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_)/((a_) + (b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)]), x_Symbol] :> Simp[(-a
      )*((c + d*Tan[e + f*x])^(n + 1)/(2*f*(b*c - a*d)*(a + b*Tan[e + f*x]))), x] + Simp[1/(2*a*(b*c - a*d))   Int[(
      c + d*Tan[e + f*x])^n*Simp[b*c + a*d*(n - 1) - b*d*n*Tan[e + f*x], x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, n},
      x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && EqQ[a^2 + b^2, 0] && NeQ[c^2 + d^2, 0] &&  !GtQ[n, 0]

4036. Int[((a_) + (b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_)*((c_.) + (d_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_), x_Symbol] :> Sim
      p[(-a^2)*(b*c - a*d)*(a + b*Tan[e + f*x])^(m - 2)*((c + d*Tan[e + f*x])^(n + 1)/(d*f*(b*c + a*d)*(n + 1))), x]
      + Simp[a/(d*(b*c + a*d)*(n + 1))   Int[(a + b*Tan[e + f*x])^(m - 2)*(c + d*Tan[e + f*x])^(n + 1)*Simp[b*(b*c*
      (m - 2) - a*d*(m - 2*n - 4)) + (a*b*c*(m - 2) + b^2*d*(n + 1) - a^2*d*(m + n - 1))*Tan[e + f*x], x], x], x] /;
      FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && EqQ[a^2 + b^2, 0] && NeQ[c^2 + d^2, 0] && GtQ[m, 1] && L
      tQ[n, -1] && (IntegerQ[m] || IntegersQ[2*m, 2*n])

4037. Int[((a_) + (b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(3/2)/((c_.) + (d_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)]), x_Symbol] :> Simp[2*
      (a^2/(a*c - b*d))   Int[Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]], x], x] - Simp[(2*b*c*d + a*(c^2 - d^2))/(a*(c^2 + d^2))   In
      t[(a - b*Tan[e + f*x])*(Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]]/(c + d*Tan[e + f*x])), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x]
      && NeQ[b*c - a*d, 0] && EqQ[a^2 + b^2, 0] && NeQ[c^2 + d^2, 0]

4038. Int[((a_) + (b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(3/2)/Sqrt[(c_.) + (d_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)]], x_Symbol] :> Sim
      p[2*a   Int[Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]]/Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]], x], x] + Simp[b/a   Int[(b + a*Tan[e + f*x])*(S
      qrt[a + b*Tan[e + f*x]]/Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]]), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0]
      && EqQ[a^2 + b^2, 0] && NeQ[c^2 + d^2, 0]

4039. Int[((a_) + (b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_)*((c_.) + (d_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_), x_Symbol] :> Sim
      p[b^2*(a + b*Tan[e + f*x])^(m - 2)*((c + d*Tan[e + f*x])^(n + 1)/(d*f*(m + n - 1))), x] + Simp[a/(d*(m + n - 1
      ))   Int[(a + b*Tan[e + f*x])^(m - 2)*(c + d*Tan[e + f*x])^n*Simp[b*c*(m - 2) + a*d*(m + 2*n) + (a*c*(m - 2) +
      b*d*(3*m + 2*n - 4))*Tan[e + f*x], x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, n}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && EqQ[
      a^2 + b^2, 0] && NeQ[c^2 + d^2, 0] && IntegerQ[2*m] && GtQ[m, 1] && NeQ[m + n - 1, 0] && (IntegerQ[m] || Integ
      ersQ[2*m, 2*n])

4040. Int[((a_) + (b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_)*Sqrt[(c_.) + (d_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)]], x_Symbol] :> Simp
      [(-b)*(a + b*Tan[e + f*x])^m*(Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]]/(2*a*f*m)), x] + Simp[1/(4*a^2*m)   Int[(a + b*Tan[e +
      f*x])^(m + 1)*(Simp[2*a*c*m + b*d + a*d*(2*m + 1)*Tan[e + f*x], x]/Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]]), x], x] /; FreeQ[
      {a, b, c, d, e, f}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && EqQ[a^2 + b^2, 0] && NeQ[c^2 + d^2, 0] && LtQ[m, 0] && Integers
      Q[2*m]

4041. Int[((a_) + (b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_)*((c_.) + (d_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_), x_Symbol] :> Sim
      p[(-(b*c - a*d))*(a + b*Tan[e + f*x])^m*((c + d*Tan[e + f*x])^(n - 1)/(2*a*f*m)), x] + Simp[1/(2*a^2*m)   Int[
      (a + b*Tan[e + f*x])^(m + 1)*(c + d*Tan[e + f*x])^(n - 2)*Simp[c*(a*c*m + b*d*(n - 1)) - d*(b*c*m + a*d*(n - 1
      )) - d*(b*d*(m - n + 1) - a*c*(m + n - 1))*Tan[e + f*x], x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && NeQ[b*c
      - a*d, 0] && EqQ[a^2 + b^2, 0] && NeQ[c^2 + d^2, 0] && LtQ[m, 0] && GtQ[n, 1] && (IntegerQ[m] || IntegersQ[2*
      m, 2*n])

4042. Int[((a_) + (b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_)*((c_.) + (d_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_), x_Symbol] :> Sim
      p[a*(a + b*Tan[e + f*x])^m*((c + d*Tan[e + f*x])^(n + 1)/(2*f*m*(b*c - a*d))), x] + Simp[1/(2*a*m*(b*c - a*d))
      Int[(a + b*Tan[e + f*x])^(m + 1)*(c + d*Tan[e + f*x])^n*Simp[b*c*m - a*d*(2*m + n + 1) + b*d*(m + n + 1)*Ta
      n[e + f*x], x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, n}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && EqQ[a^2 + b^2, 0] && NeQ[c^2
      + d^2, 0] && LtQ[m, 0] && (IntegerQ[m] || IntegersQ[2*m, 2*n])

4043. Int[((a_) + (b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_)*((c_.) + (d_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_), x_Symbol] :> Sim
      p[d*(a + b*Tan[e + f*x])^m*((c + d*Tan[e + f*x])^(n - 1)/(f*(m + n - 1))), x] - Simp[1/(a*(m + n - 1))   Int[(
      a + b*Tan[e + f*x])^m*(c + d*Tan[e + f*x])^(n - 2)*Simp[d*(b*c*m + a*d*(-1 + n)) - a*c^2*(m + n - 1) + d*(b*d*
      m - a*c*(m + 2*n - 2))*Tan[e + f*x], x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && EqQ
      [a^2 + b^2, 0] && NeQ[c^2 + d^2, 0] && GtQ[n, 1] && NeQ[m + n - 1, 0] && (IntegerQ[n] || IntegersQ[2*m, 2*n])

4044. Int[((a_) + (b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_)*((c_.) + (d_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_), x_Symbol] :> Sim
      p[d*(a + b*Tan[e + f*x])^m*((c + d*Tan[e + f*x])^(n + 1)/(f*(n + 1)*(c^2 + d^2))), x] - Simp[1/(a*(c^2 + d^2)*
      (n + 1))   Int[(a + b*Tan[e + f*x])^m*(c + d*Tan[e + f*x])^(n + 1)*Simp[b*d*m - a*c*(n + 1) + a*d*(m + n + 1)*
      Tan[e + f*x], x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && EqQ[a^2 + b^2, 0] && NeQ[c
      ^2 + d^2, 0] && LtQ[n, -1] && (IntegerQ[n] || IntegersQ[2*m, 2*n])

4045. Int[((a_) + (b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_)/((c_.) + (d_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)]), x_Symbol] :> Simp[a/(
      a*c - b*d)   Int[(a + b*Tan[e + f*x])^m, x], x] - Simp[d/(a*c - b*d)   Int[(a + b*Tan[e + f*x])^m*((b + a*Tan[
      e + f*x])/(c + d*Tan[e + f*x])), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && EqQ[a^2 + b
      ^2, 0] && NeQ[c^2 + d^2, 0]

4046. Int[Sqrt[(a_) + (b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)]]*Sqrt[(c_.) + (d_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)]], x_Symbol] :> Simp[
      (a*c - b*d)/a   Int[Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]]/Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]], x], x] + Simp[d/a   Int[Sqrt[a + b*Tan[
      e + f*x]]*((b + a*Tan[e + f*x])/Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]]), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && NeQ[b*c -
      a*d, 0] && EqQ[a^2 + b^2, 0] && NeQ[c^2 + d^2, 0]

4047. Int[((a_) + (b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_)*((c_.) + (d_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_), x_Symbol] :> Sim
      p[a*(b/f)   Subst[Int[(a + x)^(m - 1)*((c + (d/b)*x)^n/(b^2 + a*x)), x], x, b*Tan[e + f*x]], x] /; FreeQ[{a, b
      , c, d, e, f, m, n}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && EqQ[a^2 + b^2, 0] && NeQ[c^2 + d^2, 0]

4048. Int[((a_.) + (b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_)*((c_.) + (d_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_), x_Symbol] :> Si
      mp[(b*c - a*d)^2*(a + b*Tan[e + f*x])^(m - 2)*((c + d*Tan[e + f*x])^(n + 1)/(d*f*(n + 1)*(c^2 + d^2))), x] - S
      imp[1/(d*(n + 1)*(c^2 + d^2))   Int[(a + b*Tan[e + f*x])^(m - 3)*(c + d*Tan[e + f*x])^(n + 1)*Simp[a^2*d*(b*d*
      (m - 2) - a*c*(n + 1)) + b*(b*c - 2*a*d)*(b*c*(m - 2) + a*d*(n + 1)) - d*(n + 1)*(3*a^2*b*c - b^3*c - a^3*d +
      3*a*b^2*d)*Tan[e + f*x] - b*(a*d*(2*b*c - a*d)*(m + n - 1) - b^2*(c^2*(m - 2) - d^2*(n + 1)))*Tan[e + f*x]^2,
      x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && NeQ[a^2 + b^2, 0] && NeQ[c^2 + d^2, 0] && G
      tQ[m, 2] && LtQ[n, -1] && IntegerQ[2*m]

4049. Int[((a_.) + (b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_)*((c_.) + (d_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_), x_Symbol] :> Si
      mp[b^2*(a + b*Tan[e + f*x])^(m - 2)*((c + d*Tan[e + f*x])^(n + 1)/(d*f*(m + n - 1))), x] + Simp[1/(d*(m + n -
      1))   Int[(a + b*Tan[e + f*x])^(m - 3)*(c + d*Tan[e + f*x])^n*Simp[a^3*d*(m + n - 1) - b^2*(b*c*(m - 2) + a*d*
      (1 + n)) + b*d*(m + n - 1)*(3*a^2 - b^2)*Tan[e + f*x] - b^2*(b*c*(m - 2) - a*d*(3*m + 2*n - 4))*Tan[e + f*x]^2
      , x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, n}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && NeQ[a^2 + b^2, 0] && NeQ[c^2 + d^2, 0]
      && IntegerQ[2*m] && GtQ[m, 2] && (GeQ[n, -1] || IntegerQ[m]) &&  !(IGtQ[n, 2] && ( !IntegerQ[m] || (EqQ[c, 0]
      && NeQ[a, 0])))

4050. Int[((a_.) + (b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_)*((c_.) + (d_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_), x_Symbol] :> Si
      mp[(b*c - a*d)*(a + b*Tan[e + f*x])^(m + 1)*((c + d*Tan[e + f*x])^(n - 1)/(f*(m + 1)*(a^2 + b^2))), x] + Simp[
      1/((m + 1)*(a^2 + b^2))   Int[(a + b*Tan[e + f*x])^(m + 1)*(c + d*Tan[e + f*x])^(n - 2)*Simp[a*c^2*(m + 1) + a
      *d^2*(n - 1) + b*c*d*(m - n + 2) - (b*c^2 - 2*a*c*d - b*d^2)*(m + 1)*Tan[e + f*x] - d*(b*c - a*d)*(m + n)*Tan[
      e + f*x]^2, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && NeQ[a^2 + b^2, 0] && NeQ[c^2 +
      d^2, 0] && LtQ[m, -1] && LtQ[1, n, 2] && IntegerQ[2*m]

4051. Int[((a_.) + (b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_)*((c_.) + (d_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_), x_Symbol] :> Si
      mp[b*(a + b*Tan[e + f*x])^(m + 1)*((c + d*Tan[e + f*x])^n/(f*(m + 1)*(a^2 + b^2))), x] + Simp[1/((m + 1)*(a^2
      + b^2))   Int[(a + b*Tan[e + f*x])^(m + 1)*(c + d*Tan[e + f*x])^(n - 1)*Simp[a*c*(m + 1) - b*d*n - (b*c - a*d)
      *(m + 1)*Tan[e + f*x] - b*d*(m + n + 1)*Tan[e + f*x]^2, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && NeQ[b*c
      - a*d, 0] && NeQ[a^2 + b^2, 0] && NeQ[c^2 + d^2, 0] && LtQ[m, -1] && GtQ[n, 0] && IntegerQ[2*m]

4052. Int[((a_.) + (b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_)*((c_.) + (d_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_), x_Symbol] :> Si
      mp[b^2*(a + b*Tan[e + f*x])^(m + 1)*((c + d*Tan[e + f*x])^(n + 1)/(f*(m + 1)*(a^2 + b^2)*(b*c - a*d))), x] + S
      imp[1/((m + 1)*(a^2 + b^2)*(b*c - a*d))   Int[(a + b*Tan[e + f*x])^(m + 1)*(c + d*Tan[e + f*x])^n*Simp[a*(b*c
      - a*d)*(m + 1) - b^2*d*(m + n + 2) - b*(b*c - a*d)*(m + 1)*Tan[e + f*x] - b^2*d*(m + n + 2)*Tan[e + f*x]^2, x]
      , x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, n}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && NeQ[a^2 + b^2, 0] && NeQ[c^2 + d^2, 0] &&
      IntegerQ[2*m] && LtQ[m, -1] && (LtQ[n, 0] || IntegerQ[m]) &&  !(ILtQ[n, -1] && ( !IntegerQ[m] || (EqQ[c, 0] &&
      NeQ[a, 0])))

4053. Int[((a_.) + (b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_)*((c_.) + (d_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_), x_Symbol] :> Si
      mp[b*(a + b*Tan[e + f*x])^(m - 1)*((c + d*Tan[e + f*x])^n/(f*(m + n - 1))), x] + Simp[1/(m + n - 1)   Int[(a +
      b*Tan[e + f*x])^(m - 2)*(c + d*Tan[e + f*x])^(n - 1)*Simp[a^2*c*(m + n - 1) - b*(b*c*(m - 1) + a*d*n) + (2*a*
      b*c + a^2*d - b^2*d)*(m + n - 1)*Tan[e + f*x] + b*(b*c*n + a*d*(2*m + n - 2))*Tan[e + f*x]^2, x], x], x] /; Fr
      eeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && NeQ[a^2 + b^2, 0] && NeQ[c^2 + d^2, 0] && GtQ[m, 1] && GtQ[
      n, 0] && IntegerQ[2*n]

4054. Int[1/(((a_) + (b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])*((c_.) + (d_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])), x_Symbol] :> Simp[(a*c
      - b*d)*(x/((a^2 + b^2)*(c^2 + d^2))), x] + (Simp[b^2/((b*c - a*d)*(a^2 + b^2))   Int[(b - a*Tan[e + f*x])/(a
      + b*Tan[e + f*x]), x], x] - Simp[d^2/((b*c - a*d)*(c^2 + d^2))   Int[(d - c*Tan[e + f*x])/(c + d*Tan[e + f*x])
      , x], x]) /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && NeQ[a^2 + b^2, 0] && NeQ[c^2 + d^2, 0]

4055. Int[Sqrt[(a_.) + (b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)]]/((c_.) + (d_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)]), x_Symbol] :> Simp[1/(
      c^2 + d^2)   Int[Simp[a*c + b*d + (b*c - a*d)*Tan[e + f*x], x]/Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]], x], x] - Simp[d*((b*c
      - a*d)/(c^2 + d^2))   Int[(1 + Tan[e + f*x]^2)/(Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]]*(c + d*Tan[e + f*x])), x], x] /; Fre
      eQ[{a, b, c, d}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && NeQ[a^2 + b^2, 0] && NeQ[c^2 + d^2, 0]

4056. Int[((a_.) + (b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(3/2)/((c_.) + (d_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)]), x_Symbol] :> Simp[1
      /(c^2 + d^2)   Int[Simp[a^2*c - b^2*c + 2*a*b*d + (2*a*b*c - a^2*d + b^2*d)*Tan[e + f*x], x]/Sqrt[a + b*Tan[e
      + f*x]], x], x] + Simp[(b*c - a*d)^2/(c^2 + d^2)   Int[(1 + Tan[e + f*x]^2)/(Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]]*(c + d*T
      an[e + f*x])), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && NeQ[a^2 + b^2, 0] && NeQ[c^2 + d
      ^2, 0]

4057. Int[((a_.) + (b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_)/((c_.) + (d_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)]), x_Symbol] :> Simp[1/
      (c^2 + d^2)   Int[(a + b*Tan[e + f*x])^m*(c - d*Tan[e + f*x]), x], x] + Simp[d^2/(c^2 + d^2)   Int[(a + b*Tan[
      e + f*x])^m*((1 + Tan[e + f*x]^2)/(c + d*Tan[e + f*x])), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m}, x] && NeQ[b*c
      - a*d, 0] && NeQ[a^2 + b^2, 0] && NeQ[c^2 + d^2, 0] &&  !IntegerQ[m]

4058. Int[((a_.) + (b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_)*((c_) + (d_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_), x_Symbol] :> Wit
      h[{ff = FreeFactors[Tan[e + f*x], x]}, Simp[ff/f   Subst[Int[(a + b*ff*x)^m*((c + d*ff*x)^n/(1 + ff^2*x^2)), x
      ], x, Tan[e + f*x]/ff], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m, n}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && NeQ[a^2 + b^2, 0] &&
      NeQ[c^2 + d^2, 0]

4059. Int[((d_.)/tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_)*((a_.) + (b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_.), x_Symbol] :> Simp[d^m
      Int[(b + a*Cot[e + f*x])^m*(d*Cot[e + f*x])^(n - m), x], x] /; FreeQ[{a, b, d, e, f, n}, x] &&  !IntegerQ[n]
      && IntegerQ[m]

4060. Int[((a_.) + cot[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.))^(m_.)*((d_.)/cot[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_), x_Symbol] :> Simp[d^m
      Int[(b + a*Tan[e + f*x])^m*(d*Tan[e + f*x])^(n - m), x], x] /; FreeQ[{a, b, d, e, f, n}, x] &&  !IntegerQ[n]
      && IntegerQ[m]

4061. Int[((c_.)*((d_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(p_))^(n_)*((a_.) + (b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_.), x_Symbol]
      :> Simp[c^IntPart[n]*((c*(d*Tan[e + f*x])^p)^FracPart[n]/(d*Tan[e + f*x])^(p*FracPart[n]))   Int[(a + b*Tan[e
      + f*x])^m*(d*Tan[e + f*x])^(n*p), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m, n, p}, x] &&  !IntegerQ[n] &&  !Integ
      erQ[m]

4062. Int[((a_.) + cot[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.))^(m_.)*((c_.)*(cot[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(d_.))^(p_))^(n_), x_Symbol]
      :> Simp[c^IntPart[n]*((c*(d*Cot[e + f*x])^p)^FracPart[n]/(d*Cot[e + f*x])^(p*FracPart[n]))   Int[(a + b*Cot[e
      + f*x])^m*(d*Cot[e + f*x])^(n*p), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m, n, p}, x] &&  !IntegerQ[n] &&  !Integ
      erQ[m]

4063. Int[((g_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(p_.)*((a_) + (b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_)*((c_) + (d_.)*tan[(e_.)
      + (f_.)*(x_)])^(n_), x_Symbol] :> Unintegrable[(g*Tan[e + f*x])^p*(a + b*Tan[e + f*x])^m*(c + d*Tan[e + f*x])^
      n, x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, m, n, p}, x]

4064. Int[(cot[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(g_.))^(p_)*((a_.) + (b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_.)*((c_) + (d_.)*tan[(e_.)
      + (f_.)*(x_)])^(n_.), x_Symbol] :> Simp[g^(m + n)   Int[(g*Cot[e + f*x])^(p - m - n)*(b + a*Cot[e + f*x])^m*(
      d + c*Cot[e + f*x])^n, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, p}, x] &&  !IntegerQ[p] && IntegerQ[m] && Integer
      Q[n]

4065. Int[((a_.) + cot[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.))^(m_.)*(cot[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(d_.) + (c_))^(n_.)*((g_.)*tan[(e_.
      ) + (f_.)*(x_)])^(p_), x_Symbol] :> Simp[g^(m + n)   Int[(g*Tan[e + f*x])^(p - m - n)*(b + a*Tan[e + f*x])^m*(
      d + c*Tan[e + f*x])^n, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, p}, x] &&  !IntegerQ[p] && IntegerQ[m] && Integer
      Q[n]

4066. Int[((g_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)]^(q_))^(p_)*((a_.) + (b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_.)*((c_) + (d_.)*tan[
      (e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_.), x_Symbol] :> Simp[(g*Tan[e + f*x]^q)^p/(g*Tan[e + f*x])^(p*q)   Int[(g*Tan[e + f*x
      ])^(p*q)*(a + b*Tan[e + f*x])^m*(c + d*Tan[e + f*x])^n, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, m, n, p, q}, x]
      &&  !IntegerQ[p] &&  !(IntegerQ[m] && IntegerQ[n])

4067. Int[(cot[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(d_.) + (c_))^(n_.)*((g_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(p_.)*((a_) + (b_.)*tan[(e_.)
      + (f_.)*(x_)])^(m_.), x_Symbol] :> Simp[g^n   Int[(g*Tan[e + f*x])^(p - n)*(a + b*Tan[e + f*x])^m*(d + c*Tan[
      e + f*x])^n, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, m, p}, x] && IntegerQ[n]

4068. Int[(cot[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(d_.) + (c_))^(n_)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)]^(p_.)*((a_) + (b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*
      (x_)])^(m_.), x_Symbol] :> Int[(b + a*Cot[e + f*x])^m*((c + d*Cot[e + f*x])^n/Cot[e + f*x]^(m + p)), x] /; Fre
      eQ[{a, b, c, d, e, f, n}, x] &&  !IntegerQ[n] && IntegerQ[m] && IntegerQ[p]

4069. Int[(cot[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(d_.) + (c_))^(n_)*((g_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(p_)*((a_) + (b_.)*tan[(e_.) +
      (f_.)*(x_)])^(m_.), x_Symbol] :> Simp[Cot[e + f*x]^p*(g*Tan[e + f*x])^p   Int[(b + a*Cot[e + f*x])^m*((c + d*
      Cot[e + f*x])^n/Cot[e + f*x]^(m + p)), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, n, p}, x] &&  !IntegerQ[n] && Int
      egerQ[m] &&  !IntegerQ[p]

4070. Int[(cot[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(d_.) + (c_))^(n_)*((g_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(p_.)*((a_) + (b_.)*tan[(e_.)
      + (f_.)*(x_)])^(m_), x_Symbol] :> Simp[(g*Tan[e + f*x])^n*((c + d*Cot[e + f*x])^n/(d + c*Tan[e + f*x])^n)   In
      t[(g*Tan[e + f*x])^(p - n)*(a + b*Tan[e + f*x])^m*(d + c*Tan[e + f*x])^n, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g
      , m, n, p}, x] &&  !IntegerQ[n] &&  !IntegerQ[m]

4071. Int[((a_) + (b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_.)*((A_.) + (B_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])*((c_) + (d_.)*tan[(e_
      .) + (f_.)*(x_)])^(n_.), x_Symbol] :> Simp[a*(c/f)   Subst[Int[(a + b*x)^(m - 1)*(c + d*x)^(n - 1)*(A + B*x),
      x], x, Tan[e + f*x]], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, A, B, m, n}, x] && EqQ[b*c + a*d, 0] && EqQ[a^2 + b^2, 0]

4072. Int[(((A_.) + (B_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])*((c_.) + (d_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)]))/((a_.) + (b_.)*tan[(e_.)
      + (f_.)*(x_)]), x_Symbol] :> Simp[B*(d/b)   Int[Tan[e + f*x], x], x] + Simp[1/b   Int[Simp[A*b*c + (A*b*d + B
      *(b*c - a*d))*Tan[e + f*x], x]/(a + b*Tan[e + f*x]), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, A, B}, x] && NeQ[b*c -
      a*d, 0]

4073. Int[((a_) + (b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_)*((A_.) + (B_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])*((c_.) + (d_.)*tan[(e_
      .) + (f_.)*(x_)]), x_Symbol] :> Simp[(-(A*b - a*B))*(a*c + b*d)*((a + b*Tan[e + f*x])^m/(2*a^2*f*m)), x] + Sim
      p[1/(2*a*b)   Int[(a + b*Tan[e + f*x])^(m + 1)*Simp[A*b*c + a*B*c + a*A*d + b*B*d + 2*a*B*d*Tan[e + f*x], x],
      x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, A, B}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && LtQ[m, -1] && EqQ[a^2 + b^2, 0]

4074. Int[((a_.) + (b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_)*((A_.) + (B_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])*((c_.) + (d_.)*tan[(e
      _.) + (f_.)*(x_)]), x_Symbol] :> Simp[(b*c - a*d)*(A*b - a*B)*((a + b*Tan[e + f*x])^(m + 1)/(b*f*(m + 1)*(a^2
      + b^2))), x] + Simp[1/(a^2 + b^2)   Int[(a + b*Tan[e + f*x])^(m + 1)*Simp[a*A*c + b*B*c + A*b*d - a*B*d - (A*b
      *c - a*B*c - a*A*d - b*B*d)*Tan[e + f*x], x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, A, B}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0
      ] && LtQ[m, -1] && NeQ[a^2 + b^2, 0]

4075. Int[((a_.) + (b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_.)*((A_.) + (B_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])*((c_.) + (d_.)*tan[(
      e_.) + (f_.)*(x_)]), x_Symbol] :> Simp[B*d*((a + b*Tan[e + f*x])^(m + 1)/(b*f*(m + 1))), x] + Int[(a + b*Tan[e
      + f*x])^m*Simp[A*c - B*d + (B*c + A*d)*Tan[e + f*x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, A, B, m}, x] && NeQ[b
      *c - a*d, 0] &&  !LeQ[m, -1]

4076. Int[((a_) + (b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_)*((A_.) + (B_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])*((c_.) + (d_.)*tan[(e_
      .) + (f_.)*(x_)])^(n_), x_Symbol] :> Simp[(-a^2)*(B*c - A*d)*(a + b*Tan[e + f*x])^(m - 1)*((c + d*Tan[e + f*x]
      )^(n + 1)/(d*f*(b*c + a*d)*(n + 1))), x] - Simp[a/(d*(b*c + a*d)*(n + 1))   Int[(a + b*Tan[e + f*x])^(m - 1)*(
      c + d*Tan[e + f*x])^(n + 1)*Simp[A*b*d*(m - n - 2) - B*(b*c*(m - 1) + a*d*(n + 1)) + (a*A*d*(m + n) - B*(a*c*(
      m - 1) + b*d*(n + 1)))*Tan[e + f*x], x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, A, B}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] &&
      EqQ[a^2 + b^2, 0] && GtQ[m, 1] && LtQ[n, -1]

4077. Int[((a_) + (b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_)*((A_.) + (B_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])*((c_.) + (d_.)*tan[(e_
      .) + (f_.)*(x_)])^(n_), x_Symbol] :> Simp[b*B*(a + b*Tan[e + f*x])^(m - 1)*((c + d*Tan[e + f*x])^(n + 1)/(d*f*
      (m + n))), x] + Simp[1/(d*(m + n))   Int[(a + b*Tan[e + f*x])^(m - 1)*(c + d*Tan[e + f*x])^n*Simp[a*A*d*(m + n
      ) + B*(a*c*(m - 1) - b*d*(n + 1)) - (B*(b*c - a*d)*(m - 1) - d*(A*b + a*B)*(m + n))*Tan[e + f*x], x], x], x] /
      ; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, A, B, n}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && EqQ[a^2 + b^2, 0] && GtQ[m, 1] &&  !LtQ[n, -1]

4078. Int[((a_) + (b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_)*((A_.) + (B_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])*((c_.) + (d_.)*tan[(e_
      .) + (f_.)*(x_)])^(n_), x_Symbol] :> Simp[(-(A*b - a*B))*(a + b*Tan[e + f*x])^m*((c + d*Tan[e + f*x])^n/(2*a*f
      *m)), x] + Simp[1/(2*a^2*m)   Int[(a + b*Tan[e + f*x])^(m + 1)*(c + d*Tan[e + f*x])^(n - 1)*Simp[A*(a*c*m + b*
      d*n) - B*(b*c*m + a*d*n) - d*(b*B*(m - n) - a*A*(m + n))*Tan[e + f*x], x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f,
      A, B}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && EqQ[a^2 + b^2, 0] && LtQ[m, 0] && GtQ[n, 0]

4079. Int[((a_) + (b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_)*((A_.) + (B_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])*((c_.) + (d_.)*tan[(e_
      .) + (f_.)*(x_)])^(n_), x_Symbol] :> Simp[(a*A + b*B)*(a + b*Tan[e + f*x])^m*((c + d*Tan[e + f*x])^(n + 1)/(2*
      f*m*(b*c - a*d))), x] + Simp[1/(2*a*m*(b*c - a*d))   Int[(a + b*Tan[e + f*x])^(m + 1)*(c + d*Tan[e + f*x])^n*S
      imp[A*(b*c*m - a*d*(2*m + n + 1)) + B*(a*c*m - b*d*(n + 1)) + d*(A*b - a*B)*(m + n + 1)*Tan[e + f*x], x], x],
      x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, A, B, n}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && EqQ[a^2 + b^2, 0] && LtQ[m, 0] &&  !GtQ[n,
      0]

4080. Int[((a_) + (b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_)*((A_.) + (B_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])*((c_.) + (d_.)*tan[(e_
      .) + (f_.)*(x_)])^(n_), x_Symbol] :> Simp[B*(a + b*Tan[e + f*x])^m*((c + d*Tan[e + f*x])^n/(f*(m + n))), x] +
      Simp[1/(a*(m + n))   Int[(a + b*Tan[e + f*x])^m*(c + d*Tan[e + f*x])^(n - 1)*Simp[a*A*c*(m + n) - B*(b*c*m + a
      *d*n) + (a*A*d*(m + n) - B*(b*d*m - a*c*n))*Tan[e + f*x], x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, A, B, m}, x]
      && NeQ[b*c - a*d, 0] && EqQ[a^2 + b^2, 0] && GtQ[n, 0]

4081. Int[((a_) + (b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_)*((A_.) + (B_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])*((c_.) + (d_.)*tan[(e_
      .) + (f_.)*(x_)])^(n_), x_Symbol] :> Simp[(A*d - B*c)*(a + b*Tan[e + f*x])^m*((c + d*Tan[e + f*x])^(n + 1)/(f*
      (n + 1)*(c^2 + d^2))), x] - Simp[1/(a*(n + 1)*(c^2 + d^2))   Int[(a + b*Tan[e + f*x])^m*(c + d*Tan[e + f*x])^(
      n + 1)*Simp[A*(b*d*m - a*c*(n + 1)) - B*(b*c*m + a*d*(n + 1)) - a*(B*c - A*d)*(m + n + 1)*Tan[e + f*x], x], x]
      , x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, A, B, m}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && EqQ[a^2 + b^2, 0] && LtQ[n, -1]

4082. Int[((a_) + (b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_)*((A_.) + (B_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])*((c_.) + (d_.)*tan[(e_
      .) + (f_.)*(x_)])^(n_), x_Symbol] :> Simp[b*(B/f)   Subst[Int[(a + b*x)^(m - 1)*(c + d*x)^n, x], x, Tan[e + f*
      x]], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, A, B, m, n}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && EqQ[a^2 + b^2, 0] && EqQ[A*b + a*B
      , 0]

4083. Int[(((a_) + (b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_)*((A_.) + (B_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)]))/((c_.) + (d_.)*tan[(
      e_.) + (f_.)*(x_)]), x_Symbol] :> Simp[(A*b + a*B)/(b*c + a*d)   Int[(a + b*Tan[e + f*x])^m, x], x] - Simp[(B*
      c - A*d)/(b*c + a*d)   Int[(a + b*Tan[e + f*x])^m*((a - b*Tan[e + f*x])/(c + d*Tan[e + f*x])), x], x] /; FreeQ
      [{a, b, c, d, e, f, A, B, m}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && EqQ[a^2 + b^2, 0] && NeQ[A*b + a*B, 0]

4084. Int[((a_) + (b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_)*((A_.) + (B_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])*((c_.) + (d_.)*tan[(e_
      .) + (f_.)*(x_)])^(n_), x_Symbol] :> Simp[(A*b + a*B)/b   Int[(a + b*Tan[e + f*x])^m*(c + d*Tan[e + f*x])^n, x
      ], x] - Simp[B/b   Int[(a + b*Tan[e + f*x])^m*(c + d*Tan[e + f*x])^n*(a - b*Tan[e + f*x]), x], x] /; FreeQ[{a,
      b, c, d, e, f, A, B, m, n}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && EqQ[a^2 + b^2, 0] && NeQ[A*b + a*B, 0]

4085. Int[((a_.) + (b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_)*((A_) + (B_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])*((c_.) + (d_.)*tan[(e_
      .) + (f_.)*(x_)])^(n_), x_Symbol] :> Simp[A^2/f   Subst[Int[(a + b*x)^m*((c + d*x)^n/(A - B*x)), x], x, Tan[e
      + f*x]], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, A, B, m, n}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && NeQ[a^2 + b^2, 0] &&  !Integer
      Q[m] &&  !IntegerQ[n] &&  !IntegersQ[2*m, 2*n] && EqQ[A^2 + B^2, 0]

4086. Int[((a_.) + (b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_)*((A_.) + (B_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])*((c_.) + (d_.)*tan[(e
      _.) + (f_.)*(x_)])^(n_), x_Symbol] :> Simp[(A + I*B)/2   Int[(a + b*Tan[e + f*x])^m*(c + d*Tan[e + f*x])^n*(1
      - I*Tan[e + f*x]), x], x] + Simp[(A - I*B)/2   Int[(a + b*Tan[e + f*x])^m*(c + d*Tan[e + f*x])^n*(1 + I*Tan[e
      + f*x]), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, A, B, m, n}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && NeQ[a^2 + b^2, 0] &&  !Int
      egerQ[m] &&  !IntegerQ[n] &&  !IntegersQ[2*m, 2*n] && NeQ[A^2 + B^2, 0]

4087. Int[((a_.) + (b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^2*((A_.) + (B_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])*((c_.) + (d_.)*tan[(e_.)
      + (f_.)*(x_)])^(n_), x_Symbol] :> Simp[(-(B*c - A*d))*(b*c - a*d)^2*((c + d*Tan[e + f*x])^(n + 1)/(f*d^2*(n +
      1)*(c^2 + d^2))), x] + Simp[1/(d*(c^2 + d^2))   Int[(c + d*Tan[e + f*x])^(n + 1)*Simp[B*(b*c - a*d)^2 + A*d*(
      a^2*c - b^2*c + 2*a*b*d) + d*(B*(a^2*c - b^2*c + 2*a*b*d) + A*(2*a*b*c - a^2*d + b^2*d))*Tan[e + f*x] + b^2*B*
      (c^2 + d^2)*Tan[e + f*x]^2, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, A, B}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && NeQ[a^2 +
      b^2, 0] && NeQ[c^2 + d^2, 0] && LtQ[n, -1]

4088. Int[((a_.) + (b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_)*((A_.) + (B_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])*((c_.) + (d_.)*tan[(e
      _.) + (f_.)*(x_)])^(n_), x_Symbol] :> Simp[(b*c - a*d)*(B*c - A*d)*(a + b*Tan[e + f*x])^(m - 1)*((c + d*Tan[e
      + f*x])^(n + 1)/(d*f*(n + 1)*(c^2 + d^2))), x] - Simp[1/(d*(n + 1)*(c^2 + d^2))   Int[(a + b*Tan[e + f*x])^(m
      - 2)*(c + d*Tan[e + f*x])^(n + 1)*Simp[a*A*d*(b*d*(m - 1) - a*c*(n + 1)) + (b*B*c - (A*b + a*B)*d)*(b*c*(m - 1
      ) + a*d*(n + 1)) - d*((a*A - b*B)*(b*c - a*d) + (A*b + a*B)*(a*c + b*d))*(n + 1)*Tan[e + f*x] - b*(d*(A*b*c +
      a*B*c - a*A*d)*(m + n) - b*B*(c^2*(m - 1) - d^2*(n + 1)))*Tan[e + f*x]^2, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e,
      f, A, B}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && NeQ[a^2 + b^2, 0] && NeQ[c^2 + d^2, 0] && GtQ[m, 1] && LtQ[n, -1] && (Int
      egerQ[m] || IntegersQ[2*m, 2*n])

4089. Int[(((a_.) + (b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^2*((A_.) + (B_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)]))/((c_.) + (d_.)*tan[(e_
      .) + (f_.)*(x_)]), x_Symbol] :> Simp[b^2*B*(Tan[e + f*x]/(d*f)), x] + Simp[1/d   Int[(a^2*A*d - b^2*B*c + (2*a
      *A*b + B*(a^2 - b^2))*d*Tan[e + f*x] + (A*b^2*d - b*B*(b*c - 2*a*d))*Tan[e + f*x]^2)/(c + d*Tan[e + f*x]), x],
      x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, A, B}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && NeQ[a^2 + b^2, 0] && NeQ[c^2 + d^2, 0]

4090. Int[((a_.) + (b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_)*((A_.) + (B_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])*((c_.) + (d_.)*tan[(e
      _.) + (f_.)*(x_)])^(n_), x_Symbol] :> Simp[b*B*(a + b*Tan[e + f*x])^(m - 1)*((c + d*Tan[e + f*x])^(n + 1)/(d*f
      *(m + n))), x] + Simp[1/(d*(m + n))   Int[(a + b*Tan[e + f*x])^(m - 2)*(c + d*Tan[e + f*x])^n*Simp[a^2*A*d*(m
      + n) - b*B*(b*c*(m - 1) + a*d*(n + 1)) + d*(m + n)*(2*a*A*b + B*(a^2 - b^2))*Tan[e + f*x] - (b*B*(b*c - a*d)*(
      m - 1) - b*(A*b + a*B)*d*(m + n))*Tan[e + f*x]^2, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, A, B, n}, x] && NeQ[b
      *c - a*d, 0] && NeQ[a^2 + b^2, 0] && NeQ[c^2 + d^2, 0] && GtQ[m, 1] && (IntegerQ[m] || IntegersQ[2*m, 2*n]) &&
      !(IGtQ[n, 1] && ( !IntegerQ[m] || (EqQ[c, 0] && NeQ[a, 0])))

4091. Int[((a_.) + (b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_)*((A_.) + (B_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])*((c_.) + (d_.)*tan[(e
      _.) + (f_.)*(x_)])^(n_), x_Symbol] :> Simp[(A*b - a*B)*(a + b*Tan[e + f*x])^(m + 1)*((c + d*Tan[e + f*x])^n/(f
      *(m + 1)*(a^2 + b^2))), x] + Simp[1/(b*(m + 1)*(a^2 + b^2))   Int[(a + b*Tan[e + f*x])^(m + 1)*(c + d*Tan[e +
      f*x])^(n - 1)*Simp[b*B*(b*c*(m + 1) + a*d*n) + A*b*(a*c*(m + 1) - b*d*n) - b*(A*(b*c - a*d) - B*(a*c + b*d))*(
      m + 1)*Tan[e + f*x] - b*d*(A*b - a*B)*(m + n + 1)*Tan[e + f*x]^2, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, A, B}
      , x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && NeQ[a^2 + b^2, 0] && NeQ[c^2 + d^2, 0] && LtQ[m, -1] && LtQ[0, n, 1] && (IntegerQ
      [m] || IntegersQ[2*m, 2*n])

4092. Int[((a_.) + (b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_)*((A_.) + (B_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])*((c_.) + (d_.)*tan[(e
      _.) + (f_.)*(x_)])^(n_), x_Symbol] :> Simp[b*(A*b - a*B)*(a + b*Tan[e + f*x])^(m + 1)*((c + d*Tan[e + f*x])^(n
      + 1)/(f*(m + 1)*(b*c - a*d)*(a^2 + b^2))), x] + Simp[1/((m + 1)*(b*c - a*d)*(a^2 + b^2))   Int[(a + b*Tan[e +
      f*x])^(m + 1)*(c + d*Tan[e + f*x])^n*Simp[b*B*(b*c*(m + 1) + a*d*(n + 1)) + A*(a*(b*c - a*d)*(m + 1) - b^2*d*
      (m + n + 2)) - (A*b - a*B)*(b*c - a*d)*(m + 1)*Tan[e + f*x] - b*d*(A*b - a*B)*(m + n + 2)*Tan[e + f*x]^2, x],
      x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, A, B, n}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && NeQ[a^2 + b^2, 0] && NeQ[c^2 + d^2, 0]
      && LtQ[m, -1] && (IntegerQ[m] || IntegersQ[2*m, 2*n]) &&  !(ILtQ[n, -1] && ( !IntegerQ[m] || (EqQ[c, 0] && Ne
      Q[a, 0])))

4093. Int[((a_.) + (b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_)*((A_.) + (B_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])*((c_.) + (d_.)*tan[(e
      _.) + (f_.)*(x_)])^(n_), x_Symbol] :> Simp[B*(a + b*Tan[e + f*x])^m*((c + d*Tan[e + f*x])^n/(f*(m + n))), x] +
      Simp[1/(m + n)   Int[(a + b*Tan[e + f*x])^(m - 1)*(c + d*Tan[e + f*x])^(n - 1)*Simp[a*A*c*(m + n) - B*(b*c*m
      + a*d*n) + (A*b*c + a*B*c + a*A*d - b*B*d)*(m + n)*Tan[e + f*x] + (A*b*d*(m + n) + B*(a*d*m + b*c*n))*Tan[e +
      f*x]^2, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, A, B}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && NeQ[a^2 + b^2, 0] && NeQ[c^2
      + d^2, 0] && LtQ[0, m, 1] && LtQ[0, n, 1]

4094. Int[((A_.) + (B_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])/(((a_) + (b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])*((c_.) + (d_.)*tan[(e_.) +
      (f_.)*(x_)])), x_Symbol] :> Simp[(B*(b*c + a*d) + A*(a*c - b*d))*(x/((a^2 + b^2)*(c^2 + d^2))), x] + (Simp[b*
      ((A*b - a*B)/((b*c - a*d)*(a^2 + b^2)))   Int[(b - a*Tan[e + f*x])/(a + b*Tan[e + f*x]), x], x] + Simp[d*((B*c
      - A*d)/((b*c - a*d)*(c^2 + d^2)))   Int[(d - c*Tan[e + f*x])/(c + d*Tan[e + f*x]), x], x]) /; FreeQ[{a, b, c,
      d, e, f, A, B}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && NeQ[a^2 + b^2, 0] && NeQ[c^2 + d^2, 0]

4095. Int[(((A_.) + (B_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])*Sqrt[(c_.) + (d_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)]])/((a_.) + (b_.)*tan[(
      e_.) + (f_.)*(x_)]), x_Symbol] :> Simp[1/(a^2 + b^2)   Int[Simp[A*(a*c + b*d) + B*(b*c - a*d) - (A*(b*c - a*d)
      - B*(a*c + b*d))*Tan[e + f*x], x]/Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]], x], x] - Simp[(b*c - a*d)*((B*a - A*b)/(a^2 + b^2
      ))   Int[(1 + Tan[e + f*x]^2)/((a + b*Tan[e + f*x])*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]]), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e,
      f, A, B}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && NeQ[a^2 + b^2, 0] && NeQ[c^2 + d^2, 0]

4096. Int[(((A_.) + (B_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])*((c_.) + (d_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_))/((a_.) + (b_.)*tan[
      (e_.) + (f_.)*(x_)]), x_Symbol] :> Simp[1/(a^2 + b^2)   Int[(c + d*Tan[e + f*x])^n*Simp[a*A + b*B - (A*b - a*B
      )*Tan[e + f*x], x], x], x] + Simp[b*((A*b - a*B)/(a^2 + b^2))   Int[(c + d*Tan[e + f*x])^n*((1 + Tan[e + f*x]^
      2)/(a + b*Tan[e + f*x])), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, A, B, n}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && NeQ[a^2 + b^
      2, 0] && NeQ[c^2 + d^2, 0]

4097. Int[(Sqrt[(a_.) + (b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)]]*((A_.) + (B_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)]))/Sqrt[(c_.) + (d_.)*t
      an[(e_.) + (f_.)*(x_)]], x_Symbol] :> Int[Simp[a*A - b*B + (A*b + a*B)*Tan[e + f*x], x]/(Sqrt[a + b*Tan[e + f*
      x]]*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]]), x] + Simp[b*B   Int[(1 + Tan[e + f*x]^2)/(Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]]*Sqrt[c + d*T
      an[e + f*x]]), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, A, B}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && NeQ[a^2 + b^2, 0] && NeQ[c
      ^2 + d^2, 0]

4098. Int[((a_.) + (b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_)*((A_.) + (B_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])*((c_.) + (d_.)*tan[(e
      _.) + (f_.)*(x_)])^(n_), x_Symbol] :> Simp[A^2/f   Subst[Int[(a + b*x)^m*((c + d*x)^n/(A - B*x)), x], x, Tan[e
      + f*x]], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, A, B, m, n}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && NeQ[a^2 + b^2, 0] && EqQ[A^2
      + B^2, 0]

4099. Int[((a_.) + (b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_)*((A_.) + (B_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])*((c_.) + (d_.)*tan[(e
      _.) + (f_.)*(x_)])^(n_), x_Symbol] :> Simp[(A + I*B)/2   Int[(a + b*Tan[e + f*x])^m*(c + d*Tan[e + f*x])^n*(1
      - I*Tan[e + f*x]), x], x] + Simp[(A - I*B)/2   Int[(a + b*Tan[e + f*x])^m*(c + d*Tan[e + f*x])^n*(1 + I*Tan[e
      + f*x]), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, A, B, m, n}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && NeQ[a^2 + b^2, 0] && NeQ[A
      ^2 + B^2, 0]

4100. Int[((a_.) + (b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_.)*((A_) + (C_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2), x_Symbol] :> Simp[
      A/(b*f)   Subst[Int[(a + x)^m, x], x, b*Tan[e + f*x]], x] /; FreeQ[{a, b, e, f, A, C, m}, x] && EqQ[A, C]

4101. Int[((a_.) + cot[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.))^(m_.)*(cot[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2*(C_.) + (A_)), x_Symbol] :> Simp[
      -A/(b*f)   Subst[Int[(a + x)^m, x], x, b*Cot[e + f*x]], x] /; FreeQ[{a, b, e, f, A, C, m}, x] && EqQ[A, C]

4102. Int[((a_.) + (b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_.)*((A_.) + (B_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)] + (C_.)*tan[(e_.) + (
      f_.)*(x_)]^2), x_Symbol] :> Simp[1/b^2   Int[(a + b*Tan[e + f*x])^(m + 1)*Simp[b*B - a*C + b*C*Tan[e + f*x], x
      ], x], x] /; FreeQ[{a, b, e, f, A, B, C, m}, x] && EqQ[A*b^2 - a*b*B + a^2*C, 0]

4103. Int[((a_.) + (b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_.)*((A_.) + (C_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2), x_Symbol] :> Simp
      [-C/b^2   Int[(a + b*Tan[e + f*x])^(m + 1)*(a - b*Tan[e + f*x]), x], x] /; FreeQ[{a, b, e, f, A, C, m}, x] &&
      EqQ[A*b^2 + a^2*C, 0]

4104. Int[((a_.) + (b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_.)*((A_.) + (B_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)] + (C_.)*tan[(e_.) + (
      f_.)*(x_)]^2), x_Symbol] :> Simp[(-(a*A + b*B - a*C))*Tan[e + f*x]*((a + b*Tan[e + f*x])^m/(2*a*f*m)), x] + Si
      mp[1/(2*a^2*m)   Int[(a + b*Tan[e + f*x])^(m + 1)*Simp[(b*B - a*C) + a*A*(2*m + 1) - (b*C*(m - 1) + (A*b - a*B
      )*(m + 1))*Tan[e + f*x], x], x], x] /; FreeQ[{a, b, e, f, A, B, C}, x] && NeQ[A*b^2 - a*b*B + a^2*C, 0] && LeQ
      [m, -1] && EqQ[a^2 + b^2, 0]

4105. Int[((a_.) + (b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_.)*((A_.) + (C_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2), x_Symbol] :> Simp
      [(-(a*A - a*C))*Tan[e + f*x]*((a + b*Tan[e + f*x])^m/(2*a*f*m)), x] + Simp[1/(2*a^2*m)   Int[(a + b*Tan[e + f*
      x])^(m + 1)*Simp[(-a)*C + a*A*(2*m + 1) - (b*C*(m - 1) + A*b*(m + 1))*Tan[e + f*x], x], x], x] /; FreeQ[{a, b,
      e, f, A, C}, x] && NeQ[A*b^2 + a^2*C, 0] && LeQ[m, -1] && EqQ[a^2 + b^2, 0]

4106. Int[((A_) + (B_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)] + (C_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2)/((a_.) + (b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*
      (x_)]), x_Symbol] :> Simp[(a*A + b*B - a*C)*(x/(a^2 + b^2)), x] + Simp[(A*b^2 - a*b*B + a^2*C)/(a^2 + b^2)   I
      nt[(1 + Tan[e + f*x]^2)/(a + b*Tan[e + f*x]), x], x] /; FreeQ[{a, b, e, f, A, B, C}, x] && NeQ[a^2 + b^2, 0] &
      & EqQ[A*b - a*B - b*C, 0]

4107. Int[((A_) + (B_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)] + (C_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2)/tan[(e_.) + (f_.)*(x_)], x_Symbol
      ] :> Simp[B*x, x] + (Simp[A   Int[1/Tan[e + f*x], x], x] + Simp[C   Int[Tan[e + f*x], x], x]) /; FreeQ[{e, f,
      A, B, C}, x] && NeQ[A, C]

4108. Int[((A_) + (C_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2)/tan[(e_.) + (f_.)*(x_)], x_Symbol] :> Simp[A   Int[1/Tan[e + f*x]
      , x], x] + Simp[C   Int[Tan[e + f*x], x], x] /; FreeQ[{e, f, A, C}, x] && NeQ[A, C]

4109. Int[((A_) + (B_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)] + (C_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2)/((a_.) + (b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*
      (x_)]), x_Symbol] :> Simp[(a*A + b*B - a*C)*(x/(a^2 + b^2)), x] + (Simp[(A*b^2 - a*b*B + a^2*C)/(a^2 + b^2)
      Int[(1 + Tan[e + f*x]^2)/(a + b*Tan[e + f*x]), x], x] - Simp[(A*b - a*B - b*C)/(a^2 + b^2)   Int[Tan[e + f*x],
      x], x]) /; FreeQ[{a, b, e, f, A, B, C}, x] && NeQ[A*b^2 - a*b*B + a^2*C, 0] && NeQ[a^2 + b^2, 0] && NeQ[A*b -
      a*B - b*C, 0]

4110. Int[((A_) + (C_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2)/((a_) + (b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)]), x_Symbol] :> Simp[a*(A -
      C)*(x/(a^2 + b^2)), x] + (Simp[(a^2*C + A*b^2)/(a^2 + b^2)   Int[(1 + Tan[e + f*x]^2)/(a + b*Tan[e + f*x]), x]
      , x] - Simp[b*((A - C)/(a^2 + b^2))   Int[Tan[e + f*x], x], x]) /; FreeQ[{a, b, e, f, A, C}, x] && NeQ[a^2*C +
      A*b^2, 0] && NeQ[a^2 + b^2, 0] && NeQ[A, C]

4111. Int[((a_.) + (b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_)*((A_.) + (B_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)] + (C_.)*tan[(e_.) + (f
      _.)*(x_)]^2), x_Symbol] :> Simp[(A*b^2 - a*b*B + a^2*C)*((a + b*Tan[e + f*x])^(m + 1)/(b*f*(m + 1)*(a^2 + b^2)
      )), x] + Simp[1/(a^2 + b^2)   Int[(a + b*Tan[e + f*x])^(m + 1)*Simp[b*B + a*(A - C) - (A*b - a*B - b*C)*Tan[e
      + f*x], x], x], x] /; FreeQ[{a, b, e, f, A, B, C}, x] && NeQ[A*b^2 - a*b*B + a^2*C, 0] && LtQ[m, -1] && NeQ[a^
      2 + b^2, 0]

4112. Int[((a_.) + (b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_)*((A_.) + (C_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2), x_Symbol] :> Simp[
      (A*b^2 + a^2*C)*((a + b*Tan[e + f*x])^(m + 1)/(b*f*(m + 1)*(a^2 + b^2))), x] + Simp[1/(a^2 + b^2)   Int[(a + b
      *Tan[e + f*x])^(m + 1)*Simp[a*(A - C) - (A*b - b*C)*Tan[e + f*x], x], x], x] /; FreeQ[{a, b, e, f, A, C}, x] &
      & NeQ[A*b^2 + a^2*C, 0] && LtQ[m, -1] && NeQ[a^2 + b^2, 0]

4113. Int[((a_.) + (b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_.)*((A_.) + (B_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)] + (C_.)*tan[(e_.) + (
      f_.)*(x_)]^2), x_Symbol] :> Simp[C*((a + b*Tan[e + f*x])^(m + 1)/(b*f*(m + 1))), x] + Int[(a + b*Tan[e + f*x])
      ^m*Simp[A - C + B*Tan[e + f*x], x], x] /; FreeQ[{a, b, e, f, A, B, C, m}, x] && NeQ[A*b^2 - a*b*B + a^2*C, 0]
      &&  !LeQ[m, -1]

4114. Int[((a_.) + (b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_.)*((A_.) + (C_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2), x_Symbol] :> Simp
      [C*((a + b*Tan[e + f*x])^(m + 1)/(b*f*(m + 1))), x] + Simp[(A - C)   Int[(a + b*Tan[e + f*x])^m, x], x] /; Fre
      eQ[{a, b, e, f, A, C, m}, x] && NeQ[A*b^2 + a^2*C, 0] &&  !LeQ[m, -1]

4115. Int[((a_.) + (b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_.)*((c_.) + (d_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_.)*((A_.) + (B_.)
      *tan[(e_.) + (f_.)*(x_)] + (C_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2), x_Symbol] :> Simp[1/b^2   Int[(a + b*Tan[e + f*x]
      )^(m + 1)*(c + d*Tan[e + f*x])^n*(b*B - a*C + b*C*Tan[e + f*x]), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, A, B, C, m
      , n}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && EqQ[A*b^2 - a*b*B + a^2*C, 0]

4116. Int[((a_.) + (b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_.)*((c_.) + (d_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_.)*((A_.) + (C_.)
      *tan[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2), x_Symbol] :> Simp[-C/b^2   Int[(a + b*Tan[e + f*x])^(m + 1)*(c + d*Tan[e + f*x])^
      n*(a - b*Tan[e + f*x]), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, A, C, m, n}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && EqQ[A*b^2 +
      a^2*C, 0]

4117. Int[((a_.) + (b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_.)*((c_.) + (d_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_.)*((A_) + (C_.)*
      tan[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2), x_Symbol] :> Simp[A/f   Subst[Int[(a + b*x)^m*(c + d*x)^n, x], x, Tan[e + f*x]], x
      ] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, A, C, m, n}, x] && EqQ[A, C]

4118. Int[((a_.) + (b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])*((c_.) + (d_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_)*((A_.) + (B_.)*tan[(e
      _.) + (f_.)*(x_)] + (C_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2), x_Symbol] :> Simp[(-(b*c - a*d))*(c^2*C - B*c*d + A*d^2)
      *((c + d*Tan[e + f*x])^(n + 1)/(d^2*f*(n + 1)*(c^2 + d^2))), x] + Simp[1/(d*(c^2 + d^2))   Int[(c + d*Tan[e +
      f*x])^(n + 1)*Simp[a*d*(A*c - c*C + B*d) + b*(c^2*C - B*c*d + A*d^2) + d*(A*b*c + a*B*c - b*c*C - a*A*d + b*B*
      d + a*C*d)*Tan[e + f*x] + b*C*(c^2 + d^2)*Tan[e + f*x]^2, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, A, B, C}, x]
      && NeQ[b*c - a*d, 0] && NeQ[c^2 + d^2, 0] && LtQ[n, -1]

4119. Int[((a_.) + (b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])*((c_.) + (d_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_)*((A_.) + (C_.)*tan[(e
      _.) + (f_.)*(x_)]^2), x_Symbol] :> Simp[(-(b*c - a*d))*(c^2*C + A*d^2)*((c + d*Tan[e + f*x])^(n + 1)/(d^2*f*(n
      + 1)*(c^2 + d^2))), x] + Simp[1/(d*(c^2 + d^2))   Int[(c + d*Tan[e + f*x])^(n + 1)*Simp[a*d*(A*c - c*C) + b*(
      c^2*C + A*d^2) + d*(A*b*c - b*c*C - a*A*d + a*C*d)*Tan[e + f*x] + b*C*(c^2 + d^2)*Tan[e + f*x]^2, x], x], x] /
      ; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, A, C}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && NeQ[c^2 + d^2, 0] && LtQ[n, -1]

4120. Int[((a_) + (b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])*((c_.) + (d_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_.)*((A_.) + (B_.)*tan[(e
      _.) + (f_.)*(x_)] + (C_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2), x_Symbol] :> Simp[b*C*Tan[e + f*x]*((c + d*Tan[e + f*x])
      ^(n + 1)/(d*f*(n + 2))), x] - Simp[1/(d*(n + 2))   Int[(c + d*Tan[e + f*x])^n*Simp[b*c*C - a*A*d*(n + 2) - (A*
      b + a*B - b*C)*d*(n + 2)*Tan[e + f*x] - (a*C*d*(n + 2) - b*(c*C - B*d*(n + 2)))*Tan[e + f*x]^2, x], x], x] /;
      FreeQ[{a, b, c, d, e, f, A, B, C, n}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && NeQ[c^2 + d^2, 0] &&  !LtQ[n, -1]

4121. Int[((a_) + (b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])*((c_.) + (d_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_.)*((A_.) + (C_.)*tan[(e
      _.) + (f_.)*(x_)]^2), x_Symbol] :> Simp[b*C*Tan[e + f*x]*((c + d*Tan[e + f*x])^(n + 1)/(d*f*(n + 2))), x] - Si
      mp[1/(d*(n + 2))   Int[(c + d*Tan[e + f*x])^n*Simp[b*c*C - a*A*d*(n + 2) - (A*b - b*C)*d*(n + 2)*Tan[e + f*x]
      - (a*C*d*(n + 2) - b*c*C)*Tan[e + f*x]^2, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, A, C, n}, x] && NeQ[b*c - a*d
      , 0] && NeQ[c^2 + d^2, 0] &&  !LtQ[n, -1]

4122. Int[((a_) + (b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_)*((c_.) + (d_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_.)*((A_.) + (B_.)*t
      an[(e_.) + (f_.)*(x_)] + (C_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2), x_Symbol] :> Simp[(a*A + b*B - a*C)*(a + b*Tan[e +
      f*x])^m*((c + d*Tan[e + f*x])^(n + 1)/(2*f*m*(b*c - a*d))), x] + Simp[1/(2*a*m*(b*c - a*d))   Int[(a + b*Tan[e
      + f*x])^(m + 1)*(c + d*Tan[e + f*x])^n*Simp[b*(c*(A + C)*m - B*d*(n + 1)) + a*(B*c*m + C*d*(n + 1) - A*d*(2*m
      + n + 1)) + (b*C*d*(m - n - 1) + A*b*d*(m + n + 1) + a*(2*c*C*m - B*d*(m + n + 1)))*Tan[e + f*x], x], x], x]
      /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, A, B, C, n}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && EqQ[a^2 + b^2, 0] && (LtQ[m, 0] || EqQ[m +
      n + 1, 0])

4123. Int[((a_) + (b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_)*((c_.) + (d_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_.)*((A_.) + (C_.)*t
      an[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2), x_Symbol] :> Simp[a*(A - C)*(a + b*Tan[e + f*x])^m*((c + d*Tan[e + f*x])^(n + 1)/(2
      *f*m*(b*c - a*d))), x] + Simp[1/(2*a*m*(b*c - a*d))   Int[(a + b*Tan[e + f*x])^(m + 1)*(c + d*Tan[e + f*x])^n*
      Simp[b*c*(A + C)*m + a*(C*d*(n + 1) - A*d*(2*m + n + 1)) + (b*C*d*(m - n - 1) + A*b*d*(m + n + 1) + 2*a*c*C*m)
      *Tan[e + f*x], x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, A, C, n}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && EqQ[a^2 + b^2, 0] &
      & (LtQ[m, 0] || EqQ[m + n + 1, 0])

4124. Int[((a_) + (b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_.)*((c_.) + (d_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_)*((A_.) + (B_.)*t
      an[(e_.) + (f_.)*(x_)] + (C_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2), x_Symbol] :> Simp[(c^2*C - B*c*d + A*d^2)*(a + b*Ta
      n[e + f*x])^m*((c + d*Tan[e + f*x])^(n + 1)/(d*f*(n + 1)*(c^2 + d^2))), x] - Simp[1/(a*d*(n + 1)*(c^2 + d^2))
      Int[(a + b*Tan[e + f*x])^m*(c + d*Tan[e + f*x])^(n + 1)*Simp[b*(c^2*C - B*c*d + A*d^2)*m - a*d*(n + 1)*(A*c
      - c*C + B*d) - a*(d*(B*c - A*d)*(m + n + 1) - C*(c^2*m - d^2*(n + 1)))*Tan[e + f*x], x], x], x] /; FreeQ[{a, b
      , c, d, e, f, A, B, C, m}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && EqQ[a^2 + b^2, 0] &&  !LtQ[m, 0] && LtQ[n, -1] && NeQ[c^
      2 + d^2, 0]

4125. Int[((a_) + (b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_.)*((c_.) + (d_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_)*((A_.) + (C_.)*t
      an[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2), x_Symbol] :> Simp[(c^2*C + A*d^2)*(a + b*Tan[e + f*x])^m*((c + d*Tan[e + f*x])^(n +
      1)/(d*f*(n + 1)*(c^2 + d^2))), x] - Simp[1/(a*d*(n + 1)*(c^2 + d^2))   Int[(a + b*Tan[e + f*x])^m*(c + d*Tan[
      e + f*x])^(n + 1)*Simp[b*(c^2*C + A*d^2)*m - a*d*(n + 1)*(A*c - c*C) - a*((-A)*d^2*(m + n + 1) - C*(c^2*m - d^
      2*(n + 1)))*Tan[e + f*x], x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, A, C, m}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && EqQ[a^2
      + b^2, 0] &&  !LtQ[m, 0] && LtQ[n, -1] && NeQ[c^2 + d^2, 0]

4126. Int[((a_) + (b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_.)*((c_.) + (d_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_.)*((A_.) + (B_.)*
      tan[(e_.) + (f_.)*(x_)] + (C_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2), x_Symbol] :> Simp[C*(a + b*Tan[e + f*x])^m*((c + d
      *Tan[e + f*x])^(n + 1)/(d*f*(m + n + 1))), x] + Simp[1/(b*d*(m + n + 1))   Int[(a + b*Tan[e + f*x])^m*(c + d*T
      an[e + f*x])^n*Simp[A*b*d*(m + n + 1) + C*(a*c*m - b*d*(n + 1)) - (C*m*(b*c - a*d) - b*B*d*(m + n + 1))*Tan[e
      + f*x], x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, A, B, C, m, n}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && EqQ[a^2 + b^2, 0] &&
      !LtQ[m, 0] && NeQ[m + n + 1, 0]

4127. Int[((a_) + (b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_.)*((c_.) + (d_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_.)*((A_.) + (C_.)*
      tan[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2), x_Symbol] :> Simp[C*(a + b*Tan[e + f*x])^m*((c + d*Tan[e + f*x])^(n + 1)/(d*f*(m +
      n + 1))), x] + Simp[1/(b*d*(m + n + 1))   Int[(a + b*Tan[e + f*x])^m*(c + d*Tan[e + f*x])^n*Simp[A*b*d*(m + n
      + 1) + C*(a*c*m - b*d*(n + 1)) - C*m*(b*c - a*d)*Tan[e + f*x], x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, A, C, m
      , n}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && EqQ[a^2 + b^2, 0] &&  !LtQ[m, 0] && NeQ[m + n + 1, 0]

4128. Int[((a_.) + (b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_)*((c_.) + (d_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_)*((A_.) + (B_.)*t
      an[(e_.) + (f_.)*(x_)] + (C_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2), x_Symbol] :> Simp[(A*d^2 + c*(c*C - B*d))*(a + b*Ta
      n[e + f*x])^m*((c + d*Tan[e + f*x])^(n + 1)/(d*f*(n + 1)*(c^2 + d^2))), x] - Simp[1/(d*(n + 1)*(c^2 + d^2))
      Int[(a + b*Tan[e + f*x])^(m - 1)*(c + d*Tan[e + f*x])^(n + 1)*Simp[A*d*(b*d*m - a*c*(n + 1)) + (c*C - B*d)*(b*
      c*m + a*d*(n + 1)) - d*(n + 1)*((A - C)*(b*c - a*d) + B*(a*c + b*d))*Tan[e + f*x] - b*(d*(B*c - A*d)*(m + n +
      1) - C*(c^2*m - d^2*(n + 1)))*Tan[e + f*x]^2, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, A, B, C}, x] && NeQ[b*c -
      a*d, 0] && NeQ[a^2 + b^2, 0] && NeQ[c^2 + d^2, 0] && GtQ[m, 0] && LtQ[n, -1]

4129. Int[((a_.) + (b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_)*((c_.) + (d_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_)*((A_.) + (C_.)*t
      an[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2), x_Symbol] :> Simp[(A*d^2 + c^2*C)*(a + b*Tan[e + f*x])^m*((c + d*Tan[e + f*x])^(n +
      1)/(d*f*(n + 1)*(c^2 + d^2))), x] - Simp[1/(d*(n + 1)*(c^2 + d^2))   Int[(a + b*Tan[e + f*x])^(m - 1)*(c + d*
      Tan[e + f*x])^(n + 1)*Simp[A*d*(b*d*m - a*c*(n + 1)) + c*C*(b*c*m + a*d*(n + 1)) - d*(n + 1)*((A - C)*(b*c - a
      *d))*Tan[e + f*x] + b*(A*d^2*(m + n + 1) + C*(c^2*m - d^2*(n + 1)))*Tan[e + f*x]^2, x], x], x] /; FreeQ[{a, b,
      c, d, e, f, A, C}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && NeQ[a^2 + b^2, 0] && NeQ[c^2 + d^2, 0] && GtQ[m, 0] && LtQ[n, -
      1]

4130. Int[((a_.) + (b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_.)*((c_.) + (d_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_)*((A_.) + (B_.)*
      tan[(e_.) + (f_.)*(x_)] + (C_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2), x_Symbol] :> Simp[C*(a + b*Tan[e + f*x])^m*((c + d
      *Tan[e + f*x])^(n + 1)/(d*f*(m + n + 1))), x] + Simp[1/(d*(m + n + 1))   Int[(a + b*Tan[e + f*x])^(m - 1)*(c +
      d*Tan[e + f*x])^n*Simp[a*A*d*(m + n + 1) - C*(b*c*m + a*d*(n + 1)) + d*(A*b + a*B - b*C)*(m + n + 1)*Tan[e +
      f*x] - (C*m*(b*c - a*d) - b*B*d*(m + n + 1))*Tan[e + f*x]^2, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, A, B, C, n
      }, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && NeQ[a^2 + b^2, 0] && NeQ[c^2 + d^2, 0] && GtQ[m, 0] &&  !(IGtQ[n, 0] && ( !Integ
      erQ[m] || (EqQ[c, 0] && NeQ[a, 0])))

4131. Int[((a_.) + (b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_.)*((c_.) + (d_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_)*((A_.) + (C_.)*
      tan[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2), x_Symbol] :> Simp[C*(a + b*Tan[e + f*x])^m*((c + d*Tan[e + f*x])^(n + 1)/(d*f*(m +
      n + 1))), x] + Simp[1/(d*(m + n + 1))   Int[(a + b*Tan[e + f*x])^(m - 1)*(c + d*Tan[e + f*x])^n*Simp[a*A*d*(m
      + n + 1) - C*(b*c*m + a*d*(n + 1)) + d*(A*b - b*C)*(m + n + 1)*Tan[e + f*x] - C*m*(b*c - a*d)*Tan[e + f*x]^2,
      x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, A, C, n}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && NeQ[a^2 + b^2, 0] && NeQ[c^2 + d^
      2, 0] && GtQ[m, 0] &&  !(IGtQ[n, 0] && ( !IntegerQ[m] || (EqQ[c, 0] && NeQ[a, 0])))

4132. Int[((a_.) + (b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_)*((c_.) + (d_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_)*((A_.) + (B_.)*t
      an[(e_.) + (f_.)*(x_)] + (C_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2), x_Symbol] :> Simp[(A*b^2 - a*(b*B - a*C))*(a + b*Ta
      n[e + f*x])^(m + 1)*((c + d*Tan[e + f*x])^(n + 1)/(f*(m + 1)*(b*c - a*d)*(a^2 + b^2))), x] + Simp[1/((m + 1)*(
      b*c - a*d)*(a^2 + b^2))   Int[(a + b*Tan[e + f*x])^(m + 1)*(c + d*Tan[e + f*x])^n*Simp[A*(a*(b*c - a*d)*(m + 1
      ) - b^2*d*(m + n + 2)) + (b*B - a*C)*(b*c*(m + 1) + a*d*(n + 1)) - (m + 1)*(b*c - a*d)*(A*b - a*B - b*C)*Tan[e
      + f*x] - d*(A*b^2 - a*(b*B - a*C))*(m + n + 2)*Tan[e + f*x]^2, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, A, B, C
      , n}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && NeQ[a^2 + b^2, 0] && NeQ[c^2 + d^2, 0] && LtQ[m, -1] &&  !(ILtQ[n, -1] && ( !
      IntegerQ[m] || (EqQ[c, 0] && NeQ[a, 0])))

4133. Int[((a_.) + (b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_)*((c_.) + (d_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_)*((A_.) + (C_.)*t
      an[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2), x_Symbol] :> Simp[(A*b^2 + a^2*C)*(a + b*Tan[e + f*x])^(m + 1)*((c + d*Tan[e + f*x]
      )^(n + 1)/(f*(m + 1)*(b*c - a*d)*(a^2 + b^2))), x] + Simp[1/((m + 1)*(b*c - a*d)*(a^2 + b^2))   Int[(a + b*Tan
      [e + f*x])^(m + 1)*(c + d*Tan[e + f*x])^n*Simp[A*(a*(b*c - a*d)*(m + 1) - b^2*d*(m + n + 2)) - a*C*(b*c*(m + 1
      ) + a*d*(n + 1)) - (m + 1)*(b*c - a*d)*(A*b - b*C)*Tan[e + f*x] - d*(A*b^2 + a^2*C)*(m + n + 2)*Tan[e + f*x]^2
      , x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, A, C, n}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && NeQ[a^2 + b^2, 0] && NeQ[c^2 + d
      ^2, 0] && LtQ[m, -1] &&  !(ILtQ[n, -1] && ( !IntegerQ[m] || (EqQ[c, 0] && NeQ[a, 0])))

4134. Int[((A_.) + (B_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)] + (C_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2)/(((a_) + (b_.)*tan[(e_.) + (f_.)
      *(x_)])*((c_.) + (d_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])), x_Symbol] :> Simp[(a*(A*c - c*C + B*d) + b*(B*c - A*d + C*d)
      )*(x/((a^2 + b^2)*(c^2 + d^2))), x] + (Simp[(A*b^2 - a*b*B + a^2*C)/((b*c - a*d)*(a^2 + b^2))   Int[(b - a*Tan
      [e + f*x])/(a + b*Tan[e + f*x]), x], x] - Simp[(c^2*C - B*c*d + A*d^2)/((b*c - a*d)*(c^2 + d^2))   Int[(d - c*
      Tan[e + f*x])/(c + d*Tan[e + f*x]), x], x]) /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, A, B, C}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && N
      eQ[a^2 + b^2, 0] && NeQ[c^2 + d^2, 0]

4135. Int[((A_.) + (C_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2)/(((a_) + (b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])*((c_.) + (d_.)*tan[(e_.)
      + (f_.)*(x_)])), x_Symbol] :> Simp[(a*(A*c - c*C) - b*(A*d - C*d))*(x/((a^2 + b^2)*(c^2 + d^2))), x] + (Simp[
      (A*b^2 + a^2*C)/((b*c - a*d)*(a^2 + b^2))   Int[(b - a*Tan[e + f*x])/(a + b*Tan[e + f*x]), x], x] - Simp[(c^2*
      C + A*d^2)/((b*c - a*d)*(c^2 + d^2))   Int[(d - c*Tan[e + f*x])/(c + d*Tan[e + f*x]), x], x]) /; FreeQ[{a, b,
      c, d, e, f, A, C}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && NeQ[a^2 + b^2, 0] && NeQ[c^2 + d^2, 0]

4136. Int[(((c_.) + (d_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_)*((A_.) + (B_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)] + (C_.)*tan[(e_.) + (
      f_.)*(x_)]^2))/((a_.) + (b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)]), x_Symbol] :> Simp[1/(a^2 + b^2)   Int[(c + d*Tan[e + f
      *x])^n*Simp[b*B + a*(A - C) + (a*B - b*(A - C))*Tan[e + f*x], x], x], x] + Simp[(A*b^2 - a*b*B + a^2*C)/(a^2 +
      b^2)   Int[(c + d*Tan[e + f*x])^n*((1 + Tan[e + f*x]^2)/(a + b*Tan[e + f*x])), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e
      , f, A, B, C, n}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && NeQ[a^2 + b^2, 0] && NeQ[c^2 + d^2, 0] &&  !GtQ[n, 0] &&  !LeQ[n,
      -1]

4137. Int[(((c_.) + (d_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_)*((A_.) + (C_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2))/((a_.) + (b_.)*ta
      n[(e_.) + (f_.)*(x_)]), x_Symbol] :> Simp[1/(a^2 + b^2)   Int[(c + d*Tan[e + f*x])^n*Simp[a*(A - C) - (A*b - b
      *C)*Tan[e + f*x], x], x], x] + Simp[(A*b^2 + a^2*C)/(a^2 + b^2)   Int[(c + d*Tan[e + f*x])^n*((1 + Tan[e + f*x
      ]^2)/(a + b*Tan[e + f*x])), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, A, C, n}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && NeQ[a^2 +
      b^2, 0] && NeQ[c^2 + d^2, 0] &&  !GtQ[n, 0] &&  !LeQ[n, -1]

4138. Int[((a_.) + (b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_)*((c_.) + (d_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_)*((A_.) + (B_.)*t
      an[(e_.) + (f_.)*(x_)] + (C_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2), x_Symbol] :> With[{ff = FreeFactors[Tan[e + f*x], x
      ]}, Simp[ff/f   Subst[Int[(a + b*ff*x)^m*(c + d*ff*x)^n*((A + B*ff*x + C*ff^2*x^2)/(1 + ff^2*x^2)), x], x, Tan
      [e + f*x]/ff], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, A, B, C, m, n}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && NeQ[a^2 + b^2, 0] &&
      NeQ[c^2 + d^2, 0]

4139. Int[((a_.) + (b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_)*((c_.) + (d_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_)*((A_.) + (C_.)*t
      an[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2), x_Symbol] :> With[{ff = FreeFactors[Tan[e + f*x], x]}, Simp[ff/f   Subst[Int[(a + b
      *ff*x)^m*(c + d*ff*x)^n*((A + C*ff^2*x^2)/(1 + ff^2*x^2)), x], x, Tan[e + f*x]/ff], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d,
      e, f, A, C, m, n}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && NeQ[a^2 + b^2, 0] && NeQ[c^2 + d^2, 0]

4140. Int[(u_.)*((a_) + (b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2)^(p_), x_Symbol] :> Int[ActivateTrig[u*(a*sec[e + f*x]^2)^p]
      , x] /; FreeQ[{a, b, e, f, p}, x] && EqQ[a, b]

4141. Int[(u_.)*((b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)]^(n_))^(p_), x_Symbol] :> With[{ff = FreeFactors[Tan[e + f*x], x]}, Si
      mp[(b*ff^n)^IntPart[p]*((b*Tan[e + f*x]^n)^FracPart[p]/(Tan[e + f*x]/ff)^(n*FracPart[p]))   Int[ActivateTrig[u
      ]*(Tan[e + f*x]/ff)^(n*p), x], x]] /; FreeQ[{b, e, f, n, p}, x] &&  !IntegerQ[p] && IntegerQ[n] && (EqQ[u, 1]
      || MatchQ[u, ((d_.)*(trig_)[e + f*x])^(m_.) /; FreeQ[{d, m}, x] && MemberQ[{sin, cos, tan, cot, sec, csc}, tri
      g]])

4142. Int[(u_.)*((b_.)*((c_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_))^(p_), x_Symbol] :> Simp[b^IntPart[p]*((b*(c*Tan[e + f*x
      ])^n)^FracPart[p]/(c*Tan[e + f*x])^(n*FracPart[p]))   Int[ActivateTrig[u]*(c*Tan[e + f*x])^(n*p), x], x] /; Fr
      eeQ[{b, c, e, f, n, p}, x] &&  !IntegerQ[p] &&  !IntegerQ[n] && (EqQ[u, 1] || MatchQ[u, ((d_.)*(trig_)[e + f*x
      ])^(m_.) /; FreeQ[{d, m}, x] && MemberQ[{sin, cos, tan, cot, sec, csc}, trig]])

4143. Int[((a_) + (b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2)^(-1), x_Symbol] :> Simp[x/(a - b), x] - Simp[b/(a - b)   Int[Sec[
      e + f*x]^2/(a + b*Tan[e + f*x]^2), x], x] /; FreeQ[{a, b, e, f}, x] && NeQ[a, b]

4144. Int[((a_) + (b_.)*((c_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_))^(p_), x_Symbol] :> With[{ff = FreeFactors[Tan[e + f*x]
      , x]}, Simp[c*(ff/f)   Subst[Int[(a + b*(ff*x)^n)^p/(c^2 + ff^2*x^2), x], x, c*(Tan[e + f*x]/ff)], x]] /; Free
      Q[{a, b, c, e, f, n, p}, x] && (IntegersQ[n, p] || IGtQ[p, 0] || EqQ[n^2, 4] || EqQ[n^2, 16])

4145. Int[((a_) + (b_.)*((c_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_))^(p_.), x_Symbol] :> Unintegrable[(a + b*(c*Tan[e + f*x
      ])^n)^p, x] /; FreeQ[{a, b, c, e, f, n, p}, x]

4146. Int[sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]^(m_)*((a_) + (b_.)*((c_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_))^(p_.), x_Symbol] :> With[
      {ff = FreeFactors[Tan[e + f*x], x]}, Simp[c*(ff^(m + 1)/f)   Subst[Int[x^m*((a + b*(ff*x)^n)^p/(c^2 + ff^2*x^2
      )^(m/2 + 1)), x], x, c*(Tan[e + f*x]/ff)], x]] /; FreeQ[{a, b, c, e, f, n, p}, x] && IntegerQ[m/2]

4147. Int[sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]^(m_.)*((a_) + (b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2)^(p_.), x_Symbol] :> With[{ff = Free
      Factors[Sec[e + f*x], x]}, Simp[1/(f*ff^m)   Subst[Int[(-1 + ff^2*x^2)^((m - 1)/2)*((a - b + b*ff^2*x^2)^p/x^(
      m + 1)), x], x, Sec[e + f*x]/ff], x]] /; FreeQ[{a, b, e, f, p}, x] && IntegerQ[(m - 1)/2]

4148. Int[sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]^(m_.)*((a_) + (b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)]^(n_))^(p_.), x_Symbol] :> With[{ff = F
      reeFactors[Sec[e + f*x], x]}, Simp[1/(f*ff^m)   Subst[Int[(-1 + ff^2*x^2)^((m - 1)/2)*((a + b*(-1 + ff^2*x^2)^
      (n/2))^p/x^(m + 1)), x], x, Sec[e + f*x]/ff], x]] /; FreeQ[{a, b, e, f, p}, x] && IntegerQ[(m - 1)/2] && Integ
      erQ[n/2]

4149. Int[((d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_.)*((a_) + (b_.)*((c_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_))^(p_.), x_Symbol]
      :> Int[ExpandTrig[(d*sin[e + f*x])^m*(a + b*(c*tan[e + f*x])^n)^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m, n},
      x] && IGtQ[p, 0]

4150. Int[((d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_)*((a_) + (b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2)^(p_), x_Symbol] :> With[{ff
      = FreeFactors[Tan[e + f*x], x]}, Simp[ff*(d*Sin[e + f*x])^m*((Sec[e + f*x]^2)^(m/2)/(f*Tan[e + f*x]^m))   Subs
      t[Int[(ff*x)^m*((a + b*ff^2*x^2)^p/(1 + ff^2*x^2)^(m/2 + 1)), x], x, Tan[e + f*x]/ff], x]] /; FreeQ[{a, b, d,
      e, f, m, p}, x] &&  !IntegerQ[m]

4151. Int[((d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_.)*((a_) + (b_.)*((c_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_))^(p_.), x_Symbol]
      :> Unintegrable[(d*Sin[e + f*x])^m*(a + b*(c*Tan[e + f*x])^n)^p, x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m, n, p}, x]

4152. Int[(cos[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(d_.))^(m_)*((a_) + (b_.)*((c_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_))^(p_), x_Symbol] :
      > Simp[(d*Cos[e + f*x])^FracPart[m]*(Sec[e + f*x]/d)^FracPart[m]   Int[(a + b*(c*Tan[e + f*x])^n)^p/(Sec[e + f
      *x]/d)^m, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m, n, p}, x] &&  !IntegerQ[m]

4153. Int[((d_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_.)*((a_) + (b_.)*((c_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_))^(p_.), x_Symbol]
      :> With[{ff = FreeFactors[Tan[e + f*x], x]}, Simp[c*(ff/f)   Subst[Int[(d*ff*(x/c))^m*((a + b*(ff*x)^n)^p/(c^
      2 + ff^2*x^2)), x], x, c*(Tan[e + f*x]/ff)], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m, n, p}, x] && (IGtQ[p, 0] || Eq
      Q[n, 2] || EqQ[n, 4] || (IntegerQ[p] && RationalQ[n]))

4154. Int[((d_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_.)*((a_) + (b_.)*((c_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_))^(p_.), x_Symbol]
      :> Int[ExpandTrig[(d*tan[e + f*x])^m*(a + b*(c*tan[e + f*x])^n)^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m, n},
      x] && IGtQ[p, 0]

4155. Int[((d_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_.)*((a_) + (b_.)*((c_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_))^(p_.), x_Symbol]
      :> Unintegrable[(d*Tan[e + f*x])^m*(a + b*(c*Tan[e + f*x])^n)^p, x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m, n, p}, x]

4156. Int[(cot[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(d_.))^(m_)*((a_) + (b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)]^(n_.))^(p_.), x_Symbol] :> Simp
      [d^(n*p)   Int[(d*Cot[e + f*x])^(m - n*p)*(b + a*Cot[e + f*x]^n)^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, d, e, f, m, n, p},
      x] &&  !IntegerQ[m] && IntegersQ[n, p]

4157. Int[(cot[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(d_.))^(m_)*((a_) + (b_.)*((c_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_))^(p_), x_Symbol] :
      > Simp[(d*Cot[e + f*x])^FracPart[m]*(Tan[e + f*x]/d)^FracPart[m]   Int[(a + b*(c*Tan[e + f*x])^n)^p/(Tan[e + f
      *x]/d)^m, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m, n, p}, x] &&  !IntegerQ[m]

4158. Int[sec[(e_.) + (f_.)*(x_)]^(m_)*((a_) + (b_.)*((c_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_))^(p_.), x_Symbol] :> With[
      {ff = FreeFactors[Tan[e + f*x], x]}, Simp[ff/(c^(m - 1)*f)   Subst[Int[(c^2 + ff^2*x^2)^(m/2 - 1)*(a + b*(ff*x
      )^n)^p, x], x, c*(Tan[e + f*x]/ff)], x]] /; FreeQ[{a, b, c, e, f, n, p}, x] && IntegerQ[m/2] && (IntegersQ[n,
      p] || IGtQ[m, 0] || IGtQ[p, 0] || EqQ[n^2, 4] || EqQ[n^2, 16])

4159. Int[sec[(e_.) + (f_.)*(x_)]^(m_.)*((a_) + (b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)]^(n_))^(p_.), x_Symbol] :> With[{ff = F
      reeFactors[Sin[e + f*x], x]}, Simp[ff/f   Subst[Int[ExpandToSum[b*(ff*x)^n + a*(1 - ff^2*x^2)^(n/2), x]^p/(1 -
      ff^2*x^2)^((m + n*p + 1)/2), x], x, Sin[e + f*x]/ff], x]] /; FreeQ[{a, b, e, f}, x] && IntegerQ[(m - 1)/2] &&
      IntegerQ[n/2] && IntegerQ[p]

4160. Int[sec[(e_.) + (f_.)*(x_)]^(m_.)*((a_) + (b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)]^(n_))^(p_.), x_Symbol] :> With[{ff = F
      reeFactors[Sin[e + f*x], x]}, Simp[ff/f   Subst[Int[(1/(1 - ff^2*x^2)^((m + 1)/2))*((b*(ff*x)^n + a*(1 - ff^2*
      x^2)^(n/2))/(1 - ff^2*x^2)^(n/2))^p, x], x, Sin[e + f*x]/ff], x]] /; FreeQ[{a, b, e, f, p}, x] && IntegerQ[(m
      - 1)/2] && IntegerQ[n/2] &&  !IntegerQ[p]

4161. Int[((d_.)*sec[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_.)*((a_) + (b_.)*((c_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_))^(p_.), x_Symbol]
      :> Int[ExpandTrig[(d*sec[e + f*x])^m*(a + b*(c*tan[e + f*x])^n)^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m, n},
      x] && IGtQ[p, 0]

4162. Int[((d_.)*sec[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_)*((a_) + (b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2)^(p_), x_Symbol] :> With[{ff
      = FreeFactors[Tan[e + f*x], x]}, Simp[ff*((d*Sec[e + f*x])^m/(f*(Sec[e + f*x]^2)^(m/2)))   Subst[Int[(1 + ff^2
      *x^2)^(m/2 - 1)*(a + b*ff^2*x^2)^p, x], x, Tan[e + f*x]/ff], x]] /; FreeQ[{a, b, d, e, f, m, p}, x] &&  !Integ
      erQ[m]

4163. Int[((d_.)*sec[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_.)*((a_) + (b_.)*((c_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_))^(p_.), x_Symbol]
      :> Unintegrable[(d*Sec[e + f*x])^m*(a + b*(c*Tan[e + f*x])^n)^p, x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m, n, p}, x]

4164. Int[(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(d_.))^(m_)*((a_) + (b_.)*((c_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_))^(p_), x_Symbol] :
      > Simp[(d*Csc[e + f*x])^FracPart[m]*(Sin[e + f*x]/d)^FracPart[m]   Int[(a + b*(c*Tan[e + f*x])^n)^p/(Sin[e + f
      *x]/d)^m, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m, n, p}, x] &&  !IntegerQ[m]

4165. Int[((a_) + (b_.)*tan[(d_.) + (e_.)*(x_)]^(n_.) + (c_.)*tan[(d_.) + (e_.)*(x_)]^(n2_.))^(p_.), x_Symbol] :> Si
      mp[1/(4^p*c^p)   Int[(b + 2*c*Tan[d + e*x]^n)^(2*p), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, n}, x] && EqQ[n2, 2*n] &&
      EqQ[b^2 - 4*a*c, 0] && IntegerQ[p]

4166. Int[(cot[(d_.) + (e_.)*(x_)]^(n_.)*(b_.) + cot[(d_.) + (e_.)*(x_)]^(n2_.)*(c_.) + (a_))^(p_.), x_Symbol] :> Si
      mp[1/(4^p*c^p)   Int[(b + 2*c*Cot[d + e*x]^n)^(2*p), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, n}, x] && EqQ[n2, 2*n] &&
      EqQ[b^2 - 4*a*c, 0] && IntegerQ[p]

4167. Int[((a_) + (b_.)*tan[(d_.) + (e_.)*(x_)]^(n_.) + (c_.)*tan[(d_.) + (e_.)*(x_)]^(n2_.))^(p_), x_Symbol] :> Sim
      p[(a + b*Tan[d + e*x]^n + c*Tan[d + e*x]^(2*n))^p/(b + 2*c*Tan[d + e*x]^n)^(2*p)   Int[(b + 2*c*Tan[d + e*x]^n
      )^(2*p), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, n}, x] && EqQ[n2, 2*n] && EqQ[b^2 - 4*a*c, 0] &&  !IntegerQ[p]

4168. Int[(cot[(d_.) + (e_.)*(x_)]^(n_.)*(b_.) + cot[(d_.) + (e_.)*(x_)]^(n2_.)*(c_.) + (a_))^(p_), x_Symbol] :> Sim
      p[(a + b*Cot[d + e*x]^n + c*Cot[d + e*x]^(2*n))^p/(b + 2*c*Cot[d + e*x]^n)^(2*p)   Int[(b + 2*c*Cot[d + e*x]^n
      )^(2*p), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, n}, x] && EqQ[n2, 2*n] && EqQ[b^2 - 4*a*c, 0] &&  !IntegerQ[p]

4169. Int[((a_.) + (b_.)*tan[(d_.) + (e_.)*(x_)]^(n_.) + (c_.)*tan[(d_.) + (e_.)*(x_)]^(n2_.))^(-1), x_Symbol] :> Mo
      dule[{q = Rt[b^2 - 4*a*c, 2]}, Simp[2*(c/q)   Int[1/(b - q + 2*c*Tan[d + e*x]^n), x], x] - Simp[2*(c/q)   Int[
      1/(b + q + 2*c*Tan[d + e*x]^n), x], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, n}, x] && EqQ[n2, 2*n] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0]

4170. Int[((a_.) + cot[(d_.) + (e_.)*(x_)]^(n_.)*(b_.) + cot[(d_.) + (e_.)*(x_)]^(n2_.)*(c_.))^(-1), x_Symbol] :> Mo
      dule[{q = Rt[b^2 - 4*a*c, 2]}, Simp[2*(c/q)   Int[1/(b - q + 2*c*Cot[d + e*x]^n), x], x] - Simp[2*(c/q)   Int[
      1/(b + q + 2*c*Cot[d + e*x]^n), x], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, n}, x] && EqQ[n2, 2*n] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0]

4171. Int[sin[(d_.) + (e_.)*(x_)]^(m_)*((a_.) + (b_.)*((f_.)*tan[(d_.) + (e_.)*(x_)])^(n_.) + (c_.)*((f_.)*tan[(d_.)
      + (e_.)*(x_)])^(n2_.))^(p_), x_Symbol] :> Simp[f/e   Subst[Int[x^m*((a + b*x^n + c*x^(2*n))^p/(f^2 + x^2)^(m/
      2 + 1)), x], x, f*Tan[d + e*x]], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, n, p}, x] && EqQ[n2, 2*n] && IntegerQ[m/2]

4172. Int[cos[(d_.) + (e_.)*(x_)]^(m_)*((a_.) + (b_.)*(cot[(d_.) + (e_.)*(x_)]*(f_.))^(n_.) + (c_.)*(cot[(d_.) + (e_
      .)*(x_)]*(f_.))^(n2_.))^(p_), x_Symbol] :> Simp[-f/e   Subst[Int[x^m*((a + b*x^n + c*x^(2*n))^p/(f^2 + x^2)^(m
      /2 + 1)), x], x, f*Cot[d + e*x]], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, n, p}, x] && EqQ[n2, 2*n] && IntegerQ[m/2]

4173. Int[sin[(d_.) + (e_.)*(x_)]^(m_.)*((a_.) + (b_.)*tan[(d_.) + (e_.)*(x_)]^(n_.) + (c_.)*tan[(d_.) + (e_.)*(x_)]
      ^(n2_.))^(p_.), x_Symbol] :> Module[{g = FreeFactors[Cos[d + e*x], x]}, Simp[-g/e   Subst[Int[(1 - g^2*x^2)^((
      m - 1)/2)*(ExpandToSum[a*(g*x)^(2*n) + b*(g*x)^n*(1 - g^2*x^2)^(n/2) + c*(1 - g^2*x^2)^n, x]^p/(g*x)^(2*n*p)),
      x], x, Cos[d + e*x]/g], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && EqQ[n2, 2*n] && IntegerQ[(m - 1)/2] && IntegerQ[n
      /2] && IntegerQ[p]

4174. Int[cos[(d_.) + (e_.)*(x_)]^(m_.)*((a_.) + cot[(d_.) + (e_.)*(x_)]^(n_.)*(b_.) + (c_.)*tan[(d_.) + (e_.)*(x_)]
      ^(n2_.))^(p_.), x_Symbol] :> Module[{g = FreeFactors[Sin[d + e*x], x]}, Simp[g/e   Subst[Int[(1 - g^2*x^2)^((m
      - 1)/2)*(ExpandToSum[a*(g*x)^(2*n) + b*(g*x)^n*(1 - g^2*x^2)^(n/2) + c*(1 - g^2*x^2)^n, x]^p/(g*x)^(2*n*p)),
      x], x, Sin[d + e*x]/g], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && EqQ[n2, 2*n] && IntegerQ[(m - 1)/2] && IntegerQ[n/
      2] && IntegerQ[p]

4175. Int[cos[(d_.) + (e_.)*(x_)]^(m_)*((a_.) + (b_.)*((f_.)*tan[(d_.) + (e_.)*(x_)])^(n_.) + (c_.)*((f_.)*tan[(d_.)
      + (e_.)*(x_)])^(n2_.))^(p_.), x_Symbol] :> Simp[f^(m + 1)/e   Subst[Int[(a + b*x^n + c*x^(2*n))^p/(f^2 + x^2)
      ^(m/2 + 1), x], x, f*Tan[d + e*x]], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, n, p}, x] && EqQ[n2, 2*n] && IntegerQ[m/2]

4176. Int[((a_.) + (b_.)*(cot[(d_.) + (e_.)*(x_)]*(f_.))^(n_.) + (c_.)*(cot[(d_.) + (e_.)*(x_)]*(f_.))^(n2_.))^(p_.)
      *sin[(d_.) + (e_.)*(x_)]^(m_), x_Symbol] :> Simp[-f^(m + 1)/e   Subst[Int[(a + b*x^n + c*x^(2*n))^p/(f^2 + x^2
      )^(m/2 + 1), x], x, f*Cot[d + e*x]], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, n, p}, x] && EqQ[n2, 2*n] && IntegerQ[m/2]

4177. Int[cos[(d_.) + (e_.)*(x_)]^(m_)*((a_.) + (b_.)*tan[(d_.) + (e_.)*(x_)]^(n_.) + (c_.)*tan[(d_.) + (e_.)*(x_)]^
      (n2_.))^(p_.), x_Symbol] :> Module[{g = FreeFactors[Sin[d + e*x], x]}, Simp[g/e   Subst[Int[(1 - g^2*x^2)^((m
      - 2*n*p - 1)/2)*ExpandToSum[c*x^(2*n) + b*x^n*(1 - x^2)^(n/2) + a*(1 - x^2)^n, x]^p, x], x, Sin[d + e*x]/g], x
      ]] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && EqQ[n2, 2*n] && IntegerQ[(m - 1)/2] && IntegerQ[n/2] && IntegerQ[p]

4178. Int[((a_.) + cot[(d_.) + (e_.)*(x_)]^(n_.)*(b_.) + cot[(d_.) + (e_.)*(x_)]^(n2_.)*(c_.))^(p_.)*sin[(d_.) + (e_
      .)*(x_)]^(m_), x_Symbol] :> Module[{g = FreeFactors[Cos[d + e*x], x]}, Simp[-g/e   Subst[Int[(1 - g^2*x^2)^((m
      - 2*n*p - 1)/2)*ExpandToSum[c*x^(2*n) + b*x^n*(1 - x^2)^(n/2) + a*(1 - x^2)^n, x]^p, x], x, Cos[d + e*x]/g],
      x]] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && EqQ[n2, 2*n] && IntegerQ[(m - 1)/2] && IntegerQ[n/2] && IntegerQ[p]

4179. Int[tan[(d_.) + (e_.)*(x_)]^(m_.)*((a_.) + (b_.)*tan[(d_.) + (e_.)*(x_)]^(n_.) + (c_.)*tan[(d_.) + (e_.)*(x_)]
      ^(n2_.))^(p_), x_Symbol] :> Simp[1/(4^p*c^p)   Int[Tan[d + e*x]^m*(b + 2*c*Tan[d + e*x]^n)^(2*p), x], x] /; Fr
      eeQ[{a, b, c, d, e, m, n}, x] && EqQ[n2, 2*n] && EqQ[b^2 - 4*a*c, 0] && IntegerQ[p]

4180. Int[cot[(d_.) + (e_.)*(x_)]^(m_.)*((a_.) + cot[(d_.) + (e_.)*(x_)]^(n_.)*(b_.) + cot[(d_.) + (e_.)*(x_)]^(n2_.
      )*(c_.))^(p_), x_Symbol] :> Simp[1/(4^p*c^p)   Int[Cot[d + e*x]^m*(b + 2*c*Cot[d + e*x]^n)^(2*p), x], x] /; Fr
      eeQ[{a, b, c, d, e, m, n}, x] && EqQ[n2, 2*n] && EqQ[b^2 - 4*a*c, 0] && IntegerQ[p]

4181. Int[tan[(d_.) + (e_.)*(x_)]^(m_.)*((a_.) + (b_.)*tan[(d_.) + (e_.)*(x_)]^(n_.) + (c_.)*tan[(d_.) + (e_.)*(x_)]
      ^(n2_.))^(p_), x_Symbol] :> Simp[(a + b*Tan[d + e*x]^n + c*Tan[d + e*x]^(2*n))^p/(b + 2*c*Tan[d + e*x]^n)^(2*p
      )   Int[Tan[d + e*x]^m*(b + 2*c*Tan[d + e*x]^n)^(2*p), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, m, n, p}, x] && EqQ[n2,
      2*n] && EqQ[b^2 - 4*a*c, 0] &&  !IntegerQ[p]

4182. Int[cot[(d_.) + (e_.)*(x_)]^(m_.)*((a_.) + cot[(d_.) + (e_.)*(x_)]^(n_.)*(b_.) + cot[(d_.) + (e_.)*(x_)]^(n2_.
      )*(c_.))^(p_), x_Symbol] :> Simp[(a + b*Cot[d + e*x]^n + c*Cot[d + e*x]^(2*n))^p/(b + 2*c*Cot[d + e*x]^n)^(2*p
      )   Int[Cot[d + e*x]^m*(b + 2*c*Cot[d + e*x]^n)^(2*p), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, m, n, p}, x] && EqQ[n2,
      2*n] && EqQ[b^2 - 4*a*c, 0] &&  !IntegerQ[p]

4183. Int[tan[(d_.) + (e_.)*(x_)]^(m_.)*((a_.) + (b_.)*((f_.)*tan[(d_.) + (e_.)*(x_)])^(n_.) + (c_.)*((f_.)*tan[(d_.
      ) + (e_.)*(x_)])^(n2_.))^(p_), x_Symbol] :> Simp[f/e   Subst[Int[(x/f)^m*((a + b*x^n + c*x^(2*n))^p/(f^2 + x^2
      )), x], x, f*Tan[d + e*x]], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m, n, p}, x] && EqQ[n2, 2*n] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0]

4184. Int[cot[(d_.) + (e_.)*(x_)]^(m_.)*((a_.) + (b_.)*(cot[(d_.) + (e_.)*(x_)]*(f_.))^(n_.) + (c_.)*(cot[(d_.) + (e
      _.)*(x_)]*(f_.))^(n2_.))^(p_), x_Symbol] :> Simp[-f/e   Subst[Int[(x/f)^m*((a + b*x^n + c*x^(2*n))^p/(f^2 + x^
      2)), x], x, f*Cot[d + e*x]], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m, n, p}, x] && EqQ[n2, 2*n] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0
      ]

4185. Int[cot[(d_.) + (e_.)*(x_)]^(m_.)*((a_.) + (b_.)*tan[(d_.) + (e_.)*(x_)]^(n_.) + (c_.)*tan[(d_.) + (e_.)*(x_)]
      ^(n2_.))^(p_.), x_Symbol] :> Simp[1/(4^p*c^p)   Int[Cot[d + e*x]^m*(b + 2*c*Tan[d + e*x]^n)^(2*p), x], x] /; F
      reeQ[{a, b, c, d, e, m, n}, x] && EqQ[n2, 2*n] && EqQ[b^2 - 4*a*c, 0] && IntegerQ[p]

4186. Int[((a_.) + cot[(d_.) + (e_.)*(x_)]^(n_.)*(b_.) + cot[(d_.) + (e_.)*(x_)]^(n2_.)*(c_.))^(p_.)*tan[(d_.) + (e_
      .)*(x_)]^(m_.), x_Symbol] :> Simp[1/(4^p*c^p)   Int[Tan[d + e*x]^m*(b + 2*c*Cot[d + e*x]^n)^(2*p), x], x] /; F
      reeQ[{a, b, c, d, e, m, n}, x] && EqQ[n2, 2*n] && EqQ[b^2 - 4*a*c, 0] && IntegerQ[p]

4187. Int[cot[(d_.) + (e_.)*(x_)]^(m_.)*((a_.) + (b_.)*tan[(d_.) + (e_.)*(x_)]^(n_.) + (c_.)*tan[(d_.) + (e_.)*(x_)]
      ^(n2_.))^(p_), x_Symbol] :> Simp[(a + b*Tan[d + e*x]^n + c*Tan[d + e*x]^(2*n))^p/(b + 2*c*Tan[d + e*x]^n)^(2*p
      )   Int[Cot[d + e*x]^m*(b + 2*c*Tan[d + e*x]^n)^(2*p), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, m, n, p}, x] && EqQ[n2,
      2*n] && EqQ[b^2 - 4*a*c, 0] &&  !IntegerQ[p]

4188. Int[((a_.) + cot[(d_.) + (e_.)*(x_)]^(n_.)*(b_.) + cot[(d_.) + (e_.)*(x_)]^(n2_.)*(c_.))^(p_)*tan[(d_.) + (e_.
      )*(x_)]^(m_.), x_Symbol] :> Simp[(a + b*Cot[d + e*x]^n + c*Cot[d + e*x]^(2*n))^p/(b + 2*c*Cot[d + e*x]^n)^(2*p
      )   Int[Tan[d + e*x]^m*(b + 2*c*Cot[d + e*x]^n)^(2*p), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, m, n, p}, x] && EqQ[n2,
      2*n] && EqQ[b^2 - 4*a*c, 0] &&  !IntegerQ[p]

4189. Int[cot[(d_.) + (e_.)*(x_)]^(m_.)*((a_.) + (b_.)*tan[(d_.) + (e_.)*(x_)]^(n_) + (c_.)*tan[(d_.) + (e_.)*(x_)]^
      (n2_))^(p_.), x_Symbol] :> Module[{g = FreeFactors[Cot[d + e*x], x]}, Simp[g/e   Subst[Int[(g*x)^(m - 2*n*p)*(
      (c + b*(g*x)^n + a*(g*x)^(2*n))^p/(1 + g^2*x^2)), x], x, Cot[d + e*x]/g], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, m, p},
      x] && EqQ[n2, 2*n] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] && IntegerQ[n/2]

4190. Int[((a_.) + cot[(d_.) + (e_.)*(x_)]^(n_)*(b_.) + cot[(d_.) + (e_.)*(x_)]^(n2_)*(c_.))^(p_.)*tan[(d_.) + (e_.)
      *(x_)]^(m_.), x_Symbol] :> Module[{g = FreeFactors[Tan[d + e*x], x]}, Simp[-g/e   Subst[Int[(g*x)^(m - 2*n*p)*
      ((c + b*(g*x)^n + a*(g*x)^(2*n))^p/(1 + g^2*x^2)), x], x, Tan[d + e*x]/g], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, m, p},
      x] && EqQ[n2, 2*n] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] && IntegerQ[n/2]

4191. Int[((A_) + (B_.)*tan[(d_.) + (e_.)*(x_)])*((a_) + (b_.)*tan[(d_.) + (e_.)*(x_)] + (c_.)*tan[(d_.) + (e_.)*(x_
      )]^2)^(n_), x_Symbol] :> Simp[1/(4^n*c^n)   Int[(A + B*Tan[d + e*x])*(b + 2*c*Tan[d + e*x])^(2*n), x], x] /; F
      reeQ[{a, b, c, d, e, A, B}, x] && EqQ[b^2 - 4*a*c, 0] && IntegerQ[n]

4192. Int[(cot[(d_.) + (e_.)*(x_)]*(b_.) + cot[(d_.) + (e_.)*(x_)]^2*(c_.) + (a_))^(n_)*(cot[(d_.) + (e_.)*(x_)]*(B_
      .) + (A_)), x_Symbol] :> Simp[1/(4^n*c^n)   Int[(A + B*Cot[d + e*x])*(b + 2*c*Cot[d + e*x])^(2*n), x], x] /; F
      reeQ[{a, b, c, d, e, A, B}, x] && EqQ[b^2 - 4*a*c, 0] && IntegerQ[n]

4193. Int[((A_) + (B_.)*tan[(d_.) + (e_.)*(x_)])*((a_) + (b_.)*tan[(d_.) + (e_.)*(x_)] + (c_.)*tan[(d_.) + (e_.)*(x_
      )]^2)^(n_), x_Symbol] :> Simp[(a + b*Tan[d + e*x] + c*Tan[d + e*x]^2)^n/(b + 2*c*Tan[d + e*x])^(2*n)   Int[(A
      + B*Tan[d + e*x])*(b + 2*c*Tan[d + e*x])^(2*n), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, A, B}, x] && EqQ[b^2 - 4*a*c,
      0] &&  !IntegerQ[n]

4194. Int[(cot[(d_.) + (e_.)*(x_)]*(b_.) + cot[(d_.) + (e_.)*(x_)]^2*(c_.) + (a_))^(n_)*(cot[(d_.) + (e_.)*(x_)]*(B_
      .) + (A_)), x_Symbol] :> Simp[(a + b*Cot[d + e*x] + c*Cot[d + e*x]^2)^n/(b + 2*c*Cot[d + e*x])^(2*n)   Int[(A
      + B*Cot[d + e*x])*(b + 2*c*Cot[d + e*x])^(2*n), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, A, B}, x] && EqQ[b^2 - 4*a*c,
      0] &&  !IntegerQ[n]

4195. Int[((A_) + (B_.)*tan[(d_.) + (e_.)*(x_)])/((a_.) + (b_.)*tan[(d_.) + (e_.)*(x_)] + (c_.)*tan[(d_.) + (e_.)*(x
      _)]^2), x_Symbol] :> Module[{q = Rt[b^2 - 4*a*c, 2]}, Simp[(B + (b*B - 2*A*c)/q)   Int[1/Simp[b + q + 2*c*Tan[
      d + e*x], x], x], x] + Simp[(B - (b*B - 2*A*c)/q)   Int[1/Simp[b - q + 2*c*Tan[d + e*x], x], x], x]] /; FreeQ[
      {a, b, c, d, e, A, B}, x] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0]

4196. Int[(cot[(d_.) + (e_.)*(x_)]*(B_.) + (A_))/((a_.) + cot[(d_.) + (e_.)*(x_)]*(b_.) + cot[(d_.) + (e_.)*(x_)]^2*
      (c_.)), x_Symbol] :> Module[{q = Rt[b^2 - 4*a*c, 2]}, Simp[(B + (b*B - 2*A*c)/q)   Int[1/Simp[b + q + 2*c*Cot[
      d + e*x], x], x], x] + Simp[(B - (b*B - 2*A*c)/q)   Int[1/Simp[b - q + 2*c*Cot[d + e*x], x], x], x]] /; FreeQ[
      {a, b, c, d, e, A, B}, x] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0]

4197. Int[((A_) + (B_.)*tan[(d_.) + (e_.)*(x_)])*((a_.) + (b_.)*tan[(d_.) + (e_.)*(x_)] + (c_.)*tan[(d_.) + (e_.)*(x
      _)]^2)^(n_), x_Symbol] :> Int[ExpandTrig[(A + B*tan[d + e*x])*(a + b*tan[d + e*x] + c*tan[d + e*x]^2)^n, x], x
      ] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, A, B}, x] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] && IntegerQ[n]

4198. Int[((a_.) + cot[(d_.) + (e_.)*(x_)]*(b_.) + cot[(d_.) + (e_.)*(x_)]^2*(c_.))^(n_)*(cot[(d_.) + (e_.)*(x_)]*(B
      _.) + (A_)), x_Symbol] :> Int[ExpandTrig[(A + B*cot[d + e*x])*(a + b*cot[d + e*x] + c*cot[d + e*x]^2)^n, x], x
      ] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, A, B}, x] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] && IntegerQ[n]

4199. Int[((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.)*tan[(e_.) + Pi*(k_.) + (Complex[0, fz_])*(f_.)*(x_)], x_Symbol] :> Simp[(-I)*((
      c + d*x)^(m + 1)/(d*(m + 1))), x] + Simp[2*I   Int[((c + d*x)^m*(E^(2*((-I)*e + f*fz*x))/(1 + E^(2*((-I)*e + f
      *fz*x))/E^(2*I*k*Pi))))/E^(2*I*k*Pi), x], x] /; FreeQ[{c, d, e, f, fz}, x] && IntegerQ[4*k] && IGtQ[m, 0]

4200. Int[((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.)*tan[(e_.) + Pi*(k_.) + (f_.)*(x_)], x_Symbol] :> Simp[I*((c + d*x)^(m + 1)/(d*(
      m + 1))), x] - Simp[2*I   Int[(c + d*x)^m*E^(2*I*k*Pi)*(E^(2*I*(e + f*x))/(1 + E^(2*I*k*Pi)*E^(2*I*(e + f*x)))
      ), x], x] /; FreeQ[{c, d, e, f}, x] && IntegerQ[4*k] && IGtQ[m, 0]

4201. Int[((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.)*tan[(e_.) + (Complex[0, fz_])*(f_.)*(x_)], x_Symbol] :> Simp[(-I)*((c + d*x)^(m
      + 1)/(d*(m + 1))), x] + Simp[2*I   Int[(c + d*x)^m*(E^(2*((-I)*e + f*fz*x))/(1 + E^(2*((-I)*e + f*fz*x)))), x
      ], x] /; FreeQ[{c, d, e, f, fz}, x] && IGtQ[m, 0]

4202. Int[((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)], x_Symbol] :> Simp[I*((c + d*x)^(m + 1)/(d*(m + 1))), x
      ] - Simp[2*I   Int[(c + d*x)^m*(E^(2*I*(e + f*x))/(1 + E^(2*I*(e + f*x)))), x], x] /; FreeQ[{c, d, e, f}, x] &
      & IGtQ[m, 0]

4203. Int[((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.)*((b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_), x_Symbol] :> Simp[b*(c + d*x)^m*((b*Tan[e
      + f*x])^(n - 1)/(f*(n - 1))), x] + (-Simp[b*d*(m/(f*(n - 1)))   Int[(c + d*x)^(m - 1)*(b*Tan[e + f*x])^(n - 1
      ), x], x] - Simp[b^2   Int[(c + d*x)^m*(b*Tan[e + f*x])^(n - 2), x], x]) /; FreeQ[{b, c, d, e, f}, x] && GtQ[n
      , 1] && GtQ[m, 0]

4204. Int[((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.)*((b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_), x_Symbol] :> Simp[(c + d*x)^m*((b*Tan[e +
      f*x])^(n + 1)/(b*f*(n + 1))), x] + (-Simp[d*(m/(b*f*(n + 1)))   Int[(c + d*x)^(m - 1)*(b*Tan[e + f*x])^(n + 1
      ), x], x] - Simp[1/b^2   Int[(c + d*x)^m*(b*Tan[e + f*x])^(n + 2), x], x]) /; FreeQ[{b, c, d, e, f}, x] && LtQ
      [n, -1] && GtQ[m, 0]

4205. Int[((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.)*((a_) + (b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_.), x_Symbol] :> Int[ExpandIntegrand[
      (c + d*x)^m, (a + b*Tan[e + f*x])^n, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m}, x] && IGtQ[m, 0] && IGtQ[n, 0]

4206. Int[((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.)/((a_) + (b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)]), x_Symbol] :> Simp[(c + d*x)^(m + 1)/(2*
      a*d*(m + 1)), x] + (Simp[a*d*(m/(2*b*f))   Int[(c + d*x)^(m - 1)/(a + b*Tan[e + f*x]), x], x] - Simp[a*((c + d
      *x)^m/(2*b*f*(a + b*Tan[e + f*x]))), x]) /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && EqQ[a^2 + b^2, 0] && GtQ[m, 0]

4207. Int[1/(((c_.) + (d_.)*(x_))^2*((a_) + (b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])), x_Symbol] :> -Simp[(d*(c + d*x)*(a + b*
      Tan[e + f*x]))^(-1), x] + (-Simp[f/(a*d)   Int[Sin[2*e + 2*f*x]/(c + d*x), x], x] + Simp[f/(b*d)   Int[Cos[2*e
      + 2*f*x]/(c + d*x), x], x]) /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && EqQ[a^2 + b^2, 0]

4208. Int[((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_)/((a_) + (b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)]), x_Symbol] :> Simp[f*((c + d*x)^(m + 2)/(
      b*d^2*(m + 1)*(m + 2))), x] + (Simp[2*b*(f/(a*d*(m + 1)))   Int[(c + d*x)^(m + 1)/(a + b*Tan[e + f*x]), x], x]
      + Simp[(c + d*x)^(m + 1)/(d*(m + 1)*(a + b*Tan[e + f*x])), x]) /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && EqQ[a^2 + b
      ^2, 0] && LtQ[m, -1] && NeQ[m, -2]

4209. Int[1/(((c_.) + (d_.)*(x_))*((a_) + (b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])), x_Symbol] :> Simp[Log[c + d*x]/(2*a*d), x
      ] + (Simp[1/(2*a)   Int[Cos[2*e + 2*f*x]/(c + d*x), x], x] + Simp[1/(2*b)   Int[Sin[2*e + 2*f*x]/(c + d*x), x]
      , x]) /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && EqQ[a^2 + b^2, 0]

4210. Int[((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_)/((a_) + (b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)]), x_Symbol] :> Simp[(c + d*x)^(m + 1)/(2*a
      *d*(m + 1)), x] + Simp[1/(2*a)   Int[(c + d*x)^m*E^(2*(a/b)*(e + f*x)), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m},
      x] && EqQ[a^2 + b^2, 0] &&  !IntegerQ[m]

4211. Int[((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_)*((a_) + (b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_), x_Symbol] :> Int[ExpandIntegrand[(c
      + d*x)^m, (1/(2*a) + Cos[2*e + 2*f*x]/(2*a) + Sin[2*e + 2*f*x]/(2*b))^(-n), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f
      }, x] && EqQ[a^2 + b^2, 0] && ILtQ[m, 0] && ILtQ[n, 0]

4212. Int[((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_)*((a_) + (b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_), x_Symbol] :> Int[ExpandIntegrand[(c
      + d*x)^m, (1/(2*a) + E^(2*(a/b)*(e + f*x))/(2*a))^(-n), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m}, x] && EqQ[a^2
      + b^2, 0] && ILtQ[n, 0]

4213. Int[((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.)*((a_) + (b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_), x_Symbol] :> With[{u = IntHide[(a
      + b*Tan[e + f*x])^n, x]}, Simp[(c + d*x)^m   u, x] - Simp[d*m   Int[(c + d*x)^(m - 1)   u, x], x]] /; FreeQ[{a
      , b, c, d, e, f}, x] && EqQ[a^2 + b^2, 0] && ILtQ[n, -1] && GtQ[m, 0]

4214. Int[((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.)/((a_) + (b_.)*tan[(e_.) + Pi*(k_.) + (f_.)*(x_)]), x_Symbol] :> Simp[(c + d*x)^
      (m + 1)/(d*(m + 1)*(a + I*b)), x] + Simp[2*I*b   Int[(c + d*x)^m*E^(2*I*k*Pi)*(E^Simp[2*I*(e + f*x), x]/((a +
      I*b)^2 + (a^2 + b^2)*E^(2*I*k*Pi)*E^Simp[2*I*(e + f*x), x])), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && Intege
      rQ[4*k] && NeQ[a^2 + b^2, 0] && IGtQ[m, 0]

4215. Int[((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.)/((a_) + (b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)]), x_Symbol] :> Simp[(c + d*x)^(m + 1)/(d*
      (m + 1)*(a + I*b)), x] + Simp[2*I*b   Int[(c + d*x)^m*(E^Simp[2*I*(e + f*x), x]/((a + I*b)^2 + (a^2 + b^2)*E^S
      imp[2*I*(e + f*x), x])), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && NeQ[a^2 + b^2, 0] && IGtQ[m, 0]

4216. Int[((c_.) + (d_.)*(x_))/((a_) + (b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^2, x_Symbol] :> Simp[-(c + d*x)^2/(2*d*(a^2 +
      b^2)), x] + (Simp[1/(f*(a^2 + b^2))   Int[(b*d + 2*a*c*f + 2*a*d*f*x)/(a + b*Tan[e + f*x]), x], x] - Simp[b*((
      c + d*x)/(f*(a^2 + b^2)*(a + b*Tan[e + f*x]))), x]) /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && NeQ[a^2 + b^2, 0]

4217. Int[((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.)*((a_) + (b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_), x_Symbol] :> Int[ExpandIntegrand[(
      c + d*x)^m, (1/(a - I*b) - 2*I*(b/(a^2 + b^2 + (a - I*b)^2*E^(2*I*(e + f*x)))))^(-n), x], x] /; FreeQ[{a, b, c
      , d, e, f}, x] && NeQ[a^2 + b^2, 0] && ILtQ[n, 0] && IGtQ[m, 0]

4218. Int[((c_.) + (d_.)*(x_))*Sqrt[(a_) + (b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)]], x_Symbol] :> Simp[(-Sqrt[2])*b*(c + d*x)*
      (ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]]/(Sqrt[2]*Rt[a, 2])]/(Rt[a, 2]*f)), x] + Simp[Sqrt[2]*b*(d/(Rt[a, 2]*f))   In
      t[ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]]/(Sqrt[2]*Rt[a, 2])], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && EqQ[a^2 + b^
      2, 0]

4219. Int[((c_.) + (d_.)*(x_))*Sqrt[(a_.) + (b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)]], x_Symbol] :> Simp[(-I)*Rt[a - I*b, 2]*((
      c + d*x)/f)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]]/Rt[a - I*b, 2]], x] + (Simp[I*Rt[a + I*b, 2]*((c + d*x)/f)*ArcTan
      h[Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]]/Rt[a + I*b, 2]], x] + Simp[I*d*(Rt[a - I*b, 2]/f)   Int[ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[e +
      f*x]]/Rt[a - I*b, 2]], x], x] - Simp[I*d*(Rt[a + I*b, 2]/f)   Int[ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]]/Rt[a + I*b,
      2]], x], x]) /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && NeQ[a^2 + b^2, 0]

4220. Int[((c_.) + (d_.)*(x_))/Sqrt[(a_) + (b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)]], x_Symbol] :> Simp[1/(2*a)   Int[(c + d*x)
      *Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]], x], x] + Simp[a/2   Int[(c + d*x)*(Sec[e + f*x]^2/(a + b*Tan[e + f*x])^(3/2)), x],
      x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && EqQ[a^2 + b^2, 0]

4221. Int[((c_.) + (d_.)*(x_))/Sqrt[(a_.) + (b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)]], x_Symbol] :> Simp[(-I)*((c + d*x)/(f*Rt[
      a - I*b, 2]))*ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]]/Rt[a - I*b, 2]], x] + (Simp[I*((c + d*x)/(f*Rt[a + I*b, 2]))*Ar
      cTanh[Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]]/Rt[a + I*b, 2]], x] + Simp[I*(d/(f*Rt[a - I*b, 2]))   Int[ArcTanh[Sqrt[a + b*Ta
      n[e + f*x]]/Rt[a - I*b, 2]], x], x] - Simp[I*(d/(f*Rt[a + I*b, 2]))   Int[ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]]/Rt[
      a + I*b, 2]], x], x]) /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && NeQ[a^2 + b^2, 0]

4222. Int[((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)]^(n_.), x_Symbol] :> Simp[If[MatchQ[f, (f1_.)*(Complex[0
      , j_])], If[MatchQ[e, (e1_.) + Pi/2], I^n*Unintegrable[(c + d*x)^m*Coth[(-I)*(e - Pi/2) - I*f*x]^n, x], I^n*Un
      integrable[(c + d*x)^m*Tanh[(-I)*e - I*f*x]^n, x]], If[MatchQ[e, (e1_.) + Pi/2], (-1)^n*Unintegrable[(c + d*x)
      ^m*Cot[e - Pi/2 + f*x]^n, x], Unintegrable[(c + d*x)^m*Tan[e + f*x]^n, x]]], x] /; FreeQ[{c, d, e, f, m, n}, x
      ] && IntegerQ[n]

4223. Int[((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.)*((a_.) + (b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_.), x_Symbol] :> Unintegrable[(c + d
      *x)^m*(a + b*Tan[e + f*x])^n, x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m, n}, x]

4224. Int[(u_)^(m_.)*((a_.) + (b_.)*Tan[v_])^(n_.), x_Symbol] :> Int[ExpandToSum[u, x]^m*(a + b*Tan[ExpandToSum[v, x
      ]])^n, x] /; FreeQ[{a, b, m, n}, x] && LinearQ[{u, v}, x] &&  !LinearMatchQ[{u, v}, x]

4225. Int[((a_.) + Cot[v_]*(b_.))^(n_.)*(u_)^(m_.), x_Symbol] :> Int[ExpandToSum[u, x]^m*(a + b*Cot[ExpandToSum[v, x
      ]])^n, x] /; FreeQ[{a, b, m, n}, x] && LinearQ[{u, v}, x] &&  !LinearMatchQ[{u, v}, x]

4226. Int[((a_.) + (b_.)*Tan[(c_.) + (d_.)*(x_)^(n_)])^(p_.), x_Symbol] :> Simp[1/n   Subst[Int[x^(1/n - 1)*(a + b*T
      an[c + d*x])^p, x], x, x^n], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, p}, x] && IGtQ[1/n, 0] && IntegerQ[p]

4227. Int[((a_.) + Cot[(c_.) + (d_.)*(x_)^(n_)]*(b_.))^(p_.), x_Symbol] :> Simp[1/n   Subst[Int[x^(1/n - 1)*(a + b*C
      ot[c + d*x])^p, x], x, x^n], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, p}, x] && IGtQ[1/n, 0] && IntegerQ[p]

4228. Int[((a_.) + (b_.)*Tan[(c_.) + (d_.)*(x_)^(n_)])^(p_.), x_Symbol] :> Unintegrable[(a + b*Tan[c + d*x^n])^p, x]
      /; FreeQ[{a, b, c, d, n, p}, x]

4229. Int[((a_.) + Cot[(c_.) + (d_.)*(x_)^(n_)]*(b_.))^(p_.), x_Symbol] :> Unintegrable[(a + b*Cot[c + d*x^n])^p, x]
      /; FreeQ[{a, b, c, d, n, p}, x]

4230. Int[((a_.) + (b_.)*Tan[(c_.) + (d_.)*(u_)^(n_)])^(p_.), x_Symbol] :> Simp[1/Coefficient[u, x, 1]   Subst[Int[(
      a + b*Tan[c + d*x^n])^p, x], x, u], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, n, p}, x] && LinearQ[u, x] && NeQ[u, x]

4231. Int[((a_.) + Cot[(c_.) + (d_.)*(u_)^(n_)]*(b_.))^(p_.), x_Symbol] :> Simp[1/Coefficient[u, x, 1]   Subst[Int[(
      a + b*Cot[c + d*x^n])^p, x], x, u], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, n, p}, x] && LinearQ[u, x] && NeQ[u, x]

4232. Int[((a_.) + (b_.)*Tan[u_])^(p_.), x_Symbol] :> Int[(a + b*Tan[ExpandToSum[u, x]])^p, x] /; FreeQ[{a, b, p}, x
      ] && BinomialQ[u, x] &&  !BinomialMatchQ[u, x]

4233. Int[((a_.) + Cot[u_]*(b_.))^(p_.), x_Symbol] :> Int[(a + b*Cot[ExpandToSum[u, x]])^p, x] /; FreeQ[{a, b, p}, x
      ] && BinomialQ[u, x] &&  !BinomialMatchQ[u, x]

4234. Int[(x_)^(m_.)*((a_.) + (b_.)*Tan[(c_.) + (d_.)*(x_)^(n_)])^(p_.), x_Symbol] :> Simp[1/n   Subst[Int[x^(Simpli
      fy[(m + 1)/n] - 1)*(a + b*Tan[c + d*x])^p, x], x, x^n], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, m, n, p}, x] && IGtQ[Simplify
      [(m + 1)/n], 0] && IntegerQ[p]

4235. Int[((a_.) + Cot[(c_.) + (d_.)*(x_)^(n_)]*(b_.))^(p_.)*(x_)^(m_.), x_Symbol] :> Simp[1/n   Subst[Int[x^(Simpli
      fy[(m + 1)/n] - 1)*(a + b*Cot[c + d*x])^p, x], x, x^n], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, m, n, p}, x] && IGtQ[Simplify
      [(m + 1)/n], 0] && IntegerQ[p]

4236. Int[(x_)^(m_.)*Tan[(c_.) + (d_.)*(x_)^(n_)]^2, x_Symbol] :> Simp[x^(m - n + 1)*(Tan[c + d*x^n]/(d*n)), x] + (-
      Int[x^m, x] - Simp[(m - n + 1)/(d*n)   Int[x^(m - n)*Tan[c + d*x^n], x], x]) /; FreeQ[{c, d, m, n}, x]

4237. Int[Cot[(c_.) + (d_.)*(x_)^(n_)]^2*(x_)^(m_.), x_Symbol] :> Simp[(-x^(m - n + 1))*(Cot[c + d*x^n]/(d*n)), x] +
      (-Int[x^m, x] + Simp[(m - n + 1)/(d*n)   Int[x^(m - n)*Cot[c + d*x^n], x], x]) /; FreeQ[{c, d, m, n}, x]

4238. Int[(x_)^(m_.)*((a_.) + (b_.)*Tan[(c_.) + (d_.)*(x_)^(n_)])^(p_.), x_Symbol] :> Unintegrable[x^m*(a + b*Tan[c
      + d*x^n])^p, x] /; FreeQ[{a, b, c, d, m, n, p}, x]

4239. Int[((a_.) + Cot[(c_.) + (d_.)*(x_)^(n_)]*(b_.))^(p_.)*(x_)^(m_.), x_Symbol] :> Unintegrable[x^m*(a + b*Cot[c
      + d*x^n])^p, x] /; FreeQ[{a, b, c, d, m, n, p}, x]

4240. Int[((e_)*(x_))^(m_.)*((a_.) + (b_.)*Tan[(c_.) + (d_.)*(x_)^(n_)])^(p_.), x_Symbol] :> Simp[e^IntPart[m]*((e*x
      )^FracPart[m]/x^FracPart[m])   Int[x^m*(a + b*Tan[c + d*x^n])^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, m, n, p}, x]

4241. Int[((a_.) + Cot[(c_.) + (d_.)*(x_)^(n_)]*(b_.))^(p_.)*((e_)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Simp[e^IntPart[m]*((e*x
      )^FracPart[m]/x^FracPart[m])   Int[x^m*(a + b*Cot[c + d*x^n])^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, m, n, p}, x]

4242. Int[((e_)*(x_))^(m_.)*((a_.) + (b_.)*Tan[u_])^(p_.), x_Symbol] :> Int[(e*x)^m*(a + b*Tan[ExpandToSum[u, x]])^p
      , x] /; FreeQ[{a, b, e, m, p}, x] && BinomialQ[u, x] &&  !BinomialMatchQ[u, x]

4243. Int[((a_.) + Cot[u_]*(b_.))^(p_.)*((e_)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Int[(e*x)^m*(a + b*Cot[ExpandToSum[u, x]])^p
      , x] /; FreeQ[{a, b, e, m, p}, x] && BinomialQ[u, x] &&  !BinomialMatchQ[u, x]

4244. Int[(x_)^(m_.)*Sec[(a_.) + (b_.)*(x_)^(n_.)]^(p_.)*Tan[(a_.) + (b_.)*(x_)^(n_.)]^(q_.), x_Symbol] :> Simp[x^(m
      - n + 1)*(Sec[a + b*x^n]^p/(b*n*p)), x] - Simp[(m - n + 1)/(b*n*p)   Int[x^(m - n)*Sec[a + b*x^n]^p, x], x] /
      ; FreeQ[{a, b, p}, x] && IntegerQ[n] && GeQ[m, n] && EqQ[q, 1]

4245. Int[Cot[(a_.) + (b_.)*(x_)^(n_.)]^(q_.)*Csc[(a_.) + (b_.)*(x_)^(n_.)]^(p_.)*(x_)^(m_.), x_Symbol] :> Simp[(-x^
      (m - n + 1))*(Csc[a + b*x^n]^p/(b*n*p)), x] + Simp[(m - n + 1)/(b*n*p)   Int[x^(m - n)*Csc[a + b*x^n]^p, x], x
      ] /; FreeQ[{a, b, p}, x] && IntegerQ[n] && GeQ[m, n] && EqQ[q, 1]

4246. Int[Tan[(a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2]^(n_.), x_Symbol] :> Unintegrable[Tan[a + b*x + c*x^2]^n, x] /; Free
      Q[{a, b, c, n}, x]

4247. Int[Cot[(a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2]^(n_.), x_Symbol] :> Unintegrable[Cot[a + b*x + c*x^2]^n, x] /; Free
      Q[{a, b, c, n}, x]

4248. Int[((d_) + (e_.)*(x_))*Tan[(a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2], x_Symbol] :> Simp[(-e)*(Log[Cos[a + b*x + c*x^
      2]]/(2*c)), x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && EqQ[2*c*d - b*e, 0]

4249. Int[Cot[(a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2]*((d_) + (e_.)*(x_)), x_Symbol] :> Simp[e*(Log[Sin[a + b*x + c*x^2]]
      /(2*c)), x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && EqQ[2*c*d - b*e, 0]

4250. Int[((d_.) + (e_.)*(x_))*Tan[(a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2], x_Symbol] :> Simp[(-e)*(Log[Cos[a + b*x + c*x
      ^2]]/(2*c)), x] + Simp[(2*c*d - b*e)/(2*c)   Int[Tan[a + b*x + c*x^2], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] &&
      NeQ[2*c*d - b*e, 0]

4251. Int[Cot[(a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2]*((d_.) + (e_.)*(x_)), x_Symbol] :> Simp[e*(Log[Sin[a + b*x + c*x^2]
      ]/(2*c)), x] + Simp[(2*c*d - b*e)/(2*c)   Int[Cot[a + b*x + c*x^2], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && NeQ
      [2*c*d - b*e, 0]

4252. Int[((d_.) + (e_.)*(x_))^(m_.)*Tan[(a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2]^(n_.), x_Symbol] :> Unintegrable[(d + e*
      x)^m*Tan[a + b*x + c*x^2]^n, x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, m, n}, x]

4253. Int[Cot[(a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2]^(n_.)*((d_.) + (e_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Unintegrable[(d + e*
      x)^m*Cot[a + b*x + c*x^2]^n, x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, m, n}, x]

4254. Int[csc[(c_.) + (d_.)*(x_)]^(n_), x_Symbol] :> Simp[-d^(-1)   Subst[Int[ExpandIntegrand[(1 + x^2)^(n/2 - 1), x
      ], x], x, Cot[c + d*x]], x] /; FreeQ[{c, d}, x] && IGtQ[n/2, 0]

4255. Int[(csc[(c_.) + (d_.)*(x_)]*(b_.))^(n_), x_Symbol] :> Simp[(-b)*Cos[c + d*x]*((b*Csc[c + d*x])^(n - 1)/(d*(n
      - 1))), x] + Simp[b^2*((n - 2)/(n - 1))   Int[(b*Csc[c + d*x])^(n - 2), x], x] /; FreeQ[{b, c, d}, x] && GtQ[n
      , 1] && IntegerQ[2*n]

4256. Int[(csc[(c_.) + (d_.)*(x_)]*(b_.))^(n_), x_Symbol] :> Simp[Cos[c + d*x]*((b*Csc[c + d*x])^(n + 1)/(b*d*n)), x
      ] + Simp[(n + 1)/(b^2*n)   Int[(b*Csc[c + d*x])^(n + 2), x], x] /; FreeQ[{b, c, d}, x] && LtQ[n, -1] && Intege
      rQ[2*n]

4257. Int[csc[(c_.) + (d_.)*(x_)], x_Symbol] :> Simp[-ArcTanh[Cos[c + d*x]]/d, x] /; FreeQ[{c, d}, x]

4258. Int[(csc[(c_.) + (d_.)*(x_)]*(b_.))^(n_), x_Symbol] :> Simp[(b*Csc[c + d*x])^n*Sin[c + d*x]^n   Int[1/Sin[c +
      d*x]^n, x], x] /; FreeQ[{b, c, d}, x] && EqQ[n^2, 1/4]

4259. Int[(csc[(c_.) + (d_.)*(x_)]*(b_.))^(n_), x_Symbol] :> Simp[(b*Csc[c + d*x])^(n - 1)*((Sin[c + d*x]/b)^(n - 1)
      Int[1/(Sin[c + d*x]/b)^n, x]), x] /; FreeQ[{b, c, d, n}, x] &&  !IntegerQ[n]

4260. Int[(csc[(c_.) + (d_.)*(x_)]*(b_.) + (a_))^2, x_Symbol] :> Simp[a^2*x, x] + (Simp[2*a*b   Int[Csc[c + d*x], x]
      , x] + Simp[b^2   Int[Csc[c + d*x]^2, x], x]) /; FreeQ[{a, b, c, d}, x]

4261. Int[Sqrt[csc[(c_.) + (d_.)*(x_)]*(b_.) + (a_)], x_Symbol] :> Simp[-2*(b/d)   Subst[Int[1/(a + x^2), x], x, b*(
      Cot[c + d*x]/Sqrt[a + b*Csc[c + d*x]])], x] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && EqQ[a^2 - b^2, 0]

4262. Int[(csc[(c_.) + (d_.)*(x_)]*(b_.) + (a_))^(n_), x_Symbol] :> Simp[(-b^2)*Cot[c + d*x]*((a + b*Csc[c + d*x])^(
      n - 2)/(d*(n - 1))), x] + Simp[a/(n - 1)   Int[(a + b*Csc[c + d*x])^(n - 2)*(a*(n - 1) + b*(3*n - 4)*Csc[c + d
      *x]), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && EqQ[a^2 - b^2, 0] && GtQ[n, 1] && IntegerQ[2*n]

4263. Int[1/Sqrt[csc[(c_.) + (d_.)*(x_)]*(b_.) + (a_)], x_Symbol] :> Simp[1/a   Int[Sqrt[a + b*Csc[c + d*x]], x], x]
      - Simp[b/a   Int[Csc[c + d*x]/Sqrt[a + b*Csc[c + d*x]], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && EqQ[a^2 - b^2, 0]

4264. Int[(csc[(c_.) + (d_.)*(x_)]*(b_.) + (a_))^(n_), x_Symbol] :> Simp[(-Cot[c + d*x])*((a + b*Csc[c + d*x])^n/(d*
      (2*n + 1))), x] + Simp[1/(a^2*(2*n + 1))   Int[(a + b*Csc[c + d*x])^(n + 1)*(a*(2*n + 1) - b*(n + 1)*Csc[c + d
      *x]), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && EqQ[a^2 - b^2, 0] && LeQ[n, -1] && IntegerQ[2*n]

4265. Int[(csc[(c_.) + (d_.)*(x_)]*(b_.) + (a_))^(n_), x_Symbol] :> Simp[a^n*(Cot[c + d*x]/(d*Sqrt[1 + Csc[c + d*x]]
      *Sqrt[1 - Csc[c + d*x]]))   Subst[Int[(1 + b*(x/a))^(n - 1/2)/(x*Sqrt[1 - b*(x/a)]), x], x, Csc[c + d*x]], x]
      /; FreeQ[{a, b, c, d, n}, x] && EqQ[a^2 - b^2, 0] &&  !IntegerQ[2*n] && GtQ[a, 0]

4266. Int[(csc[(c_.) + (d_.)*(x_)]*(b_.) + (a_))^(n_), x_Symbol] :> Simp[a^IntPart[n]*((a + b*Csc[c + d*x])^FracPart
      [n]/(1 + (b/a)*Csc[c + d*x])^FracPart[n])   Int[(1 + (b/a)*Csc[c + d*x])^n, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, n}, x
      ] && EqQ[a^2 - b^2, 0] &&  !IntegerQ[2*n] &&  !GtQ[a, 0]

4267. Int[Sqrt[csc[(c_.) + (d_.)*(x_)]*(b_.) + (a_)], x_Symbol] :> Simp[2*((a + b*Csc[c + d*x])/(d*Rt[a + b, 2]*Cot[
      c + d*x]))*Sqrt[b*((1 + Csc[c + d*x])/(a + b*Csc[c + d*x]))]*Sqrt[(-b)*((1 - Csc[c + d*x])/(a + b*Csc[c + d*x]
      ))]*EllipticPi[a/(a + b), ArcSin[Rt[a + b, 2]/Sqrt[a + b*Csc[c + d*x]]], (a - b)/(a + b)], x] /; FreeQ[{a, b,
      c, d}, x] && NeQ[a^2 - b^2, 0]

4268. Int[(csc[(c_.) + (d_.)*(x_)]*(b_.) + (a_))^(3/2), x_Symbol] :> Int[(a^2 + b*(2*a - b)*Csc[c + d*x])/Sqrt[a + b
      *Csc[c + d*x]], x] + Simp[b^2   Int[Csc[c + d*x]*((1 + Csc[c + d*x])/Sqrt[a + b*Csc[c + d*x]]), x], x] /; Free
      Q[{a, b, c, d}, x] && NeQ[a^2 - b^2, 0]

4269. Int[(csc[(c_.) + (d_.)*(x_)]*(b_.) + (a_))^(n_), x_Symbol] :> Simp[(-b^2)*Cot[c + d*x]*((a + b*Csc[c + d*x])^(
      n - 2)/(d*(n - 1))), x] + Simp[1/(n - 1)   Int[(a + b*Csc[c + d*x])^(n - 3)*Simp[a^3*(n - 1) + (b*(b^2*(n - 2)
      + 3*a^2*(n - 1)))*Csc[c + d*x] + (a*b^2*(3*n - 4))*Csc[c + d*x]^2, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && Ne
      Q[a^2 - b^2, 0] && GtQ[n, 2] && IntegerQ[2*n]

4270. Int[(csc[(c_.) + (d_.)*(x_)]*(b_.) + (a_))^(-1), x_Symbol] :> Simp[x/a, x] - Simp[1/a   Int[1/(1 + (a/b)*Sin[c
      + d*x]), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && NeQ[a^2 - b^2, 0]

4271. Int[1/Sqrt[csc[(c_.) + (d_.)*(x_)]*(b_.) + (a_)], x_Symbol] :> Simp[2*(Rt[a + b, 2]/(a*d*Cot[c + d*x]))*Sqrt[b
      *((1 - Csc[c + d*x])/(a + b))]*Sqrt[(-b)*((1 + Csc[c + d*x])/(a - b))]*EllipticPi[(a + b)/a, ArcSin[Sqrt[a + b
      *Csc[c + d*x]]/Rt[a + b, 2]], (a + b)/(a - b)], x] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && NeQ[a^2 - b^2, 0]

4272. Int[(csc[(c_.) + (d_.)*(x_)]*(b_.) + (a_))^(n_), x_Symbol] :> Simp[b^2*Cot[c + d*x]*((a + b*Csc[c + d*x])^(n +
      1)/(a*d*(n + 1)*(a^2 - b^2))), x] + Simp[1/(a*(n + 1)*(a^2 - b^2))   Int[(a + b*Csc[c + d*x])^(n + 1)*Simp[(a
      ^2 - b^2)*(n + 1) - a*b*(n + 1)*Csc[c + d*x] + b^2*(n + 2)*Csc[c + d*x]^2, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x
      ] && NeQ[a^2 - b^2, 0] && LtQ[n, -1] && IntegerQ[2*n]

4273. Int[(csc[(c_.) + (d_.)*(x_)]*(b_.) + (a_))^(n_), x_Symbol] :> Unintegrable[(a + b*Csc[c + d*x])^n, x] /; FreeQ
      [{a, b, c, d, n}, x] && NeQ[a^2 - b^2, 0] &&  !IntegerQ[2*n]

4274. Int[(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(d_.))^(n_.)*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_)), x_Symbol] :> Simp[a   Int[(d
      *Csc[e + f*x])^n, x], x] + Simp[b/d   Int[(d*Csc[e + f*x])^(n + 1), x], x] /; FreeQ[{a, b, d, e, f, n}, x]

4275. Int[(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(d_.))^(n_.)*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_))^2, x_Symbol] :> Simp[2*a*(b/d
      )   Int[(d*Csc[e + f*x])^(n + 1), x], x] + Int[(d*Csc[e + f*x])^n*(a^2 + b^2*Csc[e + f*x]^2), x] /; FreeQ[{a,
      b, d, e, f, n}, x]

4276. Int[csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2/(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_)), x_Symbol] :> Simp[1/b   Int[Csc[e + f*x]
      , x], x] - Simp[a/b   Int[Csc[e + f*x]/(a + b*Csc[e + f*x]), x], x] /; FreeQ[{a, b, e, f}, x]

4277. Int[csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]^3/(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_)), x_Symbol] :> Simp[-Cot[e + f*x]/(b*f), x
      ] - Simp[a/b   Int[Csc[e + f*x]^2/(a + b*Csc[e + f*x]), x], x] /; FreeQ[{a, b, e, f}, x]

4278. Int[(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(d_.))^(n_.)*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_))^(m_), x_Symbol] :> Int[Expand
      Trig[(a + b*csc[e + f*x])^m*(d*csc[e + f*x])^n, x], x] /; FreeQ[{a, b, d, e, f, m, n}, x] && EqQ[a^2 - b^2, 0]
      && IGtQ[m, 0] && RationalQ[n]

4279. Int[csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*Sqrt[csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_)], x_Symbol] :> Simp[-2*b*(Cot[e + f*x]/(
      f*Sqrt[a + b*Csc[e + f*x]])), x] /; FreeQ[{a, b, e, f}, x] && EqQ[a^2 - b^2, 0]

4280. Int[csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_))^(m_), x_Symbol] :> Simp[(-b)*Cot[e + f*x]*(
      (a + b*Csc[e + f*x])^(m - 1)/(f*m)), x] + Simp[a*((2*m - 1)/m)   Int[Csc[e + f*x]*(a + b*Csc[e + f*x])^(m - 1)
      , x], x] /; FreeQ[{a, b, e, f}, x] && EqQ[a^2 - b^2, 0] && GtQ[m, 1/2] && IntegerQ[2*m]

4281. Int[csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]/(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_)), x_Symbol] :> Simp[-Cot[e + f*x]/(f*(b + a*
      Csc[e + f*x])), x] /; FreeQ[{a, b, e, f}, x] && EqQ[a^2 - b^2, 0]

4282. Int[csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]/Sqrt[csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_)], x_Symbol] :> Simp[-2/f   Subst[Int[1/(
      2*a + x^2), x], x, b*(Cot[e + f*x]/Sqrt[a + b*Csc[e + f*x]])], x] /; FreeQ[{a, b, e, f}, x] && EqQ[a^2 - b^2,
      0]

4283. Int[csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_))^(m_), x_Symbol] :> Simp[b*Cot[e + f*x]*((a
      + b*Csc[e + f*x])^m/(a*f*(2*m + 1))), x] + Simp[(m + 1)/(a*(2*m + 1))   Int[Csc[e + f*x]*(a + b*Csc[e + f*x])^
      (m + 1), x], x] /; FreeQ[{a, b, e, f}, x] && EqQ[a^2 - b^2, 0] && LtQ[m, -2^(-1)] && IntegerQ[2*m]

4284. Int[csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_))^(m_), x_Symbol] :> Simp[(-Cot[e + f*x])*(
      (a + b*Csc[e + f*x])^m/(f*(2*m + 1))), x] + Simp[m/(b*(2*m + 1))   Int[Csc[e + f*x]*(a + b*Csc[e + f*x])^(m +
      1), x], x] /; FreeQ[{a, b, e, f}, x] && EqQ[a^2 - b^2, 0] && LtQ[m, -2^(-1)]

4285. Int[csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_))^(m_), x_Symbol] :> Simp[(-Cot[e + f*x])*(
      (a + b*Csc[e + f*x])^m/(f*(m + 1))), x] + Simp[a*(m/(b*(m + 1)))   Int[Csc[e + f*x]*(a + b*Csc[e + f*x])^m, x]
      , x] /; FreeQ[{a, b, e, f, m}, x] && EqQ[a^2 - b^2, 0] &&  !LtQ[m, -2^(-1)]

4286. Int[csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]^3*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_))^(m_), x_Symbol] :> Simp[b*Cot[e + f*x]*((
      a + b*Csc[e + f*x])^m/(a*f*(2*m + 1))), x] - Simp[1/(a^2*(2*m + 1))   Int[Csc[e + f*x]*(a + b*Csc[e + f*x])^(m
      + 1)*(a*m - b*(2*m + 1)*Csc[e + f*x]), x], x] /; FreeQ[{a, b, e, f}, x] && EqQ[a^2 - b^2, 0] && LtQ[m, -2^(-1
      )]

4287. Int[csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]^3*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_))^(m_), x_Symbol] :> Simp[(-Cot[e + f*x])*(
      (a + b*Csc[e + f*x])^(m + 1)/(b*f*(m + 2))), x] + Simp[1/(b*(m + 2))   Int[Csc[e + f*x]*(a + b*Csc[e + f*x])^m
      *(b*(m + 1) - a*Csc[e + f*x]), x], x] /; FreeQ[{a, b, e, f, m}, x] && EqQ[a^2 - b^2, 0] &&  !LtQ[m, -2^(-1)]

4288. Int[Sqrt[csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(d_.)]*Sqrt[csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_)], x_Symbol] :> Simp[-2*(a/(b
      *f))*Sqrt[a*(d/b)]   Subst[Int[1/Sqrt[1 + x^2/a], x], x, b*(Cot[e + f*x]/Sqrt[a + b*Csc[e + f*x]])], x] /; Fre
      eQ[{a, b, d, e, f}, x] && EqQ[a^2 - b^2, 0] && GtQ[a*(d/b), 0]

4289. Int[Sqrt[csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(d_.)]*Sqrt[csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_)], x_Symbol] :> Simp[-2*b*(d/
      f)   Subst[Int[1/(b - d*x^2), x], x, b*(Cot[e + f*x]/(Sqrt[a + b*Csc[e + f*x]]*Sqrt[d*Csc[e + f*x]]))], x] /;
      FreeQ[{a, b, d, e, f}, x] && EqQ[a^2 - b^2, 0] &&  !GtQ[a*(d/b), 0]

4290. Int[(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(d_.))^(n_)*Sqrt[csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_)], x_Symbol] :> Simp[-2*b*d*
      Cot[e + f*x]*((d*Csc[e + f*x])^(n - 1)/(f*(2*n - 1)*Sqrt[a + b*Csc[e + f*x]])), x] + Simp[2*a*d*((n - 1)/(b*(2
      *n - 1)))   Int[Sqrt[a + b*Csc[e + f*x]]*(d*Csc[e + f*x])^(n - 1), x], x] /; FreeQ[{a, b, d, e, f}, x] && EqQ[
      a^2 - b^2, 0] && GtQ[n, 1] && IntegerQ[2*n]

4291. Int[Sqrt[csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_)]/Sqrt[csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(d_.)], x_Symbol] :> Simp[-2*a*(Co
      t[e + f*x]/(f*Sqrt[a + b*Csc[e + f*x]]*Sqrt[d*Csc[e + f*x]])), x] /; FreeQ[{a, b, d, e, f}, x] && EqQ[a^2 - b^
      2, 0]

4292. Int[(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(d_.))^(n_)*Sqrt[csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_)], x_Symbol] :> Simp[a*Cot[e
      + f*x]*((d*Csc[e + f*x])^n/(f*n*Sqrt[a + b*Csc[e + f*x]])), x] + Simp[a*((2*n + 1)/(2*b*d*n))   Int[Sqrt[a +
      b*Csc[e + f*x]]*(d*Csc[e + f*x])^(n + 1), x], x] /; FreeQ[{a, b, d, e, f}, x] && EqQ[a^2 - b^2, 0] && LtQ[n, -
      2^(-1)] && IntegerQ[2*n]

4293. Int[(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(d_.))^(n_)*Sqrt[csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_)], x_Symbol] :> Simp[a^2*d*(
      Cot[e + f*x]/(f*Sqrt[a + b*Csc[e + f*x]]*Sqrt[a - b*Csc[e + f*x]]))   Subst[Int[(d*x)^(n - 1)/Sqrt[a - b*x], x
      ], x, Csc[e + f*x]], x] /; FreeQ[{a, b, d, e, f, n}, x] && EqQ[a^2 - b^2, 0]

4294. Int[Sqrt[csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(d_.)]/Sqrt[csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_)], x_Symbol] :> Simp[(-Sqrt[2
      ])*(Sqrt[a]/(b*f))   Subst[Int[1/Sqrt[1 + x^2], x], x, b*(Cot[e + f*x]/(a + b*Csc[e + f*x]))], x] /; FreeQ[{a,
      b, d, e, f}, x] && EqQ[a^2 - b^2, 0] && EqQ[d - a/b, 0] && GtQ[a, 0]

4295. Int[Sqrt[csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(d_.)]/Sqrt[csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_)], x_Symbol] :> Simp[-2*b*(d/
      (a*f))   Subst[Int[1/(2*b - d*x^2), x], x, b*(Cot[e + f*x]/(Sqrt[a + b*Csc[e + f*x]]*Sqrt[d*Csc[e + f*x]]))],
      x] /; FreeQ[{a, b, d, e, f}, x] && EqQ[a^2 - b^2, 0]

4296. Int[(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(d_.))^(n_)*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_))^(m_), x_Symbol] :> Simp[(-a)*C
      ot[e + f*x]*(a + b*Csc[e + f*x])^(m - 1)*((d*Csc[e + f*x])^n/(f*m)), x] + Simp[b*((2*m - 1)/(d*m))   Int[(a +
      b*Csc[e + f*x])^(m - 1)*(d*Csc[e + f*x])^(n + 1), x], x] /; FreeQ[{a, b, d, e, f, m, n}, x] && EqQ[a^2 - b^2,
      0] && EqQ[m + n, 0] && GtQ[m, 1/2] && IntegerQ[2*m]

4297. Int[(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(d_.))^(n_)*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_))^(m_), x_Symbol] :> Simp[b*d*Co
      t[e + f*x]*(a + b*Csc[e + f*x])^m*((d*Csc[e + f*x])^(n - 1)/(a*f*(2*m + 1))), x] + Simp[d*((m + 1)/(b*(2*m + 1
      )))   Int[(a + b*Csc[e + f*x])^(m + 1)*(d*Csc[e + f*x])^(n - 1), x], x] /; FreeQ[{a, b, d, e, f, m, n}, x] &&
      EqQ[a^2 - b^2, 0] && EqQ[m + n, 0] && LtQ[m, -2^(-1)] && IntegerQ[2*m]

4298. Int[(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(d_.))^(n_)*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_))^(m_), x_Symbol] :> Simp[(-Cot[
      e + f*x])*(a + b*Csc[e + f*x])^m*((d*Csc[e + f*x])^n/(f*(2*m + 1))), x] + Simp[m/(a*(2*m + 1))   Int[(a + b*Cs
      c[e + f*x])^(m + 1)*(d*Csc[e + f*x])^n, x], x] /; FreeQ[{a, b, d, e, f}, x] && EqQ[a^2 - b^2, 0] && EqQ[m + n
      + 1, 0] && LtQ[m, -2^(-1)]

4299. Int[(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(d_.))^(n_)*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_))^(m_), x_Symbol] :> Simp[(-Cot[
      e + f*x])*(a + b*Csc[e + f*x])^m*((d*Csc[e + f*x])^n/(f*(m + 1))), x] + Simp[a*(m/(b*d*(m + 1)))   Int[(a + b*
      Csc[e + f*x])^m*(d*Csc[e + f*x])^(n + 1), x], x] /; FreeQ[{a, b, d, e, f, m, n}, x] && EqQ[a^2 - b^2, 0] && Eq
      Q[m + n + 1, 0] &&  !LtQ[m, -2^(-1)]

4300. Int[(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(d_.))^(n_)*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_))^(m_), x_Symbol] :> Simp[b^2*Co
      t[e + f*x]*(a + b*Csc[e + f*x])^(m - 2)*((d*Csc[e + f*x])^n/(f*n)), x] - Simp[a/(d*n)   Int[(a + b*Csc[e + f*x
      ])^(m - 2)*(d*Csc[e + f*x])^(n + 1)*(b*(m - 2*n - 2) - a*(m + 2*n - 1)*Csc[e + f*x]), x], x] /; FreeQ[{a, b, d
      , e, f}, x] && EqQ[a^2 - b^2, 0] && GtQ[m, 1] && (LtQ[n, -1] || (EqQ[m, 3/2] && EqQ[n, -2^(-1)])) && IntegerQ[
      2*m]

4301. Int[(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(d_.))^(n_)*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_))^(m_), x_Symbol] :> Simp[(-b^2)
      *Cot[e + f*x]*(a + b*Csc[e + f*x])^(m - 2)*((d*Csc[e + f*x])^n/(f*(m + n - 1))), x] + Simp[b/(m + n - 1)   Int
      [(a + b*Csc[e + f*x])^(m - 2)*(d*Csc[e + f*x])^n*(b*(m + 2*n - 1) + a*(3*m + 2*n - 4)*Csc[e + f*x]), x], x] /;
      FreeQ[{a, b, d, e, f, n}, x] && EqQ[a^2 - b^2, 0] && GtQ[m, 1] && NeQ[m + n - 1, 0] && IntegerQ[2*m]

4302. Int[(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(d_.))^(n_)*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_))^(m_), x_Symbol] :> Simp[b*d*Co
      t[e + f*x]*(a + b*Csc[e + f*x])^m*((d*Csc[e + f*x])^(n - 1)/(a*f*(2*m + 1))), x] - Simp[d/(a*b*(2*m + 1))   In
      t[(a + b*Csc[e + f*x])^(m + 1)*(d*Csc[e + f*x])^(n - 1)*(a*(n - 1) - b*(m + n)*Csc[e + f*x]), x], x] /; FreeQ[
      {a, b, d, e, f}, x] && EqQ[a^2 - b^2, 0] && LtQ[m, -1] && LtQ[1, n, 2] && (IntegersQ[2*m, 2*n] || IntegerQ[m])

4303. Int[(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(d_.))^(n_)*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_))^(m_), x_Symbol] :> Simp[(-d^2)
      *Cot[e + f*x]*(a + b*Csc[e + f*x])^m*((d*Csc[e + f*x])^(n - 2)/(f*(2*m + 1))), x] + Simp[d^2/(a*b*(2*m + 1))
      Int[(a + b*Csc[e + f*x])^(m + 1)*(d*Csc[e + f*x])^(n - 2)*(b*(n - 2) + a*(m - n + 2)*Csc[e + f*x]), x], x] /;
      FreeQ[{a, b, d, e, f}, x] && EqQ[a^2 - b^2, 0] && LtQ[m, -1] && GtQ[n, 2] && (IntegersQ[2*m, 2*n] || IntegerQ
      [m])

4304. Int[(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(d_.))^(n_)*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_))^(m_), x_Symbol] :> Simp[(-Cot[
      e + f*x])*(a + b*Csc[e + f*x])^m*((d*Csc[e + f*x])^n/(f*(2*m + 1))), x] + Simp[1/(a^2*(2*m + 1))   Int[(a + b*
      Csc[e + f*x])^(m + 1)*(d*Csc[e + f*x])^n*(a*(2*m + n + 1) - b*(m + n + 1)*Csc[e + f*x]), x], x] /; FreeQ[{a, b
      , d, e, f, n}, x] && EqQ[a^2 - b^2, 0] && LtQ[m, -1] && (IntegersQ[2*m, 2*n] || IntegerQ[m])

4305. Int[(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(d_.))^(n_)/(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_)), x_Symbol] :> Simp[d^2*Cot[e +
      f*x]*((d*Csc[e + f*x])^(n - 2)/(f*(a + b*Csc[e + f*x]))), x] - Simp[d^2/(a*b)   Int[(d*Csc[e + f*x])^(n - 2)*
      (b*(n - 2) - a*(n - 1)*Csc[e + f*x]), x], x] /; FreeQ[{a, b, d, e, f}, x] && EqQ[a^2 - b^2, 0] && GtQ[n, 1]

4306. Int[(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(d_.))^(n_)/(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_)), x_Symbol] :> Simp[Cot[e + f*x
      ]*((d*Csc[e + f*x])^n/(f*(a + b*Csc[e + f*x]))), x] - Simp[1/a^2   Int[(d*Csc[e + f*x])^n*(a*(n - 1) - b*n*Csc
      [e + f*x]), x], x] /; FreeQ[{a, b, d, e, f}, x] && EqQ[a^2 - b^2, 0] && LtQ[n, 0]

4307. Int[(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(d_.))^(n_)/(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_)), x_Symbol] :> Simp[(-b)*d*Cot[
      e + f*x]*((d*Csc[e + f*x])^(n - 1)/(a*f*(a + b*Csc[e + f*x]))), x] + Simp[d*((n - 1)/(a*b))   Int[(d*Csc[e + f
      *x])^(n - 1)*(a - b*Csc[e + f*x]), x], x] /; FreeQ[{a, b, d, e, f, n}, x] && EqQ[a^2 - b^2, 0]

4308. Int[(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(d_.))^(3/2)/Sqrt[csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_)], x_Symbol] :> Simp[d/b
      Int[Sqrt[a + b*Csc[e + f*x]]*Sqrt[d*Csc[e + f*x]], x], x] - Simp[a*(d/b)   Int[Sqrt[d*Csc[e + f*x]]/Sqrt[a + b
      *Csc[e + f*x]], x], x] /; FreeQ[{a, b, d, e, f}, x] && EqQ[a^2 - b^2, 0]

4309. Int[(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(d_.))^(n_)/Sqrt[csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_)], x_Symbol] :> Simp[-2*d^2*
      Cot[e + f*x]*((d*Csc[e + f*x])^(n - 2)/(f*(2*n - 3)*Sqrt[a + b*Csc[e + f*x]])), x] + Simp[d^2/(b*(2*n - 3))
      Int[(d*Csc[e + f*x])^(n - 2)*((2*b*(n - 2) - a*Csc[e + f*x])/Sqrt[a + b*Csc[e + f*x]]), x], x] /; FreeQ[{a, b,
      d, e, f}, x] && EqQ[a^2 - b^2, 0] && GtQ[n, 2] && IntegerQ[2*n]

4310. Int[(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(d_.))^(n_)/Sqrt[csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_)], x_Symbol] :> Simp[Cot[e +
      f*x]*((d*Csc[e + f*x])^n/(f*n*Sqrt[a + b*Csc[e + f*x]])), x] + Simp[1/(2*b*d*n)   Int[(d*Csc[e + f*x])^(n + 1
      )*((a + b*(2*n + 1)*Csc[e + f*x])/Sqrt[a + b*Csc[e + f*x]]), x], x] /; FreeQ[{a, b, d, e, f}, x] && EqQ[a^2 -
      b^2, 0] && LtQ[n, 0] && IntegerQ[2*n]

4311. Int[(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(d_.))^(n_)*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_))^(m_), x_Symbol] :> Simp[(-d^2)
      *Cot[e + f*x]*(a + b*Csc[e + f*x])^m*((d*Csc[e + f*x])^(n - 2)/(f*(m + n - 1))), x] + Simp[d^2/(b*(m + n - 1))
      Int[(a + b*Csc[e + f*x])^m*(d*Csc[e + f*x])^(n - 2)*(b*(n - 2) + a*m*Csc[e + f*x]), x], x] /; FreeQ[{a, b,
      d, e, f, m}, x] && EqQ[a^2 - b^2, 0] && GtQ[n, 2] && NeQ[m + n - 1, 0] && IntegerQ[n]

4312. Int[(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(d_.))^(n_)*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_))^(m_), x_Symbol] :> Simp[(-(a*(
      d/b))^n)*(Cot[e + f*x]/(a^(n - 2)*f*Sqrt[a + b*Csc[e + f*x]]*Sqrt[a - b*Csc[e + f*x]]))   Subst[Int[(a - x)^(n
      - 1)*((2*a - x)^(m - 1/2)/Sqrt[x]), x], x, a - b*Csc[e + f*x]], x] /; FreeQ[{a, b, d, e, f, m, n}, x] && EqQ[
      a^2 - b^2, 0] &&  !IntegerQ[m] && GtQ[a, 0] &&  !IntegerQ[n] && GtQ[a*(d/b), 0]

4313. Int[(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(d_.))^(n_)*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_))^(m_), x_Symbol] :> Simp[(-((-a
      )*(d/b))^n)*(Cot[e + f*x]/(a^(n - 1)*f*Sqrt[a + b*Csc[e + f*x]]*Sqrt[a - b*Csc[e + f*x]]))   Subst[Int[x^(m -
      1/2)*((a - x)^(n - 1)/Sqrt[2*a - x]), x], x, a + b*Csc[e + f*x]], x] /; FreeQ[{a, b, d, e, f, m, n}, x] && EqQ
      [a^2 - b^2, 0] &&  !IntegerQ[m] && GtQ[a, 0] &&  !IntegerQ[n] && LtQ[a*(d/b), 0]

4314. Int[(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(d_.))^(n_.)*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_))^(m_), x_Symbol] :> Simp[a^2*d
      *(Cot[e + f*x]/(f*Sqrt[a + b*Csc[e + f*x]]*Sqrt[a - b*Csc[e + f*x]]))   Subst[Int[(d*x)^(n - 1)*((a + b*x)^(m
      - 1/2)/Sqrt[a - b*x]), x], x, Csc[e + f*x]], x] /; FreeQ[{a, b, d, e, f, m, n}, x] && EqQ[a^2 - b^2, 0] &&  !I
      ntegerQ[m] && GtQ[a, 0]

4315. Int[(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(d_.))^(n_.)*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_))^(m_), x_Symbol] :> Simp[a^Int
      Part[m]*((a + b*Csc[e + f*x])^FracPart[m]/(1 + (b/a)*Csc[e + f*x])^FracPart[m])   Int[(1 + (b/a)*Csc[e + f*x])
      ^m*(d*Csc[e + f*x])^n, x], x] /; FreeQ[{a, b, d, e, f, m, n}, x] && EqQ[a^2 - b^2, 0] &&  !IntegerQ[m] &&  !Gt
      Q[a, 0]

4316. Int[csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*Sqrt[csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_)], x_Symbol] :> Simp[(a - b)   Int[Csc[e
      + f*x]/Sqrt[a + b*Csc[e + f*x]], x], x] + Simp[b   Int[Csc[e + f*x]*((1 + Csc[e + f*x])/Sqrt[a + b*Csc[e + f*x
      ]]), x], x] /; FreeQ[{a, b, e, f}, x] && NeQ[a^2 - b^2, 0]

4317. Int[csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_))^(m_), x_Symbol] :> Simp[(-b)*Cot[e + f*x]*(
      (a + b*Csc[e + f*x])^(m - 1)/(f*m)), x] + Simp[1/m   Int[Csc[e + f*x]*(a + b*Csc[e + f*x])^(m - 2)*(b^2*(m - 1
      ) + a^2*m + a*b*(2*m - 1)*Csc[e + f*x]), x], x] /; FreeQ[{a, b, e, f}, x] && NeQ[a^2 - b^2, 0] && GtQ[m, 1] &&
      IntegerQ[2*m]

4318. Int[csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]/(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_)), x_Symbol] :> Simp[1/b   Int[1/(1 + (a/b)*S
      in[e + f*x]), x], x] /; FreeQ[{a, b, e, f}, x] && NeQ[a^2 - b^2, 0]

4319. Int[csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]/Sqrt[csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_)], x_Symbol] :> Simp[-2*(Rt[a + b, 2]/(b*
      f*Cot[e + f*x]))*Sqrt[(b*(1 - Csc[e + f*x]))/(a + b)]*Sqrt[(-b)*((1 + Csc[e + f*x])/(a - b))]*EllipticF[ArcSin
      [Sqrt[a + b*Csc[e + f*x]]/Rt[a + b, 2]], (a + b)/(a - b)], x] /; FreeQ[{a, b, e, f}, x] && NeQ[a^2 - b^2, 0]

4320. Int[csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_))^(m_), x_Symbol] :> Simp[(-b)*Cot[e + f*x]*(
      (a + b*Csc[e + f*x])^(m + 1)/(f*(m + 1)*(a^2 - b^2))), x] + Simp[1/((m + 1)*(a^2 - b^2))   Int[Csc[e + f*x]*(a
      + b*Csc[e + f*x])^(m + 1)*(a*(m + 1) - b*(m + 2)*Csc[e + f*x]), x], x] /; FreeQ[{a, b, e, f}, x] && NeQ[a^2 -
      b^2, 0] && LtQ[m, -1] && IntegerQ[2*m]

4321. Int[csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_))^(m_), x_Symbol] :> Simp[Cot[e + f*x]/(f*Sqr
      t[1 + Csc[e + f*x]]*Sqrt[1 - Csc[e + f*x]])   Subst[Int[(a + b*x)^m/(Sqrt[1 + x]*Sqrt[1 - x]), x], x, Csc[e +
      f*x]], x] /; FreeQ[{a, b, e, f, m}, x] && NeQ[a^2 - b^2, 0] &&  !IntegerQ[2*m]

4322. Int[csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_))^(m_), x_Symbol] :> Simp[(-Cot[e + f*x])*(
      (a + b*Csc[e + f*x])^m/(f*(m + 1))), x] + Simp[m/(m + 1)   Int[Csc[e + f*x]*(a + b*Csc[e + f*x])^(m - 1)*(b +
      a*Csc[e + f*x]), x], x] /; FreeQ[{a, b, e, f}, x] && NeQ[a^2 - b^2, 0] && GtQ[m, 0]

4323. Int[csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_))^(m_), x_Symbol] :> Simp[a*Cot[e + f*x]*((
      a + b*Csc[e + f*x])^(m + 1)/(f*(m + 1)*(a^2 - b^2))), x] - Simp[1/((m + 1)*(a^2 - b^2))   Int[Csc[e + f*x]*(a
      + b*Csc[e + f*x])^(m + 1)*(b*(m + 1) - a*(m + 2)*Csc[e + f*x]), x], x] /; FreeQ[{a, b, e, f}, x] && NeQ[a^2 -
      b^2, 0] && LtQ[m, -1]

4324. Int[csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2/Sqrt[csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_)], x_Symbol] :> -Int[Csc[e + f*x]/Sqrt[
      a + b*Csc[e + f*x]], x] + Int[Csc[e + f*x]*((1 + Csc[e + f*x])/Sqrt[a + b*Csc[e + f*x]]), x] /; FreeQ[{a, b, e
      , f}, x] && NeQ[a^2 - b^2, 0]

4325. Int[csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_))^(m_), x_Symbol] :> Simp[-a/b   Int[Csc[e
      + f*x]*(a + b*Csc[e + f*x])^m, x], x] + Simp[1/b   Int[Csc[e + f*x]*(a + b*Csc[e + f*x])^(m + 1), x], x] /; Fr
      eeQ[{a, b, e, f, m}, x] && NeQ[a^2 - b^2, 0]

4326. Int[csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]^3*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_))^(m_), x_Symbol] :> Simp[(-a^2)*Cot[e + f*
      x]*((a + b*Csc[e + f*x])^(m + 1)/(b*f*(m + 1)*(a^2 - b^2))), x] + Simp[1/(b*(m + 1)*(a^2 - b^2))   Int[Csc[e +
      f*x]*(a + b*Csc[e + f*x])^(m + 1)*Simp[a*b*(m + 1) - (a^2 + b^2*(m + 1))*Csc[e + f*x], x], x], x] /; FreeQ[{a
      , b, e, f}, x] && NeQ[a^2 - b^2, 0] && LtQ[m, -1]

4327. Int[csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]^3*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_))^(m_), x_Symbol] :> Simp[(-Cot[e + f*x])*(
      (a + b*Csc[e + f*x])^(m + 1)/(b*f*(m + 2))), x] + Simp[1/(b*(m + 2))   Int[Csc[e + f*x]*(a + b*Csc[e + f*x])^m
      *(b*(m + 1) - a*Csc[e + f*x]), x], x] /; FreeQ[{a, b, e, f, m}, x] && NeQ[a^2 - b^2, 0] &&  !LtQ[m, -1]

4328. Int[(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(d_.))^(n_)*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_))^(m_), x_Symbol] :> Simp[a^2*Co
      t[e + f*x]*(a + b*Csc[e + f*x])^(m - 2)*((d*Csc[e + f*x])^n/(f*n)), x] - Simp[1/(d*n)   Int[(a + b*Csc[e + f*x
      ])^(m - 3)*(d*Csc[e + f*x])^(n + 1)*Simp[a^2*b*(m - 2*n - 2) - a*(3*b^2*n + a^2*(n + 1))*Csc[e + f*x] - b*(b^2
      *n + a^2*(m + n - 1))*Csc[e + f*x]^2, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, d, e, f}, x] && NeQ[a^2 - b^2, 0] && GtQ[m, 2
      ] && ((IntegerQ[m] && LtQ[n, -1]) || (IntegersQ[m + 1/2, 2*n] && LeQ[n, -1]))

4329. Int[(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(d_.))^(n_)*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_))^(m_), x_Symbol] :> Simp[(-b^2)
      *Cot[e + f*x]*(a + b*Csc[e + f*x])^(m - 2)*((d*Csc[e + f*x])^n/(f*(m + n - 1))), x] + Simp[1/(d*(m + n - 1))
      Int[(a + b*Csc[e + f*x])^(m - 3)*(d*Csc[e + f*x])^n*Simp[a^3*d*(m + n - 1) + a*b^2*d*n + b*(b^2*d*(m + n - 2)
      + 3*a^2*d*(m + n - 1))*Csc[e + f*x] + a*b^2*d*(3*m + 2*n - 4)*Csc[e + f*x]^2, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, d, e
      , f, n}, x] && NeQ[a^2 - b^2, 0] && GtQ[m, 2] && (IntegerQ[m] || IntegersQ[2*m, 2*n]) &&  !(IGtQ[n, 2] &&  !In
      tegerQ[m])

4330. Int[(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(d_.))^(n_)*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_))^(m_), x_Symbol] :> Simp[(-b)*d
      *Cot[e + f*x]*(a + b*Csc[e + f*x])^(m + 1)*((d*Csc[e + f*x])^(n - 1)/(f*(m + 1)*(a^2 - b^2))), x] + Simp[1/((m
      + 1)*(a^2 - b^2))   Int[(a + b*Csc[e + f*x])^(m + 1)*(d*Csc[e + f*x])^(n - 1)*Simp[b*d*(n - 1) + a*d*(m + 1)*
      Csc[e + f*x] - b*d*(m + n + 1)*Csc[e + f*x]^2, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, d, e, f}, x] && NeQ[a^2 - b^2, 0] &&
      LtQ[m, -1] && LtQ[0, n, 1] && IntegersQ[2*m, 2*n]

4331. Int[(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(d_.))^(n_)*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_))^(m_), x_Symbol] :> Simp[a*d^2*
      Cot[e + f*x]*(a + b*Csc[e + f*x])^(m + 1)*((d*Csc[e + f*x])^(n - 2)/(f*(m + 1)*(a^2 - b^2))), x] - Simp[d^2/((
      m + 1)*(a^2 - b^2))   Int[(a + b*Csc[e + f*x])^(m + 1)*(d*Csc[e + f*x])^(n - 2)*(a*(n - 2) + b*(m + 1)*Csc[e +
      f*x] - a*(m + n)*Csc[e + f*x]^2), x], x] /; FreeQ[{a, b, d, e, f}, x] && NeQ[a^2 - b^2, 0] && LtQ[m, -1] && L
      tQ[1, n, 2] && IntegersQ[2*m, 2*n]

4332. Int[(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(d_.))^(n_)*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_))^(m_), x_Symbol] :> Simp[(-a^2)
      *d^3*Cot[e + f*x]*(a + b*Csc[e + f*x])^(m + 1)*((d*Csc[e + f*x])^(n - 3)/(b*f*(m + 1)*(a^2 - b^2))), x] + Simp
      [d^3/(b*(m + 1)*(a^2 - b^2))   Int[(a + b*Csc[e + f*x])^(m + 1)*(d*Csc[e + f*x])^(n - 3)*Simp[a^2*(n - 3) + a*
      b*(m + 1)*Csc[e + f*x] - (a^2*(n - 2) + b^2*(m + 1))*Csc[e + f*x]^2, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, d, e, f}, x] &
      & NeQ[a^2 - b^2, 0] && LtQ[m, -1] && (IGtQ[n, 3] || (IntegersQ[n + 1/2, 2*m] && GtQ[n, 2]))

4333. Int[(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(d_.))^(n_)*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_))^(m_), x_Symbol] :> Simp[Cot[e
      + f*x]*(a + b*Csc[e + f*x])^(m + 1)*((d*Csc[e + f*x])^n/(a*f*n)), x] - Simp[1/(a*d*n)   Int[(a + b*Csc[e + f*x
      ])^m*(d*Csc[e + f*x])^(n + 1)*Simp[b*(m + n + 1) - a*(n + 1)*Csc[e + f*x] - b*(m + n + 2)*Csc[e + f*x]^2, x],
      x], x] /; FreeQ[{a, b, d, e, f}, x] && NeQ[a^2 - b^2, 0] && ILtQ[m + 1/2, 0] && ILtQ[n, 0]

4334. Int[(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(d_.))^(n_)*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_))^(m_), x_Symbol] :> Simp[b^2*Co
      t[e + f*x]*(a + b*Csc[e + f*x])^(m + 1)*((d*Csc[e + f*x])^n/(a*f*(m + 1)*(a^2 - b^2))), x] + Simp[1/(a*(m + 1)
      *(a^2 - b^2))   Int[(a + b*Csc[e + f*x])^(m + 1)*(d*Csc[e + f*x])^n*(a^2*(m + 1) - b^2*(m + n + 1) - a*b*(m +
      1)*Csc[e + f*x] + b^2*(m + n + 2)*Csc[e + f*x]^2), x], x] /; FreeQ[{a, b, d, e, f, n}, x] && NeQ[a^2 - b^2, 0]
      && LtQ[m, -1] && IntegersQ[2*m, 2*n]

4335. Int[Sqrt[csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(d_.)]/(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_)), x_Symbol] :> Simp[Sqrt[d*Sin[e
      + f*x]]*(Sqrt[d*Csc[e + f*x]]/d)   Int[Sqrt[d*Sin[e + f*x]]/(b + a*Sin[e + f*x]), x], x] /; FreeQ[{a, b, d, e
      , f}, x] && NeQ[a^2 - b^2, 0]

4336. Int[(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(d_.))^(3/2)/(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_)), x_Symbol] :> Simp[d*Sqrt[d*S
      in[e + f*x]]*Sqrt[d*Csc[e + f*x]]   Int[1/(Sqrt[d*Sin[e + f*x]]*(b + a*Sin[e + f*x])), x], x] /; FreeQ[{a, b,
      d, e, f}, x] && NeQ[a^2 - b^2, 0]

4337. Int[(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(d_.))^(5/2)/(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_)), x_Symbol] :> Simp[d/b   Int[
      (d*Csc[e + f*x])^(3/2), x], x] - Simp[a*(d/b)   Int[(d*Csc[e + f*x])^(3/2)/(a + b*Csc[e + f*x]), x], x] /; Fre
      eQ[{a, b, d, e, f}, x] && NeQ[a^2 - b^2, 0]

4338. Int[(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(d_.))^(n_)/(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_)), x_Symbol] :> Simp[(-d^3)*Cot[
      e + f*x]*((d*Csc[e + f*x])^(n - 3)/(b*f*(n - 2))), x] + Simp[d^3/(b*(n - 2))   Int[(d*Csc[e + f*x])^(n - 3)*(S
      imp[a*(n - 3) + b*(n - 3)*Csc[e + f*x] - a*(n - 2)*Csc[e + f*x]^2, x]/(a + b*Csc[e + f*x])), x], x] /; FreeQ[{
      a, b, d, e, f}, x] && NeQ[a^2 - b^2, 0] && GtQ[n, 3]

4339. Int[1/(Sqrt[csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(d_.)]*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_))), x_Symbol] :> Simp[b^2/(a^2
      *d^2)   Int[(d*Csc[e + f*x])^(3/2)/(a + b*Csc[e + f*x]), x], x] + Simp[1/a^2   Int[(a - b*Csc[e + f*x])/Sqrt[d
      *Csc[e + f*x]], x], x] /; FreeQ[{a, b, d, e, f}, x] && NeQ[a^2 - b^2, 0]

4340. Int[(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(d_.))^(n_)/(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_)), x_Symbol] :> Simp[Cot[e + f*x
      ]*((d*Csc[e + f*x])^n/(a*f*n)), x] - Simp[1/(a*d*n)   Int[((d*Csc[e + f*x])^(n + 1)/(a + b*Csc[e + f*x]))*Simp
      [b*n - a*(n + 1)*Csc[e + f*x] - b*(n + 1)*Csc[e + f*x]^2, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, d, e, f}, x] && NeQ[a^2 -
      b^2, 0] && LeQ[n, -1] && IntegerQ[2*n]

4341. Int[Sqrt[csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(d_.)]*Sqrt[csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_)], x_Symbol] :> Simp[a   Int[
      Sqrt[d*Csc[e + f*x]]/Sqrt[a + b*Csc[e + f*x]], x], x] + Simp[b/d   Int[(d*Csc[e + f*x])^(3/2)/Sqrt[a + b*Csc[e
      + f*x]], x], x] /; FreeQ[{a, b, d, e, f}, x] && NeQ[a^2 - b^2, 0]

4342. Int[(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(d_.))^(n_)*Sqrt[csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_)], x_Symbol] :> Simp[-2*d*Co
      s[e + f*x]*Sqrt[a + b*Csc[e + f*x]]*((d*Csc[e + f*x])^(n - 1)/(f*(2*n - 1))), x] + Simp[d^2/(2*n - 1)   Int[(d
      *Csc[e + f*x])^(n - 2)*(Simp[2*a*(n - 2) + b*(2*n - 3)*Csc[e + f*x] + a*Csc[e + f*x]^2, x]/Sqrt[a + b*Csc[e +
      f*x]]), x], x] /; FreeQ[{a, b, d, e, f}, x] && NeQ[a^2 - b^2, 0] && GtQ[n, 1] && IntegerQ[2*n]

4343. Int[Sqrt[csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_)]/Sqrt[csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(d_.)], x_Symbol] :> Simp[Sqrt[a +
      b*Csc[e + f*x]]/(Sqrt[d*Csc[e + f*x]]*Sqrt[b + a*Sin[e + f*x]])   Int[Sqrt[b + a*Sin[e + f*x]], x], x] /; Fre
      eQ[{a, b, d, e, f}, x] && NeQ[a^2 - b^2, 0]

4344. Int[(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(d_.))^(n_)*Sqrt[csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_)], x_Symbol] :> Simp[Cot[e +
      f*x]*Sqrt[a + b*Csc[e + f*x]]*((d*Csc[e + f*x])^n/(f*n)), x] - Simp[1/(2*d*n)   Int[(d*Csc[e + f*x])^(n + 1)*
      (Simp[b - 2*a*(n + 1)*Csc[e + f*x] - b*(2*n + 3)*Csc[e + f*x]^2, x]/Sqrt[a + b*Csc[e + f*x]]), x], x] /; FreeQ
      [{a, b, d, e, f}, x] && NeQ[a^2 - b^2, 0] && LeQ[n, -1] && IntegerQ[2*n]

4345. Int[Sqrt[csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(d_.)]/Sqrt[csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_)], x_Symbol] :> Simp[Sqrt[d*C
      sc[e + f*x]]*(Sqrt[b + a*Sin[e + f*x]]/Sqrt[a + b*Csc[e + f*x]])   Int[1/Sqrt[b + a*Sin[e + f*x]], x], x] /; F
      reeQ[{a, b, d, e, f}, x] && NeQ[a^2 - b^2, 0]

4346. Int[(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(d_.))^(3/2)/Sqrt[csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_)], x_Symbol] :> Simp[d*Sqrt
      [d*Csc[e + f*x]]*(Sqrt[b + a*Sin[e + f*x]]/Sqrt[a + b*Csc[e + f*x]])   Int[1/(Sin[e + f*x]*Sqrt[b + a*Sin[e +
      f*x]]), x], x] /; FreeQ[{a, b, d, e, f}, x] && NeQ[a^2 - b^2, 0]

4347. Int[(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(d_.))^(n_)/Sqrt[csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_)], x_Symbol] :> Simp[-2*d^2*
      Cos[e + f*x]*(d*Csc[e + f*x])^(n - 2)*(Sqrt[a + b*Csc[e + f*x]]/(b*f*(2*n - 3))), x] + Simp[d^3/(b*(2*n - 3))
      Int[((d*Csc[e + f*x])^(n - 3)/Sqrt[a + b*Csc[e + f*x]])*Simp[2*a*(n - 3) + b*(2*n - 5)*Csc[e + f*x] - 2*a*(n
      - 2)*Csc[e + f*x]^2, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, d, e, f}, x] && NeQ[a^2 - b^2, 0] && GtQ[n, 2] && IntegerQ[2*
      n]

4348. Int[1/(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*Sqrt[csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_)]), x_Symbol] :> Simp[(-Cos[e + f*x])*
      (Sqrt[a + b*Csc[e + f*x]]/(a*f)), x] - Simp[b/(2*a)   Int[(1 + Csc[e + f*x]^2)/Sqrt[a + b*Csc[e + f*x]], x], x
      ] /; FreeQ[{a, b, e, f}, x] && NeQ[a^2 - b^2, 0]

4349. Int[1/(Sqrt[csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(d_.)]*Sqrt[csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_)]), x_Symbol] :> Simp[1/a
      Int[Sqrt[a + b*Csc[e + f*x]]/Sqrt[d*Csc[e + f*x]], x], x] - Simp[b/(a*d)   Int[Sqrt[d*Csc[e + f*x]]/Sqrt[a +
      b*Csc[e + f*x]], x], x] /; FreeQ[{a, b, d, e, f}, x] && NeQ[a^2 - b^2, 0]

4350. Int[(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(d_.))^(n_)/Sqrt[csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_)], x_Symbol] :> Simp[Cos[e +
      f*x]*(d*Csc[e + f*x])^(n + 1)*(Sqrt[a + b*Csc[e + f*x]]/(a*d*f*n)), x] + Simp[1/(2*a*d*n)   Int[((d*Csc[e + f
      *x])^(n + 1)/Sqrt[a + b*Csc[e + f*x]])*Simp[(-b)*(2*n + 1) + 2*a*(n + 1)*Csc[e + f*x] + b*(2*n + 3)*Csc[e + f*
      x]^2, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, d, e, f}, x] && NeQ[a^2 - b^2, 0] && LtQ[n, -1] && IntegerQ[2*n]

4351. Int[(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(d_.))^(n_)*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_))^(3/2), x_Symbol] :> Simp[a*Cot
      [e + f*x]*Sqrt[a + b*Csc[e + f*x]]*((d*Csc[e + f*x])^n/(f*n)), x] + Simp[1/(2*d*n)   Int[((d*Csc[e + f*x])^(n
      + 1)/Sqrt[a + b*Csc[e + f*x]])*Simp[a*b*(2*n - 1) + 2*(b^2*n + a^2*(n + 1))*Csc[e + f*x] + a*b*(2*n + 3)*Csc[e
      + f*x]^2, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, d, e, f}, x] && NeQ[a^2 - b^2, 0] && LeQ[n, -1] && IntegersQ[2*n]

4352. Int[(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(d_.))^(n_)*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_))^(m_), x_Symbol] :> Simp[(-d^3)
      *Cot[e + f*x]*(a + b*Csc[e + f*x])^(m + 1)*((d*Csc[e + f*x])^(n - 3)/(b*f*(m + n - 1))), x] + Simp[d^3/(b*(m +
      n - 1))   Int[(a + b*Csc[e + f*x])^m*(d*Csc[e + f*x])^(n - 3)*Simp[a*(n - 3) + b*(m + n - 2)*Csc[e + f*x] - a
      *(n - 2)*Csc[e + f*x]^2, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, d, e, f, m}, x] && NeQ[a^2 - b^2, 0] && GtQ[n, 3] && (Inte
      gerQ[n] || IntegersQ[2*m, 2*n]) &&  !IGtQ[m, 2]

4353. Int[(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(d_.))^(n_)*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_))^(m_), x_Symbol] :> Simp[(-b)*d
      *Cot[e + f*x]*(a + b*Csc[e + f*x])^(m - 1)*((d*Csc[e + f*x])^(n - 1)/(f*(m + n - 1))), x] + Simp[d/(m + n - 1)
      Int[(a + b*Csc[e + f*x])^(m - 2)*(d*Csc[e + f*x])^(n - 1)*Simp[a*b*(n - 1) + (b^2*(m + n - 2) + a^2*(m + n
      - 1))*Csc[e + f*x] + a*b*(2*m + n - 2)*Csc[e + f*x]^2, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, d, e, f}, x] && NeQ[a^2 - b^
      2, 0] && LtQ[0, m, 2] && LtQ[0, n, 3] && NeQ[m + n - 1, 0] && (IntegerQ[m] || IntegersQ[2*m, 2*n])

4354. Int[(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(d_.))^(n_)*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_))^(m_), x_Symbol] :> Simp[(-d^2)
      *Cot[e + f*x]*(a + b*Csc[e + f*x])^m*((d*Csc[e + f*x])^(n - 2)/(f*(m + n - 1))), x] + Simp[d^2/(b*(m + n - 1))
      Int[(a + b*Csc[e + f*x])^(m - 1)*(d*Csc[e + f*x])^(n - 2)*Simp[a*b*(n - 2) + b^2*(m + n - 2)*Csc[e + f*x] +
      a*b*m*Csc[e + f*x]^2, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, d, e, f}, x] && NeQ[a^2 - b^2, 0] && LtQ[-1, m, 2] && LtQ[1,
      n, 3] && NeQ[m + n - 1, 0] && (IntegerQ[n] || IntegersQ[2*m, 2*n])

4355. Int[(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_))^(3/2)/Sqrt[csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(d_.)], x_Symbol] :> Simp[a   In
      t[Sqrt[a + b*Csc[e + f*x]]/Sqrt[d*Csc[e + f*x]], x], x] + Simp[b/d   Int[Sqrt[a + b*Csc[e + f*x]]*Sqrt[d*Csc[e
      + f*x]], x], x] /; FreeQ[{a, b, d, e, f}, x] && NeQ[a^2 - b^2, 0]

4356. Int[(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(d_.))^(n_.)*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_))^(m_.), x_Symbol] :> Simp[Sin[
      e + f*x]^n*(d*Csc[e + f*x])^n   Int[(b + a*Sin[e + f*x])^m/Sin[e + f*x]^(m + n), x], x] /; FreeQ[{a, b, d, e,
      f, n}, x] && NeQ[a^2 - b^2, 0] && IntegerQ[m]

4357. Int[(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(d_.))^(n_.)*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_))^(m_.), x_Symbol] :> Unintegra
      ble[(d*Csc[e + f*x])^n*(a + b*Csc[e + f*x])^m, x] /; FreeQ[{a, b, d, e, f, m, n}, x]

4358. Int[(cos[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(d_.))^(m_)*((a_.) + (b_.)*sec[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(p_), x_Symbol] :> Simp[(d*Co
      s[e + f*x])^FracPart[m]*(Sec[e + f*x]/d)^FracPart[m]   Int[(a + b*Sec[e + f*x])^p/(Sec[e + f*x]/d)^m, x], x] /
      ; FreeQ[{a, b, d, e, f, m, p}, x] &&  !IntegerQ[m] &&  !IntegerQ[p]

4359. Int[cos[(e_.) + (f_.)*(x_)]^(p_.)*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_))^(m_.), x_Symbol] :> Int[Cot[e + f*x]^
      p*(b + a*Sin[e + f*x])^m, x] /; FreeQ[{a, b, e, f, p}, x] && IntegerQ[m] && EqQ[m, p]

4360. Int[(cos[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(g_.))^(p_.)*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_))^(m_.), x_Symbol] :> Int[(g*Co
      s[e + f*x])^p*((b + a*Sin[e + f*x])^m/Sin[e + f*x]^m), x] /; FreeQ[{a, b, e, f, g, p}, x] && IntegerQ[m]

4361. Int[cos[(e_.) + (f_.)*(x_)]^(p_.)*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_))^(m_), x_Symbol] :> Simp[-(f*b^(p - 1)
      )^(-1)   Subst[Int[(-a + b*x)^((p - 1)/2)*((a + b*x)^(m + (p - 1)/2)/x^(p + 1)), x], x, Csc[e + f*x]], x] /; F
      reeQ[{a, b, e, f, m}, x] && IntegerQ[(p - 1)/2] && EqQ[a^2 - b^2, 0]

4362. Int[cos[(e_.) + (f_.)*(x_)]^(p_.)*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_))^(m_), x_Symbol] :> Simp[-f^(-1)   Sub
      st[Int[(-1 + x)^((p - 1)/2)*(1 + x)^((p - 1)/2)*((a + b*x)^m/x^(p + 1)), x], x, Csc[e + f*x]], x] /; FreeQ[{a,
      b, e, f, m}, x] && IntegerQ[(p - 1)/2] && NeQ[a^2 - b^2, 0]

4363. Int[(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_))^(m_)/cos[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2, x_Symbol] :> Simp[Tan[e + f*x]*((a
      + b*Csc[e + f*x])^m/f), x] + Simp[b*m   Int[Csc[e + f*x]*(a + b*Csc[e + f*x])^(m - 1), x], x] /; FreeQ[{a, b,
      e, f, m}, x]

4364. Int[(cos[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(g_.))^(p_.)*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_))^(m_), x_Symbol] :> Simp[Sin[e
      + f*x]^FracPart[m]*((a + b*Csc[e + f*x])^FracPart[m]/(b + a*Sin[e + f*x])^FracPart[m])   Int[(g*Cos[e + f*x])
      ^p*((b + a*Sin[e + f*x])^m/Sin[e + f*x]^m), x], x] /; FreeQ[{a, b, e, f, g, m, p}, x] && (EqQ[a^2 - b^2, 0] ||
      IntegersQ[2*m, p])

4365. Int[(cos[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(g_.))^(p_.)*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_))^(m_.), x_Symbol] :> Unintegra
      ble[(g*Cos[e + f*x])^p*(a + b*Csc[e + f*x])^m, x] /; FreeQ[{a, b, e, f, g, m, p}, x]

4366. Int[(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_))^(m_.)*((g_.)*sec[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(p_), x_Symbol] :> Simp[g^Int
      Part[p]*(g*Sec[e + f*x])^FracPart[p]*Cos[e + f*x]^FracPart[p]   Int[(a + b*Csc[e + f*x])^m/Cos[e + f*x]^p, x],
      x] /; FreeQ[{a, b, e, f, g, m, p}, x] &&  !IntegerQ[p]

4367. Int[cot[(c_.) + (d_.)*(x_)]^(m_.)*(csc[(c_.) + (d_.)*(x_)]*(b_.) + (a_))^(n_.), x_Symbol] :> Simp[1/(a^(m - n
      - 1)*b^n*d)   Subst[Int[(a - b*x)^((m - 1)/2)*((a + b*x)^((m - 1)/2 + n)/x^(m + n)), x], x, Sin[c + d*x]], x]
      /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && IntegerQ[(m - 1)/2] && EqQ[a^2 - b^2, 0] && IntegerQ[n]

4368. Int[cot[(c_.) + (d_.)*(x_)]^(m_.)*(csc[(c_.) + (d_.)*(x_)]*(b_.) + (a_))^(n_), x_Symbol] :> Simp[-(d*b^(m - 1)
      )^(-1)   Subst[Int[(-a + b*x)^((m - 1)/2)*((a + b*x)^((m - 1)/2 + n)/x), x], x, Csc[c + d*x]], x] /; FreeQ[{a,
      b, c, d, n}, x] && IntegerQ[(m - 1)/2] && EqQ[a^2 - b^2, 0] &&  !IntegerQ[n]

4369. Int[(cot[(c_.) + (d_.)*(x_)]*(e_.))^(m_)*(csc[(c_.) + (d_.)*(x_)]*(b_.) + (a_)), x_Symbol] :> Simp[(-e)*(e*Cot
      [c + d*x])^(m - 1)*((a*m + b*(m - 1)*Csc[c + d*x])/(d*m*(m - 1))), x] - Simp[e^2/m   Int[(e*Cot[c + d*x])^(m -
      2)*(a*m + b*(m - 1)*Csc[c + d*x]), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && GtQ[m, 1]

4370. Int[(cot[(c_.) + (d_.)*(x_)]*(e_.))^(m_)*(csc[(c_.) + (d_.)*(x_)]*(b_.) + (a_)), x_Symbol] :> Simp[(-(e*Cot[c
      + d*x])^(m + 1))*((a + b*Csc[c + d*x])/(d*e*(m + 1))), x] - Simp[1/(e^2*(m + 1))   Int[(e*Cot[c + d*x])^(m + 2
      )*(a*(m + 1) + b*(m + 2)*Csc[c + d*x]), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && LtQ[m, -1]

4371. Int[(csc[(c_.) + (d_.)*(x_)]*(b_.) + (a_))/cot[(c_.) + (d_.)*(x_)], x_Symbol] :> Int[(b + a*Sin[c + d*x])/Cos[
      c + d*x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x]

4372. Int[(cot[(c_.) + (d_.)*(x_)]*(e_.))^(m_.)*(csc[(c_.) + (d_.)*(x_)]*(b_.) + (a_)), x_Symbol] :> Simp[a   Int[(e
      *Cot[c + d*x])^m, x], x] + Simp[b   Int[(e*Cot[c + d*x])^m*Csc[c + d*x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, m}, x
      ]

4373. Int[cot[(c_.) + (d_.)*(x_)]^(m_.)*(csc[(c_.) + (d_.)*(x_)]*(b_.) + (a_))^(n_), x_Symbol] :> Simp[-(-1)^((m - 1
      )/2)/(d*b^(m - 1))   Subst[Int[(b^2 - x^2)^((m - 1)/2)*((a + x)^n/x), x], x, b*Csc[c + d*x]], x] /; FreeQ[{a,
      b, c, d, n}, x] && IntegerQ[(m - 1)/2] && NeQ[a^2 - b^2, 0]

4374. Int[(cot[(c_.) + (d_.)*(x_)]*(e_.))^(m_)*(csc[(c_.) + (d_.)*(x_)]*(b_.) + (a_))^(n_), x_Symbol] :> Int[ExpandI
      ntegrand[(e*Cot[c + d*x])^m, (a + b*Csc[c + d*x])^n, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, m}, x] && IGtQ[n, 0]

4375. Int[cot[(c_.) + (d_.)*(x_)]^(m_.)*(csc[(c_.) + (d_.)*(x_)]*(b_.) + (a_))^(n_.), x_Symbol] :> Simp[-2*(a^(m/2 +
      n + 1/2)/d)   Subst[Int[x^m*((2 + a*x^2)^(m/2 + n - 1/2)/(1 + a*x^2)), x], x, Cot[c + d*x]/Sqrt[a + b*Csc[c +
      d*x]]], x] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && EqQ[a^2 - b^2, 0] && IntegerQ[m/2] && IntegerQ[n - 1/2]

4376. Int[(cot[(c_.) + (d_.)*(x_)]*(e_.))^(m_)*(csc[(c_.) + (d_.)*(x_)]*(b_.) + (a_))^(n_), x_Symbol] :> Simp[a^(2*n
      )/e^(2*n)   Int[(e*Cot[c + d*x])^(m + 2*n)/(-a + b*Csc[c + d*x])^n, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, m}, x] &&
      EqQ[a^2 - b^2, 0] && ILtQ[n, 0]

4377. Int[(cot[(c_.) + (d_.)*(x_)]*(e_.))^(m_)*(csc[(c_.) + (d_.)*(x_)]*(b_.) + (a_))^(n_), x_Symbol] :> Simp[(-2^(m
      + n + 1))*(e*Cot[c + d*x])^(m + 1)*((a + b*Csc[c + d*x])^n/(d*e*(m + 1)))*(a/(a + b*Csc[c + d*x]))^(m + n + 1
      )*AppellF1[(m + 1)/2, m + n, 1, (m + 3)/2, -(a - b*Csc[c + d*x])/(a + b*Csc[c + d*x]), (a - b*Csc[c + d*x])/(a
      + b*Csc[c + d*x])], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, m, n}, x] && EqQ[a^2 - b^2, 0] &&  !IntegerQ[n]

4378. Int[Sqrt[cot[(c_.) + (d_.)*(x_)]*(e_.)]/(csc[(c_.) + (d_.)*(x_)]*(b_.) + (a_)), x_Symbol] :> Simp[1/a   Int[Sq
      rt[e*Cot[c + d*x]], x], x] - Simp[b/a   Int[Sqrt[e*Cot[c + d*x]]/(b + a*Sin[c + d*x]), x], x] /; FreeQ[{a, b,
      c, d, e}, x] && NeQ[a^2 - b^2, 0]

4379. Int[(cot[(c_.) + (d_.)*(x_)]*(e_.))^(m_)/(csc[(c_.) + (d_.)*(x_)]*(b_.) + (a_)), x_Symbol] :> Simp[-e^2/b^2
      Int[(e*Cot[c + d*x])^(m - 2)*(a - b*Csc[c + d*x]), x], x] + Simp[e^2*((a^2 - b^2)/b^2)   Int[(e*Cot[c + d*x])^
      (m - 2)/(a + b*Csc[c + d*x]), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && NeQ[a^2 - b^2, 0] && IGtQ[m - 1/2, 0]

4380. Int[1/(Sqrt[cot[(c_.) + (d_.)*(x_)]*(e_.)]*(csc[(c_.) + (d_.)*(x_)]*(b_.) + (a_))), x_Symbol] :> Simp[1/a   In
      t[1/Sqrt[e*Cot[c + d*x]], x], x] - Simp[b/a   Int[1/(Sqrt[e*Cot[c + d*x]]*(b + a*Sin[c + d*x])), x], x] /; Fre
      eQ[{a, b, c, d, e}, x] && NeQ[a^2 - b^2, 0]

4381. Int[(cot[(c_.) + (d_.)*(x_)]*(e_.))^(m_)/(csc[(c_.) + (d_.)*(x_)]*(b_.) + (a_)), x_Symbol] :> Simp[1/(a^2 - b^
      2)   Int[(e*Cot[c + d*x])^m*(a - b*Csc[c + d*x]), x], x] + Simp[b^2/(e^2*(a^2 - b^2))   Int[(e*Cot[c + d*x])^(
      m + 2)/(a + b*Csc[c + d*x]), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && NeQ[a^2 - b^2, 0] && ILtQ[m + 1/2, 0]

4382. Int[cot[(c_.) + (d_.)*(x_)]^2*(csc[(c_.) + (d_.)*(x_)]*(b_.) + (a_))^(n_), x_Symbol] :> Int[(-1 + Csc[c + d*x]
      ^2)*(a + b*Csc[c + d*x])^n, x] /; FreeQ[{a, b, c, d, n}, x] && NeQ[a^2 - b^2, 0]

4383. Int[cot[(c_.) + (d_.)*(x_)]^(m_)*(csc[(c_.) + (d_.)*(x_)]*(b_.) + (a_))^(n_), x_Symbol] :> Int[ExpandIntegrand
      [(a + b*Csc[c + d*x])^n, (-1 + Csc[c + d*x]^2)^(m/2), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, n}, x] && NeQ[a^2 - b^2, 0]
      && IGtQ[m/2, 0] && IntegerQ[n - 1/2]

4384. Int[cot[(c_.) + (d_.)*(x_)]^(m_)*(csc[(c_.) + (d_.)*(x_)]*(b_.) + (a_))^(n_), x_Symbol] :> Int[ExpandIntegrand
      [(a + b*Csc[c + d*x])^n, (-1 + Sec[c + d*x]^2)^(-m/2), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, n}, x] && NeQ[a^2 - b^2, 0
      ] && ILtQ[m/2, 0] && IntegerQ[n - 1/2] && EqQ[m, -2]

4385. Int[(cot[(c_.) + (d_.)*(x_)]*(e_.))^(m_)*(csc[(c_.) + (d_.)*(x_)]*(b_.) + (a_))^(n_), x_Symbol] :> Int[ExpandI
      ntegrand[(e*Cot[c + d*x])^m, (a + b*Csc[c + d*x])^n, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, m}, x] && NeQ[a^2 - b^2,
      0] && IGtQ[n, 0]

4386. Int[cot[(c_.) + (d_.)*(x_)]^(m_.)*(csc[(c_.) + (d_.)*(x_)]*(b_.) + (a_))^(n_), x_Symbol] :> Int[Cos[c + d*x]^m
      *((b + a*Sin[c + d*x])^n/Sin[c + d*x]^(m + n)), x] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && NeQ[a^2 - b^2, 0] && IntegerQ[
      n] && IntegerQ[m] && (IntegerQ[m/2] || LeQ[m, 1])

4387. Int[((a_.) + csc[(c_.) + (d_.)*(x_)]*(b_.))^(n_.)*(cot[(c_.) + (d_.)*(x_)]*(e_.))^(m_.), x_Symbol] :> Unintegr
      able[(e*Cot[c + d*x])^m*(a + b*Csc[c + d*x])^n, x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, m, n}, x]

4388. Int[(cot[(c_.) + (d_.)*(x_)]*(e_.))^(m_)*((a_) + (b_.)*sec[(c_.) + (d_.)*(x_)])^(n_.), x_Symbol] :> Simp[(e*Co
      t[c + d*x])^m*Tan[c + d*x]^m   Int[(a + b*Sec[c + d*x])^n/Tan[c + d*x]^m, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, m, n
      }, x] &&  !IntegerQ[m]

4389. Int[((a_) + (b_.)*sec[(c_.) + (d_.)*(x_)])^(n_.)*((e_.)*tan[(c_.) + (d_.)*(x_)]^(p_))^(m_), x_Symbol] :> Simp[
      (e*Tan[c + d*x]^p)^m/(e*Tan[c + d*x])^(m*p)   Int[(e*Tan[c + d*x])^(m*p)*(a + b*Sec[c + d*x])^n, x], x] /; Fre
      eQ[{a, b, c, d, e, m, n, p}, x] &&  !IntegerQ[m]

4390. Int[(cot[(c_.) + (d_.)*(x_)]^(p_)*(e_.))^(m_)*(csc[(c_.) + (d_.)*(x_)]*(b_.) + (a_))^(n_.), x_Symbol] :> Simp[
      (e*Cot[c + d*x]^p)^m/(e*Cot[c + d*x])^(m*p)   Int[(e*Cot[c + d*x])^(m*p)*(a + b*Csc[c + d*x])^n, x], x] /; Fre
      eQ[{a, b, c, d, e, m, n, p}, x] &&  !IntegerQ[m]

4391. Int[(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_))^(m_.)*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(d_.) + (c_))^(n_), x_Symbol] :> Sim
      p[c^n   Int[ExpandTrig[(1 + (d/c)*csc[e + f*x])^n, (a + b*csc[e + f*x])^m, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e,
      f, n}, x] && EqQ[b*c + a*d, 0] && EqQ[a^2 - b^2, 0] && IGtQ[m, 0] && ILtQ[n, 0] && LtQ[m + n, 2]

4392. Int[(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_))^(m_.)*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(d_.) + (c_))^(n_.), x_Symbol] :> Si
      mp[((-a)*c)^m   Int[Cot[e + f*x]^(2*m)*(c + d*Csc[e + f*x])^(n - m), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, n}, x]
      && EqQ[b*c + a*d, 0] && EqQ[a^2 - b^2, 0] && IntegerQ[m] && RationalQ[n] &&  !(IntegerQ[n] && GtQ[m - n, 0])

4393. Int[(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_))^(m_)*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(d_.) + (c_))^(m_), x_Symbol] :> Simp
      [((-a)*c)^(m + 1/2)*(Cot[e + f*x]/(Sqrt[a + b*Csc[e + f*x]]*Sqrt[c + d*Csc[e + f*x]]))   Int[Cot[e + f*x]^(2*m
      ), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m}, x] && EqQ[b*c + a*d, 0] && EqQ[a^2 - b^2, 0] && IntegerQ[m + 1/2]

4394. Int[Sqrt[csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_)]*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(d_.) + (c_))^(n_.), x_Symbol] :> Simp
      [2*a*c*Cot[e + f*x]*((c + d*Csc[e + f*x])^(n - 1)/(f*(2*n - 1)*Sqrt[a + b*Csc[e + f*x]])), x] + Simp[c   Int[S
      qrt[a + b*Csc[e + f*x]]*(c + d*Csc[e + f*x])^(n - 1), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && EqQ[b*c + a*d,
      0] && EqQ[a^2 - b^2, 0] && GtQ[n, 1/2]

4395. Int[Sqrt[csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_)]*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(d_.) + (c_))^(n_), x_Symbol] :> Simp[
      -2*a*Cot[e + f*x]*((c + d*Csc[e + f*x])^n/(f*(2*n + 1)*Sqrt[a + b*Csc[e + f*x]])), x] + Simp[1/c   Int[Sqrt[a
      + b*Csc[e + f*x]]*(c + d*Csc[e + f*x])^(n + 1), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && EqQ[b*c + a*d, 0] &&
      EqQ[a^2 - b^2, 0] && LtQ[n, -2^(-1)]

4396. Int[(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_))^(3/2)*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(d_.) + (c_))^(n_.), x_Symbol] :> Si
      mp[-4*a^2*Cot[e + f*x]*((c + d*Csc[e + f*x])^n/(f*(2*n + 1)*Sqrt[a + b*Csc[e + f*x]])), x] + Simp[a/c   Int[Sq
      rt[a + b*Csc[e + f*x]]*(c + d*Csc[e + f*x])^(n + 1), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && EqQ[b*c + a*d,
      0] && EqQ[a^2 - b^2, 0] && LtQ[n, -2^(-1)]

4397. Int[(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_))^(3/2)*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(d_.) + (c_))^(n_.), x_Symbol] :> Si
      mp[-2*a^2*Cot[e + f*x]*((c + d*Csc[e + f*x])^n/(f*(2*n + 1)*Sqrt[a + b*Csc[e + f*x]])), x] + Simp[a   Int[Sqrt
      [a + b*Csc[e + f*x]]*(c + d*Csc[e + f*x])^n, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, n}, x] && EqQ[b*c + a*d, 0] &&
      EqQ[a^2 - b^2, 0] &&  !LeQ[n, -2^(-1)]

4398. Int[(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_))^(5/2)*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(d_.) + (c_))^(n_.), x_Symbol] :> Si
      mp[-8*a^3*Cot[e + f*x]*((c + d*Csc[e + f*x])^n/(f*(2*n + 1)*Sqrt[a + b*Csc[e + f*x]])), x] + Simp[a^2/c^2   In
      t[Sqrt[a + b*Csc[e + f*x]]*(c + d*Csc[e + f*x])^(n + 2), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && EqQ[b*c + a
      *d, 0] && EqQ[a^2 - b^2, 0] && LtQ[n, -2^(-1)]

4399. Int[(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_))^(m_)*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(d_.) + (c_))^(n_), x_Symbol] :> Simp
      [(-a)*c*(Cot[e + f*x]/(f*Sqrt[a + b*Csc[e + f*x]]*Sqrt[c + d*Csc[e + f*x]]))   Subst[Int[(b + a*x)^(m - 1/2)*(
      (d + c*x)^(n - 1/2)/x^(m + n)), x], x, Sin[e + f*x]], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && EqQ[b*c + a*d, 0]
      && EqQ[a^2 - b^2, 0] && IntegerQ[m - 1/2] && EqQ[m + n, 0]

4400. Int[(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_))^(m_.)*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(d_.) + (c_))^(n_.), x_Symbol] :> Si
      mp[a*c*(Cot[e + f*x]/(f*Sqrt[a + b*Csc[e + f*x]]*Sqrt[c + d*Csc[e + f*x]]))   Subst[Int[(a + b*x)^(m - 1/2)*((
      c + d*x)^(n - 1/2)/x), x], x, Csc[e + f*x]], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m, n}, x] && EqQ[b*c + a*d, 0] &&
      EqQ[a^2 - b^2, 0]

4401. Int[(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_))*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(d_.) + (c_)), x_Symbol] :> Simp[a*c*x, x]
      + Simp[b*d   Int[Csc[e + f*x]^2, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && EqQ[b*c + a*d, 0]

4402. Int[(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_))*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(d_.) + (c_)), x_Symbol] :> Simp[a*c*x, x]
      + (Simp[b*d   Int[Csc[e + f*x]^2, x], x] + Simp[(b*c + a*d)   Int[Csc[e + f*x], x], x]) /; FreeQ[{a, b, c, d,
      e, f}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && NeQ[b*c + a*d, 0]

4403. Int[Sqrt[csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_)]*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(d_.) + (c_)), x_Symbol] :> Simp[c   I
      nt[Sqrt[a + b*Csc[e + f*x]], x], x] + Simp[d   Int[Sqrt[a + b*Csc[e + f*x]]*Csc[e + f*x], x], x] /; FreeQ[{a,
      b, c, d, e, f}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && EqQ[a^2 - b^2, 0]

4404. Int[Sqrt[csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_)]*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(d_.) + (c_)), x_Symbol] :> Simp[a*c
      Int[1/Sqrt[a + b*Csc[e + f*x]], x], x] + Int[Csc[e + f*x]*((b*c + a*d + b*d*Csc[e + f*x])/Sqrt[a + b*Csc[e +
      f*x]]), x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && NeQ[a^2 - b^2, 0]

4405. Int[(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_))^(m_)*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(d_.) + (c_)), x_Symbol] :> Simp[(-b)
      *d*Cot[e + f*x]*((a + b*Csc[e + f*x])^(m - 1)/(f*m)), x] + Simp[1/m   Int[(a + b*Csc[e + f*x])^(m - 1)*Simp[a*
      c*m + (b*c*m + a*d*(2*m - 1))*Csc[e + f*x], x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] &&
      GtQ[m, 1] && EqQ[a^2 - b^2, 0] && IntegerQ[2*m]

4406. Int[(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_))^(m_)*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(d_.) + (c_)), x_Symbol] :> Simp[(-b)
      *d*Cot[e + f*x]*((a + b*Csc[e + f*x])^(m - 1)/(f*m)), x] + Simp[1/m   Int[(a + b*Csc[e + f*x])^(m - 2)*Simp[a^
      2*c*m + (b^2*d*(m - 1) + 2*a*b*c*m + a^2*d*m)*Csc[e + f*x] + b*(b*c*m + a*d*(2*m - 1))*Csc[e + f*x]^2, x], x],
      x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && GtQ[m, 1] && NeQ[a^2 - b^2, 0] && IntegerQ[2*m]

4407. Int[(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(d_.) + (c_))/(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_)), x_Symbol] :> Simp[c*(x/a),
      x] - Simp[(b*c - a*d)/a   Int[Csc[e + f*x]/(a + b*Csc[e + f*x]), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && NeQ
      [b*c - a*d, 0]

4408. Int[(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(d_.) + (c_))/Sqrt[csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_)], x_Symbol] :> Simp[c/a
      Int[Sqrt[a + b*Csc[e + f*x]], x], x] - Simp[(b*c - a*d)/a   Int[Csc[e + f*x]/Sqrt[a + b*Csc[e + f*x]], x], x]
      /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && EqQ[a^2 - b^2, 0]

4409. Int[(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(d_.) + (c_))/Sqrt[csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_)], x_Symbol] :> Simp[c   I
      nt[1/Sqrt[a + b*Csc[e + f*x]], x], x] + Simp[d   Int[Csc[e + f*x]/Sqrt[a + b*Csc[e + f*x]], x], x] /; FreeQ[{a
      , b, c, d, e, f}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && NeQ[a^2 - b^2, 0]

4410. Int[(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_))^(m_)*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(d_.) + (c_)), x_Symbol] :> Simp[(-(b
      *c - a*d))*Cot[e + f*x]*((a + b*Csc[e + f*x])^m/(b*f*(2*m + 1))), x] + Simp[1/(a^2*(2*m + 1))   Int[(a + b*Csc
      [e + f*x])^(m + 1)*Simp[a*c*(2*m + 1) - (b*c - a*d)*(m + 1)*Csc[e + f*x], x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e,
      f}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && LtQ[m, -1] && EqQ[a^2 - b^2, 0] && IntegerQ[2*m]

4411. Int[(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_))^(m_)*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(d_.) + (c_)), x_Symbol] :> Simp[b*(b
      *c - a*d)*Cot[e + f*x]*((a + b*Csc[e + f*x])^(m + 1)/(a*f*(m + 1)*(a^2 - b^2))), x] + Simp[1/(a*(m + 1)*(a^2 -
      b^2))   Int[(a + b*Csc[e + f*x])^(m + 1)*Simp[c*(a^2 - b^2)*(m + 1) - (a*(b*c - a*d)*(m + 1))*Csc[e + f*x] +
      b*(b*c - a*d)*(m + 2)*Csc[e + f*x]^2, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && LtQ[m
      , -1] && NeQ[a^2 - b^2, 0] && IntegerQ[2*m]

4412. Int[(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_))^(m_)*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(d_.) + (c_)), x_Symbol] :> Simp[c
      Int[(a + b*Csc[e + f*x])^m, x], x] + Simp[d   Int[(a + b*Csc[e + f*x])^m*Csc[e + f*x], x], x] /; FreeQ[{a, b,
      c, d, e, f, m}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] &&  !IntegerQ[2*m]

4413. Int[Sqrt[csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_)]/(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(d_.) + (c_)), x_Symbol] :> Simp[1/c
      Int[Sqrt[a + b*Csc[e + f*x]], x], x] - Simp[d/c   Int[Csc[e + f*x]*(Sqrt[a + b*Csc[e + f*x]]/(c + d*Csc[e + f
      *x])), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && (EqQ[a^2 - b^2, 0] || EqQ[c^2 - d^2, 0])

4414. Int[Sqrt[csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_)]/(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(d_.) + (c_)), x_Symbol] :> Simp[a/c
      Int[1/Sqrt[a + b*Csc[e + f*x]], x], x] + Simp[(b*c - a*d)/c   Int[Csc[e + f*x]/(Sqrt[a + b*Csc[e + f*x]]*(c +
      d*Csc[e + f*x])), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && NeQ[a^2 - b^2, 0] && NeQ[c^2
      - d^2, 0]

4415. Int[(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_))^(3/2)/(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(d_.) + (c_)), x_Symbol] :> Simp[a/c
      Int[Sqrt[a + b*Csc[e + f*x]], x], x] + Simp[(b*c - a*d)/c   Int[Csc[e + f*x]*(Sqrt[a + b*Csc[e + f*x]]/(c +
      d*Csc[e + f*x])), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && (EqQ[a^2 - b^2, 0] || EqQ[c^
      2 - d^2, 0])

4416. Int[(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_))^(3/2)/(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(d_.) + (c_)), x_Symbol] :> Simp[1/(
      c*d)   Int[(a^2*d + b^2*c*Csc[e + f*x])/Sqrt[a + b*Csc[e + f*x]], x], x] - Simp[(b*c - a*d)^2/(c*d)   Int[Csc[
      e + f*x]/(Sqrt[a + b*Csc[e + f*x]]*(c + d*Csc[e + f*x])), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && NeQ[b*c -
      a*d, 0] && NeQ[a^2 - b^2, 0] && NeQ[c^2 - d^2, 0]

4417. Int[1/(Sqrt[csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_)]*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(d_.) + (c_))), x_Symbol] :> Simp[1
      /(c*(b*c - a*d))   Int[(b*c - a*d - b*d*Csc[e + f*x])/Sqrt[a + b*Csc[e + f*x]], x], x] + Simp[d^2/(c*(b*c - a*
      d))   Int[Csc[e + f*x]*(Sqrt[a + b*Csc[e + f*x]]/(c + d*Csc[e + f*x])), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x]
      && NeQ[b*c - a*d, 0] && (EqQ[a^2 - b^2, 0] || EqQ[c^2 - d^2, 0])

4418. Int[1/(Sqrt[csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_)]*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(d_.) + (c_))), x_Symbol] :> Simp[1
      /c   Int[1/Sqrt[a + b*Csc[e + f*x]], x], x] - Simp[d/c   Int[Csc[e + f*x]/(Sqrt[a + b*Csc[e + f*x]]*(c + d*Csc
      [e + f*x])), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && NeQ[a^2 - b^2, 0]

4419. Int[Sqrt[csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_)]*Sqrt[csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(d_.) + (c_)], x_Symbol] :> Simp[S
      qrt[a + b*Csc[e + f*x]]*(Sqrt[c + d*Csc[e + f*x]]/Cot[e + f*x])   Int[Cot[e + f*x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c,
      d, e, f}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && EqQ[a^2 - b^2, 0] && EqQ[c^2 - d^2, 0]

4420. Int[Sqrt[csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_)]*Sqrt[csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(d_.) + (c_)], x_Symbol] :> Simp[c
      Int[Sqrt[a + b*Csc[e + f*x]]/Sqrt[c + d*Csc[e + f*x]], x], x] + Simp[d   Int[Csc[e + f*x]*(Sqrt[a + b*Csc[e
      + f*x]]/Sqrt[c + d*Csc[e + f*x]]), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0]

4421. Int[Sqrt[csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_)]/Sqrt[csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(d_.) + (c_)], x_Symbol] :> Simp[1
      /c   Int[Sqrt[a + b*Csc[e + f*x]]*Sqrt[c + d*Csc[e + f*x]], x], x] - Simp[d/c   Int[Csc[e + f*x]*(Sqrt[a + b*C
      sc[e + f*x]]/Sqrt[c + d*Csc[e + f*x]]), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && EqQ[a^2
      - b^2, 0] && EqQ[c^2 - d^2, 0]

4422. Int[Sqrt[csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_)]/Sqrt[csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(d_.) + (c_)], x_Symbol] :> Simp[-
      2*(a/f)   Subst[Int[1/(1 + a*c*x^2), x], x, Cot[e + f*x]/(Sqrt[a + b*Csc[e + f*x]]*Sqrt[c + d*Csc[e + f*x]])],
      x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && EqQ[a^2 - b^2, 0] && NeQ[c^2 - d^2, 0]

4423. Int[Sqrt[csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_)]/Sqrt[csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(d_.) + (c_)], x_Symbol] :> Simp[a
      /c   Int[Sqrt[c + d*Csc[e + f*x]]/Sqrt[a + b*Csc[e + f*x]], x], x] + Simp[(b*c - a*d)/c   Int[Csc[e + f*x]/(Sq
      rt[a + b*Csc[e + f*x]]*Sqrt[c + d*Csc[e + f*x]]), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0]
      && NeQ[a^2 - b^2, 0] && EqQ[c^2 - d^2, 0]

4424. Int[Sqrt[csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_)]/Sqrt[csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(d_.) + (c_)], x_Symbol] :> Simp[2
      *((a + b*Csc[e + f*x])/(c*f*Rt[(a + b)/(c + d), 2]*Cot[e + f*x]))*Sqrt[(b*c - a*d)*((1 + Csc[e + f*x])/((c - d
      )*(a + b*Csc[e + f*x])))]*Sqrt[(-(b*c - a*d))*((1 - Csc[e + f*x])/((c + d)*(a + b*Csc[e + f*x])))]*EllipticPi[
      a*((c + d)/(c*(a + b))), ArcSin[Rt[(a + b)/(c + d), 2]*(Sqrt[c + d*Csc[e + f*x]]/Sqrt[a + b*Csc[e + f*x]])], (
      a - b)*((c + d)/((a + b)*(c - d)))], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && NeQ[a^2 - b^2,
      0] && NeQ[c^2 - d^2, 0]

4425. Int[1/(Sqrt[csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_)]*Sqrt[csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(d_.) + (c_)]), x_Symbol] :> Si
      mp[Cot[e + f*x]/(Sqrt[a + b*Csc[e + f*x]]*Sqrt[c + d*Csc[e + f*x]])   Int[1/Cot[e + f*x], x], x] /; FreeQ[{a,
      b, c, d, e, f}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && EqQ[a^2 - b^2, 0] && EqQ[c^2 - d^2, 0]

4426. Int[1/(Sqrt[csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_)]*Sqrt[csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(d_.) + (c_)]), x_Symbol] :> Si
      mp[1/a   Int[Sqrt[a + b*Csc[e + f*x]]/Sqrt[c + d*Csc[e + f*x]], x], x] - Simp[b/a   Int[Csc[e + f*x]/(Sqrt[a +
      b*Csc[e + f*x]]*Sqrt[c + d*Csc[e + f*x]]), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0]

4427. Int[Sqrt[csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_)]/(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(d_.) + (c_))^(3/2), x_Symbol] :> Simp
      [1/c   Int[Sqrt[a + b*Csc[e + f*x]]/Sqrt[c + d*Csc[e + f*x]], x], x] - Simp[d/c   Int[Csc[e + f*x]*(Sqrt[a + b
      *Csc[e + f*x]]/(c + d*Csc[e + f*x])^(3/2)), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && NeQ
      [c^2 - d^2, 0]

4428. Int[(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_))^(m_.)*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(d_.) + (c_))^(n_.), x_Symbol] :> Si
      mp[a^2*(Cot[e + f*x]/(f*Sqrt[a + b*Csc[e + f*x]]*Sqrt[a - b*Csc[e + f*x]]))   Subst[Int[(a + b*x)^(m - 1/2)*((
      c + d*x)^n/(x*Sqrt[a - b*x])), x], x, Csc[e + f*x]], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m, n}, x] && NeQ[b*c - a*d
      , 0] && EqQ[a^2 - b^2, 0] && NeQ[c^2 - d^2, 0] && IntegerQ[m - 1/2]

4429. Int[(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_))^(m_)*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(d_.) + (c_))^(n_), x_Symbol] :> Int[
      (b + a*Sin[e + f*x])^m*((d + c*Sin[e + f*x])^n/Sin[e + f*x]^(m + n)), x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m, n}, x]
      && NeQ[b*c - a*d, 0] && IntegerQ[m] && IntegerQ[n] && LeQ[-2, m + n, 0]

4430. Int[(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_))^(m_)*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(d_.) + (c_))^(n_), x_Symbol] :> Simp
      [Sqrt[d + c*Sin[e + f*x]]*(Sqrt[a + b*Csc[e + f*x]]/(Sqrt[b + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c + d*Csc[e + f*x]]))   Int
      [(b + a*Sin[e + f*x])^m*((d + c*Sin[e + f*x])^n/Sin[e + f*x]^(m + n)), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m, n
      }, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && IntegerQ[m + 1/2] && IntegerQ[n + 1/2] && LeQ[-2, m + n, 0]

4431. Int[(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_))^(m_)*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(d_.) + (c_))^(n_), x_Symbol] :> Simp
      [Sin[e + f*x]^(m + n)*(a + b*Csc[e + f*x])^m*((c + d*Csc[e + f*x])^n/((b + a*Sin[e + f*x])^m*(d + c*Sin[e + f*
      x])^n))   Int[(b + a*Sin[e + f*x])^m*((d + c*Sin[e + f*x])^n/Sin[e + f*x]^Simplify[m + n]), x], x] /; FreeQ[{a
      , b, c, d, e, f, m, n}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && EqQ[m + n, 0] &&  !IntegerQ[2*m]

4432. Int[(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_))^(m_)*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(d_.) + (c_))^(n_), x_Symbol] :> Int[
      ExpandTrig[(a + b*csc[e + f*x])^m, (c + d*csc[e + f*x])^n, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m, n}, x] && IGt
      Q[n, 0]

4433. Int[(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_))^(m_.)*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(d_.) + (c_))^(n_.), x_Symbol] :> Un
      integrable[(a + b*Csc[e + f*x])^m*(c + d*Csc[e + f*x])^n, x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m, n}, x]

4434. Int[((d_.)/sec[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_)*((a_.) + (b_.)*sec[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_.), x_Symbol] :> Simp[d^m
      Int[(b + a*Cos[e + f*x])^m*(d*Cos[e + f*x])^(n - m), x], x] /; FreeQ[{a, b, d, e, f, n}, x] &&  !IntegerQ[n]
      && IntegerQ[m]

4435. Int[((a_.) + csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.))^(m_.)*((d_.)/csc[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_), x_Symbol] :> Simp[d^m
      Int[(b + a*Sin[e + f*x])^m*(d*Sin[e + f*x])^(n - m), x], x] /; FreeQ[{a, b, d, e, f, n}, x] &&  !IntegerQ[n]
      && IntegerQ[m]

4436. Int[((c_.)*((d_.)*sec[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(p_))^(n_)*((a_.) + (b_.)*sec[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_.), x_Symbol]
      :> Simp[c^IntPart[n]*((c*(d*Sec[e + f*x])^p)^FracPart[n]/(d*Sec[e + f*x])^(p*FracPart[n]))   Int[(a + b*Sec[e
      + f*x])^m*(d*Sec[e + f*x])^(n*p), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m, n, p}, x] &&  !IntegerQ[n]

4437. Int[((a_.) + csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.))^(m_.)*((c_.)*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(d_.))^(p_))^(n_), x_Symbol]
      :> Simp[c^IntPart[n]*((c*(d*Csc[e + f*x])^p)^FracPart[n]/(d*Csc[e + f*x])^(p*FracPart[n]))   Int[(a + b*Cos[e
      + f*x])^m*(d*Cos[e + f*x])^(n*p), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m, n, p}, x] &&  !IntegerQ[n]

4438. Int[csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_))^(m_)*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(d_.) + (c_))
      ^(n_.), x_Symbol] :> Simp[b*Cot[e + f*x]*(a + b*Csc[e + f*x])^m*((c + d*Csc[e + f*x])^n/(a*f*(2*m + 1))), x] /
      ; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m, n}, x] && EqQ[b*c + a*d, 0] && EqQ[a^2 - b^2, 0] && EqQ[m + n + 1, 0] && NeQ[2*m
      + 1, 0]

4439. Int[csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_))^(m_)*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(d_.) + (c_))
      ^(n_.), x_Symbol] :> Simp[b*Cot[e + f*x]*(a + b*Csc[e + f*x])^m*((c + d*Csc[e + f*x])^n/(a*f*(2*m + 1))), x] +
      Simp[(m + n + 1)/(a*(2*m + 1))   Int[Csc[e + f*x]*(a + b*Csc[e + f*x])^(m + 1)*(c + d*Csc[e + f*x])^n, x], x]
      /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m, n}, x] && EqQ[b*c + a*d, 0] && EqQ[a^2 - b^2, 0] && ILtQ[m + n + 1, 0] && NeQ[
      2*m + 1, 0] &&  !LtQ[n, 0] &&  !(IGtQ[n + 1/2, 0] && LtQ[n + 1/2, -(m + n)])

4440. Int[(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*Sqrt[csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(d_.) + (c_)])/Sqrt[csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) +
      (a_)], x_Symbol] :> Simp[a*c*Log[1 + (b/a)*Csc[e + f*x]]*(Cot[e + f*x]/(b*f*Sqrt[a + b*Csc[e + f*x]]*Sqrt[c +
      d*Csc[e + f*x]])), x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && EqQ[b*c + a*d, 0] && EqQ[a^2 - b^2, 0]

4441. Int[csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_))^(m_.)*Sqrt[csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(d_.) +
      (c_)], x_Symbol] :> Simp[2*a*c*Cot[e + f*x]*((a + b*Csc[e + f*x])^m/(b*f*(2*m + 1)*Sqrt[c + d*Csc[e + f*x]])),
      x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m}, x] && EqQ[b*c + a*d, 0] && EqQ[a^2 - b^2, 0] && NeQ[m, -2^(-1)]

4442. Int[csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_))^(m_)*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(d_.) + (c_))
      ^(n_.), x_Symbol] :> Simp[2*a*c*Cot[e + f*x]*(a + b*Csc[e + f*x])^m*((c + d*Csc[e + f*x])^(n - 1)/(b*f*(2*m +
      1))), x] - Simp[d*((2*n - 1)/(b*(2*m + 1)))   Int[Csc[e + f*x]*(a + b*Csc[e + f*x])^(m + 1)*(c + d*Csc[e + f*x
      ])^(n - 1), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && EqQ[b*c + a*d, 0] && EqQ[a^2 - b^2, 0] && IGtQ[n - 1/2,
      0] && LtQ[m, -2^(-1)]

4443. Int[csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_))^(m_.)*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(d_.) + (c_)
      )^(n_), x_Symbol] :> Simp[(-d)*Cot[e + f*x]*(a + b*Csc[e + f*x])^m*((c + d*Csc[e + f*x])^(n - 1)/(f*(m + n))),
      x] + Simp[c*((2*n - 1)/(m + n))   Int[Csc[e + f*x]*(a + b*Csc[e + f*x])^m*(c + d*Csc[e + f*x])^(n - 1), x], x
      ] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m}, x] && EqQ[b*c + a*d, 0] && EqQ[a^2 - b^2, 0] && IGtQ[n - 1/2, 0] &&  !LtQ[m,
      -2^(-1)] &&  !(IGtQ[m - 1/2, 0] && LtQ[m, n])

4444. Int[(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(d_.) + (c_))^(n_.))/Sqrt[csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.)
      + (a_)], x_Symbol] :> Simp[-2*d*Cot[e + f*x]*((c + d*Csc[e + f*x])^(n - 1)/(f*(2*n - 1)*Sqrt[a + b*Csc[e + f*x
      ]])), x] + Simp[2*c*((2*n - 1)/(2*n - 1))   Int[Csc[e + f*x]*((c + d*Csc[e + f*x])^(n - 1)/Sqrt[a + b*Csc[e +
      f*x]]), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && EqQ[b*c + a*d, 0] && EqQ[a^2 - b^2, 0] && IGtQ[n, 0]

4445. Int[csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_))^(m_)*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(d_.) + (c_))
      ^(n_.), x_Symbol] :> Simp[2*a*c*Cot[e + f*x]*(a + b*Csc[e + f*x])^m*((c + d*Csc[e + f*x])^(n - 1)/(b*f*(2*m +
      1))), x] - Simp[d*((2*n - 1)/(b*(2*m + 1)))   Int[Csc[e + f*x]*(a + b*Csc[e + f*x])^(m + 1)*(c + d*Csc[e + f*x
      ])^(n - 1), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && EqQ[b*c + a*d, 0] && EqQ[a^2 - b^2, 0] && IGtQ[n, 0] &&
      LtQ[m, -2^(-1)] && IntegerQ[2*m]

4446. Int[csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_))^(m_.)*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(d_.) + (c_)
      )^(n_.), x_Symbol] :> Simp[((-a)*c)^m   Int[ExpandTrig[csc[e + f*x]*cot[e + f*x]^(2*m), (c + d*csc[e + f*x])^(
      n - m), x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, n}, x] && EqQ[b*c + a*d, 0] && EqQ[a^2 - b^2, 0] && IntegersQ[m
      , n] && GeQ[n - m, 0] && GtQ[m*n, 0]

4447. Int[csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_))^(m_)*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(d_.) + (c_))
      ^(m_), x_Symbol] :> Simp[((-a)*c)^(m + 1/2)*(Cot[e + f*x]/(Sqrt[a + b*Csc[e + f*x]]*Sqrt[c + d*Csc[e + f*x]]))
      Int[Csc[e + f*x]*Cot[e + f*x]^(2*m), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && EqQ[b*c + a*d, 0] && EqQ[a^2
      - b^2, 0] && IntegerQ[m + 1/2]

4448. Int[csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_))^(m_)*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(d_.) + (c_))
      ^(n_), x_Symbol] :> Simp[b*Cot[e + f*x]*(a + b*Csc[e + f*x])^m*((c + d*Csc[e + f*x])^n/(a*f*(2*m + 1))), x] +
      Simp[(m + n + 1)/(a*(2*m + 1))   Int[Csc[e + f*x]*(a + b*Csc[e + f*x])^(m + 1)*(c + d*Csc[e + f*x])^n, x], x]
      /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, n}, x] && EqQ[b*c + a*d, 0] && EqQ[a^2 - b^2, 0] && ((ILtQ[m, 0] && ILtQ[n - 1/2,
      0]) || (ILtQ[m - 1/2, 0] && ILtQ[n - 1/2, 0] && LtQ[m, n]))

4449. Int[csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_))^(m_.)*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(d_.) + (c_)
      )^(n_), x_Symbol] :> Simp[a*c*(Cot[e + f*x]/(f*Sqrt[a + b*Csc[e + f*x]]*Sqrt[c + d*Csc[e + f*x]]))   Subst[Int
      [(a + b*x)^(m - 1/2)*(c + d*x)^(n - 1/2), x], x, Csc[e + f*x]], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m, n}, x] && Eq
      Q[b*c + a*d, 0] && EqQ[a^2 - b^2, 0]

4450. Int[(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(g_.))^(p_.)*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_))^(m_.)*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)
      ]*(d_.) + (c_))^(n_.), x_Symbol] :> Simp[((-a)*c)^m   Int[ExpandTrig[(g*csc[e + f*x])^p*cot[e + f*x]^(2*m), (c
      + d*csc[e + f*x])^(n - m), x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, n, p}, x] && EqQ[b*c + a*d, 0] && EqQ[a^
      2 - b^2, 0] && IntegersQ[m, n] && GeQ[n - m, 0] && GtQ[m*n, 0]

4451. Int[(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(g_.))^(p_.)*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_))^(m_)*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]
      *(d_.) + (c_))^(m_), x_Symbol] :> Simp[((-a)*c)^(m + 1/2)*(Cot[e + f*x]/(Sqrt[a + b*Csc[e + f*x]]*Sqrt[c + d*C
      sc[e + f*x]]))   Int[(g*Csc[e + f*x])^p*Cot[e + f*x]^(2*m), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, p}, x] && Eq
      Q[b*c + a*d, 0] && EqQ[a^2 - b^2, 0] && IntegerQ[m + 1/2]

4452. Int[(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(g_.))^(p_.)*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_))^(m_)*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]
      *(d_.) + (c_))^(n_), x_Symbol] :> Simp[a*c*g*(Cot[e + f*x]/(f*Sqrt[a + b*Csc[e + f*x]]*Sqrt[c + d*Csc[e + f*x]
      ]))   Subst[Int[(g*x)^(p - 1)*(a + b*x)^(m - 1/2)*(c + d*x)^(n - 1/2), x], x, Csc[e + f*x]], x] /; FreeQ[{a, b
      , c, d, e, f, g, m, n, p}, x] && EqQ[b*c + a*d, 0] && EqQ[a^2 - b^2, 0]

4453. Int[(Sqrt[csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(g_.)]*Sqrt[csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_)])/(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*
      (d_.) + (c_)), x_Symbol] :> Simp[-2*b*(g/f)   Subst[Int[1/(b*c + a*d - c*g*x^2), x], x, b*(Cot[e + f*x]/(Sqrt[
      g*Csc[e + f*x]]*Sqrt[a + b*Csc[e + f*x]]))], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && EqQ
      [a^2 - b^2, 0]

4454. Int[(Sqrt[csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(g_.)]*Sqrt[csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_)])/(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*
      (d_.) + (c_)), x_Symbol] :> Simp[a/c   Int[Sqrt[g*Csc[e + f*x]]/Sqrt[a + b*Csc[e + f*x]], x], x] + Simp[(b*c -
      a*d)/(c*g)   Int[(g*Csc[e + f*x])^(3/2)/(Sqrt[a + b*Csc[e + f*x]]*(c + d*Csc[e + f*x])), x], x] /; FreeQ[{a,
      b, c, d, e, f, g}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && NeQ[a^2 - b^2, 0]

4455. Int[(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*Sqrt[csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_)])/(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(d_.) + (c_)
      ), x_Symbol] :> Simp[-2*(b/f)   Subst[Int[1/(b*c + a*d + d*x^2), x], x, b*(Cot[e + f*x]/Sqrt[a + b*Csc[e + f*x
      ]])], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && EqQ[a^2 - b^2, 0]

4456. Int[(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*Sqrt[csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_)])/(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(d_.) + (c_)
      ), x_Symbol] :> Simp[(-Sqrt[a + b*Csc[e + f*x]])*(Sqrt[c/(c + d*Csc[e + f*x])]/(d*f*Sqrt[c*d*((a + b*Csc[e + f
      *x])/((b*c + a*d)*(c + d*Csc[e + f*x])))]))*EllipticE[ArcSin[c*(Cot[e + f*x]/(c + d*Csc[e + f*x]))], -(b*c - a
      *d)/(b*c + a*d)], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && NeQ[a^2 - b^2, 0] && EqQ[c^2 - d^
      2, 0]

4457. Int[(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*Sqrt[csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_)])/(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(d_.) + (c_)
      ), x_Symbol] :> Simp[b/d   Int[Csc[e + f*x]/Sqrt[a + b*Csc[e + f*x]], x], x] - Simp[(b*c - a*d)/d   Int[Csc[e
      + f*x]/(Sqrt[a + b*Csc[e + f*x]]*(c + d*Csc[e + f*x])), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && NeQ[b*c - a*
      d, 0] && NeQ[a^2 - b^2, 0] && NeQ[c^2 - d^2, 0]

4458. Int[((csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(g_.))^(3/2)*Sqrt[csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_)])/(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)
      ]*(d_.) + (c_)), x_Symbol] :> Simp[g/d   Int[Sqrt[g*Csc[e + f*x]]*Sqrt[a + b*Csc[e + f*x]], x], x] - Simp[c*(g
      /d)   Int[Sqrt[g*Csc[e + f*x]]*(Sqrt[a + b*Csc[e + f*x]]/(c + d*Csc[e + f*x])), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e
      , f, g}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && EqQ[a^2 - b^2, 0]

4459. Int[((csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(g_.))^(3/2)*Sqrt[csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_)])/(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)
      ]*(d_.) + (c_)), x_Symbol] :> Simp[b/d   Int[(g*Csc[e + f*x])^(3/2)/Sqrt[a + b*Csc[e + f*x]], x], x] - Simp[(b
      *c - a*d)/d   Int[(g*Csc[e + f*x])^(3/2)/(Sqrt[a + b*Csc[e + f*x]]*(c + d*Csc[e + f*x])), x], x] /; FreeQ[{a,
      b, c, d, e, f, g}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && NeQ[a^2 - b^2, 0]

4460. Int[csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]/(Sqrt[csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_)]*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(d_.) + (c_))
      ), x_Symbol] :> Simp[b/(b*c - a*d)   Int[Csc[e + f*x]/Sqrt[a + b*Csc[e + f*x]], x], x] - Simp[d/(b*c - a*d)
      Int[Csc[e + f*x]*(Sqrt[a + b*Csc[e + f*x]]/(c + d*Csc[e + f*x])), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && Ne
      Q[b*c - a*d, 0] && (EqQ[a^2 - b^2, 0] || EqQ[c^2 - d^2, 0])

4461. Int[csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]/(Sqrt[csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_)]*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(d_.) + (c_))
      ), x_Symbol] :> Simp[-2*(Cot[e + f*x]/(f*(c + d)*Sqrt[a + b*Csc[e + f*x]]*Sqrt[-Cot[e + f*x]^2]))*Sqrt[(a + b*
      Csc[e + f*x])/(a + b)]*EllipticPi[2*(d/(c + d)), ArcSin[Sqrt[1 - Csc[e + f*x]]/Sqrt[2]], 2*(b/(a + b))], x] /;
      FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && NeQ[a^2 - b^2, 0] && NeQ[c^2 - d^2, 0]

4462. Int[(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(g_.))^(3/2)/(Sqrt[csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_)]*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]
      *(d_.) + (c_))), x_Symbol] :> Simp[(-a)*(g/(b*c - a*d))   Int[Sqrt[g*Csc[e + f*x]]/Sqrt[a + b*Csc[e + f*x]], x
      ], x] + Simp[c*(g/(b*c - a*d))   Int[Sqrt[g*Csc[e + f*x]]*(Sqrt[a + b*Csc[e + f*x]]/(c + d*Csc[e + f*x])), x],
      x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && EqQ[a^2 - b^2, 0]

4463. Int[(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(g_.))^(3/2)/(Sqrt[csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_)]*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]
      *(d_.) + (c_))), x_Symbol] :> Simp[g*Sqrt[g*Csc[e + f*x]]*(Sqrt[b + a*Sin[e + f*x]]/Sqrt[a + b*Csc[e + f*x]])
      Int[1/(Sqrt[b + a*Sin[e + f*x]]*(d + c*Sin[e + f*x])), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g}, x] && NeQ[b*c
      - a*d, 0] && NeQ[a^2 - b^2, 0]

4464. Int[csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2/(Sqrt[csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_)]*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(d_.) + (c_
      ))), x_Symbol] :> Simp[-a/(b*c - a*d)   Int[Csc[e + f*x]/Sqrt[a + b*Csc[e + f*x]], x], x] + Simp[c/(b*c - a*d)
      Int[Csc[e + f*x]*(Sqrt[a + b*Csc[e + f*x]]/(c + d*Csc[e + f*x])), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] &&
      NeQ[b*c - a*d, 0] && (EqQ[a^2 - b^2, 0] || EqQ[c^2 - d^2, 0])

4465. Int[csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2/(Sqrt[csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_)]*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(d_.) + (c_
      ))), x_Symbol] :> Simp[1/d   Int[Csc[e + f*x]/Sqrt[a + b*Csc[e + f*x]], x], x] - Simp[c/d   Int[Csc[e + f*x]/(
      Sqrt[a + b*Csc[e + f*x]]*(c + d*Csc[e + f*x])), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] &&
      NeQ[a^2 - b^2, 0] && NeQ[c^2 - d^2, 0]

4466. Int[(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(g_.))^(5/2)/(Sqrt[csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_)]*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]
      *(d_.) + (c_))), x_Symbol] :> Simp[(-c^2)*(g^2/(d*(b*c - a*d)))   Int[Sqrt[g*Csc[e + f*x]]*(Sqrt[a + b*Csc[e +
      f*x]]/(c + d*Csc[e + f*x])), x], x] + Simp[g^2/(d*(b*c - a*d))   Int[Sqrt[g*Csc[e + f*x]]*((a*c + (b*c - a*d)
      *Csc[e + f*x])/Sqrt[a + b*Csc[e + f*x]]), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && Eq
      Q[a^2 - b^2, 0]

4467. Int[(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(g_.))^(5/2)/(Sqrt[csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_)]*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]
      *(d_.) + (c_))), x_Symbol] :> Simp[g/d   Int[(g*Csc[e + f*x])^(3/2)/Sqrt[a + b*Csc[e + f*x]], x], x] - Simp[c*
      (g/d)   Int[(g*Csc[e + f*x])^(3/2)/(Sqrt[a + b*Csc[e + f*x]]*(c + d*Csc[e + f*x])), x], x] /; FreeQ[{a, b, c,
      d, e, f, g}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && NeQ[a^2 - b^2, 0]

4468. Int[(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*Sqrt[csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_)])/Sqrt[csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(d_.) +
      (c_)], x_Symbol] :> Simp[-2*(b/f)   Subst[Int[1/(1 - b*d*x^2), x], x, Cot[e + f*x]/(Sqrt[a + b*Csc[e + f*x]]*S
      qrt[c + d*Csc[e + f*x]])], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && EqQ[a^2 - b^2, 0] && NeQ
      [c^2 - d^2, 0]

4469. Int[(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*Sqrt[csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_)])/Sqrt[csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(d_.) +
      (c_)], x_Symbol] :> Simp[-(b*c - a*d)/d   Int[Csc[e + f*x]/(Sqrt[a + b*Csc[e + f*x]]*Sqrt[c + d*Csc[e + f*x]])
      , x], x] + Simp[b/d   Int[Csc[e + f*x]*(Sqrt[c + d*Csc[e + f*x]]/Sqrt[a + b*Csc[e + f*x]]), x], x] /; FreeQ[{a
      , b, c, d, e, f}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && NeQ[a^2 - b^2, 0] && EqQ[c^2 - d^2, 0]

4470. Int[(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*Sqrt[csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_)])/Sqrt[csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(d_.) +
      (c_)], x_Symbol] :> Simp[-2*((a + b*Csc[e + f*x])/(d*f*Sqrt[(a + b)/(c + d)]*Cot[e + f*x]))*Sqrt[(-(b*c - a*d)
      )*((1 - Csc[e + f*x])/((c + d)*(a + b*Csc[e + f*x])))]*Sqrt[(b*c - a*d)*((1 + Csc[e + f*x])/((c - d)*(a + b*Cs
      c[e + f*x])))]*EllipticPi[b*((c + d)/(d*(a + b))), ArcSin[Sqrt[(a + b)/(c + d)]*(Sqrt[c + d*Csc[e + f*x]]/Sqrt
      [a + b*Csc[e + f*x]])], (a - b)*((c + d)/((a + b)*(c - d)))], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && NeQ[b*c -
      a*d, 0] && NeQ[a^2 - b^2, 0] && NeQ[c^2 - d^2, 0]

4471. Int[csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]/(Sqrt[csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_)]*Sqrt[csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(d_.) + (
      c_)]), x_Symbol] :> Simp[-2*(a/(b*f))   Subst[Int[1/(2 + (a*c - b*d)*x^2), x], x, Cot[e + f*x]/(Sqrt[a + b*Csc
      [e + f*x]]*Sqrt[c + d*Csc[e + f*x]])], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && EqQ[a^2 - b^
      2, 0] && NeQ[c^2 - d^2, 0]

4472. Int[csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]/(Sqrt[csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_)]*Sqrt[csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(d_.) + (
      c_)]), x_Symbol] :> Simp[-2*((c + d*Csc[e + f*x])/(f*(b*c - a*d)*Rt[(c + d)/(a + b), 2]*Cot[e + f*x]))*Sqrt[(b
      *c - a*d)*((1 - Csc[e + f*x])/((a + b)*(c + d*Csc[e + f*x])))]*Sqrt[(-(b*c - a*d))*((1 + Csc[e + f*x])/((a - b
      )*(c + d*Csc[e + f*x])))]*EllipticF[ArcSin[Rt[(c + d)/(a + b), 2]*(Sqrt[a + b*Csc[e + f*x]]/Sqrt[c + d*Csc[e +
      f*x]])], (a + b)*((c - d)/((a - b)*(c + d)))], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && NeQ
      [a^2 - b^2, 0] && NeQ[c^2 - d^2, 0]

4473. Int[csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2/(Sqrt[csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_)]*Sqrt[csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(d_.) +
      (c_)]), x_Symbol] :> Simp[-a/b   Int[Csc[e + f*x]/(Sqrt[a + b*Csc[e + f*x]]*Sqrt[c + d*Csc[e + f*x]]), x], x]
      + Simp[1/b   Int[Csc[e + f*x]*(Sqrt[a + b*Csc[e + f*x]]/Sqrt[c + d*Csc[e + f*x]]), x], x] /; FreeQ[{a, b, c,
      d, e, f}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0]

4474. Int[(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*Sqrt[csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_)])/(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(d_.) + (c_)
      )^(3/2), x_Symbol] :> Simp[(a - b)/(c - d)   Int[Csc[e + f*x]/(Sqrt[a + b*Csc[e + f*x]]*Sqrt[c + d*Csc[e + f*x
      ]]), x], x] + Simp[(b*c - a*d)/(c - d)   Int[Csc[e + f*x]*((1 + Csc[e + f*x])/(Sqrt[a + b*Csc[e + f*x]]*(c + d
      *Csc[e + f*x])^(3/2))), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && NeQ[a^2 - b^2, 0] && Ne
      Q[c^2 - d^2, 0]

4475. Int[(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(g_.))^(p_.)*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_))^(m_)*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]
      *(d_.) + (c_))^(n_), x_Symbol] :> Simp[a^2*g*(Cot[e + f*x]/(f*Sqrt[a + b*Csc[e + f*x]]*Sqrt[a - b*Csc[e + f*x]
      ]))   Subst[Int[(g*x)^(p - 1)*(a + b*x)^(m - 1/2)*((c + d*x)^n/Sqrt[a - b*x]), x], x, Csc[e + f*x]], x] /; Fre
      eQ[{a, b, c, d, e, f, g, m, n, p}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && EqQ[a^2 - b^2, 0] && NeQ[c^2 - d^2, 0] && (EqQ[p
      , 1] || IntegerQ[m - 1/2])

4476. Int[(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(g_.))^(p_.)*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_))^(m_)*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]
      *(d_.) + (c_))^(n_), x_Symbol] :> Simp[1/g^(m + n)   Int[(g*Csc[e + f*x])^(m + n + p)*(b + a*Sin[e + f*x])^m*(
      d + c*Sin[e + f*x])^n, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, p}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && IntegerQ[m] && Int
      egerQ[n]

4477. Int[(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(g_.))^(p_.)*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_))^(m_)*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]
      *(d_.) + (c_))^(n_), x_Symbol] :> Simp[(g*Csc[e + f*x])^(m + p)*((c + d*Csc[e + f*x])^n/(g^m*(d + c*Sin[e + f*
      x])^n))   Int[(b + a*Sin[e + f*x])^m*(d + c*Sin[e + f*x])^n, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, n, p}, x] &
      & NeQ[b*c - a*d, 0] && EqQ[m + n + p, 0] && IntegerQ[m]

4478. Int[(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(g_.))^(p_.)*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_))^(m_)*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]
      *(d_.) + (c_))^(n_), x_Symbol] :> Simp[(g*Csc[e + f*x])^p*(a + b*Csc[e + f*x])^m*((c + d*Csc[e + f*x])^n/((b +
      a*Sin[e + f*x])^m*(d + c*Sin[e + f*x])^n))   Int[(b + a*Sin[e + f*x])^m*(d + c*Sin[e + f*x])^n, x], x] /; Fre
      eQ[{a, b, c, d, e, f, g, m, n, p}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && EqQ[m + n + p, 0] &&  !IntegerQ[m]

4479. Int[csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]^(p_.)*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_))^(m_)*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(d_.) +
      (c_))^(n_), x_Symbol] :> Simp[Sqrt[d + c*Sin[e + f*x]]*(Sqrt[a + b*Csc[e + f*x]]/(Sqrt[b + a*Sin[e + f*x]]*Sq
      rt[c + d*Csc[e + f*x]]))   Int[(b + a*Sin[e + f*x])^m*((d + c*Sin[e + f*x])^n/Sin[e + f*x]^(m + n + p)), x], x
      ] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m, n}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && IntegerQ[m - 1/2] && IntegerQ[n - 1/2] && Inte
      gerQ[p] && LeQ[-2, m + n + p, -1]

4480. Int[(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(g_.))^(p_.)*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_))^(m_)*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]
      *(d_.) + (c_))^(n_), x_Symbol] :> Int[ExpandTrig[(g*csc[e + f*x])^p*(a + b*csc[e + f*x])^m*(c + d*csc[e + f*x]
      )^n, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, m, n, p}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && (IntegersQ[m, n] || IntegersQ[
      m, p] || IntegersQ[n, p])

4481. Int[((a_.) + csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.))^(m_)*((c_.) + csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(d_.))^(n_)*(csc[(e_.) + (f_
      .)*(x_)]*(g_.))^(p_.), x_Symbol] :> Unintegrable[(g*Csc[e + f*x])^p*(a + b*Csc[e + f*x])^m*(c + d*Csc[e + f*x]
      )^n, x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, m, n, p}, x]

4482. Int[(sec[(e_.) + (f_.)*(x_)]*((A_) + (B_.)*sec[(e_.) + (f_.)*(x_)]))/(Sqrt[(a_) + (b_.)*sec[(e_.) + (f_.)*(x_)
      ]]*((c_) + (d_.)*sec[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(3/2)), x_Symbol] :> Simp[2*A*(1 + Sec[e + f*x])*(Sqrt[(b*c - a*d)*(
      (1 - Sec[e + f*x])/((a + b)*(c + d*Sec[e + f*x])))]/(f*(b*c - a*d)*Rt[(c + d)/(a + b), 2]*Tan[e + f*x]*Sqrt[(-
      (b*c - a*d))*((1 + Sec[e + f*x])/((a - b)*(c + d*Sec[e + f*x])))]))*EllipticE[ArcSin[Rt[(c + d)/(a + b), 2]*(S
      qrt[a + b*Sec[e + f*x]]/Sqrt[c + d*Sec[e + f*x]])], (a + b)*((c - d)/((a - b)*(c + d)))], x] /; FreeQ[{a, b, c
      , d, e, f, A, B}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && NeQ[a^2 - b^2, 0] && NeQ[c^2 - d^2, 0] && EqQ[A, B]

4483. Int[(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(B_.) + (A_)))/(Sqrt[csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_
      )]*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(d_.) + (c_))^(3/2)), x_Symbol] :> Simp[-2*A*(1 + Csc[e + f*x])*(Sqrt[(b*c - a*d)*
      ((1 - Csc[e + f*x])/((a + b)*(c + d*Csc[e + f*x])))]/(f*(b*c - a*d)*Rt[(c + d)/(a + b), 2]*Cot[e + f*x]*Sqrt[(
      -(b*c - a*d))*((1 + Csc[e + f*x])/((a - b)*(c + d*Csc[e + f*x])))]))*EllipticE[ArcSin[Rt[(c + d)/(a + b), 2]*(
      Sqrt[a + b*Csc[e + f*x]]/Sqrt[c + d*Csc[e + f*x]])], (a + b)*((c - d)/((a - b)*(c + d)))], x] /; FreeQ[{a, b,
      c, d, e, f, A, B}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && NeQ[a^2 - b^2, 0] && NeQ[c^2 - d^2, 0] && EqQ[A, B]

4484. Int[(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(d_.))^(n_)*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_))*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(B_.)
      + (A_)), x_Symbol] :> Simp[A*a*Cot[e + f*x]*((d*Csc[e + f*x])^n/(f*n)), x] + Simp[1/(d*n)   Int[(d*Csc[e + f*
      x])^(n + 1)*Simp[n*(B*a + A*b) + (B*b*n + A*a*(n + 1))*Csc[e + f*x], x], x], x] /; FreeQ[{a, b, d, e, f, A, B}
      , x] && NeQ[A*b - a*B, 0] && LeQ[n, -1]

4485. Int[(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(d_.))^(n_.)*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_))*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(B_.
      ) + (A_)), x_Symbol] :> Simp[(-b)*B*Cot[e + f*x]*((d*Csc[e + f*x])^n/(f*(n + 1))), x] + Simp[1/(n + 1)   Int[(
      d*Csc[e + f*x])^n*Simp[A*a*(n + 1) + B*b*n + (A*b + B*a)*(n + 1)*Csc[e + f*x], x], x], x] /; FreeQ[{a, b, d, e
      , f, A, B}, x] && NeQ[A*b - a*B, 0] &&  !LeQ[n, -1]

4486. Int[(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(B_.) + (A_)))/(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_)), x
      _Symbol] :> Simp[B/b   Int[Csc[e + f*x], x], x] + Simp[(A*b - a*B)/b   Int[Csc[e + f*x]/(a + b*Csc[e + f*x]),
      x], x] /; FreeQ[{a, b, e, f, A, B}, x] && NeQ[A*b - a*B, 0]

4487. Int[csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_))^(m_)*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(B_.) + (A_))
      , x_Symbol] :> Simp[(-B)*Cot[e + f*x]*((a + b*Csc[e + f*x])^m/(f*(m + 1))), x] /; FreeQ[{a, b, A, B, e, f, m},
      x] && NeQ[A*b - a*B, 0] && EqQ[a^2 - b^2, 0] && EqQ[a*B*m + A*b*(m + 1), 0]

4488. Int[csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_))^(m_)*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(B_.) + (A_))
      , x_Symbol] :> Simp[(A*b - a*B)*Cot[e + f*x]*((a + b*Csc[e + f*x])^m/(a*f*(2*m + 1))), x] + Simp[(a*B*m + A*b*
      (m + 1))/(a*b*(2*m + 1))   Int[Csc[e + f*x]*(a + b*Csc[e + f*x])^(m + 1), x], x] /; FreeQ[{a, b, A, B, e, f},
      x] && NeQ[A*b - a*B, 0] && EqQ[a^2 - b^2, 0] && NeQ[a*B*m + A*b*(m + 1), 0] && LtQ[m, -2^(-1)]

4489. Int[csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_))^(m_)*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(B_.) + (A_))
      , x_Symbol] :> Simp[(-B)*Cot[e + f*x]*((a + b*Csc[e + f*x])^m/(f*(m + 1))), x] + Simp[(a*B*m + A*b*(m + 1))/(b
      *(m + 1))   Int[Csc[e + f*x]*(a + b*Csc[e + f*x])^m, x], x] /; FreeQ[{a, b, A, B, e, f, m}, x] && NeQ[A*b - a*
      B, 0] && EqQ[a^2 - b^2, 0] && NeQ[a*B*m + A*b*(m + 1), 0] &&  !LtQ[m, -2^(-1)]

4490. Int[csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_))^(m_)*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(B_.) + (A_))
      , x_Symbol] :> Simp[(-B)*Cot[e + f*x]*((a + b*Csc[e + f*x])^m/(f*(m + 1))), x] + Simp[1/(m + 1)   Int[Csc[e +
      f*x]*(a + b*Csc[e + f*x])^(m - 1)*Simp[b*B*m + a*A*(m + 1) + (a*B*m + A*b*(m + 1))*Csc[e + f*x], x], x], x] /;
      FreeQ[{a, b, A, B, e, f}, x] && NeQ[A*b - a*B, 0] && NeQ[a^2 - b^2, 0] && GtQ[m, 0]

4491. Int[csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_))^(m_)*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(B_.) + (A_))
      , x_Symbol] :> Simp[(-(A*b - a*B))*Cot[e + f*x]*((a + b*Csc[e + f*x])^(m + 1)/(f*(m + 1)*(a^2 - b^2))), x] + S
      imp[1/((m + 1)*(a^2 - b^2))   Int[Csc[e + f*x]*(a + b*Csc[e + f*x])^(m + 1)*Simp[(a*A - b*B)*(m + 1) - (A*b -
      a*B)*(m + 2)*Csc[e + f*x], x], x], x] /; FreeQ[{a, b, A, B, e, f}, x] && NeQ[A*b - a*B, 0] && NeQ[a^2 - b^2, 0
      ] && LtQ[m, -1]

4492. Int[(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(B_.) + (A_)))/Sqrt[csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_)
      ], x_Symbol] :> Simp[-2*(A*b - a*B)*Rt[a + b*(B/A), 2]*Sqrt[b*((1 - Csc[e + f*x])/(a + b))]*(Sqrt[(-b)*((1 + C
      sc[e + f*x])/(a - b))]/(b^2*f*Cot[e + f*x]))*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Csc[e + f*x]]/Rt[a + b*(B/A), 2]], (a
      *A + b*B)/(a*A - b*B)], x] /; FreeQ[{a, b, e, f, A, B}, x] && NeQ[a^2 - b^2, 0] && EqQ[A^2 - B^2, 0]

4493. Int[(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(B_.) + (A_)))/Sqrt[csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_)
      ], x_Symbol] :> Simp[(A - B)   Int[Csc[e + f*x]/Sqrt[a + b*Csc[e + f*x]], x], x] + Simp[B   Int[Csc[e + f*x]*(
      (1 + Csc[e + f*x])/Sqrt[a + b*Csc[e + f*x]]), x], x] /; FreeQ[{a, b, e, f, A, B}, x] && NeQ[a^2 - b^2, 0] && N
      eQ[A^2 - B^2, 0]

4494. Int[csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_))^(m_)*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(B_.) + (A_))
      , x_Symbol] :> Simp[2*Sqrt[2]*A*(a + b*Csc[e + f*x])^m*(A - B*Csc[e + f*x])*(Sqrt[(A + B*Csc[e + f*x])/A]/(B*f
      *Cot[e + f*x]*(A*((a + b*Csc[e + f*x])/(a*A + b*B)))^m))*AppellF1[1/2, -(1/2), -m, 3/2, (A - B*Csc[e + f*x])/(
      2*A), (b*(A - B*Csc[e + f*x]))/(A*b + a*B)], x] /; FreeQ[{a, b, A, B, e, f}, x] && NeQ[A*b - a*B, 0] && NeQ[a^
      2 - b^2, 0] && EqQ[A^2 - B^2, 0] &&  !IntegerQ[2*m]

4495. Int[csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_))^(m_)*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(B_.) + (A_))
      , x_Symbol] :> Simp[(A*b - a*B)/b   Int[Csc[e + f*x]*(a + b*Csc[e + f*x])^m, x], x] + Simp[B/b   Int[Csc[e + f
      *x]*(a + b*Csc[e + f*x])^(m + 1), x], x] /; FreeQ[{a, b, A, B, e, f, m}, x] && NeQ[A*b - a*B, 0] && NeQ[a^2 -
      b^2, 0]

4496. Int[csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_))^(m_)*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(B_.) + (A_
      )), x_Symbol] :> Simp[(-(A*b - a*B))*Cot[e + f*x]*((a + b*Csc[e + f*x])^m/(b*f*(2*m + 1))), x] + Simp[1/(b^2*(
      2*m + 1))   Int[Csc[e + f*x]*(a + b*Csc[e + f*x])^(m + 1)*Simp[A*b*m - a*B*m + b*B*(2*m + 1)*Csc[e + f*x], x],
      x], x] /; FreeQ[{a, b, e, f, A, B}, x] && NeQ[A*b - a*B, 0] && EqQ[a^2 - b^2, 0] && LtQ[m, -2^(-1)]

4497. Int[csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_))^(m_)*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(B_.) + (A_
      )), x_Symbol] :> Simp[a*(A*b - a*B)*Cot[e + f*x]*((a + b*Csc[e + f*x])^(m + 1)/(b*f*(m + 1)*(a^2 - b^2))), x]
      - Simp[1/(b*(m + 1)*(a^2 - b^2))   Int[Csc[e + f*x]*(a + b*Csc[e + f*x])^(m + 1)*Simp[b*(A*b - a*B)*(m + 1) -
      (a*A*b*(m + 2) - B*(a^2 + b^2*(m + 1)))*Csc[e + f*x], x], x], x] /; FreeQ[{a, b, e, f, A, B}, x] && NeQ[A*b -
      a*B, 0] && NeQ[a^2 - b^2, 0] && LtQ[m, -1]

4498. Int[csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_))^(m_)*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(B_.) + (A_
      )), x_Symbol] :> Simp[(-B)*Cot[e + f*x]*((a + b*Csc[e + f*x])^(m + 1)/(b*f*(m + 2))), x] + Simp[1/(b*(m + 2))
      Int[Csc[e + f*x]*(a + b*Csc[e + f*x])^m*Simp[b*B*(m + 1) + (A*b*(m + 2) - a*B)*Csc[e + f*x], x], x], x] /; F
      reeQ[{a, b, e, f, A, B, m}, x] && NeQ[A*b - a*B, 0] &&  !LtQ[m, -1]

4499. Int[(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(d_.))^(n_)*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_))^(m_)*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*
      (B_.) + (A_)), x_Symbol] :> Simp[A*Cot[e + f*x]*(a + b*Csc[e + f*x])^m*((d*Csc[e + f*x])^n/(f*n)), x] /; FreeQ
      [{a, b, d, e, f, A, B, m, n}, x] && NeQ[A*b - a*B, 0] && EqQ[a^2 - b^2, 0] && EqQ[m + n + 1, 0] && EqQ[a*A*m -
      b*B*n, 0]

4500. Int[(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(d_.))^(n_)*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_))^(m_)*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*
      (B_.) + (A_)), x_Symbol] :> Simp[(-(A*b - a*B))*Cot[e + f*x]*(a + b*Csc[e + f*x])^m*((d*Csc[e + f*x])^n/(b*f*(
      2*m + 1))), x] + Simp[(a*A*m + b*B*(m + 1))/(a^2*(2*m + 1))   Int[(a + b*Csc[e + f*x])^(m + 1)*(d*Csc[e + f*x]
      )^n, x], x] /; FreeQ[{a, b, d, e, f, A, B, n}, x] && NeQ[A*b - a*B, 0] && EqQ[a^2 - b^2, 0] && EqQ[m + n + 1,
      0] && LeQ[m, -1]

4501. Int[(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(d_.))^(n_)*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_))^(m_)*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*
      (B_.) + (A_)), x_Symbol] :> Simp[A*Cot[e + f*x]*(a + b*Csc[e + f*x])^m*((d*Csc[e + f*x])^n/(f*n)), x] - Simp[(
      a*A*m - b*B*n)/(b*d*n)   Int[(a + b*Csc[e + f*x])^m*(d*Csc[e + f*x])^(n + 1), x], x] /; FreeQ[{a, b, d, e, f,
      A, B, m, n}, x] && NeQ[A*b - a*B, 0] && EqQ[a^2 - b^2, 0] && EqQ[m + n + 1, 0] &&  !LeQ[m, -1]

4502. Int[(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(d_.))^(n_)*Sqrt[csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_)]*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(
      B_.) + (A_)), x_Symbol] :> Simp[-2*b*B*Cot[e + f*x]*((d*Csc[e + f*x])^n/(f*(2*n + 1)*Sqrt[a + b*Csc[e + f*x]])
      ), x] /; FreeQ[{a, b, d, e, f, A, B, n}, x] && NeQ[A*b - a*B, 0] && EqQ[a^2 - b^2, 0] && EqQ[A*b*(2*n + 1) + 2
      *a*B*n, 0]

4503. Int[(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(d_.))^(n_)*Sqrt[csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_)]*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(
      B_.) + (A_)), x_Symbol] :> Simp[A*b^2*Cot[e + f*x]*((d*Csc[e + f*x])^n/(a*f*n*Sqrt[a + b*Csc[e + f*x]])), x] +
      Simp[(A*b*(2*n + 1) + 2*a*B*n)/(2*a*d*n)   Int[Sqrt[a + b*Csc[e + f*x]]*(d*Csc[e + f*x])^(n + 1), x], x] /; F
      reeQ[{a, b, d, e, f, A, B}, x] && NeQ[A*b - a*B, 0] && EqQ[a^2 - b^2, 0] && NeQ[A*b*(2*n + 1) + 2*a*B*n, 0] &&
      LtQ[n, 0]

4504. Int[(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(d_.))^(n_)*Sqrt[csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_)]*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(
      B_.) + (A_)), x_Symbol] :> Simp[-2*b*B*Cot[e + f*x]*((d*Csc[e + f*x])^n/(f*(2*n + 1)*Sqrt[a + b*Csc[e + f*x]])
      ), x] + Simp[(A*b*(2*n + 1) + 2*a*B*n)/(b*(2*n + 1))   Int[Sqrt[a + b*Csc[e + f*x]]*(d*Csc[e + f*x])^n, x], x]
      /; FreeQ[{a, b, d, e, f, A, B, n}, x] && NeQ[A*b - a*B, 0] && EqQ[a^2 - b^2, 0] && NeQ[A*b*(2*n + 1) + 2*a*B*
      n, 0] &&  !LtQ[n, 0]

4505. Int[(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(d_.))^(n_)*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_))^(m_)*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*
      (B_.) + (A_)), x_Symbol] :> Simp[a*A*Cot[e + f*x]*(a + b*Csc[e + f*x])^(m - 1)*((d*Csc[e + f*x])^n/(f*n)), x]
      - Simp[b/(a*d*n)   Int[(a + b*Csc[e + f*x])^(m - 1)*(d*Csc[e + f*x])^(n + 1)*Simp[a*A*(m - n - 1) - b*B*n - (a
      *B*n + A*b*(m + n))*Csc[e + f*x], x], x], x] /; FreeQ[{a, b, d, e, f, A, B}, x] && NeQ[A*b - a*B, 0] && EqQ[a^
      2 - b^2, 0] && GtQ[m, 1/2] && LtQ[n, -1]

4506. Int[(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(d_.))^(n_)*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_))^(m_)*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*
      (B_.) + (A_)), x_Symbol] :> Simp[(-b)*B*Cot[e + f*x]*(a + b*Csc[e + f*x])^(m - 1)*((d*Csc[e + f*x])^n/(f*(m +
      n))), x] + Simp[1/(d*(m + n))   Int[(a + b*Csc[e + f*x])^(m - 1)*(d*Csc[e + f*x])^n*Simp[a*A*d*(m + n) + B*(b*
      d*n) + (A*b*d*(m + n) + a*B*d*(2*m + n - 1))*Csc[e + f*x], x], x], x] /; FreeQ[{a, b, d, e, f, A, B, n}, x] &&
      NeQ[A*b - a*B, 0] && EqQ[a^2 - b^2, 0] && GtQ[m, 1/2] &&  !LtQ[n, -1]

4507. Int[(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(d_.))^(n_)*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_))^(m_)*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*
      (B_.) + (A_)), x_Symbol] :> Simp[d*(A*b - a*B)*Cot[e + f*x]*(a + b*Csc[e + f*x])^m*((d*Csc[e + f*x])^(n - 1)/(
      a*f*(2*m + 1))), x] - Simp[1/(a*b*(2*m + 1))   Int[(a + b*Csc[e + f*x])^(m + 1)*(d*Csc[e + f*x])^(n - 1)*Simp[
      A*(a*d*(n - 1)) - B*(b*d*(n - 1)) - d*(a*B*(m - n + 1) + A*b*(m + n))*Csc[e + f*x], x], x], x] /; FreeQ[{a, b,
      d, e, f, A, B}, x] && NeQ[A*b - a*B, 0] && EqQ[a^2 - b^2, 0] && LtQ[m, -2^(-1)] && GtQ[n, 0]

4508. Int[(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(d_.))^(n_)*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_))^(m_)*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*
      (B_.) + (A_)), x_Symbol] :> Simp[(-(A*b - a*B))*Cot[e + f*x]*(a + b*Csc[e + f*x])^m*((d*Csc[e + f*x])^n/(b*f*(
      2*m + 1))), x] - Simp[1/(a^2*(2*m + 1))   Int[(a + b*Csc[e + f*x])^(m + 1)*(d*Csc[e + f*x])^n*Simp[b*B*n - a*A
      *(2*m + n + 1) + (A*b - a*B)*(m + n + 1)*Csc[e + f*x], x], x], x] /; FreeQ[{a, b, d, e, f, A, B, n}, x] && NeQ
      [A*b - a*B, 0] && EqQ[a^2 - b^2, 0] && LtQ[m, -2^(-1)] &&  !GtQ[n, 0]

4509. Int[(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(d_.))^(n_)*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_))^(m_)*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*
      (B_.) + (A_)), x_Symbol] :> Simp[(-B)*d*Cot[e + f*x]*(a + b*Csc[e + f*x])^m*((d*Csc[e + f*x])^(n - 1)/(f*(m +
      n))), x] + Simp[d/(b*(m + n))   Int[(a + b*Csc[e + f*x])^m*(d*Csc[e + f*x])^(n - 1)*Simp[b*B*(n - 1) + (A*b*(m
      + n) + a*B*m)*Csc[e + f*x], x], x], x] /; FreeQ[{a, b, d, e, f, A, B, m}, x] && NeQ[A*b - a*B, 0] && EqQ[a^2
      - b^2, 0] && GtQ[n, 1]

4510. Int[(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(d_.))^(n_)*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_))^(m_)*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*
      (B_.) + (A_)), x_Symbol] :> Simp[A*Cot[e + f*x]*(a + b*Csc[e + f*x])^m*((d*Csc[e + f*x])^n/(f*n)), x] - Simp[1
      /(b*d*n)   Int[(a + b*Csc[e + f*x])^m*(d*Csc[e + f*x])^(n + 1)*Simp[a*A*m - b*B*n - A*b*(m + n + 1)*Csc[e + f*
      x], x], x], x] /; FreeQ[{a, b, d, e, f, A, B, m}, x] && NeQ[A*b - a*B, 0] && EqQ[a^2 - b^2, 0] && LtQ[n, 0]

4511. Int[(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(d_.))^(n_)*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_))^(m_)*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*
      (B_.) + (A_)), x_Symbol] :> Simp[(A*b - a*B)/b   Int[(a + b*Csc[e + f*x])^m*(d*Csc[e + f*x])^n, x], x] + Simp[
      B/b   Int[(a + b*Csc[e + f*x])^(m + 1)*(d*Csc[e + f*x])^n, x], x] /; FreeQ[{a, b, d, e, f, A, B, m}, x] && NeQ
      [A*b - a*B, 0] && EqQ[a^2 - b^2, 0]

4512. Int[(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(d_.))^(n_)*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_))^2*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(B_
      .) + (A_)), x_Symbol] :> Simp[a^2*A*Cos[e + f*x]*((d*Csc[e + f*x])^(n + 1)/(d*f*n)), x] + Simp[1/(d*n)   Int[(
      d*Csc[e + f*x])^(n + 1)*(a*(2*A*b + a*B)*n + (2*a*b*B*n + A*(b^2*n + a^2*(n + 1)))*Csc[e + f*x] + b^2*B*n*Csc[
      e + f*x]^2), x], x] /; FreeQ[{a, b, d, e, f, A, B}, x] && NeQ[A*b - a*B, 0] && NeQ[a^2 - b^2, 0] && LeQ[n, -1]

4513. Int[(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(d_.))^(n_)*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_))^(m_)*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*
      (B_.) + (A_)), x_Symbol] :> Simp[a*A*Cot[e + f*x]*(a + b*Csc[e + f*x])^(m - 1)*((d*Csc[e + f*x])^n/(f*n)), x]
      + Simp[1/(d*n)   Int[(a + b*Csc[e + f*x])^(m - 2)*(d*Csc[e + f*x])^(n + 1)*Simp[a*(a*B*n - A*b*(m - n - 1)) +
      (2*a*b*B*n + A*(b^2*n + a^2*(1 + n)))*Csc[e + f*x] + b*(b*B*n + a*A*(m + n))*Csc[e + f*x]^2, x], x], x] /; Fre
      eQ[{a, b, d, e, f, A, B}, x] && NeQ[A*b - a*B, 0] && NeQ[a^2 - b^2, 0] && GtQ[m, 1] && LeQ[n, -1]

4514. Int[(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(d_.))^(n_)*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_))^(m_)*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*
      (B_.) + (A_)), x_Symbol] :> Simp[(-b)*B*Cot[e + f*x]*(a + b*Csc[e + f*x])^(m - 1)*((d*Csc[e + f*x])^n/(f*(m +
      n))), x] + Simp[1/(m + n)   Int[(a + b*Csc[e + f*x])^(m - 2)*(d*Csc[e + f*x])^n*Simp[a^2*A*(m + n) + a*b*B*n +
      (a*(2*A*b + a*B)*(m + n) + b^2*B*(m + n - 1))*Csc[e + f*x] + b*(A*b*(m + n) + a*B*(2*m + n - 1))*Csc[e + f*x]
      ^2, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, d, e, f, A, B, n}, x] && NeQ[A*b - a*B, 0] && NeQ[a^2 - b^2, 0] && GtQ[m, 1] &&
      !(IGtQ[n, 1] &&  !IntegerQ[m])

4515. Int[(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(d_.))^(n_)*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_))^(m_)*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*
      (B_.) + (A_)), x_Symbol] :> Simp[(-d)*(A*b - a*B)*Cot[e + f*x]*(a + b*Csc[e + f*x])^(m + 1)*((d*Csc[e + f*x])^
      (n - 1)/(f*(m + 1)*(a^2 - b^2))), x] + Simp[1/((m + 1)*(a^2 - b^2))   Int[(a + b*Csc[e + f*x])^(m + 1)*(d*Csc[
      e + f*x])^(n - 1)*Simp[d*(n - 1)*(A*b - a*B) + d*(a*A - b*B)*(m + 1)*Csc[e + f*x] - d*(A*b - a*B)*(m + n + 1)*
      Csc[e + f*x]^2, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, d, e, f, A, B}, x] && NeQ[A*b - a*B, 0] && NeQ[a^2 - b^2, 0] && LtQ
      [m, -1] && LtQ[0, n, 1]

4516. Int[csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]^3*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_))^(m_)*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(B_.) + (A_
      )), x_Symbol] :> Simp[(-a^2)*(A*b - a*B)*Cot[e + f*x]*((a + b*Csc[e + f*x])^(m + 1)/(b^2*f*(m + 1)*(a^2 - b^2)
      )), x] + Simp[1/(b^2*(m + 1)*(a^2 - b^2))   Int[Csc[e + f*x]*(a + b*Csc[e + f*x])^(m + 1)*Simp[a*b*(A*b - a*B)
      *(m + 1) - (A*b - a*B)*(a^2 + b^2*(m + 1))*Csc[e + f*x] + b*B*(m + 1)*(a^2 - b^2)*Csc[e + f*x]^2, x], x], x] /
      ; FreeQ[{a, b, e, f, A, B}, x] && NeQ[A*b - a*B, 0] && NeQ[a^2 - b^2, 0] && LtQ[m, -1]

4517. Int[(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(d_.))^(n_)*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_))^(m_)*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*
      (B_.) + (A_)), x_Symbol] :> Simp[a*d^2*(A*b - a*B)*Cot[e + f*x]*(a + b*Csc[e + f*x])^(m + 1)*((d*Csc[e + f*x])
      ^(n - 2)/(b*f*(m + 1)*(a^2 - b^2))), x] - Simp[d/(b*(m + 1)*(a^2 - b^2))   Int[(a + b*Csc[e + f*x])^(m + 1)*(d
      *Csc[e + f*x])^(n - 2)*Simp[a*d*(A*b - a*B)*(n - 2) + b*d*(A*b - a*B)*(m + 1)*Csc[e + f*x] - (a*A*b*d*(m + n)
      - d*B*(a^2*(n - 1) + b^2*(m + 1)))*Csc[e + f*x]^2, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, d, e, f, A, B}, x] && NeQ[A*b -
      a*B, 0] && NeQ[a^2 - b^2, 0] && LtQ[m, -1] && GtQ[n, 1]

4518. Int[(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(d_.))^(n_)*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_))^(m_)*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*
      (B_.) + (A_)), x_Symbol] :> Simp[b*(A*b - a*B)*Cot[e + f*x]*(a + b*Csc[e + f*x])^(m + 1)*((d*Csc[e + f*x])^n/(
      a*f*(m + 1)*(a^2 - b^2))), x] + Simp[1/(a*(m + 1)*(a^2 - b^2))   Int[(a + b*Csc[e + f*x])^(m + 1)*(d*Csc[e + f
      *x])^n*Simp[A*(a^2*(m + 1) - b^2*(m + n + 1)) + a*b*B*n - a*(A*b - a*B)*(m + 1)*Csc[e + f*x] + b*(A*b - a*B)*(
      m + n + 2)*Csc[e + f*x]^2, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, d, e, f, A, B, n}, x] && NeQ[A*b - a*B, 0] && NeQ[a^2 -
      b^2, 0] && LtQ[m, -1] &&  !(ILtQ[m + 1/2, 0] && ILtQ[n, 0])

4519. Int[(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(d_.))^(n_)*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_))^(m_)*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*
      (B_.) + (A_)), x_Symbol] :> Simp[(-B)*d*Cot[e + f*x]*(a + b*Csc[e + f*x])^m*((d*Csc[e + f*x])^(n - 1)/(f*(m +
      n))), x] + Simp[d/(m + n)   Int[(a + b*Csc[e + f*x])^(m - 1)*(d*Csc[e + f*x])^(n - 1)*Simp[a*B*(n - 1) + (b*B*
      (m + n - 1) + a*A*(m + n))*Csc[e + f*x] + (a*B*m + A*b*(m + n))*Csc[e + f*x]^2, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, d,
      e, f, A, B}, x] && NeQ[A*b - a*B, 0] && NeQ[a^2 - b^2, 0] && LtQ[0, m, 1] && GtQ[n, 0]

4520. Int[(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(d_.))^(n_)*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_))^(m_)*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*
      (B_.) + (A_)), x_Symbol] :> Simp[A*Cot[e + f*x]*(a + b*Csc[e + f*x])^m*((d*Csc[e + f*x])^n/(f*n)), x] - Simp[1
      /(d*n)   Int[(a + b*Csc[e + f*x])^(m - 1)*(d*Csc[e + f*x])^(n + 1)*Simp[A*b*m - a*B*n - (b*B*n + a*A*(n + 1))*
      Csc[e + f*x] - A*b*(m + n + 1)*Csc[e + f*x]^2, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, d, e, f, A, B}, x] && NeQ[A*b - a*B,
      0] && NeQ[a^2 - b^2, 0] && LtQ[0, m, 1] && LeQ[n, -1]

4521. Int[(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(d_.))^(n_)*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_))^(m_)*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*
      (B_.) + (A_)), x_Symbol] :> Simp[(-B)*d^2*Cot[e + f*x]*(a + b*Csc[e + f*x])^(m + 1)*((d*Csc[e + f*x])^(n - 2)/
      (b*f*(m + n))), x] + Simp[d^2/(b*(m + n))   Int[(a + b*Csc[e + f*x])^m*(d*Csc[e + f*x])^(n - 2)*Simp[a*B*(n -
      2) + B*b*(m + n - 1)*Csc[e + f*x] + (A*b*(m + n) - a*B*(n - 1))*Csc[e + f*x]^2, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, d,
      e, f, A, B, m}, x] && NeQ[A*b - a*B, 0] && NeQ[a^2 - b^2, 0] && GtQ[n, 1] && NeQ[m + n, 0] &&  !IGtQ[m, 1]

4522. Int[(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(d_.))^(n_)*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_))^(m_)*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*
      (B_.) + (A_)), x_Symbol] :> Simp[A*Cot[e + f*x]*(a + b*Csc[e + f*x])^(m + 1)*((d*Csc[e + f*x])^n/(a*f*n)), x]
      + Simp[1/(a*d*n)   Int[(a + b*Csc[e + f*x])^m*(d*Csc[e + f*x])^(n + 1)*Simp[a*B*n - A*b*(m + n + 1) + A*a*(n +
      1)*Csc[e + f*x] + A*b*(m + n + 2)*Csc[e + f*x]^2, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, d, e, f, A, B, m}, x] && NeQ[A*b
      - a*B, 0] && NeQ[a^2 - b^2, 0] && LeQ[n, -1]

4523. Int[(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(B_.) + (A_))/(Sqrt[csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(d_.)]*Sqrt[csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(
      b_.) + (a_)]), x_Symbol] :> Simp[A/a   Int[Sqrt[a + b*Csc[e + f*x]]/Sqrt[d*Csc[e + f*x]], x], x] - Simp[(A*b -
      a*B)/(a*d)   Int[Sqrt[d*Csc[e + f*x]]/Sqrt[a + b*Csc[e + f*x]], x], x] /; FreeQ[{a, b, d, e, f, A, B}, x] &&
      NeQ[A*b - a*B, 0] && NeQ[a^2 - b^2, 0]

4524. Int[(Sqrt[csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(d_.)]*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(B_.) + (A_)))/Sqrt[csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*
      (b_.) + (a_)], x_Symbol] :> Simp[A   Int[Sqrt[d*Csc[e + f*x]]/Sqrt[a + b*Csc[e + f*x]], x], x] + Simp[B/d   In
      t[(d*Csc[e + f*x])^(3/2)/Sqrt[a + b*Csc[e + f*x]], x], x] /; FreeQ[{a, b, d, e, f, A, B}, x] && NeQ[A*b - a*B,
      0] && NeQ[a^2 - b^2, 0]

4525. Int[(Sqrt[csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_)]*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(B_.) + (A_)))/Sqrt[csc[(e_.) + (f_.)
      *(x_)]*(d_.)], x_Symbol] :> Simp[B/d   Int[Sqrt[a + b*Csc[e + f*x]]*Sqrt[d*Csc[e + f*x]], x], x] + Simp[A   In
      t[Sqrt[a + b*Csc[e + f*x]]/Sqrt[d*Csc[e + f*x]], x], x] /; FreeQ[{a, b, d, e, f, A, B}, x] && NeQ[A*b - a*B, 0
      ] && NeQ[a^2 - b^2, 0]

4526. Int[((csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(d_.))^(n_)*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(B_.) + (A_)))/(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_
      .) + (a_)), x_Symbol] :> Simp[A/a   Int[(d*Csc[e + f*x])^n, x], x] - Simp[(A*b - a*B)/(a*d)   Int[(d*Csc[e + f
      *x])^(n + 1)/(a + b*Csc[e + f*x]), x], x] /; FreeQ[{a, b, d, e, f, A, B, n}, x] && NeQ[A*b - a*B, 0] && NeQ[a^
      2 - b^2, 0]

4527. Int[(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(d_.))^(n_.)*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_))^(m_)*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]
      *(B_.) + (A_)), x_Symbol] :> Unintegrable[(d*Csc[e + f*x])^n*(a + b*Csc[e + f*x])^m*(A + B*Csc[e + f*x]), x] /
      ; FreeQ[{a, b, d, e, f, A, B, m, n}, x] && NeQ[A*b - a*B, 0] && NeQ[a^2 - b^2, 0]

4528. Int[((A_.) + csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(B_.))^(p_.)*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_))^(m_.)*(csc[(e_.) + (f
      _.)*(x_)]*(d_.) + (c_))^(n_.), x_Symbol] :> Simp[((-a)*c)^m   Int[Cos[e + f*x]^(2*m)*(d + c*Sin[e + f*x])^(n -
      m)*((B + A*Sin[e + f*x])^p/Sin[e + f*x]^(m + n + p)), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, A, B, n, p}, x] && E
      qQ[b*c + a*d, 0] && EqQ[a^2 - b^2, 0] && IntegersQ[m, n, p]

4529. Int[((A_.) + csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(B_.) + csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2*(C_.))*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) +
      (a_))^(m_.), x_Symbol] :> Simp[1/b^2   Int[(a + b*Csc[e + f*x])^(m + 1)*Simp[b*B - a*C + b*C*Csc[e + f*x], x]
      , x], x] /; FreeQ[{a, b, e, f, A, B, C, m}, x] && EqQ[A*b^2 - a*b*B + a^2*C, 0]

4530. Int[((A_.) + csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2*(C_.))*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_))^(m_.), x_Symbol] :> Simp[
      C/b^2   Int[(a + b*Csc[e + f*x])^(m + 1)*Simp[-a + b*Csc[e + f*x], x], x], x] /; FreeQ[{a, b, e, f, A, C, m},
      x] && EqQ[A*b^2 + a^2*C, 0]

4531. Int[(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.))^(m_.)*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2*(C_.) + (A_)), x_Symbol] :> Simp[A*Cot[e
      + f*x]*((b*Csc[e + f*x])^m/(f*m)), x] /; FreeQ[{b, e, f, A, C, m}, x] && EqQ[C*m + A*(m + 1), 0]

4532. Int[csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]^(m_.)*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2*(C_.) + (A_)), x_Symbol] :> Int[(C + A*Sin[e + f*
      x]^2)/Sin[e + f*x]^(m + 2), x] /; FreeQ[{e, f, A, C}, x] && NeQ[C*m + A*(m + 1), 0] && ILtQ[(m + 1)/2, 0]

4533. Int[(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.))^(m_.)*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2*(C_.) + (A_)), x_Symbol] :> Simp[A*Cot[e
      + f*x]*((b*Csc[e + f*x])^m/(f*m)), x] + Simp[(C*m + A*(m + 1))/(b^2*m)   Int[(b*Csc[e + f*x])^(m + 2), x], x]
      /; FreeQ[{b, e, f, A, C}, x] && NeQ[C*m + A*(m + 1), 0] && LeQ[m, -1]

4534. Int[(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.))^(m_.)*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2*(C_.) + (A_)), x_Symbol] :> Simp[(-C)*Cot
      [e + f*x]*((b*Csc[e + f*x])^m/(f*(m + 1))), x] + Simp[(C*m + A*(m + 1))/(m + 1)   Int[(b*Csc[e + f*x])^m, x],
      x] /; FreeQ[{b, e, f, A, C, m}, x] && NeQ[C*m + A*(m + 1), 0] &&  !LeQ[m, -1]

4535. Int[(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.))^(m_.)*((A_.) + csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(B_.) + csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2*(
      C_.)), x_Symbol] :> Simp[B/b   Int[(b*Csc[e + f*x])^(m + 1), x], x] + Int[(b*Csc[e + f*x])^m*(A + C*Csc[e + f*
      x]^2), x] /; FreeQ[{b, e, f, A, B, C, m}, x]

4536. Int[((A_.) + csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(B_.) + csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2*(C_.))*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) +
      (a_)), x_Symbol] :> Simp[(-b)*C*Csc[e + f*x]*(Cot[e + f*x]/(2*f)), x] + Simp[1/2   Int[Simp[2*A*a + (2*B*a +
      b*(2*A + C))*Csc[e + f*x] + 2*(a*C + B*b)*Csc[e + f*x]^2, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, e, f, A, B, C}, x]

4537. Int[((A_.) + csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2*(C_.))*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_)), x_Symbol] :> Simp[(-b)*C
      *Csc[e + f*x]*(Cot[e + f*x]/(2*f)), x] + Simp[1/2   Int[Simp[2*A*a + b*(2*A + C)*Csc[e + f*x] + 2*a*C*Csc[e +
      f*x]^2, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, e, f, A, C}, x]

4538. Int[((A_.) + csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(B_.) + csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2*(C_.))/(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) +
      (a_)), x_Symbol] :> Simp[C/b   Int[Csc[e + f*x], x], x] + Simp[1/b   Int[(A*b + (b*B - a*C)*Csc[e + f*x])/(a
      + b*Csc[e + f*x]), x], x] /; FreeQ[{a, b, e, f, A, B, C}, x]

4539. Int[((A_.) + csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2*(C_.))/(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_)), x_Symbol] :> Simp[C/b
      Int[Csc[e + f*x], x], x] + Simp[1/b   Int[(A*b - a*C*Csc[e + f*x])/(a + b*Csc[e + f*x]), x], x] /; FreeQ[{a, b
      , e, f, A, C}, x]

4540. Int[((A_.) + csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(B_.) + csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2*(C_.))*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) +
      (a_))^(m_), x_Symbol] :> Simp[(-(a*A - b*B + a*C))*Cot[e + f*x]*((a + b*Csc[e + f*x])^m/(a*f*(2*m + 1))), x]
      + Simp[1/(a*b*(2*m + 1))   Int[(a + b*Csc[e + f*x])^(m + 1)*Simp[A*b*(2*m + 1) + (b*B*(m + 1) - a*(A*(m + 1) -
      C*m))*Csc[e + f*x], x], x], x] /; FreeQ[{a, b, e, f, A, B, C}, x] && EqQ[a^2 - b^2, 0] && LtQ[m, -2^(-1)]

4541. Int[((A_.) + csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2*(C_.))*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_))^(m_), x_Symbol] :> Simp[(
      -a)*(A + C)*Cot[e + f*x]*((a + b*Csc[e + f*x])^m/(a*f*(2*m + 1))), x] + Simp[1/(a*b*(2*m + 1))   Int[(a + b*Cs
      c[e + f*x])^(m + 1)*Simp[A*b*(2*m + 1) - a*(A*(m + 1) - C*m)*Csc[e + f*x], x], x], x] /; FreeQ[{a, b, e, f, A,
      C}, x] && EqQ[a^2 - b^2, 0] && LtQ[m, -2^(-1)]

4542. Int[((A_.) + csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(B_.) + csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2*(C_.))*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) +
      (a_))^(m_.), x_Symbol] :> Simp[(-C)*Cot[e + f*x]*((a + b*Csc[e + f*x])^m/(f*(m + 1))), x] + Simp[1/(b*(m + 1)
      )   Int[(a + b*Csc[e + f*x])^m*Simp[A*b*(m + 1) + (a*C*m + b*B*(m + 1))*Csc[e + f*x], x], x], x] /; FreeQ[{a,
      b, e, f, A, B, C, m}, x] && EqQ[a^2 - b^2, 0] &&  !LtQ[m, -2^(-1)]

4543. Int[((A_.) + csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2*(C_.))*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_))^(m_.), x_Symbol] :> Simp[
      (-C)*Cot[e + f*x]*((a + b*Csc[e + f*x])^m/(f*(m + 1))), x] + Simp[1/(b*(m + 1))   Int[(a + b*Csc[e + f*x])^m*S
      imp[A*b*(m + 1) + a*C*m*Csc[e + f*x], x], x], x] /; FreeQ[{a, b, e, f, A, C, m}, x] && EqQ[a^2 - b^2, 0] &&  !
      LtQ[m, -2^(-1)]

4544. Int[((A_.) + csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(B_.) + csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2*(C_.))*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) +
      (a_))^(m_.), x_Symbol] :> Simp[(-C)*Cot[e + f*x]*((a + b*Csc[e + f*x])^m/(f*(m + 1))), x] + Simp[1/(m + 1)
      Int[(a + b*Csc[e + f*x])^(m - 1)*Simp[a*A*(m + 1) + ((A*b + a*B)*(m + 1) + b*C*m)*Csc[e + f*x] + (b*B*(m + 1)
      + a*C*m)*Csc[e + f*x]^2, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, e, f, A, B, C}, x] && NeQ[a^2 - b^2, 0] && IGtQ[2*m, 0]

4545. Int[((A_.) + csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2*(C_.))*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_))^(m_.), x_Symbol] :> Simp[
      (-C)*Cot[e + f*x]*((a + b*Csc[e + f*x])^m/(f*(m + 1))), x] + Simp[1/(m + 1)   Int[(a + b*Csc[e + f*x])^(m - 1)
      *Simp[a*A*(m + 1) + (A*b*(m + 1) + b*C*m)*Csc[e + f*x] + a*C*m*Csc[e + f*x]^2, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, e, f
      , A, C}, x] && NeQ[a^2 - b^2, 0] && IGtQ[2*m, 0]

4546. Int[((A_.) + csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(B_.) + csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2*(C_.))/Sqrt[csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_
      .) + (a_)], x_Symbol] :> Int[(A + (B - C)*Csc[e + f*x])/Sqrt[a + b*Csc[e + f*x]], x] + Simp[C   Int[Csc[e + f*
      x]*((1 + Csc[e + f*x])/Sqrt[a + b*Csc[e + f*x]]), x], x] /; FreeQ[{a, b, e, f, A, B, C}, x] && NeQ[a^2 - b^2,
      0]

4547. Int[((A_.) + csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2*(C_.))/Sqrt[csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_)], x_Symbol] :> Int[(A
      - C*Csc[e + f*x])/Sqrt[a + b*Csc[e + f*x]], x] + Simp[C   Int[Csc[e + f*x]*((1 + Csc[e + f*x])/Sqrt[a + b*Csc[
      e + f*x]]), x], x] /; FreeQ[{a, b, e, f, A, C}, x] && NeQ[a^2 - b^2, 0]

4548. Int[((A_.) + csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(B_.) + csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2*(C_.))*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) +
      (a_))^(m_), x_Symbol] :> Simp[(A*b^2 - a*b*B + a^2*C)*Cot[e + f*x]*((a + b*Csc[e + f*x])^(m + 1)/(a*f*(m + 1)
      *(a^2 - b^2))), x] + Simp[1/(a*(m + 1)*(a^2 - b^2))   Int[(a + b*Csc[e + f*x])^(m + 1)*Simp[A*(a^2 - b^2)*(m +
      1) - a*(A*b - a*B + b*C)*(m + 1)*Csc[e + f*x] + (A*b^2 - a*b*B + a^2*C)*(m + 2)*Csc[e + f*x]^2, x], x], x] /;
      FreeQ[{a, b, e, f, A, B, C}, x] && NeQ[a^2 - b^2, 0] && LtQ[m, -1]

4549. Int[((A_.) + csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2*(C_.))*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_))^(m_), x_Symbol] :> Simp[(
      A*b^2 + a^2*C)*Cot[e + f*x]*((a + b*Csc[e + f*x])^(m + 1)/(a*f*(m + 1)*(a^2 - b^2))), x] + Simp[1/(a*(m + 1)*(
      a^2 - b^2))   Int[(a + b*Csc[e + f*x])^(m + 1)*Simp[A*(a^2 - b^2)*(m + 1) - a*b*(A + C)*(m + 1)*Csc[e + f*x] +
      (A*b^2 + a^2*C)*(m + 2)*Csc[e + f*x]^2, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, e, f, A, C}, x] && NeQ[a^2 - b^2, 0] && In
      tegerQ[2*m] && LtQ[m, -1]

4550. Int[((A_.) + csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(B_.) + csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2*(C_.))*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) +
      (a_))^(m_), x_Symbol] :> Simp[1/b   Int[(a + b*Csc[e + f*x])^m*(A*b + (b*B - a*C)*Csc[e + f*x]), x], x] + Sim
      p[C/b   Int[Csc[e + f*x]*(a + b*Csc[e + f*x])^(m + 1), x], x] /; FreeQ[{a, b, e, f, A, B, C, m}, x] && NeQ[a^2
      - b^2, 0] &&  !IntegerQ[2*m]

4551. Int[((A_.) + csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2*(C_.))*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_))^(m_), x_Symbol] :> Simp[1
      /b   Int[(a + b*Csc[e + f*x])^m*(A*b - a*C*Csc[e + f*x]), x], x] + Simp[C/b   Int[Csc[e + f*x]*(a + b*Csc[e +
      f*x])^(m + 1), x], x] /; FreeQ[{a, b, e, f, A, C, m}, x] && NeQ[a^2 - b^2, 0] &&  !IntegerQ[2*m]

4552. Int[(cos[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.))^(m_)*((A_.) + (B_.)*sec[(e_.) + (f_.)*(x_)] + (C_.)*sec[(e_.) + (f_.)*(x_)
      ]^2), x_Symbol] :> Simp[b^2   Int[(b*Cos[e + f*x])^(m - 2)*(C + B*Cos[e + f*x] + A*Cos[e + f*x]^2), x], x] /;
      FreeQ[{b, e, f, A, B, C, m}, x] &&  !IntegerQ[m]

4553. Int[((A_.) + csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(B_.) + csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2*(C_.))*((b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^
      (m_), x_Symbol] :> Simp[b^2   Int[(b*Sin[e + f*x])^(m - 2)*(C + B*Sin[e + f*x] + A*Sin[e + f*x]^2), x], x] /;
      FreeQ[{b, e, f, A, B, C, m}, x] &&  !IntegerQ[m]

4554. Int[(cos[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.))^(m_)*((A_.) + (C_.)*sec[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2), x_Symbol] :> Simp[b^2   In
      t[(b*Cos[e + f*x])^(m - 2)*(C + A*Cos[e + f*x]^2), x], x] /; FreeQ[{b, e, f, A, C, m}, x] &&  !IntegerQ[m]

4555. Int[((A_.) + csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2*(C_.))*((b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_), x_Symbol] :> Simp[b^2   In
      t[(b*Sin[e + f*x])^(m - 2)*(C + A*Sin[e + f*x]^2), x], x] /; FreeQ[{b, e, f, A, C, m}, x] &&  !IntegerQ[m]

4556. Int[((a_.)*((b_.)*sec[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(p_))^(m_)*((A_.) + (B_.)*sec[(e_.) + (f_.)*(x_)] + (C_.)*sec[(e_.)
      + (f_.)*(x_)]^2), x_Symbol] :> Simp[a^IntPart[m]*((a*(b*Sec[e + f*x])^p)^FracPart[m]/(b*Sec[e + f*x])^(p*Frac
      Part[m]))   Int[(b*Sec[e + f*x])^(m*p)*(A + B*Sec[e + f*x] + C*Sec[e + f*x]^2), x], x] /; FreeQ[{a, b, e, f, A
      , B, C, m, p}, x] &&  !IntegerQ[m]

4557. Int[((a_.)*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.))^(p_))^(m_)*((A_.) + csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(B_.) + csc[(e_.) + (f_
      .)*(x_)]^2*(C_.)), x_Symbol] :> Simp[a^IntPart[m]*((a*(b*Csc[e + f*x])^p)^FracPart[m]/(b*Csc[e + f*x])^(p*Frac
      Part[m]))   Int[(b*Csc[e + f*x])^(m*p)*(A + B*Csc[e + f*x] + C*Csc[e + f*x]^2), x], x] /; FreeQ[{a, b, e, f, A
      , B, C, m, p}, x] &&  !IntegerQ[m]

4558. Int[((a_.)*((b_.)*sec[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(p_))^(m_)*((A_.) + (C_.)*sec[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2), x_Symbol] :>
      Simp[a^IntPart[m]*((a*(b*Sec[e + f*x])^p)^FracPart[m]/(b*Sec[e + f*x])^(p*FracPart[m]))   Int[(b*Sec[e + f*x])
      ^(m*p)*(A + C*Sec[e + f*x]^2), x], x] /; FreeQ[{a, b, e, f, A, C, m, p}, x] &&  !IntegerQ[m]

4559. Int[((a_.)*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.))^(p_))^(m_)*((A_.) + csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2*(C_.)), x_Symbol] :>
      Simp[a^IntPart[m]*((a*(b*Csc[e + f*x])^p)^FracPart[m]/(b*Csc[e + f*x])^(p*FracPart[m]))   Int[(b*Csc[e + f*x])
      ^(m*p)*(A + C*Csc[e + f*x]^2), x], x] /; FreeQ[{a, b, e, f, A, C, m, p}, x] &&  !IntegerQ[m]

4560. Int[((a_.) + csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.))^(m_.)*((A_.) + csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(B_.) + csc[(e_.) + (f_.)*(
      x_)]^2*(C_.))*((c_.) + csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(d_.))^(n_.), x_Symbol] :> Simp[1/b^2   Int[(a + b*Csc[e + f*x]
      )^(m + 1)*(c + d*Csc[e + f*x])^n*(b*B - a*C + b*C*Csc[e + f*x]), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, A, B, C, m
      , n}, x] && EqQ[A*b^2 - a*b*B + a^2*C, 0]

4561. Int[((a_.) + csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.))^(m_.)*((A_.) + csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2*(C_.))*((c_.) + csc[(e_.)
      + (f_.)*(x_)]*(d_.))^(n_.), x_Symbol] :> Simp[-C/b^2   Int[(a + b*Csc[e + f*x])^(m + 1)*(c + d*Csc[e + f*x])^
      n*(a - b*Csc[e + f*x]), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, A, C, m, n}, x] && EqQ[A*b^2 + a^2*C, 0]

4562. Int[((A_.) + csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(B_.) + csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2*(C_.))*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(d_.))^
      (n_)*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_)), x_Symbol] :> Simp[A*a*Cot[e + f*x]*((d*Csc[e + f*x])^n/(f*n)), x]
      + Simp[1/(d*n)   Int[(d*Csc[e + f*x])^(n + 1)*Simp[n*(B*a + A*b) + (n*(a*C + B*b) + A*a*(n + 1))*Csc[e + f*x]
      + b*C*n*Csc[e + f*x]^2, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, d, e, f, A, B, C}, x] && LtQ[n, -1]

4563. Int[((A_.) + csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2*(C_.))*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(d_.))^(n_)*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b
      _.) + (a_)), x_Symbol] :> Simp[A*a*Cot[e + f*x]*((d*Csc[e + f*x])^n/(f*n)), x] + Simp[1/(d*n)   Int[(d*Csc[e +
      f*x])^(n + 1)*Simp[A*b*n + a*(C*n + A*(n + 1))*Csc[e + f*x] + b*C*n*Csc[e + f*x]^2, x], x], x] /; FreeQ[{a, b
      , d, e, f, A, C}, x] && LtQ[n, -1]

4564. Int[((A_.) + csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(B_.) + csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2*(C_.))*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(d_.))^
      (n_.)*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_)), x_Symbol] :> Simp[(-b)*C*Csc[e + f*x]*Cot[e + f*x]*((d*Csc[e + f
      *x])^n/(f*(n + 2))), x] + Simp[1/(n + 2)   Int[(d*Csc[e + f*x])^n*Simp[A*a*(n + 2) + (B*a*(n + 2) + b*(C*(n +
      1) + A*(n + 2)))*Csc[e + f*x] + (a*C + B*b)*(n + 2)*Csc[e + f*x]^2, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, d, e, f, A, B,
      C, n}, x] &&  !LtQ[n, -1]

4565. Int[((A_.) + csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2*(C_.))*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(d_.))^(n_.)*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(
      b_.) + (a_)), x_Symbol] :> Simp[(-b)*C*Csc[e + f*x]*Cot[e + f*x]*((d*Csc[e + f*x])^n/(f*(n + 2))), x] + Simp[1
      /(n + 2)   Int[(d*Csc[e + f*x])^n*Simp[A*a*(n + 2) + b*(C*(n + 1) + A*(n + 2))*Csc[e + f*x] + a*C*(n + 2)*Csc[
      e + f*x]^2, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, d, e, f, A, C, n}, x] &&  !LtQ[n, -1]

4566. Int[csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*((A_.) + csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(B_.) + csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2*(C_.))*(csc[(e_
      .) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_))^(m_), x_Symbol] :> Simp[(-(a*A - b*B + a*C))*Cot[e + f*x]*Csc[e + f*x]*((a + b*
      Csc[e + f*x])^m/(a*f*(2*m + 1))), x] - Simp[1/(a*b*(2*m + 1))   Int[Csc[e + f*x]*(a + b*Csc[e + f*x])^(m + 1)*
      Simp[a*B - b*C - 2*A*b*(m + 1) - (b*B*(m + 2) - a*(A*(m + 2) - C*(m - 1)))*Csc[e + f*x], x], x], x] /; FreeQ[{
      a, b, e, f, A, B, C}, x] && LtQ[m, -1] && EqQ[a^2 - b^2, 0]

4567. Int[csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*((A_.) + csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2*(C_.))*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_))^(
      m_), x_Symbol] :> Simp[(-(A + C))*Cot[e + f*x]*Csc[e + f*x]*((a + b*Csc[e + f*x])^m/(f*(2*m + 1))), x] - Simp[
      1/(a*b*(2*m + 1))   Int[Csc[e + f*x]*(a + b*Csc[e + f*x])^(m + 1)*Simp[(-b)*C - 2*A*b*(m + 1) + a*(A*(m + 2) -
      C*(m - 1))*Csc[e + f*x], x], x], x] /; FreeQ[{a, b, e, f, A, C}, x] && LtQ[m, -1] && EqQ[a^2 - b^2, 0]

4568. Int[csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*((A_.) + csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(B_.) + csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2*(C_.))*(csc[(e_
      .) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_))^(m_), x_Symbol] :> Simp[(-(A*b^2 - a*b*B + a^2*C))*Cot[e + f*x]*((a + b*Csc[e +
      f*x])^(m + 1)/(b*f*(m + 1)*(a^2 - b^2))), x] + Simp[1/(b*(m + 1)*(a^2 - b^2))   Int[Csc[e + f*x]*(a + b*Csc[e
      + f*x])^(m + 1)*Simp[b*(a*A - b*B + a*C)*(m + 1) - (A*b^2 - a*b*B + a^2*C + b*(A*b - a*B + b*C)*(m + 1))*Csc[
      e + f*x], x], x], x] /; FreeQ[{a, b, e, f, A, B, C}, x] && LtQ[m, -1] && NeQ[a^2 - b^2, 0]

4569. Int[csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*((A_.) + csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2*(C_.))*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_))^(
      m_), x_Symbol] :> Simp[(-(A*b^2 + a^2*C))*Cot[e + f*x]*((a + b*Csc[e + f*x])^(m + 1)/(b*f*(m + 1)*(a^2 - b^2))
      ), x] + Simp[1/(b*(m + 1)*(a^2 - b^2))   Int[Csc[e + f*x]*(a + b*Csc[e + f*x])^(m + 1)*Simp[a*b*(A + C)*(m + 1
      ) - (A*b^2 + a^2*C + b*(A*b + b*C)*(m + 1))*Csc[e + f*x], x], x], x] /; FreeQ[{a, b, e, f, A, C}, x] && LtQ[m,
      -1] && NeQ[a^2 - b^2, 0]

4570. Int[csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*((A_.) + csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(B_.) + csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2*(C_.))*(csc[(e_
      .) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_))^(m_), x_Symbol] :> Simp[(-C)*Cot[e + f*x]*((a + b*Csc[e + f*x])^(m + 1)/(b*f*(m
      + 2))), x] + Simp[1/(b*(m + 2))   Int[Csc[e + f*x]*(a + b*Csc[e + f*x])^m*Simp[b*A*(m + 2) + b*C*(m + 1) + (b
      *B*(m + 2) - a*C)*Csc[e + f*x], x], x], x] /; FreeQ[{a, b, e, f, A, B, C, m}, x] &&  !LtQ[m, -1]

4571. Int[csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*((A_.) + csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2*(C_.))*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_))^(
      m_), x_Symbol] :> Simp[(-C)*Cot[e + f*x]*((a + b*Csc[e + f*x])^(m + 1)/(b*f*(m + 2))), x] + Simp[1/(b*(m + 2))
      Int[Csc[e + f*x]*(a + b*Csc[e + f*x])^m*Simp[b*A*(m + 2) + b*C*(m + 1) - a*C*Csc[e + f*x], x], x], x] /; Fr
      eeQ[{a, b, e, f, A, C, m}, x] &&  !LtQ[m, -1]

4572. Int[((A_.) + csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(B_.) + csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2*(C_.))*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(d_.))^
      (n_)*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_))^(m_), x_Symbol] :> Simp[(-(a*A - b*B + a*C))*Cot[e + f*x]*(a + b*C
      sc[e + f*x])^m*((d*Csc[e + f*x])^n/(a*f*(2*m + 1))), x] - Simp[1/(a*b*(2*m + 1))   Int[(a + b*Csc[e + f*x])^(m
      + 1)*(d*Csc[e + f*x])^n*Simp[a*B*n - b*C*n - A*b*(2*m + n + 1) - (b*B*(m + n + 1) - a*(A*(m + n + 1) - C*(m -
      n)))*Csc[e + f*x], x], x], x] /; FreeQ[{a, b, d, e, f, A, B, C, n}, x] && EqQ[a^2 - b^2, 0] && LtQ[m, -2^(-1)
      ]

4573. Int[((A_.) + csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2*(C_.))*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(d_.))^(n_)*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b
      _.) + (a_))^(m_), x_Symbol] :> Simp[(-a)*(A + C)*Cot[e + f*x]*(a + b*Csc[e + f*x])^m*((d*Csc[e + f*x])^n/(a*f*
      (2*m + 1))), x] + Simp[1/(a*b*(2*m + 1))   Int[(a + b*Csc[e + f*x])^(m + 1)*(d*Csc[e + f*x])^n*Simp[b*C*n + A*
      b*(2*m + n + 1) - (a*(A*(m + n + 1) - C*(m - n)))*Csc[e + f*x], x], x], x] /; FreeQ[{a, b, d, e, f, A, C, n},
      x] && EqQ[a^2 - b^2, 0] && LtQ[m, -2^(-1)]

4574. Int[((A_.) + csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(B_.) + csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2*(C_.))*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(d_.))^
      (n_)*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_))^(m_), x_Symbol] :> Simp[A*Cot[e + f*x]*(a + b*Csc[e + f*x])^m*((d*
      Csc[e + f*x])^n/(f*n)), x] - Simp[1/(b*d*n)   Int[(a + b*Csc[e + f*x])^m*(d*Csc[e + f*x])^(n + 1)*Simp[a*A*m -
      b*B*n - b*(A*(m + n + 1) + C*n)*Csc[e + f*x], x], x], x] /; FreeQ[{a, b, d, e, f, A, B, C, m}, x] && EqQ[a^2
      - b^2, 0] &&  !LtQ[m, -2^(-1)] && (LtQ[n, -2^(-1)] || EqQ[m + n + 1, 0])

4575. Int[((A_.) + csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2*(C_.))*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(d_.))^(n_)*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b
      _.) + (a_))^(m_), x_Symbol] :> Simp[A*Cot[e + f*x]*(a + b*Csc[e + f*x])^m*((d*Csc[e + f*x])^n/(f*n)), x] - Sim
      p[1/(b*d*n)   Int[(a + b*Csc[e + f*x])^m*(d*Csc[e + f*x])^(n + 1)*Simp[a*A*m - b*(A*(m + n + 1) + C*n)*Csc[e +
      f*x], x], x], x] /; FreeQ[{a, b, d, e, f, A, C, m}, x] && EqQ[a^2 - b^2, 0] &&  !LtQ[m, -2^(-1)] && (LtQ[n, -
      2^(-1)] || EqQ[m + n + 1, 0])

4576. Int[((A_.) + csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(B_.) + csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2*(C_.))*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(d_.))^
      (n_)*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_))^(m_), x_Symbol] :> Simp[(-C)*Cot[e + f*x]*(a + b*Csc[e + f*x])^m*(
      (d*Csc[e + f*x])^n/(f*(m + n + 1))), x] + Simp[1/(b*(m + n + 1))   Int[(a + b*Csc[e + f*x])^m*(d*Csc[e + f*x])
      ^n*Simp[A*b*(m + n + 1) + b*C*n + (a*C*m + b*B*(m + n + 1))*Csc[e + f*x], x], x], x] /; FreeQ[{a, b, d, e, f,
      A, B, C, m, n}, x] && EqQ[a^2 - b^2, 0] &&  !LtQ[m, -2^(-1)] &&  !LtQ[n, -2^(-1)] && NeQ[m + n + 1, 0]

4577. Int[((A_.) + csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2*(C_.))*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(d_.))^(n_)*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b
      _.) + (a_))^(m_), x_Symbol] :> Simp[(-C)*Cot[e + f*x]*(a + b*Csc[e + f*x])^m*((d*Csc[e + f*x])^n/(f*(m + n + 1
      ))), x] + Simp[1/(b*(m + n + 1))   Int[(a + b*Csc[e + f*x])^m*(d*Csc[e + f*x])^n*Simp[A*b*(m + n + 1) + b*C*n
      + a*C*m*Csc[e + f*x], x], x], x] /; FreeQ[{a, b, d, e, f, A, C, m, n}, x] && EqQ[a^2 - b^2, 0] &&  !LtQ[m, -2^
      (-1)] &&  !LtQ[n, -2^(-1)] && NeQ[m + n + 1, 0]

4578. Int[csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2*((A_.) + csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(B_.) + csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2*(C_.))*(csc[(
      e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_))^(m_), x_Symbol] :> Simp[a*(A*b^2 - a*b*B + a^2*C)*Cot[e + f*x]*((a + b*Csc[e
      + f*x])^(m + 1)/(b^2*f*(m + 1)*(a^2 - b^2))), x] - Simp[1/(b^2*(m + 1)*(a^2 - b^2))   Int[Csc[e + f*x]*(a + b*
      Csc[e + f*x])^(m + 1)*Simp[b*(m + 1)*((-a)*(b*B - a*C) + A*b^2) + (b*B*(a^2 + b^2*(m + 1)) - a*(A*b^2*(m + 2)
      + C*(a^2 + b^2*(m + 1))))*Csc[e + f*x] - b*C*(m + 1)*(a^2 - b^2)*Csc[e + f*x]^2, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, e,
      f, A, B, C}, x] && NeQ[a^2 - b^2, 0] && LtQ[m, -1]

4579. Int[csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2*((A_.) + csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2*(C_.))*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_))
      ^(m_), x_Symbol] :> Simp[a*(A*b^2 + a^2*C)*Cot[e + f*x]*((a + b*Csc[e + f*x])^(m + 1)/(b^2*f*(m + 1)*(a^2 - b^
      2))), x] - Simp[1/(b^2*(m + 1)*(a^2 - b^2))   Int[Csc[e + f*x]*(a + b*Csc[e + f*x])^(m + 1)*Simp[b*(m + 1)*(a^
      2*C + A*b^2) - a*(A*b^2*(m + 2) + C*(a^2 + b^2*(m + 1)))*Csc[e + f*x] - b*C*(m + 1)*(a^2 - b^2)*Csc[e + f*x]^2
      , x], x], x] /; FreeQ[{a, b, e, f, A, C}, x] && NeQ[a^2 - b^2, 0] && LtQ[m, -1]

4580. Int[csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2*((A_.) + csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(B_.) + csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2*(C_.))*(csc[(
      e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_))^(m_), x_Symbol] :> Simp[(-C)*Csc[e + f*x]*Cot[e + f*x]*((a + b*Csc[e + f*x])^
      (m + 1)/(b*f*(m + 3))), x] + Simp[1/(b*(m + 3))   Int[Csc[e + f*x]*(a + b*Csc[e + f*x])^m*Simp[a*C + b*(C*(m +
      2) + A*(m + 3))*Csc[e + f*x] - (2*a*C - b*B*(m + 3))*Csc[e + f*x]^2, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, e, f, A, B, C
      , m}, x] && NeQ[a^2 - b^2, 0] &&  !LtQ[m, -1]

4581. Int[csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2*((A_.) + csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2*(C_.))*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_))
      ^(m_), x_Symbol] :> Simp[(-C)*Csc[e + f*x]*Cot[e + f*x]*((a + b*Csc[e + f*x])^(m + 1)/(b*f*(m + 3))), x] + Sim
      p[1/(b*(m + 3))   Int[Csc[e + f*x]*(a + b*Csc[e + f*x])^m*Simp[a*C + b*(C*(m + 2) + A*(m + 3))*Csc[e + f*x] -
      2*a*C*Csc[e + f*x]^2, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, e, f, A, C, m}, x] && NeQ[a^2 - b^2, 0] &&  !LtQ[m, -1]

4582. Int[((A_.) + csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(B_.) + csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2*(C_.))*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(d_.))^
      (n_)*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_))^(m_), x_Symbol] :> Simp[A*Cot[e + f*x]*(a + b*Csc[e + f*x])^m*((d*
      Csc[e + f*x])^n/(f*n)), x] - Simp[1/(d*n)   Int[(a + b*Csc[e + f*x])^(m - 1)*(d*Csc[e + f*x])^(n + 1)*Simp[A*b
      *m - a*B*n - (b*B*n + a*(C*n + A*(n + 1)))*Csc[e + f*x] - b*(C*n + A*(m + n + 1))*Csc[e + f*x]^2, x], x], x] /
      ; FreeQ[{a, b, d, e, f, A, B, C}, x] && NeQ[a^2 - b^2, 0] && GtQ[m, 0] && LeQ[n, -1]

4583. Int[((A_.) + csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2*(C_.))*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(d_.))^(n_)*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b
      _.) + (a_))^(m_), x_Symbol] :> Simp[A*Cot[e + f*x]*(a + b*Csc[e + f*x])^m*((d*Csc[e + f*x])^n/(f*n)), x] - Sim
      p[1/(d*n)   Int[(a + b*Csc[e + f*x])^(m - 1)*(d*Csc[e + f*x])^(n + 1)*Simp[A*b*m - a*(C*n + A*(n + 1))*Csc[e +
      f*x] - b*(C*n + A*(m + n + 1))*Csc[e + f*x]^2, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, d, e, f, A, C}, x] && NeQ[a^2 - b^2
      , 0] && GtQ[m, 0] && LeQ[n, -1]

4584. Int[((A_.) + csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(B_.) + csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2*(C_.))*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(d_.))^
      (n_)*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_))^(m_), x_Symbol] :> Simp[(-C)*Cot[e + f*x]*(a + b*Csc[e + f*x])^m*(
      (d*Csc[e + f*x])^n/(f*(m + n + 1))), x] + Simp[1/(m + n + 1)   Int[(a + b*Csc[e + f*x])^(m - 1)*(d*Csc[e + f*x
      ])^n*Simp[a*A*(m + n + 1) + a*C*n + ((A*b + a*B)*(m + n + 1) + b*C*(m + n))*Csc[e + f*x] + (b*B*(m + n + 1) +
      a*C*m)*Csc[e + f*x]^2, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, d, e, f, A, B, C, n}, x] && NeQ[a^2 - b^2, 0] && GtQ[m, 0] &
      &  !LeQ[n, -1]

4585. Int[((A_.) + csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2*(C_.))*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(d_.))^(n_)*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b
      _.) + (a_))^(m_), x_Symbol] :> Simp[(-C)*Cot[e + f*x]*(a + b*Csc[e + f*x])^m*((d*Csc[e + f*x])^n/(f*(m + n + 1
      ))), x] + Simp[1/(m + n + 1)   Int[(a + b*Csc[e + f*x])^(m - 1)*(d*Csc[e + f*x])^n*Simp[a*A*(m + n + 1) + a*C*
      n + b*(A*(m + n + 1) + C*(m + n))*Csc[e + f*x] + a*C*m*Csc[e + f*x]^2, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, d, e, f, A,
      C, n}, x] && NeQ[a^2 - b^2, 0] && GtQ[m, 0] &&  !LeQ[n, -1]

4586. Int[((A_.) + csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(B_.) + csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2*(C_.))*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(d_.))^
      (n_)*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_))^(m_), x_Symbol] :> Simp[(-d)*(A*b^2 - a*b*B + a^2*C)*Cot[e + f*x]*
      (a + b*Csc[e + f*x])^(m + 1)*((d*Csc[e + f*x])^(n - 1)/(b*f*(a^2 - b^2)*(m + 1))), x] + Simp[d/(b*(a^2 - b^2)*
      (m + 1))   Int[(a + b*Csc[e + f*x])^(m + 1)*(d*Csc[e + f*x])^(n - 1)*Simp[A*b^2*(n - 1) - a*(b*B - a*C)*(n - 1
      ) + b*(a*A - b*B + a*C)*(m + 1)*Csc[e + f*x] - (b*(A*b - a*B)*(m + n + 1) + C*(a^2*n + b^2*(m + 1)))*Csc[e + f
      *x]^2, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, d, e, f, A, B, C}, x] && NeQ[a^2 - b^2, 0] && LtQ[m, -1] && GtQ[n, 0]

4587. Int[((A_.) + csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2*(C_.))*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(d_.))^(n_)*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b
      _.) + (a_))^(m_), x_Symbol] :> Simp[(-d)*(A*b^2 + a^2*C)*Cot[e + f*x]*(a + b*Csc[e + f*x])^(m + 1)*((d*Csc[e +
      f*x])^(n - 1)/(b*f*(a^2 - b^2)*(m + 1))), x] + Simp[d/(b*(a^2 - b^2)*(m + 1))   Int[(a + b*Csc[e + f*x])^(m +
      1)*(d*Csc[e + f*x])^(n - 1)*Simp[A*b^2*(n - 1) + a^2*C*(n - 1) + a*b*(A + C)*(m + 1)*Csc[e + f*x] - (A*b^2*(m
      + n + 1) + C*(a^2*n + b^2*(m + 1)))*Csc[e + f*x]^2, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, d, e, f, A, C}, x] && NeQ[a^2
      - b^2, 0] && LtQ[m, -1] && GtQ[n, 0]

4588. Int[((A_.) + csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(B_.) + csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2*(C_.))*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(d_.))^
      (n_)*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_))^(m_), x_Symbol] :> Simp[(A*b^2 - a*b*B + a^2*C)*Cot[e + f*x]*(a +
      b*Csc[e + f*x])^(m + 1)*((d*Csc[e + f*x])^n/(a*f*(m + 1)*(a^2 - b^2))), x] + Simp[1/(a*(m + 1)*(a^2 - b^2))
      Int[(a + b*Csc[e + f*x])^(m + 1)*(d*Csc[e + f*x])^n*Simp[a*(a*A - b*B + a*C)*(m + 1) - (A*b^2 - a*b*B + a^2*C)
      *(m + n + 1) - a*(A*b - a*B + b*C)*(m + 1)*Csc[e + f*x] + (A*b^2 - a*b*B + a^2*C)*(m + n + 2)*Csc[e + f*x]^2,
      x], x], x] /; FreeQ[{a, b, d, e, f, A, B, C, n}, x] && NeQ[a^2 - b^2, 0] && LtQ[m, -1] &&  !(ILtQ[m + 1/2, 0]
      && ILtQ[n, 0])

4589. Int[((A_.) + csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2*(C_.))*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(d_.))^(n_)*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b
      _.) + (a_))^(m_), x_Symbol] :> Simp[(A*b^2 + a^2*C)*Cot[e + f*x]*(a + b*Csc[e + f*x])^(m + 1)*((d*Csc[e + f*x]
      )^n/(a*f*(m + 1)*(a^2 - b^2))), x] + Simp[1/(a*(m + 1)*(a^2 - b^2))   Int[(a + b*Csc[e + f*x])^(m + 1)*(d*Csc[
      e + f*x])^n*Simp[a^2*(A + C)*(m + 1) - (A*b^2 + a^2*C)*(m + n + 1) - a*b*(A + C)*(m + 1)*Csc[e + f*x] + (A*b^2
      + a^2*C)*(m + n + 2)*Csc[e + f*x]^2, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, d, e, f, A, C, n}, x] && NeQ[a^2 - b^2, 0] &&
      LtQ[m, -1] &&  !(ILtQ[m + 1/2, 0] && ILtQ[n, 0])

4590. Int[((A_.) + csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(B_.) + csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2*(C_.))*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(d_.))^
      (n_)*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_))^(m_), x_Symbol] :> Simp[(-C)*d*Cot[e + f*x]*(a + b*Csc[e + f*x])^(
      m + 1)*((d*Csc[e + f*x])^(n - 1)/(b*f*(m + n + 1))), x] + Simp[d/(b*(m + n + 1))   Int[(a + b*Csc[e + f*x])^m*
      (d*Csc[e + f*x])^(n - 1)*Simp[a*C*(n - 1) + (A*b*(m + n + 1) + b*C*(m + n))*Csc[e + f*x] + (b*B*(m + n + 1) -
      a*C*n)*Csc[e + f*x]^2, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, d, e, f, A, B, C, m}, x] && NeQ[a^2 - b^2, 0] && GtQ[n, 0]

4591. Int[((A_.) + csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2*(C_.))*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(d_.))^(n_)*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b
      _.) + (a_))^(m_), x_Symbol] :> Simp[(-C)*d*Cot[e + f*x]*(a + b*Csc[e + f*x])^(m + 1)*((d*Csc[e + f*x])^(n - 1)
      /(b*f*(m + n + 1))), x] + Simp[d/(b*(m + n + 1))   Int[(a + b*Csc[e + f*x])^m*(d*Csc[e + f*x])^(n - 1)*Simp[a*
      C*(n - 1) + (A*b*(m + n + 1) + b*C*(m + n))*Csc[e + f*x] - a*C*n*Csc[e + f*x]^2, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, d,
      e, f, A, C, m}, x] && NeQ[a^2 - b^2, 0] && GtQ[n, 0]

4592. Int[((A_.) + csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(B_.) + csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2*(C_.))*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(d_.))^
      (n_)*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_))^(m_), x_Symbol] :> Simp[A*Cot[e + f*x]*(a + b*Csc[e + f*x])^(m + 1
      )*((d*Csc[e + f*x])^n/(a*f*n)), x] + Simp[1/(a*d*n)   Int[(a + b*Csc[e + f*x])^m*(d*Csc[e + f*x])^(n + 1)*Simp
      [a*B*n - A*b*(m + n + 1) + a*(A + A*n + C*n)*Csc[e + f*x] + A*b*(m + n + 2)*Csc[e + f*x]^2, x], x], x] /; Free
      Q[{a, b, d, e, f, A, B, C, m}, x] && NeQ[a^2 - b^2, 0] && LeQ[n, -1]

4593. Int[((A_.) + csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2*(C_.))*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(d_.))^(n_)*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b
      _.) + (a_))^(m_), x_Symbol] :> Simp[A*Cot[e + f*x]*(a + b*Csc[e + f*x])^(m + 1)*((d*Csc[e + f*x])^n/(a*f*n)),
      x] + Simp[1/(a*d*n)   Int[(a + b*Csc[e + f*x])^m*(d*Csc[e + f*x])^(n + 1)*Simp[(-A)*b*(m + n + 1) + a*(A + A*n
      + C*n)*Csc[e + f*x] + A*b*(m + n + 2)*Csc[e + f*x]^2, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, d, e, f, A, C, m}, x] && NeQ
      [a^2 - b^2, 0] && LeQ[n, -1]

4594. Int[((A_.) + csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(B_.) + csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2*(C_.))/(Sqrt[csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(d
      _.)]*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_))), x_Symbol] :> Simp[(A*b^2 - a*b*B + a^2*C)/(a^2*d^2)   Int[(d*Csc
      [e + f*x])^(3/2)/(a + b*Csc[e + f*x]), x], x] + Simp[1/a^2   Int[(a*A - (A*b - a*B)*Csc[e + f*x])/Sqrt[d*Csc[e
      + f*x]], x], x] /; FreeQ[{a, b, d, e, f, A, B, C}, x] && NeQ[a^2 - b^2, 0]

4595. Int[((A_.) + csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2*(C_.))/(Sqrt[csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(d_.)]*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b
      _.) + (a_))), x_Symbol] :> Simp[(A*b^2 + a^2*C)/(a^2*d^2)   Int[(d*Csc[e + f*x])^(3/2)/(a + b*Csc[e + f*x]), x
      ], x] + Simp[1/a^2   Int[(a*A - A*b*Csc[e + f*x])/Sqrt[d*Csc[e + f*x]], x], x] /; FreeQ[{a, b, d, e, f, A, C},
      x] && NeQ[a^2 - b^2, 0]

4596. Int[((A_.) + csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(B_.) + csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2*(C_.))/(Sqrt[csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(d
      _.)]*Sqrt[csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_)]), x_Symbol] :> Simp[C/d^2   Int[(d*Csc[e + f*x])^(3/2)/Sqrt[a
      + b*Csc[e + f*x]], x], x] + Int[(A + B*Csc[e + f*x])/(Sqrt[d*Csc[e + f*x]]*Sqrt[a + b*Csc[e + f*x]]), x] /; Fr
      eeQ[{a, b, d, e, f, A, B, C}, x] && NeQ[a^2 - b^2, 0]

4597. Int[((A_.) + csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2*(C_.))/(Sqrt[csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(d_.)]*Sqrt[csc[(e_.) + (f_.)*(x_)
      ]*(b_.) + (a_)]), x_Symbol] :> Simp[C/d^2   Int[(d*Csc[e + f*x])^(3/2)/Sqrt[a + b*Csc[e + f*x]], x], x] + Simp
      [A   Int[1/(Sqrt[d*Csc[e + f*x]]*Sqrt[a + b*Csc[e + f*x]]), x], x] /; FreeQ[{a, b, d, e, f, A, C}, x] && NeQ[a
      ^2 - b^2, 0]

4598. Int[((A_.) + csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(B_.) + csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2*(C_.))*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(d_.))^
      (n_.)*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_))^(m_.), x_Symbol] :> Unintegrable[(d*Csc[e + f*x])^n*(a + b*Csc[e
      + f*x])^m*(A + B*Csc[e + f*x] + C*Csc[e + f*x]^2), x] /; FreeQ[{a, b, d, e, f, A, B, C, m, n}, x]

4599. Int[((A_.) + csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2*(C_.))*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(d_.))^(n_.)*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(
      b_.) + (a_))^(m_.), x_Symbol] :> Unintegrable[(d*Csc[e + f*x])^n*(a + b*Csc[e + f*x])^m*(A + C*Csc[e + f*x]^2)
      , x] /; FreeQ[{a, b, d, e, f, A, C, m, n}, x]

4600. Int[(cos[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(d_.))^(n_)*((a_) + (b_.)*sec[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_.)*((A_.) + (B_.)*sec[(e_.)
      + (f_.)*(x_)] + (C_.)*sec[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2), x_Symbol] :> Simp[d^(m + 2)   Int[(b + a*Cos[e + f*x])^m*(d
      *Cos[e + f*x])^(n - m - 2)*(C + B*Cos[e + f*x] + A*Cos[e + f*x]^2), x], x] /; FreeQ[{a, b, d, e, f, A, B, C, n
      }, x] &&  !IntegerQ[n] && IntegerQ[m]

4601. Int[((A_.) + csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(B_.) + csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2*(C_.))*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) +
      (a_))^(m_.)*((d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_), x_Symbol] :> Simp[d^(m + 2)   Int[(b + a*Sin[e + f*x])^m*(d
      *Sin[e + f*x])^(n - m - 2)*(C + B*Sin[e + f*x] + A*Sin[e + f*x]^2), x], x] /; FreeQ[{a, b, d, e, f, A, B, C, n
      }, x] &&  !IntegerQ[n] && IntegerQ[m]

4602. Int[(cos[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(d_.))^(n_)*((a_) + (b_.)*sec[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_.)*((A_.) + (C_.)*sec[(e_.)
      + (f_.)*(x_)]^2), x_Symbol] :> Simp[d^(m + 2)   Int[(b + a*Cos[e + f*x])^m*(d*Cos[e + f*x])^(n - m - 2)*(C +
      A*Cos[e + f*x]^2), x], x] /; FreeQ[{a, b, d, e, f, A, C, n}, x] &&  !IntegerQ[n] && IntegerQ[m]

4603. Int[((A_.) + csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2*(C_.))*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_))^(m_.)*((d_.)*sin[(e_.) +
      (f_.)*(x_)])^(n_), x_Symbol] :> Simp[d^(m + 2)   Int[(b + a*Sin[e + f*x])^m*(d*Sin[e + f*x])^(n - m - 2)*(C +
      A*Sin[e + f*x]^2), x], x] /; FreeQ[{a, b, d, e, f, A, C, n}, x] &&  !IntegerQ[n] && IntegerQ[m]

4604. Int[((c_.)*((d_.)*sec[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(p_))^(n_)*((a_) + (b_.)*sec[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_.)*((A_.) + (B
      _.)*sec[(e_.) + (f_.)*(x_)] + (C_.)*sec[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2), x_Symbol] :> Simp[c^IntPart[n]*((c*(d*Sec[e +
      f*x])^p)^FracPart[n]/(d*Sec[e + f*x])^(p*FracPart[n]))   Int[(a + b*Sec[e + f*x])^m*(d*Sec[e + f*x])^(n*p)*(A
      + B*Sec[e + f*x] + C*Sec[e + f*x]^2), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, A, B, C, m, n, p}, x] &&  !IntegerQ[n
      ]

4605. Int[((A_.) + csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(B_.) + csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2*(C_.))*((c_.)*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*
      (d_.))^(p_))^(n_)*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_))^(m_.), x_Symbol] :> Simp[c^IntPart[n]*((c*(d*Csc[e +
      f*x])^p)^FracPart[n]/(d*Csc[e + f*x])^(p*FracPart[n]))   Int[(a + b*Csc[e + f*x])^m*(d*Csc[e + f*x])^(n*p)*(A
      + B*Csc[e + f*x] + C*Csc[e + f*x]^2), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, A, B, C, m, n, p}, x] &&  !IntegerQ[n
      ]

4606. Int[((c_.)*((d_.)*sec[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(p_))^(n_)*((a_) + (b_.)*sec[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_.)*((A_.) + (C
      _.)*sec[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2), x_Symbol] :> Simp[c^IntPart[n]*((c*(d*Sec[e + f*x])^p)^FracPart[n]/(d*Sec[e +
      f*x])^(p*FracPart[n]))   Int[(a + b*Sec[e + f*x])^m*(d*Sec[e + f*x])^(n*p)*(A + C*Sec[e + f*x]^2), x], x] /; F
      reeQ[{a, b, c, d, e, f, A, C, m, n, p}, x] &&  !IntegerQ[n]

4607. Int[((A_.) + csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2*(C_.))*((c_.)*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(d_.))^(p_))^(n_)*(csc[(e_.) + (
      f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_))^(m_.), x_Symbol] :> Simp[c^IntPart[n]*((c*(d*Csc[e + f*x])^p)^FracPart[n]/(d*Csc[e +
      f*x])^(p*FracPart[n]))   Int[(a + b*Csc[e + f*x])^m*(d*Csc[e + f*x])^(n*p)*(A + C*Csc[e + f*x]^2), x], x] /; F
      reeQ[{a, b, c, d, e, f, A, C, m, n, p}, x] &&  !IntegerQ[n]

4608. Int[(u_.)*((a_) + (b_.)*sec[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2)^(p_), x_Symbol] :> Simp[b^p   Int[ActivateTrig[u*tan[e + f*
      x]^(2*p)], x], x] /; FreeQ[{a, b, e, f, p}, x] && EqQ[a + b, 0] && IntegerQ[p]

4609. Int[(u_.)*((a_) + (b_.)*sec[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2)^(p_), x_Symbol] :> Int[ActivateTrig[u*(b*tan[e + f*x]^2)^p]
      , x] /; FreeQ[{a, b, e, f, p}, x] && EqQ[a + b, 0]

4610. Int[((b_.)*sec[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2)^(p_), x_Symbol] :> With[{ff = FreeFactors[Tan[e + f*x], x]}, Simp[b*(ff/
      f)   Subst[Int[(b + b*ff^2*x^2)^(p - 1), x], x, Tan[e + f*x]/ff], x]] /; FreeQ[{b, e, f, p}, x] &&  !IntegerQ[
      p]

4611. Int[((b_.)*((c_.)*sec[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_))^(p_), x_Symbol] :> Simp[b^IntPart[p]*((b*(c*Sec[e + f*x])^n)^
      FracPart[p]/(c*Sec[e + f*x])^(n*FracPart[p]))   Int[(c*Sec[e + f*x])^(n*p), x], x] /; FreeQ[{b, c, e, f, n, p}
      , x] &&  !IntegerQ[p]

4612. Int[((b_.)*sec[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2)^(p_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)]^(m_.), x_Symbol] :> Simp[b/(2*f)   Subst[I
      nt[(-1 + x)^((m - 1)/2)*(b*x)^(p - 1), x], x, Sec[e + f*x]^2], x] /; FreeQ[{b, e, f, p}, x] &&  !IntegerQ[p] &
      & IntegerQ[(m - 1)/2]

4613. Int[(u_.)*((b_.)*sec[(e_.) + (f_.)*(x_)]^(n_))^(p_), x_Symbol] :> With[{ff = FreeFactors[Sec[e + f*x], x]}, Si
      mp[(b*ff^n)^IntPart[p]*((b*Sec[e + f*x]^n)^FracPart[p]/(Sec[e + f*x]/ff)^(n*FracPart[p]))   Int[ActivateTrig[u
      ]*(Sec[e + f*x]/ff)^(n*p), x], x]] /; FreeQ[{b, e, f, n, p}, x] &&  !IntegerQ[p] && IntegerQ[n] && (EqQ[u, 1]
      || MatchQ[u, ((d_.)*(trig_)[e + f*x])^(m_.) /; FreeQ[{d, m}, x] && MemberQ[{sin, cos, tan, cot, sec, csc}, tri
      g]])

4614. Int[(u_.)*((b_.)*((c_.)*sec[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_))^(p_), x_Symbol] :> Simp[b^IntPart[p]*((b*(c*Sec[e + f*x
      ])^n)^FracPart[p]/(c*Sec[e + f*x])^(n*FracPart[p]))   Int[ActivateTrig[u]*(c*Sec[e + f*x])^(n*p), x], x] /; Fr
      eeQ[{b, c, e, f, n, p}, x] &&  !IntegerQ[p] &&  !IntegerQ[n] && (EqQ[u, 1] || MatchQ[u, ((d_.)*(trig_)[e + f*x
      ])^(m_.) /; FreeQ[{d, m}, x] && MemberQ[{sin, cos, tan, cot, sec, csc}, trig]])

4615. Int[((a_) + (b_.)*sec[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2)^(-1), x_Symbol] :> Simp[x/a, x] - Simp[b/a   Int[1/(b + a*Cos[e +
      f*x]^2), x], x] /; FreeQ[{a, b, e, f}, x] && NeQ[a + b, 0]

4616. Int[((a_) + (b_.)*sec[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2)^(p_), x_Symbol] :> With[{ff = FreeFactors[Tan[e + f*x], x]}, Simp
      [ff/f   Subst[Int[(a + b + b*ff^2*x^2)^p/(1 + ff^2*x^2), x], x, Tan[e + f*x]/ff], x]] /; FreeQ[{a, b, e, f, p}
      , x] && NeQ[a + b, 0] && NeQ[p, -1]

4617. Int[((a_) + (b_.)*sec[(e_.) + (f_.)*(x_)]^4)^(p_), x_Symbol] :> With[{ff = FreeFactors[Tan[e + f*x], x]}, Simp
      [ff/f   Subst[Int[(a + b + 2*b*ff^2*x^2 + b*ff^4*x^4)^p/(1 + ff^2*x^2), x], x, Tan[e + f*x]/ff], x]] /; FreeQ[
      {a, b, e, f, p}, x] && IntegerQ[2*p]

4618. Int[((a_) + (b_.)*sec[(e_.) + (f_.)*(x_)]^(n_))^(p_), x_Symbol] :> With[{ff = FreeFactors[Tan[e + f*x], x]}, S
      imp[ff/f   Subst[Int[(a + b*(1 + ff^2*x^2)^(n/2))^p/(1 + ff^2*x^2), x], x, Tan[e + f*x]/ff], x]] /; FreeQ[{a,
      b, e, f, p}, x] && IntegerQ[n/2] && IGtQ[p, -2]

4619. Int[((a_) + (b_.)*((c_.)*sec[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_))^(p_), x_Symbol] :> Unintegrable[(a + b*(c*Sec[e + f*x]
      )^n)^p, x] /; FreeQ[{a, b, c, e, f, n, p}, x]

4620. Int[((a_) + (b_.)*sec[(e_.) + (f_.)*(x_)]^(n_))^(p_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]^(m_), x_Symbol] :> With[{ff = Fr
      eeFactors[Tan[e + f*x], x]}, Simp[ff^(m + 1)/f   Subst[Int[x^m*(ExpandToSum[a + b*(1 + ff^2*x^2)^(n/2), x]^p/(
      1 + ff^2*x^2)^(m/2 + 1)), x], x, Tan[e + f*x]/ff], x]] /; FreeQ[{a, b, e, f, p}, x] && IntegerQ[m/2] && Intege
      rQ[n/2]

4621. Int[((a_) + (b_.)*sec[(e_.) + (f_.)*(x_)]^(n_))^(p_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]^(m_.), x_Symbol] :> With[{ff = F
      reeFactors[Cos[e + f*x], x]}, Simp[-ff/f   Subst[Int[(1 - ff^2*x^2)^((m - 1)/2)*((b + a*(ff*x)^n)^p/(ff*x)^(n*
      p)), x], x, Cos[e + f*x]/ff], x]] /; FreeQ[{a, b, e, f}, x] && IntegerQ[(m - 1)/2] && IntegerQ[n] && IntegerQ[
      p]

4622. Int[((a_) + (b_.)*((c_.)*sec[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_))^(p_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]^(m_.), x_Symbol] :> With
      [{ff = FreeFactors[Cos[e + f*x], x]}, Simp[1/(f*ff^m)   Subst[Int[(-1 + ff^2*x^2)^((m - 1)/2)*((a + b*(c*ff*x)
      ^n)^p/x^(m + 1)), x], x, Sec[e + f*x]/ff], x]] /; FreeQ[{a, b, c, e, f, n, p}, x] && IntegerQ[(m - 1)/2] && (G
      tQ[m, 0] || EqQ[n, 2] || EqQ[n, 4])

4623. Int[((a_) + (b_.)*((c_.)*sec[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_))^(p_.)*((d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_.), x_Symbol]
      :> Unintegrable[(a + b*(c*Sec[e + f*x])^n)^p*(d*Sin[e + f*x])^m, x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m, n, p}, x]

4624. Int[(cos[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(d_.))^(m_)*((a_) + (b_.)*sec[(e_.) + (f_.)*(x_)]^(n_.))^(p_.), x_Symbol] :> Simp
      [d^(n*p)   Int[(d*Cos[e + f*x])^(m - n*p)*(b + a*Cos[e + f*x]^n)^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, d, e, f, m, n, p},
      x] &&  !IntegerQ[m] && IntegersQ[n, p]

4625. Int[(cos[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(d_.))^(m_)*((a_) + (b_.)*((c_.)*sec[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_))^(p_), x_Symbol] :
      > Simp[(d*Cos[e + f*x])^FracPart[m]*(Sec[e + f*x]/d)^FracPart[m]   Int[(a + b*(c*Sec[e + f*x])^n)^p/(Sec[e + f
      *x]/d)^m, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m, n, p}, x] &&  !IntegerQ[m]

4626. Int[((a_) + (b_.)*sec[(e_.) + (f_.)*(x_)]^(n_))^(p_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)]^(m_.), x_Symbol] :> Module[{ff =
      FreeFactors[Cos[e + f*x], x]}, Simp[-(f*ff^(m + n*p - 1))^(-1)   Subst[Int[(1 - ff^2*x^2)^((m - 1)/2)*((b + a
      *(ff*x)^n)^p/x^(m + n*p)), x], x, Cos[e + f*x]/ff], x]] /; FreeQ[{a, b, e, f, n}, x] && IntegerQ[(m - 1)/2] &&
      IntegerQ[n] && IntegerQ[p]

4627. Int[((a_) + (b_.)*((c_.)*sec[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_))^(p_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)]^(m_.), x_Symbol] :> With
      [{ff = FreeFactors[Sec[e + f*x], x]}, Simp[1/f   Subst[Int[(-1 + ff^2*x^2)^((m - 1)/2)*((a + b*(c*ff*x)^n)^p/x
      ), x], x, Sec[e + f*x]/ff], x]] /; FreeQ[{a, b, c, e, f, n, p}, x] && IntegerQ[(m - 1)/2] && (GtQ[m, 0] || EqQ
      [n, 2] || EqQ[n, 4] || IGtQ[p, 0] || IntegersQ[2*n, p])

4628. Int[((b_.)*sec[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2)^(p_.)*((d_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_), x_Symbol] :> With[{ff = Free
      Factors[Tan[e + f*x], x]}, Simp[b*(ff/f)   Subst[Int[(d*ff*x)^m*(b + b*ff^2*x^2)^(p - 1), x], x, Tan[e + f*x]/
      ff], x]] /; FreeQ[{b, d, e, f, m, p}, x]

4629. Int[((a_) + (b_.)*sec[(e_.) + (f_.)*(x_)]^(n_))^(p_.)*((d_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_), x_Symbol] :> With[
      {ff = FreeFactors[Tan[e + f*x], x]}, Simp[ff/f   Subst[Int[(d*ff*x)^m*((a + b*(1 + ff^2*x^2)^(n/2))^p/(1 + ff^
      2*x^2)), x], x, Tan[e + f*x]/ff], x]] /; FreeQ[{a, b, d, e, f, m, p}, x] && IntegerQ[n/2] && (IntegerQ[m/2] ||
      EqQ[n, 2])

4630. Int[((b_.)*((c_.)*sec[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_))^(p_.)*((d_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_), x_Symbol] :> Simp
      [d*(d*Tan[e + f*x])^(m - 1)*((b*(c*Sec[e + f*x])^n)^p/(f*(p*n + m - 1))), x] - Simp[d^2*((m - 1)/(p*n + m - 1)
      )   Int[(d*Tan[e + f*x])^(m - 2)*(b*(c*Sec[e + f*x])^n)^p, x], x] /; FreeQ[{b, c, d, e, f, p, n}, x] && GtQ[m,
      1] && NeQ[p*n + m - 1, 0] && IntegersQ[2*p*n, 2*m]

4631. Int[((b_.)*((c_.)*sec[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_))^(p_.)*((d_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_), x_Symbol] :> Simp
      [(d*Tan[e + f*x])^(m + 1)*((b*(c*Sec[e + f*x])^n)^p/(d*f*(m + 1))), x] - Simp[(p*n + m + 1)/(d^2*(m + 1))   In
      t[(d*Tan[e + f*x])^(m + 2)*(b*(c*Sec[e + f*x])^n)^p, x], x] /; FreeQ[{b, c, d, e, f, p, n}, x] && LtQ[m, -1] &
      & NeQ[p*n + m + 1, 0] && IntegersQ[2*p*n, 2*m]

4632. Int[((a_) + (b_.)*((c_.)*sec[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_))^(p_.)*((d_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_.), x_Symbol]
      :> Unintegrable[(a + b*(c*Sec[e + f*x])^n)^p*(d*Tan[e + f*x])^m, x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m, n, p}, x]

4633. Int[(cot[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(d_.))^(m_)*((a_) + (b_.)*((c_.)*sec[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_))^(p_), x_Symbol] :
      > Simp[(d*Cot[e + f*x])^FracPart[m]*(Tan[e + f*x]/d)^FracPart[m]   Int[(a + b*(c*Sec[e + f*x])^n)^p/(Tan[e + f
      *x]/d)^m, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m, n, p}, x] &&  !IntegerQ[m]

4634. Int[sec[(e_.) + (f_.)*(x_)]^(m_)*((a_) + (b_.)*sec[(e_.) + (f_.)*(x_)]^(n_))^(p_), x_Symbol] :> With[{ff = Fre
      eFactors[Tan[e + f*x], x]}, Simp[ff/f   Subst[Int[(1 + ff^2*x^2)^(m/2 - 1)*ExpandToSum[a + b*(1 + ff^2*x^2)^(n
      /2), x]^p, x], x, Tan[e + f*x]/ff], x]] /; FreeQ[{a, b, e, f, p}, x] && IntegerQ[m/2] && IntegerQ[n/2]

4635. Int[sec[(e_.) + (f_.)*(x_)]^(m_.)*((a_) + (b_.)*sec[(e_.) + (f_.)*(x_)]^(n_))^(p_), x_Symbol] :> With[{ff = Fr
      eeFactors[Sin[e + f*x], x]}, Simp[ff/f   Subst[Int[ExpandToSum[b + a*(1 - ff^2*x^2)^(n/2), x]^p/(1 - ff^2*x^2)
      ^((m + n*p + 1)/2), x], x, Sin[e + f*x]/ff], x]] /; FreeQ[{a, b, e, f}, x] && IntegerQ[(m - 1)/2] && IntegerQ[
      n/2] && IntegerQ[p]

4636. Int[sec[(e_.) + (f_.)*(x_)]^(m_.)*((a_) + (b_.)*sec[(e_.) + (f_.)*(x_)]^(n_))^(p_), x_Symbol] :> With[{ff = Fr
      eeFactors[Sin[e + f*x], x]}, Simp[ff/f   Subst[Int[(a + b/(1 - ff^2*x^2)^(n/2))^p/(1 - ff^2*x^2)^((m + 1)/2),
      x], x, Sin[e + f*x]/ff], x]] /; FreeQ[{a, b, e, f, p}, x] && IntegerQ[(m - 1)/2] && IntegerQ[n/2] &&  !Integer
      Q[p]

4637. Int[sec[(e_.) + (f_.)*(x_)]^(m_.)*((a_) + (b_.)*sec[(e_.) + (f_.)*(x_)]^(n_))^(p_), x_Symbol] :> Int[ExpandTri
      g[sec[e + f*x]^m*(a + b*sec[e + f*x]^n)^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, e, f}, x] && IntegersQ[m, n, p]

4638. Int[((d_.)*sec[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_.)*((a_) + (b_.)*((c_.)*sec[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_))^(p_.), x_Symbol]
      :> Unintegrable[(d*Sec[e + f*x])^m*(a + b*(c*Sec[e + f*x])^n)^p, x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m, n, p}, x]

4639. Int[(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(d_.))^(m_)*((a_) + (b_.)*((c_.)*sec[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_))^(p_), x_Symbol] :
      > Simp[(d*Csc[e + f*x])^FracPart[m]*(Sin[e + f*x]/d)^FracPart[m]   Int[(a + b*(c*Sec[e + f*x])^n)^p/(Sin[e + f
      *x]/d)^m, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m, n, p}, x] &&  !IntegerQ[m]

4640. Int[((a_.) + (b_.)*sec[(d_.) + (e_.)*(x_)]^(n_.) + (c_.)*sec[(d_.) + (e_.)*(x_)]^(n2_.))^(p_.), x_Symbol] :> S
      imp[1/(4^p*c^p)   Int[(b + 2*c*Sec[d + e*x]^n)^(2*p), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, n}, x] && EqQ[n2, 2*n] &
      & EqQ[b^2 - 4*a*c, 0] && IntegerQ[p]

4641. Int[((a_.) + csc[(d_.) + (e_.)*(x_)]^(n_.)*(b_.) + csc[(d_.) + (e_.)*(x_)]^(n2_.)*(c_.))^(p_.), x_Symbol] :> S
      imp[1/(4^p*c^p)   Int[(b + 2*c*Csc[d + e*x]^n)^(2*p), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, n}, x] && EqQ[n2, 2*n] &
      & EqQ[b^2 - 4*a*c, 0] && IntegerQ[p]

4642. Int[((a_.) + (b_.)*sec[(d_.) + (e_.)*(x_)]^(n_.) + (c_.)*sec[(d_.) + (e_.)*(x_)]^(n2_.))^(p_), x_Symbol] :> Si
      mp[(a + b*Sec[d + e*x]^n + c*Sec[d + e*x]^(2*n))^p/(b + 2*c*Sec[d + e*x]^n)^(2*p)   Int[u*(b + 2*c*Sec[d + e*x
      ]^n)^(2*p), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, n, p}, x] && EqQ[n2, 2*n] && EqQ[b^2 - 4*a*c, 0] &&  !IntegerQ[p]

4643. Int[((a_.) + csc[(d_.) + (e_.)*(x_)]^(n_.)*(b_.) + csc[(d_.) + (e_.)*(x_)]^(n2_.)*(c_.))^(p_), x_Symbol] :> Si
      mp[(a + b*Csc[d + e*x]^n + c*Csc[d + e*x]^(2*n))^p/(b + 2*c*Csc[d + e*x]^n)^(2*p)   Int[u*(b + 2*c*Csc[d + e*x
      ]^n)^(2*p), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, n, p}, x] && EqQ[n2, 2*n] && EqQ[b^2 - 4*a*c, 0] &&  !IntegerQ[p]

4644. Int[((a_.) + (b_.)*sec[(d_.) + (e_.)*(x_)]^(n_.) + (c_.)*sec[(d_.) + (e_.)*(x_)]^(n2_.))^(-1), x_Symbol] :> Mo
      dule[{q = Rt[b^2 - 4*a*c, 2]}, Simp[2*(c/q)   Int[1/(b - q + 2*c*Sec[d + e*x]^n), x], x] - Simp[2*(c/q)   Int[
      1/(b + q + 2*c*Sec[d + e*x]^n), x], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, n}, x] && EqQ[n2, 2*n] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0]

4645. Int[((a_.) + csc[(d_.) + (e_.)*(x_)]^(n_.)*(b_.) + csc[(d_.) + (e_.)*(x_)]^(n2_.)*(c_.))^(-1), x_Symbol] :> Mo
      dule[{q = Rt[b^2 - 4*a*c, 2]}, Simp[2*(c/q)   Int[1/(b - q + 2*c*Csc[d + e*x]^n), x], x] - Simp[2*(c/q)   Int[
      1/(b + q + 2*c*Csc[d + e*x]^n), x], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, n}, x] && EqQ[n2, 2*n] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0]

4646. Int[((a_.) + (b_.)*sec[(d_.) + (e_.)*(x_)]^(n_.) + (c_.)*sec[(d_.) + (e_.)*(x_)]^(n2_))^(p_.)*sin[(d_.) + (e_.
      )*(x_)]^(m_.), x_Symbol] :> Module[{f = FreeFactors[Cos[d + e*x], x]}, Simp[-f/e   Subst[Int[(1 - f^2*x^2)^((m
      - 1)/2)*((b + a*(f*x)^n)^p/(f*x)^(n*p)), x], x, Cos[d + e*x]/f], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && EqQ[n2,
      2*n] && IntegerQ[(m - 1)/2] && IntegersQ[n, p]

4647. Int[cos[(d_.) + (e_.)*(x_)]^(m_.)*((a_.) + csc[(d_.) + (e_.)*(x_)]^(n_.)*(b_.) + csc[(d_.) + (e_.)*(x_)]^(n2_)
      *(c_.))^(p_.), x_Symbol] :> Module[{f = FreeFactors[Sin[d + e*x], x]}, Simp[f/e   Subst[Int[(1 - f^2*x^2)^((m
      - 1)/2)*((b + a*(f*x)^n)^p/(f*x)^(n*p)), x], x, Sin[d + e*x]/f], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && EqQ[n2, 2
      *n] && IntegerQ[(m - 1)/2] && IntegersQ[n, p]

4648. Int[((a_.) + (b_.)*sec[(d_.) + (e_.)*(x_)]^(n_) + (c_.)*sec[(d_.) + (e_.)*(x_)]^(n2_))^(p_.)*sin[(d_.) + (e_.)
      *(x_)]^(m_), x_Symbol] :> Module[{f = FreeFactors[Tan[d + e*x], x]}, Simp[f^(m + 1)/e   Subst[Int[x^m*(ExpandT
      oSum[a + b*(1 + f^2*x^2)^(n/2) + c*(1 + f^2*x^2)^n, x]^p/(1 + f^2*x^2)^(m/2 + 1)), x], x, Tan[d + e*x]/f], x]]
      /; FreeQ[{a, b, c, d, e, p}, x] && EqQ[n2, 2*n] && IntegerQ[m/2] && IntegerQ[n/2]

4649. Int[cos[(d_.) + (e_.)*(x_)]^(m_)*((a_.) + csc[(d_.) + (e_.)*(x_)]^(n_)*(b_.) + csc[(d_.) + (e_.)*(x_)]^(n2_)*(
      c_.))^(p_.), x_Symbol] :> Module[{f = FreeFactors[Cot[d + e*x], x]}, Simp[-f^(m + 1)/e   Subst[Int[x^m*(Expand
      ToSum[a + b*(1 + f^2*x^2)^(n/2) + c*(1 + f^2*x^2)^n, x]^p/(1 + f^2*x^2)^(m/2 + 1)), x], x, Cot[d + e*x]/f], x]
      ] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, p}, x] && EqQ[n2, 2*n] && IntegerQ[m/2] && IntegerQ[n/2]

4650. Int[sec[(d_.) + (e_.)*(x_)]^(m_.)*((a_.) + (b_.)*sec[(d_.) + (e_.)*(x_)]^(n_.) + (c_.)*sec[(d_.) + (e_.)*(x_)]
      ^(n2_.))^(p_), x_Symbol] :> Simp[1/(4^p*c^p)   Int[Sec[d + e*x]^m*(b + 2*c*Sec[d + e*x]^n)^(2*p), x], x] /; Fr
      eeQ[{a, b, c, d, e, m, n}, x] && EqQ[n2, 2*n] && EqQ[b^2 - 4*a*c, 0] && IntegerQ[p]

4651. Int[csc[(d_.) + (e_.)*(x_)]^(m_.)*((a_.) + csc[(d_.) + (e_.)*(x_)]^(n_.)*(b_.) + csc[(d_.) + (e_.)*(x_)]^(n2_.
      )*(c_.))^(p_), x_Symbol] :> Simp[1/(4^p*c^p)   Int[Csc[d + e*x]^m*(b + 2*c*Csc[d + e*x]^n)^(2*p), x], x] /; Fr
      eeQ[{a, b, c, d, e, m, n}, x] && EqQ[n2, 2*n] && EqQ[b^2 - 4*a*c, 0] && IntegerQ[p]

4652. Int[sec[(d_.) + (e_.)*(x_)]^(m_.)*((a_.) + (b_.)*sec[(d_.) + (e_.)*(x_)]^(n_.) + (c_.)*sec[(d_.) + (e_.)*(x_)]
      ^(n2_.))^(p_), x_Symbol] :> Simp[(a + b*Sec[d + e*x]^n + c*Sec[d + e*x]^(2*n))^p/(b + 2*c*Sec[d + e*x]^n)^(2*p
      )   Int[Sec[d + e*x]^m*(b + 2*c*Sec[d + e*x]^n)^(2*p), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, m, n, p}, x] && EqQ[n2,
      2*n] && EqQ[b^2 - 4*a*c, 0] &&  !IntegerQ[p]

4653. Int[csc[(d_.) + (e_.)*(x_)]^(m_.)*((a_.) + csc[(d_.) + (e_.)*(x_)]^(n_.)*(b_.) + csc[(d_.) + (e_.)*(x_)]^(n2_.
      )*(c_.))^(p_), x_Symbol] :> Simp[(a + b*Csc[d + e*x]^n + c*Csc[d + e*x]^(2*n))^p/(b + 2*c*Csc[d + e*x]^n)^(2*p
      )   Int[Csc[d + e*x]^m*(b + 2*c*Csc[d + e*x]^n)^(2*p), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, m, n, p}, x] && EqQ[n2,
      2*n] && EqQ[b^2 - 4*a*c, 0] &&  !IntegerQ[p]

4654. Int[sec[(d_.) + (e_.)*(x_)]^(m_.)*((a_.) + (b_.)*sec[(d_.) + (e_.)*(x_)]^(n_.) + (c_.)*sec[(d_.) + (e_.)*(x_)]
      ^(n2_.))^(p_), x_Symbol] :> Int[ExpandTrig[sec[d + e*x]^m*(a + b*sec[d + e*x]^n + c*sec[d + e*x]^(2*n))^p, x],
      x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && EqQ[n2, 2*n] && IntegersQ[m, n, p]

4655. Int[csc[(d_.) + (e_.)*(x_)]^(m_.)*((a_.) + csc[(d_.) + (e_.)*(x_)]^(n_.)*(b_.) + csc[(d_.) + (e_.)*(x_)]^(n2_.
      )*(c_.))^(p_), x_Symbol] :> Int[ExpandTrig[csc[d + e*x]^m*(a + b*csc[d + e*x]^n + c*csc[d + e*x]^(2*n))^p, x],
      x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && EqQ[n2, 2*n] && IntegersQ[m, n, p]

4656. Int[((a_) + (b_.)*sec[(d_.) + (e_.)*(x_)]^(n_.) + (c_.)*sec[(d_.) + (e_.)*(x_)]^(n2_.))^(p_.)*tan[(d_.) + (e_.
      )*(x_)]^(m_.), x_Symbol] :> Module[{f = FreeFactors[Cos[d + e*x], x]}, Simp[-(e*f^(m + n*p - 1))^(-1)   Subst[
      Int[(1 - f^2*x^2)^((m - 1)/2)*((c + b*(f*x)^n + c*(f*x)^(2*n))^p/x^(m + 2*n*p)), x], x, Cos[d + e*x]/f], x]] /
      ; FreeQ[{a, b, c, d, e, n}, x] && EqQ[n2, 2*n] && IntegerQ[(m - 1)/2] && IntegerQ[n] && IntegerQ[p]

4657. Int[cot[(d_.) + (e_.)*(x_)]^(m_.)*(csc[(d_.) + (e_.)*(x_)]^(n_.)*(b_.) + (a_) + (c_.)*sec[(d_.) + (e_.)*(x_)]^
      (n2_.))^(p_.), x_Symbol] :> Module[{f = FreeFactors[Sin[d + e*x], x]}, Simp[1/(e*f^(m + n*p - 1))   Subst[Int[
      (1 - f^2*x^2)^((m - 1)/2)*((c + b*(f*x)^n + c*(f*x)^(2*n))^p/x^(m + 2*n*p)), x], x, Sin[d + e*x]/f], x]] /; Fr
      eeQ[{a, b, c, d, e, n}, x] && EqQ[n2, 2*n] && IntegerQ[(m - 1)/2] && IntegerQ[n] && IntegerQ[p]

4658. Int[((a_) + (c_.)*sec[(d_.) + (e_.)*(x_)]^(n2_.) + (b_.)*sec[(d_.) + (e_.)*(x_)]^(n_))^(p_.)*tan[(d_.) + (e_.)
      *(x_)]^(m_.), x_Symbol] :> Module[{f = FreeFactors[Tan[d + e*x], x]}, Simp[f^(m + 1)/e   Subst[Int[x^m*(Expand
      ToSum[a + b*(1 + f^2*x^2)^(n/2) + c*(1 + f^2*x^2)^n, x]^p/(1 + f^2*x^2)), x], x, Tan[d + e*x]/f], x]] /; FreeQ
      [{a, b, c, d, e}, x] && EqQ[n2, 2*n] && IntegerQ[m/2] && IntegerQ[n/2]

4659. Int[cot[(d_.) + (e_.)*(x_)]^(m_.)*(csc[(d_.) + (e_.)*(x_)]^(n_)*(b_.) + (a_) + (c_.)*sec[(d_.) + (e_.)*(x_)]^(
      n2_.))^(p_.), x_Symbol] :> Module[{f = FreeFactors[Cot[d + e*x], x]}, Simp[-f^(m + 1)/e   Subst[Int[x^m*(Expan
      dToSum[a + b*(1 + f^2*x^2)^(n/2) + c*(1 + f^2*x^2)^n, x]^p/(1 + f^2*x^2)), x], x, Cot[d + e*x]/f], x]] /; Free
      Q[{a, b, c, d, e}, x] && EqQ[n2, 2*n] && IntegerQ[m/2] && IntegerQ[n/2]

4660. Int[((A_) + (B_.)*sec[(d_.) + (e_.)*(x_)])*((a_) + (b_.)*sec[(d_.) + (e_.)*(x_)] + (c_.)*sec[(d_.) + (e_.)*(x_
      )]^2)^(n_), x_Symbol] :> Simp[1/(4^n*c^n)   Int[(A + B*Sec[d + e*x])*(b + 2*c*Sec[d + e*x])^(2*n), x], x] /; F
      reeQ[{a, b, c, d, e, A, B}, x] && EqQ[b^2 - 4*a*c, 0] && IntegerQ[n]

4661. Int[(csc[(d_.) + (e_.)*(x_)]*(b_.) + csc[(d_.) + (e_.)*(x_)]^2*(c_.) + (a_))^(n_)*(csc[(d_.) + (e_.)*(x_)]*(B_
      .) + (A_)), x_Symbol] :> Simp[1/(4^n*c^n)   Int[(A + B*Csc[d + e*x])*(b + 2*c*Csc[d + e*x])^(2*n), x], x] /; F
      reeQ[{a, b, c, d, e, A, B}, x] && EqQ[b^2 - 4*a*c, 0] && IntegerQ[n]

4662. Int[((A_) + (B_.)*sec[(d_.) + (e_.)*(x_)])*((a_) + (b_.)*sec[(d_.) + (e_.)*(x_)] + (c_.)*sec[(d_.) + (e_.)*(x_
      )]^2)^(n_), x_Symbol] :> Simp[(a + b*Sec[d + e*x] + c*Sec[d + e*x]^2)^n/(b + 2*c*Sec[d + e*x])^(2*n)   Int[(A
      + B*Sec[d + e*x])*(b + 2*c*Sec[d + e*x])^(2*n), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, A, B}, x] && EqQ[b^2 - 4*a*c,
      0] &&  !IntegerQ[n]

4663. Int[(csc[(d_.) + (e_.)*(x_)]*(b_.) + csc[(d_.) + (e_.)*(x_)]^2*(c_.) + (a_))^(n_)*(csc[(d_.) + (e_.)*(x_)]*(B_
      .) + (A_)), x_Symbol] :> Simp[(a + b*Csc[d + e*x] + c*Csc[d + e*x]^2)^n/(b + 2*c*Csc[d + e*x])^(2*n)   Int[(A
      + B*Csc[d + e*x])*(b + 2*c*Csc[d + e*x])^(2*n), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, A, B}, x] && EqQ[b^2 - 4*a*c,
      0] &&  !IntegerQ[n]

4664. Int[((A_) + (B_.)*sec[(d_.) + (e_.)*(x_)])/((a_.) + (b_.)*sec[(d_.) + (e_.)*(x_)] + (c_.)*sec[(d_.) + (e_.)*(x
      _)]^2), x_Symbol] :> Module[{q = Rt[b^2 - 4*a*c, 2]}, Simp[(B + (b*B - 2*A*c)/q)   Int[1/(b + q + 2*c*Sec[d +
      e*x]), x], x] + Simp[(B - (b*B - 2*A*c)/q)   Int[1/(b - q + 2*c*Sec[d + e*x]), x], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d, e
      , A, B}, x] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0]

4665. Int[(csc[(d_.) + (e_.)*(x_)]*(B_.) + (A_))/((a_.) + csc[(d_.) + (e_.)*(x_)]*(b_.) + csc[(d_.) + (e_.)*(x_)]^2*
      (c_.)), x_Symbol] :> Module[{q = Rt[b^2 - 4*a*c, 2]}, Simp[(B + (b*B - 2*A*c)/q)   Int[1/(b + q + 2*c*Csc[d +
      e*x]), x], x] + Simp[(B - (b*B - 2*A*c)/q)   Int[1/(b - q + 2*c*Csc[d + e*x]), x], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d, e
      , A, B}, x] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0]

4666. Int[((A_) + (B_.)*sec[(d_.) + (e_.)*(x_)])*((a_.) + (b_.)*sec[(d_.) + (e_.)*(x_)] + (c_.)*sec[(d_.) + (e_.)*(x
      _)]^2)^(n_), x_Symbol] :> Int[ExpandTrig[(A + B*sec[d + e*x])*(a + b*sec[d + e*x] + c*sec[d + e*x]^2)^n, x], x
      ] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, A, B}, x] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] && IntegerQ[n]

4667. Int[((a_.) + csc[(d_.) + (e_.)*(x_)]*(b_.) + csc[(d_.) + (e_.)*(x_)]^2*(c_.))^(n_)*(csc[(d_.) + (e_.)*(x_)]*(B
      _.) + (A_)), x_Symbol] :> Int[ExpandTrig[(A + B*csc[d + e*x])*(a + b*csc[d + e*x] + c*csc[d + e*x]^2)^n, x], x
      ] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, A, B}, x] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] && IntegerQ[n]

4668. Int[csc[(e_.) + Pi*(k_.) + (Complex[0, fz_])*(f_.)*(x_)]*((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Simp[-2*(c +
      d*x)^m*(ArcTanh[E^((-I)*e + f*fz*x)/E^(I*k*Pi)]/(f*fz*I)), x] + (-Simp[d*(m/(f*fz*I))   Int[(c + d*x)^(m - 1)
      *Log[1 - E^((-I)*e + f*fz*x)/E^(I*k*Pi)], x], x] + Simp[d*(m/(f*fz*I))   Int[(c + d*x)^(m - 1)*Log[1 + E^((-I)
      *e + f*fz*x)/E^(I*k*Pi)], x], x]) /; FreeQ[{c, d, e, f, fz}, x] && IntegerQ[2*k] && IGtQ[m, 0]

4669. Int[csc[(e_.) + Pi*(k_.) + (f_.)*(x_)]*((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Simp[-2*(c + d*x)^m*(ArcTanh[E
      ^(I*k*Pi)*E^(I*(e + f*x))]/f), x] + (-Simp[d*(m/f)   Int[(c + d*x)^(m - 1)*Log[1 - E^(I*k*Pi)*E^(I*(e + f*x))]
      , x], x] + Simp[d*(m/f)   Int[(c + d*x)^(m - 1)*Log[1 + E^(I*k*Pi)*E^(I*(e + f*x))], x], x]) /; FreeQ[{c, d, e
      , f}, x] && IntegerQ[2*k] && IGtQ[m, 0]

4670. Int[csc[(e_.) + (Complex[0, fz_])*(f_.)*(x_)]*((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Simp[-2*(c + d*x)^m*(Ar
      cTanh[E^((-I)*e + f*fz*x)]/(f*fz*I)), x] + (-Simp[d*(m/(f*fz*I))   Int[(c + d*x)^(m - 1)*Log[1 - E^((-I)*e + f
      *fz*x)], x], x] + Simp[d*(m/(f*fz*I))   Int[(c + d*x)^(m - 1)*Log[1 + E^((-I)*e + f*fz*x)], x], x]) /; FreeQ[{
      c, d, e, f, fz}, x] && IGtQ[m, 0]

4671. Int[csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Simp[-2*(c + d*x)^m*(ArcTanh[E^(I*(e + f*
      x))]/f), x] + (-Simp[d*(m/f)   Int[(c + d*x)^(m - 1)*Log[1 - E^(I*(e + f*x))], x], x] + Simp[d*(m/f)   Int[(c
      + d*x)^(m - 1)*Log[1 + E^(I*(e + f*x))], x], x]) /; FreeQ[{c, d, e, f}, x] && IGtQ[m, 0]

4672. Int[csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2*((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Simp[(-(c + d*x)^m)*(Cot[e + f*x]/f), x
      ] + Simp[d*(m/f)   Int[(c + d*x)^(m - 1)*Cot[e + f*x], x], x] /; FreeQ[{c, d, e, f}, x] && GtQ[m, 0]

4673. Int[(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.))^(n_)*((c_.) + (d_.)*(x_)), x_Symbol] :> Simp[(-b^2)*(c + d*x)*Cot[e + f*x]
      *((b*Csc[e + f*x])^(n - 2)/(f*(n - 1))), x] + (-Simp[b^2*d*((b*Csc[e + f*x])^(n - 2)/(f^2*(n - 1)*(n - 2))), x
      ] + Simp[b^2*((n - 2)/(n - 1))   Int[(c + d*x)*(b*Csc[e + f*x])^(n - 2), x], x]) /; FreeQ[{b, c, d, e, f}, x]
      && GtQ[n, 1] && NeQ[n, 2]

4674. Int[(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.))^(n_)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_), x_Symbol] :> Simp[(-b^2)*(c + d*x)^m*Cot[e
      + f*x]*((b*Csc[e + f*x])^(n - 2)/(f*(n - 1))), x] + (-Simp[b^2*d*m*(c + d*x)^(m - 1)*((b*Csc[e + f*x])^(n - 2
      )/(f^2*(n - 1)*(n - 2))), x] + Simp[b^2*d^2*m*((m - 1)/(f^2*(n - 1)*(n - 2)))   Int[(c + d*x)^(m - 2)*(b*Csc[e
      + f*x])^(n - 2), x], x] + Simp[b^2*((n - 2)/(n - 1))   Int[(c + d*x)^m*(b*Csc[e + f*x])^(n - 2), x], x]) /; F
      reeQ[{b, c, d, e, f}, x] && GtQ[n, 1] && NeQ[n, 2] && GtQ[m, 1]

4675. Int[(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.))^(n_)*((c_.) + (d_.)*(x_)), x_Symbol] :> Simp[d*((b*Csc[e + f*x])^n/(f^2*n^
      2)), x] + (Simp[(c + d*x)*Cos[e + f*x]*((b*Csc[e + f*x])^(n + 1)/(b*f*n)), x] + Simp[(n + 1)/(b^2*n)   Int[(c
      + d*x)*(b*Csc[e + f*x])^(n + 2), x], x]) /; FreeQ[{b, c, d, e, f}, x] && LtQ[n, -1]

4676. Int[(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.))^(n_)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_), x_Symbol] :> Simp[d*m*(c + d*x)^(m - 1)*((
      b*Csc[e + f*x])^n/(f^2*n^2)), x] + (Simp[(c + d*x)^m*Cos[e + f*x]*((b*Csc[e + f*x])^(n + 1)/(b*f*n)), x] + Sim
      p[(n + 1)/(b^2*n)   Int[(c + d*x)^m*(b*Csc[e + f*x])^(n + 2), x], x] - Simp[d^2*m*((m - 1)/(f^2*n^2))   Int[(c
      + d*x)^(m - 2)*(b*Csc[e + f*x])^n, x], x]) /; FreeQ[{b, c, d, e, f}, x] && LtQ[n, -1] && GtQ[m, 1]

4677. Int[(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.))^(n_)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Simp[(b*Sin[e + f*x])^n*(b*C
      sc[e + f*x])^n   Int[(c + d*x)^m/(b*Sin[e + f*x])^n, x], x] /; FreeQ[{b, c, d, e, f, m, n}, x] &&  !IntegerQ[n
      ]

4678. Int[(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_))^(n_.)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Int[ExpandIntegrand[
      (c + d*x)^m, (a + b*Csc[e + f*x])^n, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m}, x] && IGtQ[m, 0] && IGtQ[n, 0]

4679. Int[(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_))^(n_.)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Int[ExpandIntegrand[
      (c + d*x)^m, 1/(Sin[e + f*x]^n/(b + a*Sin[e + f*x])^n), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && ILtQ[n, 0] &
      & IGtQ[m, 0]

4680. Int[csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]^(n_.)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Simp[If[MatchQ[f, (f1_.)*(Complex[0
      , j_])], If[MatchQ[e, (e1_.) + Pi/2], Unintegrable[(c + d*x)^m*Sech[I*(e - Pi/2) + I*f*x]^n, x], (-I)^n*Uninte
      grable[(c + d*x)^m*Csch[(-I)*e - I*f*x]^n, x]], If[MatchQ[e, (e1_.) + Pi/2], Unintegrable[(c + d*x)^m*Sec[e -
      Pi/2 + f*x]^n, x], Unintegrable[(c + d*x)^m*Csc[e + f*x]^n, x]]], x] /; FreeQ[{c, d, e, f, m, n}, x] && Intege
      rQ[n]

4681. Int[((a_.) + csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.))^(n_.)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Unintegrable[(c + d
      *x)^m*(a + b*Csc[e + f*x])^n, x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m, n}, x]

4682. Int[(u_)^(m_.)*((a_.) + (b_.)*Sec[v_])^(n_.), x_Symbol] :> Int[ExpandToSum[u, x]^m*(a + b*Sec[ExpandToSum[v, x
      ]])^n, x] /; FreeQ[{a, b, m, n}, x] && LinearQ[{u, v}, x] &&  !LinearMatchQ[{u, v}, x]

4683. Int[((a_.) + Csc[v_]*(b_.))^(n_.)*(u_)^(m_.), x_Symbol] :> Int[ExpandToSum[u, x]^m*(a + b*Csc[ExpandToSum[v, x
      ]])^n, x] /; FreeQ[{a, b, m, n}, x] && LinearQ[{u, v}, x] &&  !LinearMatchQ[{u, v}, x]

4684. Int[((a_.) + (b_.)*Sec[(c_.) + (d_.)*(x_)^(n_)])^(p_.), x_Symbol] :> Simp[1/n   Subst[Int[x^(1/n - 1)*(a + b*S
      ec[c + d*x])^p, x], x, x^n], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, p}, x] && IGtQ[1/n, 0] && IntegerQ[p]

4685. Int[((a_.) + Csc[(c_.) + (d_.)*(x_)^(n_)]*(b_.))^(p_.), x_Symbol] :> Simp[1/n   Subst[Int[x^(1/n - 1)*(a + b*C
      sc[c + d*x])^p, x], x, x^n], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, p}, x] && IGtQ[1/n, 0] && IntegerQ[p]

4686. Int[((a_.) + (b_.)*Sec[(c_.) + (d_.)*(x_)^(n_)])^(p_.), x_Symbol] :> Unintegrable[(a + b*Sec[c + d*x^n])^p, x]
      /; FreeQ[{a, b, c, d, n, p}, x]

4687. Int[((a_.) + Csc[(c_.) + (d_.)*(x_)^(n_)]*(b_.))^(p_.), x_Symbol] :> Unintegrable[(a + b*Csc[c + d*x^n])^p, x]
      /; FreeQ[{a, b, c, d, n, p}, x]

4688. Int[((a_.) + (b_.)*Sec[(c_.) + (d_.)*(u_)^(n_)])^(p_.), x_Symbol] :> Simp[1/Coefficient[u, x, 1]   Subst[Int[(
      a + b*Sec[c + d*x^n])^p, x], x, u], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, n, p}, x] && LinearQ[u, x] && NeQ[u, x]

4689. Int[((a_.) + Csc[(c_.) + (d_.)*(u_)^(n_)]*(b_.))^(p_.), x_Symbol] :> Simp[1/Coefficient[u, x, 1]   Subst[Int[(
      a + b*Csc[c + d*x^n])^p, x], x, u], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, n, p}, x] && LinearQ[u, x] && NeQ[u, x]

4690. Int[((a_.) + (b_.)*Sec[u_])^(p_.), x_Symbol] :> Int[(a + b*Sec[ExpandToSum[u, x]])^p, x] /; FreeQ[{a, b, p}, x
      ] && BinomialQ[u, x] &&  !BinomialMatchQ[u, x]

4691. Int[((a_.) + Csc[u_]*(b_.))^(p_.), x_Symbol] :> Int[(a + b*Csc[ExpandToSum[u, x]])^p, x] /; FreeQ[{a, b, p}, x
      ] && BinomialQ[u, x] &&  !BinomialMatchQ[u, x]

4692. Int[(x_)^(m_.)*((a_.) + (b_.)*Sec[(c_.) + (d_.)*(x_)^(n_)])^(p_.), x_Symbol] :> Simp[1/n   Subst[Int[x^(Simpli
      fy[(m + 1)/n] - 1)*(a + b*Sec[c + d*x])^p, x], x, x^n], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, m, n, p}, x] && IGtQ[Simplify
      [(m + 1)/n], 0] && IntegerQ[p]

4693. Int[((a_.) + Csc[(c_.) + (d_.)*(x_)^(n_)]*(b_.))^(p_.)*(x_)^(m_.), x_Symbol] :> Simp[1/n   Subst[Int[x^(Simpli
      fy[(m + 1)/n] - 1)*(a + b*Csc[c + d*x])^p, x], x, x^n], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, m, n, p}, x] && IGtQ[Simplify
      [(m + 1)/n], 0] && IntegerQ[p]

4694. Int[(x_)^(m_.)*((a_.) + (b_.)*Sec[(c_.) + (d_.)*(x_)^(n_)])^(p_.), x_Symbol] :> Unintegrable[x^m*(a + b*Sec[c
      + d*x^n])^p, x] /; FreeQ[{a, b, c, d, m, n, p}, x]

4695. Int[((a_.) + Csc[(c_.) + (d_.)*(x_)^(n_)]*(b_.))^(p_.)*(x_)^(m_.), x_Symbol] :> Unintegrable[x^m*(a + b*Csc[c
      + d*x^n])^p, x] /; FreeQ[{a, b, c, d, m, n, p}, x]

4696. Int[((e_)*(x_))^(m_.)*((a_.) + (b_.)*Sec[(c_.) + (d_.)*(x_)^(n_)])^(p_.), x_Symbol] :> Simp[e^IntPart[m]*((e*x
      )^FracPart[m]/x^FracPart[m])   Int[x^m*(a + b*Sec[c + d*x^n])^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, m, n, p}, x]

4697. Int[((a_.) + Csc[(c_.) + (d_.)*(x_)^(n_)]*(b_.))^(p_.)*((e_)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Simp[e^IntPart[m]*((e*x
      )^FracPart[m]/x^FracPart[m])   Int[x^m*(a + b*Csc[c + d*x^n])^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, m, n, p}, x]

4698. Int[((e_)*(x_))^(m_.)*((a_.) + (b_.)*Sec[u_])^(p_.), x_Symbol] :> Int[(e*x)^m*(a + b*Sec[ExpandToSum[u, x]])^p
      , x] /; FreeQ[{a, b, e, m, p}, x] && BinomialQ[u, x] &&  !BinomialMatchQ[u, x]

4699. Int[((a_.) + Csc[u_]*(b_.))^(p_.)*((e_)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Int[(e*x)^m*(a + b*Csc[ExpandToSum[u, x]])^p
      , x] /; FreeQ[{a, b, e, m, p}, x] && BinomialQ[u, x] &&  !BinomialMatchQ[u, x]

4700. Int[(x_)^(m_.)*Sec[(a_.) + (b_.)*(x_)^(n_.)]^(p_)*Sin[(a_.) + (b_.)*(x_)^(n_.)], x_Symbol] :> Simp[x^(m - n +
      1)*(Sec[a + b*x^n]^(p - 1)/(b*n*(p - 1))), x] - Simp[(m - n + 1)/(b*n*(p - 1))   Int[x^(m - n)*Sec[a + b*x^n]^
      (p - 1), x], x] /; FreeQ[{a, b, p}, x] && IntegerQ[n] && GeQ[m - n, 0] && NeQ[p, 1]

4701. Int[Cos[(a_.) + (b_.)*(x_)^(n_.)]*Csc[(a_.) + (b_.)*(x_)^(n_.)]^(p_)*(x_)^(m_.), x_Symbol] :> Simp[(-x^(m - n
      + 1))*(Csc[a + b*x^n]^(p - 1)/(b*n*(p - 1))), x] + Simp[(m - n + 1)/(b*n*(p - 1))   Int[x^(m - n)*Csc[a + b*x^
      n]^(p - 1), x], x] /; FreeQ[{a, b, p}, x] && IntegerQ[n] && GeQ[m - n, 0] && NeQ[p, 1]

4702. Int[(u_)*((d_.)*sin[(a_.) + (b_.)*(x_)])^(n_.)*((c_.)*tan[(a_.) + (b_.)*(x_)])^(m_.), x_Symbol] :> Simp[(c*Tan
      [a + b*x])^m*((d*Cos[a + b*x])^m/(d*Sin[a + b*x])^m)   Int[ActivateTrig[u]*((d*Sin[a + b*x])^(m + n)/(d*Cos[a
      + b*x])^m), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, m, n}, x] && KnownSineIntegrandQ[u, x] &&  !IntegerQ[m]

4703. Int[(cos[(a_.) + (b_.)*(x_)]*(d_.))^(n_.)*(u_)*((c_.)*tan[(a_.) + (b_.)*(x_)])^(m_.), x_Symbol] :> Simp[(c*Tan
      [a + b*x])^m*((d*Cos[a + b*x])^m/(d*Sin[a + b*x])^m)   Int[ActivateTrig[u]*((d*Sin[a + b*x])^m/(d*Cos[a + b*x]
      )^(m - n)), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, m, n}, x] && KnownSineIntegrandQ[u, x] &&  !IntegerQ[m]

4704. Int[(cot[(a_.) + (b_.)*(x_)]*(c_.))^(m_.)*(u_)*((d_.)*sin[(a_.) + (b_.)*(x_)])^(n_.), x_Symbol] :> Simp[(c*Cot
      [a + b*x])^m*((d*Sin[a + b*x])^m/(d*Cos[a + b*x])^m)   Int[ActivateTrig[u]*((d*Cos[a + b*x])^m/(d*Sin[a + b*x]
      )^(m - n)), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, m, n}, x] && KnownSineIntegrandQ[u, x] &&  !IntegerQ[m]

4705. Int[(cot[(a_.) + (b_.)*(x_)]*(c_.))^(m_.)*(cos[(a_.) + (b_.)*(x_)]*(d_.))^(n_.)*(u_), x_Symbol] :> Simp[(c*Cot
      [a + b*x])^m*((d*Sin[a + b*x])^m/(d*Cos[a + b*x])^m)   Int[ActivateTrig[u]*((d*Cos[a + b*x])^(m + n)/(d*Sin[a
      + b*x])^m), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, m, n}, x] && KnownSineIntegrandQ[u, x] &&  !IntegerQ[m]

4706. Int[(cos[(a_.) + (b_.)*(x_)]*(d_.))^(n_.)*(u_)*((c_.)*sec[(a_.) + (b_.)*(x_)])^(m_.), x_Symbol] :> Simp[(c*Csc
      [a + b*x])^m*(d*Sin[a + b*x])^m   Int[ActivateTrig[u]*(d*Sin[a + b*x])^(n - m), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, m
      , n}, x] && KnownSineIntegrandQ[u, x]

4707. Int[(u_)*((c_.)*tan[(a_.) + (b_.)*(x_)])^(m_.), x_Symbol] :> Simp[(c*Tan[a + b*x])^m*((c*Cos[a + b*x])^m/(c*Si
      n[a + b*x])^m)   Int[ActivateTrig[u]*((c*Sin[a + b*x])^m/(c*Cos[a + b*x])^m), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, m}, x]
      &&  !IntegerQ[m] && KnownSineIntegrandQ[u, x]

4708. Int[(cot[(a_.) + (b_.)*(x_)]*(c_.))^(m_.)*(u_), x_Symbol] :> Simp[(c*Cot[a + b*x])^m*((c*Sin[a + b*x])^m/(c*Co
      s[a + b*x])^m)   Int[ActivateTrig[u]*((c*Cos[a + b*x])^m/(c*Sin[a + b*x])^m), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, m}, x]
      &&  !IntegerQ[m] && KnownSineIntegrandQ[u, x]

4709. Int[(u_)*((c_.)*sec[(a_.) + (b_.)*(x_)])^(m_.), x_Symbol] :> Simp[(c*Sec[a + b*x])^m*(c*Cos[a + b*x])^m   Int[
      ActivateTrig[u]/(c*Cos[a + b*x])^m, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, m}, x] &&  !IntegerQ[m] && KnownSineIntegrandQ[u
      , x]

4710. Int[(csc[(a_.) + (b_.)*(x_)]*(c_.))^(m_.)*(u_), x_Symbol] :> Simp[(c*Csc[a + b*x])^m*(c*Sin[a + b*x])^m   Int[
      ActivateTrig[u]/(c*Sin[a + b*x])^m, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, m}, x] &&  !IntegerQ[m] && KnownSineIntegrandQ[u
      , x]

4711. Int[(csc[(a_.) + (b_.)*(x_)]*(B_.) + (A_))*(u_)*((c_.)*sin[(a_.) + (b_.)*(x_)])^(n_.), x_Symbol] :> Simp[c   I
      nt[ActivateTrig[u]*(c*Sin[a + b*x])^(n - 1)*(B + A*Sin[a + b*x]), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, A, B, n}, x] && Kn
      ownSineIntegrandQ[u, x]

4712. Int[(cos[(a_.) + (b_.)*(x_)]*(c_.))^(n_.)*(u_)*((A_) + (B_.)*sec[(a_.) + (b_.)*(x_)]), x_Symbol] :> Simp[c   I
      nt[ActivateTrig[u]*(c*Cos[a + b*x])^(n - 1)*(B + A*Cos[a + b*x]), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, A, B, n}, x] && Kn
      ownSineIntegrandQ[u, x]

4713. Int[(csc[(a_.) + (b_.)*(x_)]*(B_.) + (A_))*(u_), x_Symbol] :> Int[ActivateTrig[u]*((B + A*Sin[a + b*x])/Sin[a
      + b*x]), x] /; FreeQ[{a, b, A, B}, x] && KnownSineIntegrandQ[u, x]

4714. Int[(u_)*((A_) + (B_.)*sec[(a_.) + (b_.)*(x_)]), x_Symbol] :> Int[ActivateTrig[u]*((B + A*Cos[a + b*x])/Cos[a
      + b*x]), x] /; FreeQ[{a, b, A, B}, x] && KnownSineIntegrandQ[u, x]

4715. Int[((A_.) + csc[(a_.) + (b_.)*(x_)]*(B_.) + csc[(a_.) + (b_.)*(x_)]^2*(C_.))*(u_.)*((c_.)*sin[(a_.) + (b_.)*(
      x_)])^(n_.), x_Symbol] :> Simp[c^2   Int[ActivateTrig[u]*(c*Sin[a + b*x])^(n - 2)*(C + B*Sin[a + b*x] + A*Sin[
      a + b*x]^2), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, A, B, C, n}, x] && KnownSineIntegrandQ[u, x]

4716. Int[(cos[(a_.) + (b_.)*(x_)]*(c_.))^(n_.)*(u_.)*((A_.) + (B_.)*sec[(a_.) + (b_.)*(x_)] + (C_.)*sec[(a_.) + (b_
      .)*(x_)]^2), x_Symbol] :> Simp[c^2   Int[ActivateTrig[u]*(c*Cos[a + b*x])^(n - 2)*(C + B*Cos[a + b*x] + A*Cos[
      a + b*x]^2), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, A, B, C, n}, x] && KnownSineIntegrandQ[u, x]

4717. Int[(u_.)*(csc[(a_.) + (b_.)*(x_)]^2*(C_.) + (A_))*((c_.)*sin[(a_.) + (b_.)*(x_)])^(n_.), x_Symbol] :> Simp[c^
      2   Int[ActivateTrig[u]*(c*Sin[a + b*x])^(n - 2)*(C + A*Sin[a + b*x]^2), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, A, C, n}, x
      ] && KnownSineIntegrandQ[u, x]

4718. Int[(cos[(a_.) + (b_.)*(x_)]*(c_.))^(n_.)*(u_.)*((A_) + (C_.)*sec[(a_.) + (b_.)*(x_)]^2), x_Symbol] :> Simp[c^
      2   Int[ActivateTrig[u]*(c*Cos[a + b*x])^(n - 2)*(C + A*Cos[a + b*x]^2), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, A, C, n}, x
      ] && KnownSineIntegrandQ[u, x]

4719. Int[((A_.) + csc[(a_.) + (b_.)*(x_)]*(B_.) + csc[(a_.) + (b_.)*(x_)]^2*(C_.))*(u_), x_Symbol] :> Int[ActivateT
      rig[u]*((C + B*Sin[a + b*x] + A*Sin[a + b*x]^2)/Sin[a + b*x]^2), x] /; FreeQ[{a, b, A, B, C}, x] && KnownSineI
      ntegrandQ[u, x]

4720. Int[(u_)*((A_.) + (B_.)*sec[(a_.) + (b_.)*(x_)] + (C_.)*sec[(a_.) + (b_.)*(x_)]^2), x_Symbol] :> Int[ActivateT
      rig[u]*((C + B*Cos[a + b*x] + A*Cos[a + b*x]^2)/Cos[a + b*x]^2), x] /; FreeQ[{a, b, A, B, C}, x] && KnownSineI
      ntegrandQ[u, x]

4721. Int[(csc[(a_.) + (b_.)*(x_)]^2*(C_.) + (A_))*(u_), x_Symbol] :> Int[ActivateTrig[u]*((C + A*Sin[a + b*x]^2)/Si
      n[a + b*x]^2), x] /; FreeQ[{a, b, A, C}, x] && KnownSineIntegrandQ[u, x]

4722. Int[(u_)*((A_) + (C_.)*sec[(a_.) + (b_.)*(x_)]^2), x_Symbol] :> Int[ActivateTrig[u]*((C + A*Cos[a + b*x]^2)/Co
      s[a + b*x]^2), x] /; FreeQ[{a, b, A, C}, x] && KnownSineIntegrandQ[u, x]

4723. Int[(u_)*((A_.) + csc[(a_.) + (b_.)*(x_)]*(C_.) + (B_.)*sin[(a_.) + (b_.)*(x_)]), x_Symbol] :> Int[ActivateTri
      g[u]*((C + A*Sin[a + b*x] + B*Sin[a + b*x]^2)/Sin[a + b*x]), x] /; FreeQ[{a, b, A, B, C}, x]

4724. Int[(u_)*((A_.) + cos[(a_.) + (b_.)*(x_)]*(B_.) + (C_.)*sec[(a_.) + (b_.)*(x_)]), x_Symbol] :> Int[ActivateTri
      g[u]*((C + A*Cos[a + b*x] + B*Cos[a + b*x]^2)/Cos[a + b*x]), x] /; FreeQ[{a, b, A, B, C}, x]

4725. Int[(u_)*((A_.)*sin[(a_.) + (b_.)*(x_)]^(n_.) + (B_.)*sin[(a_.) + (b_.)*(x_)]^(n1_) + (C_.)*sin[(a_.) + (b_.)*
      (x_)]^(n2_)), x_Symbol] :> Int[ActivateTrig[u]*Sin[a + b*x]^n*(A + B*Sin[a + b*x] + C*Sin[a + b*x]^2), x] /; F
      reeQ[{a, b, A, B, C, n}, x] && EqQ[n1, n + 1] && EqQ[n2, n + 2]

4726. Int[(cos[(a_.) + (b_.)*(x_)]^(n_.)*(A_.) + cos[(a_.) + (b_.)*(x_)]^(n1_)*(B_.) + cos[(a_.) + (b_.)*(x_)]^(n2_)
      *(C_.))*(u_), x_Symbol] :> Int[ActivateTrig[u]*Cos[a + b*x]^n*(A + B*Cos[a + b*x] + C*Cos[a + b*x]^2), x] /; F
      reeQ[{a, b, A, B, C, n}, x] && EqQ[n1, n + 1] && EqQ[n2, n + 2]

4727. Int[(cot[(a_.) + (b_.)*(x_)]*(c_.))^(m_.)*(u_)*((d_.)*tan[(a_.) + (b_.)*(x_)])^(n_.), x_Symbol] :> Simp[(c*Cot
      [a + b*x])^m*(d*Tan[a + b*x])^m   Int[ActivateTrig[u]*(d*Tan[a + b*x])^(n - m), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, m
      , n}, x] && KnownTangentIntegrandQ[u, x]

4728. Int[(cos[(a_.) + (b_.)*(x_)]*(d_.))^(n_.)*(u_)*((c_.)*tan[(a_.) + (b_.)*(x_)])^(m_.), x_Symbol] :> Simp[(c*Tan
      [a + b*x])^m*((d*Cos[a + b*x])^m/(d*Sin[a + b*x])^m)   Int[ActivateTrig[u]*((d*Sin[a + b*x])^m/(d*Cos[a + b*x]
      )^(m - n)), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, m, n}, x] && KnownCotangentIntegrandQ[u, x]

4729. Int[(cot[(a_.) + (b_.)*(x_)]*(c_.))^(m_.)*(u_), x_Symbol] :> Simp[(c*Cot[a + b*x])^m*(c*Tan[a + b*x])^m   Int[
      ActivateTrig[u]/(c*Tan[a + b*x])^m, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, m}, x] &&  !IntegerQ[m] && KnownTangentIntegrand
      Q[u, x]

4730. Int[(u_)*((c_.)*tan[(a_.) + (b_.)*(x_)])^(m_.), x_Symbol] :> Simp[(c*Cot[a + b*x])^m*(c*Tan[a + b*x])^m   Int[
      ActivateTrig[u]/(c*Cot[a + b*x])^m, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, m}, x] &&  !IntegerQ[m] && KnownCotangentIntegra
      ndQ[u, x]

4731. Int[(cot[(a_.) + (b_.)*(x_)]*(B_.) + (A_))*(u_)*((c_.)*tan[(a_.) + (b_.)*(x_)])^(n_.), x_Symbol] :> Simp[c   I
      nt[ActivateTrig[u]*(c*Tan[a + b*x])^(n - 1)*(B + A*Tan[a + b*x]), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, A, B, n}, x] && Kn
      ownTangentIntegrandQ[u, x]

4732. Int[(cot[(a_.) + (b_.)*(x_)]*(c_.))^(n_.)*(u_)*((A_) + (B_.)*tan[(a_.) + (b_.)*(x_)]), x_Symbol] :> Simp[c   I
      nt[ActivateTrig[u]*(c*Cot[a + b*x])^(n - 1)*(B + A*Cot[a + b*x]), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, A, B, n}, x] && Kn
      ownCotangentIntegrandQ[u, x]

4733. Int[(cot[(a_.) + (b_.)*(x_)]*(B_.) + (A_))*(u_), x_Symbol] :> Int[ActivateTrig[u]*((B + A*Tan[a + b*x])/Tan[a
      + b*x]), x] /; FreeQ[{a, b, A, B}, x] && KnownTangentIntegrandQ[u, x]

4734. Int[(u_)*((A_) + (B_.)*tan[(a_.) + (b_.)*(x_)]), x_Symbol] :> Int[ActivateTrig[u]*((B + A*Cot[a + b*x])/Cot[a
      + b*x]), x] /; FreeQ[{a, b, A, B}, x] && KnownCotangentIntegrandQ[u, x]

4735. Int[((A_.) + cot[(a_.) + (b_.)*(x_)]*(B_.) + cot[(a_.) + (b_.)*(x_)]^2*(C_.))*(u_.)*((c_.)*tan[(a_.) + (b_.)*(
      x_)])^(n_.), x_Symbol] :> Simp[c^2   Int[ActivateTrig[u]*(c*Tan[a + b*x])^(n - 2)*(C + B*Tan[a + b*x] + A*Tan[
      a + b*x]^2), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, A, B, C, n}, x] && KnownTangentIntegrandQ[u, x]

4736. Int[(cot[(a_.) + (b_.)*(x_)]*(c_.))^(n_.)*(u_.)*((A_.) + (B_.)*tan[(a_.) + (b_.)*(x_)] + (C_.)*tan[(a_.) + (b_
      .)*(x_)]^2), x_Symbol] :> Simp[c^2   Int[ActivateTrig[u]*(c*Cot[a + b*x])^(n - 2)*(C + B*Cot[a + b*x] + A*Cot[
      a + b*x]^2), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, A, B, C, n}, x] && KnownCotangentIntegrandQ[u, x]

4737. Int[(u_.)*(cot[(a_.) + (b_.)*(x_)]^2*(C_.) + (A_))*((c_.)*tan[(a_.) + (b_.)*(x_)])^(n_.), x_Symbol] :> Simp[c^
      2   Int[ActivateTrig[u]*(c*Tan[a + b*x])^(n - 2)*(C + A*Tan[a + b*x]^2), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, A, C, n}, x
      ] && KnownTangentIntegrandQ[u, x]

4738. Int[(cot[(a_.) + (b_.)*(x_)]*(c_.))^(n_.)*(u_.)*((A_) + (C_.)*tan[(a_.) + (b_.)*(x_)]^2), x_Symbol] :> Simp[c^
      2   Int[ActivateTrig[u]*(c*Cot[a + b*x])^(n - 2)*(C + A*Cot[a + b*x]^2), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, A, C, n}, x
      ] && KnownCotangentIntegrandQ[u, x]

4739. Int[((A_.) + cot[(a_.) + (b_.)*(x_)]*(B_.) + cot[(a_.) + (b_.)*(x_)]^2*(C_.))*(u_), x_Symbol] :> Int[ActivateT
      rig[u]*((C + B*Tan[a + b*x] + A*Tan[a + b*x]^2)/Tan[a + b*x]^2), x] /; FreeQ[{a, b, A, B, C}, x] && KnownTange
      ntIntegrandQ[u, x]

4740. Int[(u_)*((A_.) + (B_.)*tan[(a_.) + (b_.)*(x_)] + (C_.)*tan[(a_.) + (b_.)*(x_)]^2), x_Symbol] :> Int[ActivateT
      rig[u]*((C + B*Cot[a + b*x] + A*Cot[a + b*x]^2)/Cot[a + b*x]^2), x] /; FreeQ[{a, b, A, B, C}, x] && KnownCotan
      gentIntegrandQ[u, x]

4741. Int[(cot[(a_.) + (b_.)*(x_)]^2*(C_.) + (A_))*(u_), x_Symbol] :> Int[ActivateTrig[u]*((C + A*Tan[a + b*x]^2)/Ta
      n[a + b*x]^2), x] /; FreeQ[{a, b, A, C}, x] && KnownTangentIntegrandQ[u, x]

4742. Int[(u_)*((A_) + (C_.)*tan[(a_.) + (b_.)*(x_)]^2), x_Symbol] :> Int[ActivateTrig[u]*((C + A*Cot[a + b*x]^2)/Co
      t[a + b*x]^2), x] /; FreeQ[{a, b, A, C}, x] && KnownCotangentIntegrandQ[u, x]

4743. Int[(u_)*((A_.) + cot[(a_.) + (b_.)*(x_)]*(C_.) + (B_.)*tan[(a_.) + (b_.)*(x_)]), x_Symbol] :> Int[ActivateTri
      g[u]*((C + A*Tan[a + b*x] + B*Tan[a + b*x]^2)/Tan[a + b*x]), x] /; FreeQ[{a, b, A, B, C}, x]

4744. Int[(u_)*((A_.)*tan[(a_.) + (b_.)*(x_)]^(n_.) + (B_.)*tan[(a_.) + (b_.)*(x_)]^(n1_) + (C_.)*tan[(a_.) + (b_.)*
      (x_)]^(n2_)), x_Symbol] :> Int[ActivateTrig[u]*Tan[a + b*x]^n*(A + B*Tan[a + b*x] + C*Tan[a + b*x]^2), x] /; F
      reeQ[{a, b, A, B, C, n}, x] && EqQ[n1, n + 1] && EqQ[n2, n + 2]

4745. Int[(cot[(a_.) + (b_.)*(x_)]^(n_.)*(A_.) + cot[(a_.) + (b_.)*(x_)]^(n1_)*(B_.) + cot[(a_.) + (b_.)*(x_)]^(n2_)
      *(C_.))*(u_), x_Symbol] :> Int[ActivateTrig[u]*Cot[a + b*x]^n*(A + B*Cot[a + b*x] + C*Cot[a + b*x]^2), x] /; F
      reeQ[{a, b, A, B, C, n}, x] && EqQ[n1, n + 1] && EqQ[n2, n + 2]

4746. Int[(csc[(a_.) + (b_.)*(x_)]*(d_.))^(n_.)*(u_)*((c_.)*sin[(a_.) + (b_.)*(x_)])^(m_.), x_Symbol] :> Simp[(c*Sin
      [a + b*x])^m*(d*Csc[a + b*x])^m   Int[ActivateTrig[u]*(d*Csc[a + b*x])^(n - m), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, m
      , n}, x] && KnownSecantIntegrandQ[u, x]

4747. Int[(cos[(a_.) + (b_.)*(x_)]*(c_.))^(m_.)*(u_)*((d_.)*sec[(a_.) + (b_.)*(x_)])^(n_.), x_Symbol] :> Simp[(c*Cos
      [a + b*x])^m*(d*Sec[a + b*x])^m   Int[ActivateTrig[u]*(d*Sec[a + b*x])^(n - m), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, m
      , n}, x] && KnownSecantIntegrandQ[u, x]

4748. Int[(u_)*((d_.)*sec[(a_.) + (b_.)*(x_)])^(n_.)*((c_.)*tan[(a_.) + (b_.)*(x_)])^(m_.), x_Symbol] :> Simp[(c*Tan
      [a + b*x])^m*((d*Csc[a + b*x])^m/(d*Sec[a + b*x])^m)   Int[ActivateTrig[u]*((d*Sec[a + b*x])^(m + n)/(d*Csc[a
      + b*x])^m), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, m, n}, x] && KnownSecantIntegrandQ[u, x] &&  !IntegerQ[m]

4749. Int[(csc[(a_.) + (b_.)*(x_)]*(d_.))^(n_.)*(u_)*((c_.)*tan[(a_.) + (b_.)*(x_)])^(m_.), x_Symbol] :> Simp[(c*Tan
      [a + b*x])^m*((d*Csc[a + b*x])^m/(d*Sec[a + b*x])^m)   Int[ActivateTrig[u]*((d*Sec[a + b*x])^m/(d*Csc[a + b*x]
      )^(m - n)), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, m, n}, x] && KnownSecantIntegrandQ[u, x] &&  !IntegerQ[m]

4750. Int[(cot[(a_.) + (b_.)*(x_)]*(c_.))^(m_.)*(u_)*((d_.)*sec[(a_.) + (b_.)*(x_)])^(n_.), x_Symbol] :> Simp[(c*Cot
      [a + b*x])^m*((d*Sec[a + b*x])^m/(d*Csc[a + b*x])^m)   Int[ActivateTrig[u]*((d*Csc[a + b*x])^m/(d*Sec[a + b*x]
      )^(m - n)), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, m, n}, x] && KnownSecantIntegrandQ[u, x] &&  !IntegerQ[m]

4751. Int[(cot[(a_.) + (b_.)*(x_)]*(c_.))^(m_.)*(csc[(a_.) + (b_.)*(x_)]*(d_.))^(n_.)*(u_), x_Symbol] :> Simp[(c*Cot
      [a + b*x])^m*((d*Sec[a + b*x])^m/(d*Csc[a + b*x])^m)   Int[ActivateTrig[u]*((d*Csc[a + b*x])^(m + n)/(d*Sec[a
      + b*x])^m), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, m, n}, x] && KnownSecantIntegrandQ[u, x] &&  !IntegerQ[m]

4752. Int[(u_)*((c_.)*sin[(a_.) + (b_.)*(x_)])^(m_.), x_Symbol] :> Simp[(c*Csc[a + b*x])^m*(c*Sin[a + b*x])^m   Int[
      ActivateTrig[u]/(c*Csc[a + b*x])^m, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, m}, x] &&  !IntegerQ[m] && KnownSecantIntegrandQ
      [u, x]

4753. Int[(cos[(a_.) + (b_.)*(x_)]*(c_.))^(m_.)*(u_), x_Symbol] :> Simp[(c*Cos[a + b*x])^m*(c*Sec[a + b*x])^m   Int[
      ActivateTrig[u]/(c*Sec[a + b*x])^m, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, m}, x] &&  !IntegerQ[m] && KnownSecantIntegrandQ
      [u, x]

4754. Int[(u_)*((c_.)*tan[(a_.) + (b_.)*(x_)])^(m_.), x_Symbol] :> Simp[(c*Tan[a + b*x])^m*((c*Csc[a + b*x])^m/(c*Se
      c[a + b*x])^m)   Int[ActivateTrig[u]*((c*Sec[a + b*x])^m/(c*Csc[a + b*x])^m), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, m}, x]
      &&  !IntegerQ[m] && KnownSecantIntegrandQ[u, x]

4755. Int[(cot[(a_.) + (b_.)*(x_)]*(c_.))^(m_.)*(u_), x_Symbol] :> Simp[(c*Cot[a + b*x])^m*((c*Sec[a + b*x])^m/(c*Cs
      c[a + b*x])^m)   Int[ActivateTrig[u]*((c*Csc[a + b*x])^m/(c*Sec[a + b*x])^m), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, m}, x]
      &&  !IntegerQ[m] && KnownSecantIntegrandQ[u, x]

4756. Int[(cos[(a_.) + (b_.)*(x_)]*(B_.) + (A_))*(u_)*((c_.)*sec[(a_.) + (b_.)*(x_)])^(n_.), x_Symbol] :> Simp[c   I
      nt[ActivateTrig[u]*(c*Sec[a + b*x])^(n - 1)*(B + A*Sec[a + b*x]), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, A, B, n}, x] && Kn
      ownSecantIntegrandQ[u, x]

4757. Int[(csc[(a_.) + (b_.)*(x_)]*(c_.))^(n_.)*(u_)*((A_) + (B_.)*sin[(a_.) + (b_.)*(x_)]), x_Symbol] :> Simp[c   I
      nt[ActivateTrig[u]*(c*Csc[a + b*x])^(n - 1)*(B + A*Csc[a + b*x]), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, A, B, n}, x] && Kn
      ownSecantIntegrandQ[u, x]

4758. Int[(cos[(a_.) + (b_.)*(x_)]*(B_.) + (A_))*(u_), x_Symbol] :> Int[ActivateTrig[u]*((B + A*Sec[a + b*x])/Sec[a
      + b*x]), x] /; FreeQ[{a, b, A, B}, x] && KnownSecantIntegrandQ[u, x]

4759. Int[(u_)*((A_) + (B_.)*sin[(a_.) + (b_.)*(x_)]), x_Symbol] :> Int[ActivateTrig[u]*((B + A*Csc[a + b*x])/Csc[a
      + b*x]), x] /; FreeQ[{a, b, A, B}, x] && KnownSecantIntegrandQ[u, x]

4760. Int[((A_.) + cos[(a_.) + (b_.)*(x_)]*(B_.) + cos[(a_.) + (b_.)*(x_)]^2*(C_.))*(u_.)*((c_.)*sec[(a_.) + (b_.)*(
      x_)])^(n_.), x_Symbol] :> Simp[c^2   Int[ActivateTrig[u]*(c*Sec[a + b*x])^(n - 2)*(C + B*Sec[a + b*x] + A*Sec[
      a + b*x]^2), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, A, B, C, n}, x] && KnownSecantIntegrandQ[u, x]

4761. Int[(csc[(a_.) + (b_.)*(x_)]*(c_.))^(n_.)*(u_.)*((A_.) + (B_.)*sin[(a_.) + (b_.)*(x_)] + (C_.)*sin[(a_.) + (b_
      .)*(x_)]^2), x_Symbol] :> Simp[c^2   Int[ActivateTrig[u]*(c*Csc[a + b*x])^(n - 2)*(C + B*Csc[a + b*x] + A*Csc[
      a + b*x]^2), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, A, B, C, n}, x] && KnownSecantIntegrandQ[u, x]

4762. Int[(u_.)*(cos[(a_.) + (b_.)*(x_)]^2*(C_.) + (A_))*((c_.)*sec[(a_.) + (b_.)*(x_)])^(n_.), x_Symbol] :> Simp[c^
      2   Int[ActivateTrig[u]*(c*Sec[a + b*x])^(n - 2)*(C + A*Sec[a + b*x]^2), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, A, C, n}, x
      ] && KnownSecantIntegrandQ[u, x]

4763. Int[(csc[(a_.) + (b_.)*(x_)]*(c_.))^(n_.)*(u_.)*((A_) + (C_.)*sin[(a_.) + (b_.)*(x_)]^2), x_Symbol] :> Simp[c^
      2   Int[ActivateTrig[u]*(c*Csc[a + b*x])^(n - 2)*(C + A*Csc[a + b*x]^2), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, A, C, n}, x
      ] && KnownSecantIntegrandQ[u, x]

4764. Int[((A_.) + cos[(a_.) + (b_.)*(x_)]*(B_.) + cos[(a_.) + (b_.)*(x_)]^2*(C_.))*(u_), x_Symbol] :> Int[ActivateT
      rig[u]*((C + B*Sec[a + b*x] + A*Sec[a + b*x]^2)/Sec[a + b*x]^2), x] /; FreeQ[{a, b, A, B, C}, x] && KnownSecan
      tIntegrandQ[u, x]

4765. Int[(u_)*((A_.) + (B_.)*sin[(a_.) + (b_.)*(x_)] + (C_.)*sin[(a_.) + (b_.)*(x_)]^2), x_Symbol] :> Int[ActivateT
      rig[u]*((C + B*Csc[a + b*x] + A*Csc[a + b*x]^2)/Csc[a + b*x]^2), x] /; FreeQ[{a, b, A, B, C}, x] && KnownSecan
      tIntegrandQ[u, x]

4766. Int[(cos[(a_.) + (b_.)*(x_)]^2*(C_.) + (A_))*(u_), x_Symbol] :> Int[ActivateTrig[u]*((C + A*Sec[a + b*x]^2)/Se
      c[a + b*x]^2), x] /; FreeQ[{a, b, A, C}, x] && KnownSecantIntegrandQ[u, x]

4767. Int[(u_)*((A_) + (C_.)*sin[(a_.) + (b_.)*(x_)]^2), x_Symbol] :> Int[ActivateTrig[u]*((C + A*Csc[a + b*x]^2)/Cs
      c[a + b*x]^2), x] /; FreeQ[{a, b, A, C}, x] && KnownSecantIntegrandQ[u, x]

4768. Int[(u_)*((A_.)*sec[(a_.) + (b_.)*(x_)]^(n_.) + (B_.)*sec[(a_.) + (b_.)*(x_)]^(n1_) + (C_.)*sec[(a_.) + (b_.)*
      (x_)]^(n2_)), x_Symbol] :> Int[ActivateTrig[u]*Sec[a + b*x]^n*(A + B*Sec[a + b*x] + C*Sec[a + b*x]^2), x] /; F
      reeQ[{a, b, A, B, C, n}, x] && EqQ[n1, n + 1] && EqQ[n2, n + 2]

4769. Int[(csc[(a_.) + (b_.)*(x_)]^(n_.)*(A_.) + csc[(a_.) + (b_.)*(x_)]^(n1_)*(B_.) + csc[(a_.) + (b_.)*(x_)]^(n2_)
      *(C_.))*(u_), x_Symbol] :> Int[ActivateTrig[u]*Csc[a + b*x]^n*(A + B*Csc[a + b*x] + C*Csc[a + b*x]^2), x] /; F
      reeQ[{a, b, A, B, C, n}, x] && EqQ[n1, n + 1] && EqQ[n2, n + 2]

4770. Int[sin[(a_.) + (b_.)*(x_)]*sin[(c_.) + (d_.)*(x_)], x_Symbol] :> Simp[Sin[a - c + (b - d)*x]/(2*(b - d)), x]
      - Simp[Sin[a + c + (b + d)*x]/(2*(b + d)), x] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && NeQ[b^2 - d^2, 0]

4771. Int[cos[(a_.) + (b_.)*(x_)]*cos[(c_.) + (d_.)*(x_)], x_Symbol] :> Simp[Sin[a - c + (b - d)*x]/(2*(b - d)), x]
      + Simp[Sin[a + c + (b + d)*x]/(2*(b + d)), x] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && NeQ[b^2 - d^2, 0]

4772. Int[cos[(c_.) + (d_.)*(x_)]*sin[(a_.) + (b_.)*(x_)], x_Symbol] :> Simp[-Cos[a - c + (b - d)*x]/(2*(b - d)), x]
      - Simp[Cos[a + c + (b + d)*x]/(2*(b + d)), x] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && NeQ[b^2 - d^2, 0]

4773. Int[cos[(a_.) + (b_.)*(x_)]^2*((g_.)*sin[(c_.) + (d_.)*(x_)])^(p_), x_Symbol] :> Simp[1/2   Int[(g*Sin[c + d*x
      ])^p, x], x] + Simp[1/2   Int[Cos[c + d*x]*(g*Sin[c + d*x])^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, g}, x] && EqQ[b*c
      - a*d, 0] && EqQ[d/b, 2] && IGtQ[p/2, 0]

4774. Int[sin[(a_.) + (b_.)*(x_)]^2*((g_.)*sin[(c_.) + (d_.)*(x_)])^(p_), x_Symbol] :> Simp[1/2   Int[(g*Sin[c + d*x
      ])^p, x], x] - Simp[1/2   Int[Cos[c + d*x]*(g*Sin[c + d*x])^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, g}, x] && EqQ[b*c
      - a*d, 0] && EqQ[d/b, 2] && IGtQ[p/2, 0]

4775. Int[(cos[(a_.) + (b_.)*(x_)]*(e_.))^(m_.)*sin[(c_.) + (d_.)*(x_)]^(p_.), x_Symbol] :> Simp[2^p/e^p   Int[(e*Co
      s[a + b*x])^(m + p)*Sin[a + b*x]^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, m}, x] && EqQ[b*c - a*d, 0] && EqQ[d/b, 2]
      && IntegerQ[p]

4776. Int[((f_.)*sin[(a_.) + (b_.)*(x_)])^(n_.)*sin[(c_.) + (d_.)*(x_)]^(p_.), x_Symbol] :> Simp[2^p/f^p   Int[Cos[a
      + b*x]^p*(f*Sin[a + b*x])^(n + p), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, f, n}, x] && EqQ[b*c - a*d, 0] && EqQ[d/b, 2]
      && IntegerQ[p]

4777. Int[(cos[(a_.) + (b_.)*(x_)]*(e_.))^(m_)*((g_.)*sin[(c_.) + (d_.)*(x_)])^(p_), x_Symbol] :> Simp[e^2*(e*Cos[a
      + b*x])^(m - 2)*((g*Sin[c + d*x])^(p + 1)/(2*b*g*(p + 1))), x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, g, m, p}, x] && EqQ[b*
      c - a*d, 0] && EqQ[d/b, 2] &&  !IntegerQ[p] && EqQ[m + p - 1, 0]

4778. Int[((e_.)*sin[(a_.) + (b_.)*(x_)])^(m_)*((g_.)*sin[(c_.) + (d_.)*(x_)])^(p_), x_Symbol] :> Simp[(-e^2)*(e*Sin
      [a + b*x])^(m - 2)*((g*Sin[c + d*x])^(p + 1)/(2*b*g*(p + 1))), x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, g, m, p}, x] && EqQ
      [b*c - a*d, 0] && EqQ[d/b, 2] &&  !IntegerQ[p] && EqQ[m + p - 1, 0]

4779. Int[(cos[(a_.) + (b_.)*(x_)]*(e_.))^(m_.)*((g_.)*sin[(c_.) + (d_.)*(x_)])^(p_), x_Symbol] :> Simp[(-(e*Cos[a +
      b*x])^m)*((g*Sin[c + d*x])^(p + 1)/(b*g*m)), x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, g, m, p}, x] && EqQ[b*c - a*d, 0] &&
      EqQ[d/b, 2] &&  !IntegerQ[p] && EqQ[m + 2*p + 2, 0]

4780. Int[((e_.)*sin[(a_.) + (b_.)*(x_)])^(m_.)*((g_.)*sin[(c_.) + (d_.)*(x_)])^(p_), x_Symbol] :> Simp[(e*Sin[a + b
      *x])^m*((g*Sin[c + d*x])^(p + 1)/(b*g*m)), x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, g, m, p}, x] && EqQ[b*c - a*d, 0] && Eq
      Q[d/b, 2] &&  !IntegerQ[p] && EqQ[m + 2*p + 2, 0]

4781. Int[(cos[(a_.) + (b_.)*(x_)]*(e_.))^(m_)*((g_.)*sin[(c_.) + (d_.)*(x_)])^(p_), x_Symbol] :> Simp[e^2*(e*Cos[a
      + b*x])^(m - 2)*((g*Sin[c + d*x])^(p + 1)/(2*b*g*(p + 1))), x] + Simp[e^4*((m + p - 1)/(4*g^2*(p + 1)))   Int[
      (e*Cos[a + b*x])^(m - 4)*(g*Sin[c + d*x])^(p + 2), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, g}, x] && EqQ[b*c - a*d, 0]
      && EqQ[d/b, 2] &&  !IntegerQ[p] && GtQ[m, 2] && LtQ[p, -1] && (GtQ[m, 3] || EqQ[p, -3/2]) && IntegersQ[2*m, 2
      *p]

4782. Int[((e_.)*sin[(a_.) + (b_.)*(x_)])^(m_)*((g_.)*sin[(c_.) + (d_.)*(x_)])^(p_), x_Symbol] :> Simp[(-e^2)*(e*Sin
      [a + b*x])^(m - 2)*((g*Sin[c + d*x])^(p + 1)/(2*b*g*(p + 1))), x] + Simp[e^4*((m + p - 1)/(4*g^2*(p + 1)))   I
      nt[(e*Sin[a + b*x])^(m - 4)*(g*Sin[c + d*x])^(p + 2), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, g}, x] && EqQ[b*c - a*d,
      0] && EqQ[d/b, 2] &&  !IntegerQ[p] && GtQ[m, 2] && LtQ[p, -1] && (GtQ[m, 3] || EqQ[p, -3/2]) && IntegersQ[2*m
      , 2*p]

4783. Int[(cos[(a_.) + (b_.)*(x_)]*(e_.))^(m_)*((g_.)*sin[(c_.) + (d_.)*(x_)])^(p_), x_Symbol] :> Simp[(e*Cos[a + b*
      x])^m*((g*Sin[c + d*x])^(p + 1)/(2*b*g*(p + 1))), x] + Simp[e^2*((m + 2*p + 2)/(4*g^2*(p + 1)))   Int[(e*Cos[a
      + b*x])^(m - 2)*(g*Sin[c + d*x])^(p + 2), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, g}, x] && EqQ[b*c - a*d, 0] && EqQ[
      d/b, 2] &&  !IntegerQ[p] && GtQ[m, 1] && LtQ[p, -1] && NeQ[m + 2*p + 2, 0] && (LtQ[p, -2] || EqQ[m, 2]) && Int
      egersQ[2*m, 2*p]

4784. Int[((e_.)*sin[(a_.) + (b_.)*(x_)])^(m_)*((g_.)*sin[(c_.) + (d_.)*(x_)])^(p_), x_Symbol] :> Simp[(-(e*Sin[a +
      b*x])^m)*((g*Sin[c + d*x])^(p + 1)/(2*b*g*(p + 1))), x] + Simp[e^2*((m + 2*p + 2)/(4*g^2*(p + 1)))   Int[(e*Si
      n[a + b*x])^(m - 2)*(g*Sin[c + d*x])^(p + 2), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, g}, x] && EqQ[b*c - a*d, 0] && E
      qQ[d/b, 2] &&  !IntegerQ[p] && GtQ[m, 1] && LtQ[p, -1] && NeQ[m + 2*p + 2, 0] && (LtQ[p, -2] || EqQ[m, 2]) &&
      IntegersQ[2*m, 2*p]

4785. Int[(cos[(a_.) + (b_.)*(x_)]*(e_.))^(m_)*((g_.)*sin[(c_.) + (d_.)*(x_)])^(p_), x_Symbol] :> Simp[e^2*(e*Cos[a
      + b*x])^(m - 2)*((g*Sin[c + d*x])^(p + 1)/(2*b*g*(m + 2*p))), x] + Simp[e^2*((m + p - 1)/(m + 2*p))   Int[(e*C
      os[a + b*x])^(m - 2)*(g*Sin[c + d*x])^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, g, p}, x] && EqQ[b*c - a*d, 0] && EqQ
      [d/b, 2] &&  !IntegerQ[p] && GtQ[m, 1] && NeQ[m + 2*p, 0] && IntegersQ[2*m, 2*p]

4786. Int[((e_.)*sin[(a_.) + (b_.)*(x_)])^(m_)*((g_.)*sin[(c_.) + (d_.)*(x_)])^(p_), x_Symbol] :> Simp[(-e^2)*(e*Sin
      [a + b*x])^(m - 2)*((g*Sin[c + d*x])^(p + 1)/(2*b*g*(m + 2*p))), x] + Simp[e^2*((m + p - 1)/(m + 2*p))   Int[(
      e*Sin[a + b*x])^(m - 2)*(g*Sin[c + d*x])^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, g, p}, x] && EqQ[b*c - a*d, 0] &&
      EqQ[d/b, 2] &&  !IntegerQ[p] && GtQ[m, 1] && NeQ[m + 2*p, 0] && IntegersQ[2*m, 2*p]

4787. Int[(cos[(a_.) + (b_.)*(x_)]*(e_.))^(m_)*((g_.)*sin[(c_.) + (d_.)*(x_)])^(p_), x_Symbol] :> Simp[(-(e*Cos[a +
      b*x])^m)*((g*Sin[c + d*x])^(p + 1)/(2*b*g*(m + p + 1))), x] + Simp[(m + 2*p + 2)/(e^2*(m + p + 1))   Int[(e*Co
      s[a + b*x])^(m + 2)*(g*Sin[c + d*x])^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, g, p}, x] && EqQ[b*c - a*d, 0] && EqQ[
      d/b, 2] &&  !IntegerQ[p] && LtQ[m, -1] && NeQ[m + 2*p + 2, 0] && NeQ[m + p + 1, 0] && IntegersQ[2*m, 2*p]

4788. Int[((e_.)*sin[(a_.) + (b_.)*(x_)])^(m_)*((g_.)*sin[(c_.) + (d_.)*(x_)])^(p_), x_Symbol] :> Simp[(e*Sin[a + b*
      x])^m*((g*Sin[c + d*x])^(p + 1)/(2*b*g*(m + p + 1))), x] + Simp[(m + 2*p + 2)/(e^2*(m + p + 1))   Int[(e*Sin[a
      + b*x])^(m + 2)*(g*Sin[c + d*x])^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, g, p}, x] && EqQ[b*c - a*d, 0] && EqQ[d/b
      , 2] &&  !IntegerQ[p] && LtQ[m, -1] && NeQ[m + 2*p + 2, 0] && NeQ[m + p + 1, 0] && IntegersQ[2*m, 2*p]

4789. Int[cos[(a_.) + (b_.)*(x_)]*((g_.)*sin[(c_.) + (d_.)*(x_)])^(p_), x_Symbol] :> Simp[2*Sin[a + b*x]*((g*Sin[c +
      d*x])^p/(d*(2*p + 1))), x] + Simp[2*p*(g/(2*p + 1))   Int[Sin[a + b*x]*(g*Sin[c + d*x])^(p - 1), x], x] /; Fr
      eeQ[{a, b, c, d, g}, x] && EqQ[b*c - a*d, 0] && EqQ[d/b, 2] &&  !IntegerQ[p] && GtQ[p, 0] && IntegerQ[2*p]

4790. Int[sin[(a_.) + (b_.)*(x_)]*((g_.)*sin[(c_.) + (d_.)*(x_)])^(p_), x_Symbol] :> Simp[-2*Cos[a + b*x]*((g*Sin[c
      + d*x])^p/(d*(2*p + 1))), x] + Simp[2*p*(g/(2*p + 1))   Int[Cos[a + b*x]*(g*Sin[c + d*x])^(p - 1), x], x] /; F
      reeQ[{a, b, c, d, g}, x] && EqQ[b*c - a*d, 0] && EqQ[d/b, 2] &&  !IntegerQ[p] && GtQ[p, 0] && IntegerQ[2*p]

4791. Int[cos[(a_.) + (b_.)*(x_)]*((g_.)*sin[(c_.) + (d_.)*(x_)])^(p_), x_Symbol] :> Simp[Cos[a + b*x]*((g*Sin[c + d
      *x])^(p + 1)/(2*b*g*(p + 1))), x] + Simp[(2*p + 3)/(2*g*(p + 1))   Int[Sin[a + b*x]*(g*Sin[c + d*x])^(p + 1),
      x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, g}, x] && EqQ[b*c - a*d, 0] && EqQ[d/b, 2] &&  !IntegerQ[p] && LtQ[p, -1] && Inte
      gerQ[2*p]

4792. Int[sin[(a_.) + (b_.)*(x_)]*((g_.)*sin[(c_.) + (d_.)*(x_)])^(p_), x_Symbol] :> Simp[(-Sin[a + b*x])*((g*Sin[c
      + d*x])^(p + 1)/(2*b*g*(p + 1))), x] + Simp[(2*p + 3)/(2*g*(p + 1))   Int[Cos[a + b*x]*(g*Sin[c + d*x])^(p + 1
      ), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, g}, x] && EqQ[b*c - a*d, 0] && EqQ[d/b, 2] &&  !IntegerQ[p] && LtQ[p, -1] && I
      ntegerQ[2*p]

4793. Int[cos[(a_.) + (b_.)*(x_)]/Sqrt[sin[(c_.) + (d_.)*(x_)]], x_Symbol] :> Simp[-ArcSin[Cos[a + b*x] - Sin[a + b*
      x]]/d, x] + Simp[Log[Cos[a + b*x] + Sin[a + b*x] + Sqrt[Sin[c + d*x]]]/d, x] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && EqQ[
      b*c - a*d, 0] && EqQ[d/b, 2]

4794. Int[sin[(a_.) + (b_.)*(x_)]/Sqrt[sin[(c_.) + (d_.)*(x_)]], x_Symbol] :> Simp[-ArcSin[Cos[a + b*x] - Sin[a + b*
      x]]/d, x] - Simp[Log[Cos[a + b*x] + Sin[a + b*x] + Sqrt[Sin[c + d*x]]]/d, x] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && EqQ[
      b*c - a*d, 0] && EqQ[d/b, 2]

4795. Int[((g_.)*sin[(c_.) + (d_.)*(x_)])^(p_)/cos[(a_.) + (b_.)*(x_)], x_Symbol] :> Simp[2*g   Int[Sin[a + b*x]*(g*
      Sin[c + d*x])^(p - 1), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, g, p}, x] && EqQ[b*c - a*d, 0] && EqQ[d/b, 2] &&  !Integer
      Q[p] && IntegerQ[2*p]

4796. Int[((g_.)*sin[(c_.) + (d_.)*(x_)])^(p_)/sin[(a_.) + (b_.)*(x_)], x_Symbol] :> Simp[2*g   Int[Cos[a + b*x]*(g*
      Sin[c + d*x])^(p - 1), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, g, p}, x] && EqQ[b*c - a*d, 0] && EqQ[d/b, 2] &&  !Integer
      Q[p] && IntegerQ[2*p]

4797. Int[(cos[(a_.) + (b_.)*(x_)]*(e_.))^(m_.)*((g_.)*sin[(c_.) + (d_.)*(x_)])^(p_), x_Symbol] :> Simp[(g*Sin[c + d
      *x])^p/((e*Cos[a + b*x])^p*Sin[a + b*x]^p)   Int[(e*Cos[a + b*x])^(m + p)*Sin[a + b*x]^p, x], x] /; FreeQ[{a,
      b, c, d, e, g, m, p}, x] && EqQ[b*c - a*d, 0] && EqQ[d/b, 2] &&  !IntegerQ[p]

4798. Int[((f_.)*sin[(a_.) + (b_.)*(x_)])^(n_.)*((g_.)*sin[(c_.) + (d_.)*(x_)])^(p_), x_Symbol] :> Simp[(g*Sin[c + d
      *x])^p/(Cos[a + b*x]^p*(f*Sin[a + b*x])^p)   Int[Cos[a + b*x]^p*(f*Sin[a + b*x])^(n + p), x], x] /; FreeQ[{a,
      b, c, d, f, g, n, p}, x] && EqQ[b*c - a*d, 0] && EqQ[d/b, 2] &&  !IntegerQ[p]

4799. Int[cos[(a_.) + (b_.)*(x_)]^2*sin[(a_.) + (b_.)*(x_)]^2*((g_.)*sin[(c_.) + (d_.)*(x_)])^(p_), x_Symbol] :> Sim
      p[1/4   Int[(g*Sin[c + d*x])^p, x], x] - Simp[1/4   Int[Cos[c + d*x]^2*(g*Sin[c + d*x])^p, x], x] /; FreeQ[{a,
      b, c, d, g}, x] && EqQ[b*c - a*d, 0] && EqQ[d/b, 2] && IGtQ[p/2, 0]

4800. Int[(cos[(a_.) + (b_.)*(x_)]*(e_.))^(m_.)*((f_.)*sin[(a_.) + (b_.)*(x_)])^(n_.)*sin[(c_.) + (d_.)*(x_)]^(p_.),
      x_Symbol] :> Simp[2^p/(e^p*f^p)   Int[(e*Cos[a + b*x])^(m + p)*(f*Sin[a + b*x])^(n + p), x], x] /; FreeQ[{a,
      b, c, d, e, f, m, n}, x] && EqQ[b*c - a*d, 0] && EqQ[d/b, 2] && IntegerQ[p]

4801. Int[(cos[(a_.) + (b_.)*(x_)]*(e_.))^(m_.)*((f_.)*sin[(a_.) + (b_.)*(x_)])^(n_.)*((g_.)*sin[(c_.) + (d_.)*(x_)]
      )^(p_), x_Symbol] :> Simp[e*(e*Cos[a + b*x])^(m - 1)*(f*Sin[a + b*x])^(n + 1)*((g*Sin[c + d*x])^p/(b*f*(n + p
      + 1))), x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, m, n, p}, x] && EqQ[b*c - a*d, 0] && EqQ[d/b, 2] &&  !IntegerQ[p] &&
      EqQ[m + p + 1, 0]

4802. Int[(cos[(a_.) + (b_.)*(x_)]*(f_.))^(n_)*((e_.)*sin[(a_.) + (b_.)*(x_)])^(m_)*((g_.)*sin[(c_.) + (d_.)*(x_)])^
      (p_), x_Symbol] :> Simp[(-e)*(e*Sin[a + b*x])^(m - 1)*(f*Cos[a + b*x])^(n + 1)*((g*Sin[c + d*x])^p/(b*f*(n + p
      + 1))), x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, m, n, p}, x] && EqQ[b*c - a*d, 0] && EqQ[d/b, 2] &&  !IntegerQ[p] &
      & EqQ[m + p + 1, 0]

4803. Int[(cos[(a_.) + (b_.)*(x_)]*(e_.))^(m_.)*((f_.)*sin[(a_.) + (b_.)*(x_)])^(n_.)*((g_.)*sin[(c_.) + (d_.)*(x_)]
      )^(p_), x_Symbol] :> Simp[(-(e*Cos[a + b*x])^(m + 1))*(f*Sin[a + b*x])^(n + 1)*((g*Sin[c + d*x])^p/(b*e*f*(m +
      p + 1))), x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, m, n, p}, x] && EqQ[b*c - a*d, 0] && EqQ[d/b, 2] &&  !IntegerQ[p]
      && EqQ[m + n + 2*p + 2, 0] && NeQ[m + p + 1, 0]

4804. Int[(cos[(a_.) + (b_.)*(x_)]*(e_.))^(m_)*((f_.)*sin[(a_.) + (b_.)*(x_)])^(n_)*((g_.)*sin[(c_.) + (d_.)*(x_)])^
      (p_), x_Symbol] :> Simp[e^2*(e*Cos[a + b*x])^(m - 2)*(f*Sin[a + b*x])^n*((g*Sin[c + d*x])^(p + 1)/(2*b*g*(n +
      p + 1))), x] + Simp[e^4*((m + p - 1)/(4*g^2*(n + p + 1)))   Int[(e*Cos[a + b*x])^(m - 4)*(f*Sin[a + b*x])^n*(g
      *Sin[c + d*x])^(p + 2), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, n}, x] && EqQ[b*c - a*d, 0] && EqQ[d/b, 2] &&  !
      IntegerQ[p] && GtQ[m, 3] && LtQ[p, -1] && NeQ[n + p + 1, 0] && IntegersQ[2*m, 2*n, 2*p]

4805. Int[(cos[(a_.) + (b_.)*(x_)]*(f_.))^(n_)*((e_.)*sin[(a_.) + (b_.)*(x_)])^(m_)*((g_.)*sin[(c_.) + (d_.)*(x_)])^
      (p_), x_Symbol] :> Simp[(-e^2)*(e*Sin[a + b*x])^(m - 2)*(f*Cos[a + b*x])^n*((g*Sin[c + d*x])^(p + 1)/(2*b*g*(n
      + p + 1))), x] + Simp[e^4*((m + p - 1)/(4*g^2*(n + p + 1)))   Int[(e*Sin[a + b*x])^(m - 4)*(f*Cos[a + b*x])^n
      *(g*Sin[c + d*x])^(p + 2), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, n}, x] && EqQ[b*c - a*d, 0] && EqQ[d/b, 2] &&
      !IntegerQ[p] && GtQ[m, 3] && LtQ[p, -1] && NeQ[n + p + 1, 0] && IntegersQ[2*m, 2*n, 2*p]

4806. Int[(cos[(a_.) + (b_.)*(x_)]*(e_.))^(m_)*((f_.)*sin[(a_.) + (b_.)*(x_)])^(n_.)*((g_.)*sin[(c_.) + (d_.)*(x_)])
      ^(p_), x_Symbol] :> Simp[(e*Cos[a + b*x])^m*(f*Sin[a + b*x])^n*((g*Sin[c + d*x])^(p + 1)/(2*b*g*(n + p + 1))),
      x] + Simp[e^2*((m + n + 2*p + 2)/(4*g^2*(n + p + 1)))   Int[(e*Cos[a + b*x])^(m - 2)*(f*Sin[a + b*x])^n*(g*Si
      n[c + d*x])^(p + 2), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, n}, x] && EqQ[b*c - a*d, 0] && EqQ[d/b, 2] &&  !Int
      egerQ[p] && GtQ[m, 1] && LtQ[p, -1] && NeQ[m + n + 2*p + 2, 0] && NeQ[n + p + 1, 0] && IntegersQ[2*m, 2*n, 2*p
      ] && (LtQ[p, -2] || EqQ[m, 2] || EqQ[m, 3])

4807. Int[(cos[(a_.) + (b_.)*(x_)]*(f_.))^(n_.)*((e_.)*sin[(a_.) + (b_.)*(x_)])^(m_)*((g_.)*sin[(c_.) + (d_.)*(x_)])
      ^(p_), x_Symbol] :> Simp[(-(e*Sin[a + b*x])^m)*(f*Cos[a + b*x])^n*((g*Sin[c + d*x])^(p + 1)/(2*b*g*(n + p + 1)
      )), x] + Simp[e^2*((m + n + 2*p + 2)/(4*g^2*(n + p + 1)))   Int[(e*Sin[a + b*x])^(m - 2)*(f*Cos[a + b*x])^n*(g
      *Sin[c + d*x])^(p + 2), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, n}, x] && EqQ[b*c - a*d, 0] && EqQ[d/b, 2] &&  !
      IntegerQ[p] && GtQ[m, 1] && LtQ[p, -1] && NeQ[m + n + 2*p + 2, 0] && NeQ[n + p + 1, 0] && IntegersQ[2*m, 2*n,
      2*p] && (LtQ[p, -2] || EqQ[m, 2] || EqQ[m, 3])

4808. Int[(cos[(a_.) + (b_.)*(x_)]*(e_.))^(m_)*((f_.)*sin[(a_.) + (b_.)*(x_)])^(n_)*((g_.)*sin[(c_.) + (d_.)*(x_)])^
      (p_), x_Symbol] :> Simp[e*(e*Cos[a + b*x])^(m - 1)*(f*Sin[a + b*x])^(n + 1)*((g*Sin[c + d*x])^p/(b*f*(n + p +
      1))), x] + Simp[e^2*((m + p - 1)/(f^2*(n + p + 1)))   Int[(e*Cos[a + b*x])^(m - 2)*(f*Sin[a + b*x])^(n + 2)*(g
      *Sin[c + d*x])^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, p}, x] && EqQ[b*c - a*d, 0] && EqQ[d/b, 2] &&  !Intege
      rQ[p] && GtQ[m, 1] && LtQ[n, -1] && NeQ[n + p + 1, 0] && IntegersQ[2*m, 2*n, 2*p]

4809. Int[(cos[(a_.) + (b_.)*(x_)]*(f_.))^(n_)*((e_.)*sin[(a_.) + (b_.)*(x_)])^(m_)*((g_.)*sin[(c_.) + (d_.)*(x_)])^
      (p_), x_Symbol] :> Simp[(-e)*(e*Sin[a + b*x])^(m - 1)*(f*Cos[a + b*x])^(n + 1)*((g*Sin[c + d*x])^p/(b*f*(n + p
      + 1))), x] + Simp[e^2*((m + p - 1)/(f^2*(n + p + 1)))   Int[(e*Sin[a + b*x])^(m - 2)*(f*Cos[a + b*x])^(n + 2)
      *(g*Sin[c + d*x])^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, p}, x] && EqQ[b*c - a*d, 0] && EqQ[d/b, 2] &&  !Int
      egerQ[p] && GtQ[m, 1] && LtQ[n, -1] && NeQ[n + p + 1, 0] && IntegersQ[2*m, 2*n, 2*p]

4810. Int[(cos[(a_.) + (b_.)*(x_)]*(e_.))^(m_)*((f_.)*sin[(a_.) + (b_.)*(x_)])^(n_.)*((g_.)*sin[(c_.) + (d_.)*(x_)])
      ^(p_), x_Symbol] :> Simp[e*(e*Cos[a + b*x])^(m - 1)*(f*Sin[a + b*x])^(n + 1)*((g*Sin[c + d*x])^p/(b*f*(m + n +
      2*p))), x] + Simp[e^2*((m + p - 1)/(m + n + 2*p))   Int[(e*Cos[a + b*x])^(m - 2)*(f*Sin[a + b*x])^n*(g*Sin[c
      + d*x])^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, n, p}, x] && EqQ[b*c - a*d, 0] && EqQ[d/b, 2] &&  !IntegerQ[p
      ] && GtQ[m, 1] && NeQ[m + n + 2*p, 0] && IntegersQ[2*m, 2*n, 2*p]

4811. Int[(cos[(a_.) + (b_.)*(x_)]*(f_.))^(n_.)*((e_.)*sin[(a_.) + (b_.)*(x_)])^(m_)*((g_.)*sin[(c_.) + (d_.)*(x_)])
      ^(p_), x_Symbol] :> Simp[(-e)*(e*Sin[a + b*x])^(m - 1)*(f*Cos[a + b*x])^(n + 1)*((g*Sin[c + d*x])^p/(b*f*(m +
      n + 2*p))), x] + Simp[e^2*((m + p - 1)/(m + n + 2*p))   Int[(e*Sin[a + b*x])^(m - 2)*(f*Cos[a + b*x])^n*(g*Sin
      [c + d*x])^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, n, p}, x] && EqQ[b*c - a*d, 0] && EqQ[d/b, 2] &&  !Integer
      Q[p] && GtQ[m, 1] && NeQ[m + n + 2*p, 0] && IntegersQ[2*m, 2*n, 2*p]

4812. Int[(cos[(a_.) + (b_.)*(x_)]*(e_.))^(m_)*((f_.)*sin[(a_.) + (b_.)*(x_)])^(n_.)*((g_.)*sin[(c_.) + (d_.)*(x_)])
      ^(p_), x_Symbol] :> Simp[(-f)*(e*Cos[a + b*x])^(m + 1)*(f*Sin[a + b*x])^(n - 1)*((g*Sin[c + d*x])^p/(b*e*(m +
      n + 2*p))), x] + Simp[2*f*g*((n + p - 1)/(e*(m + n + 2*p)))   Int[(e*Cos[a + b*x])^(m + 1)*(f*Sin[a + b*x])^(n
      - 1)*(g*Sin[c + d*x])^(p - 1), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g}, x] && EqQ[b*c - a*d, 0] && EqQ[d/b, 2]
      &&  !IntegerQ[p] && LtQ[m, -1] && GtQ[n, 0] && GtQ[p, 0] && NeQ[m + n + 2*p, 0] && IntegersQ[2*m, 2*n, 2*p]

4813. Int[(cos[(a_.) + (b_.)*(x_)]*(f_.))^(n_.)*((e_.)*sin[(a_.) + (b_.)*(x_)])^(m_)*((g_.)*sin[(c_.) + (d_.)*(x_)])
      ^(p_), x_Symbol] :> Simp[f*(e*Sin[a + b*x])^(m + 1)*(f*Cos[a + b*x])^(n - 1)*((g*Sin[c + d*x])^p/(b*e*(m + n +
      2*p))), x] + Simp[2*f*g*((n + p - 1)/(e*(m + n + 2*p)))   Int[(e*Sin[a + b*x])^(m + 1)*(f*Cos[a + b*x])^(n -
      1)*(g*Sin[c + d*x])^(p - 1), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g}, x] && EqQ[b*c - a*d, 0] && EqQ[d/b, 2] &&
      !IntegerQ[p] && LtQ[m, -1] && GtQ[n, 0] && GtQ[p, 0] && NeQ[m + n + 2*p, 0] && IntegersQ[2*m, 2*n, 2*p]

4814. Int[(cos[(a_.) + (b_.)*(x_)]*(e_.))^(m_)*((f_.)*sin[(a_.) + (b_.)*(x_)])^(n_.)*((g_.)*sin[(c_.) + (d_.)*(x_)])
      ^(p_), x_Symbol] :> Simp[(-(e*Cos[a + b*x])^(m + 1))*(f*Sin[a + b*x])^(n + 1)*((g*Sin[c + d*x])^p/(b*e*f*(m +
      p + 1))), x] + Simp[f*((m + n + 2*p + 2)/(2*e*g*(m + p + 1)))   Int[(e*Cos[a + b*x])^(m + 1)*(f*Sin[a + b*x])^
      (n - 1)*(g*Sin[c + d*x])^(p + 1), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g}, x] && EqQ[b*c - a*d, 0] && EqQ[d/b, 2
      ] &&  !IntegerQ[p] && LtQ[m, -1] && GtQ[n, 0] && LtQ[p, -1] && NeQ[m + n + 2*p + 2, 0] && NeQ[m + p + 1, 0] &&
      IntegersQ[2*m, 2*n, 2*p]

4815. Int[(cos[(a_.) + (b_.)*(x_)]*(f_.))^(n_.)*((e_.)*sin[(a_.) + (b_.)*(x_)])^(m_)*((g_.)*sin[(c_.) + (d_.)*(x_)])
      ^(p_), x_Symbol] :> Simp[(e*Sin[a + b*x])^(m + 1)*(f*Cos[a + b*x])^(n + 1)*((g*Sin[c + d*x])^p/(b*e*f*(m + p +
      1))), x] + Simp[f*((m + n + 2*p + 2)/(2*e*g*(m + p + 1)))   Int[(e*Sin[a + b*x])^(m + 1)*(f*Cos[a + b*x])^(n
      - 1)*(g*Sin[c + d*x])^(p + 1), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g}, x] && EqQ[b*c - a*d, 0] && EqQ[d/b, 2] &
      &  !IntegerQ[p] && LtQ[m, -1] && GtQ[n, 0] && LtQ[p, -1] && NeQ[m + n + 2*p + 2, 0] && NeQ[m + p + 1, 0] && In
      tegersQ[2*m, 2*n, 2*p]

4816. Int[(cos[(a_.) + (b_.)*(x_)]*(e_.))^(m_)*((f_.)*sin[(a_.) + (b_.)*(x_)])^(n_.)*((g_.)*sin[(c_.) + (d_.)*(x_)])
      ^(p_), x_Symbol] :> Simp[(-(e*Cos[a + b*x])^(m + 1))*(f*Sin[a + b*x])^(n + 1)*((g*Sin[c + d*x])^p/(b*e*f*(m +
      p + 1))), x] + Simp[(m + n + 2*p + 2)/(e^2*(m + p + 1))   Int[(e*Cos[a + b*x])^(m + 2)*(f*Sin[a + b*x])^n*(g*S
      in[c + d*x])^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, n, p}, x] && EqQ[b*c - a*d, 0] && EqQ[d/b, 2] &&  !Integ
      erQ[p] && LtQ[m, -1] && NeQ[m + n + 2*p + 2, 0] && NeQ[m + p + 1, 0] && IntegersQ[2*m, 2*n, 2*p]

4817. Int[(cos[(a_.) + (b_.)*(x_)]*(f_.))^(n_.)*((e_.)*sin[(a_.) + (b_.)*(x_)])^(m_)*((g_.)*sin[(c_.) + (d_.)*(x_)])
      ^(p_), x_Symbol] :> Simp[(e*Sin[a + b*x])^(m + 1)*(f*Cos[a + b*x])^(n + 1)*((g*Sin[c + d*x])^p/(b*e*f*(m + p +
      1))), x] + Simp[(m + n + 2*p + 2)/(e^2*(m + p + 1))   Int[(e*Sin[a + b*x])^(m + 2)*(f*Cos[a + b*x])^n*(g*Sin[
      c + d*x])^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, n, p}, x] && EqQ[b*c - a*d, 0] && EqQ[d/b, 2] &&  !IntegerQ
      [p] && LtQ[m, -1] && NeQ[m + n + 2*p + 2, 0] && NeQ[m + p + 1, 0] && IntegersQ[2*m, 2*n, 2*p]

4818. Int[(cos[(a_.) + (b_.)*(x_)]*(e_.))^(m_.)*((f_.)*sin[(a_.) + (b_.)*(x_)])^(n_.)*((g_.)*sin[(c_.) + (d_.)*(x_)]
      )^(p_), x_Symbol] :> Simp[(g*Sin[c + d*x])^p/((e*Cos[a + b*x])^p*(f*Sin[a + b*x])^p)   Int[(e*Cos[a + b*x])^(m
      + p)*(f*Sin[a + b*x])^(n + p), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, m, n, p}, x] && EqQ[b*c - a*d, 0] && EqQ
      [d/b, 2] &&  !IntegerQ[p]

4819. Int[(cos[(a_.) + (b_.)*(x_)]*(e_.))^(m_.)*sin[(c_.) + (d_.)*(x_)], x_Symbol] :> Simp[(-(m + 2))*(e*Cos[a + b*x
      ])^(m + 1)*(Cos[(m + 1)*(a + b*x)]/(d*e*(m + 1))), x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, m}, x] && EqQ[b*c - a*d, 0] &&
      EqQ[d/b, Abs[m + 2]]

4820. Int[((a_.)*sin[(m_.)*((c_.) + (d_.)*(x_))] + (b_.)*sin[(n_.)*((c_.) + (d_.)*(x_))])^(p_), x_Symbol] :> Simp[1/
      d   Subst[Int[Simplify[TrigExpand[a*Sin[m*ArcTan[x]] + b*Sin[n*ArcTan[x]]]]^p/(1 + x^2), x], x, Tan[c + d*x]],
      x] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && ILtQ[p, 0] && IntegerQ[m/2] && IntegerQ[n/2]

4821. Int[(cos[(m_.)*((c_.) + (d_.)*(x_))]*(a_.) + cos[(n_.)*((c_.) + (d_.)*(x_))]*(b_.))^(p_), x_Symbol] :> Simp[-d
      ^(-1)   Subst[Int[Simplify[TrigExpand[a*Cos[m*ArcCot[x]] + b*Cos[n*ArcCot[x]]]]^p/(1 + x^2), x], x, Cot[c + d*
      x]], x] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && ILtQ[p, 0] && IntegerQ[m/2] && IntegerQ[n/2]

4822. Int[((a_.)*sin[(m_.)*((c_.) + (d_.)*(x_))] + (b_.)*sin[(n_.)*((c_.) + (d_.)*(x_))])^(p_), x_Symbol] :> Simp[1/
      d   Subst[Int[Simplify[TrigExpand[a*Sin[m*ArcTan[x]] + b*Sin[n*ArcTan[x]]]]^p/(1 + x^2), x], x, Tan[c + d*x]],
      x] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && ILtQ[p/2, 0] && IntegerQ[(m - 1)/2] && IntegerQ[(n - 1)/2]

4823. Int[(cos[(m_.)*((c_.) + (d_.)*(x_))]*(a_.) + cos[(n_.)*((c_.) + (d_.)*(x_))]*(b_.))^(p_), x_Symbol] :> Simp[1/
      d   Subst[Int[Simplify[TrigExpand[a*Cos[m*ArcTan[x]] + b*Cos[n*ArcTan[x]]]]^p/(1 + x^2), x], x, Tan[c + d*x]],
      x] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && ILtQ[p/2, 0] && IntegerQ[(m - 1)/2] && IntegerQ[(n - 1)/2]

4824. Int[((a_.)*sin[(m_.)*((c_.) + (d_.)*(x_))] + (b_.)*sin[(n_.)*((c_.) + (d_.)*(x_))])^(p_), x_Symbol] :> Simp[-d
      ^(-1)   Subst[Int[Simplify[TrigExpand[a*Sin[m*ArcCos[x]] + b*Sin[n*ArcCos[x]]]]^p/Sqrt[1 - x^2], x], x, Cos[c
      + d*x]], x] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && ILtQ[(p - 1)/2, 0] && IntegerQ[(m - 1)/2] && IntegerQ[(n - 1)/2]

4825. Int[(cos[(m_.)*((c_.) + (d_.)*(x_))]*(a_.) + cos[(n_.)*((c_.) + (d_.)*(x_))]*(b_.))^(p_), x_Symbol] :> Simp[1/
      d   Subst[Int[Simplify[TrigExpand[a*Cos[m*ArcSin[x]] + b*Cos[n*ArcSin[x]]]]^p/Sqrt[1 - x^2], x], x, Sin[c + d*
      x]], x] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && ILtQ[(p - 1)/2, 0] && IntegerQ[(m - 1)/2] && IntegerQ[(n - 1)/2]

4826. Int[((a_.)*sin[(m_.)*((c_.) + (d_.)*(x_))] + (b_.)*sin[(n_.)*((c_.) + (d_.)*(x_))])^(p_), x_Symbol] :> Simp[2/
      d   Subst[Int[Simplify[TrigExpand[a*Sin[2*m*ArcTan[x]] + b*Sin[2*n*ArcTan[x]]]]^p/(1 + x^2), x], x, Tan[(1/2)*
      (c + d*x)]], x] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && ILtQ[p, 0] && IntegerQ[m/2] && IntegerQ[(n - 1)/2]

4827. Int[(cos[(m_.)*((c_.) + (d_.)*(x_))]*(a_.) + cos[(n_.)*((c_.) + (d_.)*(x_))]*(b_.))^(p_), x_Symbol] :> Simp[-2
      /d   Subst[Int[Simplify[TrigExpand[a*Cos[2*m*ArcCot[x]] + b*Cos[2*n*ArcCot[x]]]]^p/(1 + x^2), x], x, Cot[(1/2)
      *(c + d*x)]], x] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && ILtQ[p, 0] && IntegerQ[m/2] && IntegerQ[(n - 1)/2]

4828. Int[(cos[(n_.)*((c_.) + (d_.)*(x_))]*(b_.) + (a_.)*sin[(m_.)*((c_.) + (d_.)*(x_))])^(p_), x_Symbol] :> Simp[1/
      d   Subst[Int[Simplify[TrigExpand[a*Sin[m*ArcTan[x]] + b*Cos[n*ArcTan[x]]]]^p/(1 + x^2), x], x, Tan[c + d*x]],
      x] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && ILtQ[p, 0] && IntegerQ[m/2] && IntegerQ[n/2]

4829. Int[(cos[(n_.)*((c_.) + (d_.)*(x_))]*(b_.) + (a_.)*sin[(m_.)*((c_.) + (d_.)*(x_))])^(p_), x_Symbol] :> Simp[1/
      d   Subst[Int[Simplify[TrigExpand[a*Sin[m*ArcSin[x]] + b*Cos[n*ArcSin[x]]]]^p/Sqrt[1 - x^2], x], x, Sin[c + d*
      x]], x] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && ILtQ[(p - 1)/2, 0] && IntegerQ[m/2] && IntegerQ[(n - 1)/2]

4830. Int[(cos[(n_.)*((c_.) + (d_.)*(x_))]*(b_.) + (a_.)*sin[(m_.)*((c_.) + (d_.)*(x_))])^(p_), x_Symbol] :> Simp[2/
      d   Subst[Int[Simplify[TrigExpand[a*Sin[2*m*ArcTan[x]] + b*Cos[2*n*ArcTan[x]]]]^p/(1 + x^2), x], x, Tan[(1/2)*
      (c + d*x)]], x] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && ILtQ[p, 0] && IntegerQ[m] && IntegerQ[n]

4831. Int[((a_.)*sin[u_] + (b_.)*sin[v_])^(p_), x_Symbol] :> With[{m = Denominator[f/d]}, Int[(a*Sin[m*(c/m + d*(x/m
      ))] + b*Sin[m*(f/d)*(c/m + d*(x/m))])^p, x]] /; FreeQ[{a, b}, x] && LinearQ[{u, v}, x] && ILtQ[p, 0] && EqQ[d*
      e - c*f, 0] && RationalQ[f/d]

4832. Int[((a_.)*(F_)[(c_.) + (d_.)*(x_)]^(p_))^(n_), x_Symbol] :> With[{v = ActivateTrig[F[c + d*x]]}, Simp[a^IntPa
      rt[n]*(v/NonfreeFactors[v, x])^(p*IntPart[n])*((a*v^p)^FracPart[n]/NonfreeFactors[v, x]^(p*FracPart[n]))   Int
      [NonfreeFactors[v, x]^(n*p), x], x]] /; FreeQ[{a, c, d, n, p}, x] && InertTrigQ[F] &&  !IntegerQ[n] && Integer
      Q[p]

4833. Int[((a_.)*((b_.)*(F_)[(c_.) + (d_.)*(x_)])^(p_))^(n_.), x_Symbol] :> With[{v = ActivateTrig[F[c + d*x]]}, Sim
      p[a^IntPart[n]*((a*(b*v)^p)^FracPart[n]/(b*v)^(p*FracPart[n]))   Int[(b*v)^(n*p), x], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d
      , n, p}, x] && InertTrigQ[F] &&  !IntegerQ[n] &&  !IntegerQ[p]

4834. Int[(u_)*(F_)[(c_.)*((a_.) + (b_.)*(x_))], x_Symbol] :> With[{d = FreeFactors[Sin[c*(a + b*x)], x]}, Simp[d/(b
      *c)   Subst[Int[SubstFor[1, Sin[c*(a + b*x)]/d, u, x], x], x, Sin[c*(a + b*x)]/d], x] /; FunctionOfQ[Sin[c*(a
      + b*x)]/d, u, x, True]] /; FreeQ[{a, b, c}, x] && (EqQ[F, Cos] || EqQ[F, cos])

4835. Int[(u_)*(F_)[(c_.)*((a_.) + (b_.)*(x_))], x_Symbol] :> With[{d = FreeFactors[Cos[c*(a + b*x)], x]}, Simp[-d/(
      b*c)   Subst[Int[SubstFor[1, Cos[c*(a + b*x)]/d, u, x], x], x, Cos[c*(a + b*x)]/d], x] /; FunctionOfQ[Cos[c*(a
      + b*x)]/d, u, x, True]] /; FreeQ[{a, b, c}, x] && (EqQ[F, Sin] || EqQ[F, sin])

4836. Int[Cosh[(c_.)*((a_.) + (b_.)*(x_))]*(u_), x_Symbol] :> With[{d = FreeFactors[Sinh[c*(a + b*x)], x]}, Simp[d/(
      b*c)   Subst[Int[SubstFor[1, Sinh[c*(a + b*x)]/d, u, x], x], x, Sinh[c*(a + b*x)]/d], x] /; FunctionOfQ[Sinh[c
      *(a + b*x)]/d, u, x, True]] /; FreeQ[{a, b, c}, x]

4837. Int[(u_)*Sinh[(c_.)*((a_.) + (b_.)*(x_))], x_Symbol] :> With[{d = FreeFactors[Cosh[c*(a + b*x)], x]}, Simp[d/(
      b*c)   Subst[Int[SubstFor[1, Cosh[c*(a + b*x)]/d, u, x], x], x, Cosh[c*(a + b*x)]/d], x] /; FunctionOfQ[Cosh[c
      *(a + b*x)]/d, u, x, True]] /; FreeQ[{a, b, c}, x]

4838. Int[(u_)*(F_)[(c_.)*((a_.) + (b_.)*(x_))], x_Symbol] :> With[{d = FreeFactors[Sin[c*(a + b*x)], x]}, Simp[1/(b
      *c)   Subst[Int[SubstFor[1/x, Sin[c*(a + b*x)]/d, u, x], x], x, Sin[c*(a + b*x)]/d], x] /; FunctionOfQ[Sin[c*(
      a + b*x)]/d, u, x, True]] /; FreeQ[{a, b, c}, x] && (EqQ[F, Cot] || EqQ[F, cot])

4839. Int[(u_)*(F_)[(c_.)*((a_.) + (b_.)*(x_))], x_Symbol] :> With[{d = FreeFactors[Cos[c*(a + b*x)], x]}, Simp[-(b*
      c)^(-1)   Subst[Int[SubstFor[1/x, Cos[c*(a + b*x)]/d, u, x], x], x, Cos[c*(a + b*x)]/d], x] /; FunctionOfQ[Cos
      [c*(a + b*x)]/d, u, x, True]] /; FreeQ[{a, b, c}, x] && (EqQ[F, Tan] || EqQ[F, tan])

4840. Int[Coth[(c_.)*((a_.) + (b_.)*(x_))]*(u_), x_Symbol] :> With[{d = FreeFactors[Sinh[c*(a + b*x)], x]}, Simp[1/(
      b*c)   Subst[Int[SubstFor[1/x, Sinh[c*(a + b*x)]/d, u, x], x], x, Sinh[c*(a + b*x)]/d], x] /; FunctionOfQ[Sinh
      [c*(a + b*x)]/d, u, x, True]] /; FreeQ[{a, b, c}, x]

4841. Int[(u_)*Tanh[(c_.)*((a_.) + (b_.)*(x_))], x_Symbol] :> With[{d = FreeFactors[Cosh[c*(a + b*x)], x]}, Simp[1/(
      b*c)   Subst[Int[SubstFor[1/x, Cosh[c*(a + b*x)]/d, u, x], x], x, Cosh[c*(a + b*x)]/d], x] /; FunctionOfQ[Cosh
      [c*(a + b*x)]/d, u, x, True]] /; FreeQ[{a, b, c}, x]

4842. Int[(u_)*(F_)[(c_.)*((a_.) + (b_.)*(x_))]^2, x_Symbol] :> With[{d = FreeFactors[Tan[c*(a + b*x)], x]}, Simp[d/
      (b*c)   Subst[Int[SubstFor[1, Tan[c*(a + b*x)]/d, u, x], x], x, Tan[c*(a + b*x)]/d], x] /; FunctionOfQ[Tan[c*(
      a + b*x)]/d, u, x, True]] /; FreeQ[{a, b, c}, x] && NonsumQ[u] && (EqQ[F, Sec] || EqQ[F, sec])

4843. Int[(u_)/cos[(c_.)*((a_.) + (b_.)*(x_))]^2, x_Symbol] :> With[{d = FreeFactors[Tan[c*(a + b*x)], x]}, Simp[d/(
      b*c)   Subst[Int[SubstFor[1, Tan[c*(a + b*x)]/d, u, x], x], x, Tan[c*(a + b*x)]/d], x] /; FunctionOfQ[Tan[c*(a
      + b*x)]/d, u, x, True]] /; FreeQ[{a, b, c}, x] && NonsumQ[u]

4844. Int[(u_)*(F_)[(c_.)*((a_.) + (b_.)*(x_))]^2, x_Symbol] :> With[{d = FreeFactors[Cot[c*(a + b*x)], x]}, Simp[-d
      /(b*c)   Subst[Int[SubstFor[1, Cot[c*(a + b*x)]/d, u, x], x], x, Cot[c*(a + b*x)]/d], x] /; FunctionOfQ[Cot[c*
      (a + b*x)]/d, u, x, True]] /; FreeQ[{a, b, c}, x] && NonsumQ[u] && (EqQ[F, Csc] || EqQ[F, csc])

4845. Int[(u_)/sin[(c_.)*((a_.) + (b_.)*(x_))]^2, x_Symbol] :> With[{d = FreeFactors[Cot[c*(a + b*x)], x]}, Simp[-d/
      (b*c)   Subst[Int[SubstFor[1, Cot[c*(a + b*x)]/d, u, x], x], x, Cot[c*(a + b*x)]/d], x] /; FunctionOfQ[Cot[c*(
      a + b*x)]/d, u, x, True]] /; FreeQ[{a, b, c}, x] && NonsumQ[u]

4846. Int[(u_)*Sech[(c_.)*((a_.) + (b_.)*(x_))]^2, x_Symbol] :> With[{d = FreeFactors[Tanh[c*(a + b*x)], x]}, Simp[d
      /(b*c)   Subst[Int[SubstFor[1, Tanh[c*(a + b*x)]/d, u, x], x], x, Tanh[c*(a + b*x)]/d], x] /; FunctionOfQ[Tanh
      [c*(a + b*x)]/d, u, x, True]] /; FreeQ[{a, b, c}, x] && NonsumQ[u]

4847. Int[Csch[(c_.)*((a_.) + (b_.)*(x_))]^2*(u_), x_Symbol] :> With[{d = FreeFactors[Coth[c*(a + b*x)], x]}, Simp[-
      d/(b*c)   Subst[Int[SubstFor[1, Coth[c*(a + b*x)]/d, u, x], x], x, Coth[c*(a + b*x)]/d], x] /; FunctionOfQ[Cot
      h[c*(a + b*x)]/d, u, x, True]] /; FreeQ[{a, b, c}, x] && NonsumQ[u]

4848. Int[(u_)*(F_)[(c_.)*((a_.) + (b_.)*(x_))]^(n_.), x_Symbol] :> With[{d = FreeFactors[Tan[c*(a + b*x)], x]}, Sim
      p[1/(b*c*d^(n - 1))   Subst[Int[SubstFor[1/(x^n*(1 + d^2*x^2)), Tan[c*(a + b*x)]/d, u, x], x], x, Tan[c*(a + b
      *x)]/d], x] /; FunctionOfQ[Tan[c*(a + b*x)]/d, u, x, True] && TryPureTanSubst[ActivateTrig[u]*Cot[c*(a + b*x)]
      ^n, x]] /; FreeQ[{a, b, c}, x] && IntegerQ[n] && (EqQ[F, Cot] || EqQ[F, cot])

4849. Int[(u_)*(F_)[(c_.)*((a_.) + (b_.)*(x_))]^(n_.), x_Symbol] :> With[{d = FreeFactors[Cot[c*(a + b*x)], x]}, Sim
      p[-(b*c*d^(n - 1))^(-1)   Subst[Int[SubstFor[1/(x^n*(1 + d^2*x^2)), Cot[c*(a + b*x)]/d, u, x], x], x, Cot[c*(a
      + b*x)]/d], x] /; FunctionOfQ[Cot[c*(a + b*x)]/d, u, x, True] && TryPureTanSubst[ActivateTrig[u]*Tan[c*(a + b
      *x)]^n, x]] /; FreeQ[{a, b, c}, x] && IntegerQ[n] && (EqQ[F, Tan] || EqQ[F, tan])

4850. Int[Coth[(c_.)*((a_.) + (b_.)*(x_))]^(n_.)*(u_), x_Symbol] :> With[{d = FreeFactors[Tanh[c*(a + b*x)], x]}, Si
      mp[1/(b*c*d^(n - 1))   Subst[Int[SubstFor[1/(x^n*(1 - d^2*x^2)), Tanh[c*(a + b*x)]/d, u, x], x], x, Tanh[c*(a
      + b*x)]/d], x] /; FunctionOfQ[Tanh[c*(a + b*x)]/d, u, x, True] && TryPureTanSubst[ActivateTrig[u]*Coth[c*(a +
      b*x)]^n, x]] /; FreeQ[{a, b, c}, x] && IntegerQ[n]

4851. Int[(u_)*Tanh[(c_.)*((a_.) + (b_.)*(x_))]^(n_.), x_Symbol] :> With[{d = FreeFactors[Coth[c*(a + b*x)], x]}, Si
      mp[1/(b*c*d^(n - 1))   Subst[Int[SubstFor[1/(x^n*(1 - d^2*x^2)), Coth[c*(a + b*x)]/d, u, x], x], x, Coth[c*(a
      + b*x)]/d], x] /; FunctionOfQ[Coth[c*(a + b*x)]/d, u, x, True] && TryPureTanSubst[ActivateTrig[u]*Tanh[c*(a +
      b*x)]^n, x]] /; FreeQ[{a, b, c}, x] && IntegerQ[n]

4852. Int[u_, x_Symbol] :> With[{v = FunctionOfTrig[u, x]}, Simp[With[{d = FreeFactors[Cot[v], x]}, -d/Coefficient[v
      , x, 1]   Subst[Int[SubstFor[1/(1 + d^2*x^2), Cot[v]/d, u, x], x], x, Cot[v]/d]], x] /;  !FalseQ[v] && Functio
      nOfQ[NonfreeFactors[Cot[v], x], u, x, True] && TryPureTanSubst[ActivateTrig[u], x]]

4853. Int[u_, x_Symbol] :> With[{v = FunctionOfTrig[u, x]}, Simp[With[{d = FreeFactors[Tan[v], x]}, d/Coefficient[v,
      x, 1]   Subst[Int[SubstFor[1/(1 + d^2*x^2), Tan[v]/d, u, x], x], x, Tan[v]/d]], x] /;  !FalseQ[v] && Function
      OfQ[NonfreeFactors[Tan[v], x], u, x, True] && TryPureTanSubst[ActivateTrig[u], x]]

4854. Int[(F_)[(a_.) + (b_.)*(x_)]^(p_.)*(G_)[(c_.) + (d_.)*(x_)]^(q_.), x_Symbol] :> Int[ExpandTrigReduce[ActivateT
      rig[F[a + b*x]^p*G[c + d*x]^q], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && (EqQ[F, sin] || EqQ[F, cos]) && (EqQ[G, si
      n] || EqQ[G, cos]) && IGtQ[p, 0] && IGtQ[q, 0]

4855. Int[(F_)[(a_.) + (b_.)*(x_)]^(p_.)*(G_)[(c_.) + (d_.)*(x_)]^(q_.)*(H_)[(e_.) + (f_.)*(x_)]^(r_.), x_Symbol] :>
      Int[ExpandTrigReduce[ActivateTrig[F[a + b*x]^p*G[c + d*x]^q*H[e + f*x]^r], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}
      , x] && (EqQ[F, sin] || EqQ[F, cos]) && (EqQ[G, sin] || EqQ[G, cos]) && (EqQ[H, sin] || EqQ[H, cos]) && IGtQ[p
      , 0] && IGtQ[q, 0] && IGtQ[r, 0]

4856. Int[(u_)*(F_)[(c_.)*((a_.) + (b_.)*(x_))], x_Symbol] :> With[{d = FreeFactors[Sin[c*(a + b*x)], x]}, Simp[d/(b
      *c)   Subst[Int[SubstFor[1, Sin[c*(a + b*x)]/d, u, x], x], x, Sin[c*(a + b*x)]/d], x] /; FunctionOfQ[Sin[c*(a
      + b*x)]/d, u, x]] /; FreeQ[{a, b, c}, x] && (EqQ[F, Cos] || EqQ[F, cos])

4857. Int[(u_)*(F_)[(c_.)*((a_.) + (b_.)*(x_))], x_Symbol] :> With[{d = FreeFactors[Cos[c*(a + b*x)], x]}, Simp[-d/(
      b*c)   Subst[Int[SubstFor[1, Cos[c*(a + b*x)]/d, u, x], x], x, Cos[c*(a + b*x)]/d], x] /; FunctionOfQ[Cos[c*(a
      + b*x)]/d, u, x]] /; FreeQ[{a, b, c}, x] && (EqQ[F, Sin] || EqQ[F, sin])

4858. Int[Cosh[(c_.)*((a_.) + (b_.)*(x_))]*(u_), x_Symbol] :> With[{d = FreeFactors[Sinh[c*(a + b*x)], x]}, Simp[d/(
      b*c)   Subst[Int[SubstFor[1, Sinh[c*(a + b*x)]/d, u, x], x], x, Sinh[c*(a + b*x)]/d], x] /; FunctionOfQ[Sinh[c
      *(a + b*x)]/d, u, x]] /; FreeQ[{a, b, c}, x]

4859. Int[(u_)*Sinh[(c_.)*((a_.) + (b_.)*(x_))], x_Symbol] :> With[{d = FreeFactors[Cosh[c*(a + b*x)], x]}, Simp[d/(
      b*c)   Subst[Int[SubstFor[1, Cosh[c*(a + b*x)]/d, u, x], x], x, Cosh[c*(a + b*x)]/d], x] /; FunctionOfQ[Cosh[c
      *(a + b*x)]/d, u, x]] /; FreeQ[{a, b, c}, x]

4860. Int[(u_)*(F_)[(c_.)*((a_.) + (b_.)*(x_))], x_Symbol] :> With[{d = FreeFactors[Sin[c*(a + b*x)], x]}, Simp[1/(b
      *c)   Subst[Int[SubstFor[1/x, Sin[c*(a + b*x)]/d, u, x], x], x, Sin[c*(a + b*x)]/d], x] /; FunctionOfQ[Sin[c*(
      a + b*x)]/d, u, x]] /; FreeQ[{a, b, c}, x] && (EqQ[F, Cot] || EqQ[F, cot])

4861. Int[(u_)*(F_)[(c_.)*((a_.) + (b_.)*(x_))], x_Symbol] :> With[{d = FreeFactors[Cos[c*(a + b*x)], x]}, Simp[-(b*
      c)^(-1)   Subst[Int[SubstFor[1/x, Cos[c*(a + b*x)]/d, u, x], x], x, Cos[c*(a + b*x)]/d], x] /; FunctionOfQ[Cos
      [c*(a + b*x)]/d, u, x]] /; FreeQ[{a, b, c}, x] && (EqQ[F, Tan] || EqQ[F, tan])

4862. Int[Coth[(c_.)*((a_.) + (b_.)*(x_))]*(u_), x_Symbol] :> With[{d = FreeFactors[Sinh[c*(a + b*x)], x]}, Simp[1/(
      b*c)   Subst[Int[SubstFor[1/x, Sinh[c*(a + b*x)]/d, u, x], x], x, Sinh[c*(a + b*x)]/d], x] /; FunctionOfQ[Sinh
      [c*(a + b*x)]/d, u, x]] /; FreeQ[{a, b, c}, x]

4863. Int[(u_)*Tanh[(c_.)*((a_.) + (b_.)*(x_))], x_Symbol] :> With[{d = FreeFactors[Cosh[c*(a + b*x)], x]}, Simp[1/(
      b*c)   Subst[Int[SubstFor[1/x, Cosh[c*(a + b*x)]/d, u, x], x], x, Cosh[c*(a + b*x)]/d], x] /; FunctionOfQ[Cosh
      [c*(a + b*x)]/d, u, x]] /; FreeQ[{a, b, c}, x]

4864. Int[(u_)*(F_)[(c_.)*((a_.) + (b_.)*(x_))]^(n_), x_Symbol] :> With[{d = FreeFactors[Sin[c*(a + b*x)], x]}, Simp
      [d/(b*c)   Subst[Int[SubstFor[(1 - d^2*x^2)^((n - 1)/2), Sin[c*(a + b*x)]/d, u, x], x], x, Sin[c*(a + b*x)]/d]
      , x] /; FunctionOfQ[Sin[c*(a + b*x)]/d, u, x]] /; FreeQ[{a, b, c}, x] && IntegerQ[(n - 1)/2] && NonsumQ[u] &&
      (EqQ[F, Cos] || EqQ[F, cos])

4865. Int[(u_)*(F_)[(c_.)*((a_.) + (b_.)*(x_))]^(n_), x_Symbol] :> With[{d = FreeFactors[Sin[c*(a + b*x)], x]}, Simp
      [d/(b*c)   Subst[Int[SubstFor[(1 - d^2*x^2)^((-n - 1)/2), Sin[c*(a + b*x)]/d, u, x], x], x, Sin[c*(a + b*x)]/d
      ], x] /; FunctionOfQ[Sin[c*(a + b*x)]/d, u, x]] /; FreeQ[{a, b, c}, x] && IntegerQ[(n - 1)/2] && NonsumQ[u] &&
      (EqQ[F, Sec] || EqQ[F, sec])

4866. Int[(u_)*(F_)[(c_.)*((a_.) + (b_.)*(x_))]^(n_), x_Symbol] :> With[{d = FreeFactors[Cos[c*(a + b*x)], x]}, Simp
      [-d/(b*c)   Subst[Int[SubstFor[(1 - d^2*x^2)^((n - 1)/2), Cos[c*(a + b*x)]/d, u, x], x], x, Cos[c*(a + b*x)]/d
      ], x] /; FunctionOfQ[Cos[c*(a + b*x)]/d, u, x]] /; FreeQ[{a, b, c}, x] && IntegerQ[(n - 1)/2] && NonsumQ[u] &&
      (EqQ[F, Sin] || EqQ[F, sin])

4867. Int[(u_)*(F_)[(c_.)*((a_.) + (b_.)*(x_))]^(n_), x_Symbol] :> With[{d = FreeFactors[Cos[c*(a + b*x)], x]}, Simp
      [-d/(b*c)   Subst[Int[SubstFor[(1 - d^2*x^2)^((-n - 1)/2), Cos[c*(a + b*x)]/d, u, x], x], x, Cos[c*(a + b*x)]/
      d], x] /; FunctionOfQ[Cos[c*(a + b*x)]/d, u, x]] /; FreeQ[{a, b, c}, x] && IntegerQ[(n - 1)/2] && NonsumQ[u] &
      & (EqQ[F, Csc] || EqQ[F, csc])

4868. Int[Cosh[(c_.)*((a_.) + (b_.)*(x_))]^(n_)*(u_), x_Symbol] :> With[{d = FreeFactors[Sinh[c*(a + b*x)], x]}, Sim
      p[d/(b*c)   Subst[Int[SubstFor[(1 + d^2*x^2)^((n - 1)/2), Sinh[c*(a + b*x)]/d, u, x], x], x, Sinh[c*(a + b*x)]
      /d], x] /; FunctionOfQ[Sinh[c*(a + b*x)]/d, u, x]] /; FreeQ[{a, b, c}, x] && IntegerQ[(n - 1)/2] && NonsumQ[u]

4869. Int[(u_)*Sech[(c_.)*((a_.) + (b_.)*(x_))]^(n_), x_Symbol] :> With[{d = FreeFactors[Sinh[c*(a + b*x)], x]}, Sim
      p[d/(b*c)   Subst[Int[SubstFor[(1 + d^2*x^2)^((-n - 1)/2), Sinh[c*(a + b*x)]/d, u, x], x], x, Sinh[c*(a + b*x)
      ]/d], x] /; FunctionOfQ[Sinh[c*(a + b*x)]/d, u, x]] /; FreeQ[{a, b, c}, x] && IntegerQ[(n - 1)/2] && NonsumQ[u
      ]

4870. Int[(u_)*Sinh[(c_.)*((a_.) + (b_.)*(x_))]^(n_), x_Symbol] :> With[{d = FreeFactors[Cosh[c*(a + b*x)], x]}, Sim
      p[d/(b*c)   Subst[Int[SubstFor[(-1 + d^2*x^2)^((n - 1)/2), Cosh[c*(a + b*x)]/d, u, x], x], x, Cosh[c*(a + b*x)
      ]/d], x] /; FunctionOfQ[Cosh[c*(a + b*x)]/d, u, x]] /; FreeQ[{a, b, c}, x] && IntegerQ[(n - 1)/2] && NonsumQ[u
      ]

4871. Int[Csch[(c_.)*((a_.) + (b_.)*(x_))]^(n_)*(u_), x_Symbol] :> With[{d = FreeFactors[Cosh[c*(a + b*x)], x]}, Sim
      p[d/(b*c)   Subst[Int[SubstFor[(-1 + d^2*x^2)^((-n - 1)/2), Cosh[c*(a + b*x)]/d, u, x], x], x, Cosh[c*(a + b*x
      )]/d], x] /; FunctionOfQ[Cosh[c*(a + b*x)]/d, u, x]] /; FreeQ[{a, b, c}, x] && IntegerQ[(n - 1)/2] && NonsumQ[
      u]

4872. Int[(u_)*(F_)[(c_.)*((a_.) + (b_.)*(x_))]^(n_), x_Symbol] :> With[{d = FreeFactors[Sin[c*(a + b*x)], x]}, Simp
      [1/(b*c*d^(n - 1))   Subst[Int[SubstFor[(1 - d^2*x^2)^((n - 1)/2)/x^n, Sin[c*(a + b*x)]/d, u, x], x], x, Sin[c
      *(a + b*x)]/d], x] /; FunctionOfQ[Sin[c*(a + b*x)]/d, u, x]] /; FreeQ[{a, b, c}, x] && IntegerQ[(n - 1)/2] &&
      NonsumQ[u] && (EqQ[F, Cot] || EqQ[F, cot])

4873. Int[(u_)*(F_)[(c_.)*((a_.) + (b_.)*(x_))]^(n_), x_Symbol] :> With[{d = FreeFactors[Cos[c*(a + b*x)], x]}, Simp
      [-(b*c*d^(n - 1))^(-1)   Subst[Int[SubstFor[(1 - d^2*x^2)^((n - 1)/2)/x^n, Cos[c*(a + b*x)]/d, u, x], x], x, C
      os[c*(a + b*x)]/d], x] /; FunctionOfQ[Cos[c*(a + b*x)]/d, u, x]] /; FreeQ[{a, b, c}, x] && IntegerQ[(n - 1)/2]
      && NonsumQ[u] && (EqQ[F, Tan] || EqQ[F, tan])

4874. Int[Coth[(c_.)*((a_.) + (b_.)*(x_))]^(n_)*(u_), x_Symbol] :> With[{d = FreeFactors[Sinh[c*(a + b*x)], x]}, Sim
      p[1/(b*c*d^(n - 1))   Subst[Int[SubstFor[(1 + d^2*x^2)^((n - 1)/2)/x^n, Sinh[c*(a + b*x)]/d, u, x], x], x, Sin
      h[c*(a + b*x)]/d], x] /; FunctionOfQ[Sinh[c*(a + b*x)]/d, u, x]] /; FreeQ[{a, b, c}, x] && IntegerQ[(n - 1)/2]
      && NonsumQ[u]

4875. Int[(u_)*Tanh[(c_.)*((a_.) + (b_.)*(x_))]^(n_), x_Symbol] :> With[{d = FreeFactors[Cosh[c*(a + b*x)], x]}, Sim
      p[1/(b*c*d^(n - 1))   Subst[Int[SubstFor[(-1 + d^2*x^2)^((n - 1)/2)/x^n, Cosh[c*(a + b*x)]/d, u, x], x], x, Co
      sh[c*(a + b*x)]/d], x] /; FunctionOfQ[Cosh[c*(a + b*x)]/d, u, x]] /; FreeQ[{a, b, c}, x] && IntegerQ[(n - 1)/2
      ] && NonsumQ[u]

4876. Int[(u_)*((v_) + (d_.)*(F_)[(c_.)*((a_.) + (b_.)*(x_))]^(n_.)), x_Symbol] :> With[{e = FreeFactors[Sin[c*(a +
      b*x)], x]}, Int[ActivateTrig[u*v], x] + Simp[d   Int[ActivateTrig[u]*Cos[c*(a + b*x)]^n, x], x] /; FunctionOfQ
      [Sin[c*(a + b*x)]/e, u, x]] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] &&  !FreeQ[v, x] && IntegerQ[(n - 1)/2] && NonsumQ[u] &&
      (EqQ[F, Cos] || EqQ[F, cos])

4877. Int[(u_)*((v_) + (d_.)*(F_)[(c_.)*((a_.) + (b_.)*(x_))]^(n_.)), x_Symbol] :> With[{e = FreeFactors[Cos[c*(a +
      b*x)], x]}, Int[ActivateTrig[u*v], x] + Simp[d   Int[ActivateTrig[u]*Sin[c*(a + b*x)]^n, x], x] /; FunctionOfQ
      [Cos[c*(a + b*x)]/e, u, x]] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] &&  !FreeQ[v, x] && IntegerQ[(n - 1)/2] && NonsumQ[u] &&
      (EqQ[F, Sin] || EqQ[F, sin])

4878. Int[u_, x_Symbol] :> With[{v = FunctionOfTrig[u, x]}, Simp[With[{d = FreeFactors[Sin[v], x]}, d/Coefficient[v,
      x, 1]   Subst[Int[SubstFor[1, Sin[v]/d, u/Cos[v], x], x], x, Sin[v]/d]], x] /;  !FalseQ[v] && FunctionOfQ[Non
      freeFactors[Sin[v], x], u/Cos[v], x]]

4879. Int[u_, x_Symbol] :> With[{v = FunctionOfTrig[u, x]}, Simp[With[{d = FreeFactors[Cos[v], x]}, -d/Coefficient[v
      , x, 1]   Subst[Int[SubstFor[1, Cos[v]/d, u/Sin[v], x], x], x, Cos[v]/d]], x] /;  !FalseQ[v] && FunctionOfQ[No
      nfreeFactors[Cos[v], x], u/Sin[v], x]]

4880. Int[(u_.)*((a_.) + cos[(d_.) + (e_.)*(x_)]^2*(b_.) + (c_.)*sin[(d_.) + (e_.)*(x_)]^2)^(p_.), x_Symbol] :> Simp
      [(a + c)^p   Int[ActivateTrig[u], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, p}, x] && EqQ[b - c, 0]

4881. Int[(u_.)*((a_.) + (c_.)*sec[(d_.) + (e_.)*(x_)]^2 + (b_.)*tan[(d_.) + (e_.)*(x_)]^2)^(p_.), x_Symbol] :> Simp
      [(a + c)^p   Int[ActivateTrig[u], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, p}, x] && EqQ[b + c, 0]

4882. Int[((a_.) + cot[(d_.) + (e_.)*(x_)]^2*(b_.) + csc[(d_.) + (e_.)*(x_)]^2*(c_.))^(p_.)*(u_.), x_Symbol] :> Simp
      [(a + c)^p   Int[ActivateTrig[u], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, p}, x] && EqQ[b + c, 0]

4883. Int[(u_)/(y_), x_Symbol] :> With[{q = DerivativeDivides[ActivateTrig[y], ActivateTrig[u], x]}, Simp[q*Log[Remo
      veContent[ActivateTrig[y], x]], x] /;  !FalseQ[q]] /;  !InertTrigFreeQ[u]

4884. Int[(u_)/((w_)*(y_)), x_Symbol] :> With[{q = DerivativeDivides[ActivateTrig[y*w], ActivateTrig[u], x]}, Simp[q
      *Log[RemoveContent[ActivateTrig[y*w], x]], x] /;  !FalseQ[q]] /;  !InertTrigFreeQ[u]

4885. Int[(u_)*(y_)^(m_.), x_Symbol] :> With[{q = DerivativeDivides[ActivateTrig[y], ActivateTrig[u], x]}, Simp[q*(A
      ctivateTrig[y^(m + 1)]/(m + 1)), x] /;  !FalseQ[q]] /; FreeQ[m, x] && NeQ[m, -1] &&  !InertTrigFreeQ[u]

4886. Int[(u_)*(y_)^(m_.)*(z_)^(n_.), x_Symbol] :> With[{q = DerivativeDivides[ActivateTrig[y*z], ActivateTrig[u*z^(
      n - m)], x]}, Simp[q*(ActivateTrig[y^(m + 1)*z^(m + 1)]/(m + 1)), x] /;  !FalseQ[q]] /; FreeQ[{m, n}, x] && Ne
      Q[m, -1] &&  !InertTrigFreeQ[u]

4887. Int[(u_.)*((a_.)*(F_)[(c_.) + (d_.)*(x_)]^(p_))^(n_), x_Symbol] :> With[{v = ActivateTrig[F[c + d*x]]}, Simp[a
      ^IntPart[n]*(v/NonfreeFactors[v, x])^(p*IntPart[n])*((a*v^p)^FracPart[n]/NonfreeFactors[v, x]^(p*FracPart[n]))
      Int[ActivateTrig[u]*NonfreeFactors[v, x]^(n*p), x], x]] /; FreeQ[{a, c, d, n, p}, x] && InertTrigQ[F] &&  !
      IntegerQ[n] && IntegerQ[p]

4888. Int[(u_.)*((a_.)*((b_.)*(F_)[(c_.) + (d_.)*(x_)])^(p_))^(n_.), x_Symbol] :> With[{v = ActivateTrig[F[c + d*x]]
      }, Simp[a^IntPart[n]*((a*(b*v)^p)^FracPart[n]/(b*v)^(p*FracPart[n]))   Int[ActivateTrig[u]*(b*v)^(n*p), x], x]
      ] /; FreeQ[{a, b, c, d, n, p}, x] && InertTrigQ[F] &&  !IntegerQ[n] &&  !IntegerQ[p]

4889. Int[u_, x_Symbol] :> With[{v = FunctionOfTrig[u, x]}, With[{d = FreeFactors[Tan[v], x]}, Simp[d/Coefficient[v,
      x, 1]   Subst[Int[SubstFor[1/(1 + d^2*x^2), Tan[v]/d, u, x], x], x, Tan[v]/d], x]] /;  !FalseQ[v] && Function
      OfQ[NonfreeFactors[Tan[v], x], u, x]] /; InverseFunctionFreeQ[u, x] &&  !MatchQ[u, (v_.)*((c_.)*tan[w_]^(n_.)*
      tan[z_]^(n_.))^(p_.) /; FreeQ[{c, p}, x] && IntegerQ[n] && LinearQ[w, x] && EqQ[z, 2*w]]

4890. Int[(u_)*((c_.)*sin[v_])^(m_), x_Symbol] :> With[{w = FunctionOfTrig[u*(Sin[v/2]^(2*m)/(c*Tan[v/2])^m), x]}, S
      imp[(c*Sin[v])^m*((c*Tan[v/2])^m/Sin[v/2]^(2*m))   Int[u*(Sin[v/2]^(2*m)/(c*Tan[v/2])^m), x], x] /;  !FalseQ[w
      ] && FunctionOfQ[NonfreeFactors[Tan[w], x], u*(Sin[v/2]^(2*m)/(c*Tan[v/2])^m), x]] /; FreeQ[c, x] && LinearQ[v
      , x] && IntegerQ[m + 1/2] &&  !SumQ[u] && InverseFunctionFreeQ[u, x]

4891. Int[(u_.)*((b_.)*sec[(c_.) + (d_.)*(x_)]^(n_.) + (a_.)*tan[(c_.) + (d_.)*(x_)]^(n_.))^(p_), x_Symbol] :> Int[A
      ctivateTrig[u]*Sec[c + d*x]^(n*p)*(b + a*Sin[c + d*x]^n)^p, x] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && IntegersQ[n, p]

4892. Int[(cot[(c_.) + (d_.)*(x_)]^(n_.)*(a_.) + csc[(c_.) + (d_.)*(x_)]^(n_.)*(b_.))^(p_)*(u_.), x_Symbol] :> Int[A
      ctivateTrig[u]*Csc[c + d*x]^(n*p)*(b + a*Cos[c + d*x]^n)^p, x] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && IntegersQ[n, p]

4893. Int[(u_)*((a_)*(F_)[(c_.) + (d_.)*(x_)]^(p_.) + (b_.)*(F_)[(c_.) + (d_.)*(x_)]^(q_.))^(n_.), x_Symbol] :> Int[
      ActivateTrig[u*F[c + d*x]^(n*p)*(a + b*F[c + d*x]^(q - p))^n], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, p, q}, x] && InertTrig
      Q[F] && IntegerQ[n] && PosQ[q - p]

4894. Int[(u_)*((a_)*(F_)[(d_.) + (e_.)*(x_)]^(p_.) + (b_.)*(F_)[(d_.) + (e_.)*(x_)]^(q_.) + (c_.)*(F_)[(d_.) + (e_.
      )*(x_)]^(r_.))^(n_.), x_Symbol] :> Int[ActivateTrig[u*F[d + e*x]^(n*p)*(a + b*F[d + e*x]^(q - p) + c*F[d + e*x
      ]^(r - p))^n], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, p, q, r}, x] && InertTrigQ[F] && IntegerQ[n] && PosQ[q - p] && PosQ
      [r - p]

4895. Int[(u_)*((a_) + (b_.)*(F_)[(d_.) + (e_.)*(x_)]^(p_.) + (c_.)*(F_)[(d_.) + (e_.)*(x_)]^(q_.))^(n_.), x_Symbol]
      :> Int[ActivateTrig[u*F[d + e*x]^(n*p)*(b + a/F[d + e*x]^p + c*F[d + e*x]^(q - p))^n], x] /; FreeQ[{a, b, c,
      d, e, p, q}, x] && InertTrigQ[F] && IntegerQ[n] && NegQ[p]

4896. Int[(u_.)*(cos[(c_.) + (d_.)*(x_)]*(a_.) + (b_.)*sin[(c_.) + (d_.)*(x_)])^(n_.), x_Symbol] :> Int[ActivateTrig
      [u]*(a/E^((a/b)*(c + d*x)))^n, x] /; FreeQ[{a, b, c, d, n}, x] && EqQ[a^2 + b^2, 0]

4897. Int[u_, x_Symbol] :> Int[TrigSimplify[u], x] /; TrigSimplifyQ[u]

4898. Int[(u_.)*((a_)*(v_))^(p_), x_Symbol] :> With[{uu = ActivateTrig[u], vv = ActivateTrig[v]}, Simp[a^IntPart[p]*
      ((a*vv)^FracPart[p]/vv^FracPart[p])   Int[uu*vv^p, x], x]] /; FreeQ[{a, p}, x] &&  !IntegerQ[p] &&  !InertTrig
      FreeQ[v]

4899. Int[(u_.)*((v_)^(m_))^(p_), x_Symbol] :> With[{uu = ActivateTrig[u], vv = ActivateTrig[v]}, Simp[(vv^m)^FracPa
      rt[p]/vv^(m*FracPart[p])   Int[uu*vv^(m*p), x], x]] /; FreeQ[{m, p}, x] &&  !IntegerQ[p] &&  !InertTrigFreeQ[v
      ]

4900. Int[(u_.)*((v_)^(m_.)*(w_)^(n_.))^(p_), x_Symbol] :> With[{uu = ActivateTrig[u], vv = ActivateTrig[v], ww = Ac
      tivateTrig[w]}, Simp[(vv^m*ww^n)^FracPart[p]/(vv^(m*FracPart[p])*ww^(n*FracPart[p]))   Int[uu*vv^(m*p)*ww^(n*p
      ), x], x]] /; FreeQ[{m, n, p}, x] &&  !IntegerQ[p] && ( !InertTrigFreeQ[v] ||  !InertTrigFreeQ[w])

4901. Int[u_, x_Symbol] :> With[{v = ExpandTrig[u, x]}, Int[v, x] /; SumQ[v]] /;  !InertTrigFreeQ[u]

4902. Int[u_, x_Symbol] :> With[{w = Block[{$ShowSteps = False, $StepCounter = Null}, Int[SubstFor[1/(1 + FreeFactor
      s[Tan[FunctionOfTrig[u, x]/2], x]^2*x^2), Tan[FunctionOfTrig[u, x]/2]/FreeFactors[Tan[FunctionOfTrig[u, x]/2],
      x], u, x], x]]}, Module[{v = FunctionOfTrig[u, x], d}, Simp[d = FreeFactors[Tan[v/2], x]; 2*(d/Coefficient[v,
      x, 1])   Subst[Int[SubstFor[1/(1 + d^2*x^2), Tan[v/2]/d, u, x], x], x, Tan[v/2]/d], x]] /; CalculusFreeQ[w, x
      ]] /; InverseFunctionFreeQ[u, x] &&  !FalseQ[FunctionOfTrig[u, x]]

4903. Int[u_, x_Symbol] :> With[{v = ActivateTrig[u]}, CannotIntegrate[v, x]] /;  !InertTrigFreeQ[u]

4904. Int[Cos[(a_.) + (b_.)*(x_)]*((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.)*Sin[(a_.) + (b_.)*(x_)]^(n_.), x_Symbol] :> Simp[(c + d
      *x)^m*(Sin[a + b*x]^(n + 1)/(b*(n + 1))), x] - Simp[d*(m/(b*(n + 1)))   Int[(c + d*x)^(m - 1)*Sin[a + b*x]^(n
      + 1), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, n}, x] && IGtQ[m, 0] && NeQ[n, -1]

4905. Int[Cos[(a_.) + (b_.)*(x_)]^(n_.)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.)*Sin[(a_.) + (b_.)*(x_)], x_Symbol] :> Simp[(-(c +
      d*x)^m)*(Cos[a + b*x]^(n + 1)/(b*(n + 1))), x] + Simp[d*(m/(b*(n + 1)))   Int[(c + d*x)^(m - 1)*Cos[a + b*x]^
      (n + 1), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, n}, x] && IGtQ[m, 0] && NeQ[n, -1]

4906. Int[Cos[(a_.) + (b_.)*(x_)]^(p_.)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.)*Sin[(a_.) + (b_.)*(x_)]^(n_.), x_Symbol] :> Int[E
      xpandTrigReduce[(c + d*x)^m, Sin[a + b*x]^n*Cos[a + b*x]^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, m}, x] && IGtQ[n, 0]
      && IGtQ[p, 0]

4907. Int[((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.)*Sin[(a_.) + (b_.)*(x_)]^(n_.)*Tan[(a_.) + (b_.)*(x_)]^(p_.), x_Symbol] :> -Int[
      (c + d*x)^m*Sin[a + b*x]^n*Tan[a + b*x]^(p - 2), x] + Int[(c + d*x)^m*Sin[a + b*x]^(n - 2)*Tan[a + b*x]^p, x]
      /; FreeQ[{a, b, c, d, m}, x] && IGtQ[n, 0] && IGtQ[p, 0]

4908. Int[Cos[(a_.) + (b_.)*(x_)]^(n_.)*Cot[(a_.) + (b_.)*(x_)]^(p_.)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> -Int[
      (c + d*x)^m*Cos[a + b*x]^n*Cot[a + b*x]^(p - 2), x] + Int[(c + d*x)^m*Cos[a + b*x]^(n - 2)*Cot[a + b*x]^p, x]
      /; FreeQ[{a, b, c, d, m}, x] && IGtQ[n, 0] && IGtQ[p, 0]

4909. Int[((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.)*Sec[(a_.) + (b_.)*(x_)]^(n_.)*Tan[(a_.) + (b_.)*(x_)]^(p_.), x_Symbol] :> Simp[
      (c + d*x)^m*(Sec[a + b*x]^n/(b*n)), x] - Simp[d*(m/(b*n))   Int[(c + d*x)^(m - 1)*Sec[a + b*x]^n, x], x] /; Fr
      eeQ[{a, b, c, d, n}, x] && EqQ[p, 1] && GtQ[m, 0]

4910. Int[Cot[(a_.) + (b_.)*(x_)]^(p_.)*Csc[(a_.) + (b_.)*(x_)]^(n_.)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Simp[
      (-(c + d*x)^m)*(Csc[a + b*x]^n/(b*n)), x] + Simp[d*(m/(b*n))   Int[(c + d*x)^(m - 1)*Csc[a + b*x]^n, x], x] /;
      FreeQ[{a, b, c, d, n}, x] && EqQ[p, 1] && GtQ[m, 0]

4911. Int[((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.)*Sec[(a_.) + (b_.)*(x_)]^2*Tan[(a_.) + (b_.)*(x_)]^(n_.), x_Symbol] :> Simp[(c +
      d*x)^m*(Tan[a + b*x]^(n + 1)/(b*(n + 1))), x] - Simp[d*(m/(b*(n + 1)))   Int[(c + d*x)^(m - 1)*Tan[a + b*x]^(
      n + 1), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, n}, x] && IGtQ[m, 0] && NeQ[n, -1]

4912. Int[Cot[(a_.) + (b_.)*(x_)]^(n_.)*Csc[(a_.) + (b_.)*(x_)]^2*((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Simp[(-(c
      + d*x)^m)*(Cot[a + b*x]^(n + 1)/(b*(n + 1))), x] + Simp[d*(m/(b*(n + 1)))   Int[(c + d*x)^(m - 1)*Cot[a + b*x
      ]^(n + 1), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, n}, x] && IGtQ[m, 0] && NeQ[n, -1]

4913. Int[((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.)*Sec[(a_.) + (b_.)*(x_)]*Tan[(a_.) + (b_.)*(x_)]^(p_), x_Symbol] :> -Int[(c + d*
      x)^m*Sec[a + b*x]*Tan[a + b*x]^(p - 2), x] + Int[(c + d*x)^m*Sec[a + b*x]^3*Tan[a + b*x]^(p - 2), x] /; FreeQ[
      {a, b, c, d, m}, x] && IGtQ[p/2, 0]

4914. Int[((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.)*Sec[(a_.) + (b_.)*(x_)]^(n_.)*Tan[(a_.) + (b_.)*(x_)]^(p_), x_Symbol] :> -Int[(
      c + d*x)^m*Sec[a + b*x]^n*Tan[a + b*x]^(p - 2), x] + Int[(c + d*x)^m*Sec[a + b*x]^(n + 2)*Tan[a + b*x]^(p - 2)
      , x] /; FreeQ[{a, b, c, d, m, n}, x] && IGtQ[p/2, 0]

4915. Int[Cot[(a_.) + (b_.)*(x_)]^(p_)*Csc[(a_.) + (b_.)*(x_)]*((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> -Int[(c + d*
      x)^m*Csc[a + b*x]*Cot[a + b*x]^(p - 2), x] + Int[(c + d*x)^m*Csc[a + b*x]^3*Cot[a + b*x]^(p - 2), x] /; FreeQ[
      {a, b, c, d, m}, x] && IGtQ[p/2, 0]

4916. Int[Cot[(a_.) + (b_.)*(x_)]^(p_)*Csc[(a_.) + (b_.)*(x_)]^(n_.)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> -Int[(
      c + d*x)^m*Csc[a + b*x]^n*Cot[a + b*x]^(p - 2), x] + Int[(c + d*x)^m*Csc[a + b*x]^(n + 2)*Cot[a + b*x]^(p - 2)
      , x] /; FreeQ[{a, b, c, d, m, n}, x] && IGtQ[p/2, 0]

4917. Int[((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.)*Sec[(a_.) + (b_.)*(x_)]^(n_.)*Tan[(a_.) + (b_.)*(x_)]^(p_.), x_Symbol] :> Modul
      e[{u = IntHide[Sec[a + b*x]^n*Tan[a + b*x]^p, x]}, Simp[(c + d*x)^m   u, x] - Simp[d*m   Int[(c + d*x)^(m - 1)
      *u, x], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d, n, p}, x] && IGtQ[m, 0] && (IntegerQ[n/2] || IntegerQ[(p - 1)/2])

4918. Int[Cot[(a_.) + (b_.)*(x_)]^(p_.)*Csc[(a_.) + (b_.)*(x_)]^(n_.)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Modul
      e[{u = IntHide[Csc[a + b*x]^n*Cot[a + b*x]^p, x]}, Simp[(c + d*x)^m   u, x] - Simp[d*m   Int[(c + d*x)^(m - 1)
      *u, x], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d, n, p}, x] && IGtQ[m, 0] && (IntegerQ[n/2] || IntegerQ[(p - 1)/2])

4919. Int[Csc[(a_.) + (b_.)*(x_)]^(n_.)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.)*Sec[(a_.) + (b_.)*(x_)]^(n_.), x_Symbol] :> Simp[
      2^n   Int[(c + d*x)^m*Csc[2*a + 2*b*x]^n, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, m}, x] && IntegerQ[n] && RationalQ[m]

4920. Int[Csc[(a_.) + (b_.)*(x_)]^(n_.)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.)*Sec[(a_.) + (b_.)*(x_)]^(p_.), x_Symbol] :> Modul
      e[{u = IntHide[Csc[a + b*x]^n*Sec[a + b*x]^p, x]}, Simp[(c + d*x)^m   u, x] - Simp[d*m   Int[(c + d*x)^(m - 1)
      *u, x], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && IntegersQ[n, p] && GtQ[m, 0] && NeQ[n, p]

4921. Int[(u_)^(m_.)*(F_)[v_]^(n_.)*(G_)[w_]^(p_.), x_Symbol] :> Int[ExpandToSum[u, x]^m*F[ExpandToSum[v, x]]^n*G[Ex
      pandToSum[v, x]]^p, x] /; FreeQ[{m, n, p}, x] && TrigQ[F] && TrigQ[G] && EqQ[v, w] && LinearQ[{u, v, w}, x] &&
      !LinearMatchQ[{u, v, w}, x]

4922. Int[Cos[(c_.) + (d_.)*(x_)]*((e_.) + (f_.)*(x_))^(m_.)*((a_) + (b_.)*Sin[(c_.) + (d_.)*(x_)])^(n_.), x_Symbol]
      :> Simp[(e + f*x)^m*((a + b*Sin[c + d*x])^(n + 1)/(b*d*(n + 1))), x] - Simp[f*(m/(b*d*(n + 1)))   Int[(e + f*
      x)^(m - 1)*(a + b*Sin[c + d*x])^(n + 1), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, n}, x] && IGtQ[m, 0] && NeQ[n, -1]

4923. Int[(Cos[(c_.) + (d_.)*(x_)]*(b_.) + (a_))^(n_.)*((e_.) + (f_.)*(x_))^(m_.)*Sin[(c_.) + (d_.)*(x_)], x_Symbol]
      :> Simp[(-(e + f*x)^m)*((a + b*Cos[c + d*x])^(n + 1)/(b*d*(n + 1))), x] + Simp[f*(m/(b*d*(n + 1)))   Int[(e +
      f*x)^(m - 1)*(a + b*Cos[c + d*x])^(n + 1), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, n}, x] && IGtQ[m, 0] && NeQ[n,
      -1]

4924. Int[((e_.) + (f_.)*(x_))^(m_.)*Sec[(c_.) + (d_.)*(x_)]^2*((a_) + (b_.)*Tan[(c_.) + (d_.)*(x_)])^(n_.), x_Symbo
      l] :> Simp[(e + f*x)^m*((a + b*Tan[c + d*x])^(n + 1)/(b*d*(n + 1))), x] - Simp[f*(m/(b*d*(n + 1)))   Int[(e +
      f*x)^(m - 1)*(a + b*Tan[c + d*x])^(n + 1), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, n}, x] && IGtQ[m, 0] && NeQ[n, -
      1]

4925. Int[Csc[(c_.) + (d_.)*(x_)]^2*(Cot[(c_.) + (d_.)*(x_)]*(b_.) + (a_))^(n_.)*((e_.) + (f_.)*(x_))^(m_.), x_Symbo
      l] :> Simp[(-(e + f*x)^m)*((a + b*Cot[c + d*x])^(n + 1)/(b*d*(n + 1))), x] + Simp[f*(m/(b*d*(n + 1)))   Int[(e
      + f*x)^(m - 1)*(a + b*Cot[c + d*x])^(n + 1), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, n}, x] && IGtQ[m, 0] && NeQ[n
      , -1]

4926. Int[((e_.) + (f_.)*(x_))^(m_.)*Sec[(c_.) + (d_.)*(x_)]*((a_) + (b_.)*Sec[(c_.) + (d_.)*(x_)])^(n_.)*Tan[(c_.)
      + (d_.)*(x_)], x_Symbol] :> Simp[(e + f*x)^m*((a + b*Sec[c + d*x])^(n + 1)/(b*d*(n + 1))), x] - Simp[f*(m/(b*d
      *(n + 1)))   Int[(e + f*x)^(m - 1)*(a + b*Sec[c + d*x])^(n + 1), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, n}, x] &&
      IGtQ[m, 0] && NeQ[n, -1]

4927. Int[Cot[(c_.) + (d_.)*(x_)]*Csc[(c_.) + (d_.)*(x_)]*(Csc[(c_.) + (d_.)*(x_)]*(b_.) + (a_))^(n_.)*((e_.) + (f_.
      )*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Simp[(-(e + f*x)^m)*((a + b*Csc[c + d*x])^(n + 1)/(b*d*(n + 1))), x] + Simp[f*(m/(
      b*d*(n + 1)))   Int[(e + f*x)^(m - 1)*(a + b*Csc[c + d*x])^(n + 1), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, n}, x]
      && IGtQ[m, 0] && NeQ[n, -1]

4928. Int[((e_.) + (f_.)*(x_))^(m_.)*Sin[(a_.) + (b_.)*(x_)]^(p_.)*Sin[(c_.) + (d_.)*(x_)]^(q_.), x_Symbol] :> Int[E
      xpandTrigReduce[(e + f*x)^m, Sin[a + b*x]^p*Sin[c + d*x]^q, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && IGtQ[p,
      0] && IGtQ[q, 0] && IntegerQ[m]

4929. Int[Cos[(a_.) + (b_.)*(x_)]^(p_.)*Cos[(c_.) + (d_.)*(x_)]^(q_.)*((e_.) + (f_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Int[E
      xpandTrigReduce[(e + f*x)^m, Cos[a + b*x]^p*Cos[c + d*x]^q, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && IGtQ[p,
      0] && IGtQ[q, 0] && IntegerQ[m]

4930. Int[Cos[(c_.) + (d_.)*(x_)]^(q_.)*((e_.) + (f_.)*(x_))^(m_.)*Sin[(a_.) + (b_.)*(x_)]^(p_.), x_Symbol] :> Int[E
      xpandTrigReduce[(e + f*x)^m, Sin[a + b*x]^p*Cos[c + d*x]^q, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m}, x] && IGtQ[
      p, 0] && IGtQ[q, 0]

4931. Int[((e_.) + (f_.)*(x_))^(m_.)*(F_)[(a_.) + (b_.)*(x_)]^(p_.)*(G_)[(c_.) + (d_.)*(x_)]^(q_.), x_Symbol] :> Int
      [ExpandTrigExpand[(e + f*x)^m*G[c + d*x]^q, F, c + d*x, p, b/d, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m}, x] && M
      emberQ[{Sin, Cos}, F] && MemberQ[{Sec, Csc}, G] && IGtQ[p, 0] && IGtQ[q, 0] && EqQ[b*c - a*d, 0] && IGtQ[b/d,
      1]

4932. Int[(F_)^((c_.)*((a_.) + (b_.)*(x_)))*Sin[(d_.) + (e_.)*(x_)], x_Symbol] :> Simp[b*c*Log[F]*F^(c*(a + b*x))*(S
      in[d + e*x]/(e^2 + b^2*c^2*Log[F]^2)), x] - Simp[e*F^(c*(a + b*x))*(Cos[d + e*x]/(e^2 + b^2*c^2*Log[F]^2)), x]
      /; FreeQ[{F, a, b, c, d, e}, x] && NeQ[e^2 + b^2*c^2*Log[F]^2, 0]

4933. Int[Cos[(d_.) + (e_.)*(x_)]*(F_)^((c_.)*((a_.) + (b_.)*(x_))), x_Symbol] :> Simp[b*c*Log[F]*F^(c*(a + b*x))*(C
      os[d + e*x]/(e^2 + b^2*c^2*Log[F]^2)), x] + Simp[e*F^(c*(a + b*x))*(Sin[d + e*x]/(e^2 + b^2*c^2*Log[F]^2)), x]
      /; FreeQ[{F, a, b, c, d, e}, x] && NeQ[e^2 + b^2*c^2*Log[F]^2, 0]

4934. Int[(F_)^((c_.)*((a_.) + (b_.)*(x_)))*Sin[(d_.) + (e_.)*(x_)]^(n_), x_Symbol] :> Simp[b*c*Log[F]*F^(c*(a + b*x
      ))*(Sin[d + e*x]^n/(e^2*n^2 + b^2*c^2*Log[F]^2)), x] + (-Simp[e*n*F^(c*(a + b*x))*Cos[d + e*x]*(Sin[d + e*x]^(
      n - 1)/(e^2*n^2 + b^2*c^2*Log[F]^2)), x] + Simp[(n*(n - 1)*e^2)/(e^2*n^2 + b^2*c^2*Log[F]^2)   Int[F^(c*(a + b
      *x))*Sin[d + e*x]^(n - 2), x], x]) /; FreeQ[{F, a, b, c, d, e}, x] && NeQ[e^2*n^2 + b^2*c^2*Log[F]^2, 0] && Gt
      Q[n, 1]

4935. Int[Cos[(d_.) + (e_.)*(x_)]^(m_)*(F_)^((c_.)*((a_.) + (b_.)*(x_))), x_Symbol] :> Simp[b*c*Log[F]*F^(c*(a + b*x
      ))*(Cos[d + e*x]^m/(e^2*m^2 + b^2*c^2*Log[F]^2)), x] + (Simp[e*m*F^(c*(a + b*x))*Sin[d + e*x]*(Cos[d + e*x]^(m
      - 1)/(e^2*m^2 + b^2*c^2*Log[F]^2)), x] + Simp[(m*(m - 1)*e^2)/(e^2*m^2 + b^2*c^2*Log[F]^2)   Int[F^(c*(a + b*
      x))*Cos[d + e*x]^(m - 2), x], x]) /; FreeQ[{F, a, b, c, d, e}, x] && NeQ[e^2*m^2 + b^2*c^2*Log[F]^2, 0] && GtQ
      [m, 1]

4936. Int[(F_)^((c_.)*((a_.) + (b_.)*(x_)))*Sin[(d_.) + (e_.)*(x_)]^(n_), x_Symbol] :> Simp[(-b)*c*Log[F]*F^(c*(a +
      b*x))*(Sin[d + e*x]^(n + 2)/(e^2*(n + 1)*(n + 2))), x] + Simp[F^(c*(a + b*x))*Cos[d + e*x]*(Sin[d + e*x]^(n +
      1)/(e*(n + 1))), x] /; FreeQ[{F, a, b, c, d, e, n}, x] && EqQ[e^2*(n + 2)^2 + b^2*c^2*Log[F]^2, 0] && NeQ[n, -
      1] && NeQ[n, -2]

4937. Int[Cos[(d_.) + (e_.)*(x_)]^(n_)*(F_)^((c_.)*((a_.) + (b_.)*(x_))), x_Symbol] :> Simp[(-b)*c*Log[F]*F^(c*(a +
      b*x))*(Cos[d + e*x]^(n + 2)/(e^2*(n + 1)*(n + 2))), x] - Simp[F^(c*(a + b*x))*Sin[d + e*x]*(Cos[d + e*x]^(n +
      1)/(e*(n + 1))), x] /; FreeQ[{F, a, b, c, d, e, n}, x] && EqQ[e^2*(n + 2)^2 + b^2*c^2*Log[F]^2, 0] && NeQ[n, -
      1] && NeQ[n, -2]

4938. Int[(F_)^((c_.)*((a_.) + (b_.)*(x_)))*Sin[(d_.) + (e_.)*(x_)]^(n_), x_Symbol] :> Simp[(-b)*c*Log[F]*F^(c*(a +
      b*x))*(Sin[d + e*x]^(n + 2)/(e^2*(n + 1)*(n + 2))), x] + (Simp[F^(c*(a + b*x))*Cos[d + e*x]*(Sin[d + e*x]^(n +
      1)/(e*(n + 1))), x] + Simp[(e^2*(n + 2)^2 + b^2*c^2*Log[F]^2)/(e^2*(n + 1)*(n + 2))   Int[F^(c*(a + b*x))*Sin
      [d + e*x]^(n + 2), x], x]) /; FreeQ[{F, a, b, c, d, e}, x] && NeQ[e^2*(n + 2)^2 + b^2*c^2*Log[F]^2, 0] && LtQ[
      n, -1] && NeQ[n, -2]

4939. Int[Cos[(d_.) + (e_.)*(x_)]^(n_)*(F_)^((c_.)*((a_.) + (b_.)*(x_))), x_Symbol] :> Simp[(-b)*c*Log[F]*F^(c*(a +
      b*x))*(Cos[d + e*x]^(n + 2)/(e^2*(n + 1)*(n + 2))), x] + (-Simp[F^(c*(a + b*x))*Sin[d + e*x]*(Cos[d + e*x]^(n
      + 1)/(e*(n + 1))), x] + Simp[(e^2*(n + 2)^2 + b^2*c^2*Log[F]^2)/(e^2*(n + 1)*(n + 2))   Int[F^(c*(a + b*x))*Co
      s[d + e*x]^(n + 2), x], x]) /; FreeQ[{F, a, b, c, d, e}, x] && NeQ[e^2*(n + 2)^2 + b^2*c^2*Log[F]^2, 0] && LtQ
      [n, -1] && NeQ[n, -2]

4940. Int[(F_)^((c_.)*((a_.) + (b_.)*(x_)))*Sin[(d_.) + (e_.)*(x_)]^(n_), x_Symbol] :> Simp[E^(I*n*(d + e*x))*(Sin[d
      + e*x]^n/(-1 + E^(2*I*(d + e*x)))^n)   Int[F^(c*(a + b*x))*((-1 + E^(2*I*(d + e*x)))^n/E^(I*n*(d + e*x))), x]
      , x] /; FreeQ[{F, a, b, c, d, e, n}, x] &&  !IntegerQ[n]

4941. Int[Cos[(d_.) + (e_.)*(x_)]^(n_)*(F_)^((c_.)*((a_.) + (b_.)*(x_))), x_Symbol] :> Simp[E^(I*n*(d + e*x))*(Cos[d
      + e*x]^n/(1 + E^(2*I*(d + e*x)))^n)   Int[F^(c*(a + b*x))*((1 + E^(2*I*(d + e*x)))^n/E^(I*n*(d + e*x))), x],
      x] /; FreeQ[{F, a, b, c, d, e, n}, x] &&  !IntegerQ[n]

4942. Int[(F_)^((c_.)*((a_.) + (b_.)*(x_)))*Tan[(d_.) + (e_.)*(x_)]^(n_.), x_Symbol] :> Simp[I^n   Int[ExpandIntegra
      nd[F^(c*(a + b*x))*((1 - E^(2*I*(d + e*x)))^n/(1 + E^(2*I*(d + e*x)))^n), x], x], x] /; FreeQ[{F, a, b, c, d,
      e}, x] && IntegerQ[n]

4943. Int[Cot[(d_.) + (e_.)*(x_)]^(n_.)*(F_)^((c_.)*((a_.) + (b_.)*(x_))), x_Symbol] :> Simp[(-I)^n   Int[ExpandInte
      grand[F^(c*(a + b*x))*((1 + E^(2*I*(d + e*x)))^n/(1 - E^(2*I*(d + e*x)))^n), x], x], x] /; FreeQ[{F, a, b, c,
      d, e}, x] && IntegerQ[n]

4944. Int[(F_)^((c_.)*((a_.) + (b_.)*(x_)))*Sec[(d_.) + (e_.)*(x_)]^(n_), x_Symbol] :> Simp[b*c*Log[F]*F^(c*(a + b*x
      ))*(Sec[d + e*x]^n/(e^2*n^2 + b^2*c^2*Log[F]^2)), x] + (-Simp[e*n*F^(c*(a + b*x))*Sec[d + e*x]^(n + 1)*(Sin[d
      + e*x]/(e^2*n^2 + b^2*c^2*Log[F]^2)), x] + Simp[e^2*n*((n + 1)/(e^2*n^2 + b^2*c^2*Log[F]^2))   Int[F^(c*(a + b
      *x))*Sec[d + e*x]^(n + 2), x], x]) /; FreeQ[{F, a, b, c, d, e}, x] && NeQ[e^2*n^2 + b^2*c^2*Log[F]^2, 0] && Lt
      Q[n, -1]

4945. Int[Csc[(d_.) + (e_.)*(x_)]^(n_)*(F_)^((c_.)*((a_.) + (b_.)*(x_))), x_Symbol] :> Simp[b*c*Log[F]*F^(c*(a + b*x
      ))*(Csc[d + e*x]^n/(e^2*n^2 + b^2*c^2*Log[F]^2)), x] + (Simp[e*n*F^(c*(a + b*x))*Csc[d + e*x]^(n + 1)*(Cos[d +
      e*x]/(e^2*n^2 + b^2*c^2*Log[F]^2)), x] + Simp[e^2*n*((n + 1)/(e^2*n^2 + b^2*c^2*Log[F]^2))   Int[F^(c*(a + b*
      x))*Csc[d + e*x]^(n + 2), x], x]) /; FreeQ[{F, a, b, c, d, e}, x] && NeQ[e^2*n^2 + b^2*c^2*Log[F]^2, 0] && LtQ
      [n, -1]

4946. Int[(F_)^((c_.)*((a_.) + (b_.)*(x_)))*Sec[(d_.) + (e_.)*(x_)]^(n_), x_Symbol] :> Simp[(-b)*c*Log[F]*F^(c*(a +
      b*x))*(Sec[d + e*x]^(n - 2)/(e^2*(n - 1)*(n - 2))), x] + Simp[F^(c*(a + b*x))*Sec[d + e*x]^(n - 1)*(Sin[d + e*
      x]/(e*(n - 1))), x] /; FreeQ[{F, a, b, c, d, e, n}, x] && EqQ[b^2*c^2*Log[F]^2 + e^2*(n - 2)^2, 0] && NeQ[n, 1
      ] && NeQ[n, 2]

4947. Int[Csc[(d_.) + (e_.)*(x_)]^(n_)*(F_)^((c_.)*((a_.) + (b_.)*(x_))), x_Symbol] :> Simp[(-b)*c*Log[F]*F^(c*(a +
      b*x))*(Csc[d + e*x]^(n - 2)/(e^2*(n - 1)*(n - 2))), x] + Simp[F^(c*(a + b*x))*Csc[d + e*x]^(n - 1)*(Cos[d + e*
      x]/(e*(n - 1))), x] /; FreeQ[{F, a, b, c, d, e, n}, x] && EqQ[b^2*c^2*Log[F]^2 + e^2*(n - 2)^2, 0] && NeQ[n, 1
      ] && NeQ[n, 2]

4948. Int[(F_)^((c_.)*((a_.) + (b_.)*(x_)))*Sec[(d_.) + (e_.)*(x_)]^(n_), x_Symbol] :> Simp[(-b)*c*Log[F]*F^(c*(a +
      b*x))*(Sec[d + e*x]^(n - 2)/(e^2*(n - 1)*(n - 2))), x] + (Simp[F^(c*(a + b*x))*Sec[d + e*x]^(n - 1)*(Sin[d + e
      *x]/(e*(n - 1))), x] + Simp[(e^2*(n - 2)^2 + b^2*c^2*Log[F]^2)/(e^2*(n - 1)*(n - 2))   Int[F^(c*(a + b*x))*Sec
      [d + e*x]^(n - 2), x], x]) /; FreeQ[{F, a, b, c, d, e}, x] && NeQ[b^2*c^2*Log[F]^2 + e^2*(n - 2)^2, 0] && GtQ[
      n, 1] && NeQ[n, 2]

4949. Int[Csc[(d_.) + (e_.)*(x_)]^(n_)*(F_)^((c_.)*((a_.) + (b_.)*(x_))), x_Symbol] :> Simp[(-b)*c*Log[F]*F^(c*(a +
      b*x))*(Csc[d + e*x]^(n - 2)/(e^2*(n - 1)*(n - 2))), x] + (-Simp[F^(c*(a + b*x))*Csc[d + e*x]^(n - 1)*(Cos[d +
      e*x]/(e*(n - 1))), x] + Simp[(e^2*(n - 2)^2 + b^2*c^2*Log[F]^2)/(e^2*(n - 1)*(n - 2))   Int[F^(c*(a + b*x))*Cs
      c[d + e*x]^(n - 2), x], x]) /; FreeQ[{F, a, b, c, d, e}, x] && NeQ[b^2*c^2*Log[F]^2 + e^2*(n - 2)^2, 0] && GtQ
      [n, 1] && NeQ[n, 2]

4950. Int[(F_)^((c_.)*((a_.) + (b_.)*(x_)))*Sec[(d_.) + Pi*(k_.) + (e_.)*(x_)]^(n_.), x_Symbol] :> Simp[2^n*E^(I*k*n
      *Pi)*E^(I*n*(d + e*x))*(F^(c*(a + b*x))/(I*e*n + b*c*Log[F]))*Hypergeometric2F1[n, n/2 - I*b*c*(Log[F]/(2*e)),
      1 + n/2 - I*b*c*(Log[F]/(2*e)), (-E^(2*I*k*Pi))*E^(2*I*(d + e*x))], x] /; FreeQ[{F, a, b, c, d, e}, x] && Int
      egerQ[4*k] && IntegerQ[n]

4951. Int[(F_)^((c_.)*((a_.) + (b_.)*(x_)))*Sec[(d_.) + (e_.)*(x_)]^(n_.), x_Symbol] :> Simp[2^n*E^(I*n*(d + e*x))*(
      F^(c*(a + b*x))/(I*e*n + b*c*Log[F]))*Hypergeometric2F1[n, n/2 - I*b*c*(Log[F]/(2*e)), 1 + n/2 - I*b*c*(Log[F]
      /(2*e)), -E^(2*I*(d + e*x))], x] /; FreeQ[{F, a, b, c, d, e}, x] && IntegerQ[n]

4952. Int[Csc[(d_.) + Pi*(k_.) + (e_.)*(x_)]^(n_.)*(F_)^((c_.)*((a_.) + (b_.)*(x_))), x_Symbol] :> Simp[(-2*I)^n*E^(
      I*k*n*Pi)*E^(I*n*(d + e*x))*(F^(c*(a + b*x))/(I*e*n + b*c*Log[F]))*Hypergeometric2F1[n, n/2 - I*b*c*(Log[F]/(2
      *e)), 1 + n/2 - I*b*c*(Log[F]/(2*e)), E^(2*I*k*Pi)*E^(2*I*(d + e*x))], x] /; FreeQ[{F, a, b, c, d, e}, x] && I
      ntegerQ[4*k] && IntegerQ[n]

4953. Int[Csc[(d_.) + (e_.)*(x_)]^(n_.)*(F_)^((c_.)*((a_.) + (b_.)*(x_))), x_Symbol] :> Simp[(-2*I)^n*E^(I*n*(d + e*
      x))*(F^(c*(a + b*x))/(I*e*n + b*c*Log[F]))*Hypergeometric2F1[n, n/2 - I*b*c*(Log[F]/(2*e)), 1 + n/2 - I*b*c*(L
      og[F]/(2*e)), E^(2*I*(d + e*x))], x] /; FreeQ[{F, a, b, c, d, e}, x] && IntegerQ[n]

4954. Int[(F_)^((c_.)*((a_.) + (b_.)*(x_)))*Sec[(d_.) + (e_.)*(x_)]^(n_.), x_Symbol] :> Simp[(1 + E^(2*I*(d + e*x)))
      ^n*(Sec[d + e*x]^n/E^(I*n*(d + e*x)))   Int[SimplifyIntegrand[F^(c*(a + b*x))*(E^(I*n*(d + e*x))/(1 + E^(2*I*(
      d + e*x)))^n), x], x], x] /; FreeQ[{F, a, b, c, d, e}, x] &&  !IntegerQ[n]

4955. Int[Csc[(d_.) + (e_.)*(x_)]^(n_.)*(F_)^((c_.)*((a_.) + (b_.)*(x_))), x_Symbol] :> Simp[(1 - E^(-2*I*(d + e*x))
      )^n*(Csc[d + e*x]^n/E^((-I)*n*(d + e*x)))   Int[SimplifyIntegrand[F^(c*(a + b*x))*(1/(E^(I*n*(d + e*x))*(1 - E
      ^(-2*I*(d + e*x)))^n)), x], x], x] /; FreeQ[{F, a, b, c, d, e}, x] &&  !IntegerQ[n]

4956. Int[(F_)^((c_.)*((a_.) + (b_.)*(x_)))*((f_) + (g_.)*Sin[(d_.) + (e_.)*(x_)])^(n_.), x_Symbol] :> Simp[2^n*f^n
      Int[F^(c*(a + b*x))*Cos[d/2 - f*(Pi/(4*g)) + e*(x/2)]^(2*n), x], x] /; FreeQ[{F, a, b, c, d, e, f, g}, x] &&
      EqQ[f^2 - g^2, 0] && ILtQ[n, 0]

4957. Int[(Cos[(d_.) + (e_.)*(x_)]*(g_.) + (f_))^(n_.)*(F_)^((c_.)*((a_.) + (b_.)*(x_))), x_Symbol] :> Simp[2^n*f^n
      Int[F^(c*(a + b*x))*Cos[d/2 + e*(x/2)]^(2*n), x], x] /; FreeQ[{F, a, b, c, d, e, f, g}, x] && EqQ[f - g, 0]
      && ILtQ[n, 0]

4958. Int[(Cos[(d_.) + (e_.)*(x_)]*(g_.) + (f_))^(n_.)*(F_)^((c_.)*((a_.) + (b_.)*(x_))), x_Symbol] :> Simp[2^n*f^n
      Int[F^(c*(a + b*x))*Sin[d/2 + e*(x/2)]^(2*n), x], x] /; FreeQ[{F, a, b, c, d, e, f, g}, x] && EqQ[f + g, 0]
      && ILtQ[n, 0]

4959. Int[(F_)^((c_.)*((a_.) + (b_.)*(x_)))*((f_) + (g_.)*Sin[(d_.) + (e_.)*(x_)])^(n_.), x_Symbol] :> Simp[(f + g*S
      in[d + e*x])^n/Cos[d/2 - f*(Pi/(4*g)) + e*(x/2)]^(2*n)   Int[F^(c*(a + b*x))*Cos[d/2 - f*(Pi/(4*g)) + e*(x/2)]
      ^(2*n), x], x] /; FreeQ[{F, a, b, c, d, e, f, g, n}, x] && EqQ[f^2 - g^2, 0] &&  !IntegerQ[n]

4960. Int[(Cos[(d_.) + (e_.)*(x_)]*(g_.) + (f_))^(n_.)*(F_)^((c_.)*((a_.) + (b_.)*(x_))), x_Symbol] :> Simp[(f + g*C
      os[d + e*x])^n/Cos[d/2 + e*(x/2)]^(2*n)   Int[F^(c*(a + b*x))*Cos[d/2 + e*(x/2)]^(2*n), x], x] /; FreeQ[{F, a,
      b, c, d, e, f, g, n}, x] && EqQ[f - g, 0] &&  !IntegerQ[n]

4961. Int[(Cos[(d_.) + (e_.)*(x_)]*(g_.) + (f_))^(n_.)*(F_)^((c_.)*((a_.) + (b_.)*(x_))), x_Symbol] :> Simp[(f + g*C
      os[d + e*x])^n/Sin[d/2 + e*(x/2)]^(2*n)   Int[F^(c*(a + b*x))*Sin[d/2 + e*(x/2)]^(2*n), x], x] /; FreeQ[{F, a,
      b, c, d, e, f, g, n}, x] && EqQ[f + g, 0] &&  !IntegerQ[n]

4962. Int[Cos[(d_.) + (e_.)*(x_)]^(m_.)*(F_)^((c_.)*((a_.) + (b_.)*(x_)))*((f_) + (g_.)*Sin[(d_.) + (e_.)*(x_)])^(n_
      .), x_Symbol] :> Simp[g^n   Int[F^(c*(a + b*x))*Tan[f*(Pi/(4*g)) - d/2 - e*(x/2)]^m, x], x] /; FreeQ[{F, a, b,
      c, d, e, f, g}, x] && EqQ[f^2 - g^2, 0] && IntegersQ[m, n] && EqQ[m + n, 0]

4963. Int[(Cos[(d_.) + (e_.)*(x_)]*(g_.) + (f_))^(n_.)*(F_)^((c_.)*((a_.) + (b_.)*(x_)))*Sin[(d_.) + (e_.)*(x_)]^(m_
      .), x_Symbol] :> Simp[f^n   Int[F^(c*(a + b*x))*Tan[d/2 + e*(x/2)]^m, x], x] /; FreeQ[{F, a, b, c, d, e, f, g}
      , x] && EqQ[f - g, 0] && IntegersQ[m, n] && EqQ[m + n, 0]

4964. Int[(Cos[(d_.) + (e_.)*(x_)]*(g_.) + (f_))^(n_.)*(F_)^((c_.)*((a_.) + (b_.)*(x_)))*Sin[(d_.) + (e_.)*(x_)]^(m_
      .), x_Symbol] :> Simp[f^n   Int[F^(c*(a + b*x))*Cot[d/2 + e*(x/2)]^m, x], x] /; FreeQ[{F, a, b, c, d, e, f, g}
      , x] && EqQ[f + g, 0] && IntegersQ[m, n] && EqQ[m + n, 0]

4965. Int[((F_)^((c_.)*((a_.) + (b_.)*(x_)))*(Cos[(d_.) + (e_.)*(x_)]*(i_.) + (h_)))/((f_) + (g_.)*Sin[(d_.) + (e_.)
      *(x_)]), x_Symbol] :> Simp[2*i   Int[F^(c*(a + b*x))*(Cos[d + e*x]/(f + g*Sin[d + e*x])), x], x] + Int[F^(c*(a
      + b*x))*((h - i*Cos[d + e*x])/(f + g*Sin[d + e*x])), x] /; FreeQ[{F, a, b, c, d, e, f, g, h, i}, x] && EqQ[f^
      2 - g^2, 0] && EqQ[h^2 - i^2, 0] && EqQ[g*h - f*i, 0]

4966. Int[((F_)^((c_.)*((a_.) + (b_.)*(x_)))*((h_) + (i_.)*Sin[(d_.) + (e_.)*(x_)]))/(Cos[(d_.) + (e_.)*(x_)]*(g_.)
      + (f_)), x_Symbol] :> Simp[2*i   Int[F^(c*(a + b*x))*(Sin[d + e*x]/(f + g*Cos[d + e*x])), x], x] + Int[F^(c*(a
      + b*x))*((h - i*Sin[d + e*x])/(f + g*Cos[d + e*x])), x] /; FreeQ[{F, a, b, c, d, e, f, g, h, i}, x] && EqQ[f^
      2 - g^2, 0] && EqQ[h^2 - i^2, 0] && EqQ[g*h + f*i, 0]

4967. Int[(F_)^((c_.)*(u_))*(G_)[v_]^(n_.), x_Symbol] :> Int[F^(c*ExpandToSum[u, x])*G[ExpandToSum[v, x]]^n, x] /; F
      reeQ[{F, c, n}, x] && TrigQ[G] && LinearQ[{u, v}, x] &&  !LinearMatchQ[{u, v}, x]

4968. Int[(F_)^((c_.)*((a_.) + (b_.)*(x_)))*((f_.)*(x_))^(m_.)*Sin[(d_.) + (e_.)*(x_)]^(n_.), x_Symbol] :> Module[{u
      = IntHide[F^(c*(a + b*x))*Sin[d + e*x]^n, x]}, Simp[(f*x)^m   u, x] - Simp[f*m   Int[(f*x)^(m - 1)*u, x], x]]
      /; FreeQ[{F, a, b, c, d, e, f}, x] && IGtQ[n, 0] && GtQ[m, 0]

4969. Int[Cos[(d_.) + (e_.)*(x_)]^(n_.)*(F_)^((c_.)*((a_.) + (b_.)*(x_)))*((f_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Module[{u
      = IntHide[F^(c*(a + b*x))*Cos[d + e*x]^n, x]}, Simp[(f*x)^m   u, x] - Simp[f*m   Int[(f*x)^(m - 1)*u, x], x]]
      /; FreeQ[{F, a, b, c, d, e, f}, x] && IGtQ[n, 0] && GtQ[m, 0]

4970. Int[(F_)^((c_.)*((a_.) + (b_.)*(x_)))*((f_.)*(x_))^(m_)*Sin[(d_.) + (e_.)*(x_)], x_Symbol] :> Simp[((f*x)^(m +
      1)/(f*(m + 1)))*F^(c*(a + b*x))*Sin[d + e*x], x] + (-Simp[e/(f*(m + 1))   Int[(f*x)^(m + 1)*F^(c*(a + b*x))*C
      os[d + e*x], x], x] - Simp[b*c*(Log[F]/(f*(m + 1)))   Int[(f*x)^(m + 1)*F^(c*(a + b*x))*Sin[d + e*x], x], x])
      /; FreeQ[{F, a, b, c, d, e, f, m}, x] && (LtQ[m, -1] || SumSimplerQ[m, 1])

4971. Int[Cos[(d_.) + (e_.)*(x_)]*(F_)^((c_.)*((a_.) + (b_.)*(x_)))*((f_.)*(x_))^(m_), x_Symbol] :> Simp[((f*x)^(m +
      1)/(f*(m + 1)))*F^(c*(a + b*x))*Cos[d + e*x], x] + (Simp[e/(f*(m + 1))   Int[(f*x)^(m + 1)*F^(c*(a + b*x))*Si
      n[d + e*x], x], x] - Simp[b*c*(Log[F]/(f*(m + 1)))   Int[(f*x)^(m + 1)*F^(c*(a + b*x))*Cos[d + e*x], x], x]) /
      ; FreeQ[{F, a, b, c, d, e, f, m}, x] && (LtQ[m, -1] || SumSimplerQ[m, 1])

4972. Int[Cos[(f_.) + (g_.)*(x_)]^(n_.)*(F_)^((c_.)*((a_.) + (b_.)*(x_)))*Sin[(d_.) + (e_.)*(x_)]^(m_.), x_Symbol] :
      > Int[ExpandTrigReduce[F^(c*(a + b*x)), Sin[d + e*x]^m*Cos[f + g*x]^n, x], x] /; FreeQ[{F, a, b, c, d, e, f, g
      }, x] && IGtQ[m, 0] && IGtQ[n, 0]

4973. Int[Cos[(f_.) + (g_.)*(x_)]^(n_.)*(F_)^((c_.)*((a_.) + (b_.)*(x_)))*(x_)^(p_.)*Sin[(d_.) + (e_.)*(x_)]^(m_.),
      x_Symbol] :> Int[ExpandTrigReduce[x^p*F^(c*(a + b*x)), Sin[d + e*x]^m*Cos[f + g*x]^n, x], x] /; FreeQ[{F, a, b
      , c, d, e, f, g}, x] && IGtQ[m, 0] && IGtQ[n, 0] && IGtQ[p, 0]

4974. Int[(F_)^((c_.)*((a_.) + (b_.)*(x_)))*(G_)[(d_.) + (e_.)*(x_)]^(m_.)*(H_)[(d_.) + (e_.)*(x_)]^(n_.), x_Symbol]
      :> Int[ExpandTrigToExp[F^(c*(a + b*x)), G[d + e*x]^m*H[d + e*x]^n, x], x] /; FreeQ[{F, a, b, c, d, e}, x] &&
      IGtQ[m, 0] && IGtQ[n, 0] && TrigQ[G] && TrigQ[H]

4975. Int[(F_)^(u_)*Sin[v_]^(n_.), x_Symbol] :> Int[ExpandTrigToExp[F^u, Sin[v]^n, x], x] /; FreeQ[F, x] && (LinearQ
      [u, x] || PolyQ[u, x, 2]) && (LinearQ[v, x] || PolyQ[v, x, 2]) && IGtQ[n, 0]

4976. Int[Cos[v_]^(n_.)*(F_)^(u_), x_Symbol] :> Int[ExpandTrigToExp[F^u, Cos[v]^n, x], x] /; FreeQ[F, x] && (LinearQ
      [u, x] || PolyQ[u, x, 2]) && (LinearQ[v, x] || PolyQ[v, x, 2]) && IGtQ[n, 0]

4977. Int[Cos[v_]^(n_.)*(F_)^(u_)*Sin[v_]^(m_.), x_Symbol] :> Int[ExpandTrigToExp[F^u, Sin[v]^m*Cos[v]^n, x], x] /;
      FreeQ[F, x] && (LinearQ[u, x] || PolyQ[u, x, 2]) && (LinearQ[v, x] || PolyQ[v, x, 2]) && IGtQ[m, 0] && IGtQ[n,
      0]

4978. Int[Sin[((a_.) + Log[(c_.)*(x_)^(n_.)]*(b_.))*(d_.)], x_Symbol] :> Simp[x*(Sin[d*(a + b*Log[c*x^n])]/(b^2*d^2*
      n^2 + 1)), x] - Simp[b*d*n*x*(Cos[d*(a + b*Log[c*x^n])]/(b^2*d^2*n^2 + 1)), x] /; FreeQ[{a, b, c, d, n}, x] &&
      NeQ[b^2*d^2*n^2 + 1, 0]

4979. Int[Cos[((a_.) + Log[(c_.)*(x_)^(n_.)]*(b_.))*(d_.)], x_Symbol] :> Simp[x*(Cos[d*(a + b*Log[c*x^n])]/(b^2*d^2*
      n^2 + 1)), x] + Simp[b*d*n*x*(Sin[d*(a + b*Log[c*x^n])]/(b^2*d^2*n^2 + 1)), x] /; FreeQ[{a, b, c, d, n}, x] &&
      NeQ[b^2*d^2*n^2 + 1, 0]

4980. Int[Sin[((a_.) + Log[(c_.)*(x_)^(n_.)]*(b_.))*(d_.)]^(p_), x_Symbol] :> Simp[x*(Sin[d*(a + b*Log[c*x^n])]^p/(b
      ^2*d^2*n^2*p^2 + 1)), x] + (-Simp[b*d*n*p*x*Cos[d*(a + b*Log[c*x^n])]*(Sin[d*(a + b*Log[c*x^n])]^(p - 1)/(b^2*
      d^2*n^2*p^2 + 1)), x] + Simp[b^2*d^2*n^2*p*((p - 1)/(b^2*d^2*n^2*p^2 + 1))   Int[Sin[d*(a + b*Log[c*x^n])]^(p
      - 2), x], x]) /; FreeQ[{a, b, c, d, n}, x] && IGtQ[p, 1] && NeQ[b^2*d^2*n^2*p^2 + 1, 0]

4981. Int[Cos[((a_.) + Log[(c_.)*(x_)^(n_.)]*(b_.))*(d_.)]^(p_), x_Symbol] :> Simp[x*(Cos[d*(a + b*Log[c*x^n])]^p/(b
      ^2*d^2*n^2*p^2 + 1)), x] + (Simp[b*d*n*p*x*Cos[d*(a + b*Log[c*x^n])]^(p - 1)*(Sin[d*(a + b*Log[c*x^n])]/(b^2*d
      ^2*n^2*p^2 + 1)), x] + Simp[b^2*d^2*n^2*p*((p - 1)/(b^2*d^2*n^2*p^2 + 1))   Int[Cos[d*(a + b*Log[c*x^n])]^(p -
      2), x], x]) /; FreeQ[{a, b, c, d, n}, x] && IGtQ[p, 1] && NeQ[b^2*d^2*n^2*p^2 + 1, 0]

4982. Int[Sin[((a_.) + Log[x_]*(b_.))*(d_.)]^(p_.), x_Symbol] :> Simp[1/(2^p*b^p*d^p*p^p)   Int[ExpandIntegrand[(E^(
      a*b*d^2*p)/x^p^(-1) - x^(1/p)/E^(a*b*d^2*p))^p, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, d}, x] && IGtQ[p, 0] && EqQ[b^2*d^2
      *p^2 + 1, 0]

4983. Int[Cos[((a_.) + Log[x_]*(b_.))*(d_.)]^(p_.), x_Symbol] :> Simp[1/2^p   Int[ExpandIntegrand[(E^(a*b*d^2*p)/x^p
      ^(-1) + x^(1/p)/E^(a*b*d^2*p))^p, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, d}, x] && IGtQ[p, 0] && EqQ[b^2*d^2*p^2 + 1, 0]

4984. Int[Sin[((a_.) + Log[x_]*(b_.))*(d_.)]^(p_), x_Symbol] :> Simp[Sin[d*(a + b*Log[x])]^p*(x^(I*b*d*p)/(1 - E^(2*
      I*a*d)*x^(2*I*b*d))^p)   Int[(1 - E^(2*I*a*d)*x^(2*I*b*d))^p/x^(I*b*d*p), x], x] /; FreeQ[{a, b, d, p}, x] &&
      !IntegerQ[p]

4985. Int[Cos[((a_.) + Log[x_]*(b_.))*(d_.)]^(p_), x_Symbol] :> Simp[Cos[d*(a + b*Log[x])]^p*(x^(I*b*d*p)/(1 + E^(2*
      I*a*d)*x^(2*I*b*d))^p)   Int[(1 + E^(2*I*a*d)*x^(2*I*b*d))^p/x^(I*b*d*p), x], x] /; FreeQ[{a, b, d, p}, x] &&
      !IntegerQ[p]

4986. Int[Sin[((a_.) + Log[(c_.)*(x_)^(n_.)]*(b_.))*(d_.)]^(p_.), x_Symbol] :> Simp[x/(n*(c*x^n)^(1/n))   Subst[Int[
      x^(1/n - 1)*Sin[d*(a + b*Log[x])]^p, x], x, c*x^n], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, n, p}, x] && (NeQ[c, 1] || NeQ[n,
      1])

4987. Int[Cos[((a_.) + Log[(c_.)*(x_)^(n_.)]*(b_.))*(d_.)]^(p_.), x_Symbol] :> Simp[x/(n*(c*x^n)^(1/n))   Subst[Int[
      x^(1/n - 1)*Cos[d*(a + b*Log[x])]^p, x], x, c*x^n], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, n, p}, x] && (NeQ[c, 1] || NeQ[n,
      1])

4988. Int[((e_.)*(x_))^(m_.)*Sin[((a_.) + Log[(c_.)*(x_)^(n_.)]*(b_.))*(d_.)], x_Symbol] :> Simp[(m + 1)*(e*x)^(m +
      1)*(Sin[d*(a + b*Log[c*x^n])]/(b^2*d^2*e*n^2 + e*(m + 1)^2)), x] - Simp[b*d*n*(e*x)^(m + 1)*(Cos[d*(a + b*Log[
      c*x^n])]/(b^2*d^2*e*n^2 + e*(m + 1)^2)), x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, m, n}, x] && NeQ[b^2*d^2*n^2 + (m + 1)^2,
      0]

4989. Int[Cos[((a_.) + Log[(c_.)*(x_)^(n_.)]*(b_.))*(d_.)]*((e_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Simp[(m + 1)*(e*x)^(m +
      1)*(Cos[d*(a + b*Log[c*x^n])]/(b^2*d^2*e*n^2 + e*(m + 1)^2)), x] + Simp[b*d*n*(e*x)^(m + 1)*(Sin[d*(a + b*Log[
      c*x^n])]/(b^2*d^2*e*n^2 + e*(m + 1)^2)), x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, m, n}, x] && NeQ[b^2*d^2*n^2 + (m + 1)^2,
      0]

4990. Int[((e_.)*(x_))^(m_.)*Sin[((a_.) + Log[(c_.)*(x_)^(n_.)]*(b_.))*(d_.)]^(p_), x_Symbol] :> Simp[(m + 1)*(e*x)^
      (m + 1)*(Sin[d*(a + b*Log[c*x^n])]^p/(b^2*d^2*e*n^2*p^2 + e*(m + 1)^2)), x] + (-Simp[b*d*n*p*(e*x)^(m + 1)*Cos
      [d*(a + b*Log[c*x^n])]*(Sin[d*(a + b*Log[c*x^n])]^(p - 1)/(b^2*d^2*e*n^2*p^2 + e*(m + 1)^2)), x] + Simp[b^2*d^
      2*n^2*p*((p - 1)/(b^2*d^2*n^2*p^2 + (m + 1)^2))   Int[(e*x)^m*Sin[d*(a + b*Log[c*x^n])]^(p - 2), x], x]) /; Fr
      eeQ[{a, b, c, d, e, m, n}, x] && IGtQ[p, 1] && NeQ[b^2*d^2*n^2*p^2 + (m + 1)^2, 0]

4991. Int[Cos[((a_.) + Log[(c_.)*(x_)^(n_.)]*(b_.))*(d_.)]^(p_)*((e_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Simp[(m + 1)*(e*x)^
      (m + 1)*(Cos[d*(a + b*Log[c*x^n])]^p/(b^2*d^2*e*n^2*p^2 + e*(m + 1)^2)), x] + (Simp[b*d*n*p*(e*x)^(m + 1)*Sin[
      d*(a + b*Log[c*x^n])]*(Cos[d*(a + b*Log[c*x^n])]^(p - 1)/(b^2*d^2*e*n^2*p^2 + e*(m + 1)^2)), x] + Simp[b^2*d^2
      *n^2*p*((p - 1)/(b^2*d^2*n^2*p^2 + (m + 1)^2))   Int[(e*x)^m*Cos[d*(a + b*Log[c*x^n])]^(p - 2), x], x]) /; Fre
      eQ[{a, b, c, d, e, m, n}, x] && IGtQ[p, 1] && NeQ[b^2*d^2*n^2*p^2 + (m + 1)^2, 0]

4992. Int[((e_.)*(x_))^(m_.)*Sin[((a_.) + Log[x_]*(b_.))*(d_.)]^(p_.), x_Symbol] :> Simp[(m + 1)^p/(2^p*b^p*d^p*p^p)
      Int[ExpandIntegrand[(e*x)^m*(E^(a*b*d^2*(p/(m + 1)))/x^((m + 1)/p) - x^((m + 1)/p)/E^(a*b*d^2*(p/(m + 1))))
      ^p, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, d, e, m}, x] && IGtQ[p, 0] && EqQ[b^2*d^2*p^2 + (m + 1)^2, 0]

4993. Int[Cos[((a_.) + Log[x_]*(b_.))*(d_.)]^(p_.)*((e_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Simp[1/2^p   Int[ExpandIntegrand
      [(e*x)^m*(E^(a*b*d^2*(p/(m + 1)))/x^((m + 1)/p) + x^((m + 1)/p)/E^(a*b*d^2*(p/(m + 1))))^p, x], x], x] /; Free
      Q[{a, b, d, e, m}, x] && IGtQ[p, 0] && EqQ[b^2*d^2*p^2 + (m + 1)^2, 0]

4994. Int[((e_.)*(x_))^(m_.)*Sin[((a_.) + Log[x_]*(b_.))*(d_.)]^(p_), x_Symbol] :> Simp[Sin[d*(a + b*Log[x])]^p*(x^(
      I*b*d*p)/(1 - E^(2*I*a*d)*x^(2*I*b*d))^p)   Int[(e*x)^m*((1 - E^(2*I*a*d)*x^(2*I*b*d))^p/x^(I*b*d*p)), x], x]
      /; FreeQ[{a, b, d, e, m, p}, x] &&  !IntegerQ[p]

4995. Int[Cos[((a_.) + Log[x_]*(b_.))*(d_.)]^(p_)*((e_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Simp[Cos[d*(a + b*Log[x])]^p*(x^(
      I*b*d*p)/(1 + E^(2*I*a*d)*x^(2*I*b*d))^p)   Int[(e*x)^m*((1 + E^(2*I*a*d)*x^(2*I*b*d))^p/x^(I*b*d*p)), x], x]
      /; FreeQ[{a, b, d, e, m, p}, x] &&  !IntegerQ[p]

4996. Int[((e_.)*(x_))^(m_.)*Sin[((a_.) + Log[(c_.)*(x_)^(n_.)]*(b_.))*(d_.)]^(p_.), x_Symbol] :> Simp[(e*x)^(m + 1)
      /(e*n*(c*x^n)^((m + 1)/n))   Subst[Int[x^((m + 1)/n - 1)*Sin[d*(a + b*Log[x])]^p, x], x, c*x^n], x] /; FreeQ[{
      a, b, c, d, e, m, n, p}, x] && (NeQ[c, 1] || NeQ[n, 1])

4997. Int[Cos[((a_.) + Log[(c_.)*(x_)^(n_.)]*(b_.))*(d_.)]^(p_.)*((e_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Simp[(e*x)^(m + 1)
      /(e*n*(c*x^n)^((m + 1)/n))   Subst[Int[x^((m + 1)/n - 1)*Cos[d*(a + b*Log[x])]^p, x], x, c*x^n], x] /; FreeQ[{
      a, b, c, d, e, m, n, p}, x] && (NeQ[c, 1] || NeQ[n, 1])

4998. Int[(((e_.) + Log[(g_.)*(x_)^(m_.)]*(f_.))*(h_.))^(q_.)*Sin[((a_.) + Log[(c_.)*(x_)^(n_.)]*(b_.))*(d_.)], x_Sy
      mbol] :> Simp[(I*(1/((c*x^n)^(I*b*d)*(2/x^(I*b*d*n)))))/E^(I*a*d)   Int[(h*(e + f*Log[g*x^m]))^q/x^(I*b*d*n),
      x], x] - Simp[I*E^(I*a*d)*((c*x^n)^(I*b*d)/(2*x^(I*b*d*n)))   Int[x^(I*b*d*n)*(h*(e + f*Log[g*x^m]))^q, x], x]
      /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, h, m, n, q}, x]

4999. Int[Cos[((a_.) + Log[(c_.)*(x_)^(n_.)]*(b_.))*(d_.)]*(((e_.) + Log[(g_.)*(x_)^(m_.)]*(f_.))*(h_.))^(q_.), x_Sy
      mbol] :> Simp[1/((c*x^n)^(I*b*d)*(2/x^(I*b*d*n)))/E^(I*a*d)   Int[(h*(e + f*Log[g*x^m]))^q/x^(I*b*d*n), x], x]
      + Simp[E^(I*a*d)*((c*x^n)^(I*b*d)/(2*x^(I*b*d*n)))   Int[x^(I*b*d*n)*(h*(e + f*Log[g*x^m]))^q, x], x] /; Free
      Q[{a, b, c, d, e, f, g, h, m, n, q}, x]

5000. Int[(((e_.) + Log[(g_.)*(x_)^(m_.)]*(f_.))*(h_.))^(q_.)*((i_.)*(x_))^(r_.)*Sin[((a_.) + Log[(c_.)*(x_)^(n_.)]*
      (b_.))*(d_.)], x_Symbol] :> Simp[(I*(i*x)^r*(1/((c*x^n)^(I*b*d)*(2*x^(r - I*b*d*n)))))/E^(I*a*d)   Int[x^(r -
      I*b*d*n)*(h*(e + f*Log[g*x^m]))^q, x], x] - Simp[I*E^(I*a*d)*(i*x)^r*((c*x^n)^(I*b*d)/(2*x^(r + I*b*d*n)))   I
      nt[x^(r + I*b*d*n)*(h*(e + f*Log[g*x^m]))^q, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, h, i, m, n, q, r}, x]

5001. Int[Cos[((a_.) + Log[(c_.)*(x_)^(n_.)]*(b_.))*(d_.)]*(((e_.) + Log[(g_.)*(x_)^(m_.)]*(f_.))*(h_.))^(q_.)*((i_.
      )*(x_))^(r_.), x_Symbol] :> Simp[((i*x)^r*(1/((c*x^n)^(I*b*d)*(2*x^(r - I*b*d*n)))))/E^(I*a*d)   Int[x^(r - I*
      b*d*n)*(h*(e + f*Log[g*x^m]))^q, x], x] + Simp[E^(I*a*d)*(i*x)^r*((c*x^n)^(I*b*d)/(2*x^(r + I*b*d*n)))   Int[x
      ^(r + I*b*d*n)*(h*(e + f*Log[g*x^m]))^q, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, h, i, m, n, q, r}, x]

5002. Int[Tan[((a_.) + Log[x_]*(b_.))*(d_.)]^(p_.), x_Symbol] :> Int[((I - I*E^(2*I*a*d)*x^(2*I*b*d))/(1 + E^(2*I*a*
      d)*x^(2*I*b*d)))^p, x] /; FreeQ[{a, b, d, p}, x]

5003. Int[Cot[((a_.) + Log[x_]*(b_.))*(d_.)]^(p_.), x_Symbol] :> Int[((-I - I*E^(2*I*a*d)*x^(2*I*b*d))/(1 - E^(2*I*a
      *d)*x^(2*I*b*d)))^p, x] /; FreeQ[{a, b, d, p}, x]

5004. Int[Tan[((a_.) + Log[(c_.)*(x_)^(n_.)]*(b_.))*(d_.)]^(p_.), x_Symbol] :> Simp[x/(n*(c*x^n)^(1/n))   Subst[Int[
      x^(1/n - 1)*Tan[d*(a + b*Log[x])]^p, x], x, c*x^n], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, n, p}, x] && (NeQ[c, 1] || NeQ[n,
      1])

5005. Int[Cot[((a_.) + Log[(c_.)*(x_)^(n_.)]*(b_.))*(d_.)]^(p_.), x_Symbol] :> Simp[x/(n*(c*x^n)^(1/n))   Subst[Int[
      x^(1/n - 1)*Cot[d*(a + b*Log[x])]^p, x], x, c*x^n], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, n, p}, x] && (NeQ[c, 1] || NeQ[n,
      1])

5006. Int[((e_.)*(x_))^(m_.)*Tan[((a_.) + Log[x_]*(b_.))*(d_.)]^(p_.), x_Symbol] :> Int[(e*x)^m*((I - I*E^(2*I*a*d)*
      x^(2*I*b*d))/(1 + E^(2*I*a*d)*x^(2*I*b*d)))^p, x] /; FreeQ[{a, b, d, e, m, p}, x]

5007. Int[Cot[((a_.) + Log[x_]*(b_.))*(d_.)]^(p_.)*((e_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Int[(e*x)^m*((-I - I*E^(2*I*a*d)
      *x^(2*I*b*d))/(1 - E^(2*I*a*d)*x^(2*I*b*d)))^p, x] /; FreeQ[{a, b, d, e, m, p}, x]

5008. Int[((e_.)*(x_))^(m_.)*Tan[((a_.) + Log[(c_.)*(x_)^(n_.)]*(b_.))*(d_.)]^(p_.), x_Symbol] :> Simp[(e*x)^(m + 1)
      /(e*n*(c*x^n)^((m + 1)/n))   Subst[Int[x^((m + 1)/n - 1)*Tan[d*(a + b*Log[x])]^p, x], x, c*x^n], x] /; FreeQ[{
      a, b, c, d, e, m, n, p}, x] && (NeQ[c, 1] || NeQ[n, 1])

5009. Int[Cot[((a_.) + Log[(c_.)*(x_)^(n_.)]*(b_.))*(d_.)]^(p_.)*((e_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Simp[(e*x)^(m + 1)
      /(e*n*(c*x^n)^((m + 1)/n))   Subst[Int[x^((m + 1)/n - 1)*Cot[d*(a + b*Log[x])]^p, x], x, c*x^n], x] /; FreeQ[{
      a, b, c, d, e, m, n, p}, x] && (NeQ[c, 1] || NeQ[n, 1])

5010. Int[Sec[((a_.) + Log[x_]*(b_.))*(d_.)]^(p_.), x_Symbol] :> Simp[2^p*E^(I*a*d*p)   Int[x^(I*b*d*p)/(1 + E^(2*I*
      a*d)*x^(2*I*b*d))^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, d}, x] && IntegerQ[p]

5011. Int[Csc[((a_.) + Log[x_]*(b_.))*(d_.)]^(p_.), x_Symbol] :> Simp[(-2*I)^p*E^(I*a*d*p)   Int[x^(I*b*d*p)/(1 - E^
      (2*I*a*d)*x^(2*I*b*d))^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, d}, x] && IntegerQ[p]

5012. Int[Sec[((a_.) + Log[x_]*(b_.))*(d_.)]^(p_.), x_Symbol] :> Simp[Sec[d*(a + b*Log[x])]^p*((1 + E^(2*I*a*d)*x^(2
      *I*b*d))^p/x^(I*b*d*p))   Int[x^(I*b*d*p)/(1 + E^(2*I*a*d)*x^(2*I*b*d))^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, d, p}, x] &&
      !IntegerQ[p]

5013. Int[Csc[((a_.) + Log[x_]*(b_.))*(d_.)]^(p_.), x_Symbol] :> Simp[Csc[d*(a + b*Log[x])]^p*((1 - E^(2*I*a*d)*x^(2
      *I*b*d))^p/x^(I*b*d*p))   Int[x^(I*b*d*p)/(1 - E^(2*I*a*d)*x^(2*I*b*d))^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, d, p}, x] &&
      !IntegerQ[p]

5014. Int[Sec[((a_.) + Log[(c_.)*(x_)^(n_.)]*(b_.))*(d_.)]^(p_.), x_Symbol] :> Simp[x/(n*(c*x^n)^(1/n))   Subst[Int[
      x^(1/n - 1)*Sec[d*(a + b*Log[x])]^p, x], x, c*x^n], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, n, p}, x] && (NeQ[c, 1] || NeQ[n,
      1])

5015. Int[Csc[((a_.) + Log[(c_.)*(x_)^(n_.)]*(b_.))*(d_.)]^(p_.), x_Symbol] :> Simp[x/(n*(c*x^n)^(1/n))   Subst[Int[
      x^(1/n - 1)*Csc[d*(a + b*Log[x])]^p, x], x, c*x^n], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, n, p}, x] && (NeQ[c, 1] || NeQ[n,
      1])

5016. Int[((e_.)*(x_))^(m_.)*Sec[((a_.) + Log[x_]*(b_.))*(d_.)]^(p_.), x_Symbol] :> Simp[2^p*E^(I*a*d*p)   Int[(e*x)
      ^m*(x^(I*b*d*p)/(1 + E^(2*I*a*d)*x^(2*I*b*d))^p), x], x] /; FreeQ[{a, b, d, e, m}, x] && IntegerQ[p]

5017. Int[Csc[((a_.) + Log[x_]*(b_.))*(d_.)]^(p_.)*((e_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Simp[(-2*I)^p*E^(I*a*d*p)   Int[
      (e*x)^m*(x^(I*b*d*p)/(1 - E^(2*I*a*d)*x^(2*I*b*d))^p), x], x] /; FreeQ[{a, b, d, e, m}, x] && IntegerQ[p]

5018. Int[((e_.)*(x_))^(m_.)*Sec[((a_.) + Log[x_]*(b_.))*(d_.)]^(p_.), x_Symbol] :> Simp[Sec[d*(a + b*Log[x])]^p*((1
      + E^(2*I*a*d)*x^(2*I*b*d))^p/x^(I*b*d*p))   Int[(e*x)^m*(x^(I*b*d*p)/(1 + E^(2*I*a*d)*x^(2*I*b*d))^p), x], x]
      /; FreeQ[{a, b, d, e, m, p}, x] &&  !IntegerQ[p]

5019. Int[Csc[((a_.) + Log[x_]*(b_.))*(d_.)]^(p_.)*((e_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Simp[Csc[d*(a + b*Log[x])]^p*((1
      - E^(2*I*a*d)*x^(2*I*b*d))^p/x^(I*b*d*p))   Int[(e*x)^m*(x^(I*b*d*p)/(1 - E^(2*I*a*d)*x^(2*I*b*d))^p), x], x]
      /; FreeQ[{a, b, d, e, m, p}, x] &&  !IntegerQ[p]

5020. Int[((e_.)*(x_))^(m_.)*Sec[((a_.) + Log[(c_.)*(x_)^(n_.)]*(b_.))*(d_.)]^(p_.), x_Symbol] :> Simp[(e*x)^(m + 1)
      /(e*n*(c*x^n)^((m + 1)/n))   Subst[Int[x^((m + 1)/n - 1)*Sec[d*(a + b*Log[x])]^p, x], x, c*x^n], x] /; FreeQ[{
      a, b, c, d, e, m, n, p}, x] && (NeQ[c, 1] || NeQ[n, 1])

5021. Int[Csc[((a_.) + Log[(c_.)*(x_)^(n_.)]*(b_.))*(d_.)]^(p_.)*((e_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Simp[(e*x)^(m + 1)
      /(e*n*(c*x^n)^((m + 1)/n))   Subst[Int[x^((m + 1)/n - 1)*Csc[d*(a + b*Log[x])]^p, x], x, c*x^n], x] /; FreeQ[{
      a, b, c, d, e, m, n, p}, x] && (NeQ[c, 1] || NeQ[n, 1])

5022. Int[Log[(b_.)*(x_)]*Sin[Log[(b_.)*(x_)]*(a_.)*(x_)], x_Symbol] :> Simp[-Cos[a*x*Log[b*x]]/a, x] - Int[Sin[a*x*
      Log[b*x]], x] /; FreeQ[{a, b}, x]

5023. Int[Cos[Log[(b_.)*(x_)]*(a_.)*(x_)]*Log[(b_.)*(x_)], x_Symbol] :> Simp[Sin[a*x*Log[b*x]]/a, x] - Int[Cos[a*x*L
      og[b*x]], x] /; FreeQ[{a, b}, x]

5024. Int[Log[(b_.)*(x_)]*(x_)^(m_.)*Sin[Log[(b_.)*(x_)]*(a_.)*(x_)^(n_.)], x_Symbol] :> Simp[-Cos[a*x^n*Log[b*x]]/(
      a*n), x] - Simp[1/n   Int[x^m*Sin[a*x^n*Log[b*x]], x], x] /; FreeQ[{a, b, m, n}, x] && EqQ[m, n - 1]

5025. Int[Cos[Log[(b_.)*(x_)]*(a_.)*(x_)^(n_.)]*Log[(b_.)*(x_)]*(x_)^(m_.), x_Symbol] :> Simp[Sin[a*x^n*Log[b*x]]/(a
      *n), x] - Simp[1/n   Int[x^m*Cos[a*x^n*Log[b*x]], x], x] /; FreeQ[{a, b, m, n}, x] && EqQ[m, n - 1]

5026. Int[(((e_.) + (f_.)*(x_))^(m_.)*Sin[(c_.) + (d_.)*(x_)]^(n_.))/((a_) + (b_.)*Sin[(c_.) + (d_.)*(x_)]), x_Symbo
      l] :> Simp[1/b   Int[(e + f*x)^m*Sin[c + d*x]^(n - 1), x], x] - Simp[a/b   Int[(e + f*x)^m*(Sin[c + d*x]^(n -
      1)/(a + b*Sin[c + d*x])), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && IGtQ[m, 0] && IGtQ[n, 0]

5027. Int[(Cos[(c_.) + (d_.)*(x_)]^(n_.)*((e_.) + (f_.)*(x_))^(m_.))/(Cos[(c_.) + (d_.)*(x_)]*(b_.) + (a_)), x_Symbo
      l] :> Simp[1/b   Int[(e + f*x)^m*Cos[c + d*x]^(n - 1), x], x] - Simp[a/b   Int[(e + f*x)^m*(Cos[c + d*x]^(n -
      1)/(a + b*Cos[c + d*x])), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && IGtQ[m, 0] && IGtQ[n, 0]

5028. Int[(Cos[(c_.) + (d_.)*(x_)]*((e_.) + (f_.)*(x_))^(m_.))/((a_) + (b_.)*Sin[(c_.) + (d_.)*(x_)]), x_Symbol] :>
      Simp[(-I)*((e + f*x)^(m + 1)/(b*f*(m + 1))), x] + Simp[2   Int[(e + f*x)^m*(E^(I*(c + d*x))/(a - I*b*E^(I*(c +
      d*x)))), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && IGtQ[m, 0] && EqQ[a^2 - b^2, 0]

5029. Int[(((e_.) + (f_.)*(x_))^(m_.)*Sin[(c_.) + (d_.)*(x_)])/(Cos[(c_.) + (d_.)*(x_)]*(b_.) + (a_)), x_Symbol] :>
      Simp[I*((e + f*x)^(m + 1)/(b*f*(m + 1))), x] - Simp[2*I   Int[(e + f*x)^m*(E^(I*(c + d*x))/(a + b*E^(I*(c + d*
      x)))), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && IGtQ[m, 0] && EqQ[a^2 - b^2, 0]

5030. Int[(Cos[(c_.) + (d_.)*(x_)]*((e_.) + (f_.)*(x_))^(m_.))/((a_) + (b_.)*Sin[(c_.) + (d_.)*(x_)]), x_Symbol] :>
      Simp[(-I)*((e + f*x)^(m + 1)/(b*f*(m + 1))), x] + (Int[(e + f*x)^m*(E^(I*(c + d*x))/(a - Rt[a^2 - b^2, 2] - I*
      b*E^(I*(c + d*x)))), x] + Int[(e + f*x)^m*(E^(I*(c + d*x))/(a + Rt[a^2 - b^2, 2] - I*b*E^(I*(c + d*x)))), x])
      /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && IGtQ[m, 0] && PosQ[a^2 - b^2]

5031. Int[(((e_.) + (f_.)*(x_))^(m_.)*Sin[(c_.) + (d_.)*(x_)])/(Cos[(c_.) + (d_.)*(x_)]*(b_.) + (a_)), x_Symbol] :>
      Simp[I*((e + f*x)^(m + 1)/(b*f*(m + 1))), x] + (-Simp[I   Int[(e + f*x)^m*(E^(I*(c + d*x))/(a - Rt[a^2 - b^2,
      2] + b*E^(I*(c + d*x)))), x], x] - Simp[I   Int[(e + f*x)^m*(E^(I*(c + d*x))/(a + Rt[a^2 - b^2, 2] + b*E^(I*(c
      + d*x)))), x], x]) /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && IGtQ[m, 0] && PosQ[a^2 - b^2]

5032. Int[(Cos[(c_.) + (d_.)*(x_)]*((e_.) + (f_.)*(x_))^(m_.))/((a_) + (b_.)*Sin[(c_.) + (d_.)*(x_)]), x_Symbol] :>
      Simp[(-I)*((e + f*x)^(m + 1)/(b*f*(m + 1))), x] + (Simp[I   Int[(e + f*x)^m*(E^(I*(c + d*x))/(I*a - Rt[-a^2 +
      b^2, 2] + b*E^(I*(c + d*x)))), x], x] + Simp[I   Int[(e + f*x)^m*(E^(I*(c + d*x))/(I*a + Rt[-a^2 + b^2, 2] + b
      *E^(I*(c + d*x)))), x], x]) /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && IGtQ[m, 0] && NegQ[a^2 - b^2]

5033. Int[(((e_.) + (f_.)*(x_))^(m_.)*Sin[(c_.) + (d_.)*(x_)])/(Cos[(c_.) + (d_.)*(x_)]*(b_.) + (a_)), x_Symbol] :>
      Simp[I*((e + f*x)^(m + 1)/(b*f*(m + 1))), x] + (Int[(e + f*x)^m*(E^(I*(c + d*x))/(I*a - Rt[-a^2 + b^2, 2] + I*
      b*E^(I*(c + d*x)))), x] + Int[(e + f*x)^m*(E^(I*(c + d*x))/(I*a + Rt[-a^2 + b^2, 2] + I*b*E^(I*(c + d*x)))), x
      ]) /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && IGtQ[m, 0] && NegQ[a^2 - b^2]

5034. Int[(Cos[(c_.) + (d_.)*(x_)]^(n_)*((e_.) + (f_.)*(x_))^(m_.))/((a_) + (b_.)*Sin[(c_.) + (d_.)*(x_)]), x_Symbol
      ] :> Simp[1/a   Int[(e + f*x)^m*Cos[c + d*x]^(n - 2), x], x] - Simp[1/b   Int[(e + f*x)^m*Cos[c + d*x]^(n - 2)
      *Sin[c + d*x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m}, x] && IGtQ[n, 1] && EqQ[a^2 - b^2, 0]

5035. Int[(((e_.) + (f_.)*(x_))^(m_.)*Sin[(c_.) + (d_.)*(x_)]^(n_))/(Cos[(c_.) + (d_.)*(x_)]*(b_.) + (a_)), x_Symbol
      ] :> Simp[1/a   Int[(e + f*x)^m*Sin[c + d*x]^(n - 2), x], x] - Simp[1/b   Int[(e + f*x)^m*Sin[c + d*x]^(n - 2)
      *Cos[c + d*x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m}, x] && IGtQ[n, 1] && EqQ[a^2 - b^2, 0]

5036. Int[(Cos[(c_.) + (d_.)*(x_)]^(n_)*((e_.) + (f_.)*(x_))^(m_.))/((a_) + (b_.)*Sin[(c_.) + (d_.)*(x_)]), x_Symbol
      ] :> Simp[a/b^2   Int[(e + f*x)^m*Cos[c + d*x]^(n - 2), x], x] + (-Simp[1/b   Int[(e + f*x)^m*Cos[c + d*x]^(n
      - 2)*Sin[c + d*x], x], x] - Simp[(a^2 - b^2)/b^2   Int[(e + f*x)^m*(Cos[c + d*x]^(n - 2)/(a + b*Sin[c + d*x]))
      , x], x]) /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && IGtQ[n, 1] && NeQ[a^2 - b^2, 0] && IGtQ[m, 0]

5037. Int[(((e_.) + (f_.)*(x_))^(m_.)*Sin[(c_.) + (d_.)*(x_)]^(n_))/(Cos[(c_.) + (d_.)*(x_)]*(b_.) + (a_)), x_Symbol
      ] :> Simp[a/b^2   Int[(e + f*x)^m*Sin[c + d*x]^(n - 2), x], x] + (-Simp[1/b   Int[(e + f*x)^m*Sin[c + d*x]^(n
      - 2)*Cos[c + d*x], x], x] - Simp[(a^2 - b^2)/b^2   Int[(e + f*x)^m*(Sin[c + d*x]^(n - 2)/(a + b*Cos[c + d*x]))
      , x], x]) /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && IGtQ[n, 1] && NeQ[a^2 - b^2, 0] && IGtQ[m, 0]

5038. Int[(((e_.) + (f_.)*(x_))^(m_.)*Tan[(c_.) + (d_.)*(x_)]^(n_.))/((a_) + (b_.)*Sin[(c_.) + (d_.)*(x_)]), x_Symbo
      l] :> Simp[1/b   Int[(e + f*x)^m*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x]^(n - 1), x], x] - Simp[a/b   Int[(e + f*x)^m*Sec[c
      + d*x]*(Tan[c + d*x]^(n - 1)/(a + b*Sin[c + d*x])), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && IGtQ[m, 0] && IG
      tQ[n, 0]

5039. Int[(Cot[(c_.) + (d_.)*(x_)]^(n_.)*((e_.) + (f_.)*(x_))^(m_.))/(Cos[(c_.) + (d_.)*(x_)]*(b_.) + (a_)), x_Symbo
      l] :> Simp[1/b   Int[(e + f*x)^m*Csc[c + d*x]*Cot[c + d*x]^(n - 1), x], x] - Simp[a/b   Int[(e + f*x)^m*Csc[c
      + d*x]*(Cot[c + d*x]^(n - 1)/(a + b*Cos[c + d*x])), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && IGtQ[m, 0] && IG
      tQ[n, 0]

5040. Int[(Cot[(c_.) + (d_.)*(x_)]^(n_.)*((e_.) + (f_.)*(x_))^(m_.))/((a_) + (b_.)*Sin[(c_.) + (d_.)*(x_)]), x_Symbo
      l] :> Simp[1/a   Int[(e + f*x)^m*Cot[c + d*x]^n, x], x] - Simp[b/a   Int[(e + f*x)^m*Cos[c + d*x]*(Cot[c + d*x
      ]^(n - 1)/(a + b*Sin[c + d*x])), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && IGtQ[m, 0] && IGtQ[n, 0]

5041. Int[(((e_.) + (f_.)*(x_))^(m_.)*Tan[(c_.) + (d_.)*(x_)]^(n_.))/(Cos[(c_.) + (d_.)*(x_)]*(b_.) + (a_)), x_Symbo
      l] :> Simp[1/a   Int[(e + f*x)^m*Tan[c + d*x]^n, x], x] - Simp[b/a   Int[(e + f*x)^m*Sin[c + d*x]*(Tan[c + d*x
      ]^(n - 1)/(a + b*Cos[c + d*x])), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && IGtQ[m, 0] && IGtQ[n, 0]

5042. Int[(((e_.) + (f_.)*(x_))^(m_.)*Sec[(c_.) + (d_.)*(x_)]^(n_.))/((a_) + (b_.)*Sin[(c_.) + (d_.)*(x_)]), x_Symbo
      l] :> Simp[1/a   Int[(e + f*x)^m*Sec[c + d*x]^(n + 2), x], x] - Simp[1/b   Int[(e + f*x)^m*Sec[c + d*x]^(n + 1
      )*Tan[c + d*x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, n}, x] && IGtQ[m, 0] && EqQ[a^2 - b^2, 0]

5043. Int[(Csc[(c_.) + (d_.)*(x_)]^(n_.)*((e_.) + (f_.)*(x_))^(m_.))/(Cos[(c_.) + (d_.)*(x_)]*(b_.) + (a_)), x_Symbo
      l] :> Simp[1/a   Int[(e + f*x)^m*Csc[c + d*x]^(n + 2), x], x] - Simp[1/b   Int[(e + f*x)^m*Csc[c + d*x]^(n + 1
      )*Cot[c + d*x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, n}, x] && IGtQ[m, 0] && EqQ[a^2 - b^2, 0]

5044. Int[(((e_.) + (f_.)*(x_))^(m_.)*Sec[(c_.) + (d_.)*(x_)]^(n_.))/((a_) + (b_.)*Sin[(c_.) + (d_.)*(x_)]), x_Symbo
      l] :> Simp[-b^2/(a^2 - b^2)   Int[(e + f*x)^m*(Sec[c + d*x]^(n - 2)/(a + b*Sin[c + d*x])), x], x] + Simp[1/(a^
      2 - b^2)   Int[(e + f*x)^m*Sec[c + d*x]^n*(a - b*Sin[c + d*x]), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && IGtQ
      [m, 0] && NeQ[a^2 - b^2, 0] && IGtQ[n, 0]

5045. Int[(Csc[(c_.) + (d_.)*(x_)]^(n_.)*((e_.) + (f_.)*(x_))^(m_.))/(Cos[(c_.) + (d_.)*(x_)]*(b_.) + (a_)), x_Symbo
      l] :> Simp[-b^2/(a^2 - b^2)   Int[(e + f*x)^m*(Csc[c + d*x]^(n - 2)/(a + b*Cos[c + d*x])), x], x] + Simp[1/(a^
      2 - b^2)   Int[(e + f*x)^m*Csc[c + d*x]^n*(a - b*Cos[c + d*x]), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && IGtQ
      [m, 0] && NeQ[a^2 - b^2, 0] && IGtQ[n, 0]

5046. Int[(Csc[(c_.) + (d_.)*(x_)]^(n_.)*((e_.) + (f_.)*(x_))^(m_.))/((a_) + (b_.)*Sin[(c_.) + (d_.)*(x_)]), x_Symbo
      l] :> Simp[1/a   Int[(e + f*x)^m*Csc[c + d*x]^n, x], x] - Simp[b/a   Int[(e + f*x)^m*(Csc[c + d*x]^(n - 1)/(a
      + b*Sin[c + d*x])), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && IGtQ[m, 0] && IGtQ[n, 0]

5047. Int[(((e_.) + (f_.)*(x_))^(m_.)*Sec[(c_.) + (d_.)*(x_)]^(n_.))/(Cos[(c_.) + (d_.)*(x_)]*(b_.) + (a_)), x_Symbo
      l] :> Simp[1/a   Int[(e + f*x)^m*Sec[c + d*x]^n, x], x] - Simp[b/a   Int[(e + f*x)^m*(Sec[c + d*x]^(n - 1)/(a
      + b*Cos[c + d*x])), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && IGtQ[m, 0] && IGtQ[n, 0]

5048. Int[(((e_.) + (f_.)*(x_))^(m_.)*(F_)[(c_.) + (d_.)*(x_)]^(n_.))/((a_) + (b_.)*Sin[(c_.) + (d_.)*(x_)]), x_Symb
      ol] :> Unintegrable[((e + f*x)^m*F[c + d*x]^n)/(a + b*Sin[c + d*x]), x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m, n}, x]
      && TrigQ[F]

5049. Int[(((e_.) + (f_.)*(x_))^(m_.)*(F_)[(c_.) + (d_.)*(x_)]^(n_.))/(Cos[(c_.) + (d_.)*(x_)]*(b_.) + (a_)), x_Symb
      ol] :> Unintegrable[((e + f*x)^m*F[c + d*x]^n)/(a + b*Cos[c + d*x]), x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m, n}, x]
      && TrigQ[F]

5050. Int[(Cos[(c_.) + (d_.)*(x_)]^(p_.)*((e_.) + (f_.)*(x_))^(m_.)*Sin[(c_.) + (d_.)*(x_)]^(n_.))/((a_) + (b_.)*Sin
      [(c_.) + (d_.)*(x_)]), x_Symbol] :> Simp[1/b   Int[(e + f*x)^m*Cos[c + d*x]^p*Sin[c + d*x]^(n - 1), x], x] - S
      imp[a/b   Int[(e + f*x)^m*Cos[c + d*x]^p*(Sin[c + d*x]^(n - 1)/(a + b*Sin[c + d*x])), x], x] /; FreeQ[{a, b, c
      , d, e, f}, x] && IGtQ[m, 0] && IGtQ[n, 0] && IGtQ[p, 0]

5051. Int[(Cos[(c_.) + (d_.)*(x_)]^(n_.)*((e_.) + (f_.)*(x_))^(m_.)*Sin[(c_.) + (d_.)*(x_)]^(p_.))/(Cos[(c_.) + (d_.
      )*(x_)]*(b_.) + (a_)), x_Symbol] :> Simp[1/b   Int[(e + f*x)^m*Sin[c + d*x]^p*Cos[c + d*x]^(n - 1), x], x] - S
      imp[a/b   Int[(e + f*x)^m*Sin[c + d*x]^p*(Cos[c + d*x]^(n - 1)/(a + b*Cos[c + d*x])), x], x] /; FreeQ[{a, b, c
      , d, e, f}, x] && IGtQ[m, 0] && IGtQ[n, 0] && IGtQ[p, 0]

5052. Int[(Cos[(c_.) + (d_.)*(x_)]^(p_.)*((e_.) + (f_.)*(x_))^(m_.)*Tan[(c_.) + (d_.)*(x_)]^(n_.))/((a_) + (b_.)*Sin
      [(c_.) + (d_.)*(x_)]), x_Symbol] :> Simp[1/b   Int[(e + f*x)^m*Cos[c + d*x]^(p - 1)*Tan[c + d*x]^(n - 1), x],
      x] - Simp[a/b   Int[(e + f*x)^m*Cos[c + d*x]^(p - 1)*(Tan[c + d*x]^(n - 1)/(a + b*Sin[c + d*x])), x], x] /; Fr
      eeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && IGtQ[m, 0] && IGtQ[n, 0] && IGtQ[p, 0]

5053. Int[(Cot[(c_.) + (d_.)*(x_)]^(n_.)*((e_.) + (f_.)*(x_))^(m_.)*Sin[(c_.) + (d_.)*(x_)]^(p_.))/(Cos[(c_.) + (d_.
      )*(x_)]*(b_.) + (a_)), x_Symbol] :> Simp[1/b   Int[(e + f*x)^m*Sin[c + d*x]^(p - 1)*Cot[c + d*x]^(n - 1), x],
      x] - Simp[a/b   Int[(e + f*x)^m*Sin[c + d*x]^(p - 1)*(Cot[c + d*x]^(n - 1)/(a + b*Cos[c + d*x])), x], x] /; Fr
      eeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && IGtQ[m, 0] && IGtQ[n, 0] && IGtQ[p, 0]

5054. Int[(Cos[(c_.) + (d_.)*(x_)]^(p_.)*Cot[(c_.) + (d_.)*(x_)]^(n_.)*((e_.) + (f_.)*(x_))^(m_.))/((a_) + (b_.)*Sin
      [(c_.) + (d_.)*(x_)]), x_Symbol] :> Simp[1/a   Int[(e + f*x)^m*Cos[c + d*x]^p*Cot[c + d*x]^n, x], x] - Simp[b/
      a   Int[(e + f*x)^m*Cos[c + d*x]^(p + 1)*(Cot[c + d*x]^(n - 1)/(a + b*Sin[c + d*x])), x], x] /; FreeQ[{a, b, c
      , d, e, f}, x] && IGtQ[m, 0] && IGtQ[n, 0] && IGtQ[p, 0]

5055. Int[(((e_.) + (f_.)*(x_))^(m_.)*Sin[(c_.) + (d_.)*(x_)]^(p_.)*Tan[(c_.) + (d_.)*(x_)]^(n_.))/(Cos[(c_.) + (d_.
      )*(x_)]*(b_.) + (a_)), x_Symbol] :> Simp[1/a   Int[(e + f*x)^m*Sin[c + d*x]^p*Tan[c + d*x]^n, x], x] - Simp[b/
      a   Int[(e + f*x)^m*Sin[c + d*x]^(p + 1)*(Tan[c + d*x]^(n - 1)/(a + b*Cos[c + d*x])), x], x] /; FreeQ[{a, b, c
      , d, e, f}, x] && IGtQ[m, 0] && IGtQ[n, 0] && IGtQ[p, 0]

5056. Int[(Cos[(c_.) + (d_.)*(x_)]^(p_.)*Csc[(c_.) + (d_.)*(x_)]^(n_.)*((e_.) + (f_.)*(x_))^(m_.))/((a_) + (b_.)*Sin
      [(c_.) + (d_.)*(x_)]), x_Symbol] :> Simp[1/a   Int[(e + f*x)^m*Cos[c + d*x]^p*Csc[c + d*x]^n, x], x] - Simp[b/
      a   Int[(e + f*x)^m*Cos[c + d*x]^p*(Csc[c + d*x]^(n - 1)/(a + b*Sin[c + d*x])), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e
      , f}, x] && IGtQ[m, 0] && IGtQ[n, 0] && IGtQ[p, 0]

5057. Int[(((e_.) + (f_.)*(x_))^(m_.)*Sec[(c_.) + (d_.)*(x_)]^(n_.)*Sin[(c_.) + (d_.)*(x_)]^(p_.))/(Cos[(c_.) + (d_.
      )*(x_)]*(b_.) + (a_)), x_Symbol] :> Simp[1/a   Int[(e + f*x)^m*Sin[c + d*x]^p*Sec[c + d*x]^n, x], x] - Simp[b/
      a   Int[(e + f*x)^m*Sin[c + d*x]^p*(Sec[c + d*x]^(n - 1)/(a + b*Cos[c + d*x])), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e
      , f}, x] && IGtQ[m, 0] && IGtQ[n, 0] && IGtQ[p, 0]

5058. Int[(Cos[(c_.) + (d_.)*(x_)]^(p_.)*((e_.) + (f_.)*(x_))^(m_.)*(F_)[(c_.) + (d_.)*(x_)]^(n_.))/((a_) + (b_.)*Si
      n[(c_.) + (d_.)*(x_)]), x_Symbol] :> Unintegrable[((e + f*x)^m*Cos[c + d*x]^p*F[c + d*x]^n)/(a + b*Sin[c + d*x
      ]), x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m, n, p}, x] && TrigQ[F]

5059. Int[(((e_.) + (f_.)*(x_))^(m_.)*Sin[(c_.) + (d_.)*(x_)]^(p_.)*(F_)[(c_.) + (d_.)*(x_)]^(n_.))/(Cos[(c_.) + (d_
      .)*(x_)]*(b_.) + (a_)), x_Symbol] :> Unintegrable[((e + f*x)^m*F[c + d*x]^n*Sin[c + d*x]^p)/(a + b*Cos[c + d*x
      ]), x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m, n}, x] && TrigQ[F]

5060. Int[(((e_.) + (f_.)*(x_))^(m_.)*(F_)[(c_.) + (d_.)*(x_)]^(n_.))/((a_) + (b_.)*Sec[(c_.) + (d_.)*(x_)]), x_Symb
      ol] :> Int[(e + f*x)^m*Cos[c + d*x]*(F[c + d*x]^n/(b + a*Cos[c + d*x])), x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] &&
      TrigQ[F] && IntegersQ[m, n]

5061. Int[(((e_.) + (f_.)*(x_))^(m_.)*(F_)[(c_.) + (d_.)*(x_)]^(n_.))/(Csc[(c_.) + (d_.)*(x_)]*(b_.) + (a_)), x_Symb
      ol] :> Int[(e + f*x)^m*Sin[c + d*x]*(F[c + d*x]^n/(b + a*Sin[c + d*x])), x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] &&
      TrigQ[F] && IntegersQ[m, n]

5062. Int[(((e_.) + (f_.)*(x_))^(m_.)*(F_)[(c_.) + (d_.)*(x_)]^(n_.)*(G_)[(c_.) + (d_.)*(x_)]^(p_.))/((a_) + (b_.)*S
      ec[(c_.) + (d_.)*(x_)]), x_Symbol] :> Int[(e + f*x)^m*Cos[c + d*x]*F[c + d*x]^n*(G[c + d*x]^p/(b + a*Cos[c + d
      *x])), x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && TrigQ[F] && TrigQ[G] && IntegersQ[m, n, p]

5063. Int[(((e_.) + (f_.)*(x_))^(m_.)*(F_)[(c_.) + (d_.)*(x_)]^(n_.)*(G_)[(c_.) + (d_.)*(x_)]^(p_.))/(Csc[(c_.) + (d
      _.)*(x_)]*(b_.) + (a_)), x_Symbol] :> Int[(e + f*x)^m*Sin[c + d*x]*F[c + d*x]^n*(G[c + d*x]^p/(b + a*Sin[c + d
      *x])), x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && TrigQ[F] && TrigQ[G] && IntegersQ[m, n, p]

5064. Int[Sin[(a_.) + (b_.)*(x_)]^(p_.)*Sin[(c_.) + (d_.)*(x_)]^(q_.), x_Symbol] :> Simp[1/2^(p + q)   Int[ExpandInt
      egrand[(I/E^(I*(c + d*x)) - I*E^(I*(c + d*x)))^q, (I/E^(I*(a + b*x)) - I*E^(I*(a + b*x)))^p, x], x], x] /; Fre
      eQ[{a, b, c, d, q}, x] && IGtQ[p, 0] &&  !IntegerQ[q]

5065. Int[Cos[(a_.) + (b_.)*(x_)]^(p_.)*Cos[(c_.) + (d_.)*(x_)]^(q_.), x_Symbol] :> Simp[1/2^(p + q)   Int[ExpandInt
      egrand[(E^((-I)*(c + d*x)) + E^(I*(c + d*x)))^q, (E^((-I)*(a + b*x)) + E^(I*(a + b*x)))^p, x], x], x] /; FreeQ
      [{a, b, c, d, q}, x] && IGtQ[p, 0] &&  !IntegerQ[q]

5066. Int[Cos[(c_.) + (d_.)*(x_)]^(q_.)*Sin[(a_.) + (b_.)*(x_)]^(p_.), x_Symbol] :> Simp[1/2^(p + q)   Int[ExpandInt
      egrand[(E^((-I)*(c + d*x)) + E^(I*(c + d*x)))^q, (I/E^(I*(a + b*x)) - I*E^(I*(a + b*x)))^p, x], x], x] /; Free
      Q[{a, b, c, d, q}, x] && IGtQ[p, 0] &&  !IntegerQ[q]

5067. Int[Cos[(a_.) + (b_.)*(x_)]^(p_.)*Sin[(c_.) + (d_.)*(x_)]^(q_.), x_Symbol] :> Simp[1/2^(p + q)   Int[ExpandInt
      egrand[(I/E^(I*(c + d*x)) - I*E^(I*(c + d*x)))^q, (E^((-I)*(a + b*x)) + E^(I*(a + b*x)))^p, x], x], x] /; Free
      Q[{a, b, c, d, q}, x] && IGtQ[p, 0] &&  !IntegerQ[q]

5068. Int[Sin[(a_.) + (b_.)*(x_)]*Tan[(c_.) + (d_.)*(x_)], x_Symbol] :> Int[1/(E^(I*(a + b*x))*2) - E^(I*(a + b*x))/
      2 - 1/(E^(I*(a + b*x))*(1 + E^(2*I*(c + d*x)))) + E^(I*(a + b*x))/(1 + E^(2*I*(c + d*x))), x] /; FreeQ[{a, b,
      c, d}, x] && NeQ[b^2 - d^2, 0]

5069. Int[Cos[(a_.) + (b_.)*(x_)]*Cot[(c_.) + (d_.)*(x_)], x_Symbol] :> Int[I*(1/(E^(I*(a + b*x))*2)) + I*(E^(I*(a +
      b*x))/2) - I*(1/(E^(I*(a + b*x))*(1 - E^(2*I*(c + d*x))))) - I*(E^(I*(a + b*x))/(1 - E^(2*I*(c + d*x)))), x]
      /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && NeQ[b^2 - d^2, 0]

5070. Int[Cot[(c_.) + (d_.)*(x_)]*Sin[(a_.) + (b_.)*(x_)], x_Symbol] :> Int[-E^((-I)*(a + b*x))/2 + E^(I*(a + b*x))/
      2 + 1/(E^(I*(a + b*x))*(1 - E^(2*I*(c + d*x)))) - E^(I*(a + b*x))/(1 - E^(2*I*(c + d*x))), x] /; FreeQ[{a, b,
      c, d}, x] && NeQ[b^2 - d^2, 0]

5071. Int[Cos[(a_.) + (b_.)*(x_)]*Tan[(c_.) + (d_.)*(x_)], x_Symbol] :> Int[(-I)*(1/(E^(I*(a + b*x))*2)) - I*(E^(I*(
      a + b*x))/2) + I*(1/(E^(I*(a + b*x))*(1 + E^(2*I*(c + d*x))))) + I*(E^(I*(a + b*x))/(1 + E^(2*I*(c + d*x)))),
      x] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && NeQ[b^2 - d^2, 0]

5072. Int[Sin[(a_.)/((c_.) + (d_.)*(x_))]^(n_.), x_Symbol] :> Simp[-d^(-1)   Subst[Int[Sin[a*x]^n/x^2, x], x, 1/(c +
      d*x)], x] /; FreeQ[{a, c, d}, x] && IGtQ[n, 0]

5073. Int[Cos[(a_.)/((c_.) + (d_.)*(x_))]^(n_.), x_Symbol] :> Simp[-d^(-1)   Subst[Int[Cos[a*x]^n/x^2, x], x, 1/(c +
      d*x)], x] /; FreeQ[{a, c, d}, x] && IGtQ[n, 0]

5074. Int[Sin[((e_.)*((a_.) + (b_.)*(x_)))/((c_.) + (d_.)*(x_))]^(n_.), x_Symbol] :> Simp[-d^(-1)   Subst[Int[Sin[b*
      (e/d) - e*(b*c - a*d)*(x/d)]^n/x^2, x], x, 1/(c + d*x)], x] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && IGtQ[n, 0] && NeQ[b*c
      - a*d, 0]

5075. Int[Cos[((e_.)*((a_.) + (b_.)*(x_)))/((c_.) + (d_.)*(x_))]^(n_.), x_Symbol] :> Simp[-d^(-1)   Subst[Int[Cos[b*
      (e/d) - e*(b*c - a*d)*(x/d)]^n/x^2, x], x, 1/(c + d*x)], x] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && IGtQ[n, 0] && NeQ[b*c
      - a*d, 0]

5076. Int[Sin[u_]^(n_.), x_Symbol] :> Module[{lst = QuotientOfLinearsParts[u, x]}, Int[Sin[(lst[[1]] + lst[[2]]*x)/(
      lst[[3]] + lst[[4]]*x)]^n, x]] /; IGtQ[n, 0] && QuotientOfLinearsQ[u, x]

5077. Int[Cos[u_]^(n_.), x_Symbol] :> Module[{lst = QuotientOfLinearsParts[u, x]}, Int[Cos[(lst[[1]] + lst[[2]]*x)/(
      lst[[3]] + lst[[4]]*x)]^n, x]] /; IGtQ[n, 0] && QuotientOfLinearsQ[u, x]

5078. Int[(u_.)*Sin[v_]^(p_.)*Sin[w_]^(q_.), x_Symbol] :> Int[u*Sin[v]^(p + q), x] /; EqQ[w, v]

5079. Int[Cos[v_]^(p_.)*Cos[w_]^(q_.)*(u_.), x_Symbol] :> Int[u*Cos[v]^(p + q), x] /; EqQ[w, v]

5080. Int[Sin[v_]^(p_.)*Sin[w_]^(q_.), x_Symbol] :> Int[ExpandTrigReduce[Sin[v]^p*Sin[w]^q, x], x] /; ((PolynomialQ[
      v, x] && PolynomialQ[w, x]) || (BinomialQ[{v, w}, x] && IndependentQ[Cancel[v/w], x])) && IGtQ[p, 0] && IGtQ[q
      , 0]

5081. Int[Cos[v_]^(p_.)*Cos[w_]^(q_.), x_Symbol] :> Int[ExpandTrigReduce[Cos[v]^p*Cos[w]^q, x], x] /; ((PolynomialQ[
      v, x] && PolynomialQ[w, x]) || (BinomialQ[{v, w}, x] && IndependentQ[Cancel[v/w], x])) && IGtQ[p, 0] && IGtQ[q
      , 0]

5082. Int[(x_)^(m_.)*Sin[v_]^(p_.)*Sin[w_]^(q_.), x_Symbol] :> Int[ExpandTrigReduce[x^m, Sin[v]^p*Sin[w]^q, x], x] /
      ; IGtQ[m, 0] && IGtQ[p, 0] && IGtQ[q, 0] && ((PolynomialQ[v, x] && PolynomialQ[w, x]) || (BinomialQ[{v, w}, x]
      && IndependentQ[Cancel[v/w], x]))

5083. Int[Cos[v_]^(p_.)*Cos[w_]^(q_.)*(x_)^(m_.), x_Symbol] :> Int[ExpandTrigReduce[x^m, Cos[v]^p*Cos[w]^q, x], x] /
      ; IGtQ[m, 0] && IGtQ[p, 0] && IGtQ[q, 0] && ((PolynomialQ[v, x] && PolynomialQ[w, x]) || (BinomialQ[{v, w}, x]
      && IndependentQ[Cancel[v/w], x]))

5084. Int[Cos[w_]^(p_.)*(u_.)*Sin[v_]^(p_.), x_Symbol] :> Simp[1/2^p   Int[u*Sin[2*v]^p, x], x] /; EqQ[w, v] && Inte
      gerQ[p]

5085. Int[Cos[w_]^(q_.)*Sin[v_]^(p_.), x_Symbol] :> Int[ExpandTrigReduce[Sin[v]^p*Cos[w]^q, x], x] /; IGtQ[p, 0] &&
      IGtQ[q, 0] && ((PolynomialQ[v, x] && PolynomialQ[w, x]) || (BinomialQ[{v, w}, x] && IndependentQ[Cancel[v/w],
      x]))

5086. Int[Cos[w_]^(q_.)*(x_)^(m_.)*Sin[v_]^(p_.), x_Symbol] :> Int[ExpandTrigReduce[x^m, Sin[v]^p*Cos[w]^q, x], x] /
      ; IGtQ[m, 0] && IGtQ[p, 0] && IGtQ[q, 0] && ((PolynomialQ[v, x] && PolynomialQ[w, x]) || (BinomialQ[{v, w}, x]
      && IndependentQ[Cancel[v/w], x]))

5087. Int[Sin[v_]*Tan[w_]^(n_.), x_Symbol] :> -Int[Cos[v]*Tan[w]^(n - 1), x] + Simp[Cos[v - w]   Int[Sec[w]*Tan[w]^(
      n - 1), x], x] /; GtQ[n, 0] && FreeQ[v - w, x] && NeQ[w, v]

5088. Int[Cos[v_]*Cot[w_]^(n_.), x_Symbol] :> -Int[Sin[v]*Cot[w]^(n - 1), x] + Simp[Cos[v - w]   Int[Csc[w]*Cot[w]^(
      n - 1), x], x] /; GtQ[n, 0] && FreeQ[v - w, x] && NeQ[w, v]

5089. Int[Cot[w_]^(n_.)*Sin[v_], x_Symbol] :> Int[Cos[v]*Cot[w]^(n - 1), x] + Simp[Sin[v - w]   Int[Csc[w]*Cot[w]^(n
      - 1), x], x] /; GtQ[n, 0] && FreeQ[v - w, x] && NeQ[w, v]

5090. Int[Cos[v_]*Tan[w_]^(n_.), x_Symbol] :> Int[Sin[v]*Tan[w]^(n - 1), x] - Simp[Sin[v - w]   Int[Sec[w]*Tan[w]^(n
      - 1), x], x] /; GtQ[n, 0] && FreeQ[v - w, x] && NeQ[w, v]

5091. Int[Sec[w_]^(n_.)*Sin[v_], x_Symbol] :> Simp[Cos[v - w]   Int[Tan[w]*Sec[w]^(n - 1), x], x] + Simp[Sin[v - w]
      Int[Sec[w]^(n - 1), x], x] /; GtQ[n, 0] && FreeQ[v - w, x] && NeQ[w, v]

5092. Int[Cos[v_]*Csc[w_]^(n_.), x_Symbol] :> Simp[Cos[v - w]   Int[Cot[w]*Csc[w]^(n - 1), x], x] - Simp[Sin[v - w]
      Int[Csc[w]^(n - 1), x], x] /; GtQ[n, 0] && FreeQ[v - w, x] && NeQ[w, v]

5093. Int[Csc[w_]^(n_.)*Sin[v_], x_Symbol] :> Simp[Sin[v - w]   Int[Cot[w]*Csc[w]^(n - 1), x], x] + Simp[Cos[v - w]
      Int[Csc[w]^(n - 1), x], x] /; GtQ[n, 0] && FreeQ[v - w, x] && NeQ[w, v]

5094. Int[Cos[v_]*Sec[w_]^(n_.), x_Symbol] :> Simp[-Sin[v - w]   Int[Tan[w]*Sec[w]^(n - 1), x], x] + Simp[Cos[v - w]
      Int[Sec[w]^(n - 1), x], x] /; GtQ[n, 0] && FreeQ[v - w, x] && NeQ[w, v]

5095. Int[((e_.) + (f_.)*(x_))^(m_.)*((a_) + Cos[(c_.) + (d_.)*(x_)]*(b_.)*Sin[(c_.) + (d_.)*(x_)])^(n_.), x_Symbol]
      :> Int[(e + f*x)^m*(a + b*(Sin[2*c + 2*d*x]/2))^n, x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m, n}, x]

5096. Int[(x_)^(m_.)*((a_) + (b_.)*Sin[(c_.) + (d_.)*(x_)]^2)^(n_), x_Symbol] :> Simp[1/2^n   Int[x^m*(2*a + b - b*C
      os[2*c + 2*d*x])^n, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && NeQ[a + b, 0] && IGtQ[m, 0] && ILtQ[n, 0] && (EqQ[n, -
      1] || (EqQ[m, 1] && EqQ[n, -2]))

5097. Int[(Cos[(c_.) + (d_.)*(x_)]^2*(b_.) + (a_))^(n_)*(x_)^(m_.), x_Symbol] :> Simp[1/2^n   Int[x^m*(2*a + b + b*C
      os[2*c + 2*d*x])^n, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && NeQ[a + b, 0] && IGtQ[m, 0] && ILtQ[n, 0] && (EqQ[n, -
      1] || (EqQ[m, 1] && EqQ[n, -2]))

5098. Int[((f_.) + (g_.)*(x_))^(m_.)/((a_.) + Cos[(d_.) + (e_.)*(x_)]^2*(b_.) + (c_.)*Sin[(d_.) + (e_.)*(x_)]^2), x_
      Symbol] :> Simp[2   Int[(f + g*x)^m/(2*a + b + c + (b - c)*Cos[2*d + 2*e*x]), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e,
      f, g}, x] && IGtQ[m, 0] && NeQ[a + b, 0] && NeQ[a + c, 0]

5099. Int[(((f_.) + (g_.)*(x_))^(m_.)*Sec[(d_.) + (e_.)*(x_)]^2)/((b_) + (c_.)*Tan[(d_.) + (e_.)*(x_)]^2), x_Symbol]
      :> Simp[2   Int[(f + g*x)^m/(b + c + (b - c)*Cos[2*d + 2*e*x]), x], x] /; FreeQ[{b, c, d, e, f, g}, x] && IGt
      Q[m, 0]

5100. Int[(((f_.) + (g_.)*(x_))^(m_.)*Sec[(d_.) + (e_.)*(x_)]^2)/((b_.) + (a_.)*Sec[(d_.) + (e_.)*(x_)]^2 + (c_.)*Ta
      n[(d_.) + (e_.)*(x_)]^2), x_Symbol] :> Simp[2   Int[(f + g*x)^m/(2*a + b + c + (b - c)*Cos[2*d + 2*e*x]), x],
      x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g}, x] && IGtQ[m, 0] && NeQ[a + b, 0] && NeQ[a + c, 0]

5101. Int[(Csc[(d_.) + (e_.)*(x_)]^2*((f_.) + (g_.)*(x_))^(m_.))/(Cot[(d_.) + (e_.)*(x_)]^2*(b_.) + (c_)), x_Symbol]
      :> Simp[2   Int[(f + g*x)^m/(b + c + (b - c)*Cos[2*d + 2*e*x]), x], x] /; FreeQ[{b, c, d, e, f, g}, x] && IGt
      Q[m, 0]

5102. Int[(Csc[(d_.) + (e_.)*(x_)]^2*((f_.) + (g_.)*(x_))^(m_.))/(Csc[(d_.) + (e_.)*(x_)]^2*(a_.) + Cot[(d_.) + (e_.
      )*(x_)]^2*(b_.) + (c_.)), x_Symbol] :> Simp[2   Int[(f + g*x)^m/(2*a + b + c + (b - c)*Cos[2*d + 2*e*x]), x],
      x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g}, x] && IGtQ[m, 0] && NeQ[a + b, 0] && NeQ[a + c, 0]

5103. Int[(((e_.) + (f_.)*(x_))*((A_) + (B_.)*Sin[(c_.) + (d_.)*(x_)]))/((a_) + (b_.)*Sin[(c_.) + (d_.)*(x_)])^2, x_
      Symbol] :> Simp[(-B)*(e + f*x)*(Cos[c + d*x]/(a*d*(a + b*Sin[c + d*x]))), x] + Simp[B*(f/(a*d))   Int[Cos[c +
      d*x]/(a + b*Sin[c + d*x]), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, A, B}, x] && EqQ[a*A - b*B, 0]

5104. Int[((Cos[(c_.) + (d_.)*(x_)]*(B_.) + (A_))*((e_.) + (f_.)*(x_)))/(Cos[(c_.) + (d_.)*(x_)]*(b_.) + (a_))^2, x_
      Symbol] :> Simp[B*(e + f*x)*(Sin[c + d*x]/(a*d*(a + b*Cos[c + d*x]))), x] - Simp[B*(f/(a*d))   Int[Sin[c + d*x
      ]/(a + b*Cos[c + d*x]), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, A, B}, x] && EqQ[a*A - b*B, 0]

5105. Int[(x_)^2/(Cos[(a_.)*(x_)]*(d_.)*(x_) + (c_.)*Sin[(a_.)*(x_)])^2, x_Symbol] :> Simp[x/(a*d*Sin[a*x]*(c*Sin[a*
      x] + d*x*Cos[a*x])), x] + Simp[1/d^2   Int[1/Sin[a*x]^2, x], x] /; FreeQ[{a, c, d}, x] && EqQ[a*c + d, 0]

5106. Int[(x_)^2/(Cos[(a_.)*(x_)]*(c_.) + (d_.)*(x_)*Sin[(a_.)*(x_)])^2, x_Symbol] :> Simp[-x/(a*d*Cos[a*x]*(c*Cos[a
      *x] + d*x*Sin[a*x])), x] + Simp[1/d^2   Int[1/Cos[a*x]^2, x], x] /; FreeQ[{a, c, d}, x] && EqQ[a*c - d, 0]

5107. Int[Sin[(a_.)*(x_)]^2/(Cos[(a_.)*(x_)]*(d_.)*(x_) + (c_.)*Sin[(a_.)*(x_)])^2, x_Symbol] :> Simp[1/(d^2*x), x]
      + Simp[Sin[a*x]/(a*d*x*(d*x*Cos[a*x] + c*Sin[a*x])), x] /; FreeQ[{a, c, d}, x] && EqQ[a*c + d, 0]

5108. Int[Cos[(a_.)*(x_)]^2/(Cos[(a_.)*(x_)]*(c_.) + (d_.)*(x_)*Sin[(a_.)*(x_)])^2, x_Symbol] :> Simp[1/(d^2*x), x]
      - Simp[Cos[a*x]/(a*d*x*(d*x*Sin[a*x] + c*Cos[a*x])), x] /; FreeQ[{a, c, d}, x] && EqQ[a*c - d, 0]

5109. Int[(((b_.)*(x_))^(m_)*Sin[(a_.)*(x_)]^(n_))/(Cos[(a_.)*(x_)]*(d_.)*(x_) + (c_.)*Sin[(a_.)*(x_)])^2, x_Symbol]
      :> Simp[b*(b*x)^(m - 1)*(Sin[a*x]^(n - 1)/(a*d*(c*Sin[a*x] + d*x*Cos[a*x]))), x] - Simp[b^2*((n - 1)/d^2)   I
      nt[(b*x)^(m - 2)*Sin[a*x]^(n - 2), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, m, n}, x] && EqQ[a*c + d, 0] && EqQ[m, 2 - n]

5110. Int[(Cos[(a_.)*(x_)]^(n_)*((b_.)*(x_))^(m_))/(Cos[(a_.)*(x_)]*(c_.) + (d_.)*(x_)*Sin[(a_.)*(x_)])^2, x_Symbol]
      :> Simp[(-b)*(b*x)^(m - 1)*(Cos[a*x]^(n - 1)/(a*d*(c*Cos[a*x] + d*x*Sin[a*x]))), x] - Simp[b^2*((n - 1)/d^2)
      Int[(b*x)^(m - 2)*Cos[a*x]^(n - 2), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, m, n}, x] && EqQ[a*c - d, 0] && EqQ[m, 2 -
      n]

5111. Int[(Csc[(a_.)*(x_)]^(n_.)*((b_.)*(x_))^(m_.))/(Cos[(a_.)*(x_)]*(d_.)*(x_) + (c_.)*Sin[(a_.)*(x_)])^2, x_Symbo
      l] :> Simp[b*(b*x)^(m - 1)*(Csc[a*x]^(n + 1)/(a*d*(c*Sin[a*x] + d*x*Cos[a*x]))), x] + Simp[b^2*((n + 1)/d^2)
      Int[(b*x)^(m - 2)*Csc[a*x]^(n + 2), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, m, n}, x] && EqQ[a*c + d, 0] && EqQ[m, n + 2
      ]

5112. Int[(((b_.)*(x_))^(m_.)*Sec[(a_.)*(x_)]^(n_.))/(Cos[(a_.)*(x_)]*(c_.) + (d_.)*(x_)*Sin[(a_.)*(x_)])^2, x_Symbo
      l] :> Simp[(-b)*(b*x)^(m - 1)*(Sec[a*x]^(n + 1)/(a*d*(c*Cos[a*x] + d*x*Sin[a*x]))), x] + Simp[b^2*((n + 1)/d^2
      )   Int[(b*x)^(m - 2)*Sec[a*x]^(n + 2), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, m, n}, x] && EqQ[a*c - d, 0] && EqQ[m, n
      + 2]

5113. Int[((g_.) + (h_.)*(x_))^(p_.)*((a_) + (b_.)*Sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_.)*((c_) + (d_.)*Sin[(e_.) + (f_.)*(x
      _)])^(n_.), x_Symbol] :> Simp[a^m*c^m   Int[(g + h*x)^p*Cos[e + f*x]^(2*m)*(c + d*Sin[e + f*x])^(n - m), x], x
      ] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, h}, x] && EqQ[b*c + a*d, 0] && EqQ[a^2 - b^2, 0] && IntegerQ[m] && IGtQ[n - m
      , 0]

5114. Int[(Cos[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_))^(m_.)*(Cos[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(d_.) + (c_))^(n_.)*((g_.) + (h_.)*(
      x_))^(p_.), x_Symbol] :> Simp[a^m*c^m   Int[(g + h*x)^p*Sin[e + f*x]^(2*m)*(c + d*Cos[e + f*x])^(n - m), x], x
      ] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, h}, x] && EqQ[b*c + a*d, 0] && EqQ[a^2 - b^2, 0] && IntegerQ[m] && IGtQ[n - m
      , 0]

5115. Int[((g_.) + (h_.)*(x_))^(p_.)*((a_) + (b_.)*Sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_)*((c_) + (d_.)*Sin[(e_.) + (f_.)*(x_
      )])^(n_), x_Symbol] :> Simp[a^IntPart[m]*c^IntPart[m]*(a + b*Sin[e + f*x])^FracPart[m]*((c + d*Sin[e + f*x])^F
      racPart[m]/Cos[e + f*x]^(2*FracPart[m]))   Int[(g + h*x)^p*Cos[e + f*x]^(2*m)*(c + d*Sin[e + f*x])^(n - m), x]
      , x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, h}, x] && EqQ[b*c + a*d, 0] && EqQ[a^2 - b^2, 0] && IntegerQ[p] && Integer
      Q[2*m] && IGeQ[n - m, 0]

5116. Int[(Cos[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_))^(m_)*(Cos[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(d_.) + (c_))^(n_)*((g_.) + (h_.)*(x_
      ))^(p_.), x_Symbol] :> Simp[a^IntPart[m]*c^IntPart[m]*(a + b*Cos[e + f*x])^FracPart[m]*((c + d*Cos[e + f*x])^F
      racPart[m]/Sin[e + f*x]^(2*FracPart[m]))   Int[(g + h*x)^p*Sin[e + f*x]^(2*m)*(c + d*Cos[e + f*x])^(n - m), x]
      , x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, h}, x] && EqQ[b*c + a*d, 0] && EqQ[a^2 - b^2, 0] && IntegerQ[p] && Integer
      Q[2*m] && IGeQ[n - m, 0]

5117. Int[Sec[v_]^(m_.)*((a_) + (b_.)*Tan[v_])^(n_.), x_Symbol] :> Int[(a*Cos[v] + b*Sin[v])^n, x] /; FreeQ[{a, b},
      x] && IntegerQ[(m - 1)/2] && EqQ[m + n, 0]

5118. Int[Csc[v_]^(m_.)*(Cot[v_]*(b_.) + (a_))^(n_.), x_Symbol] :> Int[(b*Cos[v] + a*Sin[v])^n, x] /; FreeQ[{a, b},
      x] && IntegerQ[(m - 1)/2] && EqQ[m + n, 0]

5119. Int[(u_.)*Sin[(a_.) + (b_.)*(x_)]^(m_.)*Sin[(c_.) + (d_.)*(x_)]^(n_.), x_Symbol] :> Int[ExpandTrigReduce[u, Si
      n[a + b*x]^m*Sin[c + d*x]^n, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && IGtQ[m, 0] && IGtQ[n, 0]

5120. Int[Cos[(a_.) + (b_.)*(x_)]^(m_.)*Cos[(c_.) + (d_.)*(x_)]^(n_.)*(u_.), x_Symbol] :> Int[ExpandTrigReduce[u, Co
      s[a + b*x]^m*Cos[c + d*x]^n, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && IGtQ[m, 0] && IGtQ[n, 0]

5121. Int[Sec[(a_.) + (b_.)*(x_)]*Sec[(c_) + (d_.)*(x_)], x_Symbol] :> Simp[-Csc[(b*c - a*d)/d]   Int[Tan[a + b*x],
      x], x] + Simp[Csc[(b*c - a*d)/b]   Int[Tan[c + d*x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && EqQ[b^2 - d^2, 0] &&
      NeQ[b*c - a*d, 0]

5122. Int[Csc[(a_.) + (b_.)*(x_)]*Csc[(c_) + (d_.)*(x_)], x_Symbol] :> Simp[Csc[(b*c - a*d)/b]   Int[Cot[a + b*x], x
      ], x] - Simp[Csc[(b*c - a*d)/d]   Int[Cot[c + d*x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && EqQ[b^2 - d^2, 0] && N
      eQ[b*c - a*d, 0]

5123. Int[Tan[(a_.) + (b_.)*(x_)]*Tan[(c_) + (d_.)*(x_)], x_Symbol] :> Simp[(-b)*(x/d), x] + Simp[(b/d)*Cos[(b*c - a
      *d)/d]   Int[Sec[a + b*x]*Sec[c + d*x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && EqQ[b^2 - d^2, 0] && NeQ[b*c - a*d
      , 0]

5124. Int[Cot[(a_.) + (b_.)*(x_)]*Cot[(c_) + (d_.)*(x_)], x_Symbol] :> Simp[(-b)*(x/d), x] + Simp[Cos[(b*c - a*d)/d]
      Int[Csc[a + b*x]*Csc[c + d*x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && EqQ[b^2 - d^2, 0] && NeQ[b*c - a*d, 0]

5125. Int[(u_.)*(Cos[v_]*(a_.) + (b_.)*Sin[v_])^(n_.), x_Symbol] :> Int[u*(a/E^((a/b)*v))^n, x] /; FreeQ[{a, b, n},
      x] && EqQ[a^2 + b^2, 0]

5126. Int[Sin[((a_.) + Log[(c_.)*(x_)^(n_.)]*(b_.))^2*(d_.)], x_Symbol] :> Simp[I/2   Int[E^((-I)*d*(a + b*Log[c*x^n
      ])^2), x], x] - Simp[I/2   Int[E^(I*d*(a + b*Log[c*x^n])^2), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, n}, x]

5127. Int[Cos[((a_.) + Log[(c_.)*(x_)^(n_.)]*(b_.))^2*(d_.)], x_Symbol] :> Simp[1/2   Int[E^((-I)*d*(a + b*Log[c*x^n
      ])^2), x], x] + Simp[1/2   Int[E^(I*d*(a + b*Log[c*x^n])^2), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, n}, x]

5128. Int[((e_.)*(x_))^(m_.)*Sin[((a_.) + Log[(c_.)*(x_)^(n_.)]*(b_.))^2*(d_.)], x_Symbol] :> Simp[I/2   Int[(e*x)^m
      /E^(I*d*(a + b*Log[c*x^n])^2), x], x] - Simp[I/2   Int[(e*x)^m*E^(I*d*(a + b*Log[c*x^n])^2), x], x] /; FreeQ[{
      a, b, c, d, e, m, n}, x]

5129. Int[Cos[((a_.) + Log[(c_.)*(x_)^(n_.)]*(b_.))^2*(d_.)]*((e_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Simp[1/2   Int[(e*x)^m
      /E^(I*d*(a + b*Log[c*x^n])^2), x], x] + Simp[1/2   Int[(e*x)^m*E^(I*d*(a + b*Log[c*x^n])^2), x], x] /; FreeQ[{
      a, b, c, d, e, m, n}, x]

5130. Int[((a_.) + ArcSin[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_.), x_Symbol] :> Simp[x*(a + b*ArcSin[c*x])^n, x] - Simp[b*c*n   Int
      [x*((a + b*ArcSin[c*x])^(n - 1)/Sqrt[1 - c^2*x^2]), x], x] /; FreeQ[{a, b, c}, x] && GtQ[n, 0]

5131. Int[((a_.) + ArcCos[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_.), x_Symbol] :> Simp[x*(a + b*ArcCos[c*x])^n, x] + Simp[b*c*n   Int
      [x*((a + b*ArcCos[c*x])^(n - 1)/Sqrt[1 - c^2*x^2]), x], x] /; FreeQ[{a, b, c}, x] && GtQ[n, 0]

5132. Int[((a_.) + ArcSin[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_), x_Symbol] :> Simp[Sqrt[1 - c^2*x^2]*((a + b*ArcSin[c*x])^(n + 1)/
      (b*c*(n + 1))), x] + Simp[c/(b*(n + 1))   Int[x*((a + b*ArcSin[c*x])^(n + 1)/Sqrt[1 - c^2*x^2]), x], x] /; Fre
      eQ[{a, b, c}, x] && LtQ[n, -1]

5133. Int[((a_.) + ArcCos[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_), x_Symbol] :> Simp[(-Sqrt[1 - c^2*x^2])*((a + b*ArcCos[c*x])^(n +
      1)/(b*c*(n + 1))), x] - Simp[c/(b*(n + 1))   Int[x*((a + b*ArcCos[c*x])^(n + 1)/Sqrt[1 - c^2*x^2]), x], x] /;
      FreeQ[{a, b, c}, x] && LtQ[n, -1]

5134. Int[((a_.) + ArcSin[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_), x_Symbol] :> Simp[1/(b*c)   Subst[Int[x^n*Cos[-a/b + x/b], x], x,
      a + b*ArcSin[c*x]], x] /; FreeQ[{a, b, c, n}, x]

5135. Int[((a_.) + ArcCos[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_), x_Symbol] :> Simp[-(b*c)^(-1)   Subst[Int[x^n*Sin[-a/b + x/b], x]
      , x, a + b*ArcCos[c*x]], x] /; FreeQ[{a, b, c, n}, x]

5136. Int[((a_.) + ArcSin[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_.)/(x_), x_Symbol] :> Subst[Int[(a + b*x)^n*Cot[x], x], x, ArcSin[c*
      x]] /; FreeQ[{a, b, c}, x] && IGtQ[n, 0]

5137. Int[((a_.) + ArcCos[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_.)/(x_), x_Symbol] :> -Subst[Int[(a + b*x)^n*Tan[x], x], x, ArcCos[c
      *x]] /; FreeQ[{a, b, c}, x] && IGtQ[n, 0]

5138. Int[((a_.) + ArcSin[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_.)*((d_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Simp[(d*x)^(m + 1)*((a + b*ArcSi
      n[c*x])^n/(d*(m + 1))), x] - Simp[b*c*(n/(d*(m + 1)))   Int[(d*x)^(m + 1)*((a + b*ArcSin[c*x])^(n - 1)/Sqrt[1
      - c^2*x^2]), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, m}, x] && IGtQ[n, 0] && NeQ[m, -1]

5139. Int[((a_.) + ArcCos[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_.)*((d_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Simp[(d*x)^(m + 1)*((a + b*ArcCo
      s[c*x])^n/(d*(m + 1))), x] + Simp[b*c*(n/(d*(m + 1)))   Int[(d*x)^(m + 1)*((a + b*ArcCos[c*x])^(n - 1)/Sqrt[1
      - c^2*x^2]), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, m}, x] && IGtQ[n, 0] && NeQ[m, -1]

5140. Int[((a_.) + ArcSin[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_)*(x_)^(m_.), x_Symbol] :> Simp[x^(m + 1)*((a + b*ArcSin[c*x])^n/(m
      + 1)), x] - Simp[b*c*(n/(m + 1))   Int[x^(m + 1)*((a + b*ArcSin[c*x])^(n - 1)/Sqrt[1 - c^2*x^2]), x], x] /; Fr
      eeQ[{a, b, c}, x] && IGtQ[m, 0] && GtQ[n, 0]

5141. Int[((a_.) + ArcCos[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_)*(x_)^(m_.), x_Symbol] :> Simp[x^(m + 1)*((a + b*ArcCos[c*x])^n/(m
      + 1)), x] + Simp[b*c*(n/(m + 1))   Int[x^(m + 1)*((a + b*ArcCos[c*x])^(n - 1)/Sqrt[1 - c^2*x^2]), x], x] /; Fr
      eeQ[{a, b, c}, x] && IGtQ[m, 0] && GtQ[n, 0]

5142. Int[((a_.) + ArcSin[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_)*(x_)^(m_.), x_Symbol] :> Simp[x^m*Sqrt[1 - c^2*x^2]*((a + b*ArcSin
      [c*x])^(n + 1)/(b*c*(n + 1))), x] - Simp[1/(b^2*c^(m + 1)*(n + 1))   Subst[Int[ExpandTrigReduce[x^(n + 1), Sin
      [-a/b + x/b]^(m - 1)*(m - (m + 1)*Sin[-a/b + x/b]^2), x], x], x, a + b*ArcSin[c*x]], x] /; FreeQ[{a, b, c}, x]
      && IGtQ[m, 0] && GeQ[n, -2] && LtQ[n, -1]

5143. Int[((a_.) + ArcCos[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_)*(x_)^(m_.), x_Symbol] :> Simp[(-x^m)*Sqrt[1 - c^2*x^2]*((a + b*Arc
      Cos[c*x])^(n + 1)/(b*c*(n + 1))), x] - Simp[1/(b^2*c^(m + 1)*(n + 1))   Subst[Int[ExpandTrigReduce[x^(n + 1),
      Cos[-a/b + x/b]^(m - 1)*(m - (m + 1)*Cos[-a/b + x/b]^2), x], x], x, a + b*ArcCos[c*x]], x] /; FreeQ[{a, b, c},
      x] && IGtQ[m, 0] && GeQ[n, -2] && LtQ[n, -1]

5144. Int[((a_.) + ArcSin[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_)*(x_)^(m_.), x_Symbol] :> Simp[x^m*Sqrt[1 - c^2*x^2]*((a + b*ArcSin
      [c*x])^(n + 1)/(b*c*(n + 1))), x] + (Simp[c*((m + 1)/(b*(n + 1)))   Int[x^(m + 1)*((a + b*ArcSin[c*x])^(n + 1)
      /Sqrt[1 - c^2*x^2]), x], x] - Simp[m/(b*c*(n + 1))   Int[x^(m - 1)*((a + b*ArcSin[c*x])^(n + 1)/Sqrt[1 - c^2*x
      ^2]), x], x]) /; FreeQ[{a, b, c}, x] && IGtQ[m, 0] && LtQ[n, -2]

5145. Int[((a_.) + ArcCos[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_)*(x_)^(m_.), x_Symbol] :> Simp[(-x^m)*Sqrt[1 - c^2*x^2]*((a + b*Arc
      Cos[c*x])^(n + 1)/(b*c*(n + 1))), x] + (-Simp[c*((m + 1)/(b*(n + 1)))   Int[x^(m + 1)*((a + b*ArcCos[c*x])^(n
      + 1)/Sqrt[1 - c^2*x^2]), x], x] + Simp[m/(b*c*(n + 1))   Int[x^(m - 1)*((a + b*ArcCos[c*x])^(n + 1)/Sqrt[1 - c
      ^2*x^2]), x], x]) /; FreeQ[{a, b, c}, x] && IGtQ[m, 0] && LtQ[n, -2]

5146. Int[((a_.) + ArcSin[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_)*(x_)^(m_.), x_Symbol] :> Simp[1/(b*c^(m + 1))   Subst[Int[x^n*Sin[
      -a/b + x/b]^m*Cos[-a/b + x/b], x], x, a + b*ArcSin[c*x]], x] /; FreeQ[{a, b, c, n}, x] && IGtQ[m, 0]

5147. Int[((a_.) + ArcCos[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_)*(x_)^(m_.), x_Symbol] :> Simp[-(b*c^(m + 1))^(-1)   Subst[Int[x^n*
      Cos[-a/b + x/b]^m*Sin[-a/b + x/b], x], x, a + b*ArcCos[c*x]], x] /; FreeQ[{a, b, c, n}, x] && IGtQ[m, 0]

5148. Int[((a_.) + ArcSin[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_.)*((d_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Unintegrable[(d*x)^m*(a + b*ArcS
      in[c*x])^n, x] /; FreeQ[{a, b, c, d, m, n}, x]

5149. Int[((a_.) + ArcCos[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_.)*((d_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Unintegrable[(d*x)^m*(a + b*ArcC
      os[c*x])^n, x] /; FreeQ[{a, b, c, d, m, n}, x]

5150. Int[1/(((a_.) + ArcSin[(c_.)*(x_)]*(b_.))*Sqrt[(d_) + (e_.)*(x_)^2]), x_Symbol] :> Simp[(1/(b*c))*Simp[Sqrt[1
      - c^2*x^2]/Sqrt[d + e*x^2]]*Log[a + b*ArcSin[c*x]], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && EqQ[c^2*d + e, 0]

5151. Int[1/(((a_.) + ArcCos[(c_.)*(x_)]*(b_.))*Sqrt[(d_) + (e_.)*(x_)^2]), x_Symbol] :> Simp[(-(b*c)^(-1))*Simp[Sqr
      t[1 - c^2*x^2]/Sqrt[d + e*x^2]]*(Log[a + b*ArcCos[c*x]]/(b*c*Sqrt[d])), x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && EqQ
      [c^2*d + e, 0]

5152. Int[((a_.) + ArcSin[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_.)/Sqrt[(d_) + (e_.)*(x_)^2], x_Symbol] :> Simp[(1/(b*c*(n + 1)))*Si
      mp[Sqrt[1 - c^2*x^2]/Sqrt[d + e*x^2]]*(a + b*ArcSin[c*x])^(n + 1), x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, n}, x] && EqQ[c
      ^2*d + e, 0] && NeQ[n, -1]

5153. Int[((a_.) + ArcCos[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_.)/Sqrt[(d_) + (e_.)*(x_)^2], x_Symbol] :> Simp[(-(b*c*(n + 1))^(-1)
      )*Simp[Sqrt[1 - c^2*x^2]/Sqrt[d + e*x^2]]*(a + b*ArcCos[c*x])^(n + 1), x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, n}, x] && E
      qQ[c^2*d + e, 0] && NeQ[n, -1]

5154. Int[((a_.) + ArcSin[(c_.)*(x_)]*(b_.))*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(p_.), x_Symbol] :> With[{u = IntHide[(d + e*x^2)
      ^p, x]}, Simp[(a + b*ArcSin[c*x])   u, x] - Simp[b*c   Int[SimplifyIntegrand[u/Sqrt[1 - c^2*x^2], x], x], x]]
      /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && EqQ[c^2*d + e, 0] && IGtQ[p, 0]

5155. Int[((a_.) + ArcCos[(c_.)*(x_)]*(b_.))*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(p_.), x_Symbol] :> With[{u = IntHide[(d + e*x^2)
      ^p, x]}, Simp[(a + b*ArcCos[c*x])   u, x] + Simp[b*c   Int[SimplifyIntegrand[u/Sqrt[1 - c^2*x^2], x], x], x]]
      /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && EqQ[c^2*d + e, 0] && IGtQ[p, 0]

5156. Int[((a_.) + ArcSin[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_.)*Sqrt[(d_) + (e_.)*(x_)^2], x_Symbol] :> Simp[x*Sqrt[d + e*x^2]*((
      a + b*ArcSin[c*x])^n/2), x] + (Simp[(1/2)*Simp[Sqrt[d + e*x^2]/Sqrt[1 - c^2*x^2]]   Int[(a + b*ArcSin[c*x])^n/
      Sqrt[1 - c^2*x^2], x], x] - Simp[b*c*(n/2)*Simp[Sqrt[d + e*x^2]/Sqrt[1 - c^2*x^2]]   Int[x*(a + b*ArcSin[c*x])
      ^(n - 1), x], x]) /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && EqQ[c^2*d + e, 0] && GtQ[n, 0]

5157. Int[((a_.) + ArcCos[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_.)*Sqrt[(d_) + (e_.)*(x_)^2], x_Symbol] :> Simp[x*Sqrt[d + e*x^2]*((
      a + b*ArcCos[c*x])^n/2), x] + (Simp[(1/2)*Simp[Sqrt[d + e*x^2]/Sqrt[1 - c^2*x^2]]   Int[(a + b*ArcCos[c*x])^n/
      Sqrt[1 - c^2*x^2], x], x] + Simp[b*c*(n/2)*Simp[Sqrt[d + e*x^2]/Sqrt[1 - c^2*x^2]]   Int[x*(a + b*ArcCos[c*x])
      ^(n - 1), x], x]) /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && EqQ[c^2*d + e, 0] && GtQ[n, 0]

5158. Int[((a_.) + ArcSin[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(p_.), x_Symbol] :> Simp[x*(d + e*x^2)^p*((
      a + b*ArcSin[c*x])^n/(2*p + 1)), x] + (Simp[2*d*(p/(2*p + 1))   Int[(d + e*x^2)^(p - 1)*(a + b*ArcSin[c*x])^n,
      x], x] - Simp[b*c*(n/(2*p + 1))*Simp[(d + e*x^2)^p/(1 - c^2*x^2)^p]   Int[x*(1 - c^2*x^2)^(p - 1/2)*(a + b*Ar
      cSin[c*x])^(n - 1), x], x]) /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && EqQ[c^2*d + e, 0] && GtQ[n, 0] && GtQ[p, 0]

5159. Int[((a_.) + ArcCos[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(p_.), x_Symbol] :> Simp[x*(d + e*x^2)^p*((
      a + b*ArcCos[c*x])^n/(2*p + 1)), x] + (Simp[2*d*(p/(2*p + 1))   Int[(d + e*x^2)^(p - 1)*(a + b*ArcCos[c*x])^n,
      x], x] + Simp[b*c*(n/(2*p + 1))*Simp[(d + e*x^2)^p/(1 - c^2*x^2)^p]   Int[x*(1 - c^2*x^2)^(p - 1/2)*(a + b*Ar
      cCos[c*x])^(n - 1), x], x]) /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && EqQ[c^2*d + e, 0] && GtQ[n, 0] && GtQ[p, 0]

5160. Int[((a_.) + ArcSin[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_.)/((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(3/2), x_Symbol] :> Simp[x*((a + b*ArcSin[c
      *x])^n/(d*Sqrt[d + e*x^2])), x] - Simp[b*c*(n/d)*Simp[Sqrt[1 - c^2*x^2]/Sqrt[d + e*x^2]]   Int[x*((a + b*ArcSi
      n[c*x])^(n - 1)/(1 - c^2*x^2)), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && EqQ[c^2*d + e, 0] && GtQ[n, 0]

5161. Int[((a_.) + ArcCos[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_.)/((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(3/2), x_Symbol] :> Simp[x*((a + b*ArcCos[c
      *x])^n/(d*Sqrt[d + e*x^2])), x] + Simp[b*c*(n/d)*Simp[Sqrt[1 - c^2*x^2]/Sqrt[d + e*x^2]]   Int[x*((a + b*ArcCo
      s[c*x])^(n - 1)/(1 - c^2*x^2)), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && EqQ[c^2*d + e, 0] && GtQ[n, 0]

5162. Int[((a_.) + ArcSin[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Simp[(-x)*(d + e*x^2)^(p
      + 1)*((a + b*ArcSin[c*x])^n/(2*d*(p + 1))), x] + (Simp[(2*p + 3)/(2*d*(p + 1))   Int[(d + e*x^2)^(p + 1)*(a +
      b*ArcSin[c*x])^n, x], x] + Simp[b*c*(n/(2*(p + 1)))*Simp[(d + e*x^2)^p/(1 - c^2*x^2)^p]   Int[x*(1 - c^2*x^2)
      ^(p + 1/2)*(a + b*ArcSin[c*x])^(n - 1), x], x]) /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && EqQ[c^2*d + e, 0] && GtQ[n, 0]
      && LtQ[p, -1] && NeQ[p, -3/2]

5163. Int[((a_.) + ArcCos[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Simp[(-x)*(d + e*x^2)^(p
      + 1)*((a + b*ArcCos[c*x])^n/(2*d*(p + 1))), x] + (Simp[(2*p + 3)/(2*d*(p + 1))   Int[(d + e*x^2)^(p + 1)*(a +
      b*ArcCos[c*x])^n, x], x] - Simp[b*c*(n/(2*(p + 1)))*Simp[(d + e*x^2)^p/(1 - c^2*x^2)^p]   Int[x*(1 - c^2*x^2)
      ^(p + 1/2)*(a + b*ArcCos[c*x])^(n - 1), x], x]) /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && EqQ[c^2*d + e, 0] && GtQ[n, 0]
      && LtQ[p, -1] && NeQ[p, -3/2]

5164. Int[((a_.) + ArcSin[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_.)/((d_) + (e_.)*(x_)^2), x_Symbol] :> Simp[1/(c*d)   Subst[Int[(a +
      b*x)^n*Sec[x], x], x, ArcSin[c*x]], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && EqQ[c^2*d + e, 0] && IGtQ[n, 0]

5165. Int[((a_.) + ArcCos[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_.)/((d_) + (e_.)*(x_)^2), x_Symbol] :> Simp[-(c*d)^(-1)   Subst[Int[
      (a + b*x)^n*Csc[x], x], x, ArcCos[c*x]], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && EqQ[c^2*d + e, 0] && IGtQ[n, 0]

5166. Int[((a_.) + ArcSin[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_)*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(p_.), x_Symbol] :> Simp[Sqrt[1 - c^2*x^2]*(
      d + e*x^2)^p*((a + b*ArcSin[c*x])^(n + 1)/(b*c*(n + 1))), x] + Simp[c*((2*p + 1)/(b*(n + 1)))*Simp[(d + e*x^2)
      ^p/(1 - c^2*x^2)^p]   Int[x*(1 - c^2*x^2)^(p - 1/2)*(a + b*ArcSin[c*x])^(n + 1), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d,
      e, p}, x] && EqQ[c^2*d + e, 0] && LtQ[n, -1]

5167. Int[((a_.) + ArcCos[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_)*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(p_.), x_Symbol] :> Simp[(-Sqrt[1 - c^2*x^2]
      )*(d + e*x^2)^p*((a + b*ArcCos[c*x])^(n + 1)/(b*c*(n + 1))), x] - Simp[c*((2*p + 1)/(b*(n + 1)))*Simp[(d + e*x
      ^2)^p/(1 - c^2*x^2)^p]   Int[x*(1 - c^2*x^2)^(p - 1/2)*(a + b*ArcCos[c*x])^(n + 1), x], x] /; FreeQ[{a, b, c,
      d, e, p}, x] && EqQ[c^2*d + e, 0] && LtQ[n, -1]

5168. Int[((a_.) + ArcSin[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(p_.), x_Symbol] :> Simp[(1/(b*c))*Simp[(d
      + e*x^2)^p/(1 - c^2*x^2)^p]   Subst[Int[x^n*Cos[-a/b + x/b]^(2*p + 1), x], x, a + b*ArcSin[c*x]], x] /; FreeQ[
      {a, b, c, d, e, n}, x] && EqQ[c^2*d + e, 0] && IGtQ[2*p, 0]

5169. Int[((a_.) + ArcCos[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(p_.), x_Symbol] :> Simp[(-(b*c)^(-1))*Simp
      [(d + e*x^2)^p/(1 - c^2*x^2)^p]   Subst[Int[x^n*Sin[-a/b + x/b]^(2*p + 1), x], x, a + b*ArcCos[c*x]], x] /; Fr
      eeQ[{a, b, c, d, e, n}, x] && EqQ[c^2*d + e, 0] && IGtQ[2*p, 0]

5170. Int[((a_.) + ArcSin[(c_.)*(x_)]*(b_.))*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(p_.), x_Symbol] :> With[{u = IntHide[(d + e*x^2)
      ^p, x]}, Simp[(a + b*ArcSin[c*x])   u, x] - Simp[b*c   Int[SimplifyIntegrand[u/Sqrt[1 - c^2*x^2], x], x], x]]
      /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && NeQ[c^2*d + e, 0] && (IGtQ[p, 0] || ILtQ[p + 1/2, 0])

5171. Int[((a_.) + ArcCos[(c_.)*(x_)]*(b_.))*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(p_.), x_Symbol] :> With[{u = IntHide[(d + e*x^2)
      ^p, x]}, Simp[(a + b*ArcCos[c*x])   u, x] + Simp[b*c   Int[SimplifyIntegrand[u/Sqrt[1 - c^2*x^2], x], x], x]]
      /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && NeQ[c^2*d + e, 0] && (IGtQ[p, 0] || ILtQ[p + 1/2, 0])

5172. Int[((a_.) + ArcSin[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(p_.), x_Symbol] :> Int[ExpandIntegrand[(a
      + b*ArcSin[c*x])^n, (d + e*x^2)^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, n}, x] && NeQ[c^2*d + e, 0] && IntegerQ[p]
      && (GtQ[p, 0] || IGtQ[n, 0])

5173. Int[((a_.) + ArcCos[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(p_.), x_Symbol] :> Int[ExpandIntegrand[(a
      + b*ArcCos[c*x])^n, (d + e*x^2)^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, n}, x] && NeQ[c^2*d + e, 0] && IntegerQ[p]
      && (GtQ[p, 0] || IGtQ[n, 0])

5174. Int[((a_.) + ArcSin[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(p_.), x_Symbol] :> Unintegrable[(d + e*x^2
      )^p*(a + b*ArcSin[c*x])^n, x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, n, p}, x]

5175. Int[((a_.) + ArcCos[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(p_.), x_Symbol] :> Unintegrable[(d + e*x^2
      )^p*(a + b*ArcCos[c*x])^n, x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, n, p}, x]

5176. Int[((a_.) + ArcSin[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_.)*((d_) + (e_.)*(x_))^(p_)*((f_) + (g_.)*(x_))^(q_), x_Symbol] :> S
      imp[((-d^2)*(g/e))^q   Int[(d + e*x)^(p - q)*(1 - c^2*x^2)^q*(a + b*ArcSin[c*x])^n, x], x] /; FreeQ[{a, b, c,
      d, e, f, g, n}, x] && EqQ[e*f + d*g, 0] && EqQ[c^2*d^2 - e^2, 0] && HalfIntegerQ[p, q] && GeQ[p - q, 0] && GtQ
      [d, 0] && LtQ[g/e, 0]

5177. Int[((a_.) + ArcCos[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_.)*((d_) + (e_.)*(x_))^(p_)*((f_) + (g_.)*(x_))^(q_), x_Symbol] :> S
      imp[((-d^2)*(g/e))^q   Int[(d + e*x)^(p - q)*(1 - c^2*x^2)^q*(a + b*ArcCos[c*x])^n, x], x] /; FreeQ[{a, b, c,
      d, e, f, g, n}, x] && EqQ[e*f + d*g, 0] && EqQ[c^2*d^2 - e^2, 0] && HalfIntegerQ[p, q] && GeQ[p - q, 0] && GtQ
      [d, 0] && LtQ[g/e, 0]

5178. Int[((a_.) + ArcSin[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_.)*((d_) + (e_.)*(x_))^(p_)*((f_) + (g_.)*(x_))^(q_), x_Symbol] :> S
      imp[(d + e*x)^q*((f + g*x)^q/(1 - c^2*x^2)^q)   Int[(d + e*x)^(p - q)*(1 - c^2*x^2)^q*(a + b*ArcSin[c*x])^n, x
      ], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, n}, x] && EqQ[e*f + d*g, 0] && EqQ[c^2*d^2 - e^2, 0] && HalfIntegerQ[p, q
      ] && GeQ[p - q, 0]

5179. Int[((a_.) + ArcCos[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_.)*((d_) + (e_.)*(x_))^(p_)*((f_) + (g_.)*(x_))^(q_), x_Symbol] :> S
      imp[(d + e*x)^q*((f + g*x)^q/(1 - c^2*x^2)^q)   Int[(d + e*x)^(p - q)*(1 - c^2*x^2)^q*(a + b*ArcCos[c*x])^n, x
      ], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, n}, x] && EqQ[e*f + d*g, 0] && EqQ[c^2*d^2 - e^2, 0] && HalfIntegerQ[p, q
      ] && GeQ[p - q, 0]

5180. Int[(((a_.) + ArcSin[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_.)*(x_))/((d_) + (e_.)*(x_)^2), x_Symbol] :> Simp[-e^(-1)   Subst[I
      nt[(a + b*x)^n*Tan[x], x], x, ArcSin[c*x]], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && EqQ[c^2*d + e, 0] && IGtQ[n, 0]

5181. Int[(((a_.) + ArcCos[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_.)*(x_))/((d_) + (e_.)*(x_)^2), x_Symbol] :> Simp[1/e   Subst[Int[(
      a + b*x)^n*Cot[x], x], x, ArcCos[c*x]], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && EqQ[c^2*d + e, 0] && IGtQ[n, 0]

5182. Int[((a_.) + ArcSin[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_.)*(x_)*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(p_.), x_Symbol] :> Simp[(d + e*x^2)^(
      p + 1)*((a + b*ArcSin[c*x])^n/(2*e*(p + 1))), x] + Simp[b*(n/(2*c*(p + 1)))*Simp[(d + e*x^2)^p/(1 - c^2*x^2)^p
      ]   Int[(1 - c^2*x^2)^(p + 1/2)*(a + b*ArcSin[c*x])^(n - 1), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, p}, x] && EqQ[c^2
      *d + e, 0] && GtQ[n, 0] && NeQ[p, -1]

5183. Int[((a_.) + ArcCos[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_.)*(x_)*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(p_.), x_Symbol] :> Simp[(d + e*x^2)^(
      p + 1)*((a + b*ArcCos[c*x])^n/(2*e*(p + 1))), x] - Simp[b*(n/(2*c*(p + 1)))*Simp[(d + e*x^2)^p/(1 - c^2*x^2)^p
      ]   Int[(1 - c^2*x^2)^(p + 1/2)*(a + b*ArcCos[c*x])^(n - 1), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, p}, x] && EqQ[c^2
      *d + e, 0] && GtQ[n, 0] && NeQ[p, -1]

5184. Int[((a_.) + ArcSin[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_.)/((x_)*((d_) + (e_.)*(x_)^2)), x_Symbol] :> Simp[1/d   Subst[Int[(
      a + b*x)^n/(Cos[x]*Sin[x]), x], x, ArcSin[c*x]], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && EqQ[c^2*d + e, 0] && IGtQ[
      n, 0]

5185. Int[((a_.) + ArcCos[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_.)/((x_)*((d_) + (e_.)*(x_)^2)), x_Symbol] :> Simp[-d^(-1)   Subst[I
      nt[(a + b*x)^n/(Cos[x]*Sin[x]), x], x, ArcCos[c*x]], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && EqQ[c^2*d + e, 0] && I
      GtQ[n, 0]

5186. Int[((a_.) + ArcSin[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_.)*((f_.)*(x_))^(m_)*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Simp[(
      f*x)^(m + 1)*(d + e*x^2)^(p + 1)*((a + b*ArcSin[c*x])^n/(d*f*(m + 1))), x] - Simp[b*c*(n/(f*(m + 1)))*Simp[(d
      + e*x^2)^p/(1 - c^2*x^2)^p]   Int[(f*x)^(m + 1)*(1 - c^2*x^2)^(p + 1/2)*(a + b*ArcSin[c*x])^(n - 1), x], x] /;
      FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m, p}, x] && EqQ[c^2*d + e, 0] && GtQ[n, 0] && EqQ[m + 2*p + 3, 0] && NeQ[m, -1]

5187. Int[((a_.) + ArcCos[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_.)*((f_.)*(x_))^(m_)*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Simp[(
      f*x)^(m + 1)*(d + e*x^2)^(p + 1)*((a + b*ArcCos[c*x])^n/(d*f*(m + 1))), x] + Simp[b*c*(n/(f*(m + 1)))*Simp[(d
      + e*x^2)^p/(1 - c^2*x^2)^p]   Int[(f*x)^(m + 1)*(1 - c^2*x^2)^(p + 1/2)*(a + b*ArcCos[c*x])^(n - 1), x], x] /;
      FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m, p}, x] && EqQ[c^2*d + e, 0] && GtQ[n, 0] && EqQ[m + 2*p + 3, 0] && NeQ[m, -1]

5188. Int[(((a_.) + ArcSin[(c_.)*(x_)]*(b_.))*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(p_.))/(x_), x_Symbol] :> Simp[(d + e*x^2)^p*((a
      + b*ArcSin[c*x])/(2*p)), x] + (Simp[d   Int[(d + e*x^2)^(p - 1)*((a + b*ArcSin[c*x])/x), x], x] - Simp[b*c*(d
      ^p/(2*p))   Int[(1 - c^2*x^2)^(p - 1/2), x], x]) /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && EqQ[c^2*d + e, 0] && IGtQ[p,
      0]

5189. Int[(((a_.) + ArcCos[(c_.)*(x_)]*(b_.))*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(p_.))/(x_), x_Symbol] :> Simp[(d + e*x^2)^p*((a
      + b*ArcCos[c*x])/(2*p)), x] + (Simp[d   Int[(d + e*x^2)^(p - 1)*((a + b*ArcCos[c*x])/x), x], x] + Simp[b*c*(d
      ^p/(2*p))   Int[(1 - c^2*x^2)^(p - 1/2), x], x]) /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && EqQ[c^2*d + e, 0] && IGtQ[p,
      0]

5190. Int[((a_.) + ArcSin[(c_.)*(x_)]*(b_.))*((f_.)*(x_))^(m_)*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(p_.), x_Symbol] :> Simp[(f*x)^
      (m + 1)*(d + e*x^2)^p*((a + b*ArcSin[c*x])/(f*(m + 1))), x] + (-Simp[b*c*(d^p/(f*(m + 1)))   Int[(f*x)^(m + 1)
      *(1 - c^2*x^2)^(p - 1/2), x], x] - Simp[2*e*(p/(f^2*(m + 1)))   Int[(f*x)^(m + 2)*(d + e*x^2)^(p - 1)*(a + b*A
      rcSin[c*x]), x], x]) /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && EqQ[c^2*d + e, 0] && IGtQ[p, 0] && ILtQ[(m + 1)/2, 0]

5191. Int[((a_.) + ArcCos[(c_.)*(x_)]*(b_.))*((f_.)*(x_))^(m_)*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(p_.), x_Symbol] :> Simp[(f*x)^
      (m + 1)*(d + e*x^2)^p*((a + b*ArcCos[c*x])/(f*(m + 1))), x] + (Simp[b*c*(d^p/(f*(m + 1)))   Int[(f*x)^(m + 1)*
      (1 - c^2*x^2)^(p - 1/2), x], x] - Simp[2*e*(p/(f^2*(m + 1)))   Int[(f*x)^(m + 2)*(d + e*x^2)^(p - 1)*(a + b*Ar
      cCos[c*x]), x], x]) /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && EqQ[c^2*d + e, 0] && IGtQ[p, 0] && ILtQ[(m + 1)/2, 0]

5192. Int[((a_.) + ArcSin[(c_.)*(x_)]*(b_.))*((f_.)*(x_))^(m_)*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(p_.), x_Symbol] :> With[{u = I
      ntHide[(f*x)^m*(d + e*x^2)^p, x]}, Simp[(a + b*ArcSin[c*x])   u, x] - Simp[b*c   Int[SimplifyIntegrand[u/Sqrt[
      1 - c^2*x^2], x], x], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m}, x] && EqQ[c^2*d + e, 0] && IGtQ[p, 0]

5193. Int[((a_.) + ArcCos[(c_.)*(x_)]*(b_.))*((f_.)*(x_))^(m_)*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(p_.), x_Symbol] :> With[{u = I
      ntHide[(f*x)^m*(d + e*x^2)^p, x]}, Simp[(a + b*ArcCos[c*x])   u, x] + Simp[b*c   Int[SimplifyIntegrand[u/Sqrt[
      1 - c^2*x^2], x], x], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m}, x] && EqQ[c^2*d + e, 0] && IGtQ[p, 0]

5194. Int[((a_.) + ArcSin[(c_.)*(x_)]*(b_.))*(x_)^(m_)*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> With[{u = IntHide[x^
      m*(d + e*x^2)^p, x]}, Simp[(a + b*ArcSin[c*x])   u, x] - Simp[b*c*Simp[Sqrt[d + e*x^2]/Sqrt[1 - c^2*x^2]]   In
      t[SimplifyIntegrand[u/Sqrt[d + e*x^2], x], x], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && EqQ[c^2*d + e, 0] && Intege
      rQ[p - 1/2] && NeQ[p, -2^(-1)] && (IGtQ[(m + 1)/2, 0] || ILtQ[(m + 2*p + 3)/2, 0])

5195. Int[((a_.) + ArcCos[(c_.)*(x_)]*(b_.))*(x_)^(m_)*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> With[{u = IntHide[x^
      m*(d + e*x^2)^p, x]}, Simp[(a + b*ArcCos[c*x])   u, x] + Simp[b*c*Simp[Sqrt[d + e*x^2]/Sqrt[1 - c^2*x^2]]   In
      t[SimplifyIntegrand[u/Sqrt[d + e*x^2], x], x], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && EqQ[c^2*d + e, 0] && Intege
      rQ[p - 1/2] && NeQ[p, -2^(-1)] && (IGtQ[(m + 1)/2, 0] || ILtQ[(m + 2*p + 3)/2, 0])

5196. Int[((a_.) + ArcSin[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_.)*((f_.)*(x_))^(m_)*Sqrt[(d_) + (e_.)*(x_)^2], x_Symbol] :> Simp[(f
      *x)^(m + 1)*Sqrt[d + e*x^2]*((a + b*ArcSin[c*x])^n/(f*(m + 1))), x] + (-Simp[b*c*(n/(f*(m + 1)))*Simp[Sqrt[d +
      e*x^2]/Sqrt[1 - c^2*x^2]]   Int[(f*x)^(m + 1)*(a + b*ArcSin[c*x])^(n - 1), x], x] + Simp[(c^2/(f^2*(m + 1)))*
      Simp[Sqrt[d + e*x^2]/Sqrt[1 - c^2*x^2]]   Int[(f*x)^(m + 2)*((a + b*ArcSin[c*x])^n/Sqrt[1 - c^2*x^2]), x], x])
      /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && EqQ[c^2*d + e, 0] && GtQ[n, 0] && LtQ[m, -1]

5197. Int[((a_.) + ArcCos[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_.)*((f_.)*(x_))^(m_)*Sqrt[(d_) + (e_.)*(x_)^2], x_Symbol] :> Simp[(f
      *x)^(m + 1)*Sqrt[d + e*x^2]*((a + b*ArcCos[c*x])^n/(f*(m + 1))), x] + (Simp[b*c*(n/(f*(m + 1)))*Simp[Sqrt[d +
      e*x^2]/Sqrt[1 - c^2*x^2]]   Int[(f*x)^(m + 1)*(a + b*ArcCos[c*x])^(n - 1), x], x] + Simp[(c^2/(f^2*(m + 1)))*S
      imp[Sqrt[d + e*x^2]/Sqrt[1 - c^2*x^2]]   Int[(f*x)^(m + 2)*((a + b*ArcCos[c*x])^n/Sqrt[1 - c^2*x^2]), x], x])
      /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && EqQ[c^2*d + e, 0] && GtQ[n, 0] && LtQ[m, -1]

5198. Int[((a_.) + ArcSin[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_.)*((f_.)*(x_))^(m_)*Sqrt[(d_) + (e_.)*(x_)^2], x_Symbol] :> Simp[(f
      *x)^(m + 1)*Sqrt[d + e*x^2]*((a + b*ArcSin[c*x])^n/(f*(m + 2))), x] + (Simp[(1/(m + 2))*Simp[Sqrt[d + e*x^2]/S
      qrt[1 - c^2*x^2]]   Int[(f*x)^m*((a + b*ArcSin[c*x])^n/Sqrt[1 - c^2*x^2]), x], x] - Simp[b*c*(n/(f*(m + 2)))*S
      imp[Sqrt[d + e*x^2]/Sqrt[1 - c^2*x^2]]   Int[(f*x)^(m + 1)*(a + b*ArcSin[c*x])^(n - 1), x], x]) /; FreeQ[{a, b
      , c, d, e, f, m}, x] && EqQ[c^2*d + e, 0] && GtQ[n, 0] && (IGtQ[m, -2] || EqQ[n, 1])

5199. Int[((a_.) + ArcCos[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_.)*((f_.)*(x_))^(m_)*Sqrt[(d_) + (e_.)*(x_)^2], x_Symbol] :> Simp[(f
      *x)^(m + 1)*Sqrt[d + e*x^2]*((a + b*ArcCos[c*x])^n/(f*(m + 2))), x] + (Simp[(1/(m + 2))*Simp[Sqrt[d + e*x^2]/S
      qrt[1 - c^2*x^2]]   Int[(f*x)^m*((a + b*ArcCos[c*x])^n/Sqrt[1 - c^2*x^2]), x], x] + Simp[b*c*(n/(f*(m + 2)))*S
      imp[Sqrt[d + e*x^2]/Sqrt[1 - c^2*x^2]]   Int[(f*x)^(m + 1)*(a + b*ArcCos[c*x])^(n - 1), x], x]) /; FreeQ[{a, b
      , c, d, e, f, m}, x] && EqQ[c^2*d + e, 0] && GtQ[n, 0] && (IGtQ[m, -2] || EqQ[n, 1])

5200. Int[((a_.) + ArcSin[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_.)*((f_.)*(x_))^(m_)*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(p_.), x_Symbol] :> Simp[
      (f*x)^(m + 1)*(d + e*x^2)^p*((a + b*ArcSin[c*x])^n/(f*(m + 1))), x] + (-Simp[2*e*(p/(f^2*(m + 1)))   Int[(f*x)
      ^(m + 2)*(d + e*x^2)^(p - 1)*(a + b*ArcSin[c*x])^n, x], x] - Simp[b*c*(n/(f*(m + 1)))*Simp[(d + e*x^2)^p/(1 -
      c^2*x^2)^p]   Int[(f*x)^(m + 1)*(1 - c^2*x^2)^(p - 1/2)*(a + b*ArcSin[c*x])^(n - 1), x], x]) /; FreeQ[{a, b, c
      , d, e, f}, x] && EqQ[c^2*d + e, 0] && GtQ[n, 0] && GtQ[p, 0] && LtQ[m, -1]

5201. Int[((a_.) + ArcCos[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_.)*((f_.)*(x_))^(m_)*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(p_.), x_Symbol] :> Simp[
      (f*x)^(m + 1)*(d + e*x^2)^p*((a + b*ArcCos[c*x])^n/(f*(m + 1))), x] + (-Simp[2*e*(p/(f^2*(m + 1)))   Int[(f*x)
      ^(m + 2)*(d + e*x^2)^(p - 1)*(a + b*ArcCos[c*x])^n, x], x] + Simp[b*c*(n/(f*(m + 1)))*Simp[(d + e*x^2)^p/(1 -
      c^2*x^2)^p]   Int[(f*x)^(m + 1)*(1 - c^2*x^2)^(p - 1/2)*(a + b*ArcCos[c*x])^(n - 1), x], x]) /; FreeQ[{a, b, c
      , d, e, f}, x] && EqQ[c^2*d + e, 0] && GtQ[n, 0] && GtQ[p, 0] && LtQ[m, -1]

5202. Int[((a_.) + ArcSin[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_.)*((f_.)*(x_))^(m_)*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(p_.), x_Symbol] :> Simp[
      (f*x)^(m + 1)*(d + e*x^2)^p*((a + b*ArcSin[c*x])^n/(f*(m + 2*p + 1))), x] + (Simp[2*d*(p/(m + 2*p + 1))   Int[
      (f*x)^m*(d + e*x^2)^(p - 1)*(a + b*ArcSin[c*x])^n, x], x] - Simp[b*c*(n/(f*(m + 2*p + 1)))*Simp[(d + e*x^2)^p/
      (1 - c^2*x^2)^p]   Int[(f*x)^(m + 1)*(1 - c^2*x^2)^(p - 1/2)*(a + b*ArcSin[c*x])^(n - 1), x], x]) /; FreeQ[{a,
      b, c, d, e, f, m}, x] && EqQ[c^2*d + e, 0] && GtQ[n, 0] && GtQ[p, 0] &&  !LtQ[m, -1]

5203. Int[((a_.) + ArcCos[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_.)*((f_.)*(x_))^(m_)*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(p_.), x_Symbol] :> Simp[
      (f*x)^(m + 1)*(d + e*x^2)^p*((a + b*ArcCos[c*x])^n/(f*(m + 2*p + 1))), x] + (Simp[2*d*(p/(m + 2*p + 1))   Int[
      (f*x)^m*(d + e*x^2)^(p - 1)*(a + b*ArcCos[c*x])^n, x], x] + Simp[b*c*(n/(f*(m + 2*p + 1)))*Simp[(d + e*x^2)^p/
      (1 - c^2*x^2)^p]   Int[(f*x)^(m + 1)*(1 - c^2*x^2)^(p - 1/2)*(a + b*ArcCos[c*x])^(n - 1), x], x]) /; FreeQ[{a,
      b, c, d, e, f, m}, x] && EqQ[c^2*d + e, 0] && GtQ[n, 0] && GtQ[p, 0] &&  !LtQ[m, -1]

5204. Int[((a_.) + ArcSin[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_.)*((f_.)*(x_))^(m_)*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Simp[(
      f*x)^(m + 1)*(d + e*x^2)^(p + 1)*((a + b*ArcSin[c*x])^n/(d*f*(m + 1))), x] + (Simp[c^2*((m + 2*p + 3)/(f^2*(m
      + 1)))   Int[(f*x)^(m + 2)*(d + e*x^2)^p*(a + b*ArcSin[c*x])^n, x], x] - Simp[b*c*(n/(f*(m + 1)))*Simp[(d + e*
      x^2)^p/(1 - c^2*x^2)^p]   Int[(f*x)^(m + 1)*(1 - c^2*x^2)^(p + 1/2)*(a + b*ArcSin[c*x])^(n - 1), x], x]) /; Fr
      eeQ[{a, b, c, d, e, f, p}, x] && EqQ[c^2*d + e, 0] && GtQ[n, 0] && ILtQ[m, -1]

5205. Int[((a_.) + ArcCos[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_.)*((f_.)*(x_))^(m_)*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Simp[(
      f*x)^(m + 1)*(d + e*x^2)^(p + 1)*((a + b*ArcCos[c*x])^n/(d*f*(m + 1))), x] + (Simp[c^2*((m + 2*p + 3)/(f^2*(m
      + 1)))   Int[(f*x)^(m + 2)*(d + e*x^2)^p*(a + b*ArcCos[c*x])^n, x], x] + Simp[b*c*(n/(f*(m + 1)))*Simp[(d + e*
      x^2)^p/(1 - c^2*x^2)^p]   Int[(f*x)^(m + 1)*(1 - c^2*x^2)^(p + 1/2)*(a + b*ArcCos[c*x])^(n - 1), x], x]) /; Fr
      eeQ[{a, b, c, d, e, f, p}, x] && EqQ[c^2*d + e, 0] && GtQ[n, 0] && ILtQ[m, -1]

5206. Int[((a_.) + ArcSin[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_.)*((f_.)*(x_))^(m_)*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Simp[f
      *(f*x)^(m - 1)*(d + e*x^2)^(p + 1)*((a + b*ArcSin[c*x])^n/(2*e*(p + 1))), x] + (-Simp[f^2*((m - 1)/(2*e*(p + 1
      )))   Int[(f*x)^(m - 2)*(d + e*x^2)^(p + 1)*(a + b*ArcSin[c*x])^n, x], x] + Simp[b*f*(n/(2*c*(p + 1)))*Simp[(d
      + e*x^2)^p/(1 - c^2*x^2)^p]   Int[(f*x)^(m - 1)*(1 - c^2*x^2)^(p + 1/2)*(a + b*ArcSin[c*x])^(n - 1), x], x])
      /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && EqQ[c^2*d + e, 0] && GtQ[n, 0] && LtQ[p, -1] && IGtQ[m, 1]

5207. Int[((a_.) + ArcCos[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_.)*((f_.)*(x_))^(m_)*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Simp[f
      *(f*x)^(m - 1)*(d + e*x^2)^(p + 1)*((a + b*ArcCos[c*x])^n/(2*e*(p + 1))), x] + (-Simp[f^2*((m - 1)/(2*e*(p + 1
      )))   Int[(f*x)^(m - 2)*(d + e*x^2)^(p + 1)*(a + b*ArcCos[c*x])^n, x], x] - Simp[b*f*(n/(2*c*(p + 1)))*Simp[(d
      + e*x^2)^p/(1 - c^2*x^2)^p]   Int[(f*x)^(m - 1)*(1 - c^2*x^2)^(p + 1/2)*(a + b*ArcCos[c*x])^(n - 1), x], x])
      /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && EqQ[c^2*d + e, 0] && GtQ[n, 0] && LtQ[p, -1] && IGtQ[m, 1]

5208. Int[((a_.) + ArcSin[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_.)*((f_.)*(x_))^(m_)*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Simp[(
      -(f*x)^(m + 1))*(d + e*x^2)^(p + 1)*((a + b*ArcSin[c*x])^n/(2*d*f*(p + 1))), x] + (Simp[(m + 2*p + 3)/(2*d*(p
      + 1))   Int[(f*x)^m*(d + e*x^2)^(p + 1)*(a + b*ArcSin[c*x])^n, x], x] + Simp[b*c*(n/(2*f*(p + 1)))*Simp[(d + e
      *x^2)^p/(1 - c^2*x^2)^p]   Int[(f*x)^(m + 1)*(1 - c^2*x^2)^(p + 1/2)*(a + b*ArcSin[c*x])^(n - 1), x], x]) /; F
      reeQ[{a, b, c, d, e, f, m}, x] && EqQ[c^2*d + e, 0] && GtQ[n, 0] && LtQ[p, -1] &&  !GtQ[m, 1] && (IntegerQ[m]
      || IntegerQ[p] || EqQ[n, 1])

5209. Int[((a_.) + ArcCos[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_.)*((f_.)*(x_))^(m_)*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Simp[(
      -(f*x)^(m + 1))*(d + e*x^2)^(p + 1)*((a + b*ArcCos[c*x])^n/(2*d*f*(p + 1))), x] + (Simp[(m + 2*p + 3)/(2*d*(p
      + 1))   Int[(f*x)^m*(d + e*x^2)^(p + 1)*(a + b*ArcCos[c*x])^n, x], x] - Simp[b*c*(n/(2*f*(p + 1)))*Simp[(d + e
      *x^2)^p/(1 - c^2*x^2)^p]   Int[(f*x)^(m + 1)*(1 - c^2*x^2)^(p + 1/2)*(a + b*ArcCos[c*x])^(n - 1), x], x]) /; F
      reeQ[{a, b, c, d, e, f, m}, x] && EqQ[c^2*d + e, 0] && GtQ[n, 0] && LtQ[p, -1] &&  !GtQ[m, 1] && (IntegerQ[m]
      || IntegerQ[p] || EqQ[n, 1])

5210. Int[((a_.) + ArcSin[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_.)*((f_.)*(x_))^(m_)*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Simp[f
      *(f*x)^(m - 1)*(d + e*x^2)^(p + 1)*((a + b*ArcSin[c*x])^n/(e*(m + 2*p + 1))), x] + (Simp[f^2*((m - 1)/(c^2*(m
      + 2*p + 1)))   Int[(f*x)^(m - 2)*(d + e*x^2)^p*(a + b*ArcSin[c*x])^n, x], x] + Simp[b*f*(n/(c*(m + 2*p + 1)))*
      Simp[(d + e*x^2)^p/(1 - c^2*x^2)^p]   Int[(f*x)^(m - 1)*(1 - c^2*x^2)^(p + 1/2)*(a + b*ArcSin[c*x])^(n - 1), x
      ], x]) /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, p}, x] && EqQ[c^2*d + e, 0] && GtQ[n, 0] && IGtQ[m, 1] && NeQ[m + 2*p + 1,
      0]

5211. Int[((a_.) + ArcCos[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_.)*((f_.)*(x_))^(m_)*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Simp[f
      *(f*x)^(m - 1)*(d + e*x^2)^(p + 1)*((a + b*ArcCos[c*x])^n/(e*(m + 2*p + 1))), x] + (Simp[f^2*((m - 1)/(c^2*(m
      + 2*p + 1)))   Int[(f*x)^(m - 2)*(d + e*x^2)^p*(a + b*ArcCos[c*x])^n, x], x] - Simp[b*f*(n/(c*(m + 2*p + 1)))*
      Simp[(d + e*x^2)^p/(1 - c^2*x^2)^p]   Int[(f*x)^(m - 1)*(1 - c^2*x^2)^(p + 1/2)*(a + b*ArcCos[c*x])^(n - 1), x
      ], x]) /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, p}, x] && EqQ[c^2*d + e, 0] && GtQ[n, 0] && IGtQ[m, 1] && NeQ[m + 2*p + 1,
      0]

5212. Int[((a_.) + ArcSin[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_)*((f_.)*(x_))^(m_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(p_.), x_Symbol] :> Simp[
      (f*x)^m*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(d + e*x^2)^p*((a + b*ArcSin[c*x])^(n + 1)/(b*c*(n + 1))), x] - Simp[f*(m/(b*c*(n +
      1)))*Simp[(d + e*x^2)^p/(1 - c^2*x^2)^p]   Int[(f*x)^(m - 1)*(1 - c^2*x^2)^(p - 1/2)*(a + b*ArcSin[c*x])^(n +
      1), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m, p}, x] && EqQ[c^2*d + e, 0] && LtQ[n, -1] && EqQ[m + 2*p + 1, 0]

5213. Int[((a_.) + ArcCos[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_)*((f_.)*(x_))^(m_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(p_.), x_Symbol] :> Simp[
      (-(f*x)^m)*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(d + e*x^2)^p*((a + b*ArcCos[c*x])^(n + 1)/(b*c*(n + 1))), x] + Simp[f*(m/(b*c*(n
      + 1)))*Simp[(d + e*x^2)^p/(1 - c^2*x^2)^p]   Int[(f*x)^(m - 1)*(1 - c^2*x^2)^(p - 1/2)*(a + b*ArcCos[c*x])^(n
      + 1), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m, p}, x] && EqQ[c^2*d + e, 0] && LtQ[n, -1] && EqQ[m + 2*p + 1, 0]

5214. Int[((a_.) + ArcSin[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_)*((f_.)*(x_))^(m_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(p_.), x_Symbol] :> Simp[
      (f*x)^m*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(d + e*x^2)^p*((a + b*ArcSin[c*x])^(n + 1)/(b*c*(n + 1))), x] + (-Simp[f*(m/(b*c*(n
      + 1)))*Simp[(d + e*x^2)^p/(1 - c^2*x^2)^p]   Int[(f*x)^(m - 1)*(1 - c^2*x^2)^(p - 1/2)*(a + b*ArcSin[c*x])^(n
      + 1), x], x] + Simp[c*((m + 2*p + 1)/(b*f*(n + 1)))*Simp[(d + e*x^2)^p/(1 - c^2*x^2)^p]   Int[(f*x)^(m + 1)*(1
      - c^2*x^2)^(p - 1/2)*(a + b*ArcSin[c*x])^(n + 1), x], x]) /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && EqQ[c^2*d + e, 0
      ] && LtQ[n, -1] && IGtQ[2*p, 0] && NeQ[m + 2*p + 1, 0] && IGtQ[m, -3]

5215. Int[((a_.) + ArcCos[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_)*((f_.)*(x_))^(m_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(p_.), x_Symbol] :> Simp[
      (-(f*x)^m)*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(d + e*x^2)^p*((a + b*ArcCos[c*x])^(n + 1)/(b*c*(n + 1))), x] + (Simp[f*(m/(b*c*(
      n + 1)))*Simp[(d + e*x^2)^p/(1 - c^2*x^2)^p]   Int[(f*x)^(m - 1)*(1 - c^2*x^2)^(p - 1/2)*(a + b*ArcCos[c*x])^(
      n + 1), x], x] - Simp[c*((m + 2*p + 1)/(b*f*(n + 1)))*Simp[(d + e*x^2)^p/(1 - c^2*x^2)^p]   Int[(f*x)^(m + 1)*
      (1 - c^2*x^2)^(p - 1/2)*(a + b*ArcCos[c*x])^(n + 1), x], x]) /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && EqQ[c^2*d + e,
      0] && LtQ[n, -1] && IGtQ[2*p, 0] && NeQ[m + 2*p + 1, 0] && IGtQ[m, -3]

5216. Int[(((a_.) + ArcSin[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_.)*((f_.)*(x_))^(m_))/Sqrt[(d_) + (e_.)*(x_)^2], x_Symbol] :> Simp[
      f*(f*x)^(m - 1)*Sqrt[d + e*x^2]*((a + b*ArcSin[c*x])^n/(e*m)), x] + (Simp[f^2*((m - 1)/(c^2*m))   Int[((f*x)^(
      m - 2)*(a + b*ArcSin[c*x])^n)/Sqrt[d + e*x^2], x], x] + Simp[b*f*(n/(c*m))*Simp[Sqrt[1 - c^2*x^2]/Sqrt[d + e*x
      ^2]]   Int[(f*x)^(m - 1)*(a + b*ArcSin[c*x])^(n - 1), x], x]) /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && EqQ[c^2*d + e
      , 0] && GtQ[n, 0] && IGtQ[m, 1]

5217. Int[(((a_.) + ArcCos[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_.)*((f_.)*(x_))^(m_))/Sqrt[(d_) + (e_.)*(x_)^2], x_Symbol] :> Simp[
      f*(f*x)^(m - 1)*Sqrt[d + e*x^2]*((a + b*ArcCos[c*x])^n/(e*m)), x] + (Simp[f^2*((m - 1)/(c^2*m))   Int[((f*x)^(
      m - 2)*(a + b*ArcCos[c*x])^n)/Sqrt[d + e*x^2], x], x] - Simp[b*f*(n/(c*m))*Simp[Sqrt[1 - c^2*x^2]/Sqrt[d + e*x
      ^2]]   Int[(f*x)^(m - 1)*(a + b*ArcCos[c*x])^(n - 1), x], x]) /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && EqQ[c^2*d + e
      , 0] && GtQ[n, 0] && IGtQ[m, 1]

5218. Int[(((a_.) + ArcSin[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_.)*(x_)^(m_))/Sqrt[(d_) + (e_.)*(x_)^2], x_Symbol] :> Simp[(1/c^(m
      + 1))*Simp[Sqrt[1 - c^2*x^2]/Sqrt[d + e*x^2]]   Subst[Int[(a + b*x)^n*Sin[x]^m, x], x, ArcSin[c*x]], x] /; Fre
      eQ[{a, b, c, d, e}, x] && EqQ[c^2*d + e, 0] && IGtQ[n, 0] && IntegerQ[m]

5219. Int[(((a_.) + ArcCos[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_.)*(x_)^(m_))/Sqrt[(d_) + (e_.)*(x_)^2], x_Symbol] :> Simp[(-(c^(m
      + 1))^(-1))*Simp[Sqrt[1 - c^2*x^2]/Sqrt[d + e*x^2]]   Subst[Int[(a + b*x)^n*Cos[x]^m, x], x, ArcCos[c*x]], x]
      /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && EqQ[c^2*d + e, 0] && IGtQ[n, 0] && IntegerQ[m]

5220. Int[(((a_.) + ArcSin[(c_.)*(x_)]*(b_.))*((f_.)*(x_))^(m_))/Sqrt[(d_) + (e_.)*(x_)^2], x_Symbol] :> Simp[((f*x)
      ^(m + 1)/(f*(m + 1)))*Simp[Sqrt[1 - c^2*x^2]/Sqrt[d + e*x^2]]*(a + b*ArcSin[c*x])*Hypergeometric2F1[1/2, (1 +
      m)/2, (3 + m)/2, c^2*x^2], x] - Simp[b*c*((f*x)^(m + 2)/(f^2*(m + 1)*(m + 2)))*Simp[Sqrt[1 - c^2*x^2]/Sqrt[d +
      e*x^2]]*HypergeometricPFQ[{1, 1 + m/2, 1 + m/2}, {3/2 + m/2, 2 + m/2}, c^2*x^2], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e,
      f, m}, x] && EqQ[c^2*d + e, 0] &&  !IntegerQ[m]

5221. Int[(((a_.) + ArcCos[(c_.)*(x_)]*(b_.))*((f_.)*(x_))^(m_))/Sqrt[(d_) + (e_.)*(x_)^2], x_Symbol] :> Simp[((f*x)
      ^(m + 1)/(f*(m + 1)))*(a + b*ArcCos[c*x])*Simp[Sqrt[1 - c^2*x^2]/Sqrt[d + e*x^2]]*Hypergeometric2F1[1/2, (1 +
      m)/2, (3 + m)/2, c^2*x^2], x] + Simp[b*c*((f*x)^(m + 2)/(f^2*(m + 1)*(m + 2)))*Simp[Sqrt[1 - c^2*x^2]/Sqrt[d +
      e*x^2]]*HypergeometricPFQ[{1, 1 + m/2, 1 + m/2}, {3/2 + m/2, 2 + m/2}, c^2*x^2], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e,
      f, m}, x] && EqQ[c^2*d + e, 0] &&  !IntegerQ[m]

5222. Int[(((a_.) + ArcSin[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_)*((f_.)*(x_))^(m_.))/Sqrt[(d_) + (e_.)*(x_)^2], x_Symbol] :> Simp[
      ((f*x)^m/(b*c*(n + 1)))*Simp[Sqrt[1 - c^2*x^2]/Sqrt[d + e*x^2]]*(a + b*ArcSin[c*x])^(n + 1), x] - Simp[f*(m/(b
      *c*(n + 1)))*Simp[Sqrt[1 - c^2*x^2]/Sqrt[d + e*x^2]]   Int[(f*x)^(m - 1)*(a + b*ArcSin[c*x])^(n + 1), x], x] /
      ; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m}, x] && EqQ[c^2*d + e, 0] && LtQ[n, -1]

5223. Int[(((a_.) + ArcCos[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_)*((f_.)*(x_))^(m_.))/Sqrt[(d_) + (e_.)*(x_)^2], x_Symbol] :> Simp[
      (-(f*x)^m/(b*c*(n + 1)))*Simp[Sqrt[1 - c^2*x^2]/Sqrt[d + e*x^2]]*(a + b*ArcCos[c*x])^(n + 1), x] + Simp[f*(m/(
      b*c*(n + 1)))*Simp[Sqrt[1 - c^2*x^2]/Sqrt[d + e*x^2]]   Int[(f*x)^(m - 1)*(a + b*ArcCos[c*x])^(n + 1), x], x]
      /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m}, x] && EqQ[c^2*d + e, 0] && LtQ[n, -1]

5224. Int[((a_.) + ArcSin[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_.)*(x_)^(m_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(p_.), x_Symbol] :> Simp[(1/(b*c
      ^(m + 1)))*Simp[(d + e*x^2)^p/(1 - c^2*x^2)^p]   Subst[Int[x^n*Sin[-a/b + x/b]^m*Cos[-a/b + x/b]^(2*p + 1), x]
      , x, a + b*ArcSin[c*x]], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, n}, x] && EqQ[c^2*d + e, 0] && IGtQ[2*p + 2, 0] && IGtQ[m
      , 0]

5225. Int[((a_.) + ArcCos[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_.)*(x_)^(m_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(p_.), x_Symbol] :> Simp[(-(b*c^
      (m + 1))^(-1))*Simp[(d + e*x^2)^p/(1 - c^2*x^2)^p]   Subst[Int[x^n*Cos[-a/b + x/b]^m*Sin[-a/b + x/b]^(2*p + 1)
      , x], x, a + b*ArcCos[c*x]], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, n}, x] && EqQ[c^2*d + e, 0] && IGtQ[2*p + 2, 0] && IG
      tQ[m, 0]

5226. Int[((a_.) + ArcSin[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_.)*((f_.)*(x_))^(m_)*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Int[Ex
      pandIntegrand[(a + b*ArcSin[c*x])^n/Sqrt[d + e*x^2], (f*x)^m*(d + e*x^2)^(p + 1/2), x], x] /; FreeQ[{a, b, c,
      d, e, f, m, n}, x] && EqQ[c^2*d + e, 0] && IGtQ[p + 1/2, 0] &&  !IGtQ[(m + 1)/2, 0] && (EqQ[m, -1] || EqQ[m, -
      2])

5227. Int[((a_.) + ArcCos[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_.)*((f_.)*(x_))^(m_)*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Int[Ex
      pandIntegrand[(a + b*ArcCos[c*x])^n/Sqrt[d + e*x^2], (f*x)^m*(d + e*x^2)^(p + 1/2), x], x] /; FreeQ[{a, b, c,
      d, e, f, m, n}, x] && EqQ[c^2*d + e, 0] && IGtQ[p + 1/2, 0] &&  !IGtQ[(m + 1)/2, 0] && (EqQ[m, -1] || EqQ[m, -
      2])

5228. Int[((a_.) + ArcSin[(c_.)*(x_)]*(b_.))*(x_)*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(p_.), x_Symbol] :> Simp[(d + e*x^2)^(p + 1)
      *((a + b*ArcSin[c*x])/(2*e*(p + 1))), x] - Simp[b*(c/(2*e*(p + 1)))   Int[(d + e*x^2)^(p + 1)/Sqrt[1 - c^2*x^2
      ], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, p}, x] && NeQ[c^2*d + e, 0] && NeQ[p, -1]

5229. Int[((a_.) + ArcCos[(c_.)*(x_)]*(b_.))*(x_)*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(p_.), x_Symbol] :> Simp[(d + e*x^2)^(p + 1)
      *((a + b*ArcCos[c*x])/(2*e*(p + 1))), x] + Simp[b*(c/(2*e*(p + 1)))   Int[(d + e*x^2)^(p + 1)/Sqrt[1 - c^2*x^2
      ], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, p}, x] && NeQ[c^2*d + e, 0] && NeQ[p, -1]

5230. Int[((a_.) + ArcSin[(c_.)*(x_)]*(b_.))*((f_.)*(x_))^(m_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(p_.), x_Symbol] :> With[{u =
      IntHide[(f*x)^m*(d + e*x^2)^p, x]}, Simp[(a + b*ArcSin[c*x])   u, x] - Simp[b*c   Int[SimplifyIntegrand[u/Sqrt
      [1 - c^2*x^2], x], x], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m}, x] && NeQ[c^2*d + e, 0] && IntegerQ[p] && (GtQ[p, 0
      ] || (IGtQ[(m - 1)/2, 0] && LeQ[m + p, 0]))

5231. Int[((a_.) + ArcCos[(c_.)*(x_)]*(b_.))*((f_.)*(x_))^(m_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(p_.), x_Symbol] :> With[{u =
      IntHide[(f*x)^m*(d + e*x^2)^p, x]}, Simp[(a + b*ArcCos[c*x])   u, x] + Simp[b*c   Int[SimplifyIntegrand[u/Sqrt
      [1 - c^2*x^2], x], x], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m}, x] && NeQ[c^2*d + e, 0] && IntegerQ[p] && (GtQ[p, 0
      ] || (IGtQ[(m - 1)/2, 0] && LeQ[m + p, 0]))

5232. Int[((a_.) + ArcSin[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_.)*((f_.)*(x_))^(m_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(p_.), x_Symbol] :> Int[
      ExpandIntegrand[(a + b*ArcSin[c*x])^n, (f*x)^m*(d + e*x^2)^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && NeQ[c^
      2*d + e, 0] && IGtQ[n, 0] && IntegerQ[p] && IntegerQ[m]

5233. Int[((a_.) + ArcCos[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_.)*((f_.)*(x_))^(m_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(p_.), x_Symbol] :> Int[
      ExpandIntegrand[(a + b*ArcCos[c*x])^n, (f*x)^m*(d + e*x^2)^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && NeQ[c^
      2*d + e, 0] && IGtQ[n, 0] && IntegerQ[p] && IntegerQ[m]

5234. Int[((a_.) + ArcSin[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_.)*((f_.)*(x_))^(m_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(p_.), x_Symbol] :> Unin
      tegrable[(f*x)^m*(d + e*x^2)^p*(a + b*ArcSin[c*x])^n, x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m, n, p}, x]

5235. Int[((a_.) + ArcCos[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_.)*((f_.)*(x_))^(m_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(p_.), x_Symbol] :> Unin
      tegrable[(f*x)^m*(d + e*x^2)^p*(a + b*ArcCos[c*x])^n, x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m, n, p}, x]

5236. Int[((a_.) + ArcSin[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_.)*((h_.)*(x_))^(m_.)*((d_) + (e_.)*(x_))^(p_)*((f_) + (g_.)*(x_))^(
      q_), x_Symbol] :> Simp[((-d^2)*(g/e))^q   Int[(h*x)^m*(d + e*x)^(p - q)*(1 - c^2*x^2)^q*(a + b*ArcSin[c*x])^n,
      x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, h, m, n}, x] && EqQ[e*f + d*g, 0] && EqQ[c^2*d^2 - e^2, 0] && HalfInteg
      erQ[p, q] && GeQ[p - q, 0] && GtQ[d, 0] && LtQ[g/e, 0]

5237. Int[((a_.) + ArcCos[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_.)*((h_.)*(x_))^(m_.)*((d_) + (e_.)*(x_))^(p_)*((f_) + (g_.)*(x_))^(
      q_), x_Symbol] :> Simp[((-d^2)*(g/e))^q   Int[(h*x)^m*(d + e*x)^(p - q)*(1 - c^2*x^2)^q*(a + b*ArcCos[c*x])^n,
      x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, h, m, n}, x] && EqQ[e*f + d*g, 0] && EqQ[c^2*d^2 - e^2, 0] && HalfInteg
      erQ[p, q] && GeQ[p - q, 0] && GtQ[d, 0] && LtQ[g/e, 0]

5238. Int[((a_.) + ArcSin[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_.)*((h_.)*(x_))^(m_.)*((d_) + (e_.)*(x_))^(p_)*((f_) + (g_.)*(x_))^(
      q_), x_Symbol] :> Simp[((-d^2)*(g/e))^IntPart[q]*(d + e*x)^FracPart[q]*((f + g*x)^FracPart[q]/(1 - c^2*x^2)^Fr
      acPart[q])   Int[(h*x)^m*(d + e*x)^(p - q)*(1 - c^2*x^2)^q*(a + b*ArcSin[c*x])^n, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d,
      e, f, g, h, m, n}, x] && EqQ[e*f + d*g, 0] && EqQ[c^2*d^2 - e^2, 0] && HalfIntegerQ[p, q] && GeQ[p - q, 0]

5239. Int[((a_.) + ArcCos[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_.)*((h_.)*(x_))^(m_.)*((d_) + (e_.)*(x_))^(p_)*((f_) + (g_.)*(x_))^(
      q_), x_Symbol] :> Simp[((-d^2)*(g/e))^IntPart[q]*(d + e*x)^FracPart[q]*((f + g*x)^FracPart[q]/(1 - c^2*x^2)^Fr
      acPart[q])   Int[(h*x)^m*(d + e*x)^(p - q)*(1 - c^2*x^2)^q*(a + b*ArcCos[c*x])^n, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d,
      e, f, g, h, m, n}, x] && EqQ[e*f + d*g, 0] && EqQ[c^2*d^2 - e^2, 0] && HalfIntegerQ[p, q] && GeQ[p - q, 0]

5240. Int[((a_.) + ArcSin[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_.)/((d_) + (e_.)*(x_)), x_Symbol] :> Subst[Int[(a + b*x)^n*(Cos[x]/(
      c*d + e*Sin[x])), x], x, ArcSin[c*x]] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && IGtQ[n, 0]

5241. Int[((a_.) + ArcCos[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_.)/((d_) + (e_.)*(x_)), x_Symbol] :> -Subst[Int[(a + b*x)^n*(Sin[x]/
      (c*d + e*Cos[x])), x], x, ArcCos[c*x]] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && IGtQ[n, 0]

5242. Int[((a_.) + ArcSin[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_.)*((d_) + (e_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Simp[(d + e*x)^(m + 1)*((
      a + b*ArcSin[c*x])^n/(e*(m + 1))), x] - Simp[b*c*(n/(e*(m + 1)))   Int[(d + e*x)^(m + 1)*((a + b*ArcSin[c*x])^
      (n - 1)/Sqrt[1 - c^2*x^2]), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, m}, x] && IGtQ[n, 0] && NeQ[m, -1]

5243. Int[((a_.) + ArcCos[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_.)*((d_) + (e_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Simp[(d + e*x)^(m + 1)*((
      a + b*ArcCos[c*x])^n/(e*(m + 1))), x] + Simp[b*c*(n/(e*(m + 1)))   Int[(d + e*x)^(m + 1)*((a + b*ArcCos[c*x])^
      (n - 1)/Sqrt[1 - c^2*x^2]), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, m}, x] && IGtQ[n, 0] && NeQ[m, -1]

5244. Int[((a_.) + ArcSin[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_)*((d_) + (e_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Int[ExpandIntegrand[(d + e
      *x)^m*(a + b*ArcSin[c*x])^n, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && IGtQ[m, 0] && LtQ[n, -1]

5245. Int[((a_.) + ArcCos[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_)*((d_) + (e_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Int[ExpandIntegrand[(d + e
      *x)^m*(a + b*ArcCos[c*x])^n, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && IGtQ[m, 0] && LtQ[n, -1]

5246. Int[((a_.) + ArcSin[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_)*((d_.) + (e_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Simp[1/c^(m + 1)   Subst[
      Int[(a + b*x)^n*Cos[x]*(c*d + e*Sin[x])^m, x], x, ArcSin[c*x]], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, n}, x] && IGtQ[m,
      0]

5247. Int[((a_.) + ArcCos[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_)*((d_.) + (e_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Simp[-(c^(m + 1))^(-1)
      Subst[Int[(a + b*x)^n*Sin[x]*(c*d + e*Cos[x])^m, x], x, ArcCos[c*x]], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, n}, x] && IG
      tQ[m, 0]

5248. Int[((a_.) + ArcSin[(c_.)*(x_)]*(b_.))*(Px_), x_Symbol] :> With[{u = IntHide[ExpandExpression[Px, x], x]}, Sim
      p[(a + b*ArcSin[c*x])   u, x] - Simp[b*c   Int[SimplifyIntegrand[u/Sqrt[1 - c^2*x^2], x], x], x]] /; FreeQ[{a,
      b, c}, x] && PolynomialQ[Px, x]

5249. Int[((a_.) + ArcCos[(c_.)*(x_)]*(b_.))*(Px_), x_Symbol] :> With[{u = IntHide[ExpandExpression[Px, x], x]}, Sim
      p[(a + b*ArcCos[c*x])   u, x] + Simp[b*c   Int[SimplifyIntegrand[u/Sqrt[1 - c^2*x^2], x], x], x]] /; FreeQ[{a,
      b, c}, x] && PolynomialQ[Px, x]

5250. Int[((a_.) + ArcSin[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_)*(Px_), x_Symbol] :> Int[ExpandIntegrand[Px*(a + b*ArcSin[c*x])^n,
      x], x] /; FreeQ[{a, b, c, n}, x] && PolynomialQ[Px, x]

5251. Int[((a_.) + ArcCos[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_)*(Px_), x_Symbol] :> Int[ExpandIntegrand[Px*(a + b*ArcCos[c*x])^n,
      x], x] /; FreeQ[{a, b, c, n}, x] && PolynomialQ[Px, x]

5252. Int[((a_.) + ArcSin[(c_.)*(x_)]*(b_.))*(Px_)*((d_.) + (e_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> With[{u = IntHide[Px*(d
      + e*x)^m, x]}, Simp[(a + b*ArcSin[c*x])   u, x] - Simp[b*c   Int[SimplifyIntegrand[u/Sqrt[1 - c^2*x^2], x], x]
      , x]] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, m}, x] && PolynomialQ[Px, x]

5253. Int[((a_.) + ArcCos[(c_.)*(x_)]*(b_.))*(Px_)*((d_.) + (e_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> With[{u = IntHide[Px*(d
      + e*x)^m, x]}, Simp[(a + b*ArcCos[c*x])   u, x] + Simp[b*c   Int[SimplifyIntegrand[u/Sqrt[1 - c^2*x^2], x], x]
      , x]] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, m}, x] && PolynomialQ[Px, x]

5254. Int[((a_.) + ArcSin[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_)*((d_) + (e_.)*(x_))^(m_)*((f_.) + (g_.)*(x_))^(p_.), x_Symbol] :>
      With[{u = IntHide[(f + g*x)^p*(d + e*x)^m, x]}, Simp[(a + b*ArcSin[c*x])^n   u, x] - Simp[b*c*n   Int[Simplify
      Integrand[u*((a + b*ArcSin[c*x])^(n - 1)/Sqrt[1 - c^2*x^2]), x], x], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g}, x] &&
      IGtQ[n, 0] && IGtQ[p, 0] && ILtQ[m, 0] && LtQ[m + p + 1, 0]

5255. Int[((a_.) + ArcCos[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_)*((d_) + (e_.)*(x_))^(m_)*((f_.) + (g_.)*(x_))^(p_.), x_Symbol] :>
      With[{u = IntHide[(f + g*x)^p*(d + e*x)^m, x]}, Simp[(a + b*ArcCos[c*x])^n   u, x] + Simp[b*c*n   Int[Simplify
      Integrand[u*((a + b*ArcCos[c*x])^(n - 1)/Sqrt[1 - c^2*x^2]), x], x], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g}, x] &&
      IGtQ[n, 0] && IGtQ[p, 0] && ILtQ[m, 0] && LtQ[m + p + 1, 0]

5256. Int[(((a_.) + ArcSin[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_)*((f_.) + (g_.)*(x_) + (h_.)*(x_)^2)^(p_.))/((d_) + (e_.)*(x_))^2,
      x_Symbol] :> With[{u = IntHide[(f + g*x + h*x^2)^p/(d + e*x)^2, x]}, Simp[(a + b*ArcSin[c*x])^n   u, x] - Sim
      p[b*c*n   Int[SimplifyIntegrand[u*((a + b*ArcSin[c*x])^(n - 1)/Sqrt[1 - c^2*x^2]), x], x], x]] /; FreeQ[{a, b,
      c, d, e, f, g, h}, x] && IGtQ[n, 0] && IGtQ[p, 0] && EqQ[e*g - 2*d*h, 0]

5257. Int[(((a_.) + ArcCos[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_)*((f_.) + (g_.)*(x_) + (h_.)*(x_)^2)^(p_.))/((d_) + (e_.)*(x_))^2,
      x_Symbol] :> With[{u = IntHide[(f + g*x + h*x^2)^p/(d + e*x)^2, x]}, Simp[(a + b*ArcCos[c*x])^n   u, x] + Sim
      p[b*c*n   Int[SimplifyIntegrand[u*((a + b*ArcCos[c*x])^(n - 1)/Sqrt[1 - c^2*x^2]), x], x], x]] /; FreeQ[{a, b,
      c, d, e, f, g, h}, x] && IGtQ[n, 0] && IGtQ[p, 0] && EqQ[e*g - 2*d*h, 0]

5258. Int[((a_.) + ArcSin[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_)*(Px_)*((d_) + (e_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Int[ExpandIntegrand[
      Px*(d + e*x)^m*(a + b*ArcSin[c*x])^n, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && PolynomialQ[Px, x] && IGtQ[n, 0]
      && IntegerQ[m]

5259. Int[((a_.) + ArcCos[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_)*(Px_)*((d_) + (e_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Int[ExpandIntegrand[
      Px*(d + e*x)^m*(a + b*ArcCos[c*x])^n, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && PolynomialQ[Px, x] && IGtQ[n, 0]
      && IntegerQ[m]

5260. Int[((a_.) + ArcSin[(c_.)*(x_)]*(b_.))*((f_) + (g_.)*(x_))^(m_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> With
      [{u = IntHide[(f + g*x)^m*(d + e*x^2)^p, x]}, Simp[(a + b*ArcSin[c*x])   u, x] - Simp[b*c   Int[1/Sqrt[1 - c^2
      *x^2]   u, x], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g}, x] && EqQ[c^2*d + e, 0] && IGtQ[m, 0] && ILtQ[p + 1/2, 0] &
      & GtQ[d, 0] && (LtQ[m, -2*p - 1] || GtQ[m, 3])

5261. Int[((a_.) + ArcCos[(c_.)*(x_)]*(b_.))*((f_) + (g_.)*(x_))^(m_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> With
      [{u = IntHide[(f + g*x)^m*(d + e*x^2)^p, x]}, Simp[(a + b*ArcCos[c*x])   u, x] + Simp[b*c   Int[1/Sqrt[1 - c^2
      *x^2]   u, x], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g}, x] && EqQ[c^2*d + e, 0] && IGtQ[m, 0] && ILtQ[p + 1/2, 0] &
      & GtQ[d, 0] && (LtQ[m, -2*p - 1] || GtQ[m, 3])

5262. Int[((a_.) + ArcSin[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_.)*((f_) + (g_.)*(x_))^(m_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :
      > Int[ExpandIntegrand[(d + e*x^2)^p*(a + b*ArcSin[c*x])^n, (f + g*x)^m, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g},
      x] && EqQ[c^2*d + e, 0] && IGtQ[m, 0] && IntegerQ[p + 1/2] && GtQ[d, 0] && IGtQ[n, 0] && (m == 1 || p > 0 ||
      (n == 1 && p > -1) || (m == 2 && p < -2))

5263. Int[((a_.) + ArcCos[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_.)*((f_) + (g_.)*(x_))^(m_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :
      > Int[ExpandIntegrand[(d + e*x^2)^p*(a + b*ArcCos[c*x])^n, (f + g*x)^m, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g},
      x] && EqQ[c^2*d + e, 0] && IGtQ[m, 0] && IntegerQ[p + 1/2] && GtQ[d, 0] && IGtQ[n, 0] && (m == 1 || p > 0 ||
      (n == 1 && p > -1) || (m == 2 && p < -2))

5264. Int[((a_.) + ArcSin[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_.)*((f_) + (g_.)*(x_))^(m_)*Sqrt[(d_) + (e_.)*(x_)^2], x_Symbol] :>
      Simp[(f + g*x)^m*(d + e*x^2)*((a + b*ArcSin[c*x])^(n + 1)/(b*c*Sqrt[d]*(n + 1))), x] - Simp[1/(b*c*Sqrt[d]*(n
      + 1))   Int[(d*g*m + 2*e*f*x + e*g*(m + 2)*x^2)*(f + g*x)^(m - 1)*(a + b*ArcSin[c*x])^(n + 1), x], x] /; FreeQ
      [{a, b, c, d, e, f, g}, x] && EqQ[c^2*d + e, 0] && ILtQ[m, 0] && GtQ[d, 0] && IGtQ[n, 0]

5265. Int[((a_.) + ArcCos[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_.)*((f_) + (g_.)*(x_))^(m_)*Sqrt[(d_) + (e_.)*(x_)^2], x_Symbol] :>
      Simp[(-(f + g*x)^m)*(d + e*x^2)*((a + b*ArcCos[c*x])^(n + 1)/(b*c*Sqrt[d]*(n + 1))), x] + Simp[1/(b*c*Sqrt[d]*
      (n + 1))   Int[(d*g*m + 2*e*f*x + e*g*(m + 2)*x^2)*(f + g*x)^(m - 1)*(a + b*ArcCos[c*x])^(n + 1), x], x] /; Fr
      eeQ[{a, b, c, d, e, f, g}, x] && EqQ[c^2*d + e, 0] && ILtQ[m, 0] && GtQ[d, 0] && IGtQ[n, 0]

5266. Int[((a_.) + ArcSin[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_.)*((f_) + (g_.)*(x_))^(m_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :
      > Int[ExpandIntegrand[Sqrt[d + e*x^2]*(a + b*ArcSin[c*x])^n, (f + g*x)^m*(d + e*x^2)^(p - 1/2), x], x] /; Free
      Q[{a, b, c, d, e, f, g}, x] && EqQ[c^2*d + e, 0] && IntegerQ[m] && IGtQ[p + 1/2, 0] && GtQ[d, 0] && IGtQ[n, 0]

5267. Int[((a_.) + ArcCos[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_.)*((f_) + (g_.)*(x_))^(m_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :
      > Int[ExpandIntegrand[Sqrt[d + e*x^2]*(a + b*ArcCos[c*x])^n, (f + g*x)^m*(d + e*x^2)^(p - 1/2), x], x] /; Free
      Q[{a, b, c, d, e, f, g}, x] && EqQ[c^2*d + e, 0] && IntegerQ[m] && IGtQ[p + 1/2, 0] && GtQ[d, 0] && IGtQ[n, 0]

5268. Int[((a_.) + ArcSin[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_.)*((f_) + (g_.)*(x_))^(m_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :
      > Simp[(f + g*x)^m*(d + e*x^2)^(p + 1/2)*((a + b*ArcSin[c*x])^(n + 1)/(b*c*Sqrt[d]*(n + 1))), x] - Simp[1/(b*c
      *Sqrt[d]*(n + 1))   Int[ExpandIntegrand[(f + g*x)^(m - 1)*(a + b*ArcSin[c*x])^(n + 1), (d*g*m + e*f*(2*p + 1)*
      x + e*g*(m + 2*p + 1)*x^2)*(d + e*x^2)^(p - 1/2), x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g}, x] && EqQ[c^2*d +
      e, 0] && ILtQ[m, 0] && IGtQ[p - 1/2, 0] && GtQ[d, 0] && IGtQ[n, 0]

5269. Int[((a_.) + ArcCos[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_.)*((f_) + (g_.)*(x_))^(m_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :
      > Simp[(-(f + g*x)^m)*(d + e*x^2)^(p + 1/2)*((a + b*ArcCos[c*x])^(n + 1)/(b*c*Sqrt[d]*(n + 1))), x] + Simp[1/(
      b*c*Sqrt[d]*(n + 1))   Int[ExpandIntegrand[(f + g*x)^(m - 1)*(a + b*ArcCos[c*x])^(n + 1), (d*g*m + e*f*(2*p +
      1)*x + e*g*(m + 2*p + 1)*x^2)*(d + e*x^2)^(p - 1/2), x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g}, x] && EqQ[c^2*
      d + e, 0] && ILtQ[m, 0] && IGtQ[p - 1/2, 0] && GtQ[d, 0] && IGtQ[n, 0]

5270. Int[(((a_.) + ArcSin[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_)*((f_) + (g_.)*(x_))^(m_.))/Sqrt[(d_) + (e_.)*(x_)^2], x_Symbol] :
      > Simp[(f + g*x)^m*((a + b*ArcSin[c*x])^(n + 1)/(b*c*Sqrt[d]*(n + 1))), x] - Simp[g*(m/(b*c*Sqrt[d]*(n + 1)))
      Int[(f + g*x)^(m - 1)*(a + b*ArcSin[c*x])^(n + 1), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g}, x] && EqQ[c^2*d +
      e, 0] && IGtQ[m, 0] && GtQ[d, 0] && LtQ[n, -1]

5271. Int[(((a_.) + ArcCos[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_)*((f_) + (g_.)*(x_))^(m_.))/Sqrt[(d_) + (e_.)*(x_)^2], x_Symbol] :
      > Simp[(-(f + g*x)^m)*((a + b*ArcCos[c*x])^(n + 1)/(b*c*Sqrt[d]*(n + 1))), x] + Simp[g*(m/(b*c*Sqrt[d]*(n + 1)
      ))   Int[(f + g*x)^(m - 1)*(a + b*ArcCos[c*x])^(n + 1), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g}, x] && EqQ[c^2*d
      + e, 0] && IGtQ[m, 0] && GtQ[d, 0] && LtQ[n, -1]

5272. Int[(((a_.) + ArcSin[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_.)*((f_) + (g_.)*(x_))^(m_.))/Sqrt[(d_) + (e_.)*(x_)^2], x_Symbol]
      :> Simp[1/(c^(m + 1)*Sqrt[d])   Subst[Int[(a + b*x)^n*(c*f + g*Sin[x])^m, x], x, ArcSin[c*x]], x] /; FreeQ[{a,
      b, c, d, e, f, g, n}, x] && EqQ[c^2*d + e, 0] && IntegerQ[m] && GtQ[d, 0] && (GtQ[m, 0] || IGtQ[n, 0])

5273. Int[(((a_.) + ArcCos[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_.)*((f_) + (g_.)*(x_))^(m_.))/Sqrt[(d_) + (e_.)*(x_)^2], x_Symbol]
      :> Simp[-(c^(m + 1)*Sqrt[d])^(-1)   Subst[Int[(a + b*x)^n*(c*f + g*Cos[x])^m, x], x, ArcCos[c*x]], x] /; FreeQ
      [{a, b, c, d, e, f, g, n}, x] && EqQ[c^2*d + e, 0] && IntegerQ[m] && GtQ[d, 0] && (GtQ[m, 0] || IGtQ[n, 0])

5274. Int[((a_.) + ArcSin[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_.)*((f_) + (g_.)*(x_))^(m_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :
      > Int[ExpandIntegrand[(a + b*ArcSin[c*x])^n/Sqrt[d + e*x^2], (f + g*x)^m*(d + e*x^2)^(p + 1/2), x], x] /; Free
      Q[{a, b, c, d, e, f, g}, x] && EqQ[c^2*d + e, 0] && IntegerQ[m] && ILtQ[p + 1/2, 0] && GtQ[d, 0] && IGtQ[n, 0]

5275. Int[((a_.) + ArcCos[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_.)*((f_) + (g_.)*(x_))^(m_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :
      > Int[ExpandIntegrand[(a + b*ArcCos[c*x])^n/Sqrt[d + e*x^2], (f + g*x)^m*(d + e*x^2)^(p + 1/2), x], x] /; Free
      Q[{a, b, c, d, e, f, g}, x] && EqQ[c^2*d + e, 0] && IntegerQ[m] && ILtQ[p + 1/2, 0] && GtQ[d, 0] && IGtQ[n, 0]

5276. Int[((a_.) + ArcSin[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_.)*((f_) + (g_.)*(x_))^(m_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :
      > Simp[Simp[(d + e*x^2)^p/(1 - c^2*x^2)^p]   Int[(f + g*x)^m*(1 - c^2*x^2)^p*(a + b*ArcSin[c*x])^n, x], x] /;
      FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, n}, x] && EqQ[c^2*d + e, 0] && IntegerQ[m] && IntegerQ[p - 1/2] &&  !GtQ[d, 0]

5277. Int[((a_.) + ArcCos[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_.)*((f_) + (g_.)*(x_))^(m_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :
      > Simp[Simp[(d + e*x^2)^p/(1 - c^2*x^2)^p]   Int[(f + g*x)^m*(1 - c^2*x^2)^p*(a + b*ArcCos[c*x])^n, x], x] /;
      FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, n}, x] && EqQ[c^2*d + e, 0] && IntegerQ[m] && IntegerQ[p - 1/2] &&  !GtQ[d, 0]

5278. Int[(Log[(h_.)*((f_.) + (g_.)*(x_))^(m_.)]*((a_.) + ArcSin[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_.))/Sqrt[(d_) + (e_.)*(x_)^2]
      , x_Symbol] :> Simp[Log[h*(f + g*x)^m]*((a + b*ArcSin[c*x])^(n + 1)/(b*c*Sqrt[d]*(n + 1))), x] - Simp[g*(m/(b*
      c*Sqrt[d]*(n + 1)))   Int[(a + b*ArcSin[c*x])^(n + 1)/(f + g*x), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, h, m},
      x] && EqQ[c^2*d + e, 0] && GtQ[d, 0] && IGtQ[n, 0]

5279. Int[(Log[(h_.)*((f_.) + (g_.)*(x_))^(m_.)]*((a_.) + ArcCos[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_.))/Sqrt[(d_) + (e_.)*(x_)^2]
      , x_Symbol] :> Simp[(-Log[h*(f + g*x)^m])*((a + b*ArcCos[c*x])^(n + 1)/(b*c*Sqrt[d]*(n + 1))), x] + Simp[g*(m/
      (b*c*Sqrt[d]*(n + 1)))   Int[(a + b*ArcCos[c*x])^(n + 1)/(f + g*x), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, h, m
      }, x] && EqQ[c^2*d + e, 0] && GtQ[d, 0] && IGtQ[n, 0]

5280. Int[Log[(h_.)*((f_.) + (g_.)*(x_))^(m_.)]*((a_.) + ArcSin[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(p_),
      x_Symbol] :> Simp[Simp[(d + e*x^2)^p/(1 - c^2*x^2)^p]   Int[Log[h*(f + g*x)^m]*(1 - c^2*x^2)^p*(a + b*ArcSin[
      c*x])^n, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, h, m, n}, x] && EqQ[c^2*d + e, 0] && IntegerQ[p - 1/2] &&  !GtQ
      [d, 0]

5281. Int[Log[(h_.)*((f_.) + (g_.)*(x_))^(m_.)]*((a_.) + ArcCos[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(p_),
      x_Symbol] :> Simp[Simp[(d + e*x^2)^p/(1 - c^2*x^2)^p]   Int[Log[h*(f + g*x)^m]*(1 - c^2*x^2)^p*(a + b*ArcCos[
      c*x])^n, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, h, m, n}, x] && EqQ[c^2*d + e, 0] && IntegerQ[p - 1/2] &&  !GtQ
      [d, 0]

5282. Int[((a_.) + ArcSin[(c_.)*(x_)]*(b_.))*((d_) + (e_.)*(x_))^(m_)*((f_) + (g_.)*(x_))^(m_), x_Symbol] :> With[{u
      = IntHide[(d + e*x)^m*(f + g*x)^m, x]}, Simp[(a + b*ArcSin[c*x])   u, x] - Simp[b*c   Int[1/Sqrt[1 - c^2*x^2]
      u, x], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g}, x] && ILtQ[m + 1/2, 0]

5283. Int[((a_.) + ArcCos[(c_.)*(x_)]*(b_.))*((d_) + (e_.)*(x_))^(m_)*((f_) + (g_.)*(x_))^(m_), x_Symbol] :> With[{u
      = IntHide[(d + e*x)^m*(f + g*x)^m, x]}, Simp[(a + b*ArcCos[c*x])   u, x] + Simp[b*c   Int[1/Sqrt[1 - c^2*x^2]
      u, x], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g}, x] && ILtQ[m + 1/2, 0]

5284. Int[((a_.) + ArcSin[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_.)*((d_) + (e_.)*(x_))^(m_.)*((f_) + (g_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :>
      Int[ExpandIntegrand[(d + e*x)^m*(f + g*x)^m*(a + b*ArcSin[c*x])^n, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, n},
      x] && IntegerQ[m]

5285. Int[((a_.) + ArcCos[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_.)*((d_) + (e_.)*(x_))^(m_.)*((f_) + (g_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :>
      Int[ExpandIntegrand[(d + e*x)^m*(f + g*x)^m*(a + b*ArcCos[c*x])^n, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, n},
      x] && IntegerQ[m]

5286. Int[((a_.) + ArcSin[(c_.)*(x_)]*(b_.))*(u_), x_Symbol] :> With[{v = IntHide[u, x]}, Simp[(a + b*ArcSin[c*x])
      v, x] - Simp[b*c   Int[SimplifyIntegrand[v/Sqrt[1 - c^2*x^2], x], x], x] /; InverseFunctionFreeQ[v, x]] /; Fr
      eeQ[{a, b, c}, x]

5287. Int[((a_.) + ArcCos[(c_.)*(x_)]*(b_.))*(u_), x_Symbol] :> With[{v = IntHide[u, x]}, Simp[(a + b*ArcCos[c*x])
      v, x] + Simp[b*c   Int[SimplifyIntegrand[v/Sqrt[1 - c^2*x^2], x], x], x] /; InverseFunctionFreeQ[v, x]] /; Fr
      eeQ[{a, b, c}, x]

5288. Int[((a_.) + ArcSin[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_.)*(Px_)*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> With[{u = ExpandIn
      tegrand[Px*(d + e*x^2)^p*(a + b*ArcSin[c*x])^n, x]}, Int[u, x] /; SumQ[u]] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, n}, x] &&
      PolynomialQ[Px, x] && EqQ[c^2*d + e, 0] && IntegerQ[p - 1/2]

5289. Int[((a_.) + ArcCos[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_.)*(Px_)*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> With[{u = ExpandIn
      tegrand[Px*(d + e*x^2)^p*(a + b*ArcCos[c*x])^n, x]}, Int[u, x] /; SumQ[u]] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, n}, x] &&
      PolynomialQ[Px, x] && EqQ[c^2*d + e, 0] && IntegerQ[p - 1/2]

5290. Int[((a_.) + ArcSin[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_.)*(Px_.)*((f_) + (g_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(p_))^(m_.), x_Symbol]
      :> With[{u = ExpandIntegrand[Px*(f + g*(d + e*x^2)^p)^m*(a + b*ArcSin[c*x])^n, x]}, Int[u, x] /; SumQ[u]] /;
      FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g}, x] && PolynomialQ[Px, x] && EqQ[c^2*d + e, 0] && IGtQ[p + 1/2, 0] && IntegersQ[m,
      n]

5291. Int[((a_.) + ArcCos[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_.)*(Px_.)*((f_) + (g_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(p_))^(m_.), x_Symbol]
      :> With[{u = ExpandIntegrand[Px*(f + g*(d + e*x^2)^p)^m*(a + b*ArcCos[c*x])^n, x]}, Int[u, x] /; SumQ[u]] /;
      FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g}, x] && PolynomialQ[Px, x] && EqQ[c^2*d + e, 0] && IGtQ[p + 1/2, 0] && IntegersQ[m,
      n]

5292. Int[ArcSin[(c_.)*(x_)]^(n_.)*(RFx_), x_Symbol] :> With[{u = ExpandIntegrand[ArcSin[c*x]^n, RFx, x]}, Int[u, x]
      /; SumQ[u]] /; FreeQ[c, x] && RationalFunctionQ[RFx, x] && IGtQ[n, 0]

5293. Int[ArcCos[(c_.)*(x_)]^(n_.)*(RFx_), x_Symbol] :> With[{u = ExpandIntegrand[ArcCos[c*x]^n, RFx, x]}, Int[u, x]
      /; SumQ[u]] /; FreeQ[c, x] && RationalFunctionQ[RFx, x] && IGtQ[n, 0]

5294. Int[(ArcSin[(c_.)*(x_)]*(b_.) + (a_))^(n_.)*(RFx_), x_Symbol] :> Int[ExpandIntegrand[RFx*(a + b*ArcSin[c*x])^n
      , x], x] /; FreeQ[{a, b, c}, x] && RationalFunctionQ[RFx, x] && IGtQ[n, 0]

5295. Int[(ArcCos[(c_.)*(x_)]*(b_.) + (a_))^(n_.)*(RFx_), x_Symbol] :> Int[ExpandIntegrand[RFx*(a + b*ArcCos[c*x])^n
      , x], x] /; FreeQ[{a, b, c}, x] && RationalFunctionQ[RFx, x] && IGtQ[n, 0]

5296. Int[ArcSin[(c_.)*(x_)]^(n_.)*(RFx_)*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> With[{u = ExpandIntegrand[(d + e*
      x^2)^p*ArcSin[c*x]^n, RFx, x]}, Int[u, x] /; SumQ[u]] /; FreeQ[{c, d, e}, x] && RationalFunctionQ[RFx, x] && I
      GtQ[n, 0] && EqQ[c^2*d + e, 0] && IntegerQ[p - 1/2]

5297. Int[ArcCos[(c_.)*(x_)]^(n_.)*(RFx_)*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> With[{u = ExpandIntegrand[(d + e*
      x^2)^p*ArcCos[c*x]^n, RFx, x]}, Int[u, x] /; SumQ[u]] /; FreeQ[{c, d, e}, x] && RationalFunctionQ[RFx, x] && I
      GtQ[n, 0] && EqQ[c^2*d + e, 0] && IntegerQ[p - 1/2]

5298. Int[(ArcSin[(c_.)*(x_)]*(b_.) + (a_))^(n_.)*(RFx_)*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Int[ExpandIntegran
      d[(d + e*x^2)^p, RFx*(a + b*ArcSin[c*x])^n, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && RationalFunctionQ[RFx, x] &
      & IGtQ[n, 0] && EqQ[c^2*d + e, 0] && IntegerQ[p - 1/2]

5299. Int[(ArcCos[(c_.)*(x_)]*(b_.) + (a_))^(n_.)*(RFx_)*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Int[ExpandIntegran
      d[(d + e*x^2)^p, RFx*(a + b*ArcCos[c*x])^n, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && RationalFunctionQ[RFx, x] &
      & IGtQ[n, 0] && EqQ[c^2*d + e, 0] && IntegerQ[p - 1/2]

5300. Int[((a_.) + ArcSin[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_.)*(u_.), x_Symbol] :> Unintegrable[u*(a + b*ArcSin[c*x])^n, x] /; F
      reeQ[{a, b, c, n}, x]

5301. Int[((a_.) + ArcCos[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_.)*(u_.), x_Symbol] :> Unintegrable[u*(a + b*ArcCos[c*x])^n, x] /; F
      reeQ[{a, b, c, n}, x]

5302. Int[((a_.) + ArcSin[(c_) + (d_.)*(x_)]*(b_.))^(n_.), x_Symbol] :> Simp[1/d   Subst[Int[(a + b*ArcSin[x])^n, x]
      , x, c + d*x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, n}, x]

5303. Int[((a_.) + ArcCos[(c_) + (d_.)*(x_)]*(b_.))^(n_.), x_Symbol] :> Simp[1/d   Subst[Int[(a + b*ArcCos[x])^n, x]
      , x, c + d*x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, n}, x]

5304. Int[((a_.) + ArcSin[(c_) + (d_.)*(x_)]*(b_.))^(n_.)*((e_.) + (f_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Simp[1/d   Subst[
      Int[((d*e - c*f)/d + f*(x/d))^m*(a + b*ArcSin[x])^n, x], x, c + d*x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m, n}, x]

5305. Int[((a_.) + ArcCos[(c_) + (d_.)*(x_)]*(b_.))^(n_.)*((e_.) + (f_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Simp[1/d   Subst[
      Int[((d*e - c*f)/d + f*(x/d))^m*(a + b*ArcCos[x])^n, x], x, c + d*x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m, n}, x]

5306. Int[((a_.) + ArcSin[(c_) + (d_.)*(x_)]*(b_.))^(n_.)*((A_.) + (B_.)*(x_) + (C_.)*(x_)^2)^(p_.), x_Symbol] :> Si
      mp[1/d   Subst[Int[(-C/d^2 + (C/d^2)*x^2)^p*(a + b*ArcSin[x])^n, x], x, c + d*x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, A,
      B, C, n, p}, x] && EqQ[B*(1 - c^2) + 2*A*c*d, 0] && EqQ[2*c*C - B*d, 0]

5307. Int[((a_.) + ArcCos[(c_) + (d_.)*(x_)]*(b_.))^(n_.)*((A_.) + (B_.)*(x_) + (C_.)*(x_)^2)^(p_.), x_Symbol] :> Si
      mp[1/d   Subst[Int[(-C/d^2 + (C/d^2)*x^2)^p*(a + b*ArcCos[x])^n, x], x, c + d*x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, A,
      B, C, n, p}, x] && EqQ[B*(1 - c^2) + 2*A*c*d, 0] && EqQ[2*c*C - B*d, 0]

5308. Int[((a_.) + ArcSin[(c_) + (d_.)*(x_)]*(b_.))^(n_.)*((e_.) + (f_.)*(x_))^(m_.)*((A_.) + (B_.)*(x_) + (C_.)*(x_
      )^2)^(p_.), x_Symbol] :> Simp[1/d   Subst[Int[((d*e - c*f)/d + f*(x/d))^m*(-C/d^2 + (C/d^2)*x^2)^p*(a + b*ArcS
      in[x])^n, x], x, c + d*x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, A, B, C, m, n, p}, x] && EqQ[B*(1 - c^2) + 2*A*c*d,
      0] && EqQ[2*c*C - B*d, 0]

5309. Int[((a_.) + ArcCos[(c_) + (d_.)*(x_)]*(b_.))^(n_.)*((e_.) + (f_.)*(x_))^(m_.)*((A_.) + (B_.)*(x_) + (C_.)*(x_
      )^2)^(p_.), x_Symbol] :> Simp[1/d   Subst[Int[((d*e - c*f)/d + f*(x/d))^m*(-C/d^2 + (C/d^2)*x^2)^p*(a + b*ArcC
      os[x])^n, x], x, c + d*x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, A, B, C, m, n, p}, x] && EqQ[B*(1 - c^2) + 2*A*c*d,
      0] && EqQ[2*c*C - B*d, 0]

5310. Int[Sqrt[(a_.) + ArcSin[(c_) + (d_.)*(x_)^2]*(b_.)], x_Symbol] :> Simp[x*Sqrt[a + b*ArcSin[c + d*x^2]], x] + (
      -Simp[Sqrt[Pi]*x*(Cos[a/(2*b)] + c*Sin[a/(2*b)])*(FresnelC[Sqrt[c/(Pi*b)]*Sqrt[a + b*ArcSin[c + d*x^2]]]/(Sqrt
      [c/b]*(Cos[ArcSin[c + d*x^2]/2] - c*Sin[ArcSin[c + d*x^2]/2]))), x] + Simp[Sqrt[Pi]*x*(Cos[a/(2*b)] - c*Sin[a/
      (2*b)])*(FresnelS[Sqrt[c/(Pi*b)]*Sqrt[a + b*ArcSin[c + d*x^2]]]/(Sqrt[c/b]*(Cos[ArcSin[c + d*x^2]/2] - c*Sin[A
      rcSin[c + d*x^2]/2]))), x]) /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && EqQ[c^2, 1]

5311. Int[Sqrt[(a_.) + ArcCos[1 + (d_.)*(x_)^2]*(b_.)], x_Symbol] :> Simp[-2*Sqrt[a + b*ArcCos[1 + d*x^2]]*(Sin[ArcC
      os[1 + d*x^2]/2]^2/(d*x)), x] + (-Simp[2*Sqrt[Pi]*Sin[a/(2*b)]*Sin[ArcCos[1 + d*x^2]/2]*(FresnelC[Sqrt[1/(Pi*b
      )]*Sqrt[a + b*ArcCos[1 + d*x^2]]]/(Sqrt[1/b]*d*x)), x] + Simp[2*Sqrt[Pi]*Cos[a/(2*b)]*Sin[ArcCos[1 + d*x^2]/2]
      *(FresnelS[Sqrt[1/(Pi*b)]*Sqrt[a + b*ArcCos[1 + d*x^2]]]/(Sqrt[1/b]*d*x)), x]) /; FreeQ[{a, b, d}, x]

5312. Int[Sqrt[(a_.) + ArcCos[-1 + (d_.)*(x_)^2]*(b_.)], x_Symbol] :> Simp[2*Sqrt[a + b*ArcCos[-1 + d*x^2]]*(Cos[(1/
      2)*ArcCos[-1 + d*x^2]]^2/(d*x)), x] + (-Simp[2*Sqrt[Pi]*Cos[a/(2*b)]*Cos[ArcCos[-1 + d*x^2]/2]*(FresnelC[Sqrt[
      1/(Pi*b)]*Sqrt[a + b*ArcCos[-1 + d*x^2]]]/(Sqrt[1/b]*d*x)), x] - Simp[2*Sqrt[Pi]*Sin[a/(2*b)]*Cos[ArcCos[-1 +
      d*x^2]/2]*(FresnelS[Sqrt[1/(Pi*b)]*Sqrt[a + b*ArcCos[-1 + d*x^2]]]/(Sqrt[1/b]*d*x)), x]) /; FreeQ[{a, b, d}, x
      ]

5313. Int[((a_.) + ArcSin[(c_) + (d_.)*(x_)^2]*(b_.))^(n_), x_Symbol] :> Simp[x*(a + b*ArcSin[c + d*x^2])^n, x] + (S
      imp[2*b*n*Sqrt[-2*c*d*x^2 - d^2*x^4]*((a + b*ArcSin[c + d*x^2])^(n - 1)/(d*x)), x] - Simp[4*b^2*n*(n - 1)   In
      t[(a + b*ArcSin[c + d*x^2])^(n - 2), x], x]) /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && EqQ[c^2, 1] && GtQ[n, 1]

5314. Int[((a_.) + ArcCos[(c_) + (d_.)*(x_)^2]*(b_.))^(n_), x_Symbol] :> Simp[x*(a + b*ArcCos[c + d*x^2])^n, x] + (-
      Simp[2*b*n*Sqrt[-2*c*d*x^2 - d^2*x^4]*((a + b*ArcCos[c + d*x^2])^(n - 1)/(d*x)), x] - Simp[4*b^2*n*(n - 1)   I
      nt[(a + b*ArcCos[c + d*x^2])^(n - 2), x], x]) /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && EqQ[c^2, 1] && GtQ[n, 1]

5315. Int[((a_.) + ArcSin[(c_) + (d_.)*(x_)^2]*(b_.))^(-1), x_Symbol] :> Simp[(-x)*(c*Cos[a/(2*b)] - Sin[a/(2*b)])*(
      CosIntegral[(c/(2*b))*(a + b*ArcSin[c + d*x^2])]/(2*b*(Cos[ArcSin[c + d*x^2]/2] - c*Sin[ArcSin[c + d*x^2]/2]))
      ), x] - Simp[x*(c*Cos[a/(2*b)] + Sin[a/(2*b)])*(SinIntegral[(c/(2*b))*(a + b*ArcSin[c + d*x^2])]/(2*b*(Cos[Arc
      Sin[c + d*x^2]/2] - c*Sin[ArcSin[c + d*x^2]/2]))), x] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && EqQ[c^2, 1]

5316. Int[((a_.) + ArcCos[1 + (d_.)*(x_)^2]*(b_.))^(-1), x_Symbol] :> Simp[x*Cos[a/(2*b)]*(CosIntegral[(a + b*ArcCos
      [1 + d*x^2])/(2*b)]/(Sqrt[2]*b*Sqrt[(-d)*x^2])), x] + Simp[x*Sin[a/(2*b)]*(SinIntegral[(a + b*ArcCos[1 + d*x^2
      ])/(2*b)]/(Sqrt[2]*b*Sqrt[(-d)*x^2])), x] /; FreeQ[{a, b, d}, x]

5317. Int[((a_.) + ArcCos[-1 + (d_.)*(x_)^2]*(b_.))^(-1), x_Symbol] :> Simp[x*Sin[a/(2*b)]*(CosIntegral[(a + b*ArcCo
      s[-1 + d*x^2])/(2*b)]/(Sqrt[2]*b*Sqrt[d*x^2])), x] - Simp[x*Cos[a/(2*b)]*(SinIntegral[(a + b*ArcCos[-1 + d*x^2
      ])/(2*b)]/(Sqrt[2]*b*Sqrt[d*x^2])), x] /; FreeQ[{a, b, d}, x]

5318. Int[1/Sqrt[(a_.) + ArcSin[(c_) + (d_.)*(x_)^2]*(b_.)], x_Symbol] :> Simp[(-Sqrt[Pi])*x*(Cos[a/(2*b)] - c*Sin[a
      /(2*b)])*(FresnelC[(1/(Sqrt[b*c]*Sqrt[Pi]))*Sqrt[a + b*ArcSin[c + d*x^2]]]/(Sqrt[b*c]*(Cos[ArcSin[c + d*x^2]/2
      ] - c*Sin[ArcSin[c + d*x^2]/2]))), x] - Simp[Sqrt[Pi]*x*(Cos[a/(2*b)] + c*Sin[a/(2*b)])*(FresnelS[(1/(Sqrt[b*c
      ]*Sqrt[Pi]))*Sqrt[a + b*ArcSin[c + d*x^2]]]/(Sqrt[b*c]*(Cos[ArcSin[c + d*x^2]/2] - c*Sin[ArcSin[c + d*x^2]/2])
      )), x] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && EqQ[c^2, 1]

5319. Int[1/Sqrt[(a_.) + ArcCos[1 + (d_.)*(x_)^2]*(b_.)], x_Symbol] :> Simp[-2*Sqrt[Pi/b]*Cos[a/(2*b)]*Sin[ArcCos[1
      + d*x^2]/2]*(FresnelC[Sqrt[1/(Pi*b)]*Sqrt[a + b*ArcCos[1 + d*x^2]]]/(d*x)), x] - Simp[2*Sqrt[Pi/b]*Sin[a/(2*b)
      ]*Sin[ArcCos[1 + d*x^2]/2]*(FresnelS[Sqrt[1/(Pi*b)]*Sqrt[a + b*ArcCos[1 + d*x^2]]]/(d*x)), x] /; FreeQ[{a, b,
      d}, x]

5320. Int[1/Sqrt[(a_.) + ArcCos[-1 + (d_.)*(x_)^2]*(b_.)], x_Symbol] :> Simp[2*Sqrt[Pi/b]*Sin[a/(2*b)]*Cos[ArcCos[-1
      + d*x^2]/2]*(FresnelC[Sqrt[1/(Pi*b)]*Sqrt[a + b*ArcCos[-1 + d*x^2]]]/(d*x)), x] - Simp[2*Sqrt[Pi/b]*Cos[a/(2*
      b)]*Cos[ArcCos[-1 + d*x^2]/2]*(FresnelS[Sqrt[1/(Pi*b)]*Sqrt[a + b*ArcCos[-1 + d*x^2]]]/(d*x)), x] /; FreeQ[{a,
      b, d}, x]

5321. Int[((a_.) + ArcSin[(c_) + (d_.)*(x_)^2]*(b_.))^(-3/2), x_Symbol] :> Simp[-Sqrt[-2*c*d*x^2 - d^2*x^4]/(b*d*x*S
      qrt[a + b*ArcSin[c + d*x^2]]), x] + (-Simp[(c/b)^(3/2)*Sqrt[Pi]*x*(Cos[a/(2*b)] + c*Sin[a/(2*b)])*(FresnelC[Sq
      rt[c/(Pi*b)]*Sqrt[a + b*ArcSin[c + d*x^2]]]/(Cos[(1/2)*ArcSin[c + d*x^2]] - c*Sin[ArcSin[c + d*x^2]/2])), x] +
      Simp[(c/b)^(3/2)*Sqrt[Pi]*x*(Cos[a/(2*b)] - c*Sin[a/(2*b)])*(FresnelS[Sqrt[c/(Pi*b)]*Sqrt[a + b*ArcSin[c + d*
      x^2]]]/(Cos[(1/2)*ArcSin[c + d*x^2]] - c*Sin[ArcSin[c + d*x^2]/2])), x]) /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && EqQ[c^2,
      1]

5322. Int[((a_.) + ArcCos[1 + (d_.)*(x_)^2]*(b_.))^(-3/2), x_Symbol] :> Simp[Sqrt[-2*d*x^2 - d^2*x^4]/(b*d*x*Sqrt[a
      + b*ArcCos[1 + d*x^2]]), x] + (-Simp[2*(1/b)^(3/2)*Sqrt[Pi]*Sin[a/(2*b)]*Sin[ArcCos[1 + d*x^2]/2]*(FresnelC[Sq
      rt[1/(Pi*b)]*Sqrt[a + b*ArcCos[1 + d*x^2]]]/(d*x)), x] + Simp[2*(1/b)^(3/2)*Sqrt[Pi]*Cos[a/(2*b)]*Sin[ArcCos[1
      + d*x^2]/2]*(FresnelS[Sqrt[1/(Pi*b)]*Sqrt[a + b*ArcCos[1 + d*x^2]]]/(d*x)), x]) /; FreeQ[{a, b, d}, x]

5323. Int[((a_.) + ArcCos[-1 + (d_.)*(x_)^2]*(b_.))^(-3/2), x_Symbol] :> Simp[Sqrt[2*d*x^2 - d^2*x^4]/(b*d*x*Sqrt[a
      + b*ArcCos[-1 + d*x^2]]), x] + (-Simp[2*(1/b)^(3/2)*Sqrt[Pi]*Cos[a/(2*b)]*Cos[ArcCos[-1 + d*x^2]/2]*(FresnelC[
      Sqrt[1/(Pi*b)]*Sqrt[a + b*ArcCos[-1 + d*x^2]]]/(d*x)), x] - Simp[2*(1/b)^(3/2)*Sqrt[Pi]*Sin[a/(2*b)]*Cos[ArcCo
      s[-1 + d*x^2]/2]*(FresnelS[Sqrt[1/(Pi*b)]*Sqrt[a + b*ArcCos[-1 + d*x^2]]]/(d*x)), x]) /; FreeQ[{a, b, d}, x]

5324. Int[((a_.) + ArcSin[(c_) + (d_.)*(x_)^2]*(b_.))^(-2), x_Symbol] :> Simp[-Sqrt[-2*c*d*x^2 - d^2*x^4]/(2*b*d*x*(
      a + b*ArcSin[c + d*x^2])), x] + (-Simp[x*(Cos[a/(2*b)] + c*Sin[a/(2*b)])*(CosIntegral[(c/(2*b))*(a + b*ArcSin[
      c + d*x^2])]/(4*b^2*(Cos[ArcSin[c + d*x^2]/2] - c*Sin[ArcSin[c + d*x^2]/2]))), x] + Simp[x*(Cos[a/(2*b)] - c*S
      in[a/(2*b)])*(SinIntegral[(c/(2*b))*(a + b*ArcSin[c + d*x^2])]/(4*b^2*(Cos[ArcSin[c + d*x^2]/2] - c*Sin[ArcSin
      [c + d*x^2]/2]))), x]) /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && EqQ[c^2, 1]

5325. Int[((a_.) + ArcCos[1 + (d_.)*(x_)^2]*(b_.))^(-2), x_Symbol] :> Simp[Sqrt[-2*d*x^2 - d^2*x^4]/(2*b*d*x*(a + b*
      ArcCos[1 + d*x^2])), x] + (Simp[x*Sin[a/(2*b)]*(CosIntegral[(a + b*ArcCos[1 + d*x^2])/(2*b)]/(2*Sqrt[2]*b^2*Sq
      rt[(-d)*x^2])), x] - Simp[x*Cos[a/(2*b)]*(SinIntegral[(a + b*ArcCos[1 + d*x^2])/(2*b)]/(2*Sqrt[2]*b^2*Sqrt[(-d
      )*x^2])), x]) /; FreeQ[{a, b, d}, x]

5326. Int[((a_.) + ArcCos[-1 + (d_.)*(x_)^2]*(b_.))^(-2), x_Symbol] :> Simp[Sqrt[2*d*x^2 - d^2*x^4]/(2*b*d*x*(a + b*
      ArcCos[-1 + d*x^2])), x] + (-Simp[x*Cos[a/(2*b)]*(CosIntegral[(a + b*ArcCos[-1 + d*x^2])/(2*b)]/(2*Sqrt[2]*b^2
      *Sqrt[d*x^2])), x] - Simp[x*Sin[a/(2*b)]*(SinIntegral[(a + b*ArcCos[-1 + d*x^2])/(2*b)]/(2*Sqrt[2]*b^2*Sqrt[d*
      x^2])), x]) /; FreeQ[{a, b, d}, x]

5327. Int[((a_.) + ArcSin[(c_) + (d_.)*(x_)^2]*(b_.))^(n_), x_Symbol] :> Simp[x*((a + b*ArcSin[c + d*x^2])^(n + 2)/(
      4*b^2*(n + 1)*(n + 2))), x] + (Simp[Sqrt[-2*c*d*x^2 - d^2*x^4]*((a + b*ArcSin[c + d*x^2])^(n + 1)/(2*b*d*(n +
      1)*x)), x] - Simp[1/(4*b^2*(n + 1)*(n + 2))   Int[(a + b*ArcSin[c + d*x^2])^(n + 2), x], x]) /; FreeQ[{a, b, c
      , d}, x] && EqQ[c^2, 1] && LtQ[n, -1] && NeQ[n, -2]

5328. Int[((a_.) + ArcCos[(c_) + (d_.)*(x_)^2]*(b_.))^(n_), x_Symbol] :> Simp[x*((a + b*ArcCos[c + d*x^2])^(n + 2)/(
      4*b^2*(n + 1)*(n + 2))), x] + (-Simp[Sqrt[-2*c*d*x^2 - d^2*x^4]*((a + b*ArcCos[c + d*x^2])^(n + 1)/(2*b*d*(n +
      1)*x)), x] - Simp[1/(4*b^2*(n + 1)*(n + 2))   Int[(a + b*ArcCos[c + d*x^2])^(n + 2), x], x]) /; FreeQ[{a, b,
      c, d}, x] && EqQ[c^2, 1] && LtQ[n, -1] && NeQ[n, -2]

5329. Int[ArcSin[(a_.)*(x_)^(p_)]^(n_.)/(x_), x_Symbol] :> Simp[1/p   Subst[Int[x^n*Cot[x], x], x, ArcSin[a*x^p]], x
      ] /; FreeQ[{a, p}, x] && IGtQ[n, 0]

5330. Int[ArcCos[(a_.)*(x_)^(p_)]^(n_.)/(x_), x_Symbol] :> Simp[-p^(-1)   Subst[Int[x^n*Tan[x], x], x, ArcCos[a*x^p]
      ], x] /; FreeQ[{a, p}, x] && IGtQ[n, 0]

5331. Int[ArcSin[(c_.)/((a_.) + (b_.)*(x_)^(n_.))]^(m_.)*(u_.), x_Symbol] :> Int[u*ArcCsc[a/c + b*(x^n/c)]^m, x] /;
      FreeQ[{a, b, c, n, m}, x]

5332. Int[ArcCos[(c_.)/((a_.) + (b_.)*(x_)^(n_.))]^(m_.)*(u_.), x_Symbol] :> Int[u*ArcSec[a/c + b*(x^n/c)]^m, x] /;
      FreeQ[{a, b, c, n, m}, x]

5333. Int[ArcSin[Sqrt[1 + (b_.)*(x_)^2]]^(n_.)/Sqrt[1 + (b_.)*(x_)^2], x_Symbol] :> Simp[Sqrt[(-b)*x^2]/(b*x)   Subs
      t[Int[ArcSin[x]^n/Sqrt[1 - x^2], x], x, Sqrt[1 + b*x^2]], x] /; FreeQ[{b, n}, x]

5334. Int[ArcCos[Sqrt[1 + (b_.)*(x_)^2]]^(n_.)/Sqrt[1 + (b_.)*(x_)^2], x_Symbol] :> Simp[Sqrt[(-b)*x^2]/(b*x)   Subs
      t[Int[ArcCos[x]^n/Sqrt[1 - x^2], x], x, Sqrt[1 + b*x^2]], x] /; FreeQ[{b, n}, x]

5335. Int[(u_.)*(f_)^(ArcSin[(a_.) + (b_.)*(x_)]^(n_.)*(c_.)), x_Symbol] :> Simp[1/b   Subst[Int[(u /. x -> -a/b + S
      in[x]/b)*f^(c*x^n)*Cos[x], x], x, ArcSin[a + b*x]], x] /; FreeQ[{a, b, c, f}, x] && IGtQ[n, 0]

5336. Int[(u_.)*(f_)^(ArcCos[(a_.) + (b_.)*(x_)]^(n_.)*(c_.)), x_Symbol] :> Simp[-b^(-1)   Subst[Int[(u /. x -> -a/b
      + Cos[x]/b)*f^(c*x^n)*Sin[x], x], x, ArcCos[a + b*x]], x] /; FreeQ[{a, b, c, f}, x] && IGtQ[n, 0]

5337. Int[ArcSin[(a_.)*(x_)^2 + (b_.)*Sqrt[(c_) + (d_.)*(x_)^2]], x_Symbol] :> Simp[x*ArcSin[a*x^2 + b*Sqrt[c + d*x^
      2]], x] - Simp[x*(Sqrt[b^2*d + a^2*x^2 + 2*a*b*Sqrt[c + d*x^2]]/Sqrt[(-x^2)*(b^2*d + a^2*x^2 + 2*a*b*Sqrt[c +
      d*x^2])])   Int[x*((b*d + 2*a*Sqrt[c + d*x^2])/(Sqrt[c + d*x^2]*Sqrt[b^2*d + a^2*x^2 + 2*a*b*Sqrt[c + d*x^2]])
      ), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && EqQ[b^2*c, 1]

5338. Int[ArcCos[(a_.)*(x_)^2 + (b_.)*Sqrt[(c_) + (d_.)*(x_)^2]], x_Symbol] :> Simp[x*ArcCos[a*x^2 + b*Sqrt[c + d*x^
      2]], x] + Simp[x*(Sqrt[b^2*d + a^2*x^2 + 2*a*b*Sqrt[c + d*x^2]]/Sqrt[(-x^2)*(b^2*d + a^2*x^2 + 2*a*b*Sqrt[c +
      d*x^2])])   Int[x*((b*d + 2*a*Sqrt[c + d*x^2])/(Sqrt[c + d*x^2]*Sqrt[b^2*d + a^2*x^2 + 2*a*b*Sqrt[c + d*x^2]])
      ), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && EqQ[b^2*c, 1]

5339. Int[ArcSin[u_], x_Symbol] :> Simp[x*ArcSin[u], x] - Int[SimplifyIntegrand[x*(D[u, x]/Sqrt[1 - u^2]), x], x] /;
      InverseFunctionFreeQ[u, x] &&  !FunctionOfExponentialQ[u, x]

5340. Int[ArcCos[u_], x_Symbol] :> Simp[x*ArcCos[u], x] + Int[SimplifyIntegrand[x*(D[u, x]/Sqrt[1 - u^2]), x], x] /;
      InverseFunctionFreeQ[u, x] &&  !FunctionOfExponentialQ[u, x]

5341. Int[((a_.) + ArcSin[u_]*(b_.))*((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Simp[(c + d*x)^(m + 1)*((a + b*ArcSin[
      u])/(d*(m + 1))), x] - Simp[b/(d*(m + 1))   Int[SimplifyIntegrand[(c + d*x)^(m + 1)*(D[u, x]/Sqrt[1 - u^2]), x
      ], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, m}, x] && NeQ[m, -1] && InverseFunctionFreeQ[u, x] &&  !FunctionOfQ[(c + d*x)^
      (m + 1), u, x] &&  !FunctionOfExponentialQ[u, x]

5342. Int[((a_.) + ArcCos[u_]*(b_.))*((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Simp[(c + d*x)^(m + 1)*((a + b*ArcCos[
      u])/(d*(m + 1))), x] + Simp[b/(d*(m + 1))   Int[SimplifyIntegrand[(c + d*x)^(m + 1)*(D[u, x]/Sqrt[1 - u^2]), x
      ], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, m}, x] && NeQ[m, -1] && InverseFunctionFreeQ[u, x] &&  !FunctionOfQ[(c + d*x)^
      (m + 1), u, x] &&  !FunctionOfExponentialQ[u, x]

5343. Int[((a_.) + ArcSin[u_]*(b_.))*(v_), x_Symbol] :> With[{w = IntHide[v, x]}, Simp[(a + b*ArcSin[u])   w, x] - S
      imp[b   Int[SimplifyIntegrand[w*(D[u, x]/Sqrt[1 - u^2]), x], x], x] /; InverseFunctionFreeQ[w, x]] /; FreeQ[{a
      , b}, x] && InverseFunctionFreeQ[u, x] &&  !MatchQ[v, ((c_.) + (d_.)*x)^(m_.) /; FreeQ[{c, d, m}, x]]

5344. Int[((a_.) + ArcCos[u_]*(b_.))*(v_), x_Symbol] :> With[{w = IntHide[v, x]}, Simp[(a + b*ArcCos[u])   w, x] + S
      imp[b   Int[SimplifyIntegrand[w*(D[u, x]/Sqrt[1 - u^2]), x], x], x] /; InverseFunctionFreeQ[w, x]] /; FreeQ[{a
      , b}, x] && InverseFunctionFreeQ[u, x] &&  !MatchQ[v, ((c_.) + (d_.)*x)^(m_.) /; FreeQ[{c, d, m}, x]]

5345. Int[((a_.) + ArcTan[(c_.)*(x_)^(n_.)]*(b_.))^(p_.), x_Symbol] :> Simp[x*(a + b*ArcTan[c*x^n])^p, x] - Simp[b*c
      *n*p   Int[x^n*((a + b*ArcTan[c*x^n])^(p - 1)/(1 + c^2*x^(2*n))), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, n}, x] && IGtQ[p,
      0] && (EqQ[n, 1] || EqQ[p, 1])

5346. Int[((a_.) + ArcCot[(c_.)*(x_)^(n_.)]*(b_.))^(p_.), x_Symbol] :> Simp[x*(a + b*ArcCot[c*x^n])^p, x] + Simp[b*c
      *n*p   Int[x^n*((a + b*ArcCot[c*x^n])^(p - 1)/(1 + c^2*x^(2*n))), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, n}, x] && IGtQ[p,
      0] && (EqQ[n, 1] || EqQ[p, 1])

5347. Int[((a_.) + ArcTan[(c_.)*(x_)^(n_)]*(b_.))^(p_), x_Symbol] :> Int[ExpandIntegrand[(a + (I*b*Log[1 - I*c*x^n])
      /2 - (I*b*Log[1 + I*c*x^n])/2)^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c}, x] && IGtQ[p, 1] && IGtQ[n, 0]

5348. Int[((a_.) + ArcCot[(c_.)*(x_)^(n_)]*(b_.))^(p_), x_Symbol] :> Int[ExpandIntegrand[(a + (I*b*Log[1 - I*(1/(x^n
      *c))])/2 - (I*b*Log[1 + I*(1/(x^n*c))])/2)^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c}, x] && IGtQ[p, 1] && IGtQ[n, 0]

5349. Int[((a_.) + ArcTan[(c_.)*(x_)^(n_)]*(b_.))^(p_), x_Symbol] :> Int[(a + b*ArcCot[1/(x^n*c)])^p, x] /; FreeQ[{a
      , b, c}, x] && IGtQ[p, 1] && ILtQ[n, 0]

5350. Int[((a_.) + ArcCot[(c_.)*(x_)^(n_)]*(b_.))^(p_), x_Symbol] :> Int[(a + b*ArcTan[1/(x^n*c)])^p, x] /; FreeQ[{a
      , b, c}, x] && IGtQ[p, 1] && ILtQ[n, 0]

5351. Int[((a_.) + ArcTan[(c_.)*(x_)^(n_)]*(b_.))^(p_), x_Symbol] :> With[{k = Denominator[n]}, Simp[k   Subst[Int[x
      ^(k - 1)*(a + b*ArcTan[c*x^(k*n)])^p, x], x, x^(1/k)], x]] /; FreeQ[{a, b, c}, x] && IGtQ[p, 1] && FractionQ[n
      ]

5352. Int[((a_.) + ArcCot[(c_.)*(x_)^(n_)]*(b_.))^(p_), x_Symbol] :> With[{k = Denominator[n]}, Simp[k   Subst[Int[x
      ^(k - 1)*(a + b*ArcCot[c*x^(k*n)])^p, x], x, x^(1/k)], x]] /; FreeQ[{a, b, c}, x] && IGtQ[p, 1] && FractionQ[n
      ]

5353. Int[((a_.) + ArcTan[(c_.)*(x_)^(n_.)]*(b_.))^(p_), x_Symbol] :> Unintegrable[(a + b*ArcTan[c*x^n])^p, x] /; Fr
      eeQ[{a, b, c, n, p}, x]

5354. Int[((a_.) + ArcCot[(c_.)*(x_)^(n_.)]*(b_.))^(p_), x_Symbol] :> Unintegrable[(a + b*ArcCot[c*x^n])^p, x] /; Fr
      eeQ[{a, b, c, n, p}, x]

5355. Int[((a_.) + ArcTan[(c_.)*(x_)]*(b_.))/(x_), x_Symbol] :> Simp[a*Log[x], x] + (Simp[I*(b/2)   Int[Log[1 - I*c*
      x]/x, x], x] - Simp[I*(b/2)   Int[Log[1 + I*c*x]/x, x], x]) /; FreeQ[{a, b, c}, x]

5356. Int[((a_.) + ArcCot[(c_.)*(x_)]*(b_.))/(x_), x_Symbol] :> Simp[a*Log[x], x] + (-Simp[I*(b/2)   Int[Log[1 + I/(
      c*x)]/x, x], x] + Simp[I*(b/2)   Int[Log[1 - I/(c*x)]/x, x], x]) /; FreeQ[{a, b, c}, x]

5357. Int[((a_.) + ArcTan[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(p_)/(x_), x_Symbol] :> Simp[2*(a + b*ArcTan[c*x])^p*ArcTanh[1 - 2/(1 +
      I*c*x)], x] - Simp[2*b*c*p   Int[(a + b*ArcTan[c*x])^(p - 1)*(ArcTanh[1 - 2/(1 + I*c*x)]/(1 + c^2*x^2)), x],
      x] /; FreeQ[{a, b, c}, x] && IGtQ[p, 1]

5358. Int[((a_.) + ArcCot[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(p_)/(x_), x_Symbol] :> Simp[2*(a + b*ArcCot[c*x])^p*ArcCoth[1 - 2/(1 +
      I*c*x)], x] + Simp[2*b*c*p   Int[(a + b*ArcCot[c*x])^(p - 1)*(ArcCoth[1 - 2/(1 + I*c*x)]/(1 + c^2*x^2)), x],
      x] /; FreeQ[{a, b, c}, x] && IGtQ[p, 1]

5359. Int[((a_.) + ArcTan[(c_.)*(x_)^(n_)]*(b_.))^(p_.)/(x_), x_Symbol] :> Simp[1/n   Subst[Int[(a + b*ArcTan[c*x])^
      p/x, x], x, x^n], x] /; FreeQ[{a, b, c, n}, x] && IGtQ[p, 0]

5360. Int[((a_.) + ArcCot[(c_.)*(x_)^(n_)]*(b_.))^(p_.)/(x_), x_Symbol] :> Simp[1/n   Subst[Int[(a + b*ArcCot[c*x])^
      p/x, x], x, x^n], x] /; FreeQ[{a, b, c, n}, x] && IGtQ[p, 0]

5361. Int[((a_.) + ArcTan[(c_.)*(x_)^(n_.)]*(b_.))^(p_.)*(x_)^(m_.), x_Symbol] :> Simp[x^(m + 1)*((a + b*ArcTan[c*x^
      n])^p/(m + 1)), x] - Simp[b*c*n*(p/(m + 1))   Int[x^(m + n)*((a + b*ArcTan[c*x^n])^(p - 1)/(1 + c^2*x^(2*n))),
      x], x] /; FreeQ[{a, b, c, m, n}, x] && IGtQ[p, 0] && (EqQ[p, 1] || (EqQ[n, 1] && IntegerQ[m])) && NeQ[m, -1]

5362. Int[((a_.) + ArcCot[(c_.)*(x_)^(n_.)]*(b_.))^(p_.)*(x_)^(m_.), x_Symbol] :> Simp[x^(m + 1)*((a + b*ArcCot[c*x^
      n])^p/(m + 1)), x] + Simp[b*c*n*(p/(m + 1))   Int[x^(m + n)*((a + b*ArcCot[c*x^n])^(p - 1)/(1 + c^2*x^(2*n))),
      x], x] /; FreeQ[{a, b, c, m, n}, x] && IGtQ[p, 0] && (EqQ[p, 1] || (EqQ[n, 1] && IntegerQ[m])) && NeQ[m, -1]

5363. Int[((a_.) + ArcTan[(c_.)*(x_)^(n_)]*(b_.))^(p_.)*(x_)^(m_.), x_Symbol] :> Simp[1/n   Subst[Int[x^(Simplify[(m
      + 1)/n] - 1)*(a + b*ArcTan[c*x])^p, x], x, x^n], x] /; FreeQ[{a, b, c, m, n}, x] && IGtQ[p, 1] && IntegerQ[Si
      mplify[(m + 1)/n]]

5364. Int[((a_.) + ArcCot[(c_.)*(x_)^(n_)]*(b_.))^(p_.)*(x_)^(m_.), x_Symbol] :> Simp[1/n   Subst[Int[x^(Simplify[(m
      + 1)/n] - 1)*(a + b*ArcCot[c*x])^p, x], x, x^n], x] /; FreeQ[{a, b, c, m, n}, x] && IGtQ[p, 1] && IntegerQ[Si
      mplify[(m + 1)/n]]

5365. Int[((a_.) + ArcTan[(c_.)*(x_)^(n_)]*(b_.))^(p_)*(x_)^(m_.), x_Symbol] :> Int[ExpandIntegrand[x^m*(a + (I*b*Lo
      g[1 - I*c*x^n])/2 - (I*b*Log[1 + I*c*x^n])/2)^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c}, x] && IGtQ[p, 1] && IGtQ[n, 0] &&
      IntegerQ[m]

5366. Int[((a_.) + ArcCot[(c_.)*(x_)^(n_)]*(b_.))^(p_)*(x_)^(m_.), x_Symbol] :> Int[ExpandIntegrand[x^m*(a + (I*b*Lo
      g[1 - I*(1/(x^n*c))])/2 - (I*b*Log[1 + I*(1/(x^n*c))])/2)^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c}, x] && IGtQ[p, 1] && IG
      tQ[n, 0] && IntegerQ[m]

5367. Int[((a_.) + ArcTan[(c_.)*(x_)^(n_)]*(b_.))^(p_)*(x_)^(m_.), x_Symbol] :> With[{k = Denominator[m]}, Simp[k
      Subst[Int[x^(k*(m + 1) - 1)*(a + b*ArcTan[c*x^(k*n)])^p, x], x, x^(1/k)], x]] /; FreeQ[{a, b, c}, x] && IGtQ[p
      , 1] && IGtQ[n, 0] && FractionQ[m]

5368. Int[((a_.) + ArcCot[(c_.)*(x_)^(n_)]*(b_.))^(p_)*(x_)^(m_.), x_Symbol] :> With[{k = Denominator[m]}, Simp[k
      Subst[Int[x^(k*(m + 1) - 1)*(a + b*ArcCot[c*x^(k*n)])^p, x], x, x^(1/k)], x]] /; FreeQ[{a, b, c}, x] && IGtQ[p
      , 1] && IGtQ[n, 0] && FractionQ[m]

5369. Int[((a_.) + ArcTan[(c_.)*(x_)^(n_)]*(b_.))^(p_)*(x_)^(m_.), x_Symbol] :> Int[x^m*(a + b*ArcCot[1/(x^n*c)])^p,
      x] /; FreeQ[{a, b, c}, x] && IGtQ[p, 1] && ILtQ[n, 0]

5370. Int[((a_.) + ArcCot[(c_.)*(x_)^(n_)]*(b_.))^(p_)*(x_)^(m_.), x_Symbol] :> Int[x^m*(a + b*ArcTan[1/(x^n*c)])^p,
      x] /; FreeQ[{a, b, c}, x] && IGtQ[p, 1] && ILtQ[n, 0]

5371. Int[((a_.) + ArcTan[(c_.)*(x_)^(n_)]*(b_.))^(p_)*(x_)^(m_.), x_Symbol] :> With[{k = Denominator[n]}, Simp[k
      Subst[Int[x^(k*(m + 1) - 1)*(a + b*ArcTan[c*x^(k*n)])^p, x], x, x^(1/k)], x]] /; FreeQ[{a, b, c}, x] && IGtQ[p
      , 1] && FractionQ[n]

5372. Int[((a_.) + ArcCot[(c_.)*(x_)^(n_)]*(b_.))^(p_)*(x_)^(m_.), x_Symbol] :> With[{k = Denominator[n]}, Simp[k
      Subst[Int[x^(k*(m + 1) - 1)*(a + b*ArcCot[c*x^(k*n)])^p, x], x, x^(1/k)], x]] /; FreeQ[{a, b, c}, x] && IGtQ[p
      , 1] && FractionQ[n]

5373. Int[((a_.) + ArcTan[(c_.)*(x_)^(n_.)]*(b_.))*((d_)*(x_))^(m_), x_Symbol] :> Simp[(d*x)^(m + 1)*((a + b*ArcTan[
      c*x^n])/(d*(m + 1))), x] - Simp[b*c*(n/(d^n*(m + 1)))   Int[(d*x)^(m + n)/(1 + c^2*x^(2*n)), x], x] /; FreeQ[{
      a, b, c, d, m, n}, x] && IntegerQ[n] && NeQ[m, -1]

5374. Int[((a_.) + ArcCot[(c_.)*(x_)^(n_.)]*(b_.))*((d_)*(x_))^(m_), x_Symbol] :> Simp[(d*x)^(m + 1)*((a + b*ArcCot[
      c*x^n])/(d*(m + 1))), x] + Simp[b*c*(n/(d^n*(m + 1)))   Int[(d*x)^(m + n)/(1 + c^2*x^(2*n)), x], x] /; FreeQ[{
      a, b, c, d, m, n}, x] && IntegerQ[n] && NeQ[m, -1]

5375. Int[((a_.) + ArcTan[(c_.)*(x_)^(n_)]*(b_.))^(p_.)*((d_.)*(x_))^(m_), x_Symbol] :> Simp[d^IntPart[m]*((d*x)^Fra
      cPart[m]/x^FracPart[m])   Int[x^m*(a + b*ArcTan[c*x])^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, m, n}, x] && IGtQ[p, 0]
      && (EqQ[p, 1] || RationalQ[m, n])

5376. Int[((a_.) + ArcCot[(c_.)*(x_)^(n_)]*(b_.))^(p_.)*((d_.)*(x_))^(m_), x_Symbol] :> Simp[d^IntPart[m]*((d*x)^Fra
      cPart[m]/x^FracPart[m])   Int[x^m*(a + b*ArcCot[c*x])^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, m, n}, x] && IGtQ[p, 0]
      && (EqQ[p, 1] || RationalQ[m, n])

5377. Int[((a_.) + ArcTan[(c_.)*(x_)^(n_.)]*(b_.))^(p_.)*((d_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Unintegrable[(d*x)^m*(a +
      b*ArcTan[c*x^n])^p, x] /; FreeQ[{a, b, c, d, m, n, p}, x]

5378. Int[((a_.) + ArcCot[(c_.)*(x_)^(n_.)]*(b_.))^(p_.)*((d_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Unintegrable[(d*x)^m*(a +
      b*ArcCot[c*x^n])^p, x] /; FreeQ[{a, b, c, d, m, n, p}, x]

5379. Int[((a_.) + ArcTan[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(p_.)/((d_) + (e_.)*(x_)), x_Symbol] :> Simp[(-(a + b*ArcTan[c*x])^p)*(
      Log[2/(1 + e*(x/d))]/e), x] + Simp[b*c*(p/e)   Int[(a + b*ArcTan[c*x])^(p - 1)*(Log[2/(1 + e*(x/d))]/(1 + c^2*
      x^2)), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && IGtQ[p, 0] && EqQ[c^2*d^2 + e^2, 0]

5380. Int[((a_.) + ArcCot[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(p_.)/((d_) + (e_.)*(x_)), x_Symbol] :> Simp[(-(a + b*ArcCot[c*x])^p)*(
      Log[2/(1 + e*(x/d))]/e), x] - Simp[b*c*(p/e)   Int[(a + b*ArcCot[c*x])^(p - 1)*(Log[2/(1 + e*(x/d))]/(1 + c^2*
      x^2)), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && IGtQ[p, 0] && EqQ[c^2*d^2 + e^2, 0]

5381. Int[((a_.) + ArcTan[(c_.)*(x_)]*(b_.))/((d_) + (e_.)*(x_)), x_Symbol] :> Simp[(-(a + b*ArcTan[c*x]))*(Log[2/(1
      - I*c*x)]/e), x] + (Simp[(a + b*ArcTan[c*x])*(Log[2*c*((d + e*x)/((c*d + I*e)*(1 - I*c*x)))]/e), x] + Simp[b*
      (c/e)   Int[Log[2/(1 - I*c*x)]/(1 + c^2*x^2), x], x] - Simp[b*(c/e)   Int[Log[2*c*((d + e*x)/((c*d + I*e)*(1 -
      I*c*x)))]/(1 + c^2*x^2), x], x]) /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && NeQ[c^2*d^2 + e^2, 0]

5382. Int[((a_.) + ArcCot[(c_.)*(x_)]*(b_.))/((d_) + (e_.)*(x_)), x_Symbol] :> Simp[(-(a + b*ArcCot[c*x]))*(Log[2/(1
      - I*c*x)]/e), x] + (Simp[(a + b*ArcCot[c*x])*(Log[2*c*((d + e*x)/((c*d + I*e)*(1 - I*c*x)))]/e), x] - Simp[b*
      (c/e)   Int[Log[2/(1 - I*c*x)]/(1 + c^2*x^2), x], x] + Simp[b*(c/e)   Int[Log[2*c*((d + e*x)/((c*d + I*e)*(1 -
      I*c*x)))]/(1 + c^2*x^2), x], x]) /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && NeQ[c^2*d^2 + e^2, 0]

5383. Int[((a_.) + ArcTan[(c_.)*(x_)]*(b_.))^2/((d_) + (e_.)*(x_)), x_Symbol] :> Simp[(-(a + b*ArcTan[c*x])^2)*(Log[
      2/(1 - I*c*x)]/e), x] + (Simp[(a + b*ArcTan[c*x])^2*(Log[2*c*((d + e*x)/((c*d + I*e)*(1 - I*c*x)))]/e), x] + S
      imp[I*b*(a + b*ArcTan[c*x])*(PolyLog[2, 1 - 2/(1 - I*c*x)]/e), x] - Simp[I*b*(a + b*ArcTan[c*x])*(PolyLog[2, 1
      - 2*c*((d + e*x)/((c*d + I*e)*(1 - I*c*x)))]/e), x] - Simp[b^2*(PolyLog[3, 1 - 2/(1 - I*c*x)]/(2*e)), x] + Si
      mp[b^2*(PolyLog[3, 1 - 2*c*((d + e*x)/((c*d + I*e)*(1 - I*c*x)))]/(2*e)), x]) /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] &&
      NeQ[c^2*d^2 + e^2, 0]

5384. Int[((a_.) + ArcCot[(c_.)*(x_)]*(b_.))^2/((d_) + (e_.)*(x_)), x_Symbol] :> Simp[(-(a + b*ArcCot[c*x])^2)*(Log[
      2/(1 - I*c*x)]/e), x] + (Simp[(a + b*ArcCot[c*x])^2*(Log[2*c*((d + e*x)/((c*d + I*e)*(1 - I*c*x)))]/e), x] - S
      imp[I*b*(a + b*ArcCot[c*x])*(PolyLog[2, 1 - 2/(1 - I*c*x)]/e), x] + Simp[I*b*(a + b*ArcCot[c*x])*(PolyLog[2, 1
      - 2*c*((d + e*x)/((c*d + I*e)*(1 - I*c*x)))]/e), x] - Simp[b^2*(PolyLog[3, 1 - 2/(1 - I*c*x)]/(2*e)), x] + Si
      mp[b^2*(PolyLog[3, 1 - 2*c*((d + e*x)/((c*d + I*e)*(1 - I*c*x)))]/(2*e)), x]) /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] &&
      NeQ[c^2*d^2 + e^2, 0]

5385. Int[((a_.) + ArcTan[(c_.)*(x_)]*(b_.))^3/((d_) + (e_.)*(x_)), x_Symbol] :> Simp[(-(a + b*ArcTan[c*x])^3)*(Log[
      2/(1 - I*c*x)]/e), x] + (Simp[(a + b*ArcTan[c*x])^3*(Log[2*c*((d + e*x)/((c*d + I*e)*(1 - I*c*x)))]/e), x] + S
      imp[3*I*b*(a + b*ArcTan[c*x])^2*(PolyLog[2, 1 - 2/(1 - I*c*x)]/(2*e)), x] - Simp[3*I*b*(a + b*ArcTan[c*x])^2*(
      PolyLog[2, 1 - 2*c*((d + e*x)/((c*d + I*e)*(1 - I*c*x)))]/(2*e)), x] - Simp[3*b^2*(a + b*ArcTan[c*x])*(PolyLog
      [3, 1 - 2/(1 - I*c*x)]/(2*e)), x] + Simp[3*b^2*(a + b*ArcTan[c*x])*(PolyLog[3, 1 - 2*c*((d + e*x)/((c*d + I*e)
      *(1 - I*c*x)))]/(2*e)), x] - Simp[3*I*b^3*(PolyLog[4, 1 - 2/(1 - I*c*x)]/(4*e)), x] + Simp[3*I*b^3*(PolyLog[4,
      1 - 2*c*((d + e*x)/((c*d + I*e)*(1 - I*c*x)))]/(4*e)), x]) /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && NeQ[c^2*d^2 + e^2,
      0]

5386. Int[((a_.) + ArcCot[(c_.)*(x_)]*(b_.))^3/((d_) + (e_.)*(x_)), x_Symbol] :> Simp[(-(a + b*ArcCot[c*x])^3)*(Log[
      2/(1 - I*c*x)]/e), x] + (Simp[(a + b*ArcCot[c*x])^3*(Log[2*c*((d + e*x)/((c*d + I*e)*(1 - I*c*x)))]/e), x] - S
      imp[3*I*b*(a + b*ArcCot[c*x])^2*(PolyLog[2, 1 - 2/(1 - I*c*x)]/(2*e)), x] + Simp[3*I*b*(a + b*ArcCot[c*x])^2*(
      PolyLog[2, 1 - 2*c*((d + e*x)/((c*d + I*e)*(1 - I*c*x)))]/(2*e)), x] - Simp[3*b^2*(a + b*ArcCot[c*x])*(PolyLog
      [3, 1 - 2/(1 - I*c*x)]/(2*e)), x] + Simp[3*b^2*(a + b*ArcCot[c*x])*(PolyLog[3, 1 - 2*c*((d + e*x)/((c*d + I*e)
      *(1 - I*c*x)))]/(2*e)), x] + Simp[3*I*b^3*(PolyLog[4, 1 - 2/(1 - I*c*x)]/(4*e)), x] - Simp[3*I*b^3*(PolyLog[4,
      1 - 2*c*((d + e*x)/((c*d + I*e)*(1 - I*c*x)))]/(4*e)), x]) /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && NeQ[c^2*d^2 + e^2,
      0]

5387. Int[((a_.) + ArcTan[(c_.)*(x_)]*(b_.))*((d_) + (e_.)*(x_))^(q_.), x_Symbol] :> Simp[(d + e*x)^(q + 1)*((a + b*
      ArcTan[c*x])/(e*(q + 1))), x] - Simp[b*(c/(e*(q + 1)))   Int[(d + e*x)^(q + 1)/(1 + c^2*x^2), x], x] /; FreeQ[
      {a, b, c, d, e, q}, x] && NeQ[q, -1]

5388. Int[((a_.) + ArcCot[(c_.)*(x_)]*(b_.))*((d_) + (e_.)*(x_))^(q_.), x_Symbol] :> Simp[(d + e*x)^(q + 1)*((a + b*
      ArcCot[c*x])/(e*(q + 1))), x] + Simp[b*(c/(e*(q + 1)))   Int[(d + e*x)^(q + 1)/(1 + c^2*x^2), x], x] /; FreeQ[
      {a, b, c, d, e, q}, x] && NeQ[q, -1]

5389. Int[((a_.) + ArcTan[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(p_)*((d_) + (e_.)*(x_))^(q_.), x_Symbol] :> Simp[(d + e*x)^(q + 1)*((a
      + b*ArcTan[c*x])^p/(e*(q + 1))), x] - Simp[b*c*(p/(e*(q + 1)))   Int[ExpandIntegrand[(a + b*ArcTan[c*x])^(p -
      1), (d + e*x)^(q + 1)/(1 + c^2*x^2), x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && IGtQ[p, 1] && IntegerQ[q] &&
      NeQ[q, -1]

5390. Int[((a_.) + ArcCot[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(p_)*((d_) + (e_.)*(x_))^(q_.), x_Symbol] :> Simp[(d + e*x)^(q + 1)*((a
      + b*ArcCot[c*x])^p/(e*(q + 1))), x] + Simp[b*c*(p/(e*(q + 1)))   Int[ExpandIntegrand[(a + b*ArcCot[c*x])^(p -
      1), (d + e*x)^(q + 1)/(1 + c^2*x^2), x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && IGtQ[p, 1] && IntegerQ[q] &&
      NeQ[q, -1]

5391. Int[((a_.) + ArcTan[(c_.)*(x_)^(n_)]*(b_.))/((d_) + (e_.)*(x_)), x_Symbol] :> Simp[Log[d + e*x]*((a + b*ArcTan
      [c*x^n])/e), x] - Simp[b*c*(n/e)   Int[x^(n - 1)*(Log[d + e*x]/(1 + c^2*x^(2*n))), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d
      , e, n}, x] && IntegerQ[n]

5392. Int[((a_.) + ArcCot[(c_.)*(x_)^(n_)]*(b_.))/((d_) + (e_.)*(x_)), x_Symbol] :> Simp[Log[d + e*x]*((a + b*ArcCot
      [c*x^n])/e), x] + Simp[b*c*(n/e)   Int[x^(n - 1)*(Log[d + e*x]/(1 + c^2*x^(2*n))), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d
      , e, n}, x] && IntegerQ[n]

5393. Int[((a_.) + ArcTan[(c_.)*(x_)^(n_)]*(b_.))/((d_) + (e_.)*(x_)), x_Symbol] :> With[{k = Denominator[n]}, Simp[
      k   Subst[Int[x^(k - 1)*((a + b*ArcTan[c*x^(k*n)])/(d + e*x^k)), x], x, x^(1/k)], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}
      , x] && FractionQ[n]

5394. Int[((a_.) + ArcCot[(c_.)*(x_)^(n_)]*(b_.))/((d_) + (e_.)*(x_)), x_Symbol] :> With[{k = Denominator[n]}, Simp[
      k   Subst[Int[x^(k - 1)*((a + b*ArcCot[c*x^(k*n)])/(d + e*x^k)), x], x, x^(1/k)], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}
      , x] && FractionQ[n]

5395. Int[((a_.) + ArcTan[(c_.)*(x_)^(n_)]*(b_.))*((d_) + (e_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Simp[(d + e*x)^(m + 1)*((a
      + b*ArcTan[c*x^n])/(e*(m + 1))), x] - Simp[b*c*(n/(e*(m + 1)))   Int[x^(n - 1)*((d + e*x)^(m + 1)/(1 + c^2*x^
      (2*n))), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, m, n}, x] && NeQ[m, -1]

5396. Int[((a_.) + ArcCot[(c_.)*(x_)^(n_)]*(b_.))*((d_) + (e_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Simp[(d + e*x)^(m + 1)*((a
      + b*ArcCot[c*x^n])/(e*(m + 1))), x] + Simp[b*c*(n/(e*(m + 1)))   Int[x^(n - 1)*((d + e*x)^(m + 1)/(1 + c^2*x^
      (2*n))), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, m, n}, x] && NeQ[m, -1]

5397. Int[((a_.) + ArcTan[(c_.)*(x_)^(n_)]*(b_.))^(p_)*((d_) + (e_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Int[ExpandIntegrand[(
      a + b*ArcTan[c*x^n])^p, (d + e*x)^m, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, n}, x] && IGtQ[p, 1] && IGtQ[m, 0]

5398. Int[((a_.) + ArcCot[(c_.)*(x_)^(n_)]*(b_.))^(p_)*((d_) + (e_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Int[ExpandIntegrand[(
      a + b*ArcCot[c*x^n])^p, (d + e*x)^m, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, n}, x] && IGtQ[p, 1] && IGtQ[m, 0]

5399. Int[((a_.) + ArcTan[(c_.)*(x_)^(n_)]*(b_.))^(p_.)*((d_.) + (e_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Unintegrable[(d + e
      *x)^m*(a + b*ArcTan[c*x^n])^p, x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, m, n, p}, x]

5400. Int[((a_.) + ArcCot[(c_.)*(x_)^(n_)]*(b_.))^(p_.)*((d_.) + (e_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Unintegrable[(d + e
      *x)^m*(a + b*ArcCot[c*x^n])^p, x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, m, n, p}, x]

5401. Int[(((a_.) + ArcTan[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(p_.)*((f_.)*(x_))^(m_.))/((d_) + (e_.)*(x_)), x_Symbol] :> Simp[f/e
      Int[(f*x)^(m - 1)*(a + b*ArcTan[c*x])^p, x], x] - Simp[d*(f/e)   Int[(f*x)^(m - 1)*((a + b*ArcTan[c*x])^p/(d
      + e*x)), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && IGtQ[p, 0] && EqQ[c^2*d^2 + e^2, 0] && GtQ[m, 0]

5402. Int[(((a_.) + ArcCot[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(p_.)*((f_.)*(x_))^(m_.))/((d_) + (e_.)*(x_)), x_Symbol] :> Simp[f/e
      Int[(f*x)^(m - 1)*(a + b*ArcCot[c*x])^p, x], x] - Simp[d*(f/e)   Int[(f*x)^(m - 1)*((a + b*ArcCot[c*x])^p/(d
      + e*x)), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && IGtQ[p, 0] && EqQ[c^2*d^2 + e^2, 0] && GtQ[m, 0]

5403. Int[((a_.) + ArcTan[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(p_.)/((x_)*((d_) + (e_.)*(x_))), x_Symbol] :> Simp[(a + b*ArcTan[c*x])
      ^p*(Log[2 - 2/(1 + e*(x/d))]/d), x] - Simp[b*c*(p/d)   Int[(a + b*ArcTan[c*x])^(p - 1)*(Log[2 - 2/(1 + e*(x/d)
      )]/(1 + c^2*x^2)), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && IGtQ[p, 0] && EqQ[c^2*d^2 + e^2, 0]

5404. Int[((a_.) + ArcCot[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(p_.)/((x_)*((d_) + (e_.)*(x_))), x_Symbol] :> Simp[(a + b*ArcCot[c*x])
      ^p*(Log[2 - 2/(1 + e*(x/d))]/d), x] + Simp[b*c*(p/d)   Int[(a + b*ArcCot[c*x])^(p - 1)*(Log[2 - 2/(1 + e*(x/d)
      )]/(1 + c^2*x^2)), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && IGtQ[p, 0] && EqQ[c^2*d^2 + e^2, 0]

5405. Int[(((a_.) + ArcTan[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(p_.)*((f_.)*(x_))^(m_))/((d_) + (e_.)*(x_)), x_Symbol] :> Simp[1/d
      Int[(f*x)^m*(a + b*ArcTan[c*x])^p, x], x] - Simp[e/(d*f)   Int[(f*x)^(m + 1)*((a + b*ArcTan[c*x])^p/(d + e*x))
      , x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && IGtQ[p, 0] && EqQ[c^2*d^2 + e^2, 0] && LtQ[m, -1]

5406. Int[(((a_.) + ArcCot[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(p_.)*((f_.)*(x_))^(m_))/((d_) + (e_.)*(x_)), x_Symbol] :> Simp[1/d
      Int[(f*x)^m*(a + b*ArcCot[c*x])^p, x], x] - Simp[e/(d*f)   Int[(f*x)^(m + 1)*((a + b*ArcCot[c*x])^p/(d + e*x))
      , x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && IGtQ[p, 0] && EqQ[c^2*d^2 + e^2, 0] && LtQ[m, -1]

5407. Int[((a_.) + ArcTan[(c_.)*(x_)]*(b_.))*((f_.)*(x_))^(m_.)*((d_.) + (e_.)*(x_))^(q_.), x_Symbol] :> With[{u = I
      ntHide[(f*x)^m*(d + e*x)^q, x]}, Simp[(a + b*ArcTan[c*x])   u, x] - Simp[b*c   Int[SimplifyIntegrand[u/(1 + c^
      2*x^2), x], x], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, q}, x] && NeQ[q, -1] && IntegerQ[2*m] && ((IGtQ[m, 0] && IGtQ[
      q, 0]) || (ILtQ[m + q + 1, 0] && LtQ[m*q, 0]))

5408. Int[((a_.) + ArcCot[(c_.)*(x_)]*(b_.))*((f_.)*(x_))^(m_.)*((d_.) + (e_.)*(x_))^(q_.), x_Symbol] :> With[{u = I
      ntHide[(f*x)^m*(d + e*x)^q, x]}, Simp[(a + b*ArcCot[c*x])   u, x] + Simp[b*c   Int[SimplifyIntegrand[u/(1 + c^
      2*x^2), x], x], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, q}, x] && NeQ[q, -1] && IntegerQ[2*m] && ((IGtQ[m, 0] && IGtQ[
      q, 0]) || (ILtQ[m + q + 1, 0] && LtQ[m*q, 0]))

5409. Int[((a_.) + ArcTan[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(p_)*((f_.)*(x_))^(m_.)*((d_.) + (e_.)*(x_))^(q_), x_Symbol] :> With[{u
      = IntHide[(f*x)^m*(d + e*x)^q, x]}, Simp[(a + b*ArcTan[c*x])^p   u, x] - Simp[b*c*p   Int[ExpandIntegrand[(a
      + b*ArcTan[c*x])^(p - 1), u/(1 + c^2*x^2), x], x], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, q}, x] && IGtQ[p, 1] && EqQ
      [c^2*d^2 + e^2, 0] && IntegersQ[m, q] && NeQ[m, -1] && NeQ[q, -1] && ILtQ[m + q + 1, 0] && LtQ[m*q, 0]

5410. Int[((a_.) + ArcCot[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(p_)*((f_.)*(x_))^(m_.)*((d_.) + (e_.)*(x_))^(q_), x_Symbol] :> With[{u
      = IntHide[(f*x)^m*(d + e*x)^q, x]}, Simp[(a + b*ArcCot[c*x])^p   u, x] + Simp[b*c*p   Int[ExpandIntegrand[(a
      + b*ArcCot[c*x])^(p - 1), u/(1 + c^2*x^2), x], x], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, q}, x] && IGtQ[p, 1] && EqQ
      [c^2*d^2 + e^2, 0] && IntegersQ[m, q] && NeQ[m, -1] && NeQ[q, -1] && ILtQ[m + q + 1, 0] && LtQ[m*q, 0]

5411. Int[((a_.) + ArcTan[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(p_.)*((f_.)*(x_))^(m_.)*((d_) + (e_.)*(x_))^(q_.), x_Symbol] :> Int[Ex
      pandIntegrand[(a + b*ArcTan[c*x])^p, (f*x)^m*(d + e*x)^q, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m}, x] && IGtQ[p,
      0] && IntegerQ[q] && (GtQ[q, 0] || NeQ[a, 0] || IntegerQ[m])

5412. Int[((a_.) + ArcCot[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(p_.)*((f_.)*(x_))^(m_.)*((d_) + (e_.)*(x_))^(q_.), x_Symbol] :> Int[Ex
      pandIntegrand[(a + b*ArcCot[c*x])^p, (f*x)^m*(d + e*x)^q, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m}, x] && IGtQ[p,
      0] && IntegerQ[q] && (GtQ[q, 0] || NeQ[a, 0] || IntegerQ[m])

5413. Int[((a_.) + ArcTan[(c_.)*(x_)]*(b_.))*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(q_.), x_Symbol] :> Simp[(-b)*((d + e*x^2)^q/(2*c
      *q*(2*q + 1))), x] + (Simp[x*(d + e*x^2)^q*((a + b*ArcTan[c*x])/(2*q + 1)), x] + Simp[2*d*(q/(2*q + 1))   Int[
      (d + e*x^2)^(q - 1)*(a + b*ArcTan[c*x]), x], x]) /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && EqQ[e, c^2*d] && GtQ[q, 0]

5414. Int[((a_.) + ArcCot[(c_.)*(x_)]*(b_.))*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(q_.), x_Symbol] :> Simp[b*((d + e*x^2)^q/(2*c*q*
      (2*q + 1))), x] + (Simp[x*(d + e*x^2)^q*((a + b*ArcCot[c*x])/(2*q + 1)), x] + Simp[2*d*(q/(2*q + 1))   Int[(d
      + e*x^2)^(q - 1)*(a + b*ArcCot[c*x]), x], x]) /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && EqQ[e, c^2*d] && GtQ[q, 0]

5415. Int[((a_.) + ArcTan[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(p_)*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(q_.), x_Symbol] :> Simp[(-b)*p*(d + e*x^2)^
      q*((a + b*ArcTan[c*x])^(p - 1)/(2*c*q*(2*q + 1))), x] + (Simp[x*(d + e*x^2)^q*((a + b*ArcTan[c*x])^p/(2*q + 1)
      ), x] + Simp[2*d*(q/(2*q + 1))   Int[(d + e*x^2)^(q - 1)*(a + b*ArcTan[c*x])^p, x], x] + Simp[b^2*d*p*((p - 1)
      /(2*q*(2*q + 1)))   Int[(d + e*x^2)^(q - 1)*(a + b*ArcTan[c*x])^(p - 2), x], x]) /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x]
      && EqQ[e, c^2*d] && GtQ[q, 0] && GtQ[p, 1]

5416. Int[((a_.) + ArcCot[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(p_)*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(q_.), x_Symbol] :> Simp[b*p*(d + e*x^2)^q*(
      (a + b*ArcCot[c*x])^(p - 1)/(2*c*q*(2*q + 1))), x] + (Simp[x*(d + e*x^2)^q*((a + b*ArcCot[c*x])^p/(2*q + 1)),
      x] + Simp[2*d*(q/(2*q + 1))   Int[(d + e*x^2)^(q - 1)*(a + b*ArcCot[c*x])^p, x], x] + Simp[b^2*d*p*((p - 1)/(2
      *q*(2*q + 1)))   Int[(d + e*x^2)^(q - 1)*(a + b*ArcCot[c*x])^(p - 2), x], x]) /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] &&
      EqQ[e, c^2*d] && GtQ[q, 0] && GtQ[p, 1]

5417. Int[1/(((a_.) + ArcTan[(c_.)*(x_)]*(b_.))*((d_) + (e_.)*(x_)^2)), x_Symbol] :> Simp[Log[RemoveContent[a + b*Ar
      cTan[c*x], x]]/(b*c*d), x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && EqQ[e, c^2*d]

5418. Int[1/(((a_.) + ArcCot[(c_.)*(x_)]*(b_.))*((d_) + (e_.)*(x_)^2)), x_Symbol] :> Simp[-Log[RemoveContent[a + b*A
      rcCot[c*x], x]]/(b*c*d), x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && EqQ[e, c^2*d]

5419. Int[((a_.) + ArcTan[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(p_.)/((d_) + (e_.)*(x_)^2), x_Symbol] :> Simp[(a + b*ArcTan[c*x])^(p +
      1)/(b*c*d*(p + 1)), x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, p}, x] && EqQ[e, c^2*d] && NeQ[p, -1]

5420. Int[((a_.) + ArcCot[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(p_.)/((d_) + (e_.)*(x_)^2), x_Symbol] :> Simp[-(a + b*ArcCot[c*x])^(p
      + 1)/(b*c*d*(p + 1)), x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, p}, x] && EqQ[e, c^2*d] && NeQ[p, -1]

5421. Int[((a_.) + ArcTan[(c_.)*(x_)]*(b_.))/Sqrt[(d_) + (e_.)*(x_)^2], x_Symbol] :> Simp[-2*I*(a + b*ArcTan[c*x])*(
      ArcTan[Sqrt[1 + I*c*x]/Sqrt[1 - I*c*x]]/(c*Sqrt[d])), x] + (Simp[I*b*(PolyLog[2, (-I)*(Sqrt[1 + I*c*x]/Sqrt[1
      - I*c*x])]/(c*Sqrt[d])), x] - Simp[I*b*(PolyLog[2, I*(Sqrt[1 + I*c*x]/Sqrt[1 - I*c*x])]/(c*Sqrt[d])), x]) /; F
      reeQ[{a, b, c, d, e}, x] && EqQ[e, c^2*d] && GtQ[d, 0]

5422. Int[((a_.) + ArcCot[(c_.)*(x_)]*(b_.))/Sqrt[(d_) + (e_.)*(x_)^2], x_Symbol] :> Simp[-2*I*(a + b*ArcCot[c*x])*(
      ArcTan[Sqrt[1 + I*c*x]/Sqrt[1 - I*c*x]]/(c*Sqrt[d])), x] + (-Simp[I*b*(PolyLog[2, (-I)*(Sqrt[1 + I*c*x]/Sqrt[1
      - I*c*x])]/(c*Sqrt[d])), x] + Simp[I*b*(PolyLog[2, I*(Sqrt[1 + I*c*x]/Sqrt[1 - I*c*x])]/(c*Sqrt[d])), x]) /;
      FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && EqQ[e, c^2*d] && GtQ[d, 0]

5423. Int[((a_.) + ArcTan[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(p_.)/Sqrt[(d_) + (e_.)*(x_)^2], x_Symbol] :> Simp[1/(c*Sqrt[d])   Subs
      t[Int[(a + b*x)^p*Sec[x], x], x, ArcTan[c*x]], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && EqQ[e, c^2*d] && IGtQ[p, 0]
      && GtQ[d, 0]

5424. Int[((a_.) + ArcCot[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(p_.)/Sqrt[(d_) + (e_.)*(x_)^2], x_Symbol] :> Simp[(-x)*(Sqrt[1 + 1/(c^
      2*x^2)]/Sqrt[d + e*x^2])   Subst[Int[(a + b*x)^p*Csc[x], x], x, ArcCot[c*x]], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x]
      && EqQ[e, c^2*d] && IGtQ[p, 0] && GtQ[d, 0]

5425. Int[((a_.) + ArcTan[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(p_.)/Sqrt[(d_) + (e_.)*(x_)^2], x_Symbol] :> Simp[Sqrt[1 + c^2*x^2]/Sq
      rt[d + e*x^2]   Int[(a + b*ArcTan[c*x])^p/Sqrt[1 + c^2*x^2], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && EqQ[e, c^2
      *d] && IGtQ[p, 0] &&  !GtQ[d, 0]

5426. Int[((a_.) + ArcCot[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(p_.)/Sqrt[(d_) + (e_.)*(x_)^2], x_Symbol] :> Simp[Sqrt[1 + c^2*x^2]/Sq
      rt[d + e*x^2]   Int[(a + b*ArcCot[c*x])^p/Sqrt[1 + c^2*x^2], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && EqQ[e, c^2
      *d] && IGtQ[p, 0] &&  !GtQ[d, 0]

5427. Int[((a_.) + ArcTan[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(p_.)/((d_) + (e_.)*(x_)^2)^2, x_Symbol] :> Simp[x*((a + b*ArcTan[c*x])
      ^p/(2*d*(d + e*x^2))), x] + (Simp[(a + b*ArcTan[c*x])^(p + 1)/(2*b*c*d^2*(p + 1)), x] - Simp[b*c*(p/2)   Int[x
      *((a + b*ArcTan[c*x])^(p - 1)/(d + e*x^2)^2), x], x]) /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && EqQ[e, c^2*d] && GtQ[p,
      0]

5428. Int[((a_.) + ArcCot[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(p_.)/((d_) + (e_.)*(x_)^2)^2, x_Symbol] :> Simp[x*((a + b*ArcCot[c*x])
      ^p/(2*d*(d + e*x^2))), x] + (-Simp[(a + b*ArcCot[c*x])^(p + 1)/(2*b*c*d^2*(p + 1)), x] + Simp[b*c*(p/2)   Int[
      x*((a + b*ArcCot[c*x])^(p - 1)/(d + e*x^2)^2), x], x]) /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && EqQ[e, c^2*d] && GtQ[p,
      0]

5429. Int[((a_.) + ArcTan[(c_.)*(x_)]*(b_.))/((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(3/2), x_Symbol] :> Simp[b/(c*d*Sqrt[d + e*x^2]),
      x] + Simp[x*((a + b*ArcTan[c*x])/(d*Sqrt[d + e*x^2])), x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && EqQ[e, c^2*d]

5430. Int[((a_.) + ArcCot[(c_.)*(x_)]*(b_.))/((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(3/2), x_Symbol] :> Simp[-b/(c*d*Sqrt[d + e*x^2])
      , x] + Simp[x*((a + b*ArcCot[c*x])/(d*Sqrt[d + e*x^2])), x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && EqQ[e, c^2*d]

5431. Int[((a_.) + ArcTan[(c_.)*(x_)]*(b_.))*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(q_), x_Symbol] :> Simp[b*((d + e*x^2)^(q + 1)/(4
      *c*d*(q + 1)^2)), x] + (-Simp[x*(d + e*x^2)^(q + 1)*((a + b*ArcTan[c*x])/(2*d*(q + 1))), x] + Simp[(2*q + 3)/(
      2*d*(q + 1))   Int[(d + e*x^2)^(q + 1)*(a + b*ArcTan[c*x]), x], x]) /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && EqQ[e, c^2
      *d] && LtQ[q, -1] && NeQ[q, -3/2]

5432. Int[((a_.) + ArcCot[(c_.)*(x_)]*(b_.))*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(q_), x_Symbol] :> Simp[(-b)*((d + e*x^2)^(q + 1)
      /(4*c*d*(q + 1)^2)), x] + (-Simp[x*(d + e*x^2)^(q + 1)*((a + b*ArcCot[c*x])/(2*d*(q + 1))), x] + Simp[(2*q + 3
      )/(2*d*(q + 1))   Int[(d + e*x^2)^(q + 1)*(a + b*ArcCot[c*x]), x], x]) /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && EqQ[e,
      c^2*d] && LtQ[q, -1] && NeQ[q, -3/2]

5433. Int[((a_.) + ArcTan[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(p_)/((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(3/2), x_Symbol] :> Simp[b*p*((a + b*ArcTan[
      c*x])^(p - 1)/(c*d*Sqrt[d + e*x^2])), x] + (Simp[x*((a + b*ArcTan[c*x])^p/(d*Sqrt[d + e*x^2])), x] - Simp[b^2*
      p*(p - 1)   Int[(a + b*ArcTan[c*x])^(p - 2)/(d + e*x^2)^(3/2), x], x]) /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && EqQ[e,
      c^2*d] && GtQ[p, 1]

5434. Int[((a_.) + ArcCot[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(p_)/((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(3/2), x_Symbol] :> Simp[(-b)*p*((a + b*ArcC
      ot[c*x])^(p - 1)/(c*d*Sqrt[d + e*x^2])), x] + (Simp[x*((a + b*ArcCot[c*x])^p/(d*Sqrt[d + e*x^2])), x] - Simp[b
      ^2*p*(p - 1)   Int[(a + b*ArcCot[c*x])^(p - 2)/(d + e*x^2)^(3/2), x], x]) /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && EqQ[
      e, c^2*d] && GtQ[p, 1]

5435. Int[((a_.) + ArcTan[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(p_)*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(q_), x_Symbol] :> Simp[b*p*(d + e*x^2)^(q +
      1)*((a + b*ArcTan[c*x])^(p - 1)/(4*c*d*(q + 1)^2)), x] + (-Simp[x*(d + e*x^2)^(q + 1)*((a + b*ArcTan[c*x])^p/
      (2*d*(q + 1))), x] + Simp[(2*q + 3)/(2*d*(q + 1))   Int[(d + e*x^2)^(q + 1)*(a + b*ArcTan[c*x])^p, x], x] - Si
      mp[b^2*p*((p - 1)/(4*(q + 1)^2))   Int[(d + e*x^2)^q*(a + b*ArcTan[c*x])^(p - 2), x], x]) /; FreeQ[{a, b, c, d
      , e}, x] && EqQ[e, c^2*d] && LtQ[q, -1] && GtQ[p, 1] && NeQ[q, -3/2]

5436. Int[((a_.) + ArcCot[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(p_)*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(q_), x_Symbol] :> Simp[(-b)*p*(d + e*x^2)^(
      q + 1)*((a + b*ArcCot[c*x])^(p - 1)/(4*c*d*(q + 1)^2)), x] + (-Simp[x*(d + e*x^2)^(q + 1)*((a + b*ArcCot[c*x])
      ^p/(2*d*(q + 1))), x] + Simp[(2*q + 3)/(2*d*(q + 1))   Int[(d + e*x^2)^(q + 1)*(a + b*ArcCot[c*x])^p, x], x] -
      Simp[b^2*p*((p - 1)/(4*(q + 1)^2))   Int[(d + e*x^2)^q*(a + b*ArcCot[c*x])^(p - 2), x], x]) /; FreeQ[{a, b, c
      , d, e}, x] && EqQ[e, c^2*d] && LtQ[q, -1] && GtQ[p, 1] && NeQ[q, -3/2]

5437. Int[((a_.) + ArcTan[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(p_)*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(q_), x_Symbol] :> Simp[(d + e*x^2)^(q + 1)*
      ((a + b*ArcTan[c*x])^(p + 1)/(b*c*d*(p + 1))), x] - Simp[2*c*((q + 1)/(b*(p + 1)))   Int[x*(d + e*x^2)^q*(a +
      b*ArcTan[c*x])^(p + 1), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && EqQ[e, c^2*d] && LtQ[q, -1] && LtQ[p, -1]

5438. Int[((a_.) + ArcCot[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(p_)*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(q_), x_Symbol] :> Simp[(-(d + e*x^2)^(q + 1
      ))*((a + b*ArcCot[c*x])^(p + 1)/(b*c*d*(p + 1))), x] + Simp[2*c*((q + 1)/(b*(p + 1)))   Int[x*(d + e*x^2)^q*(a
      + b*ArcCot[c*x])^(p + 1), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && EqQ[e, c^2*d] && LtQ[q, -1] && LtQ[p, -1]

5439. Int[((a_.) + ArcTan[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(p_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(q_), x_Symbol] :> Simp[d^q/c   Subst[Int[(
      a + b*x)^p/Cos[x]^(2*(q + 1)), x], x, ArcTan[c*x]], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, p}, x] && EqQ[e, c^2*d] && ILt
      Q[2*(q + 1), 0] && (IntegerQ[q] || GtQ[d, 0])

5440. Int[((a_.) + ArcTan[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(p_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(q_), x_Symbol] :> Simp[d^(q + 1/2)*(Sqrt[1
      + c^2*x^2]/Sqrt[d + e*x^2])   Int[(1 + c^2*x^2)^q*(a + b*ArcTan[c*x])^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, p},
      x] && EqQ[e, c^2*d] && ILtQ[2*(q + 1), 0] &&  !(IntegerQ[q] || GtQ[d, 0])

5441. Int[((a_.) + ArcCot[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(p_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(q_), x_Symbol] :> Simp[-d^q/c   Subst[Int[
      (a + b*x)^p/Sin[x]^(2*(q + 1)), x], x, ArcCot[c*x]], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, p}, x] && EqQ[e, c^2*d] && IL
      tQ[2*(q + 1), 0] && IntegerQ[q]

5442. Int[((a_.) + ArcCot[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(p_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(q_), x_Symbol] :> Simp[(-d^(q + 1/2))*x*(S
      qrt[(1 + c^2*x^2)/(c^2*x^2)]/Sqrt[d + e*x^2])   Subst[Int[(a + b*x)^p/Sin[x]^(2*(q + 1)), x], x, ArcCot[c*x]],
      x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, p}, x] && EqQ[e, c^2*d] && ILtQ[2*(q + 1), 0] &&  !IntegerQ[q]

5443. Int[ArcTan[(c_.)*(x_)]/((d_.) + (e_.)*(x_)^2), x_Symbol] :> Simp[I/2   Int[Log[1 - I*c*x]/(d + e*x^2), x], x]
      - Simp[I/2   Int[Log[1 + I*c*x]/(d + e*x^2), x], x] /; FreeQ[{c, d, e}, x]

5444. Int[ArcCot[(c_.)*(x_)]/((d_.) + (e_.)*(x_)^2), x_Symbol] :> Simp[I/2   Int[Log[1 - I/(c*x)]/(d + e*x^2), x], x
      ] - Simp[I/2   Int[Log[1 + I/(c*x)]/(d + e*x^2), x], x] /; FreeQ[{c, d, e}, x]

5445. Int[(ArcTan[(c_.)*(x_)]*(b_.) + (a_))/((d_.) + (e_.)*(x_)^2), x_Symbol] :> Simp[a   Int[1/(d + e*x^2), x], x]
      + Simp[b   Int[ArcTan[c*x]/(d + e*x^2), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x]

5446. Int[(ArcCot[(c_.)*(x_)]*(b_.) + (a_))/((d_.) + (e_.)*(x_)^2), x_Symbol] :> Simp[a   Int[1/(d + e*x^2), x], x]
      + Simp[b   Int[ArcCot[c*x]/(d + e*x^2), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x]

5447. Int[((a_.) + ArcTan[(c_.)*(x_)]*(b_.))*((d_.) + (e_.)*(x_)^2)^(q_.), x_Symbol] :> With[{u = IntHide[(d + e*x^2
      )^q, x]}, Simp[(a + b*ArcTan[c*x])   u, x] - Simp[b*c   Int[SimplifyIntegrand[u/(1 + c^2*x^2), x], x], x]] /;
      FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && (IntegerQ[q] || ILtQ[q + 1/2, 0])

5448. Int[((a_.) + ArcCot[(c_.)*(x_)]*(b_.))*((d_.) + (e_.)*(x_)^2)^(q_.), x_Symbol] :> With[{u = IntHide[(d + e*x^2
      )^q, x]}, Simp[(a + b*ArcCot[c*x])   u, x] + Simp[b*c   Int[SimplifyIntegrand[u/(1 + c^2*x^2), x], x], x]] /;
      FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && (IntegerQ[q] || ILtQ[q + 1/2, 0])

5449. Int[((a_.) + ArcTan[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(p_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(q_.), x_Symbol] :> Int[ExpandIntegrand[(a
      + b*ArcTan[c*x])^p, (d + e*x^2)^q, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && IntegerQ[q] && IGtQ[p, 0]

5450. Int[((a_.) + ArcCot[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(p_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(q_.), x_Symbol] :> Int[ExpandIntegrand[(a
      + b*ArcCot[c*x])^p, (d + e*x^2)^q, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && IntegerQ[q] && IGtQ[p, 0]

5451. Int[(((a_.) + ArcTan[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(p_.)*((f_.)*(x_))^(m_))/((d_) + (e_.)*(x_)^2), x_Symbol] :> Simp[f^2/
      e   Int[(f*x)^(m - 2)*(a + b*ArcTan[c*x])^p, x], x] - Simp[d*(f^2/e)   Int[(f*x)^(m - 2)*((a + b*ArcTan[c*x])^
      p/(d + e*x^2)), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && GtQ[p, 0] && GtQ[m, 1]

5452. Int[(((a_.) + ArcCot[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(p_.)*((f_.)*(x_))^(m_))/((d_) + (e_.)*(x_)^2), x_Symbol] :> Simp[f^2/
      e   Int[(f*x)^(m - 2)*(a + b*ArcCot[c*x])^p, x], x] - Simp[d*(f^2/e)   Int[(f*x)^(m - 2)*((a + b*ArcCot[c*x])^
      p/(d + e*x^2)), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && GtQ[p, 0] && GtQ[m, 1]

5453. Int[(((a_.) + ArcTan[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(p_.)*((f_.)*(x_))^(m_))/((d_) + (e_.)*(x_)^2), x_Symbol] :> Simp[1/d
      Int[(f*x)^m*(a + b*ArcTan[c*x])^p, x], x] - Simp[e/(d*f^2)   Int[(f*x)^(m + 2)*((a + b*ArcTan[c*x])^p/(d + e
      *x^2)), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && GtQ[p, 0] && LtQ[m, -1]

5454. Int[(((a_.) + ArcCot[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(p_.)*((f_.)*(x_))^(m_))/((d_) + (e_.)*(x_)^2), x_Symbol] :> Simp[1/d
      Int[(f*x)^m*(a + b*ArcCot[c*x])^p, x], x] - Simp[e/(d*f^2)   Int[(f*x)^(m + 2)*((a + b*ArcCot[c*x])^p/(d + e
      *x^2)), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && GtQ[p, 0] && LtQ[m, -1]

5455. Int[(((a_.) + ArcTan[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(p_.)*(x_))/((d_) + (e_.)*(x_)^2), x_Symbol] :> Simp[(-I)*((a + b*ArcT
      an[c*x])^(p + 1)/(b*e*(p + 1))), x] - Simp[1/(c*d)   Int[(a + b*ArcTan[c*x])^p/(I - c*x), x], x] /; FreeQ[{a,
      b, c, d, e}, x] && EqQ[e, c^2*d] && IGtQ[p, 0]

5456. Int[(((a_.) + ArcCot[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(p_.)*(x_))/((d_) + (e_.)*(x_)^2), x_Symbol] :> Simp[I*((a + b*ArcCot[
      c*x])^(p + 1)/(b*e*(p + 1))), x] - Simp[1/(c*d)   Int[(a + b*ArcCot[c*x])^p/(I - c*x), x], x] /; FreeQ[{a, b,
      c, d, e}, x] && EqQ[e, c^2*d] && IGtQ[p, 0]

5457. Int[(((a_.) + ArcTan[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(p_)*(x_))/((d_) + (e_.)*(x_)^2), x_Symbol] :> Simp[x*((a + b*ArcTan[c
      *x])^(p + 1)/(b*c*d*(p + 1))), x] - Simp[1/(b*c*d*(p + 1))   Int[(a + b*ArcTan[c*x])^(p + 1), x], x] /; FreeQ[
      {a, b, c, d, e}, x] && EqQ[e, c^2*d] &&  !IGtQ[p, 0] && NeQ[p, -1]

5458. Int[(((a_.) + ArcCot[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(p_)*(x_))/((d_) + (e_.)*(x_)^2), x_Symbol] :> Simp[(-x)*((a + b*ArcCo
      t[c*x])^(p + 1)/(b*c*d*(p + 1))), x] + Simp[1/(b*c*d*(p + 1))   Int[(a + b*ArcCot[c*x])^(p + 1), x], x] /; Fre
      eQ[{a, b, c, d, e}, x] && EqQ[e, c^2*d] &&  !IGtQ[p, 0] && NeQ[p, -1]

5459. Int[((a_.) + ArcTan[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(p_.)/((x_)*((d_) + (e_.)*(x_)^2)), x_Symbol] :> Simp[(-I)*((a + b*ArcT
      an[c*x])^(p + 1)/(b*d*(p + 1))), x] + Simp[I/d   Int[(a + b*ArcTan[c*x])^p/(x*(I + c*x)), x], x] /; FreeQ[{a,
      b, c, d, e}, x] && EqQ[e, c^2*d] && GtQ[p, 0]

5460. Int[((a_.) + ArcCot[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(p_.)/((x_)*((d_) + (e_.)*(x_)^2)), x_Symbol] :> Simp[I*((a + b*ArcCot[
      c*x])^(p + 1)/(b*d*(p + 1))), x] + Simp[I/d   Int[(a + b*ArcCot[c*x])^p/(x*(I + c*x)), x], x] /; FreeQ[{a, b,
      c, d, e}, x] && EqQ[e, c^2*d] && GtQ[p, 0]

5461. Int[(((a_.) + ArcTan[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(p_)*((f_.)*(x_))^(m_))/((d_) + (e_.)*(x_)^2), x_Symbol] :> Simp[(f*x)
      ^m*((a + b*ArcTan[c*x])^(p + 1)/(b*c*d*(p + 1))), x] - Simp[f*(m/(b*c*d*(p + 1)))   Int[(f*x)^(m - 1)*(a + b*A
      rcTan[c*x])^(p + 1), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m}, x] && EqQ[e, c^2*d] && LtQ[p, -1]

5462. Int[(((a_.) + ArcCot[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(p_)*((f_.)*(x_))^(m_))/((d_) + (e_.)*(x_)^2), x_Symbol] :> Simp[(-(f*
      x)^m)*((a + b*ArcCot[c*x])^(p + 1)/(b*c*d*(p + 1))), x] + Simp[f*(m/(b*c*d*(p + 1)))   Int[(f*x)^(m - 1)*(a +
      b*ArcCot[c*x])^(p + 1), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m}, x] && EqQ[e, c^2*d] && LtQ[p, -1]

5463. Int[(((a_.) + ArcTan[(c_.)*(x_)]*(b_.))*(x_)^(m_.))/((d_) + (e_.)*(x_)^2), x_Symbol] :> Int[ExpandIntegrand[a
      + b*ArcTan[c*x], x^m/(d + e*x^2), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && IntegerQ[m] &&  !(EqQ[m, 1] && NeQ[a,
      0])

5464. Int[(((a_.) + ArcCot[(c_.)*(x_)]*(b_.))*(x_)^(m_.))/((d_) + (e_.)*(x_)^2), x_Symbol] :> Int[ExpandIntegrand[a
      + b*ArcCot[c*x], x^m/(d + e*x^2), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && IntegerQ[m] &&  !(EqQ[m, 1] && NeQ[a,
      0])

5465. Int[((a_.) + ArcTan[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(p_.)*(x_)*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(q_.), x_Symbol] :> Simp[(d + e*x^2)^(
      q + 1)*((a + b*ArcTan[c*x])^p/(2*e*(q + 1))), x] - Simp[b*(p/(2*c*(q + 1)))   Int[(d + e*x^2)^q*(a + b*ArcTan[
      c*x])^(p - 1), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, q}, x] && EqQ[e, c^2*d] && GtQ[p, 0] && NeQ[q, -1]

5466. Int[((a_.) + ArcCot[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(p_.)*(x_)*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(q_.), x_Symbol] :> Simp[(d + e*x^2)^(
      q + 1)*((a + b*ArcCot[c*x])^p/(2*e*(q + 1))), x] + Simp[b*(p/(2*c*(q + 1)))   Int[(d + e*x^2)^q*(a + b*ArcCot[
      c*x])^(p - 1), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, q}, x] && EqQ[e, c^2*d] && GtQ[p, 0] && NeQ[q, -1]

5467. Int[(((a_.) + ArcTan[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(p_)*(x_))/((d_) + (e_.)*(x_)^2)^2, x_Symbol] :> Simp[x*((a + b*ArcTan
      [c*x])^(p + 1)/(b*c*d*(p + 1)*(d + e*x^2))), x] + (-Simp[(1 - c^2*x^2)*((a + b*ArcTan[c*x])^(p + 2)/(b^2*e*(p
      + 1)*(p + 2)*(d + e*x^2))), x] - Simp[4/(b^2*(p + 1)*(p + 2))   Int[x*((a + b*ArcTan[c*x])^(p + 2)/(d + e*x^2)
      ^2), x], x]) /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && EqQ[e, c^2*d] && LtQ[p, -1] && NeQ[p, -2]

5468. Int[(((a_.) + ArcCot[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(p_)*(x_))/((d_) + (e_.)*(x_)^2)^2, x_Symbol] :> Simp[(-x)*((a + b*Arc
      Cot[c*x])^(p + 1)/(b*c*d*(p + 1)*(d + e*x^2))), x] + (-Simp[(1 - c^2*x^2)*((a + b*ArcCot[c*x])^(p + 2)/(b^2*e*
      (p + 1)*(p + 2)*(d + e*x^2))), x] - Simp[4/(b^2*(p + 1)*(p + 2))   Int[x*((a + b*ArcCot[c*x])^(p + 2)/(d + e*x
      ^2)^2), x], x]) /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && EqQ[e, c^2*d] && LtQ[p, -1] && NeQ[p, -2]

5469. Int[((a_.) + ArcTan[(c_.)*(x_)]*(b_.))*(x_)^2*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(q_), x_Symbol] :> Simp[(-b)*((d + e*x^2)^
      (q + 1)/(4*c^3*d*(q + 1)^2)), x] + (Simp[x*(d + e*x^2)^(q + 1)*((a + b*ArcTan[c*x])/(2*c^2*d*(q + 1))), x] - S
      imp[1/(2*c^2*d*(q + 1))   Int[(d + e*x^2)^(q + 1)*(a + b*ArcTan[c*x]), x], x]) /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] &&
      EqQ[e, c^2*d] && LtQ[q, -1] && NeQ[q, -5/2]

5470. Int[((a_.) + ArcCot[(c_.)*(x_)]*(b_.))*(x_)^2*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(q_), x_Symbol] :> Simp[b*((d + e*x^2)^(q
      + 1)/(4*c^3*d*(q + 1)^2)), x] + (Simp[x*(d + e*x^2)^(q + 1)*((a + b*ArcCot[c*x])/(2*c^2*d*(q + 1))), x] - Simp
      [1/(2*c^2*d*(q + 1))   Int[(d + e*x^2)^(q + 1)*(a + b*ArcCot[c*x]), x], x]) /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && Eq
      Q[e, c^2*d] && LtQ[q, -1] && NeQ[q, -5/2]

5471. Int[(((a_.) + ArcTan[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(p_.)*(x_)^2)/((d_) + (e_.)*(x_)^2)^2, x_Symbol] :> Simp[(a + b*ArcTan
      [c*x])^(p + 1)/(2*b*c^3*d^2*(p + 1)), x] + (-Simp[x*((a + b*ArcTan[c*x])^p/(2*c^2*d*(d + e*x^2))), x] + Simp[b
      *(p/(2*c))   Int[x*((a + b*ArcTan[c*x])^(p - 1)/(d + e*x^2)^2), x], x]) /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && EqQ[e,
      c^2*d] && GtQ[p, 0]

5472. Int[(((a_.) + ArcCot[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(p_.)*(x_)^2)/((d_) + (e_.)*(x_)^2)^2, x_Symbol] :> Simp[-(a + b*ArcCo
      t[c*x])^(p + 1)/(2*b*c^3*d^2*(p + 1)), x] + (-Simp[x*((a + b*ArcCot[c*x])^p/(2*c^2*d*(d + e*x^2))), x] - Simp[
      b*(p/(2*c))   Int[x*((a + b*ArcCot[c*x])^(p - 1)/(d + e*x^2)^2), x], x]) /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && EqQ[e
      , c^2*d] && GtQ[p, 0]

5473. Int[((a_.) + ArcTan[(c_.)*(x_)]*(b_.))*((f_.)*(x_))^(m_)*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(q_), x_Symbol] :> Simp[b*(f*x)
      ^m*((d + e*x^2)^(q + 1)/(c*d*m^2)), x] + (-Simp[f*(f*x)^(m - 1)*(d + e*x^2)^(q + 1)*((a + b*ArcTan[c*x])/(c^2*
      d*m)), x] + Simp[f^2*((m - 1)/(c^2*d*m))   Int[(f*x)^(m - 2)*(d + e*x^2)^(q + 1)*(a + b*ArcTan[c*x]), x], x])
      /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && EqQ[e, c^2*d] && EqQ[m + 2*q + 2, 0] && LtQ[q, -1]

5474. Int[((a_.) + ArcCot[(c_.)*(x_)]*(b_.))*((f_.)*(x_))^(m_)*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(q_), x_Symbol] :> Simp[(-b)*(f
      *x)^m*((d + e*x^2)^(q + 1)/(c*d*m^2)), x] + (-Simp[f*(f*x)^(m - 1)*(d + e*x^2)^(q + 1)*((a + b*ArcCot[c*x])/(c
      ^2*d*m)), x] + Simp[f^2*((m - 1)/(c^2*d*m))   Int[(f*x)^(m - 2)*(d + e*x^2)^(q + 1)*(a + b*ArcCot[c*x]), x], x
      ]) /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && EqQ[e, c^2*d] && EqQ[m + 2*q + 2, 0] && LtQ[q, -1]

5475. Int[((a_.) + ArcTan[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(p_)*((f_.)*(x_))^(m_)*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(q_), x_Symbol] :> Simp[b*
      p*(f*x)^m*(d + e*x^2)^(q + 1)*((a + b*ArcTan[c*x])^(p - 1)/(c*d*m^2)), x] + (-Simp[f*(f*x)^(m - 1)*(d + e*x^2)
      ^(q + 1)*((a + b*ArcTan[c*x])^p/(c^2*d*m)), x] + Simp[f^2*((m - 1)/(c^2*d*m))   Int[(f*x)^(m - 2)*(d + e*x^2)^
      (q + 1)*(a + b*ArcTan[c*x])^p, x], x] - Simp[b^2*p*((p - 1)/m^2)   Int[(f*x)^m*(d + e*x^2)^q*(a + b*ArcTan[c*x
      ])^(p - 2), x], x]) /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m}, x] && EqQ[e, c^2*d] && EqQ[m + 2*q + 2, 0] && LtQ[q, -1] &
      & GtQ[p, 1]

5476. Int[((a_.) + ArcCot[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(p_)*((f_.)*(x_))^(m_)*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(q_), x_Symbol] :> Simp[(-
      b)*p*(f*x)^m*(d + e*x^2)^(q + 1)*((a + b*ArcCot[c*x])^(p - 1)/(c*d*m^2)), x] + (-Simp[f*(f*x)^(m - 1)*(d + e*x
      ^2)^(q + 1)*((a + b*ArcCot[c*x])^p/(c^2*d*m)), x] + Simp[f^2*((m - 1)/(c^2*d*m))   Int[(f*x)^(m - 2)*(d + e*x^
      2)^(q + 1)*(a + b*ArcCot[c*x])^p, x], x] - Simp[b^2*p*((p - 1)/m^2)   Int[(f*x)^m*(d + e*x^2)^q*(a + b*ArcCot[
      c*x])^(p - 2), x], x]) /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m}, x] && EqQ[e, c^2*d] && EqQ[m + 2*q + 2, 0] && LtQ[q, -1
      ] && GtQ[p, 1]

5477. Int[((a_.) + ArcTan[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(p_)*((f_.)*(x_))^(m_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(q_.), x_Symbol] :> Simp[
      (f*x)^m*(d + e*x^2)^(q + 1)*((a + b*ArcTan[c*x])^(p + 1)/(b*c*d*(p + 1))), x] - Simp[f*(m/(b*c*(p + 1)))   Int
      [(f*x)^(m - 1)*(d + e*x^2)^q*(a + b*ArcTan[c*x])^(p + 1), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m, q}, x] && EqQ[
      e, c^2*d] && EqQ[m + 2*q + 2, 0] && LtQ[p, -1]

5478. Int[((a_.) + ArcCot[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(p_)*((f_.)*(x_))^(m_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(q_.), x_Symbol] :> Simp[
      (-(f*x)^m)*(d + e*x^2)^(q + 1)*((a + b*ArcCot[c*x])^(p + 1)/(b*c*d*(p + 1))), x] + Simp[f*(m/(b*c*(p + 1)))
      Int[(f*x)^(m - 1)*(d + e*x^2)^q*(a + b*ArcCot[c*x])^(p + 1), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m, q}, x] && E
      qQ[e, c^2*d] && EqQ[m + 2*q + 2, 0] && LtQ[p, -1]

5479. Int[((a_.) + ArcTan[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(p_.)*((f_.)*(x_))^(m_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(q_.), x_Symbol] :> Simp
      [(f*x)^(m + 1)*(d + e*x^2)^(q + 1)*((a + b*ArcTan[c*x])^p/(d*f*(m + 1))), x] - Simp[b*c*(p/(f*(m + 1)))   Int[
      (f*x)^(m + 1)*(d + e*x^2)^q*(a + b*ArcTan[c*x])^(p - 1), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m, q}, x] && EqQ[e
      , c^2*d] && EqQ[m + 2*q + 3, 0] && GtQ[p, 0] && NeQ[m, -1]

5480. Int[((a_.) + ArcCot[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(p_.)*((f_.)*(x_))^(m_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(q_.), x_Symbol] :> Simp
      [(f*x)^(m + 1)*(d + e*x^2)^(q + 1)*((a + b*ArcCot[c*x])^p/(d*f*(m + 1))), x] + Simp[b*c*(p/(f*(m + 1)))   Int[
      (f*x)^(m + 1)*(d + e*x^2)^q*(a + b*ArcCot[c*x])^(p - 1), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m, q}, x] && EqQ[e
      , c^2*d] && EqQ[m + 2*q + 3, 0] && GtQ[p, 0] && NeQ[m, -1]

5481. Int[((a_.) + ArcTan[(c_.)*(x_)]*(b_.))*((f_.)*(x_))^(m_)*Sqrt[(d_) + (e_.)*(x_)^2], x_Symbol] :> Simp[(f*x)^(m
      + 1)*Sqrt[d + e*x^2]*((a + b*ArcTan[c*x])/(f*(m + 2))), x] + (Simp[d/(m + 2)   Int[(f*x)^m*((a + b*ArcTan[c*x
      ])/Sqrt[d + e*x^2]), x], x] - Simp[b*c*(d/(f*(m + 2)))   Int[(f*x)^(m + 1)/Sqrt[d + e*x^2], x], x]) /; FreeQ[{
      a, b, c, d, e, f, m}, x] && EqQ[e, c^2*d] && NeQ[m, -2]

5482. Int[((a_.) + ArcCot[(c_.)*(x_)]*(b_.))*((f_.)*(x_))^(m_)*Sqrt[(d_) + (e_.)*(x_)^2], x_Symbol] :> Simp[(f*x)^(m
      + 1)*Sqrt[d + e*x^2]*((a + b*ArcCot[c*x])/(f*(m + 2))), x] + (Simp[d/(m + 2)   Int[(f*x)^m*((a + b*ArcCot[c*x
      ])/Sqrt[d + e*x^2]), x], x] + Simp[b*c*(d/(f*(m + 2)))   Int[(f*x)^(m + 1)/Sqrt[d + e*x^2], x], x]) /; FreeQ[{
      a, b, c, d, e, f, m}, x] && EqQ[e, c^2*d] && NeQ[m, -2]

5483. Int[((a_.) + ArcTan[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(p_.)*((f_.)*(x_))^(m_)*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(q_), x_Symbol] :> Int[Ex
      pandIntegrand[(f*x)^m*(d + e*x^2)^q*(a + b*ArcTan[c*x])^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m}, x] && EqQ[e,
      c^2*d] && IGtQ[p, 0] && IGtQ[q, 1] && (EqQ[p, 1] || IntegerQ[m])

5484. Int[((a_.) + ArcCot[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(p_.)*((f_.)*(x_))^(m_)*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(q_), x_Symbol] :> Int[Ex
      pandIntegrand[(f*x)^m*(d + e*x^2)^q*(a + b*ArcCot[c*x])^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m}, x] && EqQ[e,
      c^2*d] && IGtQ[p, 0] && IGtQ[q, 1] && (EqQ[p, 1] || IntegerQ[m])

5485. Int[((a_.) + ArcTan[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(p_.)*((f_.)*(x_))^(m_)*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(q_.), x_Symbol] :> Simp[
      d   Int[(f*x)^m*(d + e*x^2)^(q - 1)*(a + b*ArcTan[c*x])^p, x], x] + Simp[c^2*(d/f^2)   Int[(f*x)^(m + 2)*(d +
      e*x^2)^(q - 1)*(a + b*ArcTan[c*x])^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m}, x] && EqQ[e, c^2*d] && GtQ[q, 0]
      && IGtQ[p, 0] && (RationalQ[m] || (EqQ[p, 1] && IntegerQ[q]))

5486. Int[((a_.) + ArcCot[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(p_.)*((f_.)*(x_))^(m_)*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(q_.), x_Symbol] :> Simp[
      d   Int[(f*x)^m*(d + e*x^2)^(q - 1)*(a + b*ArcCot[c*x])^p, x], x] + Simp[c^2*(d/f^2)   Int[(f*x)^(m + 2)*(d +
      e*x^2)^(q - 1)*(a + b*ArcCot[c*x])^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m}, x] && EqQ[e, c^2*d] && GtQ[q, 0]
      && IGtQ[p, 0] && (RationalQ[m] || (EqQ[p, 1] && IntegerQ[q]))

5487. Int[(((a_.) + ArcTan[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(p_.)*((f_.)*(x_))^(m_))/Sqrt[(d_) + (e_.)*(x_)^2], x_Symbol] :> Simp[
      f*(f*x)^(m - 1)*Sqrt[d + e*x^2]*((a + b*ArcTan[c*x])^p/(c^2*d*m)), x] + (-Simp[b*f*(p/(c*m))   Int[(f*x)^(m -
      1)*((a + b*ArcTan[c*x])^(p - 1)/Sqrt[d + e*x^2]), x], x] - Simp[f^2*((m - 1)/(c^2*m))   Int[(f*x)^(m - 2)*((a
      + b*ArcTan[c*x])^p/Sqrt[d + e*x^2]), x], x]) /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && EqQ[e, c^2*d] && GtQ[p, 0] &&
      GtQ[m, 1]

5488. Int[(((a_.) + ArcCot[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(p_.)*((f_.)*(x_))^(m_))/Sqrt[(d_) + (e_.)*(x_)^2], x_Symbol] :> Simp[
      f*(f*x)^(m - 1)*Sqrt[d + e*x^2]*((a + b*ArcCot[c*x])^p/(c^2*d*m)), x] + (Simp[b*f*(p/(c*m))   Int[(f*x)^(m - 1
      )*((a + b*ArcCot[c*x])^(p - 1)/Sqrt[d + e*x^2]), x], x] - Simp[f^2*((m - 1)/(c^2*m))   Int[(f*x)^(m - 2)*((a +
      b*ArcCot[c*x])^p/Sqrt[d + e*x^2]), x], x]) /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && EqQ[e, c^2*d] && GtQ[p, 0] && G
      tQ[m, 1]

5489. Int[((a_.) + ArcTan[(c_.)*(x_)]*(b_.))/((x_)*Sqrt[(d_) + (e_.)*(x_)^2]), x_Symbol] :> Simp[(-2/Sqrt[d])*(a + b
      *ArcTan[c*x])*ArcTanh[Sqrt[1 + I*c*x]/Sqrt[1 - I*c*x]], x] + (Simp[I*(b/Sqrt[d])*PolyLog[2, -Sqrt[1 + I*c*x]/S
      qrt[1 - I*c*x]], x] - Simp[I*(b/Sqrt[d])*PolyLog[2, Sqrt[1 + I*c*x]/Sqrt[1 - I*c*x]], x]) /; FreeQ[{a, b, c, d
      , e}, x] && EqQ[e, c^2*d] && GtQ[d, 0]

5490. Int[((a_.) + ArcCot[(c_.)*(x_)]*(b_.))/((x_)*Sqrt[(d_) + (e_.)*(x_)^2]), x_Symbol] :> Simp[(-2/Sqrt[d])*(a + b
      *ArcCot[c*x])*ArcTanh[Sqrt[1 + I*c*x]/Sqrt[1 - I*c*x]], x] + (-Simp[I*(b/Sqrt[d])*PolyLog[2, -Sqrt[1 + I*c*x]/
      Sqrt[1 - I*c*x]], x] + Simp[I*(b/Sqrt[d])*PolyLog[2, Sqrt[1 + I*c*x]/Sqrt[1 - I*c*x]], x]) /; FreeQ[{a, b, c,
      d, e}, x] && EqQ[e, c^2*d] && GtQ[d, 0]

5491. Int[((a_.) + ArcTan[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(p_)/((x_)*Sqrt[(d_) + (e_.)*(x_)^2]), x_Symbol] :> Simp[1/Sqrt[d]   Su
      bst[Int[(a + b*x)^p*Csc[x], x], x, ArcTan[c*x]], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && EqQ[e, c^2*d] && IGtQ[p, 0
      ] && GtQ[d, 0]

5492. Int[((a_.) + ArcCot[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(p_)/((x_)*Sqrt[(d_) + (e_.)*(x_)^2]), x_Symbol] :> Simp[(-c)*x*(Sqrt[1
      + 1/(c^2*x^2)]/Sqrt[d + e*x^2])   Subst[Int[(a + b*x)^p*Sec[x], x], x, ArcCot[c*x]], x] /; FreeQ[{a, b, c, d,
      e}, x] && EqQ[e, c^2*d] && IGtQ[p, 0] && GtQ[d, 0]

5493. Int[((a_.) + ArcTan[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(p_.)/((x_)*Sqrt[(d_) + (e_.)*(x_)^2]), x_Symbol] :> Simp[Sqrt[1 + c^2*
      x^2]/Sqrt[d + e*x^2]   Int[(a + b*ArcTan[c*x])^p/(x*Sqrt[1 + c^2*x^2]), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] &&
      EqQ[e, c^2*d] && IGtQ[p, 0] &&  !GtQ[d, 0]

5494. Int[((a_.) + ArcCot[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(p_.)/((x_)*Sqrt[(d_) + (e_.)*(x_)^2]), x_Symbol] :> Simp[Sqrt[1 + c^2*
      x^2]/Sqrt[d + e*x^2]   Int[(a + b*ArcCot[c*x])^p/(x*Sqrt[1 + c^2*x^2]), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] &&
      EqQ[e, c^2*d] && IGtQ[p, 0] &&  !GtQ[d, 0]

5495. Int[((a_.) + ArcTan[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(p_.)/((x_)^2*Sqrt[(d_) + (e_.)*(x_)^2]), x_Symbol] :> Simp[(-Sqrt[d +
      e*x^2])*((a + b*ArcTan[c*x])^p/(d*x)), x] + Simp[b*c*p   Int[(a + b*ArcTan[c*x])^(p - 1)/(x*Sqrt[d + e*x^2]),
      x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && EqQ[e, c^2*d] && GtQ[p, 0]

5496. Int[((a_.) + ArcCot[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(p_.)/((x_)^2*Sqrt[(d_) + (e_.)*(x_)^2]), x_Symbol] :> Simp[(-Sqrt[d +
      e*x^2])*((a + b*ArcCot[c*x])^p/(d*x)), x] - Simp[b*c*p   Int[(a + b*ArcCot[c*x])^(p - 1)/(x*Sqrt[d + e*x^2]),
      x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && EqQ[e, c^2*d] && GtQ[p, 0]

5497. Int[(((a_.) + ArcTan[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(p_.)*((f_.)*(x_))^(m_))/Sqrt[(d_) + (e_.)*(x_)^2], x_Symbol] :> Simp[
      (f*x)^(m + 1)*Sqrt[d + e*x^2]*((a + b*ArcTan[c*x])^p/(d*f*(m + 1))), x] + (-Simp[b*c*(p/(f*(m + 1)))   Int[(f*
      x)^(m + 1)*((a + b*ArcTan[c*x])^(p - 1)/Sqrt[d + e*x^2]), x], x] - Simp[c^2*((m + 2)/(f^2*(m + 1)))   Int[(f*x
      )^(m + 2)*((a + b*ArcTan[c*x])^p/Sqrt[d + e*x^2]), x], x]) /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && EqQ[e, c^2*d] &&
      GtQ[p, 0] && LtQ[m, -1] && NeQ[m, -2]

5498. Int[(((a_.) + ArcCot[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(p_.)*((f_.)*(x_))^(m_))/Sqrt[(d_) + (e_.)*(x_)^2], x_Symbol] :> Simp[
      (f*x)^(m + 1)*Sqrt[d + e*x^2]*((a + b*ArcCot[c*x])^p/(d*f*(m + 1))), x] + (Simp[b*c*(p/(f*(m + 1)))   Int[(f*x
      )^(m + 1)*((a + b*ArcCot[c*x])^(p - 1)/Sqrt[d + e*x^2]), x], x] - Simp[c^2*((m + 2)/(f^2*(m + 1)))   Int[(f*x)
      ^(m + 2)*((a + b*ArcCot[c*x])^p/Sqrt[d + e*x^2]), x], x]) /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && EqQ[e, c^2*d] &&
      GtQ[p, 0] && LtQ[m, -1] && NeQ[m, -2]

5499. Int[((a_.) + ArcTan[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(p_.)*(x_)^(m_)*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(q_), x_Symbol] :> Simp[1/e   Int
      [x^(m - 2)*(d + e*x^2)^(q + 1)*(a + b*ArcTan[c*x])^p, x], x] - Simp[d/e   Int[x^(m - 2)*(d + e*x^2)^q*(a + b*A
      rcTan[c*x])^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && EqQ[e, c^2*d] && IntegersQ[p, 2*q] && LtQ[q, -1] && IGtQ
      [m, 1] && NeQ[p, -1]

5500. Int[((a_.) + ArcCot[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(p_.)*(x_)^(m_)*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(q_), x_Symbol] :> Simp[1/e   Int
      [x^(m - 2)*(d + e*x^2)^(q + 1)*(a + b*ArcCot[c*x])^p, x], x] - Simp[d/e   Int[x^(m - 2)*(d + e*x^2)^q*(a + b*A
      rcCot[c*x])^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && EqQ[e, c^2*d] && IntegersQ[p, 2*q] && LtQ[q, -1] && IGtQ
      [m, 1] && NeQ[p, -1]

5501. Int[((a_.) + ArcTan[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(p_.)*(x_)^(m_)*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(q_), x_Symbol] :> Simp[1/d   Int
      [x^m*(d + e*x^2)^(q + 1)*(a + b*ArcTan[c*x])^p, x], x] - Simp[e/d   Int[x^(m + 2)*(d + e*x^2)^q*(a + b*ArcTan[
      c*x])^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && EqQ[e, c^2*d] && IntegersQ[p, 2*q] && LtQ[q, -1] && ILtQ[m, 0]
      && NeQ[p, -1]

5502. Int[((a_.) + ArcCot[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(p_.)*(x_)^(m_)*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(q_), x_Symbol] :> Simp[1/d   Int
      [x^m*(d + e*x^2)^(q + 1)*(a + b*ArcCot[c*x])^p, x], x] - Simp[e/d   Int[x^(m + 2)*(d + e*x^2)^q*(a + b*ArcCot[
      c*x])^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && EqQ[e, c^2*d] && IntegersQ[p, 2*q] && LtQ[q, -1] && ILtQ[m, 0]
      && NeQ[p, -1]

5503. Int[((a_.) + ArcTan[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(p_.)*(x_)^(m_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(q_), x_Symbol] :> Simp[x^m*(d +
      e*x^2)^(q + 1)*((a + b*ArcTan[c*x])^(p + 1)/(b*c*d*(p + 1))), x] + (-Simp[c*((m + 2*q + 2)/(b*(p + 1)))   Int
      [x^(m + 1)*(d + e*x^2)^q*(a + b*ArcTan[c*x])^(p + 1), x], x] - Simp[m/(b*c*(p + 1))   Int[x^(m - 1)*(d + e*x^2
      )^q*(a + b*ArcTan[c*x])^(p + 1), x], x]) /; FreeQ[{a, b, c, d, e, m}, x] && EqQ[e, c^2*d] && IntegerQ[m] && Lt
      Q[q, -1] && LtQ[p, -1] && NeQ[m + 2*q + 2, 0]

5504. Int[((a_.) + ArcCot[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(p_.)*(x_)^(m_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(q_), x_Symbol] :> Simp[(-x^m)*(
      d + e*x^2)^(q + 1)*((a + b*ArcCot[c*x])^(p + 1)/(b*c*d*(p + 1))), x] + (Simp[c*((m + 2*q + 2)/(b*(p + 1)))   I
      nt[x^(m + 1)*(d + e*x^2)^q*(a + b*ArcCot[c*x])^(p + 1), x], x] + Simp[m/(b*c*(p + 1))   Int[x^(m - 1)*(d + e*x
      ^2)^q*(a + b*ArcCot[c*x])^(p + 1), x], x]) /; FreeQ[{a, b, c, d, e, m}, x] && EqQ[e, c^2*d] && IntegerQ[m] &&
      LtQ[q, -1] && LtQ[p, -1] && NeQ[m + 2*q + 2, 0]

5505. Int[((a_.) + ArcTan[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(p_.)*(x_)^(m_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(q_), x_Symbol] :> Simp[d^q/c^(m
      + 1)   Subst[Int[(a + b*x)^p*(Sin[x]^m/Cos[x]^(m + 2*(q + 1))), x], x, ArcTan[c*x]], x] /; FreeQ[{a, b, c, d,
      e, p}, x] && EqQ[e, c^2*d] && IGtQ[m, 0] && ILtQ[m + 2*q + 1, 0] && (IntegerQ[q] || GtQ[d, 0])

5506. Int[((a_.) + ArcTan[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(p_.)*(x_)^(m_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(q_), x_Symbol] :> Simp[d^(q + 1
      /2)*(Sqrt[1 + c^2*x^2]/Sqrt[d + e*x^2])   Int[x^m*(1 + c^2*x^2)^q*(a + b*ArcTan[c*x])^p, x], x] /; FreeQ[{a, b
      , c, d, e, p}, x] && EqQ[e, c^2*d] && IGtQ[m, 0] && ILtQ[m + 2*q + 1, 0] &&  !(IntegerQ[q] || GtQ[d, 0])

5507. Int[((a_.) + ArcCot[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(p_.)*(x_)^(m_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(q_), x_Symbol] :> Simp[-d^q/c^(
      m + 1)   Subst[Int[(a + b*x)^p*(Cos[x]^m/Sin[x]^(m + 2*(q + 1))), x], x, ArcCot[c*x]], x] /; FreeQ[{a, b, c, d
      , e, p}, x] && EqQ[e, c^2*d] && IGtQ[m, 0] && ILtQ[m + 2*q + 1, 0] && IntegerQ[q]

5508. Int[((a_.) + ArcCot[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(p_.)*(x_)^(m_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(q_), x_Symbol] :> Simp[(-d^(q +
      1/2))*x*(Sqrt[(1 + c^2*x^2)/(c^2*x^2)]/(c^m*Sqrt[d + e*x^2]))   Subst[Int[(a + b*x)^p*(Cos[x]^m/Sin[x]^(m + 2
      *(q + 1))), x], x, ArcCot[c*x]], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, p}, x] && EqQ[e, c^2*d] && IGtQ[m, 0] && ILtQ[m +
      2*q + 1, 0] &&  !IntegerQ[q]

5509. Int[((a_.) + ArcTan[(c_.)*(x_)]*(b_.))*(x_)*((d_.) + (e_.)*(x_)^2)^(q_.), x_Symbol] :> Simp[(d + e*x^2)^(q + 1
      )*((a + b*ArcTan[c*x])/(2*e*(q + 1))), x] - Simp[b*(c/(2*e*(q + 1)))   Int[(d + e*x^2)^(q + 1)/(1 + c^2*x^2),
      x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, q}, x] && NeQ[q, -1]

5510. Int[((a_.) + ArcCot[(c_.)*(x_)]*(b_.))*(x_)*((d_.) + (e_.)*(x_)^2)^(q_.), x_Symbol] :> Simp[(d + e*x^2)^(q + 1
      )*((a + b*ArcCot[c*x])/(2*e*(q + 1))), x] + Simp[b*(c/(2*e*(q + 1)))   Int[(d + e*x^2)^(q + 1)/(1 + c^2*x^2),
      x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, q}, x] && NeQ[q, -1]

5511. Int[((a_.) + ArcTan[(c_.)*(x_)]*(b_.))*((f_.)*(x_))^(m_.)*((d_.) + (e_.)*(x_)^2)^(q_.), x_Symbol] :> With[{u =
      IntHide[(f*x)^m*(d + e*x^2)^q, x]}, Simp[(a + b*ArcTan[c*x])   u, x] - Simp[b*c   Int[SimplifyIntegrand[u/(1
      + c^2*x^2), x], x], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m, q}, x] && ((IGtQ[q, 0] &&  !(ILtQ[(m - 1)/2, 0] && GtQ[
      m + 2*q + 3, 0])) || (IGtQ[(m + 1)/2, 0] &&  !(ILtQ[q, 0] && GtQ[m + 2*q + 3, 0])) || (ILtQ[(m + 2*q + 1)/2, 0
      ] &&  !ILtQ[(m - 1)/2, 0]))

5512. Int[((a_.) + ArcCot[(c_.)*(x_)]*(b_.))*((f_.)*(x_))^(m_.)*((d_.) + (e_.)*(x_)^2)^(q_.), x_Symbol] :> With[{u =
      IntHide[(f*x)^m*(d + e*x^2)^q, x]}, Simp[(a + b*ArcCot[c*x])   u, x] + Simp[b*c   Int[SimplifyIntegrand[u/(1
      + c^2*x^2), x], x], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m, q}, x] && ((IGtQ[q, 0] &&  !(ILtQ[(m - 1)/2, 0] && GtQ[
      m + 2*q + 3, 0])) || (IGtQ[(m + 1)/2, 0] &&  !(ILtQ[q, 0] && GtQ[m + 2*q + 3, 0])) || (ILtQ[(m + 2*q + 1)/2, 0
      ] &&  !ILtQ[(m - 1)/2, 0]))

5513. Int[(((a_.) + ArcTan[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(p_.)*(x_))/((d_) + (e_.)*(x_)^2)^2, x_Symbol] :> Simp[1/(4*d^2*Rt[-e/
      d, 2])   Int[(a + b*ArcTan[c*x])^p/(1 - Rt[-e/d, 2]*x)^2, x], x] - Simp[1/(4*d^2*Rt[-e/d, 2])   Int[(a + b*Arc
      Tan[c*x])^p/(1 + Rt[-e/d, 2]*x)^2, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && IGtQ[p, 0]

5514. Int[(((a_.) + ArcCot[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(p_.)*(x_))/((d_) + (e_.)*(x_)^2)^2, x_Symbol] :> Simp[1/(4*d^2*Rt[-e/
      d, 2])   Int[(a + b*ArcCot[c*x])^p/(1 - Rt[-e/d, 2]*x)^2, x], x] - Simp[1/(4*d^2*Rt[-e/d, 2])   Int[(a + b*Arc
      Cot[c*x])^p/(1 + Rt[-e/d, 2]*x)^2, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && IGtQ[p, 0]

5515. Int[((a_.) + ArcTan[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(p_.)*((f_.)*(x_))^(m_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(q_.), x_Symbol] :> With
      [{u = ExpandIntegrand[(a + b*ArcTan[c*x])^p, (f*x)^m*(d + e*x^2)^q, x]}, Int[u, x] /; SumQ[u]] /; FreeQ[{a, b,
      c, d, e, f, m}, x] && IntegerQ[q] && IGtQ[p, 0] && ((EqQ[p, 1] && GtQ[q, 0]) || IntegerQ[m])

5516. Int[((a_.) + ArcCot[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(p_.)*((f_.)*(x_))^(m_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(q_.), x_Symbol] :> With
      [{u = ExpandIntegrand[(a + b*ArcCot[c*x])^p, (f*x)^m*(d + e*x^2)^q, x]}, Int[u, x] /; SumQ[u]] /; FreeQ[{a, b,
      c, d, e, f, m}, x] && IntegerQ[q] && IGtQ[p, 0] && ((EqQ[p, 1] && GtQ[q, 0]) || IntegerQ[m])

5517. Int[(ArcTan[(c_.)*(x_)]*(b_.) + (a_))*((f_.)*(x_))^(m_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(q_.), x_Symbol] :> Simp[a   In
      t[(f*x)^m*(d + e*x^2)^q, x], x] + Simp[b   Int[(f*x)^m*(d + e*x^2)^q*ArcTan[c*x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d,
      e, f, m, q}, x]

5518. Int[(ArcCot[(c_.)*(x_)]*(b_.) + (a_))*((f_.)*(x_))^(m_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(q_.), x_Symbol] :> Simp[a   In
      t[(f*x)^m*(d + e*x^2)^q, x], x] + Simp[b   Int[(f*x)^m*(d + e*x^2)^q*ArcCot[c*x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d,
      e, f, m, q}, x]

5519. Int[(((a_.) + ArcTan[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(p_.)*((f_) + (g_.)*(x_))^(m_.))/((d_) + (e_.)*(x_)^2), x_Symbol] :> I
      nt[ExpandIntegrand[(a + b*ArcTan[c*x])^p/(d + e*x^2), (f + g*x)^m, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g}, x] &
      & IGtQ[p, 0] && EqQ[e, c^2*d] && IGtQ[m, 0]

5520. Int[(((a_.) + ArcCot[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(p_.)*((f_) + (g_.)*(x_))^(m_.))/((d_) + (e_.)*(x_)^2), x_Symbol] :> I
      nt[ExpandIntegrand[(a + b*ArcCot[c*x])^p/(d + e*x^2), (f + g*x)^m, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g}, x] &
      & IGtQ[p, 0] && EqQ[e, c^2*d] && IGtQ[m, 0]

5521. Int[(ArcTanh[u_]*((a_.) + ArcTan[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(p_.))/((d_) + (e_.)*(x_)^2), x_Symbol] :> Simp[1/2   Int[
      Log[1 + u]*((a + b*ArcTan[c*x])^p/(d + e*x^2)), x], x] - Simp[1/2   Int[Log[1 - u]*((a + b*ArcTan[c*x])^p/(d +
      e*x^2)), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && IGtQ[p, 0] && EqQ[e, c^2*d] && EqQ[u^2 - (1 - 2*(I/(I + c*x))
      )^2, 0]

5522. Int[(ArcCoth[u_]*((a_.) + ArcCot[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(p_.))/((d_) + (e_.)*(x_)^2), x_Symbol] :> Simp[1/2   Int[
      Log[SimplifyIntegrand[1 + 1/u, x]]*((a + b*ArcCot[c*x])^p/(d + e*x^2)), x], x] - Simp[1/2   Int[Log[SimplifyIn
      tegrand[1 - 1/u, x]]*((a + b*ArcCot[c*x])^p/(d + e*x^2)), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && IGtQ[p, 0] &&
      EqQ[e, c^2*d] && EqQ[u^2 - (1 - 2*(I/(I + c*x)))^2, 0]

5523. Int[(ArcTanh[u_]*((a_.) + ArcTan[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(p_.))/((d_) + (e_.)*(x_)^2), x_Symbol] :> Simp[1/2   Int[
      Log[1 + u]*((a + b*ArcTan[c*x])^p/(d + e*x^2)), x], x] - Simp[1/2   Int[Log[1 - u]*((a + b*ArcTan[c*x])^p/(d +
      e*x^2)), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && IGtQ[p, 0] && EqQ[e, c^2*d] && EqQ[u^2 - (1 - 2*(I/(I - c*x))
      )^2, 0]

5524. Int[(ArcCoth[u_]*((a_.) + ArcCot[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(p_.))/((d_) + (e_.)*(x_)^2), x_Symbol] :> Simp[1/2   Int[
      Log[SimplifyIntegrand[1 + 1/u, x]]*((a + b*ArcCot[c*x])^p/(d + e*x^2)), x], x] - Simp[1/2   Int[Log[SimplifyIn
      tegrand[1 - 1/u, x]]*((a + b*ArcCot[c*x])^p/(d + e*x^2)), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && IGtQ[p, 0] &&
      EqQ[e, c^2*d] && EqQ[u^2 - (1 - 2*(I/(I - c*x)))^2, 0]

5525. Int[(Log[(f_) + (g_.)*(x_)]*((a_.) + ArcTan[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(p_.))/((d_) + (e_.)*(x_)^2), x_Symbol] :> Simp
      [(a + b*ArcTan[c*x])^(p + 1)*(Log[f + g*x]/(b*c*d*(p + 1))), x] - Simp[g/(b*c*d*(p + 1))   Int[(a + b*ArcTan[c
      *x])^(p + 1)/(f + g*x), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g}, x] && IGtQ[p, 0] && EqQ[e, c^2*d] && EqQ[c^2*f^
      2 + g^2, 0]

5526. Int[(Log[(f_) + (g_.)*(x_)]*((a_.) + ArcCot[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(p_.))/((d_) + (e_.)*(x_)^2), x_Symbol] :> Simp
      [(a + b*ArcCot[c*x])^(p + 1)*(Log[f + g*x]/(b*c*d*(p + 1))), x] - Simp[g/(b*c*d*(p + 1))   Int[(a + b*ArcCot[c
      *x])^(p + 1)/(f + g*x), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g}, x] && IGtQ[p, 0] && EqQ[e, c^2*d] && EqQ[c^2*f^
      2 + g^2, 0]

5527. Int[(Log[u_]*((a_.) + ArcTan[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(p_.))/((d_) + (e_.)*(x_)^2), x_Symbol] :> Simp[I*(a + b*ArcTa
      n[c*x])^p*(PolyLog[2, 1 - u]/(2*c*d)), x] - Simp[b*p*(I/2)   Int[(a + b*ArcTan[c*x])^(p - 1)*(PolyLog[2, 1 - u
      ]/(d + e*x^2)), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && IGtQ[p, 0] && EqQ[e, c^2*d] && EqQ[(1 - u)^2 - (1 - 2*(
      I/(I + c*x)))^2, 0]

5528. Int[(Log[u_]*((a_.) + ArcCot[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(p_.))/((d_) + (e_.)*(x_)^2), x_Symbol] :> Simp[I*(a + b*ArcCo
      t[c*x])^p*(PolyLog[2, 1 - u]/(2*c*d)), x] + Simp[b*p*(I/2)   Int[(a + b*ArcCot[c*x])^(p - 1)*(PolyLog[2, 1 - u
      ]/(d + e*x^2)), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && IGtQ[p, 0] && EqQ[e, c^2*d] && EqQ[(1 - u)^2 - (1 - 2*(
      I/(I + c*x)))^2, 0]

5529. Int[(Log[u_]*((a_.) + ArcTan[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(p_.))/((d_) + (e_.)*(x_)^2), x_Symbol] :> Simp[(-I)*(a + b*Ar
      cTan[c*x])^p*(PolyLog[2, 1 - u]/(2*c*d)), x] + Simp[b*p*(I/2)   Int[(a + b*ArcTan[c*x])^(p - 1)*(PolyLog[2, 1
      - u]/(d + e*x^2)), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && IGtQ[p, 0] && EqQ[e, c^2*d] && EqQ[(1 - u)^2 - (1 -
      2*(I/(I - c*x)))^2, 0]

5530. Int[(Log[u_]*((a_.) + ArcCot[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(p_.))/((d_) + (e_.)*(x_)^2), x_Symbol] :> Simp[(-I)*(a + b*Ar
      cCot[c*x])^p*(PolyLog[2, 1 - u]/(2*c*d)), x] - Simp[b*p*(I/2)   Int[(a + b*ArcCot[c*x])^(p - 1)*(PolyLog[2, 1
      - u]/(d + e*x^2)), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && IGtQ[p, 0] && EqQ[e, c^2*d] && EqQ[(1 - u)^2 - (1 -
      2*(I/(I - c*x)))^2, 0]

5531. Int[(((a_.) + ArcTan[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(p_.)*PolyLog[k_, u_])/((d_) + (e_.)*(x_)^2), x_Symbol] :> Simp[(-I)*(
      a + b*ArcTan[c*x])^p*(PolyLog[k + 1, u]/(2*c*d)), x] + Simp[b*p*(I/2)   Int[(a + b*ArcTan[c*x])^(p - 1)*(PolyL
      og[k + 1, u]/(d + e*x^2)), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, k}, x] && IGtQ[p, 0] && EqQ[e, c^2*d] && EqQ[u^2 -
      (1 - 2*(I/(I + c*x)))^2, 0]

5532. Int[(((a_.) + ArcCot[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(p_.)*PolyLog[k_, u_])/((d_) + (e_.)*(x_)^2), x_Symbol] :> Simp[(-I)*(
      a + b*ArcCot[c*x])^p*(PolyLog[k + 1, u]/(2*c*d)), x] - Simp[b*p*(I/2)   Int[(a + b*ArcCot[c*x])^(p - 1)*(PolyL
      og[k + 1, u]/(d + e*x^2)), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, k}, x] && IGtQ[p, 0] && EqQ[e, c^2*d] && EqQ[u^2 -
      (1 - 2*(I/(I + c*x)))^2, 0]

5533. Int[(((a_.) + ArcTan[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(p_.)*PolyLog[k_, u_])/((d_) + (e_.)*(x_)^2), x_Symbol] :> Simp[I*(a +
      b*ArcTan[c*x])^p*(PolyLog[k + 1, u]/(2*c*d)), x] - Simp[b*p*(I/2)   Int[(a + b*ArcTan[c*x])^(p - 1)*(PolyLog[
      k + 1, u]/(d + e*x^2)), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, k}, x] && IGtQ[p, 0] && EqQ[e, c^2*d] && EqQ[u^2 - (1
      - 2*(I/(I - c*x)))^2, 0]

5534. Int[(((a_.) + ArcCot[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(p_.)*PolyLog[k_, u_])/((d_) + (e_.)*(x_)^2), x_Symbol] :> Simp[I*(a +
      b*ArcCot[c*x])^p*(PolyLog[k + 1, u]/(2*c*d)), x] + Simp[b*p*(I/2)   Int[(a + b*ArcCot[c*x])^(p - 1)*(PolyLog[
      k + 1, u]/(d + e*x^2)), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, k}, x] && IGtQ[p, 0] && EqQ[e, c^2*d] && EqQ[u^2 - (1
      - 2*(I/(I - c*x)))^2, 0]

5535. Int[1/(((a_.) + ArcCot[(c_.)*(x_)]*(b_.))*((a_.) + ArcTan[(c_.)*(x_)]*(b_.))*((d_) + (e_.)*(x_)^2)), x_Symbol]
      :> Simp[(-Log[a + b*ArcCot[c*x]] + Log[a + b*ArcTan[c*x]])/(b*c*d*(2*a + b*ArcCot[c*x] + b*ArcTan[c*x])), x]
      /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && EqQ[e, c^2*d]

5536. Int[(((a_.) + ArcCot[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(q_.)*((a_.) + ArcTan[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(p_.))/((d_) + (e_.)*(x_)^2),
      x_Symbol] :> Simp[(-(a + b*ArcCot[c*x])^(q + 1))*((a + b*ArcTan[c*x])^p/(b*c*d*(q + 1))), x] + Simp[p/(q + 1)
      Int[(a + b*ArcCot[c*x])^(q + 1)*((a + b*ArcTan[c*x])^(p - 1)/(d + e*x^2)), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e},
      x] && EqQ[e, c^2*d] && IGtQ[p, 0] && IGeQ[q, p]

5537. Int[(((a_.) + ArcCot[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(p_.)*((a_.) + ArcTan[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(q_.))/((d_) + (e_.)*(x_)^2),
      x_Symbol] :> Simp[(a + b*ArcTan[c*x])^(q + 1)*((a + b*ArcCot[c*x])^p/(b*c*d*(q + 1))), x] + Simp[p/(q + 1)
      Int[(a + b*ArcTan[c*x])^(q + 1)*((a + b*ArcCot[c*x])^(p - 1)/(d + e*x^2)), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x]
      && EqQ[e, c^2*d] && IGtQ[p, 0] && IGeQ[q, p]

5538. Int[ArcTan[(a_.)*(x_)]/((c_) + (d_.)*(x_)^(n_.)), x_Symbol] :> Simp[I/2   Int[Log[1 - I*a*x]/(c + d*x^n), x],
      x] - Simp[I/2   Int[Log[1 + I*a*x]/(c + d*x^n), x], x] /; FreeQ[{a, c, d}, x] && IntegerQ[n] &&  !(EqQ[n, 2] &
      & EqQ[d, a^2*c])

5539. Int[ArcCot[(a_.)*(x_)]/((c_) + (d_.)*(x_)^(n_.)), x_Symbol] :> Simp[I/2   Int[Log[1 - I/(a*x)]/(c + d*x^n), x]
      , x] - Simp[I/2   Int[Log[1 + I/(a*x)]/(c + d*x^n), x], x] /; FreeQ[{a, c, d}, x] && IntegerQ[n] &&  !(EqQ[n,
      2] && EqQ[d, a^2*c])

5540. Int[(ArcTan[(c_.)*(x_)^(n_.)]*Log[(d_.)*(x_)^(m_.)])/(x_), x_Symbol] :> Simp[I/2   Int[Log[d*x^m]*(Log[1 - I*c
      *x^n]/x), x], x] - Simp[I/2   Int[Log[d*x^m]*(Log[1 + I*c*x^n]/x), x], x] /; FreeQ[{c, d, m, n}, x]

5541. Int[(ArcCot[(c_.)*(x_)^(n_.)]*Log[(d_.)*(x_)^(m_.)])/(x_), x_Symbol] :> Simp[I/2   Int[Log[d*x^m]*(Log[1 - I/(
      c*x^n)]/x), x], x] - Simp[I/2   Int[Log[d*x^m]*(Log[1 + I/(c*x^n)]/x), x], x] /; FreeQ[{c, d, m, n}, x]

5542. Int[(Log[(d_.)*(x_)^(m_.)]*(ArcTan[(c_.)*(x_)^(n_.)]*(b_.) + (a_)))/(x_), x_Symbol] :> Simp[a   Int[Log[d*x^m]
      /x, x], x] + Simp[b   Int[(Log[d*x^m]*ArcTan[c*x^n])/x, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, m, n}, x]

5543. Int[(Log[(d_.)*(x_)^(m_.)]*(ArcCot[(c_.)*(x_)^(n_.)]*(b_.) + (a_)))/(x_), x_Symbol] :> Simp[a   Int[Log[d*x^m]
      /x, x], x] + Simp[b   Int[(Log[d*x^m]*ArcCot[c*x^n])/x, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, m, n}, x]

5544. Int[((a_.) + ArcTan[(c_.)*(x_)]*(b_.))*((d_.) + Log[(f_.) + (g_.)*(x_)^2]*(e_.)), x_Symbol] :> Simp[x*(d + e*L
      og[f + g*x^2])*(a + b*ArcTan[c*x]), x] + (-Simp[b*c   Int[x*((d + e*Log[f + g*x^2])/(1 + c^2*x^2)), x], x] - S
      imp[2*e*g   Int[x^2*((a + b*ArcTan[c*x])/(f + g*x^2)), x], x]) /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g}, x]

5545. Int[((a_.) + ArcCot[(c_.)*(x_)]*(b_.))*((d_.) + Log[(f_.) + (g_.)*(x_)^2]*(e_.)), x_Symbol] :> Simp[x*(d + e*L
      og[f + g*x^2])*(a + b*ArcCot[c*x]), x] + (Simp[b*c   Int[x*((d + e*Log[f + g*x^2])/(1 + c^2*x^2)), x], x] - Si
      mp[2*e*g   Int[x^2*((a + b*ArcCot[c*x])/(f + g*x^2)), x], x]) /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g}, x]

5546. Int[(ArcTan[(c_.)*(x_)]*Log[(f_.) + (g_.)*(x_)^2])/(x_), x_Symbol] :> Simp[(Log[f + g*x^2] - Log[1 - I*c*x] -
      Log[1 + I*c*x])   Int[ArcTan[c*x]/x, x], x] + (Simp[I/2   Int[Log[1 - I*c*x]^2/x, x], x] - Simp[I/2   Int[Log[
      1 + I*c*x]^2/x, x], x]) /; FreeQ[{c, f, g}, x] && EqQ[g, c^2*f]

5547. Int[(ArcCot[(c_.)*(x_)]*Log[(f_.) + (g_.)*(x_)^2])/(x_), x_Symbol] :> Simp[(Log[f + g*x^2] - Log[c^2*x^2] - Lo
      g[1 - I/(c*x)] - Log[1 + I/(c*x)])   Int[ArcCot[c*x]/x, x], x] + (Int[Log[c^2*x^2]*(ArcCot[c*x]/x), x] - Simp[
      I/2   Int[Log[1 + I/(c*x)]^2/x, x], x] + Simp[I/2   Int[Log[1 - I/(c*x)]^2/x, x], x]) /; FreeQ[{c, f, g}, x] &
      & EqQ[g, c^2*f]

5548. Int[(Log[(f_.) + (g_.)*(x_)^2]*(ArcTan[(c_.)*(x_)]*(b_.) + (a_)))/(x_), x_Symbol] :> Simp[a   Int[Log[f + g*x^
      2]/x, x], x] + Simp[b   Int[Log[f + g*x^2]*(ArcTan[c*x]/x), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, f, g}, x]

5549. Int[(Log[(f_.) + (g_.)*(x_)^2]*(ArcCot[(c_.)*(x_)]*(b_.) + (a_)))/(x_), x_Symbol] :> Simp[a   Int[Log[f + g*x^
      2]/x, x], x] + Simp[b   Int[Log[f + g*x^2]*(ArcCot[c*x]/x), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, f, g}, x]

5550. Int[(((a_.) + ArcTan[(c_.)*(x_)]*(b_.))*(Log[(f_.) + (g_.)*(x_)^2]*(e_.) + (d_)))/(x_), x_Symbol] :> Simp[d
      Int[(a + b*ArcTan[c*x])/x, x], x] + Simp[e   Int[Log[f + g*x^2]*((a + b*ArcTan[c*x])/x), x], x] /; FreeQ[{a, b
      , c, d, e, f, g}, x]

5551. Int[(((a_.) + ArcCot[(c_.)*(x_)]*(b_.))*(Log[(f_.) + (g_.)*(x_)^2]*(e_.) + (d_)))/(x_), x_Symbol] :> Simp[d
      Int[(a + b*ArcCot[c*x])/x, x], x] + Simp[e   Int[Log[f + g*x^2]*((a + b*ArcCot[c*x])/x), x], x] /; FreeQ[{a, b
      , c, d, e, f, g}, x]

5552. Int[((a_.) + ArcTan[(c_.)*(x_)]*(b_.))*((d_.) + Log[(f_.) + (g_.)*(x_)^2]*(e_.))*(x_)^(m_.), x_Symbol] :> Simp
      [x^(m + 1)*(d + e*Log[f + g*x^2])*((a + b*ArcTan[c*x])/(m + 1)), x] + (-Simp[b*(c/(m + 1))   Int[x^(m + 1)*((d
      + e*Log[f + g*x^2])/(1 + c^2*x^2)), x], x] - Simp[2*e*(g/(m + 1))   Int[x^(m + 2)*((a + b*ArcTan[c*x])/(f + g
      *x^2)), x], x]) /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g}, x] && ILtQ[m/2, 0]

5553. Int[((a_.) + ArcCot[(c_.)*(x_)]*(b_.))*((d_.) + Log[(f_.) + (g_.)*(x_)^2]*(e_.))*(x_)^(m_.), x_Symbol] :> Simp
      [x^(m + 1)*(d + e*Log[f + g*x^2])*((a + b*ArcCot[c*x])/(m + 1)), x] + (Simp[b*(c/(m + 1))   Int[x^(m + 1)*((d
      + e*Log[f + g*x^2])/(1 + c^2*x^2)), x], x] - Simp[2*e*(g/(m + 1))   Int[x^(m + 2)*((a + b*ArcCot[c*x])/(f + g*
      x^2)), x], x]) /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g}, x] && ILtQ[m/2, 0]

5554. Int[((a_.) + ArcTan[(c_.)*(x_)]*(b_.))*((d_.) + Log[(f_.) + (g_.)*(x_)^2]*(e_.))*(x_)^(m_.), x_Symbol] :> With
      [{u = IntHide[x^m*(d + e*Log[f + g*x^2]), x]}, Simp[(a + b*ArcTan[c*x])   u, x] - Simp[b*c   Int[ExpandIntegra
      nd[u/(1 + c^2*x^2), x], x], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g}, x] && IGtQ[(m + 1)/2, 0]

5555. Int[((a_.) + ArcCot[(c_.)*(x_)]*(b_.))*((d_.) + Log[(f_.) + (g_.)*(x_)^2]*(e_.))*(x_)^(m_.), x_Symbol] :> With
      [{u = IntHide[x^m*(d + e*Log[f + g*x^2]), x]}, Simp[(a + b*ArcCot[c*x])   u, x] + Simp[b*c   Int[ExpandIntegra
      nd[u/(1 + c^2*x^2), x], x], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g}, x] && IGtQ[(m + 1)/2, 0]

5556. Int[((a_.) + ArcTan[(c_.)*(x_)]*(b_.))*((d_.) + Log[(f_.) + (g_.)*(x_)^2]*(e_.))*(x_)^(m_.), x_Symbol] :> With
      [{u = IntHide[x^m*(a + b*ArcTan[c*x]), x]}, Simp[(d + e*Log[f + g*x^2])   u, x] - Simp[2*e*g   Int[ExpandInteg
      rand[x*(u/(f + g*x^2)), x], x], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g}, x] && IntegerQ[m] && NeQ[m, -1]

5557. Int[((a_.) + ArcCot[(c_.)*(x_)]*(b_.))*((d_.) + Log[(f_.) + (g_.)*(x_)^2]*(e_.))*(x_)^(m_.), x_Symbol] :> With
      [{u = IntHide[x^m*(a + b*ArcCot[c*x]), x]}, Simp[(d + e*Log[f + g*x^2])   u, x] - Simp[2*e*g   Int[ExpandInteg
      rand[x*(u/(f + g*x^2)), x], x], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g}, x] && IntegerQ[m] && NeQ[m, -1]

5558. Int[((a_.) + ArcTan[(c_.)*(x_)]*(b_.))^2*((d_.) + Log[(f_) + (g_.)*(x_)^2]*(e_.))*(x_), x_Symbol] :> Simp[(f +
      g*x^2)*(d + e*Log[f + g*x^2])*((a + b*ArcTan[c*x])^2/(2*g)), x] + (-Simp[e*x^2*((a + b*ArcTan[c*x])^2/2), x]
      - Simp[b/c   Int[(d + e*Log[f + g*x^2])*(a + b*ArcTan[c*x]), x], x] + Simp[b*c*e   Int[x^2*((a + b*ArcTan[c*x]
      )/(1 + c^2*x^2)), x], x]) /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g}, x] && EqQ[g, c^2*f]

5559. Int[((a_.) + ArcCot[(c_.)*(x_)]*(b_.))^2*((d_.) + Log[(f_) + (g_.)*(x_)^2]*(e_.))*(x_), x_Symbol] :> Simp[(f +
      g*x^2)*(d + e*Log[f + g*x^2])*((a + b*ArcCot[c*x])^2/(2*g)), x] + (-Simp[e*x^2*((a + b*ArcCot[c*x])^2/2), x]
      + Simp[b/c   Int[(d + e*Log[f + g*x^2])*(a + b*ArcCot[c*x]), x], x] - Simp[b*c*e   Int[x^2*((a + b*ArcCot[c*x]
      )/(1 + c^2*x^2)), x], x]) /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g}, x] && EqQ[g, c^2*f]

5560. Int[((a_.) + ArcTan[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(p_.)*(u_.), x_Symbol] :> Unintegrable[u*(a + b*ArcTan[c*x])^p, x] /; F
      reeQ[{a, b, c, p}, x] && (EqQ[u, 1] || MatchQ[u, ((d_.) + (e_.)*x)^(q_.) /; FreeQ[{d, e, q}, x]] || MatchQ[u,
      ((f_.)*x)^(m_.)*((d_.) + (e_.)*x)^(q_.) /; FreeQ[{d, e, f, m, q}, x]] || MatchQ[u, ((d_.) + (e_.)*x^2)^(q_.) /
      ; FreeQ[{d, e, q}, x]] || MatchQ[u, ((f_.)*x)^(m_.)*((d_.) + (e_.)*x^2)^(q_.) /; FreeQ[{d, e, f, m, q}, x]])

5561. Int[((a_.) + ArcCot[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(p_.)*(u_.), x_Symbol] :> Unintegrable[u*(a + b*ArcCot[c*x])^p, x] /; F
      reeQ[{a, b, c, p}, x] && (EqQ[u, 1] || MatchQ[u, ((d_.) + (e_.)*x)^(q_.) /; FreeQ[{d, e, q}, x]] || MatchQ[u,
      ((f_.)*x)^(m_.)*((d_.) + (e_.)*x)^(q_.) /; FreeQ[{d, e, f, m, q}, x]] || MatchQ[u, ((d_.) + (e_.)*x^2)^(q_.) /
      ; FreeQ[{d, e, q}, x]] || MatchQ[u, ((f_.)*x)^(m_.)*((d_.) + (e_.)*x^2)^(q_.) /; FreeQ[{d, e, f, m, q}, x]])

5562. Int[((a_.) + ArcTan[(c_) + (d_.)*(x_)]*(b_.))^(p_.), x_Symbol] :> Simp[1/d   Subst[Int[(a + b*ArcTan[x])^p, x]
      , x, c + d*x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && IGtQ[p, 0]

5563. Int[((a_.) + ArcCot[(c_) + (d_.)*(x_)]*(b_.))^(p_.), x_Symbol] :> Simp[1/d   Subst[Int[(a + b*ArcCot[x])^p, x]
      , x, c + d*x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && IGtQ[p, 0]

5564. Int[((a_.) + ArcTan[(c_) + (d_.)*(x_)]*(b_.))^(p_), x_Symbol] :> Unintegrable[(a + b*ArcTan[c + d*x])^p, x] /;
      FreeQ[{a, b, c, d, p}, x] &&  !IGtQ[p, 0]

5565. Int[((a_.) + ArcCot[(c_) + (d_.)*(x_)]*(b_.))^(p_), x_Symbol] :> Unintegrable[(a + b*ArcCot[c + d*x])^p, x] /;
      FreeQ[{a, b, c, d, p}, x] &&  !IGtQ[p, 0]

5566. Int[((a_.) + ArcTan[(c_) + (d_.)*(x_)]*(b_.))^(p_.)*((e_.) + (f_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Simp[1/d   Subst[
      Int[(f*(x/d))^m*(a + b*ArcTan[x])^p, x], x, c + d*x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m}, x] && EqQ[d*e - c*f,
      0] && IGtQ[p, 0]

5567. Int[((a_.) + ArcCot[(c_) + (d_.)*(x_)]*(b_.))^(p_.)*((e_.) + (f_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Simp[1/d   Subst[
      Int[(f*(x/d))^m*(a + b*ArcCot[x])^p, x], x, c + d*x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m}, x] && EqQ[d*e - c*f,
      0] && IGtQ[p, 0]

5568. Int[((a_.) + ArcTan[(c_) + (d_.)*(x_)]*(b_.))^(p_.)*((e_.) + (f_.)*(x_))^(m_), x_Symbol] :> Simp[(e + f*x)^(m
      + 1)*((a + b*ArcTan[c + d*x])^p/(f*(m + 1))), x] - Simp[b*d*(p/(f*(m + 1)))   Int[(e + f*x)^(m + 1)*((a + b*Ar
      cTan[c + d*x])^(p - 1)/(1 + (c + d*x)^2)), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && IGtQ[p, 0] && ILtQ[m, -1]

5569. Int[((a_.) + ArcCot[(c_) + (d_.)*(x_)]*(b_.))^(p_.)*((e_.) + (f_.)*(x_))^(m_), x_Symbol] :> Simp[(e + f*x)^(m
      + 1)*((a + b*ArcCot[c + d*x])^p/(f*(m + 1))), x] + Simp[b*d*(p/(f*(m + 1)))   Int[(e + f*x)^(m + 1)*((a + b*Ar
      cCot[c + d*x])^(p - 1)/(1 + (c + d*x)^2)), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && IGtQ[p, 0] && ILtQ[m, -1]

5570. Int[((a_.) + ArcTan[(c_) + (d_.)*(x_)]*(b_.))^(p_.)*((e_.) + (f_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Simp[1/d   Subst[
      Int[((d*e - c*f)/d + f*(x/d))^m*(a + b*ArcTan[x])^p, x], x, c + d*x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m, p}, x]
      && IGtQ[p, 0]

5571. Int[((a_.) + ArcCot[(c_) + (d_.)*(x_)]*(b_.))^(p_.)*((e_.) + (f_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Simp[1/d   Subst[
      Int[((d*e - c*f)/d + f*(x/d))^m*(a + b*ArcCot[x])^p, x], x, c + d*x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m, p}, x]
      && IGtQ[p, 0]

5572. Int[((a_.) + ArcTan[(c_) + (d_.)*(x_)]*(b_.))^(p_)*((e_.) + (f_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Unintegrable[(e +
      f*x)^m*(a + b*ArcTan[c + d*x])^p, x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m, p}, x] &&  !IGtQ[p, 0]

5573. Int[((a_.) + ArcCot[(c_) + (d_.)*(x_)]*(b_.))^(p_)*((e_.) + (f_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Unintegrable[(e +
      f*x)^m*(a + b*ArcCot[c + d*x])^p, x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m, p}, x] &&  !IGtQ[p, 0]

5574. Int[ArcTan[(a_) + (b_.)*(x_)]/((c_) + (d_.)*(x_)^(n_.)), x_Symbol] :> Simp[I/2   Int[Log[1 - I*a - I*b*x]/(c +
      d*x^n), x], x] - Simp[I/2   Int[Log[1 + I*a + I*b*x]/(c + d*x^n), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && Rationa
      lQ[n]

5575. Int[ArcCot[(a_) + (b_.)*(x_)]/((c_) + (d_.)*(x_)^(n_.)), x_Symbol] :> Simp[I/2   Int[Log[(-I + a + b*x)/(a + b
      *x)]/(c + d*x^n), x], x] - Simp[I/2   Int[Log[(I + a + b*x)/(a + b*x)]/(c + d*x^n), x], x] /; FreeQ[{a, b, c,
      d}, x] && RationalQ[n]

5576. Int[ArcTan[(a_) + (b_.)*(x_)]/((c_) + (d_.)*(x_)^(n_)), x_Symbol] :> Unintegrable[ArcTan[a + b*x]/(c + d*x^n),
      x] /; FreeQ[{a, b, c, d, n}, x] &&  !RationalQ[n]

5577. Int[ArcCot[(a_) + (b_.)*(x_)]/((c_) + (d_.)*(x_)^(n_)), x_Symbol] :> Unintegrable[ArcCot[a + b*x]/(c + d*x^n),
      x] /; FreeQ[{a, b, c, d, n}, x] &&  !RationalQ[n]

5578. Int[((a_.) + ArcTan[(c_) + (d_.)*(x_)]*(b_.))^(p_.)*((A_.) + (B_.)*(x_) + (C_.)*(x_)^2)^(q_.), x_Symbol] :> Si
      mp[1/d   Subst[Int[(C/d^2 + (C/d^2)*x^2)^q*(a + b*ArcTan[x])^p, x], x, c + d*x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, A, B
      , C, p, q}, x] && EqQ[B*(1 + c^2) - 2*A*c*d, 0] && EqQ[2*c*C - B*d, 0]

5579. Int[((a_.) + ArcCot[(c_) + (d_.)*(x_)]*(b_.))^(p_.)*((A_.) + (B_.)*(x_) + (C_.)*(x_)^2)^(q_.), x_Symbol] :> Si
      mp[1/d   Subst[Int[(C/d^2 + (C/d^2)*x^2)^q*(a + b*ArcCot[x])^p, x], x, c + d*x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, A, B
      , C, p, q}, x] && EqQ[B*(1 + c^2) - 2*A*c*d, 0] && EqQ[2*c*C - B*d, 0]

5580. Int[((a_.) + ArcTan[(c_) + (d_.)*(x_)]*(b_.))^(p_.)*((e_.) + (f_.)*(x_))^(m_.)*((A_.) + (B_.)*(x_) + (C_.)*(x_
      )^2)^(q_.), x_Symbol] :> Simp[1/d   Subst[Int[((d*e - c*f)/d + f*(x/d))^m*(C/d^2 + (C/d^2)*x^2)^q*(a + b*ArcTa
      n[x])^p, x], x, c + d*x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, A, B, C, m, p, q}, x] && EqQ[B*(1 + c^2) - 2*A*c*d, 0
      ] && EqQ[2*c*C - B*d, 0]

5581. Int[((a_.) + ArcCot[(c_) + (d_.)*(x_)]*(b_.))^(p_.)*((e_.) + (f_.)*(x_))^(m_.)*((A_.) + (B_.)*(x_) + (C_.)*(x_
      )^2)^(q_.), x_Symbol] :> Simp[1/d   Subst[Int[((d*e - c*f)/d + f*(x/d))^m*(C/d^2 + (C/d^2)*x^2)^q*(a + b*ArcCo
      t[x])^p, x], x, c + d*x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, A, B, C, m, p, q}, x] && EqQ[B*(1 + c^2) - 2*A*c*d, 0
      ] && EqQ[2*c*C - B*d, 0]

5582. Int[E^(ArcTan[(a_.)*(x_)]*(n_)), x_Symbol] :> Int[(1 - I*a*x)^((I*n + 1)/2)/((1 + I*a*x)^((I*n - 1)/2)*Sqrt[1
      + a^2*x^2]), x] /; FreeQ[a, x] && IntegerQ[(I*n - 1)/2]

5583. Int[E^(ArcTan[(a_.)*(x_)]*(n_))*(x_)^(m_.), x_Symbol] :> Int[x^m*((1 - I*a*x)^((I*n + 1)/2)/((1 + I*a*x)^((I*n
      - 1)/2)*Sqrt[1 + a^2*x^2])), x] /; FreeQ[{a, m}, x] && IntegerQ[(I*n - 1)/2]

5584. Int[E^(ArcTan[(a_.)*(x_)]*(n_.)), x_Symbol] :> Int[(1 - I*a*x)^(I*(n/2))/(1 + I*a*x)^(I*(n/2)), x] /; FreeQ[{a
      , n}, x] &&  !IntegerQ[(I*n - 1)/2]

5585. Int[E^(ArcTan[(a_.)*(x_)]*(n_.))*(x_)^(m_.), x_Symbol] :> Int[x^m*((1 - I*a*x)^(I*(n/2))/(1 + I*a*x)^(I*(n/2))
      ), x] /; FreeQ[{a, m, n}, x] &&  !IntegerQ[(I*n - 1)/2]

5586. Int[E^(ArcTan[(a_.)*(x_)]*(n_.))*(u_.)*((c_) + (d_.)*(x_))^(p_.), x_Symbol] :> Simp[c^p   Int[u*(1 + d*(x/c))^
      p*((1 - I*a*x)^(I*(n/2))/(1 + I*a*x)^(I*(n/2))), x], x] /; FreeQ[{a, c, d, n, p}, x] && EqQ[a^2*c^2 + d^2, 0]
      && (IntegerQ[p] || GtQ[c, 0])

5587. Int[E^(ArcTan[(a_.)*(x_)]*(n_.))*(u_.)*((c_) + (d_.)*(x_))^(p_.), x_Symbol] :> Int[u*(c + d*x)^p*((1 - I*a*x)^
      (I*(n/2))/(1 + I*a*x)^(I*(n/2))), x] /; FreeQ[{a, c, d, n, p}, x] && EqQ[a^2*c^2 + d^2, 0] &&  !(IntegerQ[p] |
      | GtQ[c, 0])

5588. Int[E^(ArcTan[(a_.)*(x_)]*(n_.))*(u_.)*((c_) + (d_.)/(x_))^(p_.), x_Symbol] :> Simp[d^p   Int[(u/x^p)*(1 + c*(
      x/d))^p*E^(n*ArcTan[a*x]), x], x] /; FreeQ[{a, c, d, n}, x] && EqQ[c^2 + a^2*d^2, 0] && IntegerQ[p]

5589. Int[E^(ArcTanh[(a_.)*(x_)]*(n_))*(u_.)*((c_) + (d_.)/(x_))^(p_), x_Symbol] :> Simp[(-1)^(n/2)*c^p   Int[u*(1 +
      d/(c*x))^p*((1 - 1/(I*a*x))^(I*(n/2))/(1 + 1/(I*a*x))^(I*(n/2))), x], x] /; FreeQ[{a, c, d, p}, x] && EqQ[c^2
      + a^2*d^2, 0] &&  !IntegerQ[p] && IntegerQ[I*(n/2)] && GtQ[c, 0]

5590. Int[E^(ArcTan[(a_.)*(x_)]*(n_))*(u_.)*((c_) + (d_.)/(x_))^(p_), x_Symbol] :> Int[u*(c + d/x)^p*((1 - I*a*x)^(I
      *(n/2))/(1 + I*a*x)^(I*(n/2))), x] /; FreeQ[{a, c, d, p}, x] && EqQ[c^2 + a^2*d^2, 0] &&  !IntegerQ[p] && Inte
      gerQ[I*(n/2)] &&  !GtQ[c, 0]

5591. Int[E^(ArcTan[(a_.)*(x_)]*(n_.))*(u_.)*((c_) + (d_.)/(x_))^(p_), x_Symbol] :> Simp[x^p*((c + d/x)^p/(1 + c*(x/
      d))^p)   Int[(u/x^p)*(1 + c*(x/d))^p*E^(n*ArcTan[a*x]), x], x] /; FreeQ[{a, c, d, n, p}, x] && EqQ[c^2 + a^2*d
      ^2, 0] &&  !IntegerQ[p]

5592. Int[E^(ArcTan[(a_.)*(x_)]*(n_.))/((c_) + (d_.)*(x_)^2)^(3/2), x_Symbol] :> Simp[(n + a*x)*(E^(n*ArcTan[a*x])/(
      a*c*(n^2 + 1)*Sqrt[c + d*x^2])), x] /; FreeQ[{a, c, d, n}, x] && EqQ[d, a^2*c] &&  !IntegerQ[I*n]

5593. Int[E^(ArcTan[(a_.)*(x_)]*(n_.))*((c_) + (d_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Simp[(n - 2*a*(p + 1)*x)*(c + d*x^2)
      ^(p + 1)*(E^(n*ArcTan[a*x])/(a*c*(n^2 + 4*(p + 1)^2))), x] + Simp[2*(p + 1)*((2*p + 3)/(c*(n^2 + 4*(p + 1)^2))
      )   Int[(c + d*x^2)^(p + 1)*E^(n*ArcTan[a*x]), x], x] /; FreeQ[{a, c, d, n}, x] && EqQ[d, a^2*c] && LtQ[p, -1]
      &&  !IntegerQ[I*n] && NeQ[n^2 + 4*(p + 1)^2, 0] && IntegerQ[2*p]

5594. Int[E^(ArcTan[(a_.)*(x_)]*(n_.))/((c_) + (d_.)*(x_)^2), x_Symbol] :> Simp[E^(n*ArcTan[a*x])/(a*c*n), x] /; Fre
      eQ[{a, c, d, n}, x] && EqQ[d, a^2*c]

5595. Int[E^(ArcTan[(a_.)*(x_)]*(n_))*((c_) + (d_.)*(x_)^2)^(p_.), x_Symbol] :> Simp[c^p   Int[(1 + a^2*x^2)^(p - I*
      (n/2))*(1 - I*a*x)^(I*n), x], x] /; FreeQ[{a, c, d, p}, x] && EqQ[d, a^2*c] && IntegerQ[p] && IntegerQ[(I*n +
      1)/2] &&  !IntegerQ[p - I*(n/2)]

5596. Int[E^(ArcTan[(a_.)*(x_)]*(n_.))*((c_) + (d_.)*(x_)^2)^(p_.), x_Symbol] :> Simp[c^p   Int[(1 - I*a*x)^(p + I*(
      n/2))*(1 + I*a*x)^(p - I*(n/2)), x], x] /; FreeQ[{a, c, d, n, p}, x] && EqQ[d, a^2*c] && (IntegerQ[p] || GtQ[c
      , 0])

5597. Int[E^(ArcTan[(a_.)*(x_)]*(n_))*((c_) + (d_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Simp[c^(I*(n/2))   Int[(c + d*x^2)^(p
      - I*(n/2))*(1 - I*a*x)^(I*n), x], x] /; FreeQ[{a, c, d, p}, x] && EqQ[d, a^2*c] &&  !(IntegerQ[p] || GtQ[c, 0
      ]) && IGtQ[I*(n/2), 0]

5598. Int[E^(ArcTan[(a_.)*(x_)]*(n_))*((c_) + (d_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Simp[1/c^(I*(n/2))   Int[(c + d*x^2)^
      (p + I*(n/2))/(1 + I*a*x)^(I*n), x], x] /; FreeQ[{a, c, d, p}, x] && EqQ[d, a^2*c] &&  !(IntegerQ[p] || GtQ[c,
      0]) && ILtQ[I*(n/2), 0]

5599. Int[E^(ArcTan[(a_.)*(x_)]*(n_.))*((c_) + (d_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Simp[c^IntPart[p]*((c + d*x^2)^FracP
      art[p]/(1 + a^2*x^2)^FracPart[p])   Int[(1 + a^2*x^2)^p*E^(n*ArcTan[a*x]), x], x] /; FreeQ[{a, c, d, n, p}, x]
      && EqQ[d, a^2*c] &&  !(IntegerQ[p] || GtQ[c, 0])

5600. Int[(E^(ArcTan[(a_.)*(x_)]*(n_.))*(x_))/((c_) + (d_.)*(x_)^2)^(3/2), x_Symbol] :> Simp[(-(1 - a*n*x))*(E^(n*Ar
      cTan[a*x])/(d*(n^2 + 1)*Sqrt[c + d*x^2])), x] /; FreeQ[{a, c, d, n}, x] && EqQ[d, a^2*c] &&  !IntegerQ[I*n]

5601. Int[E^(ArcTan[(a_.)*(x_)]*(n_.))*(x_)*((c_) + (d_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Simp[(c + d*x^2)^(p + 1)*(E^(n*
      ArcTan[a*x])/(2*d*(p + 1))), x] - Simp[a*c*(n/(2*d*(p + 1)))   Int[(c + d*x^2)^p*E^(n*ArcTan[a*x]), x], x] /;
      FreeQ[{a, c, d, n}, x] && EqQ[d, a^2*c] && LtQ[p, -1] &&  !IntegerQ[I*n] && IntegerQ[2*p]

5602. Int[E^(ArcTan[(a_.)*(x_)]*(n_.))*(x_)^2*((c_) + (d_.)*(x_)^2)^(p_.), x_Symbol] :> Simp[(-(1 - a*n*x))*(c + d*x
      ^2)^(p + 1)*(E^(n*ArcTan[a*x])/(a*d*n*(n^2 + 1))), x] /; FreeQ[{a, c, d, n}, x] && EqQ[d, a^2*c] && EqQ[n^2 -
      2*(p + 1), 0] &&  !IntegerQ[I*n]

5603. Int[E^(ArcTan[(a_.)*(x_)]*(n_.))*(x_)^2*((c_) + (d_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Simp[(-(n - 2*(p + 1)*a*x))*(
      c + d*x^2)^(p + 1)*(E^(n*ArcTan[a*x])/(a*d*(n^2 + 4*(p + 1)^2))), x] + Simp[(n^2 - 2*(p + 1))/(d*(n^2 + 4*(p +
      1)^2))   Int[(c + d*x^2)^(p + 1)*E^(n*ArcTan[a*x]), x], x] /; FreeQ[{a, c, d, n}, x] && EqQ[d, a^2*c] && LtQ[
      p, -1] &&  !IntegerQ[I*n] && NeQ[n^2 + 4*(p + 1)^2, 0] && IntegerQ[2*p]

5604. Int[E^(ArcTan[(a_.)*(x_)]*(n_))*(x_)^(m_.)*((c_) + (d_.)*(x_)^2)^(p_.), x_Symbol] :> Simp[c^p   Int[x^m*(1 + a
      ^2*x^2)^(p - I*(n/2))*(1 - I*a*x)^(I*n), x], x] /; FreeQ[{a, c, d, m, p}, x] && EqQ[d, a^2*c] && (IntegerQ[p]
      || GtQ[c, 0]) && IntegerQ[(I*n + 1)/2] &&  !IntegerQ[p - I*(n/2)]

5605. Int[E^(ArcTan[(a_.)*(x_)]*(n_.))*(x_)^(m_.)*((c_) + (d_.)*(x_)^2)^(p_.), x_Symbol] :> Simp[c^p   Int[x^m*(1 -
      I*a*x)^(p + I*(n/2))*(1 + I*a*x)^(p - I*(n/2)), x], x] /; FreeQ[{a, c, d, m, n, p}, x] && EqQ[d, a^2*c] && (In
      tegerQ[p] || GtQ[c, 0])

5606. Int[E^(ArcTan[(a_.)*(x_)]*(n_))*(x_)^(m_.)*((c_) + (d_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Simp[c^(I*(n/2))   Int[x^m
      *(c + d*x^2)^(p - I*(n/2))*(1 - I*a*x)^(I*n), x], x] /; FreeQ[{a, c, d, m, p}, x] && EqQ[d, a^2*c] &&  !(Integ
      erQ[p] || GtQ[c, 0]) && IGtQ[I*(n/2), 0]

5607. Int[E^(ArcTan[(a_.)*(x_)]*(n_))*(x_)^(m_.)*((c_) + (d_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Simp[1/c^(I*(n/2))   Int[x
      ^m*((c + d*x^2)^(p + I*(n/2))/(1 + I*a*x)^(I*n)), x], x] /; FreeQ[{a, c, d, m, p}, x] && EqQ[d, a^2*c] &&  !(I
      ntegerQ[p] || GtQ[c, 0]) && ILtQ[I*(n/2), 0]

5608. Int[E^(ArcTan[(a_.)*(x_)]*(n_.))*(x_)^(m_.)*((c_) + (d_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Simp[c^IntPart[p]*((c + d
      *x^2)^FracPart[p]/(1 + a^2*x^2)^FracPart[p])   Int[x^m*(1 + a^2*x^2)^p*E^(n*ArcTan[a*x]), x], x] /; FreeQ[{a,
      c, d, m, n, p}, x] && EqQ[d, a^2*c] &&  !(IntegerQ[p] || GtQ[c, 0])

5609. Int[E^(ArcTan[(a_.)*(x_)]*(n_.))*(u_)*((c_) + (d_.)*(x_)^2)^(p_.), x_Symbol] :> Simp[c^p   Int[u*(1 - I*a*x)^(
      p + I*(n/2))*(1 + I*a*x)^(p - I*(n/2)), x], x] /; FreeQ[{a, c, d, n, p}, x] && EqQ[d, a^2*c] && (IntegerQ[p] |
      | GtQ[c, 0])

5610. Int[E^(ArcTan[(a_.)*(x_)]*(n_))*(u_)*((c_) + (d_.)*(x_)^2)^(p_.), x_Symbol] :> Simp[c^IntPart[p]*((c + d*x^2)^
      FracPart[p]/((1 - I*a*x)^FracPart[p]*(1 + I*a*x)^FracPart[p]))   Int[u*(1 - I*a*x)^(p + I*(n/2))*(1 + I*a*x)^(
      p - I*(n/2)), x], x] /; FreeQ[{a, c, d, n, p}, x] && EqQ[d, a^2*c] && (IntegerQ[p] || GtQ[c, 0]) && IntegerQ[I
      *(n/2)]

5611. Int[E^(ArcTan[(a_.)*(x_)]*(n_.))*(u_)*((c_) + (d_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Simp[c^IntPart[p]*((c + d*x^2)^
      FracPart[p]/(1 + a^2*x^2)^FracPart[p])   Int[u*(1 + a^2*x^2)^p*E^(n*ArcTan[a*x]), x], x] /; FreeQ[{a, c, d, n,
      p}, x] && EqQ[d, a^2*c] &&  !(IntegerQ[p] || GtQ[c, 0]) &&  !IntegerQ[I*(n/2)]

5612. Int[E^(ArcTan[(a_.)*(x_)]*(n_.))*(u_.)*((c_) + (d_.)/(x_)^2)^(p_.), x_Symbol] :> Simp[d^p   Int[(u/x^(2*p))*(1
      + a^2*x^2)^p*E^(n*ArcTan[a*x]), x], x] /; FreeQ[{a, c, d, n}, x] && EqQ[c - a^2*d, 0] && IntegerQ[p]

5613. Int[E^(ArcTan[(a_.)*(x_)]*(n_))*(u_.)*((c_) + (d_.)/(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Simp[c^p   Int[u*(1 - I/(a*x))^
      p*(1 + I/(a*x))^p*E^(n*ArcTan[a*x]), x], x] /; FreeQ[{a, c, d, p}, x] && EqQ[c - a^2*d, 0] &&  !IntegerQ[p] &&
      IntegerQ[I*(n/2)] && GtQ[c, 0]

5614. Int[E^(ArcTan[(a_.)*(x_)]*(n_))*(u_.)*((c_) + (d_.)/(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Simp[x^(2*p)*((c + d/x^2)^p/(1
      + a^2*x^2)^p)   Int[u*((1 + a^2*x^2)^(I*(n/2) + p)/(x^(2*p)*(1 + I*a*x)^(I*n))), x], x] /; FreeQ[{a, c, d, p},
      x] && EqQ[c - a^2*d, 0] &&  !IntegerQ[p] && IntegerQ[I*(n/2)] &&  !GtQ[c, 0]

5615. Int[E^(ArcTan[(a_.)*(x_)]*(n_.))*(u_.)*((c_) + (d_.)/(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Simp[x^(2*p)*((c + d/x^2)^p/(1
      + a^2*x^2)^p)   Int[(u/x^(2*p))*(1 + a^2*x^2)^p*E^(n*ArcTan[a*x]), x], x] /; FreeQ[{a, c, d, n, p}, x] && EqQ
      [c - a^2*d, 0] &&  !IntegerQ[p] &&  !IntegerQ[I*(n/2)]

5616. Int[E^(ArcTan[(c_.)*((a_) + (b_.)*(x_))]*(n_.)), x_Symbol] :> Int[(1 - I*a*c - I*b*c*x)^(I*(n/2))/(1 + I*a*c +
      I*b*c*x)^(I*(n/2)), x] /; FreeQ[{a, b, c, n}, x]

5617. Int[E^(ArcTan[(c_.)*((a_) + (b_.)*(x_))]*(n_))*(x_)^(m_), x_Symbol] :> Simp[4/(I^m*n*b^(m + 1)*c^(m + 1))   Su
      bst[Int[x^(2/(I*n))*((1 - I*a*c - (1 + I*a*c)*x^(2/(I*n)))^m/(1 + x^(2/(I*n)))^(m + 2)), x], x, (1 - I*c*(a +
      b*x))^(I*(n/2))/(1 + I*c*(a + b*x))^(I*(n/2))], x] /; FreeQ[{a, b, c}, x] && ILtQ[m, 0] && LtQ[-1, I*n, 1]

5618. Int[E^(ArcTan[(c_.)*((a_) + (b_.)*(x_))]*(n_.))*((d_.) + (e_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Int[(d + e*x)^m*((1 -
      I*a*c - I*b*c*x)^(I*(n/2))/(1 + I*a*c + I*b*c*x)^(I*(n/2))), x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, m, n}, x]

5619. Int[E^(ArcTan[(a_) + (b_.)*(x_)]*(n_.))*(u_.)*((c_) + (d_.)*(x_) + (e_.)*(x_)^2)^(p_.), x_Symbol] :> Simp[(c/(
      1 + a^2))^p   Int[u*(1 - I*a - I*b*x)^(p + I*(n/2))*(1 + I*a + I*b*x)^(p - I*(n/2)), x], x] /; FreeQ[{a, b, c,
      d, e, n, p}, x] && EqQ[b*d, 2*a*e] && EqQ[b^2*c - e*(1 + a^2), 0] && (IntegerQ[p] || GtQ[c/(1 + a^2), 0])

5620. Int[E^(ArcTan[(a_) + (b_.)*(x_)]*(n_.))*(u_.)*((c_) + (d_.)*(x_) + (e_.)*(x_)^2)^(p_.), x_Symbol] :> Simp[(c +
      d*x + e*x^2)^p/(1 + a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^p   Int[u*(1 + a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^p*E^(n*ArcTan[a*x]), x],
      x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, n, p}, x] && EqQ[b*d, 2*a*e] && EqQ[b^2*c - e*(1 + a^2), 0] &&  !(IntegerQ[p] ||
      GtQ[c/(1 + a^2), 0])

5621. Int[E^(ArcTan[(c_.)/((a_.) + (b_.)*(x_))]*(n_.))*(u_.), x_Symbol] :> Int[u*E^(n*ArcCot[a/c + b*(x/c)]), x] /;
      FreeQ[{a, b, c, n}, x]

5622. Int[E^(ArcCot[(a_.)*(x_)]*(n_))*(u_.), x_Symbol] :> Simp[(-1)^(I*(n/2))   Int[u/E^(n*ArcTan[a*x]), x], x] /; F
      reeQ[a, x] && IntegerQ[I*(n/2)]

5623. Int[E^(ArcCot[(a_.)*(x_)]*(n_)), x_Symbol] :> -Subst[Int[(1 - I*(x/a))^((I*n + 1)/2)/(x^2*(1 + I*(x/a))^((I*n
      - 1)/2)*Sqrt[1 + x^2/a^2]), x], x, 1/x] /; FreeQ[a, x] && IntegerQ[(I*n - 1)/2]

5624. Int[E^(ArcCot[(a_.)*(x_)]*(n_))*(x_)^(m_.), x_Symbol] :> -Subst[Int[(1 - I*(x/a))^((I*n + 1)/2)/(x^(m + 2)*(1
      + I*(x/a))^((I*n - 1)/2)*Sqrt[1 + x^2/a^2]), x], x, 1/x] /; FreeQ[a, x] && IntegerQ[(I*n - 1)/2] && IntegerQ[m
      ]

5625. Int[E^(ArcCot[(a_.)*(x_)]*(n_.)), x_Symbol] :> -Subst[Int[(1 - I*(x/a))^(I*(n/2))/(x^2*(1 + I*(x/a))^(I*(n/2))
      ), x], x, 1/x] /; FreeQ[{a, n}, x] &&  !IntegerQ[I*n]

5626. Int[E^(ArcCot[(a_.)*(x_)]*(n_.))*(x_)^(m_.), x_Symbol] :> -Subst[Int[(1 - I*(x/a))^(n/2)/(x^(m + 2)*(1 + I*(x/
      a))^(n/2)), x], x, 1/x] /; FreeQ[{a, n}, x] &&  !IntegerQ[I*n] && IntegerQ[m]

5627. Int[E^(ArcCot[(a_.)*(x_)]*(n_))*(x_)^(m_), x_Symbol] :> Simp[(-x^m)*(1/x)^m   Subst[Int[(1 - I*(x/a))^((I*n +
      1)/2)/(x^(m + 2)*(1 + I*(x/a))^((I*n - 1)/2)*Sqrt[1 + x^2/a^2]), x], x, 1/x], x] /; FreeQ[{a, m}, x] && Intege
      rQ[(I*n - 1)/2] &&  !IntegerQ[m]

5628. Int[E^(ArcCot[(a_.)*(x_)]*(n_.))*(x_)^(m_), x_Symbol] :> -Subst[Int[(1 - I*(x/a))^(n/2)/(x^(m + 2)*(1 + I*(x/a
      ))^(n/2)), x], x, 1/x] /; FreeQ[{a, m, n}, x] &&  !IntegerQ[I*(n/2)] &&  !IntegerQ[m]

5629. Int[E^(ArcCot[(a_.)*(x_)]*(n_.))*(u_.)*((c_) + (d_.)*(x_))^(p_.), x_Symbol] :> Simp[d^p   Int[u*x^p*(1 + c/(d*
      x))^p*E^(n*ArcCot[a*x]), x], x] /; FreeQ[{a, c, d, n}, x] && EqQ[a^2*c^2 + d^2, 0] &&  !IntegerQ[I*(n/2)] && I
      ntegerQ[p]

5630. Int[E^(ArcCot[(a_.)*(x_)]*(n_.))*(u_.)*((c_) + (d_.)*(x_))^(p_), x_Symbol] :> Simp[(c + d*x)^p/(x^p*(1 + c/(d*
      x))^p)   Int[u*x^p*(1 + c/(d*x))^p*E^(n*ArcCot[a*x]), x], x] /; FreeQ[{a, c, d, n, p}, x] && EqQ[a^2*c^2 + d^2
      , 0] &&  !IntegerQ[I*(n/2)] &&  !IntegerQ[p]

5631. Int[E^(ArcCot[(a_.)*(x_)]*(n_.))*((c_) + (d_.)/(x_))^(p_.), x_Symbol] :> Simp[-c^p   Subst[Int[(1 + d*(x/c))^p
      *((1 - I*(x/a))^(I*(n/2))/(x^2*(1 + I*(x/a))^(I*(n/2)))), x], x, 1/x], x] /; FreeQ[{a, c, d, n, p}, x] && EqQ[
      c^2 + a^2*d^2, 0] &&  !IntegerQ[I*(n/2)] && (IntegerQ[p] || GtQ[c, 0])

5632. Int[E^(ArcCot[(a_.)*(x_)]*(n_.))*((c_) + (d_.)/(x_))^(p_.)*(x_)^(m_.), x_Symbol] :> Simp[-c^p   Subst[Int[(1 +
      d*(x/c))^p*((1 - I*(x/a))^(I*(n/2))/(x^(m + 2)*(1 + I*(x/a))^(I*(n/2)))), x], x, 1/x], x] /; FreeQ[{a, c, d,
      m, n, p}, x] && EqQ[c^2 + a^2*d^2, 0] &&  !IntegerQ[I*(n/2)] && (IntegerQ[p] || GtQ[c, 0]) && IntegerQ[m]

5633. Int[E^(ArcCot[(a_.)*(x_)]*(n_.))*((c_) + (d_.)/(x_))^(p_), x_Symbol] :> Simp[(c + d/x)^p/(1 + d/(c*x))^p   Int
      [(1 + d/(c*x))^p*E^(n*ArcCot[a*x]), x], x] /; FreeQ[{a, c, d, n, p}, x] && EqQ[c^2 + a^2*d^2, 0] &&  !IntegerQ
      [I*(n/2)] &&  !(IntegerQ[p] || GtQ[c, 0])

5634. Int[E^(ArcCot[(a_.)*(x_)]*(n_.))*((c_) + (d_.)/(x_))^(p_.)*(x_)^(m_), x_Symbol] :> Simp[(-c^p)*x^m*(1/x)^m   S
      ubst[Int[(1 + d*(x/c))^p*((1 - I*(x/a))^(I*(n/2))/(x^(m + 2)*(1 + I*(x/a))^(I*(n/2)))), x], x, 1/x], x] /; Fre
      eQ[{a, c, d, m, n, p}, x] && EqQ[c^2 + a^2*d^2, 0] &&  !IntegerQ[I*(n/2)] && (IntegerQ[p] || GtQ[c, 0]) &&  !I
      ntegerQ[m]

5635. Int[E^(ArcCot[(a_.)*(x_)]*(n_.))*(u_.)*((c_) + (d_.)/(x_))^(p_), x_Symbol] :> Simp[(c + d/x)^p/(1 + d/(c*x))^p
      Int[u*(1 + d/(c*x))^p*E^(n*ArcCot[a*x]), x], x] /; FreeQ[{a, c, d, n, p}, x] && EqQ[c^2 + a^2*d^2, 0] &&  !
      IntegerQ[I*(n/2)] &&  !(IntegerQ[p] || GtQ[c, 0])

5636. Int[E^(ArcCot[(a_.)*(x_)]*(n_.))/((c_) + (d_.)*(x_)^2), x_Symbol] :> Simp[-E^(n*ArcCot[a*x])/(a*c*n), x] /; Fr
      eeQ[{a, c, d, n}, x] && EqQ[d, a^2*c]

5637. Int[E^(ArcCot[(a_.)*(x_)]*(n_.))/((c_) + (d_.)*(x_)^2)^(3/2), x_Symbol] :> Simp[(-(n - a*x))*(E^(n*ArcCot[a*x]
      )/(a*c*(n^2 + 1)*Sqrt[c + d*x^2])), x] /; FreeQ[{a, c, d, n}, x] && EqQ[d, a^2*c] &&  !IntegerQ[(I*n - 1)/2]

5638. Int[E^(ArcCot[(a_.)*(x_)]*(n_.))*((c_) + (d_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Simp[(-(n + 2*a*(p + 1)*x))*(c + d*x
      ^2)^(p + 1)*(E^(n*ArcCot[a*x])/(a*c*(n^2 + 4*(p + 1)^2))), x] + Simp[2*(p + 1)*((2*p + 3)/(c*(n^2 + 4*(p + 1)^
      2)))   Int[(c + d*x^2)^(p + 1)*E^(n*ArcCot[a*x]), x], x] /; FreeQ[{a, c, d, n}, x] && EqQ[d, a^2*c] && LtQ[p,
      -1] && NeQ[p, -3/2] && NeQ[n^2 + 4*(p + 1)^2, 0] &&  !(IntegerQ[p] && IntegerQ[I*(n/2)]) &&  !( !IntegerQ[p] &
      & IntegerQ[(I*n - 1)/2])

5639. Int[(E^(ArcCot[(a_.)*(x_)]*(n_.))*(x_))/((c_) + (d_.)*(x_)^2)^(3/2), x_Symbol] :> Simp[(-(1 + a*n*x))*(E^(n*Ar
      cCot[a*x])/(a^2*c*(n^2 + 1)*Sqrt[c + d*x^2])), x] /; FreeQ[{a, c, d, n}, x] && EqQ[d, a^2*c] &&  !IntegerQ[(I*
      n - 1)/2]

5640. Int[E^(ArcCot[(a_.)*(x_)]*(n_.))*(x_)*((c_) + (d_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Simp[(2*(p + 1) - a*n*x)*(c + d
      *x^2)^(p + 1)*(E^(n*ArcCot[a*x])/(a^2*c*(n^2 + 4*(p + 1)^2))), x] + Simp[n*((2*p + 3)/(a*c*(n^2 + 4*(p + 1)^2)
      ))   Int[(c + d*x^2)^(p + 1)*E^(n*ArcCot[a*x]), x], x] /; FreeQ[{a, c, d, n}, x] && EqQ[d, a^2*c] && LeQ[p, -1
      ] && NeQ[p, -3/2] && NeQ[n^2 + 4*(p + 1)^2, 0] &&  !(IntegerQ[p] && IntegerQ[I*(n/2)]) &&  !( !IntegerQ[p] &&
      IntegerQ[(I*n - 1)/2])

5641. Int[E^(ArcCot[(a_.)*(x_)]*(n_.))*(x_)^2*((c_) + (d_.)*(x_)^2)^(p_.), x_Symbol] :> Simp[(n + 2*(p + 1)*a*x)*(c
      + d*x^2)^(p + 1)*(E^(n*ArcCot[a*x])/(a^3*c*n^2*(n^2 + 1))), x] /; FreeQ[{a, c, d, n}, x] && EqQ[d, a^2*c] && E
      qQ[n^2 - 2*(p + 1), 0] && NeQ[n^2 + 1, 0]

5642. Int[E^(ArcCot[(a_.)*(x_)]*(n_.))*(x_)^2*((c_) + (d_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Simp[(n + 2*(p + 1)*a*x)*(c +
      d*x^2)^(p + 1)*(E^(n*ArcCot[a*x])/(a^3*c*(n^2 + 4*(p + 1)^2))), x] + Simp[(n^2 - 2*(p + 1))/(a^2*c*(n^2 + 4*(
      p + 1)^2))   Int[(c + d*x^2)^(p + 1)*E^(n*ArcCot[a*x]), x], x] /; FreeQ[{a, c, d, n}, x] && EqQ[d, a^2*c] && L
      eQ[p, -1] && NeQ[n^2 - 2*(p + 1), 0] && NeQ[n^2 + 4*(p + 1)^2, 0] &&  !(IntegerQ[p] && IntegerQ[I*(n/2)]) &&
      !( !IntegerQ[p] && IntegerQ[(I*n - 1)/2])

5643. Int[E^(ArcCot[(a_.)*(x_)]*(n_.))*(x_)^(m_.)*((c_) + (d_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Simp[-c^p/a^(m + 1)   Sub
      st[Int[E^(n*x)*(Cot[x]^(m + 2*(p + 1))/Cos[x]^(2*(p + 1))), x], x, ArcCot[a*x]], x] /; FreeQ[{a, c, d, n}, x]
      && EqQ[d, a^2*c] && IntegerQ[m] && LeQ[3, m, -2*(p + 1)] && IntegerQ[p]

5644. Int[E^(ArcCot[(a_.)*(x_)]*(n_.))*(u_.)*((c_) + (d_.)*(x_)^2)^(p_.), x_Symbol] :> Simp[d^p   Int[u*x^(2*p)*(1 +
      1/(a^2*x^2))^p*E^(n*ArcCot[a*x]), x], x] /; FreeQ[{a, c, d, n}, x] && EqQ[d, a^2*c] &&  !IntegerQ[I*(n/2)] &&
      IntegerQ[p]

5645. Int[E^(ArcCot[(a_.)*(x_)]*(n_.))*(u_.)*((c_) + (d_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Simp[(c + d*x^2)^p/(x^(2*p)*(1
      + 1/(a^2*x^2))^p)   Int[u*x^(2*p)*(1 + 1/(a^2*x^2))^p*E^(n*ArcCot[a*x]), x], x] /; FreeQ[{a, c, d, n, p}, x]
      && EqQ[d, a^2*c] &&  !IntegerQ[I*(n/2)] &&  !IntegerQ[p]

5646. Int[E^(ArcCot[(a_.)*(x_)]*(n_.))*(u_.)*((c_) + (d_.)/(x_)^2)^(p_.), x_Symbol] :> Simp[c^p/(I*a)^(2*p)   Int[(u
      /x^(2*p))*(-1 + I*a*x)^(p - I*(n/2))*(1 + I*a*x)^(p + I*(n/2)), x], x] /; FreeQ[{a, c, d, n, p}, x] && EqQ[c,
      a^2*d] &&  !IntegerQ[I*(n/2)] && (IntegerQ[p] || GtQ[c, 0]) && IntegersQ[2*p, p + I*(n/2)]

5647. Int[E^(ArcCot[(a_.)*(x_)]*(n_.))*((c_) + (d_.)/(x_)^2)^(p_.), x_Symbol] :> Simp[-c^p   Subst[Int[(1 - I*(x/a))
      ^(p + I*(n/2))*((1 + I*(x/a))^(p - I*(n/2))/x^2), x], x, 1/x], x] /; FreeQ[{a, c, d, n, p}, x] && EqQ[c, a^2*d
      ] &&  !IntegerQ[I*(n/2)] && (IntegerQ[p] || GtQ[c, 0]) &&  !(IntegerQ[2*p] && IntegerQ[p + I*(n/2)])

5648. Int[E^(ArcCot[(a_.)*(x_)]*(n_.))*((c_) + (d_.)/(x_)^2)^(p_.)*(x_)^(m_.), x_Symbol] :> Simp[-c^p   Subst[Int[(1
      - I*(x/a))^(p + I*(n/2))*((1 + I*(x/a))^(p - I*(n/2))/x^(m + 2)), x], x, 1/x], x] /; FreeQ[{a, c, d, n, p}, x
      ] && EqQ[c, a^2*d] &&  !IntegerQ[I*(n/2)] && (IntegerQ[p] || GtQ[c, 0]) &&  !(IntegerQ[2*p] && IntegerQ[p + I*
      (n/2)]) && IntegerQ[m]

5649. Int[E^(ArcCot[(a_.)*(x_)]*(n_.))*((c_) + (d_.)/(x_)^2)^(p_.)*(x_)^(m_), x_Symbol] :> Simp[(-c^p)*x^m*(1/x)^m
      Subst[Int[(1 - I*(x/a))^(p + I*(n/2))*((1 + I*(x/a))^(p - I*(n/2))/x^(m + 2)), x], x, 1/x], x] /; FreeQ[{a, c
      , d, m, n, p}, x] && EqQ[c, a^2*d] &&  !IntegerQ[I*(n/2)] && (IntegerQ[p] || GtQ[c, 0]) &&  !(IntegerQ[2*p] &&
      IntegerQ[p + I*(n/2)]) &&  !IntegerQ[m]

5650. Int[E^(ArcCot[(a_.)*(x_)]*(n_.))*(u_.)*((c_) + (d_.)/(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Simp[(c + d/x^2)^p/(1 + 1/(a^2
      *x^2))^p   Int[u*(1 + 1/(a^2*x^2))^p*E^(n*ArcCot[a*x]), x], x] /; FreeQ[{a, c, d, n, p}, x] && EqQ[c, a^2*d] &
      &  !IntegerQ[I*(n/2)] &&  !(IntegerQ[p] || GtQ[c, 0])

5651. Int[E^(ArcCot[(c_.)*((a_) + (b_.)*(x_))]*(n_))*(u_.), x_Symbol] :> Simp[(-1)^(I*(n/2))   Int[u/E^(n*ArcTan[c*(
      a + b*x)]), x], x] /; FreeQ[{a, b, c}, x] && IntegerQ[I*(n/2)]

5652. Int[E^(ArcCot[(c_.)*((a_) + (b_.)*(x_))]*(n_.)), x_Symbol] :> Simp[(I*c*(a + b*x))^(I*(n/2))*((1 + 1/(I*c*(a +
      b*x)))^(I*(n/2))/(1 + I*a*c + I*b*c*x)^(I*(n/2)))   Int[(1 + I*a*c + I*b*c*x)^(I*(n/2))/(-1 + I*a*c + I*b*c*x
      )^(I*(n/2)), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, n}, x] &&  !IntegerQ[I*(n/2)]

5653. Int[E^(ArcCoth[(c_.)*((a_) + (b_.)*(x_))]*(n_))*(x_)^(m_), x_Symbol] :> Simp[4/(I^m*n*b^(m + 1)*c^(m + 1))   S
      ubst[Int[x^(2/(I*n))*((1 + I*a*c + (1 - I*a*c)*x^(2/(I*n)))^m/(-1 + x^(2/(I*n)))^(m + 2)), x], x, (1 + 1/(I*c*
      (a + b*x)))^(I*(n/2))/(1 - 1/(I*c*(a + b*x)))^(I*(n/2))], x] /; FreeQ[{a, b, c}, x] && ILtQ[m, 0] && LtQ[-1, I
      *n, 1]

5654. Int[E^(ArcCoth[(c_.)*((a_) + (b_.)*(x_))]*(n_.))*((d_.) + (e_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Simp[(I*c*(a + b*x))
      ^(I*(n/2))*((1 + 1/(I*c*(a + b*x)))^(I*(n/2))/(1 + I*a*c + I*b*c*x)^(I*(n/2)))   Int[(d + e*x)^m*((1 + I*a*c +
      I*b*c*x)^(I*(n/2))/(-1 + I*a*c + I*b*c*x)^(I*(n/2))), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, m, n}, x] &&  !IntegerQ
      [I*(n/2)]

5655. Int[E^(ArcCot[(a_) + (b_.)*(x_)]*(n_.))*(u_.)*((c_) + (d_.)*(x_) + (e_.)*(x_)^2)^(p_.), x_Symbol] :> Simp[(c/(
      1 + a^2))^p*((I*a + I*b*x)/(1 + I*a + I*b*x))^(I*(n/2))*((1 + I*a + I*b*x)/(I*a + I*b*x))^(I*(n/2))*((1 - I*a
      - I*b*x)^(I*(n/2))/(-1 + I*a + I*b*x)^(I*(n/2)))   Int[u*(1 - I*a - I*b*x)^(p - I*(n/2))*(1 + I*a + I*b*x)^(p
      + I*(n/2)), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, n, p}, x] &&  !IntegerQ[I*(n/2)] && EqQ[b*d - 2*a*e, 0] && EqQ[b^2
      *c - e*(1 + a^2), 0] && (IntegerQ[p] || GtQ[c/(1 + a^2), 0])

5656. Int[E^(ArcCot[(a_) + (b_.)*(x_)]*(n_.))*(u_.)*((c_) + (d_.)*(x_) + (e_.)*(x_)^2)^(p_.), x_Symbol] :> Simp[(c +
      d*x + e*x^2)^p/(1 + a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^p   Int[u*(1 + a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^p*E^(n*ArcCot[a*x]), x],
      x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, n, p}, x] &&  !IntegerQ[I*(n/2)] && EqQ[b*d - 2*a*e, 0] && EqQ[b^2*c - e*(1 + a^2
      ), 0] &&  !(IntegerQ[p] || GtQ[c/(1 + a^2), 0])

5657. Int[E^(ArcCot[(c_.)/((a_.) + (b_.)*(x_))]*(n_.))*(u_.), x_Symbol] :> Int[u*E^(n*ArcTan[a/c + b*(x/c)]), x] /;
      FreeQ[{a, b, c, n}, x]

5658. Int[ArcTan[(a_) + (b_.)*(x_)^(n_)], x_Symbol] :> Simp[x*ArcTan[a + b*x^n], x] - Simp[b*n   Int[x^n/(1 + a^2 +
      2*a*b*x^n + b^2*x^(2*n)), x], x] /; FreeQ[{a, b, n}, x]

5659. Int[ArcCot[(a_) + (b_.)*(x_)^(n_)], x_Symbol] :> Simp[x*ArcCot[a + b*x^n], x] + Simp[b*n   Int[x^n/(1 + a^2 +
      2*a*b*x^n + b^2*x^(2*n)), x], x] /; FreeQ[{a, b, n}, x]

5660. Int[ArcTan[(a_.) + (b_.)*(x_)^(n_)]/(x_), x_Symbol] :> Simp[I/2   Int[Log[1 - I*a - I*b*x^n]/x, x], x] - Simp[
      I/2   Int[Log[1 + I*a + I*b*x^n]/x, x], x] /; FreeQ[{a, b, n}, x]

5661. Int[ArcCot[(a_.) + (b_.)*(x_)^(n_)]/(x_), x_Symbol] :> Simp[I/2   Int[Log[1 - I/(a + b*x^n)]/x, x], x] - Simp[
      I/2   Int[Log[1 + I/(a + b*x^n)]/x, x], x] /; FreeQ[{a, b, n}, x]

5662. Int[ArcTan[(a_) + (b_.)*(x_)^(n_)]*(x_)^(m_.), x_Symbol] :> Simp[x^(m + 1)*(ArcTan[a + b*x^n]/(m + 1)), x] - S
      imp[b*(n/(m + 1))   Int[x^(m + n)/(1 + a^2 + 2*a*b*x^n + b^2*x^(2*n)), x], x] /; FreeQ[{a, b}, x] && RationalQ
      [m, n] && m + 1 != 0 && m + 1 != n

5663. Int[ArcCot[(a_) + (b_.)*(x_)^(n_)]*(x_)^(m_.), x_Symbol] :> Simp[x^(m + 1)*(ArcCot[a + b*x^n]/(m + 1)), x] + S
      imp[b*(n/(m + 1))   Int[x^(m + n)/(1 + a^2 + 2*a*b*x^n + b^2*x^(2*n)), x], x] /; FreeQ[{a, b}, x] && RationalQ
      [m, n] && m + 1 != 0 && m + 1 != n

5664. Int[ArcTan[(a_.) + (b_.)*(f_)^((c_.) + (d_.)*(x_))], x_Symbol] :> Simp[I/2   Int[Log[1 - I*a - I*b*f^(c + d*x)
      ], x], x] - Simp[I/2   Int[Log[1 + I*a + I*b*f^(c + d*x)], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, f}, x]

5665. Int[ArcCot[(a_.) + (b_.)*(f_)^((c_.) + (d_.)*(x_))], x_Symbol] :> Simp[I/2   Int[Log[1 - I/(a + b*f^(c + d*x))
      ], x], x] - Simp[I/2   Int[Log[1 + I/(a + b*f^(c + d*x))], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, f}, x]

5666. Int[ArcTan[(a_.) + (b_.)*(f_)^((c_.) + (d_.)*(x_))]*(x_)^(m_.), x_Symbol] :> Simp[I/2   Int[x^m*Log[1 - I*a -
      I*b*f^(c + d*x)], x], x] - Simp[I/2   Int[x^m*Log[1 + I*a + I*b*f^(c + d*x)], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, f},
      x] && IntegerQ[m] && m > 0

5667. Int[ArcCot[(a_.) + (b_.)*(f_)^((c_.) + (d_.)*(x_))]*(x_)^(m_.), x_Symbol] :> Simp[I/2   Int[x^m*Log[1 - I/(a +
      b*f^(c + d*x))], x], x] - Simp[I/2   Int[x^m*Log[1 + I/(a + b*f^(c + d*x))], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, f},
      x] && IntegerQ[m] && m > 0

5668. Int[ArcTan[(c_.)/((a_.) + (b_.)*(x_)^(n_.))]^(m_.)*(u_.), x_Symbol] :> Int[u*ArcCot[a/c + b*(x^n/c)]^m, x] /;
      FreeQ[{a, b, c, n, m}, x]

5669. Int[ArcCot[(c_.)/((a_.) + (b_.)*(x_)^(n_.))]^(m_.)*(u_.), x_Symbol] :> Int[u*ArcTan[a/c + b*(x^n/c)]^m, x] /;
      FreeQ[{a, b, c, n, m}, x]

5670. Int[ArcTan[((c_.)*(x_))/Sqrt[(a_.) + (b_.)*(x_)^2]], x_Symbol] :> Simp[x*ArcTan[(c*x)/Sqrt[a + b*x^2]], x] - S
      imp[c   Int[x/Sqrt[a + b*x^2], x], x] /; FreeQ[{a, b, c}, x] && EqQ[b + c^2, 0]

5671. Int[ArcCot[((c_.)*(x_))/Sqrt[(a_.) + (b_.)*(x_)^2]], x_Symbol] :> Simp[x*ArcCot[(c*x)/Sqrt[a + b*x^2]], x] + S
      imp[c   Int[x/Sqrt[a + b*x^2], x], x] /; FreeQ[{a, b, c}, x] && EqQ[b + c^2, 0]

5672. Int[ArcTan[((c_.)*(x_))/Sqrt[(a_.) + (b_.)*(x_)^2]]/(x_), x_Symbol] :> Simp[ArcTan[c*(x/Sqrt[a + b*x^2])]*Log[
      x], x] - Simp[c   Int[Log[x]/Sqrt[a + b*x^2], x], x] /; FreeQ[{a, b, c}, x] && EqQ[b + c^2, 0]

5673. Int[ArcCot[((c_.)*(x_))/Sqrt[(a_.) + (b_.)*(x_)^2]]/(x_), x_Symbol] :> Simp[ArcCot[c*(x/Sqrt[a + b*x^2])]*Log[
      x], x] + Simp[c   Int[Log[x]/Sqrt[a + b*x^2], x], x] /; FreeQ[{a, b, c}, x] && EqQ[b + c^2, 0]

5674. Int[ArcTan[((c_.)*(x_))/Sqrt[(a_.) + (b_.)*(x_)^2]]*((d_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Simp[(d*x)^(m + 1)*(ArcTa
      n[(c*x)/Sqrt[a + b*x^2]]/(d*(m + 1))), x] - Simp[c/(d*(m + 1))   Int[(d*x)^(m + 1)/Sqrt[a + b*x^2], x], x] /;
      FreeQ[{a, b, c, d, m}, x] && EqQ[b + c^2, 0] && NeQ[m, -1]

5675. Int[ArcCot[((c_.)*(x_))/Sqrt[(a_.) + (b_.)*(x_)^2]]*((d_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Simp[(d*x)^(m + 1)*(ArcCo
      t[(c*x)/Sqrt[a + b*x^2]]/(d*(m + 1))), x] + Simp[c/(d*(m + 1))   Int[(d*x)^(m + 1)/Sqrt[a + b*x^2], x], x] /;
      FreeQ[{a, b, c, d, m}, x] && EqQ[b + c^2, 0] && NeQ[m, -1]

5676. Int[1/(ArcTan[((c_.)*(x_))/Sqrt[(a_.) + (b_.)*(x_)^2]]*Sqrt[(a_.) + (b_.)*(x_)^2]), x_Symbol] :> Simp[(1/c)*Lo
      g[ArcTan[c*(x/Sqrt[a + b*x^2])]], x] /; FreeQ[{a, b, c}, x] && EqQ[b + c^2, 0]

5677. Int[1/(ArcCot[((c_.)*(x_))/Sqrt[(a_.) + (b_.)*(x_)^2]]*Sqrt[(a_.) + (b_.)*(x_)^2]), x_Symbol] :> Simp[(-c^(-1)
      )*Log[ArcCot[c*(x/Sqrt[a + b*x^2])]], x] /; FreeQ[{a, b, c}, x] && EqQ[b + c^2, 0]

5678. Int[ArcTan[((c_.)*(x_))/Sqrt[(a_.) + (b_.)*(x_)^2]]^(m_.)/Sqrt[(a_.) + (b_.)*(x_)^2], x_Symbol] :> Simp[ArcTan
      [c*(x/Sqrt[a + b*x^2])]^(m + 1)/(c*(m + 1)), x] /; FreeQ[{a, b, c, m}, x] && EqQ[b + c^2, 0] && NeQ[m, -1]

5679. Int[ArcCot[((c_.)*(x_))/Sqrt[(a_.) + (b_.)*(x_)^2]]^(m_.)/Sqrt[(a_.) + (b_.)*(x_)^2], x_Symbol] :> Simp[-ArcCo
      t[c*(x/Sqrt[a + b*x^2])]^(m + 1)/(c*(m + 1)), x] /; FreeQ[{a, b, c, m}, x] && EqQ[b + c^2, 0] && NeQ[m, -1]

5680. Int[ArcTan[((c_.)*(x_))/Sqrt[(a_.) + (b_.)*(x_)^2]]^(m_.)/Sqrt[(d_.) + (e_.)*(x_)^2], x_Symbol] :> Simp[Sqrt[a
      + b*x^2]/Sqrt[d + e*x^2]   Int[ArcTan[c*(x/Sqrt[a + b*x^2])]^m/Sqrt[a + b*x^2], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d,
      e, m}, x] && EqQ[b + c^2, 0] && EqQ[b*d - a*e, 0]

5681. Int[ArcCot[((c_.)*(x_))/Sqrt[(a_.) + (b_.)*(x_)^2]]^(m_.)/Sqrt[(d_.) + (e_.)*(x_)^2], x_Symbol] :> Simp[Sqrt[a
      + b*x^2]/Sqrt[d + e*x^2]   Int[ArcCot[c*(x/Sqrt[a + b*x^2])]^m/Sqrt[a + b*x^2], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d,
      e, m}, x] && EqQ[b + c^2, 0] && EqQ[b*d - a*e, 0]

5682. Int[ArcTan[(v_) + (s_.)*Sqrt[w_]]*(u_.), x_Symbol] :> Simp[Pi*(s/4)   Int[u, x], x] + Simp[1/2   Int[u*ArcTan[
      v], x], x] /; EqQ[s^2, 1] && EqQ[w, v^2 + 1]

5683. Int[ArcCot[(v_) + (s_.)*Sqrt[w_]]*(u_.), x_Symbol] :> Simp[Pi*(s/4)   Int[u, x], x] - Simp[1/2   Int[u*ArcTan[
      v], x], x] /; EqQ[s^2, 1] && EqQ[w, v^2 + 1]

5684. Int[(u_)*(v_)^(n_.), x_Symbol] :> With[{tmp = InverseFunctionOfLinear[u, x]}, Simp[((-Discriminant[v, x]/(4*Co
      efficient[v, x, 2]))^n/Coefficient[tmp[[1]], x, 1])*Subst[Int[SimplifyIntegrand[SubstForInverseFunction[u, tmp
      , x]*Sec[x]^(2*(n + 1)), x], x], x, tmp], x] /;  !FalseQ[tmp] && EqQ[Head[tmp], ArcTan] && EqQ[Discriminant[v,
      x]*tmp[[1]]^2 + D[v, x]^2, 0]] /; QuadraticQ[v, x] && ILtQ[n, 0] && NegQ[Discriminant[v, x]] && MatchQ[u, (r_
      .)*(f_)^(w_) /; FreeQ[f, x]]

5685. Int[(u_)*(v_)^(n_.), x_Symbol] :> With[{tmp = InverseFunctionOfLinear[u, x]}, Simp[(-(-Discriminant[v, x]/(4*C
      oefficient[v, x, 2]))^n/Coefficient[tmp[[1]], x, 1])*Subst[Int[SimplifyIntegrand[SubstForInverseFunction[u, tm
      p, x]*Csc[x]^(2*(n + 1)), x], x], x, tmp], x] /;  !FalseQ[tmp] && EqQ[Head[tmp], ArcCot] && EqQ[Discriminant[v
      , x]*tmp[[1]]^2 + D[v, x]^2, 0]] /; QuadraticQ[v, x] && ILtQ[n, 0] && NegQ[Discriminant[v, x]] && MatchQ[u, (r
      _.)*(f_)^(w_) /; FreeQ[f, x]]

5686. Int[ArcTan[(c_.) + (d_.)*Tan[(a_.) + (b_.)*(x_)]], x_Symbol] :> Simp[x*ArcTan[c + d*Tan[a + b*x]], x] - Simp[I
      *b   Int[x/(c + I*d + c*E^(2*I*a + 2*I*b*x)), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && EqQ[(c + I*d)^2, -1]

5687. Int[ArcCot[(c_.) + (d_.)*Tan[(a_.) + (b_.)*(x_)]], x_Symbol] :> Simp[x*ArcCot[c + d*Tan[a + b*x]], x] + Simp[I
      *b   Int[x/(c + I*d + c*E^(2*I*a + 2*I*b*x)), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && EqQ[(c + I*d)^2, -1]

5688. Int[ArcTan[(c_.) + Cot[(a_.) + (b_.)*(x_)]*(d_.)], x_Symbol] :> Simp[x*ArcTan[c + d*Cot[a + b*x]], x] - Simp[I
      *b   Int[x/(c - I*d - c*E^(2*I*a + 2*I*b*x)), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && EqQ[(c - I*d)^2, -1]

5689. Int[ArcCot[(c_.) + Cot[(a_.) + (b_.)*(x_)]*(d_.)], x_Symbol] :> Simp[x*ArcCot[c + d*Cot[a + b*x]], x] + Simp[I
      *b   Int[x/(c - I*d - c*E^(2*I*a + 2*I*b*x)), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && EqQ[(c - I*d)^2, -1]

5690. Int[ArcTan[(c_.) + (d_.)*Tan[(a_.) + (b_.)*(x_)]], x_Symbol] :> Simp[x*ArcTan[c + d*Tan[a + b*x]], x] + (Simp[
      b*(1 - I*c - d)   Int[x*(E^(2*I*a + 2*I*b*x)/(1 - I*c + d + (1 - I*c - d)*E^(2*I*a + 2*I*b*x))), x], x] - Simp
      [b*(1 + I*c + d)   Int[x*(E^(2*I*a + 2*I*b*x)/(1 + I*c - d + (1 + I*c + d)*E^(2*I*a + 2*I*b*x))), x], x]) /; F
      reeQ[{a, b, c, d}, x] && NeQ[(c + I*d)^2, -1]

5691. Int[ArcCot[(c_.) + (d_.)*Tan[(a_.) + (b_.)*(x_)]], x_Symbol] :> Simp[x*ArcCot[c + d*Tan[a + b*x]], x] + (-Simp
      [b*(1 - I*c - d)   Int[x*(E^(2*I*a + 2*I*b*x)/(1 - I*c + d + (1 - I*c - d)*E^(2*I*a + 2*I*b*x))), x], x] + Sim
      p[b*(1 + I*c + d)   Int[x*(E^(2*I*a + 2*I*b*x)/(1 + I*c - d + (1 + I*c + d)*E^(2*I*a + 2*I*b*x))), x], x]) /;
      FreeQ[{a, b, c, d}, x] && NeQ[(c + I*d)^2, -1]

5692. Int[ArcTan[(c_.) + Cot[(a_.) + (b_.)*(x_)]*(d_.)], x_Symbol] :> Simp[x*ArcTan[c + d*Cot[a + b*x]], x] + (Simp[
      b*(1 + I*c - d)   Int[x*(E^(2*I*a + 2*I*b*x)/(1 + I*c + d - (1 + I*c - d)*E^(2*I*a + 2*I*b*x))), x], x] - Simp
      [b*(1 - I*c + d)   Int[x*(E^(2*I*a + 2*I*b*x)/(1 - I*c - d - (1 - I*c + d)*E^(2*I*a + 2*I*b*x))), x], x]) /; F
      reeQ[{a, b, c, d}, x] && NeQ[(c + I*d)^2, -1]

5693. Int[ArcCot[(c_.) + Cot[(a_.) + (b_.)*(x_)]*(d_.)], x_Symbol] :> Simp[x*ArcCot[c + d*Cot[a + b*x]], x] + (-Simp
      [b*(1 + I*c - d)   Int[x*(E^(2*I*a + 2*I*b*x)/(1 + I*c + d - (1 + I*c - d)*E^(2*I*a + 2*I*b*x))), x], x] + Sim
      p[b*(1 - I*c + d)   Int[x*(E^(2*I*a + 2*I*b*x)/(1 - I*c - d - (1 - I*c + d)*E^(2*I*a + 2*I*b*x))), x], x]) /;
      FreeQ[{a, b, c, d}, x] && NeQ[(c - I*d)^2, -1]

5694. Int[ArcTan[(c_.) + (d_.)*Tan[(a_.) + (b_.)*(x_)]]*((e_.) + (f_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Simp[(e + f*x)^(m +
      1)*(ArcTan[c + d*Tan[a + b*x]]/(f*(m + 1))), x] - Simp[I*(b/(f*(m + 1)))   Int[(e + f*x)^(m + 1)/(c + I*d + c
      *E^(2*I*a + 2*I*b*x)), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && IGtQ[m, 0] && EqQ[(c + I*d)^2, -1]

5695. Int[ArcCot[(c_.) + (d_.)*Tan[(a_.) + (b_.)*(x_)]]*((e_.) + (f_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Simp[(e + f*x)^(m +
      1)*(ArcCot[c + d*Tan[a + b*x]]/(f*(m + 1))), x] + Simp[I*(b/(f*(m + 1)))   Int[(e + f*x)^(m + 1)/(c + I*d + c
      *E^(2*I*a + 2*I*b*x)), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && IGtQ[m, 0] && EqQ[(c + I*d)^2, -1]

5696. Int[ArcTan[(c_.) + Cot[(a_.) + (b_.)*(x_)]*(d_.)]*((e_.) + (f_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Simp[(e + f*x)^(m +
      1)*(ArcTan[c + d*Cot[a + b*x]]/(f*(m + 1))), x] - Simp[I*(b/(f*(m + 1)))   Int[(e + f*x)^(m + 1)/(c - I*d - c
      *E^(2*I*a + 2*I*b*x)), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && IGtQ[m, 0] && EqQ[(c - I*d)^2, -1]

5697. Int[ArcCot[(c_.) + Cot[(a_.) + (b_.)*(x_)]*(d_.)]*((e_.) + (f_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Simp[(e + f*x)^(m +
      1)*(ArcCot[c + d*Cot[a + b*x]]/(f*(m + 1))), x] + Simp[I*(b/(f*(m + 1)))   Int[(e + f*x)^(m + 1)/(c - I*d - c
      *E^(2*I*a + 2*I*b*x)), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && IGtQ[m, 0] && EqQ[(c - I*d)^2, -1]

5698. Int[ArcTan[(c_.) + (d_.)*Tan[(a_.) + (b_.)*(x_)]]*((e_.) + (f_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Simp[(e + f*x)^(m +
      1)*(ArcTan[c + d*Tan[a + b*x]]/(f*(m + 1))), x] + (Simp[b*((1 - I*c - d)/(f*(m + 1)))   Int[(e + f*x)^(m + 1)
      *(E^(2*I*a + 2*I*b*x)/(1 - I*c + d + (1 - I*c - d)*E^(2*I*a + 2*I*b*x))), x], x] - Simp[b*((1 + I*c + d)/(f*(m
      + 1)))   Int[(e + f*x)^(m + 1)*(E^(2*I*a + 2*I*b*x)/(1 + I*c - d + (1 + I*c + d)*E^(2*I*a + 2*I*b*x))), x], x
      ]) /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && IGtQ[m, 0] && NeQ[(c + I*d)^2, -1]

5699. Int[ArcCot[(c_.) + (d_.)*Tan[(a_.) + (b_.)*(x_)]]*((e_.) + (f_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Simp[(e + f*x)^(m +
      1)*(ArcCot[c + d*Tan[a + b*x]]/(f*(m + 1))), x] + (-Simp[b*((1 - I*c - d)/(f*(m + 1)))   Int[(e + f*x)^(m + 1
      )*(E^(2*I*a + 2*I*b*x)/(1 - I*c + d + (1 - I*c - d)*E^(2*I*a + 2*I*b*x))), x], x] + Simp[b*((1 + I*c + d)/(f*(
      m + 1)))   Int[(e + f*x)^(m + 1)*(E^(2*I*a + 2*I*b*x)/(1 + I*c - d + (1 + I*c + d)*E^(2*I*a + 2*I*b*x))), x],
      x]) /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && IGtQ[m, 0] && NeQ[(c + I*d)^2, -1]

5700. Int[ArcTan[(c_.) + Cot[(a_.) + (b_.)*(x_)]*(d_.)]*((e_.) + (f_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Simp[(e + f*x)^(m +
      1)*(ArcTan[c + d*Cot[a + b*x]]/(f*(m + 1))), x] + (Simp[b*((1 + I*c - d)/(f*(m + 1)))   Int[(e + f*x)^(m + 1)
      *(E^(2*I*a + 2*I*b*x)/(1 + I*c + d - (1 + I*c - d)*E^(2*I*a + 2*I*b*x))), x], x] - Simp[b*((1 - I*c + d)/(f*(m
      + 1)))   Int[(e + f*x)^(m + 1)*(E^(2*I*a + 2*I*b*x)/(1 - I*c - d - (1 - I*c + d)*E^(2*I*a + 2*I*b*x))), x], x
      ]) /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && IGtQ[m, 0] && NeQ[(c - I*d)^2, -1]

5701. Int[ArcCot[(c_.) + Cot[(a_.) + (b_.)*(x_)]*(d_.)]*((e_.) + (f_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Simp[(e + f*x)^(m +
      1)*(ArcCot[c + d*Cot[a + b*x]]/(f*(m + 1))), x] + (-Simp[b*((1 + I*c - d)/(f*(m + 1)))   Int[(e + f*x)^(m + 1
      )*(E^(2*I*a + 2*I*b*x)/(1 + I*c + d - (1 + I*c - d)*E^(2*I*a + 2*I*b*x))), x], x] + Simp[b*((1 - I*c + d)/(f*(
      m + 1)))   Int[(e + f*x)^(m + 1)*(E^(2*I*a + 2*I*b*x)/(1 - I*c - d - (1 - I*c + d)*E^(2*I*a + 2*I*b*x))), x],
      x]) /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && IGtQ[m, 0] && NeQ[(c - I*d)^2, -1]

5702. Int[ArcTan[Tanh[(a_.) + (b_.)*(x_)]], x_Symbol] :> Simp[x*ArcTan[Tanh[a + b*x]], x] - Simp[b   Int[x*Sech[2*a
      + 2*b*x], x], x] /; FreeQ[{a, b}, x]

5703. Int[ArcCot[Tanh[(a_.) + (b_.)*(x_)]], x_Symbol] :> Simp[x*ArcCot[Tanh[a + b*x]], x] + Simp[b   Int[x*Sech[2*a
      + 2*b*x], x], x] /; FreeQ[{a, b}, x]

5704. Int[ArcTan[Coth[(a_.) + (b_.)*(x_)]], x_Symbol] :> Simp[x*ArcTan[Coth[a + b*x]], x] + Simp[b   Int[x*Sech[2*a
      + 2*b*x], x], x] /; FreeQ[{a, b}, x]

5705. Int[ArcCot[Coth[(a_.) + (b_.)*(x_)]], x_Symbol] :> Simp[x*ArcCot[Coth[a + b*x]], x] - Simp[b   Int[x*Sech[2*a
      + 2*b*x], x], x] /; FreeQ[{a, b}, x]

5706. Int[ArcTan[Tanh[(a_.) + (b_.)*(x_)]]*((e_.) + (f_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Simp[(e + f*x)^(m + 1)*(ArcTan[T
      anh[a + b*x]]/(f*(m + 1))), x] - Simp[b/(f*(m + 1))   Int[(e + f*x)^(m + 1)*Sech[2*a + 2*b*x], x], x] /; FreeQ
      [{a, b, e, f}, x] && IGtQ[m, 0]

5707. Int[ArcCot[Tanh[(a_.) + (b_.)*(x_)]]*((e_.) + (f_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Simp[(e + f*x)^(m + 1)*(ArcCot[T
      anh[a + b*x]]/(f*(m + 1))), x] + Simp[b/(f*(m + 1))   Int[(e + f*x)^(m + 1)*Sech[2*a + 2*b*x], x], x] /; FreeQ
      [{a, b, e, f}, x] && IGtQ[m, 0]

5708. Int[ArcTan[Coth[(a_.) + (b_.)*(x_)]]*((e_.) + (f_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Simp[(e + f*x)^(m + 1)*(ArcTan[C
      oth[a + b*x]]/(f*(m + 1))), x] + Simp[b/(f*(m + 1))   Int[(e + f*x)^(m + 1)*Sech[2*a + 2*b*x], x], x] /; FreeQ
      [{a, b, e, f}, x] && IGtQ[m, 0]

5709. Int[ArcCot[Coth[(a_.) + (b_.)*(x_)]]*((e_.) + (f_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Simp[(e + f*x)^(m + 1)*(ArcCot[C
      oth[a + b*x]]/(f*(m + 1))), x] - Simp[b/(f*(m + 1))   Int[(e + f*x)^(m + 1)*Sech[2*a + 2*b*x], x], x] /; FreeQ
      [{a, b, e, f}, x] && IGtQ[m, 0]

5710. Int[ArcTan[(c_.) + (d_.)*Tanh[(a_.) + (b_.)*(x_)]], x_Symbol] :> Simp[x*ArcTan[c + d*Tanh[a + b*x]], x] - Simp
      [b   Int[x/(c - d + c*E^(2*a + 2*b*x)), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && EqQ[(c - d)^2, -1]

5711. Int[ArcCot[(c_.) + (d_.)*Tanh[(a_.) + (b_.)*(x_)]], x_Symbol] :> Simp[x*ArcCot[c + d*Tanh[a + b*x]], x] + Simp
      [b   Int[x/(c - d + c*E^(2*a + 2*b*x)), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && EqQ[(c - d)^2, -1]

5712. Int[ArcTan[(c_.) + Coth[(a_.) + (b_.)*(x_)]*(d_.)], x_Symbol] :> Simp[x*ArcTan[c + d*Coth[a + b*x]], x] - Simp
      [b   Int[x/(c - d - c*E^(2*a + 2*b*x)), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && EqQ[(c - d)^2, -1]

5713. Int[ArcCot[(c_.) + Coth[(a_.) + (b_.)*(x_)]*(d_.)], x_Symbol] :> Simp[x*ArcCot[c + d*Coth[a + b*x]], x] + Simp
      [b   Int[x/(c - d - c*E^(2*a + 2*b*x)), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && EqQ[(c - d)^2, -1]

5714. Int[ArcTan[(c_.) + (d_.)*Tanh[(a_.) + (b_.)*(x_)]], x_Symbol] :> Simp[x*ArcTan[c + d*Tanh[a + b*x]], x] + (Sim
      p[I*b*(I - c - d)   Int[x*(E^(2*a + 2*b*x)/(I - c + d + (I - c - d)*E^(2*a + 2*b*x))), x], x] - Simp[I*b*(I +
      c + d)   Int[x*(E^(2*a + 2*b*x)/(I + c - d + (I + c + d)*E^(2*a + 2*b*x))), x], x]) /; FreeQ[{a, b, c, d}, x]
      && NeQ[(c - d)^2, -1]

5715. Int[ArcCot[(c_.) + (d_.)*Tanh[(a_.) + (b_.)*(x_)]], x_Symbol] :> Simp[x*ArcCot[c + d*Tanh[a + b*x]], x] + (-Si
      mp[I*b*(I - c - d)   Int[x*(E^(2*a + 2*b*x)/(I - c + d + (I - c - d)*E^(2*a + 2*b*x))), x], x] + Simp[I*b*(I +
      c + d)   Int[x*(E^(2*a + 2*b*x)/(I + c - d + (I + c + d)*E^(2*a + 2*b*x))), x], x]) /; FreeQ[{a, b, c, d}, x]
      && NeQ[(c - d)^2, -1]

5716. Int[ArcTan[(c_.) + Coth[(a_.) + (b_.)*(x_)]*(d_.)], x_Symbol] :> Simp[x*ArcTan[c + d*Coth[a + b*x]], x] + (-Si
      mp[I*b*(I - c - d)   Int[x*(E^(2*a + 2*b*x)/(I - c + d - (I - c - d)*E^(2*a + 2*b*x))), x], x] + Simp[I*b*(I +
      c + d)   Int[x*(E^(2*a + 2*b*x)/(I + c - d - (I + c + d)*E^(2*a + 2*b*x))), x], x]) /; FreeQ[{a, b, c, d}, x]
      && NeQ[(c - d)^2, -1]

5717. Int[ArcCot[(c_.) + Coth[(a_.) + (b_.)*(x_)]*(d_.)], x_Symbol] :> Simp[x*ArcCot[c + d*Coth[a + b*x]], x] + (Sim
      p[I*b*(I - c - d)   Int[x*(E^(2*a + 2*b*x)/(I - c + d - (I - c - d)*E^(2*a + 2*b*x))), x], x] - Simp[I*b*(I +
      c + d)   Int[x*(E^(2*a + 2*b*x)/(I + c - d - (I + c + d)*E^(2*a + 2*b*x))), x], x]) /; FreeQ[{a, b, c, d}, x]
      && NeQ[(c - d)^2, -1]

5718. Int[ArcTan[(c_.) + (d_.)*Tanh[(a_.) + (b_.)*(x_)]]*((e_.) + (f_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Simp[(e + f*x)^(m
      + 1)*(ArcTan[c + d*Tanh[a + b*x]]/(f*(m + 1))), x] - Simp[b/(f*(m + 1))   Int[(e + f*x)^(m + 1)/(c - d + c*E^(
      2*a + 2*b*x)), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && IGtQ[m, 0] && EqQ[(c - d)^2, -1]

5719. Int[ArcCot[(c_.) + (d_.)*Tanh[(a_.) + (b_.)*(x_)]]*((e_.) + (f_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Simp[(e + f*x)^(m
      + 1)*(ArcCot[c + d*Tanh[a + b*x]]/(f*(m + 1))), x] + Simp[b/(f*(m + 1))   Int[(e + f*x)^(m + 1)/(c - d + c*E^(
      2*a + 2*b*x)), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && IGtQ[m, 0] && EqQ[(c - d)^2, -1]

5720. Int[ArcTan[(c_.) + Coth[(a_.) + (b_.)*(x_)]*(d_.)]*((e_.) + (f_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Simp[(e + f*x)^(m
      + 1)*(ArcTan[c + d*Coth[a + b*x]]/(f*(m + 1))), x] - Simp[b/(f*(m + 1))   Int[(e + f*x)^(m + 1)/(c - d - c*E^(
      2*a + 2*b*x)), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && IGtQ[m, 0] && EqQ[(c - d)^2, -1]

5721. Int[ArcCot[(c_.) + Coth[(a_.) + (b_.)*(x_)]*(d_.)]*((e_.) + (f_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Simp[(e + f*x)^(m
      + 1)*(ArcCot[c + d*Coth[a + b*x]]/(f*(m + 1))), x] + Simp[b/(f*(m + 1))   Int[(e + f*x)^(m + 1)/(c - d - c*E^(
      2*a + 2*b*x)), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && IGtQ[m, 0] && EqQ[(c - d)^2, -1]

5722. Int[ArcTan[(c_.) + (d_.)*Tanh[(a_.) + (b_.)*(x_)]]*((e_.) + (f_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Simp[(e + f*x)^(m
      + 1)*(ArcTan[c + d*Tanh[a + b*x]]/(f*(m + 1))), x] + (Simp[I*b*((I - c - d)/(f*(m + 1)))   Int[(e + f*x)^(m +
      1)*(E^(2*a + 2*b*x)/(I - c + d + (I - c - d)*E^(2*a + 2*b*x))), x], x] - Simp[I*b*((I + c + d)/(f*(m + 1)))
      Int[(e + f*x)^(m + 1)*(E^(2*a + 2*b*x)/(I + c - d + (I + c + d)*E^(2*a + 2*b*x))), x], x]) /; FreeQ[{a, b, c,
      d, e, f}, x] && IGtQ[m, 0] && NeQ[(c - d)^2, -1]

5723. Int[ArcCot[(c_.) + (d_.)*Tanh[(a_.) + (b_.)*(x_)]]*((e_.) + (f_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Simp[(e + f*x)^(m
      + 1)*(ArcCot[c + d*Tanh[a + b*x]]/(f*(m + 1))), x] + (-Simp[I*b*((I - c - d)/(f*(m + 1)))   Int[(e + f*x)^(m +
      1)*(E^(2*a + 2*b*x)/(I - c + d + (I - c - d)*E^(2*a + 2*b*x))), x], x] + Simp[I*b*((I + c + d)/(f*(m + 1)))
      Int[(e + f*x)^(m + 1)*(E^(2*a + 2*b*x)/(I + c - d + (I + c + d)*E^(2*a + 2*b*x))), x], x]) /; FreeQ[{a, b, c,
      d, e, f}, x] && IGtQ[m, 0] && NeQ[(c - d)^2, -1]

5724. Int[ArcTan[(c_.) + Coth[(a_.) + (b_.)*(x_)]*(d_.)]*((e_.) + (f_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Simp[(e + f*x)^(m
      + 1)*(ArcTan[c + d*Coth[a + b*x]]/(f*(m + 1))), x] + (-Simp[I*b*((I - c - d)/(f*(m + 1)))   Int[(e + f*x)^(m +
      1)*(E^(2*a + 2*b*x)/(I - c + d - (I - c - d)*E^(2*a + 2*b*x))), x], x] + Simp[I*b*((I + c + d)/(f*(m + 1)))
      Int[(e + f*x)^(m + 1)*(E^(2*a + 2*b*x)/(I + c - d - (I + c + d)*E^(2*a + 2*b*x))), x], x]) /; FreeQ[{a, b, c,
      d, e, f}, x] && IGtQ[m, 0] && NeQ[(c - d)^2, -1]

5725. Int[ArcCot[(c_.) + Coth[(a_.) + (b_.)*(x_)]*(d_.)]*((e_.) + (f_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Simp[(e + f*x)^(m
      + 1)*(ArcCot[c + d*Coth[a + b*x]]/(f*(m + 1))), x] + (Simp[I*b*((I - c - d)/(f*(m + 1)))   Int[(e + f*x)^(m +
      1)*(E^(2*a + 2*b*x)/(I - c + d - (I - c - d)*E^(2*a + 2*b*x))), x], x] - Simp[I*b*((I + c + d)/(f*(m + 1)))
      Int[(e + f*x)^(m + 1)*(E^(2*a + 2*b*x)/(I + c - d - (I + c + d)*E^(2*a + 2*b*x))), x], x]) /; FreeQ[{a, b, c,
      d, e, f}, x] && IGtQ[m, 0] && NeQ[(c - d)^2, -1]

5726. Int[ArcTan[u_], x_Symbol] :> Simp[x*ArcTan[u], x] - Int[SimplifyIntegrand[x*(D[u, x]/(1 + u^2)), x], x] /; Inv
      erseFunctionFreeQ[u, x]

5727. Int[ArcCot[u_], x_Symbol] :> Simp[x*ArcCot[u], x] + Int[SimplifyIntegrand[x*(D[u, x]/(1 + u^2)), x], x] /; Inv
      erseFunctionFreeQ[u, x]

5728. Int[((a_.) + ArcTan[u_]*(b_.))*((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Simp[(c + d*x)^(m + 1)*((a + b*ArcTan[
      u])/(d*(m + 1))), x] - Simp[b/(d*(m + 1))   Int[SimplifyIntegrand[(c + d*x)^(m + 1)*(D[u, x]/(1 + u^2)), x], x
      ], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, m}, x] && NeQ[m, -1] && InverseFunctionFreeQ[u, x] &&  !FunctionOfQ[(c + d*x)^(m +
      1), u, x] && FalseQ[PowerVariableExpn[u, m + 1, x]]

5729. Int[((a_.) + ArcCot[u_]*(b_.))*((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Simp[(c + d*x)^(m + 1)*((a + b*ArcCot[
      u])/(d*(m + 1))), x] + Simp[b/(d*(m + 1))   Int[SimplifyIntegrand[(c + d*x)^(m + 1)*(D[u, x]/(1 + u^2)), x], x
      ], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, m}, x] && NeQ[m, -1] && InverseFunctionFreeQ[u, x] &&  !FunctionOfQ[(c + d*x)^(m +
      1), u, x] && FalseQ[PowerVariableExpn[u, m + 1, x]]

5730. Int[((a_.) + ArcTan[u_]*(b_.))*(v_), x_Symbol] :> With[{w = IntHide[v, x]}, Simp[(a + b*ArcTan[u])   w, x] - S
      imp[b   Int[SimplifyIntegrand[w*(D[u, x]/(1 + u^2)), x], x], x] /; InverseFunctionFreeQ[w, x]] /; FreeQ[{a, b}
      , x] && InverseFunctionFreeQ[u, x] &&  !MatchQ[v, ((c_.) + (d_.)*x)^(m_.) /; FreeQ[{c, d, m}, x]] && FalseQ[Fu
      nctionOfLinear[v*(a + b*ArcTan[u]), x]]

5731. Int[((a_.) + ArcCot[u_]*(b_.))*(v_), x_Symbol] :> With[{w = IntHide[v, x]}, Simp[(a + b*ArcCot[u])*w, x] + Sim
      p[b   Int[SimplifyIntegrand[w*(D[u, x]/(1 + u^2)), x], x], x] /; InverseFunctionFreeQ[w, x]] /; FreeQ[{a, b},
      x] && InverseFunctionFreeQ[u, x] &&  !MatchQ[v, ((c_.) + (d_.)*x)^(m_.) /; FreeQ[{c, d, m}, x]] && FalseQ[Func
      tionOfLinear[v*(a + b*ArcCot[u]), x]]

5732. Int[(ArcTan[v_]*Log[w_])/((a_.) + (b_.)*(x_)), x_Symbol] :> Simp[I/2   Int[Log[1 - I*v]*(Log[w]/(a + b*x)), x]
      , x] - Simp[I/2   Int[Log[1 + I*v]*(Log[w]/(a + b*x)), x], x] /; FreeQ[{a, b}, x] && LinearQ[v, x] && LinearQ[
      w, x] && EqQ[Simplify[D[v/(a + b*x), x]], 0] && EqQ[Simplify[D[w/(a + b*x), x]], 0]

5733. Int[ArcTan[v_]*Log[w_], x_Symbol] :> Simp[x*ArcTan[v]*Log[w], x] + (-Int[SimplifyIntegrand[x*Log[w]*(D[v, x]/(
      1 + v^2)), x], x] - Int[SimplifyIntegrand[x*ArcTan[v]*(D[w, x]/w), x], x]) /; InverseFunctionFreeQ[v, x] && In
      verseFunctionFreeQ[w, x]

5734. Int[ArcCot[v_]*Log[w_], x_Symbol] :> Simp[x*ArcCot[v]*Log[w], x] + (Int[SimplifyIntegrand[x*Log[w]*(D[v, x]/(1
      + v^2)), x], x] - Int[SimplifyIntegrand[x*ArcCot[v]*(D[w, x]/w), x], x]) /; InverseFunctionFreeQ[v, x] && Inv
      erseFunctionFreeQ[w, x]

5735. Int[ArcTan[v_]*Log[w_]*(u_), x_Symbol] :> With[{z = IntHide[u, x]}, Simp[ArcTan[v]*Log[w]   z, x] + (-Int[Simp
      lifyIntegrand[z*Log[w]*(D[v, x]/(1 + v^2)), x], x] - Int[SimplifyIntegrand[z*ArcTan[v]*(D[w, x]/w), x], x]) /;
      InverseFunctionFreeQ[z, x]] /; InverseFunctionFreeQ[v, x] && InverseFunctionFreeQ[w, x]

5736. Int[ArcCot[v_]*Log[w_]*(u_), x_Symbol] :> With[{z = IntHide[u, x]}, Simp[ArcCot[v]*Log[w]   z, x] + (Int[Simpl
      ifyIntegrand[z*Log[w]*(D[v, x]/(1 + v^2)), x], x] - Int[SimplifyIntegrand[z*ArcCot[v]*(D[w, x]/w), x], x]) /;
      InverseFunctionFreeQ[z, x]] /; InverseFunctionFreeQ[v, x] && InverseFunctionFreeQ[w, x]

5737. Int[ArcSec[(c_.)*(x_)], x_Symbol] :> Simp[x*ArcSec[c*x], x] - Simp[1/c   Int[1/(x*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)]), x],
      x] /; FreeQ[c, x]

5738. Int[ArcCsc[(c_.)*(x_)], x_Symbol] :> Simp[x*ArcCsc[c*x], x] + Simp[1/c   Int[1/(x*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)]), x],
      x] /; FreeQ[c, x]

5739. Int[((a_.) + ArcSec[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_), x_Symbol] :> Simp[1/c   Subst[Int[(a + b*x)^n*Sec[x]*Tan[x], x],
      x, ArcSec[c*x]], x] /; FreeQ[{a, b, c, n}, x] && IGtQ[n, 0]

5740. Int[((a_.) + ArcCsc[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_), x_Symbol] :> Simp[-c^(-1)   Subst[Int[(a + b*x)^n*Csc[x]*Cot[x],
      x], x, ArcCsc[c*x]], x] /; FreeQ[{a, b, c, n}, x] && IGtQ[n, 0]

5741. Int[((a_.) + ArcSec[(c_.)*(x_)]*(b_.))/(x_), x_Symbol] :> -Subst[Int[(a + b*ArcCos[x/c])/x, x], x, 1/x] /; Fre
      eQ[{a, b, c}, x]

5742. Int[((a_.) + ArcCsc[(c_.)*(x_)]*(b_.))/(x_), x_Symbol] :> -Subst[Int[(a + b*ArcSin[x/c])/x, x], x, 1/x] /; Fre
      eQ[{a, b, c}, x]

5743. Int[((a_.) + ArcSec[(c_.)*(x_)]*(b_.))*((d_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Simp[(d*x)^(m + 1)*((a + b*ArcSec[c*x]
      )/(d*(m + 1))), x] - Simp[b*(d/(c*(m + 1)))   Int[(d*x)^(m - 1)/Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)], x], x] /; FreeQ[{a, b,
      c, d, m}, x] && NeQ[m, -1]

5744. Int[((a_.) + ArcCsc[(c_.)*(x_)]*(b_.))*((d_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Simp[(d*x)^(m + 1)*((a + b*ArcCsc[c*x]
      )/(d*(m + 1))), x] + Simp[b*(d/(c*(m + 1)))   Int[(d*x)^(m - 1)/Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)], x], x] /; FreeQ[{a, b,
      c, d, m}, x] && NeQ[m, -1]

5745. Int[((a_.) + ArcSec[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_)*(x_)^(m_.), x_Symbol] :> Simp[1/c^(m + 1)   Subst[Int[(a + b*x)^n*
      Sec[x]^(m + 1)*Tan[x], x], x, ArcSec[c*x]], x] /; FreeQ[{a, b, c}, x] && IntegerQ[n] && IntegerQ[m] && (GtQ[n,
      0] || LtQ[m, -1])

5746. Int[((a_.) + ArcCsc[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_)*(x_)^(m_.), x_Symbol] :> Simp[-(c^(m + 1))^(-1)   Subst[Int[(a + b
      *x)^n*Csc[x]^(m + 1)*Cot[x], x], x, ArcCsc[c*x]], x] /; FreeQ[{a, b, c}, x] && IntegerQ[n] && IntegerQ[m] && (
      GtQ[n, 0] || LtQ[m, -1])

5747. Int[((a_.) + ArcSec[(c_.)*(x_)]*(b_.))/((d_.) + (e_.)*(x_)), x_Symbol] :> Simp[(a + b*ArcSec[c*x])*(Log[1 + (e
      - Sqrt[(-c^2)*d^2 + e^2])*(E^(I*ArcSec[c*x])/(c*d))]/e), x] + (Simp[(a + b*ArcSec[c*x])*(Log[1 + (e + Sqrt[(-
      c^2)*d^2 + e^2])*(E^(I*ArcSec[c*x])/(c*d))]/e), x] - Simp[(a + b*ArcSec[c*x])*(Log[1 + E^(2*I*ArcSec[c*x])]/e)
      , x] - Simp[b/(c*e)   Int[Log[1 + (e - Sqrt[(-c^2)*d^2 + e^2])*(E^(I*ArcSec[c*x])/(c*d))]/(x^2*Sqrt[1 - 1/(c^2
      *x^2)]), x], x] - Simp[b/(c*e)   Int[Log[1 + (e + Sqrt[(-c^2)*d^2 + e^2])*(E^(I*ArcSec[c*x])/(c*d))]/(x^2*Sqrt
      [1 - 1/(c^2*x^2)]), x], x] + Simp[b/(c*e)   Int[Log[1 + E^(2*I*ArcSec[c*x])]/(x^2*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)]), x],
      x]) /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x]

5748. Int[((a_.) + ArcCsc[(c_.)*(x_)]*(b_.))/((d_.) + (e_.)*(x_)), x_Symbol] :> Simp[(a + b*ArcCsc[c*x])*(Log[1 - I*
      (e - Sqrt[(-c^2)*d^2 + e^2])*(E^(I*ArcCsc[c*x])/(c*d))]/e), x] + (Simp[(a + b*ArcCsc[c*x])*(Log[1 - I*(e + Sqr
      t[(-c^2)*d^2 + e^2])*(E^(I*ArcCsc[c*x])/(c*d))]/e), x] - Simp[(a + b*ArcCsc[c*x])*(Log[1 - E^(2*I*ArcCsc[c*x])
      ]/e), x] + Simp[b/(c*e)   Int[Log[1 - I*(e - Sqrt[(-c^2)*d^2 + e^2])*(E^(I*ArcCsc[c*x])/(c*d))]/(x^2*Sqrt[1 -
      1/(c^2*x^2)]), x], x] + Simp[b/(c*e)   Int[Log[1 - I*(e + Sqrt[(-c^2)*d^2 + e^2])*(E^(I*ArcCsc[c*x])/(c*d))]/(
      x^2*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)]), x], x] - Simp[b/(c*e)   Int[Log[1 - E^(2*I*ArcCsc[c*x])]/(x^2*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)
      ]), x], x]) /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x]

5749. Int[((a_.) + ArcSec[(c_.)*(x_)]*(b_.))*((d_.) + (e_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Simp[(d + e*x)^(m + 1)*((a + b
      *ArcSec[c*x])/(e*(m + 1))), x] - Simp[b/(c*e*(m + 1))   Int[(d + e*x)^(m + 1)/(x^2*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)]), x],
      x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, m}, x] && NeQ[m, -1]

5750. Int[((a_.) + ArcCsc[(c_.)*(x_)]*(b_.))*((d_.) + (e_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Simp[(d + e*x)^(m + 1)*((a + b
      *ArcCsc[c*x])/(e*(m + 1))), x] + Simp[b/(c*e*(m + 1))   Int[(d + e*x)^(m + 1)/(x^2*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)]), x],
      x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, m}, x] && NeQ[m, -1]

5751. Int[((a_.) + ArcSec[(c_.)*(x_)]*(b_.))*((d_.) + (e_.)*(x_)^2)^(p_.), x_Symbol] :> With[{u = IntHide[(d + e*x^2
      )^p, x]}, Simp[(a + b*ArcSec[c*x])   u, x] - Simp[b*c*(x/Sqrt[c^2*x^2])   Int[SimplifyIntegrand[u/(x*Sqrt[c^2*
      x^2 - 1]), x], x], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && (IGtQ[p, 0] || ILtQ[p + 1/2, 0])

5752. Int[((a_.) + ArcCsc[(c_.)*(x_)]*(b_.))*((d_.) + (e_.)*(x_)^2)^(p_.), x_Symbol] :> With[{u = IntHide[(d + e*x^2
      )^p, x]}, Simp[(a + b*ArcCsc[c*x])   u, x] + Simp[b*c*(x/Sqrt[c^2*x^2])   Int[SimplifyIntegrand[u/(x*Sqrt[c^2*
      x^2 - 1]), x], x], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && (IGtQ[p, 0] || ILtQ[p + 1/2, 0])

5753. Int[((a_.) + ArcSec[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_.)*((d_.) + (e_.)*(x_)^2)^(p_.), x_Symbol] :> -Subst[Int[(e + d*x^2)
      ^p*((a + b*ArcCos[x/c])^n/x^(2*(p + 1))), x], x, 1/x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, n}, x] && IGtQ[n, 0] && Integer
      Q[p]

5754. Int[((a_.) + ArcCsc[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_.)*((d_.) + (e_.)*(x_)^2)^(p_.), x_Symbol] :> -Subst[Int[(e + d*x^2)
      ^p*((a + b*ArcSin[x/c])^n/x^(2*(p + 1))), x], x, 1/x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, n}, x] && IGtQ[n, 0] && Integer
      Q[p]

5755. Int[((a_.) + ArcSec[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_.)*((d_.) + (e_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Simp[-Sqrt[x^2]/x   Sub
      st[Int[(e + d*x^2)^p*((a + b*ArcCos[x/c])^n/x^(2*(p + 1))), x], x, 1/x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, n}, x] &&
      IGtQ[n, 0] && EqQ[c^2*d + e, 0] && IntegerQ[p + 1/2] && GtQ[e, 0] && LtQ[d, 0]

5756. Int[((a_.) + ArcCsc[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_.)*((d_.) + (e_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Simp[-Sqrt[x^2]/x   Sub
      st[Int[(e + d*x^2)^p*((a + b*ArcSin[x/c])^n/x^(2*(p + 1))), x], x, 1/x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, n}, x] &&
      IGtQ[n, 0] && EqQ[c^2*d + e, 0] && IntegerQ[p + 1/2] && GtQ[e, 0] && LtQ[d, 0]

5757. Int[((a_.) + ArcSec[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_.)*((d_.) + (e_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Simp[-Sqrt[d + e*x^2]/(
      x*Sqrt[e + d/x^2])   Subst[Int[(e + d*x^2)^p*((a + b*ArcCos[x/c])^n/x^(2*(p + 1))), x], x, 1/x], x] /; FreeQ[{
      a, b, c, d, e, n}, x] && IGtQ[n, 0] && EqQ[c^2*d + e, 0] && IntegerQ[p + 1/2] &&  !(GtQ[e, 0] && LtQ[d, 0])

5758. Int[((a_.) + ArcCsc[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_.)*((d_.) + (e_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Simp[-Sqrt[d + e*x^2]/(
      x*Sqrt[e + d/x^2])   Subst[Int[(e + d*x^2)^p*((a + b*ArcSin[x/c])^n/x^(2*(p + 1))), x], x, 1/x], x] /; FreeQ[{
      a, b, c, d, e, n}, x] && IGtQ[n, 0] && EqQ[c^2*d + e, 0] && IntegerQ[p + 1/2] &&  !(GtQ[e, 0] && LtQ[d, 0])

5759. Int[((a_.) + ArcSec[(c_.)*(x_)]*(b_.))*(x_)*((d_.) + (e_.)*(x_)^2)^(p_.), x_Symbol] :> Simp[(d + e*x^2)^(p + 1
      )*((a + b*ArcSec[c*x])/(2*e*(p + 1))), x] - Simp[b*c*(x/(2*e*(p + 1)*Sqrt[c^2*x^2]))   Int[(d + e*x^2)^(p + 1)
      /(x*Sqrt[c^2*x^2 - 1]), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, p}, x] && NeQ[p, -1]

5760. Int[((a_.) + ArcCsc[(c_.)*(x_)]*(b_.))*(x_)*((d_.) + (e_.)*(x_)^2)^(p_.), x_Symbol] :> Simp[(d + e*x^2)^(p + 1
      )*((a + b*ArcCsc[c*x])/(2*e*(p + 1))), x] + Simp[b*c*(x/(2*e*(p + 1)*Sqrt[c^2*x^2]))   Int[(d + e*x^2)^(p + 1)
      /(x*Sqrt[c^2*x^2 - 1]), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, p}, x] && NeQ[p, -1]

5761. Int[((a_.) + ArcSec[(c_.)*(x_)]*(b_.))*((f_.)*(x_))^(m_.)*((d_.) + (e_.)*(x_)^2)^(p_.), x_Symbol] :> With[{u =
      IntHide[(f*x)^m*(d + e*x^2)^p, x]}, Simp[(a + b*ArcSec[c*x])   u, x] - Simp[b*c*(x/Sqrt[c^2*x^2])   Int[Simpl
      ifyIntegrand[u/(x*Sqrt[c^2*x^2 - 1]), x], x], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m, p}, x] && ((IGtQ[p, 0] &&  !(
      ILtQ[(m - 1)/2, 0] && GtQ[m + 2*p + 3, 0])) || (IGtQ[(m + 1)/2, 0] &&  !(ILtQ[p, 0] && GtQ[m + 2*p + 3, 0])) |
      | (ILtQ[(m + 2*p + 1)/2, 0] &&  !ILtQ[(m - 1)/2, 0]))

5762. Int[((a_.) + ArcCsc[(c_.)*(x_)]*(b_.))*((f_.)*(x_))^(m_.)*((d_.) + (e_.)*(x_)^2)^(p_.), x_Symbol] :> With[{u =
      IntHide[(f*x)^m*(d + e*x^2)^p, x]}, Simp[(a + b*ArcCsc[c*x])   u, x] + Simp[b*c*(x/Sqrt[c^2*x^2])   Int[Simpl
      ifyIntegrand[u/(x*Sqrt[c^2*x^2 - 1]), x], x], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m, p}, x] && ((IGtQ[p, 0] &&  !(
      ILtQ[(m - 1)/2, 0] && GtQ[m + 2*p + 3, 0])) || (IGtQ[(m + 1)/2, 0] &&  !(ILtQ[p, 0] && GtQ[m + 2*p + 3, 0])) |
      | (ILtQ[(m + 2*p + 1)/2, 0] &&  !ILtQ[(m - 1)/2, 0]))

5763. Int[((a_.) + ArcSec[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_.)*(x_)^(m_.)*((d_.) + (e_.)*(x_)^2)^(p_.), x_Symbol] :> -Subst[Int[
      (e + d*x^2)^p*((a + b*ArcCos[x/c])^n/x^(m + 2*(p + 1))), x], x, 1/x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, n}, x] && IGtQ[n
      , 0] && IntegerQ[m] && IntegerQ[p]

5764. Int[((a_.) + ArcCsc[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_.)*(x_)^(m_.)*((d_.) + (e_.)*(x_)^2)^(p_.), x_Symbol] :> -Subst[Int[
      (e + d*x^2)^p*((a + b*ArcSin[x/c])^n/x^(m + 2*(p + 1))), x], x, 1/x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, n}, x] && IGtQ[n
      , 0] && IntegerQ[m] && IntegerQ[p]

5765. Int[((a_.) + ArcSec[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_.)*(x_)^(m_.)*((d_.) + (e_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Simp[-Sqrt[x
      ^2]/x   Subst[Int[(e + d*x^2)^p*((a + b*ArcCos[x/c])^n/x^(m + 2*(p + 1))), x], x, 1/x], x] /; FreeQ[{a, b, c,
      d, e, n}, x] && IGtQ[n, 0] && EqQ[c^2*d + e, 0] && IntegerQ[m] && IntegerQ[p + 1/2] && GtQ[e, 0] && LtQ[d, 0]

5766. Int[((a_.) + ArcCsc[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_.)*(x_)^(m_.)*((d_.) + (e_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Simp[-Sqrt[x
      ^2]/x   Subst[Int[(e + d*x^2)^p*((a + b*ArcSin[x/c])^n/x^(m + 2*(p + 1))), x], x, 1/x], x] /; FreeQ[{a, b, c,
      d, e, n}, x] && IGtQ[n, 0] && EqQ[c^2*d + e, 0] && IntegerQ[m] && IntegerQ[p + 1/2] && GtQ[e, 0] && LtQ[d, 0]

5767. Int[((a_.) + ArcSec[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_.)*(x_)^(m_.)*((d_.) + (e_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Simp[-Sqrt[d
      + e*x^2]/(x*Sqrt[e + d/x^2])   Subst[Int[(e + d*x^2)^p*((a + b*ArcCos[x/c])^n/x^(m + 2*(p + 1))), x], x, 1/x]
      , x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, n}, x] && IGtQ[n, 0] && EqQ[c^2*d + e, 0] && IntegerQ[m] && IntegerQ[p + 1/2] &&
      !(GtQ[e, 0] && LtQ[d, 0])

5768. Int[((a_.) + ArcCsc[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_.)*(x_)^(m_.)*((d_.) + (e_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Simp[-Sqrt[d
      + e*x^2]/(x*Sqrt[e + d/x^2])   Subst[Int[(e + d*x^2)^p*((a + b*ArcSin[x/c])^n/x^(m + 2*(p + 1))), x], x, 1/x]
      , x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, n}, x] && IGtQ[n, 0] && EqQ[c^2*d + e, 0] && IntegerQ[m] && IntegerQ[p + 1/2] &&
      !(GtQ[e, 0] && LtQ[d, 0])

5769. Int[((a_.) + ArcSec[(c_.)*(x_)]*(b_.))*(u_), x_Symbol] :> With[{v = IntHide[u, x]}, Simp[(a + b*ArcSec[c*x])
      v, x] - Simp[b/c   Int[SimplifyIntegrand[v/(x^2*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)]), x], x], x] /; InverseFunctionFreeQ[v,
      x]] /; FreeQ[{a, b, c}, x]

5770. Int[((a_.) + ArcCsc[(c_.)*(x_)]*(b_.))*(u_), x_Symbol] :> With[{v = IntHide[u, x]}, Simp[(a + b*ArcCsc[c*x])
      v, x] + Simp[b/c   Int[SimplifyIntegrand[v/(x^2*Sqrt[1 - 1/(c^2*x^2)]), x], x], x] /; InverseFunctionFreeQ[v,
      x]] /; FreeQ[{a, b, c}, x]

5771. Int[((a_.) + ArcSec[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_.)*(u_.), x_Symbol] :> Unintegrable[u*(a + b*ArcSec[c*x])^n, x] /; F
      reeQ[{a, b, c, n}, x]

5772. Int[((a_.) + ArcCsc[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_.)*(u_.), x_Symbol] :> Unintegrable[u*(a + b*ArcCsc[c*x])^n, x] /; F
      reeQ[{a, b, c, n}, x]

5773. Int[ArcSec[(c_) + (d_.)*(x_)], x_Symbol] :> Simp[(c + d*x)*(ArcSec[c + d*x]/d), x] - Int[1/((c + d*x)*Sqrt[1 -
      1/(c + d*x)^2]), x] /; FreeQ[{c, d}, x]

5774. Int[ArcCsc[(c_) + (d_.)*(x_)], x_Symbol] :> Simp[(c + d*x)*(ArcCsc[c + d*x]/d), x] + Int[1/((c + d*x)*Sqrt[1 -
      1/(c + d*x)^2]), x] /; FreeQ[{c, d}, x]

5775. Int[((a_.) + ArcSec[(c_) + (d_.)*(x_)]*(b_.))^(p_.), x_Symbol] :> Simp[1/d   Subst[Int[(a + b*ArcSec[x])^p, x]
      , x, c + d*x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && IGtQ[p, 0]

5776. Int[((a_.) + ArcCsc[(c_) + (d_.)*(x_)]*(b_.))^(p_.), x_Symbol] :> Simp[1/d   Subst[Int[(a + b*ArcCsc[x])^p, x]
      , x, c + d*x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && IGtQ[p, 0]

5777. Int[((a_.) + ArcSec[(c_) + (d_.)*(x_)]*(b_.))^(p_), x_Symbol] :> Unintegrable[(a + b*ArcSec[c + d*x])^p, x] /;
      FreeQ[{a, b, c, d, p}, x] &&  !IGtQ[p, 0]

5778. Int[((a_.) + ArcCsc[(c_) + (d_.)*(x_)]*(b_.))^(p_), x_Symbol] :> Unintegrable[(a + b*ArcCsc[c + d*x])^p, x] /;
      FreeQ[{a, b, c, d, p}, x] &&  !IGtQ[p, 0]

5779. Int[((a_.) + ArcSec[(c_) + (d_.)*(x_)]*(b_.))^(p_.)*((e_.) + (f_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Simp[1/d   Subst[
      Int[(f*(x/d))^m*(a + b*ArcSec[x])^p, x], x, c + d*x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m}, x] && EqQ[d*e - c*f,
      0] && IGtQ[p, 0]

5780. Int[((a_.) + ArcCsc[(c_) + (d_.)*(x_)]*(b_.))^(p_.)*((e_.) + (f_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Simp[1/d   Subst[
      Int[(f*(x/d))^m*(a + b*ArcCsc[x])^p, x], x, c + d*x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m}, x] && EqQ[d*e - c*f,
      0] && IGtQ[p, 0]

5781. Int[((a_.) + ArcSec[(c_) + (d_.)*(x_)]*(b_.))^(p_.)*((e_.) + (f_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Simp[1/d^(m + 1)
      Subst[Int[(a + b*x)^p*Sec[x]*Tan[x]*(d*e - c*f + f*Sec[x])^m, x], x, ArcSec[c + d*x]], x] /; FreeQ[{a, b, c,
      d, e, f}, x] && IGtQ[p, 0] && IntegerQ[m]

5782. Int[((a_.) + ArcCsc[(c_) + (d_.)*(x_)]*(b_.))^(p_.)*((e_.) + (f_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Simp[-(d^(m + 1))
      ^(-1)   Subst[Int[(a + b*x)^p*Csc[x]*Cot[x]*(d*e - c*f + f*Csc[x])^m, x], x, ArcCsc[c + d*x]], x] /; FreeQ[{a,
      b, c, d, e, f}, x] && IGtQ[p, 0] && IntegerQ[m]

5783. Int[((a_.) + ArcSec[(c_) + (d_.)*(x_)]*(b_.))^(p_.)*((e_.) + (f_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Simp[1/d   Subst[
      Int[((d*e - c*f)/d + f*(x/d))^m*(a + b*ArcSec[x])^p, x], x, c + d*x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m}, x] &&
      IGtQ[p, 0]

5784. Int[((a_.) + ArcCsc[(c_) + (d_.)*(x_)]*(b_.))^(p_.)*((e_.) + (f_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Simp[1/d   Subst[
      Int[((d*e - c*f)/d + f*(x/d))^m*(a + b*ArcCsc[x])^p, x], x, c + d*x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m}, x] &&
      IGtQ[p, 0]

5785. Int[((a_.) + ArcSec[(c_) + (d_.)*(x_)]*(b_.))^(p_)*((e_.) + (f_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Unintegrable[(e +
      f*x)^m*(a + b*ArcSec[c + d*x])^p, x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m, p}, x] &&  !IGtQ[p, 0]

5786. Int[((a_.) + ArcCsc[(c_) + (d_.)*(x_)]*(b_.))^(p_)*((e_.) + (f_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Unintegrable[(e +
      f*x)^m*(a + b*ArcCsc[c + d*x])^p, x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m, p}, x] &&  !IGtQ[p, 0]

5787. Int[ArcSec[(c_.)/((a_.) + (b_.)*(x_)^(n_.))]^(m_.)*(u_.), x_Symbol] :> Int[u*ArcCos[a/c + b*(x^n/c)]^m, x] /;
      FreeQ[{a, b, c, n, m}, x]

5788. Int[ArcCsc[(c_.)/((a_.) + (b_.)*(x_)^(n_.))]^(m_.)*(u_.), x_Symbol] :> Int[u*ArcSin[a/c + b*(x^n/c)]^m, x] /;
      FreeQ[{a, b, c, n, m}, x]

5789. Int[(u_.)*(f_)^(ArcSec[(a_.) + (b_.)*(x_)]^(n_.)*(c_.)), x_Symbol] :> Simp[1/b   Subst[Int[(u /. x -> -a/b + S
      ec[x]/b)*f^(c*x^n)*Sec[x]*Tan[x], x], x, ArcSec[a + b*x]], x] /; FreeQ[{a, b, c, f}, x] && IGtQ[n, 0]

5790. Int[(u_.)*(f_)^(ArcCsc[(a_.) + (b_.)*(x_)]^(n_.)*(c_.)), x_Symbol] :> Simp[-b^(-1)   Subst[Int[(u /. x -> -a/b
      + Csc[x]/b)*f^(c*x^n)*Csc[x]*Cot[x], x], x, ArcCsc[a + b*x]], x] /; FreeQ[{a, b, c, f}, x] && IGtQ[n, 0]

5791. Int[ArcSec[u_], x_Symbol] :> Simp[x*ArcSec[u], x] - Simp[u/Sqrt[u^2]   Int[SimplifyIntegrand[x*(D[u, x]/(u*Sqr
      t[u^2 - 1])), x], x], x] /; InverseFunctionFreeQ[u, x] &&  !FunctionOfExponentialQ[u, x]

5792. Int[ArcCsc[u_], x_Symbol] :> Simp[x*ArcCsc[u], x] + Simp[u/Sqrt[u^2]   Int[SimplifyIntegrand[x*(D[u, x]/(u*Sqr
      t[u^2 - 1])), x], x], x] /; InverseFunctionFreeQ[u, x] &&  !FunctionOfExponentialQ[u, x]

5793. Int[((a_.) + ArcSec[u_]*(b_.))*((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Simp[(c + d*x)^(m + 1)*((a + b*ArcSec[
      u])/(d*(m + 1))), x] - Simp[b*(u/(d*(m + 1)*Sqrt[u^2]))   Int[SimplifyIntegrand[(c + d*x)^(m + 1)*(D[u, x]/(u*
      Sqrt[u^2 - 1])), x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, m}, x] && NeQ[m, -1] && InverseFunctionFreeQ[u, x] &&  !Func
      tionOfQ[(c + d*x)^(m + 1), u, x] &&  !FunctionOfExponentialQ[u, x]

5794. Int[((a_.) + ArcCsc[u_]*(b_.))*((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Simp[(c + d*x)^(m + 1)*((a + b*ArcCsc[
      u])/(d*(m + 1))), x] + Simp[b*(u/(d*(m + 1)*Sqrt[u^2]))   Int[SimplifyIntegrand[(c + d*x)^(m + 1)*(D[u, x]/(u*
      Sqrt[u^2 - 1])), x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, m}, x] && NeQ[m, -1] && InverseFunctionFreeQ[u, x] &&  !Func
      tionOfQ[(c + d*x)^(m + 1), u, x] &&  !FunctionOfExponentialQ[u, x]

5795. Int[((a_.) + ArcSec[u_]*(b_.))*(v_), x_Symbol] :> With[{w = IntHide[v, x]}, Simp[(a + b*ArcSec[u])   w, x] - S
      imp[b*(u/Sqrt[u^2])   Int[SimplifyIntegrand[w*(D[u, x]/(u*Sqrt[u^2 - 1])), x], x], x] /; InverseFunctionFreeQ[
      w, x]] /; FreeQ[{a, b}, x] && InverseFunctionFreeQ[u, x] &&  !MatchQ[v, ((c_.) + (d_.)*x)^(m_.) /; FreeQ[{c, d
      , m}, x]]

5796. Int[((a_.) + ArcCsc[u_]*(b_.))*(v_), x_Symbol] :> With[{w = IntHide[v, x]}, Simp[(a + b*ArcCsc[u])   w, x] + S
      imp[b*(u/Sqrt[u^2])   Int[SimplifyIntegrand[w*(D[u, x]/(u*Sqrt[u^2 - 1])), x], x], x] /; InverseFunctionFreeQ[
      w, x]] /; FreeQ[{a, b}, x] && InverseFunctionFreeQ[u, x] &&  !MatchQ[v, ((c_.) + (d_.)*x)^(m_.) /; FreeQ[{c, d
      , m}, x]]

5797. Int[(u_)^(m_.)*((a_.) + (b_.)*Sinh[v_])^(n_.), x_Symbol] :> Int[ExpandToSum[u, x]^m*(a + b*Sinh[ExpandToSum[v,
      x]])^n, x] /; FreeQ[{a, b, m, n}, x] && LinearQ[{u, v}, x] &&  !LinearMatchQ[{u, v}, x]

5798. Int[((a_.) + Cosh[v_]*(b_.))^(n_.)*(u_)^(m_.), x_Symbol] :> Int[ExpandToSum[u, x]^m*(a + b*Cosh[ExpandToSum[v,
      x]])^n, x] /; FreeQ[{a, b, m, n}, x] && LinearQ[{u, v}, x] &&  !LinearMatchQ[{u, v}, x]

5799. Int[((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_.)*Sinh[(c_.) + (d_.)*(x_)], x_Symbol] :> Int[ExpandIntegrand[Sinh[c + d*x], (
      a + b*x^n)^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, n}, x] && IGtQ[p, 0]

5800. Int[Cosh[(c_.) + (d_.)*(x_)]*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_.), x_Symbol] :> Int[ExpandIntegrand[Cosh[c + d*x], (
      a + b*x^n)^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, n}, x] && IGtQ[p, 0]

5801. Int[((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_)*Sinh[(c_.) + (d_.)*(x_)], x_Symbol] :> Simp[x^(-n + 1)*(a + b*x^n)^(p + 1)*(
      Sinh[c + d*x]/(b*n*(p + 1))), x] + (-Simp[(-n + 1)/(b*n*(p + 1))   Int[((a + b*x^n)^(p + 1)*Sinh[c + d*x])/x^n
      , x], x] - Simp[d/(b*n*(p + 1))   Int[x^(-n + 1)*(a + b*x^n)^(p + 1)*Cosh[c + d*x], x], x]) /; FreeQ[{a, b, c,
      d}, x] && IntegerQ[p] && IGtQ[n, 0] && LtQ[p, -1] && GtQ[n, 2]

5802. Int[Cosh[(c_.) + (d_.)*(x_)]*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_), x_Symbol] :> Simp[x^(-n + 1)*(a + b*x^n)^(p + 1)*(
      Cosh[c + d*x]/(b*n*(p + 1))), x] + (-Simp[(-n + 1)/(b*n*(p + 1))   Int[((a + b*x^n)^(p + 1)*Cosh[c + d*x])/x^n
      , x], x] - Simp[d/(b*n*(p + 1))   Int[x^(-n + 1)*(a + b*x^n)^(p + 1)*Sinh[c + d*x], x], x]) /; FreeQ[{a, b, c,
      d}, x] && IntegerQ[p] && IGtQ[n, 0] && LtQ[p, -1] && GtQ[n, 2]

5803. Int[((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_)*Sinh[(c_.) + (d_.)*(x_)], x_Symbol] :> Int[ExpandIntegrand[Sinh[c + d*x], (a
      + b*x^n)^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && ILtQ[p, 0] && IGtQ[n, 0] && (EqQ[n, 2] || EqQ[p, -1])

5804. Int[Cosh[(c_.) + (d_.)*(x_)]*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_), x_Symbol] :> Int[ExpandIntegrand[Cosh[c + d*x], (a
      + b*x^n)^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && ILtQ[p, 0] && IGtQ[n, 0] && (EqQ[n, 2] || EqQ[p, -1])

5805. Int[((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_)*Sinh[(c_.) + (d_.)*(x_)], x_Symbol] :> Int[x^(n*p)*(b + a/x^n)^p*Sinh[c + d*
      x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && ILtQ[p, 0] && ILtQ[n, 0]

5806. Int[Cosh[(c_.) + (d_.)*(x_)]*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_), x_Symbol] :> Int[x^(n*p)*(b + a/x^n)^p*Cosh[c + d*
      x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && ILtQ[p, 0] && ILtQ[n, 0]

5807. Int[((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_)*Sinh[(c_.) + (d_.)*(x_)], x_Symbol] :> Unintegrable[(a + b*x^n)^p*Sinh[c + d
      *x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, n, p}, x]

5808. Int[Cosh[(c_.) + (d_.)*(x_)]*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_), x_Symbol] :> Unintegrable[(a + b*x^n)^p*Cosh[c + d
      *x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, n, p}, x]

5809. Int[((e_.)*(x_))^(m_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_.)*Sinh[(c_.) + (d_.)*(x_)], x_Symbol] :> Int[ExpandIntegra
      nd[Sinh[c + d*x], (e*x)^m*(a + b*x^n)^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, m, n}, x] && IGtQ[p, 0]

5810. Int[Cosh[(c_.) + (d_.)*(x_)]*((e_.)*(x_))^(m_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_.), x_Symbol] :> Int[ExpandIntegra
      nd[Cosh[c + d*x], (e*x)^m*(a + b*x^n)^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, m, n}, x] && IGtQ[p, 0]

5811. Int[((e_.)*(x_))^(m_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_)*Sinh[(c_.) + (d_.)*(x_)], x_Symbol] :> Simp[e^m*(a + b*x^
      n)^(p + 1)*(Sinh[c + d*x]/(b*n*(p + 1))), x] - Simp[d*(e^m/(b*n*(p + 1)))   Int[(a + b*x^n)^(p + 1)*Cosh[c + d
      *x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, m, n}, x] && IntegerQ[p] && EqQ[m - n + 1, 0] && LtQ[p, -1] && (IntegerQ[
      n] || GtQ[e, 0])

5812. Int[Cosh[(c_.) + (d_.)*(x_)]*((e_.)*(x_))^(m_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_), x_Symbol] :> Simp[e^m*(a + b*x^
      n)^(p + 1)*(Cosh[c + d*x]/(b*n*(p + 1))), x] - Simp[d*(e^m/(b*n*(p + 1)))   Int[(a + b*x^n)^(p + 1)*Sinh[c + d
      *x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, m, n}, x] && IntegerQ[p] && EqQ[m - n + 1, 0] && LtQ[p, -1] && (IntegerQ[
      n] || GtQ[e, 0])

5813. Int[(x_)^(m_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_)*Sinh[(c_.) + (d_.)*(x_)], x_Symbol] :> Simp[x^(m - n + 1)*(a + b*
      x^n)^(p + 1)*(Sinh[c + d*x]/(b*n*(p + 1))), x] + (-Simp[(m - n + 1)/(b*n*(p + 1))   Int[x^(m - n)*(a + b*x^n)^
      (p + 1)*Sinh[c + d*x], x], x] - Simp[d/(b*n*(p + 1))   Int[x^(m - n + 1)*(a + b*x^n)^(p + 1)*Cosh[c + d*x], x]
      , x]) /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && ILtQ[p, -1] && IGtQ[n, 0] && RationalQ[m] && (GtQ[m - n + 1, 0] || GtQ[n, 2
      ])

5814. Int[Cosh[(c_.) + (d_.)*(x_)]*(x_)^(m_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_), x_Symbol] :> Simp[x^(m - n + 1)*(a + b*
      x^n)^(p + 1)*(Cosh[c + d*x]/(b*n*(p + 1))), x] + (-Simp[(m - n + 1)/(b*n*(p + 1))   Int[x^(m - n)*(a + b*x^n)^
      (p + 1)*Cosh[c + d*x], x], x] - Simp[d/(b*n*(p + 1))   Int[x^(m - n + 1)*(a + b*x^n)^(p + 1)*Sinh[c + d*x], x]
      , x]) /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && ILtQ[p, -1] && IGtQ[n, 0] && RationalQ[m] && (GtQ[m - n + 1, 0] || GtQ[n, 2
      ])

5815. Int[(x_)^(m_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_)*Sinh[(c_.) + (d_.)*(x_)], x_Symbol] :> Int[ExpandIntegrand[Sinh[c
      + d*x], x^m*(a + b*x^n)^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && ILtQ[p, 0] && IntegerQ[m] && IGtQ[n, 0] && (Eq
      Q[n, 2] || EqQ[p, -1])

5816. Int[Cosh[(c_.) + (d_.)*(x_)]*(x_)^(m_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_), x_Symbol] :> Int[ExpandIntegrand[Cosh[c
      + d*x], x^m*(a + b*x^n)^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && ILtQ[p, 0] && IntegerQ[m] && IGtQ[n, 0] && (Eq
      Q[n, 2] || EqQ[p, -1])

5817. Int[(x_)^(m_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_)*Sinh[(c_.) + (d_.)*(x_)], x_Symbol] :> Int[x^(m + n*p)*(b + a/x^n
      )^p*Sinh[c + d*x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, m}, x] && ILtQ[p, 0] && ILtQ[n, 0]

5818. Int[Cosh[(c_.) + (d_.)*(x_)]*(x_)^(m_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_), x_Symbol] :> Int[x^(m + n*p)*(b + a/x^n
      )^p*Cosh[c + d*x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, m}, x] && ILtQ[p, 0] && ILtQ[n, 0]

5819. Int[((e_.)*(x_))^(m_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_.)*Sinh[(c_.) + (d_.)*(x_)], x_Symbol] :> Unintegrable[(e*x
      )^m*(a + b*x^n)^p*Sinh[c + d*x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, m, n, p}, x]

5820. Int[Cosh[(c_.) + (d_.)*(x_)]*((e_.)*(x_))^(m_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_.), x_Symbol] :> Unintegrable[(e*x
      )^m*(a + b*x^n)^p*Cosh[c + d*x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, m, n, p}, x]

5821. Int[Sinh[(c_.) + (d_.)*(x_)^(n_)], x_Symbol] :> Simp[1/2   Int[E^(c + d*x^n), x], x] - Simp[1/2   Int[E^(-c -
      d*x^n), x], x] /; FreeQ[{c, d}, x] && IGtQ[n, 1]

5822. Int[Cosh[(c_.) + (d_.)*(x_)^(n_)], x_Symbol] :> Simp[1/2   Int[E^(c + d*x^n), x], x] + Simp[1/2   Int[E^(-c -
      d*x^n), x], x] /; FreeQ[{c, d}, x] && IGtQ[n, 1]

5823. Int[((a_.) + (b_.)*Sinh[(c_.) + (d_.)*(x_)^(n_)])^(p_), x_Symbol] :> Int[ExpandTrigReduce[(a + b*Sinh[c + d*x^
      n])^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && IGtQ[n, 1] && IGtQ[p, 1]

5824. Int[((a_.) + Cosh[(c_.) + (d_.)*(x_)^(n_)]*(b_.))^(p_), x_Symbol] :> Int[ExpandTrigReduce[(a + b*Cosh[c + d*x^
      n])^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && IGtQ[n, 1] && IGtQ[p, 1]

5825. Int[((a_.) + (b_.)*Sinh[(c_.) + (d_.)*(x_)^(n_)])^(p_.), x_Symbol] :> -Subst[Int[(a + b*Sinh[c + d/x^n])^p/x^2
      , x], x, 1/x] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && ILtQ[n, 0] && IntegerQ[p]

5826. Int[((a_.) + Cosh[(c_.) + (d_.)*(x_)^(n_)]*(b_.))^(p_.), x_Symbol] :> -Subst[Int[(a + b*Cosh[c + d/x^n])^p/x^2
      , x], x, 1/x] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && ILtQ[n, 0] && IntegerQ[p]

5827. Int[((a_.) + (b_.)*Sinh[(c_.) + (d_.)*(x_)^(n_)])^(p_.), x_Symbol] :> Module[{k = Denominator[n]}, Simp[k   Su
      bst[Int[x^(k - 1)*(a + b*Sinh[c + d*x^(k*n)])^p, x], x, x^(1/k)], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && FractionQ[n
      ] && IntegerQ[p]

5828. Int[((a_.) + Cosh[(c_.) + (d_.)*(x_)^(n_)]*(b_.))^(p_.), x_Symbol] :> Module[{k = Denominator[n]}, Simp[k   Su
      bst[Int[x^(k - 1)*(a + b*Cosh[c + d*x^(k*n)])^p, x], x, x^(1/k)], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && FractionQ[n
      ] && IntegerQ[p]

5829. Int[Sinh[(c_.) + (d_.)*(x_)^(n_)], x_Symbol] :> Simp[1/2   Int[E^(c + d*x^n), x], x] - Simp[1/2   Int[E^(-c -
      d*x^n), x], x] /; FreeQ[{c, d, n}, x]

5830. Int[Cosh[(c_.) + (d_.)*(x_)^(n_)], x_Symbol] :> Simp[1/2   Int[E^(c + d*x^n), x], x] + Simp[1/2   Int[E^(-c -
      d*x^n), x], x] /; FreeQ[{c, d, n}, x]

5831. Int[((a_.) + (b_.)*Sinh[(c_.) + (d_.)*(x_)^(n_)])^(p_), x_Symbol] :> Int[ExpandTrigReduce[(a + b*Sinh[c + d*x^
      n])^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, n}, x] && IGtQ[p, 0]

5832. Int[((a_.) + Cosh[(c_.) + (d_.)*(x_)^(n_)]*(b_.))^(p_), x_Symbol] :> Int[ExpandTrigReduce[(a + b*Cosh[c + d*x^
      n])^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, n}, x] && IGtQ[p, 0]

5833. Int[((a_.) + (b_.)*Sinh[(c_.) + (d_.)*(u_)^(n_)])^(p_.), x_Symbol] :> Simp[1/Coefficient[u, x, 1]   Subst[Int[
      (a + b*Sinh[c + d*x^n])^p, x], x, u], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, n}, x] && IntegerQ[p] && LinearQ[u, x] && NeQ[u
      , x]

5834. Int[((a_.) + Cosh[(c_.) + (d_.)*(u_)^(n_)]*(b_.))^(p_.), x_Symbol] :> Simp[1/Coefficient[u, x, 1]   Subst[Int[
      (a + b*Cosh[c + d*x^n])^p, x], x, u], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, n}, x] && IntegerQ[p] && LinearQ[u, x] && NeQ[u
      , x]

5835. Int[((a_.) + (b_.)*Sinh[(c_.) + (d_.)*(u_)^(n_)])^(p_), x_Symbol] :> Unintegrable[(a + b*Sinh[c + d*u^n])^p, x
      ] /; FreeQ[{a, b, c, d, n, p}, x] && LinearQ[u, x]

5836. Int[((a_.) + Cosh[(c_.) + (d_.)*(u_)^(n_)]*(b_.))^(p_), x_Symbol] :> Unintegrable[(a + b*Cosh[c + d*u^n])^p, x
      ] /; FreeQ[{a, b, c, d, n, p}, x] && LinearQ[u, x]

5837. Int[((a_.) + (b_.)*Sinh[u_])^(p_.), x_Symbol] :> Int[(a + b*Sinh[ExpandToSum[u, x]])^p, x] /; FreeQ[{a, b, p},
      x] && BinomialQ[u, x] &&  !BinomialMatchQ[u, x]

5838. Int[((a_.) + Cosh[u_]*(b_.))^(p_.), x_Symbol] :> Int[(a + b*Cosh[ExpandToSum[u, x]])^p, x] /; FreeQ[{a, b, p},
      x] && BinomialQ[u, x] &&  !BinomialMatchQ[u, x]

5839. Int[Sinh[(d_.)*(x_)^(n_)]/(x_), x_Symbol] :> Simp[SinhIntegral[d*x^n]/n, x] /; FreeQ[{d, n}, x]

5840. Int[Cosh[(d_.)*(x_)^(n_)]/(x_), x_Symbol] :> Simp[CoshIntegral[d*x^n]/n, x] /; FreeQ[{d, n}, x]

5841. Int[Sinh[(c_) + (d_.)*(x_)^(n_)]/(x_), x_Symbol] :> Simp[Sinh[c]   Int[Cosh[d*x^n]/x, x], x] + Simp[Cosh[c]
      Int[Sinh[d*x^n]/x, x], x] /; FreeQ[{c, d, n}, x]

5842. Int[Cosh[(c_) + (d_.)*(x_)^(n_)]/(x_), x_Symbol] :> Simp[Cosh[c]   Int[Cosh[d*x^n]/x, x], x] + Simp[Sinh[c]
      Int[Sinh[d*x^n]/x, x], x] /; FreeQ[{c, d, n}, x]

5843. Int[(x_)^(m_.)*((a_.) + (b_.)*Sinh[(c_.) + (d_.)*(x_)^(n_)])^(p_.), x_Symbol] :> Simp[1/n   Subst[Int[x^(Simpl
      ify[(m + 1)/n] - 1)*(a + b*Sinh[c + d*x])^p, x], x, x^n], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, m, n, p}, x] && IntegerQ[Si
      mplify[(m + 1)/n]] && (EqQ[p, 1] || EqQ[m, n - 1] || (IntegerQ[p] && GtQ[Simplify[(m + 1)/n], 0]))

5844. Int[((a_.) + Cosh[(c_.) + (d_.)*(x_)^(n_)]*(b_.))^(p_.)*(x_)^(m_.), x_Symbol] :> Simp[1/n   Subst[Int[x^(Simpl
      ify[(m + 1)/n] - 1)*(a + b*Cosh[c + d*x])^p, x], x, x^n], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, m, n, p}, x] && IntegerQ[Si
      mplify[(m + 1)/n]] && (EqQ[p, 1] || EqQ[m, n - 1] || (IntegerQ[p] && GtQ[Simplify[(m + 1)/n], 0]))

5845. Int[((e_)*(x_))^(m_)*((a_.) + (b_.)*Sinh[(c_.) + (d_.)*(x_)^(n_)])^(p_.), x_Symbol] :> Simp[e^IntPart[m]*((e*x
      )^FracPart[m]/x^FracPart[m])   Int[x^m*(a + b*Sinh[c + d*x^n])^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, m, n, p}, x]
      && IntegerQ[Simplify[(m + 1)/n]]

5846. Int[((a_.) + Cosh[(c_.) + (d_.)*(x_)^(n_)]*(b_.))^(p_.)*((e_)*(x_))^(m_), x_Symbol] :> Simp[e^IntPart[m]*((e*x
      )^FracPart[m]/x^FracPart[m])   Int[x^m*(a + b*Cosh[c + d*x^n])^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, m, n, p}, x]
      && IntegerQ[Simplify[(m + 1)/n]]

5847. Int[((e_.)*(x_))^(m_.)*Sinh[(c_.) + (d_.)*(x_)^(n_)], x_Symbol] :> Simp[e^(n - 1)*(e*x)^(m - n + 1)*(Cosh[c +
      d*x^n]/(d*n)), x] - Simp[e^n*((m - n + 1)/(d*n))   Int[(e*x)^(m - n)*Cosh[c + d*x^n], x], x] /; FreeQ[{c, d, e
      }, x] && IGtQ[n, 0] && LtQ[0, n, m + 1]

5848. Int[Cosh[(c_.) + (d_.)*(x_)^(n_)]*((e_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Simp[e^(n - 1)*(e*x)^(m - n + 1)*(Sinh[c +
      d*x^n]/(d*n)), x] - Simp[e^n*((m - n + 1)/(d*n))   Int[(e*x)^(m - n)*Sinh[c + d*x^n], x], x] /; FreeQ[{c, d, e
      }, x] && IGtQ[n, 0] && LtQ[0, n, m + 1]

5849. Int[((e_.)*(x_))^(m_)*Sinh[(c_.) + (d_.)*(x_)^(n_)], x_Symbol] :> Simp[(e*x)^(m + 1)*(Sinh[c + d*x^n]/(e*(m +
      1))), x] - Simp[d*(n/(e^n*(m + 1)))   Int[(e*x)^(m + n)*Cosh[c + d*x^n], x], x] /; FreeQ[{c, d, e}, x] && IGtQ
      [n, 0] && LtQ[m, -1]

5850. Int[Cosh[(c_.) + (d_.)*(x_)^(n_)]*((e_.)*(x_))^(m_), x_Symbol] :> Simp[(e*x)^(m + 1)*(Cosh[c + d*x^n]/(e*(m +
      1))), x] - Simp[d*(n/(e^n*(m + 1)))   Int[(e*x)^(m + n)*Sinh[c + d*x^n], x], x] /; FreeQ[{c, d, e}, x] && IGtQ
      [n, 0] && LtQ[m, -1]

5851. Int[((e_.)*(x_))^(m_.)*Sinh[(c_.) + (d_.)*(x_)^(n_)], x_Symbol] :> Simp[1/2   Int[(e*x)^m*E^(c + d*x^n), x], x
      ] - Simp[1/2   Int[(e*x)^m*E^(-c - d*x^n), x], x] /; FreeQ[{c, d, e, m}, x] && IGtQ[n, 0]

5852. Int[Cosh[(c_.) + (d_.)*(x_)^(n_)]*((e_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Simp[1/2   Int[(e*x)^m*E^(c + d*x^n), x], x
      ] + Simp[1/2   Int[(e*x)^m*E^(-c - d*x^n), x], x] /; FreeQ[{c, d, e, m}, x] && IGtQ[n, 0]

5853. Int[(x_)^(m_.)*Sinh[(a_.) + (b_.)*(x_)^(n_)]^(p_), x_Symbol] :> Simp[-Sinh[a + b*x^n]^p/((n - 1)*x^(n - 1)), x
      ] + Simp[b*n*(p/(n - 1))   Int[Sinh[a + b*x^n]^(p - 1)*Cosh[a + b*x^n], x], x] /; FreeQ[{a, b}, x] && Integers
      Q[n, p] && EqQ[m + n, 0] && GtQ[p, 1] && NeQ[n, 1]

5854. Int[Cosh[(a_.) + (b_.)*(x_)^(n_)]^(p_)*(x_)^(m_.), x_Symbol] :> Simp[-Cosh[a + b*x^n]^p/((n - 1)*x^(n - 1)), x
      ] + Simp[b*n*(p/(n - 1))   Int[Cosh[a + b*x^n]^(p - 1)*Sinh[a + b*x^n], x], x] /; FreeQ[{a, b}, x] && Integers
      Q[n, p] && EqQ[m + n, 0] && GtQ[p, 1] && NeQ[n, 1]

5855. Int[(x_)^(m_.)*Sinh[(a_.) + (b_.)*(x_)^(n_)]^(p_), x_Symbol] :> Simp[(-n)*(Sinh[a + b*x^n]^p/(b^2*n^2*p^2)), x
      ] + (Simp[x^n*Cosh[a + b*x^n]*(Sinh[a + b*x^n]^(p - 1)/(b*n*p)), x] - Simp[(p - 1)/p   Int[x^m*Sinh[a + b*x^n]
      ^(p - 2), x], x]) /; FreeQ[{a, b, m, n}, x] && EqQ[m - 2*n + 1] && GtQ[p, 1]

5856. Int[Cosh[(a_.) + (b_.)*(x_)^(n_)]^(p_)*(x_)^(m_.), x_Symbol] :> Simp[(-n)*(Cosh[a + b*x^n]^p/(b^2*n^2*p^2)), x
      ] + (Simp[x^n*Sinh[a + b*x^n]*(Cosh[a + b*x^n]^(p - 1)/(b*n*p)), x] + Simp[(p - 1)/p   Int[x^m*Cosh[a + b*x^n]
      ^(p - 2), x], x]) /; FreeQ[{a, b, m, n}, x] && EqQ[m - 2*n + 1] && GtQ[p, 1]

5857. Int[(x_)^(m_.)*Sinh[(a_.) + (b_.)*(x_)^(n_)]^(p_), x_Symbol] :> Simp[(-(m - n + 1))*x^(m - 2*n + 1)*(Sinh[a +
      b*x^n]^p/(b^2*n^2*p^2)), x] + (Simp[x^(m - n + 1)*Cosh[a + b*x^n]*(Sinh[a + b*x^n]^(p - 1)/(b*n*p)), x] - Simp
      [(p - 1)/p   Int[x^m*Sinh[a + b*x^n]^(p - 2), x], x] + Simp[(m - n + 1)*((m - 2*n + 1)/(b^2*n^2*p^2))   Int[x^
      (m - 2*n)*Sinh[a + b*x^n]^p, x], x]) /; FreeQ[{a, b}, x] && IntegersQ[m, n] && GtQ[p, 1] && LtQ[0, 2*n, m + 1]

5858. Int[Cosh[(a_.) + (b_.)*(x_)^(n_)]^(p_)*(x_)^(m_.), x_Symbol] :> Simp[(-(m - n + 1))*x^(m - 2*n + 1)*(Cosh[a +
      b*x^n]^p/(b^2*n^2*p^2)), x] + (Simp[x^(m - n + 1)*Sinh[a + b*x^n]*(Cosh[a + b*x^n]^(p - 1)/(b*n*p)), x] + Simp
      [(p - 1)/p   Int[x^m*Cosh[a + b*x^n]^(p - 2), x], x] + Simp[(m - n + 1)*((m - 2*n + 1)/(b^2*n^2*p^2))   Int[x^
      (m - 2*n)*Cosh[a + b*x^n]^p, x], x]) /; FreeQ[{a, b}, x] && IntegersQ[m, n] && GtQ[p, 1] && LtQ[0, 2*n, m + 1]

5859. Int[(x_)^(m_.)*Sinh[(a_.) + (b_.)*(x_)^(n_)]^(p_), x_Symbol] :> Simp[x^(m + 1)*(Sinh[a + b*x^n]^p/(m + 1)), x]
      + (-Simp[b*n*p*x^(m + n + 1)*Cosh[a + b*x^n]*(Sinh[a + b*x^n]^(p - 1)/((m + 1)*(m + n + 1))), x] + Simp[b^2*n
      ^2*p*((p - 1)/((m + 1)*(m + n + 1)))   Int[x^(m + 2*n)*Sinh[a + b*x^n]^(p - 2), x], x] + Simp[b^2*n^2*(p^2/((m
      + 1)*(m + n + 1)))   Int[x^(m + 2*n)*Sinh[a + b*x^n]^p, x], x]) /; FreeQ[{a, b}, x] && IntegersQ[m, n] && GtQ
      [p, 1] && LtQ[0, 2*n, 1 - m] && NeQ[m + n + 1, 0]

5860. Int[Cosh[(a_.) + (b_.)*(x_)^(n_)]^(p_)*(x_)^(m_.), x_Symbol] :> Simp[x^(m + 1)*(Cosh[a + b*x^n]^p/(m + 1)), x]
      + (-Simp[b*n*p*x^(m + n + 1)*Sinh[a + b*x^n]*(Cosh[a + b*x^n]^(p - 1)/((m + 1)*(m + n + 1))), x] - Simp[b^2*n
      ^2*p*((p - 1)/((m + 1)*(m + n + 1)))   Int[x^(m + 2*n)*Cosh[a + b*x^n]^(p - 2), x], x] + Simp[b^2*n^2*(p^2/((m
      + 1)*(m + n + 1)))   Int[x^(m + 2*n)*Cosh[a + b*x^n]^p, x], x]) /; FreeQ[{a, b}, x] && IntegersQ[m, n] && GtQ
      [p, 1] && LtQ[0, 2*n, 1 - m] && NeQ[m + n + 1, 0]

5861. Int[((e_.)*(x_))^(m_)*((a_.) + (b_.)*Sinh[(c_.) + (d_.)*(x_)^(n_)])^(p_.), x_Symbol] :> With[{k = Denominator[
      m]}, Simp[k/e   Subst[Int[x^(k*(m + 1) - 1)*(a + b*Sinh[c + d*(x^(k*n)/e^n)])^p, x], x, (e*x)^(1/k)], x]] /; F
      reeQ[{a, b, c, d, e}, x] && IntegerQ[p] && IGtQ[n, 0] && FractionQ[m]

5862. Int[((a_.) + Cosh[(c_.) + (d_.)*(x_)^(n_)]*(b_.))^(p_.)*((e_.)*(x_))^(m_), x_Symbol] :> With[{k = Denominator[
      m]}, Simp[k/e   Subst[Int[x^(k*(m + 1) - 1)*(a + b*Cosh[c + d*(x^(k*n)/e^n)])^p, x], x, (e*x)^(1/k)], x]] /; F
      reeQ[{a, b, c, d, e}, x] && IntegerQ[p] && IGtQ[n, 0] && FractionQ[m]

5863. Int[((e_.)*(x_))^(m_.)*((a_.) + (b_.)*Sinh[(c_.) + (d_.)*(x_)^(n_)])^(p_), x_Symbol] :> Int[ExpandTrigReduce[(
      e*x)^m, (a + b*Sinh[c + d*x^n])^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, m}, x] && IGtQ[p, 1] && IGtQ[n, 0]

5864. Int[((a_.) + Cosh[(c_.) + (d_.)*(x_)^(n_)]*(b_.))^(p_)*((e_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Int[ExpandTrigReduce[(
      e*x)^m, (a + b*Cosh[c + d*x^n])^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, m}, x] && IGtQ[p, 1] && IGtQ[n, 0]

5865. Int[(x_)^(m_.)*Sinh[(a_.) + (b_.)*(x_)^(n_)]^(p_), x_Symbol] :> Simp[x^n*Cosh[a + b*x^n]*(Sinh[a + b*x^n]^(p +
      1)/(b*n*(p + 1))), x] + (-Simp[n*(Sinh[a + b*x^n]^(p + 2)/(b^2*n^2*(p + 1)*(p + 2))), x] - Simp[(p + 2)/(p +
      1)   Int[x^m*Sinh[a + b*x^n]^(p + 2), x], x]) /; FreeQ[{a, b, m, n}, x] && EqQ[m - 2*n + 1, 0] && LtQ[p, -1] &
      & NeQ[p, -2]

5866. Int[Cosh[(a_.) + (b_.)*(x_)^(n_)]^(p_)*(x_)^(m_.), x_Symbol] :> Simp[(-x^n)*Sinh[a + b*x^n]*(Cosh[a + b*x^n]^(
      p + 1)/(b*n*(p + 1))), x] + (Simp[n*(Cosh[a + b*x^n]^(p + 2)/(b^2*n^2*(p + 1)*(p + 2))), x] + Simp[(p + 2)/(p
      + 1)   Int[x^m*Cosh[a + b*x^n]^(p + 2), x], x]) /; FreeQ[{a, b, m, n}, x] && EqQ[m - 2*n + 1, 0] && LtQ[p, -1]
      && NeQ[p, -2]

5867. Int[(x_)^(m_.)*Sinh[(a_.) + (b_.)*(x_)^(n_)]^(p_), x_Symbol] :> Simp[x^(m - n + 1)*Cosh[a + b*x^n]*(Sinh[a + b
      *x^n]^(p + 1)/(b*n*(p + 1))), x] + (-Simp[(m - n + 1)*x^(m - 2*n + 1)*(Sinh[a + b*x^n]^(p + 2)/(b^2*n^2*(p + 1
      )*(p + 2))), x] - Simp[(p + 2)/(p + 1)   Int[x^m*Sinh[a + b*x^n]^(p + 2), x], x] + Simp[(m - n + 1)*((m - 2*n
      + 1)/(b^2*n^2*(p + 1)*(p + 2)))   Int[x^(m - 2*n)*Sinh[a + b*x^n]^(p + 2), x], x]) /; FreeQ[{a, b}, x] && Inte
      gersQ[m, n] && LtQ[p, -1] && NeQ[p, -2] && LtQ[0, 2*n, m + 1]

5868. Int[Cosh[(a_.) + (b_.)*(x_)^(n_)]^(p_)*(x_)^(m_.), x_Symbol] :> Simp[(-x^(m - n + 1))*Sinh[a + b*x^n]*(Cosh[a
      + b*x^n]^(p + 1)/(b*n*(p + 1))), x] + (Simp[(m - n + 1)*x^(m - 2*n + 1)*(Cosh[a + b*x^n]^(p + 2)/(b^2*n^2*(p +
      1)*(p + 2))), x] + Simp[(p + 2)/(p + 1)   Int[x^m*Cosh[a + b*x^n]^(p + 2), x], x] - Simp[(m - n + 1)*((m - 2*
      n + 1)/(b^2*n^2*(p + 1)*(p + 2)))   Int[x^(m - 2*n)*Cosh[a + b*x^n]^(p + 2), x], x]) /; FreeQ[{a, b}, x] && In
      tegersQ[m, n] && LtQ[p, -1] && NeQ[p, -2] && LtQ[0, 2*n, m + 1]

5869. Int[(x_)^(m_.)*((a_.) + (b_.)*Sinh[(c_.) + (d_.)*(x_)^(n_)])^(p_.), x_Symbol] :> -Subst[Int[(a + b*Sinh[c + d/
      x^n])^p/x^(m + 2), x], x, 1/x] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && IntegerQ[p] && ILtQ[n, 0] && IntegerQ[m]

5870. Int[((a_.) + Cosh[(c_.) + (d_.)*(x_)^(n_)]*(b_.))^(p_.)*(x_)^(m_.), x_Symbol] :> -Subst[Int[(a + b*Cosh[c + d/
      x^n])^p/x^(m + 2), x], x, 1/x] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && IntegerQ[p] && ILtQ[n, 0] && IntegerQ[m]

5871. Int[((e_.)*(x_))^(m_)*((a_.) + (b_.)*Sinh[(c_.) + (d_.)*(x_)^(n_)])^(p_.), x_Symbol] :> With[{k = Denominator[
      m]}, Simp[-k/e   Subst[Int[(a + b*Sinh[c + d/(e^n*x^(k*n))])^p/x^(k*(m + 1) + 1), x], x, 1/(e*x)^(1/k)], x]] /
      ; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && IntegerQ[p] && ILtQ[n, 0] && FractionQ[m]

5872. Int[((a_.) + Cosh[(c_.) + (d_.)*(x_)^(n_)]*(b_.))^(p_.)*((e_.)*(x_))^(m_), x_Symbol] :> With[{k = Denominator[
      m]}, Simp[-k/e   Subst[Int[(a + b*Cosh[c + d/(e^n*x^(k*n))])^p/x^(k*(m + 1) + 1), x], x, 1/(e*x)^(1/k)], x]] /
      ; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && IntegerQ[p] && ILtQ[n, 0] && FractionQ[m]

5873. Int[((e_.)*(x_))^(m_)*((a_.) + (b_.)*Sinh[(c_.) + (d_.)*(x_)^(n_)])^(p_.), x_Symbol] :> Simp[(-(e*x)^m)*(x^(-1
      ))^m   Subst[Int[(a + b*Sinh[c + d/x^n])^p/x^(m + 2), x], x, 1/x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, m}, x] && Integ
      erQ[p] && ILtQ[n, 0] &&  !RationalQ[m]

5874. Int[((a_.) + Cosh[(c_.) + (d_.)*(x_)^(n_)]*(b_.))^(p_.)*((e_.)*(x_))^(m_), x_Symbol] :> Simp[(-(e*x)^m)*(x^(-1
      ))^m   Subst[Int[(a + b*Cosh[c + d/x^n])^p/x^(m + 2), x], x, 1/x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, m}, x] && Integ
      erQ[p] && ILtQ[n, 0] &&  !RationalQ[m]

5875. Int[(x_)^(m_.)*((a_.) + (b_.)*Sinh[(c_.) + (d_.)*(x_)^(n_)])^(p_.), x_Symbol] :> Module[{k = Denominator[n]},
      Simp[k   Subst[Int[x^(k*(m + 1) - 1)*(a + b*Sinh[c + d*x^(k*n)])^p, x], x, x^(1/k)], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d,
      m}, x] && IntegerQ[p] && FractionQ[n]

5876. Int[((a_.) + Cosh[(c_.) + (d_.)*(x_)^(n_)]*(b_.))^(p_.)*(x_)^(m_.), x_Symbol] :> Module[{k = Denominator[n]},
      Simp[k   Subst[Int[x^(k*(m + 1) - 1)*(a + b*Cosh[c + d*x^(k*n)])^p, x], x, x^(1/k)], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d,
      m}, x] && IntegerQ[p] && FractionQ[n]

5877. Int[((e_)*(x_))^(m_)*((a_.) + (b_.)*Sinh[(c_.) + (d_.)*(x_)^(n_)])^(p_.), x_Symbol] :> Simp[e^IntPart[m]*((e*x
      )^FracPart[m]/x^FracPart[m])   Int[x^m*(a + b*Sinh[c + d*x^n])^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, m}, x] && In
      tegerQ[p] && FractionQ[n]

5878. Int[((a_.) + Cosh[(c_.) + (d_.)*(x_)^(n_)]*(b_.))^(p_.)*((e_)*(x_))^(m_), x_Symbol] :> Simp[e^IntPart[m]*((e*x
      )^FracPart[m]/x^FracPart[m])   Int[x^m*(a + b*Cosh[c + d*x^n])^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, m}, x] && In
      tegerQ[p] && FractionQ[n]

5879. Int[(x_)^(m_.)*((a_.) + (b_.)*Sinh[(c_.) + (d_.)*(x_)^(n_)])^(p_.), x_Symbol] :> Simp[1/(m + 1)   Subst[Int[(a
      + b*Sinh[c + d*x^Simplify[n/(m + 1)]])^p, x], x, x^(m + 1)], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, m, n}, x] && IntegerQ[p
      ] && NeQ[m, -1] && IGtQ[Simplify[n/(m + 1)], 0] &&  !IntegerQ[n]

5880. Int[((a_.) + Cosh[(c_.) + (d_.)*(x_)^(n_)]*(b_.))^(p_.)*(x_)^(m_.), x_Symbol] :> Simp[1/(m + 1)   Subst[Int[(a
      + b*Cosh[c + d*x^Simplify[n/(m + 1)]])^p, x], x, x^(m + 1)], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, m, n}, x] && IntegerQ[p
      ] && NeQ[m, -1] && IGtQ[Simplify[n/(m + 1)], 0] &&  !IntegerQ[n]

5881. Int[((e_)*(x_))^(m_)*((a_.) + (b_.)*Sinh[(c_.) + (d_.)*(x_)^(n_)])^(p_.), x_Symbol] :> Simp[e^IntPart[m]*((e*x
      )^FracPart[m]/x^FracPart[m])   Int[x^m*(a + b*Sinh[c + d*x^n])^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, m, n}, x] &&
      IntegerQ[p] && NeQ[m, -1] && IGtQ[Simplify[n/(m + 1)], 0] &&  !IntegerQ[n]

5882. Int[((a_.) + Cosh[(c_.) + (d_.)*(x_)^(n_)]*(b_.))^(p_.)*((e_)*(x_))^(m_), x_Symbol] :> Simp[e^IntPart[m]*((e*x
      )^FracPart[m]/x^FracPart[m])   Int[x^m*(a + b*Cosh[c + d*x^n])^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, m, n}, x] &&
      IntegerQ[p] && NeQ[m, -1] && IGtQ[Simplify[n/(m + 1)], 0] &&  !IntegerQ[n]

5883. Int[((e_.)*(x_))^(m_.)*Sinh[(c_.) + (d_.)*(x_)^(n_)], x_Symbol] :> Simp[1/2   Int[(e*x)^m*E^(c + d*x^n), x], x
      ] - Simp[1/2   Int[(e*x)^m*E^(-c - d*x^n), x], x] /; FreeQ[{c, d, e, m, n}, x]

5884. Int[Cosh[(c_.) + (d_.)*(x_)^(n_)]*((e_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Simp[1/2   Int[(e*x)^m*E^(c + d*x^n), x], x
      ] + Simp[1/2   Int[(e*x)^m*E^(-c - d*x^n), x], x] /; FreeQ[{c, d, e, m, n}, x]

5885. Int[((e_.)*(x_))^(m_.)*((a_.) + (b_.)*Sinh[(c_.) + (d_.)*(x_)^(n_)])^(p_), x_Symbol] :> Int[ExpandTrigReduce[(
      e*x)^m, (a + b*Sinh[c + d*x^n])^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, m, n}, x] && IGtQ[p, 0]

5886. Int[((a_.) + Cosh[(c_.) + (d_.)*(x_)^(n_)]*(b_.))^(p_)*((e_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Int[ExpandTrigReduce[(
      e*x)^m, (a + b*Cosh[c + d*x^n])^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, m, n}, x] && IGtQ[p, 0]

5887. Int[(x_)^(m_.)*((a_.) + (b_.)*Sinh[(c_.) + (d_.)*(u_)^(n_)])^(p_.), x_Symbol] :> Simp[1/Coefficient[u, x, 1]^(
      m + 1)   Subst[Int[(x - Coefficient[u, x, 0])^m*(a + b*Sinh[c + d*x^n])^p, x], x, u], x] /; FreeQ[{a, b, c, d,
      n, p}, x] && LinearQ[u, x] && NeQ[u, x] && IntegerQ[m]

5888. Int[((a_.) + Cosh[(c_.) + (d_.)*(u_)^(n_)]*(b_.))^(p_.)*(x_)^(m_.), x_Symbol] :> Simp[1/Coefficient[u, x, 1]^(
      m + 1)   Subst[Int[(x - Coefficient[u, x, 0])^m*(a + b*Cosh[c + d*x^n])^p, x], x, u], x] /; FreeQ[{a, b, c, d,
      n, p}, x] && LinearQ[u, x] && NeQ[u, x] && IntegerQ[m]

5889. Int[((e_.)*(x_))^(m_.)*((a_.) + (b_.)*Sinh[(c_.) + (d_.)*(u_)^(n_)])^(p_.), x_Symbol] :> Unintegrable[(e*x)^m*
      (a + b*Sinh[c + d*u^n])^p, x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, m, n, p}, x] && LinearQ[u, x]

5890. Int[((a_.) + Cosh[(c_.) + (d_.)*(u_)^(n_)]*(b_.))^(p_.)*((e_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Unintegrable[(e*x)^m*
      (a + b*Cosh[c + d*u^n])^p, x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, m, n, p}, x] && LinearQ[u, x]

5891. Int[((e_)*(x_))^(m_.)*((a_.) + (b_.)*Sinh[u_])^(p_.), x_Symbol] :> Int[(e*x)^m*(a + b*Sinh[ExpandToSum[u, x]])
      ^p, x] /; FreeQ[{a, b, e, m, p}, x] && BinomialQ[u, x] &&  !BinomialMatchQ[u, x]

5892. Int[((a_.) + Cosh[u_]*(b_.))^(p_.)*((e_)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Int[(e*x)^m*(a + b*Cosh[ExpandToSum[u, x]])
      ^p, x] /; FreeQ[{a, b, e, m, p}, x] && BinomialQ[u, x] &&  !BinomialMatchQ[u, x]

5893. Int[Cosh[(a_.) + (b_.)*(x_)^(n_.)]*(x_)^(m_.)*Sinh[(a_.) + (b_.)*(x_)^(n_)]^(p_.), x_Symbol] :> Simp[Sinh[a +
      b*x^n]^(p + 1)/(b*n*(p + 1)), x] /; FreeQ[{a, b, m, n, p}, x] && EqQ[m, n - 1] && NeQ[p, -1]

5894. Int[Cosh[(a_.) + (b_.)*(x_)^(n_)]^(p_.)*(x_)^(m_.)*Sinh[(a_.) + (b_.)*(x_)^(n_.)], x_Symbol] :> Simp[Cosh[a +
      b*x^n]^(p + 1)/(b*n*(p + 1)), x] /; FreeQ[{a, b, m, n, p}, x] && EqQ[m, n - 1] && NeQ[p, -1]

5895. Int[Cosh[(a_.) + (b_.)*(x_)^(n_.)]*(x_)^(m_.)*Sinh[(a_.) + (b_.)*(x_)^(n_.)]^(p_.), x_Symbol] :> Simp[x^(m - n
      + 1)*(Sinh[a + b*x^n]^(p + 1)/(b*n*(p + 1))), x] - Simp[(m - n + 1)/(b*n*(p + 1))   Int[x^(m - n)*Sinh[a + b*
      x^n]^(p + 1), x], x] /; FreeQ[{a, b, p}, x] && LtQ[0, n, m + 1] && NeQ[p, -1]

5896. Int[Cosh[(a_.) + (b_.)*(x_)^(n_.)]^(p_.)*(x_)^(m_.)*Sinh[(a_.) + (b_.)*(x_)^(n_.)], x_Symbol] :> Simp[x^(m - n
      + 1)*(Cosh[a + b*x^n]^(p + 1)/(b*n*(p + 1))), x] - Simp[(m - n + 1)/(b*n*(p + 1))   Int[x^(m - n)*Cosh[a + b*
      x^n]^(p + 1), x], x] /; FreeQ[{a, b, p}, x] && LtQ[0, n, m + 1] && NeQ[p, -1]

5897. Int[Sinh[(a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2], x_Symbol] :> Simp[1/2   Int[E^(a + b*x + c*x^2), x], x] - Simp[1/
      2   Int[E^(-a - b*x - c*x^2), x], x] /; FreeQ[{a, b, c}, x]

5898. Int[Cosh[(a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2], x_Symbol] :> Simp[1/2   Int[E^(a + b*x + c*x^2), x], x] + Simp[1/
      2   Int[E^(-a - b*x - c*x^2), x], x] /; FreeQ[{a, b, c}, x]

5899. Int[Sinh[(a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2]^(n_), x_Symbol] :> Int[ExpandTrigReduce[Sinh[a + b*x + c*x^2]^n, x
      ], x] /; FreeQ[{a, b, c}, x] && IGtQ[n, 1]

5900. Int[Cosh[(a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2]^(n_), x_Symbol] :> Int[ExpandTrigReduce[Cosh[a + b*x + c*x^2]^n, x
      ], x] /; FreeQ[{a, b, c}, x] && IGtQ[n, 1]

5901. Int[Sinh[v_]^(n_.), x_Symbol] :> Int[Sinh[ExpandToSum[v, x]]^n, x] /; IGtQ[n, 0] && QuadraticQ[v, x] &&  !Quad
      raticMatchQ[v, x]

5902. Int[Cosh[v_]^(n_.), x_Symbol] :> Int[Cosh[ExpandToSum[v, x]]^n, x] /; IGtQ[n, 0] && QuadraticQ[v, x] &&  !Quad
      raticMatchQ[v, x]

5903. Int[((d_.) + (e_.)*(x_))*Sinh[(a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2], x_Symbol] :> Simp[e*(Cosh[a + b*x + c*x^2]/(
      2*c)), x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && EqQ[b*e - 2*c*d, 0]

5904. Int[Cosh[(a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2]*((d_.) + (e_.)*(x_)), x_Symbol] :> Simp[e*(Sinh[a + b*x + c*x^2]/(
      2*c)), x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && EqQ[b*e - 2*c*d, 0]

5905. Int[((d_.) + (e_.)*(x_))*Sinh[(a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2], x_Symbol] :> Simp[e*(Cosh[a + b*x + c*x^2]/(
      2*c)), x] - Simp[(b*e - 2*c*d)/(2*c)   Int[Sinh[a + b*x + c*x^2], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && NeQ[b
      *e - 2*c*d, 0]

5906. Int[Cosh[(a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2]*((d_.) + (e_.)*(x_)), x_Symbol] :> Simp[e*(Sinh[a + b*x + c*x^2]/(
      2*c)), x] - Simp[(b*e - 2*c*d)/(2*c)   Int[Cosh[a + b*x + c*x^2], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && NeQ[b
      *e - 2*c*d, 0]

5907. Int[((d_.) + (e_.)*(x_))^(m_)*Sinh[(a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2], x_Symbol] :> Simp[e*(d + e*x)^(m - 1)*(
      Cosh[a + b*x + c*x^2]/(2*c)), x] - Simp[e^2*((m - 1)/(2*c))   Int[(d + e*x)^(m - 2)*Cosh[a + b*x + c*x^2], x],
      x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && GtQ[m, 1] && EqQ[b*e - 2*c*d, 0]

5908. Int[Cosh[(a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2]*((d_.) + (e_.)*(x_))^(m_), x_Symbol] :> Simp[e*(d + e*x)^(m - 1)*(
      Sinh[a + b*x + c*x^2]/(2*c)), x] - Simp[e^2*((m - 1)/(2*c))   Int[(d + e*x)^(m - 2)*Sinh[a + b*x + c*x^2], x],
      x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && GtQ[m, 1] && EqQ[b*e - 2*c*d, 0]

5909. Int[((d_.) + (e_.)*(x_))^(m_)*Sinh[(a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2], x_Symbol] :> Simp[e*(d + e*x)^(m - 1)*(
      Cosh[a + b*x + c*x^2]/(2*c)), x] + (-Simp[(b*e - 2*c*d)/(2*c)   Int[(d + e*x)^(m - 1)*Sinh[a + b*x + c*x^2], x
      ], x] - Simp[e^2*((m - 1)/(2*c))   Int[(d + e*x)^(m - 2)*Cosh[a + b*x + c*x^2], x], x]) /; FreeQ[{a, b, c, d,
      e}, x] && GtQ[m, 1] && NeQ[b*e - 2*c*d, 0]

5910. Int[Cosh[(a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2]*((d_.) + (e_.)*(x_))^(m_), x_Symbol] :> Simp[e*(d + e*x)^(m - 1)*(
      Sinh[a + b*x + c*x^2]/(2*c)), x] + (-Simp[(b*e - 2*c*d)/(2*c)   Int[(d + e*x)^(m - 1)*Cosh[a + b*x + c*x^2], x
      ], x] - Simp[e^2*((m - 1)/(2*c))   Int[(d + e*x)^(m - 2)*Sinh[a + b*x + c*x^2], x], x]) /; FreeQ[{a, b, c, d,
      e}, x] && GtQ[m, 1] && NeQ[b*e - 2*c*d, 0]

5911. Int[((d_.) + (e_.)*(x_))^(m_)*Sinh[(a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2], x_Symbol] :> Simp[(d + e*x)^(m + 1)*(Si
      nh[a + b*x + c*x^2]/(e*(m + 1))), x] - Simp[2*(c/(e^2*(m + 1)))   Int[(d + e*x)^(m + 2)*Cosh[a + b*x + c*x^2],
      x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && LtQ[m, -1] && EqQ[b*e - 2*c*d, 0]

5912. Int[Cosh[(a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2]*((d_.) + (e_.)*(x_))^(m_), x_Symbol] :> Simp[(d + e*x)^(m + 1)*(Co
      sh[a + b*x + c*x^2]/(e*(m + 1))), x] - Simp[2*(c/(e^2*(m + 1)))   Int[(d + e*x)^(m + 2)*Sinh[a + b*x + c*x^2],
      x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && LtQ[m, -1] && EqQ[b*e - 2*c*d, 0]

5913. Int[((d_.) + (e_.)*(x_))^(m_)*Sinh[(a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2], x_Symbol] :> Simp[(d + e*x)^(m + 1)*(Si
      nh[a + b*x + c*x^2]/(e*(m + 1))), x] + (-Simp[(b*e - 2*c*d)/(e^2*(m + 1))   Int[(d + e*x)^(m + 1)*Cosh[a + b*x
      + c*x^2], x], x] - Simp[2*(c/(e^2*(m + 1)))   Int[(d + e*x)^(m + 2)*Cosh[a + b*x + c*x^2], x], x]) /; FreeQ[{
      a, b, c, d, e}, x] && LtQ[m, -1] && NeQ[b*e - 2*c*d, 0]

5914. Int[Cosh[(a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2]*((d_.) + (e_.)*(x_))^(m_), x_Symbol] :> Simp[(d + e*x)^(m + 1)*(Co
      sh[a + b*x + c*x^2]/(e*(m + 1))), x] + (-Simp[(b*e - 2*c*d)/(e^2*(m + 1))   Int[(d + e*x)^(m + 1)*Sinh[a + b*x
      + c*x^2], x], x] - Simp[2*(c/(e^2*(m + 1)))   Int[(d + e*x)^(m + 2)*Sinh[a + b*x + c*x^2], x], x]) /; FreeQ[{
      a, b, c, d, e}, x] && LtQ[m, -1] && NeQ[b*e - 2*c*d, 0]

5915. Int[((d_.) + (e_.)*(x_))^(m_.)*Sinh[(a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2], x_Symbol] :> Unintegrable[(d + e*x)^m*
      Sinh[a + b*x + c*x^2], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, m}, x]

5916. Int[Cosh[(a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2]*((d_.) + (e_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Unintegrable[(d + e*x)^m*
      Cosh[a + b*x + c*x^2], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, m}, x]

5917. Int[((d_.) + (e_.)*(x_))^(m_.)*Sinh[(a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2]^(n_), x_Symbol] :> Int[ExpandTrigReduce
      [(d + e*x)^m, Sinh[a + b*x + c*x^2]^n, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, m}, x] && IGtQ[n, 1]

5918. Int[Cosh[(a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2]^(n_)*((d_.) + (e_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Int[ExpandTrigReduce
      [(d + e*x)^m, Cosh[a + b*x + c*x^2]^n, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, m}, x] && IGtQ[n, 1]

5919. Int[(u_)^(m_.)*Sinh[v_]^(n_.), x_Symbol] :> Int[ExpandToSum[u, x]^m*Sinh[ExpandToSum[v, x]]^n, x] /; FreeQ[m,
      x] && IGtQ[n, 0] && LinearQ[u, x] && QuadraticQ[v, x] &&  !(LinearMatchQ[u, x] && QuadraticMatchQ[v, x])

5920. Int[Cosh[v_]^(n_.)*(u_)^(m_.), x_Symbol] :> Int[ExpandToSum[u, x]^m*Cosh[ExpandToSum[v, x]]^n, x] /; FreeQ[m,
      x] && IGtQ[n, 0] && LinearQ[u, x] && QuadraticQ[v, x] &&  !(LinearMatchQ[u, x] && QuadraticMatchQ[v, x])

5921. Int[(u_)^(m_.)*((a_.) + (b_.)*Tanh[v_])^(n_.), x_Symbol] :> Int[ExpandToSum[u, x]^m*(a + b*Tanh[ExpandToSum[v,
      x]])^n, x] /; FreeQ[{a, b, m, n}, x] && LinearQ[{u, v}, x] &&  !LinearMatchQ[{u, v}, x]

5922. Int[((a_.) + Coth[v_]*(b_.))^(n_.)*(u_)^(m_.), x_Symbol] :> Int[ExpandToSum[u, x]^m*(a + b*Coth[ExpandToSum[v,
      x]])^n, x] /; FreeQ[{a, b, m, n}, x] && LinearQ[{u, v}, x] &&  !LinearMatchQ[{u, v}, x]

5923. Int[((a_.) + (b_.)*Tanh[(c_.) + (d_.)*(x_)^(n_)])^(p_.), x_Symbol] :> Simp[1/n   Subst[Int[x^(1/n - 1)*(a + b*
      Tanh[c + d*x])^p, x], x, x^n], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, p}, x] && IGtQ[1/n, 0] && IntegerQ[p]

5924. Int[((a_.) + Coth[(c_.) + (d_.)*(x_)^(n_)]*(b_.))^(p_.), x_Symbol] :> Simp[1/n   Subst[Int[x^(1/n - 1)*(a + b*
      Coth[c + d*x])^p, x], x, x^n], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, p}, x] && IGtQ[1/n, 0] && IntegerQ[p]

5925. Int[((a_.) + (b_.)*Tanh[(c_.) + (d_.)*(x_)^(n_)])^(p_.), x_Symbol] :> Simp[Integral[(a + b*Tanh[c + d*x^n])^p,
      x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, n, p}, x]

5926. Int[((a_.) + Coth[(c_.) + (d_.)*(x_)^(n_)]*(b_.))^(p_.), x_Symbol] :> Simp[Integral[(a + b*Coth[c + d*x^n])^p,
      x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, n, p}, x]

5927. Int[((a_.) + (b_.)*Tanh[(c_.) + (d_.)*(u_)^(n_)])^(p_.), x_Symbol] :> Simp[1/Coefficient[u, x, 1]   Subst[Int[
      (a + b*Tanh[c + d*x^n])^p, x], x, u], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, n, p}, x] && LinearQ[u, x] && NeQ[u, x]

5928. Int[((a_.) + Coth[(c_.) + (d_.)*(u_)^(n_)]*(b_.))^(p_.), x_Symbol] :> Simp[1/Coefficient[u, x, 1]   Subst[Int[
      (a + b*Coth[c + d*x^n])^p, x], x, u], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, n, p}, x] && LinearQ[u, x] && NeQ[u, x]

5929. Int[((a_.) + (b_.)*Tanh[u_])^(p_.), x_Symbol] :> Int[(a + b*Tanh[ExpandToSum[u, x]])^p, x] /; FreeQ[{a, b, p},
      x] && BinomialQ[u, x] &&  !BinomialMatchQ[u, x]

5930. Int[((a_.) + Coth[u_]*(b_.))^(p_.), x_Symbol] :> Int[(a + b*Coth[ExpandToSum[u, x]])^p, x] /; FreeQ[{a, b, p},
      x] && BinomialQ[u, x] &&  !BinomialMatchQ[u, x]

5931. Int[(x_)^(m_.)*((a_.) + (b_.)*Tanh[(c_.) + (d_.)*(x_)^(n_)])^(p_.), x_Symbol] :> Simp[1/n   Subst[Int[x^(Simpl
      ify[(m + 1)/n] - 1)*(a + b*Tanh[c + d*x])^p, x], x, x^n], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, m, n, p}, x] && IGtQ[Simpli
      fy[(m + 1)/n], 0] && IntegerQ[p]

5932. Int[((a_.) + Coth[(c_.) + (d_.)*(x_)^(n_)]*(b_.))^(p_.)*(x_)^(m_.), x_Symbol] :> Simp[1/n   Subst[Int[x^(Simpl
      ify[(m + 1)/n] - 1)*(a + b*Coth[c + d*x])^p, x], x, x^n], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, m, n, p}, x] && IGtQ[Simpli
      fy[(m + 1)/n], 0] && IntegerQ[p]

5933. Int[(x_)^(m_.)*Tanh[(c_.) + (d_.)*(x_)^(n_)]^2, x_Symbol] :> Simp[(-x^(m - n + 1))*(Tanh[c + d*x^n]/(d*n)), x]
      + (Int[x^m, x] + Simp[((m - n + 1)/(d*n))*Int[x^(m - n)*Tanh[c + d*x^n], x], x]) /; FreeQ[{c, d, m, n}, x]

5934. Int[Coth[(c_.) + (d_.)*(x_)^(n_)]^2*(x_)^(m_.), x_Symbol] :> Simp[(-x^(m - n + 1))*(Coth[c + d*x^n]/(d*n)), x]
      + (Int[x^m, x] + Simp[((m - n + 1)/(d*n))*Int[x^(m - n)*Coth[c + d*x^n], x], x]) /; FreeQ[{c, d, m, n}, x]

5935. Int[(x_)^(m_.)*((a_.) + (b_.)*Tanh[(c_.) + (d_.)*(x_)^(n_)])^(p_.), x_Symbol] :> Simp[Integral[x^m*(a + b*Tanh
      [c + d*x^n])^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, m, n, p}, x]

5936. Int[((a_.) + Coth[(c_.) + (d_.)*(x_)^(n_)]*(b_.))^(p_.)*(x_)^(m_.), x_Symbol] :> Simp[Integral[x^m*(a + b*Coth
      [c + d*x^n])^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, m, n, p}, x]

5937. Int[((e_)*(x_))^(m_.)*((a_.) + (b_.)*Tanh[(c_.) + (d_.)*(x_)^(n_)])^(p_.), x_Symbol] :> Simp[e^IntPart[m]*((e*
      x)^FracPart[m]/x^FracPart[m])   Int[x^m*(a + b*Tanh[c + d*x^n])^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, m, n, p}, x
      ]

5938. Int[((a_.) + Coth[(c_.) + (d_.)*(x_)^(n_)]*(b_.))^(p_.)*((e_)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Simp[e^IntPart[m]*((e*
      x)^FracPart[m]/x^FracPart[m])   Int[x^m*(a + b*Coth[c + d*x^n])^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, m, n, p}, x
      ]

5939. Int[((e_)*(x_))^(m_.)*((a_.) + (b_.)*Tanh[u_])^(p_.), x_Symbol] :> Int[(e*x)^m*(a + b*Tanh[ExpandToSum[u, x]])
      ^p, x] /; FreeQ[{a, b, e, m, p}, x] && BinomialQ[u, x] &&  !BinomialMatchQ[u, x]

5940. Int[((a_.) + Coth[u_]*(b_.))^(p_.)*((e_)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Int[(e*x)^m*(a + b*Coth[ExpandToSum[u, x]])
      ^p, x] /; FreeQ[{a, b, e, m, p}, x] && BinomialQ[u, x] &&  !BinomialMatchQ[u, x]

5941. Int[(x_)^(m_.)*Sech[(a_.) + (b_.)*(x_)^(n_.)]^(p_.)*Tanh[(a_.) + (b_.)*(x_)^(n_.)]^(q_.), x_Symbol] :> Simp[(-
      x^(m - n + 1))*(Sech[a + b*x^n]^p/(b*n*p)), x] + Simp[(m - n + 1)/(b*n*p)   Int[x^(m - n)*Sech[a + b*x^n]^p, x
      ], x] /; FreeQ[{a, b, p}, x] && RationalQ[m] && IntegerQ[n] && GeQ[m - n, 0] && EqQ[q, 1]

5942. Int[Coth[(a_.) + (b_.)*(x_)^(n_.)]^(q_.)*Csch[(a_.) + (b_.)*(x_)^(n_.)]^(p_.)*(x_)^(m_.), x_Symbol] :> Simp[(-
      x^(m - n + 1))*(Csch[a + b*x^n]^p/(b*n*p)), x] + Simp[(m - n + 1)/(b*n*p)   Int[x^(m - n)*Csch[a + b*x^n]^p, x
      ], x] /; FreeQ[{a, b, p}, x] && RationalQ[m] && IntegerQ[n] && GeQ[m - n, 0] && EqQ[q, 1]

5943. Int[Tanh[(a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2]^(n_.), x_Symbol] :> Simp[Integral[Tanh[a + b*x + c*x^2]^n, x], x]
      /; FreeQ[{a, b, c, n}, x]

5944. Int[Coth[(a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2]^(n_.), x_Symbol] :> Simp[Integral[Coth[a + b*x + c*x^2]^n, x], x]
      /; FreeQ[{a, b, c, n}, x]

5945. Int[((d_.) + (e_.)*(x_))*Tanh[(a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2], x_Symbol] :> Simp[e*(Log[Cosh[a + b*x + c*x^
      2]]/(2*c)), x] + Simp[(2*c*d - b*e)/(2*c)   Int[Tanh[a + b*x + c*x^2], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x]

5946. Int[Coth[(a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2]*((d_.) + (e_.)*(x_)), x_Symbol] :> Simp[e*(Log[Sinh[a + b*x + c*x^
      2]]/(2*c)), x] + Simp[(2*c*d - b*e)/(2*c)   Int[Coth[a + b*x + c*x^2], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x]

5947. Int[((d_.) + (e_.)*(x_))^(m_.)*Tanh[(a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2]^(n_.), x_Symbol] :> Simp[Integral[(d +
      e*x)^m*Tanh[a + b*x + c*x^2]^n, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, m, n}, x]

5948. Int[Coth[(a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2]^(n_.)*((d_.) + (e_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Simp[Integral[(d +
      e*x)^m*Coth[a + b*x + c*x^2]^n, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, m, n}, x]

5949. Int[(u_)^(m_.)*Sech[v_]^(n_.), x_Symbol] :> Int[ExpandToSum[u, x]^m*Sech[ExpandToSum[v, x]]^n, x] /; FreeQ[{m,
      n}, x] && LinearQ[{u, v}, x] &&  !LinearMatchQ[{u, v}, x]

5950. Int[Csch[v_]^(n_.)*(u_)^(m_.), x_Symbol] :> Int[ExpandToSum[u, x]^m*Csch[ExpandToSum[v, x]]^n, x] /; FreeQ[{m,
      n}, x] && LinearQ[{u, v}, x] &&  !LinearMatchQ[{u, v}, x]

5951. Int[((a_.) + (b_.)*Sech[(c_.) + (d_.)*(x_)^(n_)])^(p_.), x_Symbol] :> Simp[1/n   Subst[Int[x^(1/n - 1)*(a + b*
      Sech[c + d*x])^p, x], x, x^n], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, p}, x] && IGtQ[1/n, 0] && IntegerQ[p]

5952. Int[((a_.) + Csch[(c_.) + (d_.)*(x_)^(n_)]*(b_.))^(p_.), x_Symbol] :> Simp[1/n   Subst[Int[x^(1/n - 1)*(a + b*
      Csch[c + d*x])^p, x], x, x^n], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, p}, x] && IGtQ[1/n, 0] && IntegerQ[p]

5953. Int[((a_.) + (b_.)*Sech[(c_.) + (d_.)*(x_)^(n_)])^(p_.), x_Symbol] :> Unintegrable[(a + b*Sech[c + d*x^n])^p,
      x] /; FreeQ[{a, b, c, d, n, p}, x]

5954. Int[((a_.) + Csch[(c_.) + (d_.)*(x_)^(n_)]*(b_.))^(p_.), x_Symbol] :> Unintegrable[(a + b*Csch[c + d*x^n])^p,
      x] /; FreeQ[{a, b, c, d, n, p}, x]

5955. Int[((a_.) + (b_.)*Sech[(c_.) + (d_.)*(u_)^(n_)])^(p_.), x_Symbol] :> Simp[1/Coefficient[u, x, 1]   Subst[Int[
      (a + b*Sech[c + d*x^n])^p, x], x, u], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, n, p}, x] && LinearQ[u, x] && NeQ[u, x]

5956. Int[((a_.) + Csch[(c_.) + (d_.)*(u_)^(n_)]*(b_.))^(p_.), x_Symbol] :> Simp[1/Coefficient[u, x, 1]   Subst[Int[
      (a + b*Csch[c + d*x^n])^p, x], x, u], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, n, p}, x] && LinearQ[u, x] && NeQ[u, x]

5957. Int[((a_.) + (b_.)*Sech[u_])^(p_.), x_Symbol] :> Int[(a + b*Sech[ExpandToSum[u, x]])^p, x] /; FreeQ[{a, b, p},
      x] && BinomialQ[u, x] &&  !BinomialMatchQ[u, x]

5958. Int[((a_.) + Csch[u_]*(b_.))^(p_.), x_Symbol] :> Int[(a + b*Csch[ExpandToSum[u, x]])^p, x] /; FreeQ[{a, b, p},
      x] && BinomialQ[u, x] &&  !BinomialMatchQ[u, x]

5959. Int[(x_)^(m_.)*((a_.) + (b_.)*Sech[(c_.) + (d_.)*(x_)^(n_)])^(p_.), x_Symbol] :> Simp[1/n   Subst[Int[x^(Simpl
      ify[(m + 1)/n] - 1)*(a + b*Sech[c + d*x])^p, x], x, x^n], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, m, n, p}, x] && IGtQ[Simpli
      fy[(m + 1)/n], 0] && IntegerQ[p]

5960. Int[((a_.) + Csch[(c_.) + (d_.)*(x_)^(n_)]*(b_.))^(p_.)*(x_)^(m_.), x_Symbol] :> Simp[1/n   Subst[Int[x^(Simpl
      ify[(m + 1)/n] - 1)*(a + b*Csch[c + d*x])^p, x], x, x^n], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, m, n, p}, x] && IGtQ[Simpli
      fy[(m + 1)/n], 0] && IntegerQ[p]

5961. Int[(x_)^(m_.)*((a_.) + (b_.)*Sech[(c_.) + (d_.)*(x_)^(n_)])^(p_.), x_Symbol] :> Unintegrable[x^m*(a + b*Sech[
      c + d*x^n])^p, x] /; FreeQ[{a, b, c, d, m, n, p}, x]

5962. Int[((a_.) + Csch[(c_.) + (d_.)*(x_)^(n_)]*(b_.))^(p_.)*(x_)^(m_.), x_Symbol] :> Unintegrable[x^m*(a + b*Csch[
      c + d*x^n])^p, x] /; FreeQ[{a, b, c, d, m, n, p}, x]

5963. Int[((e_)*(x_))^(m_.)*((a_.) + (b_.)*Sech[(c_.) + (d_.)*(x_)^(n_)])^(p_.), x_Symbol] :> Simp[e^IntPart[m]*((e*
      x)^FracPart[m]/x^FracPart[m])   Int[x^m*(a + b*Sech[c + d*x^n])^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, m, n, p}, x
      ]

5964. Int[((a_.) + Csch[(c_.) + (d_.)*(x_)^(n_)]*(b_.))^(p_.)*((e_)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Simp[e^IntPart[m]*((e*
      x)^FracPart[m]/x^FracPart[m])   Int[x^m*(a + b*Csch[c + d*x^n])^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, m, n, p}, x
      ]

5965. Int[((e_)*(x_))^(m_.)*((a_.) + (b_.)*Sech[u_])^(p_.), x_Symbol] :> Int[(e*x)^m*(a + b*Sech[ExpandToSum[u, x]])
      ^p, x] /; FreeQ[{a, b, e, m, p}, x] && BinomialQ[u, x] &&  !BinomialMatchQ[u, x]

5966. Int[((a_.) + Csch[u_]*(b_.))^(p_.)*((e_)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Int[(e*x)^m*(a + b*Csch[ExpandToSum[u, x]])
      ^p, x] /; FreeQ[{a, b, e, m, p}, x] && BinomialQ[u, x] &&  !BinomialMatchQ[u, x]

5967. Int[(x_)^(m_.)*Sech[(a_.) + (b_.)*(x_)^(n_.)]^(p_)*Sinh[(a_.) + (b_.)*(x_)^(n_.)], x_Symbol] :> Simp[(-x^(m -
      n + 1))*(Sech[a + b*x^n]^(p - 1)/(b*n*(p - 1))), x] + Simp[(m - n + 1)/(b*n*(p - 1))   Int[x^(m - n)*Sech[a +
      b*x^n]^(p - 1), x], x] /; FreeQ[{a, b, p}, x] && IntegerQ[n] && GeQ[m - n, 0] && NeQ[p, 1]

5968. Int[Cosh[(a_.) + (b_.)*(x_)^(n_.)]*Csch[(a_.) + (b_.)*(x_)^(n_.)]^(p_)*(x_)^(m_.), x_Symbol] :> Simp[(-x^(m -
      n + 1))*(Csch[a + b*x^n]^(p - 1)/(b*n*(p - 1))), x] + Simp[(m - n + 1)/(b*n*(p - 1))   Int[x^(m - n)*Csch[a +
      b*x^n]^(p - 1), x], x] /; FreeQ[{a, b, p}, x] && IntegerQ[n] && GeQ[m - n, 0] && NeQ[p, 1]

5969. Int[Cosh[(a_.) + (b_.)*(x_)]*((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.)*Sinh[(a_.) + (b_.)*(x_)]^(n_.), x_Symbol] :> Simp[(c +
      d*x)^m*(Sinh[a + b*x]^(n + 1)/(b*(n + 1))), x] - Simp[d*(m/(b*(n + 1)))   Int[(c + d*x)^(m - 1)*Sinh[a + b*x]
      ^(n + 1), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, n}, x] && IGtQ[m, 0] && NeQ[n, -1]

5970. Int[Cosh[(a_.) + (b_.)*(x_)]^(n_.)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.)*Sinh[(a_.) + (b_.)*(x_)], x_Symbol] :> Simp[(c +
      d*x)^m*(Cosh[a + b*x]^(n + 1)/(b*(n + 1))), x] - Simp[d*(m/(b*(n + 1)))   Int[(c + d*x)^(m - 1)*Cosh[a + b*x]
      ^(n + 1), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, n}, x] && IGtQ[m, 0] && NeQ[n, -1]

5971. Int[Cosh[(a_.) + (b_.)*(x_)]^(p_.)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.)*Sinh[(a_.) + (b_.)*(x_)]^(n_.), x_Symbol] :> Int
      [ExpandTrigReduce[(c + d*x)^m, Sinh[a + b*x]^n*Cosh[a + b*x]^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, m}, x] && IGtQ[n,
      0] && IGtQ[p, 0]

5972. Int[((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.)*Sinh[(a_.) + (b_.)*(x_)]^(n_.)*Tanh[(a_.) + (b_.)*(x_)]^(p_.), x_Symbol] :> Int
      [(c + d*x)^m*Sinh[a + b*x]^n*Tanh[a + b*x]^(p - 2), x] - Int[(c + d*x)^m*Sinh[a + b*x]^(n - 2)*Tanh[a + b*x]^p
      , x] /; FreeQ[{a, b, c, d, m}, x] && IGtQ[n, 0] && IGtQ[p, 0]

5973. Int[Cosh[(a_.) + (b_.)*(x_)]^(n_.)*Coth[(a_.) + (b_.)*(x_)]^(p_.)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Int
      [(c + d*x)^m*Cosh[a + b*x]^n*Coth[a + b*x]^(p - 2), x] + Int[(c + d*x)^m*Cosh[a + b*x]^(n - 2)*Coth[a + b*x]^p
      , x] /; FreeQ[{a, b, c, d, m}, x] && IGtQ[n, 0] && IGtQ[p, 0]

5974. Int[((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.)*Sech[(a_.) + (b_.)*(x_)]^(n_.)*Tanh[(a_.) + (b_.)*(x_)]^(p_.), x_Symbol] :> Sim
      p[(-(c + d*x)^m)*(Sech[a + b*x]^n/(b*n)), x] + Simp[d*(m/(b*n))   Int[(c + d*x)^(m - 1)*Sech[a + b*x]^n, x], x
      ] /; FreeQ[{a, b, c, d, n}, x] && EqQ[p, 1] && GtQ[m, 0]

5975. Int[Coth[(a_.) + (b_.)*(x_)]^(p_.)*Csch[(a_.) + (b_.)*(x_)]^(n_.)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Sim
      p[(-(c + d*x)^m)*(Csch[a + b*x]^n/(b*n)), x] + Simp[d*(m/(b*n))   Int[(c + d*x)^(m - 1)*Csch[a + b*x]^n, x], x
      ] /; FreeQ[{a, b, c, d, n}, x] && EqQ[p, 1] && GtQ[m, 0]

5976. Int[((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.)*Sech[(a_.) + (b_.)*(x_)]^2*Tanh[(a_.) + (b_.)*(x_)]^(n_.), x_Symbol] :> Simp[(c
      + d*x)^m*(Tanh[a + b*x]^(n + 1)/(b*(n + 1))), x] - Simp[d*(m/(b*(n + 1)))   Int[(c + d*x)^(m - 1)*Tanh[a + b*
      x]^(n + 1), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, n}, x] && IGtQ[m, 0] && NeQ[n, -1]

5977. Int[Coth[(a_.) + (b_.)*(x_)]^(n_.)*Csch[(a_.) + (b_.)*(x_)]^2*((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Simp[(-
      (c + d*x)^m)*(Coth[a + b*x]^(n + 1)/(b*(n + 1))), x] + Simp[d*(m/(b*(n + 1)))   Int[(c + d*x)^(m - 1)*Coth[a +
      b*x]^(n + 1), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, n}, x] && IGtQ[m, 0] && NeQ[n, -1]

5978. Int[((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.)*Sech[(a_.) + (b_.)*(x_)]*Tanh[(a_.) + (b_.)*(x_)]^(p_), x_Symbol] :> Int[(c + d
      *x)^m*Sech[a + b*x]*Tanh[a + b*x]^(p - 2), x] - Int[(c + d*x)^m*Sech[a + b*x]^3*Tanh[a + b*x]^(p - 2), x] /; F
      reeQ[{a, b, c, d, m}, x] && IGtQ[p/2, 0]

5979. Int[((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.)*Sech[(a_.) + (b_.)*(x_)]^(n_.)*Tanh[(a_.) + (b_.)*(x_)]^(p_), x_Symbol] :> Int[
      (c + d*x)^m*Sech[a + b*x]^n*Tanh[a + b*x]^(p - 2), x] - Int[(c + d*x)^m*Sech[a + b*x]^(n + 2)*Tanh[a + b*x]^(p
      - 2), x] /; FreeQ[{a, b, c, d, m, n}, x] && IGtQ[p/2, 0]

5980. Int[Coth[(a_.) + (b_.)*(x_)]^(p_)*Csch[(a_.) + (b_.)*(x_)]*((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Int[(c + d
      *x)^m*Csch[a + b*x]*Coth[a + b*x]^(p - 2), x] + Int[(c + d*x)^m*Csch[a + b*x]^3*Coth[a + b*x]^(p - 2), x] /; F
      reeQ[{a, b, c, d, m}, x] && IGtQ[p/2, 0]

5981. Int[Coth[(a_.) + (b_.)*(x_)]^(p_)*Csch[(a_.) + (b_.)*(x_)]^(n_.)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Int[
      (c + d*x)^m*Csch[a + b*x]^n*Coth[a + b*x]^(p - 2), x] + Int[(c + d*x)^m*Csch[a + b*x]^(n + 2)*Coth[a + b*x]^(p
      - 2), x] /; FreeQ[{a, b, c, d, m, n}, x] && IGtQ[p/2, 0]

5982. Int[((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.)*Sech[(a_.) + (b_.)*(x_)]^(n_.)*Tanh[(a_.) + (b_.)*(x_)]^(p_.), x_Symbol] :> Wit
      h[{u = IntHide[Sech[a + b*x]^n*Tanh[a + b*x]^p, x]}, Simp[(c + d*x)^m   u, x] - Simp[d*m   Int[(c + d*x)^(m -
      1)*u, x], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d, n, p}, x] && IGtQ[m, 0] && (IntegerQ[n/2] || IntegerQ[(p - 1)/2])

5983. Int[Coth[(a_.) + (b_.)*(x_)]^(p_.)*Csch[(a_.) + (b_.)*(x_)]^(n_.)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Wit
      h[{u = IntHide[Csch[a + b*x]^n*Coth[a + b*x]^p, x]}, Simp[(c + d*x)^m   u, x] - Simp[d*m   Int[(c + d*x)^(m -
      1)*u, x], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d, n, p}, x] && IGtQ[m, 0] && (IntegerQ[n/2] || IntegerQ[(p - 1)/2])

5984. Int[Csch[(a_.) + (b_.)*(x_)]^(n_.)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.)*Sech[(a_.) + (b_.)*(x_)]^(n_.), x_Symbol] :> Sim
      p[2^n   Int[(c + d*x)^m*Csch[2*a + 2*b*x]^n, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && RationalQ[m] && IntegerQ[n]

5985. Int[Csch[(a_.) + (b_.)*(x_)]^(n_.)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.)*Sech[(a_.) + (b_.)*(x_)]^(p_.), x_Symbol] :> Wit
      h[{u = IntHide[Csch[a + b*x]^n*Sech[a + b*x]^p, x]}, Simp[(c + d*x)^m   u, x] - Simp[d*m   Int[(c + d*x)^(m -
      1)*u, x], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && IntegersQ[n, p] && GtQ[m, 0] && NeQ[n, p]

5986. Int[(u_)^(m_.)*(F_)[v_]^(n_.)*(G_)[w_]^(p_.), x_Symbol] :> Int[ExpandToSum[u, x]^m*F[ExpandToSum[v, x]]^n*G[Ex
      pandToSum[v, x]]^p, x] /; FreeQ[{m, n, p}, x] && HyperbolicQ[F] && HyperbolicQ[G] && EqQ[v, w] && LinearQ[{u,
      v, w}, x] &&  !LinearMatchQ[{u, v, w}, x]

5987. Int[Cosh[(c_.) + (d_.)*(x_)]*((e_.) + (f_.)*(x_))^(m_.)*((a_) + (b_.)*Sinh[(c_.) + (d_.)*(x_)])^(n_.), x_Symbo
      l] :> Simp[(e + f*x)^m*((a + b*Sinh[c + d*x])^(n + 1)/(b*d*(n + 1))), x] - Simp[f*(m/(b*d*(n + 1)))   Int[(e +
      f*x)^(m - 1)*(a + b*Sinh[c + d*x])^(n + 1), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, n}, x] && IGtQ[m, 0] && NeQ[n,
      -1]

5988. Int[(Cosh[(c_.) + (d_.)*(x_)]*(b_.) + (a_))^(n_.)*((e_.) + (f_.)*(x_))^(m_.)*Sinh[(c_.) + (d_.)*(x_)], x_Symbo
      l] :> Simp[(e + f*x)^m*((a + b*Cosh[c + d*x])^(n + 1)/(b*d*(n + 1))), x] - Simp[f*(m/(b*d*(n + 1)))   Int[(e +
      f*x)^(m - 1)*(a + b*Cosh[c + d*x])^(n + 1), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, n}, x] && IGtQ[m, 0] && NeQ[n,
      -1]

5989. Int[((e_.) + (f_.)*(x_))^(m_.)*Sech[(c_.) + (d_.)*(x_)]^2*((a_) + (b_.)*Tanh[(c_.) + (d_.)*(x_)])^(n_.), x_Sym
      bol] :> Simp[(e + f*x)^m*((a + b*Tanh[c + d*x])^(n + 1)/(b*d*(n + 1))), x] - Simp[f*(m/(b*d*(n + 1)))   Int[(e
      + f*x)^(m - 1)*(a + b*Tanh[c + d*x])^(n + 1), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, n}, x] && IGtQ[m, 0] && NeQ[
      n, -1]

5990. Int[Csch[(c_.) + (d_.)*(x_)]^2*(Coth[(c_.) + (d_.)*(x_)]*(b_.) + (a_))^(n_.)*((e_.) + (f_.)*(x_))^(m_.), x_Sym
      bol] :> Simp[(-(e + f*x)^m)*((a + b*Coth[c + d*x])^(n + 1)/(b*d*(n + 1))), x] + Simp[f*(m/(b*d*(n + 1)))   Int
      [(e + f*x)^(m - 1)*(a + b*Coth[c + d*x])^(n + 1), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, n}, x] && IGtQ[m, 0] && N
      eQ[n, -1]

5991. Int[((e_.) + (f_.)*(x_))^(m_.)*Sech[(c_.) + (d_.)*(x_)]*((a_) + (b_.)*Sech[(c_.) + (d_.)*(x_)])^(n_.)*Tanh[(c_
      .) + (d_.)*(x_)], x_Symbol] :> Simp[(-(e + f*x)^m)*((a + b*Sech[c + d*x])^(n + 1)/(b*d*(n + 1))), x] + Simp[f*
      (m/(b*d*(n + 1)))   Int[(e + f*x)^(m - 1)*(a + b*Sech[c + d*x])^(n + 1), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, n}
      , x] && IGtQ[m, 0] && NeQ[n, -1]

5992. Int[Coth[(c_.) + (d_.)*(x_)]*Csch[(c_.) + (d_.)*(x_)]*(Csch[(c_.) + (d_.)*(x_)]*(b_.) + (a_))^(n_.)*((e_.) + (
      f_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Simp[(-(e + f*x)^m)*((a + b*Csch[c + d*x])^(n + 1)/(b*d*(n + 1))), x] + Simp[f*
      (m/(b*d*(n + 1)))   Int[(e + f*x)^(m - 1)*(a + b*Csch[c + d*x])^(n + 1), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, n}
      , x] && IGtQ[m, 0] && NeQ[n, -1]

5993. Int[((e_.) + (f_.)*(x_))^(m_.)*Sinh[(a_.) + (b_.)*(x_)]^(p_.)*Sinh[(c_.) + (d_.)*(x_)]^(q_.), x_Symbol] :> Int
      [ExpandTrigReduce[(e + f*x)^m, Sinh[a + b*x]^p*Sinh[c + d*x]^q, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && IGtQ
      [p, 0] && IGtQ[q, 0] && IntegerQ[m]

5994. Int[Cosh[(a_.) + (b_.)*(x_)]^(p_.)*Cosh[(c_.) + (d_.)*(x_)]^(q_.)*((e_.) + (f_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Int
      [ExpandTrigReduce[(e + f*x)^m, Cosh[a + b*x]^p*Cosh[c + d*x]^q, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && IGtQ
      [p, 0] && IGtQ[q, 0] && IntegerQ[m]

5995. Int[Cosh[(c_.) + (d_.)*(x_)]^(q_.)*((e_.) + (f_.)*(x_))^(m_.)*Sinh[(a_.) + (b_.)*(x_)]^(p_.), x_Symbol] :> Int
      [ExpandTrigReduce[(e + f*x)^m, Sinh[a + b*x]^p*Cosh[c + d*x]^q, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m}, x] && I
      GtQ[p, 0] && IGtQ[q, 0]

5996. Int[((e_.) + (f_.)*(x_))^(m_.)*(F_)[(a_.) + (b_.)*(x_)]^(p_.)*(G_)[(c_.) + (d_.)*(x_)]^(q_.), x_Symbol] :> Int
      [ExpandTrigExpand[(e + f*x)^m*G[c + d*x]^q, F, c + d*x, p, b/d, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m}, x] && M
      emberQ[{Sinh, Cosh}, F] && MemberQ[{Sech, Csch}, G] && IGtQ[p, 0] && IGtQ[q, 0] && EqQ[b*c - a*d, 0] && IGtQ[b
      /d, 1]

5997. Int[(F_)^((c_.)*((a_.) + (b_.)*(x_)))*Sinh[(d_.) + (e_.)*(x_)], x_Symbol] :> Simp[(-b)*c*Log[F]*F^(c*(a + b*x)
      )*(Sinh[d + e*x]/(e^2 - b^2*c^2*Log[F]^2)), x] + Simp[e*F^(c*(a + b*x))*(Cosh[d + e*x]/(e^2 - b^2*c^2*Log[F]^2
      )), x] /; FreeQ[{F, a, b, c, d, e}, x] && NeQ[e^2 - b^2*c^2*Log[F]^2, 0]

5998. Int[Cosh[(d_.) + (e_.)*(x_)]*(F_)^((c_.)*((a_.) + (b_.)*(x_))), x_Symbol] :> Simp[(-b)*c*Log[F]*F^(c*(a + b*x)
      )*(Cosh[d + e*x]/(e^2 - b^2*c^2*Log[F]^2)), x] + Simp[e*F^(c*(a + b*x))*(Sinh[d + e*x]/(e^2 - b^2*c^2*Log[F]^2
      )), x] /; FreeQ[{F, a, b, c, d, e}, x] && NeQ[e^2 - b^2*c^2*Log[F]^2, 0]

5999. Int[(F_)^((c_.)*((a_.) + (b_.)*(x_)))*Sinh[(d_.) + (e_.)*(x_)]^(n_), x_Symbol] :> Simp[(-b)*c*Log[F]*F^(c*(a +
      b*x))*(Sinh[d + e*x]^n/(e^2*n^2 - b^2*c^2*Log[F]^2)), x] + (Simp[e*n*F^(c*(a + b*x))*Cosh[d + e*x]*(Sinh[d +
      e*x]^(n - 1)/(e^2*n^2 - b^2*c^2*Log[F]^2)), x] - Simp[n*(n - 1)*(e^2/(e^2*n^2 - b^2*c^2*Log[F]^2))   Int[F^(c*
      (a + b*x))*Sinh[d + e*x]^(n - 2), x], x]) /; FreeQ[{F, a, b, c, d, e}, x] && NeQ[e^2*n^2 - b^2*c^2*Log[F]^2, 0
      ] && GtQ[n, 1]

6000. Int[Cosh[(d_.) + (e_.)*(x_)]^(n_)*(F_)^((c_.)*((a_.) + (b_.)*(x_))), x_Symbol] :> Simp[(-b)*c*Log[F]*F^(c*(a +
      b*x))*(Cosh[d + e*x]^n/(e^2*n^2 - b^2*c^2*Log[F]^2)), x] + (Simp[e*n*F^(c*(a + b*x))*Sinh[d + e*x]*(Cosh[d +
      e*x]^(n - 1)/(e^2*n^2 - b^2*c^2*Log[F]^2)), x] + Simp[n*(n - 1)*(e^2/(e^2*n^2 - b^2*c^2*Log[F]^2))   Int[F^(c*
      (a + b*x))*Cosh[d + e*x]^(n - 2), x], x]) /; FreeQ[{F, a, b, c, d, e}, x] && NeQ[e^2*n^2 - b^2*c^2*Log[F]^2, 0
      ] && GtQ[n, 1]

6001. Int[(F_)^((c_.)*((a_.) + (b_.)*(x_)))*Sinh[(d_.) + (e_.)*(x_)]^(n_), x_Symbol] :> Simp[(-b)*c*Log[F]*F^(c*(a +
      b*x))*(Sinh[d + e*x]^(n + 2)/(e^2*(n + 1)*(n + 2))), x] + Simp[F^(c*(a + b*x))*Cosh[d + e*x]*(Sinh[d + e*x]^(
      n + 1)/(e*(n + 1))), x] /; FreeQ[{F, a, b, c, d, e, n}, x] && EqQ[e^2*(n + 2)^2 - b^2*c^2*Log[F]^2, 0] && NeQ[
      n, -1] && NeQ[n, -2]

6002. Int[Cosh[(d_.) + (e_.)*(x_)]^(n_)*(F_)^((c_.)*((a_.) + (b_.)*(x_))), x_Symbol] :> Simp[b*c*Log[F]*F^(c*(a + b*
      x))*(Cosh[d + e*x]^(n + 2)/(e^2*(n + 1)*(n + 2))), x] - Simp[F^(c*(a + b*x))*Sinh[d + e*x]*(Cosh[d + e*x]^(n +
      1)/(e*(n + 1))), x] /; FreeQ[{F, a, b, c, d, e, n}, x] && EqQ[e^2*(n + 2)^2 - b^2*c^2*Log[F]^2, 0] && NeQ[n,
      -1] && NeQ[n, -2]

6003. Int[(F_)^((c_.)*((a_.) + (b_.)*(x_)))*Sinh[(d_.) + (e_.)*(x_)]^(n_), x_Symbol] :> Simp[(-b)*c*Log[F]*F^(c*(a +
      b*x))*(Sinh[d + e*x]^(n + 2)/(e^2*(n + 1)*(n + 2))), x] + (Simp[F^(c*(a + b*x))*Cosh[d + e*x]*(Sinh[d + e*x]^
      (n + 1)/(e*(n + 1))), x] - Simp[(e^2*(n + 2)^2 - b^2*c^2*Log[F]^2)/(e^2*(n + 1)*(n + 2))   Int[F^(c*(a + b*x))
      *Sinh[d + e*x]^(n + 2), x], x]) /; FreeQ[{F, a, b, c, d, e}, x] && NeQ[e^2*(n + 2)^2 - b^2*c^2*Log[F]^2, 0] &&
      LtQ[n, -1] && NeQ[n, -2]

6004. Int[Cosh[(d_.) + (e_.)*(x_)]^(n_)*(F_)^((c_.)*((a_.) + (b_.)*(x_))), x_Symbol] :> Simp[b*c*Log[F]*F^(c*(a + b*
      x))*(Cosh[d + e*x]^(n + 2)/(e^2*(n + 1)*(n + 2))), x] + (-Simp[F^(c*(a + b*x))*Sinh[d + e*x]*(Cosh[d + e*x]^(n
      + 1)/(e*(n + 1))), x] + Simp[(e^2*(n + 2)^2 - b^2*c^2*Log[F]^2)/(e^2*(n + 1)*(n + 2))   Int[F^(c*(a + b*x))*C
      osh[d + e*x]^(n + 2), x], x]) /; FreeQ[{F, a, b, c, d, e}, x] && NeQ[e^2*(n + 2)^2 - b^2*c^2*Log[F]^2, 0] && L
      tQ[n, -1] && NeQ[n, -2]

6005. Int[(F_)^((c_.)*((a_.) + (b_.)*(x_)))*Sinh[(d_.) + (e_.)*(x_)]^(n_), x_Symbol] :> Simp[E^(n*(d + e*x))*(Sinh[d
      + e*x]^n/(-1 + E^(2*(d + e*x)))^n)   Int[F^(c*(a + b*x))*((-1 + E^(2*(d + e*x)))^n/E^(n*(d + e*x))), x], x] /
      ; FreeQ[{F, a, b, c, d, e, n}, x] &&  !IntegerQ[n]

6006. Int[Cosh[(d_.) + (e_.)*(x_)]^(n_)*(F_)^((c_.)*((a_.) + (b_.)*(x_))), x_Symbol] :> Simp[E^(n*(d + e*x))*(Cosh[d
      + e*x]^n/(1 + E^(2*(d + e*x)))^n)   Int[F^(c*(a + b*x))*((1 + E^(2*(d + e*x)))^n/E^(n*(d + e*x))), x], x] /;
      FreeQ[{F, a, b, c, d, e, n}, x] &&  !IntegerQ[n]

6007. Int[(F_)^((c_.)*((a_.) + (b_.)*(x_)))*Tanh[(d_.) + (e_.)*(x_)]^(n_.), x_Symbol] :> Int[ExpandIntegrand[F^(c*(a
      + b*x))*((-1 + E^(2*(d + e*x)))^n/(1 + E^(2*(d + e*x)))^n), x], x] /; FreeQ[{F, a, b, c, d, e}, x] && Integer
      Q[n]

6008. Int[Coth[(d_.) + (e_.)*(x_)]^(n_.)*(F_)^((c_.)*((a_.) + (b_.)*(x_))), x_Symbol] :> Int[ExpandIntegrand[F^(c*(a
      + b*x))*((1 + E^(2*(d + e*x)))^n/(-1 + E^(2*(d + e*x)))^n), x], x] /; FreeQ[{F, a, b, c, d, e}, x] && Integer
      Q[n]

6009. Int[(F_)^((c_.)*((a_.) + (b_.)*(x_)))*Sech[(d_.) + (e_.)*(x_)]^(n_), x_Symbol] :> Simp[(-b)*c*Log[F]*F^(c*(a +
      b*x))*(Sech[d + e*x]^n/(e^2*n^2 - b^2*c^2*Log[F]^2)), x] + (-Simp[e*n*F^(c*(a + b*x))*Sech[d + e*x]^(n + 1)*(
      Sinh[d + e*x]/(e^2*n^2 - b^2*c^2*Log[F]^2)), x] + Simp[e^2*n*((n + 1)/(e^2*n^2 - b^2*c^2*Log[F]^2))   Int[F^(c
      *(a + b*x))*Sech[d + e*x]^(n + 2), x], x]) /; FreeQ[{F, a, b, c, d, e}, x] && NeQ[e^2*n^2 + b^2*c^2*Log[F]^2,
      0] && LtQ[n, -1]

6010. Int[Csch[(d_.) + (e_.)*(x_)]^(n_)*(F_)^((c_.)*((a_.) + (b_.)*(x_))), x_Symbol] :> Simp[(-b)*c*Log[F]*F^(c*(a +
      b*x))*(Csch[d + e*x]^n/(e^2*n^2 - b^2*c^2*Log[F]^2)), x] + (-Simp[e*n*F^(c*(a + b*x))*Csch[d + e*x]^(n + 1)*(
      Cosh[d + e*x]/(e^2*n^2 - b^2*c^2*Log[F]^2)), x] - Simp[e^2*n*((n + 1)/(e^2*n^2 - b^2*c^2*Log[F]^2))   Int[F^(c
      *(a + b*x))*Csch[d + e*x]^(n + 2), x], x]) /; FreeQ[{F, a, b, c, d, e}, x] && NeQ[e^2*n^2 + b^2*c^2*Log[F]^2,
      0] && LtQ[n, -1]

6011. Int[(F_)^((c_.)*((a_.) + (b_.)*(x_)))*Sech[(d_.) + (e_.)*(x_)]^(n_), x_Symbol] :> Simp[b*c*Log[F]*F^(c*(a + b*
      x))*(Sech[d + e*x]^(n - 2)/(e^2*(n - 1)*(n - 2))), x] + Simp[F^(c*(a + b*x))*Sech[d + e*x]^(n - 1)*(Sinh[d + e
      *x]/(e*(n - 1))), x] /; FreeQ[{F, a, b, c, d, e, n}, x] && EqQ[e^2*(n - 2)^2 - b^2*c^2*Log[F]^2, 0] && NeQ[n,
      1] && NeQ[n, 2]

6012. Int[Csch[(d_.) + (e_.)*(x_)]^(n_)*(F_)^((c_.)*((a_.) + (b_.)*(x_))), x_Symbol] :> Simp[(-b)*c*Log[F]*F^(c*(a +
      b*x))*(Csch[d + e*x]^(n - 2)/(e^2*(n - 1)*(n - 2))), x] - Simp[F^(c*(a + b*x))*Csch[d + e*x]^(n - 1)*(Cosh[d
      + e*x]/(e*(n - 1))), x] /; FreeQ[{F, a, b, c, d, e, n}, x] && EqQ[e^2*(n - 2)^2 - b^2*c^2*Log[F]^2, 0] && NeQ[
      n, 1] && NeQ[n, 2]

6013. Int[(F_)^((c_.)*((a_.) + (b_.)*(x_)))*Sech[(d_.) + (e_.)*(x_)]^(n_), x_Symbol] :> Simp[b*c*Log[F]*F^(c*(a + b*
      x))*(Sech[d + e*x]^(n - 2)/(e^2*(n - 1)*(n - 2))), x] + (Simp[F^(c*(a + b*x))*Sech[d + e*x]^(n - 1)*(Sinh[d +
      e*x]/(e*(n - 1))), x] + Simp[(e^2*(n - 2)^2 - b^2*c^2*Log[F]^2)/(e^2*(n - 1)*(n - 2))   Int[F^(c*(a + b*x))*Se
      ch[d + e*x]^(n - 2), x], x]) /; FreeQ[{F, a, b, c, d, e}, x] && NeQ[e^2*(n - 2)^2 - b^2*c^2*Log[F]^2, 0] && Gt
      Q[n, 1] && NeQ[n, 2]

6014. Int[Csch[(d_.) + (e_.)*(x_)]^(n_)*(F_)^((c_.)*((a_.) + (b_.)*(x_))), x_Symbol] :> Simp[(-b)*c*Log[F]*F^(c*(a +
      b*x))*(Csch[d + e*x]^(n - 2)/(e^2*(n - 1)*(n - 2))), x] + (-Simp[F^(c*(a + b*x))*Csch[d + e*x]^(n - 1)*(Cosh[
      d + e*x]/(e*(n - 1))), x] - Simp[(e^2*(n - 2)^2 - b^2*c^2*Log[F]^2)/(e^2*(n - 1)*(n - 2))   Int[F^(c*(a + b*x)
      )*Csch[d + e*x]^(n - 2), x], x]) /; FreeQ[{F, a, b, c, d, e}, x] && NeQ[e^2*(n - 2)^2 - b^2*c^2*Log[F]^2, 0] &
      & GtQ[n, 1] && NeQ[n, 2]

6015. Int[(F_)^((c_.)*((a_.) + (b_.)*(x_)))*Sech[(d_.) + (e_.)*(x_)]^(n_.), x_Symbol] :> Simp[2^n*E^(n*(d + e*x))*(F
      ^(c*(a + b*x))/(e*n + b*c*Log[F]))*Hypergeometric2F1[n, n/2 + b*c*(Log[F]/(2*e)), 1 + n/2 + b*c*(Log[F]/(2*e))
      , -E^(2*(d + e*x))], x] /; FreeQ[{F, a, b, c, d, e}, x] && IntegerQ[n]

6016. Int[Csch[(d_.) + (e_.)*(x_)]^(n_.)*(F_)^((c_.)*((a_.) + (b_.)*(x_))), x_Symbol] :> Simp[(-2)^n*E^(n*(d + e*x))
      *(F^(c*(a + b*x))/(e*n + b*c*Log[F]))*Hypergeometric2F1[n, n/2 + b*c*(Log[F]/(2*e)), 1 + n/2 + b*c*(Log[F]/(2*
      e)), E^(2*(d + e*x))], x] /; FreeQ[{F, a, b, c, d, e}, x] && IntegerQ[n]

6017. Int[(F_)^((c_.)*((a_.) + (b_.)*(x_)))*Sech[(d_.) + (e_.)*(x_)]^(n_.), x_Symbol] :> Simp[(1 + E^(2*(d + e*x)))^
      n*(Sech[d + e*x]^n/E^(n*(d + e*x)))   Int[SimplifyIntegrand[F^(c*(a + b*x))*(E^(n*(d + e*x))/(1 + E^(2*(d + e*
      x)))^n), x], x], x] /; FreeQ[{F, a, b, c, d, e}, x] &&  !IntegerQ[n]

6018. Int[Csch[(d_.) + (e_.)*(x_)]^(n_.)*(F_)^((c_.)*((a_.) + (b_.)*(x_))), x_Symbol] :> Simp[(1 - E^(-2*(d + e*x)))
      ^n*(Csch[d + e*x]^n/E^((-n)*(d + e*x)))   Int[SimplifyIntegrand[F^(c*(a + b*x))*(1/(E^(n*(d + e*x))*(1 - E^(-2
      *(d + e*x)))^n)), x], x], x] /; FreeQ[{F, a, b, c, d, e}, x] &&  !IntegerQ[n]

6019. Int[(F_)^((c_.)*((a_.) + (b_.)*(x_)))*((f_) + (g_.)*Sinh[(d_.) + (e_.)*(x_)])^(n_.), x_Symbol] :> Simp[2^n*f^n
      Int[F^(c*(a + b*x))*Cosh[d/2 - f*(Pi/(4*g)) + e*(x/2)]^(2*n), x], x] /; FreeQ[{F, a, b, c, d, e, f, g}, x]
      && EqQ[f^2 + g^2, 0] && ILtQ[n, 0]

6020. Int[(Cosh[(d_.) + (e_.)*(x_)]*(g_.) + (f_))^(n_.)*(F_)^((c_.)*((a_.) + (b_.)*(x_))), x_Symbol] :> Simp[2^n*g^n
      Int[F^(c*(a + b*x))*Cosh[d/2 + e*(x/2)]^(2*n), x], x] /; FreeQ[{F, a, b, c, d, e, f, g}, x] && EqQ[f - g, 0
      ] && ILtQ[n, 0]

6021. Int[(Cosh[(d_.) + (e_.)*(x_)]*(g_.) + (f_))^(n_.)*(F_)^((c_.)*((a_.) + (b_.)*(x_))), x_Symbol] :> Simp[2^n*g^n
      Int[F^(c*(a + b*x))*Sinh[d/2 + e*(x/2)]^(2*n), x], x] /; FreeQ[{F, a, b, c, d, e, f, g}, x] && EqQ[f + g, 0
      ] && ILtQ[n, 0]

6022. Int[(F_)^((c_.)*((a_.) + (b_.)*(x_)))*((f_) + (g_.)*Sinh[(d_.) + (e_.)*(x_)])^(n_.), x_Symbol] :> Simp[(f + g*
      Sinh[d + e*x])^n/Cosh[d/2 - f*(Pi/(4*g)) + e*(x/2)]^(2*n)   Int[F^(c*(a + b*x))*Cosh[d/2 - f*(Pi/(4*g)) + e*(x
      /2)]^(2*n), x], x] /; FreeQ[{F, a, b, c, d, e, f, g, n}, x] && EqQ[f^2 + g^2, 0] &&  !IntegerQ[n]

6023. Int[(Cosh[(d_.) + (e_.)*(x_)]*(g_.) + (f_))^(n_.)*(F_)^((c_.)*((a_.) + (b_.)*(x_))), x_Symbol] :> Simp[(f + g*
      Cosh[d + e*x])^n/Cosh[d/2 + e*(x/2)]^(2*n)   Int[F^(c*(a + b*x))*Cosh[d/2 + e*(x/2)]^(2*n), x], x] /; FreeQ[{F
      , a, b, c, d, e, f, g, n}, x] && EqQ[f - g, 0] &&  !IntegerQ[n]

6024. Int[(Cosh[(d_.) + (e_.)*(x_)]*(g_.) + (f_))^(n_.)*(F_)^((c_.)*((a_.) + (b_.)*(x_))), x_Symbol] :> Simp[(f + g*
      Cosh[d + e*x])^n/Sinh[d/2 + e*(x/2)]^(2*n)   Int[F^(c*(a + b*x))*Sinh[d/2 + e*(x/2)]^(2*n), x], x] /; FreeQ[{F
      , a, b, c, d, e, f, g, n}, x] && EqQ[f + g, 0] &&  !IntegerQ[n]

6025. Int[Cosh[(d_.) + (e_.)*(x_)]^(m_.)*(F_)^((c_.)*((a_.) + (b_.)*(x_)))*((f_) + (g_.)*Sinh[(d_.) + (e_.)*(x_)])^(
      n_.), x_Symbol] :> Simp[g^n   Int[F^(c*(a + b*x))*Tanh[d/2 + e*(x/2) - f*(Pi/(4*g))]^m, x], x] /; FreeQ[{F, a,
      b, c, d, e, f, g}, x] && EqQ[f^2 + g^2, 0] && IntegersQ[m, n] && EqQ[m + n, 0]

6026. Int[(Cosh[(d_.) + (e_.)*(x_)]*(g_.) + (f_))^(n_.)*(F_)^((c_.)*((a_.) + (b_.)*(x_)))*Sinh[(d_.) + (e_.)*(x_)]^(
      m_.), x_Symbol] :> Simp[g^n   Int[F^(c*(a + b*x))*Tanh[d/2 + e*(x/2)]^m, x], x] /; FreeQ[{F, a, b, c, d, e, f,
      g}, x] && EqQ[f - g, 0] && IntegersQ[m, n] && EqQ[m + n, 0]

6027. Int[(Cosh[(d_.) + (e_.)*(x_)]*(g_.) + (f_))^(n_.)*(F_)^((c_.)*((a_.) + (b_.)*(x_)))*Sinh[(d_.) + (e_.)*(x_)]^(
      m_.), x_Symbol] :> Simp[g^n   Int[F^(c*(a + b*x))*Coth[d/2 + e*(x/2)]^m, x], x] /; FreeQ[{F, a, b, c, d, e, f,
      g}, x] && EqQ[f + g, 0] && IntegersQ[m, n] && EqQ[m + n, 0]

6028. Int[((F_)^((c_.)*((a_.) + (b_.)*(x_)))*(Cosh[(d_.) + (e_.)*(x_)]*(i_.) + (h_)))/((f_) + (g_.)*Sinh[(d_.) + (e_
      .)*(x_)]), x_Symbol] :> Simp[2*i   Int[F^(c*(a + b*x))*(Cosh[d + e*x]/(f + g*Sinh[d + e*x])), x], x] + Int[F^(
      c*(a + b*x))*((h - i*Cosh[d + e*x])/(f + g*Sinh[d + e*x])), x] /; FreeQ[{F, a, b, c, d, e, f, g, h, i}, x] &&
      EqQ[f^2 + g^2, 0] && EqQ[h^2 - i^2, 0] && EqQ[g*h - f*i, 0]

6029. Int[((F_)^((c_.)*((a_.) + (b_.)*(x_)))*((h_) + (i_.)*Sinh[(d_.) + (e_.)*(x_)]))/(Cosh[(d_.) + (e_.)*(x_)]*(g_.
      ) + (f_)), x_Symbol] :> Simp[2*i   Int[F^(c*(a + b*x))*(Sinh[d + e*x]/(f + g*Cosh[d + e*x])), x], x] + Int[F^(
      c*(a + b*x))*((h - i*Sinh[d + e*x])/(f + g*Cosh[d + e*x])), x] /; FreeQ[{F, a, b, c, d, e, f, g, h, i}, x] &&
      EqQ[f^2 - g^2, 0] && EqQ[h^2 + i^2, 0] && EqQ[g*h + f*i, 0]

6030. Int[(F_)^((c_.)*(u_))*(G_)[v_]^(n_.), x_Symbol] :> Int[F^(c*ExpandToSum[u, x])*G[ExpandToSum[v, x]]^n, x] /; F
      reeQ[{F, c, n}, x] && HyperbolicQ[G] && LinearQ[{u, v}, x] &&  !LinearMatchQ[{u, v}, x]

6031. Int[(F_)^((c_.)*((a_.) + (b_.)*(x_)))*((f_.)*(x_))^(m_.)*Sinh[(d_.) + (e_.)*(x_)]^(n_.), x_Symbol] :> Module[{
      u = IntHide[F^(c*(a + b*x))*Sinh[d + e*x]^n, x]}, Simp[(f*x)^m   u, x] - Simp[f*m   Int[(f*x)^(m - 1)*u, x], x
      ]] /; FreeQ[{F, a, b, c, d, e, f}, x] && IGtQ[n, 0] && GtQ[m, 0]

6032. Int[Cosh[(d_.) + (e_.)*(x_)]^(n_.)*(F_)^((c_.)*((a_.) + (b_.)*(x_)))*((f_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Module[{
      u = IntHide[F^(c*(a + b*x))*Cosh[d + e*x]^n, x]}, Simp[(f*x)^m   u, x] - Simp[f*m   Int[(f*x)^(m - 1)*u, x], x
      ]] /; FreeQ[{F, a, b, c, d, e, f}, x] && IGtQ[n, 0] && GtQ[m, 0]

6033. Int[(F_)^((c_.)*((a_.) + (b_.)*(x_)))*((f_.)*(x_))^(m_)*Sinh[(d_.) + (e_.)*(x_)], x_Symbol] :> Simp[((f*x)^(m
      + 1)/(f*(m + 1)))*F^(c*(a + b*x))*Sinh[d + e*x], x] + (-Simp[e/(f*(m + 1))   Int[(f*x)^(m + 1)*F^(c*(a + b*x))
      *Cosh[d + e*x], x], x] - Simp[b*c*(Log[F]/(f*(m + 1)))   Int[(f*x)^(m + 1)*F^(c*(a + b*x))*Sinh[d + e*x], x],
      x]) /; FreeQ[{F, a, b, c, d, e, f, m}, x] && (LtQ[m, -1] || SumSimplerQ[m, 1])

6034. Int[Cosh[(d_.) + (e_.)*(x_)]*(F_)^((c_.)*((a_.) + (b_.)*(x_)))*((f_.)*(x_))^(m_), x_Symbol] :> Simp[((f*x)^(m
      + 1)/(f*(m + 1)))*F^(c*(a + b*x))*Cosh[d + e*x], x] + (-Simp[e/(f*(m + 1))   Int[(f*x)^(m + 1)*F^(c*(a + b*x))
      *Sinh[d + e*x], x], x] - Simp[b*c*(Log[F]/(f*(m + 1)))   Int[(f*x)^(m + 1)*F^(c*(a + b*x))*Cosh[d + e*x], x],
      x]) /; FreeQ[{F, a, b, c, d, e, f, m}, x] && (LtQ[m, -1] || SumSimplerQ[m, 1])

6035. Int[Cosh[(f_.) + (g_.)*(x_)]^(n_.)*(F_)^((c_.)*((a_.) + (b_.)*(x_)))*Sinh[(d_.) + (e_.)*(x_)]^(m_.), x_Symbol]
      :> Int[ExpandTrigReduce[F^(c*(a + b*x)), Sinh[d + e*x]^m*Cosh[f + g*x]^n, x], x] /; FreeQ[{F, a, b, c, d, e,
      f, g}, x] && IGtQ[m, 0] && IGtQ[n, 0]

6036. Int[Cosh[(f_.) + (g_.)*(x_)]^(n_.)*(F_)^((c_.)*((a_.) + (b_.)*(x_)))*(x_)^(p_.)*Sinh[(d_.) + (e_.)*(x_)]^(m_.)
      , x_Symbol] :> Int[ExpandTrigReduce[x^p*F^(c*(a + b*x)), Sinh[d + e*x]^m*Cosh[f + g*x]^n, x], x] /; FreeQ[{F,
      a, b, c, d, e, f, g}, x] && IGtQ[m, 0] && IGtQ[n, 0] && IGtQ[p, 0]

6037. Int[(F_)^((c_.)*((a_.) + (b_.)*(x_)))*(G_)[(d_.) + (e_.)*(x_)]^(m_.)*(H_)[(d_.) + (e_.)*(x_)]^(n_.), x_Symbol]
      :> Int[ExpandTrigToExp[F^(c*(a + b*x)), G[d + e*x]^m*H[d + e*x]^n, x], x] /; FreeQ[{F, a, b, c, d, e}, x] &&
      IGtQ[m, 0] && IGtQ[n, 0] && HyperbolicQ[G] && HyperbolicQ[H]

6038. Int[(F_)^(u_)*Sinh[v_]^(n_.), x_Symbol] :> Int[ExpandTrigToExp[F^u, Sinh[v]^n, x], x] /; FreeQ[F, x] && (Linea
      rQ[u, x] || PolyQ[u, x, 2]) && (LinearQ[v, x] || PolyQ[v, x, 2]) && IGtQ[n, 0]

6039. Int[Cosh[v_]^(n_.)*(F_)^(u_), x_Symbol] :> Int[ExpandTrigToExp[F^u, Cosh[v]^n, x], x] /; FreeQ[F, x] && (Linea
      rQ[u, x] || PolyQ[u, x, 2]) && (LinearQ[v, x] || PolyQ[v, x, 2]) && IGtQ[n, 0]

6040. Int[Cosh[v_]^(n_.)*(F_)^(u_)*Sinh[v_]^(m_.), x_Symbol] :> Int[ExpandTrigToExp[F^u, Sinh[v]^m*Cosh[v]^n, x], x]
      /; FreeQ[F, x] && (LinearQ[u, x] || PolyQ[u, x, 2]) && (LinearQ[v, x] || PolyQ[v, x, 2]) && IGtQ[m, 0] && IGt
      Q[n, 0]

6041. Int[Sinh[Log[(c_.)*(x_)^(n_.)]*(b_.)]^(p_.), x_Symbol] :> Int[((c*x^n)^b/2 - 1/(2*(c*x^n)^b))^p, x] /; FreeQ[c
      , x] && RationalQ[b, n, p]

6042. Int[Cosh[Log[(c_.)*(x_)^(n_.)]*(b_.)]^(p_.), x_Symbol] :> Int[((c*x^n)^b/2 + 1/(2*(c*x^n)^b))^p, x] /; FreeQ[c
      , x] && RationalQ[b, n, p]

6043. Int[Sinh[((a_.) + Log[(c_.)*(x_)^(n_.)]*(b_.))*(d_.)], x_Symbol] :> Simp[(-x)*(Sinh[d*(a + b*Log[c*x^n])]/(b^2
      *d^2*n^2 - 1)), x] + Simp[b*d*n*x*(Cosh[d*(a + b*Log[c*x^n])]/(b^2*d^2*n^2 - 1)), x] /; FreeQ[{a, b, c, d, n},
      x] && NeQ[b^2*d^2*n^2 - 1, 0]

6044. Int[Cosh[((a_.) + Log[(c_.)*(x_)^(n_.)]*(b_.))*(d_.)], x_Symbol] :> Simp[(-x)*(Cosh[d*(a + b*Log[c*x^n])]/(b^2
      *d^2*n^2 - 1)), x] + Simp[b*d*n*x*(Sinh[d*(a + b*Log[c*x^n])]/(b^2*d^2*n^2 - 1)), x] /; FreeQ[{a, b, c, d, n},
      x] && NeQ[b^2*d^2*n^2 - 1, 0]

6045. Int[Sinh[((a_.) + Log[(c_.)*(x_)^(n_.)]*(b_.))*(d_.)]^(p_), x_Symbol] :> Simp[(-x)*(Sinh[d*(a + b*Log[c*x^n])]
      ^p/(b^2*d^2*n^2*p^2 - 1)), x] + (Simp[b*d*n*p*x*Cosh[d*(a + b*Log[c*x^n])]*(Sinh[d*(a + b*Log[c*x^n])]^(p - 1)
      /(b^2*d^2*n^2*p^2 - 1)), x] - Simp[b^2*d^2*n^2*p*((p - 1)/(b^2*d^2*n^2*p^2 - 1))   Int[Sinh[d*(a + b*Log[c*x^n
      ])]^(p - 2), x], x]) /; FreeQ[{a, b, c, d, n}, x] && IGtQ[p, 1] && NeQ[b^2*d^2*n^2*p^2 - 1, 0]

6046. Int[Cosh[((a_.) + Log[(c_.)*(x_)^(n_.)]*(b_.))*(d_.)]^(p_), x_Symbol] :> Simp[(-x)*(Cosh[d*(a + b*Log[c*x^n])]
      ^p/(b^2*d^2*n^2*p^2 - 1)), x] + (Simp[b*d*n*p*x*Cosh[d*(a + b*Log[c*x^n])]^(p - 1)*(Sinh[d*(a + b*Log[c*x^n])]
      /(b^2*d^2*n^2*p^2 - 1)), x] + Simp[b^2*d^2*n^2*p*((p - 1)/(b^2*d^2*n^2*p^2 - 1))   Int[Cosh[d*(a + b*Log[c*x^n
      ])]^(p - 2), x], x]) /; FreeQ[{a, b, c, d, n}, x] && IGtQ[p, 1] && NeQ[b^2*d^2*n^2*p^2 - 1, 0]

6047. Int[Sinh[((a_.) + Log[x_]*(b_.))*(d_.)]^(p_.), x_Symbol] :> Simp[1/(2^p*b^p*d^p*p^p)   Int[ExpandIntegrand[(-E
      ^((-a)*b*d^2*p)/x^p^(-1) + E^(a*b*d^2*p)*x^(1/p))^p, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, d}, x] && IGtQ[p, 0] && EqQ[b^
      2*d^2*p^2 - 1, 0]

6048. Int[Cosh[((a_.) + Log[x_]*(b_.))*(d_.)]^(p_.), x_Symbol] :> Simp[1/2^p   Int[ExpandIntegrand[(1/(E^(a*b*d^2*p)
      *x^p^(-1)) + E^(a*b*d^2*p)*x^(1/p))^p, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, d}, x] && IGtQ[p, 0] && EqQ[b^2*d^2*p^2 - 1,
      0]

6049. Int[Sinh[((a_.) + Log[x_]*(b_.))*(d_.)]^(p_), x_Symbol] :> Simp[Sinh[d*(a + b*Log[x])]^p/(x^(b*d*p)*(1 - 1/(E^
      (2*a*d)*x^(2*b*d)))^p)   Int[x^(b*d*p)*(1 - 1/(E^(2*a*d)*x^(2*b*d)))^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, d, p}, x] &&  !
      IntegerQ[p]

6050. Int[Cosh[((a_.) + Log[x_]*(b_.))*(d_.)]^(p_), x_Symbol] :> Simp[Cosh[d*(a + b*Log[x])]^p/(x^(b*d*p)*(1 + 1/(E^
      (2*a*d)*x^(2*b*d)))^p)   Int[x^(b*d*p)*(1 + 1/(E^(2*a*d)*x^(2*b*d)))^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, d, p}, x] &&  !
      IntegerQ[p]

6051. Int[Sinh[((a_.) + Log[(c_.)*(x_)^(n_.)]*(b_.))*(d_.)]^(p_.), x_Symbol] :> Simp[x/(n*(c*x^n)^(1/n))   Subst[Int
      [x^(1/n - 1)*Sinh[d*(a + b*Log[x])]^p, x], x, c*x^n], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, n, p}, x] && (NeQ[c, 1] || NeQ[
      n, 1])

6052. Int[Cosh[((a_.) + Log[(c_.)*(x_)^(n_.)]*(b_.))*(d_.)]^(p_.), x_Symbol] :> Simp[x/(n*(c*x^n)^(1/n))   Subst[Int
      [x^(1/n - 1)*Cosh[d*(a + b*Log[x])]^p, x], x, c*x^n], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, n, p}, x] && (NeQ[c, 1] || NeQ[
      n, 1])

6053. Int[((e_.)*(x_))^(m_.)*Sinh[((a_.) + Log[(c_.)*(x_)^(n_.)]*(b_.))*(d_.)], x_Symbol] :> Simp[(-(m + 1))*(e*x)^(
      m + 1)*(Sinh[d*(a + b*Log[c*x^n])]/(b^2*d^2*e*n^2 - e*(m + 1)^2)), x] + Simp[b*d*n*(e*x)^(m + 1)*(Cosh[d*(a +
      b*Log[c*x^n])]/(b^2*d^2*e*n^2 - e*(m + 1)^2)), x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, m, n}, x] && NeQ[b^2*d^2*n^2 - (m +
      1)^2, 0]

6054. Int[Cosh[((a_.) + Log[(c_.)*(x_)^(n_.)]*(b_.))*(d_.)]*((e_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Simp[(-(m + 1))*(e*x)^(
      m + 1)*(Cosh[d*(a + b*Log[c*x^n])]/(b^2*d^2*e*n^2 - e*(m + 1)^2)), x] + Simp[b*d*n*(e*x)^(m + 1)*(Sinh[d*(a +
      b*Log[c*x^n])]/(b^2*d^2*e*n^2 - e*(m + 1)^2)), x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, m, n}, x] && NeQ[b^2*d^2*n^2 - (m +
      1)^2, 0]

6055. Int[((e_.)*(x_))^(m_.)*Sinh[((a_.) + Log[(c_.)*(x_)^(n_.)]*(b_.))*(d_.)]^(p_), x_Symbol] :> Simp[(-(m + 1))*(e
      *x)^(m + 1)*(Sinh[d*(a + b*Log[c*x^n])]^p/(b^2*d^2*e*n^2*p^2 - e*(m + 1)^2)), x] + (Simp[b*d*n*p*(e*x)^(m + 1)
      *Cosh[d*(a + b*Log[c*x^n])]*(Sinh[d*(a + b*Log[c*x^n])]^(p - 1)/(b^2*d^2*e*n^2*p^2 - e*(m + 1)^2)), x] - Simp[
      b^2*d^2*n^2*p*((p - 1)/(b^2*d^2*n^2*p^2 - (m + 1)^2))   Int[(e*x)^m*Sinh[d*(a + b*Log[c*x^n])]^(p - 2), x], x]
      ) /; FreeQ[{a, b, c, d, e, m, n}, x] && IGtQ[p, 1] && NeQ[b^2*d^2*n^2*p^2 - (m + 1)^2, 0]

6056. Int[Cosh[((a_.) + Log[(c_.)*(x_)^(n_.)]*(b_.))*(d_.)]^(p_)*((e_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Simp[(-(m + 1))*(e
      *x)^(m + 1)*(Cosh[d*(a + b*Log[c*x^n])]^p/(b^2*d^2*e*n^2*p^2 - e*(m + 1)^2)), x] + (Simp[b*d*n*p*(e*x)^(m + 1)
      *Sinh[d*(a + b*Log[c*x^n])]*(Cosh[d*(a + b*Log[c*x^n])]^(p - 1)/(b^2*d^2*e*n^2*p^2 - e*(m + 1)^2)), x] + Simp[
      b^2*d^2*n^2*p*((p - 1)/(b^2*d^2*n^2*p^2 - (m + 1)^2))   Int[(e*x)^m*Cosh[d*(a + b*Log[c*x^n])]^(p - 2), x], x]
      ) /; FreeQ[{a, b, c, d, e, m, n}, x] && IGtQ[p, 1] && NeQ[b^2*d^2*n^2*p^2 - (m + 1)^2, 0]

6057. Int[((e_.)*(x_))^(m_.)*Sinh[((a_.) + Log[x_]*(b_.))*(d_.)]^(p_.), x_Symbol] :> Simp[(m + 1)^p/(2^p*b^p*d^p*p^p
      )   Int[ExpandIntegrand[(e*x)^m*(-E^((-a)*b*d^2*(p/(m + 1)))/x^((m + 1)/p) + E^(a*b*d^2*(p/(m + 1)))*x^((m + 1
      )/p))^p, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, d, e, m}, x] && IGtQ[p, 0] && EqQ[b^2*d^2*p^2 - (m + 1)^2, 0]

6058. Int[Cosh[((a_.) + Log[x_]*(b_.))*(d_.)]^(p_.)*((e_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Simp[1/2^p   Int[ExpandIntegran
      d[(e*x)^m*(1/(E^(a*b*d^2*(p/(m + 1)))*x^((m + 1)/p)) + E^(a*b*d^2*(p/(m + 1)))*x^((m + 1)/p))^p, x], x], x] /;
      FreeQ[{a, b, d, e, m}, x] && IGtQ[p, 0] && EqQ[b^2*d^2*p^2 - (m + 1)^2, 0]

6059. Int[((e_.)*(x_))^(m_.)*Sinh[((a_.) + Log[x_]*(b_.))*(d_.)]^(p_), x_Symbol] :> Simp[Sinh[d*(a + b*Log[x])]^p/(x
      ^(b*d*p)*(1 - 1/(E^(2*a*d)*x^(2*b*d)))^p)   Int[(e*x)^m*x^(b*d*p)*(1 - 1/(E^(2*a*d)*x^(2*b*d)))^p, x], x] /; F
      reeQ[{a, b, d, e, m, p}, x] &&  !IntegerQ[p]

6060. Int[Cosh[((a_.) + Log[x_]*(b_.))*(d_.)]^(p_)*((e_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Simp[Cosh[d*(a + b*Log[x])]^p/(x
      ^(b*d*p)*(1 + 1/(E^(2*a*d)*x^(2*b*d)))^p)   Int[(e*x)^m*x^(b*d*p)*(1 + 1/(E^(2*a*d)*x^(2*b*d)))^p, x], x] /; F
      reeQ[{a, b, d, e, m, p}, x] &&  !IntegerQ[p]

6061. Int[((e_.)*(x_))^(m_.)*Sinh[((a_.) + Log[(c_.)*(x_)^(n_.)]*(b_.))*(d_.)]^(p_.), x_Symbol] :> Simp[(e*x)^(m + 1
      )/(e*n*(c*x^n)^((m + 1)/n))   Subst[Int[x^((m + 1)/n - 1)*Sinh[d*(a + b*Log[x])]^p, x], x, c*x^n], x] /; FreeQ
      [{a, b, c, d, e, m, n, p}, x] && (NeQ[c, 1] || NeQ[n, 1])

6062. Int[Cosh[((a_.) + Log[(c_.)*(x_)^(n_.)]*(b_.))*(d_.)]^(p_.)*((e_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Simp[(e*x)^(m + 1
      )/(e*n*(c*x^n)^((m + 1)/n))   Subst[Int[x^((m + 1)/n - 1)*Cosh[d*(a + b*Log[x])]^p, x], x, c*x^n], x] /; FreeQ
      [{a, b, c, d, e, m, n, p}, x] && (NeQ[c, 1] || NeQ[n, 1])

6063. Int[(((e_.) + Log[(g_.)*(x_)^(m_.)]*(f_.))*(h_.))^(q_.)*Sinh[((a_.) + Log[(c_.)*(x_)^(n_.)]*(b_.))*(d_.)], x_S
      ymbol] :> Simp[(-E^((-a)*d))*(1/((c*x^n)^(b*d)*(2/x^(b*d*n))))   Int[(h*(e + f*Log[g*x^m]))^q/x^(b*d*n), x], x
      ] + Simp[E^(a*d)*((c*x^n)^(b*d)/(2*x^(b*d*n)))   Int[x^(b*d*n)*(h*(e + f*Log[g*x^m]))^q, x], x] /; FreeQ[{a, b
      , c, d, e, f, g, h, m, n, q}, x]

6064. Int[Cosh[((a_.) + Log[(c_.)*(x_)^(n_.)]*(b_.))*(d_.)]*(((e_.) + Log[(g_.)*(x_)^(m_.)]*(f_.))*(h_.))^(q_.), x_S
      ymbol] :> Simp[1/((c*x^n)^(b*d)*(2/x^(b*d*n)))/E^(a*d)   Int[(h*(e + f*Log[g*x^m]))^q/x^(b*d*n), x], x] + Simp
      [E^(a*d)*((c*x^n)^(b*d)/(2*x^(b*d*n)))   Int[x^(b*d*n)*(h*(e + f*Log[g*x^m]))^q, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d,
      e, f, g, h, m, n, q}, x]

6065. Int[(((e_.) + Log[(g_.)*(x_)^(m_.)]*(f_.))*(h_.))^(q_.)*((i_.)*(x_))^(r_.)*Sinh[((a_.) + Log[(c_.)*(x_)^(n_.)]
      *(b_.))*(d_.)], x_Symbol] :> Simp[(-E^((-a)*d))*(i*x)^r*(1/((c*x^n)^(b*d)*(2*x^(r - b*d*n))))   Int[x^(r - b*d
      *n)*(h*(e + f*Log[g*x^m]))^q, x], x] + Simp[E^(a*d)*(i*x)^r*((c*x^n)^(b*d)/(2*x^(r + b*d*n)))   Int[x^(r + b*d
      *n)*(h*(e + f*Log[g*x^m]))^q, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, h, i, m, n, q, r}, x]

6066. Int[Cosh[((a_.) + Log[(c_.)*(x_)^(n_.)]*(b_.))*(d_.)]*(((e_.) + Log[(g_.)*(x_)^(m_.)]*(f_.))*(h_.))^(q_.)*((i_
      .)*(x_))^(r_.), x_Symbol] :> Simp[((i*x)^r*(1/((c*x^n)^(b*d)*(2*x^(r - b*d*n)))))/E^(a*d)   Int[x^(r - b*d*n)*
      (h*(e + f*Log[g*x^m]))^q, x], x] + Simp[E^(a*d)*(i*x)^r*((c*x^n)^(b*d)/(2*x^(r + b*d*n)))   Int[x^(r + b*d*n)*
      (h*(e + f*Log[g*x^m]))^q, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, h, i, m, n, q, r}, x]

6067. Int[Tanh[((a_.) + Log[x_]*(b_.))*(d_.)]^(p_.), x_Symbol] :> Int[(-1 + E^(2*a*d)*x^(2*b*d))^p/(1 + E^(2*a*d)*x^
      (2*b*d))^p, x] /; FreeQ[{a, b, d, p}, x]

6068. Int[Coth[((a_.) + Log[x_]*(b_.))*(d_.)]^(p_.), x_Symbol] :> Int[(-1 - E^(2*a*d)*x^(2*b*d))^p/(1 - E^(2*a*d)*x^
      (2*b*d))^p, x] /; FreeQ[{a, b, d, p}, x]

6069. Int[Tanh[((a_.) + Log[(c_.)*(x_)^(n_.)]*(b_.))*(d_.)]^(p_.), x_Symbol] :> Simp[x/(n*(c*x^n)^(1/n))   Subst[Int
      [x^(1/n - 1)*Tanh[d*(a + b*Log[x])]^p, x], x, c*x^n], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, n, p}, x] && (NeQ[c, 1] || NeQ[
      n, 1])

6070. Int[Coth[((a_.) + Log[(c_.)*(x_)^(n_.)]*(b_.))*(d_.)]^(p_.), x_Symbol] :> Simp[x/(n*(c*x^n)^(1/n))   Subst[Int
      [x^(1/n - 1)*Coth[d*(a + b*Log[x])]^p, x], x, c*x^n], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, n, p}, x] && (NeQ[c, 1] || NeQ[
      n, 1])

6071. Int[((e_.)*(x_))^(m_.)*Tanh[((a_.) + Log[x_]*(b_.))*(d_.)]^(p_.), x_Symbol] :> Int[(e*x)^m*((-1 + E^(2*a*d)*x^
      (2*b*d))^p/(1 + E^(2*a*d)*x^(2*b*d))^p), x] /; FreeQ[{a, b, d, e, m, p}, x]

6072. Int[Coth[((a_.) + Log[x_]*(b_.))*(d_.)]^(p_.)*((e_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Int[(e*x)^m*((-1 - E^(2*a*d)*x^
      (2*b*d))^p/(1 - E^(2*a*d)*x^(2*b*d))^p), x] /; FreeQ[{a, b, d, e, m, p}, x]

6073. Int[((e_.)*(x_))^(m_.)*Tanh[((a_.) + Log[(c_.)*(x_)^(n_.)]*(b_.))*(d_.)]^(p_.), x_Symbol] :> Simp[(e*x)^(m + 1
      )/(e*n*(c*x^n)^((m + 1)/n))   Subst[Int[x^((m + 1)/n - 1)*Tanh[d*(a + b*Log[x])]^p, x], x, c*x^n], x] /; FreeQ
      [{a, b, c, d, e, m, n, p}, x] && (NeQ[c, 1] || NeQ[n, 1])

6074. Int[Coth[((a_.) + Log[(c_.)*(x_)^(n_.)]*(b_.))*(d_.)]^(p_.)*((e_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Simp[(e*x)^(m + 1
      )/(e*n*(c*x^n)^((m + 1)/n))   Subst[Int[x^((m + 1)/n - 1)*Coth[d*(a + b*Log[x])]^p, x], x, c*x^n], x] /; FreeQ
      [{a, b, c, d, e, m, n, p}, x] && (NeQ[c, 1] || NeQ[n, 1])

6075. Int[Sech[((a_.) + Log[x_]*(b_.))*(d_.)]^(p_.), x_Symbol] :> Simp[2^p/E^(a*d*p)   Int[1/(x^(b*d*p)*(1 + 1/(E^(2
      *a*d)*x^(2*b*d)))^p), x], x] /; FreeQ[{a, b, d}, x] && IntegerQ[p]

6076. Int[Csch[((a_.) + Log[x_]*(b_.))*(d_.)]^(p_.), x_Symbol] :> Simp[2^p/E^(a*d*p)   Int[1/(x^(b*d*p)*(1 - 1/(E^(2
      *a*d)*x^(2*b*d)))^p), x], x] /; FreeQ[{a, b, d}, x] && IntegerQ[p]

6077. Int[Sech[((a_.) + Log[x_]*(b_.))*(d_.)]^(p_.), x_Symbol] :> Simp[Sech[d*(a + b*Log[x])]^p*((1 + 1/(E^(2*a*d)*x
      ^(2*b*d)))^p/x^((-b)*d*p))   Int[1/(x^(b*d*p)*(1 + 1/(E^(2*a*d)*x^(2*b*d)))^p), x], x] /; FreeQ[{a, b, d, p},
      x] &&  !IntegerQ[p]

6078. Int[Csch[((a_.) + Log[x_]*(b_.))*(d_.)]^(p_.), x_Symbol] :> Simp[Csch[d*(a + b*Log[x])]^p*((1 - 1/(E^(2*a*d)*x
      ^(2*b*d)))^p/x^((-b)*d*p))   Int[1/(x^(b*d*p)*(1 - 1/(E^(2*a*d)*x^(2*b*d)))^p), x], x] /; FreeQ[{a, b, d, p},
      x] &&  !IntegerQ[p]

6079. Int[Sech[((a_.) + Log[(c_.)*(x_)^(n_.)]*(b_.))*(d_.)]^(p_.), x_Symbol] :> Simp[x/(n*(c*x^n)^(1/n))   Subst[Int
      [x^(1/n - 1)*Sech[d*(a + b*Log[x])]^p, x], x, c*x^n], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, n, p}, x] && (NeQ[c, 1] || NeQ[
      n, 1])

6080. Int[Csch[((a_.) + Log[(c_.)*(x_)^(n_.)]*(b_.))*(d_.)]^(p_.), x_Symbol] :> Simp[x/(n*(c*x^n)^(1/n))   Subst[Int
      [x^(1/n - 1)*Csch[d*(a + b*Log[x])]^p, x], x, c*x^n], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, n, p}, x] && (NeQ[c, 1] || NeQ[
      n, 1])

6081. Int[((e_.)*(x_))^(m_.)*Sech[((a_.) + Log[x_]*(b_.))*(d_.)]^(p_.), x_Symbol] :> Simp[2^p/E^(a*d*p)   Int[(e*x)^
      m*(1/(x^(b*d*p)*(1 + 1/(E^(2*a*d)*x^(2*b*d)))^p)), x], x] /; FreeQ[{a, b, d, e, m}, x] && IntegerQ[p]

6082. Int[Csch[((a_.) + Log[x_]*(b_.))*(d_.)]^(p_.)*((e_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Simp[2^p/E^(a*d*p)   Int[(e*x)^
      m*(1/(x^(b*d*p)*(1 - 1/(E^(2*a*d)*x^(2*b*d)))^p)), x], x] /; FreeQ[{a, b, d, e, m}, x] && IntegerQ[p]

6083. Int[((e_.)*(x_))^(m_.)*Sech[((a_.) + Log[x_]*(b_.))*(d_.)]^(p_.), x_Symbol] :> Simp[Sech[d*(a + b*Log[x])]^p*(
      (1 + 1/(E^(2*a*d)*x^(2*b*d)))^p/x^((-b)*d*p))   Int[(e*x)^m*(1/(x^(b*d*p)*(1 + 1/(E^(2*a*d)*x^(2*b*d)))^p)), x
      ], x] /; FreeQ[{a, b, d, e, m, p}, x] &&  !IntegerQ[p]

6084. Int[Csch[((a_.) + Log[x_]*(b_.))*(d_.)]^(p_.)*((e_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Simp[Csch[d*(a + b*Log[x])]^p*(
      (1 - 1/(E^(2*a*d)*x^(2*b*d)))^p/x^((-b)*d*p))   Int[(e*x)^m*(1/(x^(b*d*p)*(1 - 1/(E^(2*a*d)*x^(2*b*d)))^p)), x
      ], x] /; FreeQ[{a, b, d, e, m, p}, x] &&  !IntegerQ[p]

6085. Int[((e_.)*(x_))^(m_.)*Sech[((a_.) + Log[(c_.)*(x_)^(n_.)]*(b_.))*(d_.)]^(p_.), x_Symbol] :> Simp[(e*x)^(m + 1
      )/(e*n*(c*x^n)^((m + 1)/n))   Subst[Int[x^((m + 1)/n - 1)*Sech[d*(a + b*Log[x])]^p, x], x, c*x^n], x] /; FreeQ
      [{a, b, c, d, e, m, n, p}, x] && (NeQ[c, 1] || NeQ[n, 1])

6086. Int[Csch[((a_.) + Log[(c_.)*(x_)^(n_.)]*(b_.))*(d_.)]^(p_.)*((e_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Simp[(e*x)^(m + 1
      )/(e*n*(c*x^n)^((m + 1)/n))   Subst[Int[x^((m + 1)/n - 1)*Csch[d*(a + b*Log[x])]^p, x], x, c*x^n], x] /; FreeQ
      [{a, b, c, d, e, m, n, p}, x] && (NeQ[c, 1] || NeQ[n, 1])

6087. Int[Log[(b_.)*(x_)]*Sinh[Log[(b_.)*(x_)]*(a_.)*(x_)], x_Symbol] :> Simp[Cosh[a*x*Log[b*x]]/a, x] - Int[Sinh[a*
      x*Log[b*x]], x] /; FreeQ[{a, b}, x]

6088. Int[Cosh[Log[(b_.)*(x_)]*(a_.)*(x_)]*Log[(b_.)*(x_)], x_Symbol] :> Simp[Sinh[a*x*Log[b*x]]/a, x] - Int[Cosh[a*
      x*Log[b*x]], x] /; FreeQ[{a, b}, x]

6089. Int[Log[(b_.)*(x_)]*(x_)^(m_.)*Sinh[Log[(b_.)*(x_)]*(a_.)*(x_)^(n_.)], x_Symbol] :> Simp[Cosh[a*x^n*Log[b*x]]/
      (a*n), x] - Simp[1/n   Int[x^m*Sinh[a*x^n*Log[b*x]], x], x] /; FreeQ[{a, b, m, n}, x] && EqQ[m, n - 1]

6090. Int[Cosh[Log[(b_.)*(x_)]*(a_.)*(x_)^(n_.)]*Log[(b_.)*(x_)]*(x_)^(m_.), x_Symbol] :> Simp[Sinh[a*x^n*Log[b*x]]/
      (a*n), x] - Simp[1/n   Int[x^m*Cosh[a*x^n*Log[b*x]], x], x] /; FreeQ[{a, b, m, n}, x] && EqQ[m, n - 1]

6091. Int[(((e_.) + (f_.)*(x_))^(m_.)*Sinh[(c_.) + (d_.)*(x_)]^(n_.))/((a_) + (b_.)*Sinh[(c_.) + (d_.)*(x_)]), x_Sym
      bol] :> Simp[1/b   Int[(e + f*x)^m*Sinh[c + d*x]^(n - 1), x], x] - Simp[a/b   Int[(e + f*x)^m*(Sinh[c + d*x]^(
      n - 1)/(a + b*Sinh[c + d*x])), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && IGtQ[m, 0] && IGtQ[n, 0]

6092. Int[(Cosh[(c_.) + (d_.)*(x_)]^(n_.)*((e_.) + (f_.)*(x_))^(m_.))/(Cosh[(c_.) + (d_.)*(x_)]*(b_.) + (a_)), x_Sym
      bol] :> Simp[1/b   Int[(e + f*x)^m*Cosh[c + d*x]^(n - 1), x], x] - Simp[a/b   Int[(e + f*x)^m*(Cosh[c + d*x]^(
      n - 1)/(a + b*Cosh[c + d*x])), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && IGtQ[m, 0] && IGtQ[n, 0]

6093. Int[(Cosh[(c_.) + (d_.)*(x_)]*((e_.) + (f_.)*(x_))^(m_.))/((a_) + (b_.)*Sinh[(c_.) + (d_.)*(x_)]), x_Symbol] :
      > Simp[-(e + f*x)^(m + 1)/(b*f*(m + 1)), x] + Simp[2   Int[(e + f*x)^m*(E^(c + d*x)/(a + b*E^(c + d*x))), x],
      x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && IGtQ[m, 0] && EqQ[a^2 + b^2, 0]

6094. Int[(((e_.) + (f_.)*(x_))^(m_.)*Sinh[(c_.) + (d_.)*(x_)])/(Cosh[(c_.) + (d_.)*(x_)]*(b_.) + (a_)), x_Symbol] :
      > Simp[-(e + f*x)^(m + 1)/(b*f*(m + 1)), x] + Simp[2   Int[(e + f*x)^m*(E^(c + d*x)/(a + b*E^(c + d*x))), x],
      x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && IGtQ[m, 0] && EqQ[a^2 - b^2, 0]

6095. Int[(Cosh[(c_.) + (d_.)*(x_)]*((e_.) + (f_.)*(x_))^(m_.))/((a_) + (b_.)*Sinh[(c_.) + (d_.)*(x_)]), x_Symbol] :
      > Simp[-(e + f*x)^(m + 1)/(b*f*(m + 1)), x] + (Int[(e + f*x)^m*(E^(c + d*x)/(a - Rt[a^2 + b^2, 2] + b*E^(c + d
      *x))), x] + Int[(e + f*x)^m*(E^(c + d*x)/(a + Rt[a^2 + b^2, 2] + b*E^(c + d*x))), x]) /; FreeQ[{a, b, c, d, e,
      f}, x] && IGtQ[m, 0] && NeQ[a^2 + b^2, 0]

6096. Int[(((e_.) + (f_.)*(x_))^(m_.)*Sinh[(c_.) + (d_.)*(x_)])/(Cosh[(c_.) + (d_.)*(x_)]*(b_.) + (a_)), x_Symbol] :
      > Simp[-(e + f*x)^(m + 1)/(b*f*(m + 1)), x] + (Int[(e + f*x)^m*(E^(c + d*x)/(a - Rt[a^2 - b^2, 2] + b*E^(c + d
      *x))), x] + Int[(e + f*x)^m*(E^(c + d*x)/(a + Rt[a^2 - b^2, 2] + b*E^(c + d*x))), x]) /; FreeQ[{a, b, c, d, e,
      f}, x] && IGtQ[m, 0] && NeQ[a^2 - b^2, 0]

6097. Int[(Cosh[(c_.) + (d_.)*(x_)]^(n_)*((e_.) + (f_.)*(x_))^(m_.))/((a_) + (b_.)*Sinh[(c_.) + (d_.)*(x_)]), x_Symb
      ol] :> Simp[1/a   Int[(e + f*x)^m*Cosh[c + d*x]^(n - 2), x], x] + Simp[1/b   Int[(e + f*x)^m*Cosh[c + d*x]^(n
      - 2)*Sinh[c + d*x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m}, x] && IGtQ[n, 1] && EqQ[a^2 + b^2, 0]

6098. Int[(((e_.) + (f_.)*(x_))^(m_.)*Sinh[(c_.) + (d_.)*(x_)]^(n_))/(Cosh[(c_.) + (d_.)*(x_)]*(b_.) + (a_)), x_Symb
      ol] :> Simp[-a^(-1)   Int[(e + f*x)^m*Sinh[c + d*x]^(n - 2), x], x] + Simp[1/b   Int[(e + f*x)^m*Sinh[c + d*x]
      ^(n - 2)*Cosh[c + d*x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m}, x] && IGtQ[n, 1] && EqQ[a^2 - b^2, 0]

6099. Int[(Cosh[(c_.) + (d_.)*(x_)]^(n_)*((e_.) + (f_.)*(x_))^(m_.))/((a_) + (b_.)*Sinh[(c_.) + (d_.)*(x_)]), x_Symb
      ol] :> Simp[-a/b^2   Int[(e + f*x)^m*Cosh[c + d*x]^(n - 2), x], x] + (Simp[1/b   Int[(e + f*x)^m*Cosh[c + d*x]
      ^(n - 2)*Sinh[c + d*x], x], x] + Simp[(a^2 + b^2)/b^2   Int[(e + f*x)^m*(Cosh[c + d*x]^(n - 2)/(a + b*Sinh[c +
      d*x])), x], x]) /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && IGtQ[n, 1] && NeQ[a^2 + b^2, 0] && IGtQ[m, 0]

6100. Int[(((e_.) + (f_.)*(x_))^(m_.)*Sinh[(c_.) + (d_.)*(x_)]^(n_))/(Cosh[(c_.) + (d_.)*(x_)]*(b_.) + (a_)), x_Symb
      ol] :> Simp[-a/b^2   Int[(e + f*x)^m*Sinh[c + d*x]^(n - 2), x], x] + (Simp[1/b   Int[(e + f*x)^m*Sinh[c + d*x]
      ^(n - 2)*Cosh[c + d*x], x], x] + Simp[(a^2 - b^2)/b^2   Int[(e + f*x)^m*(Sinh[c + d*x]^(n - 2)/(a + b*Cosh[c +
      d*x])), x], x]) /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && IGtQ[n, 1] && NeQ[a^2 - b^2, 0] && IGtQ[m, 0]

6101. Int[(((e_.) + (f_.)*(x_))^(m_.)*Tanh[(c_.) + (d_.)*(x_)]^(n_.))/((a_) + (b_.)*Sinh[(c_.) + (d_.)*(x_)]), x_Sym
      bol] :> Simp[1/b   Int[(e + f*x)^m*Sech[c + d*x]*Tanh[c + d*x]^(n - 1), x], x] - Simp[a/b   Int[(e + f*x)^m*Se
      ch[c + d*x]*(Tanh[c + d*x]^(n - 1)/(a + b*Sinh[c + d*x])), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && IGtQ[m, 0
      ] && IGtQ[n, 0]

6102. Int[(Coth[(c_.) + (d_.)*(x_)]^(n_.)*((e_.) + (f_.)*(x_))^(m_.))/(Cosh[(c_.) + (d_.)*(x_)]*(b_.) + (a_)), x_Sym
      bol] :> Simp[1/b   Int[(e + f*x)^m*Csch[c + d*x]*Coth[c + d*x]^(n - 1), x], x] - Simp[a/b   Int[(e + f*x)^m*Cs
      ch[c + d*x]*(Coth[c + d*x]^(n - 1)/(a + b*Cosh[c + d*x])), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && IGtQ[m, 0
      ] && IGtQ[n, 0]

6103. Int[(Coth[(c_.) + (d_.)*(x_)]^(n_.)*((e_.) + (f_.)*(x_))^(m_.))/((a_) + (b_.)*Sinh[(c_.) + (d_.)*(x_)]), x_Sym
      bol] :> Simp[1/a   Int[(e + f*x)^m*Coth[c + d*x]^n, x], x] - Simp[b/a   Int[(e + f*x)^m*Cosh[c + d*x]*(Coth[c
      + d*x]^(n - 1)/(a + b*Sinh[c + d*x])), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && IGtQ[m, 0] && IGtQ[n, 0]

6104. Int[(((e_.) + (f_.)*(x_))^(m_.)*Tanh[(c_.) + (d_.)*(x_)]^(n_.))/(Cosh[(c_.) + (d_.)*(x_)]*(b_.) + (a_)), x_Sym
      bol] :> Simp[1/a   Int[(e + f*x)^m*Tanh[c + d*x]^n, x], x] - Simp[b/a   Int[(e + f*x)^m*Sinh[c + d*x]*(Tanh[c
      + d*x]^(n - 1)/(a + b*Cosh[c + d*x])), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && IGtQ[m, 0] && IGtQ[n, 0]

6105. Int[(((e_.) + (f_.)*(x_))^(m_.)*Sech[(c_.) + (d_.)*(x_)]^(n_.))/((a_) + (b_.)*Sinh[(c_.) + (d_.)*(x_)]), x_Sym
      bol] :> Simp[1/a   Int[(e + f*x)^m*Sech[c + d*x]^(n + 2), x], x] + Simp[1/b   Int[(e + f*x)^m*Sech[c + d*x]^(n
      + 1)*Tanh[c + d*x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, n}, x] && IGtQ[m, 0] && EqQ[a^2 + b^2, 0]

6106. Int[(Csch[(c_.) + (d_.)*(x_)]^(n_.)*((e_.) + (f_.)*(x_))^(m_.))/(Cosh[(c_.) + (d_.)*(x_)]*(b_.) + (a_)), x_Sym
      bol] :> Simp[-a^(-1)   Int[(e + f*x)^m*Csch[c + d*x]^(n + 2), x], x] + Simp[1/b   Int[(e + f*x)^m*Csch[c + d*x
      ]^(n + 1)*Coth[c + d*x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, n}, x] && IGtQ[m, 0] && EqQ[a^2 - b^2, 0]

6107. Int[(((e_.) + (f_.)*(x_))^(m_.)*Sech[(c_.) + (d_.)*(x_)]^(n_.))/((a_) + (b_.)*Sinh[(c_.) + (d_.)*(x_)]), x_Sym
      bol] :> Simp[b^2/(a^2 + b^2)   Int[(e + f*x)^m*(Sech[c + d*x]^(n - 2)/(a + b*Sinh[c + d*x])), x], x] + Simp[1/
      (a^2 + b^2)   Int[(e + f*x)^m*Sech[c + d*x]^n*(a - b*Sinh[c + d*x]), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] &&
      IGtQ[m, 0] && NeQ[a^2 + b^2, 0] && IGtQ[n, 0]

6108. Int[(Csch[(c_.) + (d_.)*(x_)]^(n_.)*((e_.) + (f_.)*(x_))^(m_.))/(Cosh[(c_.) + (d_.)*(x_)]*(b_.) + (a_)), x_Sym
      bol] :> Simp[b^2/(a^2 - b^2)   Int[(e + f*x)^m*(Csch[c + d*x]^(n - 2)/(a + b*Cosh[c + d*x])), x], x] + Simp[1/
      (a^2 - b^2)   Int[(e + f*x)^m*Csch[c + d*x]^n*(a - b*Cosh[c + d*x]), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] &&
      IGtQ[m, 0] && NeQ[a^2 - b^2, 0] && IGtQ[n, 0]

6109. Int[(Csch[(c_.) + (d_.)*(x_)]^(n_.)*((e_.) + (f_.)*(x_))^(m_.))/((a_) + (b_.)*Sinh[(c_.) + (d_.)*(x_)]), x_Sym
      bol] :> Simp[1/a   Int[(e + f*x)^m*Csch[c + d*x]^n, x], x] - Simp[b/a   Int[(e + f*x)^m*(Csch[c + d*x]^(n - 1)
      /(a + b*Sinh[c + d*x])), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && IGtQ[m, 0] && IGtQ[n, 0]

6110. Int[(((e_.) + (f_.)*(x_))^(m_.)*Sech[(c_.) + (d_.)*(x_)]^(n_.))/(Cosh[(c_.) + (d_.)*(x_)]*(b_.) + (a_)), x_Sym
      bol] :> Simp[1/a   Int[(e + f*x)^m*Sech[c + d*x]^n, x], x] - Simp[b/a   Int[(e + f*x)^m*(Sech[c + d*x]^(n - 1)
      /(a + b*Cosh[c + d*x])), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && IGtQ[m, 0] && IGtQ[n, 0]

6111. Int[(((e_.) + (f_.)*(x_))^(m_.)*(F_)[(c_.) + (d_.)*(x_)]^(n_.))/((a_) + (b_.)*Sinh[(c_.) + (d_.)*(x_)]), x_Sym
      bol] :> Unintegrable[((e + f*x)^m*F[c + d*x]^n)/(a + b*Sinh[c + d*x]), x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m, n}, x
      ] && HyperbolicQ[F]

6112. Int[(((e_.) + (f_.)*(x_))^(m_.)*(F_)[(c_.) + (d_.)*(x_)]^(n_.))/(Cosh[(c_.) + (d_.)*(x_)]*(b_.) + (a_)), x_Sym
      bol] :> Unintegrable[((e + f*x)^m*F[c + d*x]^n)/(a + b*Cosh[c + d*x]), x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m, n}, x
      ] && HyperbolicQ[F]

6113. Int[(Cosh[(c_.) + (d_.)*(x_)]^(p_.)*((e_.) + (f_.)*(x_))^(m_.)*Sinh[(c_.) + (d_.)*(x_)]^(n_.))/((a_) + (b_.)*S
      inh[(c_.) + (d_.)*(x_)]), x_Symbol] :> Simp[1/b   Int[(e + f*x)^m*Cosh[c + d*x]^p*Sinh[c + d*x]^(n - 1), x], x
      ] - Simp[a/b   Int[(e + f*x)^m*Cosh[c + d*x]^p*(Sinh[c + d*x]^(n - 1)/(a + b*Sinh[c + d*x])), x], x] /; FreeQ[
      {a, b, c, d, e, f}, x] && IGtQ[m, 0] && IGtQ[n, 0] && IGtQ[p, 0]

6114. Int[(Cosh[(c_.) + (d_.)*(x_)]^(n_.)*((e_.) + (f_.)*(x_))^(m_.)*Sinh[(c_.) + (d_.)*(x_)]^(p_.))/(Cosh[(c_.) + (
      d_.)*(x_)]*(b_.) + (a_)), x_Symbol] :> Simp[1/b   Int[(e + f*x)^m*Sinh[c + d*x]^p*Cosh[c + d*x]^(n - 1), x], x
      ] - Simp[a/b   Int[(e + f*x)^m*Sinh[c + d*x]^p*(Cosh[c + d*x]^(n - 1)/(a + b*Cosh[c + d*x])), x], x] /; FreeQ[
      {a, b, c, d, e, f}, x] && IGtQ[m, 0] && IGtQ[n, 0] && IGtQ[p, 0]

6115. Int[(((e_.) + (f_.)*(x_))^(m_.)*Sinh[(c_.) + (d_.)*(x_)]^(p_.)*Tanh[(c_.) + (d_.)*(x_)]^(n_.))/((a_) + (b_.)*S
      inh[(c_.) + (d_.)*(x_)]), x_Symbol] :> Simp[1/b   Int[(e + f*x)^m*Sinh[c + d*x]^(p - 1)*Tanh[c + d*x]^n, x], x
      ] - Simp[a/b   Int[(e + f*x)^m*Sinh[c + d*x]^(p - 1)*(Tanh[c + d*x]^n/(a + b*Sinh[c + d*x])), x], x] /; FreeQ[
      {a, b, c, d, e, f}, x] && IGtQ[m, 0] && IGtQ[n, 0] && IGtQ[p, 0]

6116. Int[(Cosh[(c_.) + (d_.)*(x_)]^(p_.)*Coth[(c_.) + (d_.)*(x_)]^(n_.)*((e_.) + (f_.)*(x_))^(m_.))/(Cosh[(c_.) + (
      d_.)*(x_)]*(b_.) + (a_)), x_Symbol] :> Simp[1/b   Int[(e + f*x)^m*Cosh[c + d*x]^(p - 1)*Coth[c + d*x]^n, x], x
      ] - Simp[a/b   Int[(e + f*x)^m*Cosh[c + d*x]^(p - 1)*(Coth[c + d*x]^n/(a + b*Cosh[c + d*x])), x], x] /; FreeQ[
      {a, b, c, d, e, f}, x] && IGtQ[m, 0] && IGtQ[n, 0] && IGtQ[p, 0]

6117. Int[(((e_.) + (f_.)*(x_))^(m_.)*Sech[(c_.) + (d_.)*(x_)]^(p_.)*Tanh[(c_.) + (d_.)*(x_)]^(n_.))/((a_) + (b_.)*S
      inh[(c_.) + (d_.)*(x_)]), x_Symbol] :> Simp[1/b   Int[(e + f*x)^m*Sech[c + d*x]^(p + 1)*Tanh[c + d*x]^(n - 1),
      x], x] - Simp[a/b   Int[(e + f*x)^m*Sech[c + d*x]^(p + 1)*(Tanh[c + d*x]^(n - 1)/(a + b*Sinh[c + d*x])), x],
      x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && IGtQ[m, 0] && IGtQ[n, 0] && IGtQ[p, 0]

6118. Int[(Coth[(c_.) + (d_.)*(x_)]^(n_.)*Csch[(c_.) + (d_.)*(x_)]^(p_.)*((e_.) + (f_.)*(x_))^(m_.))/(Cosh[(c_.) + (
      d_.)*(x_)]*(b_.) + (a_)), x_Symbol] :> Simp[1/b   Int[(e + f*x)^m*Csch[c + d*x]^(p + 1)*Coth[c + d*x]^(n - 1),
      x], x] - Simp[a/b   Int[(e + f*x)^m*Csch[c + d*x]^(p + 1)*(Coth[c + d*x]^(n - 1)/(a + b*Cosh[c + d*x])), x],
      x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && IGtQ[m, 0] && IGtQ[n, 0] && IGtQ[p, 0]

6119. Int[(Cosh[(c_.) + (d_.)*(x_)]^(p_.)*Coth[(c_.) + (d_.)*(x_)]^(n_.)*((e_.) + (f_.)*(x_))^(m_.))/((a_) + (b_.)*S
      inh[(c_.) + (d_.)*(x_)]), x_Symbol] :> Simp[1/a   Int[(e + f*x)^m*Cosh[c + d*x]^p*Coth[c + d*x]^n, x], x] - Si
      mp[b/a   Int[(e + f*x)^m*Cosh[c + d*x]^(p + 1)*(Coth[c + d*x]^(n - 1)/(a + b*Sinh[c + d*x])), x], x] /; FreeQ[
      {a, b, c, d, e, f}, x] && IGtQ[m, 0] && IGtQ[n, 0] && IGtQ[p, 0]

6120. Int[(((e_.) + (f_.)*(x_))^(m_.)*Sinh[(c_.) + (d_.)*(x_)]^(p_.)*Tanh[(c_.) + (d_.)*(x_)]^(n_.))/(Cosh[(c_.) + (
      d_.)*(x_)]*(b_.) + (a_)), x_Symbol] :> Simp[1/a   Int[(e + f*x)^m*Sinh[c + d*x]^p*Tanh[c + d*x]^n, x], x] - Si
      mp[b/a   Int[(e + f*x)^m*Sinh[c + d*x]^(p + 1)*(Tanh[c + d*x]^(n - 1)/(a + b*Cosh[c + d*x])), x], x] /; FreeQ[
      {a, b, c, d, e, f}, x] && IGtQ[m, 0] && IGtQ[n, 0] && IGtQ[p, 0]

6121. Int[(Coth[(c_.) + (d_.)*(x_)]^(n_.)*Csch[(c_.) + (d_.)*(x_)]^(p_.)*((e_.) + (f_.)*(x_))^(m_.))/((a_) + (b_.)*S
      inh[(c_.) + (d_.)*(x_)]), x_Symbol] :> Simp[1/a   Int[(e + f*x)^m*Csch[c + d*x]^p*Coth[c + d*x]^n, x], x] - Si
      mp[b/a   Int[(e + f*x)^m*Csch[c + d*x]^(p - 1)*(Coth[c + d*x]^n/(a + b*Sinh[c + d*x])), x], x] /; FreeQ[{a, b,
      c, d, e, f}, x] && IGtQ[m, 0] && IGtQ[n, 0] && IGtQ[p, 0]

6122. Int[(((e_.) + (f_.)*(x_))^(m_.)*Sech[(c_.) + (d_.)*(x_)]^(p_.)*Tanh[(c_.) + (d_.)*(x_)]^(n_.))/(Cosh[(c_.) + (
      d_.)*(x_)]*(b_.) + (a_)), x_Symbol] :> Simp[1/a   Int[(e + f*x)^m*Sech[c + d*x]^p*Tanh[c + d*x]^n, x], x] - Si
      mp[b/a   Int[(e + f*x)^m*Sech[c + d*x]^(p - 1)*(Tanh[c + d*x]^n/(a + b*Cosh[c + d*x])), x], x] /; FreeQ[{a, b,
      c, d, e, f}, x] && IGtQ[m, 0] && IGtQ[n, 0] && IGtQ[p, 0]

6123. Int[(Csch[(c_.) + (d_.)*(x_)]^(n_.)*((e_.) + (f_.)*(x_))^(m_.)*Sech[(c_.) + (d_.)*(x_)]^(p_.))/((a_) + (b_.)*S
      inh[(c_.) + (d_.)*(x_)]), x_Symbol] :> Simp[1/a   Int[(e + f*x)^m*Sech[c + d*x]^p*Csch[c + d*x]^n, x], x] - Si
      mp[b/a   Int[(e + f*x)^m*Sech[c + d*x]^p*(Csch[c + d*x]^(n - 1)/(a + b*Sinh[c + d*x])), x], x] /; FreeQ[{a, b,
      c, d, e, f}, x] && IGtQ[m, 0] && IGtQ[n, 0] && IGtQ[p, 0]

6124. Int[(Csch[(c_.) + (d_.)*(x_)]^(p_.)*((e_.) + (f_.)*(x_))^(m_.)*Sech[(c_.) + (d_.)*(x_)]^(n_.))/(Cosh[(c_.) + (
      d_.)*(x_)]*(b_.) + (a_)), x_Symbol] :> Simp[1/a   Int[(e + f*x)^m*Csch[c + d*x]^p*Sech[c + d*x]^n, x], x] - Si
      mp[b/a   Int[(e + f*x)^m*Csch[c + d*x]^p*(Sech[c + d*x]^(n - 1)/(a + b*Cosh[c + d*x])), x], x] /; FreeQ[{a, b,
      c, d, e, f}, x] && IGtQ[m, 0] && IGtQ[n, 0] && IGtQ[p, 0]

6125. Int[(((e_.) + (f_.)*(x_))^(m_.)*(F_)[(c_.) + (d_.)*(x_)]^(n_.)*(G_)[(c_.) + (d_.)*(x_)]^(p_.))/((a_) + (b_.)*S
      inh[(c_.) + (d_.)*(x_)]), x_Symbol] :> Unintegrable[((e + f*x)^m*F[c + d*x]^n*G[c + d*x]^p)/(a + b*Sinh[c + d*
      x]), x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m, n, p}, x] && HyperbolicQ[F] && HyperbolicQ[G]

6126. Int[(((e_.) + (f_.)*(x_))^(m_.)*(F_)[(c_.) + (d_.)*(x_)]^(n_.)*(G_)[(c_.) + (d_.)*(x_)]^(p_.))/(Cosh[(c_.) + (
      d_.)*(x_)]*(b_.) + (a_)), x_Symbol] :> Unintegrable[((e + f*x)^m*F[c + d*x]^n*G[c + d*x]^p)/(a + b*Cosh[c + d*
      x]), x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m, n, p}, x] && HyperbolicQ[F] && HyperbolicQ[G]

6127. Int[(((e_.) + (f_.)*(x_))^(m_.)*(F_)[(c_.) + (d_.)*(x_)]^(n_.))/((a_) + (b_.)*Sech[(c_.) + (d_.)*(x_)]), x_Sym
      bol] :> Int[(e + f*x)^m*Cosh[c + d*x]*(F[c + d*x]^n/(b + a*Cosh[c + d*x])), x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x]
      && HyperbolicQ[F] && IntegersQ[m, n]

6128. Int[(((e_.) + (f_.)*(x_))^(m_.)*(F_)[(c_.) + (d_.)*(x_)]^(n_.))/(Csch[(c_.) + (d_.)*(x_)]*(b_.) + (a_)), x_Sym
      bol] :> Int[(e + f*x)^m*Sinh[c + d*x]*(F[c + d*x]^n/(b + a*Sinh[c + d*x])), x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x]
      && HyperbolicQ[F] && IntegersQ[m, n]

6129. Int[(((e_.) + (f_.)*(x_))^(m_.)*(F_)[(c_.) + (d_.)*(x_)]^(n_.)*(G_)[(c_.) + (d_.)*(x_)]^(p_.))/((a_) + (b_.)*S
      ech[(c_.) + (d_.)*(x_)]), x_Symbol] :> Int[(e + f*x)^m*Cosh[c + d*x]*F[c + d*x]^n*(G[c + d*x]^p/(b + a*Cosh[c
      + d*x])), x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && HyperbolicQ[F] && HyperbolicQ[G] && IntegersQ[m, n, p]

6130. Int[(((e_.) + (f_.)*(x_))^(m_.)*(F_)[(c_.) + (d_.)*(x_)]^(n_.)*(G_)[(c_.) + (d_.)*(x_)]^(p_.))/(Csch[(c_.) + (
      d_.)*(x_)]*(b_.) + (a_)), x_Symbol] :> Int[(e + f*x)^m*Sinh[c + d*x]*F[c + d*x]^n*(G[c + d*x]^p/(b + a*Sinh[c
      + d*x])), x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && HyperbolicQ[F] && HyperbolicQ[G] && IntegersQ[m, n, p]

6131. Int[Sinh[(a_.) + (b_.)*(x_)]^(p_.)*Sinh[(c_.) + (d_.)*(x_)]^(q_.), x_Symbol] :> Simp[1/2^(p + q)   Int[ExpandI
      ntegrand[(-E^(-c - d*x) + E^(c + d*x))^q, (-E^(-a - b*x) + E^(a + b*x))^p, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, q}
      , x] && IGtQ[p, 0] &&  !IntegerQ[q]

6132. Int[Cosh[(a_.) + (b_.)*(x_)]^(p_.)*Cosh[(c_.) + (d_.)*(x_)]^(q_.), x_Symbol] :> Simp[1/2^(p + q)   Int[ExpandI
      ntegrand[(E^(-c - d*x) + E^(c + d*x))^q, (E^(-a - b*x) + E^(a + b*x))^p, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, q},
      x] && IGtQ[p, 0] &&  !IntegerQ[q]

6133. Int[Cosh[(c_.) + (d_.)*(x_)]^(q_.)*Sinh[(a_.) + (b_.)*(x_)]^(p_.), x_Symbol] :> Simp[1/2^(p + q)   Int[ExpandI
      ntegrand[(E^(-c - d*x) + E^(c + d*x))^q, (-E^(-a - b*x) + E^(a + b*x))^p, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, q},
      x] && IGtQ[p, 0] &&  !IntegerQ[q]

6134. Int[Cosh[(a_.) + (b_.)*(x_)]^(p_.)*Sinh[(c_.) + (d_.)*(x_)]^(q_.), x_Symbol] :> Simp[1/2^(p + q)   Int[ExpandI
      ntegrand[(-E^(-c - d*x) + E^(c + d*x))^q, (E^(-a - b*x) + E^(a + b*x))^p, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, q},
      x] && IGtQ[p, 0] &&  !IntegerQ[q]

6135. Int[Sinh[(a_.) + (b_.)*(x_)]*Tanh[(c_.) + (d_.)*(x_)], x_Symbol] :> Int[-E^(-(a + b*x))/2 + E^(a + b*x)/2 + 1/
      (E^(a + b*x)*(1 + E^(2*(c + d*x)))) - E^(a + b*x)/(1 + E^(2*(c + d*x))), x] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && NeQ[b
      ^2 - d^2, 0]

6136. Int[Cosh[(a_.) + (b_.)*(x_)]*Coth[(c_.) + (d_.)*(x_)], x_Symbol] :> Int[1/(E^(a + b*x)*2) + E^(a + b*x)/2 - 1/
      (E^(a + b*x)*(1 - E^(2*(c + d*x)))) - E^(a + b*x)/(1 - E^(2*(c + d*x))), x] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && NeQ[b
      ^2 - d^2, 0]

6137. Int[Coth[(c_.) + (d_.)*(x_)]*Sinh[(a_.) + (b_.)*(x_)], x_Symbol] :> Int[-E^(-(a + b*x))/2 + E^(a + b*x)/2 + 1/
      (E^(a + b*x)*(1 - E^(2*(c + d*x)))) - E^(a + b*x)/(1 - E^(2*(c + d*x))), x] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && NeQ[b
      ^2 - d^2, 0]

6138. Int[Cosh[(a_.) + (b_.)*(x_)]*Tanh[(c_.) + (d_.)*(x_)], x_Symbol] :> Int[1/(E^(a + b*x)*2) + E^(a + b*x)/2 - 1/
      (E^(a + b*x)*(1 + E^(2*(c + d*x)))) - E^(a + b*x)/(1 + E^(2*(c + d*x))), x] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && NeQ[b
      ^2 - d^2, 0]

6139. Int[Sinh[(a_.)/((c_.) + (d_.)*(x_))]^(n_.), x_Symbol] :> Simp[-d^(-1)   Subst[Int[Sinh[a*x]^n/x^2, x], x, 1/(c
      + d*x)], x] /; FreeQ[{a, c, d}, x] && IGtQ[n, 0]

6140. Int[Cosh[(a_.)/((c_.) + (d_.)*(x_))]^(n_.), x_Symbol] :> Simp[-d^(-1)   Subst[Int[Cosh[a*x]^n/x^2, x], x, 1/(c
      + d*x)], x] /; FreeQ[{a, c, d}, x] && IGtQ[n, 0]

6141. Int[Sinh[((e_.)*((a_.) + (b_.)*(x_)))/((c_.) + (d_.)*(x_))]^(n_.), x_Symbol] :> Simp[-d^(-1)   Subst[Int[Sinh[
      b*(e/d) - e*(b*c - a*d)*(x/d)]^n/x^2, x], x, 1/(c + d*x)], x] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && IGtQ[n, 0] && NeQ[b
      *c - a*d, 0]

6142. Int[Cosh[((e_.)*((a_.) + (b_.)*(x_)))/((c_.) + (d_.)*(x_))]^(n_.), x_Symbol] :> Simp[-d^(-1)   Subst[Int[Cosh[
      b*(e/d) - e*(b*c - a*d)*(x/d)]^n/x^2, x], x, 1/(c + d*x)], x] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && IGtQ[n, 0] && NeQ[b
      *c - a*d, 0]

6143. Int[Sinh[u_]^(n_.), x_Symbol] :> With[{lst = QuotientOfLinearsParts[u, x]}, Int[Sinh[(lst[[1]] + lst[[2]]*x)/(
      lst[[3]] + lst[[4]]*x)]^n, x]] /; IGtQ[n, 0] && QuotientOfLinearsQ[u, x]

6144. Int[Cosh[u_]^(n_.), x_Symbol] :> With[{lst = QuotientOfLinearsParts[u, x]}, Int[Cosh[(lst[[1]] + lst[[2]]*x)/(
      lst[[3]] + lst[[4]]*x)]^n, x]] /; IGtQ[n, 0] && QuotientOfLinearsQ[u, x]

6145. Int[(u_.)*Sinh[v_]^(p_.)*Sinh[w_]^(q_.), x_Symbol] :> Int[u*Sinh[v]^(p + q), x] /; EqQ[w, v]

6146. Int[Cosh[v_]^(p_.)*Cosh[w_]^(q_.)*(u_.), x_Symbol] :> Int[u*Cosh[v]^(p + q), x] /; EqQ[w, v]

6147. Int[Sinh[v_]^(p_.)*Sinh[w_]^(q_.), x_Symbol] :> Int[ExpandTrigReduce[Sinh[v]^p*Sinh[w]^q, x], x] /; IGtQ[p, 0]
      && IGtQ[q, 0] && ((PolynomialQ[v, x] && PolynomialQ[w, x]) || (BinomialQ[{v, w}, x] && IndependentQ[Cancel[v/
      w], x]))

6148. Int[Cosh[v_]^(p_.)*Cosh[w_]^(q_.), x_Symbol] :> Int[ExpandTrigReduce[Cosh[v]^p*Cosh[w]^q, x], x] /; IGtQ[p, 0]
      && IGtQ[q, 0] && ((PolynomialQ[v, x] && PolynomialQ[w, x]) || (BinomialQ[{v, w}, x] && IndependentQ[Cancel[v/
      w], x]))

6149. Int[(x_)^(m_.)*Sinh[v_]^(p_.)*Sinh[w_]^(q_.), x_Symbol] :> Int[ExpandTrigReduce[x^m, Sinh[v]^p*Sinh[w]^q, x],
      x] /; IGtQ[m, 0] && IGtQ[p, 0] && IGtQ[q, 0] && ((PolynomialQ[v, x] && PolynomialQ[w, x]) || (BinomialQ[{v, w}
      , x] && IndependentQ[Cancel[v/w], x]))

6150. Int[Cosh[v_]^(p_.)*Cosh[w_]^(q_.)*(x_)^(m_.), x_Symbol] :> Int[ExpandTrigReduce[x^m, Cosh[v]^p*Cosh[w]^q, x],
      x] /; IGtQ[m, 0] && IGtQ[p, 0] && IGtQ[q, 0] && ((PolynomialQ[v, x] && PolynomialQ[w, x]) || (BinomialQ[{v, w}
      , x] && IndependentQ[Cancel[v/w], x]))

6151. Int[Cosh[w_]^(p_.)*(u_.)*Sinh[v_]^(p_.), x_Symbol] :> Simp[1/2^p   Int[u*Sinh[2*v]^p, x], x] /; EqQ[w, v] && I
      ntegerQ[p]

6152. Int[Cosh[w_]^(q_.)*Sinh[v_]^(p_.), x_Symbol] :> Int[ExpandTrigReduce[Sinh[v]^p*Cosh[w]^q, x], x] /; IGtQ[p, 0]
      && IGtQ[q, 0] && ((PolynomialQ[v, x] && PolynomialQ[w, x]) || (BinomialQ[{v, w}, x] && IndependentQ[Cancel[v/
      w], x]))

6153. Int[Cosh[w_]^(q_.)*(x_)^(m_.)*Sinh[v_]^(p_.), x_Symbol] :> Int[ExpandTrigReduce[x^m, Sinh[v]^p*Cosh[w]^q, x],
      x] /; IGtQ[m, 0] && IGtQ[p, 0] && IGtQ[q, 0] && ((PolynomialQ[v, x] && PolynomialQ[w, x]) || (BinomialQ[{v, w}
      , x] && IndependentQ[Cancel[v/w], x]))

6154. Int[Sinh[v_]*Tanh[w_]^(n_.), x_Symbol] :> Int[Cosh[v]*Tanh[w]^(n - 1), x] - Simp[Cosh[v - w]   Int[Sech[w]*Tan
      h[w]^(n - 1), x], x] /; GtQ[n, 0] && NeQ[w, v] && FreeQ[v - w, x]

6155. Int[Cosh[v_]*Coth[w_]^(n_.), x_Symbol] :> Int[Sinh[v]*Coth[w]^(n - 1), x] + Simp[Cosh[v - w]   Int[Csch[w]*Cot
      h[w]^(n - 1), x], x] /; GtQ[n, 0] && NeQ[w, v] && FreeQ[v - w, x]

6156. Int[Coth[w_]^(n_.)*Sinh[v_], x_Symbol] :> Int[Cosh[v]*Coth[w]^(n - 1), x] + Simp[Sinh[v - w]   Int[Csch[w]*Cot
      h[w]^(n - 1), x], x] /; GtQ[n, 0] && NeQ[w, v] && FreeQ[v - w, x]

6157. Int[Cosh[v_]*Tanh[w_]^(n_.), x_Symbol] :> Int[Sinh[v]*Tanh[w]^(n - 1), x] - Simp[Sinh[v - w]   Int[Sech[w]*Tan
      h[w]^(n - 1), x], x] /; GtQ[n, 0] && NeQ[w, v] && FreeQ[v - w, x]

6158. Int[Sech[w_]^(n_.)*Sinh[v_], x_Symbol] :> Simp[Cosh[v - w]   Int[Tanh[w]*Sech[w]^(n - 1), x], x] + Simp[Sinh[v
      - w]   Int[Sech[w]^(n - 1), x], x] /; GtQ[n, 0] && NeQ[w, v] && FreeQ[v - w, x]

6159. Int[Cosh[v_]*Csch[w_]^(n_.), x_Symbol] :> Simp[Cosh[v - w]   Int[Coth[w]*Csch[w]^(n - 1), x], x] + Simp[Sinh[v
      - w]   Int[Csch[w]^(n - 1), x], x] /; GtQ[n, 0] && NeQ[w, v] && FreeQ[v - w, x]

6160. Int[Csch[w_]^(n_.)*Sinh[v_], x_Symbol] :> Simp[Sinh[v - w]   Int[Coth[w]*Csch[w]^(n - 1), x], x] + Simp[Cosh[v
      - w]   Int[Csch[w]^(n - 1), x], x] /; GtQ[n, 0] && NeQ[w, v] && FreeQ[v - w, x]

6161. Int[Cosh[v_]*Sech[w_]^(n_.), x_Symbol] :> Simp[Sinh[v - w]   Int[Tanh[w]*Sech[w]^(n - 1), x], x] + Simp[Cosh[v
      - w]   Int[Sech[w]^(n - 1), x], x] /; GtQ[n, 0] && NeQ[w, v] && FreeQ[v - w, x]

6162. Int[((e_.) + (f_.)*(x_))^(m_.)*((a_) + Cosh[(c_.) + (d_.)*(x_)]*(b_.)*Sinh[(c_.) + (d_.)*(x_)])^(n_.), x_Symbo
      l] :> Int[(e + f*x)^m*(a + b*(Sinh[2*c + 2*d*x]/2))^n, x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m, n}, x]

6163. Int[(x_)^(m_.)*((a_) + (b_.)*Sinh[(c_.) + (d_.)*(x_)]^2)^(n_), x_Symbol] :> Simp[1/2^n   Int[x^m*(2*a - b + b*
      Cosh[2*c + 2*d*x])^n, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && NeQ[a - b, 0] && IGtQ[m, 0] && ILtQ[n, 0] && (EqQ[n,
      -1] || (EqQ[m, 1] && EqQ[n, -2]))

6164. Int[(Cosh[(c_.) + (d_.)*(x_)]^2*(b_.) + (a_))^(n_)*(x_)^(m_.), x_Symbol] :> Simp[1/2^n   Int[x^m*(2*a + b + b*
      Cosh[2*c + 2*d*x])^n, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && NeQ[a - b, 0] && IGtQ[m, 0] && ILtQ[n, 0] && (EqQ[n,
      -1] || (EqQ[m, 1] && EqQ[n, -2]))

6165. Int[((f_.) + (g_.)*(x_))^(m_.)/((a_.) + Cosh[(d_.) + (e_.)*(x_)]^2*(b_.) + (c_.)*Sinh[(d_.) + (e_.)*(x_)]^2),
      x_Symbol] :> Simp[2   Int[(f + g*x)^m/(2*a + b - c + (b + c)*Cosh[2*d + 2*e*x]), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d,
      e, f, g}, x] && IGtQ[m, 0] && NeQ[a + b, 0] && NeQ[a + c, 0]

6166. Int[(((f_.) + (g_.)*(x_))^(m_.)*Sech[(d_.) + (e_.)*(x_)]^2)/((b_) + (c_.)*Tanh[(d_.) + (e_.)*(x_)]^2), x_Symbo
      l] :> Simp[2   Int[(f + g*x)^m/(b - c + (b + c)*Cosh[2*d + 2*e*x]), x], x] /; FreeQ[{b, c, d, e, f, g}, x] &&
      IGtQ[m, 0]

6167. Int[(((f_.) + (g_.)*(x_))^(m_.)*Sech[(d_.) + (e_.)*(x_)]^2)/((b_.) + (a_.)*Sech[(d_.) + (e_.)*(x_)]^2 + (c_.)*
      Tanh[(d_.) + (e_.)*(x_)]^2), x_Symbol] :> Simp[2   Int[(f + g*x)^m/(2*a + b - c + (b + c)*Cosh[2*d + 2*e*x]),
      x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g}, x] && IGtQ[m, 0] && NeQ[a + b, 0] && NeQ[a + c, 0]

6168. Int[(Csch[(d_.) + (e_.)*(x_)]^2*((f_.) + (g_.)*(x_))^(m_.))/(Coth[(d_.) + (e_.)*(x_)]^2*(b_.) + (c_)), x_Symbo
      l] :> Simp[2   Int[(f + g*x)^m/(b - c + (b + c)*Cosh[2*d + 2*e*x]), x], x] /; FreeQ[{b, c, d, e, f, g}, x] &&
      IGtQ[m, 0]

6169. Int[(Csch[(d_.) + (e_.)*(x_)]^2*((f_.) + (g_.)*(x_))^(m_.))/(Csch[(d_.) + (e_.)*(x_)]^2*(a_.) + Coth[(d_.) + (
      e_.)*(x_)]^2*(b_.) + (c_.)), x_Symbol] :> Simp[2   Int[(f + g*x)^m/(2*a + b - c + (b + c)*Cosh[2*d + 2*e*x]),
      x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g}, x] && IGtQ[m, 0] && NeQ[a + b, 0] && NeQ[a + c, 0]

6170. Int[(((e_.) + (f_.)*(x_))*((A_) + (B_.)*Sinh[(c_.) + (d_.)*(x_)]))/((a_) + (b_.)*Sinh[(c_.) + (d_.)*(x_)])^2,
      x_Symbol] :> Simp[B*(e + f*x)*(Cosh[c + d*x]/(a*d*(a + b*Sinh[c + d*x]))), x] - Simp[B*(f/(a*d))   Int[Cosh[c
      + d*x]/(a + b*Sinh[c + d*x]), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, A, B}, x] && EqQ[a*A + b*B, 0]

6171. Int[((Cosh[(c_.) + (d_.)*(x_)]*(B_.) + (A_))*((e_.) + (f_.)*(x_)))/(Cosh[(c_.) + (d_.)*(x_)]*(b_.) + (a_))^2,
      x_Symbol] :> Simp[B*(e + f*x)*(Sinh[c + d*x]/(a*d*(a + b*Cosh[c + d*x]))), x] - Simp[B*(f/(a*d))   Int[Sinh[c
      + d*x]/(a + b*Cosh[c + d*x]), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, A, B}, x] && EqQ[a*A - b*B, 0]

6172. Int[((e_.) + (f_.)*(x_))^(m_.)*Sinh[(a_.) + (b_.)*((c_) + (d_.)*(x_))^(n_)]^(p_.), x_Symbol] :> Simp[1/d^(m +
      1)   Subst[Int[(d*e - c*f + f*x)^m*Sinh[a + b*x^n]^p, x], x, c + d*x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, n}, x] &
      & IGtQ[m, 0] && RationalQ[p]

6173. Int[Cosh[(a_.) + (b_.)*((c_) + (d_.)*(x_))^(n_)]^(p_.)*((e_.) + (f_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Simp[1/d^(m +
      1)   Subst[Int[(d*e - c*f + f*x)^m*Cosh[a + b*x^n]^p, x], x, c + d*x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, n}, x] &
      & IGtQ[m, 0] && RationalQ[p]

6174. Int[Sech[v_]^(m_.)*((a_) + (b_.)*Tanh[v_])^(n_.), x_Symbol] :> Int[(a*Cosh[v] + b*Sinh[v])^n, x] /; FreeQ[{a,
      b}, x] && IntegerQ[(m - 1)/2] && EqQ[m + n, 0]

6175. Int[Csch[v_]^(m_.)*(Coth[v_]*(b_.) + (a_))^(n_.), x_Symbol] :> Int[(b*Cosh[v] + a*Sinh[v])^n, x] /; FreeQ[{a,
      b}, x] && IntegerQ[(m - 1)/2] && EqQ[m + n, 0]

6176. Int[(u_.)*Sinh[(a_.) + (b_.)*(x_)]^(m_.)*Sinh[(c_.) + (d_.)*(x_)]^(n_.), x_Symbol] :> Int[ExpandTrigReduce[u,
      Sinh[a + b*x]^m*Sinh[c + d*x]^n, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && IGtQ[m, 0] && IGtQ[n, 0]

6177. Int[Cosh[(a_.) + (b_.)*(x_)]^(m_.)*Cosh[(c_.) + (d_.)*(x_)]^(n_.)*(u_.), x_Symbol] :> Int[ExpandTrigReduce[u,
      Cosh[a + b*x]^m*Cosh[c + d*x]^n, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && IGtQ[m, 0] && IGtQ[n, 0]

6178. Int[Sech[(a_.) + (b_.)*(x_)]*Sech[(c_) + (d_.)*(x_)], x_Symbol] :> Simp[-Csch[(b*c - a*d)/d]   Int[Tanh[a + b*
      x], x], x] + Simp[Csch[(b*c - a*d)/b]   Int[Tanh[c + d*x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && EqQ[b^2 - d^2,
      0] && NeQ[b*c - a*d, 0]

6179. Int[Csch[(a_.) + (b_.)*(x_)]*Csch[(c_) + (d_.)*(x_)], x_Symbol] :> Simp[Csch[(b*c - a*d)/b]   Int[Coth[a + b*x
      ], x], x] - Simp[Csch[(b*c - a*d)/d]   Int[Coth[c + d*x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && EqQ[b^2 - d^2, 0
      ] && NeQ[b*c - a*d, 0]

6180. Int[Tanh[(a_.) + (b_.)*(x_)]*Tanh[(c_) + (d_.)*(x_)], x_Symbol] :> Simp[b*(x/d), x] - Simp[(b/d)*Cosh[(b*c - a
      *d)/d]   Int[Sech[a + b*x]*Sech[c + d*x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && EqQ[b^2 - d^2, 0] && NeQ[b*c - a
      *d, 0]

6181. Int[Coth[(a_.) + (b_.)*(x_)]*Coth[(c_) + (d_.)*(x_)], x_Symbol] :> Simp[b*(x/d), x] + Simp[Cosh[(b*c - a*d)/d]
      Int[Csch[a + b*x]*Csch[c + d*x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && EqQ[b^2 - d^2, 0] && NeQ[b*c - a*d, 0]

6182. Int[(u_.)*(Cosh[v_]*(a_.) + (b_.)*Sinh[v_])^(n_.), x_Symbol] :> Int[u*(a*E^((a/b)*v))^n, x] /; FreeQ[{a, b, n}
      , x] && EqQ[a^2 - b^2, 0]

6183. Int[Sinh[((a_.) + Log[(c_.)*(x_)^(n_.)]*(b_.))^2*(d_.)], x_Symbol] :> Simp[-2^(-1)   Int[E^((-d)*(a + b*Log[c*
      x^n])^2), x], x] + Simp[1/2   Int[E^(d*(a + b*Log[c*x^n])^2), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, n}, x]

6184. Int[Cosh[((a_.) + Log[(c_.)*(x_)^(n_.)]*(b_.))^2*(d_.)], x_Symbol] :> Simp[1/2   Int[E^((-d)*(a + b*Log[c*x^n]
      )^2), x], x] + Simp[1/2   Int[E^(d*(a + b*Log[c*x^n])^2), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, n}, x]

6185. Int[((e_.)*(x_))^(m_.)*Sinh[((a_.) + Log[(c_.)*(x_)^(n_.)]*(b_.))^2*(d_.)], x_Symbol] :> Simp[-2^(-1)   Int[(e
      *x)^m/E^(d*(a + b*Log[c*x^n])^2), x], x] + Simp[1/2   Int[(e*x)^m*E^(d*(a + b*Log[c*x^n])^2), x], x] /; FreeQ[
      {a, b, c, d, e, m, n}, x]

6186. Int[Cosh[((a_.) + Log[(c_.)*(x_)^(n_.)]*(b_.))^2*(d_.)]*((e_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Simp[1/2   Int[(e*x)^
      m/E^(d*(a + b*Log[c*x^n])^2), x], x] + Simp[1/2   Int[(e*x)^m*E^(d*(a + b*Log[c*x^n])^2), x], x] /; FreeQ[{a,
      b, c, d, e, m, n}, x]

6187. Int[((a_.) + ArcSinh[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_.), x_Symbol] :> Simp[x*(a + b*ArcSinh[c*x])^n, x] - Simp[b*c*n   I
      nt[x*((a + b*ArcSinh[c*x])^(n - 1)/Sqrt[1 + c^2*x^2]), x], x] /; FreeQ[{a, b, c}, x] && GtQ[n, 0]

6188. Int[((a_.) + ArcSinh[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_), x_Symbol] :> Simp[Sqrt[1 + c^2*x^2]*((a + b*ArcSinh[c*x])^(n + 1
      )/(b*c*(n + 1))), x] - Simp[c/(b*(n + 1))   Int[x*((a + b*ArcSinh[c*x])^(n + 1)/Sqrt[1 + c^2*x^2]), x], x] /;
      FreeQ[{a, b, c}, x] && LtQ[n, -1]

6189. Int[((a_.) + ArcSinh[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_), x_Symbol] :> Simp[1/(b*c)   Subst[Int[x^n*Cosh[-a/b + x/b], x],
      x, a + b*ArcSinh[c*x]], x] /; FreeQ[{a, b, c, n}, x]

6190. Int[((a_.) + ArcSinh[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_.)/(x_), x_Symbol] :> Simp[1/b   Subst[Int[x^n*Coth[-a/b + x/b], x]
      , x, a + b*ArcSinh[c*x]], x] /; FreeQ[{a, b, c}, x] && IGtQ[n, 0]

6191. Int[((a_.) + ArcSinh[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_.)*((d_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Simp[(d*x)^(m + 1)*((a + b*ArcS
      inh[c*x])^n/(d*(m + 1))), x] - Simp[b*c*(n/(d*(m + 1)))   Int[(d*x)^(m + 1)*((a + b*ArcSinh[c*x])^(n - 1)/Sqrt
      [1 + c^2*x^2]), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, m}, x] && IGtQ[n, 0] && NeQ[m, -1]

6192. Int[((a_.) + ArcSinh[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_)*(x_)^(m_.), x_Symbol] :> Simp[x^(m + 1)*((a + b*ArcSinh[c*x])^n/(
      m + 1)), x] - Simp[b*c*(n/(m + 1))   Int[x^(m + 1)*((a + b*ArcSinh[c*x])^(n - 1)/Sqrt[1 + c^2*x^2]), x], x] /;
      FreeQ[{a, b, c}, x] && IGtQ[m, 0] && GtQ[n, 0]

6193. Int[((a_.) + ArcSinh[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_)*(x_)^(m_.), x_Symbol] :> Simp[x^m*Sqrt[1 + c^2*x^2]*((a + b*ArcSi
      nh[c*x])^(n + 1)/(b*c*(n + 1))), x] - Simp[1/(b^2*c^(m + 1)*(n + 1))   Subst[Int[ExpandTrigReduce[x^(n + 1), S
      inh[-a/b + x/b]^(m - 1)*(m + (m + 1)*Sinh[-a/b + x/b]^2), x], x], x, a + b*ArcSinh[c*x]], x] /; FreeQ[{a, b, c
      }, x] && IGtQ[m, 0] && GeQ[n, -2] && LtQ[n, -1]

6194. Int[((a_.) + ArcSinh[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_)*(x_)^(m_.), x_Symbol] :> Simp[x^m*Sqrt[1 + c^2*x^2]*((a + b*ArcSi
      nh[c*x])^(n + 1)/(b*c*(n + 1))), x] + (-Simp[c*((m + 1)/(b*(n + 1)))   Int[x^(m + 1)*((a + b*ArcSinh[c*x])^(n
      + 1)/Sqrt[1 + c^2*x^2]), x], x] - Simp[m/(b*c*(n + 1))   Int[x^(m - 1)*((a + b*ArcSinh[c*x])^(n + 1)/Sqrt[1 +
      c^2*x^2]), x], x]) /; FreeQ[{a, b, c}, x] && IGtQ[m, 0] && LtQ[n, -2]

6195. Int[((a_.) + ArcSinh[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_)*(x_)^(m_.), x_Symbol] :> Simp[1/(b*c^(m + 1))   Subst[Int[x^n*Sin
      h[-a/b + x/b]^m*Cosh[-a/b + x/b], x], x, a + b*ArcSinh[c*x]], x] /; FreeQ[{a, b, c, n}, x] && IGtQ[m, 0]

6196. Int[((a_.) + ArcSinh[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_.)*((d_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Unintegrable[(d*x)^m*(a + b*Arc
      Sinh[c*x])^n, x] /; FreeQ[{a, b, c, d, m, n}, x]

6197. Int[1/(((a_.) + ArcSinh[(c_.)*(x_)]*(b_.))*Sqrt[(d_) + (e_.)*(x_)^2]), x_Symbol] :> Simp[(1/(b*c))*Simp[Sqrt[1
      + c^2*x^2]/Sqrt[d + e*x^2]]*Log[a + b*ArcSinh[c*x]], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && EqQ[e, c^2*d]

6198. Int[((a_.) + ArcSinh[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_.)/Sqrt[(d_) + (e_.)*(x_)^2], x_Symbol] :> Simp[(1/(b*c*(n + 1)))*S
      imp[Sqrt[1 + c^2*x^2]/Sqrt[d + e*x^2]]*(a + b*ArcSinh[c*x])^(n + 1), x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, n}, x] && EqQ
      [e, c^2*d] && NeQ[n, -1]

6199. Int[((a_.) + ArcSinh[(c_.)*(x_)]*(b_.))*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(p_.), x_Symbol] :> With[{u = IntHide[(d + e*x^2
      )^p, x]}, Simp[(a + b*ArcSinh[c*x])   u, x] - Simp[b*c   Int[SimplifyIntegrand[u/Sqrt[1 + c^2*x^2], x], x], x]
      ] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && EqQ[e, c^2*d] && IGtQ[p, 0]

6200. Int[((a_.) + ArcSinh[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_.)*Sqrt[(d_) + (e_.)*(x_)^2], x_Symbol] :> Simp[x*Sqrt[d + e*x^2]*(
      (a + b*ArcSinh[c*x])^n/2), x] + (Simp[(1/2)*Simp[Sqrt[d + e*x^2]/Sqrt[1 + c^2*x^2]]   Int[(a + b*ArcSinh[c*x])
      ^n/Sqrt[1 + c^2*x^2], x], x] - Simp[b*c*(n/2)*Simp[Sqrt[d + e*x^2]/Sqrt[1 + c^2*x^2]]   Int[x*(a + b*ArcSinh[c
      *x])^(n - 1), x], x]) /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && EqQ[e, c^2*d] && GtQ[n, 0]

6201. Int[((a_.) + ArcSinh[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(p_.), x_Symbol] :> Simp[x*(d + e*x^2)^p*(
      (a + b*ArcSinh[c*x])^n/(2*p + 1)), x] + (Simp[2*d*(p/(2*p + 1))   Int[(d + e*x^2)^(p - 1)*(a + b*ArcSinh[c*x])
      ^n, x], x] - Simp[b*c*(n/(2*p + 1))*Simp[(d + e*x^2)^p/(1 + c^2*x^2)^p]   Int[x*(1 + c^2*x^2)^(p - 1/2)*(a + b
      *ArcSinh[c*x])^(n - 1), x], x]) /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && EqQ[e, c^2*d] && GtQ[n, 0] && GtQ[p, 0]

6202. Int[((a_.) + ArcSinh[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_.)/((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(3/2), x_Symbol] :> Simp[x*((a + b*ArcSinh
      [c*x])^n/(d*Sqrt[d + e*x^2])), x] - Simp[b*c*(n/d)*Simp[Sqrt[1 + c^2*x^2]/Sqrt[d + e*x^2]]   Int[x*((a + b*Arc
      Sinh[c*x])^(n - 1)/(1 + c^2*x^2)), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && EqQ[e, c^2*d] && GtQ[n, 0]

6203. Int[((a_.) + ArcSinh[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Simp[(-x)*(d + e*x^2)^(
      p + 1)*((a + b*ArcSinh[c*x])^n/(2*d*(p + 1))), x] + (Simp[(2*p + 3)/(2*d*(p + 1))   Int[(d + e*x^2)^(p + 1)*(a
      + b*ArcSinh[c*x])^n, x], x] + Simp[b*c*(n/(2*(p + 1)))*Simp[(d + e*x^2)^p/(1 + c^2*x^2)^p]   Int[x*(1 + c^2*x
      ^2)^(p + 1/2)*(a + b*ArcSinh[c*x])^(n - 1), x], x]) /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && EqQ[e, c^2*d] && GtQ[n, 0]
      && LtQ[p, -1] && NeQ[p, -3/2]

6204. Int[((a_.) + ArcSinh[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_.)/((d_) + (e_.)*(x_)^2), x_Symbol] :> Simp[1/(c*d)   Subst[Int[(a
      + b*x)^n*Sech[x], x], x, ArcSinh[c*x]], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && EqQ[e, c^2*d] && IGtQ[n, 0]

6205. Int[((a_.) + ArcSinh[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_)*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(p_.), x_Symbol] :> Simp[Simp[Sqrt[1 + c^2*
      x^2]*(d + e*x^2)^p]*((a + b*ArcSinh[c*x])^(n + 1)/(b*c*(n + 1))), x] - Simp[c*((2*p + 1)/(b*(n + 1)))*Simp[(d
      + e*x^2)^p/(1 + c^2*x^2)^p]   Int[x*(1 + c^2*x^2)^(p - 1/2)*(a + b*ArcSinh[c*x])^(n + 1), x], x] /; FreeQ[{a,
      b, c, d, e, p}, x] && EqQ[e, c^2*d] && LtQ[n, -1]

6206. Int[((a_.) + ArcSinh[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(p_.), x_Symbol] :> Simp[(1/(b*c))*Simp[(d
      + e*x^2)^p/(1 + c^2*x^2)^p]   Subst[Int[x^n*Cosh[-a/b + x/b]^(2*p + 1), x], x, a + b*ArcSinh[c*x]], x] /; Fre
      eQ[{a, b, c, d, e, n}, x] && EqQ[e, c^2*d] && IGtQ[2*p, 0]

6207. Int[((a_.) + ArcSinh[(c_.)*(x_)]*(b_.))*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(p_.), x_Symbol] :> With[{u = IntHide[(d + e*x^2
      )^p, x]}, Simp[(a + b*ArcSinh[c*x])   u, x] - Simp[b*c   Int[SimplifyIntegrand[u/Sqrt[1 + c^2*x^2], x], x], x]
      ] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && NeQ[e, c^2*d] && (IGtQ[p, 0] || ILtQ[p + 1/2, 0])

6208. Int[((a_.) + ArcSinh[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(p_.), x_Symbol] :> Int[ExpandIntegrand[(a
      + b*ArcSinh[c*x])^n, (d + e*x^2)^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, n}, x] && NeQ[e, c^2*d] && IntegerQ[p] &&
      (p > 0 || IGtQ[n, 0])

6209. Int[((a_.) + ArcSinh[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(p_.), x_Symbol] :> Unintegrable[(d + e*x^
      2)^p*(a + b*ArcSinh[c*x])^n, x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, n, p}, x]

6210. Int[((a_.) + ArcSinh[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_.)*((d_) + (e_.)*(x_))^(p_)*((f_) + (g_.)*(x_))^(q_), x_Symbol] :>
      Simp[((-d^2)*(g/e))^q   Int[(d + e*x)^(p - q)*(1 + c^2*x^2)^q*(a + b*ArcSinh[c*x])^n, x], x] /; FreeQ[{a, b, c
      , d, e, f, g, n}, x] && EqQ[e*f + d*g, 0] && EqQ[c^2*d^2 + e^2, 0] && HalfIntegerQ[p, q] && GeQ[p - q, 0] && G
      tQ[d, 0] && LtQ[g/e, 0]

6211. Int[((a_.) + ArcSinh[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_.)*((d_) + (e_.)*(x_))^(p_)*((f_) + (g_.)*(x_))^(q_), x_Symbol] :>
      Simp[(d + e*x)^q*((f + g*x)^q/(1 + c^2*x^2)^q)   Int[(d + e*x)^(p - q)*(1 + c^2*x^2)^q*(a + b*ArcSinh[c*x])^n,
      x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, n}, x] && EqQ[e*f + d*g, 0] && EqQ[c^2*d^2 + e^2, 0] && HalfIntegerQ[p,
      q] && GeQ[p - q, 0]

6212. Int[(((a_.) + ArcSinh[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_.)*(x_))/((d_) + (e_.)*(x_)^2), x_Symbol] :> Simp[1/e   Subst[Int[
      (a + b*x)^n*Tanh[x], x], x, ArcSinh[c*x]], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && EqQ[e, c^2*d] && IGtQ[n, 0]

6213. Int[((a_.) + ArcSinh[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_.)*(x_)*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(p_.), x_Symbol] :> Simp[(d + e*x^2)^
      (p + 1)*((a + b*ArcSinh[c*x])^n/(2*e*(p + 1))), x] - Simp[b*(n/(2*c*(p + 1)))*Simp[(d + e*x^2)^p/(1 + c^2*x^2)
      ^p]   Int[(1 + c^2*x^2)^(p + 1/2)*(a + b*ArcSinh[c*x])^(n - 1), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, p}, x] && EqQ[
      e, c^2*d] && GtQ[n, 0] && NeQ[p, -1]

6214. Int[((a_.) + ArcSinh[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_.)/((x_)*((d_) + (e_.)*(x_)^2)), x_Symbol] :> Simp[1/d   Subst[Int[
      (a + b*x)^n/(Cosh[x]*Sinh[x]), x], x, ArcSinh[c*x]], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && EqQ[e, c^2*d] && IGtQ[
      n, 0]

6215. Int[((a_.) + ArcSinh[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_.)*((f_.)*(x_))^(m_)*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Simp[
      (f*x)^(m + 1)*(d + e*x^2)^(p + 1)*((a + b*ArcSinh[c*x])^n/(d*f*(m + 1))), x] - Simp[b*c*(n/(f*(m + 1)))*Simp[(
      d + e*x^2)^p/(1 + c^2*x^2)^p]   Int[(f*x)^(m + 1)*(1 + c^2*x^2)^(p + 1/2)*(a + b*ArcSinh[c*x])^(n - 1), x], x]
      /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m, p}, x] && EqQ[e, c^2*d] && GtQ[n, 0] && EqQ[m + 2*p + 3, 0] && NeQ[m, -1]

6216. Int[(((a_.) + ArcSinh[(c_.)*(x_)]*(b_.))*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(p_.))/(x_), x_Symbol] :> Simp[(d + e*x^2)^p*((
      a + b*ArcSinh[c*x])/(2*p)), x] + (Simp[d   Int[(d + e*x^2)^(p - 1)*((a + b*ArcSinh[c*x])/x), x], x] - Simp[b*c
      *(d^p/(2*p))   Int[(1 + c^2*x^2)^(p - 1/2), x], x]) /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && EqQ[e, c^2*d] && IGtQ[p, 0
      ]

6217. Int[((a_.) + ArcSinh[(c_.)*(x_)]*(b_.))*((f_.)*(x_))^(m_)*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(p_.), x_Symbol] :> Simp[(f*x)
      ^(m + 1)*(d + e*x^2)^p*((a + b*ArcSinh[c*x])/(f*(m + 1))), x] + (-Simp[b*c*(d^p/(f*(m + 1)))   Int[(f*x)^(m +
      1)*(1 + c^2*x^2)^(p - 1/2), x], x] - Simp[2*e*(p/(f^2*(m + 1)))   Int[(f*x)^(m + 2)*(d + e*x^2)^(p - 1)*(a + b
      *ArcSinh[c*x]), x], x]) /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && EqQ[e, c^2*d] && IGtQ[p, 0] && ILtQ[(m + 1)/2, 0]

6218. Int[((a_.) + ArcSinh[(c_.)*(x_)]*(b_.))*((f_.)*(x_))^(m_)*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(p_.), x_Symbol] :> With[{u =
      IntHide[(f*x)^m*(d + e*x^2)^p, x]}, Simp[(a + b*ArcSinh[c*x])   u, x] - Simp[b*c   Int[SimplifyIntegrand[u/Sqr
      t[1 + c^2*x^2], x], x], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m}, x] && EqQ[e, c^2*d] && IGtQ[p, 0]

6219. Int[((a_.) + ArcSinh[(c_.)*(x_)]*(b_.))*(x_)^(m_)*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> With[{u = IntHide[x
      ^m*(d + e*x^2)^p, x]}, Simp[(a + b*ArcSinh[c*x])   u, x] - Simp[b*c*Simp[Sqrt[d + e*x^2]/Sqrt[1 + c^2*x^2]]
      Int[SimplifyIntegrand[u/Sqrt[d + e*x^2], x], x], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && EqQ[e, c^2*d] && IntegerQ
      [p - 1/2] && NeQ[p, -2^(-1)] && (IGtQ[(m + 1)/2, 0] || ILtQ[(m + 2*p + 3)/2, 0])

6220. Int[((a_.) + ArcSinh[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_.)*((f_.)*(x_))^(m_)*Sqrt[(d_) + (e_.)*(x_)^2], x_Symbol] :> Simp[(
      f*x)^(m + 1)*Sqrt[d + e*x^2]*((a + b*ArcSinh[c*x])^n/(f*(m + 1))), x] + (-Simp[b*c*(n/(f*(m + 1)))*Simp[Sqrt[d
      + e*x^2]/Sqrt[1 + c^2*x^2]]   Int[(f*x)^(m + 1)*(a + b*ArcSinh[c*x])^(n - 1), x], x] - Simp[(c^2/(f^2*(m + 1)
      ))*Simp[Sqrt[d + e*x^2]/Sqrt[1 + c^2*x^2]]   Int[(f*x)^(m + 2)*((a + b*ArcSinh[c*x])^n/Sqrt[1 + c^2*x^2]), x],
      x]) /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && EqQ[e, c^2*d] && GtQ[n, 0] && LtQ[m, -1]

6221. Int[((a_.) + ArcSinh[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_.)*((f_.)*(x_))^(m_)*Sqrt[(d_) + (e_.)*(x_)^2], x_Symbol] :> Simp[(
      f*x)^(m + 1)*Sqrt[d + e*x^2]*((a + b*ArcSinh[c*x])^n/(f*(m + 2))), x] + (Simp[(1/(m + 2))*Simp[Sqrt[d + e*x^2]
      /Sqrt[1 + c^2*x^2]]   Int[(f*x)^m*((a + b*ArcSinh[c*x])^n/Sqrt[1 + c^2*x^2]), x], x] - Simp[b*c*(n/(f*(m + 2))
      )*Simp[Sqrt[d + e*x^2]/Sqrt[1 + c^2*x^2]]   Int[(f*x)^(m + 1)*(a + b*ArcSinh[c*x])^(n - 1), x], x]) /; FreeQ[{
      a, b, c, d, e, f, m}, x] && EqQ[e, c^2*d] && IGtQ[n, 0] && (IGtQ[m, -2] || EqQ[n, 1])

6222. Int[((a_.) + ArcSinh[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_.)*((f_.)*(x_))^(m_)*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(p_.), x_Symbol] :> Simp
      [(f*x)^(m + 1)*(d + e*x^2)^p*((a + b*ArcSinh[c*x])^n/(f*(m + 1))), x] + (-Simp[2*e*(p/(f^2*(m + 1)))   Int[(f*
      x)^(m + 2)*(d + e*x^2)^(p - 1)*(a + b*ArcSinh[c*x])^n, x], x] - Simp[b*c*(n/(f*(m + 1)))*Simp[(d + e*x^2)^p/(1
      + c^2*x^2)^p]   Int[(f*x)^(m + 1)*(1 + c^2*x^2)^(p - 1/2)*(a + b*ArcSinh[c*x])^(n - 1), x], x]) /; FreeQ[{a,
      b, c, d, e, f}, x] && EqQ[e, c^2*d] && GtQ[n, 0] && GtQ[p, 0] && LtQ[m, -1]

6223. Int[((a_.) + ArcSinh[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_.)*((f_.)*(x_))^(m_)*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(p_.), x_Symbol] :> Simp
      [(f*x)^(m + 1)*(d + e*x^2)^p*((a + b*ArcSinh[c*x])^n/(f*(m + 2*p + 1))), x] + (Simp[2*d*(p/(m + 2*p + 1))   In
      t[(f*x)^m*(d + e*x^2)^(p - 1)*(a + b*ArcSinh[c*x])^n, x], x] - Simp[b*c*(n/(f*(m + 2*p + 1)))*Simp[(d + e*x^2)
      ^p/(1 + c^2*x^2)^p]   Int[(f*x)^(m + 1)*(1 + c^2*x^2)^(p - 1/2)*(a + b*ArcSinh[c*x])^(n - 1), x], x]) /; FreeQ
      [{a, b, c, d, e, f, m}, x] && EqQ[e, c^2*d] && GtQ[n, 0] && GtQ[p, 0] &&  !LtQ[m, -1]

6224. Int[((a_.) + ArcSinh[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_.)*((f_.)*(x_))^(m_)*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Simp[
      (f*x)^(m + 1)*(d + e*x^2)^(p + 1)*((a + b*ArcSinh[c*x])^n/(d*f*(m + 1))), x] + (-Simp[c^2*((m + 2*p + 3)/(f^2*
      (m + 1)))   Int[(f*x)^(m + 2)*(d + e*x^2)^p*(a + b*ArcSinh[c*x])^n, x], x] - Simp[b*c*(n/(f*(m + 1)))*Simp[(d
      + e*x^2)^p/(1 + c^2*x^2)^p]   Int[(f*x)^(m + 1)*(1 + c^2*x^2)^(p + 1/2)*(a + b*ArcSinh[c*x])^(n - 1), x], x])
      /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, p}, x] && EqQ[e, c^2*d] && GtQ[n, 0] && ILtQ[m, -1]

6225. Int[((a_.) + ArcSinh[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_.)*((f_.)*(x_))^(m_)*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Simp[
      f*(f*x)^(m - 1)*(d + e*x^2)^(p + 1)*((a + b*ArcSinh[c*x])^n/(2*e*(p + 1))), x] + (-Simp[f^2*((m - 1)/(2*e*(p +
      1)))   Int[(f*x)^(m - 2)*(d + e*x^2)^(p + 1)*(a + b*ArcSinh[c*x])^n, x], x] - Simp[b*f*(n/(2*c*(p + 1)))*Simp
      [(d + e*x^2)^p/(1 + c^2*x^2)^p]   Int[(f*x)^(m - 1)*(1 + c^2*x^2)^(p + 1/2)*(a + b*ArcSinh[c*x])^(n - 1), x],
      x]) /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && EqQ[e, c^2*d] && GtQ[n, 0] && LtQ[p, -1] && IGtQ[m, 1]

6226. Int[((a_.) + ArcSinh[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_.)*((f_.)*(x_))^(m_)*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Simp[
      (-(f*x)^(m + 1))*(d + e*x^2)^(p + 1)*((a + b*ArcSinh[c*x])^n/(2*d*f*(p + 1))), x] + (Simp[(m + 2*p + 3)/(2*d*(
      p + 1))   Int[(f*x)^m*(d + e*x^2)^(p + 1)*(a + b*ArcSinh[c*x])^n, x], x] + Simp[b*c*(n/(2*f*(p + 1)))*Simp[(d
      + e*x^2)^p/(1 + c^2*x^2)^p]   Int[(f*x)^(m + 1)*(1 + c^2*x^2)^(p + 1/2)*(a + b*ArcSinh[c*x])^(n - 1), x], x])
      /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m}, x] && EqQ[e, c^2*d] && GtQ[n, 0] && LtQ[p, -1] &&  !GtQ[m, 1] && (IntegerQ[m]
      || IntegerQ[p] || EqQ[n, 1])

6227. Int[((a_.) + ArcSinh[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_.)*((f_.)*(x_))^(m_)*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Simp[
      f*(f*x)^(m - 1)*(d + e*x^2)^(p + 1)*((a + b*ArcSinh[c*x])^n/(e*(m + 2*p + 1))), x] + (-Simp[f^2*((m - 1)/(c^2*
      (m + 2*p + 1)))   Int[(f*x)^(m - 2)*(d + e*x^2)^p*(a + b*ArcSinh[c*x])^n, x], x] - Simp[b*f*(n/(c*(m + 2*p + 1
      )))*Simp[(d + e*x^2)^p/(1 + c^2*x^2)^p]   Int[(f*x)^(m - 1)*(1 + c^2*x^2)^(p + 1/2)*(a + b*ArcSinh[c*x])^(n -
      1), x], x]) /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, p}, x] && EqQ[e, c^2*d] && GtQ[n, 0] && IGtQ[m, 1] && NeQ[m + 2*p + 1,
      0]

6228. Int[((a_.) + ArcSinh[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_)*((f_.)*(x_))^(m_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(p_.), x_Symbol] :> Simp
      [(f*x)^m*Sqrt[1 + c^2*x^2]*(d + e*x^2)^p*((a + b*ArcSinh[c*x])^(n + 1)/(b*c*(n + 1))), x] - Simp[f*(m/(b*c*(n
      + 1)))*Simp[(d + e*x^2)^p/(1 + c^2*x^2)^p]   Int[(f*x)^(m - 1)*(1 + c^2*x^2)^(p - 1/2)*(a + b*ArcSinh[c*x])^(n
      + 1), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m, p}, x] && EqQ[e, c^2*d] && LtQ[n, -1] && EqQ[m + 2*p + 1, 0]

6229. Int[((a_.) + ArcSinh[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_)*((f_.)*(x_))^(m_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(p_.), x_Symbol] :> Simp
      [(f*x)^m*Sqrt[1 + c^2*x^2]*(d + e*x^2)^p*((a + b*ArcSinh[c*x])^(n + 1)/(b*c*(n + 1))), x] + (-Simp[f*(m/(b*c*(
      n + 1)))*Simp[(d + e*x^2)^p/(1 + c^2*x^2)^p]   Int[(f*x)^(m - 1)*(1 + c^2*x^2)^(p - 1/2)*(a + b*ArcSinh[c*x])^
      (n + 1), x], x] - Simp[c*((m + 2*p + 1)/(b*f*(n + 1)))*Simp[(d + e*x^2)^p/(1 + c^2*x^2)^p]   Int[(f*x)^(m + 1)
      *(1 + c^2*x^2)^(p - 1/2)*(a + b*ArcSinh[c*x])^(n + 1), x], x]) /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && EqQ[e, c^2*d
      ] && LtQ[n, -1] && IGtQ[2*p, 0] && NeQ[m + 2*p + 1, 0] && IGtQ[m, -3]

6230. Int[(((a_.) + ArcSinh[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_.)*((f_.)*(x_))^(m_))/Sqrt[(d_) + (e_.)*(x_)^2], x_Symbol] :> Simp
      [f*(f*x)^(m - 1)*Sqrt[d + e*x^2]*((a + b*ArcSinh[c*x])^n/(e*m)), x] + (-Simp[f^2*((m - 1)/(c^2*m))   Int[((f*x
      )^(m - 2)*(a + b*ArcSinh[c*x])^n)/Sqrt[d + e*x^2], x], x] - Simp[b*f*(n/(c*m))*Simp[Sqrt[1 + c^2*x^2]/Sqrt[d +
      e*x^2]]   Int[(f*x)^(m - 1)*(a + b*ArcSinh[c*x])^(n - 1), x], x]) /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && EqQ[e, c
      ^2*d] && GtQ[n, 0] && IGtQ[m, 1]

6231. Int[(((a_.) + ArcSinh[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_.)*(x_)^(m_))/Sqrt[(d_) + (e_.)*(x_)^2], x_Symbol] :> Simp[(1/c^(m
      + 1))*Simp[Sqrt[1 + c^2*x^2]/Sqrt[d + e*x^2]]   Subst[Int[(a + b*x)^n*Sinh[x]^m, x], x, ArcSinh[c*x]], x] /;
      FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && EqQ[e, c^2*d] && IGtQ[n, 0] && IntegerQ[m]

6232. Int[(((a_.) + ArcSinh[(c_.)*(x_)]*(b_.))*((f_.)*(x_))^(m_))/Sqrt[(d_) + (e_.)*(x_)^2], x_Symbol] :> Simp[((f*x
      )^(m + 1)/(f*(m + 1)))*Simp[Sqrt[1 + c^2*x^2]/Sqrt[d + e*x^2]]*(a + b*ArcSinh[c*x])*Hypergeometric2F1[1/2, (1
      + m)/2, (3 + m)/2, (-c^2)*x^2], x] - Simp[b*c*((f*x)^(m + 2)/(f^2*(m + 1)*(m + 2)))*Simp[Sqrt[1 + c^2*x^2]/Sqr
      t[d + e*x^2]]*HypergeometricPFQ[{1, 1 + m/2, 1 + m/2}, {3/2 + m/2, 2 + m/2}, (-c^2)*x^2], x] /; FreeQ[{a, b, c
      , d, e, f, m}, x] && EqQ[e, c^2*d] &&  !IntegerQ[m]

6233. Int[(((a_.) + ArcSinh[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_)*((f_.)*(x_))^(m_.))/Sqrt[(d_) + (e_.)*(x_)^2], x_Symbol] :> Simp
      [((f*x)^m/(b*c*(n + 1)))*Simp[Sqrt[1 + c^2*x^2]/Sqrt[d + e*x^2]]*(a + b*ArcSinh[c*x])^(n + 1), x] - Simp[f*(m/
      (b*c*(n + 1)))*Simp[Sqrt[1 + c^2*x^2]/Sqrt[d + e*x^2]]   Int[(f*x)^(m - 1)*(a + b*ArcSinh[c*x])^(n + 1), x], x
      ] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m}, x] && EqQ[e, c^2*d] && LtQ[n, -1]

6234. Int[((a_.) + ArcSinh[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_.)*(x_)^(m_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(p_.), x_Symbol] :> Simp[(1/(b*
      c^(m + 1)))*Simp[(d + e*x^2)^p/(1 + c^2*x^2)^p]   Subst[Int[x^n*Sinh[-a/b + x/b]^m*Cosh[-a/b + x/b]^(2*p + 1),
      x], x, a + b*ArcSinh[c*x]], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, n}, x] && EqQ[e, c^2*d] && IGtQ[2*p + 2, 0] && IGtQ[m
      , 0]

6235. Int[((a_.) + ArcSinh[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_.)*((f_.)*(x_))^(m_)*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Int[E
      xpandIntegrand[(a + b*ArcSinh[c*x])^n/Sqrt[d + e*x^2], (f*x)^m*(d + e*x^2)^(p + 1/2), x], x] /; FreeQ[{a, b, c
      , d, e, f, m, n}, x] && EqQ[e, c^2*d] && IGtQ[p + 1/2, 0] &&  !IGtQ[(m + 1)/2, 0] && (EqQ[m, -1] || EqQ[m, -2]
      )

6236. Int[((a_.) + ArcSinh[(c_.)*(x_)]*(b_.))*(x_)*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(p_.), x_Symbol] :> Simp[(d + e*x^2)^(p + 1
      )*((a + b*ArcSinh[c*x])/(2*e*(p + 1))), x] - Simp[b*(c/(2*e*(p + 1)))   Int[(d + e*x^2)^(p + 1)/Sqrt[1 + c^2*x
      ^2], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, p}, x] && NeQ[e, c^2*d] && NeQ[p, -1]

6237. Int[((a_.) + ArcSinh[(c_.)*(x_)]*(b_.))*((f_.)*(x_))^(m_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(p_.), x_Symbol] :> With[{u =
      IntHide[(f*x)^m*(d + e*x^2)^p, x]}, Simp[(a + b*ArcSinh[c*x])   u, x] - Simp[b*c   Int[SimplifyIntegrand[u/Sq
      rt[1 + c^2*x^2], x], x], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m}, x] && NeQ[e, c^2*d] && IntegerQ[p] && (GtQ[p, 0]
      || (IGtQ[(m - 1)/2, 0] && LeQ[m + p, 0]))

6238. Int[((a_.) + ArcSinh[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_.)*((f_.)*(x_))^(m_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(p_.), x_Symbol] :> Int
      [ExpandIntegrand[(a + b*ArcSinh[c*x])^n, (f*x)^m*(d + e*x^2)^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && NeQ[
      e, c^2*d] && IGtQ[n, 0] && IntegerQ[p] && IntegerQ[m]

6239. Int[((a_.) + ArcSinh[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_.)*((f_.)*(x_))^(m_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(p_.), x_Symbol] :> Uni
      ntegrable[(f*x)^m*(d + e*x^2)^p*(a + b*ArcSinh[c*x])^n, x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m, n, p}, x]

6240. Int[((a_.) + ArcSinh[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_.)*((h_.)*(x_))^(m_.)*((d_) + (e_.)*(x_))^(p_)*((f_) + (g_.)*(x_))^
      (q_), x_Symbol] :> Simp[((-d^2)*(g/e))^q   Int[(h*x)^m*(d + e*x)^(p - q)*(1 + c^2*x^2)^q*(a + b*ArcSinh[c*x])^
      n, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, h, m, n}, x] && EqQ[e*f + d*g, 0] && EqQ[c^2*d^2 + e^2, 0] && HalfInt
      egerQ[p, q] && GeQ[p - q, 0] && GtQ[d, 0] && LtQ[g/e, 0]

6241. Int[((a_.) + ArcSinh[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_.)*((h_.)*(x_))^(m_.)*((d_) + (e_.)*(x_))^(p_)*((f_) + (g_.)*(x_))^
      (q_), x_Symbol] :> Simp[((-d^2)*(g/e))^IntPart[q]*(d + e*x)^FracPart[q]*((f + g*x)^FracPart[q]/(1 + c^2*x^2)^F
      racPart[q])   Int[(h*x)^m*(d + e*x)^(p - q)*(1 + c^2*x^2)^q*(a + b*ArcSinh[c*x])^n, x], x] /; FreeQ[{a, b, c,
      d, e, f, g, h, m, n}, x] && EqQ[e*f + d*g, 0] && EqQ[c^2*d^2 + e^2, 0] && HalfIntegerQ[p, q] && GeQ[p - q, 0]

6242. Int[((a_.) + ArcSinh[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_.)/((d_.) + (e_.)*(x_)), x_Symbol] :> Subst[Int[(a + b*x)^n*(Cosh[x
      ]/(c*d + e*Sinh[x])), x], x, ArcSinh[c*x]] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && IGtQ[n, 0]

6243. Int[((a_.) + ArcSinh[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_.)*((d_.) + (e_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Simp[(d + e*x)^(m + 1)*
      ((a + b*ArcSinh[c*x])^n/(e*(m + 1))), x] - Simp[b*c*(n/(e*(m + 1)))   Int[(d + e*x)^(m + 1)*((a + b*ArcSinh[c*
      x])^(n - 1)/Sqrt[1 + c^2*x^2]), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, m}, x] && IGtQ[n, 0] && NeQ[m, -1]

6244. Int[((a_.) + ArcSinh[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_)*((d_) + (e_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Int[ExpandIntegrand[(d +
      e*x)^m*(a + b*ArcSinh[c*x])^n, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && IGtQ[m, 0] && LtQ[n, -1]

6245. Int[((a_.) + ArcSinh[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_.)*((d_.) + (e_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Simp[1/c^(m + 1)   Subs
      t[Int[(a + b*x)^n*Cosh[x]*(c*d + e*Sinh[x])^m, x], x, ArcSinh[c*x]], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, n}, x] && IGt
      Q[m, 0]

6246. Int[((a_.) + ArcSinh[(c_.)*(x_)]*(b_.))*(Px_), x_Symbol] :> With[{u = IntHide[ExpandExpression[Px, x], x]}, Si
      mp[(a + b*ArcSinh[c*x])   u, x] - Simp[b*c   Int[SimplifyIntegrand[u/Sqrt[1 + c^2*x^2], x], x], x]] /; FreeQ[{
      a, b, c}, x] && PolynomialQ[Px, x]

6247. Int[((a_.) + ArcSinh[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_)*(Px_), x_Symbol] :> Int[ExpandIntegrand[Px*(a + b*ArcSinh[c*x])^n
      , x], x] /; FreeQ[{a, b, c, n}, x] && PolynomialQ[Px, x]

6248. Int[((a_.) + ArcSinh[(c_.)*(x_)]*(b_.))*(Px_)*((d_.) + (e_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> With[{u = IntHide[Px*(d
      + e*x)^m, x]}, Simp[(a + b*ArcSinh[c*x])   u, x] - Simp[b*c   Int[SimplifyIntegrand[u/Sqrt[1 + c^2*x^2], x],
      x], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, m}, x] && PolynomialQ[Px, x]

6249. Int[((a_.) + ArcSinh[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_)*((d_) + (e_.)*(x_))^(m_)*((f_.) + (g_.)*(x_))^(p_.), x_Symbol] :>
      With[{u = IntHide[(f + g*x)^p*(d + e*x)^m, x]}, Simp[(a + b*ArcSinh[c*x])^n   u, x] - Simp[b*c*n   Int[Simpli
      fyIntegrand[u*((a + b*ArcSinh[c*x])^(n - 1)/Sqrt[1 + c^2*x^2]), x], x], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g}, x]
      && IGtQ[n, 0] && IGtQ[p, 0] && ILtQ[m, 0] && LtQ[m + p + 1, 0]

6250. Int[(((a_.) + ArcSinh[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_)*((f_.) + (g_.)*(x_) + (h_.)*(x_)^2)^(p_.))/((d_) + (e_.)*(x_))^2
      , x_Symbol] :> With[{u = IntHide[(f + g*x + h*x^2)^p/(d + e*x)^2, x]}, Simp[(a + b*ArcSinh[c*x])^n   u, x] - S
      imp[b*c*n   Int[SimplifyIntegrand[u*((a + b*ArcSinh[c*x])^(n - 1)/Sqrt[1 + c^2*x^2]), x], x], x]] /; FreeQ[{a,
      b, c, d, e, f, g, h}, x] && IGtQ[n, 0] && IGtQ[p, 0] && EqQ[e*g - 2*d*h, 0]

6251. Int[((a_.) + ArcSinh[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_.)*(Px_)*((d_) + (e_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Int[ExpandIntegran
      d[Px*(d + e*x)^m*(a + b*ArcSinh[c*x])^n, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && PolynomialQ[Px, x] && IGtQ[n,
      0] && IntegerQ[m]

6252. Int[((a_.) + ArcSinh[(c_.)*(x_)]*(b_.))*((f_) + (g_.)*(x_))^(m_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Wit
      h[{u = IntHide[(f + g*x)^m*(d + e*x^2)^p, x]}, Simp[(a + b*ArcSinh[c*x])   u, x] - Simp[b*c   Int[1/Sqrt[1 + c
      ^2*x^2]   u, x], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g}, x] && EqQ[e, c^2*d] && IGtQ[m, 0] && ILtQ[p + 1/2, 0] &&
      GtQ[d, 0] && (LtQ[m, -2*p - 1] || GtQ[m, 3])

6253. Int[((a_.) + ArcSinh[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_.)*((f_) + (g_.)*(x_))^(m_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol]
      :> Int[ExpandIntegrand[(d + e*x^2)^p*(a + b*ArcSinh[c*x])^n, (f + g*x)^m, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g
      }, x] && EqQ[e, c^2*d] && IGtQ[m, 0] && IntegerQ[p + 1/2] && GtQ[d, 0] && IGtQ[n, 0] && ((EqQ[n, 1] && GtQ[p,
      -1]) || GtQ[p, 0] || EqQ[m, 1] || (EqQ[m, 2] && LtQ[p, -2]))

6254. Int[((a_.) + ArcSinh[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_.)*((f_.) + (g_.)*(x_))^(m_)*Sqrt[(d_) + (e_.)*(x_)^2], x_Symbol] :
      > Simp[(f + g*x)^m*(d + e*x^2)*((a + b*ArcSinh[c*x])^(n + 1)/(b*c*Sqrt[d]*(n + 1))), x] - Simp[1/(b*c*Sqrt[d]*
      (n + 1))   Int[(d*g*m + 2*e*f*x + e*g*(m + 2)*x^2)*(f + g*x)^(m - 1)*(a + b*ArcSinh[c*x])^(n + 1), x], x] /; F
      reeQ[{a, b, c, d, e, f, g}, x] && EqQ[e, c^2*d] && ILtQ[m, 0] && GtQ[d, 0] && IGtQ[n, 0]

6255. Int[((a_.) + ArcSinh[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_.)*((f_) + (g_.)*(x_))^(m_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol]
      :> Int[ExpandIntegrand[Sqrt[d + e*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])^n, (f + g*x)^m*(d + e*x^2)^(p - 1/2), x], x] /; Fr
      eeQ[{a, b, c, d, e, f, g}, x] && EqQ[e, c^2*d] && IntegerQ[m] && IGtQ[p + 1/2, 0] && GtQ[d, 0] && IGtQ[n, 0]

6256. Int[((a_.) + ArcSinh[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_.)*((f_) + (g_.)*(x_))^(m_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol]
      :> Simp[(f + g*x)^m*(d + e*x^2)^(p + 1/2)*((a + b*ArcSinh[c*x])^(n + 1)/(b*c*Sqrt[d]*(n + 1))), x] - Simp[1/(b
      *c*Sqrt[d]*(n + 1))   Int[ExpandIntegrand[(f + g*x)^(m - 1)*(a + b*ArcSinh[c*x])^(n + 1), (d*g*m + e*f*(2*p +
      1)*x + e*g*(m + 2*p + 1)*x^2)*(d + e*x^2)^(p - 1/2), x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g}, x] && EqQ[e, c
      ^2*d] && ILtQ[m, 0] && IGtQ[p - 1/2, 0] && GtQ[d, 0] && IGtQ[n, 0]

6257. Int[(((a_.) + ArcSinh[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_)*((f_) + (g_.)*(x_))^(m_.))/Sqrt[(d_) + (e_.)*(x_)^2], x_Symbol]
      :> Simp[(f + g*x)^m*((a + b*ArcSinh[c*x])^(n + 1)/(b*c*Sqrt[d]*(n + 1))), x] - Simp[g*(m/(b*c*Sqrt[d]*(n + 1))
      )   Int[(f + g*x)^(m - 1)*(a + b*ArcSinh[c*x])^(n + 1), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g}, x] && EqQ[e, c^
      2*d] && IGtQ[m, 0] && GtQ[d, 0] && LtQ[n, -1]

6258. Int[(((a_.) + ArcSinh[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_.)*((f_) + (g_.)*(x_))^(m_.))/Sqrt[(d_) + (e_.)*(x_)^2], x_Symbol]
      :> Simp[1/(c^(m + 1)*Sqrt[d])   Subst[Int[(a + b*x)^n*(c*f + g*Sinh[x])^m, x], x, ArcSinh[c*x]], x] /; FreeQ[
      {a, b, c, d, e, f, g, n}, x] && EqQ[e, c^2*d] && IntegerQ[m] && GtQ[d, 0] && (GtQ[m, 0] || IGtQ[n, 0])

6259. Int[((a_.) + ArcSinh[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_.)*((f_) + (g_.)*(x_))^(m_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol]
      :> Int[ExpandIntegrand[(a + b*ArcSinh[c*x])^n/Sqrt[d + e*x^2], (f + g*x)^m*(d + e*x^2)^(p + 1/2), x], x] /; Fr
      eeQ[{a, b, c, d, e, f, g}, x] && EqQ[e, c^2*d] && IntegerQ[m] && ILtQ[p + 1/2, 0] && GtQ[d, 0] && IGtQ[n, 0]

6260. Int[((a_.) + ArcSinh[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_.)*((f_) + (g_.)*(x_))^(m_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol]
      :> Simp[Simp[(d + e*x^2)^p/(1 + c^2*x^2)^p]   Int[(f + g*x)^m*(1 + c^2*x^2)^p*(a + b*ArcSinh[c*x])^n, x], x] /
      ; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, n}, x] && EqQ[e, c^2*d] && IntegerQ[m] && IntegerQ[p - 1/2] &&  !GtQ[d, 0]

6261. Int[(Log[(h_.)*((f_.) + (g_.)*(x_))^(m_.)]*((a_.) + ArcSinh[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_.))/Sqrt[(d_) + (e_.)*(x_)^2
      ], x_Symbol] :> Simp[Log[h*(f + g*x)^m]*((a + b*ArcSinh[c*x])^(n + 1)/(b*c*Sqrt[d]*(n + 1))), x] - Simp[g*(m/(
      b*c*Sqrt[d]*(n + 1)))   Int[(a + b*ArcSinh[c*x])^(n + 1)/(f + g*x), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, h, m
      }, x] && EqQ[e, c^2*d] && GtQ[d, 0] && IGtQ[n, 0]

6262. Int[Log[(h_.)*((f_.) + (g_.)*(x_))^(m_.)]*((a_.) + ArcSinh[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(p_)
      , x_Symbol] :> Simp[Simp[(d + e*x^2)^p/(1 + c^2*x^2)^p]   Int[Log[h*(f + g*x)^m]*(1 + c^2*x^2)^p*(a + b*ArcSin
      h[c*x])^n, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, h, m, n}, x] && EqQ[e, c^2*d] && IntegerQ[p - 1/2] &&  !GtQ[d
      , 0]

6263. Int[((a_.) + ArcSinh[(c_.)*(x_)]*(b_.))*((d_) + (e_.)*(x_))^(m_)*((f_) + (g_.)*(x_))^(m_), x_Symbol] :> With[{
      u = IntHide[(d + e*x)^m*(f + g*x)^m, x]}, Simp[(a + b*ArcSinh[c*x])   u, x] - Simp[b*c   Int[1/Sqrt[1 + c^2*x^
      2]   u, x], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g}, x] && ILtQ[m + 1/2, 0]

6264. Int[((a_.) + ArcSinh[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_.)*((d_) + (e_.)*(x_))^(m_.)*((f_) + (g_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :
      > Int[ExpandIntegrand[(a + b*ArcSinh[c*x])^n, (d + e*x)^m*(f + g*x)^m, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, n
      }, x] && IntegerQ[m]

6265. Int[((a_.) + ArcSinh[(c_.)*(x_)]*(b_.))*(u_), x_Symbol] :> With[{v = IntHide[u, x]}, Simp[(a + b*ArcSinh[c*x])
      v, x] - Simp[b*c   Int[SimplifyIntegrand[v/Sqrt[1 + c^2*x^2], x], x], x] /; InverseFunctionFreeQ[v, x]] /;
      FreeQ[{a, b, c}, x]

6266. Int[((a_.) + ArcSinh[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_)*(Px_)*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> With[{u = ExpandIn
      tegrand[Px*(d + e*x^2)^p*(a + b*ArcSinh[c*x])^n, x]}, Int[u, x] /; SumQ[u]] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, n}, x] &&
      PolynomialQ[Px, x] && EqQ[e, c^2*d] && IntegerQ[p - 1/2]

6267. Int[((a_.) + ArcSinh[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_.)*(Px_.)*((f_) + (g_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(p_))^(m_.), x_Symbol
      ] :> With[{u = ExpandIntegrand[Px*(f + g*(d + e*x^2)^p)^m*(a + b*ArcSinh[c*x])^n, x]}, Int[u, x] /; SumQ[u]] /
      ; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g}, x] && PolynomialQ[Px, x] && EqQ[e, c^2*d] && IGtQ[p + 1/2, 0] && IntegersQ[m, n
      ]

6268. Int[ArcSinh[(c_.)*(x_)]^(n_.)*(RFx_), x_Symbol] :> With[{u = ExpandIntegrand[ArcSinh[c*x]^n, RFx, x]}, Int[u,
      x] /; SumQ[u]] /; FreeQ[c, x] && RationalFunctionQ[RFx, x] && IGtQ[n, 0]

6269. Int[(ArcSinh[(c_.)*(x_)]*(b_.) + (a_))^(n_.)*(RFx_), x_Symbol] :> Int[ExpandIntegrand[RFx*(a + b*ArcSinh[c*x])
      ^n, x], x] /; FreeQ[{a, b, c}, x] && RationalFunctionQ[RFx, x] && IGtQ[n, 0]

6270. Int[ArcSinh[(c_.)*(x_)]^(n_.)*(RFx_)*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> With[{u = ExpandIntegrand[(d + e
      *x^2)^p*ArcSinh[c*x]^n, RFx, x]}, Int[u, x] /; SumQ[u]] /; FreeQ[{c, d, e}, x] && RationalFunctionQ[RFx, x] &&
      IGtQ[n, 0] && EqQ[e, c^2*d] && IntegerQ[p - 1/2]

6271. Int[(ArcSinh[(c_.)*(x_)]*(b_.) + (a_))^(n_.)*(RFx_)*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Int[ExpandIntegra
      nd[(d + e*x^2)^p, RFx*(a + b*ArcSinh[c*x])^n, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && RationalFunctionQ[RFx, x]
      && IGtQ[n, 0] && EqQ[e, c^2*d] && IntegerQ[p - 1/2]

6272. Int[((a_.) + ArcSinh[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_.)*(u_.), x_Symbol] :> Unintegrable[u*(a + b*ArcSinh[c*x])^n, x] /;
      FreeQ[{a, b, c, n}, x]

6273. Int[((a_.) + ArcSinh[(c_) + (d_.)*(x_)]*(b_.))^(n_.), x_Symbol] :> Simp[1/d   Subst[Int[(a + b*ArcSinh[x])^n,
      x], x, c + d*x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, n}, x]

6274. Int[((a_.) + ArcSinh[(c_) + (d_.)*(x_)]*(b_.))^(n_.)*((e_.) + (f_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Simp[1/d   Subst
      [Int[((d*e - c*f)/d + f*(x/d))^m*(a + b*ArcSinh[x])^n, x], x, c + d*x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m, n},
      x]

6275. Int[((a_.) + ArcSinh[(c_) + (d_.)*(x_)]*(b_.))^(n_.)*((A_.) + (B_.)*(x_) + (C_.)*(x_)^2)^(p_.), x_Symbol] :> S
      imp[1/d   Subst[Int[(C/d^2 + (C/d^2)*x^2)^p*(a + b*ArcSinh[x])^n, x], x, c + d*x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, A,
      B, C, n, p}, x] && EqQ[B*(1 + c^2) - 2*A*c*d, 0] && EqQ[2*c*C - B*d, 0]

6276. Int[((a_.) + ArcSinh[(c_) + (d_.)*(x_)]*(b_.))^(n_.)*((e_.) + (f_.)*(x_))^(m_.)*((A_.) + (B_.)*(x_) + (C_.)*(x
      _)^2)^(p_.), x_Symbol] :> Simp[1/d   Subst[Int[((d*e - c*f)/d + f*(x/d))^m*(C/d^2 + (C/d^2)*x^2)^p*(a + b*ArcS
      inh[x])^n, x], x, c + d*x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, A, B, C, m, n, p}, x] && EqQ[B*(1 + c^2) - 2*A*c*d,
      0] && EqQ[2*c*C - B*d, 0]

6277. Int[Sqrt[(a_.) + ArcSinh[(c_) + (d_.)*(x_)^2]*(b_.)], x_Symbol] :> Simp[x*Sqrt[a + b*ArcSinh[c + d*x^2]], x] +
      (-Simp[Sqrt[Pi]*x*(Cosh[a/(2*b)] - c*Sinh[a/(2*b)])*(FresnelC[Sqrt[-c/(Pi*b)]*Sqrt[a + b*ArcSinh[c + d*x^2]]]
      /(Sqrt[-(c/b)]*(Cosh[ArcSinh[c + d*x^2]/2] + c*Sinh[ArcSinh[c + d*x^2]/2]))), x] + Simp[Sqrt[Pi]*x*(Cosh[a/(2*
      b)] + c*Sinh[a/(2*b)])*(FresnelS[Sqrt[-c/(Pi*b)]*Sqrt[a + b*ArcSinh[c + d*x^2]]]/(Sqrt[-(c/b)]*(Cosh[ArcSinh[c
      + d*x^2]/2] + c*Sinh[ArcSinh[c + d*x^2]/2]))), x]) /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && EqQ[c^2, -1]

6278. Int[((a_.) + ArcSinh[(c_) + (d_.)*(x_)^2]*(b_.))^(n_), x_Symbol] :> Simp[x*(a + b*ArcSinh[c + d*x^2])^n, x] +
      (-Simp[2*b*n*Sqrt[2*c*d*x^2 + d^2*x^4]*((a + b*ArcSinh[c + d*x^2])^(n - 1)/(d*x)), x] + Simp[4*b^2*n*(n - 1)
      Int[(a + b*ArcSinh[c + d*x^2])^(n - 2), x], x]) /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && EqQ[c^2, -1] && GtQ[n, 1]

6279. Int[((a_.) + ArcSinh[(c_) + (d_.)*(x_)^2]*(b_.))^(-1), x_Symbol] :> Simp[x*(c*Cosh[a/(2*b)] - Sinh[a/(2*b)])*(
      CoshIntegral[(a + b*ArcSinh[c + d*x^2])/(2*b)]/(2*b*(Cosh[ArcSinh[c + d*x^2]/2] + c*Sinh[(1/2)*ArcSinh[c + d*x
      ^2]]))), x] + Simp[x*(Cosh[a/(2*b)] - c*Sinh[a/(2*b)])*(SinhIntegral[(a + b*ArcSinh[c + d*x^2])/(2*b)]/(2*b*(C
      osh[ArcSinh[c + d*x^2]/2] + c*Sinh[(1/2)*ArcSinh[c + d*x^2]]))), x] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && EqQ[c^2, -1]

6280. Int[1/Sqrt[(a_.) + ArcSinh[(c_) + (d_.)*(x_)^2]*(b_.)], x_Symbol] :> Simp[(c + 1)*Sqrt[Pi/2]*x*(Cosh[a/(2*b)]
      - Sinh[a/(2*b)])*(Erfi[Sqrt[a + b*ArcSinh[c + d*x^2]]/Sqrt[2*b]]/(2*Sqrt[b]*(Cosh[ArcSinh[c + d*x^2]/2] + c*Si
      nh[ArcSinh[c + d*x^2]/2]))), x] + Simp[(c - 1)*Sqrt[Pi/2]*x*(Cosh[a/(2*b)] + Sinh[a/(2*b)])*(Erf[Sqrt[a + b*Ar
      cSinh[c + d*x^2]]/Sqrt[2*b]]/(2*Sqrt[b]*(Cosh[ArcSinh[c + d*x^2]/2] + c*Sinh[ArcSinh[c + d*x^2]/2]))), x] /; F
      reeQ[{a, b, c, d}, x] && EqQ[c^2, -1]

6281. Int[((a_.) + ArcSinh[(c_) + (d_.)*(x_)^2]*(b_.))^(-3/2), x_Symbol] :> Simp[-Sqrt[2*c*d*x^2 + d^2*x^4]/(b*d*x*S
      qrt[a + b*ArcSinh[c + d*x^2]]), x] + (-Simp[(-c/b)^(3/2)*Sqrt[Pi]*x*(Cosh[a/(2*b)] - c*Sinh[a/(2*b)])*(Fresnel
      C[Sqrt[-c/(Pi*b)]*Sqrt[a + b*ArcSinh[c + d*x^2]]]/(Cosh[ArcSinh[c + d*x^2]/2] + c*Sinh[ArcSinh[c + d*x^2]/2]))
      , x] + Simp[(-c/b)^(3/2)*Sqrt[Pi]*x*(Cosh[a/(2*b)] + c*Sinh[a/(2*b)])*(FresnelS[Sqrt[-c/(Pi*b)]*Sqrt[a + b*Arc
      Sinh[c + d*x^2]]]/(Cosh[ArcSinh[c + d*x^2]/2] + c*Sinh[ArcSinh[c + d*x^2]/2])), x]) /; FreeQ[{a, b, c, d}, x]
      && EqQ[c^2, -1]

6282. Int[((a_.) + ArcSinh[(c_) + (d_.)*(x_)^2]*(b_.))^(-2), x_Symbol] :> Simp[-Sqrt[2*c*d*x^2 + d^2*x^4]/(2*b*d*x*(
      a + b*ArcSinh[c + d*x^2])), x] + (Simp[x*(Cosh[a/(2*b)] - c*Sinh[a/(2*b)])*(CoshIntegral[(a + b*ArcSinh[c + d*
      x^2])/(2*b)]/(4*b^2*(Cosh[ArcSinh[c + d*x^2]/2] + c*Sinh[ArcSinh[c + d*x^2]/2]))), x] + Simp[x*(c*Cosh[a/(2*b)
      ] - Sinh[a/(2*b)])*(SinhIntegral[(a + b*ArcSinh[c + d*x^2])/(2*b)]/(4*b^2*(Cosh[ArcSinh[c + d*x^2]/2] + c*Sinh
      [ArcSinh[c + d*x^2]/2]))), x]) /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && EqQ[c^2, -1]

6283. Int[((a_.) + ArcSinh[(c_) + (d_.)*(x_)^2]*(b_.))^(n_), x_Symbol] :> Simp[(-x)*((a + b*ArcSinh[c + d*x^2])^(n +
      2)/(4*b^2*(n + 1)*(n + 2))), x] + (Simp[Sqrt[2*c*d*x^2 + d^2*x^4]*((a + b*ArcSinh[c + d*x^2])^(n + 1)/(2*b*d*
      (n + 1)*x)), x] + Simp[1/(4*b^2*(n + 1)*(n + 2))   Int[(a + b*ArcSinh[c + d*x^2])^(n + 2), x], x]) /; FreeQ[{a
      , b, c, d}, x] && EqQ[c^2, -1] && LtQ[n, -1] && NeQ[n, -2]

6284. Int[ArcSinh[(a_.)*(x_)^(p_)]^(n_.)/(x_), x_Symbol] :> Simp[1/p   Subst[Int[x^n*Coth[x], x], x, ArcSinh[a*x^p]]
      , x] /; FreeQ[{a, p}, x] && IGtQ[n, 0]

6285. Int[ArcSinh[(c_.)/((a_.) + (b_.)*(x_)^(n_.))]^(m_.)*(u_.), x_Symbol] :> Int[u*ArcCsch[a/c + b*(x^n/c)]^m, x] /
      ; FreeQ[{a, b, c, n, m}, x]

6286. Int[ArcSinh[Sqrt[-1 + (b_.)*(x_)^2]]^(n_.)/Sqrt[-1 + (b_.)*(x_)^2], x_Symbol] :> Simp[Sqrt[b*x^2]/(b*x)   Subs
      t[Int[ArcSinh[x]^n/Sqrt[1 + x^2], x], x, Sqrt[-1 + b*x^2]], x] /; FreeQ[{b, n}, x]

6287. Int[(f_)^(ArcSinh[(a_.) + (b_.)*(x_)]^(n_.)*(c_.)), x_Symbol] :> Simp[1/b   Subst[Int[f^(c*x^n)*Cosh[x], x], x
      , ArcSinh[a + b*x]], x] /; FreeQ[{a, b, c, f}, x] && IGtQ[n, 0]

6288. Int[(f_)^(ArcSinh[(a_.) + (b_.)*(x_)]^(n_.)*(c_.))*(x_)^(m_.), x_Symbol] :> Simp[1/b   Subst[Int[(-a/b + Sinh[
      x]/b)^m*f^(c*x^n)*Cosh[x], x], x, ArcSinh[a + b*x]], x] /; FreeQ[{a, b, c, f}, x] && IGtQ[m, 0] && IGtQ[n, 0]

6289. Int[ArcSinh[u_], x_Symbol] :> Simp[x*ArcSinh[u], x] - Int[SimplifyIntegrand[x*(D[u, x]/Sqrt[1 + u^2]), x], x]
      /; InverseFunctionFreeQ[u, x] &&  !FunctionOfExponentialQ[u, x]

6290. Int[((a_.) + ArcSinh[u_]*(b_.))*((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Simp[(c + d*x)^(m + 1)*((a + b*ArcSin
      h[u])/(d*(m + 1))), x] - Simp[b/(d*(m + 1))   Int[SimplifyIntegrand[(c + d*x)^(m + 1)*(D[u, x]/Sqrt[1 + u^2]),
      x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, m}, x] && NeQ[m, -1] && InverseFunctionFreeQ[u, x] &&  !FunctionOfQ[(c + d*x
      )^(m + 1), u, x] &&  !FunctionOfExponentialQ[u, x]

6291. Int[((a_.) + ArcSinh[u_]*(b_.))*(v_), x_Symbol] :> With[{w = IntHide[v, x]}, Simp[(a + b*ArcSinh[u])   w, x] -
      Simp[b   Int[SimplifyIntegrand[w*(D[u, x]/Sqrt[1 + u^2]), x], x], x] /; InverseFunctionFreeQ[w, x]] /; FreeQ[
      {a, b}, x] && InverseFunctionFreeQ[u, x] &&  !MatchQ[v, ((c_.) + (d_.)*x)^(m_.) /; FreeQ[{c, d, m}, x]]

6292. Int[E^(ArcSinh[u_]*(n_.)), x_Symbol] :> Int[(u + Sqrt[1 + u^2])^n, x] /; IntegerQ[n] && PolyQ[u, x]

6293. Int[E^(ArcSinh[u_]*(n_.))*(x_)^(m_.), x_Symbol] :> Int[x^m*(u + Sqrt[1 + u^2])^n, x] /; RationalQ[m] && Intege
      rQ[n] && PolyQ[u, x]

6294. Int[((a_.) + ArcCosh[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_.), x_Symbol] :> Simp[x*(a + b*ArcCosh[c*x])^n, x] - Simp[b*c*n   I
      nt[x*((a + b*ArcCosh[c*x])^(n - 1)/(Sqrt[1 + c*x]*Sqrt[-1 + c*x])), x], x] /; FreeQ[{a, b, c}, x] && GtQ[n, 0]

6295. Int[((a_.) + ArcCosh[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_), x_Symbol] :> Simp[Sqrt[1 + c*x]*Sqrt[-1 + c*x]*((a + b*ArcCosh[c
      *x])^(n + 1)/(b*c*(n + 1))), x] - Simp[c/(b*(n + 1))   Int[x*((a + b*ArcCosh[c*x])^(n + 1)/(Sqrt[1 + c*x]*Sqrt
      [-1 + c*x])), x], x] /; FreeQ[{a, b, c}, x] && LtQ[n, -1]

6296. Int[((a_.) + ArcCosh[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_), x_Symbol] :> Simp[1/(b*c)   Subst[Int[x^n*Sinh[-a/b + x/b], x],
      x, a + b*ArcCosh[c*x]], x] /; FreeQ[{a, b, c, n}, x]

6297. Int[((a_.) + ArcCosh[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_.)/(x_), x_Symbol] :> Simp[1/b   Subst[Int[x^n*Tanh[-a/b + x/b], x]
      , x, a + b*ArcCosh[c*x]], x] /; FreeQ[{a, b, c}, x] && IGtQ[n, 0]

6298. Int[((a_.) + ArcCosh[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_.)*((d_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Simp[(d*x)^(m + 1)*((a + b*ArcC
      osh[c*x])^n/(d*(m + 1))), x] - Simp[b*c*(n/(d*(m + 1)))   Int[(d*x)^(m + 1)*((a + b*ArcCosh[c*x])^(n - 1)/(Sqr
      t[1 + c*x]*Sqrt[-1 + c*x])), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, m}, x] && IGtQ[n, 0] && NeQ[m, -1]

6299. Int[((a_.) + ArcCosh[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_)*(x_)^(m_.), x_Symbol] :> Simp[x^(m + 1)*((a + b*ArcCosh[c*x])^n/(
      m + 1)), x] - Simp[b*c*(n/(m + 1))   Int[x^(m + 1)*((a + b*ArcCosh[c*x])^(n - 1)/(Sqrt[1 + c*x]*Sqrt[-1 + c*x]
      )), x], x] /; FreeQ[{a, b, c}, x] && IGtQ[m, 0] && GtQ[n, 0]

6300. Int[((a_.) + ArcCosh[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_)*(x_)^(m_.), x_Symbol] :> Simp[x^m*Sqrt[1 + c*x]*Sqrt[-1 + c*x]*((
      a + b*ArcCosh[c*x])^(n + 1)/(b*c*(n + 1))), x] + Simp[1/(b^2*c^(m + 1)*(n + 1))   Subst[Int[ExpandTrigReduce[x
      ^(n + 1), Cosh[-a/b + x/b]^(m - 1)*(m - (m + 1)*Cosh[-a/b + x/b]^2), x], x], x, a + b*ArcCosh[c*x]], x] /; Fre
      eQ[{a, b, c}, x] && IGtQ[m, 0] && GeQ[n, -2] && LtQ[n, -1]

6301. Int[((a_.) + ArcCosh[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_)*(x_)^(m_.), x_Symbol] :> Simp[x^m*Sqrt[1 + c*x]*Sqrt[-1 + c*x]*((
      a + b*ArcCosh[c*x])^(n + 1)/(b*c*(n + 1))), x] + (-Simp[c*((m + 1)/(b*(n + 1)))   Int[x^(m + 1)*((a + b*ArcCos
      h[c*x])^(n + 1)/(Sqrt[1 + c*x]*Sqrt[-1 + c*x])), x], x] + Simp[m/(b*c*(n + 1))   Int[x^(m - 1)*((a + b*ArcCosh
      [c*x])^(n + 1)/(Sqrt[1 + c*x]*Sqrt[-1 + c*x])), x], x]) /; FreeQ[{a, b, c}, x] && IGtQ[m, 0] && LtQ[n, -2]

6302. Int[((a_.) + ArcCosh[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_)*(x_)^(m_.), x_Symbol] :> Simp[1/(b*c^(m + 1))   Subst[Int[x^n*Cos
      h[-a/b + x/b]^m*Sinh[-a/b + x/b], x], x, a + b*ArcCosh[c*x]], x] /; FreeQ[{a, b, c, n}, x] && IGtQ[m, 0]

6303. Int[((a_.) + ArcCosh[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_.)*((d_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Unintegrable[(d*x)^m*(a + b*Arc
      Cosh[c*x])^n, x] /; FreeQ[{a, b, c, d, m, n}, x]

6304. Int[((a_.) + ArcCosh[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_.)*((d1_) + (e1_.)*(x_))^(p_.)*((d2_) + (e2_.)*(x_))^(p_.), x_Symbo
      l] :> Int[(d1*d2 + e1*e2*x^2)^p*(a + b*ArcCosh[c*x])^n, x] /; FreeQ[{a, b, c, d1, e1, d2, e2, n}, x] && EqQ[d2
      *e1 + d1*e2, 0] && IntegerQ[p]

6305. Int[1/(((a_.) + ArcCosh[(c_.)*(x_)]*(b_.))*Sqrt[(d_) + (e_.)*(x_)^2]), x_Symbol] :> Simp[(1/(b*c))*Simp[Sqrt[1
      + c*x]*(Sqrt[-1 + c*x]/Sqrt[d + e*x^2])]*Log[a + b*ArcCosh[c*x]], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && EqQ[c^2*
      d + e, 0]

6306. Int[1/(((a_.) + ArcCosh[(c_.)*(x_)]*(b_.))*Sqrt[(d1_) + (e1_.)*(x_)]*Sqrt[(d2_) + (e2_.)*(x_)]), x_Symbol] :>
      Simp[(1/(b*c))*Simp[Sqrt[1 + c*x]/Sqrt[d1 + e1*x]]*Simp[Sqrt[-1 + c*x]/Sqrt[d2 + e2*x]]*Log[a + b*ArcCosh[c*x]
      ], x] /; FreeQ[{a, b, c, d1, e1, d2, e2}, x] && EqQ[e1, c*d1] && EqQ[e2, (-c)*d2]

6307. Int[((a_.) + ArcCosh[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_.)/Sqrt[(d_) + (e_.)*(x_)^2], x_Symbol] :> Simp[(1/(b*c*(n + 1)))*S
      imp[Sqrt[1 + c*x]*(Sqrt[-1 + c*x]/Sqrt[d + e*x^2])]*(a + b*ArcCosh[c*x])^(n + 1), x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e,
      n}, x] && EqQ[c^2*d + e, 0] && NeQ[n, -1]

6308. Int[((a_.) + ArcCosh[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_.)/(Sqrt[(d1_) + (e1_.)*(x_)]*Sqrt[(d2_) + (e2_.)*(x_)]), x_Symbol]
      :> Simp[(1/(b*c*(n + 1)))*Simp[Sqrt[1 + c*x]/Sqrt[d1 + e1*x]]*Simp[Sqrt[-1 + c*x]/Sqrt[d2 + e2*x]]*(a + b*Arc
      Cosh[c*x])^(n + 1), x] /; FreeQ[{a, b, c, d1, e1, d2, e2, n}, x] && EqQ[e1, c*d1] && EqQ[e2, (-c)*d2] && NeQ[n
      , -1]

6309. Int[((a_.) + ArcCosh[(c_.)*(x_)]*(b_.))*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(p_.), x_Symbol] :> With[{u = IntHide[(d + e*x^2
      )^p, x]}, Simp[(a + b*ArcCosh[c*x])   u, x] - Simp[b*c   Int[SimplifyIntegrand[u/(Sqrt[1 + c*x]*Sqrt[-1 + c*x]
      ), x], x], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && EqQ[c^2*d + e, 0] && IGtQ[p, 0]

6310. Int[((a_.) + ArcCosh[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_.)*Sqrt[(d_) + (e_.)*(x_)^2], x_Symbol] :> Simp[x*Sqrt[d + e*x^2]*(
      (a + b*ArcCosh[c*x])^n/2), x] + (-Simp[(1/2)*Simp[Sqrt[d + e*x^2]/(Sqrt[1 + c*x]*Sqrt[-1 + c*x])]   Int[(a + b
      *ArcCosh[c*x])^n/(Sqrt[1 + c*x]*Sqrt[-1 + c*x]), x], x] - Simp[b*c*(n/2)*Simp[Sqrt[d + e*x^2]/(Sqrt[1 + c*x]*S
      qrt[-1 + c*x])]   Int[x*(a + b*ArcCosh[c*x])^(n - 1), x], x]) /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && EqQ[c^2*d + e, 0
      ] && GtQ[n, 0]

6311. Int[((a_.) + ArcCosh[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_.)*Sqrt[(d1_) + (e1_.)*(x_)]*Sqrt[(d2_) + (e2_.)*(x_)], x_Symbol] :
      > Simp[x*Sqrt[d1 + e1*x]*Sqrt[d2 + e2*x]*((a + b*ArcCosh[c*x])^n/2), x] + (-Simp[(1/2)*Simp[Sqrt[d1 + e1*x]/Sq
      rt[1 + c*x]]*Simp[Sqrt[d2 + e2*x]/Sqrt[-1 + c*x]]   Int[(a + b*ArcCosh[c*x])^n/(Sqrt[1 + c*x]*Sqrt[-1 + c*x]),
      x], x] - Simp[b*c*(n/2)*Simp[Sqrt[d1 + e1*x]/Sqrt[1 + c*x]]*Simp[Sqrt[d2 + e2*x]/Sqrt[-1 + c*x]]   Int[x*(a +
      b*ArcCosh[c*x])^(n - 1), x], x]) /; FreeQ[{a, b, c, d1, e1, d2, e2}, x] && EqQ[e1, c*d1] && EqQ[e2, (-c)*d2]
      && GtQ[n, 0]

6312. Int[((a_.) + ArcCosh[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(p_.), x_Symbol] :> Simp[x*(d + e*x^2)^p*(
      (a + b*ArcCosh[c*x])^n/(2*p + 1)), x] + (Simp[2*d*(p/(2*p + 1))   Int[(d + e*x^2)^(p - 1)*(a + b*ArcCosh[c*x])
      ^n, x], x] - Simp[b*c*(n/(2*p + 1))*Simp[(d + e*x^2)^p/((1 + c*x)^p*(-1 + c*x)^p)]   Int[x*(1 + c*x)^(p - 1/2)
      *(-1 + c*x)^(p - 1/2)*(a + b*ArcCosh[c*x])^(n - 1), x], x]) /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && EqQ[c^2*d + e, 0]
      && GtQ[n, 0] && GtQ[p, 0]

6313. Int[((a_.) + ArcCosh[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_.)*((d1_) + (e1_.)*(x_))^(p_.)*((d2_) + (e2_.)*(x_))^(p_.), x_Symbo
      l] :> Simp[x*(d1 + e1*x)^p*(d2 + e2*x)^p*((a + b*ArcCosh[c*x])^n/(2*p + 1)), x] + (Simp[2*d1*d2*(p/(2*p + 1))
      Int[(d1 + e1*x)^(p - 1)*(d2 + e2*x)^(p - 1)*(a + b*ArcCosh[c*x])^n, x], x] - Simp[b*c*(n/(2*p + 1))*Simp[(d1
      + e1*x)^p/(1 + c*x)^p]*Simp[(d2 + e2*x)^p/(-1 + c*x)^p]   Int[x*(1 + c*x)^(p - 1/2)*(-1 + c*x)^(p - 1/2)*(a +
      b*ArcCosh[c*x])^(n - 1), x], x]) /; FreeQ[{a, b, c, d1, e1, d2, e2}, x] && EqQ[e1, c*d1] && EqQ[e2, (-c)*d2]
      && GtQ[n, 0] && GtQ[p, 0]

6314. Int[((a_.) + ArcCosh[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_.)/((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(3/2), x_Symbol] :> Simp[x*((a + b*ArcCosh
      [c*x])^n/(d*Sqrt[d + e*x^2])), x] + Simp[b*c*(n/d)*Simp[Sqrt[1 + c*x]*(Sqrt[-1 + c*x]/Sqrt[d + e*x^2])]   Int[
      x*((a + b*ArcCosh[c*x])^(n - 1)/(1 - c^2*x^2)), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && EqQ[c^2*d + e, 0] && Gt
      Q[n, 0]

6315. Int[((a_.) + ArcCosh[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_.)/(((d1_) + (e1_.)*(x_))^(3/2)*((d2_) + (e2_.)*(x_))^(3/2)), x_Sym
      bol] :> Simp[x*((a + b*ArcCosh[c*x])^n/(d1*d2*Sqrt[d1 + e1*x]*Sqrt[d2 + e2*x])), x] + Simp[b*c*(n/(d1*d2))*Sim
      p[Sqrt[1 + c*x]/Sqrt[d1 + e1*x]]*Simp[Sqrt[-1 + c*x]/Sqrt[d2 + e2*x]]   Int[x*((a + b*ArcCosh[c*x])^(n - 1)/(1
      - c^2*x^2)), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d1, e1, d2, e2}, x] && EqQ[e1, c*d1] && EqQ[e2, (-c)*d2] && GtQ[n, 0]

6316. Int[((a_.) + ArcCosh[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Simp[(-x)*(d + e*x^2)^(
      p + 1)*((a + b*ArcCosh[c*x])^n/(2*d*(p + 1))), x] + (Simp[(2*p + 3)/(2*d*(p + 1))   Int[(d + e*x^2)^(p + 1)*(a
      + b*ArcCosh[c*x])^n, x], x] - Simp[b*c*(n/(2*(p + 1)))*Simp[(d + e*x^2)^p/((1 + c*x)^p*(-1 + c*x)^p)]   Int[x
      *(1 + c*x)^(p + 1/2)*(-1 + c*x)^(p + 1/2)*(a + b*ArcCosh[c*x])^(n - 1), x], x]) /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] &
      & EqQ[c^2*d + e, 0] && GtQ[n, 0] && LtQ[p, -1] && NeQ[p, -3/2]

6317. Int[((a_.) + ArcCosh[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_.)*((d1_) + (e1_.)*(x_))^(p_)*((d2_) + (e2_.)*(x_))^(p_), x_Symbol]
      :> Simp[(-x)*(d1 + e1*x)^(p + 1)*(d2 + e2*x)^(p + 1)*((a + b*ArcCosh[c*x])^n/(2*d1*d2*(p + 1))), x] + (Simp[(
      2*p + 3)/(2*d1*d2*(p + 1))   Int[(d1 + e1*x)^(p + 1)*(d2 + e2*x)^(p + 1)*(a + b*ArcCosh[c*x])^n, x], x] - Simp
      [b*c*(n/(2*(p + 1)))*Simp[(d1 + e1*x)^p/(1 + c*x)^p]*Simp[(d2 + e2*x)^p/(-1 + c*x)^p]   Int[x*(1 + c*x)^(p + 1
      /2)*(-1 + c*x)^(p + 1/2)*(a + b*ArcCosh[c*x])^(n - 1), x], x]) /; FreeQ[{a, b, c, d1, e1, d2, e2}, x] && EqQ[e
      1, c*d1] && EqQ[e2, (-c)*d2] && GtQ[n, 0] && LtQ[p, -1] && NeQ[p, -3/2]

6318. Int[((a_.) + ArcCosh[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_.)/((d_) + (e_.)*(x_)^2), x_Symbol] :> Simp[-(c*d)^(-1)   Subst[Int
      [(a + b*x)^n*Csch[x], x], x, ArcCosh[c*x]], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && EqQ[c^2*d + e, 0] && IGtQ[n, 0]

6319. Int[((a_.) + ArcCosh[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_)*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(p_.), x_Symbol] :> Simp[Simp[Sqrt[1 + c*x]
      *Sqrt[-1 + c*x]*(d + e*x^2)^p]*((a + b*ArcCosh[c*x])^(n + 1)/(b*c*(n + 1))), x] - Simp[c*((2*p + 1)/(b*(n + 1)
      ))*Simp[(d + e*x^2)^p/((1 + c*x)^p*(-1 + c*x)^p)]   Int[x*(1 + c*x)^(p - 1/2)*(-1 + c*x)^(p - 1/2)*(a + b*ArcC
      osh[c*x])^(n + 1), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, p}, x] && EqQ[c^2*d + e, 0] && LtQ[n, -1] && IntegerQ[2*p]

6320. Int[((a_.) + ArcCosh[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_)*((d1_) + (e1_.)*(x_))^(p_.)*((d2_) + (e2_.)*(x_))^(p_.), x_Symbol
      ] :> Simp[Sqrt[1 + c*x]*Sqrt[-1 + c*x]*(d1 + e1*x)^p*(d2 + e2*x)^p*((a + b*ArcCosh[c*x])^(n + 1)/(b*c*(n + 1))
      ), x] - Simp[c*((2*p + 1)/(b*(n + 1)))*Simp[(d1 + e1*x)^p/(1 + c*x)^p]*Simp[(d2 + e2*x)^p/(-1 + c*x)^p]   Int[
      x*(-1 + c^2*x^2)^(p - 1/2)*(a + b*ArcCosh[c*x])^(n + 1), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d1, e1, d2, e2, p}, x] && E
      qQ[e1, c*d1] && EqQ[e2, (-c)*d2] && LtQ[n, -1] && IntegerQ[p + 1/2]

6321. Int[((a_.) + ArcCosh[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(p_.), x_Symbol] :> Simp[(1/(b*c))*Simp[(d
      + e*x^2)^p/((1 + c*x)^p*(-1 + c*x)^p)]   Subst[Int[x^n*Sinh[-a/b + x/b]^(2*p + 1), x], x, a + b*ArcCosh[c*x]]
      , x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, n}, x] && EqQ[c^2*d + e, 0] && IGtQ[2*p, 0]

6322. Int[((a_.) + ArcCosh[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_.)*((d1_) + (e1_.)*(x_))^(p_.)*((d2_) + (e2_.)*(x_))^(p_.), x_Symbo
      l] :> Simp[(1/(b*c))*Simp[(d1 + e1*x)^p/(1 + c*x)^p]*Simp[(d2 + e2*x)^p/(-1 + c*x)^p]   Subst[Int[x^n*Sinh[-a/
      b + x/b]^(2*p + 1), x], x, a + b*ArcCosh[c*x]], x] /; FreeQ[{a, b, c, d1, e1, d2, e2, n}, x] && EqQ[e1, c*d1]
      && EqQ[e2, (-c)*d2] && IGtQ[2*p, 0]

6323. Int[((a_.) + ArcCosh[(c_.)*(x_)]*(b_.))*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(p_.), x_Symbol] :> With[{u = IntHide[(d + e*x^2
      )^p, x]}, Simp[(a + b*ArcCosh[c*x])   u, x] - Simp[b*c   Int[SimplifyIntegrand[u/(Sqrt[1 + c*x]*Sqrt[-1 + c*x]
      ), x], x], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && NeQ[c^2*d + e, 0] && (IGtQ[p, 0] || ILtQ[p + 1/2, 0])

6324. Int[((a_.) + ArcCosh[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(p_.), x_Symbol] :> Int[ExpandIntegrand[(a
      + b*ArcCosh[c*x])^n, (d + e*x^2)^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, n}, x] && NeQ[c^2*d + e, 0] && IntegerQ[p
      ] && (p > 0 || IGtQ[n, 0])

6325. Int[((a_.) + ArcCosh[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(p_.), x_Symbol] :> Unintegrable[(d + e*x^
      2)^p*(a + b*ArcCosh[c*x])^n, x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, n, p}, x]

6326. Int[((a_.) + ArcCosh[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_.)*((d1_) + (e1_.)*(x_))^(p_.)*((d2_) + (e2_.)*(x_))^(p_.), x_Symbo
      l] :> Unintegrable[(d1 + e1*x)^p*(d2 + e2*x)^p*(a + b*ArcCosh[c*x])^n, x] /; FreeQ[{a, b, c, d1, e1, d2, e2, n
      , p}, x]

6327. Int[((a_.) + ArcCosh[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_.)*((f_.)*(x_))^(m_.)*((d1_) + (e1_.)*(x_))^(p_.)*((d2_) + (e2_.)*(
      x_))^(p_.), x_Symbol] :> Int[(f*x)^m*(d1*d2 + e1*e2*x^2)^p*(a + b*ArcCosh[c*x])^n, x] /; FreeQ[{a, b, c, d1, e
      1, d2, e2, f, m, n}, x] && EqQ[d2*e1 + d1*e2, 0] && IntegerQ[p]

6328. Int[(((a_.) + ArcCosh[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_.)*(x_))/((d_) + (e_.)*(x_)^2), x_Symbol] :> Simp[1/e   Subst[Int[
      (a + b*x)^n*Coth[x], x], x, ArcCosh[c*x]], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && EqQ[c^2*d + e, 0] && IGtQ[n, 0]

6329. Int[((a_.) + ArcCosh[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_.)*(x_)*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(p_.), x_Symbol] :> Simp[(d + e*x^2)^
      (p + 1)*((a + b*ArcCosh[c*x])^n/(2*e*(p + 1))), x] - Simp[b*(n/(2*c*(p + 1)))*Simp[(d + e*x^2)^p/((1 + c*x)^p*
      (-1 + c*x)^p)]   Int[(1 + c*x)^(p + 1/2)*(-1 + c*x)^(p + 1/2)*(a + b*ArcCosh[c*x])^(n - 1), x], x] /; FreeQ[{a
      , b, c, d, e, p}, x] && EqQ[c^2*d + e, 0] && GtQ[n, 0] && NeQ[p, -1]

6330. Int[((a_.) + ArcCosh[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_.)*(x_)*((d1_) + (e1_.)*(x_))^(p_)*((d2_) + (e2_.)*(x_))^(p_), x_Sy
      mbol] :> Simp[(d1 + e1*x)^(p + 1)*(d2 + e2*x)^(p + 1)*((a + b*ArcCosh[c*x])^n/(2*e1*e2*(p + 1))), x] - Simp[b*
      (n/(2*c*(p + 1)))*Simp[(d1 + e1*x)^p/(1 + c*x)^p]*Simp[(d2 + e2*x)^p/(-1 + c*x)^p]   Int[(1 + c*x)^(p + 1/2)*(
      -1 + c*x)^(p + 1/2)*(a + b*ArcCosh[c*x])^(n - 1), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d1, e1, d2, e2, p}, x] && EqQ[e1,
      c*d1] && EqQ[e2, (-c)*d2] && GtQ[n, 0] && NeQ[p, -1]

6331. Int[((a_.) + ArcCosh[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_.)/((x_)*((d_) + (e_.)*(x_)^2)), x_Symbol] :> Simp[-d^(-1)   Subst[
      Int[(a + b*x)^n/(Cosh[x]*Sinh[x]), x], x, ArcCosh[c*x]], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && EqQ[c^2*d + e, 0]
      && IGtQ[n, 0]

6332. Int[((a_.) + ArcCosh[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_.)*((f_.)*(x_))^(m_)*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(p_.), x_Symbol] :> Simp
      [(f*x)^(m + 1)*(d + e*x^2)^(p + 1)*((a + b*ArcCosh[c*x])^n/(d*f*(m + 1))), x] + Simp[b*c*(n/(f*(m + 1)))*Simp[
      (d + e*x^2)^p/((1 + c*x)^p*(-1 + c*x)^p)]   Int[(f*x)^(m + 1)*(1 + c*x)^(p + 1/2)*(-1 + c*x)^(p + 1/2)*(a + b*
      ArcCosh[c*x])^(n - 1), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m, p}, x] && EqQ[c^2*d + e, 0] && GtQ[n, 0] && EqQ[m
      + 2*p + 3, 0] && NeQ[m, -1]

6333. Int[((a_.) + ArcCosh[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_.)*((f_.)*(x_))^(m_)*((d1_) + (e1_.)*(x_))^(p_)*((d2_) + (e2_.)*(x_
      ))^(p_), x_Symbol] :> Simp[(f*x)^(m + 1)*(d1 + e1*x)^(p + 1)*(d2 + e2*x)^(p + 1)*((a + b*ArcCosh[c*x])^n/(d1*d
      2*f*(m + 1))), x] + Simp[b*c*(n/(f*(m + 1)))*Simp[(d1 + e1*x)^p/(1 + c*x)^p]*Simp[(d2 + e2*x)^p/(-1 + c*x)^p]
      Int[(f*x)^(m + 1)*(1 + c*x)^(p + 1/2)*(-1 + c*x)^(p + 1/2)*(a + b*ArcCosh[c*x])^(n - 1), x], x] /; FreeQ[{a,
      b, c, d1, e1, d2, e2, f, m, p}, x] && EqQ[e1, c*d1] && EqQ[e2, (-c)*d2] && GtQ[n, 0] && EqQ[m + 2*p + 3, 0] &
      & NeQ[p, -1]

6334. Int[(((a_.) + ArcCosh[(c_.)*(x_)]*(b_.))*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(p_.))/(x_), x_Symbol] :> Simp[(d + e*x^2)^p*((
      a + b*ArcCosh[c*x])/(2*p)), x] + (Simp[d   Int[(d + e*x^2)^(p - 1)*((a + b*ArcCosh[c*x])/x), x], x] - Simp[b*c
      *((-d)^p/(2*p))   Int[(1 + c*x)^(p - 1/2)*(-1 + c*x)^(p - 1/2), x], x]) /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && EqQ[c^
      2*d + e, 0] && IGtQ[p, 0]

6335. Int[((a_.) + ArcCosh[(c_.)*(x_)]*(b_.))*((f_.)*(x_))^(m_)*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(p_.), x_Symbol] :> Simp[(f*x)
      ^(m + 1)*(d + e*x^2)^p*((a + b*ArcCosh[c*x])/(f*(m + 1))), x] + (-Simp[b*c*((-d)^p/(f*(m + 1)))   Int[(f*x)^(m
      + 1)*(1 + c*x)^(p - 1/2)*(-1 + c*x)^(p - 1/2), x], x] - Simp[2*e*(p/(f^2*(m + 1)))   Int[(f*x)^(m + 2)*(d + e
      *x^2)^(p - 1)*(a + b*ArcCosh[c*x]), x], x]) /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && EqQ[c^2*d + e, 0] && IGtQ[p, 0]
      && ILtQ[(m + 1)/2, 0]

6336. Int[((a_.) + ArcCosh[(c_.)*(x_)]*(b_.))*((f_.)*(x_))^(m_)*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(p_.), x_Symbol] :> With[{u =
      IntHide[(f*x)^m*(d + e*x^2)^p, x]}, Simp[(a + b*ArcCosh[c*x])   u, x] - Simp[b*c   Int[SimplifyIntegrand[u/(Sq
      rt[1 + c*x]*Sqrt[-1 + c*x]), x], x], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m}, x] && EqQ[c^2*d + e, 0] && IGtQ[p, 0]

6337. Int[((a_.) + ArcCosh[(c_.)*(x_)]*(b_.))*(x_)^(m_)*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> With[{u = IntHide[x
      ^m*(d + e*x^2)^p, x]}, Simp[(a + b*ArcCosh[c*x])   u, x] - Simp[b*c*Simp[Sqrt[d + e*x^2]/(Sqrt[1 + c*x]*Sqrt[-
      1 + c*x])]   Int[SimplifyIntegrand[u/Sqrt[d + e*x^2], x], x], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && EqQ[c^2*d +
      e, 0] && IntegerQ[p - 1/2] && NeQ[p, -2^(-1)] && (IGtQ[(m + 1)/2, 0] || ILtQ[(m + 2*p + 3)/2, 0])

6338. Int[((a_.) + ArcCosh[(c_.)*(x_)]*(b_.))*(x_)^(m_)*((d1_) + (e1_.)*(x_))^(p_)*((d2_) + (e2_.)*(x_))^(p_), x_Sym
      bol] :> With[{u = IntHide[x^m*(d1 + e1*x)^p*(d2 + e2*x)^p, x]}, Simp[(a + b*ArcCosh[c*x])   u, x] - Simp[b*c*S
      imp[Sqrt[d1 + e1*x]*(Sqrt[d2 + e2*x]/(Sqrt[1 + c*x]*Sqrt[-1 + c*x]))]   Int[SimplifyIntegrand[u/(Sqrt[d1 + e1*
      x]*Sqrt[d2 + e2*x]), x], x], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d1, e1, d2, e2}, x] && EqQ[e1, c*d1] && EqQ[e2, (-c)*d2] &
      & IntegerQ[p - 1/2] && NeQ[p, -2^(-1)] && (IGtQ[(m + 1)/2, 0] || ILtQ[(m + 2*p + 3)/2, 0])

6339. Int[((a_.) + ArcCosh[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_.)*((f_.)*(x_))^(m_)*Sqrt[(d_) + (e_.)*(x_)^2], x_Symbol] :> Simp[(
      f*x)^(m + 1)*Sqrt[d + e*x^2]*((a + b*ArcCosh[c*x])^n/(f*(m + 1))), x] + (-Simp[b*c*(n/(f*(m + 1)))*Simp[Sqrt[d
      + e*x^2]/(Sqrt[1 + c*x]*Sqrt[-1 + c*x])]   Int[(f*x)^(m + 1)*(a + b*ArcCosh[c*x])^(n - 1), x], x] - Simp[(c^2
      /(f^2*(m + 1)))*Simp[Sqrt[d + e*x^2]/(Sqrt[1 + c*x]*Sqrt[-1 + c*x])]   Int[(f*x)^(m + 2)*((a + b*ArcCosh[c*x])
      ^n/(Sqrt[1 + c*x]*Sqrt[-1 + c*x])), x], x]) /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && EqQ[c^2*d + e, 0] && GtQ[n, 0]
      && LtQ[m, -1]

6340. Int[((a_.) + ArcCosh[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_.)*((f_.)*(x_))^(m_)*Sqrt[(d1_) + (e1_.)*(x_)]*Sqrt[(d2_) + (e2_.)*
      (x_)], x_Symbol] :> Simp[(f*x)^(m + 1)*Sqrt[d1 + e1*x]*Sqrt[d2 + e2*x]*((a + b*ArcCosh[c*x])^n/(f*(m + 1))), x
      ] + (-Simp[b*c*(n/(f*(m + 1)))*Simp[Sqrt[d1 + e1*x]/Sqrt[1 + c*x]]*Simp[Sqrt[d2 + e2*x]/Sqrt[-1 + c*x]]   Int[
      (f*x)^(m + 1)*(a + b*ArcCosh[c*x])^(n - 1), x], x] - Simp[(c^2/(f^2*(m + 1)))*Simp[Sqrt[d1 + e1*x]/Sqrt[1 + c*
      x]]*Simp[Sqrt[d2 + e2*x]/Sqrt[-1 + c*x]]   Int[((f*x)^(m + 2)*(a + b*ArcCosh[c*x])^n)/(Sqrt[1 + c*x]*Sqrt[-1 +
      c*x]), x], x]) /; FreeQ[{a, b, c, d1, e1, d2, e2, f}, x] && EqQ[e1, c*d1] && EqQ[e2, (-c)*d2] && GtQ[n, 0] &&
      LtQ[m, -1]

6341. Int[((a_.) + ArcCosh[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_.)*((f_.)*(x_))^(m_)*Sqrt[(d_) + (e_.)*(x_)^2], x_Symbol] :> Simp[(
      f*x)^(m + 1)*Sqrt[d + e*x^2]*((a + b*ArcCosh[c*x])^n/(f*(m + 2))), x] + (-Simp[(1/(m + 2))*Simp[Sqrt[d + e*x^2
      ]/(Sqrt[1 + c*x]*Sqrt[-1 + c*x])]   Int[(f*x)^m*((a + b*ArcCosh[c*x])^n/(Sqrt[1 + c*x]*Sqrt[-1 + c*x])), x], x
      ] - Simp[b*c*(n/(f*(m + 2)))*Simp[Sqrt[d + e*x^2]/(Sqrt[1 + c*x]*Sqrt[-1 + c*x])]   Int[(f*x)^(m + 1)*(a + b*A
      rcCosh[c*x])^(n - 1), x], x]) /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m}, x] && EqQ[c^2*d + e, 0] && IGtQ[n, 0] && (IGtQ[m
      , -2] || EqQ[n, 1])

6342. Int[((a_.) + ArcCosh[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_.)*((f_.)*(x_))^(m_)*Sqrt[(d1_) + (e1_.)*(x_)]*Sqrt[(d2_) + (e2_.)*
      (x_)], x_Symbol] :> Simp[(f*x)^(m + 1)*Sqrt[d1 + e1*x]*Sqrt[d2 + e2*x]*((a + b*ArcCosh[c*x])^n/(f*(m + 2))), x
      ] + (-Simp[(1/(m + 2))*Simp[Sqrt[d1 + e1*x]/Sqrt[1 + c*x]]*Simp[Sqrt[d2 + e2*x]/Sqrt[-1 + c*x]]   Int[(f*x)^m*
      ((a + b*ArcCosh[c*x])^n/(Sqrt[1 + c*x]*Sqrt[-1 + c*x])), x], x] - Simp[b*c*(n/(f*(m + 2)))*Simp[Sqrt[d1 + e1*x
      ]/Sqrt[1 + c*x]]*Simp[Sqrt[d2 + e2*x]/Sqrt[-1 + c*x]]   Int[(f*x)^(m + 1)*(a + b*ArcCosh[c*x])^(n - 1), x], x]
      ) /; FreeQ[{a, b, c, d1, e1, d2, e2, f, m}, x] && EqQ[e1, c*d1] && EqQ[e2, (-c)*d2] && IGtQ[n, 0] && (IGtQ[m,
      -2] || EqQ[n, 1])

6343. Int[((a_.) + ArcCosh[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_.)*((f_.)*(x_))^(m_)*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(p_.), x_Symbol] :> Simp
      [(f*x)^(m + 1)*(d + e*x^2)^p*((a + b*ArcCosh[c*x])^n/(f*(m + 1))), x] + (-Simp[2*e*(p/(f^2*(m + 1)))   Int[(f*
      x)^(m + 2)*(d + e*x^2)^(p - 1)*(a + b*ArcCosh[c*x])^n, x], x] - Simp[b*c*(n/(f*(m + 1)))*Simp[(d + e*x^2)^p/((
      1 + c*x)^p*(-1 + c*x)^p)]   Int[(f*x)^(m + 1)*(1 + c*x)^(p - 1/2)*(-1 + c*x)^(p - 1/2)*(a + b*ArcCosh[c*x])^(n
      - 1), x], x]) /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && EqQ[c^2*d + e, 0] && GtQ[n, 0] && GtQ[p, 0] && LtQ[m, -1]

6344. Int[((a_.) + ArcCosh[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_.)*((f_.)*(x_))^(m_)*((d1_) + (e1_.)*(x_))^(p_)*((d2_) + (e2_.)*(x_
      ))^(p_), x_Symbol] :> Simp[(f*x)^(m + 1)*(d1 + e1*x)^p*(d2 + e2*x)^p*((a + b*ArcCosh[c*x])^n/(f*(m + 1))), x]
      + (-Simp[2*e1*e2*(p/(f^2*(m + 1)))   Int[(f*x)^(m + 2)*(d1 + e1*x)^(p - 1)*(d2 + e2*x)^(p - 1)*(a + b*ArcCosh[
      c*x])^n, x], x] - Simp[b*c*(n/(f*(m + 1)))*Simp[(d1 + e1*x)^p/(1 + c*x)^p]*Simp[(d2 + e2*x)^p/(-1 + c*x)^p]
      Int[(f*x)^(m + 1)*(1 + c*x)^(p - 1/2)*(-1 + c*x)^(p - 1/2)*(a + b*ArcCosh[c*x])^(n - 1), x], x]) /; FreeQ[{a,
      b, c, d1, e1, d2, e2, f}, x] && EqQ[e1, c*d1] && EqQ[e2, (-c)*d2] && GtQ[n, 0] && GtQ[p, 0] && LtQ[m, -1]

6345. Int[((a_.) + ArcCosh[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_.)*((f_.)*(x_))^(m_)*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(p_.), x_Symbol] :> Simp
      [(f*x)^(m + 1)*(d + e*x^2)^p*((a + b*ArcCosh[c*x])^n/(f*(m + 2*p + 1))), x] + (Simp[2*d*(p/(m + 2*p + 1))   In
      t[(f*x)^m*(d + e*x^2)^(p - 1)*(a + b*ArcCosh[c*x])^n, x], x] - Simp[b*c*(n/(f*(m + 2*p + 1)))*Simp[(d + e*x^2)
      ^p/((1 + c*x)^p*(-1 + c*x)^p)]   Int[(f*x)^(m + 1)*(1 + c*x)^(p - 1/2)*(-1 + c*x)^(p - 1/2)*(a + b*ArcCosh[c*x
      ])^(n - 1), x], x]) /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m}, x] && EqQ[c^2*d + e, 0] && GtQ[n, 0] && GtQ[p, 0] &&  !LtQ
      [m, -1]

6346. Int[((a_.) + ArcCosh[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_.)*((f_.)*(x_))^(m_)*((d1_) + (e1_.)*(x_))^(p_)*((d2_) + (e2_.)*(x_
      ))^(p_), x_Symbol] :> Simp[(f*x)^(m + 1)*(d1 + e1*x)^p*(d2 + e2*x)^p*((a + b*ArcCosh[c*x])^n/(f*(m + 2*p + 1))
      ), x] + (Simp[2*d1*d2*(p/(m + 2*p + 1))   Int[(f*x)^m*(d1 + e1*x)^(p - 1)*(d2 + e2*x)^(p - 1)*(a + b*ArcCosh[c
      *x])^n, x], x] - Simp[b*c*(n/(f*(m + 2*p + 1)))*Simp[(d1 + e1*x)^p/(1 + c*x)^p]*Simp[(d2 + e2*x)^p/(-1 + c*x)^
      p]   Int[(f*x)^(m + 1)*(1 + c*x)^(p - 1/2)*(-1 + c*x)^(p - 1/2)*(a + b*ArcCosh[c*x])^(n - 1), x], x]) /; FreeQ
      [{a, b, c, d1, e1, d2, e2, f, m}, x] && EqQ[e1, c*d1] && EqQ[e2, (-c)*d2] && GtQ[n, 0] && GtQ[p, 0] &&  !LtQ[m
      , -1]

6347. Int[((a_.) + ArcCosh[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_.)*((f_.)*(x_))^(m_)*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Simp[
      (f*x)^(m + 1)*(d + e*x^2)^(p + 1)*((a + b*ArcCosh[c*x])^n/(d*f*(m + 1))), x] + (Simp[c^2*((m + 2*p + 3)/(f^2*(
      m + 1)))   Int[(f*x)^(m + 2)*(d + e*x^2)^p*(a + b*ArcCosh[c*x])^n, x], x] + Simp[b*c*(n/(f*(m + 1)))*Simp[(d +
      e*x^2)^p/((1 + c*x)^p*(-1 + c*x)^p)]   Int[(f*x)^(m + 1)*(1 + c*x)^(p + 1/2)*(-1 + c*x)^(p + 1/2)*(a + b*ArcC
      osh[c*x])^(n - 1), x], x]) /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, p}, x] && EqQ[c^2*d + e, 0] && GtQ[n, 0] && ILtQ[m, -1]

6348. Int[((a_.) + ArcCosh[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_.)*((f_.)*(x_))^(m_)*((d1_) + (e1_.)*(x_))^(p_)*((d2_) + (e2_.)*(x_
      ))^(p_), x_Symbol] :> Simp[(f*x)^(m + 1)*(d1 + e1*x)^(p + 1)*(d2 + e2*x)^(p + 1)*((a + b*ArcCosh[c*x])^n/(d1*d
      2*f*(m + 1))), x] + (Simp[c^2*((m + 2*p + 3)/(f^2*(m + 1)))   Int[(f*x)^(m + 2)*(d1 + e1*x)^p*(d2 + e2*x)^p*(a
      + b*ArcCosh[c*x])^n, x], x] + Simp[b*c*(n/(f*(m + 1)))*Simp[(d1 + e1*x)^p/(1 + c*x)^p]*Simp[(d2 + e2*x)^p/(-1
      + c*x)^p]   Int[(f*x)^(m + 1)*(1 + c*x)^(p + 1/2)*(-1 + c*x)^(p + 1/2)*(a + b*ArcCosh[c*x])^(n - 1), x], x])
      /; FreeQ[{a, b, c, d1, e1, d2, e2, f, p}, x] && EqQ[e1, c*d1] && EqQ[e2, (-c)*d2] && GtQ[n, 0] && ILtQ[m, -1]

6349. Int[((a_.) + ArcCosh[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_.)*((f_.)*(x_))^(m_)*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Simp[
      f*(f*x)^(m - 1)*(d + e*x^2)^(p + 1)*((a + b*ArcCosh[c*x])^n/(2*e*(p + 1))), x] + (-Simp[f^2*((m - 1)/(2*e*(p +
      1)))   Int[(f*x)^(m - 2)*(d + e*x^2)^(p + 1)*(a + b*ArcCosh[c*x])^n, x], x] - Simp[b*f*(n/(2*c*(p + 1)))*Simp
      [(d + e*x^2)^p/((1 + c*x)^p*(-1 + c*x)^p)]   Int[(f*x)^(m - 1)*(1 + c*x)^(p + 1/2)*(-1 + c*x)^(p + 1/2)*(a + b
      *ArcCosh[c*x])^(n - 1), x], x]) /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && EqQ[c^2*d + e, 0] && GtQ[n, 0] && LtQ[p, -1
      ] && IGtQ[m, 1]

6350. Int[((a_.) + ArcCosh[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_.)*((f_.)*(x_))^(m_)*((d1_) + (e1_.)*(x_))^(p_)*((d2_) + (e2_.)*(x_
      ))^(p_), x_Symbol] :> Simp[f*(f*x)^(m - 1)*(d1 + e1*x)^(p + 1)*(d2 + e2*x)^(p + 1)*((a + b*ArcCosh[c*x])^n/(2*
      e1*e2*(p + 1))), x] + (-Simp[f^2*((m - 1)/(2*e1*e2*(p + 1)))   Int[(f*x)^(m - 2)*(d1 + e1*x)^(p + 1)*(d2 + e2*
      x)^(p + 1)*(a + b*ArcCosh[c*x])^n, x], x] - Simp[b*f*(n/(2*c*(p + 1)))*Simp[(d1 + e1*x)^p/(1 + c*x)^p]*Simp[(d
      2 + e2*x)^p/(-1 + c*x)^p]   Int[(f*x)^(m - 1)*(1 + c*x)^(p + 1/2)*(-1 + c*x)^(p + 1/2)*(a + b*ArcCosh[c*x])^(n
      - 1), x], x]) /; FreeQ[{a, b, c, d1, e1, d2, e2, f}, x] && EqQ[e1, c*d1] && EqQ[e2, (-c)*d2] && GtQ[n, 0] &&
      LtQ[p, -1] && IGtQ[m, 1]

6351. Int[((a_.) + ArcCosh[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_.)*((f_.)*(x_))^(m_)*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Simp[
      (-(f*x)^(m + 1))*(d + e*x^2)^(p + 1)*((a + b*ArcCosh[c*x])^n/(2*d*f*(p + 1))), x] + (Simp[(m + 2*p + 3)/(2*d*(
      p + 1))   Int[(f*x)^m*(d + e*x^2)^(p + 1)*(a + b*ArcCosh[c*x])^n, x], x] - Simp[b*c*(n/(2*f*(p + 1)))*Simp[(d
      + e*x^2)^p/((1 + c*x)^p*(-1 + c*x)^p)]   Int[(f*x)^(m + 1)*(1 + c*x)^(p + 1/2)*(-1 + c*x)^(p + 1/2)*(a + b*Arc
      Cosh[c*x])^(n - 1), x], x]) /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m}, x] && EqQ[c^2*d + e, 0] && GtQ[n, 0] && LtQ[p, -1]
      &&  !GtQ[m, 1] && (IntegerQ[m] || IntegerQ[p] || EqQ[n, 1])

6352. Int[((a_.) + ArcCosh[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_.)*((f_.)*(x_))^(m_)*((d1_) + (e1_.)*(x_))^(p_)*((d2_) + (e2_.)*(x_
      ))^(p_), x_Symbol] :> Simp[(-(f*x)^(m + 1))*(d1 + e1*x)^(p + 1)*(d2 + e2*x)^(p + 1)*((a + b*ArcCosh[c*x])^n/(2
      *d1*d2*f*(p + 1))), x] + (Simp[(m + 2*p + 3)/(2*d1*d2*(p + 1))   Int[(f*x)^m*(d1 + e1*x)^(p + 1)*(d2 + e2*x)^(
      p + 1)*(a + b*ArcCosh[c*x])^n, x], x] - Simp[b*c*(n/(2*f*(p + 1)))*Simp[(d1 + e1*x)^p/(1 + c*x)^p]*Simp[(d2 +
      e2*x)^p/(-1 + c*x)^p]   Int[(f*x)^(m + 1)*(1 + c*x)^(p + 1/2)*(-1 + c*x)^(p + 1/2)*(a + b*ArcCosh[c*x])^(n - 1
      ), x], x]) /; FreeQ[{a, b, c, d1, e1, d2, e2, f, m}, x] && EqQ[e1, c*d1] && EqQ[e2, (-c)*d2] && GtQ[n, 0] && L
      tQ[p, -1] &&  !GtQ[m, 1] && (IntegerQ[m] || EqQ[n, 1])

6353. Int[((a_.) + ArcCosh[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_.)*((f_.)*(x_))^(m_)*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Simp[
      f*(f*x)^(m - 1)*(d + e*x^2)^(p + 1)*((a + b*ArcCosh[c*x])^n/(e*(m + 2*p + 1))), x] + (Simp[f^2*((m - 1)/(c^2*(
      m + 2*p + 1)))   Int[(f*x)^(m - 2)*(d + e*x^2)^p*(a + b*ArcCosh[c*x])^n, x], x] - Simp[b*f*(n/(c*(m + 2*p + 1)
      ))*Simp[(d + e*x^2)^p/((1 + c*x)^p*(-1 + c*x)^p)]   Int[(f*x)^(m - 1)*(1 + c*x)^(p + 1/2)*(-1 + c*x)^(p + 1/2)
      *(a + b*ArcCosh[c*x])^(n - 1), x], x]) /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, p}, x] && EqQ[c^2*d + e, 0] && GtQ[n, 0] &&
      IGtQ[m, 1] && NeQ[m + 2*p + 1, 0]

6354. Int[((a_.) + ArcCosh[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_.)*((f_.)*(x_))^(m_)*((d1_) + (e1_.)*(x_))^(p_)*((d2_) + (e2_.)*(x_
      ))^(p_), x_Symbol] :> Simp[f*(f*x)^(m - 1)*(d1 + e1*x)^(p + 1)*(d2 + e2*x)^(p + 1)*((a + b*ArcCosh[c*x])^n/(e1
      *e2*(m + 2*p + 1))), x] + (Simp[f^2*((m - 1)/(c^2*(m + 2*p + 1)))   Int[(f*x)^(m - 2)*(d1 + e1*x)^p*(d2 + e2*x
      )^p*(a + b*ArcCosh[c*x])^n, x], x] - Simp[b*f*(n/(c*(m + 2*p + 1)))*Simp[(d1 + e1*x)^p/(1 + c*x)^p]*Simp[(d2 +
      e2*x)^p/(-1 + c*x)^p]   Int[(f*x)^(m - 1)*(1 + c*x)^(p + 1/2)*(-1 + c*x)^(p + 1/2)*(a + b*ArcCosh[c*x])^(n -
      1), x], x]) /; FreeQ[{a, b, c, d1, e1, d2, e2, f, p}, x] && EqQ[e1, c*d1] && EqQ[e2, (-c)*d2] && GtQ[n, 0] &&
      IGtQ[m, 1] && NeQ[m + 2*p + 1, 0]

6355. Int[((a_.) + ArcCosh[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_)*((f_.)*(x_))^(m_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(p_.), x_Symbol] :> Simp
      [(f*x)^m*Simp[Sqrt[1 + c*x]*Sqrt[-1 + c*x]*(d + e*x^2)^p]*((a + b*ArcCosh[c*x])^(n + 1)/(b*c*(n + 1))), x] + S
      imp[f*(m/(b*c*(n + 1)))*Simp[(d + e*x^2)^p/((1 + c*x)^p*(-1 + c*x)^p)]   Int[(f*x)^(m - 1)*(1 + c*x)^(p - 1/2)
      *(-1 + c*x)^(p - 1/2)*(a + b*ArcCosh[c*x])^(n + 1), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m, p}, x] && EqQ[c^2*d
      + e, 0] && LtQ[n, -1] && EqQ[m + 2*p + 1, 0]

6356. Int[((a_.) + ArcCosh[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_)*((f_.)*(x_))^(m_.)*((d1_) + (e1_.)*(x_))^(p_)*((d2_) + (e2_.)*(x_
      ))^(p_), x_Symbol] :> Simp[(f*x)^m*Simp[Sqrt[1 + c*x]*Sqrt[-1 + c*x]*(d1 + e1*x)^p]*(d2 + e2*x)^p*((a + b*ArcC
      osh[c*x])^(n + 1)/(b*c*(n + 1))), x] + Simp[f*(m/(b*c*(n + 1)))*Simp[(d1 + e1*x)^p/(1 + c*x)^p]*Simp[(d2 + e2*
      x)^p/(-1 + c*x)^p]   Int[(f*x)^(m - 1)*(1 + c*x)^(p - 1/2)*(-1 + c*x)^(p - 1/2)*(a + b*ArcCosh[c*x])^(n + 1),
      x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d1, e1, d2, e2, f, m, p}, x] && EqQ[e1, c*d1] && EqQ[e2, (-c)*d2] && LtQ[n, -1] && E
      qQ[m + 2*p + 1, 0]

6357. Int[((a_.) + ArcCosh[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_)*((f_.)*(x_))^(m_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(p_.), x_Symbol] :> Simp
      [(f*x)^m*Simp[Sqrt[1 + c*x]*Sqrt[-1 + c*x]*(d + e*x^2)^p]*((a + b*ArcCosh[c*x])^(n + 1)/(b*c*(n + 1))), x] + (
      Simp[f*(m/(b*c*(n + 1)))*Simp[(d + e*x^2)^p/((1 + c*x)^p*(-1 + c*x)^p)]   Int[(f*x)^(m - 1)*(1 + c*x)^(p - 1/2
      )*(-1 + c*x)^(p - 1/2)*(a + b*ArcCosh[c*x])^(n + 1), x], x] - Simp[c*((m + 2*p + 1)/(b*f*(n + 1)))*Simp[(d + e
      *x^2)^p/((1 + c*x)^p*(-1 + c*x)^p)]   Int[(f*x)^(m + 1)*(1 + c*x)^(p - 1/2)*(-1 + c*x)^(p - 1/2)*(a + b*ArcCos
      h[c*x])^(n + 1), x], x]) /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m, p}, x] && EqQ[c^2*d + e, 0] && LtQ[n, -1] && IGtQ[2*p,
      0] && NeQ[m + 2*p + 1, 0] && IGtQ[m, -3]

6358. Int[((a_.) + ArcCosh[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_)*((f_.)*(x_))^(m_.)*((d1_) + (e1_.)*(x_))^(p_)*((d2_) + (e2_.)*(x_
      ))^(p_), x_Symbol] :> Simp[(f*x)^m*Sqrt[1 + c*x]*Sqrt[-1 + c*x]*(d1 + e1*x)^p*(d2 + e2*x)^p*((a + b*ArcCosh[c*
      x])^(n + 1)/(b*c*(n + 1))), x] + (Simp[f*(m/(b*c*(n + 1)))*Simp[(d1 + e1*x)^p/(1 + c*x)^p]*Simp[(d2 + e2*x)^p/
      (-1 + c*x)^p]   Int[(f*x)^(m - 1)*(-1 + c^2*x^2)^(p - 1/2)*(a + b*ArcCosh[c*x])^(n + 1), x], x] - Simp[c*((m +
      2*p + 1)/(b*f*(n + 1)))*Simp[(d1 + e1*x)^p/(1 + c*x)^p]*Simp[(d2 + e2*x)^p/(-1 + c*x)^p]   Int[(f*x)^(m + 1)*
      (-1 + c^2*x^2)^(p - 1/2)*(a + b*ArcCosh[c*x])^(n + 1), x], x]) /; FreeQ[{a, b, c, d1, e1, d2, e2, f, m, p}, x]
      && EqQ[e1, c*d1] && EqQ[e2, (-c)*d2] && LtQ[n, -1] && IGtQ[p + 1/2, 0] && NeQ[m + 2*p + 1, 0] && IGtQ[m, -3]

6359. Int[(((a_.) + ArcCosh[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_.)*((f_.)*(x_))^(m_))/Sqrt[(d_) + (e_.)*(x_)^2], x_Symbol] :> Simp
      [f*(f*x)^(m - 1)*Sqrt[d + e*x^2]*((a + b*ArcCosh[c*x])^n/(e*m)), x] + (Simp[f^2*((m - 1)/(c^2*m))   Int[(f*x)^
      (m - 2)*((a + b*ArcCosh[c*x])^n/Sqrt[d + e*x^2]), x], x] - Simp[b*f*(n/(c*m))*Simp[Sqrt[1 + c*x]*(Sqrt[-1 + c*
      x]/Sqrt[d + e*x^2])]   Int[(f*x)^(m - 1)*(a + b*ArcCosh[c*x])^(n - 1), x], x]) /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x]
      && EqQ[c^2*d + e, 0] && GtQ[n, 0] && IGtQ[m, 1]

6360. Int[(((a_.) + ArcCosh[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_.)*((f_.)*(x_))^(m_))/(Sqrt[(d1_) + (e1_.)*(x_)]*Sqrt[(d2_) + (e2_
      .)*(x_)]), x_Symbol] :> Simp[f*(f*x)^(m - 1)*Sqrt[d1 + e1*x]*Sqrt[d2 + e2*x]*((a + b*ArcCosh[c*x])^n/(e1*e2*m)
      ), x] + (Simp[f^2*((m - 1)/(c^2*m))   Int[(f*x)^(m - 2)*((a + b*ArcCosh[c*x])^n/(Sqrt[d1 + e1*x]*Sqrt[d2 + e2*
      x])), x], x] - Simp[b*f*(n/(c*m))*Simp[Sqrt[1 + c*x]/Sqrt[d1 + e1*x]]*Simp[Sqrt[-1 + c*x]/Sqrt[d2 + e2*x]]   I
      nt[(f*x)^(m - 1)*(a + b*ArcCosh[c*x])^(n - 1), x], x]) /; FreeQ[{a, b, c, d1, e1, d2, e2, f}, x] && EqQ[e1, c*
      d1] && EqQ[e2, (-c)*d2] && GtQ[n, 0] && IGtQ[m, 1]

6361. Int[(((a_.) + ArcCosh[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_.)*(x_)^(m_))/Sqrt[(d_) + (e_.)*(x_)^2], x_Symbol] :> Simp[(1/c^(m
      + 1))*Simp[Sqrt[1 + c*x]*(Sqrt[-1 + c*x]/Sqrt[d + e*x^2])]   Subst[Int[(a + b*x)^n*Cosh[x]^m, x], x, ArcCosh[
      c*x]], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && EqQ[c^2*d + e, 0] && IGtQ[n, 0] && IntegerQ[m]

6362. Int[(((a_.) + ArcCosh[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_.)*(x_)^(m_))/(Sqrt[(d1_) + (e1_.)*(x_)]*Sqrt[(d2_) + (e2_.)*(x_)]
      ), x_Symbol] :> Simp[(1/c^(m + 1))*Simp[Sqrt[1 + c*x]/Sqrt[d1 + e1*x]]*Simp[Sqrt[-1 + c*x]/Sqrt[d2 + e2*x]]
      Subst[Int[(a + b*x)^n*Cosh[x]^m, x], x, ArcCosh[c*x]], x] /; FreeQ[{a, b, c, d1, e1, d2, e2}, x] && EqQ[e1, c*
      d1] && EqQ[e2, (-c)*d2] && IGtQ[n, 0] && IntegerQ[m]

6363. Int[(((a_.) + ArcCosh[(c_.)*(x_)]*(b_.))*((f_.)*(x_))^(m_))/Sqrt[(d_) + (e_.)*(x_)^2], x_Symbol] :> Simp[((f*x
      )^(m + 1)/(f*(m + 1)))*Simp[Sqrt[1 - c^2*x^2]/Sqrt[d + e*x^2]]*(a + b*ArcCosh[c*x])*Hypergeometric2F1[1/2, (1
      + m)/2, (3 + m)/2, c^2*x^2], x] + Simp[b*c*((f*x)^(m + 2)/(f^2*(m + 1)*(m + 2)))*Simp[Sqrt[1 + c*x]*(Sqrt[-1 +
      c*x]/Sqrt[d + e*x^2])]*HypergeometricPFQ[{1, 1 + m/2, 1 + m/2}, {3/2 + m/2, 2 + m/2}, c^2*x^2], x] /; FreeQ[{
      a, b, c, d, e, f, m}, x] && EqQ[c^2*d + e, 0] &&  !IntegerQ[m]

6364. Int[(((a_.) + ArcCosh[(c_.)*(x_)]*(b_.))*((f_.)*(x_))^(m_))/(Sqrt[(d1_) + (e1_.)*(x_)]*Sqrt[(d2_) + (e2_.)*(x_
      )]), x_Symbol] :> Simp[((f*x)^(m + 1)/(f*(m + 1)))*Simp[Sqrt[1 - c^2*x^2]/(Sqrt[d1 + e1*x]*Sqrt[d2 + e2*x])]*(
      a + b*ArcCosh[c*x])*Hypergeometric2F1[1/2, (1 + m)/2, (3 + m)/2, c^2*x^2], x] + Simp[b*c*((f*x)^(m + 2)/(f^2*(
      m + 1)*(m + 2)))*Simp[Sqrt[1 + c*x]/Sqrt[d1 + e1*x]]*Simp[Sqrt[-1 + c*x]/Sqrt[d2 + e2*x]]*HypergeometricPFQ[{1
      , 1 + m/2, 1 + m/2}, {3/2 + m/2, 2 + m/2}, c^2*x^2], x] /; FreeQ[{a, b, c, d1, e1, d2, e2, f, m}, x] && EqQ[e1
      , c*d1] && EqQ[e2, (-c)*d2] &&  !IntegerQ[m]

6365. Int[(((a_.) + ArcCosh[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_)*((f_.)*(x_))^(m_.))/Sqrt[(d_) + (e_.)*(x_)^2], x_Symbol] :> Simp
      [(f*x)^m*((a + b*ArcCosh[c*x])^(n + 1)/(b*c*(n + 1)))*Simp[Sqrt[1 + c*x]*(Sqrt[-1 + c*x]/Sqrt[d + e*x^2])], x]
      - Simp[f*(m/(b*c*(n + 1)))*Simp[Sqrt[1 + c*x]*(Sqrt[-1 + c*x]/Sqrt[d + e*x^2])]   Int[(f*x)^(m - 1)*(a + b*Ar
      cCosh[c*x])^(n + 1), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m}, x] && EqQ[c^2*d + e, 0] && LtQ[n, -1]

6366. Int[(((a_.) + ArcCosh[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_)*((f_.)*(x_))^(m_.))/(Sqrt[(d1_) + (e1_.)*(x_)]*Sqrt[(d2_) + (e2_
      .)*(x_)]), x_Symbol] :> Simp[(f*x)^m*((a + b*ArcCosh[c*x])^(n + 1)/(b*c*(n + 1)))*Simp[Sqrt[1 + c*x]/Sqrt[d1 +
      e1*x]]*Simp[Sqrt[-1 + c*x]/Sqrt[d2 + e2*x]], x] - Simp[f*(m/(b*c*(n + 1)))*Simp[Sqrt[1 + c*x]/Sqrt[d1 + e1*x]
      ]*Simp[Sqrt[-1 + c*x]/Sqrt[d2 + e2*x]]   Int[(f*x)^(m - 1)*(a + b*ArcCosh[c*x])^(n + 1), x], x] /; FreeQ[{a, b
      , c, d1, e1, d2, e2, f, m}, x] && EqQ[e1, c*d1] && EqQ[e2, (-c)*d2] && LtQ[n, -1]

6367. Int[((a_.) + ArcCosh[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_.)*(x_)^(m_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(p_.), x_Symbol] :> Simp[(1/(b*
      c^(m + 1)))*Simp[(d + e*x^2)^p/((1 + c*x)^p*(-1 + c*x)^p)]   Subst[Int[x^n*Cosh[-a/b + x/b]^m*Sinh[-a/b + x/b]
      ^(2*p + 1), x], x, a + b*ArcCosh[c*x]], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, n}, x] && EqQ[c^2*d + e, 0] && IGtQ[2*p +
      2, 0] && IGtQ[m, 0]

6368. Int[((a_.) + ArcCosh[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_.)*(x_)^(m_.)*((d1_) + (e1_.)*(x_))^(p_.)*((d2_) + (e2_.)*(x_))^(p_
      .), x_Symbol] :> Simp[(1/(b*c^(m + 1)))*Simp[(d1 + e1*x)^p/(1 + c*x)^p]*Simp[(d2 + e2*x)^p/(-1 + c*x)^p]   Sub
      st[Int[x^n*Cosh[-a/b + x/b]^m*Sinh[-a/b + x/b]^(2*p + 1), x], x, a + b*ArcCosh[c*x]], x] /; FreeQ[{a, b, c, d1
      , e1, d2, e2, n}, x] && EqQ[e1, c*d1] && EqQ[e2, (-c)*d2] && IGtQ[p + 3/2, 0] && IGtQ[m, 0]

6369. Int[((a_.) + ArcCosh[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_.)*((f_.)*(x_))^(m_)*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Int[E
      xpandIntegrand[(a + b*ArcCosh[c*x])^n/Sqrt[d + e*x^2], (f*x)^m*(d + e*x^2)^(p + 1/2), x], x] /; FreeQ[{a, b, c
      , d, e, f, m, n}, x] && EqQ[c^2*d + e, 0] && IGtQ[p + 1/2, 0] &&  !IGtQ[(m + 1)/2, 0] && (EqQ[m, -1] || EqQ[m,
      -2])

6370. Int[((a_.) + ArcCosh[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_.)*((f_.)*(x_))^(m_)*((d1_) + (e1_.)*(x_))^(p_)*((d2_) + (e2_.)*(x_
      ))^(p_), x_Symbol] :> Int[ExpandIntegrand[(a + b*ArcCosh[c*x])^n/(Sqrt[d1 + e1*x]*Sqrt[d2 + e2*x]), (f*x)^m*(d
      1 + e1*x)^(p + 1/2)*(d2 + e2*x)^(p + 1/2), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d1, e1, d2, e2, f, m, n}, x] && EqQ[e1, c
      *d1] && EqQ[e2, (-c)*d2] && GtQ[d1, 0] && LtQ[d2, 0] && IGtQ[p + 1/2, 0] &&  !IGtQ[(m + 1)/2, 0] && (EqQ[m, -1
      ] || EqQ[m, -2])

6371. Int[((a_.) + ArcCosh[(c_.)*(x_)]*(b_.))*((f_.)*(x_))^(m_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^2), x_Symbol] :> Simp[d*(f*x)^(m
      + 1)*((a + b*ArcCosh[c*x])/(f*(m + 1))), x] + (Simp[e*(f*x)^(m + 3)*((a + b*ArcCosh[c*x])/(f^3*(m + 3))), x]
      - Simp[b*(c/(f*(m + 1)*(m + 3)))   Int[(f*x)^(m + 1)*((d*(m + 3) + e*(m + 1)*x^2)/(Sqrt[1 + c*x]*Sqrt[-1 + c*x
      ])), x], x]) /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m}, x] && NeQ[c^2*d + e, 0] && NeQ[m, -1] && NeQ[m, -3]

6372. Int[((a_.) + ArcCosh[(c_.)*(x_)]*(b_.))*(x_)*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(p_.), x_Symbol] :> Simp[(d + e*x^2)^(p + 1
      )*((a + b*ArcCosh[c*x])/(2*e*(p + 1))), x] - Simp[b*(c/(2*e*(p + 1)))   Int[(d + e*x^2)^(p + 1)/(Sqrt[1 + c*x]
      *Sqrt[-1 + c*x]), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, p}, x] && NeQ[c^2*d + e, 0] && NeQ[p, -1]

6373. Int[((a_.) + ArcCosh[(c_.)*(x_)]*(b_.))*((f_.)*(x_))^(m_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(p_.), x_Symbol] :> With[{u =
      IntHide[(f*x)^m*(d + e*x^2)^p, x]}, Simp[(a + b*ArcCosh[c*x])   u, x] - Simp[b*c   Int[SimplifyIntegrand[u/(S
      qrt[1 + c*x]*Sqrt[-1 + c*x]), x], x], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m}, x] && NeQ[c^2*d + e, 0] && IntegerQ[
      p] && (GtQ[p, 0] || (IGtQ[(m - 1)/2, 0] && LeQ[m + p, 0]))

6374. Int[((a_.) + ArcCosh[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_.)*((f_.)*(x_))^(m_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(p_.), x_Symbol] :> Int
      [ExpandIntegrand[(a + b*ArcCosh[c*x])^n, (f*x)^m*(d + e*x^2)^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && NeQ[
      c^2*d + e, 0] && IGtQ[n, 0] && IntegerQ[p] && IntegerQ[m]

6375. Int[((a_.) + ArcCosh[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_.)*((f_.)*(x_))^(m_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(p_.), x_Symbol] :> Uni
      ntegrable[(f*x)^m*(d + e*x^2)^p*(a + b*ArcCosh[c*x])^n, x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m, n, p}, x]

6376. Int[((a_.) + ArcCosh[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_.)*((f_.)*(x_))^(m_.)*((d1_) + (e1_.)*(x_))^(p_.)*((d2_) + (e2_.)*(
      x_))^(p_.), x_Symbol] :> Unintegrable[(f*x)^m*(d1 + e1*x)^p*(d2 + e2*x)^p*(a + b*ArcCosh[c*x])^n, x] /; FreeQ[
      {a, b, c, d1, e1, d2, e2, f, m, n, p}, x]

6377. Int[((a_.) + ArcCosh[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_.)/((d_.) + (e_.)*(x_)), x_Symbol] :> Subst[Int[(a + b*x)^n*(Sinh[x
      ]/(c*d + e*Cosh[x])), x], x, ArcCosh[c*x]] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && IGtQ[n, 0]

6378. Int[((a_.) + ArcCosh[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_.)*((d_.) + (e_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Simp[(d + e*x)^(m + 1)*
      ((a + b*ArcCosh[c*x])^n/(e*(m + 1))), x] - Simp[b*c*(n/(e*(m + 1)))   Int[(d + e*x)^(m + 1)*((a + b*ArcCosh[c*
      x])^(n - 1)/(Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, m}, x] && IGtQ[n, 0] && NeQ[m, -1
      ]

6379. Int[((a_.) + ArcCosh[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_)*((d_) + (e_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Int[ExpandIntegrand[(d +
      e*x)^m*(a + b*ArcCosh[c*x])^n, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && IGtQ[m, 0] && LtQ[n, -1]

6380. Int[((a_.) + ArcCosh[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_.)*((d_.) + (e_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Simp[1/c^(m + 1)   Subs
      t[Int[(a + b*x)^n*Sinh[x]*(c*d + e*Cosh[x])^m, x], x, ArcCosh[c*x]], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, n}, x] && IGt
      Q[m, 0]

6381. Int[((a_.) + ArcCosh[(c_.)*(x_)]*(b_.))*(Px_), x_Symbol] :> With[{u = IntHide[ExpandExpression[Px, x], x]}, Si
      mp[(a + b*ArcCosh[c*x])   u, x] - Simp[b*c*(Sqrt[1 - c^2*x^2]/(Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]))   Int[SimplifyIn
      tegrand[u/Sqrt[1 - c^2*x^2], x], x], x]] /; FreeQ[{a, b, c}, x] && PolyQ[Px, x]

6382. Int[((a_.) + ArcCosh[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_)*(Px_), x_Symbol] :> Int[ExpandIntegrand[Px*(a + b*ArcCosh[c*x])^n
      , x], x] /; FreeQ[{a, b, c, n}, x] && PolyQ[Px, x]

6383. Int[((a_.) + ArcCosh[(c_.)*(x_)]*(b_.))*(Px_)*((d_.) + (e_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> With[{u = IntHide[Px*(d
      + e*x)^m, x]}, Simp[(a + b*ArcCosh[c*x])   u, x] - Simp[b*c*(Sqrt[1 - c^2*x^2]/(Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])
      )   Int[SimplifyIntegrand[u/Sqrt[1 - c^2*x^2], x], x], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, m}, x] && PolyQ[Px, x]

6384. Int[((a_.) + ArcCosh[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_)*((d_) + (e_.)*(x_))^(m_)*((f_.) + (g_.)*(x_))^(p_.), x_Symbol] :>
      With[{u = IntHide[(f + g*x)^p*(d + e*x)^m, x]}, Simp[(a + b*ArcCosh[c*x])^n   u, x] - Simp[b*c*n   Int[Simpli
      fyIntegrand[u*((a + b*ArcCosh[c*x])^(n - 1)/(Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])), x], x], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d,
      e, f, g}, x] && IGtQ[n, 0] && IGtQ[p, 0] && ILtQ[m, 0] && LtQ[m + p + 1, 0]

6385. Int[(((a_.) + ArcCosh[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_)*((f_.) + (g_.)*(x_) + (h_.)*(x_)^2)^(p_.))/((d_) + (e_.)*(x_))^2
      , x_Symbol] :> With[{u = IntHide[(f + g*x + h*x^2)^p/(d + e*x)^2, x]}, Simp[(a + b*ArcCosh[c*x])^n   u, x] - S
      imp[b*c*n   Int[SimplifyIntegrand[u*((a + b*ArcCosh[c*x])^(n - 1)/(Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])), x], x], x]]
      /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, h}, x] && IGtQ[n, 0] && IGtQ[p, 0] && EqQ[e*g - 2*d*h, 0]

6386. Int[((a_.) + ArcCosh[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_.)*(Px_)*((d_) + (e_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Int[ExpandIntegran
      d[Px*(d + e*x)^m*(a + b*ArcCosh[c*x])^n, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && PolyQ[Px, x] && IGtQ[n, 0] &&
      IntegerQ[m]

6387. Int[((a_.) + ArcCosh[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_.)*((f_) + (g_.)*(x_))^(m_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol]
      :> Simp[(-d)^IntPart[p]*((d + e*x^2)^FracPart[p]/((-1 + c*x)^FracPart[p]*(1 + c*x)^FracPart[p]))   Int[(f + g*
      x)^m*(-1 + c*x)^p*(1 + c*x)^p*(a + b*ArcCosh[c*x])^n, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, n}, x] && EqQ[c^2*
      d + e, 0] && IntegerQ[p - 1/2] && IntegerQ[m]

6388. Int[Log[(h_.)*((f_.) + (g_.)*(x_))^(m_.)]*((a_.) + ArcCosh[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(p_)
      , x_Symbol] :> Simp[(-d)^IntPart[p]*((d + e*x^2)^FracPart[p]/((-1 + c*x)^FracPart[p]*(1 + c*x)^FracPart[p]))
      Int[Log[h*(f + g*x)^m]*(-1 + c*x)^p*(1 + c*x)^p*(a + b*ArcCosh[c*x])^n, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g,
      h, m, n}, x] && EqQ[c^2*d + e, 0] && IntegerQ[p - 1/2]

6389. Int[((a_.) + ArcCosh[(c_.)*(x_)]*(b_.))*((d1_) + (e1_.)*(x_))^(p_)*((d2_) + (e2_.)*(x_))^(p_)*((f_) + (g_.)*(x
      _))^(m_.), x_Symbol] :> With[{u = IntHide[(f + g*x)^m*(d1 + e1*x)^p*(d2 + e2*x)^p, x]}, Simp[(a + b*ArcCosh[c*
      x])   u, x] - Simp[b*c   Int[1/(Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x])   u, x], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d1, e1, d2, e2,
      f, g}, x] && EqQ[e1 - c*d1, 0] && EqQ[e2 + c*d2, 0] && IGtQ[m, 0] && ILtQ[p + 1/2, 0] && GtQ[d1, 0] && LtQ[d2,
      0] && (GtQ[m, 3] || LtQ[m, -2*p - 1])

6390. Int[((a_.) + ArcCosh[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_.)*((d1_) + (e1_.)*(x_))^(p_)*((d2_) + (e2_.)*(x_))^(p_)*((f_) + (g
      _.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Int[ExpandIntegrand[(d1 + e1*x)^p*(d2 + e2*x)^p*(a + b*ArcCosh[c*x])^n, (f + g*x
      )^m, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d1, e1, d2, e2, f, g}, x] && EqQ[e1 - c*d1, 0] && EqQ[e2 + c*d2, 0] && IGtQ[m,
      0] && IntegerQ[p + 1/2] && GtQ[d1, 0] && LtQ[d2, 0] && IGtQ[n, 0] && ((EqQ[n, 1] && GtQ[p, -1]) || GtQ[p, 0] |
      | EqQ[m, 1] || (EqQ[m, 2] && LtQ[p, -2]))

6391. Int[((a_.) + ArcCosh[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_.)*Sqrt[(d1_) + (e1_.)*(x_)]*Sqrt[(d2_) + (e2_.)*(x_)]*((f_) + (g_.
      )*(x_))^(m_), x_Symbol] :> Simp[(f + g*x)^m*(d1*d2 + e1*e2*x^2)*((a + b*ArcCosh[c*x])^(n + 1)/(b*c*Sqrt[(-d1)*
      d2]*(n + 1))), x] - Simp[1/(b*c*Sqrt[(-d1)*d2]*(n + 1))   Int[(d1*d2*g*m + 2*e1*e2*f*x + e1*e2*g*(m + 2)*x^2)*
      (f + g*x)^(m - 1)*(a + b*ArcCosh[c*x])^(n + 1), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d1, e1, d2, e2, f, g}, x] && EqQ[e1
      - c*d1, 0] && EqQ[e2 + c*d2, 0] && ILtQ[m, 0] && GtQ[d1, 0] && LtQ[d2, 0] && IGtQ[n, 0]

6392. Int[((a_.) + ArcCosh[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_.)*((d1_) + (e1_.)*(x_))^(p_)*((d2_) + (e2_.)*(x_))^(p_)*((f_) + (g
      _.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Int[ExpandIntegrand[Sqrt[d1 + e1*x]*Sqrt[d2 + e2*x]*(a + b*ArcCosh[c*x])^n, (f +
      g*x)^m*(d1 + e1*x)^(p - 1/2)*(d2 + e2*x)^(p - 1/2), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d1, e1, d2, e2, f, g}, x] && Eq
      Q[e1 - c*d1, 0] && EqQ[e2 + c*d2, 0] && IntegerQ[m] && IGtQ[p + 1/2, 0] && GtQ[d1, 0] && LtQ[d2, 0] && IGtQ[n,
      0]

6393. Int[((a_.) + ArcCosh[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_.)*((d1_) + (e1_.)*(x_))^(p_)*((d2_) + (e2_.)*(x_))^(p_)*((f_) + (g
      _.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Simp[(f + g*x)^m*(d1 + e1*x)^(p + 1/2)*(d2 + e2*x)^(p + 1/2)*((a + b*ArcCosh[c*x
      ])^(n + 1)/(b*c*Sqrt[(-d1)*d2]*(n + 1))), x] - Simp[1/(b*c*Sqrt[(-d1)*d2]*(n + 1))   Int[ExpandIntegrand[(f +
      g*x)^(m - 1)*(a + b*ArcCosh[c*x])^(n + 1), (d1*d2*g*m + e1*e2*f*(2*p + 1)*x + e1*e2*g*(m + 2*p + 1)*x^2)*(d1 +
      e1*x)^(p - 1/2)*(d2 + e2*x)^(p - 1/2), x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d1, e1, d2, e2, f, g}, x] && EqQ[e1 - c*
      d1, 0] && EqQ[e2 + c*d2, 0] && ILtQ[m, 0] && IGtQ[p - 1/2, 0] && GtQ[d1, 0] && LtQ[d2, 0] && IGtQ[n, 0]

6394. Int[(((a_.) + ArcCosh[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_)*((f_) + (g_.)*(x_))^(m_.))/(Sqrt[(d1_) + (e1_.)*(x_)]*Sqrt[(d2_)
      + (e2_.)*(x_)]), x_Symbol] :> Simp[(f + g*x)^m*((a + b*ArcCosh[c*x])^(n + 1)/(b*c*Sqrt[(-d1)*d2]*(n + 1))), x
      ] - Simp[g*(m/(b*c*Sqrt[(-d1)*d2]*(n + 1)))   Int[(f + g*x)^(m - 1)*(a + b*ArcCosh[c*x])^(n + 1), x], x] /; Fr
      eeQ[{a, b, c, d1, e1, d2, e2, f, g}, x] && EqQ[e1 - c*d1, 0] && EqQ[e2 + c*d2, 0] && IGtQ[m, 0] && GtQ[d1, 0]
      && LtQ[d2, 0] && LtQ[n, -1]

6395. Int[(((a_.) + ArcCosh[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_.)*((f_) + (g_.)*(x_))^(m_.))/(Sqrt[(d1_) + (e1_.)*(x_)]*Sqrt[(d2_
      ) + (e2_.)*(x_)]), x_Symbol] :> Simp[1/(c^(m + 1)*Sqrt[(-d1)*d2])   Subst[Int[(a + b*x)^n*(c*f + g*Cosh[x])^m,
      x], x, ArcCosh[c*x]], x] /; FreeQ[{a, b, c, d1, e1, d2, e2, f, g, n}, x] && EqQ[e1 - c*d1, 0] && EqQ[e2 + c*d
      2, 0] && IntegerQ[m] && GtQ[d1, 0] && LtQ[d2, 0] && (GtQ[m, 0] || IGtQ[n, 0])

6396. Int[((a_.) + ArcCosh[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_.)*((d1_) + (e1_.)*(x_))^(p_)*((d2_) + (e2_.)*(x_))^(p_)*((f_) + (g
      _.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Int[ExpandIntegrand[(a + b*ArcCosh[c*x])^n/(Sqrt[d1 + e1*x]*Sqrt[d2 + e2*x]), (f
      + g*x)^m*(d1 + e1*x)^(p + 1/2)*(d2 + e2*x)^(p + 1/2), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d1, e1, d2, e2, f, g}, x] &&
      EqQ[e1 - c*d1, 0] && EqQ[e2 + c*d2, 0] && IntegerQ[m] && ILtQ[p + 1/2, 0] && GtQ[d1, 0] && LtQ[d2, 0] && IGtQ[
      n, 0]

6397. Int[((a_.) + ArcCosh[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_.)*((d1_) + (e1_.)*(x_))^(p_)*((d2_) + (e2_.)*(x_))^(p_)*((f_) + (g
      _.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Simp[((-d1)*d2)^IntPart[p]*(d1 + e1*x)^FracPart[p]*((d2 + e2*x)^FracPart[p]/((-1
      + c*x)^FracPart[p]*(1 + c*x)^FracPart[p]))   Int[(f + g*x)^m*(-1 + c*x)^p*(1 + c*x)^p*(a + b*ArcCosh[c*x])^n,
      x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d1, e1, d2, e2, f, g, n}, x] && EqQ[e1 - c*d1, 0] && EqQ[e2 + c*d2, 0] && IntegerQ[
      m] && IntegerQ[p - 1/2] &&  !(GtQ[d1, 0] && LtQ[d2, 0])

6398. Int[(Log[(h_.)*((f_.) + (g_.)*(x_))^(m_.)]*((a_.) + ArcCosh[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_.))/(Sqrt[(d1_) + (e1_.)*(x_
      )]*Sqrt[(d2_) + (e2_.)*(x_)]), x_Symbol] :> Simp[Log[h*(f + g*x)^m]*((a + b*ArcCosh[c*x])^(n + 1)/(b*c*Sqrt[(-
      d1)*d2]*(n + 1))), x] - Simp[g*(m/(b*c*Sqrt[(-d1)*d2]*(n + 1)))   Int[(a + b*ArcCosh[c*x])^(n + 1)/(f + g*x),
      x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d1, e1, d2, e2, f, g, h, m}, x] && EqQ[e1 - c*d1, 0] && EqQ[e2 + c*d2, 0] && GtQ[d1,
      0] && LtQ[d2, 0] && IGtQ[n, 0]

6399. Int[Log[(h_.)*((f_.) + (g_.)*(x_))^(m_.)]*((a_.) + ArcCosh[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_.)*((d1_) + (e1_.)*(x_))^(p_)
      *((d2_) + (e2_.)*(x_))^(p_), x_Symbol] :> Simp[((-d1)*d2)^IntPart[p]*(d1 + e1*x)^FracPart[p]*((d2 + e2*x)^Frac
      Part[p]/((-1 + c*x)^FracPart[p]*(1 + c*x)^FracPart[p]))   Int[Log[h*(f + g*x)^m]*(-1 + c*x)^p*(1 + c*x)^p*(a +
      b*ArcCosh[c*x])^n, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d1, e1, d2, e2, f, g, h, m, n}, x] && EqQ[e1 - c*d1, 0] && EqQ[e
      2 + c*d2, 0] && IntegerQ[p - 1/2] &&  !(GtQ[d1, 0] && LtQ[d2, 0])

6400. Int[((a_.) + ArcCosh[(c_.)*(x_)]*(b_.))*((d_) + (e_.)*(x_))^(m_)*((f_) + (g_.)*(x_))^(m_), x_Symbol] :> With[{
      u = IntHide[(d + e*x)^m*(f + g*x)^m, x]}, Simp[(a + b*ArcCosh[c*x])   u, x] - Simp[b*c   Int[1/(Sqrt[-1 + c*x]
      *Sqrt[1 + c*x])   u, x], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g}, x] && ILtQ[m + 1/2, 0]

6401. Int[((a_.) + ArcCosh[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_.)*((d_) + (e_.)*(x_))^(m_.)*((f_) + (g_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :
      > Int[ExpandIntegrand[(a + b*ArcCosh[c*x])^n, (d + e*x)^m*(f + g*x)^m, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, n
      }, x] && IntegerQ[m]

6402. Int[((a_.) + ArcCosh[(c_.)*(x_)]*(b_.))*(u_), x_Symbol] :> With[{v = IntHide[u, x]}, Simp[(a + b*ArcCosh[c*x])
      v, x] - Simp[b*c*(Sqrt[1 - c^2*x^2]/(Sqrt[-1 + c*x]*Sqrt[1 + c*x]))   Int[SimplifyIntegrand[v/Sqrt[1 - c^2*
      x^2], x], x], x] /; InverseFunctionFreeQ[v, x]] /; FreeQ[{a, b, c}, x]

6403. Int[((a_.) + ArcCosh[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_)*(Px_)*((d1_) + (e1_.)*(x_))^(p_)*((d2_) + (e2_.)*(x_))^(p_), x_Sy
      mbol] :> With[{u = ExpandIntegrand[Px*(d1 + e1*x)^p*(d2 + e2*x)^p*(a + b*ArcCosh[c*x])^n, x]}, Int[u, x] /; Su
      mQ[u]] /; FreeQ[{a, b, c, d1, e1, d2, e2, n}, x] && PolyQ[Px, x] && EqQ[e1 - c*d1, 0] && EqQ[e2 + c*d2, 0] &&
      IntegerQ[p - 1/2]

6404. Int[((a_.) + ArcCosh[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_.)*(Px_.)*((f_) + (g_.)*((d1_) + (e1_.)*(x_))^(p_)*((d2_) + (e2_.)*
      (x_))^(p_))^(m_.), x_Symbol] :> With[{u = ExpandIntegrand[Px*(f + g*(d1 + e1*x)^p*(d2 + e2*x)^p)^m*(a + b*ArcC
      osh[c*x])^n, x]}, Int[u, x] /; SumQ[u]] /; FreeQ[{a, b, c, d1, e1, d2, e2, f, g}, x] && PolyQ[Px, x] && EqQ[e1
      - c*d1, 0] && EqQ[e2 + c*d2, 0] && IGtQ[p + 1/2, 0] && IntegersQ[m, n]

6405. Int[ArcCosh[(c_.)*(x_)]^(n_.)*(RFx_), x_Symbol] :> With[{u = ExpandIntegrand[ArcCosh[c*x]^n, RFx, x]}, Int[u,
      x] /; SumQ[u]] /; FreeQ[c, x] && RationalFunctionQ[RFx, x] && IGtQ[n, 0]

6406. Int[(ArcCosh[(c_.)*(x_)]*(b_.) + (a_))^(n_.)*(RFx_), x_Symbol] :> Int[ExpandIntegrand[RFx*(a + b*ArcCosh[c*x])
      ^n, x], x] /; FreeQ[{a, b, c}, x] && RationalFunctionQ[RFx, x] && IGtQ[n, 0]

6407. Int[ArcCosh[(c_.)*(x_)]^(n_.)*(RFx_)*((d1_) + (e1_.)*(x_))^(p_)*((d2_) + (e2_.)*(x_))^(p_), x_Symbol] :> With[
      {u = ExpandIntegrand[(d1 + e1*x)^p*(d2 + e2*x)^p*ArcCosh[c*x]^n, RFx, x]}, Int[u, x] /; SumQ[u]] /; FreeQ[{c,
      d1, e1, d2, e2}, x] && RationalFunctionQ[RFx, x] && IGtQ[n, 0] && EqQ[e1 - c*d1, 0] && EqQ[e2 + c*d2, 0] && In
      tegerQ[p - 1/2]

6408. Int[(ArcCosh[(c_.)*(x_)]*(b_.) + (a_))^(n_.)*(RFx_)*((d1_) + (e1_.)*(x_))^(p_)*((d2_) + (e2_.)*(x_))^(p_), x_S
      ymbol] :> Int[ExpandIntegrand[(d1 + e1*x)^p*(d2 + e2*x)^p, RFx*(a + b*ArcCosh[c*x])^n, x], x] /; FreeQ[{a, b,
      c, d1, e1, d2, e2}, x] && RationalFunctionQ[RFx, x] && IGtQ[n, 0] && EqQ[e1 - c*d1, 0] && EqQ[e2 + c*d2, 0] &&
      IntegerQ[p - 1/2]

6409. Int[((a_.) + ArcCosh[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_.)*(u_.), x_Symbol] :> Unintegrable[u*(a + b*ArcCosh[c*x])^n, x] /;
      FreeQ[{a, b, c, n}, x]

6410. Int[((a_.) + ArcCosh[(c_) + (d_.)*(x_)]*(b_.))^(n_.), x_Symbol] :> Simp[1/d   Subst[Int[(a + b*ArcCosh[x])^n,
      x], x, c + d*x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, n}, x]

6411. Int[((a_.) + ArcCosh[(c_) + (d_.)*(x_)]*(b_.))^(n_.)*((e_.) + (f_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Simp[1/d   Subst
      [Int[((d*e - c*f)/d + f*(x/d))^m*(a + b*ArcCosh[x])^n, x], x, c + d*x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m, n},
      x]

6412. Int[((a_.) + ArcCosh[(c_) + (d_.)*(x_)]*(b_.))^(n_.)*((A_.) + (B_.)*(x_) + (C_.)*(x_)^2)^(p_.), x_Symbol] :> S
      imp[1/d   Subst[Int[(-C/d^2 + (C/d^2)*x^2)^p*(a + b*ArcCosh[x])^n, x], x, c + d*x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, A
      , B, C, n, p}, x] && EqQ[B*(1 - c^2) + 2*A*c*d, 0] && EqQ[2*c*C - B*d, 0]

6413. Int[((a_.) + ArcCosh[(c_) + (d_.)*(x_)]*(b_.))^(n_.)*((e_.) + (f_.)*(x_))^(m_.)*((A_.) + (B_.)*(x_) + (C_.)*(x
      _)^2)^(p_.), x_Symbol] :> Simp[1/d   Subst[Int[((d*e - c*f)/d + f*(x/d))^m*(-C/d^2 + (C/d^2)*x^2)^p*(a + b*Arc
      Cosh[x])^n, x], x, c + d*x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, A, B, C, m, n, p}, x] && EqQ[B*(1 - c^2) + 2*A*c*d
      , 0] && EqQ[2*c*C - B*d, 0]

6414. Int[Sqrt[(a_.) + ArcCosh[1 + (d_.)*(x_)^2]*(b_.)], x_Symbol] :> Simp[2*Sqrt[a + b*ArcCosh[1 + d*x^2]]*(Sinh[(1
      /2)*ArcCosh[1 + d*x^2]]^2/(d*x)), x] + (Simp[Sqrt[b]*Sqrt[Pi/2]*(Cosh[a/(2*b)] + Sinh[a/(2*b)])*Sinh[(1/2)*Arc
      Cosh[1 + d*x^2]]*(Erf[(1/Sqrt[2*b])*Sqrt[a + b*ArcCosh[1 + d*x^2]]]/(d*x)), x] - Simp[Sqrt[b]*Sqrt[Pi/2]*(Cosh
      [a/(2*b)] - Sinh[a/(2*b)])*Sinh[(1/2)*ArcCosh[1 + d*x^2]]*(Erfi[(1/Sqrt[2*b])*Sqrt[a + b*ArcCosh[1 + d*x^2]]]/
      (d*x)), x]) /; FreeQ[{a, b, d}, x]

6415. Int[Sqrt[(a_.) + ArcCosh[-1 + (d_.)*(x_)^2]*(b_.)], x_Symbol] :> Simp[2*Sqrt[a + b*ArcCosh[-1 + d*x^2]]*(Cosh[
      (1/2)*ArcCosh[-1 + d*x^2]]^2/(d*x)), x] + (-Simp[Sqrt[b]*Sqrt[Pi/2]*(Cosh[a/(2*b)] + Sinh[a/(2*b)])*Cosh[(1/2)
      *ArcCosh[-1 + d*x^2]]*(Erf[(1/Sqrt[2*b])*Sqrt[a + b*ArcCosh[-1 + d*x^2]]]/(d*x)), x] - Simp[Sqrt[b]*Sqrt[Pi/2]
      *(Cosh[a/(2*b)] - Sinh[a/(2*b)])*Cosh[(1/2)*ArcCosh[-1 + d*x^2]]*(Erfi[(1/Sqrt[2*b])*Sqrt[a + b*ArcCosh[-1 + d
      *x^2]]]/(d*x)), x]) /; FreeQ[{a, b, d}, x]

6416. Int[((a_.) + ArcCosh[(c_) + (d_.)*(x_)^2]*(b_.))^(n_), x_Symbol] :> Simp[x*(a + b*ArcCosh[c + d*x^2])^n, x] +
      (-Simp[2*b*n*(2*c*d*x^2 + d^2*x^4)*((a + b*ArcCosh[c + d*x^2])^(n - 1)/(d*x*Sqrt[-1 + c + d*x^2]*Sqrt[1 + c +
      d*x^2])), x] + Simp[4*b^2*n*(n - 1)   Int[(a + b*ArcCosh[c + d*x^2])^(n - 2), x], x]) /; FreeQ[{a, b, c, d}, x
      ] && EqQ[c^2, 1] && GtQ[n, 1]

6417. Int[((a_.) + ArcCosh[1 + (d_.)*(x_)^2]*(b_.))^(-1), x_Symbol] :> Simp[x*Cosh[a/(2*b)]*(CoshIntegral[(a + b*Arc
      Cosh[1 + d*x^2])/(2*b)]/(Sqrt[2]*b*Sqrt[d*x^2])), x] - Simp[x*Sinh[a/(2*b)]*(SinhIntegral[(a + b*ArcCosh[1 + d
      *x^2])/(2*b)]/(Sqrt[2]*b*Sqrt[d*x^2])), x] /; FreeQ[{a, b, d}, x]

6418. Int[((a_.) + ArcCosh[-1 + (d_.)*(x_)^2]*(b_.))^(-1), x_Symbol] :> Simp[(-x)*Sinh[a/(2*b)]*(CoshIntegral[(a + b
      *ArcCosh[-1 + d*x^2])/(2*b)]/(Sqrt[2]*b*Sqrt[d*x^2])), x] + Simp[x*Cosh[a/(2*b)]*(SinhIntegral[(a + b*ArcCosh[
      -1 + d*x^2])/(2*b)]/(Sqrt[2]*b*Sqrt[d*x^2])), x] /; FreeQ[{a, b, d}, x]

6419. Int[1/Sqrt[(a_.) + ArcCosh[1 + (d_.)*(x_)^2]*(b_.)], x_Symbol] :> Simp[Sqrt[Pi/2]*(Cosh[a/(2*b)] - Sinh[a/(2*b
      )])*Sinh[ArcCosh[1 + d*x^2]/2]*(Erfi[Sqrt[a + b*ArcCosh[1 + d*x^2]]/Sqrt[2*b]]/(Sqrt[b]*d*x)), x] + Simp[Sqrt[
      Pi/2]*(Cosh[a/(2*b)] + Sinh[a/(2*b)])*Sinh[ArcCosh[1 + d*x^2]/2]*(Erf[Sqrt[a + b*ArcCosh[1 + d*x^2]]/Sqrt[2*b]
      ]/(Sqrt[b]*d*x)), x] /; FreeQ[{a, b, d}, x]

6420. Int[1/Sqrt[(a_.) + ArcCosh[-1 + (d_.)*(x_)^2]*(b_.)], x_Symbol] :> Simp[Sqrt[Pi/2]*(Cosh[a/(2*b)] - Sinh[a/(2*
      b)])*Cosh[ArcCosh[-1 + d*x^2]/2]*(Erfi[Sqrt[a + b*ArcCosh[-1 + d*x^2]]/Sqrt[2*b]]/(Sqrt[b]*d*x)), x] - Simp[Sq
      rt[Pi/2]*(Cosh[a/(2*b)] + Sinh[a/(2*b)])*Cosh[ArcCosh[-1 + d*x^2]/2]*(Erf[Sqrt[a + b*ArcCosh[-1 + d*x^2]]/Sqrt
      [2*b]]/(Sqrt[b]*d*x)), x] /; FreeQ[{a, b, d}, x]

6421. Int[((a_.) + ArcCosh[1 + (d_.)*(x_)^2]*(b_.))^(-3/2), x_Symbol] :> Simp[(-Sqrt[d*x^2])*(Sqrt[2 + d*x^2]/(b*d*x
      *Sqrt[a + b*ArcCosh[1 + d*x^2]])), x] + (-Simp[Sqrt[Pi/2]*(Cosh[a/(2*b)] + Sinh[a/(2*b)])*Sinh[ArcCosh[1 + d*x
      ^2]/2]*(Erf[Sqrt[a + b*ArcCosh[1 + d*x^2]]/Sqrt[2*b]]/(b^(3/2)*d*x)), x] + Simp[Sqrt[Pi/2]*(Cosh[a/(2*b)] - Si
      nh[a/(2*b)])*Sinh[ArcCosh[1 + d*x^2]/2]*(Erfi[Sqrt[a + b*ArcCosh[1 + d*x^2]]/Sqrt[2*b]]/(b^(3/2)*d*x)), x]) /;
      FreeQ[{a, b, d}, x]

6422. Int[((a_.) + ArcCosh[-1 + (d_.)*(x_)^2]*(b_.))^(-3/2), x_Symbol] :> Simp[(-Sqrt[d*x^2])*(Sqrt[-2 + d*x^2]/(b*d
      *x*Sqrt[a + b*ArcCosh[-1 + d*x^2]])), x] + (Simp[Sqrt[Pi/2]*(Cosh[a/(2*b)] + Sinh[a/(2*b)])*Cosh[ArcCosh[-1 +
      d*x^2]/2]*(Erf[Sqrt[a + b*ArcCosh[-1 + d*x^2]]/Sqrt[2*b]]/(b^(3/2)*d*x)), x] + Simp[Sqrt[Pi/2]*(Cosh[a/(2*b)]
      - Sinh[a/(2*b)])*Cosh[ArcCosh[-1 + d*x^2]/2]*(Erfi[Sqrt[a + b*ArcCosh[-1 + d*x^2]]/Sqrt[2*b]]/(b^(3/2)*d*x)),
      x]) /; FreeQ[{a, b, d}, x]

6423. Int[((a_.) + ArcCosh[1 + (d_.)*(x_)^2]*(b_.))^(-2), x_Symbol] :> Simp[(-Sqrt[d*x^2])*(Sqrt[2 + d*x^2]/(2*b*d*x
      *(a + b*ArcCosh[1 + d*x^2]))), x] + (-Simp[x*Sinh[a/(2*b)]*(CoshIntegral[(a + b*ArcCosh[1 + d*x^2])/(2*b)]/(2*
      Sqrt[2]*b^2*Sqrt[d*x^2])), x] + Simp[x*Cosh[a/(2*b)]*(SinhIntegral[(a + b*ArcCosh[1 + d*x^2])/(2*b)]/(2*Sqrt[2
      ]*b^2*Sqrt[d*x^2])), x]) /; FreeQ[{a, b, d}, x]

6424. Int[((a_.) + ArcCosh[-1 + (d_.)*(x_)^2]*(b_.))^(-2), x_Symbol] :> Simp[(-Sqrt[d*x^2])*(Sqrt[-2 + d*x^2]/(2*b*d
      *x*(a + b*ArcCosh[-1 + d*x^2]))), x] + (Simp[x*Cosh[a/(2*b)]*(CoshIntegral[(a + b*ArcCosh[-1 + d*x^2])/(2*b)]/
      (2*Sqrt[2]*b^2*Sqrt[d*x^2])), x] - Simp[x*Sinh[a/(2*b)]*(SinhIntegral[(a + b*ArcCosh[-1 + d*x^2])/(2*b)]/(2*Sq
      rt[2]*b^2*Sqrt[d*x^2])), x]) /; FreeQ[{a, b, d}, x]

6425. Int[((a_.) + ArcCosh[(c_) + (d_.)*(x_)^2]*(b_.))^(n_), x_Symbol] :> Simp[(-x)*((a + b*ArcCosh[c + d*x^2])^(n +
      2)/(4*b^2*(n + 1)*(n + 2))), x] + (Simp[(2*c*x^2 + d*x^4)*((a + b*ArcCosh[c + d*x^2])^(n + 1)/(2*b*(n + 1)*x*
      Sqrt[-1 + c + d*x^2]*Sqrt[1 + c + d*x^2])), x] + Simp[1/(4*b^2*(n + 1)*(n + 2))   Int[(a + b*ArcCosh[c + d*x^2
      ])^(n + 2), x], x]) /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && EqQ[c^2, 1] && LtQ[n, -1] && NeQ[n, -2]

6426. Int[ArcCosh[(a_.)*(x_)^(p_)]^(n_.)/(x_), x_Symbol] :> Simp[1/p   Subst[Int[x^n*Tanh[x], x], x, ArcCosh[a*x^p]]
      , x] /; FreeQ[{a, p}, x] && IGtQ[n, 0]

6427. Int[ArcCosh[(c_.)/((a_.) + (b_.)*(x_)^(n_.))]^(m_.)*(u_.), x_Symbol] :> Int[u*ArcSech[a/c + b*(x^n/c)]^m, x] /
      ; FreeQ[{a, b, c, n, m}, x]

6428. Int[ArcCosh[Sqrt[1 + (b_.)*(x_)^2]]^(n_.)/Sqrt[1 + (b_.)*(x_)^2], x_Symbol] :> Simp[Sqrt[-1 + Sqrt[1 + b*x^2]]
      *(Sqrt[1 + Sqrt[1 + b*x^2]]/(b*x))   Subst[Int[ArcCosh[x]^n/(Sqrt[-1 + x]*Sqrt[1 + x]), x], x, Sqrt[1 + b*x^2]
      ], x] /; FreeQ[{b, n}, x]

6429. Int[(f_)^(ArcCosh[(a_.) + (b_.)*(x_)]^(n_.)*(c_.)), x_Symbol] :> Simp[1/b   Subst[Int[f^(c*x^n)*Sinh[x], x], x
      , ArcCosh[a + b*x]], x] /; FreeQ[{a, b, c, f}, x] && IGtQ[n, 0]

6430. Int[(f_)^(ArcCosh[(a_.) + (b_.)*(x_)]^(n_.)*(c_.))*(x_)^(m_.), x_Symbol] :> Simp[1/b   Subst[Int[(-a/b + Cosh[
      x]/b)^m*f^(c*x^n)*Sinh[x], x], x, ArcCosh[a + b*x]], x] /; FreeQ[{a, b, c, f}, x] && IGtQ[m, 0] && IGtQ[n, 0]

6431. Int[ArcCosh[u_], x_Symbol] :> Simp[x*ArcCosh[u], x] - Int[SimplifyIntegrand[x*(D[u, x]/(Sqrt[-1 + u]*Sqrt[1 +
      u])), x], x] /; InverseFunctionFreeQ[u, x] &&  !FunctionOfExponentialQ[u, x]

6432. Int[((a_.) + ArcCosh[u_]*(b_.))*((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Simp[(c + d*x)^(m + 1)*((a + b*ArcCos
      h[u])/(d*(m + 1))), x] - Simp[b/(d*(m + 1))   Int[SimplifyIntegrand[(c + d*x)^(m + 1)*(D[u, x]/(Sqrt[-1 + u]*S
      qrt[1 + u])), x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, m}, x] && NeQ[m, -1] && InverseFunctionFreeQ[u, x] &&  !Functio
      nOfQ[(c + d*x)^(m + 1), u, x] &&  !FunctionOfExponentialQ[u, x]

6433. Int[((a_.) + ArcCosh[u_]*(b_.))*(v_), x_Symbol] :> With[{w = IntHide[v, x]}, Simp[(a + b*ArcCosh[u])   w, x] -
      Simp[b   Int[SimplifyIntegrand[w*(D[u, x]/(Sqrt[-1 + u]*Sqrt[1 + u])), x], x], x] /; InverseFunctionFreeQ[w,
      x]] /; FreeQ[{a, b}, x] && InverseFunctionFreeQ[u, x] &&  !MatchQ[v, ((c_.) + (d_.)*x)^(m_.) /; FreeQ[{c, d, m
      }, x]]

6434. Int[E^(ArcCosh[u_]*(n_.)), x_Symbol] :> Int[(u + Sqrt[-1 + u]*Sqrt[1 + u])^n, x] /; IntegerQ[n] && PolyQ[u, x]

6435. Int[E^(ArcCosh[u_]*(n_.))*(x_)^(m_.), x_Symbol] :> Int[x^m*(u + Sqrt[-1 + u]*Sqrt[1 + u])^n, x] /; RationalQ[m
      ] && IntegerQ[n] && PolyQ[u, x]

6436. Int[((a_.) + ArcTanh[(c_.)*(x_)^(n_.)]*(b_.))^(p_.), x_Symbol] :> Simp[x*(a + b*ArcTanh[c*x^n])^p, x] - Simp[b
      *c*n*p   Int[x^n*((a + b*ArcTanh[c*x^n])^(p - 1)/(1 - c^2*x^(2*n))), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, n}, x] && IGtQ[
      p, 0] && (EqQ[n, 1] || EqQ[p, 1])

6437. Int[((a_.) + ArcCoth[(c_.)*(x_)^(n_.)]*(b_.))^(p_.), x_Symbol] :> Simp[x*(a + b*ArcCoth[c*x^n])^p, x] - Simp[b
      *c*n*p   Int[x^n*((a + b*ArcCoth[c*x^n])^(p - 1)/(1 - c^2*x^(2*n))), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, n}, x] && IGtQ[
      p, 0] && (EqQ[n, 1] || EqQ[p, 1])

6438. Int[((a_.) + ArcTanh[(c_.)*(x_)^(n_)]*(b_.))^(p_), x_Symbol] :> Int[ExpandIntegrand[(a + b*(Log[1 + c*x^n]/2)
      - b*(Log[1 - c*x^n]/2))^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c}, x] && IGtQ[p, 1] && IGtQ[n, 0]

6439. Int[((a_.) + ArcCoth[(c_.)*(x_)^(n_)]*(b_.))^(p_), x_Symbol] :> Int[ExpandIntegrand[(a + b*(Log[1 + 1/(x^n*c)]
      /2) - b*(Log[1 - 1/(x^n*c)]/2))^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c}, x] && IGtQ[p, 1] && IGtQ[n, 0]

6440. Int[((a_.) + ArcTanh[(c_.)*(x_)^(n_)]*(b_.))^(p_), x_Symbol] :> Int[(a + b*ArcCoth[1/(x^n*c)])^p, x] /; FreeQ[
      {a, b, c}, x] && IGtQ[p, 1] && ILtQ[n, 0]

6441. Int[((a_.) + ArcCoth[(c_.)*(x_)^(n_)]*(b_.))^(p_), x_Symbol] :> Int[(a + b*ArcTanh[1/(x^n*c)])^p, x] /; FreeQ[
      {a, b, c}, x] && IGtQ[p, 1] && ILtQ[n, 0]

6442. Int[((a_.) + ArcTanh[(c_.)*(x_)^(n_)]*(b_.))^(p_), x_Symbol] :> With[{k = Denominator[n]}, Simp[k   Subst[Int[
      x^(k - 1)*(a + b*ArcTanh[c*x^(k*n)])^p, x], x, x^(1/k)], x]] /; FreeQ[{a, b, c}, x] && IGtQ[p, 1] && FractionQ
      [n]

6443. Int[((a_.) + ArcCoth[(c_.)*(x_)^(n_)]*(b_.))^(p_), x_Symbol] :> With[{k = Denominator[n]}, Simp[k   Subst[Int[
      x^(k - 1)*(a + b*ArcCoth[c*x^(k*n)])^p, x], x, x^(1/k)], x]] /; FreeQ[{a, b, c}, x] && IGtQ[p, 1] && FractionQ
      [n]

6444. Int[((a_.) + ArcTanh[(c_.)*(x_)^(n_.)]*(b_.))^(p_), x_Symbol] :> Unintegrable[(a + b*ArcTanh[c*x^n])^p, x] /;
      FreeQ[{a, b, c, n, p}, x]

6445. Int[((a_.) + ArcCoth[(c_.)*(x_)^(n_.)]*(b_.))^(p_), x_Symbol] :> Unintegrable[(a + b*ArcCoth[c*x^n])^p, x] /;
      FreeQ[{a, b, c, n, p}, x]

6446. Int[((a_.) + ArcTanh[(c_.)*(x_)]*(b_.))/(x_), x_Symbol] :> Simp[a*Log[x], x] + (-Simp[(b/2)*PolyLog[2, (-c)*x]
      , x] + Simp[(b/2)*PolyLog[2, c*x], x]) /; FreeQ[{a, b, c}, x]

6447. Int[((a_.) + ArcCoth[(c_.)*(x_)]*(b_.))/(x_), x_Symbol] :> Simp[a*Log[x], x] + (Simp[(b/2)*PolyLog[2, -(c*x)^(
      -1)], x] - Simp[(b/2)*PolyLog[2, 1/(c*x)], x]) /; FreeQ[{a, b, c}, x]

6448. Int[((a_.) + ArcTanh[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(p_)/(x_), x_Symbol] :> Simp[2*(a + b*ArcTanh[c*x])^p*ArcTanh[1 - 2/(1
      - c*x)], x] - Simp[2*b*c*p   Int[(a + b*ArcTanh[c*x])^(p - 1)*(ArcTanh[1 - 2/(1 - c*x)]/(1 - c^2*x^2)), x], x
      ] /; FreeQ[{a, b, c}, x] && IGtQ[p, 1]

6449. Int[((a_.) + ArcCoth[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(p_)/(x_), x_Symbol] :> Simp[2*(a + b*ArcCoth[c*x])^p*ArcCoth[1 - 2/(1
      - c*x)], x] - Simp[2*b*c*p   Int[(a + b*ArcCoth[c*x])^(p - 1)*(ArcCoth[1 - 2/(1 - c*x)]/(1 - c^2*x^2)), x], x
      ] /; FreeQ[{a, b, c}, x] && IGtQ[p, 1]

6450. Int[((a_.) + ArcTanh[(c_.)*(x_)^(n_)]*(b_.))^(p_.)/(x_), x_Symbol] :> Simp[1/n   Subst[Int[(a + b*ArcTanh[c*x]
      )^p/x, x], x, x^n], x] /; FreeQ[{a, b, c, n}, x] && IGtQ[p, 0]

6451. Int[((a_.) + ArcCoth[(c_.)*(x_)^(n_)]*(b_.))^(p_.)/(x_), x_Symbol] :> Simp[1/n   Subst[Int[(a + b*ArcCoth[c*x]
      )^p/x, x], x, x^n], x] /; FreeQ[{a, b, c, n}, x] && IGtQ[p, 0]

6452. Int[((a_.) + ArcTanh[(c_.)*(x_)^(n_.)]*(b_.))^(p_.)*(x_)^(m_.), x_Symbol] :> Simp[x^(m + 1)*((a + b*ArcTanh[c*
      x^n])^p/(m + 1)), x] - Simp[b*c*n*(p/(m + 1))   Int[x^(m + n)*((a + b*ArcTanh[c*x^n])^(p - 1)/(1 - c^2*x^(2*n)
      )), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, m, n}, x] && IGtQ[p, 0] && (EqQ[p, 1] || (EqQ[n, 1] && IntegerQ[m])) && NeQ[m, -
      1]

6453. Int[((a_.) + ArcCoth[(c_.)*(x_)^(n_.)]*(b_.))^(p_.)*(x_)^(m_.), x_Symbol] :> Simp[x^(m + 1)*((a + b*ArcCoth[c*
      x^n])^p/(m + 1)), x] - Simp[b*c*n*(p/(m + 1))   Int[x^(m + n)*((a + b*ArcCoth[c*x^n])^(p - 1)/(1 - c^2*x^(2*n)
      )), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, m, n}, x] && IGtQ[p, 0] && (EqQ[p, 1] || (EqQ[n, 1] && IntegerQ[m])) && NeQ[m, -
      1]

6454. Int[((a_.) + ArcTanh[(c_.)*(x_)^(n_)]*(b_.))^(p_.)*(x_)^(m_.), x_Symbol] :> Simp[1/n   Subst[Int[x^(Simplify[(
      m + 1)/n] - 1)*(a + b*ArcTanh[c*x])^p, x], x, x^n], x] /; FreeQ[{a, b, c, m, n}, x] && IGtQ[p, 1] && IntegerQ[
      Simplify[(m + 1)/n]]

6455. Int[((a_.) + ArcCoth[(c_.)*(x_)^(n_)]*(b_.))^(p_.)*(x_)^(m_.), x_Symbol] :> Simp[1/n   Subst[Int[x^(Simplify[(
      m + 1)/n] - 1)*(a + b*ArcCoth[c*x])^p, x], x, x^n], x] /; FreeQ[{a, b, c, m, n}, x] && IGtQ[p, 1] && IntegerQ[
      Simplify[(m + 1)/n]]

6456. Int[((a_.) + ArcTanh[(c_.)*(x_)^(n_)]*(b_.))^(p_)*(x_)^(m_.), x_Symbol] :> Int[ExpandIntegrand[x^m*(a + b*(Log
      [1 + c*x^n]/2) - b*(Log[1 - c*x^n]/2))^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c}, x] && IGtQ[p, 1] && IGtQ[n, 0] && Integer
      Q[m]

6457. Int[((a_.) + ArcCoth[(c_.)*(x_)^(n_)]*(b_.))^(p_)*(x_)^(m_.), x_Symbol] :> Int[ExpandIntegrand[x^m*(a + b*(Log
      [1 + 1/(x^n*c)]/2) - b*(Log[1 - 1/(x^n*c)]/2))^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c}, x] && IGtQ[p, 1] && IGtQ[n, 0] &&
      IntegerQ[m]

6458. Int[((a_.) + ArcTanh[(c_.)*(x_)^(n_)]*(b_.))^(p_)*(x_)^(m_.), x_Symbol] :> With[{k = Denominator[m]}, Simp[k
      Subst[Int[x^(k*(m + 1) - 1)*(a + b*ArcTanh[c*x^(k*n)])^p, x], x, x^(1/k)], x]] /; FreeQ[{a, b, c}, x] && IGtQ
      [p, 1] && IGtQ[n, 0] && FractionQ[m]

6459. Int[((a_.) + ArcCoth[(c_.)*(x_)^(n_)]*(b_.))^(p_)*(x_)^(m_.), x_Symbol] :> With[{k = Denominator[m]}, Simp[k
      Subst[Int[x^(k*(m + 1) - 1)*(a + b*ArcCoth[c*x^(k*n)])^p, x], x, x^(1/k)], x]] /; FreeQ[{a, b, c}, x] && IGtQ
      [p, 1] && IGtQ[n, 0] && FractionQ[m]

6460. Int[((a_.) + ArcTanh[(c_.)*(x_)^(n_)]*(b_.))^(p_)*(x_)^(m_.), x_Symbol] :> Int[x^m*(a + b*ArcCoth[1/(x^n*c)])^
      p, x] /; FreeQ[{a, b, c, m}, x] && IGtQ[p, 1] && ILtQ[n, 0]

6461. Int[((a_.) + ArcCoth[(c_.)*(x_)^(n_)]*(b_.))^(p_)*(x_)^(m_.), x_Symbol] :> Int[x^m*(a + b*ArcTanh[1/(x^n*c)])^
      p, x] /; FreeQ[{a, b, c, m}, x] && IGtQ[p, 1] && ILtQ[n, 0]

6462. Int[((a_.) + ArcTanh[(c_.)*(x_)^(n_)]*(b_.))^(p_)*(x_)^(m_.), x_Symbol] :> With[{k = Denominator[n]}, Simp[k
      Subst[Int[x^(k*(m + 1) - 1)*(a + b*ArcTanh[c*x^(k*n)])^p, x], x, x^(1/k)], x]] /; FreeQ[{a, b, c, m}, x] && I
      GtQ[p, 1] && FractionQ[n]

6463. Int[((a_.) + ArcCoth[(c_.)*(x_)^(n_)]*(b_.))^(p_)*(x_)^(m_.), x_Symbol] :> With[{k = Denominator[n]}, Simp[k
      Subst[Int[x^(k*(m + 1) - 1)*(a + b*ArcCoth[c*x^(k*n)])^p, x], x, x^(1/k)], x]] /; FreeQ[{a, b, c, m}, x] && I
      GtQ[p, 1] && FractionQ[n]

6464. Int[((a_.) + ArcTanh[(c_.)*(x_)^(n_.)]*(b_.))*((d_)*(x_))^(m_), x_Symbol] :> Simp[(d*x)^(m + 1)*((a + b*ArcTan
      h[c*x^n])/(d*(m + 1))), x] - Simp[b*c*(n/(d^n*(m + 1)))   Int[(d*x)^(m + n)/(1 - c^2*x^(2*n)), x], x] /; FreeQ
      [{a, b, c, d, m, n}, x] && IntegerQ[n] && NeQ[m, -1]

6465. Int[((a_.) + ArcCoth[(c_.)*(x_)^(n_.)]*(b_.))*((d_)*(x_))^(m_), x_Symbol] :> Simp[(d*x)^(m + 1)*((a + b*ArcCot
      h[c*x^n])/(d*(m + 1))), x] - Simp[b*c*(n/(d^n*(m + 1)))   Int[(d*x)^(m + n)/(1 - c^2*x^(2*n)), x], x] /; FreeQ
      [{a, b, c, d, m, n}, x] && IntegerQ[n] && NeQ[m, -1]

6466. Int[((a_.) + ArcTanh[(c_.)*(x_)^(n_.)]*(b_.))^(p_.)*((d_)*(x_))^(m_), x_Symbol] :> Simp[d^IntPart[m]*((d*x)^Fr
      acPart[m]/x^FracPart[m])   Int[x^m*(a + b*ArcTanh[c*x^n])^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, m, n}, x] && IGtQ[p,
      0] && (EqQ[p, 1] || RationalQ[m, n])

6467. Int[((a_.) + ArcCoth[(c_.)*(x_)^(n_.)]*(b_.))^(p_.)*((d_)*(x_))^(m_), x_Symbol] :> Simp[d^IntPart[m]*((d*x)^Fr
      acPart[m]/x^FracPart[m])   Int[x^m*(a + b*ArcCoth[c*x^n])^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, m, n}, x] && IGtQ[p,
      0] && (EqQ[p, 1] || RationalQ[m, n])

6468. Int[((a_.) + ArcTanh[(c_.)*(x_)^(n_.)]*(b_.))^(p_.)*((d_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Unintegrable[(d*x)^m*(a +
      b*ArcTanh[c*x^n])^p, x] /; FreeQ[{a, b, c, d, m, n, p}, x]

6469. Int[((a_.) + ArcCoth[(c_.)*(x_)^(n_.)]*(b_.))^(p_.)*((d_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Unintegrable[(d*x)^m*(a +
      b*ArcCoth[c*x^n])^p, x] /; FreeQ[{a, b, c, d, m, n, p}, x]

6470. Int[((a_.) + ArcTanh[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(p_.)/((d_) + (e_.)*(x_)), x_Symbol] :> Simp[(-(a + b*ArcTanh[c*x])^p)
      *(Log[2/(1 + e*(x/d))]/e), x] + Simp[b*c*(p/e)   Int[(a + b*ArcTanh[c*x])^(p - 1)*(Log[2/(1 + e*(x/d))]/(1 - c
      ^2*x^2)), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && IGtQ[p, 0] && EqQ[c^2*d^2 - e^2, 0]

6471. Int[((a_.) + ArcCoth[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(p_.)/((d_) + (e_.)*(x_)), x_Symbol] :> Simp[(-(a + b*ArcCoth[c*x])^p)
      *(Log[2/(1 + e*(x/d))]/e), x] + Simp[b*c*(p/e)   Int[(a + b*ArcCoth[c*x])^(p - 1)*(Log[2/(1 + e*(x/d))]/(1 - c
      ^2*x^2)), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && IGtQ[p, 0] && EqQ[c^2*d^2 - e^2, 0]

6472. Int[((a_.) + ArcTanh[(c_.)*(x_)]*(b_.))/((d_) + (e_.)*(x_)), x_Symbol] :> Simp[(-(a + b*ArcTanh[c*x]))*(Log[2/
      (1 + c*x)]/e), x] + (Simp[(a + b*ArcTanh[c*x])*(Log[2*c*((d + e*x)/((c*d + e)*(1 + c*x)))]/e), x] + Simp[b*(c/
      e)   Int[Log[2/(1 + c*x)]/(1 - c^2*x^2), x], x] - Simp[b*(c/e)   Int[Log[2*c*((d + e*x)/((c*d + e)*(1 + c*x)))
      ]/(1 - c^2*x^2), x], x]) /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && NeQ[c^2*d^2 - e^2, 0]

6473. Int[((a_.) + ArcCoth[(c_.)*(x_)]*(b_.))/((d_) + (e_.)*(x_)), x_Symbol] :> Simp[(-(a + b*ArcCoth[c*x]))*(Log[2/
      (1 + c*x)]/e), x] + (Simp[(a + b*ArcCoth[c*x])*(Log[2*c*((d + e*x)/((c*d + e)*(1 + c*x)))]/e), x] + Simp[b*(c/
      e)   Int[Log[2/(1 + c*x)]/(1 - c^2*x^2), x], x] - Simp[b*(c/e)   Int[Log[2*c*((d + e*x)/((c*d + e)*(1 + c*x)))
      ]/(1 - c^2*x^2), x], x]) /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && NeQ[c^2*d^2 - e^2, 0]

6474. Int[((a_.) + ArcTanh[(c_.)*(x_)]*(b_.))^2/((d_) + (e_.)*(x_)), x_Symbol] :> Simp[(-(a + b*ArcTanh[c*x])^2)*(Lo
      g[2/(1 + c*x)]/e), x] + (Simp[(a + b*ArcTanh[c*x])^2*(Log[2*c*((d + e*x)/((c*d + e)*(1 + c*x)))]/e), x] + Simp
      [b*(a + b*ArcTanh[c*x])*(PolyLog[2, 1 - 2/(1 + c*x)]/e), x] - Simp[b*(a + b*ArcTanh[c*x])*(PolyLog[2, 1 - 2*c*
      ((d + e*x)/((c*d + e)*(1 + c*x)))]/e), x] + Simp[b^2*(PolyLog[3, 1 - 2/(1 + c*x)]/(2*e)), x] - Simp[b^2*(PolyL
      og[3, 1 - 2*c*((d + e*x)/((c*d + e)*(1 + c*x)))]/(2*e)), x]) /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && NeQ[c^2*d^2 - e^2
      , 0]

6475. Int[((a_.) + ArcCoth[(c_.)*(x_)]*(b_.))^2/((d_) + (e_.)*(x_)), x_Symbol] :> Simp[(-(a + b*ArcCoth[c*x])^2)*(Lo
      g[2/(1 + c*x)]/e), x] + (Simp[(a + b*ArcCoth[c*x])^2*(Log[2*c*((d + e*x)/((c*d + e)*(1 + c*x)))]/e), x] + Simp
      [b*(a + b*ArcCoth[c*x])*(PolyLog[2, 1 - 2/(1 + c*x)]/e), x] - Simp[b*(a + b*ArcCoth[c*x])*(PolyLog[2, 1 - 2*c*
      ((d + e*x)/((c*d + e)*(1 + c*x)))]/e), x] + Simp[b^2*(PolyLog[3, 1 - 2/(1 + c*x)]/(2*e)), x] - Simp[b^2*(PolyL
      og[3, 1 - 2*c*((d + e*x)/((c*d + e)*(1 + c*x)))]/(2*e)), x]) /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && NeQ[c^2*d^2 - e^2
      , 0]

6476. Int[((a_.) + ArcTanh[(c_.)*(x_)]*(b_.))^3/((d_) + (e_.)*(x_)), x_Symbol] :> Simp[(-(a + b*ArcTanh[c*x])^3)*(Lo
      g[2/(1 + c*x)]/e), x] + (Simp[(a + b*ArcTanh[c*x])^3*(Log[2*c*((d + e*x)/((c*d + e)*(1 + c*x)))]/e), x] + Simp
      [3*b*(a + b*ArcTanh[c*x])^2*(PolyLog[2, 1 - 2/(1 + c*x)]/(2*e)), x] - Simp[3*b*(a + b*ArcTanh[c*x])^2*(PolyLog
      [2, 1 - 2*c*((d + e*x)/((c*d + e)*(1 + c*x)))]/(2*e)), x] + Simp[3*b^2*(a + b*ArcTanh[c*x])*(PolyLog[3, 1 - 2/
      (1 + c*x)]/(2*e)), x] - Simp[3*b^2*(a + b*ArcTanh[c*x])*(PolyLog[3, 1 - 2*c*((d + e*x)/((c*d + e)*(1 + c*x)))]
      /(2*e)), x] + Simp[3*b^3*(PolyLog[4, 1 - 2/(1 + c*x)]/(4*e)), x] - Simp[3*b^3*(PolyLog[4, 1 - 2*c*((d + e*x)/(
      (c*d + e)*(1 + c*x)))]/(4*e)), x]) /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && NeQ[c^2*d^2 - e^2, 0]

6477. Int[((a_.) + ArcCoth[(c_.)*(x_)]*(b_.))^3/((d_) + (e_.)*(x_)), x_Symbol] :> Simp[(-(a + b*ArcCoth[c*x])^3)*(Lo
      g[2/(1 + c*x)]/e), x] + (Simp[(a + b*ArcCoth[c*x])^3*(Log[2*c*((d + e*x)/((c*d + e)*(1 + c*x)))]/e), x] + Simp
      [3*b*(a + b*ArcCoth[c*x])^2*(PolyLog[2, 1 - 2/(1 + c*x)]/(2*e)), x] - Simp[3*b*(a + b*ArcCoth[c*x])^2*(PolyLog
      [2, 1 - 2*c*((d + e*x)/((c*d + e)*(1 + c*x)))]/(2*e)), x] + Simp[3*b^2*(a + b*ArcCoth[c*x])*(PolyLog[3, 1 - 2/
      (1 + c*x)]/(2*e)), x] - Simp[3*b^2*(a + b*ArcCoth[c*x])*(PolyLog[3, 1 - 2*c*((d + e*x)/((c*d + e)*(1 + c*x)))]
      /(2*e)), x] + Simp[3*b^3*(PolyLog[4, 1 - 2/(1 + c*x)]/(4*e)), x] - Simp[3*b^3*(PolyLog[4, 1 - 2*c*((d + e*x)/(
      (c*d + e)*(1 + c*x)))]/(4*e)), x]) /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && NeQ[c^2*d^2 - e^2, 0]

6478. Int[((a_.) + ArcTanh[(c_.)*(x_)]*(b_.))*((d_) + (e_.)*(x_))^(q_.), x_Symbol] :> Simp[(d + e*x)^(q + 1)*((a + b
      *ArcTanh[c*x])/(e*(q + 1))), x] - Simp[b*(c/(e*(q + 1)))   Int[(d + e*x)^(q + 1)/(1 - c^2*x^2), x], x] /; Free
      Q[{a, b, c, d, e, q}, x] && NeQ[q, -1]

6479. Int[((a_.) + ArcCoth[(c_.)*(x_)]*(b_.))*((d_) + (e_.)*(x_))^(q_.), x_Symbol] :> Simp[(d + e*x)^(q + 1)*((a + b
      *ArcCoth[c*x])/(e*(q + 1))), x] - Simp[b*(c/(e*(q + 1)))   Int[(d + e*x)^(q + 1)/(1 - c^2*x^2), x], x] /; Free
      Q[{a, b, c, d, e, q}, x] && NeQ[q, -1]

6480. Int[((a_.) + ArcTanh[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(p_)*((d_) + (e_.)*(x_))^(q_.), x_Symbol] :> Simp[(d + e*x)^(q + 1)*((
      a + b*ArcTanh[c*x])^p/(e*(q + 1))), x] - Simp[b*c*(p/(e*(q + 1)))   Int[ExpandIntegrand[(a + b*ArcTanh[c*x])^(
      p - 1), (d + e*x)^(q + 1)/(1 - c^2*x^2), x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && IGtQ[p, 1] && IntegerQ[q]
      && NeQ[q, -1]

6481. Int[((a_.) + ArcCoth[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(p_)*((d_) + (e_.)*(x_))^(q_.), x_Symbol] :> Simp[(d + e*x)^(q + 1)*((
      a + b*ArcCoth[c*x])^p/(e*(q + 1))), x] - Simp[b*c*(p/(e*(q + 1)))   Int[ExpandIntegrand[(a + b*ArcCoth[c*x])^(
      p - 1), (d + e*x)^(q + 1)/(1 - c^2*x^2), x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && IGtQ[p, 1] && IntegerQ[q]
      && NeQ[q, -1]

6482. Int[((a_.) + ArcTanh[(c_.)*(x_)^(n_)]*(b_.))/((d_.) + (e_.)*(x_)), x_Symbol] :> Simp[Log[d + e*x]*((a + b*ArcT
      anh[c*x^n])/e), x] - Simp[b*c*(n/e)   Int[x^(n - 1)*(Log[d + e*x]/(1 - c^2*x^(2*n))), x], x] /; FreeQ[{a, b, c
      , d, e, n}, x] && IntegerQ[n]

6483. Int[((a_.) + ArcCoth[(c_.)*(x_)^(n_)]*(b_.))/((d_.) + (e_.)*(x_)), x_Symbol] :> Simp[Log[d + e*x]*((a + b*ArcC
      oth[c*x^n])/e), x] - Simp[b*c*(n/e)   Int[x^(n - 1)*(Log[d + e*x]/(1 - c^2*x^(2*n))), x], x] /; FreeQ[{a, b, c
      , d, e, n}, x] && IntegerQ[n]

6484. Int[((a_.) + ArcTanh[(c_.)*(x_)^(n_)]*(b_.))/((d_) + (e_.)*(x_)), x_Symbol] :> With[{k = Denominator[n]}, Simp
      [k   Subst[Int[x^(k - 1)*((a + b*ArcTanh[c*x^(k*n)])/(d + e*x^k)), x], x, x^(1/k)], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d,
      e}, x] && FractionQ[n]

6485. Int[((a_.) + ArcCoth[(c_.)*(x_)^(n_)]*(b_.))/((d_) + (e_.)*(x_)), x_Symbol] :> With[{k = Denominator[n]}, Simp
      [k   Subst[Int[x^(k - 1)*((a + b*ArcCoth[c*x^(k*n)])/(d + e*x^k)), x], x, x^(1/k)], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d,
      e}, x] && FractionQ[n]

6486. Int[((a_.) + ArcTanh[(c_.)*(x_)^(n_)]*(b_.))*((d_.) + (e_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Simp[(d + e*x)^(m + 1)*(
      (a + b*ArcTanh[c*x^n])/(e*(m + 1))), x] - Simp[b*c*(n/(e*(m + 1)))   Int[x^(n - 1)*((d + e*x)^(m + 1)/(1 - c^2
      *x^(2*n))), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, m, n}, x] && NeQ[m, -1]

6487. Int[((a_.) + ArcCoth[(c_.)*(x_)^(n_)]*(b_.))*((d_.) + (e_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Simp[(d + e*x)^(m + 1)*(
      (a + b*ArcCoth[c*x^n])/(e*(m + 1))), x] - Simp[b*c*(n/(e*(m + 1)))   Int[x^(n - 1)*((d + e*x)^(m + 1)/(1 - c^2
      *x^(2*n))), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, m, n}, x] && NeQ[m, -1]

6488. Int[((a_.) + ArcTanh[(c_.)*(x_)^(n_)]*(b_.))^(p_)*((d_) + (e_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Int[ExpandIntegrand[
      (a + b*ArcTanh[c*x^n])^p, (d + e*x)^m, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, n}, x] && IGtQ[p, 1] && IGtQ[m, 0]

6489. Int[((a_.) + ArcCoth[(c_.)*(x_)^(n_)]*(b_.))^(p_)*((d_) + (e_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Int[ExpandIntegrand[
      (a + b*ArcCoth[c*x^n])^p, (d + e*x)^m, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, n}, x] && IGtQ[p, 1] && IGtQ[m, 0]

6490. Int[((a_.) + ArcTanh[(c_.)*(x_)^(n_)]*(b_.))^(p_.)*((d_.) + (e_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Unintegrable[(d +
      e*x)^m*(a + b*ArcTanh[c*x^n])^p, x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, m, n, p}, x]

6491. Int[((a_.) + ArcCoth[(c_.)*(x_)^(n_)]*(b_.))^(p_.)*((d_.) + (e_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Unintegrable[(d +
      e*x)^m*(a + b*ArcCoth[c*x^n])^p, x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, m, n, p}, x]

6492. Int[(((a_.) + ArcTanh[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(p_.)*((f_.)*(x_))^(m_.))/((d_) + (e_.)*(x_)), x_Symbol] :> Simp[f/e
      Int[(f*x)^(m - 1)*(a + b*ArcTanh[c*x])^p, x], x] - Simp[d*(f/e)   Int[(f*x)^(m - 1)*((a + b*ArcTanh[c*x])^p/
      (d + e*x)), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && IGtQ[p, 0] && EqQ[c^2*d^2 - e^2, 0] && GtQ[m, 0]

6493. Int[(((a_.) + ArcCoth[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(p_.)*((f_.)*(x_))^(m_.))/((d_) + (e_.)*(x_)), x_Symbol] :> Simp[f/e
      Int[(f*x)^(m - 1)*(a + b*ArcCoth[c*x])^p, x], x] - Simp[d*(f/e)   Int[(f*x)^(m - 1)*((a + b*ArcCoth[c*x])^p/
      (d + e*x)), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && IGtQ[p, 0] && EqQ[c^2*d^2 - e^2, 0] && GtQ[m, 0]

6494. Int[((a_.) + ArcTanh[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(p_.)/((x_)*((d_) + (e_.)*(x_))), x_Symbol] :> Simp[(a + b*ArcTanh[c*x
      ])^p*(Log[2 - 2/(1 + e*(x/d))]/d), x] - Simp[b*c*(p/d)   Int[(a + b*ArcTanh[c*x])^(p - 1)*(Log[2 - 2/(1 + e*(x
      /d))]/(1 - c^2*x^2)), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && IGtQ[p, 0] && EqQ[c^2*d^2 - e^2, 0]

6495. Int[((a_.) + ArcCoth[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(p_.)/((x_)*((d_) + (e_.)*(x_))), x_Symbol] :> Simp[(a + b*ArcCoth[c*x
      ])^p*(Log[2 - 2/(1 + e*(x/d))]/d), x] - Simp[b*c*(p/d)   Int[(a + b*ArcCoth[c*x])^(p - 1)*(Log[2 - 2/(1 + e*(x
      /d))]/(1 - c^2*x^2)), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && IGtQ[p, 0] && EqQ[c^2*d^2 - e^2, 0]

6496. Int[(((a_.) + ArcTanh[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(p_.)*((f_.)*(x_))^(m_))/((d_) + (e_.)*(x_)), x_Symbol] :> Simp[1/d
      Int[(f*x)^m*(a + b*ArcTanh[c*x])^p, x], x] - Simp[e/(d*f)   Int[(f*x)^(m + 1)*((a + b*ArcTanh[c*x])^p/(d + e*
      x)), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && IGtQ[p, 0] && EqQ[c^2*d^2 - e^2, 0] && LtQ[m, -1]

6497. Int[(((a_.) + ArcCoth[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(p_.)*((f_.)*(x_))^(m_))/((d_) + (e_.)*(x_)), x_Symbol] :> Simp[1/d
      Int[(f*x)^m*(a + b*ArcCoth[c*x])^p, x], x] - Simp[e/(d*f)   Int[(f*x)^(m + 1)*((a + b*ArcCoth[c*x])^p/(d + e*
      x)), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && IGtQ[p, 0] && EqQ[c^2*d^2 - e^2, 0] && LtQ[m, -1]

6498. Int[((a_.) + ArcTanh[(c_.)*(x_)]*(b_.))*((f_.)*(x_))^(m_.)*((d_.) + (e_.)*(x_))^(q_.), x_Symbol] :> With[{u =
      IntHide[(f*x)^m*(d + e*x)^q, x]}, Simp[(a + b*ArcTanh[c*x])   u, x] - Simp[b*c   Int[SimplifyIntegrand[u/(1 -
      c^2*x^2), x], x], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, q}, x] && NeQ[q, -1] && IntegerQ[2*m] && ((IGtQ[m, 0] && IGt
      Q[q, 0]) || (ILtQ[m + q + 1, 0] && LtQ[m*q, 0]))

6499. Int[((a_.) + ArcCoth[(c_.)*(x_)]*(b_.))*((f_.)*(x_))^(m_.)*((d_.) + (e_.)*(x_))^(q_.), x_Symbol] :> With[{u =
      IntHide[(f*x)^m*(d + e*x)^q, x]}, Simp[(a + b*ArcCoth[c*x])   u, x] - Simp[b*c   Int[SimplifyIntegrand[u/(1 -
      c^2*x^2), x], x], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, q}, x] && NeQ[q, -1] && IntegerQ[2*m] && ((IGtQ[m, 0] && IGt
      Q[q, 0]) || (ILtQ[m + q + 1, 0] && LtQ[m*q, 0]))

6500. Int[((a_.) + ArcTanh[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(p_)*((f_.)*(x_))^(m_.)*((d_.) + (e_.)*(x_))^(q_), x_Symbol] :> With[{
      u = IntHide[(f*x)^m*(d + e*x)^q, x]}, Simp[(a + b*ArcTanh[c*x])^p   u, x] - Simp[b*c*p   Int[ExpandIntegrand[(
      a + b*ArcTanh[c*x])^(p - 1), u/(1 - c^2*x^2), x], x], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, q}, x] && IGtQ[p, 1] &&
      EqQ[c^2*d^2 - e^2, 0] && IntegersQ[m, q] && NeQ[m, -1] && NeQ[q, -1] && ILtQ[m + q + 1, 0] && LtQ[m*q, 0]

6501. Int[((a_.) + ArcCoth[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(p_)*((f_.)*(x_))^(m_.)*((d_.) + (e_.)*(x_))^(q_), x_Symbol] :> With[{
      u = IntHide[(f*x)^m*(d + e*x)^q, x]}, Simp[(a + b*ArcCoth[c*x])^p   u, x] - Simp[b*c*p   Int[ExpandIntegrand[(
      a + b*ArcCoth[c*x])^(p - 1), u/(1 - c^2*x^2), x], x], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, q}, x] && IGtQ[p, 1] &&
      EqQ[c^2*d^2 - e^2, 0] && IntegersQ[m, q] && NeQ[m, -1] && NeQ[q, -1] && ILtQ[m + q + 1, 0] && LtQ[m*q, 0]

6502. Int[((a_.) + ArcTanh[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(p_.)*((f_.)*(x_))^(m_.)*((d_) + (e_.)*(x_))^(q_.), x_Symbol] :> Int[E
      xpandIntegrand[(a + b*ArcTanh[c*x])^p, (f*x)^m*(d + e*x)^q, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m}, x] && IGtQ[
      p, 0] && IntegerQ[q] && (GtQ[q, 0] || NeQ[a, 0] || IntegerQ[m])

6503. Int[((a_.) + ArcCoth[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(p_.)*((f_.)*(x_))^(m_.)*((d_) + (e_.)*(x_))^(q_.), x_Symbol] :> Int[E
      xpandIntegrand[(a + b*ArcCoth[c*x])^p, (f*x)^m*(d + e*x)^q, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m}, x] && IGtQ[
      p, 0] && IntegerQ[q] && (GtQ[q, 0] || NeQ[a, 0] || IntegerQ[m])

6504. Int[((a_.) + ArcTanh[(c_.)*(x_)]*(b_.))*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(q_.), x_Symbol] :> Simp[b*((d + e*x^2)^q/(2*c*q
      *(2*q + 1))), x] + (Simp[x*(d + e*x^2)^q*((a + b*ArcTanh[c*x])/(2*q + 1)), x] + Simp[2*d*(q/(2*q + 1))   Int[(
      d + e*x^2)^(q - 1)*(a + b*ArcTanh[c*x]), x], x]) /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && EqQ[c^2*d + e, 0] && GtQ[q, 0
      ]

6505. Int[((a_.) + ArcCoth[(c_.)*(x_)]*(b_.))*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(q_.), x_Symbol] :> Simp[b*((d + e*x^2)^q/(2*c*q
      *(2*q + 1))), x] + (Simp[x*(d + e*x^2)^q*((a + b*ArcCoth[c*x])/(2*q + 1)), x] + Simp[2*d*(q/(2*q + 1))   Int[(
      d + e*x^2)^(q - 1)*(a + b*ArcCoth[c*x]), x], x]) /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && EqQ[c^2*d + e, 0] && GtQ[q, 0
      ]

6506. Int[((a_.) + ArcTanh[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(p_)*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(q_.), x_Symbol] :> Simp[b*p*(d + e*x^2)^q*
      ((a + b*ArcTanh[c*x])^(p - 1)/(2*c*q*(2*q + 1))), x] + (Simp[x*(d + e*x^2)^q*((a + b*ArcTanh[c*x])^p/(2*q + 1)
      ), x] + Simp[2*d*(q/(2*q + 1))   Int[(d + e*x^2)^(q - 1)*(a + b*ArcTanh[c*x])^p, x], x] - Simp[b^2*d*p*((p - 1
      )/(2*q*(2*q + 1)))   Int[(d + e*x^2)^(q - 1)*(a + b*ArcTanh[c*x])^(p - 2), x], x]) /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x
      ] && EqQ[c^2*d + e, 0] && GtQ[q, 0] && GtQ[p, 1]

6507. Int[((a_.) + ArcCoth[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(p_)*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(q_.), x_Symbol] :> Simp[b*p*(d + e*x^2)^q*
      ((a + b*ArcCoth[c*x])^(p - 1)/(2*c*q*(2*q + 1))), x] + (Simp[x*(d + e*x^2)^q*((a + b*ArcCoth[c*x])^p/(2*q + 1)
      ), x] + Simp[2*d*(q/(2*q + 1))   Int[(d + e*x^2)^(q - 1)*(a + b*ArcCoth[c*x])^p, x], x] - Simp[b^2*d*p*((p - 1
      )/(2*q*(2*q + 1)))   Int[(d + e*x^2)^(q - 1)*(a + b*ArcCoth[c*x])^(p - 2), x], x]) /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x
      ] && EqQ[c^2*d + e, 0] && GtQ[q, 0] && GtQ[p, 1]

6508. Int[1/(((a_.) + ArcTanh[(c_.)*(x_)]*(b_.))*((d_) + (e_.)*(x_)^2)), x_Symbol] :> Simp[Log[RemoveContent[a + b*A
      rcTanh[c*x], x]]/(b*c*d), x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && EqQ[c^2*d + e, 0]

6509. Int[1/(((a_.) + ArcCoth[(c_.)*(x_)]*(b_.))*((d_) + (e_.)*(x_)^2)), x_Symbol] :> Simp[Log[RemoveContent[a + b*A
      rcCoth[c*x], x]]/(b*c*d), x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && EqQ[c^2*d + e, 0]

6510. Int[((a_.) + ArcTanh[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(p_.)/((d_) + (e_.)*(x_)^2), x_Symbol] :> Simp[(a + b*ArcTanh[c*x])^(p
      + 1)/(b*c*d*(p + 1)), x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, p}, x] && EqQ[c^2*d + e, 0] && NeQ[p, -1]

6511. Int[((a_.) + ArcCoth[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(p_.)/((d_) + (e_.)*(x_)^2), x_Symbol] :> Simp[(a + b*ArcCoth[c*x])^(p
      + 1)/(b*c*d*(p + 1)), x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, p}, x] && EqQ[c^2*d + e, 0] && NeQ[p, -1]

6512. Int[((a_.) + ArcTanh[(c_.)*(x_)]*(b_.))/Sqrt[(d_) + (e_.)*(x_)^2], x_Symbol] :> Simp[-2*(a + b*ArcTanh[c*x])*(
      ArcTan[Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[1 + c*x]]/(c*Sqrt[d])), x] + (-Simp[I*b*(PolyLog[2, (-I)*(Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[1 + c*x
      ])]/(c*Sqrt[d])), x] + Simp[I*b*(PolyLog[2, I*(Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[1 + c*x])]/(c*Sqrt[d])), x]) /; FreeQ[{a, b,
      c, d, e}, x] && EqQ[c^2*d + e, 0] && GtQ[d, 0]

6513. Int[((a_.) + ArcCoth[(c_.)*(x_)]*(b_.))/Sqrt[(d_) + (e_.)*(x_)^2], x_Symbol] :> Simp[-2*(a + b*ArcCoth[c*x])*(
      ArcTan[Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[1 + c*x]]/(c*Sqrt[d])), x] + (-Simp[I*b*(PolyLog[2, (-I)*(Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[1 + c*x
      ])]/(c*Sqrt[d])), x] + Simp[I*b*(PolyLog[2, I*(Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[1 + c*x])]/(c*Sqrt[d])), x]) /; FreeQ[{a, b,
      c, d, e}, x] && EqQ[c^2*d + e, 0] && GtQ[d, 0]

6514. Int[((a_.) + ArcTanh[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(p_.)/Sqrt[(d_) + (e_.)*(x_)^2], x_Symbol] :> Simp[1/(c*Sqrt[d])   Sub
      st[Int[(a + b*x)^p*Sech[x], x], x, ArcTanh[c*x]], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && EqQ[c^2*d + e, 0] && IGtQ
      [p, 0] && GtQ[d, 0]

6515. Int[((a_.) + ArcCoth[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(p_.)/Sqrt[(d_) + (e_.)*(x_)^2], x_Symbol] :> Simp[(-x)*(Sqrt[1 - 1/(c
      ^2*x^2)]/Sqrt[d + e*x^2])   Subst[Int[(a + b*x)^p*Csch[x], x], x, ArcCoth[c*x]], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e},
      x] && EqQ[c^2*d + e, 0] && IGtQ[p, 0] && GtQ[d, 0]

6516. Int[((a_.) + ArcTanh[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(p_.)/Sqrt[(d_) + (e_.)*(x_)^2], x_Symbol] :> Simp[Sqrt[1 - c^2*x^2]/S
      qrt[d + e*x^2]   Int[(a + b*ArcTanh[c*x])^p/Sqrt[1 - c^2*x^2], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && EqQ[c^2*
      d + e, 0] && IGtQ[p, 0] &&  !GtQ[d, 0]

6517. Int[((a_.) + ArcCoth[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(p_.)/Sqrt[(d_) + (e_.)*(x_)^2], x_Symbol] :> Simp[Sqrt[1 - c^2*x^2]/S
      qrt[d + e*x^2]   Int[(a + b*ArcCoth[c*x])^p/Sqrt[1 - c^2*x^2], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && EqQ[c^2*
      d + e, 0] && IGtQ[p, 0] &&  !GtQ[d, 0]

6518. Int[((a_.) + ArcTanh[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(p_.)/((d_) + (e_.)*(x_)^2)^2, x_Symbol] :> Simp[x*((a + b*ArcTanh[c*x
      ])^p/(2*d*(d + e*x^2))), x] + (Simp[(a + b*ArcTanh[c*x])^(p + 1)/(2*b*c*d^2*(p + 1)), x] - Simp[b*c*(p/2)   In
      t[x*((a + b*ArcTanh[c*x])^(p - 1)/(d + e*x^2)^2), x], x]) /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && EqQ[c^2*d + e, 0] &&
      GtQ[p, 0]

6519. Int[((a_.) + ArcCoth[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(p_.)/((d_) + (e_.)*(x_)^2)^2, x_Symbol] :> Simp[x*((a + b*ArcCoth[c*x
      ])^p/(2*d*(d + e*x^2))), x] + (Simp[(a + b*ArcCoth[c*x])^(p + 1)/(2*b*c*d^2*(p + 1)), x] - Simp[b*c*(p/2)   In
      t[x*((a + b*ArcCoth[c*x])^(p - 1)/(d + e*x^2)^2), x], x]) /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && EqQ[c^2*d + e, 0] &&
      GtQ[p, 0]

6520. Int[((a_.) + ArcTanh[(c_.)*(x_)]*(b_.))/((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(3/2), x_Symbol] :> Simp[-b/(c*d*Sqrt[d + e*x^2]
      ), x] + Simp[x*((a + b*ArcTanh[c*x])/(d*Sqrt[d + e*x^2])), x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && EqQ[c^2*d + e, 0
      ]

6521. Int[((a_.) + ArcCoth[(c_.)*(x_)]*(b_.))/((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(3/2), x_Symbol] :> Simp[-b/(c*d*Sqrt[d + e*x^2]
      ), x] + Simp[x*((a + b*ArcCoth[c*x])/(d*Sqrt[d + e*x^2])), x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && EqQ[c^2*d + e, 0
      ]

6522. Int[((a_.) + ArcTanh[(c_.)*(x_)]*(b_.))*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(q_), x_Symbol] :> Simp[(-b)*((d + e*x^2)^(q + 1
      )/(4*c*d*(q + 1)^2)), x] + (-Simp[x*(d + e*x^2)^(q + 1)*((a + b*ArcTanh[c*x])/(2*d*(q + 1))), x] + Simp[(2*q +
      3)/(2*d*(q + 1))   Int[(d + e*x^2)^(q + 1)*(a + b*ArcTanh[c*x]), x], x]) /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && EqQ[
      c^2*d + e, 0] && LtQ[q, -1] && NeQ[q, -3/2]

6523. Int[((a_.) + ArcCoth[(c_.)*(x_)]*(b_.))*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(q_), x_Symbol] :> Simp[(-b)*((d + e*x^2)^(q + 1
      )/(4*c*d*(q + 1)^2)), x] + (-Simp[x*(d + e*x^2)^(q + 1)*((a + b*ArcCoth[c*x])/(2*d*(q + 1))), x] + Simp[(2*q +
      3)/(2*d*(q + 1))   Int[(d + e*x^2)^(q + 1)*(a + b*ArcCoth[c*x]), x], x]) /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && EqQ[
      c^2*d + e, 0] && LtQ[q, -1] && NeQ[q, -3/2]

6524. Int[((a_.) + ArcTanh[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(p_)/((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(3/2), x_Symbol] :> Simp[(-b)*p*((a + b*Arc
      Tanh[c*x])^(p - 1)/(c*d*Sqrt[d + e*x^2])), x] + (Simp[x*((a + b*ArcTanh[c*x])^p/(d*Sqrt[d + e*x^2])), x] + Sim
      p[b^2*p*(p - 1)   Int[(a + b*ArcTanh[c*x])^(p - 2)/(d + e*x^2)^(3/2), x], x]) /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] &&
      EqQ[c^2*d + e, 0] && GtQ[p, 1]

6525. Int[((a_.) + ArcCoth[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(p_)/((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(3/2), x_Symbol] :> Simp[(-b)*p*((a + b*Arc
      Coth[c*x])^(p - 1)/(c*d*Sqrt[d + e*x^2])), x] + (Simp[x*((a + b*ArcCoth[c*x])^p/(d*Sqrt[d + e*x^2])), x] + Sim
      p[b^2*p*(p - 1)   Int[(a + b*ArcCoth[c*x])^(p - 2)/(d + e*x^2)^(3/2), x], x]) /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] &&
      EqQ[c^2*d + e, 0] && GtQ[p, 1]

6526. Int[((a_.) + ArcTanh[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(p_)*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(q_), x_Symbol] :> Simp[(-b)*p*(d + e*x^2)^
      (q + 1)*((a + b*ArcTanh[c*x])^(p - 1)/(4*c*d*(q + 1)^2)), x] + (-Simp[x*(d + e*x^2)^(q + 1)*((a + b*ArcTanh[c*
      x])^p/(2*d*(q + 1))), x] + Simp[(2*q + 3)/(2*d*(q + 1))   Int[(d + e*x^2)^(q + 1)*(a + b*ArcTanh[c*x])^p, x],
      x] + Simp[b^2*p*((p - 1)/(4*(q + 1)^2))   Int[(d + e*x^2)^q*(a + b*ArcTanh[c*x])^(p - 2), x], x]) /; FreeQ[{a,
      b, c, d, e}, x] && EqQ[c^2*d + e, 0] && LtQ[q, -1] && GtQ[p, 1] && NeQ[q, -3/2]

6527. Int[((a_.) + ArcCoth[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(p_)*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(q_), x_Symbol] :> Simp[(-b)*p*(d + e*x^2)^
      (q + 1)*((a + b*ArcCoth[c*x])^(p - 1)/(4*c*d*(q + 1)^2)), x] + (-Simp[x*(d + e*x^2)^(q + 1)*((a + b*ArcCoth[c*
      x])^p/(2*d*(q + 1))), x] + Simp[(2*q + 3)/(2*d*(q + 1))   Int[(d + e*x^2)^(q + 1)*(a + b*ArcCoth[c*x])^p, x],
      x] + Simp[b^2*p*((p - 1)/(4*(q + 1)^2))   Int[(d + e*x^2)^q*(a + b*ArcCoth[c*x])^(p - 2), x], x]) /; FreeQ[{a,
      b, c, d, e}, x] && EqQ[c^2*d + e, 0] && LtQ[q, -1] && GtQ[p, 1] && NeQ[q, -3/2]

6528. Int[((a_.) + ArcTanh[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(p_)*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(q_), x_Symbol] :> Simp[(d + e*x^2)^(q + 1)
      *((a + b*ArcTanh[c*x])^(p + 1)/(b*c*d*(p + 1))), x] + Simp[2*c*((q + 1)/(b*(p + 1)))   Int[x*(d + e*x^2)^q*(a
      + b*ArcTanh[c*x])^(p + 1), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && EqQ[c^2*d + e, 0] && LtQ[q, -1] && LtQ[p, -1
      ]

6529. Int[((a_.) + ArcCoth[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(p_)*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(q_), x_Symbol] :> Simp[(d + e*x^2)^(q + 1)
      *((a + b*ArcCoth[c*x])^(p + 1)/(b*c*d*(p + 1))), x] + Simp[2*c*((q + 1)/(b*(p + 1)))   Int[x*(d + e*x^2)^q*(a
      + b*ArcCoth[c*x])^(p + 1), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && EqQ[c^2*d + e, 0] && LtQ[q, -1] && LtQ[p, -1
      ]

6530. Int[((a_.) + ArcTanh[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(p_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(q_), x_Symbol] :> Simp[d^q/c   Subst[Int[
      (a + b*x)^p/Cosh[x]^(2*(q + 1)), x], x, ArcTanh[c*x]], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, p}, x] && EqQ[c^2*d + e, 0]
      && ILtQ[2*(q + 1), 0] && (IntegerQ[q] || GtQ[d, 0])

6531. Int[((a_.) + ArcTanh[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(p_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(q_), x_Symbol] :> Simp[d^(q + 1/2)*(Sqrt[
      1 - c^2*x^2]/Sqrt[d + e*x^2])   Int[(1 - c^2*x^2)^q*(a + b*ArcTanh[c*x])^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, p}
      , x] && EqQ[c^2*d + e, 0] && ILtQ[2*(q + 1), 0] &&  !(IntegerQ[q] || GtQ[d, 0])

6532. Int[((a_.) + ArcCoth[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(p_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(q_), x_Symbol] :> Simp[-(-d)^q/c   Subst[
      Int[(a + b*x)^p/Sinh[x]^(2*(q + 1)), x], x, ArcCoth[c*x]], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, p}, x] && EqQ[c^2*d + e
      , 0] && ILtQ[2*(q + 1), 0] && IntegerQ[q]

6533. Int[((a_.) + ArcCoth[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(p_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(q_), x_Symbol] :> Simp[(-(-d)^(q + 1/2))*
      x*(Sqrt[(c^2*x^2 - 1)/(c^2*x^2)]/Sqrt[d + e*x^2])   Subst[Int[(a + b*x)^p/Sinh[x]^(2*(q + 1)), x], x, ArcCoth[
      c*x]], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, p}, x] && EqQ[c^2*d + e, 0] && ILtQ[2*(q + 1), 0] &&  !IntegerQ[q]

6534. Int[ArcTanh[(c_.)*(x_)]/((d_.) + (e_.)*(x_)^2), x_Symbol] :> Simp[1/2   Int[Log[1 + c*x]/(d + e*x^2), x], x] -
      Simp[1/2   Int[Log[1 - c*x]/(d + e*x^2), x], x] /; FreeQ[{c, d, e}, x]

6535. Int[ArcCoth[(c_.)*(x_)]/((d_.) + (e_.)*(x_)^2), x_Symbol] :> Simp[1/2   Int[Log[1 + 1/(c*x)]/(d + e*x^2), x],
      x] - Simp[1/2   Int[Log[1 - 1/(c*x)]/(d + e*x^2), x], x] /; FreeQ[{c, d, e}, x]

6536. Int[(ArcTanh[(c_.)*(x_)]*(b_.) + (a_))/((d_.) + (e_.)*(x_)^2), x_Symbol] :> Simp[a   Int[1/(d + e*x^2), x], x]
      + Simp[b   Int[ArcTanh[c*x]/(d + e*x^2), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x]

6537. Int[(ArcCoth[(c_.)*(x_)]*(b_.) + (a_))/((d_.) + (e_.)*(x_)^2), x_Symbol] :> Simp[a   Int[1/(d + e*x^2), x], x]
      + Simp[b   Int[ArcCoth[c*x]/(d + e*x^2), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x]

6538. Int[((a_.) + ArcTanh[(c_.)*(x_)]*(b_.))*((d_.) + (e_.)*(x_)^2)^(q_.), x_Symbol] :> With[{u = IntHide[(d + e*x^
      2)^q, x]}, Simp[(a + b*ArcTanh[c*x])   u, x] - Simp[b*c   Int[SimplifyIntegrand[u/(1 - c^2*x^2), x], x], x]] /
      ; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && (IntegerQ[q] || ILtQ[q + 1/2, 0])

6539. Int[((a_.) + ArcCoth[(c_.)*(x_)]*(b_.))*((d_.) + (e_.)*(x_)^2)^(q_.), x_Symbol] :> With[{u = IntHide[(d + e*x^
      2)^q, x]}, Simp[(a + b*ArcCoth[c*x])   u, x] - Simp[b*c   Int[SimplifyIntegrand[u/(1 - c^2*x^2), x], x], x]] /
      ; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && (IntegerQ[q] || ILtQ[q + 1/2, 0])

6540. Int[((a_.) + ArcTanh[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(p_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(q_.), x_Symbol] :> Int[ExpandIntegrand[(a
      + b*ArcTanh[c*x])^p, (d + e*x^2)^q, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && IntegerQ[q] && IGtQ[p, 0]

6541. Int[((a_.) + ArcCoth[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(p_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(q_.), x_Symbol] :> Int[ExpandIntegrand[(a
      + b*ArcCoth[c*x])^p, (d + e*x^2)^q, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && IntegerQ[q] && IGtQ[p, 0]

6542. Int[(((a_.) + ArcTanh[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(p_.)*((f_.)*(x_))^(m_))/((d_) + (e_.)*(x_)^2), x_Symbol] :> Simp[f^2
      /e   Int[(f*x)^(m - 2)*(a + b*ArcTanh[c*x])^p, x], x] - Simp[d*(f^2/e)   Int[(f*x)^(m - 2)*((a + b*ArcTanh[c*x
      ])^p/(d + e*x^2)), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && GtQ[p, 0] && GtQ[m, 1]

6543. Int[(((a_.) + ArcCoth[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(p_.)*((f_.)*(x_))^(m_))/((d_) + (e_.)*(x_)^2), x_Symbol] :> Simp[f^2
      /e   Int[(f*x)^(m - 2)*(a + b*ArcCoth[c*x])^p, x], x] - Simp[d*(f^2/e)   Int[(f*x)^(m - 2)*((a + b*ArcCoth[c*x
      ])^p/(d + e*x^2)), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && GtQ[p, 0] && GtQ[m, 1]

6544. Int[(((a_.) + ArcTanh[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(p_.)*((f_.)*(x_))^(m_))/((d_) + (e_.)*(x_)^2), x_Symbol] :> Simp[1/d
      Int[(f*x)^m*(a + b*ArcTanh[c*x])^p, x], x] - Simp[e/(d*f^2)   Int[(f*x)^(m + 2)*((a + b*ArcTanh[c*x])^p/(d
      + e*x^2)), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && GtQ[p, 0] && LtQ[m, -1]

6545. Int[(((a_.) + ArcCoth[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(p_.)*((f_.)*(x_))^(m_))/((d_) + (e_.)*(x_)^2), x_Symbol] :> Simp[1/d
      Int[(f*x)^m*(a + b*ArcCoth[c*x])^p, x], x] - Simp[e/(d*f^2)   Int[(f*x)^(m + 2)*((a + b*ArcCoth[c*x])^p/(d
      + e*x^2)), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && GtQ[p, 0] && LtQ[m, -1]

6546. Int[(((a_.) + ArcTanh[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(p_.)*(x_))/((d_) + (e_.)*(x_)^2), x_Symbol] :> Simp[(a + b*ArcTanh[c
      *x])^(p + 1)/(b*e*(p + 1)), x] + Simp[1/(c*d)   Int[(a + b*ArcTanh[c*x])^p/(1 - c*x), x], x] /; FreeQ[{a, b, c
      , d, e}, x] && EqQ[c^2*d + e, 0] && IGtQ[p, 0]

6547. Int[(((a_.) + ArcCoth[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(p_.)*(x_))/((d_) + (e_.)*(x_)^2), x_Symbol] :> Simp[(a + b*ArcCoth[c
      *x])^(p + 1)/(b*e*(p + 1)), x] + Simp[1/(c*d)   Int[(a + b*ArcCoth[c*x])^p/(1 - c*x), x], x] /; FreeQ[{a, b, c
      , d, e}, x] && EqQ[c^2*d + e, 0] && IGtQ[p, 0]

6548. Int[(((a_.) + ArcTanh[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(p_)*(x_))/((d_) + (e_.)*(x_)^2), x_Symbol] :> Simp[x*((a + b*ArcTanh
      [c*x])^(p + 1)/(b*c*d*(p + 1))), x] - Simp[1/(b*c*d*(p + 1))   Int[(a + b*ArcTanh[c*x])^(p + 1), x], x] /; Fre
      eQ[{a, b, c, d, e}, x] && EqQ[c^2*d + e, 0] &&  !IGtQ[p, 0] && NeQ[p, -1]

6549. Int[(((a_.) + ArcCoth[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(p_)*(x_))/((d_) + (e_.)*(x_)^2), x_Symbol] :> Simp[(-x)*((a + b*ArcC
      oth[c*x])^(p + 1)/(b*c*d*(p + 1))), x] - Simp[1/(b*c*d*(p + 1))   Int[(a + b*ArcCoth[c*x])^(p + 1), x], x] /;
      FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && EqQ[c^2*d + e, 0] &&  !IGtQ[p, 0] && NeQ[p, -1]

6550. Int[((a_.) + ArcTanh[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(p_.)/((x_)*((d_) + (e_.)*(x_)^2)), x_Symbol] :> Simp[(a + b*ArcTanh[c
      *x])^(p + 1)/(b*d*(p + 1)), x] + Simp[1/d   Int[(a + b*ArcTanh[c*x])^p/(x*(1 + c*x)), x], x] /; FreeQ[{a, b, c
      , d, e}, x] && EqQ[c^2*d + e, 0] && GtQ[p, 0]

6551. Int[((a_.) + ArcCoth[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(p_.)/((x_)*((d_) + (e_.)*(x_)^2)), x_Symbol] :> Simp[(a + b*ArcCoth[c
      *x])^(p + 1)/(b*d*(p + 1)), x] + Simp[1/d   Int[(a + b*ArcCoth[c*x])^p/(x*(1 + c*x)), x], x] /; FreeQ[{a, b, c
      , d, e}, x] && EqQ[c^2*d + e, 0] && GtQ[p, 0]

6552. Int[(((a_.) + ArcTanh[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(p_)*((f_.)*(x_))^(m_))/((d_) + (e_.)*(x_)^2), x_Symbol] :> Simp[(f*x
      )^m*((a + b*ArcTanh[c*x])^(p + 1)/(b*c*d*(p + 1))), x] - Simp[f*(m/(b*c*d*(p + 1)))   Int[(f*x)^(m - 1)*(a + b
      *ArcTanh[c*x])^(p + 1), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m}, x] && EqQ[c^2*d + e, 0] && LtQ[p, -1]

6553. Int[(((a_.) + ArcCoth[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(p_)*((f_.)*(x_))^(m_))/((d_) + (e_.)*(x_)^2), x_Symbol] :> Simp[(f*x
      )^m*((a + b*ArcCoth[c*x])^(p + 1)/(b*c*d*(p + 1))), x] - Simp[f*(m/(b*c*d*(p + 1)))   Int[(f*x)^(m - 1)*(a + b
      *ArcCoth[c*x])^(p + 1), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m}, x] && EqQ[c^2*d + e, 0] && LtQ[p, -1]

6554. Int[(((a_.) + ArcTanh[(c_.)*(x_)]*(b_.))*(x_)^(m_.))/((d_) + (e_.)*(x_)^2), x_Symbol] :> Int[ExpandIntegrand[a
      + b*ArcTanh[c*x], x^m/(d + e*x^2), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && IntegerQ[m] &&  !(EqQ[m, 1] && NeQ[
      a, 0])

6555. Int[(((a_.) + ArcCoth[(c_.)*(x_)]*(b_.))*(x_)^(m_.))/((d_) + (e_.)*(x_)^2), x_Symbol] :> Int[ExpandIntegrand[a
      + b*ArcCoth[c*x], x^m/(d + e*x^2), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && IntegerQ[m] &&  !(EqQ[m, 1] && NeQ[
      a, 0])

6556. Int[((a_.) + ArcTanh[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(p_.)*(x_)*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(q_.), x_Symbol] :> Simp[(d + e*x^2)^
      (q + 1)*((a + b*ArcTanh[c*x])^p/(2*e*(q + 1))), x] + Simp[b*(p/(2*c*(q + 1)))   Int[(d + e*x^2)^q*(a + b*ArcTa
      nh[c*x])^(p - 1), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, q}, x] && EqQ[c^2*d + e, 0] && GtQ[p, 0] && NeQ[q, -1]

6557. Int[((a_.) + ArcCoth[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(p_.)*(x_)*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(q_.), x_Symbol] :> Simp[(d + e*x^2)^
      (q + 1)*((a + b*ArcCoth[c*x])^p/(2*e*(q + 1))), x] + Simp[b*(p/(2*c*(q + 1)))   Int[(d + e*x^2)^q*(a + b*ArcCo
      th[c*x])^(p - 1), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, q}, x] && EqQ[c^2*d + e, 0] && GtQ[p, 0] && NeQ[q, -1]

6558. Int[(((a_.) + ArcTanh[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(p_)*(x_))/((d_) + (e_.)*(x_)^2)^2, x_Symbol] :> Simp[x*((a + b*ArcTa
      nh[c*x])^(p + 1)/(b*c*d*(p + 1)*(d + e*x^2))), x] + (Simp[(1 + c^2*x^2)*((a + b*ArcTanh[c*x])^(p + 2)/(b^2*e*(
      p + 1)*(p + 2)*(d + e*x^2))), x] + Simp[4/(b^2*(p + 1)*(p + 2))   Int[x*((a + b*ArcTanh[c*x])^(p + 2)/(d + e*x
      ^2)^2), x], x]) /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && EqQ[c^2*d + e, 0] && LtQ[p, -1] && NeQ[p, -2]

6559. Int[(((a_.) + ArcCoth[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(p_)*(x_))/((d_) + (e_.)*(x_)^2)^2, x_Symbol] :> Simp[x*((a + b*ArcCo
      th[c*x])^(p + 1)/(b*c*d*(p + 1)*(d + e*x^2))), x] + (Simp[(1 + c^2*x^2)*((a + b*ArcCoth[c*x])^(p + 2)/(b^2*e*(
      p + 1)*(p + 2)*(d + e*x^2))), x] + Simp[4/(b^2*(p + 1)*(p + 2))   Int[x*((a + b*ArcCoth[c*x])^(p + 2)/(d + e*x
      ^2)^2), x], x]) /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && EqQ[c^2*d + e, 0] && LtQ[p, -1] && NeQ[p, -2]

6560. Int[((a_.) + ArcTanh[(c_.)*(x_)]*(b_.))*(x_)^2*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(q_), x_Symbol] :> Simp[(-b)*((d + e*x^2)
      ^(q + 1)/(4*c^3*d*(q + 1)^2)), x] + (-Simp[x*(d + e*x^2)^(q + 1)*((a + b*ArcTanh[c*x])/(2*c^2*d*(q + 1))), x]
      + Simp[1/(2*c^2*d*(q + 1))   Int[(d + e*x^2)^(q + 1)*(a + b*ArcTanh[c*x]), x], x]) /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x
      ] && EqQ[c^2*d + e, 0] && LtQ[q, -1] && NeQ[q, -5/2]

6561. Int[((a_.) + ArcCoth[(c_.)*(x_)]*(b_.))*(x_)^2*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(q_), x_Symbol] :> Simp[(-b)*((d + e*x^2)
      ^(q + 1)/(4*c^3*d*(q + 1)^2)), x] + (-Simp[x*(d + e*x^2)^(q + 1)*((a + b*ArcCoth[c*x])/(2*c^2*d*(q + 1))), x]
      + Simp[1/(2*c^2*d*(q + 1))   Int[(d + e*x^2)^(q + 1)*(a + b*ArcCoth[c*x]), x], x]) /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x
      ] && EqQ[c^2*d + e, 0] && LtQ[q, -1] && NeQ[q, -5/2]

6562. Int[(((a_.) + ArcTanh[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(p_.)*(x_)^2)/((d_) + (e_.)*(x_)^2)^2, x_Symbol] :> Simp[-(a + b*ArcT
      anh[c*x])^(p + 1)/(2*b*c^3*d^2*(p + 1)), x] + (Simp[x*((a + b*ArcTanh[c*x])^p/(2*c^2*d*(d + e*x^2))), x] - Sim
      p[b*(p/(2*c))   Int[x*((a + b*ArcTanh[c*x])^(p - 1)/(d + e*x^2)^2), x], x]) /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && Eq
      Q[c^2*d + e, 0] && GtQ[p, 0]

6563. Int[(((a_.) + ArcCoth[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(p_.)*(x_)^2)/((d_) + (e_.)*(x_)^2)^2, x_Symbol] :> Simp[-(a + b*ArcC
      oth[c*x])^(p + 1)/(2*b*c^3*d^2*(p + 1)), x] + (Simp[x*((a + b*ArcCoth[c*x])^p/(2*c^2*d*(d + e*x^2))), x] - Sim
      p[b*(p/(2*c))   Int[x*((a + b*ArcCoth[c*x])^(p - 1)/(d + e*x^2)^2), x], x]) /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && Eq
      Q[c^2*d + e, 0] && GtQ[p, 0]

6564. Int[((a_.) + ArcTanh[(c_.)*(x_)]*(b_.))*((f_.)*(x_))^(m_)*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(q_), x_Symbol] :> Simp[(-b)*(
      f*x)^m*((d + e*x^2)^(q + 1)/(c*d*m^2)), x] + (Simp[f*(f*x)^(m - 1)*(d + e*x^2)^(q + 1)*((a + b*ArcTanh[c*x])/(
      c^2*d*m)), x] - Simp[f^2*((m - 1)/(c^2*d*m))   Int[(f*x)^(m - 2)*(d + e*x^2)^(q + 1)*(a + b*ArcTanh[c*x]), x],
      x]) /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && EqQ[c^2*d + e, 0] && EqQ[m + 2*q + 2, 0] && LtQ[q, -1]

6565. Int[((a_.) + ArcCoth[(c_.)*(x_)]*(b_.))*((f_.)*(x_))^(m_)*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(q_), x_Symbol] :> Simp[(-b)*(
      f*x)^m*((d + e*x^2)^(q + 1)/(c*d*m^2)), x] + (Simp[f*(f*x)^(m - 1)*(d + e*x^2)^(q + 1)*((a + b*ArcCoth[c*x])/(
      c^2*d*m)), x] - Simp[f^2*((m - 1)/(c^2*d*m))   Int[(f*x)^(m - 2)*(d + e*x^2)^(q + 1)*(a + b*ArcCoth[c*x]), x],
      x]) /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && EqQ[c^2*d + e, 0] && EqQ[m + 2*q + 2, 0] && LtQ[q, -1]

6566. Int[((a_.) + ArcTanh[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(p_)*((f_.)*(x_))^(m_)*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(q_), x_Symbol] :> Simp[(
      -b)*p*(f*x)^m*(d + e*x^2)^(q + 1)*((a + b*ArcTanh[c*x])^(p - 1)/(c*d*m^2)), x] + (Simp[f*(f*x)^(m - 1)*(d + e*
      x^2)^(q + 1)*((a + b*ArcTanh[c*x])^p/(c^2*d*m)), x] - Simp[f^2*((m - 1)/(c^2*d*m))   Int[(f*x)^(m - 2)*(d + e*
      x^2)^(q + 1)*(a + b*ArcTanh[c*x])^p, x], x] + Simp[b^2*p*((p - 1)/m^2)   Int[(f*x)^m*(d + e*x^2)^q*(a + b*ArcT
      anh[c*x])^(p - 2), x], x]) /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m}, x] && EqQ[c^2*d + e, 0] && EqQ[m + 2*q + 2, 0] && L
      tQ[q, -1] && GtQ[p, 1]

6567. Int[((a_.) + ArcCoth[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(p_)*((f_.)*(x_))^(m_)*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(q_), x_Symbol] :> Simp[(
      -b)*p*(f*x)^m*(d + e*x^2)^(q + 1)*((a + b*ArcCoth[c*x])^(p - 1)/(c*d*m^2)), x] + (Simp[f*(f*x)^(m - 1)*(d + e*
      x^2)^(q + 1)*((a + b*ArcCoth[c*x])^p/(c^2*d*m)), x] - Simp[f^2*((m - 1)/(c^2*d*m))   Int[(f*x)^(m - 2)*(d + e*
      x^2)^(q + 1)*(a + b*ArcCoth[c*x])^p, x], x] + Simp[b^2*p*((p - 1)/m^2)   Int[(f*x)^m*(d + e*x^2)^q*(a + b*ArcC
      oth[c*x])^(p - 2), x], x]) /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m}, x] && EqQ[c^2*d + e, 0] && EqQ[m + 2*q + 2, 0] && L
      tQ[q, -1] && GtQ[p, 1]

6568. Int[((a_.) + ArcTanh[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(p_)*((f_.)*(x_))^(m_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(q_.), x_Symbol] :> Simp
      [(f*x)^m*(d + e*x^2)^(q + 1)*((a + b*ArcTanh[c*x])^(p + 1)/(b*c*d*(p + 1))), x] - Simp[f*(m/(b*c*(p + 1)))   I
      nt[(f*x)^(m - 1)*(d + e*x^2)^q*(a + b*ArcTanh[c*x])^(p + 1), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m, q}, x] && E
      qQ[c^2*d + e, 0] && EqQ[m + 2*q + 2, 0] && LtQ[p, -1]

6569. Int[((a_.) + ArcCoth[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(p_)*((f_.)*(x_))^(m_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(q_.), x_Symbol] :> Simp
      [(f*x)^m*(d + e*x^2)^(q + 1)*((a + b*ArcCoth[c*x])^(p + 1)/(b*c*d*(p + 1))), x] - Simp[f*(m/(b*c*(p + 1)))   I
      nt[(f*x)^(m - 1)*(d + e*x^2)^q*(a + b*ArcCoth[c*x])^(p + 1), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m, q}, x] && E
      qQ[c^2*d + e, 0] && EqQ[m + 2*q + 2, 0] && LtQ[p, -1]

6570. Int[((a_.) + ArcTanh[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(p_.)*((f_.)*(x_))^(m_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(q_.), x_Symbol] :> Sim
      p[(f*x)^(m + 1)*(d + e*x^2)^(q + 1)*((a + b*ArcTanh[c*x])^p/(d*(m + 1))), x] - Simp[b*c*(p/(m + 1))   Int[(f*x
      )^(m + 1)*(d + e*x^2)^q*(a + b*ArcTanh[c*x])^(p - 1), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m, q}, x] && EqQ[c^2*
      d + e, 0] && EqQ[m + 2*q + 3, 0] && GtQ[p, 0] && NeQ[m, -1]

6571. Int[((a_.) + ArcCoth[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(p_.)*((f_.)*(x_))^(m_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(q_.), x_Symbol] :> Sim
      p[(f*x)^(m + 1)*(d + e*x^2)^(q + 1)*((a + b*ArcCoth[c*x])^p/(d*f*(m + 1))), x] - Simp[b*c*(p/(f*(m + 1)))   In
      t[(f*x)^(m + 1)*(d + e*x^2)^q*(a + b*ArcCoth[c*x])^(p - 1), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m, q}, x] && Eq
      Q[c^2*d + e, 0] && EqQ[m + 2*q + 3, 0] && GtQ[p, 0] && NeQ[m, -1]

6572. Int[((a_.) + ArcTanh[(c_.)*(x_)]*(b_.))*((f_.)*(x_))^(m_)*Sqrt[(d_) + (e_.)*(x_)^2], x_Symbol] :> Simp[(f*x)^(
      m + 1)*Sqrt[d + e*x^2]*((a + b*ArcTanh[c*x])/(f*(m + 2))), x] + (Simp[d/(m + 2)   Int[(f*x)^m*((a + b*ArcTanh[
      c*x])/Sqrt[d + e*x^2]), x], x] - Simp[b*c*(d/(f*(m + 2)))   Int[(f*x)^(m + 1)/Sqrt[d + e*x^2], x], x]) /; Free
      Q[{a, b, c, d, e, f, m}, x] && EqQ[c^2*d + e, 0] && NeQ[m, -2]

6573. Int[((a_.) + ArcCoth[(c_.)*(x_)]*(b_.))*((f_.)*(x_))^(m_)*Sqrt[(d_) + (e_.)*(x_)^2], x_Symbol] :> Simp[(f*x)^(
      m + 1)*Sqrt[d + e*x^2]*((a + b*ArcCoth[c*x])/(f*(m + 2))), x] + (Simp[d/(m + 2)   Int[(f*x)^m*((a + b*ArcCoth[
      c*x])/Sqrt[d + e*x^2]), x], x] - Simp[b*c*(d/(f*(m + 2)))   Int[(f*x)^(m + 1)/Sqrt[d + e*x^2], x], x]) /; Free
      Q[{a, b, c, d, e, f, m}, x] && EqQ[c^2*d + e, 0] && NeQ[m, -2]

6574. Int[((a_.) + ArcTanh[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(p_.)*((f_.)*(x_))^(m_)*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(q_), x_Symbol] :> Int[E
      xpandIntegrand[(f*x)^m*(d + e*x^2)^q*(a + b*ArcTanh[c*x])^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m}, x] && EqQ[
      c^2*d + e, 0] && IGtQ[p, 0] && IGtQ[q, 1]

6575. Int[((a_.) + ArcCoth[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(p_.)*((f_.)*(x_))^(m_)*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(q_), x_Symbol] :> Int[E
      xpandIntegrand[(f*x)^m*(d + e*x^2)^q*(a + b*ArcCoth[c*x])^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m}, x] && EqQ[
      c^2*d + e, 0] && IGtQ[p, 0] && IGtQ[q, 1]

6576. Int[((a_.) + ArcTanh[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(p_.)*((f_.)*(x_))^(m_)*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(q_.), x_Symbol] :> Simp
      [d   Int[(f*x)^m*(d + e*x^2)^(q - 1)*(a + b*ArcTanh[c*x])^p, x], x] - Simp[c^2*(d/f^2)   Int[(f*x)^(m + 2)*(d
      + e*x^2)^(q - 1)*(a + b*ArcTanh[c*x])^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m}, x] && EqQ[c^2*d + e, 0] && GtQ
      [q, 0] && IGtQ[p, 0] && (RationalQ[m] || (EqQ[p, 1] && IntegerQ[q]))

6577. Int[((a_.) + ArcCoth[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(p_.)*((f_.)*(x_))^(m_)*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(q_.), x_Symbol] :> Simp
      [d   Int[(f*x)^m*(d + e*x^2)^(q - 1)*(a + b*ArcCoth[c*x])^p, x], x] - Simp[c^2*(d/f^2)   Int[(f*x)^(m + 2)*(d
      + e*x^2)^(q - 1)*(a + b*ArcCoth[c*x])^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m}, x] && EqQ[c^2*d + e, 0] && GtQ
      [q, 0] && IGtQ[p, 0] && (RationalQ[m] || (EqQ[p, 1] && IntegerQ[q]))

6578. Int[(((a_.) + ArcTanh[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(p_.)*((f_.)*(x_))^(m_))/Sqrt[(d_) + (e_.)*(x_)^2], x_Symbol] :> Simp
      [(-f)*(f*x)^(m - 1)*Sqrt[d + e*x^2]*((a + b*ArcTanh[c*x])^p/(c^2*d*m)), x] + (Simp[b*f*(p/(c*m))   Int[(f*x)^(
      m - 1)*((a + b*ArcTanh[c*x])^(p - 1)/Sqrt[d + e*x^2]), x], x] + Simp[f^2*((m - 1)/(c^2*m))   Int[(f*x)^(m - 2)
      *((a + b*ArcTanh[c*x])^p/Sqrt[d + e*x^2]), x], x]) /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && EqQ[c^2*d + e, 0] && GtQ
      [p, 0] && GtQ[m, 1]

6579. Int[(((a_.) + ArcCoth[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(p_.)*((f_.)*(x_))^(m_))/Sqrt[(d_) + (e_.)*(x_)^2], x_Symbol] :> Simp
      [(-f)*(f*x)^(m - 1)*Sqrt[d + e*x^2]*((a + b*ArcCoth[c*x])^p/(c^2*d*m)), x] + (Simp[b*f*(p/(c*m))   Int[(f*x)^(
      m - 1)*((a + b*ArcCoth[c*x])^(p - 1)/Sqrt[d + e*x^2]), x], x] + Simp[f^2*((m - 1)/(c^2*m))   Int[(f*x)^(m - 2)
      *((a + b*ArcCoth[c*x])^p/Sqrt[d + e*x^2]), x], x]) /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && EqQ[c^2*d + e, 0] && GtQ
      [p, 0] && GtQ[m, 1]

6580. Int[((a_.) + ArcTanh[(c_.)*(x_)]*(b_.))/((x_)*Sqrt[(d_) + (e_.)*(x_)^2]), x_Symbol] :> Simp[(-2/Sqrt[d])*(a +
      b*ArcTanh[c*x])*ArcTanh[Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[1 + c*x]], x] + (Simp[(b/Sqrt[d])*PolyLog[2, -Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[1
      + c*x]], x] - Simp[(b/Sqrt[d])*PolyLog[2, Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[1 + c*x]], x]) /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && Eq
      Q[c^2*d + e, 0] && GtQ[d, 0]

6581. Int[((a_.) + ArcCoth[(c_.)*(x_)]*(b_.))/((x_)*Sqrt[(d_) + (e_.)*(x_)^2]), x_Symbol] :> Simp[(-2/Sqrt[d])*(a +
      b*ArcCoth[c*x])*ArcTanh[Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[1 + c*x]], x] + (Simp[(b/Sqrt[d])*PolyLog[2, -Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[1
      + c*x]], x] - Simp[(b/Sqrt[d])*PolyLog[2, Sqrt[1 - c*x]/Sqrt[1 + c*x]], x]) /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && Eq
      Q[c^2*d + e, 0] && GtQ[d, 0]

6582. Int[((a_.) + ArcTanh[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(p_)/((x_)*Sqrt[(d_) + (e_.)*(x_)^2]), x_Symbol] :> Simp[1/Sqrt[d]   S
      ubst[Int[(a + b*x)^p*Csch[x], x], x, ArcTanh[c*x]], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && EqQ[c^2*d + e, 0] && IG
      tQ[p, 0] && GtQ[d, 0]

6583. Int[((a_.) + ArcCoth[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(p_)/((x_)*Sqrt[(d_) + (e_.)*(x_)^2]), x_Symbol] :> Simp[(-c)*x*(Sqrt[
      1 - 1/(c^2*x^2)]/Sqrt[d + e*x^2])   Subst[Int[(a + b*x)^p*Sech[x], x], x, ArcCoth[c*x]], x] /; FreeQ[{a, b, c,
      d, e}, x] && EqQ[c^2*d + e, 0] && IGtQ[p, 0] && GtQ[d, 0]

6584. Int[((a_.) + ArcTanh[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(p_.)/((x_)*Sqrt[(d_) + (e_.)*(x_)^2]), x_Symbol] :> Simp[Sqrt[1 - c^2
      *x^2]/Sqrt[d + e*x^2]   Int[(a + b*ArcTanh[c*x])^p/(x*Sqrt[1 - c^2*x^2]), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x]
      && EqQ[c^2*d + e, 0] && IGtQ[p, 0] &&  !GtQ[d, 0]

6585. Int[((a_.) + ArcCoth[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(p_.)/((x_)*Sqrt[(d_) + (e_.)*(x_)^2]), x_Symbol] :> Simp[Sqrt[1 - c^2
      *x^2]/Sqrt[d + e*x^2]   Int[(a + b*ArcCoth[c*x])^p/(x*Sqrt[1 - c^2*x^2]), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x]
      && EqQ[c^2*d + e, 0] && IGtQ[p, 0] &&  !GtQ[d, 0]

6586. Int[((a_.) + ArcTanh[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(p_.)/((x_)^2*Sqrt[(d_) + (e_.)*(x_)^2]), x_Symbol] :> Simp[(-Sqrt[d +
      e*x^2])*((a + b*ArcTanh[c*x])^p/(d*x)), x] + Simp[b*c*p   Int[(a + b*ArcTanh[c*x])^(p - 1)/(x*Sqrt[d + e*x^2]
      ), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && EqQ[c^2*d + e, 0] && GtQ[p, 0]

6587. Int[((a_.) + ArcCoth[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(p_.)/((x_)^2*Sqrt[(d_) + (e_.)*(x_)^2]), x_Symbol] :> Simp[(-Sqrt[d +
      e*x^2])*((a + b*ArcCoth[c*x])^p/(d*x)), x] + Simp[b*c*p   Int[(a + b*ArcCoth[c*x])^(p - 1)/(x*Sqrt[d + e*x^2]
      ), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && EqQ[c^2*d + e, 0] && GtQ[p, 0]

6588. Int[(((a_.) + ArcTanh[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(p_.)*((f_.)*(x_))^(m_))/Sqrt[(d_) + (e_.)*(x_)^2], x_Symbol] :> Simp
      [(f*x)^(m + 1)*Sqrt[d + e*x^2]*((a + b*ArcTanh[c*x])^p/(d*f*(m + 1))), x] + (-Simp[b*c*(p/(f*(m + 1)))   Int[(
      f*x)^(m + 1)*((a + b*ArcTanh[c*x])^(p - 1)/Sqrt[d + e*x^2]), x], x] + Simp[c^2*((m + 2)/(f^2*(m + 1)))   Int[(
      f*x)^(m + 2)*((a + b*ArcTanh[c*x])^p/Sqrt[d + e*x^2]), x], x]) /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && EqQ[c^2*d +
      e, 0] && GtQ[p, 0] && LtQ[m, -1] && NeQ[m, -2]

6589. Int[(((a_.) + ArcCoth[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(p_.)*((f_.)*(x_))^(m_))/Sqrt[(d_) + (e_.)*(x_)^2], x_Symbol] :> Simp
      [(f*x)^(m + 1)*Sqrt[d + e*x^2]*((a + b*ArcCoth[c*x])^p/(d*f*(m + 1))), x] + (-Simp[b*c*(p/(f*(m + 1)))   Int[(
      f*x)^(m + 1)*((a + b*ArcCoth[c*x])^(p - 1)/Sqrt[d + e*x^2]), x], x] + Simp[c^2*((m + 2)/(f^2*(m + 1)))   Int[(
      f*x)^(m + 2)*((a + b*ArcCoth[c*x])^p/Sqrt[d + e*x^2]), x], x]) /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && EqQ[c^2*d +
      e, 0] && GtQ[p, 0] && LtQ[m, -1] && NeQ[m, -2]

6590. Int[((a_.) + ArcTanh[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(p_.)*(x_)^(m_)*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(q_), x_Symbol] :> Simp[1/e   In
      t[x^(m - 2)*(d + e*x^2)^(q + 1)*(a + b*ArcTanh[c*x])^p, x], x] - Simp[d/e   Int[x^(m - 2)*(d + e*x^2)^q*(a + b
      *ArcTanh[c*x])^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && EqQ[c^2*d + e, 0] && IntegersQ[p, 2*q] && LtQ[q, -1]
      && IGtQ[m, 1] && NeQ[p, -1]

6591. Int[((a_.) + ArcCoth[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(p_.)*(x_)^(m_)*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(q_), x_Symbol] :> Simp[1/e   In
      t[x^(m - 2)*(d + e*x^2)^(q + 1)*(a + b*ArcCoth[c*x])^p, x], x] - Simp[d/e   Int[x^(m - 2)*(d + e*x^2)^q*(a + b
      *ArcCoth[c*x])^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && EqQ[c^2*d + e, 0] && IntegersQ[p, 2*q] && LtQ[q, -1]
      && IGtQ[m, 1] && NeQ[p, -1]

6592. Int[((a_.) + ArcTanh[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(p_.)*(x_)^(m_)*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(q_), x_Symbol] :> Simp[1/d   In
      t[x^m*(d + e*x^2)^(q + 1)*(a + b*ArcTanh[c*x])^p, x], x] - Simp[e/d   Int[x^(m + 2)*(d + e*x^2)^q*(a + b*ArcTa
      nh[c*x])^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && EqQ[c^2*d + e, 0] && IntegersQ[p, 2*q] && LtQ[q, -1] && ILt
      Q[m, 0] && NeQ[p, -1]

6593. Int[((a_.) + ArcCoth[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(p_.)*(x_)^(m_)*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(q_), x_Symbol] :> Simp[1/d   In
      t[x^m*(d + e*x^2)^(q + 1)*(a + b*ArcCoth[c*x])^p, x], x] - Simp[e/d   Int[x^(m + 2)*(d + e*x^2)^q*(a + b*ArcCo
      th[c*x])^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && EqQ[c^2*d + e, 0] && IntegersQ[p, 2*q] && LtQ[q, -1] && ILt
      Q[m, 0] && NeQ[p, -1]

6594. Int[((a_.) + ArcTanh[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(p_.)*(x_)^(m_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(q_), x_Symbol] :> Simp[x^m*(d
      + e*x^2)^(q + 1)*((a + b*ArcTanh[c*x])^(p + 1)/(b*c*d*(p + 1))), x] + (Simp[c*((m + 2*q + 2)/(b*(p + 1)))   In
      t[x^(m + 1)*(d + e*x^2)^q*(a + b*ArcTanh[c*x])^(p + 1), x], x] - Simp[m/(b*c*(p + 1))   Int[x^(m - 1)*(d + e*x
      ^2)^q*(a + b*ArcTanh[c*x])^(p + 1), x], x]) /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && EqQ[c^2*d + e, 0] && IntegerQ[m] &
      & LtQ[q, -1] && LtQ[p, -1] && NeQ[m + 2*q + 2, 0]

6595. Int[((a_.) + ArcCoth[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(p_.)*(x_)^(m_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(q_), x_Symbol] :> Simp[x^m*(d
      + e*x^2)^(q + 1)*((a + b*ArcCoth[c*x])^(p + 1)/(b*c*d*(p + 1))), x] + (Simp[c*((m + 2*q + 2)/(b*(p + 1)))   In
      t[x^(m + 1)*(d + e*x^2)^q*(a + b*ArcCoth[c*x])^(p + 1), x], x] - Simp[m/(b*c*(p + 1))   Int[x^(m - 1)*(d + e*x
      ^2)^q*(a + b*ArcCoth[c*x])^(p + 1), x], x]) /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && EqQ[c^2*d + e, 0] && IntegerQ[m] &
      & LtQ[q, -1] && LtQ[p, -1] && NeQ[m + 2*q + 2, 0]

6596. Int[((a_.) + ArcTanh[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(p_.)*(x_)^(m_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(q_), x_Symbol] :> Simp[d^q/c^(
      m + 1)   Subst[Int[(a + b*x)^p*(Sinh[x]^m/Cosh[x]^(m + 2*(q + 1))), x], x, ArcTanh[c*x]], x] /; FreeQ[{a, b, c
      , d, e, p}, x] && EqQ[c^2*d + e, 0] && IGtQ[m, 0] && ILtQ[m + 2*q + 1, 0] && (IntegerQ[q] || GtQ[d, 0])

6597. Int[((a_.) + ArcTanh[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(p_.)*(x_)^(m_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(q_), x_Symbol] :> Simp[d^(q +
      1/2)*(Sqrt[1 - c^2*x^2]/Sqrt[d + e*x^2])   Int[x^m*(1 - c^2*x^2)^q*(a + b*ArcTanh[c*x])^p, x], x] /; FreeQ[{a,
      b, c, d, e, p}, x] && EqQ[c^2*d + e, 0] && IGtQ[m, 0] && ILtQ[m + 2*q + 1, 0] &&  !(IntegerQ[q] || GtQ[d, 0])

6598. Int[((a_.) + ArcCoth[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(p_.)*(x_)^(m_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(q_), x_Symbol] :> Simp[-(-d)^q
      /c^(m + 1)   Subst[Int[(a + b*x)^p*(Cosh[x]^m/Sinh[x]^(m + 2*(q + 1))), x], x, ArcCoth[c*x]], x] /; FreeQ[{a,
      b, c, d, e, p}, x] && EqQ[c^2*d + e, 0] && IGtQ[m, 0] && ILtQ[m + 2*q + 1, 0] && IntegerQ[q]

6599. Int[((a_.) + ArcCoth[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(p_.)*(x_)^(m_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(q_), x_Symbol] :> Simp[(-(-d)^
      (q + 1/2))*x*(Sqrt[(c^2*x^2 - 1)/(c^2*x^2)]/(c^m*Sqrt[d + e*x^2]))   Subst[Int[(a + b*x)^p*(Cosh[x]^m/Sinh[x]^
      (m + 2*(q + 1))), x], x, ArcCoth[c*x]], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, p}, x] && EqQ[c^2*d + e, 0] && IGtQ[m, 0]
      && ILtQ[m + 2*q + 1, 0] &&  !IntegerQ[q]

6600. Int[((a_.) + ArcTanh[(c_.)*(x_)]*(b_.))*(x_)*((d_.) + (e_.)*(x_)^2)^(q_.), x_Symbol] :> Simp[(d + e*x^2)^(q +
      1)*((a + b*ArcTanh[c*x])/(2*e*(q + 1))), x] - Simp[b*(c/(2*e*(q + 1)))   Int[(d + e*x^2)^(q + 1)/(1 - c^2*x^2)
      , x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, q}, x] && NeQ[q, -1]

6601. Int[((a_.) + ArcCoth[(c_.)*(x_)]*(b_.))*(x_)*((d_.) + (e_.)*(x_)^2)^(q_.), x_Symbol] :> Simp[(d + e*x^2)^(q +
      1)*((a + b*ArcCoth[c*x])/(2*e*(q + 1))), x] - Simp[b*(c/(2*e*(q + 1)))   Int[(d + e*x^2)^(q + 1)/(1 - c^2*x^2)
      , x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, q}, x] && NeQ[q, -1]

6602. Int[((a_.) + ArcTanh[(c_.)*(x_)]*(b_.))*((f_.)*(x_))^(m_.)*((d_.) + (e_.)*(x_)^2)^(q_.), x_Symbol] :> With[{u
      = IntHide[(f*x)^m*(d + e*x^2)^q, x]}, Simp[(a + b*ArcTanh[c*x])   u, x] - Simp[b*c   Int[SimplifyIntegrand[u/(
      1 - c^2*x^2), x], x], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m, q}, x] && ((IGtQ[q, 0] &&  !(ILtQ[(m - 1)/2, 0] && Gt
      Q[m + 2*q + 3, 0])) || (IGtQ[(m + 1)/2, 0] &&  !(ILtQ[q, 0] && GtQ[m + 2*q + 3, 0])) || (ILtQ[(m + 2*q + 1)/2,
      0] &&  !ILtQ[(m - 1)/2, 0]))

6603. Int[((a_.) + ArcCoth[(c_.)*(x_)]*(b_.))*((f_.)*(x_))^(m_.)*((d_.) + (e_.)*(x_)^2)^(q_.), x_Symbol] :> With[{u
      = IntHide[(f*x)^m*(d + e*x^2)^q, x]}, Simp[(a + b*ArcCoth[c*x])   u, x] - Simp[b*c   Int[SimplifyIntegrand[u/(
      1 - c^2*x^2), x], x], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m, q}, x] && ((IGtQ[q, 0] &&  !(ILtQ[(m - 1)/2, 0] && Gt
      Q[m + 2*q + 3, 0])) || (IGtQ[(m + 1)/2, 0] &&  !(ILtQ[q, 0] && GtQ[m + 2*q + 3, 0])) || (ILtQ[(m + 2*q + 1)/2,
      0] &&  !ILtQ[(m - 1)/2, 0]))

6604. Int[(((a_.) + ArcTanh[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(p_.)*(x_))/((d_) + (e_.)*(x_)^2)^2, x_Symbol] :> Simp[1/(4*d^2*Rt[-e
      /d, 2])   Int[(a + b*ArcTanh[c*x])^p/(1 - Rt[-e/d, 2]*x)^2, x], x] - Simp[1/(4*d^2*Rt[-e/d, 2])   Int[(a + b*A
      rcTanh[c*x])^p/(1 + Rt[-e/d, 2]*x)^2, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && IGtQ[p, 0]

6605. Int[(((a_.) + ArcCoth[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(p_.)*(x_))/((d_) + (e_.)*(x_)^2)^2, x_Symbol] :> Simp[1/(4*d^2*Rt[-e
      /d, 2])   Int[(a + b*ArcCoth[c*x])^p/(1 - Rt[-e/d, 2]*x)^2, x], x] - Simp[1/(4*d^2*Rt[-e/d, 2])   Int[(a + b*A
      rcCoth[c*x])^p/(1 + Rt[-e/d, 2]*x)^2, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && IGtQ[p, 0]

6606. Int[((a_.) + ArcTanh[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(p_.)*((f_.)*(x_))^(m_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(q_.), x_Symbol] :> Wit
      h[{u = ExpandIntegrand[(a + b*ArcTanh[c*x])^p, (f*x)^m*(d + e*x^2)^q, x]}, Int[u, x] /; SumQ[u]] /; FreeQ[{a,
      b, c, d, e, f, m}, x] && IntegerQ[q] && IGtQ[p, 0] && (GtQ[q, 0] || IntegerQ[m])

6607. Int[((a_.) + ArcCoth[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(p_.)*((f_.)*(x_))^(m_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(q_.), x_Symbol] :> Wit
      h[{u = ExpandIntegrand[(a + b*ArcCoth[c*x])^p, (f*x)^m*(d + e*x^2)^q, x]}, Int[u, x] /; SumQ[u]] /; FreeQ[{a,
      b, c, d, e, f, m}, x] && IntegerQ[q] && IGtQ[p, 0] && (GtQ[q, 0] || IntegerQ[m])

6608. Int[(ArcTanh[(c_.)*(x_)]*(b_.) + (a_))*((f_.)*(x_))^(m_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(q_.), x_Symbol] :> Simp[a   I
      nt[(f*x)^m*(d + e*x^2)^q, x], x] + Simp[b   Int[(f*x)^m*(d + e*x^2)^q*ArcTanh[c*x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c,
      d, e, f, m, q}, x]

6609. Int[(ArcCoth[(c_.)*(x_)]*(b_.) + (a_))*((f_.)*(x_))^(m_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(q_.), x_Symbol] :> Simp[a   I
      nt[(f*x)^m*(d + e*x^2)^q, x], x] + Simp[b   Int[(f*x)^m*(d + e*x^2)^q*ArcCoth[c*x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c,
      d, e, f, m, q}, x]

6610. Int[(((a_.) + ArcTanh[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(p_.)*((f_) + (g_.)*(x_))^(m_.))/((d_) + (e_.)*(x_)^2), x_Symbol] :>
      Int[ExpandIntegrand[(a + b*ArcTanh[c*x])^p/(d + e*x^2), (f + g*x)^m, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g}, x]
      && IGtQ[p, 0] && EqQ[c^2*d + e, 0] && IGtQ[m, 0]

6611. Int[(((a_.) + ArcCoth[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(p_.)*((f_) + (g_.)*(x_))^(m_.))/((d_) + (e_.)*(x_)^2), x_Symbol] :>
      Int[ExpandIntegrand[(a + b*ArcCoth[c*x])^p/(d + e*x^2), (f + g*x)^m, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g}, x]
      && IGtQ[p, 0] && EqQ[c^2*d + e, 0] && IGtQ[m, 0]

6612. Int[(ArcTanh[u_]*((a_.) + ArcTanh[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(p_.))/((d_) + (e_.)*(x_)^2), x_Symbol] :> Simp[1/2   Int
      [Log[1 + u]*((a + b*ArcTanh[c*x])^p/(d + e*x^2)), x], x] - Simp[1/2   Int[Log[1 - u]*((a + b*ArcTanh[c*x])^p/(
      d + e*x^2)), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && IGtQ[p, 0] && EqQ[c^2*d + e, 0] && EqQ[u^2 - (1 - 2/(1 + c
      *x))^2, 0]

6613. Int[(ArcCoth[u_]*((a_.) + ArcCoth[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(p_.))/((d_) + (e_.)*(x_)^2), x_Symbol] :> Simp[1/2   Int
      [Log[SimplifyIntegrand[1 + 1/u, x]]*((a + b*ArcCoth[c*x])^p/(d + e*x^2)), x], x] - Simp[1/2   Int[Log[Simplify
      Integrand[1 - 1/u, x]]*((a + b*ArcCoth[c*x])^p/(d + e*x^2)), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && IGtQ[p, 0]
      && EqQ[c^2*d + e, 0] && EqQ[u^2 - (1 - 2/(1 + c*x))^2, 0]

6614. Int[(ArcTanh[u_]*((a_.) + ArcTanh[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(p_.))/((d_) + (e_.)*(x_)^2), x_Symbol] :> Simp[1/2   Int
      [Log[1 + u]*((a + b*ArcTanh[c*x])^p/(d + e*x^2)), x], x] - Simp[1/2   Int[Log[1 - u]*((a + b*ArcTanh[c*x])^p/(
      d + e*x^2)), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && IGtQ[p, 0] && EqQ[c^2*d + e, 0] && EqQ[u^2 - (1 - 2/(1 - c
      *x))^2, 0]

6615. Int[(ArcCoth[u_]*((a_.) + ArcCoth[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(p_.))/((d_) + (e_.)*(x_)^2), x_Symbol] :> Simp[1/2   Int
      [Log[SimplifyIntegrand[1 + 1/u, x]]*((a + b*ArcCoth[c*x])^p/(d + e*x^2)), x], x] - Simp[1/2   Int[Log[Simplify
      Integrand[1 - 1/u, x]]*((a + b*ArcCoth[c*x])^p/(d + e*x^2)), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && IGtQ[p, 0]
      && EqQ[c^2*d + e, 0] && EqQ[u^2 - (1 - 2/(1 - c*x))^2, 0]

6616. Int[(Log[(f_) + (g_.)*(x_)]*((a_.) + ArcTanh[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(p_.))/((d_) + (e_.)*(x_)^2), x_Symbol] :> Sim
      p[(a + b*ArcTanh[c*x])^(p + 1)*(Log[f + g*x]/(b*c*d*(p + 1))), x] - Simp[g/(b*c*d*(p + 1))   Int[(a + b*ArcTan
      h[c*x])^(p + 1)/(f + g*x), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g}, x] && IGtQ[p, 0] && EqQ[c^2*d + e, 0] && EqQ
      [c^2*f^2 - g^2, 0]

6617. Int[(Log[(f_) + (g_.)*(x_)]*((a_.) + ArcCoth[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(p_.))/((d_) + (e_.)*(x_)^2), x_Symbol] :> Sim
      p[(a + b*ArcCoth[c*x])^(p + 1)*(Log[f + g*x]/(b*c*d*(p + 1))), x] - Simp[g/(b*c*d*(p + 1))   Int[(a + b*ArcCot
      h[c*x])^(p + 1)/(f + g*x), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g}, x] && IGtQ[p, 0] && EqQ[c^2*d + e, 0] && EqQ
      [c^2*f^2 - g^2, 0]

6618. Int[(Log[u_]*((a_.) + ArcTanh[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(p_.))/((d_) + (e_.)*(x_)^2), x_Symbol] :> Simp[(a + b*ArcTan
      h[c*x])^p*(PolyLog[2, 1 - u]/(2*c*d)), x] - Simp[b*(p/2)   Int[(a + b*ArcTanh[c*x])^(p - 1)*(PolyLog[2, 1 - u]
      /(d + e*x^2)), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && IGtQ[p, 0] && EqQ[c^2*d + e, 0] && EqQ[(1 - u)^2 - (1 -
      2/(1 + c*x))^2, 0]

6619. Int[(Log[u_]*((a_.) + ArcCoth[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(p_.))/((d_) + (e_.)*(x_)^2), x_Symbol] :> Simp[(a + b*ArcCot
      h[c*x])^p*(PolyLog[2, 1 - u]/(2*c*d)), x] - Simp[b*(p/2)   Int[(a + b*ArcCoth[c*x])^(p - 1)*(PolyLog[2, 1 - u]
      /(d + e*x^2)), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && IGtQ[p, 0] && EqQ[c^2*d + e, 0] && EqQ[(1 - u)^2 - (1 -
      2/(1 + c*x))^2, 0]

6620. Int[(Log[u_]*((a_.) + ArcTanh[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(p_.))/((d_) + (e_.)*(x_)^2), x_Symbol] :> Simp[(-(a + b*ArcT
      anh[c*x])^p)*(PolyLog[2, 1 - u]/(2*c*d)), x] + Simp[b*(p/2)   Int[(a + b*ArcTanh[c*x])^(p - 1)*(PolyLog[2, 1 -
      u]/(d + e*x^2)), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && IGtQ[p, 0] && EqQ[c^2*d + e, 0] && EqQ[(1 - u)^2 - (1
      - 2/(1 - c*x))^2, 0]

6621. Int[(Log[u_]*((a_.) + ArcCoth[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(p_.))/((d_) + (e_.)*(x_)^2), x_Symbol] :> Simp[(-(a + b*ArcC
      oth[c*x])^p)*(PolyLog[2, 1 - u]/(2*c*d)), x] + Simp[b*(p/2)   Int[(a + b*ArcCoth[c*x])^(p - 1)*(PolyLog[2, 1 -
      u]/(d + e*x^2)), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && IGtQ[p, 0] && EqQ[c^2*d + e, 0] && EqQ[(1 - u)^2 - (1
      - 2/(1 - c*x))^2, 0]

6622. Int[(((a_.) + ArcTanh[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(p_.)*PolyLog[k_, u_])/((d_) + (e_.)*(x_)^2), x_Symbol] :> Simp[(-(a
      + b*ArcTanh[c*x])^p)*(PolyLog[k + 1, u]/(2*c*d)), x] + Simp[b*(p/2)   Int[(a + b*ArcTanh[c*x])^(p - 1)*(PolyLo
      g[k + 1, u]/(d + e*x^2)), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, k}, x] && IGtQ[p, 0] && EqQ[c^2*d + e, 0] && EqQ[u^2
      - (1 - 2/(1 + c*x))^2, 0]

6623. Int[(((a_.) + ArcCoth[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(p_.)*PolyLog[k_, u_])/((d_) + (e_.)*(x_)^2), x_Symbol] :> Simp[(-(a
      + b*ArcCoth[c*x])^p)*(PolyLog[k + 1, u]/(2*c*d)), x] + Simp[b*(p/2)   Int[(a + b*ArcCoth[c*x])^(p - 1)*(PolyLo
      g[k + 1, u]/(d + e*x^2)), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, k}, x] && IGtQ[p, 0] && EqQ[c^2*d + e, 0] && EqQ[u^2
      - (1 - 2/(1 + c*x))^2, 0]

6624. Int[(((a_.) + ArcTanh[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(p_.)*PolyLog[k_, u_])/((d_) + (e_.)*(x_)^2), x_Symbol] :> Simp[(a +
      b*ArcTanh[c*x])^p*(PolyLog[k + 1, u]/(2*c*d)), x] - Simp[b*(p/2)   Int[(a + b*ArcTanh[c*x])^(p - 1)*(PolyLog[k
      + 1, u]/(d + e*x^2)), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, k}, x] && IGtQ[p, 0] && EqQ[c^2*d + e, 0] && EqQ[u^2 -
      (1 - 2/(1 - c*x))^2, 0]

6625. Int[(((a_.) + ArcCoth[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(p_.)*PolyLog[k_, u_])/((d_) + (e_.)*(x_)^2), x_Symbol] :> Simp[(a +
      b*ArcCoth[c*x])^p*(PolyLog[k + 1, u]/(2*c*d)), x] - Simp[b*(p/2)   Int[(a + b*ArcCoth[c*x])^(p - 1)*(PolyLog[k
      + 1, u]/(d + e*x^2)), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, k}, x] && IGtQ[p, 0] && EqQ[c^2*d + e, 0] && EqQ[u^2 -
      (1 - 2/(1 - c*x))^2, 0]

6626. Int[1/(((a_.) + ArcCoth[(c_.)*(x_)]*(b_.))*((a_.) + ArcTanh[(c_.)*(x_)]*(b_.))*((d_) + (e_.)*(x_)^2)), x_Symbo
      l] :> Simp[(-Log[a + b*ArcCoth[c*x]] + Log[a + b*ArcTanh[c*x]])/(b^2*c*d*(ArcCoth[c*x] - ArcTanh[c*x])), x] /;
      FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && EqQ[c^2*d + e, 0]

6627. Int[(((a_.) + ArcCoth[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(m_.)*((a_.) + ArcTanh[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(p_.))/((d_) + (e_.)*(x_)^2
      ), x_Symbol] :> Simp[(a + b*ArcCoth[c*x])^(m + 1)*((a + b*ArcTanh[c*x])^p/(b*c*d*(m + 1))), x] - Simp[p/(m + 1
      )   Int[(a + b*ArcCoth[c*x])^(m + 1)*((a + b*ArcTanh[c*x])^(p - 1)/(d + e*x^2)), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d,
      e}, x] && EqQ[c^2*d + e, 0] && IGtQ[p, 0] && IGeQ[m, p]

6628. Int[(((a_.) + ArcCoth[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(p_.)*((a_.) + ArcTanh[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(m_.))/((d_) + (e_.)*(x_)^2
      ), x_Symbol] :> Simp[(a + b*ArcTanh[c*x])^(m + 1)*((a + b*ArcCoth[c*x])^p/(b*c*d*(m + 1))), x] - Simp[p/(m + 1
      )   Int[(a + b*ArcTanh[c*x])^(m + 1)*((a + b*ArcCoth[c*x])^(p - 1)/(d + e*x^2)), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d,
      e}, x] && EqQ[c^2*d + e, 0] && IGtQ[p, 0] && IGtQ[m, p]

6629. Int[ArcTanh[(a_.)*(x_)]/((c_) + (d_.)*(x_)^(n_.)), x_Symbol] :> Simp[1/2   Int[Log[1 + a*x]/(c + d*x^n), x], x
      ] - Simp[1/2   Int[Log[1 - a*x]/(c + d*x^n), x], x] /; FreeQ[{a, c, d}, x] && IntegerQ[n] &&  !(EqQ[n, 2] && E
      qQ[a^2*c + d, 0])

6630. Int[ArcCoth[(a_.)*(x_)]/((c_) + (d_.)*(x_)^(n_.)), x_Symbol] :> Simp[1/2   Int[Log[1 + 1/(a*x)]/(c + d*x^n), x
      ], x] - Simp[1/2   Int[Log[1 - 1/(a*x)]/(c + d*x^n), x], x] /; FreeQ[{a, c, d}, x] && IntegerQ[n] &&  !(EqQ[n,
      2] && EqQ[a^2*c + d, 0])

6631. Int[(ArcTanh[(c_.)*(x_)^(n_.)]*Log[(d_.)*(x_)^(m_.)])/(x_), x_Symbol] :> Simp[1/2   Int[Log[d*x^m]*(Log[1 + c*
      x^n]/x), x], x] - Simp[1/2   Int[Log[d*x^m]*(Log[1 - c*x^n]/x), x], x] /; FreeQ[{c, d, m, n}, x]

6632. Int[(ArcCoth[(c_.)*(x_)^(n_.)]*Log[(d_.)*(x_)^(m_.)])/(x_), x_Symbol] :> Simp[1/2   Int[Log[d*x^m]*(Log[1 + 1/
      (c*x^n)]/x), x], x] - Simp[1/2   Int[Log[d*x^m]*(Log[1 - 1/(c*x^n)]/x), x], x] /; FreeQ[{c, d, m, n}, x]

6633. Int[(Log[(d_.)*(x_)^(m_.)]*(ArcTanh[(c_.)*(x_)^(n_.)]*(b_.) + (a_)))/(x_), x_Symbol] :> Simp[a   Int[Log[d*x^m
      ]/x, x], x] + Simp[b   Int[(Log[d*x^m]*ArcTanh[c*x^n])/x, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, m, n}, x]

6634. Int[(Log[(d_.)*(x_)^(m_.)]*(ArcCoth[(c_.)*(x_)^(n_.)]*(b_.) + (a_)))/(x_), x_Symbol] :> Simp[a   Int[Log[d*x^m
      ]/x, x], x] + Simp[b   Int[(Log[d*x^m]*ArcCoth[c*x^n])/x, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, m, n}, x]

6635. Int[((a_.) + ArcTanh[(c_.)*(x_)]*(b_.))*((d_.) + Log[(f_.) + (g_.)*(x_)^2]*(e_.)), x_Symbol] :> Simp[x*(d + e*
      Log[f + g*x^2])*(a + b*ArcTanh[c*x]), x] + (-Simp[b*c   Int[x*((d + e*Log[f + g*x^2])/(1 - c^2*x^2)), x], x] -
      Simp[2*e*g   Int[x^2*((a + b*ArcTanh[c*x])/(f + g*x^2)), x], x]) /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g}, x]

6636. Int[((a_.) + ArcCoth[(c_.)*(x_)]*(b_.))*((d_.) + Log[(f_.) + (g_.)*(x_)^2]*(e_.)), x_Symbol] :> Simp[x*(d + e*
      Log[f + g*x^2])*(a + b*ArcCoth[c*x]), x] + (-Simp[b*c   Int[x*((d + e*Log[f + g*x^2])/(1 - c^2*x^2)), x], x] -
      Simp[2*e*g   Int[x^2*((a + b*ArcCoth[c*x])/(f + g*x^2)), x], x]) /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g}, x]

6637. Int[(ArcTanh[(c_.)*(x_)]*Log[(f_.) + (g_.)*(x_)^2])/(x_), x_Symbol] :> Simp[(Log[f + g*x^2] - Log[1 - c*x] - L
      og[1 + c*x])   Int[ArcTanh[c*x]/x, x], x] + (-Simp[1/2   Int[Log[1 - c*x]^2/x, x], x] + Simp[1/2   Int[Log[1 +
      c*x]^2/x, x], x]) /; FreeQ[{c, f, g}, x] && EqQ[c^2*f + g, 0]

6638. Int[(ArcCoth[(c_.)*(x_)]*Log[(f_.) + (g_.)*(x_)^2])/(x_), x_Symbol] :> Simp[(Log[f + g*x^2] - Log[(-c^2)*x^2]
      - Log[1 - 1/(c*x)] - Log[1 + 1/(c*x)])   Int[ArcCoth[c*x]/x, x], x] + (Int[Log[(-c^2)*x^2]*(ArcCoth[c*x]/x), x
      ] + Simp[1/2   Int[Log[1 + 1/(c*x)]^2/x, x], x] - Simp[1/2   Int[Log[1 - 1/(c*x)]^2/x, x], x]) /; FreeQ[{c, f,
      g}, x] && EqQ[c^2*f + g, 0]

6639. Int[(Log[(f_.) + (g_.)*(x_)^2]*(ArcTanh[(c_.)*(x_)]*(b_.) + (a_)))/(x_), x_Symbol] :> Simp[a   Int[Log[f + g*x
      ^2]/x, x], x] + Simp[b   Int[Log[f + g*x^2]*(ArcTanh[c*x]/x), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, f, g}, x]

6640. Int[(Log[(f_.) + (g_.)*(x_)^2]*(ArcCoth[(c_.)*(x_)]*(b_.) + (a_)))/(x_), x_Symbol] :> Simp[a   Int[Log[f + g*x
      ^2]/x, x], x] + Simp[b   Int[Log[f + g*x^2]*(ArcCoth[c*x]/x), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, f, g}, x]

6641. Int[(((a_.) + ArcTanh[(c_.)*(x_)]*(b_.))*(Log[(f_.) + (g_.)*(x_)^2]*(e_.) + (d_)))/(x_), x_Symbol] :> Simp[d
      Int[(a + b*ArcTanh[c*x])/x, x], x] + Simp[e   Int[Log[f + g*x^2]*((a + b*ArcTanh[c*x])/x), x], x] /; FreeQ[{a
      , b, c, d, e, f, g}, x]

6642. Int[(((a_.) + ArcCoth[(c_.)*(x_)]*(b_.))*(Log[(f_.) + (g_.)*(x_)^2]*(e_.) + (d_)))/(x_), x_Symbol] :> Simp[d
      Int[(a + b*ArcCoth[c*x])/x, x], x] + Simp[e   Int[Log[f + g*x^2]*((a + b*ArcCoth[c*x])/x), x], x] /; FreeQ[{a
      , b, c, d, e, f, g}, x]

6643. Int[((a_.) + ArcTanh[(c_.)*(x_)]*(b_.))*((d_.) + Log[(f_.) + (g_.)*(x_)^2]*(e_.))*(x_)^(m_.), x_Symbol] :> Sim
      p[x^(m + 1)*(d + e*Log[f + g*x^2])*((a + b*ArcTanh[c*x])/(m + 1)), x] + (-Simp[b*(c/(m + 1))   Int[x^(m + 1)*(
      (d + e*Log[f + g*x^2])/(1 - c^2*x^2)), x], x] - Simp[2*e*(g/(m + 1))   Int[x^(m + 2)*((a + b*ArcTanh[c*x])/(f
      + g*x^2)), x], x]) /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g}, x] && ILtQ[m/2, 0]

6644. Int[((a_.) + ArcCoth[(c_.)*(x_)]*(b_.))*((d_.) + Log[(f_.) + (g_.)*(x_)^2]*(e_.))*(x_)^(m_.), x_Symbol] :> Sim
      p[x^(m + 1)*(d + e*Log[f + g*x^2])*((a + b*ArcCoth[c*x])/(m + 1)), x] + (-Simp[b*(c/(m + 1))   Int[x^(m + 1)*(
      (d + e*Log[f + g*x^2])/(1 - c^2*x^2)), x], x] - Simp[2*e*(g/(m + 1))   Int[x^(m + 2)*((a + b*ArcCoth[c*x])/(f
      + g*x^2)), x], x]) /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g}, x] && ILtQ[m/2, 0]

6645. Int[((a_.) + ArcTanh[(c_.)*(x_)]*(b_.))*((d_.) + Log[(f_.) + (g_.)*(x_)^2]*(e_.))*(x_)^(m_.), x_Symbol] :> Wit
      h[{u = IntHide[x^m*(d + e*Log[f + g*x^2]), x]}, Simp[(a + b*ArcTanh[c*x])   u, x] - Simp[b*c   Int[ExpandInteg
      rand[u/(1 - c^2*x^2), x], x], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g}, x] && IGtQ[(m + 1)/2, 0]

6646. Int[((a_.) + ArcCoth[(c_.)*(x_)]*(b_.))*((d_.) + Log[(f_.) + (g_.)*(x_)^2]*(e_.))*(x_)^(m_.), x_Symbol] :> Wit
      h[{u = IntHide[x^m*(d + e*Log[f + g*x^2]), x]}, Simp[(a + b*ArcCoth[c*x])   u, x] - Simp[b*c   Int[ExpandInteg
      rand[u/(1 - c^2*x^2), x], x], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g}, x] && IGtQ[(m + 1)/2, 0]

6647. Int[((a_.) + ArcTanh[(c_.)*(x_)]*(b_.))*((d_.) + Log[(f_.) + (g_.)*(x_)^2]*(e_.))*(x_)^(m_.), x_Symbol] :> Wit
      h[{u = IntHide[x^m*(a + b*ArcTanh[c*x]), x]}, Simp[(d + e*Log[f + g*x^2])   u, x] - Simp[2*e*g   Int[ExpandInt
      egrand[x*(u/(f + g*x^2)), x], x], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g}, x] && IntegerQ[m] && NeQ[m, -1]

6648. Int[((a_.) + ArcCoth[(c_.)*(x_)]*(b_.))*((d_.) + Log[(f_.) + (g_.)*(x_)^2]*(e_.))*(x_)^(m_.), x_Symbol] :> Wit
      h[{u = IntHide[x^m*(a + b*ArcCoth[c*x]), x]}, Simp[(d + e*Log[f + g*x^2])   u, x] - Simp[2*e*g   Int[ExpandInt
      egrand[x*(u/(f + g*x^2)), x], x], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g}, x] && IntegerQ[m] && NeQ[m, -1]

6649. Int[((a_.) + ArcTanh[(c_.)*(x_)]*(b_.))^2*((d_.) + Log[(f_) + (g_.)*(x_)^2]*(e_.))*(x_), x_Symbol] :> Simp[(f
      + g*x^2)*(d + e*Log[f + g*x^2])*((a + b*ArcTanh[c*x])^2/(2*g)), x] + (-Simp[e*x^2*((a + b*ArcTanh[c*x])^2/2),
      x] + Simp[b/c   Int[(d + e*Log[f + g*x^2])*(a + b*ArcTanh[c*x]), x], x] + Simp[b*c*e   Int[x^2*((a + b*ArcTanh
      [c*x])/(1 - c^2*x^2)), x], x]) /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g}, x] && EqQ[c^2*f + g, 0]

6650. Int[((a_.) + ArcCoth[(c_.)*(x_)]*(b_.))^2*((d_.) + Log[(f_) + (g_.)*(x_)^2]*(e_.))*(x_), x_Symbol] :> Simp[(f
      + g*x^2)*(d + e*Log[f + g*x^2])*((a + b*ArcCoth[c*x])^2/(2*g)), x] + (-Simp[e*x^2*((a + b*ArcCoth[c*x])^2/2),
      x] + Simp[b/c   Int[(d + e*Log[f + g*x^2])*(a + b*ArcCoth[c*x]), x], x] + Simp[b*c*e   Int[x^2*((a + b*ArcCoth
      [c*x])/(1 - c^2*x^2)), x], x]) /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g}, x] && EqQ[c^2*f + g, 0]

6651. Int[((a_.) + ArcTanh[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(p_.)*(u_.), x_Symbol] :> Unintegrable[u*(a + b*ArcTanh[c*x])^p, x] /;
      FreeQ[{a, b, c, p}, x] && (EqQ[u, 1] || MatchQ[u, ((d_.) + (e_.)*x)^(q_.) /; FreeQ[{d, e, q}, x]] || MatchQ[u
      , ((f_.)*x)^(m_.)*((d_.) + (e_.)*x)^(q_.) /; FreeQ[{d, e, f, m, q}, x]] || MatchQ[u, ((d_.) + (e_.)*x^2)^(q_.)
      /; FreeQ[{d, e, q}, x]] || MatchQ[u, ((f_.)*x)^(m_.)*((d_.) + (e_.)*x^2)^(q_.) /; FreeQ[{d, e, f, m, q}, x]])

6652. Int[((a_.) + ArcCoth[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(p_.)*(u_.), x_Symbol] :> Unintegrable[u*(a + b*ArcCoth[c*x])^p, x] /;
      FreeQ[{a, b, c, p}, x] && (EqQ[u, 1] || MatchQ[u, ((d_.) + (e_.)*x)^(q_.) /; FreeQ[{d, e, q}, x]] || MatchQ[u
      , ((f_.)*x)^(m_.)*((d_.) + (e_.)*x)^(q_.) /; FreeQ[{d, e, f, m, q}, x]] || MatchQ[u, ((d_.) + (e_.)*x^2)^(q_.)
      /; FreeQ[{d, e, q}, x]] || MatchQ[u, ((f_.)*x)^(m_.)*((d_.) + (e_.)*x^2)^(q_.) /; FreeQ[{d, e, f, m, q}, x]])

6653. Int[((a_.) + ArcTanh[(c_) + (d_.)*(x_)]*(b_.))^(p_.), x_Symbol] :> Simp[1/d   Subst[Int[(a + b*ArcTanh[x])^p,
      x], x, c + d*x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && IGtQ[p, 0]

6654. Int[((a_.) + ArcCoth[(c_) + (d_.)*(x_)]*(b_.))^(p_.), x_Symbol] :> Simp[1/d   Subst[Int[(a + b*ArcCoth[x])^p,
      x], x, c + d*x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && IGtQ[p, 0]

6655. Int[((a_.) + ArcTanh[(c_) + (d_.)*(x_)]*(b_.))^(p_), x_Symbol] :> Unintegrable[(a + b*ArcTanh[c + d*x])^p, x]
      /; FreeQ[{a, b, c, d, p}, x] &&  !IGtQ[p, 0]

6656. Int[((a_.) + ArcCoth[(c_) + (d_.)*(x_)]*(b_.))^(p_), x_Symbol] :> Unintegrable[(a + b*ArcCoth[c + d*x])^p, x]
      /; FreeQ[{a, b, c, d, p}, x] &&  !IGtQ[p, 0]

6657. Int[((a_.) + ArcTanh[(c_) + (d_.)*(x_)]*(b_.))^(p_.)*((e_.) + (f_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Simp[1/d   Subst
      [Int[(f*(x/d))^m*(a + b*ArcTanh[x])^p, x], x, c + d*x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m}, x] && EqQ[d*e - c*f
      , 0] && IGtQ[p, 0]

6658. Int[((a_.) + ArcCoth[(c_) + (d_.)*(x_)]*(b_.))^(p_.)*((e_.) + (f_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Simp[1/d   Subst
      [Int[(f*(x/d))^m*(a + b*ArcCoth[x])^p, x], x, c + d*x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m}, x] && EqQ[d*e - c*f
      , 0] && IGtQ[p, 0]

6659. Int[((a_.) + ArcTanh[(c_) + (d_.)*(x_)]*(b_.))^(p_.)*((e_.) + (f_.)*(x_))^(m_), x_Symbol] :> Simp[(e + f*x)^(m
      + 1)*((a + b*ArcTanh[c + d*x])^p/(f*(m + 1))), x] - Simp[b*d*(p/(f*(m + 1)))   Int[(e + f*x)^(m + 1)*((a + b*
      ArcTanh[c + d*x])^(p - 1)/(1 - (c + d*x)^2)), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && IGtQ[p, 0] && ILtQ[m,
      -1]

6660. Int[((a_.) + ArcCoth[(c_) + (d_.)*(x_)]*(b_.))^(p_.)*((e_.) + (f_.)*(x_))^(m_), x_Symbol] :> Simp[(e + f*x)^(m
      + 1)*((a + b*ArcCoth[c + d*x])^p/(f*(m + 1))), x] - Simp[b*d*(p/(f*(m + 1)))   Int[(e + f*x)^(m + 1)*((a + b*
      ArcCoth[c + d*x])^(p - 1)/(1 - (c + d*x)^2)), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && IGtQ[p, 0] && ILtQ[m,
      -1]

6661. Int[((a_.) + ArcTanh[(c_) + (d_.)*(x_)]*(b_.))^(p_.)*((e_.) + (f_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Simp[1/d   Subst
      [Int[((d*e - c*f)/d + f*(x/d))^m*(a + b*ArcTanh[x])^p, x], x, c + d*x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m}, x]
      && IGtQ[p, 0]

6662. Int[((a_.) + ArcCoth[(c_) + (d_.)*(x_)]*(b_.))^(p_.)*((e_.) + (f_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Simp[1/d   Subst
      [Int[((d*e - c*f)/d + f*(x/d))^m*(a + b*ArcCoth[x])^p, x], x, c + d*x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m}, x]
      && IGtQ[p, 0]

6663. Int[((a_.) + ArcTanh[(c_) + (d_.)*(x_)]*(b_.))^(p_)*((e_.) + (f_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Unintegrable[(e +
      f*x)^m*(a + b*ArcTanh[c + d*x])^p, x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m, p}, x] &&  !IGtQ[p, 0]

6664. Int[((a_.) + ArcCoth[(c_) + (d_.)*(x_)]*(b_.))^(p_)*((e_.) + (f_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Unintegrable[(e +
      f*x)^m*(a + b*ArcCoth[c + d*x])^p, x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m, p}, x] &&  !IGtQ[p, 0]

6665. Int[ArcTanh[(c_) + (d_.)*(x_)]/((e_) + (f_.)*(x_)^(n_.)), x_Symbol] :> Simp[1/2   Int[Log[1 + c + d*x]/(e + f*
      x^n), x], x] - Simp[1/2   Int[Log[1 - c - d*x]/(e + f*x^n), x], x] /; FreeQ[{c, d, e, f}, x] && RationalQ[n]

6666. Int[ArcCoth[(c_) + (d_.)*(x_)]/((e_) + (f_.)*(x_)^(n_.)), x_Symbol] :> Simp[1/2   Int[Log[(1 + c + d*x)/(c + d
      *x)]/(e + f*x^n), x], x] - Simp[1/2   Int[Log[(-1 + c + d*x)/(c + d*x)]/(e + f*x^n), x], x] /; FreeQ[{c, d, e,
      f}, x] && RationalQ[n]

6667. Int[ArcTanh[(c_) + (d_.)*(x_)]/((e_) + (f_.)*(x_)^(n_)), x_Symbol] :> Unintegrable[ArcTanh[c + d*x]/(e + f*x^n
      ), x] /; FreeQ[{c, d, e, f, n}, x] &&  !RationalQ[n]

6668. Int[ArcCoth[(c_) + (d_.)*(x_)]/((e_) + (f_.)*(x_)^(n_)), x_Symbol] :> Unintegrable[ArcCoth[c + d*x]/(e + f*x^n
      ), x] /; FreeQ[{c, d, e, f, n}, x] &&  !RationalQ[n]

6669. Int[((a_.) + ArcTanh[(c_) + (d_.)*(x_)]*(b_.))^(p_.)*((A_.) + (B_.)*(x_) + (C_.)*(x_)^2)^(q_.), x_Symbol] :> S
      imp[1/d   Subst[Int[(-C/d^2 + (C/d^2)*x^2)^q*(a + b*ArcTanh[x])^p, x], x, c + d*x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, A
      , B, C, p, q}, x] && EqQ[B*(1 - c^2) + 2*A*c*d, 0] && EqQ[2*c*C - B*d, 0]

6670. Int[((a_.) + ArcCoth[(c_) + (d_.)*(x_)]*(b_.))^(p_.)*((A_.) + (B_.)*(x_) + (C_.)*(x_)^2)^(q_.), x_Symbol] :> S
      imp[1/d   Subst[Int[(C/d^2 + (C/d^2)*x^2)^q*(a + b*ArcCoth[x])^p, x], x, c + d*x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, A,
      B, C, p, q}, x] && EqQ[B*(1 - c^2) + 2*A*c*d, 0] && EqQ[2*c*C - B*d, 0]

6671. Int[((a_.) + ArcTanh[(c_) + (d_.)*(x_)]*(b_.))^(p_.)*((e_.) + (f_.)*(x_))^(m_.)*((A_.) + (B_.)*(x_) + (C_.)*(x
      _)^2)^(q_.), x_Symbol] :> Simp[1/d   Subst[Int[((d*e - c*f)/d + f*(x/d))^m*(-C/d^2 + (C/d^2)*x^2)^q*(a + b*Arc
      Tanh[x])^p, x], x, c + d*x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, A, B, C, m, p, q}, x] && EqQ[B*(1 - c^2) + 2*A*c*d
      , 0] && EqQ[2*c*C - B*d, 0]

6672. Int[((a_.) + ArcCoth[(c_) + (d_.)*(x_)]*(b_.))^(p_.)*((e_.) + (f_.)*(x_))^(m_.)*((A_.) + (B_.)*(x_) + (C_.)*(x
      _)^2)^(q_.), x_Symbol] :> Simp[1/d   Subst[Int[((d*e - c*f)/d + f*(x/d))^m*(-C/d^2 + (C/d^2)*x^2)^q*(a + b*Arc
      Coth[x])^p, x], x, c + d*x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, A, B, C, m, p, q}, x] && EqQ[B*(1 - c^2) + 2*A*c*d
      , 0] && EqQ[2*c*C - B*d, 0]

6673. Int[E^(ArcTanh[(a_.)*(x_)]*(n_.)), x_Symbol] :> Int[(1 + a*x)^((n + 1)/2)/((1 - a*x)^((n - 1)/2)*Sqrt[1 - a^2*
      x^2]), x] /; FreeQ[a, x] && IntegerQ[(n - 1)/2]

6674. Int[E^(ArcTanh[(a_.)*(x_)]*(n_.))*((c_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Int[(c*x)^m*((1 + a*x)^((n + 1)/2)/((1 - a*
      x)^((n - 1)/2)*Sqrt[1 - a^2*x^2])), x] /; FreeQ[{a, c, m}, x] && IntegerQ[(n - 1)/2]

6675. Int[E^(ArcTanh[(a_.)*(x_)]*(n_)), x_Symbol] :> Int[(1 + a*x)^(n/2)/(1 - a*x)^(n/2), x] /; FreeQ[{a, n}, x] &&
      !IntegerQ[(n - 1)/2]

6676. Int[E^(ArcTanh[(a_.)*(x_)]*(n_))*((c_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Int[(c*x)^m*((1 + a*x)^(n/2)/(1 - a*x)^(n/2)
      ), x] /; FreeQ[{a, c, m, n}, x] &&  !IntegerQ[(n - 1)/2]

6677. Int[E^(ArcTanh[(a_.)*(x_)]*(n_.))*((c_) + (d_.)*(x_))^(p_.), x_Symbol] :> Simp[c^n   Int[(c + d*x)^(p - n)*(1
      - a^2*x^2)^(n/2), x], x] /; FreeQ[{a, c, d, p}, x] && EqQ[a*c + d, 0] && IntegerQ[(n - 1)/2] && IntegerQ[2*p]

6678. Int[E^(ArcTanh[(a_.)*(x_)]*(n_.))*((c_) + (d_.)*(x_))^(p_.)*((e_.) + (f_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Simp[c^n
      Int[(e + f*x)^m*(c + d*x)^(p - n)*(1 - a^2*x^2)^(n/2), x], x] /; FreeQ[{a, c, d, e, f, m, p}, x] && EqQ[a*c
      + d, 0] && IntegerQ[(n - 1)/2] && (IntegerQ[p] || EqQ[p, n/2] || EqQ[p - n/2 - 1, 0]) && IntegerQ[2*p]

6679. Int[E^(ArcTanh[(a_.)*(x_)]*(n_.))*(u_.)*((c_) + (d_.)*(x_))^(p_.), x_Symbol] :> Simp[c^p   Int[u*(1 + d*(x/c))
      ^p*((1 + a*x)^(n/2)/(1 - a*x)^(n/2)), x], x] /; FreeQ[{a, c, d, n, p}, x] && EqQ[a^2*c^2 - d^2, 0] && (Integer
      Q[p] || GtQ[c, 0])

6680. Int[E^(ArcTanh[(a_.)*(x_)]*(n_.))*(u_.)*((c_) + (d_.)*(x_))^(p_.), x_Symbol] :> Int[u*(c + d*x)^p*((1 + a*x)^(
      n/2)/(1 - a*x)^(n/2)), x] /; FreeQ[{a, c, d, n, p}, x] && EqQ[a^2*c^2 - d^2, 0] &&  !(IntegerQ[p] || GtQ[c, 0]
      )

6681. Int[E^(ArcTanh[(a_.)*(x_)]*(n_.))*(u_.)*((c_) + (d_.)/(x_))^(p_.), x_Symbol] :> Simp[d^p   Int[u*(1 + c*(x/d))
      ^p*(E^(n*ArcTanh[a*x])/x^p), x], x] /; FreeQ[{a, c, d, n}, x] && EqQ[c^2 - a^2*d^2, 0] && IntegerQ[p]

6682. Int[E^(ArcTanh[(a_.)*(x_)]*(n_))*(u_.)*((c_) + (d_.)/(x_))^(p_), x_Symbol] :> Simp[(-1)^(n/2)*c^p   Int[u*(1 +
      d/(c*x))^p*((1 + 1/(a*x))^(n/2)/(1 - 1/(a*x))^(n/2)), x], x] /; FreeQ[{a, c, d, p}, x] && EqQ[c^2 - a^2*d^2,
      0] &&  !IntegerQ[p] && IntegerQ[n/2] && GtQ[c, 0]

6683. Int[E^(ArcTanh[(a_.)*(x_)]*(n_))*(u_.)*((c_) + (d_.)/(x_))^(p_), x_Symbol] :> Int[u*(c + d/x)^p*((1 + a*x)^(n/
      2)/(1 - a*x)^(n/2)), x] /; FreeQ[{a, c, d, p}, x] && EqQ[c^2 - a^2*d^2, 0] &&  !IntegerQ[p] && IntegerQ[n/2] &
      &  !GtQ[c, 0]

6684. Int[E^(ArcTanh[(a_.)*(x_)]*(n_.))*(u_.)*((c_) + (d_.)/(x_))^(p_), x_Symbol] :> Simp[x^p*((c + d/x)^p/(1 + c*(x
      /d))^p)   Int[u*(1 + c*(x/d))^p*(E^(n*ArcTanh[a*x])/x^p), x], x] /; FreeQ[{a, c, d, n, p}, x] && EqQ[c^2 - a^2
      *d^2, 0] &&  !IntegerQ[p]

6685. Int[E^(ArcTanh[(a_.)*(x_)]*(n_))/((c_) + (d_.)*(x_)^2)^(3/2), x_Symbol] :> Simp[(n - a*x)*(E^(n*ArcTanh[a*x])/
      (a*c*(n^2 - 1)*Sqrt[c + d*x^2])), x] /; FreeQ[{a, c, d, n}, x] && EqQ[a^2*c + d, 0] &&  !IntegerQ[n]

6686. Int[E^(ArcTanh[(a_.)*(x_)]*(n_))*((c_) + (d_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Simp[(n + 2*a*(p + 1)*x)*(c + d*x^2)
      ^(p + 1)*(E^(n*ArcTanh[a*x])/(a*c*(n^2 - 4*(p + 1)^2))), x] - Simp[2*(p + 1)*((2*p + 3)/(c*(n^2 - 4*(p + 1)^2)
      ))   Int[(c + d*x^2)^(p + 1)*E^(n*ArcTanh[a*x]), x], x] /; FreeQ[{a, c, d, n}, x] && EqQ[a^2*c + d, 0] && LtQ[
      p, -1] &&  !IntegerQ[n] && NeQ[n^2 - 4*(p + 1)^2, 0] && IntegerQ[2*p]

6687. Int[E^(ArcTanh[(a_.)*(x_)]*(n_.))/((c_) + (d_.)*(x_)^2), x_Symbol] :> Simp[E^(n*ArcTanh[a*x])/(a*c*n), x] /; F
      reeQ[{a, c, d, n}, x] && EqQ[a^2*c + d, 0] &&  !IntegerQ[n/2]

6688. Int[E^(ArcTanh[(a_.)*(x_)]*(n_.))*((c_) + (d_.)*(x_)^2)^(p_.), x_Symbol] :> Simp[c^p   Int[(1 - a^2*x^2)^(p -
      n/2)*(1 + a*x)^n, x], x] /; FreeQ[{a, c, d, p}, x] && EqQ[a^2*c + d, 0] && IntegerQ[p] && IGtQ[(n + 1)/2, 0] &
      &  !IntegerQ[p - n/2]

6689. Int[E^(ArcTanh[(a_.)*(x_)]*(n_))*((c_) + (d_.)*(x_)^2)^(p_.), x_Symbol] :> Simp[c^p   Int[(1 - a^2*x^2)^(p + n
      /2)/(1 - a*x)^n, x], x] /; FreeQ[{a, c, d, p}, x] && EqQ[a^2*c + d, 0] && IntegerQ[p] && ILtQ[(n - 1)/2, 0] &&
      !IntegerQ[p - n/2]

6690. Int[E^(ArcTanh[(a_.)*(x_)]*(n_.))*((c_) + (d_.)*(x_)^2)^(p_.), x_Symbol] :> Simp[c^p   Int[(1 - a*x)^(p - n/2)
      *(1 + a*x)^(p + n/2), x], x] /; FreeQ[{a, c, d, n, p}, x] && EqQ[a^2*c + d, 0] && (IntegerQ[p] || GtQ[c, 0])

6691. Int[E^(ArcTanh[(a_.)*(x_)]*(n_))*((c_) + (d_.)*(x_)^2)^(p_.), x_Symbol] :> Simp[c^(n/2)   Int[(c + d*x^2)^(p -
      n/2)*(1 + a*x)^n, x], x] /; FreeQ[{a, c, d, p}, x] && EqQ[a^2*c + d, 0] &&  !(IntegerQ[p] || GtQ[c, 0]) && IG
      tQ[n/2, 0]

6692. Int[E^(ArcTanh[(a_.)*(x_)]*(n_))*((c_) + (d_.)*(x_)^2)^(p_.), x_Symbol] :> Simp[1/c^(n/2)   Int[(c + d*x^2)^(p
      + n/2)/(1 - a*x)^n, x], x] /; FreeQ[{a, c, d, p}, x] && EqQ[a^2*c + d, 0] &&  !(IntegerQ[p] || GtQ[c, 0]) &&
      ILtQ[n/2, 0]

6693. Int[E^(ArcTanh[(a_.)*(x_)]*(n_.))*((c_) + (d_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Simp[c^IntPart[p]*((c + d*x^2)^Frac
      Part[p]/(1 - a^2*x^2)^FracPart[p])   Int[(1 - a^2*x^2)^p*E^(n*ArcTanh[a*x]), x], x] /; FreeQ[{a, c, d, n, p},
      x] && EqQ[a^2*c + d, 0] &&  !(IntegerQ[p] || GtQ[c, 0])

6694. Int[(E^(ArcTanh[(a_.)*(x_)]*(n_))*(x_))/((c_) + (d_.)*(x_)^2)^(3/2), x_Symbol] :> Simp[(1 - a*n*x)*(E^(n*ArcTa
      nh[a*x])/(d*(n^2 - 1)*Sqrt[c + d*x^2])), x] /; FreeQ[{a, c, d, n}, x] && EqQ[a^2*c + d, 0] &&  !IntegerQ[n]

6695. Int[E^(ArcTanh[(a_.)*(x_)]*(n_))*(x_)*((c_) + (d_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Simp[(c + d*x^2)^(p + 1)*(E^(n*
      ArcTanh[a*x])/(2*d*(p + 1))), x] - Simp[a*c*(n/(2*d*(p + 1)))   Int[(c + d*x^2)^p*E^(n*ArcTanh[a*x]), x], x] /
      ; FreeQ[{a, c, d, n}, x] && EqQ[a^2*c + d, 0] && LtQ[p, -1] &&  !IntegerQ[n] && IntegerQ[2*p]

6696. Int[E^(ArcTanh[(a_.)*(x_)]*(n_))*(x_)^2*((c_) + (d_.)*(x_)^2)^(p_.), x_Symbol] :> Simp[(1 - a*n*x)*(c + d*x^2)
      ^(p + 1)*(E^(n*ArcTanh[a*x])/(a*d*n*(n^2 - 1))), x] /; FreeQ[{a, c, d, n}, x] && EqQ[a^2*c + d, 0] && EqQ[n^2
      + 2*(p + 1), 0] &&  !IntegerQ[n]

6697. Int[E^(ArcTanh[(a_.)*(x_)]*(n_))*(x_)^2*((c_) + (d_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Simp[(-(n + 2*(p + 1)*a*x))*(
      c + d*x^2)^(p + 1)*(E^(n*ArcTanh[a*x])/(a*d*(n^2 - 4*(p + 1)^2))), x] + Simp[(n^2 + 2*(p + 1))/(d*(n^2 - 4*(p
      + 1)^2))   Int[(c + d*x^2)^(p + 1)*E^(n*ArcTanh[a*x]), x], x] /; FreeQ[{a, c, d, n}, x] && EqQ[a^2*c + d, 0] &
      & LtQ[p, -1] &&  !IntegerQ[n] && NeQ[n^2 - 4*(p + 1)^2, 0] && IntegerQ[2*p]

6698. Int[E^(ArcTanh[(a_.)*(x_)]*(n_.))*(x_)^(m_.)*((c_) + (d_.)*(x_)^2)^(p_.), x_Symbol] :> Simp[c^p   Int[x^m*(1 -
      a^2*x^2)^(p - n/2)*(1 + a*x)^n, x], x] /; FreeQ[{a, c, d, m, p}, x] && EqQ[a^2*c + d, 0] && (IntegerQ[p] || G
      tQ[c, 0]) && IGtQ[(n + 1)/2, 0] &&  !IntegerQ[p - n/2]

6699. Int[E^(ArcTanh[(a_.)*(x_)]*(n_))*(x_)^(m_.)*((c_) + (d_.)*(x_)^2)^(p_.), x_Symbol] :> Simp[c^p   Int[x^m*((1 -
      a^2*x^2)^(p + n/2)/(1 - a*x)^n), x], x] /; FreeQ[{a, c, d, m, p}, x] && EqQ[a^2*c + d, 0] && (IntegerQ[p] ||
      GtQ[c, 0]) && ILtQ[(n - 1)/2, 0] &&  !IntegerQ[p - n/2]

6700. Int[E^(ArcTanh[(a_.)*(x_)]*(n_.))*(x_)^(m_.)*((c_) + (d_.)*(x_)^2)^(p_.), x_Symbol] :> Simp[c^p   Int[x^m*(1 -
      a*x)^(p - n/2)*(1 + a*x)^(p + n/2), x], x] /; FreeQ[{a, c, d, m, n, p}, x] && EqQ[a^2*c + d, 0] && (IntegerQ[
      p] || GtQ[c, 0])

6701. Int[E^(ArcTanh[(a_.)*(x_)]*(n_))*(x_)^(m_.)*((c_) + (d_.)*(x_)^2)^(p_.), x_Symbol] :> Simp[c^(n/2)   Int[x^m*(
      c + d*x^2)^(p - n/2)*(1 + a*x)^n, x], x] /; FreeQ[{a, c, d, m, p}, x] && EqQ[a^2*c + d, 0] &&  !(IntegerQ[p] |
      | GtQ[c, 0]) && IGtQ[n/2, 0]

6702. Int[E^(ArcTanh[(a_.)*(x_)]*(n_))*(x_)^(m_.)*((c_) + (d_.)*(x_)^2)^(p_.), x_Symbol] :> Simp[1/c^(n/2)   Int[x^m
      *((c + d*x^2)^(p + n/2)/(1 - a*x)^n), x], x] /; FreeQ[{a, c, d, m, p}, x] && EqQ[a^2*c + d, 0] &&  !(IntegerQ[
      p] || GtQ[c, 0]) && ILtQ[n/2, 0]

6703. Int[E^(ArcTanh[(a_.)*(x_)]*(n_.))*(x_)^(m_.)*((c_) + (d_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Simp[c^IntPart[p]*((c +
      d*x^2)^FracPart[p]/(1 - a^2*x^2)^FracPart[p])   Int[x^m*(1 - a^2*x^2)^p*E^(n*ArcTanh[a*x]), x], x] /; FreeQ[{a
      , c, d, m, n, p}, x] && EqQ[a^2*c + d, 0] &&  !(IntegerQ[p] || GtQ[c, 0]) &&  !IntegerQ[n/2]

6704. Int[E^(ArcTanh[(a_.)*(x_)]*(n_.))*(u_)*((c_) + (d_.)*(x_)^2)^(p_.), x_Symbol] :> Simp[c^p   Int[u*(1 - a*x)^(p
      - n/2)*(1 + a*x)^(p + n/2), x], x] /; FreeQ[{a, c, d, n, p}, x] && EqQ[a^2*c + d, 0] && (IntegerQ[p] || GtQ[c
      , 0])

6705. Int[E^(ArcTanh[(a_.)*(x_)]*(n_))*(u_)*((c_) + (d_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Simp[c^IntPart[p]*((c + d*x^2)^
      FracPart[p]/((1 - a*x)^FracPart[p]*(1 + a*x)^FracPart[p]))   Int[u*(1 - a*x)^(p - n/2)*(1 + a*x)^(p + n/2), x]
      , x] /; FreeQ[{a, c, d, n, p}, x] && EqQ[a^2*c + d, 0] &&  !(IntegerQ[p] || GtQ[c, 0]) && IntegerQ[n/2]

6706. Int[E^(ArcTanh[(a_.)*(x_)]*(n_.))*(u_)*((c_) + (d_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Simp[c^IntPart[p]*((c + d*x^2)
      ^FracPart[p]/(1 - a^2*x^2)^FracPart[p])   Int[u*(1 - a^2*x^2)^p*E^(n*ArcTanh[a*x]), x], x] /; FreeQ[{a, c, d,
      n, p}, x] && EqQ[a^2*c + d, 0] &&  !(IntegerQ[p] || GtQ[c, 0]) &&  !IntegerQ[n/2]

6707. Int[E^(ArcTanh[(a_.)*(x_)]*(n_.))*(u_.)*((c_) + (d_.)/(x_)^2)^(p_.), x_Symbol] :> Simp[d^p   Int[(u/x^(2*p))*(
      1 - a^2*x^2)^p*E^(n*ArcTanh[a*x]), x], x] /; FreeQ[{a, c, d, n}, x] && EqQ[c + a^2*d, 0] && IntegerQ[p]

6708. Int[E^(ArcTanh[(a_.)*(x_)]*(n_))*(u_.)*((c_) + (d_.)/(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Simp[c^p   Int[u*(1 - 1/(a*x))
      ^p*(1 + 1/(a*x))^p*E^(n*ArcTanh[a*x]), x], x] /; FreeQ[{a, c, d, p}, x] && EqQ[c + a^2*d, 0] &&  !IntegerQ[p]
      && IntegerQ[n/2] && GtQ[c, 0]

6709. Int[E^(ArcTanh[(a_.)*(x_)]*(n_.))*(u_.)*((c_) + (d_.)/(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Simp[x^(2*p)*((c + d/x^2)^p/(
      1 - a^2*x^2)^p)   Int[u*((1 + a*x)^n/(x^(2*p)*(1 - a^2*x^2)^(n/2 - p))), x], x] /; FreeQ[{a, c, d, p}, x] && E
      qQ[c + a^2*d, 0] &&  !IntegerQ[p] && IntegerQ[n/2] &&  !GtQ[c, 0]

6710. Int[E^(ArcTanh[(a_.)*(x_)]*(n_.))*(u_.)*((c_) + (d_.)/(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Simp[x^(2*p)*((c + d/x^2)^p/(
      1 - a^2*x^2)^p)   Int[(u/x^(2*p))*(1 - a^2*x^2)^p*E^(n*ArcTanh[a*x]), x], x] /; FreeQ[{a, c, d, n, p}, x] && E
      qQ[c + a^2*d, 0] &&  !IntegerQ[p] &&  !IntegerQ[n/2]

6711. Int[E^(ArcTanh[(c_.)*((a_) + (b_.)*(x_))]*(n_.)), x_Symbol] :> Int[(1 + a*c + b*c*x)^(n/2)/(1 - a*c - b*c*x)^(
      n/2), x] /; FreeQ[{a, b, c, n}, x]

6712. Int[E^(ArcTanh[(c_.)*((a_) + (b_.)*(x_))]*(n_))*(x_)^(m_), x_Symbol] :> Simp[4/(n*b^(m + 1)*c^(m + 1))   Subst
      [Int[x^(2/n)*((-1 - a*c + (1 - a*c)*x^(2/n))^m/(1 + x^(2/n))^(m + 2)), x], x, (1 + c*(a + b*x))^(n/2)/(1 - c*(
      a + b*x))^(n/2)], x] /; FreeQ[{a, b, c}, x] && ILtQ[m, 0] && LtQ[-1, n, 1]

6713. Int[E^(ArcTanh[(c_.)*((a_) + (b_.)*(x_))]*(n_.))*((d_.) + (e_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Int[(d + e*x)^m*((1
      + a*c + b*c*x)^(n/2)/(1 - a*c - b*c*x)^(n/2)), x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, m, n}, x]

6714. Int[E^(ArcTanh[(a_) + (b_.)*(x_)]*(n_.))*(u_.)*((c_) + (d_.)*(x_) + (e_.)*(x_)^2)^(p_.), x_Symbol] :> Simp[(c/
      (1 - a^2))^p   Int[u*(1 - a - b*x)^(p - n/2)*(1 + a + b*x)^(p + n/2), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, n, p}, x
      ] && EqQ[b*d - 2*a*e, 0] && EqQ[b^2*c + e*(1 - a^2), 0] && (IntegerQ[p] || GtQ[c/(1 - a^2), 0])

6715. Int[E^(ArcTanh[(a_) + (b_.)*(x_)]*(n_.))*(u_.)*((c_) + (d_.)*(x_) + (e_.)*(x_)^2)^(p_.), x_Symbol] :> Simp[(c
      + d*x + e*x^2)^p/(1 - a^2 - 2*a*b*x - b^2*x^2)^p   Int[u*(1 - a^2 - 2*a*b*x - b^2*x^2)^p*E^(n*ArcTanh[a*x]), x
      ], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, n, p}, x] && EqQ[b*d - 2*a*e, 0] && EqQ[b^2*c + e*(1 - a^2), 0] &&  !(IntegerQ[
      p] || GtQ[c/(1 - a^2), 0])

6716. Int[E^(ArcTanh[(c_.)/((a_.) + (b_.)*(x_))]*(n_.))*(u_.), x_Symbol] :> Int[u*E^(n*ArcCoth[a/c + b*(x/c)]), x] /
      ; FreeQ[{a, b, c, n}, x]

6717. Int[E^(ArcCoth[(a_.)*(x_)]*(n_))*(u_.), x_Symbol] :> Simp[(-1)^(n/2)   Int[u*E^(n*ArcTanh[a*x]), x], x] /; Fre
      eQ[a, x] && IntegerQ[n/2]

6718. Int[E^(ArcCoth[(a_.)*(x_)]*(n_.)), x_Symbol] :> -Subst[Int[(1 + x/a)^((n + 1)/2)/(x^2*(1 - x/a)^((n - 1)/2)*Sq
      rt[1 - x^2/a^2]), x], x, 1/x] /; FreeQ[a, x] && IntegerQ[(n - 1)/2]

6719. Int[E^(ArcCoth[(a_.)*(x_)]*(n_.))*(x_)^(m_.), x_Symbol] :> -Subst[Int[(1 + x/a)^((n + 1)/2)/(x^(m + 2)*(1 - x/
      a)^((n - 1)/2)*Sqrt[1 - x^2/a^2]), x], x, 1/x] /; FreeQ[a, x] && IntegerQ[(n - 1)/2] && IntegerQ[m]

6720. Int[E^(ArcCoth[(a_.)*(x_)]*(n_)), x_Symbol] :> -Subst[Int[(1 + x/a)^(n/2)/(x^2*(1 - x/a)^(n/2)), x], x, 1/x] /
      ; FreeQ[{a, n}, x] &&  !IntegerQ[n]

6721. Int[E^(ArcCoth[(a_.)*(x_)]*(n_))*(x_)^(m_.), x_Symbol] :> -Subst[Int[(1 + x/a)^(n/2)/(x^(m + 2)*(1 - x/a)^(n/2
      )), x], x, 1/x] /; FreeQ[{a, n}, x] &&  !IntegerQ[n] && IntegerQ[m]

6722. Int[E^(ArcCoth[(a_.)*(x_)]*(n_.))*((c_.)*(x_))^(m_), x_Symbol] :> Simp[(-(c*x)^m)*(1/x)^m   Subst[Int[(1 + x/a
      )^((n + 1)/2)/(x^(m + 2)*(1 - x/a)^((n - 1)/2)*Sqrt[1 - x^2/a^2]), x], x, 1/x], x] /; FreeQ[{a, c, m}, x] && I
      ntegerQ[(n - 1)/2] &&  !IntegerQ[m]

6723. Int[E^(ArcCoth[(a_.)*(x_)]*(n_))*((c_.)*(x_))^(m_), x_Symbol] :> Simp[(-(c*x)^m)*(1/x)^m   Subst[Int[(1 + x/a)
      ^(n/2)/(x^(m + 2)*(1 - x/a)^(n/2)), x], x, 1/x], x] /; FreeQ[{a, c, m, n}, x] &&  !IntegerQ[n] &&  !IntegerQ[m
      ]

6724. Int[E^(ArcCoth[(a_.)*(x_)]*(n_.))*((c_) + (d_.)*(x_))^(p_.), x_Symbol] :> Simp[-d^n   Subst[Int[(d + c*x)^(p -
      n)*((1 - x^2/a^2)^(n/2)/x^(p + 2)), x], x, 1/x], x] /; FreeQ[{a, c, d}, x] && EqQ[a*c + d, 0] && IntegerQ[p]
      && IntegerQ[n]

6725. Int[E^(ArcCoth[(a_.)*(x_)]*(n_.))*((c_) + (d_.)*(x_))^(p_.), x_Symbol] :> Simp[-d^p   Subst[Int[((1 + c*(x/d))
      ^p*((1 + x/a)^(n/2)/x^(p + 2)))/(1 - x/a)^(n/2), x], x, 1/x], x] /; FreeQ[{a, c, d, n, p}, x] && EqQ[a^2*c^2 -
      d^2, 0] && IntegerQ[p]

6726. Int[E^(ArcCoth[(a_.)*(x_)]*(n_.))*((c_) + (d_.)*(x_))^(p_.), x_Symbol] :> Simp[(1 + a*x)*(c + d*x)^p*(E^(n*Arc
      Coth[a*x])/(a*(p + 1))), x] /; FreeQ[{a, c, d, n, p}, x] && EqQ[a*c + d, 0] &&  !IntegerQ[p] && EqQ[p, n/2]

6727. Int[E^(ArcCoth[(a_.)*(x_)]*(n_.))*((c_) + (d_.)*(x_))^(p_), x_Symbol] :> Simp[(-(1/x)^p)*((c + d*x)^p/(1 + c/(
      d*x))^p)   Subst[Int[((1 + c*(x/d))^p*((1 + x/a)^(n/2)/x^(p + 2)))/(1 - x/a)^(n/2), x], x, 1/x], x] /; FreeQ[{
      a, c, d, n, p}, x] && EqQ[a^2*c^2 - d^2, 0] &&  !IntegerQ[p]

6728. Int[E^(ArcCoth[(a_.)*(x_)]*(n_.))*(x_)^(m_.)*((c_) + (d_.)*(x_))^(p_.), x_Symbol] :> Simp[-d^n   Subst[Int[(d
      + c*x)^(p - n)*((1 - x^2/a^2)^(n/2)/x^(m + p + 2)), x], x, 1/x], x] /; FreeQ[{a, c, d}, x] && EqQ[a*c + d, 0]
      && IntegerQ[p] && IntegerQ[n] && IntegerQ[m]

6729. Int[E^(ArcCoth[(a_.)*(x_)]*(n_.))*((e_.)*(x_))^(m_.)*((c_) + (d_.)*(x_))^(p_.), x_Symbol] :> Simp[(-d^p)*(e*x)
      ^m*(1/x)^m   Subst[Int[((1 + c*(x/d))^p*((1 + x/a)^(n/2)/x^(m + p + 2)))/(1 - x/a)^(n/2), x], x, 1/x], x] /; F
      reeQ[{a, c, d, e, m, n}, x] && EqQ[a^2*c^2 - d^2, 0] && IntegerQ[p]

6730. Int[E^(ArcCoth[(a_.)*(x_)]*(n_.))*((e_.)*(x_))^(m_.)*((c_) + (d_.)*(x_))^(p_), x_Symbol] :> Simp[(-(e*x)^m)*(1
      /x)^(m + p)*((c + d*x)^p/(1 + c/(d*x))^p)   Subst[Int[((1 + c*(x/d))^p*((1 + x/a)^(n/2)/x^(m + p + 2)))/(1 - x
      /a)^(n/2), x], x, 1/x], x] /; FreeQ[{a, c, d, e, m, n, p}, x] && EqQ[a^2*c^2 - d^2, 0] &&  !IntegerQ[p]

6731. Int[E^(ArcCoth[(a_.)*(x_)]*(n_.))*((c_) + (d_.)/(x_))^(p_.), x_Symbol] :> Simp[-c^n   Subst[Int[(c + d*x)^(p -
      n)*((1 - x^2/a^2)^(n/2)/x^2), x], x, 1/x], x] /; FreeQ[{a, c, d, p}, x] && EqQ[c + a*d, 0] && IntegerQ[(n - 1
      )/2] && IntegerQ[2*p]

6732. Int[E^(ArcCoth[(a_.)*(x_)]*(n_.))*((c_) + (d_.)/(x_))^(p_.), x_Symbol] :> Simp[-c^p   Subst[Int[(1 + d*(x/c))^
      p*((1 + x/a)^(n/2)/(x^2*(1 - x/a)^(n/2))), x], x, 1/x], x] /; FreeQ[{a, c, d, n, p}, x] && EqQ[c^2 - a^2*d^2,
      0] &&  !IntegerQ[n/2] && (IntegerQ[p] || GtQ[c, 0])

6733. Int[E^(ArcCoth[(a_.)*(x_)]*(n_.))*((c_) + (d_.)/(x_))^(p_.)*(x_)^(m_.), x_Symbol] :> Simp[-c^n   Subst[Int[(c
      + d*x)^(p - n)*((1 - x^2/a^2)^(n/2)/x^(m + 2)), x], x, 1/x], x] /; FreeQ[{a, c, d, p}, x] && EqQ[c + a*d, 0] &
      & IntegerQ[(n - 1)/2] && IntegerQ[m] && IntegerQ[2*p]

6734. Int[E^(ArcCoth[(a_.)*(x_)]*(n_.))*((c_) + (d_.)/(x_))^(p_.)*(x_)^(m_.), x_Symbol] :> Simp[-c^p   Subst[Int[(1
      + d*(x/c))^p*((1 + x/a)^(n/2)/(x^(m + 2)*(1 - x/a)^(n/2))), x], x, 1/x], x] /; FreeQ[{a, c, d, n, p}, x] && Eq
      Q[c^2 - a^2*d^2, 0] &&  !IntegerQ[n/2] && (IntegerQ[p] || GtQ[c, 0]) && IntegerQ[m]

6735. Int[E^(ArcCoth[(a_.)*(x_)]*(n_.))*((c_) + (d_.)/(x_))^(p_.)*(x_)^(m_), x_Symbol] :> Simp[(-c^p)*x^m*(1/x)^m
      Subst[Int[(1 + d*(x/c))^p*((1 + x/a)^(n/2)/(x^(m + 2)*(1 - x/a)^(n/2))), x], x, 1/x], x] /; FreeQ[{a, c, d, m,
      n, p}, x] && EqQ[c^2 - a^2*d^2, 0] &&  !IntegerQ[n/2] && (IntegerQ[p] || GtQ[c, 0]) &&  !IntegerQ[m]

6736. Int[E^(ArcCoth[(a_.)*(x_)]*(n_.))*(u_.)*((c_) + (d_.)/(x_))^(p_), x_Symbol] :> Simp[(c + d/x)^p/(1 + d/(c*x))^
      p   Int[u*(1 + d/(c*x))^p*E^(n*ArcCoth[a*x]), x], x] /; FreeQ[{a, c, d, n, p}, x] && EqQ[c^2 - a^2*d^2, 0] &&
      !IntegerQ[n/2] &&  !(IntegerQ[p] || GtQ[c, 0])

6737. Int[E^(ArcCoth[(a_.)*(x_)]*(n_.))/((c_) + (d_.)*(x_)^2), x_Symbol] :> Simp[E^(n*ArcCoth[a*x])/(a*c*n), x] /; F
      reeQ[{a, c, d, n}, x] && EqQ[a^2*c + d, 0] &&  !IntegerQ[n/2]

6738. Int[E^(ArcCoth[(a_.)*(x_)]*(n_))/((c_) + (d_.)*(x_)^2)^(3/2), x_Symbol] :> Simp[(n - a*x)*(E^(n*ArcCoth[a*x])/
      (a*c*(n^2 - 1)*Sqrt[c + d*x^2])), x] /; FreeQ[{a, c, d, n}, x] && EqQ[a^2*c + d, 0] &&  !IntegerQ[n]

6739. Int[E^(ArcCoth[(a_.)*(x_)]*(n_.))*((c_) + (d_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Simp[(n + 2*a*(p + 1)*x)*(c + d*x^2
      )^(p + 1)*(E^(n*ArcCoth[a*x])/(a*c*(n^2 - 4*(p + 1)^2))), x] - Simp[2*(p + 1)*((2*p + 3)/(c*(n^2 - 4*(p + 1)^2
      )))   Int[(c + d*x^2)^(p + 1)*E^(n*ArcCoth[a*x]), x], x] /; FreeQ[{a, c, d, n}, x] && EqQ[a^2*c + d, 0] &&  !I
      ntegerQ[n/2] && LtQ[p, -1] && NeQ[p, -3/2] && NeQ[n^2 - 4*(p + 1)^2, 0] && (IntegerQ[p] ||  !IntegerQ[n])

6740. Int[(E^(ArcCoth[(a_.)*(x_)]*(n_))*(x_))/((c_) + (d_.)*(x_)^2)^(3/2), x_Symbol] :> Simp[(-(1 - a*n*x))*(E^(n*Ar
      cCoth[a*x])/(a^2*c*(n^2 - 1)*Sqrt[c + d*x^2])), x] /; FreeQ[{a, c, d, n}, x] && EqQ[a^2*c + d, 0] &&  !Integer
      Q[n]

6741. Int[E^(ArcCoth[(a_.)*(x_)]*(n_.))*(x_)*((c_) + (d_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Simp[(2*(p + 1) + a*n*x)*(c +
      d*x^2)^(p + 1)*(E^(n*ArcCoth[a*x])/(a^2*c*(n^2 - 4*(p + 1)^2))), x] - Simp[n*((2*p + 3)/(a*c*(n^2 - 4*(p + 1)^
      2)))   Int[(c + d*x^2)^(p + 1)*E^(n*ArcCoth[a*x]), x], x] /; FreeQ[{a, c, d, n}, x] && EqQ[a^2*c + d, 0] &&  !
      IntegerQ[n/2] && LeQ[p, -1] && NeQ[p, -3/2] && NeQ[n^2 - 4*(p + 1)^2, 0] && (IntegerQ[p] ||  !IntegerQ[n])

6742. Int[E^(ArcCoth[(a_.)*(x_)]*(n_.))*(x_)^2*((c_) + (d_.)*(x_)^2)^(p_.), x_Symbol] :> Simp[(-(n + 2*(p + 1)*a*x))
      *(c + d*x^2)^(p + 1)*(E^(n*ArcCoth[a*x])/(a^3*c*n^2*(n^2 - 1))), x] /; FreeQ[{a, c, d, n}, x] && EqQ[a^2*c + d
      , 0] &&  !IntegerQ[n/2] && EqQ[n^2 + 2*(p + 1), 0] && NeQ[n^2, 1]

6743. Int[E^(ArcCoth[(a_.)*(x_)]*(n_.))*(x_)^2*((c_) + (d_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Simp[(n + 2*(p + 1)*a*x)*(c
      + d*x^2)^(p + 1)*(E^(n*ArcCoth[a*x])/(a^3*c*(n^2 - 4*(p + 1)^2))), x] - Simp[(n^2 + 2*(p + 1))/(a^2*c*(n^2 - 4
      *(p + 1)^2))   Int[(c + d*x^2)^(p + 1)*E^(n*ArcCoth[a*x]), x], x] /; FreeQ[{a, c, d, n}, x] && EqQ[a^2*c + d,
      0] &&  !IntegerQ[n/2] && LeQ[p, -1] && NeQ[n^2 + 2*(p + 1), 0] && NeQ[n^2 - 4*(p + 1)^2, 0] && (IntegerQ[p] ||
      !IntegerQ[n])

6744. Int[E^(ArcCoth[(a_.)*(x_)]*(n_.))*(x_)^(m_.)*((c_) + (d_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Simp[-(-c)^p/a^(m + 1)
      Subst[Int[E^(n*x)*(Coth[x]^(m + 2*(p + 1))/Cosh[x]^(2*(p + 1))), x], x, ArcCoth[a*x]], x] /; FreeQ[{a, c, d,
      n}, x] && EqQ[a^2*c + d, 0] &&  !IntegerQ[n/2] && IntegerQ[m] && LeQ[3, m, -2*(p + 1)] && IntegerQ[p]

6745. Int[E^(ArcCoth[(a_.)*(x_)]*(n_.))*(u_.)*((c_) + (d_.)*(x_)^2)^(p_.), x_Symbol] :> Simp[d^p   Int[u*x^(2*p)*(1
      - 1/(a^2*x^2))^p*E^(n*ArcCoth[a*x]), x], x] /; FreeQ[{a, c, d, n}, x] && EqQ[a^2*c + d, 0] &&  !IntegerQ[n/2]
      && IntegerQ[p]

6746. Int[E^(ArcCoth[(a_.)*(x_)]*(n_.))*(u_.)*((c_) + (d_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Simp[(c + d*x^2)^p/(x^(2*p)*(
      1 - 1/(a^2*x^2))^p)   Int[u*x^(2*p)*(1 - 1/(a^2*x^2))^p*E^(n*ArcCoth[a*x]), x], x] /; FreeQ[{a, c, d, n, p}, x
      ] && EqQ[a^2*c + d, 0] &&  !IntegerQ[n/2] &&  !IntegerQ[p]

6747. Int[E^(ArcCoth[(a_.)*(x_)]*(n_.))*(u_.)*((c_) + (d_.)/(x_)^2)^(p_.), x_Symbol] :> Simp[c^p/a^(2*p)   Int[(u/x^
      (2*p))*(-1 + a*x)^(p - n/2)*(1 + a*x)^(p + n/2), x], x] /; FreeQ[{a, c, d, n, p}, x] && EqQ[c + a^2*d, 0] &&
      !IntegerQ[n/2] && (IntegerQ[p] || GtQ[c, 0]) && IntegersQ[2*p, p + n/2]

6748. Int[E^(ArcCoth[(a_.)*(x_)]*(n_.))*((c_) + (d_.)/(x_)^2)^(p_.), x_Symbol] :> Simp[-c^p   Subst[Int[(1 - x/a)^(p
      - n/2)*((1 + x/a)^(p + n/2)/x^2), x], x, 1/x], x] /; FreeQ[{a, c, d, n, p}, x] && EqQ[c + a^2*d, 0] &&  !Inte
      gerQ[n/2] && (IntegerQ[p] || GtQ[c, 0]) &&  !IntegersQ[2*p, p + n/2]

6749. Int[E^(ArcCoth[(a_.)*(x_)]*(n_.))*((c_) + (d_.)/(x_)^2)^(p_.)*(x_)^(m_.), x_Symbol] :> Simp[-c^p   Subst[Int[(
      1 - x/a)^(p - n/2)*((1 + x/a)^(p + n/2)/x^(m + 2)), x], x, 1/x], x] /; FreeQ[{a, c, d, n, p}, x] && EqQ[c + a^
      2*d, 0] &&  !IntegerQ[n/2] && (IntegerQ[p] || GtQ[c, 0]) &&  !IntegersQ[2*p, p + n/2] && IntegerQ[m]

6750. Int[E^(ArcCoth[(a_.)*(x_)]*(n_.))*((c_) + (d_.)/(x_)^2)^(p_.)*(x_)^(m_), x_Symbol] :> Simp[(-c^p)*x^m*(1/x)^m
      Subst[Int[(1 - x/a)^(p - n/2)*((1 + x/a)^(p + n/2)/x^(m + 2)), x], x, 1/x], x] /; FreeQ[{a, c, d, m, n, p},
      x] && EqQ[c + a^2*d, 0] &&  !IntegerQ[n/2] && (IntegerQ[p] || GtQ[c, 0]) &&  !IntegersQ[2*p, p + n/2] &&  !Int
      egerQ[m]

6751. Int[E^(ArcCoth[(a_.)*(x_)]*(n_.))*(u_.)*((c_) + (d_.)/(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Simp[c^IntPart[p]*((c + d/x^2
      )^FracPart[p]/(1 - 1/(a^2*x^2))^FracPart[p])   Int[u*(1 - 1/(a^2*x^2))^p*E^(n*ArcCoth[a*x]), x], x] /; FreeQ[{
      a, c, d, n, p}, x] && EqQ[c + a^2*d, 0] &&  !IntegerQ[n/2] &&  !(IntegerQ[p] || GtQ[c, 0])

6752. Int[E^(ArcCoth[(c_.)*((a_) + (b_.)*(x_))]*(n_))*(u_.), x_Symbol] :> Simp[(-1)^(n/2)   Int[u*E^(n*ArcTanh[c*(a
      + b*x)]), x], x] /; FreeQ[{a, b, c}, x] && IntegerQ[n/2]

6753. Int[E^(ArcCoth[(c_.)*((a_) + (b_.)*(x_))]*(n_.)), x_Symbol] :> Simp[(c*(a + b*x))^(n/2)*((1 + 1/(c*(a + b*x)))
      ^(n/2)/(1 + a*c + b*c*x)^(n/2))   Int[(1 + a*c + b*c*x)^(n/2)/(-1 + a*c + b*c*x)^(n/2), x], x] /; FreeQ[{a, b,
      c, n}, x] &&  !IntegerQ[n/2]

6754. Int[E^(ArcCoth[(c_.)*((a_) + (b_.)*(x_))]*(n_))*(x_)^(m_), x_Symbol] :> Simp[-4/(n*b^(m + 1)*c^(m + 1))   Subs
      t[Int[x^(2/n)*((1 + a*c + (1 - a*c)*x^(2/n))^m/(-1 + x^(2/n))^(m + 2)), x], x, (1 + 1/(c*(a + b*x)))^(n/2)/(1
      - 1/(c*(a + b*x)))^(n/2)], x] /; FreeQ[{a, b, c}, x] && ILtQ[m, 0] && LtQ[-1, n, 1]

6755. Int[E^(ArcCoth[(c_.)*((a_) + (b_.)*(x_))]*(n_.))*((d_.) + (e_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Simp[(c*(a + b*x))^(
      n/2)*((1 + 1/(c*(a + b*x)))^(n/2)/(1 + a*c + b*c*x)^(n/2))   Int[(d + e*x)^m*((1 + a*c + b*c*x)^(n/2)/(-1 + a*
      c + b*c*x)^(n/2)), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, m, n}, x] &&  !IntegerQ[n/2]

6756. Int[E^(ArcCoth[(a_) + (b_.)*(x_)]*(n_.))*(u_.)*((c_) + (d_.)*(x_) + (e_.)*(x_)^2)^(p_.), x_Symbol] :> Simp[(c/
      (1 - a^2))^p*((a + b*x)/(1 + a + b*x))^(n/2)*((1 + a + b*x)/(a + b*x))^(n/2)*((1 - a - b*x)^(n/2)/(-1 + a + b*
      x)^(n/2))   Int[u*(1 - a - b*x)^(p - n/2)*(1 + a + b*x)^(p + n/2), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, n, p}, x] &
      &  !IntegerQ[n/2] && EqQ[b*d - 2*a*e, 0] && EqQ[b^2*c + e*(1 - a^2), 0] && (IntegerQ[p] || GtQ[c/(1 - a^2), 0]
      )

6757. Int[E^(ArcCoth[(a_) + (b_.)*(x_)]*(n_.))*(u_.)*((c_) + (d_.)*(x_) + (e_.)*(x_)^2)^(p_.), x_Symbol] :> Simp[(c
      + d*x + e*x^2)^p/(1 - a^2 - 2*a*b*x - b^2*x^2)^p   Int[u*(1 - a^2 - 2*a*b*x - b^2*x^2)^p*E^(n*ArcCoth[a*x]), x
      ], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, n, p}, x] &&  !IntegerQ[n/2] && EqQ[b*d - 2*a*e, 0] && EqQ[b^2*c + e*(1 - a^2),
      0] &&  !(IntegerQ[p] || GtQ[c/(1 - a^2), 0])

6758. Int[E^(ArcCoth[(c_.)/((a_.) + (b_.)*(x_))]*(n_.))*(u_.), x_Symbol] :> Int[u*E^(n*ArcTanh[a/c + b*(x/c)]), x] /
      ; FreeQ[{a, b, c, n}, x]

6759. Int[ArcTanh[(a_) + (b_.)*(x_)^(n_)], x_Symbol] :> Simp[x*ArcTanh[a + b*x^n], x] - Simp[b*n   Int[x^n/(1 - a^2
      - 2*a*b*x^n - b^2*x^(2*n)), x], x] /; FreeQ[{a, b, n}, x]

6760. Int[ArcCoth[(a_) + (b_.)*(x_)^(n_)], x_Symbol] :> Simp[x*ArcCoth[a + b*x^n], x] - Simp[b*n   Int[x^n/(1 - a^2
      - 2*a*b*x^n - b^2*x^(2*n)), x], x] /; FreeQ[{a, b, n}, x]

6761. Int[ArcTanh[(a_.) + (b_.)*(x_)^(n_.)]/(x_), x_Symbol] :> Simp[1/2   Int[Log[1 + a + b*x^n]/x, x], x] - Simp[1/
      2   Int[Log[1 - a - b*x^n]/x, x], x] /; FreeQ[{a, b, n}, x]

6762. Int[ArcCoth[(a_.) + (b_.)*(x_)^(n_.)]/(x_), x_Symbol] :> Simp[1/2   Int[Log[1 + 1/(a + b*x^n)]/x, x], x] - Sim
      p[1/2   Int[Log[1 - 1/(a + b*x^n)]/x, x], x] /; FreeQ[{a, b, n}, x]

6763. Int[ArcTanh[(a_) + (b_.)*(x_)^(n_)]*(x_)^(m_.), x_Symbol] :> Simp[x^(m + 1)*(ArcTanh[a + b*x^n]/(m + 1)), x] -
      Simp[b*(n/(m + 1))   Int[x^(m + n)/(1 - a^2 - 2*a*b*x^n - b^2*x^(2*n)), x], x] /; FreeQ[{a, b}, x] && Rationa
      lQ[m, n] && NeQ[m, -1] && NeQ[m + 1, n]

6764. Int[ArcCoth[(a_) + (b_.)*(x_)^(n_)]*(x_)^(m_.), x_Symbol] :> Simp[x^(m + 1)*(ArcCoth[a + b*x^n]/(m + 1)), x] -
      Simp[b*(n/(m + 1))   Int[x^(m + n)/(1 - a^2 - 2*a*b*x^n - b^2*x^(2*n)), x], x] /; FreeQ[{a, b}, x] && Rationa
      lQ[m, n] && NeQ[m, -1] && NeQ[m + 1, n]

6765. Int[ArcTanh[(a_.) + (b_.)*(f_)^((c_.) + (d_.)*(x_))], x_Symbol] :> Simp[1/2   Int[Log[1 + a + b*f^(c + d*x)],
      x], x] - Simp[1/2   Int[Log[1 - a - b*f^(c + d*x)], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, f}, x]

6766. Int[ArcCoth[(a_.) + (b_.)*(f_)^((c_.) + (d_.)*(x_))], x_Symbol] :> Simp[1/2   Int[Log[1 + 1/(a + b*f^(c + d*x)
      )], x], x] - Simp[1/2   Int[Log[1 - 1/(a + b*f^(c + d*x))], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, f}, x]

6767. Int[ArcTanh[(a_.) + (b_.)*(f_)^((c_.) + (d_.)*(x_))]*(x_)^(m_.), x_Symbol] :> Simp[1/2   Int[x^m*Log[1 + a + b
      *f^(c + d*x)], x], x] - Simp[1/2   Int[x^m*Log[1 - a - b*f^(c + d*x)], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, f}, x] &&
      IGtQ[m, 0]

6768. Int[ArcCoth[(a_.) + (b_.)*(f_)^((c_.) + (d_.)*(x_))]*(x_)^(m_.), x_Symbol] :> Simp[1/2   Int[x^m*Log[1 + 1/(a
      + b*f^(c + d*x))], x], x] - Simp[1/2   Int[x^m*Log[1 - 1/(a + b*f^(c + d*x))], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, f}
      , x] && IGtQ[m, 0]

6769. Int[ArcTanh[(c_.)/((a_.) + (b_.)*(x_)^(n_.))]^(m_.)*(u_.), x_Symbol] :> Int[u*ArcCoth[a/c + b*(x^n/c)]^m, x] /
      ; FreeQ[{a, b, c, n, m}, x]

6770. Int[ArcCoth[(c_.)/((a_.) + (b_.)*(x_)^(n_.))]^(m_.)*(u_.), x_Symbol] :> Int[u*ArcTanh[a/c + b*(x^n/c)]^m, x] /
      ; FreeQ[{a, b, c, n, m}, x]

6771. Int[ArcTanh[((c_.)*(x_))/Sqrt[(a_.) + (b_.)*(x_)^2]], x_Symbol] :> Simp[x*ArcTanh[(c*x)/Sqrt[a + b*x^2]], x] -
      Simp[c   Int[x/Sqrt[a + b*x^2], x], x] /; FreeQ[{a, b, c}, x] && EqQ[b, c^2]

6772. Int[ArcCoth[((c_.)*(x_))/Sqrt[(a_.) + (b_.)*(x_)^2]], x_Symbol] :> Simp[x*ArcCoth[(c*x)/Sqrt[a + b*x^2]], x] -
      Simp[c   Int[x/Sqrt[a + b*x^2], x], x] /; FreeQ[{a, b, c}, x] && EqQ[b, c^2]

6773. Int[ArcTanh[((c_.)*(x_))/Sqrt[(a_.) + (b_.)*(x_)^2]]/(x_), x_Symbol] :> Simp[ArcTanh[c*(x/Sqrt[a + b*x^2])]*Lo
      g[x], x] - Simp[c   Int[Log[x]/Sqrt[a + b*x^2], x], x] /; FreeQ[{a, b, c}, x] && EqQ[b, c^2]

6774. Int[ArcCoth[((c_.)*(x_))/Sqrt[(a_.) + (b_.)*(x_)^2]]/(x_), x_Symbol] :> Simp[ArcCoth[c*(x/Sqrt[a + b*x^2])]*Lo
      g[x], x] - Simp[c   Int[Log[x]/Sqrt[a + b*x^2], x], x] /; FreeQ[{a, b, c}, x] && EqQ[b, c^2]

6775. Int[ArcTanh[((c_.)*(x_))/Sqrt[(a_.) + (b_.)*(x_)^2]]*((d_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Simp[(d*x)^(m + 1)*(ArcT
      anh[(c*x)/Sqrt[a + b*x^2]]/(d*(m + 1))), x] - Simp[c/(d*(m + 1))   Int[(d*x)^(m + 1)/Sqrt[a + b*x^2], x], x] /
      ; FreeQ[{a, b, c, d, m}, x] && EqQ[b, c^2] && NeQ[m, -1]

6776. Int[ArcCoth[((c_.)*(x_))/Sqrt[(a_.) + (b_.)*(x_)^2]]*((d_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Simp[(d*x)^(m + 1)*(ArcC
      oth[(c*x)/Sqrt[a + b*x^2]]/(d*(m + 1))), x] - Simp[c/(d*(m + 1))   Int[(d*x)^(m + 1)/Sqrt[a + b*x^2], x], x] /
      ; FreeQ[{a, b, c, d, m}, x] && EqQ[b, c^2] && NeQ[m, -1]

6777. Int[1/(ArcTanh[((c_.)*(x_))/Sqrt[(a_.) + (b_.)*(x_)^2]]*Sqrt[(a_.) + (b_.)*(x_)^2]), x_Symbol] :> Simp[(1/c)*L
      og[ArcTanh[c*(x/Sqrt[a + b*x^2])]], x] /; FreeQ[{a, b, c}, x] && EqQ[b, c^2]

6778. Int[1/(ArcCoth[((c_.)*(x_))/Sqrt[(a_.) + (b_.)*(x_)^2]]*Sqrt[(a_.) + (b_.)*(x_)^2]), x_Symbol] :> Simp[(-c^(-1
      ))*Log[ArcCoth[c*(x/Sqrt[a + b*x^2])]], x] /; FreeQ[{a, b, c}, x] && EqQ[b, c^2]

6779. Int[ArcTanh[((c_.)*(x_))/Sqrt[(a_.) + (b_.)*(x_)^2]]^(m_.)/Sqrt[(a_.) + (b_.)*(x_)^2], x_Symbol] :> Simp[ArcTa
      nh[c*(x/Sqrt[a + b*x^2])]^(m + 1)/(c*(m + 1)), x] /; FreeQ[{a, b, c, m}, x] && EqQ[b, c^2] && NeQ[m, -1]

6780. Int[ArcCoth[((c_.)*(x_))/Sqrt[(a_.) + (b_.)*(x_)^2]]^(m_.)/Sqrt[(a_.) + (b_.)*(x_)^2], x_Symbol] :> Simp[-ArcC
      oth[c*(x/Sqrt[a + b*x^2])]^(m + 1)/(c*(m + 1)), x] /; FreeQ[{a, b, c, m}, x] && EqQ[b, c^2] && NeQ[m, -1]

6781. Int[ArcTanh[((c_.)*(x_))/Sqrt[(a_.) + (b_.)*(x_)^2]]^(m_.)/Sqrt[(d_.) + (e_.)*(x_)^2], x_Symbol] :> Simp[Sqrt[
      a + b*x^2]/Sqrt[d + e*x^2]   Int[ArcTanh[c*(x/Sqrt[a + b*x^2])]^m/Sqrt[a + b*x^2], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d
      , e, m}, x] && EqQ[b, c^2] && EqQ[b*d - a*e, 0]

6782. Int[ArcCoth[((c_.)*(x_))/Sqrt[(a_.) + (b_.)*(x_)^2]]^(m_.)/Sqrt[(d_.) + (e_.)*(x_)^2], x_Symbol] :> Simp[Sqrt[
      a + b*x^2]/Sqrt[d + e*x^2]   Int[ArcCoth[c*(x/Sqrt[a + b*x^2])]^m/Sqrt[a + b*x^2], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d
      , e, m}, x] && EqQ[b, c^2] && EqQ[b*d - a*e, 0]

6783. Int[(u_)*(v_)^(n_.), x_Symbol] :> With[{tmp = InverseFunctionOfLinear[u, x]}, Simp[((-Discriminant[v, x]/(4*Co
      efficient[v, x, 2]))^n/Coefficient[tmp[[1]], x, 1])*Subst[Int[SimplifyIntegrand[SubstForInverseFunction[u, tmp
      , x]*Sech[x]^(2*(n + 1)), x], x], x, tmp], x] /;  !FalseQ[tmp] && EqQ[Head[tmp], ArcTanh] && EqQ[Discriminant[
      v, x]*tmp[[1]]^2 - D[v, x]^2, 0]] /; QuadraticQ[v, x] && ILtQ[n, 0] && PosQ[Discriminant[v, x]] && MatchQ[u, (
      r_.)*(f_)^(w_) /; FreeQ[f, x]]

6784. Int[(u_)*(v_)^(n_.), x_Symbol] :> With[{tmp = InverseFunctionOfLinear[u, x]}, Simp[((-Discriminant[v, x]/(4*Co
      efficient[v, x, 2]))^n/Coefficient[tmp[[1]], x, 1])*Subst[Int[SimplifyIntegrand[SubstForInverseFunction[u, tmp
      , x]*(-Csch[x]^2)^(n + 1), x], x], x, tmp], x] /;  !FalseQ[tmp] && EqQ[Head[tmp], ArcCoth] && EqQ[Discriminant
      [v, x]*tmp[[1]]^2 - D[v, x]^2, 0]] /; QuadraticQ[v, x] && ILtQ[n, 0] && PosQ[Discriminant[v, x]] && MatchQ[u,
      (r_.)*(f_)^(w_) /; FreeQ[f, x]]

6785. Int[ArcTanh[(c_.) + (d_.)*Tanh[(a_.) + (b_.)*(x_)]], x_Symbol] :> Simp[x*ArcTanh[c + d*Tanh[a + b*x]], x] + Si
      mp[b   Int[x/(c - d + c*E^(2*a + 2*b*x)), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && EqQ[(c - d)^2, 1]

6786. Int[ArcCoth[(c_.) + (d_.)*Tanh[(a_.) + (b_.)*(x_)]], x_Symbol] :> Simp[x*ArcCoth[c + d*Tanh[a + b*x]], x] + Si
      mp[b   Int[x/(c - d + c*E^(2*a + 2*b*x)), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && EqQ[(c - d)^2, 1]

6787. Int[ArcTanh[(c_.) + Coth[(a_.) + (b_.)*(x_)]*(d_.)], x_Symbol] :> Simp[x*ArcTanh[c + d*Coth[a + b*x]], x] + Si
      mp[b   Int[x/(c - d - c*E^(2*a + 2*b*x)), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && EqQ[(c - d)^2, 1]

6788. Int[ArcCoth[(c_.) + Coth[(a_.) + (b_.)*(x_)]*(d_.)], x_Symbol] :> Simp[x*ArcCoth[c + d*Coth[a + b*x]], x] + Si
      mp[b   Int[x/(c - d - c*E^(2*a + 2*b*x)), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && EqQ[(c - d)^2, 1]

6789. Int[ArcTanh[(c_.) + (d_.)*Tanh[(a_.) + (b_.)*(x_)]], x_Symbol] :> Simp[x*ArcTanh[c + d*Tanh[a + b*x]], x] + (S
      imp[b*(1 - c - d)   Int[x*(E^(2*a + 2*b*x)/(1 - c + d + (1 - c - d)*E^(2*a + 2*b*x))), x], x] - Simp[b*(1 + c
      + d)   Int[x*(E^(2*a + 2*b*x)/(1 + c - d + (1 + c + d)*E^(2*a + 2*b*x))), x], x]) /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] &&
      NeQ[(c - d)^2, 1]

6790. Int[ArcCoth[(c_.) + (d_.)*Tanh[(a_.) + (b_.)*(x_)]], x_Symbol] :> Simp[x*ArcCoth[c + d*Tanh[a + b*x]], x] + (S
      imp[b*(1 - c - d)   Int[x*(E^(2*a + 2*b*x)/(1 - c + d + (1 - c - d)*E^(2*a + 2*b*x))), x], x] - Simp[b*(1 + c
      + d)   Int[x*(E^(2*a + 2*b*x)/(1 + c - d + (1 + c + d)*E^(2*a + 2*b*x))), x], x]) /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] &&
      NeQ[(c - d)^2, 1]

6791. Int[ArcTanh[(c_.) + Coth[(a_.) + (b_.)*(x_)]*(d_.)], x_Symbol] :> Simp[x*ArcTanh[c + d*Coth[a + b*x]], x] + (-
      Simp[b*(1 - c - d)   Int[x*(E^(2*a + 2*b*x)/(1 - c + d - (1 - c - d)*E^(2*a + 2*b*x))), x], x] + Simp[b*(1 + c
      + d)   Int[x*(E^(2*a + 2*b*x)/(1 + c - d - (1 + c + d)*E^(2*a + 2*b*x))), x], x]) /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] &
      & NeQ[(c - d)^2, 1]

6792. Int[ArcCoth[(c_.) + Coth[(a_.) + (b_.)*(x_)]*(d_.)], x_Symbol] :> Simp[x*ArcCoth[c + d*Coth[a + b*x]], x] + (-
      Simp[b*(1 - c - d)   Int[x*(E^(2*a + 2*b*x)/(1 - c + d - (1 - c - d)*E^(2*a + 2*b*x))), x], x] + Simp[b*(1 + c
      + d)   Int[x*(E^(2*a + 2*b*x)/(1 + c - d - (1 + c + d)*E^(2*a + 2*b*x))), x], x]) /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] &
      & NeQ[(c - d)^2, 1]

6793. Int[ArcTanh[(c_.) + (d_.)*Tanh[(a_.) + (b_.)*(x_)]]*((e_.) + (f_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Simp[(e + f*x)^(m
      + 1)*(ArcTanh[c + d*Tanh[a + b*x]]/(f*(m + 1))), x] + Simp[b/(f*(m + 1))   Int[(e + f*x)^(m + 1)/(c - d + c*E
      ^(2*a + 2*b*x)), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && IGtQ[m, 0] && EqQ[(c - d)^2, 1]

6794. Int[ArcCoth[(c_.) + (d_.)*Tanh[(a_.) + (b_.)*(x_)]]*((e_.) + (f_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Simp[(e + f*x)^(m
      + 1)*(ArcCoth[c + d*Tanh[a + b*x]]/(f*(m + 1))), x] + Simp[b/(f*(m + 1))   Int[(e + f*x)^(m + 1)/(c - d + c*E
      ^(2*a + 2*b*x)), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && IGtQ[m, 0] && EqQ[(c - d)^2, 1]

6795. Int[ArcTanh[(c_.) + Coth[(a_.) + (b_.)*(x_)]*(d_.)]*((e_.) + (f_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Simp[(e + f*x)^(m
      + 1)*(ArcTanh[c + d*Coth[a + b*x]]/(f*(m + 1))), x] + Simp[b/(f*(m + 1))   Int[(e + f*x)^(m + 1)/(c - d - c*E
      ^(2*a + 2*b*x)), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && IGtQ[m, 0] && EqQ[(c - d)^2, 1]

6796. Int[ArcCoth[(c_.) + Coth[(a_.) + (b_.)*(x_)]*(d_.)]*((e_.) + (f_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Simp[(e + f*x)^(m
      + 1)*(ArcCoth[c + d*Coth[a + b*x]]/(f*(m + 1))), x] + Simp[b/(f*(m + 1))   Int[(e + f*x)^(m + 1)/(c - d - c*E
      ^(2*a + 2*b*x)), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && IGtQ[m, 0] && EqQ[(c - d)^2, 1]

6797. Int[ArcTanh[(c_.) + (d_.)*Tanh[(a_.) + (b_.)*(x_)]]*((e_.) + (f_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Simp[(e + f*x)^(m
      + 1)*(ArcTanh[c + d*Tanh[a + b*x]]/(f*(m + 1))), x] + (Simp[b*((1 - c - d)/(f*(m + 1)))   Int[(e + f*x)^(m +
      1)*(E^(2*a + 2*b*x)/(1 - c + d + (1 - c - d)*E^(2*a + 2*b*x))), x], x] - Simp[b*((1 + c + d)/(f*(m + 1)))   In
      t[(e + f*x)^(m + 1)*(E^(2*a + 2*b*x)/(1 + c - d + (1 + c + d)*E^(2*a + 2*b*x))), x], x]) /; FreeQ[{a, b, c, d,
      e, f}, x] && IGtQ[m, 0] && NeQ[(c - d)^2, 1]

6798. Int[ArcCoth[(c_.) + (d_.)*Tanh[(a_.) + (b_.)*(x_)]]*((e_.) + (f_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Simp[(e + f*x)^(m
      + 1)*(ArcCoth[c + d*Tanh[a + b*x]]/(f*(m + 1))), x] + (Simp[b*((1 - c - d)/(f*(m + 1)))   Int[(e + f*x)^(m +
      1)*(E^(2*a + 2*b*x)/(1 - c + d + (1 - c - d)*E^(2*a + 2*b*x))), x], x] - Simp[b*((1 + c + d)/(f*(m + 1)))   In
      t[(e + f*x)^(m + 1)*(E^(2*a + 2*b*x)/(1 + c - d + (1 + c + d)*E^(2*a + 2*b*x))), x], x]) /; FreeQ[{a, b, c, d,
      e, f}, x] && IGtQ[m, 0] && NeQ[(c - d)^2, 1]

6799. Int[ArcTanh[(c_.) + Coth[(a_.) + (b_.)*(x_)]*(d_.)]*((e_.) + (f_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Simp[(e + f*x)^(m
      + 1)*(ArcTanh[c + d*Coth[a + b*x]]/(f*(m + 1))), x] + (-Simp[b*((1 - c - d)/(f*(m + 1)))   Int[(e + f*x)^(m +
      1)*(E^(2*a + 2*b*x)/(1 - c + d - (1 - c - d)*E^(2*a + 2*b*x))), x], x] + Simp[b*((1 + c + d)/(f*(m + 1)))   I
      nt[(e + f*x)^(m + 1)*(E^(2*a + 2*b*x)/(1 + c - d - (1 + c + d)*E^(2*a + 2*b*x))), x], x]) /; FreeQ[{a, b, c, d
      , e, f}, x] && IGtQ[m, 0] && NeQ[(c - d)^2, 1]

6800. Int[ArcCoth[(c_.) + Coth[(a_.) + (b_.)*(x_)]*(d_.)]*((e_.) + (f_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Simp[(e + f*x)^(m
      + 1)*(ArcCoth[c + d*Coth[a + b*x]]/(f*(m + 1))), x] + (-Simp[b*((1 - c - d)/(f*(m + 1)))   Int[(e + f*x)^(m +
      1)*(E^(2*a + 2*b*x)/(1 - c + d - (1 - c - d)*E^(2*a + 2*b*x))), x], x] + Simp[b*((1 + c + d)/(f*(m + 1)))   I
      nt[(e + f*x)^(m + 1)*(E^(2*a + 2*b*x)/(1 + c - d - (1 + c + d)*E^(2*a + 2*b*x))), x], x]) /; FreeQ[{a, b, c, d
      , e, f}, x] && IGtQ[m, 0] && NeQ[(c - d)^2, 1]

6801. Int[ArcTanh[Tan[(a_.) + (b_.)*(x_)]], x_Symbol] :> Simp[x*ArcTanh[Tan[a + b*x]], x] - Simp[b   Int[x*Sec[2*a +
      2*b*x], x], x] /; FreeQ[{a, b}, x]

6802. Int[ArcCoth[Tan[(a_.) + (b_.)*(x_)]], x_Symbol] :> Simp[x*ArcCoth[Tan[a + b*x]], x] - Simp[b   Int[x*Sec[2*a +
      2*b*x], x], x] /; FreeQ[{a, b}, x]

6803. Int[ArcTanh[Cot[(a_.) + (b_.)*(x_)]], x_Symbol] :> Simp[x*ArcTanh[Cot[a + b*x]], x] - Simp[b   Int[x*Sec[2*a +
      2*b*x], x], x] /; FreeQ[{a, b}, x]

6804. Int[ArcCoth[Cot[(a_.) + (b_.)*(x_)]], x_Symbol] :> Simp[x*ArcCoth[Cot[a + b*x]], x] - Simp[b   Int[x*Sec[2*a +
      2*b*x], x], x] /; FreeQ[{a, b}, x]

6805. Int[ArcTanh[Tan[(a_.) + (b_.)*(x_)]]*((e_.) + (f_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Simp[(e + f*x)^(m + 1)*(ArcTanh[
      Tan[a + b*x]]/(f*(m + 1))), x] - Simp[b/(f*(m + 1))   Int[(e + f*x)^(m + 1)*Sec[2*a + 2*b*x], x], x] /; FreeQ[
      {a, b, e, f}, x] && IGtQ[m, 0]

6806. Int[ArcCoth[Tan[(a_.) + (b_.)*(x_)]]*((e_.) + (f_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Simp[(e + f*x)^(m + 1)*(ArcCoth[
      Tan[a + b*x]]/(f*(m + 1))), x] - Simp[b/(f*(m + 1))   Int[(e + f*x)^(m + 1)*Sec[2*a + 2*b*x], x], x] /; FreeQ[
      {a, b, e, f}, x] && IGtQ[m, 0]

6807. Int[ArcTanh[Cot[(a_.) + (b_.)*(x_)]]*((e_.) + (f_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Simp[(e + f*x)^(m + 1)*(ArcTanh[
      Cot[a + b*x]]/(f*(m + 1))), x] - Simp[b/(f*(m + 1))   Int[(e + f*x)^(m + 1)*Sec[2*a + 2*b*x], x], x] /; FreeQ[
      {a, b, e, f}, x] && IGtQ[m, 0]

6808. Int[ArcCoth[Cot[(a_.) + (b_.)*(x_)]]*((e_.) + (f_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Simp[(e + f*x)^(m + 1)*(ArcCoth[
      Cot[a + b*x]]/(f*(m + 1))), x] - Simp[b/(f*(m + 1))   Int[(e + f*x)^(m + 1)*Sec[2*a + 2*b*x], x], x] /; FreeQ[
      {a, b, e, f}, x] && IGtQ[m, 0]

6809. Int[ArcTanh[(c_.) + (d_.)*Tan[(a_.) + (b_.)*(x_)]], x_Symbol] :> Simp[x*ArcTanh[c + d*Tan[a + b*x]], x] + Simp
      [I*b   Int[x/(c + I*d + c*E^(2*I*a + 2*I*b*x)), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && EqQ[(c + I*d)^2, 1]

6810. Int[ArcCoth[(c_.) + (d_.)*Tan[(a_.) + (b_.)*(x_)]], x_Symbol] :> Simp[x*ArcCoth[c + d*Tan[a + b*x]], x] + Simp
      [I*b   Int[x/(c + I*d + c*E^(2*I*a + 2*I*b*x)), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && EqQ[(c + I*d)^2, 1]

6811. Int[ArcTanh[(c_.) + Cot[(a_.) + (b_.)*(x_)]*(d_.)], x_Symbol] :> Simp[x*ArcTanh[c + d*Cot[a + b*x]], x] + Simp
      [I*b   Int[x/(c - I*d - c*E^(2*I*a + 2*I*b*x)), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && EqQ[(c - I*d)^2, 1]

6812. Int[ArcCoth[(c_.) + Cot[(a_.) + (b_.)*(x_)]*(d_.)], x_Symbol] :> Simp[x*ArcCoth[c + d*Cot[a + b*x]], x] + Simp
      [I*b   Int[x/(c - I*d - c*E^(2*I*a + 2*I*b*x)), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && EqQ[(c - I*d)^2, 1]

6813. Int[ArcTanh[(c_.) + (d_.)*Tan[(a_.) + (b_.)*(x_)]], x_Symbol] :> Simp[x*ArcTanh[c + d*Tan[a + b*x]], x] + (-Si
      mp[I*b*(1 + c - I*d)   Int[x*(E^(2*I*a + 2*I*b*x)/(1 + c + I*d + (1 + c - I*d)*E^(2*I*a + 2*I*b*x))), x], x] +
      Simp[I*b*(1 - c + I*d)   Int[x*(E^(2*I*a + 2*I*b*x)/(1 - c - I*d + (1 - c + I*d)*E^(2*I*a + 2*I*b*x))), x], x
      ]) /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && NeQ[(c + I*d)^2, 1]

6814. Int[ArcCoth[(c_.) + (d_.)*Tan[(a_.) + (b_.)*(x_)]], x_Symbol] :> Simp[x*ArcCoth[c + d*Tan[a + b*x]], x] + (-Si
      mp[I*b*(1 + c - I*d)   Int[x*(E^(2*I*a + 2*I*b*x)/(1 + c + I*d + (1 + c - I*d)*E^(2*I*a + 2*I*b*x))), x], x] +
      Simp[I*b*(1 - c + I*d)   Int[x*(E^(2*I*a + 2*I*b*x)/(1 - c - I*d + (1 - c + I*d)*E^(2*I*a + 2*I*b*x))), x], x
      ]) /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && NeQ[(c + I*d)^2, 1]

6815. Int[ArcTanh[(c_.) + Cot[(a_.) + (b_.)*(x_)]*(d_.)], x_Symbol] :> Simp[x*ArcTanh[c + d*Cot[a + b*x]], x] + (-Si
      mp[I*b*(1 - c - I*d)   Int[x*(E^(2*I*a + 2*I*b*x)/(1 - c + I*d - (1 - c - I*d)*E^(2*I*a + 2*I*b*x))), x], x] +
      Simp[I*b*(1 + c + I*d)   Int[x*(E^(2*I*a + 2*I*b*x)/(1 + c - I*d - (1 + c + I*d)*E^(2*I*a + 2*I*b*x))), x], x
      ]) /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && NeQ[(c - I*d)^2, 1]

6816. Int[ArcCoth[(c_.) + Cot[(a_.) + (b_.)*(x_)]*(d_.)], x_Symbol] :> Simp[x*ArcCoth[c + d*Cot[a + b*x]], x] + (-Si
      mp[I*b*(1 - c - I*d)   Int[x*(E^(2*I*a + 2*I*b*x)/(1 - c + I*d - (1 - c - I*d)*E^(2*I*a + 2*I*b*x))), x], x] +
      Simp[I*b*(1 + c + I*d)   Int[x*(E^(2*I*a + 2*I*b*x)/(1 + c - I*d - (1 + c + I*d)*E^(2*I*a + 2*I*b*x))), x], x
      ]) /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && NeQ[(c - I*d)^2, 1]

6817. Int[ArcTanh[(c_.) + (d_.)*Tan[(a_.) + (b_.)*(x_)]]*((e_.) + (f_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Simp[(e + f*x)^(m
      + 1)*(ArcTanh[c + d*Tan[a + b*x]]/(f*(m + 1))), x] + Simp[I*(b/(f*(m + 1)))   Int[(e + f*x)^(m + 1)/(c + I*d +
      c*E^(2*I*a + 2*I*b*x)), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && IGtQ[m, 0] && EqQ[(c + I*d)^2, 1]

6818. Int[ArcCoth[(c_.) + (d_.)*Tan[(a_.) + (b_.)*(x_)]]*((e_.) + (f_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Simp[(e + f*x)^(m
      + 1)*(ArcCoth[c + d*Tan[a + b*x]]/(f*(m + 1))), x] + Simp[I*(b/(f*(m + 1)))   Int[(e + f*x)^(m + 1)/(c + I*d +
      c*E^(2*I*a + 2*I*b*x)), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && IGtQ[m, 0] && EqQ[(c + I*d)^2, 1]

6819. Int[ArcTanh[(c_.) + Cot[(a_.) + (b_.)*(x_)]*(d_.)]*((e_.) + (f_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Simp[(e + f*x)^(m
      + 1)*(ArcTanh[c + d*Cot[a + b*x]]/(f*(m + 1))), x] + Simp[I*(b/(f*(m + 1)))   Int[(e + f*x)^(m + 1)/(c - I*d -
      c*E^(2*I*a + 2*I*b*x)), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && IGtQ[m, 0] && EqQ[(c - I*d)^2, 1]

6820. Int[ArcCoth[(c_.) + Cot[(a_.) + (b_.)*(x_)]*(d_.)]*((e_.) + (f_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Simp[(e + f*x)^(m
      + 1)*(ArcCoth[c + d*Cot[a + b*x]]/(f*(m + 1))), x] + Simp[I*(b/(f*(m + 1)))   Int[(e + f*x)^(m + 1)/(c - I*d -
      c*E^(2*I*a + 2*I*b*x)), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && IGtQ[m, 0] && EqQ[(c - I*d)^2, 1]

6821. Int[ArcTanh[(c_.) + (d_.)*Tan[(a_.) + (b_.)*(x_)]]*((e_.) + (f_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Simp[(e + f*x)^(m
      + 1)*(ArcTanh[c + d*Tan[a + b*x]]/(f*(m + 1))), x] + (-Simp[I*b*((1 + c - I*d)/(f*(m + 1)))   Int[(e + f*x)^(m
      + 1)*(E^(2*I*a + 2*I*b*x)/(1 + c + I*d + (1 + c - I*d)*E^(2*I*a + 2*I*b*x))), x], x] + Simp[I*b*((1 - c + I*d
      )/(f*(m + 1)))   Int[(e + f*x)^(m + 1)*(E^(2*I*a + 2*I*b*x)/(1 - c - I*d + (1 - c + I*d)*E^(2*I*a + 2*I*b*x)))
      , x], x]) /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && IGtQ[m, 0] && NeQ[(c + I*d)^2, 1]

6822. Int[ArcCoth[(c_.) + (d_.)*Tan[(a_.) + (b_.)*(x_)]]*((e_.) + (f_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Simp[(e + f*x)^(m
      + 1)*(ArcCoth[c + d*Tan[a + b*x]]/(f*(m + 1))), x] + (-Simp[I*b*((1 + c - I*d)/(f*(m + 1)))   Int[(e + f*x)^(m
      + 1)*(E^(2*I*a + 2*I*b*x)/(1 + c + I*d + (1 + c - I*d)*E^(2*I*a + 2*I*b*x))), x], x] + Simp[I*b*((1 - c + I*d
      )/(f*(m + 1)))   Int[(e + f*x)^(m + 1)*(E^(2*I*a + 2*I*b*x)/(1 - c - I*d + (1 - c + I*d)*E^(2*I*a + 2*I*b*x)))
      , x], x]) /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && IGtQ[m, 0] && NeQ[(c + I*d)^2, 1]

6823. Int[ArcTanh[(c_.) + Cot[(a_.) + (b_.)*(x_)]*(d_.)]*((e_.) + (f_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Simp[(e + f*x)^(m
      + 1)*(ArcTanh[c + d*Cot[a + b*x]]/(f*(m + 1))), x] + (-Simp[I*b*((1 - c - I*d)/(f*(m + 1)))   Int[(e + f*x)^(m
      + 1)*(E^(2*I*a + 2*I*b*x)/(1 - c + I*d - (1 - c - I*d)*E^(2*I*a + 2*I*b*x))), x], x] + Simp[I*b*((1 + c + I*d
      )/(f*(m + 1)))   Int[(e + f*x)^(m + 1)*(E^(2*I*a + 2*I*b*x)/(1 + c - I*d - (1 + c + I*d)*E^(2*I*a + 2*I*b*x)))
      , x], x]) /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && IGtQ[m, 0] && NeQ[(c - I*d)^2, 1]

6824. Int[ArcCoth[(c_.) + Cot[(a_.) + (b_.)*(x_)]*(d_.)]*((e_.) + (f_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Simp[(e + f*x)^(m
      + 1)*(ArcCoth[c + d*Cot[a + b*x]]/(f*(m + 1))), x] + (-Simp[I*b*((1 - c - I*d)/(f*(m + 1)))   Int[(e + f*x)^(m
      + 1)*(E^(2*I*a + 2*I*b*x)/(1 - c + I*d - (1 - c - I*d)*E^(2*I*a + 2*I*b*x))), x], x] + Simp[I*b*((1 + c + I*d
      )/(f*(m + 1)))   Int[(e + f*x)^(m + 1)*(E^(2*I*a + 2*I*b*x)/(1 + c - I*d - (1 + c + I*d)*E^(2*I*a + 2*I*b*x)))
      , x], x]) /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && IGtQ[m, 0] && NeQ[(c - I*d)^2, 1]

6825. Int[ArcTanh[u_], x_Symbol] :> Simp[x*ArcTanh[u], x] - Int[SimplifyIntegrand[x*(D[u, x]/(1 - u^2)), x], x] /; I
      nverseFunctionFreeQ[u, x]

6826. Int[ArcCoth[u_], x_Symbol] :> Simp[x*ArcCoth[u], x] - Int[SimplifyIntegrand[x*(D[u, x]/(1 - u^2)), x], x] /; I
      nverseFunctionFreeQ[u, x]

6827. Int[((a_.) + ArcTanh[u_]*(b_.))*((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Simp[(c + d*x)^(m + 1)*((a + b*ArcTan
      h[u])/(d*(m + 1))), x] - Simp[b/(d*(m + 1))   Int[SimplifyIntegrand[(c + d*x)^(m + 1)*(D[u, x]/(1 - u^2)), x],
      x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, m}, x] && NeQ[m, -1] && InverseFunctionFreeQ[u, x] &&  !FunctionOfQ[(c + d*x)^(m
      + 1), u, x] && FalseQ[PowerVariableExpn[u, m + 1, x]]

6828. Int[((a_.) + ArcCoth[u_]*(b_.))*((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Simp[(c + d*x)^(m + 1)*((a + b*ArcCot
      h[u])/(d*(m + 1))), x] - Simp[b/(d*(m + 1))   Int[SimplifyIntegrand[(c + d*x)^(m + 1)*(D[u, x]/(1 - u^2)), x],
      x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, m}, x] && NeQ[m, -1] && InverseFunctionFreeQ[u, x] &&  !FunctionOfQ[(c + d*x)^(m
      + 1), u, x] && FalseQ[PowerVariableExpn[u, m + 1, x]]

6829. Int[((a_.) + ArcTanh[u_]*(b_.))*(v_), x_Symbol] :> With[{w = IntHide[v, x]}, Simp[(a + b*ArcTanh[u])   w, x] -
      Simp[b   Int[SimplifyIntegrand[w*(D[u, x]/(1 - u^2)), x], x], x] /; InverseFunctionFreeQ[w, x]] /; FreeQ[{a,
      b}, x] && InverseFunctionFreeQ[u, x] &&  !MatchQ[v, ((c_.) + (d_.)*x)^(m_.) /; FreeQ[{c, d, m}, x]] && FalseQ[
      FunctionOfLinear[v*(a + b*ArcTanh[u]), x]]

6830. Int[((a_.) + ArcCoth[u_]*(b_.))*(v_), x_Symbol] :> With[{w = IntHide[v, x]}, Simp[(a + b*ArcCoth[u])   w, x] -
      Simp[b   Int[SimplifyIntegrand[w*(D[u, x]/(1 - u^2)), x], x], x] /; InverseFunctionFreeQ[w, x]] /; FreeQ[{a,
      b}, x] && InverseFunctionFreeQ[u, x] &&  !MatchQ[v, ((c_.) + (d_.)*x)^(m_.) /; FreeQ[{c, d, m}, x]] && FalseQ[
      FunctionOfLinear[v*(a + b*ArcCoth[u]), x]]

6831. Int[ArcSech[(c_.)*(x_)], x_Symbol] :> Simp[x*ArcSech[c*x], x] + Simp[Sqrt[1 + c*x]*Sqrt[1/(1 + c*x)]   Int[1/S
      qrt[1 - c^2*x^2], x], x] /; FreeQ[c, x]

6832. Int[ArcCsch[(c_.)*(x_)], x_Symbol] :> Simp[x*ArcCsch[c*x], x] + Simp[1/c   Int[1/(x*Sqrt[1 + 1/(c^2*x^2)]), x]
      , x] /; FreeQ[c, x]

6833. Int[((a_.) + ArcSech[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_), x_Symbol] :> Simp[-c^(-1)   Subst[Int[(a + b*x)^n*Sech[x]*Tanh[x
      ], x], x, ArcSech[c*x]], x] /; FreeQ[{a, b, c, n}, x] && IGtQ[n, 0]

6834. Int[((a_.) + ArcCsch[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_), x_Symbol] :> Simp[-c^(-1)   Subst[Int[(a + b*x)^n*Csch[x]*Coth[x
      ], x], x, ArcCsch[c*x]], x] /; FreeQ[{a, b, c, n}, x] && IGtQ[n, 0]

6835. Int[((a_.) + ArcSech[(c_.)*(x_)]*(b_.))/(x_), x_Symbol] :> -Subst[Int[(a + b*ArcCosh[x/c])/x, x], x, 1/x] /; F
      reeQ[{a, b, c}, x]

6836. Int[((a_.) + ArcCsch[(c_.)*(x_)]*(b_.))/(x_), x_Symbol] :> -Subst[Int[(a + b*ArcSinh[x/c])/x, x], x, 1/x] /; F
      reeQ[{a, b, c}, x]

6837. Int[((a_.) + ArcSech[(c_.)*(x_)]*(b_.))*((d_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Simp[(d*x)^(m + 1)*((a + b*ArcSech[c*
      x])/(d*(m + 1))), x] + Simp[b*(Sqrt[1 + c*x]/(m + 1))*Sqrt[1/(1 + c*x)]   Int[(d*x)^m/(Sqrt[1 - c*x]*Sqrt[1 +
      c*x]), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, m}, x] && NeQ[m, -1]

6838. Int[((a_.) + ArcCsch[(c_.)*(x_)]*(b_.))*((d_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Simp[(d*x)^(m + 1)*((a + b*ArcCsch[c*
      x])/(d*(m + 1))), x] + Simp[b*(d/(c*(m + 1)))   Int[(d*x)^(m - 1)/Sqrt[1 + 1/(c^2*x^2)], x], x] /; FreeQ[{a, b
      , c, d, m}, x] && NeQ[m, -1]

6839. Int[((a_.) + ArcSech[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_)*(x_)^(m_.), x_Symbol] :> Simp[-(c^(m + 1))^(-1)   Subst[Int[(a +
      b*x)^n*Sech[x]^(m + 1)*Tanh[x], x], x, ArcSech[c*x]], x] /; FreeQ[{a, b, c}, x] && IntegerQ[n] && IntegerQ[m]
      && (GtQ[n, 0] || LtQ[m, -1])

6840. Int[((a_.) + ArcCsch[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_)*(x_)^(m_.), x_Symbol] :> Simp[-(c^(m + 1))^(-1)   Subst[Int[(a +
      b*x)^n*Csch[x]^(m + 1)*Coth[x], x], x, ArcCsch[c*x]], x] /; FreeQ[{a, b, c}, x] && IntegerQ[n] && IntegerQ[m]
      && (GtQ[n, 0] || LtQ[m, -1])

6841. Int[((a_.) + ArcSech[(c_.)*(x_)]*(b_.))/((d_.) + (e_.)*(x_)), x_Symbol] :> Simp[(a + b*ArcSech[c*x])*(Log[1 +
      (e - Sqrt[(-c^2)*d^2 + e^2])/(c*d*E^ArcSech[c*x])]/e), x] + (Simp[(a + b*ArcSech[c*x])*(Log[1 + (e + Sqrt[(-c^
      2)*d^2 + e^2])/(c*d*E^ArcSech[c*x])]/e), x] - Simp[(a + b*ArcSech[c*x])*(Log[1 + 1/E^(2*ArcSech[c*x])]/e), x]
      + Simp[b/e   Int[(Sqrt[(1 - c*x)/(1 + c*x)]*Log[1 + (e - Sqrt[(-c^2)*d^2 + e^2])/(c*d*E^ArcSech[c*x])])/(x*(1
      - c*x)), x], x] + Simp[b/e   Int[(Sqrt[(1 - c*x)/(1 + c*x)]*Log[1 + (e + Sqrt[(-c^2)*d^2 + e^2])/(c*d*E^ArcSec
      h[c*x])])/(x*(1 - c*x)), x], x] - Simp[b/e   Int[(Sqrt[(1 - c*x)/(1 + c*x)]*Log[1 + 1/E^(2*ArcSech[c*x])])/(x*
      (1 - c*x)), x], x]) /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x]

6842. Int[((a_.) + ArcSech[(c_.)*(x_)]*(b_.))*((d_.) + (e_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Simp[(d + e*x)^(m + 1)*((a +
      b*ArcSech[c*x])/(e*(m + 1))), x] + Simp[b*(Sqrt[1 + c*x]/(e*(m + 1)))*Sqrt[1/(1 + c*x)]   Int[(d + e*x)^(m + 1
      )/(x*Sqrt[1 - c^2*x^2]), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, m}, x] && NeQ[m, -1]

6843. Int[((a_.) + ArcCsch[(c_.)*(x_)]*(b_.))/((d_.) + (e_.)*(x_)), x_Symbol] :> Simp[(a + b*ArcCsch[c*x])*(Log[1 -
      (e - Sqrt[c^2*d^2 + e^2])*(E^ArcCsch[c*x]/(c*d))]/e), x] + (Simp[(a + b*ArcCsch[c*x])*(Log[1 - (e + Sqrt[c^2*d
      ^2 + e^2])*(E^ArcCsch[c*x]/(c*d))]/e), x] - Simp[(a + b*ArcCsch[c*x])*(Log[1 - E^(2*ArcCsch[c*x])]/e), x] + Si
      mp[b/(c*e)   Int[Log[1 - (e - Sqrt[c^2*d^2 + e^2])*(E^ArcCsch[c*x]/(c*d))]/(x^2*Sqrt[1 + 1/(c^2*x^2)]), x], x]
      + Simp[b/(c*e)   Int[Log[1 - (e + Sqrt[c^2*d^2 + e^2])*(E^ArcCsch[c*x]/(c*d))]/(x^2*Sqrt[1 + 1/(c^2*x^2)]), x
      ], x] - Simp[b/(c*e)   Int[Log[1 - E^(2*ArcCsch[c*x])]/(x^2*Sqrt[1 + 1/(c^2*x^2)]), x], x]) /; FreeQ[{a, b, c,
      d, e}, x]

6844. Int[((a_.) + ArcCsch[(c_.)*(x_)]*(b_.))*((d_.) + (e_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Simp[(d + e*x)^(m + 1)*((a +
      b*ArcCsch[c*x])/(e*(m + 1))), x] + Simp[b/(c*e*(m + 1))   Int[(d + e*x)^(m + 1)/(x^2*Sqrt[1 + 1/(c^2*x^2)]), x
      ], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, m}, x] && NeQ[m, -1]

6845. Int[((a_.) + ArcSech[(c_.)*(x_)]*(b_.))*((d_.) + (e_.)*(x_)^2)^(p_.), x_Symbol] :> With[{u = IntHide[(d + e*x^
      2)^p, x]}, Simp[(a + b*ArcSech[c*x])   u, x] + Simp[b*Sqrt[1 + c*x]*Sqrt[1/(1 + c*x)]   Int[SimplifyIntegrand[
      u/(x*Sqrt[1 - c*x]*Sqrt[1 + c*x]), x], x], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && (IGtQ[p, 0] || ILtQ[p + 1/2, 0]
      )

6846. Int[((a_.) + ArcCsch[(c_.)*(x_)]*(b_.))*((d_.) + (e_.)*(x_)^2)^(p_.), x_Symbol] :> With[{u = IntHide[(d + e*x^
      2)^p, x]}, Simp[(a + b*ArcCsch[c*x])   u, x] - Simp[b*c*(x/Sqrt[(-c^2)*x^2])   Int[SimplifyIntegrand[u/(x*Sqrt
      [-1 - c^2*x^2]), x], x], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && (IGtQ[p, 0] || ILtQ[p + 1/2, 0])

6847. Int[((a_.) + ArcSech[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_.)*((d_.) + (e_.)*(x_)^2)^(p_.), x_Symbol] :> -Subst[Int[(e + d*x^2
      )^p*((a + b*ArcCosh[x/c])^n/x^(2*(p + 1))), x], x, 1/x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, n}, x] && IGtQ[n, 0] && Integ
      erQ[p]

6848. Int[((a_.) + ArcCsch[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_.)*((d_.) + (e_.)*(x_)^2)^(p_.), x_Symbol] :> -Subst[Int[(e + d*x^2
      )^p*((a + b*ArcSinh[x/c])^n/x^(2*(p + 1))), x], x, 1/x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, n}, x] && IGtQ[n, 0] && Integ
      erQ[p]

6849. Int[((a_.) + ArcSech[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_.)*((d_.) + (e_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Simp[-Sqrt[x^2]/x   Su
      bst[Int[(e + d*x^2)^p*((a + b*ArcCosh[x/c])^n/x^(2*(p + 1))), x], x, 1/x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, n}, x]
      && IGtQ[n, 0] && EqQ[c^2*d + e, 0] && IntegerQ[p + 1/2] && GtQ[e, 0] && LtQ[d, 0]

6850. Int[((a_.) + ArcCsch[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_.)*((d_.) + (e_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Simp[-Sqrt[x^2]/x   Su
      bst[Int[(e + d*x^2)^p*((a + b*ArcSinh[x/c])^n/x^(2*(p + 1))), x], x, 1/x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, n}, x]
      && IGtQ[n, 0] && EqQ[e - c^2*d, 0] && IntegerQ[p + 1/2] && GtQ[e, 0] && LtQ[d, 0]

6851. Int[((a_.) + ArcSech[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_.)*((d_.) + (e_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Simp[-Sqrt[d + e*x^2]/
      (x*Sqrt[e + d/x^2])   Subst[Int[(e + d*x^2)^p*((a + b*ArcCosh[x/c])^n/x^(2*(p + 1))), x], x, 1/x], x] /; FreeQ
      [{a, b, c, d, e, n}, x] && IGtQ[n, 0] && EqQ[c^2*d + e, 0] && IntegerQ[p + 1/2] &&  !(GtQ[e, 0] && LtQ[d, 0])

6852. Int[((a_.) + ArcCsch[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_.)*((d_.) + (e_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Simp[-Sqrt[d + e*x^2]/
      (x*Sqrt[e + d/x^2])   Subst[Int[(e + d*x^2)^p*((a + b*ArcSinh[x/c])^n/x^(2*(p + 1))), x], x, 1/x], x] /; FreeQ
      [{a, b, c, d, e, n}, x] && IGtQ[n, 0] && EqQ[e - c^2*d, 0] && IntegerQ[p + 1/2] &&  !(GtQ[e, 0] && LtQ[d, 0])

6853. Int[((a_.) + ArcSech[(c_.)*(x_)]*(b_.))*(x_)*((d_.) + (e_.)*(x_)^2)^(p_.), x_Symbol] :> Simp[(d + e*x^2)^(p +
      1)*((a + b*ArcSech[c*x])/(2*e*(p + 1))), x] + Simp[b*(Sqrt[1 + c*x]/(2*e*(p + 1)))*Sqrt[1/(1 + c*x)]   Int[(d
      + e*x^2)^(p + 1)/(x*Sqrt[1 - c*x]*Sqrt[1 + c*x]), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, p}, x] && NeQ[p, -1]

6854. Int[((a_.) + ArcCsch[(c_.)*(x_)]*(b_.))*(x_)*((d_.) + (e_.)*(x_)^2)^(p_.), x_Symbol] :> Simp[(d + e*x^2)^(p +
      1)*((a + b*ArcCsch[c*x])/(2*e*(p + 1))), x] - Simp[b*c*(x/(2*e*(p + 1)*Sqrt[(-c^2)*x^2]))   Int[(d + e*x^2)^(p
      + 1)/(x*Sqrt[-1 - c^2*x^2]), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, p}, x] && NeQ[p, -1]

6855. Int[((a_.) + ArcSech[(c_.)*(x_)]*(b_.))*((f_.)*(x_))^(m_.)*((d_.) + (e_.)*(x_)^2)^(p_.), x_Symbol] :> With[{u
      = IntHide[(f*x)^m*(d + e*x^2)^p, x]}, Simp[(a + b*ArcSech[c*x])   u, x] + Simp[b*Sqrt[1 + c*x]*Sqrt[1/(1 + c*x
      )]   Int[SimplifyIntegrand[u/(x*Sqrt[1 - c*x]*Sqrt[1 + c*x]), x], x], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m, p}, x
      ] && ((IGtQ[p, 0] &&  !(ILtQ[(m - 1)/2, 0] && GtQ[m + 2*p + 3, 0])) || (IGtQ[(m + 1)/2, 0] &&  !(ILtQ[p, 0] &&
      GtQ[m + 2*p + 3, 0])) || (ILtQ[(m + 2*p + 1)/2, 0] &&  !ILtQ[(m - 1)/2, 0]))

6856. Int[((a_.) + ArcCsch[(c_.)*(x_)]*(b_.))*((f_.)*(x_))^(m_.)*((d_.) + (e_.)*(x_)^2)^(p_.), x_Symbol] :> With[{u
      = IntHide[(f*x)^m*(d + e*x^2)^p, x]}, Simp[(a + b*ArcCsch[c*x])   u, x] - Simp[b*c*(x/Sqrt[(-c^2)*x^2])   Int[
      SimplifyIntegrand[u/(x*Sqrt[-1 - c^2*x^2]), x], x], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m, p}, x] && ((IGtQ[p, 0]
      &&  !(ILtQ[(m - 1)/2, 0] && GtQ[m + 2*p + 3, 0])) || (IGtQ[(m + 1)/2, 0] &&  !(ILtQ[p, 0] && GtQ[m + 2*p + 3,
      0])) || (ILtQ[(m + 2*p + 1)/2, 0] &&  !ILtQ[(m - 1)/2, 0]))

6857. Int[((a_.) + ArcSech[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_.)*(x_)^(m_.)*((d_.) + (e_.)*(x_)^2)^(p_.), x_Symbol] :> -Subst[Int
      [(e + d*x^2)^p*((a + b*ArcCosh[x/c])^n/x^(m + 2*(p + 1))), x], x, 1/x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, n}, x] && IGtQ
      [n, 0] && IntegersQ[m, p]

6858. Int[((a_.) + ArcCsch[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_.)*(x_)^(m_.)*((d_.) + (e_.)*(x_)^2)^(p_.), x_Symbol] :> -Subst[Int
      [(e + d*x^2)^p*((a + b*ArcSinh[x/c])^n/x^(m + 2*(p + 1))), x], x, 1/x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, n}, x] && IGtQ
      [n, 0] && IntegersQ[m, p]

6859. Int[((a_.) + ArcSech[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_.)*(x_)^(m_.)*((d_.) + (e_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Simp[-Sqrt[
      x^2]/x   Subst[Int[(e + d*x^2)^p*((a + b*ArcCosh[x/c])^n/x^(m + 2*(p + 1))), x], x, 1/x], x] /; FreeQ[{a, b, c
      , d, e, n}, x] && IGtQ[n, 0] && EqQ[c^2*d + e, 0] && IntegerQ[m] && IntegerQ[p + 1/2] && GtQ[e, 0] && LtQ[d, 0
      ]

6860. Int[((a_.) + ArcCsch[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_.)*(x_)^(m_.)*((d_.) + (e_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Simp[-Sqrt[
      x^2]/x   Subst[Int[(e + d*x^2)^p*((a + b*ArcSinh[x/c])^n/x^(m + 2*(p + 1))), x], x, 1/x], x] /; FreeQ[{a, b, c
      , d, e, n}, x] && IGtQ[n, 0] && EqQ[e - c^2*d, 0] && IntegerQ[m] && IntegerQ[p + 1/2] && GtQ[e, 0] && LtQ[d, 0
      ]

6861. Int[((a_.) + ArcSech[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_.)*(x_)^(m_.)*((d_.) + (e_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Simp[-Sqrt[
      d + e*x^2]/(x*Sqrt[e + d/x^2])   Subst[Int[(e + d*x^2)^p*((a + b*ArcCosh[x/c])^n/x^(m + 2*(p + 1))), x], x, 1/
      x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, n}, x] && IGtQ[n, 0] && EqQ[c^2*d + e, 0] && IntegerQ[m] && IntegerQ[p + 1/2]
      &&  !(GtQ[e, 0] && LtQ[d, 0])

6862. Int[((a_.) + ArcCsch[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_.)*(x_)^(m_.)*((d_.) + (e_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Simp[-Sqrt[
      d + e*x^2]/(x*Sqrt[e + d/x^2])   Subst[Int[(e + d*x^2)^p*((a + b*ArcSinh[x/c])^n/x^(m + 2*(p + 1))), x], x, 1/
      x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, n}, x] && IGtQ[n, 0] && EqQ[e - c^2*d, 0] && IntegerQ[m] && IntegerQ[p + 1/2]
      &&  !(GtQ[e, 0] && LtQ[d, 0])

6863. Int[((a_.) + ArcSech[(c_.)*(x_)]*(b_.))*(u_), x_Symbol] :> With[{v = IntHide[u, x]}, Simp[(a + b*ArcSech[c*x])
      v, x] + Simp[b*(Sqrt[1 - c^2*x^2]/(c*x*Sqrt[-1 + 1/(c*x)]*Sqrt[1 + 1/(c*x)]))   Int[SimplifyIntegrand[v/(x*
      Sqrt[1 - c^2*x^2]), x], x], x] /; InverseFunctionFreeQ[v, x]] /; FreeQ[{a, b, c}, x]

6864. Int[((a_.) + ArcCsch[(c_.)*(x_)]*(b_.))*(u_), x_Symbol] :> With[{v = IntHide[u, x]}, Simp[(a + b*ArcCsch[c*x])
      v, x] + Simp[b/c   Int[SimplifyIntegrand[v/(x^2*Sqrt[1 + 1/(c^2*x^2)]), x], x], x] /; InverseFunctionFreeQ[
      v, x]] /; FreeQ[{a, b, c}, x]

6865. Int[((a_.) + ArcSech[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_.)*(u_.), x_Symbol] :> Unintegrable[u*(a + b*ArcSech[c*x])^n, x] /;
      FreeQ[{a, b, c, n}, x]

6866. Int[((a_.) + ArcCsch[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_.)*(u_.), x_Symbol] :> Unintegrable[u*(a + b*ArcCsch[c*x])^n, x] /;
      FreeQ[{a, b, c, n}, x]

6867. Int[ArcSech[(c_) + (d_.)*(x_)], x_Symbol] :> Simp[(c + d*x)*(ArcSech[c + d*x]/d), x] + Int[Sqrt[(1 - c - d*x)/
      (1 + c + d*x)]/(1 - c - d*x), x] /; FreeQ[{c, d}, x]

6868. Int[ArcCsch[(c_) + (d_.)*(x_)], x_Symbol] :> Simp[(c + d*x)*(ArcCsch[c + d*x]/d), x] + Int[1/((c + d*x)*Sqrt[1
      + 1/(c + d*x)^2]), x] /; FreeQ[{c, d}, x]

6869. Int[((a_.) + ArcSech[(c_) + (d_.)*(x_)]*(b_.))^(p_.), x_Symbol] :> Simp[1/d   Subst[Int[(a + b*ArcSech[x])^p,
      x], x, c + d*x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && IGtQ[p, 0]

6870. Int[((a_.) + ArcCsch[(c_) + (d_.)*(x_)]*(b_.))^(p_.), x_Symbol] :> Simp[1/d   Subst[Int[(a + b*ArcCsch[x])^p,
      x], x, c + d*x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && IGtQ[p, 0]

6871. Int[((a_.) + ArcSech[(c_) + (d_.)*(x_)]*(b_.))^(p_), x_Symbol] :> Unintegrable[(a + b*ArcSech[c + d*x])^p, x]
      /; FreeQ[{a, b, c, d, p}, x] &&  !IGtQ[p, 0]

6872. Int[((a_.) + ArcCsch[(c_) + (d_.)*(x_)]*(b_.))^(p_), x_Symbol] :> Unintegrable[(a + b*ArcCsch[c + d*x])^p, x]
      /; FreeQ[{a, b, c, d, p}, x] &&  !IGtQ[p, 0]

6873. Int[((a_.) + ArcSech[(c_) + (d_.)*(x_)]*(b_.))^(p_.)*((e_.) + (f_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Simp[1/d   Subst
      [Int[(f*(x/d))^m*(a + b*ArcSech[x])^p, x], x, c + d*x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m}, x] && EqQ[d*e - c*f
      , 0] && IGtQ[p, 0]

6874. Int[((a_.) + ArcCsch[(c_) + (d_.)*(x_)]*(b_.))^(p_.)*((e_.) + (f_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Simp[1/d   Subst
      [Int[(f*(x/d))^m*(a + b*ArcCsch[x])^p, x], x, c + d*x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m}, x] && EqQ[d*e - c*f
      , 0] && IGtQ[p, 0]

6875. Int[((a_.) + ArcSech[(c_) + (d_.)*(x_)]*(b_.))^(p_.)*((e_.) + (f_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Simp[-(d^(m + 1)
      )^(-1)   Subst[Int[(a + b*x)^p*Sech[x]*Tanh[x]*(d*e - c*f + f*Sech[x])^m, x], x, ArcSech[c + d*x]], x] /; Free
      Q[{a, b, c, d, e, f}, x] && IGtQ[p, 0] && IntegerQ[m]

6876. Int[((a_.) + ArcCsch[(c_) + (d_.)*(x_)]*(b_.))^(p_.)*((e_.) + (f_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Simp[-(d^(m + 1)
      )^(-1)   Subst[Int[(a + b*x)^p*Csch[x]*Coth[x]*(d*e - c*f + f*Csch[x])^m, x], x, ArcCsch[c + d*x]], x] /; Free
      Q[{a, b, c, d, e, f}, x] && IGtQ[p, 0] && IntegerQ[m]

6877. Int[((a_.) + ArcSech[(c_) + (d_.)*(x_)]*(b_.))^(p_.)*((e_.) + (f_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Simp[1/d   Subst
      [Int[((d*e - c*f)/d + f*(x/d))^m*(a + b*ArcSech[x])^p, x], x, c + d*x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m}, x]
      && IGtQ[p, 0]

6878. Int[((a_.) + ArcCsch[(c_) + (d_.)*(x_)]*(b_.))^(p_.)*((e_.) + (f_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Simp[1/d   Subst
      [Int[((d*e - c*f)/d + f*(x/d))^m*(a + b*ArcCsch[x])^p, x], x, c + d*x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m}, x]
      && IGtQ[p, 0]

6879. Int[((a_.) + ArcSech[(c_) + (d_.)*(x_)]*(b_.))^(p_)*((e_.) + (f_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Unintegrable[(e +
      f*x)^m*(a + b*ArcSech[c + d*x])^p, x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m, p}, x] &&  !IGtQ[p, 0]

6880. Int[((a_.) + ArcCsch[(c_) + (d_.)*(x_)]*(b_.))^(p_)*((e_.) + (f_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Unintegrable[(e +
      f*x)^m*(a + b*ArcCsch[c + d*x])^p, x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m, p}, x] &&  !IGtQ[p, 0]

6881. Int[ArcSech[(c_.)/((a_.) + (b_.)*(x_)^(n_.))]^(m_.)*(u_.), x_Symbol] :> Int[u*ArcCosh[a/c + b*(x^n/c)]^m, x] /
      ; FreeQ[{a, b, c, n, m}, x]

6882. Int[ArcCsch[(c_.)/((a_.) + (b_.)*(x_)^(n_.))]^(m_.)*(u_.), x_Symbol] :> Int[u*ArcSinh[a/c + b*(x^n/c)]^m, x] /
      ; FreeQ[{a, b, c, n, m}, x]

6883. Int[E^ArcSech[(a_.)*(x_)], x_Symbol] :> Simp[x*E^ArcSech[a*x], x] + (Simp[Log[x]/a, x] + Simp[1/a   Int[(1/(x*
      (1 - a*x)))*Sqrt[(1 - a*x)/(1 + a*x)], x], x]) /; FreeQ[a, x]

6884. Int[E^ArcSech[(a_.)*(x_)^(p_)], x_Symbol] :> Simp[x*E^ArcSech[a*x^p], x] + (Simp[p/a   Int[1/x^p, x], x] + Sim
      p[p*(Sqrt[1 + a*x^p]/a)*Sqrt[1/(1 + a*x^p)]   Int[1/(x^p*Sqrt[1 + a*x^p]*Sqrt[1 - a*x^p]), x], x]) /; FreeQ[{a
      , p}, x]

6885. Int[E^ArcCsch[(a_.)*(x_)^(p_.)], x_Symbol] :> Simp[1/a   Int[1/x^p, x], x] + Int[Sqrt[1 + 1/(a^2*x^(2*p))], x]
      /; FreeQ[{a, p}, x]

6886. Int[E^(ArcSech[u_]*(n_.)), x_Symbol] :> Int[(1/u + Sqrt[(1 - u)/(1 + u)] + (1/u)*Sqrt[(1 - u)/(1 + u)])^n, x]
      /; IntegerQ[n]

6887. Int[E^(ArcCsch[u_]*(n_.)), x_Symbol] :> Int[(1/u + Sqrt[1 + 1/u^2])^n, x] /; IntegerQ[n]

6888. Int[E^ArcSech[(a_.)*(x_)^(p_.)]/(x_), x_Symbol] :> -Simp[(a*p*x^p)^(-1), x] + Simp[(Sqrt[1 + a*x^p]/a)*Sqrt[1/
      (1 + a*x^p)]   Int[Sqrt[1 + a*x^p]*(Sqrt[1 - a*x^p]/x^(p + 1)), x], x] /; FreeQ[{a, p}, x]

6889. Int[E^ArcSech[(a_.)*(x_)^(p_.)]*(x_)^(m_.), x_Symbol] :> Simp[x^(m + 1)*(E^ArcSech[a*x^p]/(m + 1)), x] + (Simp
      [p/(a*(m + 1))   Int[x^(m - p), x], x] + Simp[p*(Sqrt[1 + a*x^p]/(a*(m + 1)))*Sqrt[1/(1 + a*x^p)]   Int[x^(m -
      p)/(Sqrt[1 + a*x^p]*Sqrt[1 - a*x^p]), x], x]) /; FreeQ[{a, m, p}, x] && NeQ[m, -1]

6890. Int[E^ArcCsch[(a_.)*(x_)^(p_.)]*(x_)^(m_.), x_Symbol] :> Simp[1/a   Int[x^(m - p), x], x] + Int[x^m*Sqrt[1 + 1
      /(a^2*x^(2*p))], x] /; FreeQ[{a, m, p}, x]

6891. Int[E^(ArcSech[u_]*(n_.))*(x_)^(m_.), x_Symbol] :> Int[x^m*(1/u + Sqrt[(1 - u)/(1 + u)] + (1/u)*Sqrt[(1 - u)/(
      1 + u)])^n, x] /; FreeQ[m, x] && IntegerQ[n]

6892. Int[E^(ArcCsch[u_]*(n_.))*(x_)^(m_.), x_Symbol] :> Int[x^m*(1/u + Sqrt[1 + 1/u^2])^n, x] /; FreeQ[m, x] && Int
      egerQ[n]

6893. Int[E^ArcSech[(c_.)*(x_)]/((a_) + (b_.)*(x_)^2), x_Symbol] :> Simp[1/(a*c)   Int[Sqrt[1/(1 + c*x)]/(x*Sqrt[1 -
      c*x]), x], x] + Simp[1/c   Int[1/(x*(a + b*x^2)), x], x] /; FreeQ[{a, b, c}, x] && EqQ[b + a*c^2, 0]

6894. Int[E^ArcCsch[(c_.)*(x_)]/((a_) + (b_.)*(x_)^2), x_Symbol] :> Simp[1/(a*c^2)   Int[1/(x^2*Sqrt[1 + 1/(c^2*x^2)
      ]), x], x] + Simp[1/c   Int[1/(x*(a + b*x^2)), x], x] /; FreeQ[{a, b, c}, x] && EqQ[b - a*c^2, 0]

6895. Int[(E^ArcSech[(c_.)*(x_)]*((d_.)*(x_))^(m_.))/((a_) + (b_.)*(x_)^2), x_Symbol] :> Simp[d/(a*c)   Int[(d*x)^(m
      - 1)*(Sqrt[1/(1 + c*x)]/Sqrt[1 - c*x]), x], x] + Simp[d/c   Int[(d*x)^(m - 1)/(a + b*x^2), x], x] /; FreeQ[{a
      , b, c, d, m}, x] && EqQ[b + a*c^2, 0]

6896. Int[(E^ArcCsch[(c_.)*(x_)]*((d_.)*(x_))^(m_.))/((a_) + (b_.)*(x_)^2), x_Symbol] :> Simp[d^2/(a*c^2)   Int[(d*x
      )^(m - 2)/Sqrt[1 + 1/(c^2*x^2)], x], x] + Simp[d/c   Int[(d*x)^(m - 1)/(a + b*x^2), x], x] /; FreeQ[{a, b, c,
      d, m}, x] && EqQ[b - a*c^2, 0]

6897. Int[ArcSech[u_], x_Symbol] :> Simp[x*ArcSech[u], x] + Simp[Sqrt[1 - u^2]/(u*Sqrt[-1 + 1/u]*Sqrt[1 + 1/u])   In
      t[SimplifyIntegrand[x*(D[u, x]/(u*Sqrt[1 - u^2])), x], x], x] /; InverseFunctionFreeQ[u, x] &&  !FunctionOfExp
      onentialQ[u, x]

6898. Int[ArcCsch[u_], x_Symbol] :> Simp[x*ArcCsch[u], x] - Simp[u/Sqrt[-u^2]   Int[SimplifyIntegrand[x*(D[u, x]/(u*
      Sqrt[-1 - u^2])), x], x], x] /; InverseFunctionFreeQ[u, x] &&  !FunctionOfExponentialQ[u, x]

6899. Int[((a_.) + ArcSech[u_]*(b_.))*((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Simp[(c + d*x)^(m + 1)*((a + b*ArcSec
      h[u])/(d*(m + 1))), x] + Simp[b*(Sqrt[1 - u^2]/(d*(m + 1)*u*Sqrt[-1 + 1/u]*Sqrt[1 + 1/u]))   Int[SimplifyInteg
      rand[(c + d*x)^(m + 1)*(D[u, x]/(u*Sqrt[1 - u^2])), x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, m}, x] && NeQ[m, -1] && I
      nverseFunctionFreeQ[u, x] &&  !FunctionOfQ[(c + d*x)^(m + 1), u, x] &&  !FunctionOfExponentialQ[u, x]

6900. Int[((a_.) + ArcCsch[u_]*(b_.))*((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Simp[(c + d*x)^(m + 1)*((a + b*ArcCsc
      h[u])/(d*(m + 1))), x] - Simp[b*(u/(d*(m + 1)*Sqrt[-u^2]))   Int[SimplifyIntegrand[(c + d*x)^(m + 1)*(D[u, x]/
      (u*Sqrt[-1 - u^2])), x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, m}, x] && NeQ[m, -1] && InverseFunctionFreeQ[u, x] &&  !
      FunctionOfQ[(c + d*x)^(m + 1), u, x] &&  !FunctionOfExponentialQ[u, x]

6901. Int[((a_.) + ArcSech[u_]*(b_.))*(v_), x_Symbol] :> With[{w = IntHide[v, x]}, Simp[(a + b*ArcSech[u])   w, x] +
      Simp[b*(Sqrt[1 - u^2]/(u*Sqrt[-1 + 1/u]*Sqrt[1 + 1/u]))   Int[SimplifyIntegrand[w*(D[u, x]/(u*Sqrt[1 - u^2]))
      , x], x], x] /; InverseFunctionFreeQ[w, x]] /; FreeQ[{a, b}, x] && InverseFunctionFreeQ[u, x] &&  !MatchQ[v, (
      (c_.) + (d_.)*x)^(m_.) /; FreeQ[{c, d, m}, x]]

6902. Int[((a_.) + ArcCsch[u_]*(b_.))*(v_), x_Symbol] :> With[{w = IntHide[v, x]}, Simp[(a + b*ArcCsch[u])   w, x] -
      Simp[b*(u/Sqrt[-u^2])   Int[SimplifyIntegrand[w*(D[u, x]/(u*Sqrt[-1 - u^2])), x], x], x] /; InverseFunctionFr
      eeQ[w, x]] /; FreeQ[{a, b}, x] && InverseFunctionFreeQ[u, x] &&  !MatchQ[v, ((c_.) + (d_.)*x)^(m_.) /; FreeQ[{
      c, d, m}, x]]

6903. Int[Erf[(a_.) + (b_.)*(x_)], x_Symbol] :> Simp[(a + b*x)*(Erf[a + b*x]/b), x] + Simp[1/(b*Sqrt[Pi]*E^(a + b*x)
      ^2), x] /; FreeQ[{a, b}, x]

6904. Int[Erfc[(a_.) + (b_.)*(x_)], x_Symbol] :> Simp[(a + b*x)*(Erfc[a + b*x]/b), x] - Simp[1/(b*Sqrt[Pi]*E^(a + b*
      x)^2), x] /; FreeQ[{a, b}, x]

6905. Int[Erfi[(a_.) + (b_.)*(x_)], x_Symbol] :> Simp[(a + b*x)*(Erfi[a + b*x]/b), x] - Simp[E^(a + b*x)^2/(b*Sqrt[P
      i]), x] /; FreeQ[{a, b}, x]

6906. Int[Erf[(a_.) + (b_.)*(x_)]^2, x_Symbol] :> Simp[(a + b*x)*(Erf[a + b*x]^2/b), x] - Simp[4/Sqrt[Pi]   Int[(a +
      b*x)*(Erf[a + b*x]/E^(a + b*x)^2), x], x] /; FreeQ[{a, b}, x]

6907. Int[Erfc[(a_.) + (b_.)*(x_)]^2, x_Symbol] :> Simp[(a + b*x)*(Erfc[a + b*x]^2/b), x] + Simp[4/Sqrt[Pi]   Int[(a
      + b*x)*(Erfc[a + b*x]/E^(a + b*x)^2), x], x] /; FreeQ[{a, b}, x]

6908. Int[Erfi[(a_.) + (b_.)*(x_)]^2, x_Symbol] :> Simp[(a + b*x)*(Erfi[a + b*x]^2/b), x] - Simp[4/Sqrt[Pi]   Int[(a
      + b*x)*E^(a + b*x)^2*Erfi[a + b*x], x], x] /; FreeQ[{a, b}, x]

6909. Int[Erf[(a_.) + (b_.)*(x_)]^(n_), x_Symbol] :> Unintegrable[Erf[a + b*x]^n, x] /; FreeQ[{a, b, n}, x] && NeQ[n
      , 1] && NeQ[n, 2]

6910. Int[Erfc[(a_.) + (b_.)*(x_)]^(n_), x_Symbol] :> Unintegrable[Erfc[a + b*x]^n, x] /; FreeQ[{a, b, n}, x] && NeQ
      [n, 1] && NeQ[n, 2]

6911. Int[Erfi[(a_.) + (b_.)*(x_)]^(n_), x_Symbol] :> Unintegrable[Erfi[a + b*x]^n, x] /; FreeQ[{a, b, n}, x] && NeQ
      [n, 1] && NeQ[n, 2]

6912. Int[Erf[(b_.)*(x_)]/(x_), x_Symbol] :> Simp[2*b*(x/Sqrt[Pi])*HypergeometricPFQ[{1/2, 1/2}, {3/2, 3/2}, (-b^2)*
      x^2], x] /; FreeQ[b, x]

6913. Int[Erfc[(b_.)*(x_)]/(x_), x_Symbol] :> Simp[Log[x], x] - Int[Erf[b*x]/x, x] /; FreeQ[b, x]

6914. Int[Erfi[(b_.)*(x_)]/(x_), x_Symbol] :> Simp[2*b*(x/Sqrt[Pi])*HypergeometricPFQ[{1/2, 1/2}, {3/2, 3/2}, b^2*x^
      2], x] /; FreeQ[b, x]

6915. Int[Erf[(a_.) + (b_.)*(x_)]*((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Simp[(c + d*x)^(m + 1)*(Erf[a + b*x]/(d*(
      m + 1))), x] - Simp[2*(b/(Sqrt[Pi]*d*(m + 1)))   Int[(c + d*x)^(m + 1)/E^(a + b*x)^2, x], x] /; FreeQ[{a, b, c
      , d, m}, x] && NeQ[m, -1]

6916. Int[Erfc[(a_.) + (b_.)*(x_)]*((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Simp[(c + d*x)^(m + 1)*(Erfc[a + b*x]/(d
      *(m + 1))), x] + Simp[2*(b/(Sqrt[Pi]*d*(m + 1)))   Int[(c + d*x)^(m + 1)/E^(a + b*x)^2, x], x] /; FreeQ[{a, b,
      c, d, m}, x] && NeQ[m, -1]

6917. Int[Erfi[(a_.) + (b_.)*(x_)]*((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Simp[(c + d*x)^(m + 1)*(Erfi[a + b*x]/(d
      *(m + 1))), x] - Simp[2*(b/(Sqrt[Pi]*d*(m + 1)))   Int[(c + d*x)^(m + 1)*E^(a + b*x)^2, x], x] /; FreeQ[{a, b,
      c, d, m}, x] && NeQ[m, -1]

6918. Int[Erf[(b_.)*(x_)]^2*(x_)^(m_.), x_Symbol] :> Simp[x^(m + 1)*(Erf[b*x]^2/(m + 1)), x] - Simp[4*(b/(Sqrt[Pi]*(
      m + 1)))   Int[(x^(m + 1)*Erf[b*x])/E^(b^2*x^2), x], x] /; FreeQ[b, x] && (IGtQ[m, 0] || ILtQ[(m + 1)/2, 0])

6919. Int[Erfc[(b_.)*(x_)]^2*(x_)^(m_.), x_Symbol] :> Simp[x^(m + 1)*(Erfc[b*x]^2/(m + 1)), x] + Simp[4*(b/(Sqrt[Pi]
      *(m + 1)))   Int[(x^(m + 1)*Erfc[b*x])/E^(b^2*x^2), x], x] /; FreeQ[b, x] && (IGtQ[m, 0] || ILtQ[(m + 1)/2, 0]
      )

6920. Int[Erfi[(b_.)*(x_)]^2*(x_)^(m_.), x_Symbol] :> Simp[x^(m + 1)*(Erfi[b*x]^2/(m + 1)), x] - Simp[4*(b/(Sqrt[Pi]
      *(m + 1)))   Int[x^(m + 1)*E^(b^2*x^2)*Erfi[b*x], x], x] /; FreeQ[b, x] && (IGtQ[m, 0] || ILtQ[(m + 1)/2, 0])

6921. Int[Erf[(a_) + (b_.)*(x_)]^2*((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Simp[1/b^(m + 1)   Subst[Int[ExpandInteg
      rand[Erf[x]^2, (b*c - a*d + d*x)^m, x], x], x, a + b*x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && IGtQ[m, 0]

6922. Int[Erfc[(a_) + (b_.)*(x_)]^2*((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Simp[1/b^(m + 1)   Subst[Int[ExpandInte
      grand[Erfc[x]^2, (b*c - a*d + d*x)^m, x], x], x, a + b*x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && IGtQ[m, 0]

6923. Int[Erfi[(a_) + (b_.)*(x_)]^2*((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Simp[1/b^(m + 1)   Subst[Int[ExpandInte
      grand[Erfi[x]^2, (b*c - a*d + d*x)^m, x], x], x, a + b*x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && IGtQ[m, 0]

6924. Int[Erf[(a_.) + (b_.)*(x_)]^(n_.)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Unintegrable[(c + d*x)^m*Erf[a + b*
      x]^n, x] /; FreeQ[{a, b, c, d, m, n}, x]

6925. Int[Erfc[(a_.) + (b_.)*(x_)]^(n_.)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Unintegrable[(c + d*x)^m*Erfc[a +
      b*x]^n, x] /; FreeQ[{a, b, c, d, m, n}, x]

6926. Int[Erfi[(a_.) + (b_.)*(x_)]^(n_.)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Unintegrable[(c + d*x)^m*Erfi[a +
      b*x]^n, x] /; FreeQ[{a, b, c, d, m, n}, x]

6927. Int[E^((c_.) + (d_.)*(x_)^2)*Erf[(b_.)*(x_)]^(n_.), x_Symbol] :> Simp[E^c*(Sqrt[Pi]/(2*b))   Subst[Int[x^n, x]
      , x, Erf[b*x]], x] /; FreeQ[{b, c, d, n}, x] && EqQ[d, -b^2]

6928. Int[E^((c_.) + (d_.)*(x_)^2)*Erfc[(b_.)*(x_)]^(n_.), x_Symbol] :> Simp[(-E^c)*(Sqrt[Pi]/(2*b))   Subst[Int[x^n
      , x], x, Erfc[b*x]], x] /; FreeQ[{b, c, d, n}, x] && EqQ[d, -b^2]

6929. Int[E^((c_.) + (d_.)*(x_)^2)*Erfi[(b_.)*(x_)]^(n_.), x_Symbol] :> Simp[E^c*(Sqrt[Pi]/(2*b))   Subst[Int[x^n, x
      ], x, Erfi[b*x]], x] /; FreeQ[{b, c, d, n}, x] && EqQ[d, b^2]

6930. Int[E^((c_.) + (d_.)*(x_)^2)*Erf[(b_.)*(x_)], x_Symbol] :> Simp[b*E^c*(x^2/Sqrt[Pi])*HypergeometricPFQ[{1, 1},
      {3/2, 2}, b^2*x^2], x] /; FreeQ[{b, c, d}, x] && EqQ[d, b^2]

6931. Int[E^((c_.) + (d_.)*(x_)^2)*Erfc[(b_.)*(x_)], x_Symbol] :> Int[E^(c + d*x^2), x] - Int[E^(c + d*x^2)*Erf[b*x]
      , x] /; FreeQ[{b, c, d}, x] && EqQ[d, b^2]

6932. Int[E^((c_.) + (d_.)*(x_)^2)*Erfi[(b_.)*(x_)], x_Symbol] :> Simp[b*E^c*(x^2/Sqrt[Pi])*HypergeometricPFQ[{1, 1}
      , {3/2, 2}, (-b^2)*x^2], x] /; FreeQ[{b, c, d}, x] && EqQ[d, -b^2]

6933. Int[E^((c_.) + (d_.)*(x_)^2)*Erf[(a_.) + (b_.)*(x_)]^(n_.), x_Symbol] :> Unintegrable[E^(c + d*x^2)*Erf[a + b*
      x]^n, x] /; FreeQ[{a, b, c, d, n}, x]

6934. Int[E^((c_.) + (d_.)*(x_)^2)*Erfc[(a_.) + (b_.)*(x_)]^(n_.), x_Symbol] :> Unintegrable[E^(c + d*x^2)*Erfc[a +
      b*x]^n, x] /; FreeQ[{a, b, c, d, n}, x]

6935. Int[E^((c_.) + (d_.)*(x_)^2)*Erfi[(a_.) + (b_.)*(x_)]^(n_.), x_Symbol] :> Unintegrable[E^(c + d*x^2)*Erfi[a +
      b*x]^n, x] /; FreeQ[{a, b, c, d, n}, x]

6936. Int[E^((c_.) + (d_.)*(x_)^2)*Erf[(a_.) + (b_.)*(x_)]*(x_), x_Symbol] :> Simp[E^(c + d*x^2)*(Erf[a + b*x]/(2*d)
      ), x] - Simp[b/(d*Sqrt[Pi])   Int[E^(-a^2 + c - 2*a*b*x - (b^2 - d)*x^2), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x]

6937. Int[E^((c_.) + (d_.)*(x_)^2)*Erfc[(a_.) + (b_.)*(x_)]*(x_), x_Symbol] :> Simp[E^(c + d*x^2)*(Erfc[a + b*x]/(2*
      d)), x] + Simp[b/(d*Sqrt[Pi])   Int[E^(-a^2 + c - 2*a*b*x - (b^2 - d)*x^2), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x]

6938. Int[E^((c_.) + (d_.)*(x_)^2)*Erfi[(a_.) + (b_.)*(x_)]*(x_), x_Symbol] :> Simp[E^(c + d*x^2)*(Erfi[a + b*x]/(2*
      d)), x] - Simp[b/(d*Sqrt[Pi])   Int[E^(a^2 + c + 2*a*b*x + (b^2 + d)*x^2), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x]

6939. Int[E^((c_.) + (d_.)*(x_)^2)*Erf[(a_.) + (b_.)*(x_)]*(x_)^(m_), x_Symbol] :> Simp[x^(m - 1)*E^(c + d*x^2)*(Erf
      [a + b*x]/(2*d)), x] + (-Simp[(m - 1)/(2*d)   Int[x^(m - 2)*E^(c + d*x^2)*Erf[a + b*x], x], x] - Simp[b/(d*Sqr
      t[Pi])   Int[x^(m - 1)*E^(-a^2 + c - 2*a*b*x - (b^2 - d)*x^2), x], x]) /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && IGtQ[m, 1]

6940. Int[E^((c_.) + (d_.)*(x_)^2)*Erfc[(a_.) + (b_.)*(x_)]*(x_)^(m_), x_Symbol] :> Simp[x^(m - 1)*E^(c + d*x^2)*(Er
      fc[a + b*x]/(2*d)), x] + (-Simp[(m - 1)/(2*d)   Int[x^(m - 2)*E^(c + d*x^2)*Erfc[a + b*x], x], x] + Simp[b/(d*
      Sqrt[Pi])   Int[x^(m - 1)*E^(-a^2 + c - 2*a*b*x - (b^2 - d)*x^2), x], x]) /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && IGtQ[m,
      1]

6941. Int[E^((c_.) + (d_.)*(x_)^2)*Erfi[(a_.) + (b_.)*(x_)]*(x_)^(m_), x_Symbol] :> Simp[x^(m - 1)*E^(c + d*x^2)*(Er
      fi[a + b*x]/(2*d)), x] + (-Simp[(m - 1)/(2*d)   Int[x^(m - 2)*E^(c + d*x^2)*Erfi[a + b*x], x], x] - Simp[b/(d*
      Sqrt[Pi])   Int[x^(m - 1)*E^(a^2 + c + 2*a*b*x + (b^2 + d)*x^2), x], x]) /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && IGtQ[m,
      1]

6942. Int[(E^((c_.) + (d_.)*(x_)^2)*Erf[(b_.)*(x_)])/(x_), x_Symbol] :> Simp[2*b*E^c*(x/Sqrt[Pi])*HypergeometricPFQ[
      {1/2, 1}, {3/2, 3/2}, b^2*x^2], x] /; FreeQ[{b, c, d}, x] && EqQ[d, b^2]

6943. Int[(E^((c_.) + (d_.)*(x_)^2)*Erfc[(b_.)*(x_)])/(x_), x_Symbol] :> Int[E^(c + d*x^2)/x, x] - Int[E^(c + d*x^2)
      *(Erf[b*x]/x), x] /; FreeQ[{b, c, d}, x] && EqQ[d, b^2]

6944. Int[(E^((c_.) + (d_.)*(x_)^2)*Erfi[(b_.)*(x_)])/(x_), x_Symbol] :> Simp[2*b*E^c*(x/Sqrt[Pi])*HypergeometricPFQ
      [{1/2, 1}, {3/2, 3/2}, (-b^2)*x^2], x] /; FreeQ[{b, c, d}, x] && EqQ[d, -b^2]

6945. Int[E^((c_.) + (d_.)*(x_)^2)*Erf[(a_.) + (b_.)*(x_)]*(x_)^(m_), x_Symbol] :> Simp[x^(m + 1)*E^(c + d*x^2)*(Erf
      [a + b*x]/(m + 1)), x] + (-Simp[2*(d/(m + 1))   Int[x^(m + 2)*E^(c + d*x^2)*Erf[a + b*x], x], x] - Simp[2*(b/(
      (m + 1)*Sqrt[Pi]))   Int[x^(m + 1)*E^(-a^2 + c - 2*a*b*x - (b^2 - d)*x^2), x], x]) /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] &
      & ILtQ[m, -1]

6946. Int[E^((c_.) + (d_.)*(x_)^2)*Erfc[(a_.) + (b_.)*(x_)]*(x_)^(m_), x_Symbol] :> Simp[x^(m + 1)*E^(c + d*x^2)*(Er
      fc[a + b*x]/(m + 1)), x] + (-Simp[2*(d/(m + 1))   Int[x^(m + 2)*E^(c + d*x^2)*Erfc[a + b*x], x], x] + Simp[2*(
      b/((m + 1)*Sqrt[Pi]))   Int[x^(m + 1)*E^(-a^2 + c - 2*a*b*x - (b^2 - d)*x^2), x], x]) /; FreeQ[{a, b, c, d}, x
      ] && ILtQ[m, -1]

6947. Int[E^((c_.) + (d_.)*(x_)^2)*Erfi[(a_.) + (b_.)*(x_)]*(x_)^(m_), x_Symbol] :> Simp[x^(m + 1)*E^(c + d*x^2)*(Er
      fi[a + b*x]/(m + 1)), x] + (-Simp[2*(d/(m + 1))   Int[x^(m + 2)*E^(c + d*x^2)*Erfi[a + b*x], x], x] - Simp[2*(
      b/((m + 1)*Sqrt[Pi]))   Int[x^(m + 1)*E^(a^2 + c + 2*a*b*x + (b^2 + d)*x^2), x], x]) /; FreeQ[{a, b, c, d}, x]
      && ILtQ[m, -1]

6948. Int[E^((c_.) + (d_.)*(x_)^2)*Erf[(a_.) + (b_.)*(x_)]^(n_.)*((e_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Unintegrable[E^(c
      + d*x^2)*(e*x)^m*Erf[a + b*x]^n, x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, m, n}, x]

6949. Int[E^((c_.) + (d_.)*(x_)^2)*Erfc[(a_.) + (b_.)*(x_)]^(n_.)*((e_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Unintegrable[E^(c
      + d*x^2)*(e*x)^m*Erfc[a + b*x]^n, x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, m, n}, x]

6950. Int[E^((c_.) + (d_.)*(x_)^2)*Erfi[(a_.) + (b_.)*(x_)]^(n_.)*((e_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Unintegrable[E^(c
      + d*x^2)*(e*x)^m*Erfi[a + b*x]^n, x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, m, n}, x]

6951. Int[Erf[((a_.) + Log[(c_.)*(x_)^(n_.)]*(b_.))*(d_.)], x_Symbol] :> Simp[x*Erf[d*(a + b*Log[c*x^n])], x] - Simp
      [2*b*d*(n/Sqrt[Pi])   Int[1/E^(d*(a + b*Log[c*x^n]))^2, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, n}, x]

6952. Int[Erfc[((a_.) + Log[(c_.)*(x_)^(n_.)]*(b_.))*(d_.)], x_Symbol] :> Simp[x*Erfc[d*(a + b*Log[c*x^n])], x] + Si
      mp[2*b*d*(n/Sqrt[Pi])   Int[1/E^(d*(a + b*Log[c*x^n]))^2, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, n}, x]

6953. Int[Erfi[((a_.) + Log[(c_.)*(x_)^(n_.)]*(b_.))*(d_.)], x_Symbol] :> Simp[x*Erfi[d*(a + b*Log[c*x^n])], x] - Si
      mp[2*b*d*(n/Sqrt[Pi])   Int[E^(d*(a + b*Log[c*x^n]))^2, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, n}, x]

6954. Int[(F_)[((a_.) + Log[(c_.)*(x_)^(n_.)]*(b_.))*(d_.)]/(x_), x_Symbol] :> Simp[1/n   Subst[F[d*(a + b*x)], x, L
      og[c*x^n]], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, n}, x] && MemberQ[{Erf, Erfc, Erfi}, F]

6955. Int[Erf[((a_.) + Log[(c_.)*(x_)^(n_.)]*(b_.))*(d_.)]*((e_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Simp[(e*x)^(m + 1)*(Erf[
      d*(a + b*Log[c*x^n])]/(e*(m + 1))), x] - Simp[2*b*d*(n/(Sqrt[Pi]*(m + 1)))   Int[(e*x)^m/E^(d*(a + b*Log[c*x^n
      ]))^2, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, m, n}, x] && NeQ[m, -1]

6956. Int[Erfc[((a_.) + Log[(c_.)*(x_)^(n_.)]*(b_.))*(d_.)]*((e_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Simp[(e*x)^(m + 1)*(Erf
      c[d*(a + b*Log[c*x^n])]/(e*(m + 1))), x] + Simp[2*b*d*(n/(Sqrt[Pi]*(m + 1)))   Int[(e*x)^m/E^(d*(a + b*Log[c*x
      ^n]))^2, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, m, n}, x] && NeQ[m, -1]

6957. Int[Erfi[((a_.) + Log[(c_.)*(x_)^(n_.)]*(b_.))*(d_.)]*((e_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Simp[(e*x)^(m + 1)*(Erf
      i[d*(a + b*Log[c*x^n])]/(e*(m + 1))), x] - Simp[2*b*d*(n/(Sqrt[Pi]*(m + 1)))   Int[(e*x)^m*E^(d*(a + b*Log[c*x
      ^n]))^2, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, m, n}, x] && NeQ[m, -1]

6958. Int[Erf[(b_.)*(x_)]*Sin[(c_.) + (d_.)*(x_)^2], x_Symbol] :> Simp[I/2   Int[E^((-I)*c - I*d*x^2)*Erf[b*x], x],
      x] - Simp[I/2   Int[E^(I*c + I*d*x^2)*Erf[b*x], x], x] /; FreeQ[{b, c, d}, x] && EqQ[d^2, -b^4]

6959. Int[Erfc[(b_.)*(x_)]*Sin[(c_.) + (d_.)*(x_)^2], x_Symbol] :> Simp[I/2   Int[E^((-I)*c - I*d*x^2)*Erfc[b*x], x]
      , x] - Simp[I/2   Int[E^(I*c + I*d*x^2)*Erfc[b*x], x], x] /; FreeQ[{b, c, d}, x] && EqQ[d^2, -b^4]

6960. Int[Erfi[(b_.)*(x_)]*Sin[(c_.) + (d_.)*(x_)^2], x_Symbol] :> Simp[I/2   Int[E^((-I)*c - I*d*x^2)*Erfi[b*x], x]
      , x] - Simp[I/2   Int[E^(I*c + I*d*x^2)*Erfi[b*x], x], x] /; FreeQ[{b, c, d}, x] && EqQ[d^2, -b^4]

6961. Int[Cos[(c_.) + (d_.)*(x_)^2]*Erf[(b_.)*(x_)], x_Symbol] :> Simp[1/2   Int[E^((-I)*c - I*d*x^2)*Erf[b*x], x],
      x] + Simp[1/2   Int[E^(I*c + I*d*x^2)*Erf[b*x], x], x] /; FreeQ[{b, c, d}, x] && EqQ[d^2, -b^4]

6962. Int[Cos[(c_.) + (d_.)*(x_)^2]*Erfc[(b_.)*(x_)], x_Symbol] :> Simp[1/2   Int[E^((-I)*c - I*d*x^2)*Erfc[b*x], x]
      , x] + Simp[1/2   Int[E^(I*c + I*d*x^2)*Erfc[b*x], x], x] /; FreeQ[{b, c, d}, x] && EqQ[d^2, -b^4]

6963. Int[Cos[(c_.) + (d_.)*(x_)^2]*Erfi[(b_.)*(x_)], x_Symbol] :> Simp[1/2   Int[E^((-I)*c - I*d*x^2)*Erfi[b*x], x]
      , x] + Simp[1/2   Int[E^(I*c + I*d*x^2)*Erfi[b*x], x], x] /; FreeQ[{b, c, d}, x] && EqQ[d^2, -b^4]

6964. Int[Erf[(b_.)*(x_)]*Sinh[(c_.) + (d_.)*(x_)^2], x_Symbol] :> Simp[1/2   Int[E^(c + d*x^2)*Erf[b*x], x], x] - S
      imp[1/2   Int[E^(-c - d*x^2)*Erf[b*x], x], x] /; FreeQ[{b, c, d}, x] && EqQ[d^2, b^4]

6965. Int[Erfc[(b_.)*(x_)]*Sinh[(c_.) + (d_.)*(x_)^2], x_Symbol] :> Simp[1/2   Int[E^(c + d*x^2)*Erfc[b*x], x], x] -
      Simp[1/2   Int[E^(-c - d*x^2)*Erfc[b*x], x], x] /; FreeQ[{b, c, d}, x] && EqQ[d^2, b^4]

6966. Int[Erfi[(b_.)*(x_)]*Sinh[(c_.) + (d_.)*(x_)^2], x_Symbol] :> Simp[1/2   Int[E^(c + d*x^2)*Erfi[b*x], x], x] -
      Simp[1/2   Int[E^(-c - d*x^2)*Erfi[b*x], x], x] /; FreeQ[{b, c, d}, x] && EqQ[d^2, b^4]

6967. Int[Cosh[(c_.) + (d_.)*(x_)^2]*Erf[(b_.)*(x_)], x_Symbol] :> Simp[1/2   Int[E^(c + d*x^2)*Erf[b*x], x], x] + S
      imp[1/2   Int[E^(-c - d*x^2)*Erf[b*x], x], x] /; FreeQ[{b, c, d}, x] && EqQ[d^2, b^4]

6968. Int[Cosh[(c_.) + (d_.)*(x_)^2]*Erfc[(b_.)*(x_)], x_Symbol] :> Simp[1/2   Int[E^(c + d*x^2)*Erfc[b*x], x], x] +
      Simp[1/2   Int[E^(-c - d*x^2)*Erfc[b*x], x], x] /; FreeQ[{b, c, d}, x] && EqQ[d^2, b^4]

6969. Int[Cosh[(c_.) + (d_.)*(x_)^2]*Erfi[(b_.)*(x_)], x_Symbol] :> Simp[1/2   Int[E^(c + d*x^2)*Erfi[b*x], x], x] +
      Simp[1/2   Int[E^(-c - d*x^2)*Erfi[b*x], x], x] /; FreeQ[{b, c, d}, x] && EqQ[d^2, b^4]

6970. Int[(F_)[((a_.) + Log[(c_.)*((d_) + (e_.)*(x_))^(n_.)]*(b_.))*(f_.)], x_Symbol] :> Simp[1/e   Subst[Int[F[f*(a
      + b*Log[c*x^n])], x], x, d + e*x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, n}, x] && MemberQ[{Erf, Erfc, Erfi, Fresnel
      S, FresnelC, ExpIntegralEi, SinIntegral, CosIntegral, SinhIntegral, CoshIntegral}, F]

6971. Int[((g_) + (h_.)*(x_))^(m_.)*(F_)[((a_.) + Log[(c_.)*((d_) + (e_.)*(x_))^(n_.)]*(b_.))*(f_.)], x_Symbol] :> S
      imp[1/e   Subst[Int[(g*(x/d))^m*F[f*(a + b*Log[c*x^n])], x], x, d + e*x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, m,
      n}, x] && EqQ[e*f - d*g, 0] && MemberQ[{Erf, Erfc, Erfi, FresnelS, FresnelC, ExpIntegralEi, SinIntegral, CosI
      ntegral, SinhIntegral, CoshIntegral}, F]

6972. Int[FresnelS[(a_.) + (b_.)*(x_)], x_Symbol] :> Simp[(a + b*x)*(FresnelS[a + b*x]/b), x] + Simp[Cos[(Pi/2)*(a +
      b*x)^2]/(b*Pi), x] /; FreeQ[{a, b}, x]

6973. Int[FresnelC[(a_.) + (b_.)*(x_)], x_Symbol] :> Simp[(a + b*x)*(FresnelC[a + b*x]/b), x] - Simp[Sin[(Pi/2)*(a +
      b*x)^2]/(b*Pi), x] /; FreeQ[{a, b}, x]

6974. Int[FresnelS[(a_.) + (b_.)*(x_)]^2, x_Symbol] :> Simp[(a + b*x)*(FresnelS[a + b*x]^2/b), x] - Simp[2   Int[(a
      + b*x)*Sin[(Pi/2)*(a + b*x)^2]*FresnelS[a + b*x], x], x] /; FreeQ[{a, b}, x]

6975. Int[FresnelC[(a_.) + (b_.)*(x_)]^2, x_Symbol] :> Simp[(a + b*x)*(FresnelC[a + b*x]^2/b), x] - Simp[2   Int[(a
      + b*x)*Cos[(Pi/2)*(a + b*x)^2]*FresnelC[a + b*x], x], x] /; FreeQ[{a, b}, x]

6976. Int[FresnelS[(a_.) + (b_.)*(x_)]^(n_), x_Symbol] :> Unintegrable[FresnelS[a + b*x]^n, x] /; FreeQ[{a, b, n}, x
      ] && NeQ[n, 1] && NeQ[n, 2]

6977. Int[FresnelC[(a_.) + (b_.)*(x_)]^(n_), x_Symbol] :> Unintegrable[FresnelC[a + b*x]^n, x] /; FreeQ[{a, b, n}, x
      ] && NeQ[n, 1] && NeQ[n, 2]

6978. Int[FresnelS[(b_.)*(x_)]/(x_), x_Symbol] :> Simp[(1 + I)/4   Int[Erf[(Sqrt[Pi]/2)*(1 + I)*b*x]/x, x], x] + Sim
      p[(1 - I)/4   Int[Erf[(Sqrt[Pi]/2)*(1 - I)*b*x]/x, x], x] /; FreeQ[b, x]

6979. Int[FresnelC[(b_.)*(x_)]/(x_), x_Symbol] :> Simp[(1 - I)/4   Int[Erf[(Sqrt[Pi]/2)*(1 + I)*b*x]/x, x], x] + Sim
      p[(1 + I)/4   Int[Erf[(Sqrt[Pi]/2)*(1 - I)*b*x]/x, x], x] /; FreeQ[b, x]

6980. Int[FresnelS[(b_.)*(x_)]*((d_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Simp[(d*x)^(m + 1)*(FresnelS[b*x]/(d*(m + 1))), x] -
      Simp[b/(d*(m + 1))   Int[(d*x)^(m + 1)*Sin[(Pi/2)*b^2*x^2], x], x] /; FreeQ[{b, d, m}, x] && NeQ[m, -1]

6981. Int[FresnelC[(b_.)*(x_)]*((d_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Simp[(d*x)^(m + 1)*(FresnelC[b*x]/(d*(m + 1))), x] -
      Simp[b/(d*(m + 1))   Int[(d*x)^(m + 1)*Cos[(Pi/2)*b^2*x^2], x], x] /; FreeQ[{b, d, m}, x] && NeQ[m, -1]

6982. Int[FresnelS[(a_.) + (b_.)*(x_)]*((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Simp[(c + d*x)^(m + 1)*(FresnelS[a +
      b*x]/(d*(m + 1))), x] - Simp[b/(d*(m + 1))   Int[(c + d*x)^(m + 1)*Sin[(Pi/2)*(a + b*x)^2], x], x] /; FreeQ[{
      a, b, c, d}, x] && IGtQ[m, 0]

6983. Int[FresnelC[(a_.) + (b_.)*(x_)]*((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Simp[(c + d*x)^(m + 1)*(FresnelC[a +
      b*x]/(d*(m + 1))), x] - Simp[b/(d*(m + 1))   Int[(c + d*x)^(m + 1)*Cos[(Pi/2)*(a + b*x)^2], x], x] /; FreeQ[{
      a, b, c, d}, x] && IGtQ[m, 0]

6984. Int[FresnelS[(b_.)*(x_)]^2*(x_)^(m_.), x_Symbol] :> Simp[x^(m + 1)*(FresnelS[b*x]^2/(m + 1)), x] - Simp[2*(b/(
      m + 1))   Int[x^(m + 1)*Sin[(Pi/2)*b^2*x^2]*FresnelS[b*x], x], x] /; FreeQ[b, x] && IntegerQ[m] && NeQ[m, -1]

6985. Int[FresnelC[(b_.)*(x_)]^2*(x_)^(m_.), x_Symbol] :> Simp[x^(m + 1)*(FresnelC[b*x]^2/(m + 1)), x] - Simp[2*(b/(
      m + 1))   Int[x^(m + 1)*Cos[(Pi/2)*b^2*x^2]*FresnelC[b*x], x], x] /; FreeQ[b, x] && IntegerQ[m] && NeQ[m, -1]

6986. Int[FresnelS[(a_) + (b_.)*(x_)]^2*((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Simp[1/b^(m + 1)   Subst[Int[Expand
      Integrand[FresnelS[x]^2, (b*c - a*d + d*x)^m, x], x], x, a + b*x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && IGtQ[m, 0]

6987. Int[FresnelC[(a_) + (b_.)*(x_)]^2*((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Simp[1/b^(m + 1)   Subst[Int[Expand
      Integrand[FresnelC[x]^2, (b*c - a*d + d*x)^m, x], x], x, a + b*x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && IGtQ[m, 0]

6988. Int[FresnelS[(a_.) + (b_.)*(x_)]^(n_.)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Unintegrable[(c + d*x)^m*Fresn
      elS[a + b*x]^n, x] /; FreeQ[{a, b, c, d, m, n}, x]

6989. Int[FresnelC[(a_.) + (b_.)*(x_)]^(n_.)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Unintegrable[(c + d*x)^m*Fresn
      elC[a + b*x]^n, x] /; FreeQ[{a, b, c, d, m, n}, x]

6990. Int[E^((c_.) + (d_.)*(x_)^2)*FresnelS[(b_.)*(x_)], x_Symbol] :> Simp[(1 + I)/4   Int[E^(c + d*x^2)*Erf[(Sqrt[P
      i]/2)*(1 + I)*b*x], x], x] + Simp[(1 - I)/4   Int[E^(c + d*x^2)*Erf[(Sqrt[Pi]/2)*(1 - I)*b*x], x], x] /; FreeQ
      [{b, c, d}, x] && EqQ[d^2, (-Pi^2/4)*b^4]

6991. Int[E^((c_.) + (d_.)*(x_)^2)*FresnelC[(b_.)*(x_)], x_Symbol] :> Simp[(1 - I)/4   Int[E^(c + d*x^2)*Erf[(Sqrt[P
      i]/2)*(1 + I)*b*x], x], x] + Simp[(1 + I)/4   Int[E^(c + d*x^2)*Erf[(Sqrt[Pi]/2)*(1 - I)*b*x], x], x] /; FreeQ
      [{b, c, d}, x] && EqQ[d^2, (-Pi^2/4)*b^4]

6992. Int[E^((c_.) + (d_.)*(x_)^2)*FresnelS[(a_.) + (b_.)*(x_)]^(n_.), x_Symbol] :> Unintegrable[E^(c + d*x^2)*Fresn
      elS[a + b*x]^n, x] /; FreeQ[{a, b, c, d, n}, x]

6993. Int[E^((c_.) + (d_.)*(x_)^2)*FresnelC[(a_.) + (b_.)*(x_)]^(n_.), x_Symbol] :> Unintegrable[E^(c + d*x^2)*Fresn
      elC[a + b*x]^n, x] /; FreeQ[{a, b, c, d, n}, x]

6994. Int[FresnelS[(b_.)*(x_)]^(n_.)*Sin[(d_.)*(x_)^2], x_Symbol] :> Simp[Pi*(b/(2*d))   Subst[Int[x^n, x], x, Fresn
      elS[b*x]], x] /; FreeQ[{b, d, n}, x] && EqQ[d^2, (Pi^2/4)*b^4]

6995. Int[Cos[(d_.)*(x_)^2]*FresnelC[(b_.)*(x_)]^(n_.), x_Symbol] :> Simp[Pi*(b/(2*d))   Subst[Int[x^n, x], x, Fresn
      elC[b*x]], x] /; FreeQ[{b, d, n}, x] && EqQ[d^2, (Pi^2/4)*b^4]

6996. Int[FresnelS[(b_.)*(x_)]*Sin[(c_) + (d_.)*(x_)^2], x_Symbol] :> Simp[Sin[c]   Int[Cos[d*x^2]*FresnelS[b*x], x]
      , x] + Simp[Cos[c]   Int[Sin[d*x^2]*FresnelS[b*x], x], x] /; FreeQ[{b, c, d}, x] && EqQ[d^2, (Pi^2/4)*b^4]

6997. Int[Cos[(c_) + (d_.)*(x_)^2]*FresnelC[(b_.)*(x_)], x_Symbol] :> Simp[Cos[c]   Int[Cos[d*x^2]*FresnelC[b*x], x]
      , x] - Simp[Sin[c]   Int[Sin[d*x^2]*FresnelC[b*x], x], x] /; FreeQ[{b, c, d}, x] && EqQ[d^2, (Pi^2/4)*b^4]

6998. Int[FresnelS[(a_.) + (b_.)*(x_)]^(n_.)*Sin[(c_.) + (d_.)*(x_)^2], x_Symbol] :> Unintegrable[FresnelS[a + b*x]^
      n*Sin[c + d*x^2], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, n}, x]

6999. Int[Cos[(c_.) + (d_.)*(x_)^2]*FresnelC[(a_.) + (b_.)*(x_)]^(n_.), x_Symbol] :> Unintegrable[Cos[c + d*x^2]*Fre
      snelC[a + b*x]^n, x] /; FreeQ[{a, b, c, d, n}, x]

7000. Int[Cos[(d_.)*(x_)^2]*FresnelS[(b_.)*(x_)], x_Symbol] :> Simp[FresnelC[b*x]*(FresnelS[b*x]/(2*b)), x] + (-Simp
      [(1/8)*I*b*x^2*HypergeometricPFQ[{1, 1}, {3/2, 2}, (-2^(-1))*I*b^2*Pi*x^2], x] + Simp[(1/8)*I*b*x^2*Hypergeome
      tricPFQ[{1, 1}, {3/2, 2}, (1/2)*I*b^2*Pi*x^2], x]) /; FreeQ[{b, d}, x] && EqQ[d^2, (Pi^2/4)*b^4]

7001. Int[FresnelC[(b_.)*(x_)]*Sin[(d_.)*(x_)^2], x_Symbol] :> Simp[b*Pi*FresnelC[b*x]*(FresnelS[b*x]/(4*d)), x] + (
      Simp[(1/8)*I*b*x^2*HypergeometricPFQ[{1, 1}, {3/2, 2}, (-I)*d*x^2], x] - Simp[(1/8)*I*b*x^2*HypergeometricPFQ[
      {1, 1}, {3/2, 2}, I*d*x^2], x]) /; FreeQ[{b, d}, x] && EqQ[d^2, (Pi^2/4)*b^4]

7002. Int[Cos[(c_) + (d_.)*(x_)^2]*FresnelS[(b_.)*(x_)], x_Symbol] :> Simp[Cos[c]   Int[Cos[d*x^2]*FresnelS[b*x], x]
      , x] - Simp[Sin[c]   Int[Sin[d*x^2]*FresnelS[b*x], x], x] /; FreeQ[{b, c, d}, x] && EqQ[d^2, (Pi^2/4)*b^4]

7003. Int[FresnelC[(b_.)*(x_)]*Sin[(c_) + (d_.)*(x_)^2], x_Symbol] :> Simp[Sin[c]   Int[Cos[d*x^2]*FresnelC[b*x], x]
      , x] + Simp[Cos[c]   Int[Sin[d*x^2]*FresnelC[b*x], x], x] /; FreeQ[{b, c, d}, x] && EqQ[d^2, (Pi^2/4)*b^4]

7004. Int[Cos[(c_.) + (d_.)*(x_)^2]*FresnelS[(a_.) + (b_.)*(x_)]^(n_.), x_Symbol] :> Unintegrable[Cos[c + d*x^2]*Fre
      snelS[a + b*x]^n, x] /; FreeQ[{a, b, c, d, n}, x]

7005. Int[FresnelC[(a_.) + (b_.)*(x_)]^(n_.)*Sin[(c_.) + (d_.)*(x_)^2], x_Symbol] :> Unintegrable[FresnelC[a + b*x]^
      n*Sin[c + d*x^2], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, n}, x]

7006. Int[FresnelS[(b_.)*(x_)]*(x_)*Sin[(d_.)*(x_)^2], x_Symbol] :> Simp[(-Cos[d*x^2])*(FresnelS[b*x]/(2*d)), x] + S
      imp[1/(2*b*Pi)   Int[Sin[2*d*x^2], x], x] /; FreeQ[{b, d}, x] && EqQ[d^2, (Pi^2/4)*b^4]

7007. Int[Cos[(d_.)*(x_)^2]*FresnelC[(b_.)*(x_)]*(x_), x_Symbol] :> Simp[Sin[d*x^2]*(FresnelC[b*x]/(2*d)), x] - Simp
      [b/(4*d)   Int[Sin[2*d*x^2], x], x] /; FreeQ[{b, d}, x] && EqQ[d^2, (Pi^2/4)*b^4]

7008. Int[FresnelS[(b_.)*(x_)]*(x_)^(m_)*Sin[(d_.)*(x_)^2], x_Symbol] :> Simp[(-x^(m - 1))*Cos[d*x^2]*(FresnelS[b*x]
      /(2*d)), x] + (Simp[(m - 1)/(2*d)   Int[x^(m - 2)*Cos[d*x^2]*FresnelS[b*x], x], x] + Simp[1/(2*b*Pi)   Int[x^(
      m - 1)*Sin[2*d*x^2], x], x]) /; FreeQ[{b, d}, x] && EqQ[d^2, (Pi^2/4)*b^4] && IGtQ[m, 1]

7009. Int[Cos[(d_.)*(x_)^2]*FresnelC[(b_.)*(x_)]*(x_)^(m_), x_Symbol] :> Simp[x^(m - 1)*Sin[d*x^2]*(FresnelC[b*x]/(2
      *d)), x] + (-Simp[(m - 1)/(2*d)   Int[x^(m - 2)*Sin[d*x^2]*FresnelC[b*x], x], x] - Simp[b/(4*d)   Int[x^(m - 1
      )*Sin[2*d*x^2], x], x]) /; FreeQ[{b, d}, x] && EqQ[d^2, (Pi^2/4)*b^4] && IGtQ[m, 1]

7010. Int[FresnelS[(b_.)*(x_)]*(x_)^(m_)*Sin[(d_.)*(x_)^2], x_Symbol] :> Simp[x^(m + 1)*Sin[d*x^2]*(FresnelS[b*x]/(m
      + 1)), x] + (-Simp[d*(x^(m + 2)/(Pi*b*(m + 1)*(m + 2))), x] - Simp[2*(d/(m + 1))   Int[x^(m + 2)*Cos[d*x^2]*F
      resnelS[b*x], x], x] + Simp[d/(Pi*b*(m + 1))   Int[x^(m + 1)*Cos[2*d*x^2], x], x]) /; FreeQ[{b, d}, x] && EqQ[
      d^2, (Pi^2/4)*b^4] && ILtQ[m, -2]

7011. Int[Cos[(d_.)*(x_)^2]*FresnelC[(b_.)*(x_)]*(x_)^(m_), x_Symbol] :> Simp[x^(m + 1)*Cos[d*x^2]*(FresnelC[b*x]/(m
      + 1)), x] + (-Simp[b*(x^(m + 2)/(2*(m + 1)*(m + 2))), x] + Simp[2*(d/(m + 1))   Int[x^(m + 2)*Sin[d*x^2]*Fres
      nelC[b*x], x], x] - Simp[b/(2*(m + 1))   Int[x^(m + 1)*Cos[2*d*x^2], x], x]) /; FreeQ[{b, d}, x] && EqQ[d^2, (
      Pi^2/4)*b^4] && ILtQ[m, -2]

7012. Int[FresnelS[(a_.) + (b_.)*(x_)]^(n_.)*((e_.)*(x_))^(m_.)*Sin[(c_.) + (d_.)*(x_)^2], x_Symbol] :> Unintegrable
      [(e*x)^m*FresnelS[a + b*x]^n*Sin[c + d*x^2], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, m, n}, x]

7013. Int[Cos[(c_.) + (d_.)*(x_)^2]*FresnelC[(a_.) + (b_.)*(x_)]^(n_.)*((e_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Unintegrable
      [(e*x)^m*Cos[c + d*x^2]*FresnelC[a + b*x]^n, x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, m, n}, x]

7014. Int[Cos[(d_.)*(x_)^2]*FresnelS[(b_.)*(x_)]*(x_), x_Symbol] :> Simp[Sin[d*x^2]*(FresnelS[b*x]/(2*d)), x] - Simp
      [1/(Pi*b)   Int[Sin[d*x^2]^2, x], x] /; FreeQ[{b, d}, x] && EqQ[d^2, (Pi^2/4)*b^4]

7015. Int[FresnelC[(b_.)*(x_)]*(x_)*Sin[(d_.)*(x_)^2], x_Symbol] :> Simp[(-Cos[d*x^2])*(FresnelC[b*x]/(2*d)), x] + S
      imp[b/(2*d)   Int[Cos[d*x^2]^2, x], x] /; FreeQ[{b, d}, x] && EqQ[d^2, (Pi^2/4)*b^4]

7016. Int[Cos[(d_.)*(x_)^2]*FresnelS[(b_.)*(x_)]*(x_)^(m_), x_Symbol] :> Simp[x^(m - 1)*Sin[d*x^2]*(FresnelS[b*x]/(2
      *d)), x] + (-Simp[1/(Pi*b)   Int[x^(m - 1)*Sin[d*x^2]^2, x], x] - Simp[(m - 1)/(2*d)   Int[x^(m - 2)*Sin[d*x^2
      ]*FresnelS[b*x], x], x]) /; FreeQ[{b, d}, x] && EqQ[d^2, (Pi^2/4)*b^4] && IGtQ[m, 1]

7017. Int[FresnelC[(b_.)*(x_)]*(x_)^(m_)*Sin[(d_.)*(x_)^2], x_Symbol] :> Simp[(-x^(m - 1))*Cos[d*x^2]*(FresnelC[b*x]
      /(2*d)), x] + (Simp[(m - 1)/(2*d)   Int[x^(m - 2)*Cos[d*x^2]*FresnelC[b*x], x], x] + Simp[b/(2*d)   Int[x^(m -
      1)*Cos[d*x^2]^2, x], x]) /; FreeQ[{b, d}, x] && EqQ[d^2, (Pi^2/4)*b^4] && IGtQ[m, 1]

7018. Int[Cos[(d_.)*(x_)^2]*FresnelS[(b_.)*(x_)]*(x_)^(m_), x_Symbol] :> Simp[x^(m + 1)*Cos[d*x^2]*(FresnelS[b*x]/(m
      + 1)), x] + (Simp[2*(d/(m + 1))   Int[x^(m + 2)*Sin[d*x^2]*FresnelS[b*x], x], x] - Simp[d/(Pi*b*(m + 1))   In
      t[x^(m + 1)*Sin[2*d*x^2], x], x]) /; FreeQ[{b, d}, x] && EqQ[d^2, (Pi^2/4)*b^4] && ILtQ[m, -1]

7019. Int[FresnelC[(b_.)*(x_)]*(x_)^(m_)*Sin[(d_.)*(x_)^2], x_Symbol] :> Simp[x^(m + 1)*Sin[d*x^2]*(FresnelC[b*x]/(m
      + 1)), x] + (-Simp[2*(d/(m + 1))   Int[x^(m + 2)*Cos[d*x^2]*FresnelC[b*x], x], x] - Simp[b/(2*(m + 1))   Int[
      x^(m + 1)*Sin[2*d*x^2], x], x]) /; FreeQ[{b, d}, x] && EqQ[d^2, (Pi^2/4)*b^4] && ILtQ[m, -1]

7020. Int[Cos[(c_.) + (d_.)*(x_)^2]*FresnelS[(a_.) + (b_.)*(x_)]^(n_.)*((e_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Unintegrable
      [(e*x)^m*Cos[c + d*x^2]*FresnelS[a + b*x]^n, x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, m, n}, x]

7021. Int[FresnelC[(a_.) + (b_.)*(x_)]^(n_.)*((e_.)*(x_))^(m_.)*Sin[(c_.) + (d_.)*(x_)^2], x_Symbol] :> Unintegrable
      [(e*x)^m*FresnelC[a + b*x]^n*Sin[c + d*x^2], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, m, n}, x]

7022. Int[FresnelS[((a_.) + Log[(c_.)*(x_)^(n_.)]*(b_.))*(d_.)], x_Symbol] :> Simp[x*FresnelS[d*(a + b*Log[c*x^n])],
      x] - Simp[b*d*n   Int[Sin[(Pi/2)*(d*(a + b*Log[c*x^n]))^2], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, n}, x]

7023. Int[FresnelC[((a_.) + Log[(c_.)*(x_)^(n_.)]*(b_.))*(d_.)], x_Symbol] :> Simp[x*FresnelC[d*(a + b*Log[c*x^n])],
      x] - Simp[b*d*n   Int[Cos[(Pi/2)*(d*(a + b*Log[c*x^n]))^2], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, n}, x]

7024. Int[(F_)[((a_.) + Log[(c_.)*(x_)^(n_.)]*(b_.))*(d_.)]/(x_), x_Symbol] :> Simp[1/n   Subst[F[d*(a + b*x)], x, L
      og[c*x^n]], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, n}, x] && MemberQ[{FresnelS, FresnelC}, F]

7025. Int[FresnelS[((a_.) + Log[(c_.)*(x_)^(n_.)]*(b_.))*(d_.)]*((e_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Simp[(e*x)^(m + 1)*
      (FresnelS[d*(a + b*Log[c*x^n])]/(e*(m + 1))), x] - Simp[b*d*(n/(m + 1))   Int[(e*x)^m*Sin[(Pi/2)*(d*(a + b*Log
      [c*x^n]))^2], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, m, n}, x] && NeQ[m, -1]

7026. Int[FresnelC[((a_.) + Log[(c_.)*(x_)^(n_.)]*(b_.))*(d_.)]*((e_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Simp[(e*x)^(m + 1)*
      (FresnelC[d*(a + b*Log[c*x^n])]/(e*(m + 1))), x] - Simp[b*d*(n/(m + 1))   Int[(e*x)^m*Cos[(Pi/2)*(d*(a + b*Log
      [c*x^n]))^2], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, m, n}, x] && NeQ[m, -1]

7027. Int[ExpIntegralE[n_, (a_.) + (b_.)*(x_)], x_Symbol] :> Simp[-ExpIntegralE[n + 1, a + b*x]/b, x] /; FreeQ[{a, b
      , n}, x]

7028. Int[ExpIntegralE[n_, (b_.)*(x_)]*(x_)^(m_.), x_Symbol] :> Simp[(-x^m)*(ExpIntegralE[n + 1, b*x]/b), x] + Simp[
      m/b   Int[x^(m - 1)*ExpIntegralE[n + 1, b*x], x], x] /; FreeQ[b, x] && EqQ[m + n, 0] && IGtQ[m, 0]

7029. Int[ExpIntegralE[1, (b_.)*(x_)]/(x_), x_Symbol] :> Simp[b*x*HypergeometricPFQ[{1, 1, 1}, {2, 2, 2}, (-b)*x], x
      ] + (-Simp[EulerGamma*Log[x], x] - Simp[(1/2)*Log[b*x]^2, x]) /; FreeQ[b, x]

7030. Int[ExpIntegralE[n_, (b_.)*(x_)]*(x_)^(m_), x_Symbol] :> Simp[x^(m + 1)*(ExpIntegralE[n, b*x]/(m + 1)), x] + S
      imp[b/(m + 1)   Int[x^(m + 1)*ExpIntegralE[n - 1, b*x], x], x] /; FreeQ[b, x] && EqQ[m + n, 0] && ILtQ[m, -1]

7031. Int[ExpIntegralE[n_, (b_.)*(x_)]*((d_.)*(x_))^(m_), x_Symbol] :> Simp[(d*x)^m*Gamma[m + 1]*(Log[x]/(b*(b*x)^m)
      ), x] - Simp[(d*x)^(m + 1)*(HypergeometricPFQ[{m + 1, m + 1}, {m + 2, m + 2}, (-b)*x]/(d*(m + 1)^2)), x] /; Fr
      eeQ[{b, d, m, n}, x] && EqQ[m + n, 0] &&  !IntegerQ[m]

7032. Int[ExpIntegralE[n_, (b_.)*(x_)]*((d_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Simp[(d*x)^(m + 1)*(ExpIntegralE[n, b*x]/(d*
      (m + n))), x] - Simp[(d*x)^(m + 1)*(ExpIntegralE[-m, b*x]/(d*(m + n))), x] /; FreeQ[{b, d, m, n}, x] && NeQ[m
      + n, 0]

7033. Int[ExpIntegralE[n_, (a_) + (b_.)*(x_)]*((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Simp[(-(c + d*x)^m)*(ExpInteg
      ralE[n + 1, a + b*x]/b), x] + Simp[d*(m/b)   Int[(c + d*x)^(m - 1)*ExpIntegralE[n + 1, a + b*x], x], x] /; Fre
      eQ[{a, b, c, d, m, n}, x] && (IGtQ[m, 0] || ILtQ[n, 0] || (GtQ[m, 0] && LtQ[n, -1]))

7034. Int[ExpIntegralE[n_, (a_) + (b_.)*(x_)]*((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Simp[(c + d*x)^(m + 1)*(ExpIn
      tegralE[n, a + b*x]/(d*(m + 1))), x] + Simp[b/(d*(m + 1))   Int[(c + d*x)^(m + 1)*ExpIntegralE[n - 1, a + b*x]
      , x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, m, n}, x] && (IGtQ[n, 0] || (LtQ[m, -1] && GtQ[n, 0])) && NeQ[m, -1]

7035. Int[ExpIntegralE[n_, (a_) + (b_.)*(x_)]*((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Unintegrable[(c + d*x)^m*ExpI
      ntegralE[n, a + b*x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, m, n}, x]

7036. Int[ExpIntegralEi[(a_.) + (b_.)*(x_)], x_Symbol] :> Simp[(a + b*x)*(ExpIntegralEi[a + b*x]/b), x] - Simp[E^(a
      + b*x)/b, x] /; FreeQ[{a, b}, x]

7037. Int[ExpIntegralEi[(b_.)*(x_)]/(x_), x_Symbol] :> Simp[Log[x]*(ExpIntegralEi[b*x] + ExpIntegralE[1, (-b)*x]), x
      ] - Int[ExpIntegralE[1, (-b)*x]/x, x] /; FreeQ[b, x]

7038. Int[ExpIntegralEi[(a_.) + (b_.)*(x_)]/((c_.) + (d_.)*(x_)), x_Symbol] :> Unintegrable[ExpIntegralEi[a + b*x]/(
      c + d*x), x] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x]

7039. Int[ExpIntegralEi[(a_.) + (b_.)*(x_)]*((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Simp[(c + d*x)^(m + 1)*(ExpInte
      gralEi[a + b*x]/(d*(m + 1))), x] - Simp[b/(d*(m + 1))   Int[(c + d*x)^(m + 1)*(E^(a + b*x)/(a + b*x)), x], x]
      /; FreeQ[{a, b, c, d, m}, x] && NeQ[m, -1]

7040. Int[ExpIntegralEi[(a_.) + (b_.)*(x_)]^2, x_Symbol] :> Simp[(a + b*x)*(ExpIntegralEi[a + b*x]^2/b), x] - Simp[2
      Int[E^(a + b*x)*ExpIntegralEi[a + b*x], x], x] /; FreeQ[{a, b}, x]

7041. Int[ExpIntegralEi[(b_.)*(x_)]^2*(x_)^(m_.), x_Symbol] :> Simp[x^(m + 1)*(ExpIntegralEi[b*x]^2/(m + 1)), x] - S
      imp[2/(m + 1)   Int[x^m*E^(b*x)*ExpIntegralEi[b*x], x], x] /; FreeQ[b, x] && IGtQ[m, 0]

7042. Int[ExpIntegralEi[(a_) + (b_.)*(x_)]^2*(x_)^(m_.), x_Symbol] :> Simp[x^(m + 1)*(ExpIntegralEi[a + b*x]^2/(m +
      1)), x] + (Simp[a*x^m*(ExpIntegralEi[a + b*x]^2/(b*(m + 1))), x] - Simp[2/(m + 1)   Int[x^m*E^(a + b*x)*ExpInt
      egralEi[a + b*x], x], x] - Simp[a*(m/(b*(m + 1)))   Int[x^(m - 1)*ExpIntegralEi[a + b*x]^2, x], x]) /; FreeQ[{
      a, b}, x] && IGtQ[m, 0]

7043. Int[E^((a_.) + (b_.)*(x_))*ExpIntegralEi[(c_.) + (d_.)*(x_)], x_Symbol] :> Simp[E^(a + b*x)*(ExpIntegralEi[c +
      d*x]/b), x] - Simp[d/b   Int[E^(a + c + (b + d)*x)/(c + d*x), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x]

7044. Int[E^((a_.) + (b_.)*(x_))*ExpIntegralEi[(c_.) + (d_.)*(x_)]*(x_)^(m_.), x_Symbol] :> Simp[x^m*E^(a + b*x)*(Ex
      pIntegralEi[c + d*x]/b), x] + (-Simp[d/b   Int[x^m*(E^(a + c + (b + d)*x)/(c + d*x)), x], x] - Simp[m/b   Int[
      x^(m - 1)*E^(a + b*x)*ExpIntegralEi[c + d*x], x], x]) /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && IGtQ[m, 0]

7045. Int[E^((a_.) + (b_.)*(x_))*ExpIntegralEi[(c_.) + (d_.)*(x_)]*(x_)^(m_), x_Symbol] :> Simp[x^(m + 1)*E^(a + b*x
      )*(ExpIntegralEi[c + d*x]/(m + 1)), x] + (-Simp[b/(m + 1)   Int[x^(m + 1)*E^(a + b*x)*ExpIntegralEi[c + d*x],
      x], x] - Simp[d/(m + 1)   Int[x^(m + 1)*(E^(a + c + (b + d)*x)/(c + d*x)), x], x]) /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] &
      & ILtQ[m, -1]

7046. Int[ExpIntegralEi[((a_.) + Log[(c_.)*(x_)^(n_.)]*(b_.))*(d_.)], x_Symbol] :> Simp[x*ExpIntegralEi[d*(a + b*Log
      [c*x^n])], x] - Simp[b*n*E^(a*d)   Int[(c*x^n)^(b*d)/(a + b*Log[c*x^n]), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, n}, x]

7047. Int[ExpIntegralEi[((a_.) + Log[(c_.)*(x_)^(n_.)]*(b_.))*(d_.)]/(x_), x_Symbol] :> Simp[1/n   Subst[ExpIntegral
      Ei[d*(a + b*x)], x, Log[c*x^n]], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, n}, x]

7048. Int[ExpIntegralEi[((a_.) + Log[(c_.)*(x_)^(n_.)]*(b_.))*(d_.)]*((e_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Simp[(e*x)^(m
      + 1)*(ExpIntegralEi[d*(a + b*Log[c*x^n])]/(e*(m + 1))), x] - Simp[b*n*E^(a*d)*((c*x^n)^(b*d)/((m + 1)*(e*x)^(b
      *d*n)))   Int[(e*x)^(m + b*d*n)/(a + b*Log[c*x^n]), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, m, n}, x] && NeQ[m, -1]

7049. Int[LogIntegral[(a_.) + (b_.)*(x_)], x_Symbol] :> Simp[(a + b*x)*(LogIntegral[a + b*x]/b), x] - Simp[ExpIntegr
      alEi[2*Log[a + b*x]]/b, x] /; FreeQ[{a, b}, x]

7050. Int[LogIntegral[(b_.)*(x_)]/(x_), x_Symbol] :> Simp[(-b)*x, x] + Simp[Log[b*x]*LogIntegral[b*x], x] /; FreeQ[b
      , x]

7051. Int[LogIntegral[(a_.) + (b_.)*(x_)]/((c_.) + (d_.)*(x_)), x_Symbol] :> Unintegrable[LogIntegral[a + b*x]/(c +
      d*x), x] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x]

7052. Int[LogIntegral[(a_.) + (b_.)*(x_)]*((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Simp[(c + d*x)^(m + 1)*(LogIntegr
      al[a + b*x]/(d*(m + 1))), x] - Simp[b/(d*(m + 1))   Int[(c + d*x)^(m + 1)/Log[a + b*x], x], x] /; FreeQ[{a, b,
      c, d, m}, x] && NeQ[m, -1]

7053. Int[SinIntegral[(a_.) + (b_.)*(x_)], x_Symbol] :> Simp[(a + b*x)*(SinIntegral[a + b*x]/b), x] + Simp[Cos[a + b
      *x]/b, x] /; FreeQ[{a, b}, x]

7054. Int[CosIntegral[(a_.) + (b_.)*(x_)], x_Symbol] :> Simp[(a + b*x)*(CosIntegral[a + b*x]/b), x] - Simp[Sin[a + b
      *x]/b, x] /; FreeQ[{a, b}, x]

7055. Int[SinIntegral[(b_.)*(x_)]/(x_), x_Symbol] :> Simp[(1/2)*b*x*HypergeometricPFQ[{1, 1, 1}, {2, 2, 2}, (-I)*b*x
      ], x] + Simp[(1/2)*b*x*HypergeometricPFQ[{1, 1, 1}, {2, 2, 2}, I*b*x], x] /; FreeQ[b, x]

7056. Int[CosIntegral[(b_.)*(x_)]/(x_), x_Symbol] :> Simp[(-2^(-1))*I*b*x*HypergeometricPFQ[{1, 1, 1}, {2, 2, 2}, (-
      I)*b*x], x] + (Simp[(1/2)*I*b*x*HypergeometricPFQ[{1, 1, 1}, {2, 2, 2}, I*b*x], x] + Simp[EulerGamma*Log[x], x
      ] + Simp[(1/2)*Log[b*x]^2, x]) /; FreeQ[b, x]

7057. Int[((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.)*SinIntegral[(a_.) + (b_.)*(x_)], x_Symbol] :> Simp[(c + d*x)^(m + 1)*(SinIntegr
      al[a + b*x]/(d*(m + 1))), x] - Simp[b/(d*(m + 1))   Int[(c + d*x)^(m + 1)*(Sin[a + b*x]/(a + b*x)), x], x] /;
      FreeQ[{a, b, c, d, m}, x] && NeQ[m, -1]

7058. Int[CosIntegral[(a_.) + (b_.)*(x_)]*((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Simp[(c + d*x)^(m + 1)*(CosIntegr
      al[a + b*x]/(d*(m + 1))), x] - Simp[b/(d*(m + 1))   Int[(c + d*x)^(m + 1)*(Cos[a + b*x]/(a + b*x)), x], x] /;
      FreeQ[{a, b, c, d, m}, x] && NeQ[m, -1]

7059. Int[SinIntegral[(a_.) + (b_.)*(x_)]^2, x_Symbol] :> Simp[(a + b*x)*(SinIntegral[a + b*x]^2/b), x] - Simp[2   I
      nt[Sin[a + b*x]*SinIntegral[a + b*x], x], x] /; FreeQ[{a, b}, x]

7060. Int[CosIntegral[(a_.) + (b_.)*(x_)]^2, x_Symbol] :> Simp[(a + b*x)*(CosIntegral[a + b*x]^2/b), x] - Simp[2   I
      nt[Cos[a + b*x]*CosIntegral[a + b*x], x], x] /; FreeQ[{a, b}, x]

7061. Int[(x_)^(m_.)*SinIntegral[(b_.)*(x_)]^2, x_Symbol] :> Simp[x^(m + 1)*(SinIntegral[b*x]^2/(m + 1)), x] - Simp[
      2/(m + 1)   Int[x^m*Sin[b*x]*SinIntegral[b*x], x], x] /; FreeQ[b, x] && IGtQ[m, 0]

7062. Int[CosIntegral[(b_.)*(x_)]^2*(x_)^(m_.), x_Symbol] :> Simp[x^(m + 1)*(CosIntegral[b*x]^2/(m + 1)), x] - Simp[
      2/(m + 1)   Int[x^m*Cos[b*x]*CosIntegral[b*x], x], x] /; FreeQ[b, x] && IGtQ[m, 0]

7063. Int[((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.)*SinIntegral[(a_) + (b_.)*(x_)]^2, x_Symbol] :> Simp[(a + b*x)*(c + d*x)^m*(SinI
      ntegral[a + b*x]^2/(b*(m + 1))), x] + (-Simp[2/(m + 1)   Int[(c + d*x)^m*Sin[a + b*x]*SinIntegral[a + b*x], x]
      , x] + Simp[(b*c - a*d)*(m/(b*(m + 1)))   Int[(c + d*x)^(m - 1)*SinIntegral[a + b*x]^2, x], x]) /; FreeQ[{a, b
      , c, d}, x] && IGtQ[m, 0]

7064. Int[CosIntegral[(a_) + (b_.)*(x_)]^2*((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Simp[(a + b*x)*(c + d*x)^m*(CosI
      ntegral[a + b*x]^2/(b*(m + 1))), x] + (-Simp[2/(m + 1)   Int[(c + d*x)^m*Cos[a + b*x]*CosIntegral[a + b*x], x]
      , x] + Simp[(b*c - a*d)*(m/(b*(m + 1)))   Int[(c + d*x)^(m - 1)*CosIntegral[a + b*x]^2, x], x]) /; FreeQ[{a, b
      , c, d}, x] && IGtQ[m, 0]

7065. Int[Sin[(a_.) + (b_.)*(x_)]*SinIntegral[(c_.) + (d_.)*(x_)], x_Symbol] :> Simp[(-Cos[a + b*x])*(SinIntegral[c
      + d*x]/b), x] + Simp[d/b   Int[Cos[a + b*x]*(Sin[c + d*x]/(c + d*x)), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x]

7066. Int[Cos[(a_.) + (b_.)*(x_)]*CosIntegral[(c_.) + (d_.)*(x_)], x_Symbol] :> Simp[Sin[a + b*x]*(CosIntegral[c + d
      *x]/b), x] - Simp[d/b   Int[Sin[a + b*x]*(Cos[c + d*x]/(c + d*x)), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x]

7067. Int[((e_.) + (f_.)*(x_))^(m_.)*Sin[(a_.) + (b_.)*(x_)]*SinIntegral[(c_.) + (d_.)*(x_)], x_Symbol] :> Simp[(-(e
      + f*x)^m)*Cos[a + b*x]*(SinIntegral[c + d*x]/b), x] + (Simp[d/b   Int[(e + f*x)^m*Cos[a + b*x]*(Sin[c + d*x]/
      (c + d*x)), x], x] + Simp[f*(m/b)   Int[(e + f*x)^(m - 1)*Cos[a + b*x]*SinIntegral[c + d*x], x], x]) /; FreeQ[
      {a, b, c, d, e, f}, x] && IGtQ[m, 0]

7068. Int[Cos[(a_.) + (b_.)*(x_)]*CosIntegral[(c_.) + (d_.)*(x_)]*((e_.) + (f_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Simp[(e +
      f*x)^m*Sin[a + b*x]*(CosIntegral[c + d*x]/b), x] + (-Simp[d/b   Int[(e + f*x)^m*Sin[a + b*x]*(Cos[c + d*x]/(c
      + d*x)), x], x] - Simp[f*(m/b)   Int[(e + f*x)^(m - 1)*Sin[a + b*x]*CosIntegral[c + d*x], x], x]) /; FreeQ[{a
      , b, c, d, e, f}, x] && IGtQ[m, 0]

7069. Int[((e_.) + (f_.)*(x_))^(m_)*Sin[(a_.) + (b_.)*(x_)]*SinIntegral[(c_.) + (d_.)*(x_)], x_Symbol] :> Simp[(e +
      f*x)^(m + 1)*Sin[a + b*x]*(SinIntegral[c + d*x]/(f*(m + 1))), x] + (-Simp[b/(f*(m + 1))   Int[(e + f*x)^(m + 1
      )*Cos[a + b*x]*SinIntegral[c + d*x], x], x] - Simp[d/(f*(m + 1))   Int[(e + f*x)^(m + 1)*Sin[a + b*x]*(Sin[c +
      d*x]/(c + d*x)), x], x]) /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && ILtQ[m, -1]

7070. Int[Cos[(a_.) + (b_.)*(x_)]*CosIntegral[(c_.) + (d_.)*(x_)]*((e_.) + (f_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Simp[(e +
      f*x)^(m + 1)*Cos[a + b*x]*(CosIntegral[c + d*x]/(f*(m + 1))), x] + (Simp[b/(f*(m + 1))   Int[(e + f*x)^(m + 1
      )*Sin[a + b*x]*CosIntegral[c + d*x], x], x] - Simp[d/(f*(m + 1))   Int[(e + f*x)^(m + 1)*Cos[a + b*x]*(Cos[c +
      d*x]/(c + d*x)), x], x]) /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && ILtQ[m, -1]

7071. Int[Cos[(a_.) + (b_.)*(x_)]*SinIntegral[(c_.) + (d_.)*(x_)], x_Symbol] :> Simp[Sin[a + b*x]*(SinIntegral[c + d
      *x]/b), x] - Simp[d/b   Int[Sin[a + b*x]*(Sin[c + d*x]/(c + d*x)), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x]

7072. Int[CosIntegral[(c_.) + (d_.)*(x_)]*Sin[(a_.) + (b_.)*(x_)], x_Symbol] :> Simp[(-Cos[a + b*x])*(CosIntegral[c
      + d*x]/b), x] + Simp[d/b   Int[Cos[a + b*x]*(Cos[c + d*x]/(c + d*x)), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x]

7073. Int[Cos[(a_.) + (b_.)*(x_)]*((e_.) + (f_.)*(x_))^(m_.)*SinIntegral[(c_.) + (d_.)*(x_)], x_Symbol] :> Simp[(e +
      f*x)^m*Sin[a + b*x]*(SinIntegral[c + d*x]/b), x] + (-Simp[d/b   Int[(e + f*x)^m*Sin[a + b*x]*(Sin[c + d*x]/(c
      + d*x)), x], x] - Simp[f*(m/b)   Int[(e + f*x)^(m - 1)*Sin[a + b*x]*SinIntegral[c + d*x], x], x]) /; FreeQ[{a
      , b, c, d, e, f}, x] && IGtQ[m, 0]

7074. Int[CosIntegral[(c_.) + (d_.)*(x_)]*((e_.) + (f_.)*(x_))^(m_.)*Sin[(a_.) + (b_.)*(x_)], x_Symbol] :> Simp[(-(e
      + f*x)^m)*Cos[a + b*x]*(CosIntegral[c + d*x]/b), x] + (Simp[d/b   Int[(e + f*x)^m*Cos[a + b*x]*(Cos[c + d*x]/
      (c + d*x)), x], x] + Simp[f*(m/b)   Int[(e + f*x)^(m - 1)*Cos[a + b*x]*CosIntegral[c + d*x], x], x]) /; FreeQ[
      {a, b, c, d, e, f}, x] && IGtQ[m, 0]

7075. Int[Cos[(a_.) + (b_.)*(x_)]*((e_.) + (f_.)*(x_))^(m_.)*SinIntegral[(c_.) + (d_.)*(x_)], x_Symbol] :> Simp[(e +
      f*x)^(m + 1)*Cos[a + b*x]*(SinIntegral[c + d*x]/(f*(m + 1))), x] + (Simp[b/(f*(m + 1))   Int[(e + f*x)^(m + 1
      )*Sin[a + b*x]*SinIntegral[c + d*x], x], x] - Simp[d/(f*(m + 1))   Int[(e + f*x)^(m + 1)*Cos[a + b*x]*(Sin[c +
      d*x]/(c + d*x)), x], x]) /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && ILtQ[m, -1]

7076. Int[CosIntegral[(c_.) + (d_.)*(x_)]*((e_.) + (f_.)*(x_))^(m_)*Sin[(a_.) + (b_.)*(x_)], x_Symbol] :> Simp[(e +
      f*x)^(m + 1)*Sin[a + b*x]*(CosIntegral[c + d*x]/(f*(m + 1))), x] + (-Simp[b/(f*(m + 1))   Int[(e + f*x)^(m + 1
      )*Cos[a + b*x]*CosIntegral[c + d*x], x], x] - Simp[d/(f*(m + 1))   Int[(e + f*x)^(m + 1)*Sin[a + b*x]*(Cos[c +
      d*x]/(c + d*x)), x], x]) /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && ILtQ[m, -1]

7077. Int[SinIntegral[((a_.) + Log[(c_.)*(x_)^(n_.)]*(b_.))*(d_.)], x_Symbol] :> Simp[x*SinIntegral[d*(a + b*Log[c*x
      ^n])], x] - Simp[b*d*n   Int[Sin[d*(a + b*Log[c*x^n])]/(d*(a + b*Log[c*x^n])), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, n}
      , x]

7078. Int[CosIntegral[((a_.) + Log[(c_.)*(x_)^(n_.)]*(b_.))*(d_.)], x_Symbol] :> Simp[x*CosIntegral[d*(a + b*Log[c*x
      ^n])], x] - Simp[b*d*n   Int[Cos[d*(a + b*Log[c*x^n])]/(d*(a + b*Log[c*x^n])), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, n}
      , x]

7079. Int[(F_)[((a_.) + Log[(c_.)*(x_)^(n_.)]*(b_.))*(d_.)]/(x_), x_Symbol] :> Simp[1/n   Subst[F[d*(a + b*x)], x, L
      og[c*x^n]], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, n}, x] && MemberQ[{SinIntegral, CosIntegral}, x]

7080. Int[((e_.)*(x_))^(m_.)*SinIntegral[((a_.) + Log[(c_.)*(x_)^(n_.)]*(b_.))*(d_.)], x_Symbol] :> Simp[(e*x)^(m +
      1)*(SinIntegral[d*(a + b*Log[c*x^n])]/(e*(m + 1))), x] - Simp[b*d*(n/(m + 1))   Int[(e*x)^m*(Sin[d*(a + b*Log[
      c*x^n])]/(d*(a + b*Log[c*x^n]))), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, m, n}, x] && NeQ[m, -1]

7081. Int[CosIntegral[((a_.) + Log[(c_.)*(x_)^(n_.)]*(b_.))*(d_.)]*((e_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Simp[(e*x)^(m +
      1)*(CosIntegral[d*(a + b*Log[c*x^n])]/(e*(m + 1))), x] - Simp[b*d*(n/(m + 1))   Int[(e*x)^m*(Cos[d*(a + b*Log[
      c*x^n])]/(d*(a + b*Log[c*x^n]))), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, m, n}, x] && NeQ[m, -1]

7082. Int[SinhIntegral[(a_.) + (b_.)*(x_)], x_Symbol] :> Simp[(a + b*x)*(SinhIntegral[a + b*x]/b), x] - Simp[Cosh[a
      + b*x]/b, x] /; FreeQ[{a, b}, x]

7083. Int[CoshIntegral[(a_.) + (b_.)*(x_)], x_Symbol] :> Simp[(a + b*x)*(CoshIntegral[a + b*x]/b), x] - Simp[Sinh[a
      + b*x]/b, x] /; FreeQ[{a, b}, x]

7084. Int[SinhIntegral[(b_.)*(x_)]/(x_), x_Symbol] :> Simp[(1/2)*b*x*HypergeometricPFQ[{1, 1, 1}, {2, 2, 2}, (-b)*x]
      , x] + Simp[(1/2)*b*x*HypergeometricPFQ[{1, 1, 1}, {2, 2, 2}, b*x], x] /; FreeQ[b, x]

7085. Int[CoshIntegral[(b_.)*(x_)]/(x_), x_Symbol] :> Simp[(-2^(-1))*b*x*HypergeometricPFQ[{1, 1, 1}, {2, 2, 2}, (-b
      )*x], x] + (Simp[(1/2)*b*x*HypergeometricPFQ[{1, 1, 1}, {2, 2, 2}, b*x], x] + Simp[EulerGamma*Log[x], x] + Sim
      p[(1/2)*Log[b*x]^2, x]) /; FreeQ[b, x]

7086. Int[((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.)*SinhIntegral[(a_.) + (b_.)*(x_)], x_Symbol] :> Simp[(c + d*x)^(m + 1)*(SinhInte
      gral[a + b*x]/(d*(m + 1))), x] - Simp[b/(d*(m + 1))   Int[(c + d*x)^(m + 1)*(Sinh[a + b*x]/(a + b*x)), x], x]
      /; FreeQ[{a, b, c, d, m}, x] && NeQ[m, -1]

7087. Int[CoshIntegral[(a_.) + (b_.)*(x_)]*((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Simp[(c + d*x)^(m + 1)*(CoshInte
      gral[a + b*x]/(d*(m + 1))), x] - Simp[b/(d*(m + 1))   Int[(c + d*x)^(m + 1)*(Cosh[a + b*x]/(a + b*x)), x], x]
      /; FreeQ[{a, b, c, d, m}, x] && NeQ[m, -1]

7088. Int[SinhIntegral[(a_.) + (b_.)*(x_)]^2, x_Symbol] :> Simp[(a + b*x)*(SinhIntegral[a + b*x]^2/b), x] - Simp[2
      Int[Sinh[a + b*x]*SinhIntegral[a + b*x], x], x] /; FreeQ[{a, b}, x]

7089. Int[CoshIntegral[(a_.) + (b_.)*(x_)]^2, x_Symbol] :> Simp[(a + b*x)*(CoshIntegral[a + b*x]^2/b), x] - Simp[2
      Int[Cosh[a + b*x]*CoshIntegral[a + b*x], x], x] /; FreeQ[{a, b}, x]

7090. Int[(x_)^(m_.)*SinhIntegral[(b_.)*(x_)]^2, x_Symbol] :> Simp[x^(m + 1)*(SinhIntegral[b*x]^2/(m + 1)), x] - Sim
      p[2/(m + 1)   Int[x^m*Sinh[b*x]*SinhIntegral[b*x], x], x] /; FreeQ[b, x] && IGtQ[m, 0]

7091. Int[CoshIntegral[(b_.)*(x_)]^2*(x_)^(m_.), x_Symbol] :> Simp[x^(m + 1)*(CoshIntegral[b*x]^2/(m + 1)), x] - Sim
      p[2/(m + 1)   Int[x^m*Cosh[b*x]*CoshIntegral[b*x], x], x] /; FreeQ[b, x] && IGtQ[m, 0]

7092. Int[((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.)*SinhIntegral[(a_) + (b_.)*(x_)]^2, x_Symbol] :> Simp[(a + b*x)*(c + d*x)^m*(Sin
      hIntegral[a + b*x]^2/(b*(m + 1))), x] + (-Simp[2/(m + 1)   Int[(c + d*x)^m*Sinh[a + b*x]*SinhIntegral[a + b*x]
      , x], x] + Simp[(b*c - a*d)*(m/(b*(m + 1)))   Int[(c + d*x)^(m - 1)*SinhIntegral[a + b*x]^2, x], x]) /; FreeQ[
      {a, b, c, d}, x] && IGtQ[m, 0]

7093. Int[CoshIntegral[(a_) + (b_.)*(x_)]^2*((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Simp[(a + b*x)*(c + d*x)^m*(Cos
      hIntegral[a + b*x]^2/(b*(m + 1))), x] + (-Simp[2/(m + 1)   Int[(c + d*x)^m*Cosh[a + b*x]*CoshIntegral[a + b*x]
      , x], x] + Simp[(b*c - a*d)*(m/(b*(m + 1)))   Int[(c + d*x)^(m - 1)*CoshIntegral[a + b*x]^2, x], x]) /; FreeQ[
      {a, b, c, d}, x] && IGtQ[m, 0]

7094. Int[Sinh[(a_.) + (b_.)*(x_)]*SinhIntegral[(c_.) + (d_.)*(x_)], x_Symbol] :> Simp[Cosh[a + b*x]*(SinhIntegral[c
      + d*x]/b), x] - Simp[d/b   Int[Cosh[a + b*x]*(Sinh[c + d*x]/(c + d*x)), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x]

7095. Int[Cosh[(a_.) + (b_.)*(x_)]*CoshIntegral[(c_.) + (d_.)*(x_)], x_Symbol] :> Simp[Sinh[a + b*x]*(CoshIntegral[c
      + d*x]/b), x] - Simp[d/b   Int[Sinh[a + b*x]*(Cosh[c + d*x]/(c + d*x)), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x]

7096. Int[((e_.) + (f_.)*(x_))^(m_.)*Sinh[(a_.) + (b_.)*(x_)]*SinhIntegral[(c_.) + (d_.)*(x_)], x_Symbol] :> Simp[(e
      + f*x)^m*Cosh[a + b*x]*(SinhIntegral[c + d*x]/b), x] + (-Simp[d/b   Int[(e + f*x)^m*Cosh[a + b*x]*(Sinh[c + d
      *x]/(c + d*x)), x], x] - Simp[f*(m/b)   Int[(e + f*x)^(m - 1)*Cosh[a + b*x]*SinhIntegral[c + d*x], x], x]) /;
      FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && IGtQ[m, 0]

7097. Int[Cosh[(a_.) + (b_.)*(x_)]*CoshIntegral[(c_.) + (d_.)*(x_)]*((e_.) + (f_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Simp[(e
      + f*x)^m*Sinh[a + b*x]*(CoshIntegral[c + d*x]/b), x] + (-Simp[d/b   Int[(e + f*x)^m*Sinh[a + b*x]*(Cosh[c + d
      *x]/(c + d*x)), x], x] - Simp[f*(m/b)   Int[(e + f*x)^(m - 1)*Sinh[a + b*x]*CoshIntegral[c + d*x], x], x]) /;
      FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && IGtQ[m, 0]

7098. Int[((e_.) + (f_.)*(x_))^(m_)*Sinh[(a_.) + (b_.)*(x_)]*SinhIntegral[(c_.) + (d_.)*(x_)], x_Symbol] :> Simp[(e
      + f*x)^(m + 1)*Sinh[a + b*x]*(SinhIntegral[c + d*x]/(f*(m + 1))), x] + (-Simp[b/(f*(m + 1))   Int[(e + f*x)^(m
      + 1)*Cosh[a + b*x]*SinhIntegral[c + d*x], x], x] - Simp[d/(f*(m + 1))   Int[(e + f*x)^(m + 1)*Sinh[a + b*x]*(
      Sinh[c + d*x]/(c + d*x)), x], x]) /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && ILtQ[m, -1]

7099. Int[Cosh[(a_.) + (b_.)*(x_)]*CoshIntegral[(c_.) + (d_.)*(x_)]*((e_.) + (f_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Simp[(e
      + f*x)^(m + 1)*Cosh[a + b*x]*(CoshIntegral[c + d*x]/(f*(m + 1))), x] + (-Simp[b/(f*(m + 1))   Int[(e + f*x)^(
      m + 1)*Sinh[a + b*x]*CoshIntegral[c + d*x], x], x] - Simp[d/(f*(m + 1))   Int[(e + f*x)^(m + 1)*Cosh[a + b*x]*
      (Cosh[c + d*x]/(c + d*x)), x], x]) /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && ILtQ[m, -1]

7100. Int[Cosh[(a_.) + (b_.)*(x_)]*SinhIntegral[(c_.) + (d_.)*(x_)], x_Symbol] :> Simp[Sinh[a + b*x]*(SinhIntegral[c
      + d*x]/b), x] - Simp[d/b   Int[Sinh[a + b*x]*(Sinh[c + d*x]/(c + d*x)), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x]

7101. Int[CoshIntegral[(c_.) + (d_.)*(x_)]*Sinh[(a_.) + (b_.)*(x_)], x_Symbol] :> Simp[Cosh[a + b*x]*(CoshIntegral[c
      + d*x]/b), x] - Simp[d/b   Int[Cosh[a + b*x]*(Cosh[c + d*x]/(c + d*x)), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x]

7102. Int[Cosh[(a_.) + (b_.)*(x_)]*((e_.) + (f_.)*(x_))^(m_.)*SinhIntegral[(c_.) + (d_.)*(x_)], x_Symbol] :> Simp[(e
      + f*x)^m*Sinh[a + b*x]*(SinhIntegral[c + d*x]/b), x] + (-Simp[d/b   Int[(e + f*x)^m*Sinh[a + b*x]*(Sinh[c + d
      *x]/(c + d*x)), x], x] - Simp[f*(m/b)   Int[(e + f*x)^(m - 1)*Sinh[a + b*x]*SinhIntegral[c + d*x], x], x]) /;
      FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && IGtQ[m, 0]

7103. Int[CoshIntegral[(c_.) + (d_.)*(x_)]*((e_.) + (f_.)*(x_))^(m_.)*Sinh[(a_.) + (b_.)*(x_)], x_Symbol] :> Simp[(e
      + f*x)^m*Cosh[a + b*x]*(CoshIntegral[c + d*x]/b), x] + (-Simp[d/b   Int[(e + f*x)^m*Cosh[a + b*x]*(Cosh[c + d
      *x]/(c + d*x)), x], x] - Simp[f*(m/b)   Int[(e + f*x)^(m - 1)*Cosh[a + b*x]*CoshIntegral[c + d*x], x], x]) /;
      FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && IGtQ[m, 0]

7104. Int[Cosh[(a_.) + (b_.)*(x_)]*((e_.) + (f_.)*(x_))^(m_.)*SinhIntegral[(c_.) + (d_.)*(x_)], x_Symbol] :> Simp[(e
      + f*x)^(m + 1)*Cosh[a + b*x]*(SinhIntegral[c + d*x]/(f*(m + 1))), x] + (-Simp[b/(f*(m + 1))   Int[(e + f*x)^(
      m + 1)*Sinh[a + b*x]*SinhIntegral[c + d*x], x], x] - Simp[d/(f*(m + 1))   Int[(e + f*x)^(m + 1)*Cosh[a + b*x]*
      (Sinh[c + d*x]/(c + d*x)), x], x]) /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && ILtQ[m, -1]

7105. Int[CoshIntegral[(c_.) + (d_.)*(x_)]*((e_.) + (f_.)*(x_))^(m_)*Sinh[(a_.) + (b_.)*(x_)], x_Symbol] :> Simp[(e
      + f*x)^(m + 1)*Sinh[a + b*x]*(CoshIntegral[c + d*x]/(f*(m + 1))), x] + (-Simp[b/(f*(m + 1))   Int[(e + f*x)^(m
      + 1)*Cosh[a + b*x]*CoshIntegral[c + d*x], x], x] - Simp[d/(f*(m + 1))   Int[(e + f*x)^(m + 1)*Sinh[a + b*x]*(
      Cosh[c + d*x]/(c + d*x)), x], x]) /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && ILtQ[m, -1]

7106. Int[SinhIntegral[((a_.) + Log[(c_.)*(x_)^(n_.)]*(b_.))*(d_.)], x_Symbol] :> Simp[x*SinhIntegral[d*(a + b*Log[c
      *x^n])], x] - Simp[b*d*n   Int[Sinh[d*(a + b*Log[c*x^n])]/(d*(a + b*Log[c*x^n])), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d,
      n}, x]

7107. Int[CoshIntegral[((a_.) + Log[(c_.)*(x_)^(n_.)]*(b_.))*(d_.)], x_Symbol] :> Simp[x*CoshIntegral[d*(a + b*Log[c
      *x^n])], x] - Simp[b*d*n   Int[Cosh[d*(a + b*Log[c*x^n])]/(d*(a + b*Log[c*x^n])), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d,
      n}, x]

7108. Int[(F_)[((a_.) + Log[(c_.)*(x_)^(n_.)]*(b_.))*(d_.)]/(x_), x_Symbol] :> Simp[1/n   Subst[F[d*(a + b*x)], x, L
      og[c*x^n]], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, n}, x] && MemberQ[{SinhIntegral, CoshIntegral}, x]

7109. Int[((e_.)*(x_))^(m_.)*SinhIntegral[((a_.) + Log[(c_.)*(x_)^(n_.)]*(b_.))*(d_.)], x_Symbol] :> Simp[(e*x)^(m +
      1)*(SinhIntegral[d*(a + b*Log[c*x^n])]/(e*(m + 1))), x] - Simp[b*d*(n/(m + 1))   Int[(e*x)^m*(Sinh[d*(a + b*L
      og[c*x^n])]/(d*(a + b*Log[c*x^n]))), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, m, n}, x] && NeQ[m, -1]

7110. Int[CoshIntegral[((a_.) + Log[(c_.)*(x_)^(n_.)]*(b_.))*(d_.)]*((e_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Simp[(e*x)^(m +
      1)*(CoshIntegral[d*(a + b*Log[c*x^n])]/(e*(m + 1))), x] - Simp[b*d*(n/(m + 1))   Int[(e*x)^m*(Cosh[d*(a + b*L
      og[c*x^n])]/(d*(a + b*Log[c*x^n]))), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, m, n}, x] && NeQ[m, -1]

7111. Int[Gamma[n_, (a_.) + (b_.)*(x_)], x_Symbol] :> Simp[(a + b*x)*(Gamma[n, a + b*x]/b), x] - Simp[Gamma[n + 1, a
      + b*x]/b, x] /; FreeQ[{a, b, n}, x]

7112. Int[Gamma[0, (b_.)*(x_)]/(x_), x_Symbol] :> Simp[b*x*HypergeometricPFQ[{1, 1, 1}, {2, 2, 2}, (-b)*x], x] + (-S
      imp[EulerGamma*Log[x], x] - Simp[(1/2)*Log[b*x]^2, x]) /; FreeQ[b, x]

7113. Int[Gamma[n_, (b_.)*(x_)]/(x_), x_Symbol] :> -Simp[Gamma[n - 1, b*x], x] + Simp[(n - 1)   Int[Gamma[n - 1, b*x
      ]/x, x], x] /; FreeQ[b, x] && IGtQ[n, 1]

7114. Int[Gamma[n_, (b_.)*(x_)]/(x_), x_Symbol] :> Simp[Gamma[n, b*x]/n, x] + Simp[1/n   Int[Gamma[n + 1, b*x]/x, x]
      , x] /; FreeQ[b, x] && ILtQ[n, 0]

7115. Int[Gamma[n_, (b_.)*(x_)]/(x_), x_Symbol] :> Simp[Gamma[n]*Log[x], x] - Simp[((b*x)^n/n^2)*HypergeometricPFQ[{
      n, n}, {1 + n, 1 + n}, (-b)*x], x] /; FreeQ[{b, n}, x] &&  !IntegerQ[n]

7116. Int[Gamma[n_, (b_.)*(x_)]*((d_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Simp[(d*x)^(m + 1)*(Gamma[n, b*x]/(d*(m + 1))), x]
      - Simp[(d*x)^m*(Gamma[m + n + 1, b*x]/(b*(m + 1)*(b*x)^m)), x] /; FreeQ[{b, d, m, n}, x] && NeQ[m, -1]

7117. Int[Gamma[n_, (a_) + (b_.)*(x_)]*((c_) + (d_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Simp[1/b   Subst[Int[(d*(x/b))^m*Gamm
      a[n, x], x], x, a + b*x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, m, n}, x] && EqQ[b*c - a*d, 0]

7118. Int[Gamma[n_, (a_.) + (b_.)*(x_)]/((c_.) + (d_.)*(x_)), x_Symbol] :> Int[(a + b*x)^(n - 1)/((c + d*x)*E^(a + b
      *x)), x] + Simp[(n - 1)   Int[Gamma[n - 1, a + b*x]/(c + d*x), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && IGtQ[n, 1]

7119. Int[Gamma[n_, (a_.) + (b_.)*(x_)]*((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Block[{$UseGamma = True}, Simp[(c +
      d*x)^(m + 1)*(Gamma[n, a + b*x]/(d*(m + 1))), x] + Simp[b/(d*(m + 1))   Int[(c + d*x)^(m + 1)*((a + b*x)^(n -
      1)/E^(a + b*x)), x], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d, m, n}, x] && (IGtQ[m, 0] || IGtQ[n, 0] || IntegersQ[m, n]) &&
      NeQ[m, -1]

7120. Int[Gamma[n_, (a_.) + (b_.)*(x_)]*((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Unintegrable[(c + d*x)^m*Gamma[n, a
      + b*x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, m, n}, x]

7121. Int[LogGamma[(a_.) + (b_.)*(x_)], x_Symbol] :> Simp[PolyGamma[-2, a + b*x]/b, x] /; FreeQ[{a, b}, x]

7122. Int[LogGamma[(a_.) + (b_.)*(x_)]*((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Simp[(c + d*x)^m*(PolyGamma[-2, a +
      b*x]/b), x] - Simp[d*(m/b)   Int[(c + d*x)^(m - 1)*PolyGamma[-2, a + b*x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] &&
      IGtQ[m, 0]

7123. Int[LogGamma[(a_.) + (b_.)*(x_)]*((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Unintegrable[(c + d*x)^m*LogGamma[a
      + b*x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, m}, x]

7124. Int[PolyGamma[n_, (a_.) + (b_.)*(x_)], x_Symbol] :> Simp[PolyGamma[n - 1, a + b*x]/b, x] /; FreeQ[{a, b, n}, x
      ]

7125. Int[((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.)*PolyGamma[n_, (a_.) + (b_.)*(x_)], x_Symbol] :> Simp[(c + d*x)^m*(PolyGamma[n -
      1, a + b*x]/b), x] - Simp[d*(m/b)   Int[(c + d*x)^(m - 1)*PolyGamma[n - 1, a + b*x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c
      , d, n}, x] && GtQ[m, 0]

7126. Int[((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.)*PolyGamma[n_, (a_.) + (b_.)*(x_)], x_Symbol] :> Simp[(c + d*x)^(m + 1)*(PolyGam
      ma[n, a + b*x]/(d*(m + 1))), x] - Simp[b/(d*(m + 1))   Int[(c + d*x)^(m + 1)*PolyGamma[n + 1, a + b*x], x], x]
      /; FreeQ[{a, b, c, d, n}, x] && LtQ[m, -1]

7127. Int[((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.)*PolyGamma[n_, (a_.) + (b_.)*(x_)], x_Symbol] :> Unintegrable[(c + d*x)^m*PolyGa
      mma[n, a + b*x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, m, n}, x]

7128. Int[Gamma[(a_.) + (b_.)*(x_)]^(n_.)*PolyGamma[0, (a_.) + (b_.)*(x_)], x_Symbol] :> Simp[Gamma[a + b*x]^n/(b*n)
      , x] /; FreeQ[{a, b, n}, x]

7129. Int[((a_.) + (b_.)*(x_))!^(n_.)*PolyGamma[0, (c_.) + (b_.)*(x_)], x_Symbol] :> Simp[(a + b*x)!^n/(b*n), x] /;
      FreeQ[{a, b, c, n}, x] && EqQ[c, a + 1]

7130. Int[Gamma[p_, ((a_.) + Log[(c_.)*(x_)^(n_.)]*(b_.))*(d_.)], x_Symbol] :> Simp[x*Gamma[p, d*(a + b*Log[c*x^n])]
      , x] + Simp[(b*d*n)/E^(a*d)   Int[(d*(a + b*Log[c*x^n]))^(p - 1)/(c*x^n)^(b*d), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, n
      , p}, x]

7131. Int[Gamma[p_, ((a_.) + Log[(c_.)*(x_)^(n_.)]*(b_.))*(d_.)]/(x_), x_Symbol] :> Simp[1/n   Subst[Gamma[p, d*(a +
      b*x)], x, Log[c*x^n]], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, n, p}, x]

7132. Int[Gamma[p_, ((a_.) + Log[(c_.)*(x_)^(n_.)]*(b_.))*(d_.)]*((e_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Simp[(e*x)^(m + 1)
      *(Gamma[p, d*(a + b*Log[c*x^n])]/(e*(m + 1))), x] + Simp[(b*d*n*((e*x)^(b*d*n)/((m + 1)*(c*x^n)^(b*d))))/E^(a*
      d)   Int[(e*x)^(m - b*d*n)*(d*(a + b*Log[c*x^n]))^(p - 1), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, m, n, p}, x] && NeQ
      [m, -1]

7133. Int[Gamma[p_, ((a_.) + Log[(c_.)*((d_) + (e_.)*(x_))^(n_.)]*(b_.))*(f_.)], x_Symbol] :> Simp[1/e   Subst[Int[G
      amma[p, f*(a + b*Log[c*x^n])], x], x, d + e*x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, n, p}, x]

7134. Int[Gamma[p_, ((a_.) + Log[(c_.)*((d_) + (e_.)*(x_))^(n_.)]*(b_.))*(f_.)]*((g_) + (h_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol]
      :> Simp[1/e   Subst[Int[(g*(x/d))^m*Gamma[p, f*(a + b*Log[c*x^n])], x], x, d + e*x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d,
      e, f, g, h, m, n, p}, x] && EqQ[e*g - d*h, 0]

7135. Int[Zeta[2, (a_.) + (b_.)*(x_)], x_Symbol] :> Int[PolyGamma[1, a + b*x], x] /; FreeQ[{a, b}, x]

7136. Int[Zeta[s_, (a_.) + (b_.)*(x_)], x_Symbol] :> Simp[-Zeta[s - 1, a + b*x]/(b*(s - 1)), x] /; FreeQ[{a, b, s},
      x] && NeQ[s, 1] && NeQ[s, 2]

7137. Int[((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.)*Zeta[2, (a_.) + (b_.)*(x_)], x_Symbol] :> Int[(c + d*x)^m*PolyGamma[1, a + b*x]
      , x] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && RationalQ[m]

7138. Int[((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.)*Zeta[s_, (a_.) + (b_.)*(x_)], x_Symbol] :> Simp[(-(c + d*x)^m)*(Zeta[s - 1, a +
      b*x]/(b*(s - 1))), x] + Simp[d*(m/(b*(s - 1)))   Int[(c + d*x)^(m - 1)*Zeta[s - 1, a + b*x], x], x] /; FreeQ[
      {a, b, c, d, s}, x] && NeQ[s, 1] && NeQ[s, 2] && GtQ[m, 0]

7139. Int[((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.)*Zeta[s_, (a_.) + (b_.)*(x_)], x_Symbol] :> Simp[(c + d*x)^(m + 1)*(Zeta[s, a +
      b*x]/(d*(m + 1))), x] + Simp[b*(s/(d*(m + 1)))   Int[(c + d*x)^(m + 1)*Zeta[s + 1, a + b*x], x], x] /; FreeQ[{
      a, b, c, d, s}, x] && NeQ[s, 1] && NeQ[s, 2] && LtQ[m, -1]

7140. Int[PolyLog[n_, (a_.)*((b_.)*(x_)^(p_.))^(q_.)], x_Symbol] :> Simp[x*PolyLog[n, a*(b*x^p)^q], x] - Simp[p*q
      Int[PolyLog[n - 1, a*(b*x^p)^q], x], x] /; FreeQ[{a, b, p, q}, x] && GtQ[n, 0]

7141. Int[PolyLog[n_, (a_.)*((b_.)*(x_)^(p_.))^(q_.)], x_Symbol] :> Simp[x*(PolyLog[n + 1, a*(b*x^p)^q]/(p*q)), x] -
      Simp[1/(p*q)   Int[PolyLog[n + 1, a*(b*x^p)^q], x], x] /; FreeQ[{a, b, p, q}, x] && LtQ[n, -1]

7142. Int[PolyLog[n_, (a_.)*((b_.)*(x_)^(p_.))^(q_.)], x_Symbol] :> Unintegrable[PolyLog[n, a*(b*x^p)^q], x] /; Free
      Q[{a, b, n, p, q}, x]

7143. Int[PolyLog[n_, (c_.)*((a_.) + (b_.)*(x_))^(p_.)]/((d_.) + (e_.)*(x_)), x_Symbol] :> Simp[PolyLog[n + 1, c*(a
      + b*x)^p]/(e*p), x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, n, p}, x] && EqQ[b*d, a*e]

7144. Int[PolyLog[n_, (a_.)*((b_.)*(x_)^(p_.))^(q_.)]/(x_), x_Symbol] :> Simp[PolyLog[n + 1, a*(b*x^p)^q]/(p*q), x]
      /; FreeQ[{a, b, n, p, q}, x]

7145. Int[((d_.)*(x_))^(m_.)*PolyLog[n_, (a_.)*((b_.)*(x_)^(p_.))^(q_.)], x_Symbol] :> Simp[(d*x)^(m + 1)*(PolyLog[n
      , a*(b*x^p)^q]/(d*(m + 1))), x] - Simp[p*(q/(m + 1))   Int[(d*x)^m*PolyLog[n - 1, a*(b*x^p)^q], x], x] /; Free
      Q[{a, b, d, m, p, q}, x] && NeQ[m, -1] && GtQ[n, 0]

7146. Int[((d_.)*(x_))^(m_.)*PolyLog[n_, (a_.)*((b_.)*(x_)^(p_.))^(q_.)], x_Symbol] :> Simp[(d*x)^(m + 1)*(PolyLog[n
      + 1, a*(b*x^p)^q]/(d*p*q)), x] - Simp[(m + 1)/(p*q)   Int[(d*x)^m*PolyLog[n + 1, a*(b*x^p)^q], x], x] /; Free
      Q[{a, b, d, m, p, q}, x] && NeQ[m, -1] && LtQ[n, -1]

7147. Int[((d_.)*(x_))^(m_.)*PolyLog[n_, (a_.)*((b_.)*(x_)^(p_.))^(q_.)], x_Symbol] :> Unintegrable[(d*x)^m*PolyLog[
      n, a*(b*x^p)^q], x] /; FreeQ[{a, b, d, m, n, p, q}, x]

7148. Int[(Log[(c_.)*(x_)^(m_.)]^(r_.)*PolyLog[n_, (a_.)*((b_.)*(x_)^(p_.))^(q_.)])/(x_), x_Symbol] :> Simp[Log[c*x^
      m]^r*(PolyLog[n + 1, a*(b*x^p)^q]/(p*q)), x] - Simp[m*(r/(p*q))   Int[Log[c*x^m]^(r - 1)*(PolyLog[n + 1, a*(b*
      x^p)^q]/x), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, m, n, q, r}, x] && GtQ[r, 0]

7149. Int[PolyLog[n_, (c_.)*((a_.) + (b_.)*(x_))^(p_.)], x_Symbol] :> Simp[x*PolyLog[n, c*(a + b*x)^p], x] + (-Simp[
      p   Int[PolyLog[n - 1, c*(a + b*x)^p], x], x] + Simp[a*p   Int[PolyLog[n - 1, c*(a + b*x)^p]/(a + b*x), x], x]
      ) /; FreeQ[{a, b, c, p}, x] && GtQ[n, 0]

7150. Int[PolyLog[2, (c_.)*((a_.) + (b_.)*(x_))]/((d_.) + (e_.)*(x_)), x_Symbol] :> Simp[Log[1 - a*c - b*c*x]*(PolyL
      og[2, c*(a + b*x)]/e), x] + Simp[b/e   Int[Log[1 - a*c - b*c*x]^2/(a + b*x), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e},
      x] && EqQ[c*(b*d - a*e) + e, 0]

7151. Int[PolyLog[2, (c_.)*((a_.) + (b_.)*(x_))]/((d_.) + (e_.)*(x_)), x_Symbol] :> Simp[Log[d + e*x]*(PolyLog[2, c*
      (a + b*x)]/e), x] + Simp[b/e   Int[Log[d + e*x]*(Log[1 - a*c - b*c*x]/(a + b*x)), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d,
      e}, x] && NeQ[c*(b*d - a*e) + e, 0]

7152. Int[((d_.) + (e_.)*(x_))^(m_.)*PolyLog[2, (c_.)*((a_.) + (b_.)*(x_))], x_Symbol] :> Simp[(d + e*x)^(m + 1)*(Po
      lyLog[2, c*(a + b*x)]/(e*(m + 1))), x] + Simp[b/(e*(m + 1))   Int[(d + e*x)^(m + 1)*(Log[1 - a*c - b*c*x]/(a +
      b*x)), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, m}, x] && NeQ[m, -1]

7153. Int[(x_)^(m_.)*PolyLog[n_, (c_.)*((a_.) + (b_.)*(x_))^(p_.)], x_Symbol] :> Simp[(-(a^(m + 1) - b^(m + 1)*x^(m
      + 1)))*(PolyLog[n, c*(a + b*x)^p]/((m + 1)*b^(m + 1))), x] + Simp[p/((m + 1)*b^m)   Int[ExpandIntegrand[PolyLo
      g[n - 1, c*(a + b*x)^p], (a^(m + 1) - b^(m + 1)*x^(m + 1))/(a + b*x), x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, p}, x] &&
      GtQ[n, 0] && IntegerQ[m] && NeQ[m, -1]

7154. Int[((g_.) + Log[(f_.)*((d_.) + (e_.)*(x_))^(n_.)]*(h_.))*PolyLog[2, (c_.)*((a_.) + (b_.)*(x_))], x_Symbol] :>
      Simp[x*(g + h*Log[f*(d + e*x)^n])*PolyLog[2, c*(a + b*x)], x] + (Simp[b   Int[(g + h*Log[f*(d + e*x)^n])*Log[
      1 - a*c - b*c*x]*ExpandIntegrand[x/(a + b*x), x], x], x] - Simp[e*h*n   Int[PolyLog[2, c*(a + b*x)]*ExpandInte
      grand[x/(d + e*x), x], x], x]) /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, h, n}, x]

7155. Int[(Log[1 + (e_.)*(x_)]*PolyLog[2, (c_.)*(x_)])/(x_), x_Symbol] :> Simp[-PolyLog[2, c*x]^2/2, x] /; FreeQ[{c,
      e}, x] && EqQ[c + e, 0]

7156. Int[((Log[1 + (e_.)*(x_)]*(h_.) + (g_))*PolyLog[2, (c_.)*(x_)])/(x_), x_Symbol] :> Simp[g   Int[PolyLog[2, c*x
      ]/x, x], x] + Simp[h   Int[(Log[1 + e*x]*PolyLog[2, c*x])/x, x], x] /; FreeQ[{c, e, g, h}, x] && EqQ[c + e, 0]

7157. Int[((g_.) + Log[(f_.)*((d_.) + (e_.)*(x_))^(n_.)]*(h_.))*(x_)^(m_.)*PolyLog[2, (c_.)*((a_.) + (b_.)*(x_))], x
      _Symbol] :> Simp[x^(m + 1)*(g + h*Log[f*(d + e*x)^n])*(PolyLog[2, c*(a + b*x)]/(m + 1)), x] + (Simp[b/(m + 1)
      Int[ExpandIntegrand[(g + h*Log[f*(d + e*x)^n])*Log[1 - a*c - b*c*x], x^(m + 1)/(a + b*x), x], x], x] - Simp[
      e*h*(n/(m + 1))   Int[ExpandIntegrand[PolyLog[2, c*(a + b*x)], x^(m + 1)/(d + e*x), x], x], x]) /; FreeQ[{a, b
      , c, d, e, f, g, h, n}, x] && IntegerQ[m] && NeQ[m, -1]

7158. Int[((g_.) + Log[(f_.)*((d_.) + (e_.)*(x_))^(n_.)]*(h_.))*(Px_)*PolyLog[2, (c_.)*((a_.) + (b_.)*(x_))], x_Symb
      ol] :> With[{u = IntHide[Px, x]}, Simp[u*(g + h*Log[f*(d + e*x)^n])*PolyLog[2, c*(a + b*x)], x] + (Simp[b   In
      t[ExpandIntegrand[(g + h*Log[f*(d + e*x)^n])*Log[1 - a*c - b*c*x], u/(a + b*x), x], x], x] - Simp[e*h*n   Int[
      ExpandIntegrand[PolyLog[2, c*(a + b*x)], u/(d + e*x), x], x], x])] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, h, n}, x] &&
      PolyQ[Px, x]

7159. Int[((g_.) + Log[1 + (e_.)*(x_)]*(h_.))*(Px_)*(x_)^(m_)*PolyLog[2, (c_.)*(x_)], x_Symbol] :> Simp[Coeff[Px, x,
      -m - 1]   Int[(g + h*Log[1 + e*x])*(PolyLog[2, c*x]/x), x], x] + Int[x^m*(Px - Coeff[Px, x, -m - 1]*x^(-m - 1
      ))*(g + h*Log[1 + e*x])*PolyLog[2, c*x], x] /; FreeQ[{c, e, g, h}, x] && PolyQ[Px, x] && ILtQ[m, 0] && EqQ[c +
      e, 0] && NeQ[Coeff[Px, x, -m - 1], 0]

7160. Int[((g_.) + Log[(f_.)*((d_.) + (e_.)*(x_))^(n_.)]*(h_.))*(Px_)*(x_)^(m_.)*PolyLog[2, (c_.)*((a_.) + (b_.)*(x_
      ))], x_Symbol] :> With[{u = IntHide[x^m*Px, x]}, Simp[u*(g + h*Log[f*(d + e*x)^n])*PolyLog[2, c*(a + b*x)], x]
      + (Simp[b   Int[ExpandIntegrand[(g + h*Log[f*(d + e*x)^n])*Log[1 - a*c - b*c*x], u/(a + b*x), x], x], x] - Si
      mp[e*h*n   Int[ExpandIntegrand[PolyLog[2, c*(a + b*x)], u/(d + e*x), x], x], x])] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f,
      g, h, n}, x] && PolyQ[Px, x] && IntegerQ[m]

7161. Int[((g_.) + Log[(f_.)*((d_.) + (e_.)*(x_))^(n_.)]*(h_.))*(Px_.)*(x_)^(m_)*PolyLog[2, (c_.)*((a_.) + (b_.)*(x_
      ))], x_Symbol] :> Unintegrable[Px*x^m*(g + h*Log[f*(d + e*x)^n])*PolyLog[2, c*(a + b*x)], x] /; FreeQ[{a, b, c
      , d, e, f, g, h, m, n}, x] && PolyQ[Px, x]

7162. Int[PolyLog[n_, (d_.)*((F_)^((c_.)*((a_.) + (b_.)*(x_))))^(p_.)], x_Symbol] :> Simp[PolyLog[n + 1, d*(F^(c*(a
      + b*x)))^p]/(b*c*p*Log[F]), x] /; FreeQ[{F, a, b, c, d, n, p}, x]

7163. Int[((e_.) + (f_.)*(x_))^(m_.)*PolyLog[n_, (d_.)*((F_)^((c_.)*((a_.) + (b_.)*(x_))))^(p_.)], x_Symbol] :> Simp
      [(e + f*x)^m*(PolyLog[n + 1, d*(F^(c*(a + b*x)))^p]/(b*c*p*Log[F])), x] - Simp[f*(m/(b*c*p*Log[F]))   Int[(e +
      f*x)^(m - 1)*PolyLog[n + 1, d*(F^(c*(a + b*x)))^p], x], x] /; FreeQ[{F, a, b, c, d, e, f, n, p}, x] && GtQ[m,
      0]

7164. Int[(u_)*PolyLog[n_, v_], x_Symbol] :> With[{w = DerivativeDivides[v, u*v, x]}, Simp[w*PolyLog[n + 1, v], x] /
      ;  !FalseQ[w]] /; FreeQ[n, x]

7165. Int[Log[w_]*(u_)*PolyLog[n_, v_], x_Symbol] :> With[{z = DerivativeDivides[v, u*v, x]}, Simp[z*Log[w]*PolyLog[
      n + 1, v], x] - Int[SimplifyIntegrand[z*D[w, x]*(PolyLog[n + 1, v]/w), x], x] /;  !FalseQ[z]] /; FreeQ[n, x] &
      & InverseFunctionFreeQ[w, x]

7166. Int[((c_.)*ProductLog[(a_.) + (b_.)*(x_)])^(p_), x_Symbol] :> Simp[(a + b*x)*((c*ProductLog[a + b*x])^p/(b*(p
      + 1))), x] + Simp[p/(c*(p + 1))   Int[(c*ProductLog[a + b*x])^(p + 1)/(1 + ProductLog[a + b*x]), x], x] /; Fre
      eQ[{a, b, c}, x] && LtQ[p, -1]

7167. Int[((c_.)*ProductLog[(a_.) + (b_.)*(x_)])^(p_.), x_Symbol] :> Simp[(a + b*x)*((c*ProductLog[a + b*x])^p/b), x
      ] - Simp[p   Int[(c*ProductLog[a + b*x])^p/(1 + ProductLog[a + b*x]), x], x] /; FreeQ[{a, b, c}, x] &&  !LtQ[p
      , -1]

7168. Int[((e_.) + (f_.)*(x_))^(m_.)*((c_.)*ProductLog[(a_) + (b_.)*(x_)])^(p_.), x_Symbol] :> Simp[1/b^(m + 1)   Su
      bst[Int[ExpandIntegrand[(c*ProductLog[x])^p, (b*e - a*f + f*x)^m, x], x], x, a + b*x], x] /; FreeQ[{a, b, c, e
      , f, p}, x] && IGtQ[m, 0]

7169. Int[((c_.)*ProductLog[(a_.)*(x_)^(n_)])^(p_.), x_Symbol] :> Simp[x*(c*ProductLog[a*x^n])^p, x] - Simp[n*p   In
      t[(c*ProductLog[a*x^n])^p/(1 + ProductLog[a*x^n]), x], x] /; FreeQ[{a, c, n, p}, x] && (EqQ[n*(p - 1), -1] ||
      (IntegerQ[p - 1/2] && EqQ[n*(p - 1/2), -1]))

7170. Int[((c_.)*ProductLog[(a_.)*(x_)^(n_)])^(p_.), x_Symbol] :> Simp[x*((c*ProductLog[a*x^n])^p/(n*p + 1)), x] + S
      imp[n*(p/(c*(n*p + 1)))   Int[(c*ProductLog[a*x^n])^(p + 1)/(1 + ProductLog[a*x^n]), x], x] /; FreeQ[{a, c, n}
      , x] && ((IntegerQ[p] && EqQ[n*(p + 1), -1]) || (IntegerQ[p - 1/2] && EqQ[n*(p + 1/2), -1]))

7171. Int[((c_.)*ProductLog[(a_.)*(x_)^(n_)])^(p_.), x_Symbol] :> -Subst[Int[(c*ProductLog[a/x^n])^p/x^2, x], x, 1/x
      ] /; FreeQ[{a, c, p}, x] && ILtQ[n, 0]

7172. Int[(x_)^(m_.)*((c_.)*ProductLog[(a_.)*(x_)^(n_.)])^(p_.), x_Symbol] :> Simp[x^(m + 1)*((c*ProductLog[a*x^n])^
      p/(m + 1)), x] - Simp[n*(p/(m + 1))   Int[x^m*((c*ProductLog[a*x^n])^p/(1 + ProductLog[a*x^n])), x], x] /; Fre
      eQ[{a, c, m, n, p}, x] && NeQ[m, -1] && ((IntegerQ[p - 1/2] && IGtQ[2*Simplify[p + (m + 1)/n], 0]) || ( !Integ
      erQ[p - 1/2] && IGtQ[Simplify[p + (m + 1)/n] + 1, 0]))

7173. Int[(x_)^(m_.)*((c_.)*ProductLog[(a_.)*(x_)^(n_.)])^(p_.), x_Symbol] :> Simp[x^(m + 1)*((c*ProductLog[a*x^n])^
      p/(m + n*p + 1)), x] + Simp[n*(p/(c*(m + n*p + 1)))   Int[x^m*((c*ProductLog[a*x^n])^(p + 1)/(1 + ProductLog[a
      *x^n])), x], x] /; FreeQ[{a, c, m, n, p}, x] && (EqQ[m, -1] || (IntegerQ[p - 1/2] && ILtQ[Simplify[p + (m + 1)
      /n] - 1/2, 0]) || ( !IntegerQ[p - 1/2] && ILtQ[Simplify[p + (m + 1)/n], 0]))

7174. Int[(x_)^(m_.)*((c_.)*ProductLog[(a_.)*(x_)])^(p_.), x_Symbol] :> Int[x^m*((c*ProductLog[a*x])^p/(1 + ProductL
      og[a*x])), x] + Simp[1/c   Int[x^m*((c*ProductLog[a*x])^(p + 1)/(1 + ProductLog[a*x])), x], x] /; FreeQ[{a, c,
      m}, x]

7175. Int[(x_)^(m_.)*((c_.)*ProductLog[(a_.)*(x_)^(n_)])^(p_.), x_Symbol] :> -Subst[Int[(c*ProductLog[a/x^n])^p/x^(m
      + 2), x], x, 1/x] /; FreeQ[{a, c, p}, x] && ILtQ[n, 0] && IntegerQ[m] && NeQ[m, -1]

7176. Int[((d_) + (d_.)*ProductLog[(a_.) + (b_.)*(x_)])^(-1), x_Symbol] :> Simp[(a + b*x)/(b*d*ProductLog[a + b*x]),
      x] /; FreeQ[{a, b, d}, x]

7177. Int[ProductLog[(a_.) + (b_.)*(x_)]/((d_) + (d_.)*ProductLog[(a_.) + (b_.)*(x_)]), x_Symbol] :> Simp[d*x, x] -
      Int[1/(d + d*ProductLog[a + b*x]), x] /; FreeQ[{a, b, d}, x]

7178. Int[((c_.)*ProductLog[(a_.) + (b_.)*(x_)])^(p_)/((d_) + (d_.)*ProductLog[(a_.) + (b_.)*(x_)]), x_Symbol] :> Si
      mp[c*(a + b*x)*((c*ProductLog[a + b*x])^(p - 1)/(b*d)), x] - Simp[c*p   Int[(c*ProductLog[a + b*x])^(p - 1)/(d
      + d*ProductLog[a + b*x]), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && GtQ[p, 0]

7179. Int[1/(ProductLog[(a_.) + (b_.)*(x_)]*((d_) + (d_.)*ProductLog[(a_.) + (b_.)*(x_)])), x_Symbol] :> Simp[ExpInt
      egralEi[ProductLog[a + b*x]]/(b*d), x] /; FreeQ[{a, b, d}, x]

7180. Int[1/(Sqrt[(c_.)*ProductLog[(a_.) + (b_.)*(x_)]]*((d_) + (d_.)*ProductLog[(a_.) + (b_.)*(x_)])), x_Symbol] :>
      Simp[Rt[Pi*c, 2]*(Erfi[Sqrt[c*ProductLog[a + b*x]]/Rt[c, 2]]/(b*c*d)), x] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && PosQ[c
      ]

7181. Int[1/(Sqrt[(c_.)*ProductLog[(a_.) + (b_.)*(x_)]]*((d_) + (d_.)*ProductLog[(a_.) + (b_.)*(x_)])), x_Symbol] :>
      Simp[Rt[(-Pi)*c, 2]*(Erf[Sqrt[c*ProductLog[a + b*x]]/Rt[-c, 2]]/(b*c*d)), x] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && Neg
      Q[c]

7182. Int[((c_.)*ProductLog[(a_.) + (b_.)*(x_)])^(p_)/((d_) + (d_.)*ProductLog[(a_.) + (b_.)*(x_)]), x_Symbol] :> Si
      mp[(a + b*x)*((c*ProductLog[a + b*x])^p/(b*d*(p + 1))), x] - Simp[1/(c*(p + 1))   Int[(c*ProductLog[a + b*x])^
      (p + 1)/(d + d*ProductLog[a + b*x]), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && LtQ[p, -1]

7183. Int[((c_.)*ProductLog[(a_.) + (b_.)*(x_)])^(p_.)/((d_) + (d_.)*ProductLog[(a_.) + (b_.)*(x_)]), x_Symbol] :> S
      imp[Gamma[p + 1, -ProductLog[a + b*x]]*((c*ProductLog[a + b*x])^p/(b*d*(-ProductLog[a + b*x])^p)), x] /; FreeQ
      [{a, b, c, d, p}, x]

7184. Int[((e_.) + (f_.)*(x_))^(m_.)/((d_) + (d_.)*ProductLog[(a_) + (b_.)*(x_)]), x_Symbol] :> Simp[1/b^(m + 1)   S
      ubst[Int[ExpandIntegrand[1/(d + d*ProductLog[x]), (b*e - a*f + f*x)^m, x], x], x, a + b*x], x] /; FreeQ[{a, b,
      d, e, f}, x] && IGtQ[m, 0]

7185. Int[(((e_.) + (f_.)*(x_))^(m_.)*((c_.)*ProductLog[(a_) + (b_.)*(x_)])^(p_.))/((d_) + (d_.)*ProductLog[(a_) + (
      b_.)*(x_)]), x_Symbol] :> Simp[1/b^(m + 1)   Subst[Int[ExpandIntegrand[(c*ProductLog[x])^p/(d + d*ProductLog[x
      ]), (b*e - a*f + f*x)^m, x], x], x, a + b*x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, p}, x] && IGtQ[m, 0]

7186. Int[((d_) + (d_.)*ProductLog[(a_.)*(x_)^(n_)])^(-1), x_Symbol] :> -Subst[Int[1/(x^2*(d + d*ProductLog[a/x^n]))
      , x], x, 1/x] /; FreeQ[{a, d}, x] && ILtQ[n, 0]

7187. Int[((c_.)*ProductLog[(a_.)*(x_)^(n_.)])^(p_.)/((d_) + (d_.)*ProductLog[(a_.)*(x_)^(n_.)]), x_Symbol] :> Simp[
      c*x*((c*ProductLog[a*x^n])^(p - 1)/d), x] /; FreeQ[{a, c, d, n, p}, x] && EqQ[n*(p - 1), -1]

7188. Int[ProductLog[(a_.)*(x_)^(n_.)]^(p_.)/((d_) + (d_.)*ProductLog[(a_.)*(x_)^(n_.)]), x_Symbol] :> Simp[a^p*(Exp
      IntegralEi[(-p)*ProductLog[a*x^n]]/(d*n)), x] /; FreeQ[{a, d}, x] && IntegerQ[p] && EqQ[n*p, -1]

7189. Int[((c_.)*ProductLog[(a_.)*(x_)^(n_.)])^(p_)/((d_) + (d_.)*ProductLog[(a_.)*(x_)^(n_.)]), x_Symbol] :> Simp[(
      Rt[Pi*c*n, 2]/(d*n*a^(1/n)*c^(1/n)))*Erfi[Sqrt[c*ProductLog[a*x^n]]/Rt[c*n, 2]], x] /; FreeQ[{a, c, d}, x] &&
      IntegerQ[1/n] && EqQ[p, 1/2 - 1/n] && PosQ[c*n]

7190. Int[((c_.)*ProductLog[(a_.)*(x_)^(n_.)])^(p_)/((d_) + (d_.)*ProductLog[(a_.)*(x_)^(n_.)]), x_Symbol] :> Simp[(
      Rt[(-Pi)*c*n, 2]/(d*n*a^(1/n)*c^(1/n)))*Erf[Sqrt[c*ProductLog[a*x^n]]/Rt[(-c)*n, 2]], x] /; FreeQ[{a, c, d}, x
      ] && IntegerQ[1/n] && EqQ[p, 1/2 - 1/n] && NegQ[c*n]

7191. Int[((c_.)*ProductLog[(a_.)*(x_)^(n_.)])^(p_.)/((d_) + (d_.)*ProductLog[(a_.)*(x_)^(n_.)]), x_Symbol] :> Simp[
      c*x*((c*ProductLog[a*x^n])^(p - 1)/d), x] - Simp[c*(n*(p - 1) + 1)   Int[(c*ProductLog[a*x^n])^(p - 1)/(d + d*
      ProductLog[a*x^n]), x], x] /; FreeQ[{a, c, d}, x] && GtQ[n, 0] && GtQ[n*(p - 1) + 1, 0]

7192. Int[((c_.)*ProductLog[(a_.)*(x_)^(n_.)])^(p_.)/((d_) + (d_.)*ProductLog[(a_.)*(x_)^(n_.)]), x_Symbol] :> Simp[
      x*((c*ProductLog[a*x^n])^p/(d*(n*p + 1))), x] - Simp[1/(c*(n*p + 1))   Int[(c*ProductLog[a*x^n])^(p + 1)/(d +
      d*ProductLog[a*x^n]), x], x] /; FreeQ[{a, c, d}, x] && GtQ[n, 0] && LtQ[n*p + 1, 0]

7193. Int[((c_.)*ProductLog[(a_.)*(x_)^(n_)])^(p_.)/((d_) + (d_.)*ProductLog[(a_.)*(x_)^(n_)]), x_Symbol] :> -Subst[
      Int[(c*ProductLog[a/x^n])^p/(x^2*(d + d*ProductLog[a/x^n])), x], x, 1/x] /; FreeQ[{a, c, d, p}, x] && ILtQ[n,
      0]

7194. Int[(x_)^(m_.)/((d_) + (d_.)*ProductLog[(a_.)*(x_)]), x_Symbol] :> Simp[x^(m + 1)/(d*(m + 1)*ProductLog[a*x]),
      x] - Simp[m/(m + 1)   Int[x^m/(ProductLog[a*x]*(d + d*ProductLog[a*x])), x], x] /; FreeQ[{a, d}, x] && GtQ[m,
      0]

7195. Int[1/((x_)*((d_) + (d_.)*ProductLog[(a_.)*(x_)])), x_Symbol] :> Simp[Log[ProductLog[a*x]]/d, x] /; FreeQ[{a,
      d}, x]

7196. Int[(x_)^(m_.)/((d_) + (d_.)*ProductLog[(a_.)*(x_)]), x_Symbol] :> Simp[x^(m + 1)/(d*(m + 1)), x] - Int[x^m*(P
      roductLog[a*x]/(d + d*ProductLog[a*x])), x] /; FreeQ[{a, d}, x] && LtQ[m, -1]

7197. Int[(x_)^(m_.)/((d_) + (d_.)*ProductLog[(a_.)*(x_)]), x_Symbol] :> Simp[x^m*(Gamma[m + 1, (-(m + 1))*ProductLo
      g[a*x]]/(a*d*(m + 1)*E^(m*ProductLog[a*x])*((-(m + 1))*ProductLog[a*x])^m)), x] /; FreeQ[{a, d, m}, x] &&  !In
      tegerQ[m]

7198. Int[1/((x_)*((d_) + (d_.)*ProductLog[(a_.)*(x_)^(n_.)])), x_Symbol] :> Simp[Log[ProductLog[a*x^n]]/(d*n), x] /
      ; FreeQ[{a, d, n}, x]

7199. Int[(x_)^(m_.)/((d_) + (d_.)*ProductLog[(a_.)*(x_)^(n_)]), x_Symbol] :> -Subst[Int[1/(x^(m + 2)*(d + d*Product
      Log[a/x^n])), x], x, 1/x] /; FreeQ[{a, d}, x] && IntegerQ[m] && ILtQ[n, 0] && NeQ[m, -1]

7200. Int[((c_.)*ProductLog[(a_.)*(x_)^(n_.)])^(p_.)/((x_)*((d_) + (d_.)*ProductLog[(a_.)*(x_)^(n_.)])), x_Symbol] :
      > Simp[(c*ProductLog[a*x^n])^p/(d*n*p), x] /; FreeQ[{a, c, d, n, p}, x]

7201. Int[((x_)^(m_.)*((c_.)*ProductLog[(a_.)*(x_)^(n_.)])^(p_.))/((d_) + (d_.)*ProductLog[(a_.)*(x_)^(n_.)]), x_Sym
      bol] :> Simp[c*x^(m + 1)*((c*ProductLog[a*x^n])^(p - 1)/(d*(m + 1))), x] /; FreeQ[{a, c, d, m, n, p}, x] && Ne
      Q[m, -1] && EqQ[m + n*(p - 1), -1]

7202. Int[((x_)^(m_.)*ProductLog[(a_.)*(x_)^(n_.)]^(p_.))/((d_) + (d_.)*ProductLog[(a_.)*(x_)^(n_.)]), x_Symbol] :>
      Simp[a^p*(ExpIntegralEi[(-p)*ProductLog[a*x^n]]/(d*n)), x] /; FreeQ[{a, d, m, n}, x] && IntegerQ[p] && EqQ[m +
      n*p, -1]

7203. Int[((x_)^(m_.)*((c_.)*ProductLog[(a_.)*(x_)^(n_.)])^(p_))/((d_) + (d_.)*ProductLog[(a_.)*(x_)^(n_.)]), x_Symb
      ol] :> Simp[a^(p - 1/2)*c^(p - 1/2)*Rt[Pi*(c/(p - 1/2)), 2]*(Erf[Sqrt[c*ProductLog[a*x^n]]/Rt[c/(p - 1/2), 2]]
      /(d*n)), x] /; FreeQ[{a, c, d, m, n}, x] && NeQ[m, -1] && IntegerQ[p - 1/2] && EqQ[m + n*(p - 1/2), -1] && Pos
      Q[c/(p - 1/2)]

7204. Int[((x_)^(m_.)*((c_.)*ProductLog[(a_.)*(x_)^(n_.)])^(p_))/((d_) + (d_.)*ProductLog[(a_.)*(x_)^(n_.)]), x_Symb
      ol] :> Simp[a^(p - 1/2)*c^(p - 1/2)*Rt[(-Pi)*(c/(p - 1/2)), 2]*(Erfi[Sqrt[c*ProductLog[a*x^n]]/Rt[-c/(p - 1/2)
      , 2]]/(d*n)), x] /; FreeQ[{a, c, d, m, n}, x] && NeQ[m, -1] && IntegerQ[p - 1/2] && EqQ[m + n*(p - 1/2), -1] &
      & NegQ[c/(p - 1/2)]

7205. Int[((x_)^(m_.)*((c_.)*ProductLog[(a_.)*(x_)^(n_.)])^(p_.))/((d_) + (d_.)*ProductLog[(a_.)*(x_)^(n_.)]), x_Sym
      bol] :> Simp[c*x^(m + 1)*((c*ProductLog[a*x^n])^(p - 1)/(d*(m + 1))), x] - Simp[c*((m + n*(p - 1) + 1)/(m + 1)
      )   Int[x^m*((c*ProductLog[a*x^n])^(p - 1)/(d + d*ProductLog[a*x^n])), x], x] /; FreeQ[{a, c, d, m, n, p}, x]
      && NeQ[m, -1] && GtQ[Simplify[p + (m + 1)/n], 1]

7206. Int[((x_)^(m_.)*((c_.)*ProductLog[(a_.)*(x_)^(n_.)])^(p_.))/((d_) + (d_.)*ProductLog[(a_.)*(x_)^(n_.)]), x_Sym
      bol] :> Simp[x^(m + 1)*((c*ProductLog[a*x^n])^p/(d*(m + n*p + 1))), x] - Simp[(m + 1)/(c*(m + n*p + 1))   Int[
      x^m*((c*ProductLog[a*x^n])^(p + 1)/(d + d*ProductLog[a*x^n])), x], x] /; FreeQ[{a, c, d, m, n, p}, x] && NeQ[m
      , -1] && LtQ[Simplify[p + (m + 1)/n], 0]

7207. Int[((x_)^(m_.)*((c_.)*ProductLog[(a_.)*(x_)])^(p_.))/((d_) + (d_.)*ProductLog[(a_.)*(x_)]), x_Symbol] :> Simp
      [x^m*Gamma[m + p + 1, (-(m + 1))*ProductLog[a*x]]*((c*ProductLog[a*x])^p/(a*d*(m + 1)*E^(m*ProductLog[a*x])*((
      -(m + 1))*ProductLog[a*x])^(m + p))), x] /; FreeQ[{a, c, d, m, p}, x] && NeQ[m, -1]

7208. Int[((x_)^(m_.)*((c_.)*ProductLog[(a_.)*(x_)^(n_.)])^(p_.))/((d_) + (d_.)*ProductLog[(a_.)*(x_)^(n_.)]), x_Sym
      bol] :> -Subst[Int[(c*ProductLog[a/x^n])^p/(x^(m + 2)*(d + d*ProductLog[a/x^n])), x], x, 1/x] /; FreeQ[{a, c,
      d, p}, x] && NeQ[m, -1] && IntegerQ[m] && LtQ[n, 0]

7209. Int[u_, x_Symbol] :> Subst[Int[SimplifyIntegrand[(x + 1)*E^x*SubstFor[ProductLog[x], u, x], x], x], x, Product
      Log[x]] /; FunctionOfQ[ProductLog[x], u, x]

7210. Int[Derivative[n_][f_][x_], x_Symbol] :> Simp[Derivative[n - 1][f][x], x] /; FreeQ[{f, n}, x]

7211. Int[((c_.)*(F_)^((a_.) + (b_.)*(x_)))^(p_.)*Derivative[n_][f_][x_], x_Symbol] :> Simp[(c*F^(a + b*x))^p*Deriva
      tive[n - 1][f][x], x] - Simp[b*p*Log[F]   Int[(c*F^(a + b*x))^p*Derivative[n - 1][f][x], x], x] /; FreeQ[{a, b
      , c, f, F, p}, x] && IGtQ[n, 0]

7212. Int[((c_.)*(F_)^((a_.) + (b_.)*(x_)))^(p_.)*Derivative[n_][f_][x_], x_Symbol] :> Simp[(c*F^(a + b*x))^p*(Deriv
      ative[n][f][x]/(b*p*Log[F])), x] - Simp[1/(b*p*Log[F])   Int[(c*F^(a + b*x))^p*Derivative[n + 1][f][x], x], x]
      /; FreeQ[{a, b, c, f, F, p}, x] && ILtQ[n, 0]

7213. Int[Sin[(a_.) + (b_.)*(x_)]*Derivative[n_][f_][x_], x_Symbol] :> Simp[Sin[a + b*x]*Derivative[n - 1][f][x], x]
      - Simp[b   Int[Cos[a + b*x]*Derivative[n - 1][f][x], x], x] /; FreeQ[{a, b, f}, x] && IGtQ[n, 0]

7214. Int[Cos[(a_.) + (b_.)*(x_)]*Derivative[n_][f_][x_], x_Symbol] :> Simp[Cos[a + b*x]*Derivative[n - 1][f][x], x]
      + Simp[b   Int[Sin[a + b*x]*Derivative[n - 1][f][x], x], x] /; FreeQ[{a, b, f}, x] && IGtQ[n, 0]

7215. Int[Sin[(a_.) + (b_.)*(x_)]*Derivative[n_][f_][x_], x_Symbol] :> Simp[(-Cos[a + b*x])*(Derivative[n][f][x]/b),
      x] + Simp[1/b   Int[Cos[a + b*x]*Derivative[n + 1][f][x], x], x] /; FreeQ[{a, b, f}, x] && ILtQ[n, 0]

7216. Int[Cos[(a_.) + (b_.)*(x_)]*Derivative[n_][f_][x_], x_Symbol] :> Simp[Sin[a + b*x]*(Derivative[n][f][x]/b), x]
      - Simp[1/b   Int[Sin[a + b*x]*Derivative[n + 1][f][x], x], x] /; FreeQ[{a, b, f}, x] && ILtQ[n, 0]

7217. Int[(u_)*Derivative[n_][f_][x_], x_Symbol] :> Subst[Int[SimplifyIntegrand[SubstFor[Derivative[n - 1][f][x], u,
      x], x], x], x, Derivative[n - 1][f][x]] /; FreeQ[{f, n}, x] && FunctionOfQ[Derivative[n - 1][f][x], u, x]

7218. Int[(u_)*((a_.)*(g_)[x_]*Derivative[1][f_][x_] + (a_.)*(f_)[x_]*Derivative[1][g_][x_]), x_Symbol] :> Simp[a
      Subst[Int[SimplifyIntegrand[SubstFor[f[x]*g[x], u, x], x], x], x, f[x]*g[x]], x] /; FreeQ[{a, f, g}, x] && Fun
      ctionOfQ[f[x]*g[x], u, x]

7219. Int[(u_)*((a_.)*(g_)[x_]*Derivative[m_][f_][x_] + (a_.)*Derivative[1][g_][x_]*Derivative[m1_][f_][x_]), x_Symb
      ol] :> Simp[a   Subst[Int[SimplifyIntegrand[SubstFor[Derivative[m - 1][f][x]*g[x], u, x], x], x], x, Derivativ
      e[m - 1][f][x]*g[x]], x] /; FreeQ[{a, f, g, m}, x] && EqQ[m1, m - 1] && FunctionOfQ[Derivative[m - 1][f][x]*g[
      x], u, x]

7220. Int[(u_)*((a_.)*Derivative[m1_][f_][x_]*Derivative[n_][g_][x_] + (a_.)*Derivative[m_][f_][x_]*Derivative[n1_][
      g_][x_]), x_Symbol] :> Simp[a   Subst[Int[SimplifyIntegrand[SubstFor[Derivative[m - 1][f][x]*Derivative[n - 1]
      [g][x], u, x], x], x], x, Derivative[m - 1][f][x]*Derivative[n - 1][g][x]], x] /; FreeQ[{a, f, g, m, n}, x] &&
      EqQ[m1, m - 1] && EqQ[n1, n - 1] && FunctionOfQ[Derivative[m - 1][f][x]*Derivative[n - 1][g][x], u, x]

7221. Int[(u_)*(f_)[x_]^(p_.)*((a_.)*(g_)[x_]*Derivative[1][f_][x_] + (b_.)*(f_)[x_]*Derivative[1][g_][x_]), x_Symbo
      l] :> Simp[b   Subst[Int[SimplifyIntegrand[SubstFor[f[x]^(p + 1)*g[x], u, x], x], x], x, f[x]^(p + 1)*g[x]], x
      ] /; FreeQ[{a, b, f, g, p}, x] && EqQ[a, b*(p + 1)] && FunctionOfQ[f[x]^(p + 1)*g[x], u, x]

7222. Int[(u_)*Derivative[m1_][f_][x_]^(p_.)*((a_.)*(g_)[x_]*Derivative[m_][f_][x_] + (b_.)*Derivative[1][g_][x_]*De
      rivative[m1_][f_][x_]), x_Symbol] :> Simp[b   Subst[Int[SimplifyIntegrand[SubstFor[Derivative[m - 1][f][x]^(p
      + 1)*g[x], u, x], x], x], x, Derivative[m - 1][f][x]^(p + 1)*g[x]], x] /; FreeQ[{a, b, f, g, m, p}, x] && EqQ[
      m1, m - 1] && EqQ[a, b*(p + 1)] && FunctionOfQ[Derivative[m - 1][f][x]^(p + 1)*g[x], u, x]

7223. Int[(u_)*(g_)[x_]^(q_.)*((a_.)*(g_)[x_]*Derivative[m_][f_][x_] + (b_.)*Derivative[1][g_][x_]*Derivative[m1_][f
      _][x_]), x_Symbol] :> Simp[a   Subst[Int[SimplifyIntegrand[SubstFor[Derivative[m - 1][f][x]*g[x]^(q + 1), u, x
      ], x], x], x, Derivative[m - 1][f][x]*g[x]^(q + 1)], x] /; FreeQ[{a, b, f, g, m, q}, x] && EqQ[m1, m - 1] && E
      qQ[a*(q + 1), b] && FunctionOfQ[Derivative[m - 1][f][x]*g[x]^(q + 1), u, x]

7224. Int[(u_)*Derivative[m1_][f_][x_]^(p_.)*((b_.)*Derivative[m1_][f_][x_]*Derivative[n_][g_][x_] + (a_.)*Derivativ
      e[m_][f_][x_]*Derivative[n1_][g_][x_]), x_Symbol] :> Simp[b   Subst[Int[SimplifyIntegrand[SubstFor[Derivative[
      m - 1][f][x]^(p + 1)*Derivative[n - 1][g][x], u, x], x], x], x, Derivative[m - 1][f][x]^(p + 1)*Derivative[n -
      1][g][x]], x] /; FreeQ[{a, b, f, g, m, n, p}, x] && EqQ[m1, m - 1] && EqQ[n1, n - 1] && EqQ[a, b*(p + 1)] &&
      FunctionOfQ[Derivative[m - 1][f][x]^(p + 1)*Derivative[n - 1][g][x], u, x]

7225. Int[(u_)*(f_)[x_]^(p_.)*(g_)[x_]^(q_.)*((a_.)*(g_)[x_]*Derivative[1][f_][x_] + (b_.)*(f_)[x_]*Derivative[1][g_
      ][x_]), x_Symbol] :> Simp[a/(p + 1)   Subst[Int[SimplifyIntegrand[SubstFor[f[x]^(p + 1)*g[x]^(q + 1), u, x], x
      ], x], x, f[x]^(p + 1)*g[x]^(q + 1)], x] /; FreeQ[{a, b, f, g, p, q}, x] && EqQ[a*(q + 1), b*(p + 1)] && Funct
      ionOfQ[f[x]^(p + 1)*g[x]^(q + 1), u, x]

7226. Int[(u_)*(g_)[x_]^(q_.)*Derivative[m1_][f_][x_]^(p_.)*((a_.)*(g_)[x_]*Derivative[m_][f_][x_] + (b_.)*Derivativ
      e[1][g_][x_]*Derivative[m1_][f_][x_]), x_Symbol] :> Simp[a/(p + 1)   Subst[Int[SimplifyIntegrand[SubstFor[Deri
      vative[m - 1][f][x]^(p + 1)*g[x]^(q + 1), u, x], x], x], x, Derivative[m - 1][f][x]^(p + 1)*g[x]^(q + 1)], x]
      /; FreeQ[{a, b, f, g, m, p, q}, x] && EqQ[m1, m - 1] && EqQ[a*(q + 1), b*(p + 1)] && FunctionOfQ[Derivative[m
      - 1][f][x]^(p + 1)*g[x]^(q + 1), u, x]

7227. Int[(u_)*Derivative[m1_][f_][x_]^(p_.)*Derivative[n1_][g_][x_]^(q_.)*((b_.)*Derivative[m1_][f_][x_]*Derivative
      [n_][g_][x_] + (a_.)*Derivative[m_][f_][x_]*Derivative[n1_][g_][x_]), x_Symbol] :> Simp[a/(p + 1)   Subst[Int[
      SimplifyIntegrand[SubstFor[Derivative[m - 1][f][x]^(p + 1)*Derivative[n - 1][g][x]^(q + 1), u, x], x], x], x,
      Derivative[m - 1][f][x]^(p + 1)*Derivative[n - 1][g][x]^(q + 1)], x] /; FreeQ[{a, b, f, g, m, n, p, q}, x] &&
      EqQ[m1, m - 1] && EqQ[n1, n - 1] && EqQ[a*(q + 1), b*(p + 1)] && FunctionOfQ[Derivative[m - 1][f][x]^(p + 1)*D
      erivative[n - 1][g][x]^(q + 1), u, x]

7228. Int[(g_)[x_]*Derivative[1][f_][x_] + (f_)[x_]*Derivative[1][g_][x_], x_Symbol] :> Simp[f[x]*g[x], x] /; FreeQ[
      {f, g}, x]

7229. Int[((g_)[x_]*Derivative[1][f_][x_] - (f_)[x_]*Derivative[1][g_][x_])/(g_)[x_]^2, x_Symbol] :> Simp[f[x]/g[x],
      x] /; FreeQ[{f, g}, x]

7230. Int[((g_)[x_]*Derivative[1][f_][x_] - (f_)[x_]*Derivative[1][g_][x_])/((f_)[x_]*(g_)[x_]), x_Symbol] :> Simp[L
      og[f[x]/g[x]], x] /; FreeQ[{f, g}, x]

7231. Int[((a_.) + (b_.)*(F_)[((c_.)*Sqrt[(d_.) + (e_.)*(x_)])/Sqrt[(f_.) + (g_.)*(x_)]])^(n_.)/((A_.) + (B_.)*(x_)
      + (C_.)*(x_)^2), x_Symbol] :> Simp[2*e*(g/(C*(e*f - d*g)))   Subst[Int[(a + b*F[c*x])^n/x, x], x, Sqrt[d + e*x
      ]/Sqrt[f + g*x]], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, A, B, C, F}, x] && EqQ[C*d*f - A*e*g, 0] && EqQ[B*e*g - C*
      (e*f + d*g), 0] && IGtQ[n, 0]

7232. Int[((a_.) + (b_.)*(F_)[((c_.)*Sqrt[(d_.) + (e_.)*(x_)])/Sqrt[(f_.) + (g_.)*(x_)]])^(n_.)/((A_.) + (C_.)*(x_)^
      2), x_Symbol] :> Simp[2*e*(g/(C*(e*f - d*g)))   Subst[Int[(a + b*F[c*x])^n/x, x], x, Sqrt[d + e*x]/Sqrt[f + g*
      x]], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, A, C, F}, x] && EqQ[C*d*f - A*e*g, 0] && EqQ[e*f + d*g, 0] && IGtQ[n, 0
      ]

7233. Int[((a_.) + (b_.)*(F_)[((c_.)*Sqrt[(d_.) + (e_.)*(x_)])/Sqrt[(f_.) + (g_.)*(x_)]])^(n_)/((A_.) + (B_.)*(x_) +
      (C_.)*(x_)^2), x_Symbol] :> Unintegrable[(a + b*F[(c*Sqrt[d + e*x])/Sqrt[f + g*x]])^n/(A + B*x + C*x^2), x] /
      ; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, A, B, C, F, n}, x] && EqQ[C*d*f - A*e*g, 0] && EqQ[B*e*g - C*(e*f + d*g), 0] &&
      !IGtQ[n, 0]

7234. Int[((a_.) + (b_.)*(F_)[((c_.)*Sqrt[(d_.) + (e_.)*(x_)])/Sqrt[(f_.) + (g_.)*(x_)]])^(n_)/((A_) + (C_.)*(x_)^2)
      , x_Symbol] :> Unintegrable[(a + b*F[(c*Sqrt[d + e*x])/Sqrt[f + g*x]])^n/(A + C*x^2), x] /; FreeQ[{a, b, c, d,
      e, f, g, A, C, F, n}, x] && EqQ[C*d*f - A*e*g, 0] && EqQ[e*f + d*g, 0] &&  !IGtQ[n, 0]

7235. Int[(u_)/(y_), x_Symbol] :> With[{q = DerivativeDivides[y, u, x]}, Simp[q*Log[RemoveContent[y, x]], x] /;  !Fa
      lseQ[q]]

7236. Int[(u_)/((w_)*(y_)), x_Symbol] :> With[{q = DerivativeDivides[y*w, u, x]}, Simp[q*Log[RemoveContent[y*w, x]],
      x] /;  !FalseQ[q]]

7237. Int[(u_)*(y_)^(m_.), x_Symbol] :> With[{q = DerivativeDivides[y, u, x]}, Simp[q*(y^(m + 1)/(m + 1)), x] /;  !F
      alseQ[q]] /; FreeQ[m, x] && NeQ[m, -1]

7238. Int[(u_)*(y_)^(m_.)*(z_)^(n_.), x_Symbol] :> With[{q = DerivativeDivides[y*z, u*z^(n - m), x]}, Simp[q*y^(m +
      1)*(z^(m + 1)/(m + 1)), x] /;  !FalseQ[q]] /; FreeQ[{m, n}, x] && NeQ[m, -1]

7239. Int[u_, x_Symbol] :> With[{v = SimplifyIntegrand[u, x]}, Int[v, x] /; SimplerIntegrandQ[v, u, x]]

7240. Int[(u_.)*((e_.)*Sqrt[(a_.) + (b_.)*(x_)^(n_.)] + (f_.)*Sqrt[(c_.) + (d_.)*(x_)^(n_.)])^(m_), x_Symbol] :> Sim
      p[(a*e^2 - c*f^2)^m   Int[ExpandIntegrand[u/(e*Sqrt[a + b*x^n] - f*Sqrt[c + d*x^n])^m, x], x], x] /; FreeQ[{a,
      b, c, d, e, f, n}, x] && ILtQ[m, 0] && EqQ[b*e^2 - d*f^2, 0]

7241. Int[(u_.)*((e_.)*Sqrt[(a_.) + (b_.)*(x_)^(n_.)] + (f_.)*Sqrt[(c_.) + (d_.)*(x_)^(n_.)])^(m_), x_Symbol] :> Sim
      p[(b*e^2 - d*f^2)^m   Int[ExpandIntegrand[(u*x^(m*n))/(e*Sqrt[a + b*x^n] - f*Sqrt[c + d*x^n])^m, x], x], x] /;
      FreeQ[{a, b, c, d, e, f, n}, x] && ILtQ[m, 0] && EqQ[a*e^2 - c*f^2, 0]

7242. Int[(u_)^(m_.)*((a_.)*(u_)^(n_) + (v_))^(p_.)*(w_), x_Symbol] :> Int[u^(m + n*p)*(a + v/u^n)^p*w, x] /; FreeQ[
      {a, m, n}, x] && IntegerQ[p] &&  !GtQ[n, 0] &&  !FreeQ[v, x]

7243. Int[(u_)*((c_.) + (d_.)*(v_))^(n_.)*((a_.) + (b_.)*(y_))^(m_.), x_Symbol] :> With[{q = DerivativeDivides[y, u,
      x]}, Simp[q   Subst[Int[(a + b*x)^m*(c + d*x)^n, x], x, y], x] /;  !FalseQ[q]] /; FreeQ[{a, b, c, d, m, n}, x
      ] && EqQ[v, y]

7244. Int[(u_)*((c_.) + (d_.)*(v_))^(n_.)*((e_.) + (f_.)*(w_))^(p_.)*((a_.) + (b_.)*(y_))^(m_.), x_Symbol] :> With[{
      q = DerivativeDivides[y, u, x]}, Simp[q   Subst[Int[(a + b*x)^m*(c + d*x)^n*(e + f*x)^p, x], x, y], x] /;  !Fa
      lseQ[q]] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m, n, p}, x] && EqQ[v, y] && EqQ[w, y]

7245. Int[(u_)*((c_.) + (d_.)*(v_))^(n_.)*((e_.) + (f_.)*(w_))^(p_.)*((a_.) + (b_.)*(y_))^(m_.)*((g_.) + (h_.)*(z_))
      ^(q_.), x_Symbol] :> With[{r = DerivativeDivides[y, u, x]}, Simp[r   Subst[Int[(a + b*x)^m*(c + d*x)^n*(e + f*
      x)^p*(g + h*x)^q, x], x, y], x] /;  !FalseQ[r]] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, h, m, n, p, q}, x] && EqQ[v, y]
      && EqQ[w, y] && EqQ[z, y]

7246. Int[(u_.)*((a_) + (b_.)*(y_)^(n_)), x_Symbol] :> With[{q = DerivativeDivides[y, u, x]}, Simp[a   Int[u, x], x]
      + Simp[b*q   Subst[Int[x^n, x], x, y], x] /;  !FalseQ[q]] /; FreeQ[{a, b, n}, x]

7247. Int[(u_.)*((a_.) + (b_.)*(y_)^(n_))^(p_), x_Symbol] :> With[{q = DerivativeDivides[y, u, x]}, Simp[q   Subst[I
      nt[(a + b*x^n)^p, x], x, y], x] /;  !FalseQ[q]] /; FreeQ[{a, b, n, p}, x]

7248. Int[(u_.)*(v_)^(m_.)*((a_.) + (b_.)*(y_)^(n_))^(p_.), x_Symbol] :> Module[{q, r}, Simp[q*r   Subst[Int[x^m*(a
      + b*x^n)^p, x], x, y], x] /;  !FalseQ[r = Divides[y^m, v^m, x]] &&  !FalseQ[q = DerivativeDivides[y, u, x]]] /
      ; FreeQ[{a, b, m, n, p}, x]

7249. Int[(u_.)*((a_.) + (c_.)*(v_)^(n2_.) + (b_.)*(y_)^(n_))^(p_), x_Symbol] :> With[{q = DerivativeDivides[y, u, x
      ]}, Simp[q   Subst[Int[(a + b*x^n + c*x^(2*n))^p, x], x, y], x] /;  !FalseQ[q]] /; FreeQ[{a, b, c, n, p}, x] &
      & EqQ[n2, 2*n] && EqQ[v, y]

7250. Int[(u_.)*((a_.) + (b_.)*(v_)^(n_) + (c_.)*(w_)^(n2_.))^(p_.)*((A_) + (B_.)*(y_)^(n_)), x_Symbol] :> With[{q =
      DerivativeDivides[y, u, x]}, Simp[q   Subst[Int[(A + B*x^n)*(a + b*x^n + c*x^(2*n))^p, x], x, y], x] /;  !Fal
      seQ[q]] /; FreeQ[{a, b, c, A, B, n, p}, x] && EqQ[n2, 2*n] && EqQ[v, y] && EqQ[w, y]

7251. Int[(u_.)*((a_.) + (c_.)*(w_)^(n2_.))^(p_.)*((A_) + (B_.)*(y_)^(n_)), x_Symbol] :> With[{q = DerivativeDivides
      [y, u, x]}, Simp[q   Subst[Int[(A + B*x^n)*(a + c*x^(2*n))^p, x], x, y], x] /;  !FalseQ[q]] /; FreeQ[{a, c, A,
      B, n, p}, x] && EqQ[n2, 2*n] && EqQ[w, y]

7252. Int[(u_.)*(v_)^(m_.)*((a_.) + (c_.)*(w_)^(n2_.) + (b_.)*(y_)^(n_))^(p_.), x_Symbol] :> Module[{q, r}, Simp[q*r
      Subst[Int[x^m*(a + b*x^n + c*x^(2*n))^p, x], x, y], x] /;  !FalseQ[r = Divides[y^m, v^m, x]] &&  !FalseQ[q
      = DerivativeDivides[y, u, x]]] /; FreeQ[{a, b, c, m, n, p}, x] && EqQ[n2, 2*n] && EqQ[w, y]

7253. Int[(u_.)*((a_.) + (b_.)*(v_)^(n_) + (c_.)*(w_)^(n2_.))^(p_.)*((A_) + (B_.)*(y_)^(n_))*(z_)^(m_.), x_Symbol] :
      > Module[{q, r}, Simp[q*r   Subst[Int[x^m*(A + B*x^n)*(a + b*x^n + c*x^(2*n))^p, x], x, y], x] /;  !FalseQ[r =
      Divides[y^m, z^m, x]] &&  !FalseQ[q = DerivativeDivides[y, u, x]]] /; FreeQ[{a, b, c, A, B, m, n, p}, x] && E
      qQ[n2, 2*n] && EqQ[v, y] && EqQ[w, y]

7254. Int[(u_.)*((a_.) + (c_.)*(w_)^(n2_.))^(p_.)*((A_) + (B_.)*(y_)^(n_))*(z_)^(m_.), x_Symbol] :> Module[{q, r}, S
      imp[q*r   Subst[Int[x^m*(A + B*x^n)*(a + c*x^(2*n))^p, x], x, y], x] /;  !FalseQ[r = Divides[y^m, z^m, x]] &&
      !FalseQ[q = DerivativeDivides[y, u, x]]] /; FreeQ[{a, c, A, B, m, n, p}, x] && EqQ[n2, 2*n] && EqQ[w, y]

7255. Int[(u_.)*((c_.) + (d_.)*(v_)^(n_))^(p_.)*((a_.) + (b_.)*(y_)^(n_))^(m_.), x_Symbol] :> With[{q = DerivativeDi
      vides[y, u, x]}, Simp[q   Subst[Int[(a + b*x^n)^m*(c + d*x^n)^p, x], x, y], x] /;  !FalseQ[q]] /; FreeQ[{a, b,
      c, d, m, n, p}, x] && EqQ[v, y]

7256. Int[(u_.)*((c_.) + (d_.)*(v_)^(n_))^(p_.)*((e_.) + (f_.)*(w_)^(n_))^(q_.)*((a_.) + (b_.)*(y_)^(n_))^(m_.), x_S
      ymbol] :> With[{r = DerivativeDivides[y, u, x]}, Simp[r   Subst[Int[(a + b*x^n)^m*(c + d*x^n)^p*(e + f*x^n)^q,
      x], x, y], x] /;  !FalseQ[r]] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m, n, p, q}, x] && EqQ[v, y] && EqQ[w, y]

7257. Int[(F_)^(v_)*(u_), x_Symbol] :> With[{q = DerivativeDivides[v, u, x]}, Simp[q*(F^v/Log[F]), x] /;  !FalseQ[q]
      ] /; FreeQ[F, x]

7258. Int[(F_)^(v_)*(u_)*(w_)^(m_.), x_Symbol] :> With[{q = DerivativeDivides[v, u, x]}, Simp[q   Subst[Int[x^m*F^x,
      x], x, v], x] /;  !FalseQ[q]] /; FreeQ[{F, m}, x] && EqQ[w, v]

7259. Int[(u_)*((a_) + (b_.)*(v_)^(p_.)*(w_)^(p_.))^(m_.), x_Symbol] :> With[{c = Simplify[u/(w*D[v, x] + v*D[w, x])
      ]}, Simp[c   Subst[Int[(a + b*x^p)^m, x], x, v*w], x] /; FreeQ[c, x]] /; FreeQ[{a, b, m, p}, x] && IntegerQ[p]

7260. Int[(u_)*(v_)^(r_.)*((a_) + (b_.)*(v_)^(p_.)*(w_)^(q_.))^(m_.), x_Symbol] :> With[{c = Simplify[u/(p*w*D[v, x]
      + q*v*D[w, x])]}, Simp[c*(p/(r + 1))   Subst[Int[(a + b*x^(p/(r + 1)))^m, x], x, v^(r + 1)*w], x] /; FreeQ[c,
      x]] /; FreeQ[{a, b, m, p, q, r}, x] && EqQ[p, q*(r + 1)] && NeQ[r, -1] && IntegerQ[p/(r + 1)]

7261. Int[(u_)*(v_)^(r_.)*(w_)^(s_.)*((a_) + (b_.)*(v_)^(p_.)*(w_)^(q_.))^(m_.), x_Symbol] :> With[{c = Simplify[u/(
      p*w*D[v, x] + q*v*D[w, x])]}, Simp[c*(p/(r + 1))   Subst[Int[(a + b*x^(p/(r + 1)))^m, x], x, v^(r + 1)*w^(s +
      1)], x] /; FreeQ[c, x]] /; FreeQ[{a, b, m, p, q, r, s}, x] && EqQ[p*(s + 1), q*(r + 1)] && NeQ[r, -1] && Integ
      erQ[p/(r + 1)]

7262. Int[(u_)*((a_.)*(v_)^(p_.) + (b_.)*(w_)^(q_.))^(m_.), x_Symbol] :> With[{c = Simplify[u/(p*w*D[v, x] - q*v*D[w
      , x])]}, Simp[c*p   Subst[Int[(b + a*x^p)^m, x], x, v*w^(m*q + 1)], x] /; FreeQ[c, x]] /; FreeQ[{a, b, m, p, q
      }, x] && EqQ[p + q*(m*p + 1), 0] && IntegerQ[p] && IntegerQ[m]

7263. Int[(u_)*(v_)^(r_.)*((a_.)*(v_)^(p_.) + (b_.)*(w_)^(q_.))^(m_.), x_Symbol] :> With[{c = Simplify[u/(p*w*D[v, x
      ] - q*v*D[w, x])]}, Simp[(-c)*q   Subst[Int[(a + b*x^q)^m, x], x, v^(m*p + r + 1)*w], x] /; FreeQ[c, x]] /; Fr
      eeQ[{a, b, m, p, q, r}, x] && EqQ[p + q*(m*p + r + 1), 0] && IntegerQ[q] && IntegerQ[m]

7264. Int[(u_)*(w_)^(s_.)*((a_.)*(v_)^(p_.) + (b_.)*(w_)^(q_.))^(m_.), x_Symbol] :> With[{c = Simplify[u/(p*w*D[v, x
      ] - q*v*D[w, x])]}, Simp[(-c)*(q/(s + 1))   Subst[Int[(a + b*x^(q/(s + 1)))^m, x], x, v^(m*p + 1)*w^(s + 1)],
      x] /; FreeQ[c, x]] /; FreeQ[{a, b, m, p, q, s}, x] && EqQ[p*(s + 1) + q*(m*p + 1), 0] && NeQ[s, -1] && Integer
      Q[q/(s + 1)] && IntegerQ[m]

7265. Int[(u_)*(v_)^(r_.)*(w_)^(s_.)*((a_.)*(v_)^(p_.) + (b_.)*(w_)^(q_.))^(m_.), x_Symbol] :> With[{c = Simplify[u/
      (p*w*D[v, x] - q*v*D[w, x])]}, Simp[(-c)*(q/(s + 1))   Subst[Int[(a + b*x^(q/(s + 1)))^m, x], x, v^(m*p + r +
      1)*w^(s + 1)], x] /; FreeQ[c, x]] /; FreeQ[{a, b, m, p, q, r, s}, x] && EqQ[p*(s + 1) + q*(m*p + r + 1), 0] &&
      NeQ[s, -1] && IntegerQ[q/(s + 1)] && IntegerQ[m]

7266. Int[(u_)*(x_)^(m_.), x_Symbol] :> Simp[1/(m + 1)   Subst[Int[SubstFor[x^(m + 1), u, x], x], x, x^(m + 1)], x]
      /; FreeQ[m, x] && NeQ[m, -1] && FunctionOfQ[x^(m + 1), u, x]

7267. Int[u_, x_Symbol] :> With[{lst = SubstForFractionalPowerOfLinear[u, x]}, Simp[lst[[2]]*lst[[4]]   Subst[Int[ls
      t[[1]], x], x, lst[[3]]^(1/lst[[2]])], x] /;  !FalseQ[lst] && SubstForFractionalPowerQ[u, lst[[3]], x]]

7268. Int[u_, x_Symbol] :> With[{lst = SubstForFractionalPowerOfQuotientOfLinears[u, x]}, Simp[lst[[2]]*lst[[4]]   S
      ubst[Int[lst[[1]], x], x, lst[[3]]^(1/lst[[2]])], x] /;  !FalseQ[lst]]

7269. Int[(u_.)*((a_.)*(v_)^(m_.)*(w_)^(n_.)*(z_)^(q_.))^(p_), x_Symbol] :> Simp[a^IntPart[p]*((a*v^m*w^n*z^q)^FracP
      art[p]/(v^(m*FracPart[p])*w^(n*FracPart[p])*z^(q*FracPart[p])))   Int[u*v^(m*p)*w^(n*p)*z^(p*q), x], x] /; Fre
      eQ[{a, m, n, p, q}, x] &&  !IntegerQ[p] &&  !FreeQ[v, x] &&  !FreeQ[w, x] &&  !FreeQ[z, x]

7270. Int[(u_.)*((a_.)*(v_)^(m_.)*(w_)^(n_.))^(p_), x_Symbol] :> Simp[a^IntPart[p]*((a*v^m*w^n)^FracPart[p]/(v^(m*Fr
      acPart[p])*w^(n*FracPart[p])))   Int[u*v^(m*p)*w^(n*p), x], x] /; FreeQ[{a, m, n, p}, x] &&  !IntegerQ[p] &&
      !FreeQ[v, x] &&  !FreeQ[w, x]

7271. Int[(u_.)*((a_.)*(v_)^(m_.))^(p_), x_Symbol] :> Simp[a^IntPart[p]*((a*v^m)^FracPart[p]/v^(m*FracPart[p]))   In
      t[u*v^(m*p), x], x] /; FreeQ[{a, m, p}, x] &&  !IntegerQ[p] &&  !FreeQ[v, x] &&  !(EqQ[a, 1] && EqQ[m, 1]) &&
      !(EqQ[v, x] && EqQ[m, 1])

7272. Int[(u_.)*((a_.) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_), x_Symbol] :> Simp[b^IntPart[p]*((a + b*x^n)^FracPart[p]/(x^(n*FracPa
      rt[p])*(1 + a*(1/(x^n*b)))^FracPart[p]))   Int[u*x^(n*p)*(1 + a*(1/(x^n*b)))^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, p}, x]
      &&  !IntegerQ[p] && ILtQ[n, 0] &&  !RationalFunctionQ[u, x] && IntegerQ[p + 1/2]

7273. Int[(u_.)*((a_.) + (b_.)*(v_)^(n_))^(p_), x_Symbol] :> Simp[(a + b*v^n)^FracPart[p]/(v^(n*FracPart[p])*(b + a/
      v^n)^FracPart[p])   Int[u*v^(n*p)*(b + a/v^n)^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, p}, x] &&  !IntegerQ[p] && ILtQ[n, 0]
      && BinomialQ[v, x] &&  !LinearQ[v, x]

7274. Int[(u_.)*((a_.) + (b_.)*(v_)^(n_)*(x_)^(m_.))^(p_), x_Symbol] :> Simp[(a + b*x^m*v^n)^FracPart[p]/(v^(n*FracP
      art[p])*(b*x^m + a/v^n)^FracPart[p])   Int[u*v^(n*p)*(b*x^m + a/v^n)^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, m, p}, x] &&  !
      IntegerQ[p] && ILtQ[n, 0] && BinomialQ[v, x]

7275. Int[(u_.)*((a_.)*(x_)^(r_.) + (b_.)*(x_)^(s_.))^(m_), x_Symbol] :> With[{v = (a*x^r + b*x^s)^FracPart[m]/(x^(r
      *FracPart[m])*(a + b*x^(s - r))^FracPart[m])}, Simp[v   Int[u*x^(m*r)*(a + b*x^(s - r))^m, x], x] /; NeQ[Simpl
      ify[v], 1]] /; FreeQ[{a, b, m, r, s}, x] &&  !IntegerQ[m] && PosQ[s - r]

7276. Int[(u_)/((a_) + (b_.)*(x_)^(n_)), x_Symbol] :> With[{v = RationalFunctionExpand[u/(a + b*x^n), x]}, Int[v, x]
      /; SumQ[v]] /; FreeQ[{a, b}, x] && IGtQ[n, 0]

7277. Int[(u_)*((a_.) + (b_.)*(x_)^(n_.) + (c_.)*(x_)^(n2_.))^(p_.), x_Symbol] :> Simp[1/(4^p*c^p)   Int[u*(b + 2*c*
      x^n)^(2*p), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, n}, x] && EqQ[n2, 2*n] && EqQ[b^2 - 4*a*c, 0] && IntegerQ[p] &&  !Algebr
      aicFunctionQ[u, x]

7278. Int[(u_)*((a_.) + (b_.)*(x_)^(n_.) + (c_.)*(x_)^(n2_.))^(p_), x_Symbol] :> Simp[(a + b*x^n + c*x^(2*n))^p/(b +
      2*c*x^n)^(2*p)   Int[u*(b + 2*c*x^n)^(2*p), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, n, p}, x] && EqQ[n2, 2*n] && EqQ[b^2 -
      4*a*c, 0] &&  !IntegerQ[p] &&  !AlgebraicFunctionQ[u, x]

7279. Int[(u_)/((a_.) + (b_.)*(x_)^(n_.) + (c_.)*(x_)^(n2_.)), x_Symbol] :> With[{v = RationalFunctionExpand[u/(a +
      b*x^n + c*x^(2*n)), x]}, Int[v, x] /; SumQ[v]] /; FreeQ[{a, b, c}, x] && EqQ[n2, 2*n] && IGtQ[n, 0]

7280. Int[(u_.)/((a_.)*(x_)^(m_.) + (b_.)*Sqrt[(c_.)*(x_)^(n_)]), x_Symbol] :> Int[u*((a*x^m - b*Sqrt[c*x^n])/(a^2*x
      ^(2*m) - b^2*c*x^n)), x] /; FreeQ[{a, b, c, m, n}, x]

7281. Int[u_, x_Symbol] :> With[{lst = FunctionOfLinear[u, x]}, Simp[1/lst[[3]]   Subst[Int[lst[[1]], x], x, lst[[2]
      ] + lst[[3]]*x], x] /;  !FalseQ[lst]]

7282. Int[(u_)/(x_), x_Symbol] :> With[{lst = PowerVariableExpn[u, 0, x]}, Simp[1/lst[[2]]   Subst[Int[NormalizeInte
      grand[Simplify[lst[[1]]/x], x], x], x, (lst[[3]]*x)^lst[[2]]], x] /;  !FalseQ[lst] && NeQ[lst[[2]], 0]] /; Non
      sumQ[u] &&  !RationalFunctionQ[u, x]

7283. Int[(u_)*(x_)^(m_.), x_Symbol] :> With[{lst = PowerVariableExpn[u, m + 1, x]}, Simp[1/lst[[2]]   Subst[Int[Nor
      malizeIntegrand[Simplify[lst[[1]]/x], x], x], x, (lst[[3]]*x)^lst[[2]]], x] /;  !FalseQ[lst] && NeQ[lst[[2]],
      m + 1]] /; IntegerQ[m] && NeQ[m, -1] && NonsumQ[u] && (GtQ[m, 0] ||  !AlgebraicFunctionQ[u, x])

7284. Int[(Fx_)*(x_)^(m_), x_Symbol] :> With[{k = Denominator[m]}, Simp[k   Subst[Int[x^(k*(m + 1) - 1)*SubstPower[F
      x, x, k], x], x, x^(1/k)], x]] /; FractionQ[m]

7285. Int[u_, x_Symbol] :> With[{lst = FunctionOfSquareRootOfQuadratic[u, x]}, Simp[2   Subst[Int[lst[[1]], x], x, l
      st[[2]]], x] /;  !FalseQ[lst] && EqQ[lst[[3]], 1]] /; EulerIntegrandQ[u, x]

7286. Int[u_, x_Symbol] :> With[{lst = FunctionOfSquareRootOfQuadratic[u, x]}, Simp[2   Subst[Int[lst[[1]], x], x, l
      st[[2]]], x] /;  !FalseQ[lst] && EqQ[lst[[3]], 2]] /; EulerIntegrandQ[u, x]

7287. Int[u_, x_Symbol] :> With[{lst = FunctionOfSquareRootOfQuadratic[u, x]}, Simp[2   Subst[Int[lst[[1]], x], x, l
      st[[2]]], x] /;  !FalseQ[lst] && EqQ[lst[[3]], 3]] /; EulerIntegrandQ[u, x]

7288. Int[((a_) + (b_.)*(v_)^2)^(-1), x_Symbol] :> Simp[1/(2*a)   Int[Together[1/(1 - v/Rt[-a/b, 2])], x], x] + Simp
      [1/(2*a)   Int[Together[1/(1 + v/Rt[-a/b, 2])], x], x] /; FreeQ[{a, b}, x]

7289. Int[((a_) + (b_.)*(v_)^(n_))^(-1), x_Symbol] :> Simp[2/(a*n)   Sum[Int[Together[1/(1 - v^2/((-1)^(4*(k/n))*Rt[
      -a/b, n/2]))], x], {k, 1, n/2}], x] /; FreeQ[{a, b}, x] && IGtQ[n/2, 1]

7290. Int[((a_) + (b_.)*(v_)^(n_))^(-1), x_Symbol] :> Simp[1/(a*n)   Sum[Int[Together[1/(1 - v/((-1)^(2*(k/n))*Rt[-a
      /b, n]))], x], {k, 1, n}], x] /; FreeQ[{a, b}, x] && IGtQ[(n - 1)/2, 0]

7291. Int[(v_)/((a_) + (b_.)*(u_)^(n_.)), x_Symbol] :> Int[ExpandIntegrand[PolynomialInSubst[v, u, x]/(a + b*x^n), x
      ] /. x -> u, x] /; FreeQ[{a, b}, x] && IGtQ[n, 0] && PolynomialInQ[v, u, x]

7292. Int[u_, x_Symbol] :> With[{v = NormalizeIntegrand[u, x]}, Int[v, x] /; v =!= u]

7293. Int[u_, x_Symbol] :> With[{v = ExpandIntegrand[u, x]}, Int[v, x] /; SumQ[v]]

7294. Int[(u_.)*((a_.) + (b_.)*(x_)^(m_.))^(p_.)*((c_.) + (d_.)*(x_)^(n_.))^(q_.), x_Symbol] :> Simp[(a + b*x^m)^p*(
      (c + d*x^n)^q/x^(m*p))   Int[u*x^(m*p), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, m, n, p, q}, x] && EqQ[a + d, 0] && EqQ[b
      + c, 0] && EqQ[m + n, 0] && EqQ[p + q, 0]

7295. Int[(u_)*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_.) + (c_.)*(x_)^(n2_.))^(p_), x_Symbol] :> Simp[Sqrt[a + b*x^n + c*x^(2*n)]/((4
      *c)^(p - 1/2)*(b + 2*c*x^n))   Int[u*(b + 2*c*x^n)^(2*p), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, n, p}, x] && EqQ[n2, 2*n]
      && EqQ[b^2 - 4*a*c, 0] && IntegerQ[p - 1/2]

7296. Int[u_, x_Symbol] :> With[{lst = SubstForFractionalPowerOfLinear[u, x]}, Simp[lst[[2]]*lst[[4]]   Subst[Int[ls
      t[[1]], x], x, lst[[3]]^(1/lst[[2]])], x] /;  !FalseQ[lst]]

7297. Int[u_, {x_Symbol, a_, b_}] :> With[{result = Int[u, x]}, Limit[result, x -> b] - Limit[result, x -> a]]